Matemáticas III Tercer semestre
Dirección y realización del proyecto
Matemáticas III
Planeación y coordinación ! "# $%&
Tercer semestre
Metodología y estrategia didáctica ' ' % ( ) *& + # $%&
ISBN: 978-607-8378-90-6
Agradecimientos a ',+ * -. ',, /& +
DERECHOS RESERVADOS
5ª edición Agosto de 2014 Impreso en México
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
' )&0 -, +* La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser
permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama
encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS que docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir una actitud que nos permita coadyuvar en este esfuerzo. Los subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estructuras, los cua ción a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años, aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos rán su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto. Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar, además, el tránsito de estudiantes, Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: competencias genéricas, competencias disciplinares (básicas y extendidas) y competencias profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que, por consiguiente, los hacen distintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país. 1 #
-
Competencias genéricas Competencias disciplinares básicas Competencias disciplinares extendidas Competencias profesionales básicas Competencias Profesionales extendidas
Competencias profesionales extendidas
3
4
Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes mas de estudio y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, sino comple ! " " #
pertinente el currículo de la EMS. Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato gene $%% & " tudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesionales básicas. Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar en ' #
él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus
*
cazmente en los ámbitos social, profesional y político. Dada su importancia, dichas +
del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes: + & 2 1)
Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2)
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3)
Elige y practica estilos de vida saludables.
+ 8* & 4)
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
2 : 8 #& 5)
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6)
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
#
$* )&-& 7)
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
> )&> # 8)
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
* *> 9)
Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo &
contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas. Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la & +
de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración, Lógica, Ética, Filsofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática). *- $" /// "
objetos de estudio de dos ramas de la matemática que son la base del componente de formación básica, el álgebra y la geometría, mediante la modelación algebraica de las relaciones y formas geométricas que ha explorado desde otros puntos de vista; así como reconocer, a partir de registros algebraicos, formas geométricas como las rectas y las circunferencias, con otras formas nuevas como la parábola y la elipse. Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permite integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes. 4 #
ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje. La estrategia consta de seis pasos o etapas, que deberán conocerse en las primeras sesiones para su mejor desarrollo. Los pasos se listan y describen a continuación: B Dinamización y motivación B Contextualización B Problematización B Desarrollo de criterios B Síntesis de resultados de aprendizaje B Realimentación B Evaluación de la competencia
5
& -& # -
6
Es indispensable que el facilitador tenga evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considere que a partir de los mismos se desarrollarán los nuevos. 8 - En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es decir, presentar elementos a través de escenarios que < "
realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio. > & - En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido + + cación en la vida cotidiana; por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula. Etapa en la cual el facilitador, a partir de la Base Orientadora de la Acción (BOA), facilita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato. Las etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso; recordemos que si un alumno no esta motivado, difícilmente aprenderá; la formación de la BOA incluye el método que el facilitador utiliza para que el alumno desarrolle una competencia. La RIEMS sugiere la crea + & ' La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos importantes. La orientación al alumno que debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos: completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto importante en la constitución del BOA; ésta puede ser concreta o generalizada, es decir, el docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abarcar el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno. El modo de obtención es el último de los aspectos de la BOA. Se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En el primero, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador; en la segunda, los alumnos adquieren el conocimiento de forma independiente.
+2 * Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de evidencias de conocimiento, desempeño, producto y actitud, de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa e involucre al estudiante en procesos de coevaluación.
& - Al término de cada bloque, el facilitador y los estudiantes, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad en la mados por los estudiantes. # - &* Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.
7
+ &>2 &* 2
8 1. Dinamización y motivación
2. Contextualización
3. Problematización
4. Desarrollo de criterios
5. Síntesis
6. Realimentación
7. Evaluación de la competencia
Contenido
9
C 0 &%
DE
Sesión A. Sistema de ejes coordenados
16
Parejas ordenadas
17
Ejes coordenados rectangulares
20
Sesión B. Lugares geométricos
23
Concepto de lugar geométrico
23
C 00$* ** & 2 *2
FG
Sesión A. Segmentos rectilíneos y distancia entre dos puntos
39
Segmentos dirigidos
40
Distancia entre dos puntos
41
Área de un polígono usando sus coordenadas
45
Sesión B. División de un segmento en una razón dada
49
C 000$* & & &%
GH
Sesión A. Pendiente de una recta
67
Inclinación de la recta
67
Pendiente de la recta
68
Sesión B. Rectas paralelas y perpendiculares
76
Propiedades de las rectas
76
Ángulos entre dos rectas
78
Sesión C. La recta como lugar geométrico
83
Ecuación de la recta punto–pendiente
83
Ecuación de la recta pendiente–ordenada al origen
85
10
C 0I1 )& -
96
Sesión A. Ecuación de la recta en su forma simétrica Sesión B. Ecuación general de la recta Sesión C. Forma normal de la ecuación de la recta
99 106 113
C I$* & )
DEH
Sesión A. Las cónicas: la circunferencia como lugar geométrico
127
Secciones cónicas
128
La circunferencia como lugar geométrico
131
Sesión B. Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
132
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen
132
Sesión C. Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
136
Ecuación ordinaria de la circunferencia
136
Sesión D. Ecuación general de la circunferencia
140
Obtención de los elementos de la ecuación general de la circunferencia
142
Sesión E. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia
C I0$* & * > Sesión A. La parábola como lugar geométrico La parábola como lugar geométrico
Sesión B. Ecuación de la parábola con vértice en el origen La ecuación de la parábola con centro en el origen
145
DGJ 164 164
170 171
Sesión C. Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen
179
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice fuera del origen
180
Sesión D. Ecuación general de la parábola con vértice fuera del origen
186
Transitar entre las formas ordinarias y generales de las parábolas
186
Sesión E. Ecuación de la parábola dados tres puntos
C I00$* & *
Sesión A. La elipse como lugar geométrico
192
204 207
Formas de construir una elipse
209
Relación entre los elementos a, b y c de una elipse
210
Sesión B. Ecuación de la elipse con centro en el origen
214
Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
214
Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
217
Sesión C. Ecuación de la elipse con centro fuera del origen Sesión D. Ecuación general de la elipse
221 129
Bibliografía
248
11
Bloque I
Reconoces lugares geométricos Desempeños del estudiante al concluir el bloque B / B Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas. B Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
Objetos de aprendizaje B Geometría analítica introductoria B Sistema de coordenadas rectangulares B Parejas ordenadas: igualdad de parejas y lugares geométricos
Competencias genéricas y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemá "
Competencias disciplinares básicas B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. B Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "
"
y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. B / " "
12
13
Matemáticas III Dinamización y motivación Responde los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias en cada caso. 0Completa los siguientes enunciados: 1. Nombre que reciben las regiones que se forman al cortarse los ejes X y Y:
2. Nombre que recibe la coordenada x: 3. Nombre que recibe la coordenada y: 00Realiza las operaciones necesarias para los siguientes ejercicios. 1. Dada la siguiente ecuación, hallar el valor de x: 6(2x – 3) = 2 – 7(3 – x) 2. Ubica en el plano los siguientes puntos: A(–3,–2), B( 52 , 32 ), C( 4 , 7 ) y 4
3
2
1 x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
Figura 1.1
-4
3. Representa en la tabla la siguiente ecuación: y = x2 – 4 y 4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
-4
4. %
los puntos de corte con los ejes coordenados:
14
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
000Resuelve el siguiente problema: Tu papá te reta a que utilices el lenguaje algebraico que estás aprendiendo en la escuela para que describas lo siguiente: el doble de su edad excede a la edad de tu hermano en 40 años. Si te dice que supongas que “x” representa su edad y “y” la edad de tu hermano, describe correctamente, en lenguaje algebraico, el enunciado verbal planteado. 0&* ? & " " cación breve sin profundizar en las respuestas y argumentos, pues algunos de los conceptos tratados en estas preguntas se analizarán en este bloque y nos servirán @ +
revisaremos tus avances. Seguramente has visto en periódicos, revistas, internet u otras fuentes de in& " "
en un mapa del territorio nacional, señalado por altitudes y latitudes; un banco de peces localizado por el sonar de un barco pesquero; el alza, año con año, del precio del transporte público anotado en una tabla, etcétera. Estas representaciones o "
$" J K&
o Medicina, cuyos conocimientos sirven para interpretarlos.
Contextualización La comunicación en nuestros días Hoy en día la comunicación es vital, ya que nos permite interrelacionarnos. Como joven, debes saber que uno de los medios más comunes para lograr esto son las redes sociales, por ello internet ha alcanzado un gran impacto en nuestras vidas. Debido a lo anterior, supón que te encuentras en un punto determinado y tu te +& ' V
radio de alcance te desplazas de un lugar a otro, hasta que logras tener una buena conexión. 1. WZ "
V[
2. Investiga qué radio de alcance tiene esta señal. 3. Con base en este radio de alcance, decide en qué punto de tu escuela debería estar colocado para cubrir todo el perímetro escolar. En tu vida cotidiana existen muchas situaciones como ésta, en la que se involucran conocimientos sobre el uso del plano cartesiano y la ubicación de puntos, así como la descripción de lugares geométricos. Por ello, se te invita a plantear otras situaciones que te permitan aplicar estos conceptos y exponerlos en plenaria. Z # &
conceptos fundamentales de Geometría analítica.
15
Matemáticas III
Sesión A. Sistema de ejes coordenados Problematización /
a tu disposición tres pares de calcetas de diferente color: rojas, blancas y negras, además tienes dos pares de zapatos de diferente color: caqui y café. Nota que las
? B Calcetas rojas y zapatos caqui
B Calcetas blancas y zapatos cafés
B Calcetas rojas y zapatos cafés
B Calcetas negras y zapatos caqui
B Calcetas blancas y zapatos caqui
B Calcetas negras y zapatos cafés
Aparentemente el orden de las prendas no dará problemas, es decir, sería lo mismo considerar las formas calcetas blancas y zapatos caqui que zapatos caqui y calcetas blancas. Así que, en apariencia, calcetas blancas y zapatos caqui=zapatos caqui y calcetas blancas. Sin embargo, si consideramos el orden en que nos vestiríamos para la ocasión, entonces una opción como calcetas blancas y zapatos caqui sería adecua Z
& W [
y después las calcetas no parece muy conveniente. De aquí que, si consideramos el orden, ya no resultan iguales los pares de combinaciones. En otras palabras, la combinación calcetas blancas, zapatos caqui no es igual que la combinación zapatos caqui y calcetas blancas. Imaginemos ahora que una de tus amigas desea regalarte un pantalón y cuando lo compra pide la medida 28-32, pero, por equivocación, el vendedor le da \]^]_ W`+ [ @
en plenaria tus conclusiones. ¿Puedes dar otras parejas de relaciones de objetos, cuyo orden los haga di& [ % k ' &
un argumento.
Desarrollo de criterios
Parejas ordenadas De manera similar a lo visto en los ejemplos anteriores, en geometría analítica se utilizan parejas con un orden determinado para representar objetos o personas con base en un sistema de referencia. Sólo que los elementos que forman las parejas se colocan dentro de paréntesis, separados por comas, por ejemplo: (3, 5), (–3, 5) y (2, 0). Estas ?
16
Una * está constituida por dos términos que llevan un or wa, b) tiene a como primer elemento y b como segundo.
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
Por lo tanto, las parejas (5, 8) y (8, 5) son totalmente distintas. En la primera pareja el primer elemento es 5, mientras que en la segunda es 8 y así varían en sus @ ? Dos parejas ordenadas son iguales únicamente si sus primeros elementos son iguales y los segundos también, es decir, (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d. Con esto en mente podemos deducir que ( −4 , 2) = ( − 82 , 4 ), ya que −4 = − 82 y 2 4. + "
como en el ejemplo de la situación 1. &*D {+ "
cuartos ocupados de un hotel de la Riviera Maya durante los cuatro trimestres del año anterior. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1er trim.
2do trim.
3er trim.
4to trim.
Figura 1.2 Tabla de la ocupación de cuartos de un hotel.
+ - Observando la tabla, podemos armar los pares ordenados siguiendo la secuencia; primeros elementos = los trimestres y la cantidad de cuartos ocupados = los segundos elementos coordenados. De tal forma que las parejas formadas son (1, 40), (2, 80), (3, 50) y (4, 10). + ?
total de cuartos del hotel, que es de 90; en los meses de octubre a diciembre el hotel sufre una disminución de ocupación debido, quizá, a la temporada de frío. @ w |
te habrás dado cuenta de que ubicar puntos en el plano requiere de dos elementos: El primer elemento de una pareja ordenada se denomina > y se localiza en el eje horizontal. El segundo elemento, llamado , se localiza en el eje vertical. Estos elementos o parejas ordenadas se representan con letras mayúsculas y se les llama puntos. Por ejemplo: A(3, 4), B(–6, 7), etcétera.
17
Matemáticas III
Actividad de aprendizaje 1 1. En una granja, los cerditos pesan 3.6 kilogramos al nacer y al primer mes alcanzan un peso de 9.1 kilogramos. Supongamos que el incremento del peso se mantiene constante. Completa la siguiente tabla con los datos del incremento de peso responde en tu cuaderno las preguntas que se formulan a continuación: ,
L& M* N
0 1 2 3 4 5 N W%" ~ [ >N W% [ 2. Sitúa en un plano cartesiano las parejas ordenadas de dicha problemática. 3. Investiga en cualquier bibliografía complementaria los siguientes conceptos: B Geometría analítica B Principales problemas de la geometría analítica &*E Determina el valor de las incógnitas en cada inciso, considerando que las parejas ordenadas son iguales. N (2,4) = (x – 1,4) >N (–4,12) = (2x + 6,4y –2) N (3,1) = (x + y,x – y) + - Del primer inciso tenemos que, como las parejas ordenadas son iguales, entonces sus elementos han de ser iguales, de donde se determina que 2 = x – 1, y despejando resulta que x = 3. Del segundo inciso se desprende que –4 =2x +6 y que 12 = 4y – 2. Despejando 7 2
en ambas tenemos que x = –5 y que y . Para el último caso, se tiene un sistema de ecuaciones lineal de dos incógnitas, ⎧⎪ x + y = 3 . Al solucionarlo mediante cualquiera de los métodos disponi⎩⎪ x − y = 1
como sigue ⎨
bles se obtendrán los valores desconocidos, a saber: x = 2 y que y = 1.
18
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
&*F
\
las parejas ordenadas que describen sus vértices. B
8
A
C
6
D
4
F
G -8
2
g
0 -6
-4
-2
0
2
-2
E
4
6
Figura 1.3
+ - Al localizar cada uno de estos puntos y describir primero las abscisas y después las ordenadas, tenemos la siguiente tabla:
A
(–8,6)
B
(–4,8)
C
(2,6)
D
(6,4)
E
(2,–2)
F
(–2,2)
G
(–8,0)
Actividad de aprendizaje 2 Reunidos en equipos de tres integrantes, realicen lo siguiente: Encuentren y traigan el mapa del estado de Yucatán, tracen los ejes cartesianos, suponiendo que el origen se encuentra en la capital del estado; investiguen las ciudades que conforman el estado, ubíquenlas en el mapa y completen la siguiente tabla: Mérida
1> - (0, 0)
Valladolid
19
Matemáticas III Con la actividad anterior introdujimos los elementos de un sistema de coordenadas de forma empírica. Ahora comencemos a plantear de manera formal algunos de los conceptos matemáticos referentes a las coordenadas.
Ejes coordenados rectangulares El* (o sistema de coordenadas rectangulares cartesianas) se obtiene al trazar dos rectas perpendiculares llamadas ejes coordenados (o simplemente ejes), los cuales se cortan en un punto llamado origen. La recta horizontal se denomina eje X y la vertical, eje Y. Las rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. < " mitado por la parte positiva del eje X y del eje Y; el segundo cuadrante, por la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y; el tercer cuadrante contiene la parte negativa del eje X y del eje Y, y el cuarto cuadrante contiene la parte positiva del eje X y la negativa del eje Y. 6
2do. cuadrante
Y+ 1er. cuadrante
4
2
X-
X+ 0
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
-2
Y-
3er. cuadrante
4to. cuadrante
-4
Figura 1.4 Los cuatro cuadrantes del plano.
Investiga otros tipos de ubicación y coordenadas, ya sea para la ubica "
las estrellas o de las grandes embarcaciones, y observa las similitudes con el sistema coordenado cartesiano.
20
Imagina que el origen del plano cartesiano representa la ubicación de la plaza principal de tu pueblo o ciudad y una pizzería se ubica precisamente en ella. Un repartidor tiene que entregar dos pedidos de acuerdo con el orden en que los recibió, la dirección de los domicilios son casa A, cinco calles al este y cuatro al norte; y casa B, cuatro calles oeste y tres al sur. ¿En qué cuadrante se encuentra cada domicilio [
Actividad de aprendizaje 3 ? tángulo cuyas vértices tengan las coordenadas A(2, 1), B(5, 1), C(5, 6) y D(2, 6), y otro
+ @w ]| w |%w | !w ]| 4
rectángulos los segmentos paralelos al eje X, ¿qué sucede con la base y la altura de "
+[ W [
W " [ Discute con tus compañeros las diferentes respuestas y compártelas con tu profesor.
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
Síntesis Plantea y resuelve los siguientes ejercicios de desarrollo y aplicación en tu cuaderno: 1. Gabriela hizo girar su yoyo y empezó a darle vueltas por encima de su cabeza. Interpreta el lugar geométrico que describe esta situación. 2. Uribe Peralta patea hacia la portería del equipo contrario. Describe el lugar geométrico que traza la trayectoria de la pelota. 3. ¿Cuántos números de dos dígitos diferentes se pueden formar utilizando los _ [ 4. Determina el valor de cada una de las variables en cada inciso: N ( −4 , 2) = (3 x + 1, 2)
6 >N ( 4 , − ) = (5 x − 6, 4 − 2 y ) 7 N
9 ( 3 −1 , − ) = (2 x − 3 y , y − 4 x ) 3
5. ? 14 12 10 8 6 4 2 0
0
2
4
5
7
10
Figura 1.5
N Obtén una lista de puntos coordenados que la represente. >N K 6. Representa en tu cuaderno cada uno de los siguientes puntos coordenados en un sistema de ejes: N(3,7) )N (
>N(–5,6)
14 12 , ) 3 3
N (
N(0,5)
N(5,0)
8 , 16 ) 6
N(0,–5)
N ( 3 27 , 8 )
N ( , 2 )
7. Un compañero camina desde la plaza de tu comunidad (que se encuentra localizada en el origen de un plano cartesiano imaginario) 3 cuadras al norte, 4 al W +
'[
21
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2
&* %
Se expresa 4. Escucha, y comunica. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
0 &* O
$ > 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0 &%
&* * & &
22
P # &* O
0
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
/
características de un sistema de coordenadas rectangulares.
/
características del sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "
o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.
Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
Aplica las características de los pares ordenados en situaciones de "
económica, "
etcétera.
8
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
1 %&
, & F
C
0 &%
&* * & & 8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
P # &* O
0
Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.
Reconoce las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.
8
Empleo las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.
Observaciones:
Sesión B. Lugares geométricos Problematización + " "
Para comenzar, realiza lo siguiente: Reúnanse en equipos, describan y representen en su cuaderno, mediante &
situaciones: 1. La trayectoria que forma una piedra que está atada a un hilo y que se hace girar. 2. El camino que lleva un chorro de agua que sale de una manguera que apunta hacia arriba con 45 grados de inclinación, medido respecto a la horizontal. 3. El trayecto que toma una bala al dispararse hacia una pared que se encuentra a 50 m. 4. <
3 ocasiones antes de pegarle a otra. 5. El movimiento que tiene un barco anclado cerca de la playa mientras las olas lo golpean. Podrás observar, al realizar estos bosquejos, que hay ciertas trayectorias fáciles de describir y representar, pero otras resultan difíciles de imaginar. Los lugares geométricos siguen patrones semejantes, es decir, tienen unas reglas que indican "
ese lugar geométrico. Por el contrario, dada la trayectoria descrita del punto coordena "
fundamentales que puede resolver la geometría analítica. De manera matemática lo describiremos a continuación.
23
Matemáticas III Desarrollo de criterios
Concepto de lugar geométrico Un &% es una porción del plano coordenado formado por puntos que cumplen una relación matemática estipulada.
pero que son en realidad el mismo. A saber: N " >N Una regla textual N Una relación matemática o analítica Los tres elementos anteriores conforman íntimamente el lugar geométrico. Esto se aclara mediante el siguiente ejemplo: &*D Describe y representa el lugar geométrico del punto coordenado que se mueve de tal forma que su ordenada es la mitad de su abscisa. + - Aquí nos encontramos con uno de los tres elementos citados, es decir, la regla textual de lo que el lugar geométrico tiene o hace: su ordenada es la mitad de su abscisa. Con ella podemos obtener la forma matemática, que en este caso, como las abscisas las x representamos con la letra x y las ordenadas con la y, se tiene la relación y . 2 Si ordenamos esta regla matemática se tendrá que x – 2 y = 0. Z k & " +
y a partir de las x. Esto se logra con una tabla de valores, como la siguiente: x
x 2
–4
−4 = −2 2
–3
−3 = −1.5 2
–2 –1
24
y
−2 = −1 2 −1 = −0.5 2
0
0 0 2
1
1 0 .5 2
2
2 1 2
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
@ w ]| w\ |
(–2, –1), y al unir los puntos se obtiene lo siguiente: 1
y= x / 2 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Figura 1.6
De esta manera se engloban los tres aspectos mencionados, es decir, la regla tex " " @
Éste es uno de los aspectos de las competencias que debes aprender. Los puntos obtenidos en el ejemplo anterior, (–4, –2), (–3, –1.5), etcétera, se dicen que satisfacen o cumplen la regla matemática del lugar geométrico, ya que al sustituirlos en ella se cumple la igualdad. Por ejemplo, para el punto (x, y)=(–4, –2) se tendrá que –2 = –4/2, es decir, –2 = –2. Cualquier punto coordenado (x, y) está o forma parte de la "
lugar geométrico si y sólo si satisface la regla o ecuación matemática del lugar geométrico. Algo importante por señalar es que se están relacionando las dos variables x y y en los lugares geométricos. Para muestra, la relación x – 2y = 0 señala que se relaciona las dos variables indicadas que conforman el lugar geométrico. Aunque + ?
Lugar geométrico
Relación matemática de las variables x y y
Figura 1.7 Relación recíproca entre el lugar geométrico y las variables x y y.
&*E Describe matemáticamente el lugar geométrico del punto coordenado que se mueve en el plano de tal forma que: N El cuadrado de su abscisa aumentada en 2 es igual a la ordenada. >N El doble de la ordenada menos el valor de su abscisa es igual a 4.
25
Matemáticas III + - N En este caso, tenemos la siguiente relación x2 + 2 = y >N De forma similar se tendrá que 2x – y = 4 Existen más herramientas que nos permiten examinar cualquiera de los sentidos de los lugares geométricos, por ello describiremos las que nos serán de utilidad. Las que resaltan son las intersecciones con los ejes, las simetrías y las tabulaciones. Veamos cada una de ellas en forma directa y después revisemos su aplicación mediante ejemplos. 0 Las " +
corta o pasa por los ejes X y Y. Z" " pendiendo de la forma que tenga o, lo que la regla analítica indique. Revisa los siguientes ejemplos: &*F Determina la cantidad de intersecciones con los ejes coordenados de las grá ? 4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
Figura 1.8
1
0 -1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
26
Figura 1.9
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
+ - @ " +
" k secciones en los ejes. Pero en la segunda se observa que el lugar geométrico tiene dos intersecciones con el eje X y una con el eje Y. Para determinar las intersecciones con los ejes, se emplearán las reglas indicadas a continuación.
A las intersecciones con el eje X también se les conoce con el nombre de ceros o raíces de la ecuación.
Para obtener las intersecciones en el eje X, sustituimos y = 0 en la ecuación y despejamos las variables x. Para obtener las intersecciones en el eje Y, sustituimos x = 0 en la ecuación y despejamos las variables y. Para despejar las variables restantes es necesario recordar las formas de factorización algebraica y la fórmula general de segundo grado, así que repásalas para su futuro uso.
Simetrías 4 # <
'
respectivamente. 0
1
-2
0
-1
1
2
1
-1
0
0
0
-1
1
2
3
-2
-2
0
-1
1
-1
-3
Figuras 1.10, 1.11, 1.12
@ ' & " <
simetrías respecto a los ejes X, Y y al punto origen, según corresponda. Z " tuyen ciertos valores por las incógnitas. La ecuación no debe cambiar para considerar que sí es simétrica. Para determinar si hay simetría en el eje X, se sustituye y por –y, y la ecuación no debe alterarse. Para determinar si hay simetría en el eje Y, se sustituye x por –x, y la ecuación no debe alterarse. Para determinar si hay simetría en el eje origen, se sustituye x por –x; y por –y, al mismo tiempo y la ecuación no debe alterarse.
27
Matemáticas III > - Es necesario distinguir las relaciones entre las dos variables x y y para representar analíticamente un lugar geométrico. Una forma de relacionar estas variables es mediante una tabla en la que una dependa de la otra. A la que tiene valores asignados se le conoce como variable independiente y a la que va adquiriendo valores a partir de la otra se le llama variable dependiente. Cuando disponemos estas variables de forma vertical u horizontal, estamos construyendo una tabulación de valores. Las tablas nos darán las coordenadas o " +
la regla textual del lugar geométrico, construimos la forma analítica o matemática, la cual emplea nuestras conocidas x y y, con las que formamos una tabulación que " "
lugar geométrico que teníamos de forma textual. Esto también puede hacerse en sentido inverso. De manera general, se asignan valores a la variable x, que al sustituirlos en la ecuación nos dan los valores de y. Se deben tomar valores de x positivos y negativos siempre que sea posible, pues " " 4
analizar también si la ecuación admite ciertos valores o no; por ejemplo, la división entre cero no es posible y no se pueden sacar raíces cuadradas a valores negativos. Recuerda que la raíz cuadrada se representa por mientas que las raíces cúbica y cuarta se representan por: 3 , 4 respectivamente.
Por ejemplo, la ecuación y =
x
no admite los valores de x = 2 y x = –2, x −4 pues en esos valores se estará dividiendo entre cero. Otra ecuación con posibles 2
problemas es y = 9 − x 2 , donde se nota que para valores de x mayores a 3 o me \ " "
negativas, por lo que es imposible obtener su raíz cuadrada. Es importante tener cuidado cuando tomemos los valores de x en nuestras tabulaciones. Demos una serie de tres ejemplos para resaltar lo señalado: &*H " +
la ecuación y x2 + -
Recuerda que al obtener una raíz cuadrada de un valor positivo se obtienen dos soluciones, una positiva y una negativa. Ejemplo: 81 = ±9
28
En primer lugar aquí tenemos la parte matemática o analítica del lugar geomé " ñalados antes: intersecciones, simetrías y tabulación. 0 En el eje X, tomamos y = 0, de donde al sustituirla en la ecuación original se tendrá: 0 = x2 Despejando x se tiene que x \ " + tará al eje X en los puntos (3, 0) y (–3, 0).
