CAPÍTULO 12
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN
Se presenta el marco teórico del Método de Superposición Modal a partir de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que gobiernan los problemas dinámicos. El Método permite desacoplar el sistema considerando que la matriz de amortiguamiento es una combinación lineal de las matrices de rigidez y de masas. Es importante conocer que con el método se puede encontrar la respuesta en el tiempo paso a paso trabajando con acelerogramas o encontrar la respuesta máxima trabajando con espectros. Como aplicación del Método se analiza una estructura de acuerdo a lo estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se presenta con detalle el cálculo para que el lector pueda utilizar con propiedad programas comerciales que existen en el medio. Se indican los controles de cortante basal mínimo, del efecto P − ∆ , y de la deriva o distorsión de piso. Una vez que se tiene diseñada la armadura de los diferentes elementos de la estructura es fundamental que el proyectista estructural calcule el factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rw con el cual obtuvo el espectro inelástico. El calculo de este factor se presenta en este capítulo al igual que el desempeño que va a tener la misma, para el efecto se indican los elementos estructurales que van a ingresar al rango no lineal, todo esto con la estructura que se analiza, la misma que tiene 6 pisos. Finalmente se explica la aplicación del Método de Superposición Modal al Análisis Sísmico de estructuras espaciales considerando tres grados de libertad por planta. Es decir considerando que la losa o diafragma horizontal es completamente rígido en su plano. Se indica el cálculo de la torsión accidental y la simultaneidad de acciones sísmicas.
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12.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO En forma general, se puede indicar que el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos está definido por la ecuación (12.1). En la cual, M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento, rigidez; Q .
el vector de coordenadas
..
generalizadas; q, q, q son los vectores de desplazamientos, velocidades y aceleraciones. ..
.
M q + C q + K q = Q
( 12.1 )
El sistema definido en (12.1), es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, en virtud de que las matrices de rigidez K y amortiguamiento C por lo general no son diagonales. El acoplamiento, dificulta la solución matemática. El método de superposición modal, permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales, para ello se trabaja con la matriz modal Φ , la misma que viene a ser una matriz de transformación de coordenadas, como se verá más adelante.
Φ = [φ (1) φ ( 2) φ (3) K K φ ( n) ] donde la primera columna de la matriz modal Φ es el primer modo de vibración, la segunda columna el segundo modo y así sucesivamente hasta el último modo de vibración. Para el desacoplamiento se considera que la matriz de amortiguamiento C, es del tipo Rayleigh, indicado en la ecuación (12.2), que se repite a continuación.
C = ao M + a1 K
( 12.2 )
Por otra parte, se plantea la transformación de coordenadas indicada en la ecuación (12.3); donde η se define como coordenadas principales.
( 12.3 )
q = Φ η
Al reemplazar (12.2) en (12.1) y luego al pasar p asar a coordenadas pr incipales utilizando la ecuación (12.3), se tiene: ∗
..
∗
.
∗
.
M η + ao M η + a1 K η + K ∗ η = Q ∗
( 12.4 )
M ∗ = Φ t M Φ
( 12.5 )
K ∗ = Φ t K Φ
( 12.6)
Q ∗ = Φ t Q
( 12.7 )
Donde:
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12.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO En forma general, se puede indicar que el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos está definido por la ecuación (12.1). En la cual, M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento, rigidez; Q .
el vector de coordenadas
..
generalizadas; q, q, q son los vectores de desplazamientos, velocidades y aceleraciones. ..
.
M q + C q + K q = Q
( 12.1 )
El sistema definido en (12.1), es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, en virtud de que las matrices de rigidez K y amortiguamiento C por lo general no son diagonales. El acoplamiento, dificulta la solución matemática. El método de superposición modal, permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales, para ello se trabaja con la matriz modal Φ , la misma que viene a ser una matriz de transformación de coordenadas, como se verá más adelante.
Φ = [φ (1) φ ( 2) φ (3) K K φ ( n) ] donde la primera columna de la matriz modal Φ es el primer modo de vibración, la segunda columna el segundo modo y así sucesivamente hasta el último modo de vibración. Para el desacoplamiento se considera que la matriz de amortiguamiento C, es del tipo Rayleigh, indicado en la ecuación (12.2), que se repite a continuación.
C = ao M + a1 K
( 12.2 )
Por otra parte, se plantea la transformación de coordenadas indicada en la ecuación (12.3); donde η se define como coordenadas principales.
( 12.3 )
q = Φ η
Al reemplazar (12.2) en (12.1) y luego al pasar p asar a coordenadas pr incipales utilizando la ecuación (12.3), se tiene: ∗
..
∗
.
∗
.
M η + ao M η + a1 K η + K ∗ η = Q ∗
( 12.4 )
M ∗ = Φ t M Φ
( 12.5 )
K ∗ = Φ t K Φ
( 12.6)
Q ∗ = Φ t Q
( 12.7 )
Donde:
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La deducción de las ecuaciones (12.6) y (12.7) se presentan en Aguiar (1995). La deducción de la ecuación (12.5) puede obtenerse evaluando la energía cinética de una estructura. En Aguiar (1989) se presenta también la deducción de las ecuaciones indicadas. De otro lado, por la ortogonalidad de los modos de vibración, se conoce que:
φ (i ) t M φ ( j ) = 0
i ≠ j
=0
i ≠ j
( i ) t
φ
( j )
K φ
∧
12.1. 12.1.1 1 Modos normalizados nor malizados de la for ma φ (i ) t M φ (i ) = η Los modos de vibración se obtienen de la solución de un sistema de ecuaciones que es linealmente dependiente, de tal manera que se tiene infinito número de modos de vibración pero que guardan cierta relación entre si. Con el objeto de determinar modos específicos se acostumbra normalizar los modos de vibración, una forma de hacerlo es la siguiente: ∧
φ (i ) t M φ ( i ) = η ∧
Se ha denominado η a la constante de normalización de los modos de vibración. Con ∗
∗
este antecedente y notación, se tiene que las matrices M y K , valen:
∧ ⎡η ⎢ ⎢ ⎢ ∗ M = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
∧
η
∗
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ K ⎥ K ⎥ ∧⎥ η ⎥ ⎦
⎡W 12 ⎤ ⎢ ⎥ 2 W ⎢ ⎥ 2 ⎥ ∧⎢ K ∗ ⎢ ⎥ K = η 2 ⎢ ⎥ W i ⎢ ⎥ K ⎢ ⎥ 2 ⎢ W n ⎥⎦ ⎣
∗
Al ser M y K , matrices diagonales, el sistema de ecuaciones diferenciales, está desacoplado. Siendo la ecuación correspondiente al modo de vibración i, de la siguiente forma. ∧ ..
∧ .
∧
∧
.
η η i + a o η η + a1 η W i η i + η W i 2 η i = Qi∗ 2
donde W i es la frecuencia natural del sistema correspondiente al modo i. Por otra parte, .
..
η i , η i , η i son el desplazamiento, velocidad y aceleración en coordenadas principales del .
modo i. Ahora si se factora η i , se obtiene: ∧ ..
∧ .
∧
η η i + ( a o + a1 W i 2 ) η η i + η W i 2 η i = Qi∗
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En Aguiar (1989) se demuestra que el valor de ( a o
+ a1W i 2 )
es igual a 2 W i ξ i . Luego
una de las ecuaciones diferenciales desacopladas tiene la siguiente forma: ∧ ..
∧ .
∧
η η i + 2 W i ξ i η η i + η W i 2 η i = Qi∗
( 12.8 )
12.1.2 Modos normalizados de la forma φ ( i ) t M φ (i ) = 1 Para este caso de normalización de los modos de vibración, la ecuación a la que se llega por un procedimiento análogo es la siguiente: ..
