UNIDAD 1. CINEMÁTICA
El alumno será capaz de identificar los conceptos básicos de la cinemática de partículas y cuerpos rígidos para resolver problemas de aplicaciones en ingeniería. Temas
Saber
Saber hacer
Calcular la posición, velocidad y aceleración de una partícula en un instante de tiempo para movimiento rectilíneo y curvilíneo
Ser
Capacidad de auto-aprendizaje auto-aprendizaje Planificación Liderazgo Trabajo en equipo Responsabilidad
Cinemática de la partícula.
Reconocer los conceptos y las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración para una partícula en movimiento rectilíneo y curvilíneo.
Cinemática del cuerpo rígido.
Asertividad Identificar los conceptos de la Resolver ejercicios de cinemática del cuerpo rígido aplicación de las ecuaciones Proactivo Liderazgo para el movimiento rectilíneo de un cuerpo rígido. y curvilíneo. Trabajo en equipo.
UNIDAD 1. CINEMÁTICA
El alumno será capaz de identificar los conceptos básicos de la cinemática de partículas y cuerpos rígidos para resolver problemas de aplicaciones en ingeniería. Temas
Saber
Saber hacer
Calcular la posición, velocidad y aceleración de una partícula en un instante de tiempo para movimiento rectilíneo y curvilíneo
Ser
Capacidad de auto-aprendizaje auto-aprendizaje Planificación Liderazgo Trabajo en equipo Responsabilidad
Cinemática de la partícula.
Reconocer los conceptos y las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración para una partícula en movimiento rectilíneo y curvilíneo.
Cinemática del cuerpo rígido.
Asertividad Identificar los conceptos de la Resolver ejercicios de cinemática del cuerpo rígido aplicación de las ecuaciones Proactivo Liderazgo para el movimiento rectilíneo de un cuerpo rígido. y curvilíneo. Trabajo en equipo.
Tema 1. Cinemática de la partícula. ¿Que es la cinemática? Es la parte de mecánica dedicada al estudio de las partículas y de los sólidos rígidos sin considerar las causas del mismo. Podemos considerar la cinemática como la geometría del movimiento
Cinemática rectilínea.
La cinemática de una partícula es caracterizada al especificar en cualquier momento la posición, velocidad y aceleración.
Formulas utilizadas en la cinemática de partículas. Movimiento rectilíneo.
La aceleración es constante. =
Velocidad como función del tiempo.
NOTACION:
Posición como función del tiempo.
Velocidad como función de la posición.
= . = = = = = = 9.81 / --- 32.2/
Formulas utilizadas en la cinemática de partículas.
Cuando la aceleración es variable.
Example 1. The car in next Fig. moves in a straight line such that for a short time its velocity is defined by = 3 + 2 /, where t is in seconds. Determine is position and acceleration when = 3 . When = 0, = 0.
Example 2. A small projectile is fired vertically downward into a fluid medium with an initial velocity of 60 m/s. Due to the drag resistance of the fluid the projectile experiences a deceleration of = −0.4 / , where is in m/s. Determine the projectile`s velocity and position 4 s afther itis fired.
Example 3. During a test a rocket travels upward at 75 m/s, and when it is 40 m from the groud its engine fails. Determine the maximum height reached by the rocket and its speed just before it hits the ground. While in motion the rocket is subjected to a constant downward acceleration of 9.81 m/ due to gravity. Neglect the effect of air resistance.
Example 4. A metallic particle is subjected to the influence af a magnetic field as it travels downward through a fluid that extends from a plate A to the plate B. if the particle is released from rest at the midpoint C, = 100 , and the aceleration is = 4 / , where s is in meters, determine the velocity of the particle when it reaches plate B, = 200 , and the time it takes to travel from C to B.
Ejemplo 5. la sala de máquinas de un buque de carga esta ardiendo. Un remolcador antiincendios esta situada al lado del anterior y esta dirigiendo un chorro de agua de forma que entre por la chimenea del buque de carga. Si la velocidad inicial del chorro de agua es de 21 m/S. ¿existe algún valor de para el cual el chorro de agua cumpla con su cometido? Si es así, ¿Cuál debe ser dicho valor?
Cinemática curvilínea
El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva. A menudo estas trayectorias se describen en 3 dimensiones, por lo tanto se usará análisis vectorial para formular la posición , la velocidad y la aceleración.
Cinemática curvilínea. Coordenadas rectangulares.
Se utiliza un marco de referencia fijo en ejes X-Y-Z. Posición. La posición de una partícula esta dada por un vector posición
Debido al movimiento de la partícula generalmente la coordenadas son funciones del tiempo.
Cinemática curvilínea. Coordenadas rectangulares.
