) es igual a cero y el FP es la unidad. En otras palabras, la potencia aparente y la potencia promedio son iguales. Sin embargo, el FP unitario tam bién se obtendría en el caso de caigas que contengan inductancia y capacitancia, si los valores de los elementos y la frecuencia de operación se eligen con cuidado, a fin de proporcionar una impedancia de entrada que tenga un ángulo de fase cero. Una carga puramente reactiva, esto es, que no contenga resistencia, ocasionará una diferencia de fase entre la tensión y la com ente de más o menos 90°, por lo cual el FP es cero. Entre estos dos casos extremos existen las redes generales en las que el FP varía desde cero hasta la unidad. Por ejemplo, un FP de 0.5 indica una carga que tiene una impedancia de entrada, con un ángulo de fase de 60° o -6 0 ° ; el primero describe una carga inductiva, pues la tensión adelanta a la com ente en 60°, mientras que el último se refiere a una carga capacitiva. La ambigüedad en la naturaleza exacta de la carga se resuelve mediante la referencia a un FP adelan tado o a un FP retrasado, donde los términos adelantado o retrasado se refieren a la fa se de la corriente con respecto de la tensión. De tal modo, una carga in ductiva tendrá un FP retrasado, y una carga capacitiva un FP adelantado. = el ángulo de fase de la comente. □ Sólo la componente resistiva de una carga consume una potencia promedio (activa) distinta de cero. La potencia promedio entregada a la componente reactiva de una carga es cero. □ L a transferencia de potencia promedio máxima ocurre cuando se satisface la condición Z¿ = Z*h. □ El valor eficaz o rms de una forma senoidal se obtiene al dividir su amplitud entre \Í2. □ El factor de potencia (FP) de una carga es la razón de su potencia disipada promedio (activa) y su potencia aparente. □ U na carga puramente resistiva tendrá un factor de potencia unitario. Una carga puramente reactiva tendrá un factor de potencia cero. □ L a potencia compleja se define como S = P + jQ , o | S | = Veflef y se mide en unidades de volt-amperes (VA). d esl es compleja, y ésta debe tener como su parte real la respuesta forzada en el dominio del tiempo que se desea: i(t) = R e{Ime>*e?} La solución al problema de análisis de circuitos consiste en determinar la ampli tud Im y el ángulo de fase ) en el dominio del tiempo. x) podría obtenerse en el laboratorio variando a>x sobre un gran intervalo de valores y midiendo la amplitud B / A y la fase (p — 0 para cada valor de u>x. Si se grafican en esas condiciones cada uno de estos parámetros como una función de la frecuencia, el par de curvas resultantes describiría por completo la función de transferencia. + o-----------v¡ (Ú = A cos
C alcu lar los valores de la potencia prom edio su m inistrada a cad a una de las cargas que sc indican en la figura 11.14, así como la potencia ap a re n te que proporciona la fuente y el fa cto r de potencia de las cargas com binadas. —^ 60 t f f V rms I
Identificar el objetivo del problema.
2 -./¡ il
1 +./Í fi
I FIGURA 11.14 Circuito en el que se busca la potencia promedio (activa) entregada a cada elemento, la potencia aparente suministrada por la fuente y el factor de potencia de la carga combinada.
L a potencia promedio se refiere a la que consumen los componentes resis tivos de los elementos de carga; la potencia aparente es el producto de la tensión eficaz y de la com ente eficaz de la combinación de carga.
Recopilar la información conocida. La tensión eficaz es de 60 V rms, que aparece en los extremos de una carga combinada de 2 — j + I + j 5 = 3 + j 4 fi.
Imaginar un plan. El análisis fasorial simple proporcionará la corriente. El conocimiento de la tensión y de la corriente permitirá calcular la potencia promedio y la potencia aparente; estas dos cantidades pueden utilizarse para obtener el factor de potencia.
SECCIÓN 11.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA
*
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. La potencia promedio está dada por P =V ef/efCos(a«g V — a n g I) La potencia aparente es simplemente Vef4fEl factor de potencia se calcula como la proporción entre estas dos can tidades: potencia promedio
P
potencia aparente
Vef/ef
Determinar si se requiere información adicional. Se requiere Ief. 60/0° I, = — — = 1 2 /—53.13 A rms 3 + ./4 L-----------p o r l o q u e / ef = 12 A rm s, y a n g L = —53.13°.
Buscar la solución. La potencia promedio (activa) entregada a la carga localizada en la parte superior está dada por P superior = /^arrib a = (12)2(2) = 288 W y la potencia promedio entregada a la carga de la derecha está dada por inferior = /^derecha = (12)2(1) = 144 W La fuente en sí misma entrega una potencia aparente de Vef/ef= (6 0 )(1 2 ) = 7 2 0 V A Por último, el factor de potencia de las cargas combinadas se obtiene al considerar la tensión y la com ente asociadas con esas mismas cargas. Este factor de potencia es, desde luego, idéntico al de la fuente. Por ello, P 432 PF = -------- = ---------- = 0 . 6 retrasado V e f/e f 60(12) puesto que la carga combinada es inductiva.
Verificar la solución ¿Es razonable o la esperada? La potencia promedio total entregada a la fuente es 288 + 144 = 432 W. La potencia promedio proporcionada por la fuente es c o s ( a n g V - a n g I) = (60)(12) cos(0 + 53.13°) = 432 W
P =
por lo que se puede observar que el balance es correcto. Hubiera podido describirse también la impedancia de carga combinada como 5 /53.1° fi, identificar 53. I o como el ángulo del FP y de ese modo tener un FP de cos 53.1° = 0.6 retrasado.
P3ÁCTV-
^
___ _______________________________________________ 60¡0° V mis
11.8 En el circuito de la figura 11.15, determinar el factor de potencia de las cargas combinadas, si Z¡ = 10 fi. R esp u esta: 0 .9 9 6 6 adelantado.
FIGURA 11.15
AA/V
0
A/W
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
11.5 g POTENCIA COMPLEJA___________________ ____ Se logra cierta simplificación en los cálculos de potencia si ésta se considera como una cantidad compleja. Se encontrará que la magnitud de la potencia com pleja es la potencia aparente, y se demostrará que la parte real de la potencia compleja corresponde a la potencia promedio (real). La nueva cantidad, la parte imaginaria de la potencia compleja, se llamará potencia reactiva. La potencia compleja se define con referencia a una tensión senoidal general Vef = Vef ¿0_ entre un par de terminales y una corriente senoidal general I ef = /ef que fluye por una de las terminales, de modo que cumple la con vención pasiva de signos. La potencia promedio P que absorbe la red a través sus dos terminales es, entonces, P = Vef/ef COS (8
-
(p)
La nomenclatura compleja se introduce a continuación, utilizando la fórmula de Euler de la misma manera que se hizo al presentar los fasores. Se expresa P como P = Vcí¡cí R e {í> ,íf,- A
O P = R e { V efe ^ / efe - ^ } La tensión fasorial se reconocería ahora como el primero de los dos factores dentro de las llaves de la ecuación anterior, aunque los segundos factores no corresponden en realidad a la corriente fasorial, pues el ángulo incluye un signo negativo, que no está presente en la expresión de la corriente fasorial. Esto es, la corriente fasorial se obtiene mediante
Im
Ie f =
/e f 6
y por lo tanto se debe utilizar la notación conjugada: Q
I*ef = / e f
Por consiguiente, Re P ■ F IG U R A 1 1 .1 6 Representación del triángulo de potencia de la potencia compleja.
y f P = Re{VefIe f}
y ahora se podría dejar que la potencia se vuelva compleja al definir la potencia com pleja S como S = V e fle f
Im a g in a rio
[2 5 ]
Si se inspecciona primero la forma polar o exponencial de la potencia compleja, S —Vef/ef resulta evidente que la magnitud de S, Vef/ ef, es la potencia aparente y el ángulo de S, (6 — (¡)}i es el ángulo FP (es decir, el ángulo mediante el cual la tensión adelanta a la corriente). En forma rectangular, se tiene S
■ F IG U R A 1 1 .1 7 El fasor de corriente lef se descompone en dos partes, una componente en fase con el fasor de tensión Vef y la otra 90° fuera de fase respecto del fasor de tensión. Esta última componente se denomina componente en
cuadratura.
= P + jQ
[2 6 ]
donde P es la potencia promedio como antes. La parte imaginaria de la potencia compleja se simboliza como Q y se denomina potencia reactiva. Las dimen siones de Q son las mismas que las de la potencia real P, de la potencia compleja S, y de la potencia aparente |S|. Para evitar confusiones con estas otras canti dades, la unidad de Q se define como volt-ampere-reactivo (VAR). A partir de las ecuaciones [ 2 5 ] y [ 2 6 ] se observa que 2 =
Vef/ef sen ( £ - < / > )
2
[2 7 ]
SECCION 11.5 POTENCIA COMPLEJA
TABLA .1 1 .1
• -------------------------
VW
------------- (
441
Resumen de las cantidades relacionadas con la potencia compleja
Cantidad
Potencia promedio (activa) Potencia reactiva Potencia compleja
Sím bolo
U nidades
Fórmula
P
V e f /e f COS(é> -
Q
Vrilrt sen-jg -
S
P+jQ Vef/ef /O -
4>)
0
watt (W) volt-ampere reactivo (VAR) volt-ampere (VA)
V e ft’ef
Potencia aparente
Vef/ef
La inLerpretación física de la potencia reactiva es la tasa del flujo de energía en el tiempo, hacia delante y hacia atrás entre la fuente (es decir, la compañía eléc trica) y las componentes reactivas de la carga (es decir, las inductancias y ca pacitancias). Estos componentes se cargan y se descargan de manera alternada, lo cual provoca un flujo de corriente desde y hacia la fuente, respectivamente. La tabla 11.1 muestra un resumen de las cantidades relacionadas a la poten cia compleja.
volt- ampere (VA;
El signo de la potencia reactiva caracteriza la natu raleza de una carga pasiva a la cual se especifican Vef y lef Si la carga es inductiva, entonces (6 - >) es un ángulo entre 0 y 90°, cuyo seno es positivo y la po tencia reactiva es positiva. Una carga capacitiva pro duce una potencia reactiva negativa
Triángulo de potencia La representación gráfica que se emplea de m anera muy común para la potencia compleja se conoce como triángulo de potencia, el cual se ilustra en la figura 11.16. El diagrama indica que sólo se requieren dos de las tres cantidades de po tencia, pues la tercera se obtiene mediante relaciones trigonométricas. Si el triángulo de potencia se encuentra en el primer cuadrante (0 — (p > 0), el factor de potencia está retrasado (corresponde a una carga inductiva), y si el triángulo de potencia se ubica en el cuarto cuadrante (0 — (¡> < 0), el factor de potencia está adelantado (lo que corresponde a una carga capacitiva). Por lo tanto, una gran cantidad de información cualitativa concerniente a la carga está disponible de un solo vistazo. Se observaría otra interpretación de la potencia reactiva si se construye un dia grama de fasores que contenga Vef y Ief como se indica en la figura 11.17. Si la corriente fasorial se divide en dos componentes, una en fase con la tensión, con una magnitud Ief cos(0 —
Medición de potencia En términos estrictos, un wattímetro registra la potencia real promedio o sea ac tiva consumida por una carga, y con un vármetro se obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la carga. Sin embargo, es común que se puedan medir ambas cantidades con el m ism o aparato, el cual tam bién puede medir la potencia aparente y el factor de potencia (figura 11.18).
■ FIGURA 11.18 Medidor de potencia digital de sujeción fabricado por Amprobe, con el que se pueden medir corrientes de ca hasta de 400 A y tensiones de hasta 600 V,
-
APLICACIÓN PRÁCTICA C orre cción d e l fa cto r d e p o te n c ia
Cuando una compañía eléctrica suministra potencia a grandes consumidores industriales, casi siempre incluye una cláusula de FP en sus tarifas. De acuerdo con esta cláusula, se hace un cargo adicional al consumidor siem pre que el FP esté por debajo de cierto valor especificado, casi siempre alrededor de 0.85 retrasado. Se consume muy poca potencia industrial a FP adelantados, debido a la naturaleza de las cargas industriales características. Son varias las razones que obligan a la compañía eléctri ca a realizar este cargo adicional para FP bajos. En primer lugar, es evidente que una capacidad superior de transmi sión de corriente debe integrarse en sus generadores para proporcionar las corrientes más altas que van junto con la operación de FP inferiores a una potencia y a una tensión constantes. Otra razón se debe a las pérdidas crecientes en su sistema de transmisión y distribución. Con el fin de recuperar las pérdidas y estimular a sus consumidores a utilizar un FP elevado, cierta compañía eléctrica cobra una penalización de 0.22 dólares/kVAR por cada kVAR que esté sobre un valor de referencia calculado como 0.62 veces la demanda de potencia promedio:
Potencia promedio (activa) ■ F IG U R A 1 1 .1 9 Gráfica que muestra una relación aceptable entre la potencia reactiva y la potencia promedio en el caso de una referencia de factor de potencia de 0.85 retrasado.
El requerimiento de potencia reactiva por lo común se ajusta mediante la instalación de capacitores de com pensación situados en paralelo con la carga (casi siem pre en el exterior de la subestación de la instalación del cliente). Se puede mostrar que el valor de capacitancia necesario es
S = P + j Q = P + j0 .6 2 P = P ( 1 + j'0.62) = P( l . 177/31.8°) Esta referencia apunta a un FP de 0.85 retrasado, ya que eos 31.8° = 0.85 y Q es positiva, situación que se repre senta de manera gráfica en la figura 11.19. Los consumi dores con un ángulo de FP mayor que éste se ven sujetos a penalizaciones financieras.
C =
¡ \ tal] (^intenor
tan$nuevo)
[28]
Resulta fácil demostrar que la potencia compleja entregada a varias cargas interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas entregada a cada una de las cargas individuales, sin importar cómo están interconectadas. Por ejemplo, considerar las dos cargas que se muestran conectadas en paralelo en la figura 11.21. Si se suponen valores rms. la potencia compleja que consume la carga combinada está dada por
s = VI* = V(l! + 12)* = V(I? + 1?) y así,
s = VI* + VI2 como se estableció, o----------------------------------------+ t 1' V ¡■s2
m
o■ F IG U R A 1 1 .2 1 Circuito utilizado para mostrar que la potencia compleja consumida por dos cargas en paralelo es la suma de las potencias complejas consumidas por las cargas individuales.
presente y 0nueVo es el ángulo del FP esperado. Sin em bargo, por conveniencia, los bancos de capacitores de compensación se fabrican con incrementos específicos en unidades de capacidad de kVAR. Un ejemplo de una instalación de este tipo se presenta en la figura 11.20. Considerar ahora un ejemplo específico. Una planta de maquinaria industrial particular tiene una demanda m áxim a de 5 000 kW y un requerim iento reactivo de 6 000 kVAR mensuales. Utilizando el plan de pagos ante rior, en el caso de este cliente, ¿cuál es el costo anual aso ciado con las penalizaciones del FP? Si la compensación puede conseguirse a través de la empresa eléctrica a un costo de 2 390 dólares por incremento de 1000 kVAR y a 3 130 dólares por incremento de 2000 kVAR, ¿cuál es la solución con el costo más adecuado para el cliente?
■ F IG U R A 1 1 .2 0 Instalación de capacitores de compensación. (Cortesía de Nokian Capacitors Ltd.)
El FP de la instalación es el ángulo de la potencia com plejas, que en este caso corresponde a5 000 + jé 000kVA. De tal modo, el ángulo es tan -1(6000/5 000) = 50.90° y el FP es 0.64 retrasado. El valor de la potencia reactiva de referencia, calculado como 0.62 veces la demanda máxima, es 0.62(5000) = 3100 kVAR. Por lo tanto, la planta consume 6 000 —3100 = 2 900 kVAR más de poten cia reactiva de lo que la compañía eléctrica está dispuesta a permitir sin penalizadón. Esto representa una estimación anual de 12(2 900)(0.22) = $7 656 dólares, además de los costos de la electricidad ordinaria. Si el cliente opta por un solo incremento de 1000 kVAR instalados (a un costo de 2390 dólares), la po tencia reactiva en exceso que se extrae se reduce a 2 900 - 1000 = 1900 KVAR, por lo que la penalización anual es en este caso igual a 12(1900)(0.22) = $5016. dólares. El costo total de este año es entonces de $5 016 + $2 390 = $7 406, dólares, que equivale a un ahorro de 250 dólares. Si el consum idor prefiere un incre mento instalado de 2 000 kVAR (a un costo de 3 130 dólares) la potencia reactiva en exceso que se extrae se reduce a 2 900 - 2 000 = 900 kVAR, por lo que la pe nalización anual es ahora de 12(900)(0.22) = $2376 dólares. En consecuencia, el costo total de este año es de $2376 + $3 130 = $5506, dólares, lo que genera un ahorro durante el prim er año de 2 150 dólares. Sin embargo, si el cliente continúa e instala 3000 kVAR de capacitores de compensación, de manera que no se estima penalización, le costará en realidad 14 dólares más en el prim er año, que si sólo se instalan 2 000 kVAR.
EJEMPLO 11.9 Ln consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a un FP retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor desea elevar el FPa 0.95 retrasado. Presentar una solución posible. Aunque se podría elevar el FP mediante el incremento de la potencia real y manteniendo constante la potencia reactiva, esta maniobra no redundaría en una factura más baja y no es un remedio que interese al consumidor. Es necesario agregar al sistema una carga puramente reactiva, y resulta claro que debe hacerse en paralelo, pues la tensión del suministro del motor de in ducción no debe cambiar. El circuito de la figura 11.22 se aplica si se inter preta a S| como la potencia compleja del motor de inducción y a S2 como la potencia compleja extraída por el dispositivo de corrección del FP. (Continúa en la siguiente página)
(motor) I FIGURA 11.22
(dispositivo de corrección)
AA/V
♦
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DLCA
La potencia compleja que se suministra al motor de inducción debe tener una parte real de 50 kW y un ángulo de eos-1 (0.8), o 36.9°. Por consiguiente, 50/36.9° L—— = 50 + y'37.5 kVA
Si =
0.8
Para alcanzar un FP de 0.95, la potencia compleja total debe convertirse en S = St + S2 = ^
/ e o s - 1(0.95) = 50 + j 16.43 kVA
Por lo tanto, la potencia compleja consumida por la carga correctiva se ob tiene mediante S2 = —./21.07 kVA La impedancia de carga necesaria Z 2 se determinaría con varios pasos sencillos. Se elige el ángulo de fase de 0° para la fuente de tensión, y por lo tanto la corriente que atraviesa Z 2 es 8 , ^ —721070 2
Y
230
J
y'91.6 A En consecuencia. Y 230 Z 2 = — = ------- = —j2.51 Q I2 ./91.6 Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, a esta carga se le puede proveer de un capacitor de 1056 /xF conectado en paralelo con el motor. Sin em bargo, su costo inicial, mantenimiento y depreciación deben solventarse me diante la reducción del recibo de pago de consumo eléctrico. P R Á C T IC A
_______
_______ _________________
11.9 En el circuito de la figura 11.23, determinar la potencia compleja que absorbe: (a) 1 £2; (b) el capacitor de —j 10 £2; (c) la impedancia de 5 + j 10 £2; (d) la fuente. in
■ F IG U R A 1 1 .2 3 R espuesta: 26.6 + j 0 VA; 0 - j 1331 VA; 532 - j 1 065VA; - 559 + y266VA.
SECCIÓN 11.6 COMPARACIÓN DE LA TERMINOLOGIA DE LA POTENCIA
A/VV
»
11.6 COMPARACIÓN DE LA TERMINOLOGÍA
-------- •--------------------------------------------------------------------------------- —-------------
DE LA POTENCIA En este capítulo se ha presentado una serie quizá desalentadora de terminologías de potencia, así que tal vez valga la pena hacer una pausa y considerar todos los términos en conjunto. En la tabla 11.2 se presenta un resumen, junto con una descripción de cada uno de ellos. La importancia práctica de estos nuevos términos se demuestra al pensar en la si guiente situación. Suponga primero que se tiene un generador de ca senoidal, que es una máquina rotatoria impulsada por algún otro dispositivo cuya salida es un momen to de torsión mecánico, como una turbina de vapor, un motor eléctrico o un motor de combustión interna. Se deja que el generador produzca una tensión de salida de 200 V rms a 60 Hz. Se supone que, además, el valor nominal del generador se especifi ca con una salida de potencia máxima de 1 kW. El generador sería entonces capaz de suministrar una corriente rms de 5 A a una carga resistiva. Sin embargo, si se co necta al generador una carga que requiere 1 kW a un factor de potencia retrasado de 0.5, entonces es necesaria una corriente rms de 10 A. Cuando disminuye el FP deben entregarse corrientes cada vez más grandes a la carga, si se va a mantener la opera ción a 200 V y 1 kW. Si nuestro generador se diseñara de manera correcta y econó mica para entregar en forma segura una máxima de 5 A, entonces estas comentes mayores causarían una operación insatisfactoria, del mismo modo que ocurre con el aislamiento que se sobrecalienta y empieza a producir humo, lo cual sería dañino. El valor nominal del generador se indica de manera más informativa en térmi nos de la potencia aparente en volt-amperes. Así, un valor nominal de 1000 VA a 200 V indica que el generador puede entregar una comente máxima de 5 A a la tensión nominal; la potencia que entrega depende de la carga, pero en su caso ex tremo podría ser cero. Un valor nominal de potencia aparente resulta equivalente al valor nominal de com ente cuando la operación es a tensión constante.
TABLA
11.2
Resumen de los términos importantes___________________________________
Término
Sím bolo
Potencia instantánea Potencia promedio (activa)
¡
Unidad
W
P
W
Valor eficaz o rms
V’nis o
V oA
Potencia aparente
|S|
VA
Factor de potencia
FP
Ninguno.^
Potencia reactiva
Q
VAR
Potencia compleja
S
VA
Descripción
p(t) — v(t)i(/). Valor de la potencia en un instante específico. ¡No es el producto de los fasores de tensión y de comente! En el estado senoidal permanente, P = | Vm¡„, cos(6 —4>), donde 0 es el ángulo de defasamiento de la tensión y ó es el án gulo de defasaitiieriio de la comente. Las reactancias no con tribuyen a P Definida, por ejemplo, como
j
i2d t ; si i(t) es
senoidal, entonces Lf = /m/V 2. ¡ s | = Vef/Pf, y es el valor máximo posible de la potencia promedio; P = |S| sólo para cargas puramente resistivas. Razón de la potencia promedio (activa) y potencia aparente, El FP es unitario en el caso de una carga puramente resistiva, y cero en el de una puramente reactiva. Medio para medir la tasa de flujo de energía hacia y desde cargas reactivas. Una conveniente cantidad compleja que contiene tanto la poten cia promedio P, como la potencia reactiva Q: S —P + jQ.
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
P
R
Á
C
T
I C
A
______________________________
11.10 U na fuente de 400 V rms suministra potencia a una carga = 10 + j2 Q a través de una línea de transmisión que tiene una resistencia total de 1.5 £2. Determinar: (a) la potencia promedio y aparente suministrada a la carga; (b) la potencia promedio y aparente que se pierde en la línea de transmisión; (C) la potencia promedio y aparente suministrada por la fuente; (d ) el factor de potencia al que opera la fuente. Respuestas: 14.21 kW, 14.49 kVA; 2.131 kW, 2.131 kVA; 16.34 kW, 16.59 kVA; 0.985 retrasado.
RESUMEN Y REPASO_____________________________ □ La potencia instantánea que absorbe un elemento está determinada por la expresión p( t ) = v(í)i (t). □ L a potencia promedio entregada a una impedancia por una fuente senoidal es i Vml m eos (6 —
La potencia reactiva Q es la componente imaginaria de la potencia compleja y constituye una medida de la tasa de flujo de energía hacia o desde las componentes reactivas de una carga; su unidad es el volt-amperereactivo (VAR).
□ Los capacitores se emplean a menudo para mejorar el FP de cargas industriales, con el fin de minimizar la potencia reactiva que requiere la compañía de electricidad.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Se puede encontrar un panorama muy completo de los conceptos de la potencia de ca en el capítulo 2 de: B.M. Weedy, Electric Power Systems, 33a ed. Chichester, England: Wiley, 1984. Temas contemporáneos relativos a los sistemas de potencia de ca se pueden en contrar en: International Journal o f Electrical Power & Energy Systems. Guildford, Eng land: IPC Science and Technology Press, 1979-. ISSN: 0142-0615.
EJERCICIOS
E JE R C IC IO S 11.1 Potencia instantánea
1. Una fuente de corriente, is (t) = 2 eos 500í A, una resistencia de 50 £2 y un capaci tor de 25 ¡jlF están conectados en paralelo. Determinar la potencia que suministra la fuente a la resistencia y al capacitor, todo en t = 7r / 2 ms. 2. La corriente i = 2í 2 — 1 A, 1 < t '< 3 s, fluye por cierto elemento de circuito, (a) Si el elemento es un inductor de 4 H. ¿qué energía se entrega en el intervalo indicado? (b) Si el elemento es un capacitor de 0.2 F con d(1) = 2 V, ¿qué potencia se le suministra en t = 2 s? 3. SP»C(0) = - 2 V e i( 0 ) = 4 A en el circuito de la figura 11.24, determinar la poten cia que absorbe el capacitor en t igual a: (a) 0+ ; (b ) 0.2 s; (c) 0.4 s. 1H JJW — —
■ F IG U R A 1 1 .2 4
4. Calcular la potencia que absorbe cada elemento pasivo en el circuito de la figura 11.25 en t = 0 si vs = 20 cos(l 000? + 30°) V. Verificar su respuesta con PSpice. 2.5 kíl
Ü F IG U R A 1 1 .2 5
5. El circuito de la figura 11.26 ha alcanzado las condiciones de estado permanente. Determinar la potencia que absorbe cada uno de los cuatro elementos de circuito en t = 0.1 s. 3n
■ F IG U R A 1 1 .2 6
6 . Considerar el circuito R L que se muestra en la figura 11.27. Determinar la potencia instantánea absorbida por la resistencia en t = (a) 0+ ; (b) 1 s; (c) 2 s.
■ FIGURA 11.27
#■
w v
448
A/W
3u(-t) A
I FIGURA 11.28
CAPITULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
; 5 ju,F
7. Considerar el circuito R C que se muestra en la figura 11.28. Determinar la potencia instantánea absorbida por la resistencia en r = (a) 0+; (b) 30 ms; (c) 90 ms. 8 . Si se hace que un típico rayo que cae desde una nube hasta la tierra represente una corriente de 30 kA en un intervalo de 150 /xs, calcula (a) la potencia instantánea en tregada a la varilla de cobre, la cual tiene una resistencia de 1.2 mfi en el momento en el que cae el rayo; y (b ) la energía total entregada a la varilla. 9. Un capacitor de 100 mF almacena una energía de 100 mJ hasta el punto en el que un conductor con una resistencia de 1.2 fi se presenta en sus terminales. ¿Cuál es la po tencia instantánea disipada en el conductor en t = 120 ms? Si la capacidad de calor específico3 del conductor es 0.9 kJ/kg • K y su masa es 1 g; estimar el incremento de temperatura del conductor en el primer segundo a partir de que el capacitor se descarga suponiendo que ambos elementos se encuentran inicialmente a 23°C. 10. Un diodo semiconductor emisor de luz que opera a una tensión de 2.76 V jala una corriente de 130 mA. Despreciando toda capacitancia interna, ¿cuál es la potencia instantánea que consume el LED 2 segundos después de haberse encendido? Si en lugar de lo anterior, el LED se conecta a una fuente que genera una señal senoidal descrita por medio de v(t) = 2.76 cos(1000í) V, ¿qué otra información se requiere a fin de calcular la potencia instantánea en t = 500 ms, suponiendo que todos los transitorios han desaparecido para entonces? 11.2 Potencia prom edio (activa)
11. Calcular la potencia promedio (activa) que absorbe cada uno de los cinco elemen tos de circuito de la figura 11.29. 4 Cl
10 O
12. Calcular la potencia promedio generada por cada fuente y la potencia promedio en tregada a cada impedancia en el circuito de la figura 11.30.
10 A I©
| 5/50° í l |
| 8 /- 20° íl |
©
flo
■ FIGURA 11.30
13. En el circuito de la figura 11.31 obtener la potencia promedio que: (a) se disipa en la resistencia de 3 fi resistor; (b ) genera la fuente. 3Í1
I FIGURA 11.31
(3) Suponga que el calor específico c está dado por c — Q/m ■A T , donde Q = la energía entregada al conduc tor, m es la masa, y AT es el incremento de temperatura.
EJERCICIOS
14. Calcular la potencia promedio que absorbe cada uno de los cinco elementos del cir cuito de la figura 11.32. jlO ñ
-j5 í l
■ FIGURA 11.32
15. Determinar la potencia promedio que suministra la fuente de corriente dependiente del circuito de la figura 11.33. 2 íl
3 íl
16. Un circuito equivalente de Thévenin en el dominio de la frecuencia consiste en una fuente senoidal Vt;, en serie con una impedancia Z,/, = R tj¡ + j X tf,. Especificar las condiciones en una carga Z L = R L + j X L si ésta recibe una potencia promedio máxima sujeta a la restricción de que: (a) X,¡, = 0; (b ) R l y X L pueden elegirse de manera independiente; (c) R l es fija (no igual a R th)\ (d) X l es fija (independiente de X th); (e) X L = 0. 17. En el circuito de la figura 11.34; (a) ¿Qué valor de Z¿ absorberá una potencia promedio máxima? (b ) ¿Cuál es el valor de esta potencia máxima?
io n
; 15ft
18. En el circuito de la figura 11.34 se requiere que la carga sea una resistencia pura R l •
■' ¿Qué valor de R¿ absorberá una potencia promedio máxima y cuál es el valor de esa potencia? 19. Determinar la potencia promedio que suministra la fuente dependiente de la figura 11.35. I.V
■ FIGURA 11.35
AA/V
■#
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
20. En la red de la figura 11.36; (a) ¿qué impedancia Z/, debe conectarse entre a y b de manera que la potencia promedio máxima sea absorbida por ella£ (b) ¿Cuál es la potencia promedio máxima?
21. Determinar la potencia promedio entregada a cada una de las redes dentro de las cajas del circuito de la figura 11.37, si la fuente de 10/0° A se sustituye por una fuente de 5/ —30° A que opera a una frecuencia de 50 Hz.
■ F IG U R A 1 1 .3 7
22. Determinar el valor de R l en el circuito de la figura 11.38 que absorberá una po tencia máxima y especificar el valor de dicha potencia.
20 n
| ~ J ^ 23. Proporcionar la potencia promedio que se entrega a cada resistencia en la red de la figura 11.39 si: (a) X = 0; (b) X = 1. (c) Verificar la respuesta con PSpice suponiendo que el circuito físico funciona a 60 Hz.
¡9 FIGURA 11.39
EJERCICIOS 24. (a) Calcular el valor promedio de cada una de las formas de onda de la figura 11.40. (b ) Si cada una está ahora elevada al cuadrado, determinar el valor promedio de todas las nuevas formas de onda periódicas (en A2).
i (A)
• t (ms)
¿(A)
i (A)
■ FIG U R A 11.40
25. Determinar la potencia prom edio que se entrega a cada elemento del circuito de la figura 11.25 si = 400\/2 cos(120 ttí — 9o) V. Verificar la respuesta con PSpice.
1 1.3
V a lo res efic ac es d e c o rrie n te y d e te n s ió n
26. Calcular el valor efectivo de lo siguiente: (a) 12 co s(l OOOí) V; (b) 12 sen (l OOOí) V; (c) 12 cos(500í) V; (d) 12 cos(500í - 88°) V. 27. Calcular el valor eficaz de lo siguiente: (a) 2 cos(lOf) A; (b) 2 sen(lOr) A; (c) 2 cos(5f) A; (d) 2 cos(5f — 32°) A. 28. Determ inar el valor eficaz de la forma de onda que se muestra en la figura 11.41.
VfcV)
A /W
■wv
CAPÍTULO I I
ANÁLISISDEPOTENCIAENCIRCUITOSDECA
29. Determinar el valor eficaz de la forma de onda que se muestra en la figura 11.42. /(m A )
7 1 1
2
1 4
1 7
,
■ FIG U RA 11.42
30. ¿Cuál es el valor eficaz de (a) 1 V; (b ) 1 + cos lOf V; (c) 1 + cos(10r + 10°) V? 31. Calcular el valor eficaz de: (a) v ( t ) = 10 + 9 cos 100? + 6 sen 100?; ( b) la forma de onda de la figura 11.43; (c) determinar también el valor promedio de esta forma de onda.
v(t)
t (ms)
32. Obtener el valor eficaz de: (a) g ( t ) = 2 + 3 cos 100? + 4 cos(100f — 120°); (b) h ( t ) = 2 + 3 cos 100? + 4 cos(101f — 120°); (c) la forma de onda de la figura 11.44.
M
33. Dada la forma de onda periódica / ( f ) = promedio; (b) su valor rms. 100 mH ‘qVlp ‘ 120/(T V rms / = 60 Hz I F IG U R A 11.45
T___________ ,
(2 — 3 cos
lOOf)2, determinar: (a) su valor
34. Calcular el valor eficaz de cada una de las tres formas de onda periódicas de la figura 11.40. 35. Cuatro fuentes de tensión independientes e ideales, A cos 10?, B sen(10f + 45°), C cos 40f, y la constante D, se conectan en serie con una resistencia de 4 fi. Determ inar la potencia promedio que se disipa en la resistencia si: (a) A = B = 10 V, C = D = 0; (b) A = C = 10 V, B = D = 0; (c) A = 10 V, B = —10 V, C = £) = 0; (d) A = B = C = 10 V, D = 0; (e) A = B = C = D = 10 V. 36. (a ) ¿Qué valores de R causarán que las tensiones rms en los inductores de la figura 11.45sean iguales? (b ) ¿Cuál es el valor de la tensión rms? (c) Verificar la respuesta con PSpice.
EJERCICIOS * 37. Cada una de las formas de onda de la iigura 11.46 tiene un periodo de 3 s, además de ser un tanto similares. \d) Calcular el valor prom edio de cada una. (b) Determ i nar los dos valores eficaces, (c) Verificar las respuestas de la forma de onda de diente de sierra mediante PSpice.
■ FIG U R A 11.46
38. Sustituir el inductor de 10 mH en la figura 11.45 con un capacitor de 1 ¡xF y el in ductor de 300 m H por un capacitor de 3 /.¿F. (a) ¿Qué valor de R causará que las corrientes rms que circulan por los capacitores sean iguales? (b ) ¿Cuál es el valor de la corriente rm s? (c) Verificar sus respuestas con PSpice. 39. Una forma de onda de tensión tiene un periodo de 5 s y se expresa como v(t) = 10/[m(/) — u(t — 2)] + 16e-0 '5(í-3) [u(t — 3) — u(t — 5)] V en el intervalo 0 < t < 5 s. Calcular el valor eficaz de la forma de onda. 40. La combinación en serie de una resistencia de 1 kí2 y de un inductor de 2 H no debe disipar más de 250 m W de potencia en cualquier instante. Suponiendo una corriente senoidal con co = 500 rad/s, ¿cuál es la corriente rms más grande que puede tolerarse?
11.4 P o ten c ia a p a re n te y fa c to r d e p o te n c ia 41. En la figura 11.47, s e a l = 4 /35° A rm s, determinar la potencia prom edio que: (a) suministra la fuente; (b ) se suministra la resistencia de 20 £2; (e) se suministra a la carga. Determ inar la potencia aparente que: (d) suministra la fuente; (e) que se suministra a la resistencia de 20 £2; ( / ) se suministra a la carga, (g) ¿Cuál es el FP de la carga?
10/ 0° A nns
• 20 íí
©
Carga
■ FIG U R A 11.47
-42. (a) Calcular el factor de potencia al cual opera la fuente en el circuito de la figura 11.48. (b) ¿Cuál es la potencia prom edio que entrega la fuente? (¿) ¿Qué tamaño de capacitor debe ponerse en paralelo con la fuente para conseguir que su factor de po tencia sea la unidad? (d ) Verificar las respuestas con PSpice. 4 íí 120 V rms 60 Hz
■ FIGURA 11.48
12 íí
AA/V
#
-AA/V
200/0° V
I FIG U RA 11.49
CAPITULO 11 ANALISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
43. En el circuito de la figura 11.49, sea = 5 + j 2 £2. Z B = 20 —y 10 fi, Zc = 10/30° fi, y Zd = 10/ —60° fi. Encontrar la potencia aparente entregada a cada carga y la potencia aparente generada por la fuente. 44. Imaginar una red que opera a / = 50 Hz y que utiliza cargas conectadas en serie que transportan una corriente 10/0° A rms. Un sistema de este tipo es el dual de uno que funciona con cargas en paralelo y una tensión común. En el sistema en serie, una carga se desconectaría al ponerla en cortocircuito; los circuitos abiertos provocarían todo tipo de fuegos artificiales. En este sistema en particular se encuen tran dos cargas: Zi = 30/15° fi y Z2 = 40/40° fi. (a) ¿A qué FP opera la fuente? (tí) ¿Cuál es la potencia aparente que consume la combinación de las dos cargas? (c) ¿Es la carga combinada inductiva o capacitiva?
11.5 Potencia compleja 45. Una carga compuesta consta de tres cargas conectadas en paralelo. Una consume 100 W con un FP de 0.92 retrasado mientras que otra consume 250 W con un FP de 0.8 retrasado y la tercera consume 150 W con un FP unitario. La carga paralela es suministrada por una fuente V,5. en serie con una resistencia de 10 fi. Todas las car gas deben operar a 115 V rms. Determinar: (a) la corriente rms que circula a través de la carga; (b) el FP de la carga compuesta. 46. La carga de la figura 11.50 consume 10 kVA con un PF = 0.8 retrasado. Si U | = 40 A rms, ¿cuál debe ser el valor de C para que la fuente opere con un PF = 0.9 retrasado? 0.2Ü
-A M — Carga
I 60 Hz
I FIG U RA 11.50
^jV -4 7 . Considerar el circuito de la figura 11.51. Especificar el valor de la capacitancia que se requiere para elevar el FP de la carga total conectada a la fuente a 0.92 retrasada si se agrega la capacitancia: (a) en serie con el inductor de 100 mH; (b) en paralelo con el inductor de 10 mH. Verificar las respuestas de las partes (a) y (b) utilizando PSpice. 100 mH
48. Analizar el circuito de la figura 11.52 para determinar la potencia compleja que absorbe cada uno de los cinco elementos del circuito.
-710 a — I(— 100/ r v r m s ( ~
■ FIGURA 11.52
;2 o a
-nnnp■20 a
10
a
EJERCICIOS
49. Las dos fuentes de ia figura 11.53 operan a la misma frecuencia. Determinar la fre cuencia compleja que genera cada una y la potencia compleja absorbida por los ele mentos pasivos del circuito. 6n
,/4 n
5n
50. Obtener la potencia compleja entregada a una carga que consume: (a) 500 VA a un FP de 0.75 adelantado; (b) 500 W a un FP de 0.75 adelantado; (c) -5 0 0 VAR a unFPde 0.75. 51. Una impedancia capacitiva Zc = —y'120 £2, está en paralelo con una caiga Z i. A la combinación en paralelo la alimenta una fuente \ s = 400/0° V rms, que genera una potencia compleja de 1.6 + y 0.5 kVA. Determinar: (a) la potencia compleja que se entrega a Z/,; (b) el FP de Z¿; (c) el FP de la fuente. 52. Una fuente de 230 V rms alimenta a tres cargas en paralelo: 1.2 kVA a un FP de 0.8 retrasado, 1.6 kVA a un FP de 0.9 retrasado y 900 W a un FP unitario. Calcular (a) la amplitud de la corriente de la fuente; (b) el FP al cual opera la fuente; (c) la potencia compleja que suministra la fuente. 53. Una fuente de 250 V rms alimenta a tres cargas en paralelo. Una de ellas consume 20 kW con un FP unitario, una segunda carga consume 25 kVA con un FP = 0.8 re trasado y la tercera carga consume una potencia de 30 kW con un FP de 0.75 retrasado, (a) Encontrar la potencia total suministrada por la fuente, (b) Determinar la potencia total aparente suministrada por la fuente, (c) ¿Con qué factor de potencia opera la fuente? 54. Una fábrica de galletas horneadas demanda mensualmente 200 kW en promedio y requiere de una potencia reactiva promedio mensual de 280 kVAR. En un esfuerzo por minimizar las pérdidas e invitar a sus clientes a operar a un FP elevado, una cierta compañía de electricidad local penaliza con 0.22 dólares/kVAR por cada KVAR por arriba de un valor de referencia calculado como 0.65 veces la demanda de potencia pico promedio, (a) Con base en el valor anterior, ¿cuál es el costo anual para esta compañía asociado con las penalizaciones por el concepto de FP? (b) Calcular el FP óptimo en el que se basa la política de la compañía, (c) Si existe una compensación a través de la compañía de electricidad a un costo de 200 dólares por incremento de 100 kVAR y de 395 dólares por incremento de 200 kVAR, ¿cuál es la solución más atractiva para el cüente? 55. Deducir la ecuación [28]. 11.6 Comparación de la terminología de la potencia
56. Una fuente de tensión de 339 cosOOOth —66°) V se conecta a una carga pura mente resistiva de 1 kfl. (á) ¿Cuál es la tensión eficaz de la fuente? (b) ¿Cuál es la potencia instantánea pico absorbida por la carga? (c) ¿Cuál es la potencia instan tánea mínima absorbida por la carga? (d) Calcular la potencia aparente que entrega la fuente, (e) Calcular la potencia reactiva entregada por la fuente, (f) ¿Cuál es la potencia compleja que se entrega a la carga? 57. Una fuente de tensión de 339 cos(100jtí —66c) V se conecta a una carga puramente inductiva de 150 mH. (a) ¿Cuál es la corriente eficaz que circula por el circuito? (b) ¿Cuál es la potencia instantánea máxima que absorbe la carga? (e) ¿Cuál es la potencia instantánea mínima que absorbe la carga? (d) Calcular la potencia aparente que entrega la fuente. (e) Determinar la potencia reactiva que entrega la fuente. (/) ¿Cuál es la potencia compleja que se entrega a la carga? 58. En el circuito de la figura 11.25, vs = 5 eos 1000? V. (a) ¿Cuál es la potencia instan tánea máxima que se entrega la resistencia de 10 k£2? (b) Calcular la potencia reac tiva dada a la resistencia de 10 k. (c) Obtener la potencia aparente que se proporciona a la resistencia de 10 k£2. (d) ¿Cuál es la potencia compleja que entrega la fuente?
AA/V
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
59. (a) Determinar la potencia compleja que se suministra a cada elemento pasivo del circuito de la figura 11.54 y (b) demostrar que la suma de estos valores es igual a la potencia compleja que genera la fuente, (c) ¿El resultado es cierto en el caso de los valores de potencia aparente? (d ) ¿Cuál es la potencia promedio que entrega la fuente? (e) ¿Cuál es la potencia reactiva que entrega la fuente? 20
ft
100 mH
12/0^kV rms íü = 400 rad/s
■ FIG U R A 11.54
60. Una carga que opera a 2 300 V rms consume 28 V rms con un factor de potencia de 0.812 retrasado. Obtener: (a) la corriente máxima en amperes; (b) la potencia instantánea en í = 2.5 ms suponiendo una frecuencia de operación de 60 Hz; (c) la potencia real que toma la carga; (d) la potencia compleja; (e) la potencia aparente; (/) la impedancia de la carga y (g) la potencia reactiva.
Circuitos polifásicos CONCEPTOS CLAVE IN T R O D U C C IÓ N
Sistemas monofásicos
Las compañías eléctricas suministran electricidad a los clientes
de potencia.
residenciales e industriales en forma de tensiones y de corrientes senoidales, conocidas por lo común como corriente alterna (ca). La mayor parte de la electricidad residencial en Estados Unidos se
Sistemas trifásicos > de potencia.
suministra como una forma de onda senoidal con una frecuencia de 60 H z y una tensión rms de aproximadamente 120 V. En otras partes del mundo, la electricidad se provee a una frecuencia de 50 H z y con una tensión rms cercana a 240 V. Tomás Alba Edison fue el que propuso por primera vez que las compañías de electrici dad debían distribuir potencia a través de redes de cd, aunque Nikola Tesla y George Westinghouse, otros dos pioneros en el campo de la electricidad, fueron decididos partidarios del uso de la ca. A la larga, sus argumentos resultaron más convincentes.
Fuentes trifásicas.
--------------------------------------í Tensión de línea
versus tensión de fase.
f ------------------------------------Corriente de línea versus corriente de fase.
• ------------------------------------: Redes conectadas en Y.
La respuesta transitoria de los sistemas de potencia de ca resulta interesante cuando se determina la demanda de potencia
Redes conectadas en A .
máxima, pues la mayoría de los equipos requieren más corriente para arrancar que para operar de manera continua. Sin embargo, en muchos casos la operación en estado permanente reviste un interés fundamental, por lo que la experiencia con el análisis basado en fasores demostrará su utilidad. Se presentará un nuevo tipo de fuente de tensión, la fuente trifásica que se conecta en una configuración Y de tres o cuatro hilos, o en una configuración A
Cargas balanceadas.
-----------------------------------Análisis por fase.
■ -------------------------Medición de la potencia en sistemas trifásicos.
de tres hilos. De modo similar, se podrá observar que las cargas se conectan en Y o en A según la aplicación.
457
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
12.1
b
SISTEMAS POLIFÁSICOS_______________________________
Hasta ahora, siempre que se ha usado el término “fuente senoidal” el lector se imagina una sola tensión o com ente senoidal con una amplitud, frecuencia y fase específicas. En este capítulo se presenta el concepto de fuentes “polifási cas”, enfocándose en particular en los sistemas trifásicos. Existen distintas ven tajas al usar maquinaria rotatoria para generar potencia trifásica, en vez de po tencia monofásica; asimismo, la transmisión de potencia de un sistema trifásico genera ventajas económicas. Aunque la mayor parte del equipo eléctrico que se ha visto hasta ahora es monofásico, el trifásico no es poco común, sobre todo en el entorno de la manufactura. En particular, los motores que se utilizan en los grandes sistemas de refrigeración y en las instalaciones de maquinado se alam bran a menudo para potencia trifásica. En lo que se refiere a las demás aplica ciones, una vez que el lector se familiarice con los fundamentos de los sistemas polifásicos, podrá ver que resulta simple obtener potencia monofásica con conectar una sola “pata” (“pierna”) del sistema polifásico. Se considerará brevemente el sistema polifásico más común, un sistema trifásico balanceado. La fuente tiene tres terminales (sin contar con una conexión neutra o de tierra), y las mediciones del voltímetro mostrarán la presencia de tensiones senoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estas tensiones no están en fase; cada una de ellas está 1 2 0 ° fuera de fase (o desfasada de 1 2 0 ° una con respecto a la otra), en relación con las otras dos, y el signo del ángulo de fase depende del sentido de giro de las tensiones. En la figura 12.1 se presenta un conjunto posible de tensiones. U na carga balanceada (o equilibrada) obtiene su potencia de las tres fases, pero cuando una de las tensiones es instantáneamente cero, la relación de fase requiere que las otras dos deban corresponder a la mitad de la amplitud. En ningún instante la potencia instantánea que demanda la carga instantánea llega a ser cero; en realidad, la potencia instantánea total es constante. Lo anterior significa una ventaja en la maquinaria rotatoria, pues mantiene el momento de torsión sobre el rotor de una forma mucho más constante que en caso de que se utilizase una fuente monofásica. Como resultado, hay menos vibración. Volts
■ FIG U R A 12.1 Ejemplo de un conjunto de tres tensiones, cada una de las cuales está 120° fuera de fase respecto de las otras dos. Como puede verse, sólo una de las tensiones será cero en un instante particular.
SECCIÓN 12.1 SISTEMAS POLIFÁSICOS
A /W
El uso de un número de fases superiores, como los sistemas de seis y 12 fases, se lim ita casi por entero al suministro de potencia a grandes rectifi cadores, los cuales convierten la com ente alterna en directa con sólo permitir que la com ente fluya hacia la carga en una dirección, de modo que el signo de la tensión en los extremos de la carga permanece igual. La salida del rectificador es una com ente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, que disminuye cuando aumenta el número de fases. Casi sin excepción, los sistemas polifásicos contienen en la práctica fuentes que pueden aproximarse muy bien a fuentes de tensión ideales, o a fuentes de tensión ideales en serie con pequeñas impedancias internas. En tanto, las fuentes de corriente trifásicas raramente son utilizadas.
Notación de doble subíndice Resulta conveniente describir las tensiones y las corrientes polifásicas mediante Ja notación de doble subíndice, con la cual una tensión o una com ente respecti vamente V ab o IaA, tiene más significado que si se indicara como V 3 o I*. Por definición, la tensión del punto a con respecto al punto b es \ ab- De esta forma, el signo positivo se localiza en a, como se indica en la figura 12.2a. Por lo tanto, se considera el doble subíndice como equivalente al par de signos positivo-negativo; el uso de ambos sería redundante. Si se observa la figura 12.2i>, se verá que Y ad = \ ah + \ cd. La ventaja de la notación de doble subíndice radica en el hecho de que la ley de Kirchhoff de tensión requiere que la tensión entre dos puntos sea la misma, sin que importe la trayectoria que se sigue entre los pun tos; de tal manera, Vfld = V ab + \ bd — V ac + Vc¿ = \ ab + \ bc + \ cd, etc. El beneficio de esta notación es que la LKT se cumple sin necesidad de consultar diagrama de circuito; las ecuaciones correctas se escriben aun cuando se incluya un punto o subíndice, que no se marca sobre el diagrama. Por ejemplo, habría sido posible escribir \ ad = V ax + \ xd, donde x identifica la localización de cualquier punto que se seleccione. Una representación posible de los sistemas de tensión trifásicos 1 se muestra en la figura 12.3. Suponer que se conocen las tensiones \ an, V bn, y Vcn:
\ an =
íoo/o: v
F IG U R A 1 2 .2 (a) Definición de tensión V0¿.
(£>) Vai = Vab + Vb» + Vcd = Vab + Vcd-
100/120° V
I FIG U R A 12.3 Red utilizada como ejemplo numérico de una notación de tensión de doble subíndice.
\ bn = 100/ - 1 2 0 0 V Vc„ = 100/ - 2 4 0 0 V por ello se puede calcular la tensión \ ab con tomar en cuenta los subíndices: Vab = \ an + \ nb = \ an - \ bn = 100/01 - 1007 -1 2 0 ° V
v B„ +
= 1 0 0 - ( - 5 0 - 7 8 6 .6 ) V = 173.2/30° V Las tres tensiones indicadas y la construcción del fasor Y a¡, se ilustran en el dia grama de fasores de la figura 12.4. También se aplicaría la notación de doble subíndice a las corrientes. Se define la corriente l ab como la corriente que circula de a a b por la trayectoria más directa.
(1) Al mantener la convención de la potencia eléctrica industrial, los valores rms de las comentes y las tensiones se usarán de a lo largo de este capítulo.
maneraimplícita
FIG U RA 12.4 Este diagrama fasorial ¡lustra el uso gráfico de la convención de tensión de doble subíndice para obtener relativa a la red de la figura 12.3.
Vab
-AA/V
460
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
precaución /
i,,,?
' F IG U R A 1 2 .5 Ilustración del uso y abuso de la convención de doble subíndice para la notación de corriente.
En todo circuito completo que se considere, debe haber desde luego al menos dos trayectorias posibles entre los puntos a y b, así que se conviene que no se recurrirá a la notación de doble subíndice, a menos que sea obvio que una trayectoria es mu cho más corta o mucho más directa. Casi siempre esta trayectoria pasa por un solo elemento. De tal modo, la comente Ia¿ se indica en forma correcta en la figura 12.5. De hecho, incluso no es necesaria la flecha de dirección cuando se habla de esta comente: los subíndices la indican. Sin embargo, la identificación de una comente como Icc¡ del circuito de la figura 12.5 podría provocar confusiones. PRACTICA
12.1 Sea \ ab = 100/01 V, VM = 40/80° V, y Vra = 70/200° V. Determinar: (a) V„d; (b) V bc\ (c) \ cd. 12.2 Sea el circuito de la figura 12.6 donde If j = 3 A, l de — 2 A, e I hd — - 6 A. Determinar: (a) \ l:d-, (b) Ief ; (c ) Iy.
I F IG U R A 1 2 .6
Respuestas: 12.1: 114.0/2 0 .2 ' Y ; 4 1.8/145.0° Y : 4 4 .0 /20.6° V. 12.2: - 3 A ; 7 A ; 7 A .
12.2
Fuente monofásica de tres hitos.
(a)
-O n
-o b
-Oh (b)
' F IG U R A 1 2 .7 (o) Fuente monofásica de tres hilos. (A) TRepresentación de una fuente monofásica de tres hilos mediante dos fuentes de tensión idénticas.
SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
---------*-----------------------------------------------------------------------------------------------Una fuente monofásica de tres hilos se define como la que tiene tres terminales de salida como a , n , y b de la figura 12.7a, en las que las tensiones de fasor V an y \ nb son iguales. Por lo tanto, se podría representar la fuente mediante la com binación de dos fuentes de tensión idénticas; en la figura 12.76, \ an = V„/; = V i. Es patente que \„ b = 2Va„ = 2V„¿, y en consecuencia se tiene una fuente a la cual se conectarían las cargas que operan con cualquiera de las dos tensiones. El sistem a dom éstico norm al es monofásico de tres hilos, lo que perm ite la operación de aparatos tanto de 110 V como de 220 V. Por lo general, los aparatos de tensión superior son aquellos que demandan cantidades superiores de poten cia; la operación a mayor tensión origina una demanda de corriente más pequeña para la misma potencia. En consecuencia, puede emplearse con seguridad un alambre de diámetro menor en el aparato, en el sistema de distribución domés tico y en el sistema de distribución de la compañía de electricidad, ya que resulta
SECCIÓN 12.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
• ------------------------------ W
V
---------------V < 6 1
necesario emplear alambre de diámetro mayor con corrientes más altas para re ducir el calor que se produce debido a la resistencia del alambre. El nombre m onofásico se origina porque las tensiones \ a„ y V„¿, al ser iguales, deben tener el mismo ángulo de fase. Sin embargo, desde otro punto de vista, las tensiones entre los hilos exteriores y el alambre central, que suele de nominarse neutro, está exactamente a 180° fuera de fase. Es decir, V an — — , y Vfl„ + ybn = 0 . M ás adelante se verá que los sistemas polifásicos balanceados se caracterizan por un sistema de tensiones de igual amplitud cuya suma (fasorial o vectorial) es cero. En realidad, desde esta perspectiva, el sistema monofásico de tres hilos es un sistema bifásico balanceado. No obstante, bifásico es un tér mino que por lo común se reserva para designar un sistema desbalanceado rela tivamente intrascendente que utiliza dos fuentes de tensión 90° fuera de fase entre sí. Considerar ahora un sistema monofásico de tres hilos que contiene cargas idénticas Z p entre cada alambre exterior y el neutro (figura 12.8). Primero se supondrá que los hilos que conectan a la fuente con la carga son conductores perfectos. Puesto que
^an = V n[, entonces, T ^an laA — . .
■ F IG U R A 1 2 .8 Sistema monofásico de tres hilos. Las dos cargas son idénticas y la corriente del neutro es cero.
T — *-Bb — . .
y, por lo tanto,
\ I n N — I Bb + I Aa — I Bb ~ \
a
— 0
En consecuencia, no hay corriente en el lulo neutro, por lo que éste podría elimi narse sin alterar ninguna corriente o tensión del sistema, resultado que se con sigue mediante la igualdad de las dos cargas y de las dos fuentes.
Efecto de una impedancia de alambre finita Pensar a continuación en el efecto de una impedancia finita en cada uno de los hilos. Si las líneas a A y bB tienen cada una la misma impedancia, ésta puede sumarse a Z f¡ lo que origina tam bién en este caso dos cargas iguales y una corriente neutra cero. Permitir ahora que el hilo neutro posea una impedancia Z„. Sin efectuar ningún análisis detallado, la superposición debe mostrar que la simetría del circuito seguirá dando lugar a una corriente del neutro igual a cero. Además, la adición de cualquier impedancia conectada de manera directa desde una de las líneas exteriores a la otra línea exterior producirá también un circuito simétrico y una com ente de neutro igual a cero. Por lo tanto, la com ente de neu tro igual a cero es consecuencia de una carga balanceada, o simétrica; la impedan cia distinta de cero en el hilo neutro no cambió el estado de la simetría. El sistema más general monofásico de tres hilos contendrá cargas desiguales entre cada línea exterior y el neutro, así como otra carga de manera directa entre las dos líneas exteriores; se debería esperar que las impedancias de las dos líneas exteriores fueran casi iguales, aunque la impedancia del neutro es a menudo un poco mayor. Pensar en un ejemplo de un sistema de este tipo, con interés par ticular en la com ente que fluiría ahora en la com ente del hilo neutro, así como en la eficiencia total con la que el sistema transmite potencia a una carga des balanceada (desequilibrada).
-
\
0
A /W
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Analizar el sistema de la figura 12.9 y determinar la potencia que se en trega a cada una de las tres cargas, así como la potencia perdida en el hilo neutro y en cada una de las dos líneas.
Identificar el objetivo del problema. Las tres cargas en el circuito son: la resistencia de 50 Í2, la otra de 100 Í2 y una impedancia de 20 + j 10 Í2. Cada una de las dos líneas presenta una resistencia de 1 £2, y la resistencia del hilo neutro corresponde a 3 Í2. Es necesaria la corriente que circula por cada una de éstas a fin de determinar la potencia.
Recopilar la información conocida. Se tiene un sistema monofásico de tres hilos; el diagrama de circuito de la figura 12.9 está por completo marcado. Las corrientes calculadas estarán en unidades rms.
Elaborar un plan. El circuito conduce al análisis de malla, pues tiene tres mallas definidas de manera clara. El resultado del análisis será un conjunto de corrientes de malla, que en este caso se utiliza para calcular la potencia absorbida.
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Las tres ecuaciones de malla son: - 115/01 + l ! + 50(1, - I 2) + 3 (I i - I 3) = 0 (20 + j l 0 ) I 2 + 100(I2 - 13) + 50(I2 - I í ) = 0 -1 1 5 /0 1 + 3(I3 - I í ) + 100(I3 - 12) + 13 = 0 que puede reordenarse para obtener las tres siguientes ecuaciones: 5 4 Ii
— 5 0 I2
- 5 0 Ii
+ (1 7 0 + j l 0 ) I 2
-1 0 0 I3
— 3 I3
= = 0
— 3 Ij
- 1 0 0 I2
+ 1 0 4 I3
=
115/01
115/01
Determinar, si se requiere, información adicional. Se tiene un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas, por lo que se puede tratar de resolver el problema en este punto.
SECCIÓN 12.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
Buscar la solución. Resolviendo para las corrientes fasoriales Ii, I2, e I3 mediante una calcu ladora científica, se obtiene 11 = 11.24/ —19.83° A 12 = 9.389/ —24.47° A 13 = 10.37/ —21.80° A Por lo tanto, las com entes en las líneas exteriores son l a A = h = 11.24/ —19.83° A
y lbB = - I 3 = 10.37/158.20° A y la com ente del neutro más pequeña es
lnN = I3 - Ij = 0.9459/ —177.7° A En consecuencia, se determinaría la potencia promedio (activa) deman dada por cada carga: P 5 0 = |Ii - I 2 I2 (50) = 206 W P 100 = II3 ~ I 2 I2 (100) = 117 W P 2 0 ++ 7/ 1 0 = H2 I2 (20) = 1763 W
Observar que no es necesario incluir un factor de | puesto que se está trabajando con valores rms de corriente.
La potencia activa de la carga total es igual a 2 086 W. A continuación se calcula la pérdida en cada uno de los hilos: PaA = H l | 2 (1) = 126 W PbB = |I3|2 (1) = 108W ¡Imaginar el calor que producen los dos focos
PnN = IW I2 (3) = 3 W
eléctricos de 100 W! Estos alambres exteriores deben
lo que da una pérdida de línea total de 237 W. Los hilos son, de manera evidente, bastante largos; en otro caso, la pérdida de potencia más o menos elevada en las dos líneas exteriores provocaría un peligroso aumento de temperatura.
disipar una cantidad comparable de calor. Para mantener baja su temperatura, se requiere de una gran área.
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? La potencia activa (promedio) total absorbida corresponde a 206 + 117 + 1763 + 237, o 2323 W, valor que puede confirmarse si se determina la potencia activa (promedio) que entrega cada fuente de tensión: Pan = 115(11.24) cos 19.83° = 1216 W Pb n = 115(10.37) cos 21.80° = 1107W o un total de 2 323 W. La eficiencia de transmisión del sistema es: total de potencia entregada a la carga total de potencia generada
2
2 086 086 + 237
El valor no sería creíble en el caso de una máquina de vapor o un motor de combustión interna, aunque es demasiado bajo en el de un sistema de dis tribución bien diseñado. Se deben utilizar hilos de diámetro mayor si no se pueden colocar la fuente y la carga de manera cercana entre sí.
jgi/ Continúa en la siguiente página)
464 --------- V W
4
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
El diagrama de fasores que muestra las dos tensiones de fuente, las corrientes en las líneas exteriores y la corriente en el neutro se ilustra en la figura 12.10. El hecho de que IaA + 1bB + \ n = 0 se indica en el dia grama.
■ FIG U RA 12.10 Las tensiones de fuente y tres de las corrientes del circuito de la figura 12.9 se muestran en el diagrama fasorial. Observar que \0a + b s + l/i/v = 0.
P R Á C T IC A
___________________________________________________________
12.3 Modificar el circuito de la figura 12.9 agregando una resistencia de 1.5 £2 a cada una de las dos líneas exteriores, y una resistencia de 2.5 Í2 al hilo neutro. Determinar la potencia promedio (activa) que se entrega a cada una de las tres cargas. Respuestas: 153.1 W ; 95.8 W ; 1 374 W.
12.3 t CONEXION Y-Y TRIFASICA Las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominadas terminales de línea además, pueden contar o no con una cuarta terminal, la conexión neutra. Se comen zará con el análisis de una fuente trifásica que tiene una conexión neutra, la cual se debe representar mediante tres fuentes de tensión ideales conectadas en Y, como se indica en la figura 12.11; las terminales a, b , c , y n están disponibles. Sólo se examinarán fuentes trifásicas balanceadas, que se definirían de modo que
y I FIG U R A 12.11 Fuente trifásica de cuatro hilos conectada en Y.
IVonl = |V f a | = | V „ |
Va« +
+ V cn = 0
Estas tres tensiones, localizadas cada una entre una línea y el neutro, se lla man tensiones de fase. Si se eligen de manera arbitraria \ an como la referencia, o se define:
vfl„ =
V p ¿0°_
donde se empleará de manera constante Vp para representar la amplitud rms de cualquiera de estas tensiones de fase, por lo cual la definición de la fuente trifásica se indica así Vbn = V„ 1—120°
Vbn = v Pi m r
\ cn = Vn/- 2 4 0 ° v c„ - K /2 4 0 1
La primera recibe el nombre de secuencia defase positiva o secuencia defase abe y se ilustra en la figura 1 2 .1 2 a ; la segunda se conoce como secuencia de fase
SECCIÓN 12.3
^
= Vp /-240°V
sccucncin í 4-}
Vbn = Vpl m i
s e c u e n c ia i - ;
v a„ = vp/0!
Y
,= y - i2 o ° (a)
CONEXIÓNY-YTRIFÁSICA
V C(I = V p /2 4 C T
(b)
■ FIG U RA 12.12 (o) Secuencia de fase positiva o o6c. (6) Secuencia de fase negativa o ckr.
negativa o secuencia de fa se cba y se indica mediante el diagrama fasorial de la figura. 12.12b. La secuencia de fase real de una fuente trifásica física depende de la elección arbitraria de las tres terminales que se denominarán a, b, y c, las que siem pre se podrían elegir para proporcionar una secuencia de fase positiva; se supondrá que se hizo lo anterior en la mayoría de los sistemas que se analizarán.
Tensiones de línea a línea (tensión de línea) A continuación se determinarán las tensiones de línea a línea (denominadas muchas veces como tensiones de línea) que se presentan cuando las tensiones de fase son las de la figura 12.12a. Resulta más fácil realizar lo anterior con la ayuda de un diagrama de fasores, puesto que todos los ángulos son múltiplos de 30°. La construcción necesaria se ilustra en la figura 12.13 y los resultados son Vab = V 3 V p m
!
[ 1]
y be = V 3 ^ / - 9 0 °
[2]
Vca = y / l v j - 210°
[3]
La ley de tensión de Kirchhoff requiere que la suma de las tres tensiones sea cero; ise sugiere al lector que efectúe un ejercicio para verificar dicha afirmación. Si la amplitud rms de cualquiera de las tensiones de línea se denota por V¿, entonces una de las características importantes de la fuente trifásica conectada en Y puede expresarse como VL = V3Vn Observar que con una secuencia positiva V an adelanta a V¿„ y V¿„ adelanta a \ cn en cada caso en 120°; asimismo, V ah adelanta a V¿,c y V¿c adelanta a Vca, de nuevo en 120°. La afirmación es cierta en el caso de secuencia de fase nega tiva si la palabra “retrasa” se sustituye por la de “adelanta”. A continuación se conectará a la fuente una carga trifásica balanceada conec tada en Y, utilizando tres líneas y un neutro, como se dibuja en la figura 12.14.
S FIGURA 12.14 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-Yque incluye un neutro.
■ FIG U RA 12.13 Diagrama fasorial que se utiliza para determinar las tensiones de línea a partir de las tensiones de fase dadas. 0, algebraicamente,
Voó = Vfjfj —V¿m = 1/pZQZ - l/n 7 -1 2 0 ° = Vp - l/p cos(— 120°) y l^ s e n (— 120a) = Vp{] + jfi/2 ) =
f í v pm -
466
- ------------
W V
------------------------------- •
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
La carga se representa por una impedancia Z p entre cada línea y el neutro. Las tres corrientes de línea se calculan con mucha facilidad puesto que en realidad se tienen tres circuitos monofásicos que poseen un hilo de conexión común.2 vT an
laA
z'p
V h„
V a n / -
IbB = - £ L = P
120°
t ------- = W
—I2()°
IcC = la A/-2 4 0 ° y, por lo tanto, IjVre = I aA + I bB + I cC = 0
De tal modo, el neutro no conduce corriente si la fuente y la carga están balanceadas, y si los cuatro hilos tienen impedancia cero. ¿Cómo cambiará lo anterior si se inserta una impedancia en serie en cada una de las tres líneas y una impedancia Z„ en el neutro? Se combinarían las impedancias de línea con las de carga. Esta carga eficaz seguirá balanceada y podría eliminarse un hilo neutro perfectamente conductor. En consecuencia, si no se produce cambio en el sistema con un cortocircuito, o un circuito abierto entre n y N, se insertaría cualquier im pedancia en el neutro y la corriente de éste perm anecería igual a cero. Se concluye que, si se tienen fuentes, cargas e impedancias de línea balan cead as t Se podría reemplazar un hilo neutro de cualquier impedancia por cual quier otra impedancia, incluso por un cortocircuito o un circuito abierto; la sus titución no afectará las tensiones o las corrientes del sistema. Muchas veces resulta útil imaginar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que es té presente o ausente un hilo neutro; el problema se reduce en ese caso a tres pro blem as m onofásicos, todos idénticos salvo por la diferencia en el ángulo de fase. En tal situación, se afirma que el problema se resuelve “por fase”.
EJEMPLO 12.2 E n el circuito de la figura 12.15, en c o n trar las corrientes y las tensiones indicadas p o r todo el circuito y calcular la potencia total q ue se disipa en la carga.
(2) Observar que esto es cierto al aplicar la superposición y al considerar cada fase a la vez
SECCIÓN 12.3 CONEXIÓN Y-YTRIFÁSICA
# -
-A ^ V
467
En razón de que se indica una de las tensiones de fase de fuente y se dice que se utilice la secuencia de fase positiva, las tres tensiones de fase son: V an = 2 0 0 /0 1 V
V ta = 200/ - 1 2 0 0 V
Vc„ = 2007 -2 4 0 ° V
La tensión de línea es igual a 2 0 0 \/3 = 346 V; el ángulo de fase de cada tensión de línea se determina construyendo un diagrama de fasores, como se hizo en la figura 12.13 (en realidad, se aplica el diagrama de fasores de la figura 12.13), restando las tensiones de fase mediante una calculadora cien tífica o remitiéndose a las ecuaciones [1] a [3]. Se encuentra que \ a¡, es 346/30° V, \ t e es = 346/ - 9 0 ° V, y \ ca es = 346/- 2 1 0 ° V. Se va a trabajar con la fase A. La corriente de línea es Vfl„ 200/0° l aA = — = ------— = 2 / —60° A ZP 100/60° L------Puesto que se sabe que es un sistema trifásico balanceado, es posible que sea fácil escribir las restantes corrientes de línea con base en I üa '■ IhB = 2 / ( - 6 0 ° - 120°) = 2 /- 1 8 0 ° A l cC = 2 / ( —60° — 240°) = 2 / —300° A La potencia absorbida por la fase A es PAN = 200(2) cos(0 + 60°) = 200 W De tal modo, la potencia promedio (activa) total extraída por la carga trifásica es igual a 600 W. El diagrama de fasores se presenta en la figura 12.16. Una vez que se sabe cualquiera de las magnitudes de las tensiones de línea y alguna de las magnitudes de la corriente de línea, los ángulos de las tres tensiones y las tres corrientes se habrían obtenido sin dificultad al leer el diagrama. P R Á C T IC A
" F IC U R A 1 2 .1 6 Diagrama fasorial que se aplica al circuito de la figura 12.15.
__________
12.4 Un sistema trifásico balanceado de tres hilos tiene una carga conectada en Y. Cada fase contiene tres cargas en paralelo: —j 100 £2, 100 £2, y 50 + j 50 Í2. Suponer una secuencia de fase positiva con \ ah = 400/0° V. Encontrar: (a) Van; (b) IaA, (c) la potencia activa total extraída por la carga. Respuestas: 231/ - 3 0 0 V; 4.62/- 3 0 ° A; 3 200 W.
Antes de analizar otro ejemplo, ésta sería una buena oportunidad para explo rar con rapidez un planteamiento que se hizo en la sección 12.1; es decir, aun cuando las tensiones y corrientes de fase tienen valor cero en instantes específi cos de tiempo (cada 1/120 s en Norteamérica), la potencia instantánea entregada a la carga total nunca es cero. Considerar una vez más la fase A del ejemplo 12.2, con la tensión y la corriente de fase escritas en el dominio del tiempo:
. I Se requiere el factor
Van = 2 0 0 \/2 co s(1 2 0 jrí + 0°) V
¿a n = 2 \ / 2 c o s ( 1 2 0 7 r f — 6 0 ° ) A
*
para convertir unidades rms.
A A /V
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
En consecuencia, la potencia instantánea que absorbe la fase A es. P a (0 — vANiAN = 800cos(120ttí) cos(120;rí — 60°) = 400[cos(—60°) + cos(240;rí — 60°)] =
2 0 0 + 4 0 0 c o s ( 2 4 0 tU
-
60°)
W
de modo similar, p B(t) = 200 + 4 0 0 cos(240;rí - 300°) W
y P c(t) = 200 + 400cos(240;rf - 180°) W Por lo tanto, la potencia instantánea que absorbe la carga total es P (t) = P a (í ) + P b (0 + P c(t) = 600 W independiente del tiempo, que es el mismo valor que la potencia promedio (ac tiva) calculada en el ejemplo 12.2.
EJEMPLO 12.3 Un sistema trifásico balanceado con una tensión de línea de 300 V se suministra a una carga balanceada conectada en (Y) con 1200 W a un FP adelantado de 0.8. Determinar la corriente de línea y la impedancia de carga por fase. La tensión de fase es 3 0 0 / V y la potencia por fase corresponde a 1200/3 = 400 W. De tal manera, se determinaría la corriente de línea a par tir de la relación de potencia 300 4 0 0 = — ( / J (0.8) V3 así que la com ente de línea es entonces 2.89 A. La impedancia de fase está dada por
Iz I -
\Ap\ — Y_e. — IL
3 0 0 /7 3 2.89
= 60 £2
Puesto que el FP es 0.8 adelantado, el ángulo de fase de la impedancia equivale a —36.9°; de tal modo, Z p = 60/ —3 6 £2. Se manejan con facilidad cargas más complicadas, puesto que los proble mas se reducen a cuestiones monofásicas más simples.
—PRÁCTICA --------------------- r ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------12.5 U n sistema trifásico balanceado de tres hilos tiene una tensión de línea de 500 V y están presentes dos cargas balanceadas en (Y): una carga capacitiva con 7 — ¡2 Í2 por fase y una carga inductiva con 4 + /2 í í por fase. Determinar: (a) la tensión de fase; (b) la com ente de línea; (c) la potencia activa total extraída por la carga; (d) el factor de potencia con el que opera la fuente.
Respuestas: 289 V; 97.5 A; 83.0 kW; 0.983 retrasado.
SECCIÓN 12.3 CONEXIÓN Y-V TRIFÁSICA
.
- ^ v W
EJEMPLO 12.4 L¡na carga de iluminación balanceada de 600 W se añade (en paralelo) al sistema del ejemplo 12.3. Determinar la nueva comente de línea. Se dibuja primero un circuito por fase adecuado, como se muestra en la figura 12.17. Se supone que la carga de 600 W es una carga balanceada dis tribuida de m anera uniforme entre las tres fases, lo que da lugar a 200 W adicionales consumidos por cada fase. La amplitud de la corriente de iluminación está determinada por 2 0 0 = ^ 2 |Ii| cos 0o \/3 por lo que | I i | = 1 .1 5 5 A
De form a similar, se descubre que la amplitud de la corriente de carga ca pacitiva queda invariable en su valor previo, pues su tensión ha per manecido igual.
|I2| = 2 .8 9 A Si se supone que la fase con la que se trabaja tiene una tensión de fase con un ángulo de 0o, entonces, I i = 1.155/0! A
l 2 = 2.89/+ 36.9° A
de modo que la corriente de línea es I,. = I, + 1, - 3.87/+ 2 6.6° A Además, la potencia activa generada por esta fase de la fuente es 300 P„ = — 3.87cos(+26.6°) = 600 W V3 lo cual concuerda con el hecho de que se sabe que la fase individual sumi nistra 200 W a la nueva carga de iluminación, así como 400 W a la carga original.
PRÁCTICA ________________________________________________ 12.6 Tres cargas balanceadas conectas en Y se instalan en un sistema trifásico balanceado de cuatro hilos. L a carga 1 demanda una potencia total de 6 kW a un factor de potencia unitario; la carga 2 requiere 10 kVA a un FP = 0.96 retrasado, y la carga 3 necesita 7 kW a 0.85 retrasado. Si la tensión de fase en las cargas es de 135 V, cada línea tiene una resistencia de 0.1 £2, y el neutro tiene una resistencia de 1 £2, determinar: (a) la potencia activa total consum ida por las cargas; (b) el FP combinado de las cargas; (c) la pérdida de potencia total en las cuatro líneas; (d) la tensión de fase en la fuente; (e) el factor de potencia con el que opera la fuente.
Respuestas: 22.6 kW; 0.954 retrasado; 1027 W; 140.6 V ; 0.957 retrasado.
400 W 0 .8 PF
adelantado
I FIG U R A 12.17 Circuito portase que se usa para analizar un ejemplo trifásico balanceado.
470
)---------------
VW
-------------------------------•
^
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Si una carga desbalanceada conectada en Y está presente en un sistema tri fásico, que en otro caso estaría balanceado, el circuito tal vez se seguirá anali zando en un esquema por fase si está presente el hilo neutro y si tiene impedancia cero. De no cumplirse ninguna de estas condiciones, se deben utilizar otros métodos, como el análisis de malla o el nodal. Sin embargo, los ingenieros que dedican la mayor parte de su tiempo a los sistemas trifásicos desbalanceados en contrarán que el uso de componentes simétricos ahorrará mucho tiempo, pero este método no se explicará aquí.
12.4 t CONEXION DELTA A Una configuración como alternativa a la carga conectada en Y es la carga conec tada en A, como se muestra en la figura 12.18. Este tipo de configuración es muy común y no posee una conexión neutra.
■ FIG U R A 12.18 Carga balanceada conectada en A que se presenta en un sistema trifásico de tres hilos. La fuente está conectada en Y.
Se considera una carga balanceada conectada en A que está compuesta por una impedancia Z p insertada entre cada par de líneas. Observar la figura 12.18 y suponer que se conocen las tensiones de línea
VL = \V ab\ = Wbc\ = Wca\ o que se sabe cuáles son las tensiones de fase vp = IV™ I = Ivta | = I V , I donde VL = V 3 V P
y
V ab = s/3V„/30°
como se calculó antes. Debido a que se conoce la tensión en cada rama de la A las corrientes de fa se se obtienen sin dificultad: y
Vab Lip
*AB = —
, 1BC =
V# l e A — rj Zjp
V cu Zjp
y sus diferencias determinan las corrientes de línea, en la forma Ja A = I AB ~ I CA
En razón de que se está trabaj ando con un sistema balanceado, las tres com entes de fase son de igual amplitud: IP — HabI -
IIbcI = \I c a \
Las corrientes de línea también tienen la misma amplitud; la simetría se mani fiesta a partir del diagrama de fasores de la figura 12.19. De tal modo, se tiene I l = \laA\ = \ h B\ = U ,rl e I
l
=
V 3 L
SECCIÓN 12.4 CONEXIÓN DELTA A
• ------------------------------
/V W
0
■ FIG U RA 12.19 Diagrama fasorial que podría aplicarse al circuito de la figura 12.18 si Zp fuera una impedancia inductiva.
Por el momento se descartará la fuente y se examinará sólo la carga balanceada. Si la carga está conectada en (A), entonces resultan indistinguibles la tensión de fase y la de línea, aunque la corriente de línea es mayor que la de fase por un fac tor de s/3. Sin embargo, con una carga conectada en Y la corriente de fase y la de línea se refieren a la misma com ente, y la tensión de línea es mayor que la de fase por un factor de \Í3.
EJEMPLO 12.5 Determinar la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásico con una tensión de línea de 300 V que suministra 1200 W a una carga conectada en (A) a un FP de 0.8 retrasado. Pensar otra vez en una sola fase que demanda 400 W con un FP de 0.8 re trasado bajo una tensión de linea de 300 V. De tal manera,
También en este caso conviene recordar que se supone que todas las tensiones y las corrientes
400 = 300(/p)(0.8) e t ' = 1.667 A así que la relación entre las com entes de fase y las de línea produce I = a/3(1.667) = 2.89 A Además, el ángulo de fase de la carga es eos-1 (0.8) = 36.9.?, por lo cual la impedancia en cada fase debe ser Z„ = /3 6 .9 o = 180/36.9° Q p 1.667 --------------P R Á C : CA
_______________________________________________________
12.7 Cada fase de una carga trifásica balanceada conectada en A consiste en un inductor de 200 H en serie, con una combinación en paralelo de un capacitor de 5 /xF y una resistencia de 200 £2. Pensar en una resistencia de línea cero y una tensión de fase de 200 V a © = 400 rad/s. Determinar: (ia) la com ente de fase; (b) la com ente de línea; (c) la potencia activa total que absorbe la carga.
Respuestas: 1.158 A; 2.01 A; 693 W.
se indican como valores rms.
0
A /W
■#
CAPITULO 12
CIRCUITOSPOLIFÁSICOS 'iae
EJEMPLO 12.6
D eterm in arT iranfpfcud de la corriente de linea en u n sistem a trifásico con u n a tensión de línea de 300 Na que su m in istra 1200 W a u n a carga conectada en S ® un F P de 0.8 retrasad o . (Es-, el m ism o circuito que el del ejemplo 12.5, pero con una carga conectada en Y.) En el esquema por fase, se tiene ahora una tensión de fase de 300/V 3 V, una potencia de 400 W y un FP retrasado de 0.8. En consecuencia, 4 0 0 = ^ ( / p)(0.8)
Ip = 2.89 (por lo que IL = 2.89 A) El ángulo de fase de la carga es otra vez de 36.9°, por lo cual la impedancia en cada fase de la (Y) corresponde a 3 0 0 /7 3 - /36.9° = 60/36.9° Q, 2.89
El factor \/3 no sólo relaciona las cantidades de fase y de línea, sino que aparece también como una expresión útil para la potencia (activa) total consumida por cualquier carga trifásica balanceada. Si se supone una carga conectada en Y, con un ángulo del factor de potencia 9, la potencia (activa) tomada por cualquier fase está dada por: Vl Pp = VpIp co s9 — VPI L c o s 9 — —¡=Il cosí v r y la potencia (activa) total es igual a p = 3 P p = V 3 Vl I l cos 9 De manera similar, la potencia activa que se entrega a cada fase de la carga conec tada en A se calcula mediante lL Pp = VpIp c o s 9 — V¡_Ip c o s9 = VL —— co s9 v3 lo que da una potencia activa total de P — ’iP p
[4]
P — \ / 3 VLIL cosí Así, la ecuación [4] permite calcular la potencia activa total que se entrega a una carga balanceada, a partir del conocimiento de la magnitud de la tensión de línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitan cia) de carga, sin que im porte que la carga se conecte en Y o en A. La co rriente de línea en los ejemplos 12.5 y 12.6 puede obtenerse ahora en dos pasos simples: 1200 = V 3(300)(/zJ(0.8)
Por lo tanto, IL = 4 = = 2.89 A V3
SECCIÓN 12.4 CONEXIÓN DELTA A
TABLA
AA/V
+
12.1
0
Comparación de cargas trifásicas conectadas en Y y en Vp es la magnitud de la tensión de cada una de las fases de la fuente conectadas ---------------a--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------- --------------— en —Y. — ---------Carga
A
T ensión d e lín ea
T ensión d e fa s e
C o rriente d e fa s e
.
C orriente d e lín e a
P o te n cia p o r fa s e
V a s = V ab = íV 3 /3 0 !)V Íw = 3y„/30° \ AN
Y
V bn
= Vp / 0 ° = VW
= ü .v =
^ f v f e / 3 0 °)V HV
V C/v = Vp / - 2 4 0 °
7,
TA — - *-AN I la — YrafN
^p
V BC = Y bc 120
V an
I bB = I b N =
' BN
T I YbN *bB ~ *BN ~ ~rj — P.
= V 3FP V ca = Vc«.. J
I cC = 1CN =
VCN
T 1cC ~ ílC N ~ Y„c N
'Lp
= v ah = ^3V J3
A
0°
V ab = Y a i = V :3 V „ /3 0 ° v ¿ c = y be = 7 3 ¿ /-9 0 ? ;;
l BC =
:V< , = V c. = VÁIV
V ca = Vcfl = V 3 y „ /- 2 i o °
l CA
,
=
y bc ~7Z— t¡p
^C A
AP
>0
la A =
LP ry RC I bB = b ¡ 3 / - 3 Q ° ) . J ^ LP /-
í f i =
En la tabla 12.1 se presenta una breve comparación de las tensiones de fase y de línea, así como de las corrientes de fase y de línea tanto para cargas conectadas en Y como en A que están alimentadas por una fuente trifásica conectada en Y. P R Á C T IC A
v
VAB
MB = "Ti— Zp
V BC =■ Y te = V 3 y D/ - 9 0 o 210
.
P
- W 3 . § ( U V vi = V 3 y „ /-2 1 0 ° Yab
V 3 V i/z,e o s0 donde eos 9 = factor dé potencia de la carga.
"
p
_______________________________________
12.8 Un sistema trifásico balanceado de tres hilos se termina con dos cargas en paralelo conectadas en A. La carga 1 demanda 4 kVA con un FP de 0.8 retrasado, en tanto que la carga 2 absorbe 24 kW con un FP de 0.9 adelantado. Suponer que no hay resistencia de línea y sea \ ab = 440/30° V. Calcular: (a) la potencia activa total suministrada a las cargas; (b ) la corriente de fase I Abi de la carga retrasada; (c) l AB2 ', (d) I aA. Respuestas: 56.0 kW; 30.3/ —6.87° A: 20.2/55.8° A: 75.3/- 1 2 .4 6 0 A.
Fuentes conectadas en A También se podría conectar la configuración de una fuente en A, lo cual, sin embargo, no es común, pues un ligero desbalance (desequilibrio) en las fases de la fuente puede ocasionar una circulación de corrientes elevadas en el lazo A. Por ejemplo, se denominarán a las tres fuentes monofásicas como V ab, Y be, y V cd . Antes de cerrar la A al conectar d con a, se determinará el desbalance me diante la suma V ab + V bc + Vca. Suponer que la amplitud del resultado es sólo 1% de la tensión de línea. Por lo tanto, la corriente que circula es casi | de la tensión de línea dividida entre la impedancia interna de cualquier fuente. ¿Qué
V -M
30 . ' i Ap
s Í 3 V jJ l cos H donde cos 0 = factor de potencia de la carga.
APLICACION PRÁCTICA S is te m a s d e g e n e r a c ió n d e p o te n c ia La generación de electricidad se consigue mediante una amplia variedad de técnicas. Por ejemplo, la conversión directa de energía solar en electricidad por medio de tec nología fotovoltaica (celdas solares) origina la pro ducción de potencia de cd. Sin embargo, a pesar de representar una tecnología bastante aceptable desde la perspectiva ambiental, las instalaciones con base fotovoltaica son en la actualidad más costosas que otros medios de producir electricidad y requieren el uso de in versores para convertir la potencia de cd en ca. Otras tec nologías, como los aerogeneradores eólicos, la geoter mia, la hidrodinámica, la energía nuclear y los generadores basados en combustible fósil son comparativamente mu cho más económicas. En estos sistemas un eje gira por la acción de u n impulsor primario , como el viento sobre un propulsor o el agua o corriente sobre las aspas de una turbina (figura 12.20). Una vez que el impulsor primario se ha dispuesto para generar movimiento rotacional de un eje, existen varios medios para convertir esta energía mecánica en energía eléctrica. Un ejem plo es un generador sín crono, como el de la figura (12.21), que es una máquina compuesta por dos secciones principales: una parte esta cionaria, llamada estator, y una parte giratoria, denomi nada rotor. La corriente directa se suministra a bobinas de alambre devanadas en tom o al rotor a fin de generar un campo magnético, que se hace girar mediante la ac ción del impulsor primario solidario del eje del rotor. Un conjunto de tensiones trifásicas se induce entonces en un
■ FIGURA 12.20
segundo conjunto de devanados alrededor del estator. Los generadores síncronos deben su nombre al hecho de que la frecuencia de la tensión de ca que se produce se sincroniza con la rotación mecánica del rotor. La demanda real de un generador aislado varía de manera considerable, a medida que se añaden o eliminan diversas cargas, de igual modo que cuando se arrancan las unidades de aire acondicionado, las luces se apagan o encienden, etc. La salida de tensión de un generador debe ser independiente en condiciones ideales de la carga, lo cual no sucede en la práctica. La tensión que se induce en cualquier fase determinada del estator, denominada a veces tensión generada interna, tiene una magnitud dada por E a — K(pa> donde K es una constante que depende de la manera en que se construya la máquina, <¡>es el flujo magnético que producen los devanados de campo del rotor (y, por lo tanto, es independiente de la carga) y co es la velocidad angular, que depende sólo del impulsor primario y no de la carga unida al generador. De esta forma, la variación de la carga no afecta la magnitud de Ea- La tensión in terna generada se relaciona con la tensión de fase y la corriente de fase por Ea =
+ J X sIa
donde Xs es la reactancia síncrona del generador. Si se aumenta la carga, entonces se consumirá una corriente
Instalación de captación de energía eoiica en Altamont Pass, California, que consta de más de siete mil aerogeneradores individuales.
E¿
(a)
E'a
■ FIG U RA 12.21 Rotor de 24 polos de un generador síncrono que está siendo colocado en su posición. Foto cortesía del Dr. Wade Enright, Te Kura Pukaha Vira O Te Whare Wananga O Waitaha, Aotearoa.
mayor I'A del generador. Si no cambia el factor de poten cia (es decir, permanece constante el ángulo entre e I a , V,;, se reducirá, pues EA no puede cambiar. Por ejemplo, considerar el diagrama de fasores de la figura 12.22a, que describe la salida de tensión-co rriente de una sola fase de un generador conectado a una carga con un factor de potencia retrasado de cos 0. También se ilustra la tensión generada interna E ¿ . Si se añade una carga adicional, sin cambiar el factor de potencia, como se representa en la figura 12.22b, la com ente suministrada IA se increm enta hasta I'A. Sin embargo, la magnitud de la tensión generada interna, que se form a por la suma de los fasores jX s l'A y V^, debe permanecer invariable. De tal manera, E'Á = E Á, por lo que la salida de tensión (V^) del generador se reducirá un poco, como se describe en la figura 12.22b.
■ FIG URA 12.22 Diagramas fasoriales que describen el efecto de carga sobre un generador síncrono que permanece aislado, (a) El generador conectado a una carga con un factor de potencia retrasado de cos 9. (b) Se agrega una carga adicional, sin que cambie el factor de potencia. La magnitud de la tensión generada de manera interna permanece igual mientras aumenta la corriente de salida, de modo que se reduce la tensión de salida V¿.
La regulación de tensión de un generador se define : % de regulación = Vsincarga ~ Vcarga completa x 1Q() Vcarga completa
Idealmente, este valor debe ser lo más cercano posible a cero, aunque sólo puede lograrse si la comente cd que se utiliza para controlar el flujo (f>alrededor de los devanados de campo varía para compensar el cambio de las condi ciones de carga, lo cual se convierte de inmediato en un proceso bastante complejo. Por esta razón, cuando se diseña una instalación de generación de potencia suelen preferirse varios generadores más pequeños conectados en paralelo, a un generador grande capaz de manejar la carga máxima. Cada generador funciona con o cerca de su carga máxima, por lo que la salida de tensión es en esencia constante; los generadores individuales se añaden o eliminan del sistema dependiendo de la demanda.
A/W
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
magnitud tendría esta impedancia? Depende de la corriente que se espera que la fuente entregue, con una caída despreciable de la tensión a nivel de las termi nales. Si se supone que la corriente máxima ocasiona una caída de tensión de 1% en las terminales, entonces ¡la cerniente circulante es un tercio de la coniente máxima! Lo anterior reduce la capacidad de la corriente útil de la fuente e incre m enta también las pérdidas en el sistema. También se debe advertir que las fuentes trifásicas balanceadas se transfor marían de Y a A, o viceversa, sin afectar las corrientes o tensiones de la carga. Las relaciones necesarias entre las tensiones de línea y de fase se presentan en la figura 12.13 en el caso en el que Vu„ tiene un ángulo de referencia de 0o. Esta transfor mación permite utilizar cualquier conexión de fuente que se prefiera, así que todas las relaciones de carga serán correctas. Desde luego, no se puede especificar al guna corriente o tensión dentro de la fuente, hasta que se conozca cómo está conectada en realidad. Las cargas trifásicas balanceadas quizá se transformen en tre las configuraciones conectadas en Y y en A mediante la relación
que tal vez valga la pena recordar.
12.5 g MEDICIÓN DE POTENCIA_____________________ * EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Uso del wattímetro Antes de iniciar la explicación de las técnicas especializadas que se utilizan para medir la potencia en sistemas trifásicos, conviene considerar de manera breve la forma en que se usa un wattímetro en un circuito monofásico. L a medición de potencia se consigue casi siempre a frecuencias inferiores de unos cuantos cientos de Hz mediante el uso de un wattímetro que contiene dos bobinas independientes. Una de ellas se elabora con alambre grueso, que tiene una resistencia muy baja, y se denomina bobina de corriente. La segunda está compuesta por un número mucho mayor de vueltas de alambre delgado, con re sistencia relativamente alta, a la que se le llama bobina de potencial o bobina de tensión. Se podría insertar de manera interna o externa una resistencia adicional en serie con la bobina de potencial. El momento de torsión que se aplica al sis tema móvil y a la aguja indicadora resulta proporcional al producto instantáneo de las corrientes que fluyen en ambas bobinas. Sin embargo, la inercia mecánica del sistema móvil provoca una desviación, proporcional al valor promedio de este momento de torsión. El wattímetro se emplea conectándolo en una red de manera que la corriente que fluye en la bobina de corriente sea la que circula dentro de la red. y la ten sión en la bobina de potencial corresponda a la tensión entre las dos terminales de la red. Por ello, la corriente en la bobina de potencial es la tensión de entrada dividida entre la resistencia de la bobina de potencial. Resulta claro que el wattímetro tiene cuatro terminales disponibles, así que es necesario efectuar las conexiones correctas a ellas para obtener una lectura de es cala ascendente en el medidor. De modo específico, suponga que se mide la poten cia que absorbe una red pasiva. La bobina de corriente se inserta en serie con uno de los dos conductores conectados a la carga, y la bobina de potencial se instala entre los dos conductores, por lo general en el “lado de la carga" de la bobina de corriente. Las terminales de la bobina de potencial se indican a menudo mediante
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
I
■ FIG U RA 12.23 (a) Conexión de un w attím etro que asegurará una lectura de escala ascendente de la potencia que absorbe la red pasiva, (ó) Ejem plo donde el w attím etro sé instala para producir una indicación de escala ascendente de la potencia activa que absorbe la fuente de la derecha.
flechas, como en la figura 12.23a. Cada bobina tiene dos terminales y se requiere observar la relación adecuada entre el sentido de la corriente y la tensión. Casi siempre se marca con (+ ), un extremo de cada bobina, por lo que se obtiene una lectura de escala ascendente si fluye una corriente positiva hacia el extremo (+ ) de la bobina de corriente, mientras la terminal (+ ) de la bobina de potencial sea posi tiva con respecto al extremo sin marca. En consecuencia, el wattímetro que se muestra en la red de la figura 12.23a proporciona una desviación de escala ascen dente cuando la red de la derecha absorbe potencia. Una inversión de cualquiera de las bobinas, pero no de ambas, provocará que el medidor trate de desviarse hacia las escalas inferiores; la inversión de ambas bobinas no afectará nunca la lectura. Como ejemplo del empleo de un wattímetro de este tipo en la medición de po tencia promedio (activa), considerar el circuito de la figura 12.23b. La conexión del wattímetro es tal, que una lectura ascendente de la escala corresponde a una potencia activa positiva absorbida por la red que está a la derecha del medidor, es decir, la fuente derecha. L a potencia activa que absorbe dicha fuente está dada por P = |V2| |I| cos(ang V2 - ang I) Utilizando la superposición o el análisis de malla, se encuentra que la corriente es 1 = 11.18/153.4° A por lo cual la potencia activa que se absorbe corresponde a P = (100)(11.18) cos(0° - 153.4°) = - 1 0 0 0 W Por lo tanto, la aguja indicadora descansa contra el tope de la escala descen dente. En la práctica^ la bobina de potencial se invierte con mayor rapidez que la bobina de corriente y dicha inversión proporciona una lectura en la escala as cendente de 1000 W.
*
A /W
AA/V
■#
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
PRÁCTICA
_____________________________________________________________________
12.9 Determinar la lectura del wattímetro en la figura 12.24; establecer si la bobina de potencial se invirtió o no para obtener una lectura de escala ascendente, e identificar el dispositivo o dispositivos que absorben o generan tal potencia. La terminal (+ ) del wattímetro se conecta: (a) jc; (b)y; (c ) z . 150+./130 V
Respuestas: 1 2 0 0 W, como está, P¿a (absorbida); 2 2 0 0 W como está, P ^ + P«j (ab sorbida); 5 0 0 W, invertida, absorbida por 1 0 0 V .
El wattímetro en el sistema trifásico A primera vista, la medición de la potencia consumida por una carga trifásica pa rece ser un problema simple. Sólo es necesario poner un wattímetro en cada una de las tres fases y sumar los resultados. Por ejemplo, las conexiones apropiadas de una carga en Y se muestran en la figura 12.25a. Cada wattímetro tiene su bobi na de corriente insertada en una fase de la carga y su bobina de potencial conec tada entre el lado de la línea de esa carga y el neutro. De manera similar, se
(a)
(b)
■ FIG U RA 12.25 Tres wattímetros se conectan de manera que cada uno registra la potencia tomada por una fase de una carga trifásica y la suma de las lecturas de la potencia total, (o) Carga conectada en Y. (b) Carga conectada en A . Ni las cargas ni la fuente necesitan estar balanceadas.
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
conectarían tres wattímetros en la forma que se indica en la figura 12.25b a fin de medir la potencia activa total tomada por una carga que se conecta en A Los métodos son teóricamente correctos, aunque quizá sean inútiles en la práctica debido a que el neutro de la Y no siempre es accesible y no se cuenta con las fases de la A Por ejemplo, una máquina rotatoria trifásica sólo tiene tres termi nales accesibles, que se denominan A, B, y C. Resulta claro que se necesita un método de medición de la potencia activa to tal consumida por una carga trifásica con sólo tres terminales accesibles; se po drían efectuar mediciones en el lado de “línea”, pero no en el de la “carga”. Se dispone de un método de este tipo que puede medir la potencia consumida por una carga desbalanceada, a partir de una fuente desbalanceada. Se conectan tres wattímetros de manera que cada uno tenga su bobina de corriente y su bobina de tensión entre esa línea y algún punto común como se indica en la figura 12.26. Aunque se ilustra un sistema con una carga conectada en Y, los argumentos que se presentan son también válidos para una carga conectada en A El punto x quizás sea alguno no especificado en el sistema trifásico, o sólo un punto en el espacio en donde las tres bobinas de potencial tengan un nodo en común. La po tencia promedio activa indicada por el wattímetro A debe ser
donde T es el periodo de todas las tensiones de fuente. Las lecturas de los otros dos wattímetros se indican mediante expresiones similares, así que la potencia promedio (activa) total consumida por la carga resulta P — Pa +
Pb +
Pe — '
( v A x í a A + V B x í b B + v CX íc9-) d t
Cada una de las tres tensiones de la expresión anterior se escribe en términos de una tensión de fase y de la tensión entre el punto jc y el neutro, v Ax — VA Ñ + v Nx
VBx — VbN + VCx = VcN + Vfi[x
a c
A
B
bo
c o-
■ F IG U R A 1 2 .2 6 Método de conexión de tres wattímetros para medir la potencia (activa) total que toma una carga trifásica. Sólo son accesibles las tres terminales de la carga.
»
A /W
480 --------- V
W
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
y, por lo tanto, T ( V A N Ía A + V BNÍbB + V c n Í c c ) d t
1 ÍT Vn x Ü ü A í Jo
+ — I
+ íbB + ¿cC) d t
Sin embargo, se podría pensar que la carga trifásica completa es un supernodo, de modo que la ley de Kirchhoff de corriente requiere que íaA + ÍbB + ícC = 0
De tal modo, 1 fT P — — I (Va n ÍuA + VBNÍbB + vCNlcc) d t i Jo Al consultar el diagrama de circuito se observa que esta suma es en realidad la su ma de las potencias promedio (activa) tomadas por cada fase de la carga, ¡y la suma de las lecturas de los tres wattímetros representa, por lo tanto, la potencia promedio (activa) total consumida por la carga completa! Se ilustrará este procedimiento mediante un ejemplo numérico, antes de descubrir que uno de estos tres wattímetros en realidad resulta superfluo. Se supon drá una fuente balanceada Vab = 100/(f
V
V bc = 100/- 1 2 0 °
V
V ca = 1007 -2 4 0 °
V
vT an
V
Vbn
V
o
= í° ° /-2 7 0 V3 ---------
V
y una carga desbalanceada: Z A = - j 10 £2 L b = j 10 £2 Z c = 10 Q Suponer que hay wattímetros ideales, como los de la figura 12.26, con el punto x ubicado sobre el neutro de la fuente n. Las tres corrientes de línea se podrían obtener mediante un análisis de malla: IaA = 19.32/151
A
l bB = 19.32/165°
A
I cC = 10/ —90°
A
La tensión entre los neutros es
VnN = Vnb + V BN = V nb + Im C /10) = 157.77 -9 0 °
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
• -------------------------------
VW
-------- (4 8 1
La potencia promedio (activa) indicada por cada wattímetro se calcularía mediante Pa
= VpIaA cos(angVa„ - ang l aA) = ^ 2 l 9 .3 2 c o s ( - 3 0 ° - 15°) = 788.7 W V3
Observar que la lectura de uno de los wattfm etros es negativa. La explicación previa sobre el uso básico del wattím etro indica que una lectura de escala ascendente sobre ese m edidor se obtiene después de que se
100
PB = — 19.32 c o s ( - 150° - 165°) = 788.7 W V3 Pc = ^ E l 0 c o s ( - 2 7 0 ° + 90°) = -5 7 7 .4 W V3 o una potencia activa total de 1 kW. Puesto que una corriente rms de 10 A fluye por la carga resistiva, la potencia activa total que demanda la carga es P = 102(10) = 1 kW así que los dos métodos concuerdan.
Método de los dos wattímetros Se acepta que el punto x, la conexión común de las tres bobinas de potencial, se po dría ubicar en cualquier lugar que se desee sin afectar la suma algebraica de las tres lecturas de wattímetro. Pensar ahora en el efecto de ubicar el punto x, esta cone xión común de los tres wattímetros, de manera directa sobre una de las líneas. Por ejemplo, si un extremo de cada bobina de potencial regresa a B, entonces no hay tensión en la bobina de potencial (de tensión) del wattímetro B, así que la lectura de este medidor debe ser cero. En consecuencia, se podría eliminar y la suma alge braica de las dos lecturas de los wattímetros restantes seguiría siendo la potencia (activa) total consumida por la carga. Cuando la ubicación de x se elige de esta ma nera, se describe el método de medición de potencia (activa) como el de los dos wattímetros. La suma algebráica de las lecturas indica la potencia activa total, inde pendientemente de: 1) el desbalance de la carga, 2) el desbalance de la fuente, 3) la diferencia entre los dos wattímetros y 4) la forma de onda de la fuente periódica. El único supuesto es que las correcciones del wattímetro son suficientemente peque ñas como para que se puedan pasar por alto. Por ejemplo, en la figura 12.26, por la bobina de corriente de cada medidor pasó la corriente de línea consumida por la carga más la comente que toma la bobina de potencial (de tensión). En razón de que la última comente suele ser bastante pequeña, su efecto se estima a partir del conocimiento de la resistencia de la bobina de potencial (de tensión) y de la tensión en sus extremos. Estas dos cantidades permiten realizar una estimación precisa de la potencia activa que se disipa en la bobina de potencial (de tensión). En el ejemplo numérico que acaba de describirse, suponga ahora que se usan dos wattímetros, uno con bobina de corriente en la línea A y con bobina de po tencial entre las líneas A y B, el otro con la bobina de com ente en la línea C y la bobina de potencial entre C y B. La lectura del primer medidor es P\ = Vah laa co s(m g Vab ~ ang laA) = 100(19.32) cos(0° - 15°) = 1 866 W
y la del segundo Pi = VCBIcC cos (ang VCB ~ ang IcC) = 100(10) cos (60° + 9 0 °) - -8 6 6 W
invierte la bobina de potencial o la bobina de corriente.
•
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
I FIG U R A 12 .27 Dos wattímetros conectados para leer la potencia activa total que consume una carga trifásica balanceada (equilibrada).
Por lo tanto, P = p, + p2 = 1 866 - 866 = 1000 W como se esperaba a partir de la experiencia reciente con el circuito. En el caso de una carga balanceada, el método de los dos wattímetros per mite determinar el ángulo del FP, así como la potencia activa total consumida por la carga. Suponer una im pedancia de carga con un ángulo de fase 9; se po dría utilizar una conexión en Y o en A pero se supondrá la conexión en A que se presenta en la figura 12.27. La construcción de un diagrama fasorial normal, como el de la figura 12.19, permite determinar el ángulo de fase apropiado en tre las diversas tensiones y corrientes de línea. Por lo tanto, se determinan las lecturas P
í
=
IV ab I
IlaAl cos(ang V a b - ang IaA)
= VLIL cos(30° + 9)
P2 =
¡V c /íI
ILcI cos (ang Y
Cb
- ang IeC)
= VL/ L c o s (3 O ° -0 ) L a proporción entre ellas se calcula mediante: Pj _ cos(30° + 9) P2
cos(30° — 9)
[5]
Si se desarrollan los términos coseno, la ecuación se resuelve con facilidad para ta n 0 . tan 0 = V 3 —— — P2 + P 1
[ 6]
De tal modo, las lecturas iguales del wattímetro indican una carga de FP uni tario; las lecturas iguales y opuestas señalan una carga puramente reactiva; una lec tura de P2 que és (algebraicamente) mayor que P¡, indica una impedancia inductiva; y una lectura de P2 menor que P¡ significa una carga capacitiva. ¿Cómo se puede indicar cuál wattímetro lee P¡ y cuál lee P{1 Es cierto que P¡ está en la línea A, y que P 2 se encuentra en la línea C, además, nuestro sistema de secuencia de fase positiva obliga a que V„„ esté retrasada respecto a Vcn. Esta información basta para
SECCION 12.5 MEDICION DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
* -
A A /V
483
diferenciar entre dos wattímetros, pero resulta confuso aplicarla en la práctica. In cluso si no se pudiera distinguir entre los dos, se conoce la magnitud del ángulo de fase pero no su signo, lo cual muchas veces es información suficiente. Si la carga es un motor de inducción, el ángulo debe ser positivo y no es necesario realizar ninguna prueba para determinar cuál lectura es cuál. Si se supone que no hay conocimiento previo de la carga, entonces existen varios métodos para resolver la ambigüedad. Quizás el más simple sea el que implica agregar una carga reactiva de alta impedancia, dígase un capacitor trifásico, a través de la carga desconocida. La carga debe volverse más capacitiva. Por lo tanto, si disminuye la magnitud de tañé1 (o la magnitud de 6 ) entonces la carga era inductiva, a la vez que un aumento en la magnitud de tañé1significa una impedancia capacitiva original.
EJEMPLO 12.7 La carga balanceada en ia figura 12.28 se alimenta mediante un sistema trifásico balanceado que tiene \ ah = 230/0 V rms y una secuencia de fase positiva. Determinar la lectura de cada wattímetro y la potencia activa total consumida por la carga. La bobina de potencial (de tensión) del wattímetro #1 se conecta para medir la tensión y su bobina de corriente mide la corriente de fase IaA. Puesto que se sabe utilizar la secuencia de fase positiva, las tensiones de línea son V ab = 2 3 0 /0 !
V
\ bc = 230/ - 1 2 0 0 V \ ca = 230/120°
V
Observar que Vflc = —V„< = 230/ —60° V.
■ F IG U R A 1 2 .2 8 Sistema trifásico balanceado conectado a una carga trifásica balanceada (equilibrada), cuya potencia activa se mide mediante el método de los dos wattímetros.
La corriente de fase IaA está dada por la tensión de fase \ an dividida entre la impedancia de fase 4 + j 15 Q, V an ( 2 3 0 /V 3 )/- 3 0 ! AflA = — —— = ------ ------— ----- A 4 + yl5
4 + yl5
= 8.554/ —105.1° A (Continúa en la siguiente página)
4 8 4 }---------------
V \A / ------------------------------- •
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Se podría calcular ahora la potencia que mide el wattímetro #1 como P\ = |Vae| |I0aI cos(ang \ ac - ang \ aA) = (230)(8.554) cos(—60° + 105.1°) W = 1389W De modo similar, se determina que P2 = \ [ J \\bB\ cos(ang V;,c - a n g l,,fi)
En razón de que esta medición originaría que el medidor se pegara a la escala descendente, una de
= (230) (8.554) cos(—120° - 134.9°) W
las bobinas necesitaría invertirse para efectuar
= -5 1 2 .5 W
la lectura.
En consecuencia, la potencia real (activa) que absorbe la carga es P = Pi + P2 = 876.5 W P R Á C T I C A ___________________________________________________ 12.10 En el circuito de la figura 12.26, sean las cargas Z A = 25/60° Q, Z B — 50/ - 6 0 ° Í2, Z c = 50/60° Í2, V ab = 600/0° V rms con una secuencia de fase (+ ) y el punto K se ubica en C. Determinar: (a) P,\ '. (b) PB\ (c )P c Respuesta: 0; 7 200 W; 0.
RESUMEN Y REPASO_____________________________ □ La mayor parte de la producción eléctrica tiene forma de potencia trifásica. □ Casi toda la electricidad residencial en Norteamérica tiene la forma de corriente alterna monofásica, con una frecuencia de 60 Hz y una tensión rms de 115 V. □ Las fuentes trifásicas se pueden conectar en Y o en A. Ambos tipos de fuente tienen tres terminales, una para cada fase; las fuentes conectadas en (Y) tienen también una conexión neutra. □ En un sistema trifásico balanceado, cada tensión de fase tiene la misma magnitud, aunque está siempre 120° fuera de fase respecto de las otras dos. □ Las cargas en un sistema trifásico se conectan en Y o en A. □ En una fuente balanceada conectada en Y, con secuencia de fase positiva (abe) las tensiones de línea son: \ ab = 7 3 ^ / 3 0 1
\ bc = V 3 V J - 9 0 0
Y ca = V 3 y „ / - 2 i o ° donde las tensiones de fase son: Van = Vp /0 l_
Ybn = V» 7-120?
Ve„ = y „ /~ 2 4 0 °
□ En un sistema con carga conectada en Y, las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase.
EJERCICIOS * □ En una carga conectada en A las tensiones de línea son iguales a las de fase. □ En un sistema balanceado con secuencia de fase positiva y una carga balanceada conectada en A las corrientes de línea son h
= 1a b V 3 / - 3 0 °
lb
= I fic V 3 / - 1 5 0 °
Ic = I c a V 3 /+ 9 (T
donde las corrientes de fase corresponden a V
AB
ab
r. ¿A
Vab
r. i-A
T
* II(..
V
bc
^A
V bc
^A
T
\ CA
^A
V ,,
r. . *CA ryn ^A
□ L a mayor parte de los cálculos de potencia se efectúan por fase suponiendo un sistema balanceado; de otra manera, el análisis nodal/malla siempre re sulta un método válido. □ L a potencia en un sistema trifásico (balanceado o desbalanceado) puede medirse con sólo dos wattímetros. □ L a potencia instantánea en cualquier sistem a trifásico balanceado es cons tante.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un p a n o ra m a m u y c o m p le to de los c o n c e p to s acerca de p o te n c ia de ca se p u e d e e n c o n tra r en el c a p ítu lo 2 de:
B.M. Weedy, Electric Power Systems, 3a. ed. Chichester, England: Wiley, 1984. Un libro muy completo acerca de la generación de energía a partir del viento es de:
T. Burton, D. Sharpe, N. Jenkins, y E. Bossanyi, Wind Energy Handbook. Chichester, England: Wiley, 2001.
EJERCICIOS_____________________________________ 12.1
S is tem as p o lifás ic o s
]. Por medio de un voltímetro se mide un circuito construido en el laboratorio, con los resultados Vhe = 0.7 V y Vce = 10 V . Determinar y eb, y Vcb. 2. Un amplificador de transistor de efecto de campo de fuente común se simula uti lizando SPICE. (á) Si Vg .5 = - 1 V y Vds = 5 V, determinar Vgd. (b) Si Vds = 4 V y Vgd = 2.5 V, determinar 3. Un sistema de potencia de seis fases se construye como parte de un suministro de potencia magnética de cd de alta tensión. Escribir las tensiones de fase de: (á) la se cuencia de fase positiva; (b) la secuencia de fase negativa. 4. Si \ xy = 110/20° V, V „ = 160/ —50° V, y \ ay = 80/130° V, determinar: (á) \ yz; (b)V az; ( c ) \ zx/Y xy. 5. En un circuito particular, se sabe que V 12 = 100/0°. V45 = 60/75°. V42 = 80/120°. y V35 = —j 120, todo en volts. Determinar: (a) V2 5 ; (b) V 1 3 . 6 . En un sistema de ca en particular, se sabe que V n = 9/87° V y V23 = 8/45° V . Calcular (a) V 2i ; (b) V 32; (c) V 12 - V 32. 7. En un sistema de potencia se sabe que Va„ = 400/ —45° V y Y hn = 400/75° V. (a) Dibujar un diagrama fasorial (vectorial), que incluya V c„ . (b) ¿Es la secuencia de fase del sistema positivo o negativo? Explicar su respuesta. 8 . Dadas las corrientes de c a I J2 = 33/12° A e I 23 = 40/12° A, ¿cuál es el valor de I31 ? 9. Si se sabe que un circuito de ca tiene corrientes I J2 = 5/55° A e I 23 = 4 /33° A, ¿cuál es el valor de I 31 si la frecuencia de operación es de 50 Hz?
AyW
486 I--------- V W
-#
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
12.2 S istem as m o n o fásico s d e tres hilos 10.El sistema de 2 3 0/460 V rms 60 Hz y tres hilos, que se m uestra en la figura 12.29, suministra potencia a tres cargas: la carga AN demanda una potencia compleja de 10/40° kVA, la carga NB consume 8 /10° kVA, y la carga AB requiere 4 / —80° kVA. Determinar las dos corrientes, la de línea y la del neutro.
■ FIG U RA 12.29
11. Un sistema monofásico balanceado de tres hilos tiene cargas Z an = Z nb = 10 ¡3, y una carga Z AB = 16 + 7 12 fi. Puede suponerse que las tres líneas no tienen re sistencia. Sea Y an = y nb = 120/0^ V. (a) Determ inar IaA e /„¿v- (b ) E l sistema se desbalancea (se desequilibra) al conectar otra resistencia de 10 fi en paralelo con Z AN. Encontrar IaA, I¡,b - e I„n 12. Un ineficiente sistema monofásico de tres hilos tiene tensiones de fuente de \ an = \ nb = 720/0° V, resistencia de línea RaA = Rk/¡ = 1 fi con R„ \¡ = 10 fi, y cargas Z ^ ^ = 10 + j 3 fi, Z^y# = 8 -1 - j 2 fi, y Z Ab = 18 -}- j 0 fi. Calcular (a) \ aA; (b)
I / i Ni ( ¿ 0
P c a b le a d o , to ta l?
(
13. En el sistema monofásico balanceado de tres hilos de la figura 12.30, sea V,\n = 220 V a 60 Hz. (a) ¿Qué tamaño debe tener C para proporcionar una carga de factor de potencia unitario? (b ) ¿Cuántos kVA maneja C? I FIG U RA 12.30
14. El sistema monofásico balanceado de tres hilos de la figura 12.29 tiene tensiones de V0„ = \ nb = 200/CP V, línea cero y resistencia neutra y cargas Z An = Z ^ b = 12 + j i fi. Determ inar Z ab de manera que: (á) X AB = 0 e IaA = 30 A rms; (b ) RAb = 0 y ángulo 1 ^ = 0°.
12.3 C o n e xió n Y-Y trifá s ic a 15. La figura 12.31 muestra un sistema trifásico balanceado de tres hilos con secuencia de fase positiva. Sea V BC = 120/60° V y Rw = 0.6 fi. Si la carga total (incluyendo la resistencia del alambre) extrae 5 kVA a un PF = 0.8 retrasado, determinar (a) la potencia perdida en la resistencia de línea y (b ) Va„.
■ FIGURA 12.31
tJERCICIOS 16. Sea \ a„ = 2 300/0^ V en el sistema balanceado que se muestra en la figura 12.31 y fije Rw = 2 Í 2 . Suponer que la secuencia de fase positiva con la fuente suministra una potencia compleja de S = 100 + j 30 kVA. Determinar (a) laA', (b) V a n ', (c)Zp; (d) la eficiencia de transmisión. 17. En el sistema trifásico balanceado de la figura 12.31, sea Zp = 12 + j5 fi e IbB = 20/0° A con secuencia de fase (+) Si la fuente opera con un factor de potencia de 0.935. determinar : (a) Rw; (b) V¿„; (c) V^s; (d) la potencia compleja suministrada por la fuente. 18. Un sistema trifásico de tres hilos tiene una carga balanceada conectada en (Y) construida por una resistencia de 75 £2, una inductancia de 125 mH y una capacitan cia de 55 fiF en serie desde cada línea hasta el punto neutro. Si se supone la secuencia de fase positiva con Vp = 125 V a 60 Hz, calcular la corriente de línea, la potencia activa total suministrada a la carga y el factor de potencia de la carga. 19. Un conductor neutro sin perdidas se instala entre los nodos n y /Ven el sistema trifásico que se muestra en la figura 12.31. Suponer un sistema balanceado con se cuencia de fase (+) pero con carga conectada desbalanceada (desequilibrada): Z an = 8 + j'6 fi ,Z bn = 12—j l 6 fi, y Z cn = 5 fi. Si Va„ = 120/0° V rms y Rw = 0.5 fi, encontrar I„¿v20. En el circuito de la figura 12.31, \ an = 40/0° V (secuencia de fase positiva). Deter minar la corriente de línea y la potencia activa total entregada a la carga si la im pedancia Zp = 5 + j 10 fi y Rm = (a) 0 fi; (b) 3 fi. 21. La impedancia de fase Zp en el sistema que se muestra en la figura 12.31 consiste en una impedancia de 75/25° f i en paralelo con una capacitancia de 25 /j F. Sea \
FIGURA 12.32
AA/V
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
26. L a carga balanceada conectada en A de la figura 12.32 requiere 15 kVAcon u n F P retrasado de 0.8. Suponer una secuencia de fase (+ ) con V fic = 180/30° V. Si R w = 0.75 fi, calcular (a) V&e ; (b ) la potencia compleja total generada por la fuente. 27. L a carga en el sistema balanceado de la figura 12.32 consume una potencia com pleja total de 3 + j 1.8 kVA, mientras que la fuente genera 3.45 + y 1 .8 kVA. S iR w = 5 fi, determinar (a) I aA \ (b) I a b ' , ( c ) Van. 28. L a carga conectada en A del circuito de la figura 12.32 demanda 1 800 W con un FP retrasado de V 2 /2 , y se pierden 240 W en la resistencia del alambre de R m = 2.3 Q. Calcular el valor rms de la tensión de fase de la fuente y el valor rms de la corriente de fase de la carga. 29. La fuente de la figura 12.33 está balanceada y exhibe una secuencia de fase (+ ). Deter minar (a) IaA ; (b) Ibb ; (c) I ce \ (¿0 la potencia complej a total que suministra la fuente.
30. En el circuito que se describe en la figura 12.32, V ab = 200/CP V rms con secuen cia de fase (+ ), Rw = 200 m Q y la im pedancia de fase Z p se compone de una re sistencia de 10 Q en paralelo con una reactancia inductiva de 30 Q. Determinar la potencia total que suministra la fuente, el factor de potencia al cual opera y la efi ciencia de transmisión. 31. La fuente trifásica balanceada conectada en Y en la figura 12.32 tiene V an = 140/CP V rms con secuencia de fase positiva (+ ). Sea R w = 0 Q. L a carga trifásica balanceada consume 15 kW y + 9 kVAR. Obtener (a) V¿g; (b ) Iyis, (c) 1 ^ . -32. En el sistem a trifásico de la figura 12.34, suponer una fuente balanceada con una secuencia de fase positiva. Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, calcular la magnitud de: (a) V a n ' , ( b ) Y b n ' , ( c ) Y c n - Verificar las respuestas con una simu lación de PSpice apropiada.
E F IG U R A 1 2 .3 4
► 33. (a) Insertar 1 Q de resistencia en cada una de las líneas de la figura 12.33 y realizar de nuevo el ejercicio 29. (b) Verificar la solución con una simulación PSpice apropiada. 34. Un sistema trifásico balanceado, que tiene una tensión de línea de 240 V rms, con tiene una carga conectada en A de 12 + j k fi por fase y también una carga conectada en Y de 5 + j3 kQ por fase. Determinar la corriente de línea, la potencia activa tom ada por la carga combinada y el factor de potencia de la carga.
EJERCICIOS 12.5 M edición de potencia en sistem as trifásicos
35. Encontrar la potencia leída por el wattímetro (para ello debe establecer si los Míos de conexión tienen que invertirse o no para obtenerla) en el circuito de la figura 12.35, si las terminales A y B, respectivamente, se conectan (a) x y y; (b) x y r, (c) y y z. 10 ft
2 ^ 3 6 . Se conecta un wattímetro en el circuito de la figura 12.36, de manera que Ii entra en la terminal (+) de la bobina de corriente mientras que V2 es la tensión de la bobina de potencial (de tensión). Proporcionar la lectura del wattímetro y obtener la solu ción con una simulación de PSpice apropiada.
w v50 n
- ^ W V ------100 n
i1H
25 /iF :
I FIC U R A 12.36
37. Obtener la lectura dada por el wattímetro conectado en el circuito de la figura 12.37.
2.5 sen 5 0 0 1 A
- 38. (a) Proporcionar ambas lecturas dadas por los wattímetros de la figura 12.38 si Va = 100/01 V rms, \¡¡ = 50/90° V rms, Z A = 10 - jlO Q, Z B = 8 + 7 6 Q, y Zc = 30 + j 10 Q. (b) ¿La suma de estas lecturas es igual a la potencia activa total tomada por las tres cargas? Verificar las respuestas con una simulación PSpice apropiada.
A A /V
A /W
•
CAPÍTULO 12
CIRCUITOSPOLIFÁSICOS
I I F IG U R A 1 2 .3 8
39. Los valores de los parámetros del circuito de la figura 12.39 son \ a¡, = 200/0°. \ hc = 200/1 2 0 °. V,,„ = 200/240° V rms, Z4 = Z5 = Z6 = 2 5 /3 0 fi, Z\ = Z 2 = Z3 = 5 0 / —60 fi. Determ inar la lectura dada por cada wattímetro.
41. En el circuito de la figura 12.31, dem ostrar cómo podría m edirse la potencia activa absorbida por la carga m ediante (a) tres wattímetros, (b) el m étodo de dos wattímetros.
Circuitos acoplados magnéticamente CONCENTOS CLAVE IN T R O D U C C IO N
Inductancia m utua.
Siempre que la corriente fluye a través de un conductor, ya sea de ca o de cd, se genera un campo magnético alrededor de él. En el contexto de los circuitos, uno se refiere a menudo al flujo mag nético a través de un lazo de alambre, que no es más que la compo nente normal promedio del campo magnético que emana del lazo, multiplicada por el área del mismo. Cuando un campo magnético variable en el tiempo generado por un lazo penetra un segundo lazo, se induce una tensión entre los extremos de este último. Para distinguir este fenómeno de la “inductancia” que se definió antes, denominada de m anera más adecuada “autoinductancia”, se definirá un nuevo término: inductancia mutua. No hay un dispositivo tal que sea un “inductor mutuo”, pero el
•----------------A utoinductancia.
•--------------------C onvención punto.
• -------------------------------Im pedancia reflejada ; o referida.
•------------------------------------------Redes T y n equivalentes.
------------------------------------------T ra n sfo rm a d o r ideal.
• -------------------------------
principio constituye la base de un dispositivo muy importante:
Relación de vueltas de un
el transformador, que consta de dos bobinas de alambre separadas
tra n sfo rm a d o r ideal.
por una pequeña distancia y se utiliza, por lo común, para convertir las tensiones de ca en valores mayores o menores según la apli cación. Todo aparato eléctrico requiere corriente de cd para operar, aunque los enchufes en una toma de corriente de pared de ca em plean un transformador para ajustar los niveles de tensión antes de la rectificación, función que efectúan casi siempre los diodos y que se describe en cualquier texto introductorio de electrónica.
13.1
INDUCTANCIA MUTUA
Cuando se definió la inductancia en el capítulo 7, se hizo especifi cando la relación entre la tensión y la corriente en las terminales v (t) = L
d i(t) dt
* ------------------------------------------■ A coplam iento de impedancias.
•--------------------A juste del nivel de tensión.
-------------------------------------------Análisis con PSpice de : circuitos con : transform adores.
AA/V
■# CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE donde se tomó en cuenta la convención pasiva de signos. Las bases físicas de tal característica de corriente-tensión se sustentan en dos aspectos: 1. L a producción de flu jo magnético por una corriente, que es proporcional a la corriente en inductores lineales. 2. L a producción de una tensión por un campo magnético variable en el tiempo, proporcional a la tasa de cambio del campo magnético o del flujo magnético.
Coeficiente de inductancia mutua La inductancia mutua se debe a una ligera extensión de los argumentos anteriores. Una corriente que fluye en una bobina establece un campo magnético en tom o a la misma y alrededor también de una segunda bobina cercana. El flujo variable en el tiempo que rodea a la segunda bobina produce una tensión en sus termi nales, proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que fluye por la primera bobina. L a figura 13. \a muestra un modelo simple de dos bobinas L¡ y L 2, suficientem ente próxim as una de otra para que el flujo que atraviesa L]t producto de la corriente i\(t), establezca una tensión en circuito abierto v2(t) entre las terminales de L^. Sin considerar el signo algebraico apropiado de la relación en este momento, se define el coeficiente de inductancia mutua, o sim plemente inductancia m utua, M 2\, como d i i (t) v2(t) = M 2\ ——— dt
[1]
■ FIG U R A 13.1 (o) Una corriente /1 en L-¡ produce una tensión, en circuito abierto, v2 en L2. (ib) Una corriente i2 en ¿2 produce una tensión, en circuito abierto, i/i en ¿i .
El orden de los subíndices en M2\ indica que se produce una respuesta de tensión en L 2 a raíz de una fuente de corriente en L\. Si se invierte el sistema, como se indica en la figura 13.1¿, se tiene d i2(t) ui(í) = M \2—j — dt
[2]
Sin embargo, no son necesarios dos coeficientes de inductancia mutua; más ade lante se usarán relaciones de energía para probar que M ]2 y M 2\ son iguales, de tal modo que M \2 = M 2\ = M . La existencia del acoplamiento mutuo entre dos bobinas se indica mediante una flecha doble, como en la figura 13.1a y b. La inductancia mutua se mide en henrys, y al igual que la resistencia, la in ductancia y la capacitancia, es una cantidad positiva.1 Sin embargo, la tensión M d i/ d t , quizás aparezca como una cantidad positiva o negativa, según crezca o no la corriente en un instante específico.
(1) No se supone de manera universal que la inductancia mutua sea positiva. En particular resulta conveniente permitir que “lleve su propio signo” cuando están implicadas tres o más bobinas y cada una interactúa con las otras dos. Se restringirá la atención al caso simple y más importante de dos bobinas.
SECCIÓN 13.1
0
Wv
INDUCTANCIAMUTUA
Convención del punto M
El inductor es un elemento de dos terminales y se puede utilizar la convención pasiva de signos para elegir el signo correcto de la tensión L di/dt o jcoLl. Si la com ente entra en la terminal donde se ubica la referencia de tensión positiva, se usa el signo positivo. Sin embargo, no se puede tratar la inductancia mutua exac tamente de la misma manera, porque implica cuatro terminales. La elección de un signo correcto se establece mediante el empleo de una de varias posibilidades que incluyen la “convención del p u n to ”, o mediante la inspección de la forma par ticular en la que se devana cada bobina. Se utilizará la convención del punto y tan sólo se observará con brevedad la construcción física de las bobinas; el empleo de otros símbolos especiales no se requiere cuando sólo se acoplan dos bobinas. La convención del punto utiliza un gran punto situado en un extremo de ca da una de las dos bobinas que se acoplan mutuamente. Se determina el signo de la tensión mutua de la forma siguiente:
(a)
L2
Una corriente que entra a la terminal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la ter minal con punto de la segunda bobina.
„d i j
#2
~— AÍ
dt
M
T
r di, i^L7 Vj =—M — —
-
De tal modo, en la figura 13.2a, i\ entra en la terminal con punto de L\, v2 se mide positiva en la terminal con punto de L% y es igual a M d i\/d t. Se ha visto antes que muchas veces no es posible elegir tensiones o corrientes a lo largo de un circuito, de modo que la convención pasiva de signos se satisfaga siempre; la misma situación surge con el acoplamiento mutuo. Por ejemplo, tal vez resalte más conveniente representar a v2 por medio de una referencia de tensión positiva en la terminal sin punto, como en la figura 13.26; en ese caso v2 — —M d i i / d t . Las corrientes que entran a la terminal con punto tampoco se encuentran siempre disponibles, como se indica mediante la figura 13.2c y d. Se observa entonces que:
dt
ir) M
v~¡ = M
dt
(d)
Una corriente que entra a la terminal sin punto de una bobina proporciona una tensión que se mide positivam ente en la terminal sin punto de la se gunda bobina. Observar que en el análisis anterior no se incluye ninguna contribución a la ten sión de la inductancia propia, la cual ocurriría si i2 fuera diferente de cero. Se considerará en detalle esta situación, pero es apropiado presentar, primero, un ejemplo rápido.
f F IG U R A 1 3 .2 La corriente que entra en la terminal con punto de una bobina produce una tensión que se mide positiva en la terminal con punto de la segunda bobina. La corriente que entra en la terminal sin punto de una bobina genera una tensión que se mide positiva en la terminal sin punto de la segunda.
EJEMPLO 13.1 Kn el circuito que se presenta en Ja figura 13.3, determinar: (a) i'i si i2= 5 sen 45f A e ix = Ü; (b ) v2 si i\ = -8 c~r A e i2 = 0. (a) Puesto que la corriente i2 está entrando en la terminal sin punto de la bobina derecha, la referencia positiva de la tensión inducida en la bobina izquierda es la terminal sin punto. Por lo tanto, se tiene una tensión en cir cuito abierto de
']
M=2H
y, = —(2)(45)(5 cos45í) = - 4 5 0 c o s 4 5 í V que aparece entre las terminales de la bobina izquierda como consecuencia del flujo magnético variable en el tiempo que genera i2 al circular dentro de (Continúa en la siguiente página)
I FIG U RA 13.3 La convención del punto proporciona una relación entre la terminal a la que entra una corriente en una bobina, así como la referencia de tensión positiva de la otra bobina.
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE
494 --------- W V
la bobina derecha. Puesto que no fluye com ente a través de la bobina de la izquierda, no hay contribución de la autoinducción a v \. (,b) Ahora se tiene una com ente que entra a la terminal con pu n to , pero V2 tiene su referencia positiva en la terminal sin punto. De tal manera, v2 = —(2)(—1)(—8e_í) = —16e_í V
P R Á C T IC A ____________________ _ _ _______________________________
13.1 Suponiendo que M — 10 H, con L 2 en circuito abierto, e i \ — —2e~5‘ A, calcular la tensión v2 en: (a) la figura 13.2a; (b) la figura 13.2/;. Respuesta: 100e~3' V; —100e“5t V.
Tensión combinada de la inducción mutua y de la autoinducción Sólo se ha considerado la tensión mutua presente en una bobina en circuito abierto. En general, una com ente distinta de cero fluirá en cada una de las dos
\
M
+ v\
v2
i FIG U R A 13.4 En razón de que los pares vh i-¡ y v2, i2 satisfacen la convención de signos pasiva, las
bobinas, así que se generará una tensión mutua en una bobina debido a la corriente que fluye en la otra. E sta tensión m utua se presenta independientem ente y aparte de cualquier tensión de autoinducción. En otras palabras, la tensión en las ter minales de L\ estará compuesta por dos términos, L \ d i \ / d t y M d i 2/ d t , cada uno con un signo que depende de las direcciones de la com ente, la tensión m e dida y la ubicación de los dos puntos. En la parte de un circuito, dibujada en la figura 13.4, se muestran las com entes i\ e i2 donde se supone de manera arbi traria que cada una entra a la terminal con punto. La tensión a través de L\ se compone, por lo tanto, de dos partes: di 1
tensiones de autoinduccción son positivas; dado que /,
d¿2
e i2 entran cada una en term inales con punto y puesto que V] y v2 se m iden positivas en las term inales con punto, las tensiones de la inducción m utua tam bién
al igual que la tensión a través de L2,
son positivas. Vo —
L FIG U RA 13.5 D ebido a que los pares vh i¡ y v2, ¡2 no se m iden de acuerdo con la convención de signos pasiva, las tensiones de autoinducción son negativas; en razón de que i] entra en la term inal con punto y v2 se m ide positiva en la term inal con punto, el térm ino m utuo de v2 es positivo; y dado que ¡2 entra a la term inal sin punto y i/, se m ide positiva en la term inal sin punto, el térm ino m utuo de ^ tam bién es positivo.
d¡2 L2— dt
d i\ “ I”
M
---------
dt
En la figura 13.5, las comentes y las tensiones no se eligen con el fin de obtener todos los términos positivos de U| y v2. Si se inspeccionan sólo los sím bolos de referencia de i\ y i-' i, es patente que no se satisface la convención pasiva de signos y que el signo de L \ d i i / d t debe, por lo tanto, ser negativo. Se llega a una conclusión idéntica para el término L 2 d i2/ d t . Se establece el signo del tér mino mutuo de v2 inspeccionando la dirección de ¿1 y v2, puesto que i\ entra en la terminal con punto y v2 se mide positiva en la terminal con punto, el signo de M d i i / d t debe ser positivo. Por último, i2 entra en la terminal sin punto de L 2 , y 111 se mide positiva en la terminal sin punto de L ü en consecuencia, la parte m utua de v \, M d i 2/ d t , también debe ser positiva. Así, se tiene que d i\
d i2
dt
dt
Vi = - L i — + M —
Las mismas consideraciones propician elecciones idénticas de los signos para la excitación mediante una fuente senoidal que opera a la frecuencia angular m Vi — —jcoL\T{ -{- j w M I 2
V 2 = —jo)L2Í-2 “í- jcoMJ-i
A A /V
SECCION13.1 INDUCTANCIAMUTUA
495
Bases físicas de la convención del punto Es posible comprender mejor el simbolismo del punto si se consideran las bases físicas de la convención; el significado de los puntos se interpreta ahora en tér minos del flujo magnético. En la figura 13.6, se presentan dos bobinas devanadas sobre una form a cilindrica y resulta evidente la dirección de cada devanado. Si se supone que la corriente i\ es positiva y que crece con el tiempo, el flujo mag nético que í'i produce dentro de la forma cilindrica tiene una dirección que se po dría conocer mediante la regla de la mano derecha: cuando esa mano rodea la bobina con los dedos apuntando en la dirección del flujo de corriente, el pulgar indica la dirección del flujo dentro de la bobina. Así, i\ produce un flujo que se dirige hacia abajo; dado que i\ aumenta con el tiempo, el flujo, que es propor cional a ¿i, también se incrementa con el tiempo. Considerando ahora la segunda bobina, imaginemos que ¿2 es positiva y creciente; la aplicación de la regla de la mano derecha muestra que ¿2 produce también un campo magnético que se dirige hacia abajo y que aumenta. Dicho de otro modo, las corrientes supuestas i\ e ¿2 originan flujos aditivos. La tensión entre las terminales de cualquier bobina proviene de la tasa de cambio en el tiempo del flujo dentro de esa bobina. Por lo tanto, la tensión en las terminales de la primera bobina es mayor con i2 circulando de lo que sería si ¡2 fuera cero. Por ello, i2 induce una tensión en la primera bobina que tiene el mismo sentido que la tensión autoinducida en esa bobina. El signo de la tensión autoinducida se conoce gracias a la convención pasiva de signos que de ese modo per mite obtener el signo de la tensión mutua. La convención del punto sólo permite descartar la construcción física de las bobinas al colocar en una terminal de cada bobina un punto tal que las corrien tes que entran a las terminales así marcadas produzcan flujos aditivos. Resulta claro que siempre hay dos posibles ubicaciones para los puntos, pues siempre podrían moverse a los otros extremos de las bobinas y seguirse presentando los flujos aditivos.
I FIG U RA 13.6 Construcción física de dos bobinas mutuamente acopladas. A partir de considerar la dirección del flujo magnético que produce cada bobina, se demuestra que los puntos pueden ubicarse en la terminal superior de cada bobina, o en su terminal inferior.
EJEMPLO En el caso del circuito que se iudíca en la figura 13.7a, determinar la proporción existente entre la tensión de salida en la resistencia de 400 ñ y la tensión de la fuente. 1
a
j9 0 ü
vY= 10 cos 10/ V
1FIG U R A 13.7 (a) Circuito que contiene inductancia mutua, en el cual se desea obtener la proporción (razón) de tensión V2/ V , . (b) La autoinductancia y las inductancias mutuas se sustituyen por las impedancias correspondientes.
Identificar el objetivo del problema. Se necesita la expresión de V 2 . Se dividirá luego entre 10 /0':; V.
(Continúa en la siguiente página)
A /W -------------- •
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE
Recopilar ¡a información conocida. Se comienza sustituyendo 1 H y 100 H por sus correspondientes impedan cias, 7 10 S ly ] kS2, respectivamente (figura 13.7/?). También se sustituye la inductancia mutua de 9 H por ja>M = j 90 Q.
Elaborar un plan. El análisis de malla tal vez sea un buen método, ya que se tiene un circuito con dos mallas perfectamente definidas. Una vez que se encuentre I 2 , V 2 es simplemente 400 I 2 .
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. En la malla izquierda, el signo del término mutuo se determina aplicando la convención del punto. Puag|o que I 2 entra en la terminal sin punto de L2, la tensión mutua en L\ debe tener la referencia positiva en la terminal sin punto. Por lo tanto,
n + ./i0)i, —79012= io/(jJ Puesto que Ii entra a la terminal marcada con punto, el término mutuo de la malla derecha tiene su referencia (+ ) en la terminal con punto del in ductor de 100 H. Por lo tanto, se podría escribir (400 +
7 1
000)I 2 - 7'90Ii = 0
Determinar si se requiere información adicional. Existen dos ecuaciones con dos incógnitas, Ii e I 2 . Luego de resolver para las dos corrientes, la tensión de salida V 2 se obtendría al multiplicar I 2 por 400 Q.
