Teorema 2.3 Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah transversal maka sudut dalam sepihaknya berjumlah 180° (berpelurus) Bukti : k X
3
Y
1
Misalkan m//l dan k memotong m dan l . l
2
Misalkan ∠ 1 dan ∠ 2 merupakan sudut dalam sepihak.
mm
Adt. ∠1+ ∠2=180 ° atau ∠ 1 pelurus ∠ 2 .
Perhatikan bahwa :
P A C
B
∠ 1 dan ∠ 3 merupakan sudut berpelurus, maka ∠1+ ∠3=180 °
……………. Karena ∠ 2 dan ∠ 3 adalah sudut sehadap, maka ∠ 2 = ∠ 3
(1)
……………………..
(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh : ∠ 1+ ∠ 3=180 ° ∠ 1+ ∠ 2=180 ° Karena ∠1+ ∠ 2=180 ° maka ∠ 1 dan ∠ 2 merupakan sudut berpelurus. (Terbukti) Teorema 3.6 Jika sebuah titik mempunyai jarak yang sama terhadap kaki-kaki sebuah sudut, maka titik tersebut terletak pada garis bagi dari sudut tersebut. Bukti : Misalkan
PX ⊥ AB ,
PY ⊥ BC , dan
PX =PY
Adb. BP adalah garis bagi ∠ ABC
Akan dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ∠ ABP=∠ CBP .
Karena ∆ BXP dan ∆ BYP adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring yang sama yaitu BP = BP, dan panjang sebuah sisi lainnya juga sama, yaitu ≅ ∆ BYP . PX = PY, maka menurut teorema 3.4, ∆ BXP Sehingga ∠ XBP=∠ YBP , atau ∠ ABP=∠CBP . Ini berarti BP adalah garis bagi ∠ ABP . (Terbukti)
Teorema 6.4 Jika kuadrat sisi terpanjang pada sebuah segitiga lebih besar dari jumlah kuadrat dua sisi lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
b
Bukti :
ca
Misalkan a, b, c merupakan sisi-sisi dari ∆ ABC C terpanjang pada ∆ ABC Adt. ∆ ABC A
dimana a merupakan sisi
2 2 2 dan a >b + c .
adalah segitiga tumpul. B
Akan dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ∠ A >90 °.
Misalkan dapat dibuat ∆ siku-siku dengan sisi
d b
siku-siku sepanjang b dan c, dan sisi miring d, maka
c
2 2 2 berlaku d =b + c , sehingga sudut yang
menghadap sisi d = 90°. 2 2 2 2 2 Karena a >b + c , maka a >d atau a > d.
Sehingga: sudut yang menghadap sisi a > sudut yang menghadap sisi d, atau ∠ A >90 °. Karena terdapat sebuah sudut tumpul pada ∆ ABC
, maka ∆ ABC
merupakan segitiga tumpul. (Terbukti)
Teorema 7.1 Jika sebuah garis menyinggung sebuah lingkaran, maka garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari yang digambar menuju titik singgung. Bukti : Perhatikan gambar: Misalkan t adalah garis singgung lingkaran dengan pusat o pada titik x.
O
Adt : OX ⊥ t t
X
Y
Akan dibuktikan dengan kontradiksi
Misalkan OX tidak ⊥ terhadap t, maka akan ada ruas garis lain yang ⊥ terhadap t. Misalkan OY , sehingga OY ¿ OX. Perhatikan bahwa y terletak diluar lingkaran dan X berada pada lingkaran dengan pusat O, maka OY ¿ OX. Hal ini kontradiksi dengan Y
Akibat teorema 7.1 Garis singgung pada sebuah lingkaran dari sebuah titik adalah sama panjang. X P
O
Y
Bukti : Perhatikan bahwa
PX
dan
PY
adalah garis singgung terhadap lingkaran O
yang dibuat dari titik P. Akan ditunjukkan : PX = PY Perhatikan bahwa: OX = OY (jari-jari pada lingkaran) ´ ´ Karena X dan Y adalah titik singgung maka OX ⊥ PX
´ ´ dan OY ⊥ PY
(
∵ teorema 7.1)
Karena
△ OXP
dan
△ OYP
adalah segitiga siku-siku dengan sisi miring
OP=OP dan OX = OY , maka menurut Teorema 3.4, Sehingga PX = PY. (Terbukti)
△ OXP ≅ △OYP .
