TEXTO Nº 3
VECTORES PLANO Y ESPACIO
Conceptos Básicos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos
Edic ta Arr iagada D. Victo r Peralta A Dici embr e 2008 Sede Maipú , Santi ago de Chil e
1
Introducción Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Vectores . En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física Mecánica. El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la unidad de Vectores, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones.
2
Vectores Magnitudes escalares
Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que quedan completamente definidas con números, como ejemplo , unidades de : longitud ; masa ; tiempo ; superficie ; volumen ; densidad ; temperatura ; presión ; trabajo mecánico ; potencia, etc. Magnitudes vectoriales
Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que para quedar completamente definidas necesitan de una dirección y sentido como por ejemplo , unidades de : desplazamiento ; velocidad ; aceleración ; fuerza ; momento , etc. Las magnitudes vectoriales serepresentan gráficamente porvectores (flechas) y se simbolizan mediante letras con una flecha en su parte superior por ejemplov , a , F , etc. En todo vector se debe distinguir las siguientes características:
-
Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura )
-
Magnitud o mód ulo : corresponde al tamaño del vector , se simboliza como valor absoluto v ( ver figura )
-
Dirección : corresponde a la línea recta en la cual el vector está contenido, también se llama línea de acción o recta soporte. Generalmente la dirección de un vector se entrega por medio de un ángulo que el vector forma con la horizontal u otra recta dada
-
Sentido : es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo derecha o izquierda, arriba o abajo)
dirección sentido
v
v
α
horizontal 0
srcen
Vectores libres 3
Se llama vector libre a aquel que no pasa por un punto determinado del espacio. Vector fijo
Es aquel vector que debe pasar por un punto determinado del espacio.
Suma de vect ores li bres Método del polígono
Consiste en lo siguiente: se dibuja el primer vector a sumar, luego en el extremo de éste se dibuja srcen del segundo vector a sumar y así sucesivamente hasta dibujar el ultimo vector el a sumar, la resultante se obtiene trazando un vector que va desde el srcen del primer vector hasta el extremo del ultimo (ver figura) , durante este proceso se debe conservar magnitud dirección y sentido de cada uno de los vectores a sumar. Ilustración
Dados los vectores a , b , c y d tal como se indica, trazar las siguientes resultantes: R1 = a + b + c + d y R2 = d + b + c + a
a
b
d c
Solución Siguiendo la regla anterior se obtiene para cada caso lo siguiente:
d
a
b
b
R2 = d + b + c + a
R1 = a + b + c + d
c
c
a
d
Es fácil observar que las resultantes R1 y R 2 son iguales, esto permite admitir que la suma de vectores cumple ciertas propiedades.
4
Propiedades para la suma de vectores
1) As oc iativa
∀ a , b y c vectores , se cumple que (a +) b + c (= a) + b + c
2) Elemento neutro
∀ a vector , ∃ 0 (cero vector ) tal que se cumple : a + 0 = 0 + a = a
3) Elemento o puesto ∀ a , ∃! (- )a / a( + ) −( a ) = − a + a = 0 (− a ) es el vector opuesto del vector a .
(− a ) tiene igual magnitud y dirección que a , pero es de sentido contrario
(− a )
si
entonces
a
4) Conmutatividad
∀ a , b , se cumple que a + b = b + a
Método del paralelogramo
Es un método para sumar dos vectores y consiste en lo siguiente: Se dibujan ambos vectores con un srcen común, enseguida en cada uno de los extremos se dibujan las paralelas a dichos vectores, la resultante o vector suma se obtiene trazando un vector que va desde el srcen común hasta el punto donde se intersectan las paralelas (diagonal del paralelogramo formado). Si los vectores son:
F2
F1
y
R = F1 + F2
Entonces R = F1 + F2 resulta:
F1
5
F2
Origen común
Resta de vector es
Sean a y b dos vectores la resta a − b queda definida por:
( )
a −b =a + −b
Es decir, la resta se reemplaza por la suma del opuesto del vector sustraendo Dados los vectores:
F1
F2
Y
Según la definición anterior R = F1 − F2 = F1 + (− F2 ) , por lo tanto se utilizará el vector:
− (F2 )
Entonces la resultante R = F1 − F2 es:
F1
− (F2 )
R = F1 − F2 = F1 + − F2
OBS. Se obtiene la misma resultante si se utiliza el método del paralelogramo Otra forma de restar dos vectores es la sig
uiente:
Dibujar ambos vectores un sustraendo srcen común, la resultante obtiene que) va desde el extremo del con vector hasta el extremosedel vectortrazando minuendoun( vector ver figura R = F1 − F2
F2
F1 Origen común
6
Vectores en el pl ano Todo punto ( x, y ) del plano cartesiano representa un vector que tiene por srcen, el srcen del sistema cartesiano y por extremo, el punto de coordenadas( x, y ) .
( x, y )
y
V
α
x
Componente s c arte sianas o rectangulares de un vector
del plano
Todo vector V del plano puede ser descompuesto en dos componentesV X y VY llamadas componentes cartesianas o rectangulares, de tal manera que el vectorV queda expresado como una suma de sus componentes, es decir:
V = V +V X
Y
La magnitud del vector V queda determinada por:
V =
(V) (+ )V
X
2
2
Y
La dirección α del vector V queda determinada por: VY X V
α = tag −1
Además se cumple que: V = V ⋅ cos α
X
(Componente de V sobre el eje x) 7
VY = V ⋅ senα
(Componente de V sobre el eje y)
Primer cuadrante
dirección = α α
Segundo cuadrante
α
dirección = α = 180º − β
β
Tercer cuadrante α
dirección = α = 180º + β
β
Cuarto cuadrante dirección = α = 360º − β
α
β
V β = tag Y V X
En cada uno de los casos anteriores
−1
8
Sistema de ve cto res en el plano
Si V1 , V2 , . . . . . . Vn son vectores del plano, entonces la resultanteR del sistema de vectores es: R = R X + RY
La magnitud de la resultante
R es :
R =
La dirección de la resultante
(R) (+ )R 2
2
X
Y
R es :
R α = tag Y R X
−1
Donde: . . . + Vnx
R X = V1 X + V2 X + ...
RY = V1Y + V 2Y + . .