.
η i + 2 W i ξ i η i + W i 2 η i = Qi∗
( 12.9 )
12.1.3 Modos normalizados de cualquier forma ∗
∗
La ecuación diferencial desacoplada queda en función de M i , se destaca que M i es un escalar y vale:
φ ( i ) t M φ ( i ) = M i∗
( 12.10 )
La ecuación genérica, es la siguiente:
∗
..
∗
.
∗
∗
M i η i + 2 W i ξ i M i η i + M i W i η i = Qi 2
( 12.11 )
12.1.4 Caso de análisis sísmico ..
Para el caso general, en que actúen las tres componentes sísmicas, que son: U ghx (t ) ..
..
aceleración horizontal en sentido X, U ghy (t ) aceleración horizontal en sentido Y, y U gv (t ) aceleración vertical. El vector de cargas Q, es: ..
..
..
Q = − M J X U ghx (t ) − M J Y U ghy (t ) − M J Z U gv (t ) ∗
El término Qi
( i ) t
no es más que el modo de vibración φ
( 12.12 )
por el vector Q . En
consecuencia, se tiene:
∗
..
..
..
Qi = − φ M J X U ghx (t ) − φ M J Y U ghy (t ) − φ M J Z U gv (t ) ( i ) t
( i ) t
( i ) t
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
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Se definen γ ix , γ iy , γ iz , los factores de participación del modo i , para análisis sísmico en sentido X, Y y para la componente vertical de movimiento del suelo.
γ ix = γ iy = γ iz =
φ (i ) t M J X
( 12.13.1 )
M i∗
φ (i ) t M J Y
( 12.13.2 )
∗
M i
φ (i ) t M J Z
( 12.13.3 )
M i∗ ∗
Al dividir la ecuación (12.11) para el escalar M i , la forma general de una ecuación diferencial desacoplada es la siguiente: ..
.
..
..
..
η i + 2 W i ξ i η i + W i η i = − γ ix U ghx (t ) − γ iy U ghy (t ) − γ iz U gv (t ) 2
( 12.14 )
La ecuación (12.14) corresponde a un sistema de un grado de libertad. En consecuencia se puede encontrar la respuesta dinámica aplicando la integral de Duhamel o el método β de Newmark. La importancia del método de superposición modal radica cuando se aplica utilizando un espectro de diseño.
12.1.5 Organización del Método de Superpos ición Modal Una vez que se ha definido el modelo numérico de cálculo que se va a utilizar el siguiente es el procedimiento a seguir empleando el método de superposición modal.
1) Se determinan las matrices de rigidez K , de masas M y los vectores J X , J Y y J Z . 2) Estimar o determinar los valores de ξ i 3) Calcular las propiedades dinámicas W i y φ i . Es un problema de valores y vectores propios. ∗
4) Determinar M i
φ ( i ) t M φ ( i ) = M i∗ 5) Determinar los factores de participación modal.
γ ix = γ iy = γ iz =
φ (i ) t M J X M i∗
φ (i ) t M J Y M i∗
φ (i ) t M J Z M i∗
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6) Resolver la ecuación diferencial correspondiente a un grado de libertad y hallar η i , utilizando métodos analíticos o numéricos. ..
.
..
..
..
η i + 2 W i ξ i η i + W i 2 η i = − γ ix U ghx (t ) − γ iy U ghy (t ) − γ iz U gv (t ) 7) Encontrar el vector de desplazamientos q
q = Φ η (i )
En función de los modos de vibración φ
q=
se tiene:
N
∑ φ
(i )
η i (t )
i =1
( 12.15 )
Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta dinámica. Se destaca que no es necesario considerar todos los modos de vibración en la respuesta sísmica, los modos superiores influyen muy poco en la respuesta.
12.2 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON ESPECTRO La respuesta dinámica, se puede encontrar aplicando el método de superposición modal ya sea trabajando con un espectro de respuesta, con un espectro de diseño elástico o con un espectro de diseño inelástico. Por otra parte, si bien todas las aplicaciones de este capítulo están orientadas al análisis plano, no es menos cierto que se aplican las mismas definiciones y procedimientos de cálculo para el análisis espacial de estructuras. Por lo tanto, es un método de carácter general siempre y cuando sea factible desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales. Los espectros definen la respuesta máxima de osciladores de un grado de libertad y de un mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dada, para el análisis sísmico. En consecuencia el espectro proporciona la respuesta máxima del sistema. Con este antecedente la respuesta máxima η im se obtiene con la ecuación (12.16) 2
⎛ T ⎞ η im = γ i ⎜ i ⎟ Ad i ⎝ 2π ⎠
( 12.16 )
donde T i es el período correspondiente al modo i. Por otra parte, Ad i , es la aceleración espectral correspondiente al período
T i . Se ha definido en forma general el factor de
participación modal γ i . La ecuación (12.16) tiene involucrado el concepto de pseudo espectros.
12.3 RESPUESTAS MODALES MÁXIMAS Varios son las respuestas modales máximas que interesan para el análisis y diseño sísmico de edificios, las mismas que se detallan en el presente apartado.
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12.3.1 Desplazamientos Modales Máximos La ecuación (12.16) define el desplazamiento máximo, en coordenadas principales η im , para el modo i. Los desplazamientos máximos de la estructura q im , se obtienen con la ecuación (12.17) 2
⎛ T ⎞ qim = φ η im = φ γ i ⎜ i ⎟ Ad i ⎝ 2π ⎠ (i )
(i )
( 12.17 )
La ecuación (12.17) permite encontrar los desplazamientos máximos en cada uno de los diferentes modos. Para encontrar los desplazamientos máximos totales, se aplicará un criterio de combinación modal que se indicará posteriormente . Con los desplazamientos máximos modales, se pueden encontrar las derivas de piso en cada uno de los modos. La deriva, a secas, no es más que el desplazamiento horizontal relativo entre dos puntos colocados en la misma línea vertical, en dos pisos o niveles consecutivos de la edificación.
12.3.2 Fuerzas equivalentes y Cortantes En forma aproximada se puede encontrar las fuerzas estáticas equivalentes de un modo de vibración F i , como el producto de la matriz de rigidez K por el vector de desplazamientos del modo qim .
F i ≈ K qim
( 12.18 )
Al reemplazar el valor de qim por la ecuación (12.17) y si se tiene en cuenta que:
W i =
2π
K = W 2 M
T i
Se demuestra fácilmente que las fuerzas estáticas equivalentes del modo i, denominadas F i , se obtiene con la ecuación ( 12.19 ).
F i = γ i Ad i M φ ( i )
( 12.19 )
Se denomina Ai , Coeficientes de forma, al producto del modo de vibración i por el factor de participación modal.
Ai = γ i φ ( ) i
( 12.20 )
El cortante V i , se determina sumando las fuerzas laterales en cada uno de los pisos. Se destaca que el criterio de combinación modal, tema que se abordará posteriormente, no debe aplicarse en las fuerzas estáticas equivalentes sino en los cortantes, ya que así se toma en cuenta la forma del modo. Una vez que se ha realizado la combinación modal en los cortantes se obtiene las fuerzas estáticas equivalentes.
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Se denomina V o al cortante basal. En cada modo de vibración se tiene un cortante en la base al que se llamará V oi , cortante basal del modo i, en base al cual se va a calcular el Peso efectivo modal que se trata a continuación.
12.3.3 Peso efectiv o Modal Se define el peso efectivo modal W i como la relación entre el cortante basal para el coeficiente sísmico pero evaluado en cada modo de vibración.
