Teoría de la Ruina

Cap´ıtulo 6

Introducci´ on on a la Teor´ eor´ıa de la Ruina Este cap´ cap´ıtulo contiene una introducci´ introdu cción on breve al modelo de ruina en tiempo discreto, al modelo cl´ asico asico de Cram´ er-Lundberg referente al tiempo continuo y a algunos aspectos elementales sobre la er-Lundberg probabilidad de ruina en tal modelo. En la l a teor teo r´ıa de d e la ruina, la variable de inter´ i nterés es es e s el super´ super ávit. avit. Decimos que la ruina ocurre cuando dicha cantidad se vuelve negativa. Para poder modelar el superávit debemos considerar las variables: reclamaciones, primas, inversiones, gastos y cualquier otro factor que afecte el cash-flow. Antes de comenzar a desarrollar la teor´ teor´ıa de la ruina, describiremos y haremos algunas observaobservaciones de conceptos utilizados en el curso de procesos estocásticos. asticos.

6.1. 6.1.

Conc Concep eptos tos Preli Prelimi mina nares res

Definici´ on on 6.1.1. Un proceso en tiempo continuo es denotado por { X t : t ≥ 0}. Si existen elementos

aleatorios, es suficiente con especificar la distribuci´ on conjunta de (X t ,...,X tn ) para toda t1 ,...,tn y cualquier n ∈ N. 1

Ejemplo Ejemplo 6.1.2. Sea {S t : t ≥ 0} el total total de pagos agos realizad alizados os del tiemp tiempo o 0 al tiemp tiempo o t. Para Para

t1 < · · · < tn consideramos las variables W j = S tj − S tj que describen el incremento de los pagos realizados entre el tiempo tj −1 y tj . Notemos que S t = S 0 = 0, lo cual quiere decir, que no se ha hecho pago alguno al tiempo cero. 1

−

0

Definici´ on on 6.1.3. Un proceso {X t : t ≥ 0 } tiene incrementos independientes si las variables aleatorias X t − X s y X u − X v son independientes para cualesquiera s cualesquiera s < t ≤ v < u. u.

La propiedad anterior indica que el movimiento del proceso en cualquier per´ıodo ıodo es independiente indep endiente del movimiento en otro per´ıodo ıodo que no se traslapa con el primero. Definici´ on on 6.1.4. Un proceso {X t : t ≥ 0} tiene incrementos estacionarios si la distribuci´ on de

X t − X s depende s´ olo de la diferencia t diferencia t − s. La propiedad anterior implica que el movimiento no depende de la fecha. En otras palabras, no puedes decir en que momento estamos sólo olo con mirar los incrementos del proceso. Definici´ on on 6.1.5. Un proceso en tiempo discreto es denotado por {X t : t = 0, 1, 2,...}. Si existen

elementos aleatorios, al igual que los procesos en tiempo continuo, es suficiente con especificar la distribuci´ on conjunta de (X t ,...,X tn ) para toda t1 ,...,tn y cualquier n cualquier n ∈ N. 1

Para desarrollar los modelos de ruina, consideraremos el proceso de superávit avit {U t : t ≥ 0} en tiempo continuo o {U t : t = 0, 1,...} en tiempo discreto. Sea u = U 0 el superávit avit inicial (que en realidad es el capital inicial), entonces el sup´ eravit eravit en el tiempo tiemp o t está dado por la expresión on 57

´ CAP ´ ITULO 6. INTRODUCCI INTRODUCCI ON A LA TEOR ´ IA DE LA RUINA

58

U t = U = U 0 + P t − S t donde {P t : t ≥ 0} es el proceso que mide las primas pagadas en el tiempo t y {S t : t proceso que mide la siniestralidad total hasta el tiempo t. t .

≥

0} es el

Observaci´ on on 6.1.6. P t depende en ocasiones de S de S u para u para u < t. t . Por ejemplo, los dividendos basados

en la experiencia favorable pueden reducir la prima pagada. Es posible, aunque no necesario, separar la frecuencia y severidad de los componentes de S t . Para ello, sea {N t : t ≥ 0} el proceso que describe el número umero de reclamaciones hasta el tiempo t. N (t)

As´ı, S t =



X i donde X donde X i representa el monto de la i −ésima esi ma reclama rec lamaci´ ción on y no son necesariamente

i=1

independientes; sin embargo, cuando lo son, S t es una distribución on compuesta. En resumen, el modelo de superávit avit queda de la siguiente forma N (t)

U t = U 0 + P t −



X i .

i=1

6.2. 6.2.

Model Modelo o de ruina ruina en tie tiempo mpo disc discre reto to

Como mencionamos antes, consideraremos el modelo de superávit en tiempo discreto, es decir, {U t : t : t = = 0, 1,...}. Agreguemos una nueva variable C t que representa cualquier cash-flow diferente a las primas y pagos de siniestros. Los cash-flows que más as se consideran son los ingresos por inversiones. As´ As´ı, al final del periodo peri odo t t se tiene que t

U t = u = u +



(P j + C j − S j ) = U t−1 + P t + C t − S t .

j =1

Observaci´ on on 6.2.1. Notar que P j , S j no representan la prima total y la siniestralidad total hasta

el final del periodo j , respectivamente, sino, la l a prima prim a percibida y la l a siniestralidad sini estralidad pagada del per´ıodo ıodo j. j . Definamos los incrementos del modelo en per´ per´ıodo t como W t = U t − U t−1 = P = P t + C t − S t para t para t = 1, 2,... entonces el proceso de superávit avit se puede escribir como = U t−1 + W t para t para t = 1, 2... U t = U La ecuación on anterior anterior,, nos permit p ermitee estudiar estudiar facilmente facilmente el modelo cuando W cuando W t es independiente de las otras W otras W t o cuando sólo olo depende del valor de U de U t−1 . La dependencia de W de W t con U con U t−1 nos permite pagar un dividendo basado en el superávit avit al final final del a˜ no no previo (porque W (porque W t depende de P de P t ). Observaci´ on on 6.2.2. 6.2.2. Si W t son variables variables aleatori aleatorias as independie independientes ntes e identic identicamente amente distribuida distribuidas, s, entonces { U t } es una caminata aleatoria.

En nuestro caso, supondremos que dado U t−1 , la variable W t = P t + C + C t − S t depende sólo olo de U t−1 y no de cualquier otra experiencia previa. Esto hace que {U t : t = 0, 1,...} sea un proceso de Markov. Ahora definamos definamos las probabilidades probabilidades que ser´ an an de nuestro nuest ro interés. es. Definici´ on on 6.2.3. La probabilidad de supervivencia en horizonte finito est´ a dada por

φ˜(u, τ ) = P ( P (U t ≥ 0 para todo t = 0, 1,..., τ |U 0 = u = u)).

6.2. MODELO DE RUINA EN TIEMPO DISCRETO

59

La cartera de pólizas debe sobrevivir τ per´ıodos (usualmente son añ os) y sólo calculamos al final de cada per´ıdo. Si lo que queremos es asegurar la supervivencia de la cartera para siempre, consideramos la siguiente probabilidad. Definici´ on 6.2.4. La probabilidad de supervivencia en horizonte infinito est´ a dada por

˜(u) = P (U t ≥ 0 para todo t = 0, 1,...|U 0 = u). φ Observaci´ on 6.2.5. Las siguientes afirmaciones deben resultar claras:

1. φ˜(u, τ ) ≥ φ˜(u). 2. l´ım φ˜(u, τ ) = φ˜(u). τ →∞

Finalmente tenemos la definición que nos compete, es decir, la probabilidad de ruina. Definici´ on 6.2.6. La probabilidad de ruina en horizonte infinito en tiempo discreto es

ψ˜(u) = 1 − ˜ φ(u).

An´ alogamente podemos definir la probabilidad de ruina en horizonte finito en tiempo discreto, es decir, ψ˜(u, τ ) = 1 − φ˜(u, τ ). Notemos que la probabilidad anterior considera que la ruina ocurre en el tiempo τ o antes. Para evaluar las probabilidades de ruina, definamos un nuevo proceso como sigue: W t∗ =



U t∗ =

0, U t∗−1 < 0 W t , U t∗−1 ≥ 0 U t∗−1 + W t∗

donde el nuevo proceso comienza con U 0∗ = u. En este caso, la probabilidad de supervivencia en horizonte finito es φ˜(u, τ ) = P (U τ ∗ ≥ 0).

