TRANSFORMADA DE LAPLACE Y TRANSFORMADA Z
PRESENTADO POR: JULIO LOAIZA
PRESENTADO A: OSCAR IVAN VALDERRAMA (TUTOR)
GRUPO: 203042_31
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) SEÑALES Y SISTEMAS 2018
Problemas a resolver: 1. Parte 1: Desarrolle las siguientes transformadas de Laplace utilizando la herramienta online que
se encuentra en la siguiente página web: https://es.symbolab.com/solver/inverse-laplacecalculator/laplace%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%2B2%7D Verifique si sus resultados corresponden con la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía. a)
1.1.
b)
..
c)
.
d)
.
e)
∗ −.
Nota: Para no sobrecargar su informe, debe enviar capturas de pantalla solamente para los ítems d
y e. Parte 2: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Transformada inversa de Laplace), determine analíticamente h(t), sabiendo que:
2 104
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o
b=4 según corresponda.
2 104 7
Teniendo en cuenta que una raíz real, el coeficiente también es real, y para cada para cada par de raíces conjugadas complejas, los residuos también son conjugados complejos, por lo que solo es necesario calcular uno de ellos, por po r lo tanto, el desarrollo en fracciones parciales es
∗ 1 √ 3 1 √ √ 3 77 7
( 11 √ √ 3) 3) 11 √ 3 10 ( 1 √ √ 3) 3) =−−√ =−−√ ( 1 √ √ 3)3) 7=−−√ 10 20 55 3 √ (1 (1 √ √ 3) 1 √ 3 (1 (1 √ √3) 3) 7 507 1521 ∗ 50720 551521√ 3 7 ++ 7||=−=− 102 4=− 7 1027 4 1390 7|=−=− [ 102 4]]=− 10 22244=− 71010 27727 22 4 50740 20 55 3 20 55 3 40 10 √ √ 507 1521 39 507 507 1 1521 √ 3 1 √ √ 3 77 7
El coeficiente se obtiene evaluando
Dado que
en
, se calcula de manera sucesiva
En consecuencia, el desarrollo en fracciones parciales es
Teniendo en cuenta que la transformada inversa de los término del desarrollo en fracciones parciales de forma general son
y
2− coscos co coss ℒ− 1 1! −− ℎ 2− 50720 cos(√ cos(√ 3)3) 551521√ 3 sen(√ en(√ 3) 3) 3910 − 50740 −
Por lo tanto, la transforma inversa de Laplace del ejercicio propuesto es
Simplificando, la expresión previa se puede escribir como:
10√ 10√ 3 − sen(√ ℎ 50740 − cos(√ os(√ 3)3) 11521 sen(√ 3)3) 50710 − 50740 − 2. Usando como guía el ejemplo 17.16 de la página 620 del libro guía. Tema a estudiar: Respuesta (Respuesta de un sistema discreto, a partir de la función de transferencia). Determine y[n] y[n] dado que:
55 (1⁄)
Posteriormente use Matlab o scilab para resolver el ejercicio de forma práctica, y compare sus respuestas con los resultados teóricos. Dónde: a constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” con el ultimo digito de su número de identificación. Si alguno de ellos es cero, utilice a=4 o
b=4 según corresponda. Ayuda: Recuerde la propiedad de superposición para sistemas lineales.
− {5} 5 1 , , {8} 8 5 5 8 5 5 71 1 17 1 Teniendo en cuenta que la trasformada transformada de
Aplicando la propiedad de superposición , de este modo:
Entonces para
es es
, por lo tanto:
, donde
:
Al desarrollar en fracciones parciales
, se tiene:
15 1 1 7 1 1 7
y y
1 5 5 1 5 7 = 1= 17 71 56 11 = 5 17= 15 171 356 5 35 6 6 71 1 8 17 5 35 8 6 17 6 11 17 − 56 17 356 88 17 5 3 1 6 7 365
En consecuencia, el desarrollo en fracciones parciales para
Ahora,
es
es:
Por lo tanto:
Aplicando la transformada
Simplificando
a cada fracción de
se obtiene
Comprobación en MATLAB®
n=1:10; Hnum=[-1 0]; % Numerador de H(z) Hden=[1 -1/7]; % Denominador de H(z) x1=5*ones(1,10); % 5u[n] x2=[-8,zeros(1,9)]; % -8Sn] s=filter(Hnum,Hden,x1); h=filter(Hnum,Hden,x2); y=s+h; % Superposición; Practico yn=-35/6+53/6*(1/7).^(n-1); % n>=0; Teórico stairs(n-1,y,'k' stairs(n-1,y,'k') ) hold on stairs(n-1,yn,'-.r' stairs(n-1,yn,'-.r') )
Response 4 Teorico
3
Practico
2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4 5 samples
6
7
8
9
En el script desarrollado, se grafica 10 muestras de la respuesta obtenida teóricamente y de obtenida forma práctica en MATLAB®. Al comparar los resultados se puede verificar que las respuestas son iguales y así, comprobar el correcto co rrecto desarrollo del ejercicio en forma teórica.