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
En el eje Y, tomamos x = 0 de donde la ecuación original quedará de la forma: y=9–0=9 < " " w | Z " + & 2 En el eje X cambiamos la variable y con –y, que al sustituirla en la original se tendrá que (–y) = 9 –x2, o sea –y = 9 – x2. Al ser diferente a la original, se llega a la conclusión de que es simétrica al eje X. Para el eje Y, cambiamos x con –x. y = 9 – (–x)2 = 9 – x2 < + 2 es simétrica al eje Y. J
x por –x y también y por –y. –y = 9 – (–x)2 –y = 9 – x2 Esto indica que al ser diferente a la original concluimos que es simétrica al origen. > - Como la ecuación no tiene denominadores ni raíces cuadradas, entonces los valores de las variables x pueden ser negativos, cero o positivos, es decir, admite cualquier valor, razón por la cual no nos preocupamos por los valores a considerar. De forma general tomaremos valores negativos y positivos, y como ya sabemos que es simétrica al eje Y, entonces consideramos valores x, digamos –5 a 5, avanzando de unidad en unidad. Ahora, al sustituir cada valor de x en la ecuación original, se tendrá cada valor de su respectiva y, por ejemplo, para el valor x = –2 se tendrá y = 9 – (–2)2 = 9 – 4 = 5. Por lo tanto, la tabla quedará llena de la siguiente forma: X
10
G
y=9-x 2 5
C
D
0 0
-5
5
–5
–16
–4
–9
–3
0
–2
5
–1
8
0
9
1
8
2
5
3
0
4
–9
5
–16
J
" &" "
nuestro lugar geométrico.
-5 H
B
-10
A
-15
I
Figura 1.13
29
Matemáticas III &*Q Como habrás observado, existe cierta particularidad con las potencias de las variables y sus posibles intersecciones con los ejes. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, la ecuación fue y = 9 – x2 ! " "
que cortó al eje X en dos valores y su exponente de la variable x es también 2. En ese caso, el exponente de la variable y "
corta al eje Y en un solo valor. 4
2
0 -6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
Figura 1.14 Este lugar geométrico sólo corta al eje X aunque el exponente de Y es dos.
Siguiendo un argumento semejante, si una ecuación tiene la forma x2 – y2 – 16 = 0
ya que la potencia de ambas variables en la ecuación es dos, pero no es el caso. En + La cantidad de intersecciones puede ser menor a la potencia de la variable, por ello llegamos a la conclusión siguiente: Si la ecuación de un lugar geométrico tiene una potencia positiva en una variable, digamos x " " valores distintos al eje X, es decir, no necesariamente cortará una cantidad a dicho eje, ya que puede
<
y.
Actividad de aprendizaje 4 Reúnanse en binas y realicen en su libreta los siguientes ejercicios: 1. Para cada uno de los siguientes lugares geométricos, hallen la ecuación y den su interpretación geométrica: N Su ordenada es siempre igual al doble de su abscisa. >N La ordenada es siempre igual al triple de su abscisa incrementada en 5. N El cuadrado de su abscisa disminuida en 2 es siempre igual a su ordenada. N El cubo de su abscisa incrementada en 2 es siempre igual a su ordenada. N El cuadrado de la ordenada menos el cubo de la abscisa es igual a 7.
30
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
Síntesis Resuelve en tu libreta los siguientes problemas: 1. + presentado. -5
2
8
0
1
-2
-1
0
1
6
2
-5
4
-10
2
0 -2
-1
0
1
2
-1 0
-15
0
-2
-2 -20
2
-2
Figuras 1.15, 1.16 y 1.17
2. En equipos planteen y resuelvan el problema siguiente: Los automóviles pierden su valor con el paso de los años, de ahí que se haya creado una relación que determina el valor en pesos (y) de un automóvil al pasar de los años (x). La relación es y = 120 000 – 4 800x. N W%" [ >N 4 '
W + ' "
[ 3. A Pedro se le toma la temperatura durante su consulta médica y el doctor le pide a la enfermera que se le indique en grados Fahrenheit. Si la fórmula de conversión es ºF = 9/5 ºC + 32. N W@ " J \_ %[ >N W@ " % _ J[ 4. Una pelota es lanzada hacia arriba a una velocidad de 24 m/s, su altura en metros, al cabo de un tiempo, t, está dada por h(t)=24t – 5t2. ¿A los cuántos segun
" ]_ [ 5. Una manguera lanza el chorro de agua con una velocidad de 36 m/s. ¿A los cuántos segundos alcanza una altura de 63 metros, si su ecuación está dada por h(t) = 36t – 5t2[
31
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0 &%
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O
0
/
características de un sistema de coordenadas rectangulares.
/
dadas en conjuntos de parejas ordenadas presentadas en forma " +
situaciones reales. Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geométrico y viceversa. Distingue una expresión algebraica como un lugar geométrico.
32
8
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
1 %&
, & F
C
0 &%
&* * & &
P # &* O
8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.
0
8
Reconoce parejas de datos que pertenecen & "
lugares geométricos y las que corresponden a puntos de intersección. Z "
un lugar geométrico correspondiente a una expresión algebraica.
Observaciones:
Realimentación Ahora se presenta una serie de ejercicios y situaciones que te servirá para reforzar lo aprendido en este bloque. 1. Halla el valor de cada una de las variables en cada inciso. N (–4, 2) = (3z – 11, 2k) 5 2
>N (2, ) = ( x − 6 y , 4 − 2 y + x ) N (–4, 7y) = (x2 + 4x, 2y2 – 4) 2. Representa el polígono irregular y determina su área si las coordenadas de sus vértices son los puntos: A(–8, –6), B(–6, 6), C(0, –5), D(4, 0), E(3, 3) y F(3, –5). 3. < "
promedio al acudir a un cibercafé durante una semana. 28
30 24 25 19 20 15 15
12 8
10
6
5 0 Lun
Mar
Mier
Jue
Vier
Sab
Dom
Figura 1.18
% "
lo represente.
33
Matemáticas III 4. ? N Un triángulo equilátero de 6 cm de lado >N Un cuadrado de 5 cm de lado N Un hexágono regular (Puedes orientarte usando trigonometría). 5. Encuentra y representa el lugar geométrico de todos los puntos cuyas abscisas exceden a la ordenada en 2 unidades. 6. ! "
a los puntos A(–1, 2) y B(3, 3). 7. ! " +
siempre el doble de las abscisas. 8.
W" " +
" [ 9. ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las abscisas y las \[ 10. Para cada una de las siguientes ecuaciones determina el valor de la ordenada y del punto (x, y) que se determina según la tabla.
x
y
(xMy)
–3 –2
N 2x – 3y + 1 = 0 ++++++
–1
>N x2 + 2y - 1 = 0
0
N x + 2y2 – 1 = 0
1
N x2+y2–3 = 0
2
Evaluación de la competencia
3
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2
&* %
Se expresa 4. Escucha, y comunica. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
34
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
P #
8
Bloque I. Reconoces lugares geométricos
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0 &%
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O /
características de un sistema de coordenadas rectangulares.
0
8
/
sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas. /
conjuntos de parejas ordenadas & "
numérica de situaciones reales. Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geométrico y viceversa. Distingue una expresión algebraica como un lugar geométrico.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos + "
analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.
Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.
Aplica las características de los pares ordenados en situaciones "
" +
8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.
Reconoce las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados. Emplea las características de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados. Reconoce parejas de datos que & "
de lugares geométricos y las que corresponden a puntos de intersección. Z "
geométrico correspondiente a una expresión algebraica.
Observaciones:
35
Bloque II
Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos Desempeños del estudiante al concluir el bloque B / B Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. B Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.
Objetos de aprendizaje B Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos B Distancia entre dos puntos B Perímetro y área de polígonos B Punto de división de un segmento B Punto medio
Competencias genéricas y atributos 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, " "
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. ] / + tad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
36
B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
37
Matemáticas III Dinamización y motivación 0Realiza lo que se pide a continuación. 1. ¿Cuál es la distancia recorrida de un automóvil, si lleva una velocidad constante ~ ] [ 2. W%" " [ 3. ¿Cuál es el resultado de
144 [
4. Resuelve el siguiente binomio al cuadrado:
3 5 x− 2 4
2
5. W%" " " \ [ 6. Calcula el área del trángulo si sus tres dimensiones son 8.5 y 3 cm, respectivamente. 2 7. Resuelve (1 − 2) + 3 − ( − 4 )
2
8. Resuelve lo siguiente:
−3+
1 6 3
9. K ? w| w–6,0). 10. Halla el valor de X y de Y por determinantes del siguiente sistema: x − 2 y = 10 2x + 3 y = − 8
% & +
nivel de comprensión te encuentras en estos momentos de acuerdo con la tabla # 0&* ? & " " cación breve sin profundizar en las respuestas y argumentos, pues algunos de los conceptos tratados en estas preguntas se analizarán en este bloque y nos servirán Con base en tus resultados, socialicen sobre los alcances logrados, las fortalezas y debilidades que presentan, así como las estrategias que emplearán para mejorar su rendimiento y alcanzar un mejor nivel.
38
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Contextualización En una comunidad del estado de Yucatán, un padre de familia está ahorrando para construuir un pie de casa, el señor se percata de que se enfrenta a varios problemas; su hijo, que actualmente cursa el bachillerato, se percata de esta situación, en una plática, su mamá comenta que hay que tramitar el derecho de construcción ante las autoridades correspondientes. La situación económica no es muy buena, por lo que se toman la tarea de investigar costos del material que se requiere para su construcción. El joven llega a la escuela y comenta a sus amigos su problema un compañero le dice que sería bueno que ubicaran primero la zona de construcción, si la base será cuadrada o rectangular, qué altura tendrá, y el diseño del techo de la casa, es decir, que estudien la "
Figura 2.1
B W`+ [ B W`+ " " [ B W%" k ' [ B W`+ ' [ Expón la solución en plenaria.
Sesión A. Segmentos rectilíneos y distancia entre dos puntos Problematización Un hacendado desea fraccionar un terreno para su venta en lotes, para ello requiere conocer la longitud de cada uno de sus lados, así que contrata los servicios de un topógrafo, quien le ayuda a trasladar a un plano los vértices del terreno que servirán para determinar la distancia o longitud de cada uno de sus lados y, por lo tanto, del perímetro.
39 Figura 2.2
Matemáticas III Para llegar a tales conclusiones, el topógrafo emplea ciertos procedimientos matemáticos simples pero circulares, que le permiten indirectamente medir las longitudes, ángulos, elevación del terreno y su área. El topógrafo sólo ha colocado en un mapa los vértices del terreno dando origen al siguiente modelo: 5
4
3
2
1 1:10m 0 -3
-2
0
-1
1
-1
2
3
4
Figura 2.3
k
siguientes preguntas: B W%" [ B W%" " [ B W`+ ? [ B 4 W" "[ WZ +[
Desarrollo de criterios
Segmentos dirigidos En la asignatura de Física, el maestro te explicó que para que se puediera calcular la distancia recorrida de un automóvil, avión, tractor, bicicleta, motocicleta, etc étera; es de suma importancia considerar sus velocidades y el tiempo recorrido. Ésta, como otras situaciones, se ha solucionado calculando distancias que re "
? "
que si un derechohabiente requiere de una consulta médica urgente, depende de su + "
De esta forma analizamos el comportamiento de los segmentos rectilíneos presentados en diferentes casos, así como para distinguir cuando se hace dirigida o no dirigida.
40
Una línea recta es cuando consideramos su dirección o sentido; hacia un extremo es positiva y al opuesto negativa. Si sobre la recta marcamos dos puntos, digamos A y B, a la porción o parte comprendida entre los puntos se le llama & , si no consideramos su sentido le llamaremos & . Cuando en un segmento sólo nos interesa la distancia entre los puntos extremos sin importar su dirección, es decir, su longitud, estaremos hablando de su # >, que es el valor del propio número cuando es positivo y su simétrico cuando es negativo.
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Para reforzar estos hechos proponemos otra actividad integradora.
Actividad de aprendizaje 1 En forma individual y como actividad extraclase, investigua tres ejemplos de la vida cotidiana que involucren a los segmentos dirigidos. Si formalizamos las conclusiones y utilizamos la notación matemática, tendre @ ción horizontal, habría que realizar una operación de resta en sus abscisas, lo cual denotaremos como sigue: d = AB = AB = x 2 − x1 = x1 − x 2 0
A
(0,0)
El valor absoluto se representa con el símbolo | |. Indica que se debe pasar el número resultante a valor positivo. Ejemplo: |-5|=|5|=5.
B
(X1,0)
(X2,0)
Figura 2.4
En la práctica, para determinar la longitud de un segmento horizontal restaremos la abscisa del punto de la izquierda de la abscisa del punto de la derecha. Si el segmento está determinado por N y M, en posición vertical, la resta se " "
esta situación se describe así: d = NM = NM = y 2 − y1 = y1 − y 2 La distancia de un segmento vertical es la ordenada de arriba, menos la ordenada del punto de abajo.
Distancia entre dos puntos
y (0,y2)
Has calculado anteriormente longitudes de segmentos en su forma horizontal y vertical, pero al igual te percataste que existen otras posiciones del segmento (oblicuas o inclinadas) cuando se conocen sus puntos y se trazan en el plano cartesiano y hallaste su distancia, ¡vaya que fue un reto para solucionarlo! Ahora descubrirás cómo calcular la distancia cuando un segmento no es vertical ni horizontal, a esta distancia la llamaremos distancia entre dos puntos. Deducción:
N
(0,y1)
M
(0,0)
O
Figura 2.5 y
B(x2,y2)
y2
BC= y 2 - y 1
y1
A(x1,y1)
x1
C(x2, y1) AC= x2 - x1 x2
Figura 2.6
41
Matemáticas III Aplicando el teorema de Pitágoras, el cual señala que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de longitud de la hipotenusa, comúnmente conocido como c2=a2+b2, se obtiene: 2
(
) + (y 2
AB = x 2 − x1
Puede demostrar que: ( x1 − x 2 )2 = ( x 2 − x1 )2
(x
d = AB =
Donde resulta
2
− x1
2
− y1
)
) +(y
2
2
2
− y1
)
2
También es posible usar la fórmula: d = AB =
(x
1
− x2
) +(y 2
1
− y2
)
2
Donde se invierten los términos de las diferencias cuadráticas. Puedes demostrar que: 2
a − b = (a − b)
Por lo tanto, la fórmula para encontrar la distancia entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es: 2 2 d = x 2 − x1 + y 2 − y 1
(
) (
)
2
Consideremos algunos ejemplos de aplicación. &*D K + Zw] | `w |
+ - Z
P(–2, 1)=(x1, y1) y que Q(6, 7)=(x2, y2). y 8 7 Q(6,7) 6 5 4 3 2 1
P(-2,1)
0 -3
-2
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
Figura 2.7
-2
Se tendrá que:
42
( )
2
(
)
2
( )
2
(
)
2
( )
2
PQ =
⎡6 − −2 ⎤ + 7 − 1 ⎣ ⎦
PQ =
⎡6 − −2 ⎤ + 7 − 1 ⎣ ⎦ 2
PQ = ⎡⎣6 + 2⎤⎦ + 6 PQ = 64 + 36
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
PQ 100 PQ 10
&*E Calcula las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(1, 2), B(5, 4) %w\ _| " + - Consideremos a D(x, y) como el punto equidistante de A, B y C. De acuerdo con la condición tenemos que: DA DB DC
Igualando y usando la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene: DA DB
( x − 1) + ( y − 2) 2
2
=
( x − 5) + ( y − 4 ) 2
2
Elevando al cuadrado ambos lados:
( x − 1) + ( y − 2) = ( x − 5) + ( y − 4 ) 2
2
2
2
Efectuando operaciones: x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 8 y + 16
4 ? 1)
8x + 4y = 36
Por otra parte, igualamos y usamos la fórmula de distancia de nuevo y tendremos: DB DC
( x − 5) + ( y − 4 ) 2
2
=
( x − 3) + ( y − 8 ) 2
2
Elevando al cuadrado ambos lados:
( x − 5 ) + ( y − 4 ) = ( x − 3) + ( y − 8 ) 2
2
2
2
Efectuando operaciones: x 2 − 10 x + 25 + y 2 − 8 y + 16 = x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 16 y + 64
4 ? 2)
–4x + 8y = 32
De las ecuaciones (1) y (2) formamos un sistema como el siguiente: ⎧ 8 x + 4 y = 36 ⎪ ⎨ ⎪ −4 x + 8 y = 32 ⎩
43
Matemáticas III Resolviéndolo por cualquiera de los métodos conocidos, obtendremos que la solución será x = 2; y = 5. < " ? Y
10
9 C(3,5)
8 7 6
D(2,5)
5 4
B(5,4)
3 A(1,2)
2 1 0 -3
-2
-1
X 0 1
2
3
6
5
4
7
8
Figura 2.8
-1
&*F !
+ Jw] | Kw \| w ]| " !" " + - Primero ubiquemos los vértices del triángulo en el plano y posteriormente calculemos la longitud de los lados FG , GH y FH " Un triángulo es isósceles si dos de sus lados son iguales. y 5 4 G(1,3)
3 H(-6,2) 2 1 0 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
a
α 0
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 F(2,-4)
-4
Figura 2.9
-5
Longitud de FG FG =
44
(1 − 2 )
2
( )
+ ⎡3 − −4 ⎤ ⎣ ⎦
2
FG =
( −1) + (3 + 4 )
FG = 1 + 49
2
2
FG 50
FG = 12 + 72
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Longitud de HG GH =
( −6 − 1) + ( 2 − 3) 2
2
GH =
( −7 ) + ( −1) 2
2
GH =
49 + 1
GH 50
Como los lados FG y HG son iguales, entonces 2 es un triángulo isósceles.
Actividad de aprendizaje 2 Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la fórmula anterior: 1. % "
un plano rectangular: N (–7, 4), (1, –11) >N (–5, –10), (4, 5) N
1 2 4 3
1 1 , 2 3
N (–4, 6), (–2, –1) N
(3
) (
2,2 8 , −5 2, − 8
)
2. Comprueba que el punto A(5, 3) equidista de los puntos B(–1, 2) y C (6, –3). 3. Determina si los vértices F(2,–4), G(1,3) y H(–]| " "
K 4. Si la abscisa de un punto M es la mitad de su ordenada y su distancia al punto N (–1, 3) es de cinco unidades, halla las coordenadas de M (dos soluciones). 5. Demuestra que los puntos A(0, 4), B(3, –2), C(–2, 8) y D(5, –4) son colineales. 6. Un triángulo isósceles tiene por base el segmento que une los puntos M(6, 1) y w ]| 4 W"
[
Compruébalo "
Área de un polígono usando sus coordenadas Del triángulo anterior calculaste las distancias determinadas de un punto a otro punto y llegaste a la conclusión de que el cálculo de sus dimensiones representa al triángulo isósceles. Para determinar su área, conociendo los datos anteriores, utilizas la fórmula de Herón vista previamente en el semestre anterior, ahora se te presenta otro método para determinar el área usando sus coordenadas transfor" no. Se te presenta a continuación fórmula para determinar el área de un polígono dadas sus coordenadas. x 1 1 A x2 2 x3
y1 1 y2 1 y3 1
45
Matemáticas III Consulta bibliografía de matemáticas, sugerida por tu docente para ampliar tus conocimientos y aplicaciones de los determinantes.
Se consideran las coordenadas de los vértices de un triángulo isósceles F(2, -4),G(1,3) y H(-6,2) en sentido antihorario, obtenemos: A=
2 −4 1 1 1 1 2 1 3 1= ⎡ ⎣ (2)(3) + (1)(2) + (−6) (−4 ) − (2)(2) − (−6)(3) − (1) (−4 )⎤ ⎦= (50) = 25u 2 2 2 −6 2 1
Actividad de aprendizaje 3 Se te ofrece realizar los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. K "
+
los puntos: N A(2,4), B(3,–1) y C(–3,2). >N A(–4,4), B(1,7), C(4,5) y D(2,–2) N A(–3,6), B( 5,7), C(7,0), D(6,–3) y E(–4,4)
Síntesis Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. K ? N A(–2, 5), B(–1, –4) y C(3, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo e isósceles. >N A(–4, 3), B(10, 1), y C(–2, –3) son los vértices de un triángulo rectángulo. 2. Demuestra que el triángulo de vértices (10, 5), (3, 2) y (6, –5) es rectángulo y halla su área. 3. La Cooperativa Pesquera Mina de Oro, del puerto de Santa Clara, se dedica al buceo %
boyas y con la ayuda de un localizador GPS, las cuevas donde mayores capturas 4 ]
usando la distancia entre puntos, que éstos son colineales. 8 y
Santa Clara
7 6
C
5
B
4 3 2
A
1
x
0 0
46
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Figura 2.10
Discute en grupo tus conclusiones acerca de lo que obtuvieron.
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
4. En un mapa se encuentran localizadas las localidades P, H, M y B con sus respectivas coordenadas. M(0, 0), P(23.4, 12.4), M(–34.5, –3,5) y B (123.4, –24.6). Determina las distancias entre ellas y decide cuáles son las dos ciudades más cercanas entre sí, suponiendo que se puede viajar en línea recta de una a la otra. 5. Don Jesús tiene un terreno rectangular para la siembra de elotes y desea saber cuánto miden sus diagonales si los vértices del terreno son (–60, 40), (–60, –40), (60, 40), (60, –40). Calcula cuánto miden las diagonales del terreno de don Jesús . 6. Un ingeniero traza un plano para la construcción de un centro comercial en un terreno poligonal, si los vértices del terreno son (–5, 4), (5, 4), (11, –2), (–6, –2), calcula el área de construcción.
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
Aprende de forma autónoma.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
/
actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
47
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
00$* ** & 2 *2
&* * & &
P # &* O
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.
0 Analiza la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. Comprende la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. /
características de un segmento rectilíneo. Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento. Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Observaciones:
48
/
características de un segmento rectilíneo.
Representa segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.
8
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Sesión B. División de un segmento en una razón dada Problematización El derrotero de la ruta Chicxulub-Uaymitum es de 9 kilómetros, a lo largo de los cuales se quiere poner 6 paraderos. ¿En qué posiciones se deben ubicar para que se encuen [
Desarrollo de criterios En Geometría analítica compararemos segmentos. La idea básica es saber cuántas veces cabe un segmento en otro, pudiendo enfocarla de dos formas: una es comparar una parte del segmento con el resto y la otra, comparar una parte del segmento con el todo. Aunque las fórmulas resulten diferentes, según el planteamiento, el resultado k
la razón dada. Consideremos que P es un punto sobre un segmento que lo divide en dos. B P A
Figura 2.11
AP con respecto al segmento PB . Comparando sus longitudes por cociente obtenemos que: r
AP PB
- @ Z* Z
que el segmento es dirigido. K @wx1, y1) y B(x2, y2| AB , siendo P(x, y) el punto de división, con lo cual determinaremos las ecuaciones que permiten hallar las coordenadas del punto de división de un segmento. y
X 0
A
P
B
Figura 2.12
49
Matemáticas III Donde A’, P y B son las proyecciones de los puntos A, P y B sobre el eje X. Sabemos, por el teorema de Tales de Mileto, que varias rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en cualquier transversal que las corte, con lo cual tenemos que: AP A ′P′ r= = PB P ′B′ Siendo A′P′ = x − x1 y P′B′ = x 2 − x Si realizamos las sustituciones respectivas obtenemos que: r = AL resolver para x , la ecuación resulta:
(
x − x1 x2 − x
)
r x 2 − x = x − x1 Multiplicando la r rx 2 − rx = x − x1 , despejando la x:
(
x1 + rx 2 = x 1 + r
x1 + rx 2 = x + rx
Donde r ≠ −1
)
x=
x1 + rx 2
(1 + r )
Si proyectamos sobre el eje Y, al realizar los pasos anteriores obtenemos: y1 + ry 2
y=
(1 + r )
En resumen, para calcular las coordenadas del punto que divide a un segmento formado por los puntos P1(x1, y1 y P2(x2, y2), de acuerdo a una razón dada r, se emplean las ecuaciones: y + ry 2 x + rx 2 y= 1 x= 1 donde r ≠ −1 1+r 1+r
(
)
(
)
Un caso particular se da cuando las coordenadas a localizar corresponden al punto medio que divide a un segmento, lo cual sucede cuando la razón de división es igual a 1. x + rx 2 Con lo anterior tenemos que al sustituir en las relaciones x = 1 , 1+r y1 + ry 2 y considerando r 1 , obtenemos: y= 1+r x + (1) x 2 x= 1 1+1
(
(
)
(
y=
)
y1 + (1) y 2
(1 + 1 )
y + y2 y y= 1 son las ecuaciones 2 2 para determinar coordenadas del punto medio de un segmento con extremos P1(x1, y1 y P2(x2, y2).
S x =
50
)
x1 + x 2
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Para denotar la razón de un punto que divide a un segmento de recta, se utili2 a za la fracción o la notación a : b (que se lee a es b), por ejemplo 3 o 2 : 3. b También hay que considerar que un segmento proviene de una recta y que ésta se prolonga hacia sus extremos; por lo tanto, el punto que divide a un segmento +
tres condiciones si consideramos en todas ellas que r
AP
:
PB
1. P está antes que A, entonces r resulta # y mayor que –1, es decir, –1
Actividad de aprendizaje 4 Realiza los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. Determina las coordenadas del punto de división P(x,y), del segmento AB de acuerdo a la razón dada: 1 A(2,–6), B(–3, 9), r =− 2 > A(2,–1), B(5,–4), r=–2 A(1,2), B(9,8), r =−
3 5
2 5 2. Halla el punto medio de los siguientes segmentos: A(–2,3), B(3,–2), r =−
A(–5,–4), B(3,2) > C(6,2), D(–8,2) ⎛ 1 ⎞ E⎜− , 5⎟, F(5,7) ⎝ 2 ⎠ G(9,–5), H(4,–7) Para aclara el uso de las fórmulas, veamos los siguientes ejemplos: &*D Determina las coordenadas del punto P que dividen al segmento de recta cuyos extremos son A(–2, 6) y B(7, 3) en la relación o razón de ½ K probar tu respuesta.
