C ARMEN GÓMEZ L AVEAGA
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS CARDINALES Y ORDINALES ) ( CARDINALES
F ACULTAD DE CIENCIAS, UNAM 20
Gómez Laveaga, Carmen Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos : cardinales y ordinales / Carmen Gómez Laveaga. -- 2a reimp. -- México : UNAM, Facultad de Ciencias, 2011. x, 129 p. ; 22 cm. -- (Temas de matemáticas) (Las prensas de ciencias) Bibliografía: p. 125-126 Incluye índice ISBN 978-970-32-4705-9 1. Teoría de los conjuntos. 2. Números cardinales. 3. Números ordinales. I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. II. t. III. Ser. IV. Ser. 511.322-s -sccdd21
Bibliote tecca Nacional de México
Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales) 1 edició edición, n, 2007 reimpresión,
15 de noviembre 2011
©D D.R .R.. 20 2011. 11. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad Facul tad de Cienci Ciencias. as. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán, C. P. 04510, México, Distrito Federal.
[email protected] ISBN: 978-970-32-4705-9 Diseño de portada: Laura Uribe Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.
Gómez Laveaga, Carmen Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos : cardinales y ordinales / Carmen Gómez Laveaga. -- 2a reimp. -- México : UNAM, Facultad de Ciencias, 2011. x, 129 p. ; 22 cm. -- (Temas de matemáticas) (Las prensas de ciencias) Bibliografía: p. 125-126 Incluye índice ISBN 978-970-32-4705-9 1. Teoría de los conjuntos. 2. Números cardinales. 3. Números ordinales. I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. II. t. III. Ser. IV. Ser. 511.322-s -sccdd21
Bibliote tecca Nacional de México
Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales) 1 edició edición, n, 2007 reimpresión,
15 de noviembre 2011
©D D.R .R.. 20 2011. 11. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad Facul tad de Cienci Ciencias. as. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán, C. P. 04510, México, Distrito Federal.
[email protected] ISBN: 978-970-32-4705-9 Diseño de portada: Laura Uribe Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.
A mis queridas Aurora y Sabina
´ Indice Introducci´ on Cap´ıtulo 1.
vii
. . . . . .
1 1 7 9 13 16 21
Cap´ıtulo 2. El Axioma de Elecci´ on y sus equivalencias on . . . . . . . . . . . . . . § 2.1 Introducci´ § 2.2 Equivalencias del Axioma de Elecci´ on . . . . § 2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
29 29 30 36
Cap´ıtulo 3.
. . . . . .
37 37 44 50 58 66 80
. . . . . .
85 85 99
Cap´ıtulo 4.
Nociones b´ asicas § 1.1 Conjuntos § 1.2 Relaciones § 1.3 Funciones § 1.4 Relaciones § 1.5 Relaciones § 1.6 Ejercicios
. . . de de .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . equivalencia orden . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
N´ umeros cardinales § 3.1 Cardinales . . . . . . . . . . . . . § 3.2 Operaciones entre cardinales . . . . . § 3.3 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . § 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos § 3.5 Sistemas de Peano . . . . . . . . . . § 3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . N´ umeros ordinales § 4.1 Conjuntos bien ordenados . . . . . . umeros ordinales § 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales § 4.3 Representantes para n´ seg´ un von Neumann . . . . . . . . § 4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . 114 . . . 123
Bibliograf´ıa
125
´Indice alfab´etico
127
Introducci´ on Este libro es una introducci´on a la teor´ıa de conjuntos haciendo ´enfasis en la teor´ıa de cardinales y ordinales. Los conceptos b´ asicos de la teor´ıa de conjuntos se manejan intuitivamente, omitiendo la l´ogica formal y la axiom´ atica de la teor´ıa de conjuntos. El u ´ nico axioma que se presenta es el Axioma de Elecci´on junto con algunas de sus equivalencias siendo una de estas el Lema de Zorn. Este u ´ltimo se usa repetidamente en muchas demostraciones, de tal manera que el estudiante al terminar de leer el libro habr´ a adquirido un buen manejo de tan importante resultado. Los motivos por los cuales se presentan los cardinales antes de los ordinales son principalmente dos. El primero es que el desarrollo que se hace es bastante intuitivo (m´as que la Teor´ıa de von Neumann) y de alguna manera se presentan los conceptos de cardinal y ordinal como independientes, algo que no sucede en el desarrollo de la Teor´ıa de n´ umeros ordinales y cardinales que hace von Nuemann, ya que en ´esta los cardinales son ciertos n´umeros ordinales. El segundo motivo, y que a mi juicio lo hace muy atractivo, es la gran cantidad de bellos resultados que aparecen en esta presentaci´o n y que de otra manera no suceder´ıa. V´ease, por mencionar un ejemplo, la presentaci´on de Sistemas de Peano para concluir con la definici´on de los n´ umeros naturales. Si bien es cierto que las definiciones de n´umero cardinal y n´ umero ordinal presentan un problema en el sentido de que no se dice exactamente qu´e objetos de la Teor´ıa de Conjuntos son, en realidad lo que se usa es el hecho de cu´ando dos conjuntos (conjuntos bien ordenados) tienen el mismo cardinal (ordinal) y en ning´ un momento se necesita saber qu´e conjunto es el n´ umero ordinal. A partir de esto podemos desarrollar la teor´ıa sin ning´ un problema. En la Secci´on 4.4 del Cap´ıtulo 4 se presenta la manera en que von Neumann introdujo los representantes para n´ umeros ordinales y de aqu´ı para los n´ umeros cardinales, y se hace una muy breve introducci´on para que el lector tenga una idea de c´omo se introducen los ordinales y los cardinales
vii
Introducci´ on seg´ un von Neumann, que es la manera en que, por lo general, actualmente se maneja. Podr´ıa mencionar un tercer motivo que es el siguiente: para un estudiante de matem´ aticas es importante, dentro de su cultura general, tener alg´ un conocimiento sobre n´umeros cardinales y ordinales, y creo que este libro los introduce r´apidamente en el tema cubriendo una parte del desarrollo de ellos. En el Cap´ıtulo 1 se introducen los conceptos b´ asicos que se requieren para el estudio de los temas posteriores. La mayor´ıa de los teoremas ah´ı presentados no se demuestran. El Cap´ıtulo 2 est´a dedicado al Axioma de Elecci´on, uno de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos. Ah´ı se presentan varias equivalencias, entre las cuales, como ya hemos dicho, se encuentra el Lema de Zorn. Los Cap´ıtulos 3 y 4 corresponden a la teor´ıa de cardinales y ordinales respectivamente. Cabe mencionar que los n´ umeros naturales (Sistemas de Peano) se presentan al final del Cap´ıtulo 3 y se puede observar que antes de este tema, no hemos hecho uso de ellos en ning´un momento, por lo que los ejercicios propuestos hasta antes de la introducci´on de los n´ umeros naturales no los involucran en ning´ un momento. El lector interesado en un estudio axiom´atico de la Teor´ıa de Conjuntos puede referirse a [Ad], [Am], [En], [He], [Hr],[Th] [Fr 1], [Fr 2], [Ha], [Ku] y [Zu]. Agradezco a los estudiantes Ernesto Mayorga Saucedo y Rolando G´omez Macedo por el excelente trabajo que con paciencia realizaron al escribir este libro en LATEX. Por u ´ltimo quiero manifestar tambi´en mi agradecimiento a los ´arbitros que revisaron con todo cuidado este libro y que gracias a sus sugerencias se ha mejorado.
viii
Cap´ıtulo 1
Nociones b´ asicas § 1.1 Conjuntos Intuitivamente un conjunto es una colecci´on de objetos. A estos objetos los llamaremos elementos del conjunto. El s´ımbolo ∈ denota la pertenencia, es decir, si A es un conjunto y x es un elemento de A, lo denotaremos por x ∈ A. Lo anterior tambi´en se puede leer: x es elemento de A o ´ x est´ a en A. De este modo, un conjunto est´a determinado por sus elementos. As´ı, dos conjuntos A y B ser´an iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos, es decir, es verdadera A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) . Para decir que un objeto x no pertenece a un conjunto A utilizaremos la notaci´on x∈ / A. Los conjuntos A y B ser´an distintos, y lo denotamos A = B, si existe al menos un objeto x que hace verdadera la siguiente proposici´on (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ / A). Para describir un conjunto A generalmente se utiliza una propiedad p (x) que solamente satisfacen los elementos de este conjunto, es decir, si los elementos del conjunto A son los ´unicos que hacen verdadera la proposici´on p (x), entonces A = { x | p (x) es verdadera}. Ejemplo 1.1.1. (a) ∅ = { x | x = x } es el conjunto vac´ıo y no tiene elementos ya que la proposici´on p(x) : x = x es falsa para cualquier x. (b) { a} = { x | x = a } es el unitario de a; conjunto con un u ´ nico elemento y este elemento se puede describir mediante la proposici´on p(x) : x = a.
1
2
Nociones b´ asicas
(c) {a, b} = { x | x = a o x = b } es el conjunto cuyos ´unicos elementos son a y b y la proposici´on que determina estos elementos es p (x) : x = a o x = b. A este conjunto se le llama el par no ordenado de a y b. (d) En forma an´aloga se pueden definir tr´ıos, cuartetos, quintetos no ordenados {a,b,c}, {a,b,c,d}, {a,b,c,d,e},... etc. El orden en que escribamos los elementos de un conjunto no lo altera, pues lo que determina a un conjunto son sus elementos sin importar el orden en que ´estos se den. As´ı, tenemos las siguientes igualdades
{a, b} = { b, a} ; {a,b,c} = { b,a,c} = { c,b,a} = ...etc. Definici´ on 1. 1.1. Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es un subconjunto de B, y lo denotaremos por A ⊆ B, si cada elemento de A es tambi´en elemento de B. Esto es A ⊆ B ⇐⇒ ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) . def
Si A es un subconjunto de B y A = B diremos que A es subconjunto propio de B, lo que indicaremos por A ⊂ B o por A B. Teorema 1.1.1. Dos conjuntos A y B son iguales si y s´ olo si cada uno de ellos es subconjunto del otro, es decir A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A. Teorema 1.1.2. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Entonces (1) ∅ ⊆ A. (2) A ⊆ A. (3) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Definici´ on 1.1.2. Sean A y B conjuntos arbitrarios. La uni´ on de A y B, denotado por A ∪ B, es el conjunto A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B } . Proposici´ on 1.1.3. Sean A, B, C conjuntos. Entonces (1) A ∪ ∅ = A, A ∪ A = A. (2) A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B. (3) A ∪ B = B ∪ A. (4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). (5) A ⊆ B si y s´ olo si A ∪ B = B. Definici´ on 1.1.3. Sean A y B conjuntos, la intersecci´ on de A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto A ∩ B = { x | x ∈ A y x ∈ B } .
§ 1.1 Conjuntos
3
Proposici´ on 1.1.4. Sean A, B, C conjuntos. Entonces (1) A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = A. (2) A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B. (3) A ∩ B = B ∩ A. (4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ). (5) A ⊆ B si y s´ olo si A ∩ B = A. La uni´on y la intersecci´on son operaciones sobre conjuntos que tienen la propiedad de que cada una de ellas es distributiva respecto a la otra, es decir, Proposici´ on 1.1.5. Si A, B y C son conjuntos. Entonces (1) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ). (2) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ). Nota 1. Existen varias formas de expresar la idea de conjunto como los son, familia de objetos, colecci´ on de elementos, etc. y nosotros usaremos con libertad este lenguaje. As´ı tambi´en cuando queremos hacer hincapi´e al referirnos a la naturaleza de los elementos de un conjunto, usaremos frases como “un conjunto cuyos elementos son conjuntos” o “familia de conjuntos”, ya que en estos casos lo que queremos hacer es trabajar con estos conjuntos que son elementos de un conjunto dado. Definici´ on 1.1.4. (i) Diremos que dos conjuntos A y B son ajenos si A ∩ B = ∅. (ii) Sea F un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Diremos que los conjuntos de F son ajenos dos a dos, si cualesquiera dos conjuntos que pertenecen a F son ajenos. Definici´ on 1.1.5. Dados dos conjuntos A y B su diferencia es el con junto A − B = { x | x ∈ A y x ∈ / B } . La diferencia de conjuntos, vista como una operaci´on en los conjuntos, en general no es ni asociativa ni conmutativa y tampoco distribuye ni a la uni´on ni a la intersecci´on. Sin embargo s´ı se tiene que Proposici´ on 1.1.6. (Leyes de Morgan) Si A y B son conjuntos, entonces (1) A − (B ∪ C ) = (A − B) ∩ (A − C ). (2) A − (B ∩ C ) = (A − B) ∪ (A − C ). Los conceptos de uni´on e intersecci´on de dos conjuntos pueden generalizarse a familias arbitrarias de conjuntos de la siguiente manera.
4
Nociones b´ asicas
Definici´ on 1.1.6. Sea F una familia de conjuntos. La uni´ on de todos los conjuntos A que pertenecen a F es el conjunto
A = { x | Existe A ∈ F tal que x ∈ A } .
A∈F
Definici´ on 1.1.7. Sea F una familia no vac´ıa de conjuntos. La intersecci´ on de todos los conjuntos A que pertenecen a F, es el conjunto
A = { x | para toda A ∈ F se tiene que x ∈ A } .
A∈F
Observaci´ on 1.1. Para la uni´ on no es necesario pedir que la familia F de conjuntos sea no vac´ıa ya que en este caso se tiene naturalmente que A = ∅. Sin embargo en el caso de la intersecci´on es indispensable que
A∈∅
= ∅, ya que F
x ∈
A ⇐⇒ x ∈ A ∀A ∈ F,
A∈F
y en el caso en que F = ∅ se cumplir´ıa trivialmente que, para todo conjunto A y para toda x ∈ A x ∈ A,
A∈∅
debido a que no existe ning´un conjunto A que pertenezca a ∅. Dicho de otra manera, para demostrar que x∈ /
A,
A∈∅
deber´ıamos exhibir un conjunto A ∈ ∅ tal que x ∈ / A, lo que evidentemente no se puede hacer, y por lo tanto A ser´ıa igual a un “conjunto
A∈F
universal” en el sentido de que cualquier conjunto ser´ıa elemento de ´el; pero como veremos despu´es de la Nota 2, no existe tal conjunto. Nota 2. Aceptaremos como un hecho que dado un conjunto A y una proposici´on p(x), la colecci´ on de elementos de A que hacen verdadera a p(x) es un conjunto (axioma de separaci´on), es decir, a partir de A y la proposici´on p(x), {x ∈ A | p(x) es verdadera} es un conjunto. Por otra parte es importante mencionar que debemos tener cuidado cuando construimos la colecci´on de objetos que hacen verdadera una proposici´on, es decir, colecciones del tipo {x | p(x) es verdadera} deben ser consideradas con cuidado, ya que pueden llevar a colecciones “muy grandes” de objetos que no necesariamente son conjuntos. Este tipo de colecciones son llamadas clases propias y se puede trabajar con ellas correctamente. Es m´a s, en el ´algebra, que es una parte muy importante de la
§ 1.1 Conjuntos
5
Matem´ atica, por poner un ejemplo, se trabaja con estas clases y son de gran importancia. Existe una axiom´atica que respalda el trabajo con estas clases que incluye tanto clases como conjuntos y adem´as cualquier teorema acerca de conjuntos que pueda ser probado con la axiom´atica de clases, puede ser probado con la axiom´atica de Zermelo-Fraenkel (incluyendo el axioma de elecci´on) e inversamente. Desde este punto de vista es mucho m´ as enriquecedor para la matem´atica trabajar con esta axiom´atica que con la cl´asica (Zermelo-Fraenkel) y as´ı teor´ıas que tienen gran relevancia en la matem´ atica moderna, como, por ejemplo, la de categor´ıas (de estructuras algebraicas, espacios topol´ogicos, etc.), se pueden estudiar sin ning´ un problema. Lo importante aqu´ı es poder decidir si una colecci´ on de objetos es un conjunto o no. Un buen ejemplo de clase propia es la colecci´on de todos los conjuntos. Si acept´aramos que esta clase es un conjunto esto nos llevar´ıa a un conjunto universal U , lo que produce contradicciones en la Teor´ıa de Conjuntos. Teorema 1.1.7.
U
= { x | x es conjunto} no es un conjunto.
Demostraci´ on. Supongamos que
U es
un conjunto y sea
/ x }. C = { x ∈ U | x ∈
C es un conjunto debido a lo dicho en el primer p´arrafo de la Nota 2, y por lo tanto C ∈ U . Una de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera y s´olo una C ∈ C o C ∈ / C . Sin embargo ninguna de las dos lo es. 1o / Si C ∈ C , por definici´o n de C , se debe tener que C ∈ / C y por lo tanto tendr´ıamos que C ∈ C y C ∈ / C lo que es una contradicci´on. 2o / Si C ∈ / C , como C ∈ U , entonces C ∈ C . Por lo tanto se tiene que / C , que es una contradicci´on. C ∈ C y C ∈ Concluimos entonces que U no es un conjunto. El siguiente resultado, como puede verse, es un teorema equivalente al Teorema 1.1.7. Teorema 1.1.8. Dado un conjunto A, existe un conjunto B tal que B no pertenece a A.
6
Nociones b´ asicas
Definici´ on 1.1.8. Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A, denotado por P (A) es el conjunto P (A)
= { C | C ⊆ A }.
Definici´ on 1.1.9. El par ordenado de a, b, denotado por (a, b), es el conjunto (a, b) = {{ a}, {a, b}}. Teorema 1.1.9. (a, b) = (c, d) si y s´ olo si a = c y b = d. Demostraci´ on. Supongamos que (a, b) = (c, d), es decir
{{a}, {a, b}} = {{ c}, {c, d}}. Caso 1: a = b. En este caso {{a}, {a, b}} = {{a}}, lo que significa, por hip´ otesis, {{c}, {c, d}} = {{ a}} y entonces a = b = c = d. Caso 2: a = b. Como {a, b} es un elemento de {{c}, {c, d}} se debe tener que { a, b} = { c} o { a, b} = { c, d}. El primer caso no puede suceder ya que esto implicar´ıa que a = b, que no es el caso. Entonces se debe tener que {a, b} = { c, d} y por lo tanto c = d. Por otro lado, como {a} ∈ {{c}, {c, d}} y c = d entonces { a} = { c}, as´ı a = c. Ahora, ya que { a, b} = { c, d}, a = b y a = c, entonces b = d. El inverso es obvio. El concepto de par ordenado podr´ıa definirse de varias maneras (ver Ejercicio 1.11) ya que el objetivo es que satisfaga el Teorema 1.1.9. Definici´ on 1.1.10. El producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto A × B = { (a, b) | a ∈ A y b ∈ B }. Proposici´ on 1.1.10. Sean A, B y C conjuntos. Entonces (1) Si A y B son conjuntos tales que A × B = A × B , entonces A = A y B = B . (2) A × ∅ = ∅. (3) Si A = ∅ y B = ∅, entonces A × B = ∅. (4) A × (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C ); (A ∪ B) × C = (A × C ) ∪ (B × C ). (5) A × (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C ); (A ∩ B) × C = (A × C ) ∩ (B × C ). En el Cap´ıtulo 2 definiremos, en general, el producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos.
§ 1.2 Relaciones § 1.2
7
Relaciones
Definici´ on 1.2.1. (i) Una relaci´ on de un conjunto X a un conjunto Y es una pareja ordenada R = (R, X × Y ), donde R ⊆ X × Y . (ii) El dominio de la relaci´ on R , denotado por Dom( R ), es el conjunto Dom( R ) = { x ∈ X | existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R }. (iii) La imagen de la relaci´ on R , denotado por Im( R ) o Ran( R ), es el conjunto Im( R ) = Ran( R ) = { y ∈ Y | existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ R } . Nota 3. Usualmente, abusando del lenguaje, al referirnos a una relaci´on ´ nicamente al subconjunto R de X × Y , en R = (R, X × Y ) usaremos u lugar de la pareja ordenada R = (R, X × Y ) y dejando en claro que es una relaci´o n de X a Y . Esto es, en vez de usar la pareja ordenada on de X a Y R = (R, X × Y ), diremos simplemente que R es una relaci´ y en este caso, el dominio Dom( R ) y la imagen Im( R ) de la relaci´on, se denotar´ an Dom(R) y Im(R) respectivamente. De acuerdo a la definici´on de relaci´on y usando la nueva notaci´on, queda claro que Teorema 1.2.1. Las relaciones R de X a Y y R de X a Y son iguales si y s´ olo si X = X , Y = Y y R = R . En el caso de que R sea una relaci´on de X a X , simplemente diremos que R es una relaci´on en X . Definici´ on 1.2.2. Sea R una relaci´ on de X a Y . La relaci´ on inversa 1 − R de R es la relaci´ on de Y a X , dada por R−1 = { (y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ R } . El dominio y la imagen de la inversa de una relaci´ on son la imagen y el dominio de la relaci´ on respectivamente. Ejemplo 1.2.1. (a) Para cualesquiera conjunto X y Y , ∅ es una relaci´on de X a Y y se llama la relaci´ on vac´ıa. (b) Sea X cualquier conjunto y sea ∆ X la siguiente relaci´on de X a X ∆X = { (x, x) | x ∈ X } Entonces Dom(∆X ) = X , Im(∆X ) = X y (∆X )−1 = ∆X .
8
Nociones b´ asicas
(c) Sean X cualquier conjunto y P (X ) el conjunto potencia de X . Sea R la relaci´ on de X a P (X ) definida por R = { (x, y) | x ∈ y }. Entonces Dom (R) = X , Im (R) = { y ∈
= ∅} , P (X ) | y
R−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R } = { (y, x) | x ∈ y } . Definici´ on 1.2.3. Sean R1 y R2 relaciones de A a B y de B a C respectivamente. La composici´ on de R1 con R2 , denotada por R2 ◦ R1 , es la relaci´ on de A a C definida por R2 ◦ R1 = { (x, z) | existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R 1 y (y, z) ∈ R 2 }. Ejemplo 1.2.2. Sea X un conjunto, R1 la relaci´on de X a P (X ) definida por (x, A) ∈ R 1 ⊆ X × P (X ) si y s´olo si x ∈ A, y sea R2 la relaci´on de
P (X )
a
P (P (X ))
definida por
(A, B) ∈ R 2 ⊆ P (X ) × P (P (X ) ) si y s´olo si B = { A} . La composici´on R2 ◦ R1 es la relaci´on de X a P (P (X )) que est´a dada por (x, B) ∈ R 2 ◦ R1 ⊆ X × P (P (X ) ) si y s´olo si existe A ∈ P (X ) tal que x ∈ A y B = { A}. Teorema 1.2.2. Sea R1 una relaci´ on de X a Y , R2 una relaci´ on de Y a Z y R3 una relaci´ on de Z a W . Entonces (1) R3 ◦ (R2 ◦ R1 ) = (R3 ◦ R2 ) ◦ R1 . (2) (R2 ◦ R1 )−1 = R 1−1 ◦ R2−1 . (3) R1 ◦ ∆X = R 1 y ∆Y ◦ R1 = R 1 . Demostraci´ on. (1) Por definici´on R3 ◦ (R2 ◦ R 1 ) y (R3 ◦ R 2 ) ◦ R 1 son ambos subconjuntos de X × W (R2 ◦ R1 ⊆ X × Z y R3 ◦ R2 ⊆ Y × W ). S´ olo falta demostrar que R3 ◦ (R2 ◦ R1 ) = (R3 ◦ R2 ) ◦ R1 . Consideremos (x, w) ∈ R 3 ◦ (R2 ◦ R1 ), entonces existe z ∈ Z tal que (x, z) ∈ R2 ◦ R 1 y (z, w) ∈ R3 . Ahora como (x, z) ∈ R2 ◦ R 1 , existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R1 y (y, z) ∈ R2 . Si (y, z) ∈ R2 y (z, w) ∈ R3 , entonces (y, w) ∈ R3 ◦ R2 y ya que (x, y) ∈ R1 , se tiene que (x, w) ∈ (R3 ◦ R2 ) ◦ R1 y por lo tanto R3 ◦ (R2 ◦ R1 ) ⊆ (R3 ◦ R2 ) ◦ R1 . La otra inclusi´on se demuestra de manera an´aloga.
§ 1.3 Funciones
9
(2) Como R1−1 ⊆ Y × X , R2−1 ⊆ Z × Y y R2 ◦ R1 ⊆ X × Z , entonces R1−1 ◦ R2−1 ⊆ Z × X y (R2 ◦ R1 )−1 ⊆ Z × X . Sea (z, x) ∈ (R2 ◦ R1 )−1 . Entonces (x, z) ∈ R 2 ◦ R1 y por lo tanto existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R1 y (y, z) ∈ R2 . De aqu´ı se tiene que (y, x) ∈ R1−1 y (z, y) ∈ R2−1 y as´ı (z, x) ∈ R1−1 ◦ R2−1 . Por lo tanto (R2 ◦ R1 )−1 ⊆ R 1−1 ◦ R2−1 . La otra inclusi´on se demuestra de manera an´aloga. (3) Se deja como ejercicio al lector. Definici´ on 1.2.4. Sea R una relaci´ on de X a Y , A ⊆ X y B ⊆ Y . La imagen de A bajo la relaci´ on R y la imagen inversa de B bajo la relaci´ on R son, respectivamente, los conjuntos R [A] = { y ∈ Y | existe x ∈ A y (x, y) ∈ R } , R−1 [B] = { x ∈ X | existe y ∈ B y (x, y) ∈ R } . Ejemplo 1. 2.3. Sea X = {a,b,c,d} y Y = {x,y,z}. Consideramos la relaci´ on de X a Y , R = { (a, x), (c, x), (c, y), (d, y)}. Si A = {a, b}, A = {b}, B = {x, y }, B = {z }, entonces f [A] = {x}, f [A ] = ∅, f −1 [B] = { a,c,d} y f −1 [B ] = ∅.
§ 1.3
Funciones
En esta secci´on estudiaremos ciertas relaciones entre conjuntos, llamadas funciones. Ellas son de gran importancia ya que nos permiten, de alguna manera comparar dos conjuntos, y en muchas ocasiones podemos obtener informaci´ on de un conjunto a trav´es de otro dado. Definici´ on 1.3.1. Sean X y Y conjuntos y f una relaci´ on de X a Y . f on de X a Y si se llama funci´ (1) Dom (f ) = X , (2) Si (x, y) , (x, y ) ∈ f entonces debe ser y = y . Definici´ on 1. 3.2. Si f es una funci´ on de X a Y , el dominio de la funci´ on es el dominio de la relaci´ on (ver p´ agina 7, Definici´ on 1.2.1). La imagen o rango de la funci´ on es la imagen o rango de la relaci´ on (ver p´ agina 7, Definici´ on. 1.2.1). Al conjunto Y se le llama el codominio o contradominio de la funci´ on.
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Nociones b´ asicas
Ejemplo 1.3.1. (a) Sean X = { a,b,c}, Y = { X, ∅}. f 1 = { (a, X ), (b, X ), (c, ∅)} es una funci´on de X a Y . f 2 = { (a, X ), (b, ∅)} no es funci´on de X a Y ya que Dom (f ) = { a, b} = X . f 3 = {(a, ∅), (b, X ), (c, X ), (a, X )} no es funci´on de X a Y ya que (a, ∅), (a, X ) ∈ f y X = ∅. (b) Para cada conjunto X , existe una u ´ nica funci´ on f de ∅ en X , que es on vac´ıa. f = ∅, llamada la funci´ (c) Sea X un conjunto. f = { (x, A) ∈ X × P (X ) | x ∈ A } es funci´on si y s´ olo si X = ∅ o X tiene un u ´ nico elemento. (d) Para cada conjunto X , f = { (x, x) | x ∈ X } es una funci´on de X a X , on identidad de X y la denotaremos por 1X . llamada la funci´ (e) Si X y Y son conjuntos y yo un elemento fijo de Y , la funci´ on de X a on constante igual a Y dada por f = { (x, yo ) | x ∈ X } se llama la funci´ yo . (f ) Si X y Y son conjuntos arbitrarios no vac´ıos, la funci´on π1 , de X × Y a X dada por π1 = {((x, y) , x) | (x, y) ∈ X × Y } se llama la proyecci´ o n de X × Y sobre X y la funci´on π2 de X × Y a Y definida por o n de X × Y π2 = {((x, y) , y) | (x, y) ∈ X × Y } se llama la proyecci´ sobre Y . Notaci´ on 1.1. Para indicar que f es una funci´on de X a Y generalmente se utilizan los siguientes s´ımbolos f : X
Y o bien X
f
Y .
Si (x, y) ∈ f , al elemento y lo denotaremos por f (x). No hay posibilidad de confusi´on ya que para cada x ∈ X , f (x) queda determinada de manera u ´ nica por la definici´on de funci´ on. Ejemplo 1.3.2. Con esta nueva notaci´on en los incisos (a), (d), (e) y (f ) del Ejemplo 1.3.1 tenemos (a) f 1 : { a,b,c} −→ {X, ∅} dada por f 1 (a) = X , f 1 (b) = X y f 1 (c) = ∅. (d) 1X : X −→ X definida por 1X (x) = x para toda x ∈ X . (e) f : X −→ Y dadapor f (x) = y 0 , donde y0 esunelementofijo deY. (f ) π1 : X × Y −→ X dada por π1 (x, y) = x y π2 : X × Y −→ Y dada por π2 (x, y) = y. Teorema 1.3.1. Sean f : X −→ Y y g : X −→ Y funciones, f = g si y s´ olo si X = X , Y = Y y f (x) = g (x) para todo x ∈ X .
§ 1.3 Funciones
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Definici´ on 1.3.3. Sea f : X −→ Y una funci´ on y X ⊆ X . La funci´ on g : X −→ Y dada por g (x) = f (x) para cada x ∈ X se llama la restricci´ on de f a X y la denotaremos por f |X . on inclusi´ on de En particular 1X |X : X −→ X se la llama la funci´ X en X .
Definici´ on 1.3.4. Sean f : X −→ Y una funci´ on, A ⊆ X y B ⊆ Y . (i) f [A] = { f (x) | x ∈ A } se llama la imagen de A bajo la funci´ on f . 1 − (ii) f [B] = {x ∈ A | f (x) ∈ B } se llama la imagen inversa de B bajo f . Definici´ on 1.3.5. Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones. La composici´ on de f con g es la funci´ on h : X −→ Z con regla de correspondencia h (x) = g (f (x)). A la funci´ on h se le denota por g ◦ f . En diagramas X
f
Y g ◦f
g
Z
Ejemplo 1.3.3. (a) Si f : X −→ Y , entonces f ◦ 1X = f y 1Y ◦ f = f (b) Sean i1 : X −→ X × X e i2 : X −→ X × X definidas por i1 (x) = (x, x0 ) e i2 (x) = (x0 , x) donde x0 es un elemento fijo de X . Entonces para cualesquiera x, y ∈ X , (π1 ◦ i1 ) (x) = x = (π2 ◦ i2 ) (x) , (π1 ◦ i2 ) (x) = x 0 = (π2 ◦ i1 ) (x) , (i1 ◦ π1 ) (x, y) = (x, x0 ) , (i1 ◦ π2 ) (x, y) = (y, x0 ) , (i2 ◦ π1 ) (x, y) = (x0 , x) , (i2 ◦ π2 ) (x, y) = (x0 , y) . Definici´ on 1.3.6. Sea f : X −→ Y una funci´ on (i) f se llama inyectiva si para cualesquiera x1 , x2 ∈ X , f (x1 ) = f (x2 ) implica x1 = x 2 . (ii) f se llama suprayectiva o sobre si Im (f ) = Y . (iii) f se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Teorema 1.3.2. Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones (1) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva. (2) Si f y g son suprayectivas, entonces g ◦ f es suprayectiva. (3) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva. Teorema 1.3.3. Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones (1) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva. (2) Si g ◦ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva. (3) Si g ◦ f es biyectiva, entonces f es inyectiva y g es suprayectiva.
