Solu c~oes dos exerc cios de An alise do livro de Elon Lages L ages Lima:Curso de an alise vol.1. Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.u ff .ma!"gmail.com .ma!"gmail.com ‡ 1# de seem$ro de %&11 Sumario 1.1 'oacoes 1.% Ca)*ulo %-Con+unos ,nios Enumeraveis e nao-enumeraveis 1.%.1 /uesao 1 1.%.% /uesao % 1.%. /uesao 1.%.2 /uesao # 1.%.# /uesao ( 1.%.( /uesao 1.%. 4uesao 0 1.%.0 /uesao 3 1.%.3 /uesao 1& 1.%.1& /uesao 1 1.%.1 /uesao 1% 1.%.1% /uesao 1 1.%.1 /uesao 12 1.%.12 /uesao 1# 1.%.1# /uesao 1( 1.%.1( /uesao 1 1.%.1 /uesao 10 1.%.10 /uesao 13 1.%.13 /uesao %& 1.%.%& /uesao %1 1.%.%1 /uesao % 1 Solucoes-Curso de analise vol.1 ( % 1.%.% /uesao % 1.%.% /uesao %2 1.%.%2 /uesao %# 1.%.%# /uesao %( 1.%.%( /uesao % 1. Ca)*ulo -'umeros reais
( 0 0 0 3 1& 1 1 1% 1 1 12 12 1# 1# 1( 1( 1 1 13 13
13 %& %& % % %2
1..1 /uesao 1 1..% /uesao % 1.. /uesao 1..2 /uesao 2 1..# /uesao # 1..( /uesao ( 1.. /uesao 1..0 /uesao 0 1..3 /uesao 3 1..1& /uesao 1& 1..1 /uesao 1 1..1% /uesao 1% 1..1 /uesao 1 1..12 /uesao 12 1..1# /uesao 1# 1..1( /uesao 1( 1..1 /uesao 1 1..10 /uesao 10 1..13 /uesao 13 1..%& /uesao %& 1..%1 /uesao % 1..% /uesao % 1..% /uesao %2 1..%2 /uesao %# 1..%# /uesao %( 1..%( /uesao % 1..%0 /uesao %3 1..%3 /uesao & 1..& /uesao 1 1..1 /uesao % 1..% /uesao 1.. /uesao 2 1..2 /uesao # e ( 1..# /uesao 1..( /uesao 0 1.. /uesao 3 1..0 /uesao 2& 1..3 /uesao 2% 1..2& /uesao 2 1..21 /uesao 2 1..2% /uesao 2# 1..2 /uesao 2( 1..2 /uesao 20
%2 %2 %( % %0 %3 %3 %3 %3 & & & 1 % % % 2 2 ( 0 3 3 3 2& 21 2% 2% 2 2 2 2 2# 2( 20 23 #& #1 #% # #2 #2
1..2# /uesao 23 1..2( /uesao #& 1..2 /uesao # 1..20 /uesao # 1.2 Ca)*ulo 2-Se4uencias e series de numeros reais 1.2.1 /uesao 1 1.2.% /uesao % 1.2. /uesao 1.2.2 /uesao 2 1.2.# /uesao # 1.2.( /uesao ( 1.2. /uesao 1.2.0 /uesao 0 1.2.3 /uesao 3 1.2.1& /uesao 1& 1.2.1% /uesao 11a 1.2.1 /uesao 1% 1.2.12 /uesao 12 1.2.1# /uesao 1# 1.2.1( /uesao 10 1.2.1 /uesao 13 1.2.10 /uesao %& 1.2.13 /uesao %1 1.2.%& /uesao % 1.2.%1 /uesao %# 1.2.% /uesao 1 1.2.% /uesao # 1.2.%2 /uesao ( 1.2.%# /uesao 2& 1.2.%( /uesao 2% 1.2.% /uesao 2 1.2.%0 /uesao 2 1.2.%3 /uesao 2( 1.2.& /uesao 20 1.# Ca)*ulo #-5o)ologia da rea 1.#.1 /uesao 1 1.#.% /uesao 1.( Ca)*ulo 0-6erivadas 1.(.1 /uesao 1 1.(.% /uesao % 1.(. /uesao 1.(.2 /uesao 2 Ca)*ulo 1
#2 # #( #( # # # # #0 #0 #0 #3 #3 #3 #3 (& (& (1 (% ( ( (# ( ( ( & 1 1 % 2 2 # ( ( ( 0 0 3 3 0&
Solucoes-Curso de analise vol.1 Esse exo ainda nao se enconra na sua versao ,nal sendo )or en4uano consiu*do a)enas de anoacoes in7ormais. Sugesoes )ara mel!oria do exo correcoes da )are maemaica ou gramaical eu agradeceria 4ue 7ossem enviadas )ara meu Email rodrigo.u ff .ma!"gmail.com. .ma!"gmail.com. Se !ouver alguma solucao errada se 4uiser conri$uir com uma solucao di7erene ou a+udar com uma solucao 4ue nao consa no exo am$em )eco 4ue a+ude enviando a solucao ou sugesao )ara o email acima colocarei no exo o nome da )essoa 4ue en!a a+udado a +udado com alguma solucao. Es)ero 4ue esse exo )ossa a+udar alguns alunos 4ue esudam analise )elo livro do Elon. 1.1 'oacoes 8 con+uno de valores de aderencia de uma se4uencia 9xn iremos denoar como A;xn<. Usaremos a a$reviacao =>8 )ara )rinc*)io da $oa ordenacao. Usando a noacao /xn ? xn@1
