Mecanica Del Vuelo - Garceta

1.5.

Orientación del sistema de ejes v i e n t o respecto a l sistema de ejes h o r i z o n t e local

Para situar el sistema de ejes viento respecto del sistema de ejes horizonte local, se p a r t i c u l a r i z a el desarrollo general efectuado en el apartado 1.3 para: - F

a

= F

h

y F = b

F

w

• 5s = x = Á n g u l o d e guiñada d e v e l o c i d a d (0 < x < 2TT) • 82 = 7 = Á n g u l o d e a s i e n t o d e v e l o c i d a d (—ir/2 < 7 < TT/2) • 81 = \i = Á n g u l o d e b a l a n c e d e v e l o c i d a d {—TT < ¡1 < u ) Estos tres ángulos se representan en la F i g u r a 1.6 y su interpretación física es la siguiente: el ángulo de asiento de velocidad, 7, es el ángulo existente entre el vector velocidad aerodinámica (eje x ) y su proyección sobre el plano horizontal; el ángulo de guiñada de velocidad, x-, el ángulo existente entre la dirección de referencia x/, y la proyección del vector velocidad aerodinámica sobre el plano horizontal; y el ángulo de balance de velocidad, ¡1, es el ángulo existente entre el eje y y la intersección del plano y —z con el plano horizontal. w

e s

w

w

Particularizando la m a t r i z L

b a

w

, dada por la expresión (1.13), para este

caso concreto, se obtiene la m a t r i z de transformación del sistema de ejes horizonte local al sistema de ejes viento, L h'w

c-ycx L„,h =

S^S-ÍCX

c/isjcx

c/isx + sfisx —

cysx Sfis-ysx + cjicx cjj,s-fsx - sjicx

— sin 7 S/ÍC7

cficry

(1.16)

1.6. Orientación del sistema de ejes cuerpo respecto al sistema de ejes viento

Figura 1.6. Orientación de F

respecto a Fh-

w

siendo, al igual que en (1.13) y (1.15) cycx = — sin ¡1 sin 7 eos

•S^LSJCX

1.6.

x,

eos 7 eos x, c^sx

= eos 7 sin x,

etc.

Orientación d e l sistema de ejes cuerpo respecto al sistema de ejes v i e n t o

Para situar el sistema de ejes cuerpo respecto del sistema de ejes viento, se particulariza el desarrollo general efectuado en apartado 1.3 para: - F

a

= F

w

y F = F b

b

• ¿3 = —¡3 ; donde ¡3 = Á n g u l o d e r e s b a l a m i e n t o (—TT < ¡3 < TT) • 82 = a — Á n g u l o d e a t a q u e

(—TT¡2

< a < ir/2)

Por definición, el eje z tiene que estar contenido en el plano x — z -ano de simetría del avión); por ello sólo serán necesarias las dos primeras : ^aciones, ya que la tercera sacaría al eje z del plano de simetría ( F i g u r a w

b

w

b

SISTEMAS DE REFERENCIA

12

E l ángulo de resbalamiento, 6, es el ángulo existente entre el vector velocidad aerodinámica y su proyección sobre el plano de simetría del avión (por convenio suele decirse que u n avión tiene u n ángulo de resbalamiento positivo cuando la velocidad aerodinámica está situada a l a derecha del plano de simetría) y el ángulo de ataque, a , es el ángulo existente entre la proyección del vector velocidad aerodinámica sobre el plano de simetría del avión y el eje x . Téngase en cuenta que las acciones aerodinámicas sobre el avión dependerán de estos dos ángulos y que las teorías linealizadas habituales utilizadas para el cálculo de las mismas presuponen que la corriente está adherida y que, por t a n t o , ambos ángulos son pequeños. 0

Particularizando la m a t r i z L ¿ , dada por la expresión (1.13). para este caso concreto, se obtiene la m a t r i z de transformación del sistema de ejes viento al sistema de ejes cuerpo, L : a

o w

L

bw

eos a eos ¡3 sin (3

— eos a sin 3 eos ¡3

— sin a 0

sin a eos ¡3

— sin o¿ sin (3

eos a

;i.i7)

1.7. Problemas 1.1 y 1.2

13

Problemas 1.1 y 1.2

1.7.

PROBLEMA

1.1

1 ) Determinar 7 = Q

/(0,<¿>,a,/3) y 0 = / ( ,¿x, a,/3). 7

2 ) D e t e r m i n a r ¡u, — f (9,(j>,a, 3) y (f) — f (7, //, a, /5). Q

3 ) Simplificar 7 y Q

para los casos:

a) /3 = 0 6) 8 = 0 y 0 = 0 c) Todos los ángulos, excepto ó, son pequeños. 4 ) Simplificar 0 y 4> para los casos: Q

a) 8 = 0 b) 3 = 0 y ¡1 = 0 c) Todos los ángulos, excepto fj,, son pequeños. Solución: 1 ) Combinando matrices de transformación en la forma L f¡ = LwbLbh = Lj Lbh, y eligiendo el término 1-3 de las matrices resultantes se obtiene: Q

w

w

siny = sinc? eos a eos ¡3 — eos 6 sin cf> sin ¡3 — eos 6 eos <¡> sin a eos ¡3 Combinando matrices de transformación en la forma = riigiendo el término 1-3 de las matrices resultantes se obtiene

L

0 W

L h, w

y

sin9 = siny eos a eos ¡3 + eos 7 sin / i eos a sin /3 + eos 7 eos / i sin a 2 ) Eligiendo los términos 2-3 y 3-3 del p r i m e r producto de matrices i e l apartado anterior y dividiéndolos entre sí: Q

tan/i =

cot a sin (3 — cot 9 eos ó t a n a sin ¡3 + cot 9 sin <¿ esc a eos 8 ' • 1 + cot 9 eos (p cot a

Eligiendo ahora los términos 2-3 y 3-3 del segundo producto de matrices del i p a r t a d o anterior y dividiéndolos entre sí: ^_

eos 7 sin fi eos ¡3

—

sin 7 sin 3

eos 7 eos ^ eos a — sin 7 sin a eos /3 — eos 7 sin // sin a, sin /3

14

SISTEMAS DE REFERENCIA 3 ) Q

a) 8 = 0: sirry = sin0 eos a — eos 9 eos (f> sin a eos 9 sin ¿> tan/i = • sin0 sin a + eos 0 eos o5 eos a b) /? = 0 y = 0: 7 = 0— a

;

0

¡JL =

c) Ángulos pequeños (excepto ¿>): 7 = 0 - / 5 sin

—

a eos 0

;

H = 4>

4 ) Q

a) /3 = 0: sin0 = sin7 eos a + eos 7 eos /i sin a tan<¿> = b) /3 = 0 y ^ =

eos 7 sin /i eos 7 eos ¡i eos a — sin 7 sin a

0: 0 = 7 + a

:

(p = 0

c) Ángulos pequeños (excepto /i): 0 = 7 + 8 sin /i + a eos PROBLEMA

;

^ =

¡JL

1.2

L a circunferencia representada en la figura esquematiza la trayectoria descrita por u n avión que está efectuando u n viraje en u n plano horizontal en presencia de u n viento uniforme cuyo módulo V es constante y conocido, cuya dirección está contenida en el plano horizontal de la trayectoria y cuyo sentido es el indicado en la figura. E l avión efectúa el viraje con su eje x¡, tangente a la trayectoria y con velocidad respecto a t i e r r a de módulo V constante y conocido. w

g

Se pide: 1°) Determinar la función V/V = / (V /V , tp), donde V representa el módulo de la velocidad aerodinámica del avión y ip el ángulo a z i m u t a l indicado en la figura. g

w

g

1.7. Problemas 1.1 y 1.2

15

2°) D e t e r m i n a r la función 6' = ángulo formado por los ejes x

b

y

/ (V /V , w

ip), donde 8' representa el

g

x. w

3 ) D e t e r m i n a r la función 8 = f (V /V .

x¡), 0 ) .

4 ) D e t e r m i n a r la función a = f (V /V ,

tp, ).

Q

w

Q

g

w

5 ) Suponiendo V /V Q

w

g

g

= £ < 1 , simplificar las expresiones anteriores

despreciando términos de orden superior a e.

Solución: 1 ) U t i l i z a n d o la composición clásica de velocidades V = V — V , Q

g

w

determinando las dos componentes de V en los ejes de la figura a d j u n t a y -Aculando su módulo, se obtiene: V

i +

Vn

- 2

V„

cos-i/'

2 ) A p l i c a n d o el teorema del seno al triángulo de velocidades Q

V,V ,V g

w

x obtiene:

al sin p =

Vw sin ip V

V

. — sin ip =

n

w

1+

\

£

V

w

Vn

eos 1¡) ,

3 ) E l sistema de ejes cuerpo se obtiene r o t a n d o u n ángulo c6 el sistema Q

ejes intrínsecos de la trayectoria (tangente, n o r m a l y b i n o r m a l ) , alrededor

SISTEMAS DE REFERENCIA

16 del eje x . 0

Por ello, las proyecciones del versor velocidad aerodinámica

u en w

ambos sistemas son: (u )

b=

w

eos 0 eos a sin 8 eos 0 sin a

(Uw)b

Lbt =

1 0 0

L (u ) bt

w t

0 0 eos

— sin (j) eos
eos /?' sin/3' 0

y la segunda componente de este versor proporciona: V,„ . , smtp

sin 8 = sin 0' eos ó

4 ) D i v i d i e n d o las componentes obtenido en el apartado anterior, queda: Q

COS 0

tercera y p r i m e r a del versor

Ü

w

t a n a = — t a n 0' sin

5 ) Si V /V = e
w

g

0' = e sin Í> / 0 = £ sin Í/> eos © a =

— £ sin -0 sin c¡)

Ecuaciones generales del m o v i m i e n t o

2.1.

Introducción

E l modelo físico-matemático que p e r m i t e estudiar el m o v i m i e n t o del avión en cierto entorno (atmósfera), está constituido por las ecuaciones generales del m o v i m i e n t o que se desarrollan en este capítulo. L a hipótesis simplificativa fundamental a u t i l i z a r consiste en considerar -:. avión como u n sólido rígido c o n seis g r a d o s de l i b e r t a d : tres de traslación de su centro de masas respecto a cierto sistema de referencia (que será el sistema de ejes tierra) y tres de rotacióm como sólido rígido alrededor le otro sistema de referencia (estas tres rotaciones serán los ángulos de rientación del sistema de ejes cuerpo respecto del sistema de ejes horizonte local). E n el apartado 2.2 se formulan las llamadas ecuaciones de Euler - m o v i m i e n t o del avión, en el apartado 2.3 se proyectan en ejes cuerpo - acciones aerodinámicas, propulsivas y gravitatorias que constituyen las uciones exteriores a i n t r o d u c i r en las ecuaciones de Euler, en el apartado 2.4 v demuestra que, en la mayor parte de los problemas prácticos de la Mecánica . Vuelo, el sistema de ejes t i e r r a puede considerarse como inercial, en el partado 2.5 se f o r m u l a n las denominadas relaciones cinemáticas angulares opresiones que relacionan velocidades angulares y derivadas de ángulos), - el apartado 2.6 se desarrollan las relaciones cinemáticas lineales que ermitirían determinar la trayectoria del avión y, por último, en el apartado 2.7 particulariza el modelo físico-matemático general para el vuelo estacionario para el vuelo estacionario rectilíneo.

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

18

2.2.

Relaciones

dinámicas

E l modelo dinámico del m o v i m i e n t o del avión está c o n s t i t u i d o por dos teoremas fundamentales de la Mecánica Clásica: el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o y el teorema del momento cinético. E l t e o r e m a d e c a n t i d a d de m o v i m i e n t o establece que: -¡

d(mV)

donde: F = Resultante de las fuerzas exteriores. V

=

Velocidad absoluta del centro de masas del avión

(en ejes

inerciales). m = t =

Masa del avión. Tiempo.

Para u n avión convencional se cumple que l a variación de su masa respecto del t i e m p o (debido al gasto de combustible) es lo suficientemente lenta como para que pueda despreciarse el término rhV con respecto a los otros términos que intervienen en el teorema. Es decir, el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o puede expresarse como: •

F =

dV

m —

,

.

(2.2)

E l t e o r e m a d e l m o m e n t o cinético establece que: dh

ñ

(2.3) h =

IÜJ

donde: G =

Resultante de los momentos exteriores alrededor del centro de

masas. h =

M o m e n t o cinético t o t a l del avión.

cu = Velocidad angular absoluta del avión.

2.2. Relaciones dinámicas

19

I = Tensor de inercia del avión. E l tensor de inercia se define mediante:

I =

Ix — Jxy Jxz

Jxy

Jxz (2.4)

— Jyz

ly "Jyz

h

donde I x , I y , I z son los momentos de inercia alrededor de los tres ejes del sistema de referencia considerado y Jxy, Jxz, Jyz son los correspondientes productos de inercia. Estos seis parámetros másico-geométricos se d e t e r m i n a n mediante las conocidas expresiones:

Ix = J(y

+ z )ám

2

• Iy = j(x

2

ra Jxy =

2

f / xydm

rn ; Jxz =

+ z )dm 2

; Iz = j(x

2

+

m

f / xzdm

f / yzdm

; Jyz =

y )dm 2

(O K\ z

\ -ü)

Los dos teoremas de la cantidad de m o v i m i e n t o y del m o m e n t o cinético pueden ahora proyectarse en cualquier sistema de referencia. E n p a r t i c u l a r , la utilización de los ejes cuerpo presenta u n a doble ventaja: en primer lugar la distribución másica del avión respecto a los ejes cuerpos es prácticamente constante y son despreciables los términos donde intervienen las derivadas respecto del t i e m p o de los momentos y productos de inercia, respecto a otros términos de los desarrollos; y en segundo lugar, como se h a supuesto que el avión tiene plano de simetría (plano x — z¡,), los productos de inercia Jxy y J son idénticamente nulos. b

y z

Según esto, las tres componentes en ejes cuerpo de l a fuerza t o t a l , el momento t o t a l , la velocidad lineal absoluta y l a velocidad angular absoluta, :-e denotan por: F

= (F ,F ,F ) , X

Y

Z

T

G = (L,M,N) , T

V = (U,IKW)

T

:

C3=(p,q,r)

T

(2.6) Téngase en cuenta ahora que para obtener l a derivada respecto del tiempo de u n vector en u n sistema de referencia inercial, cuando se conoce su derivada en u n sistema rotante (por ejemplo, los ejes cuerpo), es preciso añadir a esta última u n término que es el p r o d u c t o vectorial del vector velocidad angular d e l sistema rotante respecto del inercial m u l t i p l i c a d o por el propio

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

20

vector a derivar. Es decir, los teoremas de la cantidad de m o v i m i e n t o y del momento cinético en u n sistema r o t a t o r i o pueden escribirse como: F = m(^+ÜAV), ot

(2-7)

G = ^+ÜAh ot

y operando con las expresiones anteriores, finalmente se obtiene: F

= m(ú — rv + qw)

F

= m(v + ru — pw)

x

y

F

z

= m(w — qu + pv) (2.8)

L = I px

J

x z

r + (I

z

M = I q - (I

- I )pr

N = Ir - J p

- (I

y

z

z

xz

x

x

- I )qr

-

y

+ J (p xz

- I )pq y

J pq xz

-

2

+

r) 2

J qr xz

E l sistema de ecuaciones (2.8) se denomina E c u a c i o n e s d e E u l e r d e l M o v i m i e n t o d e l Avión. Conviene resaltar que, para obtener este sistema, se han despreciado todos los efectos dinámicos asociados a las deformaciones elásticas de la estructura, a los grados de l i b e r t a d de los subsistemas articulados (timones, flaps, etc.) y a los momentos cinéticos respecto del avión de los subsistemas giratorios (hélices, compresores, etc.). Cuando, por ejemplo, no sean despreciables los momentos cinéticos de los subsistemas giratorios (llamados usualmente términos giroscópicos), se h a n de i n t r o d u c i r en la formulación anterior términos adicionales, t a l y como se i l u s t r a en el Problema 13.2.

2.3.

Acciones exteriores y términos g r a v i t a t o r i o s

No es posible integrar las ecuaciones de Euler del m o v i m i e n t o del avión, para obtener las tres componentes de la velocidad lineal y las tres de la velocidad angular, debido a que no se conocen todavía las fuerzas y momentos exteriores que intervienen en ellas. Las acciones exteriores se descomponen en propulsivas, aerodinámicas y gravitatorias (subíndices T, A y G respectivamente) según las expresiones:

2.3. Acciones exteriores y términos gravitatorios

F

=

G

F

2]

+ F

T

+

A

=

+

GT

F

G

(2.9) GA

La fuerza g r a v i t a t o r i a puede expresarse fácilmente en el sistema de ejes horizonte local mediante:

(2.10)

donde g es la aceleración de la gravedad. Esta aceleración, en el vuelo atmosférico de aviones, puede tomarse como u n a constante (g = go = 9.81 m / s ) , debido a que la a l t i t u d de vuelo es m u y pequeña comparada con el radio terrestre y por t a n t o son despreciables las pequeñas variaciones de la aceleración de la gravedad con la a l t i t u d producidas al estar sometido el avión a u n potencial g r a v i t a t o r i o de módulo (en primera aproximación) inversamente proporcional a la distancia centro de masas del avión-centro de la T i e r r a . 2

Para proyectar la fuerza g r a v i t a t o r i a en el sistema de ejes cuerpo, se u t i l i z a la m a t r i z de rotación L¡,h (ecuación (1.15)): F

{FG)b={

G

X

"

-mg sin 0

> = L (F )h'=

F

Gy

FGZ

BH

I

l

G

mg eos 0 sin (p

I

}

(2.11)

mg eos 9 eos 4

Introduciendo las acciones aerodinámicas, propulsivas y gravitatorias en el sistema de ecuaciones (2.8), se obtiene: —mg sin 9 + FT

X

+ FAX = m{ú — rv + qw)

mg eos 9 sin

+ F

V

mg eos 9 eos + FT

+ FA

Z

+ LA

M

+ M

N

+ N

T

Y

z

= m(v + ru — pw) = rn(w — qu + pv) (2.12)

= I P - Jxzf + [Iz ~ I )qr

LT T

A

X

= I q - (I

A

A

y

=

z

Ir - J p z

-

y

xz

- I )pr x

+ J (p xz

- (Ix - I )pq y

J pq xz

-

2

+

r) 2

J qr xz

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

22

Los tres momentos aerodinámicos de balance, cabeceo y guiñada, L A , M , N A , pueden ser controlados p o r el p i l o t o mediante las tres superficies aerodinámicas de mando denominadas a l e r o n e s , timón d e p r o f u n d i d a d y timón d e dirección, cuyas deflexiones se representan, respectivamente, por 5 , 5 , S . Téngase en cuenta que estas deflexiones intervienen asimismo en las tres componentes de la fuerza aerodinámica (FAX-, F y, F ) , por lo que las seis ecuaciones de fuerzas y momentos están acopladas. A

a

e

R

A

A Z

E n l a F i g u r a 2.1 se muestra el criterio de signos para los tres momentos aerodinámicos de balance, cabeceo y guiñada, LA, M , N - cada m o m e n t o es positivo si está d i r i g i d o en el sentido positivo de su respectivo eje cuerpo. E n cuanto a las tres deflexiones de las superficies de m a n d o , en este libro se tomará el convenio siguiente (ver asimismo la F i g u r a 2.1): u n a deflexión positiva de alerones genera u n m o m e n t o de balance positivo y, p o r t a n t o , el alerón izquierdo b a j a y el derecho sube: u n a deflexión positiva de timón de profundidad genera un momento de cabeceo negativo y. por t a n t o , el timón de p r o f u n d i d a d baja; y u n a deflexión positiva de timón de dirección genera u n momento de guiñada p o s i t i v o y, p o r t a n t o , el timón de dirección se deflecta hacia l a derecha. A

A

Figura 2.1. Nomenclatura y criterio de signos para los momentos aerodinámicos y las deflexiones de las superficies de mando, en un avión convencional.

2.4. Hipótesis de tierra plana

2.4.

23

Hipótesis de t i e r r a plana

Y a se comentó en el apartado 1.2.1 del capítulo anterior que, para la Mecánica del Vuelo de aviones, es suficiente considerar como sistema inercial a u n sistema geocéntrico ligado a las estrellas fijas (ver F i g u r a 1.1). E incluso este sistema es demasiado " i n e r c i a l " para l a práctica t o t a l i d a d de los problemas dinámicos que aparecen en el vuelo atmosférico de los aviones convencionales. Considérese ahora el sistema topocéntrico giratorio de la F i g u r a 1.1, " llamado sistema de ejes t i e r r a . Denotando el centro de masas del avión p o r CG, su aceleración respecto del sistema inercial (aceleración absoluta del avión), afj , puede escribirse mediante la conocida composición de aceleraciones de la Mecánica Clásica: G

o£

G

=

o £ + Ú A (Ú A fojCG) G

+2ÚA

Vg

G

(2.13)

en donde a^^ representa l a aceleración del centro de masas del avión respecto del sistema de ejes t i e r r a , V

CG

b

tierra, ro¡CG

e s

es l a velocidad del avión respecto de los ejes

el radiovector que une el centro de la T i e r r a con el centro

de masas del avión y fl es el vector velocidad angular de l a T i e r r a , supuesto constante (Q = u¡ j = c í e ) . e

Introduciendo* en la expresión anterior valores típicos para el vuelo de los aviones (velocidad angular de l a T i e r r a igual a u n a revolución por día. velocidad de u n avión respecto del suelo del orden de 200-300 m / s y Astancia de u n avión a l centro de l a T i e r r a del orden de 6380 k m ) , puede -Amarse que t a n t o l a aceleración centrípeta como la aceleración de Coriolis son despreciables. Por t o d o ello: 3 g p « ag

G

(2-14)

será suficiente considerar como sistema inercial el sistema de ejes tierra. Alando el sistema de ejes t i e r r a se considera inercial, suele decirse que se ~ lica l a "hipótesis d e t i e r r a p l a n a " .