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Nociones b´ asicas
Definici´ on 1.3.7. Sea f : X −→ Y (i) Una funci´ on g : Y −→ X es un inverso izquierdo de f si g ◦ f = 1X . (ii) Una funci´ on h : Y −→ X es un inverso derecho de f si f ◦ h = 1Y . Teorema 1.3.4. Sea f : X −→ Y una funci´ on. Son equivalentes (i) f es inyectiva, (ii) f tiene un inverso izquierdo, (iii) Para cualesquiera funciones g, h : Z −→ X , f ◦ g = f ◦ h implica g = h. Teorema 1.3.5. Sea f : X −→ Y una funci´ on. Son equivalentes (i) f es suprayectiva. (ii) f tiene un inverso derecho. (iii) Para cualesquiera funciones g, h : Y −→ Z , g ◦ f = h ◦ f implica g = h. Teorema 1.3.6. Una funci´ on f : X −→ Y es biyectiva si y s´ olo si existe una unica ´ funci´ on g : Y −→ X tal que g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y . Nota 4. La funci´ on g del Teorema 1.3.6 se llama la funci´ on inversa de f y se denota por f −1 . Es claro de los Teoremas 1.3.4 y 1.3.5 que si f es una funci´on biyectiva, entonces f −1 es una funci´on biyectiva. Con el concepto de funci´on podemos dar una nueva descripci´on de una familia de conjuntos. En muchas ocasiones es muy c´omodo trabajar con conjuntos, en particular cuando se trata de familias de conjuntos, distinguiendo a sus elementos por sub´ındices, como por ejemplo {Λx , Λy , Λz } ´o {Λi | i ∈ I } donde I = { x,y,z}. Formalicemos este concepto un poco mejor. Sea C un conjunto a cuyos elementos pretendemos indicar con los ´ındices i de un conjunto I y sea ϕ : I −→ C una funci´on suprayectiva. Podemos describir a C como la imagen de ϕ de tal manera que si denotamos ϕ(i) = Λi ∈ C , tendremos que C se puede describir como C = {Λi | i ∈ I } o´ como C = {Λi }i∈I y as´ı diremos que C es un conjunto indicado, con I como el conjunto de ´ındices. Es decir, si C = { Λi }i∈I entenderemos que est´a dada una funci´on suprayectiva ϕ : I −→ C , tal que ϕ(i) = Λi y en este caso C recibe el nombre de familia indicada. Ejemplo 1.3.4. Si I = { a,b,c,d} y F= {Ai }i∈I es una familia de subcon juntos de X , esto significa que F = {Aa , Ab , Ac , Ad } donde Ai ⊆ X para i = a, b, c, d. Entonces
A =
A∈F
i∈I
Ai = { x | existe i ∈ I tal que x ∈ A i } = A a ∪ Ab ∪ Ac ∪ Ad .
§ 1.4 Relaciones de equivalencia § 1.4
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Relaciones de equivalencia
Definici´ on 1.4.1. Sea X un conjunto y R una relaci´ on de X a X . Diremos que R es una relaci´ on de equivalencia en X , si satisface las siguientes condiciones (Propiedad reflexiva) (1) Para cada x ∈ X , (x, x) ∈ R , (2) Si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R, (3) Si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R .
(Propiedad sim´etrica) (Propiedad transitiva)
Es inmediato de la definici´on que, si R es una relaci´on de equivalencia entonces Dom(R) = X , Ran(R) = X . Nota 5. Si R es una relaci´on de equivalencia en un conjunto X y x, y ∈ X son tales que (x, y) ∈ R, escribiremos x ∼R y en lugar de (x, y) ∈ R, y cuando no pueda haber confusi´on omitiremos la R de la siguiente manera x ∼ y. En caso de que (x, y) ∈ / R lo denotaremos como x y. Ejemplo 1.4.1. (a) Sea X cualquier conjunto. Entonces ∆X = { (x, x) | x ∈ X } y X × X son relaciones de equivalencia en X . Con la notaci´ on dada en la Nota 5, la relaci´ on ∆X queda definida por x ∼ y si y s´olo si x = y (b) Sean X = {a,b,c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} es una relaci´ on de equivalencia en X . R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)} no es de equivalencia ya que no satisface (ii) de la Definici´o n 1.4.1, es decir, no es sim´etrica, ya que (a, c) ∈ R y (c, a) ∈ / R . (c) Sea X = { a}. La u ´ nica relaci´ on de equivalencia en X es {(a, a)}. Notaci´ on 1.2. En lo que sigue en ∼R omitiremos la R cuando no haya posibilidad de confusi´on. Definici´ on 1.4.2. Sea R una relaci´ on de equivalencia en X y a ∈ X . La clase de equivalencia de a respecto a R, (o la R-clase de equivalencia de a) es el subconjunto de X definido por [a]R = { x ∈ X | x ∼ a} Nota 6. Debido a que a ∼ a para toda a ∈ X en una relaci´on de equivalencia R, entonces a ∈ [a], y por lo tanto, [a]R = ∅ para toda a ∈ X . Cuando no es posible que haya confusi´on a la clase de [a]R la denotaremos simplemente por [a].
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Nociones b´ asicas
Teorema 1.4.1. Sea R una relaci´ on de equivalencia en X . Son equivalentes (1) [a] = [b]. (2) a ∼ b. (3) [a] ∩ [b] = ∅. Demostraci´ on. a ∈ [a] = [b], entonces por definici´on a ∼ b. (2) ⇒ (3) Supongamos que a ∼ b y sea x ∈ [a]. Entonces x ∼ a y, por transitividad, x ∼ b. lo que significa que x ∈ [b] y as´ı [a] ∩ [b] = ∅. (1) ⇒ (2) Como
[a]∩[b] = ∅ y sea x ∈ [a]∩[b]. Entonces x ∼ a y x ∼ b y por ser R transitiva y sim´etrica se tiene que a ∼ b. Si y ∈ [a] entonces y ∼ a y por lo tanto, nuevamente por transitividad y ∼ b y as´ı y ∈ [b]. An´ alogamente se prueba que [b] ⊆ [a].
(3) ⇒ (1) Supongamos
Dada una relaci´on de equivalencia R, a cualquier x ∈ [a]R se le llama un representante de la clase [a]R . Corolario 1.4.2. Sea R una relaci´ on de equivalencia en X . Si a, b ∈ X , entonces [a] = [b] o [a] ∩ [b] = ∅. Veremos ahora que si R es una relaci´on de equivalencia, el conjunto de clases de equivalencia, es decir, {[a] | a ∈ X } tiene ciertas propiedades muy especiales. Para ello introducimos la siguiente Definici´ on 1.4.3. Sea X un conjunto y { X i }i∈I (ver p´ agina 12) una famion lia indicada de subconjuntos de X. Diremos que { X i }i∈I es una partici´ de X si satisface las condiciones siguientes (1) X i = ∅ para cada i ∈ I , (2) X i ∩ X j = ∅ para cada i, j ∈ I con X i = X j , (3) X i = X .
i∈I
Ejemplo 1.4.2. (a) Para cualquier conjunto X = ∅, {X } es una partici´on de X . (b) Sean X = {a,b,c,d,e}, X 1 = {a, b}, X 2 = {c} y X 3 = {d, e}. {X 1 , X 2 , X 3 } es una partici´on de X . (c) Sea X = { a,b,c}. Sean X 1 = { a, b} y X 2 = { a, c}. { X 1 , X 2 } no es una partici´ on de X ya que X 1 ∩ X 2 = ∅ con X 1 = X 2 , es decir, no satisface la condici´ on (ii) de la definici´on.
§ 1.4 Relaciones de equivalencia
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Veremos ahora que cada relaci´on de equivalencia en un conjunto X induce una partici´on en X , e inversamente, cada partici´ on de X induce una relaci´on de equivalencia en X . Para ello definimos R = { relaciones de equivalencia en X } y P = { particiones de X },
para fines pr´acticos, para cada relaci´on de equivalencia R (´ o R ∈ R), denotemos por P R = { [a]R | a ∈ X }. Lema 1.4.3. Sea X un conjunto y R una relaci´ on de equivalencia en X , entonces P R = { [a] | a ∈ X } es una partici´ on de X . Demostraci´ on. De la Nota 6 y del Corolario 1.4.2 (p´ agina 13) se tiene que [a] = ∅ y [a] ∩ [b] = ∅ si [a] = [b]. Por u ´ ltimo, es inmediato que [a] = X .
a∈X
Si X es un conjunto y P = {X i }i∈I una partici´o n de X , definimos RP como la siguiente relaci´o n en X , para a, b ∈ X decimos que a esta relacionado con b (a ∼ RP b) si y s´olo si a y b pertenecen al mismo conjunto X i . Lema 1.4.4. Sea X un conjunto y P = {X i }i∈I una partici´ on de X , entonces RP es de equivalencia. Demostraci´ on. Claramente RP es reflexiva y sim´etrica. Si a ∼RP b y b ∼RP c, entonces existen i, j ∈ I tales que a, b ∈ X i y b, c ∈ X j . Pero como cada elemento de X pertenece a uno y s´olo uno de los X i se tiene que i = j por lo que a ∼RP c, y as´ı ∼RP es transitiva. Por lo tanto ∼RP es de equivalencia. Definimos
η : R → P como η (R) = P R y ν : P → R como ν (P ) = R P .
Los Lemas 1.4.3 y 1.4.4 muestran que η y ν est´an bien definidas, as´ı que para terminar con el trabajo s´olo falta el siguiente Teorema 1. 4.5. Si η y ν son las funciones definidas arriba entonces η ◦ ν = 1P y ν ◦ η = 1R. Demostraci´ on. En primer lugar mostraremos que η ◦ ν = 1P. Sea P ∈ P, con P = {X i | i ∈ I }. Debemos mostrar que P RP = P , es decir, P RP = (η ◦ ν )(P ) = η(RP ) = P .
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Nociones b´ asicas
Sea [a]RP ∈ P RP . Por ser P una partici´on, a ∈ X j para alg´ un j ∈ I y dado i ∈ I , si i = j, a ∈ / X i . Entonces [a]RP = { b ∈ X | a ∼RP b} = { b ∈ X | existe i ∈ I tal que a, b ∈ X i } = X j , esto es, [a]RP ∈ P . Por lo tanto P RP ⊆ P . Sea ahora X j ∈ P . Dado a ∈ X j tenemos que [a]RP = X j , i.e., X j ∈ P RP y por lo tanto P ⊆ P RP . Para finalizar la demostraci´on veremos que ν ◦ η = 1R. Sea R una relaci´ on de equivalencia en X . Entonces (ν ◦ η) (R) = ν (P R ) = ν ({[a]R | a ∈ X }) ahora demostraremos que a ∼R b si y s´olo si a ∼ν (P R ) b. Tomemos a ∼R b. Entonces, por el Teorema 1.4.1, a, b ∈ [a]R ∈ P R y por lo tanto a ∼ ν (P R ) b. Por otro lado si a ∼ ν (P R ) b, entonces existe X i ∈ P R tal que a, b ∈ X i . Como X i = [c]R para alguna c ∈ X , entonces a, b ∈ [c]R lo que implica que a ∼R b. Por lo tanto ν (P R ) = R, y as´ı ν ◦ η = 1R . Dada una relaci´on de equivalencia R en X , denotaremos por X R al conjunto de clases de equivalencia respecto a R y lo llamaremos el con junto cociente de X respecto a R. Existe adem´as una funci´on natural : X → X R definida por (a) = [a] a la que llamaremos la funci´ on can´ onica de X en su conjunto cociente X R. Esta funci´on es suprayectiva y adem´as (x) = (y) si y s´olo si x ∼ y.
§ 1.5
Relaciones de orden
En esta secci´on estudiaremos un tipo de relaci´on de gran importancia para nuestro estudio que es la relaci´ on de orden en un conjunto. Definici´ on 1.5.1. Una relaci´ on R de X a X se llama orden parcial sobre X si satisface (1) (a, a) ∈ / R para toda a ∈ X , (2) Si (a, b), (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R. Un orden parcial lo denotaremos por <, y si X es un conjunto con un orden parcial <, en este caso diremos que (X, <) es un conjunto parcialmente ordenado.
§ 1.5 Relaciones de orden
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Adem´ as si x, y ∈ X y x < y diremos que x es menor que y, y si no sucede que x < y lo denotaremos por x ≮ y. Proposici´ on 1.5.1. Sea < un orden parcial sobre X . Si a < b entonces b ≮ a. Demostraci´ on. Es inmediato de la definici´on de orden parcial.
Definici´ on 1.5.2. Si < es un orden parcial sobre X , por a ≤ b ( a es menor o igual a b) entenderemos que se cumple, a < b o ´ a = b. Es claro, debido a que < es un orden parcial, que las dos posibilidades, a < b y a = b, mencionadas en la definici´on s´olo puede cumplirse una de ellas y no ambas. Proposici´ on 1.5.2. Sea < un orden parcial sobre X . Entonces (1) a ≤ a para toda a ∈ X , (2) Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b, (3) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. Inversamente. Proposici´ on 1.5.3. Sea ∼ una relaci´ on sobre X que satisface (1) a ∼ a para toda a ∈ X , (2) Si a ∼ b y b ∼ a, entonces a = b, (3) Si a ∼ b y b ∼ c, entonces a ∼ c. Entonces la relaci´ on sobre X definida por “ a < b si y s´ olo si a ∼ b y a = b”, es un orden parcial. De las Proposiciones 1.5.2 y 1.5.3 tenemos entonces que los ´ordenes parciales < y las relaciones ≤ que satisfacen las tres propiedades mencionadas en la Proposici´on 1.5.3 est´an en correspondencia biyectiva y por lo tanto trabajamos con < o ≤ indistintamente, esto es, si queremos demostrar que un conjunto (X, <) es parcialmente ordenado debemos verificar que se cumplan las condiciones (a) y (b) de la Definici´on 1.5.1, mientras que si usamos ≤ debemos demostrar que (X ≤) satisface las condiciones (1), (2) y (3) de la Proposici´on 1.5.2. Dado un orden parcial < sobre X , diremos que a y b con comparables si a = b o a < b o b < a. En caso de que no se cumpla ninguna de las tres, diremos que a y b son no comparables.
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Nociones b´ asicas
Ejemplo 1.5.1. (a) Sea A un conjunto y X = P (A), el conjunto potencia de A. Definimos para B, B ∈ P (A), B < B si B ⊂ B . < es un orden parcial sobre P (A). Adem´ as si A tiene m´as de un elemento entonces existen elementos en P (A) que no son comparables respecto a esta relaci´on. (b) Sea X = {a,b,c,d}. Definimos el siguiente orden en X , a < b, b < c, c < d, a < c, a < d, b < d. Se puede ver f´acilmente que < es un orden parcial en X . Adem´ as a diferencia del ejemplo anterior, en este caso todos los elementos est´an relacionados, es decir, para cualesquiera dos elementos de X uno de ellos es menor que el otro. Definici´ on 1.5.3. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y a ∈ X (i) a se llama m´ aximo ( m´ınimo) si para todo elemento a de X se tiene que a ≤ a (a ≤ a ) . (ii) a se llama maximal ( minimal ) si no existe a ∈ X tal que a < a (a < a). Un elemento m´ aximo (m´ınimo) es comparable con cada elemento de X , lo que no sucede en general con los maximales (minimales), es m´ as, puede suceder que un maximal (minimal) no sea comparable con ning´un elemento de X , salvo con s´ı mismo. Si un elemento a es m´aximo (m´ınimo) entonces es maximal (minimal). El rec´ıproco en general no es cierto. M´ as adelante veremos que para ciertos ´ordenes, maximal coincide con m´aximo y minimal con m´ınimo. Proposici´ on 1.5.4. En un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) a lo m´ as hay un m´ aximo (m´ınimo). Demostraci´ on. Como un m´aximo (m´ınimo) es comparable con todos los dem´ as elementos de X , si hubiese dos m´aximos (m´ınimos) a y a entonces tendr´ıamos que a ≤ a y a ≤ a; por la Proposici´on 1.5.2 (2) se tiene que a = a . A diferencia de un m´ aximo (m´ınimo) puede haber varios maximales (minimales) en un conjunto parcialmente ordenado. Por ejemplo si A = { a, b}, entonces (P (A) − {A}, ⊂) tiene dos maximales que son { a} y {b}, sin embargo como tiene m´ınimo que es ∅, solamente tiene un minimal que por supuesto es ∅.
§ 1.5 Relaciones de orden
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Definici´ on 1.5.4. Un orden parcial en un conjunto X se llama orden total o lineal si cualesquiera dos elementos de X son comparables, es decir, si a, a ∈ X entonces a < a o a < a o a = a . A un conjunto con un orden total se le llama conjunto totalmente ordenado. Dado que partimos de un orden parcial en la definici´on de orden total, en realidad no es necesario pedir que se cumpla s´olo una de las tres propiedades de a < b o b < a o a = b, ya que el hecho de ser < un orden parcial no permite que se satisfaga m´as de una (Proposici´on 1.5.1). Ejemplo 1.5.2. (a) Dado un conjunto X , (P (X ), ⊆) es un conjunto totalmente ordenado si y s´olo si X tiene a lo m´as un elemento. (b) Sea X = { a,b,c,d}. Definimos el siguiente orden en X : a < b, b < c, c < d, a < c, a < d, y b < d, entonces (X, <) es un orden total. Definici´ on 1. 5.5. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y Y ⊆ X . Diremos que un elemento a ∈ X es una cota superior ( cota inferior ) de Y en X , si para todo elemento x de Y se tiene que x ≤ a (a ≤ x). Si el conjunto de cotas superiores (inferiores) de Y tiene m´ınimo (m´ aximo), a ´este se le llama supremo ( ´ınfimo) de Y en X . Ejemplo 1.5.3. (a) Sea X un conjunto y (P (X ), ⊆), entonces si B ⊆ P (X ), supremo de B en
P (X )
y
C es el
C ∈B
C es el ´ınfimo de B en
P (X ).
C ∈B
(b) Sea X un conjunto. Consideremos el conjunto parcialmente ordenado (P (X ), ⊆), y sea ∅ = A ⊆ X y B = P (A) − {A} ⊆ P (X ), entonces C es el ´ınfimo de B y C = A es el supremo de B. N´ otese que en
C ∈B
C ∈B
este caso el supremo de B es A y no pertenece al conjunto B. Definici´ on 1.5.6. Un subconjunto Y de un conjunto parcialmente ordenado (X, <) se llama una cadena en (X, <) si (Y, <) es un conjunto totalmente ordenado. Un caso particular de orden total es el de buen orden que definimos a continuaci´on. Definici´ on 1.5.7. Sea < un orden parcial en X . < se llama un buen orden si cada subconjunto no vac´ıo de X tiene m´ınimo, y en este caso decimos que (X, <) es un conjunto bien ordenado.
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Nociones b´ asicas
Proposici´ on 1.5.5. Si < es un buen orden entonces es un orden total. Demostraci´ on. Dados a, b ∈ X , basta tomar {a, b} y aplicar el hecho de que < es un buen orden.
§ 1.6 Ejercicios § 1.6
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Ejercicios
1.1. Demuestre los Teoremas 1.1.1 y 1.1.2. 1.2. Demuestre las Proposiciones 1.1.3, 1.1.4 y 1.1.5. 1.3. Sean A, B y C conjuntos, demuestre que (i) A ∩ (B − C ) = (A ∩ B) − (C ). (ii) (A ∪ B) − C = (A − C ) ∪ (B − C ). (iii) A − (B ∪ C ) = (A − B) − C . 1.4. Si A, B y C conjuntos, demuestre que A − (B − C ) = (A − B) ∪ (A ∩ C ) de lo anterior deducir que es posible definir la intersecci´on de conjuntos a partir de la diferencia. 1.5. Sean A, B y C conjuntos, demostrar que (i) A − B = A si y s´olo si A ∩ B = ∅. (ii) A − (B − C ) = (A − B) − C si y s´olo si A ∩ C = ∅. 1.6. Demuestre las Proposiciones 1.1.6 y 1.1.10. 1.7. Sean A, B y C conjuntos. Pruebe que (i) C = A ∪ B si y s´olo si A ⊆ C , B ⊆ C y para todo conjunto X , si A ⊆ X y B ⊆ X , entonces C ⊆ X . (ii) C = A ∩ B si y s´olo si C ⊆ A, C ⊆ B y para todo conjunto X , si X ⊆ A y X ⊆ B, entonces X ⊆ C . 1.8. Demuestre el Teorema 1.1.8. 1.9. Para cualesquiera dos conjuntos A y B definimos A + B = (A − B) ∪ (B − A) llamada la diferencia sim´etrica de A y B, y A ∗ B = A ∩ B. (i) Pruebe que para cualquier conjunto X , (P (X ), +, ∗) es un anillo conmutativo con unidad, es decir, para cualesquiera A, B,C ∈ P (X ) se tiene que (a) (A + B) + C = A + (B + C ), (b) A + B = B + A, (c) Existe 0 ∈ P (X ) tal que A + 0 = A, (d) Para cada A ∈ P (X ) existe B ∈ P (X ) tal que A + B = 0; (e) (A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C ), (f ) A ∗ B = B ∗ A,
22
Nociones b´ asicas
(g) Existe I ∈ P (X ) tal que A ∗ I = A, (h) A ∗ (B + C ) = (A + B) ∗ (A + C ). (ii) Demuestra que cada elemento de P (X ) es idempotente, es decir A ∗ A = A. 1.10. Si (R, +, ∗) es un anillo, un ideal I del anillo R es un subconjunto de R que cumple (a) I es un grupo abeliano con la suma restringida de R, es decir, para toda a, b, c ∈ I se tiene (i) (a + b) + c = a + (b + c) (ii) a + b = b + a (iii) Existe un elemento en I que denotaremos 0 tal que a + 0 = a (iv) Para toda a ∈ I existe b ∈ I tal que a + b = 0 (b) ∀r ∈ R y ∀b ∈ I r ∗ b ∈ I . Con respecto al ejercicio anterior. Muestra que si A ⊆ X , entonces P (A) es un ideal de P (X ). 1.11. Sean X y Y conjuntos Definimos x, y = {{ x, ∅}, {y, {∅}}} donde x ∈ X y y ∈ Y . Demostrar que x, y = x , y si y s´olo si x = x y y = y . Esta es una definici´on alternativa para la pareja ordenada (x, y). 1.12. Sea X un conjunto. Un subconjunto K de P (X ) es una direcci´ on en X si satisface (a) K =∅y∅∈ / K, (b) Para todo A, B ∈ K existe C ∈ K tal que C ⊆ A ∩ B. Probar que para todo a ∈ X , N a = { Y ⊆ X | a ∈ Y } es una direcci´on en X . 1.13. Sea X un conjunto. Un subconjunto F de P (X ) es un filtro en X si satisface (a) F es una direcci´on, (b) Para todo B ⊆ X , si existe A ∈ F tal que A ⊆ B, entonces B ∈ F . Probar que el conjunto N a del ejercicio anterior es un filtro. 1.14. Sea F un filtro en un conjunto X y sea A ⊆ X . Probar que F A = {L ∩ A | L ∈ F } es un filtro en A si y s´olo si L ∩ A = ∅ para todo L ∈ F . 1.15. Sean K1 y K2 direcciones en X 1 y X 2 respectivamente. Si
K = { A × B | A ∈ K1 y B ∈ K2 } entonces K es una direcci´on en X 1 × X 2 .
§ 1.6 Ejercicios
23
1.16. Demuestre el inciso (3) del Teorema 1.2.2. 1.17. Sea { Ri }i∈I una familia de relaciones de A a B y sea R una relaci´on de B a C . Probar que R◦
Ri
i∈I
=
(R ◦ Ri ).
i∈I
1.18. Probar los Teoremas 1.3.1, 1.3.2 y 1.3.3. 1.19. D´e un ejemplo de funciones f : A −→ B y g :−→ C tales que g ◦ f sea inyectiva y g no lo sea. 1.20. Probar los Teoremas 1.3.4, 1. 3.5 y 1.3.6. 1.21. D´e un ejemplo de funciones f : A −→ B y g : B −→ C tales que g ◦ f sea suprayectiva, pero f no lo sea. 1.22. Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones. Probar (i) g ◦ f es inyectiva si y s´olo si f es inyectiva y g |Im (f ) : I m (f ) −→ C es inyectiva, (ii) g ◦ f es suprayectiva si y s´olo si g |Im (f ) : I m (f ) −→ C es suprayectiva. 1.23. Probar que si f : A −→ B y g : B −→ C son funciones biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva y adem´as (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 1.24. Sea f : A −→ B una funci´ on. Probar (i) Si S ⊆ T ⊆ A entonces f [S ] ⊆ f [T ], (ii) Si U ⊆ V ⊆ B entonces f −1 [U ] ⊆ f −1 [V ], (iii) Sea F : P (A) −→ P (B) definida por F (S ) = f [S ] y G : P (B) −→ P (A) definida por G (U ) = f −1 [U ]. Si f es suprayectiva entonces F ◦ G = I P (B) y si f es inyectiva entonces G ◦ F = I P (A) . 1.25. Sea f : A −→ B una funci´ on. Sean S, T ⊆ A y U, V ⊆ B. Probar (i) f [S ∪ T ] = f [S ] ∪ f [T ], (ii) f −1 [U ∪ V ] = f −1 [U ] ∪ f −1 [V ], (iii) f [S ∩ T ] ⊆ f [S ] ∩ f [T ] y f [S ∩ T ] = f [S ] ∩ f [T ] si y s´olo si f es inyectiva, (iv) f −1 [U ∩ V ] = f −1 [U ] ∩ f −1 [V ]. 1.26. Generaliza el ejercicio anterior para uniones e intersecciones arbitrarias. 1.27. Sea f : A −→ B una funci´ on. Probar 1 − (i) Para todo U ⊆ B, f [B − U ] = A − f −1 [U ], (ii) Para todo S ⊆ A, B − f [S ] ⊆ f [A − S ] si y s´olo si f es suprayectiva, (iii) Para todo S ⊆ A, f [A − S ] ⊆ B − f [S ] si y s´olo si f es inyectiva.
24
Nociones b´ asicas
1.28. Sea m un elemento fijo de un conjunto X y sea f : X −→ X la funci´ on constante igual a m. Probar (i) f ◦ g = f para toda funci´on g : X −→ X . (ii) Rec´ıprocamente, si f : X −→ X es una funci´on tal que f ◦ g = f para toda funci´on g : X −→ X , entonces existe m ∈ X tal que f (x) = m para todo x ∈ X . 1.29. Sea f : A −→ A una funci´ on. Probar (i) Si S, T ⊆ A tal que f [S ] = S y f [T ] = T entonces f [S ∪ T ] = f [S ] ∪ f [T ]. (ii) Generalice (i) para cualquier familia arbitraria de subconjuntos de A. (iii) Existe un u ´ nico subconjunto S de A, m´ aximo con respecto a la inclusi´ on de conjuntos con la propiedad de que f [S ] = S . (iv) Si S, T ⊆ A son tales que f restringida a cada uno de ellos es inyectiva, ¿es necesariamente f inyectiva en S ∪ T ? 1.30. Sean A, B conjuntos y sean π1 y π2 las proyecciones de A × B en A y B respectivamente. Probar que para cualquier conjunto X y para cualesquiera funciones f : X −→ A, g : X −→ B existe una u ´ nica funci´on h : X −→ A × B tal que π1 ◦ h = f y π2 ◦ h = g. 1.31. Sean A,B,C,D conjuntos y sean f : A −→ C y g : B −→ D funciones. Definir una funci´on natural h : A × B −→ C × D tal que si f y g son biyectivas, entonces h es biyectiva. 1.32. Sean A, B, C y D conjuntos y f : A −→ C , g : B −→ D funciones. Definir una funci´ on “natural” k : Func (C, B) −→ Func (A, D), donde para conjuntos arbitrarios L y M , Func (L, M ) denota el conjunto de funciones de L en M . 1.33. Sean A, B y C conjuntos. Definir una funci´on “natural” f : Func (A,Func (B, C )) −→ Func (A × B, C ) y probar que ´esta es una biyecci´on. 1.34. Sean A, B y C conjuntos. Definir una funci´on “natural” f : Func (C, A × B) −→ Func (C, A) × Func (C, B) y probar que ´esta es una biyecci´on.
§ 1.6 Ejercicios
25
1.35. Sea B un conjunto, {f i }i∈I una familia de funciones tal que para cualesquiera i, j ∈ I , f i (x) = f j (x) para todo x ∈ Dom (f i ) ∩ Dom (f j ). Probar que existe una funci´on f con dominio D = Dom (f i ) tal que
i∈I
para cada i ∈ I , f (x) = f i (x) para todo x ∈ Dom (f i ).
1.36. Sea B un conjunto, {Ai }i∈I una familia de conjuntos y sea, para cada i ∈ I , f i : Ai −→ B una funci´on. Suponga que para cada i, j ∈ I , f i |(Ai ∩Aj ) = f j |(Ai ∩Aj ) . Probar que existe una funci´on f : Ai −→ B tal que f |Ai = f i para todo i ∈ I .
i∈I
1.37. Sea f : X −→ Y una funci´ on. Probar (i) Si F es un filtro en X (v´ease, Ejercicio 1.13), entonces f ( F ) es una direcci´ on en Y (v´ease, Ejercicio 1.12 ). Adem´ as, si f es suprayectiva entonces f ( F ) es un filtro en Y , (ii) Si K es una direcci´on en Y , entonces f −1 (K) es una direcci´ on en X si y s´olo si G ∩ f (X ) = ∅ para todo G ∈ K. 1.38. Demuestre el Corolario 1.4.2. 1.39. Sea R una relaci´on en un conjunto X . Probar que R ∪ R−1 es la relaci´ on sim´etrica m´as peque˜ na que contiene a R y que R ∩ R−1 es la m´as grande contenida en R. 1.40. Sea R una relaci´on reflexiva y transitiva en un conjunto X . Probar que R ◦ R = R. 1.41. Sea R una relaci´on en un conjunto X . Probar que R es de equivalencia si y s´olo si ∆X ⊆ R y R ◦ R−1 ◦ R = R, donde ∆X = { (x, x) | x ∈ X }. 1.42. Sean R1 y R2 relaciones de equivalencia en un conjunto X . Probar que R2 ◦ R1 es una relaci´ o n de equivalencia en X si y s´olo si R2 ◦ R1 = R 1 ◦ R2 . Probar adem´as que cuando esta condici´on se satisface entonces R2 ◦ R1 es la intersecci´on del conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X que contienen a R1 y R2 . 1.43. Sea R una relaci´ on de equivalencia en un conjunto X . Sea A ⊆ R tal que la imagen de la proyecci´on π1 en A es X . Probar que R ◦ A = R y que si S es cualquier relaci´on, entonces (R ∩ S ) ◦ A = R ∩ (S ◦ A).
26
Nociones b´ asicas
1.44. Sean A y B conjuntos y f una funci´on de A a B. Sea Rf = { (x, y) ∈ A × A | f (x) = f (y)} .
Probar (i) Rf es una relaci´on de equivalencia en A y la llamaremos la relaci´ on de equivalencia asociada a f . (ii) Si F = { (a, f (a)) | a ∈ A } entonces Rf = F −1 ◦ F . 1.45. Sea R una relaci´ on de equivalencia en un conjunto X y sea : X −→ X/R la funci´ on can´onica (ver p´agina 16) de X en X/R. Probar que R es la relaci´on de equivalencia asociada a . 1.46. Sea R una relaci´ o n de equivalencia en un conjunto X , sea : X −→ X/R la funci´ on can´onica de X en X/R y sea A un subconjunto de X . Diremos que A es saturado respecto a R si para cada a ∈ A, [a] ⊆ A. Probar (i) A es saturado respecto a R si y s´olo si A es uni´on de clases de equivalencia respecto a R. (ii) A es saturado respecto a R si y s´olo si −1 ( (A)) = A. 1.47. Sea R una relaci´ on de equivalencia en un conjunto X , sea la funci´ on can´onica de X en X/R y sea B un subconjunto de X . Probar (i) −1 ( (B)) es el subconjunto saturado m´as peque˜ no de X con respecto a la inclusi´on que contiene a B. Llamaremos a este conjunto saturaci´ on de B respecto a R. (ii) Sea f una funci´ o n de X en un conjunto Y . Existe una funci´ on h : X/R −→ Y tal que f = h ◦ si y s´ olo si para todo (x, y) ∈ R se tiene que f (x) = f (y). 1.48. Sean f : X −→ Y una funci´on, R y S relaciones de equivalencia en X y Y respectivamente, R y S las funciones can´onicas de X en X/R y de Y en Y /S respectivamente. Probar que existe una funci´on h : X/R −→ Y /S tal que h ◦ R = S ◦ f si y s´o lo si para todo (x, y) ∈ R se tiene que (f (x) , f (y)) ∈ S . 1.49. Sean R y S relaciones de equivalencia en un conjunto X , tal que S ⊆ R. Defina una relaci´on de equivalencia “natural” R/S en X/S de tal manera que exista una biyecci´on de X/R en (X/S )/(R/S ). 1.50. Sea f : X −→ X una funci´on. Un subconjunto A de X se llama f -invariante si f (A) ⊆ A. Un conjunto f -invariante se llama inescindible si no puede ser expresado como uni´on ajena de conjuntos no vac´ıos f -invariantes. Probar que A se expresa de manera ´unica como uni´on ajena
§ 1.6 Ejercicios
27
de conjuntos inescindibles f -invariantes (Sugerencia: Defina una relaci´ on de equivalencia adecuada ). 1.51. Demuestre las Proposiciones 1.5.1 y 1.5.2. 1.52. Sea X un conjunto tal que P (X ) es una cadena respecto a la inclusi´on. ¿Qu´e se puede decir de X ? 1.53. Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (X, <) es una ret´ıcula si cada pareja de elementos {x, y } de X tiene supremo e ´ınfimo en X y en este caso los denotaremos x ∨ y y x ∧ y respectivamente. La ret´ıcula X ser´a distributiva si para todo x, y, z ∈ X se tiene que x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Probar que cualquier cadena es una ret´ıcula distributiva. 1.54. Se dice que X es una ret´ıcula completa si cada subconjunto de X tiene supremo e ´ınfimo en X . Sea X un conjunto. Probar que (P (X ) , ⊆) es una ret´ıcula completa. 1.55. Sea (X, <) un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad de que cualquier subconjunto de X tiene supremo. Suponga adem´as que X tiene m´ınimo. Probar que X es una ret´ıcula completa. (Sugerencia: Dado un subconjunto Y de X , considere el conjunto de cotas inferiores de Y ). 1.56. Sea X una ret´ıcula en la que cualquier subconjunto acotado superiormente tiene supremo. Probar que cualquier subconjunto de X , acotado inferiormente, tiene ´ınfimo. 1.57. Sea C una cadena y X un conjunto parcialmente ordenado. Sea f : C −→ X una funci´on inyectiva tal que para todo a, b ∈ C , si a < b entonces f (a) < f (b). Probar que si f (a) < f (b) entonces a < b. 1.58. Sea X una ret´ıcula completa (ver, Ejercicio 1.54) y sea f : X −→ X una funci´ on tal que para todo a, b ∈ X , si a < b entonces f (a) < f (b). Probar que f deja fijo a alg´ un elemento de X , es decir, existe x ∈ X tal que f (x) = x. (Sugerencia: Considere el conjunto {a ∈ X | a < f (a)}). 1.59. Sean (A, <) un conjunto bien ordenado y B ⊆ A. Demostrar que (B,
28
Nociones b´ asicas
1.60. Diremos que un subconjunto S de una cadena (C , <) es convexo si tiene la siguiente propiedad: Para todo x ∈ C , si existen a, b ∈ S tales que a < x < b, entonces x ∈ S . Probar que un subconjunto convexo S de una cadena (C , <) es la intersecci´on de un segmento inicial de C con un segmento final de C .
