Teorema de Castigliano

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO TEOREMA DE MAXWELL Y BETTI TRABAJO VIRTUAL Introducción

El método de energ! t"ene #!r"!$ "nter%ret!&"one$' En e$te tr!(!)o !n!l"*!mo$ el método de energ! +t"l"*!ndo el %r"n&"%"o de de$%l!*!m"ento$ #"rt+!le$' El %r"n&"%"o de lo$ de$%l!*!m"ento$ de$%l!*!m"ento$ #"rt+!le$ e$ +n %r"n&"%"o %r"n&"%"o gener!l ,+e %erm"te el e$t+d"o de lo$ e$t!do$ de e,+"l"(r"o de lo$ $"$tem!$ de-orm!(le$'  De !&+erdo &on e$te %r"n&"%"o el e$t!do de e,+"l"(r"o del $"$tem! $e &!r!&ter"*! %or el .e&.o de ,+e l! $+m! de tod!$ l!$ -+er*!$ "ntern!$ / e0tern!$ en &+!l,+"er  &+!l,+"er  de$%l!*!m"ento e$ &ero' L! rel!&"1n entre +n! &!rg! !%l"&!d! ! +n! m!,+"n! o ! +n! e$tr+&t+r! $on l!$ de-orm!&"one$ ,+e e$ +n! %!rte "m%ort!nte en l! me&2n"&!' E$t! rel!&"1n entre &!rg! / de-orm!&"1n $e %+ede determ"n!r / e0%re$!r de #!r"!$ m!ner!$' L! !%l"&!&"1 !%l"&!&"1nn m2$ -re&+en -re&+ente te de l!$ té&n"&!$ té&n"&!$ energét" energét"&!$ &!$ e$t2 en &2l&+lo &2l&+lo de %end"ente$ / de-le0"one$ de #"g!$3 m!r&o$3 !rm!d+r!$ / otr!$ e$tr+&t+r!$' L!$ de-orm!&"one$ de lo$ m"em(ro$ &+r#o$3 el !n2l"$"$ de &!rg!$ de "m%!&to3 / el mo#"m"ento de l!$ !rm!d+r!$ $on lo$ %ro(lem!$ en ,+e e$t!$ té&n"&!$ o-re&en +n! &l!r! #ent!)! $o(re l!$ té&n"&!$ !n!lt"&!$ !ltern!t"#!$' 4!/ m+&.!$ m+&.!$ té&n"& té&n"&!$ !$ ,+e e$t!n e$t!n (!)o (!)o l! !m%l"! !m%l"! &l!$" &l!$"-"& -"&!& !&"1 "1nn de mét métod odo$ o$ energét"&o$ en e$to $e en&+entr! el tr!(!)o re!l3 el tr!(!)o #"rt+!l / el teorem! de &!$t"gl"!no $on lo$ m2$ "m%ort!nte$'

Segundo teorema de castigliano

En 56 56783 783 Al(er Al(erto to &!$t" &!$t"gl" gl"!n !noo en en+n& +n&"o "o +n teo teorem rem!! ,+ ,+ee no no$$ %e %erm" rm"te te en en&o &ontr ntr!r  !r  &+!l,+"er &om%onente de de-le0"1n de +n! e$tr+&t+r! ! %!rt"r de l! energ! de de-orm!&"1n de l! m"$m!'  Al ! #erlo !%l"&!do ! l!$ re!&&"one$ re!&&"one$ red+nd!nte$ red+nd!nte$ de +n! e$tr+&t+r! e$tr+&t+r! "ndeterm"n!d!3 "ndeterm"n!d!3 $e o(t o(t"e "ene ne +n &orol! &orol!r"o r"o ,+ ,+ee $e &on &ono&e o&e t!m(" t!m("én én &omo &omo $eg+ $eg+ndo ndo teor teorem! em! de &!$t"gl"!no' El teorem! or"g"n!l d"&e9 L! &om%onente de de-le0"1n del %+nto de !%l"&!&"1n de +n! !&&"1n $o(re +n! e$tr+&t+r!3 en l! d"re&&"1n de d"&.! !&&"1n3 $e %+ede o(tener e#!l+!ndo l! %r"mer! der"#!d! %!r&"!l %!r&"!l de l! energ! "ntern! de de-orm!&"1n de-orm!&"1n e$tr+&t+r! &on re$%e&to ! l! !&&"1n !%l"&!d!' El teorem! e$ !%l"&!(le t!nto ! -+er*!$ &omo ! momento$3 o(ten"éndo$e en el %r"mer &!$o l! &om%onente de de-le0"1n en l! d"re&&"1n de l! -+er*! / en el $eg+ndo l! rot!&"1n en el %l!no del momento' :!r! demo$tr!rlo $e %+ede +t"l"*!r l! #"g! -"g+r! mo$tr!d! en l! ,+e $e $+%one ,+e e0"$te +n! rel!&"1n l"ne!l entre &!rg!$ / de-le0"one$' En l! %!rte ;!< de l! m"$$m! $e &o m" &onn$"d $"der! ,+e l! -+e -+er*! r*!$ : / = $e .!n !%l"&! "&!do gr!d r!d+!l / $"m+lt2ne!mente / l! de-le&t!n $eg>n l! lne! de tr!*o$' En #"rt+d del $+%+e$to de l"ne!l"d!d entre &!rg!$ / de-le0"one$3 el tr!(!)o e0tremo re!l"*!do3 ,+e e$ "g+!l ! l! energ! "ntern! de de-orm!&"1n3 &omo $e demo$tr1 !nter"ormente3 e$t2 d!do %or9 W

?

