RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN A. Identitas Mata Pelajaran Satuan Pendidikan :SMA Muhammadiyah 6 Palembang Kelas/ Semester : X / Gazal Mata Pelajaran : Matematika (Wajib) Materi Pokok : barisan Aritmetika dan Geometri Alokasi Waktu : 4 x 45 Menit ( 2 x Pertemuan ) (Pertemuan ke-) :1&2 B.
Kompetensi Kompetensi Inti : Menghayati Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 1. KI 1 2. KI 2
: Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli(gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. KI 3
: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu penget pengetahu ahuan, an, tekno teknolog logi, i, seni, seni, buday budaya, a, dan humanio humaniora ra denga dengan n wawasa wawasan n kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, kenegaraan, dan peradaban peradaban terkait penyebab penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidan bidang g kajian kajian yang yang spesif spesifik ik sesuai sesuai dengan dengan bakat bakat dan minatn minatnya ya untuk untuk memecahkan masalah.
4.
: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan
KI 4
C. Kompetensi Kompetensi Dasardan Indikator Pencapaian Pencapaian Kompetensi Kompetensi KD 3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
IPK 3.6.1 Menuliskan bentuk-bentuk pola bilangan dan jumlah jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.2.2 Menuliskan langkah-langkah penyelesaian dari suatu permasalahan terkait pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.3 Mengilustrasikan suatu permasalahan
nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri ke dalam bentuk matematika. 3.6.4 Menjelaskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.5. Mengaitkan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dari sebuah permasalahan nyata dan menuliskannya dalam bentuk matematika. 3.6.6 Menggunakan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam menyelesaiakan permasalahan kontekstual / nyata dalam kehidupan. 4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, peluruhan, bunga bunga majemuk, dan anuitas).
4.6.1
Menuliskan konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri berdasarkan masalah dalam kehidupan nyata. 4.6.2 Menghitung permasalahan kontekstual terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.
D. Tujuan Pembelajaran Pembelajaran Pertemuan 1
3.6.1.1 Melalui kajian pustaka siswa dapat menuliskan bentuk-bentuk pola pola bilangan dan jumlah jumlah pada barisan barisan Aritmetika dan dan Geometri. Geometri. 3.6.2.1 Melalui Kegiatan diskusi siswa dapat menuliskan langkah-langkah penyelesaian dari suatu permasalahan terkait pola bilangan dan jumlah jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 3.6.3.1 Melalui kegiatan diskusi siswa dapat mengilustrasikan mengilustrasikan suatu permasalahan nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri ke dalam bentuk matematika. 3.6.4.1 Melalui kegiatan diskusi siswa dapat menjelaskan menjelaskan konsep pola bilangan bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. Geometri. 4.6.1.1 Melalui diskusi siswa dapat menuliskan contoh bentuk pola bilangan bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. Geometri.
4.6.1.2 Melalui diskusi siswa dapat menuliskan dan menjelaskan konsep pola pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri Geometri serta membuat model matematika dari suatu permasalahan nyata. Pertemuan 2
3.6.5.1 Melalui diskusi siswa dapat megaitkan konsep pola bilangan bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dengan permasalahan nyata, serta menuliskannya dalam bentuk matematika. 3.6.6.1 Melalui kajian pustaka dan diskusi siswa dapat menggunakan menggunakan konsep-konsep pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam menyelesaikan permasalahan kontekstual / nyata dalam kehidupan. 4.6.2.1 Dengan latihan, siswa dapat menyelesaikan dan menghitung hasil akhir dari suatu permasalahan nyata nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri E.
Materi Pembelajaran
Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma 1. Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan disebut deretan itu.
pola bilangan pada
2. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli ( N N ) dan kodomain himpunan semua bilangan real ( R ( R). ). Jika U merupakan fungsi dari N ke R, R, maka barisannya sering ditulis dengan U 1, U 2, U 3,..., U n,.... Pada barisan U 1, U 2, U 3,..., U n,..., U n disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu. 3. Jika U 1, U 2, U 3,..., U n,... merupakan barisan bilangan real, maka U 1 + U 2 + U 3,... + U n +...disebut deret, dan U n disebut suku ke n barisan itu. 4. Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan deretan dapat dituliskan dengan notasi
bilangan yang mempunyai pola
(dibaca: sigma).
Barisan Aritmatika Aritmatika dan Deret Aritmatika Aritmati ka Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4,
…,
selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,
ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi Barisan U 1, U 2, U 3,..., U n,... disebut barisan aritmatika jika
U n - U n-1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U 1 sering dinotasikan dengan a.
C onto ontoh 2.1 2.1 1.
1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.
2.
1, 3, 5, … merupakan barisan baris an aritmatika dengan beda, b = 2.
3.