Cap´ıtulo 2
El Axioma de Elecci´ o n y sus equivalencias § 2.1 Introducci´ on En este cap´ıtulo presentamos el Axioma de Elecci´on junto con algunas de sus equivalencias entre las que se encuentran el Lema de Zorn, cuya importancia se hace evidente en los siguientes cap´ıtulos. En el cap´ıtulo 1 definimos el producto cartesiano de A × B de una pareja de conjuntos A y B. En esta secci´on introduciremos la definici´on del producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos. Definici´ on 2.1.1. Dada una familia de conjuntos no vac´ıos {Ai }i∈I , una funci´ on de selecci´ on para esta familia es una funci´ on f : { Ai }i∈I −→ Ai
i∈I
tal que f (Ai ) ∈ A i para toda i ∈ I .
Esto corresponde a la idea de que dada una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos, se puede elegir simult´ aneamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la familia. Definici´ on 2.1.2. Dada una familia de conjuntos {Ai }i∈I , su producto cartesiano es el conjunto on de selecci´ on para la familia {Ai }i∈I }. × Ai = { f | f es una funci´
i∈I
En el Cap´ıtulo 1 vimos, en la Proposici´ on 1.1.10 inciso (3), que si A y B son conjuntos no vac´ıos entonces A × B es no vac´ıo. Sin embargo para el producto cartesiano de una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos no se puede demostrar que este resultado es verdadero, es decir que
29
30
El Axioma de Eleccion o´n y sus equivalencias
= ∅. Debido a que no tenemos las herramientas necesarias en la × Ai
i∈I
Teor´ eor´ıa de Conjunto Conjuntoss para hacerlo. hacerlo. Es por esto, entre entre otras razones, razones, que debemos introducir como uno de los axiomas que sustentan a la Teor´ eor´ıa de Conjuntos, al llamado Axioma de Elecci´on on que dice Axioma de Elecci´ on on Dada una familia no vac´ vac´ıa ıa de conjuntos onjuntos no vac´ vac´ıos, ıos, existe una funci´ on de selecci´ on para esta familia. Este axioma es evidentemente otra forma de decir que el producto cartesi cart esiano ano de una famili fam iliaa no vac´ vac´ıa de conjuntos conj untos no vac´ vac´ıos es no vac´ vac´ıo. Notaci´ on o n 2.3. A los elementos (funciones de selecci´on) on) f ∈ × Ai , los i∈I
denotaremos por f = (ai )i∈I para cada i ∈ I , I , donde f donde f ((Ai ) = a i para toda i ∈ I . I . As´ As´ı pues, con esta notaci´on on tenemos que
× Ai = { (ai )i∈I | a i ∈ A i ∀ i ∈ I }.
i∈I
Cabe mencionar que en el caso en que I = {m, n}, × Ai no coincide i∈I
con el producto cartesiano A cartesiano A m × An definido en el capitulo 1, sin embargo se puede demostrar sin ninguna dificultad que existe una biyecci´on on entre estos dos conjuntos.
§ 2.2 Equiv Equivale alenci ncias as del Axioma Axioma de Elecci Elecci´ on o ´n Teorema Teorema 2.2.1. Son equivalentes (1) Axioma (1) Axioma de Elecci´ on. Para on. Para cada familia C no no vac´ vac´ıa de conjuntos conjun tos no vac´ vac´ıos ıos existe una funci´ on f : C −→ C C tal que f ( f (C ) ∈ C.
C ∈C ∈C
Principi ipio o maxim maximal al de Hausd Hausdor orff. ff. Cada conjunto (2) Princ onjunto parcialme arcialmente nte ordenado tiene una cadena maximal.1 (3) Lema (3) Lema de Zorn. En Zorn. En un conjunto parcialmente ordenado ( ordenado (X, X, <) si cada cadena en X tiene tiene cota superior en X , entonces (X, <) tiene al menos un maximal. (4) Teorema (4) Teorema de Zermelo. Cada Zermelo. Cada conjunto acepta un buen orden, es decir, para cualquier conjunto X , existe una relaci´ on binaria < sobre X X tal que (X, <) es bien ordenado. 1Una cadena C en un conjunto parcialmente ordenado X es maximal si para cualquier cadena C en X , si C ⊆ C , entonces C = C .
§ 2.2 Equivalencia Equivalenciass del Axioma de Elecci´ on
31
Demostraci´ on. on. (1) =⇒ (2 ( 2) Sea (X, (X, <) un conjunto parcialmente ordenado y sea Cad (X ) = { C ⊆ X | C es C es una cadena}. Como ∅ es una cadena en (X, (X, <), entonces ∅ ∈ Cad (X ) y as´ı Cad (X ) = ∅. Consideremos el conjunto parcialmente ordenado (Cad ( Cad (X ), ⊆). Para cada C ∈ Cad (X ), ), definimos Comp( Comp(C ) = { a ∈ X | para todo b ∈ C a ≤ b o´ b ≤ a}. Por definici´on on de cadena cade na (v´ease ease Definici Defin ici´´on on 1.5.6 p´ag. ag. 19) C 19) C ⊆ Comp( Comp(C ) y adem´as Comp as Comp((C ) − C = ∅ si y s´olo olo si C no no es una cadena maximal. Sea Cad 0 (X ) = { C ∈ Cad (X ) | Comp( Comp(C ) − C = ∅} ⊆ C ad( ad(X ). Si Cad 0 (X ) = ∅ entonces toda cadena C en X X es es maximal y el resultado se tiene. Supongamos ahora que Cad 0 (X ) = ∅, esto implica que la familia {Comp( Comp(C ) − C }C ∈Cad (X ) = ∅ y por construcci´on on cada elemento de dicha famili fam iliaa es no vac´ vac´ıo; as´ as´ı tenemos ten emos una familia fami lia no vac´ vac´ıa de conjunto con juntoss no vac´ vac´ıos. Por el Axioma de Elecci´on, on, existe una funci´on on 0
ϕ : { Comp( Comp(C ) − C }C ∈Cad (X )
0
C ∈Cad 0 (X )
Comp(C ) − C } , {Comp(
tal que ϕ(Comp( Comp(C ) − C ) ∈ Comp( Comp(C ) − C . Sea ψ la funci´on on de Cad 0 (X ) a {Comp( Comp(C ) − C }C ∈Cad (X ) dada por ψ (C ) = Comp( Comp(C ) − C . Finalmente consideramos la funci´on on 0
f = ϕ ◦ ψ : Cad 0 (X )
que satisface f ( f (C ) ∈ Comp( Comp(C ) − C . Definimos Cad (X ) g : Cad (X ) C
Comp(C ) − C } {Comp(
C ∈Cad 0 (X )
C ∪ f (C )} ∪ {f ( C
si C no no es maximal si C es es maximal
Mostraremos que g que g tiene un punto fijo, es decir, existe C existe C ∈ Cad (X ) tal que g (C ) = C , lo que significa que efectivamente existe en Cad (X ) una cadena maximal. Para esto introducimos el concepto de torre
32
El Axioma de Eleccion o´n y sus equivalencias
Definici´ Defin ici´ on on 2. 2.1. Sea Sea τ ⊆ Cad (X ). Dir Direm emos os qu que e τ una torre si τ es una satisface las siguientes condiciones (1) ∅ ∈ τ , τ , (2) Si C ∈ τ τ entonces g (C ) ∈ τ , τ , (3) Si {C i }i∈I es una cadena (respecto a ⊆) de cadenas en τ τ entonces C i ∈ τ . τ .
i∈I
La intersecci´on on de todas las torres es una torre: Sea G = {τ ⊆ Cad (X ) | τ es τ es una torre}, G = ∅ ya que Cad (X ) ∈ G, es decir, Cad (X ) es una torre (1) Ya hemos mencionado que ∅ ∈ C ad( ad(X ). ). (2) Si C Si C ∈ C ad( ad(X ), ), entonces, si C si C es es maximal en C en C ad( ad(X ), g ), g((C ) = C y as´ı g (C ) ∈ C ad( ad(X ) y en el caso en que C C no es maximal, ∪ {f ( g (C ) = C ∪ f (C )} y por ser C una C una cadena y f ( f (C ), ), por definici´on, on, es comparable con todos los elementos de C , se tiene que ∪ {f ( C ∪ f (C )} es una cadena en X . ∪ {f ( Por lo tanto g (C ) = C ∪ f (C )} ∈ C ad( ad(X ). ). (3) Si {C i }i∈I es una cadena de cadenas en C en Cad ad((X ), ), C i ∈ C ad( ad(X )
porque si a, si a, b ∈
i∈I
C i , entonces a entonces a ∈ C i para alguna i alguna i ∈ I y b ∈ C j
i∈I
para alguna j ∈ I . Pero como {C i }i∈i es una cadena, C i ⊆ C j o C j ⊆ C i y por lo tanto a, b ∈ C i o a, b ∈ C j y debido a que C k es una cadena en X , entonces a ≤ b o b ≤ a. a . Afirmamos que τ o =
τ es τ es una torre:
τ ∈G
(i) ∅ ∈ τ 0 ya que para todo τ ∈ G, ∅ ∈ τ . τ . (ii) ii) Si C Si C ∈ τ 0 entonces g entonces g((C ) ∈ τ para τ para todo τ todo τ ∈ G y por lo tanto g tanto g((C ) ∈ τ 0 . (iii) iii) Si {C i }i∈I es una cadena de cadenas en τ 0 entonces para cada i ∈ I y para cada τ ∈ G, C i ∈ τ y τ y por ser τ una τ una torre entonces C i ∈ τ τ para cada τ ∈ G. Por lo tanto
i∈I
C i ∈ τ 0 .
i∈I
Por definici´on τ on τ 0 es la m´ınima torre. Ahora veremos que es una cadena de cadenas, y para esto veremos que el conjunto de los elementos que son comparables con τ 0 coincide con τ 0 . Sea τ 1 = { C ∈ τ 0 | para todo C ∈ τ 0 , C ⊆ C ´o C ⊆ C }. τ 1 es una torre (i) Claramente ∅ ∈ τ 1 ya que ∅ ⊆ τ para τ para todo C ∈ τ 0 . (ii) ii) Sea { C i }i∈I una cadena de cadenas en τ en τ 1 . Como cada C cada C i ∈ τ 1 entonces
§ 2.2 Equivalencias del Axioma de Elecci´ on
33
dado C ∈ τ 0 , C es comparable con cada uno de ellos, as´ı que puede ocurrir uno de dos casos (a) Existe i ∈ I tal que C ⊆ C i , (b) Para todo i ∈ I , C i ⊆ C . En el primer caso, como C i ⊆ C i , entonces C ⊆ C i , y en el segundo caso
i∈I
C i ⊆ C . Por lo tanto
i∈I
i∈I
C i ∈ τ 1 .
i∈I
(iii) Sea C ∈ τ 1 probaremos que g(C ) ∈ τ 1 . τ 0 = { D ∈ τ 0 | D ⊆ C o´ g(C ) ⊆ D } ⊆ τ 0 es una torre: (a ) ∅ ∈ τ 0 . (b ) Si {Di }i∈I es una cadena de cadenas en τ 0 , tenemos dos casos Existe i ∈ I tal que g(C ) ⊆ Di , o para todo i ∈ I , Di ⊆ C . En el primer caso g(C ) ⊆
i∈I
en ambos casos tenemos que (c )
i∈I
D ∈ τ 0 .
Di y en el segundo Di ∈ τ 0 .
Di ⊆ C por lo que
i∈I
Sea Queremos probar que g(D) ∈ τ 0 . Como D ∈ τ 0 entonces D ⊆ C o g(C ) ⊆ D. En el primer caso, si D = C , entonces g(C ) = g(D) y g(D) ∈ τ 0 . Supongamos entonces que D C . Como D ∈ τ 0 y τ 0 es una torre, se tiene que g(D) ∈ τ 0 , y debido a que C ∈ τ 1 , entonces g(D) ⊆ C o C ⊆ g(D). Si g(D) ⊆ C , se tiene que g(D) ∈ τ 0 y si C ⊆ g(D) = D ∪ f (D), por el hecho de que D ⊂ C ⊆ D ∪ f (D), debe ser que C = D ∪ f (D) = g(D) y por lo tanto g(D) ∈ τ 0 . En el segundo caso, es decir, g(C ) ⊆ D, se tiene que g(C ) ⊆ g(D) y as´ı g(D) ∈ τ 0 . Por lo tanto τ 0 es una torre y por se τ 0 la m´ınima torre, entonces τ 0 = τ 0 . Concluimos entonces que g(C ) ∈ τ 1 . Por otro lado por ser τ 1 una torre contenida en τ 0 , se debe tener τ 1 = τ 0 y por lo tanto τ 0 es una cadena de cadenas. Afirmamos que D =
C ∈τ 0
C es una cadena maximal.
34
El Axioma de Elecci´ on y sus equivalencias
Como D es una cadena D ⊆ g(D). Por otro lado, como D ∈ τ 0 , entonces g(D) ∈ τ 0 y as´ı por la definici´ on de D, g(D) ⊆ D, por lo que g(D) = D lo que significa que D es maximal. (2) =⇒ (3) Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y supongamos que cada cadena en X tiene cota superior en X . Sea C una cadena maximal, cuya existencia est´ a garantizada por hip´otesis; y sea a ∈ X una cota superior de C. Afirmamos que a es maximal en X . Si no lo fuera, entonces existir´ıa d ∈ X tal que a < d y por lo tanto d ∈ / C. Entonces C ∪ {d}, que contiene propiamente a C ser´ıa cadena, lo que contradice el hecho de que C es una cadena maximal en X . (3) =⇒ (4) Sea X un conjunto y consideremos
A = { (B, ≤B ) | B ⊆ X y ≤B es un buen orden}. Definimos en A la siguiente relaci´on (B, ≤B ) ≤A (D, ≤D ) si B ⊆ D, el orden de D restringido a B coincide con el de B y si b ∈ (D − B), entonces a
F = { B | existe un buen orden ≤B en B tal que (B, ≤B ) ∈ C }. F es una cadena respecto a ⊆, debido a la manera en que est´a definido ≤A . As´ı pues, dados a, b ∈ B, existe B ∈ F tal que a, b ∈ B.
B ∈F
Veamos que
C tiene
una cota superior en A. Sea E =
B y ≤E
B ∈F
definido en E por a ≤E b si a ≤B b para alguna B ∈ F y a, b ∈ B. Dejamos como ejercicio demostrar que ≤E est´a bien definido, es decir, no depende de B (esto es, se debe demostrar que si para cualquier otro conjunto C ∈ F , en donde tambi´en a, b ∈ C , entonces a ≤B b si y s´olo si a ≤C b) y que a ≤E b es un orden parcial.
≤E es un buen orden Sea T ⊆ E y T = ∅. Probaremos que T tiene un m´ınimo. Como T = ∅, entonces existe B ∈ F tal que T ∩ B = ∅ y as´ı tenemos que ∅ = T ∩ B ⊆ B
§ 2.2 Equivalencias del Axioma de Elecci´ on
35
y como ≤B es un buen orden entonces T ∩ B tiene m´ınimo t0 . Veremos que t0 es el m´ınimo de T . Sea t ∈ T . Si t ∈ B entonces t0 ≤B t y por lo tanto t0 ≤E t. En el caso en que t ∈ / B, como t ∈ D para alguna D ∈ F entonces debe ser D = B y B ⊆ D, y ya que t ∈ (D − B), se tiene que t0
36
El Axioma de Elecci´ on y sus equivalencias
§ 2.3
Ejercicios
2.1. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos. Para cada j ∈ I , definimos p j : × Ai −→ A j por p j (ai )i∈I = a j . Demostrar que p j es suprayectiva.
i∈I
2.2. Sea { Ai }i∈I una familia de conjuntos y B un conjunto arbitrario. Sea para cada i ∈ I , f i : B −→ Ai una funci´ on. Demostrar que existe una u ´ nica funci´ on F : B −→ × Ai tal que p j ◦ F = f j , donde p j est´a definida como en el Ejercicio 2.1.
i∈I
2.3. Demostrar el inverso del Ejercicio 2.2. Sea {Ai }i∈I una familia de con juntos y X un conjunto junto con una familia de funciones pi : X −→ Ai que satisfacen que dado cualquier conjunto B y una familia de funciones f i : B −→ Ai con i ∈ I , existe una u ´ nica funci´on F : B −→ X tal que p j ◦ F = f i . Demostrar que existe una biyecci´on entre X y × Ai i∈I
2.4. Demuestra que son equivalentes (1) Axioma de Elecci´ on. Para cada familia C no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos existe una funci´on f : C −→ C tal que f (C ) ∈ C.
C ∈C
(2) Dada una familia no vac´ıa { Ai }i∈I de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos, existe un conjunto cuya intersecci´on con cada miembro de la familia es un unitario. 2.5. Con la notaci´on de la p´agina 31 demuestra que Comp(C ) − C = ∅ si y s´olo si C no es una cadena maximal. 2.6. Sea X un conjunto y considera
A = { (B, ≤B ) | B ⊆ X y ≤B es un buen orden}. Demuestra que el orden definido para A en la p´agina 34, es un orden parcial. 2.7. Con la notaci´on del ejercicio anterior, sea C una cadena en A y sea F = { B | existe un buen orden ≤B en B tal que (B, ≤B ) ∈ C}. Toma E =
B ∈F
B y ≤E definido en E por a ≤E b si a ≤ B b para alguna
B ∈ F y a, b ∈ B. Demuestra que ≤E est´a bien definido (ver p´agina 34).
Cap´ıtulo 3
N´ umeros cardinales § 3.1 Cardinales En este cap´ıtulo estableceremos una relaci´ on binaria entre conjuntos, llamada equipotencia , que intenta reflejar cu´ando dos conjuntos “tienen la misma cantidad de elementos”. Esta idea corresponde a lo siguiente: dos conjuntos son equipotentes si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. El concepto de equipotencia entre dos conjuntos se define rigurosamente y no debe ser confundida con la idea intuitiva de “tener la misma cantidad de elementos”. Por ejemplo, podr´ıamos decir que Z, el conjunto de los n´ umeros enteros, tiene m´as elementos que N, el conjunto de los n´umeros naturales, ya que N es un subconjunto propio de Z. Sin embargo sabemos que podemos establecer una funci´ on biyectiva entre estos dos conjuntos y por lo tanto son equipotentes. Por lo anterior nunca utilizaremos las frases “tiene m´ as elementos que . . .”o “ tiene la misma cantidad de elementos que . . .”, puesto que esto puede conducir a malas interpretaciones desde el punto de vista intuitivo. Definici´ on 3.1.1. Dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una funci´ on biyectiva de A en B. Notaci´ on 3.4. Si A y B son equipotentes, lo expresaremos como A ∼ B. Proposici´ on 3.1.1. La relaci´ on ∼ entre conjuntos definida arriba tiene las siguientes propiedades (1) A ∼ A para cualquier conjunto A, (2) si A ∼ B entonces B ∼ A, (3) si A ∼ B y B ∼ C entonces A ∼ C .
37
38
N´ umeros cardinales
Demostraci´ on. (1) 1A : A → A, la funci´ on identidad es biyectiva. (2) Si f : A → B es biyectiva entonces f −1 : B → A es biyectiva. (3) Si f : A → B y g : B → C son biyectivas, entonces g ◦ f : A → C es biyectiva. Nota 7. A´ un cuando la clase de todos los conjuntos no es un conjunto, la relaci´ on de equipotencia, restringida a una familia (conjunto) de conjuntos, es una relaci´on de equivalencia en dicha familia (Proposici´on 3.1.1) y por lo tanto, ´esta induce una partici´ on en clases de equivalencia, donde cada clase de equivalencia consta de los conjuntos de la familia que son equipotentes entre s´ı. En realidad no definiremos el concepto de n´ umero cardinal , sino cu´ando dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. En la Teor´ıa de Conjuntos existe una manera formal de definir n´ umero cardinal, que por el enfoque que se le ha dado a este libro no lo discutiremos aqu´ı, pero que s´ı mencionamos en la secci´on 4.4 del cap´ıtulo 4 del libro. Sin embargo presentamos a continuaci´on c´omo A. Tarski introdujo los n´ umeros cardinales mediante dos axiomas 1. Cada conjunto est´ a asociado con un objeto, el cual es su n´ umero cardinal . 2. Dos conjuntos son equivalentes (equipotentes) si y s´ olo si tienen el mismo n´ umero cardinal . Si denotamos por |A|, al n´ umero cardinal de A, de esta manera, dos conjuntos son equipotentes si y s´olo si tienen el mismo n´ umero cardinal o tienen la misma cardinalidad, es decir, A es equipotente a B si y s´olo si |A| = |B |. Existe un m´ etodo para escoger un representante en cada clase de equipotencia y desde este punto de vista ´este ser´ıa el cardinal asociado a la clase. Ejemplo 3.1.1. (a) |∅| = |A| si y s´olo si A = ∅. Denotamos |∅| = 0 (b) |{x}| = |A| si y s´olo si A consta de un solo elemento. Denotaremos 1 = |{ x}|. (c) Si A y B constan ambos de un u ´ nico elemento y A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B | = |{ ∅, {∅}}|. Denotaremos 2 = |{ ∅, {∅}}| Definiremos ahora un orden sobre los cardinales.
§ 3.1 Cardinales
39
Definici´ on 3.1.2. Sean A y B conjuntos. Diremos que |A| es menor o igual que |B | (|A| ≤ |B |) si existe una funci´ on inyectiva de A en B. Demostraremos no s´olo que ≤ es un orden parcial sino que es total. Para esto empecemos demostrando que esta definici´ on es correcta, es decir, que no depende de los representantes Proposici´ on 3.1.2. Sean A1 , A2 , B1 , B2 conjuntos tales que |A1 | = | A2 |, |B1 | = | B2 |. Entonces |A1 | ≤ |B1 | si y s´ olo si |A2 | ≤ |B2 |. Demostraci´ on. Sean f : A 1 −→ A 2 y g : B 1 −→ B 2 funciones biyectivas (las cuales existen por hip´otesis) y supongamos que | A1 | ≤ |B1 |. Entonces existe una funci´on inyectiva h : A 1 −→ B 1 . La funci´on g ◦ h ◦ f −1 : A 2 −→ B 2 es inyectiva y por lo tanto |A2 | ≤ |B2 |. An´ alogamente se prueba la otra implicaci´ on. Proposici´ on 3.1.3. La relaci´ on ≤ satisface (1) |A| ≤ |A| para cualquier conjunto A. (2) Si |A| ≤ |B | y |B | ≤ |C | entonces |A| ≤ |C |. Demostraci´ on. (1) La funci´on identidad 1A : A −→ A es inyectiva. (2) Si f : A −→ B y g : B −→ C son funciones inyectivas, entonces g ◦ f : A −→ C es una funci´on inyectiva. Si la propiedad antisim´etrica fuera v´ alida para ≤, es decir, |A| ≤ |B | y |B | ≤ |A| implica |A| = | B |, tendr´ıamos definido un orden parcial sobre los cardinales. En realidad es as´ı, como lo muestra el siguiente teorema Teorema 3.1.4. ( Schr¨ oder-Bernstein ) Si A y B son conjuntos tales que |A| ≤ |B | y |B | ≤ |A|, entonces |A| = | B |. Demostraci´ on. Por hip´otesis sabemos que existen funciones inyectivas ϕ : A −→ B y ψ : B −→ A. Si alguna de ellas es biyectiva terminamos aqu´ı. As´ı que supongamos que ninguna de las dos es biyectiva. Construiremos, a partir de ϕ y ψ la funci´on deseada. Sea Ω = {X ⊆ A | (A − ψ(B − ϕ(X ))) ⊆ X }. Ω tiene las siguientes propiedades: (1) Ω = ∅ ya que A ∈ Ω (2) Si X ∈ Ω, entonces [A − ψ(B − ϕ(X ))] ∈ Ω. Como X ∈ Ω entonces A − ψ(B − ϕ(X )) ⊆ X y aplicando ϕ obtenemos que ϕ[A − ψ(B − ϕ(X ))] ⊆ ϕ(X ).
40
N´ umeros cardinales Tomando complementos respecto a B tenemos B − ϕ[A − ψ(B − ϕ(X ))] ⊇ B − ϕ(X ).
Aplicando ψ, ψ(B − ϕ[A − ψ(B − ϕ(X ))]) ⊇ ψ(B − ϕ(X )). Y por u ´ltimo, tomando complementos respecto a A, obtenemos A − ψ(B − ϕ[A − ψ(B − ϕ(X ))]) ⊆ A − ψ(B − ϕ(X )) y por lo tanto [A − ψ(B − ϕ(X ))] ∈ Ω. Consideremos ahora la intersecci´ on de todos los conjuntos que pertenecen a Ω, es decir, sea X 0 = X.
X ∈Ω
Tenemos que X 0 ∈ Ω, ya que para cada X ∈ Ω X 0 ⊆ X ϕ(X 0 ) ⊆ ϕ(X ) B − ϕ(X 0 ) ⊇ B − ϕ(X ) ψ(B − ϕ(X 0 )) ⊇ ψ(B − ϕ(X )) A − ψ(B − ϕ(X 0 )) ⊆ A − ψ(B − ϕ(X )) ⊆ X . Hemos probado que para cada X ∈ Ω, A − ψ(B − ϕ(X 0 )) ⊆ X . Por lo tanto A − ψ(B − ϕ(X 0 )) ⊆ X 0 y as´ı X 0 ∈ Ω. Por otro lado, como A − ψ(B − ϕ(X 0 )) ∈ Ω, entonces X 0 ⊆ A − ψ(B − ϕ(X 0 )) y as´ı A − ψ(B − ϕ(X 0 )) ⊆ X 0 ⊆ A − ψ(B − ϕ(X 0 )). Por lo tanto A − ψ(B − ϕ(X 0 )) = X 0 , es decir ψ(B − ϕ(X 0 )) = A − X 0 . Definimos ahora una biyecci´on de A en B de la siguiente manera f (a) = donde
si a ∈ X 0
ϕ (a)
ψ−1 (a) si a ∈ A − X 0 ,
A − X 0
ψ −1
B − ϕ(X 0 )
y X 0
ϕ|X0
ϕ(X 0 ) .
§ 3.1 Cardinales
41
Claramente f est´a bien definida ya que X 0 ∩ (A − X 0 ) = ∅. Adem´ as como A − X 0 ⊆ Im(ψ), para cada a ∈ A − X 0 existe una u ´ nica b ∈ B (esto por ser ψ inyectiva) tal que ψ(b) = a. Adem´ as f es inyectiva ya que ϕ y ψ−1 lo son y no existen un a ∈ X 0 y a ∈ A − X 0 tales que ϕ(a) = ψ −1 (a ) pues se tiene que ψ−1 (A − X 0 ) = B − ϕ(X 0 ) y [B − ϕ(X 0 )] ∩ ϕ(X 0 ) = ∅. Por u ´ltimo veamos que f es suprayectiva. Si b ∈ B, entonces b ∈ ϕ(X 0 ) o b ∈ B − ϕ(X 0 ). 1◦ / Si b ∈ ϕ(X 0 ), entonces b = ϕ(a) para alguna a ∈ X 0 . Por la definici´ on de f , f (a) = ϕ(a) y por lo tanto b = f (a). ◦ 2 / Si b ∈ B − ϕ(X 0 ), entonces ψ(b) ∈ ψ(B − ϕ(X 0 )) = A − X 0 y nuevamente por la definici´on de f , f (ψ(b)) = ψ −1 (ψ(b)) = b. Como en ambos casos b ∈ I m(f ), concluimos que f es suprayectiva, y por lo tanto biyectiva, por lo que |A| = | B |. Corolario 3.1.5. La relaci´ on ≤ definida sobre los cardinales es un orden parcial. Demostraci´ on. Es una consecuencia de la Proposici´on 3.1.3 y el Teorema 3.1.4. Teorema 3.1.6. El orden parcial ≤ definido sobre cardinales es un Buen Orden. Demostraci´ on. (H¨ o]) onig [H¨ Sea Ω un conjunto no vac´ıo de cardinales y para cada α ∈ Ω sea Aα tal que |Aα | = α. Sea A = × Aα el producto cartesiano de los conjuntos α∈Ω
Aα . Recordemos que cada elemento de A lo denotamos por (aα )α∈Ω donde aα ∈ A α . Sea Ω0 la familia de todos los subconjuntos B de A que tiene la propiedad de que dos elementos distintos de B tienen sus correspondientes coordenadas distintas, es decir, es verdadera (*)
B ∈ Ω 0 ⇐⇒
(∀(xα )α∈Ω ∈ B ∀(yα )α∈Ω ∈ B ((xα )α∈Ω = (yα )α∈Ω ⇒ ∀ α ∈ Ω xα = y α )). Consideremos ahora la familia Ω0 con el orden parcial de la inclusi´on. Afirmamos que (Ω0 , ⊆) satisface la hip´otesis del Lema de Zorn. Si L ⊆ Ω0 es una cadena en (Ω0 , ⊆), entonces B0 = ∪{S | S ∈ L} pertenece a Ω0 , ya que si (xα )α∈Ω = (yα )α∈Ω son elementos de B0 , entonces
42
N´ umeros cardinales
existen B, B ∈ L tales que (xα )α∈Ω ∈ B y (yα )α∈Ω ∈ B , y como L es una cadena se tiene B ⊆ B o B ⊇ B , as´ı que (xα )α∈Ω y (yα )α∈Ω pertenecen ambos al mismo conjunto de L y como este conjunto satisface (∗), entonces para cada α ∈ Ω, xα = y α . Por otro lado, para cada B ∈ L, B ⊆ B 0 por lo que B 0 es cota superior de L. Por lo tanto, por el Lema de Zorn, existe un maximal B en Ω0 y esto significa que B ⊆ A y si B C ⊆ A, entonces C no tiene la propiedad (∗). Consideremos ahora la proyecci´on pα : A −→ A α , pα ((aβ )β ∈Ω ) = a α . Afirmamos que existe un cardinal β ∈ Ω tal que ( pβ |B )(B) = Aβ . Si esta afirmaci´on no fuera verdadera, entonces tendr´ıamos que para toda α ∈ Ω pα (B) Aα y entonces Aα − pα (B) = ∅. Por el Axioma de Elecci´on, podemos tomar, para cada α ∈ Ω, aα ∈ A α − pα (B). Entonces (aα )α∈Ω ∈ A y este elemento tiene la propiedad de que para cada (xβ )β ∈Ω ∈ B, x α = a α para todo α ∈ Ω. Esto nos dice que B ∪ {(aβ )β ∈Ω )} satisface la condici´on (∗), y adem´as contiene propiamente a B, lo que es imposible pues B es maximal con esta propiedad. Por lo tanto para alguna β ∈ Ω se debe tener ( pβ |B )(B) = A β . Afirmamos que esta β es elemento m´ınimo de Ω, es decir β ≤ α para todo α ∈ Ω. Veremos que para cada γ ∈ Ω existe una funci´on inyectivaf : Aβ −→ Aγ . Sea aβ ∈ Aβ . Como ( pβ |B )(B) = Aβ , entonces existe (xα )α∈Ω ∈ B tal que pβ ((xα )α∈Ω ) = a β , es decir, la β -´esima coordenada de (xα )α∈Ω es aβ . Adem´ as este elemento (xα )α∈Ω es u ´nico ya que pertenece a B, por lo que si coincide con otro elemento de B en la β -´esima coordenada entonces estos elementos son iguales porque B satisface la condici´on (∗). Esto significa que ( pβ |B )−1 : A β −→ B es inyectiva. Por otro lado, para cada α ∈ Ω, pα |B : B −→ Aα es inyectiva, pues si (xα )α∈Ω = (yα )α∈Ω entonces, como pertenecen a B, se tiene que xα = y α para toda α ∈ Ω y as´ı ( pα |B )((xα )α∈Ω ) = ( pα |B )((yα )α∈Ω ) Por lo tanto la funci´on f = ( pγ |B ) ◦ ( pβ |B )−1 : A β −→ A γ es inyectiva y as´ı β ≤ γ para cada γ ∈ Ω. Corolario 3.1.7. El orden parcial ≤ definido sobre los cardinales es total. Nota 8. Sean A y B conjuntos. |A| < |B | si y s´olo si existe una funci´on inyectiva de A en B, pero no existe una funci´on suprayectiva de A en B. La primera afirmaci´ on, la existencia de una funci´on inyectiva, es por la definici´on de ≤ y la segunda es debido a que si existiera una funci´on suprayectiva de A en B, entonces cualquier inverso derecho de la funci´on
§ 3.1 Cardinales
43
ser´ıa una funci´on inyectiva de B en A, lo que implicar´ıa que |B | ≤ |A|, y por lo tanto por el Teorema de Schr¨oder-Berstein, se deber´ıa tener |A| = | B |, que no es el caso. En el siguiente teorema, debido a Cantor, veremos que dado un cardinal siempre existe uno mayor, es decir, no existe un cardinal m´aximo. Teorema 3.1.8. (Teorema de Cantor) Dado un conjunto A, se tiene que |A| < |P (A)|. Demostraci´ on. Evidentemente la funci´on g : A −→ P (A) definida por g(a) = {a} es inyectiva. Ahora sea f : A −→ P (A) cualquier funci´on. Veremos que f no puede ser suprayectiva. Sea A0 = {x ∈ A | x ∈ / f (x)}. Afirmamos que A0 no pertenece al rango de f . Supongamos lo contrario, es decir, que para alguna x ∈ A, f (x) = A 0 . Existen dos posibilidades 1◦ / Si x ∈ A 0 , por definici´on de A0 , entonces x ∈ / f (x) = A 0 . Por lo tanto x ∈ A 0 y x ∈ / A 0 , ¡absurdo! ◦ 2 / Si x ∈ / A0 , entonces x ∈ f (x) = A0 . Por lo tanto x ∈ A0 y x ∈ / A0 , ¡absurdo! En ambos casos llegamos a un absurdo y as´ı, A 0 no pertenece al rango de f y por lo tanto f no es suprayectiva. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos. Se dice que la uni´on
Ai es
i∈I
ajena si para cualesquiera i, j ∈ I , Ai ∩ A j = ∅ si Ai = A j , y lo denotamos por
•
Ai .