1.% Ca)*ulo %-Con+unos ,nios Enumeraveis e naoenumeraveis Axioma 1. Exise uma 7uncao 7uncao s : ' ' in+eiva c!amada c!amada de 7uncao sucessor sucessor o numero naural naural s9n e c!amado sucessor de n. Corolario 1. Como s e uma u ma 7uncao enao o sucessor de um numero naural e unico un ico iso e um numero naural )ossui a)enas um sucessor. Axioma %. Exise um unico numero naural 4ue nao e sucessor sucessor de nen!um ouro naural esse numero sim$oliBamos )or 1:
=ro)riedade 1. Su)ondo os axiomas 1 e % enao o axioma e e4uivalene a )ro)osicao: =ara odo su$con+uno nao vaBio A ⊂ ' em-se A S9A ? ∅:
=ro)riedade %. 6ados m e n naurais enao exise x naural al 4ue x:n D m:
6e,nicao 1 9Anecessor. m 4ue m c n:
∈ ' e anecessor de n ∈ ' 4uando m n mas nao exise c ∈ ' al
=ro)riedade 2. 1 nao )ossui anecessor e 4ual4uer ouro numero naural )ossui anecessor. 6emonsracao. 'ao vale m 1 )ara algum naural m logo 1 nao )ossui anecessor. Agora )ara odo ouro n ∈ ' vale n D 1 logo exise ) ∈ ' al 4ue )@1 ? n vamos mosrar 4ue ) ? m e o anecessor de n. ale ) ) @ 1 logo a )rimeira condicao e sais7eia a segunda condicao am$em e sais7eia )ois nao exise c ∈ ' al 4ue ) c )@1: amos mosrar agora 4ue exise um unico anecessor. Su)on!a exisencia de dois anecessores m e mG disinos enao exise um deles 4ue e o maior digamos mG da* m mG e mG n )or ransiividade segue m mG n o 4ue conraria a de,nicao de anecessor enao exise um unico. 1.%.# /uesao ( /uesao ( a =ro)riedade #. Hosrar 4ue nI
6emonsracao. =or inducao so$re n. =ara n ? 1 a igualdade vale )ois 1I
Su)ondo a validade )ara n nI
=or de,nicao de somaorio emos n@1I
onde usamos a !i)oese da inducao . /uesao ( $ =ro)riedade (. Hosrar 4ue nI
su)ondo a validade )ara n nI
Usando a de,nicao de somaorio e !i)oese da inducao em-se n@1I
/uesao ( c Exem)lo 1. Hosrar )or inducao 4ue
de,nicao de somaorio e )ela !i)oese da inducao emos /uesao ( d
?1 4 onde cada ) e 4 sao )rimos nao necessariamene disinos enao m ? s e ) ? 4 ∀ a)os se necessario uma renomeacao dos ermos. 6emonsracao. amos amos )rovar usando o segundo )rinc*)io da inducao i nducao )ara n ? % a )ro)riedade vale. Su)on!a a validade )ara odo n vamos )rovar 4ue nessas condicoes vale )ara n.
?1 ) ? 4s ?1 4 )m divide o )roduo sK ?1 4 enao deve dividir um dos 7aores )or exem)lo 4s 9se nao renomeamos os ermos como )m4s enao )m ? 4s
?1 ) ? )m
=ro)riedade 0. Se+am A e > con+unos com n elemenos enao o numero de $i+ecoes de 7 : A > e nM
/uesao a
=ro)riedade 1. Se+a A ,nio. Exise uma $i+ecao g : Nn A )ara algum n )ois A e ,nio a 7uncao 7 : A A e in+eiva ou so$re+eiva ⇔ gO1 P 7 P g : Nn Nn e in+eiva ou so$re+eiva res)ecivamene. ⇒: Se 7 e in+eiva ou
so$re+eiva enao gO1 P 7 P g : Nn Nn e in+eiva ou so$re+eiva )or ser com)osicao de 7uncoes com essas )ro)riedades.
=ro)riedade 1%. Se+a A um con+uno ,nio. 7 : A A e in+eiva
⇔ e so$re+eiva.
Consideramos o caso 7 : Nn Nn se 7 7or in+eiva enao 7 : Nn 79Nn e uma $i+ecao com 79Nn ⊂ Nn. 7n nao )ode ser )are )ro)ria de Nn )ois se nao 7O19Nn Nn seria $i+ecao $i+e cao de um con+uno com sua )are )ro)ria logo 79Nn ? Nn e 7 : Nn Nn e $i+ecao. ⇐: Se 7 7or so$re+eiva enao )ara cada Q ∈ Nn 9imagem )odemos escol!er x ∈ Nn
9dom*nio al 4ue 79x ? Q e da* de,nir g : Nn Nn al 4ue g9Q ? x g e in+eiva in+ eiva )ois 7 e 7uncao logo )elo resulado +a mosrado g e $i+eora $i +eora im)licando 4ue 7 am$em e. =ro)riedade 1 9=rinc*)io das gaveas de 6iric!le- 8u 8 u )rinc*)io da casas dos )om$os.. Se emos m con+unos 9Am1 e n elemenos n D m com nI ?1 A ? n enao exise A em 9Am1 al 4ue A D 1: Esse E sse resulado diB 4ue se emos n elemenos e m con+unos ais 4ue n D m enao deve !aver um con+uno com )elo menos % elemenos.
