Soal dan Pembahasan Isometri
1
SOAL HALAMAN 42
1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada gambar. Dengan menggunakan jangka dan penggaris lukislah garis g’=Mh(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h. Jawab : g
o
h
o
g’ 2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. T adalah sebuah isometri dengan B = T(A) dan u = T(s). Kalau t
s, lukislah t’=T(t).
Jawab: Diketahui : ,
t
dan
Karena Karena
maka dan T isometri, maka . Jadi, untuk melukis t’ buat garis t’ melalui B yang tegak lurus u.
s A B
u
3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada gambar. a) Lukislah Mt( b) Hubungan apakah antara c) Lukislah Mt(l)
dan Mt(
?
Soal dan Pembahasan Isometri
2
Jawab: a)
A’
B C
O P
A
t
C’ B’
b) Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’ Karena A’=Mt(A) ⇒ OA’=OA dan A’P = AP B’=Mt(B) ⇒ OB’=OB C’=Mt(C) ⇒ OC’=OC Diperoleh m( ∠ ABC)= m( ∠ A’B’C’) AB=OA+OB=OA’+OB’=A’B’ m( ∠ BAC)= m( ∠ B’ A’C’). Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. c) D
D’
4. Diketahui garis t. a) Lukislah sebuah ∆ABC sehingga Mt(∆ABC) = ∆ABC (artinya : oleh Mt, ∆ABC dan hasil refleksi pada t berimpit). b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt. c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
Soal dan Pembahasan Isometri
3
Jawab: a)
Untuk melukis ∆ABC yang berhimpit dengan Mt(∆ABC), maka segitiga ∆ABC haruslah merupakan segitiga samakaki dengan AO sebagai sumbu simetri, t berhimpit dengan AO, sehingga BO = OC. Mt(A) = A’ = A Mt(B) = B’ = C Mt(C) = C’ = B Jadi Mt(∆ABC) = ∆A’B’C’ = ∆ABC
A=A’
B=C’
O
C=B’
t
l=l’
b)
Untuk melukis lingkaran l yang berhimpit dengan Mt(l), maka titik pusat lingkaran l haruslah berada pada sumbu refleksi t sehingga Mt(l) = l’= l.
O=O’
t
c)
Untuk melukis segiempat yang berhimpit dengan petanya oleh Mt, maka haruslah cermin t harus berhimpit dengan sumbu simetri segiempat tersebut.
t
5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}. Tulislah sebuah persamaan garis g’ = Mh(g). Jawab:
Y g’ C B(0,
A’(-3,0)
D
1 ) 2
X
A(1,0)
g
h:x = -1
Soal dan Pembahasan Isometri
4
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri. Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis. Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X. Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi C ∈ g dan C ∈ h. Karena C ∈ h maka Mh(C) = C Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A).
♣ Koordinat titik C g ≡ x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0, h ≡ x = -1 substitusikan x = -1 ke persamaan garis g ≡ x + 2y = 1, diperoleh : -1 + 2y – 1 = 0 2y =2 y = 1 Jadi C(-1,1)
♣ Kordinat A’ = Mh(A) Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu X. AD = xA – xD = 1- (-1) = 2 Karena isometri maka D A’ = AD = 2 Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4 Misal titik A’(x’,y’) Absis titik A’ adalah 1 - 4 = -3 Diperoleh x’ = -3 dan y’ = y = 0 Jadi, A’(-3,0) Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan A’(-3,0) Persamaan garis g’:
y − y1 x − x1 y −1 x − ( −1) = ⇔ = y 2 − y1 x 2 − x1 0 − 1 − 3 − (−1) ⇔
y −1 x +1 = −1 −2
⇔ y −1=
⇔ y=
x +1 2
1 1 x + +1 2 2
Soal dan Pembahasan Isometri
5
⇔ y=
1 3 x+ 2 2
⇔ x − 2y + 3 = 0
Jadi, g’ = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0} 6. Diketahui garis g = {(x,y) |3x - y + 4= 0} dan h = {(x,y) |y = 2}. Tulislah persamaan garis g’ = Mh(g). Jawab: Y
g A(0,4)
C B( −
D
4 ,0) 3
h
A’(0,0)
X
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri. Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis. Titik A(4,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu Y. Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi C ∈ g dan C ∈ h. Karena C ∈ h maka Mh(C) = C Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A) ♣ Koordinat titik C
g ≡ 3x - y + 4= 0, h ≡ y = 2 substitusikan y = 2 ke persamaan garis g ≡ 3x - y + 4= 0, diperoleh: 3x – 2 + 4= 0 3x = -2 x = − Jadi C ( −
2 3
2 ,2) 3
♣ Koordinat A’ = Mh(A) Titik D (0,2) adalah titik potong h dengan sumbu Y.
