An´ alisis Matem´ atico en Variable Compleja Gerardo Rossini
Introducci´ on La asignatura Matem´ aticas Especiales I de la Facultad de Ciencias Exactas, UNLP, contiene el estudio del An´alisis Matem´atico en Variable Compleja y algunas de sus aplicaciones. El curso tiene entre sus objetivos brindar los contenidos t´ecnicos del an´alisis de variable compleja, en particular de las llamadas funciones anal´ıticas. establecer un marco integral de los conceptos de an´alisis matem´atico, incluyendo los cursos correlativos anteriores y proyect´andolos hacia casos m´ as generales que la variable compleja. establecer un lenguaje l´ogico riguroso para formalizar la demostraci´on de resultados del an´alisis matem´atico. brindar algunas aplicaciones a la soluci´on de problemas planteados en variable real. El reglamento de cursada y examen final es el siguiente: Se eval´ ua el curso por temas. Se divide el curso en dos partes, con cuatro temas cada una. Para aprobar la cursada se deben aprobar al menos tres temas de cada parte. Por cada parte tomamos un pre-parcial (con dos temas), un parcial completo y un recuperatorio. Para cerrar, habr´a una fecha flotante para quienes hayan aprobado al menos cuatro temas entre los ocho planteados. Finales: durante un a˜ no a partir del flotante se tomar´a pr´actica s´ olo de los temas no aprobados durante la cursada, y teor´ıa. Luego, pr´ actica y teor´ıa completas. Bibliograf´ıa R.V.Churchill, J.W.Brown y R.F.Verhey, Variables complejas y sus aplicaciones, McGraw Hill, New York, 1970. I. Stewart, D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, London, 1983. L.V.Alfohrs, An´ alisis Complejo: introducci´ on a la teor´ıa de funciones anal´ıticas, McGraw Hill, New York, 1979. M. R. Spiegel, Variable Compleja, (Serie Schaum), Mc Graw Hill, New York.
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Cap´ıtulo 1
El plano complejo 1.1.
N´ umeros complejos
Los n´ umeros complejos se construyen como (1.1.1) C = R2 , +, ∗ , es decir pares ordenados de reales (x, y) con una suma y un producto definidos por (1.1.2)
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
(1.1.3)
(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , +x1 y2 + y1 x2 ).
La suma y el producto son cerrados en C. La suma es asociativa, conmutativa, existe el elemento neutro (0, 0) y para cada complejo (x, y) existe y es u ´nico el opuesto −(x, y) = (−x, −y). Por estas propiedades C = R2 , + forma un grupo abeliano. El producto es asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma, existe el elemento neutro (1, 0) y para cada complejo (x, y) 6= (0, 0) existe y es u ´nico el inverso multiplicativo(x, y)−1 = (x/(x2 + y 2 ), −y/(x2 + y 2 )). Por estas propiedades C = R2 , +, ∗ forma un cuerpo. Como en todo cuerpo, la resta se define como la suma del opuesto, y el cociente se define como la multiplicaci´ on por el inverso. El subconjunto de los n´ umeros complejos R = {(x, 0) : x ∈ R}
(1.1.4)
es cerrado ante la suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0), −(x1 , 0) = (−x1 , 0), (x1 , 0) ∗ (x2 , 0) = (x1 x2 , 0), (x1 , 0)−1 = (x−1 1 , 0), se corresponde biun´ıvocamente con R y respeta sus operaciones. Por esto se identifica R ≡ R y se considera a los n´ umeros reales como subconjunto de los n´ umeros complejos, R ⊂ C. Se anota x = (x, 0) ∈ R ⊂ C. En particular, 0 = (0, 0). 4
´ 1.2. MODULO Y ARGUMENTO
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La multiplicaci´ on de un real α por un complejo (x, y) resulta, seg´ un 1.1.3, α(x, y) = (αx, αy). En consecuencia C, con la suma de complejos y el producto por reales, tiene estructura de espacio vectorial de dimensi´on 2 sobre R, naturalmente isomorfo a R2 . La base can´ onica se anota 1 = (1, 0), i = (0, 1), por lo cual todo complejo z = (x, y) puede escribirse en forma bin´omica z = x + iy. El n´ umero complejo i tiene la conocida particularidad i2 = −1, que permite calcular ra´ıces cuadradas de reales negativos. 1.1.1. como
Conjugaci´ on. Se define el conjugado de un complejo z = x+iy
z¯ = x − iy. Geom´etricamente expresa la reflexi´on respecto del eje real. Permite escribir 1 Re(z) = (¯ z + z) , 2 1 Im(z) = (¯ z − z) , 2 z¯ z −1 = , z z¯ donde z z¯ ∈ R. 1.2.
M´ odulo y argumento
Los n´ umeros complejos se grafican en el plano C = R2 , y se pueden visualizar tanto como puntos como por vectores. La suma y el producto por reales se deben visualizar como las correspondientes operaciones vectoriales en R². El m´ odulo de un complejo z se define como su distancia eucl´ıdea al punto 0, origen del plano, p |z| = x2 + y 2 ∈ R. N´ otese que |z|2 = z z¯. Dado z 6= 0, se puede representar en forma polar. Para eso se define el argumento arg(z) = ϕ ∈ R tal que z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) , es decir como el ´ angulo que forma el vector z con el semieje real positivo, siguiendo las convenciones trigonom´etricas usuales. Es importante notar que arg(z) es una relaci´ on multivaluada: a cada complejo no nulo le corresponden
´ 1.2. MODULO Y ARGUMENTO
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infinitos argumentos reales, congruentes entre s´ı m´odulo 2π. Si φ0 es un argumento de z 6= 0, entonces {ϕk = φ0 + 2kπ : k ∈ R} es el conjunto de todos los argumentos posibles de z. El complejo 0 no tiene argumento. 1.2.1. F´ ormula de Euler. Se define la exponencial compleja para z = x + iy como exp(z) ≡ ez = ex (cos y + i sin y) . En particular, queda expresado eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, expresi´ on conocida como f´ ormula de Euler. La notaci´on polar standard de un complejo z 6= 0, llamando r = |z| y ϕ = arg(z), es z = r eiϕ .
(1.2.1)
1.2.2. Producto y cociente en forma polar. El producto y el cociente tienen una expresi´ on compacta en notaci´on polar, (1.2.2)
(1.2.3)
r1 eiϕ1 r2 eiϕ2 = (r1 r2 ) ei(ϕ1 +ϕ2 ) , r1 eiϕ1 = r2 eiϕ2
r1 r2
ei(ϕ1 −ϕ2 ) .
1.2.3. Potencias y ra´ıces. Las potencias naturales se expresan con la f´ ormula de De Moivre. Dado z = r eiϕ y n ∈ N z n = rn einϕ . Las potencias enteras se completan definiendo z −n ≡
1 = r−n e−inϕ . zn
La ra´ız n-´esima se define como la operaci´on inversa de la potencia n´esima, √ w = n z ⇐⇒ wn = z. √ Si z 6= 0 se escribe z = r eiϕ , resulta w = n r eiϕ/n . Los infinitos valores de ϕ = arg(z) dan lugar a n valores distintos √ wk = n r ei(φ0 +2kπ)/n , con k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n − 1. Cabe notar que wk = w0 eik(2π/n) .
´ 1.3. TOPOLOG´IA METRICA DEL PLANO COMPLEJO
1.3.
