5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
MEKANIKA BAHAN I (Mechanics of Materials) Semester II (3 SKS)
1/27/2008
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
1
1/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Mechanics of Materials – R C Hibeller – R J Crawford
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
2 2/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Nama Tem at t l lahir Pendidikan tertinggi Home Address
: Prof. Ir. Jamasri, Ph.D : Kudus 4 Juli 1961 : Ph.D. in Mech Eng (1993) : Pogung Raya 272D Yk . .
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
3 3/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Tugas & Quiz Mid-Semester
: 30% : 30%
End-Semester
: 40%
Justifikasi
: A ≥ 80 65 ≤ B < 80 < 40 ≤ D < 55
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
4 4/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
a us Konsep tegangan Beban aksial – te an an dan re an an Beban torsi (puntir) Beban Len kun murni Beban transversal Defleksi
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
5 5/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
aya Gaya aksial
e an
:
men ebabkan memanjang/memendek arah aksial
tarik (+)
tekan(-)
menyebabkan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
6 6/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Momen = gaya x jarak Momen puntir : menyebabkan terpuntir P T=Px l
Momen Lengkung : menyebabkan melengkung P
M
M
M = P/2 x l l Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
7 7/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Gaya aksial tarik = uas penampang yang mena an A
intensitas gaya yang terbagi pada luasan seluas A disebut tegangan, σ (sigma)
=
P
σ P adalah resultante gaya internal di penampang Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
8 8/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Satuan Tegangan P (N)2) A –– satuan satuan gaya luas (m
σ = P/A satuan σ : N/m2
1 N/m2 = 1 pascal (disingkat Pa) 2 3 2 3 (kilo newton) (kilo pascal) 1 MPa (mega pascal) = 106 Pa = 106 N/m2 2 = 9 = 9 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
9
9/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
bidang yang tegak lurus dengan arah gaya. σ= u an egangan sua u pada penampang A, tetapi tegangan
A
rata-rata semua titik pada penampang Pada umumnya tegangan di suatu titik tidak sama dengan tegangan rata-rata. Dalam praktek, tegangan ini dianggap seragam, kecuali pada titik beban, atau . Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
P A X
Y
Gaya ada di titik X teg di X = besar teg = Teg. Rata-rata di Penampang A= P/A
10
10/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ung egangan norma pada batang 1 dan batang 2
N D1 = 10 mm
1
30o +100V3 2
D2 = 20 mm
100
σ1 = 100V3/0,0000785 = 2206434N/m2 σ2 = -200/0,0003141 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
-200
A = πD2 /4 A1 = 0,0000785 m2 A2 = 0,0003141 m2
= 2,206 MPa (tarik)
= -636739.89 N/m2 = -0,636 MPa (tekan) 11
11/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
u:
1
. - .
=
1
45o
F1 = 5 kN
F2 = 10 kN D2 = 20 mm
Hitung tegangan normal pada batang 1 dan batang 2 dalam MPa Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
12
12/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
P’
A
A = luas penampang yang mena an e an Tegangan yang terjadi pada luasan A disebut tegangan geser, τ (tau)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
13
τrata2 =
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
13/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
P
P P
P
P
P/2 P
τ=
P
Single shear
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
τ=
P
Double shear
14
14/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Suatu benda yang statis, jika dipotong harus tetap statis resultante a a = 0 ΣF=0 30+50 = 80 kN Diameter =
B
B 30 kN
A Diameter
A 50 kN
50 kN
= 20 mm 30 kN
30 kN
σ A-A
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
=
30 0,000314
kPa
30 kN
σ
=
B-B
80 0,000707
kPa 15
15/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
e an a s a a anya menye a an egangan normal, juga tegangan geser jika bekerja pada ang yang ersu u . e an P
P
σ
P A ο
P
τ
P Aθ
P P A Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
σ
P
τ
A θ
P Aθ
τ
16
16/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
P
P
F P
θ
P
F = P cos θ V = P sin θ
A0
Aθ θ
= (P cos θ) /(A0 /cos θ) = (P/A0) cos2 θ pada θ = 0 σ = P/A0 (maks) θ = 90 σ = 0
Pada τmaks, maka σ = P/2A0
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
V
τ == V/ As θn
0/ cos
= (P/A0) sin θ.cosθ = (1/2) (P/Ao) sin2θ pada θ = 0 τ = 0 θ = 90 τ = 0 τ maksimum di θ = 45 τmaks
= P/2A0
17
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
17/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
P Suatu pipa baja dimeter luar 300 mm dibuat dari plat setebal 8 mm dengan mengelas melingkar (helix) yang membentuk sudut 20o terhadap bidang tegak lurus sumbu pipa. Bila P = , .
