T A 3 5 0 V4
001994
%
E X
L
I B
R I
HEMETHERII V A L V E R D E Episcopi Leonensis
S TELLEZ S
> V<
'•>
M A N U A L
DE
'
MECANICA INDUSTRIAL
¿L. M A N U A L M Es propiedad exi al que la
de los editores, reimprima.
y se perseguirá
ante /a
MECANICA INDUSTRIAL eos APLICACION
DON
J VARIAS MAQUINAS
E D U A R D O VELEZ
Xitabro
df
li
Comisloi
if
I«""«
«
DE
PAREDES
¡«slmction
primiri».
Con 93 láminas en el texto.
P A - Í S LIBRERIA DE ROSA,
POISST.
—
IMPRENTA
DE
ARBIEt'.
CaptWTAlTcmsina ^ ^
T
F
\
3
S O
PROLOGO.
P o c o novísimo puede decirse acerca de la ciencia de q u e trata este
MANUAL,
Distinguidos físicos han
expuesto con la m a y o r lucidez los principios y leyes generales y particulares que la r i g e n ; otros", de igual nombradia, los han desarrollado y aplicado á las máquinas conocidas hasta el d i a ; algunos han estudiado el m o v i m i e n t o con independencia de las causas que lo producen y dado la importancia merecida á la práctica de tan interesantes cuestiones. M u y pocos, es verdad, han c o m p r e n d i d o en sus obras las abstracciones d e la mecánica racioFONDO
EMETER10
VALVfcRDEY.TELLEZ
n a l ; e m p e r o , casi lodos han considerado el trabajo d e las fuerzas, su aplicación y v a l o r , la composicion y descomposición de los movimientos y de las 1 *
u »> ~ i fi. t --i i y
O A h
fuerzas, las condiciones de su e q u i l i b r i o y d e f i n i d o con precisión y brillantez los c e n t r o s d e g r a v e d a d . T o d o , pues, se halla a g o t a d o ; asi, fácil será el c o n cebir q u e n o p o d r e m o s ser o r i g i n a l e s . E l titulo mismo de
MANUAL
q u e d a m o s á nuestro l i b r o , e x -
c l u y e tamaña p r e t e n s i ó n , é i n c u r r i r í a m o s en u n d e l i r i o inconcebible, i m p e r d o n a b l e , si t u v i é r a m o s el a t r e v i m i e n t o d e s u p o n e r l a , y v i n d i c a r l a . G r a cias á Dios, n o p a g a m o s tributo á tan g r a n d e b i lidad ; p o r el c o n t r a r i o , m i r a m o s con lástima á los escritores victimas d e este o r g u l l o v a n i d o s o q u e r e b a j a y desluce s i e m p r e aun á los h o m b r e s d e mérito real. N o s o t r o s , pues, nos h e m o s l i m i t a d o á r e u n i r , en r e d u c i d o t o m o , lo m e j o r y mas útil q u e h e m o s encontrado en las obras, así antiguas c o m o m o d e r nas, q u e h e m o s h o j e a d o con este o b j e t o . Casi todas nos han prestado su a p o y o y una p a r t e m a s ó m e n o s g r a n d e d e sus respectivos tesoros. L o s c u r sos y asignaciones explicadas p o r e l distinguido catedrático M r . J. B e r t r a n d en e l Liceo
Napoleon
y en la Escuela politécnica d e P a r i s , nos han suministrado numerosos p r o b l e m a s
perfectamente
resueltos, en términos d e n o h a b e r n o s d a d o m a s !^rea q u e la d e su oportuna distribución y versión
al idioma castellano. Los elementos de Estática d e M r . P o i n s o n , tan notables p o r las f o r m a s y e l e gancia d e estilo, c o m o p o r e l f o n d o y claridad d e sus d e m o s t r a c i o n e s , nos han s e r v i d o v e n t a j o s a m e n t e en todo l o r e l a t i v o a l e q u i l i b r i o , c o m p o s i cion y descomposición d e los m o v i m i e n t o s y d e las fuerzas, y á los centros d e g r a v e d a d d e los cuerp o s sólidos. T a m b i é n h e m o s e x a m i n a d o el Año científico é industrial,
ó exposición anual de los
trabajos científicos é inventos y de las principales aplicaciones de la ciencia á la industria y A las artes. E n s u m a , hasta e l c é l e b r e F . D. A n t o n i o d e G u e v a r a , e n cuya Física general y particular estudiamos nuestras p r i m e r a s nociones físicas, nos ha p a g a d o su c o n t i n g e n t e . A pesar d e lo e x p u e s t o , n o somos servil copista. N o s h e m o s d e s v i a d o , a u n q u e m u y pocas veces, d e ciertos p r i n c i p i o s y aplicaciones defectuosos, y , en su v i r t u d , c o n d e n a d o s p o r la experiencia y adelantos d e la Mecánica, h e m o s rectificado alguna d e f i n i c i ó n , imaginado el m é t o d o d e este tratado con a r r e g l o al p r o g r a m a del n u e v o plan d e estudios francés, y r e d u c í d o l o todo á los estrechos limites d e u n
MANUAL;
p e r o este, tan c o m p l e t o q u e
podrá s e r v i r á los peritos en la ciencia para des-
vanecer sus dudas en los muchos casos q u e se presentan cada dia, y á los alumnos y aficionados d e
MANUAL
maestro y guia en sus estudios. Hubiéramos
deseado disponer d e suficiente
tiempo para haber redactado una obra d e ' m a s aliento y m e d i t a c i ó n ; mas las apremiantes ocupaciones q u e necesitan toda nuestra atención, se
DE
MECANICA
INDUSTRIAL
han opuesto á la realización de este deseo. S i n ¡ m bargo, esperamos q u e esta aglomeración d e d i versos trabajos cesará un dia, y nos permitirá d e continuar la obra q u e tenemos meditada sobre el mismo asunto. EL
AUTOR.
I N T R O D U C C I O N
1. D E F I N I C I Ó N Y
OBJETO DE L A M E C A N I C A . —
La
mecánica, rigurosamente hablando, es la ciencia de las máquinas. Mas, como esta parte, tan esencial y necesaria á la icdustria, recibe cada dia nuevos perfeccionamientos, se comprende, bajo esta denominación, el estudio de las leyes y causas d é l o s movimientos de los cuerpos, las que producen el equilibrio,
y,
por fin. la aplicación de estos principios generales á las máquinas conocidas hasta hoy. En su consecuencia, trataremos en el presente MANUAL de los principios y aplicación mas e l e m e n tales de este maravilloso ramo de los conocimientos humanos. 2 . D E F I N I C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
EN GENERAL.
—
Movimiento es la traslación de un cuerpo de uno
vanecer sus dudas en los muchos casos q u e se presentan cada dia, y á los alumnos y aficionados d e
MANUAL
maestro y guia en sus estudios. Hubiéramos
deseado disponer d e suficiente
tiempo para haber redactado una obra d e ' m a s aliento y m e d i t a c i ó n ; mas las apremiantes ocupaciones q u e necesitan toda nuestra atención, se
DE
MECANICA
INDUSTRIAL
han opuesto á la realización de este deseo. S i n embargo, esperamos q u e esta aglomeración d e d i versos trabajos cesará un dia, y nos permitirá d e continuar la obra q u e tenemos meditada sobre el mismo asunto. EL
AUTOR.
INTRODUCCION 1. D E F I N I C I Ó N Y
OBJETO DE L A M E C A N I C A . —
La
mecánica, rigurosamente hablando, es la ciencia de las máquinas. Mas, como esta parte, tan esencial y necesaria á la icdustria, recibe cada dia nuevos perfeccionamientos, se comprende, bajo esta denominación, el estudio de las leyes y causas d é l o s movimientos de los cuerpos, las que producen el equilibrio,
y,
por fin. la aplicación de estos principios generales á las máquinas conocidas hasta hoy. En su consecuencia, trataremos en el presente MANUAL de los principios y aplicación mas e l e m e n tales de este maravilloso ramo de los conocimientos humanos. 2 . D E F I N I C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
EN GENERAL.
—
Movimiento es la traslación de un cuerpo de uno
li
INTRODUCCION,
INTRODUCCION.
á otro lugar. Asi es que un cuerpo se halla en m o v i m i e n t o cuando recorre sucesivamente
muchos
puntos y ocupa muchas posiciones en e l espacio. Conservando la m i s m a posicion, entonces se halla en quietud. De esta definición se deduce, q u e cuando
un
hombre pasea, u n caballo galopa, una l o c o m o t i v a recorre su via, y un buque navega, p o d e m o s decir que estos cuerpos están en m o v i m i e n t o . Este es mas ó menos r á p i d o ; así es que no es posible fijar el cambio de posicion si no lo c o m p a r a m o s con los puntos y objetos inmediatos q u e nos sirven
de
señal ó de punto de partida. 3. MOVIMIENTO RELATIVO. —
Así, como
Si estas seriales ó
m o v i m i e n t o será r e l a t i v o ; y por cierto,
propia-
mente hablando, puede decirse q u e todos los m o v i mientos son relativos, visto que el g l o b o que habitamos, además de su órbita al rededor del sol» tiene el doble m o v i m i e n t o de rotacion sobre su propio eje con q u e forma los dias y las noches. E l sol, á su vez, v u e l a , por decirlo así, en el espacio arrastrando en pos suyo la tierra y su séquito planetario.
nos concretamos al estudio de los
elementos y fenómenos mecánicos que observamos sobre la tierra, llamaremos en adelante
mos la mas completa abstracción del movimiento de la tierra. b. ESPACIO, TIEMPO. — Espacio,
aquí, es la línea
recorrida por un cuerpo puesto en m o v i m i e n t o ; y Tiempo,
el empleado para recorrerlo.
P o r consiguiente, para apreciar un m o v i m i e n t o cualquiera es absolutamente necesario saber medir recorrido y el tiempo gastado en la
marcha. 6. TRAYECTORIA. — Cuando se habla del m o v i m i e n t o de un cuerpo se hace abstracción de sus dimensiones para fijarse y ocuparse de un material,
punto
sobre el cual se supone condensadas todas
las moléculas que lo componen. En seguida, i m a ginando las posiciones que este punto material
ó
cuerpo ha ocupado sucesivamente, veremos una línea continua,
porque el cuerpo no irá de una
parte a otra sin pasar por todas las posiciones intermediarias. Esta línea, pues, ó espacio recorrido se llama trayectoria.
4. MOVIMIENTO ABSOLUTO. — Es aquel que se pro-
absolutos
todos los movimientos de los cuerpos, pues hare-
el espacio
puntos se m u e v e n igualmente, e n este caso el
1
su nombre
L a forma de la trayectoria da
al m o v i m i e n t o ;
de manera, que si
duce cuando suponemos que las señales ó puntos
aquella es recta, este será rectilíneo, y si curva,
que nos sirven para apreciar el m o v i m i e n t o de los
curvilíneo.
cuerpos, se hallan absolutamente e n reposo.
Los movimientos curvilíneos se diferencian entre
«
por la naturaleza de la línea curva que describen
ios cuerpos; es circular,
cuando la trayectoria es
una circunferencia de círculo, y parabólica,
cuando
es una parábola. Luego
que
se
las ecuaciones de la
trayectoria, esta se halla completamente determi^eben referirse á tres planos coordinados. Las coordinadas á un punto dado de la curva, son longitudes evaluadas ú metros, y expresadas con signos convencionales, según lo enseña la geometría analítica. De aquí se infiere que para poder conocer cual se requiere el m o v i m i e n t o de los cuerpos, es absolutamente indispensable examinarlo con relación al tiempo que consumen para recorrerlas diversas partes de la trayectoria, pues no basta, como puede el
9
cuenta 3,600 segundos. P o r consecuencia, se dice que dos intervalos
conocen
nada ; mas debe observarse que dichas ecuaciones
colegirse,
INTRODUCCION.
tiene 1,440 minutos, ó 86,400 segundos. La hora
observar
solamente la especie
de
líneas recorrido por los mismos.
tiempo
son iguales,
cados en las mismas cios
cuando
dos cuerpos
circunstancias,
idénticos,
recorren
de colo-
dos espa-
idénticos.
8. U N I D A D DE TIEMPO, I N S T A N T E I N I C I A L . — E n l o s
cálculos matemáticos, el segundo es la unidad tiempo.
del
Según esto, el tiempo puede definirse, el
número de los segundos contados desde el instante, llamado inicial, hasta el que denominaremos
final
del m o v i m i e n t o . Esta suma de segundos llevará consigo los signos +
ó — , según que el tiempo en
cuestión ha seguido ó precedido el instante inicial. 9 . D E T E R M I N A C I Ó N DEL MOVIMIENTO DE U N PUNTO.
El movimiento de un punto material queda determinado completamente tan luego como se conoce
-
7. DEL TIEMPO Y DE su M E D I D A . - E l tiempo, que no puede definirse, se mide por los fenómenos astronomicos que marcan los intervalos sucesivos v
su trayectoria,y cuáles su posicion sobre la curva en un instaote dado. Cuando las ecuaciones de esta curva son conoci-
perfectamente iguales, ó por medio de un reloj,
das, basta para obtener este resultado
con cuyo auxilio es fácil dividir el tiempo que
una relación entre el espacio recorrido desde el
lamamos dia en una multitud de partes ó intérva-
punto dado y el tiempo consumido en recorrerlo.
08 l g u a l c s
' ¿ d i g n a d o s por boras, minutos y según-
contener
Si las ecuaciones de la curva no son dadas á
priori,
dos El día, c o m o nadie debe ignorarlo, ha sido
será necesario conocer las tres ecuaciones que, á
subdividido en 24 horas, la hora en 60 minutos, y
cada instante, enlazan al tiempo t las coordina-
el minuto en 60 segundos. P o r lo tanto, el dia
das x, y,
z
del punto movible. De este modo se
obtiene exactamente las posiciones del cuerpo en 1.
el espacio por los diversos
valores dados
á t.
Finalmente, para hacer esta operacion debe procederse desde luego, como queda indicado, obser-
P RDM E R A
v a n d o el espacio que recorre el punto material, ó
P M Y I
el cuerpo durante su trayectoria en un segundo, en seguida el que recorre en el segundo inmediato, incesantemente en el tercer segundo, y así sucesivamente hasta el fin de m o v i m i e n t o .
DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO CONSIDERADO INDEPENDIENTEMENTE DE SUS CAUSAS, SEGUN I.AS REGLAS GEOMÉTRICAS.
CAPITULO
PRIMERO
Del movimiento uniforme y de su» propiedades.
10. MOVIMIENTO UNIFORME, VELOCIDAD. — Unif o r m i d a d , es la igualdad y semejanza de una cosa consigo misma ó con o t r a ; de aquí resulta que el m o v i m i e n t o de un punto material sobre una recta ó curva se dice uniforme, corre espacios
iguales
cuando este punto re-
en tiempos
iguales,
cualesquiera
que sean los intérvalos de tiempo y espacios c o m parados. P o r consecuencia, los espacios recorridos son proporcionales á los tiempos empleados para r e correrlos. P o r lo tanto debe uno fijar la atención á la condición de que los espacios recorridos durante es-
el espacio por los diversos
valores dados
á t.
Finalmente, para hacer esta operacion debe procederse desde luego, como queda indicado, obser-
P RDM E R A
v a n d o el espacio que recorre el punto material, ó
P M Y I
el cuerpo durante su trayectoria en un segundo, en seguida el que recorre en el segundo inmediato, incesantemente en el tercer segundo, y así sucesivamente hasta el fin de m o v i m i e n t o .
DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO CONSIDERADO INDEPENDIENTEMENTE DE SUS CAUSAS, SEGUN I.AS REGLAS GEOMÉTRICAS.
CAPITULO
PRIMERO
Del movimiento uniforme y de su» propiedades.
10. MOVIMIENTO UNIFORME, VELOCIDAD. — Unif o r m i d a d , es la igualdad y semejanza de una cosa consigo misma ó con o t r a ; de aquí resulta que el m o v i m i e n t o de un punto material sobre una recta ó curva se dice uniforme, corre espacios
iguales
cuando este punto re-
en tiempos
iguales,
cualesquiera
que sean los intérvalos de tiempo y espacios c o m parados. P o r consecuencia, los espacios recorridos son proporcionales á los tiempos empleados para r e correrlos. P o r lo tanto debe uno fijar la atención á la condición de que los espacios recorridos durante es-
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL
[i
patios de tiempo iguales sucesivos sean iguales entre sí, cualesquiera
que sean,
los intervalos de
t i e m p o ; de manera que si se notaba que los espa-
nemos por último con v la velocidad del m o v i miento, y se verá inmediatamente que el espacio
cios recorridos, durante segundos sucesivos, son iguales entro sí, pero que e n la primera mitad del Mi,
segundo habia marchado mas que en la segunda m i t a d , entonces el m o v i m i e n t o no es uniforme. Así, la manecillade un reloj q u e señala los segundos recorre divisiones iguales en segundos sucesivos; pero despues de haber recorrido rápidamente una de las divisiones de la esfera, se para un instante,
Fig. 1.
en seguida recorre la segunda división, se v u e l v e i parar y así sucesivamente, de suerte q u e el m o v i m i e n t o no es uniforme.
e — e. ha sido recorrido ó se recorre en el tiempo t. Así, c o n f o r m e la definición dada tendremos
11. VELOCIDAD. — L a v e l o c i d a d del m o v i m i e n t o uniforme es el espacio vil durante
cada unidad
constante de tiempo.
recorrido
por el mó-
== -y-» por lo tanto e — e„ =
vt, e = e0 •+• vt.
P o r consiguiente,
la velocidad es tanto mas g r a n d e cuanto m a y o r es
He ahí la ecuación del m o v i m i e n t o uniforme, la
la unidad de tiempo, y el n ú m e r o que la m i d e es
cual nos facilitará á cada instante dado la posicion
tanto mayor cuanto menor es la unidad de la l o n -
del m ó v i l en su trayectoria.
gitud. 13. PROPIEDADES
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. - El m o v i m i e n t o u n i f o r m e de un punto
sobre una línea
indefi-
nida X Y puede representarse por una ecuación de primer grado entre el espacio y el tiempo. Supongamos O el origen de los espacios y M. Al las p o s i ciones del móvil
en el instante iuicial y en la
época t; supongamos O Ma =
y OM =
e, y desig-
DEL
MOVIMIENTO
UNIFORME.
— La precedente ecuación deinucstra inmediatamente que en toda especie de m o v i m i e n t o u n i f o r m e , el espacio recorrido durante un tiempo t con una velocidad v, se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo, la velocidad dividiendo el espacio recorrido
>or el tiempo gastado en recor-
rerlo, y el tiempo iji)iiilii mln \ l'i 1 jiiH i " pin lri TC
íoddad.
w w m m í e ftieva león BIBLIOTECA
L^fRDE Y
TELLEZ
I
14
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL. 14.
SIMPLIFICACIÓN
DE
LA
PRIMERA PARTE. -
FÓRMULA. -
toma por origen de los espacios el punto
Si
se
donde
se encuentra el m ó v i l al origen del tiempo, la f ó r mula quedará reducida á
C A P I T U L O I.
13
veces mas grande, sin c a m b i a r l a unidad de tiempo, e—e_ v . e - e j o serán reemplazados por y — , y ia fórmula subsistirá entre los nuevos números. Si en seguida se toma una unidad de tiempo n veces
e=vt.
mas grande, la velocidad deberá ser representada
l o . GENERALIDAD DE LA FÓRMULA. — Para generalizar la primera fórmula es necesario atribuir & las cantidades que entran en ella valores positivos y negativos. Despues de haber
fijado
el sentido
positivo de las distancias sobre la curva, se dará ¿ e0 el signo +
ó
según que la distancia del
origen al punto M0 será contada en este sentido ó en el contrario : del mismo modo la velocidad
v
será positiva ó negativa según que haga marchar al m ó v i l en el primero ó segundo sentido, á m e dida que el tiempo transcurre. Entonces s e v e r a fácilmente que el v a l o r y el signo de e resultarán de estos movimientos en todos y en cada uno de los casos dados.
10. HOMOGENEIDAD
DE
LA
FÓRMULA.
-
No
es
inútil el observar aquí que la precedente ecuación es homogénea, esto es, que subsiste como todas as formulas de la mecánica, cualesquiera q u e sean las unidades de longitud y de tiempo. E f e c t i v a mente, e - c . e s
una longitud cuyo valor n u m é -
rico depende únicamente de la unidad de longitud • pero « depende además de la unidad de tiempo! Si desde luego se toma una unidad de longitud m
por nt; y el tiempo por ~ ; su producto será, pues, nv -4- — , ó vt como antes. E n este caso la fórmula subsistirá también.
CAPITULO
II
Del movimiento variado de los cuerpo» y punto» materiales, y de sus diversas aceleraciones.
17. DEFINICIÓN. — C u a n d o el m o v i m i e n t o de u n p u n t o n o es u n i f o r m e n i c o m p u e s t o de m o v i m i e n tos u n i f o r m e s q u e t i e n e n d u r a c i o n e s linitas, el m o v i m i e n t o Se l l a m a
variado.
E l m o v i m i e n t o de u n c u e r p o q u e c a e , y el de l o s c a m i n o s d e h i e r r o , s o n v a r i a d o s . E n esta e s p e c i e d e m o v i m i e n t o s , la r a p i d e z c a m b i a á cada m o m e n t o . Si se c o n c i b e q u e en un i n s t a n t e d a d o c o n s e r v a la m i s m a v e l o c i d a d , e n t o n c e s el m o v i m i e n t o se h a c e u n i f o r m e , y la v e l o c i d a d de este
movi-
m i e n t o será l o q u e se l l a m a v e l o c i d a d d e
movi-
m i e n t o v a r i a d o en e l i n s t a n t e c o n s i d e r a d o . L u e g o q u e los c o c h e s q u e arrastra una l o c o m o t i v a se acerc a n al p u n t o d e l l e g a d a , el m o v i m i e n t o s e d i s m i n u y e p r o g r e s i v a m e n t e , en t é r m i n o s q u e si era a n tes d e l o m e t r o s p o r s e g u n d o , s u c e s i v a m e n t e será de 14,
13
y
1 hasta
anularse p o r
completo
c u a n d o l o s c o c h e s se h a y a n p a r a d o . Si e n u n i n s -
18
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
PRIMERA PARTE -
tanto dado se supone que la velocidad es de 6 metros por segundo, esto no quiere decir que la locomotiva hace seis metros por segundo; da á entender solamente que si conservara la rapidez
CAPITULO II.
11»
alguno. H e aquí las consideraciones que nos han servido para dar la precedente definición. Supongamos M la posicion del m ó v i l sobre su trayectoria ( f i g . 2) en la época t; M.\l'=te
el espa-
del m o v i m i e n t o que tenia en el instante observado, el convoy recorrería 6 metros en un segundo.
18. E C U A C I Ó N DEL
MOVIMIENTO
VARIADO. —
El
movimiento variado de un punto sobre su trayectoria queda determinado completamente cuando para cada instante se conoce la relación que existe entre la distancia variable e de este punto al origen de los espacios y el tiempo correspondiente l transcurrido desde
un instante inicial hasta el
mento considerado.
Fig. t-
mo-
A l efecto, supondremos que
esta relación se traduce analíticamente por una ecuación d a d a :
ció que recorre en un tiempo d a d o ; AÍ puede imaginarse este tiempo bastante pequeño para que el punto material se aleje constantemente del punto
e
=f
M durante dicho intórvalo. Si el espacio Ae había A? sido descrito por un movimiento unitorme, A y s e -
(0
que será la ecuación del movimiento.
ria entonces la velocidad del movimiento. Esta 19. D E F I N I C I Ó N DE L A VELOCIDAD Y DE SU D I R E C -
CIÓN. -
N o puede decirse que la velocidad de un
m o v i m i e n t o variado, en un momento dado,
demostración representa la velocidad media con la cual el arco M M' ha sido recorrido ó la v e l o c i -
es,
dad constante que hubiera sido necesario dar al
como en el m o v i m i e n t o uniforme, el espacio que
m ó v i l para hacerle recorrer con movimiento uni-
recorre el m ó v i l durante la unidad de tiempo y
f o r m e el arco M M' en el tiempo AÍ disminuido in-
dicho instante. De l o contrario, se haria depender
definidamente : Ae disminuye á su vez sin límites;
esta velocidad de las variaciones ulteriores del movimiento, cosa que no puede admitirse de modo
por consiguiente, la relación
Ae
, varia sin cesar
20
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
porque representa la velocidad media, y converj e hacm un límite determinado q u e llamamos la velocidad
del móvil ó del punto M.
Así, la velocidad de este, en un punto dado de su del espacio y del tiempo, luego que este último disminuye hasta cero, es decir, la derivada del espacio considerado como función del tiempo. A h o r a bien, si la ecuación del m o v i m i e n t o es
en que se le
de aumentar
ó disminuir
consiel
Estos principios pueden demostrarse prácticamente con el auxilio de las reglas que nos s u m i nistra la geometría analítica, las cuales nos facilitan los medios de representar el
movimiento
variado y su velocidad. A l efecto podrán hacerse los indiquen y comprueben. Y con el fin de evitar todo cálculo para transformar las longitudes m e -
la velocidad t> será dada por la fórmula
El cálculo
si, en el instante
las construcciones ó representaciones gráficas que
(0,
v=f
variado,
dera, cesara repentinamente movimiento.
trayectoria, es el límite de la relación del aumento
<=f
vimiento
didas, es necesario suponer que se han represen-
(i)
tado por
de las derivadas
proporcionará
la
la misma longitud
las
unidades
del
tiempo y del espacio.
expresión analítica de la velocidad, todas las veces que la ecuación del movimiento será conocida. La dirección de la velocidad es la de la gente M F al punto M.
tan-
2 0 . CASOS E N
QDE L A ECUACIÓN DEL
MOVIMIENTO
NO ESTÁ DADA. — Sucede frecuentemente que la relación entre los espacios y los tiempos son dados
Debe tenerse presente que se obtiene la m i s m a
por los supuestos experimentales en vez de serlo
definición considerando un intervalo M bastante
por una ecuación. Esto puede verse en ciertas má-
corto para que el movimiento durante este t i e m p o
quinas de indicaciones continuas que por sí m i s -
pueda mirarse como uniforme; p o r q u e entonces se
mas describen mecánicamente la curvo de los espa-
tendrá Ae=i>Aí, de donde se saca v = ~ .
En
sentido, pues, es cuando se dice que la del movimiento
variado
de la división
del espacio
tiempo
infinitamente
en un instante pequeño
consumido
la del movimiento
uniforme
cociente
pequeño en
Puede decirse también que la velocidad serta
velocidad
dado, esel
infinitamente
este
por el
describirlo. del
que sucedería
cios.
En este caso el trazado de la tangente á la
curva hace conocer en cada punto l a velocidad del m o v i m i e n t o en todos y en cada uno de los instantes considerados. En otros, los datos se reducen á una tabla
q»e
encierra cierto número de valores correspondientes
cuerpo
á e y t. Estos valores dan el mismo número de
al mo-
puntos de la curva ignorada por los espacios. Si
22
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
estos puntos están cerca unos de otros, se podrán construir aproximativamente esta curva y sus tangentes. Se puede también, aplicando los métodos ordinarios d e interpelación, determinar la ecuación de una curva algébrica que pasa por los puntos dados, y que los susüluye á la curva de los
CAPITULO
III
espacios. A d e m á s , calculando la derivada de la ordenada de la curva obtenida por este medio, se logrará así también el valor aproximado de la velocidad. Empero, cualesquiera que
Del movimiento uniformemente variado, y de su velocidad y ecuación.
sean los datos que
sirvan á construir la curva, la discusión de la o r denada y de su tangente es propia y suficiente para
20. Definido en el capítulo
primero el m o v i -
dar á conocer todas las circunstancias del m o v i -
miento
miento. Así, sin entrar, pues, en los detalles que
movimiento variado, hablaremos
necesitara esta cuestión y limitándonos solamente
propiedades del movimiento uniformemente v a -
á llamar la atención de nuestros lectores, diremos,
riado ; pero antes diremos qué se entiende por este
sin embargo, que el movimiento es directo,
movimiento.
ó tiene
uniforme, y tratado en
el segundo
del
en este de las
lugar el sentido en los espacios positivos, cuando el valor de la ordenada aumenta algébricamente, y que es retrógrado
en sentido contrario. E n el m o -
v i m i e n t o directo, la velocidad irá aumentando si la curva vuelve su convexidad hácia la región inferior del plano, y, disminuyendo si la c o n v e x i dad se vuelve hácia la región superior, pues el resultado es inverso en el m o v i m i e n t o retrógrado.
21. DEFINICIÓN. — E l movimiento de un cuerpo, ó de un punto material sobre una linea recta ó curva es uniformemente variado, cuando disminuye
la velocidad
á los tiempos
gastados
formemente
acelerado
de cantidades para
recorrerlas.
cuando la
aumenta
ó
proporcionales A s i , será univelocidad
menta ; y por el contrario, uniformemente
auretar~
dado cuando la velocidad disminuye en las misma? proporciones. •22. V E L O C I D A D Y ECUACIÓN DE ESTE MOVIMIENTO.
24
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
— Para comprenderlo mejor, designaremos con v„ la velocidad inicial, ó la del m ó v i l al principio del tiempo, y con v la velocidad del m i s m o al fin del tiempo i. Supongamos también para m a y o r precisión, que 7 es la variación de la velocidad durante un segundo. Pues bien, en este caso l a variación en el tiempo í será -¡t. L u e g o siendo el m o v i m i e n t o acelerado, nos dará por resultado
4-
memente variados se distinguen entre sí por la importancia y
grandeza
del
movimiento
recí-
proco de cada uno, y por el signo de la aceleración. Sin embargo, puede deducirse d e la fórmula la expresión del espacio recorrido en
+"¡t
Estas dos fórmulas se reducen á esta sola, v=va
dos unidades. L o s diversos movimientos unifor-
es^e m o v i m i e n t o . Porque siendo la velocidad la
ó v = v. 4 - 7 Í .
v0—v=-¡t
longitud, como t;0 y v, que depende igualmente de
7t,
derivada del espacio, según queda dicho, basta con subir á la función del tiempo de que deriva v . + f t , l o cual nos dará la fórmula
conviniendo en dar á 7 el signo 4 - e n el primer caso y el signo — en el segundo. 23. OBSERVACIÓN.—En el precedente párrafo hemos supuesto que v. y v son velocidades positivas; perolafórmulaquíantecedeíssicmprelapropiadel movimiento u n i f o r m e m e n t e v a r i a d o ; así, este será acelerado cuando t?„é 7 lleven el mismo signo, llevando signos contrarios, y entonces el m o v i m i e n t o será retardado hasta que no se obtenga v0 4 - 7 « = o , de donde resulta
{
= - y • P o r lo tanto, desde este
momento el m o v i m i e n t o será acelerado
porque
e„ es la constante que facilita las operaciones de esta naturaleza : aquí representa la distancia del cuerpo al origen de los espacios, en el momento en que t =
o.
P o r consecuencia, en todo m o v i m i e n t o uniformemente variado, el espacio recorrido es una función del segundo grado del tiempo gastado para recorrerla. Esta nueva ecuación ó fórmula, c o m o encierra tres constantes e„ v„ 7, facilita asimismo el conocimiento de las tres posiciones del m ó v i l sobre su
cambia de sentido.
trayectoria, condicion que es, por cierto, muy n e 24. ACELERACIÓN. — L a cantidad
constante 7,
que mide la variación de la velocidad durante la unidad de tiempo, se llama aceleración;
esta es una
cesaria é indispensable para determinar su m o v i miento. Finalmente,
deberá notarse que si el camino
2
PRIMERA PARTE. — CAPITULO 111. 26
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
recorrido es una función del segundo grado del tiempo, el movimiento es uniformemente variado; pues si resulta
27
tiempo t empleado para adquirirla, su numerador deberá multiplicarse por n puesto que es una v e locidad, y su denominador dividirse por n visto que la unidad del tiempo es n veces mas grande.
e=a
+
bt +
el1,
Ultimamente, su valor p r i m i t i v o debe
se obtendrá la velocidad, tomando la derivada
+ 2 el,
v=b
multipli-
carse por n\ esto e s , reemplazarse por n : f . Así, haciendo estos cambios en las fórmulas
fórmula que expresa que la velocidad varía en
-I- *rt y C=e,
- h v0t +
v=v0
quedarán
proporcion al tiempo. nv=nv"
Estas fórmulas son homogéneas. Desde luego se concibe con facilidad que son independientes de la unidad de l o n g i t u d ; pues si se toma una unidad n veces mas grande, los números v0, v, f , e0, e, deberán ser reemplazados — , — n fórmulas
u
JL, i i , n
n
y
las
n
subsistirán siempre con estos nuevos
números.
f=e.
t + w.— +
+
-L,
1 Y
tJ 7¡r
ó v = v , -f- -¡t. ó e = e
° +
v -*
+
1 -¿
L u e g o c o m o se evidencia, por lo demostrado, las precedentes fórmulas no dependen de las unidades del tiempo expresadas por la relación n. 2 5 . S I M P L I F I C A C I Ó N DE F Ó R M U L A S . — L a s f ó r m u l a s
Mas para probar que no dependen d e la unidad
« = v 0 -4-
y e = „ - f t;„í
7O que representan el
del tiempo, es necesario notar que si se toma una unidad n veces mas grande, se verá, primero, que el tiempo es representado por el número n veces
movimiento uniformemente variado pueden s i m plificarse. Contando el tiempo desde el momento en que la velocidad es n u l a , l a fórmula citada
mas pequeño
segundo,
siendo la relación ~
una
velocidad que,
v=v0
-jí quedará reducida á v=-¡t;
de un espacio á un tiempo
At
y si además se cuentan los espacios partiendo del
su denominador se convierte en n veces mas pe-
punto en que entonces se halla el m ó v i l , la f ó r -
queño, y por lo tanto, las velocidades u0, v deben
mula e = e , +
v,t +
se reducirá á
reemplazarse con nv0, nv; y tercero, cuando la aceleración f , que es la velocidad adquirida en un segundo, ó para comprenderlo m e j o r , la relación de la velocidad adquirida en < segundos durante el
e = 4 jfi.
28
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
De este modo se verá que las velocidades son pro-
PRIMERA PARTE. -
CAPITULO III.
29
porcionales á los tiempos transcurridos y los espa-
sin
cios andados á los cuadrados
de 9-,8088 en el primer segundo de su caida en
de estos
mismos
tiempos.
velocidad
inicial
adquiere
una
velocidad
el v a c i o ; luego recorre en este segundo la mitad de dicho espacio, esto es, 4-,9044.
26. CURVA DE LAS VELGCIDADES. — P u e d e igualmente construirse la curva p o r las velocidades, ó , lo que es lo m i s m o , la línea representada por la ecuación «>=t>.+Tíí, tomando el tiempo por las separaciones y las velo-
2 8 . E C U A C I Ó N DE ESTE MOVIMIENTO. -
Si se d e -
signa coni«,-la velocidad adquirida al l i n d e l tiempo C a e e l c u e r P O durante'psfp r ^ ** ^ rante este tiempo, las ecuaciones del movimiento son
cidades por las ordenadas. Esta línea es una recta
V=
inclinada sobre el eje de los tiempos. Su coefi-
fl
gt
h=
~gí>
yeÜmiüandoí
ciente de inclinación es el v a l o r d e la aceleración; corta el eje de las velocidades en el punto
que
da la velocidad inicial y el eje de los tiempos en el
A
punto q u e marca el m o m e n t o en que la velocidad
Mas si el móvil está animado de una v e -
es nula, y en que el movimiento cambia de sentido. 27. V A L O R
LOS CUERPOS.
DE L A
d e un cuerpo
lerado, según lo demuestra la experiencia. L a aceleración 7 es la misma para todos los cuerpos, en lugar.
Represéntase generalmente por la
letra g, primera de la palabra gravedad.
Se ba
evaluado a s í :
lasecuaciones son:
,
R
y eliminando t,
v* =
t>„' = 2g/,.
Como aplicación de estás fórmulas resolveremos los siguientes problemas : 1.' Un cuerpo cayendo p o r l o largo de la F.g. 3. vertical OX
(fig. 3 ) , ha recorrido la l o n g i -
tud dada a B — h en un tiempo dado 9. A h o r a se preguntará : ¿ d e qué punto ha partido
g = P o r consiguiente,
locidad inicial
A C E L E R A C I Ó N E N L A C A Í D A DE
— El m o v i m i e n t o
pesado que cae en el vacío es u n i f o r m e m e n t e ace-
el mismo
P o r consiguiente, „ es la velocidad de la altura h.
9-,8088.
un cuerpo
sin velocidad inicial ? pesado
partiendo
Supongamos e el punto de salida : pongamos en seguida e A =x,
y designemos con t el 2.
tiempo
50
PRIMERA PARTE. -
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
desconocido durante el cual el cuerpo ha caido del
C A P I T U L O 111.
31
L a sustracción d a :
punto © al punto A, y resultará
de donde resulta í = - — _
De ahí se saca por medio de la sustracción
^
+
gf)
Sustituyendo este valor de t en la
expresión
de o-, se encontrará la distancia que se busca. y por consecuencia t =
Será muy útil el discutir las fórmulas, y por me-
'—*
dio de ellas concluir las condiciones de la posibiSustituyendo el valor t en la se obtendrá ce —
expresión
de
x,
lidad del problema. E l siguiente problema podrá proponerse aun,
..
pero Mas, para que el problema sea posible es necesario que
t sea positivo, y
tenga h
al efecto se exige q u e so
» como condicion evidente á
priori.
2." caso. Dos cuerpos pesados C0, C, caen el uno de A y el otro de B con
velocidades
iniciales
dadas F 0 , Ti; el primero parte 6 segundos antes que el o t r o ; la distancia A B es dada igual á h: ¿ e n qué punto y cu qué m o m e n t o se encontrarán? (Fig. 3.) Sea, pues, B el puesto del encuentro, x la distancia B B, y t el tiempo que transcurre durante la caida de Ct. Las ecuaciones son : h + = v„ (6 + í ) x
(6 +
1 =«V'+yí?''-
t)
su resolución
la dejamos
al
arbitrio del
lector: Dos cuerpos pesados parten del mismo punto e en épocas diferentes dadas, sin velocidades
ini-
ciales. ¿ En qué momento serán separados el uno del otro por una distancia dada, y qué caminos habrán recorrido en su caida?
CAPITULO
IV
Del movimiento rectilíneo variado, b a j o el punto de vista de su aceleración.
29. E n l o s c a p í t u l o s p r e c e d e n t e s h e m o s supuesto q u e la t r a y e c t o r i a d e l p u n t o m a t e r i a l era una c u r v a c u a l q u i e r a . A h o r a s u p o n e m o s q u e el m o v i m i e n t o es r e c t i l í n e o á fin d e s a l v a r las d i f i c u l t a d e s q u e pud i e r a n o f r e c e r s e , y al e f e c t o d a r e m o s á la n o c i o n d o la a c e l e r a c i ó n una e x t e n s i ó n a n á l o g a á la q u e h a g e n e r a l i z a d o la n o c i o n de l a v e l o c i d a d ,
según
p u e d e v e r s e en el p á r r a f o 19. 30. DEFINICIÓN. — L a a c e l e r a c i ó n d e un
punto
m a t e r i a l q u e se m u e v e e n l í n e a recta, es, e n un i n s t a n t e d a d o , el l í m i t e d e la r e l a c i ó n de la v a r i a c i ó n d e l a v e l o c i d a d al a u m e n t o del t i e m p o , esto es, la derivada ción
de
de la velocidad
considerada
como
fun-
tiempo.
E n p r u e b a de e l l o , s u p o n g a m o s q u e v es la v e l o c i d a d del m ó v i l al fin del t i e m p o t s o b r e su t r a y e c toria r e c t i l í n e a ; d e s i g n e m o s c o n Au l a
variación
34
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
positiva ó negativa de esta velocidad durante el tiempo AÍ, suponiendo este tiempo bastante corto para que la velocidad no haya cesado de variar en el mismo sentido durante todo este intervalo. Si el m o v i m i e n t o era uniformemente variado, sábese ya
Au
que — representaría la aceleración constante de este m o v i m i e n t o , según puede verse en el párrafo 22. P o r consiguiente, esta relación es una especie de aceleración
media.
derivadas, la exacta aceleración que llevan los cuerpos en cada uno do los casos dados. 32. OBSERVACIÓN.—Si c o m o dejamos explicado en el párrafo 22, el intervalo AÍ es bastante corto para que pueda mirarse el m o v i m i e n t o del m ó v i l como uniformemente variado, nos dará:
Cuando AI disminuye
ción, variando sin cesar de representar la aceleración media, converje hácia un límite determinado que se llama la aceleración al fin del tiempo í.
3 1 . E X P R E S I Ó N A N A L Í T I C A DE L A A C E L E R A C I Ó N . —
Representado el espacio recorrido por el m ó v i l con la fórmula
AU
AÜ=-ÍAÍ, luego
indefinidamente, lo mismo sucederá á a V , y la rela-
Hé ahí l o quo se expresa cuando so dice que la aceleración en un m o v i m i e n t o variado rectilíneo, e n un instante dado, es el cociente división locidad pequeño
de la variación
infinitamente
de este movimiento consumido
para
producido pequeña
por el tiempo producir
dicha
por la de la ve-
infinitamente variación.
Mas, debe tenerse en cuenta que la aceleración -¡ es una longitud quo depende, asi c o m o la v e l o cidad, de la unidad del espacio y de la del tiempo
la primera derivada dará la velocidad
á la vez. A s í , cuando la unidad de tiempo resulta »
v=f
veces
(0,
y por consiguiente la aceleración derivada de la velocidad
será
la segunda derivada
del
espa-
cio, ó
mas grande, AD y AÍ deben reemplazarse
por «AU y ^
según puedo verse al fin del
pár-
rafo 21 al tratar de la homogeneidad de las f ó r mulas. P o r consecuencia, la aceleración se mide
y=f"
(0-
Así, siempre que se conozca la expresión analí-
por un número ns veces mayor. Empero, la aceleración puede ser positiva ó negativa; y el m o v i -
tica del espacio ó de la velocidad en función del
miento es acelerado
tiempo, se podrá encontrar, por el cálculo de las
ración son del mismo signo, y retardado
cuando la velocidad y la acele-
son de signo contrario.
cuando
TRIMERA P A R T E . — C A P I T U L O IV. 3 3 . D E T E R M I N A C I Ó N A N A L Í T I C A DE L A S DADES
POR L A S
ACELERACIONES T
DE LOS
ESPA-
CIOS POR LAS VELOCIDADES. — Cuando la ecuación e=f
37
VELOCI-
y en este caso, el cálculo inverso de las derivadas daría inmediatamente
( i ) que enlaza los espacios al tiempo se co-
noce, la regla del cálculo de las derivadas permiten en todos los casos de encontrar las fórmulas j a indicadas v=f
( t ) é 7 = / » ( Q que nos dan las
expresiones analíticas de la velocidad y de la aceleración P e r o el problema inverso que consiste de pasar de la expresión de la aceleración á la de la
Ü0 y e0 cantidades supuestas conocidas con antici-
velocidad y de esta á la del espacio recorrido, es
pación, son la velocidad inicial y el espacio recor-
muchas veces insoluble porque los métodos ordi-
rido al origen del tiempo.
narios nos conducen á operaciones muy compli-
Mas, como las fórmulas de interpelación son su-
seria
mamente fastidiosas y difíciles de aplicar, no estará
poco ventajosa por no decir inútil. Efectivamente,
de mas que establezcamos un método gráfico con
dichos métodos
que podamos suplir ventajosamente la insuficien-
cadas; y en este
concepto
su
no pueden
x i m e cuando en vez de
T
=
adopcion
ser aceptables má9
(t)
entre el tiem-
po y la aceleración, no se podrá contar mas que
cia de los análisis ó la prolongacion d e la operación. Hé aquí dicho método :
con una tabla de cierto número de valores correspondientes á estas dos variables. Es verdad,
s
34. LEMA. — Refiriéndose á los dos ejes rectan-
¡ n embargo, que en este
último
caso en que ( n + 1 ) , sistemas de los valores de 7 y de í, son conocidos, so podria calcular con el auxil i o de las f ó r m u l a s de interpelación la función entera y del grado n verificada por estos sistemas, y sustituir esta f u n c i ó n á la relación
desconocida
entre 7 y t. Entonces obtendríamos por ejemplo : T
= al- + bt"—' + cí«
+
h A-í + /;
gulares O X, O Y ( f i g . 4), la curva representada por la ecuación y=f nadas A B=y„ separación
( x ) y construyéndose las ordey
dada
cualquiera O P=x, ABMP
M P=y OA+x0
correspondiente y á otra
á
una
separación
el área del trapecio mistilíneo
comprendido entre la curva, el eje de las
separaciones y las ordenadas y0 é y, tienen
por
derivada la ordenada del extremo y, considerada como función de x. Efectivamente, cuando la separación x aumenta de una cantidad P P=AX, ordenada y varía de una cantidad K M^=Ay,
la y el
38
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
PRIMERA PARTE. -
área o crece de otra P i í i f 1 P\ =A
del
rectángulo
C A P I T U L O IV.
/' M K P,=J/AX y
del
39
triángulo
M K i í , = ^ x \ y , de todo lo cual se deduce AO
bastante pequeño para q u e pasando de la posicion
y=AiLa aplicación de este lema es fácil de c o m p r e n der. Si la curva B M es la curva de las aceleraciones, esto es, una curva que tiene por separación los tiempos y por ordenada las aceleraciones, A B siendo una aceleración inicial y M P siendo así mismo uua A BMP
aceleración en la época t,
el
área
de esta curva y la velocidad v á la época t
tendrán ambas por derivada el valor do la aceleración en este instante, sin otra diferencia que la de una constante. De este modo resultará v= A prioti
área A J? J / P + c o n s t .
esta constante es arbitraria, puesto que
la derivada del área es la misma, cualquiera que sea la posicion de la ordenada inicial A B; M P á la de M, P, la ordenada no haya cesado de aumentar ó disminuir. E n su virtud el área AG está comprendida entre los rectángulos t/A®, é ex,
y la r e l a c i ó n ^ entre y é y + A y.
dos límites sulta el lím.
(y-\-by)
C o m o estos
se reducen á y cuando A x = o , que se quería
re-
demostrar.
para
determinarla es necesario conocer un valor particular de la velocidad, por ejemplo, la que corresponde al tiempo O A.
Si v0 es este valor deberá
tenerse á la vez, v=v„
y el área ABMP=o,
donde se c o n c l u y e : c o n s t a n t e , ;
de
y la fórmula
completamente determinada e s : v=v0
+
área A
BMP.
Puede obtenerse el m i s m o resultado, notando
P o r consiguiente, para evaluar los valores de la
que el trapecio elemental P M Aí, P , = A s se compone
velocidad á las diferentes épocas, basta con elevar
40
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
la curva de las aceleraciones y de m e d i r las áreas correspondientes á dichas épocas.
aceleración, haciéndose n e g a t i v a , disminuyela velocidad d e una cantidad v a r i a b l e que, á la época t, se m i d e por el área C MP ; por supuesto, siguiendo
3O. OBSERVACIÓN. — Debe notarse que si la curva B M corta el e j e de los tiempos ( f i g . b ) de manera
las m i s m a s condiciones aplicadas en la presente consecuencia,
operacion. P o r
nal está bien medida
la
velocidad
con la fórmula
fi-
precedente
v = u 6 + á r e a , etc., asi en cuanto á s u magnitud como respecto al signo. 36. F I J A C I Ó N DE LOS ESPACIOS POR MEDIO DE L A S
VELOCIDADES. — Del m i s m o m o d o , si la curva B M ( f i g . 5) representa la curva de las velocidades, c o n s t r u i d a , y a sea directamente con auxilio
de
su ecuación, y a indirectamente con ayuda de la do las aceleraciones y d é l a fórmula Ü = Ü 0 + á r e a , A BC — área CMP,
el área A BMP
y él espacio r e -
corrido en la época t tendrán la misma derivada, esto es, la m i s m a
velocidad
en este instante, de
manera q u e solo se diferenciarán de una constante, dando por resultado en su v i r t u d e = área A -f-viy.
BMP+const.
Esta constante será determinada desde luego,
que las ordenadas extremas A B y MP sean de signo
conociendo el v a l o r particular de e, por e j e m p l o ,
contrario, el área colocado d e b a j o del e j e deberá
la q u e corresponde al tiempo O A. Así, suponiendo
considerarse como negativa, y en este caso se ten-
e este v a l o r , resultará
drá por expresión de .a. velocidad en la época l, u=u 0 -|-árca ABC—área
CMP.
P o r q u e la velocidad á la época OC, según lo que precede, es t > 0 + á r e a A B C . Desde este m o m e n t o la
e=£„-+-área ,4 BM P. Por consiguiente, las arcas de la curva de las v e locidades nos darán los espacios recorridos por el punto material.
42
MANUAL 1)E MECANICA INDUSTRIAL.
PRIMERA PARTE. -
N o hay necesidad de añadir que, si la curva corta el eje de los tiempos ( f i g . 5 ) , se deberán considerar como negativos los espacios medidos por las áreas situadas b a j o del e j e , y e n este caso se adop-
inserto en
los
CAPITULO IV.
NUEVOS A N A L E S DE
43
MATEMÁTICAS,
octubre de 1855. También se conocen y están en uso los métodos d e M M . Poncelet y Simpson. El de Mr. Simpson,
tará la fórmula
anterior al de Poncelet, no es tan sencillo ni da los e = e„ -f- área A B C área — área C M P.
mismos resultados que el de a q u e l : sin embargo,
Resulta de las reglas y explicaciones precedentes que la investigación de los espacios con ayuda de las velocidades, y la de las velocidades con la de las aceleraciones, son problemas de la misma especie cuya solucion depende d e una 37.
MÉTODO
PARA
HACER
LA
cuadratura. CUADRATURA.
—
va. El llamado DE LOS TRAPECIOS consiste en reemplazar la curva por un p o l í g o n o , y en calcular el área comprendida en é l ; pero este método n o ofrece mas que una aproximación insuficiente, á no ser que se agrupen considerablemente las ordenadas, lo cual haria las operaciones m u y prolijas y l a b o riosas. Mr. GAUSS ha perfeccionado el método indicado por Newton y desenvuelto p o r Cotes; fundado e n las fórmulas de interpelación, presenta los cálculos mas cortos, ofreciendo por consiguiente aproximac o m o necesita
extremas sea dividida en un número par de partes iguales; fundándose en que siempre se puede hacer pasar por tres puntos dados, no en línea recta, un arco de parábola, cuyo e j e sea paralelo á una dirección dada.
Existen varios métodos de cuadratura a p r o x i m a t i -
ciones maS exactas. P e r o
ambos exigen que la distancia de las ordenadas
consa-
grarle muchas páginas, necesarias para desarrollar materias mas importantes, r e m i t i m o s á nuestros lectores al famoso artículo s o b r e las cuadraturas,
CAPITULO
V
De la proyección de las velocidades.
3 4 . P R O Y E C C I O N DE UN MÓVIL SOBRE UN EJE FIJO.
— Supongamos un móvil puesto en movimiento sobre su trayectoria A B (fxg. 6) y .1/ su posicion en la época t. Supongamos también O X u n eje Gjo dado : y á cada instante podrá proyectar el punto M sobre el ej e, paralelanien te al plan dado y O Z (conduciendo sucesivamente MP
paralelo é. OZ;
PG
paralelo á OG y uniéndose á M G). El punto G, proyección del punto M, puede ser considerado á su vez como un cuerpo en m o v i m i e n t o sobre el eje OX;
y estos dos movimientos serán enlazados por
una relación que es necesario determinar aquí. El teorema siguiente expresa este enlace ó unión.
3o. La velocidad
de la proyección
de un punto
sobre un eje fijo es igual á la proyección del móvil
sobre el mismo
de la
móvil velocidad
eje.
Efectivamente, sea MM,=be
el espacio recorrido
durante el tiempo M por el móvil sobre su trayec3.
46
.MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
tona y G G , = A x su proyección sobre el eje O X ; A ® el espacio recorrido por el punto G durante el tiempo A Í : por consecuencia, las velocidades re¿-
se conduce la cuerda M J/„ y se sabe que existe entre esta cuerda y su proyección GG, una relación que depende del ángulo de dicha cuerda con el eje O A ' y de la dirección del plano y OZ, resultará GG, ó A x—K
cuerda U Mi, igualdad que puede escri-
birse del m o d o s i g u i e n t e : AX ~Kt=K><
cuerda M M i _ Tt
Ae_ AÍ
Cuando se pasa al límite, la relación de la cuerda al arco es igual á 1 ; las r e l a c i o n e s - ^ , - ¿ j ,
se
convierten en v y v x ; el número K varia hasta cierto l í m i t e l dependiente de los ángulos de la tangente MT, en M, y c o n v e r j e hácia la curva ( d i rección de la velocidad t>) con el eje O A ' y con el plano YOZ
; asi la relación precedente se hará tv =
Iv.
P o r consiguiente, si una longitud cualquiera, dirigida según la tangente M T, proyecta sobre
OX
paralelamente al plano y O Z , la relación de la •proyección á la longitud es, como ya se sabe,el número constante l : luego Iv es la proyección de la velocidad v sobre su propio eje. Mas, debe observarse que si el tiempo A Í es i n -
Fig. 6.
finitamente
pequeño, el arco recorrido Ae es una
linea recta infinitamente pequeña, cuya dirección pectivas del punto M y de su proyección G en la época t (velocidades que designamos con y y v<) son los limites de las relaciones
Asi
si
es la de l a tangente M T al punto M. E n este caso la geometría da inmediatamente
48
MANUAL 1)E MECANICA I N D U S T R I A L . 33. CASO P A R T I C U L A R E N QUE EL MOVIMIENTO ES
RECTILÍNEO. — Si el m o v i m i e n t o en el espacio es rectilíneo, se aplicará i g u a l m e n t e la misma
de-
mostración sin necesidad de recurrir á los i n f i n i tamente p e q u e ñ o s ;
pues cualquiera q u e
sea
el
espacio e recorrido en el tiempo t por el punto M
porque la relación I es invariable en este caso. Así, se deduce también por sustracción, Au1 =
.,
ÍAtr, y en seguida
AV*
=
• AV
«
¿ p
y pasando á los límites, se obtiene la fórmula r
su trayectoria rectilínea, y el espacio h r e c o r r i d o
=
h-
en el mismo tiempo por su proyección G sobre el
Así, debe observarse q u e en el movimiento rectilí-
eje OX, existirá siempre entre estas dos longitudes
neo los espacios recorridos, las velocidades y ace-
la relación constante
leraciones tienen, con sus respectivas proyecciones sobre un eje fijo, la misma relación indicada por las tres ecuaciones precedentes. Pero cuando el
deduciendo de ella — — / t ~ y pasando al límite,
e f
movimiento en el espacio es curvilíneo, si las v e -
'
locidades verifican la relación vx = lv, no sucede lo
vx—lv.
mismo, por cierto, con los espacios recorridos que
Con el fin de explicar e n toda su extensión el
no describen líneas rectas.
m o v i m i e n t o rectilíneo, estableceremos el siguiente teorema
sobre las aceleraciones de dicho m o v i m i e n t o
37. PROYECCIONES PERPENDICULARES. —
L a geo-
metría enseña que, en estas proyecciones, la relación l es el coseno del ángulo que forma la direc38. V é » asimismo que en el caso del m o v i m i e n t o
ción de la velocidad t> con el eje O X . En su virtud,
rectilíneo antes expresado, las aceleraciones y ó y
designando este ángulo con ( t \
do los puntos jf G se hallan enlazados por la m i s m a
v* = lv, antes expresada, se escribirá :
relación
E f e c t i v a m e n t e , supóngase «, y „ x
cu ad en la época t, AV y a*,* k
s
velo-
su
variaciones de estas
velocidades durante el t i e m p o + serán las velocidades en l a época < +
A f
guíente, resultará según la presente cion i
^
y
.