La razón por la que sólo necesitamos verificar que U t∗ en el tiempo τ es, que una vez que la ruina ha ocurrido, este proceso no se vuelve nonegativo. Ejemplo 6.2.7. Consid´ erese un proceso con capital inicial de 2, una prima anual de 3, y p´ erdidas

de 0 o 6 con probabilidades 0.6 y 0.4, respectivamente. Si no existen otros cash-flows, determina ˜(2, 2). φ Soluci´ on: Observemos que los posibles valores para U 1 son 5 y -1 pues W 1 = P 1 − S 1 s´ olo puede

valer 3 y -3, con probabilidades 0.6 y 0.4, respectivamente. Por lo tanto, cada uno de estos dos valores para U 1 origen dos posibles valores para U 2 que describiremos en la siguiente tabla: Caso 1 2 3 4

U 1 = U 1∗ 5 5 -1 -1

W 2 3 -3 3 -3

Por lo tanto φ˜(2, 2) = 0.36 + 0.24 = 0.60.

W 2∗ 3 -3 0 0

U 2∗ Probabilidad 8 (0.6)(0.6)=0.36 2 (0.6)(0.4)=0.24 -1 (0.4)(0.6)=0.24 -1 (0.4)(0.4)=0.16 

Observaci´ on 6.2.8. En el ejemplo 6.2.7, si en lugar de considerar la variable U 2∗ consideraramos

la variable U 2 , tendr´ıamos los valores 2 y -4 para los casos 3 y 4. Pero no es permitido regresar el proceso de la ruina, es por esto que las variables U i∗ y W i∗ son importantes.

´ CAP ´ ITULO 6. INTRODUCCI ON A LA TEOR ´ IA DE LA RUINA

60

6.2.1.

Evaluaci´ on de la probabilidad de ruina

Existen tres métodos para evaluar la probabilidad de ruina: 1. Simulaci´ on. 2. Convoluciones. 3. M´ etodo de Inversión. La simulaci´ on siempre está disponible. De la misma manera como las p´ erdidas agregadas son simuladas, podemos simular el proceso de superávit. Es utilizada para modelos extremadamente complicados. Es por esto, que nos enfocaremos en estudiar los dos últimos métodos. Convoluciones

Para utilizar este método, las distribuciones de las variables aleatorias involucradas en el modelo deben ser discretas y tener soporte finito. En caso contrario, pueden construirse aproximaciones discretas. El cálculo de la probabilidad es realizado recursivamente utilizando la ecuación U t∗ = U t∗−1 + W t∗ . Las consideraciones que debemos tener presente son las siguientes: 1. Debemos conocer la distribución discreta de U t∗−1 . 2. La distribución de los superávit no negativos la denotaremos por f j = P (U t∗−1 = uj ) para j = 1,...,n donde uj ≥ 0 para toda j. Notar que f j es una parte de la distribución de U t∗−1 pues pueden existir valores negativos. 3. Para cada valor no negativo de U t∗−1 , es decir, para u j ≥ 0 debemos conocer la distribuci´ on de ∗ W t . Denotemos por gj,k = P (W t = w j,k |U t−1 = u j ). Notemos que está abierta la posibilidad de que los valores de W t dependan de u j . Entonces la probabilidad de ruina en el tiempo t es igual a la probabilidad de ruina en el tiempo m´ as la probabilidad de que la ruina ocurra en el tiempo t, en términos matemáticos

t−1

ψ˜(u, t)

=

ψ˜(u, t − 1) + P (U t∗−1 ≥ 0, U t∗−1 + W t < 0) n

= ψ˜(u, t − 1) +

   

P (U t∗−1 + W t < 0 |U t∗−1 = u j )P (U t∗−1 = uj )

j=1 n

= ψ˜(u, t − 1) +

P (uj + W t < 0 |U t∗−1 = u j )f j

j=1 n

= ψ˜(u, t − 1) +

gj,k f j .

(6.1)

j=1 wj,k <−uj

Entonces P (U t∗ = x) = P (U t∗−1 ≥ 0, U t∗−1 + W t = x) n

=

   

P (U t∗−1

≥

0, U t∗−1 + W t = x|U t∗−1 = u j )P (U t∗−1 = uj )

j=1 n

=

P (u∗j + W t = x |U t∗−1 = uj )f j

j=1 n

=

j=1 wj,k +uj =x

gj,k f j .

(6.2)

61


Las igualdades anteriores nos permitir´ıan encontrar la probabilidad de ruina ψ˜(u, t + 1) en el ∗ tiempo t + 1 y la distribución de las variables U t+1 mediante un procedimiento análogo al realizado anteriormente. Aunque en primera instancia, las fórmulas anteriores parezcan complicadas, en la práctica no es as´ı como veremos a continuación. Ejemplo 6.2.9. Sup´ ongase que se tiene un capital inicial de 2, que las p´ erdidas anuales tienen los

valores 0, 2, 4, y 6, con probabilidades 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1, respectivamente. Adem´ as, se percibe una prima de 2.5 al comienzo de cada a˜ no y los intereses ganados por cualquier super´ avit disponible al comienzo de cada a˜ no son del 10 %. Si se tiene un descuento de 0.5 al final de cada a˜ no en el que no hubo pérdidas, detemina la probabilidad de supervivencia al final de cada uno de los primeros dos a˜ nos. Soluci´ on: En el tiempo t = 0 tenemos que ψ˜(2, 0) = 0 y que f 1 = P (U 0∗ = 2) = 1. Comencemos

a calcular los posibles valores para w1,k : para el caso en el que no hay pérdidas, que será cuando k = 1, tenemos que se pago una prima de 2.5, por lo que los intereses ganados al final del año son 0.1(2+2.5)=0.45 y se tiene un descuento de 0.5. Por lo tanto w1,1 = 2 + 2.5 + 0.45 − 0.5 = 2.45 y g1,1 = P (W 1 = w 1,1 |U 0∗ = 2) = 0.4. De manera análoga se obtiene los valores para todas las w 1,k y g1,k , mismos que se resumen en la siguiente tabla: k 1 2 3 4

prima 2.5 2.5 2.5 2.5

interés 0.45 0.45 0.45 0.45

p´ erdida 0 2 4 6

descuento 0.5 0 0 0

w1,k 2.45 0.95 -1.05 -3.05

g1,k 0.4 0.3 0.2 0.1

1

Por la ecuación 6.1 podemos concluir que ψ˜(2, 1) = ψ˜(u, 0) +

 

gj,k f j = 0.1. Por otro

j=1 wj,k <−2

1

lado, la ecuaci´ on 6.2 nos indica que P (U 1∗ = x) =

 

g1,k f 1 para los valores x = w 1,k + 2 >

j=1 w1,k +2=x

0; as´ı la distribución de U 1∗ se concentra en la siguiente tabla: k 1 2 3

w1,k 2.45 0.95 -1.05

x 4.45 2.95 0.95

P (U 1∗ = x) 0.4 0.3 0.2

La probabilidad restante es P (U 1∗ = −1.05) = 0.1, pero no es tomada en cuenta porque x > 0. Mediante un procedimiento análogo podemos concluir que ψ˜(2, 2) = 0.19.



En el ejemplo anterior podemos notar que los valores de u as´ı como el número de decimales aumente rápidamente. En alg´ un momento del procedimiento, redondear los decimales puede ser una buena idea. Una manera simple de hacer esto, es considerar que en cada per´ıodo, los valores posibles de u son m´ ultiplos de h, distancia que probablemente necesite incrementarse de per´ıodo en per´ıodo. Las probabilidades de los valores que no son múltiplos de h, se distribuyen en los dos valores más cercanos de manera que se preserve la media. Observaci´ on 6.2.10. Si las probabilidades de los valores que no son m´ ultiplos de h se distribuyen

en m´ as de dos valores, los momentos mayores podr´ıan ser conservados. M´ etodo de Inversi´ on

Los métodos de inversión son utilizados para obtener las funciones de probabilidad a partir de una expresi´ on conocida para una transformada como lo son la función generadora de probabilidades, la


62

funci´ on generadora de momentos o la función caracter´ıstica. En nuestro caso, utilizaremos el método de la transforma rápida de Fourier que sirve para calcular la función de densidad de la variable de estudio a partir de su función caracter´ıstica. Una de las fortalezas de este m´ etodo es que los cálculos de las convoluciones se reducen a realizar pocas multiplicaciones. Esto es cierto en el supuesto de que las variables W t y U t−1 sean independientes. La idea que maneja este método y que también puede ser utilizada en el enfoque de convoluciones es la siguiente: Sea U t∗∗ la variable U t condicionada a U t ≥ 0. Al final de cada per´ıodo, toda la probabilidad asociada con ruina está distribuida sobre los valores que producen superávit no negativo. El an´ alisis de cada a˜ no, se explica a continuación: ∗∗