.
. . . Vny
Vector unitario
Todo vector V del plano tiene asociado un vector unitario (magnitud unidad que puede ser simbolizado con las letras Vˆ o e o λ El vector unitario de V queda definido por:
V + VY V V V Vˆ = = X = X + Y V V V V
Los ejes coordenados x e y también tienen sus respectivos vectores unitarios, estos son: 9
iˆ = (1,0 )
se lee i tongo y representa al vector unitario para el eje x
ˆj = (0,1)
se lee jota tongo y representa al vector unitario para el eje y
Utilizando los vectores unitarios de los ejes coordenados, el vectorV puede ser representado como sigue: V = Viˆ + Vˆj
Notación polar de un vector del plano
Cuando se conoce la magnitud y dirección de un vector del plano, se dice que se conocen sus coordenadas polares y en este caso el vector V queda representado por:
V =
( V ,α )
Siendo V la magnitud de V y α su dirección
Teoremas trigono métricos u tiliza dos en el estudio de vectores
Teorema del seno senα a
=
senβ b
=
senγ c
C
b γ
a
α
c
Teorema del coseno
β B
10
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Ejerci cio s Resueltos - V ectores 1) Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas componentes rectangulares son VX = −12 y VY = 8
Solución :
Como se conocen las componentes cartesianas del vector V es posible aplicar en forma inmediata la ecuación que define el módulo de un vector, es decir:
V =
(V) +( )V 2
2
X
Y
Reemplazando los valores correspondientes resulta:
V =
(− 12 ) + 8 2
2
=
144 + 64 =
208
= 14,422 , es decir, la magnitud del vector V es
14,422.
Como V X es negativa y VY es positiva, el vector se encuentra en el segundo cuadrante, y por lo tanto la dirección queda determinada por α = 180º − β VY VX
β = tag −1
α = 146,31º 8
β = 33,69 º
x -12
11
8 ⇒ β = tag −1 12 ⇒ β = 33,69º
Por lo tanto la dirección es: α = 180º −33,69º ,
es decir
Dirección de V
α = 146,31º
2) Encontrar las componentes cartesianas de un vector V cuya magnitud vale 80 y su dirección es de 230º Solución :
Como las componentes de un vector quedan determinadas con las ecuaciones:
V = V ⋅ cos α X
V = V ⋅ senα Y
Solo hay que reemplazar los valores correspondientes a la magnitud y dirección del vector, es decir: V X = 80 ⋅ cos 230º
VY = 80 ⋅ sen230º
Realizando la operatoria se obtiene finalmente:
V X = −51,423 VY = −61,284
3) Dados los vectores F1 = 7iˆ − 20 ˆj y F2 = 2iˆ + 24 ˆj , encontrar magnitud , dirección y vector unitario de la resultante F1 + F2
Solución
12
Se pide obtener la resultante R = F1 + F2 , reemplazando los valores de cada vector, se obtiene:
R = F1 + F2 = 7iˆ − 20 ˆj + 2iˆ + 24 ˆj
Reuniendo los términos semejantes resulta: R = 9iˆ + 4 ˆj
Aplicando la fórmula de la magnitud:
2
2
R = 9 +4
Realizando la operatoria se tiene finalmente la magnitud de la resultante, es decir:
R = 9,849
Como la resultante es: R = 9iˆ + 4 ˆj
Significa que se encuentra en el primer cuadrante, luego la dirección queda determinada por: RY R X
α = tag −1
Reemplazando valores: 4 α = tag −1 9
Realizando la operatoria se tiene la dirección: α = 23,962º
Determinación del vector unitario: Por definición, el vector unitario queda determinado por:
13
R + RY R R R Rˆ = = X = X + Y R R R R
Reemplazando los valores para cada componente resulta: Rˆ =
9 ˆ 4 ˆ i+ j 9,849 9,849
Rˆ =
o que es lo mismo
9 ˆ 4 ˆ i+ j 97 97
4) Sobre el anclaje indicado en la figura, actúan tres fuerzas tal como se indica, determinar magnitud y dirección de la resultanteR = F1 + F2 + F3
y F2 = 150 N
82º
F3 = 30 N
72º
x 67º
Solución
F1 = 220 N
Como se trata de un sistema de vectores, la resultante es de la forma:
R = R X + RY
En este caso:
R X = F1 X + F2 X + F3 X
y
RY = F1Y + F2Y + F3Y
Aplicando la fórmula de las componentes y reemplazando los valores para cada fuerza , se tiene :
14
R X = 220 N cos 293º +150 N cos 72º +30 N cos 172º RY = 220 Nsen293º +150 Nsen72º +30 Nsen172º
Realizando la operatoria resulta: R X = 102,605 N
RY = −55,677 N
y
Por lo tanto la resultante R es: R = 102,605iˆ − 55,677 ˆj N
Su magnitud es: R =
(102,605 ) ( + )− 55,677 2
2
=
13627,714 = 116,738 N
Como le vector resultante se encuentra en el cuarto cuadrante, significa que su dirección es α = 360 º − β , el ángulo β se calcula por medio de la tan g −1 , es decir:
RY 55,677 = tg −1 = 28,486º 102 ,605 RX
β = tg −1
Por lo tanto la dirección de la fuerza resultante es:
α = 360º − β = 360º −28,486º = 331,514º ,
15
Vectores en el espacio Todo punto del espacio (x, y, z ) representa un vector que tiene por srcen, el srcen del sistema y por extremo, el punto de coordenadas( x, y, z )
( x, y , z )
z
x
Todo vector V del espacio puede ser descompuesto enV X , VY , VZ llamadas componentes rectangulares o cartesianas.