Velocidad. Corresponde a la primera derivada del vector de posición. Su vector unitario indica su dirección.
Cinemática curvilínea. Componentes rectangulares.
Aceleración. Se toma el criterio de la segunda derivada del vector posición o primera derivada del vector velocidad.
Ejemplo 6. en cualquier instante, la posición horizontal del globo meteorológico es definida por = 8 , donde está en segundos. Si la ecuación de la trayectoria es = , determine la distancia del globo a la estación ubicada en A cuando = 2, la magnitud y la dirección de la velocidad cuando = 2, y la magnitud y la dirección de la aceleración cuando = 2.
Ejemplo 7. durante un breve lapso, = 0.001 describe la trayectoria del avión que se muestra. Si el avión se eleva con una velocidad constante de 10 m/s, determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del avión cuando este a = 100 .
Formulas utilizadas en la cinemática de partículas. Movimiento de un proyectil.
El movimiento de vuelo libre de un proyectil a menudo se estudia en función de sus componentes rectangulares. Cuando se hace caso omiso de la resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el proyectil es su peso, el cual hace que tenga una aceleración constante hacia abajo.
Formulas utilizadas en la cinemática de partículas. Movimiento de un proyectil.
Movimiento horizontal.
Movimiento vertical
Como puede observarse que la primera y la tercera ecuación indican que la velocidad siempre permanece constante
Nota: Esto supone que el campo gravitatorio no varia con la altitud
Ejemplo 8. un saco se desliza por la rampa, con una velocidad horizontal de 12 m/s. Si la altura de la rampa es de 6 m, determine el tiempo necesario para que el saco choque con el suelo y la distancia R donde los sacos comienzan a apilarse.
Ejemplo 9. La maquina desmenuzadora esta diseñada para que lance virutas de madera a = 25 /. Si el tubo esta orientado a 30º con respecto a la horizontal, determine a que altura, las virutas chocan con la pila si en este instante caen en la pila a 20 ft del tubo.
Example 10. The fireman holds the hose at an angle = 3 0º with horizontal, and the water is dechrged from the hose at A with a speed of = 40 / . If the water stream strikes the building at B, determine his two possible distance s from the building.
Cinemática curvilínea. Componentes normal y tangencial.
Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los ejes coordenados n y t, los cuales actúan de manera normal y tangencial a la trayectoria. Y en el instante tiene localizado su origen en la partícula.
Formulas utilizadas en el movimiento curvilíneo. Normal y tangencial.
Velocidad. Se toma como la primera derivada de la función trayectoria =
Formulas utilizadas en el movimiento curvilíneo. Normal y tangencial.
Aceleración. Se divide en dos componentes mutuamente perpendiculares . Por consiguiente la magnitud de la aceleración es el valor positivo de = +
Formulas utilizadas en el movimiento curvilíneo. Normal y tangencial.
Si la partícula se mueve a lo largo de una línea recta entonces → ∞ , = 0. Por tanto = = , y podemos concluir que la componente tangencial de la aceleración representa el cambio en la magnitud de la velocidad.
Si la partícula se mueve a lo largo de curva con velocidad constante, entonces = = 0 = = . Por consiguiente, la componente normal de la aceleración representa el cambio en la dirección de la velocidad. Como siempre actúa hacia el centro de la curvatura, esta componente en ocasiones se conoce como la aceleración centrípeta (que busca el centro).
Formulas utilizadas en el movimiento curvilíneo. Normal y tangencial.
Lo anteriormente mencionado se ilustra como sigue:
Ejemplo 11. cuando el esquiador llega al punto A, a lo largo de la trayectoria parabólica, su rapidez es de 6 m/s, la cual se incrementa a 2 / . Determine la dirección de su velocidad y la dirección de su aceleración en este instante. Al hacer el cálculo, pase por alto la estatura del esquiador.
Ejemplo 12. Un auto de carreras circula alrededor de la pista circular horizontal de 300 ft de radio. Si el auto aumenta su velocidad a un ritmo constante de 7 / , a partir del reposo, determine el tiempo que necesita para alcanzar una aceleración de 8 / ¿Cuál es su velocidad en este instante?
Ejemplo 13. las cajas se desplazan a lo largo de la transportadora industrial. Si una caja comienza a moverse del reposo en A e incrementa su rapidez de modo que = 0.2 / , donde t esta en segundos, determine la magnitud de su aceleración cuando llegue al punto B.
Cinemática curvilínea. Componentes cilíndricas. Coordenadas polares.
Este tipo de coordenadas se especifican por medio de una coordenada radial y una transversal. Los vectores unitarios − definen las direcciones de las coordenadas r − . Se utiliza cuando el movimiento se limita a un plano.
