productos y cocientes notables, factorización

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D.

2do. Año Secundaria

57

MATEMATICA 58

PRODUCTOS NOTABLES Y EQUIVALENCIAS ALGEBRAICAS En la multiplicación así como en la potenciación existen expresiones que pueden escribirse directamente los resultados teniendo en cuenta ciertos principios. A éstas expresiones se llaman PRODUCTOSNOTABLES.

(2x  1)

 3  

x

3




......................................................................

 3  2  

......................................................................

 3   x n  x1 n    

......................................................................

03. Producto de la suma por diferencia diferencia 01. Binomio al cuadrado (a  b)

2

(a  b)2

2

 a  2ab  b

2

 a 2  2ab  b 2

(a  b)(a  b)

Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

(x

( 3



......................................................................

2



......................................................................

2)

Efectuar:

 5  3 (

5



.................................... ....................................................... .................................. ............... 3 )

......................................................................

  x 2  x    x 2  x      

 y 3 )2 

Resulta una diferencia de cuadrados.

(x+3)(x-3) = Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

Efectuar: 2

 a 2  b 2

2

  x n  x 2n  =  

......................................................................

(a + b + c + d)(a + b – c – d) =

.................................... ....................................................... .................................. ...............

04. Producto de dos binomios con un término común ...................................................................... (x  a )(x  b)  x

2

 (a  b)x  ab

Equivalencias de Stiven

2

 a b       b a 

......................................................................

Efectuar:

02. Binomio al cubo

(x+5)(x+8) =

..................................... ......................................................... ................................. .............

(2x-3)(2x+7) =

..................................... ......................................................... ................................. .............

(y 3

Formas desarrolladas: (a  b) 3



a3

 3a 2 b  3 ab 2  b 3

(a  b)3

 a 3  3a 2 b  3 ab 2  b 3

(a+b+5)(a+b-3) = Equivalencias de

Formas abreviadas: (a  b)3

 a 3  b 3  3 ab (a  b)

3

 a 3  b 3  3ab (a  b)

(a  b)

 9)(y 3  3) =

..................................... ......................................................... ................................. ............. ..................................... ......................................................... ................................. .............

05. Producto de un binomio por un trinomio

Cauchy

Efectuar:

(a  b)(a 2

 ab  b 2 )  a 3  b 3

(a  b)(a 2

 ab  b 2 )  a 3  b 3



MATEMATICA


58

  3 x  2 x   9 x  6 x  4 x     

......................................................................

(xy+z) (x 2 y 2

......................................................................

 xyz  z2 ) 

57

06. Trinomio al cuadrado cuadrado

(x  2)



5

2



 (x  2) 2 

2

2  

5



...................................................................... 2

2 

......................................................................

09. Equivalencia de Lagrange

Forma desarrollada:

(a 2  b 2 )(x 2 (a  b  c)

2

 a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2 bc

Forma abreviada:

Ejemplo: (m 2

(a  b  c)2

 a 2  b 2

 c2

 y 2 )  (ax  by)2  (ay  bx)2

 4)(n 2  9) 

......................................................................

 2(ab  ac  bc)

10. Equivalencia condicional Efectuar: A) Si: (2 x  y  3)2

2

3



 2  5  2

a + b + c = 0, se se demuestra que:

......................................................................



a 2  b 2

 c 2 =- 2(ab+bc+ac)

......................................................................



a 3  b 3

 c 3 = 3abc

 (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 07. Trinomio al cubo B) Si: a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ac  a; b; c  R

Forma desarrollada:

Se demuestra que: a = b = c (a  b  c)3

 a 3  b 3  c 3  3a 2 b  3a 2 c  3 b 2 a  3 b 2 c  3c 2 a  3c 2 b  6 abc

Forma abreviada: (a  b  c)3

 a 3  b 3  c 3  3(a  b)(a  c)( b  c)

Efectuar: (1  2

x

 3 x )3 

EJERCICIOS DE CLASE ......................................................................

EQUIVALENCIAS IMPORTANTES 08. Equivalencias de Legendre (

01. Indique la igualdad correcta: a) (a  b) 2  (a  b)(a  b)

b)

2

(

b)

2

2(

2

2 b )

c)

(a  b  c)2

 a 2  b 2

 c2

b) (a  b)(a  b)  a 2  b 2 d) (a  2)3  a 3  6a  8



57

MATEMATICA


58

a) 1

03. Hallar:

b) 2 5(2 

2)

a) 1

3

c) 3

 14 (1 

2)

d) 4

12. Si: a + b = 5; ab = 2.

e) -1

3

Hallar: S =

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

a 3  b 3 a 2  b 2

a) 21/95 (x  y) 2

04. ¿A qué es igual: a) x-y

05. Reducir:



b) x+y 4

[( 

b) 30

 a  

b a

 b

d)

2 1  13. Si:   n    3 . Hallar:

e) xy

d) b 2

5

3 )2



(

5



3 )2

c) 15 a 

x  y



 (3

e) ab

c) 21/17

d) 17/21

e) 19/21

c) 2

d) 4

e) No se puede determinar

a) 26 e) N.a.

x2

 y 2  z2 

b) 20

15. Si: a + b = 5 ;

2

1 n3

b) 0

14. Calcular: E = xy + xz + yz. Si:

15 ) 

d) -15

n3 

n 

a) 1

c) b

06. Efectuar y simplificar: a) -40

x  y

 b 4 )(a  b)  b 8

b) a 2

b) 95/21

? c)

(a  b)(a 2  b 2 )(a 4

a) a

07. Efectuar:

4 xy

a) 1

29

 x + y + z = 9.

c) 81

b)

b) 2

c) 3

b 

a  b

c) 2 ab

d) 4ab

e) a/b

08. Si el producto de 2 números es igual a 1 y su suma es 4, hallar la suma de sus cuadrados. a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

a) 3

b) 2

x

09. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados. a) a) 21

b) 19

10. Después de efectuar y simplificar:

c) 18 M

x

27

d) 15 (1

x )(1

x

2

x )(1

b) -1

c) x 3

(x  1)

e) 12 x

3

6

x )(1

x

9

x

18

se obtiene: a) 1

c) 1

e) 18

17. Calcular : E =

d) x 9

e) x 27

)

2

x

18. Simplificar:

a) a

e) 16

d) 4

e) 5

a 2  b 2 = 17. Hallar a – b; si a > b.

16. Suponiendo que: x + y + z = 0, entonces el valor de: a) a+b

d) 52

b)

2



1 x2

(x  1)

(ax  by)2 2 x

x2 yz



y2 xz



d) -2

z2 xy

e) N.A.

 1   4 x    6  x  2

x

c)

x (x  1) 2

d)

x x 1

e)

x  1 x

 (ay  bx)2  y2

b) a 2  b 2

c) ab

d) abxy

e) a 2 b 2



57

MATEMATICA 58

Si: r =

b) -1

2

a) 1

c) 2

d) -2

e) 3





c) x n

b) x 4 n

a) 81



2

d) x 2n  9



a) 13  x 2

13

2 .

13

a) 0

2  2  x 2   x  3   9  

d) x 4  x 2

(m  3n)

2

c) 2

d) -2

e) 6

c) 9

d) 27

e) 81

2

e) -

2

3

 b 3

 4 n(2n  m)  8 , si sabemos que m – n = 8.

b) 40

e) N.A.

11. El resultado de: 03.

a

b) 3

a) 32

c) 4 - x 2

b) x 4

d)

e)N.A.