V X = componente de V sobre el eje x VY = componente de V sobre el eje y
VZ = componente de V sobre el eje z
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El vector V puede ser expresado como un asuma de sus componentes, es decir: V = V X + VY + VZ
La magnitud queda determinada por: V =
(V) (+ )V ( +) V
2
2
X
Y
2
Z
La dirección de V queda determinada por los cósenos directores, dados por:
cosθ X =
VX
cosθ Y =
VY
cosθ Z =
VZ
V
V
V
VY
VZ
z
θz
θy V θx
VX
x
El vector V también puede ser expresado en función de los vectores unitarios de los ejes coordenados, esto es: 17
V = Viˆ + Vˆj + Vkˆ
Donde kˆ es el vector unitario para el eje z
Ejercici o 1 ˆ V = 5iˆ − 8 ˆj + 10k
Determinar magnitud y dirección del vector Solución
Aplicando la fórmula de magnitud, se tiene: V = 5 2 + (− 8) + 10 2
2
Realizando la operación resulta: V = 13,748
Magnitud de vector V
La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores, es decir:
cosθ X =
VX
cos θ Y =
V
V ⇒ θ X = cos −1 X V
5 ⇒ θ X = cos −1 13,748
⇒
θ X = 68,673º
VY
cos θ Z =
V
V ⇒ θ Y = cos Y V
−1
−8 ⇒ θ Y = cos −1 13,748
⇒
θ Y = 125,584º
VZ
V
V ⇒ θ Z = cos Z V
−1
10 ⇒ θ Z = cos −1 13,748
⇒
θ Z = 43,333º
18
Sistema de ve cto res en el e spacio
Si V1 , V2 , . . .
. . . Vn son n vectores del espacio, entonces la resultante R es de la forma:
=
+
R
RX
+
RY
RZ
La magnitud de R queda determinada por
R =
(R) (+ )R ( )+ 2
2
X
Y
RZ
2
La dirección de R queda determinada por los ángulos directores R X θ X = cos R
RY R
−1
θ Y = cos −1
R Z R
θ Z = cos −1
y θY
θZ
R
θX
x
z
19
Con: R x = V1 X + V2 X + ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ +VnX
R x = V1Y + V2Y + ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ +VnY
Ejercici o 2
Dados los vectores F1 = −5iˆ + 8 ˆj − 15kˆ , F2 = −7iˆ − 12 ˆj + 3kˆ y F3 = 6iˆ + 9 ˆj + 2kˆ , obtener magnitud y dirección de la resultante R = F1 + F2 + F3 .
Solución
La resultante R se obtiene simplemente sumando los términos semejantes, es decir: R = − 5iˆ + 8 ˆj − 15kˆ + − 7iˆ − 12 ˆj + 3kˆ + 6iˆ + 9 ˆj + 2kˆ
R = −6iˆ + 5 ˆj − 10kˆ
La magnitud de R es :
R =
(−)6 + 5( +) − 10 2
2
2
Realizando la operatoria se obtiene finalmente:
R = 161 = 12,689
La dirección se obtiene aplicando la ecuación de los cósenos directores, tal como sigue:
20
R X R
θ X = cos −1
R Y R
5
θ Y = cos −1
−6 12,689
θ X = cos −1
θ Y = cos −1
− 10 12,689
θ Z = cos −1
12,689
θ Y = 66,794º
θ X = 118,219º
R Z R
θ Z = cos −1
θ Z = 142,007º
Ejercici o 3
Para el sistema de fuerzas de la figura indicada, se pide determinar: a) Componentes cartesianas de F1 b) Componentes cartesianas de F2 c) Magnitud de resultante R = F1 + F2 d) Ángulos directores de R e) Vector unitario de R
Y 6m
A
F1= 800 N
5m
o
X B
F2 = 950 N
3m 1m
Z Y
Solución 21
Cálculo de componentes
Cuando se conoce la magnitud de una fuerza y las coordenadas del srcen y extremo de ésta, es conveniente utilizar el concepto de vector unitario para determinar sus componentes. Por definición se tiene que:
F Fˆ = F
al despejar F resulta F = F ⋅ Fˆ pero para Fˆ1 = OAˆ y para F2 = OBˆ Entonces:
F1 = F1 ⋅ OAˆ
y F2 = F2 ⋅ OBˆ
Componentes para F1
Como F1 = F1 ⋅ OAˆ y observando las coordenadas del srcen y extremo de F1 , se puede reemplazar los valores correspondientes, es decir:
6iˆ + 5 ˆj + 4kˆ
F1 = 800 N ⋅
62 + 52 + 4 2
Realizando la operatoria resulta:
F1
=
547,011iˆ + 455,842 ˆj
+
364,674kˆ
Componentes para F2
Como F2 = F2 ⋅ Oˆ B y observando las coordenadas del srcen y extremo de F2 , se puede reemplazar los valores correspondientes, es decir:
F2 = 950 N ⋅
6iˆ + 0 ˆj + 3kˆ 6 2 + 32
Realizando la operatoria se obtiene: F2 = 849,706iˆ + 0 ˆj + 424,853kˆ N
Cálculo de magnitud de
R
La resultante R se obtiene sumando los términos semejantes entre las fuerzas F1 y F2 , es decir: 22
(
(
)
)
R = 547,011iˆ + 455,842 ˆj + 364,674kˆ + 849,706iˆ + 0 ˆj + 424,853kˆ
R = 1396,717iˆ + 455,842 ˆj + 789,527kˆ N
Aplicando la fórmula de magnitud se obtiene finalmente:
(1396,717 ) ( 2 + )455 ( ,842) 2 +
R =
789,527
2
Realizando la operatoria se tiene:
R = 1667,922 N
Cálculo de ángulos directores
La dirección se obtiene aplicando la ecuación de los cósenos directores, es decir:
R X R
θ X = cos −1
R Y R
θ Y = cos −1
1396,717 1667,922
θ X = cos −1
θ X = 33,179º
455,842 1667,922
θ Y = cos −1
θ Y = 74,140º
R Z R
θ Z = cos −1
789,527 1667,922
θ Z = cos −1
θ Z = 61,747º
Cálculo del ve ctor u nitario
Por definición se tiene que:
R + RY + RZ R Rˆ = = X R R
23
Reemplazando los valores correspondientes se obtiene: 1396,717iˆ + 455,842 ˆj + 789,527 kˆ Rˆ = 1667,922
Realizando la operatoria se obtiene finalmente: Rˆ = 0,837iˆ + 0,273 ˆj + 0,473kˆ
Multip licación d e vector es Producto punto o prod ucto escala r
Es una multiplicación entre dos vectores cuyo resultado es un escalar. Si los vectores son: a = a X + aY + a Z y b = bX + bY + bZ , el producto punto entre a y b se simboliza por a • b (se lee a punto b) y se define por:
a • b = a ⋅ b cosθ
Donde θ es el ángulo formado entre los vectoresa y b Si los vectores a y b son perpendiculares significa que θ = 90º y cos 90º = 0 , por lo tanto el producto punto entre a y b es igual a cero, es decir:
Si a ⊥ b entonces a • b = 0
Por otra parte a • b = (a X + aY + a Z ) • b X + bY + bZ )
Multiplicando se obtiene:
a • b = a X • b X + a X • bY + a X • bZ + aY • b X + aY • bY + aY • bZ + a Z • b X + a Z • bY + a Z • bZ
De lo anterior resulta:
a • b = a X ⋅ b X + aY ⋅ bY + a Z ⋅ bZ
Lo anterior debido a que las otras combinaciones resultan perpendiculares y por lo tanto su producto punto es igual a cero. 24
Angu lo fo rmad o en tere a y b
El ángulo entre a y b queda determinado al despejar cosθ de la definición del producto punto, es decir:
a •b
cos θ =
a ⋅b
Ejercicio
Dados los vectores a = −7iˆ + 4 j − 11kˆ y b = 5iˆ + 21 ˆj − 12kˆ , determinar su producto punto y el ángulo formado entre ellos.