Soal dan Pembahasan Isometri
6
AD = yA – yD = 4 2 = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2 Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4 Misal titik A’(x’,y’) Ordinat titik A’ adalah 4 4 = 0 Diperoleh y’ = 0 dan x’ = x = 0 Jadi, A’(0,0) Jadi, g’ melalui titik C( −
2 ,2) dan A’(0,0) 3
y − y1 x − x1 y−2 Persamaan garis g’: = ⇔ = y 2 − y1 x 2 − x1 0−2
y−2 = ⇔ −2
2 x − (− ) 3 2 0 − (− ) 3 x+
2 3
2 3
3 ⇔ y − 2 = -2 ( x + 1) 2
⇔ y = -3x -2 +2 ⇔ y = -3x ⇔ 3x + y = 0
Jadi, g’ = {(x,y) | 3 x + y = 0 } 7. Diketahui garis-garis g = {(x,y) | y = 0}, h = {(x,y) |y = x}, dan k = {(x,y) |x = 2}. Tulislah persaman garis-garis berikut; a). Mg(h)
b). Mh(g)
c). Mg(k)
d). Mh(k)
Jawab:
Y
a).
h: y=x A(1,1) 1 A’(1,-1)
g: y=0
h’: y=-x
X
Soal dan Pembahasan Isometri
7
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) = h’, maka h’ adalah sebuah garis. Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, O ∈ g dan O ∈ h. Karena O ∈ g maka Mg(O) = O Jadi h’ akan melalui titik O(0,0) Ambil sebarang titik di h, misal A(1,1), maka h’ juga akan melalui A’ = Mg(A). Mg
A(x,y) → A’(x,-y)
, g = {(x,y) | y = 0}
Mg
Jadi, A(1,1) → A’(1,-1) Jadi, garis h’ melalui titik O(0,0) dan A’(1,-1) Persamaan garis h’:
y − y1 x − x1 y−0 x−0 = ⇔ ⇔ y = −x = y 2 − y1 x2 − x1 −1− 0 1− 0 Jadi, h’ = {(x,y) | y = -x}.
b).
Y h: y=x C’(0,1) C(1,0)
X = g:y=0
g’: x=0
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(g) = g’, maka g’ adalah sebuah garis. Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, O ∈ g dan O ∈ h.
Soal dan Pembahasan Isometri
8
Karena O ∈ h maka Mh(O) = O Jadi g’ akan melalui titik O(0,0) Ambil sebarang titik di g, misal C(1,0), maka g’ juga akan melalui C’ = Mh(g). Mg
C(x,y) → C’(y,x) Mg
Jadi, C(1,0) → C’(0,1) Jadi, garis g’ melalui titik O(0,0) dan C’(0,1) Persamaan garis g’: y − y1 x − x1 y −0 x−0 ⇔ x=0 = ⇔ = 1− 0 0 − 0 y 2 − y1 x 2 − x1 Jadi, g’ = {(x,y) | x = 0}. c).
