Rogerio Moreira Lima Silva Marcelo Lyra Brandão
Manual de Problemas Resolvidos ELETROMAGNETISMO VOLUME I
PA P E L
V I R T UA L
Copyright© 2000 por Marcelo Lyra Brandão e Rogerio Moreira Lima Silva Título Original: Manual de Problemas Resolvidos Eletromagnetismo Editor-Chefe: Tomaz Adour Editoração Eletrônica: Andrea Cavalcanti Revisão: Patrícia Simões Carneiro
Papel Virtual Editora Rua Marquês de São Vicente, 225 Prédio Genesis - sala 21-A - PUC-Rio Gávea - Rio de Janeiro - RJ CEP: 22453-900 Tel: (021) 239-0170 Ramais: 2057 / 2026 (fax) E-mail:
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Brandão, Marcelo L. Manual de Exercícios Resolvidos: Eletromagnetismo / Marcelo L Brandão, Silva, Rogerio M L. - São Luís, 1999. V.1, 136 pg. 1. Eletromagnetismo - exercícios I Silva, Rogerio M L. II Título
CDD 535.14 CDU 537.8
Marcelo Lyra Brandão Doutor em Engenharia Elétrica pela Unicamp Professor Adjunto do Departamento de Engenharia de Eletricidade da Ufma Rogerio Moreira Lima Silva Estudante de Engenharia Elétrica da Ufma
Manual de Problemas Resolvidos Eletromagnetismo VOLUME I
A meus avós; em especial a meu avô William Moreira Lima. A minha família, em especial aos meus pais. A meu tio Aluizio Moreira Lima, pelo empenho pessoal. À minha noiva, Cintia Karine Carneiro Rocha, por tudo. R. M. L. Silva
PREFÁCIO
Este manual tem por finalidade auxiliar os estudantes de Engenharia Elétrica no estudo do eletromagnetismo. O manual é direcionado a resolução de problemas do livro “ Eletromagnetismo, Kraus / Carver”, mas são resolvidos também exercícios de outros livros. É relevante citar que se optou por seguir a ordem de capítulos do livro acima citado, ou seja,” Eletromagnetismo, Kraus / Carver”. Neste primeiro volume serão apresentadas resoluções de exercícios dos capítulos 1(um) ao 9 (nove) e no segundo volume, dos capítulos 10(dez) ao 14(catorze). Também serão fornecidas ao final de cada capítulo as referências bibliográficas para pesquisa da teoria, a qual forma a base teórica necessária para perfeito entendimento dos exercícios resolvidos. Esperamos que este manual seja utilizado por professores que adotem o livro “Eletromagnetismo, Kraus / Carver” ou “Eletromagnetics, Kraus”, e que o mesmo seja de grande valia para melhor entendimento da teoria. Tendo em vista que todo e qualquer trabalho não está imune a erros e consequentemente eventuais correções, os leitores que desejarem fazer críticas e, ou, sugestões devem dirigir-se aos autores no Departamento de Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal do Maranhão (UFMA). Marcelo Lyra Brandão
[email protected] Rogerio Moreira Lima Silva
[email protected] [email protected] [email protected]
SUMÁRIO
Capítulo 1 ............................................................................... 13 Capítulo 2 ............................................................................... 19 Capítulo 3 ............................................................................... 33 Capítulo 4 ............................................................................... 51 Capítulo 5 ............................................................................... 59 Capítulo 6 ............................................................................... 87 Capítulo 7 ............................................................................... 95 Capítulo 8 ............................................................................. 103 Capítulo 9 ............................................................................. 113 Bibliografia Consultada ..................................................... 133 Biografia dos autores .......................................................... 135
LISTA DE FIGURAS
Figura Prob. 2-2 ..................................................................... 21 Figura Prob. 3-3 .................................................................... 36 Figura Prob. 3-4 .................................................................... 38 Figura Prob. 3-5 .................................................................... 39 Figura Prob. 3-8a .................................................................. 44 Figura Prob. 3-8b .................................................................. 46 Figura Prob. 3-9 .................................................................... 46 Figura Prob. 3-10 .................................................................. 48 Figura Prob. 4-2 .................................................................... 52 Figura Prob. 5-2 .................................................................... 60 Figura Prob. 5-3a .................................................................. 61 Figura Prob. 5-3b .................................................................. 62 Figura Prob. 5-5 .................................................................... 65 Figura Prob. 5-6a .................................................................. 67 Figura Prob. 5-6b .................................................................. 68 Figura Prob. 5-6c .................................................................. 68 Figura Prob. 5-9 .................................................................... 72 Figura Prob. 5-12 .................................................................. 73 Figura Prob. 5-13a ................................................................ 75 Figura Prob. 5-13b ................................................................ 75 Figura Prob. 5-14 .................................................................. 77 Figura Prob. 5-15 .................................................................. 79 Figura Prob. 5-16a ................................................................ 81 Figura Prob. 5-16b ................................................................ 81 Figura Prob. 5-18 .................................................................. 83 Figura Prob. 5-19 .................................................................. 85 Figura Prob. 5-20 .................................................................. 86 Figura Prob. 6-5 .................................................................... 90 Figura Prob. 6-7 .................................................................... 93 Figura Prob. 8-2 .................................................................. 104 Figura Prob. 8-3a ................................................................ 105
Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob. Figura Prob.
8-3b ................................................................ 105 8-4a ................................................................ 106 8-4b ................................................................ 107 8-5 .................................................................. 108 8-6 .................................................................. 109 8-7 .................................................................. 110 9-11 ................................................................ 122 9-15 ................................................................ 125 9-16 ................................................................ 127 9-17 ................................................................ 128 9-18 ................................................................ 130
12
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO 1.1- Dar: a) A descrição dimensional b) As fórmulas dimensionais em termos dos símbolos M,L,T e I c) As unidades de SI, para as seguintes expressões:
dl dt
∫ F.dl
dl dx
onde l é o comprimento, Fonte:[1]
t o tempo e
Sol: a)
dl = velocidade dt
∫ F .dl = trabalho dl = a dim ensional dx 13
F a força
b) dl comprimento L = = dt tempo T
∫ F.dl = ( forçca) * (comprimento) = (massa) * (aceleração) * (comprimento) velocidade (massa) * (comprimento) * (comprimento) = = (massa) * (tempo) 2 tempo M .L ⇒ ∫ F.dl = 2 T dl (comprimento) L = = =1 dx (comprimento) L
c) dl = m / s (metros.. por..segundo) dt
∫ F .dl = J ( joules) dl = a dim ensional dx
1.2) Dar o que se pede no problema 1.1 para
∫∫∫ ρ.dv;V ; E; ∫ E.dl;
1 Q2 ; ; J ; BIL 4.π .ε 0 4.π .ε 0 .r 2
Fonte:[1] Sol:
14
a)
∫∫∫ ρ.dv = c arg a
V = potencial E = int ensidade..de..campo..elétrico
∫ E.dl = potencial 1 = constate 4.π .ε 0 Q2 = força 4.π .ε 0 .r 2 J = densidade..de..corrente BIL = Força
b)
∫∫∫ ρ .dv = V (V ) = Q = I .T Q
V = − ∫ E.dl = E.L = ⇒V =
F M .L L M .L L = .L = 2 . = 2 . Q T Q T I .T
ML2 T 3I
ML F T2 ML = 3 E= = Q IT T I ML 2 L Q Fr 2 T 2 1 = K; F = K 2 ⇒ K = = r Q IT 4.π .ε 0 ML3 T 4I 2 ∂I I = 2 J= ∂S L BIL = ? K=
h .I H H hI ∫ H .dl = µ.i ⇒ H = LL = L2 15
h = indutância.. por..metro di v V VT = = v=l ⇒l = dt di / dt I / T I mas, ML2 T 3 ML2 ML2 T I V = 3 ,l = = 2 2 (indutância) T I I T I 2 ML l T 2I 2 ML = = 2 2 (indutância.. por..metro..ou..µ ) m L T I H H ML I ML B = µH = 2 2 . = 2 , log o : T I L T I ML ML2 BIL = 2 IL = 2 T I T c)
∫∫∫ ρdv = C (coulombs)
V = V (volts) E=
V (volts.. por..metro) m
∫ Edl = volts 1 m = (metros.. por.. faraday ) 4.π .ε 0 F
Q2 = N ( Newtons) 4πε 0 r 2 A (ampères.. por..metro..quadrado m2 BIL = N (newtons) J=
16
1
Referências para estudo da teoria
1
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 1 (um)
17
18
CAPÍTULO 2
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 1 2.1) (a) Que carga elétrica seria necessária colocar na Terra e na Lua para que tal força de atração se iguale a força de atração gravitacional? Suponha que as cargas sejam colocadas na mesma proporção que as massas. Considere a massa da Terra 6.1024 Kg, e da Lua 7.1027 Kg, sendo a separação de 40Mm. A constante gravitacional 6,7.10-11 Nm2/Kg2 (é análoga a lei de Coulomb) (b) Se as separações fossem de sinais contrários qual seria o momento do dipolo. Fonte:[1] Sol: (a) Dados: m 1=6.1024Kg; m 2=7.1022Kg; G=6,7.10-11Nm2/Kg2; r=400Mm Sabe-se que e0=8,85pF/m p=3,14
Fe =
m .m q1.q2 FG = G 1 2 2 2 ; 4.π .ε .r r
19
Fe = FG ⇒
m .m q1.q2 = G 1 2 2 ⇒ q1.q2 = 4.π .ε .G.m1.m2 2 4.π .ε .r r
⇒ q1.q2 = 3,13.10 27 C 2 são proporcionais, logo:
m1 + m2 → 1 m1 → p m1 + m2 → 1 m2 → p'
como,
p=
m1 = 0,99 → m1 = p.(m1 + m2 ) m1 + m2
p' =
m2 = 0,01 → m2 = p'.(m1 + m2 ) m1 + m2
m1 ~ q1
; m2 ~ q2 ⇒ q1 = p.(q1 + q2 ) q2 = p'.(q1 + q2 )
q1.q2 = p. p '.(q1 + q2 ) 2 ⇒ q1 + q2 =
q1.q2 14 p. p ' ⇒ q1 + q2 = 5,24.10 C