 P ∆ P 2

 @

Q ∆Q 2

S" $e le !!de !.or! el $"$tem! +n! %e,+e! &!rg! d: &on l! m"$m! d"re&&"1n / $ent"do de l! &!rg! : or"g"n!l' Se %rod+&"r2 +n! de-le0"1n !d"&"on!l $eg>n $e "nd"&! en l! %!rte ;(< de l! m"$m! -"g+r!' A $+ #e* re$+lt! +n tr!(!)o !d"&"on!l9

dW?:;d%<@

d P ( d Δ P ) 2

 @ =;d=<

Y $" $e de$%re&"! el %rod+&to de l!$ do$ d"-eren&"!le$ d"&.o tr!(!)o $e red+&e !9

dW?:;d%<@ =;d=<

El m"$mo e$t!do -"n!l $e %odr! .!(er o(ten"do !%l"&!ndo de$de el %r"n&"%"o ;: @ d:< / =3 gr!d+!l / $"m+lt2ne!mente' E$ e#"dente ,+e en t!l &!$o $e o(tendr! de +n! #e* l! %o$"&"1n de-le&t!d! de l! %!rte ;(< de l! -"g+r! / en &on$e&+en&"! el tr!(!)o tot!l e0terno e$t!r! d!do %or9

WT ? ;

P + dP

<;: @ d:< @

2

Q 2

;= @ d=<

=+e !l de$%re&"!r de n+e#o el %rod+&to de do$ d"-eren&"!le$ $e &on#"erten en9

WT ?

 PΔP 2

 @

( P + d ∆ P ) 2

 @:

dP 2

 @

Q ∆Q 2

 @

Q ( d ΔQ ) 2

:ero dW? WT  W %or &on$"g+"ente3 de l!$ e&+!&"one$ !nter"ore$ $e o(t"ene9 dW ?

 P ( d Δ P) 2

 @ :

dP 2

 @

Q ( d ΔQ ) 2

De$%e)!mo$ !.or! l! e&+!&"1n9

=;d=< ? dW  :;d :< Reem%l!*!ndo e$te #!lor en l! e&+!&"1n !nter"ormente o(ten"d! de l! e&+!&"1n dW re$+lt!9

dW ? :;d:< @ : ;d:< @ dW F :;d:<

Y de$%e)!ndo9

: ?

dW  dP

=+e er! lo ,+e ,+er! demo$tr!r3 %+e$ el .e&.o de .!(er m!nten"do ! = &on$t!nte3 e,+"#!le m!tem2t"&!mente ! der"#!r %!r&"!lmente &on re$%e&to ! :' %or  lo t!nto3 el teorem! de &!$t"gl"!no $e %+ede e0%re$!r en gener!l !$9

: ?

∂W  ∂P

S" el $"gno de l! re$%+e$t! d! neg!t"#o ,+"ere de&"r ,+e l! de-le0"1n e$ o%+e$t! !l $ent"do de l! !&&"1n &on re$%e&to ! l! &+!l $e tom1 l! der"#!d!' S" $e ,+"ere !#er"g+!r l! de-le0"1n en +n %+nto donde no .!/ !%l"&!d! n"ng+n! !&&"1n3 o en +n! d"re&&"1n d"$t"nt! de l! !&&"1n !%l"&!d!3 $en&"ll!mente $e !%l"&! +n! !&&"1n "m!g"n!r"! en el $"t"o / d"re&&"1n de$e!do$ .!$t! en&ontr!r l! der"#!d! %!r&"!l de l! energ! de de-orm!&"1n9 l+ego l! !&&"1n "m!g"n!r"! $e "g+!l! ! &ero' Gener!lmente $e !.orr! t"em%o $" l! der"#!&"1n $e e-e&t>! !nte$ de "ntegr!r l!$ e0%re$"one$ ,+e d!n l! energ! de de-orm!&"1n3 &omo $e "l+$tr! ! &ont"n+!&"1n' :or &on$"g+"ente3 $" $e re,+"ere !#er"g+!r +n! de-le0"1n l"ne!l en +n! !rm!d+r!3 (!$t! !%l"&!r9

;:
∂ ∂P

 

S2 L 2  AE

(

 ? S

 ∂ S ) ∂P

 L  AE

L!$ de-le0"one$ l"ne!le$ %or -le0"1n e$t!n d!d!$ %or9

;:<- ?

∂ ∂P

2

 H

M  dx 2 EI 

 ?H M

(

∂ M   ) ∂P

dx  EI 

 :!r! $e&&"one$ re&t!ng+l!re$  F 5'3 &"r&+l!re$  F 5K3 %er-"le$ W9   5 / $e tom! &omo A el 2re! del !lm!'  :!r! $e&&"one$ re&t!ng+l!re$ de d"men$"one$ . / ( ;.(<9 J ? &(P. 4

1

C?

