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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL DEPARTAMENTO DE CARTOGRAFÍA ESCUELA DE CARTOGRAFÍA

EVALUACIÓN DE LA ALTERACIÓN SUPERFICIAL POR INFLUENCIA DE LA ALTURA Y LOCALIZACIÓN EN UNA PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM)

TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO LICENCIADO EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS

PROFESOR GUÍA AUTOR (es)

: RENÉ ZEPEDA GODOY : MARJORIE TAPIA PRIETO JUAN LUIS RAMIREZ LARA

SANTIAGO - CHILE 2008

Marjorie Tapia Prieto Juan Luis Ramírez Lara

NOTA OBTENIDA:

(Firma y timbre de autoridad responsable)


Con especial cariño A mi familia Guadalupe, Carlos, Hilda y Nicole. Por su incondicional apoyo, por siempre estar cuando los necesite y por creer en mi, muchas gracias. Y a Pelao, que de donde estés estoy segura que te sientes orgulloso de mí.

Agradecimientos: Al término de un trabajo, se mira hacia atrás y se recapitulan todos los momentos vividos en este proceso, sin duda los que más quedan, son los recuerdos de aquellas personas que desinteresadamente ayudaron a que esto fuese posible. A mis Padres y Abuela, por su infinito amor, comprensión y ayuda, en los momentos buenos y difíciles de la vida. A mi Hermana Nicole, por soportar enojos y pataletas cada vez que no resultaban las cosas, pero principalmente por ser mi amiga y pilar fundamental de mi vida. A René Zepeda G., por siempre entregar sus conocimientos y apoyo, por enseñarnos que los cartógrafos somos mucho mas que dibujantes. Muchas gracias profesor, sin duda me siento orgullosa de haber sido su alumna. A Miguel Valladares Q., Mireya González y Eduardo Escobar, por su incansable paciencia, disposición y por siempre tener palabras de aliento cuando se necesito. A Juan Ramírez, por ser un increíble compañero de trabajo y el mejor compañero de tesis. A Rodrigo Miranda, por compartir sus conocimientos, por ser un gran amigo y colaborador de este trabajo. A Sebastián Barahona y Jaime Villanueva, quienes nos mostraron que Geomensores y Cartógrafos pueden trabajar juntos y ser un gran equipo. Amigos, Compañeros de Universidad y todo el equipo de trabajo de la Universidad de Chile, que de forma anónima ayudaron que esto se realizara. Y a todas esas personas que desde muy lejos se acordaron que había dos cartógrafos sufriendo por que las cosas no resultaban.

A todos ustedes, se les agradece por ser parte fundamental de este proyecto. Sin su ayuda esto no hubiese sido posible.

Marjorie Tapia Prieto


Dedico esta tesis Con amor a mi familia, en especial a mis padres Ana y Juan, por su infinito amor, cariño y comprensión, a ellos les debo todo lo que soy.

Agradecimientos “Nunca un año se presento con tantos obstáculos, con seguridad puedo decir que los aprendizajes obtenidos en este proceso marcarán mi camino de aquí en adelante”

Por permitirme que este momento llegara, mis más profundos agradecimientos A Dios, por las personas que puso en mi camino; Mis queridos padres, por su infinito apoyo y confianza en mis años de estudio: A mi abuela “Nana”, por estar siempre conmigo; Mis hermanos, Ricardo y Claudio por su confianza; Mi profesor guía, Sr. René Zepeda, por su apoyo y orientación en el desarrollo de la presente; A los profesores, Sr. Miguel Valladares, Sra. Mireya González y Sr. Eduardo Escobar, por sus aportes, asesorias y consejos; A mi amiga y compañera de tesis, Marjorie Tapia, por su paciencia, apoyo, entrega y tiempo dedicado para lograr este objetivo común; A mis amigos de vida, por todos los momentos inolvidables que hemos vivido; A mis compañeros de Universidad y trabajo, por su colaboración y preocupación hacia mi. A quién desde lejos me prestó su colaboración desinteresada; y a cada una de las personas que intervinieron en este camino dándome una palabra de aliento. Juan Luis Ramirez Lara


RESUMEN La proyección Universal Transversal de Mercator (UTM) es una proyección cartográfica utilizada mundialmente para la representación de mapas. Producto de su masificación no siempre se consideran sus restricciones, asumiendo propiedades que no necesariamente se conservan.

El presente trabajo, expone el desarrollo de una investigación cuyo objetivo principal es determinar las alteraciones métricas superficiales que presenta un polígono, influenciado por la altura y localización en un sistema proyectivo UTM. En este trabajo se presentan conceptos generales de cartografía y geodesia relacionados a los componentes analíticos de referencia vertical y proyecciones cartográficas con especial atención en las propiedades y fundamento matemático de la proyección conforme.

En particular se describe el caso concreto de un polígono generado a partir de determinaciones mediante tecnología GPS con precisión submétrica, a través de un circuito por la comuna de Natales, lugar seleccionado dada su localización proyectada en UTM, detallando la metodología del procedimiento y análisis de los resultados.

Finalmente se presentan las conclusiones obtenidas desde una perspectiva cartográfica acerca del relieve, escala de representación y otras propiedades fundamentales en la representación, precisión y calidad de los resultados.


ABSTRACT

The Mercator Universal Transversal (UTM) is a cartographic projection which is used worldwide for map representation. As a result of its mass use, not always its restrictions are considered, assuming properties that not necessarily are conserved

In order to investigate the superficial metric alterations of a polygon influenced by height and localization in a UTM projection system, a study was developed. In this study, general cartography and geodesy concepts are presented and related with analytical components of vertical reference and cartographic projections, specially with the properties and mathematical basis of the conform projection.

In particular, a description of a specific polygon case which was generated from determinations through GPS technology and a submeters precision from a defined route in the Natales county, a place which was chosen because its UTM projected localization. A detailed methodology, procedures realized and the analysis of the results are presented.

Finally, the conclusions are presented from a cartographic perspective from the relief, representation scale and other fundamental properties on the representation, precision and quality of the results.


Siglas utilizadas en el texto

EA

:

Este Albert

EF

:

Este Falso

IERS

:

International Earth Rotation Service

ITRF

:

International Terrestral Referencie Frame

IGM

:

Instituto Geográfico Militar chileno

GPS

:

Global Positioning System

mc

:

Meridiano central

NC

:

Norte Cartográfico

NA

:

Norte Albers

NF

:

Norte Falso

NG

:

Norte Geocéntrico

ppm

:

Partes por millón

PSAD56

:

Datum Provisorio Sudamericano de 1956

SAD69 :

Datum Sudamericano de 1969

SIG

:

Sistema de Información Geográfica

SIRGAS

:

Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas

TM

:

Proyección Transversal de Mercator

UTM

:

Transversal de Mercator

WGS84

:

World Geodetic System 1984


TABLA DE CONTENIDOS Antecedentes Generales Introducción .

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17

Hipótesis de trabajo .

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20

Objetivo general y específicos.

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21

Contribución .

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22

Metodología .

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22

Capítulo 1: Alcances y consideraciones de los referenciales geodésicos puntualizados en aquellos utilizados en el país. 1.1.- Antecedentes

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23

1.2.- Superficies de referencia

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23

1.3.- Tipologías de superficie

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25

1.4.- Elipsoide de referencia

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27

1.5.- Sistemas geodésicos de referencia

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28

1.6.- Datum

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29

1.6.1.- Datum planimétrico

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30

1.6.2.- Datum satelital

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31

1.6.3.- Datum vertical

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33

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34

1.8.- Superficies elipsoidales .

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35

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1.7.- Línea geodésica


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Capítulo 2: Proyecciones cartográficas, aspectos geométricos y conceptuales de la conformidad y equivalencia. 2.1.- Antecedentes

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37

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38

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38

2.2.2.- Módulo de anamorfosis superficial .

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40

2.2.3.- Condición de conformidad

2.2.- Módulo de deformaciones 2.2.1.- Elipse de Tissot

2.3.- Límite de la proyección .

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40

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44

2.4.- Proyección de Mercator

45

2.5.- Proyección Transversa de Mercator

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46

2.6.- Proyección Universal Transversal de Mercator

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48

Parámetros UTM 2.6.1.- Husos cartográficos .

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50

2.6.2.- Este falso y norte falso

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51

2.6.3.- Convergencia de meridianos .

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53

2.6.4.- Reducción de la cuerda

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54

2.6.5.- Factor de escala

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55

2.6.6.- Fórmulas Proyección Universal Transversal de Mercator .

55

2.7.- Proyección cónica de Albers

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56

2.7.1.- Fórmulas Albers sobre el elipsoide .

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58


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Capítulo 3: Manejo de SIG y “opensource” como herramientas de trabajo con datos espaciales. 3.1.- Antecedentes

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59

3.2.- GIS y CAD

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60

3.3.- Dato, base de dato y cobertura geográfica

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61

3.4.- Determinación de área .

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62

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62

3.5.- Alcances técnicos de librería proj4

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63

3.6.- Estructura y aplicación .

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64

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65

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66

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66

4.1.2.2.- Levantamiento de campo .

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68

4.1.2.3.- Instalación de receptor base GPS .

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68

4.1.2.4.- Identificación de puntos GPS

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69

4.1.2.5- Obtención de coordenadas GPS

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69

4.1.3.1.- Determinación polígono de trabajo

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70

4.1.3.2.- Determinación de proyecciones cartográficas utilizadas .

71

3.4.1.- Método de Gauss

Capitulo 4: Metodología y Resultados 4.1.- Metodología 4.1.1.- Antecedentes .

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4.1.2.- Metodología de terreno 4.1.2.1.- Área de estudio

4.1.3.- Metodología de gabinete


4.1.3.3.- Determinación de los escenarios .

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73

4.1.3.4.1.- Conversión de coordenadas

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74

4.1.3.4.2.- Modelo poligonal en Autocad

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77

4.1.3.4.3.- Variación métrica entre escenarios

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78

4.1.3.4.4.- Módulo de deformación .

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79

4.1.3.4.5.- Extrapolación factor de escala superficial

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79

4.1.3.4.- Procesamiento de datos

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4.2.- Presentación de resultados 4.2.1.- Vértices de coordenadas UTM – Albers

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81

4.2.2.- Área en función de los distintos escenarios .

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85

4.2.3.- Polinomio de Lagrange

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90

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93

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100

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103

Análisis y Conclusiones Análisis

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Conclusiones, recomendaciones y alcances del trabajo

Bibliografía .


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Anexos

I. Referenciales Geodésicos Cálculos de las normales principales

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105

Radio de curvatura de la elipse meridiana (M)

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105

Normal principal (N) .

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108

Cálculo de arcos sobre el elipsoide .

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111

Longitud de arco de meridiano (Sm) .

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Longitud de arco de paralelo (Sp)

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113

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113

Sistema de coordenadas cartesianas

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114

Sistema de coordenadas geodésicas

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115

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116

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118

Sistema coordenado .

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Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas

111

II. Proyecciones cartográficas Proyección cilíndrica .

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Proyección cilíndrica regular

118

Proyección cilíndrica transversa

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119

Proyección cónica

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119

Proyección conforme .

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120

Proyección equivalente

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121


III. Sistema vertical de referencia Tipos de altura

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123

Alturas niveladas

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123

Alturas elipsoidales

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124

Alturas ortométricas .

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124

Alturas dinámicas

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125

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125

Alturas de tipo geométrico

Alturas de tipo físico

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Alturas normales


INDICE DE FIGURAS Capítulo Alcances y consideraciones de los referenciales geodésicos puntualizados en aquellos utilizados en el país. Figura N º 01

Superficies de referencia

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25

Figura N º 02

Parámetros elipsoidales

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27

Figura N º 03

Comparación entre sistemas de referencia .

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29

Figura N º 04

Ondulación geoidal (N)

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33

Figura N º 05

Línea geodésica

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34

Figura N º 06

Árco de meridiano y paralelo esférico

Figura N º 07

Arco de meridiano y paralelo elipsoidal.

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35 .

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36

Capítulo Proyecciones cartográficas, aspectos geométricos y conceptuales de la conformidad y equivalencia. Figura N º 08

Círculo de radio unitario y elipse indicatriz de Tissot.

Figura N º 09

Conservación de ángulos traspaso del elipsoide al plano 41

Figura N º 10

Proyección Universal Transversal de Mercator

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48

Figura N º 11

Campo proyección UTM

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49

Figura N º 12

Husos cartográficos UTM

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Figura N º 13

Husos UTM para Chile

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51

Figura N º 14

Huso UTM hemisferio sur

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52

Figura N º 15

Convergencia meridiana

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53


39

50

Figura N º 16

Reducción de direcciones.

Figura N º 17 Figura N º 18

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54

Proyección equivalente de Albers

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56

Albers sobre el elipsoide

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58

Capítulo Metodología y resultados Figura N º 19

Área de estudio

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67

Figura N º 20

Escenarios

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74

Figura N º 21

Modelos poligonales .

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78

Figura N º 22

Escenarios en función de su ubicación geográfica .

86

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Capítulo Análisis y conclusión Figura N º 23

Comparación polígono proyectado UTM y Albers .

96

Figura N º 24

Radio de curvatura de la elipse meriadiana .

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105

Figura N º 25

Gran normal .

Figura N º 26

Arcos sobre el elipsoide

Anexos

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108

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111

Figura N º 27

Sistema de coordenadas cartesianas

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114

Figura N º 28

Sistema de coordenadas geodésicas

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115

Figura N º 29

Proyección cilíndrica .

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118

Figura N º 30

Proyección cónica

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120

Figura N º 31

Relación entre alturas

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125


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INDICE DE TABLAS Tabla N º 01

Vértices corregidos polígono original

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70

Tabla N º 02

Vértices escenarios alternativos – coordenadas .

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82

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84

Tabla N º 04

Determinación superficial de los escenarios

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85

Tabla N º 05

Diferencia superficial referido a la altura

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87

Tabla N º 06

Diferencia superficial referido a la localización .

87

UTM-Albers / WGS84 Tabla N º 03

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Vértices polígono 1 – coordenadas UTM Albers / PSAD56

Geográfica Tabla N º 07

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Diferencia superficial entre escenarios alternativos y Original

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87

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90

Gráfico N º 01

Comparación superficies de los escenarios .

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88

Gráfico N º 02

Comparación superficial polígono 1 entre sistemas de

Tabla N º 08

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Polinomio de Lagrange

INDICE DE GRÁFICOS

referencia WGS84 / PSAD56

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89

Grafico N º 03

Factor de escala superficial .

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91

Gráfico N º 04

Comportamiento factor de escala superficial

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92

Gráfico N º 05

Comportamiento superficial en base a la localización


95

ANTECEDENTES GENERALES

Introducción

Actualmente la producción cartográfica goza de un auge gracias al avance de las tecnologías que han permitido tecnificar los procesos mejorando ostensiblemente la calidad de los resultados, pero a la vez, estos mismos procesos se han vuelto comunes y reiterativos, obviando cuan importante resulta conocer y analizar el comportamiento de las variables que inciden en el campo de la representación, esto último evidencia la indiscutible necesidad de identificar como intervienen la altura, localización y huso cartográfico, sus limitantes e influencia en el resultado de las alteraciones y errores inherentes al proceso proyectivo, a fin de determinar su significancia en los resultados y optimizar su utilización.

