Problemas Propuestos Estatica Upao - Gente Que Trabaja

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 75 N y Q= 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo. b) La regla del triángulo.

Solución: a) La ley del paralelogramo.

A 70°

75 N

55°

α

A

125 N

20+α

P

R

125°

Q

R Ley de Coseno: 𝑅 2 = 𝑃2 + 𝑄 2 − 2𝑃𝑄𝐶𝑜𝑠125° 𝑅 2 = 752 + 1252 − 2(75)(125)𝐶𝑜𝑠125° 𝑅 = 179 𝑁

b) La regla del triángulo.

Y A

75 N

20°+α

X 75.11°

35°

α

R

125 N R = 179 N

Ley de Seno: 𝑅 𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(20 + 𝛼) 179 125 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(20 + 𝛼) 179 ∗ 𝑆𝑒𝑛(20 + 𝛼) = 125 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125 𝑆𝑒𝑛(20 + 𝛼) =

125 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125 179

𝑆𝑒𝑛(20 + 𝛼) = 0.572 20 + 𝛼 = 34.89° 𝛼 = 14.89°

Dirección = 90° – 14.89° = 75.11°

2. Dos fuerzas P Y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante: a) La ley del paralelogramo. b) La regla del triángulo.


Y

𝑅

20° 70°

X 70°

55° 20°

α

𝑃 = 60

35° 𝑄 = 25

𝑅

125°

Ley de Coseno: 𝑅 2 = 𝑃2 + 𝑄 2 − 2𝑃𝑄𝐶𝑜𝑠125° 𝑄

𝑅 2 = 602 + 252 − 2(60)(25)𝐶𝑜𝑠125° 𝑅 = 77.1 𝐿𝑏


Ley de Seno: 𝑅 𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(𝛼)

α

𝑃 = 60 𝐿𝑏

77.1 25 = 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(𝛼) 𝑅

77.1 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝛼) = 25 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125° 𝑆𝑒𝑛(𝛼) =

125°

25 ∗ 𝑆𝑒𝑛 125° 77.1

𝑆𝑒𝑛(𝛼) = 0.27 𝛼 = 15.4° 𝑄 = 25 𝐿𝑏

Dirección = 70° + 15.4° = 85.4°

3. Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener al poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120 Lb en AB y 40 Lb en AD, determinar gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante: a) La ley del paralelogramo. b) La regla del triángulo.


A β = 59.0°

α = 51.3° 𝛿

40 Lb

120 Lb

𝛼 = 𝑇𝑎𝑛(𝛼) 𝛼=

𝑅

𝛽 = 𝑇𝑎𝑛(𝛽)

10 5 = 8 4

𝛽=

10 5 = 6 3

𝛼 = tan−1 (5/4)

𝛽 = tan−1 (5/3)

𝛼 = 51.3°

𝛽 = 59.0°

𝛼 + 𝛽 = 51.3 + 59.0 = 110.4

Ley de Coseno: 𝑅 2 = (𝐴𝐷)2 + (𝐴𝐵)2 − 2(𝐴𝐷)(𝐴𝐵)𝐶𝑜𝑠(110.4°) 𝑅 2 = 402 + 1202 − 2(40)(120)𝐶𝑜𝑠(110.4°) 𝑅 = 139.1 𝐿𝑏


A

𝑅 𝐴𝐷 = 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃)

α = 51.3° 𝜃

𝛿

Ley de Seno:

139.1 40 = 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 139.1 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 40 ∗ 𝑆𝑒𝑛 110.4° 𝑆𝑒𝑛(𝜃) =

120 Lb

40 ∗ 𝑆𝑒𝑛 110.4° 139.1

𝑆𝑒𝑛(𝜃) = 0.27 𝜃 = 15.6°

59.0° 40 Lb

Dirección = α + 𝜃 𝑅

Dirección = 51.3° + 15.6° = 66.9° ≈ 67°

4. Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga AB que se muestra en la figura. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante: a) La ley del paralelogramo. b) La regla del triángulo.

Solución: a) La ley del paralelogramo. B 50°

30° α

2 kN 3 kN

𝑅

Ley de Coseno: 𝑅 2 = (𝑃)2 + (𝑄)2 − 2(𝑃)(𝑄)𝐶𝑜𝑠(80°) 𝑅 2 = 22 + 32 − 2(2)(3)𝐶𝑜𝑠(80°) 𝑅 = 3.30 𝐾𝑁

b) La regla del triángulo. B 30° α 3 kN

𝑅

40°

2 kN

Ley de Seno: 𝑅 𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) 3.30 3 = 𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) 3.30 ∗ 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) = 3 ∗ 𝑆𝑒𝑛 80° 𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) =

3 ∗ 𝑆𝑒𝑛 80° 3.30

𝑆𝑒𝑛(40 + 𝛼) = 0.9 40 + 𝛼 = 63.54° 𝛼 = 23.54°

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 90° − 𝛼 = 90° − 23.54° = 66.46° Dirección = α + 𝜃 ≈

5. Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría: a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal. b) La magnitud correspondiente de R.

