PEWARNAAN graph

PEWARNAAN TITIK / SIMPUL

Pengertian.
Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian sehingga setiap dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) mempunyai warna yang berbeda. Dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) adalah dua titik yang dihubungkan oleh sebuah sisi.
Contoh 1 :
v v

v4 v3
Titk v1 bertetangga dengan titik v2 dan v4 dan tidak bertetangga dengan titik v3, berarti titik titik v1 tidak boleh berwarna sama dengan titik v2 dan v4 tetapi boleh berwarna sama dengan titik v3.
Dalam pewarnaan graph, kita tidak hanya sekedar mewarnai titik – titik dengan warna yang berbeda dari warna titik yang bertetangga saja, tetapi kita juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan seminimum mungkin. Dan pewarnaan titik di sisi dibatasi pada graph sederhana atau graph yang tidak mempunyai sisi rangkap atau gelung.
Contoh 2 : v1 v2

v6 v7 v3

v5 v4
G

Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai titik pada suatu graph G disebut bilangan kromatik graph G, yang dilambangkan dengan χ(G). Suatu graph yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k. Berarti graph G pada contoh 2 di atas mempunyai bilangan kromatik = 3 atau χ(G) = 3.
Teorema – teorema yang berhubungan dengan bilangan kromatik suatu graph.
Teorema 8.1.
a). Jika ada sebuah pewarnaan – k pada graph G, maka χ (G) k
Bukti :
Jika ada pewarnaan – k pada graph G berarti semua titik pada graph G dapat diwarnai dengan menggunakan k warna.
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknya warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada graph G, sedemikian sehingga syarat pewarnaan terpenuhi. Maka χ (G) k
Contoh 3 v v

v v
G
Pewarnaan – 4 atau χ (G) = 4 (k = 4)
Sebenarnya graph G pada contoh 3 di atas dapat diwarnai dengan menggunakan
2 warna




v v2


v v
G
dengan demikian χ (G) = 2 berarti χ (G) k
b). Jika H sebuah graph bagian dari graph G, maka χ (H) χ (G)
Bukti :
Misalkan H sebuah graph bagian dari graph G. Berarti V(H) V(G) dan E(H) E(G)
Karena setiap pewarnaan titik H dapat diperluas ke sebuah pewarnaan titik di G, maka χ (H) χ (G)
contoh 4 :
v v v v

v

v v v v
G H
diperoleh χ (G) = 3 dan χ (H) = 2 berarti χ (H) χ (G)
c). Jika G , G , . . . , Gk adalah komponen – komponen graph G, maka : χ (G) = maks XGi1 i k
Bukti :
Misalkan Gi untuk suatu 1 i k yang ditulis dengan G , G , . . . , Gk adalah komponen – komponen graph G yang mempunyai bilangan kromatik maksimum, katakan t.
Sehingga t warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik di Gi, dapat digunakan untuk mewarnai semua titik di G pada komponen selain Gi, sehingga diperoleh sebuah pewarnaan – t pada G.
Berdasarkan definisi bahwa χ (G) t dan karena Gi adalah graph bagian dari G dan χ(Gi) = t, maka χ(G) χ(Gi) = t
Karena χ (G) t dan χ(G) t, maka χ(G) = t
Contoh 5 :





G
:










G1 G2 G3

Graph G1, G2 dan G3 adalah komponen – komponen dari graph G.
Teorema 8. 2.
a). Jika graph G adalah graph komplit dengan n titik, maka χ (G) = n.
Bukti :
Karena pada graph komplit setiap dua titik berhubungan langsung, sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harus diwarnai dengan warna yang berbeda.