2.5.

Relaciones cinemáticas angulares

L a fuerza g r a v i t a t o r i a que aparece en los primeros términos de las cuaciones escalares de fuerzas (tres primeras ecuaciones del sistema (2.12)) :.:roduce dos nuevas incógnitas en las ecuaciones de Euler: el ángulo de asiento . avión, 0, y el ángulo de balance del avión, cf>.

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

24

A continuación se relacionan las tres componentes de la velocidad angular absoluta del avión con los ángulos (y sus derivadas respecto del t i e m p o ) de orientación del avión respecto del sistema de ejes horizonte local. Como se ha demostrado en el a p a r t a d o anterior, los ejes tierra pueden suponerse inerciales y por t a n t o : tibí =

tibe =

tibh

+

tihe

(2-15)

Despreciando velocidad angular de los ejes horizonte local respecto de los ejes t i e r r a , se obtiene:

tibí =

ti h b

M

=

< q

.. .. > = (pib + Qji +

(2.16)

Proyectando los versores de la expresión anterior en ejes cuerpo, se obtienen finalmente las tres relaciones cinemáticas angulares directas: p = (p — tp sin 6 q = 6'eos 4> + ip eos 6 sin
(2-17)

r = —9 sin (p + tp eos 6 eos <¡> De las tres expresiones anteriores pueden despejarse las relaciones cinemáticas angulares inversas, es decir, las derivadas de los ángulos de asiento, balance y guiñada del avión en función de estos ángulos y de las componentes de la velocidad angular: 4> = p + (q sin ó + r eos ó) t a n 9 6 = q eos é — r sin

(2-18)

ip = (q sin (p + r eos ó) sec 9 Supuestos conocidos los términos aerodinámicos y propulsivos que intervienen en el sistema dinámico (2.12) en función de u, v, w, p, q, r (y, eventualmente, de sus derivadas primeras respecto del t i e m p o ) , el sistema (2.12) más la p r i m e r a y segunda ecuaciones de las relaciones cinemáticas angulares inversas (2.18) constituyen u n sistema de 8 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de p r i m e r orden, que permitiría obtener en función del t i e m p o las incógnitas u, v, w, p, q, r, 9 y 4>. Si por el contrario se sustituyen las tres relaciones cinemáticas angulares directas (2.17) en el sistema dinámico (2.12), se obtiene u n sistema

2.6. Relaciones cinemáticas lineales y determinación de la trayectoria

25

de 6 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo orden, que permitiría obtener en función del t i e m p o las incógnitas u, v, w, ip, 9 y <\>.

2.6.

Relaciones cinemáticas lineales y determinación de la t r a y e c t o r i a

Considerando de nuevo al sistema de ejes t i e r r a como sistema inercial y suponiendo además que los ejes t i e r r a son paralelos a los ejes horizonte local, la velocidad absoluta del avión puede expresarse proyectada en ejes t i e r r a como:

(2.19)

y utilizando la expresión (1.15) de la m a t r i z de transformación L^h, se obtienen .as llamadas relaciones cinemáticas lineales:

x

e

— (eos 9 eos ip)u + (sin (p sin 9 eos tp — eos ó sin ip)v+ +(cos (p sin 9 eos ip + sin

y = e

(eos 9 sin ip)u + (sin (p sin 9 sin tp + eos

(2.20)

— sin 9u + sin (p eos 9v + eos

Introduciendo en estas expresiones los valores de u, v, w, ip, 9 y

2.7.

Ecuaciones del vuelo estacionario

A u n vuelo se le denomina estacionario si las tres componentes de .a velocidad lineal absoluta y las tres componentes de la velocidad angular soluta, proyectadas en el sistema de ejes cuerpo, permanecen constantes J I I el t i e m p o (es decir, u, v, w, p, q, r son constantes del m o v i m i e n t o ) .

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

20

Para el vuelo estacionario, el sistema dinámico de ecuaciones (2.12) se simplifica en: —mg sin 9 + F?

x

+ F

= m(—rv + qw)

Ax

mg eos 9 sin
+ F

y

mg eos 9 eos

z

= m(ru — pw)

Ay

+ F

= m(—qu + pv)

Az

(2.21) L M

T

+ L

T

+ M

A

N

T

A

= (I

z

- I )qr

= - { h - IxJpr

+ N

A

-

y

= -{I

J pq xz

+ J (p xz

- I )pq

x

-

2

+

y

r) 2

J qr xz

Obsérvese que, con la definición propuesta para el vuelo estacionario, las tres componentes de la velocidad angular h a n de ser constantes, pero no necesariamente h a n de ser nulas. Imponiendo en el sistema de ecuaciones anterior la condición adicional &bh — 0, se obtienen las expresiones a u t i l i z a r en el v u e l o rectilíneo:

estacionario ,

p = q= r = 0 ip = 0 —> ip = cte

(2.22)

Ó = 0 - > 0 = cte 4> = 0 —> = cíe

Introduciendo estas relaciones en el sistema dinámico de ecuaciones de fuerzas y momentos del vuelo estacionario, queda u n sistema en donde no aparece ningún término inercial: -mg

sin 9 + F

Ax

mg eos 9 sin 0 + Fx

y

mg eos 0 eos
+

= 0

+ F

Tx

+ F

Ay

+

Í A

= 2

0 =

0

2.7. Ecuaciones del vuelo estacionario

27

L

T

M

T

N

+ L

A

+ M

=

0

+ N

=

0

A

T

= 0

A

Obsérvese que t o d o vuelo estacionario con

(2.23)

0 es rectilíneo, pero

no t o d o vuelo rectilíneo estacionario satisface esta relación.

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

28

2.8.

P r o b l e m a s 2.1 y 2.2 PROBLEMA

2.1

Con objeto de estudiar el m o v i m i e n t o de una aeronave suponiendo la T i e r r a esférica y g i r a t o r i a alrededor de su eje polar, se consideran los sistemas de referencia definidos en la F i g u r a 1.1 y en el a p a r t a d o 1.2. Son datos del problema: R

= Radio de la T i e r r a

n

= Módulo de la velocidad angular de la T i e r r a (constante)

Te

=

L o n g i t u d de O

A

=

L a t i t u d de O

e

e

e

m = Masa de la aeronave 9o = Constante de la gravedad (al nivel del m a r ) Se pide: 1 ) D e t e r m i n a r la m a t r i z de transformación Lhi en función del t i e m p o , Q

í, de la l o n g i t u d de la aeronave, r , y de su l a t i t u d , A. 2 ) D e t e r m i n a r las tres componentes de la velocidad angular absoluta Q

de la aeronave en ejes cuerpo, pb,qb,r ,

en función de -0, 9.
0

h =

y sus derivadas.

OiCG) 3 ) Q

D e t e r m i n a r las tres componentes de la velocidad absoluta de

la aeronave en ejes cuerpo, u&, v , wt,, en función de tp, 9, , T, A, h y sus b

derivadas. 4 ) Q

Plantear

el sistema de

ecuaciones

dinámicas

que

permiten

determinar la m o v i m i e n t o de la aeronave en función de las componentes en FAX,

ejes cuerpo de las fuerzas y momentos aerodinámicos y propulsivos, F

A

, F

Y

A

Z

, F

T

X

,

F

T

Y

,F

T

z

, L

A

,

M ,N ,L , A

A

M,

T

T

N. T

Solución: 1 ) C o m b i n a n d o matrices de transformación en la forma: Q

Lhi con L

M

= I y L

u

= R (-(90 2

=

LhiLu

+ A ) ) i ? ( O í + r ) se obtiene: 3

2.8. Problemas 2.1 y 2.2

29

— sin Acos(fií + T ) Lhi

— L Iu T

—sinA cos(fíí + T )

-sin(í2í + r )

=

eos A

cos(Oí + r )

— eos Acos(f7í + r )

0

— eos A sin(ílí + r )

—sinA

2 ) Componiendo velocidades angulares: Q

tibí = Wfo/, +

Lü i h

+ (Ule + ¿3 + tigi e9

donde Wí,/! = (p, q, r ) , dada por las expresiones (2.17) T

ti

—

eg

=

0

¿5; = fkj -

Xj

e

ujgi =

h

ílkj

Transformando los versores kj y j

n

a ejes cuerpo mediante las matrices

(Lbh viene dada por la ecuación (1.15) y L ^ / ha sido calculada

Lbi = LbhLhi

en el apartado 1 ) y L y ¡ , respectivamente, queda: Q

Pb

= (© — V>

s

i

n

#) + (?" + ^ ) (eos 0 eos ^ eos A + sin 9 sin A) — A eos 9 sin V >

(& = (9 eos (j) + ip eos 0 sin 0 ) + + ( f + íl)((sin 0 s i n 9 eos ^> — eos 0 sin i¡)) eos A — sin 0 eos 9 sin A) — — A (sin (¡> sin 0 sin ^ + eos 0 eos í/>) rb = (—#sin0 + V> cosacos s i n o c o s

+ s i n ^ s m ^ ) cosA — eos <\> eos 6 sin A)—

— A(cos 0 sin 6* sin ?/> — sin 0 eos tp) 3 ) Por definición la velocidad absoluta del avión es: V = áf/át,

donde

Q

res el radiovector que une 0¡ con CG, es decir, f = — (R + h)kh Como: tihi =

( f + Q)ki — Xjh = ( T + fi) eos A¿/j — A j / , — ( f + íü) sin AA;^

operando se obtiene la velocidad absoluta en ejes horizonte local: V =

-/ife/j + ¿ D A r = X(R + h)i w

h

+ (t + ü) eos X(R + h)j

h

-

hk

h

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

30

Por último, para pasar esta velocidad a ejes cuerpo se hace V — LbhVh, b

obteniéndose: Ub = eos 6 eos ipX(R

+ h) + eos 0 sin ip(f + O) eos X(R + h) + sin Oh

Vb = (sin
+

+ fl) eos A(i? + h) — sin 0 eos Oh

Wb = (eos (b sin 0 eos ip + sin ó sin ip)X(R (eos 0 sin 0 sin ?/> — sin (¡> eos

h)+

+

h)+

( f + í í ) eos A(i? + /?) — eos ¿> eos 0/i

4 ) E l sistema de ecuaciones dinámicas (2.12) adquiere ahora la forma: Q

-rngsinO

+ F

+ F

Tx

Ax

= m{ü

- rv

b

b

b

+

qbw ) h

mg eos 0 sin
L

+ L

T

M N

= IxPb - Jxzfb + {h - Iy)qbn

A

+ M

T

= Iq

A

+ N

T

A

m(wb — qb'u-b + Pb^b)

y

- (I

b

z

- I )Pbn

- JxzPbQb

+ Jxz{pl

x

= Izh - JxzPb - {Ix - I )Pbqb y

-

+

rt) Jxzqbn

E n ellas se i n t r o d u c e n las expresiones obtenidas en los apartados 2 ) Q

y 3 ) y u n a ecuación adicional para l a aceleración de la gravedad, g: es decir: Q

Pb,qb,n

= f{ip,8,4>;T,X),

u ,v ,w b

b

b

= f(tb,0,;T,

X,h),

g =

g (R/(R+h))

2

0

Suponiendo ahora datos del p r o b l e m a las características másicas, y suponiendo conocidas las acciones aerodinámicas y propulsivas (F Ax

FTX,

Fxy, FTZ-,

L ,M ,N , A

A

A

F , Ay

FA , Z

el sistema anterior es u n sistema

LT,MT,NT),

de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de 2

Q

orden que, con las

adecuadas condiciones iniciales, permitiría obtener la evolución con el t i e m p o de las seis incógnitas del p r o b l e m a (tp, 0, (b, r , A, h). PROBLEMA

2.2

Se considera u n avión de masa m

a

y centro de masas en Obo en u n a

condición i n i c i a l de vuelo simétrico, h o r i z o n t a l , rectilíneo, estacionario y con las alas a nivel. Por el inferior del avión puede moverse u n a masa p u n t u a l m

m

que, en l a situación i n i c i a l considerada, se encuentra en el p u n t o Obo (por

t a n t o , la masa t o t a l del sistema, m , es m = m Para t

>

a

+

m ). m

¿o la masa p u n t u a l se desplaza a lo largo del eje Xbo,

perteneciente a l sistema de ejes cuerpo F^o con origen en Obo, y su posición x (t) rn

se supone conocida en función del t i e m p o (ver

figura).

2.8. Problemas 2.1 y 2.2

31

X

m

o

CG

X

m z

bO

Se supone además que todas las variables lateral-direccionales del problema son nulas y que las características geométricas, aerodinámicas y másicas del sistema son conocidas; en particular el tensor de inercia del sistema en el instante inicial, lo, viene dado por:

l0 =

Ixo 0

0 IyQ

0 0

0

0

/,o

Se pide: 1 ) U t i l i z a n d o el sistema de ejes cuerpo instantáneo, F¡, (su origen, O , es el centro de masas instantáneo del sistema mecánico, y los ejes x , yb, z son paralelos a los ejes x&o, Uto, bo del sistema F^o,), plantear las ecuaciones dinámicas de fuerzas según los ejes x¡, y Zh, y de momento según el eje yb, expresándolas en función de F , F , M, u , w , q, m, I (u , w son las componentes en ejes cuerpo, Fb, de la velocidad del centro de masas instantáneo, q es la velocidad angular de cabeceo e I t es el momento de inercia instantáneo alrededor del eje y ) y, eventualmente, de sus derivadas respecto al tiempo. Q

b

b

z

b

x

z

cg

cg

y

t

cg

cg

y

0

2 ) Suponiendo además que m /m = £
x

z

m

y

a

m

OboSolución: 1 ) Planteando de nuevo los teoremas de la cantidad de m o v i m i e n t o y Q

del momento cinético: F = m( G =

d(Iu)

+ wA

V ) CG

+ O A (Iü)

ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO

32

con : = G (0,M,0) ,

F=(F .0.F ) , x

z

V

T

L

Fxt 0 0

w =

= {u ,Q,w ) \

cg

cg

0

0

Iyt 0

0

cg

L

(0,g,0)-

ht

queda F

=

x

F

m(ú

C 9

+

qw )

-

qu )

= m(w

z

cg

M = Iq yt

cg

cg

+ iytq

2°) L a nueva posición del centro de masas, x ,

respecto de Obo, es:

cg

X

m {x m

m

c g

) — ni x a

—

•cg

, m

+

a

I n t r o d u c i e n d o en ella el parámetro pequeño e: x

—

cg

x

m

m

m

SXr

1+ e

M e d i a n t e el teorema de Steiner es posible d e t e r m i n a r I t e I.yty

It y

= (lyo + m x ) a

+ m (x

cg

m

- Xcg)

m

Iyt ~~ 2^m X X a

m

m

= I o + em x y

a

= I

m

emx

y

r

2sTTlX X i

=

rn

rr

L a relación entre las componentes de la velocidad de O y Obo viene dada por: b

=

U

cg

Vcg = V

Ob0

+ x gi C

-

b

qxcgh

U

+

= tt + £ ¿ ->•

Xg

m

C

<

u.'

= «' - g x

C5

c g

=

w - eqxm

- > i¿ , = i¿ - e g x C£

m

-

egx

-¡ m

Sustituyendo finalmente en las expresiones obtenidas en el apartado 1°, queda: F F

x

z

M

=

m[ú + QU,' + e{x

m

= m[w - qu= Iq yQ

e(qx

m

+ srnxm (x q m

- q x )] 2

'

m

+

2qx )]

+

2x q)

m

m

3

Relaciones básicas para la determinación de actuaciones

3.1.

Introducción Como ya se estableció en el Prólogo, las Actuaciones se ocupan del

estudio de los grandes movimientos del centro de masas del avión a lo largo de su trayectoria mediante una serie de relaciones dinámicas, másicas y cinemáticas. A s i m i s m o se comentó que, en general, no pueden separarse los problemas de Actuaciones de los de E s t a b i l i d a d y C o n t r o l . E l control r o t a c i o n a l del avión se consigue defiectando las tres superficies aerodinámicas primarias denominadas alerones, timón de profundidad y timón de dirección, los ángulos S ,5 ,5 a

e

respectivamente (ver F i g u r a 2.1).

r

Estas tres deflexiones prácticamente no influyen en las fuerzas y momentos propulsivos que aparecen en el sistema (2.12), pero sí afectan a las fuerzas y momentos aerodinámicos mediante relaciones funcionales de la forma:

FA

=

GA =

F {S ,S .5 ) A

a

e

(3.1)

r

GA{Sa,S ,5

)

e

r

Por t a n t o las seis ecuaciones escalares de fuerzas y momentos del sistema (2.12) deben resolverse simultáneamente. No

obstante, para estudiar los problemas de

actuaciones

puede

suponerse que los efectos de las deflexiones de las superficies de mando sobre las fuerzas aerodinámicas son mucho menores que los correspondientes efectos sobre los momentos aerodinámicos y así las tres deflexiones (5 ,5 ,5 ) a

e

r

no

aparecerán en el teorema de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o . Mediante esta hipótesis se utilizarán las tres ecuaciones escalares de fuerzas para resolver los problemas de actuaciones y posteriormente se emplearán las tres ecuaciones escalares de momentos p a r a determinar las

34

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

deflexiones de mandos necesarias para mantener el avión a lo largo de la trayectoria (problemas de estabilidad y controlabilidad). A continuación, en el siguiente apartado se plantea el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o (proyectando todas las variables involucradas en el mismo en ejes viento) y se formula la llamada relación másica del avión, en el apartado 3.3 se desarrollan las ecuaciones cinemáticas lineales, en el apartado 3.4 se establecen relaciones funcionales genéricas para las características aerodinámicas del avión y las características propulsivas del grupo motopropulsor y en el apartado 3.5 se efectúa una discusión general del sistema de ecuaciones, d e t e r m i n a n d o los grados de l i b e r t a d matemáticos del mismo y desarrollando algunos casos particulares de gran interés como son los vuelos simétricos en u n plano vertical y en u n plano horizontal.

3.2.

Relaciones dinámicas de fuerza y relación másica

E n el capítulo 2 se h a n obtenido las seis relaciones dinámicas de fuerzas y momentos (ver sistema (2.8)) proyectando los teoremas.de la cantidad de m o v i m i e n t o y del m o m e n t o cinético en el sistema de ejes cuerpo, ya que en estos ejes el tensor de inercia es prácticamente constante. Si se quiere analizar ahora de forma separada los problemas de actuaciones de los de estabilidad y c o n t r o l , el hecho de que el tensor de inercia sea constante en los ejes cuerpo no representa ninguna ventaja a la hora de formular las ecuaciones de fuerzas. Salvo que se indique expresamente lo contrario en el desarrollo de este l i b r o , la atmósfera se considera en calma, es decir, la velocidad del viento respecto del suelo, V , es nula. Por t a n t o la velocidad aerodinámica (velocidad del avión respecto del aire), V, y la velocidad del avión respecto de t i e r r a , V , son iguales, y proyectando ambas en ejes viento puede escribirse: W

G

(3.2) donde V representa el módulo de la velocidad aerodinámica. Así pues resulta más útil proyectar el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o en ejes viento, donde coinciden los vectores velocidad respecto de t i e r r a y velocidad aerodinámica y además están dirigidos según el eje x . w

3.2. Relaciones dinámicas de fuerza y relación másica

35

Para proyectar el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o , dado por la expresión (2.2), en ejes viento, bien puede realizarse u n desarrollo análogo a l del apartado 2.2, o bien pueden efectuarse las sustituciones siguientes en las tres primeras relaciones dinámicas escalares del sistema (2.12): Ángulos de orientación tp por x 6 por 7 (p por u

Velocidades lineales u por V v por 0 w por 0

Fuerza aerodinámica ( F i g u r a 3.1)

Velocidades angulares P por p q por q r por r w

w

w

Fuerza propulsiva (Figura 3.2)

FAX

por - D

FTX por T eos ecos v

FA

por -Q

Fx

por - L

FTZ por — T s i n e

V

FAZ

y

por T eos e sin v

donde: p , q , r son las tres componentes de la velocidad angular de los ejes viento respecto de los ejes inerciales, expresadas en ejes viento; D,Q,L son, respectivamente, la r e s i s t e n c i a , la f u e r z a l a t e r a l y la sustentación del avión; T, e, v son, respectivamente, el e m p u j e y los ángulos d e a t a q u e y resbalamiento del empuje. w

w

w

Figura 3.1. Componentes de la fuerza aerodinámica en ejes viento. Las ecuaciones escalares de fuerza quedarán en la forma: —mg sin 7 + T eos e eos v — D = mV mg eos 7 sin ¡i + T eos e sin v — Q = mr V mg eos 7 eos u — T sin e — L = —mq V w

w

(3-3)

36

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

\ \ \

\ \

\

\

\

Figura 3.2. Orientación del empuje respecto a los ejes viento. Efectuando las mismas hipótesis del apartado 2.5 (los ejes t i e r r a son inerciales y los ejes horizonte local prácticamente no giran respecto de los ejes t i e r r a ) , pueden sustituirse las componentes de la velocidad angular y los ángulos de orientación que aparecen en las relaciones cinemáticas angulares (2.17) por los correspondientes valores de los ejes viento, obteniéndose: Pw = fi-X 7 qw = 7 eos ¡J, + x cos 7 sin ¡i r = —7 sin fi, + x eos 7 cos u s i n

(3.4)

w

1

Teniendo en cuenta estas últimas expresiones, el sistema (3.3) queda: T cos £ cos v — D — mg sin 7 — mV = 0 T cos e sin v — Q + mg cos 7 sin fi + mV (7 sin p — x 7 ° s /x) = 0 —T sin c — L + mg cos 7 cos ¡1 + mVi j cos ¡i + X 7 sin ¡i) = 0 7

c o s

c

(3.5)

c o s

L a masa del avión que aparece en el anterior sistema de ecuaciones, puede descomponerse en u n a masa fija (invariable durante el vuelo) y en la masa de combustible contenida en los depósitos que varía m u y lentamente durante el vuelo, por lo que el teorema de la cantidad de m o v i m i e n t o puede escribirse en la forma simplificada de fuerza igual a masa por aceleración. L a variación de la masa del avión con respecto del t i e m p o o, lo que es lo mismo, la variación de la masa del combustible de los depósitos, está relacionada con el g a s t o másico de c o m b u s t i b l e d e l m o t o r , ip, mediante la expresión: m + (f = 0

(3.6)

3.3. Relaciones cinemáticas lineales

37

Obsérvese que ip es u n a m a g n i t u d siempre positiva y que l a masa del avión siempre disminuye con el t i e m p o (excepto para los planeadores, donde m = íp = 0).

