ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
Act . Trabajo colaborativo 3
TUTOR Carlos Ivan Bucheli
Presentado por:
PROGRAMA ING. DE SISTEMAS GRUPO #100412_16
JULIO DE 2009
ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCIÓN
El presente trabajo consta de dos partes la parte uno es el desarrollo de los ejercicios de la Guía y la segunda parte es r ealizar e alizar un juego llamado escalera utilizando una de las tres unidades como material de ayuda. Esta debe ser interactiva y creativa creativa,, Cualqu Cualquier ier tipo de programa programa,, Por Por ejemplo ejemplo en visual visual basic, basic, flash flash etc.Un etc.Un juego donde el estudiante estudi ante aprenda aprend a concept c onceptos os de la l a primer p rimer a unidad, un idad, en otras palabras palabr as que el aplicativo sea lúdico.
OBJETIVOS
ECUACIONES DIFERENCIALES El objetivo es que cada estudiante del grupo envíe un ejercicio al foro. TRABAJO COLABORATIVO 3 Realizar un juego llamado escalera utilizando una de las tres unidades como material de ayuda. Esta debe ser interactiva y creativa, Cualquier tipo de programa, Por ejemplo en visual basic, flash etc.Un juego donde el estudiante aprenda conceptos de la primera unidad, en otras palabras que el aplicativo sea lúdico.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARTE UNO
1. Encuentre la solución general mediante serie de potencias:
a) y’’ – xy = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES
b)(2+x ) y’’ – xy’ – 3y = 0 ²
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Una de las aplicaciones de física es la ecuación de Hermite y legendre, averigüe para que sirvan y además resuelva lo siguiente: Consideremos la ecuación de Hermite pero generalicémosla ligeramente:
Ahora, busquemos soluciones con un cierto desarrollo de Taylor:
Reemplazando en la ecuación de Hermite tenemos:
Así, obtenemos una relación de recurrencia para los coeficientes de la serie:
De donde se desprende lo siguiente: Hay dos series independientes, la de coeficientes con índice par , que solo depende de
, y la de coeficientes con índice impar que depende solo de
tanto hay dos coeficientes arbitrarios
y
linealmente independientes. La ecuación de Legendre de parámetro m
(1 − x 2 ) y′′ − 2 x y′ + m( m +1) y = 0
≥
0 es:
. Por
, y por ende dos soluciones
ECUACIONES DIFERENCIALES Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.
2x p(x ) = − 1 − x2 q(x ) = m(m + 1) 1 − x2
Es
Ambas analíticas en x0 = 0 desarrollos: R1 = R2 = 1
con radio de convergencia de los respectivos
Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x, válida, al menos para x < 1 .
∞
Sea
y = ∑a n x n
. Sustituyendo en la ecuación:
n =0 ∞
∞
∑
(
n n
n
−1)a
n
x
n
−2
∞
−∑
=2
(
n n
n
−1)a
n
x
∞
−2∑na
n
n
=2
n
x
n
+∑m( m +1)a
=1
n
n
x
n
≡0
=0
Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.
x 0 :
2 ⋅1⋅ a2
(
+m m+
1)a0
=
x 1 : 3 ⋅ 2 ⋅ a3 − 2a1 + m( m + 1) a1 x n :
( n + 2 )( n + 1) a n
an +2
Luego:
=−
+
2
−
=
2 = −
a
+
3 = −
a
−
2n ⋅ a n
1)
a
2 ⋅1 (
m m
0⇒
n ( n − 1) a n
(
m m
0⇒
+
+
1) − 2
1 = −
a
3⋅ 2 m( m + 1)a n
=
( m − 1)( m + 2)
0
( m − n)( m + n +1) ( m − n + 2)( m + n −1) =− a ⇒a a ( n + 2)( n +1) n ( n −1) n
n
3!
n
−2
n≥2
ECUACIONES DIFERENCIALES m ( m + 1) 2 ( m − 2) m ( m + 1)( m + 3) 4 x + x −... 2! 4! ( m − 1)( m + 2) 3 ( m − 3)( m − 1)( m + 2)( m + 4) 5 a 1 x − x + x −... 3! 5!