σθ
P
σ= =
Las
τθ
8 mm
o
- 250 kN
π (do2-di2) 4
= - 34,083 MPa θ=
2
=-
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
.
τ = 0 5σ sin2θ = 10.95 MPa
18
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
18/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
bisa terjadi pada bahan hasil pengujian Dalam desain, maka beban an dikenakan ada kom onen mesin harus lebih kecil dari beban ultimate bahan. Perbandingan antara keduanya disebut faktor keamanan (factor of , beban _ ultimate FS = beban _ an _ dii inkan FS
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
tegangan _ ultimate
_
_ 19
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
19/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
u:
. - .
D = …. ?
=
Sebuah batang terbuat dari baja dengan kekuatan 500MPa ditarik den an a a 100 kN. Jika factor of safety adalah 2, hitung diameter minimal yang diperbolehkan
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
20
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
20/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Jika suatu benda diberi beban, akan mengalami perubahan bentuk (deformasi) memanjang, memendek, membesar, mengecil dsb. Perubahan panjang = δ. Semakin besar P, δ juga semakin besar. a
uat gra
-
P
A
δ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
δ
21
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
21/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Semakin besar L, pertambahan panjangnya juga semakin besar
L
= , penampang konstan, maka deformasi per satuan panjang disebut regangan, ε e silon
2L A
δ
P
ε = A
2δ
δ
δ = satuan panjang L=satuan panjang
>
ε, tanpa satuan
P Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
22
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
22/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Persen (%)
regangan = 10% (dari mula2) = , = =
In/in , seragam, mengalami deformasi sebesar δ = 150 µm =150 x 10-6 m. Maka regangannya adalah : −6
ε
=
δ L
=
150
× 10
0 ,6
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
250
× 10
−6
m / m
=
250
× 10
−6
23
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
23/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Diagram yang menunjukkan hubungan tegangan dan regangan (σ−ε ) tidak sama untuk setiap material.antara Diagram ini merupakan sifat . Untuk mendapatkan diagram σ−ε dari suatu material harus dilakukan uji tarik P
σu ) a P (
Lo
Spesimen patah
Luas = Ao σ = P/Ao ε= o
y
σB
σ
0,004
P
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Aluminium Paduan
0,2
ε 24
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
24/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
– 450
σu
σu
) a 300 P σy (
) a 300 M (
σB
σ
150
σy
σB
σ
150
0,0012 0,02
0,2
0,25
Baja karbon rendah
ε 0,004
ε
0,2
Aluminium Paduan
σu = tegangan ultimate = kekuatan ultimate σ = tegangan yield (luluh) = kekuatan luluh σB = tegangan patah = kekuatan patah Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
25
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
25/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
u σu
) a 300 P σy (
σB
σ
150
necking
luluh Pengerasan regangan necking
0,0012 0,02
0,2
0,25
45o
cup cone
ε
Bahan liat : baja karbon rendah, aluminium,
Bahan liat tidak tahan geser Patah pada tegangan geser terbesar (sudut 45o) Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
roses pa a spes men ar ma er a yang liat 26
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
26/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
450
450
σu
σu
) a 300 M ( σ
) a P M ( σ
σy σB
150
0,0012 0,02
0,2
0,25
ε
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
ε
0,2
0,004
Aluminium Paduan
Pada tegangan luluh tegangan konstan walaupun regangan bertambah