i∈I
Proposici´ on 3.1.9. Dada una familia de conjuntos {Ai }i∈I , existe una familia de conjuntos { Bi }i∈I tal que para cualesquiera i, j ∈ I , B i ∩ B j = ∅ si i = j y |Bi | = | Ai | para toda i ∈ I . Demostraci´ on. Definimos Bi = A i × {i}. Entonces para i, j ∈ I con i = j Bi ∩ B j = ∅ y |Bi | = | Ai | para cada i ∈ I , ya que la funci´on f i : Ai −→ A i × {i} = Bi dada por f i (a) = (a, i) es biyectiva. Nota 9. Al proceso de la Proposici´on 3.1.9 lo llamamos hacer la uni´on de la familia { Ai }i∈I una uni´on ajena, y como hemos dicho, la denotamos
44
N´ umeros cardinales •
por
•
Ai . Por ejemplo, A ∪ A denota la uni´on de dos conjuntos B y B
i∈I
donde B ∩ B = ∅ y |A| = | B | y |A | = |B |. En general
•
Ai denota la uni´on de una familia de conjuntos (no im-
i∈I
porta quienes sean estos conjuntos) { Bi }i∈I donde B i ∩ B j = ∅ para i = j con i, j ∈ I y |Ai | = | Bi |. Como se ver´a m´ as adelante, para nuestro prop´osito no existe problema alguno en la elecci´on de la familia { Bi }i∈I pues lo que nos interesa no son en s´ı los conjuntos Bi , sino la propiedad que tienen de ser ajenos dos a dos y de que |Bi | = | Ai | para todo i ∈ I . Como justificaci´ on de la nota anterior tenemos Lema 3.1.10. Sean {Ai }i∈I y {Bi }i∈I familias de conjuntos tales que para i = j en I , Ai ∩ A j = ∅ = Bi ∩ B j , y para cada i ∈ I , |Ai | = |Bi |. Entonces | Ai | = | Bi |.
i∈I
i∈I
Demostraci´ on. Para cada i ∈ I , sea f i : Ai −→ B i biyectiva. Definimos f : Ai −→ Bi como f (x) = f i (x) si x ∈ Ai . f est´a bien definida ya i∈I
que
i∈I
Ai es una uni´on ajena. Adem´as f es biyectiva pues cada f i lo es y
i∈I
Bi es una uni´on ajena.
i∈I
§ 3.2 Operaciones entre cardinales Definiremos ahora la suma de n´umeros cardinales. Definici´ on 3. 2.1. Sean α y β cardinales, A y B conjuntos tales que α = | A| y β = |B |. La suma de los cardinales α y β es •
α + β = | A ∪ B |. Como siempre, comprobaremos que la suma est´a bien definida. Proposici´ on 3.2.1. La suma de cardinales no depende del representante tomando en cada una de las clases, es decir, si |A| = |A | y |B | = |B | •
•
entonces |A ∪ B | = | A ∪ B |. Demostraci´ on. Es una consecuencia inmediata del Lema 3.1.10.
§ 3.2 Operaciones entre cardinales
45
Proposici´ on 3.2.2. Sean α, β y γ cardinales. Entonces (1) α + β = β + α. (2) (α + β ) + γ = α + (β + γ ). (3) α + 0 = α. Demostraci´ on. Sean A, B y C conjuntos tales que α = |A|, β = |B | y γ = |C |. Los resultados de la proposici´on se obtienen de lo siguiente •
•
(1) A ∪ B = B ∪ A. •
•
•
•
(2) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). •
(3) A ∪ ∅ = A.
Proposici´ on 3.2.3. Sean α y β cardinales. Si α ≤ β , entonces (1) Existe un cardinal γ tal que β = α + γ . (2) α + γ ≤ β + γ para cualquier cardinal γ . Demostraci´ on. (1) Sean A y B conjuntos tales que α = | A| y β = | B |, y sea f : A −→ B •
una funci´on inyectiva. Si A =Im(f ), entonces B = A ∪ (B − A ) y por lo tanto |B | = | A| + |B − A |. As´ı que γ = | B − A | es el cardinal deseado. (2) Sean A, B y C conjuntos, ajenos dos a dos, tales que α = |A|, β = | B | y γ = | C |. Como α ≤ β entonces existe una funci´on f : A −→ B que es inyectiva. • • La funci´ on h : A ∪ C −→ B ∪ C dada por h(x) =
f (x) si x ∈ A x
si x ∈ C .
Es una funci´on inyectiva (verificarlo) y por lo tanto, α + γ ≤ β + γ .
Hemos definido la suma de cardinales en forma binaria. Sin embargo podemos definir la suma arbitraria de cardinales, generalizando la anterior definici´ on. Sea I un conjunto arbitrario (de ´ındices), ϕ una funci´on que asocia a cada i ∈ I un cardinal αi = ϕ(i). Denotamos esta funci´on como {αi }i∈I y la llamaremos una familia de cardinales. Definici´ o n 3. 2.2. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos, y para cada i ∈ I , sea αi = | Ai |. Definimos
•
αi = |
i∈I
Ai |.
i∈I
Esta definici´on est´a bien justificada debido al Lema 3.1.10.
46
N´ umeros cardinales
Nota 10. Cuando I = { i, k} la Definici´on 3.2.2 coincide con la Definici´on 3.2.1. Proposici´ on 3.2.4. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos. (1) Si σ : I −→ I es una funci´ on biyectiva, entonces |Ai | = (2) Si {I k }k∈K es una partici´ on de I , entonces J
i∈I
i∈I
|Ai | =
i∈I
(
|Aσ(i) |, |Ai |),
k∈K i∈I k
(3) Sean {B j } j ∈J una familia de conjuntos, un conjunto ajeno a I ∪ J , on biyectiva. Sea, para cada j ∈ J , |J | = | J | y sea τ : J −→ J una funci´ B j = B τ ( j ) . Entonces Ak si k ∈ I |Ai | + |B j | = |C k |, donde C k = i∈I j ∈J k∈I ∪J Bk si k ∈ J .
Demostraci´ on. Los resultados se obtienen de • • (1) Ai = Aσ(i) . i∈I
(2)
•
Ai =
i∈I
i∈I
•
(
•
Ai ).
k∈K i∈I k
(3) Si I ∩ J = ∅, (
•
Ai ) ∪ (
i∈I
•
B j ) =
j ∈J
•
C k donde
k∈I ∪J
Ak si k ∈ I
C k =
Bk si k ∈ J .
Ejemplo 3.2.1. Si para cada i ∈ I Ai = { ∅}, entonces
|Ai | = |I |.
i∈I
Definamos ahora el producto de cardinales.
Definici´ on 3. 2.3. Sean α y β cardinales, A y B conjuntos tales que α = | A| y β = |B |. El producto de α y β es α · β = |A × B |. Proposici´ on 3.2.5. El producto de cardinales no depende de los conjuntos escogidos A y B. Demostraci´ on. Sean A, A , B y B conjuntos tales que |A| = |A | y |B | = |B |, es decir, existen funciones biyectivas f : A −→ A y g : B −→ B . La funci´ on F : A × B −→ A × B definida por F ((x, y)) = (f (x), g(y)) es biyectiva y por lo tanto |A × B | = | A × B |.
§ 3.2 Operaciones entre cardinales
47
Ejemplo 3. 2.2. Recordemos que 0 = |∅|, 1 = |{x}|, 2 = |{x, y }| con x = y. Sea α un cardinal cualquiera y A un conjunto tal que α = | A|. (a) α · 0 = 0 · α = 0, ya que A × ∅ = ∅ × A = ∅. (b) α · 1 = 1 · α = α, ya que |A × {x}| = |{ x} × A| = | A|. (c) 2α = α + α. Si B = { b, b }con b = b , entonces 2α = |B | · |A| = |B × A| •
|({b} × A) ∪ ({b } × A)| |{b} × A| + |{b } × A| |A| + |A| α + α. ({b} × A) ∩ ({b } × A) = ∅.
= = = = Observe que como b = b ,
El producto de cardinales tiene las siguiente propiedades. Proposici´ on 3.2.6. Sean α, β y γ cardinales. Entonces (1) α · β = β · α. (2) (α · β ) · γ = α · (β · γ ). (3) α · 1 = α. (4) α · (β + γ ) = α · β + α · γ . (5) α · ( β j ) = α · β j .
j ∈J
j ∈J
Demostraci´ on. Estos resultados se obtienen de (1) A × B ∼ B × A. (2) (A × B) × C ∼ A × (B × C ). (3) A × {b} ∼ A. •
•
(4) A × (B ∪ C ) ∼ (A × B) ∪ (A × C ). (5) A × (
•
•
Ai ) ∼
i∈I
(A × Ai ).
i∈I
An´ alogamente como se hizo para la suma, podemos definir el producto arbitrario de cardinales. Definici´ on 3.2.4. Sea (αi )i∈I una familia de cardinales y {Ai }i∈I una colecci´ on de conjuntos tales que para cada i ∈ I , αi = |Ai |. El producto de los cardinales αi , denotado por αi , es el cardinal del producto cartesiano de {Ai }i∈I , es decir,
i∈I
αi = | × Ai |.
i∈I
i∈I
48
N´ umeros cardinales
Proposici´ on 3.2.7. Si para cada i ∈ I , Ai y Ai son conjuntos tales que |Ai | = |Ai |, entonces | × Ai | = | × Ai |, es decir, el producto de cardinales i∈I
est´ a bien definido.
i∈I
Demostraci´ on. Para cada i ∈ I , sea f i : A i −→ A i biyectiva. La funci´on F : | × Ai | −→ | × Ai | dada por F ((ai )i∈I ) = (f i (ai ))i∈I es una funci´on i∈I
biyectiva.
i∈I
Proposici´ on 3.2.8. Sean (αi )i∈I y (β j ) j ∈J dos familias de cardinales y sea α un cardinal fijo. (1) Si σ : I −→ I es una funci´ on biyectiva, entonces αi = ασ(i) , (2) Si {I k }k∈K es una partici´ on de I , entonces
i∈I
i∈I
αi =
i∈I
(
αi ),
k∈K i∈I k
(3) Si σ : I −→ I y τ : J −→ J son funciones biyectivas con I ∩ J = ∅, entonces ασ(k) si k ∈ I αi · β j = γ k , donde γk = β τ (k) si k ∈ J , i∈I j ∈J k∈I ∪J
(4) α ·
β j
(α · β j ).
=
j ∈J
j ∈J
Demostraci´ on. Sean, para cada i ∈ I y j ∈ J , αi = |Ai | y β j = |B j | y sea α = | A|. En cada uno de los incisos la funci´on dada es biyectiva. (1) f : × Ai −→ × Aσ(i) , dada por f ((ai )i∈I ) = (aσ(i) )i∈I . i∈I
i∈I
i∈I
k∈K i∈I k
(2) f : × Ai −→ × ( × Ai ), dada por f ((ai )i∈I ) = ((ai )i∈I k )k∈K . (3) f : ( × Ai ) × ( × B j ) −→ i∈I
j ∈J
(4) f : A × (
•
B j ) −→
j ∈J
•
× C k , donde C k =
k∈I ∪J
(A × B j ), f ((a, b)) = (a, b).
Aσ(k) si k ∈ I Bτ (k) si k ∈ J
j ∈J
Definici´ on 3.2.5. Sean A y B conjuntos. Definimos el conjunto A B como AB = { f : B −→ A | f es funci´ on }. Ejemplo 3.2.3. Para cada conjunto A se tiene (a) A∅ ∼ {∅}. (b) A{x} ∼ A. (c) A{x,y} ∼ A × A.
§ 3.2 Operaciones entre cardinales
49
Definiremos ahora, para cada par de cardinales α y β , la potencia αβ . Definici´ o n 3. 2.6. Sean α y β cardinales, A y B conjuntos tales que α = | A| y β = | B |. Definimos αβ = | AB |. Proposici´ on 3.2.9. Sea A, B, A y B conjuntos tales que |A| = | A |, y |B | = | B |. Entonces |AB | = | (A )B |.
Demostraci´ on. Sean f : A −→ A y g : B −→ B funciones biyectivas. Entonces la funci´on H : AB −→ (A )B dada por H (h) = f ◦ h ◦ g −1 es biyectiva ya que 1◦ / Si f ◦ h ◦ g −1 = f ◦ h ◦ g −1 entonces, por ser f y g biyectivas, h = h . 2◦ / Si q ∈ (A )B , entonces la funci´on f −1 ◦ q ◦ g es tal que
H (f −1 ◦ q ◦ g) = f ◦ (f −1 ◦ q ◦ g) ◦ g −1 = 1A ◦ q ◦ 1B = q.
De 1◦ / y 2◦ / tenemos entonces que |AB | = | (A )B |.
Observaci´ on 3.2. Con respecto al Ejemplo 3.2.3, tenemos que 0 (1) α = 1. (2) α1 = α. (3) α2 = α · α. Proposici´ on 3.2.10. Sean α, β y γ cardinales. Entonces (1) (αβ )γ = αβγ . (2) Si (β i )i∈I es una familia de cardinales entonces (3) Si |I | = β entonces αβ =
β i
α
= α
i∈I
i∈I
β i
.
αi , en donde αi = α para cada i ∈ I .
i∈I
Demostraci´ on. (1) Sean A, B y C conjuntos ajenos dos a dos tales que α = | A|, β = |B | y γ = | C |. La funci´ on F : { f : C → A B } −→ {f : B × C → A } definida por F (f )(b, c) = (f (c))(b) es biyectiva (demu´estrelo). (2) Sean, para cada i ∈ I , β i = | Bi | y α = | A|, donde los conjuntos Bi son ajenos dos a dos. La funci´on Bi
G : × A i∈I
−→ A
(
Bi )
i∈I
definida por G((f i )i∈I )(x) = f i (x), donde f i : Bi −→ A y x ∈ Bi , es biyectiva.
50
N´ umeros cardinales (3) Sea A un conjunto tal que |A| = α. La funci´ on H : A I −→ × Ai , donde Ai = A para cada i ∈ I , i∈I
dada por H (f ) = (f (i))i∈I , es una biyecci´on.
En el Teorema de Cantor vimos que para cualquier conjunto A, |A| < | P (A)|. Sin embargo, no nos dice qu´e tan grande es |P (A)| respecto de |A|. El siguiente teorema nos permite conocer el cardinal de P (A) en funci´ on del cardinal de A. Teorema 3.2.11. |P (A)| = 2|A| . Demostraci´ on. Veremos que existe una biyecci´on de
P (A)
en
{0, 1}A = { f : A → {0, 1} | f es funci´on}. Definimos H : P (A) −→ {0, 1}A como sigue Si B ⊆ A, H (B) : A → {0, 1} es la funci´on dada por H (B)(x) =
1 si x ∈ B 0 si x ∈ A − B
H es biyectiva. 1◦ / Si B = B , entonces B − B = ∅ ´o B − B = ∅. Como en cualquiera de los casos la demostraci´on es an´aloga, supondremos que B − B =∅y sea x ∈ B − B . Entonces H (B)(x) = 1 y H (B )(x) = 0 por lo que H (B) = H (B ) y as´ı H es inyectiva. 2◦ / Si f ∈ {0, 1}A , sea B = { x ∈ A |f (x) = 1} ⊆ A. Entonces H (B) = f por lo que H es suprayectiva. Por lo tanto |P (A)| = |{0, 1}A | = |{ 0, 1}||A| = 2α .
§ 3.3 Conjuntos finitos Definiremos ahora el concepto de conjunto finito y de aqu´ı el de cardinal finito. Definici´ on 3.3.1. Sea A un conjunto y P (A) el conjunto potencia de A con el orden parcial determinado por ⊆. Diremos que A es finito si cada cadena no vac´ıa de elementos de P (A) tiene m´ aximo.
§ 3.3 Conjuntos finitos Esto es, si τ es una cadena no vac´ıa contenida en tal que para cada C ∈ τ se tiene que C ⊆ C . Diremos que A es infinito si A no es finito.
51 P (A),
existe C ∈ τ
Proposici´ on 3.3.1. Si A y B son conjuntos tales que | A| = | B |. Entonces A es finito si y s´ olo si B es finito. Demostraci´ on. Sea f : A −→ B una funci´on biyectiva y supongamos que A es finito. Demostraremos que B es finito. Sea τ una cadena no vac´ıa de elementos de P (B) y sea τ = { f −1 [C ]|C ∈ τ }. τ es una cadena no vac´ıa de elementos de P (A) ya que si f −1 [C ] y f −1 [C ] pertenecen a τ entonces como C y C pertenecen a τ , se tiene que C ⊆ C ´o C ⊆ C y de aqu´ı f −1 [C ] ⊆ f −1 [C ] o´ f −1 [C ] ⊆ f −1 [C ]. Como A es finito entonces τ tiene un m´aximo D. Como D ∈ τ , entonces D = f −1 [E ] para alguna E ∈ τ y por ser f biyectiva f [D] = f [f −1 [E ]]. Afirmamos que E es el m´aximo de τ . En efecto si C ∈ τ , entonces f −1 [C ] ∈ τ por lo que f −1 [C ] ⊆ D = f −1 [E ] y por lo tanto C = f [f −1 [C ]] ⊆ f [D] = f [f −1 [E ]] = E. Por lo tanto B es finito. La demostraci´ on es la misma si suponemos que B es finito, basta intercambiar f por f −1 . Ejemplo 3.3.1. (a) ∅ es un conjunto finito. La ´unica cadena en (P (∅), ⊆) es {∅}. (b) {∅} es finito ya que las ´unicas cadenas en (P (∅), ⊆) son { ∅}, {{ ∅}} y {∅, {∅}} y evidentemente todas tienen m´aximo. A partir de conjuntos finitos dados, podemos construir otros conjuntos finitos, como lo dice el siguiente teorema Teorema 3.3.2. Sea A un conjunto finito. Entonces (1) Si B ⊆ A entonces B es finito, (2) A × {x} es finito, (3) Si C es un conjunto finito entonces A ∪ C es finito. En particular A ∪ {x} es finito.
52
N´ umeros cardinales
Demostraci´ on. (1) Si τ es una cadena de subconjuntos de B, en particular es una cadena de subconjuntos de A y como A es finito entonces τ tiene m´aximo. (2) Como A ∼ A × {x} y A es finito entonces, por la Proposici´on 3.3.1, A × {x} es finito. (3) Sea τ una cadena en (P (A ∪ B), ⊆). Entonces es f´acil ver que τ 1 = {C ∩ A|C ∈ τ } y τ 2 = {C ∩ B |C ∈ τ } son cadenas en (P (A), ⊆) y (P (B), ⊆) respectivamente y por lo tanto, por hip´otesis, τ 1 tiene elemento m´ aximo D y τ 2 tiene m´ aximo E . Sean C 1 , C 2 ∈ τ tales que D = C 1 ∩ A y E = C 2 ∩ B. Como τ es cadena, entonces C 1 ⊆ C 2 o C 2 ⊆ C 1 . No se pierde generalidad si suponemos que C 1 ⊆ C 2 . Afirmamos que C 2 es el m´aximo de τ . Sea C ∈ τ . Entonces C ∩ A ∈ τ 1 , y C ∩ B ∈ τ 2 , por lo que C ∩ A ⊆ C 1 ⊆ C 2 y C ∩ B ⊆ C 2 , as´ı que C = C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) ⊆ C 2 . Por lo tanto A ∪ B es finito. Definici´ on 3.3.2. Un orden parcial ≤ en X se llama doble buen orden si es un buen orden y cada subconjunto no vac´ıo de X tiene m´ aximo. Teorema 3. 3.3. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para un conjunto A (1) A es finito, (1 ) Cada cadena no vac´ıa de conjuntos en (P (A), ⊆) tiene m´ınimo, (2) Cada familia no vac´ıa de conjuntos en (P (A), ⊆) tiene un maximal, (2 ) Cada familia no vac´ıa de conjuntos en (P (A), ⊆) tiene un minimal (Tarski), (3) Si B A entonces A no es equipotente a B (Dedekind), (4) A acepta un doble buen orden. Demostraci´ on. Si A = ∅ las equivalencias son triviales, por lo que supondremos que A = ∅. Dejamos como ejercicio la demostraci´ on de (1) si y s´ olo si (1 ) y (2) si y s´olo si (2 ). (1) ⇒ (2) Sea D una familia no vac´ıa de conjuntos en (P (A), ⊆). Como cada cadena por hip´otesis tiene m´aximo entonces est´a acotada y por lo tanto D tiene un maximal por el Lema de Zorn. (2) ⇒ (3) Supongamos que B A y que ϕ : A −→ B es biyectiva.
§ 3.3 Conjuntos finitos
53
Sea τ = {X ⊆ B |X ϕ−1 (X )}. τ = ∅ ya que B ϕ−1 (B) = A. Adem´ as, si X ∈ τ entonces ϕ−1 (X ) ∈ τ pues ϕ−1 (X ) ϕ−1 (ϕ−1 (X )). Por hip´otesis τ tiene maximal X 0 . Pero esto es un absurdo porque X 0 ϕ−1 (X 0 ) y ϕ−1 (X 0 ) ∈ τ . Por lo tanto ϕ no puede ser biyectiva. (3) ⇒ (4) Por el Teorema de Zermelo, A acepta un buen orden ≤ . Probaremos que cada subconjunto no vac´ıo de A tiene m´ aximo. Sea ∅ = S ⊆ A y sea s0 el m´ınimo de S . Supongamos que A no tiene m´ aximo. Entonces para cada s ∈ S existe s ∈ S tal que s < s , es decir, {t ∈ S |s < t} = ∅ y por ser ≤ un buen orden este ´ultimo conjunto tiene m´ınimo. Construiremos una funci´ on inyectiva, pero no suprayectiva, de A en A. Definimos ϕ : A −→ A por ϕ(x) =
si x ∈ A − S
x
m´ın{t ∈ S |x < t} si x ∈ S .
Claramente ϕ es inyectiva (demu´estrelo), y no es suprayectiva ya que s0 , el m´ınimo de S , no pertenece al rango de la funci´on y eso significa que A es equipotente con un subconjunto propio de A, lo que contradice la hip´otesis. Por lo tanto S debe tener m´aximo y as´ı A acepta un doble buen orden. (4) ⇒ (1) Sea ≤ un doble buen orden en A, y sean x 0 y x1 el m´ınimo y el m´ aximo de A respectivamente, es decir, x0 ≤ x ≤ x 1 para todo x ∈ A. Para cada x ∈ A sea Ax = { a ∈ A |a ≤ x } y sea S = { x ∈ A |Ax es finito}. Como S es un subconjunto no vac´ıo de A, ya que x 0 ∈ S , entonces S tiene m´ aximo que denotamos por y. Demostraremos que y = x 1 y as´ı tendremos que Ay = A x = { a ∈ A |a ≤ x 1 } = A es finito. Supongamos que y < x1 y consideremos T = {a ∈ A|y < a}. Nuevamente T es un subconjunto no vac´ıo de A, ya que x1 ∈ T , y por lo tanto tiene m´ınimo y0 y as´ı y < y0 . Afirmamos que Ay = A y ∪ {y0 }. 1◦ / Por ser y < y0 , se tiene que Ay ⊆ Ay y como y0 ∈ Ay , entonces Ay ∪ {y0 } ⊆ A y . 2◦ / Si x ∈ A y , entonces x ≤ y 0 . Si x = y 0 evidentemente y0 ∈ A y ∪{y0 }. Supongamos entonces que x < y0 . Si y < x, debido a que x ∈ T y que y0 es el m´ınimo de T , debe ser y0 ≤ x que contradice la hip´otesis de que x < y0 . Por lo tanto x ≤ y y as´ı x ∈ Ay . En ambos caso hemos probado que x ∈ A y ∪ {y0 }, por lo que Ay ⊆ A y ∪ {y0 }. 1
0
0
0
0
0
0
54
N´ umeros cardinales
Como Ay = Ay ∪ {y0 } es finito, ya que Ay y {y0 } lo son (Teorema 3.3.2 (3)), as´ı tendr´ıamos y0 ∈ S , pero esto es imposible ya que y < y0 y y es el m´aximo de S . Por lo tanto y = x 1 y as´ı Ay = A x = A es finito. 0
1
Corolario 3.3.4. Un conjunto A es finito si y s´ olo si cada buen orden en A es un doble buen orden. Definici´ on 3.3.3. Un cardinal α es un cardinal finito si existe un con junto finito A tal que |A| = α. En caso contrario diremos que α es un cardinal infinito. Nota 11. Aceptaremos que existe un conjunto infinito (Este es en realidad uno de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos formal). Proposici´ on 3.3.5. Sean α y β cardinales con α ≤ β y B un conjunto tal que |B | = β . Entonces existe un subconjunto A de B tal que |A| = α. Demostraci´ on. Sea A un conjunto tal que |A | = α. Como α ≤ β existe una funci´ on inyectiva f : A −→ B. Entonces f : A −→ f (A ) definida por f (a) = f (a) es una funci´on biyectiva, por lo que A y f (A ), que es un subconjunto de B, tienen la misma cardinalidad α. El equivalente del Teorema 3.3.2 para cardinales finitos es Teorema 3.3.6. Sean α y β cardinales. (1) Si α es finito y β ≤ α entonces β es finito. (2) Si α y β son finitos entonces α + β es finito. Corolario 3.3.7. Sean α y β cardinales. (1) Si β es infinito y β ≤ α entonces α es infinito. (2) Si α es infinito entonces α + β es infinito. En particualr α + 1 es infinito. Corolario 3.3.8. Si α es finito y β es infinito entonces α < β . Demostraci´ on. No puede ser que β ≤ α ya que por el Corolario 3.3.7, se tendr´ıa que α es infinito, que por hip´otesis no lo es. Teorema 3.3.9. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos finitos ajenos dos a dos, en donde I es finito. Entonces Ai es finito.
i∈I
Demostraci´ on. Mostraremos que por el Teorema 3.3.3
i∈I
Ai acepta un doble buen orden y
i∈I
Ai debe ser finito.
§ 3.3 Conjuntos finitos
55
Como I y cada Ai con i ∈ I son finitos, cada uno de ellos acepta un doble buen orden que denotaremos por
i∈I
a
a < b si y s´olo si
i
Verifiquemos que efectivamente, < es un doble buen orden 1◦ / < es un orden parcial. (i) a ≮ a para toda a ∈ Ai es evidente. i∈I
(ii) Supongamos que a < b y b < c. Basta considerar los siguiente tres casos: Caso 1 : a,b,c ∈ A i para alguna i ∈ I . Entonces a
i∈I
Sean i 0 = m´ın{i ∈ I |S ∩ Ai = ∅} y j 0 = m´ ax{i ∈ I |S ∩ Ai = ∅}. Como ∅ = S ∩ Ai ⊆ A i , ∅ = S ∩ A j ⊆ A j e
0
0
0
0
0
0
0
0
An´ alogamente para i ≤I j0 Si i = j 0 entonces a1 , a ∈ S ∩ A j y as´ı a ≤ a 1 . Si i
As´ı que en cualquier caso a0 ≤ a ≤ a 1 .
0
i∈I
i∈I
Ai .
56
N´ umeros cardinales Por u ´ltimo, como
Ai posee un doble orden, por el Teorema 3.3.3,
i∈I
Ai es finito.
i∈I
Corolario 3.3.10. Si {Ai }i∈I es una familia de conjuntos en donde I es finito y para cada i ∈ I , Ai es finito, entonces Ai es finito.
i∈I
Demostraci´ on. Sean, para cada i ∈ I , Bi = Ai × {i}. Cada Bi es finito ya que B i ∼ A i . Por el Teorema 3.3.9, como B i ∩ B j = ∅ si i = j, entonces Bi es finito.
i∈I
Claramente la funci´on f :
Bi −→
i∈I
Ai dada por f ((a, i)) = a,
i∈I
donde (a, i) ∈ B i = A i × {i} es suprayectiva. Por lo tanto, por el Ejercicio 3.12, Ai es finito.
i∈I
Corolario 3.3.11. Si A y B son conjuntos finitos entonces A × B es finito. Demostraci´ on. A × B =
(A × {b}) donde cada t´ermino de la uni´ on
b∈B
es un conjunto finito ya que A × {b} ∼ A es finito y como B tambi´en lo es, por el Teorema 3.3.9, A × B es finito. Teorema 3.3.12. Si { Ai }i∈I es una familia no vac´ıa de conjuntos finitos, donde el conjunto de ´ındices I es finito, entonces × Ai es finito. i∈I
Demostraci´ on. Como I es finito, podemos considerar un doble buen orden ≤ en I (v´ease el Teorema 3.3.3). Sea I = { i ∈ I | × A j es finito} ⊆ I . j ≤i
Demostraremos que el m´aximo de I pertenece a I . I = ∅ ya que i0 = m´ın I ∈ I . Probaremos que m´ ax I = m´ ax I . Sea j0 = m´ ax I y supongamos que j0 < m´ ax I . Entonces {i ∈ I | j0 < i} = ∅ y sea j1 = m´ın{i ∈ I | j0 < i}. Sabemos que × Ai es finito y A j es finito por 1
i≤ j0
hip´ otesis, entonces por el Corolario 3.3.11 × Ai ∼ ( × A j ) × A j es finito, i≤ j1
j ≤ j0
1
lo que implica que j1 ∈ I , que es un absurdo, por lo tanto j0 = m´ ax I y entonces × A j = × Ai es finito. j ≤ j0
i∈I
§ 3.3 Conjuntos finitos
57
Corolario 3.3.13. Sea I finito y { αi }i∈I una familia de cardinales finitos. Entonces αi y αi son finitos.
i∈I
i∈I
Corolario 3.3.14. Si A y B son conjuntos finitos entonces P (A) y AB son finitos. Demostraci´ on. B (i) Como A = {f : B → A|f es funci´on} entonces AB ∼ × Ax , donde x∈B
Ax = A para toda x ∈ B (Proposici´ on 3.2.10 (3)), y como A y B son finitos, tenemos que × A es finito. x∈B
(ii) Como P (A) ∼ {0, 1}A (Teorema 3.2.11), y por (i) {0, 1}A es finito, entonces P (A) es finito. Corolario 3.3.15. Si α y β son cardinales finitos entonces α + β , α · β , αβ son cardinales finitos. En particular 2α es finito. Proposici´ on 3.3.16. Sean k, m y n cardinales finitos. Entonces (1) m + n = k + n =⇒ m = k. (2) m · n = k · n y n = 0 =⇒ m = k. (3) n ≤ m ≤ n + 1 =⇒ m = n o m = n + 1. Demostraci´ on. (1) Supongamos que k ≤ m y sean A, B y C conjuntos tales que B ⊆ A, C ∩ A = ∅, |A| = m, |B | = k y |C | = n. k + n = | B | + |C | = | B ∪ C |, (recordamos que C ∩ B ⊆ C ∩ A = ∅), m + n = | A| + |C | = | A ∪ C |. Tenemos que B ∪ C ⊆ A ∪ C , y por hip´otesis |B ∪ C | = |A ∪ C |. Por lo tanto A ∪ C = B ∪ C , ya que si fueran distintos, entonces tendr´ıamos que A ∪ C es equipotente a un subconjunto propio, B ∪ C , lo que contradice el hecho de que A ∪ C es finito. Por u ´ ltimo, como A ∩ C = ∅ se tiene que A = B y de aqu´ı k = m. (2) Supongamos que k ≤ m y sean A,B,C conjuntos como en (1). Tenemos entonces que B × C ⊆ A × C y, por hip´otesis, | B × C | = | A × C |. Pero por ser A × C finito, debe ser A × C = B × C , y como C = ∅, ya que por hip´otesis |C | = n = 0, podemos afirmar entonces que A = B y por lo tanto k = m.