51
Matemáticas III + - Aquí A(-2, 6) = (x1, y1); B(7, 3) = (x2, y2), por lo tanto, al sustituir en la fórmula se tendrá que:
x=
y=
x1 + rx 2
(1 + r )
y1 + ry 2
(1 + r )
⎛1⎞ 3 −2 + ⎜ ⎟ 7 −2 + 7 2⎠ ⎝ 2 = = 2 1 1 3 3 1+ 2 2 2 ⎛1⎞ 6 + ⎜ ⎟ 3 6 + 3 15 ⎝2⎠ = 2 2 15 5 = 1 3 3 3 1+ 2 2 2
Así obtenemos las coordenadas de P(1, 5), que dividen al segmento AB en la razón ½. < " ? 8
y
7 A(-2,6) 6 P(1,5) 5 4 B(7,3) 3 2 1 0 -3
-2
x 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
8
Figura 2.13
Observa que la cantidad de veces que podemos colocar un segmento de longitud AP dentro del segmento PB es igual a 2, por ello la razón ½. &*E Las coordenadas del punto P(–11,–7) dividen al segmento P 1P2 en la razón 3 . Sabiendo que las coordenadas de P2 son (9, 8), calcula las coordenadas de P1. 5 K + - Primero se sustituyen los valores de los puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P(x, y) conocidos, de lo cual tenemos: x=
52
x1 + rx 2
y=
(1 + r )
⎛ 3⎞ x1 + ⎜ − ⎟ 9 ⎝ 5⎠ −11 = ⎛ 3⎞ 1 + ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠
( )
y1 + ry 2
(1 + r )
⎛ 3⎞ y1 + ⎜ − ⎟ ( 8 ) ⎝ 5⎠ −7 = ⎛ 3⎞ 1 + ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
27 5 −11 = 3 1− 5
24 5 −7 = 3 1− 5
x1 −
−11 =
y1 −
27 5
x1 −
−7 =
2 5
24 5
2 5
⎛2⎞ 24 −7 ⎜ ⎟ = y1 − 5 ⎝5⎠
⎛2⎞ 27 −11 ⎜ ⎟ = x1 − 5 ⎝5⎠
x1 =
y1 −
27 22 − 5 5
y1 = −
y1
x1 1
−14 24 + 5 5
10 2 5
Entonces las coordenadas del punto P1 son (1, 2). < " ? 8 6 4 2
P (1,2) 1
a0 8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
5
4
6
-2 -4
Figura 2.14
-6
&*F Determina las coordenadas de los dos puntos que trisecan (dividen en tres partes iguales) al segmento M 1M2, cuyos extremos son M1(–5, –6) y M2w \| K
los puntos de trisección. + - Aunque no sea de forma explícita a las razones, si consideramos el concepto de razón y que el segmento se divide en porciones de igual longitud, es posible determinar las razones para cada punto. < @
]
M1
B
A Figura 2.15
M2
53
Matemáticas III M1 A
La razón para el punto A es r La razón para el punto B es r
AM2 M1B BM2
1 parte 1 2 partes 2
2 partes 2 1 parte
A partir de las razones procedemos a calcular las coordenadas. Para el punto A, r = 1/2: ⎛1⎞ −5 + ⎜ ⎟ (1 ) −5 + 1 − 9 x + rx 2 ⎝2⎠ 2 = 2 = − 9 = −3 x= 1 = = 1 3 3 3 1+r 1+ 2 2 2
(
)
⎛1⎞ −6 + ⎜ ⎟ ( 3) −6 + 3 − 9 y + ry 2 ⎝2⎠ 2 = 2 = − 9 = −3 y= 1 = = 1 3 3 3 1+r 1+ 2 2 2
(
)
(
Por lo tanto, las coordenadas del punto A son: −3, − 3
)
Para el punto B, r = 2: x=
y=
x1 + rx 2
(1 + r )
y1 + ry 2
(1 + r )
=
=
( )( ) = −5 + 2 = −3 = −1
−5 + 2 1 1+2
3
( )( )
−6 + 2 3 1+2
=
3
−6 + 6 −0 = =0 3 3
De lo cual se obtiene que las coordenadas para el punto B son (–1, 0), por lo que los puntos se marcan en el plano de la siguiente forma: y
3
M2 (1,3)
2 1
B(-1,0) -7
-6
-5
-4
-3
-2
x
0 0
-1
1
2
3
4
-1 -2
A(-3,-3)
-3 -4 -5 -6
M1(-5,-6)
54
-7
Figura 2.17
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
&*H Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,–6), B(5, 4) y C(–3, 2). Grafícalos en un plano rectangular y determina las coordenadas de los puntos medios de cada lado. + - Usemos ahora la fórmula de punto medio. Para el lado AB donde las coordenadas son A 2, − 6 y B 5, 4 tenemos que:
(
x= y=
)
x1 + x 2 2 y1 + y 2 2
(
)
2+5 7 2 2
= =
−6 + 4 −2 = = −1 2 2 ⎛7 ⎝2
⎞
Las coordenadas del punto medio son PAB ⎜ , − 1⎟ ⎠
(
)
(
)
(
)
)
(
Para el lado BC donde las coordenadas B 5, 4 y C −3, 2 tenemos: x= y=
x1 + x 2 2 y1 + y 2 2
=
( ) = 5−3 2 1
5 + −3 2
=
2
2
4+2 6 3 2 2
Las coordenadas del punto medio son: PBC 1, 3 .
(
)
Para el lado AC donde las coordenadas son A 2, − 6 y C −3, 2 se tiene: x + x 2 2 + −3 2−3 1 = x= 1 = =− 2 2 2 2
( )
y=
y1 + y 2 2
=
−6 + 2 −4 = = −2 2 2
⎛ 1 ⎞ Las coordenadas del punto medio son PAC ⎜ − 2 , − 2 ⎟ . ⎝ ⎠
Los puntos ubicados en el plano quedan así: y B(5,4)
4
PBC (1,3) 3 C(-3,2) 2 1 0 -5
-4
-3
-2
X 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
PAB (3,5,-1)
-1
PAC (-0,5,-2) -2 0 -3 -4
55
-5 -6
A(2,-6)
Figura 2.18
Matemáticas III
Actividad de aprendizaje 5 1. Los puntos A ( 2, 3) , B (1, 6 ) y C ( 4 , 5 ) " punbh tos medios y determina su área usando la fórmula A . 2 2. Halla los puntos de trisección y el punto medio del segmento, cuyos extremos son los puntos A(–2, 3) y B(6,–3). 3. Sabiendo que el punto P(9, 2) divide al segmento que determina los puntos A(6, 8) y B(x2, y2) la relación r=3/7 , halla las coordenadas de B.
5 4. El punto medio entre los puntos R y S es M(5,− ) . Si las coordenadas de R son 2 R(2,–7), halla las coordenadas de S. 5. Si un segmento empieza en A(4,–1) y termina en B(–2, 6), ¿hasta qué punto se [
Síntesis 1. Los vértices de un triángulo son A(–1, 3), B(–5, 5), C(–8,–1). Si D es el punto medio del lado BC, demuestra que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 2. Los puntos externos de un segmento son C(0, 3) y D(7, 4). Calcula el punto P(x,y) 2 que divide a este segmento en r =− 7. 3. Alexander se encuentra ubicado en un punto medio entre sus dos primas. Si las coordenas del punto medio de Alexander es M(–2,–1) y una de sus primas tiene como coordenadas P(2,3). Halla el valor de las coordenadas del punto Q a la que se encuentra su otra prima. 4. El último mensaje que se tuvo de un camión de pasajeros con el que se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 150 km de la terminal de partida y a 250 km de la terminal donde debería llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde se envió la señal, si el camión se desplaza en línea recta y las termi ^ !w]]| w_\| [ 5. Don Enrique siembra en su parcela chile habanero; debe sembrar seis matas de chile por cada surco, las cuales deben estar separadas por distancias iguales. Los extremos de uno de los surcos son (A–4,3) y B(9,–4). Halla los puntos donde debe colocar las 6 matas de chile.
56
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2
&* %
$ >
Se expresa 4. Escucha, y comunica. interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
Aprende de forma autónoma.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
57
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
00$* ** & 2 *2
&* * & &
P # &* O
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.
0 Analiza la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. Comprende la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. /
características de un segmento rectilíneo. Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento. Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Observaciones:
58
/
características de un segmento rectilíneo.
Representa segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.
8
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
Realimentación A continuación se presenta una miscelánea de ejercicios relacionados con los temas * %&
portafolio de evidencias con tus resultados, cuyo valor fecha de entrega serán asignados, en su momento, por el facilitador. 1. Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos: N A(–2,3); B(5,1) >N P(0,2); Q(–3,–3) N R(9,1); S(2,–5) N D(a,2a+1); E(2a,1–a) 2. Determina el lugar geométrico, sobre el plano, de todos los puntos que equidistan ? N A(0,0); B(5,7) >N P(2,3); Q(1,5) 3. Los extremos de un segmento están dados por los puntos A(1,1) y B(3,y+1). ¿Cuál debe ser el valor de y para que la longitud del segmento AB sea [
4. Encuentra el perímetro y área del siguiente triángulo: P
2
Q
1
0 -3
-2
0
-1
1
2
-1
-2
Figura 2.19
R
5. @ @ % "
que se forma: C
3
A
2
1
0 -3
-2
-1
0
1
2
B
Figura 2.20
59
Matemáticas III 6. Encuentra el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia al punto A(–1,2) es siempre 5 unidades. 7. J K ? A
4
3 F 2
1 G
0 -4
-3
-1
0
1
2
3
4 B
-1
5
-2
Figura 2.21
-3
8. Dos puntos del lugar geométrico 3x - y + 2 = 0 tienen por abscisas x = 2 y x= – 1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que se obtiene con dichos puntos. 9. Encuentra la longitud del segmento ED ? A
4 D es punto medio de AB 3 2 D
1 0 -4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
-1 -2 E
B
-3
Figura 2.22
10. Z"
nan los vértices de triángulos rectángulo o no. N (2,3); (3,4); (7,0) >N (–3,2); (3,1); (4,7) N (–2,–3); (5, 0); (1,7) 11. En cada pareja de puntos siguiente, determina las coordenadas del punto P( x , y ) que divide al segmento AB en la razón dada. N A(0,0); B(7,0); r =
3 4
>N A(–3,2); B(2,4); r =
60
1 4
N A(–4,–2); B(–2,6); r = 4
Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
12. Determina la razón por la cual el punto G(5,1) divide al segmento AB de coordenadas A(–4, –5) y B(8,3). 13. Demuestra si las siguientes tercias de puntos son colineales: N P(–2,3); Q(4,5); R(6,6) >N P(–2,3); Q(4,5); R(2,4) N P(6,6); Q(4,5); R(2,4) 14. Determina el área y perímetro de los triángulos ABC, ABE y BCE según la si ? 4
E 3 I
B
2
D
1 0 -1
C
-2
A
Figura 2.24 -3
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
61
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
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&* * & &
P # &* O
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.
0 Analiza la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. Comprende la noción de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el cálculo de perímetros y áreas de polígonos en situaciones reales. /
de un segmento rectilíneo. Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento. Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilíneo.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Observaciones:
62
/
características de un segmento rectilíneo.
Representa segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.
8
63
Bloque III
Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Desempeños del estudiante al concluir el bloque B Reconoce la recta como lugar geométrico. B Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. B Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios
Objetos de aprendizaje B Línea recta B !
B Pendiente y ángulo de inclinación de una recta B Ángulo formado por dos rectas B Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Competencias genéricas y atributos B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, ma" " B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones B Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. B / +
&
obstáculos.
64
Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. B Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéri "
temático y el uso de la tecnología de wla información y la comunicación B / " "
65
Matemáticas III Dinamización y motivación Resuelve los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias: 1. Calcula el valor de las siguientes funciones trigonométricas sin utilizar calculadora tan 45o=
> tan 60o=
2. Si la tan =–1, hallar el valor del angulo
2 3 – 5 4 3. ¿Cuál es el valor de
[ 7 5
4. Dada las siguientes formulas, hallar lo que se indica h = v0t +
> h=
gt2 , despejar g 7
vf + v0 2
t, despejar vf
0&* : tu profesor sólo examinará tus soluciones y dará, de forma " + "
respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán a lo largo de "
66
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Contextualización Gabriela y Ligia fueron de excursión al cerro de la Ermita de Tekax, Yucatán. Al subir, Gabriela le comentó a su compañera que les costó trabajo llegar a la cima. Si la pendiente, es aproximadamente de 25% y la altura del cerro es de 80 m, ¿cuántos metros [ W%" " [ W%"
+[
Sesión A. Pendiente de una recta Problematización La máxima inclinación recomendada para una autopista es de 12%. ¿Cuántos metros horizontales tomará a la autopista Mérida – Cancún, con una inclinación máxima para ]]_ [
Desarrollo de criterios
Inclinación de la recta " k %
idea comenzaremos el estudio formal de conceptos que te ayudarán a entender las características de las rectas y sus elementos para describir su lugar geométrico. Ade" " " + "
inclinación y pendiente. Ahora imaginemos lo que sucede con un volquete al descargar la carga que contiene su caja. Conforme va cambiando el ángulo de inclinación, también lo hacela posición de la caja. De manera análoga sucede con las rectas; la posición de una recta depende del ángulo de inclinación que tenga.
Figura 3.1
El -es el que se forma con el eje X del plano cartesiano y la recta girando en sentido contrario a las manecillas del reloj.
67
Matemáticas III Observa los siguientes ejemplos de ángulos de inclinación, en los que puedes notar que éstos se comprenden entre 0° hasta 180°:
1
B α= 45º
0 0
-1
2
1
3
4
-1
1 135º α= B
0 -1
0
2
1
3
-1
Figuras 3.2 y 3.3
Pendiente de la recta Normalmente cuando trabajamos con rectas se emplea el concepto matemático de pendiente, más que su ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación se utiliza para calcular el valor de la pendiente. La* es la razón de cambio entre dos puntos cualesquiera de la recta.
E 5
4
y B β= 45º
3
x 2
y A
1
α= 45º
x
0 -1
68
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 3.4
@ si conocemos el ángulo de inclinación de la recta y trazamos rectas paralelas al eje X que pasen por dos puntos
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
cualesquiera, el ángulo correspondiente que se forma no cambia y forma triángulos rectángulos, entonces la razón de cambio y/x está dada por la función trigonométrica tangente. Podemos expresar la fórmula para la pendiente en términos del ángulo de inclinación como m Tan . Donde & es la * y T es el -. Gracias a la trigonometría, sabemos que la tangente de un ángulo agudo w ¦ § ¦ ¨| " w¨ ¦ § ¦ _¨| ©
unos ejemplos para comprender mejor esto.
Se puede usar otra variable para representar el ángulo de inclinación; por ? ª
fórmula será m = Tanβ .
&*D Si conocemos el ángulo de inclinación de la recta, entonces sólo es necesa &
correspondientes ángulos de inclinación, además de cómo calcular la pendiente a partir de ésta.
1 1
B 0 -1
α = 45º 0
2
1
α= B
0 3
-1
4
0
1
2
135º 3
x
-1
-1
Figura 3.6
Figura 3.5
m Tan
m Tan
m Tan 45
m = Tan135°
m 1
m = −1
2
1
0 -2
-1
0
1
2
Figura 3.7
Para cualquier recta horizontal paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero ( = 0°) y si lo sustituimos en la fórmula obtenemos: m = Tan0° = 0
69
Matemáticas III Para toda recta horizontal, su pendiente vale cero, es decir, m 0.
2
1
0 1
0
-1
Figura 3.8
-1
Ahora analicemos qué pasa con las rectas cuyo ángulo de inclinación es = 90°; por la trigonometría sabemos que la Tan " Entonces no podemos calcular la pendiente de rectas verticales, cuya ecuación se describe con la forma x k , donde k es un número real. Para este ejemplo, la ecuación de la recta sería x 1 . &*E Si la pendiente de una recta es m 3 , ¿cuál es el ángulo de inclinación de la [ " w\]| + - Tenemos la fórmula m Tan . Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que: Tan 3
Al aplicar la función inversa de la tangente nos queda: = Tan−1 3
= 60° Entonces el ángulo de inclinación de la recta con pendiente igual a J " 2
(3,2)
1
60º β
0 0
1
2
3
Figura 3.9
70
3 es 60°.
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
&*F Si la pendiente de una recta es m = − 3 , ¿cuál es el ángulo de inclinación de [ + - Si comparamos este ejemplo con el anterior, podríamos pensar que se trata del mismo pero en realidad son diferentes, ya que la pendiente es negativa. Recordemos que una pendiente negativa le corresponde a una recta con un ángulo de inclinación obtuso. Tenemos la fórmula m Tan
Recuerda que un ángulo negativo nos indica que está girando en el mismo sentido a las manecillas del reloj, entonces lo que podemos hacer es sumar 180º al ángulo.
Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que: Tan = − 3
Al aplicar la función inversa de la tangente nos queda: = Tan−1 − 3
De donde: 180º + (–60º) = 180º - 60º = 120º Así que el ángulo de inclinación de la recta con pendiente igual a 3 es 150°. Cuando conocemos las coordenadas de dos puntos que están en la recta, entonces podemos expresar a la pendiente de otra forma. B 4
3
2 A 1
45º
0 0
2
1
3
4
5
6
Figura 3.10
-1
Recordemos que la pendiente es la razón de cambio entre los puntos. (x2, y2)
(y2 – y1) (x1, y1)
(x2 – x1)
(y2, y1) Figura 3.11
71
Matemáticas III m Tan y − y1 Tan = 2 , entonces : x 2 − x1 y − y1 m= 2 x 2 − x1 Esta fórmula se conoce como * *. Apliquémosla en los siguientes ejemplos: &*H Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (–2, 3) y B (2, 1). + - Tomamos el punto A como x2, y2 y el punto B como x1, y1, entonces, al sustituir en la fórmula: m=
y 2 − y1 x 2 − x1
Queda de la siguiente manera: m=
3 −1 2 1 = =− −2 − 2 −4 2
Si tomamos los puntos al revés, que A sea x1, y1 y B, sea x2, y2, al sustituir en la fórmula nos quedaría: m=
1−3 −2 1 = =− 2 − ( −2) 4 2
Si observamos de las dos formas nos da el mismo resultado, entonces no importa cual es (x1, y1) o (x2, y2) al momento de tomar los puntos para sustituir en la fórmula. 4 como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma pendiente y pasan por un punto dado.
Actividad de aprendizaje 1 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Halla la pendiente de la recta (sin utilizar calculadora) cuyo ángulo de inclinación es: ª = 1500 > = 900
72
= 1800
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
2. " "
inclinación, utiliza un transportador para ayudarte y recuerda que el ángulo de inclinación se mide con respecto al eje x: =450 , (1,2) > = 1250, (1,–1) = 00, (1,2) 3. El ángulo de inclinación de una recta L es = 1160 34' y un punto de ella es R = (–4,–2). Hallar el punto donde corta al eje Y.
4. Calcula el valor de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (2,3), (–1,7) > ( –1,–2), (3,–4)
1 1 1 1 , , , 2 3 4 5
5. Utilizando pendientes, prueba que los puntos A (–4,–2), B (–1,1) y C (3,5), son colineales. 1 6. Una recta de pendiente pasa por el punto (1,5). La abscisa del otro punto por 2 donde pasa la recta es –4. Halla su ordenada.
7. Si la pendiente de una recta L es 3 y un punto de ella es M(2,–5). Halla el punto N de L que tiene como abscisa 4.
8. Una recta de pendiente 1 pasa por el punto (2,1) y por los puntos A y B . Si la ordenada de A es –3 y la abscisa de B es 4, ¿cuál es la abscisa de A y cuál es la [
Síntesis Aplica lo aprendido en los siguientes ejercicios los conceptos vistos: 1. Los gastos por exportación de energéticos que tiene un país en millones de pesos, entre 2010 y 2014, están expresados en la tabla siguiente: Año Millones de pesos
2010
2011
2012
2013
2014
85
115
145
175
205
" ' portación. > Cuál es el ángulo de inclinación para el comportamiento de los gastos por exportación de petróleo en el lapso 2010-2014. Supongamos que el gasto se mantiene lineal, ¿cuál será el gasto para el ' ][
73
Matemáticas III 2. El peso promedio que tienen los cerdos de una granja del interior del estado de Yucatán a un mes de nacido es 12 kg y ocho meses después, 72 kg. Supongamos que el peso guarda una relación lineal con la edad en meses: W%"
[ > W%" " [ % " 3. Alexandra compra una computadora por $6 500. Supongamos que la computadora tiene una depreciación anual de $700 para los primeros 5 años. Encuentra la tasa de depreciación que tiene dicho equipo durante los primeros cinco años. 4. El ingeniero Jesús estima que una máquina para asfaltar carreteras se deprecia de manera constante en la razón de $18 000 por año. Si el valor de desecho de dicha maquinaria está contemplado en $12 000, al cabo de veinte años, ¿cuál fue
[ 5. Supón que has estado viajando en auto de Mérida a la ciudad de Cancún. Después de 2 horas de partir de Mérida has recorrido 80 km y después de 4 horas has recorrido en total 220 km. Determina cuál es la velocidad que has mantenido de las 2 hasta las 4 horas de viaje.
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
74
P #
8
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
000$* & & &%
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas y ejercicios.
0
8
Establece la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación que forma con el eje X. Obtiene el ángulo de inclinación de recta con respecto al eje X a partir de su pendiente y viceversa. Determina la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos. Utiliza la noción de pendiente en la solución de problemas reales.
8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Reconoce la recta como lugar geométrico.
Reconoce la relación que hay entre el ángulo de inclinación y la pendiente. Analiza las características de la pendiente para rectas con diferentes ángulos de inclinación. Comprende el
pendiente de una recta.
Observaciones:
75
Matemáticas III
Sesión B. Rectas paralelas y perpendiculares Problematización A nuestro alrededor podemos observar la aplicación de las rectas paralelas y perpendiculares; por ejemplo, las cuerdas de una guitarra o los postes de una palapa son paralelos entre sí; un muro es perpendicular al suelo, etcétera. Comenta con tus compañeros y sugiere otras situaciones en las que se observe paralelismo y perpendicularidad entre ellos.
Desarrollo de criterios
Propiedades de las rectas Las rectas *
ni se cortan. Las rectas * * son las que se cortan formando ángulos de 90º entre sí. 2
2
1 1
0 0
1
0
2
1
0
-1
3
2
-1
Figura 3.12. Rectas paralelas y rectas perpendiculares.
En las rectas paralelas se cumple que las pendientes son iguales, mientras que en las rectas perpendiculares son recíprocas y con signo contrario. 2
2
m1 1
1
m2
0
0 0
0 1
2
3
Se cumple que -1
76
m2
m1
-1
m 1 = m2
Figuras 3.13 y 3.14
1
2
Se cumple que: m1=o bien: m1∙ m2 = -1
3
1 m2
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
&*D Determina si las rectas formadas por los siguientes puntos son paralelas o perpendiculares: N A(–2, 4), B(2, 1) y C(–2, 3), D(2, 0) + - Como queremos comprobar si las rectas son paralelas, basta ver si sus pendientes son iguales. Al aplicar la fórmula para calcular la pendiente: y − y1 , sustituyendo los valores de los puntos A y B. m= 2 x 2 − x1 4 −1 3 3 = =− −2 − 2 −4 4 Al sustituir los valores de los puntos C y D. 3−0 3 3 mCD = = =− −2 − 2 −4 4 Podemos ver que las dos pendientes son iguales, entonces se cumple la propiedad del paralelismo mAB = mCD @ mAB =
>N A(–2,4), B(2,1) y C(2,4), (–1,0) + - Al aplicar la fórmula para calcular la pendiente: y − y1 m= 2 x 2 − x1 Al sustituir los valores de los puntos A y B. 4 −1 3 3 mAB = = =− −2 − 2 −4 4 Al sustituir los valores de los puntos C y D. 4−0 4 = 2 −1 3 Podemos ver que las dos pendientes son recíprocas y con signo contrario, entonces se cumple la propiedad de la perpendicularidad: mCD =
mAB ® mCD = –1 &*2
D=(-15 5)
Demuestra que A(–2,3), B(2,1), C(3,3) y D(–1,5) son los vértices de un rectángulo. + -
c
d
4
A=(-2,3)
3
{ \
un rectángulo tiene los lados opuestos paralelos y los consecutivos perpendiculares.
C=(3,3)
2 b
a
B=(2,1)
1
0 -3
-2
-1
Figura 3.15
0
1
2
3
4
77
Matemáticas III Para demostrar que es un rectángulo trabajaremos con las pendientes. Será un rectángulo si el producto de las pendientes de dos lados consecutivos es igual a –1. mAB =
3 −1 2 1 = =− −2 − 2 −4 2
mDA =
mDC =
5−3 2 = =2 −1 + 2 1
5−3 2 1 = =− −1 − 3 −4 2
mCB =
3−1 2 = =2 3−2 1
Al multiplicar las pendientes de los lados consecutivos AB y AD; CB y DC, tenemos: ⎛ 1⎞ mDC >mDA = ⎜ − ⎟ ( 2 ) = −1 ⎝ 2⎠
⎛ 1⎞ mAB >mBC = ⎜ − ⎟ ( 2 ) = −1 ⎝ 2⎠
Así que los puntos sí son los vértices de un rectángulo.
Ángulos entre dos rectas Consideremos dos rectas l1 y l2 no paralelas con ángulos de inclinación y , respectivamente, ? y 6 5
l2
l1
4 3 2
f(x)=-0.6x+2
γ
f(x)=0.7x+1
1
-3
-2
x
β
α -4
-1
1
2
3
4
5
-1 -2
Figura 3.16
Las rectas se cortan, ya que no son paralelas por tanto determinan dos ángu
"
encontrar el valor del otro. Nombremos al ángulo determinado por las rectas l1 y l2, como
podemos ver que =+(ya que es ángulo exterior de un triángulo con ángulos interiores opuestos dados por y ), de modo que - y por tanto se tiene la relación: tanγ = tan(β -α )=
tanβ - tanα 1 tanα tanβ
Es decir, el ángulo entre las rectas y, con lado inicial, cumple la relación:
78
tan =
m2 − m1 1 + m1 m2
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Donde m1 y m2 son las pendientes de l1 y l2 , respectivamente. Z "
de problema, ya que de darse tal situación sabemos que se trata de dos rectas perpendiculares y por tanto, el ángulo entre éstas es recto. Además, al ser un ángulo positivo y menor de 180°, es decir, podemos ver la expresión obtenida al despejar: ⎛ m − m1 ⎞ = tan−1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 1 + m1 m2 ⎠ Lo anterior determina de manera única su valor. &* Determina el tipo de triángulo determinado por las rectas 4x+3y-31=0, y-1=0 y 4x-3y-1=0, así como la medida de su menor ángulo interior. + - Nombremos a las rectas 4x+3y-31=0, y-1=0, 4x-3y-1=0 por l1, l2 y l3 respectivamente. De las ecuaciones de l1, l2 y l3 obtenemos sus pendientes, las cuales son m1=-4/3, m2=4/3 y m3=4/3, respectivamente. @ +
ángulo es el que estamos estimando, pero lo haremos de otra manera para aprovechar el hecho de que conocemos las pendientes: primero recordemos que si una recta tiene pendiente cero se trata de una recta horizontal; si la recta tiene pendiente positiva entonces la recta tiene una inclinación hacia la derecha y mientras más grande es el valor de su pendiente, más se aproxima a una recta vertical.Por último, si la recta tiene una pendiente negativa entonces tiene una inclinación hacia la izquierda y mientras más negativa se aproxima más a una recta vertical. Estas obser +
" " & Así podemos ver que: tan =
tan =
tan =
m3 − m2 1 + m3 m2 m2 − m1 1 + m1 m2
m1 − m3 1 + m1 m3
=
4 3
=
4 3
=
24 7
De las dos primeras ecuaciones podemos concluir que , por tanto, el triángulo es isósceles. Concluye el ejemplo determinando la medida del menor ángulo interior.
79
Matemáticas III
Actividad de aprendizaje 2 Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 1. Para las rectas R1 y R2 que pasan por los siguientes puntos, determina si las pendientes son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. R1 (–4,5) y (–5,1), R2 (4,3) y (3,–1) > R1 (–2,3) y (4,0), R2 (3,3) y (1,–1) 2. Demuestra que los puntos (–3,–5), (–2,2) y (5,1) son los vértices de un triángulo rectángulo. 3. Si tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos (–3,1), (2,1) y (3, 4). Si la abscisa del cuarto vértice es –2, halla su ordenada 4. Los puntos (–2,–2), (2,2) y (6,–2) son vértices de un triángulo isósceles. Hallar uno de los ángulos iguales. 5. Demuestra que los puntos A (–3,2), B (2,3), C (4,5) y D (–1,4) son los vértices de un " " 6. Si dos rectas se cortan y forman un ángulo de 135°, sabiendo que la recta inicial 1 tiene una pendiente de
2
Síntesis Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta: 0 Un camión de la compañía Sureste se desplaza en línea recta y sus terminales de partida y llegada se ubican en D (–2,2) y E (8,3). Otro camión de la compañía Noreste tiene el mismo desplazamiento lineal y sus terminales de partida y llegada se ubican en A (–2,2) y B (8,–1) respectivamente. Determina si las trayectorias de los dos camiones son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas. 00 Don Omar tiene un terreno rectangular para la siembra de cítricos, si los vértices del terreno son (–60,40), (–60,–40), (60,40), (60,–40). Realiza lo siguiente: Calcula la pendiente de los extremos consecutivos del terreno de don Omar. > Determina si los dos extremos consecutivos del terreno son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas. 000 Un arquitecto realiza un plano para la construcción de una unidad deportiva en un terreno que tiene forma poligonal, si los vértices del terreno son A (–5,4), B (5,4), C (11,–2), D (–6,–2). Calcula el ángulo interior formado por los extremos de los segmentos AB y AD.