?1 em am$os lados dessa desigualdade emos
o 4ue conraria a !i)oese de n D m )orano deve valer A D 1 )ara algum
∈ Nn.
=ro)riedade 12. Se+a A um con+uno com n elemenos enao o numero de 7uncoes
6emonsracao. Se ) D n o resulado vale )ois nao exise 7uncao in+eiva de 7 : N) A )ois se nao 7 : N) 79A seria $i+ecao e 79A ⊂ A da* A iria )ossuir um su$con+uno com ) elemenos 4ue e maior 4ue o numero de elemenos de A o 4ue e a$surdo. Nremos )rovar o resulado )ara ouros valores de ) n. =ara ) ? 1 emos n 7uncoes 4ue sao
Su)on!a 4ue )ara N) emos )O1K ?& 9n O 7uncoes 4ue sao in+eivas in +eivas vamos mosrar 4ue )ara N)@1 emos )K ?& 9n O 7uncoes. Se+a o con+uno das 7uncoes 7 : N)@1 A in+eivas )odemos )ensar o con+uno das 7 resrias a N) endo )O1K ?& 9nO 7uncoes )or !i)oese da inducao agora )odemos de,nir essas 7uncoes no )ono )@1 onde emos nO) escol!as )ara cada uma dessas escol!as emos )O1K ?& 9n O 7uncoes )orano emos um oal de
=ro)riedade 1#. Se )ossui n elemenos enao al con+uno )ossui su$con+unos com ) elemenos. 6emonsracao. amos amos )rovar )or inducao so$re n e ) livre. =ara n ? & ele so
)ossui um su$con+uno com & elemenos
vale
Su)on!a 4ue )ara um con+uno 4ual4uer A com n elemenos emos su$con+unos agora )odemos o$er um con+uno com n @ 1 elemenos adicionando um novo elemeno
su$con+unos 4ue conamos com elemenos de A e )odemos 7ormar mais su$con+unos com ) elemenos adicionando o )ono Tan@1 aos
con+unos com )O1 elemenos 4ue )or !i)oese da inducao emos enao emos
no oal )ela idenidade de Si7el como 4uer*amos demonsrar. demonsrar.
6emonsracao. =or inducao so$re n se n ? 1 enao A ? Ta1 )ossui dois su$con- +unos 4ue sao ∅ e T 1: Su)on!a 4ue 4ual4uer con+uno 4ual4uer > com n elemenos en!a =9> ? %n vamos )rovar 4ue um con+uno C com n @ 1 elemenos im)lica !i)oese da inducao s de ? 1 ae ? %n 4ue am$em sao su$con+unos de C )orem )odemos 7ormar mais %n su$con+unos de C com a uniao do elemeno Ta logo no oal emos %n @ %n ? %n@1 su$con+unos de C e mais nen!um su$con+uno )ois nao emos nen!um ouro elemeno )ara unir aos su$con+unos dados. Se+a 7 : ' ' de,nida como 79n ? se n e da 7orma n ? ) onde ) e o -esimo numero )rimo e 79n ? n caso conrario 7 e so$re+eiva e exisem in,nios n ∈ ' ais 4ue 79n ? )ara cada naural.
Nn e > ? TQV
∈ Nn nao )ode valer x
? Q )ara odo )ois se nao os con+unos seriam iguais.
Se rocamos ' )or ouro con+uno enumeravel o resulado am$em vale $asa
Corolario . o con+uno =7 dos su$con+unos ,nios de ' e enumeravel )ois
?1 = e uniao enumeravel de con+unos enumeraveis. 8 mesmo vale rocando ' )or um con+uno enumeravel 4ual4uer A.
=ro)riedade 10. e ,nio
⇔ exise 7 :
4ue so admie su$con+unos esaveis
∅ e
.
6emonsracao. Nremos considerar sem)re con+unos nao vaBios.
79an ? a1 ∈ W o 4ue im)lica W ? logo nao )odemos er ouro su$con+uno esavel alem de com a 7uncao 7 de,nida acima. ⇐: Su)on!a in,nio vamos mosrar 4ue 4ual4uer 7uncao 7 :
)ossui su$con+uno esavel W
? :
6emonsracao. =ara odo vale 4ue 7 e in+eiva in+e iva )ois a com)osicao de 7uncoes in+eivas e in+eiva.
)or in+eividade de 7 segue 4ue 7)9x ? x logo x =orano os elemenos sao disinos.
∈ 79A o 4ue conraria a !i)oese ! i)oese de x ∈ A 79A.