Buscar la solución. Después de resolver estas dos ecuaciones con una calculadora científica, se tiene I 7 = 0.172/ —16.70° A Por lo tanto, y2
400(0.172/- 1 6 .7 0 ° )
■..-t'
10/01
= 6.880/ —16.70°
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? '■ ' i
Se observa que la tensión de salida V 2 es en realidad mayor en magnitud que la tensión de entrada Vi. ¿Se debe esperar siempre este resultado? La respuesta es negativa. Como se verá en secciones posteriores, el transformador se cons truye para lograr ya sea una reducción o un aumento de tensión. Sin em bargo, se efectúa una estimación rápida a fin de encontrar al menos un límite superior e inferior para la respuesta. Si la resistencia de 400 £2 se
SECCIÓN
13.1 INDUCTANCIAMUTUA • ----------------- W
v ---------
497
sustituye por un cortocircuito, V 2 = 0. Sí en vez de eso se sustituye la re sistencia de 400 £2 por un circuito abierto, I2 = 0 y, en consecuencia,
V, = (1 + jcúli)\i y V2 = j(iúM\\ Al resolver, se sabe que el valor máximo que se esperaría para V2/V i es 8.955/5.711°. De tal modo, la respuesta al menos parece razonable.
La tensión de salida del circuito de la figura 13.7a es mayor en magnitud que la tensión de entrada, por lo que se logra una ganancia de tensión con este tipo de circuito. También resulta interesante considerar esta proporción (razón) de tensiones como una función de co . Para determinar I 2 (ja)) en relación con este circuito particular, se escriben las ecuaciones de malla en términos de la frecuencia angular no especificada co: (1 + jco) li
-jc o 9 h = 1 0 /k
y —jco9 li + (400 + j&jlOO) I 2 = 0 Al resolver por sustitución, se observa que _ 2
j9 0 w 400 + j500a> — 19&J2
De tal manera, se obtiene la proporción (razón) entre la tensión de salida y la de entrada como una función de la frecuencia angular co
f4 V2
400I2
Y~¡ ~
10 j a 3 600
= 400 + j500co - 19c»2 Esta proporción (razón), denominada algunas veces fu n ció n de transferencia del circuito, se grafica en la figura 13.8 y tiene una magnitud máxinta de casi 7 cerca de una frecuencia de 4.6 rad/s. Sin embargo, para frecuencias muy pequeñas o muy grandes, la magnitud de la función de transferencia es menor que la unidad. El circuito sigue siendo pasivo, salvo la fuente de tensión, y la ganancia de tensión no debe interpretarse en forma errónea como una ganancia de potencia. E n w = 10 rad/s, la ganancia de tensión es igual a 6.88, pero la fuente de tensión ideal, que tiene una tensión de terminal de 10 V, entrega una potencia total de 8.07 W, de la cual sólo 5.94 W llegan a la resistencia de 400 íi. La proporción entre la potencia de salida y la de la fuente, que se puede definir como ganancia de potencia, es entonces 0.736.
T77=T7TJ30--: •' ' B 00'--------5*T-......—101-- -----------------------l-T 15 20 25 Frequeticy (rad/s)
■ FIG U RA 13.8 La ganancia de tensión |V2/V, | del circuito que sc muestra en la figura 13.7o se grafica como una función de u>mediante el siguiente programa de MATLAB: » w = linspace(0,30,1000); » num = j*w*3600; » f o i in d x = 1:1000 den = 400 + j*500*w(indx) -19*w (indx)*w (indx); gain(indx) = num(indx)/den; end » plot(w, abs(gain)); » xlabel('Frequency (rad/s)'); » ylabel('Magnitude of Voltage Caín');
A /W ------------------•
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE P R Á C T IC A
___________________________ _______________ ______________
13.2 En el caso del circuito de la figura 13.9, escribir ecuaciones de malla apropiadas para la malla izquierda y la malla derecha, si vs = 20e-1 °°0' V.
Respuesta: 20e 10001 = 3('i + 0.002 d i\¡d t — 0.003 d ii/d i ; 10¡2 + 0.005d¡2/dt — 0.003 di]/dt = 0.
EJEMPLO 13.3 E scrib ir el conjun fisu ra 13.10«.
com pleto de ecuaciones del circuito de la
5 fl
1F
(o)
5Ü
J-n
J°>
(b) ■ FIG U R A 13.10 (o) Circuito de tres mallas con acoplamiento mutuo. (b) La capacitancia de 1 F así como la autoinductancia y la inductancia mutua, se sustituyen por sus impedancias correspondientes.
El circuito contiene tres mallas y ya se han asignado las tres corrientes de ma lla. También en este caso, el primer paso consiste en sustituir tanto la induc tancia mutua como las dos autoinductancias por sus impedancias correspon dientes, como en la figura 13.10b. Al aplicar la ley de Kirchhoff de tensión en la primera malla, se asegura un signo positivo para el término mutuo al elegir
SECCIÓN 13.2
CONSIDERACIONESENERGÉTICAS
(I 3 — I 2 ) como la corriente que pasa por la segunda bobina. Por lo tanto, 5Ii +
- I 2 ) + 2 jco (I 3 - I 2 ) = Vi
o (5 + ^ jco)li - 9 j(o l2 + 2 jcol-i — Vi
[3]
La segunda malla requiere dos términos de autoinductancia y dos térmi nos de inductancia mutua. La ecuación no puede escribirse con descuido. Se obtiene 1 jco{\2 — li ) + 2 jco(l2 — I 3 ) +
I 2 + 6 jw ( h — I 3 )
-7
+ 2 jco (l2 - li) = 0 o —9 /'®Ii + ( 17 ico -i------ ) I 2 — 8 jcoI 3 =
V
0
[4]
j°>)
Por último, en el caso de la tercera malla, § jc o { I 3 — I 2) + 2 j oj ( 1 1 — I 2) + 3 I 3 = 0
o 2 jco li — 8 y'a>l2 + (3 +
6
jco) I 2 = 0
[5]
Las ecuaciones [3] a [5] se resuelven mediante cualquiera de los métodos convencionales. P R Á C T IC A 13.3 En el caso del circuito de la figura 13.11, escribir una ecuación de malla apropiada en términos de las corrientes fasoriales li e I 2 para: (a) la malla izquierda; (b) la malla derecha.
Respuestas: V, = (3 + j 10)Ii —7 I 5I 2; 0 = — 15Ii + (10 + 7'25)l2.
15.2
. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS____________
Piénsese en la energía que se almacena en un par de inductores mutuamente acoplados. El resultado será de utilidad de diferentes maneras. Se justificará primero el supuesto de que Ai 12 = y luego se podrá determinar el máximo valor posible de la inductancia mutua entre los dos inductores dados.
500 )--------- W V
-m
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
Igualdad de M n y M21
v2
I FIG U R A 13.12 Par de bobinas acopladas con
En el par de bobinas acopladas que se ilustra en la figura 13.12 se señalan las co rrientes, las tensiones y los puntos de polaridad. Para demostrar que M u = M 2i , se empieza igualando a cero todas las corrientes y las tensiones, con lo cual se establece como cero la energía inicial almacenada en la red. Luego se pone en circuito abierto el par de terminales del derecho y se incrementa z'j desde cero hasta cierto valor constante Ic(¡ en el tiempo t = t \ . La potencia que entra a la red desde la izquierda en cualquier instante es
inductancia m utua de
7 d i\. V\i\ = L \ — i\ at
M 12 — M 21 = M.
además, la potencia que entra desde la derecha equivale a V2Í2 = o puesto que i 2 — 0. La energía almacenada dentro de la red cuando i \ = I\ es, por lo tanto, Ií*' V i i \ d t = I[ h L \ i i d i \ = -1L \ I l2 Jo
Jo
2
Se mantiene ahora i\ constante, (¿ 1 = / 1 ), y se permite que ¿2 cambie desde cero en t = íi, hasta algún valor constante h en t = Í2 . En ese caso, la energía que entrega la fuente del lado derecho es igual a ph nh j I V2i2 d t = I L 2 Í2 d i2 =f X^2^2
Jti
Jo
2
Sin embargo, aun cuando el valor de i 1 permanece constante, la fuente del lado izquierdo también entrega energía a la red durante tal intervalo J
rh
V \iid t — J
rh
d i2 . f h M \2—^ i \ d t = M \2I\ J d l2 = M \2I\J2
La energía total almacenada en la red, cuando i\ e i2 han alcanzado valores cons tantes, está dada por Wtotal = 5^1
+ \ L 2I2 + M\2I\I2
Ahora bien, se podrían establecer las mismas corrientes finales en esta red lo que permitiría que las corrientes alcancen sus valores finales en el orden inverso; esto es, si se aum enta prim ero i2 desde cero hasta I2 y después se m antiene I2 constante mientras i\ crece desde cero hasta I\. Si se calcula la energía total al macenada en este experimento, el resultado que se encontrará será Wtotal = \ L \ i f + ^ £ 2 ^ 2 + tó t- lh h La única diferencia es el intercambio de las inductancias mutuas M 2í y M 12 . Sin embargo, las condiciones inicial y final en la red son las mismas, y por ello los dos valores de la energía almacenada deben resultar idénticos. Por lo tanto, M\2 — M 2[ = M
y
w = \ L ^ + \ L 2l l + M I J 2
[6 ]
SECCIÓN 13.2 CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS
Si una corriente entra a la terminal marcada con punto, al tiempo que la otra sale de una terminal marcada con punto, se invierte el signo de la energía mutua: W = \ L X1¡ + \ L 11 ¡ - M h h
[7]
Aunque las ecuaciones [6J y [7] se obtuvieron al considerar los valores fina les de las dos com entes como constantes, dichas “constantes” pueden tener cualquier valor, así que las expresiones de energía represen tan de manera correc ta la energía que se almacena cuando los valores instantáneos de i¡ e ¿2 son /i e /2, respectivamente. En otras palabras, los símbolos en minúscula podrían tam bién utilizarse sin ningún problema: w (t) = ¿ L , L¿i(í)]2 + \ L 2 [¿2( 0 ] 2 ± M [¿KO] [¿2(01
[8]
El único supuesto sobre el que se basa la ecuación [8] es el establecimiento lógico del nivel de referencia de energía cero, cuando ambas corrientes son cero.
Establecimiento del límite superior de M Se podría utilizar ahora la ecuación [8] para establecer un lím ite superior correspondiente al valor de M. Puesto que w (t) representa la energía que se al macena dentro de la red pasiva, no puede ser negativa para cualesquier valor de ¿i, ¿2 , ¿ i, L 2, o M. Supóngase primero que i\ e ¿2 son positivas o negativas: por lo tanto, su producto resulta positivo. Según la ecuación [8], el único caso en el que la energía tal vez sería negativa es W = \ L \ Í { + j L 2Í2 - M¿!¿2 que se escribiría, al completar el cuadrado, como w = \ (V ~L[i\ — ~y/L2i2) + s / L \L ii\Í 2 ~ jW¿i¿2 Debido a que en realidad la energía no puede ser negativa, tampoco es viable que lo sea el lado derecho de esta ecuación. Sin embargo, el primer término quizá sea tan pequeño como cero, por lo que se tiene la restricción de que no es posible que la suma de los dos últimos términos sea negativa. Por consiguiente, \J L \L í2 — VI o M < s jL ] L 2
[9]
Por lo tanto, existe un límite superior de la posible magnitud de la inductancia mutua, que no será mayor a la media geométrica de las inductancias de las dos bobinas entre las cuales existe la inductancia mutua. Si bien se ha obtenido esta desigualdad con el supuesto de que ¿i e i2 portan el mismo signo algebraico, es factible un desarrollo similar si los signos son opuestos; sólo se requiere elegir el signo positivo en la ecuación [8]. También podría haberse demostrado la validez de la desigualdad [9] a partir de una consideración física del acoplamiento magnético. Si se piensa que i2 es cero y que la corriente ¿i establece el enlace de flujo magnético que vincula tanto a L\ como a L2, resulta evidente que el flujo dentro de L2 no es mayor que el flujo dentro de L\, el cual representa el flujo total. En consecuencia, desde un punto de vista cualitativo hay un límite superior para la magnitud de la inductancia mutua posible entre dos inductores determinados.
• ------------------------------
W V
----------------
501
-A /W
- •
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
Coeficiente de acoplamiento El grado con el cual M se acerca a su valor máximo se describe mediante el coeficiente de acoplamiento, definido como k =
M
[ 10]
y/L\L¡2 Puesto que M < 0 <£ < 1
Los valores más grandes del coeficiente de acoplamiento se obtienen con bobinas que están físicamente más próximas, las que se devanan u orientan para propor cionar un flujo magnético común mayor, o que se les fija una trayectoria común a través de un material que sirve para concentrar y localizar el flujo magnético (un material de alta permeabilidad). Se dice que las bobinas que tienen un coeficien te de acoplamiento cercano a la unidad están estrechamente acopladas.
EJEMPLO 13.4 E n la figura 13.13, sean L \ = 0.4 H, L i = 2.5 H, k = 0.6, e /'i = 4/2 = 20 cos(500í — 20°) mA. E v alu ar las siguientes cantidades en t = (1: (a) i2; (b) vti (c) la energía total alm acenada en el sistem a. (a) i2(t) — 5 cos(5001 — 20°) mA, por lo que ¿2(0) = 5 cos(—20°) = 4.698 mA. (b) Para determinar el valor de i>], es necesario incluir las contribuciones tanto de la autoinductancia de la bobina 1 como de la inductancia mutua de la bobina 2. Por consiguiente, prestando atención a la convención del punto, se tiene I FIG U R A 13.13 Dos bobinas con un coeficiente de acoplamiento de 0.6, L , = 0.4 Hy L2 = 2.5 H.
di i
dio
dt
dt
A fin de evaluar esta cantidad, se necesita el valor de M, el cual se obtiene de la ecuación [10]: M = k j L j T i = 0 .6 7 (0 .4 ) (2.5) = 0.6 H Así, ^ ( 0 ) = 0.4[—10sen(—20c)] + 0 .6 [-2 .5 se n (-2 0 °)] = 1.881V. (c) La energía total se determina sumando la energía almacenada en cada in ductor, la cual tiene tres componentes independientes puesto que se sabe que dos bobinas estarán acopladas magnéticamente. Debido a que ambas comentes entran a la terminal “con punto’', se tiene w (t) = \ L x[h{t)}2 + \ L 2[Í2 (t)}2 + M lh (t)] [i2(r)] Sabiendo, del inciso (a) que i2(0) = 4.698 mA e ¿i(0) = 4/2(0) = 18.79 mA, se observa que la energía total almacenada en las dos bobinas en t = corresponde a 151.2 /xJ. P R A C T IC A
_____ _______________________
13.4 Sea is — 2 cos 10/ A en el circuito de la figura 13.14, calcular la energía total almacenada en la red pasiva en t = 0 si k = 0.6 y las terminales x y y se dejan: (a) en circuito abierto; (b) en cortocircuito. R e sp u e sta : 0 .8 J; 0 .5 1 2 J.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR ÜNEAL
»
AA/V
13.3 g EL TRANSFORMADOR LINEAL _______________________ Ya se puede aplicar el conocimiento del acoplamiento magnético a la descrip ción de dos dispositivos prácticos específicos, cada uno de los cuales puede re presentarse por un modelo que contiene inductancia mutua. Ambos dispositivos son transformadores, un término que se definiría como una red que contiene dos o más bobinas que se acoplan magnéticamente (figura 13.15) de manera delibe rada. En esta sección se analiza el transformador lineal, que constituye un mode lo excelente del transformador lineal práctico que se utiliza a frecuencias de radio o a frecuencias superiores. En la sección siguiente se considerará al transforma dor ideal, un modelo idealizado de acoplamiento unitario de un transformador físico que tiene un núcleo hecho de algún material magnético, casi siempre una aleación de hierro.
■ F IG U R A 1 3 .1 5 Selección de pequeños transformadores para su uso en aplicaciones de la electrónica; se muestra una batería tamaño AA para efectos de poder observar la escala.
En la figura 13.16 se muestra un transformador con dos corrientes de malla identificadas. La primera malla, que a menudo contiene la fuente, recibe el nombre de primario ; en tanto que la segunda, que suele contener la carga, se conoce como vs el secundario. Los inductores marcados como L\ y L i también se conocen como el primario y el secundario, respectivamente, del transformador. Se supondrá que el transformador es lineal, lo que implica que no se emplea ningún material magné ■ FIG U R A 13.16 Transformador lineal que contiene una fuente en el circuito primario y una tico (que puede provocar una relación no lineal entre el flujo y la corriente). Sin em carga en el circuito secundario. La resistencia se bargo, sin un material de este tipo, resulta difícil conseguir un coeficiente de acopla incluye también tanto en el primario como en miento superior a unos cuantos décimos. Las dos resistencias sirven para explicar el secundario. la resistencia del alambre (incluyendo la de los embobinados), a partir del cual se devanan las bobinas del primario y del secundario, y cualesquiera otras pérdidas.
Impedancia reflejada (referida) Sea la impedancia de entrada que se presenta en las terminales del circuito pri mario. Las dos ecuaciones de malla son Vs — (R \ +
7
[U]
504 )---------W
V ------------------•
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
y O = —jcoM Ii + (R2 + j&>L2 + Z ¿)l2
[12]
Se puede simplificar al definir Z n = R\ + jcoL{
y
Z 2 2 = R 2 + j<¿>L2 +
por lo que Vs = Z „ I , — jco M l2
[13]
0 = —jw M li + Z 2 2 I 2
[14]
Despejando de la segunda ecuación I2 y sustituyendo el resultado en la primera ecuación, se puede encontrar la impedancia de entrada, esto es, Vs M2 Z en, = - ^ = Z u - ^ -----Al ¿22
Zent es la impedancia vista por la bobina primaria del
[15]
transformador.
Antes de manipular más esta expresión, se deducen varias conclusiones muy interesantes. En primer lugar, este resultado es independiente de la ubicación de los puntos sobre cualquier devanado, pues si cualquier punto se mueve al otro extremo de la bobina, el resultado es un cambio en el signo de cada término que incluye a M en las ecuaciones de [11] a [14], Este mismo efecto se obtendría al sustituir M por ( - M ) . aunque un cambio así no tiene posibilidad de afectar la impedancia de entrada, como lo confirma la ecuación [15]. También se podría observar en la ecuación [15] que la impedancia de entrada es ni más ni menos que Zi 1 , si el acoplamiento se reduce hasta cero. Cuando el acoplamiento au menta a partir de cero, la impedancia de entrada difiere de Z u por una cantidad cú2M 2/ X 22, llamada im pedancia reflejada o referida, La naturaleza de este cambio resulta más evidente si se desarrolla esta expresión: cú2M
2
Zent — Z 11 “l- --------------R 22 + j X 22 y se racionaliza la impedancia reflejada (referida) cü2M 2R 22
Zent - Z „ +
2 a 22 '
-2 + 22
—j co2M 2 X 22 2 +X2 22 ~i a 22
Puesto que cú2M 2Rn_!(R\o + X 22) debe ser positiva, resulta evidente que la presencia del secundario aumenta las pérdidas en el circuito primario. En otras palabras, su presencia podría tomarse en cuenta en el primario y aumentar el valor de R¡. Además, la reactancia que refleja el secundario en el circuito pri mario tiene un signo que es opuesto al de X 22, la reactancia neta alrededor del lazo secundario. Esta reactancia X 22 es la suma de cúL 2 y X¿; ésta es necesaria mente positiva para cargas inductivas, y positiva o negativa para cargas capaci tivas, según la magnitud de la reactancia de la carga.
P R A C T IC A 13.5 Los valores de los elementos de cierto transformador lineal son Ri = 3 Q , R 2 = 6 Q , L i — 2 mH, L 2 j= lOmH, y Af = 4m H . S i « = 5000 rad/s, determinar Z ent para Z¿ igual a: (a) 10 Í2; (b) j2Q S2;'(c) 1 0 $ 'j20 Q; (d) - y 2 0 Q.
Respuestas: 5.32 + y'2.74 Q; 3.49 + j 4.33 £2; 4.24 + y'4.57 Í2; 5.56 —/2.82 Í2.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
»
W V
Redes equivalentes T y n A menudo resulta conveniente sustituir un transformador por una red equivalen te en la forma de T o 11. Si se separan las resistencias respectivas del primario y del secundario del transformador, sólo queda el par de inductores acoplados mu tuamente, como se muestra en la figura 13.17. Observar que las dos terminales inferiores del transformador se conectan entre sí para formar una red de tres ter minales. Se efectúa lo anterior debido a que ambas redes equivalentes son tam bién redes de tres terminales. Las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son, también en este caso, Vl — Ll~J~ + M ^ y dt dt
[16]
di\ di ? v2 = M - ¿ + L 2- ¿ dt dt
r, _ [17]
La forma de estas dos ecuaciones es familiar y se interpreta con facilidad en términos del análisis de malla. Se elige una ix en dirección de las manecillas del reloj y una i2 en el sentido contrario, de manera que i\ e i2 resulten por completo identificabas con las corrientes de la figura 13.17. Los términos M d i2/ d t en la ecuación [16] y M d i \ j d t en la ecuación [17], indican que ambas mallas deben tener entonces una autoinductancia común M. En razón de que la inductancia total alrededor de la m alla izquierda es L \, se requiere incorporar una autoin ductancia de Lj — M en la primera malla, pero no en la segunda. De modo simi lar, se necesita una autoinductancia de L 2 — M en la segunda malla, pero no en la primera. La red equivalente resultante se presenta en la figura 13.18 y la equivalencia se garantiza mediante pares idénticos de ecuaciones que relacionan l'i , ¿i, i>2 , e i 2 para las dos redes. ’\
Ll - M
l 2- m
h
o----- nmn-----♦-----nrrr----- o iM
v2
■ FIG U RA 13.18 Circuito equivalente en T del transformador que se muestra en la figura 13.17.
Si cualquiera de los puntos en los devanados de un transformador dado se ponen sobre el extremo opuesto de su bobina, será negativo el signo de los tér minos mutuos de las ecuaciones [16] y [17], lo cual es análogo a reemplazar M por —M . Además, con una sustitución de este tipo en la red de la figura 13.18 se obtiene el equivalente correcto de este caso. Los tres valores de autoinductancia serían entonces L \ + M , —M , y L 2 + M . Las inductancias en el equivalente T son autoinductancias; no se presenta in ductancia mutua. Es posible que se obtengan valores negativos de inductancia para el circuito equivalente, aunque esto no tiene importancia si el único deseo es un análisis matemático; la construcción real de la red equivalente es, desde luego, imposible en cualquier forma que implique una inductancia negativa. Sin embargo, hay ocasiones en las que con los procedimientos relativos a la síntesis de redes para proporcionar una función de transferencia deseada se determinan circuitos que contienen una red en T con una inductancia negativa, la cual podría realizarse mediante un transformador üneal apropiado.
‘2
■ F IG U R A 1 3 .1 7 Transformador particular que se debe sustituir po r una red equivalente n o T.
AW
CAPITULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
EJEMPLO 13.5 D eterm in ar el circuito equivalente en T del tran sfo rm ad o r lineal que se m u e stra en la figura 13.19a. 40 m H
A o-
oc ■60 mH
30 mH *
od
B O(a) -1 0 mH
A O-
-^TíHP—
20 m H h_ - /W TI-----------o c
Se identifican ¿ i = 30 mH, ¿ 2 = 60 mH, y M = 40 mH; asimismo, se observa que los puntos se encuentran en las terminales superiores, del mismo modo que en el circuito básico de la figura 13.17. Por consiguiente, L\ — M = —10 mH está en el brazo izquierdo supe rior, L 2 — M = 20 mH se ubica en el derecho superior y el ramo del centro contiene M = 40 mH. El circuito equivalente completo en T se muestra en la figura 13.196. Para demostrar la equivalencia, se dejan las terminales C y D en circuito abierto y se aplica va> = lOcos lOOí V a la entrada, en la figura 13.19a. De tal modo, 1
! 40 mH
30 x 10-3 -o d
/
10cos(100í) d t = 3.33sen 100/ A
y
di\ vCD — M — = 40 x 10 3 x 3.33 x lOOcos lOOí dt = 13.33 cos 100? V
IMFIG U R A 13.19 (o) Transformador lineal utilizado como ejemplo. (6) Red equivalente en T del transformador.
Aplicando la misma tensión en el equivalente T, se descubre que 1 ( - 1 0 + 40) x 10-3
/
I0 co s(1 0 0 í)d í = 3 .33senl00í
A
también en este caso. Asimismo, la tensión en C y D equivale a la tensión en el inductor de 40 mH. De tal modo, vcd
— 40 x 10 3 x 3.33 x lOOcos lOOí = 13.33cos lOOí
V
y las dos redes producen resultados iguales.
PRACTICA 13.6 (a) Si las dos redes que se presentan en la figura 13.20 son equivalentes, especificar los valores de Lx, Ly, y L-. (b) Repetir el ejercicio suponiendo ahora que el punto en el secundario de la figura 13.206 se localiza en la parte inferior de la bobina. A O-
Lx -nnrr>-
¿ .V
-nnno-
-o c
Ao-
3.5 H
-o C •
B o-
-o D
Bo -
6H
-OJj
(a) I F IG U R A 1 3 .2 0
Respuestas: —1.5, 2.5, 3.5 H; 5.5, 9.5, —3.5 H .
La red en n equivalente no se obtiene con tanta facilidad, ya que es más com plicada y no se utiliza mucho. Se elaborará resolviendo la ecuación [17] para
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
d i i / d t y sustituyendo el resultado en la ecuación [16]: , d i\ V\ = / . |
di]
M
M 2 d i\
----- 1------- Vl — --------- ;—
d tL 2 "
L 2 dt
M
Ü ;v i L XL 2 - M 2
L xL 2 - M 2
v2
Si se integra ahora desde 0 hasta f, se obtiene i\ - fc(0) U i t )
=
L l
í
V \d t' -
L i L 2 - M 2 Jq
M
2
f
L \ L 2 — M 2 Jo
v2 d t'
[18]
De modo similar, también se tiene nt
__ ^
^
nt
i>i d t ' + 1 , / v2 d t' i2 - i2(0)u(t) = — ------ —r L \L 2 — M 2 Jo L \ L 2 — M 2 Jo
[191
Las ecuaciones [18] y [19] se interpretan como un par de ecuaciones nodales; debe instalarse una fuente de corriente de escalón en cada nodo para proporcionar las condiciones iniciales adecuadas. Los factores que multiplican cada integral tie nen la misma forma general de inversas de ciertas inductancias equivalentes. Por lo tanto, el segundo coeficiente de la ecuación [18], M / ( L \ L 2 — M 2), es 1/ L B. o el recíproco de las inductancias que se extienden entre los nodos 1 y 2, como el que se muestra en la red en n equivalente de la figura 13.21. Así, Lb —
l xl
L YL 2 - M 2 M
2-
m -
M
v\ i«i Co m d Q J
L ^ U- M2 Q ~ ^i2(0)u L¡-M
■ FIG U R A 13.21 Red en n que es equivalente al transformador de la figura 13.17.
El primer coeficiente en la ecuación [18], L 2/ L\ L 2 — M 2, es 1/ L a + 1/ L En consecuencia, J_ _ La
L2
_
L \ L 2 —M 2
LA=
b
-
M L \L 2 — M 2
L XL 2 - M 2 l
2- m
Por último, Lr =
L \L 2 - M 2 Lx- M
Ningún acoplamiento magnético se presenta entre los inductores en la n equiva lente, y las corrientes iniciales en las tres autoinductandas son iguales a cero. Se podría compensar la inversión de cualquier punto en el transformador de terminado con tan sólo cambiar el signo de M en la red equivalente. Además, del mismo modo que las encontramos en la T equivalente, quizás aparezcan autoinductancias negativas en la red en n equivalente.
#■
w v
w v
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
EJEMPLO 13.6 Determinar la red en II equivalente del transformador de la figura 13.19a, suponiendo corrientes inicialés iguales a cero. Puesto que el término L \ L 2 — M 2 es común a L a , Lg, y Le, se empieza evaluando esta cantidad, con lo cual se obtiene
5 mH
-nnrv-
A o-
-o C
30 x 10“ 3 x 60 x 10“3 - (40 x 10“ 3) 2 = 2 x 10~4 H2 ! 10 mH
! -20 mH
B O-
De esta manera:
-O
D
La =
I FIG U R A 13.22 Equivalente en n del transform ador lineal que se presentó en la figura
Lr —
13.19o. Se supone q u e / ,( 0 ) = 0 e / 2(0 ) = 0.
( L i L 2 - M 2) _ { L \L 2 - M 2)
L r =
-nmr>-
A O-
-O C
(a)
-o C
( L XL 2 - M 2) M
5
c
tt¿
mH6
20
x 10-
-10cos lOOí = 13.33 cos lOOí
Y
como antes. Por lo tanto, la red en la figura 13.22 es eléctricamente equiva lente a las redes de la figura 13.19a y b.
;6 H
2 H*
-o ü ib) « F IG U R A 13.23
= - 2 0 mH
----------------------- =
-2 0 x 10"3 VcD ~ 5 x 10-3 _
3.4 H
A o-
= 10 mH
La red en II equivalente se muestra en la figura 13.22. Si se verifica de nuevo el resultado obtenido cuando vab — 10 cos 100/ Y con las terminales C-D en circuito abierto, se obtiene de inmediato la ten sión de salida mediante una división de tensión:
-o D
B o-
(20 x 1 0 - 3)
( L2 — M ) (Li - M )
2x10“
PRÁCTI CA
____________~
___________________
13.7 Si las redes en la figura 13.23 son equivalentes,, especificar los valores (en mH) de LA, LB, y L c. Respuesta: L a = 169.2 mH, Lg = 129.4 mH, Lc = —314.3 mH.
ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA La capacidad para simular circuitos que contienen inductancias acopladas magnéticamente es una función útil, sobre todo con la continua reducción de las dimensiones de los circuitos modernos. Cuando varios lazos y lazos parciales de conductores se juntan en nuevos diseños, los diversos circuitos y subcircuitos que se pretenden aislar mutuamente se acoplan de manera in advertida a través de campos magnéticos parásitos e interactúan entre sí. PSpice permite incorporar este efecto mediante la componente K _L inear, que enlaza un par de inductores en el diagrama mediante un coeficiente de acoplamiento k en el intervalo 0 < k < 1.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
Por ejemplo, simular el circuito de la figura 13.19a, que consta de dos bobinas cuyo acoplamiento se describe mediante una inductancia mutua de M = 40 mH, correspondiente a un coeficiente de acoplamiento de k — 0.9428. K1 diagrama del circuito básico se presenta en la figura 13.24. Observar que no aparece un “punto” al lado de los símbolos del inductor. Cuando se coloca primero en form a horizontal en el diagrama, la terminal con punto sc ubica a la izquierda, en tomo a la cual se gira el símbolo. Nótese también que el componente K_Liuear no está “alambrado" en ninguna parte del diagrama; su ubicación es arbitraria. Los dos inductores acoplados, L1 y L2, se especifican junto con el coeficiente de acoplamiento mediante la ventana de diálogo del componente. B M jB l £
r - h l a | i.
¡SCHEMAItCl-Fiyge13_2*
1-f ÍWPHIKT2
falal ► i^}
V1• i 1! i ¡Wj
BK Linear K1 COUPUNG = 0.942B
A C M A G = 10V8C ACPH A SE = 0
lili
' Síafc=áín¿
.*> r*in
FIG U RA 13.24 Jiagrama del circuito basado en la figura 13.19o.
El circuito se conecta a una fuente de tensión senoidal de 100 rad/s (15.92 Hz) un hecho que se incorpora mediante un barrido ca a una frecuen cia dada. También se requiere agregar las dos resistencias al diagrama para que PSpice lleve a cabo la simulación sin generar un mensaje de error. Primero, se inserta una pequeña resistencia en serie entre la fuente de ten sión y L 1; se eligió un valor de 1 pQ para minimizar sus efectos. Segundo, se conectó a L2 una resistencia de 1000 M Q (infinito, en esencia). La salida de la simulación tiene una magnitud en tensión de 13.33 V y un ángulo de fase de —3.819 x 10~8 grados (esencialmente cero), lo que concuerda con los valores que se calcularon a mano en el ejemplo 13.5. PSpice proporciona tam bién dos modelos de transform ador diferentes, uno lineal, XFRM _LINEAR, y uno ideal XFRM _NONLINEAR, un elem ento de circuito que es el tem a de la siguiente sección. El transfor m ador lineal requiere que los valores se especifiquen para el coeficiente de acoplam iento y para ambas inductancias de bobina. El transform ador ideal necesita tam bién un coeficiente de acoplamiento, aunque, como se verá, un transform ador ideal tiene valores de inductancia infinitos o casi infinitos. Por lo tanto, los parám etros restantes requeridos para la parte XFRM _NO NLINEAR son el número de vueltas de alambre que tiene cada bobina.
A /V V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNETICAMENTE
15.41EL TRANSFORMADOR IDEAL Un transform ador ideal constituye una aproximación útil a un transformador acoplado de forma muy estrecha, en el que el coeficiente de acoplamiento es en esencia la unidad y en el que las reactancias inductivas del primario y del secun dario son muy grandes en comparación con las impedancias de la terminación. Tales características se obtienen con mucha precisión mediante la mayor parte de los transformadores de núcleo de hierro bien diseñados, sobre un intervalo ra zonable de frecuencias para un intervalo razonable de impedancias a nivel ter minal. El análisis aproximado de un circuito que contiene un transformador de núcleo de hierro podría lograrse con mucha facilidad sustituyéndolo por un transformador ideal, que podría pensarse como un modelo de primer orden de un transformador de núcleo de hierro.
Relación de vueltas de un transformador ideal Con el transformador ideal surge un nuevo concepto: la relación de núm ero de vueltas a. L a autoinductancia de una bobina es proporcional al cuadrado del número de vueltas de alambre que forman la bobina. Esta relación es válida sólo si todo el flujo establecido por la corriente que fluye en las bobinas enlaza a todas las vueltas. Para form ular este resultado de m anera cuantitativa se requiere utilizar conceptos de campo magnético, tem a que no se incluye en la explicación del análisis de circuitos. Sin embargo, quizá sea suficiente un argu mento cualitativo. Si una corriente i fluye a través de una bobina de N vueltas, entonces el flujo magnético de una sola vuelta se reproducirá N veces. Si se considera que las N vueltas son coincidentes una con la otra, entonces la total idad del flujo abarca a todas las vueltas. Cuando la corriente y el flujo cambian con el tiempo, se induce una tensión en cada vuelta que es N veces mayor que la ocasionada por una bobina de una sola vuelta. De tal modo, la tensión in ducida en la bobina de N vueltas debe ser N 2 veces la tensión de una sola vuelta. A partir de lo anterior, se origina la proporcionalidad entre la inductan cia y el cuadrado del número de vueltas. Se concluye que: hl
ü k= L
N21 —-z = a2 N¡
N2 N,
I FIGURA 13.25 Transformador ideal que se conecta a una impedancia de carga general.
[ 20]
[21]
La figura 13.25 presenta un transformador ideal al que se conecta una carga secundaria. La naturaleza ideal del transformador se establece mediante varias convenciones: el uso de líneas verticales entre las dos bobinas para indicar las laminaciones de hierro presentes en muchos transformadores con núcleo de este metal, el valor unitario del coeficiente de acoplamiento y la presencia del sím bolo 1:a, lo que sugiere una relación de vueltas de Ni a N2. Se analiza este transformador en el estado senoidal permanente para inter pretar los supuestos en el contexto más simple. Las dos ecuaciones de malla son Vi = ja )L ¡li — jc o M ti
[22]
y 0 = - j m M l i + (Z¿ + jcoL2)I2
[23]
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
• ------------------------- W
Se determinan primero la impedancia de entrada de un transformador ideal. Al resolver la ecuación [23] para I 2 y sustituir en la ecuación [22], se obtiene Vi = l\ja>L\ + I t
V,
Zent — ~
a rM 2 Z 1. + JcüLj
.
a rM
— jú )L \ +
ZL
Il
+ jc o L 2
Puesto que k = 1, M 2 = L \L 2 , se tiene entonces Z ent —
j° ) L
O)2L 1 ¿2 1+
Z L + jti>L2
Además del coeficiente de acoplamiento unitario, otra característica de un transformador ideal es una impedancia demasiado grande tanto en las bobinas del primario como del secundario, sin que importe la frecuencia de operación. Lo anterior sugiere que el caso ideal sería que L\ y ¿ 2 tendieran al infinito. Sin embargo, su proporción debe permanecer finita, según se especifica mediante la relación de vueltas. De lal manera, L 2 = a 2L 1 lo cual lleva a
,
,2 _2 j 2 CO Cl i-*|
Z l + j(oa2L 1 Si se deja ahora que L\ se vuelva infinita, ambos términos del lado derecho de la expresión anterior también lo hacen, de modo que el resultado es indeterminado. Por lo tanto, se requiere combinar primero estos dos términos: ^ _ j( ú L \Z L - ( ú 2a 2L 2 +cú2a 2L \ ¿Mit — ^ Z¿ + jcoa-L 1
^ lZ4l
o j ü ) L \Z i
Z¿
Z L + jw a 2L\
Z i/jo ) L \ + a 2
[25]
Ahora bien, cuando L¡ ->■ 0 0 , se observa que Z cm se convierte en: Z en,
= % a1
[26]
para Z¿ finita. Este resultado tiene algunas implicaciones interesantes y al menos una de ellas parece contradecir una de las características del transformador lineal. La im pedancia de entrada de un transformador ideal es proporcional a la impedancia de carga, con la constante de proporcionalidad igual al recíproco del cuadrado de la relación de vueltas. En otras palabras, si la impedancia de carga es capacitiva, entonces la impedancia de entrada también resulta capacitiva. Sin embargo, en el transformador lineal, la impedancia reflejada o referida sufrió un cambio de signo en su parte reactiva; una carga capacitiva proporciona una contribución in ductiva a la impedancia de entrada. La explicación de este hecho se obtiene al reconocer primero que Z L/ a 2 no es la impedancia reflejada (referida), si bien a menudo se denomina de manera inexacta mediante ese nombre. La verdadera im pedancia reflejada es infinita en el transformador ideal; de otra manera no podría
"*«« 4
V
512
,-------------
VX/V--------------------------•
\
iWsS¡*ít¡í¡,
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
“cancelar” la impedancia infinita de la inductancia primaria; tal cancelación ocurre en el numerador de la ecuación [24]. L a impedancia Z¿ / a 2 representa un término pequeño que corresponde a la cantidad mediante la que no ocurre una cancelación exacta. L a verdadera impedancia reflejada (referida) en el transformador ideal sí cambia de signo en su parte reactiva; sin embargo, cuando las respectivas inductancias del primario y del secundario se vuelven infinitas, el efecto de la reactan cia infinita de la bobina del primario y de la reactancia reflejada (referida) infinita, pero negativa, de la bobina del secundario se cancela. Por lo tanto, la primera característica importante del transformador ideal es su capacidad para cambiar la magnitud de una impedancia, o para cambiar el nivel de impedancia. Un transformador ideal que tiene 100 vueltas en el primario y 10000 vueltas en el secundario presenta una relación de vueltas de 100U0/100, o 100. Cualquier im pedancia puesta a lo largo del secundario aparece reducida (o referida) en magnitud en las terminales del primario por un factor de 1002 o 10000. Una resistencia de 20000 £2 se observa como de 2 £2, un inductor de 200 mH se mira como 20 /iH , y un capacitor de 100 pF se ve como de 1 ¡iF. Si se intercambian los devanados del primario y del secundario, entonces a = 0.01 y la impedancia de carga al parecer se incrementa en magnitud. En la práctica, este cambio exacto en la magnitud no siempre sucede, pues se debe recordar que al efectuar el último paso en nuestra deducción y dejar que L\ se volviera in finita en la ecuación [25], fue necesario pasar por alto Z ¿, en comparación con jcoL i ■Puesto que L 2 nunca puede ser infinita, resulta evidente que el modelo del transformador ideal será inválido si las impedancias de carga son muy grandes.
Uso de transformadores para el acoplamiento de impedancia Un ejemplo práctico del uso de un transformador con núcleo de hierro como un dis positivo para cambiar el nivel de impedancia se presenta en el acoplamiento de un amplificador de potencia de audio de bulbo de vacío con un sistema de altavoz (bo cinas). Para alcanzar una transferencia de potencia máxima, se sabe que la resisten cia de la carga debe ser igual a la resistencia interna de la fuente; el altavoz o boci na suele tener una magnitud de impedancia (supuesta muchas veces como una resistencia) de sólo unos cuantos ohms, en tanto que el amplificador de potencia por lo común posee una resistencia interna de varios miles de ohms. Así, se requiere un transformador ideal en el que N 2 < 'Vi. Por ejemplo, si la impedancia interna del amplificador (o generador) corresponde a 4 000 í l y la impedancia del altavoz es 8 ST2, entonces se desea que
z„
ZL = 4 0 0 0 = -4-
a —
8
= —
22.4
y, en consecuencia, — = 22.4 N2 Existe una relación simple entre las corrientes del primario y del secundario, respectivamente Ii e L en un transformador ideal. De acuerdo con la ecuación [23], se tiene I2 j coM Il
Z¿ + ja>L2
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
También en este caso se deja que L2 se vuelva infinita, así que se puede concluir que
o I2 = 1 li a
[27]
Por lo tanto, la proporción (o razón) entre las corrientes respectivas del primario y del secundario es la relación (o razón) de número de vueltas. Si se tiene que N 2 > N [, entonces a > 1, de modo que es patente que circula una corriente mayor en el devanado con menor número de vueltas. En otras palabras, ÍVi I j = Af2I 2 Asimismo, debe señalarse que la relación (o razón) de corrientes es e) negativo de la relación de vueltas si cualquier corriente se invierte o se cambia la locali zación de cualquier punto. En el ejemplo en el que se usó un transformador ideal para cambiar el nivel de impedancia a fin de acoplar de manera eficiente un altavoz con un amplifica dor de potencia, una corriente rms de 50 mA a 1 000 Hz en el primario provoca una corriente rms de 1.12 A a 1000 Hz en el secundario. La potencia suministrada al altavoz es igual a (1.12)2(8), o 10 W, y la potencia que el amplificador de po tencia entrega al transformador corresponde a (0.05)24 000, o 10 W. El resultado es reconfortante, pues el transformador ideal no contiene ni un dispositivo activo que pueda generar potencia, ni ninguna resistencia que pueda absorberla.
Uso de transformadores en el ajuste del nivel de tensión Dado que la potencia que se entrega al transformador ideal es idéntica a la suminis trada a la carga, siempre que las corrientes del primario y del secundario se relacio nan por la relación (o razón) de número de vueltas, debe parecer razonable que las tensiones respectivas del primario y del secundario también deban vincularse con esa misma relación. Si se define la tensión del secundario, o tensión de caiga, como V2 = I 2Z L y la tensión del primario como la tensión en L{, entonces
La proporción (razón) de las dos tensiones se vuelve entonces
o
[28]
•
—
513
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
La razón entre la tensión del secundario y la del primario es igual a la relación del número de vueltas. Debe observarse con cuidado que esta ecuación es opuesta a la [27], pues lo anterior es una fuente común de errores en los estudiantes. La razón también puede ser negativa si se invierte alguna tensión, o si se cambia cualquier ubicación de punto. Por lo tanto, al elegir sólo la relación (o razón) de número de vueltas, se puede ahora cambiar cualquier tensión de ca en cualquier otra tensión de ca. Si a > 1, la tensión del secundario será mayor que la del primario, de modo que el artefacto será lo que se denomina por lo general un transform ador elevador. Si a < 1, la tensión del secundario será menor que la del primario, se tendría un transform ador reductor. Las compañías eléctricas casi siempre generan poten cia a una tensión en el intervalo de 12 a 25 kV. Aunque es una tensión bastante grande, las pérdidas de transmisión a largas distancias se reducen a través del au mento del nivel de tensión hasta varios cientos de miles de volts mediante un transformador elevador (figura 13.26a); después dicha tensión se reduce a varias decenas de kilovolts en las subestaciones de distribución de potencia locales, mediante transformadores reductores (figura 13.26b). También se ubican trans formadores reductores adicionales fuera de los edificios, a fin de reducir la ten sión desde la tensión de transmisión hasta el nivel de 110 o 220 V requerido para operar maquinaria (figura 13.26c). Al combinar las relaciones (razones) de corrientes y de tensiones, o sea las ecuaciones [27] y [28], se obtiene V
2I 2 =
V
1I ]
y se observa que los voltamperes del primario y del secundario son iguales. La magnitud de este producto suele especificarse como un valor máximo permisible en los transformadores de potencia. Si la carga tiene un ángulo de fase 9, o sea = \Z L\¿0
(c) ■ F IG U R A 1 3 .2 6 (o ) Transform ador elevador que se utiliza para increm entar la tensión de salida del generador para la transm isión. (b ) Transform ador de subestación em pleado para reducir la tensión desde el nivel de transm isión de 220 kV hasta varias decenas de kilovolts para distribución local, (c) Transform ador reductor que se utiliza para reducir el nivel de tensión de distribución hasta 240 V para consum o eléctrico. Fotos cortesía del Dr. W ade Enright, Te Kura Pukaha Vira O Te W hare Wananga O Waitaha, Aotearoa.
entonces V2 adelanta a I2 en un ángulo 0. Además, la impedancia de entrada es Z t / f l 2, y por ello V i también adelanta a I; por el mismo ángulo 0. Si dejamos que la tensión y la corriente representen valores rms, entonces | V 2 | |I2| cos 0 debe ser igual a |V i| |Ii | cos 9, de modo que toda la potencia entregada en las terminales del primario llega a la carga; el transformador no absorbe ni libera (suministra) ninguna potencia. Las características del transformador ideal, que se determinaron en su totali dad mediante el análisis fasorial, son en verdad válidas en el estado senoidal per manente, pero no hay razón para creer que sean correctas para la respuesta com pleta. En la actualidad, a menudo se aplican y la demostración de que esta afirmación es válida, resulta mucho más simple que el análisis basado en fasores que justamente se acaba de terminar. Sin embargo, el anáfisis sirvió para señalar las aproximaciones específicas que deben hacerse mediante un modelo más exacto de un transformador real, a fin de obtener un transformador ideal. Por ejemplo, se vio que la reactancia del devanado secundario necesita ser mucho mayor en magnitud que la impedancia de cualquier carga que se conecte al se cundario. De ese modo se logra cierta sensación de que se obtienen ciertas con diciones de operación en las que el transformador deja de comportarse como un transformador ideal.
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
*
■ W v
0
EJEMPLO 13.7 En el caso del circuito de la íigura 13,27, determinar la potencia prome dio (activa) que se disipa en la resistencia de 10 kfi. 100 a
-W v 10 kn
50 V rms
■ F IG U R A 1 3 .2 7 ^Circuito de un transformador ideal simple.
La potencia promedio \activa) disipada por la resistencia de 10 k fi es, sim plemente, P = 10000,12|2 La fuente de 50 V rms “percibe” (ve) una impedancia de entrada del trans formador de Z ^ /fl2 o 100 Q. De tal modo, se obtiene 50 I,
100 + 100
= 250 mA rms
A partir de la ecuación [27], I2 = ( \ / a ) \ \ — 25 m A rm s, por lo que se puede ver que la resistencia de 10 k fi disipa 6.25 W.
PRÁCTICA 13.8 Repetir el ejemplo 13.7 utilizando tensiones para calcular la potencia disipada. Respuesta: 6.25 W.
Relaciones de tensión en el dominio del tiempo Ahora se determinará la forma en que se relacionan las cantidades en el dominio del tiempo *v] y u2 en el transformador ideal. Volviendo al circuito de la figura 13.17 y a las ecuaciones [16] y [17] que lo describen, se resolvería la segunda ecuación para d h / d t y se sustituirá en la primera di\
M
M 2 di i
Vl = L l d i + L ¡ V2~ ~ L ¡ ^ Sin embargo, para acoplamiento unitario (k = 1), M 2 = L iL 2, se tiene
Así, la relación entre la tensión del primario y la del secundario se determina al aplicar la respuesta completa en el dominio del tiempo.
En este ejemplo se pasan por alto los ángulos de fase, pues no afectan el cálculo de la potencia promedio (activa) disipada por una carga puramente resistiva.
(
APLICACIÓN P R Á C T IC /Q
El transformador superconductor (o supraconductor) En casi todos los casos, se pasan por alto los diversos tipos de pérdidas que pueden presentarse en un transformador particular. Sin embargo, cuando se trabaja con grandes transformadores de potencia se requiere prestar gran aten ción a estas pérdidas, a pesar de eficiencias totales que, por lo genera], llegan a 97% o más. Si bien esta gran eficiencia puede considerarse como un valor casi ideal, quizá repre sente una gran cantidad de energía desperdiciada cuando el transformador maneja varios miles de amperes de corrien te. Las llamadas pérdidas ?R (pronunciado “i cuadrada/?”) representan potencia disipada como calor, las cuales pue den incrementar la temperatura de las bobinas de los trans formadores. La resistencia del alambre aumenta con la temperatura, por lo que el calentamiento sólo conduce a la obtención de pérdidas mayores. Además, las altas tem peraturas producen la degradación del aislamiento del alambre, lo cual da lugar a una vida de servicio más corta del transformador. En consecuencia, muchos transforma dores de potencia modernos utilizan un baño de aceite lí quido que elimina el exceso de calor de sus bobinas; sin embargo, este procedimiento tiene varias desventajas en las que se incluyen el impacto ambiental y el peligro de in cendio por derramamiento de aceite como resultado de la corrosión con el tiempo (figura 13.28). Un medio factible para mejorar el desempeño de estos artefactos consiste en utilizar alambre superconductor para sustituir las bobinas resistivas de un diseño de trans formador normal. Los superconductores son materiales que resisten altas temperaturas, pero que de repente no muestran resistencia al flujo de comente, una vez que se alcanza una temperatura crítica. En el caso de la mayor
■ FIGURA 13.28 Incendio que sucedió en el año 2004 en la subestación de energía eléctrica estadounidense de 340 000 V cerca de Mishawaka, Indiana. © AP/Wide World Photos
Una expresión que relaciona la com ente del primario y la del secundario en el dominio del tiempo se obtiene con mayor facilidad dividiendo la ecuación [16] entre ¿ i, Di
di 1
M
d i2
di\
di2
L\
dt
L\
dt
dt
dt
Para recurrir luego a una de las hipótesis implícitas en el transformador ideal: L\ debe ser infinita. Si se supone que i>i no es infinita, entonces di i —
dt
=
- a
d i2 — dt
Integrando, se tiene
ii = —aÍ2 + A
parte de los elementos, tal temperatura crítica es sólo unos cuantos grados superior al cero absoluto, de modo que se requiere de enfriamiento criogénico muy costoso basado en helio líquido. Sin embargo, con el descubrimiento en los ochenta de los superconductores cerámicos que tienen temperaturas críticas del orden de 90 K (—183°C) y más elevadas, fue posible sustituir el equipo criogénico basado en helio por sistemas de nitrógeno líquido. La figura 13.29 muestra el prototipo de un transfor mador superconductor con núcleo parcial desarrollado en la Universidad de Canterbury. Este diseño emplea ni trógeno líquido, elemento que es benigno para el medio ambiente, en lugar de un baño de aceite, y es significati vamente menor que un transformador convencional de la misma capacidad. El resultado es una mejora medible de la eficiencia total del transformador, la cual se traduce en un ahorro operativo sustancial para el propietario. A pesar de lo anterior, todos los diseños tienen des ventajas que deben com pararse con las ventajas que ofrecen, y los diseños de transformador superconductor no son una excepción a la regla. Por ahora, el obstáculo más importante es el costo reladvam ente alto de fabricar varios kilómetros de alambre superconductor, compara do con el costo del alambre de cobre. Parte de ello se de be al gran reto que representa la fabricación de alambre superconductor a partir de materiales cerámicos, pero parte también es debida al entubado de plata que se uti liza para rodear al superconductor a fin de ofrecer una trayectoria de baja resistencia a la corriente en caso de que el sistema de enfriamiento falle (aunque menos ca ro que la plata, el cobre reacciona con la cerámica y, por lo tanto, no es una alternativa viable). El resultado neto es que, si bien tal vez un transformador superconductor
H F IG U R A 1 3 .2 9 Transformador prototipo de potencia supercondudora de núcleo parcial de 15 kVA.
Fotografía cortesía del Departamento de Ingeniería Eléctrica y en Computación, Universidad de Canterbury.
ahorre dinero a una empresa eléctrica durante mucho tiempo — la gran mayoría de los transformadores supe ran los 30 años de servicio— , el costo inicial es mucho más alto que el correspondiente a un transformador re sistivo tradicional. En la actualidad, muchas compañías (incluso las empresas de electricidad) se manejan por consideraciones de costos a corto plazo, y no siempre están ansiosas por invertir enormes capitales cuyos be neficios sólo se logren a largo plazo.
donde A es una constante de integración que no varía con el tiempo. De tal modo, si se pasa por alto toda la corriente directa en ambos devanados y se en foca la atención sólo en la paite variable en el tiempo de la respuesta, entonces i\ = - a i 2 El signo negativo se debe a la ubicación de los puntos y a la selección de las di recciones de com ente en la figura 13.17. En consecuencia, se obtienen las mismas relaciones (razones) de corrientes y de tensiones en el dominio del tiempo que las determinadas antes en el dominio de la frecuencia, siempre que se pasen por alto las componentes de cd. Los re sultados en el dominio del tiempo son más generales, aunque se obtuvieron me diante un proceso menos informativo. Se podrían utilizar las características establecidas del transformador ideal para simplificar circuitos en los que aparecen transformadores ideales. Suponer, con fines ilustrativos, que todo lo que se encuentra a la izquierda de las terminales
A /W
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
del primario se sustituyó por su equivalente de Thévenin. al igual que en la red a la derecha de las terminales del secundario. Por lo tanto, se considera el cir cuito de la figura 13.30. Se supone una excitación a cualquier frecuencia de pul sación (o angular) co.
■ F IG U R A 1 3 .3 0 Las redes conectadas a las term inales del prim ario y del secundario de un transform ador ideal se representan p o r sus equivalentes de Thévenin.
Circuitos equivalentes Ahora se podrían utilizar los teoremas de Thévenin o de Norton para conseguir un circuito equivalente que no contenga un transformador. Por ejemplo, se de terminará el equivalente de Thévenin de la red de la izquierda de las terminales del secundario. Al poner en circuito abierto el secundario, I 2 = 0 y por ello I] — 0 (recuerde que L \ es infinita). No aparece tensión en Z g\, y por lo tanto, V] = Vsi y Y 2 oc = aV vi. La impedancia de Thévenin se obtiene si se elimina Vil y se utiliza el cuadrado de la relación de número de vueltas, teniendo cuidado al utilizar el recíproco de la relación de vueltas, pues se observa hacia el interior de las terminales del secundario. En consecuencia, Z * 2 = Z ¡;ía 2. Como una verificación del equivalente, se determinará la comente en el se cundario en cortocircuito 12sc- Con el secundario en cortocircuito, el generador del primario encara una impedancia de Z,;1, y por consiguiente li = V s 1/ Z g 1 . Así, I 2 sc ~ V íi/flZgi-La proporción o razón entre la tensión en circuito abierto y la co rriente en cortocircuito es, a2Z g\, como debe ser. El equivalente de Thévenin del transformador y el circuito primario se muestran en el circuito de la figura 13.31.
■ F IG U R A 1 3 .3 1 El equivalente de Thévenin de la red que está a la izquierda de las term inales del secundario en la figura 13,30 se utiliza para sim plificar ese circuito.
Entonces, cada tensión del primario se debería multiplicar por la relación de número de vueltas, cada com ente del primario dividirse entre esta misma rela ción y cada impedancia del primario multiplicarse por el cuadrado de ella; des pués, estas tensiones, com entes e impedancias modificadas sustituyen a las ten siones, com entes e impedancias dadas, más el transformador. Si se intercambia cualquier punto, el equivalente se obtiene mediante el negativo de la relación (o razón) del número de vueltas.
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
A /W
*
Observar que esta equivalencia, como se ilustra en la figura 13.31, sólo es po sible si la red se conecta a las terminales del primario, y las que están conectadas a las terminales del secundario pueden sustituirse por sus equivalentes de Théve nin. Esto es, cada una debe ser una red de dos terminales. Por ejemplo, si se cor tan los dos hilos de conexión del primario en el transformador, el circuito debe di vidirse en dos redes independientes; no es posible que haya un elemento de red que establezca un vínculo en el transformador entre el primario y el secundario. Un análisis similar del transformador y de la red secundaria muestra que se podría reemplazar todo lo que está a la derecha de las terminales del primario por una red idéntica sin el transformador. Para ello se debe dividir cada tensión entre a, multiplicar cada corriente por a y dividir cada impedancia entre a2. Una inver sión de cualquier devanado requiere el uso de una relación de vueltas de —a .
EJEMPLO 13.8 En el circuito de la figura 13.32, determinar el circuito equivalente en el que se sustituyen el transformador y el circuito del secundario, así como en el que se sustituyen el transformador y el circuito del primario.
100 í l
10 k í l
5 0 V rm s
■ F IG U R A 1 3 .3 2 Circuito simple en el que la carga resistiva se acopla con la impedancia de la fuente mediante un transformador ideal.
Este es el mismo circuito analizado en el ejemplo 13.7. Como antes, la im pedancia de entrada es 10000/(10)2, o 100 £2 y por ello |li] = 250 mA rms. También se calcula la tensión en la bobina del primario:
50 V rms
|V i| = |50 — 100Ii¡ = 25 V rms y de ese modo se determina que la fuente entrega (25 x 10_3)(50) = 12.5 W, de los cuales (25 x 10_3)2(100) = 6.25 W se disipan en la resistencia interna de la fuente y 12.5 — 6.25 = 6.25 W se entregan a la carga. Ésta es la condi ción para la transferencia de potencia máxima a la carga. Si se eliminan el circuito del secundario y el transformador ideal mediante el uso del equivalente de Thévenin, la fuente de 50 V y la resistencia de 100 Q ven sólo una impedancia de 100 O. De este modo se obtiene el cir cuito simplificado de la figura 13.33a. En estas condiciones, la corriente y la tensión del primario resultan de inmediato evidentes. Si, en lugar de eso, la red de la izquierda de las terminales del secundario se reemplaza por su equivalente de Thévenin. se encuentra que (teniendo pre sente la ubicación de los puntos) \ th = —10(50) = —500 V rms, y Z th = (—10)2(100) = 10 k£2; el circuito resultante se presenta en la figura 1333b.
10 k f t ¡
-Vl/Vr— 1 I -500 V rms ( - v )
10 kíl < V2
I
“
(¿) i F IG U R A 1 3 .3 3 El circuito de la figura 13.32 se simplifica mediante la sustitución de: (a) el transformador y el circuito del secundario por el equivalente de Thévenin, o (b) el transformador y el circuito del primario por el equivalente de Thévenin.
520 J------ W V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
PRACTICA 13.9 Sea N\ =j 1 000 vueltas y N2 = 5 000 vueltas en el transformador ideal de la figura 13.34. Si Z¿ = 500 — j'400 £2, determinar la potencia promedio (activa) que se entrega a Z¿ para: (a) l 2 — 1.4/20° A rms; (b) V2 = 900/40" V rms; (c) V, = 80/100° V mis; (d) I, = 6 /45° A rms; (e) V, = 2 0 0 /0 : V rms.
ion
N { :N 2
^
+ ,©
V,
: F IG U R A 1 3 .3 4
Respuestas: 980 W; 988 W; 195.1 W; 720 W; 692 W.
RESUMEN Y REPASO La inductancia mutua describe la tensión inducida en los extremos de una bobina debida al campo magnético generado por una segunda bobina. La convención del punto permite asignar un signo al término de la induc tancia mutua. De acuerdo con la convención del punto, una corriente que entra a la termi nal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la terminal con punto de la segunda bobina. La energía total almacenada en un par de bobinas acopladas incluye tres términos independientes: las dos energías almacenadas en cada una de las autoinductancias representada por el término (|Z.¿2) en cada caso y la energía almacenada en la inductancia mutua (M ii ¿2 ). El coeficiente de acoplamiento está dado por k — M /- J L \L 2 , y se restringe a valores entre 0 y 1. Un transformador lineal consta de dos bobinas acopladas: el devanado pri mario y el devanado secundario. Un transformador ideal es un modelo útil de los transformadores prácticos con núcleo de hierro. El coeficiente de acoplamiento k se considera unitario y se supone que los valores de inductancia serán infinitos. La relación (o razón) del número de vueltas a — N 2 / N 1 de un transfor mador ideal se relaciona con las tensiones respectivas de la bobina del pri mario y la del secundario: \ 2 — «V i. La relación (o razón) del número de vueltas (a) relaciona también las corrientes en las bobinas respectivas del primario y del secundario: l i = a l2.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Casi todo lo que se desea saber acerca de los transformadores puede encontrarse en:
M. Heathcote, J&P Transformer Book, 12a ed. Oxford: Reed Educational and Professional Publishing Ltd., 1998.
EJERCICIOS
Otro título muy completo acerca de transformadores es:
W.T. McLyman, Transformer and Inductor Design Handbook, 3a. ed. Nueva York: Marcel Dekker,2004. Un buen libro acerca de transformadores con un fuerte enfoque económico es
B.K. Kennedy, Energy Efficient Transformen. Nueva York: McGraw-Hill, 1998.
EJERCICIOS_______________________________ 13.1 Inductancia mutua 1. Considerar el circuito de la figura 13.35. Si i\ (?) = 400 cos 12()nt A y el valor máximo de v¡¡(t) es 100 V, ¿cuál es el valor de la inductancia mutua que enlaza U y ¿ 2?
■ F IG U R A 1 3 .3 5
Si en el circuito de la figura 1 3 . 3 6 , la tensión v¡ (?) se sabe que es 1 1 5 V 2 c o s ( 1 2 0 j t í — 1 6 ° ) V, ¿cuál es el valor de la inductancia mutua que enlaza los dos inductores L\ y Lp. 3 . En la figura 1 3 .3 7 se muestra la construcción física de tres pares de bobinas acopladas. Señálense las dos diferentes ubicaciones posibles de los dos puntos en cada par de bobinas. 2.
-o
1
-o
(a)
ib)
ic)
I F IG U R A 13 .37
4. Los dos inductores acoplados de la figura 13.38 están conectados en un circuito donde las tensiones y corrientes están como se muestra. L¡ = I H, Li = 3 H, y M = 0.5 H. Si 11 = 30 sen 80í A e i2 = 30 cos 80í A, calcular: (a) uj; (b) V2 -
AA/V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
5. Los dos inductores acoplados de la figura 13.39 están conectados en un circuito con las tensiones y corrientes que se muestran, L \ = 2 2 /xH, ¿ 2 = 15 /xH, y M = 5 /xH. Si ¡ i = 3 cos 800í nA e ¿2 = 2 cos 800í nA, calcular: (a) i>i; (Z?) D2•
+ Vi
a F IG U R A 1 3 .3 9
6 . Con relación a la figura 13.40, suponer que ui = 5e ' V y D2 = 3e~2í V. Si L¡ = L 2 = 8 H yA Í = 0.4 H, determinar: (a) d i i / d t ; ib) d i 2/ d í ; (c) /'1<"/) si no hay energía almacenada en 1 = 0 .
M
■Li
v2
I F IG U R A 1 3 .4 0
M
|X ~X |
7. En la figura 13.41, suponer que v j = 2e ! V y 1)2 = 4e~3í V. Si = L 2 = 2 mH y Ai = 1.5 mH, determinar: (a) d i \ / d f , (tí) d i j / d f , (c) ¿2(í) si no hay energía almace nada en í = 0 . 8. Determinar vil) para cada red de la figura 13.42, si / = 50 Hz. 0.4 H
I F IG U R A 13.41
4
a
4 íí
I FIG U RA 13.42
0.4 H
EJERCICIOS
9. En el circuito que se presenta en la figura 13.43, determinar la potencia promedio (activa) que absorbe: (a) la fuente; (b) cada una de las dos resistencias; (c) cada una de las dos inductancias; (d) la inductancia mutua.
■ F IG U R A 1 3 .4 3
10. Sean isj (í) = At A e h iit) = 101 A en el circuito de la figura 13.44. Determinar: (a); (b) ucg; (c) dbg-
11. (a) Obtener la red equivalente de Thévenin que encara la resistencia de 2 k ñ en el circuito del ejercicio 9. (tí) ¿Cuál es la potencia promedio (activa; máxima que se extrae de la red mediante un valor óptimo de Zi (en lugar de 2 kfi)? 12. En el circuito de la figura 13.45, calcular las corrientes i\(t), Í2(t), e h ( t ) si / = 50 Hz. io n
13. Determinar la expresión de ic(t) válida para t > 0 en el circuito de la figura 13.46, si vs(t) = 10t2u (t)/(t2 + 0.01) V.
■ FIG U R A 13.46
•
AA/V
0
524
A A /V
-9
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
14. (a) Para la red de la figura 13.47a, escribir dos ecuaciones donde v a (t) y vg(t) sean funciones de i\(t) e i2(t). (b) Escribir las dos ecuaciones donde Vi (jco) y V2 (jco) están en función de Ia (jco) e Ib (jco) en la red de la figura 13.47/?. 15. Observar que no hay acoplamiento mutuo entre los inductores de 5 y 6 H en el cir cuito de la figura 13.48. (a) Escribir un conjunto de ecuaciones en términos de Il (jco), I2 íjco), e l 3 (jco). (b) Calcular I3(jco) si to = 2 rad/s.
LB M
4 íl
4H
(a)
M
16. Calcular Vi (y
F IG U R A 1 3 .4 7
I. o— W v — + \1 L\
M
-W S /— R-,
A 0
ib)
1 j F IG U R A 1 3 .4 9
17. (a) Encontrar Zent (jai) en la red de la figura 13.50. (b) Graficar Zent sobre el inter valo de frecuencia de pulsación 0 < 10 < 1000 rad/s. (c) Determinar Zent (/*>) Paríl új = 50 rad/s. 18. Consultar el circuito de la figura 13.51. ¿Qué valor de Mprovocará que se entregue exactamente una potencia promedio (activa) de 3.2 W al altavoz (bocina) de bajos de 8 fi, a una frecuencia de audio de 160 Hz?
9 FIG U RA 13.51
AA/V
EJERCICIOS
19. Sean í'si — 2 cos 10/ A e i S2 = 1.2 cos 10/ A en la figura 13.52. Calcular: (a) v\(t); (b ) i>2(t)\{c) la potencia promedio (activa) que suministra cada fuente. 0.2 H
}h2 8H -vJUUL/
120 cos a>t V ( 20. Es posible arreglar tres bobinas de manera que se tenga un acoplamiento mutuo entre las bobinas A y B y entre B y C, pero no entre A y C. Dicho arreglo se muestra en la figura 13.53. Encontrar v(t). 21. Obtener I¿ en el circuito que se indica en la figura 13.54. h
■ F IG U R A 1 3 .5 4
13.2 Consideraciones energéticas 22. Sea is = 2 cos 10/ A en el circuito de la figura 13.55. Determinar la energía total al macenada en t = 0 si: (a) a-b está en circuito abierto como se muestra; (tí) a-b está en cortocircuito.
■ F IG U R A 1 3 .5 5
23. Sea V s = 12/0° V rms en el transformador lineal de la figura 13.56. Con a> = 100 rad/s, encontrar la potencia promedio (activa) que suministra la resistencia de 24 fi! como una función de k. 60
24. Dos bobinas acopladas mutuamente, para las cuales L \ = 2 /¿H, ¿2 = 80 ¡i H, y k = 1 tiene una carga deZ¿ = 2 + j'10£2 conectada entre las terminales de L¿. Calcular Zent en las terminales de L\ si c d = 250 krad/s.
J 5H -n rw 6H
: F IG U R A 1 3 .5 3
0
AA/V
CAPITULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
25. Sea co = 100 rad/s en el circuito de la figura 13.57. Calcular la potencia promedio (activa): (a) entregada a la carga de 10 ñ ; (b ) entregada a la carga de 20 ñ ; (c) ge nerada por la fuente. _____________kx = 0.5_____________
1
fe lH
•io n
1H 3
g lH
■
100 V rms © 20 fi
k2= 0.2 F IG U R A 1 3 .5 7 k = 0.4
h
26. En el caso de las bobinas acopladas que se muestran en la figura 13.58, sean í! (í) = A e 10 A e ¿3 (r) = 5e~‘/s A. Determinar: (a) M; (b ) ¿2(/); (c) la energía total almacenada en el sistema, en t = 0 . 27. Sea co = 1000 rad/s en el circuito de la figura 13.59, obtener el valor de la propor ción V2/Vj si: (a) ¿ i = l mH, ¿2 = 25 mH, y k = 1; (b) L\ = 1 H, ¿2 = 25 H, y k = 0.99; (c) Lj = 1 H, L 2 = 25 H, y k = 1.
■ F IG U R A 1 3 .5 8
28. (a) Un puente de inductancia usado en las bobinas acopladas de la figura 13.60 mide los siguientes valores en condiciones de cortocircuito y de circuito abierto: Lab.cd= o c = 10 mH, Lcd,ab= oc = 5 mH, L ab,cd= s c = 8 mH. Encontrará (b) Suponiendo puntos en A y D, con i\ = 5 A, ¿qué valor debe tener i2 para que se almacenen 100 mJ en el sistema? i|
B
o----------------1
h
1--------------- o D
■ F IG U R A 1 3 .6 0
29. En el circuito que se muestra en la figura 13.61, / = 60 Hz. Calcular Y 2 como una función de k y graficar | V2I en función de k. 50 fi
■ FIG U RA 13.61
k
EJERCICIOS
30. Si ¿i = 2 cos 500f A en la red de la figura 13.62, calcular el valor de la energía má xima almacenada en la red.
13.3 Ei transformador lineal 31. Se sabe que la impedancia de la carga del circuito de la figura 13.63 es de 7/32° a una frecuencia de operación de 50 Hz. La inductancia mutua que enlaza las bobinas del primario y del secundario tiene un valor de 800 nH. Calcular: (a) la impedancia reflejada o referida y (b ) la impedancia de entrada vista por Vs.
32. Si el circuito de la figura 13.64 opera a 60 Hz y Re{Z¿} = 2 fi, ¿qué reactancia se requiere que tenga Z¿ para que la impedancia reflejada (referida) sea igual a Zu cuando M = 1 mH? (¿n = Ri + j c o L i ).
33. Las redes de la figura 13.65 son equivalentes. Calcular los valores de L\, Li, y M. a o ---------- n
-nrw -------- o c
rw -
4H
M
4o-
-o C
6H
'-M
5H ■ B O-
-O D
-<3 D
Bo
(b)
fa)
I F IG U R A 1 3 .6 5
34. ¿Qué valores de L z , L y, y L 3 se requieren si se desea que las dos redes de la figura 13.66 sean equivalentes?
-^Tnrr1-------o c
a o-
200 mH 300 m H a
B
o-
-o O
(«> I FIG U RA 13.66
80
-o C
S 500 m H
-o D
-
(b)
• ------------------ V
W
--------- ( 527
528 --------- V W
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
35. Encontrar la inductancia equivalente vista en las terminales 1 y 2 en la red de la figura 13.67 si las siguientes terminales se conectan entre sí: (a) ninguna; (b) A con B; (c) B con C; (d) A con C. 36. Observar la figura 13.68 y: (a) utilizar el equivalente T como ayuda para encontrar la relación I i( ja > ) / V s(ja>). (b) Sea vs(t) = 100u(t) V y calcular ii(t). [Sugeren cia: tal vez se deseen escribir las dos ecuaciones diferenciales del circuito, como ayuda para determinar diL/d t en f = 0+ .]
LH
■ F IG U R A 1 3 .6 8
37. Determinar los equivalentes en T de ambas posiciones de punto en un transfor mador lineal sin pérdidas, para el que L \ = 4 mH, ¿,2 = 18 mH, y M = 8 mH. Uti lizar las T para encontrar las tres inductancias de entrada equivalentes obtenidas cuando el secundario está: (a) en circuito abierto; (b) en cortocircuito; (c) conectado en paralelo con el primario. 38. Determinar H (jai) = V,,/Vv en el circuito de la figura 13.69.
I F IG U R A 1 3 .6 9
39. Utilizar el equivalente en T como ayuda a fin de determinar la impedancia de en trada Z(ja>) de la red que se muestra en la figura 13.70. 40. Sea Vs = I00/0" V rms y a>= 100 rad/s en el circuito de la figura 13.71. Obtener el equivalente de Thévenin de la red: (a) de la derecha de las terminales de a y b; (b) de la izquierda de las terminales c y d.
------------- 1 1H • X X• 2H «
i 3H •ion
Z {jt o )
2H • X X• 4H«
I F IG U R A 1 3 .7 0
“ 5H
■ F IG U R A 13.71
41. Una carga ZL se conecta al secundario de un transformador lineal que se caracteriza por las inductancias L\ = 1 H y L 2 = 4 H así como por un coeficiente de acoplamiento unitario o>= I 000 rad/s, encontrar la red en serie equivalente (valores de R,L, y Q vista en las terminales de entrada, si Z/ se representa mediante: (a) 100 fi; (b) 0 1 H; (c) 10 ¡xF. 42. Un transformador lineal tiene L\ = 6 H, L 2 = 12 H, y M = 5 H. Calcular los ocho valores diferentes de Lent que se obtienen mediante los ocho diferentes métodos po sibles con los que se determina una red de dos terminales (inductancias simples, combinaciones en serie y en paralelo, transformadores en cortocircuito, varias com binaciones en serie y en paralelo, transformadores en cortocircuito, varias combina ciones de punto). Mostrar cada red y encontrar su L ent.
EJERCICIOS
• ------------------ W
V --------- { 529
Q L 43. En el circuito de la figura 13.72, considerar que Z¿ es un capacitor de 100 i¿P con 20 fl k 2 0. — ‘ una impedancia de —y'31.83 £2. Calcular Z ent cuando k = (a) 0; (b) 0.5; (c) 0.9; o------V W ------ f* ^ ----- VW ~ (d) 1. Verificar mediante simulaciones de PSpice. C]3^44. Repetir el ejercicio 41 si L\ se incrementa hasta 125 H, L2 aumenta hasta 20 H, y M z in — *100 mH g 25 mH crece de manera que k = 1. Verificar con una simulación de PSpice. 13.4
El t r a n s fo r m a d o r id e a l
45. Calcular la potencia promedio que se entrega a cada uno de las cuatro resistencias del circuito de la figura 13.73. Verificar con una simulación de PSpice.
■ F IG U R A 1 3 .7 2
■ F IG U R A 1 3 .7 3
46.
(a) ¿Cuál es el valor máximo de la potencia promedio (activa) que se suministra a Ri, en el circuito de la figura 13.74? (b) Sea R l = 100 íí y conectar una resistencia de 40 íl entre las terminales superiores del primario y del secundario. Determinar PL.
■ F IG U R A 1 3 .7 4
47.
Indicar la potencia promedio (activa) que se entrega a la carga de 8 £2 en el circuito de la figura 13.75, si c es igual a: (a) 0; (b) 0.04 S; (c) —0.04 S. 300 íl
— VW 100 V rms ©
5:1
^
I F IG U R A 1 3 .7 5
48. Determinar el equivalente de Thévenin en las terminales a y b de la red que se pre sentó en la figura 13.76.
W FIG U R A 13.76
v w
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
49. Elegir los valores de a y b en el circuito de la figura 13.77, de manera que la fuente ideal suministre 1 000 W, la mitad de los cuales se entregan a la carga de 100 Í2.
50. En el circuito de la figura 13.78, determinar: (a ) l i ; (b ) fc; (c) I 3 ; (d) ( / ) Pin-
P isa ', (e) P i q \
51. Calcular V2 en el circuito de la figura 13.79.
60 ¿ T V
F IG U R A 1 3 .7 9
52. Encontrar la potencia activa que se está disipando en cada resistencia del circuito de la figura 13.80. 1a
3 FIG URA 13.80
1:
1:5
EJERCICIOS
• -------------------------
53. Obtener Ix en el circuito de la figura 13.81.
W v ------------- ( 531 io n — V W -
B
50 so n — W v — 11
i -h a c ia
4
54. (a) Encontrar la potencia promedio (activa) entregada a cada resistencia de 10 Í2 en el circuito de la figura 13.82. (b) Repetir el ejercicio después de conectar A con C y B con D. 55. Mostrar la forma en que se pueden utilizar dos transformadores ideales para acoplar un generador, con una impedancia de salida de 4 + jO k íl a una carga que consiste en un altavoz (bocina) de 8 W y uno de 10 W de modo que el primero reciba el doble de la potencia promedio (activa) que se suministra al segundo. Dibujar un esquema de circuito adecuado y especificar las relaciones (razones) de número de vuelta requeridas. -56. Un transformador cuya placa indica |2 300/230 V, 25 kVA | opera con tensiones del primario y del secundario de 2 300 V y 230 V rms, respectivamente; además, sumi nistra 25 kVA a partir de su devanado secundario. Si este transformador se alimenta con 2 300 V rms y se conecta a cargas secundarias que requieren 8 kW a un FP uni tario, y 15 kVA a un FP de 0.8 retrasado, (a) ¿cuál es al corriente del primario? 0b) ¿Cuántos kilowatts sigue suministrando el transformador a una carga que opera a un FP de 0.95 retrasado? (c) Verificar sus respuestas con PSpice. 57. Entrada la noche, un anuncio de televisión vende un dispositivo por 19.95 dólares que medirá su coeficiente intelectual. En un momento de debilidad, toma el teléfono y realiza el pedido; de 4 a 6 semanas más tarde, llega su compra y se le indica girar un botón marcado RH hasta su altura (en cm), un botón marcado Rm hasta su masa (en kg) y un tercer botón R,\ hasta su edad (en años). Enojado por el número que se indica en el exhibidor del aparato, lo lanza por la habitación y el panel posterior se desprende, revelando el esquema de la figura 13.83. Observar que los cm, los kg y los años corresponden a ohms y que la potencia medida por el wattímetro en mW se exhibe como el coeficiente intelectual, (a) ¿Cuál sería el CI que predeciría para el compañero de cuarto? (b) ¿Cuáles son las características del individuo que mostraría el CI más alto? (c) ¿Cuánto dinero se ha perdido? 24:1
0
58. La compañía donde trabaja le pide que viaje desde Fresno, California, donde la po tencia eléctrica se suministra como 120 V rms, 60 Hz, hasta Rostock, Alemania (donde el suministro corresponde a 240 V rms, 50 Hz), durante 6 semanas para con tribuir a poner en marcha una nueva instalación para la fabricación de semiconduc tores. Por suerte su laptop se conecta a tomas de corriente en cualquier país, siempre que usted cuente con un adaptador del enchufe. Sin embargo, su quemador de CD
1¿(f_ A rms |
-v 000r-
3 :hacia
1
"— w v — so n
— W V
io n
F IG U R A 1 3 .8 2
—1
532
-------------W
1 F IG U R A 1 3 .8 4
V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
extemo sólo funciona a 120 V ca. Diseñar un circuito que le permita utilizar su que mador de CD en Alemania, suponiendo que sólo operará a 50 Hz. (Por lo común, los transformadores que se diseñan para utilizarse sólo a 60 Hz tienen un núcleo de hie rro de menor peso que los que se diseñan para 50 Hz, por lo que quizá se sobreca lentarán a 50 Hz. Muchos transformadores, sin embargo, se especifican a 50/60 Hz.) 59. Como primera tarea en un nuevo trabajo, se le pide diseñar un circuito que permita utilizar en Australia un criocompresor de helio diseñado en Estados Unidos. Tal aparato consta de tres motores trifásicos que demandan 10 A rms por fase, a una tensión de línea de 208 V. La única potencia trifásica disponible en Australia es de 400 V rms. Diseñar el circuito necesario. 60. La red de la figura 13.84 tiene la inusual propiedad de sólo permitir que pasen hacia la derecha tensiones positivas v(t); los valores negativos dan como resultado v„(t) = 0. (a) Si sc requiere que una tensión de salida va (t) tenga una tensión máxima de 5 V, diseñar un circuito apropiado utilizando un suministro de 115 V rms y la red de la figura 13.84. Graficar la salida del dispositivo diseñado, (b) Si se desea una salida “más uniforme” (es decir, con menor “rizo”), sugerir una modifi cación al diseño.
INTRODUCCION
Frecuencia neperiana.
El lector se encuentra a punto de iniciar la cuarta parte fundamental del estudio del análisis de circuitos: la explicación del concepto de
Frecuencia compleja.
frecuencia compleja. Este tema constituye un notable concepto unificador que permitirá integrar en un solo paquete todas las técnicas
Transformada de Laplace.
analíticas formuladas antes. El análisis de circuitos resistivos, el análisis senoidal de estado permanente, el análisis transitorio, la res puesta forzada, la respuesta completa y el análisis de circuitos exci
Uso de tablas de transformadas.
tados por funciones exponenciales forzadas y funciones senoidales forzadas amortiguadas exponencialmente se convertirán en su tota
Método de los residuos.
lidad en casos especiales de las técnicas generales del análisis de circuitos que se asocian con el concepto de frecuencia compleja. Un método utilizado muy a menudo para encarar este tema es ini
Utilización de MATLAB para manipular polinomios.
ciar inmediatamente el estudio de la integral de la transformada de Fourier, pero este enfoque no contiene ningún sentido de compren sión o intuición real. Por ende, se analizará en primera instancia el
Utilización de MATLAB para determinar residuos de fracciones racionales.
concepto básico de la frecuencia compleja y su relevancia en el análi sis de circuitos. A partir de ello se presentará la transformada de La-
Teorema del valor inicial.
place como una forma de analizar circuitos que contengan fuentes de pendientes del tiempo más genéricas, se aprenderá cómo llevar a cabo transformaciones inversas a fin de obtener respuestas en el do minio del tiempo y se considerarán algunos teoremas especiales que pueden utilizar las propiedades clave de funciones en el dominio de la frecuencia. Dichas técnicas se ampliarán en el capítulo 15 y abarcarán una amplia gama de análisis de situaciones dadas o consideradas.
14.1
FRECUENCIA COMPLEJA
-------- • -----------------------------------------------Se presenta la noción de frecuencia compleja considerando una fun ción senoidal amortiguada exponencialmente, tal como la tensión
v(t) = Vmeat cos (cot + 6)
Teorema del valor final.
0
^wv
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
donde o (sigma) es una cantidad real y casi siempre negativa. Aunque se hace re ferencia a menudo a esta función como “amortiguada”, tal vez la amplitud senoidal puede aumentar, lo cual ocurre si a > 0; sin embargo, el caso más práctico es el de la función amortiguada. El estudio de la respuesta natural de un circuito RLC tam bién indica que a es el negativo del coeficiente de amortiguamiento exponencial. Se podría construir una tensión constante a partir de la ecuación [1] si o = co =
0:
v(t) = Vm cos 9 —
Vo
[2]
Si sólo se iguala a a cero, se obtiene una tensión senoidal general v (t) = Vm cos(cwf +
9)
[3]
y si w = 0, se tiene la tensión exponencial ü(f) = Vm cos9 e °‘ = V0e
[4]
Por lo tanto, la senoide amortiguada de la ecuación [1] incluye como casos espe ciales la función de cd de la ecuación [2], la senoidal de la ecuación [3] y la ex ponencial de la ecuación [4], Se logra un conocimiento adicional de la importancia de a al comparar la función exponencial de la función [4] con la representación compleja de la fun ción senoidal con un ángulo de fase de cero grados: v(t) =
El neper se nombró de esa manera en honor del filósofo y matemático escocés John Napier (15501617) y de su sistema logarítmico; la ortografía de su nombre es históricamente incierta (vea, por ejem plo, H.A. Wheeler, IRE Transactions on Circuit
Theory 2, 1955, p. 219).
[5]
Resulta evidente que ambas funciones, ecuaciones [4] y [5], tienen mucho en común. La única diferencia es que el exponente de la ecuación [4] es real y el de la ecuación [5] imaginario. La similitud entre las dos funciones se remarca al describir a a como una “frecuencia”, lo cual es una elección de terminología que se explicará en detalle en las secciones siguientes, aunque por ahora sólo es necesario señalar que o se denomina de manera específica la parte real de la fre cuencia compleja; sin embargo, no debe denominarse “frecuencia real”, pues es un término más adecuado para / (o, con menor rigor, para oo). Se hará referen cia también a a como \&frecuencia neperiana, nombre que resulta de la unidad dimensional del exponente de e. De tal manera, dada e7t, las dimensiones de 7f son nepers (Np), y 7 es la frecuencia neperiana en nepers por segundo.
Forma general La respuesta forzada de una red a una función forzada general con la forma de la ecuación [1] se obtiene de manera muy simple a través de un método casi idéntico al que se utiliza en el análisis basado en fasores. Una vez que se puede determinar la respuesta forzada a esta senoide amortiguada, se debe reconocer que también se requiere obtener la respuesta forzada ante una tensión de cd, una tensión exponen cial y una tensión senoidal. Se verá ahora cómo es posible considerar a y co como las partes real e imaginaria respectivamente de una frecuencia compleja. Se proporcionará primero una definición puramente matemática de frecuen cia compleja y luego se desarrollará en forma gradual una interpretación física, a medida que se avance en el capítulo. Se sugiere que cualquier función que pudiera escribirse en la forma m
= K e st
[6]
donde K y s son constantes complejas (independientes del tiempo) se caracterice por In frecuencia compleja s; por lo tanto, ésta simplemente es el factor que
SECCIÓN 14.1 FRECUENCIA COMPLEJA
0
»
multiplica t en dicha representación exponencial compleja. Hasta que se pueda determinar por inspección la frecuencia compleja de una función dada, se re quiere escribir la función en la forma de la ecuación [6].
El caso de cd Se podría aplicar, primero, esta definición a las funcionesTtprzadas más familia res. Por ejemplo, una tensión constante v(t) - V0 se debería escribir en la forma ^ ,Liij(t) = V0e & En consecuencia, se concluye que la frecuencia compleja de una corriente o de una tensión de cd es cero (es decir, s = 0).
El caso exponencial El siguiente caso sencillo es la función exponencial v(t) = V0eut que ya está en la forma requerida. La frecuencia compleja de dicha tensión es entonces er (esto.^s, s = er + j 0).
El caso senoidal Se considerará ahora una tensión senoidal que quizá nos dé una ligera sorpresa'. Dada v(t) — Vm cos (cot + 8) se desea encontrar una expresión equivalente en términos de la exponencial compleja. De acuerdo con nuestra experiencia anterior, se usa la fórmula que se dedujo de la identidad de Euler, cos (cot + 9) = \ [ ei < ■““+& + e~j(u‘+o)] y se obtiene v(t) = \ V m[ei{mt+6) y e - ^ 0>t+e)] = ( \V me i6)
+ ( \V me~ i6)
o v(t) = K ,e Slí + K 2eS2Í Se tiene la suma de dos1'exponenciales complejas, y por ello están presentes dos frecuencias complejas: una para cada término. La frecuencia compleja del prim ititérm ino es s = S| = jco y la del segundo s = s2 = —jco. Estos dos va lores. de s son conjugados, o sea s2 = Sj; así que los dos valores de K también son conjugados: Kj = ^ VmeJ's y K 2 = K* = ^ Vme 7'fi. El primero y el segundo términos completos son entonces conjugados, lo que se pudo haber esperado en vista de que su suma debe ser una cantidad real, v(t).
El conjugado complejo de cualquier número se ob tiene sustituyendo simplemente todas las "j" con El concepto se origina en la elección arbitraria de j
= + y ~ T . Sin embargo, la raiz negativa es
igualmente válida, lo cual lleva a la definición de un conjugado complejo.
536
-----A /W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
El caso senoidal amortiguado exponencialmente Por último, se determinará la frecuencia compleja o frecuencias asociadas con la función senoidal amortiguada en forma exponencial, ec. [1], En este caso se uti liza también la fórmula de Euler para obtener una representación exponencial compleja: v(t) = Vmeat cos (cot + 0 )
y, por lo tanto, v(t) - lV me if>eJla+i ‘o)t + \V me - j 9e j,a-}°>'>t Se descubre que también se necesita un par complejo conjugado de frecuencias, Sj = a + jco y S2 = s* = a — jco, para describir la senoide amortiguada expo nencialmente. En general, ni a ni co son iguales a cero, de modo que la forma de onda senoidal que varía de manera exponencial constituye el caso general; las formas de onda constante, senoidal y exponencial son casos especiales.
La relación de s con la realidad Un valor real positivo de s, por ejemplo, s = 5 + j'0, identifica una función que crece en forma exponencial Ké,+5í, donde K debe ser real si la función va a ser física. U n valor real negativo de s, como s = —5 + j 0, se refiere a una función K e_5í que decrece de modo exponencial. Un valor puramente imaginario de s, como j 10, nunca puede asociarse con una cantidad que sólo es real. La forma funcional es K e JWt, que también se es cribe como K(cos 1Oí + j sen lOí); resulta evidente que ésta posee una parte real y una imaginaria y que cada una es senoidal. Para construir una función real se necesita considerar los valores conjugados de s, tales como Si_ 2 ± /10, con los que deben asociarse valores conjugados d e K Sin embargo, en términos generales se identificaría cualquiera de las frecuencias complejas Si = + j 10 o s2 = —j 10 con una tensión senoidal a la frecuencia angular de 10 rad/s; se en tiende la presencia de la frecuencia compleja conjugada. La amplitud y el ángulo de fase de la tensión senoidal dependerán de la elección de K para cada una de las dos frecuencias. De tal modo, al elegir Si = /1 0 y K i = 6 — j'8, donde
Observar que |6 - y'8 | = 10, por lo que Vm = 2|K| = 20.
v (t) = K les't + K 2eS2t,
s2 = s*
y
K2 = K*
Asimismo, ang(6 — ¡8) = - 53.13°
Las magnitudes grandes de la parte real de
s, de la
parte imaginaria de s o de la magnitud de s indican una fundón que varía con rapidez.
Se obtiene la senoide real 20cos(10í — 53.1°). De manera similar, un valor general de s, como 3 - / 5 , se asocia con una cantidad real sólo si lo acompaña su conjugado, 3 + y5. De nuevo en términos generales, se podría considerar a cualquiera de las dos frecuencias complejas con jugadas como si describieran una función senoidal que crece de manera exponen cial, e3t cos 5 t, la amplitud específica y el ángulo de fase dependerán también en este caso de los valores específicos de las K complejas conjugadas. Por ahora ya se debería tener cierta apreciación de la naturaleza física de la frecuencia compleja s; en general, describe una senoide que varía de manera ex ponencial. La parte real de s se asocia con la variación exponencial; si es nega tiva, la función disminuye a medida que t aumenta; si es positiva, la función crece; y si es cero, la amplitud senoidal es constante. Cuanto mayor sea la mag nitud de la parte real de s, mayor resultará la tasa de incremento o reducción ex ponencial. La parte imaginaria de s describe la variación senoidal y corresponde de manera específica a la frecuencia en radianes. Una magnitud grande de la parte imaginaria de s indica una función del tiempo que cambia con mayor rapidez.
SECCIÓN 14.2 FUNCIÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA
Se suele utilizar la letra a para designar la parte real de s, y
[7]
Algunas veces la frecuencia en radianes se conoce como “frecuencia real”, aunque esta terminología es muy confusa cuando se descubre que se debe decir en ese caso que ¡“la frecuencia real” es la parte imaginaria de “la frecuencia compleja” ! Cuando sea necesario especificar, se denominará a s la frecuencia compleja, a a la frecuencia neperiana, aa> la frecuencia radián y a f — w / l n la frecuencia cíclica; cuando no haya posibilidad de confusión, se podría utilizar “frecuencia” para hacer referencia a cualquiera de estas cuatro cantidades. L a frecuencia neperiana se mide en nepers por segundo, \&frecuencia radián en radianes por segundo y la frecuencia compleja s, en unidades que se denominan de forma indistinta nepers complejos por segundo o radianes complejos por segundo.
PRÁCTICA t
_________
14.1 Identificar todas las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes: ( a ) (2e~100í + e~2 m ) sen 2 OOOí; (b) (2 — -10í) cos(4í + 4>); (c) e~ 10t cos lOí sen 401. 14.2 Utilizar las constantes reales A, B, C,
14.2 . FUNGÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA Se ha dedicado suficiente tiempo a definir e interpretar de manera introductoria la frecuencia compleja; ahora es el momento de poner a trabajar este concepto y familiarizarse con él al observar qué es lo que hace y cómo se usa. L a senoide general que vana exponencialmente, que se puede representar con la función de tensión v (t) = Vmeat cos(a)t + 9)
[8]
se expresa en términos de la frecuencia compleja s, mediante la identidad de Euler como antes: v (t) = Re{Vmeatei{on+e}\
[9]
O v(t) = Re{Vmea,eJ(- a)1- 9)}
[10]
Cualquier representación es apropiada, así que ambas expresiones recuerdan que un par de frecuencias complejas conjugadas se asocia con una senoide o con una senoide amortiguada en form a exponencial. La ecuación [9] se relaciona en
• ------------------------- W
v
-------------{
537
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
forma más directa con la senoide amortiguada dada, de modo que se tratará fun damentalmente con ella. Agrupando factores, se sustituye luego s = a + jco en: v(t) = Re{VmeJee(°+ja>)t} y se obtiene » (* ) = R e f V ^ V ' }
[1 1 ]
Antes de aplicar una función forzada de esta forma a cualquier circuito, se debe observar la semejanza de esta última representación de la senoide amortiguada con la representación correspondiente a una senoide no amortiguada, la cual se estudió en el capítulo 10: Re{Vmeje eJC0t} La única diferencia es que ahora se tiene s donde antes se tuvo jco. En lugar de restringir las funciones forzadas senoidales y sus frecuencias en radianes, en este caso se amplía la notación para incluir la función forzada senoidal amortiguada a una frecuencia compleja. No es sorpresa en lo absoluto ver cómo más adelante en esta sección se formulará una descripción en el dominio de la frecuencia de la senoide amortiguada de modo exponencial exactamente de la misma manera en que se hizo con la senoide. Sólo se omitirá la notación R e { } y se suprimirá est. Ahora ya se puede aplicar la senoide amortiguada exponencialmente, según se indica mediante las ecuaciones [8], [9], [10] u [11], a una red eléctrica, donde la respuesta forzada — quizá una corriente en alguna rama de la red— es la res puesta que se desea. Dado que la respuesta forzada tiene la forma de la función forzada, así como su integral y sus derivadas, se podría suponer que la respues ta es i (t) = Imeat cos (cot +
SECCIÓN 14.2 FUNCIÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA
0
»
Antes de llevar a cabo en realidad los detalles del análisis de un problema y ver cómo el procedim iento se asem eja al del análisis senoidal, vale la pena describir los pasos del método básico. •
Primero se definen las características del circuito con un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales de lazo o nodales.
•
Luego las funciones forzadas dadas y las respuestas forzadas supuestas, todas en forma compleja, se sustituyen en las ecuaciones y se efectúan las integraciones y las diferenciaciones indicadas.
•
Todos los términos de todas las ecuaciones contendrán en ese caso el mismo factor est. Por lo tanto, se divide todo entre este factor, o “se elimina esl ” , entendiendo que éste debe reinsertarse si se desea la descripción en el dominio del tiempo de cualquier función de respuesta.
Con la notación R e { } y el factor est eliminados, se convierten todas las tensiones y las com entes del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Las ecua ciones integrodiferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas y su solu ción se obtiene con tanta facilidad como en el estado senoidal permanente. Se ilustra el método básico mediante un ejemplo numérico.
EJEMP LO 14.1 Aplicar la fundón forzada v(t) = óOe 2* cos(4/ + 10°) V al circuito R L C en serie de la figura 14.1 y especificar la respuesta forzada determi nando los valores de l m y
'W
l—
3H
VW ----- nnnn---20.
v{i)
(j)
0.1 F
Se expresa primero la función forzada en la notación R e { }: v(t) = 60e~2t cos(4í + 10°) = Re{60e“ 2íe ^ +1°o)} = Re{60e;1° e(~2+-'4'>t} o v (t) = Re{Vesf} donde V
= 60/10°
y
s = - 2 + j4
Luego de eliminar Re{ }, queda la función forzada compleja 6 0 /1 0 V ' De modo similar se representa la respuesta reconocida mediante la cantidad compleja le st, donde I = Im¡(¡). El siguiente paso debe ser la ecuación integrodiferencial del circuito. A partir de la ley de Kirclihoff de tensión, se obtiene di 1 í . di f v(t) = Ri + L —— f- — I i d t — l i + 3 — -|—10 / i dt dt C J dt J
(Continúa en la siguiente página)
■ FIGURA 14.1
Circuito RLC en serie al que se aplica una función forzada senoidal amortiguada. Se desea una solución en el dominio de la frecuencia de i(t).
A/VY
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
así que se sustituye la función forzada compleja dada y la respuesta forzada compleja supuesta en esta ecuación: 6 0 /1 0 V ' = 2Iest + 3slesí + — Iest s A continuación se suprime el factor común est: 60/10° = 21 + 3 s l + — I s y entonces 60/10° 2 + 3s + 10/s Sea ahora s = —2 + j 4 y se resuelve para la corriente compleja I: 60/10° 1 _ 2 + 3 (—2 + j4 ) + 1 0 /(—2 + y4) Después de manipular los números complejos, se tiene I = 5.37/-1 0 6 .6 ° Por lo tanto, Im es 5.37 A,
PRÁCTICA -----------------------------------------------------------------------------------------------------•> 14.3 Dada la corriente fasorial que es equivalente a la corriente en el dominio del tiempo: (a) 24 sen (90f + 60°) A; (b) 24e-10í cos(90í + 60°) A; (c) 24e 1°' cos 60° x cos90f A. Si V = 12/35° V, determinar: v (t) para s igual a (d) 0; (e) —20 s- 1 ; ( f ) —20 + j 5 s- 1 . Respuestas: 24/-30° A; 24/60^ A; 12/W A; 9.83 V; 9.83e“20t V; 12e-20' cos(51 + 35°) V.
14.3 •------------------------------------------------------------------------------DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ------La meta constante ha sido el análisis: dada alguna función forzada en algún punto de un circuito lineal, determinar la respuesta en algún otro punto. En varios de los primeros capítulos se jugó sólo con funciones forzadas de cd y respuestas de la for ma Voe°. Sin embargo, luego de la introducción de la inductancia y de la capaci tancia, la excitación repentina en cd en los circuitos simples RL y R C produjo res puestas que variaban de manera exponencial con el tiempo: Voeat. Cuando se consideró el circuito RLC, las respuestas tomaron la forma de la senoide variable exponencialmente, Voeat cos (cot + 9). Todo este trabajo se llevó a cabo en el do m inio del tiempo, por lo que la función forzada de cd fue la única que se tomó en cuenta. A medida que se avanzó en el uso de la función forzada senoidal, el tedio y la complejidad de resolver las ecuaciones integrodiferenciales orillaron a tratar
SECCIÓN 14.3 DEFINICIÓN DE LATRANSFORMADA DE LAPLACE
de encontrar una manera más fácil de resolver los problemas. El resultado la transform ada fasorial, así que se podría recordar que se transitó a través de la consideración de una función forzada compleja de la forma Voe/íyeJ“'. Tan pronto como se concluyó que no era necesario el factor que contenía a t, sólo quedó el fasor V(¡eje ; se había llegado al dominio de la frecuencia. Después de esto, una flexión menor de la corteza cerebral originó que se aplicara una función forzada de la forma V0ejeew)t, lo que condujo a la in vención de la frecuencia compleja s y, por ello, a relegar todas las formas fun cionales anteriores a casos especiales: d e (s = 0), exponencial (s = tr), senoidal (s = jco) y la senoide exponencial (s = a + jco). Por analogía con la experien cia previa con fasores, se vio que en estos casos se podría om itir el factor que contenía a / y se obtuvo üe nuevo una solución al trabajar en el dominio de la fre cuencia
La transformada bilateral de Laplace Se sabe que las funciones forzadas senoidales propician respuestas senoidales y que además las funciones forzadas exponenciales dan como resultado respuestas expo nenciales. Sin embargo, los ingenieros pragmáticos se deben enfrentar con muchas formas de onda que no son senoidales ni exponenciales, como las ondas cuadradas, las formas de onda de diente de sierra y los pulsos que se inician en instantes arbi trarios. Cuando tales funciones for/adas se aplican a un circuito lineal, se ve que la respuesta no es similar a la forma de la onda de excitación, ni tampoco es exponen cial. Como consecuencia, no se pueden eliminar los términos que contienen t para formar una respuesta en el dominio de la frecuencia, lo cual es bastante desafor tunado, pues trabajar en él demostró ser mucho más agradable. Sin embargo, existe una solución que aprovecha una técnica que permitirá desarrollar cualquier función a una suma de formas de onda exponenciales, cada una con su propia frecuencia compleja. Dado que se están considerando cir cuitos lineales, se sabe que la respuesta total del circuito se obtiene simplemente mediante la suma de la respuesta individual a cada forma de onda exponencial. Y al tratar cada forma de onda exponencial, se ignoraría de nuevo todo téraiino que contenga a t y se trabajaría en cambio en el dominio de Infrecuencia. Desafor tunadamente, se requiere un número infinito de términos exponenciales para repre sentar con precisión una función general del tiempo, por lo que optar por un método de fuerza bruta y aplicar la superposición a las series exponenciales podría ser poco conveniente. Mejor se sumarán estos términos efectuando una integración, lo que tendrá como resultado una función en el dominio de la frecuencia. Se formalizará este método utilizando lo que se conoce como la transfor mada de Laplace, definida para una función general f ( t ) como [1 2 J
La deducción matemática de esta operación integral requiere la comprensión de las series y de la transformada de Fourier, que se explican en los capítulos subse cuentes. Sin embargo, el concepto fundamental detrás de la transformada de Laplace se entiende con base en el análisis de la frecuencia compleja y en la expe riencia previa con fasores y con la conversión en ambos sentidos entre los do minios del tiempo y de la frecuencia. En realidad, esto es precisamente lo que hace la transformada de Laplace: convierte la función general f ( t ) en el dominio del tiempo en una representación correspondiente, F(s)en el dominio de la frecuencia.
*
AA/V
0
AA/V
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada inversa bilateral de Laplace La ecuación [12] define la transformada de dos lados, o bilateral, de Laplace de /'(/ ). El término dos lados o bilateral se usa para subrayar el hecho de que tanto los valores positivos como los negativos de l se incluyen en el intervalo de inte gración. La operación inversa, conocida a menudo como transformada inversa de Laplace, también se define como la expresión integral1 1
m
fOo+joc
= —
\
estF (s)d s
[13]
JcfQ—j00
donde la constante real a 0 se incluye en los límites para garantizar la convergen cia de la integral impropia; las dos ecuaciones [12] y [13] constituyen el par de transformadas bilaterales de Laplace. La buena noticia es que nunca se necesita recurrir a la ecuación [13] en el estadio del análisis de circuitos: hay una alterna tiva rápida y fácil que más adelante se aprenderá.
La transformada unilateral de Laplace En muchos de los problemas de análisis de circuitos, las funciones forzada y de respuesta no existen para siempre en el tiempo, sino que aparecen en algún ins tante específico que casi siempre se elige como t — 0. De tal modo, en funciones de tiempo que no existen para t < 0 o en aquellas funciones de tiempo cuyo comportamiento de t < 0 no es de interés, la descripción en el dominio del tiempo se considera como v(t)u (l). La integral de definición de la transformada de Laplace se toma con el límite inferior en l = 0 a fin de incluir el efecto de cualquier discontinuidad en t = 0, tal como un impulso o una singularidad de or den superior. La transformada de Laplace correspondiente es entonces
/
oo
/»oo
e~st f (t)u (t) d t = I
-oo
e~s‘f ( t ) d t
Jo ~
Esta igualdad define la transformada de Laplace unilateral de f ( t ) , o simple mente la transformada de Laplace de f { t ) , dándose por entendido el término unilateral. La expresión de la transformada inversa permanece constante, pero cuando se evalúa, se entiende que es válida sólo para t > 0. Aquí radica en tonces la definición del par de transformadas de Laplace que se utilizará en lo sucesivo: /•OO F (s )=
/
e~st f ( t ) d t
[14]
J o-
Ol)+jOO
esrF (s ) ds
/(* ) =
[15]
£É) ^ F (s ) La cursiva C también se usaría para indicar la operación de la transformada di recta o inversa de Laplace: F (s ) = £ { /(? )}
y
f ( t ) = ¿ ~ 1{F (s )}
(1) Si se pasa por alto el factor confuso 1/2itj y se ve la integral como una sumatoria sobre todas las frecuencias, de modo que /(/) oc £ [F(s) ¿/s]esí, se refuerza la noción de que f ( t ) es en realidad una suma de términos de fre cuencia compleja que tienen una magnitud proporcional a F(s).
SECCIÓN 14.4 TRANSFORMADAS DE LAPLACF DE FUNCIONES DE TIEMPO SIMPLES
■
A A /v
0
EJEMPLO 14.2
i
D eterm in ar la tra n sfo rm a d a de L aplace de la función f(t)
+ 2u(t -
3).
Para determinar la transformada unilateral de Laplace de f ( t ) = 2u(t — 3), se debe evaluar la integral eOO
/
F(s) =
fm d t
J o/» o o
e sf2w(í — 3 )d t Jo=
2l
Simplificando, se encuentra — ( 0 - e ~ 3s) = - é T 3s s s
F(s) = — e~st s
PRACTICA 14.4 Sea f ( t ) = - 6 e 2t[u(t + 3) — u (t — 2)]. Determinar: (a) la F(s) bilateral; (b) la F(s). unilateral. Respuestas: ¿ [ e
„ó + 3 s
1J’— 2-4-s \e~
14.4 t TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES * DE TIF WPO SIMPLES En esta sección se empezará a integrar un catálogo de transformadas de Laplace de las funciones de tiempo que se presentan con mayor frecuencia en el análi sis de circuitos; por ahora se supondrá que la función de interés es una tensión, aunque una elección de este tipo es estrictamente arbitraria. Se creará este catá logo, al menos al principio, utilizando la definición POC
V(s)= /
e~s,v ( t ) d t = C{v(t)}
Jo la cual, junto con la expresión de la transformada inversa 1
»(/) = —
peo+jco
/
ewV(s)ds = / : - 1{V( s)}
^T ,J Jao—joo
establece una correspondencia uno a uno entre v(t) y V(s). Esto es, para toda v (t) para la que exista V(s) hay una V(s) única. En este punto quizá se vea con cierta angustia la más bien siniestra forma de la transformada inversa. ¡No hay razón para asustarse! Como se verá dentro de poco, un estudio introductorio de la teoría de la transformada de Laplace no requiere la evaluación real de esta integral. A l ir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y al aprove char la unicidad que acaba de mencionarse, cualquiera puede ser capaz de gene rar un catálogo de pares de transformadas que ya contienen la función de tiem po correspondiente para casi toda transformada que se desee invertir.
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Sin embargo, antes de seguir es necesario hacer una pausa para considerar si existe alguna posibilidad de que la transformada incluso quizá no exista para al guna v(t) para la cual hay interés. Un conjunto de condiciones suficiente para garantizar la convergencia absoluta de la integral de Laplace de Re{s} > ero es:
V
1. La función i>(t) es integrable en todo intervalo finito t¡ <“ t < tj, donde 0 < fi < í2 < oo. 2. Km e rj"' \v (t) | existe para algún valor de er0■ t—^oc
El analista de circuitos rara vez estudia las funciones de tiempo que no satis facen estas condiciones.2
Función escalón unitario u(f) Considerar ahora algunas transformadas específicas. Se examina primero la trans formada de Laplace de la función escalón unitario u(t). Tomando en cuenta la ecuación definida, se escribiría fO O
C{u(t)} = I
fO Q
e~stu ( t) d t = I
Jo-
1 °o 1 = — e st —— S o s
Jo
e~st d t
para Re{s} > O, satisfaciendo la condición 2. Por lo tanto, La notación de doble flecha se suele usar para in dicar pares de transformadas de Laplace.
u(t) O [16] s y el primer par de transformadas de Laplace se estableció con gran facilidad.
Función impulso unitario
8 (t
-
t 0)
Otra función de singularidad cuya transformada reviste un considerable interés es la función impulso unitario S(t — lo), la cual, tal como se grafica en la figura 14.2, parece bastante extraña en un principio, aunque es muy útil en la práctica. La función impulso unitario se define para tener un área unitaria, por lo que
------------------------------------------------------► t
%
■ F IG U R A 1 4 .2 La función de impulso unitario <5(f — í0) se usa a menudo para aproximar un impulso de señal cuya duración es muy corta, en comparación con las constantes de tiempo del circuito.
S(t — to) = O t ^ to rta+E I 8(t — to) d t = 1 Jto—e
donde e es una constante pequeña. Así, esta “función” (un término al que mu chos puristas matemáticos hacen reverencia) tiene un valor distinto de cero sólo en el punto to- Por lo tanto, para to > O , se encuentra que la transformada de Laplace es /»00 £{5(r - f0)} = / e- sl8(t - t0) d t = e~stú
Jo-
S ( t - t 0) ^ e - sta
[17]
En particular, observar que se obtiene 5 (0 1 [18] para to = 0. Otra característica interesante de la función impulso unitario se conoce como propiedad de filtrado. Considerar la integral de la función impulso multiplicada (2) Ejemplos de tales fondones son efl y ee\ pero no tn ni nl . Para una explicación un poco más detallada de la transformada de Laplace y sus aplicaciones, consulte la obra de Clare D. McGilIem y George R. Cooper, Continuous andDiscrete Signal and System Analysis, 3a. ed., Oxford University Press, North Carolina, 1991, capítulo 5.
SECCIÓN 14.4 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES DE TIEMPO SIMPLES
por una función arbitraria
f(t):
f(t)S (t —
ío) d t
Puesto que la función S ( t — ío) es cero en todos lados, excepto en t — ío, el valor de la integral es simplemente /(ío ). L a propiedad resulta ser muy útil para sim plificar las expresiones integrales que contienen la función impulso unitario.
Función exponencial e~at Recordando el previo interés en la función exponencial, se examina su transfor mada: noo £ { e - a,u(t)} =
/
e - ate ~ s t d t
JOr1
—(s + a )f |° °
e
lo
y, por lo tanto, fu (t) <=► — — s+ a
[19]
Se entiende que Re{s} > —a.
Función rampa t u ( t ) Como un ejemplo final, por el momento se considerará la función rampa tu{t). Se obtiene
í° ° Jo-
£ {tu (t)} = I tu (t)
1 te st d t = -r
\
s
[20]
s ¿
ya sea mediante integración directa por partes o a partir de una tabla de integrales. ¿Y qué hay respecto de la función te~atu(t)7 Se deja para el lector demostrar que te -^ u it) &
1 (s + a Y
[21]
Por supuesto, existen m uchas funciones en el dominio del tiempo adi cionales que valen la pena considerar, pero sería mejor si se hiciera una pausa por un momento para tener en cuenta el proceso inverso — la transformada in versa de Laplace— antes de agregar más funciones a la lista.
PRÁCTICA
_________________________________________________
14.5 Determinar V(s) si v (t) es igual a (a) 4á(í) — 3w(í); (b) 48(t - 2) - 3tu (t); (c) [m(í)] [u(t - 2)]. 14.6 Determinar v(t) si V(s) es igual a (a) 10; (b) 10/s; (|H 10/s2; (d) lO /R s + 10)]; (e) lOs/Cs + 10). Respuestas: 14.5: (4s - 3)/s; Ae ^ - (3/s2); e_2s/s. 14.6: 10á(f); 10«(/); \0tu(t)\ u(t) - e - m u(t)-, 10á(í) - 100e - m u(t).
• ------------------ W
V ------- ( 545
A /W
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
14.5 t TECNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA Teorema de linealidad Se dijo que una expresión integral (ecuación [13]) se puede aplicar para conver tir una expresión en el dominio s al dominio del tiempo. Asimismo, se hizo refe rencia al hecho de que dicho método podría evitarse si se explota la característi ca de unicidad de cualquier par de transformadas de Laplace. Con la finalidad de capitalizar completamente este hecho, se debe presentar en primera instancia uno de los teoremas de la transformada de Laplace más famosos y de mayor utilidad: el t e o r e m a d e l i n e a l i d a d , el cual establece que la transformada de Laplace de la suma de dos o más funciones del tiempo es igual a la suma de las transformadas de las funciones de tiempo individuales. En el caso de dos funciones de tiempo, se tiene que C U Á t) + fi( t) } Ésta se conoce como la propiedad aditiva de la
- Jo~ f /•oo
transformada de Laplace.
- Jf 0-
e s,f i ( t ) d t +
/
e s!f 2( t ) d t
Jo-
= F ,( s) + F2(s) Como un ejemplo del uso de este teorema, suponga que se tiene una transfor mada de Laplace V(s) y que se desea conocer la función de tiempo correspon diente v (t). M uchas veces se podrá descomponer V(s) en la suma de dos o más funciones, digamos, V i(s) y V 2(s), cuyas transformadas inversas, v \( t) y v2(t), ya están tabuladas. En ese caso se vuelve un asunto simple aplicar el teorema de linealidad y escribir v(t) = C~l {V(s)} = £ - x{Vi (s) + V2(s)} =
¿ - ‘ {V x fe )}
+
£ “ 1{ V 2( s ) }
= vi (t) + v2(t)
Otra consecuencia importante del teorema de linealidad resulta evidente al estudiar la definición de la transformada de Laplace. En razón de que se trabaja simplemente con una integral, la transformada de Laplace de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada po r la trans form ada de Laplace de la función. En otras palabras, £{£u(í)} = ££{u(í)} Ésta se conoce como la propiedad de homogenei
dad de la transformada de Laplace. kv{t)
O
k \ ( s )
[22]
donde k es una constante de proporcionalidad. Este resultado es en extremo útil en muchas situaciones que se presentan en el análisis de circuitos, como está a punto de comprobarse.
EJEMPLO 14.3 Dada una función G(s) = 7 /s - 31 /(s + 17), encontrar ^(í)Esta función en el dominio s se compone de la suma de dos términos, 7 /s y —31 / ( s + 17). A través del teorema de linealidad se sabe que g(t) estará
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA
#■
WV
0
también compuesto por dos términos, cada uno de los cuales será la transformada inversa de Laplace de uno de los dos términos en el dominio s:
g (t) = £ 1
31
- C -i
17
Se comienza con el primer término. La propiedad de homogeneidad de la transformada de Laplace perm ite escribir que £'
i
7 s
V ic ~ l
s
= lu (t).
Así, se ha utilizado el par de transformadas conocido como u(t) 4» 1/s y la propiedad de homogeneidad para encontrar este primer componente de g(t). De una manera muy similar, se puede ver que L„ -i \í 31| Colocando estos dos términos juntos se tiene que S
1 = — 31e 17t«(í). ’
g m = [7 - 31 e~m \u{t). PRACTICA
7 14.7 Dada la función H(s) = — +
31 (S+17)2
, encontrar hit).
Respuesta: h(t) = [7 + 3 le llr\tu(t).
Técnicas de la transformada inversa de funciones racionales Al analizar circuitos con elementos múltiples de almacenamiento de energía, muchas veces se encuentran expresiones en el dominio s que son razones de poli nomios s. Por ello, se espera encontrar de manera rutinaria expresiones de la forma V(s) =
N(s) D(s)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s. Los valores de s que originan a N(s) = 0 se conocen como ceros de V (s), y los valores de s que dan lugar a D (s) = 0 como polos de Y (s). En vez de arremangarse la camisa y apelar a la ecuación [13] cada vez que sea necesario encontrar una transformada inversa, en muchas ocasiones estas ex presiones se pueden descomponer utilizando el método de residuos en términos más simples, cuyas transformadas inversas ya se conocen. El criterio para lo an terior es que V(s) debe ser una fu n c ió n racional, para la cual el grado del nu merador N(s) debe ser menor que el del denominador D(s). Si no lo es, primero se debe llevar a cabo una sim ple división, como se m uestra en el ejemplo siguiente. El resultado incluirá una función impulso (suponiendo que el grado del numerador sea el mismo que el del denominador) y una función racional. La transformada inversa de la primera es sencilla; la aplicación directa del método de los residuos se aplicará a la función racional si su transformada inversa no se conoce todavía.
En la práctica, rara vez se necesita recurrir en todo momento a la ecuación [13] para funciones que se encuentran en el análisis de circuitos, siempre y cuando uno sea astuto y utilice las diversas técnicas presentadas en este capítulo.
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CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO 14.4 Encontrar la transfe>ruiada inversa de F(*>)
- 2 S+ 2 í
s
F(s) no es una función racional, por lo que se comienza realizando la di visión larga: F (s ) = s )2 s + 4 2s
por lo que F(s) = 2 + (4/s). De acuerdo con el teorema de linealidad, r-^ F C s)} = £ “ 1{2} + £ “ 1 j ^ j = 2 S (t) + 4 u (t) . (Se debe observar que esta función particular puede simplificarse sin utilizar el proceso de la división larga; se seleccionó dicho procedimiento a fin de proporcionar un ejemplo del proceso básico.) PRACTICA
3S2 —4 14.8 D ada la función Q (s ) = ------— , encontrar q(t). Respuesta: q(t) = 3S(t) — 4tu(t). Al emplear el método de residuos, efectuando en esencia un desarrollo en fracciones parciales de V ( s ) , se centra la atención en las raíces del denominador. De tal manera, se requiere factorizar el polinomio en función de s que abarca a D (s ) en un producto de términos binomiales. Las raíces de D (s ) podrían ser cualquier combinación de raíces distintas o repetidas y tal vez sean reales o com plejas. Vale la pena señalar, sin embargo, que las raíces complejas siempre apare cen como pares conjugados, siempre que sean reales los coeficientes de D (s ).
Polos distintos y el método de los residuos Como un ejemplo específico, se determinará la transformada inversa de Laplace de 1 V (s ) =
(s + a )(s + j8) El denominador se factorizó en dos raíces distintas, - a y — ¡3. Aunque es posi ble sustituir esta expresión en la ecuación de definición de la transformada in versa, resulta más fácil utilizar el teorema de linealidad. Mediante el uso del de sarrollo en fracciones parciales, se divide la transformada particular entre la suma de dos transformadas más simples: A B ® (s + a ) + (s + y6) donde A y B se determinan mediante cualquiera de los diversos métodos. Tal vez la solución más rápida se obtenga al reconocer que (s + a ) V ( s ) -
A = Km
S—>—Oí
I
En esta ecuación se emplea la versión de una sola
I fracción (es decir, no desarrollada) de V(s),
= lí m
r
s -> —a _ (S +
i /J)
0
i J
(s + a)
B
(s + PY i
P —a
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LATRANSFORMADA INVERSA
•-
A A /V
Si se acepta que el segundo término es siempre cero, en la práctica siempre se escribirá A = (s + a )V (s)|s=_« De la misma manera, B —
(s + /0V(s)|s=_fl =
a —p
y, por lo tanto, ™ VO6 - « ) , ! / ( « - / » ) V(s) = — — — + (s + a ) (s + jS) Ya se evaluaron las transformadas inversas de esta forma, por lo que v (t) =
— e~atu{t) + — l— e p‘u(t) P —a a —p 1 -(e at — e P‘)u (t) —a
Si se desea, se podría incluir ahora lo anterior como una nueva entrada en el catálogo de pares de Laplace:
— í— («T* - e-P'Mt) O , ^ l
.. (s + a ) (s + P)
p -a
Este método se extiende sin ninguna dificultad a funciones cuyos denomi nadores son polinomios función de s de orden superior, si bien tal vez las opera ciones se vuelvan un poco tediosas. Debe advertirse que no se especificó que las constantes A y B deben ser reales. Sin embargo, en situaciones en las que a y p son complejas, se encuentra que éstas también son conjugados complejos (lo an terior no se requiere matemáticamente, aunque sí en circuitos físicos). En casos de ese tipo, se encuentra que A = fi*; en otras palabras, los coeficientes también serán conjugados complejos.
EJEMPLO 14.5
Se puede observar que P(s) es una función racional (el grado del numerador es uno, mientras que el grado del denominador es dos), por lo que se comienza por factorizar el denominador y escribir 7s + 5 P (s) —
a
b
— r “¡T — — I-------— r
s(s + l)
s
s+ 1
donde el paso siguiente es determinar los valores de a y b. Aplicando el método de los residuos,
7s + 5 s+ 1
b=
7s + 5 =-1
=
2
(Continúa en la siguiente página)
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CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLüA VTRANSFORMADA DE LAPLACE
Entonces se puede escribir P(s) como 5 2 P (S) = - + — T s s+ 1 cuya transformada inversa es simplemente p (t) = [5 + 2e~']u(t). PRACTICA
____________________________________ l i s + 30 14.9 Dada la función Q (s) = — — —- , encontrar q(t). s2 + 3s Respuesta: q(t) = [10 + e~3']u(t).
Polos repetidos La situación que falta es la de polos repetidos. Considerar la función
(S - p ) " que se desarrolla de la siguiente forma: V(s) = __ °2L___+ __ ±________ + . . . + fll W (B _ r.'ln + (B _ r . 'in - l ^ (s - p ) n (s - p Y ~ 1 + (S - p ) Para determinar cada constante, se multiplica primero la versión no desarrollada de V(s) por (s — p ) n. La constante an se determina evaluando simplemente la expresión que resulta en s = p . Las constantes restantes se obtienen al diferen ciar la expresión (s — p )n\ ( s ) el número apropiado de veces, antes de evaluar e n s = p , y dividir entre un término factorial. El procedimiento de diferen ciación elimina las constantes que se encontraron antes, y la evaluación en s = p elimina las constantes que quedan. Por ejemplo, 2 se determina al evaluar ¿ ¿ [ ( s - p W M I,,, y el término an-k se obtiene evaluando ]_d^ T \d s k
[(s - P T V (s)]s=p
Para ilustrar el procedimiento básico, determinar la transformada inversa de Laplace de una función que tiene una combinación de ambas situaciones: un polo en s = 0 y dos polos en s = —6.
EJEMPLO 14.6 D eterm in ar la tram iform ada inversa de l a f u n S k ^ 2 V(S) ~ s3 + 12s2 + 36s Se observa que el denominador, que se factoriza sin dificultad, origina Vfs") — -------------------- = ------------- 6 s(s + 6)(s + 6) s(s + 6)2
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA
»
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0
Como se prometió, hay en realidad tres polos uno en s = 0 y dos en s — —6 . A continuación, se desarrolla la función hasta ai ÍZ3 a\ V (s ) = + (s + 6 )2
(s + 6 ) +
s
y se aplica el nuevo procedimiento para obtener las constantes desconocidas ai y « 2 ; se encontrará « 3 mediante el procedimiento anterior. Por lo tanto, - 1
a¡
a* = T as
(s + 6 )'
(s + 6 )'
s(s + 6 )2
s= -6
5 = —6
T
d_ s(s + 6 )2 _ s=—6
ds
s = —6
s = —6
18
L a constante restante a-¡ se obtiene utilizando el procedimiento para polos distintos: a-i— s
s(s + 6 ) 2 s=0
2
1
ó2
18
En consecuencia, se escribiría ahora Y(s) como X '18 V (s ) = f + (s + 6 )2
(s + 6)
s
Utilizando el teorema de linealidad, la transformada inversa de Y (s ) se ob tiene ahora mediante la determinación de la transformada inversa de cada uno de estos tres términos. Se observa que el primer término de la derecha es de la forma 1 (s + Of)2
y utilizando la ecuación [2 1 ] se encuentra que su transformada inversa co rresponde a —^ t e ~ 6tu ( t ) . De manera similar, se descubre que la transfor mada inversa del segundo término es — j ^ e ~ 6‘u ( t ) y que el tercer término es simplemente j ^ u ( l ) . Así: v ( t ) = —^ t e ~ 6' u ( t )
- L e - 6 í u (t) 18
+ jgU(t )
o, de form a más compacta, #
= í s [1-
(1 + 6 t ) e ~ 6!]u( t )
PRACTICA 1 4.10 Determinar v(t) si V (s ) = 2 s /(s 2 + 4 )2 .
Respuesta: \ t sen 21 u (t).
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U T A D O R A MATLAB, un paquete de análisis numérico muy poderoso, se utiliza para apoyar de diferentes maneras en la solución de ecuaciones que surgen del análisis de circuitos con excitación variable en el tiempo. La técnica más di recta emplea las rutinas de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
0
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CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
(ODE, ordinary differential equation) ode23() y ode45(). Ambas se funda mentan en métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales, y de ellas ode45() tiene la mayor exactitud. Sin embargo, la solución se determina sólo en puntos discretos y, en consecuencia, no se conoce para todos los va lores del tiempo. En muchas aplicaciones esto resulta adecuado, siempre que se use una densidad de puntos suficiente. La técnica de la transformada de Laplace ofrece medios para obtener una expresión exacta de la solución de ecuaciones diferenciales, y como tal tiene muchas ventajas respecto al uso de las técnicas de solución numérica ODE. Otra ventaja importante de la técnica de la transformada de Laplace se volverá patente en los capítulos siguientes, cuando se estudie la importancia de la forma de las expresiones en el dominio s, en particular luego de que se factoricen los polinomios del denominador. Como ya se observó, las tablas de búsqueda son muy útiles cuando se trabaja con transformadas de Laplace, si bien en métodos de residuos quizás sea un método tedioso para funciones con polinomios de orden superior en sus denominadores. En estas situaciones MATLAB también puede ser de ayuda, pues contiene varias funciones útiles para manipular expresiones de polinomios. En MATLAB, el polinomio p ( x ) = anx n + a n- \ x n~ l ------- 1- a \ x + a 0
se almacena como el vector [an an- \ . . . a i «o j. En consecuencia, para definir los polinomios N(s) = 2y D(s) = s3 + 12s2 + 36s se escribe E D U » N = [2]; ED U »D = [1 12 36 0]; Se obtienen las raíces de cualquier polinomio recurriendo a la función r o o t s ( donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio. Por ejemplo, EDU» q = [1 8 16]; EDU» roots(q) produce: ans = -4 - 4 MATLAB también permite determinar los residuos de la función racional N (s)/D (s) utilizando la función residueQ. Por ejemplo, EDU» [r p y] = residue(N, D); da como resultado tres vectores: r, p y y, tales que: ^ D(s)
X -
Pl
X - p2
+ - ■■+ — — l-y(s) x — pn
en el caso de polos no múltiples, y en el de n polos múltiples
N(s) = D(s)
i (x — p )
r2 (x — p ) 2
i
,
| y(s) (x — p ) n
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE .APLACE
Observar que en la medida en que el orden del polinomio del numerador sea menor que el del polinom io del denominador, el vector y(s) siempre será nulo. Ejecutando el comando sin utilizar puuto y coma (;) se obtiene la salida y= -0 .0 5 5 6 -0 .3 3 3 3 0.0556 P =
-6 -6 0
y = [] que concuerda con la respuesta que se encontró en el ejemplo 14.6.
T4.6 a TEOREMAS FUNDAMENTALES PARA * LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ahora se pueden considerar dos teoremas que podrían verse en forma colectiva como la raison d ’étre (la razón de ser) de las transformadas de Laplace en el análisis de circuitos: los teoremas de diferenciación e iutegración respecto del tiempo. Ambos ayudan a transformar las derivadas e integrales que aparecen en las ecuaciones de circuito en el dominio del tiempo.
Teorema de diferenciación respecto del tiempo Se estudiara primero la diferenciación en el tiempo al considerar una función de tiempo v (t) cuya transformada de Laplace V(s) se sabe que existe. Se desea la transformada de la primera derivada de v (t), dv 1
f° °
\ - CJo-
dt \
s.d v , ~st— d t dt
Lo anterior puede integrarse por partes: U = e~st
dV = — dt dt
y el resultado es ídv)
oo
c \ t } = v(,>e~“ í + s i
r°° v(t) dt
El primer término de la derecha debe tender a cero, a medida que t aumenta sin límite; en otro caso, V(s) no existiría. Por consiguiente,
154 j----- V W
-------------------------•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Se desarrollarían relaciones similares para las derivadas de orden superior:
~
4 » s2V (s ) - su (O- ) - v'(0 )
[2 4]
-O- s3V (s ) - s2y (0 _ ) - s i/ ( 0 ~ ) - v"(0~)
[2 5]
donde i/(0 ~ ) es el valor de la primera derivada de v(t) evaluada en t = 0“ , v"(0 ) corresponde al valor inicial de la segunda derivada de v(t), etcétera. Cuando todas las condiciones iniciales son cero, diferenciar una vez con respec to a í en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por s en el do minio de la frecuencia; diferenciar dos veces en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por s2 en el dominio de la frecuencia, etc. Por lo tanto, la di ferenciación en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. ¡Esta es una simplificación sustantiva! Se debe empe zar también a ver que, cuando las condiciones iniciales no son cero, su presencia se sigue considerando. Un ejemplo sencillo servirá para demostrarlo.
EJEMPLO 14.7 D ado el circuito RL en serie de la figura 14.3, d ete rm in a r la corriente que circula p o r la resistencia de 4 ñ resistor. 2
H
Identificar el objetivo del problema. Es necesario encontrar la expresión de la com ente denominada i(t).
Recopilar la información conocida.
. ten =-í a ■ F IG U R A 1 4 .3 Circuito que se analizaT|if¡M | mando la ecuaciííj diferencial 2 d i / d t +4i = íu(t) en 2[sl(s) -■ /(w )] + 4l(s) = ^ /s .
Una tensión de escalón activa la red, así que se tiene un valor inicial de la corriente (en l — O- ) de 5 A.
Elaborar un plan. Si se aplica la LKT a este circuito, se obtendrá una ecuación diferencial con i(t) como la incógnita. Sin embargo, en lugar de resolver la ecuación dife rencial resultante, como se hizo con anterioridad, ahora es posible transfor mar primero al dominio de la frecuencia tomando la transformada de Lapla ce de cada término.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Mediante la LKT se expresa la ecuación de un solo lazo en el dominio del tiempo, así que se encuentra di 2 — + 4 1 3u(t) dt Ahora se calcula la transformada de Laplace de cada término, por lo que „
2[sl(s) - i (O- )] + 4I(s) = s
Determinar, si se requiere, información adicional. Se tiene una ecuación que se resolvería para la representación I(s) en el dominio de la frecuencia de nuestro objetivo, i (t ).
Buscar la solución. A continuación se despeja I(s), sustituyendo i (O- ) = 5:
(2s + 4)I(s) = - + 10
SECCION 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DF LAPLACE
m
=
1.5 s(s
2)
+
AA/V
*
s -1- 2
Aplicando el método de los residuos al primer término, 1.5 s -i- 2
1.5
= 0.75
= -0 .7 5
s
s= 0
por lo que T/ , 0.75 4.25 I(s) = ------+ — s s H- 2 Se utilizan después los pares conocidos de transformadas para invertir i(t) = 0.75w(í) + 4.25e~21u(t) = (0.75 + 4.25e~2t)u (t)
A
Verificarla solución. ¿Es razonable o la esperada? Con base en la experiencia previa con este tipo de circuito, se espera una respuesta forzada de cd, más una respuesta natural que decae en forma ex ponencial. En t — 0, se obtiene ¿(0) = 5 A, como se requería, y a medida que t —> oo, i(t) —» | A, como se esperaba. Por lo tanto, la solución de i (í) está completa. Tanto la respuesta forzada 0.75u(t) como la natural 4.25e~2‘u(t) están presentes, así que las condiciones iniciales incorporadas de manera automática a la solución. El método ilustra una forma muy cómoda de obtener la solución completa de muchas ecuaciones diferenciales.
PRÁCTICA g
____________
3(í) + ti(t) V
14.11 Aplicar los métodos de la transformada de Laplace para determinar i (t) en el circuito de la figura 14.4.
Teorema de integración en el tiempo Se lleva a cabo el mismo tipo de simplificación cuando se debe resolver la ope ración de integración con respecto al tiempo en las ecuaciones de circuito. Se de term inará la transform ada de Laplace de la función de tiempo descrita por ! ‘y v ( x ) d x , í
v(jc) ííjc | = í
]
Jo-
e st
í
IJo-
v (x )d x
A1 integrar por partes, se establece u = I v (x) d x J 0d u — v(t) dt
Ó
F IG U R A 1 4 .4
Respuesta: (0.25 + A.15e~m )u{t) A.
Jo-
4Q
-A /W
d v = e sí d t
v =
dt
! 0.2 H
A /W
-•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Entonces, v (x )d x
■{[jCHMI-r-r = [ ~ l e~St J ‘ v>(x) (x )ddx x^
*v(t) dt
+ -V (s)
0 a medida que t —>■oo, el primer término a la derecha se Pero, dado que e anula en el límite superior, y conforme t — 0 , la integral en este término se anula de manera similar. Lo anterior deja sólo el término V (s)/s, por lo que v(x) d x O
V(s)
[26]
y de esa manera la integración en el dominio del tiempo corresponde a la di visión entre s en el dominio de la frecuencia. Una vez más, una operación de cálculo relativamente complicada en el dominio del tiempo se simplifica a una operación algebraica en el dominio de la frecuencia.
EJEM PLO 14.8 4Q
1------ V W -------1
Determinar i(t) para t > 0 en el circuito R C en serie que se presenta en la figura 14.5¡jM Se escribe primero la ecuación de un lazo u(t) = 4i(t) + 16 í
I F IG U R A 1 4 .5 Circuito que ¡lustra el uso del par de transformadas de Laplace
o i|(s).
i(t' ) d t'
J —OO
v(0~) = 9 V
Para aplicar el teorema de integración en el tiempo, se debe efectuar un arreglo de manera que el límite inferior de integración sea O- . De tal modo, se fija
/
t
p0~
¡ (t') d t' = 16
pt
i( t') d t' + 16 J —oo
-o o
v(0 ) + 16
f
i( t') d t' J0
i( t') ') d t'
J oPor lo tanto, u(t) = 4 i(t) + u(0 ) + 16 í
J 0-
i{ t') d t'
A continuación se calcula la transformada de Laplace en ambos lados de esta ecuación. Puesto que se está utilizando la transformada unilateral, £{u(0- )} es simplemente C{v({) y por ello 1 9 16 - = 41(s) ------1----- I(s) s s s al despejar I(s), -2 I(s)
s+ 4
el resultado deseado se obtiene de inmediato ¿ (í)
= —2e
4í m ( í )
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE LAPLACE
»
WV
------------------------------------------- --------------------------EJEMPLO
14.9
D eterm in ar v(t) p a ra el m ism o circuito, repetido en la figura 14.6, p o r conveniencia. 4n
'(0
Esta vez simplemente se escribe la ecuación nodal v(t) — u (t)
1 dv
4
+ 16 I t =
Tomando la transformada de Laplace, se obtiene: K O ") = 9 V
^
4
_
>
4s
+ ± s V( s ) -
^
16
16
= 0
v W |1 + j ) = ; + i Por lo tanto, 4 V (S) = —
9
; 77 +
s(s + 4 )
_ 1 ____ 1 _ s
s+4
s+ 4 9 s+4
1 8 = — I--------s
s+ 4
y tomando la transformada inversa, v(t) = (1 + 8 e ^ ) u ( t ) de inmediato se obtiene la tensión deseada en el capacitor sin recurrir a la solución usual de la ecuación diferencial. Para confirmar este resultado, observar que ( ~^)dv/dt producirá la expre sión anterior de i(t). Para t > 0,
_L é l = — ( —32)e -4 f = —2e~4' 16 d t
16
lo cual concuerda con lo que se encontró en el ejemplo 14.8.
PRÁCTICA ____________________________________________________________ 1 4.12 Determinar v(t) en t = 8 0 0 ms para el circuito de la figura 14.7.
2tu(t)
V
I I G U R A 1 4 .7 R e sp u e sta : 8 0 2 m V .
■ F IG U R A 1 4 .6 Circuito de la figura 14.5 repetido, en el que se busca la tensión v(t).
558 --------- WV
•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformadas de Laplace de senoides A fin de ilustrar el uso del teorema de linealidad y del teorema de diferenciación en el tiempo, sin mencionar la adición de un par más importante a la tabla de transformadas de Laplace que se presentará un poco más adelante, se establecerá la transformada de Laplace de sen <¡>t u ( j) . Se podría usar la expresión integral de definición con la integración por partes, pero esto es innecesariamente difícil. En su lugar, se utilizará la relación sen (üt = — (e,,út — e~]0Jt) V La transformada de la suma de estos dos términos es exactamente la suma de las transformadas, y cada término es una función exponencial para la cual ya se tiene la transformada. Se escribiría de inmediato j / j £{sen w tu(t)} — — 2 j\s -jü ) sen w tu (t)
1
\
(O
s + jco/
a) -z------ sz + w¿
[27]
A continuación se emplea el teorema de diferenciación en el tiempo para deter m inar la transform ada de c o scotu(t), que es proporcional a la derivada de sen coi. Esto es, Obsep/ar que se ha aprovechado el hecho de que sen a * |t= 0 = 0.