80
0I En el aeropuerto de la ciudad de Mérida, Yucatán la torre de control registra la posición de un avión en el punto P (–2,5), suponiendo que mantiene esa trayectoria pasará por Q (6,–3).Inmediatamente la torre de control detecta otro avión en R (–5,–6) y se estima que en 15 minutos, a la misma altitud, encontrará en ángulo recto la trayectoria del primer avión. Calcula la pendiente de ambas trayectorias.
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
I Un ingeniero representó un terreno en el plano cartesiano, como se ve en la \ ' %
tus conocimientos adquiridos hasta ahora, ayúdale a demostrarlo y calcula el área del terreno. C=(2,2)
2 c D=(-3,1)
1 b 0
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
d B=(3,-1)
-1
A=(-2,-2) -2
a
Figura 3.17
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
81
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
000$* & & &%
&* * & &
0
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.
Reconoce las características de las rectas paralelas y perpendiculares.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.
Determina si existe paralelismo y perpendicularidad entre dos o más rectas a partir de sus pendientes.
Observaciones:
82
P # &* O
Caracteriza las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.
Utiliza pendientes para demostrar paralelismo y perpendicularidad
geométricas.
8
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Sesión C. La recta como lugar geométrico Problematización Supongamos que eres un vendedor de discos y tus ventas se presentan en la "?
Ganancias de las ventas 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 10
20
30
40
50
Figura 3.18 Ganancias obtenidas por cantidad de discos vendidos.
1. Genera una tabla de correspondencia entre las ventas y las ganancias. 2. W%" +[ 3. W " ]\
[ W%
[ En grupos de cuatro integrantes, resuelvan la problemática, comenten los resultados al grupo y, formulen conclusiones.
Desarrollo de criterios
Ecuación de la recta punto–pendiente La expresión algebraica que representa a una recta está dada por un punto por donde w| @
geométrico de todos los puntos que tienen la misma pendiente. Entonces si conocemos un punto (x1,y1), tomamos un punto cualquiera sobre la recta (x,y), y sustituimos en la fórmula de la pendiente dados dos puntos, obtenemos:
m=
y − y1 x − x1
Al despejar el denominador, nos queda de la siguiente forma:
m( x − x1 ) = y − y1
83
Matemáticas III Al aplicar la propiedad simétrica:
y − y1 = m( x − x1 ) A esta ecuación se le conoce como ecuación de la recta punto–pendiente. &*D Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,2) y tiene un ángulo de inclinación de 45º. Para poder aplicar la ecuación punto–pendiente, primero tenemos que encontrar el valor de la pendiente dado el ángulo de inclinación de 45º. + - En la sesión A aplicamos la fórmula m = tanα . Por lo cual, m = tan45º y así tendremos que m 1. Ya que conocemos el valor de la pendiente, sustituimos en la ecuación de la recta punto-pendiente: y − y1 = m( x − x1 )
Donde m=1, x1 = 3, y1 = 2. Sustituimos: y − 2 = 1( x − 3) , multiplicando: y −2 = x −3 @ + " ? y −2− x +3 = 0 Al sumar los términos semejantes para obtener la ecuación: x − y −1 = 0 Esta es la ecuación, en forma general, de la recta que pasa por (3,2) y tiene un ángulo de inclinación de 45º. Ordena la ecuación de manera que el signo de la variable x sea positivo. &*E Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,–1) y tiene una pendiente igual a 3/2. + - Para este ejemplo, como ya conocemos el valor de la pendiente, no es necesario calcularlo, sólo hay que sustituir en la ecuación punto–pendiente. Al sustituir en la ecuación: y − ( −1) =
84
3 ( x − 2) 2
(
Al quitar el denominador de la pendiente: 2( y + 1) = 3 x − 2
)
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Al efectuar las multiplicaciones: 2 y + 2 = 3 x − 6 Si dejamos los términos en un mismo lado de la igualdad: 2 y + 2 − 3x + 6 = 0 Al sumar los términos semejantes: 2 y − 3x + 8 = 0 La ecuación de la recta que buscamos es 3 x − 2 y − 8 = 0. &*F Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1,2) y B(3,1). + - Para este ejemplo tenemos que calcular la pendiente dados dos puntos. m=
y 2 − y1 x 2 − x1
Al sustituir los valores de los puntos A y B, sean x1=–1, y1=2, x2=3 y y2=1. 1−2 −1 1 = =− 3 − ( −1) 4 4 Al tener el valor de la pendiente, podemos calcular la ecuación de la recta, para ello escogemos un punto de los dos que tenemos para sustituir en la ecuación, no importa cuál se elija, la ecuación será la misma. m=
Donde m = –¼, al trabajar con el punto (–1,2), x1 = –1, y1 = 2 Al sustituir en la ecuación: 1 ( x − (−1)) 4 Al quitar el denominador de la pendiente: y −2 = −
(
)
(
4 y − 2 = −1 x + 1
)
@ & "
la recta que buscamos es x+4y-7=0.
Ecuación de la recta pendiente–ordenada al origen Ya sabemos que para encontrar la ecuación de una recta necesitamos un punto por donde pase y su pendiente. Un caso particular es cuando el punto conocido tiene la forma (0,b). Donde b es la ordenada al origen. Si sustituimos este punto en la ecuación punto–pendiente obtenemos:
( ) y − b = m ( x − 0)
y − y 1 = m x − x1 y − b = mx
85
Matemáticas III Al despejar la variable y: y = mx + b La ecuación anterior se conoce como ecuación de la recta pendiente–ordenada al origen. Cuando conocemos la intersección de una recta con el eje y junto con su pendiente, podemos expresar su ecuación con base en estos dos parámetros. y 3
m=
1 2
m 2
b
A
1 y= 2 x+2
1
b=2
x 0 -1
Figura 3.18
0
1
Figura 3.19 m= 1 y b=2 2
Dada una ecuación podemos realizar cambios en la forma de la recta, así como " " &*H Dada la ecuación 2 x − 3 y + 15 = 0 N Expresar en su forma pendiente–ordenada al origen. >N / " m y b. N " + - Para cambiar su forma a la de pendiente–ordenada al origen, sólo tenemos que despejar la variable y de la ecuación. Pasamos todos los términos que no tengan la variable y al otro lado de la igualdad. −3 y = −2 x − 15
86
Despejamos la y, el –3 divide a cada uno de los términos del otro lado de la igualdad. 2 y = x +5 3 Por lo tanto: 2 m ,b 5 3
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Z " ecordemos que la pendiente es la razón de cambio Δy 2 = , donde Δy = 2 y Δx = 3 son los Δx 3 desplazamientos que hay que realizar para encontrar otro punto por donde pasa la 2 recta con pendiente m . 3 Localizamos la ordenada al origen b = 5, que corresponde a la coordenada (0, 5) en el plano cartesiano y realizamos los desplazamientos de la pendiente, Δx = 3; por ser positivo, el desplazamiento será hacia la derecha y para Δy = 2, por ser \]? entre dos puntos de una recta, es decir, m =
y
Δy=2 (0,5) Δx=3 b=5 x
Figura 3.20
Finalizamos trazando la recta de los puntos ya obtenidos.
B
7
6
5
Δy = 2 A
Δx = 3 4
x – 3y + 15 = 0.
&*Q Dada la ecuación 2 x − 3 y + c = 0, determina el valor de c, sabiendo que la recta tiene una ordenada al origen igual a 2. Para este problema primero tenemos que pasar la ecuación a su forma pendiente–ordenada al origen. 2 c Al despejar queda de la siguiente forma: y = x + . 3 3 Así que podemos realizar la siguiente igualdad: 2
c . 3
87
Matemáticas III Y encontramos el valor de c:
()
c=2 3 =6 Al conocer el valor de c, la ecuación es 2 x − 3 y + 6 = 0 . " "
] w]|
Actividad de aprendizaje 3 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Obtén la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es de 135° y pasa por los puntos (2,3). 2. Obtén la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto A: m =–6, A (–3,–6) 7 , A (–2,5) 5 3. Halla la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos y traza "? > m =
(1,4), (2,–1) > (–2,–3), (–7,–4) 4. Halla la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen, cuya pendiente es paralela a una recta que pasa por los puntos (3,2), (7,4) y cuya intercepción con el eje Y es –4. 5. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento A (–2,–3), B (4,–1) 6. Dado un triángulo cuyos vértices son A (–2,–2), B (2,2) y C (6,–2), halla la ecuación de la recta que pasa por el vértice B y es paralela al lado opuesto AC.
Síntesis Reunidos en equipos, resuelvan los siguientes problemas: En el mundial de Brasil 2014, Neymar anotó 4 goles en los primeros tres partidos, este jugador mantuvo ese ritmo durante todos los 7 juegos. Expresa el número de goles (y), que anota el jugador, en términos del número de juegos (x) en que participó. > Sugelly adquiere un equipo de cómputo por $6 000. Después de 5 años el equipo se ha deteriorado y carece de valor alguno. Escribe una ecuación lineal que dé su valor (V) durante los siete años de uso. Freddy recibe de su hermano un préstamo sin intereses de $4 000. Se compromete a pagar $500 cada trimestre hasta liquidar su deuda. Expresa la cantidad de dinero (y) recibida en términos del tiempo (x) en meses.
88
Al año de nacido unniño pesó 5 kg y ahora, a los tres años, pesa 9 kg. Si su peso tiene un comportamiento lineal con respecto a los años, traza la grá wy) con respecto a los años (x) y determina la ecuación que describe el comportamiento de los años.
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Organizados en equipos resuelvan el problema: en una granja los cerditos al nacer pesan 3.6 kg y ocho meses después, 44.5 kg. Expresa la función lineal del peso con la edad en meses. ¿A qué edad pesarán 65 ~[ 4 ~ W+ ' [ ) Organizados en equipos resuelvan el problema: para medir la temperatura se utilizan los grados Fahrenheit (F) y los grados Celsius (C). La relación entre estas dos escalas es la siguiente: a 0º C se le asocian 32º F y a 100º C se le asocian 212º F. Encuentren la relación lineal que las relaciona. ¿Cuánto ¨ % ¨J[ W%" _¨ J ¨%[
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Piensa crítica y #
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
/
problema. Establece supuestos de solución. Aplica el método
método pertinente para probar los supuestos.
89
8
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
000$* & & &%
&* * & & 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
P # &* O Reconoce la recta como lugar geométrico.
0 Reconoce la recta como lugar geométrico. / & mentos requeridos para la ecuación de la recta en sus formas: pendiente y ordenada al origen. /
mínimos para trazar una
/ #
los parámetros m y b de la ecuación de la recta en el plano.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.
Determina la ecuación de "
de su pendiente y uno de sus puntos o bien, dos de sus puntos.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución roblemas y ejercicios.
Anticipo el comporta "
partir de la variación de los parámetros m y b.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "
variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.
Integra los elementos necesarios para el trazo de una recta en la escritura de su ecuación.
Observaciones:
90
Escribe la ecuación y la "
su forma pendiente y ordenada al origen, a partir de dichos elementos y viceversa.
8
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
Realimentación Le cada una de las cuestiones planteadas a continuación y escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la opción que corresponda a la respuesta. 1. ( ) Encuentra la pendiente ordenada al origen de la siguiente recta: (2x + 3y) –1= 0. 2x + 1 3 >
–3x –1 2
8x +1
3
6x +2 4
2. ( ) Determina el valor de la constante C en la ecuación 3x + 2y + c= 0, sabiendo que se tiene ordenada al origen igual a 3. C = 4 3. (
> C = –6
C = 8
C = –3
) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de
las rectas
2 2 x + ; x + 3y, y es paralela a la recta –2y + 5x= 9. 3 3
2x – 4y – 6 0
>2x + 8y + 3= 0
2x – 5y + 6= 0
2x+2y – 4= 0
4. ( ) Un bebé al nacer (0 años) pesó 3.5k y a los 4 años pesa 16k. Si su peso tiene un comportamiento lineal con respecto a los años, determina la ecuación que describe su comportamiento. 3.125x – y +3.5 0
3.5x + y – 3.5= 0
>–3.125x + y– 3.5= 0
–3.5x– y – 3.5= 0
5. (
) Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,4), (1,–2). 2 5 m=4 3 2 ) Halla el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (2,3)
m=4 6. ( y (1, 4).
a=135o
>
> a=130o
a=145o
a=120o
7. ( ) Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2,7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B[ A = (4,3); B= (6,1) > A = (4,-3); B= (6,-1)
A = (- 4,-3); B= (-6,-1) A = (4,3); B= (6,-1)
8. ( ) Una recta L1 pasa por los puntos (3,2) y (–4,-6), y otra recta L2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A, cuya ordenada es – 6. Halla la abscisa del punto A, sabiendo que L1 es perpendicular a L2. Abscisa = –2 > Abscisa = 1
Abscisa = –3 Abscisa = 4)
91
Matemáticas III 9. (
) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto B (1,5) y pendiente 2. 2x+ y – 3 = 0 > 2x+ 2y + 3 = 0
2x+ y + 3 = 0 2x– 2y – 3 = 0
10. ( ) Halla la ecuación de la recta dada su pendiente –6 y ordenada al origen 2. 5 30x+ 5y + 2 = 0 30x+ 5y – 2 = 0 > 30x – 5y + 2 = 0 30x– 5y – 2 = 0 11. ( ) Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 e intersección con el eje Y es –2. –3x – y – 2 = 0 > 3x +y + 2 = 0 12. (
3x – y + 2 = 0 –3x– y + 2 = 0
) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–5,2) y (3,2). y + 3 = 0 >y +2 = 0
y – 2 = 0 y – 3 = 0
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
92
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
P #
8
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
2
&* %
Piensa crítica y 5. Desarrolla # innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
$ > 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
0 &* O
P #
8
/
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera).
5.4 Construye /
hipótesis y diseña y problema. aplica modelos para Establece supuestos probar su validez. de solución. Aplica el método
método pertinente para probar los supuestos. Aprende de forma autónoma.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
actividades que le resultan de menor y mayor +
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
/
actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
93
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
000$* & & &%
&* * & & 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
P # &* O Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios. Reconoce la recta como lugar geométrico.
0 Reconoce las características de las rectas paralelas y perpendiculares. Caracteriza las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. Reconoce la recta como lugar geométrico. / &
requeridos para la ecuación de la recta en sus formas: pendiente y ordenada al origen. /
/ #
parámetros m y b de la ecuación de la recta en el plano.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.
Establece la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación que forma con el eje X. Obtiene el ángulo de inclinación de recta con respecto al eje X a partir de su pendiente y viceversa. Determina la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos. Utiliza la noción de pendiente en la solución de problemas reales. Determina si existe paralelismo y perpendicularidad entre dos o más rectas a partir de sus pendientes. Utiliza pendientes para demostrar paralelismo y perpendicularidad +
94
Determina la ecuación de la "
pendiente y uno de sus puntos o bien, dos de sus puntos.
8
Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico
1 %&
, & F
C
000$* & & &%
&* * & &
P # &* O
0
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios.
Anticipo el comportamiento "
variación de los parámetros m y b.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, "
o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.
Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y/o ejercicios.
Integra los elementos necesarios para el trazo de una recta en la escritura de su ecuación.
8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.
Reconoce la relación que hay entre el ángulo de inclinación y la pendiente.
Reconoce la recta como lugar geométrico.
8
"
una recta en su forma pendiente y ordenada al origen, a partir de dichos elementos y viceversa.
Analiza las características de la pendiente para rectas con diferentes ángulos de inclinación. %
pendiente de una recta.
Observaciones:
95
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Desempeños del estudiante al concluir el bloque B Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. B Transforma ecuaciones de una forma a otra. B Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Objetos de aprendizaje B Ecuaciones de la recta ³ Pendiente y ordenada al origen ³ Punto-pendiente ³ Dos puntos ³ Simétrica B Ecuación general y normal de una recta B Distancia de una recta a un punto B Distancia entre dos rectas paralelas
Competencias genéricas y atributos B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, " "
B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones B / +
&
y obstáculos.
Competencias disciplinares básicas B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
96
97
Matemáticas III Dinamización y motivación Responde cada uno de los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias y representa el resultado correspondiente: 1. W%" @ k [ 3 2 B
1
A
0 -1
1
0
2
4
3
Figura 4.1
-1
2. W@ " @w^]\|[ 2x − 3 y + 2 = 0 2x − 3 y − 2 = 0 2x + 3 y − 5 = 0 2x + 3 y + 5 = 0
3. ! " " ] 1 0 -1
0
2
1
3
4
-1
-2 -3
Figura 4.2
-4
4. ! "
encuentra con respecto a los puntos (-1,0) y (0,4). 5 4 3 2 1 0
98
-4
-3
-2
0
-1 -1
1
2
Figura 4.3
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
5. % ? La distancia que hay de la recta al origen del plano. > El ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje X. Compara con tus compañeros el procedimiento que seguiste para responder los ejercicios además de tus resultados. 0&* : el profesor sólo examinará tus soluciones y explicará rápida + "
" "
del trabajo. {
retomaremos este aspecto importante de tus avances.
Contextualización La importancia de una representación matemática de la recta se debe a sus aplicaciones de en la vida cotidiana y en su transversalidad a otras ramas, como la estadística, el comercio, la física, etcétera. En este bloque se pretende establecer una "
alternativas de solución a problemas relacionados con ella. + - Un poste de luz de 6 m de altura está sujeto por un cable de tensión en la parte superior, también a un punto en la acera de la calle a una distancia de 3.5 m de la base del poste. Si te encuentras a una distancia de 1.5 m de la base del poste, justamente debajo del cable de tensión, y según tu estatura, ¿cuál es la distancia mínima entre [ W`+
[
Sesión A. Ecuación de la recta en su forma simétrica Problematización La empresa Mirador organiza banquetes para graduaciones. Si el banquete para 200 personas cuesta $30 000 y para 500 personas $50 000, encuentra la ecuación & + En las sesiones anteriores analizaste los elementos que integran a una recta, tales como su inclinación o pendiente, un punto en particular llamado ordenada al origen, y estableciste una ecuación algebraica de la forma y=mx+b, la cual se nombró ecuación ordinaria de la recta, ésta es una representación de ella para poder gra @
que la representa y, de igual forma, si conoces los elementos que la integran, puedes hallar su ecuación en la forma ordinaria.
99
Matemáticas III Comenzamos el tema con la siguiente pregunta: B W [ B WZ "
si conozco otros elementos que no sean su pendiente y su ordenada al [
Recuerda que por dos puntos dados se puede trazar una línea recta y solo una.
Z "
a una línea recta. { "
están establecidos los elementos que ya conoces, pendiente y ordenada al origen de la recta, pero vemos dos puntos que ' "
recta corta con los ejes del plano cartesiano; les llamaremos los puntos de intersección de la recta con los ejes.
4 3
B
2 1 0
4 "
de la siguiente manera: para la intersec–3 –2 –1 0 ción en el eje X el punto tendrá como –1 coordenada los valores (x,0) y para el eje –2 Y tendrá como coordenadas los valores (0,y). Si conocemos los puntos en los que –3 la recta se corta con los ejes, entonces " siano, por que debemos ser capaces de utilizar los puntos para establecer la ecuación de la recta.
A 1
2
3
4
Es importante tener en cuenta que como los elementos que ahora estamos utilizando son las intersecciones con los ejes y no la pendiente y ordenada al origen de la recta, la ecuación de la recta tiene que ser “diferente” a la ecuación ordinaria, dado que utilizamos elementos diferentes. Sin embargo, cualquiera que sea la forma de la ecuación, ésta nos representará a la misma recta. La pregunta a responder ahora es la siguiente: ¿Qué forma tendrá la ecuación de la recta si conocemos sus intersecciones [ Para resolver esta pregunta realicemos el siguiente análisis matemático.
Desarrollo de criterios Consideremos que los puntos de intersección de la recta a los ejes X y Y sean (a,0) y (0,b), respectivamente, y utilicemos la ecuación punto-pendiente de la recta con di * " " y-y1=m(x-x1). Resolvemos: Al sustituir (a,0) y (0,b) en la fórmula de m =
100
m=
b−0 b =− 0−a a
y 2 − y1 x 2 − x1
, tenemos que:
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Sustituyamos el valor de la pendiente encontrada y utilicemos el punto (a,0) para determinar cuál será la ecuación de la recta:
(
)
b x − a despejemos el valor de a y tendremos: a a y − 0 = −b x − a y −0 = −
(
)
(
)
ay = −bx + ab ay + bx = ab dividamos todo entre ab ay bx ab + =
? ab ab ab x y + =1 a b W`+ [ méntalas con tus compañeros y docentes. ¿Se dieron cuenta de que la ecuación obtenida al utilizar como datos las coordenadas de los puntos que representan las intersecciones de la recta con los & [ 4 siones mencionaste que en la ecuación aparecen los valores que corresponden a las intersecciones de la recta con los ejes del plano cartesiano, los cuales se encuentran debajo de las variables que nos representan a los ejes, es decir, la recta se corta en el eje X en el valor de a y en la ecuación; además, se encuentra debajo de la variable x. El mismo resultado se obtiene para la variable y. Observamos también que la ecuación está igualada a la unidad. Esta ecuación recibe el nombre de - )& &% , la cual está formada por los valores en los que la recta pasa por los ejes coordenados. Observa que si conocemos las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, hallaremos su ecuación en la forma simétrica. De forma recíproca, si conocemos la ecuación de la recta en su forma simétrica, estableceremos cuáles son las coordenadas de los puntos en los que la recta se corta con los ejes en el plano cartesiano. Veamos los siguientes ejemplos: &*D Los puntos de intersección de la recta con los ejes son (2,0) y (0,-3). Encuentra su ecuación en la forma simétrica. + - Teniendo en cuenta los valores de los puntos, observamos que la recta se corta en el valor 2 al eje X y en el valor –3 al eje Y; por lo tanto, la forma simétrica de la recta será la siguiente: y x x y + = 1 de donde se obtiene que: − = 1 2 −3 2 3 &*E x y Dada la ecuación de la recta en su forma simétrica + = 1 ¿cuáles son los 3 5 , [
101
Matemáticas III + - Recordemos que los valores que se encuentran debajo de las variables x y y son aquellos que pertenecen a los puntos de intersección de la recta, por lo tanto, las coordenadas de dichos puntos serán (3,0) y (0,5). Pero ¿cuál es una de las aplicaciones que nos aporta la forma simétrica de la [ & " " Z y=3x –1, seguramente tendrás que realizar una tabla de datos, es decir, una tabulación, en la que otorgues los valores a x para obtener los de y y así formar los puntos que representarás en el plano. Al unirlos formarás la línea recta como se presenta a continuación: 8
8 Recuerda que la tabulación consiste en sustituir los valores dados en el lugar de x y resolver la ecuación.
6
-2
-7
-1
-4
0
-1
4 2 0
1
2
2
5
3
8
-4
-6
0
-2
2
4
-2
Figura 4.5 Línea recta trazada utilizando los valores obtenidos en la tabulación.
-4 -6 -8
4
dos de sus puntos. Por lo tanto, si conocemos los puntos de intersección de la recta &
encontramos en la forma simétrica de la ecuación de la recta. Veamos otro ejemplo. &*F K ?
x y + =1 4 2
+ - Z
Los valores de las coordenadas son aquellos que se encuentran debajo de las variables que representan a los ejes X y Y, por lo tanto tendemos que los puntos de intersección son (4,0) y (0,2). Ahora los representamos en el plano y trazamos una línea recta que los una. 3
3
2
2
1
1
0
0 -2
102
-1
0
1
2
3
4
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Figura 4.6 Representación de los puntos de intersección (4,0) y (0,2) en el plano cartesiano.
1
2
3
4
Figura 4.7 Recta que pasa por lo puntos de intersección (4,0) y (0,2).
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Actividad de aprendizaje 1 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si interseca a los ejes X y Y en a y b, respectivamente, de los siguientes incisos: a= 7, –5 >
1 2 2 3
2. Una recta corta a los ejes X, Y en los puntos (3,0) y (0,–4). Halla su ecuación en su & + " 3. Dadas las siguientes ecuaciones de la línea recta: ³ 3x –4y –12=0
³ 3 –x
³ 3y –8=2y
³ 9y –4+36
Encuentra lo siguiente: Su forma simétrica
> "
4. En cada inciso encuentra la ecuación en forma simétrica, si las coordenadas por donde pasa la recta son: (3, 3), (5, –3) 1 –1 , ) 4 3 (2p, 0), (0, –3p) > (2, –5), (
( 3, 3), (1, –
27 )
5. K " & +?
1 –1 – =1 7 3 3
x y – =1 5 4
–x y –x + y =1 + =1 2 3 3 2 3 6. Halla la ecuación de una recta en su forma simétrica si tiene de pendiente 4 y pasa por el punto (2,3). >
7. {+ + "
3 2 1
–2
2
4
–1 –2 –3
103
Matemáticas III Sintesis Organizados en equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas: 1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,2) y cuya ordenada al origen es el doble de la abscisa al origen. 2. Una recta cuya ordenada al origen es tres unidades menos que su abscisa, forma un triángulo con los ejes coordenados de área 40u2. Determina la ecuación en su forma simétrica. y x + =1 , donde los años están representados por (x) y los mi3. La ecuación 100 100 les de árboles talados por año por (y), forma parte de un reporte sobre la tala de árboles de manera inmoderada en México. El estudio alerta sobre el riesgo de una devastación ecológica. W%" " [ > W + ' " " [ " 4. La tabla modela el viaje que tiene la familia Manzanero de regreso a casa al concluir sus merecidas vacaciones. .L8N
V -& LN
0
250
3
100
5
0
" > W@ +
[ W%" [ Escribe un modelo algebraico en la forma simétrica que relacione distancia y tiempo de viaje. 5. Un pequeño fabricante de celulares observa que si produce x celulares en un mes, su costo de producción está modelado por y = 500x + 30 000. Obtén la ecuación en su forma simétrica. > "
6. Si un camión de pasajeros inicia su recorrido desde la terminal hasta su destino, ubicado a 250 km de distancia, y lo recorre en 5.4 horas, escribe un modelo matemático que presente la situación. Determina la distancia del camión de la terminal después de 2.4 horas de viaje. ¿Cuál será su velocidad promedio duran [
104
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
Piensa crítica y #
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
/
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).
105
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0I1 )& -
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
P # &* O Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana
0
8
Reconoce las características de la recta en su forma simétrica y sus intersecciones con los ejes coordenados. Utiliza las intersecciones con los ejes coordenados de una recta, para determinar su ecuación en la forma simétrica y viceversa. Relaciona la ecuación de la recta en su forma simétrica con las otras formas de representar a la recta.
Observaciones:
Sesión B. Ecuación general de la recta Problematización En un videoclub se rentan consolas de videojuegos. Al término del primer mes, la renta es de $30. Si la renta promedio al día es de 90 videojuegos y cuando es de $35, la renta disminuye a 45 videojuegos. Determina la ecuación general que relacione el precio de renta con número de videojuegos rentados.