10. Evaluar: 02. Simplificar:  

b) 1

09. Si: a + b = ab = 3. Obtener:

9

c) 0

08. Si: ab = 4; a + b = 3.

a) -1

2

 2  01. Simplificar:   x n  3   6 x n   x 2n  x 2n  18  

b) -1

Calcular: a 2  b 2

PROBLEMAS PROPUESTOS




+ 1

5  5

20. Hallar: E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), para x = a) 1

2

(2

n

c) 72

d) 64

e) 90

 1)3  3(2 n  1)2  3(2 n  1)  1 es equivalente a:

Simplificar: [(x  a )(x  b)  ab][(x  b)(x  a )  ab ]  (ax  bx) 2

a) x 4  a 2  b 2

b) x 4  a 2

c) x 4  b 2

d)

x

4

a) 2 n  8

(n n

a) 2n n b) 36

c) 30

d) 28

a) 18 673 901

e) N.A.

c) 16 873 951

d) 14 863 951

e) 26 873 951

a) 9

14. Efectuar:

06. Simplificar: 3

 3  

b) 2n n

c) 4 n 2n

d) - 4 n 2 n

e) 4 n 2n

a 2  b 2

,

 c2  9 .

Calcular: E = (a  b)2  (a  c) 2  ( b  c) 2

 8436 975 2

b) 16 738 591

 n n )2  (n n  n n )2  2(n 2n  n 2n )

e) N.A.

13. Si: a + b + c = 3 8436 976 2

d) 6 n  6

12. Efectuar:

M = 3x 2  3 y 2  6 xy  12 x  12 y , es :

05. Efectuar: A =

c) (2 n  2)3

e) N.A.

04. Si: x + y = 6, el valor de:

a) 48

b) 8 n  8

  3 7  1   

49

 1 7   3

a) 1

b) 12

c) 15

d) 18

e) 21

d) 4

e) 5

(1+ 6  3  2 )(1  6  3  2 ) b) 2

c) 3



57

MATEMATICA


58

a) 2

b) 2

2

c) 2

3

17. Sabiendo que: a + b + c = 4; a) 3

a

2

5

d) 2

6

e)

2

05. Conociendo que: ax + by = 8 ay – bx = 6

 b 2  c 2 = 6. Hallar: ab + ac + bc.

b) 4

c) 5

d) 6

a2

Calcule:

x

2



y

2

; x 3  y 3  9 . Luego xy resulta.

18. Dados: x + y = 3

a) 16 a) 1

b) -1

c) 2

d) -2

N = 3x 2  5 xy  3 y 2 . Si: x =

06. Si: a + b = 6 2  1

b) 0 8

20. Luego de efectuar: a) 6

;y=

2  1

c) –3

d) -9

e) 13

c) 4

a) 4

02. Si:

2 3

b) 64

x

2

 3 x  2  (x  K )2  p

a) – 1/4

b) 2

07. Efectuar:

d) 3

e) 2

c) 81

a) 0

a3

2

d) 24

e) 25

d) 27

e) 216

d) -2

e) 1

a) 1

a2

 30 . Hallar:

b



b 2 a

d) 36

e) 45

d) 4

e) 5

.

c) 48

 5 x  5) 2  (x  1)(x  2)(x  3)(x  4 )

09. Si se cumple que:

b) 2

c) 3

b) 8

a2

c) 12

x 2y  = 2. Calcular: 2y x

b) 256

 b 2  c 2  ab  bc  ac

 x   y   

d) 16

e) 20

d) 216

e) 0

8

c) 1256

. ¿Cuál es el valor de P? c) 3

 b 3  c 3

LA DIVISIÓN ALGEBRAICA Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor de modo tal que se cumpla:

9abc

b) 1

c) 20

08. Si: a – b = b – c = 2, hallar el valor de:

03. Si: a + b + c = 0. Calcular: E =

(x

a) 4

 2  3 es:

a  b 2

b) 52

a) 1

TAREA DOMICILIARIA 01. La sexta potencia de:

;

a) 54

2(4 )(10)(82)  1

b) 5

b) 18

e) 3

19. Calcular el valor numérico de:

a) 5

 b 2  5

e) 7

c) 3

d) 1/3

e) 1/9

D(x) = d(x) . q(x) + r(x) De donde:

I.

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. Ley de Signos (+)  (+) = + (-)  (-) = +

II.


57

MATEMATICA


58

(+)  (-) = -

 a m n

x

10

x2

5

4

-3x 3

4

3

+0x 3 +38x 2 -22x+6

2x 2-3x+1 2 3x 3 +7x +9x- 2

2

14x -3x +38x 3 4 2 -7x -14x +21x

Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente resultante la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Ejemplo: am an

4

-6x +9x

(-)  (+) = -

Ley de Exponentes

5

6x +5x

Q(x)

3

18x - 31x 2 -22x 3 2 -18x +27x -9x 2

-4x - 31x +6 2 4x +6x + 2

 x10  2  x 8

-37x + 8

III. Clases de División

r(x)

a) División exacta: Si: r(x) = 0  D(x) = d(x) . Q(x) En este caso, también se afirma que D(x) es divisible por d(x).

Luego: Q(x) = 3 x 3  7 x 2  9 x  2 r(x) = - 25x + 8

B. Método de Horner Se recomienda cuando el polinomio divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los coeficientes de los polinomios ordenados y completos. Dichos coeficientes se distribuyen en un cuadro como el siguiente:

b) División inexacta: En este caso, el residuo no es nulo; r(x)  0

IV. Métodos para dividir polinomios D

A. Método Clásico Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma descendente), en caso falte un término, este se completa con un cero. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose el primer término del cociente. Luego éste se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se coloca con el signo cambiado, debajo de cada término del dividendo, sumando luego ordenadamente el producto obtenido con el dividendo. 3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo. Ejemplo: Dividir: Solución:

6x

5

 5 x 4  38 x 2  22x  6 entre

2x 2

 3x  1 .

I V I D E N D O

I V I S O R C O C I E N TE

R ES I D U O

El procedimiento se detalla a continuación: 1. Se anotan los coeficientes del dividendo en la parte superior del cuadro en forma horizontal (ordenados y completos) 2. Se anotan los coeficientes del divisor en la parte izquierda del cuadro en forma vertical con los signos cambiados a excepción del primero. 3. La línea de trazos no continuos separa al cociente (Q) del residuo (r) y para su trazo se considera el grado del divisor: se cuentan tantos espacios como grado tenga el divisor, desde la columna final (extremo derecho). 4. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente de (D) entre el primer coeficiente de (d). 5. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha. 6. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se



57

MATEMATICA


58

Ejemplo: Dividir: 6 x 5  20 x 4  13x 3  25 x 2  12x  7 entre 3 x 2  x  1

 3

+2

+1

 6x 2

-6

-7

+7 +8

-8

8

3

-1

-7

11

-6

22 - 48

110

-11

24 -55

121 r(x)

Luego: Q(x) = 3 x 3  11x 2  24 x  55 r(x) = 121

V.

-7

3

2

Q(x)

7

-6 +6

2

x

-2

-1

Q(x) = 2x 3

-12

-5

-2

dos columnas porque el divisor es de 2do grado.

-18 -21 24 6 -20 -13 25

3

Teorema del Resto Este teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma ax + b o transformable a ella. Pasos a seguir: 1) Se iguala a cero el divisor, encontrándose un valor para la variable.

 7x  8

 ax  b  

r(x) = 3x - 1

C. Método de Ruffini

x=N

D I V I D E N D O

C O C

I E N TE

 b  a 

  b    a 

r  D 

Ejemplo: Hallar el resto de dividir: P(x) = 3x2+ x + 1 entre 2x – 4. Procedemos así: 1) Igualamos a cero el divisor: 2x – 4 = 0  x = 2 2) Sustituimos x = 2 en el dividendo: r(x) = P(2). R(x) = 3 (2)2 + (2) + (1) = 15

El resto es 15

EJERCICIOS DE CLASE I.

Efectuar por el método clásico

1.

2x 4

 x 3  5 x 2  21 x  19 4x

RE ST O

Ejemplo: Dividir: 2x 2  7 x  3x 4  5 x 3  11 entre x + 2.

x

2) El valor hallado para la variable se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.