£{cos£üí
u(t)} = C
cos cotu{t)
------f sen an u(t) J 1 - —s-
~z------ rS~ + ÜT
[28]
Teorema de desplazamiento en el tiempo Como se observa en algunos de los problemas transitorios anteriores, no todas las funciones forzadas empiezan en t — 0. ¿Qué ocurre con la transformada en una función de tiempo si esa función simplemente se desplaza cierta cantidad en el tiempo? En particular, si la transformada de f ( t ) u ( t ) es la función conocida F(s), entonces ¿cuál es la transformada de f ( t — á )u (t — a), la función de tiempo ori ginal retrasada por a segundos (y que no existe para t < a) ? Si se trabaja directa mente con la definición de la transformada de Laplace, se obtiene /»oo
C { f( t — a )u (t — a)} = / e~st f ( t — a )u (t — a ) d t J/oo— / Ja
F. e~síf ( t — a ) d t
para t > a ~ . Al elegir una nueva variable de integración, r = t — a, se obtiene /»OC C { f( t - a)u{t - a)} = / e~sCr+a)f ( T ) d r = e“ flSF(s) J oPor lo tanto, f ( t - a )u (t - a ) O e~asF (s)
(a > 0)[29]
Este resultado, que se conoce como teorema de desplazamiento en el tiempo, es tablece simplemente que si una función de tiempo se retrasa por un tiempo a en el dominio del tiempo, el resultado en el dominio de la frecuencia es una multi plicación por e as.
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE LAPLACE
-
—------------------■
A /W
•"
—-------- -m , ■--- - EJEMPLO 14.10
D eterm in ar la tra n sfo rm a d a del im pulso rectan g u lar |(í) = u(t — 2) — u(t — 5). i Este impulso, cuya gráfica se muestra en la figura 14.8, tiene como valor unitario para el intervalo de tiempo 2 < t < 5, y como valor nulo en cualquier otro lado. Se sabe que la transformada de u(t) es exactamente 1/s, y dado que u(t —2) es u(t) retrasada en 2 s, la transformada de esta función retrasada es e "2s/s. De manera similar, la transformada de u(t —5) es e 5s/s. Se concluye entonces que la transformada deseada es 5s ,-2s e -2s _ e -5s
V(s) = No fue necesario invertir la definición de la transformada de Laplace para de terminar Y(s).
PRÁCTICA ___________________________________________________________
u{t - 2)
J___ ___ I___ L
1 2
3
4 5 - u ( t - 5)
i F IG U R A
1 4 .8
Gráfica deu(t - 2) —u(t —5).
fin
10
14.13 Obtener la transformada de Laplace de la función de tiempo que se muestra en la figura 14.9. Respuesta: (5/s)(2e 2s —e
0
lS).
_L
1
2
3
4
5
6
- 1 (s i
I F IG U R A 1 4 .9
Hasta este momento se han obtenido varias entradas para el catálogo de pares de transformadas de Laplace que se acordó construir después. Están incluidas las transformadas de la función impulso, \&función escalón, \&función exponencial, la función rampa, las funciones seno y coseno y la suma de dos exponenciales. Ade más, se han observado las consecuencias en el dominio s de las operaciones de adi ción, multiplicación por una constante, diferenciación e integración en el dominio del tiempo. Todos estos resultados se recopilan en las tablas 14.1 y 14.2; se inclu yen también varias funciones más que se deducen en el apéndice 7.
TABLA
14.1
Pares de transformadas de Laplace
f(0 — L ~ ' {F(s)}
F(s) = L{f(f)} 1
m
1 s 1
tu (t) t'- 1
------— u ( t ) , n p 1,2, .
te a,u(QÍ ,n-l t"
(«-!)!
e~aru ( t ) , n =
1,2,
1 ce~m _- e0-P' - p ,) u ( t ) /i —a sen ü>t u(t) cos wt u¡( r |S sen (ü>t + ff) u(t)
(rr- 1)1
a , u ( t )
m = l - ' {f(s)j
s+ a 1 (s + a ) 2 1 (s + a)"
cos(o>t + 9) u(t) e~at sen cot u(t e~M cos wt u(t)'
F(S) = L{f(f)} I (s + a)(s + P) a> s2 s ssen0+ cjcos 8 seos 6 + (usen 6
(s + g¿2 + co1 s+ a gs + a ) 2 + co-
( APLICACIÓN PRÁCTICA ) Estabilidad de un sistema Hace muchos años (o así parece), uno de los autores iba por una carretera a través del campo e intentaba utilizar el control electrónico de velocidad (“control de crucero”) de su automóvil. Después de encender el sistema y fijar en forma manual la velocidad del vehículo al límite per m itido , 3 el botón “fijar” se liberó y el pedal del acelera dor se desactivó; a estas alturas se esperaba que el sis tema mantuviera la velocidad fijada y se regulara el flujo de combustible a medida que fuera necesario.
problema de la estabilidad se maneja fácilmente mediante el estudio del denominador de la función de transferencia: ningún polo deberá tener una componente real positiva. Existen muchas técnicas que pueden aplicarse al pro blema de la determinación de la estabilidad de un sistema en particular. La prueba de Routh es una de las más sen cillas que se conocen. Considérese la función del sistema en el dominio s (un concepto que se desarrollará más ade lante en el capítulo 15)
El polinomio función de s representado por D(s) puede escribirse como ans" + |S,! 1 + • ■• + a^s + a®. No se puede determinar gran cosa de un vistazo sin factorizar el polinomio. Si todos los coeficientes a„ . . . a 0 son posi tivos y diferentes de cero, el procedimiento de Routh lo arregla con el patrón siguiente: t an an—2 an ~ 4 ... a n —1 an ~ 3 a n~5 ... © Donovan Reese/Getty images
Desafortunadamente, sucedió algo diferente a lo que se esperaba. La velocidad del vehículo descendió 10% de forma inmediata, a lo que el equipo electrónico de con trol de la velocidad de crucero respondió con el aumento del flujo de combustible. Los dos eventos no coincidieron muy bien, por lo que algunos momentos después la velo cidad del vehículo superó el valor que se había fijado y se produjo una disminución repentina (y significativa) del flujo de combustible, lo cual generó una reducción de la velocidad del vehículo. El ciclo continuó para consterna ción del conductor, quien de un momento a otro se dio por vencido y apagó el sistema. Es evidente que la respuesta del sistema no estaba op timizada, es decir, el sistema era inestable. La estabilidad de sistemas es un aspecto muy importante en la ingeniería en una gran cantidad de problemas (controles de crucero, reguladores de temperatura y sistemas de rastreo, sólo por nombrar irnos cuantos), y las técnicas desarrolladas en es te capítulo son de un valor incalculable en el análisis de la estabilidad de un sistema en particular. Uno de los aspectos más importantes al trabajar en el dominio s como lo permite la transformada de Laplace es que, en lugar de describir la respuesta de un sistema en par ticular a través de una ecuación integrodiferencial, se puede obtener una función de transferencia del sistema represen tada por el cociente de dos polinomios en el dominio s. El (3) Puesto que no había cámaras instaladas, nadie puede comprobar lo contrario.
A continuación se genera una tercera fila multiplicando en forma de cruz las dos filas: an—\an —2 ana n —3 an—\a n —4 ana n —5 an~\ an ~ 1 y una cuarta fila multiplicando en forma de cruz la se gunda y tercera filas. Este proceso continúa hasta que se tengan n + 1 filas de valores numéricos. Lo que queda es identificar los cambios de signo en la columna ubicada a la izquierda. El número de cambios de signo indica el número de polos que tiene una componente real positiva; cualquier cambio de signo indica que el sistema es inestable. Por ejemplo, suponga que el sistema automático de control de crucero detrás del enojo del autor tiene una función de transferencia del sistema con un denominador D(s) = 7s4 + 4s3 + s2 + 13s + 2 Todos los coeficientes de este polinomio función de s de cuarto orden son positivos y diferentes de cero, por lo que se construye la tabla de Routh correspondiente: 7 4 -2 1 .7 5 13.37
1 13 2
2 0
2 a partir de la cual se pueden observar dos cambios de signo en la columna ubicada más a la izquierda. Por ende, el sis tema es inestable (lo que explica la razón de la falla) ya que dos de sus polos tienen componentes reales positivas.
A/W
SECCION 14.7 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
TABLA ----------- -— .—
w
14.2
561
Operaciones de la transformada de Laplace
............... .........
■
O peración
Adición Multiplicación escalar Diferenciación en el tiempo
M n ± m i
Fl(s) ± Í ' 2 (.S)
kf\t)
kF(s)
df
sF(sj|
dt d 2f dt2 d 3f dr
Integración en el tiempo
í
f(t)dt
J o-
f(0~)
s; F ís)
- S/ i0 - ) - / '( 0 - )
s-'Fis)
- s - / ( 0 - ) - s / 'i O " ) -
Convolución f ( t — ii) u ( t — ii), a > 0
Corrimiento en la frecuencia
1F(S) s 1
<>
asF(s)
F(s 1 a ) dF(s)
Diferenciación en la frecuencia
-tfdi
Integración en la frecuencia
m
Escalamiento
f(at), a > 0
Valor inicial
/ ( o+ )
Valor final
/(oo)
Periodicidad en el tiempo
f ( t ) = f ( t + „T) ,
1 -i" ns), 1 —e"'fs
1, 2, . . .
dondeFi(s)= f
ds í° °
/
t
n —
/" ( 0 - )
1 /,(r -F(s} + - / f(t)dt S S / —oo F,(s)F:(s)
oo
Corrimiento en el tiempo
F(s)
m
b’(s) d s
lr í s \
f { z ) lím sF(s) S—"OO
lím sF(s), todos los polos de sF(s) en LHP
s-*0
J (É
14.7 t TEOREMAS DEL VALOR INICIAL_________________ Y DEL VALOR FINAL Los dos últimos teoremas fundamentales que se explicarán se conocen como teoremas del valor inicial y del valor final, los cuales permiten evaluar / ( 0+) y /( o o ) examinando los valores límites de sF(s). Dicha característica puede ser de un valor incalculable; si solamente se necesitaran los valores inicial y final para una función de interés en particular, no habría necesidad de dedicar tiempo para llevar a cabo una operación de transformada inversa.
Teorema del valor inicial Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo la transformada de Laplace de la derivada
f ( t ) e ~ K dt
562
' v A A / ------------------------- •
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA VTRANSFORMADA DE LAPLACE
Se permite ahora que s tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos partes, se tiene lím [sF(s) — /( O - )] = lím í í e°— d t + [ e ^ ’ — d t ) s^oo y j 0dt Jo+ dt J Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el límite, puesto que el integrando mismo tiende a cero. Además, /( O - ) no es una función de s, así que podría eliminarse del límite de la izquierda: /■0+ —/( O - ) + lím [sF(s)] = Km / d f = lím [/( 0 + ) - / ( 0 " ) ] S —> 0 0
S -^ O O J q _
s-^ cg
= / ( 0+ ) - / ( o -) y por último,
/(0+) = lím[sF(s)]
lím f ( t ) = lím [sF(s)]
/-«•0+
s-»-oo
13 0 1
Este enunciado matemático del teorema del valor inicial establece que el valor inicial de la función de tiempo f ( t ) se obtiene multiplicando primero su transformada de Laplace F(s) por s y luego dejando que s tienda a infinito. Ob servar que el valor inicial de f ( t ) que se obtiene es el límite de la derecha. El teorema del valor inicial, junto con el teorema del valor final, que se analizarán en un momento, es útil para verificar los resultados de una transfor mación o de una transformación inversa. Por ejemplo, cuando se calcula la transformada de cos(«o/)w (í), se obtuvo s /(s 2 + aj§) . Después de observar que / ( 0 +) = 1, se tiene la posibilidad de efectuar una revisión parcial de la validez de este resultado aplicando el teorema del valor inicial: lím I s—-------- - ) = 1 s-^a s2 + co0 y se completa la verificación.
Teorema del valor final Este teorema no es tan útil como el del valor inicial, pues sólo se usa con cierta clase de transformadas. Para determinar si una transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el denominador de F(s) a fin de determinar todos los valores de s para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se cono cen como polos de F(s). Sólo aquellas transformadas F(s) cuyos polos se en cuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s (es decir, a < 0), salvo para el polo simple en s = 0, son adecuadas para utilizarse con el teorema del valor final. Se considera de nuevo la transformada de Laplace para d f/d t,
/ Jo-
d f
e-f^ -dt
dt
= sF (s)- /«)-)
esta vez en el límite cuando s tiende a cero, C°° df í°° d f lím I e st— d t = lím[sF(s) — / ( 0 )] = / — dt Jodt S->0 Jq- dt
TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
SECCIÓN 14.7
•
------------ ,
563
Se supone que tanto f ( t ) como su primera derivada son transformables. Ahora bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como el límite
í 00 d—fr d,t „ i='
/
Jo- d t
df ,
lím / ~ r d t dt
t-*oo J 0-
=
l í m [ / ( f ) — / (O- )]
t —>oo
Al reconocer que /( O - ) es una constante, una comparación de las últimas dos ecuaciones nos muestra que
lím f ( t ) = lím[sF(s)]
t —>00
s—>0
[31]
que es el teorema del valor fin a l. Al aplicar este último, se requiere saber que /( o o ) , el límite de f ( t ) cuando t se vuelve infinito, existe o, lo que equivale a la m ism a cosa, que todos los polos de F(s) se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción (posiblemente) de un polo simple en el ori gen. El producto sF(s) tiene todos sus polos dentro del semiplano izquierdo.
EJEMPLO 14.11 Utilizar el teorema del valor final para determinar/(o o ) de la función (1 —e~at)u(i), donde a > 0. Sin utilizar siquiera el teorema del valor final, se observa de inmediato que /( o o ) = 1. L a transformada de / ( f ) es
F(s) =
1
1
s
s+ a a
s(s + a) Los polos de F(s) son s = 0 y s = —a. Así, el polo de F(s) distinto de cero está en el plano izquierdo s, pues se puede asegurar que a > 0. Se ve que podría aplicarse en realidad el teorema del valor final a esta función. Al multiplicar por s y dejar que tienda a cero, se obtiene
lím[sF(s)] = lím ----- = 1 s—>0 s + a
s-*-o
lo cual concuerda con /( o o ) . Sin embargo, si f ( t ) es una senoide, de manera que F(s) tiene polos en el eje jco, entonces el uso irrestricto del teorema del valor final podría llevar a concluir que el valor final es cero. No obstante, se sabe que el valor final de sen « 0r de cos &>0f es indeterminado. Así, ¡cuidado con los polos del eje jcol
P RÁCTICA
___________________________________________________
14.14 Sin determinar primero f ( t ) , obtener /(0+) y /( o o ) para cada una de las siguientes transformadas: (a) 4e 2s(s + 50)/s ; (b) (s2 + 6)/(s2 + 7); (c) (5s2 + 10)/[2s(s2 + 3s + 5)]. Respuestas: 0, 200; OO, indeterminado (los polos se ubican en el eje ju>); 2.5,1.
A /W
-9
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
RESUMEN Y REPASO □ El concepto de frecuencia compleja permite considerar de manera simultánea las componentes amortiguada exponencialmente y oscilatoria de una función. □
La frecuencia compleja s = er + ja> es el caso general; las funciones cd (s = 0), exponencial (co = 0) y senoidal (er = 0) son casos especiales.
□ El análisis de los circuitos en el dominio s da lugar a la conversión de las ecuaciones integrodiferenciales en el dominio del tiempo a ecuaciones al gebraicas en el dominio de la frecuencia. □ En problemas de análisis de circuitos, se convierten las funciones en el do minio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la transformada uni lateral de Laplace: F(s) = / 0°° e~st f ( t ) d t . □ La transformada inversa de Laplace convierte las expresiones en el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. Sin embargo, rara vez se necesita lo anterior, debido a la existencia de tablas que presentan los pares de trans formadas de Laplace. □ La función de impulso unitario es una aproximación común a impulsos con amplitudes muy pequeñas, en comparación con las constantes de tiempo del circuito. Es distinta de cero sólo en un punto y tiene área unitaria. □ £ { / i ( 0 + fi( t) } = C {f\(t)} + C { f2(t)} □ £ { k f( t) } = kC \ f ( t ) \ , k — constante
(propiedad aditiva) (propiedadde homogeneidad)
□ Los teoremas de diferenciación e integración permiten convertir ecuaciones integrodiferenciales en el dominio del tiempo en simples ecuaciones alge braicas en el dominio de la frecuencia. □ Por lo general, las transformadas inversas se obtienen utilizando una com binación de técnicas de desarrollo en fracciones parciales y en diversas operaciones (tabla 14.2) para simplificar las cantidades en el dominio s, en expresiones que pueden buscarse en tablas de transformadas (como la tabla 14.1). □ Los teoremas del valor inicial y del valor final son útiles cuando sólo se de sean los valores específicos f ( t — 0+ ) o f ( t —> oo).
LECTURAS ADICIONALES___________ _______________ Un desarrollo de fácil lectura acerca de la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades clave se puede encontrar en el capítulo 2 de
A. Pinkus y S. Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1997. Un tratam iento mucho más detallado de las transformadas integrales y su aplica ción a los problemas de ciencia e ingeniería puede encontrarse en
B Davies, Integral Transforms and Their Applications, 3a. ed., Nueva York: Springer-Verlag, 2002. La estabilidad y la prueba de Routh se estudian en el capítulo 5 de
K. Ogata, Modern Control Engineering, 4a. ed.. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 2002.
EJERCICIOS
EJERCICIOS 14.1 Frecuencia compleja 1. Determinar la frecuencia compleja de cada término: (a ) v (t) = 5 V; (b) í (t ) = 3cos9 1 /¿A; (c) i(t) = 2.5e^8, mA; (d ) v(t) = 65e” ‘o00'c o sí OOOí V; (e)i>(í) = 8 + 2 cos t mV. 2. Proporcionar la frecuencia compleja s de: (a) v(t) = 33.3 V; (b ) i(t) = 3 cos 77r A; (c) q (t) = 7e~5t C; (rf) q(t) = 7e“5' - ^ e ^ s e n ^ í - 42°) C. 3. Obtener el complejo conjugado de cada término, expresando las respuestas en forma polar: (a) 8e~‘; (b ) 19; (c) 9 —y'7; (rf) y f wt\ (e) cos 4 1; ( / ) sen 4t\ (g) 88 / —9°. 4. Proporcionar el conjugado complejo de cada término: (a) 6 - j ; (¿>) 9; (c) —7 30; (rf) 5e”-'6; (fi) 24/- 4 5 ° ; C fl* ~
fe)
; ( « 4 - 22/92.5°.
5. La carga emitida por un arreglo de emisión de campo en particular se representa por conveniencia como Q = 9/43° ¡iC a una frecuencia compleja s = y'20^s_1. (a) ¿Cuánta carga es emitida en i = 1 s? (b) ¿Cuál es la cantidad máxima de carga que será emitida por el arreglo en cualquier momento? (c) ¿El arreglo muestra algún signo de deterioro? ¿Cuál sería una indicación, con base en la frecuencia compleja Q? 6 . Su nuevo asistente mide una señal que proviene de un equipo de prueba, la cual es v (t) = ¥ l^ (~2+-/50)í, donde V* = 8 —y 100 V. (a) Falta un término. ¿Cuál es y por qué puede decirse que falta? (b ) ¿Cuál es la frecuencia compleja de la señal? (c) ¿Cuál es el significado del hecho de que ImfV*} > RefV*}? (rf) ¿Cuál es el sig nificado del hecho de que |Re{s}| < |Im{s}|? 7. Seai(f) la parte real de la corriente compleja variable en el tiempo i(t). Encontrar oa)i x (t ) siij(í) = (4 - j 7 )&~3+j 15)í ;(b)iy (t )si W 0 = (4 + ;7)e~3<(cos 15í —j sen 15í); (c) ¿a ( 0 .4 ) si i^(í) = , donde K/i = 5 —y8 y sA = —1.5 + y 12; (d) í b (0-4) si ib (í ) = K BeSBt, donde K b es el conjugado de K^y s b es el conju gado de sa . 8. Un radiotelescopio que apunta hacia la nebulosa de Orion detecta una corriente de señal periódica i (t) = 2.33 cos(279 x 106í) fA. (a) ¿Cuál es la frecuencia (en Hz) de la señal? (b) Si la señal se detecta midiendo la tensión que se produce cuando la corriente fluye por una resistencia de precisión de 1 TÍ2, escribir la señal de tensión como una suma de dos exponenciales complejas. 9. Si una tensión compleja variable en el tiempo está dada por vs(?) = (20 —y'30)e(" 2+-'50)í V, determinar: {a) vs(0.1) en forma polar; (b) Re {v,(0}; (c) Re [vs(0.1)]; (d) s; (e) s*.
14.2 Función forzada senoidal amortiguada 10. Si el circuito de la figura 14.10 es alimentado por una fuente de 10 V y un ángulo de fase de 3°, la frecuencia compleja —2 + j 10 s~] . (a) Determine i(t). (b ) Determine vi(t) y ’W
100fí
■ F IG U R A 1 4 .1 0
11. (a) Extender el concepto de fasores que se presentó en el capitulólo para deducir expresiones de impedancia para inductores, capacitores y resistencias bajo una
•
A/VV-----
566
)------ V W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
frecuencia compleja s. (tí) ¿Cuál es la impedancia de la resistencia y del inductor, respectivamente, de la figura 14.10? (c) Cuando Re{s} = 0, ¿las expresiones se re ducen a las que se presentaron en el capítulo 10? 12. Un circuito RL en serie simple se conecta a una toma de corriente norteamericana que tiene una tensión v(t) = 179cos(1207Tf) V. Si R = 100 £2 y L = 500 ¿uH, (a) determinar la frecuencia compleja de la tensión en el dominio de la frecuencia co rrespondiente V (s ). (b) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar la corriente I(s ) que fluye por el circuito. (c) Determinar i (í). 13. (o) Sea vs = 10e~2t cos(10í + 30°) V en el circuito de la figura 14.11, trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar Ix. (tí) Calcular ix (i). 0.5 H
5 íl
■ F IG U R A 14.11
14. En Japón, un circuito RC en serie simple se conecta a una toma de corriente con v(t) = 339cos(1007Tí) V. Si R = 2 k£2 y C = 100 ¡xF, (a) proporcionar la frecuen cia compleja de la tensión correspondiente V(s) en el dominio de la frecuencia. (tí) Trabajar en el dominio de la frecuencia para expresar la corriente I(s ) que fluye a través del circuito, (c) Determinar i (t). 15. Sea isi = 20e-3' cos 4t A e iS2 = 30e-3' sen 41A en el circuito de la figura 14.12. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar V, . (tí) Calcular vx(t). 0.1 F
■ F IG U R A 14.12
16. La resistencia de Thévenin de un gran componente de equipo electrónico industrial, según se observa desde las terminales de salida de su suministro de potencia de cd, es aproximadamente igual a 3 m£2 (es un poco mayor cuando el equipo no está en operación). Si el modelo del suministro de potencia es una fuente de tensión expo nencial v(t) = 240\/2e 2í x cos( 1207Tí) V a partir del momento en el que se inte rrumpe el suministro de potencia de la toma de corriente: (a) determinar la corriente i (t) que circula a través de la resistencia trabajando en el dominio de la frecuencia. (tí) Verificar la respuesta del inciso (a) trabajando en el dominio del tiempo, (c) Re solver nuevamente el inciso (a) si se añade un capacitor de 1000 mF entre las termi nales de salida del suministro de potencia (es decir, en paralelo con R th )-
14.3 Definición de la transformada de Laplace 17. Obtener la transformada unilateral de Laplace de Ku(t), donde K es una constante real desconocida. 18. Utilizar la ecuación [14] para expresar la transformada de Laplace de lo siguiente: (a) 3u(t); (tí) 3u(t - 3); (c) 3u(t - 3) - 3; (d) 3«(3 - t). 19. Utilizar la ecuación [14] para determinar la transformada de Laplace de lo siguien te: (a) 2 + 3u(t); (tí) 3e_8í; (c) u(—í); (d) K, donde K es una constante real desconocida. 20. Una fuente de corriente proporciona una corriente de 4e~‘u(t) mA a través de una resistencia de 1 £2. (a) Proporcionar la representación en el dominio de la frecuencia de la tensión en la resistencia, (tí) Recordando que s = a + jco, graficar la magni tud de la corriente en el dominio de la frecuencia como una función de a si a>= 0.
EJERCICIOS
21. Una fuente de tensión v(t) = 5u(t) —5u(t —2) V se conecta a una resistencia de 1 fi. (a) Determinar la representación en el dominio de la frecuencia de la tensión. (b) Expresar la representación en el dominio de la frecuencia de la corriente que cir cula a través de la resistencia.
14.4 Transformadas de Laplace de funciones de tiempo simples 22. Especificar el intervalo de a sobre el cual existe la transformada de Laplace, si /(?) es igual a: (a) t + 1; (b) (t + (¿0 e50,u(t); (d) e50,u(t —5); (e) e~50tu(t —5). 23. Para cada una de las siguientes funciones, determinar la transformada unilateral de Laplace: (a) 8e~2t[u(t + 3) —u{t — 3)]; (b) 8e2'[u(t + 3) —u(t —3)]; (c) 8e~2|f|[«(r + 3) —«(f —3)]. 24. Proporcionar la transformada de Laplace unilateral de lo siguiente: (a) jC—1{s—1}; (b) 1 f u(t) + [u(t)]2; (c) tu(t) —3;(d) 1 —3(f) + 3(f —1) —S(t — 2). 25. Sin recurrir a la ecuación [151, determinar la transformada inversa de 1 s2 lo siguiente: (a)- ; (b) 1; (c) s 2; (d) 275; y (e )^ . 26. Demostrar que siempre y cuando existan las transformadas de Laplace individuales de h ( t) y / 2(í), C IM t) + f 2{0} = C{fx(t)} + C [h(t)}. 27. Utilizar la definición de la transformada de Laplace para calcular el valor de F(1 + j 2) si f ( t ) es igual a (a) 2u(t — 2); (b) 2S(t — 2); (c) e~'u(t — 2). 28. Evaluarlo siguiente: (a) f^ L 8sen5íá(í — 1)d t\(b )/ ^ ( r —5)2S(t —2) dt; (c) ¡ Z 5e~m o'S(t - 3.333 x 10 4) dt; (d) f K&{t - 2) dt, donde K es una constante real. 29. Utilizar la definición de transformada de Laplace (unilateral) para encontrar F(s) si / ( t) es igual a: (a) [«(5 —t)}\u(t — 2)\u(t); (b) 4u(t — 2); (c) 4e~3tu(t — 2); (d) 43(f - 2); (e) 5S(t) sen(10í + 0.2ir). 30. Evaluar lo siguiente: ( a ) / * cos 500í S(t) dt, ( b ) f ^ ts8(t - 2) dt, (c)¡?x 2.5e~a m tB(t - 1000) dt, (d) —K 2S(t — c)d t, donde K y c son constantes reales. 31. Utilizando la transformada unilateral de Laplace, determinar F(s) si / (í) es igual (a) [2«(r - 1)][k(3 - t)]u(t3); (b) 2u(t - 4); (c) 3e~2‘u(t - 4): (d) 33(í —5); (e) 4S(í — 1) [cosirí —senírt].
14.5 Técnicas de la transformada inversa 32. Determinar f{ t) si F(s) es (a) 3 + 1/s; (b) 3 + 1/s2; (c) -----—^ ; j (s + 3)(s + 4)
(d) (s + 3)(s + 4)(s + 5 )' 33. Determinar g(f) si G(s) es (a) 90 — 4.5/s; (b) 11 4 2s/s2; (c) -----------------; . ' (s + ])(s + 1) ( d ) --------------------------. (s +"l)(s + 2)(s + 3) 34. Obtener la transformada inversa de lo siguiente, sin efectuar ninguna integración y sin recurrir a MATLAB: (a) 5s —16 + (s + 4.4)-1; (b) 1 —s” 1 + s - 2; (c) 5(s + 7)"* + 88b"1 +
^ . (s + 6)(s+ 1) 35. La tensión en el dominio de la frecuencia en una resistencia de 2 kfi está dada por V(s) = 5s-1 V. ¿Cuál es la comente que pasa a través de la resistencia en t = 1 ms? 36. La corriente en el dominio de la frecuencia que circula a través de una resistencia de 100 Mfi es 5(s + 10)-1 pA. (a) Graficar la tensión v(l) en la resistencia como una función del tiempo, (b) ¿Cuál es la potencia que absorbe la resistencia en t = 100 ms? (c) ¿En qué tiempo disminuyó la tensión en la resistencia en 1% de su valor máximo? 37. Determinar f( t ) si F(s) es igual a: (a) [(s + l)/s] + [2/(s + 1)]; (b) (e~s + l)2; (c) 2e_(s+1); (d) 2e-3s cosh2s.
A/W
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
38. Si N(s) = 5s determinar £ -1{N(s)/D(s)} paraD(s) = (a) s2 —9; (b) (s 4- 3)(s2 + 19s 4- 90); (c) <4s 4- 12) (8s2 + 6s +1 ). (d) Verificar las respuestas para (o)-(c) con MATLAB. 39. Dadas las siguientes expresiones de F(s), encontrar f ( t ): (a) 5/(s 4- 1); (b) 5/(s 4 1 ) - 2/(s 4 4); (c) 18/[(s 4 l)(s 4 4)]; (d) 18s/[(s 4 l)(s 4 4)]; (e) 1 8 s 2 / [ ( s
+
l)(s +
4 )].
40. Si N (s) = 2s2 determinar C ~ l {N(s) /D(s)} para D(s) = ( a ) s2 — 1; (b) (s 4 3) (s2 + 19s + 90); (c) (8s + 12) (16s2 4 12s + 2). (d) Verificar las res puestas con MATLAB. 41. Calcular f ( t ) if F(s) es igual a: 2 3 2s 4 10 no 12 12 (a ) ’- (b )---- — ;(c) 3e~0As-(d) , . .-,{éh s+ 3 s s +1 (s + 2) (s + 6) (s + 2)2(s + 6)' n 42.Determinar £ _1{F(s)} siF(s) = 2 —s + (s3 + 4s2 + 5s + 2) ' 43. Obtener los desarrollos en fracciones parciales de las siguientes funciones racionales y después determinar las funciones de tiempo correspondientes: (a) F(s) = [(s + l)(s + 2)]/ [s(s + 3)]; (b) F(s) = (s + 2)/[s2(s2 + 4)]. 12s3 12s3 44. Encontrar C 1(G(s)} si G(s) es: (a) ,(b) (s + l)(s + 2) ’ (s2 + 2s + l)(s + 2) ’ I2s3 (c) 3s (s + l)(s + 2)(s + 3) s+ 3 (s + 1 ) 2 45. Encontrar £ _1{H(s)} si H(s) es: (a) \(b) (s + l)(s + 2) (s + l)(s + 2) 3s
( S2
+ 2s + l)(s + 3) + 1 ’
14.6 Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace 46. Efectuar la transformada de Laplace de las siguientes ecuaciones: (a) 5 d i / d t —7 d 2i / d t 2 + 9i = 4; (b)
!l W io n
5u(t -
2) V
I F IG U R A 1 4 .1 3
=
la ecuación que describe la respuesta “sin fuerza” de un sistema absorbedor dAn„ A n„ + G¿ , con r = constante, la cual de choques simple; (c) dt r describe la tasa de recombinación de electrones en exceso (Anp) en silicio tipo p, bajo iluminación óptica (G¡ es una constante proporcional a la intensidad de la luz). 47. Sea / ( O- ) = —3 y 15w(/) —4S(t) = 8 /(í) + 6 Determinar f( t ) calculando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, despejando F(s) e invirtiendo para encontrar /(/). 48. Observar el circuito RL de la figura 14.13 y: (a) escribir la ecuación diferencial de la comente en el inductor ¿i (í) • (b) Proporcionar 1¿ (s), la transformada de Laplace de ii(t). (c) Despejar ¿¿(í) tomando la transformada inversa de Laplace de I¿(s). 49. (a) Determinar i>c(0- ) y i>c(0+) en el circuito de la figura 14.14. (b) Obtener una ecuación para i>c(í) que se cumpla para t > 0. (c) Utilizar las técnicas de la trans formada de Laplace para despejar Vc(s) y calcular después i>c(t).
m FIG U RA 14.14
EJERCICIOS
! > 5 0 . (a) Agregar la fuente de tensión vs(r) = 5u(t) V en serie con la fuente de 5 u(t — 2) V de la figura 14.13 y repitir el ejercicio 48. (b) Graficar la corriente en el inductor y compararla con una simulación de PSpice apropiada. 51. Dada la ecuación diferencial 12 u(t) = 2 0 / 2'(í) + 3/ 2(í). d o n d e/ 2(0_ ) = 2, tom ar su transformada de Laplace, despejar F 2(s), y luego encontrar /¿ (í)52. Determ inar la transformada inversa de Laplace de: (a) 2 /s —4; (b) s /( s 2 + 99); (c) l / ( s 2 + 5s + 6) — 5; (d) s; (e) s2. 53. Dadas las dos ecuaciones diferenciales x' + y = 2u(t) y y' — 2x + 3y = donde x (0 “ ) = 5 e y (0 ~ ) = 8, encontrar x(t) e y(t). 54. Determinar f ( t ) si F(s) está dada por: (a) 8s +
s2/(s + 2) - s + 2.
8 + 8s _1, /(O
8u(t),
) = 0; (b)
55. (a) Proporcionar ¿c(0“ ) e /c ( 0 + ) en el circuito de la figura 14.15. (b) Escribir una ecuación para ;c (r) en el dominio del tiempo que sea válida para t > 0. (c) Utilizar métodos de la transformada de Laplace para despejar I c (s) y luego obtener la trans formada inversa. í= 0 -------- —\
100 V -=
W r
— íoo ín
- 0.02 F
4o v - =L -
r
| ic
t
m FIG U RA 14.15
56. E ncontrar V (s ) si v (t) = (a) 4 co s (1 0 0 f) V ; (b) 2 sen(10 3f) — 3 cos(100í) V ; (c) 14 cos( 8í) — 2sen(8°) V; (d) S(t) + sen(6í)w(6í); (e) cos(5í) sen(3í) V. 57. U na resistencia R, un capacitor C , un inductor L y una fuente de corriente ideal is = 1OOe 5
'c
i O
60. Dada la ecuación diferencial v' + 6v + 9 /g_ v (z) dz = 2 4(r — 2)u (t —2 ) , sea u ( 0“ ) = 0 y proporcionar v(t). 61. A p lic a r la prueba de R outh a las funciones de sistema siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable: s - 500 s - 500 <“ >H W = , 3 + 13s: + 47s + 35 ;
A /W
0
0
A /W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
62. A plicar la prueba de Routh a las funciones de sistem a siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable, después factorizar cada denominador para identificar los polos de H (s) y verificar la exactitud de la prueba de Routh de estas funciones:
63. A plicar la prueba de Routh a las funciones de sistema siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable:
{a) H<,) -
s4 + 3,3 + 3s2 + 3s + 1 ; fb) Hw - ¡ T I '
14.7 Teoremas del valor inicial y del valor final 64. Dada la función v(t) = lu(t) + 8e~3,u(t) V, (a) aplicar el teorema del valor inicial a V(s). (b ) Verificar la respuesta mediante la evaluación de v(t) en t = 0. 65. Dada la función v(t) = lu{t) + 8e~3tu(t) V, (a) aplicar el teorema del valor final a V(s). ( b ) Verificar la respuesta mediante la evaluación de v(t) en t = oo.
66. Determinar / ( 0 + ) y /( o o )
para una función de tiempo cuya transformada de Laplace es: (a) 5(s 2 + l ) / ( s 3 + 1); (b) 5(s 2 + l) / ( s 4 + 16); (c) (s + 1)(1 + éT4s) / (s2 + 2).
67. Sin determinar primero f ( t ) calcular / ( 0+ ) y /( o o ) para cada una de las transfor madas siguientes: (a) (2s 2 + 6)/[s(s 2 + 5s + 2)]; (b ) 2e~s/( s + 3); (c) (s2 + l) / ( s 2 + 5).
68. Proporcionar /( o o ) y / ( 0 + ) para una función de tiempo cuya transformada de Laplace es: (a.) 5(s 2 + l ) / ( s + l) 3; (b ) 5(s 2 + l) /[ s ( s + l ) 3]; (c) (1 — e_ 3s) / s 2. 69. Sea f ( t ) = (1 /t)(e~a1 — e~h,)u(t\. (a) Encontrar F(s). (b ) Evaluar ambos lados de la ecuación lím f ( t ) = lím [sF (s)]. (-+ 0 +
s-+ o o
70. Encontrar los valores tanto inicial como final (o m ostrar que éstos no existen) de las funciones de tiempo correspondientes a:
8s — 2 («) s2 + 6s + 10 ’
2s 3 — s2 — 3s — 5
8s — 2
s3 + 6s2 + lOs ’; (c) s2 —6s + 10 ’
8s2 —2 id) (s + 2)2(s+ l)(s2 + 6s + 10)'
Análisis de circuitos en el dominios CONCEPTOS CLAVE Extender el concepto
IN T R O D U C C IÓ N E n e l c a p ítu lo a n te rio r se fo r m u ló e l c o n c e p to de fre c u e n c ia c o m
de im p e d a ncia al d o m in io s.
p le ja y se m o s tró e l e m p le o de las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e c o m o
M od e la do de condiciones
m e d io p a ra re s o lv e r e l tip o de ecu acio ne s d ife re n c ia le s q u e se e n
»------------------------------ ----------
cu e n tra n en e l a n á lis is de c irc u ito s . D espu és de u n p o c o de p rá c
j A plicación del análisis nodal,
tic a , se p u d o i r y v e n ir e n tre e l d o m in io d e l tie m p o y e l de la fre c u e n c ia seg ún era n ecesa rio. A h o ra to d o está 1i sto p a ra a p lic a r estas fo rm id a b le s té cn ica s e in te g ra rla s c o n e l a n á lis is de c irc u ito s de u n a m a n e ra e stru c tu ra d a . E l c o n ju n to de h a b ilid a d e s re s u lta n te p e rm itir á a n a liz a r de m a n e ra e fic ie n te c u a lq u ie r c irc u ito lin e a l p ara o b te n e r la re spu esta c o m p le ta — tra n s ito ria m ás estado p e rm a n e n te — s in c o n s id e ra r la n a tu ra le z a de las fu e n te s de e x c ita c ió n .
iniciales con fu e nte s ideales.
de m alla, de supe rp o sició n y : de tra n sfo rm a ción de fu e n te : en el d o m in io s.
• ----------------------------------------: Teorem as de T hé ve n in y N o rto n aplicados a circuitos en el d o m in io s.
---------------------------------------M anipulación de expresiones algebraicas en el d o m in io s con MATLAB.
«
mm» *
15.1 , Z(s) y Y(s)__________________________ E l c o n c e p to c la v e q u e hace q u e lo s fa so re s re s u lte n tan ú tile s en el a n á lis is de c irc u ito s de estado s e n o id a l p e rm a n e n te es la tra n s fo r m a c ió n de re s iste n c ia s , ca p a c ito re s e in d u c to re s en impedancias. E l a n á lis is de c irc u ito s c o n tin ú a lu e g o c o n e l u so de té c n ica s básicas de a n á lis is n o d a l o de m a lla , s u p e rp o s ic ió n y tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , a sí c o m o e l e q u iv a le n te de T h é v e n in o e l de N o rto n . C o m o y a h a b rá sospechado, este c o n c e p to se e x tie n d e a l d o m in io s, pues e l estado s e n o id a l p e rm a n e n te es s ó lo u n caso e sp e c ia l (d o n d e a = 0 ).
----------------------------------------Identificación de polos y ceros en las fu n cion e s de transferencias de circuitos.
----------------------------------------Respuesta al im pulso d e un circuito.
4 - .....- .. ........................... Uso de la co n volu ció n para d e te rm in a r la respuesta de un sistem a.
• ----------------------------------------Respuesta en función de ayco.
Resistencias en el dominio de la frecuencia
U tilización de gráficas de
Se e m p e z a rá c o n la s itu a c ió n m ás s im p le : la de u n a re s is te n c ia c o n e c ta d a a u n a fu e n te de te n s ió n v(t). L a le y de O h m e s p e c ific a q ue
polos-ceros para predecir la
v(t) = Ri(t) T o m a n d o la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s,
V(s) =
R](s)
respuesta natural de un circuito.
- ......- .................................... Síntesis de las funciones de transferencia de tensión específicas utilizando am p ops.
M
571
0
AA/V
#
CAPÍTULO15 ANÁLISISDECIRCUITOSENELDOMINIO5 se e n c u e n tra que la re la c ió n (o ra z ó n ) q ue re p re s e n ta a la te n s ió n y la c o rrie n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia es s e n c illa m e n te la re s iste n c ia , i?. D e ta l m a ne ra , Z (S ) = T 7 -T = R
I(s)
[1]
P u e s to q u e se e stá tra b a ja n d o en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , es n e c e s a rio re fe rirs e a esta c a n tid a d c o m o u n a impedancia, en b ie n de la c la rid a d , aun qu e se le s ig u e n a sig n a n d o las u n id a d e s de o h m (£2). D e l m is m o m o d o en que se e x p lic ó a l tra b a ja r c o n fa so re s en e l esta do s e n o id a l p e rm a n e n te , la im p e d a n c ia de u n a re s is te n c ia n o dep en de de la fre c u e n c ia . L a admitancia Y(s) de u n a re s iste n c ia , d e fin id a c o m o la ra z ó n de I(s) e n tre V(s), es s im p le m e n te 1/7?; la u n id a d de a d m ita n c ia es e l sie m e n (S ).
Inductores en el dominio de la frecuencia A c o n tin u a c ió n , se c o n s id e ra u n in d u c to r c o n e c ta d o a a lg u n a fu e n te de te n s ió n v a ria b le en e l tie m p o v(t), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 1 5.1a. Se sabe q ue
di v(t) = L — dt T o m a n d o la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s de esta e cu a c ió n , se e n c u e n tra que
V(s) = L [sI(s)-/(0 -)] (a)
(b)
■ F IG U R A 1 5 .1 (a) Inductor en el dominio del tiempo. (¿) Modelo completo de un inductor en el dominio de la frecuencia, compuesto por una impedancia sí. y una fuente de tensión - íi( C T ) que incorpora el efecto de condiciones iniciales distintas de cero en el elemento.
[2]
A h o ra h a y dos té rm in o s : sLI(s) y Li (0 ). E n s itu a cio n e s en las que la e ne rg ía in ic ia l a lm a c e n a d a en e l in d u c to r es n u la (es d e c ir, i (0 ) = 0 ), e nton ces V (s ) = s L I(s ) p o r lo que Z (s ) =
V (s ) I(s )
= sL
[3 ].
L a e c u a c ió n [3 ] se s im p lific a a ún m ás s i s ó lo se está in te re sa d o en la re s p u e sta s e n o id a l de estado p e rm a n e n te . Se p u e d e n ig n o ra r las c o n d ic io n e s i n i c ia le s en tales casos, pues s ó lo a fe c ta n la n a tu ra le z a de la re spu esta tra n s ito ria . D e ta l m o d o , se s u s titu y e s = jw y se e n c u e n tra
Z (jco)
= JcüL
c o m o se o b tu v o antes en e l c a p ítu lo 10.
Modelos de inductores en el dominio s A u n q u e u n o se re fie re a la c a n tid a d de la e cu a c ió n [3 ] c o m o la im p e d a n c ia de u n in d u c to r, se debe re c o rd a r que se o b tu v o b a jo e l su p ue sto de u n a c o m e n te in ic ia l c ero. E n la s itu a c ió n m ás g e n e ra l, d o n d e la e n e rg ía se a lm a c e n a en e l e le m e n to en t = 0 _ , ta l c a n tid a d n o es s u fic ie n te p a ra re p re s e n ta r a l in d u c to r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . P o r fo rtu n a , es p o s ib le in c lu ir la c o n d ic ió n in ic ia l h a c ie n d o u n m o d e lo de u n in d u c to r c o m o u n a im p e d a n c ia en c o m b in a c ió n c o n u n a fu e n te de te n s ió n o c o n u n a de c o rrie n te . P ara e fe c tu a r lo a n te rio r, en p rim e r lu g a r se debe re o rd e n a r n u e va m e n te la e c u a c ió n [ 2] c o m o V (s ) = s L I( s ) — Li(0~)
[4]
E l seg u n d o té rm in o a la d e re c h a será u n a con sta nte : la in d u c ta n c ia L en h e n ry s m u ltip lic a d a p o r la c o rrie n te in ic ia l i (0 _ ) en am peres. E l re s u lta d o es u n té rm in o
SECCIÓN 15.1 Z(s) y Y(s)
q u e se re s ta d e l té r m in o d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia s L I( s ) . U n p e q u e ñ o d e s te llo de in tu ic ió n en este p u n to p e rm ite re c o n o c e r que se p uede h a c e r u n m o d e lo de u n in d u c to r s e n c illo L c o m o u n e le m e n to de dos c o m p o n e n te s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , c o m o se in d ic a en la fig u ra 15.1 b. E l m o d e lo de in d u c to r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia que se presenta en la fig u ra 15.1 b consiste en u n a im p e d a n c ia s L y una fu e n te de v o lta je Li (O- ) . L a te n s ió n en la im p e d a n c ia sL está dada p o r la le y de O h m c o m o s l l ( s ) . Puesto que la c o m b in a c ió n de lo s dos e lem entos de la fig u ra 15.1 b es lin e a l, to d a té c n ica de a n á fi sis de c irc u ito s e xp lo ra d a antes se a p lic a ta m b ié n en e l d o m in io s. P o r e je m p lo , se p uede e fe c tu a r una tra n s fo rm a c ió n de fu e n te sobre e l m o d e lo p a ra o bte n e r u n a im p ed an cia s L en p a ra le lo c o n una fu e n te de c o rrie n te [—Li ( 0“ ) ] / s L = —i ( 0 “ ) / s . L o a n te rio r se v e rific a a n a liza n d o la ecu a ció n [4 ] y d espejando I ( s ) :
V(s) | Ü 0~) sL
[5 ]
s
T a m b ié n e n este caso se q ueda u n o c o n d os té rm in o s . E l p rim e ro de la d ere cha es s ó lo una a d m ita n c ia 1 /s L veces la te n s ió n V (s ). E l se g u n d o té rm in o de la d e re c h a es la c o rrie n te , a u n q u e tie n e u n id a d e s de a m p e re = s e g u n d o s . D e ta l m o d o , se p u e de h a c e r e l m o d e lo de esta e c u a c ió n c o n dos c o m p o n e n te s in d e p en die ntes: u n a a d m ita n c ia 1/sL en p a ra le lo c o n u n a fu e n te de c o m e n te / (O- ) / s ; e l m o d e lo re s u lta n te se p rese nta en la fig u ra 15.2. L a e le c c ió n de u sa r e l m o d e lo de la fig u ra 15. lb o e l de la fig u ra 15.2 suele d e p e n d e r de c u á l p ro p o rc io n a rá las e cu acio ne s m ás s im p le s c u a n d o se a n a lic e u n c irc u ito c o m p le to que c o n te n g a al in d u c to r. O b s e rv a r que aun qu e la fig u ra 15.2 p re se n ta e l s ím b o lo d e l in d u c to r m a rc a d o c o n u n a a d m ita n c ia Y (s ) = 1 /s L, ta m b ié n se c o n s id e ra c o m o u n a im p e d a n c ia Z ( s ) = s L ; a s im is m o , en este caso, la e le c c ió n de c u á l u tiliz a r se basa a m e n u d o en la p re fe re n c ia p e rs o n a l y en la c o n v e n ie n c ia . Ji m
■ F IG U R A 1 5 J Modelo alternativo en el dominio de la frecuencia del inductor, con una admitancia 1/ s í y una fuente de corriente i (0~) /s.
V a le la p e n a u n b re v e c o m e n ta rio a ce rca de las u n id a d e s . C u a n d o se c a lc u la la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de u n a c o m e n te i ( / ) , se está in te g ra n d o re s p e cto d e l tie m p o . P o r lo ta n to , las u n id a d e s de I ( s ) té c n ic a m e n te son a m p e re s= se g u n d o s; de m o d o s im ila r, las u n id a d e s de V (s ) son v o lts -s e g u n d o s . N o ob sta n te , p o r c o n v e n c ió n se h a d e c id id o e lim in a r lo s segundos y a s ig n a r a I (s ) las u n id a d e s de am peres y m e d ir V (s ) en v o lts . D ic h a c o n v e n c ió n n o p re s e n ta n in g ú n p ro b le m a hasta que se re v is a u n a e c u a c ió n c o m o la [5 ] y a parece u n té rm in o s im ila r a / ( 0 ~ ) / s q ue se e n c u e n tra en aparente c o n flic to c o n la s u n id a d e s de I(s ) d e l la d o iz q u ie rd o . S i b ie n se s e g u irá n m id ie n d o las c a n tid a d e s fa s o ria le s en “ a m p e re s” y “ v o lts ” , a l v e r ific a r las u n id a d e s de u n a e c u a c ió n p ara re v is a r e l á lg e b ra , ¡es n e c e s a rio re c o rd a r lo s seg un do s!
• -------------------------------
VW ----------------í 573
574 --------- W V
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
EJEMPLO 15.1 C a lc u la r la te n s ió n v(t) d e la f ig u r a 1 5 .3 a , d a d a u n a c o r r ie n te in ic ia l i« n = i a . in
■ F IG U R A 1 5 .3 (a) Circuito simple de resistencia -inductor para el que se desea la tensión v(t ) ( b) El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia, que incluye la corriente inicial en el inductor mediante el uso de una fuente de tensión en serie —¿/(O ).
P a ra c o m e n z a r se d e b e c o n v e r tir e l c ir c u ito de ia fig u r a 1 5 .3 a en su e q u iv a le n te e n e l d o m in io d e la fre c u e n c ia , q u e se m u e s tra e n la fig u r a 1 5 .3 b; e l in d u c to r se s u s titu y ó p o r u n m o d e lo d e d o s c o m p o n e n te s : u n a im p e d a n c ia sL = 2sQ y u n a fu e n te d e te n s ió n in d e p e n d ie n te -L i( 0“ ) = - 2 V . S e busca la c a n tid a d m a rc a d a V ( s ) , pues su tra n s fo rm a d a in v e rs a d ará c o m o re s u lta d o v(t). O b s e rv a r que V (s ) a parece e n tre lo s e x tre m o s d e l m o d e lo d e l in d u c to r c o m p le to , y n o s ó lo d e l c o m p o n e n te de la im p e d a n c ia . O p ta n d o p o r la ru ta d ire c ta , se e sc rib e
+2 I(s) =
1 + 2s
s + 9 .5 (s + 8)( s + 0 .5 )
V ( s ) = 2 s l( s ) — 2 p o r lo que V (s ) =
2 s (s + 9 .5 ) (s + 8)( s + 0 .5 )
-2
A n te s de a p lic a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de esta e x p re s ió n , v a le la p e n a d e d ic a r tie m p o y e s fu e rz o p a ra s im p lific a rla . P o r lo ta n to , V (s ) =
(s + 8) ( s + 0 .5 )
R e c u rrie n d o a la té c n ic a d e la e x p a n s ió n e n fra c c io n e s p a rc ia le s (a m a n o o c o n e l a u x ilio de M A T L A B ) , se p u e d e v e r que V (s ) =
3 .2
1.2
s —|—8
s -|- 0 .5
SECCIÓN 15.1 Z(s) y Y(s)
• ------------------------------
M e d ia n te la c o n s u lta de la ta b la 14.1, se sabe que la tra n s fo rm a d a in v e rs a es
v{t) — [3 .2 e ~ 8í — ¡ l . j k - 0' 5í ] i t ( í )
v o lts 4 u(t) V
PRÁCTICA 15.1 D e te rm in a r la c o rrie n te i (,t ) d e l c irc u ito de la fig u ra 15.4.
■ F IG U R A 1 5 .4
Respuesta: 4[1 —(3 e 4<]m(/) A.
Modelo de capacitores en el dominio s L o s m is m o s c o n c e p to s se a p lic a n ta m b ié n a lo s c a p a c ito re s en e l d o m in io s. D e a cu e rd o c o n la c o n v e n c ió n de s ig n o s p a s iva , c o m o se ilu s tra en 1a fig u ra 15.5a, la e c u a c ió n q u e g o b ie rn a a l c a p a c ito r es
jl(s )
I(s)
J /(0 O +
v{t)
Y(s) = sC - =
V(s)
Q ( T ) c K0-)
V(s|
0 (a)
(b)
(<Ú
I F IG U R A 1 5 .5 (o) Capacitor en el dominio del tiempo, en el que se indican v (t) e i ( f ). (b) Modelo en el dominio de la frecuencia de un capacitor con tensión inicial de K 0 “ ), (c) Modelo equivalente obtenido a través de una transformación de fuente.
A l to m a r la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s, se tie n e
I(s) = C[sV(s)
- t '( 0 - )]
I(s) = sCY(s) - Cv(0~)
[ 6]
c u y o m o d e lo p uede ser u n a a d m ita n c ia s C en p a ra le lo c o n u n a fu e n te de c o rrie n te C u ( 0 - ), c o m o en la fig u ra 15.5b. A l e fe c tu a r u n a tra n s fo rm a c ió n de fu e n te en este c irc u ito (c o n c u id a d o en s e g u ir la c o n v e n c ió n de sign os p a s iva ), se p ro d u c e u n m o d e lo e q u iv a le n te d e l c a p a c ito r co m p u e sto p o r u n a im p e d a n c ia 1 /sC en serie c o n u n a fu e n te de te n s ió n u (0 _ ) /s , c o m o se m u e stra en la fig u ra 15.5c. A l tra b a ja r c o n estos e q u iv a le n te s en e l d o m in io s se debe c u id a r de n o c o n fu n d irs e c o n las fu e n te s in d e p e n d ie n te s que se u tiliz a n p a ra in c lu ir las c o n d i c io n e s in ic ia le s . L a c o n d ic ió n in ic ia l de u n in d u c to r está dada c o m o i (O- ) ; d ic h o té rm in o q u iz á aparezca c o m o p a rte de u n a fu e n te de te n s ió n o de u n a de c o rrie n te , seg ún e l m o d e lo q u e se e lija . L a c o n d ic ió n in ic ia l de u n c a p a c ito r está dada c o m o v(() j , en c u y o caso e l té rm in o p uede aparecer c o m o p arte de u na fu e n te de ten sión o de u n a de co rrie n te . U n e rro r m u y c o m ú n de los estudiantes que tra -
W V
---------------- ( 5 7 5
A A /V
576
- •
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
b a ja n c o n e l a n á lis is e n e l d o m in io s p o r p rim e ra v e z es u sa r s ie m p re v(0~) p a ra la c o m p o n e n te de la fu e n te de te n s ió n d e l m o d e lo , aun c u a n d o tra b a je n c o n u n in d u c to r.
D e t e r m in a r r t (í) e n e l c ir c u it o d e la fig u r a 1 5 .6 a , b a jo e l s u p u e s to de u n a te n s ió n in i c i a l » c W “ ) = —2 V;®
Identificar el objetivo del problema.
3 11
Se n e c e s ita la e x p re s ió n de la te n s ió n en e l c a p a c ito r, i’c(t)-
A A A r9 u(t) V
0 .5 F Í
Recopilar la información conocida.
- ")
E l p ro b le m a e s p e c ific a u n a te n s ió n in ic ia l en e l c a p a c ito r de —2 V.
Elaborar un plan. (a)
3 fí
O n | ce
1— 1
v w — + - v r (s)
r L
s
i J (t
P ÍA
1
D e n u e v o , e l p rim e r paso co n s is te e n d ib u ja r e l c irc u ito e q u iv a le n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . A l h a c e rlo de esa m a n e ra , se debe d e c id ir qué m o d e lo de c a p a c ito r u tiliz a r , pues se tie n e p re se n te u n a te n s ió n in ic ia l d is tin ta de cero. E n u n c irc u ito de esta s im p lic id a d , n o h a y u n c la ro b e n e fic io de u n m o d e lo u o tro , p o r lo que se e lig e e l q u e se basa en la fu e n te de c o rrie n te , c o m o se ilu s tra en la fig u ra 1 5.6 b.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Se c o n tin u a rá c o n e l a n á lis is e s c rib ie n d o u n a s o la e c u a c ió n n o d a l:
(b)
[FIGURA
-1 =
15.6 (a) Circuito para el que se requiere
la corriente. (6 ) Circuito equivalente en ei dotrjiñio de la frecuencia, en el que se emplea el modeló j i j a d o en la fuente de corriente para tomar en cuenta la condición inicial del capacitor.
Vc
V c - 9 /s
2 /s
3
Determinar si se requiere información adicional. H a y u n a e c u a c ió n c o n u n a in c ó g n ita : la re p re s e n ta c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia de la te n s ió n deseada en e l ca p a c ito r.
Buscar la solución. R e s o lv ie n d o p a ra V c , se o b s e rva que: 1 8 /s -6 Vc =
„ -
3s + 2
2-
(s -3 )
s(s -|- 2 /3 )
E l d e s a rro llo en fra c c io n e s p a rc ia le s p ro d u c e 11
V c = -----s
2 /3
Se o b tie n e i> c (0 to m a n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de esta e x p re s ió n , lo que o rig in a
i’c(t) = 9u(t) — lle ~ 2t/3u(t)
V
o, en fo rm a m á s c o m p a c ta :
vc(t) = [ 9 - lle~ 2t/3]u(t)
V
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? U n a v e rific a c ió n rá p id a de t = 0 da vc (t) = — 2V , pues se basa en e l c o n o c im ie n to de la c o n d ic ió n in ic ia l. A d e m á s , a m e d id a q u e t — oo, vc (t) 9 V , c o m o se d e b e ría e sp e ra r a p a rtir de la fig u ra 1 5.6a u n a vez q ue se h a y a e x tin g u id o (o d e s a p a re c id o ) e l tra n s ito rio .
SECCION 15.1
PRÁCTICA
¿(s) yY(s)
_________________________________________________
15.2 R e p e tir e l e je m p lo 15.2 u tiliz a n d o e l m o d e lo de c a p a c ito r basado en la fu e n te de te n s ió n . Respuesta: [9 — 11 e~2,/3]u(t) V.
L o s re s u lta d o s de esta s e c c ió n se re s u m e n en la ta b la 15.1. O b s e rv a r q ue en cada caso se .supone la c o n v e n c ió n de s ig n o s p asiva .
TABLA 15.1 Resumen de representaciones de elementos _____________ en ios dominios del tiempo y la frecuencia D o m in io d el tie m p o
D o m in io d e la fre cu e n c ia
R e s is te n c ia
Wj = m »
V(s) = R I(s) I I(S)
I rf-.;;
T O ÍtP * A’
? s) = jV(s) If s >
V(s) < Z(s) - R
Inductor
di * ) = £‘¡g dt
\(,s) = síi(s) -Li(0~)
I(s )= ^
+ i (5 1
|l(sl
1Un
V(s)
=£apaciior
dv i(t) = C dt
V(si = ^
I(s) - sC’Vis) - Cti 0-)
+
I Ks)
iQY
o
■\ty 1<0-)
»
A W
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
15,2 t ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA EN EL DO M IN IO s E n e l c a p ítu lo 10 se e s tu d ió la m a n e ra de tra n s fo rm a r lo s c irc u ito s en e l d o m in io d e l tie m p o a ctiv a d o s p o r fu e n te s senoidales, e n sus e q u iva le n te s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . L o s b e n e fic io s de esta tra n s fo rm a c ió n re s u lta ro n e vid e n te s de in m e d ia to , pues y a n o fu e n e c e s a rio re s o lv e r e cu a cio n e s in te g ro d ife re n c ia le s . E l a n á lis is n o d a l y de m a lla de ta le s c irc u ito s (re s trin g id o a d e te rm in a r s ó lo la re s puesta en esta do p e rm a n e n te ) p ro d u jo e xp re sio n e s a lg e b ra ic a s en té rm in o s de jco, s ie n d o cola fre c u e n c ia a n g u la r de las fu e n te s. Se h a v is to a h o ra que se puede e x te n d e r e l c o n c e p to de im p e d a n c ia a l caso más g e n e ra l de fre c u e n c ia c o m p le ja (s = a + jco). U n a v e z que se tra n s fo rm a n lo s c irc u ito s d e l d o m in io d e l tie m p o a l de la fre c u e n c ia , la re a liz a c ió n d e l a n á li sis n o d a l o de m a lla te n d rá c o m o re s u lta d o , ta m b ié n e n este caso, e xp re sio n e s p u ra m e n te a lg e b ra ica s, p e ro esta v e z en té rm in o s de la fre c u e n c ia c o m p le ja s. L a s o lu c ió n de la s e cu acio ne s re s u lta n te s re q u ie re e l uso de la s u s titu c ió n de v a ria b le s, la re g la de C ra m e r o u n p ro g ra m a de c ó m p u to capaz de m a n ip u la r e l álg e bra s im b ó lic a (p o r e je m p lo , M A T L A B ) . E n esta s e c c ió n se p rese nta n dos e je m p lo s de ra z o n a b le c o m p le jid a d , a fin de que se e x a m in e n estos tem a s c o n m a y o r de ta lle . S in e m b a rg o , p rim e ro se h a rá u n a b re v e pausa p a ra v e r la fo r m a e n que puede u tiliz a rs e M A T L A B p a ra a p o y a r e n esta tarea.
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U TA D O R A E n e l c a p ítu lo a n te rio r se v io que se u tiliz a M A T L A B para d e te rm in a r lo s re si duos de fu n cio n e s racionales en e l d o m in io s, lo c u a l hace que e l proceso in v e r so de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e sea m u ch o m ás s e n c illo . S in em bargo, este p ro g ra m a de c ó m p u to es en re a lid a d m u ch o m ás p oderoso, pues d isp on e de num erosas ru tin a s inco rp orad as p ara la m a n ip u la c ió n de las expresiones alge braicas. D e hecho, c o m o se v e rá e n este e je m p lo , M A T L A B in c lu s o puede e fe c tu a r de m a n e ra d ire c ta las tra nsform ad as inversas de L a p la c e a través de las fu n c io n e s racion ale s que se o b tie n e n gracias a l aná lisis de c irc u ito s . Se c o m ie n z a v ie n d o c ó m o puede u tiliz a rs e M A T L A B p a ra tra b a ja r c o n e xp re sio n e s a lg e b ra ica s, las cu a le s se a lm a c e n a n c o m o secuencias de ca ra c teres, d o n d e se u tiliz a e l a p o s tro fe ( ‘ ) en la e x p re s ió n de d e fin ic ió n . P o r e je m p lo , se re p re s e n tó antes e l p o lin o m io p (s ) = s3 — 12s + 6 c o m o u n v e c to r: E D U » p = [1
0
-1 2
6],
S in e m b a rg o , ta m b ié n se re p re s e n ta de m a n e ra s im b ó lic a : E D U » p = ‘ s~3 — 1 2 *s + 6 ’ . E stas dos re p re s e n ta c io n e s n o son ig u a le s en M A T L A B , s in o que son c o n cep tos d is tin to s . C u a n d o se desea m a n ip u la r simbólicamente u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a , se re q u ie re la segunda re p re s e n ta c ió n . E s ta c a p a c id a d re s u lta en e sp e c ia l ú til a l tra b a ja r c o n las e cu a cio n e s s im u ltá n e a s . C o n s id e ra r e l c o n ju n to de ecu acio ne s (3 s + 1 0 )I1 - 1 0 I 2 = ^ s+ 2
101! + (4 s + 10)I2 = — —
s+ 1
SECCIÓN 15.2 ANÁLISIS NODALY D t MALLA EN EL DOMINIOS
U tiliz a n d o la n o ta c ió n s im b ó lic a de M A T L A B , se d e fin e n dos v a ria b le s de secuencia: E D U > e q n l = ‘( 3 * s + 1 0 ) * I l - 1 0*12 = 4 /( s + 2 ) ’ ; E D U » e qn 2 = ‘ - 1 0 * 1 1 + ( 4 * s + 1 0 ) * I 2 = - 2 / ( s + l ) ’ ; O b s e rv a r q u e la e c u a c ió n c o m p le ta se in c lu y ó en cad a secu en cia ; la m e ta c o n s is te en re s o lv e r las d os e cu a cio n e s de las v a ria b le s I I e 12. M A T L A B p ro p o rc io n a u n a ru tin a e s p e c ia l, solve(), q u e m a n ip u la tale s e cu acio ne s. Se a p lic a lis ta n d o la s e c u a c io n e s s ep arad as (d e fin id a s c o m o s e c u e n c ia s ), seguidas p o r una lis ta de in c ó g n ita s (d e fin id a s ta m b ié n c o m o secuencias): E D U » s o lu c ió n = s o lv e (e q n l, e qn 2, ‘ I I ’ , ‘12’ ); L a re spu esta se a lm a c e n a en la v a ria b le solución, aun qu e en u n a d is p o s ic ió n u n p o c o ine spe ra da . M A T L A B da c o m o respuesta, en u n a fo rm a que se de n o m in a e stru c tu ra , u n a c o n s tru c c ió n q u e re s u lta f a m ilia r p a ra lo s p ro g ra m a d o re s de C . E n esta etapa, s in e m b a rg o , to d o lo q u e se n e c e s ita c o n o c e r es la fo r m a de e x tra e r la respuesta. S i se te c le a E D U » I I = s o lu c ió n .Il se o b tie n e la re spu esta II = 2 * ( 4 * s + 9 ) / ( s + l) / ( 6 * s '2 + 4 7 * s + 7 0 ) q u e in d ic a q u e se a s ig n ó una e x p re s ió n d e l p o lin o m io s a la v a ria b le I I ; se u tiliz a u n a o p e ra c ió n s im ila r p a ra la v a ria b le 12. A h o ra se p ro c e d e de m a n e ra d ire c ta p a ra d e te rm in a r la tra n s fo rm a d a in versa de L a p la c e u tiliz a n d o la fu n c ió n ilaplace{)\ E D U » i l = ila p la c e ( Il) il = 1 0 /2 9 * e x p (—t ) — 1 7 2 /6 6 7 *e x p (—3 5 /6 * t) —2 /2 3 * e x p (—2 * t) D e esta m a n e ra , se o b tie n e c o n ra p id e z la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a s que re s u lta n del a n á lis is n o d a l o de m a lla , y se d e te rm in a n ta m b ié n las tra n s fo rm a d a s in v e rs a s de L a p la c e . E l c o m a n d o ezplot(i l ) p e rm ite v e r la fo r m a e n q u e se o b s e rva la s o lu c ió n , s i así se desea. D e b e observarse que las e xp re sio n e s c o m p lic a d a s a veces q u iz á c o n fu n d a n a M A T L A B ; en tale s situ a cio n e s , ilaplaceQ q u iz á n o dé u n a re spu esta ú til. V a le la p en a m e n c io n a r unas cuantas fu n c io n e s re la c io n a d a s, pues ta m b ié n se u tiliz a rá n p a ra re v is a r de in m e d ia to las respuestas c a lc u la d a s de m a n e ra m a n u a l. L a fu n c ió n numdenQ c o n v ie rte u n a fu n c ió n ra c io n a l en dos v a ria b le s in d e p e n d ie n te s : u n a q u e c o n tie n e e l n u m e ra d o r y la o tra e l de n o m in a d o r. P o r e je m p lo , E D U » [N . D ] = n u m d e n ( Il) d a c o m o re s u lta d o dos e xp re sio n e s a lg e b ra ic a s alm acen ad a s en N y D , res p e c tiv a m e n te : N =
8 *s+ 1 8 D = ( s + l) * ( 6 * s " 2 + 4 7 * s + 7 0 ) (Continúa en la siguiente página)
»
W V
580 --------- V
W
----------------- •
CAPÍTULO15 ANÁLISISDECIRCUITOSENELDOMINIOS
Para a p lic a r la e x p e rie n c ia a n te rio r a la fu n c ió n residue(), es n e c e s a rio c o n v e r tir cad a e x p re s ió n s im b ó lic a (se cu e n c ia ) en u n v e c to r q u e c o n te n g a los c o e fic ie n te s d e l p o lin o m io . L o a n te rio r se lo g ra c o n e l c o m a n d o symlpolyQ: E D U » n = s y m 2 p o ly (N );
E D U » d = s y m 2 p o ly (D ) d = 6 53 117 7 0 después de lo c u a l se d e te rm in a n lo s re s id u o s E D U » [r p y ] — re s id u e (n ,d )
r=
P=
y=
-0 .2 5 7 9 -0 .0 8 7 0 0 .3 4 4 8
-5 .8 3 3 3 -2 .0 0 0 0 -1 .0 0 0 0
[ ]
lo c u a l c o n c u e rd a c o n lo que se o b tu v o m e d ia n te e l e m p le o de ilaplaceQ.
C o n estas n ue va s capacid ad es de M A T L A B (o un deseo a rra ig a d o de in te n ta r u n m é to d o a lte rn a tiv o , c o m o e l de C ra m e r o la s u s titu c ió n d ire c ta ), se está lis to p ara p ro c e d e r a a n a liz a r unos cua nto s c irc u ito s .
EJEMPLO 15.3 Determinar las dos corrientes de malla i\ e h del circuito de la figura 15.7a. Al inicio, no hay energía almacenada en el circuito. 4 H
2é-i u(t) V
F IG U R A 1 5 .7 (o) Circuito de dos mallas para el que se desean corrientes de malla individuales. (6) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
C o m o s ie m p re , e l p rim e r paso c o n s is te en d ib u ja r e l c irc u ito e q u iv a le n te a p ro p ia d o en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . P u e s to q u e n o se tie n e e ne rg ía
SECCIÓN 15.2 ANÁLISIS NODAL Y D t MALLA EN EL DOMINIOS
• ------------------------------
VW
----------------(
581
a lm a c e n a d a e n e l c irc u ito en t = 0 “ , se s u s titu y e e l c a p a c ito r de i F p o r u n a im p e d a n c ia de 3 /s £2 y e l in d u c to r de 4 (H ) p o r u n a im p e d a n c ia de 4s Q c o m o en la fig u ra 1 5 .7 b. A c o n tin u a c ió n , se escrib en dos ecuaciones de m a lla ju s to c o m o se h iz o antes: 4 s+ 2
3 —I i + lO I i — IO I 2 = 0 s
3 \ 4 — |- 10 1l i — 10L> = --------s / s+ 2
2 s+ 1
(m a lla 1)
+ 1 0 I 2 - 10I i + 4 s l 2 = 0
2
— 1 0 Ii 4- (4s + 10)12 = --------s+ 1
(m a lla 2)
D e s p e ja n d o l i e I 2, se e n c u e n tra que li =
2 s(4 s 2 + 19s + 2 0 ) (2 0s 4 + 66s 3 + 73s 2 + 57s + 3 0)
y 3 0 s2 + 4 3s + 6
j
2 ~ (s + 2 )(2 0 s 3 + 2 6s2 + 21s + 15) T o d o lo q u e re sta es o b te n e r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de cada fu n c ió n , lu e g o de lo c u a l se tie n e Se indicó (de manera indirecta) que no fluye
¿1( / ) = —9 6 .3 9 e _2í - 3 4 4 . 8é T ' + 841.2“ 015í c o s 0 .8 5 2 9 í + 1 9 7 .7 e ~ 015,s e n 0 .8 5 2 9 f
corriente a través del inductor en f = O- . Por lo ta n to ,/2(CT) = 0 y, en consecuencia,/2(0 + ) debe
mA
ser también igual a 0. ¿Este resultado es válido para
e
i2(t) = - m . 9 e ~ 2t - 241.4e~‘ + 723.3e~0J5t e o s 0 .8 5 2 9 1 + 4 7 2 .8 íf-0 1 5 ís e n 0 .8 5 2 9 í
1
prAc r ca t
mA
____________________________________________
15.3 D e te rm in a r las co rrie n te s de m a lla i¡ e i2 en e l c irc u ito de la fig u ra 15.8. Se p o d ría suponer que n o h a y energía alm acenada en e l c irc u ito en t = 0~.
Respuesta: h = e 2'/3 cos ( f V 2f) + (yy /2 / ^ je - 2,lz s e a { \
A;
h = - | + f e ú c o s ( | V 2 f ) + ( 1 3 V 2 / 2 4 ) é>-2,/ 3s e n ( | V 2 í ) A
su respuesta?
-A/VV
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
EJEMPLO 15.4 ..................... C a lc u la r la te n s ió n vx en e l c ir c u it o d e la f ig u r a 15.9 u t iliz a n d o la s té c n ic a s d e l a n á lis is n o d a l.
4u(t) V
2 + 5«(í) V
Ref ■ F IG U R A 1 5 .9 Circuito simple de cuatro nodos que contiene dos elementos de almacenamiento de energía.
«5 | 'O
1A
I F IG U R A 1 5 .1 0 Circuito equivalente en el dominio s de la figura 15.9.
E l p rim e r paso c o n s is te en d ib u ja r e l c irc u ito c o rre s p o n d ie n te en e l d o m in io s. Se p u e d e o b s e rv a r q u e e l c a p a c ito r | F tie n e u n a te n s ió n in ic ia ] de 2 V en sus te rm in a le s en e l tie m p o t = O- , lo c u a l re q u ie re q u e se e m p le e u n o de lo s dos m o d e lo s de la fig u ra 15.5. P ue sto q u e se u tiliz a r á e l a n á lis is n o d a l, q u iz á s sea m e jo r u sa r e l m o d e lo de la fig u ra 15.5¿>. E l c irc u ito re s u lta n te se m u e s tra en la fig u ra 1 5.10 . U n a v e z e sp e c ifica d a s las dos o tre s te n s io n e s n o d a le s, s o la m e n te q u e da u n a e cu a c ió n n o d a l p o r e s c rib ir: V , - -
-1 = ^ +
V
, +
V , - ______ s 4s
s p o r lo que V, -
10s 2 + 4
5s 2 + 2
s(2 s 2 + 4s + 1)
V2
s (s + l + Y
L a te n s ió n n o d a l vx se e n c u e n tra lle v a n d o a cab o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e , p o r m e d io de la c u a l se p u e d e v e r q ue
vx = [4 + 6 .8 6 4 e - '- 707í - 5 .8 6 4 e °-2929t]u(t) O Vx =
4 —e
9V2senh ^ - t
cosh — t
2
u(t)
¿Es correcta la respuesta? U n a fo rm a de v e r ific a rla es e v a lu a r la te n s ió n en e l c a p a c ito r en t = 0 , y a q u e se sabe q u e será de 2 V . P o r ende, Vc =
4s 2 + 2 8s + 3 s
■Vx =
s (2 s 2 + 4 s + l )
M u ltip lic a n d o V c p o r s y c a lc u la n d o e l lím ite de s - > o o , se e n c u e n tra q ue vc ( 0 + ) — lí m
c o m o se esperaba.
"4 s 2 + 28s + 3 " 2s2 + 4s + 1
= 2 V
SECCIÓN 15.2
PRÁCTICA
ANÁLISISNODALYDEMALLAENELDOMINIOs
*
AA/V
______________________________________________________________
15.4 A p lic a r e l a n á lisis n odal p ara c a lc u la n .^ (í)e n e l c irc u ito de la fig u ra 15.11.
Ref ■ F IG U R A 1 5 .1 1 Para el problema de práctica 15.4.
Respuesta: [5 4- 5.657 (e 1-707' —e °-2929')]m(í).
EJEMPLO 15.5 A p lic a r e l a n á lis is n o d a l p a r a d e t e r m in a r lo s v o lta je s v\, ib y im e n el c ir c u it o d e la f ig u r a lS.\2a. N o h a y e n e rg ía a lm a c e n a d a e n e l c ir c u it o e n t = 0~.
100 í l
v-
6s O
\-
■ F IG U R A 1 5 .1 2 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene dos capadores y un inductor, ninguno de los cuales almacena energía en t = 0~. (b) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
D ic h o c irc u ito con sta de tre s e le m e n to s de a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía sepa ra do s, n in g u n o de lo s cua les a lm a c e n a e n e rg ía e n t = 0 . P o r e llo , cada u n o se p o d ría s u s titu ir p o r su im p e d a n c ia c o rre s p o n d ie n te , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.12 b. Se o b s e rv a ta m b ié n la p re s e n c ia de u n a fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te c o n tro la d a p o r la tens i ón n o d a l (t). E m p e z a n d o en el n o d o 1, se e sc rib e la s ig u ie n te e cu a c ió n : 0 .1 s+ 3 “
V i- V 2 100 (Continúa en la siguiente página)
AAAr
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN FL DOMINIOS
10 s -I- 3
= Vi —V2
(n o d o l i
y en e l n o d o 2 :
V2 - V!
v2
v 2- v 3
o = — -------- - + — + — -------- 1 00 ' 7 /s 6s
—4 2 s V 1 + (6 0 0 s 2 + 4 2s + 7 0 0 ) V 2 - 7 0 0 V 3 = 0
(n o d o 2)
y, p o r ú ltim o , en e l n o d o 3 -0 .2 V 2 =
V3 - V 2 6s
V3 2/s
(1.2s — 1 )V 2 + (3s + 1 ) V 3 = 0 A l re s o lv e r este c o n ju n to de e cu a cio n e s re s p e cto de las te n sio n e s n o d a le s, se o b tie n e
Vi = 3
100s3 + 7s2 + 150s + 49 (s + 3 )(3 0 s 3 + 4 5 s + 14) 3s 2 + 1 (s + 3 )(3 0 s 3 + 45s + 14)
V 3 = -1 .4
6s - 5 (s + 3 )(3 0 s 3 + 4 5 s + 14)
E l ú n ic o p aso q u e q u e da es to m a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de c ad a te n s ió n , p o r lo que, p a ra / > 0 , u i( í ) = 9 .7 8 9 « -3 ' + 0 . 0 6 1 7 3 e “ a2941í + 0 .1 4 8 8 e 01471' c o s (1 .2 5 1 /) + 0 .0 5 1 7 2 e 01471ís e n (1 .2 5 1 í) V
v2(t) = - 0 . 2 1 0 5 e “ 3r + 0 .0 6 1 7 3 e “ a2941' + 0 . 1 4 8 8 e 01471í c o s (1 .2 5 1 /) + 0 .0 5 172e0147lfsen( 1 .2 5 1 /) V
V3(t) = —0 .0 3 4 5 9 e ~ 3í + 0 .0 6 6 3 l e - 0 '2941' — 0 .0 3 1 7 2 e ° 1471íc o s (1 .2 5 1 /) — 0 .0 6 3 6 2 e 01471,s e n (1 .2 5 1 í) V O b s e rv a r que la re sp u e sta c re ce en fo rm a e x p o n e n c ia l c o m o re s u lta d o de la a c c ió n de la fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te . E n esencia, e l c irc u ito se está d is p a ra n d o , lo q u e in d ic a que en a lg ú n p u n to u n c o m p o n e n te se está fu n d ie n d o , e x p lo ta n d o o f a lla de a lg u n a m a n e ra s im ila r. ¡S i b ie n re s u lta e v i d e n te que e l a n á lis is de lo s c irc u ito s de este tip o im p lic a u n a g ra n c a n tid a d de tra b a jo , las v e n ta ja s re la tiv a s a la s té c n ica s e n el d o m in io s son claras u n a v e z que se c o n s id e ra q u e lle v a n a cab o e l a n á lis is en e l d o m in io d e l tie m p o ! v,(t)
3H
p,( 1)
8H
/ .ii\
-n m p | ) i O m( í ) A
<
■ FIGURA 15.13
2 fi
P R Á C T I C A g__________________________________________ _______ '
3 * fí)A
15.5 E m p le a r e l a n á lis is n o d a l p a ra d e te rm in a r las te n s io n e s v¡, v2 y f 3 en el c irc u ito de la fig u ra 15.13. S u p o n e r que n o h a y e n e rg ía a lm a ce n a d a en lo s in d u c to re s e n t = 0 ” . Respuesta: v \ ( t ) = —30 S (t) — 1 4 u(t) V ; v 2(t) = — 14u ( t ) V ; v-¡(t) = 2 4 S (t ) — 1 4 « ( f) V .
SECCIÓN 15.3
TÉCNICASADICIONALESD| ANÁLISISDECIRCUITOS
• ----------------- W V --------- (- 585
15.3 TÉCNICAS ADICIONALES DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
----------- • ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------S egún sea la m e ta específica a l a n a liza r u n c irc u ito en p a rtic u la r, se encuentra a m e nu do que se s im p lific a nuestra tarea s i se e lig e c o n cuid ad o la técn ica de análisis. P o r e je m p lo , ra ra vez se desea a p lic a r la su p erpo sició n a u n c irc u ito que contiene 215 fuentes independientes, pues u n m é to d o de este tip o re qu iere e l a nálisis de ¡215 c irc u ito s independientes! S in em bargo, a l pensar que los elem entos pasivos, com o lo s capacitores y los in d u cto re s, fu e ra n im p ed an cia s, se tien e la lib e rta d de a p lic a r c u a lq u ie ra de las técnicas de a nálisis de c irc u ito que se e studiaron en lo s cap ítu los 3, 4 y 5 para lo s c irc u ito s que se h a n tra n s fo rm a d o en sus equivalentes en e l d o m in io s. D e esta fo rm a , ta n to la s u p e rp o s ic ió n , las tra n s fo rm a c io n e s de fu e n te c o m o lo s teo re m as de T h é v e n in y de N o r to n se a p lic a n to d o s en e l d o m in io s.
EJEMPLO 15.6 Simplificar el circuito de la figura 15.14a mediante las transforma ciones de fuente y determinar la expresión de la tensión v(t).
0.5 F
0.5 F
S in c o rrie n te s o te n sio n e s in ic ia le s e sp e cifica d a s y u n a u(t) que m u ltip lic a a la fu e n te de te n s ió n , se c o n c lu y e que, a l in ic io , n o h a y e ne rg ía a lm a ce n a d a en e l c irc u ito . P o r lo ta n to , se d ib u ja el c irc u ito en e l d o m in io de la fre c u e n c ia c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.14¿>. L a e stra te g ia co n s is te en e fe c tu a r v a ria s tra n s fo rm a c io n e s de fu e n te suce sivas para c o m b in a r las dos im p e d a n c ia s de 2/s £2 y la re s is te n c ia de 10 £2; se debe d e ja r sola la im p e d a n c ia de 9s Q c u a n d o la c a n tid a d deseada V(s) apa re zca en sus te rm in a le s . Se p o d ría tra n s fo rm a r a h o ra la fu e n te de te n s ió n y la im p e d a n c ia m ás a la iz q u ie rd a de 2/s £2 en u n a fu e n te de c o rrie n te
en p a ra le lo c o n u n a im p e d a n c ia de 2/ s £2. C o m o se m u e stra en la fig u ra 15.15a, después de d ic h a tra n s fo rm a c ió n se tie n e Zi = (2/s) || 10 = 20/(10s + 2) £2, que e n fre n ta a la fu e n te de c o m e n te . A l e fe c tu a r o tra tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , se tie n e u n a fu e n te de te n s ió n V2(s) ta l que
■ F IG U R A 15.15 que se analizará.
(a) (b) (a) Circuito después de la primera transformación de fuente, (b) Circuito final en el
L a fu e n te de te n s ió n está en serie c o n Z i y ta m b ié n c o n la im p e d a n c ia que queda 2/s; la c o m b in a c ió n de Zi y 2/s en u n a n u e va im p e d a n c ia Z2 p ro d u c e
20 2 40s + 4 Z2 = --------- -|- —= ------------10s + 2 s s(10s-|-2)
£2
(Continúa en la siguiente página)
(b) ■ F IG U R A 1 5 .1 4 (o) Circuito que se va a simplificar mediante transformaciones de puente. (b) Representación en el dominio de la frecuencia.
f M í j ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------W
v
-----------------•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO
E l c irc u ito que re s u lta se m u e s tra en la fig u ra 1 5.1 5 6 . E n esta e ta pa se está p re p a ra d o p a ra o b te n e r la e x p re s ió n de la te n s ió n V (s ) u tiliz a n d o la d iv is ió n de te n s ió n s im p le :
í
s2 \ f 20 \ s2 + 9 / \ lOs + 2
9s 9s +
40s + 4 s ( 10s + 2)_
180s4 ~ (s~ + 9 )(9 0 s 3 + 18s2 + 40s + 4 ) A m b o s té rm in o s d e l d e n o m in a d o r posee n ra íce s c o m p le ja s . A l e m p le a r M A T L A B p a ra fa c to riz a r e l d e n o m in a d o r y lu e g o d e te rm in a r lo s re s id u o s , EDU» d i = V 2 + 9’; EDU
d 2 = ’ 9 0 *s "3 + 1 8 *s "2 + 4 0 * s + 4 ’ ;
E D U » d = s y m m u l( d l, d 2 ); EDU
d e n o m in a d o r = e x p a n d (d );
EDU
d e n = s im 2 p o li(d e n o m in a d o r);
EDU
num = [1 8 0 0 0 0 0 ];
E D U » [ r p y ] = re s id u o (n u m , d e n ); se e n c u e n tra que Observar que cada térm ino que tiene un polo complejo cuenta con un término acompañante que
1 .0 4 7 + j'0 .0 7 1 6 1 .0 47 — j'0 .0 7 1 6 0 .0 4 7 1 + j0 .0 1 9 1 V (V ) = ___ ______ "_________I__________ 1_______________________ í ______:____ s-j3 s + j3 s + 0 .0 4 8 8 5 - y'0 .6 5 7 3
es su conjugado complejo. En cualquier sistema físico, los polos complejos siempre aparecerán
0 .0 4 7 1 - j0 .0 1 9 1
, 5 .5 9 0 x 10 "5
~~ s + 0 .0 4 8 8 5 + y '0 .6 5 7 3 +
s + 0 .1 0 2 3
en pares conjugados.
T o m a n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de c a d a té rm in o y e s c rib ie n d o 1 .047 + j0 . 0 7 1 6 c o m o 1 .0 49 e^3-912° y 0 .0 4 7 1 + ./0 .0 1 9 1 c o m o 0 .0 5 0 8 3 e 7 '57'9 se tie n e
v(t) —1.049ej3'912°ej3tu(t) + l.049e~i3-9l¥ e~j3,u(t) + 0 .0 5 0 8 3 e _ jl5 7 -9°e- 0 -04885í« _y°-6573tM (í) + 0 .0 5 0 8 3 e+J]51^ e - m 5 ‘e+J°-6513tU(t)
+ 5 .5 9 0 x 1 0~ 5e _ 0' 1023, M (í) L a c o n v e rs ió n d e las e x p o n e n c ia le s c o m p le ja s en senoides p e rm ite e s c rib ir u n a e x p re s ió n lig e ra m e n te s im p lific a d a de la te n s ió n :
v(t) = [5 .5 9 0 x i o - 5e - ° 1023í + 2 .0 9 8 c o s (3 f + 3 .9 1 2 ° ) + 0 . 1 017e“ 004885< c o s (0 .6 5 7 3 f + 1 5 7 .9 ° ) ] m ( í )
PRÁCTICA
5 u(t) V
■ FIGURA 15.16
V
_______________________________________________________________
1 5.6 U tiliz a n d o e l m é to d o de la tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , re d u c ir e l c irc u ito de la fig u ra 1 5 .1 6 a u n a fu e n te de c o rrie n te s im p le e n e l d o m in io s en p a ra le lo c o n u n a s o la im p e d a n c ia . 35 Respuesta:I, = ¡ W s + 63- A ,
72s2 + 252s Z - = M + 6 3 S2 + 12s + 28
SECCIÓN 15.3 TÉCNICAS ADICIONALES DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Y A
%
0
EJEMPLO 15.7 Encontrar el equivalente de Thévenin en el dominio de la frecuencia de la red encerrada en un rectángulo de la figura 15.17a. Este circuito en particular se conoce como modelo "híbrido jr" de un tipo especial de circuito de un transistor simple conocido como amplificador de base común. Los dos capacitores C„ y C^, represen tan capacitancias internas del transistor y por lo común son del orden de unos cuantos pF. La re sistencia
(a)
del circuito representa la resistencia
equivalente de Thévenin del dispositivo de salida, que podría ser un altavoz o incluso un láser semicon ductor. La fuente de tensión vs y la resistencia R¡ representan, en conjunto, el equivalente de Thévenin
1A
1/s Cv = =
V ent RE < > -
r„ > V „ |
Rc <>
del dispositivo de entrada, que podría ser un micró 1/sC ^ = =
Rl <
antena de radio.
+
(b) 1 F IG U R A 1 5 .1 7 (o) Circuito equivalente del amplificador transistorizado de "base común". (b) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia con una fuente de prueba de 1 A sustituida por la fuente de entrada representada por v¡ y Rs-
A s í, se p id e d e te rm in a r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in d e l c irc u ito c o n e c ta d o a l d is p o s itiv o de e ntra d a : esta c a n tid a d se c o n o c e a m e n u d o c o m o impedancia de entrada d e l c irc u ito a m p lific a d o r. D espu és de c o n v e rtir e l c irc u ito en su e q u iv a le n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , se s u s titu y e e l d is p o s itiv o de e n tra d a (u s y Rs) p o r u n a fu e n te “ de p ru e b a ” de 1 A , c o m o se ilu s tra en la fig u ra 1 5.1 7¿?. L a im p e d a n c ia de e n tra d a Z ent e q u iv a le e nton ces a:
Vent-
o s e n c illa m e n te Se debe d e te rm in a r u n a e x p re s ió n de esta c a n tid a d en té rm in o s de la fu e n te de 1 A , de las re s iste n c ia s y de lo s ca p a c ito re s y /o e l p a rá m e tro de fu e n te d e p e n d ie n te g. A l e s c rib ir u n a s o la e c u a c ió n n o d a l en la entra da , se p u e de v e r que ! + ? - $ - 1 '" •¿'eq d on de Z eq = Re D a d o que
1
R e ?ti
------- rn — -----------------------------------sC .t rn + R e + sR e ^ C ^
V,T = —Vent, se o b s e rv a que Z
— V
=
fono, una resistencia sensible a la luz o tal vez una
________________ R-Er7T________________
rn + R e + sR Er„CK + gREr„
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
1a
PRACTICA
— v w — 3 u(t) V | M
r
0.25 F =,=
4 ft <
15.7 T ra b a ja n d o en e l d o m in io s d e te rm in a r e l e q u iv a le n te de N o rto n ,, v is to desde la re s is te n c ia de 1 Q p ara e l c irc u ito de la fig u ra 15.18. Respuestas: Isc = 3(s + l)/4 s A; Z,¡, = 4 /(s + L)-Q.
* FIG U R A 15.18
15.4 POLOS, CEROS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
----------- • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------E n esta s e c c ió n se repasa la te rm in o lo g ía que se p rese ntó e n e l c a p ítu lo 14 p o r p rim e ra vez, es d e c ir, polos, ceros y funciones de transferencia. C o n s id e ra r e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 15.19 a. E l e q u iv a le n te en e l d o m in io s se ilu s tra en la fig u ra 1 5.19 b y e l a n á lisis n o d a l d a c o m o re s u lta d o : „
“
V sai
V Sal — Vent
1 /s C
R
A l re o rd e n a r y d espe jar V sai, se o b se rva que V sal:
H (s ) =
R
o-----V\Ar-
+
+ 'salí' 1
(a)
R
o----- v w +
+ V en,(s)
sC
Y -,00
0b) i FIG U R A 15.19 (o) Circuito simple de una resistencia y un capacitor, con una tensión de entrada y una tensión de salida especificada. (b) Circuito equivalente en el dominio.
Cudndo se calcula la magnitud, se suele considerar a + o o y - o o como si fueran el mismo punto. Sin embargo, el ángulo de fase de la respuesta en valores m uy grandes positivos y negativos de a>no necesita ser el mismo.
V ent
1 + s RC
1
V sal
1 -i- s RC
[7 ]
d o n d e H ( s ) es la función de transferencia d e l c irc u ito , d e fin id a c o m o la p ro p o rc ió n (o ra z ó n ) entre la s a lid a y la e ntrada. Se p o d ría e s p e c ific a r s in n in g ú n p ro b le m a u n a c o rrie n te p a rtic u la r c o m o la c a n tid a d de e n tra d a o de s a lid a , lo que im p lic a ría u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d ife re n te d e l m is m o c irc u ito . P o r lo ge n e ra l, lo s esquem as de c irc u ito se lee n de iz q u ie rd a a d ere cha , d e b id o a lo c u a l lo s d ise ña do re s m u ch a s veces p o n e n la e ntra d a de u n c irc u ito a la iz q u ie rd a d e l m is m o esq ue m a y la s te rm in a le s de s a lid a a su dere cha , p o r lo m e no s en la m e d id a de lo p o s ib le . E l c o n c e p to de fu n c ió n de tra n s fe re n c ia es m u y im p o rta n te , ta n to p a ra e l a n á lis is de c irc u ito c o m o p a ra o tras áreas de la in g e n ie ría . S on dos la s razones. P rim e ra , u n a v e z q u e se c o n o c e la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de u n c irc u ito p a r tic u la r, se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d la s a lid a que re s u lta de cualquier entra d a ; to d o lo q u e se n e c e s ita es m u ltip lic a r H ( s ) p o r la c a n tid a d de e ntra da y to m a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de la e x p re s ió n que se p ro d u c e . S egunda, la fo rm a de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia c o n tie n e u n a g ra n c a n tid a d de in fo rm a c ió n acerca d e l c o m p o r ta m ie n to que se p o d ría e sp erar de u n c irc u ito (o siste m a ) en p a rtic u la r. C o m o se o b s e rv ó en la a p lic a c ió n p rá c tic a d e l c a p ítu lo 14, p ara e v a lu a r la es ta b ilid a d de u n s iste m a se re q u ie re d e te rm in a r lo s p o lo s y ceros de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia H (s ); se a n a liz a rá este p u n to c o n d e ta lle m ás adelante. L a e cu a c ió n [7 ] se e s c rib iría c o m o
H(s) =
1¡RC 1 /R C
[8 ]
L a m a g n itu d de esta fu n c ió n tie n d e a cero cua nd o s —» o o. D e ta l m o d o , se puede a firm a r que H ( s ) tie n e u n cero en s = o o. L a fu n c ió n tie n d e a in fin ito en s = — 1 / RC', p o r lo ta n to , se a firm a que H (s ) tie n e u n polo e n s = — 1 /RC. Estas fre c u e n cias se c o n o ce n c o m o frecuencias críticas y su id e n tific a c ió n te m p ra n a s im p lific a la c o n s tru c c ió n de las curva s de respuesta que se d e sa rro lla rá n en la s e c c ió n 15.7.
SECCIÓN 15.5 CCNIVOLUCIÓN
15.5 , CONVOLUCION L a s té cn ica s en e l d o m in io s que se han d e s a rro lla d o hasta e l m o m e n to son m u y ú tile s p a ra d e te rm in a r la respuesta de te n s ió n y de c o rrie n te de u n c irc u ito p a r tic u la r. S in e m ba rg o, en la p rá c tic a a m e n u d o se deben e n fre n ta r c irc u ito s a lo s que se les p ue de n c o n e c ta r fue nte s a rb itra ria s y que re q u ie re n u n a fo rm a e fic ie n te de d e te rm in a r la n u e va s a lid a cada vez. E s ta tarea se hace fá c ilm e n te si se p ue de ca ra c te riz a r e l c irc u ito b á s ico m e d ia n te u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia lla m a d a fu n ción del sistema. C o m o está a p u n to de verse, re s u lta q ue ta l fu n c ió n d e l siste m a es la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de la respuesta de im p u ls o u n ita rio d e l c irc u ito . E l a n á lis is p u e d e c o n tin u a r ta n to en e l d o m in io d e l tie m p o c o m o en e l de la fre c u e n c ia , a u n q u e en g e n e ra l es de m a y o r u tilid a d tra b a ja r e n e l d o m in io de la fre c u e n c ia . E n tales s itu a cio n e s , se c u e n ta c o n e l p ro c e so de c u a tro pasos sen c illo s q ue se m e n c io n a a c o n tin u a c ió n : 1. D e te rm in a r la fu n c ió n de sistem a del c irc u ito (si es que no se conoce todavía). 2. O b ten er la tra nsform ad a de L a p la c e de la fu n c ió n fo rza d a que se a p lic a rá 3. M u ltip lip lic a r esta transform ada y la fu n c ió n del sistem a entre sí, y finalm ente 4. O b ten er la tra nsform ad a inve rsa de L a p la c e d e l p ro d u cto a fin de e ncontrar la respuesta de salida.
P o r estos m e d io s a lg u na s e xp re sio n e s in te g ra le s m ás o m e n o s c o m p le ja s se re d u c irá n a fu n c io n e s s im p le s de s, p o r lo q u e las o p e ra cio n e s m a te m á tic a s de in te g ra c ió n y de d ife re n c ia c ió n se s u s titu irá n p o r las o p e ra cio n e s m ás s im p le s de m u ltip lic a c ió n y d iv is ió n a lg e b ra ica s. C o n estos s e ñ a la m ie n to s en m e n te , se p ro c e d e a h o ra a e x a m in a r la re spu esta de im p u ls o u n ita rio de u n c irc u ito y es ta b le c e r su re la c ió n con la fu n c ió n d e l siste m a . D espu és se c o n s id e ra rá n a lg u n o s p ro b le m a s de a n á lis is co n cre to s.
Respuesta al impulso S ea una re d e lé c tric a lin e a l N, s in e n e rg ía in ic ia l alm acen ad a , a la que se a p lic a la fu n c ió n fo rz a d a x (z ). E n a lg ú n p u n to de este c irc u ito está p rese nte u n a fu n c ió n de re spu esta y(t). Se m u e s tra lo a n te rio r en fo rm a de d ia g ra m a de b lo q u e s e n la fig u ra 15.20a ju n to c o n lo s d ib u jo s de fu n c io n e s de tie m p o g en érica s. Se de m u e s tra que la fu n c ió n fo rz a d a e x is te ú n ic a m e n te en e l in te rv a lo a < t < b. P o r lo ta n to , y{t) s ó lo e x is te p a ra t > a. L a p re g u n ta que se desea re s p o n d e r a h o ra es: “Si se conoce laforma de x (/) , ¿cómo se describe y(t) ? ” Para re s p o n d e rla es n ecesa rio c o n o c e r a lg o s ob re N. S up ó ng ase que el c o n o c im ie n to de N ra d ic a en e l c o n o c im ie n to de su re p u e sta c u a n d o la fu n c ió n fo rz a d a es u n im p u ls o u n ita r io <$(/)• E s to es, se s u p o n e que se con oce h(t), la fu n c ió n de re spu esta que re s u lta c u a n d o u n im p u ls o u n ita rio se s u m in is tra c o m o la fu n c ió n fo rz a d a en t = 0 , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.20 6. L a fu n c ió n h(t) suele r e c ib ir e l n o m b re de fu n c ió n de respuesta a l im p u ls o u n ita rio o respuesta al impulso, y es u n a p ro p ie d a d d e s c rip tiv a m u y im p o rta n te de u n c irc u ito e lé c tric o . C o n base en e l c o n o c im ie n to de las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e , se c o n s id e ra a ésta desde u n a p e rs p e c tiv a u n p o c o d ife re n te . A l tra n s fo rm a r x(t) en X ( s ) e y(t) en Y ( s ) , se d e fin e la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l s iste m a H ( s ) c o m o H (s) . M
X(s)
* -
AAAr
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
y(t)
x(t) x(t) -
N
-y(t)
(a)
x(t> = 8(t)
y(t ) = h(t)
sw-
( 1)
-h{t)
ib)
S (í-A )-
N
- h ( t - A)
(c) N
-;t(A) h { t - X )
(d) J x(\) S ( t -
X)
d \-
-j " x(\)h (t-\)d \
(e) x(t) ■
iV
'/ ■ ;r(A) h ( t - X ) í/A = }>(/)
(/) ■ FIG U R A 15J O Desarrollo conceptual de la integral de convolución.
S i x(t) = < 5 (í), enton ces, de a cu e rd o c o n la ta b la 14.1, X ( s ) = 1. P o r lo ta n to , H(s) = Y(s), te n ie n d o así, en este caso, h(t) = y (t). E n v e z de a p lic a r e l im p u ls o u n ita rio en el tie m p o t — 0 , ahora sup on er que se a p lic a en e l tie m p o t = X (la m b da ). Se puede o b serva r que e l ú n ic o c a m b io en la sa lid a es e l re tardo de tie m p o . P o r lo tan to, la salid a se v u e lv e h(t —X) cuando la en tra da es <5(f — A.), c o m o se v e en la fig u ra 15.20c. A c o n tin u a c ió n , suponer que e l im p u ls o de entrada tiene una inte nsid ad d ife re nte de la u nitaria. D e m anera específica, d e ja r que la in te n s id a d d e l im p u ls o sea n um é rica m e n te ig u a l a l v a lo r de x{t) cuando t = X. E l v a lo r ,v(A.) es u n a constante; se sabe que m u ltip lic a r una fu n c ió n fo r/a d a en u n c irc u ito lineal p o r u n a constante ocasiona sim p le m e n te que la respuesta cam b ie de m anera p ro p o rc io n a l. A s í, si la entrada ca m b ia en x(X)8(t — X);>entonces la respuesta se v u e lv e x (X)h(t — X), de acuerdo c o n la fig u ra 15.20J. S u m a r a h o ra esta ú ltim a e n tra d a sobre to d o s lo s v a lo re s p o s ib le s d e A. y u t i liz a r e l re s u lta d o c o m o u n a fu n c ió n fo rz a d a de N. L a lin e a lid a d e sta ble ce que la s a lid a debe ser ig u a l a la sum a de las respuestas q u e re s u lta n d e l u so de to d o s lo s v a lo re s p o s ib le s de a . E n g e n e ra l, la in te g ra l de la e n tra d a d a c o m o re s u lta d o la in te g ra l de la s a lid a , lo c u a l se in d ic a en la fig u ra 15.20e. S in e m b a rg o , ¿ cuál es a h o ra la entra da ? D a d a la p ro p ie d a d de filtr a d o 1 d e l im p u ls o u n ita rio , se o b s e rva que la entrada es sen cilla m e nte jl'( í ) , la entrada o rig in a l. P o r lo tanto, la fig u ra 15 ,20e p u e de re prese ntarse b a jo la fig u ra 1 5 .2 0 /. (1) La propiedad de filtrado de la función impulso, descrita en la sección 14.5, establece que
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
• ------------------------------
VW ---------------- f591
Integral de convolución S i la e n tra d a d e l s iste m a ¿V es la fu n c ió n fo rz a d a x(t), se sabe q u e la s a lid a de b e rá ser la fu n c ió n y(t), c o m o se m u e s tra e n la fig u ra l5 .2 0 a . P o r ende, a p a rtir de la fig u ra 1 5 .2 0 /'s c c o n c lu y e que
y(t) = j x(X)h(t — k) dk J —OO
[9 ]
d o n d e h{t) es la re spu esta a l im p u ls o de N . E s ta im p o rta n te re la c ió n se co n o c e en to d o s la d o s c o m o integral de convolución. E n o tras p a la b ra s , esta ú ltim a e cu a ció n establece que la salida es igual a la entrada convolucionada con la res puesta al impulso. A m e n u d o se a b re v ia p o r m e d io de ¡Tener cuidado en no confu-dir esta nueva nolacicp
j ( í ) = x(t) * h(t)
con la multiplicación!
d o n d e e l a ste ris co se le e “ c o n v o lu c io n a c o n ” . L a e cu a c ió n [9 ] a lg u na s veces a parece de u n a fo rm a u n p o c o d ife re n te , p e ro e q u iv a le n te . S i z = t — X, e nton ces d). — —dz, y la e x p re s ió n p a ra y(t) se c o n v ie rte en /»—OO ¿iCO =
/
/»C
- x ( t - z )h (z )d z = /
J oo
x(t — z)h(z) dz
J —c
y p u e sto que e l s ím b o lo que se está u tiliz a n d o p a ra la v a ria b le de in te g ra c ió n n o tie n e im p o rta n c ia , se p u e d e m o d ific a r la e c u a c ió n [9 ] p a ra e s c rib irs e b a jo la s ig u ie n te fo rm a
/ OO x(z)h(t - z) dz -OO
[ 10]
x{t - z)h(z)dz
- Jf
—C
Convolución y sistemas realizables E l re s u lta d o q u e se o b tie n e a p a rtir de la e cu a c ió n [1 0 ] es m u y g e n e ra l; se a p lic a a c u a lq u ie r s iste m a lin e a l. S in e m b a rg o , se suele e sta r in te re sa d o en sistem as físicamente realizables, es decir, a q u e llo s q ue existen o podrían existir, p e ro esos sistem as tie n e n una p ro p ie d a d que m o d ific a lig e ra m e n te la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . E s to es, la respuesta del sistema no puede empezar antes de que se aplique lafunción forzada. E n p a rtic u la r, h(t) es la re spu esta d e l s iste m a q u e re s u lta de la a p lic a c ió n de un im p u ls o u n ita r io en t — 0. P o r lo ta n to , h(t) n o puede e x is tir p a ra t < 0. Se despren de q ue , en la seg un da in te g ra l de la e cu a c ió n [ 10], e l in te g ra n d o es c e ro c u a n d o z < 0 ; en la p rim e ra in te g ra l, e l in te g ra n d o es c e ro c u a n d o ( í — z) es n e g a tiv o o c u a n d o z > t. P o r lo ta n to , p a ra sistem as rea lizables lo s lím ite s de in te g ra c ió n c a m b ia n en las in te g ra le s de c o n v o lu c ió n :
y(t) = x ( t ) * h ( t ) = —OO
x(z)h(t - z)dz
/»oo
-J
[1 1 ]
x(t-z)h (z)d z 0
592 --------- W V
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
T a n to la e c u a c ió n [1 0 ] c o m o la [1 1 ] son v á lid a s , a un q u e la ú ltim a es m ás es p e c ífic a c u a n d o se h a b la de siste m as lin e a le s realizables, p o r lo q ue v a le la pen a m e m o riz a rla .
vi (2) l
Z 1
Método gráfico de convolución
(a)
A n te s de a h o n d a r m ás en la im p o rta n c ia de la respuesta de im p u ls o de u n c irc u ito , se c o n s id e ra rá u n e je m p lo n u m é ric o que p ro p o rc io n a rá c ie rto c o n o c im ie n to en c u a n to a la fo rm a e n q u e se e v a lú a la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . S i b ie n la e x p re s ió n m is m a es m u y s im p le , la e v a lu a c ió n a veces re s u lta p ro b le m á tic a , sob re to d o c o n re spe cto a lo s v a lo re s u tiliz a d o s c o m o lím ite s de in te g ra c ió n . S u p o n e r q u e la e n tra d a es u n im p u ls o de te n s ió n re c ta n g u la r q u e e m p ie z a en t = 0, tie n e u n a d u ra c ió n de 1 segundo y es de 1 V de a m p litu d :
«*<- * )
1
z -1
(b)
x(t) — v¡{t) = u(t ) — u(t — 1)
v¡(t - z )
S u p o n e r ta m b ié n q u e este im p u ls o de te n s ió n se a p lic a a u n c irc u ito c u y a res p ue sta a l im p u ls o se sabe que es u n a fu n c ió n e x p o n e n c ia l de la fo rm a
1
z
t-
t
1
h(t) = 2 e ‘u(t) Se desea e v a lu a r la te n s ió n de s a lid a v0(t). Se p u e d e e s c rib ir la respuesta, de in m e d ia to , en fo rm a in te g ra l
(c)
/• O O
y(t) = va(t) = v¡(t) * h(t) = / Jo
v¡(t - í)h(z)dz
[u(t — z) — u{t — z — 1)][2e~zu(z)]dz
(<0 v,(t - z)h(z)
(e) v ¡(t-z )
1 - -------------0 t- 1
1
t
2
(/) ■ F IG U R A 1 5 .2 1 Conceptos gráficos para evaluar una integral de convolución.
O b te n e r esta exp re sió n de v„(t) es m u y sim p le , aunque la p resencia de la g ra n can tid a d de fu n c io n e s de escalón u n ita rio tie n d e a h acer co n fu s a su e va lu a c ió n e in c lu so q uizás sea u n p o c o m olesta. D eb e prestarse m u ch a a tención a la d e te rm in a c ió n de las partes del in te rv a lo de in te g ra c ió n en e l c u a l e l in te g ra n d o es cero. Se re c u rrirá a c ie rto a u x ilio g rá fic o que a yu d e a c o m p re n d e r lo q u e a firm a la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . Se c o m ie n z a d ib u ja n d o v a rio s ejes z a lin e a d o s u n o a r r i ba d e l o tro , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.21 . Se sabe q u e v¡ (t) se ve de esa m a n e ra y p o r e llo ta m b ié n se sabe q u e v¡ (z) se v e ta m b ié n de fo rm a s im ila r y se g ra fic a en la fig u ra 1 5.21a. L a fu n c ió n v¡(—z) es s im p le m e n te v¡(z), q ue c o rre en d ire c c ió n c o n tra ria c o n re s p e cto a z, o está g ira n d o a lre d e d o r d e l e je de o rd e nadas, c o in o se ilu s tra en la f ig u r a 1 5 .2 1 6 . D e sp u é s se desea re p re s e n ta r v¡ (t — z), la c u a l es v¡ ( —z) lu e g o de q u e se h a c o rrid o h a c ia la d e re c h a p o r u n a c a n tid a d z = t c o m o en la fig u ra 1 5.21 c. E n e l s ig u ie n te e je z, fig u ra 15.21 d, se g ra fic a la re spu esta de im p u ls o h(z) = 2e~z v(z). E l paso s ig u ie n te es m u ltip lic a r las dos fu n c io n e s v¡(t — z) y h(z)\ e l re s u l ta d o para u n v a lo r a rb itra rio de t < 1 se m u e s tra en la fig u ra 1 5 .2 le . Se busca u n v a lo r de la s a lid a vQ(t), e l c u a l está d a d o p o r e l área b a jo la c u rv a , re s u lta d o d e l p ro d u c to de las d os fu n c io n e s (la q u e se m u e s tra som b re a d a en la fig u ra ). C o n s id e ra r e n p rim e ra in s ta n c ia t < 0. E n este caso, n o e xis te tra sla p e e n lre v¡ (t — z) y h(z), p o r lo q ue v0 = 0. A m e d id a q u e t a um e n ta , se d e s p la z a e l im p u ls o q u e se m u e s tra en la fig u ra 1 5 .2 1 c a la d ere cha , lo que p ro d u c e un tra sla p e c o n h(z) u n a v e z q u e t > 0. E l área b a jo la c u rv a c o rre s p o n d ie n te de la fig u ra F ig . J 5 .2 le c o n tin ú a a u m e n ta n d o a m e d id a que a u m e n ta e l v a lo r de t h asta que se a lc a n z a u n v a lo r de t = 1. A m e d id a que t a u m e n ta m ás a llá de este v a lo r, se abre u n a b a n d a e n tre z = 0 y e l f ilo d e la n te ro d e l im p u ls o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.21 /. C o m o re s u lta d o , e l tra sla p e c o n h(z) d is m in u y e .
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
* -
A /W
593
E n o tras p a la b ra s , p a ra v a lo re s de t q u e se e n c u e n tra n e n tre c e ro y la u n id a d , se debe in te g ra r desde z = 0 hasta z = t\ p a ra v a lo re s q u e e xce d a n la u n id a d , el ra n g o de in te g ra c ió n es í — 1 < z < t. P o r ende, se p ue de e s c rib ir
t<
0 í 2e~z dz = 2 ( l - e - ‘) v0(t) - ■ Jo f
Jt-i
0
0
2e~z dz = 2 (e — \)e~‘ í > l
E sta fu n c ió n se p re se n ta g ra fic a d a en fu n c ió n de la v a ria b le de tie m p o fig u ra 1 5.22 , te n ie n d o así la s o lu c ió n c o m p le ta d a .
t en
la
va(t)
FIG U RA 15.22 Función de salida la convolución gráfica.
v0que se obtiene por medio de
EJEMPLO 15.8 Aplicar una función de escalón unitario, x(t) = «(íj^fcomo la entrada a un sistema cuya respuesta al impulso es h(t) = u(t) —2u(t —1) + u(t —2 f y determinar la salida correspondientey(t ) = x(t) =1= h(t). E l p rim e r paso es g ra fic a r x(t) y
h(t), seg ún se in d ic a en la
fig u ra 15.23.
m x(t)
-L
(b)
(a)
l FIG U RA 15.23 Dibujos de (o) la señal de entrada x(t) = u(t) y (6) la respuesta al impulso unitario h(t) = u(t) - 2u(t - 1) + u (t - 2 ), de un sistema lineal.
Se e lig e de m a ne ra a rb itra ria e v a lu a r la p rim e ra in te g ra l de la e cu a ció n [1 1 ]:
y (0 =
í
x(z)h{t —z) dz
J —OO
y se e la b o ra u n a s e c u e n cia de d ib u jo s q u e a yu de a s e le c c io n a r lo s lím ite s de in te g ra c ió n c o rre cto s. L a fig u ra 1 5.24 p re s e n ta estas fu n c io n e s en o rd e n : la e n tra d a x(z) c o m o u n a fu n c ió n de z; la respuesta a l im p u ls o h(z); la c u rv a (Continúa en la siguiente página)
594
A A /V
- •
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
d e la c u a l es e x a c ta m e n te h \—z), g ir a d a a lr e d e d o r d e l e je v e r tic a l: y h(t — z), que se o b tie n e c o rrie n d o h (z), h acia la derecha t u nid ad es. E n este d ib u jo se h a e le g id o t en e l in te rv a lo 0 < t < 1. h(z) x(z)
1 1
0 -1 -
2
(b)
(a)
h(t-z)
h(-z)
1
1 t -1 \
-2
-1
0 -1 -
t t -2
--1
(d)
(c)
■ F IG U R A 1 5 .2 4 (
E n estas c o n d ic io n e s , es f á c il v is u a liz a r e l p ro d u c to de la p rim e ra g rá fic a
x(z) y de la ú ltim a , h(t — z), p a ra lo s d iv e rs o s ra n g o s de t. C u a n d o t es m e n o r q ue c e ro , n o h a y tra sla p e y
y(t) = 0
t < 0
P ara e l caso que se p re se n ta en la fig u ra 1 5.24 d, h(t — z) tie n e u n tra sla p e d ife re n te de c e ro c o n x(z) desde z — 0 hasta z — t, y ca d a u n a es de v a lo r u n ita rio . P o r lo ta n to ,
y(t)
= Jof
(1 x \) d z = f
0 < f < 1
C u a n d o f se e n c u e n tra e n tre 1 y 2 , h(t — z) se h a d e s p la z a d o lo s u fic ie n te m e n te le jo s h a c ia la d e re ch a p a ra lle v a r d e b a jo de la fu n c ió n e sc a ló n esa p a rte de la o n d a c u a d ra d a n e g a tiv a q u e se e x tie n d e desde z = 0 hasta z — t — 1. P o r lo ta n to ,
'
rt-l
y(t)= Jo
[1 x ( - 1
) ]d z + I ( 1 Jt~ f 1
E n c o n se cu e n cia ,
y(t) =-(t
x 1)dz
■z—t - 1
+z
= —z
z= í z —t —1
1< t < 2
l ) + í - ( í - 1) = 2 - t ,
P o r ú ltim o , c u a n d o f es m a y o r que 2 , h(t — z) se h a d e s p la z a d o lo s u fi c ie n te m e n te le jo s h a c ia la d ere cha , d e m o d o q u e se e n c u e n tra p o r c o m p le to a la d e re ch a de z = 0. L a in te rs e c c ió n c o n e l e s c a ló n u n ita rio es to ta l y
í
nt- 1
y(t)
[1 x ( — 1 ) ] d z +
7< I
(I
x 1) d z
z - t-1
=
—z
z —t + Z z - t —1 z=t- 2
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
-w v
*■
y(t)
O
y(t) = - ( t - 1) + ( Í - 2) + t - (t - 1) = 0 ,
t > 2
E sto s c u a tro seg m en tos de y(t) se re ú n e n c o m o u n a c u rv a c o n tin u a en la fig u ra 15.25.
P R Á C T I C A ____________________________ ___
___________________________
15.8 R e p e tir el e je m p lo 15.8 u tiliz a n d o la segunda in te g ra l de la ecuación [11]. 15.9 L a respuesta a l im p u ls o de u na re d está d ad a p o r h{t) — 5 u(t — 1). S i se a p lic a u n a señal de e n tra d a x(t) — 2\u(t) — u(t — 3 ) ] , d e te rm in a r la s a lid a y(t) en 1 1ig u a l a: (a) —0 .5 ; ( b) 0 .5 ; (c ) 2 .5 ; ( d ) 3.5. R e s p u e s ta s : 1 5 .9 : 0 , 0 , 1 5 , 2 5 .
Convolución y la transformada de Laplace L a c o n v o lu c ió n tie n e a p lic a c io n e s en u n a a m p lia g a m a de d is c ip lin a s m ás a llá d e l a n á lis is de c irc u ito s , e n tre lo s q u e se in c lu y e n e l p ro c e s a m ie n to de im á g e n e s, las c o m u n ic a c io n e s y la te o ría d e l tra n s p o rte c o n s e m ic o n d u c to re s . P o r ende, es a m e n u d o de u tilid a d c o n ta r c o n u n a in tu ic ió n g rá fic a d e l p ro c e so b á s ico , aun si las e xp re sio n e s in te g ra le s d é la s e cu a cio n e s [ 10] y [ 11] n o son s ie m p re la m e jo r ru ta de s o lu c ió n . U n a a lte rn a tiv a a p ro x im a d a , m u y p o d e ro s a , u tiliz a las p ro p ie d a d e s de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e , de d o n d e surge la in tro d u c c ió n a la c o n v o lu c ió n en este c a p ítu lo . Sean F j (s) y F 2(s) las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e de ), re s p e c tiv a m e n te , y c o n s id e ra r la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de
f i ( t ) y f 2 (t f \ (t ) */2(/),
-AL
h { k ) f 2{ t - k ) d k
P o r lo g e n e ra l, u n a de estas fu n c io n e s de tie m p o será la fu n c ió n fo rz a d a que se a p lic a en las te rm in a le s de e n tra d a de u n c irc u ito lin e a l, y la o tra c o rre s p o n d e rá a la re spu esta a l im p u ls o u n ita rio d e l c irc u ito . D a d o que a h o ra se está tra b a ja n d o c o n fu n c io n e s de tie m p o q u e n o e x is te n antes de t = 0 “ (la d e fin ic ió n de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e o b lig a a s u p o n e r lo a n te rio r), e l lím ite in fe r io r de in te g ra c ió n se c a m b ia en 0 _ . E n ese caso, u ti liz a n d o la d e fin ic ió n de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e , se o b tie n e ¿ { / K O * / 2( í ) }
= Jo~Í ‘ H.Jo-
M k ) f 2( t - k ) d k dt
P ue sto q u e e~st n o dep en de de k, este fa c to r se p u e d e m o v e r h a c ia e l in te r io r de la in te g ra l. S i se e fe c tú a este paso y se in v ie rte ta m b ié n e l o rd e n de in te g ra c ió n , e l re s u lta d o es
í
oo r
£ { / i ( 0 * / 2( 0 } =
/»oo
e~st f\{k) f 2{t —k) dt dk
U tiliz a n d o este tru c o , se o b s e rv a q u e f \ (A ) n o d epende de 1 y p o r e llo se saca de la in te g ra l: /»oo
£ { / i (0 * M ) } -
/
Jo-
r
/iW
/>co
/
L-/ 0-
e~stf 2(t - k) d t
dk
■ FIG U R A 15.25 Resultado de la convolución de x (t ) y / ) ( 0 que se muestra en la figura 15.23.
A/W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
D espu és se e fe c tú a la s u s titu c ió n de x = t — X e n la in te g ra l e n tre c orch ete s (d o n d e se p o d ría tra ta r a X c o m o u n a co n sta n te ):
= C - i ;
e s(jr+A)y 2( jt ) dx dX M » [ l -k OO —Sk / _ e -sxj 2(x)dx d X
pOQ
= / M X )e -sk[V2(s)]dX Jopoo
= F 2( s ) / / i (X)e~^dX JoP ue sto q u e la in te g ra l q u e q u e da es s im p le m e n te F j (s ), se v e que
[12]
£ { / i ( 0 * h(t)} = F [ ( s ) • F 2(s)
E n u n c ia d o d e m a n e ra u n p o c o d ife re n te . se p o d ría c o n c lu ir que la tra n s fo r m a d a in v e rs a del p ro d u c to de dos tra n s fo rm a d a s es la c o n v o lu c ió n de las tra n s fo rm a d a s in v e rs a s in d iv id u a le s ; ta l re s u lta d o en o ca sio n es es ú t i l al o b te n e r tra n s fo rm a d a s in ve rsa s.
EJEMPLO 15.9 Aplicar el teorema de convolución para determinar V(s) = l/[(s + a) (s + /?)].
v(t) si
Se o b tu v o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de esta fu n c ió n p a rtic u la r en la sección 14.5 m e d ia n te u n d e s a rro llo e n fu n c io n e s p a rc ia le s . A h o ra se id e n tific a a V ( s ) c o m o e l p ro d u c to d e dos tra n s fo rm a d a s : V ,(s ) =
V2(s) =
1 (s -h a)
1
W + P)
donde
Vj ( t ) = e~a,u(t)
v2(t) = e p,u(t) L a v(t) q u e se desea se e xp re sa d e in m e d ia to c o m o f°
v(t) = £ - 1{ V , ( s ) V 2(s )} = w ,( f) * v2(t) = / V[(X)v2(t — X) dX J 0pOO
=
pt
/ e~a>u(X)e-M-k)u ( t - X ) d X = / e~ale ^‘e^x dX Joj 0pt
= « -/* * /
Jo-
p(P-ot)t
_
1
eV -a>x dX = e-?1- --------------- -u(t)
P~a
SECTION 15.5 CONVOLUCIÓN
o, en fo rm a m ás c o m p a c ta ,
•
-------- W V ¿El resultado se obtuvo con nayor facilidad mediante este método? ¡No, a menos que uno esté enamorado
v{t) = — ^— (e~at - e pt)u{t) p —a
de las integrales de convolución! El método de desarrollo en fracciones parciales suele ser más
q ue es e l m is m o re s u lta d o que se o b tu v o antes, m e d ia n te e l d e s a rro llo en fra c c io n e s p a rc ia le s . O b s e rv a r que se re q u ie re in s e rta r e l e sc a ló n u n ita rio u( t) e n e l re s u lta d o , d e b id o a q u e todas las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e (u n i la te ra le s son v á lid a s s ó lo p a ra u n tie m p o n o n e g a tiv o . ^
p r á c t ic a
simple, suponiendo que el propio desarrollo no sea demasiado problemático. Sin embargo, la operación de convolución es más sencilla de efectuar en el dominio
s, pues sólo requiere multiplicación.
___________________________________________________
15.10 R e p e tir e l e je m p lo 15.8, e fe c tu a n d o la c o n v o lu c ió n en e l d o m in io s.
Comentarios adicionales sobre las funciones de transferencia C o m o se h a señ ala do v a ria s veces, la s a lid a va{t) en a lg ú n p u n to de u n c irc u ito lin e a l se lo g ra c o n v o lu c io n a n d o la e n tra d a v¡ (t ) c o n la re spu esta a l im p u ls o u n i ta rio h(t). S in e m b a rg o , se debe re c o rd a r que la re spu esta a l im p u ls o surge de la a p lic a c ió n de u n im p u ls o u n ita rio en t — 0 con todas las condiciones iniciales iguales a cero. E n estas c o n d ic io n e s , la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de v0(t) es
C {v 0 {t)} = V0(s) = £{i>¡(0 * h{t)} = V,-(s)[£{A(0}] P o r lo ta n to , la p ro p o rc ió n (o ra z ó n ) \ 0(s) /V¡ (s) es ig u a l a la tra n s fo rm a d a de la re spu esta a l im p u ls o , que se d e n o ta rá m e d ia n te H(s),
£{h(t)} = H(s) -
V (s) V,-(s)
[13]
E n la e c u a c ió n [1 3 ] se p uede o b s e rv a r q u e la re spu esta a l im p u ls o y la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia fo rm a n u n p a r de tra n s fo rm a d a s de L a p la c e :
h(t) ^ H ( s ) L o a n te rio r es u n h e c h o im p o rta n te q ue se e s tu d ia rá después en la s e c c ió n 15.7, u n a v e z que e l le c to r se fa m ilia ric e c o n e l c o n c e p to de la s g rá fic a s p o lo c e ro y e l p la n o de fre c u e n c ia c o m p le ja . S in e m b a rg o , a estas a ltu ra s, se p ue de a p ro v e c h a r este n u e v o c o n c e p to de c o n v o lu c ió n e n e l a n á lis is de c irc u ito s .
EJEMPLO 15.1 Determinar la respuesta al impulso del circuito de la figura 15.26a y utilizar ésta para calcular la respuesta forzada v,,{t) si la entrada Uent'tO= V. 500 m F
l n
'
La)
L Cl
500 m F
ib)
■ F IG U R A 1 5 .2 6 (o) Circuito simple al que se aplica una entrada exponencial en í = 0. {b) Circuito utilizado para determinar h(f). (C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
El
AA/V----------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
E n p rim e ra in s ta n c ia se a lim e n ta b a jo u n p u ls o de te n s ió n S(t) V al c irc u ito c o m o se m u e s tra en la fig u ra \5.26b. A p esar de que es p o s ib le tra b a ja r ta n to en e l d o m in io d e l tie m p o c o n h (t) c o m o en e l de s c o n H (s ), se selec c io n a este ú ltim o , p o r lo q u e se c o n s id e ra a c o n tin u a c ió n la re p re s e n ta c ió n en e l d o m in io s de la fig u ra 1 5 .2 6 b c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.27. L a re spu esta a l im p u ls o H (s ) está d ad a p o r V
■ F IG U R A 1 5 .2 7 Circuito utilizado para encontrar H(s).
H (s ) = - f p o r lo que e l o b je tiv o in m e d ia to es e n c o n tra r V „ — ta re a q ue se lle v a a cabo fá c ilm e n te p o r m e d io de la d iv is ió n de te n s ió n
2
V0 t f ent =
m
=
s
9 ---- = - T T = H(s)
£
2
s
+
1
s A h o ra se p u e d e b u s c a r v0(t) c u a n d o ucnt = 6e ru(t) u tiliz a n d o la c o n v o lu c ió n , c o m o Uent = ¿ - ‘ {VentCs) • H ( s ) } P ue sto que V e „t(s ) = 6 / (S + 1), _ *o—
6s
6
6
( s + 1)2
s +1
( s + 1)2
C a lc u la n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e , se e n c u e n tra que
va(t) — 6f _ f ( l — t)u(t ) V . PRÁCTICA 15.11 C o n re la c ió n a l c irc u ito de la fig u ra 1 5.2 6 « , u tiliz a r la c o n v o lu c ió n p a ra o b te n e r v0(t) si i%nt = tu(t) V. Respuesta:
vu(t) =
(1 —e
‘)u(t)
V.
15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
-----------• ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Se p la n e a a h o ra fo r m u la r u n a p re s e n ta c ió n g rá fic a m ás g e n e ra l a l g ra fic a r c a n ti dades c o m o fu n c io n e s de s; esto es, se desea m o s tra r la re spu esta d e m a n e ra s i m u ltá n e a c o m o fu n c io n e s ta n to de a c o m o de co. D ic h a re p re s e n ta c ió n g rá fic a de la re spu esta fo rz a d a c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia c o m p le ja s re s u lta ú til, pues es una té c n ic a a c la ra to ria p a ra e l a n á lis is de c irc u ito s , a sí c o m o p a ra e l d i seño o la sín tesis de lo s m is m o s . L u e g o de fo r m u la r e l c o n c e p to de p la n o de fre c u e n c ia c o m p le ja , o p la n o s se v e rá c ó m o se tie n e u n a id e a de in m e d ia to re s p e c to d e l c o m p o rta m ie n to d e u n c irc u ito a p a rtir d e la re p re s e n ta c ió n g rá fic a de sus fre c u e n c ia s c rític a s e n d ic h o p la n o . T a m b ié n es ú t i l e l p ro c e d im ie n to in v e rs o : s i se in d ic a u n a c u rv a d e re spu esta deseada (la re spu esta e n fre c u e n c ia de u n f iltr o , p o r e je m p lo ), será p o s ib le de c id ir re s p e cto de la u b ic a c ió n n e c e s a ria de sus p o lo s y ceros en e l p la n o s y lu e g o s in te tiz a r e l filtr o . E l p la n o s re s u lta ta m b ié n u n a h e rra m ie n ta b á s ica c o n la que se in v e s tig a la p o s ib le p re s e n c ia de o s c ila c io n e s in d e se a b le s en a m p lific a d o re s de re tro a lim e n ta c ió n y de sistem as de c o n tro l a u to m á tic o .
SECCIÓN 15,6
PLANODEFRECUENCIACOMPLEJA
Respuestas como una función de a A c o n tin u a c ió n se d e s a rro lla rá u n m é to d o p a ra o b te n e r la respuesta d e l c irc u ito c o m o u n a fu n c ió n de s te n ie n d o en c u e n ta p rim e ro la re spu esta c o m o u n a fu n c ió n y a sea de a o de co. C o n s id e r a r, p o r e je m p lo , la im p e d a n c ia de e n tra d a o d e l "p u n to de a c c io n a m ie n to ” de u n a re d c o m p u e s ta p o r u n a re s is te n c ia de 3 £2 en serie c o n u n in d u c to r de 4 H . E n fu n c ió n de s, se tie n e : Z (s ) — 3
4s
S i se deseara o b te n e r u n a in te rp re ta c ió n g rá fic a de la v a ria c ió n de la im p e d a n c ia co n a , se p e rm ite que s = a + JO: Z (er) = 3 + 4cx Q y se re c o n o c e u n c e ro en er = — | y u n p o lo en in fin ito . E stas fre c u e n c ia s c r í t i cas se m a rc a n sob re u n e je er y después de id e n tific a r e l v a lo r de Z (o) en a lg u n a fre c u e n c ia n o c rític a c o n v e n ie n te [q u iz á Z ( 0 ) = 3 ], re s u lta fá c il d ib u ja r |Z (e r)| en fu n c ió n de er c o m o en la fig u ra 15.28. E s to p ro p o rc io n a in fo rm a c ió n re sp e cto de la im p e d a n c ia c u a n d o se c o n e c ta a u n a fu n c ió n fo rz a d a e x p o n e n c ia l s im p le eat. E n p a rtic u la r, o b s e rv a r q u e e l caso de c d (a — co — 0 ) im p lic a u n a im p e d a n c ia de 3 £2, c o m o se esperaría.
Z (c r)|
I FIG U RA 15.28 Gráfica de la fundón |Z(cr)| como una función de la frecuencia a.
Respuesta como una función de « P ara g ra fic a r la re spu esta c o m o una fu n c ió n de la fre c u e n c ia en ra d ia n e s co, sea s = 0 + jco:
Z(jco) = 3 + jAco y se o b tie n e n e nton ces la m a g n itu d y e l á n g u lo de fase de Z(jco) c o m o fu n c io n e s de co:
\Z(jco)\ = ij9 + 16a)2 a n g Z ( j c o ) = ta n
, Acó —
[1 4 ]
[1 5 ]
«t
A /W
600
nfe ESI
CAPITULO 15 ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
Irrset Twfe Víndow
\ A S< /
D g» f l &
£>£>" sqrt(9*16 w2)
25
26
\
/ \
15
/
\
/
10
5
-
6
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-2
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2
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IflKft 1 O
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O
aian{4 w/3)
L a fu n c ió n m a g n itu d m u e s tra un s o lo p o lo en e l in fin ito y u n m ín im o en co = 0 ; puede d ib u ja rs e c o n fa c ilid a d c o m o u n a c u rv a de \Z(jco) | en fu n c ió n de co. A m e d id a que a um e nta la fre c u e n c ia , ta m b ié n crece la m a g n itu d de la im p e d a n c ia , que es p re c is a m e n te e l c o m p o rta m ie n to que se espera desde e l in d u c to r. E l á n g u lo de fase es u n a fu n c ió n de tan g e n te in v e rs a , c e ro en co = 0 y ± 9 0 ° en co = ±oo; ta m b ié n se p resenta s in n in g u n a d ific u lta d c o m o u n a g rá fic a de ang Z(jco) en fu n c ió n de co. L a s ecu acio ne s [1 4 ] y [1 5 ] se g ra fic a n en la fig u ra 15.29. A l g ra fic a r la re spu esta Z{jco) c o m o u n a fu n c ió n de co, se re q u ie re n dos g rá fica s b id im e n s io n a le s : la m a g n itu d y e l á n g u lo de fase c o m o fu n c io n e s de co. C u a n d o se sup on e una e x c ita c ió n e x p o n e n c ia l se pre se n ta to d a la in fo rm a c ió n en u n a g rá fic a b id im e n s io n a l s im p le , a l p e r m itir lo s v a lo re s ta n to p o s itiv o c o m o n e g a tiv o de Z (e r) en fu n c ió n de er. S in e m b a rg o , se e lig e g ra fic a r la magnitud de Z (e r) c o n e l o b je to de c o m p a ra r de m a n e ra m á s p re c is a lo s d ib u jo s c o n lo s q u e se d e s c rib e la m a g n itu d de Z{jco). E l á n g u lo de fase (0°, ± 1 8 0 ° ú n ic a m e n te ) de Z (e r) se ig n o ró c a s i d e l to d o . E l p u n to im p o rta n te que debe o bserva rse es que s ó lo h a y u n a v a ria b le in d e p e n d ie n te er en e l caso de e x c ita c ió n e x p o n e n c ia l y co e n e l caso s e n o id a l. P ensar a h o ra en las a lte rn a tiv a s d is p o n ib le s , s i se desea g ra fic a r u n a re spu esta c o m o u n a fu n c ió n de s.
Gráficas en el plano de la frecuencia compleja
(b) FIG U RA 15.29 (o) Gráfica de |Z (/íu )| como una función de la frecuencia; ésta se generó mediante la línea de comando de MATLAB EDU » ezplot('sqrt(9 + 16*w A 2)’) (b) Gráfica del ángulo de 1( ja>) como una función de la frecuencia.
ja> p la n o s
I FIG U R A 15.30 Plano de la frecuencia compleja o plano s.
L a fre c u e n c ia c o m p le ja s re q u ie re dos p ará m e tros, er y co, p ara su e sp e c ific a c ió n c o m p le ta . L a respuesta es ta m b ié n u n a fu n c ió n c o m p le ja y se debe, p o r ende, h acer e l d ib u jo ta n to de la m a g n itu d c o m o d e l á n g u lo de fase c o m o fu n c io n e s de s. C u a lq u ie ra de estas cantidades, p o r e je m p lo la m a g n itu d , es u n a fu n c ió n de lo s dos p ará m e tros er y co, de m o d o que se g ra fic a e n dos d im e n sio n e s s ó lo c o m o u n a fa m ilia de curva s, ta l c o m o la m a g n itu d en fu n c ió n de co, c o n er c o m o e l p ará m e tro. U n m e jo r m é to d o p a ra re p re s e n ta r g rá fic a m e n te la m a g n itu d de a lg u n a re s pue sta c o m p le ja im p lic a e l uso de u n m o d e lo de tres d im e n sio n e s . A u n q u e u n o así re s u lta d if í c il de d ib u ja r en u n a h o ja de p a p e l b id im e n s io n a l, se d e scub re que n o es d if í c il de v is u a liz a r. L a m a y o r p a rte d e l d ib u jo se e fe c tu a rá en fo rm a m e n ta l, p u e sto q u e c o n la cab eza se n e c e s ita n p ocos im p le m e n to s y la e la b o ra c ió n , c o rre c c ió n y m o d ific a c io n e s se lle v a n a ca b o c o n fa c ilid a d . Se c o n s id e ra rá n lo s ejes er y jco, p e rp e n d ic u la re s e n tre sí, d isp u e sto s sobre u n a s u p e rfic ie h o riz o n ta l sem e jan te a l p is o . L o a n te rio r re p re s e n ta a h o ra u n plano de frecuencia compleja, o p la n o s c o m o e l de la fig u ra 1 5.30 . P ara cada p u n to en este p la n o c o rre sp o n d e e xa c ta m e n te u n v a lo r de s, y c o n cad a v a lo r de s se a so c ia ría u n s o lo p u n to en este p la n o c o m p le jo . D a d o que y a se está bastante fa m ilia riz a d o c o n este tip o de fu n c ió n en e l d o m in io d e l tie m p o asociada c o n u n v a lo r p a rtic u la r de la fre c u e n c ia c o m p le ja s, en estas c o n d ic io n e s se puede a so cia r la fo rm a fu n c io n a l de u n a fu n c ió n fo rza d a , o de una respuesta forza d a , con u n a re g ió n e sp ecífica d e l p la n o s. E l o rig e n , p o r e je m p lo , representa u n a c a n tid a d de cd. L o s p un to s que se u b ic a n sobre e l e je er re p re sentan fu n c io n e s e xp o n e n cia le s, que decaen p ara er < 0 y que cre ce n para er > 0 . L a s senoides puras se a so cia n c o n p un to s sobre e l e je jco p o s itiv o o n e g a tiv o . L a m ita d derecha d e l p la n o s, a m e nu do c o n o c id a c o m o M D P , con tien e pun to s que des c rib e n fre cu e n c ia s con partes reales p o s itiv a s , y p o r e llo le co rre sp o n d e n c a n ti dades e n e l d o m in io d e l tie m p o que son senoides e xp o n e n c ia h n e n te crecientes, s a lv o sobre e l e je er. D e m a n e ra c o rre sp o n d ie n te , lo s p un to s en la m ita d iz q u ie rd a d e l p la n o s (M IP ) d e scrib e n las fre cu e n cia s de senoides e xp o n e n c ia lm e n te decre cientes, de n u e v o c o n la e x c e p c ió n d e l e je er. L a fig u ra 15.31 re sum e la re la c ió n entre e l d o m in io d e l tie m p o y las diversas re g io n e s d e l p la n o S.
