El método de secciones. Si una armadura, tomada tomada como un conjunto, está en equilibrio, equilibrio, entonces, cualquier parte de la armadura también lo está.
Si se toma una porción de la estructura, de tal manera que no tenga más de tres incógnitas, entonces es posible determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte.
El método de las secciones es particularmente útil cuando, por alguna razón, se requiere determinar las fuerzas en algunos elementos en particular.
Ejemplo 1: Determinar las fuerzas en los elementos EF, DF y DG de la armadura mostrada en la figura. Si P=250 N y a=1.5 m. Establezca si los elementos están en tensión o compresión.
Iniciamos encontrando las reacciones de la armadura como un cuerpo rígido único.
F 0 M 0
H
F R 0 F R R P P 0 R R M R 4a P3a Pa 0 R x
Hx
y
Ay
H
Hy
Ay
Ay
Hy
2P
Ay
P R H y 250 N
Conocidas las reacciones se procede al análisis de la sección seleccionada, la cual no puede tener más de tres incógnitas.
Se hace un corte, de manera que contenga los elementos a determinar, por ejemplo, la línea 1-2.
Tomamos la porción derecha (se puede tomar también la otra sección) y en los miembros cortados se indican las fuerzas ejercidas sobre ellos (el sentido es arbitrario).
Ahora consideramos dicha sección como un cuerpo rígido.
M
F
FDG a R H a 0
FDG R H P 250 25 0 N Tensión
F
y
FDF
F
x
FDF cos 45 P R H 0 0
FEF FDF sen 45 FDG 0
FEF
FDG P 250 25 0 N Compresión
Ejemplo 2: Determinar las fuerzas en los elementos EF y GI de la armadura mostrada en la figura. Establezca si los elementos están en tensión t ensión o compresión.
Primero encontramos las reacciones.
F B 16 kips 0 B 16 kips F B J 28 kips 28 kips 0 B J 56 kips M 16 kips10 ft J32 ft 28 kips24 ft 28 kips8 ft 0 x
x
y
y
x
y
B
Bx By
16 kips 23 kips
J 33 kips
J 33 kips
Como los elementos EF y/o GI no están juntos, nos conviene seleccionar dos secciones, de manera que cada una no tenga más de tres incógnitas, pero si contenga uno de los elementos buscados. Para el elemento GI seleccionamos la sección mostrada
M
H
FGI 10 ft 33 kips8 ft 16 kips 10 ft 0
FGI 10.4 kips FGI
10.4 kips
compresión
Para el elemento GI seleccionamos la sección mostrada
F
y
FEF 28 kips 23 kips 0 FEF 5 kips
FEF
5 kips conpresión
Ejemplo 3: Determinar la fuerza en los elementos FH, GH y GI de la armadura para techo mostrada en la figura.
Respuesta: Primero encontramos las reacciones.
Ax Ay
L
F A 0 F A L BC D E FG H J 0 M A 15 m B C J 10 m D E H 5 m L15 m 0 x
x
y
y
F
y
L 20 kN A y L 5 kN Ay
0 A y 12.5 kN Ax
L 7.5 kN
FG GL
HI
HI
Ay
HI
IL 8m
15 m
JK KL HI 10 m
JK 5m
8m 10 m 5.33 m 15 m
L
Para calcular la fuerza en el elemento GI, se puede dividir la armadura como se ilustra en la figura y se calcula el momento de las la s fuerza en el punto H.
