BAB I LATAR LATAR BELAKANG BELA KANG
. Ilmu matematika merupakan mata pelajaran yang pasti diajarkan baik di SD, SMP, maupun maupun SMA. SMA. Di SMA biasanya biasanya materi materi yang yang diajark diajarkan an merupa merupakan kan pengem pengemban bangan gan dari dari materi materi di jenjan jenjang g sebelu sebelumny mnya, a, seperti seperti halny halnyaa materi materi ekspon eksponen en dan logari logaritma. tma. Ketika Ketika berbicara tentang matematika yang terbayang adalah ada lah bahwa matematika itu sulit. Sebab yang terikir adalah teori!teori dan rumus!rumus yang banyak dan merepotkan. Padahal, justru disitulah letak daya tarik matematika, mampu mengasah kesabaran dan ketajaman logika seseorang. Matematika selalu dilibatkan dan dibutuhkan oleh seluruh bidang keilmuan dan segala aspek kehidupan, termasuk ilmu kimia, isika dan bidang ilmu lainnya. "ubungan antara kimia, isika dengan matematika seolah hubungan ibu dan anak. Dimana sang anak selalu bersandar pada ibunya untuk memecahkan segala kerumitan hidupnya. Matematika selalu dibutuhkan oleh ilmu kimia untuk menyelesaikan permasalahannya, misalnya penggunaan logaritma dalam menentukan derajat keasaman. Dalam ilmu pengetahuan dan tekhnologi maupun dalam kehidupan sehari!hari, ungsi ekspon eksponen en dan logarit logaritma ma seringk seringkali ali diguna digunakan kan untuk untuk mendes mendeskri kripsi psikan kan suatu suatu peristi peristiwa wa pertumbuhan. Misalnya uang yang diin#estasikan di bank, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. "al ini dikarenakan logaritma merupakan in#ers atau kebalikan dari eksponen. $ogaritma juga digunakan untuk memecahkan masalah!masalah eksponen yang sulit untuk dicari akar!akar atau penyelesaiannya
1
BAB II ISI MATERI
A. EKSPONEN %ntuk %ntuk menemu menemukan kan dan memaham memahamii konsep konsep ekspone eksponen, n, maka maka kita kita perhati perhatikan kan ilustrasi dibawah ini&
Misalkan kita mempunyai beberapa lembar kaca. Andaikan setiap lembar kaca mengurangi cahaya yang menembusnya sebanyak () *, maka intensitas cahaya yang berhasil menembus lembaran kaca ke (, +, sampai ke!t adalah -
Penyelesaian & $embaran kaca ( & ()) (!),()/ 0 1) $embaran kaca + & 1) (!),()/ 0 ()) (!),()/ (!),()/ 0 ()) (!),()/ + 0 2( $embaran kaca & 2( (!),()/ 0 ()) (!),()/ (!),()/ (!),()/ 0 ()) (!),()/ 03+,1 .. .. .. $embaran kaca ke!t & ()) (!),()/ (!),()/ (!),()/ ... (!),()/ 0 ()) (!),()/ t (!),()/ merupakan bilangan pokok t merupakan pangkat eksponen/ dari bilangan pokok
'erdasarkan ilustrasi di atas maka kita dapat menuliskan bahwa eksponen itu
adalah adalah bentuk bentuk perkalia perkalian n berulan berulang g
dengan dengan bilanga bilangan n yang yang sama. Misalka Misalkan n a adalah x
a
bilangan ril dan x adalah adalah bilang bilangan an bulat bulat positi positi..
adalah adalah hasil hasil kali kali bilangan bilangan a
⏟
sebanyak x aktor. Secara matematika dapat ditulis sebagai berikut& x
a →a×a×a×…×a x faktor
a disebut bilangan pokok (basis), a x disebut pangkat (eksponen), x
∈
∈ R
himpunan bilangan bulat positi
B. PANGKAT BULAT NEGATIF NEGATIF DAN NOL 'erkembang dari pengertian pangkat sebagai suatu perkalian berulang, pangkat suatu suatu bilang bilangan an bisa bisa saja bulat bulat positi positi, , negati negati,, nol bahkan bahkan bilang bilangan an pecaha pecahan. n. Pada Pada
2
x
y
x − y
a : a =a
eksponen terdapat siat
. Siat ini hanya mempunyai arti jika x > y .