58
N´ umeros cardinales
(3) Sean A, B conjuntos tales que A ⊆ B, |A| = n, |B | = m. Si A = B, es decir n < m, existe b ∈ B tal que b ∈ / A. Entonces A ∪ {b} ⊆ B y por lo tanto n + 1 = |A ∪ {b}| ≤ |B | = m. Pero por hip´ otesis tenemos que m ≤ n + 1. Por lo tanto m = n + 1.
§ 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos Como ≤ es un buen orden en los cardinales, entonces cualquier conjunto no vac´ıo de cardinales tiene elemento m´ınimo. As´ı pues, si α es un cardinal infinito, el conjunto no vac´ıo {β |β cardinal infinito y β ≤ α } tiene m´ınimo. Denotamos por ℵ0 a ´este m´ınimo, es decir, ℵ0 es el m´ınimo cardinal infinito. Definici´ on 3.4.1. Un conjunto A se llama numerable si |A| = ℵ 0 . Veamos ahora algunas propiedades de los conjuntos numerables. Proposici´ on 3.4.1. Sean A y B conjuntos infinitos tales que |A| = ℵ 0 y B ⊆ A. Entonces |B | = ℵ 0 . Demostraci´ on. Como B ⊆ A entonces |B | ≤ |A|, y por ser B infinito y |A| = ℵ 0 el m´ınimo cardinal infinito, entonces debe ser |B | = ℵ 0 . Proposici´ on 3.4.2. Si N y F son conjuntos tales que N es numerable, F es finito y F ⊆ N , entonces N − F es numerable. Demostraci´ on. Como N = F ∪ (N − F ), si N − F fuera finito entonces N ser´ıa finito, que sabemos que no lo es por hip´ otesis, as´ı que N − F es infinito y por la Proposici´on 3.4.1 |N − F | = ℵ 0 . Corolario 3.4.3. Para todo cardinal finito n se tiene ℵ0 + n = ℵ 0 . Corolario 3.4.4. Si α es un cardinal infinito y n es un cardinal finito entonces α + n = α. Demostraci´ on. ℵ0 ≤ α ya que α es infinito, y por (i) de la Proposici´ on 3.2.3, α = ℵ0 + β para alg´ un cardinal β . Entonces, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa en la suma de cardinales, α + n = (ℵ0 + β ) + n = ℵ0 + (β + n) = ℵ0 + (n + β ) = (ℵ0 + n) + β = ℵ0 + β = α.
§ 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos
59
Nota 12. El hecho de que un conjunto N sea infinito nos permite asegurar la existencia de elementos a, b ∈ N tales que a = b. Esto es por la siguiente raz´ on; como ∅ es finito y N es infinito, entonces N = ∅, por lo que podemos tomar un elemento a ∈ N . N − {a} es infinito ya que si fuera finito, entonces por el Teorema 3.3.2 (N − {a}) ∪ {a} = N ser´ıa finito, que no lo es. Nuevamente, como N − {a} = ∅, entonces podemos tomar = b. En realidad se puede demostrar m´as, b ∈ N − {a} y as´ı a, b ∈ N y a como lo muestra el Ejercicio 3.48. Teorema 3.4.5. Dado un conjunto numerable N , existen subconjuntos numerables A y B de N tales que A ∩ B = ∅. Demostraci´ on. Sea on biyectiva} A = { (A, f A , B)|A, B ⊆ N, A ∩ B = ∅ y f A : A → B funci´ A = ∅ ya que, por ser N infinito, podemos tomar a, b ∈ N tales que a = b (Nota 12) y por lo tanto ({a}, f, {b}) ∈ A, donde f (a) = b. Definimos un orden parcial ≤ sobre A como sigue
(A, f A , B) ≤ (A , f A , B ) si A ⊆ A , B ⊆ B y f A |A = f A
≤ es un orden parcial (a) Claramente (A, f A , B) ≤ (A, f A , B) para cada (A, f A , B) ∈ A. (b) S i (A, f A , B) ≤ (A , f A , B ) y (A , f A , B ) ≤ (A, f A , B), entonces A ⊆ A , B ⊆ B , f A |A = f A y A ⊆ A, B ⊆ B y f A |A = f A . Entonces A = A , B = B y f A = f A y por lo tanto (A, f A , B) = (A , f A , B ).
(c) Si (A, f A , B) ≤ (A , f A , B ) y (A , f A , B ) ≤ (A , f A , B ) entonces A ⊆ A , B ⊆ B , f A |A = f A , A ⊆ A , B ⊆ B , f A |A = f A . As´ı que A ⊆ A , B ⊆ B , f A |A = (f A |A )|A = f A |A = f A y de aqu´ı (A, f A , B) ≤ (A , f A , B ).
(A, ≤) tiene un maximal Para esto probaremos que (A, ≤) satisface la hip´otesis del Lema de Zorn. Tomemos una cadena C en (A, ≤) y sean
C 0 = { A ⊆ N |existen B ⊆ N y f A : A → B tales que (A, f A , B) ∈ C} C 1 = { B ⊆ N |existen A ⊆ N y f A : A → B tales que (A, f A , B) ∈ C}. Sea X =
A∈C 0
A, Y =
B y f X : X −→ Y dada por f X (a) = f A (a) si
B ∈C 1
a ∈ A. f X est´a bien definida ya que si a ∈ A ∩ A , como A y A forman parte de (A, f A , B) y (A , f A , B ) respectivamente y pertenecen a C que
60
N´ umeros cardinales
es una cadena, entonces uno de ellos est´ a contenido en el otro, digamos A ⊆ A , y as´ı f A |A = f A , lo que significa que f A (a) = f A (a).
Es claro que (X, f X , Y ) ∈ A ya que X, Y ⊆ N , X ∩ Y = ∅ y f X es biyectiva (ejercicio 3.17). Dejamos tambi´en como ejercicio demostrar que (X, f X , Y ) es una cota superior de C . Por el Lema de Zorn (A, ≤) tiene un maximal que denotamos por (A0 , f A , B0 ). 0
Veremos ahora que A0 y B0 son los conjuntos buscados. A0 es infinito. Si A0 fuera finito, como f A es biyectiva, entonces B0 ser´ıa finito y por lo tanto tambi´en A0 ∪ B 0 , y por la Proposici´ on 3.4.2, N −(A0 ∪B0 ) es infinito, por lo que podemos tomar una pareja de elementos distintos x, y de N − (A0 ∪ B0 ). Definimos f A ∪{x} : A 0 ∪ {x} −→ B 0 ∪ {y} por f A (a) si a ∈ A 0 f A ∪{x} (a) = y si a = x 0
0
0
Se tiene que
(A0 ∪ {x}, f A
0
0
∪{x} , B0 ∪
{y}) ∈ A
y (A0 , f A , B0 ) < (A0 ∪ {x}, f A 0
0
∪{x} , B0 ∪
{y}),
lo que contradice que (A0 , f A , B0 ) es maximal en A. Por lo tanto A0 es infinito. De lo anterior se tiene que B0 es infinito. Adem´as A0 ∩ B0 = ∅ y como A0 , B0 ⊆ N se tiene que, por la Proposici´ o n 3.4.1, |A0 | = |B0 | = | N | = ℵ 0 . 0
Corolario 3.4.6. ℵ0 + ℵ0 = ℵ 0 . Demostraci´ on. Sea N un conjunto tal que |N | = ℵ0 . Por el Teorema 3.4.5, existen subconjuntos A y B de N tales que A ∩ B = ∅ y |A| = | B | = ℵ 0 . Entonces
ℵ0 + ℵ0 = |A| + |B | = | A ∪ B | ≤ |N | = ℵ 0 . Pero por otro lado ℵ0 ≤ ℵ0 + ℵ0 (Ejercicio 3.14) y de ambas desigualdades concluimos entonces que ℵ0 = ℵ 0 + ℵ0 . En realidad el Teorema 3.4.5 es cierto para cualquier conjunto infinito
§ 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos
61
Teorema 3.4.7. Se A un conjunto infinito. Entonces existen conjuntos C y C tales que (1) C ∩ C = ∅. (2) |C | = | C | = | A|. (3) |C ∪ C | = |A|. Demostraci´ on. Sea
A = { (B, f B )|B ⊆ A y f B : B → ( {0}×B)∪({1}×B) es funci´on biyectiva}. = ∅ ya que como A es infinito ℵ0 ≤ |A| y entonces, por la Proposici´on A 3.3.5, A contiene un subconjunto numerable N y, por el Teorema 3.4.5, existe una funci´on biyectiva f : N −→ ( {0} × N ) ∪ ({1} × N ). Definimos un orden parcial en A como sigue (B, f B ) ≤ (B , f B ) si y s´olo si B ⊆ B y f B |B = f B .
Efectivamente ≤ es un orden parcial ya que (1) (B, f B ) ≤ (B, f B ) para cada (B, f B ) ∈ A. (2) Si (B, f B ) ≤ (B , f B ) y (B , f B ) ≤ (B, f B ) entonces B ⊆ B ⊆ B y as´ı B = B y f B = f B |B = f B |B = f B . Por lo tanto (B, f B ) = (B , f B ). (3) Si (B, f B ) ≤ (B , f B ) y (B , f B ) ≤ (B , f B ) entonces B ⊆ B ⊆ B y f B |B = f B , f B |B = f B implica que f B |B = f B , por lo que (B, f B ) ≤ (B , f B ). Como en ocasiones anteriores, la idea es encontrar un elemento maximal (B0 , f 0 ) en A y demostrar que |B0 | = |A|. Para esto probaremos que A satisface la hip´otesis del Lema de Zorn Sea C una cadena en ( A, ≤) y sea
C 0 = { B ⊆ A | existe f B : B → ( {0} × B) ∪ ({1} × B) con (B, f B ) ∈ C}.
Ahora, sea B = {B | B ∈ C 0 } y f B : B −→ ({0} × B ) ∪ ( {1} × B ) definida por f B (b) = f B (b) si b ∈ B; f B est´a bien definida pues si B, B ∈ C con B ⊆ B y b ∈ B ∩ B entonces f B (b) = f B (b) ya que f B es la restricci´on de f B a B. Adem´ as f B es inyectiva, ya que para cualesquiera b, b ∈ B si f B (b) = f B (b ) entonces existe un conjunto B de C 0 donde b, b ∈ B y as´ı f B (b) = f B (b ) y por lo tanto b = b . Tambi´en es suprayectiva, pues si (i, b ) ∈ ( {0} × B ) ∪ ({1} × B ), entonces (i, b ) ∈ ( {0} × B) ∪ ({1} × B) para alg´ un B ∈ C y como f B es biyectiva existe b ∈ B(⊆ B ) tal que f B (b) = (i, b ). Por lo anterior, (B , f B ) ∈ A. Adem´as es una cota superior de C y, por el Lema de Zorn, (A, ≤) tiene un maximal (B0 , f 0 ). Afirmamos que A − B0 es finito, pues si no lo es entonces contiene un subconjunto numerable N , y con este N podemos construir un elemento
62
N´ umeros cardinales
(D, f D ) de A tal que (B0 , f 0 ) < (D, f D ), esto es, si D = B 0 ∪ N y f D : D −→ ( {0} × D) ∪ ({1} × D) definida por f D |B = f 0 y f D |N es una funci´ on biyectiva de N en ({0} × N ) ∪ ( {1} × N ), cuya existencia queda asegurada por el Teorema 3.4.5. Entonces tendr´ıamos que (D, f D ) es un elemento de A que es mayor que (B0 , f 0 ) lo que es imposible ya que (B0 , f 0 ) es maximal en A. Por lo tanto A − B0 debe ser finito. Adem´as se tiene que 0
|A| = | B0 ∪ (A − B0 )| = | B0 | + |A − B0 | = | B0 |, siendo la u ´ ltima igualdad justificada por el Corolario 3.4.3. Finalmente
|B0 | = |({0} × B0 ) ∪ ({1} × B0 )| = |({0} × B0 )| + |({1} × B0 )| = | B0 | + |B0 |. As´ı que C = { 0} × B y C = { 1} × B son los conjuntos deseados.
Corolario 3.4.8. Si α es un cardinal infinito entonces α + α = α. Proposici´ on 3.4.9. Sean α y β cardinales con al menos uno de ellos infinito. Entonces α + β = m´ ax{α, β }. Demostraci´ on. Supongamos que β ≤ α. Por la Proposici´on 3.2.3 (1), existe un cardinal β tal que α = β + β . Como β ≤ α, por la Proposici´ on 3.2.3 inciso (2), β + α ≤ α + α. Entonces α = β + β ≤ β + α ≤ α + α = α. Por lo tanto α + β = α.
Veamos ahora algunas propiedades m´as del producto de cardinales. Proposici´ on 3.4.10. Sea n un cardinal finito. Entonces ℵ0 · n = ℵ 0 . Demostraci´ on. Sean F y N conjuntos tales que |F | = n y |N | = ℵ0 . Entonces N × F = (N × {x}). Como F es finito, por el Teorema 3.3.3
x∈F
F admite un doble buen orden ≤ . Sean x0 y x1 el m´ınimo y el m´aximo de F respectivamente y consideremos el siguiente conjunto A = { x ∈ F |
(N × {z }) es numerable}.
z ≤x
A = ∅ ya que x0 ∈ A y por ser A finito (Teorema 3.3.2 (1)), tiene m´ aximo y0 . Demostraremos que y0 es igual a x1 y por lo tanto tendremos que N × F es numerable.
§ 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos Si y0 < x1 entonces
63
(N × {z }) es numerable y F − A = ∅. Sea
z ≤y0
y1 el m´ınimo de (F − A). Tenemos que [
(N × {z })] ∪ (N × {y1 }) es
z ≤y0
numerable (Corolario 3.4.6) por lo que y 1 ∈ A. Pero esto es un absurdo ya que y0 < y1 (recordamos que y0 es el m´aximo de A). Por lo tanto y0 = x 1 y entonces N × F = (N × {x}) es numerable.
x≤x1
Proposici´ on 3.4.11. Si n es un cardinal finito y α un cardinal infinito. Entonces α · n = α. La demostraci´on se deja como ejercicio al lector. Teorema 3.4.12. Si N es un conjunto numerable entonces N × N es numerable. Demostraci´ on. Como queremos encontrar una funci´ on biyectiva de N × N en N , la idea es considerar los subconjuntos B de N tales que existe una funci´on inyectiva de B × B en N y demostrar que existe uno numerable. As´ı que si tal conjunto existe debemos buscar entre los maximales con esta propiedad. Sea A = { (B, f B ) | B ⊆ N y f B : B × B → N es inyectiva}. Definimos en A un orden parcial ≤ como sigue (A, f A ) ≤ (B, f B ) si y s´olo si A ⊆ B y f B |A = f A . No es dif´ıcil demostrar que ≤ es un orden parcial sobre A. Para ver que (A, ≤) tiene un maximal demostraremos que satisface la hip´otesis del Lema de Zorn Sea C una cadena en ( A, ≤), C 0 = { B ⊆ N | existe f B : B × B → N tal que (B, f B ) ∈ C} y
B =
B.
B ∈C0
Observemos que si (x, y) ∈ B × B , podemos encontrar un conjunto B ∈ C 0 tal que x, y ∈ B pues C 0 es una cadena respecto de ⊆. Adem´ as, por la definici´ on de orden en A, si x, y son elementos de otro conjunto B de C 0 entonces f B (x, y) = f B (x, y). Definimos ahora f B : B × B −→ N de la siguiente manera;
f B (x, y) = f B (x, y) si (x, y) ∈ B × B. La observaci´on hecha en el p´arrafo inmediato anterior a ´este asegura que f B est´a bien definida. Probaremos ahora que ( B , f B ) es una cota superior de C .
64
N´ umeros cardinales
Evidentemente B ⊆ N y f B es inyectiva ya que si f B (x, y) = f B (x , y ), nuevamente por la observaci´ o n anterior existe B ∈ C 0 tal que x,y,x , y ∈ B. Entonces, por la definici´on de f B , f B (x, y) = f B (x , y ) y por lo tanto (x, y) = (x , y ), ya que f B es inyectiva. Si (B, f B ) ∈ C , entonces B ⊆ B y por definici´on de f B , f B |B = f B , por lo tanto (B , f B ) es una cota superior de la cadena C en (A, ≤). Por el Lema de Zorn existe un elemento maximal (D, f D ) en (A, ≤). Supongamos que D es finito. Entonces D × D es finito y por lo tanto N − f D (D × D) es infinito. Por otro lado , si x ∈ N − D y D = D ∪ {x}, tenemos que (D × D ) − (D × D) es finito y, por la Proposici´on 3.4.2, y el Corolario 3.3.8 existe una funci´on inyectiva h : (D × D ) − (D × D) −→ N − f D (D × D). Definimos f D : (D × D ) −→ N por
f D (x, y) =
f D (x, y) si (x, y) ∈ (D × D) h(x, y)
si (x, y) ∈ (D × D ) − (D × D).
Como f D y h son inyectivas y (D × D) ∩ [(D × D ) − (D × D)] = ∅ = f D (D × D) ∩ [N − f D (D × D)] se tiene que f D es inyectiva. Adem´as, por definici´on, f D |D = f D , por lo que (D , f D ) ∈ A y (D, f D ) < (D , f D ) lo que es imposible ya que (D, f D ) es maximal en A. Por lo tanto D es infinito y como f D es inyectiva se tiene que f D (D × D) es infinito y por ser f D (D × D) un subconjunto de N , entonces f D (D × D) es numerable. De aqu´ı concluimos que N × N es numerable.
Corolario 3.4.13. ℵ0 · ℵ0 = ℵ 0 . Teorema 3.4.14. Sea A un conjunto infinito. Entonces A × A ∼ A. Demostraci´ on. La demostraci´ on es similar a la del Teorema 3.4.12. Sea =∅ A = { (B, f B ) | B ⊆ A B infinito y f B : B → B × B es biyectiva}. A ya que por ser A infinito, contiene un subconjunto numerable N y por el Teorema 3.4.12, N × N ∼ N . Definimos un orden parcial en A dado por (B, f B ) ≤ (B , f B ) si y s´olo si B ⊆ B y f B |B = f B .
Que ≤ es un orden parcial y que (A, ≤) tiene un maximal queda como ejercicio. Sea (D, f D ) un maximal de (A, ≤). Demostraremos que |D| = | A|. Lo primero que haremos ser´a demostrar que |A − D| < |D|
§ 3.4 Conjuntos numerables y conjuntos infinitos
65
Observemos primero que D es infinito, ya que (D, f D ) pertenece (A, ≤). Supongamos que |A − D| ≥ |D|. Entonces A − D es un conjunto infinito puesto que D lo es. Por la Proposici´on 3.3.5, existe un subconjunto E de A − D tal que |E | = | D|. Entonces, debido a que E ∩ D = ∅, |(D × E ) ∪ (E × D) ∪ (E × E )| = | D × E | + |E × D| + |E × E | = |D| · |E | + |E | · |D| + |E | · |E | = |D| · |D| + |D| · |D| + |D| · |D| = |D| + |D| + |D| = | D| = | E |. Por lo tanto existe una funci´on biyectiva g : E −→ (D × E ) ∪ (E × D) ∪ (E × E ). La funci´ on f D∪E : D ∪ E −→ (D ∪ E ) × (D ∪ E ) dada por f D∪E (x) =
f D (x) si x ∈ D g(x)
si x ∈ E ,
est´a bien definida ya que D ∩ E = ∅, y es biyectiva puesto que restringida a cada uno de los conjuntos D y E lo es y adem´as [(D × E ) ∪ (E × D) ∪ (E × E )] ∩ (D × D) = ∅. Por lo tanto (D ∪ E, f D∪E ) ∈ A. Adem´ as (D, f D ) < (D ∪ E, f D∪E ), lo que es un absurdo ya que (D, f D ) es maximal en (A, ≤). Por lo tanto se tiene |A − D| < | D| y de aqu´ı se obtiene que ax{|D|, |A − D|} = |D|, |A| = | D ∪ (A − D)| = | D| + |A − D| = m´ y como f D : D −→ D × D es biyectiva, obtenemos el resultado deseado, es decir, A × A ∼ A. Corolario 3.4.15. Si α es un cardinal infinito entonces α · α = α. Corolario 3.4.16. Si α y β son cardinales y al menos uno de ellos es infinito, entonces α · β = m´ ax{α, β }. Demostraci´ on. Ejercicio 3.19.
Como ℵ0 es el primer cardinal infinito, entonces para todo cardinal α, α es finito si y s´olo si α < ℵ0 . Esto nos dice que ℵ0 no tiene antecesor inmediato, o lo que es lo mismo, el conjunto de los cardinales finitos no tiene m´aximo. Daremos un nombre especial a este tipo de cardinales Definici´ on 3.4.2. Un cardinal α se llama cardinal l´ımite si para todo β < α se tiene que β + 1 < α.
66
N´ umeros cardinales
Ejemplo 3.4.1. 0 y ℵ0 son cardinales l´ımite. Con el orden que hemos definido en cardinales, y escritos en forma ascendente, la sucesi´on de ellos comenzar´ıa como sigue 0, 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , . . . , ℵω , ℵω+1 , ℵω+2 , . . . donde ℵi+1 es el cardinal que inmediatamente le sigue a ℵi , es decir, no existe ning´ un cardinal entre ℵi y ℵi+1 . ℵ0 es el primer cardinal l´ımite infinito y ℵω es el cardinal l´ımite que le sigue, etc. Al cardinal ℵi+1 , se llama sucesor de ℵi y para un cardinal finito n su sucesor es n + 1 (Proposici´on 3.3.16). As´ı pues, cada cardinal tiene un sucesor, pero no todo cardinal es sucesor de otro, precisamente los cardinales l´ımite son aquellos que no son sucesor de un cardinal. Se sabe que el cardinal de los n´umeros reales es 2ℵ y que ℵ0 < 2ℵ (Teorema 3.1.8). Como ℵ1 es el m´ınimo cardinal mayor que ℵ0 , y ≤ es un orden total, entonces debe ser ℵ1 ≤ 2 ℵ . Sin embargo no se conoce un subconjunto del conjunto de los n´ umeros reales cuyo cardinal sea ℵ1 . Basados en la axiom´atica de la Teor´ıa de Conjuntos (Zermelo-Fraenkel), incluyendo el axioma de elecci´on, Kurt G¨ odel (1906-1978) demostr´o que, suponiendo la consistencia de la Teor´ıa de Conjuntos, no se puede probar que ℵ1 < 2 ℵ y por otro lado, Cohen demostr´o (1964) que, suponiendo la consistencia de la Teor´ıa de Conjuntos no se puede probar que ℵ1 = 2ℵ . Por lo tanto, suponer lo que se conoce como Hip´otesis del Continuo, que es, ℵ 1 = 2ℵ , o suponer su negaci´on, que es, ℵ 1 < 2 ℵ , es, en cualquiera de los dos casos, consistente con la axiom´atica de la Teor´ıa de Conjuntos. De manera m´as general, dado el cardinal infinito ℵi se tiene que 0
0
0
0
0
0
0
ℵi+1 = 2ℵi ´o ℵi+1 < 2 ℵi . Suponer que sucede alguna de las dos afirmaciones es independiente de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos. A la hip´ otesis de que ℵi+1 = 2ℵi para todo cardinal infinito ℵi se le conoce como la Hip´ otesis Generalizada del Continuo.
§ 3.5 Sistemas de Peano En esta secci´ on introduciremos los Sistemas de Peano para definir los n´ umeros naturales. M´as expl´ıcitamente, los n´umeros naturales ser´an los elementos de un Sistema de Peano para lo cual, por supuesto, demostraremos que dos Sistemas de Peano son “isomorfos”. Adem´as construiremos
§ 3.5 Sistemas de Peano
67
un modelo para un Sistema de Peano basado en los cardinales finitos. Existen otros modelos concretos de Sistemas de Peano, construidos en la Teor´ıa de Conjuntos. Definici´ on 3.5.1. Un Sistema de Peano es una terna ( N,s,n0) donde N es un conjunto llamado el conjunto soporte, n0 ∈ N y s : N −→ N es una funci´ on, tales que (a) n0 ∈ / I m(s), (b) s es inyectiva, (c) Para cada T ⊆ N, si n0 ∈ T y si para toda n ∈ N(n ∈ T =⇒ s(n) ∈ T ) entonces T = N. Nota 13. Al elemento n0 de la Definici´on 3.5.1 lo llamaremos el elemento distinguido del sistema de Peano. Los pasos a seguir en el estudio de Sistemas de Peano son los siguientes 1. Demostrar la existencia de un Sistema de Peano y as´ı toda la teor´ıa que se deduzca de un Sistema de Peano es no contradictoria. 2. Demostrar que cualesquiera dos Sistema de Peano son “isomorfos” (vea la Definici´on 3.5.2), es decir, existe un u ´ nico Sistema de Peano salvo isomorfismos, y entonces definiremos el conjunto de los n´ umeros naturales como cualquier Sistema de Peano. 3. Trabajar con un Sistema de Peano, introduciendo la suma, el producto y una relaci´on de orden. Proposici´ on 3.5.1. Si (N, s, n0 ) es un Sistema de Peano, entonces N es infinito. Demostraci´ on. s : N −→ N es inyectiva, entonces s es biyectiva sobre su imagen y como n0 ∈ / Im(s), por el Teorema 3.3.3 (1)(3), se tiene que N es infinito. Construcci´ on de un Sistema de Peano Sea F = { n | n es cardinal finito}. Definimos la funci´on s : F −→ F de la siguiente manera s(n) = s(|An |) = | An ∪ {an }|
donde para cada n ∈ F, An es un conjunto tal que |An | = n y an ∈ / A n .
68
N´ umeros cardinales El elemento distinguido ser´a 0 = | ∅|.
Demostraremos que (F, s, 0) es un sistema de Peano (1) 0 ∈ / I m(s). Supongamos que 0 = s(|A0 |) = | A0 ∪ {a0 }|. Entonces ∅ ∼ A0 ∪ {a0 }, lo que es un absurdo, ya que A0 ∪ {a0 } = ∅. (2) s es inyectiva. Supongamos que s(n) = s(m), es decir, |An ∪ {an }| = |Am ∪ {am }| donde, como sabemos, an ∈ / A n y am ∈ / A m . Queremos demostrar que n = m, es decir, que existe una biyecci´on de An en Am . Por hip´otesis existe una funci´on biyectiva f : A n ∪ {an } −→ A m ∪ {am }. Si f (an ) = am entonces f |An : An −→ Am es biyectiva. Si f (an ) = am , definimos g : A n −→ A m como sigue g(a) =
f (a)
si f (a) = a m .
f (an ) si f (a) = a m
Es f´acil ver que g es biyectiva y se deja como ejercicio al lector. (3) Sea T ⊆ F tal que 0 ∈ T y tal que para cada n ∈ T (n ∈ T ⇒ s(n) ∈ T ). Demostraremos que T = F. Supongamos que T = F y sea A un conjunto finito tal que n = | A| ∈ / T . El conjunto {X ⊆ A | |X | ∈ / T } es no vac´ıo puesto que A pertenece a este conjunto. Como A es finito, por el Teorema 3.3.3, ({X ⊆ A | |X | ∈ / T }, ⊆) tiene un elemento minimal que denotamos por X 0 . Entonces |X 0 | ∈ / T implica que X 0 = ∅ ya que 0 = |∅| ∈ T . Sean x ∈ X 0 y X = X 0 − {x}. X X 0 y por ser X 0 minimal en ({X ⊆ A | |X | ∈ / T }, ⊆), tenemos que m = | X | ∈ T y por lo tanto, por hip´otesis, s(m) = s(|Am |) = s(|X |) ∈ T . Pero s(|X |) = |X ∪ {x}| = |X 0 |. Entonces |X 0 | ∈ T , lo que contradice la hip´ otesis de que |X 0 | ∈ / T , por lo tanto T = F. Concluimos entonces que (F, s, 0) es un Sistema de Peano. Corolario 3.5.2. El conjunto de todos los cardinales finitos es infinito. Demostraci´ on. Consecuencia de la Proposici´on 3.5.1 y del Sistema de Peano construido anteriormente. Veamos ahora que cualquier conjunto infinito contiene un Sistema de Peano.
§ 3.5 Sistemas de Peano
69
Teorema 3.5.3. Sea A un conjunto infinito. Entonces existe un subcon junto N de A, n0 ∈ N y una funci´ on s : N −→ N tales que (N , s, n0 ) es un Sistema de Peano, es decir, todo conjunto infinito contiene un sistema de Peano. Demostraci´ on. Como A es infinito, entonces existe una funci´on inyectiva s : A −→ A tal que s(A) A. Sea n0 ∈ A − I m(s) y consideramos el siguiente conjunto
U = { B ⊆ A | n0 ∈ B y tal que x ∈ B ⇒ s(x) ∈ B }. = ∅ ya que A ∈ U . Sea N = U
B. Claramente N ∈ U .
B ∈U
Afirmamos que (N, s, n0 ) es un Sistema de Peano, donde s : N −→ N est´a definida por s = s|N . Como n0 ∈ / I m(s) y s es inyectiva, s´olo tenemos que demostrar que se satisface (c) de la definici´on de Sistema de Peano. Sea T ⊆ N tal que n0 ∈ T y tal que cada vez que x ∈ T , s(x) ∈ T . Debemos probar que T = N. Por las propiedades de T , tenemos que T ∈ U , y como N = B,
entonces N ⊆ T . Por lo tanto N = T .
B ∈U
Teorema 3.5.4. Si (N, s, n0 ) es un Sistema de Peano, entonces n0 es el unico ´ elemento de N que no pertenece a Im(s). Demostraci´ on. Mostraremos que N = I m(s) ∪ {n0 }. Como (N, s, n0 ) es un Sistema de Peano, para demostrar que Im(s) ∪ {n0 } = N veremos que I m(s) ∪ {n0 } ( ⊆ N) satisface las hip´otesis de la condici´on (c) de la definici´on de Sistema de Peano n0 ∈ I m(s)∪{n0 } y si x ∈ I m(s)∪{n0 }, entonces s(x) ∈ I m(s)∪{n0 }. Por lo tanto Im(s) ∪ {n0} = N. Teorema 3.5.5. (Teorema de Recursi´ on) Sea (N, s, n0 ) un Sistema de Peano, y sean X un conjunto, x0 ∈ X y ϕ : X −→ X una funci´ on. Entonces existe una unica ´ funci´ on F : N −→ X tal que F (n0 ) = x0 y F (s(n)) = ϕ(F (n)) para toda n ∈ N, es decir el siguiente diagrama conmuta s n ∈ N N 0 F
x0 ∈
donde F (n0 ) = x 0 .
X
F
ϕ X
70
N´ umeros cardinales
Demostraci´ on. Existencia. Sea
U = { A ⊆ N × X | ( n0 , x0 ) ∈ A y (n, x) ∈ A ⇒ (( s(n), ϕ(x)) ∈ A)}. = ∅ ya que N × X ∈ U . U Sea F = A.