Y
k : x=2
B(2, )
g:y=0
O
X
P(2,0)
B’(2,- ) k' ’
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(k) = k’, maka k’ adalah sebuah garis. Titik P(2,0) merupakan titik potong antara garis g dan k. Jadi, P ∈ g dan P ∈ k. Karena P ∈ g maka Mg(P) = P, maka k’ akan melalui titik P(2,0) Ambil sebarang titik di k, misal B(2,
1 ), maka k’ juga akan melalui B’ = Mg(B). 2
Mg
B(x,y) → B’(x’,y’) = B’(x,-y) Jadi, B(2,
1 Mg 1 ) → B’(2,- ) 2 2
Jadi, garis k’ melalui titik P(2,0) dan B’(2,-
1 ) 2
Soal dan Pembahasan Isometri
9
Jadi, k’ = k = {(x,y) | x = 2}.
B’(0,2)
h: y=x
k: x=2
Y
d).
A(2,2)
k’: y=2
B(2,0)
X
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(k) = k’ , maka k’ adalah sebuah garis. Titik A(2,2) merupakan titik potong antara garis h dan k. Jadi, A ∈ h dan A ∈ k. Karena A ∈ h maka Mh(A) = A Jadi k’ akan melalui titik A(2,2) Ambil sebarang titik di k, misal B(2,0), karena h: y = x maka Mh(B) = (0,2) = B’. Jadi k’ melalui A dan B’ Persamaan garis k’:
y − y1 x − x1 y−2 x−0 = ⇔ = ⇔ y=2 y 2 − y1 x 2 − x1 2−2 2−0 Jadi, g’ = {(x,y) | y=2}. 8. Jika g = {(x,y) | y = x} dan h = {(x,y) |y = 3 – 2x}, tentukan persamaan garis Mg(h). Jawab:
Y
B(0,3) C’(0,
3 ) 2
g: y=x
A B’(3,0)
3 C( ,0) 2
X
Soal dan Pembahasan Isometri
10
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h)=h’, maka h’ adalah sebuah garis. Titik A merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, A ∈ g dan A ∈ h. Karena A ∈ g maka Mg(A) = A Jadi h’ akan melalui titik A 3 Ambil titik B(0,3) dan C( ,0) karena g: y = x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’. 2 Jadi h’ melalui B’ dan C’ Persamaan garis h’:
y − y1 x − x1 y−0 x − 3 = ⇔ = 3 y 2 − y1 x 2 − x1 0−3 −0 2 ⇔ −3 y =
3 9 x− 2 2
⇔ −6 y = 3 x − 9 ⇔ 3x + 6 y − 9 = 0
Jadi, h’ = {(x,y) | 3 x + 6 y − 9 = 0 }.
9. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}, selidikilah apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = Mg(h). Jawab:
Y
B’(0,3) D B(-3,0)
h: 3y=x+3 C(0,1) X
C’
g: y=-x
Soal dan Pembahasan Isometri
11
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h)=h’ , maka h’ adalah sebuah garis. Titik D merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, D ∈ g dan D ∈ h. Karena D ∈ g maka Mg(D) = D Jadi h’ akan melalui titik D Ambil titik B(-3,0) dan C(0,1) karena g: y = - x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’. Jadi h’ melalui B’ dan C’ Persamaan garis h’:
y − y1 x − x1 y − 0 x − (−1) = ⇔ = ⇔ y = ( x + 1)3 ⇔ y = 3 x + 3 y 2 − y1 x 2 − x1 3 − 0 0 − (−1) Jadi, h’ = {(x,y) | y = 3x + 3 } Akan diselidiki apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = Mg(h) Substitusikan A(-2,-4) pada h’: y = 3x + 3 Maka h’ : -4 = 3(-2) + 3
-4 = -3 ( pernyataan yang salah) Diperoleh A(-2,-4) tidak memenuhi persamaan h’: y = 3x + 3, artinya A(-2,-4) tidak terletak pada garis h’ = Mg(h)
10.
{
}
Diketahui lingkaran l= ( x, y ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) = 4 2
2
T sebuah isometri yang memetakan titik A(2,3) pada A’(1,-7). Tentukan persamaan himpunan T(l). Apakah peta l juga lingkaran? Jawab:
{
}
l = ( x , y ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) = 4 2
2
A’=T(A) dengan A(2,3) dan A’(1,-7). L adalah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari=2. Karena A adalah pusat lingkaran l, maka A’=(1,-7) adalah pusat lingkaran l’=T(l).