Se emplea para dividir polinomios entre divisores de la forma: ax  b, o cualquier expresión transformable a ésta. Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable. En caso falte este se completa con cero. 2. En caso hubiesen dos o más variables se considera sólo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del esquema. 3. Se baja el primer coeficiente del (D) siendo este el primero del (Q). Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna. 4. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del (D). Llegado este momento se reduce la columna que falta y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer al resto, y éste siempre será un valor numérico. Esquema Gráfico:



2.

6x 4

 5x 3 3x 2

 3x  5  7 x 2  18 x  9  2x  5

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. 4. II.

15 x

4

3


57

MATEMATICA

 22x  41x  28 x  8 3x 2

2. Calcular B - A , si la división:

 2x  6

Efectuar por el método de Horner

1. 2.

2x 4

3x

4

4.

2x 2

 3x  6

3

2

2

5.

6x

2

2. 3. 4.

 10 x  5 x 2  9 x  11  6x  5

 3x 2  7x  9 x 1

V.

1. 2. 3.

5x 4

 9x 3  7x 2  3 x2

4.

 3 x 3  4 x 2  5 x  21 x3

x3

 7x 2  5 x  9 x 1

x4

 9x 3  8 x 2  5x  1 x 1

x 28

6.

 4 x 2  3x  9 2x  1

15 x 4

 3x  5

 7 x 3  4 Ax2  10x  B 4x2

 3x  A

deja como resto 4x + 5.

deja como resto 3x - 1.

 6x 3  5x 2  7x  2 5x  2

IV. Ejercicios aplicativos de los métodos estudiados.

8x

5

 4 x 3  Ax2  Bx  C 3

 x2  3

deja como resto 5 x 2 +11x+7.

x

 2 x 27  3 x 2  7 x  9 x2

5

 2x 4  x 3  7 x  9 x x

5.

x 21

2

1

 2x18  3x15  x 4  x  1 x

5.

es exacta.

 12x 3  13x 2  Ax  B 2x 2

20 x 4

es exacta.

Teorema del Resto. Calcular el resto de dividir:

 5x 2  9x  1 x 1

4x 3

12x 4

 3x  2

2x

2x 4

x4

 3x 3  Ax2  B

4x 2

6. Calcular A+B+C, si la división:

 4x  3

3

2

 3x  7

 3x  3

III. Efectuar por el método de Ruffini x3

20 x 4

5. Calcular A . B , si la división:

 10 x 2  8 x  5

 32x  40 x 2  13 x  15

2x

1.

4. Calcular A - B , si la división:

3

2x 4

 20 x 2  Ax  B 3x 2

 5x  3

 5x 3 7x 2

8x

4

 13x  3 x  8 x  13

21x 4

4

3. Calcular A . B , si la división:

6x

 13 x 3  29 x 2  44 x  14

x

3.


58

2

5

2

6. Calcular “a” si la división

x7

 (a  1)x  2 es exacta: x 1

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El resto de la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) se obtiene



57

MATEMATICA


58

e) N.A.

09. Calcular el resto que resulta al dividir:

02. En una división por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: 1 -2 1

6

b

12

e

a

-8

c

-4

4

5

d

0

a) -11

b) 13

a) 40

b) -40

6x

5

2x 3

b) 3

c) 13

04. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta:

e) 15

5x 4

 11x 3  15x 2  ax  b 5x

a) a = 1 b = 5

b) a = b=-6

05. Al dividir P(x) =

x 29

c) a = 1 b=-6

d) a = 4 b=7

2

x2

 8 x 28  16 a 27 entre (x - a) el residuo es cero (0). ¿Cuál es el valor

f

2

-2

4

3

-3

b) 8

06. Calcular a + b, si la división: a) 10

b) 12

c) 1 x

4

d) 4

 3 x 3  5 x 2  ax  b x2

 x 1

c) 14

e) 2

deja por residuo 7x + 8.

2x 3

a) -4

b) 2

3

a) y 2

08. Al dividir:

b) - y 2 3ax 2  bx

c) 2y

a) 0

b) -4

e) - y

-4

-2

2 5

x

7

a) 10

b) 9

13. Calcular m+n, si

x3

a) 3x + 1

x5

e) 4

 5 x 5  2x 4  7 x 2  3 x  4 

 (3

x

d) 2 2  2)x 3

2

2

e) -2

6

x  2 1

c) 8

d) 7

e) 3

 mx 2  nx  1 es divisible entre x-1.

b) 1

c) –1

b) 4x + 2

15. El residuo de dividir

d) 5

c) 4

12. Calcular el residuo de dividir:

 2x 2 y  xy  r sea divisible por

d) –2y

1

c) 3

e) 17

x+y?

6

Determinar la suma de coeficientes del dividendo:

14. Calcular el resto de dividir: 07. ¿Qué valor debe tomar “r” para que el polinomio:

e) 44

h j

1 -1 2

a) 0 d) 13

g

d

11. Calcular el residuo de dividir: e) N.A.

e

de a? a) -4

d) 42

c

 3 x  1 la suma de los

d) 14

6

b

e) -15

coeficientes del cociente es: a) 11

sabiendo que la suma de

10. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo este esquema:

d) 19

 5 x 4  26 x 3  33x 2  24 x  6 entre

 4 x 2  6 mx  15 2x  1

c) 3

a

c) 18

3

coeficientes del cociente es 37.

Hallar: a + b - c + d – e.

03. Al dividir:

8x

3x 3

d) 2

e) -2

d) 6x - 3

e) 7x – 1

(x  1)(x  2)(x  3)  25 x 2  5x  1

c) 5x + 20

 x 2  5 x  20 entre x + 2 es:

a

; b  0, se obtuvo de resto 7, y además el término independiente x  b del cociente es: (-2 ab). Calcular a + b.

a) 2

b) 3

c) 4

16. Hallar m sabiendo que el resto de dividir:

d) 5 (m  1)x 3

 2x 2

e) 10 4x  m

entre (x+2) es 1.



57

MATEMATICA


58

a) 0

b) x-1

c) 2x+4

d) 2x-4

e) x+4

04. Determínese el resto en:

x

13

 3 x 7  2x 6  x 5  4 x 2  3 x2

2

18. En el esquema de Horner mostrado determine el valor de:  = (m+n+p) – (a+b+c). a) 36x-21 3

1 m

a

1

9

d

f

e

g

h

p

4

-3

2 n

a) 5

b) 1

-2

b

c) –2

c

d) 0

e) N.A.

19. Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por la regla de Paolo Ruffini. A

B 1

a

b

-1

a) -5

b) -10

D

E

3

5

7

9

c

d

e

0

C

c) –25

20. Si en la división siguiente:

3x 4

d) -50

 x 3  2x 2  ax  a x2

F

 x 1

e) -100

el residuo no es de primer grado.

Hallar dicho residuo. a) -9

b) 13

c) 22

d) 18

e) 24

TAREA DOMICILIARIA

3x 4

01. Calcular A/B si la división: a) 1

b) 1/2

02. Calcular el resto en a) 0

 3x  2

c) 2

(x  a )7

b) - 64 a 7

 5 x 2  Ax  B

3x 2

 x7  a 7

x  2a

es exacta: d) 2/3

e) 3/2

d) 128 a 7

e) - 126 a 7

:

c) 126 a 7

b) x-1

c) 12x+7

d) 24x-5

e) N.A.



57

MATEMATICA


58

COCIENTES NOTABLES

2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Primer Caso xn

1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable. 2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable. 3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucran cocientes notables.

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos.

Aplicamos el Teorema del Resto:

x – a = 0 

x=a

Reemplazamos en el Dividendo:

R = an



an

R=0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente notable exacto. Luego el cociente es:

Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! Nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.