Solución
El producto punto se obtiene aplicando la ecuación:
a • b = a X ⋅ b X + aY ⋅ bY + a Z ⋅ bZ
Reemplazando los valores numéricos se tiene:
a • b = − 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 21 − 11 ⋅ −12 = −35 + 84 + 132
Sumando resulta :
a • b = 181
Para determinar el ángulo entre a y b , se debe conocer sus respectivos módulos, por lo tanto:
a =
(−)7 + 4( )+ − 11 = 13,638 2
2
2
b = 5 2 + 212 + (− 12 ) = 24,698 2
El ángulo formado entre a y b se obtiene aplicando la ecuación:
a •b
cos θ =
a⋅b
Reemplazando los valores correspondientes se tiene:
25
cos θ =
181 13,638 ⋅ 24,698
= 0,537
⇒ θ = cos −1 (0,537 )
Finalmente: θ = 57,496º
Ejercicio
Determinar el valor de m de tal manera que los vectoresa = 3iˆ − 9 ˆj + mkˆ y b = −5iˆ − 8 ˆj + 10kˆ resulten perpendiculares:
Solución
Dos vectores son perpendiculares cuando su producto punto es igual a cero, por lo tanto:
a •b = 0
Reemplazando los valores de cada vector resulta: 3 ⋅ −5 + −9 ⋅ −8 + m ⋅ 10 = 0
⇒ −15 + 72 + 10m = 0 ⇒ 57 + 10m = 0 ⇒ 10m = −57 ⇒m=
− 57 10
Finalmente: m = 5,7
Producto cruz o producto vectorial
Es una multiplicación entre dos vectores cuyo resultado es un vector, si los vectores son a y b , el producto cruz entre a y b se denota por a × b (se lee a cruz b) y su módulo se define por:
26
a × b = a ⋅ b ⋅ senθ
La dirección de a × b es perpendicular al plano formado entrea y b , su sentido queda determina por la regla de la mano derecha o regla del tornillo de rosca derecha que al hacerlo girar desde a hacia b debe penetrar en el plano formado entrea y b .
a×b
b
90º
θ
a
Por otra parte si los vectores son a = a X + aY + a Z y b = bX + bY + bZ , el producto a × b queda determinado por:
iˆ
ˆj
a × b = aX
aY
kˆ
bX
aZ
bY
bZ
Ejercicio
Determinar el producto cruz entre a = −2iˆ + 11 ˆj + 5kˆ y b = 10iˆ + 3 ˆj − 9kˆ
Solución
El producto cruz se obtiene aplicando la ecuación anterior, esdecir: iˆ
ˆj
kˆ
a × b = aX
aY
aZ
bX
bY
bZ
Reemplazando las coordenadas para cada vector se obtiene: 27
iˆ
ˆj
kˆ
a × b = − 2 11
10
3
5
−9
Resolviendo el determinante se tiene: a × b = (− 99 −)15 ( iˆ −) 18 ( − 50) ˆj + − 6 − 110 kˆ
Finalmente: a × b = −114iˆ + 32 ˆj − 116kˆ
EJERCICIOS RESUELTOS - VECTORES PROBLEMA n°1
Dos vectores forman un ángulo de 110° y uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40° con el vector resultante de ambos. Determine la magnitud del segundo vector y la del vector resultante. Solución Eligiendo arbitrariamente dos vectores V1 y V2 con las condiciones dadas, es decir:
V1 = 20ud
110°
V2
Ahora trazamos la resultante utilizando el método del paralelogramo, es decir: Q
70°
V = 20ud
R
P
28
Utilizando el teorema del seno en triángulo OPQ resulta: sen70° 20
=
sen 40° v2
⇒ v2 sen70° = 20 sen40°
1) ⇒ v2 =
20 sen 40°
sen70°
⇒ v2 = 13,68[ud ] sen70° 20
=
sen70° R
2) ⇒ Rsen70° = 20 sen70°
Cancelando por sen70° se obtiene finalmente: R = 20[ud ]
PROBLEMA n°2
Dos vectores de longitud 3 y 4 forman un ángulo recto, calcule por el teorema del coseno la longitud del vector resultante y el ángulo que forma este con el vector de menor longitud. Respuesta n°2 Según información, se tienen dos vectores V1 y V2 formando un ángulo recto, es decir:
29
V1 = 3
90°
V2 = 4
Por el método del parale logramo resulta:
V2
B
R
V1 = 3
V1
φ
90°
90° A
V2 = 4
C
Utilizando teorema del coseno en triángulo rectángulo ACB se obtiene: pero COS90° = 0
30
2
2
R 2 = V1 + V2 − 2V1V2COS 90° 2
⇒ R 2 = V1 + V2
2
2
⇒ R = V1 + V2
V2
2
B
⇒ R = 32 + 4 2
R
V1 = 3
V1
φ
⇒ R = 9 + 16
90°
90°
A
⇒ R = 25
C
V2 = 4
⇒ R = 5[ud ]
El ángulo φ (ángulo que forma la resultante con el vector más pequeño) lo podemos determinar usando la razón tangente, es decir:
tgφ = (
V2 V1
)
V2
B
4
⇒ tgφ = ( ) 3
R
V1 = 3
φ
φ
4
⇒ φ = tg −1 ( )
90°
90°
3
A
V1
V2 = 4
C
⇒ φ = 53,130°
PROBLEMA n°3
Dos vectores de longitud 6 y 8 unidades forman un ángulo recto, calcule por el teorema del seno la longitud del vector resultante y el ángulo que forma este con el vector de mayor longitud. Solución :
Según información, se tienen dos vectores V1 y V2 formando un ángulo recto, es decir:
31
V1 = 6(ud )
90°
8(ud )
Representando el paralelogramo para estos vectores, se tiene:
V2 = 8(ud ) V1 = 6(ud )
B
V1 = 6(ud )
φ
90°