W i =
V oi
ci =
ci
Ad i g
( 12.21 )
La sumatoria de los pesos efectivos W i , en todos los modos de vibración reporta el peso total de la estructura. El cálculo del peso efectivo, es fundamental, para saber determinar el mínimo número de modos que se deben considerar en el análisis. El cálculo de los pesos modales con la ecuación ( 12.21 ) implica el conocer el cortante basal en cada modo de vibración, lo que demanda un considerable trabajo razón por la cual se recomienda encontrar los pesos modales con las ecuaciones ( 12.22 ) y (12.23).
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎝ k =1 ⎠ α i = n n
2
( 12.22 )
∑ m ∑ m φ
2 k ki
k
k =1
k =1
W i = α i W T
( 12.23 )
donde α i es el factor de participación del modo i en el cortante basal ., n es el número de grados de libertad que se consideran en el análisis. Para deducir la ecuación (12.22) se recuerda que la sumatoria de las fuerzas laterales reporta el cortante basal V i . Sea k un subíndice para identificar el número de piso y n el número total de pisos, esto sería para el caso en que las masa se concentra a nivel de piso y se considera un grado de libertad por planta, en el caso general es el número de grados de libertad. En función de este subíndice se tiene que el cortante basal en el modo i, vale:
V i =
n
∑ F
ki
k =1
n
= γ i Sai ∑ m k φ ki k =1
El factor de participación modal γ i de la masa de piso m k y del vector modal de piso
φ ki se puede escribir de la forma siguiente:
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n
∑ m φ
k ki
γ i =
k =1 n
∑ m φ
2 k ki
k =1
Al sustituir esta última ecuación en V i se encuentra: 2
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎝ k =1 ⎠ Sa V i = n i
∑ m φ
2 k ki
k =1
Por otra parte, el cortante basal V i en función de α i se escribe de la siguiente forma:
V i = α i M T Sai n
donde M T es la masa total de la estructura y es igual a
∑m
k
. Al comparar estas dos últimas
k =1
ecuaciones se obtiene:
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎝ k =1 ⎠ α i = n n
2
∑ m ∑ m φ
2 k ki
k
k =1
k =1
Es recomendable que el número mínimo de modos de vibración NM sea tal que la sumatoria de los pesos efectivos para ese número mínimo de modos sea mayor al 90% del peso de la estructura. En función de la variable α i el número mínimo de modos se obtiene cuando α i
> 0.9
12.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL Existen una serie de criterios de combinación modal, para estimar la respuesta sísmica máxima. En el presente apartado se presentan algunos de ellos.
12.4.1 Criterio del máximo valor prob able Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un momento, desplazamiento, corte, etc. El criterio del máximo valor probable propuesto por Newmark y Rosenblueth (1971) es:
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N
∑ (r )
r =
2
( 12.24 )
i
i =1
donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta y la variable i corresponde al modo de vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar el criterio del máximo valor probable cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar o sobrestimar considerablemente la respuesta.
12.4.2 Criteri o de la doble suma Este criterio se utiliza cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre sí.
N
N
N
i =1
j =1
r i r j
∑ (r ) + ∑ ∑ 1 + ε
r = 2
2
i
i =1
ε ij =
2 ij
1 − ξ W i − W j
ξ
W i + W j
( 12.25 ) ( 12.26 )
siendo W i , W j las frecuencias de vibración de los modos i, j, respectivamente; ξ el porcentaje de amortiguamiento crítico para cada modo de vibración. La forma de cálculo de ε ij , indicada en la ecuación (12.26) es la más práctica. Sin embargo una forma más refinada de cálculo es la siguiente:
ε ij =
W i ' − W j' ' ' ξ i W i + ξ j W j
W i ' = W i 1 − ξ i2 ' ξ i = ξ i +
2 s W j
( 12.27 ) ( 12.28 ) ( 12.29 )
donde s , es la duración del sismo. Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos naturales que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento crítico y la duración del sismo.
12.4.3 Criterio de la combinación cu adrática completa
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
289
Este criterio considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.
r 2 =
N
∑ ∑ ρ
ij
i =1
ρ ij = a=
N
( 12.30 )
r i r j
j =1
8 ξ 2 (1 + a ) a1.5
(1 − a )
2 2
+ 4 ξ 2 a (1 + a )
( 12.31 )
2
W j
( 12.32 )
W i
ρ ij =
8 ξ i ξ j (ξ i + a ξ j ) a 1.5
(1 − a )
2 2
+ 4 ξ i ξ j a (1 + a
2
) + 4(ξ
2 i
+ ξ ) a 2 j
2
( 12.33 )
Se puede utilizar las ecuaciones (12.31) o (12.33) para evaluar ρ ij ; ξ i , ξ j son las fracciones del amortiguamiento crítico correspondientes a los modos de vibración i,j. Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable.
12.4.4 Criterio AGH Existe una gran cantidad de criterios de combinación modal y lo interesante es que se continúa investigando en esa línea es así como Gómez (2002) presenta un nuevo criterio sin condicionar su empleo a las frecuencias de vibración. En consecuencia se puede utilizar en estructuras cuyas frecuencias estén cercanas o alejadas, El criterio cuyo nombre corresponde a las iniciales del autor es el siguiente:
⎛ N ⎞ r = r + ⎜ ∑ r i ⎟ ⎝ 2 ⎠
2
2 1
( 12.34 )
Este criterio está inspirado en los criterios de la respuesta modales totales y el del máximo valor probable.
12.5 APLICACIÓN UTILIZANDO EL CEC-2000 Se desea encontrar las fuerzas estáticas equivalentes, los desplazamientos máximos y las derivas de piso de la estructura de 6 pisos indicada en la figura 12.1, la altura de los entrepisos es de 3.0 m., cada uno. Las columnas de los dos primeros pisos son iguales y tienen una sección transversal de 60/60, las columnas de los pisos 3 y 4 son de 55/55 y las de los últimos pisos de 50/50. Las vigas de los dos primeros pisos es de 30/45 y las restantes de 30/40. Se desea calcular la respuesta sísmica plana del pórtico 2, ante el espectro estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, si la misma se halla situada en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador sobre un perfil de suelo S2 y va a ser utilizada
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para vivienda. Considerar para el espectro inelástico un valor de Rw
= 8 . En la figura 12.2 se
indica en la parte superior el espectro elástico y en la parte inferior el espectro inelástico que se considera en el análisis sísmico y que responde a las condiciones del problema.
Figura 12.1
Figura 12.2
Distribución en planta de edificación de sei s pisos que será analizada.
Espectro Elástico e Inelástico para R w
= 8 en la zona de mayor peligrosidad sísmica de
Ecuador (0.4 g) y para un perfil de suelo S2.
El análisis sísmico debe realizarse de acuerdo al CEC-2000, considerando inercias agrietadas ya que la estructura va a ingresar al rango no lineal ante el sismo de análisis y las vigas serán las más afectadas. Las Inercias agrietadas son:
I V = 0.5 I g
I C = 0.8 I g
( 12.35 )
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
291
La matriz de rigidez lateral que se obtiene para el pórtico 2, considerando inercias agrietadas en vigas y columnas es la siguiente (triangular superior).