10

 Q

b 1− 4 12 h b 16 −3.36  ¿ h 3

<

El e-e&to de &orte e$9 2

;:
( )

¿ ∂  K ∫  V  dx = K ∫ V  ∂V  dx ∂P ∂ P  AG 2 AG

Y el de tor$"1n9 2

;:
( )

∂  T  dx ∂ T   dx ∫  ¿  = ∫ T  ∂ P 2 JG ∂ P JG

S" $e ,+"eren !#er"g+!r rot!&"one$3 en el l!do "*,+"erdo de l!$ e0%re$"one$ !nter"ore$ $e e$&r"("r! ϴ / l!$ der"#!d!$ %!r&"!le$ $e tom!r!n &on re$%e&to ! +n momento !%l"&!do en el %+nto de l! rot!&"1n de$e!d!' En todo$ lo$ &!$o$ e$ m+/ "m%ort!nte d!r l!$ -+er*!$ "ntern!$ de $"gno$ !%ro%"!do$'

El teorem! de &!$t"gl"!no $e %+ede !%l"&!r ! &+!l,+"er &om%onente de re!&&"1n' S" $e t"ene en &+ent! ,+e l! de-le0"1n &orre$%ond"ente e$ n+l!3 e$ &l!ro ,+e en t!l &!$o lo$ l!do$ dere&.o$ de l!$ e&+!&"one$ de de-le0"one$ de(er!n d!r &ero' E$t! o($er#!&"1n &on$t"t+/e en el &orol!r"o del teorem! / re$+lt! m+/ >t"l %!r! e#!l+!r  l!$ re!&&"one$ red+nd!nte$ en e$tr+&t+r! e$t2t"&!mente "ndeterm"n!d!$' Corol!r"o9 L! der"#!d! %!r&"!l de l! energ! "ntern! de de-orm!&"1n de +n! e$tr+&t+r! &!rg!d!3 &on re$%e&to ! +n &om%onente de re!&&"1n3 e$ "g+!l ! &ero' S" el $"gn"-"&!do m!tem2t"&o del en+n&"!do !nter"or / $e !%l"&! ! +n! e$tr+&t+r! "ndeterm"n!d!3 el &orol!r"o %+ede e0%re$!r$e en +n! -orm! !ltern!' En &+!l,+"er e$tr+&t+r! "ndeterm"n!d! $omet"d! ! &!rg! lo$ #!lore$ de l!$ red+nd!nte$ de(en $er t!le$ ,+e .!g!n mn"m! l! energ! tot!l "ntern! de de-orm!&"1n el2$t"&! ,+e re$+lt! de l! !%l"&!&"1n del $"$tem! de &!rg! d!do'  A%l"&!ndo en e$t! -orm! d! or"gen !l método del tr!(!)o mn"mo3 ,+e re$+lt! m+/ e-e&t"#o %!r! !n!l"*!r e$tr+&t+r!$ !rt"&+l!d!$ "ndeterm"n!d!$ / en l! -orm+l!&"1n de l!$ m!tr"&e$ de r"g"de* +t"l"*!d!$ en el !n2l"$"$ m!tr"&"!l de e$tr+&t+r!'

Teorema de Maxwell y Betti Teorema de maxwell de las deflexiones reciprocas

M!0ell -orm+lo $+ teorem! de l!$ de-le0"one$ re&"%ro&!$ de 5683 %ero %or no demo$tr!rle !%l"&!&"1n %r2&t"&! $olo #"no ! $er !%re&"!do en 56683 &+!ndo MllerF Bre$l!+ %re$ento $+ #er$"1n del método M!0ellFMo.r'

Con$"der!ndo el %ro%1$"to de l! -"g+r!3 !l !%l"&!rle +n! -+er*! .or"*ont!l en A l! e$tr+&t+r! $e de-orm! de l! m!ner! "nd"&!d! en ;!<3 donde $e .!n +t"l"*!do &oe-"&"ente$ de "n-l+en&"! de-"n"do$ !$9

Dij = De$%l!*!m"ento de "3 en l! d"re&&"1n de l! &!rg! !%l"&!d! en "3 %rod+&"do %or +n! &!rg! +n"t!r"! !%l"&!d! en ) / el %r"n&"%"o de $+%er%o$"&"1n' S"m"l!rmente3 $" $e !%l"&! +n! &!rg! #ert"&!l : B en B3 $e o(t"ene l! de-orm!&"1n de ;(<' S" !m(!$ &!rg!$ $e !%l"&!n gr!d+!l / $"m+lt2ne!mente3 el tr!(!)o tot!l e0terno %rod+&"do %or ell! $er29

W?

 P A  A ¿ 1 2

 P ¿

D AA @ :B D AB < @

1 2

 :B;: A DBA @ :B DBB <

S" $olo $e !%l"&! : A 3 $e e-e&t+!r! +n tr!(!)o9 1

WI ?

2

 P A

; : A D AA <

Y $" de$%+é$ de ,+e : A !l&!n&e $+ #!lor -"n!l $e !%l"&! gr!d+!lmente : B3 .!(r2 +n tr!(!)o !d"&"on!l9 1

WII ? :A ;:B D AB < @

 :B;:B DBB <

2

:ero %or el %r"n&"%"o de $+%er%o$"&"1n el tr!(!)o re!l"*!do e$ "nde%end"ente de l! $e&+en&"!' De !. ,+e9 W ? WI @ WII Y $" reem%l!*!mo$ lo$ #!lore$ re$%e&t"#o$ d!do$ !rr"(! re$+lt!9 1 2

 :B : A DBA ?