1.%.10 /uesao 13 =ro)riedade %&. Se A e in,nio enao exise 7uncao in+eiva 7 : ' A. 6emonsracao. =odemos de,nir 7 induivamene. 5omamos 5omamos inicialmene x1
∈ A e
?1 Tx nunca e vaBio )ois A e in,nio. 7 e in+eora )ois omando m D n em-se Corolario 2. Exise 7uncao in+eiva de um con+uno ,nio > num con+uno in,nio A usamos o mesmo )rocesso do exem)lo anerior mas o )rocesso )ara de)ois de de,nir a 7uncao > )onos. =ro)riedade %1. Sendo A in,nio e > ,nio exise 7uncao so$re+eiva g : A >.
/uesao %&-a =ro)riedade %. 8 )roduo caresiano ,nio de con+unos enumeraveis e enumeravel.
?1 A o )roduo caresiano dos con+unos A enumeraveis enao )ara cada exise uma 7uncao 7 : ' A 4ue e so$re+eiva enao de,nimos a 7uncao 7 : 's sK ?1 A dada )or como al 7uncao e so$re+eiva e 's e enumeravel segue 4ue sK ?1 A e enumeravel. Corolario #. Se e ,nio e W e enumeravel enao F9VW e enumeravel. >asa
?1 W ? W n 4ue e enumeravel. /uesao %&-$
dade em exaamene n valores. =ara cada elemeno 7 de >n emos n ermos di7erenes de 1 4ue serao sim$oliBados )or de,nimos g : >n 'n como
onde cada ) e o -esimo )rimo. ) rimo. A 7uncao de,nida dessa 7orma e in+eora )ois se vale g97 ? g9! enao
)or unicidade de 7aoracao em )rimos segue 4ue 4 ? ) e ? G ∀ . ?1 > e uma uniao enumeravel de con+unos enumeraveis )orano o con+uno das 7uncoes 7 : ' ' ais 4ue A7 e ,nio e enumeravel.
?1 ' onde os con+unos sao in,nios e dois a dois dis+unos. ?% ' cada um deles e in,nio sao dis+unos e sua uniao da '. Exem)lo #. 7 : ' X ' ' de,nida como 79mVn ? %mO19%n O 1 e uma $i+ecao. 6ado um numero naural n 4ual4uer )odemos escrever esse numero como )roduo dos seus 7aores )rimos
) como os )rimos ) rimos maiores 4ue % sao *m)ares e o )roduo de *m)ares e um numero *m)ar enao n ? %m9%nO1: Agora vamos mosrar 4ue a 7uncao e in+eora se+a 79mVn ? 79)V4 se m ? ) os numeros serao di7erenes )ela unicidade de 7aoracao 9%s O 1 nao )ossui 7aores % )ois sem)re e *m)ar enao devemos er m ? ) da* segue 4ue n ? 4 e ermina a demonsracao. =ro)riedade %2. 5o 5odo do con+uno A ⊂ ' e enumeravel. 6emonsracao. Se A e ,nio enao A e enumeravel. Se A e in,nio )odemos enu-
)ois se exisisse x ∈ A al al 4ue x ? x da* er*amos x D x )ara odo 4ue e a$surdo )ois nen!um con+uno in,nio de numeros naurais e limiado su)eriormene. A 7uncao x de,nida e in+eora e so$re+eora. amos amos mosrar agora 4ue ela e a unica $i+ecao crescene enre A e '. Su)on!a oura $i+ecao crescene 7 : ' A: 6eve valer 791 ? x1 )ois se 7osse 791 D x1 enao 7 nao seria crescene. Su)ondo 4ue vale 79 ? x ∀ n ∈ '
nao )ode valer 79n @ 1 D xn@1 )ois se nao a 7uncao nao seria crescene ela eria 4ue assumir )ara algum valor x D n @ 1 o valor de xn@1 a unica )ossi$ilidade resane e 79n @ 1 ? xn@1 o 4ue im)lica )or inducao 4ue xn ? 79n ∀n ∈ ': =ro)riedade %#. 5odo 5odo con+uno in,nio se decom)oe como uniao de uma in,nidade enumeravel de con+unos in,nios dois a dois dis+unos.
?1 > cada um >O1 ? 9E ∪ A 4ue e in,nio e nao )ossui elemeno e dis+uno com odo ouro > com isso emos
4ue e uma uniao enumeravel de con+unos in,nios dis+unos. 6e,nicao % 9Funcao caracer*sica. Se+am um con+uno A e um su$con+uno 4ual4uer de A de,nimos =ro)riedade %(. Se+am VW ⊂ A: alem as )ro)riedades.
CxYQ ? CxCQ. 5emos dois casos a analisar se
∈ Y W enao
se ?∈ Y W )odemos su)or ? ∈ W enao
Em 4ual4uer caso vale a desigualdade. ⇐. Su)on!a 4ue nao ese+a
conido em W enao exise al 4ue ? 1 e cQ9 ? & e nao se veri,ca a desigualdade.
∈ V ? ∈ W )orano vale cx9
=ro)riedade %. 8 con+uno das se4uencias crescenes de numeros naurais nao e enumeravel. 6emonsracao. Se+a A o con+uno das se4uencias crescenes de numeros naurais. Su)on!a 4ue se+a enumeravel enao exise uma $i+ecao x : ' A
vamos mosrar 4ue exise uma se4uencia crescene 4ue sem)re esca)a a essa enumeracao omamos a se4uencia s como
e crescene e ela di7ere de cada x na -esima coordenada )orano ela nao )erence a enumeracao o 4ue e a$surdo )orano o con+uno das se4uencias crescenes e nao enumeravel.
