Matemática
8
2º Básico - Grupo Utatlán Primer semestre - IGER
Matemática 8 Primer semestre
© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico:
[email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER Talleres Gráficos
Código: 1110804201 ISBN 9789929804678
Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.
Índice Índice................................................................................................................................................ I Nuestra orientación inicial ....................................................................................................... 1
Semana 1 Triángulo, circunferencia y círculo............................................... 13 ¡Para comenzar! El número (pi) ........................................................................................ 14 El mundo de la matemática 1. Los triángulos ......................................................................................................................... 15
1.1 Clasificación de los triángulos .................................................................................. 15
1.2 Perímetro y área de un triángulo ............................................................................. 17
a. Perímetro de un triángulo ..................................................................................... 17 b. Área de un triángulo ............................................................................................... 17 2. Circunferencia y círculo........................................................................................................ 19
2.1 Partes del círculo ............................................................................................................ 19
2.2 El uso del compás .......................................................................................................... 20
2.3 Perímetro y área de un círculo .................................................................................. 21
a. Perímetro de un círculo .......................................................................................... 21 b. Área de un círculo .................................................................................................... 21 Resumen ......................................................................................................................................... 23 Autocontrol .................................................................................................................................. 24 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 26 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 27 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 28
Semana 2
Cuadriláteros
................................................................................................................ 29
¡Para comenzar! Seguimos con los cuadriláteros ........................................................... 30 El mundo de la matemática 1. El rombo ................................................................................................................................... 31
1.1 Perímetro y área del rombo ...................................................................................... 31
a. Perímetro del rombo ............................................................................................... 31 b. Área del rombo ......................................................................................................... 33 2. El romboide.............................................................................................................................. 35
2.1 Perímetro y área de un romboide ........................................................................... 35
a. Perímetro del romboide ........................................................................................ 35 b. Área del romboide ................................................................................................... 36 Matemática − Índice
I
Resumen ......................................................................................................................................... 37 Autocontrol................................................................................................................................... 38 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 40 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 41 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 42
Semana 3
Polígonos regulares
........................................................................................... 43
¡Para comenzar! Los barriletes gigantes ............................................................................
44
El mundo de la matemática 1. Polígonos regulares .............................................................................................................. 45
1.1 Elementos de un polígono regular ........................................................................ 46
1.2 Polígonos regulares y triángulos isósceles ......................................................... 47
2. Perímetro y área de polígonos regulares ..................................................................... 48
2.1 Perímetro de los polígonos........................................................................................ 48
2.2 Área de los polígonos.................................................................................................. 49
Resumen ......................................................................................................................................... 52 Autocontrol................................................................................................................................... 53 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 56 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 57 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 58
Semana 4
El cubo ................................................................................................................................... 59 ¡Para comenzar! Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos...................................
60
El mundo de la matemática 1. El cubo ....................................................................................................................................... 61
1.1 Área del cubo ................................................................................................................. 62
1.2 Volumen del cubo ......................................................................................................... 64
Resumen ......................................................................................................................................... 67 Autocontrol................................................................................................................................... 68 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 70 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 71 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 72
II
IGER − Utatlán
Semana 5 El cilindro
............................................................................................................................ 73
¡Para comenzar! Un árbol en un cilindro de papel ........................................................
74
El mundo de la matemática 1. Los cilindros ............................................................................................................................. 75
1.1 Área total de un cilindro ............................................................................................ 76
1.2 Volumen del cilindro .................................................................................................... 79
Resumen ......................................................................................................................................... 81 Autocontrol................................................................................................................................... 82 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 84 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 85 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 86
Semana 6
La pirámide
...................................................................................................................... 87
¡Para comenzar! Construcciones curiosas .........................................................................
88
El mundo de la matemática 1. La pirámide............................................................................................................................... 89
1.1 Clasificación de las pirámides regulares .............................................................. 90
2. Área de una pirámide regular............................................................................................ 91 3. Volumen de la pirámide ..................................................................................................... 95 Resumen ......................................................................................................................................... 97 Autocontrol................................................................................................................................... 98 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 100 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 101 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 102
Semana 7 La esfera
............................................................................................................................. 103
¡Para comenzar! Esferas chinas de la salud ......................................................................
