-48-
TRANSFORMASI PENGERTIAN TRANSFORMASI Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi posisi lain. Dalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang. Ada 2 macam transformasi, yaitu : 1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (tr anslasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi). 2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang yang merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks.
1. PERGESERAN (TRANSLASI) Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi
T
a menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y) b
T
P’(x’,y ’) dimana x’ = x + a y ’ = y + b atau x x a '
y y b '
Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut : Y P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) b P(x,y) a O
X
Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi
T
3 2
Jawab : ……………………..
Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang ditranslasikan.
Matematika XII – IPA Smt 1
-49-
Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi
x' x 3 y ' y 4
T
3 4
x'3 y y '4 x
Jawab :
Substitusi x dan y ke persamaan y = 2x – 1 sehingga : y '4 2( x '3) 1 y ' 2 x '9 Jadi bayangannya y = 2x + 9
LATIHAN SOAL
1.
Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi
T
3 . Tentukan koordinat titik A’ ! 7
2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jika diketahui titik B’ (-5,7) dan
I
3 0
3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh T 2
T 1
5 kemudian ditranslasikan lagi oleh 7
2 , maka tentukan bayangan titik Q ! 3
h . Tentukan nilai h dan k ! k 4 a 2 10 5. Diberikan PQ , QR , RS dan ST . Jika translasi tunggal yang 6 b 9 5 4 mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah , tentukan QR ! 12 T
4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi
6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T ! 7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasi
T
0 3
1
8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi
2
7 9
9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasi 10. D
C
P
A Jika
B
AB mewakili
diwakili oleh
3
translasi dan
AC dan PC !
Matematika XII – IPA Smt 1
1
BD mewakili
2 maka nyatakan translasi yang 4
translasi
-50-
2. PENCERMINAN (REFLEKSI) suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama d engan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan.
Sumbu pencerminan A
K
A’
B
B’
C Keterangan : AK = A’K, BL = B’L
M
C’
dan CM = C’M
2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X Y P(x,y) O
X P’(x’,y’)
x' 1 0 x y ' 0 1 y
2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y Y P’(x’,y’)
P(x,y)
O
x' 1 y ' 0
Matematika XII – IPA Smt 1
X
0 x
1 y
-51-
2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL Y P(x,y)
0
X
P’(x’,y’)
x' 1 0 x y ' 0 1 y
2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k Y P’(x’,y’)
y = k
P(x,y) 0
X
x' 1 0 x 0 y ' 0 1 y 2k
2.5 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k
x' 1 y ' 0
0
x 2k 1 y 0
2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x
x' 0 y' 1
1
x 0 y
2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x
x' 0 1 x y ' 1 0 y
2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx
x' cos 2 sin 2 x , y ' sin 2 cos 2 y
Matematika XII – IPA Smt 1
arctan m
-52-
2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)
x' 1 0 x 2a y ' 0 1 y 2b
2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h P’’(x+2(h – k) , y)
2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h P”(x , y + 2(h-k))
2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING TEGAK LURUS P”(2k – x , 2h – y)
Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh pencerminan terhadap garis y = -x ! Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 6 ! Jawab : ……………..
Contoh 3 : Tentukan bayangan titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 ! Jawab : ……………
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap : a. sumbu X b. sumbu Y
2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4, 1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y ! 3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 ! 4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 !
Matematika XII – IPA Smt 1
-53-
5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D( 1,2) jika dicerminkan terhadap garis y = -1 ! 6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0, -2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinatbayangan akhir segitiga ABC tersebut ! 7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y d an terakhir pencerminan terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut ! 8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangannya ! 9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dil anjutkan oleh pencerminan garis x = 4 ! 10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 3 !
3. PERPUTARAN (ROTASI) Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar. Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum j am.
3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL Y P’(x’ , y’)
P(x,y)
0
X
x
r cos
y
r sin
P ( x, y )
P ' ( x ' , y ' )
P (r , )
P ' (r , )
x' r cos ( )
r cos cos r sin sin x cos y sin
y ' r sin r sin cos r cos sin x sin y cos
x' cos sin x y' sin cos y
Matematika XII – IPA Smt 1
-54-
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar
90
dengan pusat putaran di titik pusat !
Jawab : ………….
Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar
sering ditulis
R
3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b) Y
P’(x’,y’)
P(x,y)
A(a,b)
X
a
Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang di translasikan sebesar .
b
x'a cos sin x a y b y b ' sin cos x' cos sin x a a y ' sin cos y b b
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar
90
dengan pusat (1,2) !
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi : a. R90
b.
R
180
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) d an C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut karena rotasi R 90 !
3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C(6,1) dan D(m,n) kare na rotasi R180 !
4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauh
90
5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauh
Matematika XII – IPA Smt 1
!
270
!
-55-
180
6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauh
!