A∈U
Demostraremos que F ∈ U , DomF = N y que F es la funci´on deseada. (I) F ∈ U Es inmediato de la definici´on de F . (II) DomF = N. Debemos demostrar que para cada n ∈ N, existe x ∈ X tal que (n, x) ∈ F . Sea B = { n ∈ N| existe x ∈ X tal que (n, x) ∈ F}. Demostraremos que B = N aplicando (c) de la definici´on de Sistema de Peano (i) n0 ∈ B ya que (n0 , x0 ) ∈ F . (ii) Sea n ∈ B. Mostraremos que s(n) ∈ B. n ∈ B implica que existe x ∈ X t al que (n, x) ∈ F y como F ∈ U , entonces (s(n), ϕ(x)) ∈ F . Luego s(n) ∈ B y por lo tanto B = N. (III) F es funci´ on. Sea C = { n ∈ N | existe una u ´ nica x ∈ X tal que (n, x) ∈ F}. Probaremos que C = N, como hicimos en (II), usando el hecho de que N es un Sistema de Peano. (i) n0 ∈ C . Sabemos que (n0 , x0 ) ∈ F as´ı que supongamos que (n0 , x1 ) ∈ F donde x1 = x0 y consideramos el conjunto A = F −{(n0 , x1 )}. Demostraremos que A ∈ U lo que nos lleva a un absurdo ya que en este caso se tendr´ıa A ⊂ F ⊆ A. Evidentemente (n0 , x0 ) ∈ A. Si (n, x) ∈ A, por ser ´este elemento de F se tiene que (s(n), ϕ(x)) ∈ F y como s(n) = n 0 debido a que n 0 ∈ / I m(s) (Teorema 3.5.4), entonces (s(n), ϕ(x)) ∈ A. Por lo tanto A ∈ U que es un absurdo. Concluimos entonces que x1 = x 0 y as´ı n0 ∈ C . (ii) Supongamos que n ∈ C . Veremos que existe un u ´ nico y ∈ X tal que (s(n), y) ∈ F , es decir s(n) ∈ C . Sea x el u ´nico elemento de X tal que (n, x) ∈ F , supongamos que (s(n), y) ∈ F con y = ϕ(x) y sea A = F − {(s(n), y)}. Probaremos que A ∈ U . 1/◦ (n0 , x0 ) ∈ A puesto que n0 = s(m) para toda m ∈ N, y
§ 3.5 Sistemas de Peano
71
esto implica que (n0 , x0 ) = (s(n0 ), y). ◦ 2/ Supongamos que (m, k) ∈ A.Veremos que (s(m), ϕ(k))∈A. Si (s(m), ϕ(k)) = (s(n), y), entonces m = n dado que s es inyectiva y y = ϕ(k) donde k = x ya que y = ϕ(x). Por lo tanto tendr´ıamos que (n, k), (n, x) ∈ A con k = x, lo que es imposible puesto que x es el u ´ nico elemento de X tal que (n, x) ∈ A. Por lo tanto (s(m), ϕ(k)) = (s(n), y) y as´ı (s(m), ϕ(k)) ∈ A. Tenemos entonces que A ∈ U , lo que nuevamente no puede ser debido a que esto implicar´ıa que A ⊂ F ⊆ A. Por lo tanto s(n) ∈ C y entonces C = N. Por u ´ltimo, F es la funci´on deseada, esto es, F satisface ϕ(F (n)) = F (s(n)). Unicidad. Supongamos que existe otra funci´on ψ : N −→ X tal que ψ (n0 ) = x0 y ψ (s(n)) = ϕ(ψ (n)). Demostraremos que ψ = ψ usando (c) de la definici´on de Sistema de Peano 1◦ / ψ (n0 ) = x 0 = ψ(n0 ) 2◦ / Supongamos que ψ (n) = ψ(n). Demostraremos que ψ (s(n)) = ψ(s(n)). ψ (s(n)) = ϕ(ψ (n)) = ϕ(ψ(n)) = ψ(s(n)). Cabe mencionar que existe otro tipo de demostraci´on para este teorema, sin embargo es de mayor grado de dificultad, ya que utiliza el orden usual de un Sistema de Peano (N´umeros Naturales), por lo que tendr´ıamos que introducir antes este orden. En lugar de eso lo que nosotros hacemos aqu´ı es demostrar primero el Teorema de Recursi´ on y a partir de ´el definimos la suma de n´ umeros naturales y finalmente usando la adici´on definimos el orden. Definici´ on 3.5.2. Dos Sistemas de Peano (N, s, n0 ) y (N , s , n0 ) son isomorfos si existe una funci´ on biyectiva F : N −→ N tal que F (n0 ) = n0 y F (s(n)) = s (F (n)), es decir el siguiente diagrama N F
N
conmuta.
s N F
s N
72
N´ umeros cardinales
Corolario 3.5.6. Cualesquiera (N , s , n0 ) son isomorfos.
dos
Sistemas de Peano (N, s, n0 ) y
Demostraci´ on. Como (N, s, n0 ) y ( N , s , n0 ) son Sistemas de Peano, por el Teorema de Recursi´ on, sabemos que existe una u ´ nica funci´ on F : N −→ N tal que F (n0 ) = n0 y F (s(n)) = s (F (n)) y existe una u ´ nica funci´on F : N −→ N tal que F (n0 ) = n0 y F (s (n)) = s(F (n)). La composici´on F ◦ F : N −→ N es tal que (F ◦ F )(n0 ) = n0 y (F ◦ F )(s(n)) = s((F ◦ F )(n)), y como la identidad 1N tambi´en satisface que 1N (n0 ) = n0 y 1N (s(n)) = s(1N (n)), se tiene, por la unicidad dada en el Teorema de Recursi´on, que F ◦ F = 1N . An´ alogamente se demuestra que F ◦ F = 1N .
N F
N F
1N
N F
N
s N F
s N
1N
F
s N F
s N
Por lo tanto F es biyectiva, F (n0 ) = n0 y F (s(n)) = s (F (n)) (Adem´as es la u ´ nica con esta propiedad). Como ya hemos demostrado que existe un ´unico Sistema de Peano, salvo isomorfismos, de aqu´ı en adelante denotaremos la funci´on s : N −→ N de un Sistema de Peano por ( ) y la llamaremos funci´ on sucesor y al elemento distinguido n0 ∈ N lo denotamos por 0. M´ as adelante se encontrar´a el sentido de la nomenclatura de s. Usando el Teorema de Recursi´on definiremos la suma en un Sistema de Peano, y el producto, como se ver´a en su momento, se definir´a a trav´es de la suma y el mismo Teorema de Recursi´on. Teorema 3.5.7. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. Entonces existe una unica ´ funci´ on ψ : N × N −→ N tal que para cada m ∈ N, ψ(m, 0) = m y ψ(m, n ) = (ψ(m, n)) .
§ 3.5 Sistemas de Peano
73
Demostraci´ on. Existencia. Sea m ∈ N, fijo y sean X = N, ϕ = ( ) y x0 = m. Por el Teorema de Recursi´on, existe una u ´ nica funci´on ϕm : N −→ N tal que ϕm (0) = m y ϕm (n ) = (ϕm (n)) . Haciendo esto para cada m ∈ N, podemos definir ψ : N × N −→ N por ψ(m, n) = ϕ m (n). Claramente ψ satisface las condiciones del teorema, ya que ψ(m, 0) = ϕ m (0) = m y ψ(m, n ) = ϕ m (n ) = (ϕm (n)) = (ψ(m, n)) . Unicidad. Supongamos que ψ1 : N × N −→ N tambi´en satisface el teorema. Probaremos que para cada m, n ∈ N ψ(m, n) = ψ 1 (m, n). Sea m ∈ N fijo y sea T = { n ∈ N | ψ(m, n) = ψ 1 (m, n)} ⊆ N. Probaremos que T = N. 1◦ / 0 ∈ T , ya que ψ(m, 0) = m = ψ 1 (m, 0). 2◦ / Supongamos que n ∈ T . Entonces ψ(m, n) = ψ 1 (m, n). Ambas funciones satisfacen el teorema, as´ı que ψ(m, n ) = (ψ(m, n)) y ψ1 (m, n ) = (ψ1 (m, n)) y como ψ(m, n) = ψ1 (m, n) entonces (ψ(m, n)) = (ψ1 (m, n)) . Por lo tanto ψ(m, n ) = ψ1 (m, n ) y de aqu´ı n ∈ T . Entonces T = N y as´ı ψ(m, n) = ψ 1 (m, n) para toda n ∈ N y como m es arbitrario, entonces ψ = ψ 1 . Notaci´ on 3.5. ψ(m, n) = m + n y la llamaremos suma de m y n. Con esta notaci´on el Teorema 3.5.7 nos dice que + : N × N −→ N es la u ´nica funci´on tal que para toda m, n ∈ N, m + 0 = m y m + n = (m + n) . En el Ejemplo 3.1.1, denotamos por 0 al cardinal de ∅ y por 1 al cardinal de {∅}, y como ya hemos demostrado que el conjunto de los cardinales finitos junto con 0 y la funci´on s dada en la p´agina 67 es un Sistema de Peano, se tiene que s(0) = 1. Con la notaci´on reci´en introducida, tenemos que 0 = 1. Como ya hemos visto que cualesquiera dos Sistemas de Peano son isomorfos, tenemos entonces que los elementos distinguidos de ellos se identifican entre s´ı mediante este isomorfismo, as´ı que quedan identificados entre s´ı tambi´en los sucesores correspondientes. Es por esto que, abusando un poco de la notaci´on, denotamos 1 como el sucesor del elemento distinguido, en el siguiente
74
N´ umeros cardinales
Corolario 3.5.8. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. Si 1 = 0 entonces n = n + 1 para toda n ∈ N. Demostraci´ on. n + 1 = n + 0 = (n + 0) = n .
Teorema 3. 5.9. La suma + en N tiene las siguientes propiedades (1) Para todas m, n, r ∈ N, (m + n) + r = m + (n + r). (propiedad asociativa) (propiedad conmutativa) (2) Para todas m, n ∈ N, m + n = n + m. (3) Para toda m ∈ N, m + 0 = m. (existencia de elemento neutro) (4) Para todas m, n, r ∈ N, (n + m = r + m ⇒ n = r). (ley de cancelaci´ on) Demostraci´ on. Demostraremos (1) y (4) y dejamos como ejercicio la demostraci´ on de (2). Sobre (3), ya se mencion´o inmediatamente despu´es de dar la Notaci´ on 3.5. (1) Recordemos del Teorema de Recursi´on que, para cada m ∈ N, la funci´ on ϕm : N −→ N e s l a ´unica que satisface ϕm (0) = m y ϕm (x ) = (ϕm (x)) . Como (ϕm ◦ ϕn )(0) = ϕ m (ϕn (0)) = ϕ m (n + 0) = ϕ m (n) = m + n, y ((ϕm ◦ ϕn )(x )) = ϕ m (ϕn (x )) = ϕ m ((ϕn (x)) ) = (ϕm (ϕn (x))) = ((ϕm ◦ ϕn )(x)) entonces, por la unicidad, ϕm+n = ϕ m ◦ ϕn . Por lo tanto para toda r ∈ N, ϕm+n (r) = (ϕm ◦ ϕn )(r), y as´ı (m + n) + r = m + (n + r). (4) Sea T = { m ∈ N | n + m = r + m ⇒ n = r } ⊆ N. Demostraremos que T = N usando (c) de la definici´on de Sistema de Peano. 1◦ / 0 ∈ T ya que n + 0 = r + 0 ⇒ n = r. 2◦ / Sea m ∈ T . Entonces n + m = r + m ⇒ n = r. Supongamos que n + m = r + m . Entonces (n + m) = (r + m) , y como ( ) es inyectiva se tiene que n + m = r + m, que por hip´otesis de inducci´ on, implica que n = r y as´ı m ∈ T . Por lo tanto T = N. En la p´agina 44 definimos una suma en el conjunto de cardinales. Si restringimos esta suma a los cardinales finitos F, por el Corolario 3.3.15,
§ 3.5 Sistemas de Peano
75
esta suma est´a bien definida en F, la suma de cardinales finitos es un cardinal finito. Por otro lado, como ya hemos visto, ( F, s, 0) es un Sistema de Peano y como tal se tiene definida una suma (Teorema 3. 5.7). Veremos a continuaci´on que estas dos sumas en realidad son la misma. Proposici´ on 3.5.10. La suma definida en el conjunto de cardinales finitos F coincide con la suma definida para el Sistema de Peano (F, s, 0). Demostraci´ on. Por el Teorema 3.5.7 basta demostrar que la funci´on ψ : F −→ F dada por ψ(|A|, |B |) = |A| + |B |, donde + denota la suma definida para cardinales la cual satisface, ψ(|A|, |∅|) = |A| y ψ(|A|, s(|B |)) = s(ψ(|A|, |B |)): (a) ψ(|A|, |∅|) = | A| + |∅| = | A| (b) Sea c ∈ / A ∪ B. ψ(|A|, s(|B |)) = |A| + s(|B |) = |A| + |B ∪ {c}| •
= |A ∪ (B ∪ {c})| •
= |(A ∪ B) ∪ {c}| = s(|A| + |B |) = s(ψ(|A|, |B |)). Introduciremos ahora el producto en un Sistema de Peano Teorema 3.5.11. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. Entonces existe una unica ´ funci´ on Ψ : N × N −→ N tal que para cada m, n ∈ N Ψ(m, 0) = 0 y Ψ(m, n ) = Ψ(m, n) + m. Demostraci´ on. Existencia. Sea m ∈ N fijo. Para X = N sea ϕ : N −→ N dada por ϕ(n) = n + m y sea x0 = 0. Por el Teorema de Recursi´on existe una u ´nica funci´on Φm : N −→ N tal que Φm (0) = 0 y ϕ(Φm (n)) = Φm (n ). Sea Ψ : N × N −→ N definida por Ψ(m, n) = Φm (n). Ψ satisface las condiciones del teorema pues Ψ(m, 0) = Φm (0) = 0 y Ψ(m, n ) = Φm (n ) = ϕ(Φm (n)) = ϕ(Ψ(m, n)) = Ψ(m, n) + m. Unicidad. Supongamos que Ψ1 : N × N −→ N satisface tambi´en que Ψ1 (m, 0) = 0 y Ψ1 (m, n ) = Ψ1 (m, n) + m, para todo m, n ∈ N. Para m fijo, sea T = { n ∈ N|Ψ(m, n) = Ψ1 (m, n)}. Probaremos que T = N. 1◦ / 0 ∈ T ya que Ψ(m, 0) = 0 = Ψ1 (m, 0) 2◦ / Sea n ∈ T , es decir, Ψ(m, n) = Ψ1 (m, n). Entonces Ψ(m, n ) = Ψ(m, n)+m = Ψ1 (m, n)+m = Ψ1 (m, n ). Por lo tanto n ∈ T . Entonces T = N y as´ı Ψ(m, n) = Ψ1 (m, n) para todo m, n ∈ N.
76
N´ umeros cardinales
Notaci´ on 3.6. Ψ(m, n) = m · n y la llamaremos el producto de m y n. Con esta notaci´on tenemos m · 0 = 0 y m · n = m · n + m. Teorema 3.5.12. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. El producto tiene las siguientes propiedades (propiedad asociativa) (1) Para m, n, r ∈ N, (m · n) · r = m · (n · r). (propiedad conmutativa) (2) Para m, n ∈ N, m · n = n · m. (existencia de elemento neutro) (3) Para m ∈ N, m · 1 = m. (4) Para m, n, r ∈ N, r · (m + n) = r · m + r · n.
(distribuci´ on del producto respecto a la suma)
(5) Para m, n, r ∈ N, (r · m = r · n y r = 0 ⇒ m = n).
(ley de cancelaci´on para el producto)
Demostraci´ on. (3) m · 1 = m · 0 = m · 0 + m = m. (4) Sean m y r fijos y sea T = { n ∈ N | r · (m + n) = r · m + r · n} ⊆ N. Demostraremos que T = N usando (c) de la definici´on de Sistema de Peano. 1◦ / 0 ∈ T ya que r · (m + 0) = r · m = r · m + 0 = r · m + r · 0. 2◦ / Supongamos que n ∈ T . Entonces r · (m + n ) = r · (m + n) = r · (m + n) + r = (r · m + r · n) + r = r · m + (r · n + r) = r · m + r · n Dejamos como ejercicio la demostraci´on de (1), (2) y (5). Definimos ahora una relaci´on de orden en un Sistema de Peano. Definici´ on 3.5.3. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. Dados m, n ∈ N, diremos que n < m si existe r ∈ N − {0} tal que n + r = m. En el caso en que se use ≤, tendremos que n ≤ m si y s´olo si existe r ∈ N (ya no pedimos r = 0) tal que n + r = m. Teorema 3.5.13. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano. < es un orden parcial en N. Demostraci´ on. (1) a ≮ a, ya que si existiera r ∈ N tal que a + r = a, entonces a + r = a + 0, lo que implica, por el Teorema 3.5.9, que r = 0. (2) Si a < b y b < c entonces, por definici´on existen r1 , r2 ∈ N−{0} tales que a+r1 = b y b+r2 = c, Entonces a+(r1 +r2 ) = (a+r1 )+r2 = b+r2 = c, y como (r1 + r2 ) = 0 (ver Ejercicio 3.36), entonces a < c.
§ 3.5 Sistemas de Peano
77
Proposici´ on 3. 5.14. Si (N, ( ) , 0) es un Sistema de Peano, entonces n < n y 0 ≤ n para toda n ∈ N. La demostraci´on se deja como ejercicio al lector. Teorema 3.5.15. El orden < definido en un Sistema de Peano (N, ( ) , 0) es total. Demostraci´ on. Sea T = {m ∈ N|∀ n, n = m ⇒ n < m o m < n)}. Demostremos que T = N haciendo uso de (c) de la definici´on de Sistema de Peano. 1◦ / 0 ∈ T por la Proposici´ on 3.5.14. ◦ 2 / Supongamos que m ∈ T y sea n ∈ N tal que n = m . Si n = m entonces, por la Proposici´on 3.5.14, n < n = m . Si n = m, como m ∈ T , entonces n < m o m < n. Analicemos estos dos casos (a) Si n < m, por ser m < m , entonces n < m . (b) Si m < n, entonces existe r ∈ N − {0} tal que m + r = n y por ser r = 0 existe q ∈ N tal que q = r, esto es q + 1 = r. Entonces n = m + r = m + (q + 1) = (m + 1) + q = m + q. Como por hip´ otesis n = m , entonces q ∈ N − {0} y por lo tanto m < n. Hemos demostrado que si n = m , entonces n < m o m < n. Luego m ∈ T y as´ı T = N. Recordemos que n = n + 1. De aqu´ı en adelante denotaremos por N a un Sistema de Peano y por 0 a su elemento distinguido. Proposici´ on 3.5.16. Para todo x ∈ N, si n ≤ x ≤ n + 1 entonces x = n o x = n + 1. Demostraci´ on. Supongamos que n < x. Probaremos que x = n + 1. Como n < x, existe r ∈ N, r = 0 tal que n + r = x. Sea r 0 ∈ N tal que r = r 0 + 1. Entonces x = n + (r0 + 1) = (n +1)+ r0 . Por lo que, por definici´on de orden, n + 1 ≤ x. Pero tambi´en tenemos, por hip´otesis, que x ≤ n + 1. Por lo tanto x = n + 1. Teorema 3.5.17. El orden ≤ en N es un buen orden. Demostraci´ on. Sea A ⊆ N, A = ∅ y supongamos que A no tiene m´ınimo. Sea T = { x ∈ N | ∀ a ∈ A x < a}. T ⊆ N − A N.
78
N´ umeros cardinales
Utilizando (c) de la definici´on de Sistema de Peano, probaremos que T = N, lo que ser´a un absurdo ya que T es un subconjunto propio de N. 1◦ / 0 ∈ T , ya que 0 ≤ n para toda n ∈ N (Proposici´on 3.5.14), y 0 no puede ser elemento de A pues, por hip´otesis, A no tiene m´ınimo. 2◦ / Supongamos que n ∈ T . Entonces n < a ∀ a ∈ A y por lo tanto n + 1 ≤ a ∀ a ∈ A. Si n + 1 = a para alguna a ∈ A entonces n + 1 ser´ıa el m´ınimo de A contradiciendo la hip´ otesis, as´ı que n + 1 < a ∀ a ∈ A y por lo tanto n + 1 ∈ T . Entonces T = N, y como ya hemos dicho, esto no puede ser. Por lo tanto A debe tener m´ınimo. Teorema 3.5.18. Para cada n ∈ N, el conjunto I n = { x ∈ N | x < n} es finito. Demostraci´ on. Sea T = { n ∈ N|I n es finito}. T satisface (a) 0 ∈ T ya que I 0 = { x ∈ N|x < 0 } = ∅ es finito. (b) Supongamos que n ∈ T , es decir, I n es finito. Si x < n = n + 1, entonces x < n o x = n, ya que por la Proposici´on 3.5.16 no existe m ∈ N tal que n < m < n + 1. Entonces I n+1 = { x ∈ N|x < n + 1} = { x ∈ N|x < n o x = n } = { x ∈ N|x < n} ∪ {n} = I n ∪ {n}. Pero por hip´otesis I n es finito lo que, por (3) del Teorema 3.3.2, implica que I n+1 es finito. Por lo tanto n + 1 ∈ T . Entonces T = N. Ya hemos demostrado que cualesquiera dos Sistemas de Peano son isomorfos, en particular cualquier Sistema de Peano es isomorfo a ( F, ( ) , 0), donde F es el conjunto de los cardinales finitos. En el teorema siguiente damos expl´ıcitamente este isomorfismo. Teorema 3.5.19. Sea (N, ( ) , 0) un Sistema de Peano, y F el conjunto de cardinales finitos. Entonces la funci´ on f : N −→ F dada por f (n) = |{ x ∈ N | x < n}| es un isomorfismo de (N, ( ) , 0) sobre (F, ( ) , 0). Demostraci´ on. 1◦ / f es inyectiva Si n = m, entonces n < m o m < n. Supongamos n < m. Entonces I n = { x ∈ N | x < n} {x ∈ N | x < m} = I m ya que claramente I n ⊆ I m y adem´as n ∈ I m y n ∈ / I n . Por lo tanto por ser I n e I m finitos
|{x ∈ N | x < n}| < |{ x ∈ N | x < m}|,
§ 3.5 Sistemas de Peano
79
lo que significa que f (n) = f (m). 2◦ / f es suprayectiva Sea T = I m(f ). Probaremos que T = F. (i) 0 ∈ T ya que f (0) = |{x ∈ N | x < 0 }| = |∅| = 0. (Recordemos que 0 ≤ n para toda n ∈ N) (ii) Supongamos que c ∈ T . Probaremos que c + 1 ∈ T . Como c ∈ T , existe n ∈ N tal que f (n) = c. Entonces f (n ) = |{x ∈ N | x < n }| = |{x ∈ N | x < n} ∪ {n}| = |{x ∈ N | x < n}| + |{n}| = c + 1. Esto es, c + 1 ∈ T . Por lo tanto T = F y entonces f es suprayectiva. Finalmente de (i) y (ii) observemos que f (0)=0 y f (n )=f (n) + 1= f (n) . Por lo tanto f es un isomorfismo. De este teorema se desprenden los siguientes corolarios. Las demostraciones se dejan como ejercicios al lector. Corolario 3.5.20. Si n ∈ F, entonces |{x ∈ F | x < n}| = n. Corolario 3.5.21. Un conjunto A es finito si y s´ olo si existe n ∈ F tal que A ∼ {x ∈ F | x < n}. Por u ´ ltimo, a cada elemento de un Sistema de Peano lo llamaremos un n´umero natural, as´ı que, el conjunto de los n´ umeros naturales ser´a cualquier Sistema de Peano.
80
N´ umeros cardinales
§ 3.6 Ejercicios 3.1. Demostrar las siguientes afirmaciones 1. |∅| ≤ |A|. 2. Si |A| ≤ |∅|, entonces A = ∅. 3. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B |. 4. |A| ≤ |P (A)|. ¿Puede ser que | A| = | P (A)|, para alg´ un conjunto A? 5. |A| ≤ |A × A| para cualquier conjunto A. 6. Si B = ∅, entonces |A| ≤ |A × B |. ¿Qu´e puede decir en el caso B = ∅? 7. Sean A y B conjuntos. Entonces |A| ≤ |B | si y s´olo si existe una funci´ on suprayectiva de B en A. 3.2. Demostrar que si |A| ≤ |B | entonces |P (A)| ≤ |P (B)|. 3.3. Complete la demostraci´on de la Proposici´on 3.2.2, estableciendo las biyecciones mencionadas. 3.4. Complete la demostraci´on de la Proposici´on 3.2.4, mostrando las igualdades de los conjuntos propuestos. 3.5. Complete la prueba de la Proposici´on 3.2.6, estableciendo las biyecciones necesarias en cada caso. 3.6. Compruebe que la funci´ on dada en la demostraci´on de la Proposici´on 3.2.7 es biyectiva. 3.7. Demuestre la Proposici´on 3.2.8. 3.8. Demuestre las equivalencias (1), (1 ) y (2), (2 ) del Teorema 3.3.3. 3.9. Demuestre que un conjunto A es finito si y s´olo si para todo subcon junto propio B de A no existe una funci´on inyectiva de A en B. 3.10. Demuestre el Corolario 3.3.4. 3.11. Demuestre el Teorema 3.3.6. 3.12. Si A es finito y f : A −→ B es suprayectiva entonces B es finito. 3.13. Demuestre los Corolarios 3.3.7, 3.3.13, 3.3.15, 3.4.3 y 3.4.8. 3.14. Complete la demostraci´ on del Corolario 3.4.6 verificando que
ℵ0 ≤ ℵ0 + ℵ0 .
§ 3.6 Ejercicios
81
3.15. Demostrar que si n y m son cardinales donde al menos uno de ellos es infinito, entonces n + m = n · m. 3.16. Sean α, β y γ cardinales tales que α = β + γ . Demostrar que γ ≤ α. 3.17. Demuestre que la funci´on f X dada en la demostraci´on del Teorema 3.4.5 es biyectiva y que (X, f X , Y ) es cota superior de la cadena C . 3.18. Demuestre la Proposici´on 3.4.11. 3.19. Demuestre el Corolario 3.4.16. 3.20. Demostrar que si a es un cardinal infinito y b es un cardinal finito, entonces ab = a. 3.21. Sean a, b y c cardinales. Demostrar que 1. Si a ≤ b, entonces ac ≤ b c , ¿Cu´ ando se da la igualdad? 2. Si b ≤ c, entonces ab ≤ a c 3.22. Sean { ai }i∈I y {bi }i∈I dos familias de n´ umeros cardinales tales que para cada i ∈ I , ai < bi . Demostrar que ai < bi .
i∈I
i∈I
3.23. Sean α y β cardinales tales que β es infinito y 2 ≤ α ≤ 2 β . Demostrar que αβ = 2β 3.24. Sean α, β y γ cardinales tales que β y γ son infinitos, α = 2β y 2γ ≤ α. Demostrar que αγ = α. (Sugerencia: Utilizar la f´ ormula del producto para cardinales infinitos.) 3.25. Si f : A −→ B es una funci´on, la gr´ afica de f es el subconjunto {(a, f (a))|a ∈ A } de A × B. 1. Probar que la funci´ on Gf : A −→ A × B, definida por Gf (a) = (a, f (a)) es una biyecci´on de A sobre la gr´afica de f . 2. Sean A y B conjuntos de cardinalidad α y β respectivamente, tal que β es infinito y α ≤ β . Demostrar que el cardinal γ del conjunto de funciones inyectivas de A en B es β α . (Sugerencia: Pruebe que γ ≤ β α usando la parte (1), la otra desigualdad es trivial.) 3.26. Sea A un conjunto de cardinalidad infinita α . Pruebe que el n´umero de funciones biyectivas de A en s´ı mismo es 2α . (Sugerencia: Establezca que αα es cota superior, use el Ejercicio 3.23 y exhiba 2α biyecciones, expresando A como la uni´ on ajena de dos subconjuntos, ambos de cardinalidad α y observe que las funciones inyectivas, de uno de ellos en el otro
82
N´ umeros cardinales
pueden ser extendidas a una funci´ on biyectiva de A en A y finalmente use el Ejercicio 3.25 (2)). 3.27. Sea X una ret´ıcula (v´ease la definici´on en el Ejercicio 1.53) en la cual cada cadena tiene una cota superior. Probar que X tiene un u ´ nico elemento maximal. 3.28. Sea X una ret´ıcula en la cual cada cadena tiene supremo e ´ınfimo en X . Probar que X es completa (Para la definici´on de ret´ıcula completa, v´ease el Ejercicio 1.54). 3.29. Dados los cardinales α y β , estudie las soluciones γ de α · γ = β . 3.30. Demostrar que si A es numerable, entonces {X ⊆ A | X es finito} es numerable. 3.31. Demostrar que si cada subconjunto numerable de un conjunto totalmente ordenado X es bien ordenado, entonces X es bien ordenado. 3.32. Sea |A| = α. ¿Cual es la cardinalidad de {f : A −→ A |f es biyectiva}? 3.33. Sea |A| = α. ¿Cual es la cardinalidad de {X ⊆ A | X es numerable}? 3.34. Demuestre que la funci´on g : A n −→ A m definida en la §3.4 p´agina 68 es biyectiva. 3.35. Demostrar que el producto que se defini´o para cardinales finitos es el mismo que el que se defini´ o para un Sistema de Peano. 3.36. Demostrar que si r1 , r2 ∈ N y r1 = 0 o´ r2 = 0, entonces r1 + r2 = 0. 3.37. Demostrar, usando el Teorema de Recursi´on, que el producto de cardinales finitos es conmutativo. 3.38. Complete la demostraci´ on del Corolario 3.5.2. 3.39. En cada uno de los siguientes casos demostrar que el conjunto A dado es numerable. 1. Sea n ∈ N − {0}. A = { A ⊆ N| |A| = n }, 2. A = { A ⊆ N|A es finito}. 3.40. Demostrar que {A ⊆ N|A es infinito} no es numerable. 3.41. Sean A y B conjuntos finitos de cardinalidad n y m respectivamente. 1. Probar que P (A) es de cardinalidad 2n , 2. Ded´ uzcase del inciso anterior que no existe un conjunto cuyo conjunto potencia es numerable,
§ 3.6 Ejercicios
83
3. Probar que la cardinalidad del conjunto de funciones de A en B es mn , 4. Probar que si n ≤ m, entonces la cardinalidad del conjunto de m! funciones inyectivas de A en B es (n− . m)! 3.42. Sea A un conjunto de cardinalidad n y r ∈ N − {0} fijo. Sean k1 . . . , kr ∈ N − {0} tales que k1 + · · · + kr = n. Probar que la cardinalidad del conjunto de particiones de A en r subconjuntos Ak , . . . , Akr de cardinalidad k1 . . . , kr respectivamente es k !·n...!·kr ! . 1
1
3.43. Demuestre los incisos (2) y (3) del Teorema 3.5.9. 3.44. Demuestre los incisos (1), (2) y (5) del Teorema 3.5.12. 3.45. Demuestre la Proposici´on 3.5.14. 3.46. Demostrar que si n, m ∈ N y n < m, entonces n + 1 ≤ m 3.47. Demuestre los Corolarios 3.5.20 y 3.5.21. 3.48. Sea A un conjunto infinito. Probar que para todo n ∈ N, A contiene un subconjunto B tal que |B | = n.
Cap´ıtulo 4
N´ umeros ordinales § 4.1 Conjuntos bien ordenados En este cap´ıtulo estudiaremos los conjuntos bien ordenados. Observaci´ on 4.3. Si (A,
Demostraci´ on. o (a) 1 / x ∈ (Aa )b implica que x ∈ Aa y x
86
N´ umeros ordinales
2o / x ∈ Ab implica que x ∈ A y x
B Aa −→ B
a∈A
una funci´ on. Entonces existe una unica ´ funci´ on f : A → B que hace conmutativo el siguiente diagrama
G
B Aa a∈A H
donde H : A −→
A
B
f
B Aa es la funci´ on dada por H (a) = f |Aa ; es decir,
a∈A
para toda a ∈ A, f satisface que f (a) = G(f |Aa ), donde f |Aa es la funci´ on f restringida a Aa .
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
87
Demostraci´ on. Existencia. Sea T ⊆ A el conjunto que consta de todos los elementos x ∈ A tales que existe una ´unica funci´on f x : { y ∈ A | y ≤ x} −→ B que satisface f x (y) = G(f x |Ay ) para todo y ≤ x. Supongamos que Aa ⊆ T . Demostraremos que a ∈ T y por el Principio de Inducci´on Transfinita tendremos entonces que T = A, con lo que quedar´ıa demostrada la existencia de f del teorema. Para esto observemos que para x, z ∈ Aa (⊆ T ), con x ≤ z, por la unicidad de las funciones f x y f z se debe tener que f z |{y∈A|y≤x} = f x , as´ı que si tal funci´on u ´nica f a existiese, entonces f a |{y∈A|y≤x} = f x para todo x < a. Esto nos da la idea de que para definir la funci´on f a es suficiente definirla en a, ya que para las x < a debe coincidir con f x . Para definirla en a debemos tomar en cuenta que debe satisfacer la condici´on requerida. Definamos pues f a : { y ∈ A | y ≤ a } −→ B como sigue f a (x) =
f x (x)
si x < a
G(f a |Aa ) si x = a
Evidentemente esta funci´on satisface la condici´on requerida para que a ∈ T y por lo tanto T = A. Definimos entonces la funci´on buscada, f : A −→ B como f = f x , donde
x∈A
f (a) =
f x (a) = f a (a)
x∈A
y
f (a) = f a (a) = G(f a |Aa ) = G(f |Aa )para todaa ∈ A. Unicidad. Supongamos que f y g son dos funciones de A en B que satisfacen f (a) = G(f |Aa ) y g(a) = G(g |Aa ) para toda a ∈ A y sea T = { x ∈ A | f (x) = g(x)}. Mostraremos que T = A aplicando Inducci´on Transfinita. Supongamos que Aa ⊆ T . Entonces f |Aa = g |Aa y esto implica que G(f |Aa ) = G(g |Aa ), lo que significa f (a) = g(a) y por lo tanto a ∈ T . Definici´ on 4.1.2. Sean (A,
88
N´ umeros ordinales
Definici´ on 4. 1.3. Sean (A,
Proposici´ on 4.1.7. Si f : (A,
Proposici´ on 4.1.8. Si f : (A, f (x)} y supongamos que S = ∅. Por ser A un conjunto bien ordenado, S tiene un m´ınimo z. Entonces z > f (z). Por otro lado como f preserva orden, f (z) > f (f (z)) lo cual implica que f (z) ∈ S lo que es imposible pues z es el m´ınimo de S. Por lo tanto S = ∅ y entonces x ≤ f (x) para toda x ∈ A. Corolario 4.1.10. Si f, g : (A,
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
89
Demostraci´ on. La funci´on g −1 ◦ f : (A,
Demostraci´ on. Supongamos a < a . Entonces por (a) de la Proposici´ o n 4.1.2 tenemos que (Aa )a = Aa y por lo tanto tendr´ıamos que ((Aa )a ,
Proposici´ on 4.1.13. Si (A,
90
N´ umeros ordinales
Demostraci´ on. Sea A = {a ∈ A | ∃b ∈ B (Aa ,
f −1
g |A
a (Bf (a) ,
lo cual implica, por el Corolario 4.1.12, que f (a) = g(a) y de aqu´ı se tiene entonces que f (a) < f (a ) y as´ı f preserva el orden. Demostraremos ahora que A = A o´ A = Aa para alg´ un a ∈ A y que f (A ) = B o´ f (A ) = Bb para alg´ un b ∈ B. Para esto es suficiente demostrar, haciendo uso del Teorema 4.1.3, que
∀ a ∈ A ∀ x ∈ A (x < a =⇒ x ∈ A ). Sean a ∈ A y x ∈ A con x < a. Entonces por ser a elemento de A existe un isomorfismo g : (Aa ,
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
91
Como hicimos para los n´umeros cardinales, introducimos los n´ umeros ordinales, a la manera de Tarski, mediante los siguientes axiomas 1. Cada conjunto bien ordenado est´ a asociado con un objeto, el cual es su n´ umero ordinal . 2. Dos conjuntos bien ordenados son isomorfos (del mismo tipo de orden) si y s´ olo si tienen el mismo n´ umero ordinal . Al ordinal de un conjunto bien ordenado (A,
Demostraci´ on. Esto resulta del hecho de que si g : (B,
(A ,
Observaci´ on 4.4. Como estamos trabajando con conjuntos bien ordenados, y entre estos hemos definido un orden, para evitar confusiones cuando trabajemos con el orden de un conjunto, lo denotaremos como lo hemos venido haciendo, con el sub´ındice del conjunto, de tal manera que cuando aparezca < (sin sub´ındice) nos estaremos refiriendo al orden de los ordinales que acabamos de definir.