Contoh 6 :


G
Graph G dengan 4 titik maka χ (G) = 4
b). Jika graph G adalah graph kosong, maka χ (G) = 1
Bukti :
Karena graph kosong hanya terdiri dari titik – titik dan tidak ada sisi yang menghubungkan dua titik, berarti setiap titik boleh mempunyai warna yang sama.
Contoh 7 :

graph G dengan χ (G) = 1

Teorema 8.3.
Misalkan G graph tak kosong. Graph G bipartisi jika dan hanya jika χ (G) = 2
Bukti : ( ) Jika G bipartisi maka χ (G) = 2
G bipartisi maka G dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan X dan Y.
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X (karena tiap titik di X tidak saling berhubungan)
Gunakan warna 2 untuk mewarnai semua titik di Y (karena tiap titik di Y tidak saling berhubungan)
Sehingga hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnai graph G, berarti χ (G) = 2

Contoh 8 : X (1) (1) (1)

Y (2) (2) (2)
Graph G dengan χ (G) = 2
Bukti : ( ) Jika χ (G) = 2 maka G bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna (1) diletakkan dalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai dengan warna (2) diletakkan dalam himpunan Y.
Berarti titik – titik yang terletak dalam himpunan X tidak mungkin saling berhubungan karena berwarna sama, begitu juga untuk titik – titik yang terletak dalam himpunan Y, tetapi pastilah titik – titik yang terletak dalam himpunan X dan titik - titik yang teletak dalam himpunan Y berhubungan agar terbentuk suatu graph. Sehingga graph yang terbentuk adalah graph bipartisi.
Contoh : v1 v2

v3 v4 v5
Graph G dengan χ (G) = 2
Teorema 8,4.
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka χ (G) = 2, jika n genap3, jika n ganjil
Bukti :
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik. Maka panjang sikel Cn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 dan Cn bukan graph kosong, maka χ (G) 3
Selanjutnya misalkan Cn = (v1, v2, v3, . . . , vn)
Untuk n ganjil dan 1 i n – 2, warnai titik vi dengan warna 1. Untuk n genap dan 1 i n – 1, warnai titik vi dengan warna 2. Akhirnya warnai titik vn dengan warna 3.
Maka diperoleh sebuah pewarnaan – 3 pada Cn. Berdasarkan definisi bilangan kromatik, maka χ (G) 3.
Karena χ (G) 3 dan χ (G) 3, maka χ (G) = 3.
Jadi untuk Cn adalah sikel dengan n titik maka untuk n genap maka χ (Cn) = 2 dan untuk n ganjil maka χ (G) = 3.
Contoh 9 :




Cn Cn
dengan n = 6 dengan n = 5
χ (C4) = 2 χ (C5) = 3
Teorema 8.5.
Jika G graph sederhana dengan derajat maksimum Δ(G) , maka χ(G) Δ(G) + 1
Bukti : (dengan induksi)
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, dapat ditulis V(G) = n
Untuk V(G) = 1 maka G = K1 (G graph kosong) , sehingga χ(G) = 1 dan Δ(G) = 0. Akibatnya : χ(G) = 1 0 + 1
χ(G) = Δ(G) + 1
jadi pernyataan benar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graph G dengan V(G) = n – 1 untuk n > 1 dan misalkan G graph sederhana dengan V(G) = n.
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v itu sehingga terbentuk graph baru G–v dengan n - 1 titik.
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G-v) Δ(G-v) + 1, berarti semua titik di graph G-v dapat diwarnai dengan Δ(G-v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada garph g maka Δ(G-v) Δ(G).
Dari Δ(G-v) Δ(G) terdapat 2 kasus, yaitu :
Kasus 1 : (Δ(G-v) = Δ(G)
Karena χ(G-v) Δ(G) + 1, berarti semua titik di G-v dapat diwarnai dengan Δ(G) + 1 warna sedemikian hingga syarat pewarnaan terpenuhi.
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai NG(v) di G-v sebanyak – banyaknya Δ(G), padahal pewarnaan - (Δ(G) + 1) di graph G-v, maka terdapat paling sedikit satu warna di G-v yang tidak muncul pada NG(v) di G, sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnai titik v di G. diperoleh pewarnaan - (Δ(G) + 1) pada graph G.
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperoleh χ(G) Δ(G) + 1
Kasus 2 : (Δ(G-v) < Δ(G)
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G-v) Δ(G-v) + 1
Karena χ(G-v) Δ(G) + 1 dan χ(G-v) < Δ(G), maka χ(G-v) < Δ(G) + 1 atau χ(G-v) Δ(G) + 1 (karena bilangan kromatik dari graph G-v adalah bilangan bulat). Artinya ada pewarnaan - Δ(G) pada graph G-v.
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna yang muncul di graph G-v sehingga diperoleh pewarnaan - (Δ(G) + 1) pada graph G.
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G-v) Δ(G) + 1