Un elemento abordado en los estudios cartográficos corresponde a la estimación de superficie, información básica para una variedad de trabajos, dado las múltiples circunstancias que dan lugar a operaciones conducentes al dimensionamiento areal. Toda determinación superficial, estará afectada por algún grado de imprecisión originada por la influencia combinada de omisiones y errores de carácter sistemático y accidental presentes en la mensura, así como por causales de tipo topográfica, geodésica y cartográfica.


Considerando la cantidad de situaciones que afectan las magnitudes areales, la presente tesis evaluará la significancia de la altura, relieve y localización geográfica en el comportamiento superficial de un polígono en distintos escenarios.

La tesis que se presenta expone en un comienzo las generalidades de la problemática a investigar, la hipótesis de trabajo, el objetivo general y los específicos y el aporte de esta investigación.

El primer capítulo plantea los alcances de los referenciales geodésicos, el elipsoide como figura matemática de referencia mediante sus características y propiedades geométricas. El sistema vertical de referencia, junto al concepto de datum y sistemas geodésicos de referencia puntualizados en aquellos utilizados en el país.

El segundo capítulo corresponde a las proyecciones cartográficas, basándose en sus generalidades y conceptos geométricos, con énfasis en los aspectos conceptuales de la proyección conforme y equivalente, específicamente la proyección Universal Transversal de Mercator (UTM) en el primer caso y husos cartográficos y la Proyección de Albers en el caso de las equiáreas.


El tercer capítulo realiza una referencia acerca de los Sistemas de Información Geográfica y sus aplicaciones así como al manejo de librería Proj4 como software libre para el trabajo de datos cartográficos.

El cuarto capítulo describe los pasos metodológicos aplicados en esta investigación con una experiencia en concreta en nuestro país, expresando los resultados del mismo.

De modo de finalizar la investigación se analizan los resultados alcanzados y se exponen las conclusiones generales que se desprende de la totalidad de los temas abordados por esta tesis.

Aparte existe un anexo con información general, para reforzar el contenido abordado en este trabajo de investigación.

Se incluyen tablas, gráficos y figuras en todos los capítulos como en el anexo, a fin de graficar y facilitar cada una de las ideas expuestas.


Hipótesis de trabajo

El efecto en conjunto del relieve y la deformación de escala de la Proyección Universal Transversal de Mercator, afecta la dimensión real de una superficie poligonal, cuyas magnitudes pueden ser evaluadas al enfrentarse en diferentes escenarios alternativos.


Para demostrar la hipótesis propuesta se han planteado los siguientes objetivos:

Objetivo general

- Estudiar el comportamiento métrico de un polígono en la comuna de Natales originadas por la influencia de la altura en el sistema de proyección UTM a través de sus variaciones en distintos escenarios del terreno.

Objetivos específicos

- Evaluar criterios de selección de las variables referidas a este estudio.

- Determinar la variación superficial a medida que se modifica su localización original (altura, distancia desde el meridiano central y Ecuador).

- Analizar el comportamiento de un polígono bajo diferentes características territoriales.

- Evaluar las alteraciones métricas del polígono.


Contribución

El aporte de esta tesis se focaliza en conocer la influencia de la altura en una zona que se representa extrema en la proyección UTM y demostrar como las variables determinan la calidad del resultado. También evidenciar que de aquellas bases cartográficas que se conoce el origen y calidad del dato, se le pueden otorgan múltiple utilidad ya que mantienen su vigencia en el tiempo. Igualmente existe un aporte a la propia disciplina al abarcar un tema escasamente desarrollado y en la que el cartógrafo tiene el conocimiento y la capacidad de aportar, más si se considera que esta temática es parte de un proceso natural en la elaboración cartográfica.

Metodología

La aplicación de un enfoque sistemático, permite abarcar esta temática desde una perspectiva que va de lo general a lo particular, estudiando, analizando y evaluando el problema a fin de emitir un diagnóstico general. Para ello se utilizará aspectos geodésicos y cartográficos así como fórmulas del sistema proyectivo conforme TM y sus derivados.


CAPITULO I ALCANCES Y CONSIDERACIONES DE LOS REFERENCIALES GEODÉSICOS PUNTUALIZADOS EN AQUELLOS UTILIZADOS EN EL PAÍS

1.1.-Antecedentes La complejidad del sistema Tierra, su superficie altamente irregular, el dinamismo y sus características elásticas, requieren para su representación de una figura capaz de asimilar parte de estas condiciones y permita un estudio y análisis matemático constituyéndose en el referencial geodésico.

Han sido muchos los intentos por relacionar la superficie terrestre con alguna figura de referencia, destacando en este ámbito el aporte de Laplace (Martín Asín, Fernando. 1990) que plantea el modelo elipsoidal como figura de la Tierra y Gauss, quién rebate esta idea, planteando que el elipsoide no resulta válido si se pretende obtener exactitud, introduciendo el concepto del geoide. 1.2.- Superficies de referencia

Resulta complejo definir la forma de la Tierra. Una primera aproximación, de orden físico lo constituye una superficie equipotencial que coincide con la superficie de los océanos en reposo extendida idealmente sobre los continentes y que recibe el nombre de geoide.


La disímil distribución de masas al interior de la Tierra conjugada a su forma, no permiten su descripción analítica, condición para una proyección cartográfica y sus determinaciones

geométricas.

Considerando

lo

anterior,

la

superficie

analíticamente

desarrollable que más se utiliza y se acepta para la descripción de la forma de la Tierra es el elipsoide de revolución

El aspecto que presenta el geoide en las diferentes regiones, determina el tamaño y forma de los elipsoides locales. Las diferencias de posición entre la superficie del elipsoide y geoide producto de la irregularidad de este último, se denominan ondulaciones geoidales. Si estas superficies se relacionan con un punto sobre la superficie topográfica, se puede establecer un punto datum, una vez conocidos la latitud y longitud geodésica, altura del punto, deflexión de la vertical en el origen y el azimut geodésico

Cabe hacer notar que lo expresado cartográficamente, es por una parte la figura del elipsoide (cánevas) y por otra, la superficie del geoide (detalles orográficos, hidrográficos y planimétricos). Es evidente que esta dualidad de figuras empleadas tendrá mayor divergencia entre la realidad y la representación mientras más se alejan ambas figuras de la coincidencia perfecta, viéndose afectadas las magnitudes superficiales representadas.


1.3.- Tipologías de superficies

De lo anterior se desprende que existen varios tipos de superficies que se deben considerar al momento de efectuar mediciones (ver figura 01).

Superficie Terrestre

Elipsoide

Geoide

Figura 01: Superficies de referencia, fuente: www.inegi.gob.mx

Una de ellas es la superficie terrestre o topográfica que corresponde a la cubierta real de la corteza terrestre, con toda la morfología respectiva. Representar esta superficie en un plano, implica alteraciones angulares y posicionales, siendo descartada para algunos fines métricos.

Otra de ellas corresponde a la superficie planimétrica, que se caracteriza por ser un plano horizontal de referencia para operaciones topográficas al cual se proyectan de forma ortogonal los detalles del terreno. No considera la curvatura de la Tierra, por consiguiente para superficies de magnitudes restringidas es perfectamente viable a diferencia de magnitudes mayores donde se hace insostenible.


Una siguiente superficie, la geoidal, se determina a base de extensas mediciones gravimétricas y es aquella que mejor se aproxima a la forma de la Tierra. En general se expresa de forma numérica mediante un modelo digital y aún cuando la altura la emplea como nivel de referencia, resulta complejo considerar áreas sobre su superficie.

Otra superficie importante de considerar, es la geodésica o elipsoidal, cuya superficie regular corresponde a la de un elipsoide de revolución, figura base para las representaciones cartográficas

Una última corresponde a la superficie cartográfica, nombre con el que se identifica al resultado de la proyección y que se ve afectada por limitaciones de orden normativo, posibles de conocer y manipular, resultando la guía fundamental para las operaciones conducentes a las determinaciones areales.


1.4.- Elipsoide de referencia

Se define un elipsoide, como aquel cuerpo geométrico generado a partir de la rotación de una elipse meridiana sobre su eje menor, adquiriendo de esta forma el factor volumen que caracteriza a un elipsoide de revolución. Dado que las determinaciones de las coordenadas de un punto sobre la superficie terrestre deben ser soportadas por algún tipo de superficie, resulta el elipsoide la figura definida que sirve de materialización al cálculo de la situación de los puntos geodésicos, determinándose como elipsoide de referencia una vez que se define su configuración de acuerdo al geoide a través de los parámetros matemáticos de una elipse (ver figura 02).

Parámetros

Z

a : Semieje mayor b : Semieje menor F y F´ : Focos de la elipse e : Excentricidad

b F

F´ a

Y

X

a2 − b2 a2 = 1 − a2 b2 a 2 − b2 a 2 (e' 2 ) : = 2 −1 b2 b (e 2 ) :

f : Achatamiento

(f): Figura 02: Parámetros elipsoidales


a −b b = 1− a a

1.5.- Sistemas geodésicos de referencia

Un sistema clásico se caracteriza por escoger un elipsoide de referencia ajustado al geoide de la zona en un determinado lugar, conocer las coordenadas del punto datum y la orientación del elipsoide. En el caso particular de Chile, los elipsoides de referencia utilizados son:

- Elipsoide internacional de 1924 - Elipsoide Sudamericano de 1969

En el caso de una figura que represente completamente a la Tierra, se opta por un elipsoide ajustado al geoide en su totalidad, un elipsoide global, que debe cumplir con las condiciones de igualdad de volumen con el geoide, coincidencia de planos ecuatoriales y del centro de masa de la Tierra con el centro del elipsoide y hacer mínima la suma de los cuadrados de las alturas geoidales (ver figura 03).

El elipsoide global empleado por el sistema de posicionamiento GPS, es el WGS-84.


Figura 03: Comparación entre sistemas de referencia

1.6.- Datum

Determinado el elipsoide como figura de referencia de la Tierra, se requiere de un sistema que permita materializar un punto en concreto con sus valores de coordenadas, este modelo matemático denominado datum, adopta un elipsoide y se ajusta al geoide de manera que ambas figuras constituyan en conjunto la referencia horizontal y vertical.


1.6.1.- Datum planimétrico

Un datum geodésico horizontal, corresponde al elipsoide una vez que se han definido sus dimensiones y se ha fijado espacialmente respecto a la superficie terrestre, definiendo valores iniciales que servirán de base para materializar la posición de los puntos de la superficie terrestre en el elipsoide.

Existen dos formas de determinar un datum geodésico planimétrico, por observación astronómica única y por orientación astronómica geodésica del datum.

La primera se basa en observaciones astronómicas sobre un punto de triangulación de primer orden, igualándolas a las geodésicas (desviación de la vertical nula), asumiendo que el geoide y elipsoide coinciden. Un datum local de este tipo en Chile corresponde al Hito XVIIIelipsoide internacional de 1924, en Tierra del Fuego, región de Magallanes.

El segundo caso, se define la desviación de la vertical en varias estaciones en una vasta área (estaciones Laplace: vértice geodésico de una red de primer orden en el que se haya efectuado una observación de precisión, a fin de determinar su longitud y el acimut de un lado geodésico con origen en el vértice considerado), escogiendo una como origen del sistema, en donde la posición del elipsoide se ajusta a la curvatura de la Tierra, de tal manera que sea mínima la deflexión de la vertical.


En Chile el IGM, implementó los Datum Provisorio Sudamericano de 1956 (PSAD56 – Elipsoide internacional de 1924), con vértice de origen en La Canoa-Venezuela como sistema de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud 43º30´S y Datum Sudamericano de 1969 (SAD69 – Elipsoide sudamericano de 1969), con origen establecido en la localidad de Chúa-Brasil, como referencia para el extremo sur del país.

1.6.2.- Datum satelital

Su importancia radica en distribuir de forma similar en toda la superficie terrestre el error de sistema y no que dependa de la cercanía al punto de origen. El posicionamiento GPS requiere de un sistema de referencia bien definido, consistente, global y geocéntrico, lo que implica considerar todo el globo terrestre y cuyo origen sea el centro de masa de la Tierra, por este motivo el Departamento de Defensa norteamericano ha diseñado en base a datos satelitales, gravimétricos y astronómicos, un sistema geodésico mundial de referencia para el sistema de posicionamiento satelital y que a la vez proporciona entre otra información un mapa de alturas geoidales.

Actualmente el sistema geodésico mundial 1984 (WGS84), corresponde al sistema de referencia para el GPS, resultando compatible con el Sistema de Referencia Terrestre Internacional –ITRF, bajo los siguientes aspectos.


Posición: Origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo océanos y atmósfera Orientación: Eje Z en dirección del polo de referencia definido por IERS Eje X en la intersección del meridiano de referencia IERS y el plano ecuatorial Eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro.

En la actualidad Sudamérica cuenta con SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas), con un marco de referencia primario ITRF, con el propósito de compatibilizar los sistemas geodésicos utilizados, adoptando para el continente una red de referencia compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, integrando la totalidad de América. Si bien el proyecto se inicia en el año 1993 con la participación de todos los países sudamericanos, sólo en el año 2001, Chile a través del IGM inicia su materialización oficial mediante el proyecto de Materialización y Homogenización de la red geodésica Nacional, estructurando preliminarmente con 269 vértices geodésicos de alta precisión a lo largo del país, el nuevo marco de referencia geocéntrico, contando en la actualidad cerca de 500 puntos en el territorio nacional.


1.6.3.- Datum vertical

Se define altura como la distancia vertical entre un punto sobre la superficie terrestre y el datum vertical. Clásicamente se ha adoptado como superficie el nivel medio de los mares, que es la denominación del geoide, correspondiente a la figura de referencia de carácter global y cuya superficie teórica una todos los puntos que tienen la misma gravedad. Su determinación, esta en función de la densidad y distribución de masas al interior de la Tierra, coincidiendo con la superficie de los mares en reposo y extendido idealmente sobre los continentes, adquiriendo de esta forma la característica de uniformidad. Este nivel de superficie sirve de referencia a las alturas ortométricas (H). Considerando que el origen de las alturas elipsoidales (h) es una figura analítica, las alturas del tipo físico sólo pueden relacionarse con los elipsoides modelando el comportamiento de la gravedad local, esto es, conociendo la ondulación geoidal (N) del lugar (ver figura 04).

Figura 04: Ondulación Geoidal (N), Fuente: Base de datos geodésicos para o Estado de Parana


1.7.- Línea geodésica

Se determina como aquella curva trazada sobre una superficie que cumple con la condición de ser la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera. En el elipsoide de revolución, es aquella curva alabeada (doble curvatura), en las cuales su normal principal es coincidente con la normal al elipsoide en cada uno de los puntos de dicha curva (ver figura 05).

Figura 05: Línea geodésica

Se caracteriza porque a lo largo de la geodésica el producto del radio del paralelo por el seno del azimut es una cantidad constante. Ello implica que mientras el recorrido de la línea geodésica aumenta en latitud, la línea geodésica debe aumentar su acimut hasta que éste alcance los 90º y el radio de paralelo alcance su mínimo valor para descender nuevamente hacia el Ecuador, donde el acimut irá disminuyendo hasta ser 0 en la latitud 0º.