q1 = p.(q1 + q2 ) = 0,99.(5.24.1014 ) = 518.1012 = 518TC q2 = p'.(q1 + q2 ) = 0,01.(5.24.1014 ) = 6,04.1012 = 6,04TC (b) para o dipolo Q.l = q1.q2 .l2 = 2,24.10 22 Cm 2.2)A figura mostra uma longa barra isolante sem massa, de comprimento L, presa por pino no seu centro e equilibrada com peso W a uma distância x de sua extremidade esquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra são colocadas cargas q e 2q, respectivamente. A uma distância h diretamente abaixo dessas cargas está fixada uma carga positiva +Q (veja figura). 20
(a) Determine a posição x do peso quando a barra estiver equilibrada. (b) Qual deverá ser o valor de h para que a barra não exerça nenhuma força vertical sobre o suporte quando em equilíbrio? (Despreze a interação entre as cargas nos extremos opostos da barra.) Fonte:[5]
Fig. Prob. 2-2 Fonte:[5] Sol: (a)
x = x1 + x2 → x1 =
L 2
Q.2q Q.q ; F2 = 2 4.π .ε .h 2 4.π .ε .h L L L Q.q ∑ T = F1. 2 − W .x2 − F2 2 = 0 ⇒ x2 = 2 4.π .ε .h 2 .W L L L Q.q L Q.q x = + x2 = + = 1 + 2 2 2 2 2 4πε .h .W 2 4.π .ε .h .W F1 =
21
(b)
∑F = F + F 1
W=
2
− W = 0 ⇒ W = F1 + F2
3.q.Q 3.q.Q →h= 2 4.π .ε .h 4.π .ε .W
2.3) Duas pequenas esferas condutoras de massa m suspensas por fios de seda de comprimento L possuem uma carga q. Considerando que o ângulo q é tão pequeno que a tgq possa ser substituída por senq: Mostre que para esta aproximação temos: 13
q 2 .L x = 2.π .ε .m.g Fonte:[5] Sol:
tgθ =
F q2 x = 2 ; sen θ = mg 4.π .ε .mg.x 2L
mas q muito pequeno tgθ ≅ sen θ =
x 2L 13
q2L q2 x ⇒ x = = 4.π .ε .mg.x 2 2 L 2π .ε .m.g
2.4) Duas partículas cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um ponto comum, por cordas de comprimento l. Determine o ângulo q que cada corda forma com a vertical. {Fonte:[7]}
22
Sol:
F=
q2 4.π .ε .x 2
temos: sen θ =
F q2 mg F q2 tg θ = = cos = θ = ; ; mg 4.π .ε .mg.x 2 T T 4.π .ε .T .x 2
tg 3θ q2 3 2 . cos θ θ = = tg 2 2 1 + tg θ 4.π .ε ..m.g.x =
3
2
2.π .ε .m.g.x 3l = l.q 2
q2 16.π .ε .m.g.l 2
2.5) Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: (Q-q) e q. Qual é a relação entre Q e q para que a repulsão seja máxima? {Fonte:[5]} Sol:
1 q (Q − q ) (Qq − q 2 ) = F= 4πε 4πε .r 2 r2 dF (Q − 2q ) =0⇒ = 0 ⇒ Q − 2q = 0 4πε .r 2 dq Q = 2q
23
2.6) Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem com uma força dada por F =
q2 . 2ε . A
Prove o que foi dito, calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as placas de x para x+dx, a carga q permanecendo constante. {Fonte:[5]} Sol: Para o capacitor de placas paralelas, aplicando a lei de Gauss, temos:
H H q q q E ∫ .ds = ε ⇒ E. A = ε ⇒ E = ε . A
H q q 1 q2 dF = E.dq ⇒ F = ∫ dq = 0 ε .A ε . A 2
q 0
=
q 2q 2ε . A
2.7)Em um trabalho que foi escrito em 1911, Ernest Rutherford disse: “Para se ter alguma idéia das forças necessárias para desviar uma partícula a através de um grande ângulo, considere um átomo contendo uma carga pontual Ze no seu centro e envolvida por uma distribuição de carga negativa, -Ze, uniformemente distribuída dentro de uma esfera de raio R.” O campo elétrico E num ponto dentro do átomo, a uma distância r do seu centro, é
E=
Ze 4.πε
1 1 2 − 3 R r
Verifique esta equação {Fonte:[5]}
24
Sol: para r>R,
H H q' H H q' q' . .ds = ⇒ E.4.π .r 2 = = ⇒ E d s E ∫ ∫ ε ε ε q q' q ⇒ρ= = E= 3 2 4π .r 4π .r 3 4.π .ε .r 3 3 q' = q E+ =
q 4.π .ε .r 2
para r
H H q' H H q' q' . .ds = ⇒ E.4.π .r 2 = = ⇒ E d s E ∫ ∫ ε ε ε q' q' q ⇒ρ= = E= 3 2 4π .r 4π .R 3 4.π .ε .r 3 3 3 r ⇒ q' = q 3 . R q.r E− = 4.π .ε .R 3 E = E+ + E− =
q 4πε
r 1 2 − 3 R r
25
2.8) Duas cargas puntiformes, -q e +q/2, estão situadas na origem e no ponto (a,0,0), respectivamente. Em que ponto, ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? {Fonte:[5]} Sol:
1 −q q q − x 2 + 4ax − 2a 2 = . + E= 4.π .ε x 2 2( x − a) 2 4.π .ε x 2 2( x − a) 2 o campo elétrico se anula em E = 0
⇒ − x 2 + 4ax − 2a 2 = 0 x 2 − 4.a.x + 2.a 2 = 0 4a ± 16a 2 − 8a 2 ⇒x= = 2a ± 2 2 2 → x = 2 a ( 2 + 1) , satisfaz → x = 2 a ( 2 − 1) , não satisfaz (não utilizar)
( )
2 2 − 1 2 a ( 2 − 1) = → x = 2a( 2 + 1). ( 2 − 1) 2 −1
→x=
2a 2a − 1
26
2.9) Usando a Lei de Gauss, determine a carga elétrica total dentro de um volume cúbico de 2m de lado situado no octante positivo com três arestas coincidentes com os eixos x,y e z e um vértice na origem, sendo o vetor densidade de fluxo elétrico D dado por:
H
^
H
^
H
^
H
^
(a) D = x 2x 2 (b) D = x x. y.z ^
^
(c) D = x.( x + 3) + y ( y + 4) + z ( z + 5) ^
^
(d) D = x x. y.z + y x 2 . y 2 .z 2 + z x 3 . y 3 .z 3 Fonte:[1] Sol: (a)
H H 2 2 2 Q = ∫∫∫ (∇.D).dv = ∫ ∫ ∫ 4 x.dx.dy.dz ⇒ Q = 32C 0
0
0
R
(b)
H H 2 2 2 Q = ∫∫∫ (∇.D).dv = ∫ ∫ ∫ xy.z.dx.dy.dz ⇒ Q = 8C 0
0
0
R
(c)
H H 2 2 2 Q = ∫∫∫ (∇.D).dv = ∫ ∫ ∫ (1 + 1 + 1).dx.dy.dz ⇒ Q = 24C 0
0
0
R
(d)
H H 2 2 2 Q = ∫∫∫ (∇.D).dv = ∫ ∫ ∫ ( yz + 2.x 2 y.z 2 + 3.x 3 . y 3 .).dx.dy.dz 0
0
0
R
⇒ Q = 164,44C 27
2.10) Carrega-se uniformemente um cilindro infinitamente longo de raio R (a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r
ρ .r , 2.ε
onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Que resultado poderíamos esperar para r>R? {Fonte:[5]} Sol: (a) para r
H H ε .∫ E.ds = q = ∫∫∫ ρ .dv
ε .E.2.π .r 2 = ρ .π .r 2 .L E ρ .r = L 2.ε (b) para r>R,
H H ε .∫ E.ds = q = ∫∫∫ ρ .dv
ε .E.2.π .r 2 = ρ .π .R 2 .L E ρ .R 2 = L 2.ε .r
28
H
^
^
^
2.11) Se E = x x + y y + z z , achar o fluxo elétrico sobre uma esfera de raio R. Fonte:[1] Sol: ^ ^ H H ^ 2 2 2 E = xx+ y y+ zz E = x + y + z = R;
H ^ H ^ H E E = .r ds = R 2 . sen θ .dθ .dφ . r ;
H H 2π π ψ e = ε ∫ E.ds = ε .∫ ∫ R..R 2 . sen θ .dθ .dφ 0
0
ψ e = 4.π .ε .R 3 2.12) Uma distribuição de potencial dada por V=3y1/2 V. Qual a expressão de E? Qual é o seu valor vetorial (módulo, direção e sentido) nos pontos (0;0),(4;0) 3 (0,4) ? {Fonte:[1]} Sol: ^ H H H H 1 3 ^ ∇V = − E ⇒ E = −∇V = −3 y −1/ 2 y = − y 2 2 y ^
E (0;0) = ∞V / m ; E ( 4;0) = ∞V / m ; E (0;4) = −0,75 y V / m
2.13) Uma distribuição de potencial é dada por :
H V = 7 y 2 + 12 x V. Qual é a expressão de E . Qual é o seu
valor (módulo, direção e sentido) nos pontos (0,0); (5,0); (0,3) e (5,3)? {Fonte:[1]}
29
Sol:
V = 7 y 2 + 12 x ; ^ ^ H H H H ∂V ^ ∂V ^ x+ y = −12 x − 14 y y ∇V = − E ⇒ E = −∇V = − ∂y ∂x ^ ^ H E = −12 x − 14 y y V/m
em (0,0) ^ H E (0,0) = −12 x V/m
em(5,0) ^ H E (5,0) = −12 x V/m
em (0,3) ^ ^ H E (0,3) = −12 x − 42 y V/m
em(5,3) ^ ^ H E (5,3) = −12 x − 42 y V/m
2.14) Duas bolas dielétricas de pequeno diâmetro 10g podem deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola tem uma carga de 1µC. (a) Achar a distância entre elas, se a bola inferior é impedida de se mover (b) Qual é o momento do dipolo Fonte:[1] Sol: Dados: m=10g; g=9,81m/s2; q=1µC Sabe-se que: ε0=8,85pF/m
30
(a)
W = q.V q q q 4πε . y q = m.g. y ⇒ y = 4πε . y 2 πε .m.g W = mg . y ⇒ y = 0,303m
V=
(b)
Q.l = 10 −6.0 = 0
2.15) Uma distribuição de potencial é dada por:
H V = k .r 1 2 . sen θ . Achar E .
Fonte:[1] Sol: ^ ∂V ^ 1 ∂V H V = k .r 1 2 . sen θ ; ⇒ V = k . r . sen θ ; E = − r ∂r − θ . r . ∂θ ;
∂V k ∂V = sen θ ; = k . r . cos θ ; ∂r 2 r ∂θ ^ ^ 1 H k . sen θ − θ . .k . r . cosθ E = −r r 2 r ^ k r ^ 1 H .senθ −θ . .k. r . cosθ ⇒ E = −r 2r r ^ ^ H k. r r .senθ ^ H k. r r .senθ ^ . cos − − θ θ ; ⇒E = . cos ⇒E = − − θ θ 2 r 2 r
31
2
Referências para estudo da teoria
2
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978 ⇒ capítulo 2 (dois) KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991 ⇒ capítulo 2 (dois)
32
CAPÍTULO 3
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 2 3.1) Um capacitor foi construído para operar com uma capacitância constante, em meio a uma temperatura oscilante. O capacitor é do tipo placas paralelas com separadores de plástico para alinhar as placas. (a) Mostre que a razão da mudança da capacitância C com a temperatura T é dada por
dC 1 dA 1 dx = C − dT A dT x dT
onde A é a área da placa e x é a distância entre as placas. (b) Se as placas fossem de alumínio, qual deveria ser o coeficiente de expansão térmica dos separadores para que a capacitância não variasse com a temperatura? (Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância) {Fonte:[5]}
33
Sol: Letra (a)
C=
ε .A x
d (ε . A) d (ε .x) dA dx .x − A − εA ε .x dC dT = dT dT = ε dA − ε . A dx = dT 2 2 dT x x x dT x 2 dT ε .A C ε .A C → = 2 x x x dC C dA C dx 1 dA 1 dx = − = C − dT A dT x dT A dT x dT
Letra (b)
dC 1 dA 1 dx = 0 → C − = 0 , mas C ≠ 0 , logo: dT A dT x dT dA A dx 1 dA 1 dx ε .A C A − = =0→ → = , , mas C = dT x dT ε x x A dT x dT logo: como ε = ε r .ε 0 , e ε r do alumínio é grande,então
dA diminui dT
3.2) Um capacitor tem placas quadradas de lados iguais a, que fazem entre si um ângulo. Mostre que para pequenos valores de, a capacitância é dada por:
34
C=
ε 0 a 2 aθ 1 − d 2d
Sugestão: O capacitor pode ser dividido em tiras muito finas que estão efetivamente em paralelo. {Fonte:[5]} Sol:
ε 0 dA = dC ; A=a y + d dA = a.dr 2;
y = r. sen θ , para pequenos valores de θ, temos y ≈ r.θ : C = ε 0a∫
a
0
a dr ε .a εa = 0 ln(r.θ + d ) = 0 [ln(aθ + d ) − ln d ] d + r.θ θ θ 0
C=
ε 0 .a aθ + d ln θ d
C=
ε 0 a aθ ln1 + d θ
1 ; obs.:→ ln (1 + x ) = x − x 2 + ... , isto é, 2
expandindo em série de potência a função ln(1 + x ) , assim temos:
aθ aθ 1 a θ ln1 + − = + ... , d d 2 d 2
para pequenos valores de θ , temos que:
aθ ln1 + d
aθ 1 aθ aθ − ≈ → ln1 + d d 2 d 2
35
aθ aθ ≈ 1 − d d
→C =
ε 0 a aθ aθ ε 0 a 2 aθ 1 − = 1 − θ d 2d d 2d
A = a2 →C =
ε 0 A aθ 1 − d 2d
3.3) Uma barra isolante “semi-infinita” possui uma carga por unidade de comprimento, de valor ρL. Mostre que o campo elétrico, no ponto P, forma um ângulo de 450 com a barra e que este resultado é independente da distância R. Fonte:[5] Sol:
Fig. Prob. 3-3 Fonte:[5]
36
dE = dE x + dE y dE x = dE . sen θ ⇒ E = ∫
∞
0
∞ ρ .dx. sen θ dq L . sen θ = ∫ 2 2 0 4.π .ε . R 2 + x 2 4.π .ε . R + x
(
)
(
)
chamando x = R.tgθ → dx = R sec 2 θ .dθ
x→0 θ →0 x → ∞ θ →π / 2 π /2
Ex = ∫
0
=
2 π / 2 ρ . sec θ .dθ . sen θ ρ L .R. sec 2 θ .dθ . sen θ L = = 4.π .ε .(R 2 + R 2 .tg 2θ ) ∫0 4.π .ε .R 2 . sec 2 θ
(
ρL − cosθ 4.π .ε .R
π /2 0
)= 4.πρ.ε .R L
dE y = dE . cosθ ⇒ E = ∫
∞
0
∞ ρ .dx. cosθ dq L . cosθ = ∫ 2 2 0 4.π .ε . R + x 4.π .ε . R 2 + x 2
(
)
(
)
chamando x = R.tgθ → dx = R sec 2 θ .dθ
x→0 θ →0 x → ∞ θ →π / 2 π /2
Ey = ∫
0
=
2 π / 2 ρ . sec θ .dθ . cosθ ρ L .R. sec 2 θ .dθ . cosθ L = = 4.π .ε .(R 2 + R 2 .tg 2θ ) ∫0 4.π .ε .R 2 . sec 2 θ
(
ρL sen θ 4.π .ε .R
π /2 0
)= 4.πρ.ε .R L