3.3.

Relaciones cinemáticas lineales

Introduciendo ahora en las expresiones (2.20) los cambios de los ángulos de orientación y de las componentes de la velocidad lineal señalados en el apartado anterior, se obtiene simplemente (ver F i g u r a 3.3): = V cos 7 cos

x

y = V~ cos 7 sin ¿ = —V sin 7

Y

x

e

e

(3.7)

e

L a última relación cinemática también puede escribirse como: V

a

= h = -z

e

= V sin 7

(3.8)

donde V es la llamada v e l o c i d a d a s c e n s i o n a l del avión y h es la a l t i t u d . a

V

Figura 3.3. Trayectoria del avión respecto de los ejes tierra.

3.4.

Características aerodinámicas y propulsivas

E l m o v i m i e n t o de traslación del avión viene descrito por tres ecuaciones linárnicas de fuerzas, una ecuación de conservación de la masa y tres

38

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

ecuaciones cinemáticas lineales (sistemas (3.5), (3.6) y (3.7)). Contenidas en estas ecuaciones están las cinco variables siguientes, que dependen de las características aerodinámicas del avión y de las características de su g r u p o motopropulsor: D, Q, L , T, p. Si se evalúan estas características aerodinámicas y propulsivas desde u n p u n t o de vista casi-estacionario y se hacen diversas hipótesis simplificativas adicionales (por ejemplo, las deflexiones de los mandos no influyen en ellas, la geometría del avión está fijada, etc.). D, Q, L , T, (p serán funciones de h, V, a, 0, e, v, TT, donde TT es el llamado parámetro d e c o n t r o l d e l e m p u j e (por ejemplo, las revoluciones de u n t u r b o r r e a c t o r ) . Por t a n t o : D = D(h,V,a,0,£,v,Tr) Q = Q(h, V, a, 0, e, v, ir) L = L(h,V, a,0,e, U,TT) T = T(h,V.a,0,e,u, TT)

(3.9)

Se define v u e l o simétrico como aquel vuelo que, desde el p u n t o de vista de las actuaciones, respeta la simetría que i n t r o d u c e el plano de simetría del avión (plano x^—Zb), es decir, aquel vuelo en dónde 0 = v = 0. A d i c i o n a l m e n t e en u n vuelo simétrico la fuerza lateral Q es despreciable (Q = 0). E n u n vuelo simétrico, por t a n t o , D, L , T,

3.5.

L = L{h,V.a),

T = T(h, V, TT),

p = p(h,V,Tr)

(3.10)

Discusión general del sistema y casos particulares

I n t r o d u c i e n d o las relaciones funcionales (3.9) en el sistema de ecuaciones diferenciales compuesto por las 7 expresiones (3.5), (3.6) y (3.7). se identifican las siguientes variables: 1 variable independiente: í

3.5. Discusión general del sistema y casos particulares

39

• 13 variables dependientes o incógnitas, de las cuales 7 son variables derivadas o de estado (x ,y ,h,V, e

e

y , 7, m ) , y 6 son variables no

derivadas o de c o n t r o l ( a , 0, ¡JL, e, v, TT) Téngase en cuenta que como la aceleración de la gravedad, g, puede considerarse constante (ver apartado 2.3), el peso del avión, W, reemplazar a su masa, m, como variable derivada o de estado (W =

puede mg).

Por definición, número d e g r a d o s d e l i b e r t a d matemáticos d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , N, es el número de variables dependientes menos el número de ecuaciones. E n este caso: N = 13 - 7 = 6 Es posible controlar u n avión mediante los seis grados de l i b e r t a d siguientes: • Ángulo de ataque, ángulo de resbalamiento y ángulo de balance de velocidad (para modificar estos tres grados de l i b e r t a d , puede pensarse que el p i l o t o dispone de timón de p r o f u n d i d a d , timón de dirección y alerones). • Ángulos de ataque y de resbalamiento del empuje y parámetro de control del empuje.

Por t a n t o , si u n piloto efectúa u n a m a n i o b r a especificada de los mandos, es decir, si a, 0, a, e, v, TT son funciones dadas del t i e m p o , la : l e g r a c i ó n de las siete ecuaciones diferenciales permite obtener las siete variables derivadas o de estado, en función del t i e m p o y de las constantes l e integración. Estas últimas se d e t e r m i n a n mediante condiciones iniciales y o finales adecuadas. A continuación se presentan una serie de casos particulares de gran interés práctico para la Mecánica del Vuelo.

3.5.1.

Motor

fijo

con respecto al avión

Casi la t o t a l i d a d de los aviones que existen en el m u n d o tienen los :.. jtores rígidamente unidos a su estructura.

40

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

Siendo k\, k , k las tres componentes del versor empuje, t, proyectado en ejes cuerpo (es decir, sus tres cosenos directores), pueden relacionarse dada por con sus tres componentes en ejes viento mediante la m a t r i z L la expresión (1.17): 2

3

b

w

cos e cos v h={

k

2

)=L t

= L

bw w

b

w

cosesini^ — sin e

{

)

(3.11)

Operando se obtienen tres relaciones adicionales: cos £ cos a c o s ( f + 3) + sin e sin a = k\ c o s £ s u n > + /3) = k cos E sin cu cos(u + 3) — sin £ cos a = k 2

(3.12)

3

Estas tres relaciones adicionales h a n de c u m p l i r : (3.13)

k¡ + k¡ + k¡ = l y por t a n t o , de las tres, sólo hay dos relaciones independientes.

E l número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema para u n avión con el m o t o r fijo respecto de la estructura será ahora (las variables dependientes son las mismas pero se dispone de dos ecuaciones más): N

=

13 - 9 = 4

y es posible controlar el avión mediante el timón de p r o f u n d i d a d , el timón de dirección, los alerones y el parámetro de control del empuje. 3.5.2.

Vuelo simétrico en u n plano vertical

E n muchos casos prácticos el centro de masas del avión no sale de u n plano vertical especificado por las condiciones iniciales. T o m a n d o el origen de ángulos de guiñada de velocidad en ese plano vertical, es decir, t o m a n d o el eje y perpendicular al plano vertical, la segunda relación cinemática del sistema (3.7) proporciona: e

y = 0 - > y = V cos 7 sin y = 0 - » x = e

e

0, vr

(3-14)

Además, por tratarse de u n vuelo simétrico = v = 0 —> Q = 0. Introduciendo estos valores particulares de las variables en el sistema general

3.5. Discusión general del sistema y casos particulares

41

de ecuaciones cinemáticas, dinámicas y másica (expresiones (3.5), (3.6) y (3.7)), se obtiene (ver F i g u r a 3.4): x

e

=

V cos 7

h = V sin 7 T cos £ — D — mg sin 7

—

mV = 0

—T sin e — L + mg cos 7 + mVj

= 0

(3.15)

m + ip = 0 E n la ecuación de fuerzas según el eje z , se ha i n t r o d u c i d o la condición (i = 0 (alas a nivel) que constituye la solución más h a b i t u a l de la ecuación de fuerzas según el eje y (ecuación que ya no es preciso considerar si se emplea esta condición). w

w

tz

e

Figura 3.4. Fuerzas en el vuelo simétrico en un plano vertical. Según t o d o dicho, el sistema anterior está constituido por: • 5 ecuaciones • 8 variables dependientes o incógnitas, que son las 5 variables derivadas o de estado (x , h, V,~f, m ) y las 3 variables no derivadas o de control e

E l número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema será:

42

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES N=8-5=3

E n el vuelo simétrico d e n t r o de u n plano vertical, es posible controlar u n avión mediante el timón de p r o f u n d i d a d , el ángulo de ataque del empuje y el parámetro de control del empuje. Si el m o t o r está fijo respecto de la estructura del avión, el sistema de ecuaciones (3.12) proporciona u n a relación más: e

—

(3.16)

a = cte

y a su vez esta ecuación hace que disminuya hasta 2 el número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema: es posible controlar u n avión, con el m o t o r fijo respecto de la estructura, mediante el timón de p r o f u n d i d a d y el parámetro de control del empuje. Si en el sistema de ecuaciones de vuelo simétrico en u n plano vertical antes desarrollado se i n t r o d u c e n las tres siguientes hipótesis: • Vuelo casi-estacionario (fuerza de inercia tangencial a la trayectoria despreciable frente a otras fuerzas del problema) • Vuelo casi-rectilíneo (fuerza de inercia n o r m a l despreciable frente a otras fuerzas del problema)

a

la

trayectoria

• Ángulo de ataque del empuje, e, pequeño (su coseno es prácticamente la u n i d a d y T s i n s es mucho menor que L )

entonces

el sistema queda reducido a: x

e

= V cos 7

h = V sin 7 T — D — mg sin 7 = 0 L — mg cos 7 = 0

(3.17)

ra + tp = 0 E l sistema ahora propuesto sigue teniendo dos grados de l i b e r t a d matemáticos (por ejemplo, a y TT).

3.5. Discusión general del sistema y casos particulares 3.5.3.

43

Vuelo simétrico en u n plano horizontal Considérese ahora que el centro de masas del avión no sale de u n

plano horizontal especificado p o r las condiciones iniciales. L a tercera relación cinemática (ecuación (3.8)) proporcionaría: h = cte-^

h = V sin 7 = 0 - > 7 = 0

(3.18)

Además, por tratarse de u n vuelo simétrico /3 = z/ = 0—> Q = 0. Introduciendo estos valores particulares de las variables en el sistema general de ecuaciones cinemáticas, dinámicas y másica (expresiones (3.5), (3.6) y (3.7)), se obtiene (ver F i g u r a 3.5): x = V cos x y = V sin x T c o s e - D - mV = 0 mg sin \i — m V % cos ¡i = 0 —T sin e — L + mg cos ¡1 + mV~x sin ¡i= 0 m + ip = 0 e

e

(3.19)

E l sistema anterior está constituido por: • 6 ecuaciones • 9 variables dependientes o incógnitas: x , y , V , y , m, a, f¿, e, TT e

e

E l número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema será: jV = 9 - 6 =

3

E n el vuelo simétrico dentro de u n plano horizontal, es posible controlar u n avión mediante el timón de p r o f u n d i d a d , el ángulo de ataque del empuje y el parámetro de control del empuje. Si el m o t o r está fijo respecto de la estructura del avión, el sistema de ecuaciones (3.12) proporciona e — a = cíe y a su vez esta ecuación hace que disminuya hasta 2 el número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema: es posible controlar u n avión con el m o t o r fijo respecto de la estructura mediante el timón de profundidad y el parámetro de control del empuje. Si en el sistema de ecuaciones de vuelo simétrico en el plano horizontal antes desarrollado se introducen las dos siguientes hipótesis:

44

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

Figura 3.5. Fuerzas en el vuelo simétrico en un plano horizontal (en el plano y -z ). w

w

• Vuelo casi-estacionario (fuerza de inercia tangencial a la t r a y e c t o r i a despreciable frente a otras fuerzas del problema) • Ángulo de ataque del empuje, s, pequeño (su coseno es entonces prácticamente la u n i d a d y Tsine es mucho menor que L ) el sistema queda reducido a: x

e

= V cos

Ve = V sin mg sin

r

-

D

=

x x °

„

¡i — m V x eos ¡x = U

- L + mg cos'/i + mVx

(3.20)

sin ¡i = 0

fa + ¡p = 0 E l sistema ahora propuesto sigue teniendo dos grados de l i b e r t a d matemáticos (por ejemplo, a y TT).

3.6. Problemas 3.1 y 3.2

3.6.

45

Problemas 3.1 y 3.2 PROBLEMA

3.1

U n avión describe la trayectoria acrobática esquematizada en las figuras adjuntas, que consiste en una hélice sobre u n cilindro de eje horizontal y de radio R, con ángulo de paso S y con velocidad V, siendo i?, S, V constantes conocidas del problema (tonel volado ideal).

Suponiendo además que: 1. Se conocen todas las características geométricas y másicas del avión (el peso del avión W es constante y la superficie alar es S). 2. L a sustentación puede modelizarse como L = (l/2)pV S C L , donde p es la densidad del aire y C ¿ el coeficiente de sustentación, y la resistencia como D = {l/2)pV SC = (l/2)pV S(C + kC\), donde C coeficiente de resistencia (CDQ y k son constantes conocidas). 2

D

2

D0

3. E l empuje del avión está siempre dirigido según el eje

D

es el

x. w

4. L a atmósfera está en calma y para el margen de altitudes del p r o b l e m a puede considerarse que la densidad, p, y la aceleración de la gravedad, g, son constantes conocidas. •5. Los ejes XH.VH,ZH

representados en las figuras son paralelos a los ejes

t i e r r a correspondientes. 6. E l vuelo es simétrico.

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

16

Se pide: 1 ) Plantear el sistema de ecuaciones cinemáticas y dinámicas del Q

avión, y determinar el número de grados de l i b e r t a d matemáticos del mismo. 2 ) D e t e r m i n a r los ángulos de asiento y guiñada de velocidad en Q

función del t i e m p o , 7 = y ( í ) y y — x ( * ) 3 ) D e t e r m i n a r el empuje del avión, T, el ángulo de balance de velocidad, u, y el coeficiente de sustentación, C ¿ , en función del t i e m p o y, en su caso, de los grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema. Q

Solución: 1 ) I n t r o d u c i e n d o las condiciones del enunciado en las ecuaciones dinámicas (expresiones (3.5)): Q

T — D — mg sin 7 = 0 mg cos 7 sin ¡x + mV(j sin L

—

mg cos 7 cos ¡i

—

\i — x

c o s

7C O S

M) = 0

mV (7 cos ¡x + y eos 7 sin ¡JL) = 0

Obsérvese que, mediante las hipótesis 2 y 4, L y D sólo son funciones de C L Tomando el eje XH como origen de ángulos de guiñada de velocidad, las relaciones cinemáticas lineales son: ±H

= V cos 7 cos

y

= V cos 7 sin y

H

¿H

=

x

—V sin 7

E n el apartado 2 ) se d e t e r m i n a n de forma p u r a m e n t e cinemática 7 = Y X — x( )i y P t a n t o el sistema anterior de 6 ecuaciones (3 dinámicas cinemáticas lineales) tiene 6 variables dependientes (XH, yn, ZJJ, T, C L , siendo cero su número de grados de l i b e r t a d matemáticos (N = 0 y todas incógnitas serán funciones sólo del t i e m p o ) . Q

L

o r

j(t) y 3 /Í)las

2 ) E n la figura a d j u n t a se define el ángulo polar A, que es una función Q

conocida del t i e m p o :

y mediante este ángulo las relaciones cinemáticas lineales quedan: XH

= V sin 5

3.6. Problemas 3.1 y 3.2

47 yu = V cos 5 sin A ¿H = —V eos ¿ c o s A

Igualando estas expresiones con las relaciones cinemáticas del apartado 1 ), se obtiene: B

x ^ x fVcosó sm 7 = cos ó cos A = cos o cos I — - — t \ R tan x =

sin A . / V cos S ; = cot ó sin —t

tañó

\ t R

3°) M u l t i p l i c a n d o la tercera relación dinámica por sin/i y la segunda por eos// y sumando, y m u l t i p l i c a n d o después la tercera relación dinámica por cosa y la segunda por sin// y restando, se obtienen las dos relaciones dinámicas siguientes: L sin a

—

mVx eos 7 = 0

L cos / i — mg cos 7 — mV 7 = 0 r

Estas dos expresiones están proyectadas en dos ejes rotados u n ángulo u respecto de los ejes y ,z y tienen la ventaja, respecto a las correspondientes expresiones en ejes viento, de que en u n a de ellas aparece x Y en o t r a 7. w

w

Dividiendo entre sí las dos ecuaciones anteriores, e introduciendo las funciones 7 = j(t)

y x = x(t) tan/z =

deducidas en el apartado 2 ) , se obtiene u: Q

Víveos7 g cos 7 + V7

..

¡i = u(t)

Introduciendo ahora este ángulo /x en la p r i m e r a relación se obtiene

CL

2W = -p^Sg^V^ ^) 08

+ (5COS7 + F 7 )

2

e introduciendo 7 = 7(í) y C ¿ = se obtiene el empuje: T = \pV S{C 2

DQ

C

2

L

=

C (t) L

C ¿ ( í ) en la ecuación dinámica según el eje

+ kC ) 2

L

+ W sin 7

r =

r(t)

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

48

PROBLEMA

3.2

E l centro de masas de u n avión acrobático describe una circunferencia de radio R conocido, contenida en u n plano v e r t i c a l , con velocidad VQ constante y conocida ( " l o o p i n g " o rizo ideal).

t=0

Suponiendo además que: 1. Se conocen todas las características geométricas y másicas del avión (el peso del avión W es constante y la superficie alar es S). 2. L a sustentación

puede

(l/2)pV S(CL0+C'LaOí), 2

modelizarse como

L

=

(l/2)pV

SCL

=

donde p es la densidad del aire, C j , el coeficiente

de sustentación y a el ángulo de ataque (siempre pequeño), y la resistencia como D = (1/2)pV SC 2

D

=

(1/2)pV S(C 2

es el coeficiente de resistencia ( C ¿

Cu

a

D 0

+ kC ) 2

L :

donde

, CDO y k son constantes

conocidas). 3. E l sistema de ejes cuerpo elegido es t a l que eje x coincide con la dirección b

del vector velocidad en el p u n t o más bajo de l a trayectoria; el empuje está d i r i g i d o siempre según dicho eje x ; b

y T s i n a es despreciable frente

a las demás fuerzas del p r o b l e m a . 4. L a atmósfera está en calma y para el m a r g e n de altitudes del p r o b l e m a puede considerarse que la densidad, p, es u n a constante conocida. 5. E l vuelo es simétrico y con las alas a nivel.

Se pide: 1 ) D e t e r m i n a r el ángulo de ataque del avión, a, el ángulo de asiento Q

del avión, 6, y el ángulo de ataque del empuje, e, en función del t i e m p o .

3.6. Problemas 3.1 y 3.2

49

2 ) D e t e r m i n a r el empuje, T , en función del t i e m p o . Q

3 ) D e t e r m i n a r la velocidad de cabeceo del avión, q, en función del Q

tiempo. 4 ) ¿El " l o o p i n g " ideal es u n m o v i m i e n t o estacionario? Q

Solución: 1°)

I n t r o d u c i e n d o las condiciones

del enunciado y

las

hipótesis

simplificativas 2 y 3 en las ecuaciones dinámicas del sistema (3.15), se obtiene: T-D-Wsm-y

= 0 W

L — W cos 7 Como 7 = VQIR

9

—> 7 = (Vo/R)t,

L - W cos 7 +

V07 = 0

la segunda ecuación anterior queda:

7

l o - V P

Vo

= W eos

R

t

+

ÍVfí \ 0

2

S(C

L O

+ C a)

= Wcos

La

^ t j

wyl 9 ~R W Vn

+

E n el p u n t o más bajo de la trayectoria t = 0 —> a = 0 y, por t a n t o : 1 n W Vn 7:PV SC 2

0

Z

= W+

L0

g

1-

K

expresión que p e r m i t e calcular CLO (no es d a t o del p r o b l e m a ) . Restando las dos últimas expresiones y sabiendo que a = e (por la hipótesis 3 ) ) : a =

e =

Sabiendo que

7

2W pV SC 2

0

I —t

+ Q: 2W

R 2) a

1

La

pV SCu ¿

I -¡¿ I

Q

De la p r i m e r a relación dinámica se deduce: T = D + W sin 7 = \pV S(C 2 2

Q

DQ

+ fcC|) + I U sin ( ^ t \R

50

RELACIONES BÁSICAS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACTUACIONES

y como el coeficiente de sustentación vale C

=

L

el empuje queda T - -V P

0

2W

VA R

{

t

)

+

- g R

finalmente: SC

(

+

D0

R

3°) Mediante l a definición de velocidad angular de cabeceo y con los resultados del apartado 1 ) queda: Q

q =

Q =

1

+

a

=

—

1 -

2W pVJSCu

I -^t

4 ) E l " l o o p i n g " ideal no es u n m o v i m i e n t o estacionario ya que, n i la Ü

componente de la velocidad según el eje z (proporcional a l ángulo de ataque), b

n i la velocidad angular de cabeceo, son constantes.

