MAT MA TA KULIAH KUL IAH MA MATEMATIKA TEMATIKA DIII POLTEK TEKNIK
Fungsi Eksponensial & Fungsi Logaritma Oleh : SUPADMI, S.Si.M.Sc
Eksponen
Eksponen
Sifat-sifat Sifat-sif at Eksponen Soal Latihan 1. Tentukan x, y, w
2. Tentukan x dan z
Sifat-sifat Eksponen Soal Latihan 1. Tentukan x dan y
2. Tentukan x, y dan z
Aturan Dasar Eksponen Aturan
1. b b b x b x y 2. y b b x
y
x y
3. b
x
b
3
2
xy
x x
x
a a 5. x b b
2
5/2
=
5
4. ab a b x
2
5
y
1/ 2
12
x
Contoh
8 1/ 3
6/2
12 3
5
6
3
9
5
6 / 3
8
2m 2
3
1/ 3
8 27
=
2 8 3
8
2
m 8m 3
3
1/ 3
2
8
1/ 3
27
3
1 64
Contoh: 1. Sederhanakan permasalahan
3 x
2 1/ 2
y
3 7
x y
4
34 x8 y 2 3 7
81 x5
y 5
x y
2. Selesaikan persamaan
3 x 1
4 x 2
2 2 3 x 1 24 x 2 2 6 x 2 4 x 2 2 2 6 x 2 4 x 2 2 x 4 x 2 4
Latihan Soal Latihan 1. Tentukan x & y
2. Hitung
Latihan 3. Hitung
Fungsi Eksponensial Suatu fungsi eksponensial dengan basis b and eksponen x
f ( x) b
b 0, b 1
x
Co:
f ( x ) 3
x
x 1
y f ( x)
y 1
3
0
1
1 2
3 9
(0,1) Domain: Real Range : y > 0
Sifat Fungsi Eksponensial x f ( x) b b 0, b 1 1. Domain:
,
2. Range:
(0, )
3. Melewati titik
(0, 1).
4. Kontinu di seluruh domain. 5. Jika b > 1, fungsi naik pada , Jika b < 1, fungsi turun pada ,
Fungsi Eksponensial x
y = ( b)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg
Logaritma Logaritma dari x dengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai
y = logb x
jika dan hanya jika
Contoh.
log 3 81
4
log 7 1 0
log1/ 3 9
log 5 5 1
2
y
x = b
( x
>
0)
Contoh Selesaikan persamaan berikut a.
b.
log 2 x 5
x 2 32 5
log 27 3 x 3 27 x
3 33 x 1 3 x
1 3
x
am an m n
Aturan Logaritma 1. l og b mn log b m log b n
m 2. log b log b m log b n n 3. log b mn n log b m 4. log b 1 0 5. log b b 1
Notasi:
Logaritma Umum
log x log10 x
Logaritma Natural
ln x loge x
x
e & ln x e
ln x
ln e
(
= x
x
x >
0)
(untuk seluruh x real)
= x
Contoh: Selesaikan
1 3
e2 x 1 10 e2 x 1 30
2 x 1 ln(30) ln utk ruas kiri & kanan x
ln(30) 1 2
1.2
Contoh Sederhanakan:
7
log5
25x y z
log5 25 log5 x7 log5 y log5 z 1/ 2 1
2 7 log5 x log5 y log5 z 2
Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya
f ( x) logb x 1. Domain: 2. Range:
b 0, b 1
(0, )
,
3. Melewati titik 4. Kontinyu pada
(1, 0).
(0, )
5. Jika b > 1, fungsi naik pada Jika b < 1, fungsi turun pada
(0, ) (0, )
Grafik Fungsi Logaritmik Ex.
f ( x) log 3 x
f ( x) log1/ 3 x x
1 y 3
y 3
x
(1,0)
y log3 x
y log1/ 3 x
Fungsi Logaritma x
y = ( b) Û
Û
Û
log y = x log b x =
log y log b
x = log b y Fungsi Logaritma adalah Invers dari Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritma basis e y = loge x = ln x
e= 2.718281828
nb: Konstanta “e” e=Konstanta Napier (e=Euler)
nb: Konstanta “e” Luas daerah di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x antara x=1 dan x=e:
e
1
dx x
=
ln e = 1
APLIKASI
Fungsi Eksponensial & Fungsi Logaritma
Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Film “Pay It Forward ” (th 2000)
Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang lain. Jika orang yg ditolong merasakan manfaatnya, maka dia juga harus menolong orang lain, dst …
RUMUS yg mana?
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Pada awal tahun kita menabung A rupiah dengan bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank. Berapakah jumlah uang kita pada akan datang?
waktu yang
Untuk membuat model matematika dari masalah ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang mempengaruhinya, misalnya • suku bunga (i n t e r e s t r a t e ) dan • waktu.
Pertumbuhan Eksponensial Model waktu diskrit: Jika masalah kita sederhanakan dengan asumsi suku bunga konstan r per tahun. “
”
Waktu (t ) sebagai variabel mengikuti bilangan bulat tak negatif t=0,1,2,3, dan …
G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah tahun ke t , maka kita mendapatkan:
G(t ) = A (1 + r )
t
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpan uang 100 jt di bank dengan bunga r (8%)
1
100 (1 + 0.08) T=0 Rp. 100 jt
T=1
100 (1 + 0.08)
2
T=2
G(t ) = A (1 + r )
100 (1 + 0.08) T=3
t
3
Pertumbuhan Eksponensial
G(t ) = 100 (1 + 0.08) t = 1,2,… ,20
t
Pertumbuhan Eksponensial Contoh: Menyimpan uang sejumlah 100 juta di bank dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan)
G(t ) = A 1 +
100 1 +
T=0 Rp. 100 M
0.08 12
T=1
12
÷
100 1 +
r n
nt
÷
0.08
T=2
12
24
÷
100 1 +
T=3
0.08 12
36
÷