1 2

 : A :B D AB

DBA ? D AB Y gener!l"*!ndo9

D") ? D )" Como " / ) $on do$ %+nto$ &+!le$,+"er!3 el teorem! de M!0ell de l!$ de-le0"one$ re&"%ro&!$ $e %+ede en+n&"!r &omo $"g+"ente9 5'F &+!l,+"er &om%onente l"ne!l de de-le0"1n de +n %+nto " ,+e re$+lte de l! !%l"&!&"1n de +n! -+er*! +n"t!r"! en &+!l,+"er otro %+nto )3 e$ "g+!l en m!gn"t+d ! l! &om%onente l"ne!l de l! de-le0"1n de ) ;en l! d"re&&"1n de l! -+er*! !%l"&!d! "n"&"!lmente en )<3 ,+e re$+lt! de l! !%l"&!&"1n de +n! -+er*! +n"t!r"! en " en l! m"$m! d"re&&"1n de l! &om%onente or"g"n!l de l! de-le0"1n en "' L! m"$m! ded+&&"1n $e %+ede .!&er %!r! el &!$o de rot!&"one$ de("d!$ ! momento$3 o %!r! l! &om("n!&"1n de +n de$%l!*!m"ento l"ne!l / +n! rot!&"1n3 re$+lt!ndo enton&e$ otr!$ do$ %ro%o$"&"one$' 'F El g"ro en &+!l,+"er %+nto " de +n! e$tr+&t+r!3 &!+$!do %or +n momento +n"t!r"o !%l"&!do en &+!l,+"er otro %+nto )3 e$ "g+!l en m!gn"t+d !l g"ro de ) %rod+&"do %or  +n momento +n"t!r"o !&t+!ndo en "' o $e!9

") ?  )"

P'F C+!l,+"er &om%onente l"ne!l de de-le0"1n de +n %+nto "3 &!+$!do %or +n momento +n"t!r"o !%l"&!do en &+!l,+"er otro %+nto )3 e$ "g+!l en m!gn"t+d !l g"ro de ) ,+e re$+lte de l! !%l"&!&"1n de +n! -+er*! +n"t!r"! en " en l! d"re&&"1n or"g"n!lmente &on$"der!d!' En otro$ térm"no$9

D ") ?  )" ´

Teorema reciproco de Maxwell y Betti

En 5673 E' Bett" %+(l"&o +n! -orm! gener!l"*!d! del teorem! re&"%ro&o' En l! -"g+r! $e re%re$ent! +n! m"$m! e$tr+&t+r! $omet"d! ! do$ $"$tem!$ de &!rg!$ d"-erente$' En l!$ de-orm!$ &orre$%ond"ente $e .!n $e!l!do l!$ &om%onente$ de de-le0"1n %!r!lel!$ ! l! d"re&&"1n de l!$ -+er*!$ en el otro $"$tem! / %!r! -!&"l"t!r l! not!&"1n $e le$ .! !$"gn!do +n! (!rr! ! lo$ térm"no$ del $"$tem! II' L!$ &om%onente$ de de-le0"1n &!+$!d! %or +n $"$tem!3 %!r!lel! ! l!$ &!rg!$ del otro $"$tem!3 $e d"&e ,+e $on &om%onente$ &orre$%ond"ente$ de de-le0"1n' S" $e &on#"ene en &on$"der!r !,+ >n"&!mente e$te t"%o de &om%onente$3 $e %+ede $"m%l"-"&!r l! nomen&l!t+r! +t"l"*!d! !nte$ en el teorem! de M!0ell'

:or lo &on$"g+"ente3 l!$ &om%onente$ de de-le0"1n ,+e re$+lt! !l !%l"&!r el $"$tem! I de &!rg!$ $on9  A ? : A  AA @ MB BA @ :C  AC B ? : A DBA @ MB DBB @ :C DBC

C ? : A DCA @ MB DCB @ :C DCC Donde de n+e#o l!$ %r"mer!$ "nd"&!n g"ro$ %rod+&"do$ %or -+er*!$ o de-le0"one$ de("d!$ ! momento$' L!$ &om%onente$ de de-le0"1n &!+$!d!$ %or lo$ $"$tem!$ II $on9

∆´

 A

θ´ ∆´

´ ?  M  B

C

D AA @  P´

B

D AB @  P´

´ ´ ?  M   A BA @  P

B

BB @  P´ C BC

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´ ´ ?  M   A DCA @  P

B

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DCB @  P´

C

D AC

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 A%l"&!ndo !.or! !r("tr!r"!mente l!$ &om%onente$ &orre$%ond"ente$ de de-le0"1n del $"$tem! II3 &omo de$%l!*!m"ento$ #"rt+!le$ del $"$tem! I3 re$+lt! +n tr!(!)o9

WI ? : A ;

´  M 

;7< ´ @ :C  M 

B

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;P< B

´  P

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´ D AB @ : A  P

´  P

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´ ´ @ :C ;  M   A DCA @  P

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C

C

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C

DCC< ? ;<

´ @ MB  M 

;8<  A

BA @ MB

´  P

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´ ´ WI ? : A  M   A D AA @ : A  P C

´  P

B

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´ ´ @ MB ;  M   A BA @  P

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BB @ MB

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DCA @ :C

;< ´  P

B

DCB @ :C

´  P

C

DCC

4!&"endo !.or! lo &ontr!r"o3 e$ de&"r3 +t"l"*!ndo l!$ &om%onente$ &orre$%ond"ente$ de de-le0"1n del $"$tem! I &omo de$%l!*!m"ento$ #"rt+!le$ del $"$tem! II3 el tr!(!)o #"rt+!l e-e&t+!do e$9

´  M 

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´  P

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´  M 

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 ;: A  AA @ MB BA @ :C  AC< @

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;: A DBA @ MB DBB @ :C DBC< @

C

;: A DCA @ MB DCB @ :C DCC< ?

