Persamaan Dan Fungsi Eksponen

PERSAMAAN DAN FUNGSI EKSPONEN

1


I. PERSAMAAN EKSPONEN A. Persamaan Eksponen. Persamaan eksponen adalah persamaan yang peubahnya berfungsi sebagai eksponen (pangkat) dari suatu bilangan berpangkat. Contoh : 1). 2x+2 = 8 2). 3x+1 = 4x+1 3). (x-3)x+2 = (x-3)4x-3 Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaiut sebagai berikut : 1. af(x) = 1 4. af(x) = bf(x) 7. f(x)g(x) = h(x)g(x) 2. af(x) = ap 5. af(x) = bg(x) 8. f(x)g(x) = 1 f(x) g(x) g(x) h(x) 3. a = a 6. f(x) = f(x) 9. A.(af(x))2 + B.(af(x)) + C = 0 Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen perlu diingat sifatsifat perpangkatan sebagai berikut : 1. a m .a n  a m n a n an 5. ( )  n am b b m n 2. a m n a 6. a n  n a m 1 3. (a m ) n  a m.n 7. a  m  m a 0 n n n 8. a  1 4. (a.b)  a .b Sifat-sifat lain yang perlu diingat sebagai dasar penyelesaian persamaan eksponen adalah : 1. Jika am = an dan a  0 , maka m = n. 2. Jika am = bm dengan a dan b bilangan positif dan a  b  1 , maka m = 0 B. Macam-macam Persamaan Eksponen 1. Bentuk a f ( x )  1 a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 3 x 5 x  6  1 Penyelesaian : 2 3 x 5 x  6  1

3x

2

5 x  6

 30

x 2  5x  6  0 ( x  2)( x  3)  0 x 2 atau x  3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}.

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4 3 x 9  1 Penyelesaian : 4 3 x 9  1 4 3 x 9  4 0 3x  9  0 3x  9 x3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }.

2


2. Bentuk a f ( x )  a p a. Tentukan himpunan penyelesaiann dari persamaan 3 4 x 1  27

b. Tentukan himpunan penyelesaian

Penyelesaian : 3 4 x 1  27

Penyelesaian : 1 9 x 4  27 2 x 4 (3 )  3 3

3 4 x 1  33 4x  1  3 4x  4 x 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.

dari persamaan

x4



1 27

3 2 x 8  3 3 2 x  8  3 2x  5 1 x2 2 Jadi himpunan penyelesaiannya 1 adalh { 2 }. 2

3. Bentuk a f ( x )  a g ( x ) a..Tentukan himpunan penyelesaian dari b..Tentukan himpunan peyelesaian dari 2 persamaan 16 x  2  64 x 1 persamaan 3 x 3 x  4  9  x 1 Penyelesaian : 16 x  2  64 x 1

Penyelesaian : 2 3 x  3 x  4  9  x 1

(4 2 ) x  2  (4 3 ) x 1

3x

2

3 x  4

 (3 2 )  x 1

3x

2

3 x  4

 3 2 x  2

4

2 x4

4

3 x 3

2 x  4  3x  3 2 x  3x  3  4  x  1 x 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

x 2  3 x  4  2 x  2 x 2  3x  2 x  4  2  0 x 2  5x  6  0 ( x  2)( x  3)  0 x  2 atau x  3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,-3}

3


4. Bentuk a f ( x )  b f ( x ) a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 x  3  7 x 3 Penyelesaian : 3 x  3  7 x 3

b. Tentukan himpunan penyelesaian 2 2 dari persamaan 7 x 5 x  4  8 x 5 x  4

x3 0

x 2  5x  4  0

x3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }.

Penyelesaian: 2 2 7 x 5 x  4  8 x 5 x  4 ( x  1) x  4)  0 x  1 atau x  4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1,4 }

5. Bentuk a f ( x )  b g ( x ) a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 5 3 x 1  3 2 x 1 Penyelesaian : 5 3 x 1  3 2 x 1 log 53 x 1  log 3 2 x 1 (3 x  1) log 5  (2 x  1) log 3 3 x log 5  log 5  2 x log 3  log 3 3 x log 5  2 x log  log 5  log 3 x(3 log 5  2 log 3)  log 5  log 3 log 5  log 3 x 3 log 5  2 log 3 Jadi himpunan penyelesaiannya  log 5  log 3  adalah  x   3 log 5  2 log 3  

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 x 1  3 x 1 Penyelesaian : 2 x 1  3 x 1 log 2 x 1  log 3 x 1 ( x  1) log 2  ( x  1) log 3 x log 2  log 2  x log 3  log 3 x log 2  x log 3  log 2  log 3 x(log 2  log 3)  log 2  log 3 log 2  log 3 x log 2  log 3 Jadi himpunan penyelesaiannya  log 2  log 3  adalah  x   log 2  log 3  