P o r
c
7nsi.
demostra-
la relación
vx = v coseno (t>, En este caso, la velocidad v se denomina la velocidad
del móvil,
estimada conforme al eje O A".
Siendo el movimiento rectilíneo, como queda explicado al principio del presente capitulo, nos daría asi m i s m o : e» = e coseno (e, x ) , y 7* = 7 coseno (7,
50
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
Mas, suponiendo rectangulares los ejes OX (Üg. 6), y designando con
OY
% estas p r o v e í
cienes de la velocidad « sobre estos ejes, obtendrá*
en virtud de lo expuesto al principio de
este párrafo 37,
p
COS. (v, x), V,=e
COS. ( r , y),v.=v
eos.
(v,z);
J añadiendo los cuadrados de estas tres fórmulas resultará, por fin, en su mas breve significación, esta nueva fórmula
pues ya se sabe que coseno' (v,x) 4 - coseno 2 (v, z) = 1.
+
coseno' ( „ , y), v
Esta fórmula y la anterior á esta hacen descubrir la intensidad y dirección de la velocidad « del móvil en el espacio, cuando se conocen las velocidades de sus proyecciones sobre tres ejes rectangulares, y demuestran que esta velocidad es en magnitud y en dirección, la diagonal del paraelipipedo construido sobre tres puntos contiguos, llevados por M paralelamente á l o s ejes, é iguales en longitud á las velocidades vx, vy v* bi la trayectoria es plana, en este caso puede
IZT T *!rpor precedentes formulas, y r , = 0 , 108 d e
VX =
V
C0S
-
(V> FJ=TX3
VT=V -F- VJ*,
y
COS. ( t ) , y ) ,
i " dos á
resultando así que la velocidad v es, en grandeza y dirección, la diagonal del rectángulo construido sobre dos rectas paralelas á los ejes, é iguales en longitud á las velocidades vx y v,.
CAPITULO
VI
Do la compo»icion y de»compo»ioion de lo» movimiento».
Antes de abordar clarar
la cuestión,
tenemos
que casi todo este capitulo
brillantes tranden limites tar todo
cursos
explicados
el liceo Napoleon-,
últimamente y por cierto
de este M a n u a l no« hayan cuanto
hemos
hallado
precisión
de de-
lo hemos tomado
de los
por Mr. Bersentimos
impedido
en ellos de útil
que ios el
insery ven-
tajoso. 38. DEFINICIÓN. — Llámase movimiento simultáneo el que tienen dos cuerpos que realizan sus m o vimientos respectivos en el mismo tiempo. Según esto, el de un m ó v i l en el espacio, y el de su proyección sobre un eje fijo, son dos movimientos simultáneos ( 1 ) . 39. DEFINICIÓN DE LOS MOVIMIENTOS IDÉNTICOS.— (<) Véase el capítulo V, donde se habla del movimiento de prnvpecion «ohre nn ej" fijo.
54
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
Movimientos idénticos son los que tienen dos cuerpos cuando las cuerdas que unen sus puntos de salida á los de llegada son constantemente iguales
man compuestos de los del móvil Ct. Se v e asi que eu la época í el m ó v i l C, se encuentra en el mismo
y paralelos durante todo un tiempo dado (sea este grande ó pequeño). Asi, una vez conocido el movimiento de un punto material ó de un cuerpo, entonces ya puede imprimirse un movimiento idéntico á otro punto material ó cuerpo que salga de un punto determinado.
4 0 . D E F I N I C I Ó N DEL MOVIMIENTO R E S U L T A N T E
DOS MOVIMIENTOS. -
DE
Establecido esto, supongamos
tres móviles ó cuerpos C, C„ C, en movimiento del modo siguiente. El primero C parte del punto O en un instante dado y se encuentra en S al fia del tiempo t, de tal suerte que la derecha que une el punto de salida al de llegada ( l l g . 7) sea igual á OS. El segundo y tercero C, y C, parten asimismo, el uno del punto O, y el otro del de O, á la vez sin diferenciarse en nada, y se hallarán en la épocJ
punto que si hubiera poseído sucesivamente dos
t, de manera que las rectas que unen su punto de
movimientos idénticos á los de los cuerpos ó pun-
salida al de llegada son O, S, y 0 2 & . A l efecto, se
tos materiales C y C¡. Hé allí explicado como el pri-
conducirá al punto S una recta SS, igual y parale-
mer m o v i m i e n t o resulta de los otros dos.
la á 0 , S : , y por el punto O una recta OS, igual y paralela á 0,S2. Si sucede que esta última recta OS
41. MOVIMIENTO RELATIVO. — Dícese
asimismo
cierra el ¡nángulo formado por O S y SS, y se lle-
que el m o v i m i e n t o del segundo punto ó cuerpo
na esta condición en todas las épocas del m o v i -
C, es el movimiento relativo de Ci con relación al
miento, en este caso se dirá que el
movimiento
del móvil C; y creyendo i n m ó v i l el cuerpo C2, ten-
de los movimientos de
drá, en apariencia, el m o v i m i e n t o q u e posee en
del cuerpo C, es el resultante
dichos móviles C y C ; estos movimientos se 11a-
realidad el punto material ó el m ó v i l Ct. ñ i.
A -1 G Q ¿\ v; ¿ á < r *
56
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
PRIMERA PARTE. - CAPITULO VI.
Esta definición se verá explicada luego que se trate de la composicion
de los caminos
y
velocidades.
punto O es igual y paralela á la recta que une el punto de salida al de llegada en el
4 2 . COMPOSICION DE DOS M O V I M I E N T O S Y DESCOMPOSICION DE U N MOVIMIENTO E N DOS. — P a r a
37
movimiento
resultante.
com-
En suma, la enunciación de este paralelógramo
resultante
puede reducirse á estas palabras que sin duda lo
de dichos dos movimientos, esto es, conociendo
harán comprender mejor ¡basta, pues, decir que el
en magnitud y en dirección las líneas rectas que
movimiento
unen el punto de salida al de llegada de cada uno
diagonal
del paralelógramo
de los dos movimientos dados, encontrar la exten-
mientos
componentes.
sión y dirección de la recta q u e une el punto de
llama paralelógramo
poner dos movimientos basta encontrar el
salida al de
llegada en un m o v i m i e n t o
resul-
es en extensión construido
y dirección sobre
la
los
movi-
Esta expresión es l o que se de los
movimientos.
De la composicion de dos movimientos resulta su contradictoria, que llamaremos, como dejamos
tante. N o estará de mas que digamos que los m o v i mientos en cuestión no son rectilíneos, y que las rectas que indicamos son las cuerdas de los conos descritos por los móviles. Todas las definiciones precedentes conducen i n mediatamente á las reglas que deben seguirse para componer dos movimientos. Nótase, como puede verse, que OII, siendo igual y paralelo á S & , la figura OSS.II
es un paralelógramo, y OS, una de
sus diagonales. En su virtud, puede establecerse la siguiente enunciación : Si se conduce por un mismo punto O dos rectas iguales y paralelas á las que unen el punto de salida al de llegada en cada uno de los dos m o v i mientos componentes, y si se construye un paralelógramo sobre estos dos lados adyacentes, diagonal
resultante
que
parte en este paralelógramo
la del
diclio, descomposición
de un movimiento
en dos. Puede
considerarse siempre un m o v i m i e n t o
cualquiera
en un plano como resultante de dos movimientos efectuados, siguiendo dos rectas dadas en dicho plano : y la razón es porque se puede construir un paralelógramo, conociendo la longitud y dirección de su diagonal ( q u e representa el
movimiento
dado) y las direcciones de los dos lados que parten de uno de sus extremos. Esta operacion, pues, se llama descomposición del
movimiento.
Mas, debe observarse con sumo cuidado dos cosas, á saber : 1 / Conociendo el m o v i m i e n t o
que
arrastra al cuerpo y el relativo de un m ó v i l , la regla de la composicion de los movimientos hace conocer el m o v i m i e n t o resultante, esto es, el
movi-
miento real en el espacio. 2.° Si se prolonga OS ( f i g . 7) d e una longitud igual O E, y que se une E H, OH será, y es efectivamente, la diagonal del
58
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
paralelógramo OEHS„
y en su virtud, se podrá
decir que el movimiento relativo O l í es el m o v í miento resullante del movimiento real OS, un movimiento
y de
igual al de que arrastra al
cuerpo OS. P o r consiguiente, si se conoce el movimiento real y el de arrastramiento de un m ó v i l la
CAPITULO
VII
regla hace conocer su movimiento relativo 43. DEFINICIÓN DEL MOVIMIENTO RESULTANTE DE MUCHOS MOVIMIENTOS. muchos
movimientos
dados
El movimiento
resultante
se define así : c o n d ó -
nense primero dos movimientos entro sí en se guida el movimiento resultante con un tercero
y
acto continuo el nuevo movimiento resultante con un cuarto y así sucesivamente. El último m o v i miento resultante obtenido de esta manera es el movimiento
resultante
del
Da la oomposioion y descomposición de las velocidades.
de
44. DEFINICIÓN DE LA. VELOCIDAD RESULTANTE DE DOS VELOCIDADES DADAS. — Consideremos dos m o vimientos cualesquiera y sus respectivas velocidades en un mismo instante í (fig. 8 ) , formemos una
sistema.
Esta definición conduce por sí sola, una
vez
instruido en los principios explicados y aplicados en esta primera parte, á construir los p a r a l e l ó ^ mos que demuestran esta regla, que desenvolveremos cuando apliquemos
estos principios á las
maquinas. •'Vp '•'ito
'•i
Pig. 8.
58
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
paralelógramo OEHS„
y en su virtud, se podrá
decir que el movimiento relativo O H es el m o v í miento resullante del movimiento real OS, un movimiento
y de
igual al de que arrastra al
cuerpo OS. P o r consiguiente, si se conoce el movimiento real y el de arrastramiento de un m ó v i l la
CAPITULO
VII
regla hace conocer su movimiento relativo 43. DEFINICIÓN DEL MOVIMIENTO RESULTÓTE DE MUCHOS MOVIMIENTOS. muchos
movimientos
dados
El movimiento
resullante
se define así : c o n d ó -
nense primero dos movimientos entre sí en se guida el movimiento resultante con un tercero
y
acto continuo el nuevo movimiento resultante con un cuarto y así sucesivamente. El último m o v i miento resultante obtenido de esta manera es el movimiento
resultante
del
Da la oomposioion y descomposición de las velocidades.
de
44. DEFINICIÓN DE LA. VELOCIDAD RESULTANTE DE DOS VELOCIDADES DADAS. — Consideremos dos m o vimientos cualesquiera y sus respectivas velocidades en un mismo instante í (fig. 8 ) , formemos una
sistema.
Esta definición conduce por sí sola, una
vez
instruido en los principios explicados y aplicados en esta primera parte, á construir los p a r a l e l ó ^ mos que demuestran esta regla, que desenvolveremos cuando apliquemos
estos principios á las
máquinas.
•'Vp '•'ito
'•i
Pig. 8.
60
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
recta igual y paralela á la primera, esto es, una recta A V, cuya l o n g i t u d mida la intensidad de esta velocidad y c u y a dirección sea la de la tan-
tante del movimiento de arrastramiento y del movimiento relativo, del mismo modo la velocidad
gente á la trayectoria : conduzcamos en seguida,
del m o v i m i e n t o
por su extremidad V, u n a recta VVI igual y paralela
velocidad del m o v i m i e n t o real y de una velocidad
á la segunda, y u n a m o s A Vx. L a velocidad repre-
igual y contraria á la del movimiento de arrastra-
sentada en grandeza y e n dirección por la recta A VI,
miento.
se llama resultante
es la resultante de la
d e l a s dos velocidades dadas, y
estas son las c o m p o n e n t e s de la velocidad A V,. Hecho cargo de la precedente definición, deberá proponerse y resolverse el siguiente teorema f u n damental.
4 6 . E J E M P L O DE L A
COMPOSICION DE L A S
VELO-
CIDADES. — A u n q u e los mecánicos modernos no niegan que en ciertos casos un cuerpo posee alguna vez en el mismo instante muchos movimientos simultáneos ó muchas velocidades simultáneas, y ca-
4o. La velocidad movimientos
relativo
dadost
de los movimientos
del movimiento es la resultante
resultante de las
de dos velocidades
compuestos.
Así, si A K y VV t representan en magnitud y diponentes , la recta A V, q u e cierra el
triángulo
representa en grandeza y en dirección la velocidad del movimiento resultante. Debe tenerse en cuenta, para no errar la operación y obtener el resultado que se busca, que las velocidades de los dos m o v i m i e n t o s se
componen
como estos mismos m o v i m i e n t o s , es decir, que la velocidad del m o v i m i e n t o resultante es la resultante de la velocidad d e los movimientos compuestos, pues así como se v e r á en el siguiente ejemplo de las velocidades,
de desembarazar de ellas el lenguaje mecánico; sin embargo, nosotros, aunque seguimos
fielmente
esta opinion, vamos á presentar el presente e j e m -
rección las velocidades de dos movimientos com-
de la composicion
lificando estas locuciones de viciosas, han tratado
la velocidad
de un movimiento real d e un cuerpo es la resul-
plo excepcional. E f e c t i v a m e n t e , queda uno sorprendido á primera vista al oir que dos velocidades diversas pueden animar á la vez á un mismo cuerpo. Mas, tan luego como se demuestra esta verdad, las dudas se desvanecen y la luz ilustra las
inteligencias
prevenidas que los negaban. Hagamos, pues, la experiencia sobre un barco que marcha recta y uniformemente por un rio ( f i g . 9); póngase sobre el punto A una b o l a ; esta bola participará al instante del m o v i m i e n t o
del
barco, y seguirá, sin variar d e sitio y de una m a nera uniforme, la línea recta A B. Si se la hace rodar con movimiento uniforme por la línea A C, 4
t¡2
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
entonces se hallará animada de dos m o v i m i e n t o s
'
A l principiar el segundo expresado, la bola es-
al m i s m o t i e m p o , el suyo propio con relación al
taba en el punto A, y al terminarse se encontrará
buque, y el particular
de este. S e a , pues, para
en el punto G; por consiguiente, durante este se-
m a y o r i n t e l i g e n c i a ,4 D e l espacio recorrido p o r la
gundo la bola ha recorrido con m o v i m i e n t o uni-
bola en el tiempo de un segundo á consecuencia
f o r m e la línea A G. Si en vista de esta explicación
de la velocidad del p r i m e r m o v i m i e n t o , el cual es
se desea observar el puuto en q u e se hallaba la
absolutamente
bola al fin de m e d i o segundo ó de un cuarto de
el m i s m o que el del barco. Sea
t a m b i é n A E la velocidad de la bola en su marcha
segundo, se verá q u e estaba situado sobre la citada
sobre el puente. P u e s bien, al cabo de un segundo,
línea A G, en la mitad ó cuarta parte d é l a m i s m a ,
el barco habrá navegado una cantidad equivalente
principiando á calcular por el punto de partida A.
á A D. L a linea A C que la bola describe, y
Asi, supuesto esto, la bola, animada simultánea-
que
debe suponerse trazada sobre el p u e n t e , como se
mente de las velocidades A O y AE,
indica en la figura que la representa, se
ciones son diversas, se encuentra solamente con
habrá
cuyas d i r e c -
transportado paralelamente á sí m i s m a á la posi-
una velocidad representada en cantidad y direc-
ción D F; mas al propio tiempo la bola habrá re-
ción por la diagonal del paraleiógramo construido
corrido de esta línea un espacio igual á AE,
y
sobre las velocidades AD y
AE.
c o m o el punto se habrá transportado á G , descri-
De aqui se infiere la analogía existente entre la
biendo la linea E G, paralela á A ü, la bola se en-
composicion de las velocidades q u e animan á un
contrará en Gal final del segundo q u e considera-
mismo cuerpo, y las fuerzas aplicadas á un m i s m o
mos.
punto siguiendo diferentes direcciones. F i n a l m e n t e , en razón de esta analogía se usan de las palabras componentes y resultantes, según ya queda demostrado, así para expresar las velocidades
como
para significar las fuerzas.
47. P A R A L E L Ó G R A M O DE L A S VELOCIDADES. —
El
teorema propuesto en el párrafo 45 puede traducirse también por la regla del paralelógramo d e las velocidades. Si se conducen por un m i s m o punto dos rectas
64
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
cuyas longitudes midan l a intensidad respectiva de las velocidades en dos m o v i m i e n t o s dados, cuyas direcciones sean las de l a s velocidades, y construyendo un paralelógramo
sobre los dos lados
adyacentes, la velocidad del m o v i m i e n t o resultante será representada en g r a n d e z a y dirección por la de las diagonales del paralelógramo que sale del mismo punto.
Cuando se quiere
calcular la composicion de dos velocidades, es necesario incluir en las fórmulas la composicion de estas dos velocidades v, v, t su resultante F y los ángulos que forman sus direcciones. Algunas veces se presentan dificultades para saber definir dichos ángulos con exactitud, y á fin de obviar este i n conveniente debe imaginarse que se trazan, par-
De aqui resulta la descomposición en dos velocidades,
DADES Y su RESULTANTE. —
de una
velocidad
d e m o d o q u e cuando un m o v i -
miento tiene lugar en u n plano, puede mirarse
tiendo de un punto fijo, las rectas paralelas á las velocidades consideradas, prolongarse
sino
las
cuales
no
deben
en el sentido de cada m o v i -
siempre su velocidad, en u n m o m e n t o dado, como
miento. Según esta regla, (triángulo A V F, de la
resultante de dos velocidades dirigidas, según los
figura
dos ejes que se suponen
ángulo de la resultante
situados sobre
dicho
8 ) donde A F=t>, F \\=v «, y
A F , = F , el
F con v, y que se designa
plano. También pueden considerarse las intensi-
ó nota ( F , u), es el ángulo VtA V; el ángulo ( F , u,)
dades de dos componentes c o m o si estuvieran ya
es igual á A V, V como opuesto por la vértice y el
conocidas en magnitud y e n dirección, y, por fin,
(u, u,) es el suplemento de A V Vr
imaginar las intensidades d e dos componentes, y
Así, aplicando á este triángulo las fórmulas de
buscar, en su v i r t u d , sus direcciones. Para cada
la trigonometría rectilínea, al punto se obtendrán
uno de estos casos, hay necesidad de construir un
estas dos fórmulas que resuelven en todos los ca-
triángulo con datos y suposiciones indispensables
sos el doble problema que acabamos de exponer.
á la claridad y buen éxito d e la operacion.
v_
seno 48. CASO P A R T I C U L A R . —
Si las dos
velocidades
v, F i 7 ) — s e n o (t>, F ) - ' s e n o ( v , u,) FJ= u,J+ eos ( v , t;,)
componentes son paralelas, la velocidad del movi-
La primera de estas dos fórmulas demuestran
miento resultante es i g u a l á su suma ó á su dife-
que, en el caso general, cada una de las tres v e l o c i -
rencia, según que son de u n sentido igual ó con-
dades es proporcional al seno del ángulo que f o r -
tri-rio.
man las direcciones de las otras dos.
49. R E L A C I O N E S A N A L Í T I C A S E N T R E DOS V E L O C I -
SO. COMPOSICION DE MUCHAS VELOCIDADES. — PARA
4.
66
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
PRIMERA PARTE. — CAPITULO VIL
hacer esta operacion es necesario trazar un polí-
debemos imaginar tres ejes rectangulares en el
67
gono y formar una después de otra rectas iguales
espacio; hecho esto se descompondrá cada una de
y paralelas á las velocidades dadas, y asi hecho, se
las velocidades en otras tres dirigidas paralela-
verá que la recta que cierra el polígono es en
mente á dichos e j e s : en seguida se compondrá con
magnitud y dirección la resultante
de estas veloci-
ellas por medio de una adición algébrica, todas
dades, y esta resultante la velocidad del m o v i -
las componentes dirigidas paralelamente al mismo
miento resultante.
eje, y por fin se compondrán las tres resultantes
Mas, debe observarse que la grandeza y dirección de la resultante no dependen del orden bajo el cual se trazan los lados del polígono.
5 1 . CONSTRUCCION
G R Á F I C A DE L A
RESULTANTE.
— El polígono de las velocidades es comunmente izquierdo, y no se puede construir sino con el auxilio de los procederes de la geometría descriptiva. Pues, como dos rectas iguales y paralelas tienen por proyecciones sobre un mismo plano otras dos rectas
y
paralelas, la proyección del
polígono es otro polígono cuyos lados son las proyecciones de las velocidades componentes y de la resultante. Por consiguiente, un
plano
la proyección
cualquiera
nes de las componentes.
de la resultante
es la resultante
de las
sobre proyeccio-
Esta observación nos da la
idea, ó nos facilita inmediatamente la construcción del polígono que debe ejecutarse para obtener en el caso general la grandeza y dirección do. la expresada resultante. Finalmente, para ver las relaciones analíticas que existen entre las velocidades y sus resultantes,
parciales en una sola, la cual será, sin error alguno, la resultante que se busca.
ífj
. s u i i r i d a
P A R T Í
DE LAS FUERZAS Y DE SUS EFECTOS CON APLICACION A UN CUERPO Y PUNTO MATERIAL LIBBE.
i
I I j
CAPITULO
Idea» generales »obre la inercia, y de las fuerzas de la ineroia.
f!
' íí® fi
I. De la inercia.
LEYES 1
PRIMERO
i
DE INERCIA. — L a s siguientes, funda-
mentales en m e c á n i c a , se hallan consagradas por
Í!
la experiencia mas acreditada y segura.
in
miento
1.»
Un cuerpo por si
2.« Un cuerpo por si mismo
en quietud
no puede ponerse
en
movi-
mismo. en movimiento
la grandeza
tampoco
ni la dirección
puede de su
modificar veloci-
dad. Este m o v i m i e n t o es rectilíneo y uniforme. Podrá objetársenos que el hombre y los demás seres animados pasan por sí mismos del estado de quietud al de m o v i m i e n t o ; mas esta objecion se destruye diciendo que esta facultad pertenece solo
70
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
á la parte inmaterial que l e s comunica la vida, como lo demuestra un cadáver, que queda sujeto á las leyes generales de la materia desde el m o mento que exhala el último aliento.
parecen que se mueven espontáneamente,
como ve-
mos en los fenómenos eléctricos y
magnéticos,
pues es bien sabido que este m o v i m i e n t o se debe mútuas ó á causas emanadas de sus
mismas moléculas. tes, diremos que la primera l e y es tan clara y e v i dente que hace inútil su demostración. N o así la segunda. Esta necesita explicación tanto para c o m Cuando
liso es el plano sobre el cual se mueve. Esta cirnos perceptibles del plano y la resistencia que ofrece el aire, son las causas únicas que debilitan y destruyen, por fin, el m o v i m i e n t o de la b o l a ; sin estos obstáculos, no cesaría hunca de moverse, y en su virtud debe concluirse que la bola no disminuye por sí misma su m o v i m i e n t o , y por l o
Ahora bien, resueltas estas dificultades aparen-
prenderla como para
un espacio tanto mas grande cuanto mas unido y cunstancia demuestra que las asperezas mas ó m e -
L o mismo puede decirse d e ciertos cuerpos que
á las acciones
de moverse. Con todo, nótase q u e la hola recorre
admitirla
completamente.
un cuerpo impelido p o r una fuerza ex-
traña se halla animado de c i e r t o m o v i m i e n t o , sin que causa alguna lo m o d i f i q u e , necesariamente, siguiendo el principio establecido, debe describir una línea recta y u n i f o r m e en todas sus partes y en todos los tiempos iguales e n que se m i d a
y
compare. Efectivamente, l u e g o que se lanza una bola sobre uu plano p e r f e c t a m e n t e unido sigue siempre una línea recta, y n u n c a desviará de ella
tanto que la velocidad
de los cuerpos
no cambia
de
manera alguna por sí sola. Este mismo principio es api icable álos cuerpos que dan vueltas sobre un eje fijo, cuyo movimiento de rotacion conservará constante y perpetuamente, no oponiéndose las causas que lo i m p i d e n , como son el roce del eje sobre su punto de apoyo, la resistencia que encuentra en el aire y en los cuerpos que mueven. De aquí se infiere que para que un cuerpo se ponga en m o v i m i e n t o y pueda modificarlo en seguida, ó tomar otro diferente del que tenia antes, es absolutamente necesario una causa cualquiera que se llama fuerza.
si no se encuentra con un obstáculo que m o d i f i q u e la trayectoria. L o mismo sucede con la velocidad d e su m o v i m i e n t o ; y sin e m b a r g o hay repugnan-
II. De la fuerza motriz
cia en admitir la u n i f o r m i d a d d e él, m á x i m e notando en el ejemplo citado q u e la bola disminuye gradualmente el m o v i m i e n t o hasta que al fin cesa
52. DEFINICIÓN. — Fuerza motriz es la causa que i m p r i m e ó modifica los movimientos
de los cuer-
72
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
SEGUNDA PARTE. — CAPITULO I.
pos. Estas fuerzas ó causas son de diversas especies. Las hay graves magnéticas
y
ó de gravedad,
moleculares,
eléctricas,
presión
animadas.
73
ejemplo : U n cuerpo puesto sobre una mesa ejerce sobre ella, y el suspendido de una cuerda
determina la tirantez de la misma cuerda. 83. IDEM. — Las animadas son las que tienen los hombres y los animales, en las cuales se confunden todas las de esta clase bajo la significación de motores animados.
En el caso supuesto, la presión que el cuerpo hace sobre la mesa, y la tirantez que experimenta la cuerda, se llama peso, el cual no debe c o n f u n dirse con el general de gravedad
que tienen todos
los cuerpos de dirigirse hácia su centro, pues la palabra peso indica el efecto do la acción de esta
54. IDEM. — Las magnéticas
y eléctricas
son las
ley general.
q u e producen las atracciones y repulsiones que se notan en los fenómenos eléctricos y magnéticos
111- Medida de las fuerzas.
como las propiedades del imán, del diamante frotado contra un paño, etc.
53. InEM. — Las moleculares
57. MEDIDA DE LA FUERZA. — La aplicación, dison las propiedades
interiores que tienen algunos cuerpos de comprimirse y dilatarse. Estas, unas son atractivas repulsivas,
y otras
c o m o las que constituyen el principio
de la potencia de las máquinas de vapor.
rección é intensidad son los tres elementos que entran en la definición matemática de una fuerza. Cuando esta obra ejerce su acción sobre un cuerpo ó punto material que se llama punto
ó de gravedad
son las que
tienen todos los cuerpos de dirigirse á su centro. Todos los cuerpos están sometidos á su acción, como se observa en el movimiento del agua de los n o s y arroyos y cuando se lanza una piedra.
aplicación.
imprimirle un m o v i m i e n t o siguiendo una línea recta que se llama
56. IDEM. — Las graves
de
Si este está en quietud, la fuerza tiende siempre á dirección.
Para medir la intensidad
de una fuerza, no hay
necesidad de conocer su naturaleza. A s í , decimos que dos fuerzas son iguales
cuando aplicadas simul-
táneamente y en sentido contrario, á un mismo cuerpo ó punto material, no alteran su velocidad, ó
Debe tenerse presente que cuando una fuerza no
cuando aplicadas sucesivamente á un mismo cuerpo
produce su efecto, ó el movimiento del cuerpo su-
en quietud, durante el mismo intérvalo de tiempo,
jeto a su acción necesariamente ha de producir
le i m p r i m e n la misma velocidad. Por consiguiente,
una presión
la fuerza elástica del vapor
ó tirantez
según lo demuestra el siguiente
puede ser igual en 5
74
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
SEGUNDA PARTE. — CAPITULO I.
ciertos y determinados casos al esfuerzo muscular
enlazar el gancho destinado á suspender el cuerpo
de un hombre ó de un c a b a l l o , aunque estas fuer-
73
ó cuerpos cuyo peso desea saberse.
zas sean de diferente naturaleza. P o r fin, si dos, tres ó mas fuerzas i g u a l e s se aplican simultáneamente al mismo punto e n el m i s m o sentido, constituirán una fuerza d o b l e , triple, e t c . , de una de ellas. Las precedentes d e f i n i c i o n e s conducen i n m e d i a tamente á formar una n o c i o n exacta de la relación de dos fuerzas cualesquiera por medio d e una m e dida c o m ú n ; y si se t o m a una unidad de fuerza, la intensidad de cada f u e r z a será representada por el número que medirá l a relación de esta fuerza Fig. 10.
con la unidad tomada.
Fig. I I .
5 8 . COMPARACION DE L A S F U E R Z A S CON LOS PESOS.
A h o r a b i e n ; cuando se quiere hacer uso del e x -
— Para comparar las f u e r z a s á los p e s o s , se hace
presado instrumento, tómase por el anillo supe-
uso de los instrumentos llamados
rior, y se suspende un cuerpo cualquiera en el
dinamómetros.
gancho. Levantado en alto, se nota al punto que 59. ROMANA. — E l m a s sencillo de estos dina-
ambos extremos se aproximan, según se demuestra
mómetros, lo es sin d u d a alguna la romana llamada
en la
de comercio ( f i g . 10 y 11) ; compónese de una hoja
con cuerpos diversos, se advertirá que las extremi-
de acero flexible y c u r v a p o r el centro, q u e posee
dades del resorte se acercarán en proporcion del
figura
11. Repitiendo la misma operacion
cierta elasticidad. E n el brazo i n f e r i o r h a y fijo un
peso especifico de cada uno. Si los diferentes cuer-
arco de círculo , q u e d i v i d i d o en partes iguales
pos ejercen la misma acción en el instrumento, en
hácia su parte superior, pasa libremente por el
tal caso los pesos respectivos de todos estos cuer-
brazo de arriba, y r e m a t a en anillo. E n el extremo
pos son iguales entre si. Mas cuando se suspen-
del expresado brazo superior hay fijo otro arco que
den en el gancho dos cuerpos del mismo peso, el
pasa igualmente por l a abertura practicada en el
resorte cederá otro tanto mas de lo que cedia
inferior, y termina en o t r o anillo que sirve para
cuando se suspendía uno solo. Del mismo m o d o ,
76
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
SEGUNDA PARTE. -
el c u e r p o suspendido en el gancho q u e haga ceder el resorte una, dos, tres, etc., veces mas q u e otro de la m i s m a m a g n i t u d , es una señal incontestable de q u e t i e n e d o b l e , triple peso, etc.
CAPITULO I.
77
tada la cuerda se fija un c a b o en el anillo superior del dinamómetro ( q u e en este caso se coloca con ambos extremos hacia arriba y el ángulo agudo que f o r m a n hácia a b a j o ) , y el otro en el gancho q u e se hallaba antes en la parte i n f e r i o r , según puede no-
60. U N I D A D Y
COMPARACIÓN
DEL PESO.
— Gene-
tarse en la figura 12.
r a l m e n t e la unidad del peso, desde q u e se han e x p e r i m e n t a d o las ventajas del sistema métrico, es de g r a m o s , k i l ó g r a m o s y muchas veces de t o n e l a d a s , según lo e x i j a n la importancia del cuerpo ó cuerpos q u e han de pesarse. E l g r a m o , pues, es el peso de un centímetro cubo de agua pura, t o m a d o á la temperatura de su m a y o r densidad; el k i l ó g r a m o está evaluado á 1,000 gramos, y la tonelada á 1,000 k i l ó g r a m o s . A s í , es f á c i l concebir q u e los m i s m o s resortes n o sirven para pesar los cuerpos ténues, ligeros y p e s a d o s , y la necesidad de proporcionarlos á la m o l e de cada uno y á la resistencia que respectivam e n t e pueden ofrecer. Sin embargo, el principio
Fig. 12.
de la medida del peso de los cuerpos permanece s i e m p r e invariable, de tal m o d o , que aun la p r e sión y tirantez producida p o r una fuerza
C o m o se v e ó puede colegirse, la fuerza de trac-
dada,
ción ejercida en este i n s t r u m e n t o hará ceder el re-
puede asimilarse al peso de un cuerpo y evaluarse
sorte, y la tirantez de la cuerda será igual al peso
á k i l ó g r a m o s . Y h é aquí c o m o se ejecuta la opera-
del cuerpo, el cual estando suspendido al resorte
ción en el expresado d i n a m ó m e t r o .
l e haria ceder los m i s m o s grados. Calcúlase asimismo la fuerza por la importancia
61. EJEMPLO. — Supóngase que un caballo tira de una
cuerda
atada á una piedra de m o l i n o
de la presión ó tirantez q u e produce cuando ejerce
que
su acción en un cuerpo q u e debe quedar siempre
q u i e r e trasladarse de un punto á otro, y q u e c o r -
en el m i s m o sitio, y así es también c o m o la fuerza
78
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
que hace caer un cuerpo se m i d e p o r el peso del m i s m o , de la manera q u e l a tirantez de la cuerda marca la fuerza desplegada p o r el c a b a l l o en el precedente ejemplo. P o r c o n s e c u e n c i a , q u e d a d e m o s trado y establecido q u e todas las f u e r z a s pueden representarse por un n ú m e r o d e t e r m i n a d o de k i lógramos.
de tracción
que
e j e r c e la aplicada
al
instru-
mento. De suerte q u e si la de un k i l ó g r a m o aumenta la distancia de un m i l í m e t r o , la de
dos
kilogramos la aumentará de dos mas y así sucesivamente. 63. BALANZA ROMANA. — Esta romana es sumamente c ó m o d a por cuanto no exije el uso de pesos
recientemente
marcados. C o m p ó n e s e de una barra de hierro d i -
por el célebre é i n g e n i o s o P o n c e l e t es p r e f e r i b l e á
62. E l
vidida en líneas q u e indican cada una el número
los demás conocidos para h a c e r e x p e r i e n c i a s de las
de onzas, libras, arrobas y quintales algunas, sus-
fuerzas desplegadas en d i v e r s o s casos y c i r c u n s -
pendida por el p u n t o E, m o v i b l e al rededor de este
tancias.
DINAMÓMETRO
inventado
Representa, c o m o
se o b s e r v a
en la
fi-
gura 13, dos barras planas d e acero d e cuatro án-
gulos, unidas en ambos
e x t r e m o s p o r m e d i o de
Fig. 14.
dos pernos. E n la superior está fijo u n f u e r t e anillo, y en la inferior un g a n c h o ; el p u n t o céntrico de
punto, según puede notarse en la figura 14. En el
ambas barras se separan c o n r e l a c i ó n á la f u e r z a
punto M se halla dispuesto un gancho para sus-
80
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
pender el cuerpo que quiere pesarse, y otro anillo D unido á un peso F que puede moverse y colocarse
%
en una de las divisiones practicadas desde U fí. Una v e z suspendido el cuerpo P en el gancho, se retira el anillo D hasta que la romana quede horizontal. De
manera que
viendo equilibrados
el
cuerpo P y el peso F, ya no hay mas que contar
CAPITULO
la línea q u e hay desde el punto E hasta donde se
II
halla fijo el anillo D, y por ellas decir el peso total y exacto del cuerpo que acaba de pesarse.
Del efecto de una fuerza aplicada á un cuerpo aislado.
Esta balanza tiene dos anillos de suspensión según puede verse en la figura 14. El mas inmediato al punto M, sirve para pesar los cuerpos mas
1. Axioma, teorema y casos diversos.
pesados y voluminosos, y en este caso se vuelve el m e c a n i s m o , pues como se advierte, ambos anillos se hallan colocados en sentido contrario. Esta romana se hallaba generalmente en uso en el comercio, pero hoy se ha sustituido en muchos establecimientos industriales con la balanza de Quintenz,
c o m o se verá en la parte especial consa-
grada á las máquinas.
GO. AXIOMA. — El efecto cuerpo
es independiente
teriormente
por este
de una fuerza
del movimiento
sobre
adquirido
un an-
cuerpo.
Efectivamente, cuando una fuerza ejerce su acción sobre un cuerpo en quietud, le
comunica
cierto movimiento que depende de su intensidad y dirección. Si el cuerpo está en m o v i m i e n t o en el instante en que la fuerza influye sobre él, el m o vimiento adquirido anteriormente se compone con el que la fuerza le comunicaría si estuviera en quietud, y el m o v i m i e n t o resultante es el movimiento real del cuerpo al instante considerado. Cierto es que no puede demostrarse este principio á priori, posteriori,
pero admitido, se verifica siempre á
pues conduce á consecuencias notables,
acreditadas por la experiencia mas inconcusa. B.
80
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
pender el cuerpo que quiere pesarse, y otro anillo D unido á un peso F que puede moverse y colocarse
%
en una de las divisiones practicadas desde U fí. Una v e z suspendido el cuerpo P en el gancho, se retira el anillo D hasta que la romana quede horizontal. De
manera que
viendo equilibrados
el
cuerpo P y el peso F, ya no hay mas que contar
CAPITULO
la línea q u e hay desde el punto E hasta donde se
II
halla fijo el anillo D, y por ellas decir el peso total y exacto del cuerpo que acaba de pesarse.
Del efecto de una fuerza aplicada á un cuerpo aislado.
Esta balanza tiene dos anillos de suspensión según puede verse en la figura 14. El mas inmediato al punto M, sirve para pesar los cuerpos mas
1. Axioma, teorema y casos diversos.
pesados y voluminosos, y en este caso se vuelve el m e c a n i s m o , pues como se advierte, ambos anillos se hallan colocados en sentido contrario. Esta romana se hallaba generalmente en uso en el comercio, pero hoy se ha sustituido en muchos establecimientos industriales con la balanza de Quintenz,
c o m o se verá en la parte especial consa-
grada á las máquinas.
GO. AXIOMA. — El efecto cuerpo
es independiente
teriormente
por este
de una fuerza
del movimiento
sobre
adquirido
un an-
cuerpo.
Efectivamente, cuando una fuerza ejerce su acción sobre un cuerpo en quietud, le
comunica
cierto movimiento que depende de su intensidad y dirección. Si el cuerpo está en m o v i m i e n t o en el instante en que la fuerza influye sobre él, el m o vimiento adquirido anteriormente se compone con el que la fuerza le comunicaría si estuviera en quietud, y el m o v i m i e n t o resultante es el movimiento real del cuerpo al instante considerado. Cierto es que no puede demostrarse este principio á priori, posteriori,
pero admitido, se verifica siempre á
pues conduce á consecuencias notables,
acreditadas por la experiencia mas inconcusa. B.
81
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
SEGUNDA PARTE. — CAPITULO II.
66. Si esta fuerza aplicada al cuerpo conservara en todos los instantes del m o v i m i e n t o la misma intensidad y dirección, en este caso dicha fuerza se llamará constante, pues se d e n o m i n a n así todas las que, variando s o l o
de d i r e c c i ó n ,
inalterable su i n t e n s i d a d .
mantienen
De esta regla
puede
establecerse el s i g u i e n t e teorema.
83
tido de la fuerza, esta velocidad se compondría á cada instante con la que le comunicaba la fuerza, y como son ambas del m i s m o sentido, se aumentaría en términos que la velocidad
variable del
móvil, en el presente caso, crecería de las cantidades proporcionales á los tiempos. Y
aun así,
como se desprende de esta sencilla enunciación, el 67. TEOREMA. — Una fuerza acción sobre un cuerpo movimiento
rectilíneo
Esta verdad
libre
constante
y en quietud,
y uniformemente
se d e m u e s t r a
que ejerce le imprime
su un
acelerado. con
facilidad.
El
cuerpo adquiere en e l p r i m e r instante del tiempo AÍ una velocidad e l e m e n t a l AD, dirigida en el sentido de la misma fuerza. D u r a n t e el segundo instante At, el cuerpo conserva su velocidad adquirida AV
movimiento seria rectilíneo y uniformemente acelerado. Mas, si la fuerza fuese comunicada en sentido contrario de la velocidad, ejercería su acción como si el cuerpo sujeto á su influencia estuviera en quietud; pero como la velocidad que le comunica á cada instante es opuesta á la velocidad inicial, el movimiento rectilíneo será desde luego uniforme-
en virtud de la i n e r c i a , y adquiere otra i g u a l en el
mente retardado. E m p e r o , en todos los casos el mo-
mismo sentido, según e l axioma 6o, visto que la
vimiento es rectilíneo y uniformemente variado.
fuerza es constante e n g r a n d e z a y dirección. A s í
La aceleración en este es la velocidad comunicada
al fin del tiempo 2AÍ p o s e e el cuerpo una veloci-
por la fuerza al fin de la unidad del tiempo.
dad 2AU ; y siguiendo
á este paso al terminar el
tercer instante poseerá, en el m i s m o sentido, la
69. TEOREMA RECÍPROCO. — Si un cuerpo
velocidad 3AU; pues g e n e r a l m e n t e la v e l o c i d a d es
mado de un movimiento
proporcional al t i e m p o t r a n s c u r r i d o , y
dirigida
riado,
entonces
siempre en un m i s m o sentido. P o r consiguiente,
fuerza
constante,
el movimiento es r e c t i l í n e o y u n i f o r m e m e n t e ace-
este
lerado.
rectilíneo
se halla dirigida
sometido siguiendo
68. CASOS DIVERSOS. — Si el cuerpo estuviera ani-
va-
á la acción
de una
la recta misma
de
movimiento.
Fácil es demostrar esta verdad con los casos s i guientes : 1." El cuerpo
mado de la v e l o c i d a d i n i c i a l w„ d i r i g i d a en el sen-
es ani-
uniformemente
es solicitado por
una
fuerza; no siendo así, su movimiento seria uniforme según lo expuesto en el párrafo oO. 2." Esla fuerza tiene la misma
dirección
que el
movi-
84
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
SEGUNDA PARTE. -
m i e n t o ; de l o contrario produciría, en un instante dado, una velocidad dirigida como ella, y la cual componiéndose con la velocidad adquirida, modificaría
la dirección de esta última. 3." Esta fuerza
es constante; porque el movimiento siendo unif o r m e m e n t e variado, la velocidad variada de cantidades iguales, en tiempos iguales, y la fuerza que a
cada instante
M produce constantemente
misma variación de velocidad, no pueden
la
obrar
sobre el m ó v i l sino con una intensidad variable, la misma que si estuviera en quietud.
del m o v i m i e n t o , si este es acelerado, y en sentido contrario si es retardado.
cualquiera
jamás puede determinar
rectilíneo
y
uniforme,
el
propio peso del cuerpo obra con una fuerza constante, fuerza vertical, dirigida de arriba abajo, y cuya velocidad se ha calculado ser g=9«'
8088.
Y a se sabe que una fuerza ejerce su acción sobre un punto material puesto en movimiento de la misma manera que si estuviera en quietud, y por lo tanto
debe admitirse que la velocidad es la
misma en el movimiento ascendente como en el descendente, según queda indicado en el capíprácticamente con el auxilio d e la preciosa
y
si
un por
cierto, algunos hechos que presenciamos parecen que contradicen este principio, siempre es fácil reconocer en los mismos la resistencia de fuerzas opuestas que se destruyen.
má-
quina inventada al efecto por el muy célebre físico británico
Debo notarse, sin embargo, que la acción de una fuerza
8o
tulo I I I de la primera parte, y lo demostraremos
F i n a l m e n t e , la fuerza es dirigida en el sentido
movimiento
CAPITULO IL
mostración; pues no hay quien ignore que
Ativood.
Mas, como para medir las velocidades fuera necesario valerse de las oscilaciones pendulares, parécenos
conveniente el hablar antes
detallada-
mente del péndulo y de sus cualidades, á fin que, una vez conocido, podamos emplearlo en los casos que así lo requieran.
III. Del péndulo. U. Aplicaciones relativas á la gravedad de los cuerpos. 70. DEFINICIÓN. — U n cuerpo pesado de figura 70. Conforme l o acredita la experiencia y queda
esférica, por lo general suspendido al extremo in-
explicado en el párrafo 27, en el cual tratamos de los
ferior de un hilo de hierro ó de latón, y fijado el
movimientos de los cuerpos en el vacío, el m o v i -
superior verticalmente en un punto, es l o que se
miento de un cuerpo pesado que cae en el vacío
llama péndulo. El cuerpo C (figura 15) estará en
es uniformemente acelerado. Esto no necesita de-
equilibrio cuando el hilo permanezca en posicion
86
MANUAL DE M E C A N I C A
INDUSTRIAL.
SEGUNDA PARTE. -
vertical, pues en este caso su peso queda contrabalanzado por la t e n s i ó n ó tirantez •i
del
hilo. Mas, si el cuerpo C varía de posicion y se coloca según se demuestra en la
fi-
gura 16, desde este m o m e n t o se r o m p e el equilibrio, y el peso del cuerpo
se divide
en dos fuerzas diferentes, de 'las cuales una, la que se d i r i g e p o r donde el hilo se. O
prolonga, será destruida, quedando solo la
Fig. 15. q u e
Sigue
P e r P e i l ( l i c u l a r m e n t e al h i l o , por
cuanto esta tiende
siempre á volver
cuerpo al estado de e q u i l i b r i o q u e antes
al
tenia.
Así, puesto en movimiento e l cuerpo C, este no
CAPITULO II.
87
vez mayor hácia el punto C, donde, tan luego como llega, adquiere la rapidez proporcional á la altura vertical D C y sube, otra vez impelido por esta nueva fuerza, al punto A', situado al nivel del de A, del cual desciende inmediatamente para volver al punto A que acababa de dejar, para continuar el mismo movimiento hasta que no recobre el equilibrio. E n su marcha, el péndulo redobla sus oscilaciones entre los puntos A B y B A', de tal suerte que conservaría indefinidamente su m o v i miento, si ninguna causa viniera á modificarlo y extinguirlo. Estas causas son generalmente la resistencia del aire y las que ofrece siempre el punto de suspensión, pues cualquiera que sea el que se imagine y en que se ejecute la expresada suspen-
13
sión, la experiencia ha demostrado que el ángulo ABA',
llamado amplitud
de las oscilaciones, dis-
minuye gradualmente hasta que al cabo de algún tiempo el péndulo vuelve á su estado de equilibrio. 7 1 . D U R A C I Ó N DE L A OSCILACIÓN. — L l á m a s e
-P
du-
í
ración
c
que gasta el péndulo en ir de B A á B A'. P e r o
:
de una oscilación los instantes ó segundos
debe saberse que cuando la amplitud varía, varía también la duración del tiempo; con todo, si la
Fig. 16.
amplitud es pequeña, los cambios que experimenta saldrá de modo alguno de la línea circular que
no influyen de una manera sensible en la duración
tiene su centro en B y el r a d i o en BAO
hasta
de las oscilaciones. Mas para establecer, en m e c á -
mientras
nica raQional, la fórmula que patentize la duración
que quede otra vez en e q u i l i b r i o . P e r o no,
el
cuerpo
descenderá c o n
velocidad
cada
especialmente de las pequeñas oscilaciones de un
SEGUNDA PARTE.-CAPITULO II.
»9
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL. péndulo, es necesario suponer que el hilo no es pesado y q u e el cuerpo suspendido en él se reduce á un punto material, es decir, es menester suponer un péndulo ideal que se llama péndulo
cuyo
simple,
hilo no debe ser mas largo que la letra l, que es la f ó r m u l a empleada para designar la longitud del m i s m o ; pues no siendo así, y por ténues y ligeros que sean el hilo y el cuerpo de un péndulo, si este excede de la letra l y a no será péndulo
simple
ó ideal,
así como no l o son los que regularizan el m o v i miento de los relojes que son péndulos compuestos.
cantidad imperceptible del punto de suspensión al centro de la bala. P o r consiguiente, cuando haya uno de servirse de la fórmula que da la duración de una oscilación pequeña, como se verá en el siguiente ejemplo, entonces deberá adoptarse esta distancia por la longitud del péndulo según lo enseña la mecánica racional. De modo que si se desea saber con exactitud la duración de una oscilación pendular grande ó pequeña, es necesario contar el número de las que efectúa el péndulo en sesenta segundos y d i v i d i r el guarismo 60 por el número de oscilaciones contadas; pero si se determina para mayor precisión el valor del péndulo simple equi-
En los péndulos compuestos, todas sus moléculas
valente, fácilmente se encontrará, con asombrosa
oscilan de la misma manera, y todas las oscila-
exactitud, el v a l o r que se busca, c o m o puede verse
ciones duran el mismo tiempo. P e r o si fuera dable
por las siguientes demostraciones.
el hacer péndulos con estas moléculas separadas de manera que cada una oscilase aisladamente, en este caso al paso que se formarían tantos
73. LONGITUD
DEL
PÉNDULO.
-
Designemos desde
péndulos
luego por l la longitud del péndulo que expresa-
c o m o moléculas tuviese, resultaría que la
remos por metros; por * l a relación de la circun-
duración de las oscilaciones variarían en propor-
ferencia de un círculo con su diámetro, que puede
cion de la diversa distancia que m e d i e entre m o -
ser igual á 3 •, ó con m a y o r exactitud á n
simples
lécula y molécula, la cual se denomina longitud péndulo;
del
la de los simples es equivalente á la de los
compuestos respecto á la duración de las oscilaciones.
3
por g,
el guarismo 9,8088, y por t la duración de una oscilación pequeña expresada con segundos. Adoptada esta regla nos dará, aplicándola con escrupulosa precisión, la duración de una oscilación pequeña, según demuestra la fórmula que á conti-
72. OBSERVACIÓN. — Cuando un péndulo se forma d e una bala y de un hilo terso, la longitud del péndulo simple, que como dejamos dicho es equivalente á la del compuesto, solo dista de
una
nuación se e x p r e s a :
.
MANUAL DE M E C A N I C A
INDUSTRIAL.
74. SIGNIFICACIÓN DE LA FÓRMULA. -
Dicha fór-
mula demuestra que si la l o n g i t u d del péndulo v a ria t a m b i é n , según ya lo d e j a m o s expuesto, la duración de las oscilaciones v a r í a
como la raíz
cuadrada de esta l o n g i t u d ; d e s u e r t e que para tener péndulos cuyas duraciones oscilatorias sean entre s í como los guarismos 1, 2, 3, es indispensable darles longitudes proporcionadas á los n ú m e ros 1, 4, 9.
SEGUNDA P A R T E . -
CAPITULO II.
91
Mientras que el péndulo mas pequeño habrá hecho una oscilación completa, el grande hará media
solamente ( f i g . 17); y cuando este haya
acabado su oscilación, el otro volverá al punto d e salida ( f i g . 18). L u e g o que el péndulo mayor h a brá hecho media oscilación en dirección opuesta, el pequeño concluirá la tercera ( f i g . 19). Ultimamente, cuando aquel haya regresado á su primera posición, este se hallará igualmente de vuelta, de manera que se encontrarán otra vez como lo esta-
75. APLICACIÓN DE ESTA LEY. — Esta ley se aplicara del modo siguiente. T o m a r a n s e dos péndulos,
ban en el acto de ponerse en m o v i m i e n t o ( f i g . 20). Por consecuencia, el péndulo pequeño ejecuta dos
cuidando d e q u e el uno sea cuatro veces mas corto
oscilaciones mientras
que el otro, y se suspenderá el p r i m e r o detras del
sola.
segundo en dos puntos situados e n la misma línea horizontal. Poniendo en m o v i m i e n t o por un mismo ado y con igual cantidad de f u e r z a ambos péndulos, tomarán sucesivamente las p o s i c i o n e s relaüvas que representan las figuras 1 7 , 1 8 , 19, 20.
que el grande hace
una
En segundo lugar, si se adopta la fórmula precedente, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad y se resuelve luego con relación á g. Resultará que es
lo cual enseñará la manera de calcular el valor de « í y t. Así es como se ha podido encontrar que g es igual á 9 metros 8008 según queda expresado anteriormente.
76. OBSERVACIÓN. — Además, si se desea saber la - i 17.
Fig. 18.
1
longitud de un péndulo de una oscilación por se-
o
F i g . 19.
F i g . 20.
gundo, podrá adoptarse la misma fórmula, pero bajo la forma expresada á continuación,
porque
SEGUNDA P A R T E . de este m o d o sirve para encontrar la longitud de los de oscilaciones ya conocidas
CAPITULO II.
IV. Máquina de Atwood.
77. El distinguido físico británico, con el fin de pero en esta operacion deberá substituirse t conl
w
con g ,
y
se
hallará 0 metro 99^
por la longitud que se busca. Esta longitud de-
observar y precisar las leyes de la caida de los cuerpos, ha inventado una máquina q u e hadejado atras el plan inclinado de Galileo, de que hablaremos en la parte I V de este MANUAL.
berá anotarse para servirse de ella cuando la ne-
Consiste esta en el conjunto de partes que se
cesidad l o e x i j a . E n efecto, en cualquiera circuns-
notan en la fig. 21 q u e la representa. U n cordon
tancia y en cualquier punto que el hombre se halle
de seda m u y terso pasa por el orificio de la polea
es fácil d e hacer un péndulo cuya distancia, desde
sumamente m ó v i l que se ve en la parte superior
el punto d e suspensión al centro del cuerpo ó bola
de la m á q u i n a ; esta polea mantiene dos cuerpos
sea de 0 metro, 994. Las oscilaciones de este peni
iguales en peso y magnitud, aunque la identidad
u n a vez
Puest0 ^
movimiento, faciütarán el
medio de medir con exactitud la duración de un fenómeno, siempre que dicha duración no sea demasiado larga. Si, p o r ejemplo, se desea saber el número d e segundos que una piedra emplea para caer desde el orificio de un pozo hasta su fondo, con el fin de medir la profundidad del m i s m o , entonces se ejecutará la operacion según queda expresado. Mas si hubiera necesidad, en ciertos* y determinados casos, de un péndulo que produzca
en la magnitud no sea rigurosamente necesario, como en efecto no la es. Débese la movilidad extremada de la polea á que su eje descansa sobre la circunferencia de cuatro ruedas colocadas dos delante y dos atras, y c o m o tienen el mismo peso los dos cuerpos ligados á los extremos del cordon de seda, la polea queda i n m ó v i l por causa del equilibrio de las fuerzas q u e influyen sobre ella. Mas tan luego como se r o m p e el equilibrio, el cordon, puesto en m o v i m i e n t o , hará dar vueltas á la polea.
cada una de sus oscilaciones en medio segundo, al efecto no hay mas que disminuir la longitud, y dejarla cuatro veces mas pequeña, esto es,
d
78. DEMOSTRACIÓN. — Supongamos, por ejemplo, á fin de comprender la funciones de la máquina y de poder fijar, por consecuencia, nuestras ideas, que los dos cuerpos suspendidos pesan cada uno
SEGÜNDA P A R T E . — C A P I T U L O I I .