Algoritma WELCH – POWELL (algoritma pewarnaan titik pada graf)
Pewarnaan titik pada graph dapat dilakukan dengan mengguakan Algoritma WELCH – POWELL, dengan langkah – langkah sebagai berikut :
Urutkan titik – titik dari G dalam derajat menurun,
d(V ) > d(V ) > d(V ) > . . . > d(Vn) (boleh memakai tabel)
2. Gunakan warna pertama (I) untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi (v )) dan titik yang tidak bertetangga dengan v
3. Gunakan warna ke dua (II) untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi berikutnya.
4. Ulangi penambahan warna – warna sampai semua titik terwarnai.
Contoh 10 :
Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.
v1 v2


V6 v7 v3


v5 v4
G
dengan langkah – langkah sebagai berikut :
Urutkan titik dari G, seperti pada tabel
Titik
v1
v3
v5
v7
v2
v4
v6
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
warna
A
B
b
c
c
A
d

Dari tabel diperoleh v1 mempunyai derajat tertinggi yaitu 5, warnai titik v1 dengan warna a dan warnai titik lain (yaitu titik v4) yang tidak berhubungan langsung dengan titik v1 dengan warna a.
Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v3 (dengan derajat 4) dengan warna b, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v3 yaitu titik v5, kemudian warnai titik v5 dengan warna yang sama dengan titik v3 yaitu warna b.
Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v7 (dengan derajat 4) dengan warna c, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v7 yaitu titik v2, kemudian warnai titik v2 dengan warna yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.
Kemudian warnai titik terakhir yang belum terwarnai yaitu titik v6 dengan warna d.
v1(a) v2(c)


V6 (d) v7 (c) v3 (b)


v5(b) v4(a)
Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 4 warna, berarti χ(G) = 4.
Contoh 11 :
Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.
A H
G
B
C F
D E
Urutkan titik dari G, seperti pada tabel
Titik
H
A
D
F
B
C
E
G
Derajat
5
4
4
4
3
3
3
2
Warna
a
b
b
c
a
c
c
a

Dengan langkah yang sama dengan soal nomor 10, maka diperoleh :
A(b) H(a)
G(a)
B(a)
C(c) F(c)
D(b) E(c)
Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 3 warna, berarti χ(G) = 3.

Aplikasi pewarnaan titik pada graph
Pewarnaan titik pada graph dapat diaplikasi keberbagai bidang, diantaranya :
Penjadwalan ujian.
Persoalan yang mempunyai karakteristik seperti pewarnaan graph adalah persoalan menentukan jadwal ujian. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, 3, . . ., 8) dan lima mata kuliah yang dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i,j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.





1
2
3
4
5
6
7
8
A
0
0
0
1
0
0
1
0
B
1
1
0
1
1
0
0
0
C
0
0
1
0
0
1
1
1
D
0
1
1
0
1
1
0
1
E
1
0
0
0
0
0
0
0

Berdasarkan tabel tadi, administatur mata kuliah ingin menentukan jadwal ujian sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya. Pendek kata, jika ada mahasiswa yang mengambil dua buah mata kuliah atau lebih, jadwal ujian mata kuliah tersebut harus pada waktu yang tidak bersamaan. Ujian dua mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada mahasiswa yang sama yang mengikuti ujian dua mata kuliah itu. Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut?
Penyelesaian :
Penyelesaian persoalan menentukan jadwal ujian semua mata kuliah sama dengan menentukan bilangan kromatik suatu graph. Kita dapat menggambarkan graph yang menyatakan penjadwalan ujian, dengan titik – titik pada graph menyatakan mata kuliah sedangkan sisi yang menghubungkan dua titik pada graph menyatakan ada mahasiswa yang memilih kedua mata kuliah itu.