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
%■
yV W
k
■ F IG U R A 1 5 .3 1 La naturaleza déla función en el dominio del tiempo se dibuja en la región del plano de frecuencia compleja al que corresponde.
R econsidérese la in v e s tig a c ió n sobre u n m é to d o a p ro p ia d o acerca de re prese n ta r en fo rm a g rá fic a u n a re spu esta c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia c o m p le ja s. Se p o d ría re p re s e n ta r la m a g n itu d de la re spu esta c o n s tru y e n d o u n m o d e lo c u y a a ltu ra sob re e l p is o c o rre s p o n d a en cad a p u n to a la re sp u e sta en ese v a lo r de s. E n o tras p a la b ra s, se añade u n te rc e r e je p e rp e n d ic u la r ta n to al e je a c o m o a l e je jco que pasa p o r e l o rig e n ; estos ejes se s im b o liz a n m e d ia n te |Z|, |Y|, IV 2/ V 1I, o c o n otras re p re se n ta cio n e s a p ro p ia d a s. L a m a g n itu d de la respuesta se d e te rm in a p a ra to d o v a lo r de s y la g rá fic a re s u lta n te es u n a s u p e rfic ie que se u b ic a sobre e l p la n o s (o que apenas lo to q u e ).
EJEMPLO 15.11 Dibujar la admitancia de una combinación en serie de un inductor de 1 H con una resistencia de 3 S2 como una función de ambos parámetros io j y a. L a a d m ita n c ia de estos dos e le m e n to s en serie está d ad a p o r
Y(s) -
1 s+ 3
A l s u s titu ir s = cr + jco, se e n c u e n tra q u e la m a g n itu d de la fu n c ió n es
|Y (s) |
j ( o + 3)2 + co2 (Continúa en la siguiente página)
AA/V----------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
C u a n d o s = — 3 + j O, la m a g n itu d de la re sp u e sta es in fin ita ; y c u a n d o s es in fin ita , la m a g n itu d de Y ( s ) es c e ro . A s í, e l m o d e lo debe te n e r u n a a ltu ra in fin ita a rrib a d e l p u n to ( —3 + j 0) y a ltu ra c e ro en to d o s lo s p u n to s in f in i ta m e n te a le ja d o s d e l o rig e n . U n a v is ta de c o rte de ta l m o d e lo se p re s e n ta en la fig u ra 1 5.32 a. Iy |
Iy |
(c) k FIG U R A 15.32 (a) Lista de corte de un modelo de barro cuya superficie superior representa |Y(s) | de la combinación en serie de un inductor de 1 H y de una resistencia de 3 Í2. (b) |Y(s) | como una función de o>. (c) |Y(s) | como una función de a .
U n a v e z c o n s tru id o e l m o d e lo , re s u lta s im p le v is u a liz a r la v a ria c ió n de |Y| c o m o u n a fu n c ió n de co (c o n a = 0 ) a l in te rs e c a r e l m o d e lo c o n u n p la n o p e rp e n d ic u la r q u e c o n te n g a a l e je jco. E l m o d e lo de la fig u ra 1 5.32 a se c o rta a lo la rg o de este p la n o y p u e d e o b se rva rse la g rá fic a deseada de | Y| en fu n c ió n de co; la c u rv a se d ib u ja ta m b ié n e n la fig u ra 1 5 .3 2 b. D e m a n e ra s im ila r, u n p la n o v e rtic a l q u e c o n te n g a a l e je er p e rm ite o b te n e r |Y| en fu n c ió n de a (c o n co = 0 ), c o m o se o b s e rv a en la fig u ra 15.32c.
PRACTICA ■ FIG U R A 15.33 Solución del problema de práctica 15.12 generada con el siguiente código: EDU» sigma = linspace(— 10,10,21); EDU» omega = linspace(—10,10,21); EDU» \X, Y\ = meshgrid(sigma, omega); E D U » Z = abs(2 + 5*X+j*5*Y)\ EDU» colormap(hsv); EDU» s = [ - 5 3 8]; EDU» surfICX K,2,s); EDU» view (—20 ,5)
_____
1 5.12 D ib u ja r la m a g n itu d de la im p e d a n c ia Z ( s ) = 2 + 5s c o m o una fu n c ió n de a y jco. Respuesta: vea la figura 15.33.
Constelaciones de polos ceros E s te m é to d o re s u lta ade cu ad o p a ra fu n c io n e s re la tiv a m e n te s im p le s , aun qu e en g e n e ra l se re q u ie re u n m é to d o m ás p rá c tic o . C o n s id e ra r e l p la n o s de n u e vo c o m o e l p is o y después im a g in a r u n a g ra n lá m in a e lá s tic a d is p u e s ta s ob re é l. Se
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
d ir ig e a h o ra la a te n c ió n h a c ia to d o s lo s p o lo s y lo s ceros de la respuesta. E n cada cero, la re sp u e sta es c e ro , la a ltu ra de la lá m in a debe ser c e ro y, p o r lo ta n to , se f ija la lá m in a e n e l p is o . E n e l v a lo r de s c o rre s p o n d ie n te a cada p o lo , se p o d ría s osten er la lá m in a c o n u n a d e lg a d a b a rra v e rtic a l. L o s ceros y lo s p o lo s en in fin ito d eb en a n a liza rs e m e d ia n te u n a n illo de s u je c ió n de g ra n ra d io o u n a e le va d a c e rca c irc u la r, re s p e c tiv a m e n te . S i se u tiliz a u n a lá m in a in fin ita m e n te g ra n d e , s in p eso y p e rfe c ta m e n te e lá s tic a , c la v a d a c o n ta ch u e la s p e q u e ñ ís im a s y s o s te n id a c o n b a rra s de d iá m e tro c e ro e in fin ita m e n te largas, la lá m in a e lá s tic a te n d rá u n a a ltu ra e xa c ta m e n te p ro p o rc io n a l a la m a g n itu d de la respuesta. Se p o d ría n ilu s tra r estos c o m e n ta rio s c o n s id e ra n d o la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros, que a lg u na s veces se c o n o c e c o m o constelación de polos y ceros, que lo c a liz a tod as las fre c u e n c ia s c rític a s de u n a c a n tid a d en e l d o m in io de la fre c u e n c ia ; p o r e je m p lo , u n a im p e d a n c ia Z(s). U n a c o n s te la c ió n de p o lo s y ceros p a ra u n a im p e d a n c ia se m u e s tra en la fig u ra 15.34. E n ese d ia g ra m a , lo s p o lo s se d e n o ta n c o n cru ce s y lo s ceros c o n c írc u lo s . S i se im a g in a u n m o d e lo de lá m in a e lá s tic a , c la v a d a e n s = —2 + j 0 y s o s te n id a en s = — 1 + j5 y en s = — 1 — 7 5 , se debe v e r u n te rre n o c u ya s c a ra c te rís tic a s d is tin tiv a s son dos m o n ta ñ a s y u n c rá te r c ó n ic o o d e p re sió n . L a p a rte d e l m o d e lo de la M I P supe r io r se ilu s tra en la fig u ra 15.34¿>.
X
- l +j5
-e-2
- l -j5 x
(a)
■ FIG U RA 15.34 (o) Constelación de polos y ceros de alguna impedancia Z(s). (6) Porción del modelo de la lámina elástica de la magnitud de Z(s).
C o n s tr u ir a h o ra d e p o lo s y c e ro s . E l d o s p o lo s n e c e s ita n n a d o r. E x c e p to p o r d e Z (s ):
la e x p re s ió n de Z ( s ) q u e c o n d u c e a e sta c o n fig u r a c ió n c e ro re q u ie re u n fa c to r de (s + 2 ) en e l n u m e ra d o r y lo s lo s fa c to re s (s + 1 — 7 5 ) y (s + 1 + j5) e n e l d e n o m i u n a c o n s ta n te d e m u ltip lic a c ió n k , se c o n o c e la fo r m a
Z (s ) = k
s H-' 2 (s + 1 — 75 ) (s + 1 + 7 5)
o [1 6 ] C o n la f in a lid a d de d e te r m in a r k, se re q u ie re u n v a lo r d e Z ( s ) en a lg u n a s s d ife re n te s a la fre c u e n c ia c rític a . P a ra esta fu n c ió n , s u p o n e r q u e Z ( 0 ) = 1. P o r
#■
W V
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
s u s titu c ió n d ire c ta en la e c u a c ió n [1 6 ], se e n c u e n tra que k es 13 y, p o r lo ta n to , Z ( s ) = 13
s -|- 2
[171
s 2 + 2s + 26
L a s g rá fic a s de \Z(cr)\ en fu n c ió n de cr y de |Z ( jco)\ en fu n c ió n de co se o b tie n e n de la e cu a c ió n [1 7 ], aun qu e la fo rm a genera] de la fu n c ió n es p a te n te a p a r tir de la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros y de la a n a lo g ía de la lá m in a elá stica . L a s p o rc io n e s de estas dos c u rva s q u e aparecen a lo s la d o s d e l m o d e lo se m u e s tra n en la fig u ra 15.34¿.
PRACTICA 15.13 L a c o m b in a c ió n en p a ra le lo de 0 .2 5 m H y 5 £2 está en serie c o n la c o m b in a c ió n en p a ra le lo de 4 0 fiF y 5 £2. (a) D e te rm in a r Z ent(s), la im p e d a n c ia de e n tra d a de la c o m b in a c ió n en serie, (b) E s p e c ific a r to d o s lo s ceros de Z ent(s). (c ) D e te rm in a r to d o s lo s p o lo s de Z ent(s). (d) D ib u ja r la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros. Respuestas: 5(s2+ lOOOOs + 108)/(s 2+ 25000s + 108) Í2; - 5 ± j —5, —20 krad/s.
8.66 krad/s;
Dependencia de la frecuencia de la magnitud y el ángulo de fase H a s ta a ho ra , se h a u tiliz a d o e l p la n o s y e l m o d e lo de lá m in a e lá s tic a p ara o b te n e r in fo rm a c ió n cualitativa acerca de la v a ria c ió n de la m a g n itu d de la fu n c ió n en e l d o m in io s c o n la fre c u e n c ia . S in e m b a rg o , se p u e d e o b te n e r in fo rm a c ió n cuantitativa c o n c e rn ie n te a la v a ria c ió n de la magnitud y d e l ángulo de fase. E l m é to d o p ro p o rc io n a u n a p o d e ro s a y n u e v a h e rra m ie n ta . C o n sid é re s e la re p re s e n ta c ió n de u n a fre c u e n c ia c o m p le ja en fo rm a p o la r, c o m o s u g ie re la fle c h a d ib u ja d a desde e l o rig e n d e l p la n o s hasta la fre c u e n c ia c o m p le ja que se está a n a liz a n d o . L a lo n g itu d de la fle c h a es la m a g n itu d de la fre c u e n c ia y e l á n g u lo que fo rm a c o u la d ire c c ió n p o s itiv a d e l e je a c o rre sp o n d e a l á n g u lo de la fre c u e n c ia c o m p le ja . L a fre c u e n c ia Si = — 3 + j 4 = 5 /1 2 6 .9 ° se in d ic a en la fig u ra 1 5.35a. 7"
JV
I FIG U RA 15.35 (o) La frecuencia compleja s, = - 3 + y'4 se indica dibujando una flecha desde el origen hasta s ,. (£>) La frecuencia s = y7 también se expresa de manera vectorial, (c) La diferencia s — s, se representa mediante e! vector dibujado desde S] hasta s.
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
A /W
*
T a m b ié n es n e c e s a rio re p re s e n ta r la d ife re n c ia e n tre dos v a lo re s de s c o m o u n a fle c h a o v e c to r sobre el p la n o c o m p le jo . S e le cció n e se u n v a lo r de s que c o rre s p o n d a a u n a sen oid e s = j l y que lo in d iq u e ta m b ié n c o m o u n v e c to r, c o m o en la fig u ra 1535b. L a diferencia s — Si se o b s e rv a c o m o e l v e c to r d ib u ja d o desde e l ú ltim o p u n to n o m b ra d o Sj hasta e l que p rim e ro se n o m b ró s; el v e c to r s — Si se d ib u ja en la fig u ra 15.35c. O b sérve se q u e s i + (s —s¡) = s. N u m é ric a m e n te , s — Si = j l — ( —3 + j 4 ) = 3 + j 3 = 4 .2 4 /4 5 ° . y d ic h o v a lo r c o n c u e rd a c o n la d ife re n c ia g rá fic a . V ea c ó m o la in te rp re ta c ió n g rá fic a de la d ife re n c ia (s — Si) p e rm ite d e te rm i n a r la re spu esta en fre c u e n c ia . C o n sid é re s e la a d m ita n c ia Y (s ) = s + 2 E s ta e x p re s ió n tie n e u n c e ro en s 2 = —2 + /O . E l fa c to r s + 2, q ue p u e de es c rib irs e c o m o s — S2, se re p re s e n ta m e d ia n te e l v e c to r d ib u ja d o desde la lo c a liz a c ió n c e ro s 2 hasta la fre c u e n c ia s, a la c u a l se desea la respuesta. Si se desea la re spu esta s e n o id a l, s debe u b ic a rs e sobre e l e je jco c o m o e n la fig u ra 15.36a. L a m a g n itu d de s + 2 se p o d ría v e r a h o ra a m e d id a que co v a ría desde c e ro hasta in fin ito . C u a n d o s es cero, e l v e c to r tie n e u n a m a g n itu d de 2 y u n á n g u lo de 0°. D e ta l m o d o , Y ( 0 ) = 2 . C o n fo rm e co a um e n ta , cre ce la m a g n itu d , le n ta m e n te al p r in c ip io y lu e g o ca s i de m a n e ra lin e a l c o n co; e l á n g u lo de fase se in c re m e n ta casi en fo r m a lin e a l a l p r in c ip io y lu e g o se acerca de m a n e ra g ra d u a l a 90°, a m e d id a que co se v u e lv e in fin ita . L a m a g n itu d y la fase de Y (s ) se d ib u ja n c o m o fu n c io n e s de co en la fig u ra ] 536b.
0
-2
2
-9 0 '
(b) ■ FIG U RA 15.36 (a) El vector que representa la admitancia Y(s) = s + 2 se muestra para s = /&>.. (b) Dibujos de |Y(/
Se c o n s tru irá a h o ra u n e je m p lo m ás re a l c o n s id e ra n d o u n a fu n c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia dada p o r e l c o c ie n te de dos fa c to re s ,
A 606
A A /V
- •
CAPITULO 15 ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
E n este caso, n u e v a m e n te se s e le cc io n a u n v a lo r de s q ue c o rre s p o n d a a la e x c ita c ió n s e n o id a l y se d ib u ja n lo s v e c to re s s + 2 y s + 3 , e l p rim e ro desde e l c e ro h asta e l p u n to e le g id o sob re e l e je jco y e l se g u n d o desde e l p o lo hasta ese m is m o p u n to e le g id o . L o s dos v e c to re s se d ib u ja n en la fig u ra 1 5.37 a. El co
ciente de ambos vectores tiene una magnitud igual al cociente de las magnitudes y un ángulo de fase igual a la diferencia de los ángulos de fase del numerador y del denominador. Se e fe c tú a una in v e s tig a c ió n de la v a ria c ió n de |V ( s ) | en fu n c ió n de cü a l p e r m itir q u e s se m u e v a desde e l o rig e n y a scien d a p o r e l e je jco. A d e m á s , se debe c o n s id e ra r la re la c ió n (o ra z ó n ) e n tre la d is ta n c ia desde e l c e ro h asta s = jco y la d is ta n c ia desde e l p o lo h asta e l m is m o p u n to s ob re e l e je jco. L a re la c ió n (o ra z ó n ) es | en co = 0 y se acerca a la u n id a d a m e d id a que co se v u e lv e in fin ita , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.37 b.
ja Iv o )|
]<*>
o
0b) ang V (jü>)
(c) I F IG U R A Í 5 . 3 7 (o) Los vectores se dibujan a partir de dos frecuencias críticas de la respuesta en tensión V(s) = (s + 2 ) /(s + 3 ). (b, c) Dibujos de la magnitud y del ángulo de fase V(/&>) según se obtienen del cociente de los dos vectores que se muestran en el inciso a.
U n e xa m e n de la d ife re n c ia de lo s dos á n g u lo s de fase m u e s tra q ue ang V ( jco) es 0° en o>= 0. É s ta a u m e n ta a l p r in c ip io c o n fo rm e crece co, pues e l á n g u lo d e l v e c to r s + 2 es m a y o r q u e e l de s + 3. L u e g o d is m in u y e c o n un a u m e n to a d ic io n a l de a>, y p o r ú ltim o se a p ro x im a a 0o a u n a fre c u e n c ia in fin ita , d o n d e am bo s v e c to re s posee n á n g u lo s de 9 0°. E sto s re s u lta d o s se ilu s tra n en la fig u ra 1 5.37 c. A u n q u e en estos d ib u jo s n o e stá n presentes m a rcas c u a n tita tiv a s , es im p o rta n te o b s e rv a r q u e se o b te n d ría n c o n fa c ilid a d . P o r e je m p lo , la re s p u e sta c o m p le ja en s = j 4 debe e sta r dada p o r la re la c ió n : ^ / 4 + 1 6 /ta n V 0 '4 ) =
V 9 + 16/ta n ^ d )
= V l / ( ta n
— ta n H D )
= 0 .8 9 4 /10.3° C u a n d o se d ise ña n c irc u ito s p a ra p ro d u c ir c ie rta re spu esta deseada, re s u lta de g ra n a yuda e l c o m p o rta m ie n to de lo s ve cto re s d ib u ja d o s a p a rtir de las re s p e c tiv a s fre c u e n c ia s c rític a s h a sta u n p u n to g e n e ra l so b re e l e je jco. P o r e je m p lo , s i se n e c e s ita ra a u m e n ta r la jo ro b a (o c u rv a tu ra ) de la re spu esta de fase de la
SECCION 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
■Wv
# -
fig u ra 1 5.37 c, te n d ría q u e p ro p o rc io n a rs e u na g ra n d ife re n c ia en lo s á n g u lo s de lo s d os v e c to re s , lo c u a l se c o n s e g u iría en la f ig u r a 1 5 .3 7 a a c e rc a n d o e l c e ro a l o rig e n o u b ic a n d o e l p o lo m ás le jo s d e l o rig e n , o m e d ia n te a m bo s p ro c e d i m ie n to s . L a s ideas q ue se h a n a n a liz a d o p a ra a y u d a r a d e te rm in a r de fo rm a g rá fic a la v a ria c ió n de la m a g n itu d a n g u la r y de a lg u n a fu n c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia a m e n u d o serán necesarias en e l s ig u ie n te c a p ítu lo c u a n d o se in v e s tig u e e l d esem p e ño en fre c u e n c ia de filtr o s m u y s e le c tiv o s o c irc u ito s resonantes. E s to s con c e p to s re s u lta n fu n d a m e n ta le s p ara c o m p re n d e r de m a n e ra rá p id a y c la ra e l c o m p o rta m ie n to de redes e lé c tric a s y o tro s sistem as de in g e n ie ría . E l p ro c e d im ie n to se re s u m e de m a n e ra b re v e c o m o sigue: 1. D ib u ja r la c on ste lació n de p olo s y ceros de la fu n d ó n en e l d o m in io de la fre cu e n cia y lo c a liz a r u n p u n to de prueba que corresponda a la fre cu en cia a la que se evaluará la fu n c ió n . 2. D ib u ja r u na flecha a p a rtir de cada p o lo y de cada cero hasta el p u n to de prueba. 3. D e te rm in a r la lo n g itu d de cada flech a de p o lo y e l v a lo r de cada áng ulo de la flecha de p o lo y de cada áng ulo de la flecha de cero. 4. D iv id ir el p ro d u cto de las longitudes de la flecha de cero entre e l p ro d u cto de las lo n g itu de s de la flecha de p o lo . Este cociente es la m a g n itu d de la fu n c ió n en e l d o m in io de la fre cu en cia correspondiente a la fre cu en cia supuesta del p u n to de prueba (dentro de una constante como factor de multiplicación, pues F (s ) y kF{s) tienen las mismas constelaciones de polos y ceros). 5. R estar la sum a de los ángulos de la flech a de p o lo de la sum a de los ángulos de la flech a de ceros. L a d ife re n c ia resultante es e l ángulo de la fu n c ió n en el d o m in io de la fre cu en cia, evaluado a la fre cu e n cia del p u n to de prueba. E l áng ulo n o depende del v a lo r de la constante de m u ltip lic a c ió n real k.
JO)
G(0) =
- + -
1 1
15
+ —
-fi
|
1
i
¿
i
-4
-3
-2
1
1 -1
1 1 1 1 — 6---------i --------- - ~ f i 1 1 (b)
PRACTICA
}<»
1 5.14 E n la fig u ra 15.38 se p re se n ta n tres c o n s te la c io n e s de p o lo s y ceros. C ad a una se a p lic a a la g a n a n c ia de te n s ió n G . O b te n e r la e x p re s ió n de c ad a g a n a n cia que sea u n a ra z ó n de p o lin o m io s en s. 1 5.15 L a c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros p a ra u n a a d m ita n c ia Y(s) tie n e u n p o lo en s = — 1 0 + jO s y u n c e ro en s = ¿¡ + /O , d o n d e zi < 0 . Sea Y ( 0 ) = 0 .1 S. D e te rm in a r e l v a lo r de s i: (a) a ng Y ( j 5) = 2 0 ° ; (b) [ Y (7 5 )| = 0 .2 S. Respuestas: 15.14 (15s2 + 45s)/(s2 + 6s + 8); (2s3 + 22s2 + (3s2 + 27)/(s2j i 2s). 15.15: -4 .7 3 Np/s; -2 .5 0 Np/s..
88s.i-
1 2 0 )/(s2
G(~) = 3
+ 4 s + 8);
9~-j3 (c)
i FIGURA 15.38
15.7 t RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s____________ A l c o m ie n z o de este c a p ítu lo se e s tu d ió de qué fo r m a e l h echo de tra b a ja r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia m e d ia n te la tra n s fo rm a d a de L a p la c e p e rm ite c o n s i d e ra r u n a a m p lia g a m a de c irc u ito s v a ria n te s en el tie m p o , pues e lim in a la n e ce sid a d de tra b a ja r c o n e cuaciones in te g ro d ife re n c ia le s en ra z ó n de que só lo se p ro ce d e de fo rm a a lg e b ra ic a . S in em ba rg o, este m é to d o ta n p o d e ro s o tie n e la d e sve n ta ja de n o ser u n p ro ce so m u y v is u a l. E n co n tra ste con lo a n te rio r, e xiste
„
AAA/-
-•
■ F IG U R A 1 5 .3 9 Ejemplo que ilustra la determinación de la respuesta completa a través del conocimiento de las frecuencias críticas de la impedancia que enfrenta la fuente.
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
u na c a n tid a d enorme de in fo rm a c ió n c o n te n id a en la g rá fic a p o lo -c e ro de una res p u e sta fo rz a d a . E n esta s e c c ió n se c o n s id e ra la fo rm a en que p u e d e n u tiliz a rs e d ic h a s g rá fic a s p ara o b te n e r la re spu esta completa de u n c irc u ito — n a tu ra l m ás fo rz a d a — s ie m p re y c u a n d o se c o n o z c a n las c o n d ic io n e s in ic ia le s . L a v e n ta ja de d ic h o m é to d o es que esta ble ce u n a re la c ió n intuitiva e n tre la u b ic a c ió n de las fre c u e n c ia s c rític a s , fá c ilm e n te v is u a liz a b le a tra vé s de la g rá fic a de p o lo s-ce ro s y la respuesta deseada. Se p re s e n ta e l m é to d o c o n base en e l e je m p lo m ás s im p le , u n c ir c u ito RL en s e rie c o m o e l de la fig u r a 1 5 .3 9 . U n a fu e n te de te n s ió n g e n e ra l vs(t) p ro v o c a que la c o m e n te i{t) flu y a después d e l c ie rre d e l in te rr u p to r a t = 0 . L a re s p u e s ta c o m p le ta i ( t) p a ra t > 0 se c o m p o n e de u n a re s p u e s ta n a tu ra l y de u n a fo rz a d a :
i(t) — in(t) + if (t ) Se p o d ría d e te rm in a r la respuesta fo rz a d a tra b a ja n d o en e l d o m in io de la fre cu e n c ia , b a jo e l supuesto, desde lu e g o , de que vs(t) tie n e u n a fo rm a fu n c io n a l que tra n s fo rm a e l d o m in io de la fre c u e n c ia ; si vs(t) = 1/(1 + t2), p o r e je m p lo , se debe p ro c e d e r lo m e jo r q u e sea p o s ib le a p a r tir de la e c u a c ió n d ife re n c ia l b á s ica d e l c irc u ito . E n e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 1 5.39, se tie n e Vs L ( s ) = -------—
*
R + sL
o
w
¿Qué significa "operar” a una frecuencia compleja? ¿Cómo se podría llevar a cabo tal actividad en un laboratorio real? En este caso, para empezar resulta
181
=
A c o n tin u a c ió n se c o n s id e ra rá la re spu esta n a tu ra l. D e la e x p e rie n c ia a nte rio r, se sabe que la fo rm a será u na e x p o n e n c ia l que decae c o n la co n s ta n te de tie m p o L/R, a u n q u e se su p o n g a que se está d e te rm in a n d o p o r p rim e ra vez. L a fonna de la re spu esta n a tu ra l (s in fu e n te ) es, p o r d e fin ic ió n , in d e p e n d ie n te de la fu n c ió n fo rz a d a , la c u a l c o n trib u y e s ó lo a la magnitud de la re spu esta n a tu ra l. P ara d e te rm in a r la fo rm a a p ro p ia d a se d eben s u p rim ir tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s ; a qu í, vs ( f ) se s u s titu y e p o r u n c o rto c irc u ito . A c o n tin u a c ió n , se in te n ta rá o b te n e r la re spu esta n a tu ra l c o m o u n caso lím ite de la re spu esta fo rz a d a . D e re g reso a la e x p re s ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia de la e c u a c ió n [1 8 ], de m a n e ra fie l se e stablece V , — 0. S ob re la s u p e rfic ie , re s u lta c la ro que I ( s ) debe ser cero, p e ro no es n e ce sa ria m e n te c ie rto si se está tra b a ja n d o c o n u n a fre c u e n c ia c o m p le ja que es un p o lo s im p le de I ( s ) . E s to es, e l d e n o m in a d o r y e l n u m e ra d o r p ue de n ser ambos cero, p o r lo que n o se re q u ie re que I( s ) sea cero. In s p e c c io n a r esta n u e v a id e a a p a rtir de u n a s itu a c ió n de v e n ta ja un p o c o d ife re n te . Se fija r á la a te n c ió n en la re la c ió n e n tre la re sp u e sta fo rz a d a deseada y la fu n c ió n fo rz a d a . Se d e s ig n a rá c o m o H(s) y se d e fin irá c o m o la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l c irc u ito . E n to n c e s:
importante recordar cómo se inventó la frecuencia compleja: constituye un medio para describir una función senoidal de frecuencia to multiplicada por una función exponencial eat. Este tipo de señales es muy fácil de generar con un equipo de laboratorio real (es decir, no imaginario). Por lo tanto, sólo se necesitará fijar el valor de a y el de o> para "operar" en s =
a + ja>.
W V,
= H C )=
1
L ( s + R /L )
■
E n este e je m p lo , la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia es la a d m ita n c ia de e n tra d a a la que se e n fre n ta V s . Se b usca la re spu esta n a tu ra l (s in fu e n te ) si V ( = 0 . S in e m b a rg o , Iy(s) = \'H(s), y s i Vs = 0 , u n v a lo r d is tin to de c e ro p a ra la c o rrie n te se o b tie n e s ó lo a l o p e ra r en un p o lo de H(s). P o r lo ta n to , lo s p o lo s de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia a d q u ie re n un s ig n ific a d o e sp ecia l.
SECCIÓN 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
• ------------------------------
W V
----------------{
609
E n este e je m p lo en p a rtic u la r, se p u e de a p re c ia r que e l p o lo de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia o c u rre en s = —R /L + /O . c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.40. S i se e lig e o p e ra r en esta fre c u e n c ia c o m p le ja p a rtic u la r, la ú n ic a c o rrie n te finita q u e p o d ría re s u lta r d eb e ser u n a c o n s ta n te en e l d o m in io s (es d e c ir, in d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia ). D e este m o d o se o b tie n e la re spu esta n a tu ra l , ( s = _ f
+ ;° ) = A
d o n d e A es u n a c o n s ta n te d e sco n o cid a . A c o n tin u a c ió n se desea tra n s fo rm a r esa re spu esta n a tu ra l al d o m in io d e l tie m p o . L a re a c c ió n ir r e fle x iv a p o d ría c o n s is tir en a p lic a r las té c n ica s de la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e en esta s itu a c ió n . N o o b sta n te , y a se e s p e c ific ó e l v a lo r de s, p o r lo q u e u n p ro c e d im ie n to de este tip o n o es v á lid o . M e jo r se e n fo c a la a te n c ió n en la p a rte re a l de la fu n c ió n g e n e ra l est, ta l que:
in(t) = R e {A e sí} = Re{Ae~Rt/L} E n este caso, se tie n e que
in(t ) = Ae~R,¡L
—* --------------------------------- >- a -R /L
p o r lo que la re spu esta n a tu ra l es
i(t) = Ae~Rt/L + if(t) y A p ue de d e te rm in a rs e lu e g o de que se e s p e c ific a n las c o n d ic io n e s in ic ia le s de este c irc u ito . L a respuesta fo rz a d a ij0 ) se o b tie n e c u a n d o se e n c u e n tra la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de Iy (s ).
Una perspectiva más general L a s fig u ra s 1 5.41 a y \5A\b ilu s tra n fu e n te s in d iv id u a le s con ectad as a redes que n o c o n tie n e n fu e n te s in d e p e n d ie n te s . L a re spu esta deseada, q u e p o d ría sfcr a l g u n a c o rrie n te l i (s) o a lg u n a te n s ió n V 2(s ), se e xp re sa ría m e d ia n te u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia que e x h ib a todas las fre c u e n c ia s c rític a s . P ara s e ré s p e c ífic o s , se e lig e la re sp u e sta V 2(s) de la fig u ra 15.41a: V 2 (s) V,
(s
— S i)(S —
= H ( s ) = k ) ---------[1 9 ]
s3) • • •
(s - s2)(s - s4) ■- •
L o s p o lo s de H (s ) o c u rre n en s = s 2, s4, . . . , y p o r e llo u na te n s ió n fin ita V 2(s) en ca d a u n a d e estas fre c u e n c ia s d e b e s e r u n a fo r m a fu n c io n a l p o s ib le de la re spu esta n a tu ra l. A s í, se c o n s id e ra una fu e n te de c e ro v o lts (q u e es p re c is a m e n te
' V 2(s) ■
V ,( j)
R ed sin fuentes indepen dientes
(a)
■V 2(s) ■
Ti(s5 j T
R ed sin fuentes indepen dientes
IjfS) j
Q>)
\ F IG U R A 1 5 .4 1 Los polos de la respuesta, I, (s) o V2(s), producida por: (a) una fuente de tensión Vs o (6 ) una fuente de corriente ls . Los polos determinan la forma de la respuesta natural, (?) o (t), que ocurre cuando Vs se sustituye por un cortocircuito, o ls por un circuito abierto, y está disponible alguna energía inicial.
■ F IG U R A 1 5 .4 0 Constelación polo-cero de la función de transferencia H(s) que muestra el único polo en s = - R / L .
■wv
•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
u n c o r to c irc u ito ) a p lic a d a a la s te rm in a le s d e e n tra d a ; la re spu esta n a tu ra l que aparece c u a n d o las te rm in a le s de e n tra d a están e n c o rto c irc u ito d ebe, e n con se c u e n c ia , te n e r la fo rm a
V2n(t) = A 2eS2Í + A 4eS4' H------d o n d e cad a A d eb e e va lu a rs e e n té rm in o s de la s c o n d ic io n e s in ic ia le s (lo q u e in c lu y e e l v a lo r in ic ia l de c u a lq u ie r fu e n te de te n s ió n a p lic a d a e n las te rm in a le s de e ntra d a ). P ara d e te rm in a r la fo r m a d e la re spu esta n a tu ra l i \ „ ( t ) e n la fig u ra 1 5.4 1 a , se d e b en e s p e c ific a r lo s p o lo s de la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia , H(s) = li (s)/ \ s . L a s fu n c io n e s d e tra n s fe re n c ia que se a p lic a n en las s itu a c io n e s d e s c rita s en la fig u ra 15.41¿> serían I i ( s ) / I s y V 2( s ) /í s , y sus p o lo s d e te rm in a n e nton ces la s respues tas n a tu ra le s i \ n { t ) y V 2„ ( t ) , re s p e ctiv a m e n te . S i la re spu esta n a tu ra l se desea p a ra u n a re d q u e no c o n tie n e n in g u n a fu e n te in d e p e n d ie n te , e nton ces se p o d ría in s e rta r u n a fu e n te V s o I , e n c u a lq u ie r p u n to c o n v e n ie n te , re s trin g id o s ó lo p o r la c o n d ic ió n d e q u e la re d o rig in a l se o b te n g a c u a n d o se s u p rim a la fu e n te . P o r lo ta n to , la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia c o rre s p o n d ie n te se d e te rm in a y sus p o lo s e s p e c ific a n las fre c u e n c ia s n a tu ra le s . O b sérve se q u e las m is m a s fre c u e n c ia s d e b e n o bte n e rse p a ra c u a lq u ie ra d e las m u ch as I ot c a liz a c io n e s de fu e n te p o s ib le . S i la re d y a c o n tie n e u na fu e n te , esa m is m a debe ig u a la rs e a c e ro e in s e rta rs e o tra fu e n te en u n p u n to m ás c o n v e n ie n te .
Un caso especial A n te s d e q u e se ilu s tre este m é to d o c o n v a rio s e je m p lo s , ln in te g rid a d de la p re s e n ta c ió n re q u ie re q ue se re c o n o z c a u n caso e s p e c ia l q u e p o d ría p rese nta rse. E s to o c u rre c u a n d o la re d de la fig u ra 1 5 .4 1 a o 15.41¿> c o n tie n e dos o m ás p artes q u e están a isla da s e n tre sí. P o r e je m p lo , se p o d ría te n e r la c o m b in a c ió n en p a ra le lo d e tre s re de s: Ri e n s e rie c o n C , R2 e n s e rie c o n L y u n c o r to c irc u ito . C la ra m e n te , u n a fu e n te d e te n s ió n e n s e rie c o n R\ y C n o p u e d e p ro d u c ir n in g u n a c o rrie n te en R2 y L; esa fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia sería cero. P ara e n c o n tra r la fo rm a de la re sp u e sta n a tu ra l d e la te n s ió n e n e l in d u c to r, p o r e je m p lo , se re q u ie re in s ta la r la fu e n te d e te n s ió n en la re d R2L. U n caso de este tip o a m e n u d o se re c o n o c e in s p e c c io n a n d o la re d antes d e q u e se in s ta le u n a fu e n te ; p e ro s i n o es así, e nton ces se o b te n d rá u n a fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia ig u a l a cero. C u a n d o H(s) = 0 , n o se o b tie n e in fo r m a c ió n a c e rc a d e la s fre c u e n c ia s q u e c a ra c te riz a n la re spu esta n a tu ra l y d eb e e m p le a rse u n a lo c a liz a c ió n de la fu e n te m ás adecuada.
EJEMPLO 15.12 x
y
E n e i caso d e l c ir c u it o s in fu e n te d e la f ig u r a 1 5 .4 2 , d e t e r m in a r la s e x p re s io n e s d e ¿i e i2 c o rre s p o n d ie n te s a t > 0 , d a d a s la s c o n d ic io n e s i n i c ia le s / | ( 0) = i2{0 ) = 11 a m p e re s . . . In s ta la n d o u n a fu e n te de te n s ió n V s e n tre lo s p u n to s x y y se e n c u e n tra la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia H(s) = l i (s) / V s , lo c u a l re s u lta ta m b ié n s e r la ad m ita n c ia de e n tra d a v is ta desde la fu e n te d e te n s ió n . Se tie n e
= ■ F IG U R A 1 5 .4 2 Circuito para el que se desean las respuestas naturales/! e / 2.
V, = (3s + 2)V5 2s + 1 + 6s/(3s + 2) 6s2 -r 13s + 2
SECCIÓN 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
„
(s )
= '■ (»_ K - + 1) V, (s + 2 ) (s + g )
D e a cu e rd o c o n la e x p e rie n c ia re c ie n te , se sabe p o r in s p e c c ió n que z'i debe te n e r la fo rm a i , ( í ) = A e -2' + Be~t/6 L a s o lu c ió n se c o m p le ta u tiliz a n d o la s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a ra e sta b le ce r lo s va lo re s d e A y d e B. P ue sto q u e i\ (0 ) se in d ic a c o m o 11 am peres:
11= A + B L a e c u a c ió n a d ic io n a l n e ce sa ria se o b tie n e e s c rib ie n d o la e c u a c ió n de la L K T a lre d e d o r d e l p e rím e tro d e l c irc u ito :
di\ dt
l¿ i + 2 —— |- 2i2 — 0 y re s o lv e r re s p e cto d e la d e riv a d a
di\ 1 22 + 11 = - r [ 2 i 2(0 ) + l¿ i( 0 ) ] = -------- = - 2 A - - B ~dt r =0 2 2
1
6
D e ta l m a ne ra , A = 8 y B = 3, y p o r e llo la s o lu c ió n q u e se desea es
i\(t\ = 8e ~ 2' + 3 e “ '/6
am peres
L a s fre c u e n c ia s n a tu ra le s q u e c o n s titu y e n i2 son las m is m a s q u e las de i\, a s im is m o , u n p ro c e d im ie n to s im ila r u tiliz a d o p a ra e v a lu a r las con sta nte s a r b itra ria s c o n d u c e a
i2{t) = 12e ~2' — e ,/6 PRÁCTICA
am peres
_______________________ _______________________________________
1 5.16 S i u n a fu e n te d e c o rrie n te i\ ( í ) = u ( í ) A se p re s e n ta en a-b en la fig u ra 15.43 c o n la fle c h a que e n tra en a, d e te rm in a r H ( s ) = \ ct¡/\\ y e s p e c ific a r la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s p resentes en vcí¡(t). 0 . 1 ¡ jl F
o d l F IG U R A 1 5 .4 3
Respuesta: 120s/(s + 20000) Q, —20000 s 1.
E l p ro c e s o que se debe s e g u ir p a ra e v a lu a r lo s c o e fic ie n te s de la a m p litu d de la re spu esta n a tu ra l es d e ta lla d o , e x c e p to e n a q u e llo s casos en lo s q ue son o b v io s lo s v a lo re s in ic ia le s de la re spu esta deseada y sus d e riv a d a s. S in e m b a rg o , n o se p u e d e p e rd e r de v is ta la fa c ilid a d y ra p id e z c o n la c u a l se o b tie n e la forma de la re spu esta n a tu ra l.
• -------------------------------
W V ------ ( 611
APLICACIÓN PRÁCTICA Diseño de circuitos de osciladores E n v a rio s p u n to s a lo la rg o de este lib r o se h a in v e s tig a d o e l c o m p o rta m ie n to de v a rio s c irc u ito s q u e re sp o n d e n a una e x c ita c ió n s e n o id a l. S in e m b a rg o , la c re a c ió n de la fo rm a de ondas sen oid ale s necesa ria es u n te m a in te re sante en sí m is m o . P o r e je m p lo , la g e n e ra c ió n de grandes ten sion es y grandes c o rrie n te s sen oid ale s es d ire c ta a l u ti liz a r im a n e s y b o b in a s de a la m b re ro ta to ria s , aunque u n m é to d o así n o se re du ce p ro p o rc io n a lm e n te c o n fa c ilid a d hasta fo rm a s de o n d a de m a g n itu d m ás pequeña. E n las a p lic a c io n e s de b a ja c o rrie n te , u n m e jo r m é to d o co n siste en e x p lo ta r e l c o n c e p to de retroalimentación positiva m e d ia n te u n c irc u ito c o n o c id o c o m o oscilador. L o s c ir c u ito s o sc ila d o re s son u n a p a rte in te g ra l de m u ch o s p ro d u c to s de c o n s u m o , tale s c o m o lo s re cep to re s de p o s ic io n a m ie n to g lo b a l p o r s a té lite (G P S ) de la fig u ra 15.44.
■ F IG U R A 1 5 .4 5 Circuito oscilador de puente de Wien.
de e n tra d a in v e rs o ra . L a re s is te n c ia Rf p ro p o rc io n a lo q u e se c o n o c e c o m o trayectoria de retroalimentación negativa, p u e sto que c o n e c ta la s a lid a de u n a m p lific a d o r a la e n tra d a in v e rs o ra . C u a lq u ie r a u m e n to A V 0 en la sa lid a causa u n a re d u c c ió n de la e ntra d a , la q u e a su v e z da lu g a r a u n a s a lid a m ás p eq u e ñ a ; este p ro c e so in c re m e n ta la e s ta b ilid a d de la te n s ió n de s a lid a V „ . L a ganancia d e l a m p o p , d e fin id a c o m o la ra z ó n e n tre V 0 y V , , se d e te r m in a p o r lo s ta m a ñ o s re la tiv o s de R\ y Rf. E l la z o de re tro a lim e n ta c ió n positiva consiste en dos co m b in a c io n e s in d e p e n d ie n te de re siste n cia Z v = R+l/sC y Lp = R || (1 /s C ). L o s v a lo re s q u e se e lig e n p a ra R y C p e rm ite n d is e ñ a r u n o s c ila d o r q u e tie n e u n a fre c u e n c ia e s p e c ífic a ( las capacitancias internas del amp op en sí
mismas limitarán la frecuencia máxima que se obtiene). P a ra d e te rm in a r la re la c ió n e n tre R, C y la fre c u e n c ia de ■ F IG U R A 1 5 .4 4 Muchos productos electrónicos de consumo, como este receptor GPS, dependen de circuitos osciladores para proporcionar una frecuencia de referencia. (© Royalty-Free/CORB IS)
U n c irc u ito o s c ila d o r s e n c illo , p e ro m u y ú til, que se c o n o c e c o n e l n o m b re de oscilador Wien, se m u e s tra en la fig u ra 15.45. E l c irc u ito se a sem eja a u n c ir c u ito de a m p o p n o in v e rso r, c o n u n a re s is te n c ia R\ c o n e c ta d o e n tre la p ata (p in ) de e n tra d a in v e rs o ra y la c o n e x ió n a tie rra , y u n a re s is te n c ia Rf co n e c ta d a e n tre la s a lid a y la p a ta (o p in )
o s c ila c ió n , se b u s c a la e x p re s ió n de la g a n a n c ia d e l a m p lific a d o r, V 0/V ¿ . S i se re c u e rd a n las d os re g la s d e l a m p o p id e a l que se e x p lic a ro n en e l c a p ítu lo 6 y se e x a m in a c o n c u id a d o e l c irc u ito de la fig u ra 1 5.45, se re c o n o c e que Zp y Z , f o r m a n u n d iv is o r de te n s ió n ta l que V ; = V o;
[20]
S im p lific a n d o la e x p re s ió n p a ra Zp = i ? | | ( l / s C ) = R /( 1 + s RC) y Z S = R + 1 /s C = (1 + sRC)/sC,
15.8 t TÉCNICA PARA SINTETIZAR LA RAZÓN__________ * DE TENSIÓN H(s) = Vsai/Vent G ra n p a rte d e l a n á lis is de este c a p ítu lo se h a re la c io n a d o c o n lo s p o lo s y lo s c e ro s de u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia . Se u b ic a n en e l p la n o de la fre c u e n c ia c o m p le ja , se u tiliz a n p a ra e x p re s a r fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia c o m o ra zon es de fa c tores o p o lin o m io s en s, se c a lc u la n respuestas fo rza d a s a p a rtir de e llo s y en la
se p u e de o b s e rv a r que
lo c u a l se re o rd e n a p a ra o b te n e r R
I I
v„
^
1 + sR C
í+ sR C sC
V;
R + 1 + s RC
s RC 1 + 3s RC + s2R2C2
[21]
[22 ]
E sta e xp re sió n de la ganancia es re a l s ó lo cua nd o ca = I / RC. A s í, se puede diseñar u n a m p lific a d o r que opere a una fre cu en cia p a rtic u la r / = o>/2tc — I / 2 j t RC e lig ie n d o valores para R y para C . C o m o e je m p lo , se d is e ñ a rá u n o s c ila d o r de p u e n te de W ie n p a ra g e n e ra r u n a señal s e n o id a l a u n a fre c u e n c ia de 2 0 H z , la m ás b a ja fre c u e n c ia c o m ú n m e n te aceptada d e n tro d e l in te rv a lo de a u d io . Se re q u ie re u n a fre c u e n c ia co = 2:r f = (6 .2 8 )(2 0 ) = 1 2 5 .6 ra d/s. U n a v e z que se e s p e c ific a u n v a lo r p a ra R, se c o n o c e e l v a lo r n ecesa rio p a ra C (y v ic e v e rs a ). S u p o n ie n d o q ue se tie n e u n c a p a c i to r de 1 fiF a la m a n o , se c a lc u la e nton ces u n a re s is te n c ia re q u e rid a de R = 1 9 6 2 Q . Puesto que n o es u n v a lo r de re siste ncia estándar, p ro b a b le m e n te será n ecesario usar varias resistencias com b ina da s en serie y /o en p a ra le lo pa ra o bten er e l v a lo r necesario. S in em bargo, si se observa de n u e vo la fig u ra 15.45 c o m o p re p a ra c ió n para s im u la r e l c irc u ito m e d ia n te P S pice, se puede v e r que n o se ha espe c ific a d o n in g ú n v a lo r para Rf o R\. S i b ie n la e cu a c ió n [2 0 ] p re c is a de m a n e ra c o rre c ta la re la c ió n e ntre V „ y V , , ta m b ié n se p o d ría e s c rib ir o tra e c u a c ió n que re la c io n e tale s can tida de s: v
V
-
V
[2 3 ]
V/
P o r lo ta n to , es n e ce sa rio e le g ir v a lo re s de R] y Rf tale s q ue R f / R \ = 2 . D e s a fo rtu n a d a m e n te , si se p ro c e d e a e fe c tu a r u n a n á lis is tra n s ito rio c o n P S p ic e en e l c irc u ito e lig ie n d o R f — 2 k Q y R¡ = I k Q , p o r e je m p lo , es p ro b a b le que desagrade e l re s u lta d o . P ara g a ra n tiz a r que e l c irc u ito sea en re a lid a d in e s ta b le (una condición ne cesaria a fin de que se inicien las oscilaciones), se n e c e s ita te n e r R f / R \ u n p o c o m a y o r q u e 2. L a s a lid a s im u la d a de n u e s tro d is e ñ o fin a l ( R = 7 9 6 2 S2, C = 1 /xF . R f = 2 . 0 1 k í2 y R \ = 1 k í2 ) se m u e s tra en la f ig u r a 1 5.46. O b s e rv a r que, en la g rá fic a , la m a g n itu d de las os c ila c io n e s crece; en la p rá c tic a , se re q u ie re que lo s e le m e n to s de c irc u ito s n o lin e a le s e s ta b ilic e n la m a g n itu d de la te n s ió n d e l c irc u ito o scilad or.
O s c ila d o r d e p u e n t e W ie n ( a c tiv o
H gM
<
Í< Los d a to s d e l a n o ta empiezan en £ = 1 .2 s
1 - 2s
1 .% s
■
i
1.6s
D Ü (U 1 :0 U T ) T im e
I F IG U R A 1 5 .4 6 Salida simulada del oscilador de puente Wien diseñado para operar a 20 Hz.
s e c c ió n p rece de nte se u sa ro n sus p o lo s p a ra e sta b le ce r la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l.
+ó
-
Ri
v„
V, jcoRC V~n = 1 + 3 jcoRC + ( jco)2R2C 2
o = — + — ----R, Rf
R-f
S i co = 1 /R C en la e c u a c ió n [2 2 ], se o b tie n e
P u e s to q u e e l in te ré s se c e n tra en la o p e ra c ió n en estado s e n o id a l p e rm a n e n te d e l a m p lific a d o r, se s u s titu y e s p o r jco, p o r lo que
jcoRC 1 - co2R2C2 + 3 jcoRC
= 1.
Se v e rá a h o ra la fo r m a en q u e se p o d ría d e te rm in a r u n a re d q u e p u e d e p r o p o rc io n a r u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia deseada. S ó lo se c o n s id e ra rá u n a p a r te p e q u e ñ a d e l p ro b le m a g e n e ra l, tra b a ja n d o c o n la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de la fo r m a H(s) = Vsai(s)/V ent(s), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 1 5.47. P o r s im p lic id a d , se re s trin g e H(s) a las fre cu e n c ia s c rític a s sobre e l e je a n e g a tiv o
! F IG U R A 1 5 .4 7 Dada H(s) = Vsal/V ent, se busca una red que tenga una H(s) especifica.
614 )--------VW---------------•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DC CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
(in c lu y e n d o e l o rig e n ). A s í, se co n sid e rarán fu n c io n e s de tra n s fe re n cia tales que:
10(s + 2)
H i( s ) =
s+ 5
—5s
H 2( s)
o----------------4 ---------------------------- o
(s + 8)2
H .?(s) = 0.1 s(s + 2 )
■ FIG U R A 15.48 En un amp op ideal,
H(s) = Vsai/Vent — —Zf/L],
Se c o m e n z a rá d e te rm in a n d o la g a n a n cia de te n s ió n d e la re d de la fig u ra 15.48, que c o n tie n e u n a m p op id e a l. L a te n s ió n e n tre las dos te rm in a le s de e n tra da d e l a m p o p es. en esencia, cero, y la im p e d a n c ia de e n tra d a d e l a m p o p es, en la p rá c tic a , in fin ita . P o r lo ta n to , se p u e de ig u a la r a c e ro la sum a de las c o m e n te s que e n tra n a la te rm in a l de e ntra da in v e rs o ra : Kf
— V A —
V ent
__ ,,
V sal
z 7 ~
z7
Vsal___Z/ V ent
Zi
Si Z / y Z i son re s iste n c ia s , e l c irc u ito a ctú a c o m o u n a m p lific a d o r in v e rs o r o q u iz á s c o m o u n atenuador (s i la ra z ó n es m e n o r q u e la u n id a d ). S in e m b a rg o , e l in te ré s en este m o m e n to ra d ic a en lo s casos en lo s q u e u n a de estas im p e d a n c ia s es u n a re s iste n c ia , m ie n tra s q u e la o tra es u n a re d R C . E n la fig u ra 1 5.4 9 a , sea Z i = Ri, m ie n tra s q u e Z / es la c o m b in a c ió n en p a ra le lo de R j y C f . P o r lo ta n to , )
Zf =
R f / s Cf
Rf
1/ C f
R f + (\/sCf)
1 + sC f R f
s + (1/RfCf)
ib) ■ FIG U R A 15.49 (o) La función de transferencia H(s) = Vai/Vent tiene un polo en s = - 1/R >O . (6) Aquí hay un cero s = —1 / # , C , .
H (s ) =
Vsal Vent
Zf Zl
\/R\Cf S + ( l
/RfCf)
Se tie n e u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia c o n u n a s o la fre c u e n c ia c rític a (fin ita ), u n p o lo en s = — 1 / R f C f . A l c o n s id e ra r a h o ra la fig u ra 15.49¿>, se d e ja q u e en este caso Z y sea re s is tiv a , en ta n to q ue Z ¡ será u n a c o m b in a c ió n e n p a ra le lo R C :
7
H (s ) =
1/ C i s + a /^ c o
= - h - = - R fCl ( s Z, \
R\C\
L a ú n ic a fre c u e n c ia c rític a fin ita es c e ro en s = —\/R\C¡.
SECCIÓN 15.8 TÉCNICA PARA SINTETIZAR LA RAZÓN DE TENSIÓN H(s) = Vsa¡/Ve„,
W
v
Para lo s a m p o p id e a le s , la im p e d a n c ia de s a lid a o de T h é v e n in es c e ro y, p o r lo ta n to , V sai y V sai / V ent n o son fu n c io n e s de n in g u n a c a rg a Z ¿ que p u d ie ra p o n erse a tra vé s de las te rm in a le s de sa lid a . E s to ta m b ié n in c lu y e la e n tra d a a o tro a m p op y, p o r lo ta n to , se c o n e c ta ría n c irc u ito s q u e te n g a n p o lo s y ceros en lo c a liz a c io n e s e sp e cífica s en cascada, d o n d e la s a lid a de u n a m p o p se c o n e cta de m a n e ra d ire c ta a la e n tra d a d e l s ig u ie n te , y de esa m a n e ra g e n e ra r c u a lq u ie r fu n c ió n de tra n s fe re n c ia q u e se desee.
EJEMPLO 15.13 Sintetizar el circuito que producirá la función de transferencia H(J = \ ;sa,/Vi;ilt = 10(s + 2)j| + 51 E l p o lo en s = —5 se o b tie n e m e d ia n te u n a re d c o n la fo rm a de la fig u ra 1 5.49 o. S i se n o m b ra /\ a e s ta re d , se tie n e 1 / R f ACfA = 5. D e m a n e ra a rb itra ria se e lig e R /A = 100 k Q ; p o r lo ta n to , C/A — 2 / iF . P ara esta p a rte d e l c irc u ito c o m p le to , H
a ( s)
= -
1/ RiaC/A
5
X
1 0 5 / t fiA
s —(—5
S + (1/ RfACfA)
A c o n tin u a c ió n , se con s id e ra e l c e ro e n s = —2 . D e la fig u ra 15.49/?,
1/RigCig — 2 , y c o n RÍB = 100 k£2, se tie n e q ue C\B = 5 ¡xF. P o r lo ta n to ,
H#(s) =
—R/bCib ( s +
1
R ib C\ b
- 5 x 10“ 6/?/ B (s + 2 )
H (s ) = H
a ( s) H
* ( s) = 2 .5
Rfs s +
2
/? ia s i- 5
Se c o m p le ta e l d is e ñ o R¡ « = 100 k Q y R ía = 25 k Q . E l re s u lta d o se m u e s tra en la fig u ra 15.50. L o s ca p a c ito re s en este c irc u ito son bastante grandes, a un qu e lo a n te rio r es u n a co n s e c u e n c ia d ire c ta de las b a ja s fr e cu e n cia s sele ccio n a d a s p a ra e l p o lo y p a ra e l c e ro de H ( s ) . S i H ( s ) se c a m b ia ra a 10(s + 2 0 0 0 ) /( s + 5 0 0 0 ), se p o d ría n u tiliz a r v a lo re s de 2 y 5 nF.
loo kn
■ FIG U RA 15.50 Esta red contiene dos amp op ideales y produce la fundón de transferencia de tensión H(s) = Vsai/H ent = 10(s + 2 & S + 5).
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
PRÁCTICA
________________________________________________________________
15.17 E s p e c ific a r lo s v a lo re s adecuados d e e le m e n to s p a ra Z i y Z / en cada u na d e las tre s etapas d e cascada, a f in de re a liz a r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia
H(s) = —20s2/(s + 1000). Respuestas: 1 /xF || oo, 1MÍ2: 1 /xF || oo, 1 MÍ2; 100kí2 || lOnF, 5MÍ2.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □
Se pue de n re p re s e n ta r las re siste n cia s en e l d o m in io d e la fre c u e n c ia p o r m e d io de u n a im p e d a n c ia que te n g a la m is m a m a g n itu d .
□ L o s in d u c to re s pue de n re prese ntarse en e l d o m in io d e la fre c u e n c ia m e d ia n te u n a im p e d a n c ia sL. S i la c o rrie n te in ic ia l es d ife re n te d e cero, entonces la im p e d a n c ia debe p on erse en serie c o n la fu e n te de te n s ió n —Li( 0 “ ) o en p a ra le lo c o n u na fu e n te de c o rrie n te i (0 - ) /s . □
R e s u lta fa c tib le re p re s e n ta r lo s c a p a c ito re s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia p o r m e d io d e u n a im p e d a n c ia 1 /s C . S i la te n s ió n in ic ia l es d is tin ta de cero, e ntonces la im p e d a n c ia debe p on erse en serie c o n la fu e n te d e te n s ió n d(0“)/s o en p a ra le lo c o n una fu e n te de c o rrie n te Cv(0~).
□
E l a n á lis is n o d a l y de m a lla en e l d o m in io s d a c o m o re s u lta d o e cuaciones sim u ltá n e a s en té rm in o s de p o lin o m io s s. M A T L A B es u na h e rra m ie n ta m u y ú til p a ra re s o lv e r tales sistem as d e ecuaciones.
□ L a s u p e rp o s ic ió n , la tra n s fo rm a c ió n d e fu e n te y lo s teo re m as de T h é v e n in y de N o rto n son v á lid o s en e l d o m in io s. □
U n a fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia de c irc u ito H(s) se d e fin e c o m o la ra z ó n e ntre la s a lid a y la entra da , am bas en e l d o m in io s. C u a lq u ie r c a n tid a d p ud iese ser u n a te n s ió n o u na c o rrie n te .
□
L o s zeros d e H(s) son lo s v a lo re s q u e p ro p ic ia n u n a m a g n itu d c ero. L o s polos d e H(s) son lo s v a lo re s q u e o rig in a n la m a g n itu d in fin ita .
□
L a c o n v o lu c ió n nos p ro p o rc io n a m e d io s ta n to a n a lític o s c o m o g rá fic o s p ara d e te rm in a r la s a lid a de u n c irc u ito a p a rtir de su respuesta a l im p u ls o h(t).
□
E x is te n v a rio s m é to d o s g rá fic o s p a ra re p re s e n ta r e xp re sio n e s en e l d o m in io s en té rm in o s d e p o lo s y de ceros. Se u tiliz a n estas g rá fic a s p a ra s in te tiz a r u n c irc u ito y o b te n e r u na respuesta deseada.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ M ás d e ta lle s acerca d e l a n á lisis de s iste m a s en el d o m in io s, el uso d e la tra n s fo r m a d a d e Laplace y las p ro p ie d a d e s de las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia se p u e d e n e n c o n tra r en
K . O gata, Modern Control Engineering, 4a. ed. E n g le w o o d C liffs . N J .: P rentic e -H a ll, 2002. Un análisis muy completo acerca de los diferentes tipos de circuitos osciladores puede encontrarse en: R . M a n c in i, Op Ampsfor Everyone, 2a. ed. A m sterda m : N ew nes, 2003
y G . C la y to n y S. W in d e r. Operational Amplifiers, 5a. ed. A m sterda m : N ew nes, 2003.
EJERCICIOS
EJERCICIOS 15.1 Z(s) y Y(s) 1. D ibujar todos los equivalentes posibles (í > 0) en el dominio s del circuito de la figura 15.51. 2. D ibujar todos los equivalentes posibles (t > 0) en el dominio s del circuito que se presenta en la figura 15.52. 73 íl 2 000 yuF
A A A í------- II 7.2 V
30 mH 2 *t)
■ FIG U RA 15.52
3. Observar la figura 15.53 y calcular : (a) Z ent( s) como la razón entre dos polinomios en s; (b) Z ent(—80); (c) Z ent(78O); (d) la admitancia de la ram a RL en paralelo, Y /(l ( s ) , como una razón de polinomios en s. (e) Repetir para Y r c ( s ) - ( / ) D emostrar que Z cnl(s) = (Y/u, + YRC)/Y RLYRC. 20 íl
4. Determ inar la im pedancia equivalente de Thévenin vista desde las terminales del circuito que se describe en la figura 15.54, hacia dentro del mismo,
o— ---------- 1-------------------- 1 ■20 íl
■ 40 fl
2m F
: 2 mF
■ FIG U R A 15.54
5. (a) Determ inar Z ent( s) de la red de la figura 15.55 como una razón de dos polinomios en s. (b) Determ inar Z cnt(78) en forma rectangular, (c) Encontrar Z em( —2 + 76) en forma polar, (d) ¿A qué valor debe cambiarse la resistencia de 16 £2 para que Z en, = 0 en s = —5 + 7O? (e) ¿A qué valor debe cambiarse la resistencia de 16 £2 para que Z ent = 00 sea s = —5 + jO? 0.02 F
o--------- \(r~ ■16 0
0.2 H
■ FIG U RA 15.55
6.
(a) Determ inar la impedancia equivalente de Thévenin que se observa desde las terminales del circuito que se ilustra en la figura 15.56, hacia dentro del mismo; (b ) graficar la magnitud de la im pedancia como una función de la pulsación w para el caso a — 0.
• ------------------------------
W v ----------------{
617
e t s -------V W
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
7. Determ inar la impedancia de entrada Z ent del circuito que se m uestra en la figura 15.57, modeln de un circuito lineal de un amplificador transistorizado de unión bipolar y em isor común válido para frecuencias hasta de varios MH/,. Expresar la respuesta como una razón de polinomios s ordenados.
8.D eterm inar v(t)
en el circuito de la figura 15.58 trabajando al principio en el
dominio s. + <Át)
115 mH
-o n rp — i(t) 2 u(t) V ( f )
í(f) 3.3 /xF
I +
< l.lM fí
4.7 kfí ^ 'il)
K 0-) = 4 V
¡(O-) = 4 mA
I FIG U RA 15.59
I FIG U RA 15.58
100 mH
-----25 u(l) fiA ©
9. U tilizar técnicas de análisis de circuitos en el dominio s para determinar la corriente i (t) a través del capacitor de la figura 15.59. 10. (a) Convertir el circuito de la figura 15.60 en una representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar la expresión de p(í), la potencia que se absorberá en la resistencia.
15.2 Análisis nodal y de malla en el dominio s ■ FIG U RA 15.60
11. Considerar el circuito de la figura 15.61. Utilizando las técnicas en el dominio s, encontrar las tensiones nodales indicadas v i(í) y U2O) si (0_ ) = —2 V.
■ FIG U R A 15.61
12.
Considerar el circuito de la figura 15.62. (a) Utilizando las técnicas en el dominio s, encontrar las tensiones nodales indicadas como v¡ (t ) y v i f t ) . (b) Elaborar un diagrama de t>i(í)-
rfí — w v — 1— w v — 2u(t) A I ^
I FIGURA 15.62
lfí< >
911 f
¡ c
I4A
-A /W -
EJERCICIOS -13. El circuito simple de la figura 15.63 contiene dos mallas, (a) Determ inar tanto i\ (t) como ¿2(t) utilizando el análisis de malla en el dominio s si u c(0 - ) = 9 V. (b ) Verificar la respuesta utilizando PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente junto con el resultado de su simulación comparado con la solución analítica de la parte (a).
■2 n
■ FIG U R A 15.63
-14. El circuito simple de la figura 15.64 contiene dos mallas, (a) Determ inar tanto i i (í) como ¿2(í) utilizando el análisis de m alla en el dominio s si i\ (O- ) — ¿2(0~) = 8 A. (b) Verificar la respuesta utilizando PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente, junto con el resultado de su simulación comparado con la solución analítica de la parte (a).
2 CI
-vw 9u(t) V
0.5 H ■ FIG U R A 15.64
15. (a) Sea vs = 10e~2í cos(10í + 30 °)u(t) V en el circuito de la figura 15.65, y trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar l x . (tí) Calcular ix (t).
Vs
16. Determ inar la tensión nodal v\ (t ) en el circuito de la figura 15.66, bajo el supuesto de una energía inicial igual a cero. I FIG U R A 15.65
■ FIG U R A 15.66
17. D eterm inar las expresiones en el dominio del tiempo de la corriente de malla central del circuito de la figura 15.66, bajo el supuesto de una energía inicial igual a cero. 18. Calcular la tensión nodal vi (t) del circuito de la figura 15.66 si la tensión en el capacitor v a (0*) = 9 V , pero ningún otro elemento alm acena inicialmente alguna cantidad de energía. 19. Sea isi = 20e-3f c o s4 í u(t) A e ¿s2 = 30e-3 ,sen4f u(t) A en el circuito de la figura 15.67. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar Vx . ib) Obtener
vx (t). 0.1 F
■ FIGURA 15.67
5 íl
619
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
20. (a) Determ inar una expresión en el dominio del tiempo para v(t) en el circuito de la figura 15.68 si u(0~) = 75 V , teniendo en cuenta que inicialmente no hay energía almacenada en el inductor, (ti) Utilizar la respuesta del inciso (o) para determinar la corriente en estado perm anente que fluye en el circuito desde la fuente de 115 V rms. (c) Verificar la respuesta del inciso (ti) utilizando el análisis fasorial. 20 a
■ F IG U R A 1 5 .6 8
21. Determinar las corrientes de malla i\(t) e ¿2(0 de la figura 15.69 si la corriente que pasa por el inductor de 1 mH (¿2 — 14) es de 1A en t = 0 _ . Verificar que la respuesta se aproxime a la que se obtuvo mediante el análisis fasorial a medida que la respuesta del circuito alcanza, en el largo plazo, el estado permanente. 0.005 ¡!
■ F IG U R A 1 5 .6 9
22. Bajo el supuesto de que no se almacena en un principio energía en el circuito de la figura 15.70, determinar el valor de vi en t = : (a) 1 ms; (ti) 100 ms; (c) 10 s.
23. Si la fuente de tensión dependiente del circuito de la figura 15.71 es dañada por una sobretensión durante una tormenta eléctrica y ya no funciona (es decir, ahora es un
■ FIGURA 15.71
A /W
EJERCICIOS
circuito abierto), determinar la expresión de la potencia que absorbe la resistencia de 2 fi. Se debe suponer que la única energía almacenada al principio en el circuito se encuentra en el inductor, de manera que la corriente que circula por el inductor de 1 mH inductor (¿2 — 14) es 1 mA en t = 0 “ . 24. (a) En el circuito de la figura 15.71, un modelo de circuito lineal de un amplificador transistorizado de unión bipolar y emisor común, determinar la expresión de la ganancia de tensión V „/V it. Se podría suponer que no hay energía almacenada en un principio en los capacitores; expresar la respuesta com o una razón de polinomios s ordenados, (b) ¿Cuántos polos existen para esta función de transferencia?
15.3
Técnicas adicionales de análisis de circuitos
25. (a) Convertir el circuito de la figura 15.72 en una representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar el equivalente de Thévenin visto por la resistencia de 1fi. ( c ) Analizar el circuito simplificado para obtener una expresión correspondien te a i (t ), la corriente instantánea que pasa por la resistencia de 1 £2. 26. Sustituir la fuente de corriente de la figura 15.72 por una fuente de tensión 20 u (t ) V, con la referencia positiva en la parte superior, (a) Convertir el circuito en uua representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar el equivalente de Norton visto desde la resistencia de 1 fi resistor, (c) Analizar el circuito simplificado para obtener la expresión correspondiente a i c ( t ) . 27. En el circuito en el dominio s de la figura 15.73, determinar el equivalente de Thévenin visto desde la im pedancia de 7s 2 £2 y utilizarlo para determinar la corriente I(s). 3a
3 fi
28. En el circuito en el dominio s de la figura 15.74, determinar el equivalente de Thévenin visto mirando hacia las terminales marcadas como a y b.
2s f i
29. (a) A plicar el teorema de superposición en el dominio s para obtener V i (s) y V 2(s) para el circuito de la figura 15.75. (b) Determ inar n (r) y V2 (t ). v2(t)
i— W v —
10«(í) v (
IFIG U RA 15.75
—33 (U.F
92 /iF -
W v—1 47 kfi I
1
) 5 S(t) - 3 u(t) V
30. Determinar la potencia p(t) que absorbe la resistencia de 56 fi de la figura 15.75 mediante transformaciones de fuente apropiadas en el dominio 31. (a) Calcular el equivalente de Norton en e] dominio s visto por la fuente de 10 u(t) V de la figura 15.75. (b) Determ inar la corriente que fluye hacia fuera de la fuente de 1 0 «(f) V en t = 1.5 ms.
j'cM 3 u(t) A
I FIG U RA 15.72
- 2 mF
622 )— - ^ ■' /
v ------------------------------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
32. (a) Utilizar la superposición en el dominio s para encontrar una expresión relativa a V i (s) como se indica en la figura 15.76. (b ) Calcular ni (f).
33. (a) Em plear transformaciones de fuente en el dominio s para determinar I(s) correspondiente al circuito de la figura 15.77. ib) Encontrar i(t). fe) Determ inar el valor del estado perm anente de i(t). 60 cos (IO3?) u(t) V
10 n
-nrvr13 mH
-A/W
i(t)
5 cos (103í) u(i) V |
■73 fl
[ F IG U R A 1 5 .7 7
15.4 Polos, ceros y funciones de transferencia 34. Determ inar Jos polos y ceros de las funciones de transferencia siguientes:
(«)
1
7s
:-Áb) s(3s2 - 9s + 4) ’ (s2 + 2s + 4)(s2 + 1)'
35. M encionar todos los polos y ceros de cada una de las funciones en el dominio s siguientes: (a)
3s2
,
s2 + 2s — 1
s(s2 + 4 ) ( s — 1 )’ v" ' s2(4s2 + 2 s + l)(s 2 — 1 )'
36. L a combinación en serie de una resistencia de 5 £2 y una capacitancia de 0.2 F está en paralelo con una combinación en serie de una resistencia de 2 £2 y una inductan cia de 5 H. (a) Determ inar la admitancia de entrada Y t (s), de esta combinación en paralelo como una razón de dos polinomios en s. (b ) Identificar todos los polos y los ceros de Y i(s). (c) Identificar todos los polos de la admitancia de entrada que se obtendrán si una resistencia de 10 £2 se conecta en paralelo con Y¡ (s). (d) Identi ficar todos los ceros de la admitancia de entrada que se obtendrán si se conecta una resistencia de 10 Q en serie con Y ; (s). 37. Determ inar todos los polos y los ceros de: (a) la impedancia de entrada definida en la figura 15.54; ( b) la im pedancia de entrada definida en la figura 15.56. 38. Una admitancia Y(s) tiene ceros en s — 0 y s = —10, y polos en s = —5 y —20 s -1 . Si Y(s) -»• 12 S am edida q u e s -> oo, determinar: (a) Y("/10); (V) Y (—y 10); (c) Y (—15); (d ) los polos y los ceros de 5 + Y(s). 39. (a) Obtener Zem(s) en la red de la figura 15.78. (¿>)Determinar todas las frecuencias críticas de Ze„t(s). 40. U n circuito dado tiene una función de transferencia H(s) = (s + 2 )/[(s + 5)(s2 + 6s + 25)]. Determ inar la respuesta de salida en el dominio: (a) <5(r); (b) e~4tu(t); (c) [2cos 1 5 /]k(í); id) te~‘u(t). (e ) M encionar los polos y ceros de cada respuesta de salida.
A A /V
EJERCICIOS
15.5 C onvolució n 41. L a respuesta al im pulso de cierto sistema lineal es h(t) = 5 s e n jr? [íí(/) — u(t — 1)]. Se aplica una señal de entrada x(t) = 2[u(t) —u(t —2 )] U tiliz a r la convolución para determ inar y d ib u ja r la salida y(t). 42. Sean f\(t) = e~5tu(t) y V 2O) = (1 — e~2t)u{t). C alcular y(t) = fi(t) * / 2O) por: (a) convolución en el dom in io del tiem po; (b) jC~]{F 1(s)F 2(s)}. 43. Cuando se aplica un im pulso 5 (0 V a cierta red de puertos, la tensión de salida es v0(t) = 4u(t) - 4u(t —2) V. D eterm inar y d ib u ja r v0(t) si la tensión de entrada es 2u(t - 1) V. 44. Sean h{t) = 2e~3,u(t) y x(t) = u(t) — á(f ). D eterm inar y(t) = h(t) * x(t)2 como sigue: (a) utilizan do la convolución en el dom in io del tiem po; (b) calculando H (s ) y X (s) y después obtener £ _ 1{H (s )X (s )}. 45. L a respuesta en tensión al im pulso de un c irc u ito p articular está dada como h(t) = 5u(t) — 5 u(t — 2). C alcular la respuesta en tensión en e l d om in io s y en el d om in io del tiem po si la tensión de excitación uent(r) = es igual a: (a) 3S(t) V ; (b) 3 u(t) V ; (c) 3 u{t) —3u(t —2) V ; (d) 3 cos 3 1 V . (e) D ib u ja r la respuesta en ten sión en el dom in io del tiem po para todos los incisos precedentes ( a)-(d ). 46. (a) D eterm inar la respuesta al im pulso h (í) de la red que se muestra en la figura 15.79. ( b) U tiliz a r la convolución para determ inar v0(t) si uent(0 = 8u(í) V.
■4 Í Í
;5 fi
■
vjj)
F IG U R A 1 5 .7 9
4
n
o------------■ F IG U R A 1 5 .8 0
47. (a) D eterm inar la respuesta a l im pulso h(t) de la red que se muestra en la figura 15.80. (b) U tiliz a r la convolución para determ inar v0(t) si vcn,(t) = 8e~'u(t) V.
15.6 Plano de frecuencia compleja 48. D eterm inar H(s) = V sai= V ent de la red de la figu ra 15.81 y loca liza r todas sus fre cuencias críticas. 0.1 F
H (0—
— v w — — VW — — c 20 í l 20 í l
ent
*" Í 0 . 1 F
ja
V
n------------------------ 1------------------------ r
4 - ~)4 plano s
■ FIG U R A 15.81
49. L a configuración de polos y ceros de H(s) = V 2(s)/ V 1(s) se muestra en la figura 15.82. Sea H (0 ) = 1. D ib u ja r |H (s)| en fun ción de: (a) a si co = 0; (b) co si a = 0. (c) D eterm inar |HO'®)|máx. 50. U na pieza de m aquinaria eléctrica tiene una im pedancia de entrada caracterizada p o r dos ceros en s = — 1, un polo en s = —0.5 + j-J 3 /2 , otro p olo en s = - 0 . 5 - ; V 3 / 2 , y es igu a l a 1 ohm en s = 0. (a ) D ib u ja r la constelación de polos y de ceros de esa impedancia. (b) D ib u ja r el m odelo de lám ina elástica de la magni-
-2 - 1
H I FIGURA 15.82
--J4
623
w v
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
tud de la im pedancia. (c) E ncontrar una com binación de resistencias, inductores y capacitores que tengan la m ism a im pedancia. ( Sugerencia: trabajar de atrás hacia adelante a partir de la expresión en el dominio s.) 51. Dada la ganancia de tensión H (s ) = (10s 2 + 55s + 7 5 )/(s 2 + 16): (a ) indicar las fre cuencias críticas en el plano, (tí) C alcular H (0 ) y H (o o ). (c) Si un m odelo de escala |H (s) | tiene una altura de 3 cm en el origen, ¿cuál es la altura en s = j 3? (d) D ibujar en form a aproximada |H (cr)| en función de cr y |H(y7i>)| en función de ai.
52. En un laboratorio secreto de) gobierno, un investigador cuyo alm uerzo escondieron de manera m aliciosa sus colegas, que al parecer no tienen nada que hacer, descubrió una caja de m etal de form a extraña. Sin señales de com ida por ningún lado, el in vestigador decidió m e dir la adm itancia de la caja y descubrió que su m odelo podría ser Y (s ) = (5s 2 + 5s + 2 ) / (5s 2 + 15s + 2) S. (a) D ib u ja r la constelación de polos y de ceros de esta adm itancia, (tí) D ib u ja r el m odelo de lám ina elástica de la m ag n itu d de la admitancia, (c) D eterm inar la ubicación del alm uerzo desaparecido, si los coeficientes de p o lin o m io del denom inador corresponden a la la titu d (grados, m inutos y segundos) y los coeficientes del p o lin o m io del num erador corresponden a la lon g itu d (grados, m inutos y segundos). Resulta o bvio que los colegas del inve sti gador tienen m ucho en qué divertirse. 53. Se aplica la constelación de polos y de ceros que se presenta en la figura 15.83 a una ganancia de corriente H (s ) = I Sai/Ient- L e t H ( —2) = 6 . (a) Expresar H (s ) com o una razón de polinom ios en s. (tí) C alcular H (0 ) y H (o o ). (c) D eterm inar la m agnitud y la dirección de cada flecha, a p a rtir de una frecuencia crítica para s = j 2. jo>
-i T i l [ 1 i -3 i i i i iT
plano s i
A -1
A
> rr
5 íl
1
--J2
I FIG U RA 15.83
54. L a red de tres elementos de la figura 15.84 tiene una im pedancia de entrada Z ^ (s ) con un cero en s = —10 + /O . Si se pone una resistencia de 20 £2 en serie con la red, el cero de la nueva im pedancia se desplazará a s = —3.6 + j 0 . D eterm inar R y C. 55. Sea H (s ) = 100(s + 2 )/(s 2 + 2s + 5) y: (á) m ostrar la gráfica de polos y de ceros correspondiente a H (s ); (tí) determ inar H ( joj); (c) deducir |H ( ja>)\; (d) dib u jar |H(y'ft>)| en fun ción de u>\ (e) determ inar o w , la frecuencia a la cual |H ( ja>)\ es m áxim o. 1 5.7 R espuesta n a tu ra l y el p la n o s 56. Sea Z ent(s) = (5s + 20)/(s + 2) í l para la red que se presenta en la figura 15.85. Determinar: (a ) la tensión vat (t) entre las terminales en circuito abierto, si ifc¡,(0) = 25 V ; (tí) la corriente irj,(l) en un corto circuito entre las terminales a y tí si íab(0) = 3 A .
---------Red pasiva -----■ FIGURA 15.85
EJERCICIOS
• --------------W V
0
57. Sea Z ent(s) = 5(s 2 + 4s + 2 0 )/(s + 1) í l en la red pasiva de la figu ra 15.85. D eter m in ar ia(t), la corriente instantánea que entra a la term inal a, dado que vab(t) es igu a l a: (a) 160e~6' V ; (b) 160 e~6,u(t) V , con ia(0) = 0 y dia/dl = 32 A /s en t = 0. 58. (a) D eterm inar H (s ) = Ic /ls en el circu ito que se muestra en la figura 15.86. (b) D eterm inar los polos de H (s ). ( c) E ncontrar a, a>o y (ú¿ en el c irc u ito RLC. (d) D e term inar la respuesta forzada i c j U i en form a completa, (e) In d ic a r la form a de la respuesta neutral ¿ c ,« (í). ( / ) D eterm inar los valores para ¡ c ( 0 + ) y dic/dt en í = 0+ . (g ) E s crib ir la respuesta completa, í' c ( í ). 2 mH
■ FIG U RA 15.86
59. E n el c irc u ito de la figura 15.87: (a) encontrar los polos de H (s ) = I e„t/ V ent. (b) Sean i\ (0+ ) = 5 A e ¿2(0+ ) = 2 A y determ inar ¿ent(í) si vCDt(í) = 500u(t) V.
50 íí 20 íl ------- W ------- T---- W v-----
P
16H [
| 34 H
1"
l'2
■ FIG U R A 15.87
60. (a) C alcular H (s ) = V ( s ) /I, (s) para el circuito de la figu ra 15.88. D eterm inar v(t) si is(t) es igual a: ( b) 2 u(t) A ; (c) Ae~Wt A ; ( d ) 4 e~l0,u(t) A .
20 íl
50 íl
: 1 mF
1---- WV---- ---- W v----+ L M va ; ^ 40 mF VC1 P
■ FIG U R A 15.88
61. En el c irc u ito de la figura 15.89: (a) calcular H (s ) = \c. 2/V s ; (b) sea vc¡ (0+ ) = 0 y % 2( 0+ ) = 0, y calcular va(t) si vs(t) = u(t) V . 62. Observar la figura 15.90 y determ inar la im pedancia Z ent (s) vista desde la fuente. U tiliz a r esta expresión para ayudar a determ inar ifent(í) para t > 0. 20 n i— v \ N — + 20 u(t) A ( J
'em -
■ FIGURA 15.90
í ^10Ü 1
“ ~ 25 mF
“ ~ 12.5 mF
I FIGURA 15.89
: 10 mF
0
A /W
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
15.8 Técnica para sintetizar la razón de tensión H(s) = Vsai/Vent 63. Determ inar H (s) = V 5al/ V ent como una razón de polinomios en s para el amp op de la figura 15.48, indicando los valores de im pedancia (en Q): (a) Z i( s ) = 103 + (108/s ) , Z /(s ) = 5 0 0 0 ; (h) Z i( s ) = 5 0 0 0 , Zy(s) = 103 + ( 108 /s); (c) Z j (s) = 1 0 3 + ( 1 0 8 /s ) , Z /(s ) = 104 + ( 108/s). 0
64. En el circuito de la figura 15.49/;, sea R j = 20 kí2 y especificar entonces los val ores de /?i y C i de manera que H (s) = V sai/ V ent sea igual a: (a) —50; (b) —10^3(s + 104); (c) —10_4(s + 103); (d) 10_3(s + 105), utilizando dos etapas.
Q
65. En el amp op de la figura 15.49a, sea R f = 20 k fi y especificar en ese caso los valores de y C f de m anera que H (s ) = V5ai/Vent sea igual a: (a) —50; (,b ) —IO V ís + 104); (c) —104/( s + l t f ) ; (d ) 100/(s + 105), utilizando dos etapas.
íft
66. Utilizar varios amp op en cascada para realizar la función de transferencia H (s ) = Vsai/Vent = —10~4s(s + 102) /( s + 103). Em plear sólo resistencias de 10k£2 cir cuitos abiertos, circuitos en corto, especificando todos los valores de capacitancia.
■ L .0
67. Diseñar un oscilador de puente de Wien que esté caracterizado por una frecuencia de oscilación de 1 kHz. Emplear sólo los valores de resistencias estándar dados en el interior de la cubierta. Verificar su diseño con una simulación PSpice apropiada. 68. D iseñar un oscilador de puente de Wien con una frecuencia de oscilación de 60 Hz. Verificar su diseño con una simulación PSpice apropiada.
O V - (fl)
69. D iseñar un circuito de oscilador para proporcionar una señal senoidal de 440 Hz empleando sólo valores de resistencia estándar, como los que se dan en la parte in terior de la cubierta de la portada. Verificar el diseño con una simulación PSpice apropiada. ¿Q ué nota musical produce el circuito? 70. D iseñar un circuito que proporciona una salida de tensión compuesta por una onda seno de 220 Hz y una onda seno de 440 Hz. Verificar el diseño con una simulación PSpice apropiada. ¿Están en fase entre sí las dos ondas seno?
Respuesta en frecuencia CONCEPTOS
CLAVE
INTRODUCCIÓN L a respuesta en fre c u e n c ia y a h a a p a re cid o en v a rio s c a p ítu lo s , p o r lo que ta l v e z al le c to r le s o rp re n d a que a h o ra se d e d iq u e a l te m a u n c a p ítu lo c o m p le to . D ic h o c o n c e p to es de sum a im p o rta n c ia en tod os lo s cam pos de la c ie n c ia y de la in g e n ie ría , pues c o n s titu y e la base p ara c o m p re n d e r lo s fa c to re s que d e te rm in a n la e s ta b ilid a d o in e sta b ilid a d , de u n siste m a e sp e c ífico , sea e lé c tric o , m e cá n ic o , q u ím ic o o b io ló g ic o . Se e n c o n tra rá ta m b ié n que lo s c on cep to s de respuesta en fre c u e n c ia se re q u ie re n en m u ch as a p lic a c io n e s de la in g e n ie ría e lé c tric a m ás a llá d e l te m a de la e sta b ilid a d . P o r e je m p lo , cua nd o se tra b a ja c o n sistem as de c o m u n ic a c io n e s a m e n u d o se deben e n fre n ta r situ a cio n e s que e x ig e n la s ep aración de fre cu e n c ia s (cada u n a de las estaciones de ra d io , p o r m e n c io n a r u n caso), o p e ra c ió n que se lle v a a cabo u n a v e z que se c u e n ta c o n u n a c o m p re n s ió n cabal de la respuesta en fre c u e n c ia de lo s c irc u ito s de filtra d o . E n re sum e n, s in n in g u n a d ific u lta d se p o d ría n d e d ic a r v a ria s p ág ina s a e lo g ia r las v irtu d e s d e l e stu d io de la respuesta en fre cu e n c ia . S in e m ba rg o, se p re fie re lle v a rlo a cabo d e n tro d e l tem a , c o m e n z a n d o c o n e l e fe cto
Frecuencia resonante de los i circuitos con inductores
i
y capacitores.
A ------------------------------------------Factor de calidad.
------------------------------------------Ancho de banda.
• ----------------------------------------i Escalamiento (o ajuste) de : frecuencia y magnitud.
•-------------------Técnicas de los diagramas de Bode.
------------------------------------------Filtros pasabajas y pasaaltas.
• ----------------------------------------Diseño de filtros pasa bandas.
------------------------------------------Filtros activos.
e lé c tric o d e l c o n c e p to de re s o n a n c ia y c u lm in a n d o c o n e l d is e ñ o de c irc u ito s de filtr a d o b ásico s q ue se e m p le a n en a p lic a c io n e s c o tid ia nas c o m o lo s a m p lific a d o re s de a ud io.
16.1 , RESONANCIA EN PARALELO___________ ¿ P or qué e l le c to r se debe in te re s a r en la re spu esta de las fu n c io n e s fo rza d a s se n o id a le s cu a n d o ra ra v e z se e n c u e n tra n en la p rá c tic a ? L a in d u s tria de la e n e rg ía e lé c tric a es u n a e x c e p c ió n , pues la fo rm a de o n d a s e n o id a l aparece p o r tod as p a rte s, aun qu e en oca sio n es re s u lta n e c e s a rio c o n s id e ra r otras fre c u e n c ia s q u e in tro d u c e n la n o lin e a li d a d de a lg u n o s d is p o s itiv o s . S in e m b a rg o , en casi to d o s lo s dem ás sistem as e lé c tric o s , las fu n c io n e s fo rza d a s y las respuestas no son
-
AA/V
*
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
s en oid ale s. E n c u a lq u ie r s iste m a en e l q u e se v a a tra n s m itir in fo rm a c ió n , la sen oid e p o r s í s o la es ca s i s ie m p re in ú t il; c o n tie n e in fo rm a c ió n lim ita d a d e b id o a q u e sus v a lo re s fu tu ro s son e xa c ta m e n te p re d e c ib le s , a p a rtir de sus v a lo re s pasad os. A d e m á s , u n a v e z c o m p le ta d o u n p e rio d o , c u a lq u ie r fo r m a de o n d a p e rió d ic a n o s e n o id a l ta m p o c o c o n tie n e n in g u n a in fo rm a c ió n a d ic io n a l. S u p o n e r que se e n c u e n tra que c ie rta fu n c ió n fo rz a d a c o n tie n e componentes se n o id a le s c o n fre c u e n c ia s d e n tro d e l in te rv a lo de J 0 a 100 H z . Im a g in a r a h o ra q u e ta l fu n c ió n fo rz a d a se a p lic a a u n a re d q u e in c lu y e la p ro p ie d a d de que todas las te n s io n e s se n o id a le s c o n fre c u e n c ia s desde 0 hasta 2 0 0 H z a p lic a d a s a las te r m in a le s d e e n tra d a a p a re ce n c o n su m a g n itu d d u p lic a d a e n la s te rm in a le s de s a lid a , s in c a m b io en e l á n g u lo de fase. P o r lo ta n to , la fu n c ió n de s a lid a es u n fa c s ím il s in d is to rs ió n de la fu n c ió n de entra da , p e ro c o n e l d o b le de a m p litu d . N o o bstan te , s i la re d tie n e u n a re spu esta en fre c u e n c ia ta l q u e las m a g n itu d e s de las senoides de e n tra d a de e ntre 10 y 5 0 H z se m u ltip lic a n p o r u n fa c to r d ife re n te q u e a q u e lla s e n tre 5 0 y 100 H z , la s a lid a en g e n e ra l e sta ría d is to rs io n a d a ; n o sería y a u n a v e rs ió n a m p lific a d a de la e ntrada. D ic h a s a lid a d is to rs io n a d a p o d ría re s u lta r deseable en a lg u n o s casos e in d e se a b le en o tro s . E s d e c ir, q u iz á s la re s p u e sta en fre c u e n c ia de la re d se e lig ie ra deliberadamente p a ra re c h a z a r alg u na s c o m p o n e n te s de fre c u e n c ia de la fu n c ió n fo rz a d a , o p a ra a ce n tu a r o tras. U n c o m p o rta m ie n to de este tip o es c a ra c te rís tic o de lo s c irc u ito s s in to n iz a d os o de lo s c irc u ito s re sonantes, c o m o se v e rá en este c a p ítu lo . A l e x p lic a r la re so n a n c ia se p u e d e n a p lic a r to d o s lo s m é to d o s a p lic a d o s c u a n d o se p re s e n tó la re spu esta en fre c u e n c ia .
Resonancia E n esta s e c c ió n se c o m e n z a rá a e s tu d ia r u n fe n ó m e n o m u y im p o rta n te q ue p o d ría o c u rr ir en c irc u ito s q u e c o n tie n e n in d u c to re s y ca p a c ito re s . E l fe n ó m e n o re c ib e e l n o m b re de resonancia y se d e s c rib irá de m a n e ra a p ro x im a d a c o m o la c o n d ic ió n que e x is te en to d o s iste m a fís ic o c u a n d o u n a fu n c ió n fo rz a d a s e n o id a l de a m p litu d f ija p ro d u c e u n a re spu esta de a m p litu d m á x im a . S in e m b a rg o , a m e n u d o se h a b la de la re s o n a n c ia c o m o s i o c u rrie ra , a u n c u a n d o la fu n c ió n fo rz a d a n o sea s e n o id a l. E l s iste m a re so n a n te p u e d e ser e lé c tric o , m e c á n ic o , h id rá u lic o , a c ú s tic o o de o tro tip o , a un qu e se re s trin g irá la a te n c ió n , en la m a y o r p a rte de lo s casos, a lo s siste m as e lé c tric o s . L a re s o n a n c ia es u n fe n ó m e n o fa m ilia r. S a lta r sobre las d efen sas de u n au t o m ó v il p o r e je m p lo , p u e d e c a u s a r q u e e l v e h íc u lo te n g a u n m o v im ie n to o s c ila to r io m u y g ra n d e , s i lo s b rin c o s se re p ite n c o n la fre c u e n c ia a p ro p ia d a (a lre d e d o r de u n o p o r s e g u n d o ) y s i lo s a m o rtig u a d o re s e stán u n p o c o v ie jo s . S in e m b a rg o , si la fre c u e n c ia de lo s b rin c o s a u m e n ta o d is m in u y e , la re sp u e sta v ib r a to r ia d e l a u to m ó v il será m u c h o m e n o r q u e antes. U n a ilu s tra c ió n a d ic io n a l se p re s e n ta en e l caso de u n a c a n ta n te de ó p e ra q u e p u e d e ro m p e r cop as de c ris ta l p o r m e d io de u n a n o ta p e rfe c ta m e n te e m itid a a la fre c u e n c ia adecuada. E n cad a u n o de estos e je m p lo s se está c o n s id e ra n d o la fre c u e n c ia c o m o si se a ju s ta ra hasta q u e o c u rra la re s o n a n c ia ; ta m b ié n se p u e d e a ju s ta r e l ta m a ñ o , la f o r m a y e l m a te ria l d e l o b je to m e c á n ic o q u e está v ib ra n d o , a u n q u e n o sea ta n fá c il de c o n s e g u ir de m a n e ra fís ic a . L a c o n d ic ió n de re s o n a n c ia p u e d e ser d e se a b le o in d e s e a b le , s eg ún e l p ro p ó s ito a l que v a a s e rv ir e l s iste m a fís ic o . E n e l e je m p lo d e l a u to m ó v il, una g ra n a m p litu d de la v ib r a c ió n q u iz á a y u d e a s e p a ra r la s d e fe n sa s a to ra da s, aun qu e s ería u n a a c c ió n u n p o c o d esag ra da ble a 6 5 m i/h (1 0 5 k m /h ).
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
• ------------------------- W
V
------------- { 629
Se v e rá a h o ra la re s o n a n c ia c o n m a y o r c u id a d o . E n u n a re d e lé c tric a de dos te rm in a le s que c o n tie n e a l m e n o s u n in d u c to r y u n c a p a c ito r, se d e fin e la re s o n a n c ia c o m o la c o n d ic ió n q ue e x is te c u a n d o la im p e d a n c ia en la e n tra d a de la re d es p u ra m e n te re s is tiv a . P o r lo ta n to , U n a re d está en re s o n a n c ia (o es re s o n a n te ) c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de e n tra d a de la re d están en fase T a m b ié n se d e s c u b rirá que se p ro d u c e u n a re spu esta de a m p litu d m á x im a en la re d c u a n d o se e n c u e n tra en la c o n d ic ió n resonante. E n p rim e ra in s ta n c ia se a p lic a rá la d e fin ic ió n de re s o n a n c ia a u n a re d RLC en p a ra le lo a cc io n a d a p o r u n a fu e n te de c o rrie n te s e n o id a l, c o m o se in d ic a en la f i g u ra 16.1. E n m u ch a s situ a cio n e s p rá c tic a s , e l c irc u ito es u n a m u y buena a p ro x i m a c ió n a l q ue p o d ría c o n s tru irse en el la b o ra to rio c o n e c ta n d o u n in d u c to r fís ic o en p a ra le lo c o n u n c a p a c ito r fís ic o , d o n d e la c o m b in a c ió n en p a ra le lo se a cc io n a m e d ia n te u n a fu e n te de e ne rg ía que tie n e u n a im p e d a n c ia de s a lid a m u y alta. L a a d m ita n c ia de estado p e rm a n e n te o fre c id a a la fu e n te de c o rrie n te id e a l es
Y = ^ + j(c o C R \ coL
[1 ]
L a re s o n a n c ia o c u rre c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de en tra d a están en fase, lo c u a l c o rre sp o n d e a u n a a d m ita n c ia p u ra m e n te re a l, de m o d o que la c o n d ic ió n n e c e s a ria está d ad a p o r cúC
- —
coL
= 0
L a c o n d ic ió n re so n a n te q u iz á se c o n s ig a a ju s ta n d o L, C u a>; a n a liz a r e l caso d o n d e a> es la v a ria b le . P o r c o n s ig u ie n te , la fre c u e n c ia re s o n a n te a>o está dada por ü)0 —
/
ra d /s
V lc
/o = — = 2 tz+JLC
[2 ]
H z [3 ]
E s ta fre c u e n c ia re son an te
Y(s) = 4 R + ^s L+ sC Y(S) = C Í ± V R C ± V Í C S
se p o d ría n e x h ib ir lo s ceros de Y (s ) fa c to riz a n d o e l n u m e ra d o r: = c (s + a ~ Ja d)(s + « + ja>d)
■ F IG U R A 16.1 Combinación en paralelo de una resistencia, un inductor y un capacitor; a menudo se le conoce como circuito resonante en paralelo.
A /W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
7"
, , ''
- j<»0
9 ....' \
1
\
plano s Y(s)
"o \ \ 1
d o n d e a y co¿ re p re s e n ta n las m is m a s c a n tid a d e s m e n c io n a d a s c u a n d o se e x p lic ó la re spu esta n a tu ra l d e l c irc u ito RLC e n p a ra le lo en la s e c c ió n 9 .4 . E s to es, a es e l coeficiente de amortiguamiento exponencial
—a
\
2 RC y co¿¡ es la p u ls a c ió n c o rre s p o n d ie n te a Infrecuencia resonante natural (n o la fr e c u e n c ia re so n a n te coo),
j
a>d o
- ~jVd
(«)
]<* -J^d
-J^d (b) I F IG U R A 1 6 .2 (o) Constelación de polos-ceros de la admitancia de entrada de un circuito resonante en paralelo se muestra en el plano s; cül = a 2 + cú¿. (b) Constelación de polos y ceros de la impedancia de entrada.
COn —
L a c o n s te la c ió n de p o lo s -c e ro s de la fig u ra 1 6.2a se d ed uce de m a n e ra d ire c ta en la fo rm a fa c to riz a d a . V is ta la re la c ió n e n tre a, co¿ y cúq, re s u lta p aten te q u e la d is ta n c ia desde e l o rig e n d e l p la n o s a u n o de lo s ceros de la a d m ita n c ia es n u m é ric a m e n te ig u a l a cao. P o r lo ta n to , d ad a la c o n fig u ra c ió n de p o lo s -c e ro s , la fre c u e n c ia re so n a n te se o b te n d ría p o r m e d io de m é to d o s p u ra m e n te g rá fic o s . S ó lo se tra z a rá u n a rco u t i liz a n d o e l o rig e n d e l p la n o s c o m o c e n tro , a tra vé s de u n o de lo s ceros. L a in te r s e c c ió n d e l a rco y e l e je jco p o s itiv o lo c a liz a e l p u n to s = jcoo- E v id e n te m e n te coo es u n p o c o m a y o r q u e la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l co¿, a un qu e su p ro p o r c ió n tie n d e a la u n id a d c u a n d o a u m e n ta la ra z ó n e n tre co¿ y a.
Resonancia y respuesta en tensión E x a m in a r a c o n tin u a c ió n la m a g n itu d de la respuesta, la te n s ió n V ( s ) in d ic a d a en la fig u ra 16.1, a m e d id a q u e v a ría la fre c u e n c ia co de la fu n c ió n fo rz a d a . S i se sup on e u n a fu e n te de c o m e n te s e n o id a l de a m p litu d co n sta n te , la re spu esta e n te n s ió n es p ro p o rc io n a l a la im p e d a n c ia de entra da . L a re spu esta se o b tie n e de la g rá fic a de lo s p o lo s -c e ro s de la im p e d a n c ia :
s/C Z(s) = --------------------------------------(s + a - jcod)( s + a + jcod) q u e se m u e s tra en la fig u ra 16.2b. L a respuesta, desde lu e g o , e m p ie z a e n cero, a lc a n z a u n v a lo r m á x im o e n la c e rca n ía de la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l y lu e g o d is m in u y e de n u e v o h asta c e ro , a m e d id a q u e co se v u e lv e in fin ita . L a re s p u e sta e n fre c u e n c ia se d ib u ja en la fig u ra 16.3. S u v a lo r m á x im o se in d ic a c o m o R veces la a m p litu d de la c o rrie n te de la fu e n te , lo que im p lic a q u e la m a g n itu d IV (jtn) |
I F IG U R A 1 6 .3 La magnitud de la respuesta en tensión de un circuito resonante en paralelo se muestra como una función de la frecuencia.
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
m á x im a de la im p e d a n c ia d e l c ir c u ito es ig u a l a R; a dem ás, -sc d e m u e s tra que la m á x im a re spu esta o c u rre e xa c ta m e n te a la fre c u e n c ia re s o n a n te c o rre s p o n d ie n te a la p u ls a c ió n coo. T a m b ié n se id e n tific a n d os fre c u e n c ia s a d ic io n a le s , c o rre s p o n d ie n te s a co¡ y co%¿ que se usa rá n después c o m o u n a m e d id a d e l a ncho de la c u rv a de respuesta. Se m o s tra rá p rim e ro que la m a g n itu d de la im p e d a n c ia m á x im a es R y q ue o c u rre en la re so n a n cia . L a a d m ita n c ia , según e s p e c ific a la e c u a c ió n [1 ], posee u n a c o n d u c ta n c ia co n s ta n te y una suscep tan cia c o n u n a m a g n itu d m ín im a (c e ro ) en la re so n a n cia . P o r lo ta n to , la m a g n itu d de la a d m ita n c ia m ín im a o c u rre en la re s o n a n c ia , y es 1 / R . P o r c o n s ig u ie n te , la m a g n itu d de la im p e d a n c ia m á x im a es R, la cual ocurre en la resonancia. P o r lo ta n to , en e l caso de la fre c u e n c ia re son an te, la te n s ió n e n lo s e xtre m o s d e l c irc u ito re so n a n te p a ra le lo de la fig u ra 16.1 es s im p le m e n te L K , y la c o rrie n te de fu e n te total I flu y e p o r la re s iste n c ia . S in e m b a rg o , la c o rrie n te ta m b ié n está pre se n te en L y C \ E n e l in d u c to r, I / o = V / . , o / = IR/jcooL, y la c o rrie n te d e l c a p a c ito r en la re s o n a n c ia c o rre s p o n d e a Ic ,o = 0 ’&>oC )Vc.o = j°H)CR\. P uesto que 1 ¡ coqC = coqL en la re s o n a n c ia , se e n c u e n tra que, Ic.o = —I l.o = j c o o C R l
\■Ai-
[5]
y lc ,0 + Il.O = I LC = 0
P o r lo ta n to , la c o rrie n te neta q ue flu y e d e n tro de la c o m b in a c ió n L C es cero. E l v a lo r m á x im o de la m a g n itu d de la re spu esta y de la fre c u e n c ia a la q ue ésta o c u rre n o s ie m p re se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d . E n c irc u ito s © so n a n te s m e no s c o m u nes, ta l v e z sea n e c e s a rio e x p re s a r la m a g n itu d de la re s p u e s ta en fo rm a a n a lític a , c a s i s ie m p re c o m o la ra íz c u a d ra d a de la su m a de la p a rte re a l a l c u a d ra d o y de la p a rte im a g in a ria a l c u a d ra d o ; lu e g o se debe d ife re n c ia r esta e x p re s ió n re s p e cto de la fre c u e n c ia , ig u a la r la d e riv a d a a cero, d e s p e ja r la fre c u e n c ia de la re spu esta m á x im a y, p o r ú ltim o , s u s titu ir esta fre c u e n c ia en la e x p re s ió n de la m a g n itu d p a ra o b te n e r la re spu esta de a m p litu d m á x im a . Se p o d ría e fe c tu a r e l p ro c e d im ie n to p a ra estp caso s im p le , s ó lo c o m o u n e je rc ic io de c o rro b o ra c ió n ; s in e m b a rg o , c o m o se h a v is to , n o es n ecesa rio.
Factor de calidad D eb e s u b ra ya rse que, a p esar de que la altura de la c u rv a de la re spu esta de la fig u ra 16.3 d ep en de s ó lo d e l v a lo r de R p a ra la e x c ita c ió n de a m p litu d con sta nte , e l a ncho de la c u rv a o la in c lin a c ió n de lo s la d o s d ep en de ta m b ié n de lo s o tros d os v a lo re s de lo s e le m e n to s. U n p o c o m ás a de lan te se re la c io n a rá e l “ a ncho de la c u rv a de re s p u e s ta ” c o n u n a c a n tid a d d e fin id a c o n m a y o r c u id a d o , e l ancho de banda, a u n q u e re s u lta ú til e x p re sa r esta re la c ió n en té rm in o s de u n p a rá m e tro m u y im p o rta n te , e l factor de calidad Q. Se e n c o n tra rá que lo p u n tia g u d o de la c u rv a de re spu esta de c u a lq u ie r c ir c u ito re s o n a n te ipstá d e te rm in a d o p o r la c a n tid a d de e n e rg ía m á x im a que se puede a lm a c e n a r en e l c irc u ito , en c o m p a ra c ió n c o n la e n e rg ía q u e se p ie rd e d u ra n te u n p e rio d o c o m p le to de la respuesta. Se d e fin e Q c o m o
Q = factor de calidad
2^ energía m á x im a alm acenada energía to ta l p e rd id a p o r c ic lo
[6 ]
Se debe tener mucho cuidado y no confundir el fac tor de calidad con la carga o potencia reactiva, pues todas ellas se representan mediante la letra Q.
AA/V
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L a c o n s ta n te de p ro p o rc io n a lid a d 2 n se in c lu y e en la d e fin ic ió n p a ra s im p lific a r las e xp re sio n e s m ás ú tile s de Q q u e se o b te n d rá n aho ra . D a d o que la e ne rg ía s ó lo se a lm a c e n a en e l in d u c to r y en e l c a p a c ito r, y se p ie rd e ú n ic a m e n te en la re s is te n c ia , se p u e de e x p re sa r en té rm in o s de la e n e rg ía in s ta n tá n e a a so cia d a c o n cad a u n o de lo s e le m e n to s re a c tiv o s y c o n la p o te n c ia p ro m e d io Pr d is ip a d a en la re s iste n c ia : imax
d o n d e T es el p e rio d o de la fre c u e n c ia s e n o id a l e n e l q u e se e v a lú a Q. A p lic a r a h o ra esta d e fin ic ió n en e l c irc u ito RLC en p a ra le lo de la fig u ra 16.1 y d e te rm in a r e l v a lo r de Q a la fre c u e n c ia re son an te. E s te v a lo r de Q se d e n o ta m e d ia n te ¡2o- Se e lig e la fu n c ió n fo rz a d a de c o rrie n te i ( t ) — l m COS Cüot
y se o b tie n e la re spu esta e n te n s ió n c o rre s p o n d ie n te a la re s o n a n c ia ,
v(t) — Ri(t) = R lm cos « o í E n c o n se cu e n cia , la e ne rg ía a lm acen ad a en e l c a p a c ito r c o rre sp o n d e a
L a e n e rg ía in s ta n tá n e a a lm a c e n a d a en e l in d u c to r está d a d a p o r
w l Ü) =
■- sen2 «o?
P o r lo ta n to , la e n e rg ía to ta l a lm a c e n a d a instantánea es con sta nte :
i IX-c
w(t) = wL(t) + wc (t) = : ■—
y este v a lo r c o n s ta n te ta m b ié n debe ser e l v a lo r m á x im o . P a ra o b te n e r la e n e rg ía p e rd id a e n la re s is te n c ia en u n p e rio d o , se to m a la p o te n c ia p ro m e d io a b s o rb id a p o r la re s is te n c ia (ve a la s e c c ió n 11.2),
P r = \ \ 2mR y a l m u ltip lic a r la p o r u n p e rio d o , se o b tie n e
D e este m o d o se e n c u e n tra e l fa c to r de c a lid a d a la re s o n a n c ia :
o <2o - 2 n f0RC = co0RC
[7 ]
E sta ecu a ció n (a sí c o m o las expresiones de la e cu a c ió n [8 ]) se c u m p le s ó lo p a ra e l c irc u ito s im p le RLC e n p a ra le lo de la fig u ra 16.1. Se pueden o b te n e r expresiones e qu iva len tes de ¡2o q ue en m u ch a s o ca sio n es re s u lta n b asta n te ú tile s m e d ia n te la
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
s u s titu c ió n s im p le :
Q°
R
\Xc,o\
l* L ,o l
[8 ]
P o r lo que se observa que, en e l caso de este c irc u ito específico, al d is m in u ir la re siste ncia disminuye Qq; a m e did a que la resistencia es m enor, es m a yo r la cantidad de energía que se pierde en e l elem ento. Causa in trig a que al aum entar la capacitancia aumenta Qq, pero s i a um enta la in d u c ta n c ia disminuye Qq. P o r supuesto, estas ase veraciones se a p lic a n al fu n c io n a m ie n to d e l c irc u ito a la fre cu e n c ia de resonancia.
Otras interpretaciones de Q L a co n s ta n te a d im e n s io n a l Qq es u n a fu n c ió n de lo s tres e le m e n to s de c irc u ito p e rte n e c ie n te s a l c irc u ito re so n a n te p a ra le lo . S in e m b a rg o , e l c o n c e p to de Q n o está lim ita d o a c irc u ito s e lé c tric o s o in c lu s o a sistem as e lé c tric o s ; es ú t il e n la d e s c rip c ió n de “ c u a lq u ie r fe n ó m e n o re s o n a n te ” . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r e l re b o te de u n a p e lo ta de g o lf. S i se sup on e u n peso W y q u e se lib e ra la p e lo ta desde u n a a ltu ra h i sobre u n a s u p e rfic ie h o riz o n ta l m u y d u ra (s in p é rd id a ), la p e lo ta re b o ta hasta u n a a ltu ra m e n o r h2 L a e n e rg ía q ue se a lm a c e n a al in ic io zsW h\ y la que se p ie rd e e n u n p e rio d o c o rre sp o n d e &W(h\ — h2). P o r lo ta n to , Qq es
h\W
2ithi
e ° = 2 n ii — - h2)W T T í i 7 = i« — r {h\ i - h2 U n a p e lo ta de g o lf p e rfe c ta re b o ta ría hasta su a ltu ra o rig in a l y te n d ría u n a Qq\ in fin ita ; u n v a lo r m ás c a ra c te rís tic o es 35. Se re q u ie re a d v e rtir que en este e je m p lo m e c á n ic o Q se c a lc u ló a p a rtir de la respuesta n a tu ra l y n o de la respuesta forza da . L a Q de u n c irc u ito ta m b ié n se d e te rm in a ría a p a rtir d e l c o n o c im ie n to de la re spuesta n a tu ra l, c o m o se ilu s tra m e d ia n te las ecuaciones [1 0 ] y [1 1 ] en e l anáfisis sigu ien te. O tra in te rp re ta c ió n ú t il de Q se o b tie n e c u a n d o se in s p e c c io n a n las c o m e n te s e n e l in d u c to r y e l c a p a c ito r a la re so n a n cia , seg ún se e xpresa en la e cu a c ió n [5 ], Ic ,o = - I l . o = jcooCRl = jQ ol
[9 ]
O b s e rva r que cada u na es Qq veces la c o rrie n te de la fu e n te en a m p litu d y que cada una está 180° fu e ra de fase respecto de la otra. D e ta l m anera, s i se a p lic a n 2 m A a la fre cu e n c ia resonante a u n c irc u ito resonante en p a ra le lo , con u n a Qq de 5 0, se tie n e n 2 m A en la re s is te n c ia y 100 m A ta n to e n e l in d u c to r c o m o en e l c a p a c i to r. P o r lo ta n to , u n c irc u ito re so n a n te e n p a ra le lo a ctú a c o m o u n a m p lific a d o r de c o rrie n te , p e ro n o , desde lu e g o , c o m o u n a m p lific a d o r de p o te n c ia , d ad o que es u n a re d p asiva . A h o ra se re la c io n a rá n e ntre sí lo s dem ás p a rá m e tro s que se a so c ia n c o n el c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo . L o s tres p a rá m e tro s : a, coj y cuo se p re s e n ta ro n m u c h o antes e n c o n e x ió n c o n la re spu esta n a tu ra l. L a re s o n a n c ia , p o r d e fin ic ió n , se a so cia s ob re to d o c o n la re spu esta fo rz a d a , dado q ue se d e fin e en té rm in o s de una im p e d a n c ia de e ntra d a (p u ra m e n te re s is tiv a ), u n c o n c e p to d e l esta do s e n o id a l p e rm a n e n te . L o s dos p a rá m e tro s m ás im p o rta n te s de u n c irc u ito re s o n a n te son q u iz á la fre c u e n c ia re s o n a n te co0 y e l fa c to r de c a lid a d Qq. T a n to e l c o e fic ie n te de a m o rtig u a m ie n to e x p o n e n c ia l c o m o la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l se e x p re san e n té rm in o s de cüq y Q0:
a =
1
1
2R C
2 ( Q q/ cüqC ) C
AA/ v------------------------------- •
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
COn
COd
2
a>d = o o j 1 - 1 ^ )
[ ]1 ]
Factor de amortiguamiento C o m o re fe re n c ia fu tu ra q u iz á re s u lte ú til to m a r en c u e n ta u n a re la c ió n a d ic io n a l q ue in v o lu c re a a>o y <2o- E l fa c to r c u a d rá tic o que aparece en el n u m e ra d o r de la e cu a c ió n [4 ]: 2
1
1
S + R C S+ LC p o d ría e s c rib irs e en té rm in o s de a y co0: s2 +
2as + col
E n e l c a m p o de la te o ría de siste m as o la te o ría de c o n tro l a u to m á tic o , se acos tu m b ra e s c rib ir este fa c to r en una fo r m a un p o c o d ife re n te , q u e u tiliz a e l p a rá m e tro a d im e n s io n a l C (d z e ta ), denominado factor de amortiguamiento:
s2 + 2 f too® + &)q L a c o m p a ra c ió n de am bas expresiones p e rm ite re la c io n a r f c o n otros parám etros:
c= - = a>o 2 (?o
EJEMPLO
[ 121
.
..vl
C a lc u la r lo s v a lo re s n u m é ric o s de w», oí, ojd y R e n e l c ir c u it o re s o n a n te en p a r a le lo q u e tie n e L = 2 .5 m H , Qq = 5 y C = 0 .0 1 /¿F. D e la e cu a c ió n 2, se o b s e rva que üoq = i/V T T C = 2 0 0 k ra d /s , m ie n tra s que / o = ct)0/27t — 3 1 .8 k H z . Se o b te n d rá rá p id a m e n te e l v a lo r d e a m e d ia n te la e cu a c ió n [1 0 ], a
2
2 X 10 = 2 x 104 N p /s (2 x 5 )
A h o ra se puede re c u r rir a la v ie ja a m ig a d e l c a p ítu lo 9,
COd = v /® !T - a r
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
• -
--------------- W
V -------------( 655
p a ra e n c o n tra r que
wd = 7 ( 2 x 105) 2 - (2 x 104) 2 = 1 9 9 .0 k ra d /s P o r ú ltim o , es n e c e s a rio a tr ib u ir u n v a lo r a la re s is te n c ia en p a ra le lo , y la e cu a c ió n [7 ] p ro p o rc io n a la respuesta:
<2o = &>oRC p o r lo que
R= —
cúqC
= ------------- ^ -----------— = 2 .5 0 k í2 (2 x 105 x 1 0 - 8)
_P R A C T IC A_^________________________________________________ 16.1 U n c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo está c o m p u e s to p o r lo s e le m e n to s
R = 8 k í2 , L — 5 0 m H y C = 80 n F . C a lc u la r: (a ) cúq-J¿>) Q,y, ( c ) o jjt , l (d) * ; * ) 1 6.2 D e te rm in a r lo s v a lo re s de R, L y C en un c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo p a ra e l c u a l co o = 1 0 0 0 ra d /s , &> — 998 ra d /s , e Y en t= 1 m S en la re so n a n cia . Respuestas: 16.1: 15.8ÍI krad/s; 10.12; 15.792 krad/s; 781 Np/s; 0.0494. 16jC 1000 íl; 12Ó.4 mH; 7.91 /xF.
A c o n tin u a c ió n se in te rp re ta rá Q q en té rm in o s de las lo c a liz a c io n e s de p o lo s -ce ro s de la a d m ita n c ia Y (s) d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo . Se m a n te n d rá cao co n sta n te , lo c u a l se e fe c tu a ría c a m b ia n d o R m ie n tra s L y C se m a n tie n e n con sta nte s. A m e d id a que Qq se in c re m e n ta , las re la c io n e s q ue v in c u la n a, Qq y c o q in d ic a n que lo s dos ceros d e b en acercarse a l e je ju>. Tales re la c io n e s in d i can ta m b ié n que lo s dos ceros deben acercarse a l e je ja>. Tales re la c io n e s in d ic a n ta m b ié n que lo s ceros d eben a le ja rs e de m a n e ra s im u ltá n e a d e l e je cr. L a n a tu ra le z a e xa c ta d e l m o v im ie n to se a cla ra c u a n d o se re c u e rd a q ue e l p u n to en e l c u a l s = j a o p o d ría u b ic a rse sobre e l e je jcú re c o rrie n d o u n a rc o , c e n tra d o en e l o rig e n , p o r u n o de lo s ceros y a rrib a d e l e je p o s itiv o jc o , p u e sto que c ú q debe ser co n sta n te , a l ig u a l que e l ra d io y lo s ceros, p o r lo ta n to , d eb en m o v e rs e a lo la rg o de este a rco h a c ia el e je jco p o s itiv o , c o n fo rm e a u m e n ta Q q. L o s dos ceros se in d ic a n en la fig u ra 16.4 y la s dos fle c h a s m u e s tra n la tra y e c to ria que s ig u e n c o n fo rm e crece R. C u a n d o R es in fin ita , Q q ta m b ié n lo es, y lo s dos ceros se e n c u e n tra n en s = ± jcoo sobre e l e je jco. A m e d id a que R se re d u c e , lo s ceros se m u e v e n h a c ia e l e je a a lo la rg o d e l lu g a r g e o m é tric o c irc u la r, u n ié n d o s e p a ra fo rm a r u n d o b le c e ro sobre e l e je er en s = — c o q c u a n d o R — j^ /L jC o Q o = j . E sta c o n d ic ió n p u e de re c o rd a rs e c o m o la de a m o r tig u a m ie n to c rític o , p o r lo q u e c ú ¿ = 0 y a = c ú q . L o s v a lo re s in fe rio re s de R y de Q q o ca s io n a n que lo s ceros se separen y se m u e v a n en d ire c c io n e s o pu es tas sobre e l eje cr n e g a tiv o , s i b ie n estos v a lo re s m e n o re s de Q q n o son en re a li dad c a ra c te rís tic o s de lo s c irc u ito s resonantes, p o r lo que y a n o es n e ce sa rio buscarlo s. D espu és, se u tiliz a r á e l c rite r io Qq > 5 p a ra d e s c rib ir u n c irc u ito de a lta Q. C u a n d o Qq = 5 , lo s ceros se u b ic a n en s = —0 . I oj0 ± / 0 . 9 9 5 ojo , y p o r lo ta n to , c ú q y cúd d ifie re n s ó lo p o r la m ita d de 1.
■ FIG U RA 16.4 Los dos ceros de la admitancia Y(s), localizada en s = - a ± / a y , proporcionan un lugar geométrico semicircular, conforme R aumenta desde i V í / C hasta oo.
6 3 6 )--------- V W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16.2 t ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
Estos nombres surgen del hecho de que una tensión que es l/y /2 veces la tensión resonante, equivale a la tensión al cuadrado que corresponde a la mitad de la tensión al cuadrado de la resonancia. Así, en el caso de las frecuencias de media potencia, la resistencia absorbe la mitad de la potencia que absorbe en la resonancia.
Se p ro s ig u e c o n e l a n á lis is de la re s o n a n c ia en p a ra le lo m e d ia n te la d e fin ic ió n de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia y e l a n c h o de b a n d a ; después se h a rá b u e n u so de estos n u e vo s c o n c e p to s al o b te n e r datos de la re spu esta a p ro x im a d a p a ra c ir c u ito s de a lta Q. E l “ a n c h o ” de la c u rv a de la re spu esta en re s o n a n c ia , c o m o e l de la fig u ra 16.3, q u iz á se d e fin a a h o ra c o n m a y o r c u id a d o y se re la c io n e c o n Q0. E n p rim e r lu g a r se d e fin irá n las d o s fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia c o rre s p o n d ie n te s a las p u ls a c io n e s coi y C 02 c o m o las fre c u e n c ia s a las que la m a g n itu d de la a d m ita n c ia de e n tra d a de u n c ir c u ito re so n a n te en p a ra le lo es m a y o r q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia en re s o n a n c ia en u n fa c to r de E n ra z ó n de q ue la c u rv a de re spu esta de la fig u ra 16.3 p re s e n ta las te n s io n e s p ro d u c id a s en e l c irc u ito e n p a ra le lo p o r u n a fu e n te de c o rrie n te s e n o id a l c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia , las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia se lo c a liz a n ta m b ié n en a q u e llo s p u n to s en lo s que la re spu esta en te n s ió n es 1/ -n/2. o 0 .7 0 7 , veces su v a lo r m á x i m o . T a m b ié n se c u m p le u n a re la c ió n s im ila r p a ra la m a g n itu d de la im p e d a n c ia . D e s ig n a r co\ c o m o la frecuencia inferior de media potencia , y a ©2 c o m o la fr e
cuencia superior de media potencia.
Ancho de banda E l ancho de banda (d e m e d ia p o te n c ia ) de u n c irc u ito re s o n a n te se d e fin e c o m o la d ife re n c ia de estas d os fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia ,
B = co2 — o>i
[1 3 ]
Se tie n d e a c o n s id e ra r e l a ncho de ban da c o m o e l “ a ncho ” de la c u rv a de respuesta, a u n c u a n d o la c u rv a se e x tie n d e d esde co = 0 h a s ta co — 00 . D e m a n e ra m ás e xa cta , e l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia se m id e p o r esa p o rc ió n de la c u rv a de re spu esta q u e es ig u a l o m a y o r q u e 7 0 .7 % d e l v a lo r m á x im o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 16.5. |v 0 )1
■ F IG U R A 1 6 .5 El ancho de banda de la respuesta del circuito se encuentra resaltada con verde; corresponde a la porción de la curva de respuesta mayor o Igual a 70.7% del valor máximo.
E x p re s a r a h o ra e l a n c h o de b a n d a en té rm in o s de Qo y de la fre c u e n c ia re so nante. P ara h a c e rlo , o b te n e r p rim e ro la a d m ita n c ia del c irc u ito RLC en p a ra le lo : Y = - + j (c o C - —
R
J \ coL)
)
SECCIÓN 16.2 ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
• ------------------------- /V\A/------------ ( 6 3 7
en té rm in o s de Qo: 1
. 1
(
Y = R^ + M
cúcúqC
_®oR_\
R
cacaoL I
Cú q
. ca con Y = - l + . / G o ------------- R CÚQ CÚ
[1 4 ]
O b s e rv a r de n u e v o q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia en la re s o n a n c ia es 1/7?, y después de q u e u n a m a g n itu d de la a d m ita n c ia de V 2 /R p u e d e o c u rr ir s ó lo cu a n d o se e lig e u n a fre c u e n c ia ta l que la p a rte im a g in a ria de la c a n tid a d e ntre co rch e te s tie n e u n a m a g n itu d u n ita ria . P o r lo ta n to ,
0)2
\® 0
Tener presente que a>2 > a>o, mientras que
Qo ( — - —
1
Qo ( — ~ —
\0)Q
0)1
(ÜO ■
A l re s o lv e r, se tie n e
0)1 = 0)0
0 )2
=
CÚQ
W \ 2-Q oYJ - 2 Q '1 +
i
[1 5 ] q
1
y
2 Q o ) + 2Q0
[1 6 ]
S i b ie n estas e xp re sio n e s son d ifíc ile s de m a n e ja r, su d ife re n c ia p ro p o rc io n a u n a fó r m u la m u y s im p le p a ra d e te rm in a r e l a ncho de banda:
B = 0)2 — 0)1 =
0)0
Qo
L a s e cu a c io n e s [1 5 ] y [1 6 ] p u e d e n m u ltip lic a rs e e n tre s í p a ra d e m o s tra r que wo c o rre s p o n d e e x a c ta m e n te a la m e d ia g e o m é tric a de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia :
Cúq = CÚ1CÚ2
Cúo = aJ o)\Cí >2
L o s c irc u ito s q u e poseen u n a Qo m ás a lta p re s e n ta n u n a ncho de b a n d a m ás es tre c h o , o u n a c u rv a de respuesta m ás p u n tia g u d a ; tie n e u n a selectividad de fre cuencia m a y o r o u n a c a lid a d (fa c to r) sup e rio r.
Aproximaciones en circuitos de alta Q M u c h o s c irc u ito s re son an tes se d ise ñ a n de m a n e ra d e lib e ra d a p a ra que ten ga n u n a Qo g ra n d e , a fin de a p ro v e c h a r e l a n c h o de b anda y la s e le cti v id a d de a lta fre c u e n c ia que se a so cia c o n tale s c irc u ito s . C u a n d o Qo es m a y o r a a p ro x i m a d a m e n te 5, se p u e d e n e fe c tu a r a lg u na s a p ro x im a c io n e s m u y ú tile s en las e x p re s io n e s de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , s u p e rio r e in fe rio r, y en las e xp re sio n e s generales de la re spu esta e n la v e c in d a d de la re s o n a n c ia . Se h ará re fe re n c ia de m a n e ra a rb itra ria a u n “ c irc u ito de a lta Q” c o m o u n o en e l que Qo es ig u a l o m a y o r que 5. L a c o n fig u ra c ió n de p o lo s -c e ro s de Y ( s ) de u n c irc u ito
|M
\' ■A
o*)------V W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
RLC en p a ra le lo c o n u n a ¡2o de casi 5 se m u e s tra en la fig u ra 16.6. D a d o que
Sil
CO o
- j a 2 = j(ai o + j S ) ja>d = ja>o i
2 Q~o
jia l = j(
enton ces,
a = \B y las u b ic a c io n e s d e lo s dos ceros Si y S2 se p o d ría n a p ro x im a r:
plano s
S i ,2 = - a ± j
Y(s)
% - j B ± jcoo A d e m á s , las u b ic a c io n e s de las dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia (s o b re e l e je jco p o s itiv o ) ta m b ié n se d e te rm in a ría n en u n a fo r m a a p ro x im a d a y c o n c is a :
<«1,2 = (oo
s2 l F IG U R A 1 6 .6 Constelación de polos-ceros de Y (s)de un circuito RLC en paralelo. Los dos ceros están exactamente \ B Np/s (o rad/s) hacia la izquierda del eje jw, y aproximadamente a j w0 rad/s (or Np/s) del eje a. Las frecuencias de media potencia superior e inferior ;■*«* están separadas exactamente por B rad/s, y cada una se ubica a \B rad/s de la frecuencia resonante y de la frecuencia resonante natural.
(¿ ) <0\,2
[1 7 ]
Por lo tanto, en un circuito de alta Q cada frecuencia de media potencia se ubica aproximadamente a la mitad del ancho de banda a partir de la frecuencia resonante, característica; q ue se in d ic a en la fig u ra 16.6. L a s re la c io n e s a p ro x im a d a s de co¡ y coi en la e c u a c ió n [1 7 ] p o d ría n ser sum adas e n tre sí p a ra d e m o s tra r q u e coo es c a s i ig u a l a la m e d ia a ritm é tic a de coi y cl>2 en c irc u ito s de a lta Q: co0 s» ¿ (tu i + < w 2)
jo
- S =j(ti
S - Si
j u 0 (aprox.)
I FIG U R A 16.7 Una sección aumentada de la constelación de polos y ceros correspondiente a Y(s) de un circuito Q 0 en paralelo de alta RLC.
Im a g in a r a h o ra u n p u n to de p ru e b a q u e está u n p o c o a rrib a de jcoo s ob re e l e je jco. P ara d e te rm in a r la a d m ita n c ia q ue o fre c e la re d RLC e n p a ra le lo a esta fr e cu e n c ia , se c o n s tru y e n tre s v e c to re s a p a rtir de la s fre c u e n c ia s c rític a s d e l p u n to de p rue b a. S i éste es c e rca n o a jcoo, e nton ces e l v e c to r desde e l p o lo es casi jcoo y a q u e l desde e l c e ro in fe r io r es ca s i j2co0. P o r lo ta n to , la a d m ita n c ia está d ad a de m a n e ra a p ro x im a d a p o r Y (s )
, ( j 2 cd0) ( s -
s 1)
j(Oi)
2 C (s — sO
[1 8 ]
d o n d e C es la c a p a c ita n c ia c o m o en la e c u a c ió n [4 ]. A fin de d e te rm in a r una a p ro x im a c ió n ú t il d e l v e c to r (s — S i), c o n s id e ra r u n a v is ta a u m e n ta d a de esa p o rc ió n d e l p la n o s en la c e rca n ía d e l c e ro Si (fig u ra 16.7). E n té rm in o s de sus c o m p o n e n te s ca rte sia n o s, se o b s e rv a que s - s , « ¿B + j(c o -co o) d o n d e esta e x p re s ió n sería e xa c ta si coo se s u s titu y e ra p o r u>¿. Se s u s titu y e a h o ra esta e c u a c ió n en u n a a p ro x im a c ió n de Y (s ), e cu a c ió n [1 8 ], y se d e ja c o m o fa c to r \B: 1+ 7
-B 2
SECCIÓN 16.2 ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
. CO
+I~
•"
A/W
COq \
)
L a fra c c ió n (co —coü)/(\B ) p u e de in te rp re ta rs e c o m o e l “ n ú m e ro de m ita d e s d e l a n c h o de b a n d a de re s o n a n c ia ” y se a b re v ia p o r m e d io de N . P o r lo ta n to , Y ( s ) « - U l+ ;W )
[1 9 ]
N = 03 ~ 0)0 i B
[2 0 ]
K
donde:
E n la fre c u e n c ia s u p e rio r de m e d ia p o te n c ia , c&i ^ coq + \B , N —+ 1 , y su lo c a liz a c ió n es a m e d io a n c h o de b a n d a p o r e n c im a de la re s o n a n c ia . E n e l caso de la fre c u e n c ia in fe r io r de m e d ia p o te n c ia , w\ ~ o>{] — ^B, de m a n e ra que N = — 1, u b ic á n d o la a la m ita d de u n a ncho de b anda p o r d e b ajo de la resonancia. L a e cu a c ió n [1 9 ] es m u c h o m ás fá c il de usar que la s re la c io n e s exactas que se han c o n fo rm a d o hasta ahora. D e m o s tra r que la m a g n itu d de la a d m ita n c ia es iy ( » i « i y
K
i + n2
m ie n tra s que e l á n g u lo de Y (jco) está d a d o p o r la ta n g e n te in v e rs a de N: ang Y (jco) « ta n -1 N
Determinar el valor aproximado de la admitancia de una red RLC en paralelo para la que R — 40 k ñ , L = 1 H y C = ¿ /iF si la frecuencia de operación es de « = 8.2 krad/s.
Identificar el objetivo del problema. Se s o lic ita d e te rm in a r e l v a lo r a p ro x im a d o de Y (s) acó = 8 .2 k ra d /s p a ra u n a re d RLC s im p le . L o a n te rio r im p lic a q u e Qq debe ser a l m e no s 5 y la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n n o está le jo s de la de re so n a n cia .
Recopilar la información conocida. Se p ro p o rc io n a n lo s v a lo re s de R, L y C así c o m o la fre c u e n c ia a la c u a l se debe e v a lu a r Y (s), lo c u a l es s u fic ie n te p a ra c a lc u la r la a d m ita n c ia u tiliz a n d o e xp re sio n e s exactas o a p ro x im a d a s .
Elaborar un plan. P ara e m p le a r la e x p re s ió n a p ro x im a d a de la a d m ita n c ia , se debe d e te rm in a r p rim e ro Q0, e l fa c to r de c a lid a d en la re s o n a n c ia , así c o m o el a ncho de banda. L a fre c u e n c ia re so n a n te c o q está d ad a p o r la e cu a c ió n [2 ] c o m o 1 /sfL C = 8 k ra d /s . P o r lo ta n to , Q q = coqR C = 5 , y e l a n c h o de b an da es c o q / Q q = 1.6 k ra d /s . E l v a lo r de Q q de este c irc u ito es s u fic ie n te p ara e m p le a r a p ro x im a c io n e s de “ a lta Q ” . (C o n tin ú a en la s ig u ie n te p á g in a )
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. L a e c u a c ió n [1 9 ] e sta ble ce que Y ( s ) « — (1 + jN )
K
p o r lo que | Y ( » | s» 4 % / l + N 2
y
ang Y(jco) « ta n -1 N
Determinar si se requiere información adicional. A ú n es n e ce sa rio N , la c u a l in d ic a e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a a l que co se e n c u e n tra de la fre c u e n c ia re so n a n te coo:
N = (8 .2 - 8 )/0 .S = 0 .2 5
Buscar la solución. E n esta e tapa y a se está lis to p a ra e m p le a r las re la c io n e s a p ro x im a d a s de la m a g n itu d y e l á n g u lo de la a d m ita n c ia de la red, a ng Y « ta n ” 1 0 .2 5 = 1 4 .0 4 a
y |Y | % 2 5 -/1 + (0 .2 5 )2 = 2 5 .7 7 /¿S
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? E l c á lc u lo e x a c to de la a d m ita n c ia m e d ia n te la e c u a c ió n [1 ] d e m u e s tra que Y ( y 8 2 0 0 ) = 2 5 .7 5 /1 3 .8 7 ° uS P o r lo ta n to , e l m é to d o a p ro x im a d o o rig in a v a lo re s de la m a g n itu d y el á n g u lo de la a d m ita n c ia que son ra z o n a b le m e n te e xa cto s (m e jo r que 2 % ) de esta fre c u e n c ia .
___ ____________ ________ ___._____________ 16.3 U n c irc u ito re son an te e n p a ra le lo c o n una Q m a rg in a lm e n te a lta tie n e f 0 = 4 4 0 H z c o n Q0 = 6. A p lic a r las e cu acio ne s [1 5 ] y [1 6 ] p ara o b te n e r v a lo re s e xa cto s co rre sp o n d ie n te s a: (a) / j ; (b) f 2. U tiliz a r lu e g o la e cu a c ió n [ 1 7 1 p a ra c a lc u la r v a lo re s a p ro x im a d o s de: (c ) (d) f 2. Respuestas: 404.9 Hz; 478.2 Hz; 403.3 Hz; 476.7 Hz.
E l o b je tiv o es u tiliz a r estas a p ro x im a c io n e s en c irc u ito s de a lta Q cerca de la re s o n a n c ia . Se h a a co rd a d o q u e p e r m itir u n a “ a lta Q" im p lic a q u e Q0 > 5, p e ro ¿qué ta n ce rca es “ c e rc a "? Se d e m u e s tra que e l e rro r e n m a g n itu d o en fase es m e n o r q u e 5 p o r c ie n to s i Qo > 5 y 0.9® o < co < 1.1 <¿>o. A u n q u e esta b a n da es tre ch a de fre c u e n c ia s q u iz á p a re z ca p ro h ib itiv a m e n te p eq ueña, suele ser m ás q u e s u fic ie n te p a ra c o n te n e r e l in te rv a lo de fre c u e n c ia s q u e m ás interesa. P o r e je m p lo , e l ra d io de A M c o n tie n e p o r lo g en e ra l u n c irc u ito s in to n iz a d o a u n a fre c u e n c ia re so n a n te de 4 5 5 k H z , c o n u n a ncho de b a n d a de m e d ia p o te n c ia de 10 k H z . E ste c irc u ito debe te n e r e nton ces u n v a lo r de 4 5 .5 p a ra Qo, de m o d o que las fre cu e n cia s de m e d ia p o te n c ia estén a lre d e d o r de 4 5 0 y 4 6 0 k H z . S in e m ba rg o,
SECCIÓN 16.3 RESONANCIA EN SERIE
• “
AAAr
641
estas a p ro x im a c io n e s son v á lid a s desde 4 0 9 .5 hasta 5 0 5 .5 k H z (c o n e rro re s m e nores a 5 % ), lo c u a l es u n in te rv a lo que cu b re en e se n c ia to d a la p o rc ió n m á x i m a de la c u rv a de respuesta; s ó lo en las “ c o la s ” re m o ta s de la c u rv a de re spu esta las a p ro x im a c io n e s p ro v o c a n e rro re s irra z o n a b le m e n te g ra n d e s .1 Se te rm in a la c o b e rtu ra d e l c irc u ito re so n a n te paralelo re v is a n d o alg u na s de las c o n c lu s io n e s c la v e a las q ue se han lle g a d o : •
L a fre c u e n c ia re s o n a n te cúq es la fre c u e n c ia a la q u e la p a rte im a g in a ria de la a d m ita n c ia de e n tra d a se c o n v ie rte en cero, o e l á n g u lo de la a d m ita n c ia se hace cero. E n este c irc u ito , a>o = 1/ V LC.
•
L a c ifr a de m é rito Qo d e l c irc u ito se d e fin e c o m o 2n veces la ra z ó n e ntre la e n e rg ía m á x im a a lm a c e n a d a en e l c irc u ito y la e n e rg ía que se p ie rd e en cad a p e rio d o en e l c irc u ito . E n este c irc u ito , Qo — cúqRC.
•
L a s dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , a>\ y co2, se d e fin e n c o m o las fre c u e n c ia s a las q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia es s¡2 veces la m a g n itu d de la a d m ita n c ia m ín im a . (T a m b ié n son las fre c u e n c ia s a las cuales la re spu esta en te n s ió n es 7 0 .7 % de la re spu esta m á x im a .)
•
L a s e xp re sio n e s exactas de o>\ y ojj son,
•
\2 < 2 o ,
T
2Qo
L a s e xp re sio n e s e xa c ta y a p ro x im a d a (p a ra a lta Qo) q u e c o rre s p o n d e n a estas dos fre c u e n c ia s son a>1,2
•
E l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia B está d a d o p o r
K = co2 - a>i = — W° B Qo •
L a a d m ita n c ia de e n tra d a ta m b ié n p ue de expresarse e n fo rm a a p ro x im a d a en c irc u ito s c o n a lta Q c o m o : Y « I ( ] + jN) = - V l + TVV t a n - 1 N K
K
d o n de N se d e fin e c o m o e l n ú m e ro de m ita d e s de a ncho de b a n d a fu e ra de la re so n a n cia , o
N
CÚ — CÚQ
~
w
E s ta a p ro x im a c ió n es v á lid a p a ra 0.9&>o < co < 1. Iojq.
16.5 t RESONANCIA EN SERIE A u n q u e q u iz á se o bse rve u n m e n o r uso d e l c irc u ito RLC en serie, d e l que o cu rre en e l caso d e l RLC en p a ra le lo , el p rim e ro sigu e m e re c ie n d o que se le p o n g a aten ció n . C o n s id e ra r e l c irc u ito de la fig u ra 16.8. D e b e o b s e rva r que en este caso a los (1) A frecuencias alejadas de la resonancia, en muchas ocasiones se está satisfecho con resultados muy aproxi mados; una precisión mayor no siempre es necesaria.