Actuaciones del planeador

4.1.

Introducción

Es h a b i t u a l comenzar el cálculo preliminar de las Actuaciones en Mecánica del Vuelo abordando los planeadores, ya que, por tratarse de aeronaves que carecen de grupo motopropulsor, pueden obtenerse soluciones analíticas cerradas mediante las ecuaciones del vuelo simétrico en u n plano vertical, casi-estacionario y casi-rectilíneo, introduciendo en ellas algunas hipótesis simplificativas básicas respecto de sus características aerodinámicas y de las características de la atmósfera. E n el apartado 4.2 se efectúa u n resumen de las características aerodinámicas de los aviones en general, considerando que tienen polar parabólica de coeficientes constantes; en el apartado 4.3 se introduce el concepto de resistencia adimensional y se obtienen resultados adimensionales universales de gran elegancia, válidos para todos los aviones existentes dotados de polar parabólica de coeficientes constantes; en el apartado 4.4 se establece una formulación adimensional de las ecuaciones dinámicas y cinemáticas de los planeadores; en el apartado 4.5 se calculan sus actuaciones de p u n t o óptimas, concretamente el ángulo de descenso mínimo y la velocidad de descenso mínima, y se indica como influyen sobre las mismas los parámetros de diseño del planeador; y por último, en el apartado 4.6 se determinan las actuaciones integrales de u n planeador (básicamente, el alcance y la autonomía) en función de la ley de pilotaje.

4.2.

Fuerzas aerodinámicas y p o l a r parabólica

E n este apartado se efectúa u n resumen de las características aerodinámicas más importantes de los aviones, desde el p u n t o de vista del :álculo preliminar de Actuaciones en Mecánica del Vuelo.

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

52

Se considera que el avión vuela en régimen subsónico incompresible siendo, p o r t a n t o , despreciables los efectos del número de M a c h , M , sobre todas sus características aerodinámicas. Además, debido a que los aviones vuelan a altos Números de Reynolds (Re del orden de 1 0 ) , los efectos de la viscosidad están confinados en la capa límite alrededor del cuerpo y la región exterior puede considerarse no viscosa. 7

Y a se estableció en el apartado 3.4 que, en vuelo simétrico (B = v = 0), la fuerza aerodinámica lateral es despreciable (Q = 0). Si se supone además que la sustentación y la resistencia del avión no dependen de las deflexiones de los mandos (véase el a p a r t a d o 3.1), éstas pueden escribirse, en p r i m e r a aproximación, como: L = qSC (a)

= ] V SC {a)

D = qSC {a)

= ^pV SC

L

¿P

2

2

D

(4.1)

L

(a)

D

(4.2)

donde: CL,

CD

=

Coeficiente

de

y

sustentación

coeficiente

de

r e s i s t e n c i a , funciones del ángulo de ataque, a. q = Presión dinámica del aire. p = Densidad atmosférica. V =

Velocidad aerodinámica del avión.

S = Superficie alar. L a densidad del aire, p. es una función de la a l t i t u d , h, dada p o r los perfiles que establece la Atmósfera Estándar Internacional ( I S A , I n t e r n a t i o n a l Standard Atmosphere) para las distintas capas de nuestra atmósfera. Para el rango de altitudes donde vuelan h a b i t u a l m e n t e los aviones, la I S A proporciona las expresiones siguientes: - Troposfera (0 < h< p/p

0

11000 m ) :

= a = (1 - 22.558 x 1 0 "

6

x /i(m)) 4

2 5 5 9

(4.3)

• Tropopausa (h = 11000 m ) : P n / p o = (Tu = 0,2971

(4.4

4.2. Fuerzas aerodinámicas y polar parabólica

53

• Parte inferior de la Estratosfera (11000 m < h < 20000 m ) : p/p

0

=

cr = 0.2971 x e x p [ - 1 5 7 . 6 9 x 1 0 '

6

x (h{m) - 11000)]

(4.5)

en donde: los subíndices "O" y ' T I " representan respectivamente el nivel del mar y la tropopausa: y po= 1.225 k g / m . 3

I n t r o d u c i e n d o esta variación de p con h en las ecuaciones (4.1) y (4.2), quedan justificadas las relaciones funcionales de D y L propuestas en el apartado 3.4 (ver expresiones (3.10)). L a Aerodinámica enseña que el coeficiente de sustentación función lineal del ángulo de ataque, salvo para grandes ángulos de positivos y negativos, donde pierde la linealidad y se alcanza la positiva con u n coeficiente de sustentación máximo, Cimáx-, Y la negativa con u n coeficiente de sustentación mínimo, Cimín-

es u n a ataque pérdida pérdida

A la ecuación que relaciona el coeficiente de resistencia con el coeficiente de sustentación se le denomina p o l a r d e l avión. Además puede demostrarse que el coeficiente de resistencia es, básicamente, parabólico respecto al coeficiente de sustentación, por lo que suele decirse que u n avión está dotado de p o l a r parabólica. Por t a n t o , dos expresiones que modelizan razonablemente bien los coeficientes de sustentación y de resistencia de u n avión son las siguientes ver Figuras 4.1 y 4.2): C L = CLO + CD

=

CDQ

Ciad

+

(4.6)

kC\

donde CLO es la ordenada en el origen del coeficiente de sustentación y C ¿ es la pendiente de la curva de sustentación. A CDO y k se les l l a m a coeficientes de la polar, son aproximadamente constantes en régimen subsónico incompresible "•" pueden estimarse de manera p r e l i m i n a r mediante las expresiones siguientes: a

^

CDO

=

^ C

St we

f - J ~

(4.7) nAe ionde Cf representa u n coeficiente de fricción medio ( u n valor típico del mismo v- Cf = 0.003), S t es la superficie m o j a d a del avión, A es el alargamiento del ala (A = b /S, siendo b la envergadura alar) y e es el llamado Factor de Oswald (para una ala elíptica e = 1.0 y para u n avión completo 0.6 < e < 1.0). we

2

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

54

Figura 4.1. Coeficiente de sustentación de un avión en función del ángulo de ataque.

/

K c

c,

m

!

00

c„,„

Figura 4.2. Coeficiente de resistencia de un avión en función del coeficiente de sustentación. La

relación

entre

la sustentación

y

la resistencia se denomina

e f i c i e n c i a aerodinámica, E, o relación sustentación-resistencia (ver F i g u r a 4.3): E

= T, = l r

D

=

E

(

a

)

( 4

'

8 )

Obsérvese que, debido a las características de las funciones coeficiente de sustentación y coeficiente de resistencia en función del ángulo de ataque, la eficiencia aerodinámica presentará u n máximo que se producirá para cierto coeficiente de sustentación óptimo. Si la polar es parabólica puede escribirse: E

y

la e f i c i e n c i a

=

9l±

aerodinámica

=

(4.9)

°± máxima,

E, m

y

el

coeficiente

de

4.3. Resistencia adimensional

55 E E

M

y Figura 4.3. Eficiencia aerodinámica en función sustentación. sustentación ó p t i m o . C L

de

, vendrán dados por:

O P Í

E

—

m

1 2y/Cf)ok

(4.10)

CDO

C Lopt

4.3.

del coeficiente

Resistencia adimensional

Introduciendo la expresión de la polar parabólica de constantes ( 2 relación (4.6)), en la ecuación (4.2), queda:

coeficientes

a

D = \ V SC P

2

= \pV SC o 2

D

D

+

\pV SW 2

2

A h o r a puede definirse la resistencia parásita, D , inducida, Dj. mediante: p

D

P

= \pV SC o; 2

Di =

D

-pV SkCl

Y

(4.11) y la resistencia

2

(4.12)

D = D + Di P

Si en la expresión anterior de l a resistencia inducida se sustituye el coeficiente de sustentación por:

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

56 la resistencia queda de la forma: D = \pV SC 2

+ k ^ —

D0

2

2

(4.14)

PV S 2

E n esta ecuación es posible i n t r o d u c i r ahora el concepto de f a c t o r de c a r g a , n, definido como el cociente entre la sustentación y el peso del avión: n = L/W quedando:

;

1 o D = - V SC P

2

(4.15)

W = mg

nW 2

+

D0

2

T

2

- V°-S

fe

(4.16)

1

P

Obsérvese que la resistencia parásita es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad y la resistencia i n d u c i d a es inversamente proporcional al cuadrado de la velocidad, y t a n t o a m u y bajas velocidades como a m u y altas velocidades la resistencia t o t a l tenderá a i n f i n i t o . Por ello, una velocidad de referencia de gran i m p o r t a n c i a para la Mecánica del Vuelo es la denominada v e l o c i d a d b a s e , V B , definida como la velocidad de mínima resistencia para el caso de L = W (o n = 1). Para obtenerla se deriva l a última expresión (con n = 1) respecto de V,

quedando:

dD 8V

i2w 0

V

^

=

= i

Í D M Í N ) N = 1

)

n

V

-

y

B

p

S

j 4/ y

C

k m

r~m y C

pS

Lo

t

(4.17)

W

Mediante los conceptos anteriormente establecidos es posible definir ahora

una. resistencia

aerodinámica

adimensional,

D,

y

una

velocidad

aerodinámica adimensional, V, en la forma: D

D

=

=

(D ín)n=l

W

m

T>

DEm

V

(4.18)

4.3. Resistencia adimensional

57

Introduciendo estas variables adimensionales en la ecuación (4.16), se obtiene:

L a resistencia adimensional dada por la expresión anterior puede descomponerse asimismo en resistencia adimensional parásita y resistencia adimensional i n d u c i d a (Figuras 4.4 y 4.5): D

p

= -V

2

:

A =

2

- £ 2

D = D

P

V

2

+ Di

Figura 4.4. Resistencias adimensionales parásita e inducida.

(4.20)

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

58

A veces interesa expresar la resistencia adimensional en función del coeficiente de sustentación, en lugar del factor de carga o de la velocidad aerodinámica adimensional. Para ello se expresa el factor de carga como: L_ _

n

W

SV C

P

~

2

L

2W

(4.23)

y mediante la definición de velocidad aerodinámica adimensional, se obtiene: n

CLopt

(4.24)

Por ejemplo, la resistencia adimensional en función de la velocidad aerodinámica adimensional y del coeficiente de sustentación viene dada por:

Í) =

2

-V

2

+

(cxopt)

(4.25)

Figura 4.5. Resistencia adimensional.

4.4.

Ecuaciones adimensionales Si en el sistema de ecuaciones válido p a r a vuelo simétrico en u n plano

vertical, casi-estacionario y casi-rectilíneo (sistema (3.17) del apartado 3.5.2),

4.4. Ecuaciones adimensionales

59

se introduce la condición matemática para el planeador: (4.26)

T =

m = cte e

a

(4.27)

Teniendo en cuenta que ahora la masa del planeador es u n dato del problema, el sistema propuesto tiene u n grado de l i b e r t a d matemático (por ejemplo, a). D i v i d i e n d o entre sí las dos relaciones dinámicas del sistema anterior se obtiene: t

a

^ =

- f =

- ¿ )

< - > 4

2 8

De las expresiones anteriores se observa que la resultante de las fuerzas aerodinámicas del planeador es vertical y del mismo módulo y sentido contrario que el peso (ver F i g u r a 4.6), que u n planeador siempre tiene u n ángulo de asiento de velocidad negativo (siempre cae) y que este ángulo de asiento de velocidad será máximo para eficiencia aerodinámica máxima. Para adimensionalizar las dos relaciones cinemáticas y las dos dinámicas, se d i v i d e n las relaciones cinemáticas por la velocidad base, la primera relación dinámica por la resistencia mínima para factor de carga igual a la u n i d a d y la segunda relación dinámica por el peso, apareciendo las variables adimensionales factor de carga, resistencia adimensional y velocidad aerodinámica adimensional definidas en el apartado anterior:

7 K = t/sm7 —D — E sin 7 = 0 n — cos 7 = 0 x

e

= V cos

( 4 2 9 )

m

Además se ha definido u n a nueva variable llamada velocidad scensional adimensional, V , d i v i d i e n d o la velocidad ascensional, V , por la velocidad base. a

tt

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

60

Figura 4.6. Equilibrio de fuerzas en un planeador. Este sistema se completa con la resistencia adimensional p a r a polar parabólica de coeficientes constantes y con la expresión del factor de carga (ecuaciones (4.19) y (4.24)):

n = V

E l sistema de ecuaciones adimensionales anterior sigue teniendo, obviamente, u n grado de l i b e r t a d matemático. Como el valor de la eficiencia aerodinámica máxima de u n planeador es grande (del orden de 30-40), los planeadores caen con u n ángulo de asiento de velocidad de módulo pequeño (ver expresión (4.28)), por lo que en la mayor parte de los casos es posible aplicar la siguiente hipótesis simplificativa: (4.30)

I n t r o d u c i e n d o esta hipótesis en el sistema adimensional (4.29)

se

4.5. Actuaciones de punto

(31

obtiene: X

e

v

a

-D

= V = v

- E

m

l

1

= 0

n = 1

)

(4.31)

Obviamente el factor de carga siempre vale la u n i d a d (aproximadamente), y el sistema anterior puede simplificarse aún más: ±

e

v

a

= V =

D - E

v m

l

1

= 0

(4.32)

E n las cinco ecuaciones anteriores se cuentan como variables dependientes i , V, V , 7, D y C L , por lo que el sistema sigue teniendo u n e

A

grado de l i b e r t a d matemático.

4.5.

Actuaciones de p u n t o

Operando con el sistema anterior se obtienen el ángulo de asiento de • locidad y la velocidad ascensional adimensional en función del grado de libertad elegido (la velocidad aerodinámica adimensional): (4.33)

(4.34) Como ya se ha comentado, para el caso de los planeadores ambas •riables son siempre negativas, por lo que es h a b i t u a l cambiarles el signo y

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

02

hablar de ángulo de descenso, 7<¿, y de velocidad de descenso, VA Según esto, los ángulos de descenso y las velocidades de descenso adimensionales son:

^ = - = ¿ ( ^ ¿) fc

+

'

(4 36)

Para obtener la condición de ángulo d e d e s c e n s o mínimo se deriva la expresión (4.35) con respecto a la velocidad adimensional y se iguala a cero, obteniéndose:

%*

=

1

lamín

!

(4-37)

7<¿min ~T¡^ Puede observarse que la velocidad a la que hay que volar para conseguir u n ángulo de descenso mínimo es la de mínima resistencia aerodinámica (con n =

1). Además, i n t r o d u c i e n d o el valor de la eficiencia aerodinámica máxima

en la última ecuación queda:

7dmin = 2v C7ofc =

= 1 . 1 2 8 - ^ ^

2\j^f

/

e

(4.38)

Para conseguir u n a disminución del ángulo de descenso mínimo de u n planeador es preciso diseñarlo con u n coeficiente de resistencia parásita lo menor posible y u n alargamiento lo mayor posible. Para obtener la condición de v e l o c i d a d d e d e s c e n s o mínima se deriva Vd (ecuación (4.36)) con respecto a la velocidad adimensional y se iguala a cero, obteniéndose: %

Vdmin

= -^TT = 2

^

m

m =

0.760

31/4

1

3 ^ ^ :

1 =

0

-

8

7

7

( 4

'

3 9 )

^

Puede observarse que la velocidad a la que hay que volar para conseguir una velocidad de descenso mínimo es u n 24 % menor que la de mínimo ángulo

4.5. Actuaciones de punto

63

de descenso. Además, introduciendo los valores de la eficiencia aerodinámica máxima y de la velocidad base en la última expresión queda:

= 1.052

{W/S) '

1 2

pl/2 3/4 e

1/4 C DO

¿3/4

(4.40)

Para conseguir disminuir la velocidad de descenso mínima de u n planeador es preciso diseñarlo con u n coeficiente de resistencia parásita lo menor posible y u n alargamiento lo mayor posible (como en el caso del ángulo de descenso), pero además conviene reducir la carga alar, W/S, y disminuir la a l t i t u d de vuelo (la densidad del aire es mayor cuanto más cerca del suelo esté el planeador). L a F i g u r a 4.7 representa la curva de eficiencia aerodinámica en función del coeficiente de sustentación (o lo que es lo mismo, del ángulo de ataque). E n el punto A el planeador caería con el mínimo ángulo de descenso y en el punto B con la mínima velocidad de descenso, pero la velocidad de vuelo en el p u n t o A sería mayor que en el p u n t o B . P a r a los puntos C y D el planeador caería con el mismo ángulo de descenso, pero en C la velocidad de vuelo es mayor que en D .

E A

/ c ,'

0

1

\

i

i

1 1 1

1 1 1

B

Vd 1 1 I

Q

Figura 4.7. Condiciones de ángulo de descenso mínimo (punto A ) y velocidad de descenso mínima (punto B ) .

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

64

4.6.

Actuaciones integrales

A h o r a se d e t e r m i n a n el a l c a n c e (distancia h o r i z o n t a l recorrida) y la a u t o n o m í a ( t i e m p o empleado) por u n planeador desde que se le suelta a una a l t i t u d inicial /i¿ hasta que llega a una a l t i t u d final hj (obviamente hi > hf) en las mismas condiciones de vuelo para las que se ha hecho el análisis de actuaciones de p u n t o , esto es, vuelo simétrico en u n plano vertical casi-rectilíneo y casi-estacionario. T o m a n d o h como variable independiente, en lugar del t i e m p o , mediante las relaciones cinemáticas lineales es posible plantear las dos ecuaciones siguientes: dx

1

dh

7

e

(4.41)

di __1__ dh ~ v V~f B

E n la última ecuación, Vg representa la velocidad base expresada mediante:

^

=

yW\/5o"

v/lo^v/So^V^

=

=

W

( 4

'

4 2 )

donde VBO es la velocidad base al nivel del m a r y a la densidad adimensional del aire, función de la a l t i t u d de vuelo (ver ecuaciones (4.3), (4.4) y (4.5)). Sustituyendo en el sistema (4.41) la expresión de 7 en función de la velocidad adimensional (ecuación (4.33)) y la ecuación (4.42), queda: dx

_

e

V

2

~dh"

^4~¡Tí

m

(4.43) di

V

dh

M

V

B

V * +

0

l

Integrando las anteriores expresiones se obtiene:

Xp_

V

2

-1E .

—

-dh 1

r

'hi

V+ A

(4.44) a

-2E

n

V

B0

V V

4

-dh + l

4.6. Actuaciones integrales

65

Para calcular estas integrales es preciso imponer una l e y d e l p i l o t a j e matemática que p e r m i t a fijar el grado de l i b e r t a d matemático del problema; es decir, es preciso imponer u n a ley del t i p o : V = V(o)

(4.45)

= V(h)

A continuación se desarrollan dos casos particulares de gran interés: el planeo con ángulo de ataque constante y el planeo con velocidad constante. 4.6.1.

Planeo con ángulo de ataque constante Si el ángulo de ataque es constante y siempre igual a su valor inicial

puede establecerse que: a = ai =

cíe

C

= C

L

= cte ^ V = V = cte

Li

(4.46)

y por t a n t o el alcance del planeador viene dado por: x

e

(4.47)

= 2E ^—(h -h ) i m

i

f

Obsérvese que para m a x i m i z a r la distancia horizontal recorrida p o r el planeador es preciso volar a V¡ = 1, obteniéndose: x

e m á x

= E (hi-h ) m

= E Ah

f

m

(4.48)

L a eficiencia aerodinámica representa la distancia horizontal máxima que es capaz de recorrer u n planeador, expresada en metros, por cada m e t r o descendido, y por ello a la eficiencia aerodinámica máxima también se le suele denominar relación de planeo. L a autonomía del planeador quedará como: t=

2E \ Vo m

B

V

rt / V^dh T/4 + 1 A , h

(4.49)

Obsérvese que para m a x i m i z a r la autonomía del planeador es preciso volar a V =

1 / 3 / , quedando: 1

4

í

m á x

=

1.140^ ¡ VBO J h

V^dh

X

(4.50)

f

Por último puede introducirse aquí la expresión de la densidad iimensional en función de la a l t i t u d recogida en el apartado 4.2 y calcular la --*e°;ral inmediata resultante.

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

66 4.6.2.

Planeo con velocidad constante L a ley de pilotaje matemática será ahora: (4.51)

donde VBÍ representa la velocidad base en el instante inicial del vuelo, V¿ la velocidad adimensional con la que comienza el vuelo y C = Vi/y/al una constante útil para la integración. I n t r o d u c i e n d o esta ley en las expresiones (4.44) se obtiene:

(4.52)

Obsérvese que, como no podía ser de o t r a forma por tratarse de u n vuelo a velocidad constante, x = CV ot = V¿t. e

B

Por último puede introducirse aquí la expresión de la densidad adimensional en función de la a l t i t u d recogida en el a p a r t a d o 4.2 y calcular las integrales resultantes.