ρL E x 4.π .ε .R π = = 1 tgθ = 1 → θ = tg −1 [1] = tgθ = ρL Ey 4 4.π .ε .R 37
tgθ =
π rad, ou tgθ = 450 4
3.4) Uma barra isolante, de comprimento L, tem uma carga –q distribuída uniformemente ao longo de sua extensão, como mostra a figura. (a) Qual é a densidade linear de carga da barra? (b) Qual é o campo elétrico no ponto P a uma distância “a” da extremidade da barra? (c) Se P estivesse muito longe da barra em comparação com L, ela se comportaria como uma carga pontual? Mostre que a sua resposta, para o item (b) reduz-se ao campo elétrico de uma carga pontual, para a>l. Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-4. Fonte:[5] Sol: Letra (a)
dq = ρ L .dl → ∫ dq = ∫ ρ L .dl → q = ρ L .L → ρ L = q
0
L
0
q L
Letra (b) dE =
L ρ dq dq →E=∫ = L 2 0 4.π .ε ..r 2 4.π .ε .r 4.π .ε
38
∫
L
0
ρ 1 Lq dl = L − 0 2 (l + a ) 4.π .ε l + a
⇒E=
ρ L .L , mas q = ρ L .L , logo: 4.π .ε .a( L + a)
→E=
q 4.π .ε .a.( L + a)
Letra (c) Para a>l, implica que l→0 vamos aplicar isto como limite em E =
q 4.π .ε .a.( L + a)
lim L →0 E = lim L →0 então E =
q q = 4.π .ε .a.( L + a) 4.π .ε .a.2
q , para a >> L ; logo reduz-se ao campo 4.π .ε .a.2
elétrico de uma carga pontual
3.5) Uma barra de vidro fino é encurvada num semicírculo de raio R. Uma carga +q está distribuída uniformemente ao longo da metade superior, e uma carga –q, distribuída uniformemente ao longo da metade inferior, como mostra a figura. Determine o campo elétrico no ponto P que está no centro do semicírculo. Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-5 Fonte:[5] 39
Sol:
dE y = dE cos θ = Ey =
ρ L dl cos θ 4.π .ε .r 2
R. cos θ .dθ ρ L dl. cos θ ρ = L ∫ 2 ∫ 4.π .ε 4.π .ε R R2
(
π /2 ρL ρL cos θ .dθ = sen θ ∫ π 3 / 2 4.π .ε .R 4.π .ε .R ρL Ey = 2.π .ε .R
Ey =
temos que → ρ L =
⇒ Ey =
π /2 3π / 2
=
ρL (2) 4.π .ε .R
q q = l π .R
q 2.π .ε .R 2 2
3.6) (a) Um disco circular de raio R tem uma densidade superficial uniforme de carga ρS. Determine o campo elétrico de um ponto sobre o eixo do disco a uma distância z do plano de disco. (b) Um cilindro reto, de raio R e altura L, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica de carga ρ (z ) = ρ 0 + β .z , em relação a uma origem no
centro do cilindro. Determine a força sobre uma carga q situada no centro do cilindro. {Fonte:[7]}
40
Sol: Letra (a)
E=∫
R 2.π .a.ρ .da. cos θ ρ dq. cosθ S =∫ = S 2 2 2 0 4πε .r 4.π .ε . z + a 2.ε
(
ρS 2ε
E=
θ
∫
0
sen θ .dθ =
)
a.da. cosθ 2 + a2
∫ (z R
0
ρS (1 − cosθ ) = ρ S 1 − 2 z 2 2.ε 2ε z +R
)
Obs.: Utilizamos as relações abaixo:
sen θ =
a z +R 2
2
; cos θ =
z z +R 2
2
; tgθ =
a z
a = ztgθ ⇒ da = z sec 2 θ .dθ z 2 + a 2 = z 2 sec2 θ e aplicando técnicas de resoluções de integrais trigonométricas temos que:
∫
R
0
2 θ z.tgθ . z.s sec θ .dθ . cos θ a.da. cosθ = = (z 2 + a 2 ) ∫0 z 2 . sec 2 θ
θ
θ
0
0
= ∫ tgθ . cosθ .dθ = ∫ sen θ .dθ
⇒∫
R
0
θ a.da. cos θ = ∫ sen θ .dθ 2 2 0 z +a
(
)
41
Letra (b)
E=
ρS 2ε
ρS =
z 1 − 2 z + R2
dρ z ; ⇒ dE = S 1 − 2 2.ε z + R2
q ρ .V ρπ .R 2 .z q = = ρ .z ; ρ = → q = ρ .V ⇒ ρ S = A π .R 2 V A
⇒ dρ S = ρ .dz
⇒ dE =
ρ .dz z 1 − 2 2.ε z + R2
; ρ (z ) = ρ + β .z 0
⇒ dE =
(ρ 0 + β .z ).dz 1 −
z 2 + R2
(ρ 0 + β .z ). 1 −
dz z 2 + R2
⇒E=∫ E=
∫
2.ε
2.ε
z
z
2 l/2 l/2 l / 2 β .z .dz ρ 0 zdz 1 l/2 + ∫ β .z.dz − ∫ ∫0 ρ 0 dz − ∫0 0 2.ε z 2 + R2 z 2 + R2 0
z.dz z +R 2
∫
z 2 .dz
∫
z 2 .dz
2
= z2 + R2
, vamos fazer substituições trigonométricas
z2 + R2 (z=R.tgθ);e chegamos em: z 2 + R2
=
z z 2 + R2 R2 z 2 + R2 z ln − + 2 2 R R 42
l l2 1 ρ .l l2 l2 R2 l2 l E = 0 − ρ0 . + R 2 + ρ0 .R + β . − β + R 2 − ln + 1 + 4 4 ε 2 4 8 2 4.R 2 2.R
fazendo ρ 0 = 0 ; implica em:
E=
β 2.ε
l l l2 l l2 − + R 2 − R 2 . ln + 1+ 4 2.R 4.R 2 2 2
3.7) O potencial para um ponto axial de um disco carregado éV =
ρS 2ε
(z
2
+ R2 − z
)
Mostre que E para pontos axiais é dado por
E=
ρS 2ε
z 1 − 2 z + R2
{Fonte:[5]} Sol:
H H ∂V ∂ ρ =− S E = −∇V = − ∂z ∂z 2.ε E=−
E=
ρS 2ε
(z
2. z − 1 2 2 2 z +R
ρS z 1 − 2.ε z 2 + R2
43
2
)
+ R2 − z
3.8) Uma carga q está distribuída uniformemente num anel quadrado de lado l. Determinar E e V no centro do anel. {Fonte:[1]} Sol:
Fig. Prob. 3-8a
V=
1 4.π .ε
∫
dq , da figura acima vemos que pelo teorema r
de Pitágoras temos:
l r = x + 2
2
2
1 ⇒V = 4.π .ε
∫
.λ .dx
λ = 2 4.π .ε l x2 + 2
44
l 2 l − 2
∫
dx l x2 + 2
2
=
2 +l l 2 λ 2 ln x + x + = 4.π .ε 2 −l 2
⇒V =
λ 4.π .ε
l l l l ln 2 + 2 2 − ln − 2 + 2 2
l l + 2 1+ 2 λ λ 2 2 = = ln ⇒V = ln l l π ε 4 . . 4.π .ε − + − + 1 2 2 2 2 2 +1 λ = . ln 4.π .ε 2 − 1
→λ =
2 +1 q q . ln ⇒V = 4.π .ε .l 2 − 1 l ;
Como o campo elétrico é um vetor observamos que no centro do quadrado ele se anula devido à simetria da figura
45
Fig. Prob. 3-8b 3.9) Distribuímos sobre uma barra fina uma carga por unidade de comprimento dada por ρL=kx, k é uma constante. A barra tem um comprimento L contido no eixo dos x com uma de suas extremidades na origem (x=0), conforme indica a figura. (a) considerando o potencial no infinito igual a zero, calcule o valor de V no ponto P sobre o eixo dos y (b) Determine o componente vertical Ey, da intensidade do campo elétrico (c) Porque não podemos calcular o componente horizontal (Ex) do campo elétrico em P usando o resultado do item (a)? {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 3-9 {Fonte:[5]} 46
Sol:
r = x 2 + y 2 ; dq = ρ L .dx = k .x.dx Letra (a)
V =∫
V=
dq
L
0
4.π .ε . x + y
k 4.π .ε
2
( L +y 2
2
2
=
k 4.π .ε
−y
∫
L
0
x.dx x +y 2
2
=
k 4.π .ε
[ x +y ] 2
2 L 0
)
Letra (b) H ∂V ∂ k =− Ey = − ∂y ∂y 4.π .ε H Ey =
k y 1− 2 4.π .ε L + y2
( L + y − y ) = − 4.πk .ε 2 2
2
− 1 L2 + y 2 2. y
Letra (c) Porque o cálculo foi feito em função de y, não aparecendo a variável x, observe que teríamos assim: H H ∂V ( y ) ∂V =0 Ex = − , como V é função de y , temos: E x = − ∂x ∂x
3.10) Seja ρL a carga por unidade de comprimento distribuída uniformemente ao longo de um segmento de reta de comprimento L.
47
(a) Determine o potencial (escolhido como sendo zero no infinito) num ponto P, afastado por uma distância y de uma das extremidades do segmento carregado e situado sobre seu prolongamento (Veja figura). (b) Use o resultado do item (a) para calcular o componente do campo elétrico em P na direção y (ao longo do segmento de reta). (c) Determine o componente do campo elétrico em P numa direção perpendicular ao segmento de reta. {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 3-10 {Fonte:[5]} Sol: Letra (a)
dV = =
L dq dq ρ →V = ∫ = L 0 4.π .ε .r 4.π .ε ..r 4.π .ε
∫
L
0
dl = (l + y )
(
ρL ln (l + y ) 0L 4.π .ε
V=
ρL [ln (L + y ) − ln y ] = ρ L ln L + y 4.π .ε 4.π .ε L 48
Letra (b)
H ∂V ∂ ρ . L + y = − L ln E=− ∂L ∂L 4.π .ε y 1 −L ρ ρ L .L = E=− L 2 4.π .ε L + y y 4.π .ε . y.( L + y ) y Letra (c)
H H E x = E. cos 900 = 0
31
Referências para estudo da teoria
3
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 3 (três) KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991 ⇒ capítulo 4 (quatro)
49
50
CAPÍTULO 4
CORRENTE ELÉTRICA ESTACIONÁRIA H
^
4.1) Se J = x3yz A / m 2 , ache a corrente I através de um quadrado de 2m de lado com um dos vértices na origem e outros em (0,2,0) ; (0,0,2) e (0,2,2) Fonte:[1] Sol:
H H ^ ^ 2 2 I = ∫∫ J .ds = ∫∫ x 3 yz . x dy.dz = ∫ ∫ 3 yz.dy.dz 0 0
⇒ I = 12 A 4.2) Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto, como é mostrado na figura. Os raios das bases são a e b, e a altura é L. Se a inclinação for suficientemente pequena, podemos supor que a densidade de corrente seja uniforme através de qualquer seção transversal. (a) Calcule a resistência deste sistema
51
Fig. Prob. 4-2 {Fonte:[5]} (b)Mostre que o resultado de (a) se reduz a ρ
L , quando A
a=b {Fonte:[5]} Sol: (a)
dl ( y − a) → ( y − a ) = l. sen θ , mas para 2 ; sen θ = πy l pequenos valores de θ, temos que: ( y − a ) ≈ l.θ dR = ρ
52
dy = θ .dl → dl =
dR =
ρ dy . π .y2 θ
dR =
ρ dy π .θ y 2
R=
ρ πθ
∫
b
a
dy θ
ρ b−a dy ρ 1 b − →R= = ; 2 πθ y a πθ ab y − a = lθ y
pra y = b , temos:
b − a = Lθ → L = logo: R =
b−a θ
ρ b − a 1 ρ .L = π θ ab πab
(b) fazendo-se a = b , R =
ρ .L ρ L ρ .L = = A π .b.b π .b 2
4.3) Uma arruela lisa de espessura t tem raio interno r e raio externo r2. Sendo a condutividade σ , determine a resistência (a) Entre as bordas interna e externa (b) Entre as superfícies planas, e (c) Ao longo da arruela (idêntica a resistência entre as bordas de um corte de espessura infinitesimal na direção radial). Fonte:[1]
53
Sol: (a)
dR =
2π .dr 1 r2 d .r 1 dl dr r ln 2 = = ⇒R= = ∫ σ . A σ .2.π .r.t σ .tr σ .t r1 r σ .t r1
(b)
dR =
t t = ⇒R= σ . A σ .2.π .r.dr
t 2 r2
r σ 2π 2
=
t
σπ (r − r12 ) 2 2
r1
(c)
dR =
2.π .r 2π 2π ⇒R= = r2 dr r σ .t.dr σ .t ∫ σ .t. ln 2 r1 r r1
4.4) Um longo fio de cobre de raio r é esticado paralelamente a uma placa infinita de cobre e a uma distância h desta. A região que está acima da placa e circundando o fio é preenchida com um meio de condutividade σ . Demonstre que a resistência elétrica entre os dois eletrodos de cobre, por unidade de comprimento do fio, é dada por
R=
l h cosh −1 2πσ r
Fonte:[7] Sol:
dR =
dx dx = σ . A σ .2.π ..r.l 54
mas l = dR =
x 2 − r 2 , logo: dx
2.π .r.σ . x − r
R=
2
2
⇒R=
{
l → 0⇒ x → r l →∞⇒ x → h
h dx 1 1 h −1 x q = cosh r ∫ 2 2 r r 2.π .r.σ . 2.π .r.σ x −r
1 1 h h cosh −1 cosh − cosh[1] = 2.π .r.σ r r 2.π .σ .r
⇒R=
1 h cosh −1 (Ω) 2.π .σ .r r
4.5) Em geral, cargas superficiais estão presentes na fronteira entre 2 condutores (condutividades σ 1 e σ 2 , e permissividade ε1 e ε 2 , respectivamente) por onde flui uma corrente. Mostre que a densidade superficial de carga ρ S é dada por
ε ε ρ S = J n 1 − 2 σ1 σ 2 {Fonte:[1]} Sol: Em uma fronteira entre 2 condutores temos que:
J n1 = J n2 = J n Para campos eletrostáticos, temos que:
55
Componente do campo
Relação de Fronteira
Condição
Et1 = Et2
(1) 2 meios quaisquer
Dn1 − Dn2 = ρ S
(2) 2 meios quaisquer
Tangencial Normal
com carga na fronteira
Para campos eletrostáticos não se tem uma situação específica para 2 meios condutores, então:
Dn1 − Dn2 = ρ S ⇒ ρ S = Dn1 − Dn2 = ε 1.En1 − ε 2 .En2 H H H H J J = σ .E ⇒ E = , σ logo ρ S =
ρS =
ε1.J n1 σ1
−
ε 2 . J n2 σ2
; mas J n1 = J n2 = J n , então
ε ε 1 .J n ε 2 .J n ε − = J n 1 − 2 σ1 σ2 σ1 σ 2
4.6) A lei da conservação de carga, que relaciona a densidade volumétrica em qualquer ponto no espaço com a densidade de corrente nas vizinhanças desse ponto, é dada por
∂ρ H H + ∇.J = 0 . ∂t Como você justifica a relação acima? Explique? (fisicamente) porque a soma é igual a zero.
