3. PEWAR_AA_ GRAF
Dalam sebuah teori graf, metode pewarnaan graf merupakan sebuah kasus khusus untuk pelabelan sebuah graf. Pewarnaan graf merupakan penambahan warna pada elemen sebuah graf itu sendiri. 3.1. Pengertian
Pewarnaan graf adalah metode pewarnaan elemen sebuah graf yang terdiri dari pewarnaan vertex (simpul), sisi (edge), dan wilayah (region). 3.2. Pewarnaan Simpul
Dalam menggunakan spesifikasi yang lain, pewarnaan sebuah graf sering disebut dengan pewarnaan dari simpul graf itu sendiri. Pewarnaan simpul pada graf adalah memberi warna pada simpul-simpul suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama [1]. Kita dapat memberikan sembarang warna pada simpul-simpul asalkan berbeda dengan simpul-simpul tetangganya. Terminologi dalam menggunakan warna untuk label vertex kembali kepada pemetaan warna. Label warna seperti merah dan biru hanya dipakai ketika angka dari warna-warna itu kecil dan normalnya, diketahui bahwa label-label tersebut digambar dari integerinterger {1, 2, 3, …}. Sebuah pewarnaan yang menggunakan beberapa nbuah warna biasanya disebut dengan n-coloring . Ukuran terkecil banyaknya warna yang dapat diberikan kepada sebuah graf G dinamakan dengan bilangan kromatik, yang dilambangkan dengan χ(G). Beberapa graf tertentu dapat langsung diketahui jumlah bilangan kromatiknya. Graf kosong Nn memiliki χ(G) sebanyak 1 karena semua simpul tidak terhubung. Karena jumlah χ(G)-nya adalah 1, maka untuk mewarnai semua simpulny cukup dengan satu warna saja. Graf lengkap K n memiliki χ(G)= n karena semua simpul saling terhubung satu sama lain. Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki χ(G)=3, sedangkan jika n genap maka χ(G)= 2. Sembarang pohon T memiliki χ(T)=2 3.3. Pewarnaan Sisi
Pewarnaan sebuah sisi graf, pewarnaan sisi-sisinya secara tepat berarti cara pemberian warna pada garis sedemikian rupa sehingga setiap garis yang bertumpuan pada titik yang sama diberi warna yang berbeda. Pewarnaan sisi dengan warna-warna (sebut saja dengan variabel k) dinamakan sebagai pewarnaan sisi k. Dan ekuivalen dengan persoalan membagi sisi dengan warna-warna tertentu pada himpunan sisi dengan warna tertentu. Angka terkecil dari warnawarna yang dibutuhkan untuk pewarnaan sisi graf G disebut sebagai indeks kromatik atau angka kromatik sisi, χ’(G). Pewarnaan tait adalah sebuah pewarnaan tiga sisi dari sebuah graf kubus. Teori empat warna (teori yang berawal dari penyataan mengenai: “Dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan empat warna saja?”) ekuivalen dengan bahwa tiap graf planar kubus tanpa jembatan (sisi) menunjukkan sebuah pewarnaan tait [2]. 3.4. Pewarnaan wilayah
Pewarnaan wilayah adalah pemberian warna pada setiap wilayah pada graf sehingga tidak ada wilayah bersebelahan yang memiliki warna yang sama. Pewarnaan wilayah ini diterapkan pada pewarnaan peta. Pada pewarnaan peta, diberikan warna yang
berbeda pada setiap propinsi yang saling bersebelahan. Dalam mengerjakan pewarnaan wilayah, kita dapat menggunakap prinsip pewarnaan simpul pada graf. Misalnya adalah masalah pewarnaan peta. Tiap wilayah pada peta dinyatakan sebagai simpul graf. Sedangkan sisi menyatakan bahwa terdapat dua wilayah yang berbatasan langsung (disebut juga bertetangga). Oleh karena itu, graf yang terbentuk merupakan graf planar. Graf planar ialah graf yang y ang dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling berpotongan [1]. Bilangan kromatik pada graf planar tidak lebih dari empat. Sehingga dalam pewarnaan sebuah peta, cukup hanya menggunkan empat warna saja. Warna yang digunakan dalam pewarnaan peta adalah hijau, kuning, merah, dan biru. 4. ALGORITMA-ALGORITMA PEWAR_AA_ GRAF
Dalam metode pewarnaan graf, terdapat beberapa algortma-algoritma yang telah diterapkan. Algoritmaalgoritma ini telah banyak digunakan dalam pengembangan berbagai macam software penyusunan jadwal. Karena banyaknya persoalan penyusunan jadwal yang kompleks, tidak memungkinkan untuk melakukan pewarnaan graf secara manual. Semakin banyak jumlah komponen-komponen yang harus diperhitungkan dalam penyusunan sebuah jadwal, maka semakin sulit penyusunan sebuah jadwal tesebut. Berikut ini merupakan beberapa algoritma yang dapat digunakan dalam metode pewarnaan graf. 4.1. Algoritma Welch-Powell