6emonsracao. =rimeiro vamos )rovar 4ue 7 deve ser o$rigaoriamene da 7orma 79n ? nG ∀n ∈ ' )or inducao so$re n a )ro)riedade vale )ara n ? 1 su)on!a a validade )ara n vamos )rovar )ara n@1 Enao )ara odo n so$re+eora.
∈ ' ,ca )rovado 4ue
79n ? nG 7 e unica )or consrucao con srucao sendo am$em
ale 4ue 79m @ 79n ? 79m @ n vamos )rovar )or inducao so$re n. =ara n ? 1 ela vale )or de,nicao da 7uncao su)ondo a validade )ara n vamos )rovar )ara n@1 logo ,ca )rovada a )ro)riedade. 7 e in+eiva )ois se !ouvessem dois valores disinos d isinos m D n ais 4ue 79m 7 9m ? 79n enao exise ) ∈ ' al 4ue n @ ) ? m a)licando a 7uncao emos 79n @ 79) ? 79m 7 9m ? 79n iso e nG @ )G ? nG enao nG D nG o 4ue e a$surdo )orano a 7uncao e in+eiva.
1. Ca)*ulo -'umeros reais /uesao 1-1P =rimeiro )rovamos um lema de)ois a 4uesao )edida.
)or disri$uividade do )roduo em relacao a soma.
$d : a$ d d cd $ $ ? ad $d @ c$ d$ ? ad @ $c
$d :
$d :
$d : /uesao %-1P =ro)riedade %. =ara odo m ineiro vale 6emonsracao. =ara m naural vale )ela de,nicao de )oencia agora )ara m ? OnVn D & ineiro vamos )rovar aOn:a ? aOn@1. =ara n ? 1 emos
∈ ' um
6emonsracao. =rimeiro se+a m um ineiro 4ual4uer e n naural vamos )rovar a idenidade )or inducao so$re n )ara n ? & vale
Su)ondo valido )ara n am:an ? am@n vamos )rovar )ara n @ 1 am:an@1 ? am@n@1
Agora )ara On com n naural naural se m e naural naural emos 4ue a )ro)riedade )ro)riedade +a 7oi demonsrada amaOn ? amOn se m e ineiro negaivo emos amaOn ? amOn
)ara m e n ineiros. 6emonsracao. =rimeiro )or inducao )ara )a ra m ineiro e n naural Su)ondo valido )ara n 9amn ? amn
emos )ela de,nicao de )oencia e )ela ) ela !i)oese da inducao 4ue
Exem)lo (. Se x
Qs )ara odos Vs
∈ Nn num cor)o Z )rove 4ue
ZV ∈ Nn ais 4ue nI
?1 axnI
?1 aQ ? ) emos x
dados a
∈
Q ? ) logo x ? )Q e a soma
?1 ax ? ) ?1 aQ ?1 axnI
?1 aQ 6e,nicao 9[omomor,smo de cor)os. Se+am AV> cor)os. Uma 7uncao 7 : A > c!ama-se um !omomor,smo 4uando se em )ara 4uais4uer xVQ ∈ A: 6enoaremos nesse caso as unidades 1A e 1> )elos mesmos s*m$olos e escrevemos 791 ? 1.
?& de am$os lados a soma e elesco)ica e resula em
n segue 79n ) (Parte 4 de de 6)
=ro)riedade 21. Se+a Z um con+uno onde valem odos os axiomas de cor)o exceo a exisencia de inverso muli)licaivo. Se+a a (? &. 7 : Z Z com 79x ? ax e $i+ecao ⇔ ∃ aO1 ∈ Z:
so$re+eiva. 7 am$em e in+eiva )ois se 79x1 ? 79x% ax1 ? ax% im)lica )or lei do core 4ue x1 ? x%:. Em geral 7 e in+eiva ⇔ vale a lei do core )or essa o$servacao. =ro)riedade 2%. Se+a Z ,nio. ale a lei do core em A nulo de Z
⇔ exise inverso )ara cada elemeno nao
6emonsracao. ⇒: Se vale a lei do core )ela )ro)riedade anerior em-se 4ue )ara 4ual4uer a ? & em Z 7 : Z Z com 79x ? ax e in+eiva como 7 e in+eiva de Z em Z 4ue e um con+uno ,nio enao 7 e $i+eiva o 4ue im)lica i m)lica a ser inver*vel. ⇐: A vola e rivial )ois exisencia de inverso im)lica lei do core. Exem)lo . 8 con+uno dos )olinomios de coe,ciene racionais /;< nao e um cor)o )ois )or exem)lo o elemeno x nao )ossui inverso muli)licaivo se !ouvesse !averia nI ?& ax
al 4ue x nI ?& ax@1 o 4ue nao e )oss*vel )ois o coe,ciene do ermo
inde)endene x& e Bero em nI ?& ax@1 e deveria ser 1. 8 con+uno dos ineiros \ nao e um cor)o )ois nao )ossui inverso muli)licaivo )ara odo elemenos )or exem)lo nao emos o inverso de %:
enao xn D Qn )ois xn ? nK
?1 Q ? Qn )or )ro)riedade de muli)licacao de )osiivos. Se 7 : /@ /@ /@ o con+uno dos racionais )osiivos enao 7 nao e so$re+eiva )ara n ? % )ois nao exise x ∈ / al 4ue x% ? % ∈ /@: 79Z@ nao e um con+uno limiado su)eriormene de Z iso e dado 4ual4uer x ∈ Z exise Q ∈ Z@ al 4ue Qn D x: 8 limiane su)erior do con+uno se exisisse nao )oderia ser um numero negaivou ou Bero )ois )ara odo Q )osiivo em-se Qn )osiivo 4ue e maior 4ue & ou 4ual4uer numero negaivo. ne gaivo. Su)on!a 4ue x )osiivo se+a omando Q ? x @ 1 emos Qn ? 9x @ 1n ] 1 @ nx D x logo 79Z@ nao e limiado su)eriormene. =ro)riedade 2. Se+am um con+uno 4ual4uer 4ual 4uer e Z um cor)o enao o con+uno F9VZ munido de adicao e muli)licacao de 7uncoes e um anel comuaivo com unidade nao exisindo inverso in verso )ara odo elemeno. Lem$rando 4ue em um anel comuaivo com unidade emos as )ro)riedades associaiva comuaiva elemeno neuro e exisencia de inverso adiivo )ara adicao. valendo am$em a comuaividade associaividade exisencia de unidade 1 )ara o )roduo e disri$uividade 4ue relaciona as duas o)eracoes.