56
Sol:
∂ρ H H + ∇.J = 0 ⇒ ∂t
∫
V
H H ∂ρ dV + ∫ (∇.J )dV = 0 ∂t V
Aplicando o teorema da Divergência, temos:
∫
H H H H (∇.J )dV = ∫ J .ds
⇒
H H ∂ dV J ρ + ∫S .ds = 0 fluxo da densidade de corrente ∂t V∫
V
S
sobre a superfície S que envolve o volume V
Se
H H ∂q < 0, > . 0 existe fluxo líquido de carga para fora J d s ∫S ∂t
ou seja diminui a densidade de carga da região. Se
H H
∫ J .ds < 0
existe fluxo líquido de carga para dentro
S
∂q > 0 , ou seja aumenta a densidade de carga da região. ∂t A soma deve ser igual a zero para que uma compense a outra, ou seja,
⇒
H H ∂ dV J ρ = − ∫S .ds , ∂t V∫
daí vem a lei dos nós para os casos dos circuitos a parâmetros concentrados, uma particularidade da teoria de campos “ O somatório das correntes que entram num nó é igual ao somatório das correntes que saem”.
57
H H
4.7) Em que situação a equação da continuidade ∇.J = −
H H
∂ρ ∂t
passa a ser escrita como ∇.J = 0 ? Justifique. Sol:
⇒
∂ρ = 0 ⇒ ρ = cons tan te , ∂t
ou seja, se a densidade volumétrica de carga não varia, a carga não varia, logo não existe corrente I →J também não existe pois:
H H I = ∫∫ Jds S
∂ρ ∂ dq d ∂q = = , o que implica ∂t ∂t dV dV ∂t que se varia a densidade volumétrica de carga ρ , varia a carga q .
Observe que ⇒
4
Referências para estudo da teoria
4 Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 4 (quatro)
KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991 ⇒ capítulo 5 (cinco)
58
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CAMPO MAGNETOSTÁTICO DE CORRENTES ELÉTRICAS ESTACIONÁRIAS 5.1) Dois condutores retos, longos e paralelos conduzem 10A. Se os condutores estiverem separados de 20mm um do outro, qual é a força por metro de comprimento sobre um condutor, se as correntes fluírem (a) em sentidos opostos e (b) no mesmo sentido? {Fonte:[1]} Sol:
⇒F=
µ 0 .I .I ' F µ II ' ⇒ = 0 2.π .R l 2.π .R
Dados:
I = 10 A F F =? ⇒ = 100 mN / m l R = 20mm a) Sentido oposto (repulsiva); b) mesmo sentido (atrativa).
59
5.2) Um condutor reto e longo com uma corrente de 10A coincide com o eixo-z. A corrente flui no sentido positivo de z.
H
^
H
^
Se B = x 3 + y 4 (T), ache o vetor força F por comprimento do condutor. {Fonte:[1]} Sol:
Fig.Prob. 5-2 ^ ^ ^ H H I = 10 z B = x 3 + y 4 H ^ ^ ^ H H H H H dF = ( I xB ) = (10 z ) x( x 3 + y 4) dF = ( I xB)dl ⇒ dl H ^ ^ ^ ^ dF = y 30 − x 40 = −40 x + 30 y dl H ^ ^ dF = −40 x + 30 y (N/m) dl
60
H
5.3) (a) Se B = z 6 sen (π .x 2 ). sen (π . y 2 ) (T); ache o fluxo magnético total sobre uma área quadrada com 2m de lado, com as bordas coincidindo com os eixos positivos x e y e um canto na origem.
H
^
^
(b) Se B = z .k r (T), qual é o fluxo magnético através de um circulo de raio r0 ? {Fonte:[1]} Sol:
Fig. Prob. 5-3a Letra (a)
^ ^ H H ψ m = ∫∫ B.ds = ∫∫ z 6 sen(π .x / 2) sen(π . y / 2) z ds A
R
2 2
ψ m = ∫ ∫ 6 sen(π .x / 2) sen(π . y / 2).dx.dy 0 0
2 2 ψ m = 6. ∫ sen(π .x / 2)dx . ∫ sen(π . y / 2)dy 0 0 61
2 2 −2 −2 . cos(π .x / 2) . . cos(π . y / 2) = 6 ψ m = 6. 0 π 0 π
=6
2 2 96 ( 2). ( 2) = 2 π π π
ψm =
96 (Wb) ou ψ m ≅ 9,73 (Wb) π2
Letra (b)
Fig. Prob. 5-3b H H ^ k ^ H H k ψ m = ∫∫ B.ds ; ψ m = ∫∫ B.ds = ∫∫ z . z ds = r r A
A
H
0
0
k
∫∫ ds = r π .r
0
2
= .π .k.r0
0
^
5.4) Se B = B. z (T), qual é o fluxo magnético através de uma elipse ? Onde : e =
b 1 = a razão...axial
b = semi-eixo menor a = semi-eixo maior
r = a − distância ...do...centro...da....elipse...ao... foco 62
obs.: considere densidade de campo magnético B uniforme sobre a superfície. Sol:
Fonte: [15]
H H ψ m = ∫∫ B.ds = B ∫∫ ds = B ∫∫ dx.dy = B ∫∫ J dρ .dθ
x = aρ . cosθ y = b.ρ . sen θ J=
∂x ∂θ
∂x ∂ρ
∂y ∂θ
∂y ∂ρ
= − abρ sen 2 θ − abρ cos 2 θ = − abρ
∂x = − aρ sen θ ∂θ
∂y = bρ cosθ ∂θ
∂x = a cosθ ∂ρ
∂y = b sen θ ∂ρ 63
ψ m = B ∫∫ abρ .dρ .dθ 1
2.π
0
0
ψ m = B.a.b.∫ ρ .dρ .∫ dθ ψ m = B.a.b.
ρ 1 .θ 2 0
2.π 0
1 ψ m = B.a.b. .2.π = B.a.b.π 2 5.5) Mostre que um condutor com corrente I e comprimento l situadoH no eixo-z entre os pontos z1 e z2 tem uma densidade de fluxo B para uma distância R (para todo ângulo ξ ) dada por
B=
µ 0 .I z2 z1 − 2 2 2 4.π .R R + z2 R + z12
(T)
Observe que se o centro do condutor é simétrico com a origem ( − z1 = z2 ) e se R >> l , B =
µ 0 .I .l .{Fonte:[1]} 4.π .R 2
Sol:
H
Vamos primeiro determinar a densidade de fluxo B , num ponto P, distante z do eixo de um círculo de raio R, determina-se o campo num ponto P ao longo do eixo do anel; depois varre-se de um ponto P1, distante z1, até um ponto P2, distante z2.
64
Fig. Prob. 5-5 {Fonte:[1]}
H
H
Temos que B é dado por dB =
µ 0 .Idl sen θ 4.π .r 2
A componente na direção do eixo-z é dada por
dBz = dB cos ξ = dB
θ = 900 , dl = R.dφ r = R2 + z 2 dBz =
R r
⇒ dBz =
µ 0 .I .R dφ R . 2 2 2 4.π ..( R + z ) R + z 2
µ 0 .IR 2 dφ , observe que o elemento normal 4.π .( R 2 + z 2 )3 / 2
dBn , se anula pela simetria circular ao longo da variação de φ de 0 a 2.π , logo: 65
B = Bz =
µ0 .I .R 2 µ0 .I .R 2 H = 4.π .( R 2 + z 2 )3 / 2 2(R 2 + z 2 )3 / 2 , este é o valor de B
em um ponto P, qualquer distante z o eixo do círculo. Vamos agora varrê-lo ao longo do eixo-z, de z1 a z2. Pela análise dimensional vamos dividir pelo comprimento l, para que a unidade permaneça em T, e não se modifique para T/m, então teremos:
dB =
µ 0 I .R 2 µ 0 I .R 2 dz . = dz 2( R 2 + z 2 )3 / 2. l 2.l.( R 2 + z 2 )3 / 2
µ 0 .I .R 2 2 µ 0 .I .R 2 dz z2 z1 = − 2 2 3/ 2 ∫ 2l z1 ( R + z ) 2l R 2 R 2 + z 2 R 2 R 2 + z12 2 z
B=
2.π
dl = Rdφ . l = R ∫ dφ ⇒ l = 2.π .R , 0
µ 0 .I z2 z1 B = − logo: 4.π .R R 2 + z22 R 2 + z12
para R >> l e − z1 = z 2 = z
B=
µ 0 .I 4.π .R
µ 0 .I 2z 2 = 2 R 2 + z 2 4.π .R R 1 + z
66
z → l , para R >> l . Desprezamos o fator de 2, temos: µ .I z µ .I l B→ 0 = 0 . 4.π .R R 4π .R R 2
B≅
µ 0 .I .l 4π .R 2
5.6)Um fio de forma parabólica conduz uma corrente I. Ache
H
a densidade de fluxo magnético B no foco. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 5-6a Fonte:[8] Sol: 1a Sol: (solução aproximada)
67
Fig. Prob. 5-6b
H
H
Temos que B é dado por dB =
µ 0 .Idl sen θ , 4.π .r 2
Para elementos infinitesimais, temos:
Fig. Prob. 5-6c Fonte: [8] 68
Da figura temos: dl = dr .dφ
H µ .Idr.dφ dB = 0 4.π .r 2 π
B=∫
0
=
µ 0 .I 4.π
B=
∫
−∞
r0
π
∫
0
µ 0 .Idr.dφ µ 0 .I = 4π .r 2 4.π
1 − r
−∞ r0
π
∫ ∫ 0
µ .I dφ = 0 4.π .r0
−∞
r0
π
∫
0
dr dφ = r2
dφ
µ 0 .I µ .I .π = 0 , lembrando que r é a distância focal, 0 4.π .r0 4.r0
e I a corrente que circula no fio. 2a Sol: (solução aproximada) Utilizando a equação (7), página 225, da Referência: Kraus, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991
µ 0 .i Temos que: B = 4.π .r0
B=
µ 0 .i 4.π .r0
π
∫
0
dθ =
θ2
∫
θ1
µ 0 .i.θ
dθ ,logo:
π 0
4.π .r0
⇒ B=
µ 0 .i µ .i .π ⇒ B = 0 , 4.π .r0 4.r0
lembrando que r0 é a distância focal, e I a corrente que circula no fio.
69
3a Sol: (solução completa)
r = r0 sec 2
φ φ φ dr → = r.tg sec 2 2 2 2 dφ 2
dr dl = r + dφ dφ 2
φ φ φ dl = r0 sec 2 + r0tg sec 2 dφ 2 2 2 2
dl = r0 sec 3
2
φ dφ 2
µ 0 .I .dl. sen θ µ .I .dl π → θ = ⇒ dB = 0 2 2 4.π .r 2 4.π .r φ φ .I . cos dφ µ r0 sec3 dφ 0 µ 0 .I .dφ µ I 2 2 = = dB = 0 . 4.π (r ) 2 sec 4 φ 4.π .r . sec φ 4.π .r0 0 0 2 2 dB =
B=
π µ0 .I φ µ .I φ π µ .I π 2.∫ cos dφ = 0 2.(2 sen ) = 0 sen − sen(0) 4.π .r0 0 2 4.π .r0 2 0 π .r0 2
B=
µ0 .I µ0 .I ≅ π .r0 (3,14).r0
5.7)(a) Qual é o torque máximo numa bobina quadrada com 200 espiras situadas no campo com densidade de fluxo uniforme B=4T? A bobina tem 150mm de lado e conduz uma corrente de 8A. (b) Qual é o momento magnético da bobina? Fonte:[1]
70
Sol:
B = 4 [T] N = 200 [espiras] I = 8 [A] l = 150 [mm] Letra (a)
TM = N .I . A.B = N .I .l 2 B ⇒ TM = 144 [Nm] Letra (b) 2 m' = N .I . A = N .I .l 2 ⇒ m' = 36 [Am ]
5.8)Calcule a indutância de uma bobina toroidal com núcleo de ar, área da seção transversal de 1000mm2 e raio médio de 500mm. O toroide tem um rolamento uniforme de 10.000 espiras. {Fonte:[1]} Sol:
A = 1000 mm2 r = 500 mm N=10000 espiras
µ . N 2 A µ .N 2 A = ⇒ L = 4.10 − 2 H L= 2.π .r l L = 40mH
5.9)Um longo condutor reto de raio r carrega uma corrente I que é coincidente com o eixo z. Encontre o campo magnético na parte de dentro do condutor.
71
Sol:
Fig. Prob. 5-9
H H I = ∫∫ J .ds H H ∫ H .dl = I ' ⇒ H φ .2.π .r = I ' ⇒ H φ = r
I' 2.π .r
A densidade de corrente é a mesma em qualquer r ≤ R ,
H
pois para r > R → J = 0
H H dJ I = ∫∫ J .ds ⇒ =I ds A
I' I I .r 2 ' I = → = π .r 2 π .R 2 R2 Hφ =
I' I .r 2 / R 2 I .r = = 2.π .r 2.π .r 2.π .R 2 ^
^
como H = φ .H φ ⇒ H = φ .