4.7. Problemas 4.1 y 4.2

4.7.

67

Problemas 4.1 y 4.2 P R O B L E M A 4.1

L a figura representa u n planeador unido a l suelo por su centro de masas mediante u n cable A B de l o n g i t u d r constante y conocida. E l planeador vuela simétricamente con las alas a nivel en u n plano vertical en presencia de u n viento de cara de velocidad V constante y conocida. w

Suponiendo además que las características aerodinámicas, geométricas y másicas del planeador son conocidas (en concreto, su polar es parabólica de coeficientes constantes), que el cable no tiene peso y siempre está tenso, que las acciones aerodinámicas sobre el mismo son despreciables y que el m o v i m i e n t o :iene lugar a C L constante y conocido, se pide: 1 ) Plantear las ecuaciones dinámicas del m o v i m i e n t o del centro de masas del planeador en el sistema de ejes intrínsecos de la trayectoria y determinar el número de grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema. Q

2 ) Determinar el ángulo polar, 5 , para que el planeador no se mueva Q

eq

respecto del suelo. 3 ) D e t e r m i n a r el valor que tendría que tener C L para m a x i m i z a r el ángulo de equilibrio obtenido en el apartado anterior y determinar su límite cuando: 2W Q

v¿s

P

-> o

Solución: 1°) E l planeador describe, respecto del suelo, una circunferencia con módulo de la velocidad respecto del suelo, V , sólo dependiente del ángulo g

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

08 polar, 5:

V = rS g

U t i l i z a n d o la combinación clásica de velocidades V =

V

se

—V,

g

w

d e t e r m i n a n en primer lugar las dos componentes de la velocidad aerodinámica V según la tangente y la n o r m a l a la trayectoria, Vt y V , y a p a r t i r de ellas el n

módulo de la velocidad aerodinámica, V, y el ángulo. A, que forma la velocidad aerodinámica con el cable: V = /v*

+ V

y

V = V + V sin i V = V„, COS 8 t

g

+ 2V V sm6

2

g

w

g

-A V = V(S, 8)

w

n

tan A = tan 5 +

A = A (ó, 8)

cos 8

V

m

Planteando el equilibrio de fuerzas según la tangente y la n o r m a l a la trayectoria:

W •• L cos A — D sin A — W cos 8 = — r8 9 W —L sin A — D cos A + W sin 8 + T = —ró 9 representa la tensión del cable. I n t r o d u c i e n d o las características 2

c

donde T

c

aerodinámicas: \pV SC 2

cos A - \pV S(C 2

L

-~ V SC sm\2 P

2

^ V S(C 2

L

2

P

+ Wl)

DQ

+ kC )

cos\+

2

D0

sin A - W cos 6 - —rS =

L

Wsin8+

T -—rS

2

c

0

= g

0

Si en este sistema de dos ecuaciones se i n t r o d u c e n las expresiones deducidas para V y A, podrían determinarse T y 8 en función del t i e m p o (el sistema tiene cero grados de l i b e r t a d matemáticos). c

2 ) E n el equilibrio se cumple que 8 = 8 = 0 y las ecuaciones del Q

apartado anterior se simplifican: V = 0

,

g

\pV SC 2

-^ V SC P

2

L

L

cos 8

eq

2

-

D

-pV S{C o

l

2

,

W

- ^pV S(C o

eq

sin 8

V = V

D

X=

8

+ kCl) sin 8

eq

eq

+ kC ) 2

L

cos 8

eq

- W cos 8

+ W sin 8

eq

eq

= 0

+ T = 0 C

4.7. Problemas 4.1 y 4.2

69

L a ecuación dinámica según la tangente proporciona directamente el ángulo buscado: C

f

2W

l

x e

P™ kCl V

q

~

CDo +

S

3 ) Derivando la última expresión respecto del coeficiente de sustentación se obtiene el valor de este ( C ¿ p t ) que m a x i m i z a el ángulo de equilibrio: Q

0

r

-

^

Si se desprecia

2

W

(

2

W

V

i

~ pv¿s V \pvss)

Llo

2W „ pV jS

+

+

C

k

m

, se obtiene:

u

C¿opt PROBLEMA

—

\ ~T~

'

tan(<5 ) áx — E eg

m

m

—

2^/Crmk

4.2

U n planeador efectúa u n vuelo simétrico en u n plano vertical con las alas a nivel desde la vertical de u n p u n t o A hasta la vertical de u n p u n t o B. en presencia de u n viento horizontal de cara de módulo V constante y conocido, y vuelve desde la vertical de B hasta la de A en presencia del mismo viento, pero ahora de cola. Todo el vuelo (ida y vuelta) lo realiza a velocidad aerodinámica, V, constante y a ángulo de asiento de velocidad aerodinámica constante. w

Suponiendo además que: 1. Se conocen las características geométricas, aerodinámicas y másicas del planeador necesarias para la resolución del problema (por ejemplo, el peso W, la superficie alar S, los coeficientes constantes de la polar parabólica, etc.). 2. L a a l t u r a HA es lo suficientemente grande como para que el planeador no choque contra el suelo; la distancia d entre los puntos A y B es conocida. 3. L a transición efectuada en la vertical de B para dar la vuelta es despreciable. 4. Los módulos de los ángulos de asiento de velocidad aerodinámica y de velocidad respecto a t i e r r a son pequeños; V > V . w

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

70 5. p y

g

son

constantes conocidas

dentro del intervalo

de

alturas

considerado. Se pide: 1) Q

D e t e r m i n a r la velocidad aerodinámica, V i , y el coeficiente de

sustentación, C L I , que m i n i m i z a n la a l t u r a t o t a l que desciende el planeador desde que sale de la vertical de A hasta que regresa a esa m i s m a vertical. D e t e r m i n a r asimismo esa a l t u r a t o t a l descendida mínima, AfiTmm,

y el t i e m p o

t o t a l que emplea el planeador en ir y volver, A i r 2 ) D i s c u t i r la influencia sobre la velocidad aerodinámica y sobre la Q

a l t u r a descendida, obtenidas en el apartado anterior, de V , W/S y p. w

Solución: 1) Q

P a r a el t r a m o A B , las dos ecuaciones

cinemáticas (donde el

subíndice " g " indica magnitudes respecto de tierra) y las dos

ecuaciones

dinámicas (con los vectores velocidad aerodinámica y velocidad respecto de t i e r r a constantes) son: = V cos 7 = — = -D

V cos j

fl

g

~dt

V sin7 s

+ W sin

l

=

s

d

=

d

- V

w

-Vsin7 0 ->• -D

— L + iVcos7

d

=

d

= V -

=

v

-Vj

d

= 0

+ Wj

d

0

V

L = W

Para obtener estas expresiones se ha t e n i d o en cuenta la hipótesis 4. De las expresiones tercera y cuarta anteriores se obtiene:

y de las dos primeras expresiones se obtiene: dxe dh

v-v,

con V

w

Vid

=

V /V . W

B

Combinando las dos últimas expresiones, se obtiene la a l t u r a t o t a l descendida en el t r a m o A B , A/IAB

5

e

n

función del grado de l i b e r t a d V:

4.7. Problemas 4.1 y 4.2

71

Para el t r a m o B A , se repiten todos los pasos anteriores: —± = V c o s g

~ -D

= Vcos7

7 í ?

+ V

d

= V + V

W

W

- V sin7 = - V s i n 7 = s

p

= 0 - > -D

+ Wsm-i

d

-Vjd

á

+ Wid = 0

- L + W cos 7d = 0 - > L = W 2£ dx

V

m

_

e

V

2

F +

d/i ~

v

7

d

quedando para l a a l t u r a t o t a l descendida en este t r a m o , A/IBA A/IBA =

d 2E

:

V + l 4

V(V + V

m

w

Sumando las dos alturas descendidas en los dos tramos, se obtiene

finalmente:

d V + l = — - t t z — E V - V¿ 4

Ah

= Ah

T

AB

+ Ah

BA

7

2

m

Derivando esta expresión respecto de F e igualándola a cero, se obtiene: V i - 2V%Vi 4

- 1- 0

V =

fV^r

\fvj+l

Finalmente, recuperando las dimensiones:

Vi = \V2 + Jv¿ + v,r4

Y

V

w

P CDO

W

2

Con esta velocidad, el coeficiente de sustentación y la a l t u r a t o t a l

descendida mínima son:

2 D

CLI

1

°LOpt

Vf 1

= \IVi +

^ > 2 , ./ívTTTA _

2d

1-V

2

vi

,

v

w

E n cuanto a l t i e m p o t o t a l empleado p o r el planeador en i r y volver:

ACTUACIONES DEL PLANEADOR

72

Aí

T

=

A í B + AÍBA A

Vi -

\

+

w

d

2dV

Vi + V

1

w

~ Vi 2

VI

2d VB~\

Obsérvese que si no hay viento (V

W

^ L o p t ' ^ Tmín = n

2d/E

RN

y Aíy =

2d/V

BL

= 0) se obtiene V i =

V B , CJ_,\ =

lo cual coincide con los resultados

ya obtenidos en este capítulo. 2 ) Q

Para aumentar la velocidad

la velocidad

aerodinámica es preciso aumentar

del viento, aumentar la carga alar y d i s m i n u i r la densidad

(aumentar la a l t i t u d ) . P a r a d i s m i n u i r la a l t u r a t o t a l descendida mínima es preciso d i s m i n u i r la velocidad del viento, aumentar la carga alar y d i s m i n u i r la densidad (aumentar l a a l t i t u d ) .

Actuaciones de aviones propulsados por turborreactores. Vuelo horizontal rectilíneo

5.1.

Introducción

Partiendo de las ecuaciones del vuelo simétrico casi-estacionario en u n plano vertical, en este capítulo se analizan las actuaciones puntuales e integrales de aviones provistos de turborreactores, para el caso concreto de vuelo horizontal rectilíneo. E n el apartado 5.2 se establece, como paso previo, u n modelo aproximado para el empuje y el consumo específico de los turborreactores, con objeto de poder deducir fórmulas cerradas para el cálculo de actuaciones; en el apartado 5.3 se establece u n modelo adimensional para las ecuaciones cinemáticas y dinámicas, y para las características aerodinámicas del avión y propulsivas del t u r b o r r e a c t o r ; en el apartado 5.4 se calculan u n a serie de actuaciones de p u n t o , como las dos posibles velocidades de vuelo para cada empuje, la velocidad máxima de vuelo a cada a l t i t u d y la a l t i t u d para la que se consigue la velocidad máxima de las máximas, y el denominado techo teórico; y para concluir el capítulo, se estudian las actuaciones integrales de u n avión provisto de turborreactores, concretamente el alcance y la autonomía del mismo para u n vuelo de crucero.

5.2.

Hipótesis acerca de las características d e l motor

E n los sistemas de ecuaciones que p e r m i t e n estudiar los vuelos simétricos en u n plano vertical y en u n plano horizontal (expresiones (3.15) y (3.19)), intervienen las siguientes relaciones funcionales del grupo motopropulsor que proporcionan, respectivamente, el empuje y el gasto másico

74

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

de combustible (ver expresiones (3.10)): T = T(h,V, - íp = ip(h, v. T\)

(5.1)

donde h es la a l t i t u d de vuelo, V es la velocidad aerodinámica y TT es el parámetro de control de empuje. Para el caso de u n t u r b o r r e a c t o r de flujo simple o de u n t u r b o r r e a c t o r de doble flujo ( t u r b o f a n ) , el parámetro de control de empuje puede ser las revoluciones del r o t o r o, lo que es lo mismo, la posición de la palanca de gases del avión. U n a hipótesis simplificativa h a b i t u a l en estudios preliminares de actuaciones de aviones dotados de turborreactores en vuelo subsónico, consiste en suponer que el empuje y el c o n s u m o e s p e c í f i c o (peso de combustible consumido, por u n i d a d de t i e m p o y por u n i d a d de empuje) son independientes de la velocidad y proporcionales a cierta potencia de la densidad. Además, suele utilizarse la tropopausa como a l t i t u d representativa en la que establecer u n empuje de referencia y u n consumo de referencia del t u r b o r r e a c t o r , ambos dependientes del parámetro de control del empuje. como:

Según esto, el empuje, T , y el consumo específico, cj, pueden escribirse

rn(vr)

- í''±1 \\Pw,

cjn(7r)

VPII

T

(5.2)

donde el subíndice " 1 1 " se reserva para valores en la tropopausa (h = 11000 m) y los exponentes x e y son números que ajustan las curvas de empuje y consumo específico en función de la a l t i t u d (para valores típicos de ambos exponentes, ver Tabla 5.1). L a relación entre el gasto másico,
^ =

— 9

=

íülZil ( — ) = 9 \PuJ

donde ífn es el gasto másico en la tropopausa.


(5-3)

5.3. Ecuaciones adimensionales

75 Turbofan

Turborreactor (flujo simple) 0 < h < 11 k m

h > 11 k m

0 < h < 11 k m

h > 11 k m

X

0.7

1.0

0.9

1.0

y

0.2

0

0.2

0

Tabla 5.1. Exponentes del empuje y consumo específico en turborreactores.

5.3.

Ecuaciones adimensionales

Si en el sistema de ecuaciones de vuelo simétrico en u n plano vertical, casi-estacionario, casi-rectilíneo y con ángulo de ataque del empuje pequeño (ver sistema de ecuaciones (3.17)), se introduce la condición matemática de vuelo horizontal: 7 = 0

(5.4)

el sistema queda reducido a (ver F i g u r a 5.1):

X = V 0 - > h = cte e

V

a

=

T-D

(5.5)

= 0

L - W =

0

m + ip = 0 Este sistema ha de ser completado con las adecuadas características aerodinámicas del avión y las características del grupo motopropulsor. Para estudiar las actuaciones en vuelo horizontal de aviones provistos de turborreactores es usual prescindir de la segunda relación cinemática, ya que la a l t i t u d de vuelo vendrá fijada por las condiciones iniciales del problema. L V X

w w

<

z r

w

Figura 5.1. Fuerzas exteriores en el vuelo horizontal rectilíneo casiestacionario.

76

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO A

continuación

se

adimensionalizan todas

las

ecuaciones

que

intervienen en el p r o b l e m a , con excepción de la relación másica y del consumo específico (por ahora se dejan en su forma dimensional hasta que se estudien las actuaciones integrales en el a p a r t a d o 5.5). P a r a ello se recuperan los conceptos de velocidad aerodinámica adimensional, V, velocidad base, V g , y factor de carga, n, definidos en el apartado 4.3, y se i n t r o d u c e el empuje adimensional, T, mediante la expresión:

donde TB es el llamado e m p u j e b a s e , definido como el empuje mínimo necesario para el vuelo horizontal, rectilíneo y casi-estacionario, e igual a la resistencia mínima para n =

1. Para este vuelo se satisfacen, por t a n t o , las

expresiones siguientes: L W E = ^ = -> D =

W -+ ( „ , „ ) „ D

T

= TB = P m í n ) n = l =

T ín m

2W V

B

=

V

(

D

^

=

i

c

^

=

r f

_

=

(5.7)

W

(5.8)

m 2W J

S

W

k

Í^ÍCBTO

, (

5

, -

9

)

E l sistema, final quedará formado por seis ecuaciones adimensionales (una relación cinemática, dos relaciones dinámicas, dos relaciones relativas a las características aerodinámicas del avión, y u n a relación que proporciona el empuje del t u r b o r r e a c t o r ) y por dos ecuaciones con dimensiones (la relación másica y la relación del consumo específico del t u r b o r r e a c t o r ) : x

= V.

P

f - D = 0

n - 1 = 0,

y n = V

2

dW ~dt

2 l

+ cjT = 0,

2

(5.10)

T

CL C LOpt

V' a (711

T-

cj CJH(VT)

(

o \y

5.4. Actuaciones de punto

77

donde, como ya se ha definido en el apartado 4.2, a = p/p = a(h) densidad del aire al nivel del m a r ) y o\\ = pn/po = 0.2971. 0

(po es la

Obviamente el factor de carga vale siempre la u n i d a d en este vuelo y el sistema anterior puede simplificarse:

x

e

= V,

T-D

= 0

2 V 1 =

dW

V2

C

V

2

(5.11)

f

L

^Lopt'

íllOO cj

m

dí

Cju(7t)

V "!! 0

( a \

y

Veril

Obsérvese que, según la p r i m e r a ecuación de la tercera línea del sistema anterior, para aumentar la velocidad de vuelo adimensional es preciso disminuir el coeficiente de sustentación (y por lo t a n t o , disminuir el ángulo de ataque) y viceversa.

5.4.

Actuaciones de p u n t o

Para el estudio de las actuaciones puntuales en vuelo h o r i z o n t a l de aviones provistos de turborreactores, son irrelevantes la relación másica (el peso del avión es una constante local del problema) y la relación que proporciona el consumo de combustible o el consumo específico del m o t o r . E l sistema a utilizar es el siguiente:

X = V e

f - D

= 0

78

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

D

=

l (v 2 V

+

2

_ 1 =

f /

2

2

L

^Xopt ( a

Th(7r) En

las

cinco

(5-12)

C

V

T

dependientes x ,

V

ecuaciones

\ a

u

anteriores se

cuentan como variables

V, T, D , C L y 7r , por lo que el sistema tiene u n grado

e

de l i b e r t a d matemático. A continuación se estudian tres actuaciones de p u n t o de gran interés para la Mecánica del Vuelo, como son las velocidades de vuelo horizontal, la a l t i t u d para la que se consigue la velocidad de vuelo máxima de las máximas y el techo teórico o techo de empuje.

5.4.1.

Velocidades de vuelo horizontal Operando con las ecuaciones segunda y tercera del sistema (5.12) y

considerando que el empuje adimensional es el grado de l i b e r t a d matemático, se obtiene (ver F i g u r a 5.2):

F

= \ (

V

2

+ ^

)

-+

V = Yjf±y f -l / 2

(5.13)

Para que la velocidad de vuelo sea real el empuje adimensional ha de ser mayor o igual que la u n i d a d o, lo que es lo m i s m o , ha de satisfacerse la siguiente relación entre empuje, eficiencia aerodinámica máxima y peso: f > 1 - > ~E

m

> 1

(5.14)

Como T > 1 existirán dos posibles velocidades de vuelo para cada

5.4. Actuaciones de punto

79

Figura 5.2. Velocidades de vuelo horizontal rectilíneo casi-estacionario. empuje:

T > 1 -> <

V -> V i V =

1 ->

2

Vi > 1 V < 1

(5.15)

2

v

V = \¡T2

Vr -1 2

E n resumen, pueden presentarse tres casos: • f > 1

- > Dos velocidades de vuelo (Ví > 1 , V < 1)

• T =

—> U n a velocidad de vuelo ( V i = V =

1

• T < 1

2

2

1)

—» Vuelo imposible

Se dice que u n avión vuela en primer régimen cuando vuela a una velocidad superior a su velocidad base y en segundo régimen cuando es inferior (de ahí proceden los subíndices de las velocidades adimensionales), y puede demostrase que el primer régimen es estable frente a perturbaciones en velocidad (manteniendo el vuelo horizontal y el empuje constante) y el segundo régimen inestable. Se define la v e l o c i d a d d e p é r d i d a , Vg, como aquella velocidad por debajo de la cual es imposible mantener el vuelo horizontal rectilíneo casi-

80

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

estacionario por alcanzar el avión su coeficiente de sustentación máximo. Como en este vuelo se cumple:

L

la

velocidad

de

=

l ^ s c

pérdida

con

= w -> v

= /|V V

dimensiones

y

( 5

la velocidad

de

.

M )

pérdida

adimensional vendrán dadas p o r : Vs = W —

-A Vg = • — =

W———

(5.17)

\p - 77""" U n avión puede que tenga suficiente empuje como para alcanzar u n a velocidad de segundo régimen m u y b a j a , pero también es posible que esa velocidad esté por debajo de la velocidad de pérdida (no tiene el avión suficiente coeficiente de sustentación máximo) y por t a n t o no es alcanzable (ver F i g u r a 5.2). Para una a l t i t u d de vuelo dada, la velocidad h o r i z o n t a l máxima es una velocidad de primer régimen y se consigue i m p o n i e n d o el empuje máximo adimensional, T á x alcanzable a esa a l t i t u d : m

;

í£áx -

5.4.2.