´ : A  AA @  M 

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´ MB BA @  M   A :C  AC @

´ ´ : A DBA @  P B MB DBB @  P B :C DBC @ ´ : DCA @  P

C  A

C

´ MB DCB @  P

 :C DCC

C

S" $e !%l"&! !.or! el teorem! de m!0ell de l!$ de-le0"one$ re&"%ro&!$ ! lo$ térm"no$ ,+e t"enen "g+!l n>mero en l!$ e&+!&"one$ !nter"ore$3 $e o($er#! ,+e d"&.!$ e&+!&"one$ re$+lt!n "g+!le$3 %+d"éndo$e3 en &on$e&+en&"!3 en+n&"!r el %r"n&"%"o de M!0ell / Bett" &omo $"g+e9 D!d! &+!l,+"er e$tr+&t+r! e$t!(le &on +n! rel!&"1n l"ne!l &!rg!Fde-orm!&"1n3 en l! &+!l $e .!n e$&og"do %+nto$ !r("tr!r"o$ en donde $e &on$"der! !%l"&!d!$ -+er*!$ / momento$ en &+!l,+"er! de lo$ do$ $"$tem!$ de &!rg! d"-erente$3 el tr!(!)o #"rt+!l .e&.o %or l!$ -+er*!$ / momento$ del %r"mer $"$tem!3 !l re&orrer l!$ de-le0"one$ &orre$%ond"ente$ &!+$!d!$ %or el $eg+ndo $"$tem!3 e$ "g+!l !l tr!(!)o #"rt+!l .e&.o %or l!$ -+er*!$ / momento$ del $eg+ndo $"$tem! !l re&orrer l!$ de-le0"one$ &orre$%ond"ente$ &!+$!d!$ %or el %r"mer $"$tem!'

Trabajo virtual Principio del trabajo virtual

Con$"der!ndo !.or! +n &+er%o de-orm!(le3 %or e)em%lo l! %l!&! delg!d! mo$tr!d! en l! -"g+r!3 en e,+"l"(r"o (!)o l! !&&"1n de l!$ &!rg!$ : / l!$ re!&&"one$ R3 $e %+ede %en$!r ,+e d"&.o &+er%o e$t2 -orm!do %or +n &on)+nto de elemento$3 do$ de lo$ &+!le$3 +no "nter"or / otro de (orde3 $e m+e$tr!n en l! m"$m! -"g+r!'

El elemento "nter"or e$t2 $omet"do ! -+er*!$ "nterelement!le$ en tod!$ l!$ &!r!$' El elemento de l! %er"-er"! t"ene +n! &!rg! : !&t+!ndo $o(re +n! &!r! / -+er*!$ "nterelement!le$ $o(re l!$ otr!$ tre$' Am(o$ elemento$ e$t!n en e,+"l"(r"o (!)o l! !&&"1n de l!$ -+er*!$ re$%e&t"#!$ / $"endo de-orm!(le$ d"&.! -+er*!$ or"g"n!n -+er*!$ "ntern!$ de ello$'  A%l"&!ndo !.or! +n! !&&"1n #"rt+!l ! l! %l!&! ,+e re$+lte en +n de$%l!*!m"ento #"rt+!l del &+er%o entero / +n! de-orm!&"1n #"rt+!l del m"$mo3 el tr!(!)o #"rt+!l e-e&t+!do %or l!$ -+er*!$ e0tern!$ ! &!d! elemento3 dW e 3 $e d"#"d"r2 en do$9 5< +n tr!(!)o #"rt+!l de tr!n$l!&"1n / rot!&"1n del elemento &on$"der!ndo &omo &+er%o rg"do3 dW tr   3 /3 < +n tr!(!)o #"rt+!l de de-orm!&"1n del elemento o energ! de de-orm!&"1n #"rt+!l "ntern!3 dW " 3 %or &on$"g+"ente9

dWe ? dWtr @ dW" ? dW" :+e$ %or el %r"n&"%"o de lo$ de$%l!*!m"ento #"rt+!l dWtr  ? K  Al "ntegr!r el tr!(!)o e-e&t+!do en todo$ lo$ elemento$ $e lleg! !9

We ?

∫ dW  ? ∫ dW   ? dW" e

i

En donde We re%re$ent! el tr!(!)o #"rt+!l tot!l de l!$ -+er*!$ e0tern!$ e "nterelement!le$ / W" re%re$ent! l! energ! #"rt+!l "ntern! de de-orm!&"1n' Con$"der!ndo !.or! do$ elemento$ #e&"no$3 ! &!d! !&&"1n de +n elemento $o(re l! &!r! &om>n del #e&"no &orre$%ond"ente +n! re!&&"1n de é$te "dent"-"&! en m!gn"t+d3 %ero de $ent"do &ontr!r"o' :or &on$"g+"ente3 &+!l,+"er tr!(!)o %rod+&"do %or l!$ -+er*!$ "nterelement!le$ !l !&t+!r $o(re el (orde de +n elemento d"-eren&"!l d!do $e &!n&el! &on el e-e&t+!do %or el #e&"no $o(re e$e (orde &om>n / el #!lor de We $e red+&e !l tr!(!)o #"rt+!l .e&.o %or l!$ &!rg!$ : ,+e !&t>!n $o(re l! e$tr+&t+r!' En #"$t! de lo !nter"or3 $e %+ede en+n&"!r el %r"n&"%"o del tr!(!)o #"rt+!l &omo $"g+e9 S" +n! e$tr+&t+r! de-orm!(le e$t2 en e,+"l"(r"o (!)o +n $"$tem! de &!rg!$ / %erm!ne&e en e,+"l"(r"o !l $ometerl! ! +n! !&&"1n #"rt+!l %e,+e! %rod+&"d! %or  &+!l,+"er &!+$! !d"&"on!l3 el tr!(!)o #"rt+!l e0terno .e&.o %or el $"$tem! de &!rg!$ e$ "g+!l !l tr!(!)o #"rt+!l "nterno de de-orm!&"1n %rod+&"do %or l!$ -+er*!$ "ntern!$ de("d!$ ! d"&.o $"$tem!' Se de$%rende de lo !nter"or ,+e el método del tr!(!)o #"rt+!l t"ene +n! gr!n -le0"("l"d!d / gener!l"d!d3 %+e$ $+$ >n"&!$ l"m"t!&"one$ $on ,+e el $"$tem! e$te or"g"n!lmente en e,+"l"(r"o / %erm!ne*&! en e,+"l"(r"o d+r!nte l! !&&"1n #"rt+!l'