1.8.- Superficies elipsoidales Corresponde al desarrollo analítico de aquellas expresiones que permiten obtener el área de una superficie esferoidal.

Fórmulas esféricas: Para un área con incrementos infinitesimales pequeños tanto en latitud como longitud sobre una esfera de radio R (ver figura 06), se tiene:

ESFERA

φ2

R ⋅ dφ

R ⋅ dφ

R ⋅ cos φ ⋅ dλ λ1

φ1

λ2

Figura 06: Arco de meridiano y paralelo esférico

A = R 2 ⋅ (senφ2 − senφ1 )[(λ2 − λ1 )]


Longitud arco meridiano

Longitud arco paralelo

R ⋅ cos φ ⋅ dλ

Fórmulas elipsoidales: Considerando que sobre el elipsoide los puntos no conservan los mismos radios dado la forma de su figura, se consideran los radios de curvatura de las secciones normales principales (Primer vertical y meridiano respectivamente) (ver figura 07).

ELIPSOIDE

φ2

M ⋅ dφ

Longitud arco meridiano

M ⋅ dφ Longitud arco paralelo

φ1

N ⋅ cos φ ⋅ dλ λ2

λ1

Figura 07: Arco de meridiano y paralelo elipsoidal

 senφ 1  1 + e ⋅ senφ   A = (λ 2 − λ1 ) ⋅ b 2  ⋅ ln 2 2 4 e 1 − e ⋅ sen φ − 2 1 e sen φ   

(


)

N ⋅ cos φ ⋅ dλ

CAPITULO II PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS, ASPECTOS GEOMÉTRICOS Y CONCEPTUALES DE LA CONFORMIDAD Y EQUIVALENCIA

2.1.- Antecedentes

Una Proyección cartográfica se constituye por la correspondencia matemática biunívoca entre los puntos de una superficie esférica, elipsoidal u otro cuerpo geométrico de referencia y sus proyectados en un plano.

Si bien el proceso de proyectar los datos se realiza mediante un procedimiento matemático, se debe tener presente que se está representando un espacio terrestre sobre una superficie plana, como consecuencia se generan deformaciones lineales, superficiales y angulares. Este problema se resuelve al representar las coordenadas rectangulares del plano X e Y en función de las coordenadas geodésicas de latitud (φ ) y longitud (λ ) o viceversa, priorizando las propiedades que se desean conservar en el área de interés en perjuicio de inducir mayores errores al campo de menor interés. En parte, la elección de una proyección cartográfica se realiza en función de la propiedad que se desea conservar, además de la disposición y localización de la zona de estudio, a fin de minimizar las alteraciones inherentes al proceso proyectivo en el área de interés.


2.2.- Módulos de deformación

El proyectar los elementos desde un cuerpo geométrico de referencia sobre un plano de proyección, tiene como consecuencia que tanto elementos lineales, angulares y superficiales, suelan verse afectados por variaciones en su representación. El calcular los valores de las deformaciones producidas por dicha transformación así como los módulos correspondientes a cada elemento, permite obtener y conocer las condiciones a cumplir por las proyecciones para que conserven sus propiedades. En el caso particular de este estudio se pondrá énfasis a las deformaciones superficiales.

2.2.1.- Elipse de Tissot Si se desea estudiar las deformaciones resulta indispensable conocer el postulado del francés Tissot (Millán Gamboa, José. 2006), que indica, para cada circulo infinitesimal de centro 0 y radio unitario, situado sobre el elipsoide, le corresponde en el plano una elipse (Elipse Indicatriz de Tissot), esto considerando los valores correspondientes a todas las direcciones obtenidas al girar los 360º sobre el elipsoide y uniendo los extremos de los segmentos transformados. El principio fundamental de esta indicatriz, señala que para cada punto en la superficie del elipsoide, existen dos geodésicas perpendiculares “direcciones principales”, tales que sus transformados en el plano también lo son. El estudio de las propiedades de esta elipse se basa en conocer la orientación y la longitud de los trazos conformantes de las direcciones, para determinar así las deformaciones inherentes a un sistema proyectivo, recurriendo al


Teorema de Apolonio que determina los semiejes a y b (diferenciales que habiendo sufrido rotación durante las transformación mantienen su perpendicularidad) y los relaciona con los semiejes conjugados “m1” y “m2”, con el ángulo formado entre ellos y los semiejes a y b (ver figura 08).

Figura 08: Círculo de radio unitario y elipse indicatriz de Tissot, Fuente: Manual de Carreteras

Por lo tanto, para comprender las deformaciones que afectan a una zona, habrá que considerar que en su extensión existen infinitos valores de deformaciones diferentes entre si, que habrán de ser racionalizados para determinar los valores y la orientación de esta deformación.

Tissot es un excelente indicador de las distorsiones que introducen las diversas proyecciones cartográficas.


2.2.2.- Módulo de anamorfosis superficial ( S )

Se conoce como deformación superficial al cuociente que se genera entre un elemento superficial en el plano y su correspondiente en el elipsoide. En el caso de las proyecciones equivalentes el valor de este modulo corresponderá a uno.

Se define el modulo de anamorfosis superficial como:

S=

dS1 Sup.elipse.indicatriz = dS Sup.circulo.unitario

Donde:

S=

π ⋅a ⋅b a ⋅b = =1 1 π ⋅ dS 2

2.2.3.- Condición de conformidad Los incrementos diferenciales iguales del arco meridiano y paralelo, determinan las proyecciones conformes, para que esto se produzca la Elipse Indicatriz de Tissot se transforma en un círculo de semiejes α = β , en consecuencia la escala de cada punto será valida (igual) en todas las direcciones, pero variable de un punto a otro. Las semejanzas de las figuras representadas determinarán la nula alteración angular por lo que la representación conservará las formas.


Al considerarse dos curvas (C1 y C2) del elipsoide, que admiten en P2 las tangentes (T1 y T2), forman un ángulo α , su imagen en el plano proyectado serán dos curvas (C´1 y C´2) que tendrán en el punto P´2, las tangentes (T´1 y T´2) que forman un ángulo β , tal que cualquiera fuesen las curvas consideradas, se tendrá que α = β ( Ver figura 09)

Ejemplo extraído: Tesis Evaluación de la aplicación del huso TM para Chile continental, aplicable a cartografía del Ministerio de Bienes Nacionales Fernando Millar Ordenes, 2003

Figura 09: Conservación de ángulos del traspaso de elipsoide al plano

Para cumplir la condición de conformidad se utilizan coordenadas intermedias conocidas como isométricas. La latitud isométrica (λ), longitud geodésica, la latitud isométrica ( q ) se define

1

φ

0

0

M

∫ dq = ∫ N secφ * ∂φ Donde

M =

a(1 − e 2 )

(1 − e sen φ ) 2

2


3

y 2

N=

a

(1 − e sen φ ) 2

2

Reemplazando

(1 − e )(cos φ + sen φ ) ∫ (1 − e φsen φ )cosφ (cos + sen φ )∂φ φ

2

2

2

2

2

2

2

0

Separando se obtiene φ

∂φ 1.∫ − e2 cos φ 0

φ

2.∫

y

0

cos φ∂φ − e2 1 − e 2 sen 2φ

(

)

Integral (1) φ

 π

∂φ

φ 

∫ cosφ = Lntg  4 + 2  0

Resolviendo la integral (2) y combinando los resultados

 π φ  1 − esenφ  e 2      q = Ln tg  +    4 2  1 + esenφ     Debido que en las proyecciones conformes las deformaciones angulares son nulas, Tissot es un círculo que se puede definir de la siguiente forma:

a=b=h=k =

E G = M r

La condición de conformidad se deduce igualando las cantidades Gaussianas E = G en función de la latitud isométrica ( q )

∂x ∂y = ∂λ ∂q

∂x ∂y = ∂q ∂λ

Teniendo en cuenta 2

 ∂x   ∂y  E =   +    ∂φ   ∂λ 


2

2

 ∂x   ∂y  ; G=  +   ∂λ   ∂λ 

2

; F =

∂x ∂x ∂y ∂y + ∂φ ∂λ ∂φ ∂λ

Se obtiene debido que los ángulos del elipsoide deben ser preservados en el plano cartográfico

F=

∂y = ∂λ

∂x ∂x ∂y ∂y + =0 ∂φ ∂λ ∂φ ∂λ −

∂x∂y ∂q∂λ ∂y ∂q

Se obtiene 2

 ∂x  2 2    ∂x   ∂y  ∂λ   +   =  2  ∂y   ∂q   ∂q     ∂q 

 ∂x  2  ∂y  2    +     ∂q   ∂q  

Por definición 2

 ∂x     ∂λ  = 1 2  ∂y     ∂q 

∂x ∂y =± ∂λ ∂q

Tomando la raíz positiva

∂x ∂y =− ∂λ ∂q Las ecuaciones de Cauchy Riemann en función de la conformidad se definen

∂x ∂y = ∂λ ∂q

y


∂x ∂y =− ∂q ∂λ

2.3.- Límite de la proyección El desarrollo de una proyección está determinado por su punto de origen, conocer este antecedente permitirá definir el dominio sobre el que puede aplicarse sin que la anamorfosis supere un valor determinado, considerando que las deformaciones se presentan a medida que se alejan del origen.

En una proyección conforme, resulta indispensable conocer la extensión de representación, con el fin, que las deformaciones lineales no excedan el valor limite de anamorfosis lineal, así por ejemplo, si la denominada alteración se fija en K=1/2500, ese valor define el campo de proyección. Al relacionarlos con la escala del mapa, se obtiene:

1 , 1 k +1 = k E E

(

)

Donde k l = 1.005 ≅

1 2.000

k , l = kl − 1 =

1 2.000

Este factor se encuentra determinado por la latitud media del hemisferio sur, para la proyección UTM correspondiente a 40ºS y el borde del huso de ésta, en consecuencia, si el factor de escala lineal, es mayor a 1, 00497, no es aplicable para estudios de mayor detalle.


2.4.- Proyección de Mercator Creada por Gerardus Mercator en 1569, con el fin de responder a la necesidad de orientación de cualquier navegante al permitir dirigir el rumbo de las embarcaciones en largas distancias mediante el trazado de líneas rectas.

Se trata de un desarrollo directo y conforme de la esfera terrestre, proyectando todos los puntos sobre el cilindro tangente al Ecuador, ofreciendo como imagen, el de un conjunto de meridianos trazados como rectas equidistantes paralelas al eje de ordenadas, en tanto que los paralelos se trazan horizontales paralelos de eje de abcisas (Ecuador), cuyo espaciado aumenta progresivamente hacia los polos para asegurar la condición de conformidad. De esta forma, se puede reproducir el trayecto que sigue un rumbo constante (loxodrómicas), su defecto radica, en la desproporcionada distancia que separa a los paralelos a medida se alejan del Ecuador en dirección a los polos.

Un mapa con este tipo de proyección es bastante preciso en las regiones cercanas al Ecuador, no así en las altas latitudes donde va perdiendo calidad al distorsionarse. Las direcciones se presentan con precisión, no así sus áreas y distancias.


2.5.- Proyección Transversa de Mercator (TM)

La Proyección Transversal de Mercator (TM), iniciada por Johann Heinrich Lambert año 1772, resolvió el problema de pérdida de escala, adoptando el cilindro perpendicular al eje del mundo (Transversal). Se forma proyectando las coordenadas de la Tierra sobre un cilindro que envuelve a la superficie terrestre tangente en un meridiano (meridiano central), que será representado como línea recta al igual que el Ecuador, por el contrario los demás meridianos y paralelos se graficarán curvos al punto de origen. La conformidad es una de sus características principales, lo que implica la conservación de sus ángulos, manteniendo las formas de áreas pequeñas. Los únicos parámetros necesarios para definir esta proyección son la longitud del meridiano central y la latitud de referencia. Para cubrir la totalidad del elipsoide, se dispone de numerosos cilindros transversales obteniendo como resultado que cada uno de ellos tiene un campo de acción específico como límite para que los errores no excedan cierta norma.

Dada las características del territorio nacional donde su mayor extensión lo alcanza en dirección norte – sur, el empleo de esta proyección resulta valido, tomando en consideración que permite la representación de la superficie terrestre de grandes extensiones en esta dirección.


DE MERCATOR

A TRANSVERSA DE MERCATOR

Gerhardus

Edward

Johann

Carl

Mercator

Wright

Lambert

Gauss

L.Kruger

Crea la

Desarrolla la

Resuelve el

Desarrolla

Pública las

proyección

proyección

problema

analíticamente la

fórmulas

cilíndrica.

de Mercator

de pérdida de

poyección TM

referidas al

matemáticamente

escala, colocando el cilindro transversal al eje del mundo.

Parámetros Transversal de Mercator - Latitud de origen

: Normalmente 0º (Ecuador)

- Factor de escala (K0 )

: Normalmente 1.0 (Meridiano central)

- Ancho de Huso

: 3º a 6º

- Este Falso ( EF )

: 500.000 m

- Norte Falso ( N F )

: varios


elipsoide

2.6.- Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM)

Es un sistema definido internacionalmente a mediados de siglo XIX después de la II guerra mundial, por el cuerpo de ingenieros del ejército norteamericano, creado con la idea de disponer de mapas militares con coordenadas rectangulares de cualquier parte del mundo, homogenizando en parte la representación cartográfica.

En rigor, se basa en una proyección Transversa de Mercator (TM) que se le han impuesto parámetros específicos, tales como el desarrollo de meridianos centrales y longitudes de husos. Corresponde a un sistema policílindrico, dado que se emplean distintos cilindros tangentes a varios meridianos, cubriendo la totalidad del elipsoide de forma longitudinal y abarca entre las latitudes 84º norte y 80º sur (ver figura 10).

Figura 10: Proyección UTM, Fuente: Manual de Carreteras


Como este sistema es aplicado para la representación de grandes extensiones en longitud y a fin de evitar excesivos errores de escala a medida que se aleja del meridiano central, esta proyección subdivide la superficie terrestre en 60 husos de 6 grados de longitud cada uno, es decir, 3 grados a cada lado del meridiano central correspondiente. A su vez, se recurre al artificio de la reducción de escala Ko=0,9996 aplicado al meridiano central, que no altera la conformidad ni la naturaleza de la representación, reduciendo las máximas deformaciones lineales a la mitad, así el cilindro que representa el plano pasa de tangente a secante a fin de reducir las deformaciones en los extremos. Las líneas de secancias (K=1), se sitúan aproximadamente a 180 km al este y oeste del respectivo meridiano central, (esta distancia no es constante debido que el factor no es definido por una función lineal), entre ellas, la escala es inferior a 1 y mas allá de ellas hasta los bordes de los husos se hace mayor (ver figura 11).

Figura 11: Campo proyección UTM, Fuente: Manual de Carreteras

Los husos cartográficos se enumeran de 1 a 60, con origen en el antimeridiano de Greenwich de forma que el meridiano 0 (Greenwich) separe los husos 30 y 31. El elipsoide asociado a esta proyección corresponde al Internacional de 1924.