92
N´ umeros ordinales
Teorema 4.1.16. < es un orden total. Demostraci´ on. o 1 / < es un orden. (i) Por el Corolario 4.1.11, (A,
Teorema 4.1.17. Sea (A,
Nota 14. W (α) es un conjunto, ya que si β = ord(B,
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
93
Demostraci´ on. Sea F : (A,
94
N´ umeros ordinales
Demostraci´ on. Claramente (C,
Teorema 4.1.22. Para cada ordinal α, α < α . Demostraci´ on. iA : (A,
recordemos que A = A ∪ {x}, x ∈ / A,
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
95
Definici´ on 4.1.5. Dado un ordinal α, a α lo llamamos el sucesor de α. Esta definici´on est´a justificada debido al Teorema 4.1.23, ya que α es el n´ umero ordinal que le sigue inmediatamente a α, es decir, no existe un ordinal β = α y α tal que α < β < α . Proposici´ on 4.1.24. Sea (A,
Proposici´ on 4.1.25. Sea α = ord(A,
W (γ ) es un conjunto de n´umeros ordinales, as´ı que
γ ∈X
por el Teorema 4.1.19, (
W (γ ) , <) es bien ordenado con el orden usual
γ ∈X
de ordinales. Sea δ = ord(
W (γ ), <). Mostraremos que δ es cota supe-
γ ∈X
rior de X . Esto es porque para cualquier γ ∈ X , W (γ ) ⊆
γ ∈X
W (γ ) y por
96
N´ umeros ordinales
lo tanto, por el Teorema 4. 1.18 y 4. 1.21, γ = ord(W (γ ), <) ≤ ord(
W (γ ) , <) = δ,
γ ∈X
por lo que δ es cota superior de X . Ahora, el conjunto
{η | η es ordinal y γ ≤ η ≤ δ para toda γ ∈ X } es no vac´ıo (ya que δ pertenece a ´el) y por el Teorema 4.1.19, tiene m´ınimo que es precisamente el supremo de X . Nota 15. En el ejercicio 4.4 se pide demostrar que el supremo de X del Teorema 4.1.26 es justamente el ordinal δ dado en la demostraci´on. Teorema 4.1.27. Sea α = 0 un ordinal. Son equivalentes (1) α es ordinal l´ımite, (2) Para todo ordinal β , β < α =⇒ β < α, (3) α es el supremo de W (α). Demostraci´ on. (1) ⇒ (2) Sea β < α y supongamos que α ≤ β Entonces β < α ≤ β Por el Teorema 4.1.23, como α = β , entonces α = β . Pero esto u ´ltimo es imposible ya que, por hip´otesis, α es un ordinal l´ımite. Por lo tanto β < α. (2) ⇒ (3) 1o / α es cota superior de W (α), ya que, para toda β ∈ W (α) β < α. 2o / Supongamos que el ordinal γ es una cota superior de W (α). Probaremos que α ≤ γ . Si γ < α, entonces, por hip´otesis, γ < α, por lo que, por la definici´on de W (α), γ ∈ W (α) y esto implica que por ser γ cota superior de W (α), γ ≤ γ , lo que, evidentemente, es un absurdo, as´ı que α ≤ γ y por lo tanto α es el supremo de W (α). (3) ⇒ (1) No puede ser que α sea sucesor de alg´un ordinal β , ya que en este caso W (α) tendr´ıa como elemento m´ aximo a β , y por lo tanto ser´ıa el supremo de W (α), por lo que deber´ıa ser β = α, lo que es imposible, ya que α = β . Entonces α debe ser ordinal l´ımite. Nota 16. A cada ordinal α = ord(A,
§ 4.1 Conjuntos bien ordenados
97
cardinal y (A,
Este u ´ ltimo teorema nos dice que podemos identificar los cardinales finitos con los ordinales finitos, es decir, ord(n) = c(n) = n. Entonces la sucesi´ on de n´ umeros ordinales comenzar´ıa de la siguiente manera 0, 1, 2, 3, . . . , , , ( ) , . . . , 1 , 1 , (1 ) , . . . , 2 , 2 , (2 ) , . . . donde , 1 , 2 ,... son los primeros ordinales l´ımites y (i ) es el sucesor de i .
98
N´ umeros ordinales
Sea (A,
Dado un n´ umero ordinal α, denotamos por c(α) a la cardinalidad de un representante para el ordinal α, es decir, si α = ord(A,
Demostraci´ on.
(1) W (α ) = = = = = = =
{β |β es ordinal y β < α } {β |β es ordinal y c(β ) < ℵ α } {β |β es ordinal y c(β ) ≤ ℵα } {β |β es ordinal y c(β ) < ℵ α o c(β ) = ℵ α } {β |β es ordinal y c(β ) < ℵ α } ∪ {β |β es ordinal y c(β ) = ℵ α } {β |β es ordinal y β < α } ∪ {β |β es ordinal y c(β ) = ℵ α } W (α ) ∪ Z(ℵα ).
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
99
Teniendo en cuenta que la u ´ ltima uni´ on es ajena y tomando el cardinal de estos conjuntos en cada lado, obtenemos
|W (α )| = | W (α )| + |Z(ℵα )| c(α ) = c(α ) + |Z(ℵα )| ℵα = ℵ α + |Z(ℵα )|
Por lo tanto, por la Proposici´on 3.4.9
ℵα = m´ ax{ℵα , |Z(ℵα )|}
y como ℵα < ℵ α , entonces ℵα = | Z(ℵα )|.
(2) Debido a que Z(ℵα ) ⊆ W (α ), se tiene que
ord(Z(ℵα ), <) ≤ ord(W (α ), <) = α .
Si ord(Z(ℵα ), <) < α tendr´ıamos, por la definici´ on de α , que
c(Z(ℵα )) < ℵα ,
lo que es un absurdo ya que, por el inciso (1), c(Z(ℵα )) = ℵ α . Por lo tanto ord(Z(ℵα ), <) = α .
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales Introduciremos ahora la suma y producto de n´umeros ordinales. Es importante notar que esta suma y producto no tienen las mismas propiedades de las suma y producto de los n´umeros cardinales. Es m´as, veremos por ejemplo, que en general la suma no es conmutativa. Sin embargo en el caso concreto de los ordinales finitos ya hemos visto que podemos identificarlos con los n´ umeros cardinales finitos y veremos que esta identificaci´on se extiende a la suma, de tal manera que coinciden ambas sumas. Definici´ on 4.2.1. Sea (I,
i∈(I,< I )
i∈I
donde αi = ord(Ai ,
i∈I
a < b si y s´ olo si a
100
N´ umeros ordinales
En lo que sigue < indicar´ a el orden para la uni´on de conjuntos de la definici´ on anterior. Nota 17. Es importante hacer ver que la definici´ on de suma depende del orden en el conjunto ordenado I de ´ındices. As´ı que debemos tener mucho cuidado con este conjunto puesto que si damos otro orden < en I , entonces ser´a muy posible, como lo veremos m´as adelante, que las sumas correspondientes no sean iguales, es decir, la suma, en general, no es conmutativa. Justifiquemos ahora la definici´on de suma, es decir, Proposici´ on 4.2.1. (1) Para cada familia de n´ umeros ordinales { αi }i∈I existen representantes de cada uno de ellos que son ajenos dos a dos. (2) El orden < definido para la suma es un buen orden en Ai .
i∈I
(3) Si (Bi , <) ∼ = j, entonces = (Ai , <i ) donde Bi ∩ B j = ∅ si i ord(
Ai , <) = ord(
i∈I
Bi , < ).
i∈I
Demostraci´ on. (1) Basta tomar Bi = A i × {i} con el orden inducido por el de Ai , es decir (a, i) < (a , i) si y s´olo si a
i∈I
Es f´acil ver que el m´ınimo de C ∩ Am es el m´ınimo de C . (3) Queda como ejercicio.
En el caso particular de I = { 1, 2} con el orden usual 1 < 2, escribiremos simplemente α1 + α2 . En general Si I = { 1, 2, 3, . . . , n}, escribiremos α1 + α2 + . . . + αn y para I = N, con el orden usual, escribiremos
αi = α0 + α1 + α2 + α3 + . . .
i∈(N,≤)
Nota 18. Hemos visto (Teorema 4.1.20) que cada conjunto finito A admite un u ´nico buen orden (salvo isomorfismo), as´ı que si α = ord(A,
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
101
podemos ver que la suma de dos ordinales finitos coincide con la suma de n´umeros naturales, es decir, ord(n) + ord(m) = c(n) + c(m) = n + m. Por lo tanto si nos restringimos a la suma finita de ordinales finitos, esta suma es conmutativa. Sin embargo, en el caso en que alguno de los ordinales sea infinito, a´ un cuando se trate de una suma finita, esta propiedad no se cumple. Por ejemplo 1 + = y + 1 = . Teorema 4.2.2. Sean α, β y γ n´ umeros ordinales. Entonces (1) (α + β ) + γ = α + (β + γ ) (2) α < β ⇐⇒ existe γ = 0 tal que α + γ = β (3) α < β ⇐⇒ γ + α < γ + β (4) α < β =⇒ α + γ ≤ β + γ Demostraci´ on. Sean α = ord (A,
(2) Supongamos α < β y sea b ∈ B tal que (A,
(3) Supongamos α < β y sea f como en (2). Recordemos que el orden en C ∪ B est´a definido como sigue x < y ⇐⇒
x
102
N´ umeros ordinales
Entonces para b ∈ B, (C ∪ B)b = C ∪ Bb , por lo que la funci´ on F : (C ∪ A,
x
si x ∈ C
f (x) si x ∈ A f
es un isomorfismo y por lo tanto γ + α < γ + β donde (A,
f (x) si x ∈ A x
si x ∈ C
es un isomorfismo, donde ord(Bb ∪ C,
αb
b∈(B,< B )
donde ord(B,
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
103
Para cualesquiera ordinales α y β , se cumple que c(α · β ) = c(α) · c(β ) por lo siguiente c(α · β ) = c
αb
b∈(B,< B )
=
c(αb ) =
b∈(B,< B )
c(α) = c(α) · c(β ).
b∈(B,< B )
En el caso particular de n´ umeros naturales n y m se tiene que c(ord(n) · ord(m)) = = = =
c(ord(n)) · c(ord(m)) c(n) · c(m) c(n · m) c(ord(n · m)).
Por el Teorema 4.1.20, existe un ´unico conjunto bien ordenado finito (salvo isomorfismos) y al que hemos denotado por n si su cardinalidad es n. Entonces para cualesquiera m, n ∈ N, si c(ord(n)) = c(ord(m)), se puede afirmar que ord(n) = ord(m). Pero hemos visto que c(ord(n) · ord(m)) = c(ord(n · m)). Por lo tanto se debe tener que ord(n) · ord(m) = ord(n · m). Por lo tanto tambi´en en el caso del producto podemos utilizar sin lugar a confusi´on la notaci´ on n · m. En el ejercicio 4.11 se presenta otra manera de definir el producto de dos ordinales, usando el producto cartesiano de los representantes de cada uno de los ordinales y el orden antilexicogr´afico. Evidentemente podemos generalizar, sin ning´ un problema, el producto de dos ordinales al producto de un n´umero finito de ordinales. Sin embargo para un conjunto bien ordenado infinito de ordinales surgen complicaciones y por tal motivo no trataremos ese caso. Teorema 4.2.3. Sean α, β y γ n´ umeros ordinales. Entonces (1) (α · β ) · γ = α · (β · γ ), (2) α · (β + γ ) = α · β + α · γ , (3) α < β y γ = 0 =⇒ γ · α < γ · β , (4) α < β =⇒ α · γ ≤ β · γ , (5) γ · α = γ · β y γ = 0 =⇒ α = β .
104
N´ umeros ordinales
Demostraci´ on. Sean α = ord (A,
α · (β · γ ) =
αi ,
i∈(B ×C,
donde αi = α para toda i ∈ B × C . Para cada c ∈ C aparece el conjunto B × {c} que es isomorfo a B, as´ı que B aparece tantas veces como indica C con su orden. Entonces α · (β · γ ) = αi (con αi = α para toda i ∈ B × C )
i∈(B ×C,
=
αb
c∈(C,
(con αb = α para toda b ∈ B =
b∈(B,< B )
=
αb
y
b∈(B,
c
b∈(B,
c
αb
para cualesquiera c, c
)
∈ C .
c
(α · β )c (donde (α · β )c = α · β para toda c ∈ C )
c∈(C,
= (α · β ) · γ
(2) Consideramos B ∩ C = ∅
α · (β + γ ) =
α
i∈(B ∪C,
donde, recordamos
i∈(B ∪C,
i∈(B,< B )
= α · β + α · γ .
i∈(C,
(3) Sea α < β y γ = 0. Entonces por (2) del Teorema 4.2.2, existe δ =0 tal que α + δ = β , luego γ · (α + δ ) = γ · β , que es, por el inciso anterior, γ · α + γ · δ = γ · β y como γ · δ = 0 (Ejercicio 4.9), entonces γ · α < γ · β . (4) Sea α < β . Entonces α · γ est´a representado por un subconjunto ordenado de un representante de β · γ , luego por el Teorema 4.1.21, α · γ ≤ β · γ . (5) Es consecuencia inmediata de (3).
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
105
Nota 19. (i) En general el producto no es conmutativo 2· = 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + . . . = y · 2 = + = .
i∈(N,≤)
(ii) En general no vale la ley distributiva por la derecha ( + 1) · 2 = ( + 1) + ( + 1) = + (1 + ) + 1 = + + 1 = · 2 + 1 = · 2 + 2 = · 2 + 1 · 2. (iii) Un ejemplo del caso del inciso (4) del teorema anterior donde se da la igualdad ser´ıa 1 < 2 y sin embargo 1 · = 2 · ya que 1 · = 1 + 1 + 1 + . . . = y tambi´en 2 · = . Lema 4.2.4. Para cada conjunto A = ∅ de n´ umeros ordinales y cada n´ umero ordinal α se tiene que α + supA = sup {α + β | β ∈ A }. Demostraci´ on. Para cualquier β ∈ A se tiene que β ≤ supA y por lo tanto por (3) del Teorema 4.2.2 α + β ≤ α + supA para toda β ∈ A, por lo que α + supA es cota superior de {α + β | β ∈ A }. Veamos ahora que es la m´ınima Sea δ < α + supA. Si δ < α, entonces δ < α + β para cualquier β ∈ A, por lo que en este caso δ no puede ser cota superior de {α + β | β ∈ A}. Si δ ≥ α, entonces por (2) del Teorema 4.2.2, existe un ordinal γ tal que α + γ = δ . Entonces α + γ < α + supA, y por (3) del Teorema 4.2.2 resulta que γ < supA, lo que implica que existe ρ ∈ A tal que γ < ρ y por lo tanto δ = α + γ < α + ρ ≤ α + supA, por lo que δ no puede ser cota superior de {α + β | β ∈ A }. Por lo tanto α + supA = sup {α + β | β ∈ A }. Teorema 4.2.5. Sean α, β y γ n´ umeros ordinales tales que γ < α · β . Entonces existen n´ umeros ordinales η y δ unicos ´ tales que γ = α · η + δ donde η < β y δ < α. Demostraci´ on. Sean α = ord(A,
b∈(B,< B )
(
•
b∈(B,< B )
Ab , <Σ ) donde Ab ∩ A b = ∅ si b = b , (Ab ,
106
N´ umeros ordinales
<Σ es el orden dado en la definici´on 4.2.1. Como γ < α · β , entonces un representante de γ est´a dado por un segmento inicial de
•
Ab .
b∈(B,< B )
•
Esto es (C,
Ab )ab , <Σ ), donde ab ∈ Ab (el b0 −´esimo 0
0
b∈(B,< B )
0
ejemplar de A en la suma). Por la manera en que est´a definido el orden en
•
Ab se tiene que
b∈(B,< B )
•
C ∼ = (
•
Ab ) (Ab )ab .
b∈(Bb0 ,
Si definimos η = ord(
•
0
0
Ab , <Σ ) y δ = ord((Ab )ab ,
b∈(Bb0 ,
ces γ = α · η + δ , donde claramente η < β y δ < α.
0
Corolario 4.2.6. Cada n´ umero ordinal γ se puede expresar de la forma γ = · β + n para alg´ un ordinal finito n. Demostraci´ on. Aplicando el Teorema 4.2.5, basta exhibir un n´umero ordinal λ tal que γ < · λ. Sea λ = γ + 1. Multiplicando por γ a la derecha en la desigualdad 1 < tenemos, por (4) del Teorema 4.2.3 γ ≤ · γ < · γ + = · (γ + 1) = · λ. Nota 20. · β es ordinal l´ımite o´ cero. Entonces el Teorema 4.2.5 nos dice que todo n´umero ordinal infinito es la suma de un ordinal l´ımite y de un ordinal finito. Definiremos ahora la potencia de un n´umero ordinal. Lo m´ as natural ser´ıa definir, para dos n´ umeros ordinales α y β , la β potencia α como el producto de α, “β veces”. Sin embargo debido a que no hemos definido el producto de ordinales con un n´umero infinito de factores, nos vemos en la necesidad de introducir la definici´on de otra manera. Para esto utilizaremos el Teorema de Recursi´on Transfinita. Consideremos un n´ umero ordinal α = 0 fijo. Sea A el conjunto de todos los n´ umeros ordinales menores que un n´umero ordinal “muy grande”(lo que significa que se tomar´a tan grande como
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
107
sea necesario en cada aplicaci´on concreta). Sea O la clase de los n´umeros ordinales y sea G la funci´ on que a cada aplicaci´on f del segmento W (β ) de A en los ordinales le hace corresponder un n´umero ordinal de la siguiente manera1 1 si β = 0 f (γ ) · α si β = γ + 1 G(f ) = sup{f (γ ) | γ < β } si β es un ordinal l´ımite.
Por el Teorema de Recursi´ on Transfinita, existe una u ´nica funci´ on F α : A −→ O tal que a cada n´ umero ordinal β le hace corresponder un n´umero ordinal F α (β ) tal que para todo β , F α (β ) = G(F α |W (β ) ). Definici´ on 4.2.3. Sean α y β n´ umeros ordinales y F α la funci´ on construida en el p´ arrafo inmediato anterior a esta definici´ on. Definimos β
α =
F α (β ) si α =0 0
si α = 0.
Nota 21. Para α = 0, α β no se puede definir como F α (β ) ya que entonces se tendr´ıa 1 si β = 0 o´ β es un ordinal l´ımite, β 0 = F 0 (β ) = 0 si β es un sucesor.
que no es lo que uno esperar´ıa. Para α = 0, tenemos α0 = 1, αβ = αγ +1 = α γ · α para un ordinal β sucesor de γ , αβ = sup{αγ | α < β } para un ordinal l´ımite β . Analicemos algunos casos particulares Si β = ord(n) es un n´ umero natural, como es de esperarse para α = 0, β α es el producto de α con s´ı mismo n veces, es decir, αβ = α ord(n) = α · α · . . . · α.
n−veces
1A´ un cuando el codominio de una funci´on debe ser un conjunto en esta ocasi´on
hemos tomado la clase de los n´umeros ordinales para facilitar la escritura de la demostraci´ on, pues la imagen depender´a del dominio considerado. Adem´as en la Teor´ıa de Conjunto formal se puede demostrar que la imagen de G es un conjunto y entonces el Teorema de Recursi´on Transfinita es aplicable a A y G.
108
N´ umeros ordinales
Tomando cardinalidades tenemos que c(αn ) = c (α · α · α · . . . · α) = c(α) · c(α) · c(α) · . . . · c(α) = c(α)n .
n−veces
n−veces
Por lo anterior si adem´as α = ord(m), entonces
c(ord(m)ord(n) ) = c(mn ) y por el hecho de que hay un ´unico orden, salvo isomorfismos, definido en un conjunto finito, se tiene que ord(m)ord(n) = ord(mn ). Por lo tanto para el caso en que α y β son finitos, la potencia αβ coincide con la definida para n´ umeros cardinales, de manera que, como lo hemos hecho hasta ahora, directamente lo denotaremos por m . Por otro lado, por ejemplo, para α = 2 y β = , se tiene 2 = (ord(2)) = sup{2n | n ∈ N} = , as´ı que c(2 ) = c() = ℵ0 . Sin embargo c(2)c() = 2ℵ . En este caso entonces n
0
c(2 ) = ℵ 0 < 2 ℵ = c(2)c() por lo que la igualdad c(α)β = c(α)c(β ) no es verdadera en el caso en que el exponente es infinito. Por lo anterior en el caso en que β es infinito debemos tener cuidado en nuestra notaci´on ya que por ejemplo no es lo mismo 2 que 2ℵ puesto que en el primer caso estamos tratando con n´ umeros ordinales y en el segundo con n´umeros cardinales. Esto es, en general para α = ord(A,
0
Teorema 4.2.7. Sean α, β y γ n´ umeros ordinales. Si α = 0, 1 y β < γ , β γ β entonces α < α . Para α = 1, se tiene que α = 1. Demostraci´ on. Lo demostraremos por inducci´on transfinita sobre γ , considerando β fijo. Hip´ otesis de inducci´on. Supongamos que vale para todo δ < γ , es decir, β < δ implica αβ < αδ . Debemos demostrar que αβ < αγ . Sea β < γ . Se presentan tres casos (1) γ = 0. En este caso no hay nada que demostrar. (2) γ = δ + 1. Como β < γ , entonces β ≤ δ y usando la hip´otesis de inducci´ on, tenemos, que αβ ≤ αδ < αδ · α = α δ+1 = α γ . (3) γ es un ordinal l´ımite. En este caso β < γ implica (β + 1) < γ , luego por la definici´on de αγ en este caso αγ = sup{αµ | µ < γ } ≥ α β +1 = α β · α > αβ .
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales Por u ´ ltimo, es claro que para α = 1, αβ = 1.
109
Lema 4.2.8. Para cada n´ umero ordinal α = 0 y cada conjunto X no vac´ıo de n´ umeros ordinales se tiene αsup X = sup{αβ | β ∈ X }, donde sup X denota el supremo de X . Demostraci´ on. Para todo γ ∈ X es cierto que γ ≤ sup X , y por el Teorema 4.2.7, αγ ≤ αsup X , por lo que αsup X es cota superior de {αβ | β ∈ X }. Veamos ahora que es la m´ınima cota superior Sea δ < αsup X . Demostraremos que en cualquiera de los tres casos que se pueden presentar, para sup X , que sea 0, un sucesor o un n´umero limite, δ no es cota superior de {αβ | β ∈ X }. (1) sup X = 0. Entonces debe ser X = {0}. Como α0 = 1, entonces la u ´ nica posibilidad para que δ < αsup X = α0 = 1 es que δ = 0 que evidentemente no es cota superior de {αβ |β ∈ X } = { 1}. (2) sup X = µ + 1. En este caso, evidentemente sup X ∈ X y por lo tanto αsup X ∈ {αβ |β ∈ X }, lo cual implica que δ no es cota superior de {αβ |β ∈ X }. (3) sup X es un ordinal l´ımite. Entonces, por definici´ on, αsup X = sup{αβ | β < sup X } as´ı que δ < αsup X = sup{αβ | β < sup X } implica que existe un ordinal β < sup X tal que δ < αβ . Pero si β < sup X , entonces existe γ ∈ X tal que β < γ por lo que, αβ ≤ αγ (la igualdad se da en el caso α = 1). Finalmente, se tiene entonces que δ < αγ para alguna γ ∈ X , por lo que δ no puede ser cota superior de {αβ |β ∈ X }. En los tres casos hemos demostrado que δ no puede ser cota superior de {αβ |β ∈ X }. Por lo tanto, αsup X es la m´ınima cota superior de {αβ |β ∈ X }, es decir, αsup X = sup{αβ |β ∈ X }. Lema 4.2.9. Para cada conjunto X de n´ umeros ordinales y para cualquier ordinal α, α · sup X = sup{α · β | β ∈ X }.
110
N´ umeros ordinales
Demostraci´ on. α · sup X es cota superior de {α · β | β ∈ X } ya que β ≤ sup X implica que α · β ≤ α · sup X por (3) del Teorema 4.2.3. Veamos ahora que es la m´ınima cota superior. Sea δ < α · sup X . Por el Teorema 4.2.5, existen ordinales µ y ρ tales que δ = α · µ + ρ, donde µ < sup X y ρ < α. Como µ < sup X , existe σ ∈ X tal que µ < σ, luego µ + 1 ≤ σ, y por (3) del Teorema 4.2.3, α(µ + 1) ≤ α · σ. Entonces δ = α · µ + ρ < α · µ + α = α(µ + 1) ≤ α · σ. Como σ ∈ X , esto implica que δ no es cota superior de {α · β | β ∈ X }. Por lo tanto, α · sup X es la m´ınima cota superior de {α · β | β ∈ X }, es decir, α · sup X = sup{α · β | β ∈ X }. Lema 4.2.10. Si α es un ordinal y α = 0, entonces para todo ordinal β , β α = 0. Demostraci´ on. Ejercicio 4.12.
Teorema 4.2.11. Sean α, β y γ n´ umeros ordinales. Entonces β γ β +γ (1) α · α = α (2) (αβ )γ = αβ ·γ Demostraci´ on. Los dos resultados son claros para α = 0, as´ı que supongamos α = 0, y en este caso tendremos, por el Lema 4.2.10, que αβ = 0 para todo ordinal β . (1) Por inducci´on sobre γ . Supongamos que para δ < γ se tiene que αβ αδ = α β +δ . Consideramos los tres casos posibles para γ . (i) γ = 0. Entonces αβ · α0 = α β · 1 = α β = α β +0 (ii) γ = δ + 1 y por lo tanto δ < γ . Entonces αβ ·αγ = α β ·αδ+1 = α β ·αδ ·α = α β +δ ·α = α (β +δ)+1 = α β +(δ+1) = α β +γ . (iii) γ ordinal l´ımite. Entonces αβ · αγ = αβ · sup{αδ | δ < γ } = sup{αβ · αδ | δ < γ } (Lema 4.2.9) β +δ = sup{α | δ < γ } (hip´otesis de inducci´on) = αsup{β +δ|δ<γ } (Lema 4.2.8) = αβ +sup{δ|δ<γ } (Lema 4.2.4) = αβ +γ . (2) Nuevamente por inducci´on sobre γ . Supongamos que para δ < γ se tiene que (αβ )δ = αβ ·δ . Veamos cada uno de los tres posibles casos para γ .
§ 4.2 Suma y producto de n´ umeros ordinales
111
(i) γ = 0. Entonces (αβ )0 = 1 = α 0 = α β ·0 . (ii) γ = δ + 1, por lo que δ < γ . Entonces (αβ )γ = = = = = =
(αβ )δ+1 (αβ )δ · αβ (inciso (1)) αβ ·δ · αβ (hip´otesis de inducci´on) β ·δ +β α (inciso (1)) αβ (δ+1) (Teorema 4.2.3 inciso (2)) β ·γ α .
(iii) γ un ordinal l´ımite. Entonces (αβ )γ = sup{(αβ )δ | δ < γ } = sup{αβ ·δ | δ < γ } (hip´otesis de inducci´on) = αsup{β ·δ|δ<γ } (Lema 4.2.8) = αβ ·sup{δ|δ<γ } (Lema 4.2.9) = αβ ·γ .
En general no es cierto que αγ · β γ = (α · β )γ . Por ejemplo 2 · 2 = 2 (2 · 2) puesto que (2 · 2) = 4 = y 2 · 2 = · = = . Teorema 4.2.12. Sea ξ > 1 un ordinal fijo. Entonces cada n´ umero ordinal α > 0 se expresa de manera ´ unica como α = ξ ν · η0 + ξ ν · η1 + . . . + ξ ν r · ηr , donde r es finito, ν 0 > ν 1 > .. . > ν r ≥ 0 y 0 < η0 , η1 , . . . , ηr < ξ . 0
1
Demostraci´ on. Para demostrar este teorema probaremos primero las siguientes afirmaciones. Dado un n´ umero ordinal α (A) Existe un n´ umero ordinal β 0 tal que α < ξ β el cual es m´ınimo con esta propiedad. Basta demostrar que existe por lo menos un ordinal γ tal que α < ξ γ , ya que del conjunto de los γ con esta propiedad podemos tomar el m´ınimo. Demostraremos que α < ξ α+1 por inducci´ on transfinita sobre α. Supongamos que para todo δ < α, es cierto que δ < ξ δ+1 (1) Si α = 0, entonces evidentemente 0 < ξ 0+1 = ξ . (2) Si α = δ +1, entonces, por hip´otesis de inducci´on, como δ < α, se tiene que δ < ξ δ +1 = ξ α , lo que implica δ + 1 ≤ ξ δ+1 . Entonces 0
α = δ + 1 ≤ ξ δ+1 < ξ δ+1 · ξ = ξ δ+2 = ξ α+1 . (3) Si α es ordinal l´ımite, entonces, por hip´otesis de inducci´on, para cualquier ordinal δ < α se tiene que δ < ξ δ+1 . Entonces para cualquier δ < α
112
Numeros u ´ meros ordinales
se tiene +1 +1|γ<α } δ < ξ δ+1 ≤ sup {ξ γ +1 = ξ sup{γ +1 = ξ sup{γ |γ<α } = ξ α | γ < α} = ξ
donde la pen´ ultima igualdad se da porque α ultima porque α es es ordi o rdinal nal l´ımite. ımi te. Por lo l o tanto t anto ξ α es co cota ta supe superi rior or de {γ | γ < α} cuy cuyo supr suprem emoo es α. Entonces α ≤ ξ α < ξ α+1 . (B ) El ordinal β 0 de (A), que es el m´ınimo con la propiedad propiedad α < ξ β , debe ser sucesor de alg´un un ordinal ν 0 , es decir, β 0 = ν 0 + 1. 0 β 0 = α . Tampoco puede ser ordinal l´ımite, ya que si lo 0 ya que ξ = 1 ≤ α. fuera, por la minimalidad de β 0 se tend tendrr´ıa que que ξ δ ≤ α para α para todo δ < β 0 y por lo tanto ξ β ≤ α, α , lo que es una contradicci´on. on. 0
0
Probemos ahora el teorema. Como α < ξ β = ξ ν · ξ , por el Teorema 4.2.5, existen ordinales unicos u ´ nicos ν ν η0 y α1 tales que α = ξ · η 0 + α 1 donde η0 < ξ y α1 < ξ . Adem´ as as ν η0 > 0, pues si η0 = 0, se tendr tend r´ıa α = α1 < ξ ≤ α, donde la segunda desigualdad es debido a que β 0 es el m´ınimo tal que α < ξ β y ν 0 < β 0 . As´ı lleg ll egar´ ar´ıam amos os a que qu e α < α que es un absurdo. Si α1 = 0 aqu´ aqu´ı terminamos y en este caso r = 0 y 0 < 0 < η0 < ξ . Si α1 > 0, repetimos rep etimos el proceso anterior, es decir, tomamos el m´ınimo ordinal β 1 tal que α1 <ξ β y como antes, se tiene que β 1=ν 1+1 para alg´ un un ordinal ν 1 . Claramente ν 0 > ν 1 y ξ ν ≤ α1 < ξ ν +1 = ξ ν · ξ . Volviendo a aplicar el Teorema 4.2.5, existen η existen η 1 y α 2 tales que α que α 1 = ξ ν · η1 + α2 donde 0 < η1 < ξ y α2 < ξ η . Entonces α = ξ = ξ ν · η0 + ξ ν · η1 + α2 , donde ν 0 > ν 1 y 0 < η0 , η1 < ξ . Mientras tengamos αi = 0, repetimos este proceso. As´ As´ı pues tenemos una representaci´ on on de α α = ξ = ξ ν · η0 + ξ ν · η1 + . . . + ξ ν i · ηi + αi+1 , 0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
donde ν 0 > ν 1 > .. . > ν i ≥ 0 y para j = 0,...,i, ,...,i, 0 < η j < ξ . Afirmamos que para alguna j finita, α j +1 = 0. F´ acilmente acilmente se ve que α = α0 > α1 > α2 > . . . , as´ as´ı que conside cons iderand randoo el conjunto de las αi que son distintas de cero llegamos a la conclusi´on on de que este conjunto debe ser finito (la prueba de ello se deja al lector y corresponde corresponde al ejercicio ejercicio 4.10). 4.10). Por lo tanto tanto si el m´ınimo distinto distinto de cero es αr , donde r es finito, entonces αr+1 = 0 y α = ξ = ξ ν · η0 + ξ ν · η1 + . . . + ξ ν r · ηr 0
1
donde ν 0 > ν 1 > ... > ν r ≥ 0 y 0 < ηi < ξ para para i = 0, . . . , r. r.