93
cuatro gramos y que el peso añadido para p r o d u cir el movimiento le sea d e uno. Como las fuerzas de los dos primeros cuerpos se neutralizan siempre, ora estén en estado de m o v i m i e n t o , ora en el de equilibrio, resulta q u e la fuerza de un gramo produce solamente el m o v i m i e n t o de los tres cuerpos que pesan reunidos nueve gramos. En este caso, pues, se ve que el m o v i m i e n t o determinado es el mismo que tendrían los tres cuerpos, cayendo libremente, y que la intensidad se ha hecho nueve stifti
re ^ü'iir--
veces mas pequeña. Empero, si los pesos d e los dos cuerpos, suspendidos á los extremos del cordon, fueran cada uno de treinta y nueve y m e d i o gramos y que el a d i cional
tuviera
siempre
uno,
se observaría
así
mismo que el m o v i m i e n t o producido seria igual al de los tres cuerpos cayendo libremente, y que la intensidad de la gravedad se habia hecho ochenta veces mas pequeña. Para observar mejor las leyes que rigen el m o vimiento producido por el gramo añadido, ó por el peso adicional, se ha puesto al lado de la línea descrita por uno de los cuerpos q u e descienden, una regla vertical dividida por centímetros con abrazaderas ó correderas que pueden fijarse en cualesquiera de sus puntos por medio de un tornillo de presión. La representada en la figura 22 tiene un disco destinado á
contener
el m o v i m i e n t o del
cuerpo que desciende. L a otra, representada por la figura 23, lleva un anillo para dejar paso al e x F.g
96
M A N U A L DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
presado cuerpo y contener á la vez el peso adicio-
perimento, sin necesidad de mirar el reloj. Es su-
n a l ; este presenta en el centro una pequeña aber-
mamente esencial que los cuerpos suspendidos se
tura esférica y una hendidura lateral por donde se
pongan en m o v i m i e n t o exactamente cuando principia un segundo, y al efecto esta especie de reloj se ha dispuesto d e manera que él mismo determine el principio del m o v i m i e n t o . Hé aquí como : El cuerpo que lleva el peso adicional, y que en su descenso
debe seguir por lo largo de la regla di-
vidida por centímetros, se halla sostenido por un resorte ó dedo metálico, el cual, m o v i b l e al rededor de un eje horizontal, está sujeto debajo del cuerpo por una reunión d e barritas de acero ó de metal. Pero tan luego c o m o el minutero llega al F ' g . 22.
punto de la esfera que está verticalmente debajo
Fig. 23.
de su centro, el dedo metálico desciende bruscamente y determina el m o v i m i e n t o del cuerpo. El cero de la regla dividida en centímetros debe estar
I l L
p°ner,° « * » - o
cuand0 se qi,iere
al nivel de la parte inferior del cuerpo, cuando este
ded^cho dos cuerpos, según lo demuestra la fig. 22,
descansa sobre el dedo metálico. Sin esta precau-
donde el cuerpo y el peso adiciona, se mueven
ción la observación no seria cómoda ni entera-
e Z Z nriucinn movirrn ftftnl
L
mente exacta.
^
r
r
, 21)
m
r
S
V
a
^
Para m d (ng
C
CUerP°
y
m
o
s
anÜ1
°
01
i5CS°
cuerpo a P 0 F d G n t r 0 d e 61 c ° n t i n u a n d o u pero el peso adicional se para y des61
23>'
^
sobre ios
V. Manera de servirse d e la máquina de A l w o o d .
^
el üempo, se ha añadido á la máquina
78. Colócase la abrazadera del disco plano de
mecanismo de relojería que recorre
modo que su frente superior esté exactamente diez
un
ruilcTatvt ^ ^ c a d a ^ n o co^
6 D UI1
~
^ al
»
^ *
q U e P U G d a n c ° n t a r s e con facilidad lo-, L ! A acuidad 1 0 S segundos que se gastan durante el ex-
y seis centímetros bajo cero de la regla dividida (fig. 24), para poder así observar las líneas recorridas por los cuerpos durante un segundo, dos,
6
98
MANUAL DE M E C A N I C A INDUSTRIAL,
tres, etc., desde que p r i n c i p a r o n á moverse, cosa que debe preceder todos l o s experimentos que quie-
En el expresado capítulo explicamos
que el movimiento uniforme es la velocidad i n v a -
ran hacerse. Despues se g r a d ú a ó busca cual debe ser la suma del peso a d i c i o n a l para que el cuerpo sostenido por el dedo m e t á l i c o recorra, en un segundo, los 20 centímetros marcados. P a r a que asi suceda, es necesario q u e e l cuerpo puesto en movimiento al principio d e u n segundo choque contra el disco al c o m e n z a r
el segundo
siguiente.
A c t o continuo se corre l a abrazadera hasta colocarla á 80 centímetros b a j o cero ( f i g . 2o), y se notará que el cuerpo m o v i d o otra v e z por el mismo peso adicional
gasta
dos
segundos para llegar
desde el punto de salida hasta donde lo para el disco : bájese este aun hasta un metro
ochenta
centímetros bajo del c e r o ( f i g . 26), y se observará igualmente que el cuerpo ha consumido tres segundos para recorrer esta ú l t i m a distancia. De estos experimentos
se infiere : Que en un
segundo, 1, el cuerpo r e c o r r e 0
m,
20; que en dos
segundos, 2, el el cuerpo r e c o r r e 0 m , 80; y que en tres segundos, 3, el cuerpo recorre 1 m , 80, esto es, nueve, 9, veces mas. A s í pues, vemos c o m p r o b a d o cuanto queda dicho respecto del m o v i m i e n t o v a r i a d o , habiendo establecido que los espacios
recorridos no son
iguales á los tiempos c o n s u m i d o s para recorrerlos, y que el m o v i m i e n t o d e l cuerpo, cayendo en el vacío, es el mejor e j e m p l o q u e puede adoptarse para demostrar esta v e r d a d .
también
Fig. 24.
Fig. 25.
Fig. 26.
100
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
riable que lleva un cuerpo desde el punto de salida hasta el de parada. La máquina de Atwood nos servirá igualmente para elucidar esta definición.
SECUNDA P A R T E . -
CAPITULO I I .
101
zadera que lleva el anillo para dar paso al cuerpo y contener el peso adicional tan luego como el cuerpo que baja ha recorrido la distancia de 20 centímetros, y se colocará el disco plano de manera que la superficie ó frente superior quede al nivel
79. EJEMPLO. — Puestos en movimiento los dos
de 80 centímetros del coro, según lo demuestra la
cuerpos sujetos á los extremos del cordon de seda
figura 27. En seguida, poniendo en movimiento d i -
por el peso adicional, veráse que la acción de este
chos cuerpos por medio del dedo metálico antes
dicho peso acelera constantemente el movimiento. Pero si el cuerpo que desciende cargado del peso adicional, encuentra el anillo fijo en la abrazadera, resultará que el peso adicional quedará descansando en sus bordes mientras que el cuerpo lo atravesará para continuar su movimiento, según lo demuestra la figura 23. Desde el momento pues que el peso adicional abandona la posicion que tenia para mover los dos cuerpos, estos ya no continúan sus movimientos sino en virtud de la velocidad antes adquirida, y por lo tanto, como ambos cuerpos se hacen equilibrio recíprocamente, resulta que el movimiento, de acelerado que era, se hace uniforme; esta uniformidad de movimiento continuaría indefinidamente mientras otra fuerza no intervenga para modificarlo. Mas, si se quiere comprobar la uniformidad del movimiento, habrá
descrito, se observará que al cabo de un segundo se para el punto adicional, y que transcurridos dos segundos el cuerpo, que ha continuado su descenso, se fija en el disco plano colocado al nivel de 80 centímetros bajo del cero de la regla dividida. Si aun se desea continuar la experiencia, en este caso se bajará el disco 40 centímetros mas (fig.28) y se observará asimismo que se gasta un segundo desde el principio del movimiento hasta que el peso adicional se para en el anillo, y que el cuerpo que pasa por dicho anillo consume dos segundos desde este al disco plano. Pero el cuerpo recorre en el primero 40 centímetros y en el segundo 80 despues que desciende por la velocidad adquirida solamente.
de procederse de la manera siguiente. 81.
80. COMPROBACION. — Se tomarán los mismos dos cuerpos y peso adicional que sirvieron para hacer la precedente experiencia, se fijará la abra-
MANERA
DE
CALCULAR
LA
VELOCIDAD.
—
Cuando quiere saberse la velocidad con que baja el cuerpo bajo la acción del peso adicional durante uno ó mas segundos, se colocarán los discos de tal modo, que el peso adicional se paro en los bordes e.
SEGUNDA P A U T E . -
CAPITULO II.
103
del anillo a l c a b o d e u n s e g u n d o , d o s , tres, etc., según los grados que quieran observarse, y hecho
Fig. 29.
F'g. 30.
104
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL,
así, fijar con precisión el espacio recorrido en un segundo desde que ei movimiento se hizo uni-
VI. Leyes que rigen los movimientos.
forme. Mas, para mayor claridad consignaremos á continuación la manera de hacer la experiencia.
83. L E Y E S DE ESTOS MOVIMIENTOS. — 1 . A L o s e s -
pacios recorridos por un cuerpo que cae libremente bajo la acción de la gravedad, y medidos desde el
82. EJEMPLO. — Colocaráse el anillo á 20 centí-
punto de salida hasta el de llegada, son entre sí
metros del cero y el disco á 00 (fig. 29), y puestos
como los cuadrados de los tiempos invertidos por
los cuerpos en movimiento, el peso adicional se
el cuerpo para recorrerlos.
parará al cabo de un segundo en el anillo y el
2.a La velocidad adquirida en un instante dado
cuerpo al cabo de dos en el disco plano. De este
por un cuerpo que cae libremente bajo la acción
modo se verá que la velocidad adquirida durante
de su gravedad, es proporcional al tiempo gastado
un segundo de descenso es de 40 centímetros por
desde el principio del movimiento.
segundo. Bajaráse á 80 centímetros y el disco
3.* La velocidad de un cuerpo descendiendo ó
á ICO (fig. 30), y en seguida se notará que el peso
cayendo de arriba abajo, al cabo de un segundo, es
adicional se fija en el anillo del disco superior al
dobl • del espacio recorrido durante dicho segundo.
fin de dos segundos, y que un segundo despues,
Las leyes encontradas con el auxilio de la má-
esto es, en tres segundos, el cuerpo descansará en
quina del célebre físico inglés, según indicamos
el disco plano. Por consiguiente, la velocidad ad-
antes, podrán determinarse por medio de fórmu-
quirida despues de dos segundos de caida es de
las algebráicas que son siempre de la mayor sen-
80 centímetros por segundo. La proporcion, pues,
cillez y de un uso muy frecuente. Mas debemos
que se observa entre los tiempos transcurridos y
advertir que ninguna de las fórmulas adoptadas
la velocidad adquirida durante los mismos tiem-
pueden compararse á la del péndulo, cuya exacti-
pos que llevan los cuerpos, que bajan ya sea de
tud nada deja que desear.
esta ó de otra naturaleza, se llama formemente
movimiento
uni-
acelerado.
De todo lo expuesto en el presente capítulo se deducen las siguientes leyes.
VII. Movimiento de los cuerpos de abajo arriba. 84. AXIOMA. — Cuando un cuerpo se lanza verticalmente de abajo arriba, sube hasta una elevación mas ó menos grande según la fuerza de impulsión que se le comunica. La velocidad imprimida se
>06
M A N U A L DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
disminuye á medida que se eleva, hasta que extinguida
enteramente se para el c u e r p o , el cual
v u e l v e á bajar siguiendo la misma v i a ; pero en su descenso la velocidad se aumenta progresivamente
SEGUNDA P A R T E . - C A P I T U L O I I .
107
de bajo arriba. Sin embargo, los dos cuerpos se mueven en el mismo sentido hasta que la resis-
de manera que cuando pasa por el punto de donde salió antes, recobra la misma velocidad que se le comunicó en el momento en que f u é puesto en m o v i m i e n t o . Demostrémoslo con el auxilio de la máquina d e A l w o o d .
83. EJEMPLO. — A l efecto, supongamos que la regla dividida de la máquina expresada tiene las dos abrazaderas movibles con un anillo cada una, colocados de tal naturaleza que los cuerpos suspendidos en los cabos del cordon de seda pasen el uno p o r el anillo superior y el otro por el inferior ( f i g . 31 y 32). Con el fin de poner en movimiento ambos cuerpos, se colocará el peso adicional sobre el cuerpo de la derecha, que descenderá por la acción de dicho peso adicional ( f i g 3 1 ) ; á la vez el otro cuerpo sube, y tan luego como el primero entra por su anillo y abandona su peso adicional, el segundo toma otro exactamente igual que se hallaba preparado anticipadamente en el anülo izquierdo (fig. 32). En virtud de la velocidad adquirida, el m o v i m i e n t o c o n t i n ú a ; pero no ya como antes, pues mientras que se aceleraba bajo la acción del primer peso adicional, se disminuye cada vez mas b a j o la acción del segundo que se encuentra en la misma condicion que un cuerpo lanzado
tencia que opone el segundo peso adicional destruya completamente la velocidad. Sucedido esto, los cuerpos, al cabo de algunos momentos de quie-
108
M A N U A L DE M E C A N I C A
INDUSTRIAL,
tud, emprenden nuevo m o v i m i e n t o , pero en tido inverso. E l
de la i z q u i e r d a b a j a
sen-
acelerada-
m e n t e y a b a n d o n a su peso a d i c i o n a l s o b r e el a n i l l o q u e a t r a v i e s a ; el de l a d e r e c h a v u e l v e á t o m a r al m i s m o t i e m p o e l q u e h a b i a a b a n d o n a d o antes, y el m o v i m i e n t o se d i s m i n u y e n u e v a m e n t e p a r a v o l v e r
CAPITULO
III
á m o v e r s e en sentido i n v e r s o , y así s u c e s i v a m e n t e h a s t a q u e se c o n c l u y a ó i n t e r r u m p a la o p e r a c i o n .
86. OBSERVACIÓN. — queda
el
peso
Cuando
en
su
adicional abandonado
descenso sobro
De los efectos de muchas fuerzas dirigidas sobre un cuerpo aislado.
su
a n i l l o r e s p e c t i v o , posee l a v e l o c i d a d p r o d u c i d a p o r L Axioma experimental.
la a c c i ó n d e la g r a v e d a d d e su p r o p i o peso desde que
principió
su
movimiento.
Mas, al
mismo
t i e m p o el c u e r p o de la i z q u i e r d a sube c o n
igual
v e l o c i d a d , se a m p a r a del otro peso a d i c i o n a l y l e c o m u n i c a i n s t a n t á n e a m e n t e la m i s m a v e l o c i d a d . E s t e s e g u n d o peso a d i c i o n a l se halla p u e s l a n z a d o d e a b a j o a r r i b a c o n la v e l o c i d a d q u e e l
primero
habia adquirido cayendo.
87. A X I O M A . — L a a c c i ó n d e una f u e r z a sobre un p u n t o m a t e r i a l aislado es i n d e p e n d i e n t e de la a c ción s i m u l t á n e a
de otra f u e r z a s o b r e el
mismo
cuerpo. Esta
verdad
incontestable
se
deduce
ya
de
cuanto d e j a m o s e x p l i c a d o e n la p r i m e r a parte, y
N o t á s e q u e la altura á q u e se e l e v a el s e g u n d o ,
c a p í t u l o s p r i m e r o y s e g u n d o d e la p r e s e n t e , y d e -
en v i r t u d de la v e l o c i d a d q u e l e ha c o m u n i c a d o l a
b e r í a m o s , p o r l o t a n t o , o m i t i r este c a p í t u l o y d e -
f u e r z a i m p u l s i v a , es i g u a l á la q u e tenia el p r i -
j a r , para c u a n d o t r a t e m o s d e su a p l i c a c i ó n á las
m e r o c u a n d o b a j a b a á su centro. A s í , l u e g o q u e el
m á q u i n a s , las t e o r í a s q u e e n él a b r a z a m o s . E m -
segundo
peso, q u e se e n c u e n t r a en
las m i s m a s
c o n d i c i o n e s q u e el o t r o , habrá d e s c e n d i d o d e su e l e v a c i ó n , tendrá de ariba a b a j o la m i s m a v e l o c i dad q u e tenia el otro al p r i n c i p i a r su d e a b a j o á arriba.
movimiento
pero , creyendo
que
su o m i s i o n d e j a r í a
abierta
una l a g u n a q u e d a ñ a r í a á l a p e r f e c t a c l a r i d a d y al método que precedente
hemos adoptado, desenvolvemos axioma,
q u e se m i r a m u c h a s
el
veces
c o m o una c o n s e c u e n c i a del c o n s i g n a d o e n e l p á r rafo 6 o . Sin e m b a r g o , n o p u e d e n e g a r s e su n o t a b l e 7
108
M A N U A L DE M E C A N I C A
INDUSTRIAL,
tud, emprenden nuevo m o v i m i e n t o , pero en tido inverso. E l
de la i z q u i e r d a b a j a
sen-
acelerada-
m e n t e y a b a n d o n a su peso a d i c i o n a l s o b r e el a n i l l o q u e a t r a v i e s a ; el de l a d e r e c h a v u e l v e á t o m a r al m i s m o t i e m p o e l q u e h a b i a a b a n d o n a d o antes, y el m o v i m i e n t o se d i s m i n u y e n u e v a m e n t e p a r a v o l v e r
CAPITULO
III
á m o v e r s e en sentido i n v e r s o , y así s u c e s i v a m e n t e h a s t a q u e se c o n c l u y a ó i n t e r r u m p a la o p e r a c i o n .
86. OBSERVACIÓN. — queda
el
peso
Cuando
en
su
adicional abandonado
descenso sobro
De los efectos de muchas fuerzas dirigidas sobre un cuerpo aislado.
su
a n i l l o r e s p e c t i v o , posee l a v e l o c i d a d p r o d u c i d a p o r L Axioma experimental.
la a c c i ó n d e la g r a v e d a d d e su p r o p i o peso desde que
principió
su
movimiento.
Mas, al
mismo
t i e m p o el c u e r p o de la i z q u i e r d a sube c o n
igual
v e l o c i d a d , se a m p a r a del otro peso a d i c i o n a l y l e c o m u n i c a i n s t a n t á n e a m e n t e la m i s m a v e l o c i d a d . E s t e s e g u n d o peso a d i c i o n a l se halla p u e s l a n z a d o d e a b a j o a r r i b a c o n la v e l o c i d a d q u e e l
primero
habia adquirido cayendo.
87. A X I O M A . — L a a c c i ó n d e una f u e r z a sobre un p u n t o m a t e r i a l aislado es i n d e p e n d i e n t e de la a c ción s i m u l t á n e a
de otra f u e r z a s o b r e el
mismo
cuerpo. Esta
verdad
incontestable
se
deduce
ya
de
cuanto d e j a m o s e x p l i c a d o e n la p r i m e r a parte, y
N o t á s e q u e la altura á q u e se e l e v a el s e g u n d o ,
c a p í t u l o s p r i m e r o y s e g u n d o d e la p r e s e n t e , y d e -
en v i r t u d de la v e l o c i d a d q u e l e ha c o m u n i c a d o l a
b e r í a m o s , p o r l o t a n t o , o m i t i r este c a p í t u l o y d e -
f u e r z a i m p u l s i v a , es i g u a l á la q u e tenia el p r i -
j a r , para c u a n d o t r a t e m o s d e su a p l i c a c i ó n á las
m e r o c u a n d o b a j a b a á su centro. A s í , l u e g o q u e el
m á q u i n a s , las t e o r í a s q u e e n él a b r a z a m o s . E m -
segundo
peso, q u e se e n c u e n t r a en
las m i s m a s
c o n d i c i o n e s q u e el o t r o , habrá d e s c e n d i d o d e su e l e v a c i ó n , tendrá de ariba a b a j o la m i s m a v e l o c i dad q u e tenia el otro al p r i n c i p i a r su d e a b a j o á arriba.
movimiento
pero , creyendo
que
su o m i s i o n d e j a r í a
abierta
una l a g u n a q u e d a ñ a r í a á l a p e r f e c t a c l a r i d a d y al método que precedente
hemos adoptado, desenvolvemos axioma,
q u e se m i r a m u c h a s
el
veces
c o m o una c o n s e c u e n c i a del c o n s i g n a d o e n e l p á r rafo 6 o . Sin e m b a r g o , n o p u e d e n e g a r s e su n o t a b l e 7
lio
SEGUNDA P A R T E . -
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
C A P I T U L O 111.
i 1»
el
saliendo del estado de quietud, ó ya estando ani-
primero solo se trata del m o v i m i e n t o adquirido
mado de una velocidad inicial de la misma direc-
por el cuerpo ó punto material, en
ción que la fuerza, son entre sí como las acelera-
diferencia. E f e c t i v a m e n t e , anteriormente
mientras
que en
este, por el contrario, se trata d e un m o v i m i e n t o modificado actualmente
por una fuerza ; pues aun
ciones que producen. En
c o m p r o b a c i o n , supongamos
dos
fuerzas
cuando en aquel hemos admitido la independen-
constantes F y F y las aceleraciones que produ-
cia, no es evidente, con todo, q u e el efecto de una
cen -Í, i y que entre dichas fuerzas existe la m e -
fuerza que ejerce su acción sobre un cuerpo sea
dida común
independiente de este último estado en q u e se
F F = n < ? , F'=ri
encuentra por l o tanto el expresado cuerpo. Kadie, por cierto, puede n e g a r que hay numerosos casos en que muchas fuerzas ejercen su acción simultánea sobre un m i s m o p u n t o ó cuerpo. Pues b i e n ; si esto es incontestable, t a m b i é n lo es que si cada una obrase separadamente produciría cierto efecto, y el cuerpo, en su v i r t u d , recibiría el m o v i m i e n t o que produjera cada i m p u l s i ó n aislada. Es verdad que el m o v i m i e n t o real no se evidencia, como tampoco los de estos movimientos s i m p l e s ; empero, se admite como principio
Supongamos además, en virtud del precedente axioma, que $ es la aceleración producida por la fuerza 9; así, aplicando al cuerpo n fuerzas 9 en el mismo sentido, producirán n aceleraciones i n d e pendientes, siendo cada una de eUas igual á
n ' e p = F producirá la aceleración n ' * ; todo l o cual dará por resultado
experimental,
T
11. Proporción de las fuerzas constantes y de las aceleraciones. 88. TEOREMA.. — Dos fuerzas constantes aplicadas sucesivamente á un m i s m o punto material, ya
=
Y = «'
rF i* Concluyendo, por fin, de las igualdades 7 5 = 7 7
una aceleración independiente, esto e s , que su presa el axioma que explicamos.
y
la aceleración total n f P o r consiguiente, la fuerza
que cada una de las fuerzas i m p r i m e al cuerpo efecto es el mismo que si obrase sola, según e x -
n
tp, y por lo tanto
v J
-1==-^ esta tercera fórmula n y r = i Razonamiento que subsistirá siempre por mas
pequeña que sea la medida común o. Por consecuencia, esta tercera fórmula debe
considerarse
c o m o la general de todas las operaciones de esta clase. De l o que precede se deducen las dos proposiciones siguientes. 89. PROPOSICION. — El cuociente que mide una
CAPITULO
IV
fuerza constante aplicada á un punto material, dividido por el que mide la aceleración que le imprime, es un número constante é igual al cuociente del peso de este cuerpo ó punto material dividido
De la masa de los cuerpos.
por g. Esto sucede cuando se da el caso en que una de las fuerzas es el peso mismo del cuerpo. En su
I. Demostración de la masa.
virtud, supongamos dicho peso p, y g la aceleración correspondiente, y resultará al tenor del anterior teorema ó P material
Demostrando la proposicion
del
9'
tante para un mismo punto material, cualesquiera
£=£. *l
que sean los lugares donde se haga la observación.
9
90. SEGUNDA PROPOSICION. — La relación del punto
92. MASA. —
párrafo 90 se ha dicho que la relación jj es cons-
o del cuerpo
respondiente,
es un número
gares de la
tierra.
del peso
con la aceleración
constante
Pues bien, esta relación es lo que se llama masa de
cor-
un punto material. L a masa es una cualidad inhe-
para todos los lu-
rente á un punto material, la cual, designándola con m, nos dará según el párrafo 89
91. DEMOSTRACIÓN. — Si se transporta el mismo cuerpo á olro lugar cualquiera del globo en que el peso es p' y la aceleración g', nos dará por lo tanto
pudiendo decirse de aquí, que el cuociente del
la siguiente f ó r m u l a :
peso de un cuerpo por el número g es lo que se £ =
9
P' 9"
llama la masa de este m i s m o cuerpo, y que la fuerza capaz de dar cierta aceleración á un cuerpo, ejerciendo su acción sobre el durante un segundo
\
ó un tiempo dado, es igual al producto de la masa
114
SEGUNDA P A R T E . -
M A N U A L DF. M E C A N I C A I N D U S T R I A L ,
del cuerpo por la v e l o c i d a d que debe
comuni-
carle. De ahí resulta que cuanto mas grande es la masa de un cuerpo, tanto m a y o r debe ser la fuerza que deberá comunicarle una v e l o c i d a d dada, y pequeña la velocidad que l e comunicará esta fuerza dada. palabra maso, en m e c á n i c a , es la misma que la que se le da comunmente, pues se dice q u e u n cuerpo es mas ó menos m a s i v o según que su m o l e es mas ó menos grande, c o m o se verá en el transcurso de este capítulo.
cuando las fuerzas
que los solicitan son proporcionales al m o v i m i e n t o q u e imprimen. De m o d o q u e si se reúnen estos dos puntos con el pensamiento se obtiene masa
doble.
es, dividiendo la cantidad que designa su peso, evaluado á kilogramos por la letra g=994. OBSERVACIÓN. -
8088.
Empero, como 9 E* cons-
tante en un mismo lugar, se v e por la fórmula pos son proporcionales al peso de los mismos. Pollo tanto, la nocion de la masa está unida á la cantidad de la materia que un cuerpo contiene. Mas, como la masa de un cuerpo no varía cuando se transporta de un lugar á otro, se notará que los pesos de este cuerpo
93. MASA DE UN CUERPO. — Dos puntos matemasa,
115
precedente que en estos casos la masa de.los cuer-
También puede notarse que la significación de la
riales tienen la misma
CAPITULO IV.
Hé ahí c o m o la masa del cuerpo se obtiene, esto
una
A h o r a , p u e s , será fácil el concebir
nales
ma a en su virtud será M
=
=
0,102, y por
La masa de un cuerpo es una magnitud sui geneque no puede compararse con otra
porque es el cuociente ción-,
designando los pesos de estos con p p'p"...,
metros.
masa M del cuerpo será
proporcio-
cidad es g será en kilógramos 0", 102 g'.
sas de los puntos materiales q u e l a componen, y la
son
consecuencia su peso en otro lugar donde la velo-
ris
Así, la masa de un cuerpo es la suma de las ma-
lugares
correspondientes.
T o m a d o el k i l ó g r a m o por unidad de la fuerza, la
que dos masas pueden tener entre sí ciertas relaciones dadas, c o m o e f e c t i v a m e n t e la tienen.
en diversos
á las aceleraciones
de una fuerza
por una
alguna, acelera-
aquella evaluada en kilógramos y esta en
La densidad de un cuerpo homogeneo es la masa comprendida en l a unidad de su volumen. Pues
9
+
J
+
9
0
ó bien designando con P el peso dremos
del cuerpo, ten•
p M=—,
resultando así
bien, designando la densidad con M z = V p , y por l o tanto
P=Mg.
?
y el volumen
con V se obtendrá P=V?g.
SEGUNDA PARTE. - CAPITULO IV. II. Relación entre las fuerzas, las masas y las aceleraciones.
1." Cuando rectilíneo.
la fuerza
F es variable
y el
117 movimiento
Supongamos que 7 es la aceleración en
la época t; sábese q u e ambas siguen la misma 9b. La aceleración general
F=m-¡
demuestra
que:
recta que recorre el cuerpo. Durante un pequeño intervalo do tiempo, que comprenderá el instante
Las fuerzas constantes son proporcionales á las
i m a g i n a d o , la aceleración varia de una manera
velocidades que i m p r i m e n á una misma masa ó
continua. Así suponiendo que A y A\ son su mayor
á las masas á que imprimen la misma aceleración.
y menor valor, se obtendrá
Y como ya tenemos m==®, resulta luego : y por l o m i s m o , m A < m-y < " » A . P o r consiguiente, comprendida la fuerza F entre las fuerzas constantes m A y mA\, resulta que F y Esta relación determina la fuerza necesaria que
el producto m-f se hallan comprendidos en los mis-
ha de imprimir á un cuerpo cuyo peso está ya
mos l í m i t e s ; pero estos límites serán iguales si se
conocido, una aceleración dada, ó, por el
con-
reduce el instante de tiempo al instante matemá-
trario, la aceleración que la i m p r i m e una fuerza
tico supuesto y calculado, por cuya razón nos dará
dada.
la proporción establecida: F =
96.
RELACIÓN
ENTRE
LAS
FUERZAS
m>
VARLVBLES,
LAS MASAS T LAS ACELERACIONES. — L a relación
Se obtendría el mismo resultado, considerando
F = m - ¡ resulta de la definición dada á la masa en
la fuerza F constante durante un tiempo infinita-
el párrafo 92, cuando la fuerza F es constante y el
mente pequeño.
movimiento rectilíneo. P e r o se aplica á las fuerzas variables y á un m o v i m i e n t o cualquiera, circunstancia que es necesario establecer como regla g e -
2.° Cuando movimiento
la fuerza
Fes una fuerza
cualquiera
y el
curvilíneo.
E l movimiento del cuerpo en una época cual-
neral, porque es una de las mas importantes de
quiera í , durante un tiempo infinitamente
la mecánica. A l efecto supongamos los dos casos
queño, puede considerarse como resultado de un
siguientes:
m o v i m i e n t o debido á la velocidad adquirida, y del
pe-
movimiento producido por la acción de la fuerza F 7.
IIS
SEGUNDA P A R T E . -
M A N U A L DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
C A P I T U L O IV.
119
durante dicho tiempo. De aqui se deduce q u e la
cuerpo. P o r consecuencia, en este ejemplo la ac-
velocidad del m o v i m i e n t o es el resultado de las
ción es igual y contraria á la reacción. Este prin-
velocidades de
compuestos.
cipio puede aplicarse á un caso en el que la fuerza
Además, el m o v i m i e n t o debido á la v e l o c i d a d ad-
s e a variable, por cuanto una fuerza variable puede
quirida siendo enteramente u n i f o r m e su acelera-
ser considerada c o m o constante durante un tiempo
ción será nula. L u e g o siendo esto así, la aceleración
infinitamente pequeño.
estos m o v i m i e n t o s
resultante no es otra que la d e -j debida á la fuerza F . P e r o esía fuerza puede ser considerada como uniforme durante el e l e m e n t o de
tiempo
97. FUERZA DE INERCIA. — A h o r a b i e n ; reacción del cuerpo se llama fuerza
de inercia.
esta Para
imaginado, y por consiguiente igual á m-y, y d i r i -
comprender perfectamente el sentido do esta ex-
gida en el mismo sentido q u e
presión, es necesario observar que cuando quere-
.
Así, debe establecerse por principio general que, en todo movimiento
rectilíneo
ó curvilíneo, la
mos poner un cuorpo en m o v i m i e n t o , experimentamos cierta resistencia que nos revela la inercia
fuerza es igual al producto de la masa por la v e -
de la matoria. Esta reacción la llamamos fuerza
locidad y dirigida en sentido de esta misma velo-
inercia.
cidad.
noción á los casos en que la acción se ejerce sobre
Pero se ha extendido
de
naturalmente esta
el cuerpo sin agente visible, porque una experiencia acreditada ha hecho ver siempre que los fenóme-
III. De la fuerza de inercia.
nos observados guardan l a m a s perfecta conformiLa fuerza de inercia se demuestra perfectamente
dad con los cálculos fundados sobre esta hipótesis.
con el principio de igualdad d e la acción y de la
N o do otro m o d o , pues la atracción del sol sobre
reacción antes establecida. E n efecto, supongamos
la tierra se halla acompañada de otra
un cuerpo sometido á la acción d e una
atracción
fuerza
igual y contraria de la tierra sobro el sol. L a pri-
constante por medio de un resorte cuya masa sea
mera es la acción que se ejerce sobre la tierra, y
insignificante. Este resorte que, según lo demues-
la segunda la reacción ó fuerza de inercia de la
tra la experiencia, se estira de una manera i n v a -
tierra.
riable, se halla solicitado por dos fuerzas iguales y
De l o expuesto se concibe q u e la fuerza de iner-
contrarias. La aplicada al e x t r e m o del resorte, es
cia es igual y directamente opuesta á la fuerza
la fuerza que produce la aceleración ; la otra, apli-
motriz F, que su expresión será — m-f; y que des-
cada al extremo unido al cuerpo, es la reacción del
componiendo la fuerza F en fuerzas dirigidas si-
120
M A N U A L DE M E C A N I C A INDUSTRIA!.,
guiendo ejes fijos ó en fuerzas tangencial y normal, se podrá descomponer asi mismo la fuerza de inercia, pues el proceder á la operacion son enteramente los m i s m o s ; pero para verificarlo debe tenerse presente que sus componentes serán siempre CAPITULO
iguales y opuestas á los de la fuerza F.
V
Para evaluar á kilogramos l a fuerza de inercia, basta, si no se quiere adoptar otra fórmula que la reemplace, con sustituir la masa m del m ó v i l por ^ lo cual dará — p -X. El peso p y el número g, •F
De la introducción de la masa en la» ecuaciones del movimiento producido por una fuerca constante.
O
siendo perfectamente conocidos, la fórmula nos facilitará la cantidad de la fuerza tan luego como se reemplace la velocidad 7 por su propio valor. L o s efectos de las fuerzas de inercia los iremos tocando y reconociendo en las diversas aplicaciones que haremos en el curso de este MANUAL.
98.
NUEVA
FORMA
DE
ECUACIONES
DEL
MOVI-
MIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO. — La fuerza es constante uno
siempre que conserva en todos y en cada
de los instantes del movimiento la misma
intensidad y
dirección. Comunmente se da este
nombre á las fuerzas cuya dirección solamente v a ria, mientras que su intensidad permanece i n v a riable siempre. Tues b i e n ;
supongamos ahora que un punto
material d e la masa m está sometido á la acción de la gravedad ó á la de una fuerza constante cualquiera F que le i m p r i m e un m o v i m i e n t o rectilíneo uniformemente variado. Las ecuaciones este movimiento serán : v - v
0
= f t , x - x
0
t +
-íp-fí',
Luego se saca de la última f =
F=m-Í. F — ,
de
122
MANUAL DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L ,
SEGUNDA P A R T E . — C A P I T U L O V .
y sustituyendo este v a l o r á los otros dos, antes
la acción de una velocidad inicial de la misma d i -
enunciados, t e n d r e m o s :
rección q u e la fuerza, la variación de la cantidad
123
del m o v i m i e n t o es igual por la importancia y por el signo á la impulsión d e la fuerza durante este En estas ecuaciones, F debe tener el v a l o r de -j empleado para designar la variación de la velocidad en un segundo.
tiempo. Para mayor inteligencia de lo expuesto, supongamos aun otro punto de masa m' solicitado por otra fuerza F' durante el mismo tiempo í' y enton-
99. TEOREMA. — Cantidad sión.
del movimiento,
impul-
Téngase presente para comprender las prece-
dentes ecuaciones, que v0 representa la velocidad inicial, esto es, la del cuerpo al origen del tiempo,
ces tendremos . , concluyendo
m'v'—m'v.' mv — mv, = m t y _ mvj
— Ft F T
v la velocidad al fin del t i e m p o t, y por fin -y la variación del m o v i m i e n t o en un segundo, según queda indicado. De la ecuación v—v0
=
P -—• t, puede sacarse la m
cantidad del m o v i m i e n t o
materiales diferentes son proporcionales á las f u e r zas constantes que han podido producirlas. Si en la fórmula establecida anteriormente para
mv — mv0 — Ft.
demostrar la cantidad
De manera que el producto mv de la masa del m ó v i l por su velocidad en la t se denomina dad
De este m o d o , las cantidades adquiridas del m o vimiento durante el mismo tiempo por dos puntos
de m o v i m i e n t o . E l producto
canti-
Ft de l a fuerza
por el tiempo durante e l cual ha ejercido su acción se llama frecuentemente impulsión
de la fuerza du-
rante dicho tiempo. De suerte que la fórmula
mv„=
— Ft,
demostrará de una manera evidente que cuando una fuerza constante obra durante un tiempo t sobre un punto material en quietud ó animado por
se supone
— Ft.
Así, la cantidad de un m o v i m i e n t o poseído por un punto material es igual, tanto en la magnitud c o m o en el signo, á la impulsión que ha recibido desde el m o m e n t o en
mv—mva
del movimiento
v = o, se tendrá por resultado
que principió
su
movi-
A d e m á s , si en la fórmula mv—rr.v0
=
Ft se
miento.
pone v = o, se tendrá : mu, = — Ft.
SEGUNDA P A R T E . - C A P I T U L O V . E n este caso la cantidad del movimiento
po-
seído por un punto material es igual y de signo contrario á la impulsión necesaria para volverlo al
* 123
por el espacio que le ha hecho recorrer se llama trabajo
de esta fuerza.
De la fórmula antecedente se desprende, que luego que una fuerza constante ejerce su acción
estado de quietud.
durante cierto tiempo sobre un punto material es100. F U E R Z A V I V A , TRABAJO. —
la fuerza
y el trabajo,
viva
Para
encontrar
es necesario que elimi-
tando este en quietud ó animado de una velocidad inicial de la misma dirección que la fuerza, la m e dia variación de la fuerza v i v a es igual por la mag-
nemos ahora í de entre las ecuaciones
nitud y por el signo al trabajo
de la fuerza d u -
rante el mismo tiempo. P o r consiguiente, y para realizarlo con sencillez y precisión, eleve-
en la fórmula v„=o,
mos los dos miembros de esta primera ecuación á cuadrado, despues de haber hecho pasar v„ en el
2
=
si se opera
sucesivamente
w = o se obtendrá :
F {x-x.)
-
*
;
segundo; en seguida multipliquemos los dos miem-
y por lo tanto, la media fuerza viva poseída por un
bros de la segunda
punto material es igual, así en la magnitud como
2
— m
ecuación x — x0,
etc.,
por
en el signo, al trabajo
y resultará : J w = v * -+- 2u. ( — m
2 JL m
signo contrario al trabajo
4 - J 1 ti 1 m*
y por consiguiente
m
^
v» •+- 2 —
necesario para reducirlo
al estado de quietud.
( x - x . ) = 2u0< J L + l L f i
v
que ha recibido desde que
principió el m o v i m i e n t o : es así mismo igual y de
Debe observarse que la palabra f u e r z a , en el
m»
precedente caso ó teorema, no tiene exactamente
(x—x),
la significación ordinaria. Antes la habíamos e m pleado para indicar un esfuerzo, una presión ó ti-
y por lo tanto la fórmula ó ecuación mv mv¿ , p
rantez expresada por kilogramos. A h o r a , por el contrario, el nombre de fuerza
A s í , pues, el producto mv'- d é l a masa de un punto material ó de un cuerpo por el cuadrado de su velocidad en la época í, ha recibido el de fuerza
viva,
nombre
y el producto F (x — x„) de la fuerza
viva
l o hemos apli-
cado al producto complexo de una fuerza por un espacio recorrido. P o r l o tanto, no puede uno m e nos de lamentar que se haya adoptado esta palabra para representar nociones tan distintas.
Por otra parte, no es la cantidad entera mv< sino la mitad, la que entra en la enunciación de los
SEGUNDA P A R T E . - C A P I T U L O V.
127
se convertirán en
teoremas mas importantes de la mecánica, y por la misma razón es bastante desagradable de no tener mas que una palabra para representar el do-
y nos dan la intensidad de la fuerza cuando se co-
ble de una cantidad que se encuentra á cada ins-
noce ora el tiempo de la acción, ora la longitud
tante. Mas valiera dar este nombre á la expresión
del canon.
— 2 —; pero renunciamos á pesar nuestro á este de-
Para los fusiles de munición ordinarios se tiene
seo por conformarnos c o n el uso establecido gene-
comunmente, v = 500° p = 0k 0258 y la longitud
ralmente.
del cañón x = 1", 10, resultando F = 299k.
101. A P L I C A C I Ó N
-
DE
LAS
REGLAS
PRECEDENTES.
Apliquemos las reglas que anteceden á los si-
guientes casos : 1.° Si un ternero c u y o peso es p, cae sobre una estaca terminada en punta de la altura h, su velocidad al fin de la caida será t>, operando para obtener este resultado en la fórmula que antecede mt» = ~ nos dará
rh
=
_ , F
(*-*„),
:
M Es así que p—mg, luego t>i=2 gh. 2.° Una bala dei peso p sale del fusil con la v e locidad dada t,: admitiendo que la fuerza que la ha lanzado ha permanecido constante desde que se puso en movimiento, las ecuaciones mvm v = F f , ™ m
= P ( x
_
x
j
CAPITULO
M
VI
De la oomposioion y descomposición de las fuerzas. :
102. R E S U L T A N T E
u íl X
1
DE
MUCHAS FUERZAS. —
Un
cuerpo material puede estar sometido simultáneamente á la acción de muchas fuerzas diferentes en magnitud y en d i r e c c i ó n ;
pero no obstante, el
cuerpo no toma ni puede tomar mas que un movimiento único y determinado. Este movimiento puede producirse aplicando, en su misma dirección, una fuerza proporcionada al punto material;
!
y
haciéndolo
fuerzas
diferentes
así se evidenciará que todas pueden
reemplazarse
estas
por una sola.
Una fuerza que produzca el mismo efecto que producen otras muchas, se llama resultante; fuerzas dadas, los
P o r consiguiente, las fuerzas su n ú m e r o ) aplicadas nen siempre
una
y las
componentes. á un mismo
(cualquiera que sea punto material,
tie-
resultante.
Fácilmente se concibe esta verdad. Supongamos que diez hombres arrastran un cuerpo, y que la fuerza de estos diez hombres puede reemplazarse por la de un solo caballo. Pues b i e n ; la acción de la
130
M A N U A L DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L
fuerza del caballo q u e sustituye las de los diez hombres, es la resultante las de estos,
eu el presente ejemplo, y
componente.
recciones MX,
MY, y representadas en magnitud
por las líneas rectas M A , M B , formemos el para-
Finalmente, la c o m p o s i c i o n de las fuerzas tiene por objeto el determinar la resultante nocen las
multáneamente sobre el punto M quieto en las di-
cuando se co-
componentes.
lelógramo M A C B. Supongamos ahora -¡ é -f, las velocidades constantes que imprimirían separadamente al cuerpo. En virtud de la primera, el punto
De lo expuesto se deduce el principio fundamental siguiente, que nos servirá para hacer un paralelógramo de las fuerzas.
material recorrería sobre MX, espacio
eu el tiempo í, un
en virtud de la segunda, re-
correría sobre M Y , en el mismo tiempo, un espa103. TEOREMA. — Dos fuerzas punto ción, punto, nitud lógramo sado
material
y representadas,
por dos lineas tienen
rectas
una resultante
y dirección formado
aplicadas
á un
mismo
y
direc-
desde este
dicho
en magnitud
trazadas
únicarepresentada
por la de las diagonales sobre las rectas
que salen
en magdel del
paraleexpre-
cio M G = P l = \ t
t
l*.
Como se ve, existe
una independencia mutua
entre los efectos simultáneos de las dos fuerzas según el principio establecido en el precedente capítulo. Así, las ecuaciones del movimiento serán
punto.
Para demostrarlo, c o n s i d e r e m o s desde luego dos fuerzas constantes F, F, ( f i g u r a 33) que obran si-
y la de la trayectoria que se obtiene eliminando t
Como esta ecuación es del primer grado, el m o vimiento es rectilíneo. L u e g o , puesto que se obtiene
se evidencia que, reuniendo M I , los triángulos MP1,
MAC
son semejantes, y que el punto l está
sobre M C. L u e g o el m o v i m i e n t o está dirigido siguiendo la diagonal A C.
LA«MIOMI
A
M C
kÍQmisMP=MA'
0
117
XFL
M
I
1
M
C
= m -
M c
IFD
Si el cuerpo tuviera una velocidad inicial, esta no
MP>
ejercería n i n g u n a influencia sobre el efecto de las
.
fuerzas. P o r consiguiente, el principio establecido
En su vista, el m o v i m i e n t o es uniformemente
subsiste aun en este caso.
acelerado, y la fuerza que lo produce constante. F i n a l m e n t e , la velocidad de este movimiento M C es 7 ^ ,
y designándolo por r , se tiene la ecua-
104. DESCOMPOSICION DE U N A F U E R Z A E N DOS.
A h o r a descompondremos una en dos fuerzas.
—
Re-
sulta, pues, de lo que acabamos de demostrar, q u e se puede descomponer una fuerza, i?, ( f i g u r a 33)
ción
en otras dos que tengan direcciones dadas MX y
T_MC
AI Y. Podrá además descomponerse en otras dos
-i-MA-
con una magnitud AI A y una dirección dadas MX.
Así, Af >4 es la fuerza que produce la velocidad 7;
E n fin, podrá darse la magnitud y la dirección de
luego la que produce la velocidad r está represen-
las dos componentes con la magnitud y la direc-
tada por M C.
ción de las resultantes. A l efecto, bastará formar
Obsérvese q u e si las dos fuerzas F, F, son variables en m a g n i t u d y en dirección, pór eso no es menos cierto que, en un m o m e n t o dado, cada una de ellas tiene un valor y una dirección perfectamente determinados, y que sus variaciones
ulterio-
res no podrían tener influencia alguna en su
actual
composicion. P o r l o tanto, bajo de este punto de vista pueden considerarse como variables; de este modo el principio establecido quedará demostrado en todas sus partes.
es
uniformemente
tiene lugar siguiendo gramo»
con las circuns-
tancias necesarias para ejecutar la operacion cual se requiere. Debe tenerse presente además, que dos fuerzas, cualesquiera que
sean, se c o m p o n e n como dos
movimientos, ó c o m o dos velocidades, ó c o m o dos aceleraciones; y en su virtud, lo m i s m o puede hacerse respecto de un número de m a s ó menos fuerzas aplicadas simultáneamente
á un
punto
material. A s í , y siu que sea necesario repetir las
Sin embargo, no puede afirmarse que el m o vimiento
para cada caso el triángulo MAC
acelerado
la diagonal
del
ni
que
paraleló-
razones aducidas anteriormente en prueba de esta verdad.se comprenderá q u e las reglas del paralelipípedo ó del polígono de las velocidades ó aceleraciones y sus recíprocas, subsisten con relación á
8
SEGUNDA P A R T E . las fuerzas, c o m o l o veremos en el siguiente paralelipípedo.
135
y la resultante con fl, obtendremos este caso de dos fuerzas
105. PAIIALELIPÍPEDO DE LAS FUERZAS. — fuerzas
CAPITULO VI.
aplicudas
y representadas,
á un mismo en magnitud
gonal
del paralelipipedo
tas
precedentes.
cuerpo
ópunto
y dirección,
construido
Tres
material, por la dia-
sobre
las tres
rec-
F _ F' R sen ( F ' , fl) sen (F, fl) seu ( F , F) ' ff = F + f j + 2 F,F eos ( F , F ) ; caso particular de dos fuerzas rectangulares : F = R eos ( í , f l ) , F'=R eos ( F ' R), fl= = F ' + F " ;
De aquí resulta l a descomposición de una fuerza en otras tres.
caso de tres fuerzas rectangulares 106. POLÍGONO DE LAS FUERZAS. — N o es menos evidente el p r i n c i p i o fuerzas.
Si muchas
mo punto ligonal
material saliendo
representen
fuerzas
estas fuerzas y
son aplicadas
y que se construye de este punto,
recta que forma magnitud
relativo al polígono
cuyos
en magnitud
el polígono
representa
de las
lados
brica
de las
recta,
(F", R),
F*\
po-
Resulta, de lo que precede, que cada fuerza es
consecutivos
la p r o y e c c i ó n de la resultante sobre la dirección
y dirección,
la
su resultante
en
d é l a Fuerza. Caso de un número cualquiera de fuerzas : a, b, c, a', b', c',... A, B, C, designan los ángulos de las
P o r consiguiente, si todas las fuerzas una misma
R eos ( F \ R), F'=Reos
R i = F a -+- F 1 +
á un mis-
una linea
dirección.
sobre
F = f l eos ( F , R), F'=
la resultante
son
dirigidas
es la suma
algé-
fuerzas F, F',...
R, con tres ejes rectangulares fijos
pasando por el punto de aplicación nos dará :
mismas. fleos
107. RELACIONES ANALÍTICAS. — A h o r a , pues, podemos establecer, con la aplicación de l o expuesto, las relaciones analíticas que existen
A =
zF
( e o s o ) , fl eos
fl eos C = 2 F eos c. Rh= (2 F eos a ) 5 +
(2 F
fl=(2F
eos
b),
eos b = + 2 F eos c.
entre
Las fórmulas que e v i -
Caso particular d o n d e todas las fuerzas están en
dencian estas relaciones entre las velocidades ó ace-
un mismo plano : si designamos este con XY re-
leraciones c o m p o n e n t e s y la resultante, subsisten
sultará :
las fuerzas
y sus resultados.
igualmente respecto de las fuerzas. B a j o d e esle supuesto, designando las fuerzas con F,F,
F", etc.,
fl eos A = 2 F eos a, fl sen A = x F sen o, fl-
( 5 F eos a) 3 + (2 F sen o)J.
«36
MANUAL DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L .
108. — Demostrado ya las relaciones analíticas entre las fuerzas y sus resultantes, terminaremos este capítulo con las componentes, de la fuerza
en un movimiento
tangencial
y
primero
cualquiera,
y en seguida respecto de las de la fuerza
normal
de
inercia.
Y a dejamos establecido en otro capítulo que la aceleración, en un movimiento cualquiera, designada con 7 se descompone en dos aceleraciones; l a una es tangencial é igual al Jim. Vi—V otra normal é igual á J j L . Y supuesto que las fuerzas se componen como las aceleraciones, resulta que la fuerza m T , según dijimos cuando tratamos de las relaciones de las fuerzas, masas y aceleraciones, tiene por componente tangencial m lim. AÍ
, y por componente centripeta
109. — También expusimos hablando de la relación que existe entre las fuerzas variables, masas y aceleraciones, que la fuerza de inercia es igual y opuesta á la fuerza motriz : aquella, pues, tiene por componente tangencial m. lim.
v
' ~
v
AÉ
ponente normal
• y por com-
Esta última, dirigida por el
l a d o o p u e s t o a l c e n t r o , s e l l a m a fuerza 110. TEOREMA. -
.
centrifuga.
Finalmonte, puesto que co-
munmente se componen y descomponen las fuerzas como las velocidades y aceleraciones, resultará,
CAPITULO VI.
137
tiene por componentes paralelas á tres ejes vx, v?, v, y si la aceleración -¡ tiene por componentes la fuerza F=m-¡,
fT,
que solicita al móvil, tendrá por
componentes m > , m-f y , m-f,. Así, la proyección punto
material
animado, proyección igual
AÍ
ttl — v
SECUNDA P A R T E . -
que si la velocidad v de un m ó v i l , de masa m,
sobre un eje se mueve
á cada instante, de la velocidad,
á la proyección
como
de una velocidad y solicitado
de la fuerza
si
del
estuviera
igual
por una
sobre el mismo
á la fuerza eje.
Tal es el teorema que deberá tenerse presente r n todos los casos en que se rjuicra proceder á la composicion y descomposición de las fuerzas, etc.
CAPITULO
VII
Del equilibrio de las fuerzas aplicadas ó un mismo punto.
111. DEFINICIÓN GENERAL
DEL EQUILIBRIO. —
Cuando un cuerpo está sometido á la acción de muchas fuerzas, y se halla sin embargo en las mismas condiciones que si estas fuerzas no influyesen sobre él, entonces dicho cuerpo está en
equilibrio.
Por consiguiente, este puede definirse así : Muchas
fuerzas
hacen equilibrio, actual
del sistema
influencia
aplicadas
á un sistema
en un instante (de quietud
por la presencia
dado,
cualquiera
cuando
ó movimiento)
de estas
se
el estado no recibe
fuerzas.
Si el sistema está en quietud, el efecto de las fuerzas no debe turbar este estado, y en tal caso el equilibrio
se llama estático. Si el sistema está en
movimiento, las fuerzas no deben modificarlo, y entonces el equilibrio
se llamará
dinámico.
112. TEOREMA. — CONDICIONES DEL EQUILIBRIO.
M Un
SEGUNDA P A R T E . - CAPITULO V I L
M A N U A L DE MECANICA I N D U S T R I A L .
1.- Supuesto esto, veamos ahora la condicion equilibrio
de las f: erzas aplicadas
á un mismo
del punto.
L u e g o q u e muchas fuerzas ejercen su acción sobre un plinto material enteramente libre, es m e -
141
que se considera separadamente, destruye el efecto que tiende á producir esta resultante. Por consecuencia, tres fuerzas concurrentes, en equilibrio, están
necesariamente
en el mismo
plan;
tres fuerzas concurrentes situadas fuera del mismo
brio, q u e su resultante sea nula. A s í es que si el
plan, no pueden
equilibrio existe, el punto material es abandonado
una de ellas no sea nula
cidas en el
capítulo I V ; por consecuencia, ó el
cuerpo está en quietud, ó de l o contrario su m o v i -
hacerse
al menos que cada
equilibrio
separadamente.
Las precedentes observaciones nos conducen á hacer esta otra exposición relativa á la naturaleza
114. 3.« Y ULTIMA CONDICION. — Efectivamente
sometido á la acción de ninguna fuerza, según di-
cualquiera que sea el número de las fuerzas apli-
j i m o s en el capítulo V I hablando de la composi-
cadas á un cuerpo, siempre puede descomponerse
cion y descomposición de las fuerzas. Por la m i s -
cada una de ellas
ma razón, ó si se llena recíprocamente dicha con-
guiendo tres ejes que pasan por un punto y que
dicion, también será nulo el efecto de las fuerzas,
sin embargo no están situadas, en el mismo plano (en consecuencia de las reglas establecidas en d i -
á muchas fuerzas la regla del polígono, es necesa-
cho capítulo V I tratando del paralelógramo de las
rio
fuerzas), y acto continuo añadir algébricamente
el equilibrio,
cuando
se traza
que el polígono el último
se cierre
costado.
