matematika III

CONTOH : Mencari daerah asal fungsi
Tentukanlah daerah asal dari fungsi

Penyelesaian

Paraboloid Hiperbol
Persamaan baku Paraboloid hiperbola dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy berupa sepasang garis yang saling berpotongan tetapi jejak bidang yang sejajar xy adalah hiperbol. Jejak pada bidang xz dan yz adalah parabol
Kerucut Elips
Persamaan baku Kerucut Elips dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy adalah sebuah titik, tetapi jejak bidang sejajar xy adalah elips. Jejak pada bidang xz, dan yz garis yang berpotongan
Tentukan daerah asal dari

Skets daerah asal tersebut pada koordinat bidang.
Penyelesaian
terdefinisi jika
atau dengan demikian, Daerah asalnya adalah

Contoh

Parabola Elips
Persamaan baku Parabola Elips dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy adalah titik tetapi perpotongan bidang sejajar xy dengan permukaan adalah elips. Jejak pada bidang xz dan yz adalah parabol
Hiperboloida lembar dua
Persamaan baku Hiperboloida lembar dua dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy dan xz adalah hiperbol, sedangkan pada bidang yang sejajar yz dengan permukaan akan membentuk elips

Contoh
Berupa apakah kurva ketinggian dari

untuk z = 1
Penyelesaian
Dengan substitusi nilai z = 1 ke dalam persamaan diperoleh

Atau dapat dituliskan dalam bentuk baku

Elips dengan jari-jari mendatar =
dan jari-jari tegak =

Jenis-jenis permukaan dimensi tiga
Elipsoida
Persamaan baku Elipsoida dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy, xz, dan yz berupa elips.

Hiperboloida lembar satu
Persamaan baku Hiperboloida lembar satu dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy adalah elips, sedangkan pada bidang xz, dan yz adalah hiperbola
Contoh 2 : Sketsa grafik fungsi
Sketsalah grafik dari

Penyelesaian :
Cari titik-titik potong bidang terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut :

Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah :
(0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).

Sebuah Parabola dengan titik puncak (a,b) memiliki persamaan baku :

Dengan F(a+p,b) menyatakan koordinat titik fokus parabola

Sebuah Ellips dengan pusat (a,b) dengan jari-jari tegak d dan jari-jari horisontal c memiliki persamaan baku:

Sebuah Hiperbola dengan pusat (a,b) dengan gradien asimtot –d/c memiliki persamaan baku:

Paraboloid Hiperbol Kurva ketinggian pada paraboloid hiperbol berbentuk hiperbola pada sumbu x dan y karena untuk z = k persamaan konik yang didapat adalah:
untuk k > 0, atau

untuk k < 0, atau
Merupakan hiperbola pada sumbu x dan y

Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit

Jejak permukaan z = x2 – 4y2 dengan bidang koordinat:
Dengan bidang xoy: sepasang garis x = 2y
Dengan bidang yoz: parabol z = – 4y2
Dengan bidang xoz: parabol z = x2
Dengan bidang sejajar xoy: hiperbol x2– 4y2 = k
Gambarkan permukaan dari f(x,y) = x2 – 4y2 dengan mencari jejaknya dengan bidang koordinat dan gambarkan kurva ketinggiannya
Kurva ketinggian adalah proyeksi pada bidang xy dari kurva (permukaan) yang dibentuk dari perpotongan bidang mendatar z = k dengan permukaan f(x,y).
Himpunan dari kurva ketinggian disebut peta kontur.
Kurva ketinggian dari beberapa jenis permukaan yang telah dibahas sebelumnya akan berupa irisan kerucut.

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur
Kurva ketinggian dari permukaan z = 2x – y2 adalah 2x – y2 = k, k adalah konstanta, yang grafiknya berbentuk himpunan parabol.
CONTOH : Mencari daerah asal fungsi
Tentukanlah daerah asal dari fungsi

.
Penyelesaian
Daerah asal dari f adalah semua (x,y) sedemikian sehingga dan titik (2,0) tidak termasuk.

Dari ketaksamaan diperoleh daerah .

Cara Menggambar Kurva Ketinggian/Peta Kontur
Diberikan sebuah permukaan z = f(x, y)
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k hasil irisan berupa sebuah kurva di ruang
Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f(x, y) dengan ketinggian k
Kurva ketinggian dari sebuah fungsi peubah z = f(x, y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi (ketinggian sama)

Jika tentukan
f(1,2)
f(0,0)
Tentukan daerah asal fungsi tersebut

Penyelesaian

F(0,0) tidak terdefinisi karena penyebutnya nol (x = 0)
Daerah asal fungsi adalah

Menentukan domain:
Hindari akar bilangan negatif
Hindari pembagian dengan nol

Kerucut Elips Kurva ketinggian pada kerucut elips ini berbentuk elips karena untuk z = k persamaan konik yang didapat adalah:

Merupakan persamaan baku elips
Hiperboloid lembar dua Kurva ketinggian pada hiperboloid lembar dua ini berbentuk hiperbola karena untuk z = k persamaan konik yang didapat adalah:

Merupakan persamaan baku hiperbol
Fungsi dua peubah memetakan setiap pasangan bilangan real terurut (x,y) R2 dalam daerah D ke sebuah bilangan real z R (z = f(x,y) dalam daerah R).
x dan y disebut peubah (variabel) bebas
z disebut peubah (variabel) tak bebas
Contoh:

Daerah definisi/Domain dari fungsi f, dinotasikan Df adalah kumpulan semua pasangan (x,y) sehingga f(x,y) terdefinisi (mempunyai nilai

Daerah Nilai/Range dari fungsi f,
Rf = {z R z = f(x,y), (x,y) Df}
Fungsi dua peubah

Permukaan kuadratik dan permukaan dibangun suatu kurva

Grafik fungsi dua peubah z = f(x,y) merupakan suatu permukaan di ruang.
Cara pertama : f(x, y) digambarkan sebagai permukaan ruang dari z = f(x, y). Permukaan ruang (grafik dari f) didefinisikan sebagai himpunan semua titik (x, y, z) dalam ruang untuk setiap (x, y) dalam domain f.
Cara menggambarkan grafik fungsi dua peubah
Cara kedua: f(x, y) digambarkan sebagai kurva ketinggian. Kurva ketinggian didefinisikan sebagai himpunan titik (x, y) dalam bidang dimana f(x, y) memiliki nilai konstan f(x, y) = k

Contoh
Berupa apakah kurva ketinggian dari
untuk z = 3
Penyelesaian
Dengan substitusi nilai z = 3 ke dalam persamaan diperoleh

Ini merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (1, -2) yang memiliki koordinat puncak (1, 0) dan (1, -4) serta memiliki
gradient asimtot dan

Kurva ketinggian Untuk permukaan z = f(x, y), himpunan titik di bidang yang memenuhi f(x, y) = k, k konstanta, dinamakan kurva ketinggian.
Kurva ketinggian untuk permukaan F(x,y,z) = 0 adalah himpunan titik di bidang yang memenuhi F(x,y,k) = 0, k konstanta
Kurva f(x, y) = k dan F(x,y,k) = 0 mempunyai ketinggian yang sama, nilai z – nya selalu konstan
Contoh 3(Lanjutan)
Bila diperhatikan kedua grafik ini, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida.

Gambarkan grafik

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

Persamaan terakhir adalah elipsoida.
Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar.
Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalah dengan membuat kontur (kurva ketinggiannya)

.
.

Penyelesaian
Grafik ini ekivalen dengan grafik persamaan di atas bidang z = 0
Gambar dulu grafik ketika x = 0 (atau y = 0) yaitu grafik persamaan

Gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips

Contoh 4 (lanjutan)
Grafik persamaan f menjadi grafik elipsioda.

Gambarkan grafik fungsi dari

Perpotongan grafik dengan :

bidang xoy (z = 0) adalah lingkaran berpusat di (0, 0) berjari-jari 2
bidang xoz (y = 0) adalah parabol
bidang yoz (x = 0) adalah parabol
Materi Kuliah
Matematika III
Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Yan Sujendro Maximianus

Pendahuluan
Banyak fungsi yang bergantung pada peubah lebih dari satu buah.
Sebuah bidang yang panjangnya x dan lebarnya y memiliki luas yang bergantung pada x dan y, yaitu
L = f(x,y) = xy
Posisi sebuah partikel yang bergerak parabola dapat diungkapkan dalam bentuk r = f(x,y)
dengan x = jarak horizontal
y = ketinggian dari titik acuan

Kurva ketinggian dari permukaan z = x2 – 4y2 adalah x2– 4y2 = k, k adalah konstanta. Himpunan kurva ini berbentuk hiperbol memotong sumbu x untuk k > 0, sepasang garis untuk k = 0 dan hiperbol memotong sumbu y untuk k < 0
Permukaan z = x2 – 4y2 adalah paraboloida hiperbolik berpusat di titik asal. Titik (0,0,0) pada permukaan dikenal sebagai titik pelana
2. Hitung

Dengan menggunakan teorema substitusi
1. Hitung

Dengan menggunakan teorema substitusi
Sekedar mengingat kembali

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y,z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan u = f(x,y,z).
Contoh :
u = f(x,y,z) = x2 + y2 + z2
v = g(x,y,z) = x – y2
Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z) = z – x2 – y2
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan.
Peta konturnya dapat digambarkan dan berbentuk permukaan f(x,y,z) = k
Gambarkan peta kontur dari
T(x,y,z) = z – x2 – y2
Persamaan kurva ketinggiannya
z – x2 – y2 = k
z = x2 + y2 – k
Peta kontur berupa himpunan paraboloida


.
Penyelesaian
Mula-mula gambar grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan .
Berikutnya gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda, misalnya z = 1, z = 2, z = 3, dst., dengan daerah alas berbentuk lingkaran
DAFTAR ISI
Pendahuluan
Fungsi Dua Peubah Bebas
Turunan Parsial
Maksimum dan Minimum
Kalkulus Vektor
Integral Lipat
Integral Garis

13

14

16
Click to edit Master title style

#

#
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#


#

18
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#

19

20
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#
Click to edit Master subtitle style

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#

17

11/2/2015

Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#

matematika III

Recommend Documents