Persoalan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk graph seperti di bawah ini :
A(b) B(a)

C(a)

E(b) D (b)

Titik
B
A
C
D
E
Derajat
3
2
2
2
1
warna
a
B
a
b
b

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 2. Jadi jumlah hari yang paling sedikit dibutuhkan untuk jadwal ujian lima mata kulaih untuk delapan orang mahasiswa tersebut adalah 2 hari.
Penempatan bahan – bahan kimia secara efisien
Ada enam jenis zat kimia yang perlu di simpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari zat itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat eksplosif (mudah meledak). Utnuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang – ruang yang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih banyak ruangan yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang harus dikeluarkan karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama.
Zat kimia
Tidak dapat disimpan bersama zat kimia
A
B, D
B
A, D, E, F,
C
E,
D
A, F, B
E
B, C,
F
B, D

Penyelesaian :
Graph dari tabel di atas adalah
A© B(a)
C (a)

F©
D(b)
E(b)
Keterangan :
Titik menyatakan zat kimia dan sisi yang menghubungkan dua zat kimia yang tidak boleh terletak dalam satu ruangan.
Titik
B
D
A
E
D
C
Derajat
4
3
2
2
2
1
Warna
A
b
c
b
C
A

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 3, berarti dibutuhkan banyak ruangan minimum untuk menyimpan enam zat kimia pada soal di atas adalah sebanyak 3 ruangan.





PEWARNAAN SISI
Pengertian Pewarnaan sisi pada graph
Sebuah pewarnaan sisi pada graph adalah pewarnaan semua sisi pada graph tanpa loop(gelung). Suatu pewarnaan –sisi-k untuk graph G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan –sisi-k, maka dikatakan sisi-sisi di G diwarnai dengan k warna.
Contoh :

(B) (C) (D)
Gambar 1
Indeks khromatik (chromatic index) pada graph G
Indeks khromatik graph G adalah Misalkan G sebuah graph. Bilangan yang menyatakan minimum banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai semua sisi G sedemikian hingga setiap dua sisi G yang terkait ke titik yang sama mendapatkan warna yang berbeda. Indeks khromatik diyatakan dengan '(G). Biasanya warna-warna yang digunakan untuk mewarnai sisi-sisi suatu graph dinyatakan dengan 1, 2, 3,…, k.
'(G) = minimum kada pewarnaan sisi-k pada G

Contoh :


G G
(a) (b)
Gambar 2
Pada gambar 2(A), indeks kromatik = 3 karena minimum banyaknya warna untuk mewarnai semua sisi pada gambar graph G adalah 3. Dan pada gambar 2 (B), indeks kromatik = 4 karena minimum bayaknya warna untuk mewarnai semua sisi pada gambar graph G adalah 4.
Sikel dengan n titik, Cn mempunyai '(Cn) = 2 jika n genap dan '(Cn) = 3 jika n ganjil
Untuk graph komplit dengan n titik, Kn diperoleh '(Kn) = n – 1 jika n genap dan '(Kn) = n jika n ganjil.
Indeks khromatik sebuah graph sederhana selalu sama dengan derajat maksimumnya atau derajat maksimum ditambah satu. Namun sebelumnya kita perlu memahami konsep rantai kempe dan argumen rantai kempepada pewarnaan sisi graph. Misalkan G adalah sebuah graph yang semua sisinya dapat diwarnai dengan paling sedikit dua warna. Sebuah graph bagian G yang dibangun oleh semua sisi G yang bewarna i dan j dengan i j dilambangkan dengan H(i,j). Sebuah komponen dari H(i,j) disebut sebuah rantai kempe. Misalkan K sebuah rantai kempe pada H(i,j), jika warna i dan warna j dipertukarkan npada sisi-sisi K, sedangkan warna sisi-sisi yang lain tetap, maka akan diperoleh pewarnaan G yang baru dengan menggunakan warna-warna yang lama. Proses ini disebut argumen rantai kempe.
Teorema 8.7 : (Teorema Vizing)
Jika G graph sederhana maka (G) '(G) (G) + 1
Bukti
Misalkan G grah sederhana dengan (G) = dan v Є V(G) dengan d(v) = . Karena terdapat sisi G terkait di titik v, maka untuk memenuhi semua sisi tersebut diperlukan sebanyak warna. Sehingga
Sikel dengan n titik, Cn mempunyai indeks kromatik dengan '(G) (G). Untuk membuktikan '(G) (G) + 1, digunakan induksi pada "E(G)" = m. Untuk m = 0, maka (G) = 0 dan '(G) = 0. Sehingga '(G) = 0 0 + 1 = (G) + 1.
Asumsikan pernyataan benar untuk "E(G)" = m – 1.
Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk "E(G)" = m.
Misalkan G graph sederhana dengan m sisi dan e = uv sebuah sisi G, maka graph G1= G-e adalah graph sederhana dengan m-1 sisi. Berdasarkan asumsi, '(G) (G) + 1.
Karena (G1) (G), maka '(G1) (G) + 1. Ini berarti ada pewarnaan sisi ((G) + 1) pada graph G1.
Karena dG1(u) (G1) (G), maka ada paling sedikit satu warna dari G + 1, warna tidak muncul pada sisi-sisi G1 yang terkait di titik v.
Kasus 1: Warna yang muncul di u dan v sama
Misalkan warna α tidak muncul di u dan v dalam pewarnaan-((G)+1) pada G1. Maka sisi c di graph G dapat diwarnai dengan menggunakan warna α, sehingga diperoleh pewarnaan-((G)+1) pada graph G, akibatnya '(G) (G) + 1.