A C V2 = 8(ud ) La solución a este problema es similar a la del problema anterior, la diferencia es que en éste calcularemos primero el ángulo φ y luego utilizaremos el teorema del seno para determinar la magnitud de la resultanteR , es decir:
Por la razón tangente se tiene: tgφ = V1 V2
⇒ tgφ =
6 8 6
⇒ φ = tg −1 ( ) 8
⇒ φ = 36,870°
Ahora aplicamos teorema del seno en triángulo rectángulo ACB para obtener el valor de la resultante R , es decir:
32
sen90° R
=
senφ V1
V2 = 8(ud )
⇒ V1sen90° = Rsenφ ⇒
V1sen90°
⇒
senφ
V1 = 6(ud )
B
=R
6 sen90° sen36,870°
R
φ
=R
A
V2 = 8(ud )
V1 = 6(ud )
90°
C
⇒ R = 10[ud ]
PROBLEMA n°4
Dado los vectores: A = 4i + 5 j
B = 3i + 6 j
C = 9k
a) Calcule AXB
b) Grafique este resultado
c) Calcule
AXB
2
, interprete
d) Calcule ( AXB ) • C , interprete
Respuesta n°4 Si: A = 4i + 5 j
B = 3i + 6 j
C = 9k
Entonces: 33
Soluci ón 4 (a) :
i
j
k
AXB = 4
5
0 = (0 − 0)i − (0 − 0) j + (4 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3)k
3 6
0
⇒ AXB = (24 − 15)k
⇒ AXB = 9 k
Solución 4(b) : Grafica
Z
AXB
4
3 5
X
6
Y
A
B
Solución 4(c)
AXB
se calcula utilizando el concepto de módulo de un vector, es decir:
34
AXB = 9 2 = 81 = 9
Por lo tanto:
AXB
2
=
9 2
= 4,5
(AXB ) • C( =
0i +( 0 ) j + 9k) • 0i + 0 j + 9k
⇒ ( AXB ) • C = 0 + 0 + 81
Solución 4(d)
⇒ ( AXB ) • C = 81
PROBLEMA n°5
Un vector tiene una magnitud de 60 unidades y forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje x. Encuentre sus componentes cartesianas Solución
Representando gráficamente la información dada se tiene que: Y
V = 60[ud ]
Vy
30°
x
VX
Donde: VX y Vy son las componentes cartesianas del vector V . Utilizando:
VX = V cosα
Resulta:
y
Vy = V senα
VX = 60 cos 30°
y V y = 60 sen30°
35
VX = 51,962[ud ]
Por lo tanto:
y
Vy = 30[ud ]
PROBLEMA n°6
El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y forma un ángulo de 35° con uno de los vectores componentes, el cualtiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.
Solucón :
Eligiendo arbitrariamente los dos vectores componentesF1 y F2 con las condiciones dadas se puede graficar:
Q
F1 = 12[ud ]
F1
φ
P
R
R = 10[ud ]
F2 = ?
35°
O
φ
F2
Eligiendo el triángulo OQP se obtiene el esquema:
F2
φ
F1 35°
R
36
Como se conoce dos lados del triángulo OPQ y el ángulo comprendido entre ellos, es posible aplicar el teorema del coseno para determinar el valor deF2 , es decir:
2
2
F2 = R 2 + F1 − 2 RF1 cos 35°
F2
2
⇒ F = 102 + 122 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 cos 35°
φ
F1 35°
2
⇒ F2 = 100 + 144 − 196,596
R
2
⇒ F2 = 47,404 ⇒ F2 = 47,404 ⇒ F2 = 6,885[ud ]
El ángulo formado entre los dos vectores es 35° + φ , por lo tanto la tarea es determinar el ángulo φ . Para esto es posible utilizar teorema del seno en la misma figura, es decir: senφ F1
=
sen35°
⇒ senφ =
F2 F1sen35° F2
⇒ senφ =
12 sen35° 6,885
⇒ senφ = 0,99969
F2
φ
F1 35°
R
⇒ φ = sen −1 (0,99969 ) ⇒ φ = 88,584° 37
Por lo tanto el ángulo formado entre los vectores es35° + 88,584° = 123,584°
PROBLEMA n°7
Calcular el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular la magnitud del vector resultante. Solución:
Sean F1 y F2 los vectores, entonces es posible construir la siguiente gráfica:
Q
α
R
F1 = 8[ud ]
β
α φ
O
50°
F2 = 10[ud ]
P
El ángulo formado por los dos vectores F1 y F2 es φ = α + 50°
Según los datos, es posible aplicar el teorema del seno en triángulo OPQ para determinar el valor del ánguloα , es decir:
38
senα F2
=
sen50° F1
⇒ senα =
R
F2 sen50°
β
F1
α
F1
50°
⇒ senα =
⇒
F2
8 −1
= α
10sen50°
10sen50°
sen
8
⇒ α = 73,247°
Por lo tanto el ángulo formado por los dos vectores F1 y F2 es φ = α + 50° = 123,247°
Conocido el ánguloα , es posible determinar el ánguloβ ya que: 50° + α + β = 180°
R β
⇒ β = 180° − 50° − α
F1
50°
⇒ β = 56,753°
F2
Aplicando nuevamente el teorema del seno es posible determinar el valor de la resultante R.
sen50° F1
=
senβ R
⇒ Rsen50° = F1senβ ⇒R= ⇒R=
F1senβ sen50° 8sen56,753° sen50°
⇒ R = 8,734[ud ]
39
PROBLEMA n°8
Un viento de alambre de una torre está anclado mediante un perno en A. La tensión en el alambre es de 2500 [N].Determinar: (a) Las componentes FX , Fy , FZ de la fuerza F que actúa sobre el perno A, (b) los ángulosθ x ,θ y yθ z que el alambre forma con los ejes coordenados.