104
El mundo de la matemática 1. La esfera .................................................................................................................................... 105
1.1 Área de la esfera ............................................................................................................ 106
1.2 Volumen de la esfera ................................................................................................... 108
Resumen ......................................................................................................................................... 110 Autocontrol................................................................................................................................... 111 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 114 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 115 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 116
Matemática − Índice
III
Semana 8
Repaso semanas 1-7
...................................................................................... 117
El mundo de la matemática Triángulos, circunferencia y círculo........................................................................................ 119 Cuadriláteros: rombo y romboide.......................................................................................... 122 Polígonos regulares .................................................................................................................... 124 El cubo ............................................................................................................................................. 126 El cilindro ........................................................................................................................................ 128 La pirámide .................................................................................................................................... 130 La esfera .......................................................................................................................................... 133 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 134 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 135 Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................ 136
Semana 9
La raíz cuadrada
....................................................................................................... 137
¡Para comenzar! Christoph Rudolff .....................................................................................
138
El mundo de la matemática 1. Radicación ................................................................................................................................ 139
1.1 Elementos de la raíz ..................................................................................................... 139
2. Raíz cuadrada ......................................................................................................................... 140
2.1 Cálculo de la raíz cuadrada exacta ......................................................................... 140
2.2 Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes .... 142
Resumen ......................................................................................................................................... 145 Autocontrol................................................................................................................................... 146 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 148 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 149 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 150
Semana 10
Introducción a las ecuaciones
.......................................................... 151
¡Para comenzar! Evolución de los signos en matemática ...........................................
152
El mundo de la matemática 1. Lenguaje algebraico.............................................................................................................. 153
1.1 Término algebraico ....................................................................................................... 154
1.2 Términos semejantes.................................................................................................... 155
2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita ....................................................... 156
IV
2.1 Partes de una ecuación ............................................................................................... 156
2.2 Resolución de ecuaciones ......................................................................................... 158
IGER − Utatlán
Resumen ......................................................................................................................................... 161 Autocontrol................................................................................................................................... 162 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 164 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 165 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................. 166
Semana 11
Ecuaciones II
................................................................................................................ 167
¡Para comenzar! Historia de las ecuaciones ............................................................................
168
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con varios términos ...................................................................................... 169
1.1 Ecuaciones con signos de agrupación .................................................................. 170
1.2 Ecuaciones con números decimales....................................................................... 172
Resumen ......................................................................................................................................... 174 Autocontrol................................................................................................................................... 175 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 178 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 179 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 180
Semana 12
Ecuaciones III
............................................................................................................... 181
¡Para comenzar! Practiquemos el mínimo común múltiplo (mcm)..........................
182
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con fracciones ................................................................................................. 183
1.1 Ecuaciones con dos términos fraccionarios ........................................................ 183
1.2 Ecuaciones con varios términos fraccionarios ................................................... 185
Resumen ......................................................................................................................................... 187 Autocontrol .................................................................................................................................. 188 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 192 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 193 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 194
Semana 13
Resolución de problemas con ecuaciones
.................... 195
¡Para comenzar! Resolver problemas nos hace competentes .....................................
196
El mundo de la matemática 1. Resolución de problemas con ecuaciones................................................................... 197
1.1 Problemas de edades .................................................................................................. 198
Matemática − Índice
V
1.2 Problemas de geometría ............................................................................................ 201
1.3 Problemas con números ............................................................................................ 204
1.4 Problemas de dinero ................................................................................................... 207
Resumen ......................................................................................................................................... 208 Autocontrol................................................................................................................................... 209 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 210 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 211 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 212
Semana 14
Sistemas de ecuaciones, método de igualación............................................................................................................................ 213 ¡Para comenzar! Seki Kowa ....................................................................................................
