UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA MAESTRÍA EN INGENIERÍA ELÉCTRICA TAREA 2 Autores:
Jorge Pastuña Carlos Quinatoa Ivan Valencia
A - Efectuar la revisión acerca del modelo Single Machine Infinite Bus SMIB
Fig. 1 Single machine infinite-bus
Cuan Cuando do un gene genera rado dorr sínc síncro rono no está está cone conect ctad ado o al sist sistem ema a de pote potenc ncia ia a trav través és de una una larg larga a líne línea a de tran transm smis isió ión n se hace hace difí difíci cill mant manten ener er sinc sincro roni nism smo o entr entre e dife difere rent ntes es part partes es del del sist sistem ema a de poten tencia. cia. El objeti jetiv vo de este ste anális álisis is es desarr sarro olla llar con conocim cimiento entos s sobre obre los efec fectos tos de los sistemas de excitación. El análisis basado en la técnica de alineación lineal es idea idealm lmen ente te adec adecua uado do para para inve invest stig igar ar prob proble lema mas s asoc asocia iado dos s con con las las osci oscila laci cion ones es de pequ pequeñ eña a señal. En esta téc técnica, se describe el modelo linealizado de un sistema de bus infinito de una sola máquina (SMIB) dado por Heffron y Philips que investiga el modo local de osci oscila laci cion ones es en el rang rango o de frec frecue uenc ncia ia 1-3 1-3 Hz. Hz. Cont Contro rola land ndo o los los valo valore res s prop propio ios s del del sist sistem ema a de potencia linealizado con carga progresiva. La inestabilidad ocurre cuando un par de eigenvalues conjugados complejos cruza la mitad derecha del plano s. Esto se conoce como inestabilidad del voltaje dinámico, y matemátic ticamente, este fenómeno se llama bifurcación de Hopf.
B - Obtener el modelo de estado de segundo orden, usar como variables de estado el ángulo y la velocidad. Establecer como entrada la potencia mecánica y como salidas la velocidad y el ángulo La máquina síncrona puede ser representada por el modelo transiente como se muestra en la siguiente figura.
Fig. 2. Circuito simplificado de la máquina síncrona
La ecuación de oscilación, suponiendo que el par de frenado, fricción y pérdida de hierro es insignificante, relaciona el par de inercia con el par de aceleración neto del rotor de la máquina sincrónica como sigue:
Donde ω o es la velocidad angular nominal eléctrica en rad / s, Pm es la potencia mecánica, Pe es la potencia eléctrica, Eb es la tensión terminal, Ep es la tensión de excitación, δ es el ángulo de potencia entre Eb y Ep, Xt es la Reactancia equivalente entre la máquina y el bus infinito, y H es una constante de inercia. Todos los valores en (1) están en pu, excepto δ y ωo . Un modelo de estado se puede obtener de (1) como:
Este modelo es un modelo no lineal y no amortiguado donde la potencia mecánica en pu es la señal de entrada, y el ángulo de la máquina es la señal de salida. En (2), ω es una variable de estado para el problema.
C - Trate de obtener una solución matemática para el anterior sistema de ecuaciones considerando un valor de potencia mecánica de entrada de Pm=0.5. Los parámetros de la máquina y de la red para este cálculo son: Ep=1.05 p.u., Eb= 1 p.u., ωo=314.159 rad/s, X t =0.4 p.u. , H=4 s d ω dt
= d ω dt
314.159 2*4
1.05*1 * 0.5 − 2*4 *0.4 * s in(δ)
= 19.634 − 0.328 * s in(δ)
Para la solución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales descritas anteriormente se utilizó ode45 que es una función de matlab para resolver ecuaciones diferenciales tanto lineal como no lineal.
Esta función se describe de la forma: [ t out , X on ] = ode45(‘función’, tiempo,condic_Iniciales,Opciones) Esta función de Matlab recibe como entrada la función a resolver, el vector tiempo, el vector de condiciones iniciales y el vector de opciones. La función de entrada del Ode45 contiene una matriz de ecuaciones de estados, las cuales serán resueltas por un método iterativo y queda de la forma: [ x ] = [A][X]+ [b]
Dónde
x
es un vector columna que contiene la primera derivada de las variables; A es una
matriz con los términos que acompañan a las variables; X es un vector columna que contiene las variables de la entrada y b es un vector columna que contiene otros elementos constantes. El código implementado es el siguiente: clc clear all t = [0 50]; cond_inic = [0 pi/3]; H= 1.6; M = 2*H; pm = 0.5; % potencia mecánica x_km = 0.01; % reactancia de la línea de bornes de la máquina hasta la barra xs = 0.03; % reactancia de la máquina sincrónica xcomp = 0; % reactancia capacitiva e= -0.1; % error de ángulo xt = x_km + xs + xcomp; fg=@(t,x) [pm/M-sin(x(2))/(xt*M)-e*x(1)/M; x(1)]; [t,x]=ode45(fg,t,cond_inic); P = (1/xt)*sin(x(:,2)); % potencia electrica figure plot(x(:,1),x(:,2)) Para una simulación de t = [0 50] el sistema permanece estables tal como se puede observar la gráfica.