uu
σB
150
Baja karbon rendah
t
σy
Titik
luluh tidak jelas
e as
27
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
27/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
encar
e ua an u u
engan o se
u
) a y P σ M (
σB
σ
ε 0,2% ofset Bahan yang titik luluhnya tidak jelas egangan u u car engan me o e o se Kekuatan luluh pada offset 0,2% Titik potong antara kurva σ−ε dengan garis yang sejajar dengan bagian ,
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
28
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
28/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
uran e- a an
uc
Persentase perpanjangan =
y
L 100 B
− Lo
%
o
cup
L B: panjang patah
cone
Lo : panjang mula-mula
Persentase pengurangan uas penampang A B: luas penampang patah Ao : luas penampang mula-mula
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Baja struktur = 20%
=
100
A o
−
AB
%
o
Baja struktur = 60 - 70%
29
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
29/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
a an σ ) a 300 P (
=
u
e as
r
e
σ B
σu = σB
0o
σ
150
ε
0,0012 0,02
Besi tuang, gelas, batu (keramik), bahan komposit, dsb
Bahan getas tidak tahan tarik Patah pada tegangan tarik o
terbesar (sudut 0 )
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
roses pa a spes men ar ma er a yang getas 30
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
30/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Bahan liat : kekuatan tekan dan tarik sama ‘ ’ a an ge as : e ua an u ma e e an au e tinggi daripada kekuatan tarik, karena retak-retak ec yang a a mempengaru e ua an ar , e ap tidak mempengaruhi kekuatan tekan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
31
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
31/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Pada diagram σ−ε, tegangan σ dan ε dihitung dg. Persamaan : σ =P/Ao dan ε = (L-Lo)/Lo
•
Ao adalah luas penampang mula-mula Tegangan ini disebut : tegangan teknik (engineering stress) Kenyataannya, Ao semakin kecil (jika beban ditarik) sesungguhnya σ lebih besar, disebut : tegangan sesungguhnya Demikian u a ε sebenarn a adalah : ε =Σ∆ε = Σ ∆L/L Atau : 450
450
) σu a P 300 M ( y
) σu a P 300 ( σ
y
σ
150
ε t =
σB luluh
Pengerasan regangan
0,0012 0,02
0,2
σ
necking
0,25
ε
150
luluh
Pengerasan regangan
0,0012 0,02
0,2
L
dL
Lo
L
= ln
necking
Lo
σB
0,25
ε
Tegangan – regangan teknik, Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
L
Tegangan – regangan sesungguhnya 32
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
32/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Pada umumnya elemen struktur (mesin) didesain sedemikian sehingga deformasinya kecil, dan hanya bergerak pada daerah garis lurus pada
−
Pada daerah ini, tegangan berbanding lurus dengan regangan : 450
) σ = E ε σu P 300 Persamaan ini disebut : hukum Hook. (Robert Hook, 1635-1703) M ( σy Koefisien E disebut modulus elastisitas disebut juga modulus Young σ 150 Thomas Youn 1773 – 1829
luluh
0,0012
Karena ε tanpa satuan, maka satuan E sama dengan satuan σ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Te
33
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
33/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
E menunjukkan mudah-tidaknya kekakuan (stiffness) bahan bahan berubah bentuk
(σ = E ε)
σ
ε
ε E besar
ε kecil
sulit
menunjukkan
em r ngan gar s n er pa a agram σ−ε
un u an o e σ
berubah bentuk
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
E kecil
ε besar
mudah
berubah bentuk 34
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
34/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
a as propors ona
Tegangan terbesar dimana hukum Hook masih berlaku disebut batas ro orsional bahan.