Desarrollo de criterios 106
Así como podemos representar a la recta en su forma simétrica, existen otras maneras de hacerlo, una de ellas es la que se relaciona con una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Recuerda que en pasados semestres estudiaste estas ecuaciones y
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
su forma de solución; junto con tu profesor analizaron el comportamiento de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que representaban a dos rectas en el plano, las cuales podían cortarse en un punto, en varios puntos o no cortarse, ! e . Utilizaban dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que formaban un sistema y cada una representaba a una recta. Las ecuaciones tenían la forma Ax+By+C &
recta llamada )& , en donde los valores de A, B y C son números reales. Conviene hacerse la siguiente pregunta: ¿la forma ordinaria, simétrica y general [ <
de la misma línea recta, sólo que representada de diferentes formas. Es como un muchacho que se viste de diferentes maneras para la ocasión. Para una boda, usa traje; & @ sona, sólo que se ve diferente, de acuerdo al contexto. De manera similar pasa con la ecuación de la recta, ésta se puede representar de diferentes formas, pero al momento de representarla en los ejes coordenados es la misma. Ya hemos usado la pendiente y su ordenada al origen para representar a la recta en su forma ordinaria, las intersecciones con los ejes coordenados para la forma simétrica, y usaremos una ecuación lineal con dos incógnitas para la forma general. Veamos cómo se relaciona la ecuación general con cada una de las formas. Analicemos primero la relación que existe entre la forma ordinaria con la forma general Ax+By+C=0. Realicemos los despejes necesarios de tal forma que la ecuación general tenga la misma estructura que la ordinaria, es decir, pasar la ecuación Ax+By+C=0 a la forma Ax+By+C=0 despejamos Ax y C. By = − Ax − C dividimos todo entre B: By Ax C =− − B B B de donde obtenemos: y=−
A A C C y b = − la ecuación nos queda de x − . Si hacemos aquí m = − B B B B
la forma ordinaria: y = mx + b Apliquemos la relación que acabamos de analizar. Nos damos cuenta que si conocemos la ecuación de la recta en su forma general estableceremos el valor de su pendiente y su ordenada al origen, ya que al analizar los resultados obtenidos podemos ver claramente que la pendiente y la ordenada al origen están en términos de A, B y C de la forma general de la ecuación de la recta. Por lo tanto, ? Si la ecuación general de una recta es Ax + By + C = 0 , su pendiente y orde m = −
A C y b = − , respectivamente. B B
107
Matemáticas III &*D Determina el valor de la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas: N
4x + 6 y + 5 = 0
+ - <
A=4, B=6 y C=5, la pendienA C " m = − y b = − , por lo tanto, al B B
? 5 4 2 m=− =− y b=− 6 6 3 5 x − 8 y − 3 = 0 >N + - <
A = 5, B = –8 y C = –3, por lo
" ? m=
− ( −3) −5 5 3 3 = y b= = =− −8 8 −8 −8 8
&*E © ´´ ]´\ + - Hallaremos las pendientes de cada una de las rectas usando las propiedades A que obtuvimos para la pendiente, es decir, m = − B. 2 −4 Para la recta 4 x + 6 y + 5 = 0 se tendrá que la pendiente es m1 = =− 6 3 2 −2 y para la recta 2 x + 3 y − 1 = 0 su pendiente será m2 = = − . Como ambas son 3 3 iguales m1 m2 se concluye que las rectas son paralelas. Ahora analicemos cuál es la relación entre la forma simétrica de la ecuación de la recta y su forma general. Recuerda que la forma simétrica involucra a las intersecciones con los ejes, por lo tanto, encontraremos la relación entre dichas intersec realizaremos la x y transformación de la ecuación Ax + By + C = 0 a la forma + = 1 a b . Realicemos los despejes necesarios de tal forma que la ecuación general quede de la forma simétrica. Ax + By + C = 0 Despejamos C para dejar de lado izquierdo a los términos en x y y. Ax + By = −C
108
Dividimos todo entre –C:
A B −C x+ y= −C −C −C
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Aplicamos la ley del sándwich para dejar a la x y y solas, obteniendo: y x + =1 −C −C B A
x y −C −C y b= obtenemos la ecuación simétrica a + b = 1 A B . Por lo tanto podemos deducir que:
Si hacemos a =
Las intersecciones con los ejes utilizando la ecuación general Ax + By + C = 0 ⎛ −C ⎞ ⎛ −C ⎞ " ⎜ ,0 ⎟ para el eje X y ⎜ 0, ⎟ para el Y. A ⎝ ⎠ ⎝ B ⎠ &*F Z & + "
de la siguiente manera: 4x+6y+5=0. + - <
y . ⎛ −C ⎞ ⎛ −C ⎞ Las " ⎜ ,0 ⎟ para el eje X y ⎜ 0, ⎟ A ⎝ ⎠ ⎝ B ⎠ ⎛ −C ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ −C ⎞ ⎛ −5 ⎞ para el eje Y, por lo tanto tendremos que ⎜ ,0 ⎟ = ⎜ , 0 ⎟ y ⎜ 0, ⎟ = ⎜ 0, ⎟ , por ⎝ A ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ B ⎠ ⎝ 6 ⎠ y x & + "
+ =1 −5 −5 &*H 4 6 . K ´´
tabulación.
+ - 4 &
tabular es conociendo sus puntos de intersección con los ejes coordenados. Éstos los proporciona la ecuación de la recta en su forma simétrica, entonces sigamos este procedimiento. Transformemos la ecuación general de la recta en su forma simétrica; dicha ecuación ya la encontramos en el ejemplo anterior, de donde se obtuvo que es:
2
1
A -4
-3
-2
0 0
-1
1
2
3
B
y x + =1 −5 −5 4 6
-2
-3
Por lo que los puntos de intersección de la recta con los ejes son X y Y son: ⎛ −5 ⎞ ⎛ −5 ⎞ , 0 ⎟ y ⎜ 0, ⎟ , respectivamente. ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠
Figura 4.8
Finalmente, representamos dichos puntos en el plano y obtenemos la grá de w _|
109
Matemáticas III
Actividad de aprendizaje 2 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. De las siguientes ecuaciones de la recta, encuentra los puntos de intersección correspondientes a los ejes coordenados.
>
y 8
1
y
6
x 5 x 5
7 5 x 2 x
2y 3y
10
1=0
2. " +
lores de m y de .
5 x + 3 y = 15
>
3x
4 x 20
4y
3 =0 2
3. Determina los valores de A, B y C en la ecuación que pasa por los siguientes puntos:
( 3, 2),(1, 4 )
>
( 1, 5),(3, 7)
(5, 3),( 1, 5)
Ax + By + C = 0 de una recta
4. Encuentra la pendiente, intersección con los ejes coordenados y ángulo de inclinación de las siguientes rectas:
3 x + 4 y = 10
>
8x + 4 = 7 y
9 x
8
2
7x
7y
6
9y
5. Halla la ecuación general de la recta, si las intercepciones que determina sobre el eje X, Y, son –4, –5, respectivamente. 6. Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto (–3,6) y es paralela a una recta cuya ecuación es –3x + 2y + 6 = 0. 7. Obtén la ecuación general de la recta que pasa por el punto (3,–1) y es perpendicular a la recta 5x –3y + 15 = 0.
110
8. Halla el ángulo agudo formado por las rectas 2x –3y +6=0 y –4x –5y –20= 0. 9. Si la recta 2k es perpendicular a la recta x +(k –3)y –17 =0, encuentra el valor de –2x – 3y –15 = 0.
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Síntesis Reunidos en equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas: 1. Determina el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados, si la ecuación de su hipotenusa es x –y +8 = 0.
3 2
2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, ) y es paralela a la recta 15 x + 6 y + 18 = 0 .
3. Los vértices de un triángulo son A(–5,2), B(2,0) y C(0,–3); si la ecuación de una de sus medianas es 7 x + 12 y + 11 = 0 . Determina la m y las intersecciones de esta mediana en los ejes coordenados. 4. Los gastos por exportación de energéticos que tiene un país en millones de pesos, entre 2010 y 2014, están expresados en la tabla siguiente. x(año)
2010
2011
2012
2013
2014
y (millones de pesos)
85
115
145
175
205
Escribe la ecuación general de la recta que relacione el año con los gastos de exportación > Supongamos que el gasto se mantiene lineal, ¿cuál será el gasto para el ' ][ 5. El peso promedio que tienen los cerdos de una granja del interior del estado de Yucatán al mes de nacidos es 12 kg y ocho meses después, de 72 kg. Supongamos que el peso guarda una relación lineal con la edad en meses. Escribe la ecuación general de la recta que modele la relación del peso en términos del tiempo. > W@ + " ~ [ 6. El consumo de carne de res promedio por día en el estado de Yucatán, debido al elevado incremento, ha disminuido de forma constante. Las estadísticas señalan que la disminución tiene un comportamiento lineal con respecto al tiempo. En 2008 se consumían 180 gramos de carne por cada habitante y en el 2014, 120 gramos. " > Halla la ecuación general que modele la relación del consumo de carne con el tiempo. W`+ ]][ De seguir con la misma tendencia sobre el consumo de carne, ¿cuánta se " ][
111
Matemáticas III
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Piensa crítica y #
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
0 &* O /
de información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /
actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
112
P #
8
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0I1 )&
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
P # &* O Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana. Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
0
8
Reconoce las características de la recta en su forma general y su relación con una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Desarrolla la ecuación general de la recta partir de las formas pendiente y ordenada al origen y viceversa. Establece una relación entre las formas pendiente y ordenada al origen, simétrica y general de la recta.
Observaciones:
Sesión C. Forma normal de la ecuación de la recta Problematización Ahora estudiaremos la última forma de representar una recta, la cual se nombra como )&& - . Ésta se relaciona con otros elementos que se encuentran en una recta. Así como en la forma ordinaria utilizábamos la pendiente con uno de sus puntos y en la forma simétrica, los puntos de intersección de la recta, ahora nos basaremos en otros elementos: un # & a la recta. Dicho vector tiene la característica de ser perpendicular a la recta, proviene del origen y tiene un ángulo de inclinación con
Es indispensable recordar que un vector no es un segmento de recta, pues posee longitud, dirección y sentido.
4
3
2
u
1
α
0 -2
0
-1
1
2
3
4
-1
tor normal a una recta.
113
Matemáticas III respecto a la parte positiva del eje X, que se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. Este vector tiene una longitud que se mide desde el origen hasta la recta w | 4 W% "
[
Desarrollo de criterios {
Consideremos que el ángulo de inclinación del vector normal con una recta tiene por medida m y la longitud del vector es r=3, tenemos que colocar al
2
1
0 -1
-2
u 0
2
1
3
-1
Figura 4.10
-2
Ahora gira el vector 45º en dirección contraria a las manecillas del reloj, tomando como base el eje X. 3
2
u
1
0
α 45º
-1
-2
0
2
U 1
3
2
-1
Figura 4.11
Finalmente, traza una recta que pase por el extremo del vector y que sea perpendicular a él. Ésta será la recta que nos dé la solución al problema. 4
3
2
u
1
0 -2
114
45º 0
-1 -1
1
2
3
4
Figura 4.12
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
"
de inclinación y la longitud del vector normal a ella. La forma que tiene la ecuación ?
x cos + ysen − r = 0 Donde es el ángulo de inclinación del vector normal a la recta y es un ángulo positivo menor de 360º, y r es la longitud del vector normal a la recta y número positivo. Esta forma se conoce como -& . Sin embargo, recordando que una misma recta puede representarse utilizando los elementos que nos den datos, la cuestión ahora será: ¿Cómo hallamos la ecuación en la forma normal si no conocemos el ángulo
[ @" &
Ax+By+C=0, y a partir
forma normal. Dichas expresiones son las siguientes:
cos
=
A ± A +B 2
2
sen =
B ± A +B 2
2
y r=
−C ± A2 + B2
.
Donde el signo de los radicales es: ± Contrario al signo de C si Cµ Igual al de B si C=0. Igual al de A si C=B=0. Por lo que para pasar de la forma general Ax+By+C=0 a la forma normal ? A ± A +B 2
2
x+
B ± A +B 2
2
y+
C ± A2 + B2
=0
Observa que para pasar de la forma general a la normal basta con dividir cada una de las partes de la ecuación de la forma general por el valor obtenido de ± A2 + B2 , de esta manera encontraremos una ecuación equivalente a la forma nor-
mal de la ecuación de la recta a partir de la ecuación en su forma general. Además, esta forma normal nos ayuda a encontrar cuáles serán los valores para el ángulo de inclinación y la longitud del vector normal a la recta. Para comprender los resultados obtenidos, analicemos los siguientes ejemplos. &*D Dada la ecuación de una recta en su forma general 3 x + 4 y − 7 = 0 , escribirla a su forma normal. + - Sabemos que para pasar de la forma general a la forma normal basta encontrar el valor de ± A2 + B2 y dividir cada uno de los términos de la forma general entre dicho valor. Para nuestro ejemplo y tenemos que
115
Matemáticas III + A2 + B2 =
(3) + ( 4 ) 2
normal nos quedará
2
= 9 + 16 = 25 = 5 , por lo tanto la ecuación en la forma
3 4 7 x+ y − =0. 5 5 5
&*E Dada la ecuación de una recta en su forma general+8=0, pásala a la forma normal y encuentra los valores del ángulo de inclinación y la longitud del vector normal a la recta. + - Se aplica un procedimiento similar al ejemplo anterior para pasar la ecuación a la forma normal, es decir, se divide cada término entre el resultado del valor ± A2 + B2 , para éste Repasa los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
ejemplo A=5, B= –6 y C=8, entonces − A2 + B2 = − 5
La ecuación en la forma normal quedará: −
61
(5) + ( −6 ) 2
6
x+
61
y−
2
8 61
= − 25 + 36 = − 61
=0
Ahora para determinar cuáles son los valores del ángulo de inclinación y de la longitud
cientes de la ecuación de la recta en su forma general y normal, es decir, utilizaremos las propiedades: A B −C y r= cos = sen = 2 2 2 2 ± A +B ± A +B ± A2 + B2 De donde podemos deducir: cos =
También se pudo utilizar la relación ⎛ 6 ⎞ o α = Sen−1 = ⎜ ⎟ = 50.19 ⎝ 61 ⎠
pero, como estamos en el segundo cuadrante, este ángulo se mide a partir del eje X negativo.
A ± A +B 2
Asimismo, r =
2
=−
5
, que sen =
61
−C
−8
2
=
± A +B 2
2
=
6 61
.
8
= 1.02 . 61 − 61 ± A +B Por lo tanto, ya que el coseno es negativo y el seno es positivo, el vector está en el segundo cuadrante. 2
=
B
−1 Además el ángulo será = cos ( −
5 61
) = 129.8o contado desde el eje positi-
vo X. Observa que está en el segundo cuadrante. % Al utilizar la propiedad que obtuvimos en la forma normal, la cual nos da como resultado la distancia de la recta al origen, nos ayudará a determinar la distancia a la cual se encuentran dos rectas paralelas en el plano cartesiano.
116
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Actividad de aprendizaje 3 Realiza los siguientes ejercicios: 1. En cada inciso determina la ecuación de la recta en la forma normal, si r = 4 , m < α
60
> r = 1, m < α = 135 r = 3 , m <
= 300
2. Para cada recta dada, escríbela en su forma normal y además encuentra los valores de r y .
3x + 4 y + 5 = 0
>
4 x + 3 y = 12
5y
x
25 5
0 0
3. Halla la forma normal de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,3), (5, 2). 4. Halla la forma normal de la ecuación de la recta que es paralela a la recta 4x 3y + 12 = 0 y pasa por el punto (3, 3). 5. Halla la distancia comprendida entre las rectas paralelas: 3x 4y + 6 = 0 y 6x 8y 9 = 0 > 13x y + 2 = 0 y 26x 2y 10 = 0
Actividad de aprendizaje 4 Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios: 1. Halla la distancia de la recta dada al punto señalado: 3x 5y + 6 = 8
(6, 6)
> 4x 3y + 12 = 0
( 4, 4)
x 5y = 0
(2, 4)
2. Halla la distancia del origen a la recta 3x 2y + 9 = 0. 3. Dados los siguientes puntos . Halla la distancia Z @ " 4. La distancia dirigida de la recta 3x + 4y 10 = 0 al punto Q es –6. Si la ordenada de Q es 2, halla el valor de su abscisa. 5. Si la distancia dirigida de la recta 2x + 5y 10 = 0 al punto P es –3, y la abscisa de P es 2, halla su ordenada. 6. Determina el valor de K para que la distancia del origen a la recta 3x + 2k 7 = 0 sea 3.
117
Matemáticas III Síntesis Organizados en equipos de cuatro integrantes, resuelvan los siguientes problemas: 1. Una compañía de gaseosas en el 2005, su primer año de operaciones, obtuvo una ganancia de $150 000. En 2010 ganaron $235 000. Si el aumento de las ganancias permanece constante, expresa en su forma normal la ecuación de las ganancias. 2. Un avión despega del punto (–3,8) formando un ángulo de 45° con la horizontal. Expresa en la forma normal la ecuación de su trayectoria de despegue. 3. Un meteorito se mueve siguiendo la trayectoria 7x –3y –13=0, mientras se acerca a una sonda espacial estacionada en (0,0). Si no varía su curso. W%" [ > W + w~| " [ 4. Un avión antes aterrizar pasa por los puntos (2,5) y (6,1) y otro avión pasa por los puntos (1,3) y (4,0). Si la torre de control está ubicada en el punto (0,0). ¿a qué [ 5. Halla la ecuación de la paralela a la recta 4x 3y 15 = 0 y distante 5 unidades de ella. 6. Abner tiene un terreno en forma de triángulo cuyos vértices son A(–2,–2), B(2,2) y C(6, –2). Halla la longitud de la altura del vértice B sobre el lado AC. 7. Supón que un submarino ubicado en las coordenadas (6,2) detecta un barco enemigo que tiene una trayectoria representada con la ecuación de la recta 12x 5y + 10 = 0. El capitán desea saber en qué tiempo hará contacto con un misil que viaja a una velocidad de 150 km/h disparado hacia el navío enemigo. La distancia calculada la puedes suponer en kilómetros (recuerda la expresión dt ). 8. Un atleta salta con garrocha desde el punto T(1,7) y cae del otro lado de la barra en el punto B(5,3). Si los postes de la barra están situados en A(1,3) y B(7,9). W@ + [ > W@ + [
118
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Piensa crítica y #
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /
de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
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Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0I1 )& -
&* * & &
P # &* O
0
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta.
/
de una recta en su forma normal.
Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Determina la ecuación de la recta en su forma normal a partir de la forma general y viceversa.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Transforma ecuaciones de una forma a otra.
Establece la relación entre la forma general y normal de una recta.
Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Emplea la ecuación normal de la recta en la realización de ejercicios y en el cálculo de distancias de una recta al origen, entre rectas paralelas y de un punto a una recta.
8
Observaciones:
Realimentación Resuelve los siguientes problemas y escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la solución correcta. 1. ( ) Encuentra la ecuación de la recta en forma simétrica, si las coordenadas por donde pasa son (0,6), (–5,8).
120
x y + =1 6 15
>
x y + =1 15 6
x 6
y 15
1
x 15
y 6
1
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
2. (
) Dada la ecuación en forma simétrica 2x 5y 10 = 0
2x 5y 10 = 0
> 2x 5y 10 = 0 3. (
2x 5y 10 = 0
) Obtén los valores de m y de b, de la ecuación 3 x + y +
3 2
3, b =
m
3 = 0. 2
3, b =
m
3 2
> m = 3, b = 4. (
x y + = 1 , su ecuación desarrollada es: 5 2
m 3, b
3 2
3 2
) Determina la ecuación de una recta en su forma normal, donde =60o y
r 25 .
5. (
0.5x 0.87y 5 = 0
0.5x 0.87y 5 = 0
> 0.5x 0.87y 5 = 0
0.5x 0.87y 5 = 0
) Dada la ecuación x y 15 = 0, escríbela en su forma normal y además en-
cuentra los valores de r y .
1 2
x+ 1
>
2
1 2
1 2
6. (
7. (
1 2
1
x
2
1
x
2
x
y+
1 2
y y
y
15 2
= 0; = 135º ; r = 10.61
15 2
15 2 15 2
0; = 135º ; r = 10.61
= 0; = 136º ; r = 11 = 0; = 136º ; r = 11
) Halla la distancia a la recta 5x 3y = 1, dado el punto (4, 2). d=4.1
d=4.5
> d=4.63
d=4.65
) Halla la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3 x + 4 y + 6 = 0
y 6x 8y 12 = 0. d
6 5
d
12 5
> d
13 5
d
7 5
121
Matemáticas III Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Piensa crítica y #
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
0 &* O Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera). /
actividades de acuerdo a sus intereses. Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
122
P #
8
Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
0I1 )& -
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O
0
Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta.
Reconoce las características de la recta en su forma simétrica y sus intersecciones con los ejes coordenados.
Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Utiliza las intersecciones con los ejes coordenados de una recta, para determinar su ecuación en la forma simétrica y viceversa.
8
Reconoce las características de la recta en su forma general y su relación con una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Desarrolla la ecuación general de la recta a partir de las formas pendiente y ordenada al origen y viceversa. /
recta en su forma normal. Determina la ecuación de la recta en su forma normal a partir de la forma general y viceversa.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana
Relaciona la ecuación de la recta en su forma simétrica con las otras formas de representar a la recta. Establece una relación entre las formas pendiente y ordenada al origen, simétrica y general de la recta. Establece la relación entre la forma general y normal de una recta. Emplea la ecuación normal de la recta en la realización de ejercicios y en el cálculo de distancias de una recta al origen, entre rectas paralelas y de un punto a una recta.
Observaciones:
123
Bloque V
Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Desempeños de estudiante al concluir el bloque B / &
la circunferencia. B Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las trasforma de una forma a otra. B Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Objetos de aprendizaje B Circunferencia ³ Rectas y segmentos : radio, diámetro, cuerda, secante y tangente B Ecuaciones de la circunferencia ³ Ecuación canónica ³ Ecuación ordinaria ³ Ecuación de la circunferencia conocido tres puntos ³ Ecuación general de la circunferencia
Competencias genéricas y atributos B Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados B Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. B Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
124
B Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, mate" "
B Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. B Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. B / + tad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
Competencias disciplinares básicas B Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. B Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. B / " "
125
Matemáticas III Dinamización y motivación 0Completa los siguientes enunciados: 1. Escribe tres diferentes usos de la circunferencia en objetos o herramientas que se utiliza en la vida cotidiana. 2. W`+ "[ 3. W`+ [ 4. Escribe la diferencia entre circunferencia y círculo. 5. Escribe sobre la línea el nombre de los elementos de la circunferencia:
00Responde cada uno de los siguientes ejercicios realizando las operaciones necesarias. 1. El extremo de un segmento es el punto (–3,–2) y su punto medio (0,2). Encuentra su otro extremo. 2. Hallar la distancia que existe entre el siguiente par de puntos (–2, 3) y (6,–5). 3. Hallar la distancia de la recta 3 x + 4 y + 5 = 0 al punto señalado A(2,–3). 4. Escribe el resultado de los siguientes productos notables:
(x
2y)
2
7 2
2 > ( x )
5. Factoriza la siguiente expresión algebraica: x2 8x 16. 6. 4 ?
48
>
325 9
7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de orden 3×3: 3x 2y 4z = 6 2x 3y 5z = 3
126
x y z = 5
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Contextualización Desde tiempos inmemorables, las formas circulares han atraído al hombre, no sabemos si porque guarda alguna relación con el Sol o estas formas por sí mismas le resulten atractivas. Si nos trasladamos al ambiente de nuestro hogar, y particular +
en un vaso, la tapa de una botella, en un frasco, en el sartén, etcétera; sin embargo, su utilidad no se reduce en ese ámbito, ya que abarca diversas áreas de la actividad del hombre como son: Arquitectura, Astronomía, Economía, Física, Ingeniería y muchas más. &rencia resulta considerable y esto lleva a estudiar situaciones empleando cualidades y particularidades de la circunferencia. + - Un grupo de apicultores tiene que ubicar sus colmenas lejos de la población, el problema es que en la zona existen pequeñas rancherías y para que las autoridades competentes les permitan establecerlas, les piden como requisito elaborar un cro & " # "
abejas en su vuelo circular. Se sabe por experiencia que las abejas recorren aproximadamente unos 3 kilómetros a la redonda de su ubicación. Reúnete en equipos de 3 con tus compañeros de clase y ayuda a los apicultores a contestar las preguntas que les presentan. Si el punto donde se establecerán es el que se marca en el plano, donde los puntos R representan los ranchos y el punto A la ubicación de las colmenas:
y 8
R1 6
R2 5
N ¿Cuál es el campo de acción de las abejas marcado [
5
R6
A
4
R5
3
>N ¿Alguna de esta rancherías queda comprendidas
[ N ¿Qué ecuación ordinaria de la circunferencia modela
[
R5
2
R3 1
R7
R4
0 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10
11
12
13
-1
Figura 5.36.
Sesión A. Las cónicas: la circunferencia como lugar geométrico Problematización Un helicóptero que espera instrucciones de aterrizaje, se mantiene sobrevolando la ciudad de Mérida, Yucatán, a una distancia constante de 6 km de la torre de control. W%" + [ W%" ~
[
127
Matemáticas III Desarrollo de criterios En nuestra vida hemos visto cómo las curvas nos resultan útiles para describir trayec k
para facilitarnos el trabajo o nuestra forma de vida. Como ejemplos, podemos pensar en la trayectoria que sigue nuestro planeta alrededor del Sol, que es llamada elíptica; en las llantas de una bicicleta, que son circulares; en los arcos del palacio municipal de tu localidad, las cuales describen parábolas, etcétera. Es bastante amplio el uso que le hemos dado a las secciones cónicas. A continuación las estudiaremos mediante los cortes de un plano en un cono.
Secciones cónicas Las secciones cónicas, como ya hemos mencionado antes, provienen de los cortes de un cono por un plano y se expresan algebraicamente mediante la siguiente ecuación general de segundo grado. Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A continuación se muestran los cortes del cono para obtener las diferentes secciones cónicas: N Cuando el plano corta horizontalmente al cono, podemos observar que se forma la circunferencia.
Figura 5.4.
>N Cuando el corte del plano es paralelo a la generatriz del cono, podemos observar que se forma la elipse.
Figura 5.5.
128
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
N Cuando el plano corta verticalmente al cono, podemos observar que se forma la parábola.
Figura 5.6.
N Cuando tenemos dos conos unidos por el vértice y se realiza un corte
+
Figura 5.7.
Z
@ % w
términos cuadráticos), los cuales nos indican qué tipo de sección cónica representa la ecuación. Estudiaremos las ecuaciones de cónicas con B=0. Se tienen las siguientes reglas generales para determinar la cónica a partir de @ ? B Si A y C tienen signos iguales, se trata de una elipse. B Si A y C son iguales, representa una circunferencia. B Si A o B es cero, pero no simultáneamente, es decir, tiene un solo término cuadrático, entonces representa a una parábola. B Si A y C tienen signo contrario, representa a una hipérbola.
129
Matemáticas III ? -
+ -- C *
2x 2 + 5 y 2 − 7x + 4 y − 8 = 0
Elipse
x 2 + y 2 + 4 x + 6 y − 21 = 0
Circunferencia
2 x 2 − 3x + 2 y = 0
Parábola
3 x 2 − 9 y 2 − 5 x + 7 y − 12 = 0
Hipérbola
P/$W diente a cada una de las cónicas. La circunferencia es un caso particular de una elipse.
