Tema 2: Deformaciones
Tema 2 : DEFORMACION DEFORMACIONES ES
F1
γ2/2
F3 ε2
ε1
u1
δ2 u2 O F2
γ1/2
δ1 u3 δ3 ε3
γ3/2 Fn
1
Tema 2: Deformaciones
2.1.- INTRODUCCIÓN Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer e cuatro partes: 1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´ F3
F1
y O
F4
x
F5
O´
Fn
z
F2
Fig. 2.1 2º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ F3
Eje Rotación
F1
F4
O´
F5
Fn
F2 Fig. 2.2
Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin deformarse
2
Sección 2.1: Introducción
3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo F3
F1
F4
Fn
F5
O´
F2 Fig. 2.3 4º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º. F3
F1
F4
Fn
F5
O´
F2 Fig. 2.4 Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del paralelepípedo. Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º, osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación 2º B
B
deformación an ular =
1º
3º
4º O
A
O
B rotación
deformación an ular simétrica + A
3º
O
A
1º 3
Tema 2: Deformaciones
2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento lineal OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´. y
D
O z
D´
Do δ 1 Do´ x Fig. 2.5
Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir: DD´ (2.1) δ = r
OD
Si observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos ODD´y ODoDo´ se obtiene: DD´ δ DD´ = → δ = OD 1 OD Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN LONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Se cumplirá: y D γ D´ δ = ε + 2 γ/2 Do ε (2.2) 2 D ´ 1 δ o ⎛ γ ⎞ δ = ε 2 + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ x O r
r
r
z Fig. 2.6
4
Sección 2.2: Concepto de deformación
2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones Tal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto O de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: (tensión normal) y (tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O” En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una deformación unitaria , con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y /2 (deformación angular unitaria).” F1
γ2/2
F3 ε2
ε1
u1
δ2 u2 O
γ1/2
δ1 u3 δ3 ε3
F2
γ3/2 Fn
Fig. 2.7 “Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw le denomina: Estado de Deformaciones del puno O” Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de la ecuación (1.9): ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ σ τ ⎥.⎢cos β ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ xy y zy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ρ z ⎥⎦ ⎢⎣τ xz τ yz σ z ⎥⎦ ⎢⎣ cos γ ⎥⎦ Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir: “De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de ellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que como ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).” 5
Tema 2: Deformaciones
Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6 componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elemento lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = OD o , dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora un paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). El paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β (en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ). y
D Do
cos β u
δ Do´
1
x
cos α
O
D´
cos z
Fig. 2.8
Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los correspondientes desplazamientos sufridos por el punto D o debidos a las deformaciones longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx.
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales:
, εy, εz,
εx
y ε
.cosβ
δ cos O cos z
cos α
.cosα
εx
x
.cosγ
εz
Fig. 2.9 δ x
6
= ε x . cos α
δ y
= ε y . cos β
δ z
= ε z . cos γ
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx. (γyx/2).cosβ
y
δ γyx/2 cos β
δ x
=
δ y
=
(γxy/2).cosα
γxy/2
O
cos α
2 γ xy
2
. cos β . cos α
x
cos α
O
γ yx
x
γxz/2
cos γ
(γxz/2).cosα
γzx/2
δ x
=
γ zx
δ z
=
γ xz
δ y
=
δ z
=
2 2
. cos γ . cos α
δ z
(γzx/2).cosγ
(γyz/2).cosβ y
δ
γyz/2 (γzy/2).cosγ
cos β
γzy/2 z
γ zy
2 γ yz
2
. cos γ . cos β
O
cos γ