σ Baja paduan yang diquenced dan ditemper
Pada bahan yang luluhnya jelas, maka batas proporsional hampir berimpit dengan tegangan luluh Pada beberapa bahan, penambahan bahan paduan, perlakuan panas dan
Baja karbon tinggi Baja karbon rendah
besi murni
ε
proses pembuatan mengubah kekuatan, duktilitas, ketahanan korosi dsb. Kekuatan berbeda, kekakuan sama
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
35
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
35/97
5/7/2018
Contoh :
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
gambar di bawah. Batang dianggap mempunyai bahan yang sama den an har a E = 208 GN/ m 2 . Jawab : Secara umum ersolan di atas da at diwakili dengan gambar di samping ini. Jari-jari er u : batang dapat dituliskan sebagai r = r ο -(r ο - r1 ) x L
A x
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
x⎤ ⎡ = π r − (r − r ) o
o
1
36
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
36/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Jika potongan dx bertambah panjang du akibat pembebanan, maka regangannya men a : du W 1 = x
sehingga: L
u
=
0
W
A x E
x =
W L
dx
π E 0 [r ο − (r ο − r )
]
x 2 1 L
WL E π r o r 1 Kita aplikasikan pada batang bagian bawah (B)
=
u B
x0,6 0,0319mm == 208.1010000 = 9 .π .0,012.0,006
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
37
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
37/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Sedangkan untuk batang bagian atas (A) ditentukan terlebih a u u esar e annya. Beban tekan : -2. π .0,03 = -0,06π MN = -188,5 kN Beban an beker a ada batan A : -188 5 + 10 = -178 5 kN Pengurangan panjang pada3 batang A : 178,5.10 .0,6 A
−
9
−
,
208.10 .π .0,0035.0,00175 Perubahan panjang pada batang = -0,0669 + 0,0319 =- , mm
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
38
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
38/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Batang BC, panjang L dibebani beban terpusat P
L
Jika te an an an timbul σ tidak melebihi batas proporsional, maka berlaku hukum Hook :
δ A
P
σ = E ε ε = σ /E = P/AE
Mengingat bahwa ε = δ /L, atau δ = ε L, maka bisa dituliskan
δ =
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
PL AE
39
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
39/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
’ Jika suatu batang ditarik pada satu arah : –
– Memendek pada arah tegak lurus beban εy = - y x Nilai ν (nu) adalah
0<ν<0.5
y
εx Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
40
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
40/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
γ τ
τ x
τxy
Hukum Hook
τxy = G γxy
= tegangan geser G = modulus geser xy Ingat kembali :
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
σx = E εx
G=
E
41
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
41/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ua u en a a menga am peru a an empera ur, maka ukurannya berubah L δT = α(∆T)L T
α = sifat bahan : koefisien ekspansi termal (satuan : per oC)
ε T = δT / L
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
ε = α∆Τ
Regangan termal
42
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
42/97
5/7/2018
Jika perubahan panjang ini tidak ada yang menahan tidak Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Jika ditahan, maka timbul tegangan ∆T=0, tegangan = 0 ∆T >0 tidak ditahan, tegangan = 0
δT P
’
, ditahan kiri-kanan tegangan ≠ 0
δP δ T + δ P
= 0 ⇒ α (∆T ) L +
PL AE
P = − AE α ( ∆T ) Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=0
Maka tegangan an timbul :
σ =
P
= − E α ∆T 43
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
43/97
5/7/2018
Hubungan Tegangan-Regangan Secara Umum: Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
umum dapat dilihat gambar di bawah ini.
a. Tegangan Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
b. Regangan
44
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
44/97
5/7/2018
Untuk tegangan σ x , σ y , σ z :
ε x
=
σ x ν − (σ y E E ν y
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
+ σ z )
ε y ε z
= E − E (σ z + σ x ) = z − σ x + σ y E E
Jika komponen tegangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut dengan kondisi plane stress (tegangan bidang), sedangkan ika komponen regangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini .
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
45
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
45/97
5/7/2018
plane stress: σ z plane strain: ε z
= 0; ε z ≠ 0 = 0;σ z ≠ 0
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
(pelat tipis) (pelat tebal)
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
46
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
46/97
5/7/2018
Contoh aplikasi:
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Silin er in ing tipis erte anan seperti gam ar i awa . Tentukan regangan pada arah aksial dan radial. Jawab: Tegangan radial dan aksial pada silinder dinding tipis bertekanan adalah: σ x
=
2t
; σ y
=
t
dimana: p = tekanan dalam silinder r = jari-jari rerata Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
47
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
47/97
5/7/2018
Dari persamaan tegangan-regangan, regangan aksial : σ x σ y pr pr pr ε x = −ν = −ν = (1− 2ν ) E E 2tE tE 2tE sedangkan regangan radial: σ y σ x pr pr pr − = − = − y = E E tE 2tE 2te Perbandingan antara regangan radial dengan regangan aksial untuk ν = , a a a : ε y 1,7 = = ε x 0,4 Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
48
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
48/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Harga ini dapat dibandingkan dengan harga:
σ 2, ternyata = σ x
per an ngan regangan yang ter a au e esar ar pa a perbandingan tegangan. Oleh karena itu, untuk kasus semacam ini per u per at an batas regangan yang perbo e an ba an.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
49
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
49/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
a u:
. - .