I .r 2.π .R 2 72
H
^
^
H H
^
5.10) Se F = x x 2 + y 2 yz − z x 2 , ache ∇xF e o caminho de
H H ∇xF {Fonte:[1]}
Sol: H H ∂ ( x 2 ) ∂ (2. y.z ) ^ ∂ ( x 2 ) ∂ ( x 2 ) ^ ∂ (2. y.z ) ∂ ( x 2 ) ^ . x + y+ z ∇xF = − + − − ∂z ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ^ ^ H H ∂ ( x 2 ) ^ ∂ (2. y.z ) ^ ∇xF = y− x = − x 2. y + y 2 x ∂x ∂z
5.11) Calcule a intensidade de campo magnético devido a um condutor reto e infinitamente longo, percorrido por uma corrente I ampères, em um ponto afastado r metros do condutor. Sol:
H H H ∫ .dl = I = H ϕ .2.π .r = I ou H ϕ =
I [A/m] 2.π .r
5.12) Uma espira retangular é colocada no campo do condutor do problema 5.11 como mostra a figura abaixo. Qual é o fluxo total enlaçando a espira? Fonte:[1]
73
Fig. Prob. 5-12 Fonte:[1] Sol:
Bϕ = µ .H ϕ =
µ .I [T] 2.π .r
µ .I .l dr 2.π r µ .I .l r2 ln [Wb] ψm = µ .I .l r2 dr 2.π r1 ψm = 2.π ∫r1 r dψ m = Bϕ .ds =
5.13) Considere o circuito da figura abaixo. Os segmentos curvos são círculos de raio a e b. Os segmentos retilíneos H estão ao longo dos raios. Ache o campo magnético B em P, considerando uma corrente i no circuito. Fonte:[5]
74
Fig. Prob. 5-13a Fonte:[5] Sol:
H
Temos que: dB =
µ 0i.dl sen θ 4.π .r 2
As seções he e fg indicadas na figura abaixo não contribuem, pois dl. sen θ = 0 , pois θ = 0 . Ao longo do trecho fe, temos:
Fig. Prob. 5-13b Fonte:[16] 75
π µ .i dl sen θ ,→θ = B = 0 ∫ 2 2 r 4.π 0 µ .i.θ µ .i .(a.dθ ). sen 90 µ 0 .i θ = B2 = 0 ∫ ∫0 dθ = 0 2 4.π .a a 4π . 4.π .a De modo análogo o trecho gh é B1 =
µ 0 .i.θ , 4.π .b
como a>b ⇒ B1 > B2 . Observe que B1 está apontando para fora e B2 está para dentro; é só ver o sentido da corrente e aplicar a regra da mão direita.
B = B1 − B2 =
µ 0 .i.θ 1 1 − , como B1 > B2 logo está apon4.π b a
tando para fora.
5.14) Um segmento retilíneo de fio, de comprimento L, transporta uma corrente i. Mostre que o campo magnético
H B associado a este segmento, a uma distância R tomada
sobre sua mediatriz, é dada em módulo por
B=
µ 0 .i 2.π .R
L L + 4 .R 2 2
Fonte:[5] Sol:
76
Fig. Prob. 5-14 Fonte:[16]
dB =
µ 0 .i.dl. sen θ , observe que da figura acima tiramos que: 4.π .r 2
sen(π − θ ) = para x =
R = r
x + R2
L → sen(π − θ ) = 2
cos(π − θ ) = − para x =
R 2
,
2 .R L + 4.R 2 2
x x + R2 2
,
L → cos(π − θ ) = 2
L L2 + 4.R 2
e da figura
sen(π − θ ) = sen θ & cos(π − θ ) = − cos θ 77
x= B=
B=
2.R L L L x = → cosθ = − → senθ = & 2 2 L2 + 4.R2 L2 + 4.R 2
µ 0 .i.R + L2 L 4.π ∫− 2
(x
L + µ 0 .i.R .2.[ ∫ 2 0 4.π
dx 2
+ R2
(x
) , por simetria temos que: 3
dx 2
+ R2
)
3
]
chamando
tgθ = →
R R →x= = R. cot gθ → dx = − R. cos ec 2θ .dθ x tgθ
(x
2
+ R2
) = ( R . cos ec θ ) = R . cos ec θ 3
2
2
3
3
x = 0 → cot gθ ' = 0 → θ ' = observe que:
B=
=
x=
3
π 2
L →θ ''= θ 2
µ 0 .i.R θ '' '− R. cos ec 2θ .dθ µ 0 .i.R − 2 +θ dθ 2 . = = π 4.π . ∫θ ' R 3 cos ec 3θ 4.π R 2 ∫2 cos ecθ
µ0 .i.R − 2 +θ . π sen θ .dθ 4.π R 2 ∫2
B=
+θ µ0 .i. µ .i π µ .i − 2(− cosθ = 0 2 cosθ − cos = 0 2(cosθ ) π 4.π .R 4.π .R 2 4.π .R 2
78
B=−
µ 0 .i 2.π .R
L L2 + 4 R 2
o sinal menos indica o sentido de B, logo o módulo de B, é dado por B =
µ 0i 2.π .R
L L2 + 4 R 2
5.15) Ache a densidade de fluxo magnético B no centro de uma espira quadrada com 2m de lado e com uma corrente de 3A. {Fonte:[5]} Sol:
Fig. Prob. 5-15 79
2 L sen θ = r = x2 + ; 2
L 2 L x + 2
2
2
L 1 µ .I .dl. sen θ µ 0 .I .dx 2 . dB = 0 = 2 2 2 4.π .r 4.π 2 L L 2 x + x + 2 2
.
L µ0 I dx 2 . dB = 3 4.π 2 L 2 x 2 + 2
µ .I .L L2 .8∫ B= 0 0 8.π
⇒B=
µ 0 .I .L x dx = 3 2 2 π L L 2 2 L 2 2 2 x + 2 x + 2
L 2 0
2 2 .µ 0 .I , foi dado que I = 3 A e L = 2m , então, π .L
⇒ B = 1,7.10 −6 T ⇒ B = 1,7 µ .T
80
obs.: 1) Sabe-se que µ 0 = 4.π .10 −7 H / m 2) O fator de 8 multiplicando a integral, vem do fato de dividirmos em 8 segmentos de comprimento
L . 2
5.16) O fio mostrado na figura abaixo transporta uma
H
corrente i. Qual é o campo magnético B no centro C do semicírculo produzido por: (a) por cada segmento retilíneo de comprimento L; (b) pelo segmento semicircular de raio R e (c) pelo fio inteiro? {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 5-16a Fonte:[5] Sol:
Fig. Prob. 5-16b Fonte:[16] 81
(a) Campo dos segmentos retilíneos
dB1 =
µ 0 .i.dl. sen θ , θ = 0 → B1 = 0 4.π .r 2
(b) Campo do semicírculo
dB2 =
µ 0 .idl sen θ 0 , θ = 90 e R é o raio da circunferência; 2 4π .R
logo dB2 =
B2 =
µ .i π µ .i µ 0 .i R.dθ ⇒ B2 = 0 ∫ dθ = 0 .π 2 0 4.π .R 4.π .R 4.π .R
µ 0 .i 4.R
(c) Campo no fio inteiro
B = B1 + B2 = 0 +
µ 0 .i µ 0 .i = 4.R 4.R
5.17) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro de uma espira de forma circular com uma corrente I é dada por
B=
µ0 I 2.r
Sol:
dB =
µ 0 .i.dl. sen θ π ⇒θ = 2 4.π .r 2
x = r .cosθ → dl = dx 2 + dy 2 = (−r. sen θ .dθ ) 2 + (r. sen θ .dθ ) 2 = y = r .senθ
= r sen 2 θ + cos 2 θ .dθ = r.dθ
dx = −r. sen θ .dθ ; dy = r. cosθ .dθ 82
B=∫
2.π
0
µ 0 I .r.dθ µ I = 0 (θ 2 4.π .r 4.π .r
2.π 0
=
µ 0 .I µ I .2.π = 0 4.π .r 2.r
5.18) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro do eixo das coordenadas de uma espira em forma de um "Espiral de Archimedes" com uma corrente I é dada por
12 µ0 I 2 ln θ + 1 + (θ ) − 1 + + G B= 4.π .a θ
1 onde G = 1 + limθ i →0 θi
2
Sol:
Fig. Prob. 5-18 Fonte: [8] 83
r = aθ →
dr =a dθ 2
dr 2 2 2 dl = r + dθ = a θ + a dθ d θ 2
dl = a 1+ θ 2 dθ
dB =
µ 0 I .dl µ 0 I .a. 1 + θ 2 dθ µ 0 I 1 + θ 2 dθ = = 4.π .r 2 4.π .a θ2 a 2 .θ 2
µ0 I θ 1 + θ 2 B= dθ 4.π .a ∫0 θ 2 2 1 µ0 I . 2 ln θ + 1 + (θ ) − 1 + + G B= 4.π .a θ
1 G = 1 + limθ i →0 θi
2
5.19) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro do eixo das coordenadas de uma espira em forma de uma "Espiral Logarítmica" com uma corrente I é dada por
µ I 1 B = 0 . 1 + .(1 − e − aθ ) 4.π . a 2
84
Sol:
Fig. Prob. 5-19
dB =
µ 0 I .dl sen ξ , → dl perpendicular a 4.π .r 2
r ⇒ ξ = 90 0 ⇒ dB =
µ 0 I .dl 4.π .r 2 2
r=e
a .θ
dr dr = a.e aθ , dl = r 2 + dθ , , dθ dθ
dl = e 2 aθ + a 2 .e 2 aθ dθ ⇒ dl = e aθ 1 + a 2 dθ dl = e 2 aθ + a 2 .e 2 aθ dθ ⇒ dl = e aθ 1 + a 2 dθ dB =
B=
µ0 I µ I .e aθ 1 + a 2 dθ = 0 .e − aθ 1 + a 2 dθ aθ 2 4.π .(e ) 4.π
µ0 I 1 + a 2 4.π
θ
∫
0
e − aθ dθ ⇒ B =
85
µ 0 I 1 + a 2 1 − aθ − e 4.π a
θ 0
µ I 1+ a2 µ I 1 ( 1 − e − aθ ) = 0 1 + (1 − e −.aθ ) ⇒B= 0 4.π .a 4.π a 2
µ I 1 ⇒ B = 0 . 1 + .(1 − e − aθ ) 4.π . a 2
5.20) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro do eixo das coordenadas de uma espira em forma de um "Espiral Hiperbólica" com uma corrente I é dada por B=
µ 0 I θ 1 θ 2 + 1 + ln θ + θ 2 + 1 4.π .a 2 2
Sol:
Fig. Prob. 5-20 Fonte:[8]
Referências para estudo da teoria5 5
Referências: Kraus, John D ; Carver, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978 ⇒ capítulo 5 (cinco) Kraus, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991 ⇒ capítulo 6 (seis)
86
CAPÍTULO 6
O CAMPO MAGNETOSTÁTICO DE MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 6.1- Uma agulha magnetizada de momento magnético 20 Am2 está situada num campo magnético uniforme de 50µT de densidade de fluxo. Ache o torque máximo na agulha. {Fonte:[1]} Sol:
T = IAB = mB = (20 Am 2 )(50µT ) = 1mNm 6.2- Uma barra uniformemente magnetizada com um volume de 0,01 m3 tem um momento magnético de 500 Am2. Se a densidade de fluxo B=50mT na barra, qual será o valor de H na barra?{Fonte:[1]} Sol:
m 500 Am 2 = = 50 KA / m v 0,01m3 B − µ 0M B = µ0 ( H + M ) ⇒ H = µ0
M=
87
H=
50 mT − ( 4.π .10 − 7 H / m)(50 KA / m) = −10 KA / m 4.π .10 − 7 H / m
6.3- Uma barra de ferro retangular tem um comprimento
x1 e uma área de seção transversal A. A permeabilidade é uma função de x dada por µ = µ 0 +
µ1 − µ 0 x , ache a x1
permeabilidade da barra. {Fonte: [1]} Sol:
H
∫ HH .dl ⇒ ℘ = 1 ℜ= H ℜ ∫∫ B.ds 2
1
S
H H
H H
∫∫ BH .dsH = ∫∫ HB.ds = ∫∫ ds = ℘= H dx ∫ H .dl ∫ B .dl ∫ µ ∫ 2
x1
1
℘=
µ
A x1 ∫
x1
0
=
dx x1µ 0 + ( µ1 − µ 0 ) x
0
=
∫∫ ds dx
x1
0
µ1 − µ 0 .x µ 0 + x 1
[
A
x1 ln x1µ 0 + (µ1 − µ 0 )x 0x1 µ1 − µ 0
(µ1 − µ0 )A µ x1. ln 1 µ0
88
=
6.4- Um anel de ferro tem uma área de seção transversal uniforme de 150mm2 e um raio médio de 200mm. O anel é contínuo exceto por um entreferro de 1mm de largura. Ache o número de espiras necessário no anel para produzir uma densidade de fluxo B=0,5T. Despreze a franja. Quando B=0,5T no ferro µ r = 250 .{Fonte:[1]} Sol: Dados: B=0,5T; Rm=200mm; g=1mm; A=150mm2
ℜf =
l − g 2π .Rm − g = = 26,65( MA / Wb) µ. A µ r .µ 0 . A
ℜe =
g = 5,04( MA / Wb) µ0 .A
H H H ∫ .dl = NI = BA.(ℜ f + ℜ g ) = 2,4.( KAesp)
6.5-Um eletroimã consiste de um “yoke” de ferro em forma de U e de uma barra de ferro como mostra a fig. 6-5. Uma lâmina fina de cobre sobre a barra evita o contato de ferro com ferro entre a barra e o “yoke”. Se o fluxo magnético através do circuito for 15mWb e área de contato da barra e do “yoke” for de 0,015m2 por pólo, qual será o peso que o “yoke” suportará (incluindo o peso da barra)? Despreze a franja.