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Topolog´ıa m´ etrica del plano complejo
1.3.1. Espacios m´ etricos. Dado un conjunto M , se llama distancia en M a toda funci´ on dist : M × M → R tal que se verifican las propiedades 1. positividad: ∀z1 , z2 ∈ M , dist(z1 , z2 ) ≥ 0, y dist(z1 , z2 ) = 0 =⇒ z1 = z2 . 2. simetr´ıa: ∀z1 , z2 ∈ M , dist(z1 , z2 ) = dist(z2 , z1 ). 3. desigualdad triangular: ∀z1 , z2 , z3 ∈ M , dist(z1 , z2 ) ≤ dist(z1 , z3 )+ dist(z3 , z2 ). Se llama espacio m´etrico a un conjunto con una distancia (M, dist). En el plano complejo se define la distancia entre dos n´ umeros z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 como la distancia eucl´ıdea de los correspondientes puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) de R². Es decir, p dist(z1 , z2 ) = |z2 − z1 | = (x2 − x1 ) ² + (y2 − y1 ) ². Como en toda distancia, se verifican las propiedades de positividad, simetr´ıa y desigualdad triangular. La correspondencia z = x + iy ∈ C ↔ (x, y) ∈ R2 preserva la distancia, por definici´on. El plano complejo, con la distancia eucl´ıdea, es entonces un espacio m´etrico isom´etrico a R². En particular, la desigualdad triangular se expresa ∀z1 , z2 , z3 ∈ C,
|z3 − z1 | ≥ |z3 − z2 | + |z2 − z1 |
En general, en todo espacio vectorial con producto interno la distancia can´ onica se define como la norma de la diferencia, p dist(v1 , v2 ) = ||v2 − v1 || = (v2 , v1 ). Tal es el caso de R, Rn y C. 1.3.2. Topolog´ıa m´ etrica. Dado un conjunto M , se llama topolog´ıa a la caracterizaci´ on de conjuntos abiertos en M . Esto lleva a la caracterizaci´ on de nociones como convergencia, continuidad, conectividad, etc. En un espacio m´etrico, se caracteriza naturalmenbte la topolog´ıa a partir de la distancia. Manejaremos en general las siguientes definiciones, donde M es un espacio m´etrico (y en particular nos interesa M = C: Entorno. Se llama entorno de centro z0 y radio r al conjunto ∆(z0 , r) = {z ∈ M : dist(z, z0 ) < r} Entorno reducido. Se llama entorno reducido de centro z0 y radio r al conjunto ∆0 (z0 , r) = {z ∈ M : 0 < dist(z, z0 ) < r}
´ 1.3. TOPOLOG´IA METRICA DEL PLANO COMPLEJO
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Punto interior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es interior a A si y s´olo si ∃r > 0, ∆(z0 , r) ⊂ A Conjunto abierto. Se dice que A ⊂ M es abierto si y s´olo si ∀z ∈ A, z es interior a A Punto exterior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es exterior a A si y s´olo si ∃r > 0, ∆(z0 , r) ∩ A = ∅ Equivalentemente, z0 es exterior a A si y s´olo si z0 es interior al complemento de A en M (que anotaremos Ac ). Punto de frontera. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es punto de frontera de A si y s´ olo si z0 no es interior ni exterior a A. Equivalentemente, z0 es punto de frontera de A si y s´olo si ∃r > 0, ∆(z0 , r) ∩ A 6= ∅ ∧ ∆(z0 , r) ∩ Ac 6= ∅ Frontera de un conjunto. Se llama frontera de un conjunto A ⊂ M a ∂A = {z ∈ M : z es punto de frontera de A} Conjunto cerrado. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es cerrado si y s´ olo si ∂A ⊂ A. Es decir, un conjhunto es cerrado si contiene a todos sus puntos de frontera. Entorno cerrado. Se llama entorno cerrado de centro z0 y radio r al conjunto ∆(z0 , r) = {z ∈ M : dist(z, z0 ) ≤ r} Conjunto acotado. Se dice que A ⊂ M es acotado si y s´olo si ∃z0 ∈ M, r > 0 : A ⊂ ∆(z0 , r), es decir si A puede ser encerrado en un entorno cerrado de radio finito. Clausura de un conjunto. Se llama clausura de un conjunto A ⊂ M a la uni´ on del conjunto on su frontera. Se anota A¯ = A ∪ ∂A Punto de acumulaci´ on. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es punto de acumulaci´ on (o de adherencia) de A si y s´olo si ∀r > 0, ∆0 (z0 , r) ∩ A 6= ∅ Punto aislado. Dado un conjunto A ⊂ M y un punto z0 ∈ A, se dice que z0 es un punto aislado de A si y s´olo si ∃r > 0, ∆(z0 , ε) ∩ A = {z0 }
´ 1.3. TOPOLOG´IA METRICA DEL PLANO COMPLEJO
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Propiedades. Se sugiere demostrar las siguientes propiedades: Un entorno es un conjunto abierto Un entorno reducido es un conjunto abierto Un entorno cerrado es un conjunto cerrado, clausura del correspondiente entorno abierto: ∆(z0 , r) = ∆(z0 , r) ∪ ∂∆(z0 , r) C es abierto en C C es cerrado en C etc. Mencionamos otras caracterizaciones topol´ogicas que tienen que ver con curvas continuas y familias continuas de curvas continuas. La noci´on de continuidad se repasa en la Clase 5. Conjunto conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es conexo por arcos (o conexo) si y s´ olo si ∀z1 , z2 ∈ A, ∃ una curva continua γ ⊂ A que comienza en z1 y termina en z2 Conjunto simplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , conexo, se dice que es simplemente conexo si y s´olo si todas las curvas que unen dos puntos dados z1 , z2 ∈ A son continuamente deformables entre s´ı dentro de A Conjunto m´ ultiplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , conexo, se dice que es m´ ultiplemente conexo si y s´olo si no es simplemente conexo. Es decir, dados z1 , z2 ∈ A existen al menos dos curvas que los unen y que no son continuamente deformables entre s´ı dentro de A
Cap´ıtulo 2
Sucesiones y funciones complejas En esta clase presentamos sucesiones de n´ umeros complejos, funciones de variable real a valores complejos y funciones de variable compleja a valores complejos, con el objetivo de familiarizar al alumno con su estructura, notaci´ on y representaci´ on gr´afica. En particular se establece su relaci´on con sucesiones y funciones reales, buscando repasar el manejo de las u ´ltimas. Las sucesiones y series de n´ umeros o funciones complejas, las funciones de una variable real a valores complejos y las funciones de una variable compleja a valores complejos ser´an objeto de estudio a lo largo de todo el curso. Sucesiones a valores complejos Una sucesi´ on a valores complejos es una funci´on de N en C, z:N→C que a cada n ∈ N le hace corresponder un valor zn ∈ C, n → zn Usaremos la notaci´ on {zn } para referirnos a dicha sucesi´on. Tambi´en consideramos sucesiones a funciones de {n ∈ N : n ≥ n0 }, es decir que comienzan con ´ındice n0 . Escribiendo en forma bin´omica zn = xn +iyn , la sucesi´on {zn } determina un´ıvocamente dos sucesiones en R,{xn } y {yn }. Escribiendo en forma de par ordenado zn = (xn , yn ), la sucesi´on {zn } determina un´ıvocamente una sucesi´ on en R2 ,{(xn , yn )}. En notaci´on vectorial, ~rn = (xn , yn ) y la sucesi´on se puede anotar {~rn } Una sucesi´ on {zn } compleja se representa como un conjunto infinito de puntos en el plano, manteniendo la noci´on del orden con que aparecen en la sucesi´ on. Conviene pensarla como una historia en el tiempo, o un camino que se recorre. En base a cursos anteriores, podemos estudiar la existencia de los l´ımites en R l´ım xn n→∞
l´ım yn
n→∞
y del l´ımite en R2 l´ım (xn , yn )
n→∞
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FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS
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Veremos que estos l´ımites est´an ´ıntimamente relacionados con la noci´on de l´ımn→∞ zn en C. Funciones de variable real y valores complejos Una funci´ on de I ⊂ R en C, z:I⊂R→C asigna a cada valor t ∈ I un valor complejo z(t), t → z(t) En particular manejaremos el caso en que I = [a, b] es un intervalo cerrado. Escribiendo en forma bin´omica z(t) = x(t) + iy(t), la funci´on z(t) determina un´ıvocamente dos funciones en R, x(t) y y(t). Escribiendo en forma de par ordenado z(t) = (x(t) + iy(t)), la funci´on z(t) determina un´ıvocamente una funci´ on en R2 ,{(x(t), y(t))}. En notaci´on vectorial, ~r(t) = (x(t), y(t)). Una funci´ on compleja de variable real z(t) = x(t) + iy(t) se representa como una curva orientada en el plano. En base a cursos anteriores, podemos estudiar l´ımite, continuidad y derivada de ~r(t) (en t´erminos de l´ımite, continuidad y derivadas de x(t) y y(t). Con estos conceptos sabremos caracterizar direcci´ on tangente, velocidad, longitud de arco, etc. Veremos que estos conceptos est´ an ´ıntimamente relacionados con sus correspondientes en la funci´ on z(t). Funciones de variable compleja y valores complejos Consideremos un conjunto A ⊂ C y una funci´on f : A→C que asigna a cada z ∈ A un y s´olo un valor w ∈ C, z → w(z) La anotaremos w = f (z) Para visualizar este tipo de funciones, a las cuales dedicaremos este curso, corresponde ir a la noci´ on b´asica de funci´on, graficando por separado el conjunto dominio, el conjunto codominio, y flechas que describen la asignaci´ on z → w(z). Es decir, graficar un plano complejo (z) para dibujar el dominio y otro plano complejo (w) para los valores que toma la funci´on. En este sentido, una funci´on w = f (z) implementa un mapeo (o transformaci´ on) de una regi´ on del plano en otra regi´on del plano. Como conjunto de puntos representativos del dominio se sugiere considerar distintas curvas parametrizadas γ : z(t),
t ∈ [a, b]
y sus im´ agenes f (γ) : w(t) = f (z(t)),
t ∈ [a, b]
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS
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Mejor a´ un si se considera una familia de curvas γα caracterizada por alg´ un par´ ametro α, como un conjunto de rectas paralelas, un haz de rectas, circunferencias conc´entricas, etc. Se observar´a que la elecci´on m´as conveniente de curvas depende de cada funci´on en particular. Para trabajar en coordenadas reales (es decir, representar los complejos en forma bin´ omica o de par ordenado) usaremos las siguientes notaciones para distinguir parte real e imaginaria: z = x + iy w = u + iv de forma tal que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) En otras palabras, la funci´on w = f (z) determina univocamente dos funciones reales u y v de dos variables reales x y y. El mapeo descripto por w = f (z) se escribe en variables reales como πf : A ⊂ R2 → R2 donde πf (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) Cabe insistir en que cada punto (x, y) ∈ A en el plano dominio se mapea a un punto (u, v) del plano imagen. Una vez establecida la correspondencia de w = f (z) con u(x, y), v(x, y), es claro que los conceptos de An´alisis Matem´atico II ser´an de utilidad: para cada funci´ on u(x, y), v(x, y) se debe recordar l´ımite en dos variables, diferenciabilidad, derivadas parciales y direccionales, gradiente, curvas de nivel, etc. En particular para el mapeo πf se debe recordar el significado de la matriz Jacobiana y las condiciones de invertibilidad (definiendo impl´ıcitamente x y y como funciones de u y v).
Cap´ıtulo 3
L´ımite de sucesiones de n´ umeros complejos L´ımite de sucesiones complejas. Unicidad. Relaci´on con los l´ımites de ´ parte real e imaginaria. Algebra de l´ımites. L´ımite infinito. Punto en infinito, plano complejo extendido y entornos de infinito. Esfera de Riemann. Sucesi´ on adherente a un conjunto. Sucesiones fundamentales (o de Cauchy). Completitud de R, Rn ,C. Anexo - propiedades de R, Rn : existencia de ´ınfimo y supremo de conjuntos acotados, principio de encaje de intervalos, existencia de m´aximo y m´ınimo de funciones continuas en dominios compactos, lema de separaci´on entre un conjunto compacto y la frontera de un abierto que lo incluya. L´ımite de sucesiones Dada una sucesi´ on {zn } en un espacio m´etrico M , se tiene una noci´on intuitiva de l´ımite: se dice que la sucesi´on tiene l´ımite l ∈ M si se observa que los elementos zn de la sucesi´on se mantienen arbitrariamente cerca de l cuando sus ´ındices son suficientemente grandes. De esta manera el l´ımite no se calcula, sino que se intuye. El concepto de l´ımite se formaliza con la siguiente Definici´ on: Dada una sucesi´on {zn } en un espacio m´etrico M , l´ım zn = l ∈ M ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆(l, ε)
n→∞
Ejemplo: l´ımn→∞
n 1+in
= −i.
Propiedad. Dada una sucesi´on {zn } en un espacio m´etrico M , si el l´ımite existe es u ´nico. Demostraci´ on en clase. Basta suponer dos l´ımites distintos yy llegar a un absurdo contradiciendo la desigualdad triangular. Sucesiones en C y en Rm En C, y en general en Rm usamos la distancia eucl´ıdea dist(z, z 0 ) = |z − z 0 |. 13
L´IMITE INFINITO EN C (O EN Rm )
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Propiedad. Dada una sucesi´on {zn } en C, con zn = xn + iyn , l´ım zn = l = lx + ily ∈ C ⇐⇒ l´ım xn = lx ∈ R ∧ l´ım yn = ly ∈ R
n→∞
n→∞
n→∞
Demostraci´ on en clase. Basta usar |xn −lx | ≤ |zn −l| y |yn −ly | ≤ |zn −l|, |zn − l| ≤ |xn − lx | + |yn − ly |. Se hace en C y se comenta en Rm Algebra de l´ımites. Sea que en M est´a definida una suma, que forma grupo, y dist(z, z 0 ) = |z − z 0 | (por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado). Se verifica la siguiente propiedad: Si dos sucesiones tienen l´ımite en M , {zn } → l, {wn } → m, entonces la sucesi´ on suma tiene l´ımite en M , {zn + wn } → l + m Sea que en M est´ a definido adem´as un producto, distributivo con respecto a la suma (por ejemplo un espacio de matrices). Se verifica la siguiente propiedad: Si dos sucesiones tienen l´ımite en M , {zn } → l, {wn } → m, entonces la sucesi´ on producto tiene l´ımite en M , {zn wn } → l m Sea que en M es un cuerpo (Q, R, C). Se verifica la siguiente propiedad: Si dos sucesiones tienen l´ımite en M , {zn } → l, {wn } → m, y m 6= 0, entonces la sucesi´ on cociente tiene l´ımite en M , {zn /wn } → l/m Estas propiedades se demuestran como ejercicios de pr´ actica. Basta conocer la prueba en R y repetirla. L´ımite infinito en C (o en Rm ) Dada una sucesi´ on {zn } en C (o en Rm ), se tiene una noci´on intuitiva de l´ımite infinito: se dice que la sucesi´on tiende a infinito si se observa que los elementos zn de la sucesi´on se mantienen arbitrariamente lejos del origen (0) cuando sus ´ındices son suficientemente grandes. El concepto de l´ımite infinito se formaliza con la siguiente Definici´ on: Dada una sucesi´on {zn } en C (o en Rm ), l´ım zn = ∞ ⇐⇒ ∀R > 0, ∃N ∈ N : n > N =⇒ dist(zn , 0) > R
n→∞
Ejemplo: l´ımn→∞ n2 /(n + i) = ∞ Debe observarse que en esta definici´on no importa el argumento (o la direcci´ on) de los elementos zn , s´olo su m´odulo.
SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD.
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Punto en infinito. Resulta conveniente introducir el punto en infinito como un elemento ∞ ∈ / C que funciona como l´ımite de las sucesiones tales que limn→∞ zn = ∞. Una vez introducido, se define la distancia entre ese elemento y los puntos del plano complejo ∀z ∈ C, dist(z, ∞) = dist(z, 0)−1 , de manera tal que cuanto m´as lejos est´e z del origen, m´as cerca est´a de infinito. ¯ = C ∪ {∞}. Tomando al plano Se llama plano complejo extendido a C ¯ ¯ complejo como conjunto abierto, ∞ ∈ C es un punto de frontera de C ⊂ C, ¯ y C es su clausura. Se define un entorno reducido de infinito como ∆0 (∞, r) = {z ∈ C : dist(z, ∞) < r} = {z ∈ C : dist(z, 0) > 1/r} De esta manera, se puede reescribir la definici´on de l´ımite infinito en el mismo lenguaje que la de l´ımite finito: l´ım zn = ∞ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆0 (∞, ε)
n→∞
Esfera de Riemmann. Es u ´til visualizar el plano complejo extendido como un plano compatificado: se piensa el plano dentro del espacio (3D) y se lo deforma envolviendo una esfera. El cero queda en el polo sur, mientras los puntos arbitrariamente lejanos al origen quedan arbitrariamente cerca del polo norte. Se interpreta que el polo norte representa el punto en infinito. T´ecnicamente, se escribe el mapeo entre puntos del plano con puntos de la esfera mediante una proyecci´on estereogr´afica. Dibujos en clase. Existencia del l´ımite, nomenclatura. Dada una sucesi´on {zn } en C (o en Rm ), en este curso diremos que el l´ımite de la sucesi´on existe y es finito cuando {zn } → l ∈ C (´ıdem en Rm ) y que el l´ımite de la sucesi´on existe pero es infinito cuando {zn } → ∞. En otros textos se dice que el l´ımite existe s´ olo cuando es finito, mientras que cuando{zn } → ∞ se dice que no existe pero tiende a infinito. Diremos adem´ as (como todos los textos) que la sucesi´on converge si y solo si tiene l´ımite finito. Sucesiones fundamentales. Completitud. Hemos visto que la definici´on formal del concepto de l´ımite requiere conocer el l´ımite (antes de definirlo!). El concepto de sucesi´on fundamental describe la convergencia de una sucesi´on sin referirse al valor del l´ımite.
SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD.
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Definici´ on: Dada una sucesi´on {zn } en un espacio m´etrico M , se dice que la sucesi´ on es fundamental (o de Cauchy) si y s´olo si ∀ε > 0, ∃N ∈ N : n, m > N =⇒ dist(zn , zm ) < ε Es decir, la sucesi´ on es fundamental si basta considerar ´ındices suficentemente altos para que sus elementos se mantengan arbitrariamente cercanos entre s´ı. Propiedad: Dada una sucesi´on {zn } en un espacio m´etrico M , {zn } converge =⇒ {zn } es fundamental Demostraci´ on en clase, basta usar la desigualdad triangular. Es importante que no vale la rec´ıproca. En general, {zn } fundamental ; {zn } converge Ejemplo: Considerar un n´ umero irracional (por ejemplo π) y la sucesi´ on en Q formada por las sucesivas aproximaciones con desarrollo decimal finito al n´ umero irracional: q0 = 3, q1 = 3,1, q2 = 3,14, · · · Esta sucesi´on es fundamental en Q pero no converge, porque no encuentra l´ımite dentro de Q. Por supuesto la misma sucesi´on es convergente en R. Se observa que la falta de convergencia no es un problema de la sucesi´on en s´ı misma, sino del espacio m´etrico en que se la considera. Definici´ on: Dado un espacio m´etrico M , se dice que es completo si y s´ olo si todas las sucesiones fundamentales en M convergen en M . Comentario: Dado un espacio m´etrico que no sea completo, se lo puede completar definiendo elementos externos al espacio que funcionen como l´ımite de aquellas sucesiones fundamentales que no converjan. Propiedad: R es un conjunto completo. La noci´ on de completitud es la base de la definici´ on de R, como uni´ on de los racionales y todos sus huecos. Los huecos se definen t´ecnicamente como los l´ımites de sucesiones racionales fundamentales no convergentes. Distintos axiomas que caracterizan a R, como la existencia del supremo de sucesiones acotadas por encima, etc., son equivalentes a la caraterizaci´ on de completitud. Vale decir, la definici´ on rigurosa de R permite demostrar dichos axiomas. No vamos a profundizar en la definici´on de R. Usaremos sin demostraci´on algunas caracterizaciones de conjuntos y distancias que se desprenden de la completitud. Propiedad: C,Rm son conjuntos completos. Demostraci´ on en clase, basta referirse a las componentes reales.