El uso del sistema UTM tiene varias ventajas, conserva los ángulos, aplica un artificio a razón de reducir las deformaciones, designa un punto o zona de manera concreta y fácil de localizar y en especial es un sistema de uso universal.

Parámetros UTM 2.6.1.- Husos cartográficos Con el propósito de manejar y minimizar las deformaciones generadas al proyectar los puntos del elipsoide sobre el plano de proyección se crean los husos cartográficos UTM, dividiendo la Tierra en 60 zonas de 6º de extensión cada uno. Esto permite definir la posición geográfica que ocupan todos los puntos que se encuadran entre dos meridianos (ver figura 12).

Figura 12: Husos cartográficos UTM, fuente: www.nevasport.com


El cilindro secante corta al elipsoide en dos líneas casi paralelas al meridiano central minimizando las deformaciones las que llegan a ser del orden de 1/1.000 (1m/km) en los bordes del huso.

Figura 13: Husos UTM para Chile, Fuente: Manual de Carreteras

Dada la localización y distribución de Chile continental, al país le corresponden los husos 18 (mc 75º W) y 19 (mc 69º W). En el caso de escalas pequeñas que cubran un área en común que pertenezcan a ambos usos o para la representación completa del país se adopta comúnmente el huso 19 como prevaleciente (ver figura 13). 2.6.2.- Este Falso ( EF ) y Norte Falso ( N F ). Para que los valores numéricos de las coordenadas de cualquier cuadrante sean siempre positivos y aumenten en las direcciones este y norte, se adoptó por convención el asignar un


valor inicial al origen de cada sistema de coordenadas planas UTM en el Ecuador y el meridiano central.

En el caso del meridiano central se asigna el valor de Este falso ( EF ) de 500.000m, razón por la cual las coordenadas variaran entre 166.000m y 834.000m en el Ecuador y entre 443.000 y 557.000m aproximadamente en los extremos latitudinales.

Para evitar coordenadas negativas en el hemisferio Sur, se adoptó como Norte falso ( N F ) un valor que sea superior a la máxima distancia posible norte-sur para la proyección, de esta forma el falso Norte válido para el hemisferio Norte con origen en el ecuador es de 0m, mientras que para el hemisferio Sur corresponde a 10.000.000m, también con origen en el Ecuador (ver figura 14).

Figura 14: Huso UTM para el hemisferio Sur, Fuente: Manual de Carreteras


2.6.3.- Convergencia de meridianos (ϕ ) Corresponde a la diferencia angular formado entre el Norte geodésico ( N G ) y el Norte de cuadricula o Norte cartográfico ( N C ). Debido que los meridianos, a excepción del meridiano central, se proyectan como líneas curvas cóncava al meridiano central, la convergencia meridiana oscila en función a la distancia existente del meridiano central, es por esta razón que mientras sobre este meridiano la diferencia angular es nula, en los bordes del huso se alcanzan diferencias aproximadas de 2º 30´ entre el azimut del plano UTM y el azimut geodésico (ver figura 15).

Figura 15: Convergencia meridiana, Fuente: Manual de Carreteras

Se tiene que:



λ2 cos 2 φ



3

ϕ = λsenφ 1 +


(

)

⋅ 1 + 3η 2 + 2η 4 +

λ6 cos 6 φ 315

 ⋅ 17 − 26t 2 + 2t 4  

(

)

2.6.4.- Reducción De La Cuerda (t – T) La diferencia angular generada entre el azimut del plano (t) y el azimut geodésico proyectado (T), con esto se puede reducir las direcciones observadas a direcciones de cuadriculas (ver figura 16). La reducción de la cuerda se define:

• •

t = Azimut plano T = Azimut geodésico ± convergencia meridiana + 180º

Figura 16: Reducciones de direcciones, Fuente: Manual de Carreteras

Se tiene que:

(T − t )BA = (YB − YA ) ⋅ (2 X A − X B ) ⋅ (1 + η 2 m ) 6 N m ⋅ Rm


2.6.5.- Factor de Escala El factor de escala se denomina a la magnitud que altera la escala. Representa la relación entre la escala de un punto cualquiera sobre la superficie de referencia y el mismo proyectado en el plano. En principio, la proyección TM en un huso coincide con la proyección Guass Kruger con un desarrollo cilíndrico transverso conforme. De acuerdo a la tangencia del cilindro con la superficie del elipsoide de revolución en un meridiano (central del huso), este deberá ser automecoico y con distorsión nula, el factor de escala de este punto será igual a uno y su variación dependerá de la distancia que se encuentre de dicho meridiano. Para reducir las deformaciones en los extremos, se aplica el artificio de Tissot que implica que el cilindro deja de ser tangente para pasar a ser secante, de manera que el meridiano central continúa siendo una línea automecoica pero con un factor diferente de la unidad. 2.6.6.- Fórmulas Proyección Universal Transversal de Mercator

X ( ∆λ ) ⋅ cos3 φ = ∆λ ⋅ cos φ + ⋅ 1− t2 +η2 N 6 3

(

)

Y Sφ (∆λ ) (∆λ ) ⋅ senφ ⋅ cos3 φ ⋅ 5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 = + ⋅ senφ ⋅ cos φ + N N 2 24 2

t = tgφ

N = K O ⋅ Y + NF


4

η2 =

e2 2 ⋅ (cos φ ) 2 1− e E = K O ⋅ X + EF

(

N=

)

a

(1 − e

2

⋅ sen 2φ

)

2.7.- Proyección cónica de Albers Esta proyección equivalente presentada por Heinrich Albers, se desarrolla a partir de un cono secante a la superficie de referencia, interceptándola en dos paralelos tipos, localizando su ápice sobre uno de los polos, esto dependiendo de la zona que se desee representar (ver figura 17).

Figura 17: Proyección equivalente de Albers, Fuente: www.ilustrados.com

Como corresponde a una proyección del tipo cónica, los meridianos se representan como líneas rectas dispuestas de forma radial con una separación constante entre ellas, que se encuentran en un punto en común o convergen fuera de los límites del mapa. Los paralelos son círculos concéntricos siendo su punto de intersección los meridianos, que forman un ángulo recto y quedando los arcos de longitud iguales a lo largo del mismo paralelo. La escala se conserva en los paralelos principales, disminuye entre estos y aumenta progresivamente al alejarse de la secancia. Se debe tener presente que la proporción inversa de las escalas entre


paralelos y meridianos determina la condición de equivalencia de la proyección, o sea, entre los paralelos tipos, la escala efectiva en dirección a los meridianos es mayor a la nominal y en dirección a los paralelos es menor.

La proyección de Albers tiene la propiedad de que el área encerrada por cualquier par de paralelos y meridianos es reproducida exactamente entre la imagen de esos paralelos y meridianos en el dominio proyectado, quiere decir que la proyección conserva el área correcta de la Tierra aunque distorsione dirección, distancia y forma en cierta manera.

La principal ventaja sobre otras proyecciones es la propiedad de la representación equiárea, combinada con un error de escala que resulta prácticamente mínimo, eso si, sólo puede representarse un semihemisferio resultando apropiada para mapear áreas pequeñas (ver figura 18).


2.7.1.- Fórmulas Albers sobre el elipsoide

E = EF + (ρ ⋅ senθ ) N = N F + ρο − (ρ ⋅ cos θ ) Donde:

θ = n ⋅ (λ − λ0 )

[

]

ρ = a ⋅ (C − n ⋅ α )0.5 / n

[

ρο = a ⋅ (C − n ⋅ α 0 )

0.5

]/ n

Figura 18: Albers sobre el elipsoide

C = m1 + (n ⋅ α1 ) 2

(

)

n = m1 − m2 / (α 2 − α1 ) 2

2

(

m1 = cos ϕ1 / 1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ1

)

0.5

m2 = cos ϕ 2 / (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ1 )

0.5

α = (1 − e2 ) ⋅ [(senϕ /(1 − e2sen2ϕ1 ))] − {[1/(2e)]ln[(1 − e ⋅ senϕ1 ) /(1 + e ⋅ senϕ1 )]} α0 = (1− e2 ) ⋅ [(senϕ0 /(1− e2sen2ϕ0 ))] − {[1/(2e)]ln[(1− e ⋅ senϕ0 ) /(1 + e ⋅ senϕ0 )]} α1 = (1 − e2 )⋅ [(senϕ1 /(1 − e2sen2ϕ1 ))] − {[1/(2e)]ln[(1 − e ⋅ senϕ1 ) /(1 + e ⋅ senϕ1 )]} α2 = (1− e2 ) ⋅ [(senϕ2 /(1− e2sen2ϕ2 ))] − {[1/(2e)]ln[(1− e ⋅ senϕ2 ) /(1 + e ⋅ senϕ2 )]}


CAPITULO III MANEJO DE SIG Y “OPENSOURCE” COMO HERRAMIENTAS DE TRABAJO CON DATOS ESPACIALES

3.1.- Antecedentes

La complejidad de los fenómenos geográficos que ocurren en la Tierra requiere para su estudio de un Sistema de Información Geográfica (SIG), instrumento esencial para el análisis dado su capacidad de representar, integrar y modelar variables, para una posterior planificación y gestión de un espacio geográfico. Para lograr este propósito un SIG utiliza herramientas de gran capacidad de procesamiento gráfico y alfanumérico, otorgando la posibilidad de construir modelos y representaciones de las características terrestres.

La incorporación de nuevas tecnologías, es reconocido como un avance para la disciplina cartográfica, facilitando muchos de sus procesos y aportando en las técnicas de manejo de información espacial.

Actualmente, la posibilidad que entrega Internet de disponer de software libres (no requieren de licencia), constituye una excelente alternativa de operaciones y cálculos, que al no poseer restricciones, permite el desarrollo de nuevos modelos sumamente efectivos.


La librería proj4, es parte de las alternativas “open source”, siendo esta una herramienta que permite la realización de cálculos geodésicos para su posterior proyección cartográfica.

3.2.- GIS y CAD

Tanto los sistemas CAD y GIS corresponden a software propietarios utilizados comúnmente como componente de un SIG, por sus propiedades gráficas, herramientas y funciones para la representación, consulta y análisis.

El sistema CAD basa su potencial en la calidad gráfica, especializándose en la representación (dibujo y diseño) y manejo de información visual mediante un conjunto de herramientas y funciones que permiten la graficación de entidades referenciadas.

El sistema GIS además posee una interfaz gráfica de usuario que le permite cargar datos tabulares y espaciales, pudiendo de esta forma desplegar mapas acompañados de los objetos necesarios de consultas y análisis. Los SIG necesitan desplegar un nivel gráfico aunque un paquete exclusivo como CAD no es lo suficiente para ejecutar las tareas que requiere un SIG, dado que el manejo de información geoespacial requiere de una estructura diferente a la base de datos común, de manera que el soporte lógico supere la capacidad gráfica, por esta razón la complementación de los sistemas GIS y CAD es fundamental para el buen desempeño del SIG.


3.3.- Dato, base de dato y cobertura geográfica.

Una de las funciones principales de un SIG es integrar datos espaciales con otros recursos de datos para el manejo de información geográfica, por lo mismo, la información obtenida desde un SIG proviene de las bases de datos que lo componen, que se caracterizan por ser de tipos geográficos con una componente temática y espacial.

La esencia lo constituye una base de datos cartográfica, correspondiente a la colección de datos acerca de los objetos localizados en un área común. Se organizan de tal forma que sirva eficientemente a varias aplicaciones. Vale decir, que una base de datos constituye el vínculo entre las estructuras gráficas que despliega el sistema de manejo.

Dada la complejidad que pueden presentar las bases de datos resulta importante volcar esta información en representaciones gráficas que faciliten su lectura. Las coberturas son las representaciones de los objetos gráficos asociados con ubicaciones específicas en la realidad.

Estas representaciones basadas en las entidades gráficas comunes se acompañan de atributos no gráficos correspondientes a las descripciones, cualificaciones o características que nombran y determinan estos elementos. Estos mismos atributos son guardados en archivos y manejados mediante el software de un SIG el que los organiza por capas o niveles de información.


El conocer las unidades expresadas por las coordenadas de cada cobertura cartográfica implica saber si éstos valores no obedecen a ninguna proyección (unidades de latitud y longitud), por consiguiente pueden ser transformadas o proyectadas, o si las coordenadas se expresan en unidades lineales planas, estando para este caso proyectadas bajo algún parámetro a considerar a la hora de algún trabajo o medición.

3.4.- Determinación de área En los sistemas informatizados de cálculo y dibujo CAD, el proceso de determinación de áreas se reduce a la realización de una orden específica, todo en base a los métodos de Gauss y de asimilación trapecial.

CAD, para la determinación areal requiere que los vértices se encuentren unidos bajo una polilínea, de manera que al ejecutar la orden área y pedir la entidad, indique el valor del área correspondiente que encierra dicha polilínea seleccionada. CAD al trabajar con coordenadas planas (x;y) asocia estas de forma correcta.

3.4.1.- Método de Gauss

Método analítico que se utiliza para la determinación del área o superficie de polígonos planos y cuyas coordenadas cartesianas de sus vértices son conocidas. Se fundamenta en la suma algebraica de las áreas de los trapecios que se pueden formar dentro del sistema


cartesiano, considerando a las ordenadas como bases y las diferencias o discrepancias de abscisas como alturas.

La precisión del método esta dada por la certeza con que se determinen o se conozcan las coordenadas de los vértices de este polígono. Bajo esta condición un polígono con vértices determinados por condenadas de una proyección equivalente (Albers equivalente), puede ser dimensionado correctamente en la medida que la información posea un origen nominal.

3.5- Alcances técnicos de librería proj4

Como se mencionó con anterioridad, corresponde a una librería de carácter libre que básicamente consiste en una aplicación de líneas de comando que reúne una serie de funciones, tales como transformación a distintas proyecciones, cambio entre sistemas de referencia, cálculo de problemas directo e inverso entre otros.

Al momento de liberar su código para esta aplicación, se han desarrollado mayores funcionalidades en sus bases de comando, de hecho se ha integrado como parte fundamental de numerosas aplicaciones que requieren funciones cartográficas de proyección.


3.6- Estructura y aplicación Fundamentalmente librería proj4, se divide en tres comandos generales.

- Proyección de coordenadas georreferenciadas (Proj) El comando proj, está destinado a realizar cambios de proyección de coordenadas, entregando también opcionalmente una serie de variaciones ligadas a este tipo de cálculo.

- Transformación de sistemas de referencia de coordenadas (CS2CS) Ejecuta el traspaso de un sistema de referencia de coordenadas a otro. Esto permite ingresar parámetros de traslación para así obtener mayores niveles de precisión, los que deben ser modificados para traspasar distintos sistemas de referencia.

- Cálculo de azimut y distancia de problemas inversos (geod). Tiene como finalidad ejecutar cálculos geodésicos, los cuales son problema directo o inverso.