1. Determinar la funci´ on caracter´ıstica de U t∗∗ , es decir, ϕ 1,t (z) = E (eizU t ). −1 1

−

2. Determinar la funci´ on caracter´ıstica de W t , es decir, ϕ 2,t (z) = E (eizW t ). 3. Luego, ϕ 3,t (z) = ϕ 1,t (z)ϕ1,t (z) es la función caracter´ıstica de U t∗∗ + W t . −1 4. Usa inversi´ on para determinar la función de densidad f t (u) de la variable U t∗∗ + W t . −1 5. Define r t = P (U t∗∗ + W t < 0) la probabilidad de que dada la sobrevivencia al tiempo t − 1, se −1 tenga ruina en el tiempo t. 6. Luego f t∗∗ (u) =

f t (u) para u 1 − rt

≥

0 es la función de densidad de la variable U t∗∗ . −1

7. La probabilidad de ruina para el tiempo t es ψ˜(u, t) = ψ˜(u, t − 1) + r1 [1 − ψ˜(u, t − 1)].

Para iniciar el proceso, notemos que la función de densidad de U 1 se obtiene directamente del hecho de que U 1 = u + W 1 , as´ı que todo lo que se necesita hacer es cambiar los valores de la función de densidad de W 1 por u. Ejemplo 6.2.11. Las p´ erdidas agregadas por un a˜ no son 0, 2, 4 y 6 con probabilidades 0.4, 0.3, 0.2 y

0.1, respectivamente. Se cobra una prima de 2.5 al comienzo de cada a˜ no y se tiene un capital inicial de 2. Determina la probabilidad de ruina dentro de los dos primeros a˜ nos usando la transformada r´ apida de Fourier. Soluci´ on: Antes de realizar los cálculos, es importante recordar que la transformada rápida de

Fourier coincide con la función caracter´ıstica. Observemos que las variables W t tienen la misma distribución para toda t, la cual es w -3.5 -1.5 0.5 2.5

P (W t = w) 0.1 0.2 0.3 0.4

Por lo que la distribución de la variable U 1 = u + W 1 es u1 -1.5 0.5 2.5 4.5

P (U 1 = u 1 ) 0.1 0.2 0.3 0.4

63


Por lo tanto ψ˜(2, 1) = 0.1. Ahora calculemos la distribución de la variable U 1∗∗ recordando que P (U 1∗∗ = u) = P (U 1 = u|U 1 ≥ 0): notemos que P (U 1 ≥ 0) = P (U 1 = 0.5) + P (U 1 = 2.5) + P (U 1 = 4.5) = 0.9, además. P (U 1 = 0.5, U 1 ≥ 0) 0.2 2 P (U 1∗∗ = 0.5) = P (U 1 = 0.5|U 1 ≥ 0) = = = . An´ alogamente para P (U 1 ≥ 0) 0.9 9 U 1∗∗ = 2.5, 4.5. Por lo tanto, la distribución queda de la siguiente manera u 0.5 2.5 4.5

P (U 1∗∗ = u) 2/9 3/9 4/9

Para aplicar la transformada rápida de Fourier, es conveniente tener todas las cantidades no negativas. Para ello, agregaremos 3.5 a cada variable. Notemos que con el cambio, el rango de las variables U 1 , W 2 y U 1∗∗ + W 2 oscila entre 0 y 14 con saltos de tamaño 2; ademá s, el n´ umero de valores que tenemos es 8, el cual ya es una potencia de 2. La tabla que se presenta a continuación está compuesta de la siguiente manera: 1. La columa 1 representa los posibles valores de las variables a considerar. 2. Las columnas 2 y 3 representan las funciones de densidad de las variables U 1∗∗ y W 2 (que es la misma que W 1 ), respectivamente, después de agregar 3.5. 3. Las columnas 4 y 5 representan las transformadas rápidas de Fourier de las variables U 1∗∗ y W 2 , respectivamente, evaludas en los puntos que se indican. 4. La columna 6 representa la transformada de Fourier de la variable U 1∗∗ + W 2 . 5. La u´ltima columna es la función de densidad de la variable U 1∗∗ + W 2 . u 0 2 4 6 8 10 12 14

f 1∗∗ (u) 0 0 2/9 3/9 4/9 0 0 0

f W (u) 1/10 2/10 3/10 4/10 0 0 0 0

ϕ1,2 (u)/8

ϕ2,2 (u)/8

ϕ3,2 (u)/64

0.125

0.125

0.01563

−0.08502 − 0.05724i

−0.00518 − 0.09053i

−0.00474 + 0.00799i

−0.025 + 0.025i 0.02778 + 0.04167i −0.02609 − 0.00169i 0.03018 − 0.01553i −0.025 0.04167 −0.02609 + 0.00169i 0.03018 + 0.01553i −0.025 − 0.25i 0.02778 − 0.04167i −0.08502 + 0.05724i −0.00518 + 0.09053i

−0.00174 − 0.00035i

−0.00081 + 0.00035i −0.00104 −0.00081 − 0.00035i −0.00174 + 0.00035i −0.00474 − 0.00799i

f 2 (u) 0 0 2/90 7/90 16/90 25/90 24/90 16/90

De todos los cálculos hechos anteriormente, obtenemos que la distribución de del superávit después del segundo año es: u -3 -1 1 3 5 7

P (U 1∗∗ + W 2 = u) 2/90 7/90 16/90 25/90 24/90 16/90

P (U 2∗∗ = 2) 0 0 16/81 25/81 24/81 16/81

Por lo tanto, la probabilidad de ruina en el segundo año es 2 7 ψ˜(2, 2) = ψ˜(2, 2) + P (U 1∗∗ + W 2 = −3) + P (U 1∗∗ + W 2 = −1) = 0.1 + + = 0.19. 90

90




64

6.3.

Modelo de ruina en tiempo continuo

Consideraremos las propiedades básicas del proceso Poisson { N t : t ≥ 0} el cual representará el número de reclamaciones en la cartera. Por lo tanto, N t es el n´ umero de reclamaciones en (0, t]. La definici´ on formal es la siguiente: Definici´ on 6.3.1. El proceso del n´ umero de reclamaciones {N t : t ≥ 0} es un proceso Poisson con tasa λ > 0 si se cumplen las siguientes condiciones:

1. N 0 = 0. 2. El proceso tiene incrementos estacionarios e independientes. 3. El n´ umero de reclamaciones en un intervalo de longitud t se distribuye Poisson con media λt, es decir, para s,t > 0 se tiene P (N t+s − N s = n) =

(λt)n e−λt , n = 0, 1,... n!

Los incrementos estacionarios significan que la distribuci´ on del n´ umero de reclamaciones en un intervalo fijo depende sólo de la longitud del intervalo y no de en cuál intervalo se encuentra. Los incrementos independientes significan que el número de reclamaciones en un intervalo son estad´ısticamente independientes del n´ umero de reclamaciones de cualquier intervalo previo (que no se traslape con el intervalo actual). Las condiciones de incrementos independientes y estacionarios indican que el proceso puede comenzar intuitivamente en cualquier momento. Realmente, la condición de incrementos estacionarios en la definición 6.3.1 es redundante pues la condición 3 implica incrementos estacionarios. Proposici´ on 6.3.2. Sea {N t : t ≥ 0} un proceso Poisson de tasa λ > 0. Sea W j el tiempo entre la

j − 1−ésima y la j-ésima reclamaci´ on para j = 1, 2,... entonces: 1. Los tiempos W j son independientes. 2. La variable W j se distribuye exponencial con media 1/λ. Demostraci´ on: Notemos que P (W 1 > t) = P (N t = 0) = e −λt , por lo tanto W 1 es exponencial con media 1/λ. También, tenemos que

P (W 2 > t|W 1 = s) = = = =

P (W 1 + W 2 > s + t|W 1 = s) P (N t+s = 1|N s = 1) P (N t+s − N s = 0|N s = 1) P (N t+s − N s = 0)

porque los incrementos son independientes. De la condición 3, concluimos que P (W 2 > t|W 1 = s) = e−λt . Por lo tanto, como es cierto para toda s, tenemos que P (W 2 > t) = e−λt y W 1 es independiente de W 2 . An´ alogamente concluimos que W 3 , W 4 ,... son independientes y que se distribuyen exponencial con media 1/λ.  Observaci´ on 6.3.3 (Ver ejercicio 5) . Si t 0 ≥ 0 es un tiempo fijo, el tiempo que tardar´ a en presentarse la siguiente reclamaci´ on se distribuye exponencial con media 1/λ.

Ahora definiremos el monto total de las reclamaciones como un proceso estocástico para que a continuación presentemos el modelo de ruina en tiempo continuo que estudiaremos.

65

6.3. MODELO DE RUINA EN TIEMPO CONTINUO

Definici´ on 6.3.4. El n´ umero de reclamaciones { N t : t ≥ 0} es un proceso Poisson con tasa λ > 0.