Fig. 2.10.a), b), c) Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría: δ x
= ε x . cos α +
δ y
=
δ z
=
γ xy
2 γ xz
2
γ yx
2
. cos β +
. cos α + ε y . cos β + . cos α +
γ yz
2
γ zx
2 γ zy
2
. cos γ . cos γ
(2.3)
. cos β + ε z . cos γ 7
Tema 2: Deformaciones
Poniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería:
⎡ ⎢ ε x ⎡δ x ⎤ ⎢ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy ⎢ y ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣δ z ⎥⎦ ⎢ γ ⎢ xz ⎣2
γ zx ⎤
γ yx
2 ⎥⎥ ⎡cos α ⎤ γ zy ⎢ ⎥. cos β ⎥ ⎥ 2 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎦ cos γ ⎥⎣ ε z ⎥ ⎦
2 ε y γ yz
2
y en forma abreviada:
(2.5)
δ = D.u r
r
siendo:
γ yx
ε x D
=
γ zx
2
γ xy
2
γ zy
ε y
2
(2.4)
γ xz
γ yz
2
2
"Tensor de Deformaciones"
2 ε z
Conclusión: Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, xy, yz, zx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: u (cos , cos , cos ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación en dicha dirección. Una vez conocida la deformación , se podrá obtener y /2, (ver fig.2.6): r
ε = δ .u
r
r
ε
r
γ
2
= ε .u
γ
r
= δ − ε r
2
r
=
( 2.6)
δ 2
− ε 2
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Se considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla: ε z
= 0,
γ xz
= 0,
γ yz
=0
La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a:
⎡ ⎡δ x ⎤ ⎢ ε x ⎢δ ⎥ = ⎢ γ ⎣ y ⎦ ⎢ xy ⎣⎢ 2
8
γ yx ⎤
⎥ 2 ⎥.⎡ cos α ⎤ ⎢cos β ⎥ ⎦ ⎥ ε y ⎣ ⎦⎥
(2.7)
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto
Convenios de signos para las deformaciones Para las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuando expresen alargamientos (negativas en caso contrario)
ε
1 O
>0 Do
D
D ε
Do´
<0
Do O Do´1 Fig. 2.11 el vector unitario OD o, en la dirección OD, se acorta y pasa a OD o´
el vector unitario OD o, en la dirección OD, se alarga y pasa a OD o´
Para las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuando indiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas del paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario)
γyx/2 y B B´
y γ /2 B yx B´
γxy > 0
γxy < 0 A´ γxy/2 A x
O
A γxy/2 x A´
O Fig. 2.12
Lo mismo sería con γxz y γyz
Observaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de deformaciones Vistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, se podrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobre Tensiones, se hacen los siguientes cambios: r
ρ
→
r
δ
σ r
→
r
ε
τ
r
→
γ
2 se obtendrán las ecuaciones equivalentes correspondientes al Tem a 2 sobre Deformaciones.
En efecto: 9
Tema 2: Deformaciones
TENSIONES
⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x ⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎢ y ⎥ ⎢ xy ⎢⎣ ρ z ⎥⎦ ⎢⎣τ xz
DEFORMACIONES
τ yx
τ zx ⎤ ⎡cos α ⎤
σ y
τ zy ⎥.
⎥⎢ ⎥ β (1.9) cos ⎢ ⎥ σ z ⎥⎦ ⎢⎣ cos γ ⎥⎦
τ yz
⎡ ⎢ ε x ⎡δ x ⎤ ⎢ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy ⎢ y ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣δ z ⎥⎦ ⎢ γ ⎢ xz ⎣2
γ zx ⎤
γ yx
2 ⎥⎥ ⎡cos α ⎤ γ zy ⎢ ⎥. cos β ⎥ (2.4) ⎥ 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ cos γ ⎥⎦ ε z ⎥ ⎦
2 ε y γ yz
2
ε = δ .u r
σ = ρ .u r
r
τ
r
= ρ − σ r
r
τ = ρ
2
r
r
ε
r
σ = σ .u
r
− σ
2
(1.12)
r
γ 2
γ
r
= δ − ε r
2
= ε .u
r
=
δ
2
− ε
(2.6) 2
2.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALES De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los valores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONES PRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará : DIRECCIONES PRINCIPALES. Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá que: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε. F3 F2 1 z
O
Do
F2
D γ/2
ε
δ
F3
1
x
z Fn
F1
O
OD: dirección principal Fig. 2.13
D
x
γ/2 = 0 Fn
F1
OD: dirección cualquiera
10
Doε = δ
Sección 2.4: Deformaciones Principales
CÁLCULO DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES En el tema de Tensiones las ecuaciones 1.16, nos permitían calcular las tensiones principales: σ x − ρ
τ yx
τ zx
τ xy
σ y − ρ
τ zy
τ xz
τ yz
σ z
ρ 1
=0
ρ 2
→
− ρ
ρ 3
= σ 1 = σ 2 = σ 3
Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:
→
r
ρ
r
δ
σ r
→
r
ε
τ
r
→
γ 2
y quedarán las ecuaciones:
ε x
− δ
γ xy 2 γ xz
γ yx
γ zx
2
2 γ zy
ε y
− δ
γ yz
2
2
=0
2 ε z
(2.8)
− δ
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se obtendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2, δ3 y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2, δ3 = ε3
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.:
− ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i + τ zx . cos γ i = 0 τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + τ zy . cos γ i = 0 τ xz . cos α i + τ yz . cos β i + (σ z − ρ i ). cos γ i = 0 (σ x
cos 2 α i
+ cos 2 β i + cos 2 γ i = 1
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios: r
ρ
→
r
δ
r
σ
→
r
ε
r
τ
→
γ 2
11
Tema 2: Deformaciones
obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y serán: (ε x − δ i ). cos α i + γ xy
2 γ xz
2
γ yx
. cos β i +
2
. cos α i + (ε y − δ i ). cos β i + . cos α i +
γ yz
γ zx
2 γ zy
2
. cos γ i = 0 (2.9.a)
. cos γ i = 0
. cos β i + (ε z − δ i ). cos γ i = 0
2
(2.9.b)
cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Para el caso particular de deformaciones planas: ε z = 0, γ xz = 0, γ yz = 0 , La ecuación para el cálculo de las Deformaciones Principales (2.8) quedaría reducida a : ε x
γ yx
− δ
2
γ xy
ε y
2
(2.10)
=0
− δ
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado se tendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2 y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2 Si aplicamos la fórmula de resolución de la ecuación de 2º grado, se obtendrían:
δ 1
= ε 1 =
δ 2
= ε 2 =
ε x
+ ε y 2
ε x
γ xy 2
2
. cos α i
2
. (ε x
2
. (ε x
− ε y )
2
− ε y )
2
⎛ γ ⎞ + 4.⎜⎜ xy ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠
2
⎛ γ ⎞ + 4.⎜⎜ xy ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠
(2.11) 2
Principales se obtendrán de:
− δ i ). cos α i +
γ yx 2
. cos β i
=0
(2.12.a)
+ (ε y − δ i ). cos β i = 0
cos 2 α i
12
−
1
+ ε y
Por su parte las Direcciones (ε x
+
1
+ cos 2 β i = 1
(2.12.b)
Sección 2.5: Representación de Mohr
2.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR Al igual que en el caso de las Tensiones, podremos desarrollar también un método gráfico para el cálculo de las deformaciones CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Supongamos conocidas las tres componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, xy, y se quieren calcular, gráficamente, las deformaciones: ε y γ/2 correspondientes en una dirección cualquiera OD, definida por su vector unitario: u (cos , cos ) y
D
β = 90-α
ε β Do γ/2 u δ Do´ α
O
D´
x
Fig. 2.14 Se sabe, por lo visto en 2.3., que para cada dirección OD se obtendrían por las ecuaciones analíticas (2.7) y (2.6), un par de valores: ε y γ/2. Así: para α = α1 → dirección OD1 → ε 1, γ 1 / 2 para α = α 2 → dirección OD2 → ε 2 , γ 2 / 2 ............................................................................. para α = α n → dirección ODn → ε n , γ n / 2 Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el eje de abcisas llevásemos las deformaciones longitudinales ( ε) y en el de ordenadas, las deformaciones angulares ( γ/2) y uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr”
γ/2
, 2/2
ε2
(ε1,γ1/2)
O
ε
, n/2
εn
Fig. 2.15
13
Tema 2: Deformaciones
Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr
• Deformaciones longitudinales ( ε): se consideran positivas las deformaciones longitudinales cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario.
ε
1 O
>0 Do
D
D <0 Do O Do´1
Do´
ε
Fig. 2.16
• Deformaciones angulares ( /2): se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido horario. Negativas en caso contrario.
D
/2 > 0
/2 < 0
D´
D´
O Fig. 2.17
D
O
Observaciones: Como las tensiones cortantes ( τ) son las que producen las deformaciones angulares (γ/2), se observa por lo visto en la sección 1.5 del tema de Tensiones, que hay coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora para las deformaciones angulares: τ > 0 → γ/2 > 0
τ τ
τ τ
τ
τ > 0 → γ/2 > 0
τ
τ τ Fig.2.18
Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 2.3. para la resolución analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas.