= mm L = 60 mm
berdiameter 20 mm dan panjang 60 mm. elastisitas (E) = 200 GPa dan koefisien -6
5 kN
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
ekspansi termal (α)=11 (10 ). Jika batang dibebani dengan gaya 5 kN, tentukan perubahan suhu yang per u an agar pan ang a ang a berubah.
50
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
50/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
1. Persamaan kesembangan gaya . ersamaan ompat tas 3. Hubungan antara beban-deformasi (persamaan konstitutif)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
51
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
51/97
5/7/2018
Interaksi dua bahan diseri:
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Bahan a: E a , δ a , Aa , ε a Bahan b: E b , δ b , Ab , ε b Persamaan keseimbangan: F a = F b = F
(1)
Persamaan kompatibilitas: δ = δ a + δ b
(2)
Hubungan tegangan-regangan: σ a δ a = a a = a a = a ε a la Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
52
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
52/97
5/7/2018
σ b
δ b
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ε b Dari:
b
b
b
a
σ a σ b
b
Ab
b
a
= Aa
=
b
a E =
= E b
la b
lb
e a δ →
→ δ b =
δ =
b
F ⎛ l a
⎜⎜
a
+
a
(5)
= Aa E a b
b
(6)
Ab E b
Dari persamaan (2) diperoleh: δ = a
lb
a
+
a
Aa E a a
lb
b
b
Ab E b b
,
⎞ ⎟⎟
b
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
53
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
53/97
5/7/2018
Interaksi dua bahan di aralel:
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Persamaan keseimbangan: F a + F b Persamaan kompatibilitas: δ a
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= F
(1)
= δ b = δ
(2)
54
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
54/97
5/7/2018
Hubungantegangan-regangan:
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Dari:
σ a ε a σ b
= E a → σ a = E a ε a = E a δ
(3)
ε b
(4)
σ a
= E b → σ b = E b ε b = E b l = a = E a → F a = E a Aa
σ b
=
E a Aa
δ
l
Aa b
Ab
l
= E b
+ E b Ab
δ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
l
→ F b = E b Ab
l
l
= F 55
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
55/97
F l
5/7/2018
E a Aa + E b Ab
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
sehin a: FE A (6)
a F a = E A +a E A FE b Ab dan F b = a
(7)
a
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
56
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
56/97
5/7/2018
Contoh 1:
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Batang baja ACB dipasang dengan pas pada temperatur -50 oC. Tentukan tegangan pada bagian AC dan CB dari batang tsb. pada temperatur 25oC ( E baja = 200 GPa, α = 12x10-6/oC).
∆T = 25 - (-50) = +75oC A=400mm2
A=800mm2
A
B
C
Deformasi karena temperatur : -6 o o = . . , T= = 540x10-6 m Deformasi karena gaya yang
300 mm
300 mm
δ R
=
P1 L1 E 1
1
+
P2 L 2 A2 E 2
P1 = P2 = R, L1 = L2 = 300mm, E1 = E2 = 200 GPa
-9
δT R
δR Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= (5,625x10 m/N). R δ = δR+δT = 0 540x10-6 + (5,625x10-9 m/N). R = 0
R = - 96x103 N = - 96 kN
σAC= R/AAC, σCB = R/ACB
57
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
57/97
Contoh 2: 5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ua ua atang onsentr ter uat ar a a pa a ag an dalamnya dan tembaga pada bagian luarnya. Jika temperatur ° ° tembaga dan baja. Baja: E s = 205 GN/m2 ; α s = 11.10−6 / ° C ; As = 600 mm 2 Tembaga: E c
= 115 GN/m
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
2
; α c
= 16.10− / ° C 6
; Ac
= 1200mm
2
58
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
58/97
Jawab: 5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
c
Persamaan kompatibilitas: ε c
s s c c = = ε s atau (ε σ + ε T )c = (ε σ +=ε T )s s
(2)
ε c
= σ c + α c (T − T o )
(3)
c
ε s
=
σ s
+ α s (T − T o )
(4)
s
Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (2): σ c σ s − o − o c s E c E s
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
59
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
59/97
=−
5/7/2018
σ c Ac
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Ac
sehingga: σ c
+ α (T − T ) = −
E c
σ c ⎜⎜ ⎝ E c
c
+
o c
E s As
σ c
c
E s As
+ α (T − T ) s
o
⎟⎟ = (T − T o )(α s − α c )
− o α s − α c σ c = atau: As E s + Ac E c − o s− c c c s dan σ s = − As E s + Ac E c s
s
c
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
60
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
60/97
5/7/2018