3
Sekarang kita perhatikan bentuk berikut 'entu entuk k
a
−2
a =a3 : a5 =a3−5= a−2 . 5 a
meru merupak pakan an bent bentuk uk pang pangka katt bulat bulat nega negati ti. . Maka Maka apab apabil ilaa a
(bilangan (bilangan pokok) pokok) adalah bilangan bulat positi, dan !n ! n (ekspon (eksponen en / pangka pangka) ) adalah −n
bilangan bulat negati, maka bentuk umumnya umumnya dapat kita tulis
a =
1
1
a
−n
atau n
a
= an
Sela Selanj njut utny nyaa jika jika ! dan " bilangan bulat positi, kita sudah memiliki siat x
x − y
y
a : a =a
. 'agaim 'agaimana ana jika ! # ", maka
sisi lain, jika !#" jika !#" maka ! maka ! $ " # %& sehingga
x − y
a
x
a =a 0
a
=
y
=
. Sehing Sehingga ga
x
y
a : a =1 . Dari
1 .
'. PANGKAT NGKAT PE'AA PE'AAN N Pangakat biasanya ditemui sebagai bilangan bulat atau bilangan asli. Satu lagi pangkat yang mulai di pelajari di SMA, yaitu pangkat pecahan. Pangkat pecahan ini berhubungan dengan operasi operasi akar. Pecaha Pecahan n adalah adalah bilang bilangan an yang yang dapat dapat dituli dituliska skan n dalam dalam bentuk bentuk
m n dengan
m , n ∈ bilang bilanganbula anbulatt , n ≠ 0. bilangan berpangkat pecahan secara umum dapat ditulis m n
a ,a∈B,a≠ 0 .
sebagai&
Deenisi dari pangkat pecahan secara umum adalah sebagai berikut& a
m n
=
n a≠0 √ am , n >2 , √ n
Dari deenisi diatas dapat dilihat bagaimana hubungan antara pangkat pecahan dengan dengan operasi operasi akar. akar. Pembil Pembilang ang pada pada pangka pangkatt pecahan pecahan merupa merupakan kan pangka pangkatt dari dari bilangan yang diakarkan, sedangkan penyebut pada pangkat pecahan merupakan nilai pangkat akar. 4erdapat dua cara untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan pangkat pecahan. 5aitu& 5aitu& ) *e *en" n"ele elesa saika ikan n pang pangka ka pe+a pe+a,a ,an n -eng -engan an eng engb ba, a, ben benk k pang pangka ka pe+a pe+a,a ,an n en0a-i ope1asi aka1.
3
'erikut ini adalah beberapa cara menyelesaikan pangkat pecahan dengan mengubah bentuk pangkat pecahan menjadi operasi akar& Menarik Menarik akar secara secara langsu langsung ng dari dari bilang bilangan an berpan berpangka gkatt di dalam dalam akar akar • setelah sebelumnya menghitung hasil pangkatnya. 6ara ini digunakan jika dalam menghitung pangkat dan menarik akar, keduanya mudah dilakukan. 4
6ontoh & •
3 2
2 3 2 =√ 4 =√ 64 64 =8
Dengan memanaatkan rumus perkalian pangkat. m n
a =a
( )
1 ×m n
=a
1 m n
Dari Dari rumus rumus pangka pangkatt terseb tersebut, ut, kita kita bisa bisa mengub mengubah ah
a
1 n
menjadi operasi
akar, kemudian bilangan hasil dari menarik akar dipangkatkan oleh . 6ara ini digunakan sebagai alternati cara pertama, yaitu jika kesulitan dalam menghitung pangkat dan menarik akar secara langsung dari bilangan yang sudag sudag dipang dipangkat katkan kan,, misalny misalnyaa karena karena alasan alasan bilanga bilangan n hasil hasil pangka pangkatny tnyaa sangat besar. 27
2 3
=27
1 ×2 3
=
(27 )
1 2 3
=
2
2 27 ) =3 =9 ( 3√ 27
1 n artinya sama dengan akar pangkat
Perhatikan bahwa pangkat pecahan
n. Itulah alasan kenapa pangkat
perkalian
m n dipisahkan terlebih dahulu menjadi
1 n dan .