Algoritma Welch-Powell dapat digunakan untuk mewarnai sebuah graf G secara efisien. Algoritma ini tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai G, namun algoritma ini cukup praktis untuk digunakan dalam pewarnaan simpul sebuah graf. Algoritma Welch-Powell hanya cocok digunakan untuk graf dengan orde yang kecil. Oleh karena itu algoritma Welch-Powell hanya dapat menentukan batas atas warna. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. 1. Urutkan semua simpul berdasarkan derajatnya, dari derajar besar ke derajat kecil. 2. Ambil warna pertama (misalnya merah), warnai simpul pertama yang sudah diurutkan berdasarkan derajatnya tadi. Kemudian warnai simpul berikutnya yang tidak berdampingan dengan simpul pertama tadi dengan warna yang masih sama (merah). 3. Kemudian dilanjutkan dengan warna kedua, dan seterusnya, sampai semua simpul telah diberi warna. 4.2. Algoritma Recursive Largest First
Algoritma Recursive Largest First hampir mirip prinsipnya dengan algoritma Welch-Powell. Langkah kerja dari algoritma Recursive Largest First adalah sebagai berikut. 1. Buat daftar semua simpul yang belum diwarnai dengan derajat tetangga (jumlah simpul tetannga yang belum diwarnai) terurut secara descending . 2. Ambil simpul yang memiliki derajat tetangga tertinggi dan warnai dengan sebuah warna. 3. Buang simpul yang telah diwarnai pada langkah sebelumnya dan semua simpul yang bertetangga tersebut dari daftar simpul.
4. Warnai semua simpul yang tersisa dengan warna yang sama pada simpul tadi. Lalu ulangi langkahlangkah diatas hingga semua simpul pada graf telah terwarnai semua. 4.3. Algoritma Backtracking Algoritma Backtracking merupakan bentuk algoritma
yang banyak dan sering digunakan dalam memecahkan permasalahan yang bersifat kombinasi. Algoritma ini dikenal juga dengan nama algoritma runut-balik. Cara kerja dari algortima backtracking adalah mencoba satu demi satu kemungkinan cara yang bisa dilakukan untuk memperoleh hasil yang terbaik. memiliki keunggulan dalam kemampuannya untuk memperoleh hasil kombinasi yang terbaik karena mencoba semua kemungkinan yang ada. Di sisi lain algoritma ini tidak efisien sebab proses pencarian membutuhkan waktu yang lama karena pengujian dilakukan satu demi satu untuk semua kemungkinan. Dalam langkah pewarnaan menggunaan algoritma ini, graf yang ada diumpamakan sebagai graf dengan bentuk pohon (pohon merupakan salah satu bentuk graf). Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut [3]. 1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari akar ke daun. Aturan pembentukan yang dipakai adalah mengikuti aturan pencarian mendalam (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan dinamakan simpul hidup (live node). Simpul hidup yang sedang diperluas dinamakan simpulE ( Expand-node Expand-node). 2. Tiap kali simpul-E diperluas, lintasan yang dibangun olehnya bertambah panjang. Jika lintasan yang sedang dibentuk tidak mengarah ke solusi, maka simpul-E tersebut “dibunuh” sehingga menjadi simpul mati (dead node). Fungsi yang digunakan untuk membunuh simpulE adalah dengan menerapkan fungsi pembatas (bounding function). Simpul yang sudah mati tidak akan pernah diperluas lagi. 3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan simpul mati, maka proses pencarian diteruskan dengan membangkitkan simpul anak yang lainnya. Bila tidak ada lagi simpul anak yang dapat dibangkitkan, maka pencarian solusi dilanjutkan dengan melakukan runut-balik ke simpul hidup terdekat (simpul orangtua). Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang baru. 4. Pencarian dihentikan bila kita telah menemukan solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk runut-balik. Algoritma Welsh dan Powell
Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graph dengan memberi label titik-titiknya sesuai dengan derajatnya. Langkah 1
(melabel titik dengan derajatnya). Label titik V 1, V 2, ..., Vn sedemikian hingga derajat (V1) > derajat
(V2) > ... > derajat (V n). Langkah 2
(warnai titik belum berwarna pertama dari titik-titik belum berwarna yang berdekatan dengan titik
itu). Berikan warna yang belum digunakan pada titik belum berwarna yang pertama pada daftar titik itu. Lakukan hal itu pada semua titik dalam daftar secara terurut, berikan warna baru ini pada setiap titik yang tidak berdekatan dengan setiap titik lain yang yang telah diwarnai ini.