4


6. Bentuk f ( x) g ( x )  f ( x) h ( x ) Persamaan eskponen bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu : a. f(x) = 1 b. g(x) = h(x) c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama genap atau f(x) dan h(x) sama-sama ganjil. d. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama positif. Contoh : 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ( x  1) x 5 x 9  ( x  1) 2 x 3 Penyelesaian yang mungkin : a. f(x) = 1  (x-1) = 1  x = 2 b. g(x) = h(x)  x2 - 5x + 9 = 2x - 3  x2 – 5x – 2x + 9 + 3 = 0  x2 – 7x +12 = 0  (x – 4)(x – 3) = 0 x = 4 atau x = 3 c. f(x) = -1  (x – 1) = -1  x = 0 syarat : untuk x = 0  g(0) = 02 – 5.0 + 9 = 9 (ganjil)  h(0) = 2.0 – 3 = -3 (ganjil) g(x) dan h(x) sama-sama ganjil , Jadi x = 0 adalah penyelesaian. d..f(x) = 0  (x – 1) = 0  x = 1 syarat : untuk x = 1  g(1) = 12 – 5.1 + 9 = 1- 5 + 9 = 5 (positif)  h(1) = 2.1 – 3 = 2 – 3 = -1 (negatif) g(x) positif dan h(x) negatif, jadi x = 1 bukan penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 3, 4} 7. Bentuk f ( x) g ( x )  h( x) g ( x ) Persamaan bentuk f(x)g(x) = h(x)g(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian yaitu : a. f(x) = h(x) b. g(x) = 0 dengan syarat f(x) dan h(x)  0 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan (2 x 2  3 x  1) x  2  ( x 2  x  6) x 2 Penyelesaian yang mungkin adalah : a. f(x) = h(x)  2x2 – 3x + 1 = x2 + x + 6  2x2 – x2 – 3x – x + 1 – 6 = 0  x2 – 4x -5 = 0  (x + 1)(x – 5) = 0  x = -1 atau x = 5 5


b. g(x) = 0  x -2 = 0  x = 2 syarat : untuk x = 2  f(2) = 2.22 – 3.2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3  0  h(2) = 22 + 2 + 6 = 4 + 2 + 6 = 12  0 f(x) dan h(x)  0 , jadi x = 2 adalah penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 2 , 5} 8. Bentuk f ( x) g ( x )  1 Persamaan eksponen bentuk f(x)g(x) = 1 mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian yaitu : a. g(x) = 0 dengan syarat f(x)  0. b. f(x) = 1 c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap. Contoh : 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ( x 2  x  1) ( x  4)  1 Penyelesaian yang mungkin adalah : a. g(x) = 0  x2 – 4 = 0  x2 = 4  x =  2 syarat : untuk x = 2  f(2) = 22 + 2 – 1 = 4 + 2 – 1 = 5  0 untuk x = -2  f(-2) = (-2)2 + (-2) – 1 = 4 – 2 – 1 = 1  0 f(x)  0 , jadi 2 dan -2 adalah penyelesaian. b. f(x) = 1  x2 + x – 1 = 1  x2 + x – 1 – 1 = 0  x2 + x – 2 = 0  (x - 1)(x + 2) = 0  x = 1 atau x = -2 c. f(x)= -1  x2 + x – 1 = -1  x2 + x – 1 + 1 = 0  x2 + x = 0  (x + 1)x = 0  x = -1 atau x =0 syarat : untuk x = -1  g(-1) = (-1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 (ganjil), jadi x = -1 bukan penyelesaian. Untuk x = 0  g(0) = 02 – 4 = 0- 4 = -4 (genap), jadi x = 0 adalah penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 1 , 2}

9. Bentuk A.(a f ( x ) ) 2  B (a f ( x ) )  C  0, dengan

A0

Bentuk persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengubah ke bentuk persamaan kuadrat dalam af(x).