Actividad de aprendizaje 1 Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Z + -
+ -- C *
2x 2 − 5 y 2 − 7x + 4 y − 8 = 0 y 2 + 4 x + 6 y − 21 = 0 2 x 2 + 2 y 2 − 3x + 2 y + 5 = 0 3x 2 + 5 y 2 + 8 x − 2 = 0 −3 x 2 − 3 y 2 + 16 = 0 2. Realicen lo siguiente en equipos de 4 integrantes: N Arroja sobre una pared el haz de una luz de una linterna, de modo que la línea que limita la parte iluminada sea, sucesivamente, una elipse, una parábola y una hipérbola. Tómale una foto a cada una de estas formas, imprímelas y pégalas en tu cuaderno. >N Ata un lápiz en el extremo de una cuerda y en el otro extremo una tachuela clavándola en el centro del cartón .Tensa la cuerda y traza con el lápiz una vuelta completa. 3. De manera individual, investiga lo siguiente: N Los ángulos trazados en una circunferencia
130
>N Las propiedades de una circunferencia
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
La circunferencia como lugar geométrico Hasta ahora ya vimos las diferentes secciones cónicas que se pueden trazar por los cortes de un cono. En este bloque las estudiaremos a todas, pero en el siguiente vamos a estudiar en particular a la circunferencia como lugar geométrico. Imaginemos que un grupo de estudiantes rodean a un alumno formando un circulo a su alrededor, de tal manera que hay la misma distancia del estudiante que " " ' %
a la circunferencia como: El lugar geométrico de todos los puntos que están a una misma distancia , y a la distancia constante se le llama de la circunferencia. { Circunferencia
Recuerda que el radio es una distancia y no un segmento de recta.
Centro
Radio
Figura 5.8.
Podemos observar que los dos elementos necesarios para trazar una circunferencia son el centro y su radio. Veamos algunos ejemplos. &*D " & @ w]\| + - Z & *
para nuestro ejemplo el centro es el punto A (2,3) y el radio r=4. Lo primero que tenemos que hacer es localizar el punto A en el plano cartesiano. En seguida, el radio nos indicará el tamaño de la circunferencia (recordando que el radio es la distancia que hay del centro a cualquier punto sobre la circunferencia). Así & ? k
el valor del radio para encontrar puntos por donde pasa la circunferencia. H
7
6
Centro 5
Puntos por donde pasa la circunferencia
4 3
I
A
G
2
131
1
0 -3
-2
-1
0 -1
1
2
J
3
4
5
6
7
Figura 5.9.
Matemáticas III Luego trazamos una curva por los puntos por donde pasa la circunferencia y " & @w]\| H
7
6
c
5
4
I
A
3
G
2
1
0 -3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5
6
J
Figura 5.10.
4 "
centro y radio de una circunferencia.
Sesión B.Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Problematización W & " ' [ W%"
& [ W%
"
[
Desarrollo de criterios
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen Después de haber trabajado con el lugar geométrico de la circunferencia, cuando se conocen el centro y el radio, estamos en condi &cia con centro en el origen, para ello vamos a
132
Como notarás, los puntos O, P y C forman un triángulo rectángulo, el segmento OC corresponde al cateto adyacente x y el segFigura 5.11
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
mento PC, el cateto opuesto y, el segmento OP es la hipotenusa r, (todo esto considerando como ángulo agudo del triangulo el ángulo
(x
1
− x2
) +(y 2
1
− y2
)
2
OP =
(0 − x ) + (0 − y ) 2
2
Pero como OP es r, tenemos que: r = x 2 + y 2 Elevamos al cuadrado ambos términos r 2 = x 2 + y 2 Ahora te sugiero que analicemos el siguiente caso. Abel es alumno del COBAY, junto con algunos compañeros le gusta lanzar bolitas de plastilina al techo del salón. Un día una de tantas bolitas de plastilina se adhirió a la orilla de un
] siciones de la bolita de plastilina, en el movimiento circular del ventilador.
C
B
Coloquemos, para hacer los cálculos simples, al centro del motor del ventilador en el origen O(0,0) de las coordena
Figura 5.12
El diámetro del ventilador, de punta a punta de las aspas, es de 1.5 m, por lo cual podemos decir que la coordenada del punto C(0.75,0) ahora escribe las coordenadas de los puntos D, F y G. ¿Qué sucedería si el aspa con la plastilina se encon [ wJ \| Observa que al girar el aspa del ventilador la bolita de plastilina siempre va a estar a la misma distancia del centro del motor, es decir, el valor de r va a ser siempre constante; sin embargo, las coordenadas del P(x, y) van a cambiar conforme gire el aspa. Ahora bien, al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos: x2 + y2 = r2
x2 + y2 = (0.75)2
x2 + y2 = 0.5625
Figura 5.13
133
Matemáticas III Esta es la ecuación de la circunferencia formada por la trayectoria de la plastilina adherida al ventilador. Consideremos ahora una serie de ejemplos que esclarecerán las aplicaciones de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen. &*D Si el radio de una circunferencia vale 9 mm, determina su ecuación y traza su " + - Sustituimos los datos en la forma canónica de la ecuación y tenemos que: x2 + y2 = r2
x 2 + y 2 = (9)2
x 2 + y 2 = 81
Z
y en la ecuación en función de x, quedando de la forma: y 2 = 81 − x 2
y = ± 81 − x 2
Z "
x de la siguiente manera: y = ± 81 − 02 = ± 81 =± 9 y = ± 81 − 12 = ± 80 ≅ ±8.94 y = ± 81 − 22 = ± 77 ≅ ±8.77 y = ± 81 − 32 = ± 72 ≅ ±8.48 y = ± 81 − 92 = ± 0 = 0
?
Figura 5.26
&*E " &
siguiente ecuación: 7 x 2 + 7 y 2 = 25 + -
134
Z x y de y para dejar la ecuación en su forma canónica, para eso dividimos la ecuación, en este caso, entre 7. 7 x 2 7 y 2 25 + = 7 7 7
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
La ecuación queda así: x 2 + y 2 =
25 7
Tenemos entonces que como r 2
25
25 entonces: r 7
7
5 7
5 7 7 Z " & ? Racionalizando el denominador, resulta que: r
25 7 Para hallar los valores coordenados se despeja y en la ecuación en función de x, tenemos que: 25 y2 = − x2 7 x2 + y2 =
y=±
25 − x2 7
Pa "
x como en la siguiente tabla:
x
y + 1.89
Figura 5.27
Actividad de aprendizaje 2 Realiza los siguientes ejercicios individualmente en tu libreta: 1. &
el origen. N Diámetro igual a 10. >N Radio igual a
5.
N Que pase por el punto (–7,0). 2. Sea la circunferencia x2 + y2 = 25, ¿cuáles de los siguientes puntos: (4,-4) y (4,-2), [ 3. Determina geométricamente y analíticamente si el punto proporcionado está sobre la circunferencia dada, o bien, en su interior o exterior: A(2,3), x2 + y2 = 16. 4. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto P(3,–6). 2
2
5. Obtén el centro y el radio de cada circunferencia 4x +4y =36.
135
Matemáticas III
Sesión C.Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen Problematización Una fábrica de alimentos para cerdos y bovinos tiene que construir tres silos, en forma cilíndrica, en una de las esquinas de los límites de sus terrenos, como se muestra en la < @ % " " \ % & W
k +
[ % '
y
A B C x 0
Desarrollo de criterios
Ecuación ordinaria de la circunferencia . y
) . Es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) que se mueve en un plano a una distancia constante de un punto < de la circunferencia.
P(x, y) r
C(h, k)
4 &
C(h, k) y escogemos sobre esta un punto cualquiera P(x, y), podremos deducir la forma ordinaria o reducida de la circunferencia, la cual se denota por:
136
( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2
x 0
Figura 5.37 Coordenadas convenidas del centro y radio de una circunferencia.
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
En principio, tenemos que la fórmula de la distancia entre dos puntos es: d=
(x
− x1 ) + ( y 2 − y 1 ) 2
2
2
Calculando la distancia entre el punto P ( x, y ) y el centro C ( h, k ) se obtiene: , PC =
( x − h)2 + ( y − k )2
o r=
( x − h)2 + ( y − k )2
Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos: r 2 = ( x − h) + ( y − k ) 2
2
Finalmente, se cumple que ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 . 2
2
Consideremos algunos ejemplos de aplicación de manera directa. &*D Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C ( −3, 1 ) y radio 6. + - De la información anterior tenemos que: h = –3, k 1 y r 6 . Sustituyendo en la expresión ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 . 2
(
Se tiene x − ⎡⎣ −3⎤⎦
) + ( y − 1) 2
2
2
Recuerda siempre que una circunfe "
si se conocen las coordenadas de su centro y su radio. O tres puntos diferentes que pertenezcan a ella.
= 62 .
` & wx + 3)2+(y – 1)2 = 36. Si en la expresión anterior desarrollamos los binomios, como veremos en la ? x 2 + y 2 + 6 x − 2 y − 26 = 0
Su representación geométrica resulta como se ve a continuación: y 8
6
4
2
r=6
C(-3, 1) x
0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 5.38.
&*E Sabiendo que uno de los diámetros de una circunferencia tiene por extremos los puntos A (1, − 6 ) y B (11, 2 ) , determina su ecuación ordinaria.
137
Matemáticas III + - De acuerdo con los datos, el punto medio del diámetro es el centro: 1 + 11 12 −6 + 2 −4 h= = = 6, k = = = −2 2 2 2 2 Por lo tanto, el centro es C ( 6, − 2 ) El radio se obtiene calculando la distancia del centro a un punto cualquiera de los extremos del diámetro.
(5) + ( −4 ) 2
(6 − 1)2 + ( −2 + 6)2 =
2
= 25 + 16
41
Sustituyendo en la forma ordinaria (x + h)2 + (y – k)2 = r2 y realizando operaciones obtendremos:
( x − 6 ) + ( y − ⎡⎣−2⎤⎦ ) 2
2
( x − 6 ) + ( y + 2) 2
=
2
(
41
)
2
= 41
Su representación geométrica es: 6
4
2
B(11, 2)
0 -4
-2
2
0
4
6
-2
8
10
12
14
C(6, 2)
-4
-6
A(1, -6)
-8
-10
Figura 5.39
&*F Obtén la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el punto C(–7,–3) y que es tangente a la recta 3x + 4y + 8 = 0. + - Por lo aprendido en Geometría plana, sabemos que una recta tangente a una circunferencia resulta perpendicular al radio determinado por el punto de tangencia; por lo tanto, la distancia de esta recta al centro de la circunferencia nos da la longitud del radio. Usando la fórmula de la distancia de un punto a una recta r =
Ax1 + By1 + C A2 + B2
donde ( x1 , y1 ) representa las coordenadas el centro ( h, k ) , así como A, B y C son los ?
138
r=
3 ( −7) + 4 ( −3) + 8 32 + 4 2
=
−21 − 12 + 8 9 + 16
=
−25 25
=
−25 = −5 5 5
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Sustituyendo y desarrollando en la forma ordinaria se llega a:
( x − ⎡⎣−7⎤⎦ )2 + ( y − ⎡⎣−3⎤⎦ )2 = 52 ( x + 7 )2 + ( y + 3)2 = 25 Geométricamente, tenemos: 3
R1: 3x+4y+8=0
2 1 0
-14
-13
-12 -11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
-2 -3
C(-7, -3)
-4 -5 -6 -7 -8
Figura 5.40
Actividad de aprendizaje 3 Realiza en tu libreta los siguientes ejercicios. 1. Hallar la ecuación de las circunferencias cuyo centro y radio son, respectivamente: C (0,–4), r=5 > C (–3,–3), r= 10 2. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, dadas las siguientes condiciones: C (–4,3), y pasa por (0,0). > Los extremos de un diámetro son (–3,5) (7,–3). 3. Una circunferencia de r = 10 pasa por el origen, si la abscisa de su centro, que está en el tercer cuadrante, es –6. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia. 4. Obtén la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (–3,4) y es tangente al eje Y. 5. Una circunferencia que pasa por (2,0) es tangente al eje Y. Halla su ecuación si su centro está en el primer cuadrante y pertenece a la recta x – y – 1 = 0. 6. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(–1,–2) y es tangente a la recta 4x + 5y – 20 = 0. Halla su ecuación. 7. Una circunferencia tiene radio 5 y su centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y ´ W%" [ 8. La intersección de las rectas 7x – 9y –10 = 0 y 2x - 5y + 2 = 0 es el centro de la circunferencia que pasa por el punto (7,–5). Determina su ecuación ordinaria. 9. Una circunferencia cuyo diámetro mide a es tangente al eje X en el origen. ¿Cuál [
139
Matemáticas III
Sesión D. Ecuación general de la circunferencia Problematización Javier se prepara para su examen de CENEVAL y encuentra un reactivo que plantea la situación siguiente: la suma de los cuadrado de los precios de dos artículos, más el doble del precio del primero, más el cuádruplo del precio del segundo es igual a W%" [ &
ecuación general a su forma ordinaria.
Desarrollo de criterios En esta sesión estudiarás otra forma de representar una circunferencia de manera analítica, considerando una ecuación a la cual llamaremos ecuación general de la circunferencia. En la sesión anterior se determinó que la ecuación de una circunferencia, con centro fuera del origen C(h,k) y radio r, tiene la forma (x – h)2 + (y – k)2 = r2 y, para poder obtenerla, recordemos que necesitamos conocer el centro y el radio de la circunferencia como datos esenciales. A esta ecuación la llamaste ecuación ordinaria de la circunferencia. Lo que haremos a continuación será desarrollar la ecuación ordinaria para poder obtener la ecuación en la forma general, recuerda que en el Bloque IV estudiaste a la ecuación general de la recta, la cual estaba desarrollada e igualada a cero. Utilizaremos el mismo criterio para obtener la ecuación general de una circunferencia, veamos a continuación cuál será el resultado que vamos a obtener al llevar a cabo dicha tarea y a descubrir cuál será la ecuación de la recta en su forma general. Consideremos la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria (!)2+( k) =r , ahora desarrollemos los binomios al cuadrado que se encuentran en la ecuación, lo cual nos dará despejamos para igualar a cero y ordenamos términos para obtener: 2
2
x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r 2 = 0 realicemos los siguientes cambios de
variable: Recuerda que al desarrollar un binomio al cuadrado obtenemos como resultado lo siguiente (a±b)2=a2±2ab+b2
D = −2h,
E = −2k
y
F = h2 + k 2 − r 2
y sustituimos en la ecuación para obtener: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
La cual será - ) .
Realicemos ahora unos ejemplos para determinar la ecuación general de una circunferencia para comprender más el concepto. &*D Determinar la ecuación general de la circunferencia, si su ecuación ordinaria es
( x − 3) + ( y + 2 ) 2
140
2
=8.
+ - Para determinar la ecuación general tenemos que desarrollar los binomios al
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
cuadrado que se encuentran en la ecuación y despejar para igualar a cero, por lo tanto tendremos:
( x − 3) + ( y + 2 ) 2
2
= 8 desarrollamos binomios cuadrados.
x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = 8 despejamos para igualar a cero y escojamos
términos: x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 9 + 4 − 8 = 0 reducimos términos y obtenemos la ecuación
general, la cual será: x2 + y 2 − 6x + 4 y + 5 = 0
&*E Determina la ecuación general de la circunferencia, cuyo centro es el punto C(–2,–1) y su diámetro es d=10. + - Para determinar la ecuación de la circunferencia en su forma general, necesitamos la ecuación en la forma ordinaria; por lo tanto, primero tendremos que encontrarla. Recordemos que para determinar la ecuación ordinaria necesitamos conocer el centro y radio de la circunferencia. En nuestro ejemplo conocemos el centro, el cual es C(-2,-1) y el diámetro d=10 de donde se deduce que el radio es r=5, al sustituir dichos valores en la ecuación ordinaria obtendremos:
( x − h) + ( y − k ) 2
( x + 2) + ( y + 1) 2
2
= r2
2
= 25
Ahora desarrollemos los binomios al cuadrado en la ecuación ordinaria: x 2 + 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 = 25 despejamos para igualar a cero y escoramos
términos: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 + 1 − 25 = 0
Reducimos términos y obtenemos la ecuación general, la cual será: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y − 20 = 0
Después de realizar los ejemplos, podrás observar que el procedimiento para hallar la ecuación general de una circunferencia es relativamente sencillo. En la sesión anterior vimos que la ecuación ordinaria de una circunferencia se obtiene si conocemos su centro y radio; por lo tanto, si conocemos la ecuación determinaremos los valores de éstos. Hasta ahora, en esta sesión, hemos visto que si conocemos la ecuación en su forma ordinaria, podemos obtener la ecuación en su forma general; la cuestión a resolver ahora es la contraria. Si conocemos la ecuación en la forma general, ¿podemos hallar la ecuación &[ < neral se obtiene al desarrollar la ecuación ordinaria, entonces es lógico tener en cuenta que podemos hallar la ecuación ordinaria si manipulamos la ecuación general para obtenerla, en tanto que ambas están estrechamente ligadas una a la otra. Veamos cómo hacerlo. La operación a seguir es sencilla, recordemos que la ecuación general se obtiene al desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria; realizamos los despejes adecuados y escgemos términos para obtener la ecuación general. Ahora
141
Matemáticas III realizamos las operaciones inversas a este procedimiento para obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia, a partir de su ecuación general. El punto clave es la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, pero en este caso completaremos el trinomio cuadrado perfecto para obtener el binomio al cuadrado que necesitamos. Veamos en qué consiste el procedimiento. Consideremos a la ecuación general de la circunferencia.
Obtención de los elementos de la ecuación general de la circunferencia Se propone la ecuación general de la forma x2+y2+Dx+Ey+F=0. Agrupamos términos de una misma variable y despejamos aquellos que no lo sean, entonces tenemos (x2+Dx)+(y2+Ey)=-F. Z + ciente del término lineal, lo dividimos entre dos y elevamos al cuadrado.
Para x tenemos
D 2
2
donde
⎛D⎞ D ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠
2
E y para y, 2
2
donde
⎛E⎞ E2 ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠
El resultado que obtuvimos al elevar al cuadrado lo sumamos a cada una de las agrupaciones, sin olvidar la regla que dice que al sumar una cantidad hay que hacerlo en ambos lados de la igualdad. Con base en esto tenemos: ⎛ 2 D2 ⎜ x + Dx + 4 ⎝
⎞ ⎛ 2 E 2 ⎞ D2 E 2 + −F ⎟= ⎟ + ⎜ y + Ey + 4 ⎠ 4 4 ⎠ ⎝
Las expresiones de cada uno de los paréntesis son ahora trinomios cuadrados perfectos que se factorizan en un binomio al cuadrado, cuyo segundo término del " @ &
cada uno de los trinomios para x y y, y reducir términos del lado derecho de la igualdad, obtenemos: 2
2
⎛ D ⎞ ⎛ E ⎞ D2 + E 2 − 4F , la cual ya tiene la estructura de la ⎜x + ⎟ +⎜y + ⎟ = 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 2 2 ecuación ordinaria, es decir, ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 . Si tomamos las igualaciones de los términos en cada una de las ecuaciones, obtenemos lo siguiente: D D E E y −k = −h = donde h = − donde k = − , por lo tanto: 2 2 2 2 ⎛ −D −E ⎞ , El centro de la circunferencia tendrá coordenadas C ⎜ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠ Por otra parte, el valor del radio prosigue: r2 =
142
D2 + E 2 − 4F 4
donde
r=
D2 + E 2 − 4F = 4
D2 + E 2 − 4F 2
De este modo encontramos los valores para el centro y el radio de una circunferencia si conocemos su ecuación general, ya que podemos observar que los valores para " + ! J
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Podemos deducir que, en el procedimiento anterior, obtuvimos dos resultados importantes: el primero en el que, aplicando el procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto, podemos obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia y de ahí obtener los valores del centro y el radio. El segundo resultado son las expresiones obtenidas para h, k y r, las cuales podemos utilizar como fórmulas para hallar de manera directa el centro y el radio de una circunferencia si conocemos su ecuación general. Veamos los siguientes ejemplos para tener una comprensión más amplia de los resultados obtenidos. &*D Halla la ecuación ordinaria de la circunferencia, si su ecuación general es x2+y2-6x+4y-3=0, utilizando el método de completar el trinomio cuadrado perfecto. + - Para x2+y2-6x+4y-3=0 agrupamos términos de una misma variable y despejamos (x2-6x)+(y2+4y|\ +
y elevamos al cuadrado. Para x se tiene
−6 = −3 2
donde 4 =2 2
( −3)
2
= 9 y para y :
(2)
donde
2
=4
Sumamos los resultados de elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad (x2-6x+9)+(y2+4y+4)=3+9+4, factorizamos los trinomios cuadrados perfectos en bi +
del término lineal entre dos y reducimos, por lo tanto, obtenemos la ecuación de la forma ordinaria de la circunferencia la cual será:
( x − 3) + ( y + 2 ) 2
2
= 16
De este resultado podemos deducir que el centro y el radio serán C(3,-2) y r=4. &*E Determina el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es x2+y2-6x+4y-3=0, utilizando las fórmulas para cada uno de los elementos. + - Las fórmulas obtenidas para el centro y el radio son las siguientes: ⎛ −D −E ⎞ C⎜ , ⎟ y r= ⎝ 2 2 ⎠
D2 + E 2 − 4F 2
Los valores para D, E y F en la ecuación son, en este caso: D=-6, E=4 y F=-3. Sustituimos dichos valores en cada una de las fórmulas y obtenemos: ⎛ 6 −4 ⎞ ⎛ −D −E ⎞ ⎛ −(−6 ) −(4 ) ⎞ C⎜ , , , ⎟ = C (3,−2 ) ⎟ =C ⎜ ⎟ =C ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2
143
Matemáticas III
r=
D2 + E 2 − 4F = 2
( −6 ) + ( 4 ) 2
2
− 4 ( −3 )
2
=
36 + 16 + 12 = 2
64 8 = =4 2 2
Notemos que, al utilizar los dos procedimientos, obtenemos el mismo resultado para el centro y el radio, ya que se trata de la misma circunferencia, pues ambos están relacionados de manera directa con la ecuación general.
Actividad de aprendizaje 4 0Realiza en tu libreta los siguientes ejercicios. 1. Escribe la ecuación general de la circunferencia: N (x – 2)2 + (y – 5)2 = 1 >N x2 + (y + 3)2 = 25 2. En cada uno de los incisos, obtén la forma ordinaria de la circunferencia al completar los binomios, así como su centro y radio: N x2+y2+2x –8y–8=0 >N x2+y2+4x–10y+4=0 N 3x2+3y2+18x+12y–36=0 N x2+y2–6x–55=0 3. Prueba que una circunferencia cuyo centro es el punto C(3,2) es concéntrica con la circunferencia x2 + y2 – 6x – 4y +9=0. 00 quen sus resultados . 1. Demuestra que las circunferencias 4x2+4y2-16x+12y+13=0 y 12x2+12y248x+36y+55=0 son concéntricas. 2. Demuestra que las circunferencias x2 + y2 - 8x – 10y + 25=0 y x2+y2+4x+6y–23 = 0 son tangentes. 3. Una circunferencia tiene su centro en el punto (–2,3), si es tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0, encuentra su ecuación general. 4. Halla la ecuación general de una circunferencia que pasa por los puntos A(–3,3) y B(1,4), y su centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. 5. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de un diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 10x – 4y + 11 = 0 si uno de sus extremos es (–_|[
6. ¿Para qué valores de la recta y = x + a es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2y [
144
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Sesión E. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia Problematización Habrás observado que en una cancha de básquetbol el área de los tres segundos está delimitada por rectas tangentes al círculo de tiros libres. Si los puntos de tangencia son (-2,0), (2,0) y (0,2), determina la ecuación que describe a la circunferencia asociada al área de tiros libres.
Desarrollo de criterios k "
determinar una circunferencia con algunos de sus elementos o parámetros, tales
ecuación general. En la ecuación de la forma orA dinaria, en la que se involucra el centro y el radio, C # " h, k y r. En la ecuación general los valores de los términos D, E y F, en ambos casos, podemos observar que son los pará #
ecuaciones. A continuación, analizaremos los procedimientos para aplicar lo antes mencionado en la solución de problemas.
B C
Un caso en el que la ecuación general nos Figura 5.42 ayuda es aplicarla para obtener la ecuación de una circunferencia dados tres puntos por los que pasa ya que, como vimos, son tres los parámetros que intervienen tanto en la forma ordinaria como en la general. Es necesario conocer al menos tres puntos por los cuales debe pasar la circunferencia para encontrar sus parámetros. Resolvamos el siguiente ejemplo para determinar cómo hallaremos la ecuación de una circunferencia conocidos tres puntos por los cuales pasa. &*D Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,1), B(3,5) y C(-1,5).
Recuerda que si la representación "
geométrico pasa por un punto P(x,y), entonces dicho punto pertenece al lugar geométrico, por lo tanto, satisface su ecuación.
+ - Hasta el momento, conocemos dos formas de determinar la ecuación de una circunferencia: la forma ordinaria y la general. Para este ejemplo es preferible tra & " &
x2+y2+Dx+Ey+F=0, bastará con encontrar los valores de D, E y F para solucionar el problema. Sustituiremos los valores de cada uno de los puntos en la ecuación.
145
Matemáticas III Para el punto A(1,1) obtenemos, al sustituir, en la forma general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
(1 ) + ( 1 ) 2
2
+ D (1 ) + E (1 ) + F = 0
1 + 1 + D + E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: D + E + F = −2
Para el punto B(3,5), obtenemos: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
( 3 ) + (5 ) 2
2
+ D ( 3 ) + E (5 ) + F = 0
9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: 3D + 5E + F = −34 Para el punto C(-1,5) obtenemos: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
( −1 ) + (5 ) 2
2
+ D ( −1 ) + E (5 ) + F = 0
1 + 25 − D + 5E + F = 0 reducimos términos y despejamos para obtener: −D + 5E + F = −26 Observamos que al sustituir cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia obtuvimos como resultado una ecuación lineal con tres incógnitas, por lo tanto se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. El problema se reduce a darle solución al sistema. Para dar solución a un sistema de tres ecuaciones lineales con 3 incógnitas, se utilizan varios métodos, entre los que resaltan el de suma y resta, igualación, sustitución, método de Kramer, etcétera. Es importante que repases el procedimiento que se llevaba a cabo en cada uno de los métodos, ya que los necesitarás como herramienta de apoyo.
146
El sistema que se forma es el siguiente: D + E + F = −2
(I)
3D + 5E + F = −34
(II)
−D + 5E + F = −26
(III)
Para nuestro ejemplo resolvemos el sistema utilizando el método de suma y resta. Primero eliminamos F en las ecuaciones I y II: −1 ( D + E + F = −2 )
3D + 5E + F = −34 obtenemos: −D − E − F = 2 3D + 5E + F = −34 2D + 4E = −32 D + 2E = −16 Llamémosle a esta nueva ecuación IV.
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Segundo, eliminamos F en las ecuaciones I y III: −1 ( D + E + F = −2 ) −D + 5E + F = −26 obtenemos: −D − E − F = 2 −D + 5E + F = −26 −2D + 4E = −24 −D + 2E = −12 A esta otra ecuación la llamaremos V. Resolvemos ahora las ecuaciones obtenidas IV y V que forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Eliminamos E en ambas ecuaciones: D + 2E = −16 −1 ( −D + 2E = −12 ) obtenemos: D + 2E = −16 D − 2E = 12 2D = −4 −4 D= 2 D = −2 Sustituimos el valor D=-2 en la ecuación IV: D + 2E = −16 y despejamos para obtener el valor de E: D + 2E = −16 −2 + 2E = −16 2E = −16 + 2 2E = −14
−14 2 E = −7 E=
Ahora sustituimos los valores D=-2 y E=-7, en la ecuación I: D+E+F=-2 y despejamos para obtener el valor de F: D + E + F = −2
–2– 7 + F=–2 D + E + F = −2
F = −2 + 2 + 7 F =7
147
Matemáticas III Los valores encontrados son D=-2, E=-7 y F=7 y sustituimos dichos valores en la ecuación general para obtener la ecuación de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 obtenemos x 2 + y 2 − 2 x − 7 y + 7 = 0
Otro procedimiento que se utiliza para dibujar una circunferencia es mediante un compás, donde el punto de apoyo del compás sirve para determinar el centro de la circunferencia y, con una abertura que determina el radio, se gira completamente hasta formar una circunferencia. Las observaciones anteriores nos ayudarán a comprender que para formar una circunferencia es importante tener en cuenta un punto, como el centro de ella y un segmento de recta, la cual nos servirá como el radio de la circunferencia.