2) *engba, *engba, bilangan bilangan "ang "ang -ipangkaka -ipangkakan n en0a-i bilanga bilangan n "ang eiliki eiliki pangka "ang saa -engan pen"eb pa-a pangka pe+a,an. Dengan cara ini, bilangan berpangkat pecahan tidak perlu diubah dulu menjadi operasi operasi akar. akar. "asil "asil pangka pangkatt pecahan pecahanny nyaa bisa bisa dipero diperoleh leh hanya hanya dengan dengan operasi operasi pangkat. Perhatikan Perhatikan contoh penyelesaian penyelesaian pangkat pecahan pecahan berikut berikut ini dengan dengan mengubah mengubah bilangan yang dipangkatkan menjadi bilangan yang memiliki pangkat yang sama dengan penyebut pada pangkat pecahannya. •
4
3 2
=
3 2 2
(2 )
2×
=2
3 2
3
=2 =8
4
•
27
2 3
3
=3
2 3
3×
=3
2 3
2
=3 =9
4ernyata dengan mengubah bilangan yang dipangkatkan menjadi bilangan yang memiliki pangkat yang sama dengan penyebut pada pangkat pecahannya tidak ada lagi bentuk pangkat pecahan, sehingga dapat langsung dipangkatkan. D. BENTUK AKA3 AKA3 Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. 'eberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan bilangan irrasional.
'ilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p dengan an q deng
p , q ∈ Z , q ≠ 0 . 'ilang 'ilangan an irasio irasional nal sering sering juga juga disebu disebutt
dengan bilangan pecahan. 'ilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
p p , q ∈ Z , q ≠ 0 . q dengan
bentuk
√
1
25 , 'ilangan √ 25 9 bukan merupakan bilangan irrasional karena dari bilangan tersebut bisa didapatkan akarnya, yaitu suatu bilangan rasional. Sedangkan bilangan! 12 , π , √ 4 , dsb merupakan bilangan irrasional karena tidak √ 2 , √ 12 3
bilangan seperti
dapat dinyatakan dalam bentuk
p q dengan
p , q ∈ Z , q ≠ 0 . 'ilangan semacam itu
disebut dengan bilangan bentuk akar. Pena Penarik rikan an akar akar suat suatu u bila bilang ngan an meru merupa pakan kan in#e in#ers rs dari dari peman pemangk gkat atan an.. Dari Dari pemangkatan
b
a
c didapatkan bentuk akar
=
a =√ c . b
1. Hubungan Hubungan bentuk bentuk akar akar dan pangkat pangkat pecahan pecahan
Bilang Bil angan an berpan berpangk gkat at memili memiliki ki hubung hubungan an erat erat dengan dengan bentuk bentuk akar. Penarikan akar suatu bilangan merupakan in#ers dari pemangkatan. Dari pemangkatan
b
a =c didapatkan bentuk akar
a = √ c . b
2. Penjumlah Penjumlahan an dan pengurang pengurangan an bentuk bentuk akar 5
7perasi 7perasi penjumlahan penjumlahan dan pengurangan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dilakukan jika bentuk akarnya senama. 'entuk akar yang senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspon eksponen en dan basis basis yang yang sama. sama. 7perasi 7perasi penjum penjumlah lahan an dan pengur pengurang angan an pada pada bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan siat distributi. %ntuk
a,b,danc ∈ bila bilang ngan an Rasi Rasion onal al , dan dan c ≥ 0 berlaku& a √ c + b √ c =¿
3. Perka Perkalia lian n dan pemb pembagi agian an bentu bentuk k akar akar 7per 7peras asii perk perkal alia ian n dan dan pemb pembag agia ian n bent bentuk uk akar akar dapa dapatt dila dilaku kuka kan n deng dengan an
menggunak nakan
si siat
berikut&
a , b , ∈ bilangan bilangan Rasional Rasional nonnega non negatif tif
untuk
berlaku &
a× b √ a × √ b =√ a×
bilangan Rasional Rasional nonnega non negatif tif , a , b , ∈ bilangan 4. Meras Merasion ionalk alkan an penye penyebut but bentu bentuk k akar akar Merasio Merasional nalkan kan penye penyebut but pecahan pecahan bentuk bentuk akar akar artiny artinyaa menjad menjadika ikan n penyebu penyebutt
pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut itu.
Merasionalkan bentuk
p
√ q p
6aranya adalah dengan mengalikan
r
,
r
√ q dengan ,
r
,
√ q √ q r
Merasionalkan bentuk p + √ q p −√ q √ p p + √ q √ p p − √ q Ide dasarnya kita menggunakan menggunakan siat perkalian
bentuk akar
( √ a √ b ) +
( a + b ) ( a− b ) = a 2 − b2
pada
.
pq Menyederhanakan bentuk √ ( p + q ) 2 √ pq E. LOGA3IT*A
6
x
a
'entuk
dikenal sebagai bilangan berpangkat dengan a disebut basis, dan
! disebut pangkat atau eksponen Perhatikan bentuk ekui#alen berikut & x
a log y = x ! a = y
a > 0, dan
(. $ogarit $ogaritma ma hany hanyaa dide dideeni enisika sikan n untu untuk k
a ≠ 1, a disebut juga
basis.