Comuaividade da muli)licacao
'ao emos inverso muli)licaivo )ara oda 7uncao )ois dada uma 7uncao al 4ue 791 ? & e 79x ? 1 )ara odo x ? 1 em Z nao exise 7uncao g al 4ue g91791 ? 1 )ois 791 ? & assim o )roduo de 7 )or nen!uma oura 7uncao gera a idenidade.
⇐: Se xO1 D QO1 .
xVQ sao )osiivos muli)licamos a desigualdade )or xQ em am$os lados de onde segue 4ue Q D x.
=erce$a 4ue as )ro)riedades ciadas valem )ara odo n
∈ \ )or exem)lo no caso
de a D 1 emos
1..1 /uesao 1 Corolario . Se a e a @ x sao )osiivos enao vale =ois a@x
a resulando em Se a ? & ar$irario em R )odendo agora ser negaivo su$siu*mos Q ? x a em Se vale x
a de onde segue =ro)riedade 2. Se+am se4uencias 9a 9$ em um cor)o ordenado Z onde cada $ e )osiivo sendo a1 o m*nimo e an o maximo dos ermos da se4uencia de ermo a $ enao vale
?1 $ 6emonsracao. =ara odo vale a1 $1 a $ an $n ⇒ $ a1 $1 a $ an $n )ois $ D & a)licamos a soma nI ?1 em am$os lados de onde segue
$ a1 $ an
dividindo )or nI ?1 $ 4ue e )osiivo emos ,nalmene
?1 $
)ara a e $ reais 4uais4uer.
Corolario 0 9=reserva divisao.
6emonsracao. =or inducao )ara n ? 1 vale su)ondo )ara n numeros nK
=ro)riedade #1 96esigualdade riangular generaliBada. Se+am g9 de,nida )ara ineiro aV$ enao vale
6emonsracao. =ara cada vale
∈ \
4ue im)lica )ois os ermos g9 somados sao nao negaivos logo a soma desses ermos e naonegaiva e o modulo da soma e igual a soma. =ro)riedade #%. A idenidade 4ue )rovamos acima vale )ara numeros reais vamos )rovar ) rovar agora )or inducao 4ue se vale B @ ^ B @ ^ )ara 4uais4uer BV^ enao vale
de maneira 4ue )ossa ser usada )ara numeros com)lexos normas e ouras esruuras 4ue sais7aBem a desigualdade riangular. 6emonsracao.;%< =or inducao so$re n )ara n ? 1 em-se
logo vale. Su)ondo a validade )ara n
vamos )rovar )ara n @ 1
6a !i)oese da inducao somamos Bn@1 em am$os lados logo
e+amos ouras1 demonsracoes da desigualdade riangular 1..%1 /uesao % amos resolver um caso mais geral do )ro$lema. 6e,nicao 2 9Hediana. 6ada uma se4uencia ,nia 9Qn1 seus ermos )odem ser rear- ran+ados )ara 7orma uma se4uencia nao-decrescene 9xn1. A mediana mediana e e de,nida da seguine maneira Se x x1 enao ?1 x logo 7 e decrescene )ara x x1. 5omando 5omando x D xn
?1 x logo 7 e crescene )ara x D xn: 1Essas demonsra c~oes a)rendi com =edro ZenBo o$rigado )or com)aril!ar as solu c~oes.