214
El mundo de la matemática 1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ........................................................ 215
1.1 Método de igualación.................................................................................................. 215
1.2 La importancia de saber plantear sistemas ........................................................ 220
Resumen ......................................................................................................................................... 222 Autocontrol................................................................................................................................... 223 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 226 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 227 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 228
Semana 15
Sistemas de ecuaciones, método de sustitución ....................................................................................................................... 229 ¡Para comenzar! Sofía Vasílievna Kovalevskaia ..............................................................
230
El mundo de la matemática 1. Método de sustitución ........................................................................................................ 231
1.1 Resolución de problemas aplicando sistemas de ecuaciones ..................... 235
Resumen ......................................................................................................................................... 238 Autocontrol .................................................................................................................................. 239 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 242 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 243 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 244
VI
IGER − Utatlán
Semana 16
Sistemas de ecuaciones, método de reducción ........................................................................................................................... 245 ¡Para comenzar! Charles Babbage .......................................................................................
246
El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones, método de reducción ........................................................ 247 a. Números primos en la variable a eliminar ...................................................... 248 b. Signos iguales en la variable a eliminar........................................................... 249
1.1 Resolución de problemas .......................................................................................... 252
Resumen ......................................................................................................................................... 254 Autocontrol................................................................................................................................... 255 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 258 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 259 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 260
Semana 17
Repaso semanas 9-16
................................................................................. 261
El mundo de la matemática La raíz cuadrada ........................................................................................................................... 263 Introducción a las ecuaciones ................................................................................................. 265 Ecuaciones con signos de agrupación y decimales ....................................................... 267 Ecuaciones con fracciones ....................................................................................................... 270 Resolución de problemas con ecuaciones ......................................................................... 272 Sistemas de ecuaciones, método de igualación .............................................................. 277 Sistemas de ecuaciones, método de sustitución ............................................................. 279 Sistemas de ecuaciones, método de reducción .............................................................. 281 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 283 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 284 Orientación sobre la prueba parcial ................................................................................ 286
Claves............................................................................................................................................. 287 Bibliografía............................................................................................................................... 324
Matemática − Índice
VII
Nuestra orientación inicial ¡Felicitaciones! Hoy continúa con su formación matemática en el grupo Utatlán. Si se esfuerza y practica todos los días, culminará con éxito y habrá conseguido un peldaño más en su competencia matemática. Una persona es “competente” cuando hace muy bien sus tareas, de manera precisa y en el tiempo adecuado. Además disfruta lo que hace y es un buen compañero, capaz de trabajar en equipo para su beneficio y el de los demás. En el IGER queremos que usted sea una persona competente en matemática. Así que durante este año pretendemos que: Desarrolle su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana. Antes de seguir profundizando en las competencias que desarrollará durante este año de estudio, platiquemos sobre la portada de su libro. ¿Qué ve? El objetivo es que esta imagen nos transmita algunas ideas, sentimientos y sueños que debemos tener presentes. Por ejemplo: • El mundo nos recuerda que somos parte del planeta Tierra y que en él, la matemática es una herramienta que nos ayuda a descubrir, aprender y saborear las ciencias, las artes y la cultura. • La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean. Intercambiamos formas de sentir, pensar y ver la vida. La riqueza de estas relaciones y la manera en que aprendemos a resolver nuestras 3 diferencias nos convierte en mejores personas.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
1
Llegar a ser matemáticamente competente es un proceso continuo que se perfecciona durante toda la vida. Este año en matemática debe trabajar especialmente en las competencias que se describen a continuación y que irá desarrollando en las diferentes secciones del libro. 1.
4.
Traducir información que obtiene de su entorno al lenguaje simbólico.
Convertir fracciones en decimales y viceversa aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales.
El mundo de la matemática
Razonamiento lógico
2. Utilizar las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (geométricos, algebraicos y trigonométricos) en la representación de información y resolución de problemas.
2
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
5. Calcular operaciones básicas y combinadas de los conjuntos numéricos con agilidad.
Agilidad de cálculo mental
3.
6.
Utilizar modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y presentación de resultados.
Desarrollar estrategias de autoaprendizaje que aplica y verifica en el autocontrol y en el cuadro de la evaluación final de la semana.