7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dan B(-3,4) yang diputar sejauh - 90 dengan pusat rotasi R(0,-2) ! 8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi
R
9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi
R
90
dilajutkan dengan rotasi
180
dilanjutkan
R
90
R
180
2
10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5
1
dan terakhir oleh rotasi
R90 dengan
pusat (1,2) !
4. PERKALIAN (DILATASI) Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat perkalian dan faktor skal a k
R.
4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’)
P(x,y) O
Q
Q’
X
x' k 0 x y ' 0 k y
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulis
D O, k )
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) ! Jawab : ………………
4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’)
P(x,y) A(a,b) 0
Matematika XII – IPA Smt 1
X
-56-
x' x a a k y ' y b b
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 ! Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi
O,2 !
1
2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi O, ! 3 3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi
P (4,3),2 !
2 4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi P (3,1), ! 3
1 5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi P (0,5), ! 2
6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q( -1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi
O,2 !
7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) oleh
1
dilatasi O , 2
8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi
R
90
dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5
2 dan diakhiri dengan dilatasi 2
dilanjutkan lagi dengan translasi
P (0,3),4 !
5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang me mpunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (bayangan). Sehingga tanda aksennya bisa dihilangkan.
Matematika XII – IPA Smt 1
-57-
Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola y
90
Jawab : Rotasi dengan pusat O sebesar
x' cos90 y' sin 90
x
2
1
90
karena rotasi sebesar
x
x' ke y
dengan pusat O !
y' y x'
x' y' 2 1 atau
sin 90 x 0 1 x y y 1 0 cos 90 y x
Substitusi x y' dan y
x 2 1 sehingga :
x y 2 1
LATIHAN SOAL
Tentukan persamaan garis
g
x
y
1
0 terhadap
2. Tentukan persamaan garis
g
x
y
1
0 di
1.
pencerminan sumbu X !
atas oleh rotasi
R
90
!
1
2
0
1
3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 ol eh transformasi
!
2 1 ! 1
4. Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasi 0
1 3 ! 2 5
5. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transformasi
6. Tentukan bayangan lingkaran
7. Tentukan peta lingkaran
x
2
x
2
y
8. Tentukan peta dari parabola
y
2
y
4 x 8 y 5
2
2x
2
9 oleh
1
1
1
1
transformasi 0
0 oleh
oleh dilatasi
!
pencerminan terhadap titik pusat !
O,3 !
9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar ter hadap titik O sebesar 10. Tentukan persamaan peta lingkaran x1
x y
y1
2 x
y
Matematika XII – IPA Smt 1
x
2
y
2
9 oleh
45
transformasi yang ditentukan :
!
-58-
6. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali terhadap suatu objek (titik, garis atau kurva) tertentu.
6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI Komposisi dari dua translasi
T 1 dan
dilanjutkan dengan
T 2 ditulis T 2
T 1 .
Jadi dalam suatu
komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh
T 2
T 1 dimana T 1
T 1 ).
a c dan T maka bayangan titik b d 2
P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : P’’(x+a+c , y+b+d) d P’ c b P
a
Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu
T 2
T 2
T 1
T 1 dapat
juga dengan
a c baru hasil b d 1
a c untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’. b d
komposisi translasi tersebut yaitu matriks
Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi T 2
T 1
2 dilanjutkan 1
3 4
Jawab : (T 2
T 1 )(1,5)
1 2 (3) 0 5 1 4 2
Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi T 1 T 2 ! Apakah hasil bayangannya sama ? Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua translasi tersebut ?
6.2 KOMPOSISI BEBERAPA REFLEKSI Sudah dibahas di bab refleksi.
6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu dengan merotasikan satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua rotasi tersebut dengan cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemudian gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut.
Matematika XII – IPA Smt 1
-59-
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi Jawab : Sudut hasil komposisi rotasi =
cos 270 A" sin 270
90
180
sin 270 1 0 cos 270 2 1
90
dilanjutkan dengan rotasi
180
!
= 270
1 2 0 2 1
1
6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara y aitu dengan dilatasi satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu d engan mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukan satu per satu.
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x =6!
2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1 ! 3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 ! 4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan terhadap sumbu Y ! 5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap
R
90
dan dilanjutkan
R
6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap R150 dan dilanjutkan
7. Jika M y adalah pencerminan terhadap sumbu Y,
M 1 adalah
270
R
!
120
!
pencerminan terhadap garis x = 6
dan M 2 adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1), B(-2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan : a. M y M 1
b. M 2 M 1 M y
8. Jika
M 1 , M 2 dan M 3 adalah
operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7
berturut-turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi 9. Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = 3 oleh transformasi 10. Diketahui transformasi oleh transformasi
T 2
T 1
R90
Matematika XII – IPA Smt 1
M 3
M 1 M 2
M 2
M 3
!
M 1
2 0 1 2 dan I . Tentukan bayangan titik (7,10) , R90 1 1 0 1
T 1 !
-60-
Matematika XII – IPA Smt 1