Actividad de aprendizaje 5 Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. En cada uno de los siguientes incisos halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados en su forma ordinaria: N (–3,1), (0,2) y (4,–5) >N (0,0), (2,0) y (0,1) N (–4,2), (0,1) y (4,2) 2. Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por A(3,–8), B(–3,10) y C(–7,2). Además prueba que es concéntrica con la circunferencia x2+y2–6x–4y+9=0. 3. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las rectas 3x – y = 7, x – 2y = 4 y 2x + y = 8.
Síntesis Organizados en equipos de cuatro integrantes, resuelvan cada uno de los siguientes problemas propuestos: 1. Un satélite registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro del ciclón está en C(0,0) y cada anillo concéntrico de la imagen del satélite tiene 2 unidades de ancho, determina la ecuación de la tercera circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón. 2. El conserje de la escuela usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando hasta un diámetro de 10 metros. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, determinen la ecuación de la circunferencia que describe el rocío del riego. 3. Un camión del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán se encuentra a 500 % _ portiva. ¿Qué tan próxima o qué tan alejado podría estar la unidad deportiva del %{@[
148
4. Mediante un sistema de navegación por radio, una embarcación turística se mueve de una isla (A) a la costa (B), conservando perpendiculares sus distancias a dos faros situados, uno en cada sitio, en los puntos de coordenadas A(0,10) y B(0,10), respectivamente. N Encuentra la ecuación que describe su trayectoria entre la isla y la costa. >N W%" [
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
5. El servicio sismológico del observatorio de Tacubaya detecta en la ciudad de México un sismo con origen en las costas de Colima, cuyas ondas se extienden en la zona delimitada por la circunferencia x2 + y2 = 5802. Si la ciudad de México se encuentra ubicada en el punto (650,90). Según lo establecido, ¿le afectará el $+[ 6. Un molino de viento tiene aspas de 5 m de largo y se ubica sobre una torre que tiene 10 metros de alto y 6 m de diámetro en su base. Si colocamos un sistema de referencia en el centro de la base de la torre, ¿cuál será la ecuación general de & [
7. ¿En qué sitio debe ubicarse una plaza comercial para que esté a igual distancia de una escuela (E), una gasolinera (G) y una iglesia (I), cuyas coordenadas de ubicación son E(8,3), G(1,12) e I(–]| [ N Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos E(8,3), G(1,12) e I(–2,7). >N W@ + " + [
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 se expresa y comunica.
&* % 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
$ > 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno.
149
Matemáticas III 2 Piensa crítica y #
&* % 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
$ > 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
0 &* O /
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etcétera).
Aprende de 7. Aprende por forma autónoma. iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
/
problema.
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
/
actividades de acuerdo a sus intereses.
Establece supuestos de solución. Aplica el método
método pertinente para probar los supuestos.
Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
150
P #
8
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
P # &* O
0
8
/ &
Reconoce las curvas que se tipos de rectas y obtienen al realizar cortes a segmentos asociados a un cono mediante un plano. la circunferencia /
Distingue los diferentes una circunferencia con centro tipos de rectas y en el origen, a partir de su segmentos asociados a ecuación. la circunferencia Determina los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. Determina la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen. Reconoce la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen a partir de la medida de su radio y las coordenadas de su centro. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. Reconoce la forma general de la circunferencia. Obtiene la forma general de la circunferencia al desarrollar la forma ordinaria o viceversa. Obtiene de la forma general de la circunferencia los parámetros de esta. / #
de los parámetros D,E Y F de la ecuación general en el discriminante, paradeterminar una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico.
151
Matemáticas III 1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transforma de una forma a otra. Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
0 Determina los elementos mínimos para trazar una circunferencia. Resuelve problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. Obtiene la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con la menor cantidad de elementos , como las coordenadas de su centro y las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros o su centro y un punto que pertenezca a la misma. Resuelve problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación. Determina la ecuación de una circunferencia cuando conozco tres de sus puntos; los cuales pueden darse de distintas formas.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Analiza la forma de secciones cónicas en su entorno. Modela situaciones contextualizadas, hipotéticas o reales por medio de la ecuación de la circunferencia. Modela problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación.
152
Explica los efectos "
una circunferencia al sufrir cambios los parámetros h, k, r de su ecuación.
8
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
P # &* O
0
8
/ &
Reconoce a la circunferencia tipos de rectas y como lugar geométrico. segmentos asociados a Traza circunferencias la circunferencia. conociendo los elementos Distingue los diferentes mínimos de una tipos de rectas y circunferencia. segmentos asociados a Comprende conceptos la circunferencia. geométricos como el que una tangente a la circunferencia resulta perpendicular a uno de sus radios y calculo su radio como la distancia de un punto a la recta tangente. Resuelve ejercicios que involucran la ecuación o la " &
Determina el lugar geométrico que representa una ecuación de la forma. / #
los parámetros h, k, r de la ecuación de la circunferencia en su comportamiento "
Observaciones:
Realimentación Lee cuidadosamente cada una de los problemas planteados a continuación y escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la opción que corresponda a su respuesta. Analiza todas las posibles respuestas antes de elegir la que consideres acertada. 1. (
) Obtén la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que pasó por ⎛ 3 −21 ⎞ el punto ⎜ , ⎟. ⎝2 5 ⎠ N x2 + y2 – 34 = 0
N x2 - y2 - 34 = 0
>N x2 + y2 + 34 = 0
N x2 - y2 + 34 = 0
153
Matemáticas III ) Determina la ordenada de un punto de la circunferencia x2 + y2 = 2 sabiendo 3 que su abscisa es . 4
2. (
N
y
20 4
N
y
23 4
>N
y
18 4
N
y
13 4
3. ( ) Determina la ecuación de la circunferencia en su forma general, si los puntos (-2,4), (4,5) son los extremos de su diámetro. N x2 + y2 – 2x – 9y + 12 = 0 >N x2 – y2 + 2x + 9y – 12 = 0 N x2 + y2 – 2x + 9y + 12 = 0 N x2 + y2 + 2x + 9y + 12 = 0 4. ( ) Calcula la ecuación de la circunferencia en forma general, si su centro es C(3,5) y es tangente a la recta 2x – 4y – 6 = 0. N 4x2 + 4y2 + 24x + 40y + 36 = 0 >N 4x2 + 4y2 + 24x – 40y – 100 = 0 N 4x2 + 4y2 – 24x – 40y – 69 = 0 N 4x2 – 4y2 – 24x + 40y + 69 = 0 5. ( ) Calcula el centro y el radio de la siguiente circunferencia x2 + y2 + 14x – 10y + 2 = 0. N C(–7,–5); r=72 >N C(–7, 5); r 72 N C(7, 5); r 72 N C(7, –5); r=72 6. ( ) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,–4), B(4,5), C(3,–2). N x2 + y2 + 7x + 5y – 44 = 0 >N x2 + y2 - 7x - 5y + 44 = 0 N x2 + y2 + 7x + 5y – 44 = 0 N x2 + y2 + 7x + 5y + 44 = 0 7. (
) Obtén la forma ordinaria de la circunferencia x2 + y2 + 4x - 8y – 8 = 0. N (x - 2)2 + (y + 4)2 = 26 >N (x + 2)2 + (y – 4)2 = 28 N (x + 2)2 + (y + 4)2 = 26
154
N (x – 2)2 + (y - 4)2 = 28
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas 2 Se expresa y comunica.
Piensa crítica y #
Aprende de forma autónoma.
&* %
$ >
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o "
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
0 &* O
P #
8
Se expresa de manera lógica y creativa. Practica una redacción propia para expresar ideas. Representa relaciones entre diversos conceptos. Emplea modelos para la representación de un fenómeno. /
información. @
la información de acuerdo a sus características. Emplea herramientas de conceptualización (mapas, esquemas, cartografía conceptual, heurística, etc.).
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
/
] /
las actividades que le resultan de menor y mayor interés
reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
/
de acuerdo a sus intereses.
Establece supuestos de solución. Aplica el método
método pertinente para probar los supuestos.
Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas. /
reacciones ante los obstáculos que se le presentan. Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstáculos.
155
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
P # &* O /
diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia.
0 Reconoce las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. /
una circunferencia con centro en el origen, a partir de su ecuación. Determina los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. Determina la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen. Reconoce la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen a partir de la medida de su radio y las coordenadas de su centro. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. Reconoce la forma general de la circunferencia. Obtiene la forma general de la circunferencia al desarrollar la forma ordinaria o viceversa. Obtiene de la forma general de la circunferencia los parámetros de esta. / #
los parámetros D, E Y F de la ecuación general en el discriminante, para determinar una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico.
156
8
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
P # &* O Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transforma de una forma a otra. Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
0
8
Determina los elementos mínimos para trazar una circunferencia. Resuelve problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. Obtiene la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con la menor cantidad de elementos, como las coordenadas de su centro y las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros o su centro y un punto que pertenezca a la misma. Resuelve problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación. Determina la ecuación de una circunferencia cuando conozco tres de sus puntos; los cuales pueden darse de distintas formas.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana.
Analiza la forma de secciones cónicas en su entorno. Modela situaciones contextualizadas, hipotéticas o reales por medio de la ecuación de la circunferencia. Modela problemas que permiten escoger la forma más conveniente de representar la circunferencia de acuerdo a la situación. & "
se dan en una circunferencia al sufrir cambios los parámetros h, k, r de su ecuación.
157
Matemáticas III 1 %&
, & F
C
I$* & )
&* * & & 8. Interpreta tablas, "
diagramas y textos con símbolos matemáticos y
P # &* O /
diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia.
0 Reconoce a la circunferencia como lugar geométrico. Traza circunferencias conociendo los elementos mínimos de una circunferencia. Comprende conceptos geométricos como el que una tangente a la circunferencia resulta perpendicular a uno de sus radios y calculo su radio como la distancia de un punto a la recta tangente. Resuelve ejercicios que involucran la ecuación o la " &
Determina el lugar geométrico que representa una ecuación de la forma. / #
los parámetros h, k, r de la ecuación de la circunferencia "
Observaciones:
158
8
Bloque V. Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia
Notas
159
Bloque VI
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola Desempeños del estudiante al concluir el bloque B / " B " B @ "
Objetos de aprendizaje B < " B " B " +
B "
+ &
B "
Competencias genéricas B
B !
+
B @ +
Atributos de las competencias genéricas
B · " "
B { & B % '
B / +
& "
160
Competencias disciplinares básicas Q % " + +
" + & G J " & & Y Z / " "
161
Matemáticas III Dinamización y motivación 0 ?
D ! & ? 2 N V = r h h 3
>N
x y
=7
E ? N wx _|2
>N ( x
5 )2
F J ? N 2 x ¨
>N _y \] N x2 _x ´ H ] ¸ ]? N x \y >N 2x ´ \y Q ! y x2 2x ´ " 00 ? D " \2 ] E K & " \2 ´ F K " ]x ´y2 @
H ]
+ " & Q \
Importante? & " "
+ " " "
"
162
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Contextualización < parábola
" 4
· +
#
+
k ' 4
"
' W%
[ W
[ W [
Figura 6.1 En la construcción, el arco más resistente tiene forma de parábola, por eso se utiliza en puentes, túneles, acueductos, en entradas o grandes ventanas de casas habitación, etcétera.
4
@ "
" + -D
N % " >N W`+ "
[ N W%
+[ N W%" [ N WZ
+[ )N W% &
" +[ + -E @ " ]
"
"
Figura 6.2 ¿Recuerdas los elementos
163
Matemáticas III
Sesión A. La parábola
como lugar geométrico Problematización ! &
? D < & E F < & &
Desarrollo de saberes
La parábola como lugar geométrico < parábola +
foco directriz. @" ' ? B & *,
+ & B ) "
& B $ )
&
& " "
B Vértice
&
+ " B Cuerda
"
164
Figura 6.3. Observa que el foco y el vértice se encuentran situados sobre el eje de la parábola.
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
B # & "
Figura 6.4
&*D { "
+ &
+
Figura 6.5
Solución
+ ©w| & Jw\|
" @
] &*E + "
+ \
165
Matemáticas III Solución 3.5 cm
Figura 6.6
+ " ?
"
&
"
Figura 6.7
Breve reseña histórica
%
'
#
'
&
166
< "
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&
4k @
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*
& <
© #
Figura 6.8.
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k /
# " & 4
& # & & "
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Síntesis & ' ? D { w " |
& "
Figura 6.9.
@ " E Z "
+ &
+ w
|
b)
N
Figuras 6.10 y 6.11
F + " k
? N %
+ & >N %
+ N ` " ]
167
Matemáticas III H { "
" ?
Directriz
Directriz 9 cm
12 m ?
?
Figuras 6.12 y 6.13
Q @ + " # $
&
+
Figura 6.14
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría 4
168
&* genérica
Atributos
·
"
"
0 &* O 4
Z
&
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
Bloque
I0$* & * >
&* * & &
P # &* O
Indicadores
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Regular
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169
Matemáticas III
Sesión B. Ecuación de la parábola con vértice en el origen Problematización <
"
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" Z ' ? +
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" [
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Desarrollo de criterios + "
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10
w | ' ¹¹ p @
4 __ 2 <
+ & __ ] 2
170
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
La ecuación de la parábola con centro en el origen @ "
+ Z
" x & Zw| @
+ ?
Figura 6.15
{ Zw| " +
!wp| < + –p
" Z" ! Z
J Z & ? !Z JZ
( x + p)
2
( x − p)
+ ( y − y )2 =
2
( x + p) + ( y − y ) = ( x − a) 2
2
+ ( y − 0)2 2
+y
x 2 + 2 px + p2 + y − 2 y 2 + y = x 2 − 2 px + p2 + y 2
y 2 4 px + "
" % p "
+ & "
+ & Jw| " ?
y 2 4 px 4 "
p wp¾| p wp¦| " ?
y 2 4 px
171
Matemáticas III © "
&
"
Figura 6.16
"
+ ©w|
Zw^| " ! J
? ! wx,p| Jwp| < + p,
" y p. ! Z J Z
!ZJZ
( − x + x ) + ( y + p) = ( − x − 0) + ( y − p) 2
2
( − x + x ) + ( y + p) 2
2
= x 2 + ( y − p)
2
2
x 2 − 2 x 2 + x 2 + y 2 + 2 py 2 + p2 = x 2 + y 2 − 2 py + p2 x 2 4 py
< "
+ & Jw| " p ? x 2 4 py
< "
p wp¾| % p "
? x 2 4 py
&*E & " y] x K
+ Solución
172
2 & Jwp|
p ?
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Z & " Jw^|* " x p Z
" x w| Z ? <¹¹¹ 16|=16, < _ &
"?
Figura 6.17
&*F < " 2 * &
" Solución 2
p? p p
6 3 4 2
⎛3 ⎞ , 0 ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠
< & J ⎜⎜
<
3 2
< < ¹p¹
⎛
3⎞ ⎝ 2⎠
< 4 ⎜ − ⎟ <
< ? x
3 2
y y2 px y2
y
2
⎛ = 4 ⎜⎜ ⎝
3 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝
3 ⎞⎟ 2 ⎟⎠
y2 y y = ± y 3
9
173
Matemáticas III ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞ , 3⎟⎟ y R ⎜⎜ , 3⎟⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
< L ⎜⎜
< " © <
&?
Figura 6.18
&*H "
+
_ + Solución < " x = p p _ p _ Z p > & "
& 2 px,
? y] w_|x y] ]x
y] ]x < " + ?
174
Figura 6.19
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
&*Q Zw\]| "
+
& Solución &
2 @ Zw\^]| " +
&
? 2 w^]|2 w^\| ^ ] \ __
2 \ __ & " Jw | y2 __ x \ 2 &*G < " ' ' +
& & & paraboloide
< ' &
" + & w|
4 ] W"
& [ "
+ Solución @ " +
+
" ] < ¹p¹ 4p = ] p = \ ! " \ & Z p y2=4px
y =1.2x. 2
< +
175 Figura 6.20
Matemáticas III
Actividad de aprendizaje 3 0 ? D ! "
+ "
?
N y x2
>N x y2
N 2x y2 E "
< N
x2´y
>N x =
y2 –1
N ]y x2 F Z &
"? N y2 x >N y2 ´ ]x N x2 ]y H "
+ & w| Q {+ " y ´ ©w| G {+ "
+
@w]| " Y ! "
+
Z " + "
5 cm 4
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+
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Síntesis ?
D + k & W%" "
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176
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[
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
F Z ' < & %
"
&
] "
W@ + & " ' [
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría 4
&* genérica
Z !
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Atributos
·
"
"
0 &* O
P # Regular
Bueno
Excelente
4
Z
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|
177
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
Bloque
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&* * & & ] J
"
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&
P # &* O /
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"
Indicadores
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178
/
" @
"
$
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"
"
+
Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Sesión C. Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen Problematización DN
"
4
? Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
,
Junio
©
]
]
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Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
P# &>
Diciembre
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]
]
EN 4 ' k ]
" ?
Ventas por meses 30 20 10 Ventas
0 0
2
4
6
8
10
12
14
Meses
Figura 6.21
FN % "
+
+ " ! "
+ " " W%
[ % '
179
Matemáticas III Desarrollo de saberes
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice fuera del origen Z &
?
4
3
2
1
Figura 6.22
0
4 "
+ %
" Z "
+ " w~|
+
Ecuación ordinaria de la parábola horizontal con vértice fuera del origen * > + &
? ( y − k )2 = 4 p( x − h) Z ? B ©w~|
+ " B B " p " p¾ "
p¦ ¹p¹
+ & B < & Jw´~|
180
B < B < <¹¹
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Ecuación ordinaria de la parábola vertical con vértice fuera del origen * >#
+ & ? ( x − h)2 = 4 p( y − k ) Z ? B ©w~|
+ " B
B " p " ¾ " ¦ ¹¹
+ & B < & Jw~ ´ | B < ~ B < < ¹¹ % &*D "
+ ©w]|
+ & \ Solución % " ( y − k )2 = 4 p( x − h) (h,k)
+ ~] &
" p 4 p + &
+ & \
¹¹\ Z "
¦ "
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& wy^]|2^]wx^| &*E Z " wx^|2]wy´|
+
" &
" Solución 4 " "
? ( x − 5)2 = 12( y + 1) ( x − h)2 = 4 p( y − k )
181
Matemáticas III
+ ©w~| k ~^
+
w ^|Z
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" p ? 12 3 *}F 4 @
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" p & w~´| w^´\| w]|
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] p
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<¹]¹
]
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\
"
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5
Eje de la parábola 4
f(5, 2)
Lr= 12
3
(11, 2)
(-1, 2) 2
1
Lr / 2= 6
Lr / 2= 6 | p | =3
0 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
-2
V(5, -1) -3
| p | =3
Directriz Y= -4
-4
Figura 6.23
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& Jw]|
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182
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Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
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& " * & "
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3
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Figura 6.26
p
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"
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w]\|
Actividad de aprendizaje 2 ?
D " & ? N Jw| * y \ >N Jw^]|* N Jw^|* ^ E !
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N wy ´ |2 wx ´ |
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N wx ´ \|2 wy |
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w]]| w]| H "
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183
Matemáticas III Síntesis ?
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Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría Z
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184
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
Bloque
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&
&
P # &* O
Indicadores
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" h k p
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+ & " p
"
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185
Matemáticas III
Sesión D. Ecuación general de la parábola con vértice fuera del origen Problematización w & | "
< & y = y 0 + v 0t +
gt 2
g & g_ 2
2 y v
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" & " ? ? %y2 ´ !x ´ y ´ J © ? @x2 ´ !x ´ y ´ J
Transitar entre las formas ordinarias y generales de las parábolas $ &
"
186
&*D " wy ]|] ]wx | &
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Solución &
+ y 2 − 4 y + 4 = −12x + 12 Z + ? y 2 − 4 y + 4 + 12x − 12 = 0 Z k + ? y 2 − 4 y + 12x + 4 − 12 = 0 " ? y 2 + 12x − 4 y − 8 = 0
&*E " x2 x ]y & Solución Z + " + x x 2 − 6x = 12y + 51 4 & +
x 2 − 6x + 9 = 12y + 51 + 9 +
+
+
x 2 − 6x + 9 = 12y + 60 J + +
& ( x − 3)2 = 12y + 60 J + + & k ( x − 3)2 = 12( y + 5) ! & & ( x − h)2 = 4 p( y − k ) &*F " " y 2 + 4 x + 8 y − 20 = 0 Solución
+ " p & LR
187
Matemáticas III Z & y 2 + 4 x + 8 y − 20 = 0 y 2 + 8 y = −4 x + 20 y 2 + 8 y + 16 = −4 x + 20 + 16 y 2 + 8 y + 16 = −4 x + 36 ( y + 4 )2 = −4( x − 9) @ " ] 4 "
+
&
+ ©w |
< & " w´~| w | w_| < w | ´ < < @
+ &
"? a
0 0
1
2
3
4
c5
6
7
8
9
10
11
-1
(8, -2)
-2
y2 + 4x + 8y- 20 = 0 -3 F = (8, -4)
-4
V = (9, -4) x = -10
-5
-6
(8, -6)
Figura 6.24
Máximos y mínimos de parábolas verticales $ "
"
$" /
" "
" ax2´bx´c
+ "
? 4 ¾ "
+
188
c
2 b2 b
x = −
+ V ⎛⎜− b , c − b ⎞⎟
4a 2a a a 2 2 ⎝ ⎠
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
4 ¦ " "
+
c
2 b b2
x = −
+ V ⎛⎜− b , c − b ⎞⎟
2a 4a 2a ⎠ ⎝ 2a
&*H !
" " y = −x 2 + x + 6 Solución <
+ & ? D % &
+ ! " y = −x 2 + x + 6
1 2 25 & ( x − ) = −( y − ) "
2 4 " ] 2 E &
+
! " y = −x 2 + x + 6
^ * & ? " c −
1 1 25 12 b2 b 1 1 =6− =6− =6+ = = x = − = − 4a 4( −1) 4 4 −4 2a 2( −1) 2
%
" &
Actividad de aprendizaje 3 ? D Z &
" ? N wx|2_w| >N wy|2]w\| N wy´|2w´| E " &
+ & "
N y2 _x ]y >N x2 ´ ]x ´ ]y ´ F "
+ w^| ´
w\^\| H {+ " Jw]| ]
189
Matemáticas III Q "
+
x y \ ]x ´ y ] G "
+ & 2 ´ y x y w]\| w\| Y
" "
Síntesis ?
D 4 "
x2 x ´ ] x y W +
" " [ E &" ' w| '
" ?
x2 x ]y ´ W%" ' &
[ F +
x wy| &
x x2 ´ \x y N W%" [ >N W%" " "[
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría Z
#
190
&* genérica !
+
Atributos ] {
&
0 &* O /
& @
&
w
&
|
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Categoría @
&
&* genérica @
+
P #
0 &* O
Atributos ] /
+
&
"
Regular
Bueno
Excelente
/
!
/
"
@
"
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
C
I0$* & * >
&* * & & ] J
"
&
&
P # &* O
Indicadores
/
"
&
"
"
&
"
@
"
!
"
&
Regular
Bueno
Excelente
191
Matemáticas III 1 %& curricular
, & F
C
I0$* & * >
&* * & & \
P # &* O
Indicadores
/
"
&
"
"
"
@
"
Regular
Bueno
Excelente
{ ?
Sesión E. Ecuación de la parábola dados tres puntos Problematización /
4
w^| w]| w|
W% [ > W`+ [
W`+ [
192
% & "
+ "
<
\\
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Desarrollo de saberes < "
"
x]´Dx´Ey´F @ "
w^|]´Dw^|´Ew|´F −6D + 4E + F = −36
(2)2 + D(2) + E ( 4 ) + F = 0
2D + 4E + F = −4 (6)2 + D(6) + E (7) + F = 0 6D + 7E + F = −36
{ ? −6D + 4E + F = −36
2D + 4E + F = −4 6D + 7E + F = −36
@ +
? D = 4 , E = −16 yF = 56 @ "
x 2 + Dx + Ey + F = 0 ? x 2 + 4 x − 16 y + 56 = 0 "
w^| w]| w|
Actividad de aprendizaje 4 ?
D "
w| w_^| w\| E "
? @w]]| w]| %w|
Síntesis
D & "
w| w| w| E " "
x2 ´ ]x y &
wx| N " >N W%" \ [
"
N W%" " + [
193
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría
&* genérica
Atributos
Z !
#
+
] {
&
@
&
] /
+
&
"
@
+
0 &* O /
& @
&
w
&
| /
!
/
"
@
"
194
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
Bloque
I0$* & * >
&* * & & ] J
"
&
&
P # &* O
Regular
Bueno
Excelente
&
/
"
"
&
"
" @
"
\
Indicadores
!
"
/
&
" "
"
"
@
"
{ ?
195
Matemáticas III Realimentación @ " &
D % &
+ " y2–12x=0. E "
+ V w| x=–2 W%"
[ F W%" " " x2–12y=0[
Figuras 6.25 y 6.26
Figuras 6.27 y 6.28
<
+ D ! " w^]|2^]w^\| W"
&[ N ( 0, 2 ) >N ( −2, 0 )
N ( 2, 0 )
N ( 0, −2 )
E W%"
+ " x 2 + 4 x + 2 y − 3 = 0 [ ⎛7 ⎞ ⎛ 7⎞ N ⎜ 2, ⎟ >N ⎜ , 2 ⎟
2 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠
196
⎛ 7⎞ N ⎜ −2, ⎟
2⎠ ⎝
⎛ 7 ⎞ N ⎜ − , −2 ⎟ 2 ⎝ ⎠
F W%" " y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0 [ N x >N x \
N x = −
N x
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
H W%" " y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0 [ N 16 >N 12
N 12
N 16
Q W%"
" y 2 + 16 x − 14 y + 33 = 0 2 x − y + 3 = 0 [ N 3 2 >N 4 5
N 3 5
N 20 5 G W%"
" "
x2 + 6x + 2 y + 4 = 0 [ 5 5 N >N \
N
2
2 Y W%" & "
N \
x 2 − 6 x + 12 y + 33 = 0 [ N F ( 3, 6 )
>N F ( −3, −6 )
N F ( 3, −6 )
N F ( 6, −3)
⎛ 1 ⎞ Z W%" " ⎜ − , −2 ⎟ [ 3 ⎝ ⎠
N y 2 + 12 x = 0
>N y 2 − 12 x = 0
N x 2 + 12 y = 0
N x 2 − 12 y = 0
k W%" " y 2 − 12 x − 6 y − 15 = 0 [ N x = −2
>N x 2
N y \
N
y = −\
DJ W%"
" y 2 + 4 x + 2 y − 19 = 0
\[ N]
>N\
N
N
DD W%" " & F ( 6, −2 ) x − 2 = 0 [ 2 N y − 8 x + 4 y + 36 = 0
2 >N y + 8 x − 4 y − 36 = 0
2 N y − 4 x + 8 y + 36 = 0
2 d) y − 4 x + 8 y + 16 = 0
DE "
( 4 , 5 ) ; ( −2, 11 ) ; ( −4 , 21 ) !