Solución :
y
[m] B
80
-30
A 0 40
z
x
[m]
[m]
En este caso, se tiene un vector en un sistema coordenado tridimensional. Como se conoce las posiciones de srcen y termino del vector F resulta cómodo utilizar el concepto de vector unitario para determinar sus componentes, esto es:
F = F ⋅ eˆ
40
Siendo F la magnitud de la fuerza F (tensión del alambre) y eˆ el vector unitario en la dirección AB. Por lo tanto:
F = 2500[ N ] ⋅
− 40iˆ + 80 ˆj + 30kˆ
(− 40) (2 +) 80 ( 2) +
30
Realizando la operatoria resulta
2
⇒ F = −1060iˆ + 2120 ˆj + 795kˆ[N ]
⇒ FX = −1060[N ]
Componentes rectangulares de la fuerza F
⇒ Fy = 2120[N ]
⇒ FZ = 795[N ]
Cálculo de los ángulos
x , y, z:
cosθ x =
FX F
F ⇒ θ x = cos−1 X F − 1060[N ] ⇒ θ X = cos−1 2500[N ]
⇒ θ X = 115,087°
41
cosθ y =
FY F
F ⇒ θ Y = cos−1 Y F 2120[N ] ⇒ θ Y = cos−1 2500[N ]
⇒ θ Y = 32,0°
cosθ z =
FZ F
F ⇒ θ Z = cos−1 Z F 795[N ] ⇒ θ Z = cos−1 2500[N ]
⇒ θ z = 71,5°
PROBLEMA n°9 Un tramo de muro de hormigón premoldeado se halla provisoriamente por los cables que se ilustran. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 4200[ N] y de 6000 [ N] en AC, hallar 42
el módulo y la dirección de la resultante de las fuerzas que ejercen los cables AB y AC sobre la estaca A. 8,10m
C 2,40m B
3,30m A
4,8m
Solución
En este caso, corresponde a un sistema de dos vectores en el espacio y lo primero que se realizara será determinar las componentes de cada una de las dos fuerzas utilizando concepto de vector unitario, según la orientación de los ejes indicada, es decir: F1 = F1 ⋅ e1
Siendo e1 el vector unitario en la dirección AC, es decir: Z
− 4,8iˆ − 4,8 ˆj + 2,4kˆ
F1 = 6000[N ] ⋅
2
(− 4,)8 ( + −) 4(,8) +
2
2,4
Y
⇒ F1 = −4000iˆ − 4000 ˆj + 2000kˆ[N ]
X
y F2 = F2 ⋅ e2
Siendo e2 el vector unitario en la dirección AB, es decir: F2 = 4200[N ] ⋅
3,3iˆ − 4,8 ˆj + 2,4kˆ
(3,)3 2( + −) 4,(8 2) +
2,4
2
⇒ F2 = 2200iˆ − 3200 ˆj + 1600 kˆ[N ]
Conocido los vectores componentes F1 yF2 es posible determinar la resultanteR :
43
R = F1 + F2
es decir:
R = (− 4000iˆ − 4000 ˆj + 2000kˆ )[N ] + (2200iˆ − 3200 ˆj + 1600kˆ )[N ]
Reuniendo los términos semejantes se obtiene que: R = −1800iˆ − 7200 ˆj + 3600kˆ[N ]
Vector resultante.
Por lo tanto la magnitud de la resultante es: 2
R=
2
(− 1800 ) ( + −) 7200 () +
2
3600
[N ]
⇒ R = 8248,636[N ]
C B
F1
F2
A
Z
C
F1
B
F2
44 4,8m
A
Calculo de ángulos directores: RX R − 1800 ⇒ θ X = cos−1 8248,636
θ x = cos −1
⇒ θ x = 102,604°
Ry R − 7200 ⇒ θ y = cos −1 8248,636
θ y = cos −1
⇒ θ y = 150,794°
Rz R 3600 ⇒ θ z = cos −1 8248,636
θ z = cos −1
⇒ θ z = 64,123°
45
Problema n°10
Un piloto de aviación desea volar hacia el norte. El viento sopla denoreste a suroeste a la velocidad de 30 [ km/h ] y la velocidad del avión respecto al aire es de180 [ Km/h ]. (a)¿En que dirección debe mantener el piloto su rumbo? (b) ¿Cuál será su velocidad? Solución : En primer lugar es conveniente realizar un diagrama vectorial de las velocidades y para esto se debe considerar que la dirección noreste a suroeste significa justo a 45° entre estos puntos cardinales. Además si el piloto desea volar hacia el norte deberá seguir un rumbo hacia el noroeste ya que será desviado por la velocidad del viento de tal manera que la suma de estas dos velocidades tenga la dirección norte. La gráfica siguiente muestra tal situación.
Método del paralelogramo N
180km/h
φ
V
0
45°
E 46
Eligiendo el triángulo de fuerzas de la izquierda, se tiene:
φ
V 180Km/h
135°
β 30Km/h
Utilizando el teorema del seno es posible calcular el ángulo φ , es decir: sen135° 180
⇒
=
senφ 30
30 sen135°
= senφ
180
30 sen135° ⇒ sen −1 =φ 180 ⇒ φ = 6,768°
Rumbo que debe mantener el piloto
Para determinar la velocidad del piloto respecto a tierra, es necesario conocer el ángulo β. β = 180° − (135° + φ )
⇒ β = 38,232°
Utilizando nuevamente el teorema del seno, es posible determinar la velocidad del piloto respecto a tierra.
47
sen135°
=
senβ
180 V ⇒ V ⋅ sen135° = 180 ⋅ senβ
⇒V =
180 sen38,232°
sen135°
Km h
V = 157,532
φ
V 180Km/h
135°
β 30Km/h
PROBLEMA n°11
Las dos fuerzas PyQ actúan sobre un tornillo, tal como indica la figura. Determine su resultante.