Esta
las componentes
dirigidas según el mismo eje y
condicion, c o m o so observa, es independiente del
reducir de este m i s m o
estado d e quietud ó de movimiento del punto ma-
dadas. Estas tres resultantes son, pues, las c o m -
terial.
ponentes de la resultante general. Luego, para
modo
todas las fuerzas
que esta sea n u l a , es menester y basta con que 113. 2.» CONDICION. -
Mas no es esto solo lo que
debe estudiarse. H a y que observar además, que tan luego c o m o muchas fuerzas se hacen equilibrio, cada una de ellas es igual á la resultante
y directamente
de todas las demás,
opuesta
porque la fuerza
:
las tres fuerzas resultantes parciales lo sean también separadamente. Así, para que muchas punto se hagan descomponiendo
equilibrio, cada
i
en tres fuerzas dirigidas, si-
y por lo tanto se harán equilibrio. Así, aplicando para
mí: • tiii'V-' •
el m i s m o estado en que se hallaba antes de verse
y basta
''•••I I •
É
del equilibrio.
miento es rectilíneo y uniforme. Queda, pues, en
por si mismo
i i »
y
nester y basta, en efecto, para obtener el equili-
á su propia inercia en virtud de las leyes estable-
M i
fuerzas
aplicadas
es necesario
una de ellas
á un tres
0 M
pK
ft i
mismo
y basta con que,
siguiendo
M
ejes
•ra
ú
ti ü • 1
¿i'
142
MANUAL 1)E MECANICA INDUSTRIAL.
cualesquiera
que no estén situados
las sumas guiendo
algébricas
de. las componentes
cada eje sean nulas
SEGUNDA P A R T E . — C A P I T U L O V I I .
en el mismo
plano,
dirigidas
si-
separadamente.
11b. ECUACIONES DEL EQUILIBRIO. — Mas, si para aplicar el cálculo á la e x p r e s i ó n de las condiciones del equilibrio se supone q u e los tres ejes son rectangulares, en este caso la resultante está y a dada por la fórmula consignada en el capítulo precedente cuando hablamos d e las relaciones analíticas entre las fuerzas y sus resultados, la cual r e producimos aquí para e v i t a r t r a b a j o al lector y facilitar la inteligencia d e cuanto ahora exponemos. Hé aquí esta f ó r m u l a : tf =
( 2 F eos. a )
S
+ 2 F eos. 6 ) + ( 2 F eos. « ) « .
Pues bien; para q u e sea nula es menester y
2
F eos. b =
O, z F eos. c =
O ;
•
estas fórmulas nos c o n d u c e n á las mismas c o n d i ciones, según puede v e r s e en el siguiente caso particular. Si todas las fuerzas estuvieran situadas en un mismo plano, se designaría este por el plano X Y y las condiciones del equilibrio se reducirán á dos :
2F
eos. a =
O,
2
F sen.
Luego, para que dos fuerzas plano,
y aplicadas
al mismo
punto,
situadas
a=0. en un
se hagan
mismo equilibrio,
y basta
ellas siguiendo
que descomponiendo
las sumas
nentes
siguiendo
dirigidas
cada
dos ejes que pasan por este punto
dos en este plan,
algébricas
de los
cada eje sean nulas
145 una de y
situacomposepara-
damente. Obsérvese, por fin, que cuando algunas fuerzas, cualesquiera que estas sean, i n f l u y e n sobre un punto material, puede m u y bien suceder que cierto número de dichas fuerzas satisfaga las c o n d i c i o nes de e q u i l i b r i o ; en este caso puede suprimirse este grupo sin alterar el m o v i m i e n t o , ó introducirse en el sistema un grupo de fuerzas que hagan equilibrio; así el m o v i m i e n t o queda l o que era.
s
basta que se obtenga esta otra fórmula : 2 F eos. a = O,
es menester
T I R C I R A
P
M
T
I
DE LAS FUERZAS APLICADAS A LOS CUERPOS SÓLIDOS.
CAPITULO
PRIMERO
N o c i o n e s s o b r e e l o r g a n i s m o d e lo» c u e r p o s .
l i a . E n las d o s partes precedentes liemos t r a tado del m o v i m i e n t o d e u n p u n t o m a t e r i a l , y si en diferentes casos h e m o s hablado y hecho mover los c u e r p o s , c a s i s i e m p r e h e m o s s u p u e s t o d i c h o s móviles como r e d u c i d o s á m e r o s p u n t o s materiales. Mas
ahora
salimos
de aquel cuadro
para
abrazar otro mas g e n e r a l , y tratar de los movim i e n t o s d e u n s i s t e m a de puntos
materiales
indis-
p e n s a b l e p a r a c o n o c e r l a c o n s t i t u c i ó n d e los c u e r pos, y a b o r d a r e n s e g u i d a la e x p l i c a c i ó n d e e s t o s p r i n c i p i o s e l e m e n t a l e s á l a s m á q u i n a s , ó el estudio d e d i v e r s a s m á q u i n a s c o n relación á los p r i n c i p i o s establecidos, y q u e v a y a m o s estableciendo entonces. m
hasta
TERCERA PARTE. 116.
ORGANIZACIÓN DE LOS C U E R P O S :
FÜERZAS
MOLECULARES. — E l estudio d e l o s f e n ó m e n o s físicos nos d e m u e s t r a q u e los c u e r p o s se c o m p o n e n de m o l é c u l a s de d i m e n s i o n e s i m p e r c e p t i b l e s , y cuyas distancias m u t u a s , a u n q u e son también i m p e r c e p t i b l e s , á la s i m p l e v i s t a , s o n sin e m b a r g o mucho mas considerables. Dichas moléculas ejerc e n u n a s sobre o t r a s dos a c c i o n e s d i v e r s a s : las q u e se l l a m a n f u e r z a s atractivas, l a s cuales d e p e n d e n de las d i s t a n c i a s , y las d e n o m i n a d a s f u e r z a s repulsivas, d e p e n d i e n t e s de l a s d i s t a n c i a s y del calor á la vez. L a s fuerzas m o l e c u l a r e s d i s m i n u y e n c u a n d o la d i s t a n c i a a u m e n t a , y se h a c e n n u l a s a n t e s q u e esta d i s t a n c i a sea perceptible á los o j o s del h o m b r e ; y las repulsivas v a r í a n s e g ú n la d i s t a n c i a c o n m u c h a m a s r a p i d e z q u e las atractivas. F i n a l m e n t e , se a d m i t e t a m b i é n él p r i n c i p i o de q u e la reacción es igual y contraria á la accioti, esto es, q u e si dos m o l é c u l a s m y m ' e s t á n en presencia, sus a c c i o n e s r e c í p r o c a s s o n d i r i g i d a s según la r e c t a mm'; y q u e si m' r e c i b e d e m u n a a c c i ó n f , dirigida de m' h á c i a m, m r e c i b e á su vez de m' u n a acción f dirigida de m h á c i a m'. 117. CUERPOS SÓLIDOS. — C u e r p o sólido es a q u e i q u e p e r m a n e c e estable ó en e q u i l i b r i o p e r m a n e n t e b a j o la i n f l u e n c i a de las f u e r z a s m o l e c u l a r e s . * Cuando
fuerzas
exteriores
obran
sobre
»I7
C A P I T U L O I.
b e n esta acción e x t r a ñ a , se a c e r c a n d e l a s q u e están j u n t o á ellas y se s e p a r a n d e l a s d e m á s en la m i s m a proporcion : esta a p r o x i m a c i ó n
y aleja-
miento m o l e c u l a r e s h a c e n v a r i a r s u s f u e r z a s respectivas como f á c i l m e n t e se c o m p r e n d e -.variando d e p o s i c i ó n las p r i m e r a s , l a s i n m e d i a t a s v a r í a n á su vez o b l i g a n d o á las o t r a s c o n l a s c u a l e s e s t á n en contacto á v a r i a r así m i s m o d e l u g a r , de t a l suerte q u e p r o p a g á n d o s e desde l a p r i m e r a h a s t a l a ú l t i m a este r á p i d o m o v i m i e n t o , se establece u n nuevo equilibrio e n t r e l a s f u e r z a s e x t e r i o r e s y l a s nuevas i n t e n s i d a d e s d e las a c c i o n e s r e c í p r o c a s . 118. ELASTICIDAD. -
Las f u e r z a s
moleculares
vuelven al c u e r p o á su f o r m a p r i m i t i v a , t a n luego como c e s a n de recibir l a a c c i ó n d e las f u e r z a s e x t r a ñ a s . E s t a p r o p i e d a d , p u e s , se l l a m a
elasticidad.
Pero es necesario p a r a q u e e s t a v u e l t a á su p r i m i tivo estado se p r o d u z c a , q u e la d e f o r m a c i ó n n o h a y a sido considerable n i a l c a n z a d o ciertos l í m i t e s , v a riables c o n la n a t u r a l e z a y la f o r m a d e l o s cuerpos. Cuando se t r a s p a s a n estos l í m i t e s , las m o l é c u l a s se agregan d e otra m a n e r a y se c o n s t i t u y e n en u n nuevo estado de e q u i l i b r i o .
119. INVAMABILIDAD
DE L A S DISTANCIAS MOLE-
CULARES. — De lo expuesto se d e s p r e n d e q u e , p r o p i a m e n t e h a b l a n d o , n o e x i s t e n en la n a t u r a l e z a
este
verdaderos cuerpos sólidos, lo c u a l q u i e r e decir, q u e
c u e r p o , i n m e d i a t a m e n t e las m o l é c u l a s , q u e r e c i -
no h a y cuerpos cuyas m o l é c u l a s están á distancias
148
MANUAL D E MECANICA I N D U S T R I A L .
r e c í p r o c a s e n t e r a m e n t e i n v a r i a b l e s . E m p e r o , e n el m a y o r n ú m e r o de casos la variación de las d i s t a n cias y l a d e f o r m a c i ó n q u e d e e l l a r e s u l t a , b a j o d e la acción de las fuerzas, s o n t a n débiles, q u e p u e den pasar como desapercibidas y considerar inal-
CAPITULO
terables la f o r m a de los c u e r p o s . Los resultados q u e se o b t e n d r á n ,
admitiendo
esta hipótesis, n o serán p o r cierto r i g u r o s o s , pero s e a c e r c a r á n d e la v e r d a d t a n t o c u a n t o e l c u e r p o se acerque m a s al estado d e v e r d a d e r o
II
Leyes y reglas relativas al cambio d e posicion del p u n t o del cuerpo donde se aplica u n a f u e r z a .
sólido.
Sin embargo, p a r a m a y o r inteligencia y sencillez d e l a s o p e r a c i o n e s , n o s o t r o s a d m i t i r e m o s la invariabilidad de las d i s t a n c i a s recíprocas de las m o l é c u l a s en todos los c u e r p o s sólidos á q u e aplicar e m o s l a s f u e r z a s e x t r a ñ a s , c u a l e s q u i e r a q u e estas sean, y en su virtud supondremos que estas fuerz a s n o p u e d e n d e f o r m a r j a m a s el c u e r p o d e u n a m a n e r a s e n s i b l e , y m u c h o m e n o s r o m p e r l o . Y si e n las aplicaciones
prácticas de la mecánica
se
producen m u c h o s cambios de esta naturaleza, en tal caso será c o n v e n i e n t e y a u n necesario tenerlos e n c u e n t a ; pero los r e s u l t a d o s q u e n o s diera
di-
cha hipótesis ya no p o d r í a n aplicarse, p o r q u e en-
120. — No p u e d e n e g a r s e q u e , s i n c a m b i a r el e s tado de m o v i m i e n t o ó de q u i e t u d de u n
cuerpo,
se p u e d e t r a n s p o r t a r el p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e u n a fuerza á otro cualquiera de su d i r e c c i ó n , con tal q u e el s e g u n d o e s t é ó se s u p o n g a l i g a d o al p r i m e r o de una manera invariable. Esta regla puede comprobarse por medio del d i n a m ó m e t r o aplicado á los extremos de u n a c u e r d a ó de u n palo que sostengan verticalmente á u n cuerpo : ejecutándolo así, s e v e r á q u e el t r a b a j o d e l a f u e r z a t r a n s p o r t a d a es t a m b i é n el m i s m o p a r a t o d o o t r o c a m b i o elem e n t a l de la recta de aplicación.
tonces falsificarían todas nuestras operaciones. 121. AXIOMA. — Dos fuerzas contrario
aplicadas,
siguiendo
iguales la misma
y de
sentido
recta, en dos
puntos diversos de un cuerpo sólido, se hacen
equilibrio.
E s t a p r o p o s i c i ó n es e v i d e n t e y p u e d e m i r a r s e como consecuencia del principio antes establecido d e la igualdad
de la acción y reacción,
s o b r e todo
150
MANUAL DE MECANICA
T E R C E R A P A R T E . — C A P I T U L O II.
INDUSTRIAL,
151
c u a n d o a m b o s p u n t o s de a p l i c a c i ó n e s t á n e n l a z a -
tada del p u n t o A al p u n t o B p a r a l e l a m e n t e á sí
dos p o r u n a hilera r e c t i l í n e a d e m o l é c u l a s , c u y a s
misma.
atracciones y r e p u l s i o n e s r e c í p r o c a s t r a n s m i t a n sin alteración los efectos de l a s f u e r z a s . E m p e r o , n o lo es si l a recta q u e u n e los d o s p u n t o s d e a p l i c a c i ó n no está c o n t e n i d a e n t e r a m e n t e e n el c u e r p o . Sin e m b a r g o , n o nos e s f o r z a r e m o s e n d e m o s t r a r á priuri la g e n e r a l i d a d d e e s t e a x i o m a , c u y a s c o n secuencias y valor a c r e d i t a l a e x p e r i e n c i a d e t o d o s los d i a s . 122. TEOREMA. — Sin cambiar
el estado de quietud
ó de movimiento de un cuerpo, se puede transportar el punto de aplicación
de una fuerza
á otro punto
cual-
quiera de su dirección, con tal que otro punto esté enlazado invariablemente
al
primero.
P u e d e a d m i t i r s e el p r e c e d e n t e t e o r e m a
como
t Fig. 34.
p r i n c i p i o e x p e r i m e n t a l , p o r q u e es u n a c o n s e c u e n cia i n m e d i a t a de la p r o p o s i c i o n n ú m e r o 121. Efectiv a m e n t e , s u p o n g a m o s u n a f u e r z a F (fig 34) apli-
1 2 3 . DINAMÓMETRO PARA V E R I F I C A R EL
PRINCI-
cada en el p u n t o A d e u n c u e r p o sólido Af.Tomemos
PIO PRECEDENTE.— P u e d e c o m p r o b a r s e este p r i n -
en seguida sobre su d i r e c c i ó n A F un p u n t o B, i n -
cipio p o r la e x p e r i e n c i a . H é a q u í c ó m o : A d á p t e s e
terior ó exterior al c u e r p o , p e r o e n l a z a d o i n v a r i a -
u n d i n a m ó m e t r o al e x t r e m o s u p e r i o r de u n a v a r a
b l e m e n t e con é l : luego a p l i q u e m o s e n s e n t i d o c o n -
ó de u n a c u e r d a vertical y o t r o al i n f e r i o r , y s u s -
t r a r i o á dicho p u n t o dos f u e r z a s F, y F 2 i g u a l e s y
péndase l i b r e m e n t e u n peso á este ú l t i m o e x t r e m o ,
paralelas á F. E l estado d e r e p o s o ó d e m o v i m i e n t o
y se reconocerá, q u e c u a n d o el equilibrio existe
del c u e r p o n o se a l t e r a e n r a z ó n de q u e e s t a s f u e r -
a m b o s i n s t r u m e n t o s nos s u m i n i s t r a n las m i s m a s
zas F y F : se d e s t r u y e n , y e n su v i r t u d p u e d e n
indicaciones, y si a n u n c i a r a n a l g u n a d i f e r e n c i a ,
s u p r i m i r s e , de m a n e r a q u e s o l o q u e d a la f u e r z a F „
esta será ú n i c a m e n t e l a del peso de la v a r a ó de l a
l a cual puede, m i r a r s e c o m o la f u e r z a F t r a n s p o r -
cuerda i n t e r p u e s t a . Así, se d e m u e s t r a q u e el peso
132
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL,
a p l i c a d o a l d i n a m ó m e t r o e j e r c e la m i s m a sobre a m b a s extremidades.
acción
La experiencia
de-
m u e s t r a el m i s m o r e s u l t a d o c u a n d o el s i s t e m a e s t á e n m o v i m i e n t o r e c t i l í n e o y u n i f o r m e , s e g ú n se v é siempre que se reproduce sobre un barco que desCAPITULO
c i e n d e p o r u n r i o . Mas l u e g o q u e el m o v i m i e n t o
III
es variado, las tensiones J e ambos d i n a m ó m e t r o s y a n o s o n l a s m i s m a s , p o r q u e la a c e l e r a c i ó n d e la c u e r d a ó d e la v a r a i n t e r v i e n e n e n t o n c e s p a r a h a -
D e l e q u i l i b r i o y c o m p o s i c i o n d e las Fuerza».
cerlos desiguales. De lo e x p u e s t o p u e d o e s t a b l e c e r s e y d e j a r su I. Equilibrio.
a p l i c a c i ó n a l l e c t o r , el t e o r e m a s i g u i e n t e : 1 2 4 . SEGUNDO TEOREMA. — Luego
una fuerza
paralela
punto de su dirección, tada es el mismo
á si misma
que se
transporta
para aplicarla
el trabajo de la fuerza
á un
transpor-
en todos los cambios elementales del
punto en la recta de
aplicación.
1 2 b . D E F I N I C I Ó N D E L EQUILIBRIO. — L a e x p e r i e n -
cia d e t o d o s l o s d i a s e s t á d e m o s t r a n d o q u e
mu-
chas fuerzas ejercen su acción sobre u n o ó m u c h o s c u e r p o s r e u n i d o s , y q u e estas f u e r z a s s e
neu-
tralizan de tal s u e r t e q u e su r e s u l t a d o e s t a n n u l o c o m o si e s t a s m i s m a s f u e r z a s n o o b r a r a n d e m a n e r a a l g u n a . P u e s b i e n ; e n t o n c e s s e d i c e q u e so h a c e n equilibrio,
ó q u e e l c u e r p o ó el c o n j u n t o d e
los c u e r p o s s o m e t i d o s á la acción d e todas la exp r e s a d a s f u e r z a s e s t á en
equilibrio.
Mas d e b e n o t a r s e q u e el equilibrio
d e las f u e r z a s
a p l i c a d a s á u n c u e r p o n o e n c i e r r a la i d e a d e l a inmovilidad de d i c h o
cuerpo ; y q u e por
consi-
g u i e n t e n o t u r b a n l a especie d e m o v i m i e n t o q u e le i m p r i m e n . 1 2 6 . E Q U I L I B R I O E S T A B L E , F. I N S T A B L E . — 9.
Equi-
151
.MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
librio estable es a q u e l q u e c o n s e r v a ó v u e l v e á tom a r u n c u e r p o t a n luego c o m o d e s a p a r e c e l a c a u s a q u e la h a b í a p e r t u r b a d o . E l instable es a q u e l q u e tiene i n s t a n t á n e a m e n t e u n c u e r p o c u a n d o se le h a p u e s t o en cierta posicion, q u e a b a n d o n a i n m e d i a t a m e n t e bajo d e la a c c i ó n d é l a c a u s a exterior m a s i n s i g n i f i c a n t e . De m a n e r a
que
equilibrio n o es otro q u e e l
instable.
v u l g a r m e n t e el
TERCERA PARTE. -
CAPITULO III.
155
128. OBSERVACIÓN. — Si, d e s p u é s d e h a b e r c o n s truido la r e s u l t a n t e c o n el a u x i l i o d e d i c h a s reglas, se ve q u e esta f u e r z a e n c u e n t r a el c u e r p o , e n t o n ces p u e d e t o m a r s e u n o de los p u n t o s de e n c u e n t r o por su p u n t o d e aplicación, e n r a z ó n q u e la citada modificación n o altera el e s t a d o del c u e r p o . Tero si la d i r e c c i ó n de la r e s u l t a n t e está e n t e r a m e n t e f u e r a del c u e r p o , e n t o n c e s
debe
considerársele
como u n a f u e r z a ficticia; p u e s n o h a y fuerza ú n i c a , r e a l m e n t e aplicada-ai c u e r p o , q u e pueda r e e m p l a II. Composición de f u e r z a s c o n c u r r e n t e s ó paralelas.
zar las f u e r z a s d a d a s . Con t o d o , a u n e n este caso puede i m a g i n a r s e q u e el p u n t o d e a p l i c a c i ó n está unido i n v a r i a b l e m e n t e al c u e r p o p o r u n s i s t e m a
127. TEOREMA. — Sí fuerzas en mayor Ó menor número se aplican por diferentes puntos ds un cuerpo sólido,
de enlaces proporcionados, q u e p e r m i t a á l a f u e r -
E f e c t i v a m e n t e , si el p u n t o d e c o n c u r s o p e r t e n e c e al c u e r p o , en este caso t o d a s l a s f u e r z a s se a g r u p a n en él, de s u e r t e q u e p u d i e r a d e c i r s e c o n r a z ó n q u e todas e s t a b a n a p l i c a d a s a l m i s m o p u n t o del c u e r p o . Si, por el c o n t r a r i o , n o p e r t e n e c e al c u e r p o , entonces debe s u p o n e r s e q u e el p u n t o de c o n c u r s o está ligado i n v a r i a b l e m a t e al c u e r p o , y d e este m o d o se e n c o n t r a r á el p r i m e r c a s o . Así, en t o d o s los casos p u e d e n a p l i c a r s e á e s t a s f u e r z a s las r e glas d e m o s t r a d a s del paralelógramo, paralelipipedo, y polígono.
ciones a n a l i t i c a s e n t r e la r e s u l t a n t e y s u s c o m p o -
za de e j e r c e r su acción s o b r e él, y c o n s e r v a r así t e ó r i c a m e n t e la i n t e n s i d a d y l a d i r e c c i ó n d e la r e s u l t a n t e , c o m o concepción ú t i l p a r a simplificar las operaciones. S i e m p r e es evidente, sin e m b a r g o , q u e l a s r e l a n e n t e s deben aplicarse sin m o d i f i c a c i ó n a l g u n a al caso actual, y q u e el t r a b a j o d e la r e s u l t a n t e es igual á la s u m a algébrica d e los t r a b a j o s de l a s componentes, puesto que transportando cada u n a d e las f u e r z a s al p u n t o de c o n c u r s o no se altera el t r a b a j o de l a s m i s m a s . 1 2 9 . E J E M P L O DE FÜERZAS QUE EJERCEN SU ACCION SIGUIENDO UNA MISMA DIRECCION. — S i u n
CUerpO
está s o m e t i d o á l a acción d e c u a t r o f u e r z a s , u n a
TERCERA P A R T E . -
d e 2 k i l o g r a m o s , otra d e 6, otra d e 3 y otra de b
CAPITULO III.
13?
Para d e m o s t r a r l o p r á c t i c a m e n t e , nos s e r v i r e m o s
5 k i l ó g r a m o s , aplicadas al p u n t o B (fig. 38),
de u n a b a r r a p r i s m á t i c a d e m a d e r a BC, s u s p e n -
s i g u i e n d o la m i s m a d i r e c c i ó n B C y en el
dida en su c e n t r o , s e g ú n lo d e m u e s t r a la fig. 36. La
m i s m o s e n t i d o , este c u e r p o se hallará b a j o de l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s q u e si l a línea B C s i e n d o v e r t i c a l , los c u a t r o pesos e x p r e s a d o s e s t u v i e r a n s u s p e n d i d o s al p u n t o B. R e s u l t a n d o , en d e f i n i t i v a , s e g ú n los p r i n cipios e f t a h l e c i d o s en el c u r s o de esto. MANUAL, q u e u n peso ú n i c o de 10 k i l o g r a m o s c
(que c o m p o n e la s u m a total de los g u a r i s m o S 2
3 y 3 Fig. 35. ' ) ' P r o d u c i r á el m i s m o efecto ' sobre el p u n t o B.
P o r c o n s e c u e n c i a , c u a l q u i e r a q u e sea el n ú m e r o de f u e r z a s a p l i c a d a s á un m i s m o p u n t o en la m i s m a d i r e c c i ó n y e n el m i s m o s e n t i d o , todas ellas t e n d r á n u n a r e s u l t a n t e igual á la s u m a total d e f u e r zas, o b r a n d o en la d i r e c c i ó n y en el m i s m o sentido q u e las c o m p o n e n t e s . F i g . 36. III. Fuerzas paralelas.
especie d e cuchillo ó clavo q u e atraviesa d i c h a 130. TEOREMA. — Dos fuerzas paralelas aplicadas á un pu$o sólido tienen una resultante igual ú su suma paralela á cada una de ellas, y cuyo punto de aplicación divide la distancia de los puntos de aplicación de las componentes en dos partes, que son inversamente proporcionales á las magnitudes de las componentes.
b a r r a se apoya s o b r e dos c h a p i t a s d e h i e r r o a d a p tada, d e m a n e r a q u e p u e d a moverse l i b r e m e n t e , á la espiga t a m b i é n d e m a d e r a DE q u e le sirve de s o s t e n i m i e n t o . E l f r e n t e a n t e r i o r de esta
barra
lleva diez divisiones d e igual l o n g i t u d en cada u n o d e los lados del p u n t o d e s u s p e n s i ó n , y d e b a j o de los p u n t o s de d i v i s i ó n se hallan colocados otros
I
158
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL,
t a n t o s anillos c o n
el fin d e c o l g a r en ellos los
c u e r p o s ó pesas, c o n s t r u i d a s e n t a l disposición q u e sea fácil d e s u s p e n d e r u n a s á o t r a s c o m o m e d i o de hacer mas palpable la operacion q u e nos ocupa. A h o r a b i e n , s u p o n g a m o s q u e se s u s p e n d e en d o s p u n t o s d e igual d i s t a n c i a del c e n t r o u n a pesa d e }¡00 g r a m o s en c a d a u n o , s e g ú n se ve e n l a fig. 3 7 ; p u e s b i e n , la b a r r a
p e r m a n e c e r á h o r i z o n t a l . Si
a h o r a se t o m a n a m b o s dos pesos y se colocan u n o b a j o del otro en el p u n t o c é n t r i c o d e d i c h a b a r r a como lo d e m u e s t r a l a figura 38, la b a r r a n o c a m b i a r á t a m p o c o d e p o s i c i o n . De a q u í se d e d u c e , sin la m e n o r s o m b r a d e d u d a , q u e la especie d e cuchillo ó clavo quo m a n t i e n e la b a r r a ejerce sobre ella la m i s m a a c c i ó n , s i n a ñ a d i r n i q u i t a r , así e n el p r i m e r caso c o m o e n el s e g u n d o .
TERCERA PARTE. -
CAPITULO III.
les p u e d e n ser r e e m p l a z a d a s p o r u n a sola f ú e r z a c o m p o n e n t e t o d a s las parciales, y aplicada al c e n tro de l a línea r e c t a q u e r e ú n e s u s p u n t o s de aplicación. Mas, n o es esto s o l o : t o m e m o s a h o r a n u e v e pesas de medio k i l ó g r a m o y s u s p e n d á m o s l o s en otros t a n tos anillos de la b a r r a BC, (fig. 36) i g u a l m e n t e d i s tante u n o d e otro, y q u e el del c e n t r o c o r r e s p o n d a al p u n t o d e s u s p e n s i ó n de la m i s m a , y v e r e m o s así m i s m o q u e l a b a r r a c o n s e r v a r á s i e m p r e su posicion h o r i z o n t a l . E s t a posicion t a m p o c o v a r i a r á s i t o m a m o s estos m i s m o s pesos y los c o l o c a m o s , s u s p e n didos u n o s d e otros f o r m a n d o u n a c a d e n a , en el p u n t o céntrico, d e j a n d o v e r asi q u e la b a r r a B C, c a r g a d a de n u e v e pesos iguales r e p a r t i d o s en t o d a su l o n g i t u d , se h a l l a en J a s m i s m a s c o n d i c i o n e s que c u a n d o e s t a b a c a r g a d a d e u n peso ú n i c o d e cuatro k i l o g r a m o s y m e d i o s u s p e n d i d o en el p u n t o mas céntrico. E m p e r o , v o l v a m o s á t o m a r diez pesos de u n ki-
M i l i i i ,
l o g r a m o y c o l o q u e m o s siete e n u n anillo y tres ÍÍÍÍSKI
en otro a n i l l o , s e g ú n lo d e m u e s t r a la figura 39, y la
F i g . 37 y 38.
E s t o m i s m o s u c e d e r i a si s e a u m e n t a s e n l o s p e sos en las m i s m a s p r o p o r c i o n e s ; y l a r a z ó n es p o r q u e en el caso d e l a figura 37, l a b a r r a se h a l l a s o m e t i d a á dos f u e r z a s i g u a l e s ó paralelas, las c „ . Fig. 39.
b a r r a se m a n t e n d r á a u n e n la m i s m a posicion h o r i z o n t a l . R e s u l t a n d o q u e u n peso d e 7 k i l o g r a m o s
L t o i4,y la o t r a d e 3 al p u n t o 6 . P u e . h i
e n g a n c h a d o en el p r i m e r anillo y o t r o de 3 s u s p e n -
e n c o n t r a r s u r e s u l t a n t e d e b e r á p r e c e d e r s e así s Se
d i d o en el s e g u n d o , p r o d u c e n el m i s m o e f e c t o q u e
considerará la f u e r z a d e 9 k i l o g r a m o s c o m o a p r o -
u n peso de diez k i l o g r a m o s e n g a n c h a d o e n el p u n t o
viniera de la f u e r z a 3 a p l i c a d a á Jf y de u n a f u e r
c é n t r i c o . P o r c o n s i g u i e n t e , o b s e r v a n d o q u e el seg u n d o a b r a z a tres d i v i s i o n e s d e la b a r r a m i e n t r a s q u e el p r i m e r o c o n t i e n e siete, e n t o n c e s n o p o d r á m e n o s d e d e d u c i r s e el t e o r e m a q u e h e m o s esta-
•
sentido c o n t r a r i o , u n a de 9 k i l o g r a m o s a p l i c a d a al para
de 6 a p l i c a d a e n D ; al a f e c t o se p r o l o n g a r a BAj
I
L I A
i " M I
se
•
t o m a r á la d i s t a n c i a A D de m a n e r a q u e n o s dé p o r
m
t í i
resultado :
•
r
AJL AB
blecido al p r i n c i p i o de e s t e p á r r a f o , y q u e a h o r a
•
v a m o s á d e m o s t r a r con los s i g u i e n t e s e j e m p l o s . La fuerza de 9 kilogramos estando reemplazada
4' « v i 131. EJEMPLO. — I m a g i n e m o s el c u e r p o C ( f i g . 40)
por s u s d o s c o m p o n e n t e s , se t e n d r á e n el p u n t o B dos f u e r z a s d e 3 k i l ó g r a m o s c a d a u n a y de s e n t i d o c o n t r a r i o q u e se d e s t r u y e n e n t é r m i n o s q u e solo q u e d a r á u n a f u e r z a de 6 k i l ó g r a m o s a p l i c a d a al
BE: i
m
p u n t o D , q u e s e r á l a r e s u l t a n t e d e las f u e r z a s dadas.
m
132. EJEMPLO SEGUNDO. -
Sometamos pues
el
c u e r p o C á l a a c c i ó n de c u a t r o f u e r z a s p a r a l e l a s , u n a d e 3 k i l ó g r a m o s a p l i c a d a al p u n t o A, o t r a d e b a p l i c a d a al p u n t o D, otra d e 4 a p l i c a d a al p u n t o E, y por fin o t r a d e u n o al p u n t o B. Las d o s f u e r zas A, D p u e d e n s e r r e e m p l a z a d a s p o r u n a f u e r z a de o c h o k i l ó g r a m o s a p l i c a d o al p u n t o O ; y e n este
Mí
caso se t e n d r á : OA O í " s o m e t i d o á la a c c i ó n d e d o s f u e r z a s p a r a l e l a s y do
"fe..
5 3 '
La expresada fuerza de 8 kilógramos puede c o m -
1
162
M A N U A L DE M E C A N I C A
INDUSTRIAL,
ponerse eon la aplicada al p u n t o E, y entonces resultará u n a fuerza de 12 k i l o g r a m o s aplicada al
T E R C E R A P A R T E . - C A P I T U L O III-
definitiva u n a f u e r z a de 13 kilogramos aplicada al p f n t o OS que será ta r e s u l t a n t e de todas las f u e r Za
c
W
H é a a b í el m o d o de componer e n u n a sola las
fuerzas paralelas de u n m i s m o sentido, cualquiera que
ca su n ú m e r o , p u e s en todos los casos q u e
H
puedan imaginarse la r e s u l t a n t e será siempre la i
suma de todas las componentes.
133. OBSERVACION. - Siempre que u n cuerpo se someta á la acción de n u m e r o s a s fuerzas paralelas, p e r o o b r a n d o en sentido contrario unas de otras, se buscará la r e s u l t a n t e de las primeras, e n seguida la de las ú l t i m a s , y se obtendrá de esta m a nera las dos r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s , la u n a e j e r ciendo s u acción en sentido contrario, y la otra en direcciones paralelas. Hecho e s t o , ya n o q u e d a m a S que c o m p o n e r entre si las dos r e s u l t a n t e s parciales, según lo h e m o s demostrado e n el par-
•fc-. fe
«
i
•
rafo 131 Esta ú l t i m a composicion podrá efectuarse siempre,- al menos que las dos resultantes p a r d a les no
sean iguales y no obren
siguiendo
la
misma recta. E n este caso excepcional, las fuerzas dadas no t e n d r á n resultante. Fig. 41. 1 3 4 . T R A B A J O DE LAS FUERZAS P A R A L E L A S .
p u n t o O'. Ultimamente, esta n u e v a r e s u l t a n t e parc a l se compondrá con la f u e r z a a p l i c a d a al p u n t o B. y naciendo la operacion a l g é b r i c a se o b t e n d r á en
REMA. -
TEO-
Cuando u n sistema de fuerzas paralelas
tiene u n a resultante, el t r a b a j o elemental de esta fuerza es igual al de s u s componentes.
1 1
135. OTRO TEOREMA. -
C u a n d o las fuerzas para-
l e l a s s e h a c e n e q u i l i b r i o , la s u m a d e s u s t r a b a j o s e s e n t e r a m e n t e n u l a p a r a el c a m b i o d e sitio del c u e r p o ó c u e r p o s s o m e t i d o s á su a c c i ó n .
136.
T R A P A J O DE L A S F U E R Z A S . -
Las
CAPITULO
proyec-
IV
ciones de los elementos del c a m i n o recorrido sob r e las d i r e c c i o n e s d e l a s f u e r z a s y los t é r m i n o s de a igualdad
es lo q u e s e l l a m a t r a b a j o d e estas
De los centros de g r a v e d a d de los cuerpos.
f u e r z a s . Tal es la i g u a l d a d q u e e n c i e r r a el t e o r e m a p r e c e d e n t e del t r a b a j o d e l a s f u e r z a s , q u e n o demostra p r á c t i c a m e n t e p o r g u e r i g u r o s a m e n t e 1 3 7 . DEFINICIÓN
h a b l a n d o q u e d a ya explicado en los ejemplos e x p u e s t o s e n el p r e s e n t e c a p í t u l o .
DEL
CENTRO DE GRAVEDAD. —
Y a h e m o s d i c h o e n o t r o c a p í t u l o q u e u n c u e r p o sólido se c o m p o n e d e l c o n j u n t o d e n u m e r o s a s
mo-
l é c u l a s r e u n i d a s m a s ó m e n o s c o m p a c t a m e n t e en posiciones d e t e r m i n a d a s . Todas estas
moléculas
s o n g r a v e s y t i e n d e n s i e m p r e h a c i a s u c e n t r o ; pero c o m o s u s d i m e n s i o n e s s o n i m p e r c e p t i b l e s relativ a m e n t e al r a d í o d e l g l o b o , d e b e m o s c o n s i d e r a r el peso d e t o d a s e s t a s m o l é c u l a s c o m o f u e r z a s p a r a lelas d e u n m i s m o s e n t i d o , q u e t i e n e n por c o n s e c u e n c i a u n a r e s u l t a n t e i g u a l á la s u m a d e t o d a s ellas, d i r i g i d a , c o m o l a s c o m p o n e n t e s , h á c i a
el
c e n t r o d e la t i e r r a . E s t a r e s u l t a n t e es lo q u e llam a m o s peso del c u e r p o .
138.
CENTRO
DE
G R A V E D A D DE UN SISTEMA
DE
CUERPOS. — L a n o c i o n d e l c e n t r o d e g r a v e d a d se extiende n a t u r a l m e n t e á u n sistema cualquiera de c u e r p o s l i g a d o s ó n o l o s u n o s c o n los o t r o s , y e n -
135. OTRO TEOREMA. -
C u a n d o las fuerzas para-
l e l a s s e h a c e n e q u i l i b r i o , la s u m a d e s u s t r a b a j o s e s e n t e r a m e n t e n u l a p a r a el c a m b i o d e sitio del c u e r p o ó c u e r p o s s o m e t i d o s á su a c c i ó n .
136.
T R A P A J O DE L A S F U E R Z A S . -
Las
CAPITULO
proyec-
IV
ciones de los elementos del c a m i n o recorrido sob r e las d i r e c c i o n e s d e l a s f u e r z a s y los t é r m i n o s de a igualdad
es lo q u e s e l l a m a t r a b a j o d e estas
De los centros de g r a v e d a d de los cuerpos.
f u e r z a s . Tal es la i g u a l d a d q u e e n c i e r r a el t e o r e m a p r e c e d e n t e del t r a b a j o d e l a s f u e r z a s , q u e n o demostra p r á c t i c a m e n t e p o r g u e r i g u r o s a m e n t e 1 3 7 . DEFINICIÓN
h a b l a n d o q u e d a ya explicado en los ejemplos e x p u e s t o s e n el p r e s e n t e c a p í t u l o .
DEL
CENTRO DE GRAVEDAD. —
Y a h e m o s d i c h o e n o t r o c a p í t u l o q u e u n c u e r p o sólido se c o m p o n e d e l c o n j u n t o d e n u m e r o s a s
mo-
l é c u l a s r e u n i d a s m a s ó m e n o s c o m p a c t a m e n t e en posiciones d e t e r m i n a d a s . Todas estas
moléculas
s o n g r a v e s y t i e n d e n s i e m p r e h a c i a s u c e n t r o ; pero c o m o s u s d i m e n s i o n e s s o n i m p e r c e p t i b l e s relativ a m e n t e al r a d í o d e l g l o b o , d e b e m o s c o n s i d e r a r el peso d e t o d a s e s t a s m o l é c u l a s c o m o f u e r z a s p a r a lelas d e u n m i s m o s e n t i d o , q u e t i e n e n por c o n s e c u e n c i a u n a r e s u l t a n t e i g u a l á la s u m a d e t o d a s ellas, d i r i g i d a , c o m o l a s c o m p o n e n t e s , h á c i a
el
c e n t r o d e la t i e r r a . E s t a r e s u l t a n t e es lo q u e llam a m o s peso del c u e r p o .
138.
CENTRO
DE
G R A V E D A D DE UN SISTEMA
DE
CUERPOS. — L a n o c i o n d e l c e n t r o d e g r a v e d a d se extiende n a t u r a l m e n t e á u n sistema cualquiera de c u e r p o s l i g a d o s ó n o l o s u n o s c o n los o t r o s , y e n -
¡611
MANUAL DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L ,
m Ir - 'w
t i f l
de los pesos d e t o d o s e s t o s c u e r p o s . P o r lo t a n t o , la e x p r e s a d a n o c i o n n o s u p o n e n e c e s a r i a m e n t e la
ficie.
q u i e r a d e p u n t o s m a t e r i a l e s , c u y a s p o s i c i o n e s , volúmenes y densidades p u e d e n variar, siempre que
p u e s t o solo d e u n a h i l e r a d e m o l é c u l a s , este c i -
se les c o n s i d e r e e n u n e s t a d o d a d o e n u n i n s t a n t e
lindro pesado tiene su centro de gravedad l l a m a d o
determinado.
centro d3 gravedad de la linea.El
C u a n d o se c o n o c e n los p e s o s y los c e n t r o s de u n s i s t e m a , se d e t e r m i n a el c e n t r o d e g r a v e d a d general aplicando las f ó r m u l a s
q u e f a c i l i t a n el
DE
A q u í h a b l a m o s solo d e l o s c u e r p o s h o m o g é n e o s ,
c i o n a l á su v o l u m e n , y , s a b i d o e s t o , p u e d e n e s t a b l e c e r s e las f ó r m u l a s q u e d a n el c e n t r o de g r a v e d a d , los pesos p o r los v o l ú m e n e s . E l p r o b l e m a se r e d u c e así á u n a c u e s t i ó n g e o m é t r i c a , y el c e n t r o d e g r a v e d a d se l l a m a centro de gravedad del
V
volumen.
Si se c o n s i d e r a u n a s u p e r f i c i e s e m e j a n t e á l a de
: ;
F
v o l ú m e n del c i l i n -
d r o es p r o p o r c i o n a l á s u l o n g i t u d . 1 4 0 . CASOS E N
QUE L A F I G U R A
T I E N E UN P L A N O
SIMÉTRICO, U N E J E Ó UN CENTRO DE F I G U R A . — l . ° T o d a
figura
que p u e d a descomponerse en partes que ten-
p l a n o ó s o b r e u n a m i s m a r e c t a , t i e n e su c e n t r o de 1 3 9 . C E N T R O DE G R A V E D A D DE LOS C U E R P O S ,
c u y a m a t e r i a se c o n s i d e r a d i s i r i b u i d a u n i f o r m e -
l i *
s u m a m e n t e delgado, c o m -
gan todos sus centros de gravedad sobre u n m i s m o
m e n t e . E n e s t e caso el p e s o d e l c u e r p o es p r o p o r -
• (MJ
homogéneo
g r a v e d a d d e los d i v e r s o s c u e r p o s q u e c o m p o n e n
L A S S U P E R F I C I E S Y DE L A S L Í N E A S H O M O G É N E A S . —
É
Si se c o n s i d e r a u n a l í n e a c u a l q u i e r a c o m o u n cilindro
c e n t r o d e las f u e r z a s p a r a l e l a s . I •• . ' t
iCT
l u m e n d e d i c h a h o j a e s p r o p o r c i o n a l á su s u p e r -
solidez de los c u e r p o s : se a p l i c a á u n s i s t e m a c u a l -
t
T E R C E R A P A R T E . — CAPITULO I V .
t o n c e s os el p u n t o d e a p l i c a c i ó n de l a r e s u l t a n t e
g r a v e d a d s o b r e d i c h o p l a n o ó d i c h a r e c t a . 2.° T o d a figura
q u e t e n g a u n p l a n s i m é t r i c o , t i e n e su c e n -
tro de g r a v e d a d e n este p l a n o . P o r q u e d o s e l e m e n tos s i m é t r i c o s c u a l e s q u i e r a q u e t e n g a n pesos i g u a les y los c e n t r o s d e g r a v e d a d á i g u a l d i s t a n c i a d e l p l a n o , el c e n t r o d e g r a v e d a d de s u s i s t e m a está e n el p l a n o . L u e g o t a m b i é n se e n c u e n t r a el c e n t r o d e g r a v e d a d g e n e r a l (caso i . ' ) . 3.° T o d a figura q u e t i e n e u n eje s i m é t r i c o t i e n e s u c e n t r o de g r a v e d a d sobre este e j e . Un e j e s i m é t r i c o ó d e s i m e t r í a es la i n t e r s e c c i ó n d e d o s p l a n o s s i m é t r i c o s . 4.° T o d a fi-
u n a hoja homogénea q u e t e n g a por espesor cons-
gura que tenga
t a n t e el d i á m e t r o de u n a m o l é c u l a , e s t a h o j a t i e n e
c e n t r o de g r a v e d a d e n e s t e punto.
un centro de
figura,
tiene
Porque
su toda
u n c e n t r o de g r a v e d a d , q u e s e d e n o m i n a centro de
recta q u e p a s a p o r d i c h o p u n t o y se t e r m i n a en la
gravedad
figura,
de la superficie.
Deberá
tenerse siempre
presente para no padecer equivocación, que el vo-
s i e n d o d i v i d i d a p o r él en d o s p a r t e s i g u a l e s
la n i l e r a d e m o l é c u l a s q u e c o n t i e n e , t i e n e s u c e n -
.{Js . ;
168
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL.
t r o d e g r a v e d a d e n este p u n t o . L o m i s m o s u c e d e ,
CAPITULO IV.
c i o n o p u e s t a . A s í , s u p o n i e n d o a d e m á s q u e la direc-
p u e s , r e s p e c t o del c e n t r o d e g r a v e d a d g e n e r a l .
í i l
TERCERA PARTE. -
ción d e la c u e r d a s e p r o l o n g a p o r el i n t e r i o r del I
•
ifev:
142. D e lo e x p u e s t o e n e l p á r r a f o p r e c e d e n t e r e sulta q u e : El centro de gravedad
d e u n a l í n e a e s t á en
medio. El del contorno
ó área de u n
paralelógramo
e s t á e n el p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s d i a g o n a l e s . El del área de u n polígono regular ó de u n círc u l o e s t á e n el c e n t r o d e la 4 v i-
e s t á e n el p u n t o d e e n c u e n t r o d e l a s d i a g o n a l e s .
i
&
¡i •> <
•J
figura.
E l d e l á r e a ó del v o l u m e n d e u n p a r a l e l i p í p e d o E l d e la s u p e r f i c i e ó v o l u m e n d e u n a esfera está e n el c e n t r o . E l del á r e a ó d e l v o l u m e n d e u n c i l i n d r e r e c t o ú o b l i c u o y d e b a s e s c i r c u l a r e s está e n m e d i o d e su
Fip. 4 í .
eje. c u e r p o s i g u i e n d o l a l í n e a C D, e s t a l í n e a d e b e r á 1 4 1 . D E T E R M I N A C I Ó N E X P E R I M E N T A L DEL CENTRO
í .* ' j
DE GRAVEDAD. — S u p o n g a m o s u n c u e r p o s u s p e n dido de u n a c u e r d a
según
lo d e m u e s t r a la
fi-
pasar por su centro de gravedad. Suspendiéndolo
en seguida por otro punto,
el
cuerpo t o m a r á n u e v o equilibrio. E n esta última
I K f j
g u r a 42, y v e r e m o s e n s e g u i d a q u e t o m a c i e r t o
p o s i c i o n , y s u p u e s t o q u e la c u e r d a se p r o l o n g a
•
e q u i l i b r i o . L a f u e r z a q u e le i m p e l e p a r a precipi-
p o r el i n t e r i o r d e l c u e r p o s i g u i e n d o A B ( f i g u r a 43),
t a r l o á l a t i e r r a e s s u p e s o específico, y el p u n t o
esta c u e r d a p a s a r á p o r el c e n t r o d e g r a v e d a d C D.
de aplicación de esta fuerza, su centro de gravedad.
y si se c o n s e r v ó el t r a z a d o d e la p r i m e r a l í n e a C D
u
fe
E l c u e r p o , si n o cae e s p o r q u e e x p e r i m e n t a de p a r t e d e la c u e r d a u n a t r a c c i ó n d i r i g i d a d e a b a j o
q u e p a s ó y a p o r e s t e p u n t o , s e v e r á q u e C D se e n c o n t r a r á c o n A B e n e l p u n t o E.
a r r i b a q u e h a c e e q u i l i b r i o c o n la p r i m e r a f u e r z a ,
Si el p r e c e d e n t e m e d i o d e e n c o n t r a r el c e n t r o d e
y q u e p o r lo tanto debe serle igual, pero e n direc-
g r a v e d a d p a r e c e d e difícil a p l i c a c i ó n p o r q u e s u pone tiradas dos líneas por el interior del cuerpo, 10
A
170
MANUAL DE MECANICA
INDUSTRIAL, TERCERA PARTE -
C A P I T U L O IV.
171
a d u c i r e m o s otro e j e m p l o q u e n o s p r o p o r c i o n a r á las , Ir .. i J*,:
indicaciones n e c e s a r i a s p a r a h a l l a r el l u g a r q u e este p u n t o ocupa en el i n t e r i o r d e l m i s m o c u e r p o .
I K f I ®
m
c>
1)
\
1 4 3 . C E N T R O DE GRAVEDAD DE LOS
VOLÚMENES.
— Divídase u n p r i s m a cualquiera, c u y a base s e a b y su altura h p o r la p a r t e n, p r i s m a s iguales con p l a nos equidistantes paralelos á las bases, y se h a l l a r á que los c e n t r o s d e gravedad e s t á n colocados d e la m i s m a m a n e r a e n estos p r i s m a s ; y p o r lo m i s m o se e n c u e n t r a n todos s o b r e la m i s m a paralela á los extremos laterales y á igual d i s t a n c i a de l a b a s e inferior del p r i s m a c o r r e s p o n d i e n t e . Siendo esta d i s t a n c i a ® , las d i s t a n c i a s de los d i v e r s o s c e n t r o s de gravedad á la base del plano i n f e r i o r del p r i s m a , t o m a d o s p o r plano de los m o m e n t o s , s e r á n respectivamente:
vi* ;) ,- —.
¡i
x', tf + A . o ' - h J f c ^ n n B
Desde luego el v o l u m e n de cada p r i s m a p a r c i a l es F f c . 43.
b ~ ' I ® ! Jt" J 'Y y'-f j
••.
y *• •.
(n-íh) n
Tómese u n a b a r r a d e h i e r r o ó d e m a d e r a m a s delgada de un e x t r e m o q u e d e l o t r o p a r t i e n d o la d i s m i n u c i ó n insensible de su v o l u m e n desde el p r i n cipio del p r i m e r e x t r e m o h a s t a q u e e l opuesto q u e d e como la m i t a d del d i á m e t r o d e a q u e l ; p o n g á m o s l a en seguida s o b r e u n eje y n o la d e j e m o s h a s t a q u e h a y a q u e d a d o en e q u i l i b r i o , y e n t o n c e s h a l l a r e m o s q u e el c e n t r o d e g r a v e d a d de d i c h a b a r r a está s i t u a d o en el p u u t o d e l a m i s m a q u e se e n c u e n t r a en c o n t a c t o c o n el eje ó p u n t o de apoyo.
: el del p r i s m a entero ó total es bh. L u e g o si
la d i s t a n c i a del c e n t r o de g r a v e d a d b u s c a d o e n l a base es x, la e c u a c i ó n d e los m o m e n t o s d a r á : hhx = b ~
"
(»'4-®'
-
+ —
—
+
+
"
a> = J L ( « « » + J L 11 + 2 + ... +
. . i.
•+-...
1 \
h
n-lf),
N'Us
Si a d e m á s se s u p o n e q u e n a u m e n t a i n d e f i n i d a • II-
i
m e n t e , a;' d i s m i n u y e i n d e f i n i d a m e n t e , y a =
A .
Así, el centro de gravedad de un prisma cualquiera está en medio de la recta que une los centros de gravedad de sus bases.
gulos. L u e g o , el c e n t r o de gravedad b u s c a d o es el m i s m o del c o n j u n t o de d i c h o s triángulos ó del polígono de sección. Así pues, el centro de g r a v e d a d
E s fácil de d e s c o m p o n e r u n a p i r á m i d e p o r m e d i o
?•«*>. s í
de u n a p i r á m i d e es el d e la sección c o n d u c i d a p a r a l e l a m e n t e á la base, á u n a distancia igual á
3
d e la a l t u r a p r i n c i p i a n d o por la v é r t i c e ; y p o r 1 4 4 . CENTRO DE G R A V E D A D DE ÜNA P I R Á M I D E . —
1
1 ,
c o n s i g u i e n t e está s o b r e l a recta q u e va desde la vértice al c e n t r o d e g r a v e d a d de la base.
de p l a n o s d i a g o n a l e s e n t e t r á e d r o s q u e t e n g a n u n a vértice c o m ú n y á l a m i s m a a l t u r a . Si se la h a c e u n a sección p a r a l e l a á la liase y á la d i s t a n c i a de Q
la vértice i g u a l á - ' t - d e l a a l t u r a , este polígono j
i
i* . 3 u
J
)
| v
¡
J -
í'fTI!^
;
e n c i e r r a los c e n t r o s d e g r a v e d a d d e todos los tet r á e d r o s y p o r c o n s i g u i e n t e el d e la p i r á m i d e . Adem á s , los c e n t r o s do g r a v e d a d d e los diversos t e t r á e d r o s s o n los d i v e r s o s á n g u l o s de la sección, p u e s la recta q u e va d e s d e l a vértice d e u n t e t r á e d r o h a s t a el c e n t r o d e g r a v e d a d de su base, pasa p o r t o d o s los c e n t r o s d e g r a v e d a d de las secciones paralelas á d i c h a base. P o r consiguiente, b a s t a p a r a o b t e n e r el d e las p i r á m i d e s con aplicar á los c e n t r o s de g r a v e d a d d e los t r i á n g u l o s d e las secciones d é l a s f u e r z a s p r o p o r c i o n a l e s á los v o l ú m e n e s d e los t e t r á e d r o s c o r r e s p o n d i e n t e s , y d e c o m p o n e r las e x p r e s a d a s f u e r z a s . Estos t e t r á e d r o s t e n i e n d o la m i s m a a l t u r a , s o n p r o p o r c i o n a l e s á sus bases, y p o r c o n s e c u e n c i a á los t r i á n g u l o s d e la sección. L u e g o , en d e f i n i t i v a , las fuerzas aplicadas deben ser p r o p o r c i o n a l e s á l a s áreas d e estos trián-
1 4 3 . C E N T R O S DE GRAVEDAD DE UN CONO T DE UN
CILINDRO. — C u a n t o a c a b a m o s de e x p o n e r en el p r e c e d e n t e p á r r a f o , es i n d e p e n d i e n t e del n ú m e r o de lados d e la base d e la pirámide. E l r e s u l t a d o obtenido se aplica, p u e s , al caso en q u e este n ú m e r o se a u m e n t a i n f i n i t a m e n t e ó en q u e las p i r á m i d e s se c a m b i a n e n c o n o . Luego el c e n t r o de gravedad del cono se e n c u e n t r a sobre la recta q u e u n e su vértice al c e n t r o d e gravedad d e la base, y á u n a d i s t a n c i a i g u a l á l a c u a r t a parte de su l o n g i t u d p r i n c i p i a n d o á m e d i r p o r la base.