Coordenadas cilíndricas. Este tipo de coordenadas se especifican 3 coordenadas; r, , . Como el vector unitario que define es constante las derivadas con respecto al tiempo son cero. Este tipo de coordenada se utiliza cuando la partícula se mueve a través de una curva espacial.
Cinemática curvilínea. Componentes cilíndricas.
Formulas para coordenadas polares y cilíndricas.
Parámetros Posición Velocidad
Aceleración
Polares = = = + = + = = = + + + + = + = − = + 2
Cilíndricas = + = = + +
= − + − 2 +
Cinemática curvilínea. Componentes cilíndricas.
Ejemplo 14. La barra OA gira en el plano horizontal de modo que = . Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia afuera a lo largo de OA de modo que = 100 . Si en ambos casos t esta en segundos, determine la velocidad y la aceleración del collar cuando = 2.
Ejemplo 15. Debido a la rotación de la barra ahorquillada, la bola se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, = 0.5 1 − , donde esta en radianes. Si la velocidad de la bola es de 4 ft/s y su aceleración es = 30 / en el instante = 180 º, determine la velocidad angular y la aceleración de la horquilla.
Movimiento relativo de 2 partículas al utilizar ejes trasladantes.
A lo largo del estudio realizado de la cinemática hasta ahora vista se ha determinado por medio de un marco de referencia fijo. Existen muchos casos en los que la trayectoria del movimiento de una partícula se complica, de modo que puede ser mas fácil de analizar el movimiento en partes por medio de 2 o mas marcos de referencia. Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la punta de la hélice de un avión, mientras este esta en vuelo.
Movimiento relativo de 2 partículas al utilizar ejes trasladantes.
Posición.
Velocidad.
Aceleración.
Ejemplo 16. Un tren viaja a una rapidez constante de 60 mi/h y cruza una carretera. Si el automóvil A viaja a 45 mi/h por la carretera, determine la magnitud y dirección de la velocidad del tren con respecto al automóvil.
Ejemplo 17. El avión A vuela a lo largo de una línea recta, mientras que el avión B lo hace a lo largo de una trayectoria circular que tiene un radio de curvatura = 400 . Determine la velocidad y aceleración de B medidas por el piloto de A.
Tema 2. Cinemática plana de un cuerpo rígido.
La importancia de este tema radica en el diseño y análisis de engranes, levas y mecanismos en muchas operaciones mecánicas. El movimiento plano de un cuerpo rígido ocurre cuando todas sus partículas se desplazan a lo largo de trayectorias equidistantes de un plano fijo. Existen 3 tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido, en orden de complejidad creciente, los cuales son:
Traslación. Rotación alrededor de un eje fijo. Movimiento plano general.
Traslación.
Este tipo de movimiento ocurre cuando una línea en el cuerpo
permanece paralela a su orientación original durante todo su movimiento. Cuando las trayectorias del movimiento de 2 puntos cualesquiera del cuerpo son líneas paralelas, el movimiento se llama traslación rectilínea. Si las trayectorias del movimiento se desarrollan a lo largo de líneas curvas equidistantes, el movimiento se lama traslación curvilínea.
Traslación.
Posición. Las localizaciones de los puntos A y B en el cuerpo se definen con respecto a un marco de referencia fijo x, y por medio de vectores de posición . El sistema de coordenadas ′, ′ trasladante permanece fijo en el cuerpo con su origen en A, en lo sucesivo conocido como punto base. La posición de B con respecto a A esta denotada por el vector de posición relativa / . = + / Velocidad. En un cuerpo rígido la velocidad relativas de todos los puntos permanecen iguales, asimismo sucede con las aceleraciones relativas. Por tanto.
Rotación alrededor de un eje fijo.
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, todas sus partículas, excepto los que quedan en el eje de rotación, se mueven a lo largo de trayectorias circulares.
Rotación alrededor de un eje fijo. Movimiento angular. Movimiento de punto P.
Como un punto no tiene dimensiones no puede tener movimiento angular. Solamente las líneas y los cuerpos lo pueden experimentar.
Cuando un cuerpo rígido gira, un punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en O.
Rotación alrededor de un eje fijo.
1.
2.
Movimiento angular. Movimiento de punto P.
Posición angular. Desplazamiento angular.
Velocidad angular = ↺+ Aceleración angular Variable = + = constante
↺
Posición angular. Desplazamiento angular. ds = r Velocidad angular = Aceleración angular 1. Tangencial = 2. Normal =
Movimiento plano general.
Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general, experimenta una combinación de traslación y rotación. La traslación se presenta en un plano de referencia y la rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano.