y = a 0 1 −
x <1
y = a 0 y1 ( x ) + a 1 y 2 ( x )
Es decir:
Si m = 0, 1, 2,... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios p n( x ) son respectivamente:
p0 = 1
p1( x ) = x
p2( x ) = 1 - 3 x 2
p3( x ) = x -
5 3
x 3
Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con P m( x ), a la solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m (o sea, el múltiplo de pn( x ), tal que P m (1) = 1. Será:
P0( x ) = 1
P1( x ) = x
P2 ( x ) =
3 2
x2 −
1 2
3. Halle los primeros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de x=0 de la solución y(x) del siguiente problema de valor inicial: y’’x3 +y’+ 3x2+y=0; y(0)=0 , y’ (0)=0 3
2
y ′′ + x y ′ + 3 x y =
( 0)
=
0
y ′(0) =
0
y
x
e
ECUACIONES DIFERENCIALES 3
2
y ′′ + x y ′ + 3 x y = y ′′ + 0 + y ′′ =
0=e
x
e
x
x
e 3
2
y ′′ + x y′ + 3 x y = e 2
3
y ′′′ + 3 x y′ + y ′′′ + 0 + x y ′′′ =
Y
IV
x
x
3
x
e
(
x
2
y ′′ + 6 xy + 3 x y ′ = e
+0+0 =e
e 1− x
3
x
x
) 2
2
3
+6 xy ′ + 3 x y ′′ + 3 x y ′′ +
Y
1V
+ 18 xy ′ + 9 x
Y
1V
+
Y
1V
= e 1 − 9x
Y
1V
= e
2
2
y ′′ + 3
x
2
y ′′′ + 6 y + 6 xy ′ + 6 xy ′ + 3 x y ′′ = e
x
3
x x
y ′′′ + 6 y =
(
3
)
x
e
0 + 9 x e + x e 1 − x + 0 = e x
x
(
− 9x
2
2
e
x
−
x (1 − x ) )
−
x e (1− x )
3
x
x
3
3
x
2
3
3
y = y (0) + y ′(0) x + y ′′(0) x + y ′′′(0) x +
YIV (0)X4
Y= 0/0! + 0/1! + e xx2/2!+ex(1-x3)x3/3!+ex(1-9x2-x3(1-x3))x4/4!
X= - 0.3 Y= 1.2232 X= -0.2
y= 1.6563 X= -0.1
ECUACIONES DIFERENCIALES Y= 1.9145 X=0 Y=0 X=0.1 Y=1.1107 X=0.2 Y=1.2458 X=0.3 Y= 1.1405 4. Investigue una aplicación de las series de Taylor y realice un ensayo o resumen del mismo. En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r , a+r ) se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo ( a-r , a+r ) y la suma es igual a f ( x ), entonces la función f ( x ) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f ( x ), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor . Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a,
es la serie de potencias:
ECUACIONES DIFERENCIALES
que puede ser escrito de una manera más compacta como
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y ( x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno. Estos son ejemplos de series de Taylor de funciones importantes:
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Una extensión de la serie de Taylor y su aplicación a la integración de osciladores Resumen Muchos modelos en Física e Ingeniería son descritos mediante osciladores armónicos perturbados. En este ejemplo se construyen las Gfunciones de Scheifele y un método numérico, especialmente adaptado a la integración de osciladores, utilizando desarrollos en G-funciones, que supone un refinamiento del método de series de Taylor. Su aplicación se ilustra con la resolución exhaustiva de dos problemas test, comparándose la precisión del método frente a otros códigos conocidos, implementados en MAPLE V.