{
}
Sehingga T(l)=l’= (x, y ) : (x − 1) + ( y + 7 ) = 4 2
2
Peta l yaitu l’ adalah lingkaran karena isometri T mengawetkan besarnya sudut yaitu 360o.
Soal dan Pembahasan Isometri
11.
12
Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga g’=Mk(g), dan h’=Mk(h). Apabila g’//h’ buktikan bahwa g//h. Jawab: Dipunyai g’//h’. Adt g//h Andaikan g
tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri Mk
mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh g’ tidak sejajar dengan h. Padahal dipunyai g’//h’, maka pengandaian harus dibatalkan. artinya, g//h. 12.
Diketahui garis-garis g, h, dan h’ sehingga h’=Mg(h). Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar? a) Jika h’//h, maka h//g. b) Jika h’=h maka h=g. c) Jika h’ ∩ h={A}, maka A g. Jawab:
h’
g
h
a) Benar
b) Benar
h’ g h
c) Benar A h h' g
13.
Buktikan sifat berikut: Apabila g
h maka Mh(g)=g. Apakah ini berarti bahwa
apabila P g maka Mh(P)=P? Jawab: Dipunyai g
h.
Adt Mh(g)=g. Karena Mh mengawetkan besarnya dua sudut yaitu sudut antara g dan h sebesar 90o, maka sudut antara g’ dan h juga 90o. Sehingga g’ merupakan pelurus g. Jadi, g’ berimpit dengan g sehingga Mh(g)=g. P P’ h
g
Soal dan Pembahasan Isometri
13
Kasus I. P g, P h maka Mh(P)=P.
Kasus II. P g, P∉h. Karena Mh isometri maka OP=OP’. Diperoleh P=P’.Jadi, Mh(P) ≠ P.
P
P’
g
h
15.
Jika g = {(x,y) | y = 2x + 3} dan h = {(x,y) |y = 2x + 1}, tentukan persamaan garis h’ = Mg(h). Jawab:
Y h’ g: y=2x+3
E
h: y=2x+1 D(0,3) B(0,1)
F
C A
X
,1)
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) = h’ , maka h’ adalah sebuah garis. Titik A(-
1 ,0 ) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu X. 2
Titik B(0,1) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y. Titik C(-
3 ,0 ) merupakan titik potong antara garis g dengan sumbu X. 2
Titik D(0,3) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y. Sehingga AC =1, BD =1 5 Diperoleh h’ memotong sumbu X di titik F(- ,0) 2
h’ memotong sumbu Y di titik E(0,5) Persamaan garis h’ melalui F dan E sehingga persamaan g’:
Soal dan Pembahasan Isometri
14
y − y1 x − x1 y−0 = ⇔ = y 2 − y1 x 2 − x1 5−0
5 x − (− ) 2 ⇔ 5 y = 5( x + 5 ) ⇔ 5 y = 10 x + 25 5 2 2 0 − (− ) 2
⇔ y − 2x − 5 = 0
Jadi, h’ = {(x,y) | y − 2 x − 5 = 0 } 16.
Suatu transformasi T ditentukan oleh T(P)=(x+1,2y) untuk semua P(x,y). a) Jika A(0,3) dan B(1,-1) tentukan A’=T(A) dan B’=T(B). Tentukan pula persamaan AB dan A' B' . b) Apabila C(c,d)
AB selidiki apakah C’=T(C)
c) Apabila D’(e,f) AB selidiki apakah D
AB
AB dengan D’=T(D).
d) Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka peta sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar? Jawab: T(P)=(x+1,2y) ∀ P(x,y) a) A(0,3), B(1,-1) A’=T(A)=(0+1,2x3)=(1,6) B’=T(B)=(1+1,2x(-1))=(2,-2)
AB ⇒
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x 2 − x1
y − (−1) x −1 = 3 − (−1) 0 −1 y +1 x −1 ⇔ = 4 −1 ⇔ − y −1 = 4x − 4 ⇔ y + 4x − 3 = 0 ⇔
A' B' ⇒
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x2 − x1
y − (−2) x−2 = 6 − (−2) 1− 2 y+2 x−2 ⇔ = 8 −1 ⇔ −y − 2 = 8 x − 16 ⇔ y + 8 x − 14 = 0 ⇔
Soal dan Pembahasan Isometri
b) C(c,d)
15
AB
Akan diselidiki C’=T(C)
A' B'
Karena A’=T(A), B’=T(B), maka A' B' merupakan peta dari AB . Sehingga jika C c) D’(e,f)
AB maka C’=T(C)
AB diselidiki apakah D
A' B '
AB dengan D’=T(D).
Karena A' B' merupakan peta AB maka jika D’ AB pasti D d) Dipunyai h’ adalah garis. Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h’=T(h). Andaikan h bukan garis maka h’=T(h) bukan garis. Padahal dipunyai h’ garis. Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, h suatu garis . Jadi, jika h’ garis maka h juga garis dengan h’=T(H).
18.
Ada berapa refleksi garis dengan sifat berikut: a) Sebuah segitiga sama kaki direfleksi pada dirinya sendiri? b) Sebuah persegi panjang direfleksi pada dirinya sendiri? c) Sebuah segiempat beraturan direfleksi pada dirinya sendiri? Jawab: a) 1 refleksi
b) 2 refleksi
c) 4 refleksi
AB .
Soal dan Pembahasan Isometri
16
SOAL HALAMAN 47
1. Pada gambar 4.10, ada tiga titik tidak segaris, yaitu P, Q, R; T dan S adalah isometriisometri dengan P’ = T(P), Q’ = T(Q), R’ = T(R) sedangkan P’’ = S(P), Q’’ = S(Q), R’’ = S(R). Termasuk golongan manakah T dan S itu? R’’
’
R
Q P’
P’’
’
R
P
Q’
’
Q
Jawab :
R’
R’’
Q P’
P’’
’
R
P
Q’
Q’
Jadi : T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung. 2.Isometri T memetakan A pada X; B pada Y dan C pada Z. Apabila T sebuah isometri A
lawan tentukan titik Z.
C B
X Z
Y
3. Sebuah isometri S memetakan D pada W, E pada Z dan F pada U. Apabila S sebuah isometri langsung, tentukan U. Jawab:
D
Z F
E
W
Soal dan Pembahasan Isometri
17
4. Diketahui sebuah titik A dan dua transformasi T dan S yang didefinisikan sebagai berikut: T(A)=A, S(A)=A. Jika P ≠ A, T(P)=P’ dan S(P)=P’’. P’ adalah titik tengah ruas garis AP sedangkan A titik tengah PP ' ' . Termasuk golongan manakah masingmasing trnsformasi S dan T itu? Jawab: T(A)=A, S(A), jika P ≠ A ⇒ T(P)=P’,S(P)=P” Ilustrasi: P”
A
P’
P
Dari gambar diperoleh S isometri berlawanan karena PA = − P" A Dan T isometri langsung karena PA = P' A 5. Tentukan koordinat-koordinat titik P pada sumbu X sehingga ∠APO = ∠BPX . Diketahui bahwa A=(0,3) dan B=(6,5). Jawab: A=(0,3) dan B=(6,5). Misal P(x,0) Y
Agar ∠APO = ∠BPX maka, tanα
3 5 = x 6− x ⇔ 18 − 3x = 5 x
B(6,5)
5 A(0,3)
α x P
⇔
⇔
β 6-x
X 6
= tanβ
18 8 9 = 4
x =
Jadi, agar ∠APO = ∠BPX maka P(9/4,0) 6. Sebuah sinar mamancar dari titik A(6,4) dan diarahkan ke titik P(2,2) pada sebuah cermin yang digambar sebagai garis g = {(x,y) |y = x}. Ada sebuah garis h = {(x,y)
Soal dan Pembahasan Isometri
18
|x = -1}. Sinar yang dipantulkan memotong garis h pada sebuah titik Z. Tentukan koordinat- koordinat titik Z. Jawab: Koordinat A’(4,6) Y
Persamaan sinar A’P
g; y=x A’
y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1
A(6,4) P(2,2)
⇔
y−6 x−4 = 2−6 2−4 − 2( y − 6) = − 4( x − 4)
⇔
− 2 y + 12 = −4 x + 16
⇔ X
⇔ 2 y − 4x + 4 = 0 Jika x = -1 maka 2y + 4 +4 =0 Jadi, y = -4
Z
Jadi, koordinat Z(-1,-4) h: x=-1
7. Diketahui garis-garis g dan h dan titik-titik P dan R. Diketahui bila bahwa P’=Mg(P), P”=Mh(P’), R’=Mg(R), dan R”=Mh(R). a. Lukislah P’ dan R” b. Bandingkan jarak PR dan P”R” Jawab: a.