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
Autocontrol
Revise su aprendizaje
¿Cómo es la estructura de cada semana? ¡Iniciando con buen pie! Cada semana inicia con la portada, en ella encontrará:
El número de la semana de estudio y el título del tema que aprenderá.
1
En ¿Qué encontrará esta semana? le indican los contenidos que trabajará en cada sección del libro.
y círculo ángulo, circunferencia
Tri
¿Qué encontrará esta El número
semana?
(pi) ia y círculo: perímetro
Triángulo, circunferenc
y área
al
Agilidad de cálculo ment Problemas de perímetro
ferencia y círculo
y área de triángulos, circun
Esta semana logrará:
ulos. altura en distintos triáng Identificar la base y la y de sus ángulos. la medida de sus lados Clasificar triángulos por os. círcul el área de triángulos y y etro perím el lar o. Calcu ferencia y de un círcul y el diámetro de una circun Identificar y medir el radio o. círcul un de ia ferenc Diferenciar una circun ás. ulos y Trazar círculos con comp etro y el área de triáng áticos aplicando el perím Resolver problemas matem círculos. s con él. y armar distintas figura Construir un Tangram
1 Matemática − Semana
2
13
Cuadriláteros ¿Qué encontrará esta
semana?
Seguimos con los cuadr iláteros Rombo y romboide: perím etro y área Agilidad de cálculo menta l Problemas matemáticos
Luego en Esta semana logrará, se describen los frutos que conseguirá al finalizar el estudio de cada semana. Para poder alcanzar los logros, léalos con atención, compréndalos y organice su tiempo.
Esta semana logrará: Recordar cómo calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectán gulos. Calcular perímetros y áreas de rombos y romb oides utilizando correc las fórmulas. tamente Calcular mentalmente el perímetro de un romb o y el área de un romb oide. Resolver problemas relaci onados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconocer patrones de secuencias lógicas.
Matemática − Semana 2
29
La lista termina con una línea en blanco para que se proponga un logro personal.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
3
¡Para comenzar! Para entrar en el tema Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. La sección ¡Para comenzar! nos propone: • recordar conocimientos previos, • conocer datos curiosos relacionados con el tema, • presentar la vida de matemáticos destacados.
¡Para comenzar! El número
(pi)
Esta semana estudiarem os las características del triángulo, la circunferenc círculo. Antes de empe ia y el zar conozcamos un núme ro especial, el número pi. Pi se utiliza para calcul ar la longitud de la circun ferencia, determinar el ocupa un círculo y más área que adelante nos servirá para hallar el volumen de la y el cilindro. esfera El número pi tiene infinit os decimales. Un valor aproximado de este núme con sus primeras cifras ro, es el siguiente: ≈ 3.141592653589793 23846… Nosotros utilizaremos su valor con dos decim ales. Memorícelo. = 3.14
¡Para comenzar!
¡A trabajar!
Charles Babbage
Repase con su lapicero
tivo
el símbolo del número
Un espíritu inquieto y crea
pi: . Para trazarlo siga la indica
ción de las flechas.
niño ingeniero británico. Desde – 1871) matemático e universidad Charles Babbage (1792 Cuando ingresó en la s en la matemática. de esta agrupavo mostró especial interé objeti El . iantes ica junto a otros estud fundó La Sociedad Analít en Inglaterra. anza de las matemáticas ción era renovar la enseñ de la SoDurante una reunión e inquieta y creativa. os Babbage tenía una ment capaz de realizar cálcul ina ocurrió diseñar una máqu le se ica con esta o Analít d cieda diferencias”. Su trabaj llamó “máquina de las máquina analítica”, matemáticos, a la que “la como s ilidade rar otras posib ra máquina lo llevó a explo las bases de la computado ruir pero su diseño sentó que nunca llegó a const 14 IGER − Utatlán actual. de s y las especificaciones icos, siguiendo los dibujo cálcuEn 1991, científicos britán a la perfección haciendo n la máquina y funcionaba Babbage, construyero o era correcto. diseñ su que n straro s. Así demo s los exactos con 31 dígito do de www.dma.eui.upm.e Texto tomado y adapta
¡A trabajar! Responda las preguntas. n de la computadora? las bases para el orige de Babbage que sentó 1) ¿Cuál es el diseño ina de las diferencias?
máqu 2) ¿En qué consistía la
Estas actividades servirán “de acceso” y nos ayudarán a entrar con suavidad en el tema.