Kasus 2 : warna yang tidak muncul di u berbeda dengan warna yang tidak muncul di v.
Misalkan warna α tidak muncul di u dan warna β tidak muncul di v.
Klaim bahwa ada sisi e1terkait dengan u di graph G1bewarna β. Sebab jika tidak, maka warna β tidak muncul di u, padahal β juga tidak muncul di v. Hal ini kontradiksi jadi haruslah ada sisi e2terkait dengan v di graph G1 bewarna α.
Selanjutnya, perhatikan graph bagian G1 yang dibangun oleh sisi-sisi bewarna α dan β yaitu H(α,β). Kita tinjau dua subkasus.

Subkasus 2.1 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai yang berbeda.
Misalkan sisi e1 ter;letak pada rantai kempe K dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe L. Terapkan argumen rantai kempe pada K, akibatnya warna β tidak muncul di titik u; padahal warna β dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G, sehingga diperoleh pewarnaan-( (G) + 1). Dengan demikian '(G) (G) + 1.

Subkasus 2.2 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe H(α,β) yang sama.
Misalkan rantai Kempe K di H (α,β) memuat sisi e1 dan e2. Maka ada lintasan dari titik u ke titik v di K pada graph G1 Misalkan ada sisi lain dari G1 yang bewarna γ terkait di sebuah titik internal lintasan tersebut, misalnya titik w. Putus rantai k pada titik wyang sisi terkaitnya dengan w berwarna α sehingga diperoleh H(α,γ) yang memuat rantai kempe baru, namakan L. Terapkan argumen rantai kempe pada L, sehingga warna α tidak muncul di titik w. Perhatikan K sudah terputus pada pewarnaan baru, selanjutnya terapkan argumen rantai Kempe pada K, maka warna β tidak muncul di titik u; padahal warna β juga tidak muncul di v, sehingga warna β dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G, akibatnya diperoleh pewarnaan-sisi-( (G) + 1) pada graph G. Dengan demikian '(G) (G) + 1. Jika tidak ada sisi bewarna γ yang terkait, maka K berupa lintasan. Putus lintasan tersebut pada w, dan terapkan argumen rantai Kempe pada rantai tersebut, maka warna β tidak muncul di titik u. Karena warna β juga tidak muncul di v, maka warna β dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G. Sehingga diperoleh pewarnaan-sisi-( (G) + 1) pada graph G. Dengan demikian '(G) (G) + 1.
Khusus untuk graph bipartisi, diperoleh hasil yang eksak seperti terlihat dalam teorema berikut.
Teorema 8.8
Jika G graph bipartisi dan tak kososng maka '(G) = (G).

Pengklasifikasian Berdasar Indeks Khromatik Graph
Berasarkan teorema 8.7 hanya ada dua kemungkinan nilai dari indeks khromatiksuatu graph deserhana yaitu sama dengan derajat maksimum ditambah 1. Selanjutnya graph G disebut graph kelas satu jika '(G) = (G). Dan graph kelas dua jika '(G) = (G). Misalnya sikel panjang genap adalah graph kelas satu, sedangkan sikel dengan panjang ganjil adalah graph kelas dua. Begitu juga, graph komplit Kn adalah graph kelas satu untuk n genap dan untuk n ganjil Kn adalah graph graph kelas dua.