■ F IG U R A 1 6 .8 GrCllitO resonante en Serie.
AA/V
*
De nuevo, este párrafo es el mismo que el último de la sección 16.2, pero con la frase RLC en paralelo convertida en RLC en serie gradas a la dualidad (de
CAPÍTULO 16 RESPUESTA'EN FRECUENCIA
d iv e rs o s e le m e n to s de c irc u ito se le s a sig na e l s u b ín d ic e s (d e s e rie ), p a ra e v ita r c o n fu s ió n c o n lo s e le m e n to s en p a ra le lo , c u a n d o lo s c irc u ito s se c o m p a re n . E l a n á lis is de la re s o n a n c ia en p a ra le lo o c u p ó d os seccion es de a m p litu d c o n s id e ra b le . E s p o s ib le d a rle a h o ra a l c irc u ito RLC e n s e rie e l m is m o tip o de tra ta m ie n to , p e ro re s u lta m ás in te lig e n te o m itir ta l re p e tic ió n in n e c e s a ria y u t i liz a r e l c o n c e p to de d u a lid a d . P o r s im p lic id a d , e l e n fo q u e se c o n c e n tra rá en las c o n c lu s io n e s que se p re s e n ta n en e l ú ltim o p á rra fo de la s e c c ió n a n te rio r acerca de la re s o n a n c ia en p a ra le lo . L o s re s u lta d o s im p o rta n te s están c o n te n id o s a h í y e l u so d e l le n g u a je d u a l p e rm ite tra n s c rib ir este p á rra fo p a ra p re s e n ta r lo s re s u l tados im p o rta n te s c o rre s p o n d ie n te s a l c irc u ito RLC en serie. “ Se c o n c lu y e e l e s tu d io d e l c irc u ito re so n a n te en serie re s u m ie n d o las d is tin ta s c o n c lu s io n e s c la v e a las que se h a lle g a d o : •
L a fre c u e n c ia re son an te &>o es a q u e lla a la que la p a rte im a g in a ria de la im p e d a n c ia de e n tra d a se v u e lv e c e ro , o en la que e l á n g u lo de la im p e d a n c ia se hace c e ro . E n este c irc u ito , a>o — 1 / J C SLS.
•
L a c ifr a de m é rito d e l c irc u ito Qo se d e fin e c o m o 2n veces la p ro p o rc ió n e n tre la e n tre g a m á x im a a lm a c e n a d a en e l c irc u ito y la e n e rg ía que se p ie rd e en cad a p e rio d o en e l c irc u ito . E n este c irc u ito , Qo = cooLs/Rs-
•
Se d e fin e n las dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , o)¡ y a>2 , c o m o las fre cu e n cia s a las cu a le s la m a g n itu d de la im p e d a n c ia es \ f l veces la m a g n i tu d de la im p e d a n c ia m ín im a . (É stas son ta m b ié n la s fre c u e n c ia s a las que la re spu esta e n c o rrie n te es 7 0 .7 % de la re spu esta m á x im a .)
•
L a s e xp re sio n e s exactas de coi y a>2 son:
ahí las comillas).
w l,2 = « 0 2<2o/
•
2 g 0
L a s e xp re sio n e s a p ro x im a d a s (a lta Qo) de oj¡ y a>2 son,
co1,2 ~ «0 T 2 ® •
E l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia B está d a d o p o r
n = (Ú2 - (Oí - — m B Qo •
L a im p e d a n c ia de e n tra d a de c irc u ito s c o n a lta Q ta m b ié n p u e d e expre sa rse en fo rm a a p ro x im a d a c o m o Y « 4 ( 1 + jN) =
R
R
+ N 2/ tm - 1 N
d o n d e N se d e fin e c o m o e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a fu e ra de re s o n a n c ia , o Cú — Cúo
N = — :------2U
E s ta a p ro x im a c ió n es v á lid a p a ra 0.9coo <
SECCIÓN 16.3 RESONANCIA EN SERIE
■■
L a fre c u e n c ia re s o n a n te d e l c irc u ito está d a d a p o r 1
1
VLC
y/(2 x 10 3)( 2 0 0 x 1 0 - 9)
= 5 0 k ra d /s
D a d o que se ('p e ra a co = 4 8 k ra d /s , w la c u a l está d e n tro d e l 10% de la fre c u e n c ia re son an te, re s u lta ra z o n a b le a p lic a r las re la c io n e s a p ro x im a d a s p a ra e s tim a r la im p e d a n c ia e q u iv a le n te de la re d, s ie m p re y c u a n d o se sepa que se tra b a ja c o n u n c irc u ito de a lta Q: Z eq « R j 1 + jV 2 / ta n -1 N d o n d e N se c a lc u la u n a v e z que se d e te rm in a Qo- E s u n c irc u ito en serie, p o r lo que „
o)0L
Qo = i r
(5 0 x 1 0 3) ( 2 x I O " 3)
=
1 A
------------ ío------------ = 10
h ace que sea u n c irc u ito de a lta Q. P o r lo ta n to , 50
x 103 5 k ra d /s
10
Qo
P o r lo ta n to , e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a (N) fu e ra de la re so n a n c ia es
N =
(!) — CtíO 8 /2
4 8 -5 0 =
-
2 .5
0.8
P o r ende, Z eq s» R j 1 + jV 2/ta n ~ ' N = 1 2 .8 1 / - 3 8 . 6 6 0 £2 P o r lo ta n to , la m a g n itu d de la c o rrie n te a p ro x im a d a es IV , |
100
-'cql
12.81
= 7 .8 0 6 m A
U tiliz a n d o las e xp re sio n e s e xactas, se o b s e rv a que I = 7 .7 4 6 /3 9 .2 4 ° m A y, p o r ende, |I| = 7 .7 4 6 m A .
PRÁCTICA t
643
EJEMPLO 1 6 .3
L a te n s ió n vs = 1 0 0 cos o)t m V se a p lic a a u n c ir c u it o re s o n a n te en s e rie c o m p u e s to p o r u n a re s is te n c ia d e 10 f í u n a c a p a c ita n c ia d e 2 0 0 n F y u n a in d u c ta n c ia de 2 m H . U t ili z a r lo s m é to d o s ta n to e x a c to c o m o a p r o x im a d o p a r a c a lc u la r la a m p lit u d d e c o r r ie n te , s i co = 4 8 k ra d /s .
(tío
-A/W-
________________ ________________________________________
16.4 U n c irc u ito re s o n a n te en serie de u n a n c h o de b a n d a de 100 H z c o n tie n e u n a in d u c ta n c ia de 2 0 m H y u n a c a p a c ita n c ia de 2 /zF . D e te rm in a r: (a) / 0; (b) Qo; (c ) Z ent en la re s o n a n c ia ; (d) f 2. Respuestas: 796 Hz; 7.96; 12.57 + j 0 Q ; 846 H z (aproximadamente).
AA/v
■#
CAPÍTULO 16
RESPUESTA EN FRECUENCIA
E l c irc u ito re so n a n te e n serie se c a ra c te riz a p o r u n a im p e d a n c ia m ín im a en la reso n a n cia , en ta n to q u e el re so n a n te en p a ra le lo p ro d u ce u n a im p e d a n c ia re s o n a n te m áx im a. E l ú ltim o c irc u ito p ro p o rc io n a c o rrie n te s d e in d u c to r y de c a p a c ito r en la re s o n a n c ia q u e tien e n a m p litu d e s Qo v e ces m a y o res q u e la c o rrien te de la fu en te; el c irc u ito re so n a n te en se rie p ro p o rc io n a te n sio n e s en el in d u c to r y en el c a p a c ito r q u e son m a y o re s q u e la te n sió n en la fu e n te p o r el fa c to r Qos . E l c ircu ito e n serie d eb e p ro p o rc io n a r e n to n c e s u n a am p lificació n de te n sió n en la reso n an cia. U n a c o m p a ra c ió n de lo s re su lta d o s q u e se o b tu v ie ro n p a ra la re s o n a n c ia en serie y la re so n a n c ia en p a ra le lo , así c o m o las e x p re sio n e s ex a c ta s y a p ro x i m ad as que se d e sa rro lla ro n , a p arecen en la ta b la 16.1.
TABLA
Breve resumen de la resonancia
16.1
L
R
-o m n -
A W
+ v,
v<--
Qo =
Vc ^ C
c
^
1
coqRC
2o =
IR C
. CO
coq L
R
R
2L
*§
| I l (7
Y„ =
COQ
|V t(y c y o )| = |V cO '
Cú CO ( -------ílñ
Z, = R
i + j Q o [ ---------- COq co
con
Expresiones exactas COq =
= vW «2
COd = y j c o l ~ a 2 = COqJ 1 - ( ----- ^
\2 Q o J
CO 1,2
—
CO q
1
+GQ0)
1
T 2Qq
CO — C úfí
N :
-B 2U
co0 B — CO2 — co\ = — = 2 a Qo
Expresiones aproximadas ( Qo _ 5
+
0.9a>o
COd ^ COQ co\.i « í«0 =F 2 ^ COq « \ (coi + con) Y p % ^ l + N2 R x / l + TV2/ta n 1 N
co
SECCIÓN 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
16.4 # OTRAS FORMAS RESONANTES L o s c irc u ito s RLC en p a ra le lo y en serie de las dos seccion es a n te rio re s re p re sentan c irc u ito s re son an tes idealizados', n o son m ás q u e re p re se n ta cio n e s ú tile s y aproximadas de u n c irc u ito fís ic o q u e p o d ría c o n s tru irs e c o m b in a n d o una b o b in a de a la m b re , u n a re s is te n c ia de c a rb ó n y u n c a p a c ito r de ta n ta lio en p a ra le lo o en serie. E l g ra d o de e x a c titu d que e l m o d e lo id e a liz a d o lo g re re s p e cto del c irc u ito real d epende d e l in te rv a lo de la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n , la Q de] c ir c u i to , lo s m a te ria le s presentes en lo s e le m e n to s fís ic o s , lo s ta m a ñ o s de lo s e le m e n to s y m u c h o s o tro s fa c to re s . N o .§£.está e s tu d ia n d o la té c n ic a p ara d e te rm in a r e l m o d e lo de u n c irc u ito fís ic o p a rtic u la r, pues esto re q u ie re c ie rto c o n o c im ie n to de la te o ría d e l c a m p o e le c tro m a g n é tic o y de las p ro p ie d a d e s de lo s m a te ria le s ; s in e m b a rg o , es de in te ré s e l p ro b le m a de re d u c ir u n m o d e lo m ás c o m p lic a d o a u n o de lo s dos m o d e lo s m ás s im p le s c o n lo s que Se está fa m ilia riz a d o . L a re d de la fig u ra 16.9a c o n s titu y e u n m o d e lo ra z o n a b le m e n te e x a c to de la c o m b in a c ió n en p a ra le lo , fís ic a m e n te h a b la n d o , de u n in d u c to r, u n c a p a c ito r y u n a re s iste n c ia . L a re s is te n c ia m a rc a d a c o m o R\ es h ip o té tic a y se in c lu y e p a ra to m a r en c u e n ta las p é rd id a s ó h m ic a s d e l n ú c le o y las p é rd id a s p o r ra d ia c ió n de la b o b in a . L a s p é rd id a s en e l d ie lé c tric o d e n tro d e l c a p a c ito r, así c o m o la re s is te n c ia d e l c irc u ito RLC p a rtic u la r, se to m a n en c u e n ta m e d ia n te la re s is te n c ia d e n o m in a d a Rj. E n este m o d e lo , no hay forma de c o m b in a r e le m e n to s y re p ro d u c ir u n m o d e lo m ás s im p le e q u iv a le n te al m o d e lo o rig in a l de todas las fre cuencias. S in e m b a rg o , se d e m o stra rá que se p uede c o n s tru ir u n e q u iv a le n te m ás s im p le v á lid o sobre u n a b a n da d e fre c u e n c ia s que sue le ser lo s u fic ie n te m e n te g ra n d e c o m o p a ra in c lu ir todas las fre c u e n c ia s de in te ré s. E l e q u iv a le n te to m a rá la fo rm a de la re d q u e se m u e s tra en la fig u ra 16.9 b. A n te s de a p re n d e r c ó m o c re a r ta l c irc u ito e q u iv a le n te , c o n s id e ra r p rim e ro e l c irc u ito q ue se m u e s tra en la fig u ra 1 6.9a. L a fre c u e n c ia re s o n a n te en ra d ia n e s de esta re d no es 1/-/L C , a un qu e s i R\ es lo s u fic ie n te m e n te p eq ue ña p o d ría a p ro x im a rs e m u c h o a este v a lo r. L a d e fin ic ió n de re s o n a n c ia p e rm a n e c e in v a ria b le , y se p o d ría d e te rm in a r la fre c u e n c ia re s o n a n te ig u a la n d o a c e ro la p a rte im a g in a ria de la a d m ita n c ia de e ntrada: I m { Y {jco)} = I m ( - i - + jcoC +
Im
\
1 = 0
[R i
R i + jcoL)
— + i r 4-
1 r í ~ JwL I Ri + jcoL Ri - jcoL j
Ri
= i m |, 1_ + ;tóC + _R i
— jc o L ,
_
^
0
D e ta l m a ne ra , p o r la c o n d ic ió n de re s o n a n c ia
L R \ + cú2L2
y, p o r e n d e , 2
“ ° = i/ Z c “ ( ^ l
[21]
ib) ■ F IG U R A 1 6 .9 (o) Modelo útil de una red física que consta de un inductor, un capacitor y una resistencia presentes físicamente en paralelo. (í>) Rec que puede equivaler a la parre (o ) en una banda estrecha de frecuencias.
646
-yw v
- •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Se o b s e rva q u e c ü q es m e n o r que 1/ \ L C , s i b ie n q u iz á lo s v a lo re s s u fic ie n te m e n te p eq ue ño s de la p ro p o rc ió n R\¡L p ro d u z c a n u n a d ife re n c ia d e s p re c ia b le e n tre c ü q y 1 ¡ \/L C . L a m a g n itu d m á x im a de la im p e d a n c ia de e n tra d a ta m b ié n m e re ce c o n s id e rarse. N o es Ri, y ta m p o c o o c u rre e n c/Jo (o en co = 1 /\f~LC). L a p ru e b a de estas a firm a c io n e s n o se d e m o stra rá , d e b id o a q ue la s e xp re sio n e s se v u e lv e n d e in m e d ia to p ro b le m á tic a s desde la p e rs p e c tiv a a lg e b ra ic a ; la te o ría , s in e m b a rg o , es c la ra . C o n u n e je m p lo n u m é ric o se e stará s a tis fe c h o .
EJEMPLO 1 6 .4 U tiliz a n d o lo s v a lo re s Rj = 2 f i , L = 1 H , C = 125 m F y R2 = 3 f t e n la f ig u r a 1 6 .9 a , d e t e r m in a r la fre c u e n c ia re s o n a n te y la im p e d a n c ia e n la re s o n a n c ia . S u s titu y e n d o lo s v a lo re s a p ro p ia d o s e n la e c u a c ió n [2 1 ], se o b s e rv a que, Magnitud de ta impedancia (ohms)
cüq = \ / 8 — 22 — 2 ra d/s
lo c u a l p e rm ite c a lc u la r la a d m ita n c ia de e n tra d a en la re s o n a n c ia : 1 4 - --------- ---------- = - + - = 0 .5 8 3 S 2 + j (2 )( 1 ) 3 4 y lu e g o la im p e d a n c ia de e n tra d a en la re so n a n cia : Z ( j2 ) =
Frecuencia (rad/s)
> F IG U R A 1 6 .1 0 Gráfica de |Z| en función d eco, generada mediante la siguiente serie de instrucciones de MATLAB: EDU» omega = linspace(0,10,100); EDU» fo r i = 1:100 YO) = 1/3 + j*om ega(i)/8 + 1/(2 + j*om ega(i)); Z(i) = i/Y (i); end EDU» plot(omega,abs(Z)); EDU» xlabel('frequency (rad/s)1); EDU» ylabelfimpedance magnitude (olim s)1);
1 0 .5 8 3
= 1 .7 1 4 £2
A la fre c u e n c ia q ue c o rre s p o n d e ría la fre c u e n c ia re son an te, si R\ fu e ra cero, 1
s/LC
= 2 .8 3 ra d/s
la im p e d a n c ia de e n tra d a sería Z C /2 .8 3 ) = 1 .9 4 7 / - 1 3 . 2 6 ° £2 S in e m b a rg o , c o m o p u e d e o b serva rse e n la fig u ra 16.10, la fre c u e n c ia a la q u e o c u rre la m a g n itu d máxima de la im p e d a n c ia , in d ic a d a p o r com, se d e te rm in a q u e es ojm = 3 .2 6 ra d/s, y la m a g n itu d máxima de la im p e d a n c ia es Z ( y 3 .2 6 ) = 1 .9 8 0 / —21.4° £2 L a m a g n itu d de la im p e d a n c ia a la re s o n a n c ia y a la m a g n itu d m á x im a d ifie re e n c a s i 1 6% . S i b ie n es c ie rto q u e u n e rro r de este tip o p u e de ig n o ra rs e a veces en la p rá c tic a , re s u lta d e m a sia d o g ra n d e c o m o p a ra ig n o ra rlo en u n e xa m e n . E n la ú ltim a p a rte de esta se cció n se m o s tra rá que la Q de la c o m b in a c ió n in d u c to r-re s is te n c ia a 2 ra d /s es la u n id a d ; este v a lo r b a jo e x p lic a la d is c re p a n c ia de 16% . P R A C T IC A 16.5 C o n re fe re n c ia a l c irc u ito de la fig u ra 1 6 .9 a , sea R\ = 1 k í2 y C = 2 .5 3 3 pF. D e te rm in a r la in d u c ta n c ia n e ce sa ria p a ra s e le c c io n a r u n a fre c u e n c ia re s o n a n te de 1 M H z . ( Sugerencia: re c u e rd e q u e co — 2 n f.) Respuesta: 10 mH.
A A /V
SECCION 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
Combinaciones equivalentes en serie y en paralelo
Rs
P ara tra n s fo rm a r e l c irc u ito d a d o en la ñ g u ra 16.9a en u n o e q u iv a le n te en la fo r m a q u e se in d ic a en la ñ g u ra 16.9¿>, se debe a n a liz a r la Q de u n a c o m b in a c ió n s im p le en serie o en p a ra le lo de u n a re s is te n c ia y u n re a c to r (in d u c to r o c a p a c i to r). Se c o n s id e ra en p rim e ra in s ta n c ia e l c irc u ito en serie de la ñ g u ra 16.11cz. L a Q de esta re d se d e ñ n e de n u e v o c o m o 2it veces la p ro p o rc ió n de la m á x im a e n e rg ía a lm a ce n a d a y la e n e rg ía q ue se p ie rd e e n cad a p e rio d o , aunque la Q se p o d ría e v a lu a r a c u a lq u ie r fre c u e n c ia q u e se e lija . E n o tras p a la b ra s , Q es una fu n c ió n de co. E s c ie rto que se e le g irá e v a lu a rla a la fre c u e n c ia q u e tie n e , o a p a re n te m e n te tie n e , la fre c u e n c ia re so n a n te de a lg u n a re d de la c u a l fo rm a p a rte la ra m a en serie. E s ta fre c u e n c ia , s in e m b a rg o , n o se c o n o c e h a s ta que se d is p o n e de u n c irc u ito m ás c o m p le to . Se s u g ie re a l le c to r d e m o s tra r q ue la Q de esta ra m a en serie es | X ^ ¡R S, en ta n to que la Q de la re d en p a ra le lo de la fig u ra Ib.llb es Rp/\X p\. Se lle v a rá n a cab o lo s d etalle s necesarios p a ra d e te rm in a r lo s va lo re s de R„ y Xp de m o d o q u e la re d en p a ra le lo de la fig u ra 16. llf e sea e q u iv a le n te a la re d en serie de la fig u ra 16.1 l a a c ie rta fre c u e n c ia e s p e c ífic a s im p le . S e ig u a la Y s y Y p,
Y, =
_ J ____ _ R s ~ JXs Rs + jX s Rj + X j 1
R
Xn
y se o b tie n e
R
P
Xn
Rs R? + X? Xs
A l d iv id ir estas dos e xp re sio n e s, se o b tie n e
Rj, x n
647
X Rs
Se c o n c lu y e que las Q de las redes e n serie y en p a ra le lo d eben ser ig u a le s :
QP = Qs — Q P o r lo ta n to , las e cu acio ne s de tra n s fo rm a c ió n p u e d e n s im p lific a rs e :
RP = Kv(1 + Qz)
[ 22 ]
X P = X S [1 + ^
[2 3 ]
Rs y X s ta m b ié n se p u e d e n e n c o n tra r si Rp y X p son lo s v a lo re s dados; se e fe c tú a la tra n s fo rm a c ió n e n c u a lq u ie r d ire c c ió n . S i <2 > 5 se in tro d u c e u n p e q u e ñ o e rro r a l u tiliz a r las re la c io n e s a p ro x i m adas [2 4 ]
O-------- V W
m.
Y -
(a)
o-------- ♦ -----—
I'*
jxp
O --------i------
(b) I F IG U R A 1 6 .1 1 (a) Red en serie que consta de una resistencia Rs y una reactancia inductiva o capacitiva X¡ que se podría transformar en (6 ) una red en paralelo ta! que Ys = Yp a una frecuencia específica. La transformación inversa también es posible.
A/W
■+
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
EJEMPLO 16.5 Determinar el equivalente en paralelo de la combinación en serie de un inductor de 100 mH y una resistencia de 5 ft a una frecuencia de 1000 rad/s. No se cuenta con los detalles de la red a la cual se conecta esta combinación en serie. E n co = lO O O rad /s, Xs = 1 0 0 0 (1 0 0 x 10 3) = 100 £2. L a Q de esta c o m b i n a c ió n en s e rie se d e te rm in a rá m e d ia n te _ Xs _ 100 Q ~ T s ~~5~
20
D a d o q ue Q es s u fic ie n te m e n te a lta (2 0 es m u c h o m a y o r que 5 ), se u tiliz a n las e cu a cio n e s [ 2 4 1 y [2 5 ] p a ra o b te n e r '/) Rn
Q2R = 2i w0 0u 0a £2 \¿, « si — i.
Lp
y
U = 100 m H
L a a firm a c ió n a q u í co n s is te en q u e u n in d u c to r de 100 m H , en serie con u n a re s is te n c ia de 5 £2 p ro p o rc io n a esencialmente la misma im p e d a n c ia de en tra d a q ue u n in d u c to r de 100 m H en p a ra le lo c o n u n a re s iste n c ia de 2 0 0 0 Í2 a la fre c u e n c ia de 1 0 0 0 ra d/s. P ara v e r ific a r la e x a c titu d de la e q u iv a le n c ia , e v a lu a r la im p e d a n c ia de e n tra d a de cad a re d a 1 0 0 0 ra d/s. Se e n c u e n tra que Z , ( jl 0 0 0 ) = 5 + 7100 = 1 0 0 .1 /8 7 .1 ° £2
ZpO'i ooo) =
= 9 9 .9 /8 7 .1 ° £2
y se c o n c lu y e que la e x a c titu d de la a p ro x im a c ió n a la fre c u e n c ia de tra n s fo r m a c ió n es bastante im p re s io n a n te . L a e x a c titu d a 9 0 0 ra d /s ta m b ié n re s u lta ra z o n a b le m e n te b ue na , d e b id o a que
iH *
100 k í l •
¡5H
Z , ( ?900) = 9 0 . 1 /8 6 .8 ° £2 Z p O '9 0 0 ) = 8 9 .9 /8 7 .4 ° Q
100 í l .
(a)
(ib)
i F IG U R A 1 6 .1 2 (o) Red en serie para la que se necesita una red equivalente en paralelo (en
PRÁCTICA 16.6 A co = 1 0 0 0 ra d/s, p ro p o rc io n a r u n a re d en p a ra le lo e q u iv a le n te a la c o m b in a c ió n en serie de la fig u ra 1 6 .1 2 a . 1 6.7 E n c o n tra r u n e q u iv a le n te e n serie de la re d en p a ra le lo que se m u e s tra e n la fig u ra 1 6 .12¿?, s u p o n ie n d o q u e co = 1 0 0 0 ra d/s. Respuesta: 16.6:
Un m edidor "ideal" es un instrumento que mide una cantidad particular sin perturbar el circuito que se prueba. Aunque esto es imposible, los instrumentos modernos se acercan mucho a ser ideales en este sentido.
2000(y 100) 2000 + 7100
8 H, 640 k íl;
16.7: 5 H, 250 íl.
C o m o un e je m p lo a d ic io n a l de la s u s titu c ió n de u n c irc u ito re so n a n te m ás c o m p lic a d o p o r u n c irc u ito RLC e q u iv a le n te en serie o en p a ra le lo , c o n s id e ra r u n p ro b le m a d e in s tru m e n ta c ió n e le c tró n ic a . L a re d RLC s im p le en serie de la fig u ra 1 6 .13a se e x c ita m e d ia n te u n a fu e n te de te n s ió n s e n o id a l a la fre c u e n c ia re sonante de la red. E l v a lo r e fica z (rm s ) de la ten sión de la fu e n te es ig u a l a 0 .5 V ; adem ás, se desea m e d ir e l v a lo r e fic a z de la te n s ió n en e l c a p a c ito r, c o n u n v o ltím e tr o e le c tró n ic o ( V E ) q u e te n g a u n a re s is te n c ia in te rn a de 1 0 0 0 0 0 íl. E s to es, u n a re p re s e n ta c ió n e q u iv a le n te de v o ltím e tro d ad a p o r u n v o ltím e tro id e a l en p a ra le lo , c o n u n a re s is te n c ia de 100 k£2.
SECCIÓN 16.4
20 í l
OTRAS FORMAS RESONANTES 20 íl
10 m H
• “
A/W
10 mH
(b)
(o) 20
íl
10 mH
Vc
■ F IG U R A 1 6 .1 3 (a) Circuito resonante en serie en el que la tensión en el capacitor se va a medir mediante un voltímetro electrónico no ideal. (6) El efecto del voltímetro se incluye en el circuito; éste registra V'c. (c) Se obtiene un circuito resonante en serie cuando la red RC en paralelo de la parte (b ) se sustituye por la red RC en serie, que equivale a IO5 rad/s.
A n te s de que e l v o ltím e tro se con ecte, se c a lc u la q u e la fre c u e n c ia re son an te sea de 105 ra d/s, Qq = 5 0 , la c o rrie n te de 25 m A y la te n s ió n rm s (o e fic a z ) en e l c a p a c ito r de 25 V . (C o m o se in d ic ó a l fin a l de la s e c c ió n 16.3, esta te n s ió n es Qo veces la a p lic a d a .) D e ta l m a n e ra , si e l v o ltím e tr o fu e ra id e a l, le e ría 25 V a l con ectarse a lo s e x tre m o s del c a p a c ito r. S in e m b a rg o , cu a n d o se c o n e c ta e l v o ltím e tr o re a l, se p ro d u c e e l c irc u ito de la fig u ra 16.13¿>. P a ra o b te n e r u n c irc u ito RLC en serie, se re q u ie re en este caso s u s titu ir la re d RC en p a ra le lo p o r una RC e n serie. S u p o n g a q u e la Q de esta re d es lo s u fic ie n te m e n te a lta , de m o d o q ue e l c a p a c ito r e q u iv a le n te en serie será e l m is m o que e l c a p a c ito r dado en p a ra le lo . Se lle v a a cabo lo a n te rio r para a p ro x i m a r la fre c u e n c ia re son an te d e l c irc u ito fin a l RLC en serie. P o r lo ta n to , si e l c ir c u ito RLC en serie c o n tie n e ta m b ié n un c a p a c ito r de 0.01 /x F la fre c u e n c ia re son an te p e rm a n e ce en 105 ra d/s. E s n e c e s a rio c o n o c e r esta fre c u e n c ia re so nan te e stim a d a , a f in de c a lc u la r la Q de la re d RC en p a ra le lo , la c u a l es, 105(1 0 5)( 1 0 ~ 8) = 100 D a d o que este v a lo r es m a y o r que 5, se ju s tific a e l c írc u lo v ic io s o de supuestos que se h ic ie ro n , p o r lo que la re d e q u iv a le n te RC en serie c o n s is te en e l c a p a c i to r Cs = 0.01 /xF y la re s iste n c ia :
Rs ^ ~
= l0 Q
D e esta fo rm a , se o b tie n e el c irc u ito e q u iv a le n te de la fig u ra 1 6.13 c. L a Q re so n ante d e l c irc u ito es, en este caso, s ó lo de 3 3 .3 y, p o r lo ta n to , la te n s ió n en el c a p a c ito r d e l c irc u ito de la fig u ra 1 6.13 c es 1 6 | V. N o o bsta n te , se debe d e te r m in a r I V ^ I , la te n s ió n en la c o m b in a c ió n RC en serie, que es |V c l = l ^
10 ~ 7 1 0 0 °l = 16-67 V
L a te n s ió n en e l c a p a c ito r y |V 'C | son e s e n c ia lm e n te ig u a le s , pues la te n s ió n en la re s is te n c ia de 10 £2 es d e m a sia d o pequeña.
A/W
CAPÍTULO 16 RFSPUESTA EN FRECUENCIA
L a c o n c lu s ió n fin a l debe ser q u e u n v o ltím e tro a p a re n te m e n te b u e n o ta l v e z s ig a p ro d u c ie n d o u n e fe c to s eve ro en la re spu esta de u n c irc u ito re s o n a n te d e a lta Q. P o d ría o c u rr ir u n e fe c to s im ila r c u a n d o se in s e rte en e l c irc u ito u n a m p e rím e tro n o id e a l. Se d a f in a esta s e c c ió n c o n u n a fá b u la té c n ica .
'abía una vez u n e stu d ia n te lla m a d o Sean, que te n ía u n p ro fe s o r id e n ti
■ FIG U R A 16.14 Primer modelo de un inductor de 20 mH, un capacitor de 1 /¿Fy una resistencia de 20 £2 en serie con un generador de tensión.
fic a d o s im p le m e n te c o m o e l D r. A b e l. U n a ta rd e , en e l la b o ra to rio , e l D r. A b e l le d io a Sean tre s d is p o s itiv o s de c ir c u ito p rá c tic o s : u n a re s iste n c ia , u n in d u c to r y u n c a p a c ito r, c o n v a lo re s de e le m e n to n o m in a le s d e 2 0 £2, 2 0 m H y 1 //F . Se le p id ió a l e s tu d ia n te q u e co n e c ta ra u n a fu e n te de te n s ió n de fre c u e n c ia v a ria b le a la c o m b in a c ió n en serie de estos tre s e le m e n to s, c o n e l f in d e m e d ir la te n s ió n re s u lta n te en la re s is te n c ia c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia y c a lc u la r después lo s v a lo re s n u m é ric o s de la fr e c u e n c ia re so n a n te , la Q en la re s o n a n c ia y e l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia . T a m b ié n se le p id ió p re d e c ir lo s re s u lta d o s d e l e x p e rim e n to antes de e fe c tu a r las m e d ic io n e s . Sean, c u y o p ro c e so m e n ta l suele ser c la ro , a veces se v e a b ru m a d o p o r la a n sied ad d e l a n á lis is de c irc u ito s . D ib u jó u n c irc u ito e q u iv a le n te p a ra este p ro b le m a q u e se a se m eja ba a l de la fig u ra 1 6.14, y lu e g o c a lc u ló : / o - ------ \ = 2 n \[L C
-
1 2 ttV 2 0 x
= 1 12 5 H z
1 0 -3 x 10~6
cOf)L
Q0 = - ^ - = 7 .0 7
B= —
= 159 H z
(2o L u e g o , Sean e fe c tu ó las m e d ic io n e s q u e e l D r. A b e l le h a b ía p e d id o , las c o m p a ró c o n lo s v a lo re s p re d ic h o s y s in tió u n a in te n s a u rg e n c ia p o r c a m b ia rs e a u n a c a rre ra a d m in is tra tiv a . L o s re s u lta d o s fu e ro n : /o = 1000 H z
Qo = 0 .6 2 5
B = 1600 H z
Sean sabía q u e las d is c re p a n c ia s de esta m a g n itu d n o p o d ía n c o n s id e ra rs e c o m o “ d e n tro de la p re c is ió n d e la in g e n ie ría ” o “ d e b id o a e rro re s d e l m e d id o r” . D e s a fo rtu n a d a m e n te , e n tre g ó sus re s u lta d o s a l p ro fe s o r. R e c o rd a n d o m u c h o s e rro re s de ju ic io pasados, a lg u n o s de lo s cua les se d e b ie ro n (q u iz á s ) a é l m is m o , e l d o c to r A b e l s o n rió d e m a n e ra b e n e v o le n te y lla m ó la a te n c ió n a Sean en c u a n to a l m e d id o r Q (o p u e n te de im p e d a n c ia ) que está p re se n te en la m a y o r p a rte de lo s la b o ra to rio s b ie n e q u ip a d o s ; le s u g irió que p o d ría u tiliz a rs e p a ra a v e rig u a r c ó m o se c o m p o rta n en la re a lid a d estos e le m e n to s de c irc u ito s p rá c tic o s a c ie rta fre c u e n c ia c o n v e n ie n te p ró x im a a la re s o n a n c ia : a 1 0 0 0 H z . p o r e je m p lo . A l h a c e rlo de esta m a n e ra , Sean d e s c u b rió q u e la re s is te n c ia ten ía u n v a lo r m e d id o d e 18 £2 y e l in d u c to r de 2 1 .4 m H c o n una Q d e 1.2, en ta n to q u e la ca p a c ita n c ia d e l c a p a c ito r era de 1.41 / / F y a un fa c to r d e d is ip a c ió n (e l re c íp ro c o de Q) ig u a l a 0 .1 2 3 . A s í, c o n la esperanza q ue b ro ta e te rn a m e n te e n e l c o ra z ó n de to d o e stu d ia n te de in g e n ie ría , S ean ra z o n ó q u e u n m e jo r m o d e lo d e l in d u c to r p rá c tic o c o rre s p o n d e ría a 2 1 .4 m l f en serie c o n coL/Q = 112 £2, m ie n tra s q u e u n m o d e lo m ás a p ro p ia d o d e l c a p a c ito r s ería de 1.41 ¡xF en s e rie c o n 1/coCQ = 13.9 £2. C o n
SECCIÓN 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
estos d a io s, Sean e la b o ró e l m o d e lo de c irc u ito m o d ific a d o de la fig u ra 16.15 y c a lc u ló u n n u e v o c o n ju n to de v a lo re s p re d ic h o s : l /o
2n x '9 1 6 x 2 1 .4 x 1CT3 143.9
= 0 .8 5 6
P ue sto q u e lo s re s u lta d o s se a p ro x im a b a n m u c h o m ás a lo s v a lo re s m e d id o s , S ean e sta ba s a tis fe c h o . E l d o c to r A b e l, s in e m b a rg o , d e b id o a que e ra m u y rig u ro s o en lo s d etalle s, p o n d e ró las d ife re n c ia s e n tre lo s v a lo re s p re d ic h o s y lo s m e d id o s ta n to p a ra Qo c o m o p a ra e l a n c h o de banda. “¿Ha considerado — p re g u n tó e l D r. A b e l— , la impedancia de salida de la fuente de tensión?, ” “Aún no”, d ijo Sean c o rrie n d o de re g re s o a la m e sa d e l la b o ra to rio . R e s u ltó que la im p e d a n c ia de s a lid a en c u e s tió n fu e de 5 0 Q p o r lo c u a l Sean a gre g ó este v a lo r al d ia g ra m a de c irc u ito , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 16.16. C o n e l n u e v o v a lo r de re s is te n c ia e q u iv a le n te de 1 93 .9 Q, se o b tu v ie ro n m e jo re s v a lo re s de Qo y ¡P
Qo = 0 .6 3 5 2 1 .4 m H
/ mnp—
112 Cl
B = 1442 H z 13.9 í l
- W V - — |( 1.41 ix F
F IG U R A T 6 .T 6 Modelo final que contiene también la resistencia de salida de la fuente de tensión.
E n ra z ó n de que to d o s lo s v a lo re s te ó ric o s e x p e rim e n ta le s c o n c u e rd a n a h o ra d e n tro d e l fa m o s o 1 0% , Sean fu e de n u e v o u n e stu d ia n te de in g e n ie ría e n tu s ia sta y c o n fia d o , a l que le m o tiv a b a in ic ia r antes e l tra b a jo en casa y le e r lib ro s de te x to antes de clase.2 E l D r. A b e l s im p le m e n te m o v ió la cabeza de m a n e ra c o m p la c ie n te c u a n d o d ijo la m o ra le ja s ig u ie n te :
Cuando se utilizan dispositivos reales, observar los modelos que se eligen; pensar bien antes de calcular, ¡y prestar atención a sus Z y Q! PRÁCTICA ------------------------------- «
112 íí
13.9 í l
= 916 H z
B = 9 1 6 / 0 . 8 5 6 = 1 07 0 H z
—
21.4 mH
651
2 jr V 2 1 . 4 x 1 0 - ^ x 1.41 x IO -6
Qo =
50 CI
•------------VW ---------
----------------- ----
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 6.8 L a c o m b in a c ió n en serie de 10 £2 y 10 n F está en p a ra le lo c o n la c o m b in a c ió n a su v e z en serie de 2 0 Q y 10 m H . (a) C a lc u la r la fre c u e n c ia re so n a n te a p ro x im a d a de la re d en p a ra le lo , ib) D e te rm in a r la Q de la ra m a RC. (c ) C a lc u la r la Q de la ra m a RL. (d) E n c o n tra r e l e q u iv a le n te de tres e le m e n to s de la re d o rig in a l. R e sp u e sta s: 105 ra d /s ; 1 0 0 ; 5 0 ; 10 n F || 1 0 m H || 3 3 .3 k Q .
(2) De acuerdó, esta última parte es excesiva. Nos disculpamos por eílo.
I F IG U R A 1 6 .1 5 Modelo mejorado donde se usan valores más exactos y se reconocen las pérdidas en el inductor y en el capacitor.
A /V v
CAPSULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16 5 t ESCALAMIENTO (O AJUSTE)___________________________ A lg u n o s de los e je m p lo s q u e se han re su e lto im p lic a ro n c irc u ito s co n valo re s de e le m entos p asivo s que v a ría n a lre d e d o r de unos cuantos ohm s, unos cuantos hen rys y a lg u no s fa ra d io s. L a s fre cu en cias aplicadas c o rre sp o n d ie ro n a unos cuantos ra d ia nes p o r segundo. Se usa ro n estos valo re s n u m é ric o s p a rticu la re s d e b id o n o a que co n fre cu e n c ia se e ncuentran en la prá ctica , s in o en v irtu d de que las m a n ip u la c io nes a ritm éticas re su lta n m u c h o m ás sencillas q ue en el caso de que fu e ra necesario m a n ip u la r diversas poten cias de 10 a lo la rg o de lo s cálculo s. L o s p ro c e d im ie n to s de esca la m ie nto (o a juste) que se e xp lica rá n en esla sección p e rm ite n a n a liza r redes com puestas p o r e lem entos de tam a ño p rá c tic o , a l a ju star e l v a lo r de lo s elem entos para p e rm itir c á lc u lo s n u m é ric o s m ás convenientes. Se co n sid e ra ta n to e l escala miento (o ajuste) en magnitud c o m o e l escalamiento (o ajuste) en frecuencia. Se e lig e e l c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo de la fig u ra 1 6.17 a c o m o e je m p lo . L o s v a lo re s im p rá c tic o s de lo s e le m e n to s d a n o rig e n a la p o c a p ro b a b le c u rv a de re s p u e s ta q u e se d ib u ja e n la fig u ra 1 6 .1 7 6 ; la im p e d a n c ia m á x im a es ig u a l a 2 .5 f i , la fre c u e n c ia re s o n a n te c o rre s p o n d e a 1 ra d /s , Qo es 5, y e l a n c h o de b an da e q u iv a le a 0 .2 ra d/s. E stos valo re s n u m é ric o s son m u c h o m ás pare cido s a lo s aná log o s e lé c tric o s de a lg ú n sistem a m e cá n ic o que a lo s correspondientes a c u a lq u ie r d is p o s itiv o básica m e nte e lé c tric o . Se d isp on e de n ú m e ro s co n ven ien te s c o n lo s cuales e fe ctu a r lo s cá lcu lo s, p e ro se tie n e u n c irc u ito im p rá c tic o d ifíc il de con struir. |Z | (íl)
Z
■ F IG U R A 1 6 .1 7 (o) Circuito resonante en paralele que se usa co n o ejemplo para ilustrar el escalamiento (ajuste) en magnitud y en frecuencia, (b) La magnitud de la impedancia de entrada se muestra como una función de la frecuencia.
Recordar que "ordenada" se refiere al eje vertical y "abscisa" al eje horizontal.
S u p o n e r q u e la m e ta sea a ju s ta r esta re d, de m a n e ra que. p ro p o rc io n e u n a im p e d a n c ia m á x im a d e 5 0 0 0 f i a u n a fre c u e n c ia re s o n a n te de 5 x 106 ra d /s , o 7 9 6 k H z . E n o tras p a la b ra s, se u tiliz a r ía la m is m a c u rv a de re spu esta d e la fig u ra 1 6 .1 7 6 s i to d o n ú m e ro so b re la e sca la de las ordenadas se in c re m e n ta p o r u n fa c t o r d e 2 0 0 0 y c a d a n ú m e ro s o b re la e sc a la d e las abscisas se a u m e n ta p o r u n fa c to r d e 5 x 106. Se tra ta rá lo a n te rio r c o m o d os p ro b le m a s : 1) E s c a la m ie n to (o a ju s te ) en m a g n itu d p o r u n fa c to r de 2 0 0 0 y 2 ) e s c a la m ie n to (o a ju s te ) e n fr e c u e n c ia p o r u n fa c to r d e 5 x 106. E l e s c a la m ie n to (o a ju s te ) e n m a g n itu d se d e fin e c o m o e l p ro c e so m e d ia n te e l c u a l la im p e d a n c ia de u n a re d d e dos te rm in a le s se in c re m e n ta p o r u n fa c to r Km, p e ro p e rm a n e c e c o n s ta n te la fre c u e n c ia . E l fa c to r Km es re a l y p o s itiv o , y p o d ría ser m a y o r o m e n o r q u e la u n id a d . Se e n ten de rá q u e la a firm a c ió n m ás b re v e “la red se ajusta en magnitud por un factor de dos” in d ic a q u e la im p e d a n c ia de la n u e v a re d es e l d o b le d e la a n tig u a , a c u a lq u ie r fre c u e n c ia . Sc d e te rm in a rá a h o ra c ó m o se debe a ju s ta r cad a tip o de e le m e n to p a s iv o . P ara in c re m e n ta r la im p e d a n cia de e n tra d a de u n a re d p o r u n fa c to r Km, basta a u m e n ta r la im p e d a n c ia
SECCIÓN 16.5
A/VV
ESCALAMIENTO (O AJUSTE)
de cada e le m e n to en la re d p o r e l m is m o fa c to r. P o r lo ta n to , u n a re s is te n c ia R debe s u s titu irs e p o r u n a re s is te n c ia K mR. C a d a in d u c ta n c ia debe e x h ib ir ta m b ié n u n a im p e d a n c ia q u e sea K m veces m a y o r, a c u a lq u ie r fre c u e n c ia . P ara in - Z ' c re m e n ta r u n a im p e d a n c ia s L p o r u n fa c to r de K m c u a n d o s p e rm a n e c e co n sta n te , se debe s u s titu ir la in d u c ta n c ia L p o r u n a in d u c ta n c ia K mL. D e m a n e ra s im ila r, cada c a p a c ita n c ia C debe s u s titu irs e p o r u n a c a p a c ita n c ia C ¡Km. E n re su m e n , estos c a m b io s p ro d u c irá n u n a re d q u e se a ju s ta en m a g n itu d m u lti Z j ( k í l) p lic á n d o la p o r u n fa c to r de K m : R L C
^
IO"-1 F
K mR
*
‘ K mL
-
653
e s c a la m ie n to o a ju ste en m a g n itu d
C -
Km C u a n d o cad a e le m e n to de la re d de la fig u ra 16.17 a se a ju s ta en m a g n itu d p o r u n fa c to r de 2 0 0 0 , se o b tie n e la re d de la fig u ra 1 6 .1 8a. L a c u rv a de re spu esta de la fig u ra 1 6 .1 8¿> in d ic a q ue n o es n e c e s a rio e fe c tu a r n in g ú n c a m b io en la c u rv a de re spu esta d ib u ja d a antes, apa rte d e l c a m b io en la escala de las ordenadas. C o n sid e ra r ahora esta n u e va re d y a ju s ta rla en fre cu en cia. S c d e fin irá e l ajuste en fre cu e n c ia c o m o e l p roceso m e d ia n te e l c u a l la fre cu e n c ia a la que o cu rre c u a l q u ie r im p e d a n cia se in c re m e n ta p o r u n fa c to r de K f. T a m b ié n en este caso, se hará uso de la e xp re sió n m ás b re v e ‘‘la red se ajusta enfrecuencia por unfactor de dos” p ara in d ic a r que se o btien e ahora la m is m a im p e d a n cia a una fre cu e n c ia dos veces m a yo r. E l ajuste en fre cu e n c ia se lle v a a cabo a ju stan do en fre cu e n c ia cada ele m e n to p asivo, y queda c la ro que n o se afecta a n in g u n a resistencia. L a im p e d a n cia de c u a lq u ie r in d u c to r es sL, y si esta m is m a im p e d a n c ia se debe o b te n e r a una fre cue ncia K f veces m ás g ran d e, e nton ces la in d u c ta n c ia L debe s u s titu irs e p o r una in d u c ta n c ia de L / K f . D e m anera s im ila r, se debe s u s titu ir una cap acitan cia C p o r u n a c a p a c ita n c ia C / K f . P o r lo tan to, si u na re d se v a a aju sta r en fre c u e n c ia p o r un fa c to r de K f , entonces lo s cam b ios necesarios en cada e le m e n to p a s ivo son: R
-
L
-
L e sc a la m ie n to o a ju ste en fre c u e n c ia
* C
F IG U R A 1 6 .1 8 (o) Red de la figura 16.17o después de ajustarse en magnitud Km = 2 0 0 0 . (6) Curva de respuesta correspondiente.
C ’ ' -
* Kf C u a n d o cada e le m e n to de la re d a justada en m a g n itu d de la fig u ra 1 6.1 8a se ajusta en fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 5 x 106 , se o b tie n e la re d de la fig u ra 16.19a . L a c u rv a de respuesta co rre sp o n d ie n te se m u e s tra en la fig u ra 16.1 9b. | Z " | ( k í l)
:200:pí¡
(a) ■ F IG U R A 1 6 .1 9 (a) Red de la figura 16.18o después de ajustarse en frecuencia por un factor de Kf = 5 x . 106. (¿) Curva de respuesta correspondiente.
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L o s e le m e n to s de c irc u ito en esta ú ltim a re d tie n e n v a lo re s q u e se o b tie n e n c o n fa c ilid a d en lo s c irc u ito s fís ic o s ; la re d e n v e rd a d se c o n s tru y e y se prueba. Se c o n c lu y e q u e s i la re d o rig in a l de la fig u ra 1 6.17 a fu e ra en re a lid a d u n a ná lo go de a lg ú n sistem a resonante m e cá nico , se p o d ría a ju sta r ta n to en m a g n itu d co m o en fre c u e n c ia p a ra o b te n e r u n a re d que se p o d ría c o n s tru ir en e l la b o ra to rio ; las p ruebas c u y a a p lic a c ió n re s u lta costosa o in c o n v e n ie n te en e l sistem a m e c á n ic o p o d ría n e fe ctu a rse sobre e l s iste m a e lé c tric o a ju s ta d o , p e ro lo s re s u lta d o s deben “ desaju sta rse ” lu e g o y c o n v e rtirs e en las u n id a d e s m e cá n ic a s p a ra c o m p le ta r e l a n á lisis . U n a im p e d a n c ia , que se in d ic a c o m o u n a fu n c ió n de s ta m b ié n p o d ría a ju s tarse en m a g n itu d o en fre c u e n c ia , y se p o d ría e fe c tu a r lo a n te rio r s in c o n o c i m ie n to de lo s e le m e n to s e sp e c ífico s , a p a rtir de lo s cuales se c o m p o n e la re d de d os te rm in a le s . P ara a ju s ta r Z ( s ) e n m a g n itu d , la d e fin ic ió n de a ju s te de m a g n i tu d m u e s tra q u e s ó lo se re q u ie re m u ltip lic a r Z ( s ) p o r Km p a ra o b te n e r la im p e d a n c ia c o n m a g n itu d a ju s ta d a . A s í, la im p e d a n c ia d e l c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo de la fig u ra 1 6.17 a es Z ('S')
2s2 + 0 .4 s + 2
o Z (s ) =
0 .5 s (s + 0.1 + y 0 .9 9 5 ) (s + 0 .1 - ./0 .9 9 5 )
L a im p e d a n c ia Z '( s ) de la re d a ju s ta d a en m a g n itu d se d e te rm in a m e d ia n te Z '( s ) = KmZ ( s ) S i se e lig e de n u e v o Km = 2 0 0 0 , se o b tie n e Z '( s ) = ( 1 0 0 0 )
s (s + 0.1 + j 0 . 9 9 $ (s + 0.1 - j 0 .9 9 5 )
S i Z '( s ) se debe a ju s ta r a h o ra en fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 5 x 106, e nton ces Z " ( s ) y Z '( s ) tie n e n que p ro p o rc io n a r v a lo re s id é n tic o s de im p e d a n c ia , s i Z " ( s ) se a v a lú a a una fre c u e n c ia K f veces ig u a l a la que se e v a lú a Z '( s ) . D espu és de u n a c u id a d o s a a c tiv id a d c e re b ra l, esta c o n c lu s ió n se e sta b le ce ría de m a n e ra c o n c is a en n o ta c ió n fu n c io n a l:
O b s e rv a r que se o b tie n e Z " ( s ) a l s u s titu ir to d a s en Z (s ) p o r s ¡K f. P o r lo ta n to , la e x p re s ió n a n a lític a de la im p e d a n c ia de la re d q u e se m u e s tra e n la fig u ra 1 6.19 a debe ser Z " (s ) = ( 1 0 0 0 )
s /( 5 x 106) [s /( 5 x 106) + 0.1 + ;0 .9 9 5 ][s /( 5 x 106) + 0.1 - j0 .9 9 5 ]
o Z " (s ) = (1 0 0 0 )-
(5 x 106)s [s + 0.5 x 106 + y'4.975 x 106][s + 0.5 x 106 - ;4 .9 7 5 x 106]
A u n q u e e l a ju s te es u n p ro c e so q u e se a p lic a p o r lo g e n e ra l a e le m e n to s p a s ivo s, las fu e n te s d e p e n d ie n te s ta m b ié n d e b e n a ju sta rse e n m a g n itu d y en fr e c u e n c ia . S u p o n e r q u e la s a lid a de c u a lq u ie r fu e n te está d ad a c o m o kxvx o kyiy, d o n d e kx tie n e las d im e n s io n e s de u n a a d m ita n c ia p a ra u n a fu e n te de c o m e n te
SECCIÓN 16.5 ESCALAMIENTO (O AJUSTE)
•------------V W
d e p e n d ie n te y re s u lta a d im e n s io n a l p a ra u n a fu e n te de te n s ió n d e p e n d ie n te ; en ta n to q u e ky tie n e la s d im e n s io n e s de o h m s p a ra u n a fu e n te de te n s ió n d e p e n d ie n te y es a d im e n s io n a l en e l caso de u n a fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te . S i la re d que c o n tie n e la fu e n te d e p e n d ie n te se a ju s ta en m a g n itu d p o r Km, entonces s ó lo se re q u ie re tra ta r a kx o ky c o m o s i fu e ra n e l tip o de e le m e n to c o n g ru e n te c o n sus d im e n sio n e s . E s to es, s i kx (o ky) es a d im e n s io n a l, se d e ja sin c a m b io ; si es u n a a d m ita n c ia , se d iv id e e n tre Km y s i es u n a im p e d a n c ia , se m u ltip lic a p o r
Km. El ajuste en frecuencia no afecta a las fuentes dependientes.
EJEMPLO Ajustar la red que se muestra en la figura 16.20 por la red ajustada. +
V, -
Km =
20 y Kf — 50, y después determinar Zem(s) de
+ Vj -
+
V,
-
■ F IG U R A 1 6 .2 0 (o) Red que se va a ajustar en magnitud por un factor de 20, y en frecuencia por un factor de 50. (b) Red ajustada, (c) Se aplica una fuente de prueba de 1 A a las terminales de entrada para obtener la impedancia sin ajuste de la red de la parte (o).
E l a ju s te en m a g n itu d d e l c a p a c ito r se c o n s ig u e d iv id ie n d o 0 .0 5 F e n tre e l fa c to r de a ju s te Km = 2 0 , y e l a ju s te en fre c u e n c ia se lle v a a c a b o a l d iv id ir e n tre K f = 5 0. A l e fe c tu a r de m a n e ra s im u ltá n e a am bas o p e ra cio n e s , se tie n e
005 ajustada“
^
l-1
(2 0 K 5 Ó ) _ 5 0 / "
E l in d u c to r ta m b ié n se a ju sta: ^ajustada
(2 0 )0 .5 — — ~ — 200 m H
A l a ju s ta r la fu e n te d e p e n d ie n te , s ó lo es n e c e s a rio c o n s id e ra r e l a ju s te en m a g n itu d , pues e l de la fre c u e n c ia n o a fe c ta a las fu e n te s d ep en die ntes. Y a CContinúa en la siguiente página)
16.6
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
que ésta es u n a fu e n te de corriente c o n tro la d a p o r tensión, entonces la con sta nte de m u ltip lic a c ió n 0 .2 tie n e unidades de A /V , o S. D e b id o a que e l fa c to r tie n e u n id a d e s de a d m ita n c ia , se d iv id e e n tre Km, p o r lo que e l n u e vo té rm in o es de 0.01 V i . L a re d o b te n id a (y a a ju sta d a ) se m u e s tra en la fig u ra 1 6.20 6. P¡ua d e te rm in a r la im p e d a n c ia de la n ue va re d, es n ecesario a p lic a r una fu e n te de p ru e b a de 1 A en las te rm in a le s de entrada. Se p o d ría tra b a ja r con c u a lq u ie r c irc u ito , p e ro p rim e ro se p roce de rá a c a lc u la r la im p e d a n c ia de la red sin ajustar que se m u estra en la fig u ra 1 6 .2 0 a , y lu e g o se ajustará e l resultado. C o n re fe re n c ia a la fig u ra 1 6.20 c,
Vent = V, + 0 .5 s ( l - 0.2Vx) A d e m á s,
20
V, = - ( 1 ) s
A l h a c e r la s u s titu c ió n in d ic a d a , se g u id a p o r u n p o c o de m a n ip u la c ió n a lg e b ra ic a , se o b tie n e
„
Vent ent “
T
S2 - 4S + 4 0 -
2s
P ara a ju s ta r esta c a n tid a d de m a n e ra que c o rre sp o n d a a l c irc u ito de la fig u ra 1 6.20 6 se m u ltip lic a p o r Km = 2 0 , y se s u s titu y e s p o r s / K / = s /5 0 . D e ta l m odo, 0 .2 s2 - 4 0 s + 2 0 0 0 0
PRÁCTICA g 16.9
______________________________________
U n c irc u ito re so n a n te en p a ra le lo se d e fin e m e d ia n te C = 0 .0 1 F,
B = 2 .5 ra d /s , y &>0 = 2 0 ra d/s. P ro p o rc io n a r lo s v a lo re s de R y L s i la re d se a ju s ta en: (a ) m a g n itu d p o r u n fa c to r de 8 0 0 ; (tí) fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 104 ; (c ) m a g n itu d p o r u n fa c to r de 8 0 0 y fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 104 . Respuestas: 32 k£2, 200 H; 40 £2, 25 /zH; 32 k£2,20 mH.
16.6
DIAGRAMAS DE BODE
----------- • ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------E n esta s e c c ió n se d e s c u b rirá u n m é to d o rá p id o p a ra o b te n e r u n a im a g e n aproxi mada de la v a ria c ió n de a m p litu d y de fase de u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia dada c o m o fu n c ió n de
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
#■
AA/V
La escala de decibeles (dB) L a c u rv a de re spu esta a p ro x im a d a que se c o n s tru irá se c o n o c e c o m o g rá fic a a s in tó tic a , gráfica de Bode, o diagrama de Bode, e n h o n o r a su c re a d o r, H e n d r ik W . B o d e , in g e n ie ro e lé c tric o y m a te m á tic o de B e ll T e le p h o n e L a b o ra to rie s . T a n to las c u rva s de m a g n itu d c o m o de fase se m u e s tra n u tiliz a n d o u n a e sca la de fre c u e n c ia s lo g a rítm ic a s p a ra las abscisas y la p ro p ia m a g n itu d se ilu s tra ta m b ié n en u n id a d e s lo g a rítm ic a s lla m a d a s decibeles (d B ). Se d e fin e e l v a lo r de |H (y c u )| en d B c o m o sigu e:
HdB = 2 0 1 o g |H ( y tu) | d o n d e se e m p le a e l lo g a ritm o c o m ú n (base 10). (Se utiliza un multiplicador de
10, en lugar de uno de 20, para las funciones de transferencia de potencia, aunque aquí no será necesario.) L a o p e ra ció n in v e rs a es: |H ( y tu) | = 10(í/dB/20’ A n te s d e q u e se c o m ie n c e en re a lid a d u n a n á lis is d e ta lla d o de la té c n ic a p ara d ib u ja r g rá fic a s de B o d e , re s u lta rá ú t il o b te n e r c ie rta p e rc e p c ió n d e l ta m a ñ o de la u n id a d d e l d e c ib e l, a fin de a p re n d e r unos cua nto s de sus v a lo re s im p o rta n te s y p a ra re c o rd a r a lg u na s d e las p ro p ie d a d e s d e l lo g a ritm o . D a d o que lo g 1 = 0 , lo g 2 = 0 .3 0 1 0 3 , y lo g 10 = 1, se o b s e rva n las co rre sp o n d e n c ia s: |H ( 7 « ) | = 1 o
ffdB = 0
|H0'fl>)| = 2 0
Hm k¡ 6 d B
|H O ,a>)l = 1 0 o f l d B = 2 0 d B U n a u m e n to de |H (y& >)| p o r u n fa c to r de 10 c o rre sp o n d e a u n in c re m e n to de HáB p o r 2 0 d B . A d e m á s , lo g 1 0" —n, p o r e llo 10" 4» 2 0 n d B , p o r lo q u e 1 0 0 0 co rre sp o n d e a 6 0 d B , en ta n to que 0.01 se re p re s e n ta c o m o —4 0 d B . U tiliz a n d o s ó lo lo s v a lo re s que y a se in d ic a ro n , es p o s ib le ta m b ié n que 2 0 lo g 5 = 2 0 lo g y = 2 0 lo g 10 - 2 0 lo g 2 = 2 0 - 6 = 14 d B , y, p o r e llo 5 14 d B . A d e m á s , lo g ^/x — \ logx y, en c o n s e c u e n c ia > /2 ^ 3 d B y 1 / V 2 o - 3 d B .3 Se e s c rib irá n las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia en té rm in o s de s, s u s titu y e n d o s = jco c u a n d o se esté lis to p a ra d e te rm in a r la m a g n itu d o e l á n g u lo de fase. S i se desea, la m a g n itu d se p o d ría e s c rib ir en té rm in o s de d B e n ese p u n to . P R Á C T IC A
______________ ___________________________________
1 6.10 C a lc u la r Hdn en co — 146 ra d /s s i H fs ) es ig u a l a (a) 2 0 / (s + 1 0 0 ); (b) 2 0 (s + 100); (c ) 20s. C a lc u la r |H (y& >)| s i HiR se ig u a la a (d) 29.2 d B ; (e ) - 1 5 . 6 d B ; ( / ) - 0 . 3 1 8 d B . Respuestas: -1 8 .9 4 dB; 71.0 dB; 69.3 dB; 28.8; 0.1660; 0.964.
Determinación de las asíntotas E l s ig u ie n te p aso c o n s is te en fa c to riz a r H ( s ) p a ra m o s tra r sus p o lo s y ceros. Se c o n s id e ra p rim e ro u n c e ro en s = —a, e s c rito en u n a fo rm a e sta n d a riza d a c o m o : H (s ) = 1 + -
a
El decibel recibe ese nombre en honor a Alejandro Graham Bell.
[2 6 ]
(3) Obsérvese que se está siendo un poco deshonesto en este caso al utilizar 20 log 2 = 6 dB en lugar de 6.02 dB. Sin embargo, es usual representar y/2 como 3 dB. En razón de que la escala de dB es inherentemente logarít mica, rara vez es importante una pequeña inexactitud.
0
A/W------------------------------- •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA ENi FRECUENCIA
E l d ia g ra m a de B o d e de esta fu n c ió n c o n s ta de dos c u rva s a s in tó tic a s a p ro x i m adas de H¿b p a ra v a lo re s m u y g ran d es y m u y p eq ue ño s de w. D e ta l m a n e ra , se c o m ie n z a d e te rm in a n d o | H (» | =
J°) a - J l + a*
1+ —
y p o r e llo .
HiB = 2 0 1 o g 1 +
JO)
— 2 0 lo g - i/ 1 +
C u a n d o w <íí a:
HgR fu 2 0 lo g 1 = 0
( o x íC a )
E s ta a sín to ta s im p le se m u e s tra en la fig u ra 16.21 y se d ib u ja c o m o u n a lín e a g rue sa p a ra re p re s e n ta r co < a, y c o m o u n a lín e a p u n te a d a p a ra co > a.
i FIGURA 16.21
Diagrama de amplitud de Bode de H(s) = 1 + s ¡a que consta de las asíntotas de frecuencia alta y baja, y se muestran como líneas continuas. Se intersectan sobre la abscisa en la frecuencia angular de esquina. El diagrama de Bode representa la respuesta en términos de las dos asíntotas, las cuales son fáciles de dibujar.
C u a n d o a>^> a:
HdB
Una década se refiere a un intervalo de frecuencia definido por un factor de 10, como el de 3 Hz a 30 Hz o el de 12.5 MHz a 125 MHz. Una octava se re fiere a un intervalo de frecuencias definido por un factor de 2, como el de 7 a 14 GHz.
w a
2 0 lo g —
E n to = a, H¿b — 0 ; en a>= 10 a, H^b = 2 0 d B ; y en co — 1 00 a, H¿b = 4 0 d B . P o r lo tan to, e l v a lo r de H¡m aum e nta 2 0 d B p o r cada a um e nto de 10 veces en la fre c u e n c ia angular. A s í, la a sín to ta tie n e u n a p e n d ie n te de 2 0 dB /década. P uesto que HiB a u m e n ta ó d B cuando co se d u p lica , u n v a lo r a lte rn o de la p e n d ie n te es 6 d B /o c tava. L a asíntota de a lta fre cu e n c ia se presenta ta m b ié n en la fig u ra 16.21, una 1m ea s ó lid a p ara co > a y u n a lín e a d is c o n tin u a para co < a. O b s e rva r que las dos asín totas se in te rse cta n en co = a, la fre c u e c ia d e l cero, la c u a l ta m b ié n se describe c o m o frecuencia angular de esquina, de corte, de 3 dB o de media potencia.
Emparejamiento de los diagramas de Bode A h o ra se v e rá e l g ra d o de e rro r im p líc ito en la c u rv a de re spu esta a s in tó tic a . A l a fre c u e n c ia a n g u la r de e s q u in a (o de ru p tu ra ) (co = a), Observar que se sigue respetando la convención de considerar a -Jí como correspondiente a 3 dB.
H dB = 2 0 l o g J l + — = 3 d B
-A/W
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
c u a n d o se c o m p a ra c o n e l v a lo r a s in tó tic o de 0 d B . E n co = 0 .5 a , se tie n e fld B = 2 0 1 o g v T 2 5 « 1 d B D e ta l m o d o , la re spu esta e xa c ta se re p re s e n ta m e d ia n te u n a c u rv a u n ifo rm e que se u b ic a 3 d B a rrib a de la re sp u e sta a s in tó tic a en co = a , y a 1 d B s ob re e lla en co = 0 .5 a (y ta m b ié n en w = 2a). S ie m p re se e m p le a esta in fo rm a c ió n p a ra e m p a re ja r la e sq u in a , s i se desea u n re s u lta d o m ás e xa cto .
Términos múltiples L a m a y o r p a rte de las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia c o n s is te n en m ás de u n c e ro s im p le (o p o lo s im p le ). S in e m b a rg o , e sto se m a n e ja fá c ilm e n te p o r e l m é to d o d e l d ia g ra m a de B o d e , p u e sto que de h e c h o se está tra b a ja n d o c o n lo g a ritm o s . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r la fu n c ió n H (s ) = K
1
+
-
Ji
1+ -
S2
d o n d e K — co n sta n te , y —$i y — s2 re p re s e n ta n lo s dos ceros de la fu n c ió n H (s ), P a ra esta fu n c ió n , H¿¡¡ p u e de e s c rib irs e c o m o
HáB = 2 0 lo g K + 20 lo g y 1 + Q
+ 20 lo g ^ l + ^
lo c u a l es s im p le m e n te la su m a de u n té rm in o co n s ta n te 2 0 lo g K (in d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia ) y dos té rm in o s de c e ro s im p le s de la fo rm a c o n s id e ra d a c o n an te rio rid a d . E n otras p a la b ra s , se puede construir un esquema de H¿b simplemente sumando de manera gráfica los diagramas de los términos por separado. E n e l e je m p lo s ig u ie n te se e s tu d ia este caso.
EJEMPLO Obtener el diagrama de Bode de la impedancia de entrada de la red que se muestra en la ñgura 16.22.
16.7
20 a
o--------- V W ---------1
Se tie n e la im p e d a n c ia de e n tra d a H (s )
Zent(s) = H (s ) = 2 0 + 0.2s
= Z cnt ( s ) — ^
9
0.2 H
E x p re s a n d o esta ig u a ld a d en su fo r m a estándar, se o b tie n e ■ F IG U R A 1 6 .2 2 Si H(s) se selecciona como
H < s) = 2 0 ( 1 + I S ¡ ) 6
(Continúa en la siguiente página)
Z;n(s) para esta red, entonces el diagrama de Bode para Hde es como se indica en la figura 16.236.
^w v
*
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L o s d os fa c to re s q u e c o n s titu y e n H ( s ) son u n c e ro en s = — 100, lo c u a l p ro p ic ia u n a fre c u e n c ia a n g u la r de c o rte d e co = 1 00 ra d /s , y u n a co n sta n te e q u iv a le n te a 2 0 lo g 2 0 = 2 6 d B . A m b a s se d ib u ja n c la ra m e n te en la fig u ra 1 6 .2 3 a . D a d o q u e se tra b a ja c o n e l lo g a ritm o de | H ( j j t ó | , a c o n tin u a c ió n se s um a n lo s d ia g ra m a s d e B o d e c o rre sp o n d ie n te s a lo s fa c to re s in d iv id u a le s . L a g rá fic a de m a g n itu d re s u lta n te aparece c o m o la fig u ra 16.23¿>. N o se in te n tó e m p a re ja r la e sq u in a c o n u n a c o rre c c ió n de + 3 d B en w = 100 ra d/s. E s to se d e ja a l le c to r c o m o u n e je rc ic io rá p id o .
PRÁCTICA
______________________________________________________________
16.11 C o n s tru ir u n d ia g ra m a de B o d e en m a g n itu d p a ra H ( s ) = 5 0 + s. Respuestas: 34 dB, co < 50 rad/s; pendiente = +20 dB/década co > 50 rad/s.
Respuesta en fase D e re g re s o a la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de la e cu a c ió n [2 6 ], se q u is ie ra d e te r m in a r a h o ra la respuesta en fase p a ra u n c e ro s im p le ,
jco \ , co - ta n -1 a / a
ang H ( ; w ) = ang ^ 1 + —
E s ta e x p re s ió n ta m b ié n se re p re s e n ta a tra v é s de sus a s ín to ta s , a u n q u e se a , ang H(jco) ~ 0 o, así que se usa re q u ie re n tre s seg m en tos re c to s . P ara co c o m o la a sín to ta c u a n d o co < 0 .1 a : a ng H (jco) = 0 o
(co < 0 .1 a )
E n e l e x tre m o s u p e rio r, co ^ a, se tie n e e l á n g u lo de H (jco) « 9 0 r y se u tiliz a a rrib a de co = 1 0a : ang H(jco) = 90°
(co > 1 0a )
D a d o q u e e l á n g u lo es 45° en co = a, se c o n s tru y e a h o ra la a s ín to ta de la lín e a re cta q u e se e x tie n d e desde 0 o en co = 0 .1 a , p asan do p o r 45° en co — a, hasta 90° en co = 10a. E s ta lín e a re c ta tie n e u n a p e n d ie n te de 4 5°/dé cad a. Se p rese nta c o m o u n a c u rv a de tra z o c o n tin u o en la fig u ra 1 6.24 , m ie n tra s q u e la re spu esta d e l á n g u lo e xa c to se ilu s tra c o m o u n a lín e a pun te ad a. L a s d ife re n c ia s m á x im a s
#dB 40 20 log 20 = 26 dB 20
10
+ 20 dB/dec. I--------------
100 (a)
(b) I F IG U R A 1 6 .2 3 (o) Los diagramas de Bode de los factores de H(s) = 20(1 + s/100) se dibujan individualmente, (b) El diagrama de Bode compuesto se expresa como la suma de las gráficas de la parte a.
SECCIÓN 16.6 JIAGRAMASDEBODE
e n tre las re spu estas a s in tó tic a y re a l son ± 5 .7 1 ° en co — 0 .1 a y 1 0a . O c u rre n e rro re s de =F 5.29° en co — 0 .3 9 4 a y 2 .5 4 a : e l e rro r es c e ro en co — 0 .1 5 9 « y 6 .3 ¡a. P o r lo g e n e ra l, la g rá fic a d e l á n g u lo de fase se d eja c o m o u n a a p ro x im a c ió n de lín e a re c ta , aun qu e ta m b ié n se d ib u ja n c u rva s u n ifo rm e s de u n a m a n e ra s im ila r a la q ue se d e s c rib e en la fig u ra 16.24. ang Hfjai)
■ FIG U R A 16.24 La respuesta del ángulo asintótico de H(s) = 1 + s/o se muestra como los tres segmentos de linea recta continuas. Los puntos extremos de la rampa son 0° a 0.1o y 90° a 10o. La linea puenteada representa una respuesta más precisa (lisa).
V a le la p e n a h a c e r a q u í una b re v e pau sa p a ra c o n s id e ra r lo que in d ic a la g rá fic a de la fase. E n e l caso de u n c e ro en s = a, se o b s e rv a q u e p a ra fre c u e n c ia s m u c h o m e n o re s que la fre c u e n c ia de e sq u in a , la fase de la fu n c ió n de re spu esta es 0o. S in e m b a rg o , p a ra fre c u e n c ia s altas (co a ) la fase es de 90°. E n la c e r canía de la fre c u e n c ia de e sq u in a , la fase de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia v a ría c o n c ie rta ra p id e z . P o r lo ta n to , e l á n g u lo de fase re a l que le corre sp on de a la respuesta se s e le cc io n a m e d ia n te e l d is e ñ o d e l c irc u ito (e l c u a l d e te rm in a a a).
P R Á C T IC A | _________________________________________________
___
1 6.12 D ib u ja r e l d ia g ra m a de fase de B o d e de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l e je m p lo 16.7. Respuestas: 0°, co < 10; 90°, a>> 1000; pendiente = 45° dec, 10 < a> < 1000. (tu en rad/s).
Consideraciones adicionales para la creación de las gráficas de Bode C o n s id e ra r a c o n tin u a c ió n e l p o lo s im p le H ( s ) = — í— 1 + s/a
[2 7 ]
D a d o que lo a n te rio r es e l re c íp ro c o de u n c e ro , la o p e ra c ió n lo g a rítm ic a re s u lta en u n d ia g ra m a de B o d e , q ue es e l negativo d e l que se o b tu v o antes. L a a m p litu d es de 0 d B h asta co = a, y lu e g o la p e n d ie n te c o rre s p o n d e a —2 0 d B /d é c a d a p a ra u> > 10a, y —45° en c ú = a , la c u a l tie n e u n a p e n d ie n te de — 4 5 °/d é ca d a c u a n d o 0 .1 a < co < 10 a. Se in v ita a l le c to r a que g en ere e l d ia g ra m a de B o d e de esta fu n c ió n tra b a ja n d o d ire c ta m e n te c o n la e cu a c ió n [2 7 ],
#■
W
v
■wv
-•
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
O tro té rm in o que p u e d e a p a re ce r en H ( s ) es u n fa c to r de s en e l n u m e ra d o r o e l d e n o m in a d o r. S i H ( s ) = s, e nton ces
H¡m = 2 0 lo g | = 1, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 16.25b. «dB
H
■ F IG U R A 1 6 .2 5 Se muestran los diagramas asintóticos de: (o) H(s) = s y (b) H(s) = 1/s. Ambas rectas infinitamente largas pasan por 0 dB en o>= 1 y tienen pendientes de ± 2 0 dB/década.
O tro té rm in o s im p le q u e se e n c u e n tra en H ( s ) es la co n sta n te de m u ltip li c a c ió n K, la c u a l o rig in a u n d ia g ra m a de B o d e q u e es u n a lín e a re c ta h o riz o n ta l q ue se u b ic a e n 2 0 lo g | A' | d B s ob re la abscisa. E n re a lid a d esta rá p o r d e b a jo de la a bscisa s i |ÍT | < 1.
EJEMPLO 16.8 Dibujar el diagrama de Bode de la ganancia del circuito de la figura 16.26, H w v — ie n 1 k f i 2 0 /jlF
1 V
4 k!> < i v
~ )
J \
206\ ¡
y
"
10n F "
:
5 kn <
.
■ F IG U R A 1 6 .2 6 Si H(s) = V^i/Ve^el diagrama de amplitud de Bode de este amplificador se muestra en la figura 16.27b, y el diagrama de fase se presenta en la figura 16.28.
Se tra b a ja de iz q u ie rd a a d e re c h a a tra vé s d e l c irc u ito y se e s c rib e la e x p re s ió n de la g a n a n c ia en te n s ió n H (s ) =
' sal
Yent
1 \ 5 0 0 0 ( 1 0 8/s )
4000 5 0 0 0 + 106/2 0 s V
2 0 0 ) 5 0 0 0 + 108/ s
la q ue , s im p lific a (p o r fo rtu n a ), se tra n s fo rm a en H ís)
—2s (1 + s / 1 0 )(l + s/20000)
[28]
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
Se o b s e rv a u n a c o n s ta n te 2 0 lo g | —2| = 6 d B , p u n to s de in fle x ió n en
co = 10 ra d /s y a> = 2 0 0 0 0 ra d /s , y u n fa c to r lin e a l s. C a d a u n o de e llo s se d ib u ja en la fig u ra 1 6 .2 7 « ; adem ás, lo s c u a tro d ib u jo s se añaden p a ra p ro d u c ir e l d ia g ra m a de B o d e en m a g n itu d de la fig u ra 16.27b.
I F IG U R A 1 6 .2 7 (o) Diagramas de magnitud de Bode individuales de los factores ( - 2 ) , (s), ( l -i- s/10)—1, y (1 + s /2 0 0 0 0 )~ ’ . (6) Se suman las cuatro gráficas separadas de la parte a para obtener los diagramas en magnitud de Bode del amplificador de la figura 16.26.
PRÁCTICA
_________________________________________________________
16.13 C o n s tru ir u n d ia g ra m a de B o d e e n m a g n itu d p a ra H ( s ) ig u a l a: (a ) 5 0 /( s + 1 0 0 ); ( b) (s + 1 0 ) /( s + 1 0 0 ); (c ) (s + 1 0 )/s . Respuestas: (a) —6 dB, co < 100; —20 dB/década, co > 100; (b) —20 dB, cu < 10; +20 dB/dúcada, 10 < co < 100; 0 dB, co > 100; (c) 0 dB, co > 10; —20 dB/década,
co < 10.
A n te s de c o n s tru ir e l d ia g ra m a de fase d e l a m p lific a d o r de la fig u ra 1 6.26, se to m a rá u n m o m e n to p a ra in v e s tig a r v a rio s d e ta lle s d e l d ia g ra m a d e m a g n itu d . P rim e ro , re s u lta c o n v e n ie n te n o c o n fia r d e m a sia d o en la a d ic ió n g rá fic a de lo s d ia g ra m a s en m a g n itu d in d iv id u a le s . E s m e jo r d e te rm in a r c o n fa c ilid a d e l v a lo r e xa c to d e l d ia g ra m a de la m a g n itu d c o m b in a d a en lo s p u n to s e le g id o s a l
A/W-----------------------------“ •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA c o n sid e ra r e l v a lo r a s in tó tic o de cada fa c to r de H ( s ) en e l p u n to en cuestión. P or e je m p lo , en la re g ió n p lana de la fig u ra 1 6 .2 7 a e n tre co = 10 y co = 2 0 0 0 0 , se está d eb ajo de la e squina en co = 2 0 0 0 0 , y p o r e llo se re prese nta (1 + s /2 0 0 0 0 ) m e d ia n te 1; p e ro s i u n o se u b ic a a rrib a de co = 10, e nton ces (1 + s /1 0 ) se re p re se n ta c o m o co/10. E n con secue ncia ,
Hm = 2 0 lo g
—2 co ( ® /1 0 ) ( l)
2 0 lo g 2 0 = 2 6 d B
(1 0 < « < 2 0 0 0 0 )
T a m b ié n se p o d ría c o n o c e r la fre c u e n c ia a la c u a l la re spu esta a s in tó tic a c ru z a la a bscisa en e l e x tre m o su p e rio r. L o s d os fa c to re s se expre sa n a q u í c o m o f t ) / 10 y f t ) / 2 0 0 0 0 ; de ta l m o d o , -2ft>
//dB = 2 0 lo g
(®/10)(ft)/20 000)
= 2 0 lo g
400000
D a d o q u e H¿¡¿ = 0 e n e l c ru ce de la abscisa, 4 0 0 0 0 0 /co = 1 y, p o r lo ta n to , ® = 4 0 0 0 0 0 rad/s. M u c h a s veces n o se n ecesita u n d ib u jo e x a c to del d ia g ra m a de B o d e en pa p e l s e m ilo g a rítm ic o , pues basta c o n c o n s tru ir u n e je de fre c u e n c ia a p ro x im a d a m e n te lo g a rítm ic o en un p a p e l c u a d ric u la d o s im p le . D e s p u é s de e le g ir el in te rv a lo de una d écad a — p o r d e c ir, u n a d is ta n c ia L q u e se e x tie n d e desde ft) = ® i hasta ft) = 10a>i (d o n d e co\ a m e n u d o es una p o te n c ia e ntera de 10) — sea x la que u b iq u e la d is ta n c ia a la que se e n c u e n tra coala d e re c h a de co\, te n ie n d o a sí x /L = lo g (ft)/ft)|) . D e p a rtic u la r a yu d a es e l c o n o c im ie n to de que x = 0 .3 L c u a n d o co = 2cú\ , x = 0 .6 L e n co = 4co\, y i = 0 .7 L e n co = 5co\.
EJEMPLO 16.9 Dibujar el diagrama de fase de l a fundón de transferencia dada por la ecuación [28], H(s) = —2 s /[(l + s/1 0 )(l + s/2 0 000)]. Se e m p ie z a in s p e c c io n a n d o H(jco): H (jco) =
-jic o (1 + j ft) / 1 0 ) (1 + jco/ 2 0 0 0 0 )
[2 9 ]
E l á n g u lo d e l n u m e ra d o r es u n a co n sta n te , —90°. L o s fa c to re s re sta nte s se re p re se n ta n c o m o la su m a de lo s á n g u lo s a co rta d o s p o r lo s p u n to s de in fle x ió n en co = 10 y co + 2 0 0 0 0 . E s to s tres té rm in o s a parecen c o m o c u rva s a s in tó tic a s de lín e a p u n te a d a en la fig u ra 1 6.28 y su sum a se p rese nta c o m o u n a c u rv a c o n tin u a . Se o b tie n e u n a re p re s e n ta c ió n e q u iv a le n te s i la c u rv a se c o rre h a c ia a rrib a de 360 °. T am bién se o btienen valores exactos para la respuesta de fase a s in tó tic a P or e je m p lo, en co = 10 4 rad/s, e l á n g u lo en la fig u ra 16.28 se c a lc u la a p a rtir de los té rm in o s d e l n um erador y d e l d e n o m in a d o r en la ecuación [2 9 ]. E l á ng ulo del n u m e ra d o re s —90°. E l á n g u lo del p o lo en co = lO e s —90°, puesto q u e d e s más de 10 veces m a y o r que la fre cu e n cia de esquina. E ntre 0.1 y 10 veces la fre cu e n c ia de esquina, re co rd a r que la pendiente es —45° p o r década de u n p o lo sim ple. P o r lo tanto, en e l caso del p u n to de in fle x ió n en 20 000 rad/s, se c a lc u la e l án g u lo , - 4 5 ° lo g ( f t ) / 0 . la ) = - 4 5 ° lo g [1 0 0 0 0 /( 0 .1 x 2 0 0 0 0 ) ] = -3 1 .5 ° .
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
ang H(/
R¡ F IG U R A 1 6 .2 8 La curva en trace continuo exhibe la respuesta de fase asintótica del amplificador de la figura 16.26.
L a sum a a lg e b ra ic a de las tre s c o n trib u c io n e s es —9 0 o—90° —31.5° = —2 1 1 .5 ° , u n v a lo r que p are ce ser m o d e ra d a m e n te c e rca n o a la c u rv a de fase a s in tó tic a de la fig u ra 16.28.
PRÁCTICA ------------------------------------------------------------^
--------------------
16 .1 4 D ib u ja r e l d ia g ra m a de fase de B o d e de H(s) ig u a l a: (a ) 5 0 / (s + 1 0 0 ) ; ( b) (s + 1 0 ) /( s + 1 0 0 ); (c) (s + 1 0 )/s . Respuestas: (a) 0o, a> < 10; —45°/década. 10 < co < 1000; —90°, co > 1000; (b) 0°, co < 1; +45°/década, 1 J*- 0 0 0 ;0 °, co > 1000; (c)*J-90°, «a < 1; + 45°/década, 1 < co < 100; 0°, co > 100.
Términos de orden superior L o s ceros y p o lo s c o n s id e ra d o s son té rm in o s de p rim e r o rd e n , tales c o m o s± ! , (1 + 0 .2 s )±1, y así s u ce siva m e n te . S in e m b a rg o , se p o d ría e x te n d e r c o n m u c h a fa c ilid a d e l a n á lis is a p o lo s y ceros de o rd e n s u p e rio r. U n té rm in o s±n re s u lta en u n a re spu esta en m a g n itu d q ue pasa p o r m = 1 c o n u n a p e n d ie n te de ± 2 0 n d B /d é c a d a ; la re spu esta en fase es u n á n g u lo co n sta n te de ± 9 0 n ° . A d e m á s , u n cero m ú ltip le , (1 + s/a ) n , debe re prese ntar la sum a de n de las curva s de respuesta en m a g n itu d , o n de las c u rva s de re spu esta en fase d e l c e ro s im p le . P o r lo ta n to , se o b tie n e u n d ia g ra m a en m a g n itu d a s in tó tic a q u e es 0 d B p a ra co < a y que tie n e u n a p e n d ie n te de 2 0 n d B /d é c a d a c u a n d o a> > a; e l e rro r es —3 n d B en cd — a, y —n d B en u>= 0 .5 a y 2a. E l d ia g ra m a de fase de 0° p a ra co < 0 .1 a , 9 0 n ° p a ra o> > 1 0 a , 4 5 h ° en rn — a, y u n a lín e a re c ta c o n p e n d ie n te de 4 5 n ° / décad a p a ra 0 .1 a < co < 10a , a s im is m o , p re s e n ta e rro re s ta n g ra n d e s c o m o ± 5 .7 1 n " en las dos fre cu e n c ia s . L a s c u rva s en m a g n itu d y en fase a s in tó tic a s asociadas c o n u n fa c to r de (1 + s /2 0 ) -3 se p u e d e n d ib u ja r s in n in g u n a d ific u lta d , aunque lo s e rro re s re la ti va m e n te g randes asociados c o n las p o te n c ia s s up eriores deben tenerse presentes.
V A
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Pares de complejos conjugados E l ú ltim o tip o de fa c to r que se n e c e s ita c o n s id e ra r re p re se n ta u n p a r c o m p le jo c o n ju g a d o de p o lo s o ceros. Se a d o p ta la fo rm a s ig u ie n te c o m o la e stá n d a r de u n p a r de ceros:
L a can tid a d f es e l fa c to r de a m o rtig u a m ie n to que se prese ntó en la sección 16.1, y se ve rá den tro de p o c o que ojq es la fre c u e n c ia de esq uin a de la respuesta asin tótica . S i £ = 1, se o b s e rva que H ( s ) = 1 + 2 (s/éu0) + (s/ ojq)2 — (1 + s/w0)2, un ce ro de seg u n d o o rd e n , c o m o se acaba de co n s id e ra r. S i f > 1, e nton ces se fa c to r iz a r ía H ( s ) p a ra m o s tra r lo s ceros sim p le s . D e ta l m o d o , si f = 1 .25, e nton ces H ( s ) = 1 + 2 .5 (s /é ü o ) + (s/tüfí)2 = (1 + s /2 é u 0)(1 + s /0 .5 íd o ) , y ta m b ié n en es te caso se tie n e u n a s itu a c ió n fa m ilia r. Se p re s e n ta u n n u e v o caso cu a n d o 0 < £ < 1. N o es n e c e s a rio d e te rm in a r v a lo re s p a ra e l c o m p le jo c o n ju g a d o de ra íc e s . E s m e jo r q ue se d e te rm in e n lo s v a lo re s a s in tó tic o s de b a ja y a lta fre c u e n c ia s , ta n to p a ra la re spu esta en m a g n itu d c o m o p a ra la re spu esta en fase y se a p lic a lu e g o u n a c o rre c c ió n que de p en de d e l v a lo r de f . P ara la re sp u e sta en m a g n itu d , se tie n e : [3 0 ] C u a n d o co
30 + 40 dB /dec
«(log) (rad/s)
-10
\ /
5 = 0.1
■ F IG U R A 1 6 .2 9 Diagramas de amplitud de Bode de H(s) = 1 + para diversos valores del factor de amortiguamiento ?.
(s/<«0) + (s/o>0) 2
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS CE BODE
c o rre c c ió n e n la ce rca n ía de la fre c u e n c ia de esquina. Sea co = [3 0 ] y se tie n e
HiB = 2 0 lo g P-K ( — coo
cúq
e n la e c u a c ió n
= 2 0 1 c g ( 2 f)
[3 1 ]
S i f = 1, u n caso lím ite , la c o rre c c ió n es + 6 d B ; p a ra f = 0 .5 , n o se re q u ie re c o rre c c ió n ; y s i £ = 0 .1 , la c o rre c c ió n es — 14 d B . C o n o c e r este v a lo r de c o rre c c ió n re s u lta m u c h a s veces s u fic ie n te p a ra d ib u ja r u n a re s p u e s ta en m a g n itu d a s in tó tic a s a tis fa c to ria . L a fig u ra 1 6.29 ilu s tra c u rva s m ás e xa cta s de f = 1, 0 .5 , 0 .2 5 , y 0 .1 , según se c a lc u la a p a rtir de la ecu ació n [3 0 ]. P o r e je m p lo , si f = 0 .2 5 , e nton ces e l v a lo r e x a c to de en c ú = 0.5&>o es:
HáB = 2 0 lo g 11 + j 0 .2 5 - 0.251 = 2 0 lo g v '0 .7 5 2 + 0 .2 5 2 = - 2 . 0 d B L o s p ic o s n e g a tiv o s n o m u e s tra n u n v a lo r m ín im o e xa c ta m e n te en co = cúo, c o m o se v e m e d ia n te la c u rv a de f = 0 .5 . E l v a lle se e n c u e n tra s ie m p re a u n a fre c u e n c ia u n p o c o in fe rio r. S i ¿ = 0 , e nton ces H ( j < m o ) = 0 y HáB = —o o. L o s d ia g ra m a s de B o d e sue le n n o d ib u ja rs e en esta s itu a c ió n . L a ú ltim a tarea consiste en d ib u ja r la respuesta en fase a sin tó tic a corre sp o n d ie n te a H (jco) = 1 + j2t;(co/coo) — (cü/ cúo )2 . D e b a jo de co = O.Icúq, se d e ja que ang H (jco) = 0 °; a rrib a de co = 10wo, se tie n e ang H (jco) = ang [ — (co/( coq)2 = 180°. Para la fre cu e n c ia de esquina, ang H(jco0) — a n g ( j 2 f ) = 9 0 °. E n e l in te rv a lo O.lcoo < co < IOíüo se c o m ie n - za c o n la lín e a re cta que se m u e stra c o m o una c u rva c o n tin u a en la fig u ra 16.30, que se e xtie n d e desde (O .Iíüo, 0°), hasta ( c ü q , 90°), y te rm in a en (10&>o, 1 80 °); c o n u na pe n d ie n te de 90°/década. ang H(/'o>)
■ F IG U R A 1 6 .3 0 La recta de aproximación a la característica de fase correspondiente a H(jco) = 1 + y'2f (a i/fflo ) — (co/coa)1 se muestra como una curva continua y la respuesta de fase verdadera se presenta para f = 1,0.5,0.25 y 0.1 con líneas punteadas.
A h o ra se debe p ro p o rc io n a r a lg u n a c o rre c c ió n a esta c u rv a b á s ica p a ra d i verso s v a lo re s de f . D e a cu e rd o c o n la e c u a c ió n [3 0 ] se tie n e „
ang H ( ; < ü ) = ta n
_i
2 f(a )A w o ) ------1 - (cú/ cúo )2
U n v a lo r e x a c to p o r so b re y o tro p o r d e b a jo de cú = cúq q u iz á s re s u lte n s u fi c ie n te s p a ra d a r u n a fo r m a a p ro x im a d a a la c u rv a . S i se to m a co = 0.5&>o, se e n c u e n tra q ue ang H (j0 .5 ftJ o ) = ta n -1 (4¿;/ 3 ) , e n ta n to que e l á n g u lo es 180° — ta n -1 ( 4 f / 3 ) en co — 2 cüq. L a s c u rva s d e la fase se p re s e n ta n c o m o líne as
#■
A/W
A /W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
p u n te ad as en la fig u ra 1 6 .3 0 p a ra f = 1 ,0 .5 ,0 .2 5 y 0 .1 ; lo s p u n to s g rue sos id e n tific a n v a lo re s e xa cto s en co = 0 .5 « o y co = 2 cúq. Si e l fa c to r c u a d rá tic o aparece e n e l d e n o m in a d o r, las c u rva s ta n to e n m a g n i tu d c o m o en fase s o n la s n e g a tiv a s de las q u e se acaban de a n a liza r. Se c o n c lu y e c o n u n e je m p lo que c o n tie n e fa c to re s ta n to lin e a le s c o m o c u a d rá tic o s .
_ _
.
”
*
■
---- -
EJEMPLO 16.10 C o n s t r u ir e l d ia g r a m a d e B o d e d e la f u n c ió n d e tra n s fe r e n c ia H (s ) = 1 0 0 0 0 0 s /[(s + 1 )(1 0 0 0 0 + 20s + s2)]. C o n s id e ra r p rim e ro e l fa c to r c u a d rá tic o y se o rd e n a de una fo rm a que p e rm ita v e r e l v a lo r de f . Se c o m ie n z a d iv id ie n d o e l fa c to r de seg un do o rd e n p o r su té rm in o co n sta n te , 10 0 0 0 : 1Os H (S ) ”
(1 + s ) ( l + 0 .0 0 2 s + O.OOOIs2)
U n a in s p e c c ió n d e l té rm in o s2 m u e s tra que ojo = v 'l/O .O Ó Ó l = 100. L u e g o se e s c rib e e l té rm in o lin e a l de la c u a d rá tic a p a ra m o s tra r e l fa c to r 2, e l fa c t o r (s/í/Jq), y p o r ú ltim o , e l fa c to r f : lO s H (S ) “
(1 + s ) [ ( l + 2 ) ( 0 . 1 ) ( s / 100) + (s /1 0 0 ) 2]
Se p u e d e v e r q u e f = 0 .1 . L a s asíntotas de la c u rva de respuesta en m a g n itu d se d ib u ja n en líneas delgadas en la fig u ra 16.31: 2 0 d B para e l fa c to r de 10, una lín e a recta in fin ita a través de oj = 1 c o n u n a pendiente de + 2 0 dB /década para e l fa c to r s, una esq uin a en oj = 1 p ara e l p o lo s im p le y u n a e sq u in a en co = 100 c o n u n a p en die nte de —4 0 dB /década para e l té rm in o de segundo orden en e l d e n o m i nador. Sum ando estas cuatro curvas y p ro p o rcion an do una corre cció n de + 1 4 dB para e l fa c to r cuadrático, se obtiene la c u rva c o n trace c o n tin u o de la fig u ra 16.31.
Hat>
■ F IG U R A 1 6 .3 1 Diagrama de Bode de la función de transferencia H = lOOOOs ( s + 1)( 10000 + 20s + s2) '
L a re spu esta e n fase c o n tie n e tre s c o m p o n e n te s : + 9 0 ° p a ra e l fa c to r s; 0° p a ra co < 0 .1 , —90° p a ra oj > 10, y - 4 5 7 d é c a d a p a ra e l p o lo s im p le ; y 0° p a ra co < 10, — 180° p a ra co > 1 0 0 0 , y —90° p o r década p a ra e l fa c to r
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
#■
WV
0
c u a d rá tic o . L a a d ic ió n de estas tre s a sín to tas, m ás c ie rta c a n tid a d de m e jo ra p a ra f = 0 .1 se p rese nta n c o m o u n a c o rv a c o n tin u a en la fig u ra 16.32. ang H(joj)
■ F IG U R A 1 6 .3 2 Diagrama de fase de Boce de la función de transferencia H(s) = __________“
_________ .
(S+1)(10000 +20S + S2)
P R Á C T IC A
______________________________________________________________
16.15 S i H ( s ) = 1 OOOs2/ ( s 2 + 5s + 1 0 0 ), d ib u ja r e l d ia g ra m a de a m p litu d de B o d e y c a lc u la r e l v a lo r de: (a) ca c u a n d o H¿b = 0 ; (b) H¿& a co — 1; (c ) a m e d id a que co —»• oo. Respuestas: 0.316 rad/s; 20 dB; 60 dB.
A N A L IS IS A S IS T ID O L a té c n ic a p a ra g e n e ra r d ia g ra m a s de B o d e es v a lio s a . E x is te n m uchas situ a cio n e s en las q ue se n e ce sita c o n ra p id e z u n d ia g ra m a a p ro x im a d o (p o r e je m p lo en lo s exám enes o c u a n d o se e v a lú a u n a to p o lo g ía de c irc u ito p a rtic u la r p a ra u n a a p lic a c ió n e sp e c ífica ), y só lo re s u lta adecuado c o n o c e r s im p le m e n te la fo rm a g e n e ra l de la respuesta. A d e m á s, lo s d ia g ra m a s de B o d e son in v a lu a b le s c u a n d o se d ise ñ a n filtr o s , y a q ue p e rm ite n que se s e le cc io n e n lo s fa c to re s y lo s v a lo re s de lo s co e ficie n te s. E n situ a cio n e s en las que se re q u ie re n las cu rva s de respuesta exactas (c o m o c u a n d o se v e r ific a u n d is e ñ o de c irc u ito fin a l), e l in g e n ie ro d isp o n e de v a ria s o p c io n e s asistidas p o r c o m p u ta d o ra . L a p rim e ra té c n ic a que se c o n s id e ra rá es e l uso de M A T L A B p a ra g e n e ra r u n a c u rv a de respuesta en fre c u e n c ia . A fin de c o n s e g u irlo , e l c irc u ito debe a n a liza rse p rim e ro para o b te n e r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia co rre cta . S in e m b a rg o , n o es necesario fa c to riz a r o s im p lific a r la e xp re sió n . C o n s id e ra r e l c irc u ito de la fig u ra 16.26. A n te rio rm e n te se d e te rm in ó que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito p uede expresarse c o m o H(s) =
-2 s (1 + s / 1 0 )(l + s/20 000) ( Continúa en la siguiente página)
POR CO M PUTADO RA
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Se b u s c a u n a g rá fic a d e ta lla d a de esta fu n c ió n s ob re e l in te rv a lo d e fre c u e n c ia 100 m ra d /s a 1 M ra d /s . D a d o q u e la g rá fic a fin a l se d ib u ja rá en una e sca la lo g a rítm ic a , n o h a y n e c e s id a d de e s p a c ia r de m a n e ra u n ifo rm e las fre c u e n c ia s d is c re ta s , s in o que, s e n c illa m e n te , se re c u rre a la fu n c ió n de M A T L A B logspaceQ p a ra g e n e ra r u n v e c to r de fre c u e n c ia , d on de lo s p rim e ro s dos a rg u m e n to s re p re se n ta n la p o te n c ia de 10 p a ra las fre c u e n c ia s de in ic io y fin a l, re s p e c tiv a m e n te ( — 1 y 6 en e l e je m p lo p re s e n te ), y e l te r c e r a rg u m e n to es e l n ú m e ro to ta l d e p u n to s que se desea. D e ta l m o d o , la serie d e in s tru c c io n e s M A T L A B es EDU» EDU» EDU» FTH » EDU» EDU» EDU»
w = lo g s p a c e (— 1 ,6 ,1 0 0 ); d e n o m = ( l + j * w / 1 0 ) .* ( l+ j* w / 2 0 0 0 0 ) ; H = —2 * j * w ./ d e n o m ; H d b = 2 0 * lo g 10 (a b s (H )); s e m ilo g x (w ,H d b ) x la b e lffr e q u e n c y (ra d /s )’ ) y la b e l ( ’ IH ( jw ) l ( d B ) ’ )
la c u a l p ro p o rc io n a la g rá fic a q u e se d e s c rib e en la fig u ra 16.33.
H¡ F IG U R A 1 6 .3 3 Gráfica H& generada utilizando MATLAB.
V a le la p e n a h a c e r u no s cuá nto s c o m e n ta rio s ace rca d e l c ó d ig o M A T L A B . E n p rim e r lu g a r, o b s e rv a r q ue se h a s u s titu id o s = jai en la e x p re s ió n de H ( s ) . A d e m á s , M A T L A B c o n s id e ra la v a ria b le w c o m o un v e c to r o m a triz u n id im e n s io n a l. C o m o ta l, esta v a ria b le p ro v o c a d ific u lta d e s en e l d e n o m in a d o r de u n a e x p re s ió n c u a n d o M A T L A B in te n ta a p lic a r las re g la s d e l á lg e b ra m a tr ic ia l a c u a lq u ie r e xp re sió n . P o r lo ta n to , e l d e n o m in a d o r de H( jw) se c a lc u la en u n a lín e a separada, y se re q u ie re e l o p e ra d o r en v e z de c o n e l o b je to de m u ltip lic a r lo s dos té rm in o s . E s te n u e v o o p e ra d o r e q u iv a le a l s ig u ie n te c ó d ig o de M A T L A B : E D U » f o r k = 1 :1 00 d e n o m = (1 + j* w ( k ) / 1 0 ) * (1 + j* w ( k ) /2 0 0 0 0 ) ; fin
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
D e u n m o d o s im ila r, e l n u e v o o p e ra d o r se u sa en la lín e a de c ó d ig o subsecuente. L o s re s u lta d o s se desean en d B , p o r lo que se re c u rre a la fu n c ió n log 1 0 () la c u a l re p re se n ta e l lo g a ritm o n a tu ra l en M A T L A B . P o r ú ltim o , se u tiliz a u n n u e v o c o m a n d o de g rá fic a ; semilogxQ p a ra g e n e ra r u n a g rá fic a en la que e l e je x tie n e u n a esca la lo g a rítm ic a . E n este p u n to se re c o m ie n d a a l le c to r v o lv e r a lo s e je m p lo s a n te rio re s y u tiliz a r tale s té c n ica s p a ra g e n e ra r c u rva s exactas, a fin de c o m p a ra rla s c o n lo s co rre sp o n d ie n te s d ia g ra m a s de B o d e . P S p ic e re s u lta ta m b ié n m u y a d e cu ad o p a ra g e n e ra r c u rv a s de re spu esta en fre c u e n c ia , e s p e c ia lm e n te p a ra e v a lu a r e l d is e ñ o fin a l. L a fig u ra 16.34 a m u e s tra e l c irc u ito de la fig u ra 16.26, d o n de la te n s ió n en las te rm in a le s de la re s iste n c ia R 3 re prese nta la te n s ió n de s a lid a deseada. E l c o m p o n e n te V A C de la fu e n te se h a e m p le a d o c o n u n a te n s ió n fija de 1 V p o r c o n v e n ie n cia . Se re q u ie re de u n a s im u la c ió n de b a rrid o en ca p a ra d e te rm in a r la
(b) ■ F IG U R A 1 6 .3 4 [a) Circuito de la figura 16.26. (b) Respuesta en frecuencia del circuito graficada en escala de dB.
(Continúa en la siguiente página)
»
A /W
672 --------- V W
CAPÍTULO 16
RESPUESTA EN FRECUENCIA
re sp u e sta e n fre c u e n c ia d e l c irc u ito ; la fig u ra 16.34& se g e n e ró u tiliz a n d o 10 p u n to s p o r década (d o n d e se s e le cc io n a la o p c ió n D e ca d e d e l m e n ú L o g a r it h m ic A C S w ee p T y p e ), desde 10 m H z hasta i M H z . O b s e rv a r que la s im u la c ió n se h a lle v a d o a c a b o en H z . n o en ra d /s , p o r lo q u e la h e rra m ie n ta d e l c u rs o r está in d ic a n d o u n a n c h o de b anda de 3 .1 4 k H z . T a m b ié n en este caso, se sug iere al le c to r que s im u le c irc u ito s c o m o e je m p lo y que c o m p a re lo s re s u lta d o s con lo s d ia g ra m a s de B o d e generados c o n a n te rio rid a d .
16.7 FILTROS --------•-------------------------------------------------------------------------------------E l d is e ñ o de filtr o s es u n te m a m u y p rá c tic o (e in te re sa n te ) que p o r sí s o lo m e re ce u n lib r o de te x to separado. E n esta o ca s ió n , se p rese nta n a lg u n o s de lo s c o n c ep tos b ásico s d e l filtr a d o y se e x p lo ra n c irc u ito s de filtr o ta n to p a s iv o s c o m o a c tiv o s . E sto s c irc u ito s p ue de n ser m u y s im p le s , c o n s is tie n d o en u n s o lo c a p a c i to r o in d u c to r, c u y a in te g ra c ió n a u n a re d d e te rm in a d a p ro p ic ia u n m e jo r desem p eñ o. T a m b ié n p o d ría n ser b astante c o m p le jo s , pues p u e d e n c o n s ta r de m u ch as re s iste n c ia s , ca p a c ito re s , in d u c to re s y a m p ops p a ra o b te n e r la c u rv a de respues ta p re c is a q u e se re q u ie re en u n a a p lic a c ió n dada. E n la e le c tró n ic a m o d e rn a , lo s filtr o s se u tiliz a n p a ra o b te n e r te n sio n e s de c d en lo s s u m in is tro s de p o te n c ia , e li m in a r ru id o e n canales de c o m u n ic a c ió n , sep arar canales de ra d io y de te le v is ió n a p a r tir de u n a señ al m u ltip le x a d a que p ro p o rc io n a n las antenas, y a m p lific a r la señal de b a jo s en e l estéreo, p o r n o m b ra r s ó lo a lg u na s a p lic a c io n e s . E l c o n c e p to im p líc ito en u n f iltr o c o n s is te en que se le cc io n a las fre c u e n c ia s que p u e d e n p asar a tra vé s de u n a re d . E x is te n d iv e rs a s va rie d a d e s, d e p e n d ie n d o de la s n e c e s id a d e s de u n a a p lic a c ió n p a rtic u la r. U n filtro pasabajas , c u y a re sp u e sta se ilu s tra en la fig u ra 1 6.35 a, d e ja p a sa r fre c u e n c ia s d e b a jo de u n a fre c u e n c ia de c o rte , m ie n tra s que a m o rtig u a de m a n e ra s ig n ific a tiv a las fre cu e n c ia s p o r a rrib a de d ic h o c o rte . U n filtro pasaaltas, en c a m b io , re a liz a lo o pu e sto , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 16.35& . L a c ifr a de m é rito c la v e p a ra u n filtr o es la agu deza d e l c o rte , o e l g ra d o de in c lin a c ió n de la c u rv a e n la c e rc a n ía de la fre c u e n c ia de e sq uin a. E n g e n e ra l, las c u rva s de re spu esta m ás in c lin a d a s re q u ie re n c irc u ito s m ás c o m p le jo s . L a c o m b in a c ió n de u n filtr o p asabajas y u n o pasaaltas es lo que se con oce c o m o filtro pasabanda, c o m o se p re s e n ta m e d ia n te la c u rv a de re spu esta de la fig u ra 16 .3 5 c . E n este tip o de filtr o , la re g ió n e n tre las dos fre c u e n c ia s de e sq uin a se c o n o c e c o m o pasabatidas; la re g ió n fu e ra de la b a n d a de paso se con oce c o m o rechazabandas. E sto s té rm in o s ta m b ié n se a p lic a n a lo s filtr o s pasabajas y pasaaltas, c o m o se in d ic a en la fig u ra 16.35a y b. A l b a rre r las fre c u e n c ia s de c o rte de lo s d os f iltr o s , ta m b ié n se c re a un filtro rechazabanda, q u e d e ja p a s a r fre c u e n c ia s ta n to altas c o m o bajas, p e ro ate nú a c u a lq u ie r señal q ue te n g a u n a fre c u e n c ia e ntre las dos fre c u e n c ia s de e s q u in a (fig u ra 1 6 .3 5 J ). E l filtro muesca es u n filtr o re ch a za b a n d a e s p e c ia liz a d o que se d ise ña c o n u n a c a ra c te rís tic a de re spu esta estrecha, lo c u a l b lo q u e a u n s o lo c o m p o n e n te de fre c u e n c ia de u n a señal. T a m b ié n e x is te n filtros multibanda; se tra ta de c irc u ito s que tie n e n m ú ltip le s bandas de paso y de su p re sió n . E l d is e ñ o de tale s filtr o s es d ire c to , p e ro se e n c u e n tra m ás a llá del alcance de este lib ro .
• ------------------------- A /
SECCION 16.7 HITROS
(«
(a)
ÍO
T T
nU
0-
8'a -2 ° 15
-
-
¡
-5 0
«
iL 104
105
-1 4 0
107
1
~
/ //
/T
1
_
\l
\
-<-►Pasabaiytas / baja\ -6 0 — / frecuenci\ / -8 0 ¡ \ / -1 0 0 1 -1 2 0
106
1
<> Rechazabanda
| 1 \
1
1
1
1
1 1 10°
n
Pasabandas-— alta frecuencia
¡
~
1 O O
102
i l 103
Rechazabandas-alta frecuencia
¡ 1 ik
vn O
-6 0 L
_
-4 0 —
I jRechazabandas-baja frecuencia
-3 0 -4 0
-2 0
Pasabanda
-10
673
Frecuencia (Hz)
Frecuencia (Hz)
(d )
(c)
I F IG U R A 1 6 .3 5 Curvas de respuesta en freruencia de (a ) filtro pasabas; (6 ) filtro pasaaltas; (c ) filtro pasabanda, (rf) filtro rechazaranda. En cada diagrama, cada punto corresponde a - 3 dB.
R
-AAAr
Filtros pasivos pasabajas y pasaaltas Se p u e d e c o n s tru ir u n f iltr o m e d ia n te e l e m p le o de u n s o lo c a p a c ito r y u n a s o la re s is te n c ia , c o m o se ve en la fig u ra 1 6 .3 6 a . L a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito de f iltr o pasabajas es, H (» =
= ▼ent
1 1 + RCs
(a)
[3 2 ]
a
H ( s ) tie n e u n a s o la fre c u e n c ia de e sq uin a, la c u a l o c u rre en co — 1/R C , y u n D 1 c e ro en s = o o , lo c u a l p ro p ic ia su c o m p o rta m ie n to d e filtr a d o “ pasabajas” . L a s 'ta a s “ ' fre c u e n c ia s b a ja s (s —> 0 ) p ro d u c e n |H (s )| cerca de su v a lo r m á x im o (la u n id a d G a o 0 d B ), y las fre c u e n c ia s altas (s - > o o ) o rig in a n |H (s )| - > 0. E ste c o m p o r i Y .. V ta m ie n to se e n tie n d e en fo rm a c u a lita tiv a a l c o n s id e ra r la im p e d a n c ia d e l c a p a c i i y to r: a m e d id a que a u m e n ta la fre c u e n c ia , e l c a p a c ito r e m p ie z a a a ctu a r c o m o u n d i \. B c o rto c irc u ito p a ra las señales de ca, lo q u e da lu g a r a u n a re d u c c ió n en la te n s ió n V i -i -1 5 de s a lid a . E n la fig u ra 1 6 .3 6 b se p re se n ta e l e je m p lo de u n a c u rv a de re spu esta 1BIM 2 10KHZ 1 .0 MHz 10MHz 10 Hz □ 2B » lo g 10i[ U (C 1 :1 )> Fi'e qu en cy de u n f iltr o de tale s ca ra c te rís tic a s c o n R — 5 0 0 Q y C = 2 la fre c u e n c ia de es q u in a de 159 k H z (1 M ra d /s ) se d e te rm in a m o v ie n d o e l c u rs o r h a c ia —3 d B . L o (*) a n g u lo s o de la c u rv a de respuesta e n la v e c in d a d de la fre c u e n c ia de c o rte se ! F IG U R A 1 6 .3 6 (o ) Filtro pasabajas simple m e jo ra al m o v e rs e h a c ia u n c ir c u ito q u e c o n te n g a e le m e n to s re a c tiv o s a d i construido mediante una combinación resistencia c io n a le s (es d e c ir, c a p a c itiv o s y /o in d u c tiv o s ). capacitor. (6 ) Respuesta en frecuencia del circuito U n filtr o pasaaltas se c o n s tru y e b a rrie n d o s im p le m e n te las u b ic a c io n e s de la generado utilizando PSpice. re siste n cia y d e l c a p a c ito r en la fig u ra 16.36a, c o m o se ve en e l e je m p lo sigu ien te.
j
A/W EJEMPLO
♦
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16.11 D is e ñ a r u n f i l t r o pasaaltas con una frecuencia de esquina de 3 kHz. Se c o m ie n z a e lig ie n d o una to p o lo g ía de c irc u ito . D a d o q u e n o se in d ic a n re q u e rim ie n to s en c u a n to a lo rig u ro s o de la respuesta, se s e le c c io n a e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 16.37. Se d e te rm in a fá c ilm e n te que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito c o rre sp o n d e a H (s )s
I F IG U R A 1 6 .3 7 Circuito de filtro pasaaltas simple para el que deben elegirse los valores de R y C a fin de obtener una frecuencia de corte de 3 kHz.
V sal
RC s 1 + RCs
que tien e un cero en s = O y u n p o lo e n s = — 1 /R C , lo que conduce a u n c o m p o rta m ie n to de filtr o “ pasaaltas” (es decir, |H | —»■ 0 a m e d id a que o j —»■ o o ). L a fre c u e n c ia de e sq u in a d e l c irc u ito de f ilt r o es a>c = 1/R C , y se b usca u n v a lo r de coc = 2jifc = 2 tt( 3 0 0 0 ) = 1 8.85 k ra d /s . T a m b ié n en este caso se debe s e le c c io n a r u n v a lo r p a ra R o C . E n la p rá c tic a , es m ás p ro b a b le q u e la d e c is ió n se base en lo s v a lo re s de las re s iste n c ia s y ca p a c ito re s que estén a la m a n o , p e ro d a d o q u e n o se h a d ad o esa in fo rm a c ió n a q u í, se tie n e la lib e rta d de e fe c tu a r e le c cio n e s a rb itra ria s . P o r lo ta n to , se s e le cc io n a e l v a lo r de la re s is te n c ia e stá n d a r de 4 .7 k£2 p a ra R, lo q u e c o n d u c e a u n re q u e rim ie n to de C = 1 1 .2 9 nF. E l ú n ic o paso q u e q u e d a co n s is te en v e r ific a r e l d is e ñ o c o n u n a s im u la c ió n P S p ic e ; la c u rv a de re spu esta e n fre c u e n c ia p re d ic h a se m u e s tra en la fig u ra 16.38.
■ F IG U R A 1 6 .3 8 Respuesta en frecuencia simulada del diseño final, en el que se muestra una frecuencia de corte (3 dB) de 3 kHz, como se esperaba.
P R Á C T IC A
________________ ______________________________________________
1 6.16 D is e ñ a r u n filtr o pasaaltas c o n u n a fre c u e n c ia de c o rte de 1 3.56 M H z , fre c u e n c ia c o m ú n de u n s u m in is tro de p o te n c ia de r f. V e r ific a r e l d is e ñ o c o n P S pice .
SECCIÓN 16.7
FILTROS
Filtro pasabandas E n este c a p ítu lo y a se h a n v is to v a rio s c irc u ito s q u e se c la s ific a ría n c o m o filtr o s “ pasabandas” (p o r e je m p lo , las fig u ra s 16.1 y 1 6.8). C o n s id e ra r e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 1 6.39, en e l que la s a lid a se to m a a tra vé s de la re s iste n c ia . Se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito es A y = ------- ---------------------LCs2 + RC s + 1
[3 3 ]
L a m a g n itu d de esta fu n c ió n es (después de unas cuantas m a n ip u la c io n e s a lg e b ra ic a s) |A V | =
WRC = V ( 1 - w2LC)2 + co2R2C2
[3 4 ]
la c u a l, en e l lím ite de co —» 0 , se c o n v ie rte en |A v I
coRC - » 0
y en e l lím ite de co —» oo se v u e lv e
R COL
|Ay| ^ —----- » 0 Se sabe a tra vé s de la e x p e rie n c ia c o n lo s d ia g ra m a s de B o d e que la e cu a c ió n [3 3 ] re p re s e n ta tres fre c u e n c ia s c rític a s : u n cero y dos p o lo s . C o n la fin a lid a d de o b te n e r u n a re spu esta de f iltr o pasabandas c o n u n v a lo r p ic o u n ita r io (0 d B ), las dos fre c u e n c ia s de lo s p o lo s d eb en ser m a y o re s que 1 ra d /s , la fre c u e n c ia de cru ce a 0 d B d e l té rm in o cero. E stas dos fre c u e n c ia s c rític a s p u e d e n o bten erse fa c to riz a n d o la e c u a c ió n [3 3 ] o d e te rm in a n d o lo s v a lo re s de co en lo s que la e c u a c ió n [3 4 ] es ig u a l a 1 ¡\Í2. L a fre c u e n c ia c e n tra l de este filtr o se p re s e n ta en co = 1 /y/LC . P o r lo ta n to , s i se a p lic a u n p o c o de á lg e b ra después de fija r la e c u a c ió n [3 4 ] ig u a l a 1/+J2, se p u e d e e n c o n tra r que (1 - LC colf = co2R2C2
[3 5 ]
A l to m a r la ra íz c u a d ra d a en am bo s la d o s, se o b tie n e
LCco2 + RCcoc - 1 = 0 M e d ia n te e l e m p le o de la e c u a c ió n c u a d rá tic a , se e n c u e n tra que
R J R 2C2 + 4LC coc = ------ ± ---------------------------L 2 LC
13 6]
E n este c o n te x to , la fre c u e n c ia n e g a tiv a es u n a s o lu c ió n n o fís ic a p ara la e cu a c ió n o rig in a l, p o r lo q ue es n e c e s a rio re te n e r s ó lo la ra íz p o s itiv a de la e cu a c ió n [3 6 ], S in e m b a rg o , q u iz á se h a id o u n p o c o rá p id o a l to m a r la ra íz cu a d ra d a p o s itiv a de am bo s la d o s de la e c u a c ió n [3 5 ], T o m a n d o en c u e n ta ta m b ié n la ra íz cu a d ra d a n e g a tiv a , la c u a l es ig u a lm e n te v á lid a , se o b tie n e
R , V R2C2 + 4LC coc = — i --------------------------L 2 LC
[3 7 ]
a p a rtir de la c u a l se p u e d e d e m o s tra r q u e s ó lo e l ra d ic a n d o p o s itiv o es fís ic o . P o r ende, se o b tie n e coi a p a rtir de la e c u a c ió n [3 6 ] y coh a p a r tir de la e c u a c ió n [3 7 ]; p u e sto que coh — col = B , p o r s im p le á lg e b ra se d e m u e s tra que B = R /L .
■ F IG U R A 1 6 .3 9 Filtro pasabandas simple construido mediante el uso de un circuito RLC en serie.
I( V676 Sj)
A
A
A
V V V
*
W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
'
EJEMPLO 1 6 .1 2
D is e ñ a r u n f i l t r o p a s a b a n d a c a r a c te r iz a d o p o r u n a n c h o d e b a n d a de 1 M H z y u n o d e c o r te d e a lta fr e c u e n c ia d e 1.1 M H z . Se e lig e la to p o lo g ía d e l c irc u ito de la fig u ra 16.37 y se c o m ie n z a d e te rm in a n d o las fre c u e n c ia s de e sq u in a necesarias. E l a n c h o de b a n d a está dado p o r fu — p o r lo que
f L = 1.1 x 106 - 1 x 106 = 100 k H z
ü>l
= 27tfL = 6 2 8 .3 k ra d /s
E l c o rte de a lta fre c u e n c ia (o>h ) es s im p le m e n te 6 .9 1 2 M ra d /s . C o n la fin a lid a d de p ro c e d e r a l d is e ñ o de u n c irc u ito c o n estas c a ra c te rís tica s , se re q u ie re o b te n e r la e x p re s ió n de cad a fre c u e n c ia , en té rm in o s de las v a ria b le s R, L y C. E l ig u a la r la e c u a c ió n [3 7 ] c o n 2 7 r(1 .1 x 106) p e rm ite re s o lv e r re sp e cto a 1¡LC, pues y a se sabe q u e B — 2tz(fH — f i ) = 6 .2 8 3 x 106 . 1
-B-
1
-B
1 -.1/2
Te
= 2 tt ( 1 .1 x 1 0 ° )
R e s o lv ie n d o , se o b s e rv a que 1 ¡LC — 4 .3 4 3 x 1 0 12. A l e le g ir de m a n e ra a rb itra ria L = 1 H (u n p o c o g ran d e, en té rm in o s p rá c tic o s ), se o b tie n e R — 6 .2 8 3 M £2 y C = 2 3 0 .3 fF . Se debe o b s e rv a r q ue n o h a y u n a s o lu c ió n ú n ic a p a ra este p ro b le m a de “ d is e ñ o ” , pues ta n to R, L o C p u e d e n e le g irs e c o m o p u n to de p a rtid a . L a v e rific a c ió n d e l d is e ñ o c o n P S p ic e se m u e s tra en la fig u ra 16.40. RLC Bd.itJpnS!. Filtei (active)
Ib .
I F IG U R A 1 6 .4 0 Respuesta simulada del diseño de un filtro pasabandas que muestra un ancho de banda de 1 MHz y una frecuencia de corte superior de 1.1 MHz como se deseaba. Las frecuencias pasabanda se sombrearon en color verde.
P R A C T IC A 16.17 D is e ñ a r u n f iltr o p asabanda c o n u n c o rte de b a ja fre c u e n c ia de 100 ra d /s o u n o de a lta fre c u e n c ia de 10 k ra d /s . Respuestas: Una posible respuesta de muchas: R = 990 Q, L = 100 mH y C = 10 /xF.
SECCIÓN 16.7 FIUROS
*
VW
0
E l tip o de c irc u ito q u e se h a e stu d ia d o se co n o c e c o m o filtro pasivo, pues se c o n s tru y e s ó lo a p a r tir de c o m p o n e n te s p a s iv o s (es d e c ir, s in tra n s is to re s , a m p ops u o tro s e le m e n to s “ a c tiv o s ” ). A u n q u e lo s filtr o s p a s iv o s son re la tiv a m e n te c o m u n e s , n o son m u y adecuados p a ra to d a s las a p lic a c io n e s . L a g a n a n c ia (d e fi n id a c o m o la te n s ió n de s a lid a d iv id id a e n tre la te n s ió n de e n tra d a ) de u n filtr o p a s iv o re s u lta d if í c il de esta ble ce r, y m u ch a s veces es deseable la a m p lific a c ió n en lo s c irc u ito s de filtr o .
Filtros activos E l u so de u n e le m e n to a c tiv o , c o m o e l a m p o p , en e l d is e ñ o de filtr o s , sup era p o r m u c h o las d esven ta jas de los filtr o s p a s ivo s . C o m o se v io en e l c a p ítu lo 6, se d i señan c irc u ito s de a m p o p para p ro p o rc io n a r g a n a n cia . A s im is m o , estos c ir c u i to s p u e d e n p re s e n ta r u n c o m p o rta m ie n to s im ila r al de lo s in d u c to re s m e d ia n te la u b ic a c ió n e stra té g ica de c a p a c ito re s . L a c irc u ite ria in te rn a de u n a m p o p tie n e c a p a c ita n c ia s m u y pequeñas ( p o r lo c o m ú n d e l o rd e n de 1 00 p F ), las cua les lim ita n la fre c u e n c ia m á x im a a la que e l o p a m p fu n c io n a rá de m a n e ra a p ro p ia d a . E n co n s e c u e n c ia , c u a lq u ie r c irc u ito de a m p o p se c o m p o rta rá c o m o u n f il t r o p a sa b a ja s c o n u n a fre c u e n c ia de c o rte de q u iz á s 2 0 M H z o m ás en d is p o s itiv o s m o d e rn o s (lo c u a l d ep en de de la g a n an c ia d e l c irc u ito ).
EJEMPLO 16.13 D is e ñ a r u n f ilt r o p a s a b a ja s a c tiv o con u n a frecuencia de corte de 10 k H z y u n a g a n a n c ia de te n s ió n d e 4 0 d B . P ara fre c u e n c ia s m u c h o m e n o re s de 10 k H z , se re q u ie re u n c irc u ito a m p li fic a d o r cap az de p ro p o rc io n a r u n a g a n a n c ia de 4 0 d B , o 100 V /V . L o a n te r io r se lo g ra u tiliz a n d o s ó lo u n a m p lific a d o r n o in v e rs o r (c o m o e l de la fig u ra 1 6 .4 1 a ) c o n ^
R\
+ 1 = 100
■ F IG U R A 1 6 .4 1 ( c ) Circuito de amp op no inversor simple. ( b) Filtro pasabajas que consta de una resistencia R2 y de un capacitor C que se ha agregado a la entrada. (Continúa en la siguiente página)
A A /V
CAPITULO 16
u :v i
1 t
RESPUESTA EN FRECUENCIA
P ara p ro v e e r u n a e sq u in a de a lta fre c u e n c ia a 10 k H z , se re q u ie re u n filtr o pasabajas en la e ntra d a d e l a m p o p (c o m o en la fig u ra 16.41/)). P ara c a lc u la r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia , se c o m ie n z a en la e ntra d a n o in v e rs o ra ,
9 \
G i " 2 5 .0 ( d B >
1 /s C
\ «2 j) Ü f°
í 00 * fi.W ,
V+ =
40 j -3 .8 [
Vr
\
R2 + 1/s C
:V r
1 1+s
R2C
\
E n la e n tra d a in v e rs o ra se tien e
1 2 .5 , 10KHZ
1B0HZ 1.0K H z ¡ c ¡iz e * lo g 1 0 ( V (U 1 :B U T ))
\ 18BKH2
F re q u e n c y
(a)
V0-V +
V+
R
Ri
A l c o m b in a r am bas e cu acio ne s y d e s p e ja r V c se e n c u e n tra que
ñL
v- = v' ( r ó ) ( 1+ Ri
E l v a lo r m á x im o de la g a n a n cia A y = V „/V ,- es 1 4- R f / R \ , p o r lo q ue se ig u a la esta c a n tid a d a 100. E n ra z ó n d e que n in g u n a re s iste n c ia aparece en la e x p re s ió n d e la fre c u e n c ia de e squina (R2C)~l , c u a lq u ie ra p ue de e le g irse p rim e ro . P o r lo ta n to , se s e le cc io n a R\ = 1 k Q , de m a ne ra que Rf = 9 9 k Q . A l e le g ir de m a ne ra a rb itra ria C = 1 fi F , se e n c u e n tra q u e 0>)
Ri =
I F IG U R A 1 6 .4 2 (a) Respuesta en frecuencia del circuito de filtro utilizando un amp op ¿iA741 en el que se muestra una frecuencia de esquina de 6.4 kHz. (b) Respuesta en frecuencia del mismo circuito de filtro, pero utilizando ahora un amp op LF111. La frecuencia de corte del circuito es igual a 10 kHz, que es el valor deseado.
1
2t t (10
x
= 1 5.9 Q 1 0 3) C
E n este p u n to se c o m p le ta e l d is e ñ o , ¿o no? L a re spu esta en fre c u e n c ia s im u la d a en este c irc u ito se m u e s tra en la fig u ra 1 6.42 a. R e s u lta d e l to d o c la ro q ue , en re a lid a d , e l d is e ñ o n o c u m p le la e s p e c ifi c a c ió n d e l c o rte de 10 k H z . ¿Q ué se h iz o m a l? U n a re v is ió n c u id a d o s a del á lg e b ra n o re v e la n in g ú n e rro r, p o r lo q u e en a lg u n a p a rte se p la n te ó un su p ue sto e rró n e o . L a s im u la c ió n se lle v ó a ca b o u tiliz a n d o u n a m p op /iA 7 4 1 en o p o s ic ió n al a m p o p id e a l su p ue sto en las d e d u c c io n e s . R e s u lta q u e ésta es la fu e n te d e l d e s c o n c ie rto : e l m is m o c irc u ito c o n u n a m p op L F 1 1 1 en v e z d e l /iA 7 4 1 o rig in a u n a fre c u e n c ia de c o rte d e 10 k H z c o m o se desea. E l re s u lta d o de la s im u la c ió n c o rre s p o n d ie n te se p re se n ta en la fig u ra 16.42¿>. D e s a fo rtu n a d a m e n te , e l a m p o p /x A 7 4 1 c o n u n a g a n a n c ia de 4 0 d B tie n e u n a fre c u e n c ia d e e sq u in a en la v e c in d a d de 10 k H z , que n o p ue de ig n o ra rs e en este caso. S in e m b a rg o , e l L F l l l n o a lca nza su p rim e ra fre c u e n c ia de e sq u in a s in o hasta ca s i 75 k H z , lo c u a l está b astan te a le ja d o de 10 k H z c o m o p ara a fe c ta r el d is e ñ o .
PRACTICA 16.18 D is e ñ a r u n c irc u ito de f iltr o pasabajas c o n u n a g a n a n cia d e 3 0 d B y u n a fre c u e n c ia de c o rte d e 1 k H z . Respuesta: Una posible respuesta de muchas: R\ = 100 k£2, Rf = 3.062 M íí, R2 = 79.58 Q y C = 2 /xF.
APLICAC IÓN P RACTICA
V
Ajuste de bajos, agudos e intermedios P o r lo g e n e ra l es d esea ble c o n ta r c o n c a p a c id a d p a ra a ju s ta r lo s b a jo s, agu do s e in te rm e d io s de m a ne ra in d e p e n d ie n te en u n s iste m a de s o n id o , in c lu s o en e l caso de u n e q u ip o e c o n ó m ic o . S ue le a ceptarse q u e e l in te rv a lo de fre c u e n c ia s de a u d io (a l m e no s p a ra e l o íd o h u m a n o ) v a de 2 0 H z a 20 k H z , c o n lo s b a jo s a fre c u e n c ia s in fe rio re s ( < 5 0 0 H z m ás o m e n o s) y lo s agu do s a fre c u e n cias su p e rio re s ( > 5 k H z a p ro x im a d a m e n te ). E l d is e ñ o de u n s iste m a e c u a liz a d o r g rá fic o s im p le se c o n v ie rte en u n a ta re a re la tiv a m e n te s e n c illa , aun qu e un siste m a c o m o e l q ue se m u e s tra e n la fig u ra 16.43 re q u ie re d e u n p o c o m ás de e sfu e rz o . E n e l e c u a liz a d o r tip o b a jo , in te rm e d io y a g u d o c o m u n e s en m u c h o s ra d io s p o rtá tile s , la señ al p rin c ip a l (p ro p o rc io n a d a p o r e l c ir c u i to re c e p to r de ra d io , o q u iz á s u n re p ro d u c to r de C D ) se c o m p o n e de u n a m p lio e sp e ctro de fre cu e n c ia s que tie n e n u n a n c h o de b a n da de c a s i 2 0 k H z ,
J u
u
u
u 'L
F IG U R A 1 6 .4 3 Ejemplo de un ecualizador gráfico. Cortesía de Alesis,
E sa señal debe e n v ia rs e a tre s d ife re n te s c irc u ito s de a m p o p, cada u n o c o n u n filtr o d ife re n te en la e ntrada. E l c irc u ito de a ju s te de b a jo s re q u e rirá u n filtr o pasabajas; e l c irc u ito de a ju ste de a gudos, u n o p asaaltas y e l c ir c u i to de a ju s te in te rm e d io , u n filtr o pasabanda. L a s a lid a de cada c irc u ito de a m p o p se a lim e n ta lu e g o a u n c irc u ito a m p lific a d o r s u m a d o r; en la fig u ra 1 6.44 se p re s e n ta e l d ia g ra m a de b lo q u e s d e l c irc u ito c o m p le to .
personas com u ne s lla m a ría n a esta re s iste n c ia e l c o n tro l de v o lu m e n . L a re d d e l filtr o pasabajas re s trin g e las fre cuencias que entra rá n a l a m p op, y en consecuencia las que se a m p lific a rá n ; la fre c u e n c ia d e e s q u in a es s im p le m e n te (/? 2C ) -1 ■S i el d ise ña do r de c irc u ito s necesita que e l u su ario ta m b ié n e lija la fre cu e n c ia de c o rte d e l filtro , ta l vez R2 se s u s titu y a p o r u n p o te n c ió m e tro , o de m anera a l terna, C p o d ría reem pla za rse p o r u n c a p a c ito r va ria b le . L as etapas restantes se c o n s tru y e n en ese ncia de la m is m a m anera, aunque c o n d ife re n te re d de f iltr o en la entrada. P ara m a n te n e r in d e p e n d ie n te s las re siste ncias, c a p a c i tores y a m p ops, se re q u ie re a g re g a r u n s u b ín d ic e a p ro p ia d o a cada u n o , c o m o u n a in d ic a c ió n de la etapa a la que pertenecen ( f , m, b). E m p e z a n d o c o n la etapa de a g u dos, y a se han e n c o n tra d o p ro b le m a s a l u sa r e l /¿ A 7 4 I en e l in te rv a lo de 10 a 2 0 k H z a g a n a n cia e le vad a; de m o d o que q u iz á e l L F 1 11 sea u n a m e jo r e le c c ió n en este caso. A l e le g ir u n a fre c u e n c ia d e c o rte de agudos de 5 k H z (e x iste c ie rta v a ria c ió n e ntre lo s va lo re s e le g id o s p o r d ife re nte s dise ña do re s de c irc u ito s de a u d io ), se re q u ie re — '—
Ri, C,
= 2 jt ( 5 x 103) = 3 .1 4 2 x 104
L a e le c c ió n a rb itra ria de Ct = 1 /xF p ro d u c e u n v a lo r re q u e rid o de 3 1 .8 3 £2 p a ra R 21 ■A l s e le c c io n a r ta m b ié n Cb = 1 /í H (q u iz á se p u e d a n e g o c ia r u n a re d u c c ió n de la c a n tid a d ), es n e ce sa rio q u e R 2h = 3 1 8 .3 ^2 p a ra u n a fre c u e n c ia de c o rte b a jo de 5 0 0 H z . Se d e ja al le c to r e l d is e ñ o de u n filtr o p asabanda adecuado. Altavoz L a p arte sigu ien te d e l diseño im p lic a la sele cció n de valo re s adecuados para R\t y Ru,, así c o m o las c o rre sp on d ie n te s re s is te n c ia s de re tro a lim e n ta c ió n . S in n in g u n a in s tru c c ió n co n tra ria , es p ro b a b le que lo m ás s im p le sea ■ F IG U R A 1 6 .4 4 Diagrama de bloques de un circuito ecualizador gráfico simple. ig u a la r am bas etapas. P o r lo tan to, de m o d o a rb itra rio se e lig e tan to a R\t c o m o a R\¡, iguales a 1 k Q . y aR/¡ y a Rf¡, E l b lo q u e c o n s titu tiv o b ásico se in d ic a en la fig u ra c o m o p o te n c ió m e tro s de 10 k Q (lo que s ig n ific a que e l in 16.45. E l c irc u ito c o n s is te en u n c irc u ito de a m p o p in te rv a lo será de 0 a 1 0 k £ 2 ). L o a n te rio r p e rm ite q u e el v e rs o r c a ra c te riza d o p o r una g a n a n cia de te n s ió n de v o lu m e n de u n a señal sea hasta 11 veces m ás fu e rte que 1 + Rf / R\. y u n f iltr o pasabajas s im p le c om p ue sto p o r e l de la otra. E n caso de que se necesite que e l d ise ño sea u n a re s iste n c ia R2 y u n c a p a c ito r C. L a re s iste n c ia de p o r tá til, se d e b e n s e le c c io n a r te n s io n e s de s u m in is tro re tro a lim e n ta c ió n R¡ es una re siste n cia v a ria b le (c o n o cid a d e ± 9 V aunque este v a lo r p o d ría cam biarse s i así fu e re algunas veces como potenciómetro), e l cu a l p e rm ite m o d i necesario. fic a r la g an an cia m e d ia n te la ro ta c ió n de u n a p e rilla ; las ( C o n tin u a en la s ig u ie n te p á g in a )
A h o ra q u e se h a c o m p le ta d o e l d is e ñ o d e la e ta pa de f iltr o , está lis to p a ra c o n s id e ra r e l d is e ñ o d e la e ta pa sum a do ra . E n b ie n de la s im p lic id a d , se d eb e a c c io n a r esta etapa de a m p o p c o n las m is m a s fu e n te s de te n s ió n q u e las o tras etapas, lo c u a l lim it a la m a g n itu d m á x im a de la te n s ió n de s a lid a a m e n o s d e 9 V . Se u tiliz a u n a c o n fig u ra c ió n de a m p o p in v e rs o r, c o n la s a lid a d e cada u n a de las etapas de a m p o p de filtr o a lim en ta da s de m a ne ra d i re c ta a su p ro p ia re s is te n c ia de 1 k Q . L a o tra te rm in a l de cada re s is te n c ia de 1 k Q se c o n e c ta e nton ces a la e ntra da in v e rs o ra d e la eta pa d e l a m p lific a d o r su m a d o r. E l p o te n c ió m e tro a p ro p ia d o p a ra la e tapa de a m p lific a d o r su m a d o r d e b e e sco ge rse de m a n e ra q u e se e v ite la s a tu ra c ió n , p o r lo q u e se re q u ie re saber ta n to e l in te rv a lo de la te n s ió n de e n tra d a c o m o la p o te n c ia en w a tts d e l a l ta v o z d e salid a.
.=je].x¡
F IG U R A 1 6 .4 6 Respuesta en frecuencia simulada de la combinación de
filtros pasabajas y pasaaltas.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □
L a re s o n a n c ia es la c o n d ic ió n en la q u e u n a fu n c ió n fo rz a d a s e n o id a l fija p ro d u c e u n a re spu esta d e a m p litu d m á x im a .
□
U n a re d e lé c tric a está en re s o n a n c ia c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de e n tra d a de la re d están en fase.
□
E l fa c to r de c a lid a d es p ro p o rc io n a l a la e n e rg ía m á x im a a lm a c e n a d a en u n a re d , d iv id id a e n tre la e n e rg ía to ta l p e rd id a p o r p e rio d o .
□
U n a fre c u e n c ia de m e d ia p o te n c ia se d e fin e c o m o la fre c u e n c ia a la q u e la m a g n itu d de la fu n c ió n d e re spu esta d e c irc u ito se re d u c e hasta 1 / \¡2 veces su v a lo r m á x im o .
□
E l a ncho de b a n d a de u n c irc u ito re s o n a n te se d e fin e c o m o la d ife re n c ia e n tre las fre c u e n c ia s d e m e d ia p o te n c ia s u p e rio r e in fe rio r.
□
U n c irc u ito de a lta Q es u n c irc u ito re so n a n te en e l que e l fa c to r de c a lid a d es > 5.
□
E n u n c irc u ito de a lta Q, cada fre c u e n c ia de m e d ia p o te n c ia se u b ic a a p ro x im a d a m e n te a m e d io a n c h o de b a n d a de la fre c u e n c ia resonante.