4
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conoceremos especialmente la geometría, los fundamentos del álgebra y los principios básicos de estadística.
Aproveche el espacio vacío de la columna para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc.
ática
El mundo de la matem 1. La esfera
s objepelota de futbol y tanto que nos alumbra o una Las esferas chinas, el Sol . tienen forma de esfera e conoc usted que tos , cuyos por una superficie curva o geométrico formado distinguir La esfera es un cuerp En una esfera podemos a distancia del centro. puntos están a la mism estos elementos: a la interior que se encuentra Centro (C) es el punto d ficie. uier punto de la super misma distancia de cualq C de la cia del centro a un punto Radio (r) es la distan
También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido.
r
Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que se pueden representar con cualquier letra. B A
superficie esférica.
por el uier segmento que pasa Diámetro (d) es cualq s de la superficie. centro y une dos punto
Ejercicio 1
nda. a atención la esfera y respo A. Observe con much ento CF? la esfera forma el segm 1) ¿Qué elemento de la esfera 2) ¿Qué elemento de la esfera 3) ¿Qué elemento de
s que no B. Escriba tres objeto
es el punto C?
E
es el segmento EG?
hayamos nombrado y
que tengan forma de
H
C
F
b. Área del romboide
G
El área del romboide es la superficie que encie rra su perímetro. Se repre senta con la fórmula:
esfera.
a
h
A=bxh
1)
Se lee: el área de un rombo ide es igual a la base (b)
b
por la medida de la altura
2)
Ejemplo
3)
Calculamos el área de una ventana en forma de romboide. La base y la altura 50 cm. mide 70 cm Tenemos los datos b = Calculamos el área •
70 cm, h = 50 cm
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
•
Escribimos la respuesta:
Ejercicio 3
(h).
A=bxh A = (70 cm x 50 cm) A = (70 x 50)(cm x cm) A = 3500 cm2 la ventana tiene un área de 3500 cm2.
Practique el cálculo del
perímetro y del área de un romboide. 1) Una cooperativa de mujeres produce jaleas . Cada recipiente de jalea ma de romboide. El lado tiene una etiqueta en forde la base mide 5 cm y el lado inclinado 4 cm. de una etiqueta? ¿Cuál es el perímetro • Copiamos la fórmula P = 2a + 2b • Sustituimos los datos P = 2( cm) + 2( cm) • Operamos P= +
Resuelva los ejercicios y repítalos, así fijará en su memoria los conceptos nuevos y le dará seguridad en lo que aprende.
•
•
P=
cm
36
tas es de 3 cm y la base es de 5 cm, ¿cuál es el área de una etiqueta? Copiamos la fórmula A=bxh
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
•
Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención.
Escribimos la respuesta:
2) Si la altura de las etique
Escribimos la respuesta:
A=(
cm)(
A=(
x
cm) )(cm x cm)
A=
IGER − Utatlán
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
5
¿Cómo saber que está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias? Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros.
Si la diagonal mayor del
Tenga presente que la matemática “entra por el lápiz”. Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le permitirá ir ganando seguridad y agilidad.
techo mide 8 m y la meno
r 6 m, ¿qué superficie
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la
•
Operamos
del área
fórmula
A= A=
(
m)( 2
(
x
)(m x m)
m2
2
A= Escribimos la respuesta:
m)
2
A=
•
cubre el techo?
A = Dxd 2
m2
el techo cubre
m2 de superficie.
2) Amanda construye un papalote en forma de rombo. Cada lado mide 24 cm y la diagonal meno 13 cm, la diagonal mayo r 10 cm. r a.
¿Cuánta pita necesita
b.
Amanda para hacer el
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos el dato
•
Operamos
•
Respuesta: Amanda neces
borde del papalote?
del perímetro
P= P =4x(
cm)
P= ita
¿Qué cantidad de papel
de pita.
utilizará para hacer el
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la
•
Operamos
del área
papalote?