6


Contoh : a..Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 42x + 4x – 2 = 0.

b. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x + 2x+1 = 8

Penyelesaian: 42x + 4x – 2 = 0  (4x)2 + 4x – 2 = misal y = 4x, diperoleh persamaan : y2 + y – 2 = 0 (persamaan kuadrat dalam y)  (y + 2)(y -1) = 0  y = -2 atau y = 1 untuk y = -2  4x = - 2 (tidak ada penyelesaian) untuk x = 1  4x = 1  x = 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 }

SOAL LATIHAN: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 4 3 x 6  1 2 b. 3 x 5 x 6  1 2 c. 8 x 3 x 10  1 2 d. 7 x  2 x 15  1

Penyelesaian : 4x + 2x+1 = 8  (22)x + 2x.21 – 8 = 0  (2x)2 + 2.2x – 8 = 0 misal y = 2x, diperoleh persamaan

y2 + 2y – 8 = 0 (persamaan kuadrat dalam y)

 (y + 4)(y – 2) = 0  y = -4 atau y = 2 untuk y = -4  2x = -4 (tidak ada penyelesaian) untuk y = 2  2x= 2  x = 1. Jadi himpunan penyelesaianya adalah { 1 }.

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 3x-4 = 5x-4 2 2 b. 4 2 x 5 x 3  6 2 x 5 x 3 2 2 c. 5 x 6 x 8  6 x 6 x 8 2 2 d. 2 x  2 x 8  3 x 2 x 8

5. Tentukan himpunan 5. Tentukan nilai x yang memenuhi persapenyelesaian dari persamaan maan. : a. (2 x  1) x 3  (2 x  1) 2 x 5 2 1 a. 3 2 x 1  b. ( x  5) 3 x  2  ( x  5) x  x 6 27 x 2  2 x 1 3 x 2 7 x 4 c. ( 2 x  5 )  ( 2 x  5 ) 2 1 b. 2 x  4 x  8 2 1 c. 5 x 55  125 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 x 4 3 x 5 persamaan : a. 3 3 2 2 x 2 3 x  4 x 2 4 x  2 a. ( x 2  5 x  3) x 1  ( x 2  x  5) x 1 b. 4 4 x 2  x 1 b. (2 x 2  x  5) x 3  ( x 2  3x) x 3 1 x 4 c.    64 4 7


d. 2 x 3  3 16 x 3 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan . a. ( x  3) 2 x 6  1 b. ( x 2  3 x  1) x 5  1

8..Tentukan nilai x yang memnuhi persamaan : a. 25x + 5x+1 – 6 = 0 b. 5x + 51-x = 6 c. 2x+1 + 22x+3 = 36 d. 9x + 3x+1 – 4 = 0 e. 22x+3 – 17.2x + 2 = 0 f. 22x – 2x+1 = 8

c. ( x 2  4 x  3) x  2  1 d. (2 x  5) x

2

7 x 6

1 2

e. ( x 2  15 x  55) x 4  1 f. ( x 2  11x  29) x 2  1

II. FUNGSI EKSPONEN A. Fungsi Eksponen. Bentuk umum fungsi eksponen adalah f(x) = k.af(x), a > 0 dan a  1. 1. Bila fungsi f(x) = k.af(x) , dengan a > 1 , a  Q, dan x  R, maka fungsi f(x) disebut fungsi naik. 2. Bila fungsi f(x) = k.af(x), dengan 0 < a < 1, a  Q dan x  R, maka fungsi f(x) disebut fungsi turun. Grafik fungsi eksponen berupa garis lengkung yang selalu memotong sumbu Y di titik (0,1) dan selalu berada di atas sumbu X. Perhatikan gambar di bawah ini. 1 f(x) = k   a

x

f(x) = k.ax

Contoh : 2. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2x, untuk -3  x  3 !

8


Penyelesaian : Fungsi eksponen y = f(x) = 2x x -3 -2 x y=2 1 1 8 4

-1 1 2

0 1

1 2

2 4

3 8

y = 2x

x

1 3. Gambarkan grafik fungsi f(x) =   , untuk -3  x  3 ! 2

Penyelesaian : 1 Fungsi eksponen y = f(x) =   2

x 1 y=   2

x

-3 8

-2 4

1 y =   2

x

-1 2

0 1

1 1 2

2 1 4

3 1 8

x

9


B. Pertidaksamaan Eksponen Dari grafik fungsi eksponen di atas tampak bahwa : 1..Untuk a > 1.  Bila af(x)  ag(x), maka f(x)  g(x).  Bila af(x)  ag(x), maka f(x)  g(x). 2..Untuk 0 < a < 1.  Bila af(x)  ag(x), maka f(x)  g(x).  Bila af(x)  ag(x), maka f(x)  g(x). Contoh: 1..Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 24x-7 > 8 ! Penyelesaian : 24x-7 > 8  24x-7 > 23, karena a = 2, a > 1 , maka :  4x – 7 > 3  4x > 10 x>2½ Jadi nilai x yang memenuhi adalah x > 2½

2..Tentukan batas-batas nilai x yang meme1 nuhi pertidaksamaan   2 Penyelesaian : 3x4