Sean las pérdidas individuales Y 1 , Y 2 ,... variables aleatorias no negativas independientes e identicamente distribuidas, independientes de N t , con funci´ on de distribuci´ on G(y) y media µ < ∞. Sea S t N t

el total el total de la p´ erdida en el tiempo (0, t] donde S t = 0 si N t = 0 y S t =



Y j si N t > 0.

j=1

Entonces S t tiene distribuci´ on Poisson compuesta y se dice que el proceso { S t : t Poisson compuesto.

≥

0} es un proceso

El siguiente resultado se demostró en el curso de procesos estocásticos. Proposici´ on 6.3.5. Sea S t el proceso Poisson compuesto como en la definici´ on 6.3.4. Entonces:

1. E [S t ] = λ tµ. 2. V ar[S t ] = λ tE [Y 2 ]. ∞

3. La funci´ on de distribuci´ on de S t es GS t (y) =

 

Gn (y)e−λt ∗

n=0 ∞

Gn (y) = ∗



−∞

G(n−1) (n − z)dG(z) y G(0) (y) = ∗

1, 0,

(λt)n donde n!

y ≥ 0 . y < 0

Para el modelo de ruina que estudiaremos, supondremos que las primas son pagadas continuamente con tasa constante c por unidad de tiempo, es decir, el total de primas percibidas en el tiempo (0, t] es ct e ignoraremos los intereses por simplicidad matemática. Por lo tanto el modelo de ruina a considerar es el modelo conocido como Modelo de CramérLundberg el cual es un proceso a tiempo continuo { U t : t ≥ 0} dado por N t

U t = u + ct − S t = u + ct −



Y j

(6.3)

j=1

en donde u es el capital inicial de la compañ´ıa aseguradora, ct es la entrada por primas hasta el tiempo t con c una constante positiva, Y j es el monto de la j -ésima reclamación y N t es un proceso de Poisson de parámetro λ . La variable U t representa el balance más sencillo de ingresos menos egresos de una compañ´ıa aseguradora. Al proceso U t se le llama proceso de riesgo (risk process), o proceso de superávit (surplus process) y tiene trayectorias como se muestra en la siguiente figura


66

Estas trayectorias comienzan siempre en el capital inicial u. Los intervalos en donde ellas son continuas y crecientes corresponden a periodos en donde no hay reclamaciones. El crecimiento es de la forma ct. Las discontinuidades son siempre saltos hacia abajo y aparecen en el momento en que se efect´ ua una reclamación, la cual se supone que se paga de manera inmediata. El tamaño de un salto es el tama˜ no de la reclamación dada por la variable Y . La trayectoria promedio de U t es la linea recta que inicia en u > 0 y tiene pendiente c − λµ, la cual es positiva por la condición o hipótesis de ganancia neta. La variable aleatoria U t se puede interpretar como el capital de la compañ´ıa aseguradora al tiempo t y por razones naturales y legales es importante que U t permanezca por arriba de cierto nivel m´ınimo. Ajustando el capital inicial u se puede suponer, sin p´ erdida de generalidad, que este nivel m´ınimo es cero. Cuando U t < 0 se dice que hay ruina. La ruina casi nunca sucede en la práctica, es solamente un término técnico que produce alguna toma de decisión. Por ejemplo si el capital de una compañ´ıa aseguradora asignado a una cartera decrece en forma significativa, automáticamente la aseguradora puede tomar ciertas medidas para subsanar esta situación y no se trata de un evento insalvable. Por otro lado es natural suponer que la compañ´ıa aseguradora posea varios portafolios de modo que ruina en uno de ellos no significa necesariamente bancarrota que el término ruina podr´ıa sugerir. En general, la prima no necesariamente es la media de las reclamaciones, sino que necesita agregarse una cantidad como vemos en el principio de la media para el cálculo de la prima. Definici´ on 6.3.6. Para el modelo de Cramer-Lundberg definimos la carga de seguridad o factor de carga de la prima como el valor θ > 0 tal que c = (1 + θ)λµ.

A continuaci´ on definiremos al igual que en caso discreto las probabilidades de sobrevivencia en horizonte finito e infinito, seguidas de sus repectivas probabilidades de ruina. Definici´ on 6.3.7. En tiempo continuo, la probabilidad de supervivencia en horizonte finto es

φ(u, τ ) = P (U t ≥ 0 para toda 0 ≤ t ≤ τ |U 0 = u). Definici´ on 6.3.8. En tiempo continuo, la probabilidad de supervivencia en horizonte infinto es

φ(u) = P (U t ≥ 0 para toda t ≥ 0|U 0 = u). Observaci´ on 6.3.9. Las siguientes afirmaciones deben ser claras:

1. φ(u, τ ) ≥ φ(u). 2. l´ım φ(u, τ ) = φ (u). τ →∞

De las observaciones 6.2.5 y 6.3.9 obtenemos que 1. φ˜(u, τ ) ≥ φ˜(u) ≥ φ(u). 2. φ˜(u, τ ) ≥ φ(u, τ ) ≥ φ(u). Definici´ on 6.3.10. En tiempo continuo, la probabilidad de ruina en horizonte infinito est´ a dada

por ψ (u) = 1 − φ(u)

An´ alogamente se define la probabilidad de ruina en tiempo continuo para horizonte finito.

6.4. EL COEFICIENTE DE AJUSTE Y LA DESIGUALDAD DE LUNDBERG

67

6.4.

El Coeficiente de Ajuste y la Desigualdad de Lundberg

6.4.1.

El coeficiente de ajuste

Definici´ on 6.4.1. Sean µ y M Y (t) la media y la funci´ on generadora de momentos de las reclama-

ciones Y , respectivamente. El coeficiente de ajuste k es la soluci´ on positiva m´ as peque˜ na (si existe) de la ecuaci´ on 1 + (1 + θ )µt = M Y (t). (6.4)

Para ver que efectivamente existe el coeficiente de ajuste, consideremos las gráficas de las curvas r1 (t) = 1+(1+ θ )µt y r 2 (t) = M Y (t) = E [etY ] en el plano (t, r). Supongamos que M Y (t) existe para toda t > 0 (este supuesto no es totalmente necesario), entonces tenemos que r 2 (t) = E (Y etY ) > 0 y que r 2 (t) = E (Y 2 etY ) > 0. Como r 1 (0) = r 2 (0) = 1, las dos curvas se intersectan en t = 0. Además r2 (0) = µ < (1 + θ)µ = r1 (0), lo cual nos dice que la gráfica de r 2 (t) inicialmente está por debajo de la gráfica de r1 (t), pero como r 2 (t) > 0 y r 2 (t) > 0, eventualmente r2 (t) intersectará a r 1 (t) en un punto k > 0 que será el coeficiente de ajuste. Es importante señalar que puede darse el caso en el que no exista solución a la ecuación 6.4, por ejemplo, cuando la función generadora de momentos del monto de reclamaciones no exista como sucede en las distribuciones Pareto y Lognormal, por mencionar algunos ejemplos. Ejemplo 6.4.2. Si Y tiene distribuci´ on exponencial con media µ, determina el coeficiente de ajuste. Soluci´ on: Sabemos que M Y (t) =

1 1 − µt

para t <

1 . Por lo tanto el coeficiente de ajuste satisface µ

1 + (1 + θ)µk =

1 1 − µk

.

Como notamos anteriormente, k = 0 es una solución que siempre sucede. Sin embargo, una θ 1 soluci´ on positiva para esta ecuación es k = , la cual claramente es menor que .  µ(1 + θ ) µ Ejemplo 6.4.3. Supongamos que la carga de seguridad es θ = 2 y los siniestros se distribuyen Gamma con par´ ametros 2 y β . Determina el coeficiente de ajuste. Soluci´ on: Sabemos que M Y (t) =

1 (1 − β t)2

para t <

1 + 6kβ =

1

. Luego la ecuación 6.4 queda

β

1 (1 − β k )2

,

la cual es equivalente a las ecuaciones 6β 3 k3 − 11β 2 k2 + 4β k = k β (2k β − 1)(3kβ − 4) = 0 Como k <

1

0

, la u ńica soluci´ on positiva de la ecuación anterior es k =

β

1 . 2β



Observaci´ on 6.4.4. No siempre es posible resolver la ecuaci´ on 6.4 de manera expl´ıcita como en

los ejemplos anteriores. En muchas ocasiones, se debe recurrir a métodos numéricos que requieren una aproximaci´ on incial del valor de k. La siguiente proposición, acota el valor del coeficiente de ajuste k. Proposici´ on 6.4.5. Sean µ y M Y (t) la media y la funci´ on generadora de momentos de las reclamaciones Y , respectivamente. Sea θ > 0 la carga de seguridad, entonces el coeficiente de ajuste k 2θ µ

satisface k <

E [Y 2 ]

.


