Departamento de Matemáticas
2º de ESO
RELACIÓN Tema 7: Problemas de ecuaciones de 1er grado. Reflexión:
Con constancia y tenacidad se obtiene lo que se desea; la palabra imposible no tiene significado.
NOTA: Para cada problema, realiza la comprobación para verificar si la solución hallada es correcta.
PROBLEMAS DE NÚMEROS 1. Encontrar seis números consecutivos la suma de los cuales sea 597. Solución: Fase 1:
Los números que nos piden son: x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5
Fase 2:
x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5) = 597
Fase 3:
6x+15 = 597 6x = 597-15 = 582 x = 582/6 = 97
Fase 4:
Los números pedidos son: 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103 Se comprueba que: 97+98+99+100+101+102+103 = 597
2. Sumar un mismo número al numerador y al numerador de 2/5 para que resulte 5/6. Solución: Fase 1:
x es el número que tengo que sumarle a 2 y a 5
Fase 2:
(2+x)/(5+x) = 5/6
Fase 3:
12+x = 25+5x 6x-5x = 25-12 x = 13
Fase 4:
El número es 13 Se comprueba que: (2+13)/(5+13) = 5/6
3. Calcular un número cuyo duplo, más 17 unidades, dé 47. Solución:
Gema Isabel Marín Caballero
Fase 1:
x es el número
Fase 2:
El duplo de un número es 2x A éste tengo que sumarle 17 2x+17 = 47
Fase 3:
2x = 47–17 2x = 30 x = 30/2 = 15
Fase 4:
El número es 15 Se comprueba que: 2·15+17 = 47
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PROBLEMAS DE EDADES 4. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, y hace seis años sólo era el doble. Calcular la edad actual del padre y del hijo. Solución: Fase 1:
Edad actual del hijo: x Edad actual del padre: 3x
Fase 2:
Hace seis años la edad del hijo era x-6 y la edad del padre era 3x-6 como el enunciado nos dice que hace 6 años la edad del padre era el doble que la del hijo, entonces era 2·(x-6) ya que la del hijo era x-6 3x-6 = 2·(x-6)
Fase 3:
3x-6 = 2x-12 3x-2x = -12+6 x = -6 IMPOSIBLE
Fase 4:
El número pedido es imposible ya que no tiene edad negativa.
5. Un padre tiene 29 años, y su hija, 3. Calcular cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple de la edad de su hija. Solución: Fase 1:
Edad actual del padre: 29 Edad actual de la hija: 3 x es el número de años que han de transcurrir
Fase 2:
Dentro de x años la edad del padre será 29+x y la edad de la hija será (3+x) como el enunciado nos dice que la edad del padre será el triple que la de la hija, entonces será 3·(3+x) ya que la de la hija será 3+x 29+x = 3·(3+x)
Fase 3:
29+x = 9+3x x-3x = 9-29 -2x = -20 x = (-20)/(-2) = 10 años
Fase 4:
Han de transcurrir 10 años. Se comprueba que: 29+10 = 3·(3+10)
PROBLEMAS DE COMPRAS 6. Calcula cuánto cuesta un reloj sabiendo que un quinto, más un sexto, más un séptimo del precio del reloj menos 60 euros suman la mitad de su precio. Solución: Fase 1:
x es el precio del reloj
Fase 2:
Por lo tanto el problemas nos dice que (1/5)·x+(1/6)·x+(1/7)·x-60 tiene que ser igual a la mitad de su precio así pues, la ecuación queda de la siguiente forma: (1/5)·x+(1/6)·x+(1/7)·x -60= (1/2)·x
Fase 3:
(1/5)·x+(1/6)·x+(1/7)·x -(1/2)·x =60 42x+35x+30x-105x = 60·120 2x = 12.600 x = 12.600/2 = 6.300 euros
Fase 4:
6.300 euros cuesta el reloj Se comprueba que: (1/5)·6.300+(1/6)·6.300+(1/7)·6.300 -60 = (1/2)·6.300
Gema Isabel Marín Caballero
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PROBLEMAS DE ANIMALES 7. En una granja hay gallinas y conejos. Si contamos las cabezas resultan 59, y si contamos las patas, 172. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay? Solución: Fase 1:
Si llamamos x al número de gallinas, el número de conejos es (59-x), dado que el número de cabezas determina el número total de animales.