Tanda - menun ukkan bahwa σ berlawanan arah den an σ . Jika harga-harga di atas dimasukkan maka akan diperoleh: 2 c =− , / m2 σ s = 43,4 MN Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
61
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
61/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
62
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
62/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
P T = P.L
L
dA
ρ
dF
ρdF = T τ = dF/dA dF= τdA
ρτ Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= 63
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
63/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ρ(τdA) = T
Pada torsi timbul tegangan geser
Tegangan geser tidak hanya timbul pada satu sisi Teg. geser
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
64
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
64/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
terjadi distorsi
Poros terpuntir dg. Sudut puntir, φ Φ sebanding dengan T dan L Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
ap ag an distorsi
a
a ar an er a
65
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
65/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Distribusi regangan geser pada poros sepanjang L, dengan jari-jari c dan dipuntir dengan sudut puntir φ bisa dijelaskan sbb: Kita lihat silinder diameter r dan perhatikan elemen bujursangkar pada permukaannya. Sebelum torsi dikenakan, lurus (gbr. b) Setelah dikenai puntiran terdeformasi (gbr. c.) Timbul regangan geser γ = sudut antara AB den an A’B
γ
=
ρφ L
ρ dan φ dalam radian Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
γ max
=
=
ρ
γ
c
c φ L
γ max 66
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
66/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ρ c
γ
=
ρ γ max c
τ
=
c
γ max
max
max
=
=
max
ρ max
c
Tegangan geser berubah linier terhadap jarak ρ dari pusat poros Untuk poros berlubang :
τ max c
Poros pejal Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
τ min
τ max c1
τ min
=
c1 c
τ max
c2
Poros berlubang 67
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
67/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
e e umnya a apa an persamaan
ρτ
=
Substitusi τ ke pers. : τ max sebelumnya 2 = c
2
T =
adalah momen inersia polar
ρ dA
=J Maka :
τ max
=
τ max J c
Tc J
Sehingga kita dapat menghitung τ pada sembarang jarak ρ dari sumbu :
T ρ J Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
68
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
68/97
5/7/2018
Nilai J
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
J
Nilai J untuk poros bulat pejal :
1
=
π c
4
2 untuk poros bulat berlubang :
1 2
2
4
−
1 2
1
4
1 2
2
4
−
1
4
c c1 c2 Poros bulat pejal Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Poros bulat berlubang 69
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
69/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
70
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
70/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
71
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
71/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Bahan liat tidak tahan geser patah pada teg. Geser terbesar
Bahan getas tidak tahan tarik patah pada teg. tarik terbesar
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
72
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
72/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
73
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
73/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
cφ
γ max
= L
Pada daerah elastis, tegangan luluh tidak tercapai, sehingga berlaku hukum Hook : γmax = τmax/G, maka :
γ max
=
Sehin a sudut untir
φ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
max
G
=
JG
bisa dihitun :
TL
74
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
74/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Sebuah poros akan digunakan untuk mentransmisikan aya se esar pa a pu aran e . egangan geser maksimum poros adalah 60 MN/m2 dan factor of sa e y a a a , se ang an su u pun r poros a melebihi 1o untuk setiap 2 m panjang poros, G = 77 m. Hitunglah ukuran poros minimal agar tetap aman, jika: . oros pe a 2. Poros berlubang dengan perbandingan diameter luar an a am a a a , Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
75
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
75/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
T L
φ
=
1
1
φ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
T L
T L
+
=
∑
2
2
+
3
3
+ ...