# 1
m ü 7
• 'v!i I I
Se e v i d e n c i a r á i g u a l m e n t e , que el resultado obt e n i d o e n el p á r r a f o 143 se extiende t a m b i é n al cilindro, y q u e e n su v i r t u d el centro do gravedad
H i
de u n cilindro está e n m e d i o de la r e c t a q u e u n e los c e n t r o s d e g r a v e d a d d e s u s bases. •i¡ • i . .
1 4 6 . T R A P A J O DE L A GRAVEDAD SORRE UN CUERPO ó SORRE UN SISTEMA D E CUERPOS. — E s t e t r a b a j o e s
el m i s m o q u e l a m a s a d e dichos c u e r p o s h a r i a si 10.
i * •
-
M
se hallase concentrada en s u general.
centro de gravedad
Así, c u a n d o s e l e v a n t a u n c u e r p o c u a l q u i e r a P c o n m o v i m i e n t o u n i f o r m e á u n a a l t u r a v e r t i c a l h,
C
P
A
CUY
A
P
M
U
se d e s p l i e g a u n a f u e r z a F c o n s t a n t e i g u a l y c o n t r a r i a al c u e r p o P. P o r c o n s i g u i e n t e , el t r a b a j o d e esta
DE
LAS
MAQUINAS
f u e r z a es igual y c o n t r a r i a a l d e P, y c o m o e s t e ú l t i m o es — Ph, el t r a b a j o d e la f u e r z a F e s +
Ph.
No d e p e n d e , p u e s , m a s q u e d e l a a l t u r a v e r t i c a l r e c o r r i d a p o r el c u e r p o . S i n e m b a r g o , si el m o t o r f u e r a u n h o m b r e ó u n caballo, en este caso es ne-
CAPITULO
PRIMERO
c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a l o n g i t u d d e l c a m i n o rec o r r i d o h o r i z o n t a l m e n t e , l o c u a l o c a s i o n a ó u n a fatiga ó u n a pérdida de tiempo q u e no están
com-
Nociones g e n e r a l e s de las
máquinas
p r e n d i d a s en la p r e c e d e n l e e v a l u a c i ó n d e l t r a b a j o . 147. L a s m á q u i n a s t i e n e n p o r o b j e t o el t r a n s m i t i r , b a j o c i e r t a s c o n d i c i o n e s , la a c c i ó n y el t r a b a j o d e las f u e r z a s q u e c a d a u n a t i e n e . P o r lo g e n e r a l , el t r a b a j o m o t o r e s m a y o r q u e el t r a b a j o ú t i l , de m a n e r a q u e m u c h a s veces lo q u e s e g a n a e n f u e r z a se p i e r d e e n t i e m p o ó e n c a m i n o , y esto a u n en l a s d e v a p o r y e l e c t r i c i d a d p a r a l a s v í a s
fér-
reas, n a v e g a c i ó n y t e l é g r a f o s e l é c t r i c o s , e t c . 148. DEFINICIÓN
DE L A S
MÁQUINAS. —
Cuando
las f u e r z a s e j e r c e n s u a c c i ó n u n a s sobre o t r a s p o r medio de u n c u e r p o sólido e n t e r a m e n t e libre, p u e d e n e q u i l i b r a r s e si n o l l e n a n l a s
no
condiciones
d e t e r m i n a d a s p o r la c i e n c i a . P e r o s i el c u e r p o s e halla e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o
por algún
se hallase concentrada en s u general.
centro de gravedad
Así, c u a n d o s e l e v a n t a u n c u e r p o c u a l q u i e r a P c o n m o v i m i e n t o u n i f o r m e á u n a a l t u r a v e r t i c a l h,
C
P
A
CUY
A
P
M
U
se d e s p l i e g a u n a f u e r z a F c o n s t a n t e i g u a l y c o n t r a r i a al c u e r p o P. P o r c o n s i g u i e n t e , el t r a b a j o d e esta
DE
LAS
MAQUINAS
f u e r z a es igual y c o n t r a r i a a l d e P, y c o m o e s t e ú l t i m o es — Ph, el t r a b a j o d e la f u e r z a F e s +
Ph.
No d e p e n d e , p u e s , m a s q u e d e l a a l t u r a v e r t i c a l r e c o r r i d a p o r el c u e r p o . S i n e m b a r g o , si el m o t o r f u e r a u n h o m b r e ó u n caballo, en este caso es ne-
CAPITULO
PRIMERO
c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a l a l o n g i t u d d e l c a m i n o rec o r r i d o h o r i z o n t a l m e n t e , l o c u a l o c a s i o n a ó u n a fatiga ó u n a pérdida de tiempo q u e no están
com-
Nociones g e n e r a l e s de las
máquinas
p r e n d i d a s en la p r e c e d e n l e e v a l u a c i ó n d e l t r a b a j o . 147. L a s m á q u i n a s t i e n e n p o r o b j e t o el t r a n s m i t i r , b a j o c i e r t a s c o n d i c i o n e s , la a c c i ó n y el t r a b a j o d e las f u e r z a s q u e c a d a u n a t i e n e . P o r lo g e n e r a l , el t r a b a j o m o t o r e s m a y o r q u e el t r a b a j o ú t i l , de m a n e r a q u e m u c h a s veces lo q u e s e g a n a e n f u e r z a se p i e r d e e n t i e m p o ó e n c a m i n o , y esto a u n en l a s d e v a p o r y e l e c t r i c i d a d p a r a l a s v í a s
fér-
reas, n a v e g a c i ó n y t e l é g r a f o s e l é c t r i c o s , e t c . 148. DEFINICIÓN
DE L A S
MÁQUINAS. —
Cuando
las f u e r z a s e j e r c e n s u a c c i ó n u n a s solire o t r a s p o r medio de u n c u e r p o sólido e n t e r a m e n t e libre, p u e d e n e q u i l i b r a r s e si n o l l e n a n l a s
no
condiciones
d e t e r m i n a d a s p o r la c i e n c i a . P e r o s i el c u e r p o s e halla e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o
por algún
176
M A N U A L D E MECANICA INDUSTRIAL,
o b s t á c u l o , t o d a s l a s p r e c e d e n t e s condiciones n o s o n y a n e c e s a r i a s . P o r e j e m p l o , si el obstáculo es u n p u n t o fijo e n cuyo d e r r e d o r t i e n e el c u e r p o la l i b e r t a d d e m o v e r s e , y a n o es m e n e s t e r p a r a obt e n e r el e q u i l i b r i o el o p o n e r á cada u n a de las dos r e s u l t a n t e s S y T u n a f u e r z a igual y
contraria;
p u e s c o m o u n a d e ellas S p u e d e p a s a r s i e m p r e por el p u n t o lijo, b a s t a e n t o n c e s c o n aplicar al c u e r p o o t r a f u e r z a V, elegida d e tal m a n e r a q u e la result a n t e c o m ú n d e F y V v a y a á p a s a r t a m b i é n p o r el punto
fijo.
h e c h o por estas se h a l l a destruido con el auxilio de la m á q u i n a p o r el t r a b a j o motor de las primeras. P o r lo t a n t o , p u e d e decirse con b a s t a n t e razón que : Una máquina es un conjunto Je piezas coordinadas con el fin de transmitir
perfectamente
bajo ciertas condi-
ciones la acción y el trabajo de las fuerzas. Las m á q u i n a s son simples y compuestas. Las compuestas s o n el c o n j u n t o de m u c h a s m á q u i nas s i m p l e s q u e i n f l u y e n u n a s sobre o t r a s .
U n c u e r p o asi e m b a r a z a d o en su m o v i m i e n t o p o r u n o b s t á c u l o , ^s u n a
máquina.
dos fuerzas desiguales p u e d e n h a -
cerse e q u i l i b r i o , s i e m p r e q u e su r e s u l t a n t e
en-
c u e n t r e el o b s t á c u l o fijo. E n t o n c e s la acción de la m a s d é b i l se t r a n s m i t e p o r m e d i o de l a m á q u i n a cambiando de dirección y modificándose de man e r a q u e e s t a acción se h a g a considerable. estu-
d i a r s u m o v i m i e n t o b a j o el p u n t o d e vista de la acción d e l a s f u e r z a s q u e les s o n aplicadas. De este m o d o s i e m p r e se r e c o n o c e r á q u e esto m o v i m i e n t o es efecto d o l a acción do u n a ó m u c h a s f u e r z a s , c u y o s p u n t o s d e aplicación c a m b i a n lugar para producir u n trabajo motor que
s o n u n cuerpo sólido e m b a r a z a d o
ción y el t r a b a j o d e las fuerzas. H a c i e n d o a t e n ción á l a n a t u r a l e z a del obstáculo, las simples
pueden
r e d u c i r s e á tres
La palanca, la polea, ó rueda, y el plan
máquinas
principales : inclinado.
E n la palanca el obstáculo es un p u n t o fijo, en cuyo d e r r e d o r el c u e r p o sólido tiene la
libertad
de m o v e r s e en t o d o s sentidos.
E m p e r o , n o b a s t a de c o n s i d e r a r l a s m á q u i n a s e n el e s t a d o d e equilibrio. E s i n d i s p e n s a b l e
Las simples
en su m o v i m i e n t o , d e s t i n a d a s á t r a n s m i t i r la a c -
A h o r a se c o m p r e n d e r á q u e con el auxilio de esta m á q u i n a
m i s m a s q u i s i e r a n s e g u i r . E l t r a b a j o de resistencia,
de
En la rueda ó cábria
el obstáculo es u n eje fijo,
en d e r r e d o r del c u a l cada p u n t o del c u e r p o sólido no tiene m a s l i b e r t a d que la de m o v e r s e en u n plano p e r p e n d i c u l a r á la dirección de dicho eje. E n el plano inclinado
el obstáculo es u n plano fijo
c o n t r a el c u a l se a p o y a el cuerpo sólido, y tiene la liberlad de d e s l i z a r s e .
pueda
t r i u n f a r d e la acción de o t r a s f u e r z a s c u y o s p u n -
1 4 9 . D I S T I N C I Ó N DE L A S FUERZAS. — L a s f u e r z a s
tos de aplicación s o n c o n t r a r i o s al s e n t i d o q u e las
q u e o b r a n en l a s m á q u i n a s pueden dividirse en
178
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
tres claces á s a b e r : en fuerzas tentes útiles y en resistentes
motrices,
en
resis-
Asi, p a r a m a y o r i n t e l i g e n c i a
representaremos
con Fin el t r a b a j o positivo ó m o t o r ; c o n F u el t r a -
pasivas.
L a s motrices son el viento, el v a p o r , el a g u a y la
bajo útil y c o n F p el t r a b a j o pasivo.
Ellas
P u e d e n considerarse a u n o t r a s diversas f u e r z a s ,
solas p o n e n las m á q u i n a s en m o v i m i e n t o , y por
como las r e s i s t e n c i a s q u e n a c e n e n u n a m á q u i n a
esta r a z ó n se las h a d e n o m i n a d o potencias. E l ca-
del p u n t o fijo, del eje ó del p l a n o i n v a r i a b l e q u e
m i n o r e c o r r i d o p o r el p u n t o de a p l i c a c i ó n d e cual-
e m b a r a z a su m o v i m i e n t o . T o d a s estas r e s i s t e n c i a s
q u i e r a d e ellas f o r m a s i e m p r e u n á n g u l o agudo
p u e d e n a s i m i l a r s e á las p r i n c i p a l e s f u e r z a s a n t e s
acción m u s c u l a r del h o m b r e ó del a n i m a l .
c o n la d i r e c c i ó n de esta fuerza. E l t r a b a j o es posi-
detalladas. I n c a p a c e s d e p r o d u c i r el m o v i m i e n t o ,
tivo ó motor.
solo sirven p a r a d e s t r u i r l o . S i n e m b a r g o , n a d a útiles,
i m p i d e q u e c o n s i d e r e m o s estos obstáculos corno
•son l a s q u e tiene q u e v e n c e r la m á q u i n a p a r a p r o -
f u e r z a s iguales y c o n t r a r i a s á l a s q u e ellas a n i q u i -
d u c i r su efecto, c o m o l a ' r e s i s t e n c i a q u e ofrece un
lan c u a n d o f u n c i o n a n . E m p e r o , respecto de los dos
c u e r p o q u e se q u i e r e elevar, u n á r b o l q u e la sierra
p r i m e r o s casos (del p u n t o ó e j e fijo) los p u n t o s de
q u i e r e dividir, ó el g r a n o d e trigo q u e la
piedra
aplicación q u e d a n fijos paru todos los c a m b i o s de
q u i e r e m o l e r . P o r c o n s e c u e n c i a , la m á q u i n a ha
fuerza en el p l a n o i n v a r i a b l e . L u e g o el t r a b a j o de
sido i n v e n t a d a para t r i u n f a r de t o d a s estas r t á i s -
las m i s m a s f u e r z a s es s i e m p r e n u l o y n o debe t e -
tencias y d e o t r a s s e m e j a n t e s . Los c a m i n o s des-
nerse en c u e n t a .
Las fuerzas
resi tentes,
ó de resistencias
critos p o r los p u n t o s de aplicación d e estas r e sistencias v e n c i d a s , f o r m a n s i e m p r e á n g u l o s obtusos c o n las direcciones de d i c h a s f u e r z a s . El t r a b a j o desarrollado es negativo ó r e s i s t e n t e , y se le l l a m a trabajo
útil.
Las pasivas ó lañosas, c o m o el r o c e de las diversas p a r t e s de l a m á q u i n a e n t r e si, la resistencia de los p u n t o s s o b r e q u é se m u e v e n , la t i r a n t e z de las c u e r d a s , etc., etc. Dichas fuerzas s u m i n i s t r a n
un
t r a b a j o r e s i s t e n t e q u e d e s t r u y e n u n a p a r t e del t r a b a j o m o t o r , y q u e p o r lo t a n t o , n o siendo d e n i n g u n a u t i l i d a d , es u n t r a b a j o perdido.
130. RELACIÓN
ENTRE
EL
TRADA^O C T I L
Y
EL
TRADAJO MOTOR. - C u a n d o u n a m á q u i n a está en quietud b a j o l a a c c i ó n d e las f u e r z a s q u e l a solicitan, las p o t e n c i a s y l a s resistencias de t o d a especie se h a c e n e q u i l i b r i o , y l a s u m a d e sus t r a b a j o s es n u l a p a r a t o d o s los c a m b i o s posibles d e los c u e r pos s u j e t o s á su a c c i ó n . Luego q u e la m á q u i n a está p u e s t a e n m o v i m i e n t o , se busca el m e d i o de h a c e r u n i f o r m e este m o v i m i e n t o , lo c u a l se c o n s i g u e s i e m p r e , p o r q u e á m e d i d a q u e el m o v i m i e n t o se acelera, a u m e n t a n l a s resistencias. P o r consi-
•y' ' 'ir-
180
\¡;
Ü •
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
g u í e n t e , c u a n d o el m o v i m i e n t o se lia h e c h o u n i f o r m e , las f u e r z a s están e n l a s m i s m a s condiciones q u e si la m á q u i n a e s t u v i e r a e n q u i e t u d puesto q u e se h a c e n e q u i l i b r i o r e c í p r o c a m e n t e , y en este caso la s u m a a l g é b r i c a d e s u s t r a b a j o s es n u l a .
' ?' *
Y entonces, teniendo c u e n t a d e los s i g n o s Fm=Fu+fp se saca
a
Fu = Fin— F p .
t
1
Por consecuencia, el t r a b a j o útil es el exceso del t r a b a j o m o t o r d e s a r r o l l a d o p o r l a s p o t e n c i a s sobre el trabajo resistente d e s p l e g a d o por l a s potencias pasivas. Tal es el p r i n c i p i o d e l a t r a n s m i s i ó n del trabajo. De lo c u a l p u e d e c o n c l u i r s e a d e m á s en Fu <
m
Fin.
i • ' ¡'1
Cosa q u e d e m u e s t r a t a m b i é n q u e el t r a b a j o útil es s i e m p r e m e n o r q u e el t r a b a j o m o t o r . rt L a relación se l l a m a rendimiento de la m á -
J -
q u i n a , el cual es s i e m p r e i n f e r i o r á 1. F i n a l m e n t e ,
i*m
í
se a p r o x i m a r á m a s á l a u n i d a d ; pero a u n en las q
11
IMPOSIBILIDAD D E L MOVIMIENTO
PERPETUO.
132. OBSERVACIÓN. — L i m i t a r e m o s á lo expuesto
la m á q u i n a será t a n t o m e j o r c u a n t o esta relación
w \ Í M
151.
— Como s e g ú n q u e d a dicho l a m á q u i n a n o p u e d e t r a n s m i t i r m a s t r a b a j o del r e c i b i d o p o r la m i s m a , y como este t r a b a j o m o t o r s e e m p l e a desde l u e g o en t r i u n f a r d e l a s r e s i s t e n c i a s pasivas, las cuales, si es fácil a t e n u a r l a s , n o es posible d e d i s i p a r l a s e n t e r a m e n t e , l a m á q u i n a n o p u e d e p r o d u c i r su efecto ú t i l , si las p o t e n c i a s n o h a c e n u n t r a b a j o s u p e r i o r al d e l a s resistencias. E n este caso, d e b e q u e d a r s o m e t i d a á la a c c i ó n de c i e r t a s p o t e n c i a s . E m p e r o , a u n c u a n d o el efecto ú t i l d e b i e r a s e r n u l o , no p o r eso será m e n o s necesario d e aplicar u n a p o t e n c i a á la m á q u i n a c a p a z d e m a n t e n e r s u m o v i m i e n t o u n i f o r m e , t r i u n f a n d o d e las r e s i s t e n cias pasivas. U n a m á q u i n a , p o r lo t a n t o , n o p u e d e prescindir d e l a acción d e u n m o t o r , p o r q u e ella m i s m a n o p u e d e servirse d e m o t o r . Así, es i m p o sible c o n s t r u i r u n a m á q u i n a , cuyo m o v i m i e n t o se c o n t i n ú e i n d e f i n i d a m e n t e p o r sí m i s m o , ó s i n la acción de u n m o t o r . Bajo d e e s t e s u p u e s t o i n c o n trarrestable, el m o v i m i e n t o p e r p e t u ó o s i m p o s i b l e .
en el p r e s e n t e capítulo l a s n o c i o n e s
generales
d e l a s m á q u i n a s , p o r q u e n o s p r o p o n e m o s d a r en seguida c u a n t a s explicaciones c o n s i d e r a m o s n e c e -
m e j o r e s m á q u i n a s n o e x c e d e de ^ .
sarias p a r a la perfecta i n t e l i g e n c i a de las m i s m a s ,
De a q u í se d e d u c e l a o b s e r v a c i ó n d e q u e u n a m á q u i n a n o p u e d e t r a n s m i t i r m a s t r a b a j o q u e el que ella m i s m a h a r e c i b i d o .
p e r o d e j a n d o sin t r a t a r á f o n d o las r e s i s t e n c i a s p a sivas, q u e señalaremos á l a vez q u e d e m o s t r e m o s la composición, u s o y efecto d e l a s q u e c o n t e n d r á 11
182
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
e s t e MANUAL, p u e s 110 es p o s i b l e c o m p r e n d e r e n él t o d a s las c o n o c i d a s h a s t a e l d i a ; solo s í h e m o s eleg i d o l a s m a s n e c e s a r i a s , e n t r e l a s c u a l e s figuran l a s ú l t i m a s inventadas por los h o m b r e s de la ciencia. Empero, debemos también advertir, por regla gen e r a l , q u e e n todas ellas lo que se gana en fuerza se pierde en camino,
en velocidad y en
tiempo.
CAPITULO
II
D e l e s t u d i o d e v a r i a » m á q u i n a s r e l a t i v o al e q u i l i b r i o d e las f u e r z a s q u e las son aplicadas.
1. De la palanca y sus especies.
1 5 3 . DEFINICIÓN Y DEMOSTRACIÓN
DE UNA
PA-
LANCA RECTA. — P a l a n c a es u n c u e r p o s ó l i d o m o vible s o b r e u n p u n t o fijo. C o m u n m e n t e t i e n e l a f o r m a de u n a b a r r a de hierro recta ó curva, con c u y o a u x i l i o se m u e v e y m a n e j a u n c u e r p o p e s a d o , c o m o lo r e p r e s e n t a la figura 44. E s t a p a l a n c a , q u e s u p o n e m o s q u e es A B, m u e v e el c u e r p o p e s a d o D p o r el e x t r e m o B h a c i e n d o
un
e s f u e r z o p o r el
e x t r e m o o p u e s t o A : la p a l a n c a s e a p o y a s o b r e e l p u n t o C, e n c u y o
alrededor
puede dar
vueltas
c u a n d o la a c c i ó n d e la f u e r z a a p l i c a d a e n A es b a s t a n l e p a r a d o m i n a r la r e s i s t e n c i a . A h o r a b i e n ; i m a g i n e m o s q u e el c u e r p o D l e v a n t a d o p o r e l p u n t o B, s e g ú n s e v e e n la e x p r e s a d a figura, p e r m a n e c e i n móvil y sostenido por la b a r r a de hierro en la posi-
cioa q u e a h o r a o c u p a . E n este estado la p a l a n c a se
q u e se l l a m a n los b r a z o s d e la p a l a n c a . Si C A es
h a l l a r á s o m e t i d a á l a i n f l u e n c i a d e dos fuerzas,
8, 30, 60, 100 y m a s veces m a y o r q u e B C , l a acción
c u a l e s s o n la d e r e s i s t e n c i a que e l c u e r p o D h a c e
de la f u e r z a en A será p o r lo m i s m o 5, 30, 60 y 100
en B y l a a p l i c a d a e n A para i m p e d i r q u e el cuerpo
ó m a s veces m a s p e q u e ñ a q u e la d e resistencia que
vuelva á caer. A m b a s f u e r z a s , q u e c o n s i d e r a r e m o s
la b a r r a e n c u e n t r a e n B, y á l a c u a l se t r a t a d e
c o m o si f u e r a n p a r a l e l a s , p u e d e n r e e m p l a z a r s e por
hacer e q u i l i b r i o .
u n a sola f u e r z a q u e p r o d u z c a el m i s m o efecto s o -
Las v e n t a j a s i n c a l c u l a b l e s d e esta m á q u i n a s i m ple l l a m a r o n t a n t o l a a d m i r a c i ó n de A r q u i m e d e s , que al c o n s i g n a r el s i g u i e n t e principio q u e e s t a bleció él m i s m o : u Dos f u e r z a s que o b r a n sobre « u n a p a l a n c a , se e q u i l i b r a n s i e m p r e q u e están en« t r e sí en relación i n v e r s a d e los b r a z o s de la p a cí l a n c a á c u y o s e x t r e m o s se h a l l a n a p l i c a d a s , » no pudo m e n o s d e e x c l a m a r : « Qué se m e d é u n a p a lanca y u n p u n t o d e a p o y o
y y o l e v a n t a r é el
mundo. » 1 3 4 . P A L A N C A CURVA. — V e a m o s l o q u e e s y l o s Fig. 44.
efectos q u e p r o d u c o u n a p a l a n c a c u r v a . S u p o n g a m o s la q u e n o s r e p r e s e n t a la Ogura 43, á cuyos
bre la p a l a n c a . Dicha f u e r z a ú n i c a debe p a s a r por el p u n t o C, p u e s si, p o r el c o n t r a r i o , se e n c a m i n a s e p o r efógh, la palanca daria necesariamente v u e l t a s en d e r r e d o r del p u n t o C b a j o d e l a acción ú n i c a d e esta f u e r z a . L a i n m o v i l i d a d de l a p a l a n c a , b a j o de l a acción s i m u l t á n e a de l a s dos f u e r z a s aplicadas en A y en B, necesita q u e la r e s u l t a n t e d e d i c h a s dos f u e r z a s p a s e p o r el p u n t o C, y al efecto es m e n e s t e r q u e las fuerzas s e a n , en sentido inverso, p r o p o r c i o n a l e s á las d i s t a n c i a s BC y AC
if "i
e x t r e m o s A C se a p l i c a n d o s f u e r z a s p e r p e n d i c u l a r e s respecto á A B y C B. S u p o n g a m o s t a m b i é n q u e el brazo C B q u e d e s u p r i m i d o , y reemplazado p o r el brazo C B d e la m i s m a l o n g i t u d , p e r o dirigido s e g ú n la p r o l o n g a c i o n A B. L a p a l a n c a c u r v a A B C se verá r e e m p l a z a d a p o r u n a r e c t a ABC1. Por consiguiente, si se aplica e n C' p e r p e n d i c u l a r m e n t e á G B la f u e r z a a p l i c a d a e n C, ejercerá su acción del m i s m o m o d o á fin d e m o v e r la palanca al rededor del p u n t o d e a p o y o B ; y en a m b o s casos deberá t e n e r la m i s m a a c c i ó n p a r a h a c e r equilibrio á l a f u e r z a aplicada al p u n t o A.
I P
P m
ír: £ V
se p o d r á n c o n s i d e r a r d i c h a s f u e r z a s b a j o l a s m i s m a s condiciones que si e s t u v i e r a n aplicadas á los
13 . :! i
j
'IS
-r
JLFV'
H a b l a n d o d e la p a l a n c a r e c t a h e m o s d e m o s t r a d o q u e , p a r a o b t e n e r este e q u i l i b r i o , c u a n d o se halla b a j o de l a acción d e d o s f u e r z a s p a r a l e l a s , es m e n e s t e r q u e estas f u e r z a s f u e s e n d e u n a m a n e r a i n v e r s a proporcionales á l o s b r a z o s de l a palanca sobre c u y o s extremos i n f l u y e n . L o m i s m o , pues, sucede c o n l a c u r v a s o m e t i d a á l a a c c i ó n de dos fuerzas dirigidas p e r p e n d i c u l a r m e n t e á s u s brazos.
lb'j. CASO COMÚN. — D á n s e v a r i o s casos s i n emJ if
bargo en q u e las fuerzas q u e e j e r c e n su acción sob r e u n a p a l a n c a , y a sea r e c t a ó c u r v a , n o s o n dirigidas p e r p e n d i c u l a r m e n t e á s u s respectivos brazos. E s t a m p e m o s p u e s la
figura
46-para
demostrarlo
I
p r á c t i c a m e n t e , y s u p o n g a m o s e n seguida a b a j a d a s
J . i;ju |( it' H I' r
sobre las direcciones d e l a s d o s f u e r z a s , y e n t o n c e s
Fig. 4 6 .
e x t r e m o s d e la p a l a n c a c u r v a A B C'. De a q u i es fácil d e d e d u c i r , q u e p a r a q u e se h a g a n equilibrio, es indispensable q u e las fuerzas s e a n d e u n a m a n e r a i n v e r s a p r o p o r c i o n a l e s á las l o n g i t u d e s d é l a s p e r p e n d i c u l a r e s BA! BG. Por c o n s i g u i e n t e , p a r a poder aplicar el principio establecido en el p á r r a f o 153 á todos los casos, es necesario que se e x t i e n d a n á los brazos de la p a l a n c a , en cuyos e x t r e m o s se aplican las fuerzas, l a s p e r p e n d i c u l a r e s a b a j a d a s del punto de apoyo sobre las direcciones d e las fuerzas.
las p e r p e n d i c u l a r e s B A' B G del p u n t o d e apoyo B lo6. OBSERVACIÓN. — Generalmente se d i s t i n -
g u e n t r e s clases d e p a l a n c a s rectas, y esta d i s t i n ción p r o c e d e d e la d i f e r e n t e p o s i c i o n q u e o c u p a el p u n t o d e apoyo c o n relación á la potencia y á la r e s i s t e n c i a . Como t o d a s se conocen y se hallan g e n e r a l i z a d a s p o r do quiera, y q u e a d e m á s l a teoría del e q u i l i b r i o es l a m i s m a p a r a todas ellas, nos h e m o s d i s p e n s a d o d e i n c l u i r las dos ú l t i m a s aquí.
q u e la p a l a n c a ejerce s o b r e su p u n t o d e apoyo. La precedente p a l a n c a , q u e tiene su p u n t o de apoyo en u n o d e s u s e x t r e m o s B, y se h a l l a s o m e t i d a á dos fuerzas a p l i c a d a s en A y C en direccio-
1 5 7 . P R E S I Ó N D E UNA PALANCA SORRE SU PUNTO
DE APOYO. — Y a h e m o s d e m o s t r a d o c ó m o deben aplicarse l a s f u e r z a s á u n a p a l a n c a p a r a q u e se q u e d e en e q u i l i b r i o ; d e b e m o s a h o r a h a c e r ver la m a g n i t u d y dirección d e l a p r e s i ó n q u e ejerce sob r e su p u n t o de apoyo. En la r e p r e s e n t a d a p o r l a figura 46 a m b a s f u e r z a s paralelas aplicadas en A y C t e n d r á n u n a r e s u l t a n t e igual á s u s u m a p a r a l e l a á c a d a u n a de ellas, q u e p a s a r á p o r el p u n t o B. Dicha r e s u l t a n t e es la presión q u e la b a r r a hace sobre su p u n t o de apoyo. Respecto á l a p a l a n c a recta s o m e t i d a á dos f u e r zas p a r a l e l a s e n sentido c o n t r a r i o , se p u e d e consid e r a r la a p l i c a d a al p u n t o C como r e s u l t a n t e de la
nes paralelas, pero en s e n t i d o c o n t r a r i o , se p o d r á n
c o m p o s i c i o n d e dos f u e r z a s (fig. 47), de l a c o m p o -
c o n s i d e r a r B A y B C c o m o dos b r a z o s de la p a -
sicion d e l a s dos f u e r z a s paralelas aplicadas la
lanca á c u y o s e x t r e m o s o b r a n e s t a s fuerzas, de
u n a al p u n t o A y la otra al p u n t o B. L a p r i m e r a es
m a n e r a q u e el e q u i l i b r i o t e n d r á l u g a r c u a n d o las
i g u a l y c o n t r a r i a á l a q u e ejerce su acción sobre
fuerzas sean i n v e r s a m e n t e proporcionales a
el p u n t o A, l a cual seria d e s t r u i d a p o r esta fuerza,
expresados b r a z o s d e la p a l a n c a .
los
y la s e g u n d a igual á l a diferencia e n t r e la f u e r z a
E l c a r r e t ó n de u n a sola r u e d a p a r a c o n d u c i r
q u e i n f l u y e en el p u n t o C y la q u e o b r a en el d e A.
peso, a r r a s t r a d o p o r u n h o m b r e es u n ejemplo
Esta s e g u n d a c o m p o n e n t e r e p r e s e n t a la p r e s i ó n
exacto d e lo q u e a c a b a m o s d e d e m o s t r a r c o n la precedente p a l a n c a . E l p u n t o d e apoyo es el eje de II.
Íí Hfr i 190
fe
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL.
CUARTA P A R T E . — CAPITULO II.
Ja r u e d a , u n a d e l a s f u e r z a s aplicadas, el peso del
de p r i m e r orden c u y o s e x t r e m o s s u s p e n d e n , con el
191
c u e r p o colocado e n el c a r r e t ó n , y la otra es la r e -
auxilio d e c a d e n a s ó c u e r d a s , los platos destinados
s u l t a n t e d e las dos p r e s i o n e s ejercidas d e abajo
á recibir los cuerpos c u y o s pesos q u i e r e n c o m p a -
a r r i b a p o r las m a n o s del h o m b r e q u e e m p u ñ a las
rarse. P a r a a s e g u r a r la i n m o v i l i d a d de la m á q u i n a
b a r r a s- .
el fiel tiene u n p r i s m a d e acero, fijo t r a n s v e r s a l -
F i n a l m e n t e , u n a p a l a n c a , y a sea recta, ya c u r v a , sometida á l a a c c i ó n d e dos f u e r z a s no paralelas, n o p o d r á q u e d a r e n e q u i l i b r i o m i e n t r a s q u e las direcciones de d i c h a s dos f u e r z a s n o se e n c u e n l r e n en u n p u n t o , y q u e s u s m a g n i t u d e s n o satisfagan l a s reglas ó c o n d i c i o n e s c o n s i g n a d a s a n t e r i o r mente.
m e n t e en m e d i o d e s u l o n g i t u d , q u e sobresale p o r
I I . De las b a l a n z a s .
el c u e r p o q u e se q u i e r e p e s a r y en el otro ciertas
a m b o s lados. E s t e p r i s m a ó especie de cuchillo descansa sobre el eje colocado e n t r e dos p l a n o s de acero horizontales, fijos al pié d e la m á q u i n a . Las oscilaciones
del fiel se efectuán, p u e s , al rede-
dor de dicho eje, q u e p u d i e r a llamarse d e r o t a ción. Se u s a l a balanza c o l o c a n d o en u n o de los platos pesas d e t e r m i n a d a s , ó en n ú m e r o y c a n t i d a d s u f i -
'M. r U > :
i
i v ; < j i . r"
j
.
cientes para establecer el equilibrio ó q u e el fiel se 138. OBSERVACIÓN. — Y a h e m o s h a b l a d o e n la s e g u n d a p a r t e d e este MANUAL, capítulo I, sección III, q u e t r a t a d e l a c o m p o s i c i o n y m e d i d a de las f u e r z a s d e l a R o m a n a d e c o m e r c i o , d e la b a l a n z a r o m a n a y d e la i n v e n t a d a p o r P o n c e l e t . E s t o b a s t a r á p a r a d a r u n a idea exacta de c u a n t o p o d r e m o s decir s o b r e l a s b a l a n z a s ; e m p e r o , p a r é c e n o s q u e el e s t u d i o d e estas m á q u i n a s s i m p l e s q u e d a r í a i m p e r f e c t o s i n o d i é r a m o s a q u í la definición g e n e r a l de las m i s m a s , y las e x p l i c a c i o n e s s o b r e la indispensable sensibilidad q u e deben tener para obtener pesos e x a c t o s .
mantenga horizontalmente. 1 0 0 . PRECISIÓN Ó AFINO DE L A BALANZA. — P a r a
que u n a balanza sea j u s t a , debe l l e n a r i n d i s p e n s a b l e m e n t e dos c o n d i c i o n e s : 1.« Que sean iguales las distancias del punto de apoyo del fiel á los puntos de suspensión de los platos. 2.» Que el fiel permanezca
perfectamente
horizontal
mientras que no se coloque algún cuerpo en los platos. Satisfechas e s t a s condiciones, lo cual se conoce c u a n d o el fiel se c o n s e r v a
siempre
horizontal,
entonces y a p u e d e p r o c e d e r s e al peso, a ñ a d i e n d o 139. DEFINICIÓN. — L a b a l a n z a es u n a palanca Í I m •
ó q u i t a n d o pesas h a s t a q u e q u e d e n en equilibrio con el c u e r p o ó cuerpos s u j e t o s al peso. Y a q u e d a
!. Í'»"
%
j
:
• J-íl ' r
d i c h o q u e h e m o s t o m a d o p o r u n i d a d del peso el g r a m o , k i l o g r a m o , etc.
el m i s m o , c o m o p r u e b a d e l a i g u a l d a d de los b r a zos de l a b a l a n z a ; p e r o si n o p e r m a n e c e h o r i z o n -
V »
'.i •'/ ' • Ii l -'i •*
í l l
ú
<
m
-
i v : iw, i
161. OBSERVACIÓN. - C o n t e n í a n s e c o m u n m e n t e , p a r a verificar la precisión y afino de la balanza,' a s e g u r á n d o s e d e q u e la s e g u n d a condicion antes e x p r e s a d a q u e d e e n t e r a m e n t e satisfecha. P e r o no b a s t a con esto solo, p u e s t o q u e p u e d e ser inexacta a u n q u e llene d i c h a condicion, en r a z ó n de q u e esto solo n o p r u e b a la i g u a l d a d d e los b r a z o s . Así, para a s e g u r a r s e e n t e r a m e n t e si u n a b a l a n z a es j u s t a es m e n e s t e r h a c e r lo siguiente. L u e g o q u e se h a reconocido q u e el fiel se m a n tiene en la m a s perfecta h o r i z o n t a l i d a d c u a n d o los p l a t o s n o c o n t i e n e n c u e r p o a l g u n o , se p o n d r á n en dichos p l a t o s dos pesos t a n exactos el u n o c o n el o t r o q u e el fiel conserve su m i s m o estado h o r i zontal E n s e g u i d a se p o n d r á el peso q u e estaba en el plato d e r e c h o en el i z q u i e r d o y v i c e - v e r s a , y s. d e s p u e s d e esta operacion el fiel n o c a m b i a n a d a a b s o l u t a m e n t e su posicion h o r i z o n t a l , en este caso la b a l a n z a es p e r f e c t a y e n g r a n m a n e r a exacta. Si los b r a z o s d e la p a l a n c a ó b a r r a del fiel f u e r a n desiguales, l o s pesos puestos e n los platos v q u e se h a c í a n e q u i l i b r i o ejerciendo s u acción en los e x t r e m o s de dichos brazos d e b e r í a n ser asim i s m o desiguales, en atención á q u e el m a s largo o b r a r í a sobre el m a s corto. Así. c a m b i a n d o las p e sas de u n o a o t r o
'; f .
P,ato, e,
e q u i l i b r i o debe s u b s i s t i r
tal, p u e d e a s e g u r a r s e q u e la m á q u i n a es i n e x a c t a y por c o n s i g u i e n t e infieles los pesos q u e se h a g a n con ella. 162. MEDIDA
DE LOS PESOS
CON UNA
BALANZA
FALSA. — C u a n d o u n a b a l a n z a es j u s t a , se pesa u n cuerpo c o n t a n d o el n ú m e r o d e g r a m o s , k i l o g r a m o s necesarios p a r a e q u i l i b r a r l a , y acto c o n t i n u o se e m p l e a el m é t o d o de las d o b l e s pesadas, l l a m a d o de Borda, p a r a v e r si es falsa.
1 6 3 . MÉTODO DE BORDA, Ó DE DOBLES PESADAS. —
Hé a q u í e n q u é consiste este m é t o d o . Despues de h a b e r p r a c t i c a d o la operacion i n d i c a d a en el p á r rafo p r e c e d e n t e , 162, ó de h a b e r p u e s t o el cuerpo sujeto a l peso e n u n o de los platos, se le busca el equilibrio p o n i e n d o en el opuesto a r e n a ó p l o m o . P u e s t o s así e n e q u i l i b r i o , se q u i t a el c u e r p o y se reemplaza c o n pesos m a r c a d o s en n ú m e r o suficiente p a r a q u e el fiel v u e l v a á r e c o b r a r su posicion h o r i z o n t a l , ó p a r a q u e oscile i g u a l m e n t e p o r a m b a s p a r t e s . Si los pesos m a r c a d o s p r o d u c e n c o n exactitud el m i s m o efecto q u e el cuerpo, entonces deben en i g u a l e s c i r c u n s t a n c i a s servirlo de m e dida á su p e s o . E m p l e a n d o este ingenioso m é t o d o se ve q u e l a e x a c t i t u d del r e s u l t a d o n o d e p e n d e en m a n e r a a l g u n a d e l a precisión ó afino d e la b a lanza, sino d e s u e x t r e m a d a sensibilidad.
191
MANUAL DE M E C A N I C A I N D U S T R I A L .
CUARTA P A R T E . — C A P I T U L O II.
Una balanza i m p e r f e c t a ó m a l a , si es sensible, podrá servir a u n p a r a e f e c t u a r p e s a d a s m u y delicadas. 164. BALANZA DE QUINTEXZ.— E s t a b a l a n z a , que h a t o m a d o el n o m b r e d e su a u t o r , se l l a m a com u n m e n t e báscula, y se u s a m u c h o en el c o m e r cio y con especialidad e n l o s c a m i n o s de hierro p a r a pesar f a r d o s y c q u i p a g e s . La f i g u r a 48 la ponemos primero para h a c e r ver su mecanismo; p e r o además fijamos la figura 49 p a r a r e p r e s e n t a r l a t a l como se ve f u n c i o n a r e n t o d o s l o s establecimientos industriales. El plano A f í , q u e t i e n e
e l e v a d o u n o do sus
b o r d e s CB, y q u e sirve p a r a c o l o c a r el
cuerpo
q u e quiere s o m e t e r s e al p e s o , f o r m a u n a sola pieza con D y se apoya p o r u n a p a r t e s o b r e el p u n t o E
situado en la especie d e p a l a n c a F G, y por otra en H, q u e pasa á engancharse en el anillo q u e term i n a el t r i á n g u l o H K . La p a l a n c a ó b a r r a de h i e r r o F G, m o v i b l e al rededor del p u n t o F, se a p o y a e n Fig. 48.
el extremo inferior del t r i á n g u l o G L. Los dos t r i á n -
g u l o s e x p r e s a d o s se a p o y a n á su vez sobre la espiga de h i e r r o LN, m o v i b l e en d e r r e d o r del p u n t o M, q u e s u s p e n d e el p l a n o P d e s t i n a d o á recibir los pesos m a r c a d o s . E s t a b a l a n z a , en f i n , d e b e quedar d e m a n e r a q u e la relación d e EF á GF sea l a m i s m a q u e l a existente e n t r e KM i L M. L a distancia K M es p o r lo c o m ú n igual á l a d é c i m a p a r t e de la d i s t a n c i a M N ; E F será p o r e j e m p l o la q u i n t a parte d e G F, y KM la q u i n t a d e L M. "
d e q u e la palanca LN c o n s e r v a su posicion h o r i zontal, y en caso q u e d i s c r e p e a l g u n a c o s a , poner para rectificarla u n o s p e q u e ñ o s pesos e n l a p a r t e destinada á recibirlos. E s t a s pesas se l l a m a n
tara,
la c u a l se d e d u c e s i e m p r e del peso general. Mas para conocer si en efecto se h a l l a p e r f e c t a m e n t e horizontal l a palanca LN,
se h a n colocado dos
apéndices b, c, el u n o fijo en l a p a l a n c a y el o t r o movible, c o n l a p a l a n c a q u e , debe colocarse al
A h o r a b i e n , colocando el c u e r p o 0 sobre el plano
f r e n t e del p r i m e r o . H e c h o esto se p r o c e d e á l a
A B, su p e s o se r e p a r t i r á e n t r e los dos p u n t o s de
operacion, y su r e s u l t a d o será diez veces m a y o r
apoyo, y l a p o r c i o n que i n f l u y a s o b r e el de H p r o -
de la s u m a de g r a m o s ó k i l o g r a m o s q u e se h a y a n
d u c i r á u n a p r e s i ó n igual aplicada á la palanca ó
puesto p a r a e q u i l i b r a r el c u e r p o q u e acaba d e p e -
espiga LNenel
sarse.
p u n t o A'; la otra porcion ejerciendo
su acción e n el p u n t o E d e la p a l a n c a FG, h a r á por m e d i o d e esta palanca u n a presión cinco
veces
m a s p e q u e ñ a s o b r e el e x t r e m o i n f e r i o r G del t r i á n g u l o G L ; esta p r e s i ó n t r a n s m i t i d a
integramente
al p u n t o L d e l a p a l a n c a ó espiga d e h i e r r o L N, p r o d u c i r á s o b r e esta p a l a n c a el m i s m o efecto q u e p r o d u j e r a u n a presión cinco veces m a y o r sobre el p u n t o K, d e t a l s u e r t e q u e s u c e d e e x a c t a m e n t e lo m i s m o q u e si la s e g u n d a porcion del c u e r p o Q o b r a s e d i r e c t a m e n t e sobre el p u n t o K. La palanca LN se h a l l a en las m i s m a s c o n d i c i o n e s q u e si el peso del c u e r p o Q estuviera aplicado e n t e r a m e n t e en el p u n t o K. P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a e q u i l i b r a r l o es necesario p o n e r en el plato P u n peso diez veces mas pequeño. Antes d e servirse de ella es necesario a s e g u r a r s e
CAPITULO
III
D e l t o r n o , d e la p o l e a y s u s e s p e c i e s , y d e l e q u i l i b r i o y t r a b a j o de las fuerzas aplicadas á dichas máquinas.
I. Equilibrio y t r a b a j o de las f u e r z a s aplicadas al t o m o .
164. DEFINICIÓN. — E l t o r n o ó c a b r i a es u n a m á q u i n a q u e solo t i e n e l i b e r t a d d e m o v e r s e ó d a r v u e l t a s s o b r e u n eje fijo. C o m p ó n c s e d e u n c i l i n d r o A B (fig. 50) d e h i e r r o c o l a d o y m a s
comun-
mente de m a d e r a , c u y a s d o s c x t r e m i d a d c s t e r m i n a n e n dos muñones
que descansan sobre dos cogine-
tes fijos y c i l i n d r i c o s q u e
sostienen dos puntos
i n v a r i a b l e s DE. El c i l i n d r o así a p o y a d o p u e d e d a r vueltas en derredor de su eje. U n a cuerda sujeta y arrollada á la circunferencia del cilindro por
un
e x t r e m o , y p o r el o t r o l i g a d a al c u e r p o P q u e se t r a t a d e l e v a n t a r , f o r m a u n a p a r t e del m e c a n i s m o . E n s e g u i d a , p a r a p r o c e d e r á la o p e r a c i o n se d a v u e l t a s al c i l i n d r o c o n el a u x i l i o d e las d o s b a r r a s C, i n t r o d u c i d a s p o r l a s a b e r t u r a s p r a c t i c a d a s jíi.M I m
al efecto en u n o d e s u s e x t r e m o s . A m e d i d a , p u e s ,
200
MANUAL D E MECANICA INDUSTRIAL.
CUARTA PARTE. -
CAPITULO III.
201
q u e l a c u e r d a se enrosca, s u b e el c u e r p o que se desea l e v a n t a r .
e n c u e n t r a n en l a s m i s m a s condiciones q u e si estu-
P a r a p o d e r a p r e c i a r l a relación existente entre l a f u e r z a y el peso del c u e r p o levantado, poco i m -
b a r r a c u r v a M O N , pues, c o m o se colige, p a r a q u e
vieran a p l i c a d a s á los e x t r e m o s de l a p a l a n c a ó se h a g a n e q u i l i b r i o d e b e n h a l l a r s e en r a z ó n i n versa del radío O M del t o r n o y d e la l o n g i t u d O N do la b a r r a . P o r c o n s i g u i e n t e , y d a n d o p o r s u puesto q u e O N es i g u a l á siete veces O M, la fuerza F será ó d e b e r á ser siete veces m a s p e q u e ñ a q u e el c u e r p o P q u e t r a t a de e l e v a r s e .
Fig. SO. p o r t a q u e las b a r r a s q u e p o n e n en m o v i m i e n t o la m á q u i n a se h a l l e n colocadas en t a l ó c u a l p u n t o del c i l i n d r o ; siempre q u e t e n g a n l a m i s m a longit u d , y q u e l a f u e r z a ejerza su acción s o b r e el m i s m o p u n t o , y p e r p e n d i c u l a r m e n t e á su longitud, d i c h a f u e r z a c o n s e r v a r á c o n s t a n t e m e n t e la m i s m a intensidad. A h o r a b i e n , p a r a simplificar en c u a n t o n o s sea posible esta c u e s t i ó n , s u p o n d r e m o s q u e las b a r r a s q u e a p l i c a n la fuerza y la c u e r d a q u e s u s p e n d e y l e v a n t a el peso e s t á n s i t u a d o s en el m i s m o plano p e r p e n d i c u l a r al eje d e la m á q u i n a , y v e r e m o s que las f u e r z a s m o t o r a s y r e s i s t e n t e s F P (fig. 31) S e
Fig. SI.
F i n a l m e n t e , s é p a s e q u e c u a n d o el eje d e las precedentes m á q u i n a s 30 y 51 t i e n e n el eje h o r i z o n t a l , e n t o n c e s se e m p l e a n g e n e r a l m e n t e p a r a s u b i r pesos, y se l l a m a torno. Mas c u a n d o su eje es vertical, e n t o n c e s se u s a n e n los p u e r t o s d e m a r p a r a ejercer g r a n d e s e s f u e r z o s e n d i r e c c i ó n h o r i z o n t a l ó casi h o r i z o n t a l q u e t o m a el n o m b r e de cabe^tanie. Sin
MANUAL D E MECANICA I N D U S T R I A L ,
CUARTA P A R T E . — CAPITULO I I I .
e m b a r g o , l a s c o n d i c i o n e s del equilibrio y del m o -
cia. P o r esta r a z ó n , y con el fin d e obviar t a m a ñ o
202
m 1
-
II
IJFÍ
i • I i *•
v i m i e n t o son i d é n t i c a s en a m b o s , a u n q u e p o r nues-
inconveniente, y q u e u n tambor no pueda
t r a parte d a m o s al t o r n o figura 50 la v e n t a j a en
vueltas sin a r r a s t r a r el otro, c o m o s u c e d e en el pri-
c u a n t o al e q u i l i b r i o s o b r e el c a b c s t a n t e .
mer caso, se h a i d e a d o el h a c e r en s u s circunfe-
Ñola. — L a s r u e d a s dentadas y de clavigas ó d e escalera p u e d e n figurcr así m i s m o en e s t e capítulo, porque realmente, en nuestro concepto, son verdaderos t o r n o s c o n sola la d i f e r e n c i a del p u n t o de aplicación de la f u e r z a m o t r i z , c o m o t o d a s l a s maq u i n a s de esta e s p e c i e .
rencias varias c o n c a v i d a d e s ó especie de dientes
dar
dispuestos d e m a n e r a q u e las de u n t a m b o r e n cajen en el otro. Hé a h í e n definitiva lo q u e se llama rueda
dentada.
Dichas r u e d a s d e b e n e s t a r paralelas p a r a q u e pueda verificarse el e n c a j e de u n a en o t r a , en t é r minos q u e el d i e n t e d e la u n a y la concavidad de la otra d o n d e d e b e n e n l a z a r s e t i e n e n q u e o c u p a r
3 , II. R u e d a s d e n t a d a s ó d e e n c a j e ; r u e d a d e clavijas y correa sin fin.
M
203
Í
m
!
h
¡
•vi
el m i s m o espacio d e la c i r c u n f e r e n c i a , y q u e el n ú m e r o de c o n c a v i d a d e s y dientes g u a r d e n e n t r e sí la m i s m a relación q u e l a s l o n g i t u d e s y r a d í o s d e
L A S RUEDAS
dicha c i r c u n f e r e n c i a . L a r u e d a p e q u e ñ a r e l a t i v a -
DENTADAS. — L a s r u e d a s d e n t a d a s se e m p l e a n para t r a n s m i t i r el m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n d e u n cilind r o á o t r o ; al e f e c t o , es n e c e s a r i o q u e estén a p r o x i m a d a s s u f i c i e n t e m e n t e , p u e s n o es n e c e s a rio q u e se h a l l e n e n l í n e a p a r a l e l a . Así, p a r a t r a n s m i t i r el m o v i m i e n t o de u n c i l i n d r o á o t r o b a s t a c o n a d a p t a r l e s d o s t a m b o r e s c u y o s e x t r e m o s se t o q u e n , c u i d a n d o q u e n o se o p r i m a n d e t a l n a t u raleza q u e se i m p i d a n r e c í p r o c a m e n t e l a m a r c h a , pero d e j á n d o l e s s i e m p r e el r o c e n e c e s a r i o p a r a q u e p u e d a n m o v e r s e el u n o p o r el o t r o . Sin e m b a r g o , este m o v i m i e n t o seria ineficaz, t r a t a n d o
mente á la q u e d e b e e n c a j a r s e , se le h a dado el
1 6 5 . E X P L I C A C I Ó N Y D E F I N I C I Ó N DE
'»
i''-— r
de servirse d e esta c o m p o s i c i o n d e f u e r z a s p a r a o b r a r sobre c u e r p o s q u e o f r e z c a n g r a n d e r e s i s t e n -
n o m b r e de p i ñ ó n . R e s p e c t o de l a acción de las f u e r z a s , las r u e d a s d e n t a d a s e j e r c e n u n a acción semejante á la d e las q u e en vez d e dientes reciben el contacto d e u n a correa sin fin de q u e t r a t a r e mos luego. 107.
FUNCIÓN
Y EFECTO
DE ESTA MÁQUINA.
—
I m a g i n e m o s q u e l a f u e r z a A se aplica á la b a r r a ¿' para h a c e r d a r v u e l t a s al t o r n o C c o n el auxilio de las r u e d a s d e n t a d a s DE (fig. 32), y al p u n t o n o taremos como se eleva el c u e r p o F. Los dientes del piñón D h a c e n u n a p r e s i ó n p sobre l a r u e d a E suficiente para q u e el c u e r p o F q u e d e e q u i l i b r a d o .
204
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
Mas la r u e d a E á la vez ejercerá s u acción sobre los p r i m e r o s d i e n t e s d e tal suerte q u e les h a r á sufrir
za
a p l i c a d o á l a b a r r a B, dicha f u e r z a debe t e n e r
la m i s m a m a g n i t u d é i m p o r t a n c i a q u e si se la h u b i e -
u n a p r e s i ó n i g u a l y c o n t r a r i a P'. E m p e r o , la f u e r -
r a aplicado á 2?', b a r r a fijada d i r e c t a m e n t e al torno
segunda
C. L a s l o n g i t u d e s de a m b a s b a r r a s e s t á n en perfecta
za A t r i u n f a i n m e d i a t a m e n t e d e esta presión.