ECUACIONES DIFERENCIALES En la Naturaleza se dan casos de móviles que pasan repetidas veces por una misma posición, en Intervalos de tiempos iguales y lo hacen siempre con la misma velocidad y aceleración. Estos movimientos, como, por ejemplo, el circular uniforme o el de traslación de la Tierra alrededor del Sol, que regula las estaciones del año, se llaman periódicos . Un movimiento periódico se dice oscilatorio si la posición del móvil respecto al origen alcanza un valor máximo y un valor Mínimo, siendo el péndulo un buen ejemplo de este tipo de movimiento. Si las ecuaciones que definen un movimiento oscilatorio contienen las funciones armónicas seno y coseno, el movimiento recibe el nombre de armónico. El movimiento vibratorio armónico simple es descrito por ecuaciones del tipo x (t )= Acos(ωt +ϕ ) ó x (t )= Asin(ωt +ϕ ), solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden, x( t )+ω2 x (t )=0 , homogénea y de coeficientes constantes, donde los puntos Indican derivación respecto al tiempo, siguiendo la notación clásica de Newton. Esta ecuación recibe el nombre de oscilador armónico y surge cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento respecto a un punto de equilibrio y dirigida hacia éste, es decir, cuando al apartar al móvil de esa posición de equilibrio, aparece una fuerza recuperadora dirigida hacia dicha posición. El estudio del movimiento vibratorio armónico simple es sencillo e importante, pues todo sistema que efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio estable se puede tratar en primera aproximación como si fuera un oscilador. La característica más importante del oscilador armónico es la de estar sometido a una fuerza recuperadora. Resulta más realista considerar también la fuerza de fricción, que se produce por el choque de partículas y, como consecuencia, la transformación de energía en calor, que tiende amortiguar la oscilación. Esta fuerza de fricción se suele tomar proporcional a la velocidad, obteniéndose x (t ) +2γ x (t )+ω2 x(t ) que es la ecuación del oscilador armónico amortiguado. La disipación de energía mecánica es algo inherente al movimiento de macrosistemas, fuerzas a escala microscópica como las de rozamiento y viscosidad, al generar calor a expensas de la energía mecánica de la oscilación, hacen imposible en la práctica mantener las oscilaciones de un sistema a menos que se establezca un dispositivo de bombeo de energía que reponga la energía perdida por fricción. Si este aporte de energía se efectúa mediante el trabajo de una fuerza exterior F (t ) , las oscilaciones se dicen forzadas o controladas por esa fuerza. El oscilador armónico amortiguado y forzado, es decir, perturbado, admite la expresión x (t )+2γ x (t )+ω2 x (t )=F (t ) . Existen numerosos procesos en el campo de la Física a los que se puede adaptar un modelo mediante osciladores perturbados. Un primer ejemplo surge al estudiar el movimiento de una masa puntual m a lo largo de una recta fija sujeta a un resorte elástico o muelle. Se sabe por la ley Hooke que la fuerza recuperadora de este dispositivo es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, expresándose mediante la fórmula F = −k( x −) siendo k > 0 la constante recuperadora del resorte, x 0 la longitud natural del mismo y x la coordenada de m.
ECUACIONES DIFERENCIALES Situando el origen de coordenadas en x 0, la expresión anterior se transforma en F = −k x , que, aplicándole la segunda ley de Newton, se puede escribir de la forma m x = −k x . Llamando pulsación o frecuencia angular natural a ω o=
, resulta
la ecuación x +ω2ox = 0 que se corresponde con la de un oscilador armónico simple. Otro ejemplo que aparece en la Física es el de un circuito eléctrico que contiene una resistencia R , un condensador de capacidad C con carga q(t ), una fuerza electromotriz E(t) y una intensidad de corriente I (t ) dq(t ) / dt =. Este circuito nos lleva al siguiente problema de valores iniciales2, PVI, que adopta la forma de oscilador forzado:
L q(0)= qo, q´(0)=Io,
También en los modelos de la Mecánica Celeste se presentan los osciladores armónicos, como en el clásico problema de dos cuerpos que se expone a continuación: Si se considera un sistema inercial de origen O y los cuerpos P 1 y P 2 de masas m1 y m2 y vectores posición r 1 y r 2 respectivamente (Figura 1.), la segunda ley del movimiento de Newton y la ley de Gravitación Universal aplicada a cada uno de esos cuerpos nos permite escribir:
m1r 1== G
y m2 r2 =
-- G
siendo
r2 = r1
con r = /r/
Las expresiones de la aceleración son Una extensión de la serie de Taylor y su aplicación a la integración de osciladores
r2 = G
y r1 = G
ECUACIONES DIFERENCIALES y como r = r 2 – respecto r 1 la fórmula que expresa el movimiento relativo de P 2 de P 1 viene dada por la ecuación: r donde μ= G (m1 +m2) siendo G la constante de gravitación universal. En el estudio de las perturbaciones típicas del problema de dos cuerpos se consideran fuerzas perturbadoras que generalmente, son de pequeña magnitud en comparación con el término principal que da la atracción entre dos puntos. Este término suele llamarse kepleriano . Dichas fuerzas perturbadoras modifican la atracción newtoniana y por tanto las ecuaciones del movimiento. Si de los dos grandes grupos de perturbaciones, las gravitatorias y las no gravitatorias, consideramos las primeras, que proceden de que en lugar de cuerpos puntuales se consideran cuerpos finitos, rígidos o deformables y de la existencia de otros cuerpos que influyen en el movimiento de los dos seleccionados como objeto de estudio, nos encontramos ante el llamado problema del satélite. Si r se considera constante, el modelo matemático que describe el movimiento kepleriano puro, es decir, el problema de dos cuerpos, es el de un oscilador armónico. En el caso del problema del satélite, el modelo matemático asociado es el de un oscilador armónico perturbado . En un sistema inercial de origen O (Figura 2.), el movimiento relativo de dos cuerpos, cuando se considera únicamente la perturbación gravitatoria debida a la presencia de un tercer cuerpo, se puede formular mediante la ecuación:
3
con
d 3 =r 2 -r 1
y ρ = r3 - r1
Figura 2. Problema de tres cuerpos. Esta expresión nos proporciona la aceleración de m2 respecto a m1, siendo suma vectorial de dos aceleraciones, una debida al movimiento kepleriano puro y otra la que produce la perturbación. Para resolver el problema del satélite hay que integrar ecuaciones diferenciales como la anterior.