T i L i
76
Torsi Pada Poros Bertangga
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
76/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
- Persamaan keseimbangan: T = T1 - Geometri deformasi: θ = θ1 ÷ θ 2
= T 2
τ
Persamaan (1) dapat ditulis:
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
T = r 1 J 1 1
(1) (2)
τ
=
2 J 2 r 2
77
τ 1 π . r14
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
τ 2 π . r 24
77/97
atau:
5/7/2018
2
r1
r 2
2
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
3 1
=⎜ 2 ⎜ r 1 ⎠⎟ ⎝
τ 2 sedangkan dari persamaan (2):
τ L
τ L
1
2
1
r 1G
2
r 2 G
1 ⎛ τ L 1
G ⎝ r 1
1
(3)
τ L 2
r 2
2
⎞ ⎠
t
1 θ = 1 ⎛⎜⎜ L
+ L2 ⎞⎟⎟
1
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
2
(4) 78
Contoh:
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
78/97
5/7/2018
an ng an tors yang apat transm s an o e poros berlubang dengan poros pejal, pada material dengan , . Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
a ab: Torsi pada poros berlubang: τ . π T dan
= r 2 . 2
4
r
4
− r
4
T pejal
=
r 2 r
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
(2)
79
Eliminasi τ diperoleh:
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
79/97
Tlub
5/7/2018
=
r24
− r 14
2.
peja
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
3
Karena kedua poros mempunyai berat sama, maka:
= π r 2 − r 1
π .r
(karena menjadi an an
2
T lub
r 2
oros sama), sehin
+ r 12
r 2
⎛
1 ⎞
=
r 2 r r 2 1
r ⎝
n
ersamaan (3)
2
T pejal
a
⎠
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
80
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
2
2
−
2
r
=
r 1
80/97
5/7/2018
2
r
= r
2
r 1 ⎞ ⎛ −⎜ n
Karena itu lub
T pejal
n
=
lub
T pejal
n
=
,
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
2
⎛ r 1 ⎞ ⎜ = r
n n
n,
−1
÷
(n − 1) 2
2 3
misal n = 2, maka:
= 1, 44 %
Jadi poros berlubang dapat menerima torsi 44 tinggi.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
lebih
81
Torsi Pada Poros Konsentris http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
81/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
T = T 1 + T 2
-
ersamaan ese m angan:
- Geometri deformasi:
T1 L
=
T2 L
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
T =
=
1
r 2 2
r 24
− r 14 +
r 2
r 4
atau: (6) 82
Jika kedua poros mempunyai bahan sama ( G = G1 = G2 ),
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
82/97
5/7/2018
ma a
T1
=
J1
2
=
r 24
−
4 1
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
r
2
dimana: T 1 dan T 2 dapat ditulis dalam τ 1
4 r π 2
− r 14
2
r 2
sebagai berikut:
τ
1
diperoleh:
τ
π 2
3
r
r 24
=
τ 1 dan τ
− r 14 r 4
1
=
(8)
r
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
83
Contoh: Te an an
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
eser
an
dii inkan
ada ba a adalah 55
83/97
5/7/2018
MN/m2 , Gbaj = 82 GN/m2 , Gkuninga = 41 GN/m2 . τ ma Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
84
Jawab:
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
84/97
5/7/2018
Persamaan keseimbangan: T = Tbaja ÷ T kng Torsi yang dapat ditransmisikan oleh baja: 2.55.10 6 π ⎛ τ π 4 4 T s = 0,025 × 32 0,025 = 169 Nm → ⎜⎝ r 2 r ⎟ Geometri deformasi: θ baja = θ kng Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
pada baja:
=
θ
TL GJ
=
169
π
× 4
0, 2 82 .10
= 0 , 0108
32 0 , 025
θ
=0
0108
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
85
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
9
π
4
85/97
5/7/2018
T kng = GJ θ = L
.