B. CONTENIDO TEORICO

an

x a

xn

an

x

a

xn 1

x n 2a

x n 3a 2 .... xa n 2

an 1

Segundo Caso

1. COCIENTES NOTABLES Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma: x

n

a

x

a

n

, n

Z

El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general: Exponente Común

x x

n

 

x

El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.

n

Aplicamos el Teorema del Resto:

x – a = 0 

x=a

Reemplazamos en el Dividendo:

R = an



an

R = 2a n  0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es:

xn x

Bases

.

a

x a

an a

Podemos extraer las siguientes características:

n

Tercer Caso

an a

xn 1

x n 2a

x n 3a 2

... xa n 2

an 1

2a n x

a



57

MATEMATICA


58

Origina un cociente exacto.

Reemplazamos en el Dividendo: Luego el cociente obtenido es: Si n es un número par R=0 Origina un cociente exacto. R = ( a)n

an

Si “n” es un número par

xn

 Si n es un número impar

x

an

xn 1

a

R = - 2a n  0 Origina un cociente completo.

x n 2a

x n 3a 2

x n 4a 3

.... xa n 2

an 1

2a n x

a

Si “n” es un número impar

Luego el cociente obtenido es:

xn

Si “n” es un número par

x

an a

xn 1

x n 2a

x n 3a 2

x n 4a 3

.... xa n 2

an 1

Ocupa lugar par

x

n

a

x

a

n

x

n 1

x

n 2

a

x

n 3 2

a

..... xa

n 2

a

OBSERVACIONES

n 1

Por lo expuesto anteriormente podemos concluir: -

Si “n” es un número impar Ocupa lugar impar

xn x

an a

xn 1

x n 2a

x n 3a 2

..... xa n 2

an 1

2a n x

-

a

-

Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos. Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: +, -, +, -, .... El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose x n 1 A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n – 1). El desarrollo es un polinomio homogéneo.

Cuarto Caso xn x

Aplicamos el Teorema del Resto: Reemplazamos en el Dividendo:

an a

x + a = 0

3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE x=-a

xm x

Si n es un número par R = 2a n 0 Origina un cociente completo.

a p

q

a

r

Es división notable o inmediata si y sólo si: m

p

n



57

MATEMATICA


58

De la división notable expuesta podemos concluir:

Hallar el octavo término del desarrollo de:

Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. * Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r – q). * Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r).

x 60

y 72

x5

y6

*

Ejemplo No. 1

a 35

x3

a5

x

15 5

x

12 10

a

x 24

a18

x

a

9 15

6 20

x a

3 25

x a

x a

a

30

T8

x4

a3

20

16 3

x

a

12 6

x

a

8 9

x a

4 12

x a

a

15

x

20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

x

an a

4n 4

n 1

y

y

42

y

x n2 a













1

2

3

k

n-1

n



x n 3 a 2

 .... 

Tk  ...



xa n  2



a n 1

Signo x n k a k 1

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar. Cuando el divisor es de la forma (x – a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+). Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será : (-) Si el lugar que ocupa es PAR. (+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.

4n

4

n 1

5n 2n

3



4( n 1) ( n 1)

, para que sea un cociente notable.

5n 2n

3



8n – 12 = 5n



3n = 12

4

Ejemplo 3. Si el grado del octavo término del cociente notable:

xn

1

x3

1

términos de su desarrollo.

Resolución:

Número de términos será: n/3 T8

Luego:

x

n 8 3 3 8 1 (1)

n – 24 = 12. n

Luego, el número de términos será 12.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

5n

2n 3

n

 x n 1 

Tk

*

20

Resolución:

Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás: Para una división de la forma:

 

x

Calcular el valor de “n” en:

FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES

xn

x

Ejemplo 2. x

G.A. 

*

( x 5 )12 8 ( y 6 )8 1

T8 18

G.A.  18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

Ejemplo No. 2

4.

Signo x n k a k 1

Tk

Cómo el divisor es de la forma (x+a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el sino será negativo (-).

Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos: x 21

Resolución:

Ejemplo 4.

36

x

24

, es 12, hallar el número de


2do. Año Secundaria x160

57

x4

MATEMATICA


58

y 280

51 119

a b

y7

85

m

a 3 b 7

n

34

m 5n 2

Resolución: Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada. 4 40 k

TK

GA

Tk =

(x )

160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153.

x

6. Si la expresión: Por dato del problema:

x 4n y 5n

5. Indicar cuántos términos tiene el siguiente d esarrollo:

7 k 1

(y )

G.A. Tk = 252 3k + 153 = 252

5n 3

x

n 1

y

x4

y5

5(n 6)

y

n 2

Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo.

k 33 x 155 y 93

7. En el desarrollo de:

x

PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con ayuda de sus compañeros de grupo efectúe los siguientes ejercicios.

x8

1

x2 x

x

x5

3

32

e)

2

y5

c)

x 1

1

15

d)

b)

x

21

14

128 y

x3

f)

2y 2

a) T12 de :

x

x2

y

213

b) T15 de :

y3

3. Dado el cociente notable:

xm

yn

x5

y7

3

Existe un término cuyo grado absoluto es 122. Hallar la diferencia entre los exponentes de “x” e “y” en dicho término.

16a 4 2a x 25 y10 x5y2

81 b 4

P=

3 b

x

357

x

354

x

351

..... x

6

x

3

1

x

177

x

174

x

171

..... x

6

x

3

1

z15 z3

2. Hallar el término que se indica en cada uno de los desarrollos de las divisiones notables. 142

y

8. Simplificar:

1. Hallar los cocientes de las siguientes divisiones notables. a)

5

x

350

y

280

5

y

4

x

Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos.

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indique la división que dio origen al cociente notable: x4n – 2 - x4n – 4 + x4n – 6 - ....+ x2 - 1 a)

x4n  1 x2  1

-1

b)

x4n x4

1 1

c)

x 4n x2

1 1

d)

02. Sabiendo que uno de los términos d el desarrollo notable de: xa

 y b

x4n x2

1 1

e)

x4n x2

1 1

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. a) 100


b) 200

c) 300

d) 400

e) 50

 y 36  y3

x4



a) x 40 y 3

x 56 x4

c) x 30 y 9

d) x 20 y12

e)  x 40 y 3

a) 5

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

b) 10

3 22 / 3  4 2 3

e) 89

c) 12

d) 13

e) 15

22

3 42

a) 602

 z80  z4

a) 11

d) 85

10. Hallar la suma de los términos naturales del desarrollo de:

05. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de:

x

c) 91

 x 30  y 2

x 75 x5

x 4 n 12  y 4 n 3 x n 8  y n 9

9

b) 73

09. Calcular el número de términos racionales enteros en el cociente notables.

04. Calcular el número de términos de términos del cociente notable:

x 180


 y b , el valor de a + b + c, es:  y2

x 75

a) 49

 y14 y

b) x 20 y 6

a) 12

MATEMATICA 58

xc

03. Calcular el término idéntico de los desarrollos: x 48

57

b) 13

c) 15

d) 17

b) 160

c) 1602

d) 1702

e) 2403

e) 19

11. ¿Cuál será el cociente de la división: 06. Hallar  +  en el cociente notable: x x3

 y  y4 t6

Si:

x 5  32 x2

 t9 t7

a) 20

a) x4 - 2x3 + 4x2 – 8x + 16 c) x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 e) N.a

 x 12 y 20

12. La expresión: an + bn es divisible exactamente entre a – b, cuando: b) 84

c) 48

d) 36

e) N.a

07. Hallar el número de términos del siguiente producto:



K  x 20 m

a) 31



b) x 4 + x3 + x2 + x + 2 d) x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 16



x19 m  ...  x m  1 (x 20m

b) 22



x19 m



x18 ...  x m  1

c) 21

a) n es impar c) n es par e) nunca es divisible

b) n es cualquier entero d)n es mayor que a + b

13. Hallar la suma de los polinomios que se obtienen al desarrollar estos cocientes: d) 28

e) 27

x4

 a4

x4

a4

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D.  243 y 2x  3 y

32 x

5

a) 24


57

MATEMATICA


58

5

a) a+1

b) 52

c) - 34

d) 34

e) 54

d) x18 y 8

e) x12 y 20

d) x18 y 8

e) x12 y 20

b) a - 1

c)

a  1

d)

a  1

e) (a – 1)20/21

15. El número de términos de:  y b es ocho. ¿Cuál es el quinto término?  y5

xa x

3

a) x20 y 9

b) x8 y 18

16. Hallar "n" si la división:

c) x9 y 20

x 5 n 3  y 5(n 6 ) origina un cociente notable x n 1  y n  2

a) x20 y 9

b) x8 y 18

c) x9 y 20

TAREA DOMICILIARIA 01. El cociente notable:

17. Hallar (m + n) si el T 17 del cociente notable:

x 3 n 9

 yn  y7

xm x5

a) 480

x3

b) 470

c) 460

d) 450

 y 3n  y2

Calcular el valor numérico del término central para x = 1; y = 2

e) 440

a) 256

18. ¿Qué lugar ocupa el de sarrollo del cociente notable:

b) 428

c) 512

d) 1048

e) 864

02. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:  y 20 el término que tiene grado absoluto 34. término? x y

x 40

x 3n

2

x3

a) 4to

b) 5to

c) 6to

d) 7mo

x 16 x

2

1 1

b)

x 16  1 x 1

20. Calcular el t21 en el cociente notable:

a) 12 c)

x 16 x

4

1 1

d)

x 12 x

4

1 1

e)

x 16 x

4

el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado

absoluto 38. El número de términos del desarrollo es:

e) 8vo

19. x12 + x8 + x4 +1 es cociente de: a)

 yn y

1 1

b) 16

03. Reducir: x 14

 y12  ....  x 2  1  x4  x2  1

x6

c) 18

d) 25

e) 32

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. .... 

a) 4

05.

 b  b n

an

MATEMATICA a) 6

c) 16

Suponiendo que a169 b36 a

57 58

b) 15

21 n 13


 x 63 y15

x 70 y12

d) 17

b) 30

2do. Año Secundaria c) 31

d) 7

e) 29

10. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de:

e) 18

se encuentra contenido en el desarrollo del cociente:

x 100 x4

20 m

 y 100  y4

a) 2400

; es:

b) 2500

c) 2600

d) 2700

e) 2800

Calcular n – m: a) 7

b) 13

c) 6

d) 19

e) N.a

06. Si el cuarto término es independiente de x; en el cociente notable:

 x 2n  x n

x 2m x

n

FACTORIZACIÓN

Calcular la relación entre n y m. a)

n m



7

b)

2

n m

 14

c)

m 1 n

d)

m n



7 2

e)

m n

METODOS DEL FACTOR COMUN Y ASOCIACION  14 OBJETIVOS ESPECIFICOS

07. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: (x  3)4

1. 2. 3. 4.

 28

x 1

a) 256

b) 128

c) 1024

d) 1684

e) 343

08. La siguiente división: 16 3 4 3

4

PROCEDIMIENTOS: MOTIVACION Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera:

8 2 

Comprender que la factorización algebraica es el proceso contrario a la multiplicación. Aplicar el método del factor común en la factorización de polinomios. Aplicar el método del factor común por asociación, en la factorización de polinomios. Transformar polinomios racionales enteros en una multiplicación de factores (factorización) por medio de métodos sencillos o por una combinación de éstos.

x(x + y + z) = x 2 + xy - xz

2

genera un cociente notable cuyo menor término racional es: a) 16

b) 8

c) 4

09. En el cociente notable generado por la división: 35

3

35

d) 2

e) 1

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos: x 2 + xy – xz = x (x + y + z)

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. FACTORIZACION ALGEBRAICA


57

Factorizar una expresión algebraica racional entera y de coeficientes racionales, es la transformación equivalente de la mencionada expresión en un producto indicado de potencias de sus factores primos también racionales enteros y de coeficientes racionales.

MATEMATICA


y)58 como un producto de dos factores en el campo de las expresiones algebraicas irracionales, el resultado es:

Términos del polinomio

Factores

expresión dada inicialmente.

15 x 11 = 165 A x B = C (x+5) = x

5x

x

y

x

3

3

y

3

x2

3

xy

y2

Podemos continuar.

En la factorización se presentan diversos grados de dificultad inherentes a cada expresión propuesta para tal fin, por lo que es necesario disponer de un conjunto de reglas, procedimientos o métodos que permitan la factorización en forma correcta, ordenada y sistemática.

Ejemplos:

3

3

x–y=

Factor: Es una expresión que forma parte de una multiplicación y que nos conduce a la

x2

y

Podemos continuar.

3 x 2 +x – 10 = (3x – 5)(x + 2)

Ejemplo: Factorizar:

x

x –y =

2

  

15 y 11 son factores de 165 A y B son factores de C x2

y (x+5) son factores de x

3

5x

2

PRINCIPALES METODOS DE FACTORIZACION Método del factor común

Factor Primo

Es posible utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Es aquel factor que no puede expresarse como la multiplicación de otros polinomios, diferentes de él mismo y la unidad.

Ejemplo 1.- Factorizar:

2

12x yz

2

2 3

4xy z

3

8x yz

2

Ejemplo:

4 x7 Factor o primo

Factor Común Monomio: 4xyz2 . Luego: Factor primo

x (x+2)(y2 + 2y)

12x 2 yz2


4xy 2 z 3 8x 3 yz2 (x

y

z) x

2

(x

4xyz2 (3x y

z) y

2

yz (x

y

2x 2 ) z )z

2

Factor no primo Factor primo Factor primo

Factor Común Polinomio: (x+y+z), Luego, la expresión factorizada es: (x+y+z)( x 2

x 3 y 2 (x2+ y) Factor primo Factor primo Factor primo

Los factores primos son: x ; y ; x 2 + y. Mientras que x 3 ; y 2 no son factores primos.

Observaciones: Se dice que las factorizaciones se llevan a cabo en expresiones algebraicas primitivas, que conducen a la obtención de factores primitivos (coeficientes de sus términos, primos entre si).

y2

z2 )

Método del factor común por asociación Consiste en agrupar convenientemente los términos que conforman el p olinomio, de tal manera que se consiga los factores comunes.

Ejemplo: Factorizar:

x8

x7y

x6y2

x 5 y3

x 4 y4

x 3 y5

x 2 y6

xy7

Por simple inspección, vemos que el polinomio tiene un factor común monomio a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así:



57

convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así: x [( x 7

6

5 2

4 3

x y) ( x y

3 4

2 5

x y ) (x y

x y ) ( xy

6

7

y )]

MATEMATICA xy5a 2

6. M(a,b,c) = a 2 b 2c 2

a 3c b3a

c3 b

a 2 x 2c

a 2 x 2d

7. R(x) = x[ x 6 (x

x 4 y 2 (x

y)

x 2 y 4 (x

y)

y)

y 6 (x


58

5. E (x,y,z,a) = x 3 y3a 2 a 3x 3

a 2 x 2 b

x(x+y) [ (x 6 x(x+y) [ x 4 (x 2 x (x

y)( x

x 4y2 )

y2 ) 2

2

x 2 y4 (x 2 y 4

y4 (x 2

y )(x

4

y6 ]

10x 7 y8

4

y )

6. x 7.

m a

x 2n 1

(ay bx)

En el módulo anterior hemos tenido la oportunidad de estudiar los dos primeros métodos para la factorización de polinomios. El presente módulo nos va a permitir el estudio de otro método de factorización, el cual hace uso de identidades algebraicas conocidas (productos notables), tales como: trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc.