1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab U 2 – U 1 = -1 – 1 = -2
2 = 1 – (-1) (-1) = U 3 – U 2
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika Jika U 1 = a, U 2, U 3,..., U n,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut. U 1 = a U 2 = a + b U 3 = U 2 + b = (a + b) + b = a + 2b 2b U 4 = U 3 + b = (a + 2b 2 b) + b = a + 3b 3 b U 5 = U 4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b 4b . . .
U n = a + (n (n -1)b -1)b Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
U n = a + (n -1)b C ontoh ntoh 2.2 2. 2 Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
= 2.
P enyelesa nyelesaii an: Diketahui U 2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus U n = a + (n -1)b -1)b, diperoleh U 2 = a + (2-1)b (2-1)b
U 2 = a + b a = U 2 - b = 10 - 2 = 8 U 7 = a + (7-1) b =a+6b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20. Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
C onto ontoh 2.3 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005?
P enyelesa nyelesaii an: Misalkan: a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000. b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun. P 2005 2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P dan P 2005 2005 akan dicari. Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu t ebu Pak Arman setiap akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan aritmatika dengan U 1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000. P 2005 5b 2005 = U 6 = a + 5b = 6.000.000 + 5(500.000) = 6.000.000 + 2.500.000 = 8.500.000. Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005 adalah Rp 8.500.000,-
Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.
Definisi Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....
merupakan barisan aritmatka, maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, ....
disebut deret aritmatika . U n disebut suku ke n dari deret itu. Jika S n menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, ...., maka S n = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n dapat diturunkan diturunkan dengan cara sebagai berikut. S n = U n + (U (U n - b) + (U (U n - 2b) + ... + a S n = a + (a (a - b) + (a (a + 2b 2b) +..... + U n + 2S n = (a (a + U n) + (a (a + U n) + (a (a + U n) +... + (a + U n), sebanyak n suku. 2 S n = n. (a ( a + U n) S n Jadi
1
=
2 S n
n(a
=
U n
1 2
)
n(a
U n
) atau S n
=
1 2
n( 2a ( n 1)b)
Barisan Geometri dan Deret Geometri Rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U n,.... dengan U 1 = a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut. U 1 = a U 2 = a r 2
U 3 = U 2 r = (a (a r )r = ar 2
3
U 4 = U 3 r = (a (a r )r = ar . . . n-1
U n = U n-1 r = ar
Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U n,.... dengan U 1 = a dan rasio r adalah:
U n = ar Definisi Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n,....
n-1
merupakan merupakan barisan geometri geometri dengan unsur
pertama adalah a = U 1 dan rasio r , maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n + .... disebut deret geometri dengan U n = ar
n-1
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r , dapat diturunkan diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan S n = U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, maka 2
3
n-1
S n = a + ar + ar + ..... + ar 3
4
n-1
n
r S n = ar + ar + ar + ..... + ar + ar n
S n - r S n = a - ar
n
(1 - r ) S n = (1 -r -r )a Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah S n
a (1
n
r
)
n
S n
1)
untuk r > 1 1 r r 1 Deret geometri tak hingga adalah adalah deret geometri dengan | r | < 1 Jumlah deret geomatri tak hingga adalah :
untuk r < 1 atau
a( r
S
lim S n
n
a
1 r
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus : a(1 0) a 1. Jika -1 < r < 1, maka r n menuju 0 akibatnya S 1 r 1 r Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat) 2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n nilai r n makin besar akibatnya a (1 )
S
1 r Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)
C ontoh ntoh 3.1 3.1 Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah : a. Rumus suku ke-n b. Suku ke-8 Jawab : a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r = barisan geometri.
1 3
sehingga barisan tersebut adalah
Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah U n
1 27.( ) n 3
1
= 33.(3-1)n-1 = 33.3-n + 1 n = 34 n b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 –
8 8
–
= 3-4 =
1 81
F.
Pendekatan, Model dan Metode Pendekatan : Saintifik Model : Discovery : Discovery Learning Metode : Diskusi kelompok
G.
Media Pembelajaran Alat : Buku Paket Matematika Kelas XI Berbasis Kurikulum 2013 Bahan : LKS
H.
Kegiatan Pembelajaran
No
Keg. Pemb.
I
Pendahuluan
Sintak Model Discovery Learning
Uraian Kegiatan Pembelajaran
1) Guru menyapa dan memberikan salam kepada siswa. 2) Guru mengecek daftar hadir siswa. 3) Guru menjelaskan sistem pembelajaran yang akan diadakan (sistem kerja kelompok dengan menggunakan LKS yang telah disediakan). 4) Guru memberitahukan materi yang akan dipelajari (pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri). 5) Guru memberikan memberitahukan manfaat mempelajari pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dalam kehidupan nyata.