Método del trabajo virtual

Y! $e .!(! men&"on!do ,+e el método del tr!(!)o #"rt+!l e$3 entre lo$ tr!d"&"on!le$3 el %ro&ed"m"ento m2$ #er$2t"l %!r! e#!l+!r de-le0"one$ el2$t"&!$ de e$tr+&t+r!$ %rod+&"d!$ "n&l+$o %or &!+$!$ d"-erente$ de l! !%l"&!&"1n de &!rg!$3 &omo errore$ de -!(r"&!&"1n o &!m("o$ de tem%er!t+r!' L! >n"&! re$tr"&&"1n e$ ,+e $+ -orm! -"n"t! $olo e$ !%l"&!(le ! !,+ello$ &!$o$ en lo$ ,+e e$ #2l"do el %r"n&"%"o de $+%er%o$"&"1n' Se re&ord!r! ,+e3 en re$+men3 el %r"n&"%"o del tr!(!)o #"rt+!l de&! ,+e $" +n! e$tr+&t+r! de-orm!(le3 en e,+"l"(r"o (!)o +n $"$tem! de &!rg!$3 er! $omet"d! ! +n! de-orm!&"1n #"rt+!l &omo re$+lt!do de +n! !&&"1n !d"&"on!l3 el tr!(!)o #"rt+!l e0terno .e&.o %or el $"$tem! de &!rg!$ e$ "g+!l !l tr!(!)o #"rt+!l "nterno e-e&t+!do %or l!$ -+er*!$ "ntern!$ &!+$!d!$ %or él' S+ !%l"&!&"1n $e red+&e enton&e$ ! e#!l+!r !m(!$ e0%re$"one$ e "g+!l!rl!$'

Deflexiones resultantes de deformación axiales

S+%on"endo ,+e $e ,+"ere !#er"g+!r l! de-le0"1n #ert"&!l del %+nto A de l! !rm!d+r! mo$tr!d!3 %rod+&"d! %or l!$ &!rg!$ : 53 : / : P3 $e em%"e*! %or remo#er  d"&.!$ &!rg!$ %!r! !%l"&!r l+ego +n! &!rg! -"&t"&"! +n"t!r"! en el %+nto / d"re&&"1n de l! de-le0"1n (+$&!d!'

L! e$tr+&t+r! ,+ed! e,+"l"(r"o (!)o l! !&&"1n de e$t! -+er*! -"&t"&"!3 ,+e %+ede &on$"der!r$e &omo el $"$tem! de &!rg!$ d!do en el %r"n&"%"o del tr!(!)o #"rt+!l'  A.or! l! !rm!d+r! $e &on$"der! $omet"d! ! de$%l!*!m"ento #"rt+!le$ "dént"&o$ ! l!$ de-le0"one$ re$+lt!nte$ del $"$tem! re!l de &!rg!$3 o $e! ,+e el %+nto A $e de-le&t! #"rt+!lmente +n! &!nt"d!d ' En &on$e&+en&"!3 l! -+er*! +n"t!r"! -"&t"&"! re!l"*!r! +n tr!(!)o9 WE ? 5 0   :or otr! %!rte3 $" U " re%re$ent! l! -+er*! "ntern! en l! (!rr! " "nd+&"d! %or l! &!rg! -"&t"&"!3 !l d!rle ! l! e$tr+&t+r! lo$ de$%l!*!m"ento$ %rod+&"do$ %or l!$ &!rg!$ re!le$3 d"&.! -+er*! tendr2 ,+e re&orrer l! de-orm!&"1n el2$t"&! de("d! ! t!le$ &!rg!$ / !l .!&erlo e-e&t+!r! +n tr!(!)o' El tr!(!)o "nterno de tod! l! e$tr+&t+r! $er2 l! $+m! de lo$ tr!(!)o$ re!l"*!do$ %or l!$ (!rr!$3 o $e!9

W" ?Z

U i δ i

?

Z

U i

( )  SL  AE

"

Donde S re%re$ent! &omo !nte$ l! -+er*! en el m"em(ro %rod+&"d! %or l!$ &!rg!$ re!le$'  A%l"&!ndo !.or! el %r"n&"%"o del tr!(!)o #"rt+!l9

WE ? W"

?Z

U i

( )  SL  AE

"

De n+e#o3 $" el $"gno e$ neg!t"#o3 ,+"ere de&"r ,+e l! de-le0"1n e$ en $ent"do o%+e$to !l de l! &!rg! +n"t!r"! !%l"&!d!' L! ten$"1n $e &on$"der! %o$"t"#! %or,+e ! ell! &orre$%onde +n !l!rg!m"ento' S" $e ,+"ere !#er"g+!r l! rot!&"1n de +n! (!rr!3 (!$t! &olo&!r +n momento +n"t!r"o' L! e&+!&"1n $e &on#"erte enton&e$ en9