CAPITULO IV METODOLOGÍA Y RESULTADOS

4.1.- METODOLOGÍA 4.1.1.- Antecedentes

La metodología del presente trabajo incluye la estimación de superficie, por ello resulta fundamental conocer las propiedades particulares que conservan cada una de las proyecciones cartográficas a fin de seleccionar aquella que mejor se ajuste a los objetivos de representación y medición. Para esta determinación son necesarias, tanto las definiciones de las exactitudes de alcanzar para los objetivos de cada proyecto, así como el conocimiento de la extensión y localización del área de estudio, de manera de establecer los parámetros específicos adecuados para el sistema proyectivo.

La presente metodología repasa el estudio de la determinación de una superficie aplicando distintos escenarios posibles sobre una proyección UTM dado lo común de su uso en el país, replicando el caso en la proyección cónica equivalente de Albers con dos paralelos tipos, a fin de comparar los resultados y determinar que tan significativos resulta el correcto uso de las proyecciones cartográficas y sus propiedades.


4.1.2.- Metodología de Terreno

Esta investigación se inició con la campaña de terreno efectuada por un equipo multidisciplinarlo, conformado por profesionales de la Universidad de Chile y el Instituto Geográfico Militar en la comuna de Natales en Junio del 2006. Como objetivo del terreno se planteó la obtención de puntos de control para la posterior corrección diferencial de la malla geodésica y la estimación analítica de parámetros de transformación de coordenadas cartesianas, mediante técnicas estadísticas. Con el fin de generar una nueva línea de investigación en base a los datos obtenidos, se utilizó parte de los puntos de control como vértices de un polígono el cual fue la base del estudio de esta Tesis.

4.1.2.1.- Área de estudio

Para concretar la investigación se vinculó el estudio a la comuna de Natales, zona que se caracteriza por su extenso territorio que abarca una superficie comunal que bordea los 49.429,10 Km2 y se extiende entre los paralelos (48º 36´ S - 52º 40´ S) y meridianos (72º W 75º 30´ W) aproximadamente, orográficamente corresponde a un territorio disperso en su sector mas occidental y de planicies patagónicas amplias en su zona continental, localizándose en este último el polígono en estudio (ver figura 19).


Proyección UTM DATUM WGS84

Figura 19: Área de estudio

Cartográficamente

es

atractiva

por

su

localización

geográfica

que

influye

sustancialmente en las características de proyección de una UTM, que resulta ser la proyección mas utilizada en el territorio nacional.


4.1.2.2.- Levantamiento de Campo

Esta etapa permitió capturar los vértices del polígono mediante tecnología GPS con precisión submétrica tras la corrección diferencial. Características Puntos GPS Sistema de proyección

: UTM

Sistema de referencia

: WGS-84

Huso cartográfico

: 18

4.1.2.3.- Instalación de receptor base GPS

El receptor GPS base se instaló en el centro de la ciudad de Puerto Natales, zona estratégica que permitió cumplir con las condiciones óptimas en la recepción de la señal GPS. El tiempo de instalación de la base se encuentra determinado por la duración del levantamiento efectuado con el equipo móvil y que consistió en tres días.

La estación base es capaz de registrar y almacenar coordenadas durante los días de ejecución del terreno, resultando este procedimiento indispensable para la posterior corrección diferencial de los puntos de control (vértices) a razón de aumentar la precisión de las coordenadas capturadas por el receptor GPS cartográfico.


4.1.2.4.- Identificación de puntos GPS

La elección de los puntos tentativos (vértices) se basó en el fácil reconocimiento y accesibilidad al lugar, generando a partir de ellos un circuito de trabajo. Por este motivo preferentemente se utilizaron intersecciones de calles, justificado por la ubicación espacial que no varía en demasía a través del tiempo, logrando así minimizar el margen de error o confusión del punto.

4.1.2.5.- Obtención de coordenadas GPS

Para la captura de puntos, se registraron lecturas con precisión submétrica en un lapso de tiempo superior a 5 minutos con frecuencia cada 50 segundos considerándose 6 medidas por punto, con un mínimo de 4 satélites, de manera de mejorar la medición eliminando de esta forma posibles errores de manipulación, inclinación del receptor entre otros. Cada vértice se acompañó de su respectiva monografía, incorporándose a la base de datos de Google Earth de forma de visualizar y verificar la captura.


4.1.3.- Metodología de Gabinete 4.1.3.1.- Determinación polígono de trabajo

Localizado en la comuna de Natales, región de Magallanes, el polígono se generó a partir de siete vértices distribuidos en un área geográficamente homogénea. Cada vértice tiene su origen en la proyección UTM, huso 18, sistema de referencia WGS-84. Los puntos que se detallan a continuación son el resultado de las coordenadas originales obtenidas en terreno, posterior a su corrección diferencial. Esta corrección se explica para mediciones realizadas en tiempos comunes, que generan errores comunes, lo cual permite identificarlos y eliminarlos.

Punto

Ubicación

Norte

Este

1

Puerto Bories

4277525,058

663386,238

2

Puerto Natales

4270571,459

670280,135

3

Puerto Natales

4269310,317

671510,618

4

Puerto Natales

4265707,717

671973,210

5

Villa Dorotea

4279070,400

684500,320

6

Villa Renoval

4230234,140

711256,630

7

Villa Renoval

4230235,740

709751,040

Tabla Nº 01: vértices corregidos poligono original


Dado la posición de los vértices seleccionados, el polígono adopta la forma alargada de siete caras y cuyos lados son líneas rectas. Su extensión máxima la alcanza en dirección diagonal (NO-SE) superando los 80 km de longitud, por el contrario la menor longitud se da en dirección (O-E) superando levemente los 20 km.

Considerando la UTM como la proyección utilizada y el lugar geográfico donde se localizó el polígono generado, se deduce que las propiedades de la proyección están en su límite, debido a la lejanía con el Ecuador y la distancia al meridiano central del huso respectivo, resultando esto como condición determinante para las características del polígono y un desafío para el trabajo de tesis.

4.1.3.2.- Determinación de proyecciones cartográficas utilizadas

El masivo uso de la proyección UTM en la elaboración cartográfica chilena y los diversos enfoques con los que se adopta, indica la necesidad de identificar las alteraciones métricas superficiales que tiene un polígono una vez proyectado en UTM. Para lograr determinar esta variación, se recurrió a la proyección cónica equivalente de Albers, que satisface el propósito de estimar las diferencias y conocer de esta manera las alteraciones métricas que registra una superficie poligonal de acuerdo a las propiedades intrínsecas de cada proyección cartográfica. En el caso de la proyección cónica equivalente de Albers, su determinación se basó en función de la localización del área de trabajo.


Proyección Universal Transversal de Mercator Basándose en la normativa UTM, los parámetros utilizados para este caso corresponden:

Huso

: 18

Ancho huso

: 6º

K0

: 0.9996

NF

: 10.000.000 m

EF

: 500.000 m

Proyección Cónica Equivalente de Albers De acuerdo al área de estudio se establecieron los siguientes parámetros para Albers:

φ0

: 51.5º

φ1

: 51º

φ2

: 52º

λ0

: 72,3428º

NA

: 10.000.000 m

EA

: 500.000 m


4.1.3.3- Determinación de los escenarios Considerando la localización geográfica del polígono en estudio y definidas las proyecciones cartográficas que se han de utilizar, resulta indispensable conocer y determinar el comportamiento areal del polígono una vez que se enfrenta a diversas situaciones, estos se denominan “escenarios alternativos”.

Un escenario consiste en posibles situaciones o simulaciones que se pueden presentar estableciendo ciertas condiciones específicas, determinando de qué forma interactúan los distintos elementos que lo conforman y como estos influyen en la conducta del área.

Estos escenarios son relevantes ya que permiten explorar, evaluar y comparar, otras alternativas de comportamiento de un área bajo condiciones específicas, diferentes a las reales, convirtiéndose en un medio eficaz para la determinación de decisiones.

Se debe considerar que un escenario alternativo debe cumplir con ciertos requisitos, ser coherente, pertinente y verosímil, para crear así situaciones reales con posibilidad a que se presenten.

Los escenarios alternativos considerados en este trabajo de tesis, tienen su origen en la aplicación de alturas diferentes, localización con respecto al meridiano central y extensión del huso cartográfico UTM, definiéndose los siguientes escenarios de prueba (ver figura 20)


Figura 20: Escenarios

4.1.3.4.- Procesamiento de datos 4.1.3.4.1.- Conversión de coordenadas En vista que los vértices que forman el polígono fueron obtenidos en terreno en proyección UTM y sistema de referencia WGS-84, estos fueron visualizados en los diferentes referenciales altimétricos y localizaciones geográficas, de manera de obtener los escenarios alternativos de investigación.


Procesamiento de Datos

Polígono 1 original λ promedio:72,342896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original 550 m 2500 m 4000 m

Polígono 2 λ promedio:73,842896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original 550 m 2500 m 4000 m



Escenarios

Áreas Puntos terreno Proyección UTM Sistema de referencia WGS-84

Nueva proyección Cónica equivalente de Albers con dos paralelos tipos

Coordenadas geográficas φyλ

Reproyectar

Transformación Sistema de referencia

Proyección UTM Sistema de referencia PSAD56

Escenarios

Polígono original λ promedio:72,342896 W φ promedio: 51,777088 S Huso:18 Altura original 550 m 2500 m 4000 m

Áreas Marjorie Tapia Prieto Juan Luis Ramírez Lara

•

Modificación altimétrica

Las características geográficas del país, han resultado determinantes en la distribución de la población, esto queda claramente demostrado ya que la mayor parte de los centros poblados se localizan en el valle central y en menor medida, en la costa, aun así, existen excepciones encontrando población en lugares de difícil habitabilidad. Este amplio margen, es la razón de la elección de las diferentes alturas que se incluyen en esta investigación, las que fluctúan entre los 0 m y los 4000 m.

•

Localización

Si bien Chile se caracteriza por su angostura en dirección este-oeste, su disposición genera la división del territorio en dos husos cartográficos UTM. Esta condición hace que el manejo de grandes extensiones territoriales considere la extensión del huso como solución a la representación general, hecho que provoca el aumento de la distorsión superficial a medida que se aleja de la intersección elipsoide/cilindro. Con la finalidad de conocer el detalle métrico de esta alteración, se sitúa el polígono original en diferentes longitudes incluyendo la mencionada extensión de huso.


•

Sistema de referencia

La actual cartografía nacional, tanto topográfica como regular (1:25.000 y 1:50:000 respectivamente), se encuentra referida a los sistemas geodésicos clásicos (PSAD56 8º34´17,17´´ y -65º8´25,12´´; SAD69 -19º45´41´65´´ y -48º06´04,06´´ y extremo sur Hito XVIII), con la incorporación de los sistemas de referencia modernos surgen las herramientas y la factibilidad de conocer las diferencias métricas que se producen entre las superficies y el orden de estas discrepancias.

•

Proyección

El errado uso de mediciones que en general se realiza sobre cartografía UTM, lleva a considerar la proyección cónica equivalente de Albers, con la idea de conocer y determinar el área real, a fin de comparar y determinar las diferencias métricas entre una y otra proyección cartográfica. 4.1.3.4.2.- Modelo poligonal en autocad

Determinados los puntos proyectados en coordenadas UTM y cónica equivalente de Albers de acuerdo a los diferentes escenarios alternativos, estos vértices se representaron en el software gráfico Autocad, con el fin de formar los polígonos de estudio correspondientes, determinar las superficies y sus respectivas variaciones métricas (ver figura 21).


Figura 21: Modelos poligonales

4.1.3.4.3.- Variación métrica entre escenarios

Las diversas situaciones a la que se enfrentó el polígono de estudio fueron comparadas y estudiadas a fin de determinar la variación que presentaron una vez que se modifican cualquiera de sus características. De esta forma se dedujo como los factores externos al polígono influyen en él y su cuantificación. El conocer de estas diferencias areales permitió determinar el comportamiento que adquiere el polígono en las situaciones ya planteadas. Para esto se consideró al escenario original y se enfrentó a las supuestas situaciones hipotéticas conocidas como “escenarios alternativos”.


4.1.3.4.4.- Módulo de deformación

Considerando que los elementos una vez proyectados se ven afectados por variaciones en su representación, resultó determinante conocer como esta alteración influyó en las superficies. Para lograr dicho cometido se obtuvieron los factores entre las “superficies UTM” y la superficie obtenida en la proyección equivalente de albers.

4.1.3.4.5.- Extrapolación factor de escala superficial

La relación que existe entre los puntos obtenidos en terreno y su posterior proyección es de importancia identificarlos a razón de conocer y predecir el comportamiento de cada polígono de acuerdo al factor de escala superficial que estos arrojen. Para estudiar ésta variación métrica la investigación se apoyó en el polinomio de Lagrange, ya que permitió determinar de modo aproximado los valores del factor de escala, siendo un indicio del comportamiento superficial que registrarán cualquier polígono en relación a su posición geográfica. Para la determinación de este polinomio se obtuvieron los coeficientes referidos al área de estudio a base los escenarios de prueba y el grado de error que lo acompaña, de manera que los valores aproximados que se obtuvieron estén condicionados a la zona.


•

Coeficientes de Lagrange

L0 =

K0 (λ0 − λ1 ) ⋅ (λ0 − λ2 )

L1 =

K1 (λ1 − λ0 ) ⋅ (λ1 − λ2 )

L2 =

K2 (λ2 − λ0 ) ⋅ (λ2 − λ1 )

•

Polinomio de Lagrange

Analizado en función de la longitud (λ)

P(λ ) = L0 ⋅ (λ − λ1 ) ⋅ (λ − λ2 ) + L1 ⋅ (λ − λ0 ) ⋅ (λ − λ2 ) + L2 ⋅ (λ − λ0 ) ⋅ (λ − λ1 )

•

Error del polinomio

 1  ⋅ N cos 2 φ ⋅ 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 ⋅ ∆λ5  ⋅ λ3  120  ε (λ ) =  ⋅ (λ − λ0 ) ⋅ (λ − λ1 ) ⋅ (λ − λ2 ) 24

(

)

nota: En el caso de N y t, se utiliza un φ promedio, ya que se trabaja en una superficie poligonal.


4.2.- PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.2.1.-Vértices coordenadas UTM - Albers

Con el objetivo principal de estudiar las deformaciones superficiales del polígono en distintos escenarios, se recurre a la obtención de las coordenadas en los sistemas proyectivos determinados.

En consecuencia se obtienen 140 vértices en coordenadas UTM correspondiente a 20 polígonos diferenciados por su sistema de referencia, localización geográfica y altura, todo esto a razón de determinar las reales variaciones métricas que sufre un polígono una vez que se alteran parte de sus datos originales. Igualmente se obtienen 35 vértices, equivalente a 5 polígonos proyectados en Albers, con el fin de tener un punto de comparación de los sistemas proyectivos en los que a sus propiedades se refiere.

De manera de conocer y complementar la investigación, se recurre a las propiedades UTM, más específicamente al campo de proyección, para determinar el factor de escala de cada uno de los vértices.


