Universidad de Managua Al más alto nivel Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Avilés.
Estudiantes:
Facultad de Ciencias Ciencias Económicas y Administrativas. Añ o ac a d é m i c o :
III Cuatrimestre 2014
Curso de Programación Lineal MÉTODO GRÁFICO PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMA En una fábrica de bombillos se producen dos tipos de ellas, los de tipo normal valen 450 córdobas y los halógenos 600 córdobas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?
SOLUCIÒN: 1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Objetivo: maximizar facturación - Restricciones: Se producen dos tipos de bombillos: Normal y Halógenos. - No se pueden fabricar al día más de 400 normales - No se puede fabricar al día más de 300 halógenos - No se puede fabricar al día más de 500 entre ambos tipos. - Los Normales se venden a C$450 y los halógenos a C$600. - Para lograr el objetivo requerimos saber. ¿Cuántos bombillos de cada tipo debemos fabricar al dìa? - Sea X: número de bombillos tipo normal; Y: número de bombillos de tipo halógenos.
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Expresamos los datos en forma de una tabla: X(normales)
Cantidad/d
Y(halógenos)
Restricción
1
Cantidad/d
≤ 400
1
≤ 300 ≤ 500
Cantidad/d
1
1
Precio/u
C$450
C$600
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
MAX Z = 450X + 600Y SUJETO A: X ≤ 400 Y ≤ 300
Producción de tipo normales por día Producción de tipo halógenos por día
PROBLEMA
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO. Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución óptima.
X+Y≤500
Y≤300
(200,300)
(400,100)
PROBLEMA
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO. Hemos construido La región factible, puede ver que es una región finita, cerrada, cuyos vértices se detallan a continuación: Vértices
(0,0) (400,0)
Valor Z
Z=450*0+600*0=0 Z=450*400+600*0=180,000
(400,100)
Z=450*400+600*100=240,000
(200,300)
Z=450*200+600*300=270,000
(0,300)
Máx
C$270,000
Z=450*0+600*300=180,000
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución óptima: Esto es en el vértice (200,300) es decir se requiere producir diario 200 bombillos normales y 300 bombillos halógenos
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO. Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima realmente cumple con todas las restricciones del modelo. Sustituimos los valores de X=200 y Y=300 en el modelo MAX Z = 450*200 + 600*300 =270,000 SUJETO A: 200 ≤ 400 (SE CUMPLE) ≤ 300 (SE CUMPLE) 300 200
+
300
≤
500 (SE CUMPLE)
200 ≥ 0 (SE CUMPLE) 300 ≥ 0 (SE CUMPLE) Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica que la solución
PROBLEMA
Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210,000 córdobas, mientras que los del mayorista B cuestan 300,000 córdobas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?
SOLUCIÒN: 1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Objetivo: minimizar costos. - Necesidades mínimas del hipermercado:16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 cajas de percebes.
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Cada contenedor del proveedor A cuesta C$210,000, cada contenedor del proveedor B cuesta C$300,000. ¿Qué cantidad de contenedores debe solicitar de A y de B para suplir sus necesidades al mínimo costo? Llamaremos X: al número de contenedores del proveedor A; Y: número de contenedores del proveedor B. Expresamos los datos en forma de una tabla Conceptos
X(Prov. A)
Y(Prov. B)
Restricción(cajas)
Langostinos
8
2
≥ 16
Nécoras(cangrejo)
1
1
≥ 5
Percebes(esponja)
2
7
≥ 20
C$210,000
C$300,000
Costo/contenedor
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
Ahora procedemos a formular el modelo matemático: MIN Z = 210,000X + 300,000Y SUJETO A: ≥ 16 8 X + 2Y ≥ 5 X + Y 2X + 7Y ≥ 20 ≥0 X Y ≥ 0 3.