14
Sección 2.5: Representación de Mohr
Ejemplo : y γyx/2 > 0 B B´
y γyx/2 > 0 B B´
γxy > 0 A´ γxy/2 > 0 A x
O
A´ γxy/2 < 0 A x
O
Criterio de signos para la resolución gráfica (Mohr)
Criterio de signos para la resolución analítica Fig. 2.19 Construcción de la circunferencia de Mohr:
Supónganse conocidas las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, γxy. (Fig.2.20.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisas llevaremos las deformaciones longitudinales unitarias ( ε) y en el de ordenadas las deformaciones angulares simétricas ( γ/2). La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de Defor maciones se hará de una forma similar a como se construyó la Circunferencia de Mohr relativa a las Tensiones Las deformaciones relativas al eje X ( εx > 0, γxy/2 < 0, por criterios de signos de Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto X. A su vez, las deformaciones correspondientes al eje Y ( εy > 0, γyx/2 > 0, por criterios de signos de Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto Y. Si unimos, con una recta, los puntos X e Y, la intersección de ésta con el eje de abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.2.20.b) Y εy
γ/2 γyx/2
Y
γyx/2
δy
εy
1 uy O
ux 1
δx
Fig.2.20.a
εx
O
E
C
γxy/2
εx
D γxy/2
ε
X
X Fig.2.20.b.
15
Tema 2: Deformaciones
Por su construcción, se deduce fácilmente que la Circunferencia de Mohr tendrá por Centro y Radio los siguientes valores:
Centro: OC =
ε x
+ ε y 2
⎛ε
Radio: CX = ⎜ ⎝
2
ε y⎞ ⎛ γ xy ⎞ x− +⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
(2.13)
2
Cálculo de las deformaciones ε y /2 en una dirección OD cualquiera: A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, γxy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: ( ε, γ/2), la circunferencia de Mohr, tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y γ/2 correspondientes a una dirección OD, definida por su vector unitario: u D (cosα, senα).
Y εy
1
γyx/2
D
δ uy y
γ/2
ε
1 uD α ux 1 O
δ δx εx
γ/2
D
2α
Y
γ/2
γyx/2
ε
γxy/2
O
εy
C
X
H
εx
γxy/2
ε
X Fig.2.21 El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la dirección OX (definida por u X), a la dirección OD (definida por u D), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto X, (representativo del estado de deformaciones de la direccion OX), al punto D, (que representará el estado de deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2 α.(o sea el doble del anterior). Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cos β Deformación angular: γ/2 = DH = CD.sen β (los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de Mohr) 16
Sección 2.5: Representación de Mohr
Cálculo de las deformaciones principales: Se sabe, por lo visto en (2.4) que las deformaciones principales son las deformaciones máxima y mínima y que en las direcciones donde aparecen, no hay deformaciones angulares. Es decir, se cumple: δ =ε, γ/2 = 0.
γ/2 Y εy
Y
γyx/2 δy
γyx/2
M
uy
δ1 = ε1 1 uM δ x 1 ϕ1 ux 1 O εx
ε2
O N
M
εx
C
εy
E ε1 γxy/2
γxy/2
ε
2
1
X
X Fig.2.22
Observando la Circunferencia de Mohr, se ve que los puntos M y N corresponden a las deformaciones máximas y mínimas y en ellos no hay deformaciones angulares, por tanto esos puntos estarán representando a las deformaciones principales. Sus valores serán: δ1
δ2
= ε 1 = OM = OC + CM = Centro + Radio = = ε 2 = ON = OC − CN = Centro − Radio =
2
ε
2
+ ε y ⎛ ε x− ε y⎞ ⎛ γ xy ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎜ 2 ⎟ → MAX 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ε
x
2
2
+ ε y ⎛ ε x− ε y⎞ ⎛ γ xy ⎞ − ⎜ ⎟ + ⎜ 2 ⎟ → MIN 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
(2.14) Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de Mohr. Se observa (Fig.2.22), que para pasar del punto X del circulo (representativo del estado de deformaciones de la dirección OX), al punto M, que es donde se dará la deformación principal: ε1 = εmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2 ϕ1. Así pues para obtener la dirección principal OM, sobre la que se dará dicha deformación principal, se deberá girar la dirección OX, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1. γ xy
siendo: tag 2ϕ 1
=
2 = γ xy ε x − ε y CE ε x − ε y 2
XE
=
⇒
ϕ 1
(2.15)
La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la deformación principal mínima: ε2 = εmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver Fig.2.22), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la circunferencia). 17