+. %ntuk s et etiap
a > 0,
x
a > 0 , maka
bila bilang ngan an berpan berpangk gkat at
y > 0
.
Karena Karena ruas ruas kiri kiri dan ruas ruas kanan kanan ekui#a ekui#alen len maka maka disimp disimpulk ulkan an bahwa bahwa
a log y
terdeenisi terdeenisi jika jika
y > 0 , disebut disebut juga nu!erus (bilangan "ang
#i$ari logarit!an"a) logaritma dengan basis a 0 () cukup dituliskan log
y, tanpa perlu menuliskan basisnya. Deng Dengan an dem demikia ikian n loga logart rtim imaa dapa dapatt pula pula dika dikata taka kan n
seba sebaga gaii
in#e in#ers rs dari dari
perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang diketahui. F. F. SIFA SIFAT4SIF T4SIFA AT EKSPONEN EKSPONEN DAN LOGA3IT*A LOGA3IT*A Secara umum siat!siat eksponen dan logartima disajikan dalam kolom dibawah ini&
No (.
Si%at Logarit!a a log ( 0 ) untuk a > 0, a ≠ 1
Si%at ekponen a " a =a
+.
a
a =a x − y y a
.
a
( a x ) y = am "n
log log a 0 (
log a 8 0 8
9.
:.
a
a log y
= y
a
log 8y 0 a log 8 ; a log y
<. a
log
x a a y 0 log 8 ! log y
x
x + y
y
x
x
x
x
x
()
a " b =( a " b )
a a = x b b
x
1
−n = a dana≠ 0 n
a
7
3. a
log b
0
x
log b
x
log a
0
a =1 dana≠ 0
1 0
b
a
0 2.
a
1.
a
().
((.
log a m
m
log b
(a ) ( a )( a )=( a ) ( a )( a ) ( a )
log 8n 0 n .a log 8
a
log 8 . b log y 0 a log y
a
log 8 0
a
x y
x n
n
1 x y
=
x + y n
y n
x m
n
log x
1 a log x = "a " a m log x m
a
x y
=
y n
=
x y + m n
√ a x
y
BAB III S&AL 'AN KNI *EN+ELESAIAN
A.
S7A$ = S7A$ >7> ?%4I> (.
Sebuah modal sebesar M rupiah didepositokan denagan bunga majemuk sebesar p * p * setahun. Menjadi berapakah uang tersebut selama n tahun a-ab .
Setelah ( tahun uang menjadi & M( 0 M ; p *. M 0 M( ; p*/ Setelah + tahun uang menjadi & M+ 0 M ( ; p*/ ; p *.M( ; p*/ 0 M( ; p*/ + 8
Setelah tahun uang menjadi & M 0 M ( ; p*/ + ; p *.M( ; p*/ + 0 M( ; p*/ Demikian seterusnya, sehingga setelah n tahun uang menjadi & M n = M(1 p !"n
+.
Kadar Kadar radio radioakt akti i suatu suatu @at melu meluruh ruh secara secara ekspo eksponen nensial sial dengan dengan laju peluru peluruhan han +: * setiap jam. 4inggal berapa persen kadar radioakti yang tersisa dari @at tersebut setelah : jam #a$ab %
$angkah dalam menyelesaikan soal ini adalah sebagai berikut & a. Soal memberika memberikan n inormasi inormasi bahwa bahwa kadar radioakti radioakti mula!mula mula!mula po dan setelah n jam jam menj menjad adii pn . $aju $aju peluru peluruhan han yang yang diketah diketahui ui adalah adalah +: *. Kadar Kadar radioakti meluruh setelah : jam, yang ingin dicari adalah berapa * sisa kadar radioakti setelah : jam. b. Dari langkah a/ diperoleh persamaan & pn # po ( $ %&25) n c. Setelah Setelah : jam akan akan diper diperoleh oleh p p5 dengan nilai & p5
# po ( $ %&25) 5 # po ( %&65)5 # po ( %&2767) # %&2767 p o
Setelah Setelah : jam kadar kadar radioa radioakti kti @at tersebu tersebutt terting tertinggal gal +,3 +,3 * dari dari kadar kadar radioakti @at mula!mula p po/ .