CONTENIDO TEORICO METODO DE LAS IDENTIDADES Consiste en dar la forma de un producto notables a la expresión propuesta; para luego factorizar en base a dicha identidad.

2

x a yn

y n b

3x n 1

xn 3

xn

x

y

x a z p 3x 3

Trinomio cuadrado perfecto

z p y b

A

3

Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. 1.

x4

3. 36x 5

x 3y

xy3

36x 4

y4

25x 3

2. x n 2 25x 2

4x

4

D. TAREA: Factorizar 1.

x 2n 1

3x n 1

xn 3

xn

3x 3

3

abc

acdx bcd

MOTIVACION

25x11y9

m b

abdx

PROCEDIMIENTOS

II. Factorice por el método del factor común por asociación 5. (ax by)

abcx

c 2 b3

Aplicar el método de las identidades en la factorización de polinomios.

y2 ) ]

2. x m 4 y n 2 5x m 6 y n 1 3x m 1y n 1 3. (x y z)a ( y x z) b 4. (a+b)(x+y+z) + (a+b)(x-2y-2z)

2

a 2 c3 b 2 a 3

x 3 y3 b 2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

y6 ) ]

I. Factorice por el método del factor común. 5x10 y5

xy5 b 2

MÉTODO DE LAS IDENTIDADES

PRACTICA DE CLASE

1.

x 2 y 4 b 2

8. N(x,y,z) = x (1 y 2 )(1 z 2 ) y(1 x 2 )(1 z 2 ) z(1 y 2 )(1 x 2 ) 4xyz

y)]

Ahora extraemos el factor común binomio: (x + y) x(x+y)[ x 6 x 4 y 2 Volvemos a agrupar convenientemente:

x 2 y 4a 2

2K +

K K K 2 2K = (A K+ - 2A B + B - B )

A K xn

x3

4. abx3 b 2 x 2

x2 a 2x 2

K

Raíces cuadradas

x 1 a 2 bx a 2 bx

B K K

a3

2A B

Doble producto de raíces

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en un binomio al cuadrado. Es necesario tener en cuenta que donde aparecen cuadrados perfectos, existe la posibilidad del trinomio cuadrado perfecto.

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D.  


57

MATEMATICA


58



( )

2

3x 2(3x)(2 y ) 2 y

A

3K

Diferencia de cuadrados

A K

B

x

8

y

4

x

y

= (x 2

4

2

y ) (x

4

2

y )

y2

x x

8

y

4

(a 6 ) 2

a12 b 6 =

6

2

= (x 4

x2

Luego: x

2xy

2

y2

2xy

x

z 6 = (x

y

2

z

2

2

y ) (x

2xy

y) 2

2

y) (x

Solución:

2

y)



(x+y)

z3

= (x

y

2

z

y

3

z )(x

y

3

z )

Suma y diferencia de cubos

A

3K

3

A K

3K

+B

= (A

K

2 ( )

K

B

2

2K

+ B )(A2K - AK BK + B

3

)

Expresión factorizada

K

Raíces cúbicas

2

2

 Suma y Diferencia de cubos

a b b )(a 2 b)(a 4

x

(x 2

x4

2y 2 ) 2

2

2y

2

4

2 2

4x y

4x 2 y 2

2xy)(x

2

a 2 b b 2 )

4y 4

4y 4

4x 2 y 2

 Diferencia de cuadrados 2y

2

x4

Ejemplo 03: Factorizar Solución: x4

2x 2 y 2

y4

(x 2

y 2 )2

x 2y2

(x ( )

b3 )

2xy)

6

z 6 = [(x +y)+z3 ][(x+4) – z3 ]

 6

b ) (a

 Diferencia de cuadrados

6

Ejemplo 02: Factorizar

y

(x

Ejemplo 02: Factorizar Solución:

(a

( b 3 ) 2 3

Utilizando sumas y rectas (método del pon y quita)

 

Luego:

a12 b 6 =

a12 b 6 = (a 2 b)(a 4

  x4

Raíces cúbicas a12 b6

Solución:

Raíces cuadradas

Ejemplo 01: Factorizar Solución:

K

+ B )(A2K - AK BK + B2K ) Expresión factorizada

Ejemplo 01: Factorizar

K

8

K

2

K

B

K

+ B )(AK - BK ) Expresión factorizada

A K

= (A

3

K

- B2K = (A

3K

+B

3

2K

( )

2

Doble producto

A

2

2

y

2

xy) ( x

2

x 2 y2

y4

x 2 y2

 Diferencia de cuadrados y

2

xy)

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. PRACTICA DE CLASE


57

MATEMATICA


58

MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Y ASPA DOBLE

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes ejercicios : Factorice cada uno de los siguientes polinomios: 1.

4

x

2. 4x

2

4x y 2n

4y

2

n n

12x y

9y

OBJETIVOS ESPECIFICOS

2n

1. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa simple en la factorización de polinomios.

3. x 8 1 4. (ax 5 b) 2 5. x

8

7.

x12

y

2. Aplicar el método del aspa simple en la factorización de polinomios. 3. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa doble en la factorización de polinomios.

12

x y

6. 4x16

5a) 2

( bx

4 6

25y

8

4. Aplicar el método del aspa donde en la factorización de polinomios.

1

TAREA

PROCEDIMIENTOS

Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada una de los siguientes polinomios: 1. x 6

y4

2. x 6

4x 3

3. (x

2

y

z2

2

2x 3 y 2

x2

2x

2 2

z )

4. (x 2

xy

5. x 4

x y

y

6. x 6

4x 4

3x 2

2 2

7. (2x 6 1) 3

y2 )2

2x 3 z

5

2(x 3

2y 2 z 2)(x 1)

MOTIVACION En el presente módulo, vamos a abordar tres de los métodos más conocidos para la factorización de polinomios, nos referimos al método del aspa simple, aspa doble y aspa doble especial, el primero de ellos bastante aplicado en la solución de ecuaciones de segundo grado o convertibles.

2 2

4y z x 2 y2

y 2z 2

CONTENIDO TEORICO

x 2z 2

METODO DEL ASPA SIMPLE

4

Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: 2x 1

(x 1)3 (x 1)3 ( x 4

x2

Ax 2n

1)3


Bx n

C

Ax2n

ó

Bx n y m

15x 2 + 14x – 8.

Resolución: 15x 5x 3x

Luego:

2

+ 14x

-8 -2 4

= - 6x = +20x +14x

15x 2 + 14x – 8 = (5x - 2) (3x  4)  

Cy2m

ESPINOZA BRAVO FERNANDO D. 2

Luego:

x2


57

- 7xy + 10y - 5y - 2y

 7 xy  10 y 2

MATEMATICA


58

2

= =

OBSERVACION: Aparentemente el proceso anterior es largo, pues la explicación se

- 5xy - 2xy - 7xy

realizó paso a paso; en la práctica, las tres aspas simples se pueden realizar en una misma figura (se superponen las aspas).

Ejemplo 2.- Factorizar: 15x 4 34x 2 y 15y 2 41x 2 31y 14

 (x  5 y) (x  2y)

Resolución:

  

4 2

3y

2

3x 2

5y

7

5x

METODO DEL ASPA DOBLE

Luego de comprobar, el polinomio factorizado es:

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax 2n

Bx n y m

Cy 2m

Dx n

Eym

x2

3xy

2y 2

5x

7y

(5x 2

F

Nota: En caso de faltar algún término, se puede completar con cero. Ejemplo 1.- Factorizar:

I

+ 2y2 + 5x + 7y + 6 2y y

Luego descomponemos el último término para formar otra aspa simple: 2 + 3xy

+ 2y2 + 5x + 7y + 6 2y y

II

3 2

Finalmente se forma otra aspa simple con los términos extremos (aspa simple auxiliar). x 2 + 3xy + 2y2 + 5x + 7y + 6 2y III y

3y

2) (3x 2

5y

7)

METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomio de una sola variable, generalmente de grado cuatro, pero no necesariamente, puede tener la forma general:

6

Ax4n

Resolución: Apliquemos aspa simple en los tres primeros términos. 2 + 3xy

2

15x + 34x y + 15y2 + 41x2+ 31y + 14

Expresión Factorizada.