Solución: a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal.

β 50 N

P = 35 N

25°

α 𝑅

𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 25° = 50 𝑁 35 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ∗ 35𝑁 = 50𝑁 ∗ 𝑆𝑒𝑛 25° 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

50𝑁 ∗ 𝑆𝑒𝑛 25° 35𝑁

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.6037 𝛼 = 37.14°

b) La magnitud correspondiente de R.

Β = 117.86° P = 35 N

α = 37.14°

50 N

25° 𝑅

𝑅 2 = (𝑁)2 + (𝑃)2 − 2(𝑁)(𝑃)𝐶𝑜𝑠(117.86°) 𝑅 2 = 502 + 352 − 2(50)(35)𝐶𝑜𝑠(117.86°) 𝑅 = 73.2 𝑁

6. Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura. a) Si se sabe que α = 25°, determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud correspondiente de la resultante?

Solución: a) Si se sabe que α = 25°, determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical.

15° 1600 α = 25° P

1600 𝑃 = 𝑆𝑒𝑛 65 𝑆𝑒𝑛 75 𝑃=

𝑆𝑒𝑛 75 ∗ 1600 𝑆𝑒𝑛 65

𝑃 = 1705.25

b) ¿Cuál es la magnitud correspondiente de la resultante? 𝑅 1600 = 𝑆𝑒𝑛 40 𝑆𝑒𝑛 65 𝑅=

1600 ∗ 𝑆𝑒𝑛 40 𝑆𝑒𝑛 65

𝑅 = 1134.8

7. Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura. Determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.

1600

15°

R = 2500 α = 25°

P

𝑅 𝑃 = 𝑆𝑒𝑛 140 𝑆𝑒𝑛 65 2500 𝑃 = 𝑆𝑒𝑛 140 𝑆𝑒𝑛 65 𝑃=

2500 ∗ 𝑆𝑒𝑛 65 𝑆𝑒𝑛 140

𝑃 = 3524.9

8. Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que α = 20°, determine por trigonometría: a) La magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante de R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical. b) La magnitud correspondiente de R.

a) La magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante de R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical.

425 Lb P 30°

α = 20° A

425 Lb

30° α = 20° P 425 𝑃 = 𝑆𝑒𝑛 70 𝑆𝑒𝑛 60 𝑃 ∗ 𝑆𝑒𝑛 70 = 425 ∗ 𝑆𝑒𝑛 60 𝑃=

425 ∗ 𝑆𝑒𝑛 60 𝑆𝑒𝑛 70

𝑃 = 391.68

b) La magnitud correspondiente de R. 𝑅 425 = 𝑆𝑒𝑛 50 𝑆𝑒𝑛 70 𝑅=

425 ∗ 𝑆𝑒𝑛 50 𝑆𝑒𝑛 70

𝑅 = 346.46

9. Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que la magnitud de P es de 500 Lb, determine por trigonometría: a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser verbal. b) La magnitud correspondiente de R.

a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser verbal.

425 Lb

500 Lb

30°

α A

Β

425

P = 500

α

30° 𝑅

𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 30° = 425 500 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ∗ 500 = 425 ∗ 𝑆𝑒𝑛 30° 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

425 ∗ 𝑆𝑒𝑛 30° 500

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.425 𝛼 = 25.15°

b) La magnitud correspondiente de R.

Β = 124.85° P = 500

α = 25.15°

425

30° 𝑅

𝑅 2 = (𝑄)2 + (𝑃)2 − 2(𝑄)(𝑃)𝐶𝑜𝑠(124.85°) 𝑅 2 = 4252 + 5002 − 2(425)(500)𝐶𝑜𝑠(124.85°) 𝑅 = 820.66

10. Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 15KN y en el elemento B es de 10 KN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.

β 15

70

120° 50

10

50°

𝑅 2 = 152 + 102 − 2(15)(10)𝐶𝑜𝑠(120°) 𝑅 = 21.8 𝐾𝑁 21.8 15 = 𝑆𝑒𝑛 120 𝑆𝑒𝑛 𝛼 21.8 ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 15 ∗ 𝑆𝑒𝑛 120 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

15 ∗ 𝑆𝑒𝑛 120 21.8

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.596 α = 35.6°

Β = 180 – 50 – 35.6 = 94.6°

11. Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 10KN y en el elemento B es de 15 KN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.

β 10

70

120° 50

15

50°

𝑅 2 = 102 + 152 − 2(10)(15)𝐶𝑜𝑠(120°) 𝑅 = 21.8 𝐾𝑁 21.8 10 = 𝑆𝑒𝑛 120 𝑆𝑒𝑛 𝛼 21.8 ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 10 ∗ 𝑆𝑒𝑛 120 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =

10 ∗ 𝑆𝑒𝑛 120 21.8

𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0.397 α = 23.4° Β = 180 – 50 – 23.4 = 106.59°

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