Fig. 3 Comportamiento del sistema Δ vs Δδ
Fig. 4 Comportamiento del sistema P vs t Para una simulación de t = [0 80] el sistema se vuelve inestable en un t> 55 s, tal como se puede observar la gráfica.
Fig. 5 Comportamiento del sistema Δ vs Δδ
Fig. 6 Comportamiento del sistema P vs t
D - Implementar en cualquier lenguaje de programación o en cualquier paquete de simulación (sea en código o en Bloque) el sistema SMIB La implementación del sistema se lo realizó en simulink de matlab en la figura se puede observar los bloques correspondientes.
Fig. 7 Circuito de campo
Fig. 8 Esquema de sistema SMIB D1 - Haga que la potencia de entrada inicial sea de 0.5 en pu simular para un tiempo de 10 segundos, obtenga una tabla de valores de velocidades y ángulos en el tiempo.
Tiempo
Angulo
Velocidad
0
0
0
0,0004019
1,93E-07
3,20E-05
0,00241141
6,94E-06
0,00019196
0,01245896
0,00018526
0,00099097
0,06269669
0,0046704
0,00494717
0,24304687
0,06726016
0,01766181
0,42307654
0,18734743
0,02586264
0,62307654
0,3517085
0,02753144
0,82307654
0,50151375
0,02117436
1,02307654
0,59380782
0,00887812
1,22307654
0,60364566
-0,00560187
1,42307654
0,53082412
-0,01798616
1,62307654
0,39920098
-0,024734
1,82307654
0,24902355
-0,02405282
2,02307654
0,12471244
-0,01636795
2,22307654
0,06179693
-0,00413198
2,42307654
0,07683392
0,00895082
2,62307654
0,16315783
0,0190414
2,82307654
0,29352415
0,02328845
3,02307654
0,42866875
0,02062931
3,22307654
0,52911107
0,0120457
3,42307654
0,56666455
0,00021605
3,62307654
0,53230958
-0,01131603
3,82307654
0,43824474
-0,01920024
4,02307654
0,3136942
-0,02124993
4,22307654
0,19588076
-0,01704417
4,42307654
0,11894042
-0,00799716
4,62307654
0,10407011
0,00310905
4,82307654
0,15374209
0,01297632
5,02307654
0,25154798
0,01876688
5,22307654
0,36754852
0,01891625
5,42307654
0,4674042
0,01355069
5,62307654
0,52251303
0,00439949
5,82307654
0,51817103
-0,0057572
6,02307654
0,45743775
-0,01393
6,22307654
0,35970979
-0,01779759
6,42307654
0,25457747
-0,0163629
6,62307654
0,17289656
-0,01020374
6,82307654
0,13776028
-0,00125697
7,02307654
0,15800494
0,00778671
7,22307654
0,226065
0,01428944
7,42307654
0,32067149
0,01643316
7,62307654
0,41346163
0,01372457
7,82307654
0,47745619
0,007099
8,02307654
0,49487827
-0,00139519
8,22307654
0,46205547
-0,00922691
8,42307654
0,39006496
-0,01413433
8,62307654
0,30106175
-0,01477577
8,82307654
0,22149005
-0,01109287
9,02307654
0,17424945
-0,00428894
9,22307654
0,17212986
0,00355964
9,42307654
0,21438967
0,01013469
9,62307654
0,28737953
0,01355891
9,82307654
0,36890796
0,01292955
10
0,42881336
0,0092119
Tabla 1. Tabla con potencia mecánica de entrada 0.5 pu en t=0s
Fig.9 Variación de la velocidad del sistema
Fig. 10 Variación del ángulo del sistema
D2 - Haga que la potencia varía en 0.1 en pu a los 5 segundos y simule. nuevamente obtenga una tabla de valores de velocidad y ángulo en el tiempo
Fig. 11 Esquema de sistema SMIB con escalón Tiempo
Angulo
Velocidad
0
0
0
0,0004019
1,93E-07
3,20E-05
0,00241141
6,94E-06
0,00019196
0,01245896
0,00018526
0,00099097
0,06269669
0,0046704
0,00494717
0,24304687
0,06726016
0,01766181
0,42307654
0,18734743
0,02586264
0,62307654
0,3517085
0,02753144
0,82307654
0,50151375
0,02117436
1,02307654
0,59380782
0,00887812
1,22307654
0,60364566
-0,00560187
1,42307654
0,53082412
-0,01798616
1,62307654
0,39920098
-0,024734