§ 4.2 4.2 Suma Suma y produ producto cto de de n´ umeros ordinales
113
Unicidad. Supo Unicidad. Supongamos ngamos que tambi´en en se tiene que µ µ µm α = ξ = ξ · ρ0 + ξ · ρ1 + . . . + ξ · ρm donde m es finito, 0
1
µ0 > µ1 > .. . > µm ≥ 0 y 0 < ρi < ξ para para i = 0,...,m. ,...,m. Primero demostraremos por inducci´ on on finita sobre m que α < ξ µ 1) Si m = 0, entonces α = ξ = ξ µ · ρ0 < ξ µ · ξ = ξ µ +1 . 2) Supongamos cierto el resultado para m − 1. Entonces
0
0
α = ξ = ξ µ < ξ µ = ξ µ ≤ ξ µ
0
0 0 0
0
+1
0
· ρ0 + (ξ µ · ρ1 + . . . + ξ µm · ρm ) · ρ0 + ξ µ +1 ≤ ξ µ · ρ0 + ξ µ · (ρ0 + 1) · ξ = ξ µ +1 . 1
1
0
0
0
Por lo tanto α < ξ µ +1 . Usando el hecho de que 0
ξ µ
0
+1
> α ≥ ξ µ · ρ0 ≥ ξ µ 0
0
y por la manera en que se eligi´o ν 0 , es decir, decir, m´ınimo con la propiedad propiedad ξ ν +1 > α, debe ser ν 0 = µ 0 , as´ı que qu e 0
α = ξ = ξ ν · η0 + δ 1 = ξ ν · ρ0 + δ 2 0
0
donde δ 1 = ξ ν · η1 + · · · + ξ ν r · ηr , δ 2 = ξ µ · ρ1 + · · · + ξ µm · ρm y adem´as as ν +1 ν µ +1 µ ν δ 1 < ξ ≤ ξ , δ 2 < ξ ≤ ξ = ξ y η0 , ρ0 < ξ . Aplicando la unicidad de la representaci´on on en el Teorema 4.2.5, obtenemos δ 1 = δ 2 y η0 = ρ 0 . Repitiendo el proceso se obtiene el resultado, es decir, r = m, m , ηi = ρ i y ν i = µ i para i = 0, . . . , m. m. 1
1
1
0
1
0
0
Corolario 4.2.13. Corolario 4.2.13. Cada n´ umero ordinal α α > 0 admite 0 admite una representaci´ on α = 2ν + 2ν + · · · + 2ν r , 0
1
donde ν 0 > ν 1 > .. . > ν r ≥ 0. 0 . Demostraci´ on. on. En el Teorema 4.2.12 tomamos ξ ξ = 2 y por lo tanto ηi = 1 para i = 0, . . . , r. r. Corolario 4.2.14. Corolario 4.2.14. Cada n´ umero ordinal α α > 0 admite 0 admite una representaci´ on α = = ν · η0 + ν · η1 + . . . + ν r · ηr 0
1
donde r es finito, ν 0 > ν 1 > . . . > νr ≥ 0 y ηi ∈ N para i = 1, . . . , r. r. Adem´ as ν 0 , ν 1 , . . . , νr son finitos si y s´ olo si α < .
114
Numeros u ´ meros ordinales
Demostraci´ on. Si on. Si ν entonces α < ν +1 < . Inversamente, ν 0 es finito, entonces α si α si α < , entonces para el m´ınimo ordinal ζ ordinal ζ (= (= ν ν 0 +1) tal que α que α < ζ se tiene que ζ ≤ . Pero como ya hemos visto que no puede ser un ordinal l´ım ımit ite, e, entonce ento ncess ζ debe ζ debe ser finito y por lo tanto ν 0 , ν 1 , . . . , νr tam t ambi bi´´en en lo son. 0
Nota 22. En la representaci´on on del Teorema 4.2.12, ν 0 no tiene que ser necesariam necesariament entee estrictamen estrictamente te menor menor que α, por ejemplo = 2 . Sin embargo s´ı podemos po demos afirmar que ν 0 no puede ser mayor que α pues como α < α + 1 y ν 0 + 1 es el m´ınimo con esta propiedad, entonces ν 0 ≤ α. α .
§ 4.3 Represe Represen ntantes tantes para para n´ umeros ordinales seg´ umeros un un von Neumann
Cuando se trabaja con clases, siempre es conveniente encontrar representantes sentantes para estas clases que sean lo m´as as simple posible. von Neumann concibi´ o el n´ umero umero ordinal α ordinal α como como el conjunto de todos los ordinales menores que α que α.. El E l caso ca so aqu aq u´ı es que ya conocemos cono cemos los n´umeros umer os ordinale ordi nales, s, as´ as´ı que para cada n´ umero umero ordinal α, daremos un conjunto denotado por rep( rep(α) que represente a α. Definiremos por recursi´ on transfinita esta “funci´on” on on” rep( rep( ), es decir, construiremos una funci´on on rep( rep( ): clase clase de todos los los ordinal ordinales es −→ clase de todos los conjuntos
Antes de definir esta “funci´on” rep on” rep(( ), construiremos una correspondencia entre n´ umeros ordinales y conjuntos que, aunque no sea una funci´on umeros formalmente hablando pues ni el dominio ni el codominio son conjuntos, su comportamiento es como el de funci´on on y se puede decir esto mismo sobre la correspondencia que existe cuando se aplica el Teorema de Recursi´ on Transfinita. Si denotamos por O la clase de todos los ordinales y por on on on que a cada aplicaci´on on C la clase de todos los conjuntos, sea G la funci´ f : W ( W (α) −→ −→ C , le hace corresponder el conjunto G(f ) f ) = { f ( f (β ) | β ∈ W ( W (α)} (= I (= I m(f )). )). Por Por el Teorema eorema de Recurs Recursi´ i´ on on Transfin ransfinita ita,, existe existe una funci´ funci´ on on unica u ´nica ϕ : O −→ C tal que ϕ(α) = G G((ϕ|W ( W (α)). Esto es ϕ(α) = rep r ep((α) = { rep( rep(β ) | β < α}. Ejemplo 4.3.1. (1) rep(0) rep(0) = ∅.
Representan tantes tes para para n´ umeros umeros ordinales seg´ un un von Neumann 115 § 4.3 Represen (2) rep(1) rep(1) = { ∅} (3) rep(2) rep(2) = { ∅, {∅}}. (4) rep(3) rep(3) = { ∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Veamos que esta representaci´ represe ntaci´on on es efectivamente efecti vamente biyectiva y adem´as as veremos c´omo omo podemos recuperar el n´ umero umero ordinal α ordinal α a partir del conjunto rep( rep(α). Antes de ver esto, demostremos el siguiente lema Lema Lema 4.3.1. Para todo n´ umero ordinal α, rep( rep(α) ∈ / rep r ep((α). Demostraci´ on. Por on. Por inducci´ on on transfinita sobre α. Hip´ otesis otesis de inducci´on: on: Para cada β < α, rep( rep(β ) ∈ / rep r ep((β ). ). Si se tuviera que rep( rep(α) ∈ rep( rep(α) = {rep( rep(β ) | β < α} exi ex istir´ıa β < α tal que rep que rep((β ) = rep r ep((α) y como rep como rep((β ) ∈ rep r ep((α), entonces rep entonces rep((β ) ∈ rep r ep((β ) lo que contradice la hip´otesis otesis de inducci´on. on. Teorema Teorema 4.3.2. (1) α < β si si y s´ olo si rep( rep(α) rep( rep(β ) (y por lo tanto rep( rep( ) es inyectiva), (2) α < β si si y s´ olo si rep( rep(α) ∈ rep r ep((β ), (3) (rep (rep((α), ∈) es un conjunto bien ordenado y ord( ord(rep( rep(α), ∈) = α. α . Demostraci´ on. on. (1) Si α < β , entonces rep( rep(α) = { rep( rep(γ ) | γ < α} ⊆ {rep( rep(γ )| γ < β } = r = rep ep((β ). Claramente no se puede dar la igualdad porque rep( rep(α) ∈ rep( rep(β ) y si este ultimo u ´ ltimo fuera igual a rep( rep(α), entonces se tendr´ tendr´ıa que rep( rep(α) ∈ rep r ep((α) que por el Lema 4.3.1, no puede ser. Entonces rep( rep(α) rep( rep(β ). ). Ahora supongamos que rep (α) rep (β ). ). Si se tuviera que β ≤ α tend tendrr´ıamo ıamoss ento entonc nces es,, por por lo que que ac acab abaamo moss de demo demosstra trar, que rep (β ) ⊆ rep (α) rep (β ), ), es decir, rep( rep(β ) rep( rep(β ) que es imposible. Entonces debe ser α < β . (2) Si α < β , es inmediato que rep( rep(α) ∈ rep( rep(β ). ). Inversamente, supongamos que rep( rep(α) ∈ rep( rep(β ) = {rep( rep(γ ) | γ < β }. Entonces existe un ordinal γ < β tal tal que rep( rep(α) = rep r ep((γ ), ), lo que implica por (1) que γ = α, α , y as´ı α < β . (3) Hemos demostrado en (1) que la funci´ on on rep( rep( ) es inyectiva, y por (2), se tiene entonces que (rep (rep((α), ∈) es isomorfo a ({β | β < α}, <) = (W ( W (α), <). Pero el conjunto bien ordenado (W (W ((α), <) es representante de α (Teorema 4.1.18). Por lo tanto ord( ord(rep( rep(α), ∈) = ord or d(W ( W (α), <) = α. α .
116
N´ umeros ordinales
Corolario 4.3.3. (rep(α), ∈) es un conjunto bien ordenado. Veamos ahora, c´omo se simplifican muchos conceptos sobre n´umeros ordinales, usando la representaci´on de von Neumann Teorema 4.3.4. (1) rep(α + 1) = rep(α) ∪ {rep(α)}, (2) α es ordinal l´ımite o cero si y s´ olo si rep(α) =
rep(β ),
β<α
(3) α es finito si y s´ olo si (rep(α), ∈) es doblemente bien ordenado. Demostraci´ on. (1) rep(α + 1)={rep(β ) | β < α + 1} ={rep(β )| β ≤ α } ={rep(β )| β < α} ∪ {rep(α)} =rep(α) ∪ {rep(α)}. (2) Para cualquier n´ umero ordinal α, siempre es verdadera
rep(β ) ⊆ rep(α),
β<α
sea α ordinal l´ımite o no. Sin embargo, en el caso en que α es ordinal l´ımite, se tiene que β < α implica β + 1 < α. Entonces rep(β ) ∈ rep(β + 1) ⊆ rep(γ ). As´ı que
rep(β ) ∈ rep(α) implica rep(β ) ∈
γ<α
rep(γ ). Por lo tanto
γ<α
rep(α) ⊆
rep(γ ) ⊆ rep(α)
γ<α
y de aqu´ı se tiene la igualdad. Inversamente, si rep(α) =
rep(β ), α no puede ser sucesor, ya que si
β<α
α = δ +1 para alg´ un ordinal δ , teniendo en cuenta que
γ<δ
rep(α) =
rep(γ )
γ<α =δ +1
=
rep(γ )
γ ≤δ
=
rep(γ )
rep(δ )
γ<δ
= rep(δ ) = rep(α),
rep(γ ) ⊆ rep(δ )
§ 4.3 Representantes para n´umeros ordinales seg´un von Neumann 117 donde la u ´ ltima igualdad se da porque
rep(γ ) ⊆ rep(δ ). Esto es, si α
γ<δ
es sucesor, la uni´on de los representantes anteriores es el representante de α − 1. Por lo tanto α debe ser ordinal l´ımite o cero. (3) α es finito si y s´olo si W (α) es finito y W (α) es finito si y s´olo si (W (α), <) es doblemente bien ordenado, pero como (W (α) , <) ∼ = (rep (α) , ∈) , visto en la demostraci´ o n del inciso (3) del Teorema 4.3.2, entonces (rep(α), ∈) es doblemente bien ordenado. Lo que hemos hecho hasta ahora es que, a cada n´umero ordinal α, le hemos asociado un conjunto que denotamos rep(α). Si para estos con juntos no hubi´eramos usado el concepto de ordinal, ellos servir´ıan para desarrollar una teor´ıa de los n´ umeros ordinales. Sin embargo, daremos una caracterizaci´on de estos conjuntos donde no intervenga el concepto de n´umero ordinal y entonces estos conjuntos podr´ıan servir para definir a los n´ umeros ordinales. Esta caracterizaci´on es la siguiente: Teorema 4.3.5. Un conjunto C es un conjunto representante para un n´ umero ordinal si y s´ olo si satisface (1) C es un conjunto transitivo, esto es, si x ∈ y y y ∈ C , entonces x ∈ C . (2) (C , ∈) es un conjunto bien ordenado. Demostraci´ on. ⇒) Sea C un conjunto tal que C = rep(α) para alg´ un n´ umero ordinal α. Debemos demostrar que C satisface las propiedades (1) y (2). (1) Si rep(β ) ∈ rep(γ ) y rep(γ ) ∈ C = rep(α), entonces, por (2) del Teorema 4.3.2, se tiene que β < γ < α. Por lo tanto β < α y as´ı rep(β ) ∈ rep(α) = C . (2) Es el Corolario 4.3.3.
⇐)Inversamente, sea C un conjunto que satisface (1) y (2). Por (2), (C , ∈) es un conjunto bien ordenado. Sea α = ord(C , ∈), demostraremos por inducci´ on transfinita que C = rep(α). Hip´ otesis de inducci´on: Supongamos que la afirmaci´on es verdadera para todos los conjuntos D con las propiedades (1) y (2) tales que si ord(D , ∈) = β < α, entonces D = rep(β ). Por demostrar que C = rep(α), donde α = ord(C , ∈).
118
N´ umeros ordinales
Afirmamos que cada c ∈ C es un conjunto que satisface tambi´en las condiciones (1) y (2) con ord(c, ∈) < α. Veamos que c es transitivo Supongamos que c1 ∈ c2 y que c2 ∈ c. Como c ∈ C y C es transitivo, entonces c1 , c2 ∈ C , y como ∈ es un orden, entonces c1 ∈ c. Por lo tanto c es transitivo. Para ver que (c, ∈) es bien ordenado basta demostrar que c = C c , es decir, c es el segmento inicial de C determinado por c, C c
= { d ∈
C
| d < c} = { d | d ∈ c } = c.
Entonces (c, ∈) = (C c , ∈) es bien ordenado por ser un subconjunto del conjunto bien ordenado (C , ∈) y por ser segmento inicial, se tiene γ = ord(c, ∈) = ord(C c , ∈) < ord(C , ∈) = α y como c = C c satisface (1) y (2), por hip´otesis de inducci´on C c = rep(γ ). Esto nos indica que C ⊆ {rep(γ ) | γ < α}. Por otro lado cada γ < α determina un segmento C c en (C , ∈) con ord(C c , ∈) = γ , es decir, ord(c, ∈) = γ y esto es c = rep(γ ), por lo que rep(γ ) ∈ C . Entonces C = { rep(γ ) | γ < α} = rep(α). Con esta caracterizaci´on de los conjuntos representantes se puede desarrollar una teor´ıa de n´ umeros ordinales en funci´on de estos representantes. En esta teor´ıa un n´umero ordinal en el sentido de von Neumann (s.v .N.) se define como un conjunto que satisface las propiedades (1) y (2) del Teorema 4.3.5 y a partir de aqu´ı se desarrolla la teor´ıa de ordinales en la que se demuestra que cada conjunto bien ordenado es isomorfo a un u ´ nico n´ umero ordinal en el sentido de von Neumann. En particular, cada conjunto (que sabemos que puede bien ordenarse por el axioma de Elecci´on) es equipotente a un n´umero ordinal s.v .N., luego por el buen orden de los n´umeros ordinales, para cada conjunto A, existe un m´ınimo n´umero ordinal s.v .N equipotente a A. A este n´ umero se le llama la cardinalidad de A , s.v .N . Si denotamos por cardv. N A a esta cardinalidad, entonces A1 es equipotente a A2 si y s´olo si cardv. N. A1 = cardv. N. A2 . Sin embargo debemos tener cuidado al identificar cardinales con ciertos n´ umeros ordinales y n´ umeros ordinales con ciertos conjuntos con respecto a las operaciones aritm´eticas debido a que la suma ordinal de n´ umeros ordinales iniciales, en general no es un n´umero ordinal inicial y en particular no es el n´ umero ordinal de la suma cardinal correspondiente. Por ejemplo ω1 + ω = ω1 y cardω1 + cardω = ℵ1 + ℵ0 = ℵ1 , ord(cardω1 + cardω) = ord(ℵ1 ) = ω1 .
§ 4.3 Representantes para n´umeros ordinales seg´un von Neumann 119 An´ alogamente la potencia ordinaria de dos n´ umeros ordinales no tiene como representante, en el sentido de von Neumann la potencia conjuntista de los respectivos representantes (s.v .N.). Por ejemplo rep(1)1 = rep(1) = { ∅}, mientras que rep(1)rep(1) ={f | f : rep(1) → rep(1)} ={f | f : { ∅} → {∅}} ={{(∅, ∅)}} ⊆ P ({∅} × {∅}) En cuanto a la aritm´etica de los n´ umeros naturales, puede desarrollarse en esta teor´ıa definiendo un n´ umero ordinal s.v .N. C tal que (C , ∈) es doblemente bien ordenado. Para desarrollar esta teor´ıa, particularmente para la aritm´etica de los n´umeros naturales, la condici´on (2) del Teorema 4.3.5, puede expresarse de otra manera, evitando as´ı el concepto de buen orden, teniendo en cuenta el siguiente lema Lema 4.3.6. Sea C un conjunto. Son equivalentes (1) (C , ∈) es un conjunto bien ordenado. (2) (C , ∈) satisface a) Para cada c1 , c2 ∈ C , c1 = c 2 si y s´ olo si c1 ∈ c 2 o c2 ∈ c1 , b)Para cada D ⊆ C , D = ∅ implica que existe d0 ∈ D tal que d0 ∩ D = ∅. Demostraci´ on. (1) ⇒ (2) Sea (C , ∈) bien ordenado. Entonces (a) se satisface obviamente. Para demostrar (b), sea D ⊆ C y D = ∅. Sea d0 el m´ınimo de D respecto al orden ∈. Evidentemente ning´ un elemento de D puede ser elemento de d0 , esto es, d0 ∩ D = ∅. (2) ⇒ (1) Primero veremos que ∈ es un orden total. 1◦ / Por (a) cualesquiera dos elementos distintos son comparables. 2◦ / c ∈ / c ∀ c ∈ C . Supongamos que c ∈ c y sea D = {c}. Como D = ∅, por (b) existe d0 ∈ D tal que d0 ∩ D = ∅. Pero d0 = c y como por hip´otesis c ∈ C , entonces c ∈ c ∩ {c} = d0 ∩ D = ∅ lo que es un absurdo. Entonces c ∈ /c ∀ c ∈ C . 3◦ / ∈ es transitiva sobre C . Sean c1 , c2 , c3 ∈ C tales que c1 ∈ c 2 y c2 ∈ c 3 . Debemos demostrar que c1 ∈ c3 . Sea D = {c1 , c2 , c3 }. Por (b) existe d0 ∈ D tal que d0 ∩ D = ∅.
120
N´ umeros ordinales
Como c1 ∈ c2 ∩ D y c2 ∈ c3 ∩ D , entonces la ´unica posibilidad para d0 es que d0 = c1 . c1 = c3 (ya que si c1 = c3 se tendr´ıa que c2 ∈ c3 ∩ D = c1 ∩ D = d0 ∩ D = ∅ que es un absurdo) y c3 ∈ / c1 (ya que si c3 ∈ c1 , entonces se tendr´ıa que c3 ∈ c 1 ∩ D = d 0 ∩ D = ∅ que es un absurdo). Por lo tanto, por (a), c1 ∈ c 3 . Por u ´ ltimo veamos que ∈ es un buen orden. Sea D ⊆ C y D = ∅. Por (b) sea d0 ∈ D tal que d0 ∩ D = ∅. Esto significa que para todo d ∈ D con d = d 0 se tiene, por la comparabilidad, que d0 ∈ d. Como esto es para todo d ∈ D con d = d0 , entonces d0 debe ser el m´ınimo de D , lo que muestra que ∈ es un buen orden. Para finalizar, presentamos a continuaci´ on un muy breve desarrollo de la teor´ıa de n´umeros ordinales utilizando el concepto de n´ umero ordinal en el sentido de von Neumann. La demostraci´on de los siguientes dos lemas se puede ver en la demostraci´ on del Teorema 4.3.5. Lema 4.3.7. Cada elemento de un n´ umero ordinal, s.v.N., es un n´ umero ordinal s.v.N.. Lema 4.3.8. Para un n´ umero ordinal s.v.N. segmento inicial de (C , ∈). Demostraci´ on. V´ease que
C c
= { x ∈
C
C ,
cada c ∈ C es igual a un
| x ∈ c} = c.
Lema 4.3.9. Para dos n´ umeros ordinales s.v.N. morfo a (C , ∈), entonces C = C .
C
y C , si (C , ∈) es iso-
Demostraci´ on. Sea ϕ : (C , ∈) −→ (C , ∈) un isomorfismo. Demostraremos que ϕ(c) = c para todo c ∈ C y entonces se tendr´a que C = C . Supongamos que U = { c ∈ C | ϕ(c) = c} = ∅ y sea c0 ∈ C el m´ınimo de U . Entonces para todo d ∈ C c (el segmento inicial determinado por c0 ) se tiene que ϕ(d) = d, por lo que C c = ϕ(C c ) = C ϕ (c ) . Por el Lema 4.3.8, C c = c 0 y C ϕ (c ) = ϕ(c0 ). Por lo tanto ϕ(c0 ) = c 0 , lo que contradice la elecci´ on de c0 . Por lo tanto U = ∅ y as´ı ϕ(c) = c para todo c ∈ C , lo que significa que C = ϕ(C ) = C . 0
0
0
0
0
0
Teorema 4.3.10. La relaci´ on C 1 < C 2 si y s´ olo si C 1 ∈ ordinales s.v.N es una relaci´ on de orden total.
C 2 para
n´ umeros
§ 4.3 Representantes para n´umeros ordinales seg´un von Neumann 121 Demostraci´ on. (i) Para un n´ umero ordinal s.v .N. C no se puede dar C ∈ C ya que si as´ı fuera, un elemento de C (que es C mismo) estar´ıa relacionado (con respecto a ∈) consigo mismo lo que no puede ser ya que ∈ es un orden total. Por lo tanto C ∈ / C . (ii) Si C 1 , C 2 y C 3 son n´ umeros ordinales tales que C 1 ∈ C 2 y entonces debido a que C 3 es transitivo, se tiene que C 1 ∈ C 3 .
C 2
∈
C 3 ,
(iii) Sean C 1 y C 2 n´umeros ordinales s.v .N tales que C 1 = C 2 y consideramos los conjuntos bien ordenados ( C 1 , ∈) y (C 2 , ∈). (C 1 , ∈) y (C 2 , ∈) no pueden ser isomorfos ya que si lo fueran por el Lema 4.3.9, se tendr´ıa que C 1 = C 2 que por hip´ otesis no es as´ı. Por el Teorema 4.1.14 se tiene que (C 1 , ∈) es isomorfo un segmento inicial de ( C 2 , ∈) o al rev´es. Supongamos que (C 1 , ∈) es isomorfo a un segmento inicial de (C 2 , ∈), esto es, es un elemento d ∈ C 2 (Lema 4.3.8). Pero por el Lema 4.3.7, d es un n´ umero ordinal s.v .N., por lo que C 1 = d y as´ı C 1 ∈ C 2 . Corolario 4.3.11. Para cada n´ umero ordinal s.v.N. C
C se
tiene que
= { c | c es un n´ umero ordinal s.v.N. < C }
Demostraci´ on. C
= { c | c ∈ C } = { c | c es un n´ umero ordinal s.v .N y c ∈ C } = { c | c es un n´ umero ordinal s.v .N. y c < C }.
La segunda igualdad es por el Lema 4.3.7 y la tercera por el Teorema 4.3.10. La demostraci´on del siguiente teorema es un ejercicio m´as que se deja al lector. Teorema 4.3.12. Cada conjunto de n´ umeros ordinales s.v.N es bien ordenado respecto al orden <. Teorema 4. 3.13. Para cada conjunto bien ordenado (∆, <) existe un unico ´ n´ umero ordinal s.v.N. C tal que (∆, <) es isomorfo a (C , ∈). Demostraci´ on. Sea (∆, <) un conjunto bien ordenado y consideremos el conjunto bien ordenado (∆, <) que resulta de ∆ al agregar un elemento a tal que a < a ∀ a ∈ ∆.
122
N´ umeros ordinales
Definimos sobre ∆, por inducci´ on transfinita, una funci´on ϕ que a cada a ∈ ∆ le hace corresponder un conjunto ϕ(a) tal que ϕ(a) = { ϕ(x) | x ∈ ∆, x < a}. Afirmamos que ϕ(a) es un n´ umero ordinal s.v .N. y que ϕ : ∆ −→ ϕ(a) = { ϕ(a) | a ∈ ∆ } es un isomorfismo de (∆, <) en (ϕ(a), ∈). 1◦ / ϕ(a) es un n´ umero ordinal s.v .N ϕ(a) es transitivo ya que si x ∈ y ∈ ϕ(a), entonces x = ϕ(a1 ), y y = ϕ(a2 ) y a1 < a2 < a, por lo que x = ϕ(a1 ) ∈ ϕ(a). 2◦ / Basta ahora verificar que ϕ : ∆ −→ ϕ(a) es un isomorfismo de (∆, <) en (ϕ(a), ∈). Se tiene que ϕ(x) ∈ / ϕ(x) para toda x ∈ ∆. Su demostraci´on la dejamos como ejercicio. ϕ preserva orden; si a1 < a2 en ∆, entonces ϕ(a1 ) ∈ ϕ(a2 ). En particular se tiene que ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ) ya que ϕ(a1 ) ∈ / ϕ(a1 ) y por lo tanto ϕ es inyectiva. Adem´as, si a1 ≮ a2 , entonces a2 ≤ a1 , y as´ı ϕ(a2 ) ⊆ ϕ(a1 ), lo que significa que ϕ(a1 ) ∈ / ϕ(a2 ) ya que si as´ı lo fuera, por la transitividad resultar´ıa que ϕ(a1 ) ∈ ϕ(a1 ) que ya hemos visto no puede suceder. Por u ´ltimo ϕ es claramente suprayectiva y por lo tanto ϕ es un isomorfismo, por lo que (ϕ(a), ∈) es bien ordenado y as´ı entonces (ϕ(a), ∈) es un n´ umero ordinal s.v .N. isomorfo a (∆, <).
§ 4.5 Ejercicios
123
§ 4.5 Ejercicios 4.1. Demuestra que la relaci´on de isomorfismo entre conjuntos bien ordenados es reflexiva, sim´etrica y transitiva. 4.2. Demuestra que si f : (A,
γ ∈X
4.5. Sea C una cadena en la cual cada subconjunto numerable est´a bien ordenado. Probar que C est´a bien ordenado. 4.6. Sea (X, ≤) una cadena y sean A y B subconjuntos de X tales que X = A ∪ B y (A, ≤), (B, ≤) son bien ordenados. Probar que (X, ≤) es bien ordenado. 4.7. Probar que cualquier cadena tiene un subconjunto cofinal (Un subconjunto A de un conjunto parcialmente ordenado X se llama cofinal en X si para todo x ∈ X existe a ∈ A tal que x ≤ a) y bien ordenado. 4.8. Demostrar que si α y β son ordinales tales que α ≥ 0 y β > 0, entonces α + β > 0. 4.9. Demostrar que si α y β son ordinales tales que α = 0 y β = 0, entonces α · β = 0. 4.10. Demostrar que no puede existir una sucesi´on mon´otona decreciente infinita de n´ umeros ordinales. 4.11. Sean (A,
124
N´ umeros ordinales
(i) Demostrar que
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125
126
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[Ku] Kuratowski, K, Set theory , North-Holland, Amsterdam ; New York, 1976. [Th] Thomas, T, Sets Theory , Springer Verlag, Berlin, 2003. [Zu] Zuckerman, M, Sets and transfinite numbers , Macmillan, New York, 1974.
´ Indice alfab´ etico
buen orden, 19
universal (no existencia), 5 vac´ıo, 1 conjuntos ajenos, 3 ajenos dos a dos, 3 del mismo tipo de orden, 88 equipotentes, 37 semejantes, 88 contradominio de una funci´on, 9 cota inferior, 19 superior, 19
cadena, 19 cardinal finito, 54 infinito, 54 l´ımite, 65 n´ umero, 38 clase de equivalencia, 13 representante de una, 14 codominio de una funci´on, 9 cofinal, 123 comparables (elementos), 17 composici´on de funciones, 11 de relaciones, 8 conjunto f -invariante, 26 cardinalidad de un, 118 bien ordenado, 19 cociente, 16 convexo, 28 finito, 50 indicado, 12 inescindible, 26 infinito, 51 numerable, 58 parcialmente ordenado, 16 potencia, 6 saturado, 26 totalmente ordenado, 19
diferencia de conjuntos, 3 sim´etrica, 21 direcci´ on, 22 doble buen orden, 52 dominio de una funci´on, 9 de una relaci´on, 7 elemento distinguido, 67 familia de conjuntos, 3 indicada, 12 filtro, 22 funci´ on, 9 de selecci´on, 29 biyectiva, 11 can´onica, 16 constante, 10
127
128
´Indice alfab´etico
identidad, 10 inclusi´ on, 11 inyectiva, 11 proyecci´on, 10 que preserva el orden, 87 restricci´ on de una, 11 sucesor, 72 suprayectiva, 11 vac´ıa, 10 Hip´otesis Generalizada del Continuo, 66 imagen de un subconjunto bajo una funci´on, 11 de un subconjunto bajo una relaci´ on, 9 de una funci´on, 9 de una relaci´on, 7 directa de una funci´on, 11 de una relaci´on, 9 inversa de una funci´on, 11 de una relaci´on, 9 infimo, 19 intersecci´on, 2 de una familia de conjuntos, 4 inversa de una relaci´on, 7 inverso derecho de una funci´on, 12 izquierdo de una funci´on, 12 isomorfismo de conjuntos bien ordenados, 88 de Sistemas de Peano, 71 leyes de Morgan, 3 distributivas de conjuntos, 3 m´ aximo, 18 m´ınimo, 18 cardinal infinito, 58 maximal, 18 menor o igual, 17
minimal, 18 n´ umero cardinal, 38 ordinal, 91 no pertenencia, 1 orden antilexicogr´afico, 123 parcial, 16 total, 19 ordinal limite, 95 sucesor, 95 par no ordenado, 2 par ordenado, 6 partici´ on, 14 pertenencia, 1 potencia de n´ umeros cardinales, 49 de n´ umeros ordinales, 107 primer ordinal infinito, 97 Principio de Inducci´on Transfinita, 86 producto cartesiano, 6, 29 de cardinales, 46 de ordinales, 102 rango de una funci´on, 9 relaci´ on, 7 de orden lineal, 19 parcial, 16 sobre cardinales, 38 sobre ordinales, 91 total, 19 de equivalencia, 13 asociada a f , 26 inversa, 7 ret´ıcula, 27 completa, 27 saturaci´ on de un conjunto, 26 segmento inicial, 27 Sistema de Peano, 67
´Indice alfab´ etico subconjunto, 2 propio, 2 sucesor, 66 suma de cardinales, 44 de ordinales, 99 supremo, 19 Teorema de Cantor, 43 de Recursi´on Transfinita, 86 de Schr¨oder-Bernstein, 39 torre, 32 uni´ on, 2 ajena, 43 unitario, 1
129