68

Demostraci´ on: La ecuaci´ on 6.4 implica

1 + (1 + θ)µk

= E [ekY ] 1 = E [1 + kY + (kY )2 + · · · ] 2 1 > E [1 + kY + (kY )2 ] 2 1 2 = 1 + kµ + k E [Y 2 ] 2

Sustrayendo 1 + kµ de ambos lados de la desigualdad, se tiene que k <

2θ µ . E [Y 2 ]



N t

Ejemplo 6.4.6. Las p´ erdidas agregadas S t =



Y i , donde N t es un proceso Poisson de tasa λ > 0,

i=1

tienen varianza igual a tres veces la media. Determina una cota para el coeficiente de ajuste. Soluci´ on: La proposici´ on 6.3.5 nos recuerda que E (S t ) = λµt y que V ar(S t ) = λtE [Y 2 ]. Luego 2θ µ 2θ µ 2 λtE [Y 2 ] = 3 λtµ, es decir, E [Y 2 ] = 3µ. Por la proposici´  on 6.4.5 k < = = θ. 2

E [Y ]

3µ

3

Un método numérico para resolver la ecuación 6.4 es el m´ etodo Newton-Raphson que se describe a continuación y en el debemos de cuidar que la solución no se aproxime a la solución trivial k = 0 que siempre se tiene. Proposici´ on 6.4.7 (M´ etodo Newton-Raphson). Sea H (t) = 1+(1+ θ )µt − M Y (t). La aproximaci´ on

a la ra´ız H (k) = 0 (que es el coeficiente de ajuste) se puede obtener mediante la f´ ormula kn+1 = k n −

H (kn ) H  (kn )

 donde H  (t) = (1 + θ )µ − M Y (t) iniciando con un valor k0 .

Ejemplo 6.4.8. Considera el modelo de ruina de Cramer-Lundberg donde λ = 4 y c = 7. Suponga

que la distribuci´ on del monto de las reclamaciones est´ a dado por P (Y = 1) = 0.6 y P (Y = 2) = 0.4. Determina el coeficiente de ajuste utilizando el m´ etodo de Newton-Raphson. Soluci´ on: Tenemos que

1. µ = E [Y ] = 1(0.6) + 2(0.4) = 1.4. 2. M Y (t) = E [etY ] = 0.6et + 0.4e2t . 3. θ =

c λµ

−1

=

7 4(1.4)

−1=

1 . 4

4. E [Y 2 ] = 12 (0.6) + 22 (0.4) = 2.2. 5. Una opci´ on para k 0 es k 0 =

2θ µ 7 = . E [Y 2 ] 22

7 7 Por lo tanto obtenemos que H (t) = 1 + t − 0.6et − 0.4e2t y H  (t) = − 0.6et − 0.8e2t . 4 4 El siguiente cuadro resume los valores de las iteraciones del m´ etodo, el cuá l se detuvo en la tercera iteración pues se consideró que es una buena aproximación: iteraci´ on 0 1 2 3

ki 0.31818 0.27761 0.27050 0.27029

H (ki ) -0.02379 -0.00309 -0.00008

H  (ki ) -0.58645 -0.43584 -0.41055

69

6.4. EL COEFICIENTE DE AJUSTE Y LA DESIGUALDAD DE LUNDBERG

Por lo que el coeficiente de ajuste es k = 0.27029.



También tenemos la siguiente definición alternativa del coeficiente de ajuste. Definici´ on 6.4.9. Sean µ y G(y) la media y la funci´ on de distribuci´ on de la variable Y que representa el monto de cada reclamaci´ on. Sea θ > 0 la carga de seguridad. El coeficiente de ajuste k > 0

es aquel valor que satisface la ecuaci´ on ∞

1 + θ =



eky f e (y)dy

0

donde f e (y) =

1 − G(y) para y > 0. µ

La demostración de la siguiente proposición se deja al lector en la sección de ejercicios. Proposici´ on 6.4.10. Las definiciones 6.4.1 y 6.4.9 son equivalentes.

6.4.2.

Desigualdad de Lundberg

El primer uso importante del coeficiente de ajuste se encuentra en el siguiente resultado: Teorema 6.4.11. Considera el modelo de Cramer-Lundberg y sea k el coeficiente de ajuste. Entonces

la probabilidad de ruina satisface ψ (u) ≤ e−ku , u ≥ 0

(6.5)

Demostraci´ on: Sea ψ n (u) la probabilidad de que la ruina ocurra antes o en la n−´ esima reclamación para n =, 1,.... Haremos la demostración por inducci´ on: Claramente ψ 0 (u) = 0 ≤ e−ku . Supongamos

que se cumple para n, es decir, ψn (u) ≤ e−ku y demostremos que la probabilidad de ruina despu´ es de la n + 1−ésima reclamación sigue siendo menor que e −ku . Consideremos el análisis del primer paso a trav´ es de la primera reclamaci´ on. El tiempo hasta −λt que ocurre la primera reclamación es exponencial con función de densidad λe ; si la reclamación ocurre en el tiempo t > 0, el superávit disponible para pagar la reclamaci´ on es u + ct. Por lo tanto, tenemos los siguientes dos casos para tener ruina: 1. La ruina ocurre en la primera reclamaci´ on si el monto reclamado excede u+ct cuya probabilidad es 1 − G(u + ct). 2. Si el monto de lo reclamado es y con 0 ≤ y ≤ u + ct, la ruina no ocurre en la primera reclamaci´ on; sin embargo el superávit será ahora de u + ct − y. La ruina podr´ıa ocurrir en las siguientes n reclamaciones. Como el proceso de superávit tiene incrementos independientes y estacionarios, la probabilidad de ruina ahora será la misma que si hubi´ eramos comenzado el proceso en el tiempo de la primera reclamación con un capital inicial de u + ct − y. Por lo tanto, utilizando la ley de probabilidad total y la hipótesis de inducción tenemos que u+ct

∞

ψn+1 (u)

=

     

1 − G(u + ct) +

0

∞

=

0

0

0 u+ct

∞

dG(y) +

∞

k(u+ct−y)

−

e

u+ct

donde hemos usado el hecho de que



ψn (u + ct − y)dG(y) λe−λt dt



ψn (u + ct − y)dG(y) λe−λt dt

0

u+ct

∞

≤

 

dG(y) +

u+ct

 0

−k(u + ct − y) > 0

k(u+ct−y)

−

e



dG(y) λe−λt dt

cuando y > u + ct. Luego


70

∞

ψn+1 (u)

≤

∞

    0

k(u+ct−y)

−

e



dG(y) λe−λt dt

0

∞

∞

ku

−

= λe

kct

−

e

0



ky

e dG(y) e−λt dt

0

∞



e−(λ+kc)t M Y (k)dt

= λe−ku

0

= λM Y (k)e

∞

ku

−



e−(λ+kc)t dt

0

=

λM Y (k) −ku e . λ + kc

Por la ecuación 6.4 y la definición 6.3.6 se cumple λM Y (k) = λ [1 + (1 + θ)kµ] = λ + k(1 + θ)λµ = λ + kc.

Por lo tanto ψ n+1

≤

e−ku ; m´ as a´ un, ψ n

≤

e−ku para toda n y l´ım ψn (u) ≤ e−ku .

.

n→∞

El resultado anterior es importante pues permite conocer la relación entre el capital inicial u y la carga de seguridad θ, parámetros que están bajo el control del asegurador. Corolario 6.4.12. Sean {U t : t ≥ 0 } el modelo de Cramer-Lundberg, θ > 0 la carga de seguridad,

µ la media de las reclamaciones individuales y k el coeficiente de ajuste. Sup´ ongase que se desea tolerar una probabilidad de ruina α, entonces: 1. La carga de seguridad que se debe establecer es θ = capital inicial u. 2. El capital inicial que se necesita es u =

− ln α

k

u[M Y (− lnuα ) − 1] −µ ln α

− 1 cuando

se conoce el

cuando se conoce la carga de seguridad θ .

Demostraci´ on:

ln α y como k satisface la ecuación 6.4 u u[M Y (− lnuα ) − 1] M Y (k) − 1 θ θ −1= − 1. entonces 1 + (1 + )µk = M Y (k) de donde = −µ ln α µk

1. El teorema 6.4.11 implica que e−ku = α , luego k = −

ln α satisface la ecuación 6.4. Por el teorema 6.4.11 el capital u = u garantiza que ψ (u) ≤ e−ku = e ln α = α .

2. Notemos que k =

−

−

− ln α

k 

Corolario 6.4.13. Bajo los supuestos del modelo Cramer-Lundberg, se cumple que ψ (∞) = 0 y φ(∞) = 1. Demostraci´ on: Por el teorema 6.4.11 tenemos que

0 l´ım

≤

0

≤

u→∞

ψ (u) ≤ l´ım ψ (u) u→∞

ψ (∞)

Por lo tanto ψ (∞) = 0 y φ(∞) = 1 − ψ (∞) = 1.