POLIGONO 1 - ORIGINAL PRUEBA DE ALTURA 0 m

PRUEBA DE ALTURA 550 m

MERIDIANO CENTRAL 75



COORDENADAS UTM - WGS84



DATOS ORGINALES UBICACIÓN A


NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

PUERTO BORIS

4277525,058000000

663386,238000000

4277524,603680890

663414,358304377

4277523,798340600

663464,207810766

PUERTO NATALES

4270571,459000000

670280,135000000

4270570,964446250

670309,441729039

4270570,087794450

670361,394399630

PUERTO NATALES

4269310,317000000

671510,618000000

4269309,815072590

671540,136492040

4269308,925352060

671592,464551740

PUERTO NATALES

4265707,717000000

671973,210000000

4265707,211777510

672002,808055921

4265706,316217090

672055,277156442

VILLA DOROTEA

4279070,400000000

684500,320000000

4279069,821023530

684532,074357307

4279068,794749010

684588,365882924

VILLA RENOVAL

4230234,140000000

711256,630000000

4230233,368999040

711292,988761101

4230232,002457780

711357,442129794

VILLA RENOVAL

4230235,740000000

709751,040000000

4230234,979943960

709787,139618487

4230233,632794920

709851,133636972

POLIGONO 2 PRUEBA DE ALTURA 0 m










NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

PUERTO BORIS

4279813,788663310

559577,739959313

4279813,758474160

559582,866449379

4279813,651439920

559601,042186889

PUERTO NATALES

4273005,242237250

566611,552297043

4273005,204416960

566617,284006298

4273005,070326860

566637,605520928

PUERTO NATALES

4271770,026395120

567867,419645785

4271769,987119830

567873,259414725

4271769,847871070

567893,964050056

PUERTO NATALES

4268178,792472870

568403,853243973

4268178,752528200

568409,739160445

4268178,610906170

568430,607409756

VILLA DOROTEA

4281791,618029020

580650,902879877

4281791,562745000

580657,842661991

4281791,366738040

580682,447344035

VILLA RENOVAL

4233534,493133960

608399,182377068

4233534,391711530

608408,509592042

4233534,032122910

608441,578808769

VILLA RENOVAL

4233505,012831440

606894,355672325

4233504,914203830

606903,553404092

4233504,564524110

606936,163543994

POLIGONO 3 PRUEBA DE ALTURA 0 m










NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

PUERTO BORIS

4279971,059382030

455745,844789693

4279971,042725570

455742,036849223

4279970,983670850

455728,535969375

PUERTO NATALES

4273308,564649700

462917,781569838

4273308,552929330

462914,590764531

4273308,511375290

462903,277909353

PUERTO NATALES

4272099,456492870

464198,711148612

4272099,445563960

464195,630565090

4272099,406816000

464184,708496240

PUERTO NATALES

4268520,153008160

464808,810041422

4268520,142436390

464805,781960475

4268520,104954650

464795,046037121

VILLA DOROTEA

4282380,818611970

476773,001853300

4282380,814027000

476771,003235795

4282380,797771190

476763,917228276

VILLA RENOVAL

4234710,165915180

505505,513250554

4234710,165653590

505505,986972814

4234710,164726150

505507,666533553

VILLA RENOVAL

4234649,638631960

504001,829324609

4234649,638493750

504002,173662272

4234649,638003730

504003,394495808

EXTENSION DEL HUSO 18 POLIGONO 4 PRUEBA DE ALTURA 0 m










NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

PUERTO BORIS

4273102,115083220

767197,159916270

4273101,507374220

767220,151449468

4273099,352769580

767301,666885354

PUERTO NATALES

4266004,281523640

773950,994169127

4266003,641293260

773974,566768690

4266001,371385560

774058,142348959

PUERTO NATALES

4264717,362408480

775156,063671593

4264716,716274580

775179,739948701

4264714,425436200

775263,683112993

PUERTO NATALES

4261103,951138740

775544,690009036

4261103,302428280

775568,399682583

4261101,002454850

775652,461252430

VILLA DOROTEA

4274213,830460720

788352,530699489

4274213,123129510

788377,342619305

4274210,615318870

788465,312153197

VILLA RENOVAL

4224805,060190230

814115,106859986

4224804,207643150

814142,134915586

4224801,184976240

814237,961658171

VILLA RENOVAL

4224837,817523440

812608,746636252

4224836,973126450

812635,645076133

4224833,979355280

812731,012272074

Tabla Nº 02: vértices escenarios alternativos – coordenadas UTM-Albers / WGS84


POLIGONO 1 - ORIGINAL PRUEBA DE ALTURA 4000 m MERIDIANO CENTRAL 75

DATOS ORGINALES

COORDENADAS UTM - WGS84 UBICACIÓN A

PROYECCIÓN ALBERS

NORTE

ESTE

Factor de escala

X ALBERTS

Y ALBERTS

PUERTO BORIS

4277523,178848060

663502,553584912

0,999927753

15124937,388976500

413269,912753609

PUERTO NATALES

4270569,413446920

670401,357992393

0,999955991

15131813,068136500

415476,743395722

PUERTO NATALES

4269308,240951650

671632,716905355

0,999961154

15133023,153820700

415929,296869391

PUERTO NATALES

4265705,627324460

672095,638002997

0,999963102

15133577,557137300

416143,283536688

VILLA DOROTEA

4279068,005307080

684631,667056475

1,000017944

15144631,887852000

421341,725529256

VILLA RENOVAL

4230230,951272190

711407,021644174

1,000147913

15167409,510434900

439372,135399034

VILLA RENOVAL

4230232,596526440

709900,359805037

1,000140130

15166363,324153100

438243,849094098

POLIGONO 2 PRUEBA DE ALTURA 4000 m MERIDIANO CENTRAL 75

DATOS ORGINALES


PROYECCIÓN ALBERS

NORTE

ESTE

Factor de escala

X ALBERTS

Y ALBERTS

PUERTO BORIS

4279813,569105900

559615,023523434

0,999643570053610

15030420,042317700

444018,496327563

PUERTO NATALES

4273004,967180630

566653,237455258

0,999654464553214

15035134,860175100

438548,984652343

PUERTO NATALES

4271769,740756640

567909,890692618

0,999656537496556

15036023,720778600

437611,413941840

PUERTO NATALES

4268178,501966150

568446,659909226

0,999657434375577

15036437,075452500

437184,458153947

VILLA DOROTEA

4281791,215963450

580701,374022530

0,999679844157253

15045536,885710200

429034,888841833

VILLA RENOVAL

4233533,755516280

608467,016667790

0,999744224430737

15071025,938101000

415098,462512878

VILLA RENOVAL

4233504,295539710

606961,248266996

0,999740247790157

15069578,865927100

415621,451848883

POLIGONO 3 PRUEBA DE ALTURA 4000 m MERIDIANO CENTRAL 75

DATOS ORGINALES


PROYECCIÓN ALBERS

NORTE

ESTE

Factor de escala

X ALBERTS

Y ALBERTS

PUERTO BORIS

4279970,938244150

455718,150677185

0,999624039573197

15021849,934212900

543041,511118591

PUERTO NATALES

4273308,479410650

462894,575713062

0,999616878877214

15018653,750339400

536566,213902180

PUERTO NATALES

4272099,377009880

464176,306904817

0,999615732882292

15018137,341166100

535381,970018752

PUERTO NATALES

4268520,076122540

464786,787634540

0,999615201121961

15017905,524346000

534834,782397230

VILLA DOROTEA

4282380,785266720

476758,466453261

0,999606622250250

15013952,784819700

523276,327615717

VILLA RENOVAL

4234710,164012730

505508,958503353

0,999600372024983

15011067,096764200

494369,778616404

VILLA RENOVAL

4234649,637626790

504004,333598527

0,999600196559273

15010983,972136400

495906,211504072

EXTENSION DEL HUSO 18 POLIGONO 4 PRUEBA DE ALTURA 4000 m MERIDIANO CENTRAL 75

DATOS ORGINALES


PROYECCIÓN ALBERS

NORTE

ESTE

Factor de escala

X ALBERTS

Y ALBERTS

PUERTO BORIS

4273097,695381390

767364,371066804

1,000476483926720

15190129,649225800

488296,397509413

PUERTO NATALES

4265999,625302720

774122,431256858

1,000521347220720

15190780,686386700

495488,143890462

PUERTO NATALES

4264712,663252820

775328,254777834

1,000529469733600

15190836,189851100

496778,892268391

PUERTO NATALES

4261099,233244520

775717,123998467

1,000532090693350

15190855,497573100

497372,845585672

VILLA DOROTEA

4274208,686233760

788532,981025422

1,000620799298750

15190382,607588800

509579,335734837

VILLA RENOVAL

4224798,859847840

814311,674537082

1,000811272939980

15182669,460326400

537586,890606898

VILLA RENOVAL

4224831,676454380

812804,371653568

1,000799680812400

15183300,077313900

536183,374330862


DATOS ORGINALES

UBICACIÓN A





PRUEBA DE ALTURA 2500 m MERIDIANO CENTRAL 75

COORDENADAS UTM - PSAD56



NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

NORTE

ESTE

PUERTO BORIS

4277864,494428770

663596,391078426

4277864,038990370

663624,547557629

4277863,231666190

663674,461191057

PUERTO NATALES

4279430,695759890

684740,109048574

4279430,115345430

684771,904683199

4279429,086522450

684828,269379746

PUERTO NATALES

4270952,779858820

670508,105648378

4270952,284041350

670537,451619760

4270951,405149780

670589,473854842

PUERTO NATALES

4269658,961367890

671767,876284280

4269658,457990730

671797,439059008

4269657,565700710

671849,845618068

VILLA DOROTEA

4266015,840880280

672210,498399597

4266015,334313450

672240,137300481

4266014,436370390

672292,678806310

VILLA RENOVAL

4230547,471239420

709992,066607257

4230546,709513140

710028,207716826

4230545,359404740

710092,275281888

VILLA RENOVAL

4230545,326982170

711499,479453537

4230544,554286120

711535,880019646

4230543,184741480

711600,407491124

PRUEBA DE ALTURA 4000 m MERIDIANO CENTRAL 75 COORDENADAS UTM - PSAD56

k

PROYECCIÓN ALBERS

NORTE

ESTE

X ALBERTS

Y ALBERTS

4277862,610647590

663712,856293695

0,999928332

668115,224488001

9989294,754343050

4279428,295120150

684871,626838628

1,000018693

689751,229720742

9990041,270958600

4270950,729079340

670629,490958751

0,999956658

675447,911515062

9989537,633378570

4269656,879323770

671890,158355806

0,999961947

676787,653607292

9989583,130802110

4266013,745644960

672333,095349255

0,999963812

677370,567791439

9989603,034651950

4230544,320859810

710141,558024244

1,000140935

677370,567791439

9991141,228866400

4230542,131245600

711650,044007646

1,000148730

677370,567791439

9991206,973354860

Tabla Nº 03: vértices polígono 1 – coordenadas UTM-albers / PSAD56


4.2.2.- Áreas en función de los distintos escenarios.

Cada escenario propuesto se diferencia en función de su altura y ubicación geográfica (ver figura 22), determinando el grado de variación de una superficie poligonal cada vez que se enfrentan en distintas condiciones. Los polígonos trazados y sujetos a situaciones distintas dan como resultados en sus áreas lo siguiente:

PROYECCIÓN UTM - WGS84

PROYECCIÓN ALBERS

ALTURA ORIGINAL 0 m

ALTURA 550 m

ALTURA ORIGINAL 2500 m


Área

Área

Área

Área

Área

POLÍGONO 1

629917249,440400

630025867,780000

630218410,576700

630366520,569100

95964472,503400

POLÍGONO 2

629551234,935100

629605456,898900

629797698,479200

629945576,639400

95964473,503400

POLÍGONO 3

629462276,309700

629516479,161500

629708652,965500

629856479,027200

95964474,503400

POLÍGONO 4

630723418,200900

630777875,998300

630970953,901400

631119475,639600

95964474,503400

PROYECCIÓN UTM - PSAD56 ALTURA ORIGINAL 0 m

POLÍGONO 1

ALTURA 550 m


PROYECCIÓN ALBERS ALTURA ORIGINAL 4000 m

Área

Área

Área

Área

Área

631259496,128900

631366400,533900

631559353,111100

631710455,486100

95964472,503400

Tabla Nº 04: Determinación superficial de los escenarios


Localización Polígonos en huso 18 Proyección UTM

Figura 22: Escenarios en función de su ubicación geográfica


ALTURA ORIGINAL 0 m

ALTURA 550 m

ALTURA 2500 m

ALTURA 4000 m

POLIGONO 1 ORIGINAL

108618,339600

301161,136300

449271,128700

POLIGONO 2 /POLIGONO 1

54221,963800

246463,544100

394341,704300


54202,851800

246376,655800

394202,717500

Tabla Nº 05: Diferencia superficial referido a la altura ALTURA ORIGINAL 0 m

ALTURA 550 m

ALTURA 2500 m

ALTURA 4000 m


-366014,505300

-420410,881100

-420712,097500

-420943,929700


-454973,130700

-509388,618500

-509757,611200

-510041,541900


806168,760500

752008,218300

752543,324700

752955,070500

POLIGONO 1 ORIGINAL

Tabla Nº 06: Diferencia superficial referido a la localización geográfica

ALTURA ORIGINAL 0 m

ALTURA 550 m


-366014,505300


-454973,130700

-400770,278900

-208596,474900

-60770,413200


806168,760500

860626,557900

1053704,461000

1202226,199200

POLIGONO 1 ORIGINAL

ALTURA 2500 m

ALTURA 4000 m

108618,339600

301161,136300

449271,128700

-311792,541500

-119550,961200

28327,199000

Tabla Nº 07: Diferencia superficial entre escenarios alternativos y original


Gráfico Nº1: Comparación superficial de los escenarios


Gráfico Nº2: Comparación superficial polígono 1 entre sistemas de referencia WGS84 / PSAD56


4.2.3.- Polinomio de Lagrange Coeficientes de Lagrange (área de estudio) FACTOR

ORIGINAL

550 m

2500 m

4000 m

L0

4788,569242809

4789,394948790

4790,858640275

4791,984557933

L1

-9571,573573026

-9572,397953135

-9575,320756440

-9577,569067001

L2

4785,110481898

4785,522526661

4786,983413069

4788,107172290

Original

550 m

2500 m

4000m

Meridianos Prueba P(71º)

6,569931081

6,572051113

6,574062384

6,575609519

E PPM

0,496768122

0,496607873

0,496455941

0,496339133

P(72º)

6,565344451

6,566685443

6,568692899

6,570237097

E PPM

0,015240982

0,015237869

0,015233213

0,015229632

P(73º)

6,562040962

6,562854753

6,564859475

6,566401570

E PPM

-0,001250785

-0,001250630

-0,001250248

-0,001249954

P(74º)

6,560020613

6,560559044

6,562562114

6,564102937

E PPM

0,000010680

0,000010679

0,000010676

0,000010673

P(75º)

6,559283406

6,559798315

6,561800814

6,563341198

E PPM

0,000000000

0,000000000

0,000000000

0,000000000

P(76º)

6,559829340

6,560572568

6,562575576

6,564116353

E PPM

0,000010680

0,000010679

0,000010676

0,000010673

P(77º)

6,561658414

6,562881801

6,564886401

6,566428403

E PPM

0,024773270

0,024768652

0,024761089

0,024755274

Tabla Nº8: Polinomio de Lagrange

Relación centro proyección/borde 1,001623299 1,000924041 1,000420405 1,000112391 1,000000000

Comportamiento factor de escala superficial

Gráfico Nº3: Factor de escala superficial Marjorie Tapia Prieto Juan Luis Ramírez Lara

Gráfico Nº4: Comportamiento factor de escala superficial


ANÁLISIS Y CONCLUSIONES

ANÁLISIS

De los resultados expuestos:

Una primera observación evidencia que existen alteraciones superficiales en cada uno de los escenarios alternativos, lo que indica que al modificar los parámetros originales los polígonos verán afectadas sus dimensiones al proyectarse en UTM, resultando importante evaluar el orden de las variaciones métricas

El primer factor que influye en la variación de superficie corresponde al sistema vertical de referencia, este se produce debido a que el estudio realizado contó como base elementos localizados (materializados) sobre una superficie topográfica. Teniendo en cuenta que la cartografía utiliza como superficie de referencia al elipsoide, se debe establecer una relación entre ambas superficies, determinada por la altura, radio medio del área y las tolerancias de las magnitudes a determinar. El punto de relación entre la superficie es el factor de escala kh que al incorporarlo a la superficie elipsoidal dará como resultado la superficie proyectada.