⎡69633.01 ⎢ ⎢ ⎢ K = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
− 40795.42
− 3810.76
− 156.36 ⎤ ⎥ 48123.25 − 31916.06 11696.37 − 2724.41 486.18 ⎥ 40177.45 − 26216.94 8933.34 − 1591.62⎥ ⎥ 32543.50 − 20288.87 5083.12 ⎥ 22680.56 − 9256.16 ⎥ ⎥ 5392.68 ⎥⎦ 14351.09
887.83
La carga muerta uniforme distribuida que actúa en cada piso del pórtico analizado es 2.1 T/m., y la carga viva es 0.7 T/m., se considera por facilidad que ésta carga es igual en todos los pisos. Para el análisis sísmico se trabaja con el 25% de la carga viva, de tal manera que la carga vertical es de 2.275 T/m. Al multiplicar ésta cantidad por la longitud total de cada pórtico que es de 15 m. y al dividir para la gravedad se encuentra la masa de cada piso que es de 3.48 T s2/m. De tal manera que la matriz de masas es:
⎡3.48 ⎢ ⎢ ⎢ M = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
3.48 3.48 3.48 3.48
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 3.48⎦⎥
Tabla 12.1 Valores Propios, Frecuencias (1/s) y Períodos (s). Modo 1 2 3 4 5 6
Valor Propio
Frecuencia Natural
Período
λ i
W i
T i
55.4502 590.843 2527.40 7504.97 17677.3 34308.8
7.44649 24.3073 50.2733 86.6312 132.956 185.226
0.843778 0.258490 0.124981 0.0725279 0.0472576 0.0339216
En la tabla 12.1 se indica los valores propios, las frecuencias naturales de vibración y los períodos de vibración, se destaca que el período fundamental es bastante alto esto es debido a que se calcula con inercias agrietadas. En la tabla 12.2 se indican los respectivos modos de vibración.
Tabla 12.2 Piso 1 2 3 4
Modo 1 0.02768 0.08617 0.1563 0.2284
Modo 2 -0.09069 -0.2366 -0.2986 -0.2003
Modos de Vibración
Modo 3 0.1655 0.2939 0.08922 -0.2508
(i )
φ
Modo 4 0.2476 0.1878 -0.2535 -0.1039
Modo 5 0.2866 -0.05537 -0.2128 0.3161
Modo 6 0.3277 -0.3147 0.2368 -0.1419
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292
5 6
0.2939 0.3406
0.04092 0.3033
-0.2219 0.2309
0.3067 -0.1426
-0.2271 0.07236
0.06543 -0.01696
Los factores de participación modal γ i se indican en la tabla 12.3. Se destaca que para el caso plano el vector J es unitario. Con cada período de vibración T i se ingresa al espectro inelástico indicado en la figura 12.1 y se obtiene la aceleración espectral Ad i que también se indica en la tabla 12.3.
Tabla 12.3 Modo
Factores de Participación Modal y Aceleración Espectral.
Factor de Participación γ i
Aceleración Espectral Ad i
3.94547 1.67846 1.06863 0.824008 0.625867 0.54431
(m/s ) 0.903432 1.470000 1.470000 1.470000 1.470000 1.470000
2
1 2 3 4 5 6
Las fuerzas laterales en cada modo se obtienen con la siguiente ecuación (i) F i = γ i Ad i M φ . Los valores se indican en la tabla 12.4. Con estas fuerzas laterales se
obtienen los cortantes modales los mismos que se indican en la tabla 12.5.
Tabla 12.4 Piso 1 2 3 4 5 6
Modo 1 (T.) 0.3435 1.069 1.940 2.835 3.648 4.227
Modo 2 (T.) -0.7792 -2.033 -2.566 -1.721 0.3515 2.606
Fuerzas Laterales Modales.
Modo 3 (T.) 0.9052 1.608 0.488 -1.372 -1.214 1.263
Tabla 12.5 Piso 1 2 3 4 5 6
Modo 1 (T.) 14.06 13.72 12.65 10.71 7.875 4.227
Modo 2 (T.) -4.141 -3.362 -1.329 1.236 2.957 2.606
Modo 4 (T.) 1.044 0.7922 -1.069 -0.4611 1.294 -0.6015
Modo 5 (T.) 0.9181 -0.1774 -0.6818 1.013 -0.7275 0.2318
Modo 6 (T.) 0.9130 -0.8768 0.6597 -0.3954 0.1823 -0.04725
Modo 5 (T.) 0.5758 -0.3423 -0.1649 0.5169 -0.4956 0.2318
Modo 6 (T.) 0.4355 -0.4774 0.3994 -0.2603 0.1351 -0.04725
Cortantes Modales.
Modo 3 (T.) 1.679 0.7735 -0.8344 -1.322 0.04932 1.263
Modo 4 (T.) 0.9981 -0.04624 -0.8384 0.2308 0.6920 -0.6015
Tabla 12.6 Cortantes Totales y Fuerzas Laterales Piso 1 2 3 4
Cortante (T.) 14.80765 14.15932 12.78230 10.88030
Fuerza Lateral (T.) 0.64833 1.37702 1.9020 2.42377
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO 5 6
293
8.45653 5.16478
3.29175 5.16478
Al aplicar el criterio del máximo valor probable en los cortantes se obtienen los valores indicados en la tabla 12.6 y de ellas por un procedimiento contrario se determinan las fuerzas laterales que también se indican en la tabla. En la tabla 12.6 se aprecia que el cortante basal obtenido del análisis sísmico V o es igual a 14.807 T. Este cortante debe compararse con el cortante basal mínimo V om recomienda el CEC-2000. Si V o un factor de corrección f =
≥ V om
V om V o
que
se prosigue con el análisis, caso contrario se determina
por el cual se multiplican las fuerzas laterales para que el
cortante basal sea mínimo.
V om =
Z I C Rw φ p φ e
W
( 12.36 )
donde Z es el factor de zona sísmica, I es el factor de importancia, C es el coeficiente sísmico definido en la figura 12.13, en función del factor de amplificación por efecto de suelo S y del período fundamental T , W es el peso reactivo el mismo que se calcula exclusivamente con la carga muerta, R w es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas para obtener el espectro inelástico, φ p , φ e factores reducen el comportamiento no lineal debido a irregularidades en planta y elevación.
Figura 12.13
Coeficiente sísmico C, de acuerdo al CEC 2000.
Para el ejemplo el cortante basal mínimo vale 17.42 T., que es mayor a V o , luego el factor f = 1.177 con el cual deben multiplicarse las fuerzas laterales indicadas en la tabla 12.6. El resultado se indica en la tabla 12.7, donde también se presentan las fuerzas laterales que se obtendrían al aplicar el método estático en base al modo fundamental aplicando la ecuación (12.37) y al modo fundamental equivalente mediante la ecuación (12.38), todo esto con el objeto de comparar resultados. Ecuaciones que fueron estudiadas en el capítulo 10.
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294
F i =
mi φ i N
∑m
V om
( 12.37 )
V
( 12.38 )
φ j
j
j
F i =
mi φ i N
∑m
j
φ j
j
donde mi es la masa del piso i; φ i es la forma del primer modo en el piso i, V es el cortante basal, N es el número de pisos y F i la fuerza lateral correspondiente al piso i. En la ecuación (12.38) se tiene que φ i
es el modo fundamental equivalente, Valles et al (1996) el mismo que
se calcula con la ecuación (12.39) en función del factor de participación modal γ .
φ i =
N
∑ (φ
ij
2
γ j )
( 12.39 )
j =1
Con la ecuación (12.37) se determinan las fuerzas laterales equivalentes debido a sismo en forma muy rápida trabajando en función del modo fundamental y es aplicable a estructuras regulares que responden básicamente en el primer modo. La ecuación (12.38) en cambio es aplicable a estructuras en las cuales la influencia de los modos superiores es importante.