Waktu
II
Inti
1. Persiapan
2.Menciptakan stimulus
3.Identifikasi Masalah
6) Guru menginformasikan aspek yang akan dinilai pada saat proses pembelajaran berlangsung, meliputi penilaian pengetahuan pada saat mengisi LKS yang telah disediakan, penilaian sikap pada saat proses pembelajaraan berlangsung, serta keterampilan siswa pada saat memaparkan hasil kerja mereka. 7) Apersepsi : Guru mengingatkan kembali materi pra syarat. 1) Siswa mengatur tempat duduk berdasarkan kelompok yang telah ditentukan. Pada kelas XI, siswa dibagi menjadi 7 kelompok dengan masing-masing kelompok beranggotakan 4orang. 2) Masing-masing kelompok mendapatkan LKS berisikan beberapa soal diantaranya siswa diminta menuliskan contoh bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri dan beberapa masalah nyata terkait pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.
Soal 1:
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
P enyelesa nyelesaii an: Diketahui U 2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus U n = a + (n -1)b -1)b, diperoleh U 2 = a + (2-1)b (2-1)b U 2 = a + b a = U 2 - b = 10 - 2 4. Mengumpulkan Data
= 8
C ontoh ntoh 2.3 2.3 Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu.
5. Mengolah Data
6. Pembuktian
7.Menarik Kesimpulan
III
Penutup
Penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun 2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005? 3) Siswa mencoba menyelesaikan permasalahan nyata yang didapat tadi dengan menuliskannya ke dalam bentuk matematika hingga didapat hasil akhir. 4) Beberapa kelompok belajar siswa secara bergantian mempresentasikan hasil diskusi ke depan kelas dan disimak oleh kelompok lainnya. 5) Siswa lain mengemukakan pendapat kelompok mereka. Kegiatan diskusi terus berlangsung hingga didapat kesepakatan bersama perihal hasil 6) Siswa bersama guru menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah terpecahkan. 1) Guru bersama siswa menarik kesipulan akhir dari materi yang telah dipelajari. (Bagaimana bentuk pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri), bagaimana cara memodelkan suatu permasalahan nyata dalam bentuk matematika, menghitung hasil akhir dari masalah tersebut dengan menggunakan model matematika). 2) Guru memberikan tugas untuk siswa di rumah. 3) Guru memberitahukan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya.
4) Guru memberikan salam kepada siswa. I.
Penilaian 1. Penilaian Pengetahuan Teknik : Penugasan ( Kelompok ). Bentuk : LKS KD : 3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, peluruhan, bunga bunga majemuk, dan anuitas) Indikator : Disajikan beberapa masalah nyata terkait materi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri, dengan konsep konsep penyelesaian yang sama tetapi konteks yang berbeda-beda. Soal
:
1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri geometri tersebut. 2. Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah : a. Rumus suku ke-n b. Suku ke-8 Kunci Jawaban dan Skor
1. U2 = 8, berarti ar = 8 U3 = 64, berarti ar 4 = 64 ar.r 3 = 64 8r 3 = 64 r 3 = 8 didapat r = 2 dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4. n
Jumlah n suku pertama deret ini adalah
S n
4(1 2 )
1 2
=
4 4.2
n
1 n
= 4.2
4 4
–
= 22.2n – 4 4 = 22 + n – 4 4 Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S 10 = 22+10 – 4 4 = 212 – 4 4 = 4096 – 4 4 = 4092 2. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =
1 3
sehingga barisan tersebut
adalah barisan geometri. a. Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah U n
1 27.( ) n 3
1
= 33.(3-1)n-1 = 33.3-n + 1 n = 34 n b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8 = 34 = 3-4 –
8 8
–
=
1 81
2. Penilaian Sikap Aspek yang dinilai : Sikap sosial. Waktu Penilaian : Pada saat proses pembelajaran berlangsung. a) Tanggung jawab. b) Jujur. c) Aktif. d) Tertib No
Tangga l
Nama Siswa
Butir Sikap
Catatan Perilaku
P/ N
1 2 3 ⋮
3. Penilaian Keterampilan Aspek yang dinilai : Unjuk Kerja / Praktik. No
1
Aspek yang dinilai
Persiapan
Latar Belakang (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)
Skor maks
6
Rumusan masalah (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1) Pelaksanaan
2
3
Keakuratan data / Informasi (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)
Kelengkapan data (tepat = 3; kurang tepat = 2; t idak tepat = 1)
Analisis Data (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)
Kesimpulan (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)
Pelaporan hasil
12
6
Sistematika laporan (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1)
Penggunaan bahasa (tepat = 3; kurang tepat = 2; tidak tepat = 1) Skor maksimal Nilai Unjuk Kerja / Praktik = (skor perolehan : skor maksimal) x 100
24
J. Sumber Belajar 1. Sembiring, Suwah dan Marsito. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK MAK Kelas X . Bandung: Yrama Widya. 2. KEMENDIKBUD. 2014. Matematika SMA/MA, SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi 2014). 3. Kanginan, Maerthen. 2014. Matematika 2014. Matematika untuk Kelas X Sekolah Menengah Atas Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Mengetahui Palembang, Kepala Sekolah,
Guru Mata Pelajaran,
NBM.
Amalia Ansari NIP. -
