Muatan Garis

Muatan Garis, Muatan Bidang, dan Muatan Ruang Gaya antara dua buah partikel bermuatan yang dipisahkan oleh sebuah jarak tertentu tanpa kontak antara keduanya disebut Action at a distance. Cara pandang lain dalam melihat gaya listrik, yaitu menggunakan konsep medan. Medan adalah ruang di sekitar benda dimana setiap titik didalam ruang tersebut akan terpengaruh oleh gaya yang ditimbulkan oleh benda. Oleh karena partikel yang dibahas tersebut menghasilkan gaya listrik, medan disekitar partikel tersebut dinamakan medan listrik. Medan listrik dapat digambarkan dengan garis-garis gaya listrik yang menjauhi atau keluar dari muatan positif dan mendekati atau masuk ke muatan negatif. a)

b)

Gambar 1 a) garis-garis gaya listrik bermuatan positif b) garis-garis gaya listrik bermuatan negatif

Besarnya kuat medan listrik dapat ditentukan oleh rapat garis gaya per satuan luas. Apabila dalam suatu ruang terdapat dua buah benda bermuatan listrik yang sama besar, garis-garis gaya listriknya dapat digambarkan seperti berikut:

Gambar 2 Garis-Garis Gaya Listrik Benda Bermuatan Sama Besar

Besarnya kuat medan listrik (E) yang dihasilkan oleh q didefinisikan sebagai hasil bagi antara gaya Coulomb (F) yang bekerja pada muatan uji dengan besarnya muatan uji tersebut (q'). Muatan uji yang dimaksud adalah muatan yang menghasilkan medan listrik yang jauh lebih kecil daripada muatan yang akan dihitung kuat medannya. Persyaratan ini bertujuan agar muatan uji tidak mempengaruhi kuat medan yang akan diukur. Secara matematis, persamaannya dapat dituliskan: E=F q' Dengan: E= kuat medan listrik akibat muatan sumber (NC-1) F= gaya Coulomb pada muatan uji oleh muatan sumber q (N) q'= Besar muatan uji (C) Arah kuat medan listrik di suatu titik selalu searah dengan gaya yang dialami oleh muatan uji positif dititik tersebut sehingga arah kuat medan di suatu titik oleh muatan positif akan menjauh, sedangkan muatan negatif akan mendekat. Muatan-muatan listrik pada suatu benda dapat terdistribusi secara merata berupa suatu garis, suatu bidang ataupun suatu volum (ruang). Penentuan kuat medan listrik didekati secara integral dengan perandaian bahwa muatan terdistribusi merupakan kumpalan muatan titik. 1. Muatan Garis dq dianggap sebagai muatan titik yang menghasilkan medan listrik sebesar: dE =

1 dq 4π εo r 2

dq = λdz r 2 = z 2 + d 2 1 λdz dE = 2 4π εo z + d 2 Hanya ada komponen horizontal: dE cosθ = = E=

∞

∫

z = −∞

1 λdz 2 4π εo z + d 2

d z2 + d 2

λd dz 1 2 4π εo ( z + d 2 ) 3 / 2

λd dz 1 2 4π εo ( z + d 2 ) 3 / 2

z=±∞ → θ =±

π 2

z = tgθ z = d tgθ → dz = sec2 θdθ d z 2 + d 2 = d 2tg 2θ + d 2 = d 2 (tg 2θ + 1) = d 2 sec2 θ

(

( z 2 + d 2 ) 3 / 2 = d 2 sec2 θ ∞

∫

E=

z = −∞

3/ 2

= d 3 sec3 θ

1 λd dz λd = 2 2 3/ 2 4π εo ( z + d ) 4π εo

λ 4π εo d

=

)

π 2

∫π

θ =−

d sec2 θdθ d 3 sec3 θ

2

π /2

∫ cosθdθ

−π / 2

λ λ π /2 sinθ −π / 2 = [1 − (−1)] 4π εo d 4π εo d λ E= 2π εo d =

Medan listrik akibat muatan garis yang terletak sembarang: E=

ρL 2π εo R

aR =

ρL R 2π εo R

2

R adalah vektor yang panjangnya adalah jarak terdekat dari muatan garis ke titik P yang hendak dihitung medan listriknya (R tegaklurus pada arah dari muatan garis). Akibatnya ujung vektor R ini adalah titik P sedangkan pangkalnya terletak pada muatan garis dimana salah satu koordinatnya sama dengan koordinat titik P. Contoh soal: Hitung medan listrik E di titik P(5, 6, 1) akibat muatan garis ρ

L

= 30 n

C/m yang terletak pada perpotongan antara bidang y = 3 dan z = 5. Jawab:

R = (6 − 3) a y + (1 − 5) a z = 3 a y − 4 a z R = (32 ) + (−4) 2 = 5 E=

ρL R 2π εo R

2

= 18x109

30x10−9 (3 a y − 4 a z ) = 64,8 a y − 86,4 a z 52

2. Muatan Bidang

dE =

(

dq z

4π εo r 2 + z

)

2 3/ 2

=

σ 2πr dr z

(

4π εo r 2 + z 2

=

σz 2 2 −3 / 2 ( r + z ) 2r dr 4ε o

=

σz 4ε o

R

∫ (r

2

+ z2

)

−3 / 2

3/ 2

2r dr

r =0

u = r2 + z2

→ du = 2rdr −

1

σz σz u 2 σ E= u −3 / 2 du = = ∫ 4ε o 4ε o − 1 2ε o 2  σ  z 1 −  =   2 2 2ε o  R +z  R >> → E = Contoh soal:

)

−z r2 + z2

R

0

σ 2ε o

Cakram (disk) pada gambar di bawah ini mempunyai jari-jari 2,5 cm dan rapat muatan sebesar 5,3 µC/m2 pada permukaan atasnya. a). Hitung medan listrik di sumbunya pada jarak 12 cm dari cakram tsb. b). HItung medan listrik pada permukaan cakram

Jawab: a ). E =

σ 2π

z   1 − 2  εo  z + R 2 

0.12 N   = 18πx109 (5.3 x10−6 )1 −  = 6.3x103 2 2 C  0,12 + 0,025  σ N b). E = = 18πx109 (5.3x10−6 ) = 3,0 x105 2ε o C

3. Muatan Ruang Kalau ρ[C/m3] adalah rapat muatan per satu an volum dalam suatu ruang dimana muatannya terdistribusi secara merata sebagaimana yang terdapat dalam tabung katoda , maka :

ρdV ar r2 v dV = dx dy dz (koordinat kartesian) EP = ∫

dV = rdr dφ dz (koordinat tabung) dV = r2 sinθ dr dφ dθ (koordinat bola) Ep r dV

dQ = ρ dV