3 2

Bx3n

Cx 2n

Dx n

E

Nota: La forma de proceder es similar a la del aspa doble. Ejemplo 1.- Factorizar: x 4 2x 3 4x 2 3x 28 Resolución: En primer lugar descomponemos los términos extremos para formar un aspa simple, así: 2 x4 + 2 x 3 + 4 x + 3 x - 2 8

x2

+ 7 = 7x

x2

3x

Si sumamos los productos de multiplicar en aspa, se obtiene 3x 2 . Observe en el polinomio que necesitamos obtener 4x 2 . Para obtener lo que se necesita sumamos x 2 , que es el término que desdoblado convenientemente se coloca en el centro de las dos aspas simples: 2 x4 + 2 x 3 + 4 x + 3 x - 28

Luego los factores se toman en forma horizontal, así:

2

- 4 = -4x 2 2

x2

x

+7


2do. Año Secundaria (x

2

x

7) ( x

2

x

57

4)

PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas: 1.

3x 2

2. 14x

29x

3. 12x 4

2

15

2 3

32x y

21y

4. 26x 2 11xy y 2 5. 10x 6. 5x 7.

2

11xy 6y

4

x4

22x 7x 3

3

x 11y 3

2

17x 2

16x

Ax

n

Bx

n 1

Cx

n 2

.... Mx N

6

CONCEPTOS PREVIOS:

26x 12

TEOREMA DEL FACTOR

Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: x2

Sea P(x) un polinomio, si para x = a se cumple que P(a) = 0; entonces (x-a) es factor de P(x).

x / 4 3/ 8

2. 4x 2

29xy 24y 2

12 3

68x 8 y7

y

4. 6x 4

5x 2 y 2

6y 4

x2

5. 12x 2

2xy 2

2y 4

9x

2x 4

7. 15x 4n

24x 2

9x 3n

De esto se deduce que si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por (x - a).

4x 4 y11

3. 64x

6. x 8

METODO DE EVALUACION O DIVISORES BINOMIOS

FORMA GENERAL:

25

TAREA

1.

CONTENIDO TEORICO

6

75x

2

21x


Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, (de preferencia, el grado debe ser mayor que 2). Además debe aceptar por lo menos un factor de primer grado.

11x 10

4

MATEMATICA

58 En el presente módulo, estudiaremos un método más para factorizar determinados polinomios, empezaremos nuestro estudio identificando cuáles son las características que debe reunir un polinomio para ser factorizado por este método y finalmente detallaremos el procedimiento a seguir para la factorización de dicho polinomio.

5y 2

1

3y 2

Observación: En la práctica no se calcula el valor numérico de P(a), sino se divide usando el algoritmo de RUFFINI.

CEROS RACIONALES DE P(X)

72

14x 2n

xn

1

MÉTODO DE EVALUACIÓN O DIVISORES BINOMIOS

Además, si para x = a, P(a) = 0, entonces; se dice que “a” es un cero de P(x). El método se fundamenta en buscar los ceros racionales del polinomio; para lo cual, identificamos los posibles ceros de la siguiente manera:

Posibles ceros (x) =

Divisores término independiente Divisores Coef. término principal

OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar en qué casos es posible hacer uso del método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios. Aplicar el método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.

Ejemplo 1.- Factorizar: 48x 4 4x 3 36x 2 x 6 Divisores término independiente (6)


2do. Año Secundaria 1;

Posibles ceros =

1;

2;

3;

4;

2;

6;

3; 8;

Posibles ceros =  1 ;  2 ;  3 ;  6 ;

1 2

48

-4 24

1

20 -32

8

12

48

-12

-18

0

36

18

48

24

0

x = 1/2

x = -2/3 x = 3/4

-36

57

11; 1

;

3

;

1

6

10

-13

-6

-26

-12

0

MATEMATICA


58

6 16 ; 2 3

;

24 ; 3 4

48

Luego:

P(x) = (x-1)(x+1)(

P(x) = x

P(x)

Finalmente:

1

x

2

(2x 1)(3x

2

x

3

Finalmente: P(x ) ( x 1)(x 1) 2 (x

Ejemplo 3.- Factorizar: P(a) = (a+1)(a+3) (a

3 4

(48x 24)

Divisores término independiente Divis. coefic. término principal 1; 2 Posibles ceros = 1

Posibles ceros =

Posibles ceros =  1 ;  2

1

x2

3

1

-3

-2

1

4

5

2

4

5

2

0

3)(a 2

4a

4a

4) 5(a 2

4a) - 27

Realizamos el siguiente cambio de variable: a 2 + 4a = x . Así: P(x) = (x + 3)(x + 4) – 5x - 27 P(x) = x 2 + 7x + 12 – 5x - 27

3x

x – 3 x +5 P(x) = (x – 3) (x + 5) Finalmente regresamos a la variable original. Así: P(a )

(a

2

4a

5)(a

2

4a

3)

Ejemplo 4.- Factorizar: P(x) = a 6 4a 4 3a 2 2a 1

Ahora debemos determinar cuál de estos cuatro valores son ceros de P(x); para lo cual evaluamos el polinomio para cada valor del conjunto de los posibles ceros, usando el algoritmo de RUFFINI.

1

– 5 a(a+4) - 27

P(x) = x 2 + 2x – 15

Resolución:

x=1

2

Efectuando las operaciones indicadas tenemos:

2)(4x 3)(2x 1)

3x 3

2)

2)

Resolución:

Ejemplo 2.- Factorizar: P(x) = x 4 3x 3 x 2 3x 2

P(x) = x 4

+3x+2) Aplicamos aspa simple

P(x) = (x - 1) (x + 1) (x + 1) ( x + 2)

; .....

P(a) = (a 2 Luego:

x2

2

Resolución: Cuando el grado es par, formaremos un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta situación se formará una diferencia de cuadrados. Para formar el trinomio cuadrado perfecto reemplazamos: 3a 2 por 4a 2 a 2 . Luego: P(a) = a 6

P(1) = 0;

4a 4

4a 2

a2

2a 1

Trinomio Cuadrado Perfecto



57

MATEMATICA 58

P(a) = (a3

2a)2 (a

1)2

Diferencia de cuadrados P(a) = (a 3 P(a )

(a

3

3a

1)(a

3

2a

a 1)(a 3

2a

a 1)

1.2

1.

x3

6x 2

3x 10

2.

x3

2x 2

5x

3. x 4

7x 3

17x 2

x4

2x 2

24x

1.3

6

72 x 1

21x 2

16x

6

TAREA

Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: 1.

x 3 19x

ac + ad + bc + bd mx + m – x - 1 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc 3y 2 - 2ax + 3x – 2ay 2 + 4 - 6 x2 +1/ 5x + 5x + 1 xn+2 + x3 + xn + x + x2 + 1 3by + az + cy + 3bz + ay + cz 6 ax – 5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy

II. Factorizar por el Método de identidades 2.1

30

2. x 3 11x 2

40x

48

3. x 4

2x 3

8x 2

18x

9

4. x 4

6x 3

5x 2

42x

40

5. x 5

3x 4

17x 3

6. 12x 3

8x 2

17x

15x 4

9x 3

14x 2

7.