)orano a 7uncao e decrescene se n % e crescene se D n em cada inervalo ;xVx@1 a 7uncao e decrescene sendo ⌊n% ⌋ segmenos decrescenes de ⌋ segmenos crescenes.
e o unico )ono de m*nimo. @1 odos os )onos desse inervalo sao )onos de m*nimo. Em es)ecial o )ono (Parte 4 de de 6) (Parte 5 de de 6)
% e )ono de m*nimo. Conclu*mos 4ue um )ono de m*nimo aconece sem)re na mediana da se4uencia. 5rocando n )or %n emos 4ue o m*nimo aconece no )ono x%n% ? xn ? n su$siu*mos enao al valor na 7uncao
)orano o m*nimo de %nI
Agora )ara n *m)ar *m)ar rocamos rocamos n )or %n @ 1 o m*nimo m*nimo aconece no )ono x9%n@1@1% x9%n@1@1% ?
e usamos agora a desigualdade riangular
1..% /uesao %2 =ro)riedade #2. 6ado um cor)o ordenado Z sao e4uivalenes %. \ e ilimiado su)eriormene e in7eriormene. i n7eriormene. . / e ilimiado su)eriormene e in7eriormene. 6emonsracao. 1 ⇒ %. ' ⊂ \ enao \ e ilimiado su)eriormene. Su)on!a )or a$surdo 4ue \ se+a limiado in7eriormene enao exise a ∈ Z al 4ue a x ∀x ∈ \ logo Oa D Ox a o 4ue conraria a !i)oese.
∈ / com aV$ D & naurais al 4ue a
da* a D Q$ )odemos omar Q ? x $ logo a D xV a cor)o e ar4uimediano.
∈ ' )orano ' e ilimiado
su)eriormene e o
enao x %n com %n ? m
∈ ' enao Z e
ar4uimediano ' nao e limiado su)eriormene.
a$surdo enao & deve ser o *n,mo. 6emonsracao. Su)on!a 4ue s e irracional e u:s se+a racional enao u:s ? ) 4 com
ineiros logo + v s ? ) muli)licando )or v + am$os lados segue
+:4 4ue e um numero racional racional logo c!egamos a um a$surdo. a$surdo. =ro)riedade #0. Se s e irracional e racional enao s @ e irracional. 6emonsracao. Su)on!a s @ racional enao s @ ? ) 4 da* s ? )4 O 4ue seria racional )or ser di7erenca de dois racionais um a$surdo enao segue 4ue s@ e irracional. Exem)lo 1. Exisem irracionais a e $ ais 4ue a @ $ e a:$ se+am racionais. Exem)los
1..% /uesao %0 =ro)riedade #3. Se+am aV$VcVd racionais enao
erminamos se nao vale 4ue aOc
Exem)lo 12. 8 con+uno da 7orma Tx @ Q_) onde x e Q sao racionais e su$cor)o dos numeros reais. 8 elemeno neuro da adicao & )erence ao con+uno. =ois & ? & @ &_ )
como inverso muli)licaivo. Exem)lo 1#. 8 con+uno dos elemenos da 7orma a @ $ onde ? % nao e um cor)o )ois o )roduo nao e 7ec!ado vamos mosrar 4ue % nao )erence ao con+uno. Su)on!a 4ue `% ? a@$ enao ? a @$ % ? % su$siuindo a )rimeira na segunda emos 4ue $% @ a o 4ue e a$surdo )ois e irracional enao devemos er de onde segue % ? O$ )orem nao exise racional 4ue sais7aB essa idenidade da* nao )odemos escrever % da 7orma a@$ com a e $ racionais )orano o )roduo de elemenos nao e 7ec!ado e assim nao emos um cor)o. Su)on!a 4ue _ a@_ $ e racional enao seu inverso am$em racional 4ue e ae _ $ sao racionais. ⇐: A vola vale )ois a soma de
racionais e um racional.
1..& /uesao 1 =ro)riedade (1. Se+am A ⊂ R nao vaBio limiado e c
∈ R enao
1. ⇒: =ara odo D & vale 4ue c O su)9A. 6ado D & ,xo se nao exisisse x ∈ A al 4ue cO x enao cO seria coa su)erior menor 4ue o su)remo o 4ue e a$surdo conraria o 7ao do su)remo ser a menor das coas su)eriores. in7erior agora vamos mosrar 4ue & e a menor delas. 6ado & x x nao )ode ser coa in7erior )ois exise n naural al 4ue 1 6emonsracao. in7A e coa in7erior de A logo am$em e coa in7erior de > sendo coa in7erior de > vale in7A in7> )ois in7 > e a maior coa in7erior de >.