3x4

1   2

2 x 3

2 x 3

1 1 , karena a = ½ dan 0 2x – 3  3x – 2x > -3 – 4  x > -7 Jadi batas nilai x yang memenuhi adalah x > -7

3..Tentukan batas-batas nilai x yang me 4..Tentukan batas-batas nilai x yang memex2  x 62 x memnuhi pertidaksamaan 1 1 2   nuhi pertidaksamaan   2 x 3 x  2  16 x  2 2 2 Penyelesaian : Penyelesaian : 2 2 x 3 x  2  16 x  2 x2  x 62 x 1 1 x 2 3 x 2 4 x 2   ( a = ½ , 0 < a < 1)   2  (2 ) 2 2     2 x 8  2 x 3 x 2  2 4 ( a = 2 , a > 1) maka : maka : x2 – x < 6 – 2x x2 + 3x – 2  4x – 8  x2 – x + 2x – 6 < 0 2  x + 3x – 4x - 2 + 8  0  x2 + x – 6 < 0 2 x –x–60  (x + 3)(x – 2) < 0  (x +2)(x-3)  0 ++++++-------++++++ ++++++ -----++++++ -3 2 -2 3 Jadi batas nilai x yang memenuhi adalah Jadi batas nilai x adalah -2  x  3 X  -3 atau x  2.

10


SOAL-SOAL LATIHAN 1..Gambarlah grafik fungsi eksponen 4..Tentukan himpunan penyelesaian dari per tidaksamaan : berikut dengan interval {x /-3 x 3} x x+1 a. f(x) = 3 b. f(x) = 2 a. 3x-3 < 93 2 x b. 37x < 9 x 2 1 x+1 c. f(x) = (½) d. f(x) =   2 c. 81x < 3 21 x 3 2..Tentukan batas-batas nilai x yang me d. 9.3x-7  243x-1 x memnuhi pertidaksamaan :  1  x 2 6 x 3x+2 x-1 e. 5   a. 16  64  25  2 b. 3 x  x 6  1 c. 32x+1 +5.3x < 2 5..Carilah himpunan penyelesaian dari perd. 22x – 2x+1 > 8 tidaksamaan : 3..Tentukan batas-batas nilai x yang me 1 a. 7 x 6  7 menuhi pertidaksamaan : 49 2 x 3 x2 1 1 b. 8 x 3  2 x 5 a.     x 2  2 x 1 4 2 1    x 3 2 x 1 c.    5 x 9 1 1 5 b.     4 2 1 d.  .3 2 x  2.3 x  9 x 2  4 x 9 1 1 3 c.    2 27 3 e. 4 x 8 x 15  1 x 2  4 x 1 x 5 f. 5x + 51-x < 6 1 1   d.   5 5 D..Penerapan Fungsi Eksponen. Fungsi eksponen dapat diterapkan dalam beberapa permasalahan di anataranya adalah Masalah pertumbuhan dan penluruhan (penyusutan). 1..Pertumbuhan. Pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan secara eksponensaial. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk, perhitungan bunga majemuk di bank dan lain-lain. Bila kekadaan awal dinyatakan dengan M, laju pertumbuhan dinyatakan dengan i dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setlah n periode adalah : Mn = M(1 + i)n Contoh : 1) Amir menabung uang di bank sebesar Rp 500.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 5% setahun. Berapa uang Amir setelah 3 tahun ? Penyelesaian : Modal awal + M = 500.000,00, sukun bungan = i = 5% = 0,05, periode = n = 3

11


Mn = M(1 + i)n M3 = 500.000,00(1 + 0,05)3 = 500.000,00(1,05)3 = 500.000,00(1,157625) = 578.812,50 Jadi uang Amir setelah 3 tahun sebesar Rp 578.812,50. 2).Suatu modal sebesar Rp 1.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk denga suku bunga 4% tiap empat bulan. Tentukan besarnya modal itu setelah dibungakan selama 3 tahun ? Penyelesaian Modal = M = 1.000.000,00, suku bunga i = 4% tiap 4 bulan , karena periodenya tiap 4 bulan, maka dalam 1 tahun ada 3 peride, 3 tahun ada 9 periode dengan demikian n=9 Mn = M(1 + i)n M9 = 1.000.000,00(1 + 0,04)9 = 1.000.000,00(1,04)9 = 1.000.000,00(1,42) = 1.420.000,00 Jadi besarnya modal setelah 3 tahun adalah 1.420.000,00 3).Banyak penduduk suatu kota mula-mula 600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu setelah n tahun adalah Pn = P(1,2)(0,1)n. Tentukan banyak penduduk kota itu setelah 10 tahun !. Penyelesaian : P = 600.000 n = 10 Pn = P(1,2)(0,1)n P10 = 600.000(1,2)(0,1)10 = 600.000(1,2)1 = 600.000(1,2) = 720.000 Jadi seteleh 10 tahun penduduk kota itu sebanyak 720.000 jiwa. 2.. Peluruhan (Penyusutan). Peluruhan (penyusutan) adalh berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan (penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif, penyusutan harga suatu barang, dan lain-lain. Bila keadaan awal dinyatakan dengan M , laju peluruhan (penyusutan) dengan i dan lamanya peluruhan (penyusutan) dengan n, maka keadaan setelah n periode dinyatakan dengan : Mn = (1 – i)n 12