Fig. 32. Mas, d e b e n o t a r s e q u e si el radio de la r u e d a D es la c u a r t a p a r t e d e l a b a r r a B q u e i m p r i m e l a acc i ó n d e l a s f u e r z a s , e n este caso la p r e s i ó n P' será c u a t r o veces m a y o r q u e A. E m p e r o , á s u vez la f u e r z a P s e r á a s i m i s m o c u a t r o veces m a y o r q u e A, y p o r c o n s i g u i e n t e , p a r a v e n c e r l a resistencia del c u e r p o F , a q u e l l a f u e r z a podrá s u b s t i t u i r s e por o t r a i d é n t i c a e n u n todo á la d e A, o b r a n d o sobre l a b a r r a B', c u y a l o n g i t u d sea c u a t r o veces m a s g r a n d e q u e el radío d e la r u e d a E. Así, e l e v a n d o el c u e r p o F p o r la acción de l a f u e r -
Fig. 33.
relación c o n l o s r a d í o s de las dos r u e d a s , y p o r lo t a n t o c o n l a s u m a d e d i e n t e s de c a d a u n a . F i n a l m e n t e , si la r u e d a E c u e n t a cinco, siete ó 12
2UG
MANUAL DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
m a s dientes q u e el p i ñ ó n , la f u e r z a A l e v a n t a r á u n
ó el deseo de a p r e n d e r q u e t e n d r á n n u e s t r o s lec-
c u e r p o cinco, siete y m a s veces g r a n d e del q u e ele-
tores si, p o r n o a u m e n t a r
l a s p á g i n a s d e este
v a r á s u p o n i e n d o la b a r r a Zí fija d i r e c t a m e n t e al torno. E l torno á encaje, ó d e r u e d a s d e n t a d a s , c u y o uso y m e c a n i s m o a c a b a m o s d e e x p l i c a r , es d e la m a y o r utilidad á la i n d u s t r i a h u m a n a : en el d i a , p a r a a u m e n t a r las f u e r z a s v i v a s , e n vez de u n a b a r r a q u e t e n í a n en su origen, se les h a p u e s t o d o s , c i r c u n s t a n c i a q u e a u m e n t a c o n s i d e r a b l e m e n t e su potencia, s e g ú n p o d r á c a l c u l a r s e á l a s i m p l e vista de l a preciosa m á q u i n a
q u e r e p r e s e n t a l a fi-
g u r a 53. 1 6 7 . R U E D A CON CLAVIJAS O E S C A L E R A D A . — N a -
die i g n o r a c u a n difícil era en o t r o t i e m p o el t r a b a j o m i n e r o y las g r a n d e s d i f i c u l t a d e s q u e el obrero tenia q u e v e n c e r para e x t r a e r l o s m i n e r a l e s y escombros de las m i n a s . P u e s b i e n , e s t a s dificultades, q u e c o n s u m í a n m u c h o s b r a z o s y t i e m p o i n ú t i l m e n t e , se h a n v e n c i d o c o n el auxilio del t o r n o , a r m a d o de u n a r u e d a c o n c l a v i j a s e n t o d a su c i r c u n f e r e n c i a , en f o r m a d e escalera, á fin de q u e los h o m b r e s q u e la c o m u n i c a n el m o v i m i e n t o p u e d a n p a s a r de u n escalón á otro á m e d i d a q u e la r u e d a da vueltas en d e r r e d o r d e s u eje, c o m o lo d e m u e s t r a la figura 34. E n t i é n d a s e a q u í , q u e h a b l a m o s d e las m i n a s q u e c o m u n i c a n p o r m e d i o de pozos verticales con el exterior.
Fig.
MANUAL, n o explicásemos el uso y efectos de esta E m p e r o , n o d e j a r í a m o s s a t i s f e c h a la c u r i o s i d a d
m á q u i n a , y con este objeto b u e n o es q u e e n t r e m o s
CUARTA P A R T E . -
en los p o r m e n o r e s de su acción y m a n e r a d e f u n cionar. A q u í el h o m b r e n o p r e s t a á l a m á q u i n a m a s que el peso de su cuerpo, y por lo m i s m o esta f u e r z a es s i e m p r e i g u a l , p o r c u a n t o n o está e n su poder el variarla s e g ú n q u i s i e r a , c o m o s u c e d e e n otras m á q u i n a s d o n d e c o m u n i c a la f u e r z a m o t o r a con el auxilio de sus b r a z o s . E m p e r o , si es cierto q u e n o p u e d e modificar d i c h a f u e r z a , le es fácil v a r i a r de posicion s u b i e n d o ó b a j a n d o u n e s c a l ó n , por cuyo m e d i o p u e d e e q u i l i b r a r s e c o n el peso y dom i n a r la resistencia q u e este le o f r e c e h a s t a el p u n t o d e vencerla c o m p l e t a m e n t e s a c a n d o el m i neral y e s c o m b r o s que p r o d u c e l a m i n a . Así las cosas, s u p o n g a m o s q u e el j o r n a l e r o ocupa el p u n t o A (Gg. ?.;}), en c u y o c a s o d e b e consider a r s e su peso c o m o si o b r a r a s o b r e el b r a z o d e la b a r r a C B. Si d e esta posicion el h o m b r e se t r a s l a d a á E n e c e s a r i a m e n t e d e b e a u m e n t a r el brazo d e la b a r r a , l o g r a n d o de este m o d o h a c e r e q u i l i b r i o al peso q u e desea sacar d e l f o n d o d e l a m i n a . E n t o n c e s el peso del c u e r p o del h o m b r e y el del mineral y escombros serán proporcionales, de una m a n e r a inversa, á los brazos de l a b a r r a CB CD. A h o r a i m a g i n e m o s q u e A es la p o s i c i o n q u e debe o c u p a r el j o r n a l e r o p a r a e q u i l i b r a r s e c o n el m i n e r a l ; pero si de A s u b e á E, a u m e n t a r á la longit u d de la b a r r a de la d i s t a n c i a q u e m e d i a d e A á E; y como el peso d e su c u e r p o p e r m a n e c e s i e m p r e inalterable, r e s u l t a que a u m e n t a su a c c i ó n lo has-
CAPITULO III.
209
t a n t e para m a n t e n e r c o n u n a p a r t e el e q u i l i b r i o precedente y d e t e r m i n a r c o n l a o t r a el m o v i m i e n t o de la m á q u i n a en el s e n t i d o d e l a flecha F. E l m o vimiento d e la r u e d a v u e l v e al o p e r a r i o al p u n t o
A de d o n d e acababa d e salir, p e r o i n m e d i a t a m e n t e vuelve á s u b i r el otro e s c a l ó n p a r a volverse á e n c o n t r a r en E, cuyo ejercicio c o n t i n ú a h a s t a q u e logra su objeto. Mas si d e A el j o r n a l e r o b a j a s e á G, e n t o n c e s s u 12.
210
MANUAL DE MECANICA I N D U S T R I A L ,
CUARTA P A R T E . -
CAPITULO III.
211
peso no p o d r i a m a n t e n e r el equilibrio del m i n e r a l
168. CORREA ILIMITADA Ó SIN FIN. — E s t a c o r r e a
q u e se p r o p o n e e x t r a e r , y la m á q u i n a se pondría
se u s a en los talleres c o m p u e s t o s de diversas m á -
á d a r v u e l t a s c o n el m o v i m i e n t o c o n t r a r i o que in-
quinas destinadas á diferentes trabajos, y que para
dica la flecha F en r a z ó n d e q u e este descenso de
economizar t i e m p o y brazos se p o n e n en m o v i -
A á G d i s m i n u í a el b r a z o d e la b a r r a t a n t o c o m o lo
miento p o r l a acción d e u n a sola m á q u i n a m o t o r a ,
a u m e n t a b a a n t e s p a s a n d o d e A á E.
ya sea esta h i d r á u l i c a ó d e v a p o r . Dicha m á q u i n a
De lo expuesto r e s u l t a q u e el p u n t o A señala la
m o t o r h a c e d a r v u e l t a s á las v a r i a s r u e d a s ó cilin-
posicion del e q u i l i b r i o estable e n t r e el peso del
dros colocados en fila p e r toda l a extensión d e la
h o m b r e y el del m i n e r a l ; p u e s ya s u b a d e A á E, ó
fábrica, g u a r d a n d o c i e r t a d i s t a n c i a u n a s de o t r a s
q u e de A descienda á G, l a r u e d a , en su m o v i m i e n t o
á fin de q u e las c o r r e a s q u e d e b e n t r a n s m i t i r el m o -
n a t u r a l ó c o n t r a r i o , volverá s i e m p r e el jornalero
vimiento de r o t a c i o n de u n á r b o l á otro paralelo
al p u n t o A do d o n d e p a r t e .
e n t r e sí, p u e d a n a b r a z a r el t a m b o r fijo en cada
Si en vez de la posicion A el j o r n a l e r o ocupara
u n o d e los e x p r e s a d o s árboles. S u c o m b i n a c i ó n es
l a d e A', el brazo d e la b a r r a se e n c o n t r a r á t a m b i é n
t a n v e n t a j o s a , q u e c a u s a m a r a v i l l a el v e r c o m o
en la m i s m a línea C B, y p o r lo t a n t o conservará
u n a sola m á q u i n a p o n e e n m o v i m i e n t o á o t r a s
el e q u i l i b r i o ; e m p e r o , este y a n o será estable, ca-
n u m e r o s a s s i m p l e s y c o m p u e s t a s , c o m o lo s o n las
r á c t e r q u e c o n s e r v a r á a u n c u a n d o s u b a ó bajo
i n v e n t a d a s p a r a t r a b a j a r en los m e t a l e s , serrar las
de A', p u e s s i e m p r e el m o v i m i e n t o de la r u e d a ,
maderas, m á r m o l e s , y p r e p a r a r é h i l a r l a seda y el
b a j o la p r e s i ó n i n d i c a d a , lo alejará m a s y m a s del
algodon, etc. Así, r e p r e s c n t a r é m o s l a p o r
equilibrio estable q u e se obtiene s i e m p r e q u e el
de la figura 56, q u e d a r á u n a idea del o r d e n y m a -
h o m b r e ó los h o m b r e s o c u p e n el p u n t o A.
nera como f u n c i o n a n u n b a t a l l ó n d e m á q u i n a s ,
Debe c u i d a r s e , p a r a evitar las desgracias quo
medio
f o r m a d o en b a t a l l a en salones s u m a m e n t e
ocasiona l a i g n o r a n c i a d e los j o r n a l e r o s q u e m a n e -
t e n s o s , c o m o se v e n
j a n este t o r n o , de q u e el equilibrio se conserve en el
Francia.
ex-
muchos en Inglaterra
y
estado d e estabilidad i n d i s p e n s a b l e p a r a q u e el m i -
P u e s b i e n , la c o r r e a a r r a s t r a d a p o r el m o v i -
n e r a l n o les a r r a s t r e y precipite al a b i s m o . Así,
m i e n t o d e r o t a c i o n del árbol B C p o n e en m o v i -
d e b e r á colocarse la posicion A m u c h o m a s b a j o del
m i e n t o l a r u e d a q u e v e m o s en la p a r t e i n f e r i o r ;
eje d e la r u e d a c o n el doble objeto de precaver
p a r a d e j a r l a e n r e p o s o solo b a s t a dirigir h á c i a el
los accidentes y de sacar todas las v e n t a j a s q u e
lado izquierdo el e x t r e m o D del r e s o r t e D F q u e ,
ofrece esta m á q u i n a .
t e r m i n a d o en dos dientes, p u e d e m o v e r s e en d e r -
212
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
P a r a p o n e r otra vez en m o v i m i e n t o la r u e d a ,
r e d o r del árbol de d i c h a r u e d a . E s t o s dientes ú
h a y m a s q u e volver á d i r i g i r la h o r q u i l l a h á c i a
orquilla, p o r d o n d e p a s a la c o r r e a , se dirigen e n -
no
tonces hácia la d e r e c h a , y la c o r r e a l l e v a d a por
la derecha, y la c o r r e a , e n t r a n d o i n m e d i a t a m e n t e entre sus dientes, c o m o e s t a b a a n t e s , l a h a r á f u n cionar todo el t i e m p o q u e se q u i e r a .
III. Equilibrio y t r a b a j o d e las fuerzas aplicadas á u n a polea fija ó móvil.
DEFINICIÓN. — rolea
es u n c i l i n d r o c i r c u l a r d e
p e q u e ñ a a l t u r a , s o b r e c u y a s u p e r f i c i e c o n v e x a so h a practicado c i e r t a especie d e c a n a l p a r a recibir u n a cuerda. Muévese e n d e r r e d o r d e u n eje q u e pasa p o r el c e n t r o d e s u s b a s e s . U n a c h a p a abraza y s u p o r t a l a s e x t r e m i d a d e s del eje. La polea es fija c u a n d o el eje está fijo, y e n t o n c e s solo puede moverse al r e d e d o r de su e j e ; y es móvil cuando lo es el eje : e n este caso c a m b i a d e l u g a r en el espacio á m e d i d a q u e d a v u e l t a s . 1T0. La figura 57 r e p r e s e n t a u n a polea fija. La d i c h a h o r q u i l l a p a s a y se e n r o s c a e n o t r a r n e d a ó t a m b o r colocados al c o s t a d o d e l a m á q u i n a d o n d e operaba a n t e s . E s t e s e g u n d o t a m b o r , l l a m a d o polea loca, n o está fijo al eje q u e lo t r a s p a s a , y en su v i r t u d p u e d e m o v e r s e c o n t o d a l i b e r t a d s o b r e este árbol, visto q u e la p r e s i ó n d e la c o r r e a le hace d a r vueltas sin q u e d i c h o á r b o l participe de su movimiento.
c u e r d a q u e pasa p o r la polea s u s p e n d e u n c u e r p o á uno de s u s e x t r e m o s , y la o t r a l a e m p u ñ a l a m a n o de u n h o m b r e q u e debe m a n t e n e r el peso en equilibrio, ó se fija á u n a m á q u i n a p a r a q u e l a aplique la f u e r z a d e t r a c c i ó n necesaria. A m b a s fuerzas ejercen su a c c i ó n s i g u i e n d o las dos p a r t e s rectilíneas de l a c u e r d a , y se e n c u e n t r a n b a j o las m i s m a s condiciones q u e si o b r a s e n á los e x t r e m o s
214
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
d e u n a p a l a n c a c u r v a , f o r m a d a de los radios que u n e n el c e n t r o d e l a polea á los p u n t o s de contacto
171. E Q U I L I B R I O DE LAS FUERZAS DE LA POLEA
MÓVIL. — Las poleas m ó v i l e s , r e p r e s e n t a d a s p o r las f i g u r a s 58 y 59, están s o s t e n i d a s y a b r a s a d a s p o r u n a c u e r d a d e l a c u a l el e x t r e m o F está fijo y el otro solicitado p o r l a p o t e n c i a ( m u c h a s veces con el auxilio d e u n a polea
fija).
La c h a p a lleva
u n i d o u n g a n c h o p a r a s u s p e n d e r el c u e r p o . T a n luego como se establece el equilibrio, las dos p a r t e s d e la c u e r d a q u e se s e p a r a n de la polea por a m b o s lados deben poseer la m i s m a t e n s i ó n , y la r e s u l t a n t e d e d i c h a s tensiones, p o r c o n s i g u i e n t e , deberá ser igual a l peso del c u e r p o q u e s u p o r t a l a polea. E n el caso r e p r e s e n t a d o p o r la figura 58, l a FIG. 57.
fuerza de tracción será, pues, la m i t a d de dicho peso. Mas en el de l a figura 59 se p r o l o n g a r á n a m -
M y N (le la c u e r d a con la c i r c u n f e r e n c i a . Así, es necesario p a r a q u e l a fuerza de tracción sea igual al peso del c u e r p o q u e m a n t i e n e en equilibrio, q u e los dos b r a z o s de esta especie d e p a l a n c a sean iguales. De a q u í se d e d u c e , pues, que p a r a q u e u n a polea fija esté en e q u i l i b r i o ó d é vueltas con m o v i m i e n t o u n i f o r m e , es necesario y b a s t a de q u e la potoncia sea igual á la resistencia. La p o t e n c i a n o tiene v e n t a j a a l g u n a en esta máq u i n a , y p o r esta r a z ó n no p u e d e servir sino para c a m b i a r la dirección de la f u e r z a . E n s u v i r t u d , nadie se e x t r a ñ a r á de q u e l a d e n o m i n e n polea de vuelta ó de retorno.
bas p a r t e s d e la c u e r d a h a s t a su e n c u e n t r o en D: se conducirá p o r d i c h o p u n t o u n a vertical sobre la cual se t o m a r á la l o n g i t u d DA q u e r e p r e s e n t a el peso sostenido p o r la polca. L u e g o se c o n d u c i r á AB, AC paralelas á a m b a s p a r t e s de la c u e r d a , y las líneas o b t e n i d a s DB,
DC
figurando
las t e n -
siones d e la c u e r d a , la f u e r z a de tracción será igual á u n a de ellas. Así, siendo i g u a l e s las tensiones de las cuerdas, las l í n e a s DB,
DC d e b e r á n t e n e r l a
m i s m a l o n g i t u d , y p o r lo t a n t o , a r a b a s
partes
de la c u e r d a se i n c l i n a r á n i g u a l m e n t e , ó d e b e rán estar i d é n t i c a m e n t e i n c l i n a d a s cal D A.
á' la
verti-
CUARTA PARTE. -
CAPITULO III.
217
. V-W > IV. De las poleas ó g a r r u c h a s p o l i p a s t a s .
172. DEFINICIÓN. — U n a p o l c a ó g a r r u c h a polipasta es u n sistema de dos ó m a s c h a p a s , la u n a fija y la otra móvil, q u e c ¿ n t i e n e n c a d a u n a v a r i a s poleas r e u n i d a s , ya sea s o b r e ejes p a r t i c u l a r e s , ó sobre u n m i s m o eje. U n a m i s m a c u e r d a , a t a d a p o r u n extremo á u n a d e las c h a p a s , se e n r o s c a e n d i versas poleas p a s a n d o a l t e r n a t i v a m e n t e de la chapa móvil á la c h a p a fija y d e e s t a á a q u e l l a h a s t a q u e al fin sale p o r la polea o p u e s t a , p e r o d e c h a p a p a r a lela, á la en q u e se fijó l a c u e r d a . Así dispuesto, se aplica u n a potencia á esta e x t r e m i d a d l i b r e de la cuerda, c o n el fin d e p o n e r e n equilibrio el cuerpo
q u e se e n g a n c h a e n l a s g a r r u c h a s i n f e -
riores (fig. 60). E x a m i n a n d o d e t e n i d a m e n t e J a . tyierda e n todos sus c o n t o r n o s ó l o n g i t u d e s , se o b s e r v a r á q u e los cordones ó c u e r d a s q u e v a n d e u n a c h a p a á otra son paralelos, y tienen el m i s m o g r a d o d e t i r a n tez ; de m a n e r a q u e si las seis p á r t e s e l e l a c u e r d a sostienen el peso q u e se t r a t a d e l e v a n t a r , la t i r a n tez de cada u n a d e ellas será e q u i v a l e n t e á l a s e x t a parte del peso del c u e r p o s u s p e n d i d o . La
potencia
aplicaija a l
e x t r e m o libre d e
cuerda, que determiné esta
tirantez,
será
la por
consiguiente seis veces m a s p e q u e ñ a q u e el peso con el c u a l se e q u i l i b ^ i l a x a ^ o p es p o r q u e en
CUARTA P A l \ T E . — C A P I T U L O III.
210
una garrucha polipasto en equilibrio, la potencia es a la resistencia como la unidad al guarismo
de las que van
de una polea ó chapa á otra. 1 7 3 . T R A B A J O DE L A S F U E R Z A S E N E S T A MÁQUINA.
— Luego q u e e u el m o v i m i e n t o d a d o á u n a polea polipasta, e s t a n d o en equilibrio, l a c h a p a m ó v i l h a recorrido u n a l o n g i t u d d a d a , t o d a s l a s c u e r d a s q u e p a s a n de u n a c h a p a á otra se a c o r t a n ó p r o l o n g a n á la vez d e la m i s m a c a n t i d a d . P o r c o n s e c u e n c i a , los t r a b a j o s respectivos de la p o t e n c i a y d e l a resistencia s o n iguales en r a z ó n d e l e q u i l i b r i o . 174. OBSERVACIÓN. — L o q u e s e h a d i c h o de la palanca p u e d e decirse t a m b i é n d e l a polea ó g a r r u c h a polipasta. Y e f e c t i v a m e n t e , n a d i e n o s t a chará de exageración c u a n d o se r e f l e x i o n e q u e con u n a fuerza d a d a se p u e d e p o n e r e n e q u i l i b r i o con el c u e r p o m a s v o l u m i n o s o y p e s a d o q u e p u e d a i m a g i n a r s e . Con este fin solo se n e c e s i t a a u m e n t a r el n ú m e r o y potencia d e las poleas y c u e r d a s , p u e s , como se deja expuesto, p a r a v e n c e r l a r e s i s t e n c i a es forzoso dividirla p o r el n ú m e r o t o t a l d é l a s c u e r das ó polcas q u e se e m p l e e n c o n este objeto.
w• f > •'
v
Í J K Í
-
CAPITULO
a*
í
IV
'
Del
plano
inolinado.
17O. E Q U I L I B R I O DE UN CUERPO SOBRE UN PLA.NO
CUALQUIERA. — C u a n d o u n c u e r p o se h a l l a opriI
m i d o c o n t r a u n p l a n o fijo, y p e r f e c t a m e n t e u n i d o por toda la superficie, por u n a fuerza d a d a , esta f u e r z a p u e d e d e s c o m p o n e r s e e n o t r a s dos, u n a n o r m a l a l p l a n o y la o t r a s i t u a d a e n d i c h o p l a n o . La
j
p r i m e r a , d e s t r u i d a p o r la r e s i s t e n c i a del p l a u o , n o p u e d e i m p r i m i r a l c u e r p o m o v i m i e n t o a l g u n o ; la s e g u n d a , si, c o n s e r v a t o d a s u a c c i ó n y p r o d u c e lodos s u s efectos. P o r c o n s e c u e n c i a , p u e d e u n o s e n t a r este p r i n cipio, á s a b e r : Que es necesario y basta que la fuerza sea normal al plano para obtener el equilibrio
del cuer-
po. Mas a u n q u e el c u e r p o s e a p o y e s o b r e u n a s u perficie c u r v a , n o p o r e s t o d e r o g a r á á l a l e y q u e f r a
acabamos de establecer, p o r q u e puede substituir su p l a n o t a n g e n t e á la s u p e r f i c i e , e n el p u n t o cons i d e r a d o , y a s i , para obtener el equilibrio, debe ser normal á la superficie en el expresado
la
fuerza caso.
De lo expuesto se d e s p r e n d e q u e u n a superficie p e r f e c t a m e n t e u n i d a y a u n p u l i m e n t a d a solo pueda d e s t r u i r las presiones n o r m a l e s , y esto o p o n i e n d o á dichas fuerzas resistencias i g u a l e s y c o n t r a r i a s .
p a r a r al i n t e r i o r del polígono q u e f o r m a n los p u n tos d e c o n t a c t o . Por fin, es necesario q u e todas las f u e r z a s q u e ejercen su a c c i ó n sobre el c u e r p o se e q u i l i b r e n c o m p l e t a m e n t e con la r e s u l t a n t e . E n s u m a , t o d o lo
1 7 6 . CONDICIONES D E L E Q U I L I B R I O DE U N CUERPO
SOBRE UN PLANO. — C u a n d o u n c u e r p o recibe la acción de a l g u n a s f u e r z a s , e n t r e l a s c u a l e s figura la de su propio peso, y n o se a p o y a sobre u n plano fijo, ó sobre u n a superficie sólida m a s q u e p o r el solo p u n t o d e c o n t a c t o , es n e c e s a r i o , p a r a q u e se p o n g a en equilibrio, q u e d i c h a s f u e r z a s q u e d e n d e s t r u i d a s por la resistencia d e la superficie, fuerza ú n i c a n o r m a l aplicada al e x p r e s a d o p u n t o de contacto.
que p r e c e d e p u e d e reducirse a s i : Que todas las
fuer-
zas expresadas tienen una resultante única, normal plano y dirigidas
al
hacia el interior del polígono que for-
man los puntos de contacto. 1 7 8 . MOMENTOS Y GRADOS DE E S T A B I L I D A D D E UN
CUERPO PESADO. — L u e g o q u e u n c u e r p o d e s c a n s a sobre u n p l a n o horizontal, las reacciones del p l a n o en los diversos p u n t o s d e contacto s o n f u e r z a s v e r ticales, c u y a r e s u l t a n t e , siendo t a m b i é n v e r t i c a l ,
Mas este equilibrio n o p o d r á l o g r a r s e , c o m o se
cae n e c e s a r i a m e n t e en el i n t e r i o r d e l a figura f o r -
deduce de estas explicaciones, s i n o o b s e r v a n d o las
m a d a p o r estos p u n t o s . P o r lo t a n t o , p a r a q u o el
tres leyes ó reglas s i g u i e n t e s :
equilibrio exista es m e n e s t e r q u e esta r e s u l t a n t e única.
d e s t r u y a el peso del cuerpo, y q u e l a v e r t i c a l q u e
superficie.
pasa p o r el c e n t r o de gravedad e n c u e n t r e a s i m i s m o
1.» Que todas las fuerzas tengan unaresultante 2." Que esta resultante
sea normal
3.A Que pase por el punto de
a la
en su i n t e r i o r la superficie de a p o y o . P u e s b i e n ; si
contacto.
u n a vez satisfecha esta condicion, el c u e r p o , i m p e 177. OBSERVACIÓN. — L u e g o q u e u n c u e r p o se
d i d o p o r u n a c a u s a c u a l q u i e r a , n o p u e d e deslizar-
apoya sobro su p l a n o p o r m u c h o s p u n t o s d e con-
se sobre el p l a n o , en este caso, y s i n t u r b a r
t a c t o , cada u n o de estos p u n t o s d e t e r m i n a
una
equilibrio, deberá aplicársele c i e r t a f u e r z a q u e d e -
resistencia n o r m a l al p l a n o . Debe n o t a r s e asi-
t e r m i n e el m o v i m i e n t o , c u i d a n d o , p a r a o b t e n e r el
m i s m o q u e todas e s t a s f u e r z a s s o n p a r a l e l a s y do
efecto, q u e l a r e s u l t a n t e de la f u e r z a a ñ a d i d a n o
u n m i s m o sentido, y q u e p u e d e n c o m p o n e r s e en
caiga f u e r a de la superficie d e c o n t a c t o .
el
u n a sola, i g u a l á la s u m a d e t o d a s ellas, n o r m a l ,
Ahora, fácil es d e conocer el momento de la esta-
p o r c o n s i g u i e n t e , al p l a n o , y c u y a d i r e c c i ó n va á
bilidad de u n c u e r p o sobre su p l a n o ; este n o es
224
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
o t r o , s e g ú n se concibe, q u e el i n s t a n t e en q u e el'
CUARTA P A R T E . — CAPITULO IV.
213
c u e r p o resiste á l a f u e r z a q u e le i m p e l e á moverse,
1 7 9 . E Q U I L I B R I O DE UN CUERPO PESADO SOBRE UN
i n s t a n t e q u e se repite t a n t a s veces c u a n t a s el c u e r -
PLANO INCLINADO. — C o l o q u e m o s , pues, u n c u e r p o
p o t i e n d e á c o n s e r v a r su posicion d e q u i e t u d , ó
sobre u n p l a n o i n c l i n a d o sólido y fijo q u e n a d a
q u e se o p o n e al m o v i m i e n t o de r o t a c i o n q u e se le
p u e d a a l t e r a r l o : sometámoslo e n seguida á dos
imprime.
fuerzas, á s a b e r ; la p o t e n c i a P (fig. 61) aplicada á
G e n e r a l m e n t e , el m o m e n t o de estabilidad de u n c u e r p o q u e d e s c a n s a s o b r e el suelo v a r i a con el arete q u e se t o m a p o r eje d e rotacion, ó c o n el elem e n t o rectilíneo del c o n t o r n o de s u base, en cuyo r e d e d o r el m o v i m i e n t o tiene l u g a r . Así, so comp r e n d e (juc este m o m e n t o es s u s c e p t i b l e de u n mínimum
q u e corresponde al eje m a s i n m e d i a t o al
pié d o la vertical q u e p a s a p o r el c e n t r o d e graved a d . Si esta vertical e n c u e n t r a el c o n t o r n o de la base, e n t o n c e s el mínimum
es n u l o , y será n e g a -
tivo si cae fuera, y e n tal caso no se podrá d e m o d o alg u n o o b t e n e r el equilibrio, p o r q u e el c u e r p o se m o v e r á en d e r r e d o r del e l e m e n t o m a s i n m e d i a t o , s i e m p r e q u e p a r a evitarlo n o se le o p o n g a u n a f u e r z a suficiente, cuyo m o m e n t o , con relación al eje, d e b e ser, c u a n d o m e n o s , i g u a l al d e resistencia del c u e r p o . E n s u m a , p a r a q u e la e s t a b i l i d a d de u n c u e r p o pesado s o b r e u n p l a n o h o r i z o n t a l quedo a s e g u r a d a , es necesario q u e su m o m e n t o m í n í m o sea superior 4 la s u m a d e los m o m e n t o s de f u e r z a s q u e t i e n d e n á dirigir su m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n sobre 1a s u m a d e los m o m e n t o s de las fuerzas q u e t i e n d e n á c o n tenerlo.
Fig. <51.
u n o d e sus p u n t o s , y la r e s i s t e n c i a F (peso del c u e r p o ) a p l i c a d a á su c e n t r o d e g r a v e d a d g. E s necesario, a d e m á s , p a r a e s t a b l e c e r el equilibrio, que ambas fuerzas tengan una resultante normal al p l a n o i n c l i n a d o , y q u e sean do u n m i s m o p l a no, el c u a l , debiendo ser p e r p e n d i c u l a r al incli13.
i ¿ M ; í «j ttM
|
•M* » FEÎH
.î
*
3
i• m
i
P)
220
MANUAL )>F. M E C A N I C A
CUAUTA PAltTF.. — CAPITULO IV.
INDUSTRIAL.
n a d o en v i r t u d de q u e c o n t i e n d a n o r m a l , y al h o rizonte en v i r t u d d e q u e c o n t i e n e l a vertical, deberá ser a s i m i s m o p e r p e n d i c u l a r al t r a z a d o h o r i z o n t a l del p l a n o i n c l i n a d o . P u e s b i e n ; si a h o r a se h a c e u n a sección, p o r e s t e p l a n o , en el sistema q u e nos ocupa, el h o r i z o n t e q u e d a r á r e p r e s e n t a d o p o r la horizontal II C, el p l a n o i n c l i n a d o p o r l a r e c t a IIB y la inclinación del m i s m o por C H B = i . Ambas fuerzas, en este c a s o , v a n á e n c o n t r a r s e e n t, y la r e s u l t a n t e , d i r i g i d a s e g ú n l a n o r m a l » £ ' , cae en el interior del p o l í g o n o q u e f o r m a n los p u n t o s do contacto. E n este e s t a d o , c o n d u z c a m o s luego por el p u n t o i u n a p a r a l e l a i A á // B y d e s i g n e m o s con 0 el á n g u l o iPA q u e h a c e c o n esta r e c t a la p o t e n cia. D e s c o m p o n g a m o s la f u e r z a P en o t r a s dos, en P eos. 6 dirigida h á c i a í A, y la o t r a P sen. o d i r i g i da como i E'. D e s c o m p o n g a m o s t a m b i é n el peso F en otras dos f u e r z a s , l a u n a P sen. i dirigida h á c i a 1 A, y la otra P eos. i d i r i g i d a s i g u i e n d o iE'. Por ú l t i m o , d e s i g n e m o s c o n E l a r e a c c i ó n n o r m a l del plano, dirigido c o n f o r m e i E , y v e r e m o s q u e las condiciones del e q u i l i b r i o s e r á n :
.
2!'
E s t a ú l t i m a p o d r á e s c r i b i r s e t a m b i é n , si se quiere, de este m o d o : E=F
(eos 1 +
ó bien reemplazando ~
P
p-
sen.
o,
p o r s
valor
seno t ( q u e es la p r i m e r a e c u a c i ó n ) , y s i m p l i coseno 0 , r i? coseno (i—0) p ficando E=F
180. OBSERVACIÓN. — T a n t o p a r a los casos e x plicados c o m o para todos los d e m á s q u e p u e d a n i m a g i n a r s e , debe t e n e r s e p r e s e n t e : 1." Que la potencia paralela al plano inclinado es al peso que la mantiene en equilibrio, .plano á su
2.° Que la potencia horizontales en equilibrio
como la altura d
longitud. al peso que mantiene
sobre el plano inclinado,
lo que la ahur a
de este es á su base. 3.° Que cuando las dos fuerzas se hacen equilibrio sobre el plano inclinado, el trabajo motor es igual al tra-
W
Pcos.
fl=Fsen.
i, E=P
s e n . 6 + F e o s . «'.
bajo resistente respecto á lodos los cambios con los condiciones del
Ti 3
• tí, » ; Ijir'. Sí ir ¿ * n'• '
L a p r i m e r a e c u a c i ó n n o s d a l a r e l a c i ó n q u e debe existir e n t r e l a p o t e n c i a y l a r e s i s t e n c i a p a r a o b t e n e r el e q u i l i b r i o , y l a s e g u n d a l a i n t e n s i d a d de la presión q u e , en el c a s o s u p u e s t o a n t e r i o r m e n t e , s u p o r t a el p l a n o i n c l i n a d o .
compatibles
sistema.
181. OTRA OBSERVACIÓN. — T o d o c u a n t o d e j a m o s dicho en el s e g u n d o e x t r e m o del p á r r a f o 178, puede aplicarse á los casos en q u e el c u e r p o d e s c a n s a sobre u n p l a n o i n c l i n a d o . Queda e n e q u i l i b r i o si la
.r
* • ••
#
vertical c o n d u c i d a por su centro de gravedad e n c u e n t r a l a s u p e r f i c i e d e a p o y o , y su e s t a b i l i d a d s e r á t a n t o m a y o r c u a n t o m a s l e j a n a se h a l l e esta
f
f
o
vertical del elemento en cuyo derredor puede dar vueltas. CAPITULO
V
TÓ J I D e la» r e » i » t e n c i a » p a í i v a s , ó d e l a c o h e « i o n y r o z a m i e n t o d e u n c u e r p o con otro.
i ® 'M 1
I . Diversas especies de resistencia pasiva. -
182. _ E s t u d i a n d o ó e x p o n i e n d o e n l o s c a p í t u l o s precedentes sobre el equilibrio y m o v i m i e n t o unif o r m e d e l a s m á q u i n a s , h e m o s o m i t i d o , c o n el fin d e c o n s a g r a r l e u n c a p i t u l o e s p e c i a l , el t r a t a r d e la acción é influencias de las resistencias pasivas. U n a m á q u i n a , c o m o se s a b e y a , e s t á d e s t i n a d a « i
;
á v e n c e r c i e r t a s r e s i s t e n c i a s , c o m o s o n el peso d e los c u e r p o s q u e t i e n e n q u e e l e v a r ó a r r a s t r a r la c o h e s i ó n de las m o l é c u l a s de los cuerpos que debe pulverizar, etc., etc. E m p e r o , debe tenerse en cuent a q u e a d e m á s d e l a s r e s i s t e n c i a s útiles s e p r o d u c e n o t r a s q u e e m a n a n d e s u m o v i m i e n t o , y las c u a l e s , oponiéndosoá su marcha, neutralizan una porciou m a s ó m e n o s i m p o r t a n t e d e la f u e r z a m o t r i z . C o m u n m e n t e estas resistencias
pasivas.
r e s i s t e n c i a s se d e n o m i n a n
183. RESISTENCIAS PASIVAS. — C u a t r o s o n l a s e s -
frecuencia c o n s i d e r a b l e , e n t é r m i n o s q u e p u e d e n
pecies de r e s i s t e n c i a s p a s i v a s q u e se d i s t i n g u e n , p o r lo general, en l a s m á q u i n a s .
compararse á l a s f u e r z a s d e s p l e g a d a s ó p u e s t a s e n
1." La rigidez ó tirantez de las cuerdas. H e m o s s u puesto q u e las c u e r d a s y las c o r r e a s s o n p e r f e c t a m e n t e flexibles ó i n c x t e n s i b l e s : p o r lo t a n t o , se p u e d e n o t e n e r en c u e n t a su i n e x t e n s i b i l i d a d , ya p o r q u e por lo c o m ú n e s t a es d e m a s i a d o débil é i n significante, y a p o r q u e solo se n o t a e n los p r i m e r o s i n s t a n t e s del m o v i m i e n t o ; m a s n o s u c e d e lo m i s m o e n c u a n t o á s u d e f e c t o de flexibilidad, p u e s t o q u e á cada i n s t a n t e o f r e c e u n a r e s i s t e n c i a c o n t i n u a en los p u n t o s en q u e l a c u e r d a y la c o r r e a se e n r o s c a n y desenroscan.
cesidad do aplicar u n t r a b a j o s u f i c i e n t e , así p a r a
2.° Rozamiento de la primera especie, ó d e desliz ó e s c u r r i d u r a . H e m o s s u p u e s t o t a m b i é n q u e los c u e r p o s en c o n t a c t o e s t a b a n p e r f e c t a m e n t e lisos, y q u e p p r lo m i s m o las p r e s i o n e s q u e e j e r c í a n e r a n n o r m a l e s á sus superficies. E m p e r o , n o s u c e d e así en todos los cuerpos que p u e b l a n la naturaleza, y m u c h o m e n o s respecto d e c i e r t o s c u e r p o s d u r o s y pesados q u e las m á q u i n a s t i e n e n q u e s u p o r t a r , p u l i r y a r r a n c a r m u c h a s veces de l a s u p e r f i c i e , y a u n en realidad, los c u e r p o s m a s d u r o s y m e j o r a l i s a d o s e s t á n erizados d e a s p e r e z a s q u e se e n c a d e n a n ó e n c a j a n u n a s c o n o t r a s c u a n t a s veces u n a p r e s i ó n c u a l q u i e r a las m a n t i e n e e n c o n t a c t o , y p o r lo m i s m o p a r a deslizar u n a s u p e r f i c i e s o b r e o t r a es m e n e s ter d e s t r u i r l a r e s i s t e n c i a q u e e s t a s a s p e r i d a d e s ofrecen ai m o v i m i e n t o . D i c h a r e s i s t e n c i a es con
acción p o r l a s m á q u i n a s , y d e ahí proviene l a n e p r o d u c i r c o m o p a r a a l i m e n t a r el m o v i m i e n t o d e algunas m á q u i n a s . 3.° El rozamiento de segunda especie ó de r o d a d u r a : esta resistencia es m u c h o m e n o r q u e la p r e c e d e n t e , y por c o n s i g u i e n t e i m p i d e m e n o s el m o v i m i e n t o , como f á c i l m e n t e s e c o n c i b e . 4.° La resistencia de los medios. Como las m á q u i n a s se m u e v e n g e n e r a l m e n t e e n el aire ó en el a g u a , c o m u n i c a n á las m o l é c u l a s d e estos centros u n m o movimiento q u e n o p u e d e producirse s i n o á e s pensas d e la f u e r z a m o t o r a .
II. Leyes experimentales del rozamiento.
184. C u a n d o u n c u e r p o pesado d e s c a n s a s o b r o u n a superficie p l a n a y h o r i z o n t a l y que se l e q u i e r e deslizar s o b r e ella, se e x p e r i m e n t a u n a r e s i s t e n c i a q u e n o p u e d e v e n c e r s e sin el auxilio d e u n a f u e r z a . Y en el caso e n q u e esta f u e r z a sea i n s u f i c i e n t e para d e t e r m i n a r el m o v i m i e n t o , será n e c e s a r i o a d m i t i r q u e l a reacción d e la superficie s o b r e
ei
cuerpo se c o m p o n e n o s o l a m e n t e de la p r e s i ó n n o r m a l , sino t a m b i é n d e u n a f u e r z a t a n g e n c i a l i g u a l y c o n t r a r i a á la f u e r z a aplicada. E s t a r e a c c i ó n tangencial constituye el rozamivto.
A. m e d i d a q - ; e
... .1 i' 232
• ? H
3
I • • '
'
.i
í ?•:! ;
MANUAL DE MECANICA
CUARTA PARTE. — CAPITULO V.
INDUSTRIAL.
235
el roce y la p r e s i ó n n o r m a l á u n m o m e n t o d a d o ,
l a potencia crece, crece t a m b i é n el r o z a m i e n t o q u e sigue s i e n d o i g u a l y c o n t r a r i o á l a f u e r z a m o t o r a .
de s u e r t e q u e F=FP.
El valor d e l a p o t e n c i a e n este m o m e n t o es la m e d i d a del r o z a m i e n t o e n el i n s t a n t e de p o n e r s e el c u e r p o e n m o v i m i e n t o , q u e se l l a m a rozamiento de partida.
considera m a s p a r t i c u l a r m e n t e su v a l o r : 1." al ins-
Mas luego q u e d i c h o c u e r p o c o n t i n ú a su m o v i m i e n t o sobre u n p l a n o h o r i z o n t a l , s e g ú n la velocid a d a d q u i r i d a a n t e r i o r m e n t e , se o b s e r v a q u e s u marcha disminuye hasta q u e llega á pararse enter a m e n t e , en l u g a r d e c o n t i n u a r s u m o v i m i e n t o c o n s t a n t e m e n t e , cosa q u e s e v e r i f i c a r a sin d u d a a l g u n a si- la r e a c c i ó n del p l a n o n o f u e r a m a s q u e n o r m a l . Así, es necesario a d m i t i r q u e el c u e r p o e x p e r i m e n t a d e p a r t e d e la s u p e r f i c i e u n a r e a c ción t a n g e n c i a l , l l a m a d a p o r los h o m b r e s d e la ciencia rozamiento durante ei movimiento. Ahora, si se aplicara al c u e r p o u n a f u e r z a t a n g e n c i a l capaz d e conservar su m o v i m i e n t o u n i f o r m e , esta f u e r z a d e s t r u i r í a á cada i n s t a n t e el r o c e d u r a n t e el m o v i m i e n t o , y le serviría d e m e d i d a .
sobre l a o t r a , y e n este caso se l l a m a coeficiente
E s t a r e l a c i ó n es l o q u e
se l l a m a coeficiente del rozamiento.
E n s e g u i d a se
t a n t e en q u e p r i n c i p i a el m o v i m i e n t o , y e n t o n c e s se d e n o m i n a el coeficiente del r o z a m i e n t o á la salida ; 2." d u r a n t e q u e u n a d e l a s f u e r z a s se desliza del r o z a m i e n t o durante el
movimiento.
C o m p o n i e n d o luego en u n a sola l a s dos f u e r z a s P y FP, l a dirección de su r e s u l t a n t e P j/1
+
f-
formaria con la normal un ángulo c u y a tangente ser
i a LL.
= f . L u e g o se r e p r e s e n t a c o n f este á n -
gulo y se le designa con el n o m b r e d e ángulo del rozamiento. T e n e m o s , p u e s , p o r d e f i n i c i ó n , t a n g . t = f . E l ángulo del r o z a m i e n t o se c o n s i d e r a r á esp e c i a l m e n t e en el m o m e n t o d e p r i n c i p i a r el m o v i m i e n t o , á la partida,
y el á n g u l o d e l r o z a m i e n t o
d u r a n t e el m o v i m i e n t o ; h e c h o esto f á c i l es d e s p u e s d e aplicar las leyes q u e d e b e n r e g i r f y f .
i 186. EXPERIENCIA DE COULOMB. — E s t e i l u s t r e f í 1 8 5 . COEFICIENTE
DEL R O Z A M I E N T O . -
Es
nece-
sario a d m i t i r , en v i r t u d d e lo e x p u e s t o , q u e c u a n d o dos superficies se h a l l a n e n c o n t a c t o , existe e n t r e la presión n o r m a l / ' q u e e j e r c e n la u n a s o b r e o t r a u n a fuerza tangencial F c o n t r a r i a y o p u e s t a const a n t e m e n t e á la m a r c h a del c u e r p o t a n t o c u a n d o esta se p r o d u c e como c u a n d o se h a l l a y a p r o d u c i d a . E n su c o n s e c u e n c i a , r e p r e s e n t a r e m o s c o n F i
m
sico hizo en 1781 las p r i m e r a s i n v e s t i g a c i o n e s s o b r e el r o z a m i e n t o . Al efecto se s i r v i ó d e l a m á q u i n a q u e r e p r e s e n t a la figura 62. C o m p ó n e s e d e u n a c a j a C q u e llenaba á discreción d e c i e r t a c a n tidad de peso á fin de q u e p u d i e r a d e s l i z a r s e sobre dos p l a n c h a s d e m a d e r a colocadas p a r a l e l a y h o r i zontalmente u n a de otra. L a c u e r d a l i g a d a á l a caja
231
CUARTA PARTE. -
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
CAPITULO V.
235
p a s a b a p o r l a p o l e a A, b a j a b a v e r t i c a l m e n t e s u s -
y durante su movimiento
p e n d i e n d o d e este e x t r e m o el plato B. U n a vez c a r -
p e r i e n c i a s de Amontons, C o u l o m b n o p u d o d e m o s -
g a d a l a c a j a , se colocaba en d i c h o plato el peso
t r a r con toda la c l a r i d a d n e c e s a r i a l a s del r o -
suficiente p a r a p r o d u c i r el m o v i m i e n t o , el cual
zamiento d u r a n t e l a m a r c h a del c u e r p o , s i n d u d a
; e m p e r o , así c o m o las e x -
p o r q u e n o e m p l e ó para h a c e r estas útiles e x p e r i e n cias los e l e m e n t o s d e q u e se h a valido el célebre Mr. Morín. Sin e m b a r g o , no p u e d e n e g a r s e q u e Mr. C o u l o m b ha h e c h o u n servicio e m i n e n t í s i m o á la ciencia e n r i q u e c i é n d o l a c o n las leyes siguientes, confirmadas
p o r las experiencias do d i c h o Morin y
d o m a s físicos q u o las h a n c o m p r o b a d o .
III. Leyes del rozamiento halladas por Mr. Coulomb. F¡g. 6?.
187. 1.« LEY. — En ciertos cuerpos el rozamiento es u n i d o c o n el peso específico del plato, d a la m e d i da de la f u e r z a m o t o r a y d e la del r o z a m i e n t o q u e se o p o n e n al principio y á la c o n t i n u a c i ó n del m o v i m i e n t o . Debe t e n e r s e en c u e n t a q u e la c a r g a do l a c a j a C p o d i a d i s m i n u i r s e ó a u m e n t a r s e así como l a n a t u r a l e z a d e l a s superficies del p l a n o , c u b r i é n dolas c o n m e t a l e s ó c u e r o s , ó b a ñ á n d o l a s de aceite, a g u a , sebo, etc., en el d i á m e t r o y l o n g i t u d d e las m i s m a s superficies e n q u e la c a j a d e s c a u s a b a , y se m o v i a t a n luego c o m o q u e d a b a b a j o d e la a c ción de l a f u e r z a m o t o r a . He a h í , p u e s , c o m o C o u l o m b h a p o d i d o i n v e s t i g a r las leyes del r o z a m i e n t o á la par/«'da del c u e r p o
mayor en el momento de la partida que. durante el movimiento.
Los c u e r p o s d u r o s y elásticos c o m o el
h i e r r o , el acero, la p l a t a , etc., p e r t e n e c e n á l a seg u n d a categoría, y las m a d e r a s , c u e r o s , etc., corr e s p o n d e n á la p r i m e r a . Ya h e m o s i n d i c a d o q u e l a c a r g a del plato en el m o m e n t o de la p a r t i d a es la m e d i d a de la intensidad del r o z a m i e n t o i n i c i a l . T u e s b i e n ; la velocid a d i n i c i a l c o m u n i c a d a á l a c a j a se c o n s e r v a const a n t e m e n t e en ciertos c u e r p o s s o m e t i d o s á l a acción d e la p o t e n c i a del p l a t o . Siendo esto asi, como lo es e f e c t i v a m e n t e , d e b e c o n v e n i r s e e n q u e el roce es i n v a r i a b l e e n d i c h o s casos. E s t a velocidad a u -
• íf * .1', 236
CUARTA PARTE. - CAPITULO V.
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
237
A
.
m e n t a b a , p o r el c o n t r a r i o , e n o t r o s c u e r p o s s o m e -
P a r a verificar la ley p r e c e d e n t e es n e c e s a r i o e x a -
!Í1
'
tidos á l a m i s m a e x p e r i e n c i a . L u e g o el r o z a m i e n t o
m i n a r si las superficies q u e se r o z a n e n t r e sí p e r -
de la partida d i s m i n u i a durante el A
r
mi»
í.J Í ' I
!
movimiento.
188. 2. LEY. — El rozamiento durante miento es independiente de la velocidad.
el
m a n e c e n c o n s t a n t e s , c u a l q u i e r a q u e s e a el p e s o movi-
Hé a q u í c o m o C o u l o m b operó p a r a v e r i f i c a r esta ley. Cargó el plato del p e s o n e c e s a r i o p a r a lograr u n m o v i m i e n t o u n i f o r m e ; o b t e n i d o , lo c o m u n i caba al sistema d e u n a v e l o c i d a d d i f e r e n t e , y observó c u a n t a s veces lo p r a c t i c ó a s í , q u e el movimiento permanecía siempre uniforme.
m
del rozamiento. 190. 4.* LEY. — El rozamiento zamiento
durante la marcha
de partida
y el ro-
del cuerpo son
indepen-
dientes de la extensión de las superficies en contacto. Esta ley p u e d e c o m p r o b a r s e v a r i a n d o l a e x t e n sión de las superficies s i n c a m b i a r s u n a t u r a l e z a . Asi, s u p o n g a m o s q u e u n c u e r p o se desliza p o r u n
La m i s m a c o n s e c u e n c i a se o b t i e n e h a c i e n d o el e x p e r i m e n t o respecto d e l m o v i m i e n t o v a r i a d o que resulta de u n a c a r g a c u a l q u i e r a p u e s t a e n el plato. Con este fin, d e b e n m e d i r s e los espacios r e c o r r i dos y los t i e m p o s g a s t a d o s e n r e c o r r e r l o s , e n seg u i d a c o n s t r u i r y a p r e c i a r la c u r v a d e l o s espacios, según las reglas d a d a s e n l a p r i m e r a p a r t e d e este MANUAL, y m u y l u e g o s e e v i d e n c i a r á q u e el mov i m i e n t o d e l a c a j a e s u n i f o r m e m e n t e acelerado, y q u e el r o z a m i e n t o es c o n s t a n t e d u r a n t e todo el m o v i m i e n t o , c u a l q u i e r a q u e sea la velocidad inicial.
mismo plano poniendo sucesivamente en contacto
En seguida p u e d e c a l c u l a r s e su v a l o r , cosa q u e se consigue c o n la m a y o r f a c i l i d a d .
dieran p e n e t r a r en la s u p e r f i c i e e n q u e se a p o y a ,
189. 3.- LEY. — Los rozamientos en el momento de la partida, y durante el movimiento, son proporcionales á la presión. (Con tal, s i n e m b a r g o , q u e d i c h a p r e sión n o sea s u m a m e n t e c o n s i d e r a b l e . ) í ijl • i
del plato, y d e d u c i r l a r e l a c i ó n l l a m a d a el coeficiente
con dicho plano superficies d e d i v e r s a e x t e n s i ó n , cuya relación sea r. E n el p r i m e r caso l a p r e s i ó n será d i s t r i b u i d a sobre u n a superficie r v e c e s m a s g r a n d e q u e en el s e g u n d o ; p o r c o n s i g u i e n t e , c a d a elemento superficial s u p o r t a r á u n a p r e s i ó n r v e c e s m a s p e q u e ñ a , y su r o z a m i e n t o será a s i m i s m o r v e ces m e n o r ; y como los e l e m e n t o s s o n r veces m a s n u m e r o s o s , r e s u l t a r á e n d e f i n i t i v a q u e el r o z a m i e n t o será s i e m p r e el m i s m o . Debe observarse q u e si la superficie d e l c u e r p o tuviese asperidades t a n f u e r t e s y a g u d a s q u e p u entonces dicha ley s e r i a inaplicable. 191. O.A LEY. El rozamiento
varia conforme el yrado
de unión y lisura de las superficies en contacto, y de la naturaleza de las capas de aceites con que se hallen vestidas.
re-
¡ j» •. v. L u e g o e x p o n d r e m o s el o u a d r o q u e M r . M o r i n h a é
tal e r a lo q u e s e d e s e a b a v e n c e r , y á M r . Morin
h e c h o p a r a d e m o s t r a r las e x p e r i e n c i a s p r a c t i c a d a
c u p o la s u e r t e d e d a r l a ú l t i m a m a n o á este d e s -
p o r el m i s m o c o n el fin d e fijar l a s v a r i a c i o n e s d e
cubrimiento. Yeainos como operó con la adición
— t o e n
d e s u m e c a n i s m o al p l a n o p r e c e d e n t e .
el s e n t i d o q u e i n d i c a la
l
e y p r c
S u p o n g a m o s O el c e n t r o del d i s c o ( f i g u r a 63) é I el del p e q u e ñ o c í r c u l o q u e 1 9 , . P E R F E C C I O N A M I E N T O DEL P R E C E D E N T E M É T O -
DO POR MR. MORIN. -
pincel
E s t e i l u s t r e físico, en 1831
el m o v i m i e n t o del r e l o j h a c e r e c o r r e r a l p i n c e l los
tud y c o m p r o b é l a s leyes a n t e r i o r e s , v a l i é n d o se de elementos m a s adecuados y de m a y o r preci-
y q u e A B C... e s la c u n a t r a z a d a p o r él e n el d i s c o
S
en v i r t u d del d o b l e m o v i m i e n t o . E n el m o m e n t o
;°ü
r :
describiría el
s o b r e el disco i n m ó v i l . S u p o n g a m o s t a m b i é n q u e a r c o s i g u a l e s A B' B' C... e n u n s e g u n d o c a d a u n o ,
U n i ó u n a n c h o disco de cobre, c u b i e r t o de p a -
| Z
t
:
''Vi
pel, a l eje d e l a p o l e a q u e t r a n s m i t í a á la c a j a la a c c i ó n del p l a t o . A este d i s c o p u s o u n p i n c e l b a ñ a d o en t i n t a de C h i n a q u e , recibiendo de u n a m á q u i n a s e m e j a n t e á la d e un reloj su
movimiento
uniforme de rotacion en derredor de un eje paralelo a l d e la polea, t r a z a b a
sobre
el p a p e l
una
curva c u y a naturaleza dependía de los m o v i m i e n t o s . Con e s t e a u x i l i o , a d m i r a b l e p o r s u e f i c a c i a y M rÍU tt T mng"u i!d o 'p r e id' e c e°s o r .
ü b S m Ó k S
^
-
^
Fig. 63.
f i I
1 9 3 . E X P E R I E N C I A S DE M R . M O R I N . '.'{'
j l J
n
ffih
N '.
L a dificul-
tad q u e p r e s e n t a b a n las investigaciones
d e p a r t i d a el p i n c e l s e e n c u e n t r a e n A y e n b a l
relativas
fin d e u n s e g u n d o ; p e r o p o r c a u s a del m o v i m i e n t o
a l r o z a m i e n t o de los cuerpos, consistían, como
del d i s c o , e l p u n t o B s e c o l o c a s o b r e s u p u n t a d e
q u e d a expuesto, e n c o n o c e r l a s leyes del m o v i -
m a n e r a q u e e l d i s c o h a v u e l t o del á n g u l o b O B
m i e n t o p r o d u c i d o p o r el p e s o c o l o c a d o e n el p l a t o •
d u r a n t e el p r i m e r s e g u n d o . A l c a b o d e d o s s e g ú n -
240
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
dos el pincel está e n c, y s i n e m b a r g o m a r c a el p u n t o c OC d u r a n t e el s e g u n d o siguiente. Así, se observa q u e p u e d e n o b t e n e r s e los á n g u l o s f o r m a -
consignar cierto n ú m e r o d e los resultados quo obtuvo, y que s i r v e n p a r a a p r e c i a r los m o v i m i e n t o s de las máquinas.
dos p o r el disco, e n u n s e g u n d o c a d a u n o , d e s c r i b i e n d o desde el p u n t o c é n t r i c o O los arcos b B, c C..., h a s t a el e n c u e n t r o c o n l a c u r v a A BC.