Fase 2:
Como cada gallina tiene dos patas, el número de patas de gallina resultará de multiplicar por dos el número de gallinas: 2x En tanto, como cada conejo tiene cuatro patas, el número total de patas de conejo será: 4·(59-x) Considerando que el número total de patas es 172, tendremos: x+4·(59-x) = 172
Fase 3:
2x+236-4x = 172 2x-4x = 172-236 -2x = -64 x = (-64)/(-2) = 32 gallinas 59-x = 27 conejos
Fase 4:
Hay 32 gallinas y 27 conejos. Se comprueba que: 32+27 = 59 cabezas y 32·2+27·4 = 172 patas.
PROBLEMAS DE CAPITALES 8. Un padre reparte semanalmente 98 euros entre sus cuatro hijos. Juan recibe 7 euros más que Pedro; éste 8 euros más que Agustín, y éste 5 euros más que Luis. ¿Cuánto recibe cada uno? Solución: Fase 1:
Según lo expresado en el problema , el que menos recibe es Luis, por lo tanto a la cantidad que le corresponde le llamamos x
Fase 2:
Así, recibirán: Luis: x euros Agustín: 5 euros más que Luís, por tanto (x+5) euros Pedro: 8 euros más que Agustín, por tanto (x+5)+8 = (x+13) euros Juan: 7 euros más que Pedro, por lo tanto (x+13)+7 = (x+20) euros Teniendo en cuenta que todos reciben 98 euros: x+(x+5)+(x+13)+(x+20) = 98
Fase 3:
x+x+5+x+13+x+20 = 98 x+x+x+x = 98-5-13-20 4x = 60 x = 60/4 = 15 euros
Fase 4:
De ahí que: A Luís le corresponde x = 15 euros A Agustín le corresponde (x+5) = 15+5 = 20 euros A Pedro le corresponde (x+13) = 15+13 = 28 euros A Juan le corresponde (x+20) = 15+20 = 35 euros Se comprueba que: 15+20+28+35 = 98
Gema Isabel Marín Caballero
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PROBLEMAS DE MÓVILES 9. María va en bicicleta a casa de su tía con una velocidad de 14 km/h. Por el camino tiene un problema y pincha la rueda, así que tiene que recorrer el resto del camino a pie a una velocidad de 6 km/h. Suerte que el tiempo que tuvo que ir caminando era la tercera parte de lo que hizo en bicicleta. La casa de su tía está a 24 km. ¿De dónde partió cuándo pinchó? Solución: Fase 1:
x será la distancia que recorre la bicicleta. La casa de su tía está a 24 km.
Fase 2:
En este caso, para realizar el itinerario a seguir se puede plantear mediante una tabla: Distancia (km) Velocidad (km/h) Tiempo (h) Bicicleta x 14 x/14 Caminando 24-x 5 (24-x)/6 Se sabe que el tiempo caminando es 1/3 del tiempo que va en bicicleta por lo tanto se puede plantear la siguiente ecuación: (24-x)/6 = (1/3)·(x/14)
Fase 3:
168-7x = x x = 21 km
Fase 4:
El pinchazo sucedió en el km 21 de su recorrido. Se comprueba que: (24-21)/6 = (1/3)·(21/14)
10. Un grifo A llena una piscina en 6 horas, y otro la llena en 8 horas. Encontrar el tiempo que tardarán en llenarla los dos grifos juntos. Solución: Fase 1:
x es el número de horas que tardan los dos juntos a llenarlo
Fase 2:
A llena en una hora 1/6 de piscina B llena en una hora 1/8 de piscina A+B llenan en una hora 1/x de piscina 1/6+1/8 = 1/x
Fase 3:
(4+3)/24 = 1/x x = 24/7 = 3,4285 horas
Fase 4:
Los dos juntos tardarán 3h 25min 42,8 seg Se comprueba que: 1/6+1/8 = 1/(24/7)
Gema Isabel Marín Caballero
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