Q = 60[N ]
25°
P = 40[N ]
20º
Solución :
Q = 60[N ]
25° 20º
P = 40[N ]
48
Considerando un sistema coordenado rectangular se tiene: y
Q
25°
P
20°
x
Según método de las componentes (trabajar con las componentes rectangulares de cada vector), la resultante R queda determinada por:
R = Rx + R y
y su magnitud por: R=
2
Rx + R y
2
Donde:
Rx = Px + QX Ry = p y + Qy
y
Por lo tanto: Rx = 40[]N cos 20° [+ ] 60 N cos 45°
⇒ Rx = 80,014[N ]
Y Ry = 40[]N sen 20° [+] 60 N sen45°
⇒ Ry = 56,107[N ]
Luego el vector resultante es: 49
R = 80,014iˆ + 56,107 ˆj [N ]
Su magnitud corresponde a:
(80,014 ) ( 2 + )56,107 2 [N ]
R=
⇒ R = 97,725[N ]
y
R = 97,725[N ]
α = 35,034°
x
La dirección queda determinada por: Ry Rx 56,107 ⇒ α = tg −1 80,014
α = tg −1
⇒ α = 35,034°
50
Ejercici os Propue stos – Vectores
1. Dados los vectores a = −iˆ + 3 ˆj + 7 kˆ ; b = −8iˆ − 7 ˆj + 6kˆ y c = 7iˆ + ˆj + 10kˆ El vector resultante de a + b − c es:
a) − 16iˆ − 5 ˆj + 3kˆ b) − 2iˆ − 3 ˆj − 23kˆ c) − 16ˆ − 3 ˆj − 3kˆ − ˆ− ˆ+ ˆ
d) 2i 5 j 5k 2. Dados los vectores de la pregunta anterior, la magnitud de a + b − c es:
a) b) c) d)
1,7029 17,029 170,29 0,1729
3. Dados los vectores de la pregunta 1, el producto escalar b • c es:
a) b) c) d)
3 123 -123 –3
4.
Dados los vectores de la pregunta 1, el producto vectorial a × c es: a) 23iˆ + 59 ˆj − 22kˆ b) 37iˆ − 59 ˆj + 22kˆ c) − 23iˆ + 58 ˆj − 22kˆ 51
d) 23iˆ + 59 ˆj + 22kˆ
5. Dados los vectores de la pregunta 1, el ángulo entre los vectores a y b es: a) 18,547º b) 62,782º c) 71,983º d) 82,562º
La figura nº 1 corresponde a los ejercicios 6, 7, 8 y 9 Fi ura nº 1 F1 = 680 N
y
F2 = 250 N
48º
60º 26º
x F3 = 700 N
6. De acuerdo con la figura nº1, la componente x de la fuerza resultante es: a) 873,181 N b) 819,808 N c) 634,752 N d) 801,873 N 7. De acuerdo con la figura nº1, la componente y de la fuerza resultante es: a) b) c) d)
873,181 N 467,824 N 526,912 N 634,523 N
8. Según la figura nº1, el módulo de la fuerza resultante es: a) 9284 N b) 928,364 N c) 861,926 N d) 861926,56 N
52
9. De acuerdo con la figura nº1, la dirección de la fuerza resultante es: a) θ = -30,3º b) θ = 30,3 º c) θ = 59,7 º d) θ = 120,3º La figura nº2, corresponde a los ejercicios 10, 11, 12 y 13.
Fi ura nº2
Z 6m
4m
F1= 600 N
Y F2 = 950 N
3m 1m
X
10. Las componentes de la fuerza F1, según la figura nº2 son: a) − 291,043iˆ + 291,043 ˆj − 368,564kˆ N b) 291,043iˆ + 436,564 ˆj + 291,043kˆ N c) 436,564iˆ + 291,043 ˆj + 368,564kˆ N d) 368,564iˆ + 291,043 ˆj − 436,564kˆ N 11. Las componentes de la fuerza F2, según la figura nº2 son: a) − 424,853iˆ + 0 ˆj − 849,706kˆ N b) 291,043iˆ − 436,564 ˆj + 291,043kˆ N c) − 436,564iˆ + 291,043 ˆj + 368,564kˆ N d) 424,853iˆ + 849,706 ˆj + 0kˆ N
53
12. Según la figura nº2, la magnitud de la fuerza resultante 1F+ F2 es: a) 1.383,211 N b) 1500,568 N c) 1761,358 N d) 1976,154 N 13. Según la figura nº2, el ángulo director en el eje x de la fuerza resultante F1 + F2 es: a) b) c) d)
θx = 52,5º θ = 61,505º θxx = 111,248º θx = -71,954º
La figura nº3, corresponde a los ejercicios 14 y 15.
Figura nº3
37°
B 52°
C 520N
14. La magnitud de la componente del peso de 520N en la dirección BC del mecanismo indicado en la figura nº 3 es: e) f) g) h)
272,452 N 284,186 N 300,613 N 312,991 N 54
14. La magnitud de la componente del peso de520N en la dirección AB del mecanismo indicado en la figura nº 3 es: a) b) c) d)
272,452 N 397,131 N 4098280 N 500,321 N
La figura nº4, corresponde al ejercicio 16
z
Figura nº4
P =630 N
45°
27°
y
x 15. Las componentes rectangulares cartesianas de la fuerza P indicada en la figura nº4 son: a) b) c) d)
396,923iˆ − 202,242 ˆj + 445,477kˆ N 202,242iˆ − 396,923 ˆj + 202,242kˆ N 445,477iˆ + 396,923 ˆj + 202,242kˆ N − 396,923iˆ + 202,242 ˆj + 396,923kˆ
La figura nº 5, se refiere a los ejercicios 17 y 18
55
u Figura nº5
52°
45°
v 1200N
16. La magnitud de la componente de la fuerza de 1200 N de la figura nº5, en la dirección u es: a) b) c) d)
848,528 N 938,564 N 668,649 N 1076,798 N
18. La magnitud de la componente de la fuerza de 1200 N de la figura nº 5, en la dirección v es: a) b) c) d)
848,528 N 668,649 N 1511,471 N 1176,798 N
La figura nº6, se refiere a los ejercicios 19, 20, 21 y 22.