SUCESIONES ADHERENTES
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Sucesiones adherentes Dado un conjunto A ⊂ M, M espacio m´etrico, y dado z ∗ ∈ M , se dice que {zn } es una sucesi´ on en A adherente a z ∗ si y s´olo si: 1. ∀n, , zn ∈ A 2. ∀n, , zn 6= w 3. {zn } → w Es decir, la sucesi´ on es un camino de puntos de A que se acercan a w sin tocarlo. M´ as adelante las usaremos como forma elemental de explorar l´ımites de funciones, para z tendiendo a z ∗ . Definici´ on: Dado un espacio m´etrico M y un conjunto A ⊂ M , se dice que A es denso en M si y s´olo si ∀z ∈ M, ∃{zn } en A adherente a z
Cap´ıtulo 4
Series de n´ umeros complejos Series de n´ umeros complejos. Convergencia, convergencia absoluta. Criterios de comparaci´ on. Series num´ ericas Dada una sucesi´ on {an } en un espacio m´etrico M donde haya definida una suma, con n ≥ n0 , se llama sucesi´on de sumas parciales de {an } a una sucesi´ on {Sk } en M definida por k X
Sk =
an
n=n0
La serie num´erica simbolizada por ∞ X
an
n=n0
se define como el l´ımite de la sucesi´on de sumas parciales l´ım Sk ,
k→∞
que puede existirP o no. M´ as precisamente, si ∃limk→∞ Sk = S y es finito, se a dice que la serie ∞ n=n0 n converge en M y que su suma es S, y se anota ∞ X
an = l´ım Sk . k→∞
n=n0
En el caso en que limk→∞ SP k = ∞ se dice que la serie diverge. Nos referiremos formalmente a la serie ∞ n=n0 an antes de determinar si converge, pero usaremos el signo = s´ olo cuando hayamos determinado que converge. Ejemplo importante: series geom´ etricas. Dado un n´ umero q en R o en C (llamado raz´on), consideramos la sucesi´on {an = q n }n≥0 y sus sumas parciales Sk =
k X
qn
n=0
Es f´ acil calcular que qSk − Sk = q k+1 − 1 18
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
19
de donde se despeja, si q 6= 1, Sk =
q k+1 − 1 q−1
El l´ımite de la sucesi´ on de sumas parciales es finito si y solo si |q| < 1, en cuyo caso ∞ X 1 qn = 1−q n=0
En la mayor´ıa de los casos no es posible hallar una expresi´on cerrada para la sucesi´ on de sumas parciales. Sin embargo, se puede determinar en muchos casos si la serie converge sin calcular su suma. Criterios de convergencia Condici´ on necesaria de convergencia. Dada la serie que converja es necesario que
P∞
n=n0 zn ,
para
l´ım an = 0
n→∞
Demostraci´ on en clase. Basta ver que ∼ (l´ımn→∞ an = 0) implica que la sucesi´ on de sumas parciales no es fundamental, luego no puede ser convergente. Criterio P de comparaci´ on e series de t´ erminos no negativos. Dada una serie ∞ a con a ≥ 0 (serie de t´ erminos reales no negativos), n n n=n0 P si existe otra serie de t´erminos reales no negativos ∞ n=n0 bn , con bn ≥ an , P∞ convergente, entonces n=n0 an converge. Demostraci´ on en clase. Basta ver que la sucesi´ on de sumas parciales de P {Sk = kn=n0 an } es mon´ otonamente creciente y acotada por encima por la P ımite buscado. suma ∞ n=n0 bn . Luego tiene supremo en R, que resulta ser el l´ Pk O bien que la sucesi´ on de sumas parciales de {Sk = n=n0 an } es funP P damental, con |Sk − Sl | = kn=l+1 an ≤ kn=l+1 bn < ε para cualquier ε > 0 Pk con solo tomar k > l suficientemente grandes, ya que n=n0 bn es fundamental por ser convergente. P ∈ R o an ∈ Convergencia absoluta. Dada una serie ∞ n=n0 an con anP C, se puede estudiar la serie de t´erminos no negativos asociada ∞ n=n0 |an |. P∞ Se dice que la serie n=n0 an converge absolutamente si y s´olo si la serie P∞ n=n0 |an | converge. Propiedad. La convergencia absoluta implica convergencia puntual. Es decir, ∞ ∞ X X |an | converge ⇒ an converge n=n0
n=n0
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
20
Demostraci´ on en clase. Basta ver que, dados k ≥ l, |
k X n=n0
an −
l X n=n0
an | = |
k X n=l+1
an | ≤
k X
|an | < ε
n=l+1
para cualquier ε > 0 con solo tomar k, l suficientemente grandes, ya que Pk n=n0 |an | es fundamental por ser convergente. Debe notarse que la convergencia absoluta puede ser probada con t´ecnicas de series de t´erminos reales no negativos (como comparaci´on), y asegura la convergencia (sin m´ odulo). Otros criterios. Se pueden trabajar otros criterios de convergencia, como el del cociente o el de la ra´ız. Tambi´en se conocen criterios de convergencia condicional, que prueban el caso en que la serie de m´odulos no converge pero la serie sin m´odulos s´ı converge.
Cap´ıtulo 5
L´ımites de funciones. Continuidad. L´ımites de funciones (en general). Unicidad. L´ımites por caminos (camino=sucesi´ on adherente). Continuidad. ´ L´ımites y continuidad de funciones complejas de variable real. Algebra de l´ımites. ´ L´ımites y continuidad de funciones complejas de variable compleja. Algebra de l´ımites. L´ımite de funciones Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , com M, M 0 espacios m´etricos, y dado z0 punto de acumulaci´ on de Ω, se dice que l´ım f (z) = l ∈ M ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆0 (l, ε)
z→z0
Se debe notar que z0 puede no pertenecer a Ω, basta con que sea punto de acumulaci´ on de Ω para que ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω 6= ∅. En el mejor de los casos, z0 ser´ a interior a Ω y la intersecci´on ser´a ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω = ∆0 (z0 , δ). Teorema. Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , ∃ l´ım f (z) = l ∈ M ⇔ (∀{zn } en M adherente a z0 ) ∃ l´ım f (zn ) = l ∈ M z→z0
n→∞
Demostraci´ on en clase. ⇒) dada {zn } en M adherente a z0 , y dado ε > 0, basta que n sea suficientemente grande como para que zn ∈ ∆0 (z0 , δ). ⇐) suponer que ∼ (∃ l´ımz→z0 f (z) = l ∈ M ) y construir una {zn } en M adherente a z0 tal que ∼ (l´ımn→∞ f (zn ) = l). Abs! Corolario. Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , si existe l´ımz→z0 f (z) entonces es u ´nico. Demostraci´ on en clase. Se suponen dos l´ımites l 6= m , luego cada {zn } en M adherente a z0 tendr´ıa dos l´ımites. Abs! L´ımite de funciones a valores complejos. Sea f : Ω ⊂ M → C, y llamemos z a los puntos de Ω ⊂ M , M espacio m´etrico. Quedan definidas u : Ω ⊂ M → R,u(z) = Re(f (z)) v : Ω ⊂ M → R,v(z) = Im(f (z)) tales que f (z) = u(z) + iv(z) 21
CONTINUIDAD
22
Teorema. Dada f : Ω ⊂ M → C y z0 punto de acumulaci´on de Ω, ∃ l´ım f (z) = l = a + ib ∈ C ⇔ ∃ l´ım u(z) = a ∈ R ∧ ∃ l´ım v(z) = b ∈ R z→z0
z→z0
z→z0
Demostraci´ on: basta explorar con sucesiones {zn } en M adherentes a z0 L´ımite infinito. Dada f : Ω ⊂ M → C y z0 punto de acumulaci´on de Ω, l´ım f (z) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (z0 , δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆0 (∞, ε)
z→z0
´ Algebra de l´ımites en C. Sean f : Ωf ⊂ M → C y g : Ωg ⊂ M → C, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅, y sea z0 punto de acumulaci´on de Ωf ∩ Ωg . Si ∃ l´ımz→z0 f (z) = l y ∃ l´ımz→z0 g(z) = m, entonces ∃ l´ımz→z0 (f (z) + g(z)) = l + m ∃ l´ımz→z0 (f (z) g(z)) = l m si adem´ as m 6= 0, ∃ l´ımz→z0 (f (z)/g(z)) = l/m Demostraci´ on: basta explorar con sucesiones {zn } en M adherentes a z0 L´ımite de funciones de variable compleja. Dada f : Ω ⊂ C → M 0 , con Ω no acotado, se dice que l´ım f (z) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0 (∞, δ) ∩ Ω ⇒ f (z) ∈ ∆(l, ε)