R’ g P” P’ R
R” P
h
b. Karena PR = P’R’ (isometri mengawetkan jarak) Maka jarak P’ dengan h = jarak P’’ dengan h Jarak R’ dengan h = jarak R’’ dengan h Jadi jarak P’R’ = jarak P’’R’’
Soal dan Pembahasan Isometri
19
Karena jarak PR = jarak P’R’ dan jarak P’R’ = jarak P’’R’’, maka jarak PR = jarak P’’R’’. 8. Diketahui bahwa T dan S adalah padanan- padanan sehingga untuk semua titik P berlaku T(P) = P’ dan S(P’) = P’’. W adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk semua P sebagai W(P) = P’’. Apakah W suatu transformasi?. Jawab: W suatu fungsi sehingga ∀ titik P ∃ P” ∈ S ∋ W(P) = P”. ♣ Ditunjukkan W surjektif
Pikirkan sebarang titik A(x,y) T
S
Jelas A(x,y) → A’(x’,y’) → A”(x”,y”), atau W
A(x,y) → A”(x”,y”) Jadi, ∀ titik A ∃ A” ∈ S ∋ W(P) = P”. Jadi, W surjektif. ♣ Ditunjukkan W injektif
Pikirkan sebarang titik B(x,y) dan C dengan B≠C. W
Jelas B → B” = W(B) W
C → C” = W(C) , dengan W(B) ≠ W(C) Jadi, ∀ titik B dan C dengan B ≠ C berlaku W(B) ≠ W(C). Jadi, W injektif. Jadi, karena W surjektif dan injektif maka W merupakan transformasi. 9. R adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P, sebagai
R =,
a) Selidiki apakah R suatu isometri b) Jika R sebuah isometri, apakah isometri langsung atau isometri lawan? Jawab : R transformasi ∀ P, , R =, a) Apakah R isometri Ambil P1, , P2 ,
RP1 =, = ′1
Soal dan Pembahasan Isometri
20
RP2 = , = ′2
Akan ditunjukkan P1 P2 = ′1 ′2
P1 P2 = 2 2
2 2 2
′1 ′2 = 2 = 2 2
2 2
2 2
Diperoleh P1 P2 = ′1 ′2
Jadi, R mengawetkan jarak, sehingga R merupakan isometri. b) Apakah R isometri langsung atau isometri lawan Ambil sebarang titik P, Q, S tidak segaris. Misalkan P , , Q, , dan S, .
Maka ′ , , ′ , , dan ′ , dengan R = ′ , R =′ , dan R =′ Y
′ , Q, ′ ,
′ ,
P , X
S, < −− >
10. Diketahui sebuah garis g dan titik A, A’ dan B sehingga Mg(A) = A’ dan garis AB // g. Dengan menggunakan suatu penggaris saja tentukan titik B’ = Mg(B) Jawab: A
B g
A’
B’
Soal dan Pembahasan Isometri
21