89
Fig. Prob. 6-5 Fonte:[1] Sol: Dados: Φ = 15mWb ; A = 0,015m 2
H H Φ 15mWb Φ = ∫∫ B.ds = B. A ⇒ B = = = 1T A 0,015m 2 S
(
)
(1T ) 0,015m 2 = 5,97 KN B 2.A = 2.µ 0 2. 4.π .10 −7 H / m 2
F=
(
)
P = 2 F = 11,94 KN em Kgf, temos que dividir por 9,81
P=
11,94kN = 1217,5kgf 9,81
90
6.6- (a) Se a área de contato do eletroimã do problema 6.5 fosse reduzida a 0,005mm2, afunilando-se as seções do “yoke”, qual seria o peso que o “yoke” suportaria? Suponha que o fluxo total é o mesmo que antes e despreze a franja. (b) Na prática, o que impede a força de atração aumentar indefinidamente quando a área é reduzida? Sol: Letra (a)
B=
Φ 15mWb = = 3T A 0,005m 2
(
)
(3T ) 0,005m 2 = 17,9 KN B 2 .A F= = 2.µ 0 2. 4.π .10 −7 H / m 2
(
)
P = 2 F = 35,81KN em Kgf, temos que dividir por 9,81
P=
35,81KN = 3650,34 Kgf 9,81
Letra (b) A impossibilidade de se reduzir a área indefinidamente.
6.7- Um imã de ferro circular de 0,02m2 de área de seção transversal e 300mm de raio tem um entreferro de 1mm e um enrolamento de 1200 espiras. Se a corrente através da bobina for de 6 A, qual será a força que tenderá a fechar o entreferro? Considere µ r = 1000 para o ferro e despreze a franja.
91
Sol:
Fig. Prob. 6-7 Fonte:[1] Sabe-se que µ 0 = 4.π .10 −7 H / m Dados:
g = 1mm ; R = 300mm ; A = 0,02m 2 ; µ r = 1000 ; N = 1200 espiras; i = 6 A
ℑmm = N .i = Φ (ℜ f + ℜ g ) ⇒ Φ =
92
N .i ℜ f + ℜg
ℜf =
(l − g ) = (2.π .R − g ) = 74,96 KA / Wb
µ. A µ r .µ 0 . A g ℜg = = 39,79 KA / Wb µ0 .A ⇒Φ= F=
Φ N .i = 62,75mWb ⇒ B = = 3,14T ℜ f + ℜg A
B 2 .A = 78,3KN 2.µ 0
6.8- Um circuito magnético cujos braços são de aço fundido. Esta assim distribuído, a parte 1 tem l1 = 34cm e S1 = 6cm 2 ; a parte 2 tem l2 = 16cm e S 2 = 4cm 2 . Calcule a corrente I1 , supondo I 2 = 0,5 A , N1 = 200 espiras, N 2 = 100 espiras e
Φ = 120 µWb .{Fonte:[4]} Sol: Dados: l1 = 34cm ; S1 = 6cm 2 ; l2 = 16cm ; S 2 = 4cm 2 ;
I 2 = 0,5 A ; N1 = 200 ; N 2 = 100 & Φ = 120 µWb . H H Φ Φ = ∫∫ B.ds = B1.S1 ⇒ B1 = = 0,4T S1 S B2 =
Φ = 0,3T S2
93
Consultando a curva de magnetização*, temos que:
H1 = 145 A / m H 2 = 180 A / m
ℑ1 − ℑ2 = H1.l1 + H 2 .l2 ⇒ N1.I1 − N 2 .I 2 = H1.l1 + H 2 .l2 ⇒ I1 =
6
H 1.l1 + H 2 .l2 + N 2 .I 2 = 0,65 A N1
Referências para estudo da teoria.
* Ver a curva de magnetização pág. 164, fig. 11-13 do livro: EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. 6
Referências para estudo da teoria: KRAUS, John D; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo. Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 6 (seis) EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill do Brasil, 1980. ⇒ capítulo 11 (onze)
94
CAPÍTULO 7
EQUAÇÃO DE LAPLACE 7.1) Encontre a função potencial na região entre os discos circulares paralelos . Despreze espraiamento.{Fonte:[4]} Sol: O potencial é função de z, ou seja “ V (z ) ”, logo:
H d 2V d dV ∇ 2V = 0 → 2 = 0 → =0 dz dz dz dV dV → ∫ d =A = ∫ 0.dz → dz dz → ∫ dV = ∫ A.dz → V = A.z + B
7.2) Calcule a função potencial e a intensidade de campo elétrico entre dois cilindros concêntricos circulares retos. {Fonte:[4]}
95
Sol: O potencial é função de r, ou seja “ V (r ) ”, logo:
H 1 d dV ∇ 2V = 0 → r. =0 r dr dr dV dV → ∫ d r. =A = ∫ 0.dr → r. dr dr A → ∫ dV = ∫ dr → V = A ln r + B r
H A H E = −∇.V (r ) = − .r r
7.3) Em coordenadas cilíndricas, dois planos estão isolados ao longo do eixo z. Despreze espraiamento e encontre a
H
expressão para E entre os planos. Fonte:[4] Sol: O potencial é função de φ , ou seja “ V (φ ) ”, logo:
H2 1 d 2V ∇ V =0→ =0 r dφ 2 →
dV d 2V = 0 → ∫ d . 2 dφ dφ
dV = ∫ 0.dφ → r. =A dr
→ ∫ dV = ∫ A.dφ → V = A.φ + B
96
V = A.φ + B (V )
H H 1 dV 1 d (A.φ + B ).φ E = −∇.V (φ ) = − =− r dφ r dφ (V / m) A H E = − .φ r
7.4) Resolva a equação de Laplace para a região compreendida entre dois cones. Em θ1 o potencial vale V1 , e em θ 2 é zero. Os vértices dos cones são isolados em r = 0 .{Fonte:[4]} Sol: O potencial é função de θ , ou seja “ V (θ ) ”, logo:
H ∇ 2V = 0 →
d dV dV 1 senθ = 0 → ∫ d senθ . = r . senθ dθ dθ dθ 2
dV =A = ∫ 0.dθ → sen θ . dr → ∫ dV = ∫
θ A .dθ → V = A. ln tg sen θ 2
pois, chamando z = tg
cosθ =
+ B
θ temos: 2
2z 2dz 1− z2 sen θ = dθ = 2 ; 2 ; 1+ z 1+ z2 1+ z
97
1 2dz 1 + z 2 2dz A.dθ = = A A ∫ sen θ ∫ 2 z 1 + z 2 ∫ 2 z 1 + z 2 1+ z2 dz θ → A∫ = A ln z + B = A ln tg + B z 2 As constantes são encontradas a partir de:
θ θ V1 = A. ln tg 1 + B ; 0 = A. ln tg 2 + B 2 2
θ θ ln tg − ln tg 2 2 2 ⇒ V = V1. θ θ ln tg 1 − ln tg 2 2 2
7.5) Um potencial em coordenadas cilíndricas é função de
r e φ , mas não de z. Obtenha as equações diferenciais separadas para R e φ , onde V = R ( r ).Φ (φ ) , e resolva-as. A região é sem cargas. {Fonte:[4]} Sol:
H d 2 R Φ dR R d 2 Φ ∇ 2V = 0 ⇒ Φ. 2 + . + . =0 dr r dr r 2 dφ 2 ⇒
1 d 2Φ r 2 d 2 R r dR . 2 + . =− . 2 R dr R dr Φ dφ
98
Como um lado da igualdade só depende de r e o outro só de φ ; então:
⇒
r 2 d 2 R r dR d 2 R 1 dR a 2 .R = a2 ⇒ 2 + . − 2 =0, . 2 + . R dr R dr dr r dr r
multiplicando ambos os lados da equação por r 2 , temos:
d 2R dR ⇒ r . 2 + r. − a 2 .R = 0 , que é uma equação de euller, dr dr 2
fazendo a substituição de variável
dt 1 −t r = e − t → t = ln r ; dr = r = e
→
dR dR dt dR d 2 R d dR d dR dt . = e −t . = → 2 = = dr dt dr dt dr dr dr dt dr dr
( ). dR + e
d 2 R d −t dR −t d e − t = e . .e = dr 2 dt dt dt d 2R dR −t d 2 R −t → 2 = − e −t . + e . 2 .e dr dt dt
→
dt
−t
.
d 2 R −t .e dt 2
d 2 R dR = e − 2t 2 − dt dt
d 2R dR + r. − a 2 .R = 0 2 dr dr d 2 R dR t −t dR 2 + e . e . − a .R = 0 ⇒ 2.e 2t .e − 2t . 2 − dt dt dt r 2.
d 2 R dR dR − + − a 2 .R = 0 2 dt dt dt 2 d R ⇒ 2 − a 2 .R = 0 dt ⇒
99
tirando a equação característica, temos:
λ1 = a λ2 − a 2 = 0 → λ 2 = − a R(t ) = C1.e λ1 .t + C2 .e λ2 .t = C1.e at + C2 .e − at
( ) + C (e )
R(t ) = C1 e t
t −a
a
2
voltando a equação original, por meio de r = e t , temos:
R(r ) = C1.r a + C2 .r − a
d 2Φ 1 d 2Φ 2 − =a → + Φ.a 2 = 0 2 2 Φ dφ dφ tirando a equação característica, temos:
λ2 + a 2 = 0 → λ = ± a.i → λ = 0 ± a.i logo para o caso em que as raízes são complexas, temos como solução a equação diferencial :
Φ (φ ) = e 0.φ (C3 . cos aφ + C4 . sen aφ ) Φ (φ ) = C3 . cos a.φ + C4 . sen a.φ 7.6) O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos −
demais elétrons V =
q e 4.π .ε 0 r
r λ
ocorre comumente num
meio condutor . Calcule o campo elétrico e a densidade de carga correspondente. {Fonte:[8]}
100
Sol:
H H E = −∇.V = − H E=−
−r q He λ ∇ 4.π .ε 0 r
r r q 1 H − λ − λ H 1 = − ∇ + e e .∇ 4.π .ε 0 r r
−r r r H q e λ 1 −λ 1 H q 1 1 −λ r . − + e − 2 .r = + .e . r 4.π .ε 0 r λ 4.π .ε 0 r λ r ^
^
H r r Sabemos que: r = H = ; logo, temos: r r
H E=
^
^
r r q 1 1 −λ 1 r q 1 1 −λ r + .e . . = + .e . 2 4.π .ε 0 r λ r r 4.π .ε 0 r λ r
H ⇒E=
^
r q 1 1 −λ r . . 2 + e 4.π .ε 0 r λ r
− λr e ρ q ∇ 2 .V = − → ∇2 4.π .ε 0 r ε0
q ρ =− → 4.π ε0 →
=−
r 1 2 − r − 2 1 λ λ ∇ e + ∇ .e = − ρ r r
q 1 − 2 − 4.π .δ (r ).e λ = 4.π λ .r r
101
1 −λ ( ) = − ρ → q. − δ + r .e = ρ 2 4.π .λ .r r
1 − ⇒ ρ = δ (r ) − 2 .e λ 4.λ .r r
1 r
pois, ∇ = −4.π .δ (r ) . Verificar em (Reitz, Fundamentos 2
da Teoria Eletromagnética; página 54, eq.2-58)
6
Referências para estudo da teoria
7
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 7 (sete) EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Editora McGraw-Hill d Brasil, 1980. ⇒ capítulo 8 (oito)
102
CAPÍTULO 8
CAMPOS MAGNÉTICOS VARIANDO NO TEMPO 8.1) (a) Um anel de 3 voltas, com 0,5m2 de área, situado no ar, tem um campo magnético normal ao plano do anel. Se a densidade de fluxo magnético variar de 5mTs-1, qual é a força eletromotriz que aparecerá nos terminais do anel? (b) Se a fem nos terminais do anel for de 100mV, qual será a taxa de variação do campo magnético?{Fonte:[1]} Sol:
H ∂.B H ∂.B v = −∫ .ds = .A ∂.t ∂.t S
letra(a) A = (3).(0,5m) = 1,5m 2 ;
∂B = 5mT / s ⇒ v = (5mT ).(1,5m 2 ) = 7,5mV ∂t
letra (b) ∂B ∂B v 100 mV = = = 66,67 mT / s v= .A ⇒ ∂t ∂t A 1,5m 2 103
8.2) Um pêndulo de fio com uma escova oscila normal a um campo magnético uniforme de 250mT, como mostra a figura. A velocidade de qualquer ponto do pêndulo a uma distância
r do seu ponto de apoio é dada por v = w.d (r R ). cos wt , onde d é o deslocamento horizontal máximo ou meia amplitude. Se o comprimento R do pêndulo for de 4m, seu período na superfície terrestre será aproximadamente 4s
[T
(s )
(
)]
= 2.π R(m ) / 9,8 m.s − 2 .