□
U n c irc u ito re s o n a n te en serie se c a ra c te riz a p o r una im p e d a n c ia baja en la re so n a n cia , en ta n to q u e u n c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo se d e te rm in a p o r u n a im p e d a n c ia alta e n la re so n a n cia .
□
U n c irc u ito re s o n a n te en serie y u n c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo son e q u iv a le n te s s i Rp = Rs(l + Q2) y Xp = Xs (1 + QT2).
□
L o s v a lo re s im p rá c tic o s de lo s c o m p o n e n te s h acen q u e e l d is e ñ o sea a m e n u d o m ás fá c il. L a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de u n a re d se p o d ría a ju s ta r e n m a g n itu d o en fre c u e n c ia m e d ia n te v a lo re s d e s u s titu c ió n a p ro p ia d o s p a ra lo s c o m p o n e n te s.
□
L o s d ia g ra m a s de B o d e p e rm ite n q u e la fo r m a b u rd a de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia se g ra fiq u e c o n ra p id e z , a p a r tir de lo s p o lo s y lo s ceros.
□
L o s c u a tro tip o s b á s ico s de filtr o s son: pasabajas, pasaaltas, pasab an da y re cha za b an da .
□
L o s filtr o s p a s iv o s s ó lo u tiliz a n re s iste n c ia s , ca p a c ito re s e in d u c to re s ; lo s filtr o s a c tiv o s se basan en lo s a m p o p o e n o tro s e le m e n to s a c tiv o s .
EJERCICIOS
LECTURAS ADICIONALES______________________________________ El estudio de una gran variedad de filtros puede encontrarse en J.T .T a y lo r y Q. H ua ng , eds., CRC Handbook of Electrical Filters. B o c a R atón, F ia : C R C Press, 1977. Una compilación muy completa de varios circuitos con filtros activos y procedimien tos de diseño se proporciona en D . Lancaster, Lancaster’s Active Filter Cookbook, 2a. ed. B u rlin g to n , M ass.: N ew nes, 1996.
EJERCICIOS_____________________________________ 16.1 Resonancia en paralelo 1. U n circ u ito RLC en paralelo, tiene R = 1 k f i , C = 47 /xF y L = 11 m H . (a ) C alcu la r Qo. ( b) D eterm inar la frecuencia resonante (en H z). (c) G raficar la respuesta en tensión com o una fun ción de la frecuencia, si el c irc u ito se excita mediante una fuente de corriente de estado permanente senoidal de 1 m A . 2. E n un c irc u ito RLC en paralelo se m ide un valo r de <2o de 200. D eterm inar el valor de los componentes restantes si: (a) R = 1 f i y C = 1 yuF; (b) I. = 12 fH y C = 2.4 nF; (c) R = 121.7 k f í y L = 100 pH. 3. U n varactor es un dispositivo sem iconductor cuya reactancia se podría variar a p li cando una tensión de polarización. Es posible expresar el factor de calidad4 como:
<*>CjRP
^
1 +(02CjRPRs donde Cj es la capacitancia de la unión (que depende de la tensión aplicada al dispositivo), Rs es la resistencia en serie del dispositivo y Rp es un térm ino de resistencia en paralelo equivalente, (a) S i Cj = 3.77 pF a 1.5 V, Rp = 1.5 M f i, y Rs = 2.8 f i, graficar el factor de calidad com o una fun ción de la pulsación co. (b) D e riva r la expresión de Q a fin de obtener tanto coo correspondiente a Qn-.ix4. D eterm inar Q para: (a) una pelota de p in g pong; (b) una moneda; (c) este lib ro de texto. Asegurarse de proporcionar detalles precisos de las condiciones de m edición y de cualesquiera observaciones que se realicen, incluyendo prom edios u otros análisis estadísticos. 5. U n c irc u ito resonante en paralelo tiene valores de parámetros de a = 80 N p/s y co¿= \ 200 rad/s. Si la im pedancia en s = —2a + jco¡¡ tiene una m agnitud de 400 f i , calcular <2o, R. L y C. 6. Encontrar la frecuencia resonante de la red de dos term inales que se muestra en la figura 16.47. 1 fí
7. Sea R = 1 M f i, L = 1 H , C = lju F e I = 1 0 /0 CuA en el c irc u ito de la figura 16.1. (a) Proporcionar ojq y Qo. (b) G raficar |V | com o una fun ción de co, para 995 < cti < 1005 rad/s. (4) S. M. Sze, Physics o f Semiconductor Devices, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1981, p. 116.
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
. En la red que se muestra en la figu ra 16.48, calcular: (a ) la frecuencia resonante ( b) Z e n tO o ).
&>o;
5 Í1
rV \A /—
2(1
"— v w •5 í l
10 mF
■
10 m H
F IG U R A 1 6 .4 8
9. U n circuito resonante en paralelo tiene polos de impedancia en s = —50 ± j\ 000 s_1, y un cero en el origen. Si C = 1 F: (a ) Determinar L. y R; (b) calcular Z en co = 1000 rad/s. 10. Diseñar un c irc u ito resonante en paralelo para un radio de A M , de manera que un inductor variable ajuste la frecuencia resonante a lo largo de la banda de transm isión de A M (de 535 a 1 605 k H z ) con Qo = 45 en un extrem o de la banda, y Qo 5 45 a lo largo de la banda. Sea R = 20 k Q , y especificar los valores de C , Lmín, y Lmix. 11. (a ) D eterm inar Y cnt para la red de la figu ra 16.49. (b) D eterm inar (¿>o y Z ent(ya>o) para la red. io -8 f
12. D eterm inar la frecuencia de resonancia para t > 0 para la red que se muestra en la figura 16.50.
13. D eterm inar la frecuencia resonante para t > 0 de la red que se muestra en la figura 16.51. íÍn H
EJERCICIOS
14. (a) En el circuito de la figura 16.52, sea L = 1 mH, C — 1 mF y R tal que a = 100 s_1. Determ inar la frecuencia resonante y la im pedancia Z ent a la frecuen cia resonante. (b) Verificar la respuesta utilizando una simulación en PSpice. (Sugerencia: utilizar la fuente VAC e incluir una resistencia con valor despreciable en serie a fin de evitar que el inductor ponga en cortocircuito a la fuente durante la polarización en CD llevada a cabo de m anera automática). V
R ef.
a F IG U R A 1 6 .5 2
15. (a) En el circuito de la figura 16.52, sea L = 1 mH, R tal que a = 50 s _1 y C tal que a>d = 5 000 rad/s. Determ inar la frecuencia resonante y la impedancia Z ent a la frecuencia resonante. (tí) Verificar la respuesta utilizando una simulación en PSpice. (Sugerencia: utilizar la fuente VAC e incluir una resistencia con valor despreciable en serie a fin de evitar que el inductor ponga en cortocircuito a la fuente durante la polarización en CD llevada a cabo de m anera automática.)
16.2 Ancho de banda y circuitos con alta Q 16. Un circuito resonante en paralelo tiene coq = 100 rad/s, Qo = 80 y C = 0.2 /¿F. (a) Determ inar R y L. (b) Utilizar métodos aproximados para graficar |Z | en fun ción de ai. 17. Utilizar las relaciones exactas para determinar R, L y C en un circuito resonante en paralelo que tiene co\ = 103 rad/s, an = 118 rad/s y |Z (y i0 5 )| = 10 £2. 18. Sea wo = 30 krad/s, Qo = 10 y R = 600 Q en cierto circuito resonante en paralelo. (a) Determ inar el ancho de banda. (b ) Calcular N en w = 28 krad/s. (c) Utilizar métodos aproximados para determinar Zem(j28 000). (fí) Proporcionar el verdadero valor de Z ent0'28 000). (e) Establecer el porcentaje de error en el que se incurre uti lizando relaciones aproximadas para calcular | Z ent I y ang Z ent a 28 krad/s. 19. Un circuito resonante en paralelo, es resonante a 400 Hz con Qo = 8 y R = 500 Í2. Si una corriente de 2 mA se aplica al circuito, utilizar métodos aproximados para determinar la frecuencia cíclica de la corriente si: (a) la tensión en el circuito tiene una magnitud de 0.5 V; (tí) la corriente en la resistencia tiene una magnitud de 0.5 mA. 20. Un circuito resonante en paralelo tiene coo = 1 Mrad/s y (¡jo = 10. Si R = 5 kí2 encontrar: (a) L; (tí) la frecuencia arriba de aio para la cual [ Z ent I = 2 k fi; (c) la frecuencia para la cual ang Zent = —30°. 21. Utilizar buenas aproximaciones en el circuito de la figura 16.53 para: (a) determinar (tí) calcular Vj a la frecuencia resonante; (c) obtener Vj a una frecuencia que está 15 krad/s arriba de la resonancia.
■ F IG U R A 1 6 .5 3
22. (a) Aplicar la definición de resonancia a fin de encontrar
• -------
W V
----( 683
684 --------- V W
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
24. D eterm inar e l ancho de banda de cada una de las curvas de respuesta que se mues tran en la figura 16.55.
F IG U R A 1 6 .5 5
25. Se sabe que un circuito resonante en paralelo tiene un ancho de banda de 1 M H z y una frecuencia de media potencia f \ = 5 . 5 kH z. (a) ¿Cuál es la frecuencia superior de media potencia (en Hz)? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante Jó del circuito? (c) ¿Cuál es el factor de calidad de) circuito cuando trabaja a su frecuencia de resonancia? 26. Se sabe que un circuito resonante en paralelo tiene un ancho de banda de I G H z y una frecuencia de media potencia f \ = 75.3 M H z. (a) ¿Cuál es la frecuencia superior de media potencia (en Hz)? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante/, del circuito? (c) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito cuando trabaja a su frecuencia de resonancia? 27. (a) D ib u ja r la curva de respuesta en tensión de un circuito que tiene una frecuencia in fe rio r de media potencia de 1 000 rad/s, una frecuencia superior de media potencia de 4 000 rad/s y una m agnitud de tensión m áxim a de 10 V. (b) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito? (c) ¿Cuál es el ancho de banda del circuito? (d) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito cuando funciona a la frecuencia resonante? jtT T y 28. (íí) Si el capacitor de 1 /xF de la figura 16.54 se sustituye con un capacitor de 330 pF, encontrar la frecuencia resonante del nuevo circuito, (b) V erificar la respuesta u ti lizando PSpice. (Sugerencia: U tiliz a r la fuente V A C y sim ular sobre v arias décadas de frecuencia.) 0
[ E p ^ -29. D iseñar un c irc u ito RLC en paralelo que tenga un ancho de banda de 5.5 k H z y una frecuencia in fe rio r de m edia potencia de 500 Hz. V erificar el diseño con una sim u lación en PSpice apropiada.
16.3 Resonancia en serie 30. U n c irc u ito serie se construye a p a rtir de dos resistencias de 5 f i , cuatro inductores de 100 /xH y un capacitor de 3.3 /xF. (á) C alcular la frecuencia resonante del c ir cuito. (b) C alcular el factor de calidad del c irc u ito cuando se opera a la frecuencia resonante, (c) D eterm inar la im pedancia de entrada a la frecuencia resonante, a 0.1 veces la frecuencia resonante y 10 veces la frecuencia resonante. 31. Si se sabe que un c irc u ito en serie tiene un ancho de banda de 3 M H z , y una fre cuencia in fe rio r de m edia potencia f \ = 17 kH z, determ inar (a) la frecuencia supe rio r de m edia potencia (en H z); (b) la frecuencia resonante /o del circuito ; (c) el factor de calidad del c irc u ito cuando se opera a la frecuencia resonante. l t y i ^ -32. (a) D eterm inar la im pedancia de un c irc u ito RLC en serie (R = t SÍ, ñ = 1' m H , C = 2 m F) cuando opera a la frecuencia resonante. ( b) V erifica r la solución con una sim ulación PSpice apropiada. (Sugerencia: U na resistencia de gran valo r en paralelo con el capacitor evitará la aparición de mensajes de error asociados con la fa lta de una trayectoria de cd a tierra.) 33. (a) D eterm inar la im pedancia en un c irc u ito RLC en serie (R = 1 k£2, L = 1 /zH, C = 2 /zF) cuando opera a la frecuencia resonante, (b) V erifica r la solución con una
EJERCICIOS simulación PSpice apropiada. (Sugerencia: U na resistencia de gran valor en para lelo con el capacitor evitará la aparición de mensajes de error asociados con la falta de una trayectoria de cd a tierra.) 34. (a) Aplicar técnicas aproximadas para graficar | Vsal | en función de co para el cir cuito de la figura 16.56. (b ) Calcular el valor exacto de Ysai aa> = 9 rad/s. i a
3ü
6H
35. Una red resonante en serie consiste en una resistencia de 50 fi resistor, un inductor de 4 mH y un capacitor de 0.1 /¿F. Calcular los valores de: (a) coq-, (b) /o ; (c) Q o; (d) B\ (e) o cm\ g Vent a 45 krad/s; (h) la razón de las magnitudes de la im pedancia del capacitor y la im pedancia del resistencia a 45 krad/s.
)\;(/)
()
36. Después de obtener Vent(s) en la figura 16.57, determinar: -
(a) coo; ib) Qq.
+
37. Inspeccionar el circuito de la figura 16.58 y observar la amplitud de la tensión de la fuente. Decidir si estaría dispuesto a poner sus manos desnudas en los extremos del capacitor, si el circuito se construyera realmente en el laboratorio. Graficar | Vcl en función de w para justificar su respuesta. 10 £2
38. Cierto circuito resonante en serie tiene /o = 500 Hz, Qo = 10 y X i = 500 fi en resonancia, (a) Determ inar R, L y C. (h ) Si una fuente Y s = 1/ÍT V se conecta en serie con el circuito, proporcionar los valores exactos de |V cl a las frecuencias / = 450, 500 y 550 Hz. 39. Una red de tres elementos tiene una im pedancia de entrada Z(s) que muestra polos en s = 0 y el infinito, así como un par de cero en s = - 2 0 0 0 0 ± /8 0 0 0 0 s“ : . E s pecificar los valores de los tres elementos, si Zent(—10000) = —20 + jO fi.
16.4 Otras formas resonantes 40. Efectuar unas cuantas aproximaciones razonables en la red de la figura 16.59 y obtener los valores de coq, Q o , B ,Z mt(jwo), y Zent(j99000), 41. ¿Qué valor de la resistencia debe conectarse en los extremos de la entrada de la red de la figura 16.59 para provocar que tenga una Qo de 50?
•-----------W V
A /W
-•
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
42. Observar la red de la figura 16.60 y utilizar técnicas aproximadas para determinar la m agnitud mínim a de Z ent y la frecuencia a la cual ocurre.
3
mH
1.5 mH
0.3 Í2
sa tn
0.1 o. -A A /^ n : 2 /í F
8/zF
■ F IG U R A 1 6 .6 0
43. En el circuito de la figura 16.61: (a) preparar una curva de respuesta aproximada de | V| en función de cú, y (b) calcular el valor exacto de V en cú = 50 rad/s.
1 £2
44. (a) U tilizar métodos aproximados para calcular |VX|
20 kíi A W -------
1/0^ V
: 2 jj-\:
F IG U R A 1 6 .6 2
45. Se construye una combinación en paralelo de una resistencia de 5 kS2 y un capacitor de 1 /xF. Determinar un equivalente conectado en serie si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105rad/s. 46. Se construye una combinación en serie de una resistencia de 5 kST2 y un capacitor de 1 ¡j,F. Determinar un equivalente conectado en paralelo si la frecuencia de opera ción co es (a) 103 rad/s; (b) 104 rad/s; (c) 105rad/s. 47. Se construye una combinación en serie de una resistencia de 470 £2 y un inductor de 3.3 /zH. Determ inar un equivalente conectado en serie si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105rad/s. 48. Se construye una combinación en paralelo de una resistencia de 470 ST2 y un induc tor de 3.3 H. Determinar un equivalente conectado en paralelo si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105 rad/s.
EJERCICIOS Í^]V 49. (a) En el circuito de la figura 16.63. aplicar métodos aproximados para calcular |V, | a / = 1.6 MH/. (b) Calcular el valor exacto de IV* 0' 10 x 106)|. (c) Verificar los resultados con una simulación PSpice apropiada. 470 Ci
1 6 .5
E s c a la m ie n to (o a ju s te )
50. El filtro que se muestra en la 16.64a tiene la curva de respuesta que se indica en la figura 16.64Í. (a) Ajustar el filtro de manera que opere entre una fuente de 50 £2 y una carga de 50 Í2 además de tener una frecuencia de corte de 20 kHz. (b) Dibujar la nueva curva de respuesta. 100 fií
9.82 /¿H
31.8 /¿H
9.82 /¿H
|Vlal| (V) 50
-/(MHz)
3 FIGURA 16.64
51. (a) Determinar Zent(s) de la red de la figura 16.65. (b) Escribir la expresión de Zenl(s) después de que se haya ajustado mediante Km = 2 , K f = 5. (c) Ajustar los elementos en la red mediante K m = 2, = 5, y dibujar la nueva red.
^ern (S) '
H FIGURA 16.65
0
A/W
■« CAPÍTULO16 RESPUESTAENFRECUENCIA 52. (a) Utilizar aproximaciones apropiadas a fin de determinar a>o y <2o en el circuito de la figura 16.66. (b) Ajustar la red a la derecha de la fuente, de manera que sea resonante a 1 Mrad/s. (c) Especificar cüq y B del circuito ajustado. 1 £2
1 /¿F
53. (a) Dibujar la nueva configuración de la figura 16.67, después de que la red se ajuste mediante Km = 250 y K f = 400. (b) Determinar el equivalente de Thévenin de la red ajustada c n w = I krad/s. 2H
54. Una red compuesta en su totalidad por elementos ideales] R ’s, L ’s, y C tiene un par de terminales de entrada al que se conecta una fuente de corriente senoidal I* así como un par de terminales de salida en circuito abierto en donde se define una ten sión Vsaj. Si I, = 1 /£ A en a¡ = 5 0 rad/s, entoncesVsai = 30/25° V. Especificar Vsai para cada condición descrita de la manera siguiente. Si es imposible determinar el valor de Vsai, escribir OTSK.5 (a) I, = 2¿CP_A en a¡ = 50 rad/s; (tí) I, = 2/40° A en co = 50 rad/s; (c) Ij = 2/40° A en 200 rad/s; (d) la red está ajustada en Km = 30, Is = 2/4(P A, ct) = 50 rad/s; (e) Km = 30, Kf = 4, Is = 2/401 A, o = 200 rad/s. 1 6 .6 D i a g r a m a s d e B o d e
55. Determinar H¿% si H(s) es igual a: (a) 0.2; (b) 50; (c) 12/(s + 2) + 26/(s + 20) paras = y 10. Proporcionar |H(s)| si fldB es igual a: (d) 37.6 dB; (e) —8 dB; ( /) 0.01 dB. r^!ík-56. Dibujar la gráfica de amplitud de Bode de (a) 20(s + l)/(s + 100)£ ib) 2000s(s + 1)/ (s + 100)2; (c) s + 45 + 200/s. (d) Verificar sus dibujos utilizando MATLAB. 57. De acuerdo con la figura 16.68, elaborar los diagramas de Bode de amplitud y de fase de la función de transferencia, H(s) = V c/Ij •
(5) Sólo las sombras conocidas.
EJERCICIOS • " 58. (a) Empleando un origen en co = 1, A/dB = 0, construir la gráfica de amplitud de Bode de H(s) = 5 x 108s(s + 100)/[(s + 20)(s + 1000)3]. ib) Proporcionar las coordenadas para todas las esquinas y ordenadas al origen sobre la gráfica de Bode, (c) Proporcionar el valor exacto de 20 log |H(ja>)| para cada frecuencia de esquina del inciso b. 59. (a) Construir una gráfica de fase de Bode de H(s) = 5 x 10ss(s + 100)/[(s + 20) (s + 1 000)3]. Ubicar el origen en co = 1, ang = 0°. (b) Indicar las coordenadas para todos los puntos sobre la gráfica de fase en las que cambie la pendiente, (c) Indicar el valor exacto de angHl jco) para cada frecuencia listada en el inciso b. -60. (a) Construir un diagrama de magnitud de Bode de la función de transferencia H(s) = 1 + 20/s + 400/s2. ib) Comparar el diagrama de Bode y los valores exac tos en a) = 5 y 100 rad/s. (c) Verificar el diagrama de Bode con MATLAB. 61. (a) Determinar H(s) = VR¡ \ s para el circuito de la figura 16.69. (b) Dibujar los diagrama de amplitud de Bode y el de fase de H(s). (c) Calcular los valores exactos de //dB y ang H(jco) en co = 20 rad/s. 62. Construir un diagrama en amplitud de Bode de la función de transferencia H(s) = Vsai/Vent de la red que se muestra en la figura 16.70.
I ¡ jf
63. Para la red de la figura 16.71: ia) Calcular H(s) = Vsai/Ve„t; ib) Dibujar el dia grama en amplitud de Bode de H¿B; (c) dibujar el diagrama de fase de Bode de H (Jto).
100k£)
1 6 .7
100k£2
F iltr o s
64. El intervalo de frecuencia de audio del delfín nariz de botella se extiende desde aproximadamente 250 Hz hasta 150 kHz. Se cree que se usan, sobre todo en las comunicaciones sociales, frecuencias de entre 250 Hz y ~ 50 kHz y que los “clicks” (chasquidos) con frecuencias mayores de ~4 0 kHz se emplean principalmente para localizaciones por medio del eco. Diseñar un circuito para amplificar de manera
a FIGURA 16.69
A/VV-
A/W
CAPÍTULO 16
©
©
©
©
E F ©
RESPUESTAENFRECUENCIA
selectiva las conversaciones sociales de los delfines. El método para construir el micrófono es una fuente de tensión senoidal con amplitud pico menor de 15 mV en serie con una resistencia de 1 £2. La tensión entregada al audífono de 1 k£2 debe tener un máximo aproximado de 1 V. 65. Diseñar un circuito con filtro que elimine el intervalo completo de frecuencias audibles para el oído humano (de 20 Hz a 20 kHz), pero que permita el paso de señales de frecuencias inferior y superior. Verificar el diseño con PSpice. 66. Diseñar un circuito con filtro que elimine toda señal con una frecuencia mayor o igual a 1 kHz. Verificar el diseño utilizando PSpice. 67. Un micrófono que es muy sensible a las altas frecuencias se utiliza para detectar ciertos tipos de fallas inminentes de motores de avión, aunque también capta ruido de baja frecuencia de los sistemas hidráulicos de las aletas del alerón, lo cual provoca falsas alarmas. Diseñar un circuito con filtro para eliminar las señales de ruido mientras se amplifican de manera selectiva las señales de alta frecuencia en por lo menos un factor de 100. La señal de ruido de baja frecuencia tiene su energía pico en la vecindad de 20 Hz y cae hasta menos de 1% de su máximo en 1 kHz. Las señales de falla del motor se inician en la vecindad de 25 kHz. 68. Completar el diseño que se explicó en la aplicación práctica, (a) Iniciar diseñando una etapa de intervalo intermedio adecuada. (b) Simular la respuesta en frecuencia de su circuito variando la resistencia de retroalimentación entre sus valores mínimo y máximo. 69. A pesar de que se suele aceptar que la respuesta auditiva humana se encuentra den tro del intervalo de 20 Hz a 20 kHz, el ancho de banda de muchos sistemas telefóni cos se limita a 3 kHz. Diseñar un circuito con filtro que convierta el habla de ancho de banda de 20 kHz en un habla de “ancho de banda telefónica” de 3 kHz. La en trada es un micrófono con una tensión máxima de 150 mV y, esencialmente, una re sistencia en serie igual a cero; la salida corresponde a un altavoz de 8 £2. El habla debe amplificarse al menos por un factor de 10. Verificar el diseño con PSpice. 70. Diseñar un circuito que elimine las componentes de 50n Hz de una señal de antena, si n es un entero en el intervalo de 1 a 4. Una buena topología de filtro “de muesca” (es decir, un filtro que “elimina o bloquea” una frecuencia particular) está dada por el circuito de la figura 16.39, pero con la salida tomada en este caso a través de la combinación en serie del inductor-capacitor, y no a través de la resistencia. El mo delo de la señal de la antena es una fuente variable en el tiempo de amplitud máxi ma igual a 1 V, con resistencia en serie igual a cero. 71. Una pieza sensible de equipo de monitoreo se ve afectada seriamente por el ruido inducido en la línea de transmisión eléctrica de 60 Hz que contamina las señales entrantes. La naturaleza de las señales evita el uso de cualquier tipo de filtros pasabajas, pasaaltas o pasabandas para solucionar el problema. Diseñar un filtro “de muestra” (bloqueo) que elimine de manera selectiva cualesquiera señales a 60 Hz provenientes de la entrada del equipo. Se podría suponer que el equipo tiene una resistencia equivalente de Thévenin esencialmente infinita. Una buena topología del filtro “muesca” se indica mediante el circuito de la figura 16.39, aunque con la salida tomada ahora a través de la combinación en serie del inductor-capacitor, y no a través de la resistencia.
Redes de dos puertos CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCION
Distinción entre redes de
Una red general que cuenta con dos pares de terminales, uno deno
uno y de dos puertos.
minado “terminales de entrada” y el otro “terminales de salida”, es un bloque constitutivo muy importante de los sistemas electróni
Parámetros de admitancia (y).
cos, de comunicación, de control automático, de transmisión y dis tribución u otros sistemas en los que la señal o la energía (ambas
Parámetros de impedancia (z).
eléctricas) ingresan por las terminales de entrada, donde la red ac túa sobre ellas y se va por las terminales de salida. El par de termi
Parámetros híbridos (h).
nales de salida se debería conectar perfectamente con el par de ter minales de entrada de otra red. Cuando se estudió el concepto de
Parámetros de transmisión (t).
las redes equivalentes de Thévenin y Norton en el capítulo 5, se presentó la idea de que no siempre es necesario conocer las funcio
Métodos de transformación
nes detalladas de una parte de un circuito. Este capítulo amplía
entre parámetros y, z, hy t.
conceptos de este tipo a situaciones en las que incluso no se cono cen los detalles de las funciones internas del circuito. Equipados sólo con el conocimiento de que el circuito es lineal, y con la capa cidad de medir tensiones y corrientes, se verá dentro de poco que es posible determinar las características de redes de esta clase con un conjunto de parámetros que permita predecir cómo interactuará la red con otras redes.
17.1 , REDES DE UN PUERTO Un par de terminales en las que es posible que entre o salga una señal de una red recibe el nombre de p u erto , por lo que la red que sólo cuenta con un par de este tipo de terminales se conoce como red de un puerto o simplemente de un puerto. Quizá no se puedan rea lizar conexiones con cualesquiera otros nodos internos al puerto tínico y, por lo tanto, es evidente que ia debe ser igual a ib en el puerto único que se muestra en la figura 17.1a.
Técnicas de análisis de circuitos utilizando parámetros de red.
AA/V
(a)
\
*
! FIGURA 17.1 dos puertos.
(b) (a) Red de un puerto. (b) Red de
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS Cuando se presenta más de un par de terminales, la red se conoce como red m ultipuerto. La red de dos puertos a la cual se dedica en gran medida este capítulo se ilustra en la figura 17. lb. Las com entes en los dos hilos de conexión que con forman cada puerto deben ser iguales y, por ello, se concluye que ia = i¡, e ic = ¡d en los dos puertos de la figura 11. Ib. Las fuentes y las cargas deben conectarse en forma directa en las dos terminales de un puerto si se van a utilizar los métodos de este capítulo. En otras palabras, se conecta cada puerto sola mente a una red de un puerto o a un puerto de otra red multipuerto. Por ejemplo, ningún dispositivo se debería conectar entre las terminales a y c de la red de dos puertos de la figura 11.1b. Si se requiere analizar un circuito de estas caracterís ticas, deberán escribirse ecuaciones de lazo general o nodales. Los métodos especiales de análisis desarrollados para las redes de dos puer tos, o simplemente dos puertos, subrayan las relaciones de corriente y de ten sión en las terminales de las redes y pasan por alto la naturaleza específica de las corrientes y de las tensiones dentro de las redes. El estudio introductorio servirá para que el lector se familiarice con varios de los parámetros importan tes y de uso para la simplificación y la sistematización del análisis de redes li neales de dos puertos. Una parle del estudio introductorio de las redes de uno y de dos puertos se lle va a cabo de mejor manera mediante el uso de una notación de red generalizada y la nomenclatura abreviada para determinantes que se presentan en el apéndice 2. De tal modo, si se escribe un conjunto de ecuaciones de lazo de una red pasiva, Z n li +
Z 12I 2+
Z 13I 3 +
■
Z ijvI jv = Vi
Z 21I 1 +
Z 22I 2+
Z 23I 3 + •
Z in In = V 2
Z 31I ] +
Z 32I 2+
Z 33I 3 +
Z 3jvL v = V 3
■
Z j v f f i + Z N 2 I 2 + ZAÍ3I3 H--------- 1- Z
jvjv I jv
[ 1]
= VN
entonces el coeficiente de cada corriente será una impedancia Z,j- (s), y el deter minante del circuito, o determinante de los coeficientes, es:
Az =
Z „
Z 12
Z 13
Z
Z 21
Z 22
Z 23
Z2W
Z 31
Z 32
Z 33
Z 3iV
Z
ZjV2
ZjV3
ati
' ' •
Z
iaí
[2]
atjv
donde se supusieron N lazos, las corrientes aparecen en el orden de los sub índices en cada ecuación, y el orden de las ecuaciones es el mismo que el de las com entes. Se supone también que se aplica la LKT, por lo que el signo de cada término Z,-,- ( Z n , Z 22 , • • - , Z , v;v ) es positivo; el signo de cualquier Z ,-; ( i / j ) o término mutuo puede ser positivo o negativo, según las direcciones de referen cia asignadas a I,- e I ;-, Si hay fuentes dependientes dentro de la red, entonces es posible que no to dos los coeficientes de las ecuaciones de lazo deberían ser resistencias o impe dancias. Aun así, se seguirá refiriendo al determinante del circuito como AzEl uso de la notación menor (apéndice 2) permite que la impedancia de en trada o del punto de accionamiento en las terminales de una red de un puerto se exprese de manera muy concisa. El resultado también se aplica a una red de dos puertos, si uno de ellos termina en una impedancia pasiva, incluyendo un cir cuito abierto o en cortocircuito.
sección ™
redes de un puerto
Supóngase que la red de un puerto de la figura 17.2 está compuesta en su to talidad por elementos pasivos y fuentes dependientes; también se supone linealidad. U na fuente ideal de tensión V i se conecta al puerto, y la fuente de corriente se identifica como la corriente en el lazo 1. Aplicando el procedimien to de la regla de Cramer, se tiene
V,
Z ]2
Z 13
0
Z 22
Z 23
0
Z 32
Z 33
'
La regla de Cramer se estudia en el apéndice 2.
Red Bneal
Z2 N
z 3AT
0
Z/Y2
ZjV3
Z 12
Z 13
Z 21
Z 22
Z 23
Z 31
Z 32
Z 33
■'
Z 3A/
Z
Z/y2
Z a /3
' ■’
Z WA'
ah
693
z ]N
Zn
li =
AA/V
•-
' •
Zaw
* FIGURA 17.2 Fuente ideal de tensión V, conectada a un solo puerto de una red lineal de un puerto que no contiene fuentes independientes;
Z 1AT
'
Z2A
Zent = Az/A]].
o, de modo más conciso,
_ ViAtl li
Az
Por lo tanto, Vi = Az li
[3]
Au
EJEM PLO
C alcu lar la im pedancia de e n tra d a de la red resistiva de un p u e rto que se m u e stra en la fig u ra 17.3. 20 n
A/W
■ FIGURA 17.3 Ejemplo de una red de un puerto que contiene elementos resistivos solamente.
Se asignan primero las cuatro corrientes de malla como se indica y se es criben, bajo inspección, las ecuaciones de malla correspondientes;
Vi = 10Ii - 10I2 0 = -- 101, + 17I 2 -2I3 0 = - 212 + 7 I3 0 =
-
5I2 -
514 14
la + 26I4 (Continúa en la siguiente página)
17.1
A /W
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
El determinante del circuito está dado entonces por 10 -1 0 0 0
Az
-1 0 17 -2 -5
0 -2 7 -1
0 -5 -1 26
\ tiene un valor de 9 680 Í24. Eliminando el primer renglón y la primera columna, se tiene 17 - 2 -5 An = -2 7 - 1 = 2 7 7 8 Í23 -5 -1 26 Por lo tanto, la ecuación [3] proporciona el valor de la impedancia de entrada: Zent =
m
=
3 .4 8 5 Í 2
P R Á C T IC A
17.1 Calcular la impedancia de entrada de la red que se muestra en la figura 17.4 si se form a en una red de un puerto al cortarla en las terminales: (a) a y a ';(b ) b y b ';(c) c y c'. 20
Respuestas: 9.47 £2; 10.63 £2; 7.58 £2.
•------ ---------------------------------EJEM PLO
----------
17.2 C alcu lar la im pedancia de en trad a de la red que se m uestra en la figura 17.5. 0 .51a
H FIGURA 17.5
Red de un puerto que contiene una fuente dependiente.
------
SECCIÓN17.1 REDESDEUNPUERTO *
Las cuatro ecuaciones de malla se escriben en términos de las cuatro co rrientes de malla asignadas:
10I.Í - 10I2
= Vf
- lO I i + 17I2 - 2I 3 - 514 = 0 -
2I 2 + 7 I 3 -
14 = 0
y I4 = -0.51a = —0.504 - 13) o
-O .5I 3 + I .5I4 = 0 Por lo tanto, se engibe 10 10 0 0
-1 0 17 -2 0
0 -2 7 - 0 .5
0 -5 -1 1.5
mientras que 17 -2 0 lo cual da como resultado An =
-2 7 - 0 .5
-5 = -1 1.5
_ 590 _ Zent — 159 ~ 3.711 Q
También se debe elegir un procedimiento similar con ecuaciones nodales, lo que da como resultado la admitancia se entrada 1 Y e„t =
= - = ¿ent
Ay -p A n
[4 ]
donde A n se refiere en este caso al menor de Ay.
17.2 Escribir un conjunto de ecuaciones nodales para el circuito de la figura 17.6, calcular Ay, y encontrar después la admitancia de entrada que se observa entre: (a) el nodo 1 y el nodo de referencia; (b) el nodo 2 y la referencia. 2uS
Respuesta: 10.68 S; 13.16 S.
■ wv
A /Vv
■«
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
---------- —^------------------------------------*-------- w--- ---- -- 'H EJEM PLO
17.3 A plicar la ecuación [4] p a ra d e term in a r de nuevo la im pedancia de en tra d a de la red de la figura 17.7.
20 Q
Se ordenan primero las tensiones de nodo Vi, V 2 y V 3 de izquierda a dere cha, se elige la referencia en el nodo inferior y se escribe, con detenimiento, la matriz de admitancia del sistema: 0.35 - 0 .2 -0 .0 5
Ay =
A n =
- 0 .2 1.7 -1 1.7 -1
-0 .0 5 -1 = 0.3473 S3 1.3 -1 = 1.21 Sz 1.3
por lo que 0.3473 Ye„t = - ^ r = 0.2870 S lo cual corresponde a Yent =
0.287
= 3.484 £2
que concuerda con la respuesta anterior dentro del error de redondeo espera do (sólo se retuvieron cuatro dígitos a lo largo de los cálculos).
Los ejercicios 8 y 9 al final del capítulo proporcionan puertos únicos que se construyen con amplificadores operacionales e ilustran que las resistencias ne gativas podrían obtenerse de redes cuyos únicos elementos de circuito pasivos son resistencias, y que simularían los inductores sólo con resistencias y con ca pacitores.
17.2 , PARÁMETROS DE ADMITANCIA________________ A continuación se enfocará la atención en las redes de dos puertos. Se supondrá en todo lo que sigue que la red está compuesta por elementos lineales y que no contiene fuentes independientes; sin embargo, se permiten las fuentes dependien tes. También se impondrán otras condiciones a la red en algunos casos especiales.
SECCION 17.2 PARÁMETROSDEADMITANCIA • ---Se considerarán los dos puertos como se indica en la figura 17.8; la tensión y la corriente en las terminales de entrada son Vi e Ij, además V2 e I2 se especifican en el puerto de salida. Las direcciones de li e I2 suelen elegirse como si entraran a la red en los conductores superiores (y salen de los conductores inferiores). De bido a que la red es lineal y no contiene fuentes independientes dentro de ella, I¡ se debe considerar como la superposición de dos componentes, una ocasionada por Vi y la otra por V2. Cuando se aplica el mismo argumento a I2, se empezaría con el siguiente conjunto de ecuaciones: li = y iiV i + y n V 2
[5]
= y 2 i V i + y 22V 2
[ 6]
t
'VW---------( 697
I FIGURA 17.8 El dos-puertos general con tensiones y corrientes de terminal específicas. El dospuertos está compuesto por elementos lineales que tal vez incluyan fuentes dependientes, pero sin ninguna fuente independiente.
donde las y no son más que constantes de proporcionalidad, o coeficientes des conocidos, en el presente. Sin embargo, resulta claro que sus unidades de di mensión deben ser A/V o S. Por lo tanto, reciben el nombre de parámetros y y se definen mediante las ecuaciones [5] y [6]. Los parámetros y así como otros conjuntos de parámetros que se definirán después en este capítulo, se representan en form a concisa como matrices. En este caso, se define la matriz columna I, (2 x 1) 1 =
[71
la matriz cuadrada (2 x 2) de los parámetros y
y=
>11
y n '
_ y 2i
y 22 .
[ 8]
y la matriz columna V, (2 x 1):
La notación adoptada en este texto para representar una matriz es estándar, pero también puede confun
V=
'V i '
.v 2_
[9]
Por lo tanto, se puede espribir la ecuación matricial I = yV, o
'Ir -I 2 .
'yn _y2i
yn' ' v r y22. . v 2_
y la multiplicación de matrices del lado derecho de la ecuación matricial, da la igualdad ir
y n V i + y i2V2
. 12.
_y2iVi + y22V2 _
Estas matrices (2 x 1) deben ser iguales, elemento por elemento; de ese modo se llega a las ecuaciones definidas [5] y [6], La manera más útil e informativa de relacionar un significado físico con los parámetros y es a través de una inspección direc ta de las ecuaciones [5] y [6], Con siderar la ecuación [5], por ejemplo; si sb deja que V2 sea cero, se ve entonces que yn debe determinarse mediante la proporción (o razón) entre li y Vi. Por lo tanto, se describe y n como la admitancia que se mide en las terminales de entrada con las terminales de salida en cortocircuito (V2 = 0). Debido a que no es posible que haya duda en cuanto a las terminales que están en cortocircuito, yn se describe mejor como la admitancia de entrada en cortocircuito. De manera alterna, se po dría describir yn como el recíproco de la impedancia de entrada medida con las ter minales de salida en cortocircuito, aunque evidentemente resulta más directo una
dirse fácilmente con la notación anterior para los fa sores o las cantidades complejas generales. La natu raleza de cualesquiera de estos símbolos debe ser clara según el contexto en el que se usan.
A A /V
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS descripción como una admitancia. No es el nombre del parámetro que es lo impor tante. Más bien, son las condiciones que deben aplicarse a las ecuaciones [5] o [6] y, por consiguiente, a la red, lo que tiene mayor sentido; cuando se determinan las condiciones, el parámetro se obtiene de manera directa a partir del análisis del cir cuito (o mediante experimentos sobre el circuito físico). Cada uno de los paráme tros y se podría escribir como una proporción (o razón) corriente-tensión con Vi = 0 (las terminales de entrada en cortocircuito) o V? = 0 (las terminales de salida en cortocircuito):
I
yn y y
[10]
Vi v2=o
=
y>2
ii_ v 2 v,=o
[11]
I2
[12]
V, V2=0
I2
[13]
V2 Vi=0
Puesto que cada parámetro es una admitancia que se obtiene poniendo en corto circuito el puerto de salida o el de entrada, los parámetros y se conocen como p a r á m e t r o s d e a d m i t a n c i a e n c o r t o c i r c u i t o . El nombre específico de y n es a d m i t a n c i a d e e n t r a d a e n c o r t o c i r c u i t o ; el de y22 admitancia de salida en corto circuito; y los de y ^ y y2i admitancias de transferencia en cortocircuito.
EJEM PLO
17.4 D eterm in ar los cu atro p arám etros de ad m itancia en cortocircuito de los dos puertos resistivos de la figura 17.9.
FIGURA 17.9 Dos puertos resistivos.
Los valores de los parámetros se establecen con facilidad aplicando las ecuaciones [10] a [13], que se obtuvieron de manera directa a partir de las ecuaciones de definición (o definidas) [5] y [6], Para determinar yn se pone en cortocircuito la salida y se encuentra la proporción (o razón) entre li y Vi. Lo anterior se efectúa si V | = 1 V, pues en ese caso y 11 = L . Por inspección de la figura 17.9, resulta claro que 1 V aplicado a la entrada, con la salida en cortocircuito, ocasionará una corriente de entrada de (¿ + L ) , 0 0.3 A. Por consiguiente, yn = 0.3 S Para determinar y 12 se ponen en cortocircuito las terminales de entrada y se aplica 1 V en las terminales de salida. La corriente de entrada circula por el cortocircuito y es ^ A. Por lo tanto, y 12 = -
0.1 S
Mediante métodos similares;
y2i = —0.1 S
y22 = 0 .15S
Por lo tanto, las ecuaciones que describen este dos-puertos en términos de los parámetros de admitancia son
Íi = 0.3Vi - 0 .IV2
[14]
I2 =
[1 5 ]
-0 .1 V , + 0 .1 5 V 2
SECCION17.2 PARAMETROSDEADMITANCIA #-
0.3 - 0 .1
y=
- 0 .1 0.15
A/W
699
(todo S)
Sin embargo, no se requiere encontrar estos parámetros uno por uno mediante las ecuaciones [10] y [13]. Se podrían determinar al mismo tiempo.
EJEM PLO
A signar las tensiones de nodo V i y \ 2 en el dos-puertos de la figura 1 7 .9 y escrib ir las expresiones de Ji e L» e n tér m inos de ellos. Se tiene V,
Il = y
+
V, - v 2 1Q = 0.3V, - 0 .1V2
V2 - Vi Ia =
-
v2
¡ Ó - ¡ P 2 Ó ^ 0 . 1 V 1 + 0 .1 5 V 2
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones [14] y [15], y los cuatro parámetros y pueden leerse de manera directa a partir de ellas. P R A C T I C A __________ ____
____ _
_ ____
17.3 Aplicando las fuentes de 1 V y los cortocircuitos apropiados al circuito de la figura 17.10, encontrar: (a) y n ; (b) y2i; (c) y22; (d) y ]2.
20 Q
Respuestas: 0.1192 S; -0 .1 1 1 5 S; 0.1269 S; -0 .1 1 1 5 S.
En general, resulta más fácil utilizar las ecuaciones [10], [11], [12] o [13] cuando sólo se desea un parámetro. Sin embargo, si se necesitan todos, suele ser más fácil asignar Vj y V2 a los nodos de entrada y salida, asignar otras tensiones de nodo de referencia a cualesquiera nodos interiores, y después buscar la solu ción general. Para observar el uso que podría darse a tal sistema de ecuaciones, es necesa rio terminar ahora cada puerto con alguna red específica de un puerto. Considerar
17.5
■ v w
■#
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS I,
--------------------------- -— w
15 A
^
10 £2 <>
I,
. — r
+
10 £2
Vl
> 5 £2 > > 20 £2 >
+ v2 <
■ FIGURA 1 7 .11 Red resistiva de dos puertos de la figura 17.9, que terminan en redes específicas de un puerto.
la red simple de dos puertos del ejemplo 17.4 que se muestra en la figura 17.11 con una fuente de corriente práctica conectada al puerto de entrada y una carga resistiva al puerto de salida. En este caso debe existir una relación entre Vi e Ij que es independiente de la red de dos puertos. Se podría determinar esta relación únicamente a partir de este circuito externo. Si se aplica LKC (o se escribe una ecuación nodal) a la entrada
Ij = 15 -0 . IV! En la salida, la ley de Ohm origina I2 = —0.25V2 Al sustituir estas expresiones para li e I2 en las ecuaciones [14] y [15], se tiene 15=
0.4Vi — 0.1 V2
0 = - 0 .1 Vi + 0 .4 V2 de las cuales se obtiene V i= 4 0 V
V2 = 10V
Las corrientes de entrada y salida se determinan también con facilidad: li = 11 A
I2 = —2.5 A
y se conocen de ese modo las características terminales completas de ambos puertos resistivos. Las ventajas del análisis del dos-puertos no se muestran en toda su magnitud en un ejemplo tan simple, aunque debe resultar claro que una vez que se deter minan los parámetros y para el dos-puertos más complicado, se establece con fa cilidad el desempeño del dos-puertos para condiciones de terminales diferentes; sólo se requiere relacionar Vi con l i en la entrada y V2 con I2 en la salida. En el ejemplo que se acaba de terminar, se encontró que y 12 y y21 eran ambas iguales a —0.1 S. No es difícil demostrar que la igualdad se obtiene también si están contenidas tres impedancias generales Z¿, Z b y Z c en esta red en n . R e sulta un poco más difícil determinar las condiciones específicas necesarias para que y i2 = y2i , aunque el uso de la notación de determinantes proporciona cierta ayuda. Se verá si las relaciones de las ecuaciones [10] y [13] pueden expresarse en términos del determinante de la impedancia y sus menores. Debido a que el interés se concentra en el dos-puertos y no en las redes es pecíficas con las que terminan, se dejará que Vi y V2 se representen mediante dos fuentes de tensión ideales. La ecuación [10] se aplica si V2 = 0 (poniendo por ello en cortocircuito la salida) y se calcula la admitancia de entrada. Sin em bargo, la red en este caso es simplemente un puerto, y la impedancia de entrada de un puerto se determinó en la sección 17.1. Se elige el lazo 1 para incluir las terminales de entrada y se deja que li sea la corriente del lazo; se identifica (—12) como la corriente de lazo 2 y se asignan las corrientes del lazo restantes
SECCIÓN17,2 PARÁMETROSDEADMITANCIA * de cualquier manera conveniente. Por lo tanto, Z ent II
- AZ
t,V 2=ü “
An
y, por ello, yn =
An Az
De manera similar, y22 =
A 22 Az
Para determinar y 12, sea Vi = 0 y se determina l i como una función de V2. Se descubrirá que li está dada por la razón
li =
0
Z 12
Z ijv
-V 2
Z 22
■ Z?AT
0
Z32
■ Z 3N
0
Z]V2
Z 11
Z 12
Z 21
Z 22
Z 31
Z32
Z jvi
Z]V2
Z
'
m
n
Z l jv '
Z 2;v Z 3aí
'
Znn
•
De tal modo, (-V ?')A 2i li = -
y i2
Az A 21
Az
De manera similar, se puede demostrar que A l2
y21 “
~Kz
La igualdad de y í2 y y2i depende entonces de la igualdad de los dos menores de A z, sea A 12 y A21. Ambos menores se determinan mediante
A21
A 12 =
Z 12
Z l3
Z 14
ZlAT
Z 32
Z 33
Z 34
Z3Ar
Z42
Z43
Z44
Z4Ar
Zaí2
Z ;v 3
Z^4
Z ívíV
Z2i
Z 23
Z24
Z 31
Z 33
Z 34
Z2;v Z3Ar
Z41
Z 43
Z44
Z4W
Z jvi
Z ;v 3
Z]V4
•
z ww
AA/V
CAPÍTULO17 REDESDEDOS PUERTOS Su igualdad se muestra cuando se intercambian primero los renglones y las columnas de un menor (por ejemplo, A 21), que es una operación que cualquier libro de álgebra elemental demuestra que es válida, y se sustituye después toda impedancia mutua Z¡j por Z;>-. Por lo tanto, se establece Z 12 — Z 21
Z 23 = Z 32
etc.
Esta igualdad de Z¡j y Zy, resulta evidente para los tres elementos pasivos fami liares: la resistencia, el capacitor y el inductor; también es válida para la inductancia mutua. Sin embargo, no es cierta para todo tipo de dispositivo que tal vez se desee incluir dentro de una red de dos puertos. De manera específica, no es válida en general en el caso de una fuente dependiente, ni en el de un sistema giratorio, en el de un modelo útil de los dispositivos del efecto Hall, ni en el de secciones de guías de onda que contienen ferritas. En un intervalo estrecho de frecuencias radia nes, el sistema giratorio proporciona un desplazamiento (corrimiento) de fase adi cional de 180° de una señal que pasa de la salida a la entrada con respecto a la señal en la dirección directa, y por lo cual yi2 = —>21 • Sin embargo, un tipo común de elemento pasivo que lleva a la desigualdad de Zy y Zy¡ es un elemento no lineal. Cualquier dispositivo para el que Z¡¡ = Zj¡ se le conoce como elemento bila teral, de modo que un circuito que contiene sólo elementos bilaterales se deno minará circuito bilateral. Por lo tanto, se ha demostrado que una propiedad importante de un dos-puertos bilateral es: y i 2 = y 2i
así que esta propiedad se enaltece estableciéndola como el teorema de reciprocidad: Una manera simple de enunciar el teorema consiste en afirmar que el intercambio de una fuente ideal de tensión y un amperímetro ideal en cualquier circuito pasivo, lineal y bilateral no variará la lectura de dicho
En cualquier red bilateral real pasiva, si la fuente de tensión simple V r en la ram a x produce la respuesta en corriente I v en la rama y, entonces la elimi nación de la fuente de tensión de la ram a x y su inserción en la ram a y pro duciría la respuesta en corriente I3, en la ram a x.
instrumento.
Si se hubiera trabajado con el determinante de la admitancia del circuito y se hu biera demostrado que los menores A 21 y A ¡2 del determinante de la admitancia A y eran iguales, entonces se habría obtenido el teorema de reciprocidad en su forma dual: En otras palabras, el intercambio de una fuente ideal de corriente y de un voltímetro ideal, en cualquier circuito pasivo, lineal y bilateral, no alterará la lectura de dicho instrumento.
En cualquier red bilateral pasiva, si la fúente de corriente sencilla Ix entre los nodos x y x ' causa la respuesta de tensión V v entre los nodos y y y', en tonces la eliminación (o remoción) de la fuente de corriente de los nodos x y x ' y su inserción entre los nodos y y y' ocasionaría la respuesta en tensión V,, entre los nodos x y x ' . En la sección 17.3 se hará énfasis en el dos -puertos que contiene fúentes depen dientes. P R Á C T IC A
___________________________
17.4 En el circuito de la figura 17.10, sean li e I2 representantes de fuentes ideales de corriente. Asignar la tensión de nodo Vi a la entrada, V2 a la salida y V* desde el nodo central hasta el nodo de referencia. Escribir tres ecuaciones nodales, eliminar V r para obtener dos ecuaciones y luego volver a reordenar en la forma de las ecuaciones [5] y [6], de manera que la totalidad de los cuatro parámetros y pueda leerse en forma directa en las ecuaciones.
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES »
17.5 Determinar los parámetros y del dos-puertos que se muestra en la figura 17.12. ri
5a
. , T 0.1192 Respuestas: 17.4:
—0.11151 , 0 1269J ^
, c,
1:
r 0.6 L -0 2
0 1 ,. , 0 2 .P to d o S ).
117.5 . ALGUNAS REDES EQUIVALENTES_______________ Cuando se analizan circuitos electrónicos, suele ser necesario sustituir el dispositi vo activo (y quizá parte de su circuitería pasiva asociada) por un dos-puertos equivalente que contenga sólo tres o cuatro impedancias. Quizá la validez del equivalente se restrinja a amplitudes de señal pequeñas y a una sola frecuencia, o tal vez a un intervalo limitado de frecuencias. El equivalente también es una apro ximación lineal de un circuito no lineal. Sin embargo, si se trabaja con una red que contiene varios elementos tales como resistencias, capacitores e inductores, más un transistor denominado 2N3823, entonces no se puede analizar el circuito mediante cualesquiera de las técnicas estudiadas con anterioridad; el transistor debe sustituir se primero por un modelo lineal, de igual modo que se reemplazó el amp op por un modelo lineal en el capítulo 6. Los parámetros y proporcionan uno de estos mode los en la forma de una red de dos puertos que se usa a menudo a frecuencias eleva das. Otro modelo lineal común de un transistor aparece en la sección 17.5. Las dos ecuaciones que determinan los parámetros de admitancia en corto circuito ti = y i i V j + y , 2V2
[16]
h = ysiVi + y22V2
[17]
tienen la forma de un par de ecuaciones nodales escritas para un circuito con dos nodos de no referencia. La determinación de un circuito equivalente que origine las ecuaciones [16] y [17] se dificulta más por ia desigualdad, en general, de yi2 y y2i; ayuda el hecho de recurrir a un pequeño truco para obtener un par de ecua ciones que poseen iguales coeficientes mutuos. Sumar y restar yi2V i (el término que se desea ver presente en el lado derecho de la ecuación [17]): I 2— y i2Vi + y22V2 + (y2i —y i2)V]
[18]
¡2 — (y2i - y i2)V 1 = y i2V| + y22v 2
[19]
o
Los lados derecho de las ecuaciones [16] y [19] presentan ahora la simetría propia de un circuito bilateral; el lado izquierdo de la ecuación [19]se interpre taría como la suma algebraica de dos fuentes de corriente, una independiente I 2 que entra al nodo 2 , y la otra dependiente (y2i — y i2)Vi que sale del nodo 2 . Después de esto “se leerá” la red equivalente de las ecuaciones [16] y [19]. Se proporciona primero un nodo de referencia y después un nodo marcado V 1 y
A/W
A /W
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS
(b)
(a)
(c) ' FIGURA 17.13 (a, b) El dos-puertos equivalente a cualquier par de puertos lineales generales. La fuente dependiente en la parte a depende de V., y la correspondiente a la parteb depende de V2. (c) Equivalente de una red bilateral.
otro como V2. De acuerdo con la ecuación [16] se estableció que la corriente I¡ fluye hacia el nodo 1. se proporcionó una admitancia mutua (—y i2) entre los no dos 1 y 2, y se provee una admitancia de ( y n + y 12) entre el nodo 1 y el nodo de referencia. Con V2 = 0, la proporción entre li y Vi es entonces y n , como debe ser. Considerar ahora la ecuación [19]; se provoca que la corriente I2 fluya hacia el segundo nodo, que la corriente (y2i — yi2) V 1 salga del nodo, se observa que la admitancia propia (—yi2) existe entre los nodos, y se completa el circuito me diante la instalación de la admitancia (y22 + yi2) desde el nodo 2 hasta el de re ferencia. El circuito terminado se muestra en la figura 17.13a. Otra forma de una red equivalente se obtiene al restar y sumar y2l V2 en la ecuación [16]; este circuito equivalente se ilustra en la figura 17.) 3b. Si el dos-puertos es bilateral, entonces y 12 = y2i, y cualquiera de los equiva lentes se reduce a una simple red pasiva en n . Desaparece la fuente dependiente. Este equivalente del dos-puertos bilateral se ilustra en la figura 17.13c. Son varios los usos que se les puede dar a estos circuitos equivalentes. En pri mer lugar, se logra mostrar que existe un equivalente de cualquier dos-puertos lineal complicado. No importa cuántos nodos o lazos estén contenidos dentro de la red; el equivalente no es más complejo que los circuitos de la figura 17.13. Uno de éstos quizá sea mucho más simple de usar que el circuito dado, si sólo interesan las ca racterísticas terminales de la red dada. La red de tres terminales de la figura 17.14a se conoce a menudo como un A de impedancias, en tanto que la que aparece en la figura 17.14b se conoce como un Y. Se podría sustituir una red por la otra, si se satisfacen ciertas relaciones es pecíficas entre las impedancias; asimismo, se establecerían estas interrelaciones mediante el uso de los parámetros y. Se observa que 1
y.w = y2i = ' FIGURA 17.14 La red en Á de tres terminales (a) y la red en Y de tres terminales (b) son equi valentes, si las seis impedancias satisfacen las condiciones de la transformación Y-A (o n-T) ecuaciones de la [20] a la [25].
1
1
Zi + Z2Z3/(Z2 + Z3) 1 _
z B
1
1
1
c
ZB
Z 2 + Z i Z 3 / ( Z i + Z 3)
y 22 = 77- + -T r = z
-Z 3 Z 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1
SECCIÓN 17.3
ALGUNASREDESEQUIVALENTES •---------------V W
Estas ecuaciones pueden resolverse para Z A, Z¿¡ y Z c en términos de Zi, Z 2 y Z 3: Z 1Z 2 “I- Z 2Z 3 -j- Z 3Z 1
Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1
Z¡ Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1
[20] [21] [22]
o, en el caso de las relaciones inversas: Z
Zi =
z2= z, =
aZ
#
[23]
z A + Z B + Zc Z#Zc
[24]
Z a + Z£ + Zc Z
c
Z
a
El lector seguramente recordará estas útiles relaciones del capitulo 5, donde se describió su deducción.
[25]
Z¿ + Zg + Zc
Estas ecuaciones permiten transformar con facilidad las redes equivalentes Y y A , proceso que se conoce como transformación Y-A (o transformación Ü-T si las redes se dibujan en las formas de esas letras). Al ir de Y a A — o sea de la ecuación [20] a la [22]— , se encuentra primero el valor del numerador común como la suma de los productos de las impedancias en Y tomadas de dos en dos. Cada impedancia en A se determina después dividiendo el numerador entre la impedancia de ese elemento en Y que no tiene nodo común con el elemento A deseado. De manera inversa, dada A se obtiene primero la suma de las tres im pedancias alrededor de A; luego se divide el producto de las dos impedancias A que tienen un nodo común con el elemento Y deseado entre esa suma. A menudo, tales transformaciones resultan útiles para simplificar redes pasi vas, en particular las resistivas, lo cual evita la necesidad de cualquier análisis de malla o nodal.
/
........................................... C alcu lar la resistencia de e n tra d a del circuito que se presenta en la figura 17.15a.
■ FIGURA 17,15 (o) Red resistiva cuya resistencia de entrada se desea. Este ejemplo se repite en el capítulo 5. (b) La configuración A superior se sustituye por una Y equivalente, (c, d) Las combinaciones en serie y en paralelo proporcionan la resistencia de entrada equivalente de ® Í2. (Continúa en la siguiente página)
EJEMPLO
17.6
A /W
-•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
Se efectúa primero la transformación A-Y en la conexión A superior de la figura 17.15a. L a suma de las tres resistencias que forman esta A es l + 4 + 3 = 8í2. El producto de las dos resistencias conectadas al nodo superior es 1 x 4 = 4 Í22. De esta forma, la resistencia superior de la Y es o 7 Í2. Al repetir este procedimiento para las otras dos resistencias, se obtiene la red de la figura 17.15b. A continuación se realizan las combinaciones en serie y en paralelo indicadas, con lo que se obtiene en sucesión las figuras 17.15c y d. De ese modo, la resistencia de entrada del circuito en la figura 17.15a se determina que es igual a o 2.24 Í2.
A continuación se abordará un ejemplo un poco más complicado, el cual se ilustra en la figura 17.16. Se observa que el circuito contiene una fuente depen diente y, por ello, no se aplica la transformación Y-A.
Se p o d ría co nsiderar que el circuito de la figura 17.16 es un equivalente lineal aproxim ado de un am plificador de transistores, en el que la te r m inal del em isor es el nodo inferior; la term inal de la base corresponde al nodo de e n tra d a superior, y la term inal del colector representa el nodo de salida superior. Se conecta u n a resistencia de 2 000 ñ entre el colector y la base p a ra cierta aplicación especial, lo cual perm ite que el análisis del circuito sea m ás difícil. D eterm in ar los p arám etro s (y) de este circuito. 2000 í l
*2
■ FIGURA 17 .16 Circuito equivalente lineal de un transistor en la configuración de emisor común, con retroalimentación resistiva entre el colector y la base.
Identificar el objetivo del problema. Utilizando el camino específico del problema para facilitar el análisis, uno se da cuenta de que se presenta una red de dos puertos y que se requiere de los parámetros y.
Recopilar la información conocida. La figura 17.16 muestra una red de dos puertos con Vi, li, V2 e I 2 ya indicadas y se proporciona el valor de cada componente.
Elaborar un plan. Son varias las formas en las que se podría considerar este circuito. Si se acepta que tiene la forma del circuito equivalente de la figura 17.13a, en tonces se podrían determinar de inmediato los valores de los parámetros y.
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES ♦
Si el reconocimiento no es inmediato, entonces los parámetros y del dospuertos se determinarían aplicando las relaciones de las ecuaciones [10] a [13], También se podría evitar cualquier uso de los métodos del análisis de dos puertos y escribir de manera directa las ecuaciones del circuito, en la forma que se presenta. Esta opción parece ser la mejor en este caso.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Por inspección, se determina que —y2i corresponde a la admitancia de la resistencia de 2 k£2, y n + y 12 a la admitancia de la resistencia de 500 Q que la ganancia de la fuente de corriente dependiente corresponde a y2] - y 12, y, por último, y22 + yi2 a la admitancia de la resistencia de 10 kQ. Por consiguiente, se podría escribir
2000
y i2 =
500
yn -
y
12
y2i = 0.0395 + y i2
10000
y 22 =
y i2
Determinar si se requiere información adicional. Con las ecuaciones escritas como están, se observa que luego de que se calcula y 12 también se podrían obtener los parámetros y restantes.
Buscar la solución. Al introducir los datos en una calculadora, se obtiene y i2 =
- 2l X ) = - 0 -5 m S
y n — 500
2000)
(
^ 22 = 10000 ~ (
y2i
=
0 .0 3 9 5 +
2.5 mS
2000) =
(-¿ íS o o ) =
ms
39 m S
Entonces deben aplicarse las siguientes ecuaciones: 0 .5 V 2
i! =
2 .5 V ] -
I2 =
3 9 Y , + O .6 V 2
[2 6 ] [2 7 ]
donde se utilizan ahora unidades de mA, V y mS o kQ.
Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? Escribiendo en forma directa las dos ecuaciones nodales del circuito, se encuentra que ■V2
Vi I, =
Vi 0.5
2
_ 3 9 .5 V 1 + l 2 =
y , _ V, ^
-
t
I, = 2.5Vi - 0.5Y2
v2 + T i
O
I2 = 39V] + 0.6V2
lo que concuerda con las ecuaciones [26] y [27] que se obtuvieron de m a nera directa a partir de los parámetros y.
W v
-------------- ' 7 0 7
A/W
•
CAPÍTULO17 REDESDEDOS PUERTOS A continuación se recurrirá a las ecuaciones [26] y [27] para analizar el de sempeño del dos-puertos en la figura 17.16 bajo varias condiciones de operación diferentes. Proporcionar primero una fuente de corriente de 1/0^ mA en la en trada y conectar una carga de Ü.5 kQ (2 mS) en la salida. Por lo tanto, las redes terminadas resultan de un puerto y dan la siguiente información específica que relaciona a Ij con V : y a I 2 con V2: li = 1(para cualquier Vi)
I2 = —2V¡
Se tienen ahora cuatro ecuaciones con cuatro variables, V i , V 2, li e I 2. Al susti tuir las dos relaciones de un puerto en las ecuaciones [26] y [27], se obtienen dos ecuaciones que relacionan a V i y V 2 : 1 =
2 .5 V i -
0 .5 V 2
0 =
3 9 V i + 2 .6 V 2
Resolviendo, se observa que
V i= 0.1V li
V2 = —1.5 V
= 1 mA
I2 =
3
mA
Estos cuatro valores se aplican al dos-puertos que opera con una entrada estable cida (li = 1 mA) y una carga específica (RL = 0.5 kQ). A menudo, el desempeño de un amplificador se describe mediante la indica ción de unos cuantos valores específicos. Se calcularán cuatro de dichos valores para este dos-puertos con sus terminaciones. Se definirá y se evaluará la ganan cia de tensión, la ganancia de corriente, la ganancia de potencia y la impedancia de entrada. L a ganancia de tensión G y es
De acuerdo con los resultados numéricos, resulta fácil ver que G y = —15. La ganancia de corriente G / se define como
y se tiene G/ = 3 Se define y se calcula la ganancia de potencia Gp para una excitación senoidal supuesta. Se tiene f g , = R e H V ;i; ] = 4 5
P ent
R e [iV jI l]
El dispositivo podría recibir el nombre de amplificador de tensión, de corriente o de potencia, puesto que todas las ganancias son mayores que la unidad. Si se eliminara la resistencia de 2 kQ la ganancia de potencia aumentaría hasta 354. Muchas veces se requieren las impedancias de entrada y de salida del ampli ficador para que pueda conseguirse la transferencia de potencia máxima hacia o desde un dos-puertos adyacente. En esta caso se define la impedancia de entrada Zent como la proporción (o razón) entre la tensión y la corriente ambas de entrada Z ent = ^ li
= 0.1 kQ
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES Ésta es la impedancia que se presenta en la fuente de corriente cuando se conecta la carga de 500 Q, en la salida. (Con la salida en cortocircuito, la impedancia de entrada es necesariamente 1/yi i, o sea 400 £2.) Debe observarse que la impedancia de entrada no puede determinarse susti tuyendo toda fuente por su impedancia interna y combinando después las re sistencias o las conductancias. En un circuito dado, un procedimiento de este tipo produciría un valor de 416 £2. El error, desde luego, proviene de considerar a la fuente dependiente como una fuente independiente. Si se supone que la im pedancia de entrada es numéricamente igual a la tensión de entrada producida por una com ente de entrada de 1 A, la aplicación de la fuente de 1 A origina cierta tensión de entrada Vi y la magnitud de la fuente dependiente (0.0395Vi) no puede valer cero. Se debe recordar que cuando se obtiene la impedancia equi valente de Thévenin de un circuito con una fuente dependiente, junto con una o más fuentes independientes, se deben sustituir las fuentes independientes por cortocircuitos o circuitos abiertos, aunque una fuente dependiente no puede su primirse. Desde luego, si la tensión o la corriente de la que depende la fuente dependiente es cero, estará inactiva; en ocasiones, un circuito se simplifica al re conocer una ocurrencia de este tipo. Además de Gy, G¡, GP y Z ent, hay otro parámetro de desempeño que resulta bastante útil: la impedancia de salida Z s¡¿, la que se determina para una configu ración de circuito diferente. I.a impedancia de salida es sólo otro término con el que se designa la impe dancia de Thévenin que aparece en el circuito equivalente de Thévenin de esa porción de la red enfrentada por la carga. En el circuito, que se supone que es ac cionado por una fuente de corriente de 1/0° mA se sustituye, por lo tanto, dicha fuente independiente por un circuito abierto, se deja sola a la fuente dependiente, y se busca la impedancia de entrada vista al mirar hacia la izquierda de las ter minales de salida (con la carga eliminada). De tal modo, se define Z sa] = V 2 II t =1 Con todas las demás fuentes independientes desconectadas y R l removido Por lo tanto, eliminar ía resistencia de carga, aplicar 1/0° mA (puesto que se está trabajando en V, mA y k£2) en las term inales de salida y determinar V2. Fijando estos requerimientos en las ecuaciones [26] y [27], se obtiene 0 = 2.5Vi - 0.5V2
1 = 39Vi + 0.6V2
Al resolver V 2 = 0.1190 V y, de ese modo, Z sai = 0.1190 k£2 Un procedimiento alterno podría consistir en encontrar la tensión de salida en circuito abierto y la corriente de salida en cortocircuito. Por lo tanto, la impe dancia de Thévenin es la impedancia de salida:
^sal —^th —
V ;2ca
T
l;2cc
Llevando a cabo este procedimiento, volver a encender primero la fuente inde pendiente de modo que li = 1 mA, y después poner en circuito abierto la carga, de modo que I2 = 0. Se tiene 1 = 2 .5 V , - 0 .5 V 2
0 = 3 9 V , + 0 .6 V 2
• ---------------------------
W V
--------------( T O 9
710 --------- W
v ---------- ------- •
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS y de ese modo:
h_
------ o
V 2ca = -1 .8 5 7 V
+ V2
Enseguida, se aplican las condiciones de cortocircuito, esto es, se deja V 2 = 0 y se iguala de nuevo l i = 1 mA. Se encuentra que
--------o (a)
li =
1 = 2 .3 V i -
I2 =
0
39V , + 0
y, por lo tanto, l 2cc = 15-6 mA
O +
*
Las direcciones tomadas de V 2 e I2 resultan, en consecuencia, en una impedan cia de Thévenin o de salida
V, Z sal =
o --------
(b) & FIGURA 17.17 (o) Equivalente de Norton de la red de la figura 17.16 a la izquierda de la terminal de salida, l| = 1/0? mA. (b) Equivalente de Thévenin de esa porción de la red, a la derecha de las terminales de entrada, si l2 = -2V2 mA.
l 2ce
1 5 .0
=
° -1 1 9 0 k fi
como antes. Se cuenta ahora con suficiente información que permite dibujar el equiva lente de Thévenin o de Norton del dos-puertos de la figura 17.16, cuando se ac tiva por medio de una fuente de corriente de 1/ 0^ m A y se termina en una carga de 500 Í2. De tal modo, el equivalente de Norton que se presenta a la carga debe contener una fuente de corriente igual a la corriente en cortocircuito I2SCen para lelo con la impedancia de salida; este equivalente se muestra en la figura 17.17a. Además, el equivalente de Thévenin que se presenta a la fuente de entrada 1/0° m A debe consistir sólo en la impedancia de entrada, según se observa en la figura 17.17Z?. Antes de dejar los parámetros y se debe reconocer su utilidad para describir la conexión en paralelo de dos-puertos, como se indica en la figura 17.18. Cuan do se define por primera vez un puerto en la sección 17.1, se observa que la co rriente que entra y sale de las dos terminales de un puerto tenía que ser igual y que no podrían establecerse conexiones externas que establecieran un puente en tre puertos. Al parecer la conexión en paralelo de la figura 17.18 viola esta con dición. Sin embargo, si cada pareja de puertos tiene un nodo de referencia que sea común a su puerto de entrada y de salida y si el dos-puertos se conecta en pa ralelo de manera que tengan un nodo de referencia común, entonces todos los puertos quedan como tales después de la conexión. Por lo tanto, para la red A, 1a = y ¿ v A
■ FIGURA 17.18 Conexión en paralelo de dos redes de dos puertos. Si ambas entradas y salidas tienen el mismo nodo de referencia, la matriz de admitancia es y = y/i + y«.
SECCION17,3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES » donde I ai
y
_I a 2 .
VA =
'V Af
y en el caso de la red B I b = #¡& V B
Sin embargo. Y a = Vb = V
y
I = Ia + Ib
Por lo tanto,
i = (y¿ + ys)v y se observa que cada parámetro y de la red en paralelo está dado como la suma de los parámetros correspondientes de las redes individuales: y = Ya + J b
[28]
Lo anterior puede extenderse a cualquier número de dos-puertos conectados en paralelo.
P R Á C T I C A ___________________________________ _______________
17.6 Determinar y y Z sai de los dos puertos completos de la figura 17.19. 17.7 Utilizar las transformaciones A-Yy Y-A para determinar R en, de la red que se muestra en (a) la figura 17.20a; (b) la figura 17.20b.
200 Í 2
*i
(a)
(b)
ít FIGURA 17.20
r 2 x 1o-4 Respuesta: 17.6: I _ 4 x
1 0 -3
—ío-3
i
2q 3 x 10“3 J (S): 5L1
17 7: 53 71
i-311
W V
T t2 )---------V W ------------------•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 17 .4 g P A R Á M E T R O S DE IM P E D A N C IA _______________________ El concepto de parámetros de dos puertos se presentó en téiminos de los paráme tros de admitancia en cortocircuito. Sin embargo, existen otros conjuntos de pará metros y cada uno se asocia con una clase de redes particular para cuyo uso se proporciona el análisis más simple. Se considerarán otros tres tipos de parámetros, los de impedancia en circuito abierto, que son el tema de esta sección, así como los híbridos y los de transmisión, que se analizan en las secciones siguientes. Se comienza de nuevo con dos puertos lineales generales que no contienen ninguna fuente independiente: las corrientes y las tensiones se asignan como ya se hizo (figura 17.8). Considerar ahora la tensión Vi como la respuesta pro ducida por dos fuentes de corriente li e I 2. Por lo tanto, para Vi se puede escribir
Vi = z u h
Z12I 2
[29]
V 2 = Z2lll + z 22^2
[30]
+
y para V2
" V ,-
= zl —
_v£
1
‘ Z ll
Z l2 '
_z21
Z22. . i 2 .
ir
Desde luego, al usar estas ecuaciones no es necesario que Ij e I 2 sean fuentes de corriente; tampoco se requiere que V] y V2 sean fuentes de tensión. En general, se podría tener, en cualquier extremo, cualesquiera redes que terminen en los de dos puertos. A medida que se escriben las ecuaciones, tal vez se considere que Vi y V2 sean las cantidades indicadas, o variables independientes, y que li e I 2 sean incógnitas, o variables dependientes. Las seis formas en las que se pueden escribir dos ecuaciones para relacionar estas cuatro cantidades definen los diferentes sistemas de parámetros. Se estu dian los cuatro más importantes de estos seis sistemas de parámetros. La descripción más informativa de los parámetros z, definida en las ecuaciones [29] y [30], se obtiene igualando a cero cada una de las comentes. Por lo tanto,
Z 11 =
Z 12 =
Z21 =
Z22 =
Vi
li
[32] I 2=0
Vi I2
[33] I,=0
V 2
[34]
I I I 2=0 V 2 I2
[35] li=0
Puesto que resulta una corriente igual a cero de una terminación en circuito abierto, los parámetros z se conocen como parámetros de impedancia en circuito abierto, los cuales se relacionan con facilidad con los parámetros de admitancia
SECCIÓN17.4 PARAMETROSDEIMPEDANCIA en cortocircuito al resolver las ecuaciones [29] y [30] para li e Ií: Vi
z 12
y 2
Z 22
Z ll
Z 12
Z21
Z 22
li =
Z22
ii =
V i-
Z 11Z22 — Z 12Z 21
V2
z 12
Z llZ 22 — z 12z 21
Utilizando la notación de determinantes y teniendo cuidado de que el subíndice sea una z, se supone que Az 7^ 0 se obtiene A n
yn
_
A7
Z22
_
Az
A 21 _
Z 12
A,
Az
y del despeje de I2, se tiene A 12
y 2i =
Z21 Az
"^ 7
A 22 Zn y 22 = —— = — Az Az
De manera similar, los parámetros z se deben expresar en términos de los parámetros de admitancia. Las transformaciones de esta naturaleza son posibles entre cualquiera de los diversos sistemas de parámetros, y en forma completa se podría obtener una colección de fórmulas ocasionalmente útiles. Las transfor maciones entre los parámetros y y z (así como las de los parámetros h y t que se consideran en las secciones siguientes) se presentan en la tabla 17.1 como una referencia útil.
TABLA
17.1
Transformaciones entre los parám etros y, z, h y t
yn
yn
>'21
y22
y 22
—y¡f
----Ay
-------Ay
-V2I
y 11
A}
Ay'
1
-y i2
Z22
-Z
12
A ¡¡
—h12
t22
—At
hñ ll21 hñ
hliV:
*12
*12
Á'h
~ 1
tl|
hn
112
*12
Ah
h]^;
1
- Z 21
Zll
A z
A ¡¡
Zl] zn
Z| 2
----- ll22 I122
_
_
—h ; i
"*2¿-
Z22
11
Z21
h 22
*21
*21
Az
Z12
*12
At
..
ll22
hn
h 12
h 2i
h j2
yn
yn
Z22¿
Z22
y2i_
Ay
- Z 21
1
yn
y ;i
Z22
Z2Ü¡
-y 2 2
-1
z il
Aj
-A ),
-h n
>'21
Jp
11S
Z21
h 2i
h 2i
~ Ay
—y u
1
Z22
—h j 2
—1
Z21
Z21
M21
I121
y2i
I
21
Para todos los grupos de parámetros: Ap = pi i P22 —P 12P 21 •
tiüí: — Í21
.
At
•---t¿ l
t22 -1
*21
*22
t22
*ií’
*12
*21
Í22Ü
7 14
)----------------------------------------------------------VW --- •
CAPÍTULO 17 REDESDEDOSPUERTOS
Si los dos puertos corresponden a una red bilateral, está presente la recipro cidad; es fácil demostrar que lo anterior origina la igualdad de z 12 y Z21. Los circuitos equivalentes de nuevo se podrían obtener a partir de la inspec ción de las ecuaciones [29] y [30]; su construcción se facilita sumando y res tando o Z12I 1 en la ecuación [30], o z2]I2 en la ecuación [29]. Cada uno de estos circuitos equivalentes contiene una fuente de tensión dependiente. Se dejará la deducción de un equivalente de estas características para algún momento de ocio y se considerará a continuación un ejemplo de naturaleza más general. ¿Se puede construir un equivalente de Thévenin general del dos-puertos, según se observa desde las terminales de salida? Es necesario suponer pri mero una configuración específica del circuito de entrada y se seleccionará una fuente de tensión independiente Vf (signo positivo en la parte superior) en serie con una impedancia de generador Z g. Por lo tanto, V , = V i + I
Al combinar este resultado con las ecuaciones [29] y [30], se eliminarán Vi e li para obtener
V2=
Z21 z u + Z,
-V,+
Z12Z21\
(
V
zn + Z J
El circuito equivalente de Thévenin se puede dibujar en forma directa a partir de esta ecuación, como se observa en la figura 17.21. La impedancia de salida, ex presada en términos de los parámetros z está dada por
Zsal = Z22 — ■ FIGURA 17.21 Equivalente de Thévenin del dos-puertos general, según se observa desde las terminales de salida, expresado en términos de los parámetros de impedancia en circuito abierto.
Z 12Z 21
Z11 + z„
Si la impedancia del generador es cero, se obtiene la expresión más simple Z11Z22 — Z 12Z21 _ Z Sal
Az _
zu
1
(Z — 0)
A 22 y 22
Para este caso especial, la admitancia de salida es idéntica a y 22, como se indica mediante la relación básica de la ecuación [13].
EJEMPLO 17.8 Dado el siguiente conjunto de p arám etro s de im pedancia: 103
10
- 106
104
(todo fl)
que es representativo de un transistor que funciona en la configuración de emisor común, determinar las ganancias respectivas de tensión, corriente y potencia, así como las impedancias de entrada y salida. Podría considerar el dos-puertos como si lo accionara una fuente de tensión senoidal ideal V s en serie con una resistencia de 500 Í2 y terminado en una resistencia de caiga de 10 k íí. Las dos ecuaciones descriptivas del dos-puertos son y l = io 3li -1- 10I2
[36]
V 2 = —10 l i + 104I 2
[37]
SECCION 17.4 PARÁMETROSDEIMPEDANCIA *
y las ecuaciones de caracterización de las redes de entrada y salida corres ponden a V, = 5 0 0 1 , + V ,
[38]
V2 = —104I2
[39]
A partir de estas últimas cuatro ecuaciones, se pueden obtener, sin ninguna dificultad, las expresiones de V i, li V2 e I2 en términos de V,: V i= 0 .7 5 V ,
I i=
Ví
2000
V, 12 = ^ 6 40
V2 = —250V,
A partir de esta información, resulta sencillo determinar la ganancia de tensión, Gv =
V2
= -3 3 3
Vi
la ganancia de corriente, G , = ^ = 50 li
la ganancia de potencia, Re [ ~ |V 2I2] '
16670
R e [ i V t I* ]
y la impedancia de entrada
Zent= Jí- = 1500 íl li
La impedancia de salida se obtiene con referencia a la figura 17.21: Z sai = z22-
Z' 2Z2' = 16.67 kQ Z] i + Z g
De acuerdo con la predicción del teorema de transferencia de potencia máxima, la ganancia de potencia alcanza un valor máximo cuando Z¿ = Zgai = 16.67 kQ ; ese valor máximo es 17 045. Los parámetros y son útiles cuando dos elementos de dos-puertos se interconectan en paralelo, y de una manera dual, los parámetros z simplifican el pro blema de una conexión en serie de redes, que se ilustra en la figura 17.22. Observar que la conexión en serie no es la m isma que la conexión en cascada que se explicará después en conexión con los parámetros de transmisión. Si cada uno del de dos puertos tiene un nodo de referencia común para su entrada y sa lida, y si las referencias se conectan juntas como se indica en la figura 17.22, en tonces l i fluye a través de los puertos de entrada de las dos redes en serie. Una afirmación similar se cumple para I 2. Por lo tanto, los puertos siguen siendo puertos después de la interconexión. Se concluye que I = I¿ = 1B y
V —V a + V* —z¿I¿ + Zfllfi = (zA + zB) l = zl
A /W
< 3
AA/V
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS
I, = I,
Red A
Red B
I FIGURA 17.22 La conexión en serie de dos redes de dos puertos se realiza conectando entre sí los cuatro nodos de referencia común; en ese caso la matriz z = z» + ib .
donde Z = ZA + Z B
de manera que 7¡¡ =
zúa
+ Zi ib, etcétera.
________________________________________
P R Á C T IC A g
17.8 Calcular z del dos puertos que se muestra en: (a) la figura 17.23a; (b) la figura 17.23b. 17.9 Encontrar z del dos-puertos que se muestra en la figura 17.23c.
50 n
:o n
20 Q
o— V W +
20 Q
50 Q
3 FIGURA 17.23
Respuestas: 17.8:
'4 5 25
'2 1 .2
25" 75
(O ).
11.76
11.76' 67.6
J fi).
J7.9:
'7 0 50
1 00' 150
(
APLICACIÓN P R Á C T IC A ") C a r a c te r iza c ió n d e tra n s is to re s
Por lo general, los valores de los parámetros de los tran sistores de unión bipolar se indican en términos de pará metros h . Inventado a finales de la década de los años de 1940 por investigadores de Bell Laboratories (figura 17.24), el transistor es un dispositivo semiconductor no lineal que constituye la base de casi todos los amplifica dores y circuitos lógicos digitales.
siones y las corrientes no se cumple. Por lo tanto, es una práctica común indicar los parámetros h con un valor es pecífico de la corriente de colector Ic y de la tensión del colector-emisor Vce- Otra consecuencia de la no linealidad del dispositivo es que los parámetros h en ca y en cd muchas veces difieren bastante en su valor. Existen muchos tipos de instrumentos que se em plean para obtener los parámetros h correspondientes a un transistor específico. Un ejemplo es un analizador de parámetros de semiconductor, que se muestra en la figu ra 17.26. Este instrumento barre la corriente deseada (graficada sobre el eje vertical) en función de una tensión especificada (graficada sobre el eje horizontal). Se gene ra una “familia” de curvas al variar la corriente de la ba se en intervalos discretos. Como ejemplo, el fabricante del transistor de silicio 2N3904 NPN indica los parámetros h como se nota en la tabla 17.2; observar que a los parámetros específicos se les da asignaciones alternas (h¡e, hre. etc.) por los inge nieros electrónicos. Las mediciones fueron hechas con Ic = 1 .0 mA, VCE= 1 0 V d c y / = 1.0kHz.
■ FIGURA 17.24 Fotografía de la primera demostración del transistor bipolar de unión ("bjt"). Lucent Technologies Inc/Bell Labs
Las tres terminales del transistor se denominan base (b), colector (c) y emisor (e) como se muestra en la figura 17.25, y se nombran de acuerdo con sus funciones en el transporte de portadores de carga dentro del dispositivo. Los parámetros h de un transistor de unión bipolar se mi den casi siempre con la terminal del emisor conectada a tierra, lo que se conoce también como configuración de emisor común; la base se designa entonces como la entrada y el colector como la salida. Sin embargo, como ya se men cionó, el transistor es un dispositivo no lineal, y por ello la definición de los parámetros h válida para todas las teñ ir Colector +
Base +
V C£
Emisor
I FIGURA T7.25 Diagrama de un bjt que muestra las corriente y tensiones definidas de acuerdo con la convención del IEEE.
■ FIGURA 17.26 Vista del despliegue de un analizador de parámetros de semiconductor HP 4155a, que se usa para medir los parámetros h de un transistor de unión bipolar 2N3904.
Sólo por diversión, uno de los autores y un amigo de cidieron medir tales parámetros. Luego de tomar un dis positivo económico del anaquel y utilizar el instrumento de la figura 17.20b, encontraron hoe = 3.3 /¿mhos h ¡e —
3.02 k£2
hfe = 109 hre = 4 x 10-3 (Continúa en la siguiente página)
JA B LA
17.2
Resum en de los parámetros en ca del 2 N 5 9 0 4
Parámetro
Nombre
Especificación
hie(hn)
Impedancia de entrada
1.0-10
hre(h¡2)
Relación (o razón) de retroalimentación de tensión
hfe (hj\)
Ganancia de corriente para pequeña señal
Ke (/i2* r ■
Admitancia de salida
Unidades
kí2
0.5-8.¿ x 10-4 100-400 1.0-40
/imhos
rante la medición, ya que estaban barriendo valores por debajo y por arriba de 1q — 1 mA. Desafortunadamente, los transistores pueden cambiar sus propiedades de for m a muy drástica en función de la temperatura; los valo res del fabricante correspondían de manera específica a 25°C. Luego de que se cambió el barrido para minimizar el calentamiento del dispositivo, obtuvieron un valor de 2.0 x 10-4 para hK. Con los circuitos lineales resulta mucho más fácil trabajar, ¡aunque los circuitos no linea les pueden ser mucho más interesantes!
que los primeros tres de estos valores se ubicaron bien dentro de las tolerancias reconocidas por el fabricante, aunque mucho más cerca de los valores mínimos que de los máximos. Sin embargo, el valor de hK fue un orden de magnitud superior ¡que el valor máximo especificado por la hoja de datos del fabricante!, lo cual resultó bas tante desconcertante, pues se pensó que todo iba muy bien hasta ese momento. Luego de reflexionar, se percataron que el arreglo ex perimental permitía que el dispositivo se calentara du-
Í7.5 t PARAMETROS HIBRIDOS La dificultad para medir cantidades como los parámetros de impedancia en cir cuito abierto surgen cuando debe medirse un parámetro como Z21. Una corriente senoidal conocida se suministra con facilidad en las terminales de entrada, pero debido al elevado excedente de la impedancia de salida del circuito transistorizado, resulta difícil poner en circuito abierto las terminales de salida, o incluso suministrar las tensiones de polarización de cd necesarias y medir la tensión de salida senoidal. Es mucho más fácil llevar a cabo una medición de corriente en cortocircuito en las terminales de salida. Los parámetros híbridos se definen escribiendo el par de ecuaciones que relacionan V 1; I], V2 e I 2 como si V i e I 2 fueran las variables independientes: V i = h n l i + h 12V 2
[40]
I 2 = h 21I i + h 22V 2
[41]
Vi
li
I2
V2
[42]
La naturaleza de los parámetros se aclara poniendo primero V2 = 0. Por lo tanto, Vi h i, =
h 2i =
^ li
= impedancia de entrada de cortocircuito v 2=o
I2 li
v2=o
= gananciadecorriente decortocircuito
W V
SECCION17.5 PARÁMETROSHIBRIDOS
0
Si li = 0, se obtiene
V, V2 I ,=0 h 22 =
ganancia de tensión inversa de circuito abierto
h
admitancia de salida de circuito abierto
V 2 I ,=0
Dado que los parámetros representan una impedancia, una admitancia, una ga nancia de tensión y una ganancia de corriente, se conocen con el nombre de pará metros “híbridos”. Las designaciones de los subíndices de estos parámetros se simplifican a menudo cuando se aplican a transistores. De tal modo, h n , h i 2, h 2i y h 22 se con vierten en h„ h r, h/ y h 0, respectivamente, donde los subíndices denotan entrada, inverso, directo y salida. EJEMPLO
17.9
Determinar li del circuito resistivo bilateral dibujado en la figura 17.27. i, Con la salida en cortocircuito (V2 = 0), la aplicación de una fuente de 1 A en la entrada (li = 1 A) produce una tensión de entrada de 3.4 V (Vi = 3.4 V); por consiguiente, h¡ ¡ = 3.4 Q. Bajo estas mismas condiciones, la corriente de salida se obtiene con facilidad mediante la división de corriente, I2 = —0.4 A; de tal modo, h 21 = —0.4. Los dos parámetros restantes se obtienen con la entrada en circuito abierto (Ij = 0). Se aplicará una tensión de 1 V en las terminales de salida (V2 = 1 V). L a respuesta en las terminales de entrada es 0.4 V (Vi = 0.4 V), y por ello, h i2 = 0.4. La com ente entregada por esta fuente en las terminales de salida es 0.1 A (I2 = 0.1 A), y, por lo tanto, h 22 = 0.1 S. Por lo tanto, se tiene h = teorema de reciprocidad % 2 =
3.4 £2 -0.4 —h 2j
0.4 ' 01S
que es una consecuencia del
en una red bilateral.
P R A C T IC A
17.10 Determinar h del dos-puertos que se muestra en: (a) la figura 17.28a; (b) la figura 17.286. 20 o----- W + Vi
n
ion
----- o
r < > 4o n
+
o--------- -------- j — W v — o +
V2
v.
> 4o n
v.
(b)
(a)
■ FIGURA 17.28
17.11 Si h =
' 5 £2
2 '
.-0 .5
0.1 S.
Respuestas: 17.10:
, encuentre (a) y; (b) z.
20 Q
1
8Q
0.8
—1
25 ms
-0.8
20 ms
. 17.11:
'
0.2 - 0 .1
- 0 .4 ' 0.3 _
(S),
i, -AA/V
+
Vl
-V W 6Q
i a ■4Q
+
V2
I FIGURA 17.27 Red bilateral para la que se calculan los parámetros h: h,2 = -h2| .
CAPITULO17 REDESDEDOSPUERTOS El circuito de la figura 17.29 es una traducción directa de las dos ecuaciones de definición [40] y [41]. La primera representa la LKT en tomo al lazo de en trada, mientras que la segunda se obtiene a partir de la LKC en el nodo de sali da superior. Este circuito es también un circuito equivalente de transistor muy común. Se van a suponer algunos valores razonables para la configuración de emisor común: hn = 1 200ÍÍ, h |2 = 2 x 10-4 , h2i = 50, h22 = 50 x 10~6 S, un generador de tensión de 1/CP mV en serie con 800 £2, y una carga de 5 kQ. Para la entrada, 10“ 3 = (1 200+ 800)1, + 2 x 10“4V2 y en la salida: I2
= - 2 x 10“4V2 = 50Ii + 50 x 10~6V 2
Despejando, se tiene I, = 0 . 5 1 0 /xA
V! = 0.592 mV
I2 = 20.4 /xA
V2 = - 1 0 2 mV
A través del transistor se tiene una ganancia de corriente de 40, una ganancia de tensión de —172, y una ganancia de potencia de 6 880. La impedancia de entrada del transistor corresponde a 1160 Q: unos cuantos cálculos más indican que la impedancia de salida es igual a 22.2 kQ.
■ FIGURA 17,29 Los cuatro parámetros h se refieren a un dos-puertos. Las ecuaciones pertinentes son V, = hl; I, + h12V2 e l2 = h211, + h22V2.
Se podrían agregar en forma directa parámetros híbridos cuando se conectan dos-puertos, en serie a la entrada y en paralelo a la salida, lo cual se conoce como interconexión serie-paralelo, aunque no se usa con mucha frecuencia.
17.6
PARAMETROS DE TRANSMISION
-----------• ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Los últimos parámetros de dos puertos que se analizarán se conocen como parám etros t, parám etros A B C D o simplemente parámetros de transm isión -, se definen mediante: Vi = t „ V 2 — ti2I 2
[43]
Il = t2lV 2 — t22I2
[44]
'V l' I l
— — .
ti
'
V2 '
. tÍ
[
[45]
donde Vi, V 2, li e I 2 se definen como es usual (figura 17.8). Los signos nega tivos que aparecen en las ecuaciones [43] y [44] deben asociarse con la corriente
SECCIÓN 17.6
PARÁMETROSDETRANSMISIÓN
de salida, como (—I2). Así, tanto li como —12 se dirigen hacia la derecha, o sea la dirección de la transmisión de la energía o de la señal. Otra nomenclatura que se emplea mucho para este conjunto de parámetros es B' D
A C
tl2 t22_
til _t2l
[46]
Observar que no hay signos negativos en las matrices t o ABCD. Considerando de nuevo las ecuaciones [43] a [45], se observa que las canti dades de la izquierda, con frecuencia consideradas como las variables dadas o independientes, son la tensión y la corriente ambas de entrada, V , e li; las varia bles dependientes, V 2 e I 2, son las cantidades de salida. Por lo tanto, los paráme tros de transmisión proporcionan una relación directa entre la entrada y la salida. Su uso principal se presenta en el análisis cíe líneas de transmisión y en las redes en cascada. Se van a determinar los parámetros t del dos-puertos resistivo bilateral de la figura 17.30a. Como ejemplo de un posible procedimiento para determinar un único parámetro, considerar t
-
Vl
12- —r —12
V2= 0
Por lo tanto, se pone en cortocircuito la salida (V2 = 0) y se fija Vi = 1 V, como en la figura 17.306. Observar que no se puede igualar a uno el denominador al poner la fuente de corriente de 1A en la salida: en realidad, ya se tiene ahí un cor tocircuito. L a resistencia equivalente que se presenta a la fuente de 1 V es R tq = 2 + (4 1| 10) Í2, y en ese caso se utiliza la división de corriente para obtener
10
1
h
2 + (4|| 10)
10
- =
4
*-A
34
D e aquí que 1
t i \ = .i—- = — 12
34 — = 6.8 Q 3
Si es necesario determinar los cuatro parámetros, se escribe cualquier par conveniente de ecuaciones mediante el empleo de las cuatro cantidades termi nales, V i, V2 li e I2. De la figura 17.30a se tienen dos ecuaciones de malla = 121, + 10I2
[47]
V2 = 10Ij + 1'4Í2
[48]
Vi
Resolviendo la ecuación
[4 8 ]
para li, se tiene
Ij = 0 .1 V 2 - 1 . 4 I 2 por lo que t2i = 0.1 S y t22 = 1.4. Al sustituir la expresión de li en la ecuación [47], se encuentra que Vi =
1 2 (0 .1V 2 -
(a)
X -4 I2) +
1 0 I2 =
1 .2 V 2 -
6 .8 I 2
además, tu = 1.2 y ti 2 = 6.8 Í2, también en este caso. En el caso de redes recíprocas, el determinante de la matriz t es igual a uno: At — ti 1122 — t i 2t2i = 1
0b) I FIGURA 17.30 (o) Red resistiva del dos-puertos para la que se va a determinar los parámetros (b) para obtener t12, sea V, = 1V con V2 = 0; entonces t,2 = l/ ( - b l = 6-8
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS
En el ejemplo resistivo de la figura 17.30, A t = 1.2 x 1.4 — 6.8 x 0.1 = 1. ¡Bien! Se termina el análisis del dos-puertos conectando dos de estos dos-puertos en cascada, como se ilustra en las dos redes de la figura 17.31. Las tensiones y co rrientes de terminal se indican para cada uno de los dos dos-puertos y las rela ciones correspondientes al parámetro t son, para la red A,
ln -----
Ii
v ,:
1,
+ v; _
R ed A
-I4 + _ V4
R edB
Vj
0
I FIGURA 17.31 Cuando las redes >1 yB de dos puertos se conectan en cascada, la matriz del parámetro t de la red combinada está dada por el producto matricial t = t/i t j .
V3
K y para la red B,
M
'
;
]
-
I3
líM-i]
Al combinar estos resultados, se tiene
Por lo tanto, los parámetros t de las redes en cascada se calculan mediante el producto de matrices t = L ita 6 Este producto no se obtiene multiplicando los elementos correspondientes en las dos matrices. Si es necesario, repasar el procedimiento correcto para la multipli cación matricial en el apéndice 2.
Determinar los parámetros l de las redes en cascada de la figura 17.32.
I FIGURA 17.32 Conexión en cascada.
SECCIÓN17.6 PARÁMETROSDETRANSMISIÓN • “
La red A corresponde al dos-puertos de la ñgura 17.32, y, por lo tanto, _
[ 1.2
6.8 Q "
A - [_0.1S
1.4
mientras que la red B tiene valores de resistencia dos veces mayores, por lo cual |Q 0.05 S
tB
13.6 £2 1.4
Para la red combinada,
t = t At B =
'1 .2 O .í
6 .8 "
'1 .2
1 3 .6 '
0.05
I-4 .
1.2'x 1.2 + 6.á x 0.05 0.1 x 1.2 + 1.4 x 0.05
L4_ 1.2 x 13.6 + 6.8 x 1.4 0.1 x 13.6 + 1.4 x 1.4
y 1.78 0.19 S
t =
25.84 Q 3.32
P R A C T IC A
17.12 Dada t =
"3.2 0.2S
4 .
, encontrar (a ) z ; ( b ) t de las dos redes idénticas
en cascada; (c) z de las dos redes idénticas en cascada. R e s p u e sta s :
'1 6
56“
5
20 _
' 1 1 .8 4 (£2);
5 7 .6 Q '
1 .4 4 S
" 8 .2 2 0 .6 9 4
1 7 .6
8 7 .1
'
12.22_
(£2).
1.a caracterización de redes de dos puertos mediante parámetros t brinda la oportunidad de hacer análisis muy simplificados de circuitos en cascada de redes de dos puertos. Como se vio en esta sección, donde, por ejemplo,
tB
1.2
6.8 Q
0.1 S
1.4
1.2 =
0.05 S
13.6 Í2 1.4
se encuentra que los parámetros t que caracterizan a la red en cascada se ob tienen con sólo multiplicar tA y t B:
t = tA • tB Tales operaciones de matrices se efectúan con facilidad con calculadoras científicas o mediante programas de cómputo como MATLAB. La serie de (Continúa en la siguiente página)
A/W
724
----
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
instrucciones de MATLAB, por ejemplo, sería E D U » t A = [ 1 .2 6 .8 ; 0 .1 1 .4 ] ; EDU» EDU»
LB = [ 1 . 2 t = tA*tB
1 3 .6 ; 0 .0 5 1 .4 ];
t1 .7 8 0 0 0 .1 9 0 0
2 5 .8 7 0 0 3 .3 2 0 0
como se vio en el ejemplo 17.10. Para introducir matrices en MATLAB, cada una tiene un nombre de va riable que reconoce mayúsculas (tA, tB y t en este ejemplo). Los elementos de la matriz se incorporan renglón por renglón, empezando con el superior; los renglones se separan mediante un punto y coma. También en esta situación el lector siempre debe tener cuidado de recordar que el orden de las operaciones resulta crítico cuando se realiza álgebra de matrices. Por ejemplo, tB*tA produce una matriz del iodo diferente que la que se busca: tb '
—
2.8
2 7 .2
0.2
2 .3
En el caso de matrices simples, como las consideradas en este ejemplo, una calculadora científica es apenas práctica (y no más que eso). Sin embargo, las redes en cascada más grandes se manejan con mayor facilidad en una computadora, donde es más conveniente ver todos los arreglos de manera simultánea en la pantalla.
RESUMEN Y REPASO___________________________ □ Para emplear los métodos de análisis descritos en este capítulo, resulta crítico recordar que cada puerto sólo puede conectarse a una red de un puerto o a un puerto de otra red multipuerto. □ Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de admitancia (y) son: li = y n V i + y i 2V2
la = y2iVi + y22V2
donde _
yn y 2i
II
li
V, v2=o V;
yi2 y 22 -
v2=o
V 2 V i=0
V2
V i=0
Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de impedancia (z) son: V, = z u I, + z i2I2
V2 = z2]Ii + z22I2
Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros híbridos (h) corresponden a: V i = h n l i + h ] 2V 2
I 2 = h 2i l i + b 22V 2
A /v V
EJERCICIOS » □ Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de transmisión (t) (denominados también parámetros ABCD) son: V] = tu V 2 — U2I2 y
I I — Í21V2 — tg2l2
□ Resulta un procedimiento directo hacer conversiones entre los parámetros h, z, t y y en función de las necesidades del análisis de circuitos; las transformaciones se resumen en la tabla 17.1.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Detalles adicionales acerca de los métodos matriciales en el análisis de circuitos pueden encontrarse en: R. A. DeCarlo andP. M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a. ed. Nueva York: Ox ford University Press, 2001. El análisis de circuitos transistorizados que utilizan parámetros de red se describe en: W. H. Hayt, Jr. and G. W. Neudeck, Electronic Circuit Analysis and Design, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1995.
EJERCICIOS 1 7 .1
R e d e s d e u n p u e rto
1. Considerar el conjunto de ecuaciones siguientes: 4 l! - 8 I2 + 9 I3 = 12 51]
— 7 I3 = 4
7 l!+ 3 I2 +
I3 = 0
(a) Escribir este conjunto de ecuaciones en forma matricial. (b) Determinar Az(c) Determinar A n . (d) Calcular I], (e) Calcular I3. 2. Calcular Az de la red de la figura 17.33 y luego usarla como ayuda para determinar la potencia generada por la fuente de 100 V cd que se inserta en el exterior de la rama de la malla: (a) 1; (b) 2; (c) 3. 3. Determinar Ay de la red de la figura 17.34 y luegoutilizar estedatocomoayuda para determinar la potencia que genera una fuente de10 A cd insertada entre el nodo de referencia y el nodo: (a) 1; (b) 2; (c) 3.
0.2 S
■ FIGURA 17.34
6Q
5Q
A /W —
•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 4. La matriz de resistencia de cierta red de un puerto es como el de la figura 17.35. Calcular Renl para una fuente insertada solamente en la malla 1.
[R] =
3
-1
-1
4
-2 1
-2
2
5
0
3
-2
(£2)
■ FIGURA 17.35
5. Obtener la impedancia equivalente de Thévenin Zn, (s) del puerto de la figura 17.36. 2H
1H
6. Determinar Zent del puerto presentado en la figura 17.37 (a) encontrando Az; (b) encontrando Ay y Yentprimero, y después Zent. +
V, -
— VVN,--------WV— 20 £2
8 £2
0.6V.
?5Q
I FIGURA 17.37
7. Encontrar la impedancia de salida de la red de la figura 17.38, como una función de s. 2Q
0.2 F
20 kíl
8. Si el amp op que se ilustra en la figura 17.39 se considera ideal (R¡ = oo, R0 = 0, y A = oo), determinar Rent. 9. (á) Si se supone que los amp op del circuito de la figura 17.40 son ideales (R¡ = oo, R0 = 0 y A = oo), encuentre Zent. (b) R\ = 4 k£2, R2 = 1ÜkQ.
EJERCICIOS R3 = 10 kíí, i?4 = 1 kíí, y C — 200 pF, demostrar que Z ent = jcüLent, donde L ent = 0-8 mH.
■ 1 7 .2
FIGURA 17.40 P a rá m e tro s d e a d m ita n c ia
10. En la red lineal de la figura 17.8, encontrar ' 9 ' 0.01 0.3 ' (S) y V = (a) I2 si y = 0.02 _ _ —3.5 _ . °-3 (b) Vi si y =
' - 0.1 0.15
0.151 (S) e I = 0.8
' 0 .0 0 1 '
0.02 _
(V );
(A ).
11. Determinar yn y y 12 del dos-puertos de la figura 17.41. 3 fi o— V W +
5 f2
-W \r
+
10 a
V,
2Q
-WV— o ■ 20 a
FIGURA 17.41
12. Si el dos-puertos que se presenta en la figura 17.42 tiene los valores de los paráme tros yn = 10, yi9 = —5, yii = 50 y y?2 = 20, todos en mS, determinar Vi y V? cuando ■= 100 V, Rs = 25 íí, y RL = 100 íí.
13. Calcular los parámetros y de la red de la figura 17.43. xi
25 Q
AA/V
0
-•
A/W
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS 14. Determinar y del dos-puertos de la figura 17.44. 0.51,
I FIGURA 17.44
15. Sea y =
0.1 -8
-0.0025 0.05
(S) para el dos-puertos de la figura 17.45. (a) Obtener
los valores de los cocientes V2/V 1, I2/I | y V1/ I 1. (h) Eliminar la resistencia de 5 Í2 igualar a cero la fuente de 1 V y calcular V2/Í 22Q.
II >
h
< Red pasiva lineal
1 +)
( +
16. Los parámetros de admitancia de un cierto dos-puertos son y
r
V,i (V)
Vj2 (V)
I. (A)
I2 (A)
100
50
5
-32.5
Exp’t #2
50
100
-2 0
-5
Exp’t #3
20
0
Expít #4
5
0
Exp't #5
5
15
Exp’t # l
10 -2 0
(mS).
Proporcionar el nuevo valor de y si se conecta a una resistencia de 100 £2: (a) en serie con uno de los hilos de conexión de entrada; (b) en serie con uno de los hilos de conexión de salida. 17. Completar la tabla que se presenta como parte de la figura 17.46 y proporcionar también los valores de los parámetros y. 18. En el caso de la red lineal general que se muestra en la figura 17.8, encontrar: (a) I2 si y = (b) V2 si y =
■ 1o - 3
J0.01
jO .O l 1 -7O.OO5J 1
T12/43°1 r 1 2 /4 3
>Y L[ 2/0^
2/0^ J
' - i 5 101 ^ P l r i2°z3o°’]
I FIGURA 17.46
4
yi oj (
[ 8 8 /4 5 °
(V);
(A).
19. A menudo, el transistor semiconductor de metal-óxido de efecto de campo (MOS FET), un elemento no lineal de tres terminales que se utiliza en muchas aplicaciones de la electrónica, se especifica en términos de sus parámetros y. Los parámetros en ca dependen en gran medida de las condiciones de medición y comúnmente se lla man y ij , yrs, yfs y yos, como en: h = y¡s Vgs + yrs Vds
[49]
Id — y/sVgs “1“ yosVds
[50]
Donde es la comente de compuerta del transistor.Id es la comente de drenado del transistor y la tercera terminal (la fuente) es común a la entrada y a la salida durante la medición. Por lo tanto, Vgs es la tensión entre la compuerta y la fuente y V¿s es la tensión entre el drenado y la fuente. El modelo típico a alta frecuencia que se utiliza para aproximar el comportamiento de un MOSFET se muestra en la figura 17.47. G o-
OD
So
OS
■ FIGURA 17.47
AA/'y-
EJERCICIOS
729
(a) En el caso de la configuración que se acaba de especificar, ¿qué terminal del transistor se utilizó como la entrada, y qué terminal sc utilizó como salida? (i) De ducir las expresiones de los parámetros y¡s, yrs, y¡ s, y yos definidos en las ecua ciones [49] y [50], en términos de los parámetros del modelo Cgs, Cgr¡, gm,r¿ y Cds de la figura 17.47. (c) Calcular yis, »,,, yfs , y yos si gm = 4.7 mS, C gs = 3.4 pF, Cgl/ = 1.4 pF, Cds = 0.4 pF, y r¿ = 10 kfi. 1 7 .3 A l g u n a s r e d e s e q u i v a l e n t e s
20. Convertir la red A de la figura 17.48 a una red conectada en Y. 1 k£l
o
b
100 £2
4 70 Í2
Cl o------- ^
—
- A W V ------ o b ■220 ü
O d c o-
-O d
I FIGURA 17.49
21. Convertir la red Y de la figura 17.49 a una red conectada en A. 22. Determinar Reat del puerto que se ilustra en la figura 17.50 utilizando transforma ciones Y-A y A-Y, según sea apropiado. 1a 5 Í2
6 £2
3 £2
23. Aplicar las transformaciones Y-A y A-Y para determinar la resistencia de entrada del puerto que se muestra en la figura 17.51. 24. Determinar Z ent en la red de la figura 17.52.
j 12 £2
o------- ---------
■ FIGURA 17.52
v’4 £2
A /W
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
25. Sea y =
0.4 -5
-0.002 0.04
(S) del dos-puertos de la figura 17.53; determinar
(a) Gy; (b) G?; (c) Gp, (d) Zent; (e) Z, 20.
20 a
26. Sea y =
0.1 -0 .5
-0.05 0.2
(S) del dos-puertos de la figura 17.54. Determinar
(a) Gv; (b) G¡, (c) GP; (d) Zent; () ZsaI. ( / ) Si la ganancia de tensión inversa Gy,rev se define como V¡ / V2 con Vs = 0 y se elimina R l calcular Gy?rev. (g) Si la ganan cia de potencia de inserción G¡ns se define como el cociente de Psn con el dos-puertos en su sitio y Pm con el dos-puentes sustituidos por puentes que conectan cada terminal de entrada con la terminal de salida correspondiente, calcular Ginsio n
27. (a) Dibujar un circuito equivalente en la forma de la figura 17.13b en el cual '1.5
-1 ' (mS). (b) Si dos del mismo dos-puertos se conectan en paralelo, 3_ dibujar el nuevo circuito equivalente y demostrar que ynuevo = 2y.
y = _4
28. (a) Determinar y a del dos-puertos de la figura 17.55a. ( b ) Calcular y , , de la figura 17.55b. (c) Dibujar la red que se obtiene cuando dos del mismo dos-puertos se conectan en paralelo; además, demostrar que y de esta red es igual a y„ + y¿.
o ------------ v w +
V,
+
+
V,
V2
(a)
(b)
[ FIGURA 17.55 1 7 .4 P a r á m e t r o s d e im p e d a n c i a
29. En el caso de la red lineal que se muestra en la figura 17.8, ' 1.5' "4.7 2.2 ' (mA); (b) I2 si (a) encontrar Vi si z (k£2) y I = _ — 2.5_ _ 2.2 3.3 ‘g l
(k ü )y V =
1 -2
(V).
EJERCICIOS 30. Considerar la red lineal general de la figura 17.8. Calcular (a) V2 si z = ' 5 M ( Q , y J - j 2 ] ( >y '- i ib) I, si z =
I = r 2^
'
(A);
L 2/ 0^ _ f 137/30°' (V ). 105/45°
31. Calcular z del dos-puertos de la figura 17.56. 8 £2
32. (a) Determinar z del dos-puertos de la figura 17.57. (b) Si la ganancia de tensión Gy.
= I2 = 1 A, encontrar
2 £2
' 4 1.5' (Q). La entrada 10 3 consiste en una fuente Vs en serie con 5 Q, en tanto que la salida es R l = 2 £2. Calcular (a) G/; { b ) Gy; ( c ) G p \ ( d ) Zent; ( e ) ZsaI.
33. Un cierto dos-puertos se describe mediante z ¡
'
1000
100 '
(íí) par el dos-puertos de la figura 17.58. Obtener la -2 0 0 0 400_ potencia promedio (activa) entregada: (a) a la resistencia de 200 Q; (b) a la resisten cia de 500 íí; ¡c) al dos-puertos.
34. Sea [z] =
200 £2
35. Determinar los cuatro parámetros z a co = 108 rad/s para el circuito equivalente del transistor de alta frecuencia de la figura 17.59. 1 pF
A /W
0
CAPITULO17 REDESDEDOSPUERTOS '2 0
2"
(£2) se activa mediante una fuente 40 10. \ s = 100/0° V en serie con 5 Sí, y termina en una resistencia de 25 Sí. Obtener el circuito equivalente de Thévenin visto desde la resistencia de 25 fí.
36. Un dos-puertos para el cual z =
1 7 .5
P a r á m e tr o s h íb r id o s
9 Sí - 2 . Calcular 20 0.2 S el nuevo h que resulta si se conecta una resistencia de 1 Sí en serie con: (a) la en trada; (b) la salida. 38. Determinar Zent y Zs¡¡¡ del dos-puertos accionado por una fuente que tiene Rs = 100 Sí 37. Los parámetros h de un cierto dos-puertos son h =
y termina con R l = 500 Sí, si h =
^ 1 0 0 Sí
20
0 .0 1 '
lmS
39. Observar el dos-puertos de la figura 17.60 y determinar (a) h]2; (b) zi2; (c) y 12.
40. Sea hi 1 = 1 kSÍ, h n = —1, h2i = 4, y I122 = 500 //S para el dos-puertos que se presenta en la figura 17.61. Determinar la potencia promedio (activa) entregada a (a) R s = 200 Sí; (b) R l = 1 kSÍ; (c) al dos-puertos completo. 200 £2
41. (a) Determinar h para el dos-puertos de la figura 17.62. (b) Calcular Zsal si la en trada contiene \ s en serie con Rs = 200. 10 k £2
42. Determinar y, z y h para ambos dos-puertos de la figura 17.63. Si algún parámetro resulta infinito, páselo por alto (no tomarlo en cuenta).
(a) I FIGURA 17.63
(b)
EJERCICIOS * 43. La figura 17.64 muestra un modelo de transistor bipolar de unión (bjt) de alta frecuencia utilizado comúnmente, el cual funciona para magnitudes pequeñas de señal en ca. Si la terminal emisor (marcada con una E) es común a la entrada y a la salida y la terminal base (marcada con una B) se utiliza como entrada, deducir una expresión en términos de rx, rn, Cm C^, gm y rdpara (a) hoe; (b) hfe; (c) y (d) h
1 7 .6
P a r á m e tr o s d e tr a n s m is ió n
44. Dados y = 1
[1 3 2
-2 4 ,b= 4_ _—!
3 2 4 6" >c = 5_ _—2 3 5
-1 " °_
- 1'
3
5 0 calcular: (a) y • b; (tí) b • y; (c) b • c; (d) c • d; -3 1 4 -4 2 (e) y • b • c d. 45. (a) Determinar t del dos-puertos que se muestra en la figura 17.65. (tí) Calcular Zsai para el dos-puertos, si R, = 15 Q de la fuente es de 15 íl. d=
-2
46. Obtener t del dos-puertos de la figura 17.66. 47. (a) Calcular t¿, t5 y tc para la cascada formada por dos de dos-puertos mostrada en la figura 17.67. (b) Determinar t del dos-puertos de seis resistencias.
2ü
3a
•'-----VW-----T I iv w
■ FIGURA 17.67
A /W
0
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 48. (a) Calcular 11para la sola resistencia de 2 £2 de la figura 17.68. (b) Demostrar que t para una sola resistencia de 10 Í 2 se puede obtener mediante (t^)5. 49. (a) Determinar t„, t¡, y tc de las redes que se muestran en la figura 17.69a, b y c. (b) Mediante las reglas de la interconexión del dos-puertos con otro en cascada, calcu lar t de la red de la figura 17.69d. l:a
(a)
(b)
2
£2
1:4
(c)
20 Q
(d)
m FIGURA 17.69
50. (a) Determinar t del dos-puertos de la figura 17.70. (b) Utilizar las técnicas del dospuertos conectado en cascada con otro para calcular tnuevo al conectarse a través de su salida una resistencia de 20 Í2.
10 £2
■ FIGURA 17.70
5 £2
Análisis de circuitos por Fourier CONCEPTOS C LA VE
INTRODUCCIÓN
Representación defunciones
En este capítulo se continúa con la introducción al análisis de circuitos
periódicas como suma de
con el estudio de las funciones periódicas tanto en el dominio del tiem
senos y cosenos.
po como en el de la frecuencia. De manera específica, se consideran funciones forzadas periódicas con naturalezas funcionales que satisfa
Frecuencias armónicas.
cen ciertas restricciones matemáticas, características de cualquier fun ción que se pueda generar en el laboratorio. Estas funciones pueden re
Simetría par e impar.
presentarse como la suma de un número infinito de funciones seno y coseno, que se relacionan de manera armónica. Por lo tanto, debido a
Simetría de media ores
que la respuesta forzada de cada componente senoidal se determina con facilidad mediante el análisis senoidal de estado permanente, la res puesta de la red lineal a la función forzada periódica general se obtiene
Forma compleja de la serie de Fourier.
mediante la superposición de las respuestas parciales. El tema de la serie de Fourier es de vital importancia para varios
Espectro de línea c:s c K r
campos, en particular para el de las comunicaciones. Sin embargo, el uso de las técnicas basadas en el análisis de Fourier para auxiliar
Transformada de F o t r á
el análisis de circuitos poco a poco ha caído en desuso en los últi mos años. Ahora que es necesario enfrentar una fracción cada vez
U so d e las té c n ic a s
iz
¿
s e r i e y l a t r a n s f c rn‘ ; : í : t
más grande de uso de energía global que proviene de equipos que
F o u rier e n el a n á ' -
emplean suministros de potencia modulados por pulsos (por ejem
cu ito s.
d t: -
plo, computadoras), el tema de los armónicos en los sistemas de po tencia y la electrónica de potencia se está convirtiendo con mucha
Respuesta de un sis": * «
rapidez en un problema serio, incluso en plantas de generación de
convolución en ei ánsm
gran escala. Sólo con el análisis basado en las series de Fourier se
de la frecuencia.
comprenden los problemas implícitos y las soluciones posibles.
18.1 % FORMA TRIGONOMÉTRICA DE_________ * LA SERIE DE FOURIER Se sabe que la respuesta completa de un circuito lineal a una función forzada arbitraria está compuesta por la suma de una respuesta forzada y una respuesta natural. La respuesta natural se analizó tanto en el
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER dominio del tiempo (capítulos 7, 8 y 9) como en el dominio de la frecuencia (capítu los 14 y 15). La respuesta forzada se ha considerado también desde diferentes perspectivas, entre las que se incluyen las técnicas basadas en fasores del capítulo 10. Como se ha visto, en algunos casos son necesarios ambos componentes de la res puesta total de un circuito en particular, mientras que en otros solamente se requería la respuesta natural o la forzada. En esta sección se vuelve a enfocar la atención en las funciones forzadas senoidales por naturaleza y se descubre cómo escribir una función periódica general como la suma de dichas fundones, lo que lleva a un análi sis de un nuevo conjunto de procedimientos para el análisis de circuitos.
Armónicas Quizás se obtenga cierta percepción de la validez de representar una función periódica general mediante una suma infinita de funciones seno y coseno al con siderar un ejemplo simple. Suponer primero una función coseno de frecuencia en radianes coo, v \ ( t ) = 2 cosíW oí
donde cao = 2 t t / o
y el periodo T es T _ J_ _ 2tt /o
Si bien T suele no llevar un subíndice cero, es el periodo de la frecuencia funda mental. Las armónicas de esta senoide tienen frecuencias angulares neo o, donde coq es la frecuencia angular fundamental y n = 1,2, 3 , ---- La frecuencia angu lar del primer armónico es la frecuencia angular fundam ental. A continuación se selecciona una tercera armónica de tensión w3a ( 0 =
c o s 3&>oí
La fundamental v \ (í), la tercera armónica v3a(t) y la suma de ambas se mues tran como funciones del tiempo en la figura 18.1a. Debe observarse que la suma es periódica, con periodo T = 2 tt/ coq. La forma de la función periódica resultante cambia a medida que varía la fase y la amplitud de la componente de la tercera armónica. De tal manera, la figura 18.1 b muestra el efecto de combinar v \(t) y una tercera armónica de amplitud un poco mayor: Vy,(t) = 1.5cos3&>oí Al desplazar la fase de la tercera armónica de 90 grados se obtiene v3c(t) = sen 3 co0t La suma, que se muestra en la figura 18.1c, adquiere un carácter incluso diferente. En todos los casos, el periodo de la forma de onda resultante es el mismo que el de la forma de onda fundamental. La naturaleza de la forma de onda depende de la amplitud y de la fase de toda componente armónica posible, por lo que se pueden generar formas de onda que tienen características en extremo no senoidales, mediante una combinación apropiada de funciones senoidales. Después que el lector se familiarice con el uso de la suma de un número in finito de funciones seno y coseno para representar una forma de onda periódica, se considera la representación en el dominio de la frecuencia de una forma de onda no periódica general, de una manera similar a la transformada de Laplace.
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER *
W V ----- { 737
■ FIGURA 18.1 Varias formas de onda diferentes que se pueden obtener (de un número infinito) mediante la combinación de una fundamental y una tercera armónica. La fundamental es y, =2cosa>0t, y la tercera armónica corresponde a: (a) i/y = CDS3cL>0f; (¿>) i/3¿ = 1.5 cos 3&)0f ; (c) iVx = sen í w g t .
P R Á C T I C A _________________________ ______________________
L8.1 Suponer que se agrega una tercera armónica de tensión a la fundamental para producir v = 2 cos (üqí + Vm3 sen cooí, la forma de onda de la figura 1 8 .1 c para Vmj = 1. ( a ) Determinar el valor de V m 3 de manera que v(í) tenga una pendiente cero en ojqí = 2 i t /2>. (b) Evaluar v(t) en tú q í = 2 7 T /3 . R e s p u e s ta s : 0 .5 7 7 ; —1 .0 0 0 .
La serie de Fourier Considerar primero una función periódica f ( t ) , definida en la sección 11.2 por la relación funcional siguiente: m
= f(t
+
T)
AA/V
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER donde T es el periodo. Se supone además que la función f ( t ) satisface las siguientes propiedades:
Se tomará f(t) para representar una forma de onda de tensión o corriente; además, cualquier forma de onda de tensión o corriente que se pueda en realidad producir debe satisfacer estas condiciones. Ciertas funciones matemáticas que se podrían suponer quizás no satisfagan tales condiciones, aunque se supondrá que las cuatro condiciones siempre se satisfacen.
1. f ( t ) es univaluada en todos lados; es decir, f ( t ) satisface la definición m atemática de una función. 2. La integral f ^ +T \ f ( t ) \ d t existe (es decir, no es infinita) para cualquier t0. 3. f i t ) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo. 4. f ( t ) tiene un número finito de máximos y de mínimos en cualquier periodo. Dada tal función periódica / ( í ) , el teorema de Fourier establece que f i t ) se po dría representar mediante la serie infinita: f ( t ) = flo + «i eos coot + a2 cos 2coot H----+ b[ sen coot + b2 sen 2co0t + ■■•
[1]
OO
= a0 + y ^ (a „ cos ncüot + bn sen n cü0t) n= 1
donde la pulsación fundamental coo se relaciona con el periodo T mediante 2n Wn =
-----
T
y donde üq, a„ y bn son constantes que dependen de n y de f i t ) . La ecuación [1 ] es una forma trigonométrica de la s e r i e d e F o u r i e r para f ( t ) , en tanto el pro ceso de determinar los valores de las constantes üq, a„ y bn se llama análisis de Fourier. El objetivo no es la prueba de este teorema, sino sólo una simple for mulación de los procedimientos del análisis de Fourier y una percepción de que el teorema es correcto (convincente).
Algunas integrales trigonométricas útiles Antes de explicar la evaluación de las constantes que aparecen en la serie de Fourier, se recopilará un conjunto de integrales trigonométricas útiles. Sean n como k representativos de cualquier elemento del conjunto de enteros 1, 2 , 3 , . . . En las siguientes integrales, O y T se usan como límites de integración, aunque se en tiende que cualquier intervalo de un periodo es igual de correcto. Dado que el valor promedio de una senoide sobre un periodo es cero, T
sen na>ot dt = O
[2]
cosna>otdt=0
[3]
L
T o
También resulta sencillo demostrar que las siguientes tres integrales definidas son cero:
/
sen kcoot cos ncoot d t = O
[4]
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER *
í í
T
sen kcúQt sen ncoot dt = 0
(k =£ n)
[5]
cos kcoot cos ncoot d t = 0
(k ^ n)
[6]
T
Los casos que se exceptúan en las ecuaciones [5] y [6] también se evalúan con facilidad; se obtiene f*T T I sen2 ncoot d t = —
2
Jo
í
1
T 1 eos 2 ncüQt d-t = —
[7]
[8]
Evaluación de los coeficientes de Fourier La evaluación de las constantes desconocidas en la serie de Fourier tal vez ahora se consiga sin dificultades. Primero se busca a 0. Si se integra cada lado de la ecuación [1] a lo largo de un periodo completo, se obtiene nT
nT
nT QO
I
f(t)dt= I
aodt + I
Jo
Jo
Jo
y ^ ( a „ cosnw ^t + bn sen ncúpt) dt
“ í
Pero todo término de la sumatoria es de la forma de la ecuación [2] o [3], por lo cual T
f { t ) d t = a0T
f Jo
a0 = 7 r f f (t) dt t Jo
[9]
Esta constante a0 es sencillamente el valor promedio de f ( t ) sobre un periodo, y por tanto se describe como una componente en cd de f ( t ) . Para evaluar uno de los coeficientes coseno — tal como a¡,, el coeficiente de cos kojQt— se multiplica primero cada lado de la ecuación [1] por cos kcoot y luego se integran ambos lados de la ecuación sobre un periodo completo: I
f ( t ) cos ka>ot d t = I
Jo
Jo
üq cos kcoot d t pT
oo
+ I
an cos kcoat cos na>Qt d t n= l
fT
+ I J0
oo
V bn cos kmoí sen na¡ot dt n= 1
En las ecuaciones [3], [4] y [6] se observa que todo término del lado derecho de ellas es cero, salvo el término individual an, donde k = n. Se evalúa el término utilizando la ecuación [8] y al hacerlo de ese modo se encuentra a¡, o a„: T
-
I
í
f
(Y)cos ncoot d t
[10]
A/W
A /W
-----------------•
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER El resultado es el doble del valor promedio del producto /( ? ) cos nco^t sobre un periodo. De manera similar, se obtiene bk si se multiplica por sen ka>ot, se integra so bre un periodo, pero se observa que todos, menos uno de los términos del lado derecho, son cero y se efectúa esa simple integración mediante la ecuación [7]. El resultado es 2 fT
bn = — \
f ( t ) sen ncüotdt
[11]
I Jo que es el doble del valor promedio d e /(f) sen nco^t, sobre un periodo. Las ecuaciones de la [9] a la [11] permiten ahora determinar los valores de «o y de todas las an y b„ de la serie de Fourier, en la ecuación [ 1]:
f ( t ) = a0 +
cos na>ot + bn sen nco^t)
[1]
n= i 2n w o = — = 2 ic J o
[9]
ao
=l f
f ( t ) cosncüoí d t
[ 10]
f ( t ) sen ncúQt dt
[ 11]
1 J0
- r2í fJo
EJEMPLO L a fo rm a de onda “sem isenoidal” que se m u estra en la figura 18.2 representa la respuesta en tensión que se obtiene a la salida del circuito r e c tiíic a d o r de m edia onda, un circuito no lineal cuyo propósito es con v ertir una tensión de en tra d a senoidal en una tensión de salida de cd (pulsante). D eterm inar la representación m ediante una serie de F o u rie r de esta fo rm a de onda.
Identificar el objetivo del problema. Se presenta una función periódica semejante, de manera parcial, a una forma de onda senoidal y se pide determinar la representación mediante una serie de Fourier. A no ser por la eliminación de todas las tensiones negativas, el problema seria trivial, pues sólo se requeriría una senoide. v(t)
■ FIGURA 18 .2 Salida de un rectificador de media onda en el que se aplica una entrada senoidal.
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER
Recopilar toda Ia información conocida. Para representar esta tensión como una serie de Fourier, se debe determinar primero el periodo y luego expresar la tensión gráfica como una función analítica del tiempo. De acuerdo con la gráfica, se observa que el periodo es T = 0 .4 s así que /o = 2.5 Hz
y wo
5tt rad/s
=
Elaborar un plan. La forma más directa es aplicar las ecuaciones 9 a 11 para calcular el con junto de coeficientes ao, a„ y bn. Para llevar a cabo lo anterior, es necesario contar con una expresión funcional de v{t), siendo la más directa la definida sobre el intervalo t = 0 a / = 0.4 como: v(t) =
Vmcos 57r í
0 < t < 0.1
0
0.1 < t < 0.3
Vmcos 57r í
0.3 < í < 0.4
Sin embargo, al elegir que el periodo se extienda desde í = —0.1 hasta í = 0.3 se obtendría un menor número de ecuaciones, y en consecuencia menos integrales:
Í V mcos57Tí 1 ,( 0 =
- 0 .1 < t < 0 . 1 0.1 < , < 0 .3
{ o
1121
Esta forma es preferible, aunque cualquier descripción daría el resultado correcto.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Observar que la integración sobre un periodo
La componente de frecuencia cero se obtiene con facilidad: ^
/*0,3
ao = 7 7 7 /
J - 0.1
-y
~
v(t)dt = —
/*0-1
/
completo debe descomponerse en subintervalos del
/*0.3
Vmcos5 n t d t +
periodo, para cada uno de los cuales se conoce la
(0) < *
L./-0.1J0.1
forma funcional de v(t).
La amplitud de un término coseno general es: 2 a" _
r.0.1
r - 1
0 4 lo .!
Vm cos 57rí cos 5 n n t d t
y la amplitud de un término senoidal general es 2
r/,° I1
eos 57r í sen 5ir nt dt
0) -/ 4 J - 0.1
el cual, de hecho, es siempre igual a cero, por lo cual no se tomará en cuenta de aquí en adelante.
Determinar si se requiere información adicional. La forma de la función que se obtuvo luego de integrar difiere cuando n es la unidad, en comparación con el caso en el que se elige cualquier otro valor de ra. Si ra = 1, se tiene f U.l 0.
/
eos257x t d t
a\ — 5Vm I - 0.1
= ^ ~ [13] (Continúa en la siguiente página)
7 4 2 )-------------
V W ----------- •
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER
mientras que si n no es igual a la unidad, se encuentra que pO.l U.l
/
an = d vm l
cos 5n t cos 5n n t dt -0.1
Buscar la solución. Al resolver, se tiene que
[14]
a0 = JT Í 0A 1 - [ c o s 57r ( l ^ Vm- I T
+ n )t + c o s57r ( l — ra)í] dt
J - 0.1 ¿
Debe destacarse, de manera incidental, que la expresión de a„ cuando n ^ 1 proporcionará el resultado concreto den = 1 en el límite, a medida
2V m cos(7r n /2)
que/i -1# 1.
1 —n 2
n
(n + 1)
[15]
(Una integración similar muestra que bn = 0 para cualquier valor de n y que así la serie de Fourier no contiene términos seno.) Por lo tanto, la serie de Fourier se obtiene de las ecuaciones [1], [13], [14] y [15]: Vm
Vm
ir
2
.
t
2Vm
2Vm
3n
157r
v (t ) = ------ 1-------- cos 57xt H---- cos I O j t í -------------- cos 20irt H--------cos 30 n t — • • • 35it
[16]
Verificarla solución. ¿Es razonable o la esperada? La solución se comprueba insertando valores en la ecuación [16] y trun cando después un número específico de términos. Sin embargo, otro método consiste en graficar la función, como se indica en la figura 18.3
v(t) (volts)
I FIGURA 18.3 Ecuación [16] truncada después del término n = l , n = 2 y / í = 6 q u e muestra la convergencia hacia la media senoide i/(f). Se ha elegido por conveniencia una magnitud de Vm — 1-
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER • “
A/W
para n — 1, 2 y 6. Como puede verse, a medida que se incluyan más térmi nos, la gráfica se asemejará más a la de la figura 18.2. P R Á C T IC A
18.2 Una función periódica / ( í ) se describe como sigue: f ( t ) = - 4 , para 0 < t < 0.3; f{t) = 6, para 0.3 < t < 0.4; f ( t ) = 0, para 0.4 < t < 0.5; T = 0.5. Evaluar: (a) a o; (b) a ^ c ) b\. 18.3 Escribir la serie de Fourier para las tres formas de onda de tensión de la figura 18.4. V
v (V)
(V)
+1
-1
0
1
2
-1
- t ( s)
4
3
(a)
MW
V
(V)
■ FIGURA 18.4 Respuestas: 18.2: —L.200; L.383;—4.44.18.3: (4 /jr)(sen n t + - sen 3 n t + j sen 5 Jtt + ■■■) V; 1
1
r (s)
-1
9.
1
( 4 /;r ) ( c o s ^ í — ^ c o s 3 ^ í + jC o s5 J t t ------ )V ;(8/^*)(sen n t — ^ s e n 3 ^ / + ^ s e n 5 ^ í -------).
Espectros de línea y de fase En la figura 18.2, la función v(¿ ) del ejemplo 18.1 se muestra en forma gráfica y, en la ecuación [ 12 ] ,) se expresa como una función analítica (ambas representa ciones están en el dominio del tiempo). La representación en serie de Fourier de v(t) en la ecuación [16] también es una expresión en el dominio del tiempo, aunque se podría transformar con facilidad en una representación en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, la figura 18.5 muestra la amplitud de cada com ponente de frecuencia de v{t), un tipo de gráfica llamada espectro de línea. Aquí, la magnitud de cada componente de frecuencia (es decir, \a0\, \a\ \, etc.) se indica por la longitud de la línea vertical a la frecuencia correspondiente (/o ,/i, etc.); para efectos de conveniencia, se ha tomado Vm = 1. Dado un valor diferente de Vm, simplemente se ajustan los valores del eje y a los nuevos valores.
A /W
CAPÍTULO 18
ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER
■ FIGURA 18 .5 Espectro de línea discreto de i/(í) como se representa en la ecuación [16], que muestra las primeras siete componentes de frecuencia. Por conveniencia se ha seleccionado una magnitud de
A menudo, dicha gráfica se conoce con el nom bre de espectro discreto y un solo vistazo a ella proporciona una gran cantidad de información. En par ticular, se puede observar cuántos térm inos de la serie se requieren para obtener una aproxim ación razonable de la form a de onda original. En el es pectro de línea de la figura 18.5 se observa que las armónicas 8a. y 10a. (20 y 25 Hz, respectivam ente) agregan solamente una pequeña corrección. Por lo tanto, interrum pir la serie después de la 6a. arm ónica debe proporcionar una buena aproximación; el lector podrá juzgarlo por sí mismo considerando la figura 18.3. Es necesario señalar un aspecto importante. El ejemplo considerado no con tiene términos seno y la amplitud de la armónica enésima es, por lo tanto, \an\. Si b„ no es cero, entonces la amplitud de la componente a una frecuencia hcoq debe ser / a 2 + b \, que es una cantidad general que se debe indicar en el espec tro de líneas. Cuando se estudie la forma compleja de la serie de Fourier, se verá que tal amplitud se obtiene de manera más directa. Además del espectro de amplitud, también se construye un espectro de fase discreto. A cualquier frecuencia neoo , se combinan los términos coseno y seno para determinar el ángulo de fase 4>n: an cos na>Qt + b„ sen na>at = ^j a 2 + b2 cos ^ nco^t + tan-1 — = ^ a n + b l COS( nC° 0 t + 4>n) O ,
.
4>n — tan
—i ~ b n
----cin
En la ecuación [16], 4>n = 0C o 180° para cualquier n. L a serie de Fourier de este ejemplo no incluye términos seno ni armónicas im pares (salvo la fundamental) entre los términos coseno. Se puede pronosticar la
SECCIÓN18.2 USOCELASIMETRIA ausencia de ciertos términos en una serie de Fourier, antes de que se efectúe cualquier integración, mediante una inspección de la simetría de la función de tiempo dada. En la siguiente sección se investigará el uso de la simetría.
m
18.2 USO DE LA SIMETRÍA --------•-------------------------------------------------------------------------------------Simetría par e impar Los dos tipos de simetría que se reconocen con mayor facilidad son la simetría de función p ar y la defunción impar o simplemente simetría p a r y simetría impar. Se dice que f f t ) posee la propiedad de simetría si m
= f(~t)
Funciones como f2, cos3í, ln(cosí), sen2 7f, y una constante C poseen todas simetría par; la sustitución de t por (—f) no cambia el valor de ninguna de estas funciones. Este tipo de simetría también se podría reconocer en forma gráfica, pues si f ( t ) = f ( —t) entonces existe simetría reflejada respecto del eje f ( t ) . La función de la figura 18.6a posee simetría par; si la figura se plegara a lo largo del eje f ( t ) , entonces las porciones de la gráfica de los tiempos positivo y negativo coincidirán con exactitud. Se define la simetría impar señalando que si es una propiedad de f ( t ) , en tonces f(0 = -f(-t)
Simetría y términos de la serie de Fourier Se investigará ahora el efecto que la simetría par produce en una serie de Fourier. Si se considera la expresión que iguala una función par f ( t ) con la su ma de un número infinito de funciones seno y coseno, resulta claro que la suma también debe ser una función par. Sin embargo, una onda seno es una función impar, y ninguna suma de onda seno puede producir una función par, aparte de cero (que es tanto par como impar). Así, es posible que la serie de Fourier de cual quier función par esté compuesta sólo por una constante y por funciones coseno. Se demostrará ahora con cuidado que bn = 0. Se tiene
2 r r° r T¡2 i = — / f ( t ) sen ncoQtdt + / f ( t ) sen ncoot dt T \_J—T¡2 Jo
■ FIGURA 18.6 (o) Forma de onda que muestra simetría par. (6) Forma de onda con simetría impar.
[18]
En otras palabras, si t se sustituye por (—r), entonces se obtiene el negativo de la función dada; por ejemplo, t, sen t, t cos 701, t a /T + 7 2, y la función dibujada en la figura 18.6/; son funciones impares y poseen simetría impar. Las característi cas gráficas de la simetría impar son patentes en la parte de f ( t ) para la que t > 0 se gira en tom o al eje t positivo y la figura resultante se gira después en torno al eje f ( t ) \ las dos curvas coincidirán de manera exacta. Es decir, en este caso se tiene simetría respecto del origen y no en tomo al eje / ( ? ) , como ocurrió en el caso de las funciones pares. Al tener definiciones de la simetría par y la impar, se debe observar que el producto de dos funciones con simetría par, o de dos funciones con simetría impar, tiene como resultado una función con sim etría par. Por su parte, el pro ducto de una función par y una im par da como resultado una función con ¿m e tría impar.