≤ ≤ ≤

e−ku l´ım e−ku u→∞

0 

71

6.5. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES

6.5.

Ecuaciones integrodiferenciales

En esta sección trateremos de encontrar una fórmula expl´ıcita para la probabilidad de ruina ψ (u) (o equivalentemente a la probabilidad de supervivencia φ(u)), para ello definamos una nueva funci´ on. Definici´ on 6.5.1. Para u ≥ 0, x ≥ 0, F (u, x) representar´ a la probabilidad de que ocurra ruina

teniendo un capital inicial u y un déficit inmediatamente después de que ocurra la ruina de cuando mucho x. Observaci´ on 6.5.2. Para el evento descrito anteriormente tenemos que el super´ avit despu´ es de

ruina se encuentra entre 0 y −x, por lo que ψ (u) = l´ım F (u, x), u ≥ 0

(6.6)

x→∞

Teorema 6.5.3. Sea { U t : t ≥ 0} el proceso de Cramer-Lundberg. La funci´ on F (u, x) satisface:



∂ λ 1. F (u, x) = F (u, x) − ∂ u c

2. F (0, x) =

λ

c

u





F (u − y, x)dG(y) − [G(u + x) − G(u)] para u

0

≥

0.

x



[1 − G(y)]dy, para x ≥ 0 si existe el coeficiente de ajuste k.

0

Demostraci´ on: 1. Procederemos de nueva cuenta a trav´ es del análisis del primer paso, es decir, de la primera reclamaci´ on. Sabemos que el tiempo en el que se presenta la primera reclamación es exponencial con función de densidad λe−λt y que el superávit disponible al tiempo t es u + ct. Tenemos dos casos: ) Si el monto de la primera reclamació n es y con 0 ≤ y ≤ u + ct, entonces la primera reclamaci´ on no causará ruina pero el superávit disponible ahora será de u + ct − y. Por los incrementos estacionarios e independientes , la ruina con un déficit de a lo más x ocurrir´ıa posteriormente con probabilidad F (u + ct − y, x).

i

ii

) La otra posibilidad para que ocurra ruina con un déficit de a lo más x, es que el monto de la primera reclamación y sea tal que u + ct < y ≤ u + ct + x, en cuyo caso, la probabilidad est´ a dada por G(u + ct + x) − G(u + ct).

Aplicando la ley de probabilidad total tenemos que u+ct

∞

F (u, x) =

  0



F (u + ct − y, x)dG(y) + G(u + ct + x) − G(u + ct) λe−λt dt.

0

Mediante el cambio de variable z = u + ct, de donde dz = cdt, la ecuación anterior queda F (u, x) =

λ

c

∞

(λ/c)u

e



(λ/c)z

−

e

z





F (z − y, x)dG(y) + G(z + x) − G(z) dz,

0

u

luego, aplicando el teorema fundamental del cálculo al diferenciar la igualdad anterior con respecto a u por medio de la regla de Leibniz para el producto, obtenemos la igualdad ∂ λ λ F (u, x) = F (u, x) + e(λ/c)u ∂ u c c

de la cual se sigue el resultado.



(λ/c)u

−e

u

 0



F (u − y, x)dG(y) + G(u + x) − G(u)


72 2. Notemos que 0

≤

F (u, x) ≤ ψ (u) ≤ e−ku , luego 0 ≤ F (∞, x) = l´ım F (u, x) ≤ l´ım e−ku = 0, u→∞

∞

por lo tanto F (∞, x) = 0. También, si definimos τ (x) =



u→∞

F (u, x)du tenemos que

0

∞

0 < τ (x) =



∞

F (u, x)du ≤

0

 0

Integrando la ecuación del inciso a) con respecto a u desde 0 a ∞

  0

∞ tenemos

u

∞



 

∂ λ F (u, x) du = ∂ u c

1 < ∞. k

e−ku du =

F (u, x) −

0





F (u − y, x)dG(y) − [G(u + x) − G(u)] du,

0

es decir, F (∞, x) − F (0, x) =

λ

c



u

∞

τ (x) −

∞

  0



F (u − y, x)dG(y)du −

0



[G(u + x) − G(u)]du .

0

Utilizando que F (∞, x) = 0 e intercambiando el orden de integración para la integral doble obtenemos F (0, x) =

−

λ

c

∞



τ (x) −

∞

  0

∞

F (u − y, x)dudG(y) −





[G(u + x) − G(u)]du .

0

y

y realizando el cambio de variable v = u − y en la doble integral da como resultado F (0, x) =

=

=

=

=

=

−

−

−

−

λ

c λ

c

∞

∞

∞

                

λ

τ (x) −

c

F (v, x)dvdG(y) −

0

0

τ (x) −

c

∞

τ (x)dG(y) −

0

τ (x) − τ (x)

c

 

[G(u + x) − G(u)]du

0

∞

λ

[G(u + x) − G(u)]du

0

∞

λ



∞

dG(y) −

0

[G(u + x) − G(u)]du

0

∞

λ

τ (x) − τ (x) −

c

[G(u + x) − G(u)]du

0

∞

[G(u + x) − G(u)]du

0

∞

∞

[1 − G(u)]du −

0

[1 − G(u + x)]du

0

Realizamos los cambios de variables y = u y y = u + x en la primera y segunda integral, respectivamente, para obtener F (0, x) =

λ

c

∞

 0

∞

[1 − G(y)]dy −

 x

x

 

[1 − G(y)]dy =

λ

c

[1 − G(y)]dy.

0



Observaci´ on 6.5.4. El teorema 6.5.3 2) es v´ alido aunque no exista el coeficiente de ajuste.

73

6.5. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES

Corolario 6.5.5. La probabilidad de supervivencia sin capital inicial satisface

φ(0) =

θ

1+θ

(6.7)

∞

Demostraci´ on: Recordemos que µ =



[1 − G(y)]dy y por el teorema 6.5.3 2) se cumple que

0

ψ (0) = l´ım F (0, x) = x→∞

θ

Por lo tanto φ (0) = 1 − ψ (0) =

1+θ

∞

λ



c

[1 − G(y)]dy =

0

λµ

c

=

1 . 1+θ

.



La soluci´ on general a φ (u) puede ser obtenida con la siguiente ecuación integrodiferencial sujeta a la condición inicial 6.7. Teorema 6.5.6. La probabilidad de supervivencia satisface

φ (u) =

λ

c



u

φ(u) −





φ(u − y)dG(y) , u ≥ 0.

0

(6.8)

Demostraci´ on: Por el teorema 6.5.3 1) cuando x → ∞ y la ecuaci´ on 6.6 tenemos 

ψ (u) =

u



λ

ψ (u) −

c





ψ (u − y)dG(y) − [1 − G(u)] , u ≥ 0.

0

(6.9)

Como φ (u) = 1 − ψ (u), la ecuación 6.9 queda

−φ



λ

(u) =

c λ

=

c λ

=

c

  

u

[1 − φ(u)] −



[1 − φ(u − y)]dG(y) − [1 − G(u)]

0

u

−φ(u) −

 

u

dG(y) +

0



φ(u − y)dG(y) + G(u)

0

u

−φ(u) +

 



φ(u − y)dG(y) .

0



Observemos que las ecuaciones 6.8 y 6.9 sirven para encontrar ψ (u). Es cuestión de gustos si seleccionamos una o la otra; sin embargo, la ecuación 6.8 es algebraicamente más simple. Desafortunadamente, la solución para el caso general de la función de pérdida individual G(y) no siempre es sencilla. Ejemplo 6.5.7. Supongamos que las p´ erdidas individuales se distribuyen exponencial con media µ. Determina φ(u). Soluci´ on: Por el teorema 6.5.6 tenemos que

φ (u) = 

λ

c



φ(u) −

1 µ

u



y/µ

−

φ(u − y)e

0

dy



luego, realizando el cambio de variable x = u − y obtenemos 

φ (u) =

λ

c



φ(u) −

1 −u/µ e µ

u

 0

x/µ

φ(x)e



dx .