Tabla 12.7 Piso
1 2 3 4 5 6
Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas de diferentes maneras
Fuerzas Laterales Método de Superposición Modal (T.) 0.763 1.620 2.238 2.852 3.873 6.077
Fuerzas Laterales Método Estático Modo Fundamental (T.) 0.4053 1.2821 2.4045 3.5608 4.5451 5.2255
Fuerzas Laterales Método Estático Modo Fundamental Equivalente (T.) 1.2860 2.0209 2.6179 3.2044 3.7849 4.5092
Para el cálculo de las derivas o distorsiones de piso, de acuerdo al CEC-2000 es necesario volver a calcular la matriz de rigidez de la estructura pero trabajando con las inercias gruesas ya no con las inercias agrietadas. Está matriz resulta:
⎡86734.43 ⎢ ⎢ ⎢ K = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
− 50046.69 60757.93
16330.80
− 39363.50 51155.73
− 4067.51
− 145.20 ⎤ ⎥ 13597.11 − 2957.79 508.95 ⎥ − 32800.94 10446.48 − 1787.48 ⎥ ⎥ 41718.12 − 25605.46 6163.87 ⎥ 30370.38 − 12919.67⎥ ⎥ 8139.41 ⎥⎦ 884.78
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
295
Los desplazamientos elásticos q se obtienen de la solución del sistema de ecuaciones lineales siguiente:
Q = K q
( 12.40 )
donde el vector de cargas Q
está formado por las fuerzas laterales de piso. Los
desplazamientos inelásticos qin
se obtienen de acuerdo al CEC-2000 multiplicando los
desplazamientos elásticos por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R w .
qin = Rw
( 12.41 )
q
Con los desplazamientos inelásticos se determina la deriva de piso δ i como la relación entre el desplazamiento relativo inelástico para la altura de entrepiso. En la tabla 12.8 se indican los desplazamientos elásticos, inelásticos y las distorsiones de piso obtenidas con las fuerzas laterales encontradas del método de superposición modal.
Tabla 12.8 Piso
1 2 3 4 5 6
Desplazamientos elásticos, inelásticos y distorsión de piso.
Desplazamiento Elástico
Desplazamiento Inelástico
Distorsión de Piso δ i
(cm.) 0.13669 0.40567 0.71453 1.0282 1.3209 1.5268
(cm.) 1.094 3.245 5.716 8.226 10.570 12.210
(%) 0.36 0.72 0.82 0.84 0.78 0.55
La deriva máxima recomendada por el CEC-2000 para el sismo analizado es del 2%, y los valores obtenidos son menores a dicha cantidad. En consecuencia no hay problema de distorsión de piso. Ahora lo que se debe controlar es el efecto P − ∆ . Una forma simplificada de controlar el efecto P − ∆ es mediante el factor de estabilidad de piso θ k el mismo que viene definido por la siguiente ecuación:
θ k =
PT k V k
δ k
( 12.42 )
donde PT k es la carga vertical que gravita desde el piso k hasta el tope del edificio, δ k es la deriva del piso k y V k es el cortante del piso k . Si el valor de θ k en todos los pisos es menor a 0.08, la estructura no tendrá problema del efecto P − ∆ . Por el contrario si en algún piso el valor de θ k supera el valor de 0.30 la estructura tendrá serios problemas por el efecto P − ∆ debiendo rediseñarse la misma para el efecto se debe incrementar la sección transversal de vigas y columnas y repetir el análisis sísmico.
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296
Finalmente para el caso en que el valor de θ k en algún piso este comprendido entre 0.08 y 0.30 se debe encontrar un factor de corrección f P −∆ y todas las fuerzas laterales deberán multiplicarse por dicho valor.
f P −∆ =
1
( 12.43 )
1 − θ k
En la tabla 12.9 se indican los índices de estabilidad de piso θ k obtenidos para el ejercicio resuelto se observa que ningún valor supera 0.08.
Piso
Tabla 12.9 δ k
1 2 3 4 5 6
0.0036 0.0072 0.0082 0.0084 0.0078 0.0055
Descripción del cálculo del efecto
PT k 204.75 170.625 136.500 102.375 68.250 34.125
P−∆. V K
θ k
17.423 16.660 15.040 12.802 9.950 6.077
0.0423 0.0737 0.0744 0.0671 0.0535 0.0308
12.6 DISEÑO DE VIGAS Y COLUMNAS Una vez que se realizó el análisis sísmico se procedió al diseño de vigas y columnas considerando cargas verticales (muerta y viva) y cargas sísmicas. Se consideró un hormigón con una resistencia máxima a la compresión de 210 kg/cm2 y un acero con un límite de fluencia de 4200 kg/cm2. En la figura 12.14 se indica el armado respectivo y en las tablas 12.10 y 12.11 se detallan las armaduras utilizadas. Mc 01 Mc 03
Mc 04
Mc 07
Mc 05
Mc 08
Mc 06
Mc 09
Mc 10
Mc 02 11 E @ 10
12 E @ 20
1.13
2.25
11 E @ 10
11 E @ 10
1.13
A
12 E @ 20
1.13
2.25
11 E @ 10
11 E @ 10
12 E @ 20
11 E @ 10
1.13
1.13
2.25
1.13
C
B
D
ARMADO DE VIGAS TIPO TODOS LOS NIVELES bc 8 ø 20
bv
Mc 01 - Mc 02 Mc 3, 4, 5, 6
E ø 10 @ 10 y 20 hc
hv
Mc 7, 8, 9, 10 E ø 10 @ 10 y 20
COLUMNAS
VIGAS
Figura 12.14 Armadura de una viga y columna tipo. Tabla 12.10 Nivel
Detalle de Secciones Para Vigas y Columnas
Rw = 8
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
+ 3.00 + 6.00 + 9.00 + 12.00 + 15.00 + 18.00
Columna 60 x 60 60 x 60 55 x 55 55 x 55 50 x 50 50 x 50
297
Refuerzo 8 ø 25 8 ø 25 8 ø 22 8 ø 22 8 ø 20 8 ø 20
Viga 30 x 45 30 x 45 30 x 40 30 x 40 30 x 40 30 x 40
Tabla 12.11
Disposición de Acero de Refuerzo en Vigas Nivel +6.00 Nivel +9.00 Nivel +12.00 Nivel +15.00
Mc
Nivel +3.00
01
2 ø 16
2 ø 16
3 ø 16
3 ø 16
3 ø 12
Nivel +18.00 3 ø 12
02
2 ø 16
2 ø 16
3 ø 16
3 ø 16
3 ø 12
3 ø 12
03
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
04
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
05
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
06
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
4 ø 16
07
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
08
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
09
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
10
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
2 ø 16
12.7 CAPACIDAD SÍSMICA RESISTENTE Una vez que se tiene diseñado el pórtico se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el desplazamiento lateral máximo en el tope Dt con el cortante basal
V , se ha considerado el modelo de hormigón confinado de Park et al (1981), el modelo trilineal para el acero y el modelo de plasticidad extendida de Thom et al (1983).
Figura 12.15
Curva de capacidad sísmica resistente y modelo bilineal.
Por otra parte la distribución de cargas laterales empleadas en la técnica del pushover es proporcional a las fuerzas laterales obtenidas del método de superposición modal indicadas en la primera columna de la tabla 12.7. En la figura 12.15 se indica la curva de capacidad resistente y el modelo bilineal equivalente obtenido con el criterio de igual área. En el modelo
Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE
298
bilineal se aprecia que el punto de fluencia está caracterizado por un desplazamiento de fluencia Dty = 9.47 cm. y un cortante de fluencia V y = 36.080 T . Para el punto de fallo se considera que este está asociado a una deriva global del edificio del 2%. Del análisis con el pushover se encuentra que el punto más cercano al 2% de la altura total del edificio es: Dtu = 29.22 cm. , V u = 50.52 T .
12.8 CÁLCULO DE Rw Y DESEMPEÑO SÍSMICO Por otra parte del análisis sísmico realizado se encontró que el desplazamiento lateral máximo que se espera ante el sismo estipulado por el CEC-2000 es Dt cortante basal de diseño V o
= 17.42 T .
Rs =
µ =
V u
Dtu
µ =
Dty
Rw = Rs µ donde Rs es la sobreresistencia,
y que el
En consecuencia se tiene:
Rs =
V o
= 12.21 cm.