. 32 , . , 0, 3
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
= 90 Nm
Nm
Torsi total: 169 + 906 = 1078 2
τ
=
⎛
Gr θ ⎞
τ = L
41.109.0,0108 25
=
0,3
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
10
= 36,8
86
Torsi Pada Poros Konis http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
86/97
5/7/2018
Sebuah poros konis mempunyai jari-jari terkecil r 1 dan , 2 Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
ditunjukkan pada gambar di bawah.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
87
Misal: http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
87/97
5/7/2018
τ 1 τ 2
r 1 tegangan geser maksimum pada radius == tegangan geser maksimum pada radius r 2 = tegangan geser ma s mum pa a ra us r Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
T =
Torsi:
π . τ 1r1 2
=
π . τ 2 r 2
τ 1r1 = τ 2 r2 atau: Jika δ x adalah an an
2
=
π . τ . r 2
= τ . r
(1) elemen kecil ber arak x dari
ujung diameter yang besar, radius elemen keci = r dan δ sudut puntir θ , sehingga Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
88
δθ
=
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
T
δ
=
2 T δ x
88/97
JG 5/7/2018
G r π
teta i: r = r2 − x . tgα = r2 − x
r2
− r 1
= r2 − ax
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
2T
(r − r )
dimana:
a
2
=
L
δθ = G π (r 2
, sehingga:
1
2T
3 −4
− ax )
δ x
−4
atau: d θ = G π (r 2 − ax ) dx Sudut puntir total θ untuk panjang L:
=
L
0
=
L
2T
0
G π
2T Gπ 3(r 2 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
L
−4
− ⎛ 1
− r 1 ) ⎝ r
3 1
−
1 ⎞ 3
r 2
⎠ 89
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
89/97
arena u: 2 2TL r 1
5/7/2018
=
θ =
3r 13 r 23
Gπ
Untuk r1
= r 2
2 T L
Gπ r 14
÷ r 1r 2 ÷ r ) 2 2
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
akan di eroleh:
=
TL GJ
(5)
yang merupakan persamaan sudut puntir untuk silinder datar.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
90
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
Torsi untuk kom onen an
90/97
tidak bulat
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
τ max
=
c
φ
=
GJ J Hanya untuk poros penampang bulat assumsi :
Untuk penampang yang lain penampang berubah tidak berlaku Contoh : Dengan rumus di atas, maka tegangan pada elemen di sudut poros adalah maksimum. Kenyataannya : Bidang yang tegak lurus sb-y : permukaan bebas tegangan = 0, demikian pula yang tegak lurus sb-z. τyz= τzx = τxy = 0 kenyataannya : egangan geser su u = Pada tepi tidak ada deformasi tegangan = 0 Deformasi maks pada tengah-tengah poros tegangan maksimum di tengah-tengah poros Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
91
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
91/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
, . tengah-tengah bagian yang lebar Dan sudut puntirnya :
Dimana c dan c adalah sebagai berikut :
=
c1ab 2
TL c2 a 3
a/b
c1
c2
, 1,2 1,5 2,0 2,5
. 0,219 0,231 0,246 0,258
, 0,1661 0,1958 0,229 0,249
3,0 4,0 , 10,0
0,267 0,282 , 0,312 0,333
0,263 0,281 , 0,312 0,333
∞
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
φ =
τ max
92
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
92/97
5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
T
τ max
=
2
TL
= c2 ab 3G Karena a>>b, maka a/b= c1
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
∞
= c2 = 0,333
93
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
93/97
Torsi Pada Silinder Berlubang Berdinding Tipis 5/7/2018
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
94
Silinder berdinding tipis dengan jari-jari rerata r , tebal t http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
94/97
5/7/2018
dan panjang L (lihat gambar diatas), diberikan torsi T pada ujungnya yang menyebabkan silinder terpuntir relati terhadap aksis longitudinal. Tegangan geser uniform Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
keliling silinder τ zθ timbul sebagai reaksi torsi T.
Tegangan geser τ pada elemen dinding sebesar: trd memberikan gaya geser sebesar: F = τ zθ trd θ sebesar: =
2 zθ
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
95
2π http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
95/97
zθ
Torsi total adalah: 5/7/2018
=
0
τ zθ tr
Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
2 zθ
τ zθ =
T 2 (1) π r Karena tidak ada tegangan geser yang lain maka τ z θ
atau:
anya u s τ sa a. - Dari gambar diatas dapat diperoleh juga : γ l r atau γ = l
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= r θ (2)
96
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
96/97
5/7/2018
- Hubungan tegangan – regangan geser: τ = = Me ka nika Ba ha n I Ma te r i 1 - slide pdf.c om
γ atau τ = G
l
=
2π r t
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
http://slide pdf.c om/re a de r/full/me ka nika -ba ha n-i-ma te r i-1
2
(4)
97
97/97