Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial diferensial terpisah dalam bentuk implisit: y’ = !"#$%!"#, atau dalam bentuk eksplisit: dy$d" = !"#$%!"# &ntuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas. awal
' %!y# dy = !"# d"
integral ' ( !"# d" = ( %!y# dy ) *, dimana * adalah konstanta konstanta sembarang
/. y0 dy = !" ) 2"0# d", syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas. 5ntegralkan kedua ruas ( y0 dy = ( !" ) 2"0# d" y2$2 ) */ = !"0$0 ) "2 ) *0# y2 = !2"0$0 ) 2"2 ) 2*0 7 2*/# y2 = 2"0$0 ) 2"2 ) * 2*/
8 * = 2*0 7
9aka solusi umumnya adalah : y2 = 2"0$0 ) 2"2 ) * 9enghitung konstanta konstanta *, kita menggunakan persyaratannya bilamana " = 3 dan y = 4, maka akan menghasilkan: * = 0/4 Solusi khususnya adalah : y2 = 2"0$0 ) 2"2 ) 0/4 0. "yy’ ) "0 ) / = 3 &bah ke dalam eksplisit "y !dy$d"# ) "0 ) / = 3
+ote: isa dilakukan hanya pada variabel yang sama,
agi tiap-tiap ruas
*ontoh:
y dy = -!"0 ) /$"# d"
anya mengandung variabel y !y ) / $ y0 ) 1# dy = -" d" ' anya mengandung variabel "
5ntegralkan kedua ruas
*ontoh soal dan embahasan embahasan
( y dy = 7 (!!"0 ) /#$"# d" ( y dy = 7 (! ) /$"# d" y0$0 = 7 !"0$0 ) ln;";# ) *
Selesaikan setiap persamaan diferensial diferensial di bawah ini:
y0 = -"0$0 7 ln;" ) <
/. y0 dy = !" ) 2"0# d", bila mana " = 3 dan dan y = 4 ' bentuk 5mplisit 5mplisit
9aka, solusi umumnya adalah y0 = -"0$0 7 ln;" ) <
0. "yy’ ) "0 ) / = 3 ' bentuk 6ksplisit
6S>9>>+ D5?66+S5>@
embahasan:
@6>A6 > *B996+C
8 < = -*
>&E/4 ersamaan Diferensial F 6C&S?6+D5F>+CB
*. Brde !Cingkat# dan Degree !Derajat# Brde !tingkat# adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial. Degree !derajat# adalah derajat dari orde tertinggi. *ontoh
ate Chis
>. DeGnisi ersamaan Diferensial ersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan satu !atau beberapa# fungsi yang tidak diketahui. 9eskipun persamaan seperti itu seharusnya di sebut Hersamaan CurunanI, namun istilah Hersamaan DiferensialI !aeJuatio diKerentialis# yang diperkenalkan @eibniL dalam tahun /4M4 sudah umum digunakan. *ontoh: y’ ) "y = 2 . . . . . . . . . . !/# yI 7 Ny’ ) 4y =
dapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu: f!"# d" ) g!y# dy = 3
!d2 y $d"2 #0 7 !d0 y ) d"0 #2 ) 0"y =4 pada persamaan di atas memiliki orde 2 dan derajat 0. D. 9en
a. y = > sin 0" ) dan adalah konstanta sembarang b. y = "2 ) > "0 ) " ) *8 >, , dan * adalah konstanta sembarang
Oadi, persamaan diferensial yang di9>>+ D5?66+S5>@ @6>A6 > *B996+C
enyelesaian a. Parena ada !dua# kosntanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi dan serta orde tertinggi dari turunannya adalah 0.
>&E/4 D Brde Satu F 6C&S?6+D5F>+CB
ersamaan / : y = > sin 0" ) sin 0" 7 1 sin 0" 7 1 sin 0" ) sin 0" ) dan serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2. ersamaan / : y = "2 ) > "0 ) " ) *, turunan terhadap " ersamaan 0 : dy$d" = 2 "0 ) 0>" ) , turunan terhadap " ersamaan 2 : d0y$d"0 = 4" ) 0>, turunan terhadap " ersamaan 1
: d2y$d"2 = 4
ate Chis
/. enyelesaian D Brde Satu dengan 5ntegerasi @angsung Oika persamaan diferensial biasa !D# dapat disusun dalam bentuk dy$d" = f!"#, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung. *ontoh dy$d" = 2"0 - 4" ) N maka y = ( !2"0 - 4" ) N# d" = "2 7 2"0 ) N" ) * enyelesaian menggunakan program 9>C@> sebagai berikut: QQ y = dsolve!R Dy = 2"T0 7 4" )N R,’ " R# maka dy$d" = N"0 - 1$" sehingga
y = !N$2# "2 7 1ln" ) * enyelesaian menggunakan program 9>C@> sebagai berikut: QQ y = dolve!R "Dy = N"T2 ) 1 R, R " R# y = N$2"T2 ) 1log!"# ) */ +ilai < tidak dapat ditentukan ke
*ontoh: Selesaikan ersamaan diferensial berikut a. dy$d" = !/ ) "# !/ ) y# enyelesaian ( !/ $ !/ ) y## dy = ( !/ ) "# d" ln !/ ) y# = " ) !/$0# "0 ) *
*ontoh: Centukan solusi khusus jika y = 2 untuk " = 3 e" !dy$d"# = 1
yang kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi R " R dan fungsi R y R, maka penyelesaian peersamaan diferensial dengan
'
dy$d" = 1e-"
maka y = ( 1e-" d" = -1e-" ) *
enyelesaian menggunakan program 9>C@> sebagai berikut: QQ y = dsolve!R Dy = !/ ) "# !/ ) y# R# y = */ e"p !t !" ) /## 7 / b. Vy !dy$d"# ) 1" = 3
dengan mengetahui y = 2 untuk " = 3 dapat dihitung nilai < yaitu
enyelesaian
y = -1e-" ) * U 2 = -1 ) * 8 * = M
Dengan memisahkan variabelnya diperoleh:
sehingga solusi khusus adalah : y = ( 1e-" d" = 1e-" ) M enyelesaian menggunakan program 9>C@> sebagai berikut: QQ y = dsolve!R e"p !"# Dy = 1 R, R y!3# = 2 R, R " R# QQ y = -1 e"p !-"# ) M 0. enyelesaian D Brde Satu Dengan emisahan Aariabel Oika persamaan diferensial berbentuk !dy$d"# = f!",y#, yaitu persamaan
Vy dy = -1 " d" Selanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi: !V$0# y0 = -0"0) * !V$0# y0 ) 0"0 = * U ! y0$0 ) 0"0 $V# = *$V y = W!- 1$V "0 ) 0$V *# Solusi dengan 9>C@> syms " y f" = R !0" T0# ) !V$0 yT0# 7 *’
for * = -// : //
grid on
eLplot!eval !f"##
end
a"is sJuare
title!R kurva f!",y# = 0"T0 ) V$0 yT0 7 *’#
a"is eJual hold on