50.52 17.42
29.22 9.47
= 2.9
= 3.08
Rw = 2.9 ∗ 3.08 = 8.93
es la ductilidad y R w el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas por comportamiento inelástico. El valor encontrado es ligeramente mayor al valor inicial Rw
=8
con el cual se obtuvo el espectro inelástico. En consecuencia está muy bien, lo
inaceptable habría sido que el valor de Rw sea menor. En la figura 12.16 se indica el desempeño esperado de la estructura analizada ante el sismo estipulado por el CEC-2000. Se aprecia que el daño se va a presentar en las vigas pero este no es de consideración, en ningún momento se van a formar rótulas plásticas. Los extremos de las vigas que ingresan al rango no lineal sus momentos han superado el momento de fluencia.
3m 3m 3m 3m 3m 3m
5m
5m
5m
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO Figura 12.16
299
Desempeño esperado de estructura analizada.
12.9 COMENTARIOS El período de vibración que se obtiene del análisis con la técnica del pushover, asociado al desplazamiento lateral de 12.21 cm. es de 1.51 s. que es muy diferente al que se obtuvo en el análisis con inercias agrietadas cuyo valor era de 0.84 s. Por otra parte esta estructura fue analizada por Aguiar y Viera (2003) por el Método del Espectro de Capacidad para el mismo espectro sísmico de análisis y se encontró que el desplazamiento lateral máximo en el último piso es de 21.5 cm. Cantidad que difiere notablemente a los 12.21 cm. Los desplazamientos laterales y las derivas que se encuentran en cada piso, con la técnica del pushover, asociado al desplazamiento de 12.21 cm. se indican en la tabla 12.12 los mismos que se comparan con los que reporta el Método de Superposición Modal y se aprecia en términos generales que son parecidos.
Tabla 12.12
Desplazamientos obtenidos con Técnica de Pushover y Método de Superposición Modal .
Técnica del Pushover Desplazamiento Deriva (cm.) (%) 0.949 0.316 2.742 0.598 5.110 0.789 7.746 0.879 10.284 0.846 12.250 0.655
Piso 1 2 3 4 5 6
Método de Superposición Modal Desplazamiento Deriva (cm.) (%) 1.090 0.36 3.245 0.72 5.716 0.82 8.226 0.84 10.570 0.78 12.210 0.55
12.10 ANÁLISIS ESPACIAL Se presenta el análisis sísmico de estructuras considerando tres grados de libertad por planta las mismas que deben satisfacer los siguientes requerimientos para que su losa o entrepiso sea considerado infinitamente rígido en el plano horizontal.
La relación entre el largo y el ancho de la losa o diafragma horizontal debe tender a uno. Si es mayor que tres ya no se podrá modelar como piso rígido. Las rigideces de sus elementos deben estar distribuidos de una manera más o menos uniforme. La losa o diafragma horizontal tienen un espesor adecuado.
La explicación de la teoría se realiza en base a la estructura, irregular, de dos pisos indicada en la figura 12.17 Nótese que el primer piso tiene 6 columnas y el segundo piso 4 columnas, de tal manera que sus Centros de Masa no van a ser colineales. Se define el Centro de Masa C.M. como el lugar geométrico en el cual se considera que está concentrado todo el peso de la planta. En edificios cuya carga está distribuida en forma simétrica se puede calcular el Centro de Gravedad como el C.M. En el C.M. se acostumbra considerar los tres grados de libertad por planta con el objeto de que la Matriz de Masa sea diagonal y de esta forma se puede evaluar muy fácilmente los
Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE
300
valores y vectores propios, además que facilita el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales. En la figura 12.18 se indican los tres grados de libertad por planta que se han considerado para la estructura de dos pisos. Nótese que primero se numeran todas las coordenadas horizontales en sentido X, empezando desde la planta baja hasta el último piso. Después se numeran las coordenadas horizontales en sentido Y de la misma manera y finalmente las rotaciones de piso.
Figura 12.17 Estructura con la que se realizará el análisis
sísmico espacial.
El vector de coordenadas generalizadas para la estructura de la figura 12.18, se indica a continuación. Donde q1 es la componente de desplazamiento horizontal en sentido X del piso 1, q 2 es la componente de desplazamiento horizontal en sentido X del piso 2, q3 y q 4 es similar a las anteriores pero en sentido Y, q 5 es la componente de torsión del piso 1 y q 6 la componente de torsión del piso 2.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
301
⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢q 3 ⎥ q=⎢ ⎥ ⎢q 4 ⎥ ⎢q 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢q 6 ⎦⎥
Figura 12.18
12.10.1
Sistema de coordenadas de piso Q - q.
Matriz de Rigidez en coor denadas de piso
El procedimiento de cálculo para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso
K E Aguiar (1995), es el siguiente: i.
Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos planos.
ii.
Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico.
iii.
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso.
K E =
NP
∑
i t
A ( )
i =1
i
K L( )
i
A( )
( 12.44 )
donde (i ) es el número del pórtico plano y NP es el número de pórticos. La ecuación (12.44) es la clásica de Análisis Matricial de Estructuras con la cual se obtiene la matriz de rigidez a partir de los elementos de una estructura. Ahora para el análisis sísmico espacial con tres grados de libertad por planta los elementos son los pórticos, esa es la hipótesis de cálculo. La forma de la matriz A es:
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302
A ( ) i
Senα r 1 ⎡Cosα ⎢ =⎢ ...... ....... ⎢⎣ Cosα Senα
⎤ ⎥ ...... ⎥ r n ⎥⎦
( 12.45 )
donde α es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X, r 1 es la distancia desde el origen de coordenadas (C.M.) hasta el pórtico (i) en el piso uno, r n es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. En las figuras 12.19 y 12.20 se indican las orientaciones positivas de los pórticos de la estructura que se analiza. El valor de r tiene signo, será positivo si la orientación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con relación al C.M., en las figuras 12.19 y 12.20 se indica además el signo de esta variable.
Figura 12.19 Valores y signos de r i para los pórticos 1 y 2 de la estructura.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
Figura 12.20
Valores y signos de
r i
303
para los pórticos en sentido Y.
Las matrices de compatibilidad A de los pórticos de la estructura de dos pisos indicada en la figura 12.17, son:
⎡1 A (1) = ⎢ ⎣0 ⎡1 =⎢ ⎣0 ⎡0 A ( A) = ⎢ ⎣0
A
(2)
− 2.0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
⎤ 0 − 2.0⎥⎦ 2.0 0 ⎤ ⎥ 0 2.0 ⎦ − 4.5 0⎤ ⎥ 0 0⎦ 0
El pórtico A, es de un piso de tal forma que su matriz de compatibilidad debería tener una fila y tres columnas pero para poder aplicar la ecuación (12.44) y poder sumar todas las restantes contribuciones se utiliza un artificio que consiste en dejarla del mismo orden de las otras matrices y colocar ceros donde no existe piso.
A (
B )
A (
C )
⎡0 =⎢ ⎣0 ⎡0 =⎢ ⎣0
0
1
0
− 0.5
0
0
1
0
0
1
0
4.5
0
0
0
0
0 ⎤
− 2.5⎥⎦ 0 ⎤
⎥
2.5 ⎦
Al ser el pórtico A de un solo piso su matriz de rigidez tendrá un solo elemento, pero para poder realizar el triple producto matricial con la matriz de compatibilidad indicada se debe utilizar el mismo artificio que consiste en que la matriz de rigidez lateral del mencionado pórtico sea de 2X2 donde únicamente el elemento de la primera fila y primera columna tiene cantidad diferente de cero. La Matriz A relaciona las coordenadas laterales de los pórticos que se va a denominar con la letra p , con las coordenadas de piso q .