Contoh : 1). Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun ? Penyelesaian : M = Rp 30.000.000,00, i = 10 = 0,1, n = 4 Mn = M(1 –i)n M4 = 30.000.000(1 – 0,1)4 = 30.000.000(0,9)4 = 30.000.000(0,6561) = 19.683.000 Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,00 2). Kadar radioaktif mineral mluruh secara eksponensial dengan laju perluruhan 8% setiap jam. Berapa persenkah kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam ? Penyelesaian: Jika kadar radioaktif mula-mula M, maka kadar radioaktif mineral setelah 3 jam adalah M3 = M(1 – i)3, dengan i = 8% = 0,08 = M(1 – 0,08)3 = M(0,92)3 = M(0,778688) Jadi setelah 3 jam kadar radioaktif mineral tinggal (0,778688) x 100% = 77,8688% SOAL-SOAL LATIHAN. 1.. Ahmad menabung di bank sebesar Rp 200.000,00. Bank memberikan bunga majemuk sebesar 2% perbulan. Tentukan besarnya uang Ahmad setelah 8 bulan ! 2.. Ratna menabung sejumlah uang di bank dengan suku bunga 20% pertahun. Agar dalam waktu 3 tahun uang Ratna menjadi Rp 345.600,00. Berapa besar Ratna harus menabung pada awal tahun ? 4. Sebuah sel membelah menjadi 6 sel setiap 30 detik. Jika ada 2 sel yang membelah, tentukan banyak sel hasil pembelahan setelah 2 menit ? 4. Pertumbuhan penduduk suatu kecamatan berjalan secara eksponensial dengan laju pertumbuhan 2% pertahun. Pada awal tahun 1992 banyak penduduk kecamatan itu 200.000 jiwa. Tentukan banyak penduduk kecamatan tersebut pada : a. awal tahun 1996 b. akhir tahun 1997 5.. Suatu koloni serangga populasinya berlipat dua dalam waktu 8 hari. Apabila sekarang terdapat serangga sebanayk 4.000 dalam koloni itu. Berapa banyak serangga : a. 16 hari yang lalu b. 24 hari yang akan datang. 13


6.. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp 7.200.000,00. Setiap tahun harga sepeda motor tersebut menyusut 15% dari harga pada akhir tahun sebelumnya. Berapa harga sepeda motor tersebut setelah 4 tahun ? 7.. Harga suatu mesin elektronik sebesar Rp 1.000.000,00 tiap-tiap tahun menyusut 10%. Tentukan harga mesin elektronik tersebut setelah tahun ke empat ! 8.. Arus Io ampere berkurang menjadi I ampere setelah t detik menurut rumus I = Io.2-t. Jika Io = 16 ampere. Setelah berapa detik arus berkurang menjadi 2 ampere ? 9.. Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 25% setiap jam. Tinggal berapa persen kadar radioaktif itu setelah 6 jam ? 10.. Sepotong logam pana mendingin secara eksponensial menurut rumus T = To.2-1,2t. Dalam hal ini T adalah selisih suhu logam dengan suhu udara sekitar mula-mula. Diketahui suhu logam dan suhu udara sekitar mula-mula adalah 360o C dan 30oC. Tentukan suhu logam setelah : a. 5 menit b. 10 menit.

14


DAFTAR PUSTAKA 1. PR Matematika Kelas II SMU 2c, 1999, Basuki Hidayat, M.Mukti Aji, Intan Pariwara. 2. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri A, Fatah Ashari, dkk, Epsilon Group Bandung, 1991 3. Matematika Kels XII Program Studi Ilmu Alam, 2005, Kartini, dkk, Intan Pariwara. 4. Matematika SMA Program ilmu-ilmu Fisik dan Ilmu-ilmu Biologi, 1991, Al Krismanto, Intan Pariwara

15

Persamaan Dan Fungsi Eksponen

Recommend Documents