z→∞
En el caso de f : Ω ⊂ C → C, el l´ımite l puede ser infinito sin cambiar la definici´ on. Continuidad Definiciones. Dada f : Ω ⊂ M → M 0 , com M, M 0 espacios m´etricos, y dado z0 ∈ M , se dice que f es continua en z0 si y s´olo si 1. z0 ∈ Ω 2. ∃ l´ımz→z0 f (z) 3. l´ımz→z0 f (z) = f (z0 ) Dado A ∈ M , se dice que f es continua en A si y s´olo si ∀z ∈ A, f es continua en z. Se llama dominio de continuidad de f al mayor subconjunto del dominio Ω donde f sea continua. Ejemplos. Probar que Probar que Probar que
Probar que z : R → C, dada por z(t) = k es continua en R z : R → C, dada por z(t) = t es continua en R f : C → C, dada por f (z) = k es continua en C f : C → C, dada por f (z) = z es continua en C
CONTINUIDAD
23
Propiedades. Sean f : Ωf ⊂ M → C y g : Ωg ⊂ M → C, con Ωf ∩Ωg 6= ∅. Si f y g son continuas en z0 ∈ M , entonces f + g es continua en z0 f g es continua en z0 si adem´ as g(z0 ) 6= 0, f /g es continua en z0 Demostraci´ on: basta revisar que z0 est´e en el dominio, y asegurar la existencia y valor de los l´ımites correspondientes. Propiedad. Dadas f : Ω ⊂ M → M 0 continua en un punto z0 interior a Ω y {zn } una sucesi´ on en M , ∃ l´ım zn = z0 ⇒ ∃ l´ım f (zn ) = f (z0 ) n→∞
n→∞
Es decir, en este caso l´ımn→∞ f (zn ) = f (l´ımn→∞ zn ). Demostraci´ on: basta aplicar las definiciones correspondientes. Se debe notar que si f no es continua en z0 el resultado no se verifica. Corolario. Sean f : Ωf ⊂ M → M 0 y g : Ωg ⊂ M 0 → M 00 . Si ∃ l´ımz→z0 f (z) = l ∈ M 0 con l interior a Ωg y si g es continua en l, entonces ∃ l´ım g(f (z)) = g(z0 ). z→z0
Es decir, en este caso l´ımz→z0 g(f (z)) = g (l´ımz→z0 f (z)). Demostraci´ on: basta explorar con sucesiones en Ωf adherentes a z0 y utilizar la propiedad anterior. Se debe notar que si g no es continua en l el resultado no se verifica. Corolario: continuidad de la funci´ on compuesta. Sean f : Ωf ⊂ 0 0 00 M → M y g : Ωg ⊂ M → M . Si f es continua en z0 ∈ M y g es continua en g(z0 ) interior a Ωg , entonces go f es continua en z0 . Observaci´ on: se llama funci´on compuesta go f : Ω ⊂ Ωf → M 00 a la funci´ on dada por go f (z) = g(f (z)), cuyo dominio es Ω = {z ∈ Ωf : f (z) ∈ Ωg }
Cap´ıtulo 6
Derivada. Primera parte: Derivada (en general, para funciones de una variable en un cuerpo a un espacio vectorial). Diferenciabilidad y diferenciales. Notaci´on de Leibnitz y de Lagrange/Newton. Derivada de la suma, del producto y el cociente (donde el producto y cociente existan). Derivada de la funci´on compuesta. Segunda parte: Derivada de funciones complejas de variable real. Diferenciabilidad, diferencial y direcci´ on tangente a curvas. Derivada de funciones complejas de variable compleja. Interpretaci´on geom´etrica con diferenciales. Primera parte Derivabilidad. La noci´on de derivada total se basa en el l´ımite del cociente incremental. Para que este cociente tenga sentido se consideran funciones de una variable independiente z en un cuerpo K y valores en un espacio vectorial V sobre K. Adem´as, las distancias en K y en V se definen como el m´ odulo de la diferencia. Definici´ on. Dada f : Ω ⊂ K → V y z0 ∈ Ω punto de acumulaci´on de Ω, se dice que f es derivable en z0 si y s´olo si f (z) − f (z0 ) . z − z0 En ese caso se llama derivada de f respecto de z en z0 a dicho l´ımite. Notaci´ on. La derivada se suele anotar como f (z) − f (z0 ) f 0 (z0 ) = l´ım z→z0 z − z0 ∃ l´ım
z→z0
(notaci´ on de Lagrange) o como f (z) − f (z0 ) df (z0 ) = l´ım z→z dz z − z0 0 (notaci´ on de Leibnitz) o como f (z) − f (z0 ) f˙(z0 ) = l´ım z→z0 z − z0 (notaci´ on de Newton) 24
PRIMERA PARTE
25
Propiedades. Entre las propiedades m´as inmediatas destacamos: Si existe la derivada f 0 (z0 ) , es u ´nica. Linealidad: si f y g son derivables en z0 , punto de acumulaci´on de la intersecci´ on de los dominios de f y g, para todo par de elementos α, β ∈ K, αf + βg es derivable en z0 y (αf + βg)0 (z0 ) = αf 0 (z0 ) + βg 0 (z0 ) Teorema. Si f es derivable en z0 , entonces f es continua en z0 . Diferenciabilidad. Dada f : Ω ⊂ K → V y z0 ∈ Ω punto de acumulaci´ on de Ω, se dice que f es diferenciable en z0 si y s´olo si (∃A ∈ V ) (∀z ∈ Ω, f (z) − f (z0 ) = A(z − z0 ) + (z)|z − z0 |) con l´ımz→z0 (z) = 0 ∈ V . Se llama diferencial de la variable independiente z en el punto z0 al desplazamiento dz = z − z0 y diferencial de la variable dependiente f en el punto z0 al desplazamiento en V dado por df = A(z − z0 ) = Adz de manera tal que el diferencial df es la mejor aproximaci´on lineal al incremento de la funci´ on ∆f = f (z) − f (z0 ) ante un desplazamiento dz de la variable independiente Teorema. f es derivable en z0 si y s´olo si f es diferenciable en z0 . Demostraci´ on ⇒) basta acomodar, para z 6= z0 , f (z) − f (z0 ) 0 0 f (z) − f (z0 ) = f (z0 ) (z − z0 ) + − f (z0 ) (z − z0 ) z − z0 y observar que la expresi´ on entre corchetes tiende a cero cuando z → z0 . ⇐) basta escribir el cociente incremental como f (z) − f (z0 ) |z − z0 | = A + (z) z − z0 z − z0 y observar que el u ´ltimo t´ermino tiende a cero cuando z → z0 . De este resultado se desprende que el vector constante A en la definici´on de diferenciabilidad coincide con la derivada de f en z0 , A = f 0 (z0 )
´ SEGUNDA PARTE: APLICACION
26
Teorema. Sean f : Ωf ⊂ K → V y g : Ωg ⊂ K → V , con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g son derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg , entonces f + g es derivable en z0 y (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 ) Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g son derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg , entonces f g es derivable en z0 y (f g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) g(z0 ) + f (z0 ) g 0 (z0 ) (regla de Leibnitz). Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g son derivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg y g(z0 ) 6= 0, entonces f /g es derivable en z0 y (f /g)0 (z0 ) =
f 0 (z0 ) g(z0 ) − f (z0 ) g 0 (z0 ) (g(z0 ))2
Teorema. Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → V , con f derivable en z0 y g derivable en f (z0 ), con f (z0 ) interior a Ωg . En este caso la funci´on compuesta (g0 f ) (z0 ) = g(f (z0 ) es derivable en z0 y (g0 f )0 (z0 ) = g 0 (f (z0 ))f 0 (z0 ) Demostraci´ on: analizar ( h(z) =
g(f (z))−g(f (z0 )) f (z)−f (z0 ) g 0 (f (z0 ))
si f (z) 6= f (z0 ) si f (z) = f (z0 )
para probar que es continua en z0 . Luego para z 6= z0 es seguro escribir f (z) − f (z0 ) g(f (z)) − g(f (z0 )) = h(z) z − z0 z − z0 y tomar el l´ımite para z → z0 . Segunda parte: aplicaci´ on Funciones complejas de variable real: curvas en el plano complejo. Consideramos z : [a, b] → C, dada por z = z(t) Tomando parte real y parte imaginaria, queda definida ~r : [a, b] → C, dada por ~r = ~r(t) = (x(t), y(t)) con x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)). Tanto en complejas como reales, la funci´ on parametriza una curva γ en el plano. De acuerdo a los resultados ya probados, se verifica que z(t) es continua en t0 ∈ [a, b] si y s´ olo si ~r(t) es continua en t0 ∈ [a, b].