1

- » 'máx = T

(5.18)

V V MÁX

B

V e l o c i d a d h o r i z o n t a l m á x i m a d e las m á x i m a s A continuación se d e t e r m i n a la a l t i t u d de vuelo para l a que l a velocidad

máxima d e t e r m i n a d a en el a p a r t a d o anterior, V -¿^, M

presenta u n máximo, y el

valor correspondiente de la velocidad máxima de las máximas, ( V á ) m á x m

x

E l empuje adimensional máximo viene dado, en función de la a l t i t u d , por la expresión: Tmóx fllmáx^máx)

=

(JL

(5.19)

V^ll

A medida que a u m e n t a la a l t i t u d de vuelo la velocidad adimensional máxima disminuj e (debido a que la densidad disminuye con la a l t i t u d y r

por t a n t o también lo hace el empuje adimensional máximo, T á ) y puede m

x

concluirse que la velocidad adimensional máxima alcanza su máximo a l nivel del m a r . Sin embargo la velocidad base a u m e n t a con la a l t i t u d y, según la

5.4. Actuaciones de punto ecuación ( 5 . 1 8 ) , no está claro cuál de las dos tendencias es más i m p o r t a n t e a la hora de d e t e r m i n a r la velocidad máxima de las máximas. Formulando el problema con rigor, la velocidad máxima viene dada por: V

m á

x =

V

= ^ \ ¡ f

V^VB

m

á

x

+ yjfl

áx

-

1

(5.20)

La velocidad máxima de las máximas se producirá a la a l t i t u d para la que es máxima la función: ^rnáx _

T

máx

+ Vr

1

m á x

E n la T a b l a 5.1 puede observarse que existen dos exponentes distintos x que a j u s t a n las variaciones del empuje con la densidad según se encuentren los turborreactores en la troposfera o en la estratosfera. Por t a n t o , al derivar la expresión anterior respecto de a e igualarla a cero para obtener su máximo, se presentarán dos casos (supóngase el caso de u n t u r b o r r e a c t o r de flujo simple): a) Velocidad máxima de las máximas en la troposfera (x =

Tmáx =

1-400,

/ a

(V

m á x

)

m á x

-

11

CT

Obsérvese

(V

m á

x) áx = r a

0.7)

1-543

\ 1/0.7

(5.22) i (Vmáx)máx =

~f V-íllniáx/

1-543

que para que la velocidad máxima

V

— (^máx)máx

de las máximas

se

encuentre en la troposfera, ha de verificarse que: í i i m á x < 1-400

(5.23)

b) Velocidad máxima de las máximas fuera de la troposfera Para que esto o c u r r a ha de cumplirse que: fumAx

> 1-400

(5.24)

Debido a que en la estratosfera x = 1.0 ahora se satisface: ^máx 2íimáx(7tmáx)

CT H

CT

T" ¿ m

a

x

Ti 1 máx a

n

= cte

(5.25)

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

82

y la función (5.21) es monótonamente decreciente con la a l t i t u d , por lo que la velocidad máxima de las máximas se producirá en la p r o p i a tropopausa:

r

(U

m á x

)

m á x

=

T\ 1 máx

11 , (Vmáx)máx = VBO,

CT

\|^r \j

t%h^í\

_ _ L

(5.26)

+

Puede concluirse que la velocidad máxima de las máximas se presenta en la troposfera o en la tropopausa, pero nunca en la estratosfera.

5.4.3.

Techo

teórico

E l techo teórico (también llamado t e c h o d e e m p u j e ) es la a l t i t u d máxima a la que es posible el vuelo h o r i z o n t a l rectilíneo casi-estacionario, para u n peso y configuración dados. Como el empuje adimensional es u n a función monótonamente creciente con la densidad y, por t a n t o , decreciente con la a l t i t u d de vuelo, el techo teórico será aquella a l t i t u d para la que se satisface que: f

m á x

=

1

(5.27)

De nuevo pueden presentarse dos casos (supóngase que el avión está dotado de turborreactores de flujo simple): a) Techo teórico en la troposfera (x = 0.7) a

T

= a- -^

1

n

\X\\

max I

;

(5.28)

Obsérvese que para que el techo se encuentre en la troposfera, ha de verificarse que: T u máx < 1-000 b) Techo teórico en la estratosfera (x = VT = °n-f-—

(5.29) 1.0) (-

5 30

x 1 1 máx Para que el techo se encuentre en la estratosfera, ha de verificarse que: T u máx > 1-000

(5.31

5.5. Actuaciones integrales

83

y para que se encuentre en la tropopausa: í h máx = 1-000

(5.32)

Por último conviene destacar la i m p o r t a n c i a que tiene para el techo teórico (y para la velocidad máxima de las máximas) el parámetro: - t i l máx =

yT}

(0.33J

Según la ecuación anterior (y las expresiones (5.28) o (5.30)), para aumentar el techo de u n avión se ha de aumentar el empuje máximo del t u r b o r r e a c t o r a u n a a l t i t u d de referencia, aumentar la eficiencia aerodinámica máxima o disminuir el peso del avión. E n el apartado 6.2.1 se demostrará que el techo teórico también puede definirse como aquella a l t i t u d para la cual la velocidad ascensional máxima de las máximas que puede alcanzarse es nula. Esto significa que es m u y difícil subir hasta el techo teórico, ya que cuando el avión se va acercando al mismo le queda m u y poca capacidad de subida. Por ello algunos autores definen los siguientes techos alternativos, utilizando u n remanente de velocidad ascensional máxima de las máximas: • Techo de servicio: ( V

r

a m á x

)

m á x

=

100 f t / m i n .

• T e c h o d e c r u c e r o : (V £ )máx = am

• Techo operacional: ( V

5.5.

300 f t / m i n .

x

r

a m

á ) x

m á x

=

500 f t / m i n .

Actuaciones integrales

Se pretende ahora calcular el a l c a n c e y la autonomía en vuelo norizontal rectilíneo de u n avión provisto de turborreactores, entendiendo por alcance la distancia que es capaz de recorrer el avión para u n a carga le combustible dada y por autonomía el t i e m p o que puede permanecer el r.vión en el aire para dicha carga de combustible. Para l a determinación de las actuaciones integrales, las ecuaciones clave serán la relación másica y la relación que proporciona el consumo específico (dos últimas ecuaciones del sistema (5.11)), ecuaciones que no tienen

84

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

ninguna trascendencia para el cálculo de las actuaciones puntuales. L a relación másica puede escribirse en la forma: dW

"di" = ~

<' »

C j T

5 34

Como el peso del avión es perfectamente conocido en los instantes inicial y final, y el t i e m p o es una de las incógnitas que se i n t e n t a n calcular, se efectúa a continuación el cambio de variable independiente t i e m p o por peso para determinar el alcance y la autonomía. D i v i d i e n d o la p r i m e r a ecuación del sistema (5.11) por la relación másica anterior e i n v i r t i e n d o esta relación másica, quedan las dos ecuaciones siguientes: dx

V

\r

dW

dW/dt

cjT

di

1

1

dW

dW/dt

c jT

P

(5.35)

Las magnitudes -dx /dW y -dt/dW son variables puntuales de la trayectoria y se denominan respectivamente a l c a n c e específico (distancia recorrida por u n i d a d de peso de combustible consumido) y autonomía específica ( t i e m p o que permanece el avión en el aire por u n i d a d de peso de combustible consumido). I n t r o d u c i e n d o en el sistema (5.35) el empuje del avión en función de la velocidad de vuelo, queda: e

dx

VV

dW

cjT T

e

1

E

B

m

cj

B

di

1

dW

cjT T

3

W

E

m

cj

B

2V V

+ l

4

1

(5.36)

2V

¿

W V

4

+ 1

Suponiendo que el consumo específico de u n t u r b o r r e a c t o r no depende del parámetro de control del empuje (es decir, CJU ^ / ( T T ) ) , se adimensionalizan ahora la distancia, el t i e m p o y el peso que intervienen en las ecuaciones anteriores de la siguiente forma: á

e

=

e - ; x*' x

£

t =

t W — ; W=— t* W*

,

T Í r

v

5.37 '

donde x* es u n a l o n g i t u d característica (x* = V iE /cj, con V i = \/2Wi/(p8) V/^/CDO), t* u n t i e m p o característico ( i * = E /cj), y W* u n peso característico (W* = W¿, siendo Wi el peso en el instante inicial). B

m

B

m

•5.5. Actuaciones integrales

85

Según esto: dx

1

e

2V

¿

\/W

dW

V

1

di dW

~

+ 1

4

(5.38)

2V

2

W

V

1

+

4

Los valores de la velocidad adimensional que m a x i m i z a n el alcance específico y la autonomía específica se obtienen a p a r t i r de las expresiones anteriores derivándolas e igualándolas a cero: d(dx /dllQ Tfr = (X y e

0

-»

V

y

e

I

-

dv

0

V

4 /

1.316

I max

1

"*

-¬ V3 =

. =

\dx /dw\

(5.39)

W < M U

~

1

Obsérvese que para volar con autonomía específica máxima es preciso imponer u n a velocidad de vuelo igual a la velocidad base, ya que de esta forma se m i n i m i z a la resistencia aerodinámica. Sin embargo, para volar con alcance específico máximo ha}' que imponer la velocidad de vuelo que m i n i m i c e el ocíente entre la resistencia y la velocidad, y que resulta ser una velocidad u n 32 % superior a la velocidad base. Integrando las expresiones del alcance específico y de la autonomía específica queda:

x

e

= -

fW

f

JWi

í = -

/ JWi

i

2V

3

= — F

y/w

V

+

A

— WV

4

+

1

1

dW (5.40)

dW

Además, denotando por WFT el peso t o t a l de combustible que se u t i l i z a lurante el vuelo y definiendo u n parámetro adimensional de peso t o t a l de Mnbustible de la forma:

86

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

los límites inferior y superior de las integrales quedarán como: m

Wi

f

i

=

w

^

x

Para poder integrar las expresiones (5.40) es preciso fijar el grado de l i b e r t a d matemático que tiene el vuelo horizontal, es decir, es preciso especificar una l e y d e p i l o t a j e m a t e m á t i c a de la forma: (5.43)

V = V(W)

A continuación se d e t e r m i n a n el alcance y la autonomía para varias leyes de pilotaje matemáticas concretas. 5.5.1.

Vuelo a ángulo de ataque constante E l vuelo a ángulo de ataque constante es u n vuelo a velocidad

adimensional constante (ver la cuarta ecuación del sistema (5.11)); es decir: a =

a i

O

C

= C

L

Li

o

V = V

t

(5.44)

Integrando el alcance y la autonomía entre los pesos adimensionales inicial y final se obtiene: 4Í/.

,

3

(5.45) 2V V

4

2

+1

, 1 In •

i- c

Para obtener el alcance máximo y la autonomía máxima se derivan las expresiones anteriores respecto de la velocidad inicial adimensional y se igualan a cero:

dV¿

=

0

' =

di

^

> =

*

í

3 3 / 4

_

1

"

1

(5.46)

5.5. Actuaciones integrales

67

Luego:

, _ VBiE

_VB,E

m

A

e m a x

m

-^e

C j

,

m a x

_E

m

ímáx

CJ

—

C j

/.

^

^máx

—

-

3 / 4 (

C j

/

<->

V

i

1

H

,

V

^ S> /

(5.47) 7

1- C

Estas dos últimas expresiones reciben el nombre de F ó r m u l a s d e B r e g u e t y de ellas se deducen importantes conclusiones para el diseño preliminar de aviones: si se quiere aumentar el alcance y la autonomía, es preciso aumentar £, disminuir CJU, aumentar E (es decir, disminuir CDO J disminuir k). Además, como cj disminuye al aumentar la a l t i t u d en la troposfera y puede suponerse constante con la a l t i t u d en la estratosfera (ver Tabla 5.1), la autonomía máxima de las máximas se da en el techo (suponiendo que el techo está en la troposfera) o en la tropopausa (suponiendo que el techo está en la tropopausa o en la estratosfera). También puede demostrarse que el alcance máximo de los máximos se produce m u y cerca del techo. M

L a velocidad de vuelo y el empuje h a n de disminuir según se desarrolla este vuelo y el avión va gastando combustible. Sus expresiones en función del peso adimensional son las siguientes: V = VV

B

T = TT

B

5.5.2.

= ViV VW Bi

. W = Tj -—

=

ViVW

~ WiW = Ti-^= TiW

(5.48)

Vuelo a velocidad constante E n el vuelo a velocidad constante se cumple: V = Vi

»

V = ^

= -~^=

= ^=

(5.49)

Integrando el alcance y la autonomía entre los pesos adimensionales inicial y final (ver ecuaciones (5.40)) se obtiene: x

e

= 2V¿ arctan (5.50) i = 2 arctan

i - c + v;

4

88

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO Obsérvese que para esta ley de p i l o t a j e matemática se cumple: x

e

= Vt = Vit -^x

(5.51)

= Vii

e

Para obtener el alcance máximo y la autonomía máxima se derivan las expresiones anteriores respecto de la velocidad inicial adimensional y se igualan a cero. E l caso del alcance máximo es difícil de resolver de f o r m a analítica por lo que es recomendable recurrir a métodos numéricos. Sin embargo, la velocidad i n i c i a l adimensional que m a x i m i z a la autonomía adimensional y la correspondiente autonomía adimensional máxima se obtienen fácilmente de forma cerrada, quedando: {Vi)

t

, = ' ¿rnax

x

v T ^ (

ímáx = 2 a r c t a n

(5.52) 2

^- = ¿ z

M u l t i p l i c a n d o la última ecuación por el adimensionalizador de tiempos se obtendría la autonomía máxima para esta ley de pilotaje.

(t* = E /cj) m

Como ya se ha visto, con esta ley la velocidad adimensional aumenta durante el vuelo. E l coeficiente de sustentación y el empuje, sin embargo, han de disminuir según se desarrolla el vuelo y el avión va gastando combustible, según las expresiones: CL

T =

5.5.3.

=

C

opt

B

w

V

2

CLoptZ^,

=

CLÍW

(5.53

TT

B

Vuelo a empuje constante L a ley de pilotaje para el vuelo a empuje constante es:

T = Ti

T =

T T

B

T,

T

W/E,

w

V

\w

\\w

1

(5.54

Obsérvese que, de las dos posibles velocidades de vuelo para cae: empuje, se ha escogido la velocidad de p r i m e r régimen.

89

5.5. Actuaciones integrales

Para determinar el alcance se i n t r o d u c e esta ley de pilotaje en la p r i m e r a expresión del sistema (5.38), obteniéndose: 1

dx

e

V

fwf

dW

1

Ti + JT?

ti

-

(5.55)

W*

M a n i p u l a n d o algebraicamente esta expresión e integrando queda:

Ti

1 -

2 +

\

V

w Ti

\

(5.56)

I

i-C

E l empuje adimensional inicial que m a x i m i z a el alcance adimensional, (í¿)x

e m á x

,

se obtendría derivando la expresión anterior respecto de T) e

igualando a cero, y el alcance adimensional máximo se obtendría introduciendo este

empuje adimensional inicial

en la expresión

(5.56). Debido

a las

dificultades algebraicas del proceso, es recomendable efectuar estos cálculos numéricamente. E n cuanto a la autonomía se puede integrar directamente la segunda ecuación del sistema (5.35), para empuje constante: t

= — — { W i - Wf) cjTl

——dW cjT

-

Í J

= —— CJTÍ

=

n

—cjTi

t=

C

T

(5.57)

L a autonomía máxima se producirá cuando se comienza el vuelo con empuje inicial mínimo y se mantiene ese empuje constante hasta el final. Es decir: (Ti)

f

. =

1 ->

w

{Tii)t

n

tmíx —

(En

= C

ír

(5.58)

Como ya se ha visto, con esta ley la velocidad adimensional a u m e n t a durante el vuelo. L a velocidad (con dimensiones) asimismo a u m e n t a durante vuelo y el coeficiente de sustentación disminuye, según las expresiones:

V = V V = V VWV = V i\ fi + \f¡B

BÍ

B

w

2

90

AMONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

5.5.4.

C o m p a r a c i ó n e n t r e las d i s t i n t a s leyes de p i l o t a j e

L a técnica de vuelo a ángulo de ataque constante es la mejor entre todas las posibles, si se pretende conseguir máximo alcance o máxima autonomía, y a que en ella l a velocidad adimensional se mantiene constante a lo largo de t o d a la trayectoria, pudiéndose m a x i m i z a r así localmente el alcance específico o la autonomía específica. Esto significa que los valores numéricos proporcionados p o r las Fórmulas de Breguet representan límites superiores insuperables en cualquier vuelo h o r i z o n t a l rectilíneo casi-estacionario. A título de ejemplo, l a Figura 5.3 representa las expresiones de í á en función del parámetro adimensional de peso de combustible, £, para las tres leyes de pilotaje estudiadas en los tres apartados anteriores (ver expresiones (5.46), (5.52) y (5.58)). m

x

4 *

3.5 -

a=

cte /

/

-

XX

—>.^ ^ y ~ - - - ' - /

0

0.2

0.4

0.6

V =

=

0.8

cte

cte

c

1

Figura 5.3. Autonomía máxima en función del parámetro adimensional de peso de combustible, para distintas leyes de pilotaje. Como y a se ha comentado, l a ley que proporciona u n a mayor autonomía, es l a ley de ángulo de ataque constante. Además se observa que, para valores pequeños de £ (C
Actuaciones integrales

91

1

a =

a

i

V -> í

- >

m á x

í

m

=

á

x

=

-

l n —-7.

2arctan T = Ti

2

^

- >

C r

_ ^

í ¿ m

x

=

¿máx =

-* £

í —>

1

C + ^C

m á x

+

tjC

3

+ -

1 7 ( + ~ C + — C + ...

=

¿máx

1 2

2

=

3

C (5.60)

92

AMONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

5.6.

P r o b l e m a s 5.1 y 5.2 PROBLEMA

5.1

Se considera cierto avión cuya polar puede aproximarse mediante la expresión: = Cjom + k (CL

CD

siendo Com,

k y CLUI

CLUI)

—

constantes d e n t r o del intervalo de velocidades consi-

derado. E l avión está p r o v i s t o de t u r b o r r e a c t o r e s cuyo empuje varía, con la velocidad y con la a l t i t u d según la ley: T_ _ (V_\

(_°~\

xv

Tñ " donde VR,
Determinar E

Q

VVfiJ

U n

)

son constantes conocidas. Se pide:

a

1 )

Xa

y C

M

L Q

en función de CDO

^

{CDO = {CD)C =O)^

^

L

y CLm2 ) D e t e r m i n a r D/W Q

Cpo

=

CDO

CLopt'

n

=

L

_

W'

en función de CDO-, i C ¿ n

$

=

RN

CLTU_

y

=

C¿ pt'

m

y V, donde: ^

V_

=

VB '

0

/

2W

y CLopt pS

3 ) D e t e r m i n a r la velocidad adimensional que m i n i m i z a la resistencia Q

obtenida en el a p a r t a d o anterior, V£> , así como el valor de esa resistencia mín

mínima, D i /W, m N

t o d o ello función de CDO,

n

4 ) P a r t i c u l a r i z a r las expresiones de E Q

Y CLTUM

. C pi,

V,

LO

obtenidas en los apartados anteriores, para el caso C ¿

m

B

=

V~D Y mín

D i /W m N

0 (polar simétrica).

5 ) P a r a vuelo h o r i z o n t a l , rectilíneo, simétrico, estacionario, con las Q

alas a nivel y con la componente del empuje en sentido n o r m a l a la trayectoria despreciable, d e t e r m i n a r u n p o l i n o m i o en V a p a r t i r del cual se deducirían las velocidades adimensionales de vuelo para T u ya

dados. Considérese VR =

V

B

yf =T /(2WC o)U

ll

D

6°) Suponiendo además que xy =

0, p a r t i c u l a r i z a r el p o l i n o m i o

obtenido en el apartado anterior, d e t e r m i n a r las velocidades adimensionales de vuelo en función de T (T = T/2WCDO)

Y d e t e r m i n a r el techo teórico del

avión suponiendo que éste se produzca en l a estratosfera. Solución:

5.6. Problemas 5.1 y 5.2

93

CDO =

C

(CD) =O =

Cc>m +

CL

D

C

Dm

kC

+ k (Ci -

C

Lrj

Lm

^

2

Derivando E con respecto a CL e igualando a cero, se obtiene: -o

. / C g m + kClm

V

Ciopt =

E

fe

—

M

1

2(VCmk

-

, / C-DO

" V ~k~ C k) Lm

2°) Mediante la expresión de la resistencia puede escribirse: Ty

= yry (CDO + k ^ ^ —

^77 (CDO + kC\ - 2kCz, C£,)

=

m

qS nW = TFCDO + « — 5 W qb

2

2kCL -^g)

2

m

2

2kC n Lm

introduciendo ahora las todas las variables del enunciado: ionde CDO = =

vCoofe =

feCL

opt

3 ) Derivando la anterior expresión con respecto de la velocidad Cdo -.dimensional e igualándola a cero, se obtiene: CLopt Q

V

= Vñ

Dmta

,

~ ^

=

2C on(l-C ) D

LM

4°) Haciendo en las expresiones de los apartados anteriores CL™, — 0: °DO L

o

p

t

~

{

Vb

1

„

fe'

l

m í n

m

=

_

2 v ^ ' -—^ =

2W

v V

b

- V C

L O P T P

2W J

k

S " V PS V CDO

2CDO" = 2yfC~D~okn =

—

94

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

5 ) Para la condición de vuelo del enunciado (7 = puede escribirse:

0, n =

B

T = D ^ f

= \ ^

^ - 2 C

+

L

1, V =

0)

m

T

donde T

. I n t r o d u c i e n d o en esta expresión la ley de empuje en 2WC función de la velocidad y la a l t i t u d propuesta: D0

= ' (v - L - • : v

a

TuV

Xv

1

2

donde Tu

Tu

L

P , (Tu = 0.2971. - cr = — Po

2WC

m

Reordenando la última expresión, queda: V

-

A

2C V

-

2

LM

6°) I m p o n i e n d o xy =

V

A

donde

T

cr

Lm

+ 1= 0

0"11

0, el p o l i n o m i o anterior queda como:

-2{T

+ 1 =

+ C )V

2

LM

0

, y las dos posibles velocidades de vuelo serán:

f l l

T + C

2Tu\r2+Xi

> 1 ^ V

2

= \j(T +

C

L

E n cuanto al techo teórico se producirá donde: ímáx + C'Lm — 1

~~ T ^

y si se encuentra en la estratosfera [x

T

a

m

x

=

1

CLTJI

= 1.0): 1 - C^m Ti 1 máx

Para que el techo se encuentre en la estratosfera ha de verificarse que Tu á m

x

> 1 ~ CLm-

5.6. Problemas 5.1 y 5.2

95

P R O B L E A 4 A 5.2 1 ) Plantear u n a ecuación que p e r m i t a determinar l a velocidad aerodinámica que m a x i m i z a el alcance específico en vuelo horizontal rectilíneo casi-estacionario para u n avión dotado de turborreactores volando con viento de cola (supóngase viento horizontal de módulo constante V ). Q

W

2 ) Suponiendo que V linealizada del problema. Q

V /VB =

=

W

e
W

3°) Repetir los dos apartados anteriores para el caso de viento de cara. Solución: 1 ) Las ecuaciones a p a r t i r de las cuales se deduce el alcance específico y l a autonomía específica en presencia de viento de cola son: Q

dx

V

e

V +

G

dW

cjT

V

W

cjT

dt

1

dW

cjT

Introduciendo en ellas ahora la condición de T — D: dx

e

E

dW

1 „

M

2 I > (V + V 2

cj W' di

A

1

E

M

dW

+ 1

V

B

2V

2

cj W V

+

4

1

Obsérvese que el viento no influye en l a autonomía específica, pero sí en el alcance específico. Derivando el alcance específico respecto del grado de libertad, V, se obtiene el siguiente p o l i n o m i o : V" + 2V V 5

W

- 3 V -

4

2V

W

= 0

2 ) Si no existiera viento (V = 0 ) , l a solución del p o l i n o m i o sería V = v 3. lo cual coincide con el resultado ya obtenido en este capítulo. Si en el polinomio se introduce V — e
W

W

V'° + 2EV

A

-

W

-

2s = 0

Si ahora se impone u n a solución linealizada del t i p o : V

= V

0

+ eVi

96

AVIONES CON TURBORREACTORES. VUELO HORIZONTAL RECTILÍNEO

se introduce en el polinomio y se igualan términos del mismo orden, queda Vo v o , Vi = —1/3. Por t a n t o , la solución linealizada buscada es: 1

V 3 ) Q

-> V =

V

w

V3V

B

Para repetir el problema con viento de cara, simplemente

sustituye en los dos apartados anteriores V

w

V

5

V =

por — V , w

quedando:

- 2 I 4 , y — 3 V + 2V = o 4

#3 +

W

-> V = v ^ V b + O

i y o

w

se

Actuaciones de aviones propulsados por turborreactores. Otros vuelos

6.1.