Langkah 3 (graphnya telah diwarnai?). Jika beberapa titiknya belum berwarna, maka kembalilah ke langkah 2.
Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graph telah dilakukan.
1. Pewarnaan Peta Contoh 1
Warnai peta pada Gambar 6.14, kemudian tentukan bilangan khromatiknya.
Jawab
Peta pada Gambar 6.14, dapat dilukiskan bentuk graphnya seperti pada Gambar 6.15 berikut ini.
1. Pengurutan derajat titik Titik E F Derajat titik 6 5
B 4
A 3
C 3
I 3
D 2
G 2
H 2
2. Pewarnaan titik Pertama tandailah titik E dengan angka 1. Telusuri daftar titik tadi dan amati gambar graphnya, ternyata titik C adalah titik pertama yang tidak berdekatan dengan E. Kembali ke daftar titik, tandai titik F dengan angka 2, dan
juga titik A dan H, karena tidak berdekatan berdekatan dengan F. Penelusuran ketiga kalinya terhadap terhadap daftar titik akan menandai titik B dengan angka 3, lalu tandai pula titik I, D, dan G dengan angka 3. Dengan demikian bilangan khromatik graph tersebut adalah 3. Langkah-langkah tersebut dirangkum dalam bentuk tabel berikut. Setiap graph G memiliki sebuah subgraph dari derajat minimum sedikitnya X(G) ≤ ½ + m√2 + ¼.
8. Juru Jurusan san matem matemati atika ka di suatu suatu Pergur Perguruan uan Tinggi Tinggi X akan akan melaks melaksana anakan kan ujian ujian akhir akhir seme semest ster er yang yang meli meliba batk tkan an Semb Sembil ilan an mata mata kuli kuliah ah.. Tent Tentu u saja saja jika jika ada ada seor seoran ang g mahasiswa memprogramkan dua dari Sembilan mata kuliah tersebut, maka ujian dua mata kuliah tersebut harus dijadwalkan pada slot waktu yang berbeda. Dalam table di atas “tanda X” menunjukkan pasangan mata kuliah yang memiliki paling sedikit satu mahas mahasisw iswa a
yang yang sama. sama. Buatlah Buatlah jadwal jadwal ujian ujian agar banyakny banyaknya a soal soal waktu waktu yang
digunakan minimum.
A B C D E F G H K
A x x x x -
B x x x x x x
C x x x x x -
D x x x x x x x
E x x x x x -
F x x x x x x
G x x x x x -
H x x x x x -
K x x x -
Penyelesaian:
Penyelesa Penyelesaian ian masalah masalah membuat membuat jadwal jadwal ujian ini sebenarny sebenarnyaa ekuivalen ekuivalen dengan dengan masalah masalah mencari mencari bilangan bilangan khromatik suatu graph. Yang perlu diingat adalah ujian dan bidang studi dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada siswa yang sama yang mengikuti ujian dua bidang studi itu. Penjadwalan ujian itu dapat digambarkan sebagai sebuah graph, dan setiap bidang studi ditunjukkan sebagai titiknya. Dua titik dihubungkan dengan sebuah garis jika ada siswa yang memiliki kedua bidang studi itu.
Sehingga dapat ditafsirkan bahwa jika dua titik dihubungkan oleh garis maka ujian dua bidang studi itu tidak dapat dilakukan bersamaan, karena akan ada siswa yang mendapat kesulitan. Kita gambar masalah graph di atas.
Gambar 1.1 Untuk graph pada Gambar 1.1, titik D memiliki derajat terbesar, yaitu 7 sehingga D diberi label V 1. Titik B dan F berderajat 6 sehingga diberi label V2 dan V3. Titik C, E G dan H berderajat 5 sehingga diberi label label V 4 , V5, V6 dan V7. Titik A bederajat 4 sehingga diberi label V 8 . Demikian pula titik K yang merupakan satu-satunya titik yang tersisa, diberi label V 9. Hal ini diperlihatkan pada Gambar 1.2.