1,82307654
0,24902355
-0,02405282
2,02307654
0,12471244
-0,01636795
2,22307654
0,06179693
-0,00413198
2,42307654
0,07683392
0,00895082
2,62307654
0,16315783
0,0190414
2,82307654
0,29352415
0,02328845
3,02307654
0,42866875
0,02062931
3,22307654
0,52911107
0,0120457
3,42307654
0,56666455
0,00021605
3,62307654
0,53230958
-0,01131603
3,82307654
0,43824474
-0,01920024
4,02307654
0,3136942
-0,02124993
4,22307654
0,19588076
-0,01704417
4,42307654
0,11894042
-0,00799716
4,62307654
0,10407011
0,00310905
4,82307654
0,15374209
0,01297632
5
0,23868804
0,01837146
5
0,23868804
0,01837146
5
0,23868804
0,01837146
5,2
0,31740312
0,0072477
5,4
0,32197259
-0,00570432
5,6
0,25301357
-0,01664775
5,8
0,13259238
-0,02244783
6
-0,0028579
-0,02156385
6,2
-0,11359111
-0,01444984
6,4
-0,16823297
-0,00336208
6,6
-0,15267418
0,00835272
6,8
-0,07366458
0,01726545
7
0,04377879
0,02086622
7,2
0,1642083
0,01826803
7,4
0,2523856
0,01041637
7,6
0,28354034
-0,00024143
7,8
0,25027017
-0,0105144
8
0,16417299
-0,01742003
8,2
0,05189432
-0,01904693
8,4
-0,05309014
-0,01507937
8,6
-0,12043432
-0,00684124
8,8
-0,13166954
0,00313913
9
-0,08522818
0,01190187
9,2
0,00360836
0,01693099
9,4
0,10766912
0,01687404
9,6
0,19616781
0,01190108
9,8
0,24378112
0,00360934
10
0,23786196
-0,00548519
Tabla 2. Tabla con potencia mecánica de entrada 0.5 pu en t=0s y 0.1 pu en t=5s.
Fig. 12 Variación de la velocidad del sistema
Fig. 13 Variación del ángulo del sistema
D3 - Explique los 2 resultados anteriores de forma separada. Para un sistema con una potencia mecánica constante de 0.5 pu se puede observar en la gráfica la variación de la velocidad Δ , para un tiempo de 0.6230 se tiene un máximo pico inicial de 0.02753 en el siguiente pico se disminuye sucesivamente hasta alcanzar un valor estable de oscilación esto debido al los devanados de amortiguamiento de la máquina y a la inercia. Para un sistema con una potencia de 0,5 pu en un t = 0 s y 0,1 en t = 0.1 s se puede observar en la gráfica la variación de la velocidad Δ , para un tiempo de 0.6230 se tiene un máximo pico inicial de 0.02753, pero al cambiar bruscamente la potencia mecánica a 0.1 p.u en t = 5 s se puede observar la variación velocidad Δ de 0.018 esto ocurre en el tercer pico positivo , el cuarto pico positivo el Δ de 0.0208. Para la variación del ángulo Δδ ocurre el fenómeno algo similar esto se puede observar en la gráfica donde el ángulo al ocurrir el cambio en la potencia mecánica de 0.5 pu t=0 y 0.1 pu en t = 5 s , ocurre una disminución y se estabiliza en ese punto.
E - Haga una lista de los parámetros de entrada de la simulación. Haga una lista de elementos de salida
PARÁMETRO
VALOR
PARÁMETRO
VALOR
Rs
0
Xqp
0.5
Re
0
H
3.74
Tdp
5.2
KD
0.8
Xd
1.93
Fs
60
Xq
1.77
Vb
1.05
Xdp
0.230
teta
0.21
Tabla. 3 Parámetros de la máquina
F - Ilustre con un diagrama de flujo el procedimiento efectuado para los items D1 y D2
References [1] Beaty, H. W., & Santoso, S. (2015). Handbook of electric power calculations. New York: McGraw-Hill Education. [2] Mcdonald, C. (2014, 10). Https://www.dropbox.com/s/bwxhwldvyta6i3x/CSEIT_2015_Proceedings_Paper_18.p df?dl=0. 6th Annual International Conference on Computer Science Education: Innovation & Technology (CSEIT 2015). doi:10.5176/2251-2195_cseit15.30 [3] Padiyar, K. R. (2008). Power System Dynamics. New Delhi: BS Publications.