De acuerdo al gráfico Nº1”comparación superficies de los escenarios”, se observa el comportamiento ascendente que presentan las dimensiones una vez incrementadas las alturas, independiente de su localización geográfica. Este comportamiento mantiene un patrón de crecimiento similar en todos los escenarios, reflejado en la mínima diferencia que existe entre la 2

mayor y menor superficie tanto en los 0m como en los 4000m, alcanzando apenas los 1854m , eso si, siempre la diferencia por menor que sea, aumenta a medida asciende la altura como promedio un 0.005%.

Considerando el comportamiento superficial de los escenarios en cada nivel de altura, se obtiene entre el polígono de menor y mayor superficie:

Altura (m)

Diferencia (m2)

Variación superficial (%)

Kh

0

1261141,891

0,200352259

1

550

1261396,891

0,200375507

1,000053042

2500

1262300, 936

0,200457931

1,000241102

4000

1262996,612

0,200521334

1,000385763


Gráfico Nº5: Comportamiento superficial en base a la localización.

Atendiendo a lo expuesto en el gráfico Nº5 “comportamiento superficial en base a la localización”, un segundo factor de análisis lo constituye la localización y su representación UTM.

Se establece un incremento de la superficie a medida el polígono se aleja de las zona del meridiano central, siendo éste su punto de menor superficie al interior del huso. Este comportamiento presenta un patrón simétrico (decreciente – creciente) sólo alterado una vez extendido el huso dado el progresivo aumento de los valores, teniendo como consecuencia una superficie que en su espacio proyectado le corresponde disminuir se ve forzado a aumentar.


Considerando el orden de localización de los polígonos y en comparación al polígono original, se observa una disminución superficial en dirección al meridiano central, por el contrario, aquel dispuesto fuera del borde aumenta en superficie comparativamente al escenario real. De lo mismo, dentro del huso cartográfico, la variación superficial alcanza un promedio de 0,075%, mientras si se considera el polígono localizado fuera de los límites de la proyección (extensión de huso), la variación superficial se incrementa, alcanzando un valor promedio de 0,2%, equivalente a 1,2619 km2. Es evidente que ampliar el huso manteniendo las características de una proyección TM, provoca incrementos en las alteraciones por el alejamiento del cilindro secante, aunque no exageradamente, pero significativos a la hora de evaluar grandes extensiones de terreno.

Ya en conocimiento que la altura y localización influyen en la determinación de los valores superficiales, se recurre al sistema proyectivo como un nuevo factor de análisis con el fin de determinar el rango de influencia que tiene sobre las mediciones.

Figura 23: Comparación polígono proyectado UTM y Albers


En la figura Nº23 “comparación polígono proyectado en UTM/Albers, se advierten las diferencias generadas tanto en la forma, como en la disposición y tamaño (superficie) del polígono original una vez proyectado en UTM (conforme) y cónica de Albers (equivalente). Esta comparación se fundamenta en la práctica común de asumir propiedades cartográficas erradas.

En este caso en particular, la superficie poligonal determinada en una proyección conforme supera en promedio en más de 6 veces a la superficie proyectada en una equivalente. Esta sobredimensión observada es resultado del origen, propiedades y parámetros del sistema proyectivo, así como del tamaño, disposición y localización geográfica del área de estudio, situaciones que han de ser consideradas a la hora de estimar los valores.

Parte de la diferencia visualizada entre los polígonos tiene su principio en estos factores. Dado el origen distinto de las proyecciones utilizadas (cilindro y cono). Junto a las propiedades cartográficas establecen la utilidad de la proyección, resultando incompatible determinar características que las mismas proyecciones no conservan con la idea de mantener una propiedad determinada. La definición de parámetros cartográficos es otro de los elementos alteradores. Considerando que UTM cuenta con estos establecidos con el fin de mantener su condición de conformidad, como el definir el dominio donde la anamorfosis no supere un valor del factor de escala lineal mayor a 1,004, mientras la cónica equivalente de Albers permite definir parámetros (meridiano central planteado.


y paralelos de secancia) dependiendo del objetivo

Otro foco de análisis son las características del polígono proyectado; el tamaño debe ser considerado, ya que un territorio extenso se ve más vulnerable a las características geométricas propias de la representación. La disposición, cuya figura original se modifica a razón de la proyección cartográfica que altera sus elementos con el fin de conservar una propiedad. Por último la localización geográfica, esencial para establecer bajo que características de dominio proyectivo se representaran, es decir, como ejemplo UTM que modifica la distancia entre paralelos a medida se aleja del Ecuador con el fin de mantener la conformidad, a causa de este incremento se ven afectadas las zonas cercanas a los polos

Cabe mencionar que dentro de la investigación uno de los puntos que resulta interesante de establecer es la existencia de variaciones superficiales y del comportamiento poligonal al ser modificado el sistema de referencia, es por esta razón que los datos originales presentes en WGS84 (global y geocéntrico), se traspasan a PSAD56 (definido por un punto datum).

En este procedimiento las superficies se vieron incrementadas alrededor de un 0.21%, 2

correspondiente a 1.34 km . Esta variación de los resultados se entiende por un conjunto de hechos y acumulaciones que inciden de la precisión de las coordenadas que son vértices del polígono de estudio. Destacable mencionar que si bien WGS84 y PSAD56 cumplen la misma función, son sistemas totalmente distintos, con elipsoides, parámetros diferentes, entre otros, son estos elementos los que justifican las variaciones sufridas por la superficie poligonal. En cuanto al comportamiento (localización-altura), este sigue un mismo patrón prevaleciendo como es lógico las propiedades de la proyección.


Factor de escala superficial

Debido al comportamiento que presenta la escala TM se utilizó para su estudio el polinomio de Lagrange, en el caso particular de este trabajo de segundo grado, determinado esto por la cantidad de muestras y justificado dado que para una cantidad importante de puntos, si bien es cierto que resulta interesante la determinación del polinomio interpolante, también es cierto que los polinomios de grado alto tienden a tener muchas oscilaciones que al cabo le restan importancia para la aproximación numérica y más todavía para la visualización gráfica.

De acuerdo al grafico Nº4 “comportamiento de factor escala superficial”, se observa que el k superficial tiene un crecimiento parabólico a medida se aleja del meridiano central., esto evidencia una relación entre el factor y la superficie que tiene el mismo patrón de comportamiento. Por lo tanto este polinomio permite establecer el patrón de comportamiento que presentaran diferentes áreas de trabajo de acuerdo a lo localización que estas tengan.


CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y ALCANCES DEL TRABAJO

Atendiendo los resultados obtenidos y en base a los objetivos planteados en esta tesis, es posible concluir:

La diferencia de valores obtenidos luego de modificar al polígono los parámetros originales en altura y localización geográfica, evidencia la relación de éstos con la superficie en la proyección cartográfica asumida. Como se apreció en los análisis la variación superficial siempre existe, sólo que no resulta ser considerable (cerca de un 0,2% entre la menos y mayor superficie en UTM), eso si, la significancia de esta variación estará sujeta a los objetivos determinados por la escala de trabajo.

Se comprueba por tanto la hipótesis planteada de enfrentar las variables de altura y localización, viéndose directamente afectada la dimensión superficial considerada en una proyección UTM.

El objetivo general de estudiar el comportamiento métrico poligonal se cumplió íntegramente al adoptar 16 escenarios alternativos, demostrándose el grado de alteración y conducta que presenta el polígono en cada uno de ellos.


Si bien, en un comienzo la investigación se orientó en conocer las diferencias superficiales que tenían su origen en la altura y localización, la introducción de proyecciones cartográficas en la comparación de superficies arrojó las mayores diferencias. Esto demuestra la importancia que recae en la elección de la proyección y sus propiedades, con el fin de determinar las alteraciones para el área de estudio.

Debido a la existencia de más de un sistema de referencia con origen y características distintas, se cuantificó las alteración superficial entre el sistema de referencia más antiguo (PSAD56) y moderno (WGS84) utilizados en el país, observando una discrepancia promedio de un 0,2%, equivalente a 1,2 km2.

Los cálculos de coordenadas, transformaciones y superficies, fueron realizados en planillas excel, facilitando el trabajo en la medida de generar variadas pruebas a través de una perspectiva de escenarios posibles rescatando aquellos más relevantes para su análisis, estos acompañados de distintos gráficos incluidos en el trabajo, que en conjunto con la utilización de Internet, open source, SIG y todo proceso computacional optimiza la investigación.

Si bien el estudio se concentra en un área específica, queda abierta la posibilidad de replicar la metodología en otras zonas del país, ya que resulta completamente extrapolable entendiendo que ciertos parámetros y valores deben ser obtenidos en función del lugar donde se replique.


Al término de éste estudio queda en evidencia que en la elaboración cartográfica jno se puede hablar de procesos independientes (obtención y clasificación de datos, procesamiento, representación). El manejar y conocer cada uno de estos, sus dificultades o sus limitaciones, permitirán establecer la funcionalidad que se le puede otorgar al trabajo. El ser parte de cada una de estas etapas aseguran que tanto los cartógrafos como la propia disciplina pueden responder a las exigencias que el presente les impone.


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Zepeda G, René. Apuntes asignatura Geodesia, Geodesia geométrica, Chile 2004.

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Zepeda G, René. Apuntes asignatura Geodesia, Geodesia Satelital, Chile 2002.

Páginas web

www.elgps.com www.hiparion.com www.ilustrados.com www.inegi.gob.mex www.nacs.upc.es www.nevasport.com


ANEXOS I.- Referenciales geodésicos Cálculos de las normales principales. En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, los que al intersectarse con el elipsoide forman las “secciones normales”. Desde las infinitas secciones normales del punto, las de mayor importancia son dos: sección normal meridiana y sección normal del primer vertical. Estas dos reciben el nombre de “secciones normales principales”, debido que a la primera corresponde el mínimo de radio de curvatura en el punto “M” y a la segunda el máximo de curvatura “N”. Estos radios M y N, corresponden a los dos radios de curvaturas principales para un punto sobre el elipsoide, los que dependen únicamente de la latitud (φ), por lo que todos los puntos de un paralelo tendrán los mismos radios de curvaturas principales. Radio de curvatura de la elipse meridiana (M) Z Q b

a

u

Considerando la normal de un punto Q´

“Q” sobre el elipsoide y continuando por el M

X

Y

meridiano otro punto “Q´”, situado a una distancia infinitesimal y considerando también su normal, ambas se cortan en un punto “u”.

Figura 24: Radio de curvatura de la elipse meridiana


Cuando el punto “Q´” tiende hacia “Q”, o sea cuando el arco infinitesimal SQ tiende a cero, el punto hacia el cual tiende “u” es el llamado centro de curvatura de la curva en el punto “Q”. El arco diferencial de meridiano SQ obtenido, corresponde con el de un círculo que contiene a “Q” y “Q´”, existiendo un único radio que define al círculo o que contiene al segmento diferencial. Este radio es el Radio de curvatura de la elipse mediana (Ver figura Nº24).

dz

ds dx

De la figura se deduce

ds = Mdφ =

 dx  dz + dx = dz 1 +    dz 

ds = Mdφ =

dz 2 + dx 2 = dz 1 + tg 2φ

ds = Mdφ =

dz 2 + dx 2 =

2

2

2

dz cos φ

Luego

dz cos φ = tg (90 + φ ) = −ctgφ = dx senφ En consecuencia

Mdφ =

dz cos φ


 1  dz    M =   cos φ  dφ 

Escribiendo z en función de la latitud

z=

a(1 − e 2 )senφ

(1 − e

2

sen 2φ )

Derivando en función de la latitud

dz = dφ

(1 − e

2

sen 2φ

) a(1 − e) cos φ − a(1 − e )senφ 12 (1 − e 1

2

2

2

sen 2φ

−1

) (− e 2

2

2 senφ cos φ

1 − e 2 sen 2φ

(

)((

)

dz cos φa 1 − e 2 1 − e 2 sen 2φ + e 2 sen 2φ = 3 dφ 1 − e 2 sen 2φ 2

(

(

)

)

)

a 1 − e 2 cos φ dz = dφ 1 − e 2 sen 2φ 3 2

(

)

Reemplazando

dz en M dφ

(

 1  dz    M =   cos φ  dφ 

M=

(

)

(1 − e

sen 2φ

a 1 − e2 2


)

3

)

 1  a 1 − e 2 cos φ  M =  Finalmente se obtiene 3  cos φ  1 − e 2 sen 2φ 2

(

2

)

)

Normal Principal (N) Z Q b

N F´

F

a

X

Y

Figura 25: Gran normal

La normal principal o gran normal (N), corresponde al segmento originado en un punto cualquiera sobre el elipsoide (Q) y su prolongación a través de la normal de este, hasta su intersección con el eje menor de la elipse meridiana (ver figura 25).

z

φ x De la figura se deduce

Partiendo de la ecuación de la elipse

x2 z2 + =1 a2 b2


Derivando º

º

2 x 2 zz ´ + 2 =0/2 a2 b

º

−

z´ =

º

z´ = −

º

z´ = −

x zz ´ + =0 a2 b2

x 2 b a2 y

z´ = −

x b2 y a2

z´ = −

º

º

b2 x = −ctgφ a2 y

x 2 1 b y a2

º

zz ´ = −

º

z´ = −

x 2 b a2

x b2 a2 y

b2 x = tg (90 − φ ) a2 y

tgφ = −

a2 y b2 x

Relación con la excentricidad

e2 =

a 2b 2 a2

1− e 2 = −

e2 = b2 a2

a2 b2 − a2 a2

b 2 = a 2 (1 − e 2 )

Remplazamos b 2 en:

tgφ = −

tgφ = −

− a2 y b2 x

y − a2 2 2 a (1 − e ) x

Función de la elipse

x2 y2 + =1 a2 b2


y = (1 − e 2 )tgφx

e2 = 1 −

b2 a2

1 a2 = − 1 − e2 b2

Reemplazando y 2 y b 2

(

)

2

x 2 1 − e 2 x 2 tg 2φ + =1 a2 1 − e2 a2

a 2 = x 2 + (1 − e 2 )x 2 tg 2φ / x 2

a 2 = x 2 (1 + (1 − e 2 )x 2 tg 2φ )

x2 =

(

2

 sen 2φ  1 + 1 − e 2  cos 2 φ  

(

)

a 2 cos 2 φ x = / 1 − sen 2φ + sen 2φ − e 2 sen 2φ 2

N=

Finalmente se obtiene

N=

(1 − e )sen φ 2

x cos φ

a

(1 − e )sen φ 2


2

(

x=

a cos φ N=

a2 (1 + (1 − e 2 )tg 2φ )

a2 x =  cos 2 + 1 − e 2 sen 2φ    cos 2 φ  

a2

2

x =

)

cos φ

2

)

a cos φ

(1 − e )sen φ 2

2

Cálculos de arcos sobre el elipsoide

Z A

F

C D

B

a

X

b

Y

Figura 26: Arcos sobre el elipsoide

En términos generales, un arco es aquella curva continua comprendida entre dos puntos, esto permite definir que un arco sobre el elipsoide es aquel segmento o sección geométrica del elipsoide definida por una ecuación analítica y cuya forma se encuentra definida por uno o más arcos de la elipse.