Introducción

E n este capítulo se completa el estudio de las actuaciones de p u n t o de iviones propulsados p o r turborreactores, comenzado en el capítulo anterior, mediante una formulación y unas hipótesis simplificativas similares. E n el apartado 6.2 se d e t e r m i n a n las actuaciones de p u n t o en subida y descenso, t a n t o para ángulos de asiento de velocidad pequeños como para Qgulos grandes, y se corrigen los resultados obtenidos con el método casi¬ -1 acionario en el caso de que la aceleración no sea despreciable. E n el apartado 3 se i n t r o d u c e n los virajes horizontales simétricos casi-estacionarios y se tienen actuaciones óptimas desde el p u n t o de vista del factor de carga, a velocidad angular de v i r a j e y el radio de viraje. Y en el apartado 6.4 se -"udian los virajes horizontales simétricos no estacionarios (denominados '-oquialmente virajes instantáneos) y se obtienen asimismo los virajes istantáneos óptimos.

5.2.

Actuaciones de p u n t o en subida y descenso

Si el sistema de ecuaciones del vuelo simétrico en u n plano vertical, -".-estacionario, casi-rectilíneo y con ángulo de ataque del empuje pequeño r apartado 3.5.2). se completa con las correspondientes hipótesis respecto :aracterísticas del avión (ver apartado 4.3) y del grupo motopropulsor (ver ' artado 5.2), y se adimensionaliza como se ha establecido en el apartado . se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones adimensionales que p e r m i t e n

98

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

estudiar las actuaciones puntuales en subidas y descensos (ver F i g u r a 6.1): =

x

e

V

a

V cos 7 = V sin 7

f - D - E smj

= 0

m

n — cos 7 =

0 (6.1)

T>2

n = V

T r (7r) u

CL

C^opt

i - Y V<7ii/

E n el estudio de las actuaciones puntuales son irrelevantes la relación másica (el peso del avión es u n a constante local del problema.) y l a relación que proporciona el consumo de combustible o consumo específico del m o t o r , y por ello no se h a n añadido al sistema anterior. Suponiendo además que la a l t i t u d de vuelo es u n dato del p r o b l e m a , en las siete ecuaciones anteriores se cuentan nueve variables dependientes ( ¿ , e

Figura 6.1. Fuerzas exteriores en el vuelo en subida o descenso en un plano vertical.

6.2. Actuaciones de punto en subida y descenso

99

VA 7, V , T, D, n, C L y vr), por lo que el sistema tiene dos grados de l i b e r t a d matemáticos. A

Cuando los aviones ascienden o descienden con u n módulo no pequeño del ángulo de asiento de velocidad, es preciso retener los senos y cosenos en los desarrollos del sistema de ecuaciones previo. Para determinar el ángulo de asiento de velocidad, 7, y la velocidad ascensional adimensional, V , en función de los dos grados de l i b e r t a d del problema, V y T. en primer lugar se i n t r o d u c e n las expresiones de la resistencia adimensional y del factor de carga en la p r i m e r a ecuación dinámica de fuerzas: es decir: A

2

l

V

s i n 7 - 2E V 2

M

2

i

- E

m

(6.2)

sin 7 + 2TV

2

sin 7 = 0

2

- 1- V

= 0

4

Despejando 7 de la última expresión, queda:

7

=

7

( V , T ) = arcsin

m

2TV

2

- l - V

2

1 ±

EV

E

V

2

4

(6.3)

4

Para el cálculo de la velocidad ascensional adimensional, se recurre a la segunda ecuación cinemática del sistema (6.1):

V

a

= V {V.f) a

=

EV m

2

1 ±

2TV

\

l-V

2

4

E

2

ra

V

(6.4)

4

v

Derivando las dos expresiones anteriores respecto de l a velocidad adimensional e igualándolas a cero, podrían calcularse los valores de V y v

a max

m á x

,

máx •

Obsérvese que se obtienen expresiones analíticas de difícil m a n i p u lación algebraica. Debido a que muchos aviones ascienden y descienden con un módulo pequeño del ángulo de asiento de velocidad, a continuación se introduce esta hipótesis en las ecuaciones. Posteriormente se efectuará u n a corrección para el caso de que el vuelo sea acelerado.

100 6.2.1.

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS Análisis p a r a ángulos de asiento de v e l o c i d a d

pequeños

Si el módulo del ángulo de asiento de velocidad es pequeño, se cumple: |7¡ <€. 1 —> s i n 7 = 7; cos7 =

1

(6.5)

y el sistema de ecuaciones (6.1) se simplifica de la forma: X

= V

e

v

=

a

t - D -

v E

m

1

l

= 0

1= 0

n-

(6.6) D= -{v l

2

t

+

r

n =

2

L

C

V

2

f

De nuevo el factor de carga vale la u n i d a d (aproximadamente) y el

sistema anterior puede simplificarse aún más: X

v

a

e

= V =

v

f - D - E D = l ( v 2 V r2 1 = V

TuM

m

1

= 0

7

¿1 V

+

2

2

C

L

Cxopt

\"n

(6.7)

6.2. Actuaciones de punto en subida y descenso

101

A h o r a pueden determinarse otra vez el ángulo de asiento de velocidad y la velocidad ascensional adimensional, en función de los dos grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema ( V y T ) : =

7

V

1

(V,T) =

7

= V {V,f)

a

2

Err =

a

f v -

E

l

V

V )\ 2

- ( v 2

n

3

+

V

(6.8)

l V

Las actuaciones en subida y descenso se expresan umversalmente en términos de una familia de soluciones dependientes de dos parámetros (V y T) e independientes del avión considerado (E ). m

Derivando las dos expresiones anteriores respecto de V e igualándolas a cero, se obtiene: ^Tmáx =

-»•

1

T + \T

2

\

+ 3

(6.10)

T + \JT + 3 2

3V3

(6.9)

£m7máx = T — 1

2T - \ J T + 3 2

L a F i g u r a 6.2 representa las distintas condiciones de vuelo en u n plano vertical (subida, descenso, vuelo horizontal y planeo) en u n diagrama V — T. E n esta figura puede observarse que si el empuje adimensional es menor que la unidad los aviones siempre descienden, pero si es mayor que la u n i d a d pueden descender, volar horizontalmente o ascender. Además se cumple: T

>

\ 1

->

\Í2 < V~.

_>

Vo = V~

T < 1

=1

< Vi


V

V

V

=

1

(6.11)

—> Vy , = 1 > Vy

Obviamente la condición f olaneador.

=

0 (eje de abcisas) corresponde al

Los valores máximos del ángulo de asiento de velocidad y de la •"elocidad ascensional adimensional son funciones monótonas crecientes del

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

102

A 7" Figura 6.3. Valores máximos del ángulo de asiento de velocidad y de la velocidad ascensional adimensional. empuje adimensional T (ver F i g u r a 6.3). por lo que los valores máximos de I máximos se obtendrán i m p o n i e n d o el valor máximo del empuje adimensiona ímáxi para cada a l t i t u d de vuelo: -E m('Tmáx)máx ,

E (V ) M

AMÁX MÁX

=

^ y j f

m

á

x

+

V

/í

=

m á x

^max

1

+ 3 (2f

m á x

(6 —

-

s/tJT^j

(6.1

6.2. Actuaciones de punto en subida y descenso

103

Cuando el avión se encuentra en su techo teórico ( T ¿ m

x

=

1), son

nulos t a n t o el ángulo de asiento de velocidad máximo de los máximos como la velocidad ascensional adimensional máxima de las máximas. Por último es interesante resaltar que, en la jerga coloquial de la Mecánica del Vuelo, suele hablarse de tres tipos de subidas óptimas: subida más pendiente o con máximo gradiente (matemáticamente, subida con subida más rápida (subida con V ¿ ) am

x

7 m

áx)i

y subida más económica (subida con

el mínimo peso de combustible consumido por u n i d a d de a l t i t u d ganada, es decir, subida con | d l ¥ / d / i |

6.2.2.

mín

).

Corrección para vuelo acelerado E n el análisis casi-estacionario de actuaciones efectuado hasta ahora

se consideran despreciables las fuerzas de inercia tangenciales a la trayectoria y, por t a n t o , la energía suministrada por el m o t o r se invierte en incrementar la energía, potencial y en compensar la energía disipada p o r la resistencia, despreciándose el incremento de energía cinética. Si la aceleración a lo largo de la trayectoria de subida no es despreciable (lo que sucede en aviones con T/W

a l t o ) , esto no es aplicable. Para realizar u n análisis más completo, se siguen efectuando las

hipótesis habituales (por ejemplo, el ángulo de ataque del empuje es pequeño), pero ahora se supone que la aceleración tangencial no es despreciable. E l equilibrio de fuerzas según el

ahora (ver el sistema de

ecuaciones (3.15)): T-D-Wsm-y

=

WdV g

— dt

V

(6.14) '

M u l t i p l i c a n d o la anterior expresión por la velocidad aerodinámica, queda: (T-D)V

1 dV = W(V*sin7 + - V — ) g dt

(6.15)

e introduciendo aquí la definición de velocidad ascensional:

E n la ecuación anterior se observa que el empuje que le sobra a u n avión respecto de la resistencia disipada puede utilizarse en subir o en acelerar. Por

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

104

ello se denomina E x c e s o d e P o t e n c i a E s p e c í f i c o , S E P (del inglés, ''Specific Excess Power"') a: SEP =

(T - D)V ^ — — - L -

(6.17)

I n t r o d u c i e n d o esta nueva variable en la expresión (6.16) se obtiene: SEP v

-

w

=

m

(

f

U

8

)

Hgh) Si el avión volara de f o r m a casi-estacionaria, con el m i s m o valor de SEP que en el caso no estacionario, la relación entre la velocidad ascensional para el vuelo no-estacionario, V , y la velocidad ascensional p a r a el vuelo casi-estacionario, (V ) , sería: a

a ce

<

v

;

,

" =

S

E

P

-

é

i

r

-

j

k

m

< 6

-

1 9 )

Obsérvese que si u n avión se acelera apreciablemente en su trayectoria de subida, la velocidad ascensional que se obtiene es menor que la que se obtendría si no se acelerara (caso casi-estacionario) y empleara t o d o su exceso de potencia en subir.

6.3.

Actuaciones de p u n t o en v i r a j e casi-estacionario Para curvar la t r a y e c t o r i a de u n avión en u n plano h o r i z o n t a l , es

preciso crear u n a fuerza n o r m a l a la m i s m a y contenida en dicho plano que proporcione la aceleración centrípeta necesaria. Esto se podría conseguir de distintas formas. • E n primer lugar se podría disponer de u n " m o t o r " que proporcionara fuerza lateral, lo cual nunca ha sido llevado a la práctica por motivos obvios. • E n segundo lugar se podría hacer resbalar el avión con las alas a nivel, con lo que aparece u n a fuerza lateral, Q. Sin embargo, esta fuerza lateral es pequeña y el incremento de resistencia asociado con los ángulos dt resbalamiento distintos de cero es grande.

.3. Actuaciones de punto en viraje casi-estacionario

105

• Y una tercera forma, la umversalmente empleada, consiste en generar u n ángulo de balance sin resbalamiento, con lo que la componente de la sustentación en el plano horizontal curva la trayectoria y la componente de la sustentación perpendicular al plano horizontal equilibra el peso (ver F i g u r a 6.4).

-

Figura 6.4. Fuerzas exteriores en un viraje horizontal simétrico.

E n u n v i r a j e simétrico, correcto o coordinado (3 = 0) la resultante de las fuerzas másicas (peso más fuerza "centrífuga") está contenida en - plano de simetría del avión, ya que la fuerza aerodinámica lateral Q es -preciable (Q = 0) y la sustentación L (que está contenida en el plano de inietría) debe equilibrar a F (ver F i g u r a 6.4). m

M

Sin embargo, en u n v i r a j e no simétrico o no coordinado (/? ^ 0) aparece ::ia fuerza aerodinámica lateral Q y la resultante de las fuerzas aerodinámicas 4 en el plano y — z (resultante de L y Q) se sale del plano de simetría: para > 0 está desplazada hacia la izquierda del plano de simetría y para ¡3 < 0 i icia la derecha. Por t a n t o la resultante F de las fuerzas másicas (peso más uerza "centrífuga"), que debe equilibrar a F A , estará desplazada, para 3 > 0 :cia la derecha del plano de simetría y para 3 < 0 hacia la izquierda (ver w

w

m

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

106

/

Figura 6.5. Fuerzas exteriores en un viraje horizontal no simétrico. F i g u r a 6.5). Este hecho es la base del m o v i m i e n t o de la bola en el i n s t r u m e n t o de vuelo llamado bastón-bola o indicador de viraje. L a bola, que puede moverse libremente por u n canal, sigue a la fuerza másica y por t a n t o indica cualitativamente el signo del ángulo de resbalamiento: la bola se desplazará hacia la derecha del plano de simetría cuando 6 > 0 y hacia la izquierda cuando 0 < 0. Así pues, para contrarrestar u n ángulo de resbalamiento positivo, el p i l o t o debe i n t r o d u c i r u n m o m e n t o de guiñada positivo, p o r lo que debe deflectar el timón de dirección hacia la derecha, pisando el pedal derecho del m a n d o direccional. A esta regla práctica de pilotaje, los pilotos se refieren coloquialmente como "pisar la bola". E l bastón, segundo elemento del i n s t r u m e n t o bastón-bola, está conectado directamente a u n giróscopo e indica velocidad angular del avión según el eje z (normalmente en ° / m i n , hacia la derecha o hacia la izquierda). 0

Las ecuaciones del m o v i m i e n t o que se utilizarán para este cálculo de actuaciones puntuales en v i r a j e son las de vuelo simétrico en u n plano horizontal, casi-estacionario y con ángulo de ataque del empuje pequeño

6.3. Actuaciones de punto en viraje casi-estacionario

107

(ver apartado 3.5.3). A u n q u e las tres ecuaciones dinámicas de fuerzas se proyectaron en ejes viento, a p a r t i r de ahora se expresarán en el triedro intrínseco de la trayectoria (tangente, n o r m a l y b i n o r m a l ) , con objeto de clarificar más el sentido físico de los virajes. Según esto el sistema de dos ecuaciones cinemáticas y tres dinámicas en ejes intrínsecos queda en la forma (ver F i g u r a 6.4):

x

e

—

V eos x

Ve = V sin x T —D = 0 L sin u =

(6.20)

—Vx

cos a = 0

W-L

Para adimensionalizar el sistema se recurre a los mismos adimensionalizadores introducidos en el apartado 5.3 (empuje base, T B , velocidad base, V B , y peso, TV):

X

E

= V

COS

X

y = V sin x e

= 0

f - D

f VBX n sin fi — V = 9 r

(6.21) 0 n

n cos fj, — 1 = 0

Este sistema de cinco ecuaciones hay que completarlo con las : aracterísticas aerodinámicas del avión (ver apartado 4.3) y las características

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

108

propulsivas del t u r b o r r e a c t o r (ver apartado 5.2):

V J

2 \

2

(6.22)

n = V ~^~2

O-Lopt

rn(vr)

W

Suponiendo además que la a l t i t u d de vuelo es u n dato del problema, en las ocho ecuaciones anteriores se cuentan como variables dependientes x , y , V , x , T, D, n, ¡i , C L y n , por lo que el sistema tiene dos grados de l i b e r t a d matemáticos. e

e

L a velocidad de pérdida, Ve, en v i r a j e simétrico horizontal se define como la mínima velocidad a la que es posible ese vuelo a cada a l t i t u d y para cada configuración. U t i l i z a n d o la ecuación de fuerzas según la b i n o r m a l de la trayectoria:

y p 5 C

L

m

á

x

cos/i

V

B

\¡

CL máx

Y

L

Obsérvese que en v i r a j e el factor de carga ha de ser siempre superior a la u n i d a d . Además el factor de carga y el ángulo de balance de velocidad están relacionados de forma que si uno aumenta el o t r o también lo hace, hasta llegar a u n ángulo de 90° para el cual el factor de carga es infinito (Figura 6.6). C o m p a r a n d o las expresiones obtenidas en este apartado con las del vuelo horizontal rectilíneo (apartado 5.4), puede deducirse que ra, a, Vs, T y D son mayores en v i r a j e horizontal que en vuelo horizontal rectilíneo, para las mismas condiciones de vuelo y la m i s m a configuración. De las tres relaciones dinámicas adimensionales ahora se despejan el factor de carga, ra, el ángulo de balance de velocidad, ¡JL, y la v e l o c i d a d a n g u l a r d e v i r a j e , y , en función de los dos grados de l i b e r t a d escogido;

(v,fy.

ra = V\¡2T -V

2

(6.24

6.3. Actuaciones de punto en viraje casi-estacionario

109

Figura 6.6. Ángulos de balance de velocidad y factores de carga en viraje horizontal simétrico. eos ¡JL

1

1

V\ 2T

9

(6.25)

-

V

2

V

(6.26)

V

2

Obsérvese que se ha i n t r o d u c i d o u n a velocidad angular de viraje adimensional, y , utilizando como adimensionalizador g/Vs- Además también es interesante determinar el r a d i o d e l v i r a j e , R: R9

V

R

1

fí- -

X

B

V

<2T

-

1

1

(6.27)

donde ahora se ha i n t r o d u c i d o u n radio de v i r a j e adimensional, R, utilizando como adimensionalizador V /g. B

Téngase en cuenta que para V y T dados, n y ¡i no dependen de .a a l t i t u d , mientras que y y i? empeoran con la a l t i t u d ( y disminuye y R aumenta). Derivando respecto a la velocidad adimensional las expresiones de n, y y R, es posible obtener los tres virajes óptimos que se resumen a continuación: a) V i r a j e con factor de carga máximo (o ángulo de balance máximo) Haciendo dn/dV =

K

0, se obtiene:

"máx — V

1

i "máx — J- ,

-

c

Lopt

~ r

3.2c

AMONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

110

b) V i r a j e con velocidad angular máxima Haciendo dx/dV = =

0, se obtiene:

\¡2T-2,

1 , Xmáx =

n*

m á x

\J2T~-

=

1,

í^kate =

c-Lopt

yj f 2

- 1 (6.29)

c) V i r a j e con radio de giro mínimo = 0, se obtiene:

Haciendo dR/dV

vr

2_ !