COEFICIENTE
Ahora bien; dichos á n g u l o s son proporcionales á los arcos descritos p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a de la
DEL
SUPERFICIES E N CONTACTO.
c i r c u n f e r e n c i a de l a p o l e a , y p o r lo t a n t o á los ca-
ROZAMIENTO
DSI1ITI U.
m i n o s r e c o r r i d o s p o r l a c a j a . Su l e c t u r a h a c i a co-
MOVIMIOTO.
4
LA
SXUDX.
n o c e r , pues, los e s p a c i o s a n d a d o s en f u n c i ó n del tiempo, y c o m o estos e s p a c i o s e r a n p r o p o r c i o n a l e s á los c u a d r a d o s d e los t i e m p o s , Mr. Morin c o n c l u y ó q u e el m o v i m i e n t o d o la c a j a e r a u n i f o r m e m e n t e acelerado. Desde luego el á n g u l o d e s c r i t o d u r a n t e el p r i m e r s e g u n d o le r e v e l a b a el c a m i n o h e c h o en el
— dados con sebo a manteca Cuerdas de cáñamo sobre m a d e r a 6 seco. — — mojadas d e a g u a . . . Metal sobre metal con aceiie d e o l i v a s . . .
m i s m o t i e m p o p o r l a c a j a ó c a r r e t ó n , y en su virt u d dobló luego el c a m i n o y o b t u v o p o r ú l t i m o
Correas sobre metal con mantee»
r e s u l t a d o la a c e l e r a c i ó n .
0.50
0,36
0,68
0,25
0,19
0,07
0,36
0 , U
0,60
0,42
0.65
0,24
0,12
0,07
0.63
0,45
0.87
0,33
0,12
0,07
0,10
0,09
0,18
0,18
0.28
0,18
0,51
0.30
0,47
0,30
1 9 4 . T A B L A RESUMIDA DE LOS COEFICIENTES USUA-
LES DEL ROZAMIENTO. — Mr. Morin m u l t i p l i c ó sus experiencias d u r a n t e t r e s a ñ o s c o n s e c u t i v o s con n u m e r o s o s c u e r p o s d i f e r e n t e s , y v a l i é n d o s e de sebo, aceite, etc., p a r a m o d e r a r las r e s i s t e n c i a s q u e ofrecían sus r e s p e c t i v a s s u p e r f i c i e s , s e g ú n se observa en l a s Memorias d e e s t e i l u s t r e físico q u e e n c o n t r a m o s en los t o m o s c u a r t o y sexto fíe los sabios extranjeros. E m p e r o , a q u í n o s l i m i t a m o s á
IV. R e s i s t e n c i a d e los
fluidos.
19o. La r e s i s t e n c i a q u e el r o z a m i e n t o d e los cuerpos e x p e r i m e n t a e n l a s u p e r f i c i e de la t i e r r a , la experimentan i g u a l m e n t e los cuerpos e n los fluidos, de suerte q u e c u a n d o u n c u e r p o se m u e v e en 14
242
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
este e l e m e n t o , e x p e r i m e n t a u n a resistencia
que
t i e n d e s i e m p r e á d i s m i n u i r y p a r a l i z a r su velocidad. Esto
e m a n a , c o m o se d e s p r e n d e de c u a n t o
d e j a m o s d i c h o s o b r e esta cuestión, e n q u e el c u e r p o e n su m a r c h a c o m u n i c a su m o v i m i e n t o á las m o léculas del fluido q u e e n c u e n t r a á su paso. C o m p a r a n d o , p u e s , esta resistencia á la q u e p r o d u c e el r o z a m i e n t o , se verá q u e s o n por su esencia diferentes u n a de o t r a . E f e c t i v a m e n t e , luego q u e se q u i e r e deslizar u n c u e r p o s o b r e u n a superficie, se opera u n a resistencia a n t e s q u e el c u e r p o h a y a p r i n c i p i a d o su m o v i m i e n t o , y a u n q u e esta r e s i s t e n c i a subsiste d u r a n t e el m o v i m i e n t o , se d i s m i n u y e e n seguida y n o v a r í a c o n l a velocidad del c u e r p o deslizado. Mas n o s u c e d e lo m i s m o en los fluidos : m i e n t r a s q u e el c u e r p o n o está en m o v i m i e n t o , esta resistencia n o se h a c e s e n t i r ; solo se revela y desarrolla d u r a n t e el m o v i m i e n t o , y c a m b i a c o n s i d e r a b l e m e n t e á m e d i d a que el m o v i m i e n t o se acelera. P o r cierto, n o es este el m o m e n t o d e t r a t a r la c u e s t i ó n , p o r q u e su i m p o r t a n c i a es t a l q u e n e c e s i t a u n l i b r o e s p e c i a l ; e m p e r o , a p u n t a r e m o s sin e m b a r g o q u e esta r e s i s t e n c i a es p r o p o r c i o n a l á la e x t e n s i ó n d e la superficie q u e choca d i r e c t a m e n t e c o n las m o l é c u l a s del fluido, y al c u a d r a d o d e la velocidad con q u e se p r o d u c e este c h o q u e . I n ú t i l será el d e c i r q u e esta resistencia es m u c h o m e n o r e n el a i r e q u e e n el a g u a , p u e s n a d i e i g n o r a q u e
a q u e l es m u c h o m a s ligero y s u t i l q u e esta q u e es pesada y m a s c o m p a c t a sin c o m p a r a c i ó n
al-
guna. 196.
MÁQUINA
PARA EXPERIMENTAR
TENCIA DE LOS FLUIDOS. — C u a n d o s e
LA
RESIS-
a u m e n t a la
superficie q u e e n c u e n t r a d i r e c t a m e n t e las m o l é culas l í q u i d a s ó gaseosas, se a u m e n t a e n la m i s m a p r o p o r c i o n la r e s i s t e n c i a q u e estos la o p o n e n , como lo d e m o s t r a r e m o s c o n el auxilio d e l a fig u r a 64. C o m p ó n e s e esta m á q u i n a d e dos r u e d a s fí y C m o n t a d a s en u n eje p a r t i c u l a r á cada u n a . y s u m a m e n t e m o v i b l e s s o b r e sus respectivos ejes. Dos llares fijas e n t r e sí se e n c a j a n en dos p i ñ o n e s d é l a s m i s m a s d i m e n s i o n e s q u e m a n t i e n e n los ejes d e a m b a s r u e d a s , d e m a n e r a q u e si se b a j a n r á p i d a m e n t e las dos llares, p r o c e d i e n d o como lo i n dica l a figura 64, h a s t a q u e y a n o e n c a j e n con los piñones, q u e p o d r á n d a r v u e l t a s l i b r e m e n t e en las s e s g a d u r a s ó carcelillas A A, se c o m u n i c a á las dos r u e d a s con la m a y o r e x a c t i t u d l a m i s m a velocidad de r o t a c i o n . C a d a r u e d a se f o r m a d e c u a t r o aletas. E n la r u e d a R, e s t a s e s t á n fijas al eje y vienen á e n c o n t r a r el a i r e s o l a m e n t e p o r sus e x tremos. P o r el c o n t r a r i o , e n la r u e d a C las alitas son movibles y p u e d e n colocarse del m i s m o m o d o que las d e 1i, ó i n c l i n a r s e m a s ó m e n o s , siguiendo la dirección del m o v i m i e n t o ; a u n p u e d e n d i s p o nerse d e m a n e r a q u e r e c i b a n el aire de f r e n t e m i e n t r a s q u e g i r a n s o b r e s u eje. C u a n d o las alas
244
MANUAL DE M E C A N I C A INDUSTRIAL,
CUARTA PARTE. -
CAPITULO V.
243
de la r u e d a C se h a n p u e s t o e n la m i s m a disposi-
se colocan d i v e r s a m e n t e , ó s e g ú n r e p r e s e n t a la fi-
ción q u e las d e B, y q u e se las h a c e n d a r vueltas
gura, entonces el m o v i m i e n t o d e esta r u e d a dism i n u y e y cesa m u c h o a n t e s q u e el d e la otra, d i s m i n u c i ó n q u e se nota t a n t o m a s c u a n t o las alas se hallen m a s d e f r e n t e á l a c o r r i e n t e del a i r e .
Fi?. Ci.
con las llares, se m o v e r á n d u r a n t e largo t i e m p o y p a r a r á n casi á la vez. Mas si las alas d e la r u e d a C
CAPITULO
VI
D e l e s t u d i o d e las m á q u i n a s e n e s t a d o d e m o v i m i e n t o no uniforme.
1. De los v o l a n t e s .
197. VOLA.NTE3. — H a y n u m e r o s a s
máquinas
q u e n o p u e d e n p r o d u c i r el m o v i m i e n t o u n i f o r m e , y d e a q u i la n e c e s i d a d d e r e g u l a r i z a r , en c u a n t o sea p o s i b l e , la m a r c h a d e l a s m i s m a s c o n el fin d e q u e la v e l o c i d a d d e c a d a u n a d e s u s p i e z a s n o a u m e n t e ni d i s m i n u y a m a s allá de los limites á que debe circunscribirse. C u a n d o la p o t e n c i a e s m u c h o m a s s u p e r i o r q u o las r e s i s t e n c i a s q u e
t i e n e q u e v e n c e r , el m o v i -
m i e n t o d e la m á q u i n a s e a c e l e r a m e n t e ; esto n o n e c e s i t a
considerable-
demostración; empero,
d e b e m o s c o n o c e r q u e e s t a a c e l e r a c i ó n es p r o p o r c i o n a l á la m a g n i t u d
y d i s p o s i c i ó n d e las p i e z a s
d e l a s m á q u i n a s s u j e t a s á l a a c c i ó n do la f u e r za q u e la p r o d u c e . A h o r a b i e n ;
la c a u t i d a d d e
218
MANUAL DE MECANICA LNDUST1UAL.
movimiento
producido
por
esta
fuerza
debe
CUARTA PARTE. — C A P I T U L O VI.
249
d i s t r i b u i r s e , como f á c i l m e n t e se c o n c i b e , e n t r e to-
a u m e n t o d e fuerza m o t o r a , y e n a l g u n o s casos es
das l a s piezas q u e f u n c i o n a n á l a vez, y p o r lo
t a n débil que p u e d e p a s a r c o m o
t a n t o cada u n a recibirá l a b a s t a n t e p a r a l l e n a r su
sin exponerse á i n c o n v e n i e n t e a l g u n o .
objeto. Sucede q u e esta d i s t r i b u c i ó n n o p u e d e v e -
desapercibida
G e n e r a l m e n t e estos c u e r p o s ó m a s a s
adiciona-
rificarse c o n la m e d i d a e x a c t a q u e f u e r a d e desear,
les t i e n e n la f o r m a de u n a r u e d a , ó d e d o s ó t r e s
y p a r a r e m e d i a r este i n c o n v e n i e n t e se h a n fijado á
r a y o s t e r m i n a d o s e n f o r m a c i r c u l a r c o m o lo d e -
la m á q u i n a c u e r p o s d u r o s y p e s a d o s c o n el solo
m u e s t r a n las figuras 6o, 66 y 67, y se l l a m a n
fin d e a u m e n t a r la r e s i s t e n c i a y h a c e r l a s m e n o s
lantes, c u a l e s q u i e r a q u e sean s u s f o r m a s .
vo-
sensibles á la acción d e l a s f u e r z a s aceleradoras, y por consiguiente c o n e l d e m o d i f i c a r , s e g ú n convenga, la velocidad del m o v i m i e n t o . H a y q u i e n s u p o n e q u e estos c u e r p o s d u r o s y pesados a ñ a d i d o s á la m á q u i n a , n o exigen en ella el a u m e n t o de la fuerza q u e a l i m e n t a su m o v i m i e n t o , y q u e si l a s r e s i s t e n c i a s s o n l a s m i s m a s , la m i s m a debe ser t a m b i é n l a p o t e n c i a q u e h a d e v e n c e r l a s , lleven ó n o fijos d i c h o s c u e r p o s , visto q u e estos solo tienen la misión d e e s t r e c h a r l o s l í m i t e s en cuyo círculo p u e d e v a r i a r la velocidad d e l a m á q u i n a . Mas nosotros, s i g u i e n d o la o p i n i o n d e e m i n e n t e s físicos, n o p o d e m o s m o n o s d e a f i r m a r q u e adaptando
un cuerpo p e s a d o á u n árbol cuando
g i r a , este c u e r p o a u m e n t a la p r e s i ó n del árbol sobre sus p u n t o s d e a p o y o , y e n su v i r t u d el rozam i e n t o debe ser m a y o r q u e a n t e s d e l a adición del cuerpo, y la p o t e n c i a s u m i n i s t r a d a á la m á q u i n a debe ser a u m e n t a d a p a r a v e n c e r el exceso del rozamiento. Con t o d o , t a m p o c o p o d e m o s n e g a r q u e la adición de d i c h o s c u e r p o s n e c e s i t a m u y poco
Fig. CS. La precedente r u e d a a d a p t a d a a l á r b o l de l a m á q u i n a c u y a velocidad se d e s e a d i s m i n u i r , p a r t i c i p a del m o v i m i e n t o de r o t a c i o n d e l e x p r e s a d o á r b o l , y la aceleración de su c i r c u n f e r e n c i a será t a n t o m a y o r
250
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL. 1 9 8 . M A N E R A DE AUMENTAR LA P O T E N C I A DE UN
taT^
m a S S r a n d e
863
d
Wlante 6
^
rUeda
adap
"
VOLANTE. — Se acrecienta la potencia de u n vol a n t e , y a sea a u m e n t a n d o su peso sin v a r i a r e n form a , y a dándole m a y o r e s dimensiones sin a ñ a d i r les m a s m a t e r i a en su fabricación. E s t e último medio se emplea con preferencia á fin de no hacer el volante demasiado pesado, y de no s o b r e c a r g a r m u c h o el árbol q u e lo suporta. P o r esa razón v e m o s m u c h a s m á q u i n a s de escasa fuerza, a r m a d a s de v o l a n t e s de e x t e n s a s dimensiones. Sin e m bargo, no deben exceder de ciertos límites, p o r q u e e n g r a n d e c i é n d o l o s s i n a u m e n t a r el peso no q u e d a r í a n b a s t a n t e sólidos, y por consecuencia correría riesgo de r o m p e r s e á i m p u l s o s de la fuerza c e n t r í f u g a q u e se desenvuelve d u r a n t e su m o v i m i e n t o de rotacion.
199.
RESULTADO
QUE
DAN
LOS
VOLANTES.
—
Siempre q u e la p o t e n c i a es m a y o r q u e la resistencia, el exceso de la p r i m e r a se t r a n s f o r m a en movimiento, produciéndose generalmente
acele-
ración en la m á q u i n a . Si la aceleración es d e m a Los volantes representados p o r las figuras 06 y 07 t e r m i n a n por un disco, para que con su auxilio p u e d a n corlar y d i s m i n u i r la resistencia del aire cuya m a g n i t u d está siempre en proporcion de la velocidad de su movimiento, y en su v i r t u d p o d r i a ser considerable en ciertos casos. Colócanse, como el volante, e n f o r m a de rueda, y hacen lns mismas f u n c i o n e s que esta.
siada e n t é r m i n o s q u e sea d a ñ o s a a las funciones regulares de la m á q u i n a , entonces es indispensable m o d e r a r l a , y al efecto h a b r á q u e usar de los volantes c o m o el ú n i c o m e d i o eficaz
conocido
h a s t a el d i a p a r a c o n t e n e r las aceleraciones del m o v i m i e n t o de las m á q u i n a s . Mas, si el volante disminuye el a u m e n t o d e la velocidad, no dismin u y e sin embargo el efecto q u e p r o d u j e r a dicho
252
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
a u m e n t o . E l exceso del m o v i m i e n t o o c a s i o n a d o p o r l a preponderancia del t r a b a j o m o t o r s o b r e el resistente, se d i s t r i b u y e e n m u c h a s m a s p a r t e s q u e si
II. D e los f r e n o s .
la m á q u i n a no t u v i e r a v o l a n t e s , y así, a u n c u a n d o la velocidad n o c a m b i a r e a l m e n t e , c o n t o d o , el exceso del m o v i m i e n t o q u e se r e ú n e en t o d o el volante, s i n q u e p o r esta c i r c u n s t a n c i a se m o d i f i q u e s e n s i b l e m e n t e l a velocidad, d a l u g a r s i e m p r e á la producción igual de un trabajo resistente. E f e c t i v a m e n t e , c u a n d o el t r a b a j o m o t o r excede al resistente, el exceso del p r i m e r o se d e p o s i t a en el v o l a n t e b a j o la f o r m a de m o v i m i e n t o . E s t a r e serva de t r a b a j o p r o d u c e u n a s u m a i g u a l d e t r a b a j o r e s i s t e n t e en c i e r t a s o c a s i o n e s , c o m o l a q u e se p r e s e n t a en el m o m e n t o d e p r i n c i p i a r el m o v i m i e n t o de la m á q u i n a , y d u r a n t e s u s
primeros
pasos, en c u y o s casos se n e c e s i t a m a y o r fuerza m o t o r a q u e si los v o l a n t e s n o e x i s t i e r a n . E m p e r o , c o m o d e j a m o s ya a p u n t a d o , este exceso d e t r a b a j o no se pierde, visto q u e s e u t i l i z a en l o s últ i m o s i n s t a n t e s del c a m i n o c u a n d o a l p a r e c e r se ofrece á l a m á q u i n a u n a c a n t i d a d i g u a l d e t r a b a j o resistente. Hé ahí p o r q u e , c o n s i d e r a d o s b a j o e s t e p u n t o de vista, los volantes p u e d e n l l a m a r s e
almacenes
ó depósitos de t r a b a j o , p a r a e m p l e a r l o c u a n d o el m o m e n t o lo r e q u i e r a .
200.
OTROS MEDIOS P A R A A U M E N T A R L A S R E S I S -
TENCIAS PASIVAS. — A u n q u e g e n e r a l m e n t e se t r a t a de p r o d u c i r la m a y o r s u m a d e t r a b a j o ú t i l c o n u n a c a n t i d a d d a d a d e t r a b a j o m o t o r , y d e a t e n u a r así la i n f l u e n c i a de las r e s i s t e n c i a s pasivas, se p r e s e n t a n , sin e m b a r g o , casos e x c e p c i o n a l e s e n q u e h a y n e c e s i d a d de m o d i f i c a r y m o d e r a r la m a r c h a de la m á q u i n a , y de a u m e n t a r p o r c o n s i g u i e n t e la potencia resistente e n p r o p o r c i o n d e l a d i s m i n u ción d e m o v i m i e n t o q u e s e c o n s i d e r a c o n v e n i e n t e al o b j e t o q u e los m a q u i n i s t a s ó c o n d u c t o r e s se proponen. Con este fin se h a i m a g i n a d o u n m e c a n i s m o s u m a m e n t e sencillo q u e a u m e n t a c o n s i d e r a b l e m e n t e el r o z a m i e n t o de las piezas g i r a t o r i a s , y se l l a m a n frenos. E l de los c a r r u a j e s , c o m o lo v e m o s cada dia, c o n siste en u n a p l a n c h a d e h i e r r o p l a n a l e v a n t a d a p o r a m b o s l a d o s de m a n e r a q u e e n c a j e en la s u p e r ficie i n f e r i o r de la r u e d a h a s t a i m p e d i r l a , si se quisiera, el m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n . U n a s se h a l l a n s u j e t a s á u n a cadena de h i e r r o f i j a en l a s v a r a s del vehículo, otras se m a n e j a n p o r m e d i o de u n m e c a n i s m o adaptado al c a r r u a j e y á l a m a n o del c o n d u c t o r , á fin de q u e sin i n c o m o d a r s e en b a j a r y s u b i r p u e d a ponerlo e n uso s e g ú n lo exijan las 15
254
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
CUARTA PARTE. - CAPITULO VI.
c i r c u n s t a n c i a s d e l o s c a m i n o s q u e recorre. E m -
c u e r d a s c o n las m a n o s ó t o r n o , consiste en u n a
pero, estos f r e n o s y a n o se c o l o c a n d e b a j o de las
b o j a de h i e r r o b a t i d o q u e e n v u e l v e casi e n t e r a -
r u e d a s , sino d e t r a s , c o m o lo d e m u e s t r a la
fi-
g u r a 68.
255
m e n t e el t a m b o r cilindrico, fijo al lado d e u n a de las r u e d a s d e n t a d a s . A m b o s e x t r e m o s de l a h o j a d e h i e r r o e s t á n u n i d o s p o r m e d i o d e u n tornillo e n los p u n t o s A B d o s p e q u e ñ o s b r a z o s d e la e s p e cie d e p a l a n c a D B A q u e p u e d e m o v e r s e al r e d e d o r del p u n t o fijo C. C u a n d o se l e v a n t a el tercer b r a z o , q u e es el p r i n c i p a l y m a s largo D C, la h o j a se e s t r e c h a c o n la s u p e r f i c i e del t a m b o r colocado en su i n t e r i o r , y si este t a m b o r se m u e v e sobre su p r o p i o eje, e x p e r i m e n t a un r o z a m i e n t o t a n t o m a s c o n s i d e r a b l e c u a n t o m a y o r es l a f u e r z a q u e se i m p r i m a al e x t r e m o D d e la p a l a n c a ó brazo p r i n c i pal d e ella. L a figura 69 nos h a r á conocer p r á c t i -
Los f r e n o s aplicados á las g r ú a s p a r a m o d e r a r el m o v i m i e n t o c u a n d o se q u i e r e d e s c e n d e r u n c u e r p o , s i n n e c e s i d a d de t e n e r a s e g u r a d a s las
c a m e n t e c u a n t o q u e d a d i c h o . Mas, s i n o f u e r a c o n v e n i e n t e el p r o d u c i r t a n t a resistencia, se a b a j a r á dicho brazo í , y en s u v i r t u d se d i s m i n u i r á la
236
MANUAL DE MECANICA
INDUSTRIAL,
opresión h a s t a d e j a r l a s u m a m e n t e débil en ciertos casos. P e r o
c u a n d o el c u e r p o se h a elevado
m a s del p u n t o
d o n d e debia q u e d a r , e n t o n c e s se
a b a n d o n a n l o s b r a z o s del t o r n o p a r a q u e descienda en v i r t u d d e s u p r o p i o peso, h a c i e n d o m o v e r las ruedas en s e n t i d o contrario, sin a u m e n t a r la velocidad f u e r a d e s u s j u s t o s l i m i t e s , y al efecto se a u m e n t a p r o p o r c i o n a l m e n t e la p r e s i ó n del f r e n o h a s t a q u e s u f u e r z a r e s i s t e n t e se e q u i l i b r e con la del c u e r p o q u e t i e n d e á d e s c e n d e r a u m e n t a n d o su velocidad.
2 0 1 . FIÍENOS DINAMOMÉTBICOS. — U n a
máquina
de v a p o r e n f u n c i ó n c o m u n i c a u n m o v i m i e n t o de r o t a c i o n á u n á r b o l h o r i z o n t a l l l a m a d o árbol de couche ó d e t á l a m o , del c u a l se t o m a el que debe transmitirse á las m á q u i n a s útiles destinadas á e j e c u t a r s u s r e s p e c t i v o s t r a b a j o s . A s í , c u a n d o se quiere medir la potencia de la m á q u i n a motora, h a y n e c e s i d a d d e i n c o m u n i c a r l a s m á q u i u a s útiles del á r b o l q u e l a s p o n e en m o v i m i e n t o , y de las resistencias q u e t i e n e q u e v e n c e r . Acto c o n t i n u o se a ñ a d e al á r b o l u n a r e s i s t e n c i a a r t i f i c i a l fácil de e v a l u a r , é i n m e d i a t a m e n t e , h a c i e n d o v a r i a r la s u m a d e d i c h a r e s i s t e n c i a , so o p e r a de m a n e r a q u e el m o v i m i e n t o d e la m á q u i n a m o t o r a se e n c u e n t r e ó quede en las m i s m a s condiciones q u e cuando t r a n s m i t í a su f u e r z a v i v a á los útiles q u e p o m a en a c c i ó n . P o r c o n s i g u i e n t e , v e n c i e n d o esta resistencia y g r a d u á n d o l a en s e g u i d a , se o b t e n d r á la m e -
dida del t r a b a j o realizado p o r l a m á q u i n a en c i r cunstancias ordinarias. L a d i f i c u l t a d d e esta o p e r a c i o n consistía a n t e s en l a a d o p c i o n del f r e n o q u e p r o d u j e r a la r e s i s t e n cia n e c e s a r i a p a r a e j e c u t a r l a , y a f o r t u n a d a m e n t e el célebre físico Prony t u v o el h o n o r d e resolver la c u e s t i ó n i n v e n t a n d o los f r e n o s d i n a m o m é t r i c o s q u e llévan su n o m b r e . E s t e f r e n o consiste en u n a especie de c a d e n a f o r m a d a de placas d e hierro b a tido, a r t i c u l a d a s u n a s c o n o t r a s , g u a r n e c i d a s de pedazos de m a d e r a e n t r e a r t i c u l a c i ó n y a r t i c u l a ción ; t e r m í n a s e en dos p e r n o s d e hierro en f o r m a d e t o r n i l l o p a r a e n l a z a r s e á la o t r a m i tad del f r e n o , c o m p u e s t a d e u n a b a r r a ó p a l a n c a de m a d e r a g u a r n e c i d a d e u n pedazo d e m a d e r a circular á f i n de q u e p u e d a a b r a z a r la p a r t e s u p e r i o r del cilindro q u e n o c u b r e la c a d e n a . E s t a palanca sostiene en el e x t r e m o del b r a z o m a s largo u n plato d e s t i n a d o á r e c i b i r el p e s o . U l t i m a m e n t e colócanse c o n v e n i e n t e m e n t e dos p u n t o s d e p a r a d a con objeto de m a n t e n e r la p o s i c i o n h o r i z o n t a l del freno m i e n t r a s el árbol g i r e en s u i n t e r i o r . A h o r a b i e n ; s u p o n g a m o s q u e el árbol A (1) (fig. 70) se p o n e e n m o v i m i e n t o p o r l a m á q u i n a motriz c u y a p o t e n c i a q u i e r e saberse, y q u e al efecto se e s t r e c h a n l o s tornillos de la c a d e n a F F d e
(i) La superficie de este árbol debe ser cilindrico, y r.o siéndolo so le deberá adaptar un mango exactamente circular, á Ün de que t"dos los puntos de la superficie estén igualmente distantes del centro del eje de rotación.
258
CUARTA PARTE. — CAPITULO VI.
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL.
m a n e r a que el p u n t o D d e l a b a r r a y l a c a d e n a B' B q u e d e n f u e r t e m e n t e aplicados s o b r e el c i l i n -
2Í59
dráse peso suficien te en el plato P á fin de q u e la pal a n c a O C se m a n t e n g a h o r i z o n t a l m e n t e , s i n tocar los p u n t o s de p a r a d a O y O'. No c h o c a n d o con d i c h o s p u n t o s , e n t o n c e s la p a l a n c a se h a l l a r á e q u i l i b r a d a p o r l a acción d e las f u e r z a s del roce del árbol con el f r e n o , y del peso colocado en el p l a t o . L o q u e precede, q u i z a s n o diera l a inteligencia n e c e s a r i a p a r a h a c e r d i c h a e v a l u a c i ó n , y p o r esta r a z ó n , p a r a simplificar l a operacion, p a r é c e n o s conveniente el d e j a r d e lado el peso del f r e n o i n cluso el d e su plato, y s u p o n e r F el peso total c o locado e n el m i s m o . S u p o n g a m o s así m i s m o q u e
Fig. 70.
Q es la f u e r z a ú n i c a , en vez d e las v a r i a s q u e ejercen su acción en l a c i r c u n f e r e n c i a del árbol. Así,
d r o A. La a d h e r e n c i a y r o z a m i e n t o q u e se d e s a r r o l l a e n t r e el cilindro y el f r e n o a r r a s t r a r á á l a p a l a n c a C'CE cn su m o v i m i e n t o de r o t a c i o n . P e r o los p u n t o s de p a r a d a O' se o p o n e n obligándola á p e r m a n e c e r en s u estado h o r i z o n t a l . E s t e r o z a m i e n t o es u n a r e s i s t e n c i a q u e t i e n d e á d e s t r u i r el m o v i m i e n t o del á r b o l , y esto s u p u e s t o , y a será fácil calcular l a c a n t i d a d d e l m o v i m i e n t o q u e p r o d u c e la m á q u i n a en c i r c u n s t a n c i a s o r d i n a r i a s , visto q u e p a r a lograrlo n o h a y m a s q u e aflojar los t o r n i l l o s y g r a d u a r l o s d e m a n e r a q u e n o s dé el r e s u l t a d o q u e se b u s c a . E n t o n c e s el t r a b a j o resist e n t e p r o d u c i d o p o r el r o c e del c i l i n d r o con el f r e n o , se t o m a p o r l a m e d i d a del q u e l a m á q u i n a puede realizar. V e a m o s a h o r a cómo se e v a l ú a este t r a b a j o . P o n -
el f r e n o , debiendo m o v e r s e al r e d e d o r de dicho árbol,
no
podría permanecer
en
equilibrio
si
las f u e r z a s no f u e r a n p r o p o r c i o n a l e s á s u s d i s t a n cias r e s p e c t i v a s d e s u s propios ejes, ó, lo q u e es lo m i s m o , i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l e s á las c i r c u n ferencias del círculo, c u y o s r a d í o s s o n d i c h a s distancias. E l p r o d u c t o d e l a f u e r z a del r o z a m i e n t o Q se m u l t i p l i c a r á p o r l a c i r c u n f e r e n c i a del eje del árbol á l a vertical q u e p a s a p o r el p u n t o E'. E m pero, el p r i m e r p r o d u c t o n o es otra cosa m a s q u e el t r a b a j o h e c h o p o r la expresada f u e r z a Q d u r a n t e u n a v u e l t a e n t e r a del á r b o l
: el s e g u n d o ,
que-
p u e d e e v a l u a r s e c o n f a c i l i d a d , es el q u e servirá d e m e d i d a al m i s m o t r a b a j o . Al efecto se m u l t i p l i c a r á elsegundo producto por u n cuarto de hora ó por u n a h o r a , s e g ú n m e j o r c o n v e n g a , p a r a t e n e r la
suma
total de t r a b a j o q u e l a m á q u i n a p u e d e h a c e r e n el mismo tiempo. I d é n t i c o r e s u l t a d o se o b t e n d r á si en vez de la ú n i c a f u e r z a Q q u e a c a b a m o s de s u p o n e r como aplicada al f r e n o , se d i s t r i b u y e s e n o t r a s m u c h a s en diversos p u n t o s del c i l i n d r o q u e c o m u n i c a el m o v i m i e n t o . T a m b i é n h e m o s h e c h o abstracción del peso específico del f r e n o y de s u p l a t o : e m pero, si se q u i e r e h a c e r l o e n t r a r en el cálculo, e n tonces se m e d i r á c o n u n d i n a m ó m e t r o l a fuerza q u e deberá a p l i c a r s e v e r t i c a l m e n t e y d e abajo arriba al p u n t o C' p a r a s o s t e n e r e l f r e n o en el m o m e n t o e n q u e los t o r n i l l o s n o e s t á n a p r e t a d o s y el plato se h a l l a sin n i n g ú n peso e x t r a ñ o : hecho así, se adicionará al p e s o colocado e n el m i s m o , y en seguida y a p u e d e p r o c e d e r s e á e j e c u t a r la operacion. Deberá tenerse en c u e n t a y n o o l v i d a r l o , que la u n i d a d del t r a b a j o es l a e l e v a c i ó n do u n cuerpo del peso d e u n k i l ó g r a m o á l a a l t u r a d e u n metro. E s t a u n i d a d se l l a m a u n i d a d dinámica ó kilográmetro. P o r esta r a z ó n s e d i c e q u e el t r a b a j o d e s a r rollado p o r la elevación d e u n c u e r p o q u e pesa 8 k i l o g r a m o s á tres m e t r o s d e a l t u r a , es igual á 24 u n i d a d e s d i n á m i c a s ó á 24 k i l o g r a m o s elevados á u n m e t r o de a l t u r a .
CUARTA PARTE. -
CAPITULO VI.
261
total p o r l a l o n g i t u d de l a c i r c u n f e r e n c i a del c í r culo q u e tiene p o r radío l a d i s t a n c i a
horizontal
del eje del árbol á l a vertical q u e pasa p o r el p u n t o de s u s p e n s i ó n del plato : e n s e g u i d a se m u l t i p l i c a r á este p r i m e r resultado p o r el n ú m e r o d e vuelt a s q u e el árbol h a c e en u n a h o r a p o r e j e m p l o ; e m p e r o , n o d e b e r á olvidarse q u e es necesario e v a l u a r á k i l o g r a m o s el peso p u e s t o en el plato, y el q u e debe a ñ a d í r s e l e , el c u a l n o es otro q u e el del m i s m o f r e n o , y á m e t r o s la l o n g i t u d d e la c i r c u n f e r e n c i a q u e debe servir p a r a e j e c u t a r la p r i m e r a m u l t i p l i c a c i ó n . De este m o d o , el r e s u l t a d o d a r á el t r a b a j o d e la m á q u i n a d u r a n t e u n a h o r a , e v a luado á kilográmetros, según q u e d a dicho antes.
III. De los reguladores de fuerza centrifuga.
202. H e m o s dicho en el p á r r a f o 197 y s i g u i e n t e s , q u e los v o l a n t e s i m p i d e n así l a aceleración excesiva, c o m o la d i s m i n u c i ó n de l a v e l o c i d a d n e c e s a r i a al b u e n f u n c i o n a m i e n t o de l a s m á q u i n a s , q u e se p r o d u c e n p o r el d e s q u i l i b r i o ó d e s i g u a l d a d d e la acción r e c í p r o c a de las f u e r z a s m o t o r a s resistentes. Sin e m b a r g o , p r e s é n t a n s e n u m e r o s o s casos e n q u e
Observando lo q u e p r e c e d e , se h a r á e l cálculo
los v o l a n t e s s o n i n s u f i c i e n t e s p a r a lograrlo c u a l se
de esta m a n e r a . Se c o n t a r á el peso p u e s t o en el
r e q u i e r e . Si d i s m i n u y e r a n n o t a b l e m e n t e las f u e r -
plato y se a ñ a d i r á el q u e r e p r e s e n t e el específico
zas resistentes, la velocidad del m o v i m i e n t o crecería
<3e todo el f r e n o , y e n s e g u i d a se m u l t i p l i c a r á el peso
p o r i n s t a n t e s , pues a u n q u e l o s v o l a n t e s lo c o n t u vieran, s e g ú n d e j a m o s d i c h o , s e a u m e n t a r í a i n c e 15.
262
MANUAL DE MECANICA
INDUSTRIAL,
s a n t e m e n t e á d e s p e c h o m i s m o d e su v e r d a d e r a influencia, e n t é r m i n o s de p e r j u d i c a r el t r a b a j o de la m á q u i n a y d e p r o d u c i r a u n otros i n c o n v e n i e n -
d o s m e n e r e s t e r m i n a d o s en dos bolas p o r los p u n tos ECD. Nótese q u e el p u n t o E es u n a a b r a z a dera q u e p u e d e s u b i r y b a j a r l i b r e m e n t e p o r lo
tes m u c h o m a s f u n e s t o s t o d a v í a . E n sentido contrario, l a m á q u i n a se p a r a r í a ; esto es, si la resistencia q u e o f r e c i e r a n los v o l a n t e s f u e r a t a l q u e d o m i n a r a la acción d e l a p o t e n c i a . E n a m b o s casos es i n d i s p e n s a b l e m o d i f i c a r las fuerzas q u e e j e r c e n s u acción sobre l a m á q u i n a , o r a sea a u m e n t a n d o , ora d i s m i n u y e n d o l a p o t e n cia ó l a r e s i s t e n c i a h a s t a e q u i l i b r a r arribas fuerzas y d e j a r el m o v i m i e n t o en su estado n a t u r a l . Cierto es q u e n o se p u e d e m a n t e n e r c o n s t a n t e m e n t e d i cho equilibrio; empero, no obstante deben regularizarse las f u e r z a s d e t a l s u e r t e , q u e el a u m e n t o ó d i s m i n u c i ó n sucesivo del m o v i m i e n t o n o altere l a velocidad e n t é r m i n o s d e p e r j u d i c a r ó e m b a r a z a r el t r a b a j o o r d i n a r i o d e la m á q u i n a . E s t e i n c o n v e n i e n t e se evita con u n r e g u l a d o r . 203.
REGULADOR DE FUERZA CENTRÍFUGA. —
Ge-
n e r a l m e n t e c o m p ó n e s e este, en c u a n t o á lo e s e n -
F i g . 71.
cial, d e dos bolas metálicas fijas á los e x t r e m o s de dos árboles B D, BC, los cuales se fijan al p r i n c i p a l /I E p o r el p u n t o B (fig. 71). E s t e á r b o l vertical r e c i b e de la m á q u i n a su m o v i m i e n t o de rotacion, y en su v i r t u d p u e d e n m o v e r s e f o r m a n d o c o n d i cho árbol á n g u l o s m a s ó m e n o s g r a n d e s , s e g ú n l a velocidad q u e la fuerza m o t o r a les i m p r i m a . Dos b a r r a s de h i e r r o u n e n otra vez el á r b o l A E c o n los
largo del árbol A E. S e p a r a n d o á d e r e c h a é izq u i e r d a a m b a s bolas, el losange BCED se d e f o r m a , d i s m i n u y e s u d i a g o n a l , y p o r consiguiente s u b e la a b r a z a d e r a E q u e b a j a r í a si, en vez de s e p a r a r l a , se u n i e r a n a m b a s b o l a s al á r b o l A E. H e m o s dicho q u e el á r b o l p r i n c i p a l recibe su m o v i m i e n t o d e l a m á q u i n a . P u e s b i e n ; como el
264
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
CUARTA P A R T E . -
CAPITULO V I .
263
r e g u l a d o r se h a l l a s o m e t i d o á l a f u e r z a r e s i s t e n t e
ADVERTIR L A
d e su propio peso, y á la c e n t r i f u g a q u e p r o d b c e
BNA MAQUINA. — L a e x p r e s a d a figura 71 n o s d a r á
el m o v i m i e n t o d e r o t a c i o n del á r b o l vertical A E,
u n a idea d é l a disposición d e este m e c a n i s m o , m u y
sucede q u e a m b a s b o l a s d a n v u e l t a s al m i s m o
puesto en uso en l o s t e l a r e s á la Jacquard,
tiempo y se s e p a r a n d e él h a s t a q u e l a r e s u l t a n t e
m o l i n o s h a r i n e r o s y en o t r a s «Jiferentes m á q u i n a s .
RAPIDEZ Ú LENTITUD
EXCESIVAS DE
e n los
d e dichas f u e r z a s siga l a d i r e c c i ó n de a b a j o arriba
L a abrazadera E del á r b o l v e r t i c a l A E t i e n e dos
y de a r r i b a a b a j o q u e i n d i c a l a posicion del regu-
varillas v e r t i c a l e s ; u n a d e ellas, l a invisible e n l a
lador. Si la v e l o c i d a d d e la m á q u i n a se a u m e n t a ,
expresada
el m o v i m i e n t o d e l a s b o l a s se a u m e n t a r á en p r o -
Ligado así a m b o s a n i l l o s , los d o s t e n d r á n necesa-
porción d e aquella a l e j á n d o l a s c a d a vez m a s de su
r i a m e n t e el m i s m o m o v i m i e n t o , de m o d o q u e s u -
t r o n c o . P o r el c o n t r a r i o , d i s m i n u y e n d o l a veloci-
birá ó b a j a r á c o n f o r m e la m a y o r ó m e n o r velocidad
dad d i s m i n u i r á t a m b i é n l a f u e r z a c e n t r í f u g a , y
de la m á q u i n a .
figura,
e s t á u n i d a á la a b r a z a d e r a A.
las bolas b a j a r á n h a s t a u n i r s e al árbol á q u e se h a -
E l anillo A, q u e d a v u e l t a s ' a l p r o p i o tiempo q u e
l l a n a d a p t a d a s . En s u m a , el m o v i m i e n t o ascen-
el r e g u l a d o r , lleva u n dedo h o r i z o n t a l colocado
d e n t e y d e s c e n d e n t e d e la a b r a z a d e r a E, se utiliza
d e m a n e r a q u e n o e n c u e n t r e en su c a m i n o o b s t á -
en favor de la f u e r z a m o t o r a ó r e s i s t e n t e , según
culo a l g u n o , m i e n t r a s q u e la m á q u i n a
m e j o r c o n v e n g a a l b u e n t r a b a j o d e la m á q u i n a ,
con l a velocidad c o n v e n i e n t e á l a perfecta ejecu-
visto q u e el r e g u l a d o r
marche
e j e r c e su acción sobre la
ción d e los t r a b a j o s q u e l a i n c u m b e n . E m p e r o ,
potencia q u e h a c e m o v e r t o d o el m e c a n i s m o , ora
t a n luego como l a v e l o c i d a d a u m e n t a excesiva-
d i s m i n u y é n d o l a c u a n d o el m o v i m i e n t o es d e m a -
m e n t e sus p r o p o r c i o n e s , el dedo metálico lo a n u n -
siado rápido, o r a a u m e n t á n d o l o c u a n d o es insufi-
cia acto c o n t i n u o c h o c a n d o ó l e v a n t a n d o u n o d e
ciente y débil.
los martillos q u e v a n á d a r á l a s c a m p a n i l l a s adap-
E n otros casos el r e g u l a d o r n o h a c e m a s que
tadas con este o b j e t o . D e b e m o s a d v e r t i r q u e cada
p r e v e n i r al c o n d u c t o r ó d i r e c t o r d e la m á q u i n a i n -
c a m p a n i l l a tiene u n s o n i d o d i f e r e n t e á fin de que
d i c á n d o l e la r a p i d e z ó l e n t i t u d del m o v i m i e n t o :
puedan
entonces el d i r e c t o r s e a p r e s u r a á m o d i f i c a r la ve-
c u a n d o la velocidad del m o v i m i e n t o es demasiado
locidad de l a m á q u i n a
a u m e n t á n d o l a ó dismi-
g r a n d e , el dedo m e t á l i c o l e v a n t a el m a r t i l l o de la
n u y é n d o l a s e g ú n l a s c i r c u n s t a n c i a s lo exigieran.
c a m p a n a q u e t i e n e l a m i s i ó n de a n u n c i a r l o , y
llenar s u s
funciones
respectivas.
Así,
vice-versa c u a n d o t i e n e q u e a d v e r t i r la e x t r e m a d a 2 0 4 . MECANISMO
ADAPTADO A L REGULADOR PARA
lentitud ó insuficiencia del m o v i m i e n t o .
CUARTA PARTE. 205. OBSERVACIÓN. — Y a liemos tratado en otro capítulo d e las resistencias pasivas, de su influencia y de los medios de vencerlas. Bajo d e este supuesto, allí r e m i t i m o s al l e c t o r q u e desea enterarse á fondo d e los p r i n c i p i o s q u e r i g e n esta m a t e r i a . También h e m o s h a b l a d o e n el expresado capítulo de las consecuencias g e n e r a l e s de dichos principios, y sin e m b a r g o , a u n q u e i n c u r r a m o s en la nota de e x t r e m a d a m e n t e p r o l i j o s , reproduciremos, en otra f o r m a , las s i g u i e n t e s , q u e c o n s i d e r a m o s m a s necesarias al e s t u d i o d e l a s m á q u i n a s en estado del movimiento que nos ocupa.
206. 1.« CONSECUENCIA. — No es absolutamente
CAPITULO VI.
567
vas q u e se d e s a r r o l l a n d u r a n t e el m o v i m i e n t o d e la m á q u i n a , absorviendo inútilmente u n a parte m a s ó m e n o s c o n s i d e r a b l e de la p o t e n c i a . 209. 4*. CONSECUENCIA. — Los c h o q u e s d e dos c u e r p o s , n o s i e n d o p e r f e c t a m e n t e elásticos, o c a s i o n a n s i e m p r e u n a p é r d i d a de t r a b a j o . E l m e j o r m e d i o d e e v i t a r esta p é r d i d a es el c a m b i a r l a s p a r t e s d e l a m á q u i n a q u e t i e n e n q u e chocarse d u r a n t e el m o v i m i e n t o d e la m i s m a en otras f a b r i c a d a s c o n m a t e r i a s v e r d a d e r a m e n t e elásticas. 2 1 0 . 5 . « Y Ú L T I M A CONSECUENCIA. — S i l a p o t e n c i a
necesario q u e las p o t e n c i a s estén siempre equi-
y las r e s i s t e n c i a s n o p e r m a n e c e n
l i b r a d a s c o n las r e s i s t e n c i a s . P u e s , si es cierto
equilibradas en términos que la m á q u i n a tenga
q u e en ciertos casos se e x p e r i m e n t a exceso de po-
q u e d e p o s i t a r , e n c i e r t o s m o m e n t o s y b a j o la
tencia, r e s u l t a sin e m b a r g o de él u n a u m e n t o de
f o r m a d e m o v i m i e n t o , el exceso del t r a b a j o m o t o r ,
m o v i m i e n t o capaz d e p r o d u c i r m a s t a r d e el m i s m o
en tal caso se la a d a p t a r á u n v o l a n t e q u e i m p i d a
efecto q u e p r o d u j e r a el m i s m o exceso do potencia.
el d e s e q u i l i b r i o , s e g ú n q u e d a indicado en el p á r rafo 197 y s i g u i e n t e s .
207. 2.» CONSECUENCIA. - Si la velocidad de la m á q u i n a p u d i e r a a u m e n t a r s e considerablemente p o r la d e m a s i a d a a c u m u l a c i ó n producida suces i v a m e n t e p o r el exceso del t r a b a j o m o t o r , el e m pleo d e u n r e g u l a d o r d e f u e r z a c e n t r í f u g a puede modificar c o n v e n i e n t e m e n t e esta velocidad y m a n t e n e r la q u e d e b e c o n s e r v a r s i e m p r e la m á q u i n a . 208. 3.- CONSECUENCIA. - E s necesario d i s m i n u i r , en c u a n t o sea posible, las resistencias pasi-
constantemente
CAPITULO
VII
D e lo» m o t o r e s y d e s u a p l i c a c i ó n á v a r i a s m á q u i n a s , s e g ú n los p r i n c i p i o s establecidos.
1. Consideraciones g e n e r a l e s sobre los motores.
211. DEFINICIÓN. — Y a s e h a d i c h o a n t e s , y n a d i e lo i g n o r a t a m p o c o , q u e u n a m á q u i n a n o p u e d e h a c e r t r a b a j o a l g u n o si u n a p o t e n c i a c u a l q u i e r a n o la i m p r i m e s u m o v i m i e n t o . P u e s b i e n , esta p o t e n cia s e l l a m a c o m u n m e n t e
motor.
2 1 2 . DIVERSAS E S P E C I E S DE MOTORES. — L o s h o m -
b r e s , l o s a n i m a l e s , e l v i e n t o , e l a g u a , el v a p o r , el g a s , la e l e c t r i c i d a d , l o s r e s o r t e s d e l o s r e l o j e s , y la g r a v e d a d d e l o s c u e r p o s p e s a d o s , c o m p o n e n la série d e los m o t o r e s c o n o c i d o s . Mas t o d o s ellos n o t i e n e n la m i s m a i m p o r t a n c i a ; así e s q u e c o n s i d e r a d o s b a j o e l p u n t o d e v i s t a i n d u s t r i a l , t o d o s los r e f e r i d o s m o t o r e s q u e d a n r e a l m e n t e r e d u c i d o s á los cuatro principales, á saber : 1.° Los motores animados.
Estos son las fuerzas que
CUARTA PARTE. - CAPITULO VII.
271
m i t e s , c u a l q u i e r a q u e sea l a m á q u i n a á q u e se aplicará. E s t o n o q u i e r e decir q u e s e p a r e m o s a b s o l u t a m e n t e el m o t o r d e s u máquina motora, p o r q u e g e n e r a l m e n t e se evidencia p r á c t i c a m e n t e l a c a n t i d a d d e t r a b a j o d e a q u e l c o n a y u d a d e esta. E m p e r o , esta operacion debe p r a c t i c a r s e ú n i c a m e n t e desp u e s del p r i m e r e s t u d i o del m o t o r e n sí, asi p a r a c o m p r o b a r el cálculo, c o m o p a r a a p r e c i a r el p e r feccionamiento de la m á q u i n a , y la s u m a mas ó menos grande de potencia que necesita para f u n cionar con regularidad.
2 1 B . M A N E R A D E PROCEDER A L ESTUDIO DE
UN
MOTOR. — E s t e se h a r á e x a m i n a n d o c ó m o p u e d e ejercer su a c c i ó n , q u é f u e r z a p u e d e desplegar á c i e r t o s t i e m p o s d a d o s , á c a d a i n s t a n t e , q u é espacio r e c o r r e el p u n t o d e aplicación de esta fuerza, s i g u i e n d o su m i s m a d i r e c c i ó n . T r a t á n d o s e d e u n m o t o r a n i m a d o , de un h o m b r e p o r e j e m p l o , se r e c o n o c e r á q u e su potencia es b a s t a n t e v a r i a b l e , p u e s será m a s ó m e n o s g r a n d e , s e g ú n q u e el h o m b r e so v a l g a ó d e su propio p e so, ó d e las m a n o s , ó d e los p i é s . q u e t i r a r á ó impelirá, ó q u e e j e r c e r á su fuerza vertical ú h o r i z o n talmcnte. T r a t á n d o s e d o u n d e s p e ñ a d e r o de a g u a , so exam i n a r á la elevación d e la caida y la c a n t i d a d d e a g u a q u e s u m i n i s t r a en cada h o r a . De este m o d o se o b t e n d r á la m e d i d a de su p o t e n c i a , l a c u a l será
CUARTA P A R T E . -
C A P I T U L O VIL
273
siempre i n v a r i a b l e ó e n t e r a m e n t e d e t e r m i n a d a , lo que no sucede con la p o t e n c i a del h o m b r e .
periencia de q u e , por t é r m i n o m e d i o , solo p u e d e le-
E m p e r o , en t o d o s los c a s o s b a s t a , p a r a obtener los diversos r e s u l t a d o s q u e se b u s c a n , c o n q u e se p o n g a n en práctica l o s m e d i o s c o n o c i d o s ; es decir, que se e v a l ú e n las f u e r z a s q u e p r o d u z c a n los m o tores d u r a n t e su a c c i ó n con el auxilio d e u n dinam ó m e t r o , d e t e r m i n a n d o l a m a g n i t u d d e l espacio recorrido p o r el p u n t o d e aplicación d e c a d a u n a de ellas s i g u i e n d o s u d i r e c c i ó n , o r a sea m i d i é n d o l a d i r e c t a m e n t e , ora r e c u r r i e n d o á otros m e d i o s fáciles de i m a g i n a r , u n a vez i m p u e s t o d e l o s p r i n c i pios c o n t e n i d o s e n este MANUAL.
l o g r a m o s y m u y r a r a y d i f í c i l m e n t e á 300 kil.Mas,
v a n t a r 1 3 0 k i l o g r a m o s ; m u c h a s veces llega á 2 0 0 kila f u e r z a del h o m b r e n o es, en m u c h o s c a s o s , m a s q u e u n e l e m e n t o del t r a b a j o q u e p u e d e r e a l i z a r , y p a r a d e t e r m i n a r l o h a y n e c e s i d a d d e e x a m i n a r el c a m i n o q u e esta f u e r z a h a c e r e c o r r e r al p u n t o d o n d e la aplica. 217. OBSERVACIÓN. — U n h o m b r e n o debe e m p l e a r toda su f u e r z a c u a n d o se o c u p a en u n t r a b a j o continuo : solamente debe desplegar, á cada inst a n t e , u n a porcion del e s f u e r z o m á x i m o q u e p u e d e hacer. Por c o n s i g u i e n t e , la experiencia
II. De los m o t o r e s a n i m a d o s .
únicamente
p u e d e d a r n o s l a niedida d e la f u e r z a q u e el h o m b r e es capaz d e desarrollar, y la v e l o c i d a d c o n q u e su
2 1 6 . MOTORES HUMANO Y ANIMADO.
—
Quedan
c o n s i g n a d a s las d i v e r s a s m a n e r a s q u e tiene el h o m b r e d e e m p l e a r su f u e r z a ; e m p e r o , es necesario a d e m á s q u e n o se e c h e e n olvido, al resolver el p r o b l e m a , q u e el h o m b r e s e c a n s a t r a b a j a n d o , y q u e si se le exige m a s t r a b a j o del q u e b u e n a m e n t e p u e d e h a c e r , s e le i m p o s i b i l i t a r á e n términos de que n o p u e d a c o n t i n u a r su o b r a el dia siguiente. A u n m a s , la f u e r z a del h o m b r e , según q u e d a dic h o , v a r i a en p r o p o r c i o n d e la facilidad c o n q u e la despliega. Así, c u a n d o se le o c u p a e n levantar peso del suelo con s u s brazos, se h a h e c h o la ex-
p u n t o de aplicación debe m o v e r s e p a r a e f e c t u a r l a m a y o r s u m a d e t r a b a j o q u e p u e d e h a c e r en u n dia. 2 1 8 . D I V E R S A S EXPERIENCLVS D,EL T R A B A J O HECHO POR LA FUERZA DE UN HOMBRE. — E n l a s m a z a s , ó
sonnettes p a r a clavar m a d e r o s en la r a j a d e los rios, y a u n e n c i e r t o s c i m i e n t o s de a l g u n o s edificios, se necesita desplegar u n a f u e r z a c o n s i d e r a b l e , p o r q u e es necesario ejercer u n a p r e s i ó n s u m a m e n t e c o n siderable sobre la cabeza de l a s e s t a c a s , m a d e r o s ó vigas, á fin de v e n c e r la r e s i s t e n c i a q u e les o p o n e el t e r r e n o . Al efecto se v a l e n d e l a m á q u i n a repre-
CUARTA P A R T E . — CAPITULO VII.