Empregando este valor para o período, determine a fem máxima que aparece nos terminais se d=100mm. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-2 Fonte:[1] Sol:
H H H v = ∫ VxB .dl = V .B.l = V .B.θ .R
( )
r R 2.π .d V = w.d . . cos wt → Vmax = w.d . .1 = w.d = R R T vmax → Vmax vmax =
2.π .d .B.θ .R T
104
da figura tiramos sen θ =
vmax =
d d ⇒ θ = sen −1 , logo R R
2.π .d d .B.R. sen −1 T R
8.3) Ache a fem induzida num fio reto que se move perpendicular a um campo magnético uniforme B com uma velocidade v como na figura. O campo magnético está restrito ao raio R das peças polares de um imã. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-3a {Fonte:[1]} Sol:
H H H v = ∫ VxB .dl = V .B.2l = 2.V .B. R 2 − r 2 , pois
( )
Fig. Prob. 8-3b {Fonte:[1]} 105
de onde temos pelo Teorema de Pitágoras:
R2 = r 2 + l 2 ⇒ l = R2 − r 2 8.4) Um aro condutor com único raio gira perpendicular B (figura). O campo magnético está restrito ao raio R das peças polares de um imã. Um circuito externo faz contato com o eixo e o raio de escovas. (a) Se o aro for girado Nrs-1, ache a fem induzida no circuito. (b) Se uma corrente I passar através do circuito, ache o torque no aro. (c) Se a corrente fluir como indicado, o torque será no sentido horário ou anti-horário? {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-4a {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
H H H v = ∫ VxB .dl = V .B.l
( )
l=
2.π .R = π .R e V = w.R = N .R ; pois w = N (rad / s ) 2
v = V .B.l = N .R.B.π .R = π .N .B.R 2 (Volt )
106
Letra (b)
H H H T = mxB , m = I . A ⇒ T = I . A.B
da figura tiramos a área
Fig. Prob. 8.4b
A=
R.R R 2 = 2 2
⇒ T = I.
1 R2 .B = .I .B.R 2 ( Nm) 2 2
8.5) (a) Um disco fino de cobre de 300mm de diâmetro está situado com o plano normal a um campo magnético uniforme e constante B=600mT. Se o disco girar 30rs-1, ache a fem desenvolvida nos terminais conectados às escovas como mostra a figura. Uma escova faz contato com o eixo. Este arranjo é chamado de gerador de disco de Faraday. (b) Se o campo magnético variar com o tempo, como dado por B=B0senwt, onde B0=600mT e w=2πx5 rads-1, ache a fem desenvolvida nos terminais. {Fonte:[1]}
107
Fig. Prob. 8-5 Fonte:[1] Sol: Letra (a) Dados: d = 2 R = 300mm ; w = 30 r.s −1 ; B = 600mT
H H H fem = v = ∫ VxB .dl = V .B.l
( )
2.π .R = π .R = 0,47 m 2 V = w.R = 4,5m / s B = 600mT l=
v = V .B.l = 1,27(V ) Letra (b) Dados: w = 2.πx5r.s −1 ; B0 = 600mT onde B = B0 sen wt
H H H H ∂ ∂.B H v = ∫ VxB .dl − ∫ .ds = V .B.l − (B0 . sen wt ).a.b ∂.t ∂t S
( )
v = V .B.l − B0 .w.a.b. cos wt = 1,27 − 18,8.ab cos10π .t (V ) 108
8.6) Ache a indutância mútua entre um fio longo e uma espira retangular de fio como mostra a figura. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-6 Fonte:[1] Sol:
H H N N .I .l r2 N1 N 2 NN = H1 2H ∫∫ B.ds = 1 2 ln 2 . π ℜ r1 I . H d l ∫
M=
⇒M =
N1 N 2 r I . ln 2 2.π r1
pois, H H µ .I µ .I .l r2 dr µ .I .l r2 .l.dr ln (Wb) ⇒ ∫∫ B.ds = ∫∫ = 2.π ∫r1 r 2.π 2.π .r r1
∫
H H
e, ⇒ H .dl = H .2.π ..r = I ⇒ H = ϕ ϕ e, ⇒ B = µ .H → B = µ .H = µ .I ϕ ϕ
2.π .r
109
I 2.π ..r
8.7) Uma barra condutora reta, presa a um peso, está suspensa por molas metálicas num campo magnético uniforme B como na figura. O comprimento da barra é de 500mm. Ache a corrente I (grandeza e sentido) necessária para equilibrar a barra e o peso se B=2T e a massa da barra e do peso for de 5kg.{Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-7 Fonte:[1] Sol:
dF = (IxB ).dl → F = (IxB).l
∑F =0→ F
el
− mg + Fel = 0 → Fel =
F = 2.Fel = m.g F = B.I .l → mg = B.I .l → I = →I =
m.g B.l
m.g = 49(A) B.l
110
mg 2
8.8) Levitação magnética. Uma barra condutora estreita com um peso é suspensa por um par de molas em um campo magnético uniforme (como mostra a figura do problema 8.9) O comprimento da barra é de 500mm e B=2T. Se I=60A, encontre a máxima massa da barra e do peso que pode fazêla “boiar” ou levitar. {Fonte:[2]} Sol:
→ F = (BxI ).l → F = B.I .l → mg = B.I .l B.I .l →m= = 6,12(kg ) g
8.9) Ache a densidade de corrente de deslocamento de um campo magnético no ar dado por (a) H y = H 0 . sen (wt − β .x ) ,
H
(b) H = x H x . sen 2 x. sen(wt − β . y ) + z H z sen 2 x. cos(wt − β . y ) ^
^
Fonte:[1] Sol:
H H H ∇xH = J → ^ ∂.H ∂.H y ^ ∂.H x ∂.H z ^ ∂.H y ∂.H x H z =J + y − − − x + z ∂.x ∂.x ∂. y ∂.z ∂.z ∂. y
Letra (a)
H H H H ^ ∂.H y ^ H . z = J → J = z H 0 . cos(wt − β .x )( . −β) ∇xH = J → ∂.x ^ H → J = − z β .H 0 . cos(w.t − β .x ) 111
Letra (b) ^ ∂.H ^ H H H ∂.H z ^ ∂.H y H z = J + y − ∇xH = J → x + z − ∂. y ∂.x ∂. y
H ^ → J = x[β .H z sen 2 x. sen (wt − β . y )]− − [2.H z cos 2 x. cos(wt − β . y )] y + z[β .H x . sen 2 x. cos(wt − β . y )] ^
8
^
Referências para estudo da teoria
8
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 8 (oito) KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions, 1991 ⇒ capítulo 10 (dez)
112
CAPÍTULO 9
RELAÇÃO ENTRE A TEORIA DOS CIRCUITOS E DO CAMPO: EQUAÇÕES DE MAXWELL 9.1) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação de Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente, aplicando o Teorema de Stokes. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
H H H dq H µ µ µ = = + = B d l i i i J . . ( ) ( . + ) ds . 0 0 cond desl 0 ∫∫ ∫ dt H H H ∂.D H dq d H H dq D d s q D d s = → = → . . ∫ ∫∫ ∂.t .ds = dr = idesl d .t ∫ dt H H H H H H ∂.D H H ∂.D H ∫ B.dl = µ0 ∫∫ J .ds + ∫∫ ∂.t .ds = µ 0 ∫∫ J + ∂.t .ds
113
H H H H ∂.D H H ∂.D H 1 H H B H .ds → ∫ .dl = ∫∫ J + .ds B.dl = ∫∫ J + ∂.t ∂.t µ0 ∫ µ0 H H H ∂.D H .ds ⇒ ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t Letra (b)
H H H ∂.D H ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t .ds H H H H H ∂.D H ∫∫ ∇xH .ds = ∫∫ J + ∂.t .ds H H H H ∂.D ⇒ ∇xH = J + ∂.t
(
)
9.2) (a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equação de Maxwell na forma integral baseada nesta. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente aplicando o teorema de Stokes. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
H H H H dψ m ψ m = ∫∫ B.ds , mas v = − e v = ∫ E.dl dt H H H H H ∂.B H d v = − ∫∫ B.ds → ∫ E.dl = − ∫∫ ds ∂.t dt
114
Letra (b)
H H H ∂.B H ∫ E.dl = −∫∫ ∂.t ds H H H H ∂.B H ds ∇xE .ds = − ∫∫ ∂.t
∫∫ (
)
H H H ∂.B ∇xE = − ∂.t
9.3) (a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente. {Fonte:[1]} Sol: Letra (a)
H H H H H H ε ∫ E.ds = q → ∫ (ε .E ).ds = q → ∫ D.ds = q
Letra (b)
H H
H H
H H
∫ DH.dsH= q → ∫ D.ds = ∫∫∫ ρ.dv → ∫∫∫ (∇.D).dv = ∫∫∫ ρ.dv
⇒ ∇.D = ρ
9.4) (a) Partindo da lei de Gauss aplicada aos campos magnéticos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial correspondente. {Fonte:[1]}
115
Sol: Letra (a)
H H H H ψ m = ∫∫ B.ds , mas na superfície fechada temos ∫ B.ds = 0 S
S
Letra (b)
H H H H H H . 0 . . 0 .B = 0 B d s B dv = → ∇ = → ∇ ∫ ∫∫∫ S
( )
v
9.5) Porque as equações de Maxwell não são completamente simétricas? Fonte:[1] Sol:
H H H H H H H ∂.D H ∂.D H .ds , ou → ∇xH = J + Fmm = ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t ∂.t S H H H H H H ∂.B H ∂.B v = ∫ E.dl = − ∫∫ ds , ou → ∇xE = − ∂.t ∂.t H H H H ψ el = ∫ D.ds = ∫∫∫ ρ .dv, ou → ∇.D = ρ H H H H ψ m = ∫ B.ds = 0, ou → ∇.B = 0 Observe que: A lei de Gaus do campo elétrico
H H
∫ D.ds = ∫∫∫ ρ .dv = q (ou
H H ∇.D = ρ ) indica a existência de cargas elétricas isoladas (“monopólos elétricos”).