Para eliminar la integral en la ecuación anterior, derivamos con respecto a u

(6.10)


74



1 φ (u) = φ (u) + 2 e−u/µ c µ λ





u



x/µ

φ(x)e

dx −

0



1 φ(u) . µ

Usando la ecuaci´ on 6.10 tenemos 

φ (u)

=

λ

c



φ (u) −



=

 

φ (u)

=

−

φ (u),

λ

c

−



1 λ φ(u) + φ(u) − φ (u) µc µ c λ

1 µ

θ

µ(1 + θ )

θ

φ (u) = 0 que se resuelve por medio del µ(1 + θ) factor integrante e θu/[µ(1+θ)] , por lo que tenemos, despu´ es de realizar la multiplicaci´ on, la ecuación diferencial

es decir, tenemos la ecuación diferencial φ (u) +

d θu/[µ(1+θ)]  φ (u) = 0 e du que al integrar con respecto a u nos da





eθu/[µ(1+θ)] φ (u) = K 1 . De la ecuación 6.10 con u = 0 y usando la ecuación 6.7 tenemos K 1 = φ  (0) =

λ

θ

c 1+θ

θ

=

µ(1 + θ )2

.

Por lo tanto, θ



φ (u) =

µ(1 + θ )2

exp



−

θu

µ(1 + θ)



,

que cuando lo integramos de nuevo con respecto a u obtenemos 1 φ(u) = − exp 1+θ De nuevo, la ecuación 6.7 nos dice que φ (0) = φ(u) = 1 −



−

θu

µ(1 + θ )

θ

1+θ

1 exp 1+θ





+ K 2 .

, luego K 2 = 1 y finalmente tenemos que

−

θu

µ(1 + θ)



. 

6.6.

Las p´ erdidas m´ aximas agregadas

En esta sección encontraremos una solución general a la ecuación integrodiferencial 6.8 sujeto a las condiciones de frontera 6.7 y φ (∞) = 1. Comenzando con una reserva inicial de u, la probabilidad de que el superávit esté por debajo del nivel inicial es ψ (0) porque el proceso de superávit tiene incrementos estacionarios e independientes. Por lo tanto, la probabilidad de caer por debajo del nivel inicial u es la misma para toda u, en particular para u = 0 la probabilidad es ψ (0). El resultado clave se enuncia a continuación. Notar que la función f e (y) del teorema es la misma funci´ on que se definió en 6.4.9.

´ ´ 6.6. LAS P ERDIDAS M AXIMAS AGREGADAS

75

Teorema 6.6.1. Dado que existe un salto por debajo del capital inicial u, la variable aleatoria Y

que representa la cantidad de ese salto inicial tiene funci´ on de densidad f e (y) =

1 − G(y) . µ

Demostraci´ on: Recordemos la funci´ on F (u, y) definida en 6.5.1. Como el proceso de superávit tiene

incrementos estacionarios e independientes, F (0, y) representa la probabilidad de que el superávit caiga debajo de su nivel inicial y la cantidad de este salto sea a lo más y. Por el teorema 6.5.3 2), el tama˜ no del salto dado que existió un salto, tiene función de distribuci´ on P (Y ≤ y) = = =

F (0, y) ψ (0) λ cψ (0)

1 µ

y



y



[1 − G(u)]du

0

[1 − G(u)]du

0

Derivando ambos lados de la igualdad anterior obtenemos el resultado.



Si existe un salto de y, el superávit inmediatamente después del salto es u − y, y como el proceso tiene incrementos estacionarios e independientes, la ruina ocurre posteriormente con probabilidad ψ (u − y) cuando u − y es no negativo; de otro modo, la ruina habrá ocurrido. La probabilidad de que un nuevo salto caiga por debajo del nuevo capital u − y es ψ (0), la cantidad de ese segundo salto tiene función de densidad f e (y) y es independiente del primer salto. Debido a la propiedad de p´ erdida de memoria para el proceso Poisson, el proceso “comienza” en cada salto. Por lo tanto, el número de saltos K se distribuye geométricamente, es decir, θ

k

P (K = k) = [1 − ψ (0)][ψ (0)] =

1+θ

  1 1+θ

k

, k = 0, 1,...

Después de un salto, el capital comienza de nuevo a incrementarse. Por lo tanto, el nivel más bajo de superávit es u − L donde L se conoce como la Pérdida máxima agregada y representa el total de todos los saltos (reclamaciones). Sea Y j el tamaño del j −ésimo salto, debido a que el proceso tiene incrementos independientes y estacionarios, { Y 1 , Y 2 ,...} es una sucesión de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (cada una con densidad f e (y)). Como el número de saltos es K , se sigue que L = Y 1 + · · · + Y K con L = 0 si K = 0. Por lo tanto, L es una variable aleatoria geométrica compuesta con f e (y) como la densidad del tamaño de la reclamación. Claramente, la sobrevivencia con capital inicial u ocurre si la pérdida máxima agregada L no excede a u, es decir, φ(u) = P (L ≤ u), u ≥ 0.

Sea F e∗0 (y) = 0 si y < 0 y 1 si y ≥ 0; definimos F e∗k (y) = P (Y 1 + · · · + Y k ≤ y ) la distribuci´ on acumulada de la k−ésima convolución de la distribución Y consigo misma. Entonces tenemos la soluci´ on general ∞

φ(u) =

   k=0

θ

1+θ

1 1+θ

k

F e∗k (u), u ≥ 0.

En términos de la probabilidad de ruina, esta solución general puede ser expresada como ∞

ψ (u) =

  

k=1 k

k

θ

1+θ

1 1+θ

k

S e∗k (u), u ≥ 0.

donde S e (u) = 1 − F e (u). Evidentemente, φ(u) es la función de supervivencia asociada con la variable aleatoria geométrica compuesta L, y su soluci´ on anal´ıtica ∗

∗


76

6.7.

Ejercicios

1. Considera el ejemplo 6.2.9 para calcular ψ˜(2, 2) y la distribuci´ on de U 2∗ mediante los siguientes pasos: a ) Construye una tabla para que indique los valores u j y f j . b) Para cada j del inciso anterior, construye una tabla que contenga prima, interés, pérdida, descuento, w j,k y g j,k . c ) Utiliza la ecuación 6.1 para calcular ψ˜(2, 2). d ) Utiliza la ecuaci´ on 6.2 para calcular la distribución de U 2∗ mediante una tabla que contenga wj,k , u j , x y P (U 2∗ = x). 2. Bajo las condiciones del ejemplo 6.2.9, distribuye las probabilidades para el super´ avit al final del segundo a˜ no usando una distancia h = 2. 3. Proporciona todos los detalles del ejemplo 6.2.11. 4. Realiza el ejercicio 1 utilizando la transformada r´ apida de Fourier y rediscretizando para mantener un intervalo de 5. 5. Sea W una variable aleatoria con distribución exponencial de media 1/λ. Demuestra que W satisface la propiedad de pérdida de memoria, es decir, P (W > t + s|W > s) = e−λt = P (W > t). 6. Demuestra que el proceso {S t : t ≥ 0} que describe el monto total de las reclamaciones en tiempo continuo tiene incrementos independientes y estacionarios. 7. Demuestre la proposici´ on 6.3.5. 8. Considera el proceso Poisson { N t : t ≥ 0} con tasa λ > 0 que modela el número de reclamaciones hasta el tiempo t. Definamos T i como el tiempo de ocurrencia de la i −ésima reclamación. Demuestra que: a ) N t ≥ i si y sólo si T i

≤

t.

b) T i sigue una distribución Gamma(i, 1/λ). N t

9. Considera el modelo S t =



Y j que describe el monto total de las reclamaciones hasta el

j=1

tiempo t donde {N t } es un proceso Poisson de tasa λ > 0. Si Y j se distribuyen exponencial con media 1/µ y en el caso de que no se paguen primas, determina el tiempo esperado que tendr´ a la aseguradora antes de tener capital negativo si su capital inicial es u. 10. Considere el proceso de Cram´ er-Lundberg para demostrar que: a ) E (U t ) = u + (c − λµ)t. b) V ar(U t ) = λ E [Y 2 ]t. c ) M Ut (r) = exp[r(u + ct) + λt(M Y (−r) − 1)]. 11. Sean {U 1 (t); t ≥ 0} y {U 2 (t); t ≥ 0} dos procesos de riesgo clásico independientes donde las distribuciones Poisson de cada proceso tienen tasas 5 y 10, respectivamente. Calcule la probabilidad de que la primera reclamaci´ on provenga del primer riesgo. 12. Sea { U t : t

≥

0} el proceso de Cramer-Lundberg. Sea a > 0.

a ) Demuestra que { U at : t

≥

0} es también un proceso de Cramer-Lundberg.

b) Describa las caracter´ısticas del proceso y la interpretación que puede tener.