2 í^ 2 bn = — I f ( t ) sen nwot dt T J - t /2
m
[17]
««Mí
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Luego se sustituye la variable t en la primera integral por —t , curre al hecho de que f ( t ) = / ( —t) = f ( r ) : fO [ í 2 bn = — / / ( - t T U t /2
pT/2 )
sen
( — n c L > o r)(— d r )
T
I
f r/2 sen
f ( t )
-|
1
ncú0t d t
Jo
fT / 2
I Jo
+
r = —í , y se re
o
j
fT/2
f ( x ) sen ncú0x d x +■ / Jo
f i t ) sen nwotdt
Sin embargo, el símbolo que se utiliza para identificar la variable de integración no puede afectar el valor de la integral. Así, rT/2
nT/2
I/ ( r) sen ruó ot dx — I
f ( t ) sen ncoot dx Jo
Jo
bn = 0
(simetría par)
[19]
Ningún término seno está presente. En consecuencia, si f ( t ) tiene simetría par, entonces bn = 0; inversamente, si bn = 0, entonces f ( r ) debe tener simetría par. Una inspección similar de la expresión de an conduce a una integral sobre la mitad del periodo que se extiende desde t = 0 hasta t — j T \ 4 [ T>2 an — — I f ( t ) cos ncoot d t T Jo
(simetría par)[20]
El hecho de que sea posible obtener a„ de una función par tomando “el doble de la integral sobre la mitad del intervalo” debe parecer lógico. Una función con simetría impar no contiene un término constante ni un tér mino seno en su desarrollo de Fourier. Se demostrará la segunda parte de este enunciado. Se tiene 2 an — — I
r T/2 f (t) cos ncoot dt T/2
2 r
r T/2f { t ) cos ncoot dt
r°
= — / f (t) cos ncoot dt + I T l J - T /2 Jo
y ahora se hace que t = —r en la primera integral: T/2 2 f fO r fp I,¿ an = — / / ( —t ) cos(—ncúox) (—id x) + I f (t) cosncúotdt T U t /2 Jo
=
2 r r T/2
t
\J
í ' f ( t ) cosnwot dt
f ( ~ r ) co s n wo x d x + J^
Pero f ( —x) = - / ( r ) ; por lo tanto, an — 0
(simetría impar)
[21]
Una prueba similar,aunque más simple, demuestra que a0 — 0
(simetría impar)
Por lo tanto,con simetría impar an = 0 y ao = 0; inversamente, si a„ — 0 y ao = 0, está presente la simetría impar.
SECCIÓN 18.2 USO DE LA SIMETRIA
A /W
747
Los valores de bn se obtendrían otra vez integrando sobre la mitad del intervalo: 4 f fT/2 / f ( í ') sen noJor dt
T Jo
(simetría impar)
[ 22]
El problema de práctica 18.3 que antecede a esta sección proporcionó ejemplos de simetría par e impar. Tanto en la parte a como en la b, la función dada es una onda cuadrada de la misma amplitud y periodo. Sin embargo, el origen del tiempo se selecciona para ofrecer simetría impar en la parte a y simetría par en la parte b, y la serie resultante contiene sólo términos seno y sólo términos coseno, respec tivamente. También vale la pena observar que el punto en el que t = 0 pudo haberse seleccionado para no proporcionar simetría par ni impar; la determi nación de los coeficientes de los términos de la serie de Fourier hubieran sido, al menos, del doble de largos.
m
Simetría de media onda La serie de Fourier de ambas ondas cuadradas tiene una característica intere sante: ninguna contiene algún armónica par.1Esto es, las únicas componentes de frecuencia presentes en la serie son múltiplos impares de la frecuencia funda mental; an y b„ son cero para valores pares de n. Este resultado se debe a otro tipo de simetría, conocida como simetría de media onda. Se afirma que f ( t ) po see simetría de media onda si
m
o la expresión equivalente, I FIGURA 18.7 (a) Forma de onda un tanto
f{t) = - f { t + \T ) Salvo por el cambio de signo, cada medio ciclo es similar a los medios ciclos adya centes. La simetría de media onda, a diferencia de la simetría par e impar, no está en función de la elección del punto t = 0. Por lo tanto, se establece que la onda cuadrada (figura 18.4a o b) muestra simetría de media onda. Ninguna de las formas de onda de la figura 18 6 tiene simetría de media onda, aunque las dos funciones algo semejantes que se grafican en la figura 18.7 poseen simetría de media onda. Se podría demostrar que las series de Fourier de cualquier función que tiene simetría de media onda contienen únicamente armónicas impares. Considerar los coeficientes an. Se tiene de nuevo 2 f T¡2 an = — I f (t) eos ncútfdt T Jl --Tj/ 2 r
r
l-T/2
o
I
f { t ) cosna>ot dr + I
3- T I 2
i
f ( t ) cosna>ot dt
0
la cual se representaría como an — — ( h + h )
(1) Se requiere una vigilancia constante para evitar la confusión éntre una función par y una armónica par, o entre una función impar y una armónica impar. Por ejemplo, b\o es el coeficiente de una armónica par, y es cero si / (r) es una función par.
sim ilar a la que se muestra en la figura 18.6o, pero que posee simetría de m edia onda. (b) Forma de onda un tanto sim ilar a la de la figura 18.66, pero con simetría de media onda.
A /W ------------------------- •
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS BE CIRCUITOS POR FOURIER
Se sustituye ahora la nueva variable r = t + \ T en la integral l\.
h =J
f ( j ~ 2 ^ ) C° S nC°° ( j ~ 2 ^ )
C
ncú0T ncooT\ cos neoo t cos —- — + sen nco^r sen —- — I d r
M
Pero coqT es 2 n \ por ello, naj0T s e n ------- = sen m i = 0 Por consiguiente, T/2 I\ = — co srm /
f (r) cos ncoot d r
í
Al observar la forma de ¡2, es viable escribir T/2
— (1 — cosrni)
f ( t ) cos ncüQt d t
L
El factor (1 —cos n n ) indica que a„ es cero, si n es par. De tal manera, 4 r T' 2 — I f ( t ) cosntüot d t T Jo 0
« im p a r
(y simetría de onda) [23]
n par
Una investigación similar muestra que b„ es también cero para toda n par y, por lo tanto, T/2 4 f ( t ) sen nox)t dt n impar T (y simetría de onda) [24] 0
\
í
n par
Debe observarse que la simetría de media onda se presentaría como una forma de onda que también muestre simetría impar o par. La forma de onda dibujada en la figura 18.7c/, por ejemplo, posee simetría par y de media onda. Cuando una forma de onda tiene simetría de media onda y simetría par o impar, entonces se puede reconstruir la forma de onda, si se conoce la función sobre cualquier intervalo de un cuarto del periodo. El valor de an o bn también se de term ina al integrar sobre cualquier cuarto de periodo. Por lo tanto, f ( t ) eos ncoot dt n impar
Siempre vale la pena dedicar unos momentos a investigar la simetna de una fundón para la que se va a determinar la serie de Fourier.
an — o
npar
bn = 0
todo n
simetría de onda y par) [25]
todo n
a.n — 0
37 4 b,
f ( t ) sen
dt n impar
(y simetría de onda e impar)
P6] bñ = 0
n par
La tabla 18.1 proporciona un breve resumen de las simplificaciones que surgen de los diferentes tipos de simetrías que se estudiaron en esta sección.
A /V V
SECCIÓN 18.2 USO DE LA SIMETRÍA
18.1
TABLA
749
Resumen de las simplificaciones de la serie de Fourier con base en las simetrías Sim plificación
Característica
Tipo de simetría Par
/(O = - /( O
bn = 0
Impar
f(t) = - / ( - y £
¿Z72 — 0
T
Media onda
í - ÍÉ 2f ( t ) 3/1 =
|
cos ncoot d t
lo f ( 0 : — —f ( t +
4 f T/1 I
-
n
impar
n
par
n
impar
T Jo
f
(?) sen na>0t d t
T Jo jo 0
/? par
Media onda y par
W
-
j 'y
l.fI
8 /’^ 4
/( j = - fió
o /(O = - / ( £ + ^ ) Í
f (ty e o s na>ot d t
« im p ar n
par
para todo n
IS O
B b = -/(o Media onda e impar
f(ó = fit) =
-/(y - y i y
an
para todo n
= 0
-/(-O
o /(O =
+ 2
|( 0 = - / ( 1 2
PRÁCTICA t
____________________
18.4 Graficar cada una de las funciones descritas, establecer si está presente o no la simetría par, la simetría impar o la simetría de media onda, e indicar el periodo: (a) v = 0, para —2 < í < 0 y 2 < í < 4 ; u = 5, para 0 < t < 2; v = —5, para 4 < t < 6; se repite; (b) v — LO, para 1 < t < 3; v = 0, para 3 < t < 7; v = — 10, para 7 < t < 9; se repite; (c ) v = 8t , para —l < f < l ; u = 0, para 1 < t < 3; se repite. 18.5 Determinar la serie de Fourier de las formas de onda del problema de práctica 18.4a y b. Respuestas: L8.4: No, no, sí, 8; no, no, no, 8; no, sí, no, 4. OO
18-5:
00
E
n—1(impar)
£ rn n=l
3 (sen f cos T + sen T ) ' - 3 s e n ^ ) coS22í + ( c o s f - c o s ^ f ) s e n ^ ] .
(jíJ
fit)
sen nojot-flt
n
impar
n
par
AA/V
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
18.3 t RESPUESTA COMPLETA A FUNCIONES________________
* FORZADAS PERIÓDICAS M ediante el uso de la serie de Fourier se podría expresar ahora una función forzada periódica arbitraria como la suma de un número infinito de funciones forzadas senoidales. L a respuesta forzada de cada una de estas funciones se debe determinar mediante el análisis convencional de estado permanente, pero la forma de la respuesta natural se establece a partir de los polos de una función de transferencia de red apropiada. Las condiciones iniciales que existen en la red, incluso el valor inicial de la respuesta forzada, permiten la selección de la am plitud de la respuesta natural; en consecuencia, la respuesta completa se obtiene como la suma de las respuestas forzada y natural.
EJEMPLO 18.2
Vs ( t )
C alcu lar la respuesta periódica que se obtiene cuando la onda c u a d ra d a de la figura 18.8a, incluyendo su com ponente de cd, se aplica al circuito R L en serie de la figura 18.8/;. L a función forzada se aplica en / = 0, y la corriente es la respuesta que se desea. Su valor inicial es cero.
(V )
—1 10 —
77
2
0
77
77
37T
277
T
2 (a)
1 (s)
La función forzada tiene una frecuencia compleja (pulsación) fundamental oúq = 2 rad/s, y su serie de Fourier se podría escribir por comparación con la serie de Fourier generada para la forma de onda de la figura 18.4a en la solución del problema de práctica 18.3, 20 vs(t) = 5 + ■ —
^ V
sen2«í ---------
n = l (im p a r)
n
”
Se encontrará la respuesta forzada de la armónica enésima trabajando en el dominio de la frecuencia. De tal modo, 20
vSn(t) = — sen2 nt nn l FIGURA 18.8 (o ) Función forzada
de tensión
de onda cuadrada. (¿ ) La función forzada de la oarte o se aplica a este circuito RL f =
en serie, en
20
20
V,„ = — / - 9 0 = - / — nn nn
0; se desea la respuesta com pleta i(t).
La impedancia que ofrece el circuito RL a esta frecuencia está dada por Z„ = 4 + j (2n)2 = 4 + j4 n Recordar que Vm sen cot es igual a
Vm cos(ü)f - 9 0 ° ), lo que corresponde a
y por ello la componente de la respuesta forzada a esta frecuencia es igual a
l/ m / - 9 0 ° = - / I V
_ V« _ ~j5 fn Z„ n n (l + jn ) Si se transforma al dominio del tiempo, se tiene
.
5
1
cos(2 nt — 90° — tan 1 n)
nn V l + n 2 5
( sen2«f
7 r ( l + n 2) \
n
■c o s 2 n t
SECCIÓN 18.3 RESPUESTA COMPLETA A FUNCIONES FORZADAS PERIÓDICAS
Dado que la respuesta de la componente de cd es simplemente 5 V /4 Q = 1.25 A, la respuesta forzada se expresaría como la sumatoria sen 2nt iif t i ) = 1.25-1— Y n( 1 + n 2) 7t «—1“(impar)
cos 2 nt l + n2 _
La respuesta natural familiar de este circuito simple es el término exponencial [que caracteriza al único polo de la fnnción de transferencia, 1 //V S = 1/(4 + 2s)j in(t) = A e ~ 2t La respuesta completa es, por lo tanto, la suma i(t) = if i t ) + i„ (t) Si t = 0, se encuentra A utilizando i (0) = 0 : A = -1 .2 5 +
5
^
1
Jt n=l(impar) f-r1 1 + n
Aunque sería correcto expresar A en términos de esta sumatoria, resulta más conveniente utilizar el valor numérico de la sumatoria. La suma de los primeros cinco términos de X! 1/ ( I + n 2) es 0.671, la suma de los primeros diez términos es 0.695, la suma de los primeros veinte términos corresponde a 0.708 y la suma exacta es igual a 0.720 hasta tres cifras significativas. Por lo tanto, A
- 1 . 2 5 + -(0 .7 2 0 ) =
-0 104
JT
i(t) = —0.104e —2t + 1.25 C
oo
- y # r n
sen 2 nt
1(impar)í _ n ( l + n 2)
co s2n i 1 + n 2 ._
amperes
Al obtener esta solución, se emplean muchos de los conceptos más generales que se presentaron en éste y en los 17 capítulos precedentes. No fue necesario utilizar algunos debido a la naturaleza simple de este circuito en particular, aunque se indicó su posición en el análisis general. En este sentido, se podría considerar la solución de este problema como un logro significativo en el estu dio introductorio del análisis de circuitos. Sin embargo, a pesar de este glorioso sentimiento de logro, debe señalarse que la respuesta completa, según se obtuvo de manera analítica en el ejemplo 18.2, no es de mucho valor en la forma dada, pues no ofrece una imagen clara de la naturaleza de la respuesta. Lo que en reali dad se requiere es un bosquejo de i (t ) como función del tiempo, la cual se ob tendría mediante un cálculo laborioso. U na computadora de escritorio o una calculadora programable son de gran ayuda en este caso. El bosquejo quizá se aproxime mediante la suma gráfica de la respuesta natural, el término de cd y unas cuantas de las primeras armónicas; ésta es una tarea ingrata. Cuando todo se ha dicho y hecho, tal vez la solución más informativa de este problema se obtenga mediante un análisis transitorio repetido. Esto es, la forma de la respuesta puede calcularse con certeza en el intervalo de t = 0 a t = n / 2 s; éste es un crecimiento exponencial hacia 2.5 A. Después de determinar el valor
r
VA
0
A /W
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
en el extremo del primer intervalo, se tiene la condición inicial del siguiente se gundo intervalo de (jt/2). El proceso se repite hasta que la respuesta asume una naturaleza que suele resultar periódica. El método resulta muy adecuado para este ejemplo, pues hay un cambio insignificante en la forma de onda de la corriente en los periodos sucesivos n / 2 < t < 3 ^ /2 y 3 n / 2 < t < 5 r / 2 . La respuesta de corriente completa se dibuja en la figura 18.9.
Í(i) (A)
t
(s)
■ FIGURA 18.9 Porción inicial de la respuesta completa del
circuito de la figura 18.86 a la función forzada de la figura 18.8o.
PRÁCTICA -----------------•-----------------------------------------------------------*-----18.6 Utilizar los métodos del capítulo 8 para determinar el valor de la corriente de la figura 18.9 en t igual a: (a) jt/2 ; (b) jt; ( c ) 37t / 2 . Respuestas: 2.392 A; 0.1034 A; 2.396 A.
18.4
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
---------•-----------------------------------------------------------------------------------------------Al obtener un espectro de frecuencia, se observó que la amplitud de cada com ponente de frecuencia depende tanto de an como de bn\ esto es, el término seno y el término coseno contribuyen a la amplitud. La expresión exacta de esta am plitud es M + b ¡ - También es posible obtener la amplitud en forma directa al utilizar una forma de la serie de Fourier en la que cada término es una función coseno con un ángulo de fase; la amplitud y el ángulo de fase son funciones de f ( t ) y n. Una forma incluso más conveniente y concisa de la serie de Fourier se con sigue si los senos y cosenos se expresan como funciones exponenciales con constantes multiplicadoras complejas. Se considera primero la forma trigonométrica de la serie de Fourier: El lector recordará las identidades a la
_
a - ¡ a
CO
f ( t ) = Oo +
sen a = ------—-----y
cosn&>oí + bn sen «
y luego se sustituyen las formas exponenciales del seno y el coseno. Tras reordenar, / ( í ) = a0 + ¿ n= 1
( e jnaj°‘ a" ~2 j t n + '
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
AAA ---------
#■
Se define ahora una constante compleja c„: c„ = \ ( a n - j b n)
(;n = 1 , 2 , 3 , . . . )
[27]
Los valores de a„, b„ y c„ dependen todas de n y f ( t ) . Suponiendo que se reem plaza ahora n por (—n), ¿cómo cambian los valores de las constantes? Los co eficientes an y b„ se definen m ediante las ecuaciones [10] y [11] y resulta evidente que: ü —n = &n
pero h—n —
bn
De la ecuación [27] se tiene c_„ = ¿ (an + jb„)
(n = 1 ,2 ,3 ,...)
[28]
Por lo tanto, C«
=
C-n
También sea, Co = ao Por lo tanto, se podría expresar f ( t ) como cnej 'lcú(,t + ^ 2 c-„e~- j ncoot
f ( t ) = c0 + n— 1
n— 1
f ( t ) = J 2 :cnejH<4 + J 2 C- n e - Jnm‘ n= 1
n—0
Por último, en lugar de sumar la segunda serie respecto de los enteros positivos desde 1 hasta o o , se sumará respecto de los enteros negativos desde —1 hasta —o o : m
OO = ^ c , , ^ n—0
—OO 0-Jn&ot
+ n——l
oo f ( t ) = J 2 cnejnaat «=—00
[29]
Por convención, una sumatoria desde —oo hasta oo se entiende que incluye un término para n = 0. La ecuación [29] es la forma compleja de la serie de Fourier para f { t ) ; su concisión es una de las razones más importantes por la que se utiliza. Para obtener la expresión mediante la que se podría evaluar un coeficiente complejo particular c,¡ se sustituyen las ecuaciones [10] y [11] en la [27]: i r T*2 c» = — / /(O 1 J-T/2
COS ncoot
i r T/2 dt - j — / f ( t ) sen nco0t dt * J-T/2
\\
■
i
753
0
A /W
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS PCR FCL.RIER
luego se utilizan los equivalentes exponenciales del seno y del coseno y se sim plifica: [30] Así, una sola y concisa ecuación sirve para sustituir las dos ecuaciones requeri das para la forma trigonométrica de la serie de Fourier. En lugar de evaluar dos integrales para obtener los coeficientes de Fourier, sólo se necesita una inte gración; además, casi siempre es una integración más simple. Debe observarse que la integral de la ecuación [30] contiene el factor 1/7’, mientras que las inte grales de an y b„ no contienen el factor 2¡ T . A l agrupar las dos relaciones básicas de la forma exponencial de la serie de Fourier, se tiene
f(t) =
OO J 2 cnejn“°‘
[29]
n——oo
1 C„ = - /
CT/1 f ( í ) e ~ jn<0ot d t
[30]
1 J -T /2
donde coo — l i t / T como es usual. La amplitud de la componente de la serie de Fourier exponencial en u> = ncoo, donde n = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , es |c„|. Se graficaría un espectro de frecuencia discreto dando |c„ | en función de naj() o nfo, utilizando una abscisa que muestre los valores tanto positivos como negativos. Cuando se efectúa lo anterior, la gráfica es simétrica alrededor del origen, pues las ecuaciones [27] y [28] muestran que |c„ | = |c_„ |. Observar también de las ecuaciones [29] y [30] que la amplitud de la com ponente senoidal en co = ticoq, donde n = 1, 2, 3 , . . . , es y4¡2 + ¿>2 = 2|c„ | = 2|c_„| = |c„| + |c _ „|. En el caso de la componente de cd, ao = CoLos coeficientes exponenciales de Fourier, dados por la ecuación [30], tam bién resultan afectados por la presencia de ciertas simetrías en f ( t ) . De tal modo, las expresiones apropiadas de c„ son: 2 f»r/ 2 f ( t ) cosn&>of dt —— I T Jo — ¡2
f T/2
------/ f ( t ) sen ncúQt dt T Jo
(simetría par)
[31]
(simetría impar)
[32]
77 2
(n simetría
media onda)
[33a]
C„ =
f (/) eos n(ü(¡t dt
(n par y media onda)
[336]
(n impar media onda) 1 (n par — media onda)
L34a]
(n impar y media onda)
[35a]
(n par
[35 b]
media onda)
[34b]
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
M
... ■■■■ .■■ ?....-w i'v- Hf “ " 1.,■ ™> :
v . '‘:
&
|
D eterm in ar c„ de la onda c u a d ra d a de la figura 18.10. v(V)
■r(s)
-l
I FIGURA 18.10 Función de onda cuadrada que posee paridad y simetría para media onda.
Esta onda cuadrada posee simetría paridad y simetría para m edia onda. Si se ignora esta simetría y se usa la ecuación general [30], con T = 2 y cúq = 2it¡2 — j t , se tiene c„ =
fT /2
1
T
J- T ¡ 2 p —0.5
1
dt +
Li
2 1
jn n 1 1 y2njr
pl
e~jn7tt dt -
-00.5 .5
- i
j2 m t
/
0.5 /
J 0.5
e~J m t d t
1 -jn n
-ynjr
■(V ',jr//2 — e-,njr — e^ i njtl2 -\- e in7t!2 + e~^nlT (2 éJ W
2
(e - ^ wí)¿,5
c~Jn
_ 2 e - im /2) = — sen — « jt 2
Por lo tanto, se encuentra que Co = 0, C! = 2 /jt, C2 = 0, C3 = —2 /3 jt, C4 = 0, Cs = 2 /5 jt, etc. Estos valores concuerdan con la serie de Fourier trigonométrica dada como respuesta de la práctica 18.3 para la forma de onda de la figura 18.4/j , si se recuerda que an = 2cn cuando bn = 0. Al utilizar la simetría de la form a de onda (paridad y media onda), se requiere menos trabajo cuando se aplican las ecuaciones [34a] y [34¿], que llevan a
c" “ r lJO 4
/*0.5
í
/ ( i ) cosn¿üo? 0.5
eos n n t d t = — (sen nnt) niT o 2 2 rnt — sen — (n nnpar) nir 2 0 (n par) Estos resultados son los mismos que los que se obtienen cuando no se toma en cuenta la simetría de la form a de onda.
#■
■WV EJEMPLO 18.3
AA/V
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Se considerará ahora un ejemplo más difícil e interesante.
EJEMPLO
18.4 'C ie r ta fu n ció n /(í) es un tre n de pulsos rectangulares de am plitud V'0 y d u ració n r, que se repiten en form a periódica cada T segundos, como se m u e stra en la figura 18.11. D eterm in ar la serie de F o u rie r exponencial de f(t). v(t) ---
---
Vo -
T
i
1
0
_L„
2T
fn
I F IG U R A T8 .11 Secuencia periódica de pulsos rectangulares.
La frecuencia fundamental es /o = \ / T . No se presenta simetría y el valor de un coeficiente complejo general se determina gracias a la ecuación [30]: Vn í to+r
1 íf 7' 1/¿2
< n no*'t dt
J - T
Vo (e ~jna)o(to+T) _ e ~jnú)otoj —jncooT 2V0 e jnú>o(t(,+T/2) s e n ncooT V0 T s e n ^ n c o o r )
jna)o(to+T/2)
na>o t Por lo tanto, la magnitud de c„ es ic„ i - —— V° T
sen ( Í míüot) j MíüoT
[36]
y el ángulo de c„ está dado por ang c„ = —ncoo (to + —)
(posiblemente más de 180°)
[37]
Las ecuaciones [36] y [37] representan la solución de este problema de la serie de Fourier exponencial.
La función de muestreo A menudo, en la teoría de comunicaciones moderna aparece el factor trigono métrico de la ecuación [36], que se conoce como fu n c ió n de muestreo. El “muestreo” se refiere a la función de tiempo que se muestra en la figura 18.11, de la cual se deduce la función de muestreo. El producto de esta secuencia de
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
• -------------------------
pulsos y cualquier otra función f ( t ) representa muestras de f ( t ) cada T segun dos, si r es pequeña y Vo = 1. Se define sen x Sa(x) = -----x Debido a la forma en que ayuda a determinar la amplitud de las diversas com ponentes de frecuencia en / ( í ) , vale la pena descubrir las características impor tantes de esta función. Primero, observar que Sa(x) es cero, siempre que x sea un múltiplo entero de 7r; esto es: Sa(«7r) = 0
n = 1, 2, 3 , . . .
Cuando x es cero, la función es indeterminada, pero resulta fácil demostrar que su valor es la unidad: Sa(0) = 1 Por lo tanto, la magnitud de Sa(x) disminuye desde la unidad en x = 0 hasta cero en x = j t . A medida que x aumenta desde tt hasta 2iz, |Sa(x)| )l se incrementa desde cero hasta un máximo menor que la unidad y después disminuye hasta cero otra vez. Conform ex continúa aumentando, los máximos sucesivos se vuel ven cada vez más pequeños, debido a que el numerador de Sa(x) no puede ex ceder de la unidad y el denominador crece de manera continua. Además, Safx) muestra simetría par. Se construirá ahora el espectro de líneas. Se considera primero |c„ ¡, escribiendo la ecuación [36] en términos de la frecuencia cíclica fundamentalf y Iicn I, _— V°T j ,
sen (n nfox) nnfoT
[38]
La amplitud de cualquier c„ se obtiene de la ecuación [38] utilizando los valores conocidos r y T — I /jo y eligiendo el valor deseado de n, n — 0, ± 1 , ± 2 , ___ En lugar de evaluar la ecuación [38] en estas frecuencias discretas, se dibujará la envolvente de |c„ | considerando la frecuencia nfo como una variable con tinua. Es decir,/, la cual es nfo, en realidad sólo puede tomar los valores dis cretos de las frecuencias armónicas 0, ± / 0, ± 2 /o , ±3./-o, etc., aunque, por el momento, se podría considerar a n como una variable continua. Cuando / es cero, lo,| es evidentemente Vqx/ T , y cu an d o /au m en tah asta 1 / r , |c„| es cero. La envolvente resultante se dibuja con una línea tenue en la figura 18.12a. El espectro de línea se obtiene entonces levantando una recta vertical en cada fre cuencia armónica, como se ilustra en el dibujo. Las amplitudes que se presen tan son las correspondientes a c„. El caso dibujado se aplica a la situación en la que x / T = 1/(1.57r) = 0.212. En este ejemplo, no hay armónica exactamente en la frecuencia donde la amplitud de la envolvente es igual a cero; sin em bargo, otra elección de x o T produciría dicho suceso. En la figura 18.12¿>, la amplitud de la componente senoidal se grafica como una función de la frecuencia. Observar otra vez que cío = c o y \ f a \ + b\ = |c„ | + | c_„ |. Son varias las observaciones y las conclusiones que se pueden hacer acerca del espectro de líneas de una secuencia periódica de pulsos rectangulares, como se indica en la figura 18.12¿>. Con respecto a la envolvente del espectro discreto, resulta evidente que el “ancho” de la envolvente depende de r , y no de T. En reali dad, la form a de la envolvente no es una función de T. Se concluye que el ancho de banda de un filtro que se diseña para dejar pasar pulsos periódicos es una fun ción del ancho del pulso r , pero no del periodo del pulso 7; un examen de la
V Y
WV -------------{
757
A /W
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
IcJ
(o)
“2n + b2„
Cb) (a) Espectro de línea discreto de lo, I versus f = n f 0,n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . correspondiente al tren de pulsos que se muestra en la figura 18,11.(6) y/a2 + b 2 versus f = n f 0,n = 0 , 1, 2 ,... para ei mismo tren de pulsos.
t FIG URA 18.12
SECCIÓN 18.5 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
figura 18.12¿> indica que el ancho de banda requerido es casi igual a 1 /r Hz. Si el periodo T del pulso se incrementa (o la frecuencia de repetición/o del pulso disminuye), no cambia el ancho de banda 1 / r , aunque aumenta el número de líneas espectrales entre la frecuencia cero y 1 /r Hz pero en forma discontinua; la am plitud de cada línea es inversam ente proporcional a T. Por últim o, un desplazamiento con respecto al origen del tiempo no cambia el espectro de líneas; esto es, |c„| no es una función de t0. Las fases relativas de los compo nentes de frecuencia cambian con la elección de to.
PRÁCTICA
____________ ___________________________________________________
18.7 Determinar el coeficiente general c„ en la serie de Fourier compleja para la forma de onda de la figura; (a) 18.4a; (b) 18.4c. Respuestas: —i ’W üm r) para n impar, 0 para n par; —;'[4/(n2n-2)] sen n n ¡ 2 para toda n.
18.5 g DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Ahora que el lector está familiarizado con los conceptos básicos de la repre sentación mediante la serie de Fourier de funciones periódicas, se procederá a definir la transformada de Fourier recordando primero el espectro del tren periódico de pulsos rectangulares que se obtuvo en la sección anterior. Se trataba de un es pectro de líneas discreto que es el tipo que se debe obtener siempre para funcio nes periódicas del tiempo. El espectro era discreto en el sentido de que no era una función uniforme o continua de la frecuencia, sino que tenía valores distin tos de cero sólo a frecuencias específicas. Sin embargo, hay muchas funciones forzadas importantes que no son fun ciones periódicas del tiempo, como un pulso rectangular individual, una función escalón, una función rampa o cierto tipo extraño de función llamada función im pulso que se definió en el capítulo 14. Los espectros de frecuencia quizá se obtengan para tales funciones no periódicas, aunque serán espectros continuos en los cuales determinada energía, en general, se encontraría en cualquier inter valo de frecuencia distinto de cero, sin importar qué tan pequeño sea. Se desarrollará este concepto empezando con una función periódica para de jar luego de que el periodo se vuelva infinito. La experiencia con los pulsos rec tangulares periódicos debe indicar que la envolvente disminuirá en amplitud, sin cambiar la forma, y que más y más componentes de frecuencia se encontrarán en un intervalo de frecuencia determinado. En el límite, se debe esperar una envol vente de amplitud pequeña que poco a poco se anule, llena con un número in finito de componentes de frecuencia separadas por intervalos de frecuencia cada vez más pequeños. El número de componentes de frecuencia entre 0 y 100 Hz, por ejemplo, se vuelve infinito, aunque la amplitud de cada uno tiende a cero. En principio, el espectro de amplitud cero parece un concepto misterioso. Se sabe que el espectro de líneas de una función forzada periódica muestra la amplitud de cada componente de frecuencia. Sin embargo, ¿qué significa la amplitud cero del espectro continuo de una función forzada no periódica? La pregunta se responderá en la sección siguiente; ahora se procederá a efectuar el procedimiento límite que se acaba de sugerir.
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Se empieza con la forma exponencial de la serie de Fourier: OO
/co= J 2 c"£>“of
t39J
donde
i
rT' 2
Cn = f (t)e~jnWot d t 1 J-T/2 2 «o = —
[40]
je [41]
Se deja ahora T -> oo y, por ello, de la ecuación [41], coq debe ser cada vez más pequeña. Se representa el límite mediante una diferencial: o)o —* d co De tal modo, =
T
«o
^
2 ti
dco
2 ti
Por último, la frecuencia de cualquier "armónica” neoo debe corresponder ahora con la variable de frecuencia general que describe el espectro continuo. En otras palabras, n debe tender al infinito a medida que ox¡ tiende a cero, por lo que el producto es finito: neoo —»■ co
[43]
Cuando las cuatro operaciones límite se aplican a la ecuación [40], se en cuentra que c„ debe tender a cero, como se había supuesto.Si se multiplica cada lado de la ecuación [40]por el periodo T y después se lleva a cabo el proceso de límite, se obtiene un resultado no trivial: / OO f { t ) e ~ J<0,d t -OO
El lado derecho de esta expresión es una función de co (y no de t), así que se re presenta mediante F (jco)\
/
OO
m e -^ d t
[44]
-OO
Luego se aplica el proceso límite a la ecuación [39], Se comienza multipli cando y dividiendo la sumatoria entre T. OO i f ( t ) = J 2 c»T e ^ n= —oo
Se sustituye c„T por la nueva cantidad F (jco) y después se utilizan las expre siones [42] y [43], En el límite, la sumatoria se vuelve una integral, y 1 C°° f ( t ) = —- / F (jco)eJ",Idco ¿ J t J —QO
[45]
SECCIÓN 18.5 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Las ecuaciones |44J y [45] se llaman de manera colectiva par de transformadas de Fourier. La función F(jco) es la transformada de Fourier de f ( t ) , y f ( t ) es la transformada inversa de Fourier de F ( j lo ) . ¡Esta relación de pares de transformadas es de lo más importante! Se debe memorizar, dibujar flechas que la señalen y recordarla de aquí en adelante y para siempre. Se subraya la importancia de estas relaciones repitiéndolas en forma de recuadro:
1
f(t) = —
/
• -------------------------
WV
—(761
Tal vez el lector haya observado unas cuántas sim ilitudes entre la transform ada de Fourier y la transform ada de Laplace. Las diferencias clave entre ellas incluyen el hecho de que el alm acenam iento de energía inicial no se incorpora con facilidad en el análisis de circuitos que em plea la transform ada de Fourier, si bien lo anterior se hace con mucha facilidad en el caso de las transform adas de Laplace.
OO
Además, hay varias fund ones de tie m p o (p or
[46a]
e-¡°* f(t)d t -OQ
ejem plo, la exponencial creciente) para las que no existe una transform ada de Fourier. Sin em bargo, si el lector está interesado sobre todo en la inform ación
f° °
L n J _oq
e ^ F (jco)dco
[46*]
espectral y no en la respuesta transitoria, la opción es la transform ada de Fourier.
Los términos exponenciales de ambas ecuaciones llevan signos opuestos en los exponentes. Para mantenerlos correctos, quizá ayude advertir que el signo posi tivo se asocia con la expresión de f ( t ) , como sucede con la serie de Fourier compleja, ecuación [39]. Es importante plantear una pregunta en este momento. En el caso de las rela ciones de la transformada de Fourier de la ecuación [46], ¿es posible obtener la transformada de Fourier de cualquier f ( t ) elegida de manera arbitraria? La respuesta es afirmativa para casi cualquier tensión o corriente que sea factible producir. Una condición suficiente de la existencia de F (jco) es que
/ OO \ f ( t ) \ d t < oo -OO
Sin embargo, esta condición no es necesaria, debido a que algunas funciones que no la cumplen siguen teniendo una transformada de Fourier; la función de escalón es un ejemplo de lo anterior. Además, se verá después que f ( t ) incluso no necesita ser no periódica para tener transform ada de Fourier; la repre sentación en serie de Fourier de una función periódica de tiempo es sólo un caso especial de la representación más general de la transformada de Fourier. Como ya se indicó, la relación del par de transformadas de Fourier es única. Para una f ( t ) dada, hay una F (jco) específica, y para una F (jco) hay una f ( t ) específica.
EJEMPLO 18.5 A plicar la tra n sfo rm a d a de F o u rie r p a ra o b tener el espectro continuo del pulso rectan g u lar sencillo que se m u e stra en la figura 18.13a. El pulso es una versión truncada de la secuencia que se consideró anterior mente en la figura 18.11, y puede describirse como
f(t) =
Vo
t0 < t < t0 + r
O
t< t0y t> t0 + r ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
L a transformada de Fourier de f ( t ) se determina a partir de la ecuación [46 a]: /•ÍO+T F(j(ú) = I Voe~j
Vo -
T
I
1
-T
0
T
%
_
1
w
2T
(a) I F ( / ü))I
(b) ■ FIGURA 18,13 (a) Pulso rectangular único idéntico a los de la secuencia de la figura 18.11.
(b) Gráfica de |F(/a>)| correspondiente al pulso, con V0 = 1, r = 1 y í 0 = 0. El eje de la frecuencia se ha norm alizado al va lo r de
f0 =
] / 1 . 5 j t correspondiente a la figura 18.12o para
facilitar la comparación; obsérvese que f0 no tiene significado o relevancia en el contexto de F (Ja>).
La magnitud de F (jco) tiene como resultado el espectro de frecuencia continuo, y evidentemente es de la forma de la función de muestreo. El valor de F(0) es Vqt . La forma del espectro resulta idéntica a la envolvente de la figura 18.12b. Una gráfica de |F(y w)| como función de a>no indica la magnitud de la tensión presente en cualquier frecuencia dada. Entonces,
SECCIÓN 18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
¿cuál es? El examen de la ecuación [45] muestra que si f ( t ) es una forma de onda de tensión, entonces las dimensiones de F (jco) son “volts por unidad de frecuencia”, un concepto que se presentó en la sección 15.1.
P R Á C T IC A _____________________________________________________________ 18.8 Si f ( t ) = —10 V,para —0.2 < t < —O.ls, f ( t ) = 10 V,para 0.1 < t < 0.2s y f ( t ) = 0 para todas las demás í, evaluar F (jco) para co igual a (a) 0; (b) lOn rad/s; (c) —107T rad/s; (d) 157T rad/s; (e) —20 jt rad/s. 18.9 SiFO 'o)) = - 1 0 V/(rad/s) para —4 < co < —2 rad/s, + 1 0 V/(rad/s) para 2 < co < 4 rad/s, y 0 para las demás co, determinar el valor numérico de f ( t ) en t igual a: (a) 10~4 s; (b) 10- 2 -s; (c) n / 4 s; (d) ti¡2 s; (e) jt s. Respuestas: 18.8: 0; 7 1 . 2 7 3 V/(rad/s); — 7 L.273 V/(rad/s); - jO .4 2 4 V/(rad/s); 0. J8.9: j 1.9099 x L(T3 V; y'0.1910 V; >4.05 V; -y'4.05 V; 0.
18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA --------•-------------------------------------------------------------------------------------TRANSFORMADA DE FOURIER El objetivo en esta sección consiste en establecer varias de las propiedades matemáticas de la transformada de Fourier y algo más importante, comprender su significado físico. Se comienza utilizando la identidad de Euler para sustituir e~jwt en la ecuación [46a]: Y(jco) = í f ( t ) cos cot d t — j í f (t) sen ncot dt J —OO J —00
[47]
Dado que / (t), cos cot y sen cot son funciones reales del tiempo,ambas inte grales de la ecuación [47] son funciones reales de co. Por tanto, cos tsi F (jco) = A(co) + jB(co) = \F(jco)\emw)
[48]
se tiene
/
do
f ( t ) cos cot dt
[49]
-OO
/ OO f ( t ) sen n coot)
[50]
-OO
| F ( » | = y/AHai) + B \c o )
, B(co) —— A(co)
[51] [52]
Sustituyendo co por —co se demuestra que A(co) y |F(j'cm)[ son funciones pares de co, en tanto que B(co) y 4>(co) son funciones impares de co. Ahora bien, si f ( t ) es una función par de t. el integrando de la ecuación [50] es una función impar de í, por lo que los límites simétricos obligan a que B(co) sea cero; de tal modo, si f ( t ) es par, su transformada de Fourier F( jco) es una función real y par de co: además, la función de fase rp (co) es cero o n para toda co. Sin embargo, si f ( t ) es una función impar de t, entonces A(co) = 0 y F (jco)
»
A /W
7$4
)-------------
V A
--------------------------•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
son impares y una función imaginaria pura de co\ <¡>(cú) es ± 7 t/2 . Sin embargo, en general F(jco) es una función compleja de co. Por último, se observa que la sustitución de co por —co en la ecuación [47] forma el conjugado de F (jco). Por lo tanto, F (-y ta ) = A(co) - jB(co) = F *(jco) y se tiene F(jco)F(-jco) = F(jco)F*(jco) = A 2(co) + f í 2(o» = |F (y « )|2
Significado físico de la transformada de Fourier Cuando se conocen estas propiedades matemáticas básicas de la transformada de Fourier, se está listo para considerar su significado físico. Suponer que f ( t ) es la tensión o la corriente en la resistencia de 1 £i, de modo que f 2(t ) es la po tencia instantánea que entrega 1 Í2 a la resistencia de f ( t ) . Si se integra esta potencia a lo largo del tiempo, se obtiene la energía total que suministra f ( t ) a la resistencia de 1 £2,
/ <
f 2( t ) d t
[53]
•OO
Se recurrirá ahora a un pequeño artificio. Considerando al integrando en la ecuación [53] como f ( t ) multiplicada por sí misma, se sustituye una de esas funciones mediante la ecuación [46¿>]: 1 poo / OO f(t) — / ejM F(jco)dco dt \_2.TC J —qo
■oo
Puesto que f ( t ) no es una función de la variable de integración co, se puede mover dentro de la integral entre corchetes y luego intercambiar el orden de in tegración: Win = —
■
/
/
dco
F (jc o )e ^ f(t)d t
i C U -
A continuación, es necesario que F (jco) esté fuera de la integral interna, lo que provoca que la integral se convierta en F (—jco) : 1 WlQ = 2 n J
1 F ( j ú))F(-j«>) dco = — J
|F(y&>)|2<¿ct>
Agrupando estos resultados, se tiene
Marc Antoine Parseval-Deschenes fue más bien un desconocido matemático, geógrafo y ocasional poeta francés que publicó estos resultados en 1805, diecisiete años antes de que Fourier publicara su teorema.
/
OO
-oo
p oo
j
f 2( t ) d t = —
\F(jco)\2 dco j
[54]
—oo
La ecuación [54] es una expresión muy útil conocida como teorema de Parseval. Este teorema, junto con la ecuación [53], establece que la energía asociada con f ( t ) se obtiene de una integración de cualquier t en el dominio del tiempo, o mediante 1/(27t) veces una integración sobre toda la frecuencia (en radianes) en el dominio de la frecuencia. El teorema de Parseval permite una mejor comprensión e interpretación del significado de la transformada de Fourier. Considerar una tensión v(t) con trans formada de Fourier F v(jco) y energía 1 Í2 para Wjq:
SECCIÓN 18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
-^W V
765
l*VO)2
/ FIG URA 18,14 El área de la franja IFy ( / co) |2 es la energía correspondiente a una resistencia de 1 Í 2 asociada con i / ( f ) que se ubica en el ancho de banda d i
donde la igualdad que está más a la derecha se deduce del hecho deque |Fl;(jo i)\2 es una función par de co. En ese caso, puesto que w = 2 n f , se expresa:
/
CO
/*QQ
\Vv(ja))\2 d f = 2 / ■OÓ JO
\Yv(jo))\2 d f
[55]
La figura 18,14 ilustra una gráfica típica de |F„(7
EJEM PLO
El pulso exponencial u n ilateral [es decir, v(t) — 0 de t < fl| v(t) = ¿te- "'' u(t) V se aplica a la e n tra d a de un filtro p a sab an d a ideal. Si el filtro p asab an d a se define m ediante 1 < | / | < 2 H z , calcular la energía de salida total. Se puede llamar v0(t) a la tensión de salida del filtro. La energía en v0(t) será, por lo tanto, igual a la energía de esa parte de v(t) que tenga compo nentes de frecuencia en el intervalo 1 < / < 2 y —2 < / < —l . S e deter mina la transformada de Fourier de v(t),
/
OO
e - ju>te~3,u(t) dt -OO
/•OO
= 4 /
Jo
A
e~(3+jt0)td t = -------— 3 + j a) ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
18.6
AA/V
•
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
y luego se podría calcular la energía de 1 £2 en la señal de entrada, ya sea mediante
o
Sin embargo, la energía total en v0(t) es más pequeña:
En general, se ve que un filtro pasabanda ideal permite eliminar la energía de intervalos de frecuencia prestablecidos, siempre y cuando se retenga la energía contenida en otros intervalos de frecuencia. La transformada de Fourier nos ayuda a describir en forma cuantitativa la acción de filtrado, sin evaluar en realidad va(t), si bien se verá después que también se utiliza la transformada de Fourier para obtener la expresión relativa a va(t) si se desea hacerlo de esa manera.
PRÁCTICA
________________________________________________________________
18.10 Si i(t ) = 10e20,[u(t -f 0.1) — u(t — 0.1)] A, encontrar: (a) F ,(j0 ); (b) F ,0 1 O ); (c) A,-(10); (d) £,-(10); (e) * (1 0 ). 18.11 Encontrar la energía de 1 £2 asociada con la corriente i(t) = 20e~10tu(t) A en el intervalo: (a) —0.1 < t < 0.1 s; (b) —10 < co < 10 rad/s; (c) 10 < w < oo rad/s. Respuestas: 18.10: 3.63 A/(rad/s); 3.33/ —31.7" A/(rad/s); 2.83 A/(rad/s); —1.749 A/(rad/s); -31.7°. 18.11: 17.29 J; 10 J; 5 J.
18.7 t PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE * ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES Función impulso unitario Se buscará ahora la transformada de Fourier del impulso unitario S(t — to), una función que se presentó en la sección 14.4. Esto es, hay interés en las propiedades espectrales o la descripción en el dominio de la frecuencia de la singularidad de esta función. Si se utiliza la notación J-{ } para simbolizar la “transformada de Fourier de {},” entonces:
De acuerdo con el análisis anterior de este tipo de integral, se tiene J-{&{t — í0)} — e- i w'o — eos coto — j sen coqí
SECCIÓN 18.7 PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES
Esta función compleja de co conduce a la función de densidad de energía de 1 £2, |.F{<5(í — ío)}|“ = eos2 coto + sen2 n coot = 1 Este notable resultado indica que la energía (1 £2) por ancho de banda unitario es la unidad en todas las frecuencias y que la energía total en el impulso unitario es infinitamente grande. No es de sorprenderse, entonces, que se deba concluir que el impulso unitario es “impráctico”, en el sentido de que no puede generarse en el laboratorio. Además, incluso si se pudiera disponer de uno de ellos, podría aparecer distorsionado después de someterse a un ancho de banda finito de cualquier instrumento de laboratorio de prueba. Dado que existe una correspondencia única unívoca entre una función de tiem po y su transform ada de Fourier, se afirma que la transformada inversa de Fourier de e~J ío } = S (t _ íq) De tal modo, ahora se sabe que i r 0 0 . — eJa,e ^ ahdco = 8 ( t - t 0) 2 ix J —qo
aun cuando se fracasaría en el intento de evaluar en forma directa esta integral impropia. De manera simbólica, se debería escribir S(t - 10) O
[56]
donde o indica que las dos funciones constituyen un par de transformadas de Fourier. Continuando con el análisis de la función impulso unitario, considérese la transformada de Fourier en esa forma: F(jco) = 8 ( c o - co0) la cual es un impulso unitario en el dominio de la frecuencia localizado en co = coo- Entonces / ( í ) debe ser m
1 f°° 1 = ^ _1{ F ( » } = — / e ^ 8 ( c o - co0) dco = — e ^ 1 2,71 J —oo ¿71
donde se utiliza la propiedad de filtrado del impulso unitario. De esta manera, ahora se debería escribir J _ e>oí o S ( e a - coo) ¿TX
O eim>t & 2 tx8( co- coo)
[57]
Además, mediante un simple cambio de signo, se obtiene a r W & 2 tx8( co + cúo)
[58]
Claramente, la función del tiempo es compleja en las dos expresiones, [57] y [58], y no existe en elmundo real del laboratorio. Las funciones del tiempo, como cos cootse producen con equipo de laboratorio, pero no sepuede obtener una función como e _7“0' . Sin embargo, se sabe que co sc o o t =
¿e-'"0' +
#■
A /W --------- ( 767
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
y se observa de inmediato, a partir de la definición de la transformada de Fourier, que H M ) } + H f i i t ) } = H f 1(0 + f i i t ) }
[59]
Por lo tanto, .Fleos co0t} = T { \eM*>t } + T { \ e ~ ^ } =
7t 8 (CO — O H )) + 7 t
S(C0 +
COo)
lo cual indica que la descripción en el dominio de la frecuencia de cos c o q í mues tra un p a r de impulsos, ubicados en co = ±
[60]
Función forzada constante La primera función forzada que se analizó hace muchos capítulos fue una tensión o una corriente de cd. Para determinar la transformada de Fourier de una función constante del tiempo, f ( t ) = K, el primer impulso podría sustituir esta constante en la ecuación de definición de la transformada de Fourier y evaluar la integral re sultante. Si se hiciera, se encontraría una expresión indeterminada. Sin embargo, por fortuna ya se resolvió este problema, pues de acuerdo con la expresión [58], e- j “>ot ^ 2jr 8 (co + coo) Se puede observar que si sólo dejamos coo = 0, entonces el par de transformadas resultante es Í4>27t8(co)
[61]
K O 2iz K 8(co)
[62]
de lo cual se concluye que
y el problema se encuentra resuelto. El espectro de frecuencia de una función constante de tiempo consiste sólo en una componente correspondiente a cu = 0, lo cual ya se sabía.
Función signo Como otro ejemplo, obtener la transformada de Fourier de una función singular conocida como fu n c ió n signo, sgn(f), definida por:
’ >o
[63]
o sgn(í) = u(t) — u (—t) También en este caso, si se intentara sustituir esta función del tiempo en la ecuación de definición de la transformada de Fourier, el lector se enfrentaría a una expresión indeterminada, luego de la sustitución de loslímites de integración. El mismo problema surgirá cada vez que se intente obtener la transformada de Fourier de una función de tiempo, que no tiende a cero cuando jt \ tiende al infinito. Afortunadamente, esta situación se evita utilizando la transformada de Ixiplace, pues contiene un factor de convergencia incluido que reduce muchos de los in convenientes asociados con la evaluación de ciertas transformadas de Fourier.
SECCION 18.7 PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES
• “
-A/VV
La función signo que se está considerando puede escribirse como sgn(í) = lím [e~alu(t) — ea'u ( —t)] a-M
Observar que la expresión dentro de los corchetes tiende a cero cuando |í| se vuelve muy grande. Mediante la definición de la transformada de Fourier, se ob tiene "
/ »Ó G
^{sgn(í)} = lím / ■o->0 LJ0
e~ja>te a,d t
-ja>,ea‘dt
2_
-j2co lím ■a->o (oz
j°>
La componente real es cero, dado que sgn(í) es una función impar de t. Por lo tanto sgn(t) O
[64]
Función escalón unitario Como un ejemplo final de esta sección, se examinará la familiar función escalón unitario, u(t). Con base en la presentación hecha sobre la función signo en los párrafos precedentes, se representará el escalón unitario mediante u(t) = \ + jsg n (/) y se obtiene el par de transformadas de Fourier u(t)
iz S (co) -\------
[65]
jv J
La tabla 18.2 presenta las conclusiones extraídas de los ejemplos explicados en esta sección, junto con unos cuantos más que no se han detallado aquí.
EJEMPLO 18.7 U tilizar la ta b la 18.2 p a ra e n c o n tra r la tra n sfo rm a d a de F o u rier de la función de liem po 3t'~' cos 41 u(t). De la penúltima entrada de la tablat se sabe que e
c o scojtu(t) o
a + j co (a + jco)2 + coj
Por lo tanto, se identifica a a como 1 y co¿ como 4 y se tiene
F(jco)
= (3)
1 + jco (1 + jco)2 + 16
PRACTICA 18.12 Evaluar la transformada de Fourier, en co = 12 para la función de tiempo: (a) 4u(t) — 10<5(/); (b) 5e~i!u(t)\ ( c )4 c o s%lu(t)\ ( d ) —4 sgn(í). 18.13 Encontrar f ( t ) en f = 2 si F (jco) es: (a) 5e~j3tu — j(4/co); (b) 8[á(
1 8 .13:2.00; 2.45; 4.00.
770 ------- WV
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
18.2 Resumen de los pares de transformadas de Fourier
TABLA
|F(MI
m
m
A
(i)
i ( í — ío)
-jallo
>(2ir) Complejo
"0
|
| (ir) A y T A v v -i
COS £í>01
i
1
7
n [ & { í ú + a>o) - 1- S ( cü — á>0) ]
-ú>0
"0
2t i 8 (a ))
. ( 2i r )
-------- 1 2
1
sgn(t) -
-1
u (t)
;rá(&>) + — ]<*> (■ir)
el
[e
cos
1
a + jco (a + jc o )2 + o?d
f
¡/(í + Í D - m u - ^ T )
r
r
2
2
sen ü)T coT_ 2
A -«rf ig
( ir )
SECCIÓN 18.8 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO PERIÓDICA GENERAL
18.8 t TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN * DEL TIEMPO PERIÓDICA GENERAL En la sección 18.5 se subrayó que se podría demostrar que las funciones de tiem po periódicas, al igual que las no periódicas, poseen transformadas de Fourier. Se establecerá ahora este hecho sobre una base rigurosa Considérese una función de tiempo periódica f ( t ) con periodo T y su desarrollo en serie de Fourier, tal como se describe mediante las ecuaciones [39], [40] y [41], repetidas aquí por conveniencia: /(O
J2
=
1 f T/2 cn ~
T
I
[39]
c,lC'
f ( t ) e ~ jni0(,tdt
[40]
1 J-T/2
2
Cúo =
7t
[41]
Si se conoce que la transformada de Fourier de una suma es exactamente la suma de las transformadas de los términos contenidos en la suma y que c„ no es una función del tiempo, se expresa cne j t U Ú Q t
=
y
, c^ f f C ° r}
Luego de obtener la transformada de ejna>(,t de la expresión [57], se tiene OO
f ( t ) - & 2 j r ^ 2 cnS(a> — na>o)
[66]
n= —oo
Lo anterior muestra que f ( t ) tiene un espectro discreto con impulsos ubicados en puntos sobre el eje a» dados por w = hcoq, n = . . . , —2, —1 , 0 , 1 , . . . La in tensidad de cada impulso es 2 n veces el valor del coeficiente de Fourier correspon diente. que aparece en la forma compleja del desarrollo en serie de Fourier para f ( t ) . Para verificar este trabajo, se verá si la transformada inversa de Fourier del lado derecho de la expresión [66] es también, en este caso, f ( t ) . La transfor mada inversa se escribe como F -M F (jco)}
1 r
2t i
2W _c
c„ S ( cú
— ncoo)
dco = f ( t )
n = —oo
Dado que el término exponencial no contiene el índice n de la sumatoria, se in tercambia el orden de integración y las operaciones de la sumatoria: OO • F - 'í F ( » } =
/«OO c ^ S i c o - neoo) d w = f ( t )
/ ”
OO
Debido a que no es una función de la variable de integración, se considera a c„ como una constante. En ese caso, utilizando la propiedad de filtrado del impulso, se obtiene OO
F ~ l {¥ (jco )}=
cne ^ ‘ = f ( t ) n = —oo
•"
■AAAr
T il
A /W
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
que es exactamente igual a la ecuación [39]. el desarrollo de la serie de Fourier en form a com pleja de f ( t ) . Ahora se eliminan los signos de interrogación de las ecuaciones anteriores y se establece la existencia de la transformada de Fourier para una función del tiempo periódica. Sin embargo, lo anterior no debe pro ducir una gran sorpresa. En la últim a sección se evalúa la transformada de Fourier de una función coseno, que es en realidad periódica, si bien no se hizo una referencia directa a su periodicidad. Sin embargo, se recurre a un proce dimiento inverso al obtener la transformada. Pero ahora se tiene una herra m ienta m atem ática con la que se obtiene la transform ada de m anera más directa. Para demostrar dicho procedimiento, considérese f ( t ) — cos una vez más. Primero se evalúan los coeficientes de Fourier c„ :
así, OO F { f { t ) } = 2 n ^ 2 cnS ( a ) - n a >Q) L a expresión tiene valores que son distintos de cero sólo cuando n = ± 1 por lo tanto, se concluye que toda la sumatoria se reduce a .F{cosct>oí} = n[&{co — a>o) + &(co + a>o)] que es precisamente la expresión que se obtuvo antes. ¡Qué alivio!
PRÁCTICA
___________ ___________ _________________________________________
18.14 Determinar: (a) T \ 5 sen2 3í}; T {A sen coqí}; (c) .F{6cos(8í + 0.1;r)}. Respuestas: 2.5ic[2S(a> ) —S(a> + 6) —8 (a> — 6)]; jr c A [ S ( c i) + &>o) —S(a> —&>o)]; ri8 .8 5 /1 8° 18(a> - 8) + [18.85/ —18o] S(a> + 8).
18.9 t FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL * DOMINIO DE LA FRECUENCIA En la sección 15.5, el problema de determinar la salida de un sistema físico en términos de la entrada y la respuesta al impulso se resolvió mediante la integral de convolución y al trabajar primero en el dominio del tiempo. La entrada, la salida y la respuesta al impulso son funciones del tiempo. Subsecuentemente, se descubre que resultaba más conveniente llevar a cabo estas operaciones en el dominio de la frecuencia, pues la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es sólo el producto de cada función en el dominio de la frecuen cia. Siguiendo las mismas líneas, se descubre que lo mismo es cierto cuando se trabaja con las transformadas de Fourier. Para aplicar este procedimiento, examinar la transformada de Fourier de la salida del sistema. Suponiendo de manera arbitraria que la entrada y la salida son
SECTION 18.9 FUNCIÓN DEL SISTEMA v RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
tensiones, se aplica la definición básica de la transformada de Fourier y se ex presa la salida mediante la integral de convolución: n v o i t ) } = FoO'w)
--ÉHI
Vi (t
-t--'~z)h(z) d z dt
donde de nuevo se supone que no se almacena energía inicial. A primera vista, tal expresión parece bastante temible, pero se reduce a un resultado que es sor presivamente simple. Se puede mover el término exponencial dentro de la inte gral interna, pues no contiene a la variable de integración z. Luego se invierte el orden de integración y se obtiene e ja)tVi(t — z)h(z) dt dz
F oO'íu)
Puesto que no es una función de t, se extrae h(z) de la integral interior y se sim plifica la integración con respecto a í m ediante un cambio de variable, t — z = x:
/
oo
r /»co h fy
-oo
- fJ —c
I e~Mx+z)Vi(x) d x d z U-00
e - J!OZh(z)
/
CO
e~i°>xv¡(x) d x d z
■oo Sin embargo, la suma está empezando ahora a abrirse paso, pues la integral in terna es nada más la transformada de Fourier de v¡(t). Además, no contiene tér minos z y se considera como una constante en cualquier integración que implique a 3 . Así, se puede mover esta transformada, F; (jco), por completo fuera de los signos de integración: lo O '« ) = FfO'tw) í
e J
J— OO
Por fin, la última integral representa de nuevo a la vieja conocida, ¡otra transfor mada de Fourier!: la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, que se designará mediante la notación H (jco). Por lo tanto, todo el trabajo se reduce a un simple resultado: F 0(jco) = F i(jw)U (jco) - Vi(ja>)Hh(t)} Éste es otro resultado importante: define la función del sistema H(/w) como la proporción entre la transformada de Fourier de la función de respuesta y la trans formada de Fourier de la función forzada. Además, la función del sistema y la respuesta al impulso constituyen un par de transformadas de Fourier: h( t ) O H(jw)
[ 67 ]
El desarrollo que se realizó en los párrafos anteriores sirve también para confirmar el enunciado general de que la transformada de Fourier de la con volución de dos funciones de tiempo es igual al producto de sus transformadas de Fourier, F { f ( t ) * g ( t ) } = F f (jco)Fg(jco)
[ 68]
»
W
v
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CAPÍTULO 18 ANALISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Para recapitular, si se conocen las transform adas de Fourier de la función forzada y de la respuesta al im pulso, la transform ada de Fourier de la función de respuesta se ob tiene com o su producto. El resultado es una descripción de la función de respuesta en el do m in io de la frecuencia; la descripción en el do m in io dei tie m p o de esta función se logra tom ando sim plem ente la transform ada inversa de Fourier. De ese m odo se verá que el proceso de la convolución en el d o m in io del tie m p o equivale a la más o m enos sim ple operación de m ultiplicación en el do m in io de la frecuencia.
Los comentarios anteriores podrán hacer surgir la pregunta, una vez más, respecto de las razones por las cuales se elige trabajar siempre en el dominio del tiempo, aunque se debe recordar, también siempre, que rara vez se obtiene algo a cam bio de nada. Un poeta una vez dijo: “Nuestra más sincera risa/la cargamos con un poco de dolor”.2 En este caso, el dolor es provocado por la dificultad oca sional de obtener la transformada inversa de Fourier de una función de respuesta, debido a razones de complejidad matemática. Por otra parte, una sencilla com putadora puede convolucionar dos funciones del tiempo con magnífica veloci dad. Respecto de ello, también se obtiene una TRF (transformada rápida de Fourier) con bastante rapidez, como se verá en el siguiente ejemplo de MATLAB. En consecuencia, no hay una ventaja clara entre trabajar en el dominio del tiempo y hacerlo en el dominio de la frecuencia. Debe tomarse una decisión cada vez que surge un nuevo problema, y ella debe basarse en la información disponible y en las facilidades de cómputo que se tengan a mano. Considerar una función forzada de la forma v¡(t) — u(t) — u(t — 1) y una respuesta al impulso unitario definida por h(t) = 2e~‘u(t) Primero se obtienen las transformadas de Fourier correspondientes. La función forzada es la diferencia entre dos funciones de escalón unitario. Ambas fun ciones son idénticas, excepto en que una se inicia 1 s después de la otra. Se evaluará la respuesta debida a u(t); la respuesta debida a u(t — 1 )) es la misma, aunque retrasada 1 s en el tiempo. La diferencia entre las dos respuestas par ciales será la respuesta total debida a v¡ (t ). La transformada de Fourier de u(t) se obtuvo en la sección 18.7: jF{u(t)} = 7t S((o) H-----jco La función del sistema se obtiene tomando la transformada de Fourier de h(t), que se presenta en la tabla 18.2: T { h ( t ) } = Y l ( j c o ) = n 2 e - , u(t)} =
1
+ jco
La transformada inversa del producto de estas dos funciones da como resultado esa componente de v„(t) causada por u(t), i f 2 n8(co) | 2 1 — — + {I 1 + jco JCO jco( 1 + jco) j Al utilizar la propiedad de filtrado del impulso unitario, la transformada inversa del primer término es una constante exactamente igual a la unidad. De tal modo, Uoi(í) = l + F~
jco(l+jco)
El segundo término contiene un producto de términos en el denominador, cada uno de la forma (a + jco)', además, su transformada inversa se determina con mayor facilidad recurriendo a la expansión en fracciones parciales que se desarrolló en la sección 4.5. Se debe seleccionar una técnica para obtener un de( 2 ) P .B . Sh e lle y, “T o a S k y la r k ” , 1821.
SECTION 18.9 FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
sarrollo en fracciones parciales, que tenga una gran ventaja, que funcionará siempre, aunque suelen disponerse métodos más rápidos para la mayor parte de las situaciones. Se asigna una cantidad desconocida en el numerador de cada fracción, en este caso dos cantidades,
_ A jco(\ + jco)
B
jco
l+ jc o
y luego se sustituye un número correspondiente de valores simples de jco. Aquí, sea jco = 1: . - . + 4 y luego sea jco — —2: 1= - - - B 2 Esto lleva a A = 2 y B = —2. De tal modo que 2 T~ ' ( [ M t l + jco)\
I jco
1 + jco
= sgn(f) — 2e ‘u(t)
por lo que v0i(t) = 1 + sgn(í) - 2e~'u(t) — 2u(t) — 2e~, u(t) = 2(1 — e~')u{t) Se concluye que v0i(t), la componente de r 0(í) obtenida por u(t — 1), es vo2(t) = 2(1 - e - ^ M t - 1) Por lo tanto, v„(t) = v0i(t) - vo2(t) = 2(1 - e ^ t)u(t) - 2(1 - e~t+x)u(t - 1) Las discontinuidades en t = 0 y t — 1 indican una separación en tres intervalos de tiempo: 0 t <0 v0(t) —
2(1 - e~’) 2(e - l)e ~ !
PRÁCTICA
0
< t < 1
t > 1
_____________________________________________________________
18.15 La respuesta al impulso de cierta red lineal es h(t) = 6e~20'u(l). La señal de entrada corresponde a 3e~6tu(t) V. Determinar: (a) II(,/Vo); (b)Vi(jcoy, (c) V0(jco); (d) uo(0.1): (e) v„(0.3); ( / ) u0, máxR espuestas: 6 /( 2 0 + j c o ) ; 3 / ( 6 + j c o ) ; 1 8 /[(2 0 + j c o ) (6 -|- j c o ) ) ; 0.532 V: 0.209 V; 0.5372.
*
AA/V
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U T A D O R A El m aterial que se presenta en este capítulo constituye el cim iento de mu chos campos de estudios avanzados, entre los que se incluyen el proce samiento de señales, las comunicaciones y los controles. Sólo se pueden presentar algunos de los conceptos básicos dentro del contexto de un libro de circuitos introductorio, aunque incluso en este punto se aplica cierto grado del poder del análisis basado en Fourier. Como un prim er ejemplo, considérese el circuito de amp op de la figura 18.15, construido en PSpice m ediante un amplificador operacional.
■ FIGURA 18.15 G rcuito am plificador inversor con una ganancia de tensión de - 1 0 , accionado po r una entrada senoidal que opera a 100 Hz.
El circuito tiene una ganancia de tensión de —10, y por ello se esperaría una salida senoidal con 10 V de amplitud. En realidad, esto es lo que se obtiene de un análisis transitorio del circuito, como se muestra en la figura 18.16.
■ FIGURA 18.16 Tensión de salida sim ulada del circuito am plificador que se muestra en la figura 18.15.
SECTION 18,9 FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
PSpice permite determinar el espectro de frecuencia de la tensión de salida, a través de lo que se conoce como la transformada rápida de Fourier (TRF), una aproximación en tiempo discreto a la transformada exacta de Fourier de la señal. A partir de Probe, se selecciona F o u rie r bajo el menú T race; el resultado se presenta en la figura 18.17. Como se esperaba, el es pectro de línea de la tensión de salida de este circuito amplificador consiste en una sola señal a una frecuencia de 100 Hz.
■ FIGURA 18.17 Aproxim ación discreta de la transform ada de Fourier de la figura 18.16.
A medida que aumenta la tensión de entrada, la salida del amplificador se aproxima a la condición de saturación determinada por las fuentes de tensión de cd positiva y negativa (± 15 V en este ejemplo). Este comportamiento es evidente en el resultado de la simulación que se presenta en la figura 18.18, que corresponde a una magnitud de la tensión de entrada de 1.8 V. Una característica de interés fundamental es que la forma de onda de la tensión de salida ya no es una senoide pura. Como co n secuencia,^ espera que aparezcan valores diferentes de cero en las frecuencias de las armónicas en el n v e itin a Ainpiifiei W íth W iweíorm
|*
■ FIGURA 18.18 Espectro de frecuencia de la form a de onda que aparece en la figura 18.18, que muestra la presencia de varias com po nentes arm ónicas además de la frecuencia fundam ental. El ancho fin ito de las señales es un artefacto de la discretización numérica (se utilizó un conjunto de valores discretos de tiem po). ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A y W
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
I FIGURA 18.19 Espectro de frecuencia de la form a de onda que aparece en la figura 18.18, que muestra la presencia de varias com ponentes arm ónicas además de la frecuencia fundam ental. El ancho fin ito de las señales es un artefacto de la discretización num érica (se utilizó un conjunto de valores discretos de tie m p o).
ing AmpHfiei With Waveform Clipping (active)
Tiempo
(a)
ib) ■ FIGURA 18.20 (o ) Se pueden observar los efectos severos de la saturación del am plificador en la respuesta sim ulada a una entrada de 15 V. (b ) La TRF de la form a de onda nu e stra un increm ento significativo de la fracción de energía presente en las arm ónicas, contrariam ente a la correspondiente de la frecuencia fundam ental de 100 Hz.
SECTION 18.10 SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA
espectro de frecuencia de la función, como en el caso de la figura 18.19. El efecto de alcanzar el punto de saturación en el circuito amplificador representa una distorsión en la señal; si se conecta a la bocina, no se escuchará una forma de onda “limpia” de 100 Hz, sino que se escuchará una superposición de formas de onda que incluye no sólo la frecuencia fundamental de 100 Hz, sino también las componentes armónicas significativas a 300 y 500 Hz. L a distorsión adicional de la forma de onda aumentará la cantidad de energía contenida en las frecuencias armónicas, por lo que se harán más significativas las contribuciones de las armónicas de más alta frecuencia. Lo anterior resulta evidente en los resultados de la simulación de las figuras 18.20a y b, los cuales muestran la tensión de salida en los dominios del tiempo y de la frecuencia, respectivamente.
18.10 t SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN_____________ * DEL SISTEMA En esta sección se tratará de vincular varios aspectos de la transformada de Fourier con el trabajo que se realizó en los capítulos anteriores. Dada una red lineal general de dos puertos N sin ningún almacenamiento de energía inicial, se suponen funciones con forzamiento y respuesta senoidales, dadas arbitrariamente como tensiones, según se muestra en la figura 18.21. Se deja que la tensión de entrad a sea sólo Acos(coxt + 6), y la salida puede describirse en términos generales como v0(t) — B cos(a>xt + cj>), donde la am plitud B y el ángulo de fase (p son funciones de wx . En forma fasorial, se expre san las funciones forzada y de respuesta como V¿ = AeJh y Vc = R e ^ ‘. La razón entre la respuesta fasorial y la función forzada fasorial es un número com plejo que está en función de cox : £ = G (« 0 = 2 « J » -» Vf A donde B / A es la amplitud de G y
(«j f + 0)
o------------
4
--------------------o
N
va(t) = 5 cos (o>x t + é ) ------------- o
■ FIGURA 18.21 Se puede recurrir al análisis senoidal para deter m inar la funció n de transferencia H(/&>x ) = \ B / A ) e > ^ e\ donde
B y
Se dejarán por ahora estos comentarios lejos de la mente del lector, ya que se examinará un aspecto diferente del mismo problema de análisis. En el circuito con la entrada y la salida senoidal que se muestran en la figura 18.21, ¿cuál es la función H(jo>) del sistema? Para responder esta pregunta, se comienza con la definición de H( jco) como la proporción (o razón) de las trans formadas de Fourier de la salida y la entrada. Ambas funciones incluyen la forma
*
Wv
0
AA/V
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
funcional cos(coxt + fi), cuya transformada de Fourier aún no se ha evaluado, aunque se puede trabajar con eos coxt. La transformada que se necesita es
/
OO
e~¡(ot cos(coxt + fi) dt
-OO
Si se lleva a cabo la sustitución a>xt + / OO
fí — cox r , entonces
e ~j(OT+ja)P/
c o s
ü )x T ({ r
-oo =
ej<0fí/<0* f {eos
= n e }ojtil"h [8(cü - o
x)+ 8 (c o +
oj x )]
lo cual es un nuevo par de transformadas de Fourier cos (o)x t +
f i)
n e ia)P /a>x[8(a>
— cox) +
8 (o j
+ a>x)]
[69]
que se utiliza ahora para evaluar la función deseada del sistema: H (jco) =
cos (cox t + 0)} T { A cos(coxt + 0)}
T {B
_ n
B
e [¿(a> - c o x) + 8(w + cox)]
7TA e iwel(°x [<5(ai — a>x) + 8(co + aix)] —
§_eJa>(
Se recuerda la expresión de G(a>x), G(tox) =
A
donde B y
A
Puesto que no hay nada especial acerca del subíndice x se concluye que la fun ción del sistema y la función de transferencia son idénticas: H (» = GM
[70]
El hecho de que un argumento sea w mientras que el otro se indica mediante jco no tiene importancia y es arbitrario; la j sólo posibilita una comparación más di recta entre las transformadas de Fourier y de Laplace. La ecuación [70] representa una conexión directa entre las técnicas de la transformada de Fourier y el análisis del estado senoidal permanente. El trabajo previo de análisis del estado senoidal permanente mediante fasores fue más bien un caso especial de las técnicas más generales del análisis de la transformada de Fourier. Resultó “especial” en el sentido de que las entradas y las salidas eran senoides, en tanto que el uso de las transformadas de Fourier y las funciones del sistema permiten manejar funciones y respuestas forzadas no senoidales. Por lo tanto, para determinar la función H (jco) del sistema relativa a una red, sólo se requiere determinar la función de transferencia senoidal correspondiente como una función de co (o jco).
SECTION 18.10 SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA
»
AA/V
0
EJEMPLO 18.8 D eterm in ar la tensión en los extrem os del in d u cto r del circuito que se m u estra en la figura 18.22a cuando la tensión de e n tra d a es un pulso de decaim iento exponencial sim ple. 4a
Es necesaria la función del sistema, pero no es necesario aplicar un impulso, encontrar la respuesta de impulso y luego determinar la transformada in versa. M ejor se usará la ecuación [70] para obtener la función H (Jco) del sistema, bajo el supuesto de que las tensiones de entrada y de salida son senoides descritas por sus fasores correspondientes, como se muestra en la figura 18.22b. Mediante la división de tensión, se tiene I¥, . , H (jco)
Vc jico = — = Y¡ 4 + j2a>
La transformada de la función forzada es: F{vi(t)} =
3 + jco
y por ello la transformada de v0(t) se indica como
f { v 0(t)} = U( j co m v i( t) } jico
5
4 + jic o 3 + jco 15
10
3 + jco
2 + jco
donde las fracciones parciales que aparecen en el último paso ayudan a de terminar la transformada inversa de Fourier: 15 10 v0(t) - T 3 + jco 2 + jco \ = 15 e~3tu(t) — 10 e~2lu(t) = 5(3e“ 3' - 2 e~2,)u(t) El problema se resuelve sin molestias, convoluciones o ecuaciones diferen ciales. PRACTICA 18.16 Utilizar las técnicas de la transformada de Fourier en el circuito de la figura 18.23 para determinar: i\(t) en t = 1.5 ms si is es igual a: (a) S (t) A; (b) u (t) A: (c) cos 500f A.
20-aiH
I FIG U RA 18.23 R espuestas: - 1 4 1 .7 A ; 0.683 A ; 0.308 A.
(b) ■ FIG U RA 18.22 (o) Se desea la respuesta v0(t)
causada por i/, (f). (b ) La función H(ja>) del sis tema se determinaría mediante el análisis de estado permanente senoidal: H(jco) = V „/V ,.
{
a p l ic a c ió n p r á c t ic a Procesamiento de imágenes
A pesar del enorme progreso que se ha logrado en cuanto al desarrollo de una comprensión total de la función del músculo, aún existen muchas interrogantes. Se ha inves tigado m ucho en este campo utilizando m úsculo es quelético de vertebrados, en particular con el sartorius o músculo de la pierna de la rana (figura 18.24).
■ FIGURA 18.24 Cara qu e sólo podría am ar un biólogo. ( © G eostock/G etty Images.)
De la gran cantidad de técnicas analíticas que utilizan los científicos, una de las más importantes es la micros-
copia electrónica. La figura 18.25 muestra una micrografía electrónica de tejido muscular de la rana sartorius, seccionado de tal manera que resalta el arreglo uniforme de myosin, una proteína contráctil de tipo filamentario. Es de gran interés para los biólogos estructurales la pe riodicidad y el desorden de estas proteínas en una gran área del tejido muscular. Con el fin de desarrollar un mo delo para mostrar estas características, se prefiere utilizar un método numérico, mediante el cual se pueda automa tizar el análisis de dichas imágenes. Sin embargo, como se puede observar en la figura, la imagen que genera el microscopio electrónico puede contaminarse por un rui do de fondo de alto nivel, lo que hace errática la identi ficación automática de los filamentos de myosin. Presentadas con el objeto de ayudar en el análisis de circuitos lineales variantes en el tiempo, las técnicas basadas en Fourier de este capítulo son, en realidad, métodos generales muy poderosos que se aplican en muchas otras situaciones, entre las cuales el campo del procesamiento de imágenes hace un uso extensivo de las técnicas de Fourier, especialmente a través de la trans formada rápida de Fourier (TRF) y métodos numéricos relacionados. La imagen de la figura 18.25 se puede des cribir mediante una función espacial f ( x , y ) donde / ( x , y) = 0 corresponde al blanco, f { x , y) = 1 corresponde al rojo y {x, y) describe una ubicación del pixel en la im agen. Definiendo una función de filtro h ( x ,y ) que tenga la apariencia de la figura 18.26a, la operación de con volución g (x,y) = f ( x , y ) * h ( x , y )
■ FIGURA 18.25 Micrografla electrónica de una región de tejido muscular de la rana sartorius. Se utilizó falso color a fin de tener una m ayor claridad.
da como resultado la imagen de la figura 18.262? en la que los filamentos de myosin (que se ven en el extremo) se pueden identificar de una manera más clara.
Epílogo De regreso a la ecuación [70], la identidad entre la función H(yíu) del sistema y la función de transferencia de estado senoidal permanente G(w), tal vez se con sidere ahora la función del sistema como el cociente entre el fasor de salida y el fasor de entrada. Bajo el supuesto de que se mantiene la amplitud del fasor de en trada en la unidad y el ángulo de fase en cero, entonces el fasor de salida es En estas condiciones, si se registra la amplitud y la fase de salida como funciones de co, para toda co, se registra la función H (jíu) del sistema como una función de co, para toda co. De este modo, se examina la respuesta del sistema bajo la condición de que un número infinito de senoides, todas con amplitud unitaria y fase cero, se aplicó en forma sucesiva en la entrada. Supóngase ahora que la en trada es un simple impulso unitario y considerando la respuesta al impulso h(t).
(a)
l
i
t
t
t
f
•
•
•
<
ción de filtrado h(x, y) —lo cual indica que, de alguna manera, tanto el arreglo filamentario como la función de liltrado poseen las mismas frecuencias espaciales. La con volución de / con h genera un reforzamiento del patrón hexagonal dentro de la imagen original y la remoción de pixeles de ruido (los cuales no poseen la simetría hexago nal). Lo anterior puede comprenderse de manera cualita tiva si se modela una fila horizontal de la figura 18.25, como una función senoidal f ( x ) = cos újqí, que tiene la transformada de Fourier que se muestra en la figura 18.27o un par acoplado de funciones impulso separadas una dis tancia de 2úúq. Si se convoluciona esta función con la fun ción de un filtro h(x) = cosoj\t, cuya transformada de Fourier se muestra en la figura 18.276, se obtiene cero si cú\ ^ oj 0; las frecuencias (periodicidades) de las dos fun ciones no coinciden. Si, en lugar de eso, se selecciona una función de filtro con la misma frecuencia de f(x ), la con volución tendrá un valor diferente de cero en oj = ± ojq.
W * « * iU • • • l'A * • •1 (b)
-co0
■ FIGURA 18.26 (o) Filtro espacial con simetría hexagonal. (b) Imagen después de haber sido convolucionada y de habérsele aplicado la transformada inversa y discreta de Fourier, que muestra una reducción del ruido de fondo.
En la práctica, este procesamiento de anáfisis se lleva a cabo en el dominio de la frecuencia, donde se calcula la TRF d e / y h y las matrices resultantes se multiplican entre sí. La operación inversa de la TRF genera la imagen fil trada de la figura 18.266. ¿Por qué esta convolución es igual a la operación de filtrado? El arreglo filamentario del myosin posee una simetría hexagonal, al igual que la fun-
co0 (a)
(b) I F IG U R A 1 8 .2 7 (o) Transformada de Fourier de f (x) (b) Transformada de Fourier d eh(x) = cos ai, f .
¿La información que se examinó en la unidad se diferencia en algo de la que se acaba de obtener? La transformada de Fourier del impulso unitario es una cons tante igual a la unidad, lo que indica que están presentes todas las componentes de frecuencia, con la misma magnitud y con fase cero. La respuesta del sistema es la suma de las respuestas de todas estas componentes. El resultado podría verse en la salida sobre un osciloscopio de rayos catódicos. Resulta evidente que la fun ción del sistema y la función de respuesta al impulso contienen información equivalente en cuanto a la respuesta del sistema. Por lo tanto, se cuenta con dos métodos distintos para describir la respuesta de un sistema a una función forzada general; uno es la descripción en el dominio del tiempo y el otro la descripción en el dominio de la frecuencia. Al trabajiir en el dominio del tiempo, se convoluciona la función forzada con la respuesta al
—cosojot.
CAPÍTULO 18 ANALISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
impulso del sistema para obtener la función de respuesta. Como se vio al consi derar por primera vez la convolución, este procedimiento se interpretaría conside rando a la entrada como una serie de impulsos de intensidad y de tiempos de aplicación diferentes; la salida que resulta es una serie de respuestas al impulso. Sin embargo, en el dominio de la frecuencia, se determina la respuesta mul tiplicando la transformada de Fourier de la función forzada por la función del sistema. En este caso, se interpreta la transformada de la función forzada como un espectro de frecuencia o un continuo de senoides. Multiplicando lo anterior por la función del sistema se obtiene la función de respuesta, también como un conjunto continuo de senoides. Ya sea que se opte por considerar la salida como un continuo de respuestas al impulso o como un conjunto continuo de respuestas senoidales, la linealidad de la red y el principio de superposición permiten determinar la salida total como una función de tiempo, al sumar sobre todas las frecuencias (la transformada in versa de Fourier), o como una función de frecuencia al sumar sobre todos los tiempos (la transformada de Fourier). Desafortunadamente, ambas técnicas tienen algunas dificultades o limitan tes asociadas con su aplicación. A l utilizar la convolución, la integral misma, muchas veces, puede ser bastante difícil de evaluar cuando se presentan fun ciones forzadas o funciones de impulso complicadas. Además, desde el punto de vista experimental, en realidad no se puede medir la respuesta al impulso de un sistema, debido a que no se puede generar un impulso. Incluso si se apro xim a el im pulso m ediante un impulso estrecho de elevada amplitud, tal vez se llevaría al sistema a la saturación y fuera de su intervalo de operación lineal. Con respecto al dominio de la frecuencia, se encuentra una limitante absolu ta en el sentido de que quizá se formulen fácilmente hipótesis relativas a las fun ciones forzadas que al lector le gustaría aplicar de manera teórica, pero que no poseen transformadas de Fourier. Además, si es de interés encontrar la descrip ción en el dominio del tiempo de la fundón de respuesta, es necesario evaluar una transformada inversa de Fourier, pero algunas de tales inversiones resultan demasiado complicadas. Por último, ninguna de estas técnicas ofrece un método muy conveniente para manejar las condiciones iniciales. Para esto, la transformada de Laplace re sulta muy superior. El beneficio más grande que se deriva del uso de la transformada de Fourier surge debido a la abundancia de información útil que proporciona acerca de las propiedades espectrales de una señal, en particular de la energía o potencia por ancho de banda unitario. Parte de esta información se obtiene también con fa cilidad mediante la transformada de Laplace; se debe dejar un análisis detallado de los m éritos relativos de cada una para cursos más avanzados de señales y sistemas. Ahora bien, ¿por qué se expone todo esto ahora? La mejor respuesta tal vez resida en que estas poderosas técnicas pueden complicar mucho la solución de problem as simples y tender a oscurecer la interpretación física del desempeño de redes más simples. Por ejemplo, si sólo es de interés la respuesta forzada, no tiene mucho caso utilizar la transformada de Laplace y obtener tanto la respues ta forzada como la natural, después de llevar a cabo una difícil operación de trans formada inversa. Ahora bien, se podría continuar, pero todas las cosas buenas tienen que lle gar a un final. Se desea al lector la mejor de las suertes en sus estudios futuros.
dERCICIOS
RESUMEN Y REPASO____________________________________________ LI Las frecuencias armónicas de una senoide con frecuencia fundamental cúq son no}Q, donde n es un entero. □ El teorema de Fourier establece que dada una función f ( t ) que satisface ciertas propiedades fundamentales, podría representarse por la serie infinita “o + £ £ = 1 (a„ cos nco^t + bn sen nco0t), donde a0 = ( 1 / T ) f 0 f ( t ) d t , an = ( 2 / T ) / ( í ) c o s no)0t d l , y b„ — (2 /7 ') f (t) sen ncoot dt. □ Una función f ( t ) posee simetría pa r si f ( t ) = / ( —í). □ Una función f ( t ) tiene simetría impar si f ( t ) = —f ( —t). □ Una función f ( t ) muestra simetría de media onda si f ( t ) = —f ( t — \ T ) . □ La serie de Fourier de una función par está compuesta sólo por una constante y funciones coseno. ü
La serie de Fourier de una función impar se forma sólo por una constante y funciones seno.
□ La serie de Fourier de cualquier función que posee simetría de media onda contiene sólo armónicas impares. J
Se podría expresar también la serie de Fourier de una función en forma compleja o exponencial, donde f ( t ) — J2T=-oo cnein"">l y Cn = 0 / T ) f % f ( t ) e - ^ d t .
J
La transformada de Fourier permite representar funciones variables en el tiempo en el dominio de la frecuencia, de una manera similar a la de la transformada de Laplace. Las ecuaciones de definición son F Up>) = ¡ Z dt y f { t ) = (1/2;r) e ^ F ( j c o ) dco.
LECTURAS ADICIONALES____________________________________ Un tratamiento muy ameno del análisis de Fourier puede encontrarse en A. Pinkus y S. Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. Por último, para aquellos interesados en aprender más acerca de la investigación sobre músculos, incluyendo la microscopía electrónica de tejidos, se puede encon trar un excelente tratamiento en J. Squire, The Structural Basis o f Muscular Contraction. Nueva York: Plenum Press, 1981.
EJERCICIOS____________________________________ ______________ 18.1 F o rm a tr ig o n o m é t r ic a d e la se rie d e F ou rie r
1. Encontrar las primeras cinco frecuencias armónicas (n = 1 —5) de las formas de onda siguientes: (a) v\ (t) = 77 cos(5/) V; (b) i(t) = 32 sen(5f) nA; (c) q(t) = 4cos(90r —85°) C. 2. Establecer el periodo y la frecuencia fundamental de cada una de las formas de onda siguientes: (a) q(t) = 8.5 cos(2;rí) nC; (b) v(t) = 9 sen(5.951) MV; (c) i(t) = 1.113 cos(í —45°) pA. 3. Sea t> (f) = 3 —3 cos(100.Tf —40°) + 4 sen 200n t — 10°) + 2.5 cos 30077-í V. De terminar: (a) Va,-; (b) Veff; (c) T\ (d) i’(18 ms). 4. (a) Elaborar un dibujo de la forma de onda de tensión v(t') = 2 eos 2jtt -(- 1.8 sen Ant en el intervalo 0 < t < T . (b) Calcular el valor máximo de v(t) en este intervalo, (c) Calcular la magnitud del valor más negativo de v(t) en este intervalo.
#■
A /W
0
A /W
•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
5. Calcular «o en las funciones siguientes: (a) 5 cos lOOí; (b) 5 sen lOOf; (c) 5 + cos lOOf; (d) 5 + sen lOOí. 6 . Calcularoq en las funciones siguientes: (a) 100cos(5f —18°); (b)100 sen(5f — 18°); (c) 100 + 100cos(5r - 18°): (d) 100 + 100sen(5f - 18°). 7. Calcular oq, a\, a2, b\ y b2 en f ( t ) = (a) 3; (b) 3 cos 3í; (c) 3 sen 3í; (d) 3cos(3r — 10°). 8 . Calcularon, a¡, a2, bi y b2 en f ( t ) = 5u(t — 1) —5u(t — 2) + 5w(f —3) — 5 u(t —4) + _ 9. Calcular a0, a¡, a2, a3, bi, b2 y b3 en g(t) = 2u(t) —2u{t —2) + 2u(t — 3) —2u(t —5) + __ 10. Determinar los valores numéricos de oo, ai, «2 ><*3 , b\, b2 y b¿ de h(t) = —3 + 8 sen 21+ f ( t ) , donde f( t ) = u(t — 1) —u{t — 2 ) + u(t —3) -
u (t
- 4 ) + ....
11. La forma de onda que se muestra en la figura 18.28 es periódica con T = 10 s. De terminar: (a) el valor promedio; (b) el valor eficaz: (c) el valor de «3 . m
12. En el caso de la forma de onda periódica de la figura 18.29, proporcionar: (a) T; (b)fy (c) coq-, (d ) a0\ (e) b2. m 10 —
—
--
5
_1__
1 ___1__ i__ 1__
I! FIGURA 18.29
13. Determinar ¿73, b¡ y + b\ para la forma de onda de la figura 18.29. 14. Obtener la forma trigonométrica de la serie de Fourier, dado el valor de T, y deter minar el valor promedio de cada una de las funciones periódicas del tiempo: (a) 3.8 eos2 8 O7rf: (b) 3.8 eos3 807rf; (c) 3.8 cos 79*rf —3.8 sen 80?rf. 15. Una función periódica del tiempo con T = 2 s tiene los siguientes valores: / ( f ) = 0 , para —1 < t < 0 ; f( t) = 1 , para 0 < t < t\ \ y f ( t ) = 0 , paiaí! < t < 1 . (a) ¿Qué valor de t\ maximizará £>4 ? (b) Determinar í>4jriíSx. 16. Considerar que una señal eléctrica se describe mediante g(t) = —5 + 8 cos 10í —5 cos 15r+ 3 cos 20/ —8 senlOf —4 senl5í + 2 sen 20í. Calcular: (a) el periodo de g(t)\ (b) el ancho de banda (en hertz) de la señal; (c) el valor promedio de g(í); (d) el valor eficaz de g(f); (e) la amplitud discreta y los es pectros de fase de la señal. 17. La forma de onda del ejemplo 18.1 (que se muestra en la figura 18.2) es la salida de un rectificador de media onda. Si las medias ondas ocupan todos los intervalos —0.5 < t < —0.3, —0.3 < t < —0.1, —0.1 < t < 0.1, y así sucesivamente, en tonces la salida es la de un rectificador de onda completa. Determinar la serie de Fourier trigonométrica para este caso.
EJERCICIOS
A A /V
•-
18.2 Uso de la simetría 18. (a) Especificar los tipos de simetría presentes en la forma de onda de la figura 18.30. (b) ¿Cuál de las a„, bn o «o s°n cero? (c) Calcular a\, b\, a.2, ¿>2 , « 3 y b¡.
■ FIGURA 18.30
19. Se sabe que la función periódica y (t) tiene simetría impar y que el espectro de am plitud se muestra en la figura 18.31. Si todas las an y b„ son no negativas: (a) deter minar la serie de Fourier de y(t); (b) calcular el valor eficaz de y(t); (c) calcular el valor de y(0.2 ms). Va,l+¿i m
0.6 0.4 0.2
0
500
1000
1500
-/(Hz)
0
■ FIGURA 18.32
[FIGURA 18.31
20. Emplear la forma de onda dada por f ( t ) para el intervalo 0 < t < 3 de la figura 18.32, a fin de dibujar una nueva función g(t) que sea igual a f ( t ) para 0 < t < 3 pero que también tiene: (a) T = 6 y simetría par; ib) T = 6 y simetría impar; (i) T = 12, y simetría par y de media onda; (d) T = 12, y simetría impar y de media onda, (e) Evaluar y b¡ en cada caso. 21. La forma de onda que se muestra en la figura 18.33 se repite cada 4 ms. (a) Determinar la componente de de oq. (b) Especificar los valores de a i y b\. (ic) Determinar una función f x-(¿) que sea igual a / ( f) en el intervalo de 4 ms que se muestra, pero que tenga un periodo de 8 ms y presente simetría par. (d ) Calcular a i y b i para f x (t). 22. Recurrir lo más posible a la simetría para obtener valores numéricos correspondientes &aQ,any b n l < n < 1 0 , para la forma de onda de la figura 18.34. m 10
-4
-2
j__L
J __L.
--10 ■ FIGURA 18.34
1
I i 12 14
t (ms)
2
787
788 m
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
23. Una función f ( t ) tiene simetría par y de media onda. El periodo es de 8 ms. Se sabe también que f ( t ) = 1 0 3 f, para 0 < t < 1 ms, y / ( í ) = 0 , para 1 < t < 2 ms. Calcular los valores de b„, 1 < n < 5. 24. Una parte de f ( t ) se presenta en la figura 18.35. Mostrar f ( t ) sobre el intervalo 0 < í < < 8 s s i /(r) tiene: (a) simetría impar y T = 4 s; (b) simetría par y T = 4 s; (c) simetría impar, de media onda y T = 8 s; (d) simetría par, de media onda y T = 8 s.
18.3 Respuesta completa a funciones forzadas periódicas 25. Sustituir la onda cuadrada de la figura 18.8a por la de la figura 18.36 y repetir el análisis del ejemplo 18.2 para obtener una nueva expresión relativa a: (a) i/(t)\ (b) i(t').
» s (t)
(V)
10
—
0.271
0
0.2770.477 0.Ó77
■ FIGURA 18.36
26. La forma de onda de vs (t) que se muestra en la figura 18.36 se aplica al circuito de la figura 18.8¿>. Utilizar los métodos comunes del análisis transitorio para calcular i (?) en í igual a: (a) 0.2it s; (b) 0.4n s; (c) 0 .67 T s. 27. Una fuente de tensión ideal vs, un interruptor abierto, una resistencia de 2 £2 y un capacitor de 2 F están en serie. La fuente de tensión se presenta en la figura 18.36. El interruptor se cierra en t = 0 y la tensión del capacitor es la respuesta deseada. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia de la enésima armónica para determinar la respuesta forzada como una serie de Fourier trigonométrica, (b) Especificar la forma funcional de la respuesta natural, (c) Determinar la respuesta completa. 28. El circuito de la figura 18.37a se encuentra sujeto a la forma de onda que se muestra en la figura 18.37Z». Determinar la tensión v(t) en estado estable. k
— -— nnnr>—
1
[
5 mH
+ 'i -
> io n
(a) Ii ¡s (A)
■ FIGURA 18.37
<
EJERCICIOS
29. El circuito de la figura 18.37c/ está sujeto a la forma de onda periódica que se mues tra en la figura 18.38. Delerminar la corriente iL(t) en estado estable.
¿s(A)
18.4 Forma compleja de la serie de Fourier 30. Sea T =
6
ms el periodo de la forma de onda periódica de la figura 18.39.
Determinar C3, c_3, [631, a 3, ¿3 y J a ¿ + ¿ 3 .
v(t)
(V)
31. (a) Determinar la serie de Fourier compleja de la forma de onda periódica de la figura 18.40. (b) Calcular los valores numéricos de c„ n = 0, ±1 y ±2.
m
32. Los pulsos que se muestran en la figura 18.11 tienen una amplitud de 8 V, una duración de 0 . 2 /lís y una tasa de repetición de 6 0 0 0 pulsos por segundo. (a) Calcular la frecuencia a la que la envolvente del espectro de frecuencia tiene una amplitud de cero, (b) Determinar el intervalo de separación de frecuencia de las líneas espectrales, (c) Determinar \cn \ de la componente espectral más cercana a 20 kHz. (d)... más cercana a 2 MHz. (g) Especificar el ancho de banda nominal
*
W v
0
A A /V
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
que un amplificador debe tener para transmitir este tren de pulsos con razonable fidelidad, (f) Establecer el número de componentes espectrales en el intervalo de frecuencia 2 < co < 2.2 Mrad/s. (g) Calcular la amplitud de C227 y establecer su frecuencia. 33. Una forma de onda de tensión tiene un periodo T = 5 ms y valores de coeficientes complejos: co = 1, ci = 0.2 —j 0.2, C2 = 0.5 + j 0.25, C3 = —1 —j l y c„ = 0 para \n\ > 4. (a) Obtener v(t). (b) Calcular u(l ms). 34. Una secuencia de pulsos tiene un periodo de 5 (is, una amplitud unitaria de —0.6 < t < —0.4 fis y para 0.4 < t < 0.6 fis, así como amplitud cero en cualquier otro lado del intervalo del periodo. Esta serie de pulsos podría representar el número decimal 3 que se está transmitiendo en forma binaria mediante una computadora digital, (á) Determinar c„. (b) Evaluar C4 . (c) Evaluar co. (d) Calcular |c„|máx. (e) Obtener N de manera que |cw| < 0.1 |c„ |máx para toda n > N. ( / ) ¿Qué ancho de banda se requiere para transmitir esta parte del espectro? 35. Sea una tensión periódica vs(t) = 40 V para 0 < I < ¿ s, y 0 para ^ < í < -¡^ s. Si T = s, calcular: (a) cr, (b) la potencia entregada a la carga en el circuito de la figura 18.41.
fin 18.5 D e fin ic ió n d e la tr a n s fo r m a d a
I F IG U R A 1 8 .4 2
de Fourier
36. Dada la función de tiempo f ( t ) = 5[u(t + 3) + u(t + 2) — u(t —2) —u(t —3)]: (a) dibujar e f(t); (b) utilizar la definición de la transformada de Fourier para determinar F(jai). 37. Utilizar las ecuaciones de definición para la transformada de Fourier con el fin de encontrar F(ja>) si f ( t ) es igual a: (a) e~a,u(t), a > 0; (b) e~a(t~,0>u(t — to), a > 0; (c) te~a,u(t), a > 0. 38. Determinar la transformada de Fourier del pulso triangular de la figura 18.42. 39. Obtenga la transformada de Fourier del pulso senoidal de la figura 18.43. 40. Sea f ( t ) = ( 8 cos t)[u(t + 0.5.t) —u(t — 0 .5 7 T)]. Calcular F(ja>) para co igual a: (a) 0; (b) 0.8; (c) 3.1. 41. Utilizar las ecuaciones de definición de la transformada inversa de Fourier con el fin de determinar f( t ) , y evaluar después en t = 0.8 para F(jco) igual a: (a) 4[u(a> + 2) - u(co - 2)]; (b) 4e- -H ; (c) (4cosxco)[u(co + 0.5) - u(a> - 0.5)].
18.6 Algunas propiedades de la transformada de Fourier 42. Dada la tensión v(t) = 20el 5tu{—t — 2) V. determinar: (a) Fv(j0); (b) A v(2); (c) Bv(2); (d) |FU0'2)|; (e) <¡>v(2). 43. Sea i (t) la corriente variable en el tiempo que circula por una resistencia de 4 Q. Si se sabe que la magnitud de la transformada de Fourier de i (t) es igual a \l(ja))\ = (3cos \ 0a>) [u(a> + 0.05.T) —u(co — 0.057T)] A/(rad/s), calcular: (a) la energía total presente en la seftal; (b) la frecuencia cox, tal que la mitad de la energía total se ubique en el intervalo |o>| < cox . 44. Sea f( t ) = 10te~4,u(t), y obtener: (a) la energía correspondiente a la resistencia de 1 Í2 representada por esa seftal; (b) |F(jíu)|; ( c ) la densidad de energía en co = 0 y co = 4 rad/s.
EJERCICIOS
45. Si v(t) = 8e_2|í| V, determinar: (a) la energía correspondiente a la resistencia de 1fí asociada con esta señal; (b ) |F„ (jco) |; (c) el intervalo de frecuencia \co\ < coi en el que se ubica 90% de la energía correspondiente a la resistencia de 1 fí.
18.7 Pares de transformadas de Fourier de algunas funciones del tiempo simples 46. Utilizar la definición de la transformada de Fourier para demostrar los siguientes resultados, donde T { f ( t ) } = F (ja)): (a) T \ f ( l — íb)} = e~ja"°Jr{f(t)}\ (b) T { d f( t)/d t\ = j c o H / m (c ) F { f ( k t )} = (l/|*|)F0'a>/*); (d) T { f ( - t )} = F(—y©); (e) T \ t f ( t ) \ = j d[¥(jco)]/dco. 47. Determinar T { f (/)) si /( /) está dada por: (a) 4[sgn(;)]á(í — 1); (tí) 4[sgn(? —1)]<5(/); (c)4[sen(10/ - 30°)]. 48. Obtener F(jco) si f ( t ) es igual a: ( a ) Acos(coot + cj>)\ (tí) 3 sgn(í — 2) — 2 S ( t ) — u(t — 1); (c) (sen h kt)u(t). 49. Calcular f ( t ) en / = 5 si F (jco) es igual a: (a) 3u(co + 3) —3u(co — 1); (tí) 3u(—3 — co) + 3u(a> — 1); (c) 2S(co) + 3u (—3 —co) + 3u(co — 1). 50. Determinar f ( t ) si F (jco) es igual a: (a) 3/(1 + jco) + 3/jco + 3 + 3S(co — 1); (b) (5sen4w)/&>; (c) 6(3 + jco)/[(3 + jco)2 + 4 ],
18.8 Transformada de Fourier de una función del tiempo periódica general 51. Calcular la transformada de Fourier de la función de tiempo periódica de la figura 18.44. m
52. La función periódica / ( / ) se define sobre el periodo 0 < t < 4 ms por medio de / i (t) = 10u(t) — 6 u(t — 0.001) —4u(t — 0.003). Determinar F(jco). 53. Si F(jco) = 20£„°°=i[l/(M ! + 1)]<5(&> —20n), calcular los valores de /(0.05). 54. Dada una entrada x(t) = 5[«(/) —u(t — 1)], utilizar la convolución para determi nar la salida y(t) si h(t) es igual a: (a) 2 u(t); (b) 2 u(t — 1 ); (c) 2 u(t — 2). 55. Seax(t) = 5[u(t) — u(t — 2)] y h(t) = 2[u(t — 1) —u(t —2)]. Obtener y(t) en t = —0.4, 0.4, 1.4, 2.4, 3.4 y 4.4 mediante la convolución.
18.9 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia 56. La respuesta al impulso de cierto sistema lineal es h(t) = 3(e~' —e~2'). Dada la entrada x(t) = u(t), calcular la respuesta de la salida para t > 0 . 57. La respuesta al impulso unitario y la entrada a cierto sistema lineal se muestran en la figura 18.45. (á) Obtener una expresión integral para la salida que sea válida en el intervalo 4 < t < 6 y que no contenga ninguna función singular, (tí) Evaluar la salida en t = 5. 58. Dada una señal de entrada x(t) = 5e~^~2hi(t —2) y la respuesta al impulso h(t) = (4/ —16)[¡í(r —4) —u(t — 7)1, determinar el valor de la señal de salida en (a) t = 5 ; ( b ) t = 8 ; (c) t = 1 0 . 59. Cuando una entrada S (!) se aplica a un sistema lineal, la salida es sen t para 0 < t < ti, y cero en cualquier otro lado. Ahora bien, si se aplica la entrada e~'u(t) especificar el valor numérico de la salida en t igual a: (á) 1; (tí) 2.5; (c) 4. 60. Sea.í(í) = 0.8(/ - 1)[u(t - 1) - u(t - 3)] y h(t) = 0.2(t - 2)[«(/ - 2) u(t — 3)]. Evaluar y(t) para (a) t = 3.8; (b) t = 4.8.
*
A /V Y
A /W
«
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
h ( t)
(a)
B FIGURA 18.45
61. Una señal x (?) = lOe 21u (í) se aplica a un sistema lineal, en donde la respuesta al impulso es h(t) = 10e~2,u(t). Determinar la salida y(t). 62. Se aplica un impulso a un sistema lineal, el cual genera la salida h(t) = 5e ~4t u(t) V. ¿Qué porcentaje de la energía correspondiente a una resistencia de 1 Q en esta respuesta: (a) si ocurre durante el intervalo de tiempo 0.] < t < 0.8 s?; (b) si se ubica en la banda de frecuencia —2 < co < 2 rad/s? 63. Si Fi jco) — 2/[(l + jco)(2 + jco)], calcular: (a) la energía total de 1 Q presente en la señal, y (b) el valor máximo de f(t) . 64. Encontrar.F_1[F(.7
á(íiv(p
18.10 Significado físico de la función del sistema
I FIGURA 18.46
35 í l
30 H
66. Obtener va(t) del circuito de la figura 18.46. 67. Calcular Vc(t) del circuito que se ilustra en la figura 18.47. 68. Sea /(?) = 5e 2tu(t) y g(t) = 4e y u(t). (a) Determinar f ( t ) * g(t) trabajando en el dominio del tiempo, (b) Evaluar / (í) * g(t) mediante la multiplicación en el dominio de la frecuencia. 69. La fuente de tensión de la figura 18.22 se sustituye por v¡(t) = 12 sgn(f). Determinar v0(t), la tensión en las terminales del inductor, utilizando las técnicas de la transformada de Fourier. 70. Un sistema particular presenta una respuesta al impulso h(t) = 2e~1cos 41. Encontrar la salida si la entrada es: (a) 2; (b) 28 (t — 1); (c) 2u(t + 0.25) - 2 u ( t - 0.25).
APÉNDICE
1
INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES Después de resolver muchos problemas de circuitos, poco a poco se hace evi dente que una gran cantidad de los que se estudiaron tienen m ucho en común, al menos en términos del arreglo de componentes. A partir de este reconocimiento, es posible crear una visión más abstracta de los circuitos, la cual se conoce co mo topología de redes. Este apéndice presenta una introducción a varios concep tos básicos de la topología de redes; la implantación se deja al arbitrio del lector.
A1.1 t ÁRBOLES Y ANÁLISIS NOPAL GENERAL____________ Se planea ahora generalizar el método del análisis nodal que se ha llegado a conocer y desear. Debido a que este análisis se aplica a cualquier red, no es posi ble prometer que se resolverá una clase más amplia de problemas de circuitos. Sin embargo, se verá hacia adelante, para tener la capacidad de elegir un método de análisis nodal general para resolver cualquier problema particular, que tal vez de origen a un menor número de ecuaciones y menos trabajo. Se debe extender prim ero la lista de definiciones relacionadas con la topología de redes. Se comienza con la definición de la propia topología como una rama de la geometría relacionada con las propiedades de una figura geométrica que no cambian cuando la figura se tuerce, dobla, pliega, alarga o encoje, o se amarra en nudos, con la restricción de que ninguna parte de la figura se corta o se pega a otra. Una esfera y un tetraedro son topológicamente idénticos, pues constituyen un cuadrado y un círculo. En términos de circuitos eléctricos no in teresan los tipos particulares de elementos que aparecen en el circuito, sino sólo la forma en la que se arreglan las ramas y los nodos. En realidad, se suele suprimir la naturaleza de los elementos y simplificar el dibujo del circuito mediante la presentación de los elementos como líneas. El dibujo que resulta se denomina gráfica lineal o simplemente gráfica. Un circuito y su gráfica se muestran en la figura A 1.1. Observar que en ella todos los nodos se identifican mediante pun tos gruesos. En razón de que las propiedades topológicas del circuito, o su gráfica, per manecen invariables cuando se distorsiona, las tres gráficas de la figura A l.2 son topológicamente idénticas al circuito y a la gráfica A l. 1. Los términos topológicos que ya se conocen y emplean de manera correcta son: Nodo: punto en el que dos o más elementos tienen una conexión común. Trayectoria: conjunto de elementos que pueden recorrerse en orden, sin pasar por el mismo nodo dos veces. Rama: trayectoria sencilla que contiene un elemento simple, el cual conecta un nodo a cualquier otro nodo.
(b) ■ FIGURA A l. l (a) Un circuito dado. (b) Gráfica lineal de
este circuito.
0
Lazo: trayectoria cerrada. Malla: lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Circuito plano: circuito que puede dibujarse sobre una superficie plana, de manera que ninguna rama pase por encima o por debajo de cualquier otra rama. Circuito no plano: cualquier circuito que no es plano. Las gráficas de la figura A 1.2 contienen cada una 12 ramas y 7 nodos. A hora deben definirse tres nuevas propiedades de una gráfica lineal: un árbol, un coárbol y un enlace. Se define árbol como cualquier conjunto de ra mas que no contiene ningún lazo y que conecta cada nodo a otro, no necesaria mente de manera directa. Suele haber varios árboles diferentes de una red que se podrían dibujar, de modo que el número aumenta con rapidez, a medida que au menta la complejidad de la red. La gráfica simple que se muestra en la figura A l.3a tiene ocho árboles posibles, cuatro de los cuales se indican mediante líneas gruesas en las figuras A l.3b, c , d y e.
/\
J (a)
( b)
(c)(d)(e)
tt FIGURA A l .3 (o ) Gráfica lineal de una red de tres nodos. ( b , c, d , e) Cuatro de los ocho diferentes árboles que se podrían dibujar de esta gráfica se representan con líneas negras.
(r)
(d)
I FIGURA A l .4 (o ) Gráfica lineal. ( b ) Posible árbol de esta gráfica, (c , d ) Estos conjuntos de rama no satisfacen la definición de árbol.
En la figura A l.4 a se presenta una gráfica más compleja. La figura A l Ab muestra un árbol posible y las figuras A 1.4c y d presentan conjuntos de ramas que no son árboles, pues ningún conjunto satisface la definición. Después de especificar un árbol, las ramas que no son parte de él forman un coárbol o complemento de un árbol. Las ramas dibujadas con líneas delgadas en las figuras A l.3-e muestran los coárboles que corresponden a los árboles trace más espesos. Luego de comprender la construcción de un árbol y su coárbol, el concepto de enlace es muy simple, en vista de que es cualquier ram a que pertenece a un coárbol. Resulta evidente que cualquier rama particular puede ser un enlace o no, según el árbol particular que se elija. Se relacionará de manera muy sencilla el número de enlaces en una gráfica con el número de ramas y nodos. Si la gráfica tiene N nodos, entonces se re quieren exactamente (N — 1) ramas para construir un árbol, debido a que la
APENDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES
primera ram a elegida conecta dos nodos y cada rama adicional incluye un nodo más. Por lo tanto, dadas B ramas, el número de enlaces L debe ser L = B - (N - 1) o L = B - N + 1
[1]
Hay L ramas en el coárbol y ( N — 1) ramas en el árbol. En cualquiera de las gráficas de la figura A l.3, se observa que 3 = 5 — 3 + 1; asimismo, en la gráfica de la figura A1.4&, 6 = 10 — 5 + 1. Tal vez en una red haya varias partes desconectadas; por ello, la ecuación [1] quizá se haga más general al sustituir + 1 con + 5 , donde S es el número de partes separadas. Sin embargo, también se pueden conectar dos partes separadas mediante un solo conductor, lo que provocaría que dos nodos formen un nodo, pero no fluye ninguna corriente por este conductor. Este proceso se podría utilizar para umr cualquier número de partes separadas, sin que haya pérdida de generalidad, si se restringe la atención a los circuitos en los cuales S = 1. A estas alturas ya se puede analizar un método mediante el cual se escribe un conjunto de ecuaciones nodales independientes y suficientes, lo cual permite obtener muchos conjuntos de ecuaciones diferentes de la misma red, todos ellos válidos. Sin embargo, el método no proporciona todo el conjunto de ecuaciones posible. Se describirá primero el procedimiento, con la ayuda de tres ejemplos y, después, se señalará la razón por la que las ecuaciones son independientes y su ficientes. Dada una red, se debe:
1. Dibujar una gráfica y luego identificar un árbol. 2. Colocar todas las fuentes de tensión en el árbol. 3. Ubicar todas las fuentes de corriente en el coárbol. 4. Poner en el árbol todas las ramas de control de tensión de las fuentes dependientes controladas por la tensión, si es posible. 5. Situar en el coárbol todas las ramas de control de corriente de las fuentes dependientes controladas por la corriente, si es posible.
Estos últimos cuatro pasos asocian de m anera eficaz las tensiones con el árbol y las corrientes con el coárbol. A continuación se asignará una variable de tensión (con su par más-menos) en los extremos de cada una de las (N — 1) ramas del árbol. U na ram a que con tenga una fuente de tensión (dependiente o independiente) debe asignarse a esa tensión de fuente, mientras que una que contenga una tensión controlada debe vincularse con esa tensión controladora. El número de nuevas variables intro ducidas es, en consecuencia, igual al número de ramas del árbol (N — 1), re ducidas por el número de fuentes de tensión del árbol y por el número de ten siones de control que se pueden localizar en el árbol. En el ejemplo A l .3 se encuentra que el número de nuevas variables requeridas tal vez sea cero. Al tener un conjunto de variables, es necesario escribir un conjunto de ecua ciones que sean suficientes para determinar tales variables. Las ecuaciones se ob tienen mediante la aplicación de la LKC. Las fuentes de tensión se manejan de la misma manera que se hizo en el examen anterior relativo al análisis nodal; cada
#
A / W ------
^ \A
a-
- •
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fuente de tensión, así como los dos nodos de sus terminales constituyen un supemodo o una parte de un supernodo. En consecuencia, la ley de Kirchhoff de com ente se aplica en todos menos uno de los nodos y supemodos restantes. Se iguala a cero la suma de las corrientes que salen del nodo en todas las ramas conectadas a él. Cada corriente se expresa en términos de las variables de tensión que se acaban de asignar. Tal vez se ignore un nodo, como sucedió en el caso an terior con el nodo de referencia. Por último, en el caso de que haya fuentes de pendientes controladas por corriente, es necesario escribir una ecuación para cada corriente de control que la relacione con las variables de tensión; lo anterior tam poco difiere del procedimiento que se utilizó antes con el análisis nodal. Se ensayará este proceso en el circuito de la figura A l.5 a , el cual contiene cuatro nodos y cinco ramas y cuya gráfica se muestra en la figura A l.5b.
EJEMPLO A l .1 D eterm in ar el valor de vx en el circuito de la figura A 1.5a.
8 0.
15 fi
14
(b) +
vx
-
+
»1
-
FIGURA A l. 5 ( o ) Circuito utilizado com o ejem plo para el análisis nodal general.
(b) Gráfica del circuito dado, (c )
La fuente de tensión y la tensión de control se colocan
en el árbol, en tanto que la fuente de corriente se ubica en el coárbol. (tf)E I árbol se com pleta y se asigna la tensión entre los extrem os de cada rama de árbol.
De acuerdo con los pasos 2 y 3 del procedimiento de elaboración de árboles, se coloca la fuente de tensión en el árbol y la fuente de corriente en el coárbol. En el paso 4, se ve que la rama vx también puede situarse en el árbol, pues no forma ningún lazo que viole la definición de árbol. En estas condiciones, se tienen las dos ramas de árbol y el enlace individual que se muestra en la figura A 1,5c; asimismo, se puede observar que todavía no se cuenta con un árbol, pues el nodo derecho no está conectado con los otros mediante una trayectoria que pase por las ramas del árbol. La única manera posible de completar el árbol se ilustra en la figura A l.5d. La tensión de la fuente de 100 V, la tensión de control vx y la nueva variable de tensión vt se asignan a continuación a las tres ramas de árbol, tal como se indica. Por lo tanto, se tienen dos incógnitas vx y v¡, y es necesario obtener dos ecuaciones en términos de ellas. Hay cuatro nodos, pero la presencia de la
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*
A /W
fuente de tensión ocasiona que dos de ellos formen un solo supemodo. Se podría aplicar la ley de Kirchhoff de corriente a cualquiera de los tres nodos o supemodos restantes. Se resolverá primero el nodo derecho. La corriente que sale hacia la izquierda es —u i/1 5 , en tanto que la que sale hacia abajo corresponde a —vx /\A . De esta forma, la primera ecuación es _ i_
15
:0 2
14
El nodo central en la parte superior se ve más fácil que el supemodo, por lo que se iguala a cero la suma de la corriente hacia la izquierda (—vx/%), la corriente hacia la derecha (v¡ / 15) y la corriente hacia abajo que pasa por la resistencia de 4-Q. Esta última corriente está dada por la tensión en la resistencia dividida entre 4 £2, aunque no hay tensión marcada en ese enlace. Sin embargo, cuando se construye un árbol de acuerdo con la definición, existe una trayectoria a través de él, desde cualquier nodo hasta cualquier otro nodo. Entonces, puesto que a toda ram a en el árbol se le asigna una tensión, ésta se expresaría en cualquier enlace en términos de las tensiones de rama del árbol. Esta com ente hacia abajo es, en consecuencia, (—vx + 100)¡4, con lo cual se tiene una segunda ecuación: _ Vx
Vl_
8
15
-V x
+
100
_
„
4
La ecuación simultánea de ambas ecuaciones nodales da como resultado: Di — —60 V
vx = 56 V
EJEM PLO
P ro p o rcio n ar los valores de vx y vy del circuito de la figura A 1.6a.
(b) ■ FIGURA A l .6 ( o ) Circuito con 5 nodos. ( b ) Se elige un árbol de m anera que tanto las fuentes de tensión com o las tensiones de control constituyan tres ramas.
Se dibuja un árbol de modo que las dos fuentes de tensión y ambas tensiones de control aparezcan como tensiones de ram a del árbol, y en consecuencia como variables asignadas. Cuando esto ocurre, las cuatro ramas constituyen un árbol, figura A l.6 b , y se eligen las tensiones de ramas de árbol vx , 1, vy y 4vy , como se muestra. f C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A l. 2
AA/V
«
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Ambas fuentes de tensión definen supemodos, así que se aplica dos veces la LKC, una vez en el nodo superior: 2vx + l(nx — V y — 4vy) = 2 y luego en el supernodo compuesto por el nodo derecho, el nodo inferior y la fuente de tensión dependiente \ v y + 2(t\. — 1) + K^Vy + vy — vx) — 2vx En vez de las cuatro ecuaciones que se esperarían, si se utilizan las técnicas estudiadas antes, sólo se tienen dos; además, se encuentra sin ninguna dificultad que vx ^ y V y vy = | V.
Las dos fuentes de tensión y la tensión de control establecen el árbol de tres ramas de la figura A l.Ib. Dado que los dos nodos superiores y el nodo derecho inferior se unen para formar un supernodo, es necesario escribir sólo una LKC. Al elegir el nodo inferior izquierdo, se tiene vx
„
—
vx + 3 0 + 6 v x
- 1 - — + 3-1------ ---------^ - 0 4 5 y se deduce que vx = —y V. A pesar de la aparente complejidad de este circuito, el uso del análisis nodal general dio como resultado una solución fácil. El uso de las com entes de malla o de las tensiones de nodo con respecto a la referencia requeriría más ecuaciones y más esfuerzo.
■ FIGURA A l .7 (a ) Circuito para el que sólo se requiere escribir una ecuación nodal general. ( 6 ) El árbol y las tensiones de rama de árbol que se utilizan.
En la sección siguiente se analizará el problema para determinar el mejor es quema de análisis. Si es necesario conocer alguna otra tensión, corriente o potencia en el ejem plo anterior, un paso adicional proporcionaría la respuesta. Por ejemplo, la po tencia que entrega la fuente de 3 A es 3
( - 3 0 —f ) = -1 2 2 W
Se terminará con la explicación de la suficiencia del conjunto supuesto de ten siones de rama del árbol y la independencia de las ecuaciones nodales. Si tales tensiones de rama del árbol son suficientes, entonces la tensión a través de cualquier rama, ya sea en el árbol o en el coárbol, debe obtenerse del conocimiento de los valores de todas las tensiones de la rama del árbol. Lo anterior es realidad y se cumple en el caso de aquellas ramas del árbol. Para los enlaces, se sabe que cada uno se extiende entre dos nodos y, por definición, el árbol debe conectar también esos dos nodos. Por consiguiente, cada tensión de enlace también se establecería en términos de las tensiones de la rama del árbol. En consecuencia, una vez que se conoce la tensión en los extremos de cualquier rama del circuito, se determinan todas las comentes utilizando ya sea el valor dado de la corriente si la rama consiste en una fuente de comente, mediante la ley de Ohm si se trata de una rama resistiva, o recurriendo a la LKC y a estos valores de comente si la rama es una fuente de tensión. De tal modo, todas las ten siones y las comentes están determinadas y la suficiencia demostrada.
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Para demostrar la independencia, el lector debe complacerse suponiendo que las únicas fuentes de la red que son independientes son las de corriente. Como se señaló antes, las fuentes de tensión independientes del circuito dan lu gar a m enor número de ecuaciones, en tanto que las fuentes dependientes sue len necesitar un número mayor. Sólo con las fuentes de corriente indepen dientes existirán precisamente (N — 1) ecuaciones nodales escritas en términos de ( N — 1) tensiones de ram a del árbol. Para demostrar que las (N — 1) ecua ciones son independientes, considerar la aplicación de la LKC a los (N — 1) diferentes nodos. Cada vez que se escribe la ecuación de la LKC, hay una nueva ram a del árbol implicada: la que conecta ese nodo con el resto del árbol. Dado que el elemento de circuito no apareció en ninguna ecuación anterior, se debe obtener una ecuación independiente. Lo anterior es válido para cada uno de los (N — 1) nodos en tum o y, en consecuencia, se tienen (N — 1) ecuaciones independientesc
PRÁCTICA n
_________________________ _____________________________
A l . l (a) ¿Cuántos árboles se pueden construir para el circuito de la figura A1.8, que se deduce a partir de las cinco sugerencias de dibujos de árbol que se presentaron anteriormente? (b) Dibujar un árbol adecuado, escribir dos ecuaciones con dos incógnitas y determinar ¡3 . (c) ¿Qué potencia proporciona la fuente dependiente?
25 V
12 ñ
I FIGURA A l.8 Respuestas: L; 7.2 A; 547 W.
Al .2 •------------------------------------------------------------------------------------ANÁLISIS DE ENLACES Y LAZOS -------Considerar ahora el uso de un árbol para obtener un conjunto apropiado de ecua ciones de lazo. En algunos aspectos este método es el dual del método de escritura de ecuaciones nodales. También en este caso debe señalarse que, si bien se puede garantizar que cualquier conjunto de ecuaciones que se escriban será tanto sufi ciente como independiente, no se debe esperar que con el método se obtenga de manera directa todo conjunto de ecuaciones posible. Se comienza de nuevo construyendo un árbol y se utiliza el mismo conjunto de reglas al que se recurrió en el análisis nodal general. El objetivo, ya sea para el análisis nodal o para el de lazo, consiste en poner tensiones en el árbol y corrientes en el coárbol; ésta es una regla obligatoria para fuentes, y deseable para cantidades de control. Sin embargo, en lugar de asignar ahora una tensión a cada rama en el árbol, se determina la corriente (incluyendo la flecha de referencia, desde luego) de cada elemento en el coárbol o de cada enlace. Si hubiera 10 enlaces, se asignarían exac tamente 10 corrientes de enlace. A cualquier enlace que contenga una fuente de co rriente se le asocia esa fuente como a corriente de enlace. Observar que cada
»
A/W
AA/V
«
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES
corriente de enlace también puede considerarse como una corriente de lazo, pues el enlace debe extenderse entre dos nodos específicos y debe existir una trayecto ria entre ambos nodos a través del árbol. Por lo tanto, con cada enlace se asocia un solo lazo específico que incluye dicho enlace y una trayectoria única a través del árbol. Resulta evidente que la corriente asignada se podría considerar como una corriente de lazo o una corriente de enlace. La connotación de enlace es más útil en el momento en que se definen las corrientes, pues debe establecerse una para cada enlace; la interpretación del lazo resulta más conveniente en el mo mento de escribir la ecuación, pues se aplicará la LKT a través de cada lazo. Pruébese este proceso para definir las corrientes de enlace considerando el circuito de la figura A l .9a. El árbol seleccionado es uno de varios que podrían construirse y para el cual la fuente de tensión está en la rama del árbol y la fuente de corriente se ubica en un enlace. Se considera primero el enlace que contiene la fuente de corriente. El lazo asociado con este enlace es la malla del lado izquierdo, así que se indica la corriente de enlace como si circulase en tomo al perímetro de esta malla (figura A l.9b). Una elección evidente para el símbolo de la corriente de enlace es “7 A ”. Se debe recordar que ninguna otra corriente puede circular por este enlace particular, por lo cual su valor debe ser exacta mente la intensidad de la fuente de corriente.
■ FIGURA A l .9 (a) Circuito simple. (6) Se elige el árbol de modo que la fuente de corriente sea un enlace y la fuente de tensión se encuentre en una rama del árbol.
A continuación se dirige la atención hacia el enlace de la resistencia de 3-Í2. El lazo asociado con él es la malla superior del lado derecho, de modo que esta corriente de lazo (o malla) se define como i a y también se presenta en la figura A] .9b. El último enlace es la resistencia inferior de 1-Í2, pero la única trayectoria entre sus terminales a través del árbol se traza alrededor del perímetro del circuito. Esa corriente de enlace se denomina z'g, y la flecha que indica su trayectoria y su dirección de referencia aparece en la figura A l ,9b. No es una corriente de malla. Observar que cada enlace tiene sólo una corriente, aunque una ram a del árbol quizá tenga cualquier número desde 1 hasta el número total de corrientes de en lace asignadas. El uso de flechas largas, casi cerradas, para indicar los lazos ayuda a señalar qué corriente de lazo fluye a través del cuál rama del árbol y cuáles son sus direcciones de referencia. Ahora debe escribirse una ecuación LKT alrededor de cada uno de los lazos. Las variables que se usan son las corrientes de enlace asignadas. Dado que la tensión en los extremos de la fuente de corriente no puede expresarse en térmi nos de la corriente de la fuente y, puesto que ya se ha empleado el valor de esta última como la corriente de enlace, se descarta cualquier lazo que contenga una fuente de corriente.
APENDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
A /W
0
EJEMPLO A l .4
.''.-A' ¿ t-'-
E n el ejem plo de la fig u ra A l 3 t calcu lar los valores de iA e *#. Primero se recorre al lazo de iA en dirección de las manecillas del reloj desde su esquina inferior izquierda. La corriente que va en ese sentido en la resistencia de 1-Í2 es {ia — 7), en el elemento de 2-Í2 es (iA + í'b) y en el enlace simplemente I r . Por lo tanto, 1
(i a — 7) + 2 (iA + Í b ) + 3í/t = 0 2
En el enlace de iBel recorrido en el sentido de las manecillas del reloj la esquina inferior izquierda lleva a —7 + 2 ( i A +
i s )
+
1¿b
—
desde
0
El recorrido del lazo definido por el enlace 7-A no se requiere.Despejando, se tiene iA = 0.5 A , iB — 2 A, también en este caso. La solución se obtuvo ¡con una ecuación menos que antes!
EJEMPLO A l . 5 E v alu ar ¿i en el circuito que se m u e stra en la figura A l. 10a.
(b)
1 FIGURA A l. 10 (a) Circuito para el que se podría determinar/, con
una ecuación utilizando el análisis de lazo general, (b) Único árbol que satisface las reglas señaladas en la sección Al.l. (c) Se muestran las tres corrientes de enlace con sus lazos.
Este circuito contiene seis nodos y su árbol debe tener, por lo tanto, cinco ramas. Dado que hay ocho elementos en la red, existen tres enlaces en el coárbol. Si se ponen las tres fuentes de tensión en el árbol y las dos fuentes de corriente y el control de corriente en el coárbol, resulta el árbol que se presenta en la figura A l. 1Ob. La corriente de la fuente de 4 A define un lazo ( C o n tin ú a en la s ig u ie n te p á g in a )
802 )--------- W
V
-------------------------•
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como se ilustra en la figura A l .10c. La fuente dependiente establece la corriente de lazo 1.5z'i alrededor de la malla derecha, mientras que la corriente de control ¿i produce la corriente de lazo restante alrededor del perímetro del circuito. Observ ar que las tres corrientes fluyen por la resistencia de 4-Í2. Sólo se tiene una cantidad desconocida, ¿i, así que después de descartar los lazos definidos por las dos fuentes de corriente, se aplica LKT alrededor del exterior del circuito: - 3 0 + 5 ( - i i ) + 19 + 2( - i i - 4) + 4 ( - i i - 4 + 1.5*0 - 25 = 0 Además de las tres fuentes de tensión, en este lazo hay tres resistencias. La resistencia de 5-Í2 incluye una corriente de lazo, puesto que también constituye un enlace; la resistencia de 2-Q contiene dos corrientes de lazo y el de 4-Í2 tiene tres. Se requiere un conjunto de corrientes de lazo dibujado con todo cuidado, si se quiere evitar errores al saltar corrientes, utilizar algunas demás o errar al elegir la dirección correcta. Sin embargo, se garantiza la ecuación anterior y con ella se obtiene i i = —12 A.
I F IG U R A A 1 .1 1 Árbol que se emplea como ejemplo para ilustrar la suficiencia de las corrientes de enlace.
¿Cómo se demostraría la suficiencia? Imaginar un árbol sin lazos, en el cual se incluyan por lo menos dos nodos, y en cada uno de ellos sólo se conecta una rama de árbol. La corriente en ambas ramas se obtiene con facilidad a partir de las corrientes conocidas del enlace mediante la LKT. Si hay otros nodos en los que sólo se conecta una rama del árbol, tales corrientes de rama del árbol también se calcularían de manera inmediata. De este modo, en el árbol que se presenta en la figura A l. 11 se han encontrado las corrientes en las ramas a, b, c y d. Uno se mueve ahora a lo largo de las ramas del árbol y se determinan las corrientes en las ramas del áibo) c y f; el proceso podría continuar hasta que se determinen todas las corrientes de rama. Por lo tanto, las corrientes de enlace resultan suficientes para obtener todas las corrientes de rama. Resulta útil considerar la situación donde se ha dibujado un “árbol” incorrecto que contiene un lazo. Incluso si todas las co rrientes de enlace fueran cero, aún podría circular una corriente en tomo a este “lazo de árbol”. Por consiguiente, la corriente de enlace no podría determinarse a dicha corriente, así que no representarían un conjunto suficiente. Por definición, un “árbol” de estas características es imposible. Para demostrar la independencia, se debe quedar satisfecho suponiendo que las únicas fuentes de la red son fuentes de tensión independientes. Como ya se señaló, las fuentes de corriente independientes del circuito originan un número m enor de ecuaciones, en tanto que las dependientes casi siempre necesitan un núm ero m ayor de ecuaciones. Si sólo se hallan fuentes de tensión indepen dientes, en ese caso habrá precisam ente (B — N + 1) ecuaciones de lazo es critas en términos de las corrientes de lazo (B — N + 1) Para demostrar que las (B — N + 1) ecuaciones de lazo son independientes, sólo se requiere señalar que cada una representa la aplicación de la LKT alrededor del lazo que contiene un enlace que no aparece en cualquier otra ecuación. Se podría visualizar una re sistencia diferente Ri, R 2, , R b - n +i en cada uno de los enlaces y en ese caso es claro que nunca puede obtenerse una ecuación de las otras, dado que cada una contiene un coeficiente que no aparece en las demás. En consecuencia, las corrientes de enlace son suficientes para permitir que se obtenga una solución completa, y el conjunto de ecuaciones de lazo que se uti liza para determinar las corrientes de enlace constituye un conjunto de ecua ciones independiente.
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Luego de haber considerado tanto el análisis nodal general como el análisis de lazo, se deben considerar ahora las ventajas y desventajas de cada método, de modo que se elija de manera inteligente un plan de ataque pudiendo ser aplicado a un problema de análisis dado. El método nodal requiere en general ( N — 1) ecuaciones, aunque se reduce en 1 por cada fuente de tensión independiente o dependiente en una ram a de ár bol, y se incrementa en 1 por cada fuente dependiente que se controla por ten sión mediante una tensión de enlace, o por corriente. El método de lazo implica, básicamente (B — N + 1) ecuaciones. Sin em bargo, cada fuente de corriente independiente o dependiente, en un enlace, re duce este número en 1, en tanto que cada fuente dependiente que se controla por com ente mediante una corriente de rama de árbol, o que se controla por tensión, incrementa el número en 1. Como gran final de esta explicación, se inspeccionará el modelo del circuito equivalente en T de un transistor que se muestra en la figura A 1.12, el cual se conecta a una fuente senoidal, 4 sen 1 OOOí mV, y una carga de 10-k£2.
EJEMPLO A1.6
s D eterm in ar la corriente de e n tra d a (em isor) i,, y la tensión de carga en el circuito de la figura A l.1 2 , suponiendo valores característicos de la resistencia de em isor re = 50 fi; la resistencia de base rh = 500 ñ ; la resistencia del colector rc = 20 k fi; y la relación de tran sferen cia base com ún/corriente directa es a = 0.99.
■ FIGURA A l .12 Una fuente de tensión senoidal y una carga ce 10-k£2 se conectan al circuito equivalente T de un transistor La conexión com ún entre la entrada y la salida está en la term inal de la base del transistor, po r lo que el arreglo recibe el no m b re de configuración de
base común.
Si bien se piden los detalles en los problemas de práctica que siguen, se debe ver sin ninguna dificultad que el análisis de este circuito podría llevarse a cabo dibujando árboles que requieren tres ecuaciones nodales generales (N — 1 — 1 + 1) o dos ecuaciones de lazo (B — N + 1 — 1). También se podría observar que se necesitan tres ecuaciones en términos de las tensiones de nodo con respecto a una referencia, pues son tres ecuaciones de malla. Sin que importe el método que se elija, los siguientes resultados se obtienen para este circuito específico: ie = 18.42 sen 1 OOOí /xA v¿ = 122.6 sen 1 OOOí m f C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A /W
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APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
y. por lo tanto, se observa que este circuito de transistor proporciona una ganancia de tensión (vL/ v s) de 30.6, una ganancia de corriente ( ti/ / 10 000/e) de 0.666, y una ganancia de potencia igual al producto 30.6(0.666) = 20.4. Se garantizarían ganancias superiores si este transistor se operase en una configuración de emisor común.
PRACTICA A 1.2 Dibujar un árbol adecuado y aplicar el análisis de lazo general para determinar ¿ío en el circuito: (a ) de la figura A l. 13a escribiendo sólo una ecuación con Í\ q como la variable; (b) de la figura A l .13b escribiendo sólo dos ecuaciones con z’io e como las variables.
■ FIGURA A l. 13
A l .3 En el caso del circuito equivalente de amplificador transistorizado que se presenta en la figura A l .12, sean re = 50 Q, rb = 500 Q, rc = 20 kQ y a = 0.99, determinar tanto ie como vL dibujando un árbol apropiado y utilizando: (a) dos ecuaciones de lazo;_j (b) tres ecuaciones nodales con un nodo de referencia común de la tensión; (c) tres ecuaciones nodales sin un nodo de referencia común. A 1.4 Determinar los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton que se presentaron para la carga de 10-kQ en la figura A l .12 y obtener: (a) el valor en circuito abierto de vL\ (b) la corriente de cortocircuito (hacia abajo); (c) la resistencia equivalente de Thévenin. Todos los valores de circuito se indican en el problema de práctica A l.3. R espuestas: A 1.2: —4.00 mA; 4.69 A. A1.3: 18.42 sen 1 OOOí fi A; 122.6 sen 1 OOOí mV. A 1.4: 147.6 sen 1 OOOí mV; 72.2 sen 1 OOOí /¿A; 2.05 kí2.
¥
APENDICE SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Considérese el sistema simple de ecuaciones: 7 v \ — 3 v2 ~ 4 v3 = —11 —3 f i + 6t>2 — 2 v 3 = —4v¡ — 2 v 2 + 11 v-¡ —
[1]
3
[2]
25
[3]
Este sistema p o d rá resolverse mediante la eliminación sistemática de las variables. Sin embargo, tal procedimiento es prolongado y quizá nunca produzca respues tas si se efectúa de manera no sistemática con un gran número de ecuaciones si multáneas. Por fortuna, se dispone de muchas más opciones, algunas de las cuales se explorarán en este apéndice.
La calculadora científica Quizá el método más directo cuando es necesario enfrentar un sistema de ecua ciones como el correspondiente a las ecuaciones [ 1] a [3], en el que se tienen co eficientes numéricos y sólo son de interés los valores específicos de las incóg nitas (lo cual se opone a las relaciones algebraicas), consiste en emplear cualquiera de las diversas calculadoras científicas presentes ahora en el mer cado. Por ejemplo, mediante una Texas Instruments 77-86, se tiene acceso a tales características oprimiendo 12nd | |siMULT|. En la pantalla aparece SIMULT Number = a lo que se responderá con la secuencia de teclas [T] [en ter|. La calculadora muestra entonces a l, l x l . . . a l , 3x3= bl a l, 1= a l, 2= a l, 3= bl = lo que indica que se puede em pezar a introducir los datos numéricos de la ecuación [1], Observar que antes del inicio de una operación de este tipo, es necesario tom ar el tiempo que se requiera para escribir el sistema de ecua ciones de modo ordenado, a fin de no confundir los coeficientes. Se responde con una secuencia de teclas [7 ] |e n te r| | (_)| [3] |e n te r| | (-)| [4] [e n te r| |(-)| f~i~P [enter|. Luego se presenta una nueva pantalla para la segunda ecuación.
A A /V
- •
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Después de proporcionar la información de las tres ecuaciones, se oprime la tecla F5 para indicar a la 77-86 que despeje las incógnitas „t 1, x 2 y x3 (nombres de Vi, ib y V3). L a pantalla de la calculadora muestra entonces xl = 1.000 x2 = 2.000 x3 = 3.000 Debe observarse que cada calculadora capaz de resolver ecuaciones simultáneas tiene su propio procedimiento para introducir la información que se requiere; por lo tanto, no hay que deshacerse de nada que tenga el título “Manual del propietario” o “Instrucciones”, sin que importe qué tan tentador pueda serlo.
Matrices Otro método muy útil para solucionar un sistema de ecuaciones se basa en el concepto de m atrices. Considérense las ecuaciones [1], [2] y [3]. El siguiente arreglo de los coeficientes constantes de las ecuaciones 7 G =
-3
-3
-4 "
6 - 2
.- 4
-2
11.
recibe el nombre de m a t r i z ' , se eligió el símbolo G porque cada elemento de la matriz es un valor de conductancia. La propia matriz no tiene “valor”, simple mente es un arreglo ordenado de elementos. Se utilizan negritas para representar una matriz y se encierra el propio arreglo mediante corchetes. Una matriz que cuenta con m renglones y n columnas se denomina matriz de (,m x ri) (lo que se pronuncia “m por n ”). De tal modo,
A =
2
0 5
- 1 6
3
es una matriz de (2 x 3) y la matriz G del ejemplo corresponde a una matriz de ( 3 x 3 ) . Una matriz de (n x ri) es una m a t r i z c u a d r a d a de orden n. Una matriz de (m x 1) se conoce como matriz columna o vector. Así, V =
'V i y 2
es una matriz columna de (2 x 1) de tensiones fasoriales, y 1= es un vector de corriente fasorial de (2 x 1). Una matriz de (1 x ri) se conoce como vector renglón. Dos matrices de (m x n) son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. De tal modo, si a¡k es un elemento de A localizado en el renglón j y la columna k y b¡k es el elemento en el renglón j y la columna k en una matriz B, entonces A = B si y sólo si a¡t = bjk para todo 1 < j < m y 1 < k < n. De tal modo, si 'v r _V2 .