V

t

CLopt

2

(6.30)

Obsérvese que si T =

1 los tres virajes óptimos anteriores "colapsan" y

el avión vuela con velocidad base, factor de carga igual a l a u n i d a d , coeficiente de sustentación óptimo, velocidad angular nula y r a d i o de v i r a j e i n f i n i t o (vuelo rectilíneo). Para que el v i r a j e sea posible, se ha de c u m p l i r que T >

1 y

entonces se satisface (ver F i g u r a 6 . 2 ) :

(6.31)

> (C )x

(C )

L

L Rmín

m á x

> (C'L)n

m á x

=

C

L

o

p

t

C o m b i n a n d o las desigualdades de velocidades dadas por la expresión anterior, con las proporcionadas p o r la expresión ( 6 . 1 1 ) p a r a el vuelo en subida, se concluye que: f

> 1

->

V

2

< V

R

,

< %

.

= % . =

1 < %

< V

.

n

< V

(6.32)

L a F i g u r a 6.7 representa los valores máximos p a r a el factor de carga, la velocidad angular de guiñada adimensional y el radio de v i r a j e adimensional. en función del empuje adimensional T. Obsérvese que las actuaciones óptimas en viraje casi-estacionario m e j o r a n con T y por t a n t o , p a r a cada a l t i t u d , los valores óptimos de los óptimos se conseguirán i m p o n i e n d o r á : m

(^máx)máx (Xmáx)máx = (-Rmín)mín

=

=

2~má

(6.33)

x

\/ máx " 2 2 r

/„ =

Ar . 2

max

-

x

(6.34) (6.35)

i

6.4. Actuaciones de punto en viraje instantáneo

111

5

4

3

2

1

0 "'O

1

2

3

• 4

5

A T Figura 6.7. Valores máximos del factor de carga, velocidad angular de guiñada adimensional y radio de viraje adimensional. De las expresiones anteriores puede deducirse que las actuaciones :>ptimas empeoran con la a l t i t u d de vuelo, ya que al aumentar ésta el empuje adimensional máximo disponible disminuye (ver la última ecuación del sistema 6.22)) y la velocidad base aumenta. E n el techo teórico del avión ( T á = 1), el factor de carga máximo de los máximos es la u n i d a d , la velocidad angular máxima de las máximas es nula y el radio de viraje mínimo de los mínimos es infinito (vuelo rectilíneo). m

x

E n los virajes óptimos de los óptimos anteriormente desarrollados es preciso imponer limitaciones por factor de carga (el factor de carga requerido debe ser menor que el factor de carga máximo que es capaz de soportar la estructura o el piloto) y por coeficiente de sustentación (el coeficiente de sustentación requerido debe ser menor que el C ¿ á x ) m

6.4.

Actuaciones de p u n t o en v i r a j e instantáneo

E n este apartado se analizan las actuaciones puntuales de u n avión provisto de turborreactores en v i r a j e simétrico en u n plano horizontal y con u n ingulo de ataque del empuje pequeño, pero en lugar de i n t r o d u c i r la hipótesis .e vuelo casi-estacionario como en el apartado anterior, ahora se supone que el vuelo tiene una aceleración apreciable. :

Las ecuaciones de fuerzas según la n o r m a l y la b i n o r m a l son idénticas

AMONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

112

a las formuladas en el apartado anterior (cuarta y q u i n t a expresiones (6.20)): W

L sin a - -

—Vx

9

(6.36)

W — L cos fj, = 0 Operando con ellas se obtiene para la velocidad angular de viraje y el radio de viraje: X = yVn

R

- 1

2

(6.37)

V X

1

gV

Introduciendo en estas expresiones la definición de factor de carga y adimensionalizando de forma análoga a l apartado anterior, queda:

X

XV

B

2

opt

\{C-L

ñ -

R

1

V

(6.38)

V

2

9 . C

(6.39)

1

L

opt Para una velocidad fijada cualquiera, el piloto puede elegir el coeficiente de sustentación que estime o p o r t u n o , pero la máxima velocidad angular adimensional y el mínimo radio de viraje adimensional se obtienen ambos imponiendo que el coeficiente de sustentación sea C ¿ á ; es decir: m

X'máj

(

máx \

CL

c

L

o

p

t

)

1

v%2

~v~

2

Rr, C , L

1

x

(6.40)

(6.41)

Lopt A este viraje se le suele denominar viraje instantáneo óptimo. E l vocablo " ó p t i m o " proviene de la imposición de que se vuela con, coeficiente

6.4. Actuaciones de punto en viraje instantáneo

113

de sustentación máximo y el vocablo "instantáneo" se i n t r o d u c e para resaltar que no se puede mantener este v i r a j e ya que la velocidad evolucionará con el t i e m p o de acuerdo con la ecuación de fuerzas según la tangente a la trayectoria, no utilizada hasta ahora: WdV T-D = —~ 6.42) g dt > v

que adimensionalizada usualmente presenta la forma (ver ecuación (4.25)): C L máx

1 +

T

c

VE B

Lopt

m

dV

a

dt

(6.43)

E l p i l o t o puede i n t r o d u c i r ahora como segundo grado de l i b e r t a d T = ímáx y ya se podrá integrar la expresión anterior para obtener la velocidad adimensional en función del t i e m p o . E n primer lugar se reordena esta ecuación en la forma: 2V E B

t =

dV

n

'Vi

Cr

1 +

a

z

(6.44)

V

2

opt

donde

2Tmá

a =

\

1 +

(C

Li

C-Xopt J

L a solución de esta integral i n m e d i a t a es: VE B

t

\

2T„

In

r¡

1 +

C, C Lopt

(V + (V-a)(Vi

a)(Vi-a) + a)

(6.45)

L

en donde se ha supuesto que V > a, es decir, que según la ecuación (6.43) el movimiento es siempre decelerado. I n v i r t i e n d o la ecuación anterior se obtiene la evolución de la velocidad adimensional con el t i e m p o , V = V(t), e introduciendo esta función en las expresiones (6.40) y (6.41) se d e t e r m i n a n Xmáx y Rmín en función del t i e m p o .

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

114

6.5.

P r o b l e m a s 6.1 y 6.2 P R O B L E M A

6.1

L a figura a d j u n t a representa u n avión efectuando u n v i r a j e horizontal, simétrico y estacionario, con su eje y¡, a p u n t a n d o siempre hacia u n o b j e t i v o situado en el suelo ( p u n t o O ) .

Suponiendo además que: 1. Se conocen todas las características geométricas, aerodinámicas y másicas de avión (por ejemplo, el peso W es una constante, la polar es parabólica de coeficientes constantes, etc.). 2. E l empuje de los motores, T, está d i r i g i d o según el eje

x. w

3. L a atmósfera está en calma y su densidad p es u n a constante conocida en el margen de altitudes considerado. 4. L a constante de la gravedad g es conocida. Se pide: 1 ) Plantear el sistema de ecuaciones que describen el c o m p o r t a m i e n t o del avión y determinar el número de grados de l i b e r t a d matemáticos de dicho sistema. Q

2 ) D e t e r m i n a r el radio de c u r v a t u r a , R, la a l t u r a , h, el ángulo de Q

balance de velocidad, u , y la distancia avión-objetivo, d. en función de T/W,

C L , y en caso necesario, de los restantes grados de l i b e r t a d del sistema.

6.5. Problemas 6.1 y 6.2

T/W

115

3°) D e t e r m i n a r la distancia mínima, (dmín)mín) asi como los valores de y ¡i correspondientes. Solución: E l sistema de ecuaciones dinámicas para u n viraje simétrico,

1) Q

horizontal y estacionario es: T-D

= 0 2

=

—

g

cos ¡JL

L

V

W

L sin a

—

R W

=

0 0

E n este sistema pueden introducirse las expresiones de la sustentación y la resistencia: L =

- V SC -

l

P

2

D = ^ V SC

L

P

2

=

D

- V S{C

l

P

2

+

D0

kCl)

Adicionalmente la ligadura geométrica de que el eje y& (que coincide con el eje y

w

al no existir resbalamiento) apunte siempre hacia el o b j e t i v o O,

se formula mediante:

h

t a n ¡x = — R E n este sistema de cuatro ecuaciones (tres ecuaciones de fuerzas y una ecuación de ligadura geométrica) hay seis variables dependientes T , C L , V , p,, R,h), por lo que el sistema tiene dos grados de l i b e r t a d matemáticos (se tomarán, como sugiere el enunciado, T/W y C L ) . 2 ) De la p r i m e r a relación dinámica se obtiene una expresión para la U

velocidad en función de los dos grados de l i b e r t a d matemáticos:

r =

D

=

\^s c (

+ kd) - v =

m

^ ¿ T l c l

De la tercera relación dinámica: 2W

W cos / i

L

V SC

P

2

L

Obsérvese que se ha de c u m p l i r :

1 T/W

Co D

+ C

kCl L

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

116

D i v i d i e n d o la segunda relación dinámica p o r la tercera e igualando con

la ligadura:

t a n ¡JL

V

h

2

=

—

=

gR

2 TU = —~ pSg C

, V >h = — g 2

R

T/W

• ~ + kC~

DQ

L

Para calcular el radio de c u r v a t u r a se opera con las ecuaciones dinámicas segunda y tercera: 1

V

2

R

gVn^l

2 TU - 1/V

gV(n/V )

2 2

1

Sg

4

(

¡

P

V

queda:

C g 0

+

kcff

(T/W)

L

2

F i n a l m e n t e la distancia del avión ( p u n t o C G ) a l o b j e t i v o ( p u n t o O ) T

2 TU

R

a—

c

o

s

^

C

L

WC

+

D0

P9

l

S

c

(C

2

kC

2

r

+

D0

kCfj

2

(T/W)

2

3 ) Para resolver este apartado, conviene efectuar u n cambio en los Q

grados de l i b e r t a d elegidos y plantear así la distancia en función de C L - L i li a

4 TU 1

V

2

g sin ¡i

sin ¡i

1

pSg C L sin2/x

L a distancia mínima de las mínimas se obtiene haciendo ¡i = 4 5 C L — CLmáx'-

v

_ 4TU

V^mínjmín —

y el valor de T/W

0

pjg

Q

y

1

, CLmáx

r

correspondiente se obtiene de la expresión del eos//:

yw

C L

C

W

l

m

4

x

Téngase en cuenta que para que pueda alcanzarse la distancia calculada no debe superarse el empuje máximo de los motores; es decir: Tmáx TU

>

-

/OCDO + C L máx

kC

2

máx

6.5. Problemas 6.1 y 6.2 PROBLEMA

117

6.2

U n avión en vuelo atmosférico pretende efectuar una serie de experimentos en condiciones de gravedad nula (0-g), es decir, en condiciones en las cuales el avión no ejerce acción alguna sobre los pasajeros n i la carga y éstos parece que "flotan". Para ello efectúa u n vuelo simétrico con las alas a nivel contenido en el plano vertical a p a r t i r de unas condiciones iniciales de velocidad V y de ángulo de asiento de velocidad y¿ (no necesariamente pequeño) datos del problema. l

Suponiendo además que: 1. Se conocen todas las características geométricas, aerodinámicas y másicas del avión necesarias para la resolución del problema (en particular, el peso del avión TU es constante, la deflexión del timón de profundidad no contribuye a la sustentación del avión y la polar es parabólica de coeficientes constantes). 2. E l empuje de los motores está dirigido según el eje x centro de masas del avión.

w

y pasa por el

3. L a bodega donde se realizan los experimentos de 0-g se supone que coincide con el centro de masas del avión. 4. g es una constante conocida y se conoce la función p =

p(h).

Se pide: 1 ) Plantear el sistema de ecuaciones dinámicas que p e r m i t e estudiar el movimiento del avión en 0-g, discutiendo cuales son las condiciones a imponer para volar en 0-g y los grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema. Q

2 ) D e t e r m i n a r la evolución del ángulo de asiento de velocidad 7 con el tiempo y la trayectoria descrita por el avión, para valores fijados de los grados ie l i b e r t a d matemáticos del sistema. Q

3°) D e t e r m i n a r las evoluciones con el t i e m p o del ángulo de ataque y i e l empuje, para valores fijados de los grados de l i b e r t a d matemáticos del sistema. Solución: 1°) Planteando las ecuaciones de fuerza para una carga en la bodega, ie peso W , y teniendo en cuenta que las paredes no pueden realizar ninguna p

AMONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS

118 acción sobre ella queda:

-W sin p

-V = 0

P

7

9

T y c o s + ~^Vi 9 p

= o

7

es decir, se cumple que: V „ sin 7 H = 0 9 Vi cos 7 H = 0 9 n

Planteando ahora las ecuaciones de fuerza del avión completo: T - D -

W sin 7 - — V = 0 ^ T - D 9

- L + I V cos

7 H

IV

=

V7

3

T V ( s i n + —) = 0 9

0 - » - L + TV (cos

7

7

H

VA -) = 0 9

e i n t r o d u c i e n d o en ellas la condición cinemática de l a carga se obtiene: T = D L = 0 Por t a n t o el p i l o t o del avión, para que la carga en l a bodega vaya en condiciones de 0-g, debe i m p o n e r sustentación nula y u n a ley de empuje que equilibre exactamente la resistencia del avión. De esta forma el avión volará siempre en caída libre, con el peso como única fuerza del problema. Obviamente el sistema no tiene grados de l i b e r t a d matemáticos y cualquier variable puede determinarse en función del t i e m p o . 2 ) Las ecuaciones cinemáticas en u n plano vertical son: Q

x

e

= V cos

h —

7

Vsin7

D i v i d i e n d o ambas entre sí e i m p o n i e n d o las relaciones cinemáticas deducidas en el apartado 1 ) para este vuelo a 0-g, queda: Q

dh

—

dx

e

= tan7 =

1 dV

—

V

— d7

6.5. Problemas 6.1 y 6.2

119

que es fácilmente integrable para obtener: V

cos7¿

Vi

cosy

De la relación cinemática primera: — V cos

x

e

V cos

7 =

cte

7J =

donde se ha supuesto que para t = 0, x

e

—>

=

x

e

V¿ cos 7¿í

= 0.

De la segunda relación cinemática del apartado 1 ) se obtiene: Q

cos

2

7

V cos

H

7 d7

— = 0 —> t a n di

5-

7

=

tan

g

7¿

Vj cos

7¿

A continuación se plantea la ecuación cinemática para h: dh -— = dx

tan

7

=

g

tan ¿ — — 7

Vi cos 7 i

e

1 —> dn, = ly cos ¿ 7

e integrando:

1 -pí

h = hi + V ¿ s i n í 7 i

( t a n y¿ — — V

g

V¿cos7¿

\ , 1 di /

2

Finalmente la trayectoria vendrá dada por: h — hi + x t a n e

7¿ —

x„

5

9

cos^

7i

que responde a la ecuación matemática de u n a parábola. Esta es la razón por la que a los vuelos atmosféricos a 0-g se les denomina "vuelos parabólicos". A este mismo resultado se podría haber llegado más rápidamente planteando el problema en ejes ligados a l suelo y suponiendo que la única fuerza del problema es la gravedad. 3 ) E l coeficiente de sustentación, el ángulo de ataque y el empuje Q

vienen dados por: L = 0 -»• C

= C

L

+ C a

L0

La

1

T = D -> T = - V SC P

Z

D

= 0 -)• a --

CLC

= 1 T , 2 ,- V SC ¿

P

D0

y como la velocidad viene dada por: V

2

= ±1 + h = V 2

2

- 2g(h - h¡) = V

2

- 2gV sin y t + t

t

5

2

í

2

120 finalmente

AVIONES CON TURBORREACTORES. OTROS VUELOS se obtiene: T

pSCno =

— - —

r> t /

2

(v;

-

. , 2.2\ s i n 7¿í +

5

í

)

Téngase en cuenta que en la expresión anterior p = p(h), donde h ya ha sido calculada como función del t i e m p o :

h =

+

V;sin7ií -

^pí

2

Actuaciones de aviones propulsados por hélices

7.1.

Introducción

Las razones por las que se requiere u n t r a t a m i e n t o ligeramente distinto en la determinación de actuaciones para los aviones provistos de turborreactores y para los aviones propulsados por motores alternativos y hélices son, básicamente, dos: las curvas características del t u r b o r r e a c t o r proporcionan información relativa a su empuje mientras que las del m o t o r alternativo proporcionan información relativa a su potencia; y la información de potencia del m o t o r a l t e r n a t i v o hay que c o m b i n a r l a con las características de la hélice con el fin de obtener la potencia disponible para el vuelo. E n este capítulo se establece, en p r i m e r lugar, una formulación ie la polar parabólica de coeficientes constantes en forma de potencia disipada adimensional; en el apartado 7.3 se efectúan u n a serie de hipótesis simplificativas con respecto a las características del g r u p o motopropulsor motor alternativo y hélice), con objeto de obtener expresiones cerradas para -as actuaciones; en el apartado 7.4 se formula la ecuación de fuerza tangente a la trayectoria en forma de potencia; en los apartados 7.5 y 7.6 se estudian, respectivamente, las actuaciones de p u n t o e integrales en vuelo horizontal rectilíneo; en el apartado 7.7 se analizan las actuaciones puntuales en subidas y descensos; y, finalmente, en el apartado 7.8 se desarrollan las actuaciones puntuales para el caso de virajes horizontales simétricos casi-estacionarios.

7.2.

Potencia disipada a d i m e n s i o n a l

E l concepto de polar parabólica de coeficientes constantes, que se lesarrolló en el apartado 4.3 b a j o la forma de resistencia adimensional, se puede expresar alternativamente bajo la forma de potencia disipada -.dimensional.

122

ACTUACIONES DE AVIONES PROPULSADOS POR HÉLICES E n primer lugar, se define la potencia disipada por resistencia en u n

avión. P ¿ . como el p r o d u c t o de la resistencia por la velocidad aerodinámica: Pd = DV = ~ V SC P

3

(7.1)

+ lpV SkC'l 3

D0

A s i m i s m o se define la potencia disipada parásita, P¿ , disipada inducida, P u, mediante: p

y la potencia

(

Pd = \pV SC 3

P

;

DQ

P

=

di

\ V SkCl P

¿

3

¿

(7.2)

Pd = Pd + Pdi P

I n t r o d u c i e n d o ahora en la potencia disipada el concepto de factor de carga, n, se obtiene: 1

nW 2

r* = y*sc„

+

k

v

2

m

(7.3,

A continuación se introduce u n nuevo adimensionalizador llamado p o t e n c i a b a s e , P g , definido como el p r o d u c t o del empuje base por la velocidad base (ver apartado 5.3): es decir: PB = TV B

(7.4)

= ^~V

B

B

M e d i a n t e la potencia base es posible adimensionalizar la potencia disipada para obtener la potencia disipada adimensional, Pd\

L a potencia disipada adimensional, dada por la expresión anterior, puede descomponerse en potencia disipada adimensional parásita,

P¿ , p

y

potencia disipada adimensional inducida, Pdi, mediante (ver Figuras 7.1 y 7.2):

P

dp

= \v"

;

P* =

¿

\% ¿

Pd = Pd + Pdi P

V

(7.6)

7.2. Potencia disipada adimensional

123

Figura 7.2. Potencia disipada adimensional. Además, a cierta velocidad adimensional la potencia disipada adimensional presenta u n mínimo. Tanto la potencia como la velocidad son funciones del factor de carga y vienen dadas por:

-Pdmín

Pdi (W/E )V m

33/4 n

B

1 •Pdmín

31/4

3

/

2

=

0.877n

n = 0.760Vra

3 / 2

(7.7)

(7-

Obsérvese que la potencia disipada mínima es menor que la potencia

124

ACTUACIONES DE AVIONES PROPULSADOS POR HÉLICES

disipada para resistencia mínima y que la velocidad aerodinámica a la que hay que volar para que la potencia disipada sea mínima es menor que la velocidad aerodinámica de resistencia mínima (ver expresiones (4.21) y (4.22)); es decir: 0.877n / - P

< (P )

0.760^ =


3

2

dmín

d

. =

ó

n / 3

2

(7.9) Vp

J d mín

=

ñ

-^mín

E n la F i g u r a 7.3 se representa, de forma geométrica, la diferencia entre los puntos de potencia disipada mínima y de resistencia mínima. Este último p u n t o se obtiene trazando desde el origen la tangente a la curva de potencia disipada en función de la velocidad, ya que el p u n t o de tangencia es el que proporciona u n valor mínimo del cociente ordenada-abcisa.

2.5

A

V

3

Figura 7.3. Condiciones de potencia disipada mínima y resistencia mínima. Operando análogamente al apartado 4.3, en t o d a la formulación desarrollada es posible i n t r o d u c i r el coeficiente de sustentación en lugar del factor de carga o de la velocidad aerodinámica adimensional. por:

Por último, la potencia disipada mínima, con dimensiones, vendrá dada

Pdmín - 0 . 8 7 7 n / - — - V 3

2

B

= 2.482n / 3

2

C^k / 3

4

(7.10)

7.3. Hipótesis acerca de las características del grupo motopropulsor

7.3.

125

Hipótesis acerca de las características del grupo motopropulsor

E l grupo motopropulsor m o t o r alternativo-hélice está compuesto, obviamente, por dos subsistemas. A continuación se establecen las hipótesi; más usuales que, desde el p u n t o de vista de la Mecánica del Vuelo, suelen aplicarse a motores alternativos y a hélices. 7.3.1.

Motores alternativos

Las dos características más importantes de u n m o t o r alternativo, para los fines perseguidos en este l i b r o , son la potencia proporcionada por el m o t o r en su eje, P , y su gasto másico de combustible, tp. Ambas pueden expresarse como funciones de la a l t i t u d , h, de la velocidad de vuelo, V, y de la presión de admisión, TT. E S decir: m

P

=

m

P {h,V,n) m

(7.11)