56
Y
Figura nº6 F2 = 550 N
F1 = 750N
65° 48º 30°
X
F3 = 930 N
19. De acuerdo con la figura 6, la componente X de la fuerza resultante es: a) - 535,996 N b) - 663,874 N c) - 698,556 N d) - 724,528 N
20. De acuerdo con la figura 6, la componente Y de la fuerza resultante es: a) b) c) d)
590,828 N 768,649 N 1311,571 N 1676,755 N
21. La magnitud de la fuerza resultante del sistema de la figura 6 es: a) b) c) d)
490,628 N 768,649 N 797,727 N 636369,016 N
22. La dirección de la resultante del sistema de fuerzas de la figura 6 es: a) 39,628º b) 42,649º 57
c) 47,785º d) 56,369º La figura nº 7, se refiere a los ejercicios 23 y 24 Figura nº7
B 20,5N
80cm
C
25cm
A
55cm
23. La magnitud de la componente de la fuerza de 20,5N en la dirección AB del mecanismo indicado en la figura nº7 es: a) b) c) d)
42,169 N 49,153 N 56,298 N 59,387 N
24. La magnitud de la componente de la fuerza de 20,5N en la dirección BC del mecanismo indicado en la figura nº7 es: a) 12,579 N b) 27,256 N c) 31,240 N 58
d) 44,397 N La figura nº 8, se refiere a los ejercicios 25, 26, 27, y 28
z
Figura nº 8
F= 50N
3m
3m
2m
1m 1m
2m
P= 75N
y 5m
x 25. Las componentes rectangulares de la fuerza F de la figura nº 8 son a) 12,540iˆ − 31,980 ˆj + 54,842kˆ N b) 25,637iˆ − 28,998 ˆj + 21,320kˆ N c) 31,980iˆ − 31,980 ˆj + 21,320 kˆ N d) 44,351iˆ − 44,351 ˆj + 12,540kˆ N 26. Las componentes rectangulares de la fuerza P de la figura nº8 son: a) 15,320iˆ − 44,564 ˆj + 54,842kˆ N b) 45,662iˆ − 31,874 ˆj + 33,558kˆ N c) 31,980iˆ − 31,980 ˆj + 21,320kˆ N d) 63,387iˆ − 38,032 ˆj + 12,677kˆ N
27. La magnitud de la fuerza resultante F + P de lafigura nº 8 es: a) 123,095 N b) 155,894 N c) 163,285 N d) 198,721 N 28. El ángulo director de la resultante F + P de la figura nº 8 respecto al eje x vale: a) 39,218º b) 48,236º 59
c) 51,772º d) 58,056º La figura nº 9, se refiere a los ejercicios 29, 30, 31 y 32
Figura nº 9
z 1m
2m
2m
P=58N
2m
F= 64N
x
5m
y
29. Las componentes rectangulares de la fuerza F de la figura nº 9 son: a) b) c) d)
− 39,842iˆ − 24,554 ˆj + 29,356kˆ N − 33,589iˆ + 44,581 ˆj + 50,221kˆ N − 25,339iˆ − 34,115 ˆj + 18,952kˆ N − 51,911iˆ + 31,147 ˆj + 20,764kˆ N
30. Las componentes rectangulares de la fuerza P de la figura nº 9 son: a) b) c) d)
− 44,748iˆ + 8,950 ˆj + 35,798kˆ N − 33,589iˆ − 44,581 ˆj + 50,221kˆ N − 50,335iˆ − 41,325 ˆj + 24,115kˆ N − 61,335iˆ + 44,664 ˆj + 32,472kˆ N
31. La magnitud de la fuerza resultante F – P de lafigura nº 9 es: a) 18,872 N b) 22,594 N 60
c) 27,750 N d) 33,628 N 32. El ángulo director de la resultante F - Pde la figura nº 9 respecto al eje y vale: a) b) c) d)
39,218º 36,880º 55,678º 63,223º
Preguntas 33 y 34 El miembro CB del tornillo de banco representado en la figura10, ejerce sobre el bloque B una fuerza F dirigida según la recta CB. Se sabe que F tiene una componente horizontal de 1400 N.
Figura 10
C 0,8 m
A
65°
1,2 m
35°
B
33. El módulo de la fuerza F de la figura 10 vale: a) b) c) d)
1437,854 N 1664,329 N 1709,084 N 2147,556 N
34. El módulo de la componente vertical de la fuerza F de la figura 10 vale: a) b) c) d)
980,291 N 1664,329 N 1856,442 N 2020,541 N
La figura nº 11, corresponde a las preguntas 35, 36, 37 y 38
61
Figura nº 11
z
F=105 N 38°
P=70 N
42°
37°
x
47°
y
35. Las componentes rectangulares de la fuerza P de la figura nº 11 son: a) b) c) d)
24,748iˆ + 9,950 ˆj + 55,798kˆ N 33,589iˆ − 34,231 ˆj + 36,221kˆ N 37,407iˆ − 28,188 ˆj + 52,020kˆ N 48,634iˆ − 55,210 ˆj + 66,271kˆ N
36. Las componentes rectangulares de la fuerza Fde la figura nº 11 son: a) b) c) d)
36,225iˆ + 38,887 ˆj + 61,296kˆ N 47,278iˆ + 44,087 ˆj + 82,741kˆ N 54,664iˆ + 48,663 ˆj + 74,582kˆ N 68,229iˆ + 33,941 ˆj + 88,378kˆ N
37. La magnitud de la fuerza resultante F + P de la figura nº 11 vale: a) 128,394 N b) 137,492 N c) 146,451 N d) 159,953 N 38. El ángulo director de la fuerza resultante F + P de la figura nº 11, respecto al eje z vale: a) 32,595º 62
b) 44,367º c) 48,564º d) 58,923º
Pregunta a b c d 1 x 2 x 3 x
Pregunta a b c d 14 x 15 x 16 x
Pregunta a b c d 27 x 28 x 29 x
54 6 7 8 9 10 11 12 13
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
30 31 32 33 34 35 36 37 38
x
x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x
x
x
x x x
x x x x x
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