275
s e n t a d a c o n la figura 72. U n a m a z a d e hierro colado A, l l a m a d a i n o t o n , p e n d e d e u n e x t r e m o d e la c u e r d a q u e pasa p o r la polea 0 y b a j a t e r m i n a d a p o r t a n t o s cabos c u a n t o s s e a n l o s h o m b r e s q u e se o c u p a n en h a c e r l a f u n c i o n a r . E s t o s h o m b r e s t i r a n á la vez d e s u s respectivas c u e r d a s y elevan el m o t ó n á cierta a l t u r a , y lo d e j a n caer sin a b a n d o n a r p o r esto la c u e r d a . E n el ascenso 6 descenso el m a z o realiza su m o v i m i e n t o e n t r e los dos c u a r t o n e s vert i c a l e s C, C, los c u a l e s t i e n e n u n a a b e r t u r a ó especie d e c a n a l d o n d e e n t r a n las o r e j a s del m o t o n á fin d e q u e n o v a r i é de dirección y caiga d e aplom o s o b r e la estaca D, si como es d e s u p o n e r se h a colocado p e r f e c t a m e n t e e n t r e los expresados c u a r t e r o n e s ; p o r fin la estaca ó viga t i e n e u n círculo d e h i e r r o p a r a ^ v i t a r q u e se h i e n d a y despedace b a j o la a c c i ó n d e c o n t i n u a d o s golpes. A h o r a b i e n ; en la p r e c e d e n t e operacion, se h a calculado q u e cada h o m b r o q u e t i r a d e la c u e r d a l e v a n t a v e i n t e k i l ó g r a m o s del peso d e la m a z a á u n m e t r o d e a l t u r a ; q u e d a n v e i n t e golpes p o r m i n u t o y s e s e n t a ú o c h e n t a seguidos, y q u e concluido este n ú m e r o d e golpes, t i e n e n necesidad de d e s c a n s a r t a n t o t i e m p o c o m o el c o n s u m i d o en el t r a b a j o indicado.
2 1 9 . P E R F E C C I O N A M I E N T O DE LA PRECEDENTE M Á F i g . 72.
QUINA. — L o s a c c i d e n t e s q u e ocasiona la expres a d a m á q u i n a á los j o r n a l e r o s empleados en ella, p u e s si a l g u n o n o dejase d e t i r a r de su cuerda en
276 MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL, el m i s m o i n s t a n t e q u e los d e m á s seria a r r a s t r a d o , lanzado y aplastado, h a n obligado á sustituirla con la l l a m a d a d e declive q u e r e p r e s e n t a l a figur a 73 : en esta m á q u i n a s e r e e m p l a z a n las c u e r d a s p o r m e d i o d e u n t o r n o . E n esta d o s h o m b r e s d a n vueltas á las c i g ü e ñ u e l a s P E q u e c o m u n i c a n el m o v i m i e n t o al eje V, el c u a l tiene u n piñón q u e se e n c a j a con la r u e d a fija a l t o r n o . U n a vez l e v a n tado el m o t o n ( q u e p u e d e s u b i r h a s t a t o c a r c o n la vértice del m e c a n i s m o ) se l e d e j a d e s c e n d e r , deslizando el e x p r e s a d o eje en dirección d e su l o n g i t u d , de m a n e r a q u e el p i ñ ó n se coloque al lado de la r u e d a d e n t a d a , c e s a n d o t o d a c o m u n i c a c i ó n con ella. Acto c o n t i n u o s u e l t o el m a z o , se precip i t a s i g u i e n d o el c a m i n o q u e le está t r a z a d o , y cae c o n toda su g r a v e d a d s o b r e l a estaca q u e se q u i e r e c l a v a r : e n su d e s c e n s o el c u e r p o fiace d a r vueltas á la r u e d a y c i g ü e ñ u e l a s , e n sentido i n v e r s o y c o n increíble celeridad. L a rapidez de la c a i d a g a s t a r í a l u e g o la c u e r d a , y para o b v i a r este i n c o n v e n i e n t e y el deterioro del t o r n o , se le s u e l t a el m o t o n e n el p u n t o d e elevación q u e se le h a d a d o , e m p l e a n d o al efecto u n m e c a n i s m o sencillo y eficaz q u e n o e x p l i c a m o s p o r q u e se v e todos l o s d i a s . P a r a deslizar el eje C é i n c o m u n i c a r el p i ñ ó n c o n la r u e d a d e n t a d a , s e l e v a n t a el r e s o r t e e n f o r m a d e orquilla M C q u e s e m u e v e h o r i z o n t a l m e n t e p o r el p u n t o E, c u y o s d i e n t e s e n t r a n en las c a r c e lillas p r a c t i c a d a s al e f e c t o en a m b o s l a d o s del á r -
278
MANUAL D E MECANICA I N D U S T R I A L ,
bol C. Asi, t a n l u e g o c o m o se d e s e n c a j a n l o s dientes del r e s o r t e , el eje c a m b i a d e l u g a r e n sentido c o n t r a r i o , p e r o el p i ñ ó n n o p i e r d e su m o v i m i e n t o m i e n t r a s d u r a la f u e r z a m o t o r a e n a c c i ó n .
CUARTA PARTE. — CAPITULO VII.
279
y en s u v i r t u d t a l es el m e d i o e s c o g i t a d o e n los casos en q u e h a y n e c e s i d a d d e elevar t i e r r a y otros objetos de u n nivel á otro. Con este fin se h a i m a g i n a d o la m á q u i n a q u e r e p r e s e n t a la figura 74.
El motor, pues, de esta m á q u i n a , perfeccionada
C o m p ó n e s e d e u n a polea d e g r a n d i á m e t r o p o r
c o n l a a d i c i ó n del t o r n o , es a n i m a d o , es del h o m -
c u y a canal p a s a la c u e r d a q u e s u s p e n d e u n p l a t o
bre como en la p r e c e d e n t e ; y s i n e m b a r g o , el
de crecidas d i m e n s i o n e s , s e m e j a n t e á los de u n a
m i s m o j o r n a l e r o h a c e e n el m i s m o t i e m p o , s e g ú n
b a l a n z a , e n cada u n o de s u s cabos. L a l o n g i t u d d e
la experiencia a c r e d i t a d a c o n s t a n t e m e n t e , casi el
la c u e r d a d e b e ser p r o p o r c i o n a d a á l a d i s t a n c i a
doble t r a b a j o q u e h a c i a t i r a n d o d e la c u e r d a , como
de u n a s u p e r f i c i e á o t r a , d e m a n e r a q u e u n o d e
queda dicho en el p á r r a f o 218.
d i c h o s platos esté al nivel del s u e l o
superior
c u a n d o el otro se h a l l e al nivel del suelo i n f e r i o r . 220.
MÁXIMUM D E L TRABAJO D E L H O M B R E . — G e -
n e r a l m e n t e se o b s e r v a q u e el h o m b r e t r a b a j a y p r o d u c e m a s f u e r z a m o t o r a en u n d i a , c u a n d o descansa d e t i e m p o e n t i e m p o , q u e c u a n d o se a f a n a y no cesa de t r a b a j a r d e u n a m a n e r a c o n t i n u a . P o r otra p a r t e , l a s o l a e l e v a c i ó n d e s u cuerpo mientras que sube u n a escalera ó u n a pendiente p r o d u c e c i e r t a c a n t i d a d d e t r a b a j o , q u e se evalúa p o r lo c o m ú n m u l t i p l i c a n d o su p e s o p o r la a l t u r a total q u e h a y a r e c o r r i d o s i g u i e n d o la vertical : esta c a n t i d a d d e t r a b a j o es m u c h o m a y o r q u e la q u e h a c e s u b i e n d o c a r g a d o y b a j a n d o v a c í o , puesto q u e en la e v a l u a c i ó n d e l r e s u l t a d o d e b e c o m p r e n derse s i e m p r e la e l e v a c i ó n d e su c u e r p o .
E n esta disposición se c a r g a u n carretón lleno d e t i e r r a sobre el plato q u e se h a l l a e n l a superficie del suelo i n f e r i o r , y al m i s m o t i e m p o u n j o r n a lero se s i e n t a s o b r e el c a r r e t ó n v a c í o p u e s t o sobre el plato del otro e x t r e m o d e la c u e r d a . Si el h o m bre pesa m a s q u e la t i e r r a q u e t r a t a d e l e v a n t a r , i n m e d i a t a m e n t e desciende m i e n t r a s q u e á l a vez s u b e el peso opuesto. H e c h o esto, el j o r n a l e r o descendido s u s t i t u y e e n su l u g a r otra c a r g a de tierra, y la elevada a n t e s se r e e m p l a z a c o n o t r o c a r r e t ó n vacío sobre el c u a l se s i e n t a otro j o r n a l e r o ; acto c o n t i n u o , la m á q u i n a vuelve á p o n e r s e en movim i e n t o . E n s u m a , esta operacion, r e p e t i d a d u r a n t e el dia, da r e s u l t a d o s a d m i r a b l e s . F i n a l m e n t e , p a r a
Así es m u c h o m a s v e n t a j o s o d e h a c e r consistir el t r a b a j o del h o m b r e e n l a s e n c i l l a elevación de su cuerpo, s i e m p r e q u e esta e l e v a c i ó n p u e d a s e r vir á la p r o d u c c i ó n d e los efectos q u e se b u s c a n ,
a u m e n t a r ó d i s m i n u i r el m o v i m i e n t o , s e g ú n el caso lo r e q u i e r a , o t r o obrero p u e s t o en lo alto del m e c a n i s m o apoya y favorece el ascenso. Por este medio, pues, se ha r e c o n o c i d o q u e m a -
CUARTA PARTE. niobrando
CAPITULO VII.
281
d e esta m a n e r a y t r a b a j a n d o 8 h o -
r a s p o r d i a u n h o m b r e p r o d u c e u n t r a b a j o de 280,000 kil. E l m i s m o h o m b r e , m o v i e n d o u n a s cig ü e ñ u e l a s , n o p r o d u c i r á e n el expresado tiempo m a s q u e 172 ¿ 000 kil., y t i r a n d o d e la cuerda p a r a l e v a n t a r u n m o t o n y c l a v a r estacas ó vigas en los r i o s , etc., a p e n a s l l e g a r í a á p r o d u c i r 100,000 kil. de t r a b a j o . E n vista d e l a d i f e r e n c i a de los tres r e s u l t a d o s c o m p a r a d o s , es s i n
duda
ventajoso
de o c u p a r al h o m b r e en e s t a especie de t r a b a j o s s i e m p r e q u e l a s c i r c u n s t a n c i a s lo p e r m i t a n .
2 2 1 . E L BUEY
Y E L BURRO
COMO MOTORES. — E l
p r i m e r a n i m a l t i r a n d o d e u n a carreta, etc., ejerce u n a f u e r z a d e t r a c c i ó n casi i g u a l á l a que ejerce el caballo; e m p e r o , p o r r a z ó n d e la lentitud de su m a r c h a , a p e n a s p r o d u c e l a m i t a d del t r a b a j o . Uncido á u n a n o r i a ú otro m e c a n i s m o s e m e j a n t e , realiza casi t a n t o t r a b a j o c o m o el caballo. El b u r r o p u e d e e f e c t u a r l a c u a r t a p a r t e del t r a b a j o del caballo, y la m i t a d en ciertos casos. 2 2 2 . E L CABALLO E M P L E A D O COMO MOTOR. — L a s
observaciones
g e n e r a l e s r e l a t i v a s al t r a b a j o del
h o m b r e p u e d e n a p l i c a r s e al q u e realiza u n caballo. El esfuerzo m á x i m o d e este e n el tiro d e u n c a r r u a j e se eleva p o r t é r m i n o m e d i o á 400 kil., pero a r rastrará m u c h o menos trabajando continuamente. U n b u e n caballo c a r r e t e r o q u e t r a b a j a seis d i a s p o r s e m a n a y q u e r e c o r r e v e i n t e y ocho
kilómetros 16.
Í82
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
CUARTA PARTE. — CAPITULO VI!.
?85
de elevación. Tor c o n s i g u i e n t e ,
será de
por d i a , c o n l a v e l o c i d a d de t r e s p o r h o r a , e j e r c e
metro
u n a fuerza de tracción de cincuenta
c u a t r o si en el expresado t i e m p o l e v a n t a
kilogramos;
p o r c o n s i g u i e n t e , el t r a b a j o q u e d e s a r r o l l a e n
un
d i a asciende á 1,400,000 kilog.
á
la
m i s m a a l t u r a 300 k i l ó g r a m o s , d e seis si l e v a n t a 450 y d e ocho si eleva 600 k i l .
E l m i s m o caballo e m p l e a d o á d a r v u e l t a s á u n a máquina como noria, taona, etc., produce m u c h o m e n o s t r a b a j o q u e t i r a n d o de u n c a r r o y se f a t i g a m a s . Así p a r a q u e m a r c h e c o n m a y o r l i b e r t a d e n estas vueltas, es n e c e s a r i o q u e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e describen t e n g a u n o s trece m e t r o s de d i á m e t r o . Mas c o m p a r a n d o la c a n t i d a d d e t r a b a j o q u e el c a ballo h a c e do este m o d o , c o n l a q u e p r o d u c e el h o m b r e d a n d o v u e l t a s á u n a s c i g ü e ñ u e l a s , se ve q u e el t r a b a j o d e u n caballo e q u i v a l e al d e siete
V é a s e a h o r a si g u a r d a p r o p o r c i o n la c o m p a r a ción q u e p u e d e h a c e r s e d e la f u e r z a d e u n c a b a llo c o n la l l a m a d a de u n caballo de vapor. E n s u m a , la p a l a b r a vapor a ñ a d i d a á la d e caballo p a r a precisar su s i g n i f i c a c i ó n , e m a n a do q u o esta u n i d a d h a servido p a r a e v a l u a r la f u e r z a do u n a m á q u i n a d e vapor. M u c h a s veces se reemplaza con la expresión d e caballo dinámico la de caballo de v a p o r , p u e s a m b o s t i e n e n el m i s m o significado.
hombres. F i n a l m e n t e , el t r a b a j o r e a l i z a d o p o r u n caballo
III. Uso del agua para motor.
m o v i e n d o u n a de l a s m á q u i n a s a n t e s e x p r e s a d a s , d u r a n t e u n s e g u n d o , n o e x c e d e d e 42 kil., y b a j o do este p u n t o d e vista p u d i e r a a f i r m a r s e q u e la
2 2 4 . CAUSA DEL MOVIMIENTO
DEL AGUA. — E n e l
fuerza d e u n caballo os i n f e r i o r á la del caballo d i -
p á r r a f o 212, h a b l a n d o de los m o t o r e s , h e m o s d e s i g -
n á m i c o ó de v a p o r , p u e s t o q u e c o n este n o m b r e
n a d o l o s r i o s ó el a g u a c o m o u n o d e los m a s útiles
damos á entender
una
fuerza capaz de d a r n o s
á la i n d u s t r i a h u m a n a . A h o r a b i e n , el m o v i m i e n t o del a g u a d i m a n a de la acción d e su p e s o específico,
75 k i l ó g r a m o s de t r a b a j o p o r s e g u n d o .
ó de su p r o p i a g r a v e d a d . L a s m o l é c u l a s en su c o r 2 2 3 . DEFINICIÓN
BE
UN
CABALLO
H a b l a n d o d e m á q u i n a s de
vapor
DE VAPOR. —
oimos
r i e n t e se a b a j a n en cierta p r o p o r c i o n d a n d o así l u g a r
decir,
á la p r o d u c c i ó n de u n a s u m a d e t r a b a j o m o t o r q u e
esta ó aquellas son de u n o , d e c u a t r o , d e seis, d e
p u e d e o b t e n e r s e m u l t i p l i c a n d o el p e s o d e las m o -
ocho caballos d e vapor. P u e s b i e n ; dícese q u e u n a
léculas por la desigualdad ó d i f e r e n c i a d e las e x t r e -
m á q u i n a t i e n e l a f u e r z a d e u n caballo,
m i d a d e s do los espacios r e c o r r i d o s . E s t e t r a b a j o
cuando
p u e d e l e v a n t a r en u n s e g u n d o 75 k i l ó g r a m o s á u n
tan
importante
so perdiera, si el ingenio
hu-
m a n o no h u b i e r a e s t u d i a d o los medios d e u t i l i zarlo. 2 2 3 . C A Í D A Ó DESPEÑADERO DE AGUA. — T a r a
uti-
lizar la a c c i ó n del a g u a como f u e r z a m o t r i z , se l e v a n t a el nivel de su cauce o p o n i é n d o s e á su p a s o d e m a n e r a q u e el a g u a se eleve y caiga en seguida ejerciendo toda su i n f l u e n c i a . C u a n d o el a g u a n o es c a u d a l o s a se l a r e ú n e e n u n depósito ú cierta a l t u r a , y se la d e j a l a salida p o r u n c o n d u c t o p r o p o r c i o n a l á la c a n t i d a d r e u n i d a , d e tal s u e r t e q u e todo su e m p u j e v e n g a á d a r en l a r u e d a q u e debe p o n e r en m o v i m i e n t o , el c u a l se c o m u n i c a en s e g u i d a á t o d a la m á q u i n a , como lo v e m o s en ciertos m o l i n o s y h e r r e r í a s . E n el p r i m e r caso, la c a n t i d a d de a g u a q u e se o b t e n g a en u n t i e m p o dado será igual á la q u e p a s a b a e n el m i s m o t i e m p o al t r a v é s de u n a sección t r a n s v e r s a l del rio, a n t e s de l e v a n t a r el n i v e l ; e m p e r o , esta m i s m a a g u a , p a s a n d o de su nivel s u p e r i o r al i n f e r i o r , c a e r á de u n a a l t u r a igual á la diferencia q u e exista entro a m b o s niveles d e su n u e v o c a u c o ó dirección. S u p u e s t o esto, para p o d e r s a b e r la m e d i d a d e l trab a j o m o t o r q u e el l í q u i d o d e s a r r o l l a en su d e s c e n s o , ya n o resta m a s q u e m u l t i p l i c a r esta a l t u r a p o r el peso del a g u a caida, y e n s e g u i d a ver si la s u m a de t r a b a j o q u e p r o p o r c i o n a es sufic i e n t e p a r a hacer f u n c i o n a r a l g u n a s m á q u i n a s .
PEÑADERO DE AGUA. - S u p o n g a m o s al efecto q u e este d e s p e ñ a d e r o de a g u a tiene m e t r o y m e d i o de a l t u r a , l m . 8 0 c „ y q u e D 0 S p r o d u c e e n u q s£¡ _ g a n d o 600 k i l ó m e t r o s d e t r a b a j o ; en seguida d i v i d a m o s esta s u m a d e t r a b a j o p o r 7o kil. en q u e está e v a l u a d a la f u e r z a del caballo dinámico, según q u e d a d e m o s t r a d o en el p á r r a f o 223, y v e r e m o s q u e la f u e r z a de d i c h o despeñadero d e a g u a , t e n a r a l a d e ocho caballos de v a p o r . Debe t e n e r s e en c u e n t a q u e los e l e m e n t o s q u e e n t r a n en esta e v a l u a c i ó n s o n variables, p u e s q u e en el v e r a n o l a s corrientes de a g u a d i s m i n u y e n n o t a b l e m e n t e , y , en d e t e r m i n a d o s p u n t o s ,
esta
d i s m i n u c i ó n es tal q u e llega á s u s p e n d e r el t r a b a j o d é l a s m á q u i n a s d u r a n t e los f u e r t e s calores. 227. MOTOR HIDRÁULICO. -
Estos no pueden ha-
cer n i n g ú n t r a b a j o útil s i n el auxilio de l a m á q u i n a q u o recibe su acción y la t r a n s m i t e á l a s m a q u i n a s especiales q u e d e b e n aprovecharlo P o r consecuencia, es d e necesidad a b s o l u t a q u e se e x a m i n e la m á q u i n a m o t o r a s u j e t a á s u acción. i or c o n s i g u i e n t e , s i n d e t e n e r n o s e n describir las f o r m a s d i v e r s a s q u e p u e d e n d a r s e á esta especio de m á q u i n a s ,
e s t a b l e c e r e m o s p o r regla general
q u e todas d e b e n llenar estas dos condiciones esencíales : P r i m e r a : el a g u a d e b e ejercer su acción sin c h o q u e , es decir, q u e desde el m o m e n t o en q u e se
2 2 6 . — MODO DE EVALUAR L A FUERZA DE UN D E S -
h a l l a á p u n t o d e e n t r a r en la m á q u i n a h a s t a el
286
CUARTA PARTE. — CAPITULO Vil.
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
i n s t a n t e en q u e la a b a n d o n a e n t e r a m e n t e , n o h a d e experimentar c a m b i o s b r u s c o s , o r a sea e n l a dirección, ora en l a m a g n i t u d d e l a v e l o c i d a d d e las diversas m o l é c u l a s d e l l í q u i d o . no tenga entonces
bondad y perfección d e u n motor hidráulico det e r m i n a n d o , c o n a y u d a d e l a experiencia, el t r a b a j o q u e p r o d u c e e n u n t i e m p o d a d o , y al efecto se b u s c a r á la r e l a c i ó n q u e existe e n t r e d i c h a s u m a de t r a b a j o y l a q u e p r o p o r c i o n a la c a i d a del a g u a
S e g u n d a : el a g u a debe s a l i r de l a m á q u i n a d e manera que
287
mas que
una
ligera velocidad, y si f u e s e posible u n a velocidad n u l a c u a n d o llegue al r e c i p i e n t e i n f e r i o r ; d e lo c o n t r a r i o , llegando c o n u n a v e l o c i d a d
aprecia-
ble podria p r o d u c i r c i e r t a c a n t i d a d d e t r a b a j o en r a z ó n d e esta m i s m a v e l o c i d a d , y p o r c o n s e c u e n cia n o h a b r í a t r a n s m i t i d o á la m á q u i n a m o t o r a l a t o t a l i d a d del t r a b a j o q u e e r a c a p a z d e p r o ducir. 2 2 8 . CONDICIONES D E L O S MOTORES
HiDRÁurrnos.
— E n vista d e lo q u e p r e c e d e so i n f i e r e q u e el e s t a b l e c i m i e n t o do los m o t o r e s h i d r á u l i c o s
deben
s u j e t a r s e á las s i g u i e n t e s r e g l a s : P r i m e r a : El a g u a d e b e d e s c e n d e r sin
experi-
m e n t a r , en c u a n t o sea p o s i b l e , l a m e n o r
pérdida
d e velocidad. S e g u n d a : Debe e j e r c e r su acción sin v i o l e n c i a ni choque. Tercera : Debe llegar s i n velocidad al d e p ó s i t o ó curso inferior. 229. OBSERVACIÓN. — No es fácil, r i g u r o s a m e n t e hablando, de llenar c o n exactitud las precedentes condiciones. Sin e m b a r g o , p u e d e j u z g a r s e d e la
en el m i s m o t i e m p o . E l m o t o r , p o r c o n s i g u i e n t e , será t a n t o m e j o r c u a n t o m a s se a p r o x i m e d e l a unidad. 230. RUEDA DE CANALES. — E s t a r u e d a se h a l l a f a b r i c a d a para r e c i b i r el a g u a p o r su p a r t e s u p e r i o r p o r m e d i o d e u n c a n a l q u e la impele al n i v e l d e la superficie s u p e r i o r . E n dicho canal, el a g u a n o t o m a m a s q u e l a velocidad necesaria p a r a poder a l c a n z a r l a r u e d a ; de allí cae en l a s divisiones ó canales q u e a d o r n a n toda su c i r c u n f e rencia, las c u a l e s v a l l e n a n d o s u c e s i v a m e n t e á m e d i d a que l a r u e d a se m u e v e . Estos canales se v a c í a n á su vez d e r r a m a n d o el a g u a en el nivel inferior, y v u e l v e n á s u b i r i n m e d i a t a m e n t e p a r a volverse á l l e n a r ; e n esta o p e r a c i o n se observa q u e t o d a s las canales d e s c e n d e n t e s están l l e n a s m i e n t r a s q u e las a s c e n d e n t e s s u b e n vacías, y esto es p r e c i s a m e n t e lo q u e p r o d u c e el m o v i m i e n t o , es decir, el peso del a g u a c o n t e n i d a en l a m i t a d do la r u e d a . E n la c o n s t r u c c i ó n d e esta especie d e r u e d a s (fig. 75), debe t e n e r s e b u e n cuidado d e d i s p o n e r las canales ó c a j o n e s d e m a n e r a q u e n o se vacien a n t e s d e llegar á lo m a s b a j o posible, p u e s do lo
288
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
c o n t r a r i o se pierde u n a c a n t i d a d considerable de trabajo útil.
CUARTA PARTE. — CAPITULO VIL
2S9
l e n t i t u d , y debe e m p l e a r s e con p r e f e r e n c i a á las c o n o c i d a s h a s t a el dia e u las fábricas q u e c u e n t e n con u n d e s p e ñ a d e r o d e agua d e 3 h a s t a 12 m e tros d e elevación. Como
el
m o v i m i e n t o lento de la p r e c e d e n t e
r u e d a seria dañoso en los m e c a n i s m o s hidráuUcos o r d i n a r i o s , se las a d o p t a u n a r u e d a d e n t a d a q u e se e n c a j a c o n los dientes de o t r a m u c h o m a s p e q u e ñ a , la c u a l t r a n s m i t e á su árbol u n m o v i m i e n t o t a n r á p i d o como se necesite. 231. Los estrechos límites de este MANUAL n o n o s p e r m i t e h a b l a r de las r u e d a s l l a m a d a s de Poncelet, de las q u e se u s a n en las corrientes i n d e f i n i d a s , ni de las d e n o m i n a d a s de c u c h a r a s , cuvos y de reacción, n i d e las n u m e r o s a s m á q u i n a s h i d r á u licas q u e t a n t o e n r i q u e c e n la i n d u s t r i a . E n su virt u d , r e m i t i m o s á n u e s t r o s lectores al f a m o s o Curso elemental de Mecánica de Mr. Ch. Delaunay, c u a r t a edición.
IV. Empleo del aire como m o t o r .
232. No es d e a h o r a ni d e u n a localidad especial el u s o i n m e m o r i a l q u e s e h a c e del aire atmosféFig. 75.
A d e m á s , debo observarse i g u a l m e n t e q u e d i c h a r u e d a p r o d u c e m a y o r efecto c u a n d o se m u e v e con
rico p a r a m o t o r d e c i e r t a s m á q u i n a s , y , p o r cierto, si este t e r r i b l e y feliz elemento f u n c i o n a r a ó soplara constantemente
con regularidad, no
hay
d u d a q u e p o d r í a n o b t e n e r s e resultados m a s iru17
290
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
CUARTA PARTE. -
CAPITULO VII.
291
p o r t a n t e s . E m p e r o , n o está e n l a m a n o d e l h o m -
l l e n e , esta a g u a se c o n v i e r t e e n v a p o r . A m e d i d a
b r e el s u j e t a r á e s t e v a r i a b l e coloso.
q u e se f o r m a , se a c u m u l a en l a parte v a c í a d e d i -
Bien c o n o c i d o s s o n l o s m e c a n i s m o s
adoptados
cho vaso y a u m e n t a s u e l a s t i c i d a d ; m a s esta f u e r z a
para utilizar su acción. Los m o l i n o s de viento y
elástica n o p u e d e exceder s u tensión máxima,
los b u q u e s d e vela n o s d a n u n a idea m u y e x a c t a
m i t e extremo, que depende exclusivamente de la
y sencilla p a r a q u e t e n g a m o s necesidad d e e n t r a r
temperatura
en s u s m e n o r e s detalles.
crece en p r o p o r c i o n
Así es q u e c e r r a r e m o s este a r t í c u l o d i c i e n d o q u e t o d a l a d i f i c u l t a d consiste e n l a disposición
en
del a g u a , y esta t e n s i ó n
vaya aumentando. máximum
lí-
suprema
de los g r a d o s q u e
aquella
Sin e m b a r g o , a l c a n z a d o su
d e i n t e n s i d a d y a n o se p r o d u c e
nuevo
q u e d e b e n colocarse las a s t a s del m o l i n o y las v e -
v a p o r , y en este caso t o d o el espacio del vaso ó
las de las e m b a r c a c i o n e s p a r a q u e p u e d a n recibir
caldera q u e el v a p o r o c u p a se l l a m a
saturado.
c o n v e n i e n t e y ú t i l m e n t e l a a c c i ó n del v i e n t o . A m -
C u a n d o l a t e m p e r a t u r a se h a l l a m u y elevada, la
b a s se e x t i e n d e n y p l i e g a n m a s ó m e n o s p r e s e n -
evaporizacion del a g u a se e f e c t ú a c o n rapidez,
t á n d o l a s d i r e c t a ú o b l i c u a m e n t e al i m p u l s o del
v i s t o q u e e n t o n c e s la t e n s i ó n m á x i m a del vapor
e l e m e n t o , s e g ú n q u e este sea m a s ó m e n o s i m p e -
es igual á l a p r e s i ó n a t m o s f é r i c a . E n este m o -
tuoso.
m e n t o s u f u e r z a es t a l q u e v e n c e y a r r o j a el aire p a r a a b r i r s e p a s o y salir f u e r a , e n vez d e q u e a n -
233. E l a i r e se e m p l e a t a m b i é n p a r a p o n e r e n m o v i m i e n t o las p o m p a s d e s t i n a d a s á elevar el a g u a . E m p e r o , esta m á q u i n a s i e n d o m u y p a r e c i d a á l a d e los m o l i n o s de v i e n t o r e n u n c i a m o s t a m b i é n á detallarla.
V. Del vapor como motor.
2 3 4 . FORMACION DEL VAPOR. — C u a n d o
un
vaso
( c u a l q u i e r a q u e sea su f o r m a y l a m a t e r i a d e q u e
tes tenia necesidad de infiltrarse p o r los i n t e r s t i c i o s
gradualmente
existentes entre sus molé-
culas. Mas, p a r a q u e el v a p o r a d q u i e r a su tensión máxima es necesario q u e e l a g u a esté e n el estado d e ebullición, y c o m u n m e n t e h i e r v e e n t o d a s u f u e r z a s i e m p r e q u e l a t e n s i ó n del v a p o r excede la p r e s i ó n a t m o s f é r i c a q u e el l í q u i d o e x p e r i m e n t a en l a s u perficie, o r a sea a q u e l l a c o m p u e s t a d e gaz y d e v a p o r c o m b i n a d o s , o r a sea e x c l u s i v a m e n t e d e gas ó de vapor.
s e c o m p o n g a ) , e s t a n d o p e r f e c t a m e n t e c e r r a d o cont i e n e c i e r t a c a n t i d a d de a g u a d e m o d o q u e n o lo
23B. L E Y DE M A R I O T T E . — L a
fuerza
de
un
gas
292
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
se a u m e n t a c u a n d o se c o m p r i m e s u s u p e r f i c i e , e n
CUARTA PARTE. - CAPITULO VIL
v i r t u d de q u e l a s p r e s i o n e s q u e e j e r c e s o b r e l a s
q u i e r e 1Í>S p r o p i e d a d e s y p r o d u c e los efectos d e l
293
d i v e r s a s p a r t e s d e las p a r e d e s del vaso q u e lo c o n -
g a s : d e m a n e r a q u e v a r i a n d o s u v o l u m e n , varía
tiene, a u m e n t a n á medida que d i s m i n u y e su vo-
al m i s m o t i e m p o s u f u e r z a elástica, s e g ú n lo esta-
l ú m e n . E s t e célebre físico, e s t u d i a n d o los c a m b i o s
blecido e n la ley d e Mariotte q u e a c a b a m o s de e x -
c o r r e s p o n d i e n t e s á la p r e s i ó n y al v o l u m e n , h a
p l i c a r ; pero esto, b a j o el s u p u e s t o de q u e la f u e r z a
e n c o n t r a d o la s i g u i e n t e ley q u e d e b e m o s t e n e r
elástica q u e d e s u f i c i e n t e m e n t e débil p a r a n o s a t u -
p r e s e n t e e n la c u e s t i ó n q u e n o s o c u p a ; á s a b e r :
r a r el espacio e n q u e el v a p o r se h a l l a c o n t e -
Que la fuerza temperatura
elástica de una masa
de gas,
se conserva siempre á la misma
cuya
nido.
altura,
varia en razón inversa de su volumen. E s t a condicion
237. EJEMPLO.—Supongamos, p u e s , p a r a m a y o r
es m u y esencial p a r a q u e p u e d a e c h a r s e e n o l v i d o ,
i n t e l i g e n c i a d e lo q u e precede, q u e se d i s m i n u y e
p u e s la e x p e r i e n c i a e n s e ñ a q u e c u a n d o se d i s m i -
el v o l u m e n del v a p o r e n t é r m i n o s q u e su f u e r z a
n u y e b r u s c a m e n t e el v o l u m e n de u n a m a s a g a -
elástica q u e d e igual á l a t e n s i ó n m á x i m a corres-
seosa, s u t e m p e r a t u r a se eleva, y q u e , p o r el c o n t r a r i o , se d i s m i n u y e esta c u a n d o se d i l a t a a q u e l l a . P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a q u e las f u e r z a s elásticas q u e a d q u i e r e s u c e s i v a m e n t e u n a m a s a gaseosa, c u y o v o l u m e n q u i e r e v a r i a r s e , s a t i s f a g a n á la ley d e Mariotte, es a b s o l u t a m e n t e n e c e s a r i o q u e estas
p o n d i e n t e á s u t e m p e r a t u r a , en este caso, si se continúa
c o m p r i m i é n d o l a , es
evidente
que
la
f u e r z a elástica n o p o d r á a u m e n t a r d e m o d o a l g u n o , p e r m a n e c i e n d o s i e m p r e i g u a l á s u máximum
de
intensidad,
de
y por consiguiente u n a porcion
v a p o r se c o n d e n s a r á v o l v i e n d o al estado de l í quido.
f u e r z a s elásticas n o se m i d a n
h a s t a q u e el g a s
haya tenido suficiente tiempo
p a r a r e c o b r a r la
Si acto c o n t i n u o se e n g r a n d e c e el espacio de
t e m p e r a t u r a q u e t e n i a e n u n p r i n c i p i o , esto es, al
m a n e r a q u e el v a p o r p u e d a d i l a t a r s e m a s , la c a n -
p o n e r s e e n e q u i l i b r i o de t e m p e r a t u r a c o n los c u e r -
tidad de a g u a p r o d u c i d a por la p r e c e d e n t e c o n d e n -
p o s q u e le r o d e a n .
s a c i ó n v o l v e r á al e s t a d o de v a p o r , a d q u i r i e n d o ó m a n t e n i e n d o la f u e r z a elástica i g u a l á la t e n s i ó n
236. Asi, c u a n d o cierta c a n t i d a d d e v a p o r
de
m á x i m a , m i e n t r a s q u e n o se a b s u e l v a t do el lí-
a g u a se h a l l a e n c e r r a d o e n u n vaso sin a g u a , y
q u i d o . E m p e r o , tan l u e g o c o m o el a g u a t o d a se h a y a
q u e su t e n s i ó n es i n f e r i o r al máximum
t r a n s f o r m a d o e n v a p o r , el a u m e n t o d e l espacio
correspon-
d i e n t e á su t e m p e r a t u r a , e n t o n c e s este v a p o r a d -
q u e se le h a b i a d a d o a r r a s t r a r á u n a d i s m i n u c i ó n p r o p o r c i o n a l á d i c h o espacio e n la f u e r z a elástica
del v a p o r q u e v o l v e r á á t o m a r , e n su v i r t u d , las propiedades d e g a s . TEMPERATCJU.
2 3 0 . CONDENSACIÓN
DEL
GAS. — U n a m a s a
vapor puesta en comunicación con u n
VAPOR.
TEMPERATUIA.
TEÍIIO» DEL
TEMPERA-
TAFO».
TURA.
3546
160»
TEÜ5IOX DEL
TAPO».
de
espacio,
cuya temperatura corresponde á u n a tensión máxim a inferior á l a s u y a , se c o n d e n s a r á p a r c i a l m e n t e hasta q u e el v a p o r r e s t a n t e s a t i s f a g a las condiciones a n t e s e x p r e s a d a s ; p u e s c u a n d o los espacios en q u e el v a p o r s e h a l l a
TErrsion DFL
contenido son de di-
m 0»
0,
m 0016
80"
0.
m 4,6316
10°
0,0092
90°
0,5254
170°
5.7617
20»
0,0174
100°
0,7600
1S0°
6.5464
30»
O,0315
110°
1,0754
190»
9,4427
40°
o,or.49
120°
1,4913
200°
11,6890
80°
O,0920
130°
2.0303
210»
14.3248
60°
0,1488
140°
2,7176
220»
17,3904
70°
0, 2331
150»
3,5812
230°
20,9254
versa t e m p e r a t u r a , su f u e r z a e l á s t i c a , c o m o fácilm e n t e se concibe, n o p u e d e ser m a y o r q u e la tensión m á x i m a q u e c o r r e s p o n d e á la t e m p e r a t u r a m a s b a j a d e los d i v e r s o s p u n t o s d e d i c h o espacio. 2 3 9 . TENSIÓN MÁXIMA DEL VAPOR DE AGUA EN SUS DIVERSAS TEMPERATURAS. — E l c é l e b r e
A r a g o , el
distinguido Dulong, y posteriormente Mr. Regn a u l t , h a n e n r i q u e c i d o la c i e n c i a c o n i n f i n i t a s experiencias q u e d e m u e s t r a n la t e n s i ó n m á x i m a del vapor de a g u a , y en s u v i r t u d l e g á d o n o s u n a t a b l a i n d i c a n d o las q u e p r o d u c e n l a s t e m p e r a t u r a s d i versas q u e p u e d a n i m a g i n a r s e , p u e s p r i n c i p i a r o n por la de cero h a s t a la d e 2 3 0 0 a u m e n t a n d o 10 g r a d o s á cada u n a , c o m o p u e d e v e r s e p o r l a tabla siguiente :
S e g ú n se ve, las t e n s i o n e s se e x p r e s a n p o r la elevación de las c o l u m n a s d e m e r c u r i o c o n q u e se e q u i l i b r a n , y q u e el a g u a se h a l l a en el e s t a d o d e e b u l l i c i ó n , c u a n d o está en l a t e m p e r a t u r a do 100' b a j o d e u n a p r e s i ó n m e d i d a p o r u n a c o l u m n a de m e r c u r i o de 0",76 de a l t u r a . Obsérvase a s i m i s m o q u e l a t e n s i ó n vapor en la p r e c i t a d a t e m p e r a t u r a u n a c o l u m n a d e m e r c u r i o de 0 M ,76, t e n s i ó n crece p r o p o r c i o n a l m e n t e á l a su t e m p e r a t u r a r e s p e c t i v a .
m á x i m a del se m i d e p o r y que dicha elevación d e
VI. Presión atmosférica y definición de dicha atmósfera.
2 4 0 . PRESIÓN ATMOSFÉRICA.—Ya e n 1 6 4 3 e l i l u s -
t r e fisico Torricelli evaluó n u m é r i c a m e n t e esta p r e s i ó n . Así, si se c o n s i d e r a el t r a b a j o q u e se o p e -
206
MANUAL DE MECANICA INDUSTRIAL,
r a en el i n t e r i o r del m e r c u r i o c o n t e n i d o en su vaso, v e r e m o s q u e l a s p r e s i o n e s s o n las m i s m a s en todos los p u n t o s de u n m i s m o p l a n o h o r i z o n t a l ya sea en el i n t e r i o r , y a en el exterior del t u b o . Lo m i s m o s u c e d e respecto del p l a n o
horizontal
f o r m a d o p o r la superficie libre del m e r c u r i o en dicho vaso. P o r c o n s i g u i e n t e , a u n allí la p r e s i ó n e j e r c i d a en u n o de sus p u n t o s p o r la a t m ó s f e r a es idéntica á la q u e se e j e r c e á igual nivel en el i n t e rior del t u b o p o r la c o l u m n a de m e r c u r i o s i t u a d a sobre e l e x p r e s a d o nivel. P o r esta r a z ó n , p u e s , la p r e s i ó n q u e l a a t m ó s f e r a h a c e en un c e n t í m e t r o
2 4 2 . DEFINICIÓN
DE LA ATMÓSFERA
EN EL
PRE-
SENTE CASO. — S i e m p r e q u e u n gas c u a l q u i e r a ejerce c o n t r a las p a r e d e s del vaso q u e lo c o n t i e n e u n a presión igual á l a q u e ejerciera u n a c o l u m n a de m e r c u r i o de 0™,76 de a l t u r a , e n t o n c e s se dice q u e esta presión es d e tina ATMÓSFERA. Como se d e s p r e n d e , la p a l a b r a atmósfera designa u n a presión q u e se t o m a p o r t é r m i n o de c o m p a r a ción, c o n s t i t u y e n d o así u n a u n i d a d p a r t i c u l a r con c u y o auxilio p u e d e n evaluarse á g u a r i s m o s dichas presiones.
c u a d r a d o d e l a superficie libre del m e r c u r i o en el vaso es i g u a l al peso d e u n cilindro de m e r c u r i o c u y a b a s e sea u n c e n t í m e t r o c u a d r a d o y su a l t u r a de 76. E l v o l u m e n do este cilindro es, pues, de 76 c e n t í m e t r o s cubos, y c o m o la m e d i d a d e u n cent í m e t r o c u b o pesa 13 g r a m o s , 6, r e s u l t a q u e la p r e s i ó n ejercida p o r la a t m ó s f e r a sobre u n c e n t í m e t r o c u a d r a d o es d e 1033 g r a m o s .
2 4 3 . TRESION DE UNA ATMÓSFERA. — L a p r e s i ó n
d e u n a a t m ó s f e r a , como queda dicho, es d e 1 k i l o g r a m o 0 33 por c e n t í m e t r o c u a d r a d o . Así, si la p r e s i ó n equivale á t r e s , cinco ó m a s a t m ó s f e r a s , será e q u i v a l e n t e á la q u e hiciera u n a c o l u m n a de m e r c u r i o de tres, cinco ó m a s veces d e a l t u r a de 0 m ,76. Con lo expuesto p o d r á c o m p r e n d e r s e el cálculo
241. OBSERVACIÓN. — La presión a t m o s f é r i c a es v a r i a b l e ; e m p e r o , cuando el p u n t o d o n d e tiene l u g a r la experiencia n o se h a l l a m a s alto q u e el nivel del m a r , la a l t u r a d e la c o l u m n a de m e r c u rio j a m a s se diferencia m u c h o de 0»,76. P o r c o n secuencia, esta a l t u r a de 0",76 se t o m a g e n e r a l m e n t e c o m o presión n o r m a l , y en su v i r t u d sirve d e regla para c o m p a r a r y verificar l a s variaciones d e t o d a s las d e m á s .
atmosférico q u e r e p r e s e n t a la tabla siguiente d e bida i g u a l m e n t e á Mr. R e g n a u l t .
CUARTA PARTE. -
CAPITULO VIL
299
Y a q u e d a d i c h o q u e c u a n d o el a g u a se s o m e t e á |
u n a t e m p e r a t u r a de 100 g r a d o s e n t r a r á en e b u l l i -
TENSION DEL
VAPOR.
atm.
TENSION TEMPERATURA. DEL
VAPOR.
.
aim.
TEMPERATURA-
„
1
100,0
2
120,6
<6
201,9
S
183.9
17
204,9
4
144,0
18
5
207,7
152,2
19
210.4 213,0
<5
6
159,2
20
T
165,3
21
8
170,8
22
198,8
215.5
ción c o m u n i c a n d o l i b r e m e n t e con la a t m ó s f e r a ; y q u e cesará con rapidez si d i s m i n u y e l a t e m p e r a t u r a . P o r c o n s e c u e n c i a , es i n d i s p e n s a b l e , v o l v e m o s á r e p e t i r , el m a n t e n e r el calor necesario á la c a n t i d a d d e a g u a y del v a p o r q u e se debe c o n s e r v a r , p u e s este crece ó d i s m i n u y e s e g ú n el fuego ó el calor q u e se p o n g a á aquella.
217,9
9
175,8
23
10
180,3
24
222,5
H
184.5
2 5
224.7
12
188,4
26
226,6
13
•92,1
14
195.5
220,3
27
228,9
28
230,9
2 4 5 . CANTIDAD DE CALOR NECESARIA A UNA MASA DETERMINADA DE AGUA. —
E s de la m a s alta
im-
p o r t a n c i a el conocer el calor q u e necesita u n a m a s a d a d a d e a g u a p a r a p a s a r a l estado d e v a p o r y m a n t e n e r s e e n él. De m a n e r a a l g u n a p o d r í a m o s s u m i n i s t r a r este c o n o c i m i e n t o si n o r e c u r r i é s e m o s
2 4 4 . CALOR L A T E N T E DE LA EVAPORIZACION. —
La c o n v e r s i ó n del a g u a e n v a p o r necesita u n fuego sostenido á fln de q u e l a t e m p e r a t u r a n o varíe. E s t e calor m a n t e n i d o c o n s t a n t e m e n t e es, p u e s , lo q u e los físicos l l a m a n calor latente de la evaporizacion. Si n o f u e r a así, el v a p o r se c o n d e n s a r í a volv i e n d o á su a n t e r i o r e s t a d o d e l í q u i d o , y de a q u í la necesidad d e c o n s e r v a r i n a l t e r a b l e la m i s m a t e m p e r a t u r a . De lo c o n t r a r i o , la t e n s i ó n m á x i m a del v a p o r , n o c o r r e s p o n d i e n d o á la t e m p e r a t u r a q u e tenia en su p r i n c i p i o , iría d e b i l i t á n d o s e e n p r o porcion del descenso d e esta, ó en r a z ó n d e la frialdad q u e el l í q u i d o e x p e r i m e n t a á m e d i d a q u e se realiza la e v a p o r i z a c i o n .
otra vez á l a s experiencias del d i s t i n g u i d o físico Mr. R e g n a u l t sobre las p r o p i e d a d e s del a g u a . Al efecto, i n s e r t a r e m o s la siguiente t a b l a ; e m p e r o , parécenos oportuno consignar antes, para mayor inteligencia del lector, q u e la s e g u n d a c o l u m n a d e m u e s t r a la s u m a d e calor precisa p a r a c o n v e r t i r e n v a p o r u n k i l ó g r a m o d e a g u a , d e m a n e r a q u e el espacio q u e lo c o n t i e n e q u e d e p e r f e c t a m e n t e s a t u r a d o , sin
experimentar variación alguna
antes
n i d e s p u e s de la evaporizacion, c o m o lo expresa la p r i m e r a c o l u m n a . L a t e r c e r a designa el calor q u e necesita p a r a e f e c t u a r la c o n v e r s i ó n d e d i c h a c a n t i d a d d e l í q u i d o en vapor s a t u r a d o . S e g ú n se a d v i e r t e , la t e m p e r a t u r a del a g u a co-
m i e n z a e n 0, y la unidad del calor se toma por la s u m a necesaria para elevar la temperatura de u n k i l ó g r a m o de a g u a de 0 o á I o .
'
» ». .
)
INDICE TEMPERATURA drl
viro*
«ATORADO.
!
1 TEMPBRATORA
CALOR
Cito»
tlTOTE.
TOTAL.
DIL
YAK)»
SATURADO.
II
CALO» CALOR TOTAL.
0»
606.5
606.5
120"
20»
592.6
612.6
140"
508,0
578.7
649.2
6(8
160»
493,6
655.3
621,8
180°
479,0
661.4
30
200»
464.3
667.5
220°
449.4
673.6
40" 60° 80"
664,7 550,6 536,5
8
9
37,0
1
LATttTl.
522.3
0 4 , 1
Páginas. 1
PRÓLOGO
E s t u d i a n d o con reflexcion cuanto queda e x puesto respecto de los cuatro principales motores y aplicando con exactitud los principios d e m o s t r a d o s e n el p r e s e n t e MANUAL, c u a l q u i e r a p o d r á
no
solo conocer sino también dirigir las f u n c i o n e s a u n de las m á q u i n a s m a s complicadas.
INTRODUCCIÓN
"
PRIMERA
PARTE.
Del movimiento de un cuerpo considerado independientemente de sus causas, según las reglas geométricas
11
CAPITULO I . Del movimiento uniforme, y de sus propiedades
11
CAPITULO II. Del movimiento variado de los cuerpos y puntos materiales, y de sus diversas aceleraciones...
17
FIN.
CAPITULO III. Del movimiento uniformemente variado, y de su velocidad y ecuación
13
CAPITULO IV. Del movimiento rectilíneo variado bajo el punto de vista de su aceleración
33
CAPITULO V. De la proyección de las velocidades, considerado el cuerpo sobre un eje fijo
45
m i e n z a e n 0, y la unidad del calor se toma por la s u m a necesaria para elevar la temperatura de u n k i l ó g r a m o de a g u a de 0 o á I o .
'
» ». .
)
INDICE TEMPERATURA DEL
VAPOR
«ATORADO.
!
II
1 TEMPERATURA
CALOR
CALOR
LITOTE.
TOTAL.
BEL
VAPOR
SATURADO.
CALO» CALOR TOTAL.
0»
606.5
606.5
120»
20»
592.6
612.6
140°
40»
508,0
578.7
649.2
618
160°
493,6
655.3
621.8
180»
479,0
661.4
30
200°
464.3
667.5
220°
449.4
673.6
60° 80"
664.7 550,6 536,5
8
9
37,0
1
IA T E S T E ,
522.3
0 4 3 ,
Páginas. 1
PRÓLOGO
E s t u d i a n d o con reflexcion cuanto queda e x puesto respecto de los cuatro principales motores y aplicando con exactitud los principios d e m o s t r a d o s e n el p r e s e n t e MANUAL, c u a l q u i e r a p o d r á
no
solo conocer sino también dirigir las f u n c i o n e s a u n de las m á q u i n a s m a s complicadas.
INTRODUCCIÓN
"
PRIMERA
PARTE.
Del movimiento de un cuerpo considerado independientemente de sus causas, según las reglas geométricas
11
CAPITULO I . Del movimiento uniforme, y de sus propiedades
11
CAPITULO II. Del movimiento variado de los cuerpos y puntos materiales, y de sus diversas aceleraciones...
17
FIN.
CAPITULO III. Del movimiento uniformemente Tariado, y de su velocidad y ecuación
13
CAPITULO IV. Del movimiento rectilíneo variado bajo el punto de vista de su aceleración
33
CAPITULO V. De la proyección de las velocidades, considerado el cuerpo sobre un eje fijo
45
r
xn VI. De la composicion y descomposición los movimientos
CAPITULO
Página». de g^
CAPITULO VII. De la composicion y descomposición de las velocidades
CAPITULO IV. De la masa de los cuerpos
1 , 3
I.
Demostración de la masa
I'3
II
Relación e n t r e las masas, las fuerzas y las acele-
III.
De la fuerza d e inercia
raciones
o9
SEGUNDA
1 , 8
CAPITULO V. De la Introducción de la
PARTE.
116
masa e n
las
ecuaciones del movimiento producido p o r u n a fuerza
,
De las fuerzas y de sus efectos con aplicación á un cuerpo y punto material libre
,
121
constante 69
CAPITULO VI. De la composicion y descomposición de <49
las fuerzas CAPITULO I. Ideas g e n e r a l e s de la inercia y de las f u e r zas de la inercia
fiQ
I.
gg
CAPITULO Vil. Del equilibrio de las fuerzas á un mismo 139
punto Leyes de la inercia
IL
De la fuerza motriz
III.
Medida de las fuerzas
CAPITULO II. Del efecto de u n a cuerpo aislado
TERCERA g^
Axioma, teorema y casos diversos II.
Aplicaciones relativas
á la g r a v e d a d
De las fuerzas aplicadas á los cuerpos sólidos
143
gl de
CAPITULO I . Nociones sobre el organismo de los po
los
cuerpos III.
Del péndulo
IV.
Máquina de Atwood
V. VI.
Modo de servirse d é la m á q u i n a de A l w o o d . . ' . Leyes q u e rigen los m o v i m i e n t o s Movimientos de los cuerpos d e a b a j o arriba.".'.
sición del p u n t o del cuerpo d o n d e
97 103
J09
,09
una
I I I . Del
equilibrio y
composicion de la f u e r z a .
I.
Equilibrio
II.
Composicion de fuerzas c o n c u r r e n t e s 6 p a r a lelas
III. |IQ
se aplica
fuerza
|05
I.
P r o p o r c i o n de las f u e r z a s constantes y de las aceleraciones
143
CAPITULO I I . Leyes y reglas relativas al cambio de p o g3
CAPITULO III. De los efectos d e muchas fuerzas dirigidas sobre un cuerpo aislado ° Axioma e x p e r i m e n t a l
cuer-
g4
CAPITULO
VII.
PARTE.
f u e r z a aplicada á un
153 ,S3
164
i rC
Fuerzas paralelas
CAPITULO IV. De los centros de gravedad de los c u e r pos
165
Páginas.
CUARTA
PARTE.
II.
De los f r e n o s .
253
III.
De los r e g u l a d o r e s d e f u e r z a c e n t r i f u g a .
261
CAPITULO V I I . De l o s m o t o r e s y d e s u a p l i c a c i ó n á v a -
Páginas.
De las máquinas
rias maquinas I.
CAPITDLO I . N o c i o n e s g e n e r a l e s d e las m á q u i n a s
175
al e q u i l i b r i o d e l a s f u e r z a s q u e las s u s a p l i c a d a s De l a p a l a n c a y s u s e s p e c i e s
II.
D e las b a l a n z a s
De los m o t o r e s a n i m a d o s
272
HL
Uso del a g u a p a r a m o t o r
283
183
IV.
E m p l e o del aire c o m o m o t o r
2S9
,
V.
Del v a p o r c o m o m o t o r
VI.
Presión atmosférica y definición de dicha
8 3
( g 0
mósfera
CAPITDLO III. Del t o r n o d e la p o l e a , y d e l e q u i l i b r i o v t r a b a j o d e las f u e r z a s a p l i c a d a s á d i c h a s I.
máquinas..199
E q u i l i b r i o y t r a b a j o d e las f u e r z a s
aplicadas
A L T O R N O
,99
II.
Ruedas d e n t a d a s 6 de encaje, rueda
III.
E q u i l i b r i o y t r a b a j o d e las f u e r z a s a p l i c a d a s á
jas y c o r r e a sin
d e clavi-
fin
2()2
la p o l e a fija 6 m ó v i l IV.
i j,-
De las p o l e a s ó g a r r u c h a s p o l i p a s t a s
CAPITULO IV. Del p l a n o
217
inclinado
22l
CAPITDLO V. De las r e s i s t e n c i a s p a s i v a s ó d e l a c o h e s i o n y rozamiento de un cuerpo con otro
9 9
I-
Diversas especies de resistencias pasivas
229
II.
Leyes e x p e r i m e n t a l e s del r o z a m i e n t o
2¡l
III.
Leyes d e l r o z a m i e n t o
lomb ,
v
'>•
halladas por
CAPITULO V I . Del e s t u d i o d e las d e m o v i m i e n t o no u n i f o r m e Do los v o l a n t e s
Mr. Cou-
'
Resistencia de los
233
fluidos m
áquina8
e n
2¡
2G9
II.
CAPITULO I I . Del e s t u d i o d e v a r i a s m á q u i n a s , r e l a t i v o
I.
2G9
C o n s i d e r a c i o n e s g e n e r a l e s s o b r e los m o t o r e s . .
|
el e s t a d o 247 ^
290 at295