´ SEGUNDA PARTE: APLICACION
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Tambi´en se verifica que z(t) es derivable en t0 ∈ [a, b] si y s´olo si ~r(t) es derivable en t0 ∈ [a, b], siendo z 0 (t0 ) = x0 (t0 ) + iy 0 (t0 ) ~r0 (t0 ) = (x0 (t0 ), y 0 (t0 )) La interpretaci´ on geom´etrica de la derivada en este tipo de funciones representa el vector velocidad con que la parametrizaci´on recorre la curva. Si z 0 (t0 ) 6= 0, la curva admite vector tangente, y en particular arg(z 0 (t0 )) da la orientaci´ on del vector tangente. En t´erminos de diferenciales, en el punto z(t0 ) o ~r(t0 ) tenemos dz = z 0 (t0 )dt d~r = ~r0 (t0 )dt describiendo la recta tangente a la curva, con id´entica informaci´on geom´etrica en el plano en t´erminos de coordenadas complejas o en t´erminos de coordenadas reales. Definimos el diferencial de longitud de arco en el punto z(t0 ) cuando z(t) es derivable en t0 , como dl = |z 0 (t0 )|dt ≡ |~r0 (t0 )|dt Reparametrizaci´ on de curvas. Dada una curva γ con parametrizaci´on z : [a, b] → C, se puede describir la misma curva con una parametrizaci´on diferente. Consideremos una funci´on t : [α, β] → [a, b], dada por t = t(s) que sea continua en [α, β] , mon´otona y suryectiva; la funci´on compuesta z : [α, β] → C, dada por z(s) = z(t(s)) parametriza la misma la curva γ. Si t(s) es creciente, la parametrizaci´on conserva la orientaci´ on, en tanto que si t(s) es decreciente la curva invierte su orientaci´ on. La reparametrizaci´ on t(s) es invertible, definiendo s : [a, b] → [α, β], dada por s = s(t) t0 (s)
Si existe 6= 0 en un punto s0 , existe s0 (t) 6= 0 en el correspondiente punto t0 = t(s0 ), con s0 (t0 ) = 1/t0 (s0 ). Una buena reparametrizaci´on t(s) deber´ıa cumplir la existencia y continuidad de t0 (s) 6= 0 en [a, b] para no introducir problemas en la descripci´ onde una curva. Clasificaci´ on de curvas. Sea una curva γ con parametrizaci´on z : [a, b] → C, dada por z = z(t). Por simplicidad anotaremos γ : z(t), con t ∈ [a, b]. Decimos que γ es continua si y s´olo si la parametrizaci´on z(t) es continua en [a, b] o admite una reparametrizaci´on que lo sea. Decimos que γ es suave si y s´olo si la parametrizaci´on z(t) es continua en [a, b], con derivada continua en [a, b] y derivada no nula en (a, b), o admite una reparametrizaci´ on que lo sea. En este caso, la curva admite vector
´ SEGUNDA PARTE: APLICACION
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tangente en todo punto, y el vector tangente es continuo; se dibuja como una curva sin v´ertices. Decimos que γ es suave a trozos si y s´olo si es continua y el intervalo [a, b] es uni´ on de un n´ umero finito de subintervalos donde la parametrizaci´on sea suave. En este caso, la curva admite vector tangente, excepto en un n´ umero finito de puntos; en principio se dibuja con v´ertices. Se suele llamar contorno a una curva suave a trozos. Decimos que γ es simple si la parametrizaci´on z(t) es continua e inyectiva en [a, b]. En este caso, la curva no pasa dos veces por el mismo punto. Decimos que γ es simple y cerrada si la parametrizaci´on z(t) es continua [a, b] e inyectiva en [a, b), con z(b) = z(a). En este caso, la curva no pasa dos veces por el mismo punto excepto el punto inicial y final, que coinciden. Aceptaremos que una curva simple y cerrada en el plano define un conjunto Int(γ) (interior de la curva), que es un conjunto abierto, y que la curva es su frontera, ∂(Int(γ)) = γ. Adem´as, la orientaci´on de la curva se puede caracterizar como antihoraria (o positiva) cuando el interior queda a la izquierda del vector tangente, u horaria (o negativa) en el caso contrario. La demostraci´ on de estas propiedades intuitivas corresponde a un curso de Topolog´ıa. Se suele llamar curva de Jordan a una curva suave a trozos, simple y cerrada. Funciones complejas de variable compleja: mapeos en el plano. Consideramos f : Ω ⊂ C → C, dada por una receta w = f (z) Tomando parte real u = Re(w) y parte imaginaria v = Im(w), con z = x + iy, quedan definidas ( u : Ω ⊂ R2 → R , dada por u(x, y) = Re(f (z)) v : Ω ⊂ R2 → R , dada por v(x, y) = Re(f (z)) Tanto en coordenadas complejas como en coordenadas reales, la funci´on representa un mapeo del conjunto Ω en el plano en el plano. Se puede pensar como un mapeo del plano en si mismo, o como un mapeo del plano en una segunda copia del plano. Interpretaci´ on geom´etrica de la derivada de funciones complejas de variable compleja. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω. Como f es diferenciable en z0 podemos escribir dw = f 0 (z0 )dz donde el producto se hace entre n´ umeros complejos. Si f 0 (z0 ) 6= 0 podemos leer la relaci´ on entre m´ odulos y argumentos del incremento de la variable independiente dz y el diferencial dw como arg(dw) = arg(dz) + arg(f 0 (z0 )) |dw| = |f 0 (z0 )||dz|
´ SEGUNDA PARTE: APLICACION
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La primer ecuaci´ on indica que dw se halla rotado respecto de dz, con un ´ angulo de rotaci´ on arg(f 0 (z0 )). Debe notarse que el ´angulo de rotaci´on arg(f 0 (z0 )) es el mismo para todo dz que se trace a partir de z0 . La segunda ecuaci´ on indica que el desplazamiento dw se halla escaleado respecto de dz, con un factor de escala |f 0 (z0 )|. Si |f 0 (z0 )| > 1 se trata de una dilataci´ on, si |f 0 (z0 )| < 1 se trata de una contracci´on. Debe notarse que el factor de escala |f 0 (z0 )| es el mismo para todo dz que se trace a partir de z0 .