De la figura 26 se infiere que la sección AB corresponde a un arco de meridiano, mientras que el segmento AC pertenece a un arco de paralelo.

Longitud arco meridiano (Sm)

Considerando una esfera, la longitud de un arco meridiano entre latitudes φ2 y φ1 esta dado por.

S = R(φ2 − φ1 )

π 180 º


En este caso al utilizar una figura esférica, el espacio entre paralelos de latitud es uniforme ya que el radio (R) es constante en cualquier latitud, no así sobre el elipsoide que no mantiene la uniformidad, la razón, los radios de curvatura sobre el elipsoide en el plano de la elipse meridiana cambian con la latitud.

Por este motivo el largo de un arco de meridiano entre latitudes φ1 y φ2 es dada por la integral.

ds = mdφ φ2

s = ∫ mdφ φ1

Donde m, es el radio de curvatura meridiana.

Esta integral puede ser evaluada y la distancia puede ser expresada en la forma de una serie infinita, donde un arco de meridiano queda definido.

Sm = a[ A0 (φ2 − φ1 ) − A2 (Sen2φ2 − Sen2φ1 ) + A4 (Sen4φ2 − Sen4φ1 ) − A6 (Sen6φ2 − Sen6φ1 )] Los valores de los coeficientes ( A0 , A2, A4 , A6 …), se expresan en términos de la excentricidad, correspondiente al elipsoide de referencia utilizado.


Longitud arco paralelo (Sp) Debido a la convergencia meridiana, el espaciamiento entre meridianos de longitud es máximo en el Ecuador y un mínimo (cero) sobre los polos. Tal como en el arco de meridiano, si se tratase de una figura esférica donde el radio se mantiene constante, la diferencia entre los meridianos λ2 y λ1 a la latitud φ x es:

S = R cos φ (λ2 − λ1 )

π 180 º

En el caso de una figura elipsoidal, la normal (radio) no es constante por lo que la distancia o el área de paralelo se define en función a la separación angular entre ellos (∆λ ) y el radio paralelo, quedando constituido por la siguiente expresión:

r = N cos φ

(Radio Paralelo)

Sp = N cos φ (λ2 − λ1 ) Sistema coordenado Se establece como un sistema de coordenadas al conjunto de valores que permiten definir inequívocamente la posición de cualquier punto en el espacio.


Sistema de coordenadas cartesianas Este sistema de coordenadas está definido por tres ejes en el espacio (X,Y,Z), perpendiculares entre si que se cortan en el origen, obteniendo de esta forma un triedro. Con el fin de tener una relación cartográfica se asocia a un elipsoide, donde el eje X suele tomar la dirección del meridiano de origen, Z coincide con el eje de rotación terrestre y el eje Y con el plano ecuatorial, en base a esto, cualquier punto en el espacio puede ser localizado considerando la distancia perpendicular que los separa de cada recta, formando así un trío coordenado, esto se puede observar claramente en (ver figura 27).

Figura 27: Sistema de coordenadas cartesianas, fuente: Manual de Carreteras

Sistema de coordenadas geodésicas Considerando que las determinaciones geodésicas se realizan sobre la superficie terrestre, éste sistema de coordenadas considera a la Tierra como un elipsoide de revolución, quedando determinado cuando se adoptan valores específicos tantos del radio ecuatorial como del achatamiento. Este elipsoide, gira en torno a su eje menor, caracterizándose porque en su


punto medio se genera un círculo máximo llamado Ecuador (plano ecuatorial), que divide al elipsoide en dos mitades iguales denominados hemisferios (norte y sur). Además se generan un sinnúmero de elipses menores, cuyos planos son paralelos al plano ecuatorial denominados paralelos. Por otro lado los infinitos planos que contienen al eje de rotación terrestre (planos meridianos) definen en su intersección con el elipsoide a las líneas llamadas meridianos y del que existe uno de origen. Las coordenadas quedan establecidas como latitud

φ , longitud λ y altura elipsoidal h (Ver figura 28)

Figura 28: Sistema de coordenadas geodésicas, Fuente: Manual de Carreteras

- Parámetros coordenadas geodésicas

Latitud geodésica ( φ ): Corresponde al ángulo formado por la normal de un punto cualquiera y su proyección sobre el ecuador, se mide a partir del plano ecuatorial de origen cero y varía de 90º a -90º, tomando valores negativos al sur del Ecuador .


Longitud geodésica ( λ ): Se define como el ángulo formado entre la sección meridiana de un punto cualquiera y el meridiano cero, varía de 0º a 360º en sentido este del meridiano de origen considerando el elipsoide completo, o de 180 a -180 si se considera el meridiano de origen, valores negativos al oeste.

Altura elipsoidal (h): Las coordenadas geodésicas además deben considerar la altura elipsoidal, conocida como la distancia sobre el elipsoide, medida a lo largo de la normal entre el elipsoide y un punto cualquiera.

Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas. Dada la importancia que tiene el manejo de coordenadas y a los diversos procesos de cálculos involucrados, se requiere constantemente expresar las coordenadas en una unidad u otra de acuerdo a las necesidades, por lo que las relaciones entre ellas facilitan algunos cálculos, estas pueden expresarse.

Las coordenadas cartesianas de un punto P ( X P , YP , Z P ) sobre un elipsoide de semieje menor b se obtienen mediante:

X P = N cos φ cos λ Y p = N cos φsenλ Z P = h(1 − e 2 )senφ


Si el punto esta situado a una altura h sobre el punto p en el elipsoide, sus coordenadas

( X P1 , YP1 , Z P1 ) se encuentran definidas por: X P1 = ( N + h ) cos φ cos λ Y p1 = ( N + h ) cos φsenλ Z P1 = (N (1 − e 2 ) + h )senφ Donde:

 Z + be´2 sen 3ψ 2 3  d − e a cos ψ

φ = tan −1 

Y  λ = tan −1   X

 d   − N h =   cos φ 


  

d = (X 2 + Y 2 )

1

 Za  ψ = tan −1    db 

2

II.-Proyecciones Cartográficas

Proyección cilíndrica Corresponde a una de las proyecciones cartográficas más utilizadas en la actualidad, tiene su origen en una superficie geométrica desarrollable que envuelve a la figura de referencia, éste caso tiene su fundamento en un cilindro cirscuncrito alrededor de la esfera terrestre, tangente al círculo máximo (Ecuador), estableciendo entre los puntos de ambas superficies una correspondencia biunívoca. Desarrollando el cilindro, los meridianos y paralelos quedan representados como líneas rectas que se cortan entre si en ángulos de 90º (ver figura 29).

Figura 29: Proyección cilíndrica, fuente: www.hyparion.com

Proyección cilíndrica regular Se distinguen principalmente por la tangencia del cilindro en el Ecuador. Producto de la curvatura de la tierra, el mapa resultante representa la superficie mundial como un rectángulo de líneas paralelas equidistante de longitud y líneas paralelas de latitud con separación desigual.


Dado que las áreas se van distorsionando a medida nos acercamos a los polos, este tipo de proyecciones no son recomendables para zonas de latitudes mayores a los 40º. La Proyección de Mercator corresponde a una proyección de tipo cilíndrica regular.

Proyección cilíndrica transversa

Se diferencian a la anterior en la disposición del cilindro, ya que en este caso la colocación del cilindro tangente a la tierra es girado en 90º, de manera que en lugar de colocarse tangente al Ecuador, lo hace respecto a un meridiano central. Podemos citar como uno de sus referentes a la Proyección Transversa de Mercator.

Existen además otras clasificaciones para las proyecciones cilíndricas, tal es el caso de las cilíndricas oblicuas, en la que la colocación del cilindro se rota en 45º con respecto a su posición original o las proyecciones pseudos-cilíndricas.

Proyección Cónica Se producen al desarrollar un cono sobre la superficie terrestre y proyectar los puntos sobre él. El eje coincide con el de los polos y el contacto se produce en a lo largo de un paralelo llamado estándar o principal. (secante, dos paralelos principales). Todas las proyecciones cónicas tienen paralelos circulares y meridianos radiales y se adoptan de manera especial a las representaciones de regiones situadas en las latitudes medias.


Una proyección cónica se emplea con frecuencia tanto por su sencillez como por su relativa precisión, además porque un mapa construido bajo esta proyección es divisible en secciones resultando una ventaja para la información de atlas por ejemplo. Este género de proyecciones tiene su origen, salvo algunas modificaciones, en la proyección de la superficie de referencia sobre un cono tangente. El eje del cono es coincidente con el eje de los polos y el contacto se produce a lo largo del paralelo (ver figura 30).

Figura 30: Proyección cónica, fuente: www.nacs.upc.es

Proyección Conforme

Una proyección de estas características conserva sus ángulos infinitesimales entre el plano de proyección y la superficie de referencia, con una relación de semejanza de un valor 1 en el centro de la proyección hasta un valor máximo de 1 + en los límites del campo de proyección. Para esto se requiere que paralelos y meridianos se intercepten en ángulos rectos y


conserven la escala en todas las direcciones alrededor de un punto, alcanzando de esta forma la condición de conformidad.

Si bien las proyecciones conformes resultan ser muy empleadas, especialmente en la elaboración de planisferios y mapamundis, se debe de considerar que esta propiedad solo es consistente en la representación de pequeñas superficies de terreno o mientras la precisión determinada por los objetivos lo permita.

Proyección Equivalente

Una proyección con esta propiedad cumple con la condición de mantener las proporciones de las áreas representadas, respeta las dimensiones. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales. Si bien presentan una menor utilidad que las proyecciones conformes, son muy ventajosos a la hora de representar información que ha de compararse a simple vista.


III.- Sistema vertical de referencia

Si bien se han aunado los esfuerzos para garantizar la solución de las discrepancias entre los referenciales horizontales, tal como el caso de SIRGAS que constituye una plataforma común para los países americanos, el tema persiste en la disparidad en la posición vertical.

Tradicionalmente las mediciones se han recogido de forma independiente para atender distintas finalidades, así mismo los datos de altitud se han referido a datum verticales distintos, persistiendo una disparidad y cierta inconsistencia.

La búsqueda para la adecuada representación de la altura no es trivial y la definición apropiada de un sistema de referencia vertical es esencial para variadas aplicaciones, resultando su definición importante con la idea que satisfaga las demandas de la representación cartográfica.

Por lo tanto su consideración es relevante, dado que en algún momento las mediciones situadas en el elipsoide (coordenadas geodésicas), serán necesarias situarlas sobre la superficie terrestre, resultando necesario conocer su altura y la relación que se establecen entre ellas.


Tipos de altura

Se entiende como altura de un punto cualquiera, aquella distancia vertical existente entre éste y una superficie de referencia (datum vertical). Dado los procesos para su determinación que incluye cálculos complejos de nivelación que reflejen las variaciones topográficas de terreno y las determinaciones gravitacionales de la Tierra, la geodesia clasifica a esta según su determinación, aplicación y el modelo matemático físico considerado en su definición. En esta instancia, se observan alturas de tipo geométrico y de tipo físico

Alturas de tipo geométrico

Alturas niveladas: Obtenidas bajo procesos de nivelación geométrica, las diferencias de nivel varían de acuerdo con el campo de gravedad inherente al sitio de consideración. Las cantidades observadas corresponden con la distancia existente entre las superficies equipotenciales del campo de gravedad terrestre y su sumatoria permite conocer la diferencia de altura entre los puntos de interés, ahora dado la forma elipsoidal de la Tierra y a la distribución irregular de sus masas internas, las superficies equipotenciales no son equidistantes; los valores de desnivel entre éstas varían de acuerdo con el trayecto de medición por esto fácilmente pueden obtenerse diferentes valores de altura para un mismo punto, por lo que su utilización se reduce a áreas pequeñas que no requieran considerar la figura elipsoidal de la Tierra ni las variaciones de su campo de gravedad.


Alturas elipsoidales : Representan la distancia que separa a la superficie física de la Tierra (topográfica) y el elipsoide de referencia. Dicha separación se calcula sobre la línea normal, cuya magnitud y dirección dependen del elipsoide empleado. Las alturas elipsoidales son calculadas a partir de las coordenadas geocéntricas cartesianas (x,y,z) definidas sobre un elipsoide de referencia. Al no considerar el campo de gravedad terrestre en su determinación, puede que se presenten valores iguales en puntos con niveles diferentes por lo que su aplicación se reduce en la práctica. Estas cirscuntancias requieren que este tipo de altura sea complementada con otro tipo que si considere al campo de gravedad terrestre en sus determinaciones.

Alturas de tipo físico:

Alturas ortométricas: Corresponde a la diferencia en longitud medida sobre la línea de la plomada, entre el geoide y el punto de medición y para cuya determinación requiere del conocimiento de la gravedad dentro de las masas topográficas terrestres. La curvatura de esta altura se debe al hecho de que la línea de plomada coincide con le vector gravedad a medida que atraviesa diferentes superficies equipotenciales, las que a su vez no son paralelas entre si. Las alturas ortométricas se obtienen a partir de las alturas elipsoidales mediante las sustracción de las ondulaciones geoidales (N).


Alturas dinámicas: Se calculan al dividir los números neopotenciales (diferencia de potencial entre cada punto de cálculo y el geoide), por un valor constante de gravedad – teórica a la latitud de 45º. Estas alturas se obtienen a partir de las niveladas, mediante la aplicación de las correcciones que expresan los incrementos o decrementos en altura, generados por involucrar un valor constante de gravedad.

Alturas normales: En estas alturas los números neopotenciales son divididos por el valor medio de la gravedad normal entre la superficie de referencia, llamada cuasi-geoide y el punto en consideración. A partir de las alturas elipsoidales se obtienen dichas alturas, descontando la ondulación del cuasi-geoide, la cual es conocida como anomalía de altura o altura anómala.

Figura 31: Relación entre alturas


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