Z11I 1 + Z12I2
_Z21I 1 + Z22I 2 .
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
entonces Vi = z u l i + z ^ h y V 2 = z2ili + z22l 2Dos matrices de (m x n) pueden sumarse, sumando los elementos correspon dientes. De tal modo: ‘
2 -1
0
5'
6
3_
1 +
-3
2
3
3
2
8
-2
-1
-4
4
2
A continuación se considerará el producto de matrices AB, donde A es una m a triz ( m x / i ) y B e s una matriz de (p x q). Si n = p , se dice que las matrices son conformes y que existe su producto. Esto es, la multiplicación de matrices se de fine sólo en el caso en el que el número de columnas de la primera matriz del producto sea igual al número de renglones de la segunda matriz. La definición formal de una multiplicación de matrices establece que el pro ducto de la matriz A de (m x n) y de la matriz B de (n x q) es una matriz de (m x q) que tiene elementos c¡k, \ < j < m y l < k < q , donde Cjk =
U j\b \k + d j 2b2k
I ' ' ' I Q jn b n k
Esto es, para encontrar el elemento en el segundo renglón y la tercera columua del producto, se multiplica cada uno de los elementos del segundo renglón de A por el elemento correspondiente en la tercera columna de B y luego se suman los n resultados. Por ejemplo, dada la matriz A de (2 x 3) y la matriz B de (3 x 2), «u
a\2
«13
a 21
«22
«23
L
bu
b \2
b2\
b22
¿31 /J32j
(«11^11 + « 12^21 +Ol3^3l)
(«11 ¿>12 + a\2b22 + «13^32)
(«21 b\ | + «22^21 + «23¿31)
(«21^12 + ^22¿22 + «23^32)
El resultado es una matriz de (2 x 2). Como ejemplo numérico de multiplicación de matrices, se toma 3
2
-2
-2
2
3'
-2
-1
4
-3
6 16
4' -1 6
donde 6 = (3) (2) + (2)(—2) + (1)(4), 4 = (3)(3) + ( 2 ) ( - l ) + ( l) ( - 3 ) , etcétera. L a multiplicación de matrices no es conmutativa. Por ejemplo, dada la ma triz C de (3 x 2) y la matriz D de (2 x 1), resulta evidente que el producto CD se podría calcular, aunque el producto DC ni siquiera está incluso definido. Como ejemplo final, sea 2 -1
3' 4
tB por lo que t At B y t BtA están definidas. Sin embargo, ÍAÍB =
~21 17
2' -1
#■
'V W
0
A /W
- •
APENDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
mientras que: =
5
13
10
15
i i Oo ■ 1
1 L/\ OJ ■ i
A 2 .1 Dada A =
i i U> —
PRÁCTICA .
yV = l ’H [ 4 i ] m ] >encontrar: (a) A + B; ib) AB; (c) BA; (d) AV + BC; (e) A 2 = AA.
Respuesta:
'5 1
-4 ' 8_ *
-
'1 0
10'
2
’l
-
1
12
171 21J
. I" Vi —3 Vi + 1701 ’ L 3Vi + 5 V 2 - 10
'- 8 9
_ 18
-1 8 16
Inversión de matrices Si se escribe un sistema de ecuaciones utilizando la notación de matrices " 7 - 3 —3
—4" 6
-2
" -Il"
"Wi" v2 -
3
[4]
T —<
1
25.
.V3_
_
i
!
1
se resolvería para el vector de tensión si se multiplican ambos lados de la ecuación [4] por la inversa de la matriz G: G 1
-3
6
-2
'- I l " - Vl " 3 v2 = G _1
1
-V3 _
[5]
25.
Este procedimiento utiliza la identidad G -1 G = I, donde I es la matriz identi dad, una matriz cuadrada del mismo tamaño que G, con ceros en todos lados ex cepto en la diagonal. Cada elemento de la diagonal de una matriz identidad es la unidad. Por lo tanto, la ecuación [5] se convierte en 0
O
1
0
O
r—< O 1______ 0
" - 11"
"t>i" v2
= G l
-V 3 _
3 25.
que es posible simplificar en ■ -1 1 " ~V\~ 3 v2 = G ” 1 2 5. -V 3 _
j ÑAMES | fiDIT JMATH | OPS |CPLX | 1 F1 II F2 || F3 || F4 || rJ Pantalla para el manejo de matrices de la 77-86, cuya tecla de función correspondiente se indica debajo de cada elemento
I FIG U R A A2.1
puesto que la matriz identidad multiplicada por cualquier vector es simplemente igual a ese vector (la prueba se deja al lector en un ejercicio de 30 segundos). De esta forma, la solución del sistema de ecuaciones se transforma en el problema de obtener la matriz inversa de G. Muchas calculadoras científicas proporcionan los medios para efectuar el álgebra de matrices. De nuevo, utilizando como ejemplo la 77-86 se introduce la secuencia de teclas 12nd| |m atrx , y se observa la pantalla que se muestra en la figura A2.1.
APÉNDICE 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Para crear una nueva matriz llamada G, se oprime [rc], con lo que aparece en la pantalla MATRX N am e= Luego se oprime [g] 1e n t e r | y la pantalla registra MATRX:G [0
1
xl ]
A continuación se teclea [3] |e n t e r | dos veces para definir G com o una m a triz de 3 x 3 y la pantalla m uestra entonces :G [0 [0 [0
3x3 0] 0] 0]
0 0 0
1,
1=0
Se responde tecleando [ 7 [ e n t e r I ( -) 13 1enter| (-) 14 1enter |
y se prosigue hasta que se haya introducido cada coeficiente; después se pre siona | exit|. A continuación se genera un vector de corriente I llamando de nuevo el menú de matriz y creando una matriz I con las dimensiones 3 x 1. Se continúa con la incorporación de los valores —11, 3 y 25. Se verifican los valores incorporados tecleando | alpha ] [g] | enter|, o | alpha ] [7] | enter|. La calculadora ya está preparada para manipular los arreglos y resolver el sistema de ecuaciones. Sólo es necesario teclear ALPHA G .ir1 1 ENTER
También en este caso se recomienda al lector consultar el manual del propietario de la calculadora para mayores detalles.
Determinantes Aunque una matriz en sí misma no tiene “valor”, el determinante de la matriz cuadrada sí lo tiene. Para ser precisos, es necesario decir que el determinante de una matriz es un valor, aunque el uso común permite hablar del arreglo mismo y de su valor como determinante. Se simboliza un determinante mediante A y se emplea un subíndice adecuado para denotar la matriz a la que se refiere. De tal manera, 7 Ac =
-3 -4
-3
-4
6 -2 -2
11
Observar que se usan líneas verticales simples para encerrar el determinante. El valor de cualquier determinante se obtiene al desarrollarla en términos de sus menores. Para realizar esta tarea se selecciona cualquier renglón j o cualquier columna k, se m ultiplica cada elemento de ese renglón o columna por su menor y por (— y luego se suman los productos. El m enor de los
810------ V W
«
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
elementos que aparecen tanto en el renglón j como en la columna k es el deter minante que se obtiene cuando se eliminan el renglón j y la columna k, lo cual se indica mediante Ay*. Como un ejemplo, se desarrollará el determinante A c a lo largo de la columna 3. Se multiplica primero el (—4) de la parte superior de esta columna por (—1)1+3 = 1 y luego por su menor: (—4) (—1)
1+3
-3 -4
6 -2
luego se repite lo anterior para estos dos elementos en la columna 3 y se suman los resultados: -3 -4
-4
6 7 + 2 -2 -4
-3 -2
+ 11
7 -3
-3 6
Los menores contienen sólo dos renglones y dos columnas. Son de orden 2 y sus valores se determinan con facilidad expandiendo otra vez en términos de menores, lo que en este caso es una operación trivial. De tal modo, para el primer determinante, se desarrolla a lo largo de la primera columna multipli cando (—3) por (—1)1+1 y su menor, que es meramente el elemento (—2), y luego se multiplica (—4) por (—1)2+1 y por 6 . De este modo, -3 -4
6 = (—3)(—2) — 4 (—6) = 30 -2
Suele ser más fácil recordar el resultado de un determinante de segundo orden como “el término izquierdo superior multiplicado por el derecho inferior, menos el derecho superior por el izquierdo inferior”. Por último, AG = - 4 [ ( - 3 ) ( - 2 ) - 6 ( —4)] + 2[(7)(—2) — (—3)(—4)] + 11 [(7) (6) — (—3) (—3)] = -4 (3 0 ) + 2 ( -2 6 ) + 11(33) = 191 Para practicar, se desarrollará este mismo determinante a lo largo de] primer ren glón: Ac = 7
6 -2
-2 -(-3 ) 11
-3 -4
-2 + (-4 ) 11
-3 -4
6 -2
= 7(62) + 3 ( —41) —4(30) = 191 El desarrollo por menores es válido para una determinante de cualquier orden. Al repetir estas reglas para evaluar una determinante en términos más ge nerales, se podría afirmar que dada una matriz a, aa ü \2 aiN a _
«21 «22
•••
a 2N
_ ÜN] ÜN2 ■■ ■ aNN, se podría obtener A a mediante el desarrollo en términos de menores a lo largo de cualquier renglón j: A a — Oj\ ( —l ) ,/'+1 Ají + Üj2 (— i y +2Aj2 + • • • + djN{— i y +N A jíí
= f > „ ( - i y +«A JH 0= 1
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN D t ECUACIONES SIMULTÁNEAS
*■
o a lo largo de cualquier columna k: & 2k H-------- h dNk(— l ) N+k&Nk
A a = aik( — l ) 1+i A lt + « 2*(— N
= £ > „ * ( - 1 ) " + * A,,* n= 1
El cofactor Cjk del elemento que aparece tanto en el renglón j como en la colum na k es simplemente (—\ y +k veces el menor Aj^. De tal manera, C 11 = A n , aunque C b = ~ A |i . Se escribiría ahora N
N
QjnCjn = ^ ^ttriknk
Aa n= 1
n=1
Como ejemplo, considerar este determinante de cuarto orden: 2 A -
-2
-1
-1
4
0
2
-3 -1
-2
-1
5
0
-3
3
2
Se observa que
II
<
II
4 -1 -3 -1 -2 0
2 - 3 5 - 1 = 4(10 + 3) + 1 (4 + 9) - 3 ( - 2 + 15) = 26 3 2 2 -3 5 - 1 = - 1 ( 1 0 + 3) + 2(4 + 9) + 0 = 13 3 2
y C u = 26, en tanto que C u = —13. Al obtener el valor de A como práctica, se tiene A = 2C n + (—l)C 12 + ( - 2 ) C 13+ 0 = 2(26) + (—1) (—13) + ( - 2 ) (3) + 0 = 59
Regla de Cramer A continuación se considera la regla de Cramer, que perm ite determ inar los valores de variables desconocidas. También resulta útil para solucionar sis temas de ecuaciones donde los coeficientes num éricos no se han especifi cado, lo que en consecuencia hace que las calculadoras se confundan. Con siderar otra vez las ecuaciones [1], [2] y [3]; se define el determ inante Ai como el que se obtiene cuando la prim era colum na de A (: se sustituye por las tres constantes de los lados de la derecha de las tres ecuaciones. En conse cuencia, A, =
-1 1 3 25
-3 -4 6 - 2 -2 11
Desarrollando a lo largo de la primera columna. A, = - 1 1
6 -2
-2 11
-3
-3
-4
-2
11
= - 6 8 2 + 123 + 7 5 0 = 191
+ 25
-3 6
-4 -2
AA/V------{ 81!
w
v
4)
APÉNDICE
2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
La regla de Cramer establece entonces que
Vl
A2
v2 = y,
_ A i _ 191 _ i v AG 191 -1 1
-4
-3
3
-2
-4
25
11
7
581 - 6 3 - 136 191
= 2V
por último, 7
A3 AG
-3
-1 1
6
3
-3
1 0 9 2 -2 9 1 - 2 2 8
= 3V 191 25 -4 -2 La regla de Cramer resulta aplicable a un sistema de N ecuaciones lineales si multáneas con N incógnitas; en el caso de la variable /-ésim a v¡: V3
AL Vi =
Ag
A2.2. Evaluar: (a)
2 -2
-3 5
{ ib)
; (c)
2 -3
—3
0
4
1
1 -1 2
5 0 -3
5 6 3 -2 (d) Encontrar i2 si 5¿i — 2i2 — «3 100. —2*i + 6í2 - 3/3 - ¿4 -ii - 3/2 + 4/3 - ¿4 = 0 , y - i 2 ■ ¿3 — 0 Respuestas: 4; 33; —41L; 1.266.
APÉNDICE UNA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN Se demostrará el teorema de Thévenin de la misma forma en la que se enunció en la sección 5.4 del capítulo 5, lo cual se repite aquí para consulta: Dado cualquier circuito lineal, se reordena en la forma de dos redes A y B conectadas mediante dos alambres. Se define una tensión uca como la tensión en circuito abierto que aparece en las terminales de A cuando se desconecta B. Entonces, todas las corrientes y las tensiones de B permanecerán invariables, si todas las fuentes de tensión y de corriente independientes de A se “suprimen” o “se hacen iguales a cero” y si se conecta una fuente de tensión independiente t>ca con la polaridad adecuada, en serie con la red A desconectada (inactiva). Se llevará a cabo la prueba demostrando que la red A original y el equivalente de Thévenin de la red A provocan que fluya la misma corriente hacia las termi nales de la red B, Si las corrientes son las mismas, entonces las tensiones deben ser iguales; en otras palabras, si se aplica cierta corriente, que se podría considerar como una fuente de corriente, a la red B entonces la fuente de corriente y la red B constituyen un circuito que tiene una tensión de entrada específica como res puesta. Por lo tanto, la corriente determina la tensión. De manera alternativa, se podría, si así se deseara, demostrar que la tensión en la terminal de B permanece sin cambio, debido a que la tensión determina también de manera única a la corriente. Si la tensión de entrada y la com ente hacia la red B no cambian, se concluye entonces que tampoco varían las com entes y las tensiones a lo largo de la red B. En primera instancia se demostrará el teorema para el caso en el que la red B está inactiva (sin fuentes independientes). Después de que este paso se haya cumplido, se podría utilizar el principio de superposición para ampliar el teo rema, de manera que incluya las redes B que contienen fuentes independientes. Cada red quizá contenga fuentes dependientes, siempre que sus variables de con trol estén en la misma red. La com ente i que circula por el conductor superior desde la red A hasta la red B en la figura A3.1 a se debe entonces por completo a las fuentes indepen-
*
(a)
B
B
(sin fuentes indepen dientes)
(sin fuentes indepen dientes)
Vi -
{b)
B A
VX =
V oc
(inactiva)
(sin fuentes indepen dientes)
(c)
(a) Redes lineales generales A y B que no contienen fuentes independientes. Los controles de las fuentes dependientes deben aparecer en la misma parte de la red. (6) La fuente de Thévenin se inserta en el circuito y se ajusta hasta que i = 0. Ninguna tensión aparece en la red B y por ello vK = v a . Así, la fuente de Thévenin produce una corriente - i mientras que la red A proporciona i . (c) La fuente de Thévenin está invertida y la red A suprimida. La corriente es, por lo tanto, igual a ¡.
■ FIG U R A A3.1
A /W
-•
APÉNDICE 3 UNA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN
dientes que están en la red A. Supóngase ahora que se suma una fuente de tensión adicional vx , la cual se llamará la fuente de Thévenin, en el conductor en el que se mide i como se indica en la figura A 3 .\b , y luego se ajusta la variación en magnitud y en el tiempo de vx hasta que la corriente se reduce a cero. Así, por definición de uca, la tensión en las terminales de A debe ser vca, puesto que i = 0. La red B no contiene fuentes independientes, ni entra corriente a sus ter minales; por lo tanto, no hay tensión en las terminales de la red B y aplicando la ley de Kirchhoff de tensión, la tensión de la fuente de Thévenin corresponde a Dca volts, vx = vca. Además, dado que la fuente de Thévenin y la red A no en tregan de manera conjunta corriente a B , y en virtud de que la red A por sí sola entrega una corriente i , la superposición requiere que la fuente de Thévenin que actúa por su cuenta deba entregar una corriente de —i a B. La fuente que actúa sola en una dirección invertida, como en la figura A3.1c, produce, por lo tanto, una corriente i en el hilo de conexión superior. Sin embargo, esta situación es la m ism a que la conclusión a la que se llegó mediante el teorema de Thévenin: la fuente vca de Thévenin que actúa en serie con la red .1 inactiva es equivalente a la red dada. Considerar el caso donde la red B puede ser una red activa. Pensar que la corriente i, que fluye de la red A a la red B por el conductor superior, estuviera compuesta de dos partes, i a &i b, donde i a es la corriente que produce A cuando actúa sola y la corriente Íb se debe sólo a B cuando actúa sola. La capacidad para dividir la corriente en estos dos componentes es una consecuencia directa de aplicar el principio de superposición a las dos redes lineales; la respuesta completa y las dos respuestas parciales se indican mediante los diagramas de la figura A3.2.
! - ‘A + 'fi
entonces:
Si:
(a) l F IG U R A A 3 .2
L
A
(b)
La superposición permite que la corriente i se considere como la suma de dos respuestas parciales.
La respuesta parcial iA ya se consideró; si la red B está inactiva, se sabe que se puede sustituir la red A por la fuente de Thévenin y la red A inactiva. En otras palabras, de las tres fuentes que se deben tener presentes — la de A, la de B y la fuente de Thévenin— la respuesta parcial i a ocurre cuando A y B están inactivas y la fuente de Thévenin se encuentra activa. Para prepararse para el uso de la superposición, se permite que A siga inactiva, aunque se activa B y se des activa la fuente de Thévenin; por definición, se obtiene la respuesta parcial isSi se superponen los resultados, la respuesta cuando A está inactiva y tanto la fuente de Thévenin como B se encuentran activas, corresponde a iA + ¡b- Esta suma es la corriente i original, de modo que la situación en la que la fuente de Thévenin y B están activas pero A está inactiva es la que se desea en el circuito equivalente de Thévenin. De tal modo, se podría sustituir la red activa A por su fuente de Thévenin, la tensión en circuito abierto, en serie con la red A inactiva, sin que importe el estado de la red B , que puede estar activa o inactiva.
APENDICE TUTORIAL DE PSpice ® SPICE es un acrónimo de Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis (.Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados). Es un poderoso programa y estándar en la industria que se utiliza en todo el mundo en una gran variedad de aplicaciones de análisis de circuitos. SPICE fue desarrollado origi nalmente a principios de los años setenta por Donald O. Peterson y sus colegas en la Universidad de California en Berkeley. Es interesante que Peterson permi tiera la distribución libre y sin trabas del conocimiento creado en los laboratorios de la universidad, pues eligió provocar un impacto de conocimiento en lugar de sacar provecho económico. En 1984, M icroSim Corporation presentó una ver sión de SPICE para PC llamada PSpice®, la cual contaba con interfases gráficas intuitivas alrededor del núcleo de las rutinas de software de SPICE. Actualmen te existen algunas variantes de SPICE disponibles en el mercado, así como pro ductos de software que compiten con él. El objetivo de este apéndice es presentar simplemente los fundamentos del análisis de circuitos asistido por computadora; se ofrecen más detalles en el tex to así como en las referencias que se presentan bajo el título de lecturas reco mendadas. Los temas avanzados que cubren las lecturas complementarias inclu yen cómo determinar la sensibilidad de una variable de salida a los cambios en el valor de un componente específico; cómo obtener gráficas de la salida versus un valor de la fuente; determinar la salida de ca como una función de la frecuen cia de la fuente; métodos para llevar a cabo análisis de ruido y distorsión; mode los no lineales de componentes; y cómo modelar los efectos de la temperatura en cierto tipos de circuitos. La adquisición de MicroSim por parte de OrCAD y la subsecuente adquisi ción de OrCAD por Cadenee han generado muchos cambios en este popular pa quete de simulación de circuitos. En el momento en el que se escribió este libro, OrCAD 10.3, que es la versión profesional actual, cuesta aproximadamente US$1 000; una versión más modesta llamada OrCAD 10.0 Lite se encuentra dis ponible gratis en internet (www.cadence.com). Esta nueva versión remplaza a la popular Versión estudiantil 9.1 de PSpice y, aunque es ligeramente distinta, en particular en términos del ediiado de esquemas, su apariencia debe ser familiar a los usuarios de versiones anteriores de PSpice. La documentación que acompaña el Demo de la versión OrCAD 10.0 Lite pre senta algunas restricciones que no se aplican a la versión profesional (disponible en el mercado). Lo más significativo es que sólo los circuitos que cuentan con 60 o menos partes pueden guardarse y simularse. Sin embaído, es posible ver y dibujar circuitos más grandes. Se ha seleccionado trabajar con el editor de esquemas Or CAD Capture, ya que la versión actual es muy similar al editor de captura de esque mas PSpice A/D. En la actualidad Cadenee también ofrece la posibilidad de que PSpice A/D se baje de internet, pero ya no se le proporciona soporte técnico a éste.
Arranque de PSpice El análisis de circuitos asistido por computadora consta de tres pasos: 1) dibujo del esquema; 2) simulación del circuito; y 3) extracción de la información de-
- A /W
816
APENDICE 4
TUTORIALDEPSpice®
seada de los resultados de la simulación. El editor de captura de esquemas de OrCAD arranca a través de la lista de programas de Windows que se encuentra en el menú . deberá aparecer un menú similar al que se muestra en la figura A4.1. Una vez que se selecciona Capture CIS Demo, el editor de esque mas se abre, como se ve en la figura A4.2.
| ;2 j| PSpice Accessories
• lÚ Flow D o a im e n ta tio n G a te w a y ¡ J jj L a y o u tD e m o J j¡ | L a y o u t S m artR oute C alíbrate
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¡ í* * :
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............................5 ...............................6 ...............................7 ■ • ■ ’ ■
tjjjjí PSpice AD Demo R ead Me j jg l SPECCTRA Demo Uninstall OrCAD 10.0 Demo ; FIGURA A4.1 Menú de programas de demostración de Oread.
■ FIGURA A4.2 Ventana de captura del demo CIS.
En el menú File seleccionar New, después Project; aparecerá la ventana de la figura A4.3«. Después de que se proporciona un nombre del archivo de simu lación y una ruta del directorio, aparecerá la ventana de la figura A4.3¿> (simple-
Ñame ¡Voltage Divider Example Create a N ew Project Using
%
-Jb s
Help
A nalog o ' Mixed A /D Tip for N ew Usefs P C B oardW izard
«S
Prcgrammabla Logic W izard
Create a new A nalog or Mixed A /D pro[ect. Tho new project may be blank or copied from an existing tém plate
Create PSpice Project Create ja ie d upon an existing project
Location Browse...
jC: \C ircuit Simulations^Examples
|
Create a blank project Help
(a)
■ FIGURA A4.3
(o) Ventana NewProject. (b) Ventana Create PSpice Project.
APÉNDICE 4 . UTORIAL üb PSpice®
mente, seleccionar la opción “blank project”)- En seguida aparecerá la ventana principal de edición de esquemas, como se muestra en la figura A4.4.
■ FIGURA A 4.4 Página principal de captura esquemática de CIS Demo.
A estas alturas, ya se está listo para dibujar el circuito, por lo que se hará una prueba con el divisor de tensión para propósitos ilustrativos. Primero se colo carán los componentes necesarios en el enrejado y después se cablearán. Accediendo al menú Place se selecciona P a rt, lo cual hace que aparezca la ventana que se muestra en la figura A4.5. Apretando la tecla en minúsculas “r ” como se muestra, se teclea OK y luego se puede mover el símbolo de resistencia por toda la ventana de esquemas mediante el uso del ratón. Un solo clic a la izquierda coloca una resistencia (llamado R l) en donde se encuentra el mouse. Un segundo clic a la izquierda coloca una segunda resistencia en el esquema (llamado R2). Un solo clic a la derecha y seleccionando E n d M ode elimina cualquier otra ubicación de la resistencia. La segunda resistencia no tiene la orien tación adecuada, pero se manipula fácilmente resaltándolo con un solo clic a la
P a tla f c
AddÜbídíy
.Q2N6059/EVAL í QbreakL/BREAKOUT : QbreakN/BREAKOUT ¡QbreakN3yBREAK0UT 1QbreakíM/BREAKOUT Qb(eakP/8REAK£)UT Qt»eakP3/BREAK0UT QbteakP4/B REAKOUT QD«8reafcN/8REAKOUT QD«8 reakP/BREAKOUT I r/AMALOG P Uxar»*; AMALOG
Graphic • Nonnal
ÁNALOG P br e a k o Ot
DesignCache E VAL EVALP
Psck^ging Partt peí Pkg: 1
SOURCE SdURCSTM
R? — >v w 1k
Type: Homogeneou*
■ FIGURA A4.5 Menú de colocación de partes.
• ------------------------------ ' V
W
818
A /W
- •
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice*
izquierda, y después tecleando Ctrl + R Si no se sabe el nombre de la parte de seada, se puede navegar a través de la biblioteca de partes que se ofrece al usuario. Si no se desea incluir las resistencias de 1 k£2 — por ejemplo, quizás se deseen dos resistencias de 500 Q — se pueden cambiar los valores por omisión simplemente haciendo doble clic en “ lk ” junto al símbolo correspondiente. Por supuesto que ningún circuito divisor está completo sin una fuente de ten sión. Haciendo doble clic en el valor por omisión de 0 Vcd, se selecciona un valor de 9 V para la fuente. Se requiere un componente adicional: SPICE necesita que se especifique un nodo de referencia (o tierra). Haciendo clic en el símbolo GND en el extremo derecho de la ventana de esquemas, se selecciona 0/Source de las opciones. El avance hasta el momento se muestra en la figura A4.6a; todo lo que
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PSpice
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(a)
Cb) (a) Componentes colocados en el enrejado. (b) Circuito totalmente alambrado y listo para simularse.
I FIG U R A A 4.6
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice®
queda por hacer es alambrar los componentes entre sí. Esta tarea se lleva a cabo accediendo al menú Place y seleccionando Wire. Las teclas izquierda y derecha del m ouse controlan cada alambre (aquí se requiere un poco de experiencia; después, seleccionar cualquier segmento de alambre no deseado y presionar la tecla Delete). El circuito final se muestra en la figura A4.6b. Vale la pena obser var que el editor permitirá que el usuario alambre a través de una resistencia (por k> tanto, lo pondrá en cortocircuito), lo cual puede ser difícil de observar. En general aparece un símbolo de advertencia antes de que se coloque el alambre en un lugar equivocado. Antes de simular el circuito, se salva haciendo clic en el icono save o selec cionando Save del menú File. Del menú PSpice se selecciona New Simulation Profile, y se teclea Voltage Divider en la ventana de diálogo que aparece. La ventana de diálogo Simulation Settings que aparece permite definir parámetros para una gran variedad de tipos de simulación; sin embargo, para este ejemplo sólo es necesario seleccionar OK. Una vez más, se accede al menú PSpice y se selecciona Run. Los resultados de la simulación se muestran en la figura A4.7.
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I FIG U RA A4.7
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£ O
Resultados de la simulación.
Por fortuna, la simulación que se realizó proporciona los resultados espera dos, e incluso permite dividir la tensión de la fuente a través de dos resistencias de igual valor. Asimismo, también se pueden ver los resultados de la simulación seleccionando View Output File en el menú PSpice. Accediendo al final de este archivo, se observan las líneas siguientes: NODE
VOLTAGE
(N00157) 9.0000
NODE
VOLTAGE
(N00166)
4.5000
donde el nodo 157 es la referencia positiva de la fuente de tensión, y el nodo 166 es la unión de las dos resistencias. Esta información se encuentra disponible en la parte superior del archivo.
A A /V
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice®
LECTURAS ADICIONALES
________ _____________
Dos libros muy buenos dedicados a la simulación en SPICE y PSpice son
Paul W. Tuinenga, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSpice, Prentice-Hall, Bnglewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall, 1995. Roy W. Goody, OrCAD PSpice fo r Windows Volume 1: DC andAC Circuits, 3a ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall, 2001. Una historia interesante acerca de los simuladores de circuitos, así como las con tribuciones de Donald Peterson en este campo se pueden encontrar en
T. Perry, '‘Donald O. Peterson [electronic engineering biography]”, IEEE Spectrum 35(1998), 22-27.
APÉNDICE
5
NÚMEROS COMPLEJOS Este apéndice incluye secciones que abarcan la definición de un número com plejo, sus operaciones aritméticas básicas, la identidad de Euler y las formas ex ponencial y polar de los números complejos. Se presenta primero el concepto de número complejo.
A5.1 NÚMERO COMPLEJO ----------•--------------------------------------------------------------------------------------------------------La preparación previa en m atem áticas estuvo relacionada exclusivam ente con núm eros reales: 4, —| y rt, entre otros. Sin embargo, de inm ediato aparecen ecuaciones algebraicas como x 2 = —3, la cual no podría satisfacer ningún número real. U na ecuación de este tipo se resuelve sólo a través de la intro ducción de la unidad im aginaria o el operador imaginario, que se designará con el sím bolo j . Por definición, j 2 = —], y por ello, j — V —I , p = —j , j 4 = 1, y así sucesivam ente. El producto de un núm ero real y del operador imaginario se denomina número imaginario; además, la sum a de un número real y de un número imaginario se conoce como número complejo. De tal manera, un número que tiene la forma a + jb , donde a y b son números reales, es un número complejo. Se designará un número complejo mediante un solo símbolo especial; en esa forma, A = a + jb . La naturaleza compleja del número se indica mediante el uso del tipo de letra en negritas; en textos manuscritos, se acostumbra utilizar una barra sobre la letra. El número complejo A que acaba de mostrarse se des cribe como si tuviera una componente real o parte real a y una componente imaginaria o parte imaginaria b. Lo anterior se expresa también como Re{A} = a
Im{A} — b
La componente imaginaria de A no es jb . Por definición, la componente imagi naria es un número real. Debe observarse que se podría considerar a todos los números reales como números complejos que tienen partes imaginarias iguales a cero. Por lo tanto, los números reales se incluyen en el sistema de los números complejos, de modo que podrían considerarse en esas condiciones como un caso especial. En conse cuencia, cuando se definen las operaciones aritméticas fundamentales de los números complejos, se debe esperar que se reduzcan a las definiciones corres pondientes de números reales, si la parte imaginaria de todo número complejo se hace igual a cero. Dado que cualquier número complejo se expresa totalmente por medio de un par de números reales, como a y b en el ejemplo anterior, se obtiene cierto auxi lio visual al representar gráficamente un número complejo sobre un sistema de coordenadas rectangular o cartesiano. Si se tiene un eje real y un eje imaginario, como en la figura A5.1, se forma un plano complejo o diagrama de Argand, so bre el cual cualquier número complejo puede representarse como un solo punto. Se indican los números complejos M = 3 + j l y N = 2 — j 2. Es importante
Los matemáticos designan al operador imaginario mediante el símbolo i , pero en ingeniería eléctrica es costumbre utilizar / para evitar confusión con el mismo símbolo ce la corriente.
La elección de las palabras imaginaría y compleja es desafortunada. Se utilizan aquí y en la literatura matemática como términos técnicos para designar una clase de números. Ni se justifica ni se intenta interpretar imaginario como "no pertenecer al mundo físico" o complejo como "complicado".
A /W
•
APÉNDICES NÚMBBOSCOMPLEJOS
comprender que este plano complejo sólo es una ayuda visual; no es esencial en lo absoluto para los enunciados matemáticos que siguen.
. Imaginario
fl
—
j2 -
• M
n
i -1
1 0
1
1
2
1
1
1
3
4
5
>.
-yi • N
-fl
■ FIG U R A A5.1 Los números complejos M = 3 + y'l y N = 2 — y'2 se muestran en el plano complejo.
Se definen los números complejos como iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también lo son. Gráficamente, entonces, para cada punto en el plano complejo corresponde sólo un número complejo, y de manera inversa, para cada número complejo corresponde sólo un punto en el plano complejo. De tal modo, suponer que se dan dos números complejos: A = a + jb
y
B = c + jd
Entonces, si A = B es necesario que a = c
y
b = d
Un número complejo expresado como la suma de un número real y de un imaginario, como A = a + jb , se dice que está en form a rectangular o carte siana. Otras formas de números complejos aparecerán un poco más adelante. Se definen ahora las operaciones fundamentales de suma, resta, multipli cación y división de números complejos. La suma de dos números complejos se define como el número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales de los dos números complejos y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los dos números complejos. Por lo tanto, (a + jb ) + (c + j d ) = (a + c) + j ( b + d) Por ejemplo, (3 + 74) + (4 — j2 ) = 1 + j 2 La diferencia de dos números complejos se calcula de m anera similar; por ejemplo, (3 +
7 4)
— (4 — j2 ) = —1 + j
6
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
La suma y la resta de números complejos también se llevan a cabo gráficamente sobre el plano complejo. Cada número complejo se representa como un vector, o un segmento de recta orientado; la suma se obtiene completando el paralelogramo, que se ilustra en la figura A5.2a, o conectando la punta y la cola de los vectores, como se muestra en la figura A5.2b. Un bosquejo gráfico muchas ve ces es útil para verificar una solución numérica más exacta. El producto de dos números complejos se define mediante (a + jb ) (c + j d ) = (ac — bd) + j (be + ad) Este resultado quizá se obtenga con m ayor facilidad m ediante la m ultipli cación directa de dos térm inos binom iales, utilizando las reglas del álgebra de núm eros reales y sim plificando después el resultado al observar que j 2 = —1. Por ejemplo, (3 + 7-4)(4 - 72) = 12 - 76 + 7 16 - 8/ = 12 + 7 IO + 8 = 20 + 7 IO Es más fácil multiplicar los números complejos mediante este método, en par ticular si se sustituye de inm ediato j 2 por —1, que sustituirlos en la fórm ula general que define la multiplicación. Antes de definir la operación de la división de números complejos, es nece sario definir el conjugado de un número complejo. El conjugado del número complejo A = a + j b es a — j b y se representa como A*. El conjugado de cualquier número complejo, por lo tanto, se obtiene fácilmente con sólo cam biar el signo de la parte imaginaria del número complejo. De tal manera, si A = 5 + 73
M +N = 5-jl
(b) (a) La suma de los números complejos M = 3 + / l y N = 2 - j 2 se obtiene construyendo un paralelogramo. (b) La suma de los dos mismos números complejos se determina mediante la combinación de la punta y la cola de los vectores.
■ FIG U R A A5.2
entonces A* = 5 — 73 Resulta evidente que el conjugado de cualquier expresión compleja complicada se encuentra sustituyendo cada término complejo en la expresión por su conju gado, el cual se obtiene al sustituir toda 7 en la expresión por —7 . Las definiciones de suma, resta y multiplicación confirman la validez de los siguientes enunciados: la suma de un número complejo y su conjugado es un número real; la diferencia de un número complejo y su conjugado es un número imaginario; el producto de un número complejo y su conjugado es un número real. También es evidente que si A* es el conjugado de A, entonces A es el conjugado de A*; en otras palabras, A = (A*)*. Un número complejo y su conjugado se dice que forman un p a r de números complejos conjugados. Se define ahora el cociente de dos números complejos: A _ (A) (B*) B
(B) (B*)
ypor ello a + jb
(ac + bd) + 7 (be — ad)
c + jd
c2 + d 2
Inevitablemente, en un problema físico un número complejo se acompaña, de alguna forma, por su conjugado.
A /W
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denomi nador para obtener un denominador real; este proceso se denomina racionalizar el denominador. Como un ejemplo numérico 3 + J4 _ (3 + 7 4) (4 + j2 ) 4 — j2
(4 — 7 2) (4 + j2 )
L a suma o resta de dos números complejos que se expresan en forma rectangu lar es una operación relativamente simple; sin embargo, la multiplicación o di visión de dos números complejos en forma rectangular es más bien un proceso improductivo. Se encontrará que estas dos últimas operaciones resultan mucho más simples cuando los números complejos se dan en forma exponencial o po lar. Estas formas se presentarán en las secciones A5.3 y A5.4.
PRACTICA A5.1 Sean A = —4 + j5 , B = 3 — j 2 y C = —6 — j 5, determinar: (a )C - B; (b)2A - 3B + 5C; (c) j 5C2(A + B); (d)B R e[A J + A Re[B], A5.2 Utilizando los mismos valores de A, B, y C del problema anterior, encontrar: (a ) [(A - A*)(B + B*)*]*; (b) (1/C ) - (1/B)*; (c) (B + C )/(2B C )._________________________________________ Respuestas: A 5.1: —9 — /3 ; —47 — /9 ; 27 — /191; —24 + y 23. -0 .3 2 9 + 70.236; 0.0662 + J0.1179.
A5.2: —/60;
A5.2 IDENTIDAD DE EULER ----------«--------------------------------------------------------------------------------------------------------En el capítulo 9 se encontraron funciones del tiempo que contienen números complejos, así que es de interés la diferenciación e integración de tales fun ciones con respecto de la variable real t. Se diferenciaron e integraron estas funciones respecto de t mediante los mismos procedimientos empleados para las funciones de tiempo reales. Esto es, las constantes complejas se tratan exac tamente como si fueran constantes reales cuando se efectúan las operaciones de diferenciación o integración. Si f(r) es una función compleja del tiempo, tal como f(í) = a cos ct + jb s e n c t entonces d f(t) ------ = —ac sen ct + / be cos ct dt
y
/
a
b
f(í) d t = —sen ct — j — cos ct + C c c
donde la constante de integración C es un número complejo en general. Algunas veces se requiere diferenciar o integrar una función de una variable compleja respecto de esa variable compleja. En general, el éxito de cualquiera de estas operaciones requiere que la función que se va a diferenciar o a integrar
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
satisfaga ciertas condiciones. Todas nuestras funciones las cumplen, así que la integración o la diferenciación con respecto a una variable compleja se obtienen a través de métodos idénticos a los usados para variables reales. En este momento se debe utilizar una relación fundamental muy importante, que se conoce como identidad de Euler. Se demostrará esta identidad, pues re sulta muy útil al representar un número complejo en otra forma que no sea la rectangular. La prueba se basa en los desarrollos en series de potencia de cos 6 , sen<9 y e \ que se dan en las contratapas de cualquier libro de cálculo universitario favorito del lector: cost
e6 o2 t 04 + 2! 4! ~ 6í
sen 0 — i
e3 I e5 o1 ~r 5! ~ 7! 3!
o2 .e 3 e o s Q + j s e n O = 1 + j d 1_ - — - j — + — + j — 2 ! ^ 3! 4
z2 *
z3
z4 z5
- 1 + z + ^ + ^ + íT + I i +
por lo que
e J e - 1 + j e ~ 2 \ ~ j V. + 4 T + ' Se concluye que e-i0 = cosO + j se n 0 o, si z=
[1]
—j d , se puede ver que e~;’e = c o s0 — j sen0
[2]
Sumando y restando las ecuaciones [1] y [2], se obtienen las dos expresiones que se usaron, sin demostrarlas, en el estudio de la respuesta natural subamortiguada de los paralelos y series de circuitos RLC ,
PRÁCTICA
cosd = ^ (e J0 + e~j0)
[3]
sen0 = —j \ { e ¡0 — e~ie)
[4]
_____________________________________ ___________
A5.3 Recurrir a las ecuaciones [1 ] a la [4] para evaluar: (a) e~j l \ (b) i p 1; (c) c o s ( - j l ) ; (d) s e n ( - jl ) . A5.4 Evaluar e n t = 0.5: (a )(d /d t)(3 co s21 — /'2ser¡2/); (b) / ’í (3 cos 21 - /2sen2zj d t; evaluar s = 1 + j 2: (c) f^ ° s~3 ds; (d) (¿ /¿ s )[3 /(s + 2)]. Respuestas: A5.3: 0.540 -5 .0 5 -
7
7 0 . 8 4 1 ; 1.469 - j 2.29; 1.543; - j C 1 7 5 . A5.4: 2.16; 1.262 - y'0.460; - 0 .0 6 - 7 O.O8 ; -0 .0 8 8 8 + 70.213.
A/W
«
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
A5.3 FORMA EXPONENCIAL
---------• -------------------------------------------Se tomará ahora Ja identidad de Euler e-i0 = eos 9 + js e n 9 y se multiplicará cada lado por el número real positivo C: Cej9 = C cos 9 + j C sen 9
[5]
El lado derecho de la ecuación [5] consta de la suma de un número real y uno imaginario, por lo cual representa un número complejo en forma rectangular. Se llamará a este número A, donde A = a + jb . Al igualar las partes reales, a = C cos 9
[6]
b = Csen<9
[7]
y las partes imaginarias
al elevar al cuadrado y sumar después las ecuaciones [6] y [7], a2 + b 2 = C2
C = + v a2 + b 2
[8]
y dividiendo la ecuación [7] entre la ecuación [6]: — = tan 0 a
9 = tan- a
[9]
se obtienen las relaciones de las ecuaciones [8] y [9], las que permiten determi nar C y 9 a partir del conocimiento de a y b. Por ejemplo, si A = 4 + j2 , en tonces se identifica a a como 4 y a b como 2 y se determinan C y 9: C = V 42 + 22 = 4.47 9 = tan- 1 1 = 26.6° Es posible utilizar esta nueva información para escribir A en la forma A = 4.47 cos 26.6° + y'4.47 sen 26.6° pero es la forma del lado izquierdo de la ecuación [5] la que demuestra ser más útil: A = Ceje = 4.47e;26'6° Un número complejo que se expresa de esta manera se dice que está en ferm a exponencial. El factor multiplicador positivo real C se conoce como amplitud o magnitud, y la cantidad real 9 que aparece en el exponente se denomina argu mento o ángulo. Un matemático expresaría siempre 9 en radianes y escribiría A = 4.47ej0A64
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
•------------- V W
©
aunque los ingenieros suelen trabajar en términos de grados. El uso del símbolo de grados (°) en el exponente hará imposible l a confusión. Para recapitular, si se tiene un número complejo que se da en forma rec tangular A = a + jb y se desea expresarlo en forma exponencial A - C eje se podría determinar C y 9 mediante las ecuaciones [8] y [9]. Si está indicado el número complejo en forma exponencial, entonces se determinaría a y b a partir de las ecuaciones [6] y [7]. Cuando A se expresa en términos de valores numéricos, la transformación entre las formas exponencial (o polar) y rectangular se dispone com o una operación integrada en la mayor parte de las calculadoras científicas de mano. Aparecerá una pregunta al determinar el ángulo o utilizar la relación arcotangente de la ecuación [9]. Esta función es multivaluada, por lo que se requiere elegir un ángulo apropiado, entre varias posibilidades. Un método mediante el cual se podría efectuar la elección consiste en escoger un ángulo para el que el seno y el coseno tienen los signos apropiados para obtener los valores reque ridos de a y de b de las ecuaciones [6] y [7]. Por ejemplo, se va a convertir V
= 4 —j ñ
en la forma exponencial. La amplitud es
Imaginario
C = V 42 + (—3)2 = 5 y el ángulo corresponde a 9 = tan" 1 =£
[10]
Se debe elegir un valor de 9 con el que se obtiene un valor positivo de cos 9, pues 4 = 5 cos 9, y un valor negativo para sen 9, puesto que —3 = 5 sen#. Por lo tanto, se obtiene# = —36.9°, 323.1°, —396.9', etc. Cualesquiera de estos ángu los es correcto, así que se suele elegir el más simple, en este caso —36.9°. Se debe advertir que la solución alternativa de la ecuación [10], 9 = 143.1°, no es correcta, en virtud de que cos 9 es negativo y sen# positivo. Se dispone de un método más simple para seleccionar el ángulo correcto si se representa de manera gráfica el número complejo en el plano complejo. Se selec ciona primero un número complejo, dado en forma rectangular. A = a + jb , que se ubica en el primer cuadrante del plano complejo, como se ilustra en la figura A5.3. Si se dibuja una línea desde el origen hasta el punto que representa el número complejo, se habrá construido un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es evidentemente la amplitud de la representación exponencial del número com plejo. En otras palabras, C = \ f a 2 + b2. Además, se observa que el ángulo en di rección contraria al de las manecillas del reloj, formado por la línea y el eje real positivo, corresponde al ángulo 9 de la representación exponencial, debido a que a = C cos 9 y b = C sen9. Ahora bien, si se indica la forma rectangular de un número complejo que se ubica en otro cuadrante, como V = 4 —y 3, el ángulo correcto resulta gráficamente evidente, ya sea —36.9° o 323.1° en este ejemplo. Muchas veces el dibujo puede visualizarse y no necesita dibujarse.
Un número complejo se representa mediante un punto en el plano complejo, con la elección de las partes real e imaginaria correctas a partir de la forma rectangular, o eligiendo la magnitud y el ángulo a partir de la forma exponencial.
■ FIG U R A A 5 .J
Imaginario
El número complejo V = 4 — / 3 = 5e_/36-9° se representa en el plano complejo.
■ FIG U R A A5.4
828 ---------- W V
*
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
Si la forma rectangular del número complejo tiene una parte real negativa, a menudo es más fácil trabajar con el negativo del número complejo, con lo cual se evitan ángulos de magnitud mayor que 90°. Por ejemplo, dado I = —5 + j 2 se escribe
I = -(5 - 7 2) y se transforma entonces (5 — j 2) a la forma exponencial: I = —Ce-'9 donde C = V 29 = 5.39
y
6 = tan” 1
= - 21.8°
Por lo tanto, se tiene I = -5 .3 9 e ~ j2 ls° Se eliminaría el signo negativo del número complejo si se incrementa o disminuye el ángulo en 180°, como se muestra mediante referencia a un dibujo en el plano complejo. De tal manera, el resultado se expresa en la forma exponencial como I = 5.39e'íl58'2°
o
I = 5.39*j-'201-8°
Obsérvese que el uso de una calculadora electrónica en el modo de tangente in versa siempre produce ángulos que tienen magnitudes menores que 90°. Así, tan_ 1[(—3)/4] y tan_ 1[3 /(—4)] dan como resultado —36.9°. Sin embargo, las calculadoras que proporcionan la conversión rectangular-polar muestran el án gulo correcto en todos los casos. Es necesario señalar una última anotación en lo que respecta a la repre sentación exponencial de un número complejo. Dos números complejos, es critos en form a exponencial, son iguales si y sólo si sus amplitudes son iguales y sus ángulos son equivalentes. Los ángulos equivalentes son los que difieren por múltiplos de 360°. Por ejemplo, si A = Cej9 y B = D e jí*, entonces si A = B, se requiere que C. = D y 0 =
PR ftCTI CA
_________________________________________________
A5.5 Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando el ángulo que está en el intervalo -1 8 0 ° < 0 < 180°; (a) - 1 8 .5 - j2 6 .1 ; (b) 17.9 - j 12.2; (c) -2 1 .6 + j 31.2. A5.6 Expresar cada uno de estos números complejos en forma rectangular: (a) 61.2e~j n i l°; (b) -3 6 .2 e J m ; (c) 5 e ^ '2-5. Respuestas: A5.5: 3 2 .0 e ^ 125-3°: 2 1 .7 e - '34-3°: 3 7 .9 e 'n4'7°. 11.19 - J34.4; -4 .0 1 - j2.99.
A5.6: - 2 2 .0 -
7
57.1;
A5.4 FORMA POLAR ----------♦--------------------------------------------------------------------------------------------------------La tercera (y últim a) form a en la que se representa un número com plejo es esencialmente la mism a que la form a exponencial, salvo por una pequeña diferencia en el simbolismo. Se usa un signo de ángulo (¡J para sustituir la
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
com binación eK De tal modo, la representación exponencial de un número complejo A, A = C eje podría escribirse de una manera más concisa como A = C¿0 Se dice en estas condiciones que el número complejo se expresará en forma p o lar, un nombre que sugiere la representación de un punto en un plano (complejo) mediante el uso de coordenadas polares. Resulta claro que la transformación de la forma rectangular a la polar, o de la polar a la rectangular, es básicamente lo mismo que la transformación entre la forma rectangular y la exponencial. La misma relación existe entre C , 6 , a y b. El número complejo A = - 2 + y5 se escribe entonces en la form a exponencial como A = 5.39ej l l , '8° y en forma polar como A = 5.39/111.8° Para apreciar la utilidad de las formas exponencial y polar, se considerará la multiplicación y la división de dos números complejos representada en forma exponencial o polar. Si se proporciona A = 5 /53.1°
y
B = 15/- 3 6 .9 "
entonces la expresión de estos dos números complejos en forma exponencial A = 5ejS3í°
y
B = I5e~j369°
permite escribir el producto de un número complejo en forma exponencial, cuya amplitud es el producto de las amplitudes y cuyo ángulo es la suma algebraica de los ángulos, de acuerdo con las reglas normales de la multiplicación de dos cantidades exponenciales: (A)(B) = ( 5 ) ( 1 5 y (3áa°~36-90) O AB = 75ejl62° = 7 5 /16.2° De la definición de la forma polar, resulta evidente que ^ = 0.333/90° La suma y la resta de números complejos se consigue con mayor facilidad si se trabaja con los números complejos en form a rectangular; por lo tanto, la suma o resta de dos números complejos dada en forma exponencial o polar debe em pezar con la conversión de los dos números complejos en la forma rectangular. Esta situación se aplica de manera inversa a la multiplicación y la división; dos números dados en forma rectangular deben transformarse a la forma polar, a menos que los números sean enteros pequeños. Por ejemplo, si se desea multi
A/W
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
plicar (1 — j 3) por (2 + j l ) , es más fácil multiplicarlos como están y obtener (5 — j 5). Si los números se multiplican mentalmente, se desperdicia entonces el tiempo en transformarlos en la forma polar. Ahora se requiere un esfuerzo para familiarizar al lector con las tres diferentes formas en las que los números complejos se expresan, así como con la conver sión rápida de una forma a otra. Las relaciones entre las tres formas parecen casi interminables, pero la larga ecuación siguiente resume las diferentes interrelaciones: A = a + j b = Re[A] + jIm [A ] = C e 'fl = j a 2 + b2e jt™ l(b/a) = -y/a2 + b 2/V drrl (b /a ) La mayor parte de las conversiones de una forma a otra puede efectuarse con rapidez con la ayuda de calculadoras, y muchas de éstas pueden resolver ecua ciones lineales con números complejos. Se podrá observar que los números complejos son un artificio matemático conveniente que facilita el análisis de las situaciones físicas reales.
PRÁCTICA
______________________________________________
A5.7 Expresar el resultado de cada una de estas manipulaciones de números complejos en forma polar, utilizando seis cifras significativas, sólo por disfrutar del cálculo: (a) [ 2 — (1/ —41°)1/(0.3/4 1 °): (b) 5 0 / ( 2 .8 7 / 8 3 ^ + 5.16/63.2°): (c) 4 /18° - 6 / - 7 5 e + 5/28°. A5.8 Determinar Z en forma rectangular si: (a) Z + ¡2 = 3 /Z ; (b) Z = 21n(2 — j'3); (c) sen Z = 3. Respuestas: A 5 .7 :4.69179/-1 3 .2 1 8 3 " : 6.318 33/ - 7 0 .4 6 2 6 J; 11.5066/54.5969° A5.8: ± 1 .4 1 4 - y 1; 2.56 - y 1.966; 1.571 ± y 1.763.
UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB® La intención de este tutorial consiste en ofrecer una muy breve introducción rela tiva a algunos conceptos básicos necesarios para utilizar un programa de cómpu to increíblemente poderoso conocido como MATLAB. Su uso es una parte to talmente optativa del material incluido en este libro de texto, pero como se ha convertido en una herramienta cada vez más común en todas las áreas de la in geniería eléctrica, creemos que vale la pena dar oportunidad a los estudiantes para que empiecen a explorar algunas de las características de este programa, en particular la elaboración de gráficas de funciones en dos y tres dimensiones, la realización de operaciones son matrices, la solución de ecuaciones simultáneas y la manipulación de expresiones algebraicas. M uchas instituciones proporcio nan ahora la versión completa de MATLAB a sus estudiantes, aunque en la época en que se escribió este texto se podría obtener una versión estudiantil a un costo bastante reducido en The MathWorks, Inc. (http://www.mathworks.com/academia/student versión/).
Antes de empezar MATLAB se ejecuta por lo común al hacer clic en el icono del programa; la ventana de apertura característica se muestra en la figura A6.1. Los programas se corren a partir de archivos o introduciendo de manera directa los comandos en la ventana. MATLAB cuenta también con amplios recursos de ayuda en lí nea, lo que resulta útil tanto para los principiantes como para los usuarios avan zados. Los programas característicos de MATLAB se asemejan mucho a los programas escritos en C, aunque de ninguna manera se requiere la familiaridad con este lenguaje.
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« a g ie S -0 ,0 4 7 1 - j * G .0 l9 l) * l8 0 / p 6 / 1 6 / 0 5 1 0 : 3 0 AH = 's / ( s + 1 ) '; i n = 1l / a / s ' = s iiá p llfY ÍV in ) = e x p an d (V in )
-H V V ■ V
Vo = sy T m n u l< V ln ,H ) s i t n p l i f y (Vo) v o = ila p la c e (V o ) 1 /C 7 /0 S 1 7 :0 6 1 /0 7 /0 5 1 8 :1 7 ■ —*
Start |
£ FIGURA A6.1
Ventana de comandos de MATLABque aparece en el momento en el que se arranca.
832
A /W -
- •
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Variables y operaciones matemáticas MATLAB tiene más sentido luego de que el usuario se da cuenta de que todas las variables son matrices, aun cuando sean simplemente matrices de 1 x 1. Los nombres de las variables pueden tener hasta 19 caracteres de longitud, lo cual es de suma utilidad para construir programas con legibilidad adecuada. El primer carácter debe ser una letra, aunque el resto tiene la posibilidad de corresponder a cualquier letra o número; también se puede utilizar el carácter (_). Los nombres de las variables en MATLAB distinguen las mayúsculas. MATLAB incluye varias variables predefinidas; las más importantes, en cuanto al material presen tado en texto, incluyen: eps realmin
Precisión de la máquina Número de punto flotante más pequeño (positivo) que maneja la computadora
realmax
Número de punto flotante más grande que maneja la computadora
inf
Infinito (definido como 1/0)
NaN
Literalmente, “no es un número”. Esto incluye situaciones tales como 0/0
pi
n (3 .1 4 1 5 9 ....) Ambas se definen inidalmente como s j — I. El usuario puede asignarles otros valores.
i j
Una lista completa de las variables definidas en la actualidad se obtiene me diante el comando who. Las variables se asignan utilizando un signo igual (=). Si el enunciado se termina con un punto y coma (;), entonces aparece otro indi cador; si termina simplemente mediante un retomo de cano (es decir, oprimiendo la tecla Enter), entonces se repite la variable. Por ejemplo: El tono claro se utiliza para diferenciar el texto generado por el programa de aquel generado por el usuario para conveniencia sólo del lector.
EDU» input_voltage = 5; EDU» input_current = l e—3 input_current = l.OOOOe—003 EDU» Las variables complejas se definen con facilidad en MATLAB; por ejemplo, EDU» s = 9 + j*5; crea una variable compleja s con valor 9 + j 5. Una matriz distinta de la de 1 x 1 se define con corchetes. Por ejemplo, la matriz t=
"2 3
-
1' 0
en MATLAB se expresaría como: EDU» t = [2
— 1; 3
0];
Obsérvese que los elementos de la matriz se introducen renglón por renglón; los elementos de renglón se separan mediante un espacio y los renglones mediante un punto y coma (;). Se dispone de las mismas operaciones aritméticas para ma trices, por lo que se puede determinar t + t como EDU» t + 1 ans
; 6
-2
0
APÉNDICE 6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB1®
Los operadores aritméticos incluyen:
A
potencia
\
división izquierda
*
m ultiplicación
+
suma
división derecha (ordinaria) i*. -------- f c m m -
-
resta
/
■ —*■ j.4— .
El orden de las operaciones es importante. El orden de precedencia es la po tencia, luego la multiplicación y la división, después la suma y la resta. EDU» x = l + 5 A 2 * 3 x =
76 El concepto de división izquierda puede parecer en un principio extraño, aunque es muy útil en el álgebra de matrices. Por ejemplo, EDU>-1/5 ans —
0.2000 EDU» 1\5 ans = 5 EDU» 5\1 ans =
0.2000 Y, en el caso de la ecuación matricial Ax = B, donde 4 6
II X
"2 1
' - 1' , se encuentra x con 2
E DU» A = [2 4; 1 6]; EDU» B = [ - l ; 2 ] ; EDU» x = A\B x= -1 .7 5 0 0 0.6250 De manera alternativa, se puede escribir también EDU x = A A- l * B
x= -1 .7 5 0 0 0.6250
*
A A /V
AAA/ -------------------------------•
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
o EDU» inv(A)*B ans =
-1 .7 5 0 0 0.6250 Cuando exista duda, e] paréntesis quizá resulte de gran utilidad.
Algunas funciones útiles
abs(x)
O * í
Los requerimientos de espacio evitan que se presenten todas las funciones con tenidas en MATLAB. Algunas de las más básicas incluyen: log 10(x)
exp(x)
W ex
sen(x)
sen a-
asen(x)
sqrt(x)
*Jx
cos(x)
cos x
acos(x)
sen “ 1 x eos-1 x
log(x)
ln a
tan(x)
tan*
atan(x)
tan-1 x
Las funciones útiles para manejar variables complejas incluyen: real(s)
Re{s}
imag(s)
Im{s}
abs(s)
s/a1 + b1, donde s = a + jb
angle(s) conj(s)
tan-1 (b/a), donde s = a + jb complejo conjugado de s
Otro comando muy útil, que a menudo se olvida, es simplemente help. En ocasiones se requiere de un vector, como cuando se planea crear una grá fica El comando linspace(mín, máx, número de puntos) resulta invaluable en esas situaciones: EDU: • frequency = linspace(0,10,5) frequency = 0
2.5000
5.0000
7.5000
10.0000
Un pariente útil es el comando logspaceQ.
Generación de gráficas Graficar con MATLAB es muy sencillo. Por ejemplo, la figura A 6.2 presenta el resultado de ejecutar el siguiente programa de MATLAB: EDU> x = linspace(0,2*pi,100); Angle ¡radiaos)
Ejemplo de una gráfica de sen(x), < x < 2jt, generada utilizando MATLAB. La variable* es un vector compuesto por 100 elementos igualmente espaciados.
■ FIG U RA A6.2 0
EDU> y = sen(x); EDU>- plot(x,y); EDU> xlabelfAngle (radians)'); EDU» ylabel('f(x)');
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Escritura de programas En este libro, aunque los ejemplos de MATLAB se presentan como líneas tecleadas en la ventana Command, es factible (y a menudo prudente, si la repetición es un problema) escribir un programa de tal forma que los cálculos sean más sencillos. Esto se lleva a cabo en MATLAB escribiendo lo que se conoce como m-file. Un m-file es simplemente un archivo de texto guardado con la extensión “,m” (por ejemplo, first_program.m). En respeto a Kemighan y Ritchie, se accede a New M -File en el menú File, el cual abre el editor de m-file. (Obsérvese que se puede utilizar otro editor si se prefiere, por ejemplo el WordPad.) Se teclea en r = input('Helio, World1) como se muestra en la figura A6.3. 3 tditoj Untitifd-* '■» 9X Ht Ecft Text Cel Tocfe Debcfl D#íÜcí) at^c, Keip iQe»a «. % í £ . ■i “:sTl! | 1. r “ input(1Helio, World')
I; \ 1 i i L
) i
__ _______ _______ __ ¡script l;.Ln 2 Col 1
■ FIGURA A6.3 Ejemplo de un m-file creado en el editor de m-file.
Enseguida se guarda como first_programa.m en un directorio apropiado, y después se cierra el editor. En el menú Eile se selecciona Open, y se busca el first_program.m. Lo anterior vuelve a abrir el editor (por lo que se pudo haber evitado cerrarlo antes). Se corre el programa oprimiendo la tecla F5 o seleccionando R u n dentro del mentí Debug. En la ventana Command se po drá ver el saludo; MATLAB está esperando una respuesta por parte del teclado, así que teclee el botón Intro. Se va a extender un ejemplo anterior para permitir que la magnitud sea seleccionable por parte del usuario, como en la figura A6.4. En este mo mento es posible que el usuario ingrese una amplitud arbitraria en la gráfica.
í 3 fuitot C;wxmn|>!el.in | Fíe Edtt Text CeS Toois Debtjg Desktop 'iVindowHelp Jdcíb * áá¡el{ f 2 x - linspace(0f2*pi,100); 3- y =aaiplitude*3in(x); i4 plat(¿,y); t 5; x la t o e l ( ' A n g la ( r a d i a & s ) ) ; I6 ylabel (' £(sc)1¡;
"m A
■ F IG U R A A 6 .4 Ejemplo de un m-file llamado examplel.m
para la generación de una gráfica de una onda senoidal.
A A /V
APÉNDICE 6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Se deja al lector que decida cuándo escribir una programa/m-file y cuándo utilizar simplemente la ventana Command directamente.
LECTURAS ADICIONALES
_______________________
Existe un gran núm ero de referencias excelentes acerca de MATLAB disponibles y nuevos títulos aparecen de form a regular. Dos que valen la pena son
D. C. Hanselman y B. Littlefield, Mastering MATLAB 7. Upper Saddle River, NJ.: Prentice Hall, 2005. W. J. Palm, Introduction to MATLAB 7fo r Engineers, 2a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 2005.
APENDICE TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En este apéndice se presentan, en forma abreviada, varios teoremas de la trans formada de Laplace que se usan por lo común en situaciones más avanzadas, aparte de las que se describieron en el capítulo 14.
Transformadas de funciones de tiempo periódicas El teorema de corrimiento (desplazamiento) del tiempo es muy útil para evaluar la transform ada de funciones de tiem po periódicas. Supóngase que f ( t ) es periódica con un periodo T para valores positivos de t. Como se sabe, el com portamiento de f ( t ) para t < 0 no tiene efecto en la transformada de Laplace (unilateral). Por lo tanto, f ( t ) se escribe como f (t) = f (f — n T )
n = 0,1,2,...
Si se define ahora una nueva función de tiempo distinta de cero, sólo en el primer periodo de f ( t ) , f i ( t ) = [w(í) - m(í - T ) ] f( t) entonces la f ( t ) original se representa como la suma de un número infinito de este tipo de funciones, retrasadas por múltiplos enteros de T . Esto es, f ( t ) = [u(t) - u (t - T ) ] f ( t ) + [u(t — T ) — u(t - 2 T ) ] f( t) + [u(t - 2 T ) - u (t - 3 T ) ] f ( t ) + = M t ) + ñ ( t - T ) + f i ( . t - 2 T ) + --o OO
fw
= T , f ' (t ~ n T ) «=0
La transformada de Laplace de esta suma es exactamente la suma de las transformadas OO
F(s) = £ £ { / ! ( ? - r c D } n=0
de modo que el teorema de desplazamiento en el tiempo da como resultado OO
F(s) = ^ V ^ F r i s ) «=0 donde F , ( s ) = £ { / , ( f ) } = i e -* f{ t)d t Jo-
®
A A /V
•
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Puesto que F i(s) no es una función de n, se elimina de la sumatoria, y F(s) se convierte en F(s) = F i (s)[l + e - T s
■e~2Ts +
■]2
Cuando se aplica el teorema del binomio a la expresión entre corchetes, ésta se simplifica como 1/(1 — e~Ts). De tal modo, se concluye que la función pe riódica f ( t ) , con periodo T, tiene una transformada de Laplace expresada por F(s) =
Fi(s) 1 —e - T s
[ 1]
donde [2]
Fj(s) = £ {[ « ( * ) - « ( f - r ) ] / ( t ) }
es la transformada del primer periodo de la función de tiempo. Para ilustrar el uso de este teorema de transformada en el caso de funciones periódicas, se aplicará el familiar tren de curso rectangular, fig. A7.1. Se podría describir esta función periódica de manera analítica: v (t) —
Vq[u(t — n T ) — u(t — n T — r)]
t > 0
71= 0
v(t)
o I FIG U RA A7.1
F(s)
=(I/q/s)(1
T
T+t
2T
2T +
t
Tren periódico de pulsos rectangulares para el que - e ~ sr)/(1 —e~sT).
Es simple calcular la función V| (s): V,(s) = Vb
í
std t = — (1
Jo
r)
Ahora bien, para obtener la transformada deseada, sólo se divide entre (1 - e ~ sT): V(s) =
Vo (1 —e~st) s (1 — e~sT)
[3]
Se debe observar la forma en que se manifiestan varios teoremas diferentes de la transformada en la ecuación [3], El factor (1 — e~sT) en el denominador explica la periodicidad de la función, el término e~sr en el numerador se debe al retardo del tiempo de la onda cuadrada negativa que anula al curso y el factor Vo/s es, desde luego, la transformada de las funciones escalón implicada en v(t).
A A /V
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO A 7. 1 Determinar la transformada de la fundón periódica de la figura A7.2.
m
Se comienza escribiendo una ecuación que describa f { t ) , una función compuesta por funciones impulso positivas y negativas alternadas. ( 2)
( 2)
f ( t ) = 28 (t - 1) - 2 8(t - 3) + 28 (t - 5) - 2 8(t - ! ) + ■■■ Definiendo una nueva función f \ y reconociendo un periodo T = 4 s, 0
f i ( t ) = 2[á(r — 1) — &(t — 3)] se puede utilizar la operación de periodicidad de tiempo, según se presenta en la tabla 14.2, a fin de obtener F(s)
4
1 2 ( - 2)
' - F,(s) 1 - e ~ Ts
[4]
donde F , ( s ) = i f ( t ) e ~ síd t = f JoJoExisten varias maneras de evaluar esta integral. La más fácil consiste en reconocer que su valor seguirá siendo el mismo si el límite superior se incrementa hasta oo, lo que permite aplicar el teorema de corrimiento (o desplazamiento) en el tiempo. De tal modo, F i(s) = 2[e~
—3si
[5]
El ejemplo se concreta multiplicando la ecuación [5] por el factor indicado en la ecuación [4], por lo que F(s) =
1 — e~
:(e~s - e -—3s\ is) _
2e~ 1 + e -2s m
PRACTICA A7.1 Determinar la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la figura A7.3. Respuesta:
" ( s 2 + JT2/ 4 )
s + (n/2)e s + (jr/2)e 3s —se 1 - e~4s
Desplazamiento en frecuencia Este nuevo teorema establece una relación entre F(s) = £ { f ( t ) } y F(s + a). Se considera la transformada de Laplace de e~at f ( t ) , p oo
= J/ 0*
e~ste~at f { t ) d t
/ e~(s+a)tf ( t ) d t Jo-
Observando con cuidado el resultado, se puede ver que la integral de la derecha es idéntica a la que define a F(s) con una excepción: (s + a) aparece en lugar de s. Por lo tanto,
e-°7(í) F(s + a)
- r ( s)
6 (- 2 )
Función periódica basada en funciones de impulso unitario.
I FIG U R A A7.2
F(s) =
5
[6.1
840 —
A /W
•
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se puede concluir que la sustitución de s por (s + a) en el dominio de la fre cuencia corresponde a multiplicar por e~at en el dominio del tiempo. Lo anterior se conoce como teorema de desplazamiento en frecuencia. De inmediato se puede aprovechar para evaluar la transformada de la función coseno amor tiguada exponencialmente, lo cual utilizamos mucho en el trabajo anterior. Em pezando con la transformada conocida de la función coseno s
£{cos
s2 + «o
entonces la transformada de e~at cos a>ot puede ser F(s + a ) : C{e~at cos ü)0t } = F(s + a) = -- ------------- y (s + a ) 2 + a% PRÁCTICA
[7J
_________________________________________________ ___________
A7.2 Encontrar £ {e_2,sen(5f + 0.2jr)u(t)}. Respuesta: (0.588s + 4 .0 5 )/(s2 + 4s + 29).
Diferenciación en el dominio de la frecuencia Se examinarán las consecuencias de diferenciar F(s) con respecto a s. El resul tado es dA CQ d — F(s) = — / e slf ( t ) d t els
d s Jq-
/»oo
pe —te~stf (t) dt = I e - s,[ - t f ( t ) ] d t JoJ 0lo cual es simplemente la transformada de Laplace de [—tf( t) ] . Por lo tanto, se concluye que la diferenciación con respecto a s en el dominio de la frecuencia origina la multiplicación por —t en el dominio del tiempo, o =
- tm
O |- F ( s ) ds
[8]
Supóngase ahora que f ( t ) es la función rampa unitaria tu (t), cuya transformada se sabe que es 1/ s 2. Se recurre al recién estudiado teorema de diferenciación de fre cuencia, a fin de determinar la transformada inversa de 1/ s 3 como sigue:
i l =—J o -,cr'!i I =
2
[9]
sJ
Continuando con el mismo procedimiento, se encuentra que f3 1 — u (t) O ^
[10]
y, engeneral, f(n -l)
1
-U (t)
(« — !)!
— s"
[11]
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
P R Á C T I C A t ___________________________ A7.3 Encontrar £{íSen(5í + 0.2jr)u(t)}. Respuesta: (0.588s2 + 8.09s — 1 4 .6 9 )/(s2 4- 25)2 .
Integración en el dominio de la frecuencia Se puede ilustrar el efecto sobre / ( í ) cuando se integra F(s) si se empieza una vez más con la definición
efectuando la integración de frecuencia desde s hasta oo, F(s) d s = intercambiando el orden de integración, e sí ds f ( t ) d t
F(s) ds = y efectuando la integración interna,
De tal modo,
[ 12] Por ejemplo, ya establecimos el par de transformadas sen® oíw (f) 4»
^ S2 + ® 5
Por lo tanto,
y se tiene seno>oíM(í) t
P R Á C T I C A r__________________ A7.4 Encontrar £ {sen25 t u ( t ) / t j . Respuesta:
| ln[(s2 + 100)^2].
jt
[13
*
A /W
A/VY
«
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema de ajuste en el tiempo A continuación se formula el teorema de ajuste en el tiempo de la teoría de la transformada de Laplace, al evaluar la transformada de f ( a t ) , suponiendo que se conoce £ {/(?)}• El procedimiento es muy simple: n OO
£ { f( a t) } =
i
n OO
e~st f{ a t ) d t = — ¡ e~{sla)Xf ( X ) d k Joa Jo-
donde se empleó el cambio de variable at = k. La última integral se reconoce como 1¡a veces la transformada de Laplace de f (t), excepto porque s se susti tuye por s /a en la transformada. Se desprende que f( a t) & - F ( - ) a \a /
[14]
Como un ejemplo elemental del uso de este teorema de ajuste en el tiempo, con sidérese lá determinación de la transformada de una onda coseno de 1 kHz. Suponiendo que se conoce la transformada de una onda coseno de 1-rad/s, s c o sím (í
)
—-------
s2 + 1
el resultado es 1 s/20007r s £ (cos2 OOOjt/m (/) ] = 2 0 0 0 , (s/200c¿ y + 1 = ¿ - ■¡■oobOr)*
P R Á C T I C A •----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A7.5 Encontrar £{sen25ía(f)}Respuesta: 5 0 /[s(s2 + LOO)].
INDICE
A
Adición, operación transformada de Laplace, 561 Admitancia, 236-237, 392-393. 572 parámetros. Véase Redes de dos puertos en estado estable senoidal, 392-393 Ajuste del nivel de voltaje, transformadores ideales para, 513-514 Alternativas algebraicas, funciones forzadas complejas, 378-379 Amortiguamiento muy rápido, de transitorios, 330 Amp ops. Véase Amplificadores operacionales Ampere, A.M., 12 Amperes, 10, 11, 12 Amplificador de ganancia unitaria. 177, 180 Amplificador de instrumentación, 202-204 Amplificador de suma, 178-179, 180 Amplificador de voltaje (tensión), 176 Amplificador diferencial, 179-182, 193-194 resumen, 180 Amplificador inversor. 175, 180 Amplificadores operacionales ideales. Véase Amplificadores operacionales Amplificadores operacionales, 173-214 amp op AD549K, 191, 193 amp op AD549K, 191, 193 amp op AD622, 204 amp op AD622, 204 amp op dual LM8272, 174 amp op LF411, 191, 198 amp op LM324, 191 amp op LM741, 198 amp op LMC6035, 174 amp op OPA690,191,197 amp op Philbrick K2-W, 174 ampopmA741, 191-192, 193, 196
amplificador de instrumentación, 202-204 análisis asistido por computadora, 198-201 capacitores con, 238-239 comparadores, 201-202 consideraciones prácticas, 190-201 encapsulado, 198 etapas en cascada, 182-185, 615 frecuencia y, 197-198 fuentes de corrientes confiables, 188-190 fuentes de voltaje (tensión) confiables, 186-188 ideal, 174-182 amplificador diferencial, 179-182,193-194 amplificador inversor, 175,180 amplificador sumador, 178-179, 180 circuito amplificador no inversor, 176-177, 180 circuito seguidor de voltaje (tensión), 177. 180 derivación de, 192-193 reglas, 174, 175 resumen, 180 modelado, 190-192 rechazo en modo común, 193-194 retroalimentación negativa, 194-195 retroalimentación positiva, 195 salidas en función de las entradas, 174 saturación, 195-196 sistema de supervisión de la presión del tanque, 184-185 valores de parámetros, típicos, 191 velocidad de bajada, 197-198 voltaje de desviación de entrada, 196 Amplificadores, redes equivalentes y, 708-710 A m plitud
de respuesta, función forzada proporcional, 374 de senoidales, 369
forma exponencial del número complejo, 826-828 Análisis asistido por computadora, 6-7, 128-130. Véase también MATLAB; PSpice amp ops, 198-201 análisis en estado estable senoidal, 402-403 análisis nodal y de malla en el dominio-s, 578-580 análisis nodal y de malla, 103-108, 578-580 circuitos acoplados magnéticamente, 508-509 circuitos RL sin fuentes, 264-266 circuitos RLC en paralelo sin fuentes, 342-343 diagramas de Bode y, 669-672 función del sistema, 776-779 para redes de dos puertos. 723-724 transformada rápida de Fourier, 776-779 transformadas de Laplace y, 551-553 Análisis de circuitos de ca, 3,4. Véase también Análisis de potencia de circuitos ca; Análisis de circuitos Análisis de circuitos en el dominio-s, 571-626 análisis nodal y de malla en, 578-584 análisis asistido por computadora, 578-584 convolución y. Véase Convolución frecuencia compleja y. Véase Frecuencia compleja polos, ceros y funciones de transferencia, 588 relación de voltaje H(s) = V,a|/Vcnb sintetizado, 612-616 técnica equivalente de Thévenin, 587-588 técnicas adicionales, 585-588 Z(s) y Y(s), 571-577 bobinas
a* 4 ----------- A/W---------------------- • en el dominio de la frecuencia, 572, 577 en el dominio del tiempo, 577 modelado en el dominio-s, 572-575 capacitores en el dominio de la frecuencia, 577 en el dominio del tiempo, 577 modelado en el dominio s, 575-576 resistencias en el dominio de la frecuencia, 571-572, 577 en el dominio del tiempo, 577 resumen de la representación de elementos, 577 Análisis de circuitos no lineales. 2 Análisis de circuitos. Véase Análisis de circuitos asistido por computadora. Véase Análisis asistido por computadora Circuito de Fourier. Véase Análisis asistido por computadora comando PSpice Type, 105 de potencia. Véase Análisis de potencia de circuitos definición. 5-6 estado estable senoidal. Véase Análisis senoidal en estado estable malla. Véase Análisis nodal y por malla nodal. Véase Análisis nodal y por malla transitorio, 3, 4, 264-266 Análisis de circuitos. Véase también Técnicas de análisis de circuitos en el dominio-s. Véase Análisis de circuitos en el dominio-s ingeniería y, 4-5 lineal. Véase Circuitos lineales no lineal. Véase Análisis de circuitos no lineales software, 1. Véase también Análisis asistido por computadora Análisis de Fourier en circuitos, 4, 735-792. Véase también Series de Fourier; Transformada de Fourier aplicación práctica, 782-783 epílogo, 782-784 procesamiento de imágenes, 782-783
Indice
respuesta completa a funciones periódicas forzadas, 750-752 Análisis de Laplace, 4 Análisis de potencia de circuitos ca, 419-456. Véase también Potencia compleja potencia aparente/factor de potencia, 437-439 potencia promedio (activa). Véase Potencia promedio excitación senoidal, potencia instantánea, 421 potencia instantánea, 420-422, 445 potencia promedio (activa) máxima, 429 teorema del estado estable senoidal, 428-429 valores RMS de corriente/voltaje, 432-437, 445 cálculos de la potencia promedio,434 circuitos de múltiples frecuencias, 434-435 valores de las formas de onda periódicas, 432-433 valores de las formas de onda senoidales, 433-434 Análisis nodal y de malla, 3, 79-120 análisis de circuitos en el dominio-s y, 578-584 asistido por computadora, 578-580 análisis de malla, 92-98, 155 corriente de malla, 92, 93-95, 503 definición de malla, 794 ley de voltajes (tensiones) de Kirchhoff aplicada a, 98 procedimiento, resumen, 98 supermalla, 98,100-101 análisis nodal, 3. 80-89, 155 análisis senoidal en estado estable, 393-395 árboles y, 793-799 definición de nodos, 36,793 efectos de la fuente de voltaje (tensión), 89-91 ley de corrientes de Kirchhoff y, 80 nodo de referencia, 80 procedimiento básico, resumen, 88-89 procedimiento, resumen, 98 supermalla, 98, 100-101 supemodos, 89-91 asistido por computadora, 103-108, 578-580
comparación, 101-103 de estados estables senoidales, 393-395 esquemas de PSpice basados en nodos, 106-107 ubicación de las fuentes y, 101 Análisis senoidal en estado estable, 369-418 admitancia, 392-393 amplitud, 369 análisis asistido por computadora, 402-403 análisis nodal y de malla, 393-395 argumento. 369 características de senoidales, 369-371 conductancia, 392 diagramas fasoriales, 404-407 en fase, 370-371 frecuencia angular, 369 frecuencia de corte, amplificador transistorizado, 396-397 frecuencia en radianes, 369 frecuencia, 370-371 fuera de fase, 370-371 función forzada compleja, 376-380 alternativa algebraica a las ecuaciones diferenciales, 378-379 aplicación, 377-378 fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 fuentes reales, respuestas reales, 377-378 parte imaginaria, 376 parte real, 376 teorema de superposición, 377-378 función forzada de forma de onda senoidal, 369 impedancia. Véase Impedancia inmitancia, 392-393 periodo, 369-370 potencia promedio (activa) del circuito de ca, 414-425 relaciones fasoriales y. Véase Relaciones fasoriales para R. L y C requisitos de la comparación de fases, 371 respuesta natural, 369 respuestas forzadas a senoidales, 369, 372-376 amplitud, respuesta v.v. función forzada, 374 estado estable, 372-373
ÍNDICE
forma alterna de, 373-374 retraso y adelanto, 370-371 senos convertidos a cosenos, 371 superposición, transformaciones de fuente, y, 396-403 susceptancia, 392 Análisis transitorio, 3,4 capacidad de PSpice para, 264-266 Análisis/respuesta en estado estable, 285. Análisis senoidal en estado estable circuitos RL sin fuente, 256 Ancho de banda, y circuitos de alta Q, 636-641 Ancho de pulso (PW), de formas de onda, 295 Angulo de fase 6, 370, 604-607 Angulos, números complejos exponenciales, 826-828 Ánodo, 187 Árboles, 793-799 Argumento de senoidales, 369 forma exponencial del número complejo, 826-828 Armónicas impares, 747n Armónicas pares, 747, 747n Armónicas, Fourier, 736-737 asíntotas, determinación, 657-658 Asintóticas, Diagramas de Bode y, 657-658 Atenuador, 176, 614 B
Babbage, Charles, 6 Base, de transistores, 717 Beaty, H. Wavne, 28 Bobina de potencial. 476 Bobina de voltaje (tensión), 476 Bobinas fuertemente acopladas, 502 Bobinas, en wattímetros. 476-477 Bobinas/Inductancia. 224-232,491 almacenamiento de energía. 230-232 características, ideal, 232 definido, 224 dualidad. Véase DualidaJ en el dominio de la frecuencia, 572, 577 en el dominio del tiempo, 5?7 en paralelo, 233-234 en serie, 232-233 linealidad, consecuencias de, 235-233 modelado, 243-245, 572-575 modelo de una bobina ideal, 224-22”
picos de voltaje (tensión) infinitos, 227 reactancia inductiva, 374 relaciones de integrales voltajecorriente, 228-230 relaciones fasoriales para, 384-385 Bode, Hendrik W., 657 Bossanyi, E., 485 Boyce, W.E., 302 Burton, T„ 485 C Calculadoras científicas, 805-806 Calibrador para alambres, 25-26 Calibre Americano del Alambre (AWG), 26 Candela, 10 Capacitor electromecánico, 223 Capacitores, 215-224 almacenamiento de energía, 220-222 aplicación práctica, 223 circuitos amp op con, 238-239 circuitos en el dominio-s y, 575-577 definido, 216 dualidad. Véase Dualidad electroquímica, 223 en paralelo, 234 en serie, 234 ideal, 215-218,224 linealidad, consecuencias de, 235-238 modelado con PSpice, 243-245 de capacitores ideales, 215-218 en el dominio-s, 575-576 relaciones de fase para, 385-386 relaciones integrales voltaje-corriente, 218-220 ultracapacitor, 223 Carga balanceada, 458 Carga constante, 12 Carga instantánea, 12 Carga negativa, 11 Carga positiva, 11 Carga, 11-12 conservación de, 11, 155 distancia y, 5 Cargas desbalanceadas conectadas en Y, 470 Caso exponencial, frecuencia compleja, 535 Cátodo, 187 Cavendish, Henry, 22 CD ícorriente directa) análisis, 3
• ------------------------------
V W ----------------( 8 4 5
caso, frecuencia compleja, 535 corto circuitos a, 225 fuente de corriente, 19 fuentes, 19,173, 289 parámetro de barrido, 128-130 Centro de Vuelos Especiales Marshall de la NASA, 5 Circuitos RL, 270-273 Ceros, 547 análisis de circuitos en el dominio-s ceros, polos y funciones de transferencia, 588 constelaciones de polos-ceros, 602-604 Circuito abierto, 27-28 de cd, 217 parámetros de impedancia, 712-713 Circuito amplificador no-inversor, 180 forma de onda de salida, 176-177 Circuito bilateral, 702 Circuito de un solo lazo, 42-45 Circuito de un solo par de nodos, 45-49 Circuito LC sin pérdidas, 357-359 Circuito LC, sin pérdidas, 357-359 Circuito no-planar (no distribuido en forma de plano), definidos, 794 Circuito planar (desarrollado en forma plana), 92, 101 definido, 794 Circuito seguidor de voltaje (tensión), 177, 180 Circuitos acoplados magnéticamente, 491-532. Véase también Transformadores análisis asistido por computadora, 508-509 coeficiente de acoplamiento, 502 consideraciones de energía, 499-502 flujo magnético, 491, 492,495 igualdad de M I2 y M21, 500-501 inductancia mutua. Véase Inductancia mutua límite superior de M, establecimiento, 501 transformadores ideales. Véase Transformadores ideales transformadores lineales, 503-509 Circuitos con alta Q, ancho de banda y, 636-641 Circuitos eléctricos. Véase Circuitos
8 4 6 --------------- V W ------------------------------- •
Circuitos equivalentes Thévenin/Norton, 3, 139-149,155-156 análisis de circuitos en el dominio-s, 587-588 cuando las fuentes dependientes están presentes, 145-147 redes de dos puertos, 709-710 resistencia, 142, 155-156 teorema de Norton, 3, 143-145, 155-156 linealidad de capacitores/bobinas, 238 teorema de Thévenin, 3, 139, 141-143, 155-156 linealidad de capacitores/bobinas, 238 prueba de, 813-814 y el análisis senoidal de estado estable, 396-403 Circuitos equivalentes, transformadores ideales, 518-520 Circuitos integrados digitales, límites de frecuencia en, 300 Circuitos lineales, 2-4 análisis de respuesta en frecuencia, 3, 4 análisis de transitorios, 3,4 análisis en ca, 3, 4 análisis en cd, 3 funciones forzadas complejas, 377-378 leyes de la conservación, 155 relaciones lineales voltaje-corriente, 121-122
Circuitos multifrecuencia, valor RMS con, 434-435 Circuitos polifásicos, 457-490 conexión delta (A), 470-476 cargas conectadas en Y ví., 473 de fuentes, 473-476 conexión trifásica Y-Y. Véase Conexión Y-Y trifásica notación de dóble subíndice, 459-460 sistemas monofásicos de tres hilos, 460-464 sistemas polifásicos, 458-460 Circuitos RC conmutados secuencialmente, 294-299 I: tiempo para cargar completamente/descargar completamente, 296-297, 298 II: tiempo para cargar completamente pero no descargar completamente, 297, 298
ÍNDICE
HI: tiempo para no cargar completamente pero tiempo para descargar completamente, 297, 298 IV: tiempo para no cargar completamente o descargar completamente, 298-299 constante de tiempo (r), 267-268 controlados, 289-294 función escalón unitario, 276-280 generales, 273-276 sin fuente, 266-269 Circuitos RL acercamiento muy estrecho de: 0+ ví. 0“ , 270-273 conmutados secuencialmente, 294-299 I: tiempo para cargar completamente/descargar completamente, 296-297, 298 II: tiempo para cargar completamente pero no descargar completamente, 297, 298 El: tiempo para no cargar completamente pero tiempo para descargar completamente, 297, 298 IV: tiempo para no cargar completamente o descargar completamente, 298-299 constante de tiempo de la respuesta exponencial (í), 262-264 controlados. Véase Circuitos RL controlados función escalón unitario, 276-280 general, 269-270 propiedades de la respuesta exponencial, 262-266 respuesta natural. Véase Respuestas naturales sin fuente, 255-261 análisis asistido por computadora, 264-266 energía, conteo de, 261 función complementaria, 256 función forzada, 256 la respuesta en estado estable, 256 la solución particular, 256 método alternativo, 258 método de la solución general, 258-261 método directo, 256-257 respuesta forzada, 256
respuesta libre, 256 respuesta natural, 256 respuesta transitoria, 256 Circuitos RL controlados, 280-283 comportamiento intuitivo de, 283 determinación de la respuesta completa, 285-289 procedimiento directo, 281-282 respuesta de fuentes de cd resumidas, 289 respuesta natural y forzada, 282, 283-289 Circuitos RL generales, 269-270 Circuitos RL libres de fuentes de función complementaria, 256 Circuitos RL o RC conmutados secuencialmente. Véase Circuitos RC; Circuitos RL Circuitos RL sin fuente. Véase Circuitos RL Circuitos RLC sin fuente. Véase Circuitos RLC Circuitos RLC, 319-368 amortiguamiento crítico sin fuente, 332-336 forma de la respuesta amortiguada criticamente, 332-333 representación gráfica de, 334-335 v a l o r e s y A2, 333 circuito LC sin pérdidas, 357-359 circuitos en paralelo sin fuente, 319-323 análisis asistido por computadora, 342-343 definición de términos de frecuencia, 322-323 ecuación diferencial de, 320-322 respuesta críticamente amortiguada, 323, 345 respuesta sobreamortiguada, 323, 324-331, 345 representación gráfica, 329-330 valores y A 2, 324-325 respuesta subamortiguada, 323, 336-343, 345 forma de, 336-337 representación gráfica, 338 resistencia finita, papel de, 338-340 valores B¡ y Bi, 337-338 resumen de ecuaciones, 345 circuitos en serie sin fuente, 343-349 respuesta críticamente amortiguada, 344-345
Indice
respuesta sobreamortiguada, 344-345 respuesta subamortiguada, 344-345 resumen de ecuaciones, 345 resumen de la respuesta del circuito, 344-345 modelado de suspensiones automotrices, 356 relaciones fasoriales para. Véase Relaciones fasoriales para R, L y resumen del proceso de solución, 355-357 respuesta completa de, 349-357 parte complicada, 350-355 parte no complicada, 349-350 Circuitos análisis de. Véase Componentes de análisis de circuitos. Véase Componentes básicos y circuitos eléctricos elementos de, 17-18,21 funciones de transferencia de. 497 redes y, 21-22 resumen de respuesta y RLC en serie libre de fuente, 344-345 Clayton, G., 616 Coeficiente de acoplamiento, 502 Coeficiente de amortiguamiento exponencial, 322, 630 Coeficiente de fricción, 5 Coeficiente de inductancia mutua, 492 Colectores, 717 Comando Bias Point (PSpice), 105 Comando Create (PSpice), 105 Comando New Simulation Profile (PSpice), 104-105 Comando Run (PSpice), 105 Combinación de elementos en paralelo, 45 bobinas, 233-234 capacitores, 234 combinación serie-paralelo equivalentes, 647-651 combinaciones de impedancia, 387-388 Combinaciones equivalentes, respuesta en frecuencia y. 647-651 Comparación de fases, ondas senoidales, 371 Comparadores, 201-202 Complemento del árbol, 794-795 Componentes básicos y circuitos eléctricos, 9-34
carga, 11-12 corriente. Véase Corriente ley de Ohm. Véase Ley de Ohm potencia. Véase Potencia unidades y escalas, 9-11 voltaje. Véase Voltaje Componentes simétricos, 470 Componentes. Véase Componentes básicos y circuitos eléctricos Conductancia, 27-28,392 Conexión a tierra (neutro), 61-62, 458 Conexión al neutro (a tierra), 458,464 Conexión en delta (A), 470-476 cargas conectadas en Y ví., 473 fuentes conectadas, 473-476 Conexión trifásica Y-Y, 464-470 con carga desbalanceada, 470 conexión delta (A) v í ., 473 medida de potencia en. Véase Medida de potencia potencia total instantánea, 467-468 secuencia de fase abe, 464-465 secuencia de fase cba, 464-465 secuencia de fase negativa, 464-465 secuencia de fase positiva, 464-465 voltaje de línea a línea, 465-466 Conexiones en serie, 42 bobinas en, 232-233 capacitores, 234 combinaciones de impedancia, 387 y combinaciones en paralelo. Véase también Transformaciones de fuente fuentes conectadas, 49-51, 137-138 otras formas resonantes, 647-651 Conferencia General de Pesos y Medidas, 10 Configuración emisor común, 717 Conservación de la carga, 11, 155 Conservación de la energía, 14, 44, 155 consideraciones adicionales, 661-664 Constante de tiempo (t) circuitos RC, 267-268 respuesta exponencial de circuitos RL, 262-264 Control de retroalimentación, 5 Convención de signos pasiva, 16 Convención punto función de transferencia del circuito, 497 fundamentos físicos de, 495-497 ganancia en potencia, 497 inductancia mutua, 493-497 Conversión delta-estrelía (A-Y), 152-154
•------------V W Convolución análisis de circuitos en el dominio-s y, 589-598 comentarios sobre la función de transferencia, 597 integral de convolución, 591 métodos gráficos de, 592-593 operación transformada de Laplace, 561, 595-596 proceso de cuatro pasos para el análisis, 589 respuesta al impulso, 589-590 sistemas realizables y, 591-592 transformada de Laplace y, 595-596 Cooper, George R., 544 Corporación MicroSim, 103 Corriente de malla principal, 503 Corriente de rama, 94 Corriente secundaria de la malla, 503 Corriente, 9, 11, 12-13 bobina, 476 corriente ramificada, 94 dirección real j¡s. Convencional, 13 fuente de corriente controlada por corriente, 18,19-21 fuente de voltaje controlada por voltaje, 18, 19-21 fuentes conexiones serie/paralelo, 49-51 confiables, amp ops, 188-190 controladas, 18, 19-21 prácticas, 133, 137-138 y voltaje (tensión). Véase Voltaje (tensión) ganancia, de amplificadores, 708 leyes. Véase Leyes de voltaje y corriente malla, 92, 93-95, 503 relaciones voltaje-corriente del capacitor, 218-220 respuesta, resonancia y, 631 símbolos gráficos para, 13 superposición aplicable a. 431 tipos de, 13 y división de voltaje (tensión), 57-60 Corrimiento en el tiempo, transformadas de Laplace y, 558, 561, 837-839 Corto circuito(s), 27-28 admitancia y, 712-713 admitancia de entrada. 697-698 admitancia de salida, 698 admitancia de transferencia, 698
AAA/------------• para redes equivalentes, 703-704 red de dos puertos, 698 de cd, 225 Cosenos, senos convertidos a, 371 Coulomb, 11 D
Davis, B., 564 Década (de frecuencias), 658 DeCarlo, R.A., 108, 156,407, 725 Delta (A) de impedancias, redes equivalentes, 704-705 Determinantes, 809-811 Diagrama de Argand, 821-822 Diagrama de flujo, para la resolución de problemas, 8 Diagramas de Bode/gráficas, 656-672 Diferencia de potencial, 14 Diferenciación en el tiempo, transformadas de Laplace y, 553-554. 561 Diodo Zener 1N750, 187-188 Diodo Zener IN750, 188 Diodo Zener, 186-188 DiPrima, R.C., 302 Dirección del flujo, corriente, 12 Diseño de buffers, 178 Diseño, definición, 5-6 Disipación de potencia, 45 Dispositivos celulares digitales, 223 Distancia, carga y, 5 Divisor de voltaje (tensión) y de corriente, 57-60 Dominio de la frecuencia dominio del tiempo convertido en, 539 expresiones V-I, relaciones fasoriales y, 385 función del sistema y, 772-779 representación fasorial, 382 Dominio del tiempo bobinas en, 577 capacitores en, 577 convertido al dominio de la frecuencia, 539 en relaciones de voltaje (tensión) del transformador ideal, 515 expresiones V-I. relaciones fasoriales y, 385 representación, fasores, 382 resistencias en, 577 Drexler, H.B., 246 Dualidad, 232, 240-242
Indice E
licuación auxiliar, 321 Ecuación característica, 259, 321 Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales, 255-256 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, 255-256 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, 255-256 para circuitos RLC en paralelo sin fuentes. 320-322 solución algebraica, estado estable senoidal, 378-379 Ecuaciones simultáneas, resolución, 805-812 calculadoras científicas y, 805-806 determinantes y, 809-811 matrices, 806-812 regla de Cramer, 811-812 Edison, Thomas, 457 Elemento activo, 215 Elemento bilateral, 702 Elemento pasivo, 215 Elementos lineales, 121-122 Elementos puramente reactivos, absorción de potencia promedio (activa), 427 Elementos reactivos, absorción de potencia promedio (activa), 427 Emisores, 717 Emparejamiento, de los diagramas de Bode, 658-659 en múltiples términos, 659-660 Encapsulado, amp op, 198 Energía instantánea almacenada. resonancia en paralelo y, 632 Energía, 14 conteo, circuitos RL sin fuente, 261 densidad, 765 instantánea, almacenada, 632 circuitos acoplados magnéticamente. Véase Circuitos acoplados magnéticamente capacitores de almacenamiento, 220-222 bobinas de almacenamiento, 230-232 unidades de trabajo, 10 conservación de, 14,44, 155 ENIAC, 6 Enlaces, 794-795 análisis del lazo y, 799-804 Entrada invertida, 174 Entrada no-invertida, 174
Equivalentes de Norton. Véase Circuitos equivalentes Thévenin/Norton escala en decibeles (dB), 657 Escala en decibeles (dB), diagramas de Bode, 657 Escalamiento (ajuste) operación transformada de Laplace, 561 y respuesta en frecuencia, 652-656 Escalas, unidades y, 9-11 Espectro de fase. Análisis de series de Fourier, 744-745 Espectro de línea, análisis de series de Fourier, 743-744 Espectro discreto, 744 Estabilidad, de un sistema, 560 Estator, 474 Estrategias para la resolución de problemas, 7-8 Estructura (programación), 86 Factor de amortiguamiento zeta (¿), 634 Factor de amortiguamiento, resonancia en paralelo y, 634-635 Factor de calidad (Q). Véase Resonancia en paralelo Factor de potencia atrasado, 441 Factor de potencia, 445 adelanto, 441 corrección, 442 potencia aparente y, 437-439 potencia compleja, 537-439 retraso, 441 F
Fairchild Corp., 173 Farad (F), 216 Faraday, Michael, 2í6n, 224,225 Fasor(es), 4, 382, 571. Véase también Relaciones fasoriales para diagramas R, L y C, estados estables senoidales, 404-407 Feynman, R., 63 Filtros (frecuencia), 672, 680 activo, 677-678 ajuste de bajos/altos y medios, 679, 680 aplicación práctica, 679-680 Butterworth, 678 Chebyshev, 678 de muesca, 672 multibanda, 672 pasaaltas. 672, 673-674 pasabajas, 672, 673-674
ÍNDICE • ----------------- Y pasabandas, 672, 675-676 pasivos definido, 677 pasobajos y pasoaltos, 673-674 planos, 678 rechazabandas, 672 Filtros activos, 677-678 Filtros altos, bajos y medios, 679-680 Filtros Butterworth, 678 Filtros Chebyshev, 678 Filtros de altas, 679-680 Filtros de muesca, 672 Filtros de rango medio, 679-680 Filtros multibanda, 672 Filtros pasaaltas, 672 pasivos, 673-674 Filtros pasabajas, 672 pasivos, 673-674 Filtros pasabanda, 672,675-676 Filtros pasivos definición, 677 pasabajas y pasaaltas, 673-674 Filtros planos máximamente, 678 Filtros rechazabanda, 672 Fink, Donald G.. 28 Flechas, para corrientes, 9. 13 Flujo magnético, 491, 492, 495 Flujos aditivos, 495 Forma cartesiana, números complejos, 822 Forma compleja, de las series de Fourier, 752-759 Forma exponencial, números complejos. 826-828 Forma general, frecuencia compleja, 534-535 Forma polar, de números complejos, 828-830 Forma rectangular, números complejos, 822 Forma trigonométrica, de las series de Fourier. Véase Series de Fourier Formas de onda senoidales como funciones forzadas, 369 comparación de fases, 371 diseño del circuito oscilador y, 612-613 valores RMS de voltaje/corriente, 433-434 Formas de respuesta circuitos RLC críticamente amortiguados, 332-333
circuitos RLC en paralelo subamortiguados sin fuente, 336-337 Fraccionar en forma estrecha de: 0+ vs. 0 _, circuito RL, 270-273 Frecuencia a media potencia, 658 Frecuencia angular, de senoidales, 369 Frecuencia compleja, 322 análisis de circuitos en el dominio-s y, 598-607 a frecuencias complejas, 608 constelaciones polo-cero, 602-604 dependencia de la frecuencia del ángulo de fase. 604-607 dependencia de la magnitud de la frecuencia, 604-607 dependencia en frecuencia, ángulo de magnitud/fase, 604-607 graficado y, 600-602 operando a frecuencias complejas, 608 respuesta como una función de s, 599 respuesta como una función de w, 599-600 respuesta natural y, 607-611 caso especial, 610 perspectiva general, 609-610 caso cd, 535 caso exponencial, 535 caso senoidal, 535 definido, 533-537 forma general, 534-535 frecuencia de Neper, 534, 537 frecuencia en radianes, 537 s en relación con la realidad, 536-537 senoidales amortiguadas exponencialmente, 536 Frecuencia de 3 dB, 658 Frecuencia de corte, amplificador transistorizado, 396-397 Frecuencia de esquina (de corte), 397,658 Frecuencia de media potencia inferior, 636 Frecuencia de ruptura, 658 Frecuencia en radianes, 369,537 Frecuencia fundamental, 736 Frecuencia natural de resonancia, 336-337, 630 Frecuencia Neper, 537 definición, 322 Frecuencia resonante, 322
A
-------- (
849
Frecuencia superior de media potencia, 636 Frecuencia amp ops y, 197-198 angular, de senoidales, 369 circuitos RLC en paralelo sin fuente, 322-323 compleja. Véase Esquina de frecuencia compleja, 397 corrimiento, transformadas de Laplace, 561, 839-840 de corte, amplificador transistorizado, 369-397 de senoidales, 370-371 definición de unidades para, 322 dependencia, plano-s, 604-607 diferenciación, transformadas de Laplace, 561, 840-841 dominio. Véase Dominio de la frecuencia en radianes, de senoidales, 369 escalamiento (ajuste), 652-656 frecuencia fundamental, 736 integración, transformadas de Laplace, 561,841 límites, circuitos integrados digitales, 300 múltiples, valor RMS con, 434-435 resonancia natural, 336-337 respuesta. Véase Respuesta en frecuencia selectividad, resonancia en paralelo y, 637 Frecuencias críticas, análisis de circuitos en el dominio-s, 588 Fuente de corriente controlada por voltaje (tensión), 19 Fuente de voltaje controlada por voltaje (tensión), 19 Fuente de voltaje práctica general, 132 Fuente lineal dependiente, 122 Fuentes controladas, de voltaje/corriente, 18, 19-21 Fuentes de corriente confiables, amp ops, 188-190 Fuentes de corriente independientes, 18,19 Fuentes de voltaje (tensión) confiable, amp ops, 186-188 efectos de la fuente, análisis nodal y de malla, 89-91 fuentes conectadas en serie y en paralelo, 49-51
8 S O )-------------V W ------------------------- •
ideal, 131-133 práctica, 131-133 Fuentes de voltaje (tensión) confiables, amp ops, 186-188 Fuentes de voltaje (tensión) independientes, 18-19 Fuentes de voltaje equivalentes, 131 Fuentes dependientes1 . circuitos equivalentes Thévenin/Norton, 145-147 de voltaje/corriente, 18,19-21 lineal, 122 Fuentes físicas, función escalón unitario y. 278-279 Fuentes ideales de voltaje (tensión), 131-133 Fuentes ideales, de voltaje, 18 Fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 Fuentes prácticas de corriente, 133, 137-138 Fuentes prácticas de voltaje (tensión), 131-133,137-138 Fuentes prácticas equivalentes, 133-136 Fuentes reales, respuestas reales, funciones forzadas complejas, 377-378 Fuerza, voltaje y, 5 Función de muestreo, series de Fourier, 756-759 Función de simetría, 589 análisis asistido por computadora, 776-779 respuesta, en el dominio de la frecuencia, 772-779 significado físico de, 779-781 transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Función escalón unitario u(t), 276-280 circuitos RC, 276-280 circuitos RL, 276-280 pares de transformadas de Fourier de, 769 rectangular, 279-280 transformadas de Laplace de, 544 y fuentes físicas, 278-280 Función exponencial e at, 545 Función forzada compleja. Véase Análisis senoidal en estado estable Función forzada senoidal amortiguada, 537-540 Función impulso unitario, 277
Indice
transformada de Laplace de, 544-545 Función pulso rectangular, 279-280 Función rampa tu{t), Transformada de Laplace de, 545 Funciones de singularidad, 277 Funciones de tiempo, simple, transformadas de Laplace de, 543-545 Funciones de transferencia, 497, 588, 597 Funciones forzadas, 122 circuitos RL sin fuente, 256 como formas de onda senoidales, 369 Funciones impares, 747n Funciones no-periódicas, potencia promedio (activa) para, 430-432 Funciones panes, 747n Funciones racionales, transformadas inversas de, 547-548 Funciones simples de tiempo, transformadas de Laplace de, 543-545 Funciones/formas de onda periódicas, 431. Véase también Análisis senoidal en estado estable; Formas de onda senoidales ancho de pulso de, 295 como funciones forzadas, 369 como salida, amplificadores no inversores, 176-177 periodo T de, 295, 369-370 potencia de ca promedio (activa), 295,423-424 respuesta completa a, 750-752 tiempo de bajada de, 294 tiempo de retardo de, 295 tiempo de subida de, 294 transformadas de Laplace de, 837-839 valores RMS para, 432-434 G Ganancia de voltaje (tensión), amplificadores, 708 Ganancia de voltaje de lazo cerrado, 191 Ganancia, de amps op, 612 Generador síncrono, 474 George A. Philbrick Researches Inc., 205 Goody, R.W., 360, 820 Graficas/Graficación de convolución, análisis en el dominio-s, 592-593 de corriente, símbolos para, 13
de respuesta críticamente amortiguada, circuitos RLC, 334-335 en el plano de frecuencia compleja (s), 600-602 respuesta sobreamortiguada, circuitos RLC, 329-330 respuesta subamortiguada, circuitos RLC, 338 Grupos, de fuentes independientes, 123 H H(s) = Vsai/Vent, síntesis, 612-616 Hanselman, D.C., 836 Hayt, W.H., Jr„ 204, 407, 725 Heathcote, M., 520 Henry (H), 224 Henry, Joseph, 224 Huang, Q., 681 I Igualdad MÍ2IM2], circuitos acoplados magnéticamente, 500-501 Impedancia de entrada, 587 amplificadores, 708-710 redes de un puerto, 693-696 Impedancia de salida, amplificadores, 709 Impedancia de un conductor finito, 461 Impedancia reflejada, 503-504 Impedancia, 236-237, 571 de acoplamiento, 512-513 de entrada, 587 estado estable senoidal, 387-391 combinaciones de impedancias en paralelo, 387-388 combinaciones de impedancias en serie, 387 definido, 387 reactancia y, 388 resistencia y, 388 Inductancia mutua, 491-499 coeficiente de, 492 convención punto, 493-497 flujos aditivos, 495 función de transferencia del circuito, 497 fundamentos físicos de, 495-497 ganancia en potencia, 497 flujo magnético, 491, 492, 495 flujos aditivos. 495 inductancia mutua sumada a, 494 Inductancia propia, 491 sumada a la inductancia mutua, 494 Ingeniería, análisis de circuitos y, 4-5
Indice
Integración en el tiempo, transformadas de Laplace y, 555-556, 561 Integral particular, 285 Integrales de Fourier, análisis de series de Fourier, 738-739 Intercomunicador por fibra óptica, 181 Interpretación intuitiva, circuitos RL controlados, 238 J
Jaeger, R., 22 Jenkins, N., 485 Joules, 10 Jung, W.G., 204, 246 K Kaiser, C.J., 246 Kelvin, 10 Kennedy, B.K., 521 Kilogramos, 10 Kilowatt-hora (kWh), 437 Kirchhoff, Gustav Robert, 36 L Lancaster, D.. 681 Lazo análisis de malla y. 92 análisis, enlaces y, 799-804 definido, 794 Lazo-abierto configuración, amp ops, 201 ganancia en voltaje (tensión), 190-191 Leighton, R. B., 63 Ley de Ohm, 22-28 absorción de potencia en resistencias, 23-27 aplicación práctica, 25-26 conductancia, 27-28 definición de unidades de resistencia, 22 definición, 22 Leyes de comente y voltaje (tensión), 35-78 circuito de un solo lazo, 42-45 circuito de un solo par de nodos, 45-49 división de voltaje (tensión) y corriente, 57-60 fuentes conectadas en serie y en paralelo, 49-51 lazos, 35-36 ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), 35, 36-38 ley de voltajes de Kirchhoff (LVK), 35, 38-42
orden de elementos y, 52 nodos, 35-36 ramas, 35-36 resistencia equivalente, 52 resistencias en serie y en paralelo, 51-57 trayectorias, 35-36 Leyes de Kirchhoff fasores y, 386 ley de coiriente (LCK), 35, 36-38 análisis nodal y, 80, 155 ley de voltaje (LVK), 35, 38-42 análisis de circuitos y, 155 en análisis de malla, 98 orden de elementos y, 52 LF411 ampop, 191,198 Lin, P.M., 108, 156, 407, 725 Linden, D.. 156 Linealidad, 12]-122 consecuencias, capacitores/bobinas, 235-238 teorema de transformada inversa, 546-547 Littlefield, B.L., 836 Lord Kelvin, 10 M M, límite superior para, 501 Magnitud dependencia de la frecuencia y el plano (s)j 604-607 escalamiento (ajuste), 652-656 forma exponencial de un número complejo, 826-828 Malla. Véase Análisis nodal y de malla Mancini, R„ 204, 246, 616 Manipulador robotizado, 5 Máquina analítica, 6 Máquina diferencial, 6 MATLAB, 85, 551-553 tutorial, 831-836 Matrices conformadas, 807 Matrices determinantes de, 809-811 ecuaciones simultáneas, resolución, 806-812 forma matricial de ecuaciones, 85 inversión de, 808-809 Matriz columna, 806 Matriz cuadrada. 806 Máxima transferencia de potencia, 150 152, 428-430 Maxwell, James Clerck, 216 McGillem, Clare D., 544
• ---------------------- W
v
----------- ( 851
McLyman, W.T., 521 McPartland, B.J., 63 McPartland, J.F., 63 Medición de la potencia, 441 método de los dos wattímetros, 481-483 sistemas trifásicos, 476-484 teoría y fórmulas de los wattímetros, 478-481 wattímetros, uso de, 476-478 Medidores, 10 Método de los residuos, 548-549 Método directo, circuitos RL sin fuente, 256-257 Método Yv, para redes equivalentes, 704 Microfarads (mF), 217 Modelo de capacitor ideal, 215-218 Modelo de inductancia ide;il, 224-227 Modelos/modelado, 3 de amp ops, detallado, 190-192 de bobinas bobinas ideales, 224-227 con PSpice, 243-245 en el dominio-s, 572-575 de capacitores ideales, 215-218 de sistemas de suspensión automotriz, 356 Modo de recepción, 223 Modo de respaldo, 223 Modo de transmisión, 223 Moles, 10 Movilizador principal, 474 Multímetro digital (DMM), 148-149 Multiplicación escalar, 561 N Napier, John, 534 National Semiconductor Corp., 174,198 Nepers (Np), 534 Neudeck, G.W., 204, 407, 725 Nodo de referencia, 80 Norton, E. L., 139 Notación de doble subíndice, circuitos polifásicos, 459-460 Números complejos, 821-830 descrita, 821-822 forma exponencial de, 826-828 forma polar de, 828-830 forma rectangular (cartesiana) de. 822 identidad de Euler, 824-825 operaciones aritméticas para, 822-S24 unidad imaginaria (operador '.
852 ;------- v w
«
o Octava (de frecuencias), 658 Oficina Nacional de Estándares, 9-10 Ogata, K., 564, 616 Ohm, Georg Simón, 22 Ohms (W), 22 Operación de lazo cerrado, amp ops, 201 Operaciones, transformada de Laplace, tabla de, 561 Operando a frecuencias complejas, 608 Orden de los elementos, KVL y, 52 Orsted, Hans Christian, 224 Oscilador puente de Wien, 612 Oscilador, 612 diseño del circuito, 612-613 función, 338 P
Palm, W. J„ III, 836 para el análisis asistido por computadora, 669-672 Parámetros ABCD, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros de transmisión, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros híbridos, redes de dos puertos, 718-720 Parámetros T, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros Y, redes de dos puertos, 697-699, 710-711 Parámetros Z, 712-716 pares complejos conjugados, 666-668 Pares complejos conjugados, diagramas de Bode y, 666-668 Pares de transformadas de Fourier, 760, 761 para funciones forzadas constantes, 768 para funciones signum, 768-769 para la función escalón unitario, 769 para la función impulso unitario, 766-768 resumen de, 770 Pares, transformada de Laplace, 559 Parseval-Deschenes, Marc Antione, 764 Pasabanda, 672 Periodicidad en el tiempo, transformadas de Laplace y, 561, 837-839 Perry, T., 820 Peterson, Donald O., 815 Philbrick K2-W op amp, 174 Philbrick Researches, Inc., 173 Philbrick, George A., 205
ÍNDICE
Picos de voltaje (tensión) infinitos, bobinas y, 227 Pinkus, A., 564, 785 Plano complejo, 821-822 análisis de circuitos en el dominio-s y. Véase Secuencia compleja Polarización de entrada, 193 Polos distintos, método de los residuos y, 548-549 Polos repetidos, técnicas de transformada inversa, 550 Polos, 547 ceros, y funciones de transferencia, 588 constelaciones polo-cero, 602-604 método de los residuos y, 548-549 repetidos, transformadas inversas, 550 Porción real, de la función forzada compleja, 376 Potencia, 9, 15-17. Véase también Análisis de potencia de circuitos de ca absorbida. Véase Potencia absorbida disipación, 45 expresión para, 15 factor. Véase Factor de potencia ganancia, 497, 708 máxima transferencia de, 150-152 medición. Véase Medición de potencia negativa. Véase Potencia absorbida positiva, 16,19 promedio (activa). Véase Potencia promedio (activa) reactiva, 440, 441, 445 resumen de la terminología, 445 sistemas de generación, 474-475 superposición aplicable a, 431 triángulo, 441 unidades, 10 Potencia absorbida, 16,19, 45 en resistencias, 23-27 por elemento, 44 Potencia aparente, 440, 441, 445 factor de potencia y, 437-439 Potencia compleja, 440-445 componente en cuadratura, 441 factor de potencia, 437-439 adelantado, 441 corrección, 442 retrasado, 441 fórmula, 441 medición, 441 potencia aparente, 440,441,445 y factor de potencia, 437-439
potencia compleja, 441 potencia en cuadratura, 441 potencia promedio (activa), 441 potencia reactiva, 440, 441,445 terminología, 445 triángulo de potencias, 441 unidades volt-ampere-reactivas (VAR), 440, 441 volt-ampere (VA), 441 watt (W), 441 Potencia en cuadratura, 441 Potencia entregada, 16 igualando la potencia absorbida, 44 Potencia entregada, 19 Potencia instantánea total, trifásica, 458, 467-468 Potencia instantánea, 420-422, 445 Potencia negativa (absorbida), 16,19 Potencia positiva, 16,19 Potencia promedio (activa), 441. 445 circuitos de ca, 422-432, 445 elementos reactivos de absorción, 427 en el estado estable senoidal, 424-425 formas de onda periódicas, 423-424 funciones no-periódicas, 430-432 la resistencia ideal de absorción, 426 máxima transferencia de, 428-430 máxima, 429 superposición y, 431 valor RMS y, 434 Potencia promedio máxima, 429 Potencia reactiva, 440, 441,445 Poyla, G., 8 Prefijos del SI, 10-11 Prefijos, SI, 10-11 Procedimiento directo, circuitos RL controlados, 281-282 Procesamiento de imágenes. Análisis de Fourier y, 782-783 Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados, 103 Propiedad aditiva, de la transformada de Laplace, 546 Propiedad de corrimiento, 544-545 Propiedad de homogeneidad, transformadas de Laplace, 546 PSpice, 103,104-107, 128-130 comando Bias Point, 105 comando Create, 105 comando New Simulation Profile, 104-105 comando Run, 105 comando Type, 105
diagramas de nodo-base, 106-107 modelado de bobinas con, 243-245 modelado de capacitores con, 243-245 para el análisis senoidal en estado estable, 402-403 para el análisis transitorio, 264-266 tutorial, 815-820 Puente de Wheatstone, 74 Puerto, 691 R
Ragazzini, J.R., 205 Ramas, definidas, 793 Randall, R.M., 205 Rawlins, C.B., 25,26 Reactancia síncrona, 474 Reactancia impedancia y, 388 inductiva, 374 síncrona, 474 Rechaza-bandas, 672 Rechazo en modo común, amp ops, 193-194 Rectificadores, 459 Red activa, 21 Red inactiva, 145 Red muerta, 142,145 Red rnultipuerto, 692. Véase también Redes de dos puertos Red pasiva, 21 Redes de dos puertos, 691-734 análisis asistido por computadora para, 723-724 parámetros ABCD, 720-724 parámetros de admitancia, 696-703 admitancia de entrada en corto circuito, 697-698 admitancia de salida en corto circuito, 698 admitancia de transferencia en corto circuito, 698 circuito bilateral, 702 elemento bilateral, 702 parámetros de admitancia en corto circuito, 698 parámetros y, 697-699, 710-711 teorema de reciprocidad, 702 parámetros de impedancia, 712-716 parámetros de transmisión, 720-724 parámetros híbridos, 718-720 parámetros í, 7120-724 redes de un puerto. Véase Redes de un puerto redes equivalentes, 703-711
amplificadores, 708-710 método A de impedancias, 704-705 método de admitancia en corto circuito, 703-704 método de la sustracción /adición Y, 704 método equivalente de Norton, 709-710 método equivalente de Thévenin, 709-710 Y-A no aplicable, 706-707 transistores, caracterización, 717-718 Redes de parámetros concentrados, 35 Redes de parámetros distribuidos, 35 Redes de un puerto, 691 -696 cálculo de impedancia de entrada para, 693-696 Redes eléctricas, comportamiento de, 607 Redes equivalentes P y T, 505-508 Redes equivalentes T y P, 505-508 Redes equivalentes, dos puertos. Véase Redes de dos puertos Redes, 21-22 activas, 21 de dos puertos. Véase Redes de dos puertos pasivas, 21 topología. Véase Topología de red Regla de Cramer, 84, 811-812 Regulación de voltaje (tensión), 475 Relación de voltaje (tensión) H(s) = VSai/Vent, síntesis, 612-616 Relación de voltaje (tensión), transformadores ideales, dominio del tiempo, 515-518 Relación del número de vueltas, transformadores ideales, 510-512 Relaciones de integrales voltaje-corriente bobinas, 228-230 capacitores, 218-220 Relaciones fasoriales para R, L-y C bobinas. 384-385 capacitores, 385-386 como representación compleja abreviada, 381 expresiones V-I en el dominio de la frecuencia, 385 expresiones V-I en el dominio del tiempo, 385 forma definida de la impedancia. Véase Análisis senoidal en estado estable
leyes de Kirchhoff utilizando, 386 representación en el dominio de la frecuencia, 382 representación en el dominio del tiempo, 382 representación fasorial, 382 resistencias, 383-384 Relaciones lineales voltaje-corriente, 121-122 Representación compleja, fasor como abreviatura de, 381 Resistencia de salida, 132 Resistencia equivalente, 52,142 Resistencia íinita, RLC en paralelo ligeramente amortiguado sin fuente, 338-340 Resistencia ideal, absorción promedio de potencia, 426 Resistencia interna, 132 Resistencia lineal, 23 Resistencia/Resistencias/Resistividad, 9, 25. Véase también Ley de ühm análisis de circuitos en el dominio-s, 571-572,577 de salida, 132 en el dominio de la frecuencia, 571-572 en el dominio del tiempo, 577 en serie y en paralelo, 51-57 equivalente, 52 ideal, absorción de potencia promedio (activa), 426 impedancia y, 388, 389 interna, 132 lineal, 23 relaciones fasoriales para, 383-384 Resistencias negativas, 696 Resonancia en paralelo, 627-641,644 amortiguamiento coeficiente exponencial, 630 factor, 634-635 ancho de banda y circuitos con alta Q. 636-641 conclusiones clave sobre, 641 definición, 628-631 energía instanránea almacenada. 632 factor de calidad (Q), 631-641 ancho de banda y, 636-641 factor de amortiguamiento y, 634-635 otras interpretaciones de Q, 633-654frecuencia natural resonante, 630 respuesta actual y, 631 respuesta de voltaje y, 630-631
8 S 4 )------------- W
V
resumen de, 644 selectividad de frecuencia, 637 Resonancia en serie, 641-644 Resonancia, 322 en paralelo. Véase Resonancia en paralelo en serie, 641-644 respuesta actual y, 631 respuesta de voltaje y, 630-631 tabla de resumen para, 644 Respuesta al impulso, convolución y, 589-590 Respuesta amortiguada críticamente, circuitos RLC circuitos sin fuentes en paralelo, 323, 345 en serie, 344-345 forma de, 332-333 representación gráfica, 334-335 Respuesta completa, 735-736 a funciones periódicas forzadas, 750-752 de circuitos RL, 285-289 de circuitos RLC. Véase Circuitos RLC Respuesta de fase, diagramas de Bode y, 660-661 Respuesta de voltaje (tensión), resonancia y, 630-631 Respuesta en frecuencia, 3, 4, 627-690 combinaciones serie/paralelo equivalentes, 647-651 diagramas de Bode. Véase Diagramas de Bode/gráficas escalamiento (ajuste), 652-656 filtros. Véase Filtros (frecuencia) formas resonantes, otras, 645-651 resonancia en paralelo. Véase Resonancia en paralelo resonancia en serie, 641-644 Respuesta exponencial, circuitos RL, 262-266 Respuesta libre, circuitos RL sin fuente, 256 Respuesta senoidal amortiguada, 336 Respuesta sobreamortiguada circuitos RLC en paralelo sin fuente, 323, 324-331, 345 representación gráfica de, 329-330 valores Ai y A2, encontrar, 324-325 circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 Respuesta subamortiguada de circuitos RLC en paralelo sin fuente. Véase Circuitos RLC
Indice
de circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 Respuesta transitoria, 283 circuitos RL sin fuente, 256 Respuesta, 121 circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 como una función de .v, dominio-s, 599 como una función de w, dominio-s, 599-600 en el dominio de la frecuencia. 772-779 funciones, 122 Respuestas forzadas, 369, 735-736 circuitos manejadores RL, 282,283-289 circuitos RL sin fuente, 256 para senoidales. Véase Análisis senoidal en estado estable Respuestas naturales, 276, 369, 372, 735-736 circuitos controlados RL, 282, 283-289 circuitos RL sin fuente, 256 y el plano de frecuencia compleja (s), 607-611 Retraso de tiempo (TD) de formas de onda, 295 Retroalimentación negativa amp ops, 194-195 trayectoria, 612 Retroalimentación positiva, 195,612 Rotor, 474 Russell, F.A., 205 Rutina solve (), 86 S s, definición, 536-537 Sands, M.L., 63 Saturación, amp op, 195,196 Secuencia de fase abe, 464-465 Secuencia de fase cba, 464-465 Secuencia de fase negativa, 464-465 Secuencia de fase positiva, 464-465 Segundos, 10 Senoidales adelantadas, 370-371 Senoidales atrasadas, 370-371 Senoidales en fase, 370-371 Senoidales fuera de fase, 370-371 Senoidales caso de frecuencia compleja, 535 como funciones forzadas, 627-628 transformadas de Laplace de, 558 Senoides amortiguadas exponencialmente, 536 Senos, convertidos a cosenos, 371 Series de Fourier
coeficientes, 739-740 forma compleja, 752-759 forma trigonométrica de, 735-745 armónicas, 736-737 coeficientes, evaluando, 739-740 derivada, 737-738 ecuación de, 738 espectro de fase, 744-745 espectro de línea, 743-744 integrales, útiles, 738-739 función de muestreo, 756-759 simetría, uso de, 745-749 para resolución simplificada, 749f simetría de media onda, 747-748,749 simetría par e impar, 745,749 términos de Fourier y, 745,747 Sharpe, D„ 485 Siemen (S), 572 Significado físico, de las transformadas de Fourier, 764-765 Signos convención pasiva, 16 para voltajes (tensiones), 9,14 Simetría de media onda, Fourier, 747-748, 749 Simetría impar, análisis de series de Fourier. 745,749 Simetría par. Análisis de series de Fourier, 745, 749 Simetría, uso de, análisis de series de Fourier, 745-749 Simón, Paul-René, 28 Sistema de supervisión de presión de tanques, 184-185 Sistema Internacional de Unidades (SI), 10 Sistema métrico de unidades, 10 Sistema trifásico balanceado, 458 Sistemas de posicionamiento global (GPS), 612 Sistemas de suspensión, modelado automotriz de, 356 Sistemas físicamente realizables, 591-592 Sistemas ingeníenles, comportamiento de, 607 Sistemas monofásico de tres hilos, 460-464 Sistemas numéricos, unidades y escalas, 9 Sistemas realizables, análisis en el dominio-s, 591-592 Sistemas telefónicos satelitales, 223 Sistemas trifásicos, balanceados, 458 Sistemas, estabilidad de, 560 Software Probe, 342- 343 Solución complementaria. Véase Respuestas naturales
INDICE
Solución general, circuitos RL sin fuentes, 258-261 Solución particular, 285 circuitos RL sin fuente, 256 SPICE, 103. Véase también PSpice Squire, J., 785 Supermalla, 98,100-101 Supemodos, 89-91 Superposición, 3, 121-131, 155, 377-378 análisis senodial en estado estable, 396-403 aplicable a la corriente, 431 aplicable a la potencia, 431 limitaciones de, 131 procedimiento básico, 128 teorema de superposición, 123 Susceptancia, 392 Suspensiones automotrices, modelado, 356 Szwarc, Joseph, 28 T
Taylor, Barry N., 28 Taylor, J.T., 681 Técnicas de análisis de circuitos, 121-172 circuitos equivalentes de Norton. Véase Circuitos equivalentes de Thévenin/Norton circuitos equivalentes de Thévenin. Véase Circuitos equivalentes de Thévenin/Norton conversión delta-estrella (A-Y), 152-154 linealidad y superposición, 121-131 máxima transferencia de potencia, 150-152 proceso de selección para, 155-156 superposición. Véase Superposición transformaciones de fuente Véase Transformaciones de fuente Teorema de reciprocidad, 702 Teorema del escalamiento (ajuste) en el tiempo, transformadas de Laplace y, 842 Terminales de línea, 464 Términos de orden superior, diagramas de Bode, 665 Términos múltiples, en diagramas de Bode, 659-660 Tesla, Nokola, 457 Thévenin, M.L., 139 Tiempo de bajada, de las formas de onda, 294 Tiempo de establecimiento, 330 Tiempo de subida (TR), de formas de onda, 294
Tierra de la señal, 61-62 Tierra del chasis, 61-62 Tierra física, 61-62 Topología de red, 793-804 análisis de enlaces y de lazo, 799-804 árboles y análisis nodal general, 793-799 Topología, 793. Véase también Topología de red Transconductancia, 21 Transferencia de carga, 12 Transformaciones de fuente. Véase Transformaciones de fuente entre parámetros y, z, h y t, 713 Transformaciones de fuente, 3, 131-138, 155 fuentes de comente prácticas, 133, 137-138 fuentes de voltaje (tensión) prácticas, 131-133, 137-138 fuentes practicas equivalentes, 133-136 requerimientos de los conceptos clave, 137-138 resumen, 138 y análisis senoidal en estado estable, 396-403 Transformada(s) de Laplace, 533-570 análisis asistido por computadora, 551-553 convolución y, 595-596 de funciones periódicas en el tiempo, 837-839 de funciones simples de tiempo, 543-545 de un solo lado, 542-543 definición, 540-543 función forzada senoidal amortiguada, 537-540 operaciones, tabla de, 561 para funciones exponenciales e ~at' 545 para la función escalón unitario u(t), 544 para la función impulso unitario d(t - to), 544-545 para la función rampa tu(l), 545 pares, 559 propiedad de la división, 544-545 técnicas de transformada inversa, 546-551 para funciones racionales, 547-548 polos diferentes/método de los residuos, 548-549 polos repetidos, 550 teorema de la linealidad, 546-547
•
J
W
v ----------------{
855
teorema de la diferenciación en el tiempo, 553-554 teorema de la d ife m á B ifc es frecuencia SW-M teorema de la estabilidad je. ssaciniL. 560 teorema de la integración en el tiempo, 555-556 teorema de la integración en frecuencia, 841 teorema del corrimiento en el tiempo, 558, 837-839 teorema del corrimiento en frecuencia, 839-840 teorema del escalamiento (ajuste) en el tiempo, 842 teorema senoidal, 558 teoremas del valor inicial/valor final, 561-563 teoremas para, 553-561 transformada de Laplace de dos lados, 541 transformada de Laplace inversa de dos lados, 542 Transformada de Fourier. Véase también Pares de transformada de Fourier de funciones periódicas en el tiempo, 771-772 definido, 759-763 función del sistema, dominio de la frecuencia. Véase Función del sistema propiedades de, 763-766 significado físico de, 764-765 transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Transformada de Laplace de ambos lados, 541 Transformada de Laplace de un solo lado, 542-543 Transformada de Laplace inversa de ambos lados. 542 Transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Transformadas inversas. Véase Transformada(s) de L = v»s Transformadores de pasos elevadcras- 5 ■ Transformadores de pasos reductc-es 5 Transformadores ideales, 510-520
f 856 ) --------------- W V -------------• circuitos equivalentes, 518-520 para acoplamiento de impedoiuia, 512-513 para ajuste de niveles de voltaje (tensión), 513-514 relación de número de vueltas de, 510-512 relación de voltajes (tensión) en el dominio del tiempo, 515-518 transformadores de paso elevadores, 514 transformadores de paso reductores, 514 Transformadores lineales, 503-509 corriente de la malla principal, 503 corriente de la malla secundaria, 503 impedancia reflejada, 503-504 redes equivalentes T y P, 505-508 Transformadores superconductores, 516-517 Transformadores. Véase también Circuitos acoplados magnéticamente ideal. Véase Transformadores ideales lineal. Véase Transformadores lineales superconductores, 516 Transistores, 22, 396-397, 717-718 Trayectoria análisis de malla, 92 definida, 793 voltaje (tensión), 14 Trayectorias cerradas, 38,92 Tubo al vacío 12AX7A, 174 Tuinenga, P., 108, 820 U
Ultracapacitor, 223 Unidad imaginaria (operador)/componente, 821 de funciones forzadas complejas, 376 de potencia compleja, 440 fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 Unidades base del SI, 10 Unidades de trabajo (energía), 10 Unidades en ingeniería, 11 Unidades volt-ampere-reactivos (VAR), 441 potencia compleja, 440 Unidades y escalas, 9-11
ÍNDICE
voltaje (tensión) integral de la corriente, 18 Valor efectivo (RMS). Véase Valor RMS fuentes. Véase Fuentes de voltaje Valor final, transformadas de Laplace, (tensión) 561-563 fuerza y, 5 Valor inicial, transformada de Laplace, leyes. Véase Leyes de voltaje (tensión) 561-563 y corriente Valor numérico, de corriente, 12 polarización real vs. convencional, 14 Valor raíz media cuadrada (RMS). Véase relaciones integrales de voltaje Valor RMS (tensión)-corriente, para Valor RMS capacitores, 218-220 con circuitos de múltiples frecuencias, generadas internamente, 474 434-435 Voltaje de compensación de entrada, para formas de onda periódicas, amp ops, 196 432-433 Voltaje de corte, 223 para formas de onda senoidales, Voltaje de entrada diferencial, 193 433-434 Voltaje de la integral de la corriente, 18 para la corriente y el voltaje (tensión), Voltaje derivado de la corriente, 18 432-437, 445 Voltajes (tensiones) de fases, 464 para la potencia promedio (activa), 434 Voltajes línea-a-línea, conexión trifásica Valores B\ y B2, 337-338 Y-Y, 465-466 Valores de A] y A2 Volt-amperes (VA), 438, 441 amortiguamiento crítico y, 333 circuito RLC sobreamortiguado en W paralelo, 324-325 Wattímetros, para sistemas trifásicos Valores de los parámetros, amp ops, 191 método de los dos wattímetros, Vector enfilado (dirigido), 806 481-483 Vectores, 85, 806 teoría y formulas, 478-481 Velocidad de impacto, amp-ops, 197-198 uso, 476-478 Volta, Alessandro Giuseppe \ntonio Watts (W), 10,441 Anastasio, 14n Weber, E„ 302, 360 Voltaje (tensión) generado internamente, Weedy.B.M., 446, 485 474 Westinghouse, George, 457 Voltaje (tensión) Zener, 187 Wheeler, H.A., 534 Voltaje (tensión), 9, 14-15 Winder, S., 616 corte, 223 emparejamiento de, 658-659 diferencia a la entrada, amp ops, 196 y respuesta en fase, 660-661 división de voltaje (tensión) y y términos de orden superior, 665 corriente, 57-60 fuentes de corriente y, 17-22, 49-51 elementos activos, 21 Y(s) y Z(s). Véase Análisis de circuitos en elementos de circuito, 21 el dominio-s elementos pasivos, 21 fuentes de corriente independiente, 19 ? 4 Z(s), Y(s) y. Véase Análisis de circuitos en fuentes de voltaje (tensión) I el dominio-s independiente. 18-19 I Zaf any, S., 564, 785 fuentes dep|ndieiltqs de iioítáje/ Zamiman, Félix, 28 corriente, 1S, 19^^| A"f. redes y circuitos, 21-22 voltaje (teníión) deriyado de la corrilntUil 8 M-
I 1
'
S'Sb
Breve tabla de integrales 2 jc sen 2a.v sen a x d x = ---------------2 4a /■
/ eos
2
x sen 2ax a x d x = — I------------2 4a
r i / x sen a x d x — — (sen aje —aje cos aje) y a1
/
x 2 sen a x d x = —r (2ax sen a x + 2 cos ax — a 2x 2 cos ax)
/■ 1 / jc cos a x d x = — (cos ax + ax sen ax)
J
í /
J
a-
jc
?
1 22 cos a x d x = — (2ax cos a.r — 2 sen ax + a j c " sen ax)
a3
s e n( a - & ) j c sen (a + b)x 7 . sen ax sen bx d x = ----------- ------------------- —- ; a ± b
/
2 (a - b)
2 (a + i )
cos(a — b)jc cos(a + b )x , senaje cos üjc ajc — -------- ------- ----------—------—— ; a 2(a-¿>) 2 (a + fc) sen (a —b)jc sen (a + ¿>)x 7 cos ax eos hx d x = ----------- ------ 1--- ——; a ± b 2 (a - b) 2 (a + b )
/ x eax d x ~ / /
e — (ax — 1) a¿
& x 2 eax d x = — (a2x 2 — 2ax + 2)
a5
r eax I eax sen b x d x = —r------ (a sen bx — b cos bx) J a1 + bl f eax I eax cos bx d x = —— - z (a cos bx + b sen bx) a 2 + b2
J
dx
J a2 + x 2
/
1 , x = - tan-1 a
, ¿r ,
a > O dx —
0; a = O —\ ti \ a < O
a
r
| sen"* d x = o
7T 2 7 cos x d x — — 2 Jo /**
I
sen m x sen nx d x — /r
cos m x cos n x d x = 0 ; m ^ n, n y m enteros 0 ; m — n par —
- ^ i n - n impar
m — n-
Breve tabla de identidades trigonométricas s e n ^ ± fi) = sen a cos fi ± cos a sen fi c o s(a ± fi) — cos a cos fi
=psen a sen fi
co s(a ± 90°) = =f s e n a senCa ± 90°) = ± cos a cos a cos fi — ~ c o s(a + fi) + \ cos (a - fi) sen a sen fi = \ c o s (a — fi) — \ c o s (a + fi) sen a cos fi = \ se n (a + fi) + ^ sen (a — fi) sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = 2 eos2a — 1 = sen2a = ^(1 —cos 2a) eos2a = |(1 + cos 2a) eja - e -j« sen a = --------j2 cos a =
eja + e- ja
e±¡a — cos a ± j sen a
1 — 2sen2a =
eos2a
— sen2a
La característica distintiva de este texto clásico es su enfoque en los estudiantes, pues está escrito de tal form a que éstos puedan aprender por sí m ism os el arte del análisis de circuitos. Los térm inos se definen claram ente cuando se presentan por primera vez, el material básico se expone con c uidado al com ienzo de cada capítulo y se utilizan ejem plos num éricos para presentar y sugerir resultados genéricos. Los problem as de práctica tienen un determ inado nivel de dificultad y permiten que los alu m n os puedan evaluar su avance por sí m ism os de m anera regular. Esta introducción que sirve com o puente, así com o la estrategia de repetición subsiguiente, proporcionan una im portante ayuda al proceso de aprendizaje. Los abu ndan tes recursos p e d a gó g ic o s de los autores ayudan y alientan al estudiante ofreciéndole consejos y advertencias, figu ras dise ñadas cuidadosam ente, foto grafías y tablas. Una vez que se han a b o rd a d o los fundam entos, se exploran tam bién los tem as a través de ejem plos de diseño adecu ad os y se estudia el análisis asistido por com putadora com o una form a de verificar los resultados. A lo largo del texto se exponen los tem as de una m anera amena, lo cual resalta la convicción de los autores de que el análisis de circuitos puede y deber ser divertido. C A R A C T E R Í S T I C A Las técnicas de resolución de problem as se presentan en el capítulo 1 con objeto de preparar a los a lu m n os para que desarrollen una form a m etódica de analizar circuitos. En cada uno de los capítulos sigu ien tes hay ejem plos cuidadosam ente seleccionados que ayudan a recordar la m e to dolo gía de resolución paso a p aso de los m ism os. Los cuadros de aplicación practica que se encuentran a lo largo de to d o el libro relacionan el material con situaciones del m u n do real y enlazan
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conceptos de diseño y de resolución de problem as. Se incluyen ejem plos de PSpice y M A TLA B q ue presentan características prácticas com o los barridos de CD, el análisis transitorio, la m anipulación de variables la solución de ecuaciones y perm iten valorar el texto desde una perspectiva m ás amplia. Al final de a lgu n o s capítulos selectos se presentan preguntas orientadas al diseño para ayudar a los a lu m n os a com prender las com plejidades implícitas en dicho proceso.
McGraw-Hill
The M cGraw-Hill Companles
HÜfw Interamericana IS B N -13: 978-970-10-6107-7 ISBN -10: 970-10-6107-1
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