Ejercicio 1.
Ejemplo 18. Se enrolla una cuerda alrededor de la rueda, la cual inicialmente esta en reposo cuando = 0. Si se aplica una fuerza a la cuerda y se le imparte una aceleración de = 4 / , donde t está en segundos, determine, como una función del tiempo a) la velocidad angular de la rueda y b) la posición angular de la línea OP en radianes.
Ejemplo 19. El motor se utiliza para hacer girar un ensamble de rueda y soplador alojado en la caja. Los detalles del diseño se muestran en la figura a). Si la polea A conectada al motor comienza a girar desde el punto de reposo con una aceleración angular constante de = 2 / , determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto P en la rueda, después de que la polea ha realizado 2 revoluciones. Suponga que la banca de transmisión no se resbala en la polea y la rueda
Ejemplo 20. Cuando el engrane realiza 20 revoluciones alcanza una velocidad angular de 30 rad/s, a partir del punto de reposo. Determine su aceleración angular constante y el tiempo requerido.
Cinemática del cuerpo rígido. Análisis de movimiento relativo: velocidad.
El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos «componentes» por separado, se utiliza un análisis de movimiento relativo que implica 2 conjuntos de ejes de coordenadas.
Cinemática del cuerpo rígido. Análisis de movimiento relativo: velocidad. Posición. El vector de posición de especifica la ubicación del punto base A y el vector de posición relativa / localiza el
punto B con respecto A. mediante adición vectorial la posición de B es por tanto.
Desplazamiento. Durante un instante de tiempo dt, los puntos A y B experimentan los desplazamientos correspondientes. Por tanto:
Cinemática del cuerpo rígido. Análisis de movimiento relativo: velocidad. Velocidad.
Ejemplo 21. El eslabón esta guiado por los bloque A y B, los cuales se mueven en las ranuras fijas. Si la velocidad de A es de 2 m/s hacia abajo, determine la velocidad de B cuando = 4 5º.
Ejemplo 22. El cilindro rueda sin deslizarse sobre la superficie de una banda transportadora, la cual se mueve a 2 ft/s. determine la velocidad de punto A. el cilindro tiene una velocidad angular de 15 rad/s en el instante que se muestra.
Ejemplo 23. El collarín C desciende a 2 m/s. determine la velocidad angular de CB en este instante.
Ejemplo 24. La barra AB de la articulación tiene = 30 / cuando = 6 0º. Determine las velocidades angulares del elemento BC y la rueda en este instante.
Método. «Centro instantáneo de velocidad cero».
La velocidad de cualquier punto B localizado en un cuerpo rígido puede obtenerse de una manera muy directa al seleccionar el punto base A como punto de velocidad cero en el instante considerado. En este caso = 0 → = + / → = / . En el caso de un cuerpo que tenga movimiento plano general, el punto A así seleccionado se llama centro instantáneo de velocidad cero (CI) y se ubica en el eje instantáneo de velocidad cero.
Localización del CI.
Para localizar C podemos partir del hecho que la velocidad de un punto en el cuerpo siempre es perpendicular al vector de posición relativa dirigida desde CI hacia el punto. Se presentan varias posibilidades.
Localización del CI.
Localización del CI.
Ejemplo 25. El bloque D se mueve con una rapidez de 3 m/s. determine las velocidades angulares de los eslabones BD y AB en el instante que se muestra.
Ejemplo 26. El cilindro rueda sin deslizarse entre las dos placas móviles E yD. Determine la velocidad angular del cilindro y la velocidad de su centro C.
Ejemplo 27. El cigüeñal AB gira en el sentido de las manecillas del reloj con una velocidad angular de 10 rad/s. determine la velocidad del pistón en el instante que se muestra.
Cinemática del cuerpo rígido. Análisis de movimiento lineal relativo: Aceleración .
Cinemática del cuerpo rígido. Análisis de movimiento circular relativo: Aceleración .
Ejemplo 29. En un instante dado, el cilindro de radio r, tiene una velocidad angular y una aceleración angular . Determine la velocidad y aceleración de su centro G y la aceleración del punto de contacto en A si rueda sin deslizarse.
Ejemplo 30. El Collarín C se mueve hacia abajo con una aceleración de 1 / . En este instante que se muestra, su rapidez es de 2 m/s, la cual imprime a las articulaciones CB y AB una velocidad angular de = = 10 / . Determine la aceleración angular de CB y AB en este instante.
Ejemplo 31. El cigüeñal AB gira en el sentido de las manecillas del reloj con una aceleración angular de 20 rad/s^2. Determine la aceleración del pistón cuando AB esta en la posición que se muestra. En este instante = 10 / y = 2.43 /.