6emonsracao. 5oda 5oda coa su)erior de A e coa su)erior de > > logo o su)9A e coa su)erior de > como su)9> e a menor das coas su)eriores de > segue 4ue su)9A ] su)9>: =ro)riedade (2. Se+am AV> ⊂ R ais 4ue )ara odo x in7 >:
∈ A e odo Q ∈ > se en!a x Q. Enao su)A
6emonsracao. 5odo Q ∈ > e coa su)erior de A logo su)A Q )ara cada Q )ois su)A e a menor das coas su)eriores essa relacao im)lica 4ue su)A e coa in7erior de > logo su)A in7 > )ois in7 > e a maior coa in7erior. 6emonsracao. ⇐ usamos a conra)osiiva. 'ao )odemos er in7 > su)A )ela )ro)riedade anerior enao enao emos 7orcosamene 4ue in7 > D su)A omamos enao ? in7 > O su)A D & e emos Q O x ] )ara odo x ∈ A e Q ∈ > )ois Q ] in7 > e su)A ] x de onde segue Ox ] Osu)A somando esa desigualdade com a de Q em-se Q Ox ] in7 > Osu)A ? : ⇒ Se su)A ? in7 >. Enao sendo
)ara 4ual4uer D & su)AO % nao e coa su)erior de A )ois e menor 4ue o su)A 94ue e a menor coa su)erior da mesma maneira in7 A@ % nao e coa in7erior de > enao exisem x
∈ A e Q ∈ > ais 4ue
% somando am$as em-se 1..2 /uesao # e ( =ro)riedade (. Se c D & enao su)9c:A ? c:su)A: 6emonsracao. Se+a a ? su)A. =ara odo x ∈ A em-se em-se x a de onde segue cx ca assim ca e coa su)erior de cA: Se+a d al 4ue d ca enao d c a logo d c nao e coa su)erior de A im)licando a exisencia de )elo menos um x al 4ue d de onde segue 4ue d nao e coa su)erior de cA assim ca e a menor coa su)erior de cA logo o su)remo. =ro)riedade (. Se c D & in7 cA ? cin7 A: 6emonsracao. Se+a a ? in7 A enao vale a x )ara odo x muli)licando )or c segue ca cx de onde conclu*mos 4ue ca e coa in7erior de cA. Se+a d al 4ue ca d enao a d im)licando 4ue d c nao e coa in7erior de A assim exise x ∈ A al al 4ue x dc ⇒ cx d logo d nao e coa in7erior de cA im)licando 4ue c:a e a maior coa in7erior logo o *n,mo do con+uno.
6emonsracao. Se+a a ? su)A . 5em-se 5em-se x a )ara odo x ∈ AV muli)licando )or c segue cx ] ca )ara odo x ∈ A: Enao ca e uma coa in7erior de cA: Se d D ca em-se d c a como a e su)remo isso signi,ca 4ue exise x ∈ A al 4ue d (Parte 5 de de 6) (Parte 6 de de 6)
assim esse d nao e coa in7erior im)licando 4ue ca e a menor coa in7erior enao *n,mo do con+uno. A 4uesao # segue da )roxima )ro)riedade com c ? O1: =ro)riedade (3. Se c & enao su)9cA ? cin7 A: 6emonsracao. Se+a $ ? in7 A enao vale $ x )ara odo x ∈ A muli)licando )or c segue c$ ] cx assim c$ e coa su)erior de cA. Agora ome d al 4ue c$ D d segue c como $ e*n,mo exise x ∈ A al al 4ue x d c cx D d assim esse d nao )ode ser coa su)erior de cA enao c$ e a menor coa su)erior logo o *n,mo. Nem N Se+am AV> ⊂ R con+unos limiados . Nem N 6emonsracao. Como AV> sao limiidados su)eriomene emos su)A :? :? a e su)> :? $ como vale a ] x e $ ] Q )ara odos xVQ ∈ AV> res)ecivamene res)ecivamene segue 4ue a@$ ] x@Q logo o con+uno A@> e limiado su)eriormene. =ara odo e 4ual4uer D & exisem xVQ ais 4ue % somando am$as desigualdades-segue-se 4ue Nem N 6emonsracao. Se+am a ? in7A e $ ? in7> enao ∀xVQ ∈ AV> em-se a x $ Q de onde segue )or adicao a@$ x@Q assim a@$ e coa in7erior de A@>. ∃xVQ ∈ AV> % )ois a e $ sao as maiores coas in7eriores somando os ermos das desigualdades desi gualdades segue x @ Q a @ $ @ 4ue im)lica 4ue a @ $ e a maior coa in7erior logo o *n,mo. limiada su)eriormene e caso 79A se+a limiado in7eriormene diBemos 4ue A e limiado in7eriormene. Se+a uma 7uncao limiada 7 : R. =ro)riedade . A 7uncao soma de duas 7uncoes limiadas e limiada.
)orando a 7uncao soma 7 @g de duas 7uncoes limiadas e am$em uma 7uncao limiada. Se+am 7Vg : R 7uncoes limiadas e c ∈ R. 6emonsracao. Se+am emos 4ue C
⊂ A @ > )ois $asa omar x ? Q nos con+unos logo
=ro)riedade (. Se+am A e > con+unos limiados de numeros )osiivos enao vale su)9A:> ? su)9A:su)9>: AVQ ∈ > da* x:Q a:$ logo a:$ e coa su)erior de A:>. 5omando 5omando a:$ segue 4ue logo exise Q ∈ > al 4ue a Q da* Q a logo exise x ∈ A al 4ue Q x logo x:Q enao nao )ode ser uma coa su)erior im)licando 4ue a:$ e o su)remo do con+uno. con+un o. AVQ ∈ > da* x:Q ] a:$ logo a:$ e coa in7erior de A:>. 5omando 5omando D a:$ segue 4ue logo exise Q ∈ > al 4ue a D Q da* Q D a logo exise x ∈ A al 4ue Q D x logo x:Q enao nao )ode ser uma coa in7erior im)licando 4ue a:$ e o *n,mo do con+uno. =ro)riedade 0. Se+am 7Vg : A R 7uncoes limiadas enao 7:g : A R e limiada. =ro)riedade 3. Se+am 7Vg : A R@ limiadas su)eriormene enao =ro)riedade 0&. Se+am 7Vg : A R@ limiadas in7eriormene enao su)7 su)g D su)97:g: (Parte 6 de de 6)