+ " N ( 2, 3)
>N ( 3, 2 )
N (1, 3)
N ( 2, 4 )
DF 4 " 3 x − 4 y + 5 = 0 & F ( 6, 2 ) W"
+ [ N
>N]
N\
N
DH W%"
"
"
x 2 − 6 x − 12 y − 51 = 0 [ N$" \
N$ / \
>N$"
N$
197
Matemáticas III DQ % W" & [ y 3 2 1 x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1 -2 -3
Figura 6.29
A.< y − 3 = 0 B. & F ( −1, −2 ) C. x + 1 = 0 D.< " x 2 + 2 x − 4 y − 1 = 0 N4 /
>N4 ///
N4 // ///
N4 / /©
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría 4
198
&* genérica
Atributos
·
"
"
0 &* O 4
Z
&
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
&* genérica
Categoría Z
#
@
&
Atributos
!
+
] {
&
@
+
] /
+
&
"
0 &* O
P # Regular
Bueno
Excelente
/
& @
&
w
&
| /
!
/
"
@
"
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
Bloque
I0$* & * >
&* * & & %
"
+
+
"
+ &
P # &* O
Indicadores
@
"
/
"
Regular Bueno
Excelente
%
"
+ &
199
Matemáticas III 1 %& curricular
, & F
Bloque
I0$* & * >
&* * & & ] J
"
& &
P # &* O /
"
"
@
"
Indicadores "
+
/
"
+
/
"
+
{
"
+
!
"
+
"
+ & /
"
+ &
#
" h k p
"
" !
"
+ & " h k p
"
&
" &
" !
" &
&
"
200
&
" !
"
Regular Bueno
Excelente
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
1 %& curricular
, & F
Bloque
I0$* & * >
&* * & & \
P # &* O /
"
"
@
"
Indicadores
Regular Bueno
Excelente
# "
h k p "
" K "
& " ?
+ & "
$
"
"
"
+ &
"
" &
"
"
_ /
"
"
/
"
"
+
!
" "
+
{ ?
201
Matemáticas III
Notas
202
Bloque VI. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
Notas
203
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse Desempeños del estudiante al concluir el bloque B / B B @
Objetos de aprendizaje B B B
B
&
B
Competencias genéricas y atributos B
B · " " B ! +
B { & B % '
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
204
Competencias disciplinares básicas % " + +
" + & ] J " & & \
_ / " "
205
Matemáticas III Dinamización y motivación 0 D &
E & & 00 D k k k ?
]_ \ > \ E 4 ?
_
\] 9
000 & k ?
>
D
E
2
0I ! ?
D a2=b2+c2 b E a2=b2+c2 c
Contextualización k
& + ' "
@ "
" &
" 4
elipse <
+
&
206 Figura 7.1
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
!
& Situación '
' " &
" \] " & & "
]
Figura 7.2
Z ? N W@ + " [
>N W%" " [ N W`+ [
Sesión A. La elipse como lugar geométrico Problematización 4
]
! + +
Desarrollo de criterios Elipse + Zw| +
focos <
vértices 2a
207
Matemáticas III <
< elipse
?
Figura 7.3
³ Focos? F F & ³ )? & * L \ ³ &? & ' R ³ Vértices? &
V V ³ * ?
+
4 % ³ &?
+ \
©©Â 2a ³ & ? &
2b. 4 @ @Â ³ + & c? & ³ ' ? & &
< LR '* - - * C & ) "
X " *
Y "
@
+
"
& { ? Figura 7.4
208
B ?
J K !
B # ? FP F’P Z
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Formas de construir una elipse & ? N '
>N &
N
& N % "
{"
2a.
Figura 7.5
&
&% { & " < N % +
+ " >N ! & & F F’ N R + F F’ <
" N @ " V’ R N & F, F’
)N @ VR F F’
4 "
N Z k " w |
209
Matemáticas III
Figura 7.6
% +
+ & " & "
% & "
+ < 8 * + & % '
&
&
e
?
4 w|
&
Relación entre los elementos a, b y c de una elipse ' a b
c &
Figura 7.7
Z
ΔF ′OA ≅ ΔFOA *
F ′A ≅ FA +
? F ′A + FA = V′V = 2a
4 @w| & ?
(0 + c ) + (b − 0) 2
2
+
(0 − c ) + (b − 0) 2
c 2 + b 2 + c 2 + b 2 = 2a
210
2 c 2 + b 2 = 2a
2
= 2a
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
@ ? c 2 + b2 = a 4 ?
(
c 2 + b2
)
2
= a2
a 2 = b2 + c 2
< "
" !
&
a b c % &*D "
& Jw| %
a b c + + " " Solución 4 +
&* w| % +
& JÂw^|
4 \
@Âw^\|
@w\| Z a a 2 = b 2 + c 2 4 a 2 = 32 + 4 2
Z V ′ ( −5, 0 ) Vw|
+ @
Figura 7.8
211
Matemáticas III &*E 4 "
b "
& c 4 3 " " Solución ! a 2 = b 2 + c 2 a: a = b 2 + c 2
( )
@ ? a = 4 2 + 4 3
2
@ ? _ % _
& c 4 3 "
Figura 7.9
Actividad de aprendizaje 1 D 4
"
%
&
212
Figura 7.10
Figura 7.11
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Figura 7.12
Figura 7.13
4
& Jw| "
"
" E < 2
+ V ( 4, 0 ) %
2 &
e
F @ &
%
"
k " "
N ]
& >N _
& \
213
Matemáticas III
Sesión B. Ecuación de la elipse con centro en el origen Problematizacion < ! w| " + k
&
+ "
Desarrollo de criterios
Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen Z & "
Figura 7.14
214
{ Zw| &
JÂw^| Jw|
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
%& ? F ′P + FP = 2a
@ & F P FP ?
(x + c) + (y − 0) 2
(x − c) + (y − 0) 2
⎛ ⎜ ⎝
+
2
= 2a −
(x − c) + (y − 0)
(x − c)
2
2
(x − c) + (y − 0)
2
2
2
2
(x + c)
−4cx = 4 a 2 − 4 a
2
(x + c)
−4cx − 4 a 2 −4 a = −4
(x + c)
(cx + a ) 2
2
(x + c)
⎛ = ⎜a ⎝
2
2
2
⎞ ⎟ ⎠
2
+ y2 + (x + c) + y2 2
2
+ y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2
+ y2
+ y2
−4cx − 4 a 2 = −4 a
cx + a 2 = a
2
(x + c)
(x + c)
2
(x + c) + (y − 0)
(x + c)
x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a −2cx − 2cx = 4 a 2 − 4 a
= 2a
(x + c) + (y − 0)
⎞2 ⎛ ⎟ = ⎜ 2a − ⎠ ⎝
+ y 2 = 4a 2 − 4a
2
2
2
+ y2 + y2
−4 2
+ y2
(x + c)
2
⎞ + y2 ⎟ ⎠
(
2
c 2 x 2 + 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2
)
c 2 x 2 + 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2
4 + ? c 2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 a 2 = b 2 + c 2 c2? c 2 = a 2 − b2
215
Matemáticas III 4
c2 ?
(
)
(
)
x 2 a 2 − b2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2 a 2 − b2 + a 2 y 2
a 2 x 2 − b2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 4 − a 2 b2 + a 2 y 2 − b 2 x 2 = −a 2 b 2 + a 2 y 2 − b 2 x 2 − a 2 y 2 = −a 2 b 2 b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b2
b2 x 2 a 2 y 2 a 2 b2 + =
a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
x2 y2 + =1 a 2 b2 Z *
x y2 + = 1 )&- * & )& naria
a 2 b2 a b 2
%
&
& @ % MM 4 $ & J " " JÂ$J
Figura 7.15
% Z" " F ' MF ? 2
2
F ′M + F ′F = FM
2
% F ′F = 2c F ′M + ( 2c ) = FM 2
216
2
2
2
2
@ F ′M = FM − 4c 2
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Z F ′M + FM = 2a *
FM = 2a − F ′M @ ? 2
(
F ′M = 2a − F ′M
)
2
2
− 4c 2 2
F ′M = 4 a 2 − 4 aF ′M + F ' M − 4c 2 2
2
F ′M − F ′M + 4 aF ′M = 4 a 2 − 4c 2 4 aF ′M = 4 a 2 − 4c 2 aF ′M = a 2 − c 2
a 2 = b 2 + c 2 b 2 = a 2 − c 2 a ? aF ′M = b 2
b2 a 2b 2 @ + M′M = a F ′M =
& ? LR
2b 2 a
Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen ! &
+ ?
J ?
x2 y2 + = 1 a b b2 a 2
&
4 ¾ "
" & &
?
( )
4 a 2 x 2 *
x2 y2 + =1 a 2 b2
217
Matemáticas III ( )
4 a 2 y 2 * #
x2 y2 + =1 b2 a 2
&*D 4 & JÂw^\| Jw\| "
% ? w|
w| w| w| w| " Solución % & JÂw^\| Jw\|
+ * "
& + 4
c & \ 4k
a 4 D a 2 = b 2 + c 2 b b = a 2 − c 2 @
b = 16 − 9 =
7
N 2b 2 7 >N ? 2a = 2 ( 4 ) = 8
2b 2 14 a 4 c 3 N ? e a 4 N < ? LR
7
2
3.5
2
N 4
)N K"?
⎛ 103 ⎞ M ⎜ −3, ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎝
218
⎛ 103 ⎞ M' ⎜ −3, − ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎝
2
x y x2 y2 + 2 = 1
+ =1 2 a b 16 7
A(0, 7) ⎛ 103 ⎞ N ⎜ 3, ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎝
A'(0, − 7)
⎛ 103 ⎞ N' ⎜ 3, − ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎝
Figura 7.16
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
&*E <
+ ©Âw| ©w|
4 % ? w| w|
e 5 w| w| w| " Solución Z *
+
<
+
c 4 a % e
a 5
c 4
a 5
? c
5 5 ⎛4⎞ c = 5 ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ! a 2 = b 2 + c 2 b b = a 2 − c 2 @
b = 52 − 4 2 = 25 − 16 = 9 = 3 N 2b = 2 ( 3 ) = 6 >N ? 2a = 2 ( 5 ) = 10 2b 2 2 ( 3 ) 18 N < ? LR = = = a 5 5 2
x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 2 + 2 = 1 2 b a 3 5 x2 y2
+ = 1 { &
a 25 ]x2 ´ y2 ^ N K"? N 4
V(0,5)
V’(0,-5)
219 Figura 7.17
Matemáticas III &*F ! 2´]2^ ? w|
w| w| w| w|
"
Solución & 2´]2^ &
+
x2 y2 + = 1 100 36
x 2 @
x2 y2 x2 y2 + = 1 2 + 2 = 1 ? a b 100 36
a 2 100 , a 2 100 a Z b 2 36 b 2 36
b6
@ a 2 = b 2 + c 2 + ? c = a 2 − b2 @ ?
c = 10 2 − 6 2 = 64 = 8 % N < ? 2a 2(10) 20 >N < ? 2b 2(6) 12 N ? e
8 4 10 5
N 4 ? LR N K"?
220
2b 2 2(6)2 36 a 10 5
Figura 7.18
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Actividad de aprendizaje 2 ?
DN !
+ w| & w| x2 y2 ´
16 "
EN !
FN <
+ w| w| &
w| w| ! HN <
+ " w| w|
QN < & w]| w]| !
6
Sesión C. Ecuación de la elipse con centro fuera del origen Problematización &
] & \ "
Desarrollo de criterios elipse &
" & &
< W
& [ <
&
&
2
2
x y x2 y2 + 2 = 1
& 2 + 2 = 1
2 b a a b
]a ]b / & " &
&
221
Matemáticas III & & & x2+y2=r2 & wx-h|2´wy-k|2=r2
wh k| & @
" " "
& k
wh k| Z "
wh k| @
+ & ?
Figura 7.19
< "
à Ã
] "
x, y , + = 1
a 2 b2
*
a b
à à "
Figura 7.20
222
@
& p &
?
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Z Z " x=x’+h, x’=x-h. Z Z " y=y’+h, y’=y-h.
x, y , 2 + 2 = 1
a b X´ Y´ ?
( x − h)
2
+
a2
(y − k)
2
=1
b2
- * ) %
& & * " &
" " ! " - * # )
<
&?
( x − h) b2
2
+
(y − k)
2
a2
=1
` ! +
' "
& @ " 4
+ &
* ) & %
Ecuación C ( h, k )
%
+
V1 ( h − a, k )
y
V2 ( h + a, k )
%
+
A1 ( h, k − b )
y
A2 ( h, k + b )
<
2a
a 0
<
2b
b 0
223
Matemáticas III * ) &
Ecuación
% &
F1 ( h − c, k )
<
LR
e
b2 = a 2 − c 2
2b 2 a
c a ¦ ¦
( x − h)
F2 ( h + c, k )
y
a
2
+
2
(y − k) b
2
=1
2
* # ) &
-
%
C ( h, k )
%
+
V1 ( h, k − a )
y
V2 ( h, k + a )
%
+
A1 ( h − b, k )
y
A2 ( h + b, k )
<
2a a 0
<
2b b 0
% &
F1 ( h, k − c )
<
LR
e
b2 = a 2 − c 2
( x − h)
y
F2 ( h, k + c )
2b 2 a
c a
e 1
b2
2
+
(y − k) a2
2
=1
@
& &*D
224
%w^\| _
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Solución % &
( x − h)
2
+
(y − k)
2
= 1
h k
a b
b2 a2
* h^\ k
10 5
2 8 Z 2b 8 de donde b 4
2
2a 10 de donde a
@
"?
( x − ( −3) ) + ( y − 1) 2
(4)
2
(5 )
2
2
= 1 J ( x + 3 ) + ( y − 1) = 1 16 25 2
&*E K
( x + 1) 16
2
+
2
( y − 2) 9
2
= 1
Solución Z
&
* " Z
+ x
( x − h)
2
(y − k) +
2
=1 a2 b2 " %w^]| "
2 2 \* <
" ]]w|_ ]]w\|
@ LR
2b 2
a
LR
2(3)2 2(9) 18 9 4.5 *
4 4 4 2
& F1 ( h − c, k )
y
F2 ( h + c, k )
b 2 = a 2 − c 2 c
" c 2 = a 2 − b 2 de donde c = a 2 − b 2
a y b
c " c = (4)2 − (3)3 = 16 − 9 = 7 ≈ 2.64 Z
& ]
225
Matemáticas III
Figura 7.21
@ &
& "
c
d
Figura 7.22
&*F
V1 ( 2, 4 ) y V2 ( 7, 4 )
Solución
16 5
Z
Z
+ "
C
Figura 7.23
226
! +
+
" & ( x − h ) + ( y − k ) = 1
a2 b2 2
2
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
C(h, k)
a y b Z
+ * 4+4 8 2+7 9 ⎛9 ⎞ = = 4 C ⎜ , 4 ⎟ !
= k = " h = 2 2 2 2 ⎝2 ⎠
a
"
5 2a 2a 5 a 4 &
2
b
16 2b 2
LR
a 5
LR
b =
b=
⎛ 16 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ 5 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 2
2b 2 16 ! b
5
a
⎛ 16 ⎞ ⎜ 5 ⎟ (a ) ⎝ ⎠ a
2
16 2 = 2
8 = 4 = 2 J
2
"? 2
9⎞ ⎛ 2 ⎜x − 2⎟ ⎝ ⎠ + (y − 4) = 1 2 2 ⎛5⎞ (2) ⎜2⎟ ⎝ ⎠
2
9⎞ ⎛ 2 ⎜x − 2⎟ ⎠ + (y − 4) = 1 ⎝ 25 4 4 &*H
(x − 4) 4
2
+
( y + 5) 36
2
=1
Solución @
( x − h)
2
C(4, 5)
a 6 y b 2
+
(y − k)
2
= 1
b2 a2 "
&
227
Matemáticas III @
" ]
! +
? B %? C(4, 5) B % ? V1 ( 4,1) y V2 ( 4, −11)
B % ? A1 ( 2, −5 ) y A2 ( 6, −5 ) B < ? 2a 2(6) 12 Figura 7.24
B < ? 2b 2(2) 4 2b 2 2(2)2 2(4) 8 4 a 6 6 6 3 Z
Z 22^2 22-
B < ? LR
2 c = a 2 − b 2 = (6)2 − (2)2 = 36 − 4 = 32 ≈ 5.65
& " ? B % &? F1 ( 4, 0.65 ) y F2 ( 4, −10.65 ) B ? e =
32 5.65 c ≈ ≈ .94 = 6 6 a
Actividad de aprendizaje 3 ?
DN !
~ ?
w y ´|2 w x \|2 ´
]
\ w y ´\|2 ´
+ &
"
EN !
w x ´\|2
FN ! \
w\| HN !
+ Zw_|* `w_| 4w]| QN ! w]\| & w]_| .
228
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Sesión D. Ecuación general de la elipse Problematización +
"
+ !
'
" !
\ ] 4
Desarrollo de criterios & <
&
( x − h)
( x − h) a2 2
+
2
+
(y − k)
(y − k) b2
2
= 1
2
= 1 /
b2 a2 & " " & &
&
*
@
& © Z
( x − h)
2
+
(y − k)
2
= 1
a2 b2 & Z
a 2 b 2 ?
(
⎛ ( x − h )2 ( y − k )2 ⎞ a 2 b2 ⎜ + = 1⎟ 2 2 ⎜ a ⎟ b ⎝ ⎠
)
(a b ) ( x − h) + (a b ) ( y − k ) 2
2
2
a2
2
2
b2
2
(
= 1 a 2 b2
)
229
Matemáticas III b2 ( x − h ) + a 2 ( y − k ) = a 2 b2 2
(
)
(
)
b 2 x 2 − 2hx + h2 + a 2 y 2 − 2ky + k 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 − b 2 2hx + b 2 h2 + a 2 y 2 − a 2 2ky + a 2 k 2 = a 2 b 2
b 2 x 2 + a 2 y 2 − b 2 2hx − a 2 2ky + b 2 h2 + a 2 k 2 − a 2 b 2 = 0
? A b 2 C a 2 D = −2hb 2 E = −2ka 2 F = b 2 h2 + a 2 k 2 − a 2 b 2
&?
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 < & @
( x − h)
2
(y − k)
2
= 1 a2 b2 " "
& ! + "
" &
&
+
@ " " &
&*D ?
( x + 1)
2
8
Solución
( y − 3) +
2
=1
4
Z
?
( x + 1) 8
2
+
( y − 3) 4
2
=1
⎛ ( x + 1)2 ( y − 3 )2 ⎞ (8)(4) ⎜ + = 1⎟ ⎜ 8 ⎟ 4 ⎝ ⎠ (8)(4) ( x + 1) 8
230
2
+
(8)(4) ( y − 3 ) 4
2
= (8)(4)(1)
(4)(x + 1)2 + (8)(y − 3)2 = 32
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
(4)(x 2 + 2 x + 1) + (8)(y 2 − 6 y + 9) = 32 4 x 2 + 8 x + 4 + 8y 2 − 48y + 72 = 32 4 x 2 + 8y 2 + 8 x − 48y + 4 + 72 − 32 = 0
4 x 2 + 8y 2 + 8 x − 48y + 44 = 0 &*E
V1w^| V2w^^]|
A1w^\| A2w| Solución @ "
]?
Figura 7.25
%w^|
\ ]
( x + 1) 4
2
( y − 1) +
2
= 1
9
& ?
( x + 1) 4
2
( y − 1) + 9
2
=1
⎛ ( x + 1)2 ( y − 1)2 ⎞ (4)(9) ⎜ + = 1⎟ ⎜ 4 ⎟ 9 ⎝ ⎠ (4)(9) ( x + 1) 4
2
+
(4)(9) ( y − 1) 9
2
= (4)(9)(1)
(9)(x + 1)2 + (4)(y − 1)2 = 36 (9)(x 2 + 2 x + 1) + (4)(y 2 − 2y + 1) = 36 9x 2 + 18 x + 9 + 4 y 2 − 8y + 4 = 36
231
Matemáticas III 9x 2 + 4 y 2 + 18 x − 8y + 9 + 4 − 36 = 0
9x 2 + 4 y 2 + 18 x − 8y − 23 = 0 % "
k
@ ? W [ W "
[ %+ ' &
& &
"
" "
w
| Ax2+Cy2+Dx+Ey+F
W + [ & " ?
+ & % Ax2+Cy2+Dx+Ey+F
& x2
y] * k
4
&
Z +
?
( Ax
2
) (
)
+ Dx + Cy 2 + Ey + F = 0
Z & & k
+ " J?
D ⎞ E ⎞ ⎛ ⎛ A ⎜ x 2 + x ⎟ + C ⎜ y 2 + y ⎟ = −F A ⎠ C ⎠ ⎝ ⎝ @ & ?
⎛ ⎛ D D2 ⎞ E E2 A⎜ x2 + x + + C⎜y2 + y + 2 2 ⎟ A C 4A ⎠ 4C ⎝ ⎝
232
⎞ AD 2 CE 2 + 2 −F ⎟= 2 4C ⎠ 4A
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
? 2
2
⎛ ⎛ D ⎞ E ⎞ D2 E 2 CD2 + AE 2 − 4 ACF A⎜ x + + −F = ⎟ +C⎜ y + ⎟ = 2A ⎠ 2C ⎠ 4 A 4C 4 AC ⎝ ⎝
@ @%? 2
2
⎛ ⎛ E ⎞ D ⎞ CD2 + AE 2 − 4 ACF A⎜ x + ⎟ +C⎜ y + ⎟ 2A ⎠ 2C ⎠ ⎝ ⎝ 4 AC = AC AC J ?
2
2
⎛ ⎛ D ⎞ E ⎞ ⎟ ⎟ ⎜y+ ⎜x + 2A ⎠ 2C ⎠ CD2 + AE 2 − 4 ACF ⎝ = +⎝ C A 4 A2C 2 @ & &
A, C, D, E F &
Z +
&
@
&*F ?
x 2 + 4 y 2 + 2 x − 12y + 6 = 0 Solución @ ?
(x
(x
2
2
) (
)
+ 2 x + 4 y 2 − 3y = −6
9⎞ ⎛ + 2 x + 1 + 4 ⎜ y 2 − 3y + ⎟ = 1 + 9 − 6 4⎠ ⎝
)
( x + 1)
2
2
3⎞ ⎛ + 4⎜y − ⎟ = 4 2⎠ ⎝ 2
( x + 1) 4
2
3⎞ ⎛ ⎜y − 2 ⎟ ⎝ ⎠ =1 + 1
&*H ! ? x2+9y2-32x+18y´\
233
Matemáticas III Solución Z
?
4 x 2 + 9y 2 − 32 x + 18y + 37 = 0
(4x 4 (x
2
2
(
) ( − 8x ) + 9 ( y
)
− 32 x + 9y 2 + 18y = −37 2
)
+ 2y = −37
) (
)
4 x 2 − 8 x + 16 + 9 y 2 + 2y + 1 = 64 + 9 − 37 4 ( x − 4 ) + 9 ( y + 1) = 36 2
(x − 4) 9
2
2
+
( y + 1)
2
4
= 1
? C ( 4,−1)
Actividad de aprendizaje 4 ? DN ! w2,| w]|
\x +8y ].
2
2
2
\
] . De "
x2 w y|2 ´
] 2 9 2 2 FN ! x +2y ]x+8y´
EN ! ?
HN <
+ w_| w]| ] ! QN <
+ w| w|
2
6
Síntesis { ? DN 4 &
_ ' W%" & [
234
EN < & " ] " !
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
FN !{! 8
"
HN 4 " " &
$" 4
W+
[ QN
& " W`+ &
\ [ GN < ~
& ~
4 YN <
& 4
" \ W +
" " [ ZN < '
" \ "
"
W%" " " [ >
W% & " & [ kN ] ] " ] 4
_
]
_
]
235 Figura 7.26
]
Matemáticas III DJN
&
<
wx|2 wy\|2 ´
16 " >
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría 4
Z
#
&* genérica
Atributos
·
"
"
!
+
] {
&
0 &* O 4
Z
& /
& @
&
w
&
+|
%
'
/
@ +
236
P # Regular
Bueno
Excelente
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Categoría @
&
&* genérica @
+
0 &* O
Atributos ] /
+
&
"
P # Regular
Bueno
Excelente
/
!
/
"
@
"
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
C
I00$* & *
&* * & & %
"
+
+
"
+
&
P # &* O /
@
0
Regular
Bueno
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/
/
&
&
"
237
Matemáticas III 1 %& curricular
, & F
C
I00$* & *
&* * & & ] J
"
&
&
P # &* O /
@
0 {
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"
!
&
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&
\
238
/
/ &
@
#
"
" !
"
Regular
Bueno
Excelente
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
1 %& curricular
, & F
C
I00$* & *
&* * & & _ /
"
"
P # &* O /
0
Regular
Bueno
Excelente
+ !
"
@
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Realimentación < " &
D Z \x2+2y2
]x2´y2^ x2+3y2] ? w|
+ w| & w|
w| w| w&| " E 4
2 3 2 2 2 1 %
&
& F < Aw^\| Bw\| Cw^|
+ " *
% @ & H
Ä x2+2y2+2x+12y+19+2k
239
Matemáticas III Q W%" %w]|[ 2 2 N 4 x + 3 y − 16 x + 6 y + 19 = 0 2 2 >N x + 2 y − 2 x − 8 y + 9 = 0 2 2 N x + 2 y − 2 x + 12 y + 19 = 0
N x 2 + 2 y 2 − 4 x − 4 y + 6 = 0 G ! "
N 2 x 2 + 3y 2 − 2 x − 4 y − 1 = 0 >N 4 x 2 + 5y 2 − 2 x − 4 y − 6 = 0 N
3x 2 + 2y 2 − 2 x − 4 y − 5 = 0
N 2 x 2 + 5y 2 + 2 x − 4 y + 2 = 0 Å
Y ! "
N 4 x 2 + 5y 2 − 16 x − 30 y + 61 = 0 >N 5x 2 + 2y 2 − 10 x + 5 = 0 N
4 x 2 + 2y 2 − 24 x − 4 y + 38 = 0
N 2 x 2 + 5y 2 + 4 x + 30 y + 57 = 0 Å
Z ! " + N 4 x 2 + 9y 2 + 8 x + 36 y + 112 = 0 >N 16 x 2 + 4 y 2 − 64 x + 8y + 132 = 0 N 5x 2 + 2y 2 − 10 x + 4 y − 3 = 0 N 2 x 2 + 5y 2 + 4 x + 10 y + 17 = 0 Å
k WZ "
A C x2+2y2^x^y´
+ [ DJ W%"
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F [ N J
N J
>N J
N
DD WZ +
A , C, D, E, F, Ax2+Cy2+Dx+Ey+F
+ [
240
N 3, 1,
6,
>N 3,
6,
2,
2, 4,
2 7
N
2,
N 16,
3,
25,
0,
6,
32,
3
0,
416
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Evaluación de la competencia Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas Categoría 4
&* genérica
Z !
#
+
@
&
@
+
Atributos
·
"
"
0 &* O
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Bueno
Excelente
4
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"
241
Matemáticas III Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares 1 %& curricular
, & F
C
I00$* & *
&* * & & %
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"
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0
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242
!
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Regular
Bueno
Excelente
Bloque VII. Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
1 %& curricular
, & F
C
I00$* & *
&* * & & \
P # &* O
0
Regular
Bueno
Excelente
/
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#
"
"
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"
"
/
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!
"
@
{ ?
243
Notas 244
Notas 245
Notas 246
Notas 247
Bibliografía 248
B /" % Z K K w]| Matemáticas 3, con enfoque en competencias. $+? %K@K B /" % Z K K w]| Matemáticas 3: Geometría analítica. $+? B Ä Å w_| Teoría y problemas de geometría analítica plana y del espacio $+? $KV^ B < $ al. w]_| Matemáticas 3: con enfoque en competencias.
$+? ~ $ B $ Z w]| Matemáticas 3 $+? 4 B $+ @ w]| Matemáticas 3. $+? 4 B 4 Z $' %+ < w]| Matemáticas 3. $+? /