Cap´ıtulo 7
Condiciones de Cauchy-Riemann. Analiticidad y singularidades. Condiciones de Cauchy-Riemann Definiciones de analiticidad, funci´on entera, singularidades y clasificaci´on de singularidades. Teorema. Dada una funci´on f : Ω ⊂ C → C, escrita como f (z) = u(x, y) + iv(x, y) y dado un punto z0 = x0 + iy0 interior a su dominio, f es derivable respecto de z en z0 si y s´olo si u y v son diferenciables respecto de (x, y) en (x0 , y0 ) y sus derivadas parciales cumplen las relaciones ∂u = ∂x (x0 ,y0 ) (7.0.1)
∂v ∂y (x0 ,y0 )
∂u ∂v = − ∂y (x0 ,y0 ) ∂x (x0 ,y0 )
En ese caso, se verifica que f 0 (z0 ) =
∂u ∂v +i ∂x (x0 ,y0 ) ∂x (x0 ,y0 )
Las relaciones (7.0.1) se conoicen como relaciones de Cauchy y Riemmann. Demostraci´ on ⇒) basta escribir el incremento ∆f = f 0 (z0 )dz + (z)|dz| sabiendo que l´ımz→z0 (z) = 0 y separar parte real e imaginaria para obtener los incrementos du y dv. De all´ı se reconoce que u y v son diferenciables y se leen las derivadas parciales. ⇐) basta construir el incremento ∆f = ∆u + i∆v y usar que u y v son diferenciables para reconocer que f es diferenciable y leer su derivada. Corolarios. Si u y v tienen derivadas parciales continuas en (x0 , y0 ) y cumplen las condiciones (7.0.1) en (x0 , y0 ), entonces f es derivable en z0 . 30
7. CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN. ANALITICIDAD Y SINGULARIDADES. 31
Si u no es diferenciable, o v no es diferenciable, o no satisfacen las condiciones (7.0.1) en un punto (x0 , y0 ), entonces f no es derivable en ese punto z0 . Ejemplo. Estudio de la funci´on exponencial, definida en todo el plano como exp(z) = ex (cos y + iseny) Resulta anal´ıtica en todo C. Definiciones. Dada una funci´ on f : Ω ⊂ C → C, se dice que f es anal´ıtica en z0 interior a Ω si y s´olo si f es derivable en z0 y en alg´ un entorno abierto centrado en z0 . Es decir, f es anal´ıtica en z0 ⇔ ∃r > 0 : f es anal´ıtica en ∆(z0 , r) Se dice que f es anal´ıtica en A ⊂ Ω si y s´olo si f es anal´ıtica en cada punto de A. Se dice que f es una funci´on entera si y s´olo si f es anal´ıtica en todo C. Se llama dominio de analiticidad de f al mayor subconjunto de su dominio donde f es anal´ıtica. Propiedad. Los dominios de analiticidad siempre son abiertos Demostraci´ on: dado un punto z0 donde f sea anal´ıtica, basta considerar el entorno donde es derivable para comprobar que en ese mismo entorno f es anal´ıtica. Definici´ on. Dada una funci´ on f : Ω ⊂ C → C, se dice que f es singular en z0 si y s´ olo si z0 es un punto de frontera del dominio de analiticidad de f . Es decir, f no es anal´ıtica en z0 pero todo entorno reducido ∆0 (z0 , r) contiene puntos z donde f s´ı es anal´ıtica. Clasificaci´ on. Se dice que una singularidad z0 de una funci´on f es aislada si y s´olo si existe un entorno reducido ∆0 (z0 , r) donde f es anal´ıtica. Se dice que una singularidad z0 de una funci´on f es no aislada si y s´ olo si en todo entorno reducido ∆0 (z0 , r) existen puntos donde f es anal´ıtica y puntos donde f no es anal´ıtica . Las singularidades aisladas se caracterizan por el l´ımite de f : si existe l´ımz→z0 f (z) = l finito, se dice que la singularidad es evitable. si l´ımz→z0 f (z) = ∞, se dice que la singularidad es polar. si no existe l´ımz→z0 f (z) (ni finito ni infinito), se dice que la singularidad es esencial.
Cap´ıtulo 8
Mapeos. Transformaciones conformes. Transformaciones conformes (contenido geom´etrico y caracterizaci´on por derivabilidad).Mapeos elementales: funci´on lineal como traslaci´on, rotaci´on y dilataci´ on. Inversi´ on. Funciones bilineales. Mapeos conformes Mapeos o transformaciones en Rn . Sea Π : Ω ⊂ Rn → Rn un mapeo descripto por funciones y1 (x1 , · · · , xn ) ··· yn (x1 , · · · , xn ) diferenciables y con Jacobiano no nulo en un punto (x01 , · · · , x0n ). Si una curva suave γ pasa por (x01 , · · · , x0n ) entonces su imagen Π(γ) ser´a suave en el correspondiente punto Π(x01 , · · · , x0n ); es decir, si una curva admite vector tangente en (x01 , · · · , x0n ) su imagen admite vector tangente en Π(x01 , · · · , x0n ). Mapeos conformes en Rn . Se dice que un mapeo Π es conforme en el punto (x01 , · · · , x0n ) si y solo si Π es diferenciable en el punto (x01 , · · · , x0n ) y para cada par de curvas suaves γ1 , γ2 que pasen por (x01 , · · · , x0n ) se verifica que los vectores tangentes a sus im´agenes Π(γ1 ), Π(γ2 ) en el punto Π(x01 , · · · , x0n ) forman el mismo ´angulo que los vectores tangentes a γ1 , γ2 en el punto (x01 , · · · , x0n ). M´ as breve, un mapeo es conforme si y s´olo si conserva los ´angulas entre curvas suaves. Se dice que un mapeo Π es conforme en una regi´on Ω si y s´olo es conforme en cada punto de la regi´on. Se dice que un mapeo Π es localmente conforme en un punto z0 si y s´ olo existe un entorno ∆(z0 , r) donde Πes conforme. Mapeos conformes en C. Sea un mapeo Π : Ω ⊂ R2 → R2 descripto en coordenadas reales por ( u = u(x, y) v = v(x, y) 32
MAPEOS ELEMENTALES
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o en coordenadas complejas por w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) y sea z0 = x0 + iy0 ∈ Ω. Se verifica el siguiente Teorema. el mapeo w = f (z) es conforme en el punto z0 si y s´olo si f (z) es derivable en z0 , con f 0 (z0 ) 6= 0 Demostraci´ on ⇒) en t´erminos de diferenciales, basta transformar un incremento (dx, dy) mediante una rotaci´ on y dilataci´ on para calcular du cosφ −senφ dx =λ , dv senφ cosφ dy leer la diferenciabilidad y las derivadas parciales de u y v, verificar las condiciones de Cauchy y Riemmann y calcular la derivada f 0 (z0 ). La condici´ on de Jacobiano no nulo implica f 0 (z0 ) 6= 0. ⇐) dadas dos curvas parametrizadas por z1 (t), z2 (t), suaves en z0 = z1 (t0 ) = z2 (t0 ) (es decir derivables con derivada no nula), basta parametrizar sus im´ agenes por w1 (t) = f (z1 (t)) w2 (t) = f (z2 (t)) y calcular sus derivadas por regla de la cadena w10 (t0 ) = f (z0 ) z10 (t0 ) w20 (t0 ) = f (z0 ) z20 (t0 ) y comparar sus argumentos para obtener arg(w20 (t0 )) − arg(w10 (t0 )) = arg(z20 (t0 )) − arg(z10 (t0 )) Propiedades: Si un mapeo w = f (z) es localmente conforme en z0 , entonces es localmente invertible y la inversa es derivable en w0 = f (z0 ), con 1 (f −1 )0 (w0 ) = 0 f (z0 ) Si un mapeo w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es localmente conforme en z0 = x0 + iy0 , entonces las curvas de nivel u(x, y) = u(x0 , y0 ) y v(x, y) = v(x0 , y0 ) son ortogonales en z0 . Mapeos elementales Funci´ on lineal. w = f (z) = az + b con a 6= 0. Inversi´ on. w = f (z) = 1/z
MAPEOS ELEMENTALES
Transformaciones bilineales. w = f (z) = con ad − bc 6= 0.
az + b cz + d
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Cap´ıtulo 9
Funciones trascendentes. Exponencial, trigonom´etricas, trigonom´etricas hiperb´olicas.
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Cap´ıtulo 10
Funciones multivaluadas. Invertibilidad local. Invertibilidad global. Funciones multivaluadas: cortes y superficies de Riemann.
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Cap´ıtulo 11
Integraci´ on. Integraci´ on de funciones complejas de variable real sobre intervalos. Integraci´ on de funciones complejas de variable compleja sobre curvas.
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