Necesidades de langostino Necesidades de nécoras Necesidades de percebes Criterio de no negatividad Criterio de no negatividad
OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO. Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución
8X + 2Y ≥16
(1,4) X + Y ≥5
(3,2)
Hemos construido La región factible, puede ver que es una región abierta, cuyos vértices se detallan a continuación: Vértices
Valor Z
(0,8)
Z=210,000*0+300,000*8=2,400,000
(1,4)
Z=210,000*1+300,000*4=1,410,000
(3,2)
Z=210,000*3+300,000*2=1,230,000
(10,0)
Z=210,000*20+300,000*0=2,100,000
Máx
C$1,230,000
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (3,2) es decir se requiere ADQUIRIR 3 contenedores de “A” y 2 contenedores de “B”, para satisfacer las necesidades mínimas del hipermercado, por a un costo total de C$1,230,000.
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO. Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima realmente cumple con todas las restricciones del modelo. Sustituimos los valores de X=3 y Y=2 en el modelo MIN Z = 210,000*3 + 300,000*2=1,230,000 SUJETO A: 8*3 + 2*2 (SE CUMPLE) ≥ 16 3 + 2 (SE CUMPLE) ≥ 5 2*3 + 7*2 (SE CUMPLE) ≥ 20 3 (SE CUMPLE) ≥0 2 (SE CUMPLE) ≥ 0
PROBLEMA Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo se cuenta con 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8,000 córdobas y el de cada uno de los pequeños, 6,000 córdobas ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?
SOLUCIÒN: 1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Objetivo: minimizar costos. - Restricciones: - Los alumnos participantes son 400. - Se cuentan con dos tipos de buses:P (pequeño) con capacidad de 40 y G (grandes) con capacidad de 50 - Solo están disponibles 9 choferes para ese día. - Los buses P se alquilan a C$6,000 y los G a C$8,000. - Requerimos saber cuantos debemos alquilar de tipo P y cuantos de tipo G, de manera que minimicemos el costo del traslado de los 400 alumnos?
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA: - Llamaremos X: al número de buses de tipo P; Y: número de buses de tipo G. - Expresamos los datos en forma de una tabla
Conceptos
X(Bus tipo P)
Y(Bus tipo G)
Restricción
Alumnos
40
50
= 400 (alumnos)
Choferes
1
1
≤ 9 (choferes)
Buses tipo P
1
Buses tipo G
Costo/bus
≤ 8 (buses)
1 C$6,000
C$8,000
≤10 (buses)
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
Ahora procedemos a formular el modelo matemático: MIN Z = 6,000X + 8,000Y SUJETO A: 40 X + 50Y X + Y X Y X Y 3.
= 400 ≤9 ≤8 ≤ 10 ≥ 0 ≥ 0
Alumnos a transportar Choferes disponibles Buses pequeños disponibles Buses grandes disponibles Criterio de no negatividad Criterio de no negatividad
OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO. Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible
Y≤ 10
X + Y≤ 9
X≤8
(5,4)
40X + 50Y= 400
Hemos construido La región factible, puede ver que la región factible se da en en el segmento de recta 40X + 50Y=400 que va desde (0,8) hasta (5,4). Por lo solo indicaremos los resultados con variables enteras de los infinitos puntos que hay en ese segmento. Vértices
Valor Z
(0,8)
Z=6,000*0 + 8000*8=64,000
(5,4)
Z=6,000*5 + 8000*4=62,000
Mínimo
C$62,000
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (5,4) es decir se requiere contratar 5 buses pequeños “P” y 4 buses grandes “G”, para garantizar el transporte a los 400 alumnos a un mínimo costo.
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO. Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima realmente cumple con todas las restricciones del modelo. Sustituimos los valores de X=5 y Y=4 en el modelo MIN Z = 6,000*5 + 8,000*4=C$62,000 SUJETO A: 40*5 + 50*4 = 400 (SE CUMPLE) 5 + 4 (SE CUMPLE) ≤9 5 (SE CUMPLE) ≤ 8 ≤ 10 4 (SE CUMPLE) 5 (SE CUMPLE) ≥ 0 4 (SE CUMPLE) ≥ 0