"arga jual sebuah mobil menyusut secara eksponensial dengan laju pertumbuhan ) * setah setahun un.. ika ika harg hargaa mobi mobill terse tersebu butt pada pada awal awal tahu tahun n +)): +)): adala adalah h ?p. ?p. ()).))).))),)), ()).))).))),)), hitung harga jual mobil tersebut pada awal tahun +))1. #a$ab %
Masalah ini dapat dselesaikan dengan + cara sebagai berikut & 6ara I & pn # po ( $ i) n # %%.%%%.%%% ( $ %&7) 8 # %%.%%%.%%% ( %&6) 8 # %.%%% (6) 8 # 28.%%.%%% 9
6ara II & Pada tahun +)): +)): 0 ?p. ()).))).))),)) ()).))).))),)) Pada tahun +))< Susutnya 0 ) * 8 ?p. ()).))).))),)) ()).))).))),)) 0 ?p. ).))).))),)) ).))).))),)) >ilai jualnya 0 ?p. ()).))).))),)) ()).))).))),)) = ?p. ).))).))),)) ).))).))),)) 0 ?p. ?p. 3).))).))),)) 3).))).))),)) Pada tahun +))3 Susutnya 0 ) * 8 ?p. 3).))).))),)) 3).))).))),)) 0 ?p. +(.))).))),)) 9. Di dalam dalam sebuah sebuah uji uji coba coba ledak ledakan an nukl nuklir ir,, seba sebagi gian an stron stronti tium um 1) terle terlepa pass ke atmoser. Bat ini mempunyai waktu paruh +2 tahun. a/ >yatak >yatakan an persen persentase tase P stro stronti ntium um 1) yang yang tersisa tersisa di atmose atmoserr sebagai sebagai ungsi ungsi dari& i/ i/
'erap erapak akah ah wakt waktu u paru aruh > tela telah h berl berlal alu u
ii/ ii/
'era 'erapa pa tah tahun un t tela telah h berl berlal alu u seja sejak k led ledak akan an ter terja jadi di
b/ 'erapakah persentase stronium 1) yang masih tersisa di atmoser akibat ledakan tadi :) tahun kemudian a-ab .
a/ i/ Setel Setelah ah
setiap setiap kali kali satu satu waktu waktu paruh paruh berlal berlalu, u, persen persentas tasee yang yang tersis tersisaa
tinggal separuhnya. Karenanya, persentase yang tersisa setelah n waktu paruh
()
1 #=100 berlalu adalah 2 ii/ ii/
2
Kare Karena na t 0 +2, mak makaa persa persama maan an eksp ekspon onen en di di atas atas dapat dapat kit kitaa nyat nyatak akan an
dalam dalam t. Kita Kita subtitu subtitusik sikan an
()
1 #=100 2
t 28 ke dalam n, sehingga kita dapatkan
t 28
b/ ika t 0 :), maka kita peroleh
()
1 # =100 2
50 28
()
1 = log100 + log # $og 2
50 28
=2 +
50 1 log 28 2
10
¿ 2+
50 ( −0,3010299 )=2−( 0,5377 ) 28
$og #=1,4624
#=29,003234
BAB I/ KESIM*LAN
Adapun peta konsep dari pemaparan materi tentang eksponen dan logaritma pada bab sebelum sebelumny nyaa yang yang merupa merupakan kan kesimp kesimpula ulan n dari dari seluruh seluruh pembah pembahasan asan materi materi yaitu yaitu sebaga sebagaii berikut& 11
'I$A>EA>
MA4C?I P?AS5A?A4
MASA$A" 74C>4IK
'ASIS PA>EKA4
'ASIS 'I$A>EA>
'I$A>EA>
7PC?ASI
>%MC?%S "ASI$ $7EA?I4MA
SIFA4!SIFA4 CKSP7>C>
SIFA4!SIFA4 $7EA?I4MA
'A0TAR *STAKA
Kompetensi Dasar dan Struktur Kurikulum SMA!MA, Salinan Permendikbud >o <1, +)( Sri, Kuntarti, Sulistiono, *aeaika Sulistiono, *aeaika S*A -an *A *A nk kelas 9 seese1 & Csis, +))3. Sobirin, Kplan Sobirin, Kplan lengkap 1s 1s aeaika S*A& Puspa swara, akarta, +))<. Matematika.compangkat!akarpangkat!pecahan.php diakses tanggal +( September +)(/ 12
Pintardenganmatematika.wordpress.com+)(+)(+<pangkat!bulat!negati!dan!nol Pintardenganmatematika.wordpress.com+)(+)(+<p angkat!bulat!negati!dan!nol diakses tanggal +( September +)( )
13