Gambar 1.2 Penyajian dalam bentuk daftar berdekatan sangat mudah digunakan dengan algoritma Welsh dan Powell ini. Untuk graph pada Gambar 1.2, penyajian daftar berdekatannya adalah sebagai berikut. V1 : V2, V3, V4, V5, V6, V8, V9 V2 : V1, V4, V5, V7, V8,V9 V3 : V1, V4, V5, V6, V7,V9 V4 : V1, V2, V3, V5, V6 V5 : V1, V2, V3, V4, V7
V6 : V1, V3, V4, V5, V7,V8 V7 : V2, V3, V5, V6, V8 V8 : V1, V2, V6, V7 V9 : V1, V2, V3 Pada Algoritma Welsh dan Powell ini, titik belum berwarna pertama dalam daftar adalah V 1 yang diberi warna merah. Kemudian dicari titik berikut yang tidak berdekatan dengan V 1 pada daftar, yaitu titik di bawah V 1 yang tidak mengikuti V1. Diperoleh titik V7, yang diberi juga warna merah. Dilanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V 1 maupun V7. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dan ditentukan lagi titik belum berwarna yang pertama, yaitu V 2, yang diberi warna biru. Kemudian, titik belum berwarna berikutnya ditentukan yang tidak berdekatan dengan V2. Diperoleh titik V3 dan diberi warna biru. Dilanjutkan Dilanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar daftar untuk mencari mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V 2 maupun V3. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu V 4, yang diberi warna hijau. Karena V 8 belum diwarnai dan tidak berdekatan dengan V4, yang diberi warna hijau. Kemudian lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V 4 maupun V8. Diperoleh titik V 9 dan diberi warna hijau. Lanjutkan dengan melihat bagian bahwa daftar untuk mencari titik berikutnya yang tidak berdekatan dengan V 4 ,V8 maupun V9. Karena titik seperti itu tidak ada, maka kembali dilihat bagian atas daftar dilihat kembali dan ditentukan titik belum berwarna berikutnya, yaitu V5, yang diberi warna kuning. . Diperoleh titik V 6 dan diberi warna kuning. Karena telah diwarnai semua titik yang ada, dengan demikian maka graph pada Gambar 1.1 dapat diwarnai maksimal dengan empat warna.
Ujian mata kuliah A, C, dan K dapat dilaksanakan bersamaan, ujian mata kuliah E dan G dapat dilakukan bersamaan, ujian mata kuliah D dan H juga dapat dilakukan bersamaan dan ujian mata kuliah B dan F dapat dilakukan bersamaan, tetapi dilakukan pada waktu yang berbeda untuk setiap kelompok ujian mata kuliah. 9. Buatlah Buatlah beberapa pewarnaan-si pewarnaan-sisi-7 si-7 pada graph bipartisi bipartisi komplit K 7,7 7,7 kemudian buatlah beberapa bujur sangkar latin yang bersesuaian dengan pewarnaan yang dibuat. Penyelesaian: Pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,7 7,7 adalah sebagai berikut:
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,7 7,7 di atas: Biru Merah Hitam Pink Ungu Hijau Kuning
Merah Hitam Pink Ungu Hijau Kuning Biru
Hitam Pink Ungu Hijau Kuning Biru Merah
Pink Ungu Hijau Kuning Biru Merah Hitam
Ungu Hijau Kuning Biru Merah Hitam Pink
Hijau Kuning Biru Merah Hitam Pink Un g u
Kuning Biru Merah Hitam Pink Ungu Hijau
Pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,7 7,7 adalah sebagai berikut:
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,7 7,7 di atas: Pink Merah Hijau Hitam Ungu Biru Kuning
Merah Hitam Pink Biru Hijau Kuning Ungu
Hijau Pink Ungu Merah Kuning Hitam Biru
Hitam Biru Merah Kuning Pink Un g u Hijau
Ungu Hijau Kuning Pink Biru Merah Hitam
Biru Kuning Hitam Un g u Merah Hijau Pink
Kuning Ungu Biru Hijau Hitam Pink Merah
Bujur sangkar latin 7 x 7 dari pewarnaan-sisi-7 pada graph bipartisi komplit K 7,7 7,7 di atas: Hijau Pink Ungu Hitam Merah Kuning Biru
Biru Hitam Hijau Ungu Pink Merah Kuning
Merah Kuning Biru Pink Ungu Hijau Hitam
Hitam Hijau Merah Biru Kuning Pink Un g u
Kuning Biru Hitam Merah Hijau Un g u Pink
Ungu Merah Pink Kuning Biru Hitam Hijau
Pink Ungu Kuning Hijau Hitam Biru Merah