ECUACIONES DIFERENCIALES En los últimos años, debido fundamentalmente a las mayores exigencias de los programas espaciales, ha ido ganando interés el cálculo preciso de órbitas de satélites artificiales. Desde la década de los noventa, para la resolución de problemas geodésicos o geodinámicos, los geodestas necesitan precisiones subcentimétricas en el cálculo de la posición exacta del satélite artificial en una referencia inercial. Conseguir esta precisión no es fruto de la observación sino del cálculo. En los métodos de cálculo de órbitas, cuando r no es constante, resulta ventajoso sustituir las ecuaciones newtonianas del movimiento por otras mejor acondicionadas para su integración numérica. En Mecánica Celeste, las transformaciones que permiten escribir las ecuaciones del movimiento como ecuaciones diferenciales lineales se llaman linealizaciones (Stiefel and Scheifele, 1971), no debiendo confundir éstas con el método que consiste en desarrollar en serie de Taylor y conservar la parte lineal, pues las transformaciones anteriores, las linealizaciones, son exactas y reducen la ecuación del movimiento a osciladores armónicos perturbados. Una vez efectuada esa tarea, pueden aplicarse para su integración códigos numéricos especiales, con la condición de que permitan integrar el problema sin error de discretización, es decir, si los términos de la perturbación desaparecen en un instante arbitrario de la variable independiente t , el método numérico deberá integrar exactamente el problema no perturbado. Algoritmos desarrollados con este propósito son descritos en (Martín and Ferrándiz, 1997), (Vigo-Aguiar and Ferrándiz, 1998(a)). Los conocidos métodos tipo Runge-Kutta3 (Ola Fatunla, 1988), también integran exactamente el problema no perturbado, pero presentan dificultad en la construcción de un método de orden mayor que cuatro y en el gran número de evaluaciones que precisa su implementación, con el consiguiente coste computacional. En 1971 Scheifele (1971), ideó un método para la integración numérica de osciladores perturbados basado en un refinamiento del método clásico de las series de Taylor, utilizando una sucesión de funciones G k (t ) que permite expresar la solución en términos de series del tipo: x (t ) =
t ) ,
que se utilizan en la construcción de un método de
integración numérica muy preciso. Dicho método presenta la ventaja no sólo de integrar exactamente el problema no perturbado, sino que además lo integra con sólo los dos primeros términos de la serie, mientras que el método de las series de Taylor proporciona una aproximación a la solución mediante una función lineal, si tomamos los dos primeros términos. En este trabajo, se presentan los desarrollos en G-funciones, como una extensión de la serie de Taylor. Basándonos en éstos, se construirá un método de integración numérica para osciladores perturbados, finalizando con un pormenorizado estudio de dos osciladores perturbados que ilustran el modo de empleo del método y contrastan su comportamiento.
ECUACIONES DIFERENCIALES
PARTE II
VER ARCHIVO ADJUNTO
CONCLUSIONES
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa
una serie con términos a n como serie.
donde N es el índice final de la
ECUACIONES DIFERENCIALES
Con esta tercera unidad se nos brindaron técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular.
Una serie de potencias representa a una función f en un intervalo de convergencia y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f, f"
La serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) está definida en un intervalo abierto ( a-r , a+r ).
Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas.
La solución de Ecuaciones diferenciales se pueden resolver mediante series de potencias, siendo esta un reemplazo del método de sustitución
ECUACIONES DIFERENCIALES BIBLIOGRAFÍA
• •
Módulo Curso Ecuaciones Diferenciales- Unad, Bogotá 2008, Wikipedia, http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial ZILL DENIS G. E cuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado , Loyola
•
Ecuaciones Diferenciales, Auto r Denis G. Zill
•
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