PANGKAT, AKA AKAR DAN LOGARITMA I Komang Adi Aswantara Spring 2013 UT Korea
Materi •
Pangkat Kaidah pemangkatan bilangan Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat Akar Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah perkalian bilangan terakar Kaidah pembagian bilangan terakar Logaritma - Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma •
•
•
•
•
•
•
•
•
Pangkat •
•
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.
Kaidah Pemangkatan Bilangan a
1. x 0 1
( x 0)
2. x x 1
3. 0 0 x
4. x
a
x x a 6. a y y a b ab 7. x x 8. x
1 x a
a
5. x b b X a
ab
x c dimana c a b
Kaidah perkalian bilangan berpangkat
x x x a
b
a b
contoh: 32 34 32 4 36 729 x a y a xy
a
contoh: 32 52 (3 5) 2 152 225
Kaidah pembagian bilangan berpangkat x a : x b x a b contoh : 3 : 3 3 2
x x y y a
4
24
2
3
a
a
2
9 3 contoh : 3 : 5 25 5 2
2
1 9
Ak A kar Akar merupakan bentuk lain untuk untuk menyatakan bilangan berpangkat.
•
Akar dari sebuah bilangan ialah basis basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).
•
•
Bentuk umum : a
m x ji jika x m
m = radikan
a
Kaidah pengakaran bilangan 1
1.
b
x x b a
2. x x b
a
b
3. xy x y b
b
4.
b
x y
b
x
b
y
Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar •
Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akarakarnya sejenis.
m x n x (m n) x b
a
b
a
b
a
Kaidah perkalian bilangan terakar Hasil kali bil bilangan - bil bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bil bilangan - bil bilanganny angann ya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar - akarnya berpangk ber pangkat at sama. b
x b y b xy
Akar ganda dari sebuah bil bilangan adalah akar pangkat pangk at baru bar u dari bil bilangan bers ber s angkut angku tan; pangkat pangk at - baru bar u akarnya ialah hasil kali pangkat pangk at dari akar - akar sebelumnya. b
c
x a bc x a
Kaidah pembagian bilangan terakar •
Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. bilangan -bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. b
x
b
y
b
x y
Logaritma Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.
Bentuk pangkat x m a
Bentuk akar a
m x
Bentuk Logaritma x
log m a
Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Basis Logaritma •
•
•
•
•
•
Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs) logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24 Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier ln m berarti elogm
Kaidah-kaidah Logaritma 1. x log x 1
6. x log mn x log m x log n m
2. log 1 0
7. log
3. x log x a a
8. x log mm log x 1
4. x log m a a x log m
9. x log mm log nn log x 1
x
5. x x log m m
x
n
x log m x log n
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma •
•
Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik. Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3
Latihan •
•
Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk 3x+1 = 27 Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3
17
DERET I Komang Adi Aswantara Spring 2013 UT Korea
Materi •
Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku
•
Deret Ukur - Suku ke-n dari DU - Jumlah n suku
Dan penerapannya dalam dunia ekonomi
Definisi •
•
•
Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret. Macam-macam deret : - Deret Hitung - Deret Ukur - Deret Harmoni
Deret Hitung Deret hitung : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5) 90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)
Suku ke-n dari Deret Hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 S1, S2, S3, S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
Sn =
a
+ (n - 1)b
a = suku pertama / s1 b = pembeda n = indeks suku
22
Jumlah n Suku •
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.
J n
n
S S S ........... S i
1
2
n
i 1
J 4 J 5 J 6
4
S S S S S i 1
i
1
2
3
4
5
S S S S S S i 1
i
1
2
3
4
5
6
S S S S S S S i 1
i
1
2
3
4
5
6
Berdasarkan rumus suku ke-n
Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 6a + 15b
24
Masing-masing J i dapat ditulis
J 4 4a 6b 4a (4 1)b 2 5 n J 5 5a 10b 5a (5 1)b J n na (n 1)b 2 2 6 J 6 6a 15b 6a (6 1)b 2 n atau J n 2a (n 1)b 4
2
n
2 n
2
a a (n 1)b (a S n )
S n
Deret Ukur
Deret ukur : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda. Contoh : 1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2) 2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
Suku ke-n dari Deret Ukur S 1 5 a
2 1 S 2 10 ap ap 2 31 S 3 20 app ap ap n-1 S ap 3 4 1 n S 4 40 appp ap ap S 5 80 apppp ap 4 ap 51 S 6 160 appppp ap 5 ap 61 a suku pertam per tamaa p penggand peng gandaa n indeks suku
Jumlah n Suku J n
n
S S S S S ........... S i
1
2
3
4
n
i 1
berdas ber dasar arka kan rumus S n ap n-1 maka : J n a ap ap ap ....... ap 2
3
n2
ap
n 1
( 1)
ji jika dikalikan dengan bil bilangan penggand peng gandaa p, maka : pJ n ap ap 2 ap 3 ap 4 ....... ap n 1 ap n selisih antara persamaan pers amaan(1) dan persamaan pers amaan(2)
( 2)
selisih antara persamaan pers amaan(1) dan persamaan pers amaan(2)
J n pJ n a ap
n
J n (1 p ) a(1 p ) n
J n
a(1 p ) n
1 p p 1
atau J n
a( p 1) n
p 1 p 1
Model Perkembangan Usaha •
•
Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.
Pelajari Kasus 1 dan 2
30
Model Bunga Majemuk pokok P dibungaka dibungakan n secara majemuk, suku bunga perahun i , maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah:
Modal
setelah 1 tahun : F 1
P P .i
P (1 i )
setelah 2 tahun : F 2
P (1 i ) P (1 i )i
setelah 3 tahun : F 3
P (1 i )
setelah n tahun : F n •
2
(......... )
(1 i ) 2 i
P
P (1 i )
2
P (1 i )
3
(......... . ) P (1 i ) n
Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang : F n P (1 i ) n
S n ap n-1
Bunga dibayar 1x setahun
31
Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :
F n
P (1
i m
) mn
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor ), ), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang. sekarang.
32
•
Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :
P
1 (1 i )
n
F
atau
P
1 (1 i / m)
mn
F
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
Model Pertumbuhan Penduduk P t = P 1 R t-1 Dimana R = 1 + r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)
TERIMAKASIH Selamat Belajar