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304
p ( i ) = A ( i ) q
(12.46)
En la figura 12.21 se indican las coordenadas laterales de cada uno de los pórticos de la estructura analizada. Por otra parte, sea P el vector que contiene las fuerzas laterales en cada pórtico. La relación entre P y p viene dada por la matriz de rigidez lateral.
P (i ) = K L( i )
p ( i )
(12.47)
Para el cálculo de la matriz de rigidez lateral se procede de igual manera a lo indicado en el apartado 12.5, es decir se trabaja con inercias agrietadas en cada uno de los pórticos. Luego se aplica la ecuación (12.44) y se obtiene la matriz de rigidez espacial.
Figura 12.21
12.10.2
Matri z de Masas
Sistema de coordenadas laterales de cada elemento.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
305
La forma general de la matriz de Masas para el análisis sísmico considerando tres grados de libertad por planta y para cuando se numeran primero los desplazamientos en X, luego los en Y, y finalmente las rotaciones de piso. La forma de M es:
⎡ __ ⎤ ⎢m ⎥ __ ⎢ ⎥ M = ⎢ m ⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢ J ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ m1 ⎤ ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ __ ⎥ m=⎢ mi ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎢⎣ mn ⎥⎦ ⎡ J 1 ⎤ ⎢ ⎥ ..... ⎢ ⎥ __ ⎥ J = ⎢ J i ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎢⎣ J n ⎥⎦
(12.48)
(12.49)
(12.50)
donde mi es la masa total del piso i, J i es el momento de inercia de la masa mi referido al
C.M. del piso i. J i =
mi
12
(a
2 i
+ bi2 )
(12.51)
siendo ai , bi , las dimensiones de la planta i. En pisos que tienen aberturas se determina el momento de inercia (12.52).
dividiendo la planta en figuras rectangulares y se aplica la ecuación
J C . M . = donde
d i
m j
12
(a
2 j
+ b j2 ) + m j d 2j
(12.52)
es la distancia desde la figura j hasta el C.M. del piso i.
Con las matrices de rigidez K E y de masas M en coordenadas de piso, se resuelve el problema de valores y vectores propios y se hallan las propiedades dinámicas de la estructura y los respectivos modos de vibración. Se puede trabajar con todos los modos de vibración pero también es factible considerar únicamente unos cuantos modos, los primeros.
12.10.3
Factores de Partici pación Modal
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306
El análisis sísmico se debe realizar en las dos direcciones, primero el sismo actúa en sentido X, y luego el sismo actúa en sentido Y. Por lo tanto hasta el cálculo de las propiedades dinámicas y los modos de vibración no se hace ninguna diferencia en el procedimiento de cálculo. A partir de este punto si hay que considerar el sentido de análisis del sismo. Para sismo en sentido X, los factores de participación γ x ( i ) se obtienen con la ecuación (12.53) y para sismo en sentido Y, los factores γ y ( i ) se hallan con la ecuación (12.55).
•
Caso 1. Anális is en Sentido X. γ x ( i ) =
φ (i ) t M J X
(12.53)
φ (i ) t M φ (i )
⎡ __ ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ __ ⎥ J X = ⎢ 0 ⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
(12.54)
__
siendo
1
•
Caso 2. Anális is en Sentido Y.
un vector unitario cuyo orden es el número de pisos de la estructura,
γ y (i ) =
φ (i ) t M J Y
(12.55)
φ ( i ) t M φ ( i )
⎡ __ ⎤ ⎢0⎥ ⎢ __ ⎥ J Y = ⎢ 1 ⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
12.10.4
(12.56)
Procedimiento de Cálculo
Primero se debe determinar las propiedades dinámicas de la estructura para ello hay que proceder de la siguiente manera: i.
Encontrar la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos trabajando con Inercias Agrietadas.
ii.
Determinar el Centro de Masas de cada uno de los pisos.
iii.
Obtener la matriz de compatibilidad de cada pórtico A
iv.
Hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso K E . Ecuación (12.44).
(i )
. Ecuación (12.45).
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
307
v.
Calcular la matriz de masas M . Ecuación (12.48).
vi.
Encontrar los valores propios λ i y los vectores propios φ
vii.
Encontrar las propiedades dinámicas, T i y W i .
(i )
.
Segundo se debe encontrar las respuestas máximas probables para cuando el sismo actúa en sentido X, para ello se debe hacer lo siguiente: i.
Determinar los factores de participación modal γ xi . Ecuación (12.53).
ii.
Con cada período de vibración T i se determina del espectro inelástico Ad i .
iii.
Calcular los desplazamientos en cada modo q xi . 2
⎛ T ⎞ q xi = γ xi ⎜ i ⎟ Ad i φ (i ) ⎝ 2π ⎠ iv.
(12.57)
Encontrar los desplazamientos laterales en cada pórtico y en cada modo de vibración p
(i )
. Ecuación (12.46). (i )
v.
Hallar las fuerzas laterales P Ecuación (12.47).
vi.
Obtener los cortantes en cada pórtico y en cada modo de vibración.
vii.
Aplicar un criterio de combinación modal en los cortantes.
viii.
Encontrar las fuerzas estáticas equivalentes.
en cada pórtico y en cada modo de vibración.
ix.
Realizar el control del Cortante Basal Mínimo. Ecuación (12.36)
x.
Realizar el control del efecto P − ∆ . Ecuación (12.42).
Tercero Encontrar las fuerzas laterales debidas a Torsión Accidental para análisis sísmico en sentido X.
Cuarto Se realizan los pasos dos y tres pero considerando el sismo en sentido Y. Quinto Realizar el control de la deriva en cada uno de los pórticos con las fuerzas laterales totales.
Sexto Se considera la posibilidad de simultaneidad de las acciones sísmicas. Es decir que el sismo puede actuar en cualquier dirección.
12.10.5
Torsión Accidental
Existe una serie de aproximaciones que se cometen en el análisis sísmico en general, como por ejemplo se considera que la amplitud de la onda sísmica de entrada a un edificio es
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308
la misma que a la salida, es decir no hay atenuación por efecto de la distancia, lo cual no es cierto. En la deducción de la ecuación (12.51) se considera que la densidad del material es la misma en todos los puntos de la losa, lo cual tampoco es cierto. En fin existen una serie de aproximaciones que por facilidad se han adoptado para simplificar los cálculos. Estas aproximaciones en la deducción de las ecuaciones de cálculo son cubiertas con lo que se denomina torsión accidental. Del análisis descrito en el párrafo anterior se determinan unas fuerzas laterales en cada pórtico a las que se van a denominar por didáctica F DIN . Ahora con el análisis de la torsión accidental se van a determinar otras fuerzas laterales en cada pórtico a las cuales se las llamará F TOR . La suma de estas dos fuerzas dan las totales que se denominan F TOTAL .