8a2 (x – 2)4 + 16a3 (x – 2)2 - 24a5 (x – 2)3 5x (2a – 7b) – 2a + 7b 5x2 (a + b – 3c) – 2x3 (3c – a- b) 9ab2 y 3 (x2 – z2 ) – 5a2 by 2 (x2 - z2 ) - 6x2 + 9y 2 + 4w(2x2 – 3y 2 ) (a + b) (5x – 2y – z) – (a – 2b) (2y + z – 5x) 3x (2a – b + 3c) – 5y (b – 2a – 3c)

Factorización por agrupación de términos. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

26x 12

9x 3 14x 2

6. 5x 4 22x 3 7. x12 – 1

Factorización de un polinomio con factor común polinomio. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas:

5. 15x 4


12x3 y 2 z3 - 15x3 yz3 – 6 x2 y 3 z4 + 9x3 y 5 z3 (2/ 6)x 2 y 2 + (4/ 9)x 3 yz + (8/ 15) (xy w) - 48ab3 + 64a3 bx – 16 a2 b2 x2 0.8x2 y 2 - 1.6x y 3 + 0.4 xy 3xa + 2xa + 1 – xa + 2 3xa + 3 + 21x3a – 14 xa + 2

a 1)

PRACTICA DE CLASE

4.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

27x 2

52x

60

5 x 1

PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO Haz uso de tu habilidad e ingenio en la solución de los siguientes ejercicios.

I. Factorizar por el Método común

Factorización por trinomio cuadrado perfecto. 1. x2 – 8x + 16 7. 49a2 x2 + 28a2 x + 4a2 2. x2 + 26x + 169 8. 0.36x4 - 1.2x2 y + y 2 3. 121x2 + 132x + 26 9. 9x6 + 1.2x3 + 0.04 4. x2 - 12x + 36 10. 4x 2 + 28x + 49 5. 49x4 - 14x2 + 1 11. 25a4 - 30ab + 9b2 6. 2x2 - 8xy + 8y 2 12. 36x2 - 12x + 1 2.2 Factorización por diferencia de cuadrados. 1. 2. 3. 4. 5.

16x2 – 36 0.64 – x8 16a2n - 25 (2x – y)2 - (3x + z) 2 (x + y)2 - 4z2

2.3 Factorización por suma de cubos 6

6. x2 - (y – x)2 7. x4 – 16b2 8. x4 - y 4 9. 9x3 - x2 - 9x + 11 10. 64x2 - z2 + 6z – 9



57

MATEMATICA 58 01. Calcular uno de los factores del polinomio: 1 +x(x+1)(x+2)(x+3)


2.4 Factorización por diferencia de cubos. a) x2 + x + 1 1. 2. 3. 4. 5.

III. 3.1

8a3 - a6 27a3 – 64b3 1 – x3n 64x3 - (x – 1)3 (2x + y)3 - 8x6

6. (x + y) 3 - (3 – y)3 7. (x + y )3 - 27 y 3 8. 8(x – 2)3 - (2x + 1) 3 9. (x – 3y)3 - (2x + 1) 3 11. 8x3n – 27y 3n

- 9x + 14 + 11x + 24 - 14x - 32 + 15x - 16 - 128 – 8x + 9x + 14

6. 2x 2 + 7x + 6 7. 3x2 - 10x - 8 8. 3x 2 - 10x - 8 9. 5x2 - 17x – 12 11. 10x2 + 17x + 6 12. 6x2 + 19x + 3

3.2 Factorización por aspa doble. 1. 2. 3. 4. 5.

6x2 + 3xy – 3y 2 + 19x + 13y + 10 15x2 + 7xy – 2y 2 + 41x - 3y + 14 8x2 + 4xy + 18x + 6y + 9 7x2 + 19xy – 6y 2 + 35x - 10y 15x2 - 19xy + 6y 2 - 11y + 19x - 10

IV. Factorizar por el Método de Evaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x3 + 2x2 - 5x - 6 x4 - 9x2 + 4x + 12 3x3 + x2 - 8x + 4 x3 - 8x2 + 17x - 10 2x3 – 5x2 + x + 2 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1

V. Aquí se presentan diversos casos, con los cuales tú tendrás que decidir que método aplicar. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x4

13x2

+ 36 x6 - 64 6 3 x + 26x - 27 x2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y - 15 ax + az + bx + by + cy + cz + ay + bz + cx (x2 + y 2 )2 - 4x2 y 2

Hallar los factores del polinomio (x x2

+x+1

b) x2

c) x2

+ 3x + 1

+x-4

d) b) x 2 + 1 – 1) (x + 3) (x 2 d) b) x 2

03.

a) 2x2 -8x + 10

Factorización por aspa simple x2 x2 x2 x2 x2 x2

a)

c) x2 - x + 1

Señalar uno de los factores del polinomio: (x como respuesta la suma de ellos:

Factorizar por el Método del aspa

1. 2. 3. 4. 5. 6.

02.

b) x2 + 3x + 1

04. a) 9

b) 2x 2 - 6x + 7

c) 2x + 3

Sabiendo que: x2

y 2

b) 25

+

- 4) + 4

+ 1

– 2)2

d) b) x 2 + 4

e) N.a

e) N.a

(x2 – 4x

+ 6) –8 y dar

e) N.a

- 10x – 6y = - 18. Hallar R = (x – 5)2 + (y – 3)2

c) 35

d) 16

e) 18

c) x 2 + 1

d) x – 1

e) 2x + 3

c) (ax + by)

d) (a – b)

e) (ax – by)

c) m - 4

d) m + 1

e) m + 4

d) 4

e) 5

c) x

d) y + 1

e) x + y

c) b + c 2

d) b + 5c

e) b – 5c

05.Cuál es uno de los factores del polinomio: x 4 - 2x2 + x2 a) 2x + 1

b) 2x - 1

06.

Señalar un factor primo de: E = ab (x 2 + y 2 ) + xy (a 2 + b2 ) a) (a + b)

b) (x + 4)

07.Uno de los factores de:

3m3 – 20 + 12m 2 - 5m es: a) m + 3

b) m 2 + 2

08.¿Cuántos factores primos tiene la expresión: mn (x2 – y 2 ) + xy (m 2 - n2 ) ? a) 1

09.

b) 3

c) 2

Señale uno de los factores de:

x(y 2 + z2 ) + y (z 2 - x2 ) a) x - y

b) x + 2y

10. Dar uno de los factores primos de: ac (a + c) + ab (a – b) – bc ( b + c) a) b2 + c

b) b + c



57

MATEMATICA


58

12. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:

P (x) = 18x 4 + 55x2 - 28?

9m2 + 12mn + 6m + 4n + 4n 2 a) 1

b) 0

a) 3x - 6 c) 3

d) 2

b) 6x - 3

e) 5

c) 5x - 1

d) 3x + 2

SOLUCIONARIO

13.¿Cuántos factores primos lineales admite? x5 - 4x3 + x2 - 4 a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 3

14. ¿Cuántos factores lineales se obtiene al factorizar P(x)? Si: P (x) = 18x 4 + 25x2 - 3 a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) Ninguno

15.¿Cuántos factores primos lineales tiene P(x) si: P (x) = 3 x 6 - 2x3 - 1? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

16. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene P)x, y), si:

Nº

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.

D

01

02.

B

03.

A

04.

D

05.

C

06.

B

07.

C

08.

E

09.

E

10.

E

11.

C

P (x, y) = 8x 8 y + 63x5 y – 8x2 y

12.

E

a) 1

13.

A

14.

E

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

17. ¿Cuántos factores primos lineales tiene: P (x) = 2x 4 a) Ninguno

-

3x2

- 20? b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

18. ¿Cuántos factores primos se segundo grado tiene P (x)? Si:

b) 1

C A

17.

A

18.

B

19.

C

20.

P (x) = 3x 6 + 23x3 - 8? a) Ninguno

15. 16.

c) 2

d) 3

19. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en:

e) 4

e) 3x - 7

productos y cocientes notables, factorización

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