116
∫
H H
H H
E a lei de Gaus do campo magnético B.ds = 0 (ou ∇.B = 0 ) indica a inexistência de cargas magnéticas isoladas (“monopólos magnéticos”)
⇒ Conclusão: As equações de Maxwell não são simétricas porque cargas magnéticas isoladas não existem (enquanto cargas elétricas isoladas existem). 9.6) Um condutor cilíndrico longo de raio R e σ=∞ conduz uma corrente I=I0senwt . Como função do raio r (para r
R) ache (a) a densidade de corrente de condução(b) a densidade de corrente de deslocamento Jd(r) e (c) a densidade de fluxo magnético B(r). Considere d
H H H ∆.I dI = I = ∫∫ J .ds = J . A , J = lim ∆s →0 ∆.S dS H H v = ∫ E.dl = E.l , mas, pela lei de ohm, temos: v = R.I ⇒ E.l = R.I → E.l = R.J . A → J =
E.l H H , J = σ .E R. A
H l J l l l H J= .E → = →σ = →R= E R. A R. A R. A σ .A para 0 ≤ r ≤ R
H H H I = ∫∫ J .ds = J .∫∫ ds = J .π .R 2 I = I 0 . sen wt ⇒
I I 0 . sen wt = J .π .R 2 → J = 0 2 sen wt π .R 117
para, r ≥ R I = 0 → J = 0 Letra (b)
J d = 0 , pois se faz no meio como σ=∞ ⇒ J d = 0 ∀r Letra (c)
H H H H ∂.D H .ds ⇒ H .2.π .R = I ' ⇒ para 0 ≤ r ≤ R ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t ⇒
µ .I ' B .2.π .r = I ' ⇒ B = 0 µ0 2.π .r
mas J ( r < R ) = J ( r > R )
r ⇒ I '.π .R = I .π .r ⇒ I ' = I . R 2
2
µ 0 .I .r 2 µ .I .r B= ⇒B= 0 2 2 2.π .R 2.π .R para r > R
H H H ∂.D H ∫ H .dl = ∫∫ J + ∂.t .ds H ∂.D =0 temos ⇒ ∂.t H H H H B . = H d l J ∫ ∫∫ .ds → H .2.π .r = I → µ0 .2.π .r = I ⇒B=
µ 0 .I 2.π .r
118
2
9.7) Um capacitor de placas paralelas de raio R e separação d tem uma voltagem aplicada no centro dada por V=V0.senwt. Como função do raio r (para r
i=C
dV , e temos que : dt
H H dV ε .A = CV0 cos wt .w , C = , i = ∫∫ J .ds d dt J .A =
J . A = C.V0 cos wt.w =
ε .A .V0 cos wt.w d
J=
ε .w.V0 cos wt d
Letra (b)
H H H H = = . H d l i J ∫ ∫∫ .ds H .2.π .r = J .π .r 2 → H = J H=
r 2
ε .w.V0 ε .w.V0 r cos wt. → H = r. cos wt 2 2.d d
119
ε .A .V0 cos wt.w d
H H ∂.B H ∂. A H .ds = ∫ .dl 9.8) Mostre que ∫ t t . . ∂ ∂ S Fonte:[1] Sol:
H H H H H . = ∇ B d s ∫ ∫S xA .ds ; pois BH = ∇H xAH , aplicando o teorema de
( )
S
Stokes temos:
H H
∫ (∇xA).ds = H
S
H H B ∫ .ds = S
H H
∫ A.dl , logo:
periferia ..de .. S
H H ∂ H H ∂ . ⇒ A d l B.ds = ∫ ∂.t ∫S ∂t periferia ..de.. S
H H A ∫ .dl
periferia ..de.. S
H H ∂.B H ∂. A H ∫S ∂.t .ds = ∫ ∂.t .dl
9.9 ) Demonstre que o potencial vetor magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que conduzem à mesma corrente, I, em sentidos opostos é dado por
A=
µ 0 .I r2 ^ ln . n 2.π r1
{Fonte:[7]} Sol:
H µ0 J µ A= dv = 0 ∫ 4.π r 4π
H H H r2 dr µI J .ds H µ0 dr = (2)∫ I = 0 ∫∫∫ r 1 r r 4.π 2π v 120
^
∫
r2
r1
. n dr r
⇒ A=
µ 0 .I r2 ^ ln . n 2.π r1
9.10) Mostre que a expressão para a indutância em baixa
H A freqüência L = ∫ .dl reduz-se para um circuito condutor l
à fórmula de indutância em baixa freqüência de Neuman
µ L= 0 4.π
H dl ' H ∫ ∫ l .dl . {Fonte:[1]}
Sol:
H A H µ L = ∫ .dl , mas A = 0 I 4.π
L=∫
H µ 0 4.π ∫ J r .dv
( )
v
I
H J ∫v r .dv ,logo:
H H µ 0 J .dsH H H ∫ .dl = ∫ l .dl ' dl I 4 . . π v
H H µ H H H H µ L = ∫ 0 ∫∫ J .ds .dl ' dl = ∫ 0 (I )dl ' dl , 4.π .I .l 4.π .I .l S H H µ0 = . J I d s ∫ mas , então ⇒ L = S 4.π
H dl ' H ∫ ∫ l dl
9.11) Uma linha de transmissão de dois de comprimento l tem uma distância D entre os condutores (centro a centro) e raio do condutor a. Os condutores são tubos de paredes finas. Recorrendo à figura, aplique a fórmula de indutância 121
de baixa freqüência de Neuman (Prob. 9.9) para mostrar que a indutância da linha é L =
µ 0 .l D ln (H) {Fonte:[1]} a π
Fig. Prob. 9.11 {Fonte:[1]} Sol:
µ L= 0 4.π
H dl ' H µ0 ∫∫ l .dl = 4.π
⇒L=
µ 0 .l D ln (H) a π
D dr' l µ0 2.∫a r . 2.∫0 dl" = 4.π
D 2. ln a .2.l
9.12) Suponha que um capacitor de placas paralelas circulares tenha um raio R de 30mm e que a distância entre as placas seja 5,00mm. Uma fem senoidal de 60Hz e valor máximo 150V é aplicada entre as placas. Calcule Bm®, o valor máximo do campo magnético induzido para r=R. {Fonte:[5]} Sol:
H H dφ E d (E.π .R 2 ) ∫ B.dl = µ.ε . dt → B.2.π .R = µ.ε . dt µ .ε .R dE dE →B= . B.2.π .R = µε .π .R 2 . 2 dt dt
122
∫
H H
mas V = − E.dl → E = V / x
→B=
µ .ε .R dV 2.x dt
V = VM . sen wt → B=
dV = VM .w. cos wt dt
µ .ε .R dV µ .ε .R.VM .w. cos wt = , 2.x dt 2. x
como B~ cos wt , para B máximo temos que Ter coswt máximo, ou seja:
BM = BM =
µ .ε .R.VM .w. cos wt M 2. x
,
cos wt M = 1
µ .ε .R.VM .w µ .ε .R.VM .2.π . f µ .ε .R.VM .π . f = = 2. x 2. x x
dados: µ = µ 0 = 4.π .10 −7 (H/m), ε = ε 0 = 8,85 pF , R=30mm, x=5,00mm, VM=150V, f=60Hz; temos:
BM = 1,89 pT 9.13) Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita do seguinte modo:
id = C
dV {Fonte:[5]} dt
123
Sol:
H H d ∫ E.ds dφ = ε . ds. dE = ε . A. dE , id = ε . E = ε S ∫∫ dt dt dt dt H H mas V = − ∫ E.dl → E = V / x
id =
dV ε . A dV ε .A =C ; pois C = dt x x dt
9.14) No exemplo 1 (Livro do resnick, volume 3, página 296), mostre que a densidade de corrente de deslocamento Jd, para r
Jd = ε0.
dE dt
Fonte:[5] Sol: Continuando a partir do desenvolvido no problema 9.12, temos:
id = C
dV ε . A dV d (V / x ) dE = = ε . A. = ε . A. dt x dt dt dt
id dE dE = ε. ⇒ Jd = ε. A dt dt
124
9.15) Um capacitor de placas paralelas quadradas, de 1,0m de lado, como mostra a figura, está sendo carregado por uma corrente de 2,0A que chega a uma das placas e sai da outra placa.(a) Calcule a corrente de deslocamento entre as placas do capacitor. (b) Determine dE/dt nesta região.(c) Calcule a corrente de deslocamento através do quadrado tracejado indicado na figura. (d) Determine φB.dl ao longo deste percurso quadrado. {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 9-15 {Fonte:[5]} Sol: (a) ic = 2 A (b) ic = id = ε 0 . A
i dE dE ⇒ = c dt dt ε 0 . A
dados: ic = 2 A , ε 0 = 8,85 pF e A = 1m 2 ; temos:
⇒
dE = 2,3.1011V / m dt
(c) id = ε 0 . A
dE dt
125
dados: µ 0 = 4.π .10 −7 H / m , ε 0 = 8,85 pF , A = 0,5m 2 e da letra (b)
dE = 2,3.1011V / m ; logo, temos: id = 0,5 A . dt
(d)
H H d ∫∫ E.ds H H dφ dE S B ∫ .dl = µ0 .ε 0 . dtE = µ0 .ε 0 . dt = µ0 .ε 0 .A. dt = µ0 .id dados: id = 0,5 A e µ 0 = 4.π .10 −7 H / m
H H ⇒ ∫ B.dl = 0,63µTm
9.16) Em 1929, M.R. Van Cauweberghe conseguiu medir diretamente, pela primeira vez, a corrente de deslocamento id entre as placas de um capacitor de placas paralelas, como está sugerido na figura. Para isso, ele utilizou placas circulares, cujo raio efetivo era de 40cm e cuja capacitância era 1,0x10-10F. O valor máximo, Vm, da diferença de potencial aplicada era de 174KV, à freqüência de 50Hz. (a) Qual foi a corrente de deslocamento máxima obtida entre as placas? (b) Qual a razão da escolha de uma diferença de potencial tão elevada?[A delicadeza destas medidas é tamanha que elas só forma aceitas diretamente mais de 60 anos depois de Maxwell Ter enunciado o conceito da corrente de deslocamento! A referência é o Journal de Physique, 8, 303 (1929)]. {Fonte:[5]}
126
Fig. Prob. 9-16 Fonte:[5] Sol: (a) de 9.12, que já foi calculado temos:
id = C
dV , mas V = VM . sen wt dt
id = CVM .w. cos wt → id id
M
M
= C.VM .w. cos wt M = C.VM .w
= C.VM .2.π . f
dados: C = 1x10−10 F , VM = 174KV e f = 50Hz ; logo, teremos:
id
M
= 5,47mA
(b) da equação obtida na letra (a), vemos que a corrente de deslocamento( id ) é diretamente proporcional a tensão má-
127
xima aplicada( VM ), e a capacitância( C ) também, sabendo que os valores de capacitância são geralmente pequenos da ordem de micros( µ ), nanons( n ) e picos( p ) faraday, para produzir corrente mensurável precisaríamos de uma tensão elevada de modo a minimizar o valor da capacitância, conforme mostra a equação abaixo, obtida no item anterior analisando o valor de pico na corrente alternada.
id
M
= C.VM .2.π . f
9.17) O capacitor da figura consiste de duas placas circulares de raio R=18cm. A fonte de tensão possui fem V=Vm.senwt, onde Vm=220V e w=130rad/s. O valor máximo da corrente de deslocamento é dado por id=7,6µA. Despreze a distorção do campo elétrico nas bordas das placas. (a) Calcule o valor máximo da corrente i. (b) Determine o valor máximo de dφE/dt, onde φE é o fluxo do campo elétrico através da região entre as placas. (c) Qual a distância d entre as placas? (d) Calcule o valor máximo do módulo de B entre as placas a uma distância r=11cm do centro. {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 9-17 Fonte:[5] Sol: (a) como ic = id → ic (b) id = ε 0 .
M
dφ E dφ E ⇒ dt dt
= id = M
M
id
= 7,6µ. A M
ε0 128
dados: id
⇒
dφ E dt
M
= 7,6µ. A e ε 0 = 8,85 pF ; logo, teremos:
= 858,76 KVm / s M
(c)
dV ε 0 . A d (VM . sen wt ) ε 0 . A .VM .w. cos wt = = dt x dt x ε . A.VM .w ε 0 .π .R 2 .VM .w →x= 0 = id id
id = C
dados: ε 0 = 8,85 pF , R = 18cm , VM = 220V , w = 130rad / s e id = 7,6 µ . A
→ x = 3,39mm
(d) de 9.15, temos:
B(r ) =
µ 0 .id .r (r ≤ R) 2.π .R 2
dados: µ 0 = 8,85 pF , id = 7,6 µ . A , r = 11cm e R = 18cm ; logo, teremos: B (r ) = 5,17 pT
9.18) Uma longa barra cilíndrica condutora, de raio R, está centrada ao longo do eixo x, conforme indicado na figura. A barra possui um corte muito fino em x=b. Uma corrente de condução i, aumentando no tempo e dada por i = α .t , percorre a barra para a direita; α é uma constante de 129
proporcionalidade (positiva). No instante t=0 não existe carga nas faces do corte próximas de x=b. (a) Determine o módulo da carga nessas faces em função do tempo. (b) Use a eq.I na tabela 2, página298, volume 3 do resncik, para determinar E no intervalo entre as faces , em função do tempo. (c) Use a eq.IV na tabela 2, página298, volume 3 do resncik, para obter B(r) no intervalo entre as faces para r
Fig. Prob. 9-18 Fonte:[5] Sol: (a) q =
(b)
0
α .t 2 (C ) 2
H H q q α .t 2 . = → = E d s E ∫S ε0 π .R 2 .ε 0 , mas q = 2 ; logo:
→E=
(c)
∫ α .t ' dtt ' = t
α .t 2 (V / m) ou ( N / C ) 2.π .ε 0 .R 2 .
H H
∫ B.dl
= µ 0 .ε 0 .
H H dφ E 2 ; mas φ E = ∫ E.ds = E.π .r e dt
H H B ∫ .dl = B.2.π .r , logo:
B.2.π .r = µ 0 .ε 0 .π .r 2
µ .ε .r dE dE →B= 0 0 . , dt dt 2
130
B=
µ 0 .ε 0 .r α d (t 2 ) . 2 2.π .ε 0 .R 2 dt
⇒B=
9
µ 0 .α .t r 2.π R 2
Referências para estudo da teoria
9
Referência para estudo da teoria: KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo Editora Guanabara Dois, 1978. ⇒ capítulo 9 (nove) KRAUS, John D. Eletromagnetics McGraw-Hill International Editions , 1991 ⇒ capítulo 11 (onze) HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRIL, John.. Fundamentos de Física 3 – Eletromagnetismo LTC-Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994. ⇒ capítulo 37 (trinta e sete)
131
132
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
[1] KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1978. [2] KRAUS, John D. Eletromagnetics. McGraw-Hill International Editions , 1991. [3] HAYT, William H. Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1995. [4] EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980. [5] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física 3 Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1994. [6] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física 4 Ótica e Física Moderna, Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 1994. [7] REITZ,John R; MILFORD, Frederick J.;CHRISTY, Robert W. Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Rio de Janeiro: Campus LTDA. , 1980. [8] GRANVILLE, W.A.; SMITH P.F.; LONGLEY W. R. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Âmbito Cultural Edições LTDA., 1992. [9] ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. Érica Editora e Gráfica LTDA,1989. [10] SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace. Editora Mcgraw-Hill LTDA, 1971.
133
[11] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volume 1. Editora Guanabara S.A. , 1978. [12] MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo volume 2. Editora Guanabara S.A. , 1978. [13] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volume 3. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994. [14] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo volume 4. Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1994. [15] Giovanni, José Ruy ; Bonjorno, José Roberto. Matemática 3. Editora FTD S.A. [16] Luiz, Aldir M. Manual de Problemas Resolvidos Elementos de Física 3 Halliady, Resnick. LTC.
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Apêndice Biografia resumida dos autores Marcelo Lyra Brandão nasceu em vitória, Espírito Santo, em 1958. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Espírito Santo, em 1982, recebeu o tíyulo de Mestre em Engenharia Elétrica pela PUC-RJ, em 1985 e o de Doutor em Engenharia Elétrica pela UNICAMP, em 1998. Atualmente é professor adjunto 3 (três) do Departamento de Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal do Maranhão(DEE-UFMA), ministrando as seguintes disciplinas no curso de graduação em Engenharia Elétrica: Eletromagnetismo, Laboratório de Eletromagnetismo, Eletromagnetismo Aplicado e no curso de graduação em Ciência da Computação ministra a disciplina Processos Estocásticos. É também professor do Programa de Pós-graduação Stricto Sensu(mestrado e doutorado) do curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Maranhão, ministrando a disciplina Processos Estocásticos. Já foi professor também das disciplinas: Circuitos Elétricos, Telefonia, Antenas, Princ;ipios de Microondas e Ondas Eletromagnéticas. Tem 2(dois) artigos publicados, um no IEEEPTL em 1997, e outro no LEOS-IEEE Conference Procceding em 1996. Rogério Moreira Lima Silva nasceu em São luís, Maranhão, em1976. Atualmente cursa Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Maranhão, e também estagia na TELEMAR-MA na Engenharia(provisionamento), na área de comunicação de dados.
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