F TOTAL = F DIN + F TOR
(12.58)
Es importante destacar que las fuerzas debidas a torsión accidental siempre deben incrementar a las fuerzas obtenidas del análisis dinámico F DIN . Por ningún motivo luego de aplicar la torsión accidental estas fuerzas van a disminuir. El propósito de la torsión accidental es cubrir las aproximaciones realizadas. Hay varias formas de considerar la torsión accidental, una de ellas que es la más conceptual es mover la ubicación del Centro de Masas C.M., una distancia igual a la que recomiendan las diferentes normativas sísmicas. Por ejemplo el CEC-2000 contempla que el C.M. se mueva un 5% de la distancia de la dirección perpendicular al sentido de análisis sísmico. Nótese que se generan varios casos de la nueva posición del C.M. En cada caso se deben aplicar las fuerzas laterales encontradas del análisis dinámico y resolver como un problema estático. Al hacer lo indicado en el párrafo anterior para una determinada ubicación del C.M. en algunos pórticos las fuerzas laterales que se obtuvieron del análisis dinámico se habrán incrementado pero en otros pórticos las fuerzas habrán disminuido. Pero al mover el C.M. a la posición contraria cambia la situación, de tal mamera que se deben considerar todas las probables ubicaciones del C.M. que se tienen con el 5%. Al mover el C.M., las matrices de compatibilidad de cada uno de los pórticos cambia por consiguiente varía también la matriz de rigidez en coordenadas de piso, etc. Prácticamente cambia todo por lo que esta forma de análisis de la torsión accidental no es práctica más es conceptual. Lo mejor es calcular un momento torsor M t que se genera en cada piso el mismo que se aplica en el C.M. inicial de tal manera que no hay que calcular otra matriz de rigidez en coordenadas de piso. Para calcular éste momento torsor se tienen dos posibilidades de hacerlo, la primera es trabajar con los cortantes de piso y la segunda con las fuerzas laterales de piso. Si se trabaja con los cortantes de piso V j se debe tener claro que al resolver el problema estático lo que se obtienen son cortantes. Por lo tanto a partir de estos cortantes se obtendrán las fuerzas F TOR . En cambio si el momento torsor se obtiene con las fuerzas laterales que actúan en cada piso al resolver el problema estático lo que se hallan son fuerzas. Las normativas sísmicas presentan el cálculo en función de los cortantes de piso de la siguiente manera:
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO M tj = 0.05 ∗ B j ∗ V j
309
(12.59)
donde B j es la distancia mayor de la planta j, perpendicular a la dirección del análisis sísmico;
V j es el cortante del piso j; finalmente M tj es el momento debido a torsión accidental en el piso j. Con relación a la estructura de dos pisos que se ha venido analizando el vector de cargas Q por efecto de la torsión accidental, tiene la siguiente forma:
⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ Q=⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ M t 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ M t 2 ⎥⎦ Se recomienda ver la figura 12.18 para entender la forma del vector de cargas Q, anotado, el procedimiento de cálculo de F TOR es el siguiente: i.
Determinar los momentos de torsión accidental en cada piso. Ecuación (12.59).
ii.
Calcular el vector de cargas Q.
iii.
Encontrar el vector q , que contiene los desplazamientos y giros en coordenadas de piso. Para el efecto se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Q = K E q Donde K E es la matriz de rigidez en coordenadas de piso con la que se realizó el cálculo de F DIN . iv.
Hallar los desplazamientos laterales p en cada pórtico. Ecuación (12.46).
v.
Obtener las fuerzas laterales P en cada pórtico. Ecuación (12.47).
A las fuerzas
P
en valor absoluto se ha denominado F TOR . Se considera en valor
absoluto para tener en cuenta la diferente ubicación del C.M.
12.10.6
Simultaneidad de Acciones Sísmicas
Para el diseño de las vigas en sentido X, suficiente es considerar los resultados del análisis sísmico en sentido X, más las cargas verticales. Lo propio para el diseño de las vigas en sentido Y, que se debe trabajar con los resultados del análisis sísmico en sentido Y, más las cargas verticales de los estados de carga permanente (muerta) y transitoria (viva).
Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE
310
Pero para el diseño de las columnas es importante considerar la posibilidad de que el sismo llegue al edificio en cualquier dirección generando cargas (fuerzas y momentos) en los elementos mayores a los que se obtienen cuando el sismo actúa en una dirección. El tener en cuenta que el sismo actúa en cualquier dirección sobre un edificio se conoce con el nombre de simultaneidad de acciones sísmicas ya que para su formulación se considera una combinación lineal de los resultados obtenidos en sentido X, y en sentido Y, como se lo verá a continuación. Se destaca que este tema todavía se lo está investigando, López et al (2000) porque es bastante complejo sin embargo de ellos se acostumbra tratar la simultaneidad de acciones sísmicas de la siguiente manera:
•
Pórticos en sentido X Sismo X + 0.30 Sismo Y
•
(12.60)
Pórticos en sentido Y Sismo Y + 0.30 Sismo X
(12.61)
Con las ecuaciones (12.60) y (12.61) se aspira cubrir las cargas que gravitan en los elementos debido a que un sismo actué en la base de una estructura con cualquier ángulo de incidencia y no solamente a cero grados cuando actúa solo sismo en sentido X, o a noventa grados cuando actúa solo sismo en sentido Y.
12.11 CONCLUSIONES Se ha presentado el marco teórico del Método de Superposición Modal para el análisis sísmico plano con un grado de libertad por piso y espacial considerando tres grados de libertad por planta. Este método es muy utilizado en el análisis sísmico de estructuras y se ha desarrollado un ejercicio paso a paso, para el caso plano, de tal manera que el lector pueda seguir el cálculo. Por otra parte se ha determinado las fuerzas laterales de tres maneras por el Método de Superposición Modal, por el Método Estático en función del modo fundamental y por el Método Estático en función del modo fundamental equivalente. Posteriormente se ha encontrado el desempeño de la estructura y se ha calculado el valor de Rw , del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones:
•
Las fuerzas laterales en cada piso que se obtienen al aplicar el Método de Superposición Modal, el Método Estático en función del modo fundamental y el Método Estático en función del modo fundamental equivalente son diferentes, las que más se aproximan son las encontradas con el primer y tercer método pero se insiste que son diferentes.
•
Existen varios controles que deben realizarse al utilizar el Método de Superposición Modal que conviene que el usuario los conozca cuando este ejecutando programas comerciales. Si estos programas no reportan por ejemplo el control del efecto P − ∆ , el usuario puede calcularle a mano en base a los otros reportes pero es necesario que los conozca para saber más sobre su estructura.
ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO
311
•
El Método de Superposición Modal se lo debe utilizar con mucha cautela, el usuario no debe dejarse vislumbrar con programas comerciales que presentan el movimiento de los modos de vibración como sinónimo de exactitud del método. Existen incertidumbres en el Método como por ejemplo en la forma como se encuentran los desplazamientos máximos modales o en la forma como se encuentran los desplazamientos inelásticos.
•
Es importante el cálculo del factor de reducción de las fuerzas sísmicas R w una vez que se ha terminado el diseño, con el objeto de ver si el valor con el cual se determinó el espectro inelástico es el correcto y sobre todo para conocer más sobre el desempeño de la estructura, saber si la misma va a responder de acuerdo a la filosofía de diseño.
REFERENCIAS 1.
Aguiar R. (1995), “Análisis Matricial de Estructuras”, Escuela Politécnica del Ejército. Segunda Edición, 612 p, Quito, Ecuador.
2.
Aguiar R. (1989), “Análisis Dinámico Espacial”, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador.
3.
Aguiar R. y Viera P. (2003), “Desempeño sísmico en términos estructurales y económicos de edificaciones de hormigón armado”, XVI Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Escuela Superior Politécnica del Litoral, 14 p, Guayaquil, Ecuador.
4.
Gómez J. (2002),”Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, 10 p, Puebla, México.
5.
López O., Chopra A., and Hernández J., (2000), “The significance of the direction of ground motion on the structural response”, Desastres sísmicos en desarrollo. Universidad Central de Venezuela, 77-87, Caracas.
6.
Newmark N., y Rosenblueth E., (1971), “Fundamentals of Earthquake Engineering”, Prentice Hall.
7.
Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950.
8. Thom C. W., Buckle I.G. and Fenwick R. C., (1983), “The Effect of Inelastic Shear of the Seismic Response of Structures”, Dept. of Civil Engineering University of Auckland, Report No 347, 164 p, New Zealand. 9. Valles R., Reinhorn A., Kunnath S., Li C. y Madam A. (1996), “IDARC2D Versión 4.0: A computer program for the inelastic análisis of buildings”, Technical Report NCEER-96-0010, National Center for Earthquake Engineering Research, Buffalo, New York.