 Arr"(! $e "l+$tr! el %ro&ed"m"ento %!r! en&ontr!r l! rot!&"1n de l! (!rr! AB' ["n!lmente3 &om%!r!ndo l!$ e&+!&"one$ / $e o($er#! ,+e el #!lor de

U i

no e$

otro ,+e el ;\S \:< del teorem! de &!$t"gl"!no' L! >n"&! d"-eren&"! e$t2 en el modo de .!ll!rlo / en el -ondo lo$ do$ método$ $on "dént"&o$'

Deflexión debida a flexión

L!$ e0%re$"one$ del tr!(!)o e0terno &ont"n+! $"endo 5 0  %!r! de-le0"one$ l"ne!le$ / 5 0 ] %!r! rot!&"one$' :!r! e#!l+!r el tr!(!)o "nterno de("do ! -le0"1n3 $e $"g+e +n %ro&e$o $"m"l!r !l !nter"or9

Con re-eren&"! ! l! -"g+r!3 $" $e de$e! !#er"g+!r l! de-le0"1n #ert"&!l en A $e &olo&! !ll +n! &!rg! #"rt+!l +n"t!r"! ,+e %rod+&"r2 en +n! $e&&"1n ! +n! d"$t!n&"! 0 del !%o/o +n momento #"rt+!l m 0' Con$"der!ndo ,+e e$te e$ el $"$tem! de &!rg!$3 / !%l"&2ndole ! l! #"g! lo$ de$%l!*!m"ento$ %rod+&"do$ %or l!$ &!rg!$ !%l"&!d!$3 $e re!l"*!r! en l! $e&&"1n +n tr!(!)o "nterno de m!gn"t+d9 dW i

 ? m0 ^0

En donde ^0 re%re$ent! l! rot!&"1n de("d! !l momento M0 %rod+&"do %or l!$ &!rg!$ re!le$' De me&2n"&! de $ol"do$ $e $!(e ,+e +n! d"$t!n&"! / el e)e ne+tro el e$-+er*o Ϭ/ e$t2 d!do %or9  M  X  y σ  y =  I 

/3 %or &on$"g+"ente3 el &!m("o en long"t+d de +n! -"(r! ! e$! d"$t!n&"! e$9

( Δ dx )

/?

ϵ  x

dx =

σ  y  M  x  y dx = dx  E  EI 

Como l! rot!&"1n e$ %e,+e!3 el 2ng+lo ^0 $e %+ede reem%l!*!r %or $+ t!ngente' De !. ,+e

 β x =

( Δ dx ) y  M  x dx =  y

 EI 

Y reem%l!*!ndo l! e&+!&"1n

[ ]

 M  x dx  EI 

dW i = x

El tr!(!)o tot!l $e o(tendr2 "ntegr!ndo l! e0%re$"1n !nter"or ! lo l!rgo de l! #"g!'

 L

∫

W i=

 x

0

[ ]  M  x

 EI 

dx

Ig+!l!ndo e$t! e0%re$"1n ! l!$ ,+e d!n el tr!(!)o e0terno3 $e o(t"ene enton&e$9 :!r! de-le0"one$ l"ne!le$9  L

∫

 Δ =

0

[ ]  M  x  EI 

dx

Y %!r! rot!&"one$9  L

∫

θ=  0

[ ]

 M  x dx  EI 

En donde el $+(nd"&e  "nd"&! ,+e lo$ momento$ #"rt+!le$ $on de("do$ ! l! !%l"&!&"1n de +n %!r +n"t!r"o de A' Com%!r!ndo l! e&+!&"1n $e #+el#e ! en&ontr!r tot!l e,+"#!len&"! &on el método de &!$t"gl"!no3 en el ,+e el m de !.or! e$ el m"$mo ;\M \:< de !,+el'

Deflexión por corte y torsión

S"g+"endo +n %ro&ed"m"ento &om%let!mente !n2logo $e %+eden !#er"g+!r lo$ tr!(!)o$ "nterno$ de("do$ ! &orte / ! tor$"1n' E$to$ e$t!n d!do$ %or9 :!r! &orte9  L

∫

W i= V  0

[ ]

V  dx  AG

En donde %!r! +n! $e&&"1n 03 # e$ l! -+er*! de &orte re$+lt!nte de l! &!rg! +n"t!r"! -"&t"&"! ;e,+"#!lente !l \V \: de &!$t"gl"!no<3 V e$ el &orte %rod+&"do %or l!$ &!rg!$ re!le$ /  el -!&tor de -orm! de-"n"do !nte$' :!r! tor$"1n9  L

∫

[ ]

W i= !  0

T  dx JG

En donde t e$ l! tor$"1n -"&t"&"! en +n! $e&&"1n 0 de("d! ! l! &!rg! #"rt+!l +n"t!r"! ;e,+"#!lente !l \T \: de &!$t"gl"!no<3 T l! tor$"1n %rod+&"d! en l! m"$m! $e&&"1n %or l!$ &!rg!$ re!le$ / J el momento %ol!r de "ner&"! %!r! elemento$ de $e&&"1n &"r&+l!r o $+ e,+"#!lente %!r! $e&&"one$ re&t!ng+l!re$' L!$ e0%re$"one$ de tr!(!)o e0tremo en !m(o$ &!$o$ $"g+en $"endo "g+!le$ 5 0  / 5 0 ] %!r! de$%l!*!m"ento$ l"ne!le$ / rot!&"one$3 re$%e&t"#!mente' V!r"!$ #e&e$ $e .! d"&.o ,+e l!$ de-le0"one$ %or &orte en l! m!/or! de l!$ #"g!$ &om>nmente en&ontr!d!$ en l! %r2&t"&!3 $on "n$"gn"-"&!nte$ $" $e l!$ &om%!r! &on l!$ de("d!$ ! -le0"1n' El &+!dro re%re$ent! %!r! +n! #"g! W 5 0 7 de !&ero e$tr+&t+r!l3 l! rel!&"1n entre l!$ do$ de-le0"one$ %!r! d"-erente$ l+&e$ / do$ ."%1te$"$ de &!rg!9 &on&entr!d! en el &entro de l! l+* / +n"-ormemente re%!rt"d!'