M
H
FGI
FGI HI 1 kN 5 m L10 m FGI 5.33 m 1 kN 5 m 7.50 kN 10 m 0
1 kN 5 m 7.50 kN 10 m 5.33 m
FGI
13.13 kN
13.13 kN
tensión
Para calcular la fuerza en el elemento FH, se usa la misma sección que para el elemento GL, sólo que ahora se mueve la fuerza F FH a lo largo de su línea de acción hasta el punto F y se calcula el momento respecto al punto G FG 8 28.07 arctan arctan GL 15
7.50 kN
12.50 kN
M
G
FFH cos 8 m H 5 m J 10 m L15 m
FFH cos28.078 m 1 kN 5 m 1 kN 10 m 7.50 kN 15 m 0 1 kN 5 m 1 kN 10 m 7.50 kN 15 m 13.81 kN FFH 8 m cos28.07
FFH
13.81 kN
compresión
GI arctan HI 5 arctan 43.15 5.33
7.50 kN
12.50 kN
Para calcular la fuerza en el elemento GH, se usa la misma sección que para el elemento GL, sólo que ahora se mueve la fuerza F GH a lo largo de su línea de acción hasta el punto G y se calcula el momento respecto al punto L.
M
L
FGH cos 15 m H 10 m J 5 m
FGH cos43.1515 m 1 kN 10 m 1 kN 5 m 0 1 kN 5 m 1 kn 10 m 1.371 37 1 kN FGH 15 m cos43.15
FGH
1.371 kN
compresión
Ejemplo 4: Una armadura Howe tipo tijera para techo se carga como se indica en la figura. Determinar la fuerza presente en los elementos DF, DF, DG y EG.
Respuesta: Primero evaluaremos evaluaremos algunos datos datos que pueden pueden auxiliarnos en la solución del problema.
M
N
1 GAM arctan 9.46 6
2.5 22.62 FAM FAM arctan 6
FAG FAM FAM GAM GAM 22.62 9.46 13.16 FAG
DN
4 m t an22.62
5 3
m
DE DN EN 1 m
EN 4 m t an9.46
2 3
m
Ahora determinemos las reacciones.
R Ax R Ay
R L
Por simetría podemos observar que: R A x
0
R A y
R L 6 kN
Para calcular la fuerza en el elemento EG, se puede dividir la armadura como se ilustra en la figura.
R R AyAy
M
D
R L
FEG cosGAM DE R A y 4 m B2 m A4 m
FEG cos9.461 m 6 kN 4 m 2 kN 2 m 1 kN 4 m 0 6 kN 4 m 2 kN 2 m 1 kN 4 m 16.22 kN FEG 1 m cos9.46 FEG
16.22 kN tensión
Para calcular la fuerza en el elemento DF, se puede dividir la armadura de la misma forma que para el elemento EG, sólo que ahora se mueve la fuerza F DF a lo largo de su línea de acción hasta el punto F y se calcula cal cula el momento respecto al punto G
R Ay
R Ay
M
G
R L
FDF cosFAM FG D2 m B4 m A6 m R A 6 m y
FDF cos22.621.5 m 2 kN 2 m 2 kN 4 m 1 kN 6 m 6 kN 6 m 2 kN 2 m 2 kN 4 m 1 kN 6 m 6 kN 6 m FDF 13.00 kN 1.5 m cos22.62 FDF
13.00 kN compresión
Antes de calcular la fuerza en el elemento DG, debemos tener en cuenta que
F’
M
R Ay
R L
FDF' FAM 22.62 F' G FG FF'
FF' DF' t anFDF' 2 m 26.5 3 2
m 56 m
2 3
m
23 F' G 1 F' DG arctan ´ arctan arctan 18.43 DF' 3 2 F' M
FM FF'
5 2
m
5 6
m
5 3
m
5 6
m
Para calcular la fuerza en el elemento DG, se usa la misma sección que para el elemento EG y se calcula el momento respecto al punto A.
N
F’
M
R Ay
R Ay
M
A
R L
B2 m D4 m FDG sen F' DG AM FDG cosF' DG GM
2 kN 2 m 2 kN 4 m FDG sen 18.436 m FDG cos18.431 m 0 2 kN 2 m 2 kN 4 m FDG 4.22 kN sen 18.436 m cos18.431 m FDF
4.22 kN compresión