Teorema 8.9 : Misalkan G graph dengan n titik, m sisi dan derajat maksimum jika m > n2 maka G adalah graph kelas dua.
Bukti
Andaikan G bukan graph kelas dua, maka G adalah graph kelas satu, sehingga'(G) = (G) = . Ini berarti ada pewarnaan-sisi- pada graph G. Jadi E(G) dapat dipartisi menjadi himpunan sisi-sisi independen. Setiap himpunan sisi independen tersebut memuat paling banyak n2 sisi G, maka m = E(G) n2.
Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui jadi haruslah G adalah graph kelas dua.

Aplikasi Pewarnaan sisi pada Graph
Beberapa aplikasi pewarnaan sisi pada graph adalah :
Pada sistem jaringan komunikasi yang melibatkan sekumpulan sentra dan sekumpulan chanel yang menghubungkan sentra-sentra tersebut. Untuk mengoperasikan sistem tersebut, setiap chanel harus diberi frekuensi tertentu. Supaya tidak terjadi masalah, maka chanel-chanel yang bertemu di suatu sentra tertentu harus diberi frekuansi yang berbeda. Minimum banyaknya frekuensi yang diperlukan untuk mengoperasikan sistem komunikasi tersebut. Dalam hal ini himpunan sentra komunikasi berkorespondensi dengan himpunan titik pada graph dan chanel yang menghubungkan dua sentra dipresentasikan dengan sisi graph. Frekuensi berkorespondensi dengan warna sisi pada graph. Menentukan minimum banyakny frekuensi yang diperlukan berkorespondensi dengan menentukan indeks khromatik pada graph yang mempresentasikan sistem komunikasi tersebut.
Aplikasi pewarnaan sisi pada graph khususnya graph bipartisi adalah untuk mengkonstruksi bujur sangkar latin. Telah diketahui luas, bahwa bujur sangkar latin banyak digunakan dalam statistika, khususnya dalam membuat rancangan percobaan yang valid. Secara formal, defenisi bujur sangkar latin adalah sebuah bujur sangkar latin order n adalah matriks bujur sangakar n x n yang entri-entrinya dilabel dengan bilangan-bilangan 1, 2, 3, ..., n sedemikian hingga tidak ada sebuah bilangan muncul lebih dari satu baris dan lebih dari satu kolom.
Contoh bujur sangkar latin 5 x 5 dapat dilihat sebagai berikut :
3 4 5 1 2
5 1 2 3 4
2 3 4 5 1
4 5 1 2 3
1 2 3 4 5
Bujur sangkar latin ordo n x n da[pat dikonstruksi menggunakan sebuah pewarnaan sisi-n graph bipartisi komplit Kn,n.
Karena (Kn, n) = n, maka menurut teorema 8.8, '(Kn,n) = n. Sehingga ada pewarnaan-sisi-n pada graph Kn,n. Misalkan (X,Y) adalah bipartisi dari Kn,n dan X = x1, x2, x3, …, xn dan Y = y1, y2, …., yn dan misalkan 1,2,...,n adalah label-label warna. Defenisikan matriks A = (aij ) sebagai berikut :
aij = k jika sisi xiyk bewarna j (terkait dengan xi).
Maka untuk setiap dua indeks j1 dan j2 yang berbeda , aiji aij2. Hal ini menunjukkan bahwa setiap baris A mempunyai n entri yang berbeda. Lebih lanjut, jika i1 . i2 . ai1j = ai2j (katakan bernilai k), maka titik yk merupakan titik ujung dua sisi G yang berwarna j, suatu kontradiksi. Sehingga setiap kolom A memuat n entri yang berbeda. Dengan demikian matriks A merupakan bujur sangkar latin ordo nxn.

http://arniatiu.files.wordpress.com/2010/12/pewarnaan-titik-w1.docx.
http://oktamira.files.wordpress.com/2010/12/pewarnaan-sisi-pada-graph.docx