Como er! de e$%er!r$e3 el %r"mer &!$o %rod+&e de-le0"one$ de &orte rel!t"#!mente m!/ore$3 %+e$to ,+e $+ d"!gr!m! de &orte t"ene +n 2re! m+&.o m!/or ,+e l! del $eg+ndo3 m"entr!$ ,+e en l!$ 2re!$ de lo$ d"!gr!m!$ de momento re$%e&t"#o$ %!r! lo &ontr!r"o' jemplo !"

L! &er&.! mo$tr!d! $e ,+"ere +t"l"*!r %!r! &+(r"r +n !+d"tor"o &on l+* de '7 m / #! !%o/!d! $o(re &ol+mn!$ ,+e e$t!n e$%!&"!d!$ &!d! 7'K m' l! te)! e$ de !$(e$to &emento / l! &!rg! #"#! de d"$eo e$%e&"-"&!d!$ e$ de KK Nm  de %ro/e&&"1n .or"*ont!l' Se %"de en&ontr!r l! de-le0"1n en el &entro de l! l+*3 &!+$!d! %or el %e$o %ro%"o / l! $o(re&!rg! !nter"or'

 _re!$9 Cord1n $+%er"or9 5KK mm  Cord1n "n-er"or9 5KKK mm  D"!gon!le$ / mont!nte9 5KK mm  Sol+&"1n Se em%"e*! %or determ"n!r l!$ &!rg!$9 Te)! ond+l!d! de !$(e$to &emento N` 8 / !&&e$or"o$

K'58 aNm 

C"elo r!$o

K'7aNm 

:ero %ro%"o e$t"m!do3 "n&l+/endo &orre!$ / !rr"o$tr! m"ento

K'5KaNm 

,m ? K'6 aNm  ,m ? K'K aNm  5'6 aNm C!rg! %or n+do en +n! &er&.! "nter"or9 : ? 5'6 0 5'8 0 7'K ? 56'K aN En el !n2l"$"$ r+t"n!r"o $e .!&e l! $"m%l"-"&!&"1n de &on$"der!r ,+e t!nto el %e$o del &"elo r!$o &omo el %e$o %ro%"o $e .!ll!n !%l"&!do$ en lo$ n+do$ $+%er"ore$'

De !&+erdo &on el método de lo$ n+do$ / !%ro#e&.!ndo l! $"metr! $e el!(or! el &+!dro $"g+"ente %!r! lo$ do$ $"$tem!$ de &!rg!$ "nd"&!do$ ! &ont"n+!&"1n9

L! %end"ente mn"m! re&omend!d! %!r! te)! ond+l!d! Etern"t e$ de 7b;5'5`<'  A,+ $e !do%t! PKb ;58'7`<3 ,+e re$+lt! en &orre!$ e$%e&"!d!$ &!d! 5'8 m3 ,+e e$ !%ro0"m!d!mente l! long"t+d de +n! te)! N` 8'

:or el teorem! del tr!(!)o #"rt+!l9

WE ? 5 0  ?

?

(

2 1922.3

W i

 ? Z +

( )  SL  AE

)− 43.9

200

 ? 5'K mm

N1te$e l! $+(tr!&&"on del #!lor &orre$%ond"ente ! l! (!rr! DJ %!r! e#"t!r d+%l"&!r  !l &on$"der!r l! &er&.! tot!l'

Conclusión

D!do en e$t! "n#e$t"g!&"1n el teorem! de &!$t"gl"!no no$ .!&er #er el t"%o de e&+!&"1n ,+e de(emo$ +t"l"*!r %!r! el de$%l!*!m"ento t!nto &omo l! de l!$ rot!&"one$ / $+ !%l"&!&"1n en d"$t"nt!$ e$tr+&t+r!$ %l!n!$3 %ero t!m("én no$ .!(l! del tr!(!)o #"rt+!l en l! &+!l !%l"&!mo$ método$ &omo lo$ de m!0ell / Bett" ,+e no$ .!(l! de l!$ de-le0"one$ / de-orm!&"one$ de &+er%o$ &+r#o$' :ero !l !%l"&!r !.or! +n! !&&"1n #"rt+!l ! +n! %l!&! ,+e re$+lt! en +n de$%l!*!m"ento #"rt+!l del &+er%o entero / +n! de-orm!&"1n #"rt+!l del m"$mo3 el tr!(!)o #"rt+!l e$ e-e&t+!do %or l!$ -+er*!$ e0tern!$ ! &!d! elemento de l! %l!&!' En +n tr!(!)o #"rt+!l de tr!n$l!&"1n / rot!&"1n del elemento e$ &on$"der!ndo &omo &+er%o rg"do'

Bibliografía

 An2l"$"$ De E$tr+&t+r!$ :2g' 77  6 J!"ro Ur"(e E$&!m"ll! Me&2n"&! De Sol"do %2g' 775  76 Egor :' :o%o#