77

6.7. EJERCICIOS

13. Suponga que las reclamaciones en el modelo de Cramér-Lundberg siguen una distribuci´ on gamma de parámetro 2 y β . Calcule el coeficiente de ajuste. 14. Suponga que las reclamaciones en el modelo de Cramér-Lundberg tienen la siguiente función densidad 3 f (y) = e −2y + e−3y , y > 0. 2 Si c = 3, λ = 4, determina el coeficiente de ajuste. 15. Suponga que las reclamaciones en el modelo de Cramér-Lundberg tienen la siguiente función densidad f (y) =



β −β y e , y > 0, β > 0. πy

Determina el coeficiente de ajuste. 16. Considera las condiciones del ejemplo 6.4.3 con θ = 0.32 para determinar el coeficiente de ajuste. 17. Si c = 2.99, λ = 1 y la distribución de las pérdidas individuales es P (Y = 1) = 0.2, P (Y = 2) = 0.3 y P (Y = 3) = 0.5, utiliza el m´ etodo de Newton-Raphson para calcular el coeficiente de ajuste. 18. Resuelve el ejercicio 14 utilizando el m´ etodo numérico de Newton-Raphson con k0 igual a la cota dada en la proposición 6.4.5. 19. Demuestra que la función f e (y) definida en 6.4.9 es una función de densidad. 20. Este ejercicio demuestra que las definiciones 6.4.1 y 6.4.9 son equivalentes. Demuestra que: a ) l´ım eky [1 − G(y)] = 0. y→∞

∞

b) M Y (k) = 1 + k



eky (1 − G(y))dy.

0

c ) k satisface la ecuación 6.4. 21. Sea Y una variable que representa la p´ erdida individual tal que E [Y 3 ] es conocido. Sea µ = E [Y ] y θ > 0 el factor de carga. Demuestra que a ) k < b)

−3E [Y 2 ] +

−3E [Y 2 ] +

6.4.5).



9(E [Y 2 ])2 + 24θ µE [Y 3 ] . 2E [Y 3 ]



9(E [Y 2 ])2 + 24θµE [Y 3 ] 2θ µ < (la cota encontrada en la proposición 3 2E [Y ] E [Y 2 ]

22. Sean f e (y) como en la definición 6.4.9, µ = E [Y ] y θ > 0 la carga de seguridad. Demuestra que: ∞

a )



yf e (y)dy =

0

E [Y 2 ] . 2µ

2µ ln(1 + θ ) . (Hint: Utilice la desigualdad de Jensen). E [Y 2 ] c ) La cota del inciso (b) es menor que la cota de la proposición 6.4.5.

b) k

≤

m

d )

 0

eky f e (y)dy

≤

ekm cuando el valor máximo valor de una reclamación individual es m.


78 e ) k

≥

1 ln(1 + θ ) cuando el valor máximo valor de una reclamación individual es m. m

23. Investigue un m´ etodo num´ erico diferente al de Newton-Raphson para encontrar ra´ıces de f (x) = 0. Explique en qu´ e consiste y cómo se utilizar´ıa para resolver la ecuación 1 + (1 + θ )µt − M Y (t) = 0. 24. Definimos la función de tasa Hazard para una variable aleatoria continua Y con función de g(y) g(y) densidad g(y) y distribución G(y) como h(y) = = . Supongamos que f e (z), 1 − G(y) S (y) definida en 6.4.9, es la función de densidad de la variabel Z para z ≥ 0; µ = E [Y ] y θ > 0 es la carga de seguridad. Demuestra que: ∞

a ) Si G(y) tiene una tasa Hazard decreciente entonces



f e (z)dz

≥

1 − G(x) para x

≥

0.

x

b) P (Z > z ) ≥ P (Y > z) para z ≥ 0. c ) P (ekZ > t) ≥ P (ekY > t) para t d )

E [ekZ ] ≥

e ) k

≤

kY

E [e

θ

µ(1 + θ)

≥

1.

].

.

25. Sean k > 0 el coeficiente de a juste y G la función de distribución de la variable Y . Supongamos ∞

ky

−

que S (y) ≤ ρe



ekx dG(x) para 0 < ρ

≤

1, donde S (y) = 1 − G(y). Demuestra que:

y

a ) ψ (u) ≤ ρe−ku para u

≥

0.

∞

b)



∞

ky

kx

e dG(y) = e S (x) + k

x



eky S (y)dy para x

≥

0.

x

26. Supóngase que G(y) tiene una tasa Hazard decreciente y µ = E [Y ]. Demuestra que: a ) S (y) ≥ S (x)S (y − x) para x

≥

0 y y ≥ x. ∞

b) Usa el ejercicio 25 para demostrar que se cumple S (y)

≤ ρe

ky

−



ekx dG(x) cuando

y

ρ−1 = E [ekY ].

c ) Usa la ecuación 6.4 para concluir que ψ (y) ≤ [1 + (1 + θ)kµ]−1 e−ky , para y

≥

0.

d ln S (y) que satisface h(y) ≤ m < dy y ≥ 0. Use el ejercicio 25b) para demostrar que si ρ = 1 − k/m:

27. Supongamos que G(y) tiene una tasa Hazard h(y) =

−

∞,

∞

a ) S (y) ≤ ρe

ky

−



ekx dG(x).

y

b) ψ (y) ≤ (1 − k/m)e−ky para y ≥ 0. (Hint: Utiliza que para x > y , S (x) ≥ S (y)e−(x−y)m .) 28. Suponga que las reclamaciones en el modelo de Cramér-Lundberg siguen una distribuci´ on exponencial de parámetro α = 1. Suponga además que λ = 1/2 y c = 2. Observe que se cumple la condición de ganancia neta c > λ µ. ¿Cu´ al debe ser el capital inicial u para que la probabilidad de ruina sea menor o igual a 0.01? 29. Supongamos que una aseguradora tiene un capital inicial de $1,000,000. La aseguradora usa el proceso de ruina de Cramer-Lundberg para modelar su capital a través del tiempo. Se sabe que el n´ umero de reclamaciones promedio por mes son dos y cada una de ellas tiene una distribuci´ on exponencial de media $10,000. Determina:

79

6.7. EJERCICIOS

a ) La prima que debe cobrarse el primer mes para que la probabilidad de ruina sea a lo más α = 0.001, 0.01, 0.1, 0.5. b) ¿Cuál de las cuatro primas anteriores se prefiere y por qu´ e? 30. Considera la probabilidad de ruina ψ (u) cuando se tiene un capital inicial de u, para demostrar que: a ) ψ es una función no creciente. b) l´ım ψ (u) = 0 cuando existe el coeficiente de ajuste. Interprete el resultado. u→∞

31. Sup´ ongase que las reclamaciones Y en un proceso de ruina tienen la siguiente dinámica: primero se selecciona un valor X de entre 3 y 7, cada uno con probabilidad 1 /2. Luego, condicional a X = x, la reclamación Y se selecciona de una distribuci´ on exponencial de media 1/x. Determina: a ) El coeficiente de ajuste k si θ = 2/5. b) La carga de seguridad θ si k = 2. 32. Sup´ ongase que la carga de seguridad es θ = 0.32, el capital inicial es u = 1,000,000 y las reclamaciones son Y = m´ın{X, 100,000} donde X es una variable aleatoria con distribución exponencial de media 10,000. Encuentra la cota más fina posible para la probabilidad de ruina. ¿Sugiere alg´ un cambio en la prima? Explique la respuesta. 33. Sup´ ongase que el monto de las reclamaciones tiene distribución F (y) = 1 − ey/µ . Demuestra que: a ) F (u, x) = ψ (u)G(y) usando el teorema 6.5.3 1). b) La distribuci´ on del déficit inmediatamente después de que ocurre ruina, dado que la ruina ocurre, tiene distribución exponencial con media µ. 34. Este ejercicio envuelve la derivación de las ecuaciones integrales llamadas ecuaciones de renovaci´ on defectuosa para F (u, x) y ψ (u). Lo siguiente puede ser urilizado para obtener propiedades de estas funciones: a ) Integra la igualdad del teorema 6.5.3 1) con respecto a u de 0 a t y utiliza la igualdad del inciso 2) del mismo teorema para demostrar que F (t, x) es igual a λ

c



t

Λ(t, x) −

donde



x

Λ(t − y, x)dG(y) +

0



t



[1 − G(y)]dy −

0

y

Λ(y, x) =



t

[1 − G(u)]du +

0





[1 − G(u + x)]du ,

0

F (v, x)dv.

0

t

b) Use integración por partes sobre la integral



Λ(t −

y, x)dG(y) para demostrar que

0

F (t, x) =

λ

c

t





Λ(t, x) −

F (t − y, x)G(y)dy +

0

x+t



t

[1 − G(y)]dy −

0





[1 − G(u)]du .

0

c ) Demuestra que F (u, x) =

λ

c

u



x+u

F (u − y, x)[1 − G(y)]dy +

0





[1 − G(y)]dy .

u

d ) Demuestra que ψ (u) =

λ

c

u

 0

∞

ψ (u − y)[1 − G(y)]dy +

 u



[1 − G(y)]dy .

Teoría de la Ruina

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