A = Dxd 2
fórmula
A= A=
(
cm )( 2
(
x
mencm Resu A=
cm) )( 2
x
)
2
2
34
A= 1. Triángulos Escribimos la respuesta: Amanda utiliz s por tres lados y tres ángulos. son polígonos formado Los triángulos ará de papel. partes: la base y la altura. ir dos En todo triángulo podemos distingu
altura
•
IGER − Utatlán
base
1.1 Clasificación de los triángulos tomando en cuenta sus lados Triángulo equilátero, los tres lados iguales.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno
según la medida de sus ángulos Triángulo rectángulo, un ángulo (90)° y dos ángulos agudos.
recto,
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
diferente. Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
sus Triángulo obtusángulo, uno de 90° y ángulos es obtuso, mide más de menos de 180°.
lo
1.2 Perímetro y área de un triángu fórmula
+
perímetro
P=
1
área
A=
bxh 2
2
+
3
se lee: a la suma de la El perímetro del triángulo es igual medida de sus lados. base por la altura, El área del triángulo es igual a la dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
Otra sección que complementa el desarrollo de las competencias es el resumen. El Resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar de un golpe de vista, todo lo estudiado.
6
IGER − Utatlán
exterior de un círculo. El círculo La circunferencia es la línea curva la circunferencia. es la superficie que está dentro de (d) estos elementos: radio (r), diámetro En un círculo podemos encontrar y centro (C).
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula perímetro
P=2 r
área
A = r2
d C r
se lee: a dos veces el producto El perímetro del círculo es igual de pi, por la medida del radio. la medida del radio al por pi a igual es El área del círculo cuadrado. Matemática − Semana 1
23
El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto. Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones:
Autocontrol lo aprendido Actividad 1. Demuestre altura en los siguientes
Demuestre lo aprendido es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas.
lo.
triángulos. Tiene un ejemp
altura
y la A. Identifique la base
base
la B. Rellene el círculo de
respuesta correcta a cada
ulo de la figura?
el triáng 1) ¿Cómo se clasifica
para 2) ¿Cuál es la fórmula un triángulo?
calcular el perímetro de
ia?
3) ¿Qué es la circunferenc
ro pi?
núme 4) ¿Qué valor tiene el
de un la para calcular el área 5) ¿Cuál es la fórmu círculo?
para 6) ¿Cuál es la fórmula un círculo?
lo.
pregunta. Tiene un ejemp
de un la para calcular el área 0) ¿Cuál es la fórmu triángulo?
calcular el perímetro de
bxh 2 A=bxh A = r2
A=
acutángulo rectángulo obstusángulo P= 1+ 2+ P=bxh P = 2b + 2a
3
o el perímetro de un círcul el doble del diámetro C.troMida con su regla la mitad del diáme el radio y el diámetro de los círculos y deter ejemplo. mine el valor de ambo s. Tiene un 3 0) o C.círcul Mida con su regla el cambia para cada radio y el diámetro1)de los círculos y determine 2) ejemplo. 3.1416 aproximadamente el valor de ambos. Tiene un A=bxh A=2 r A = r2 P=bxh P=2 r P=4x
2
0)
2
radio
24
IGER − Utatlán
1)
2)
cm
2 cm
diámetro radio
cm
radio
4 cm
radio
diámetro
2 cm
diámetro
radio Actividad 2. Practique lo radio aprendido diámetro 4 cm A. Añada a cada figura el lado que le falta para diámetro diámetro forma r un triángulo. Hágalo y un lápiz. Luego identi con la ayuda de una regla fique la base y la altura . Tiene un ejemplo. Actividad 2. Practique
lo aprendido
altura
A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hága y un lápiz. Luego identi lo con la ayuda de una fique la base y la altura regla . Tiene un ejemplo.
Practique lo aprendido le proporciona la práctica de diferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad.
altura
base
B. Trace conbase el compás: 1) Un círculo con radio
de 1 cm
B. Trace con el comp ás: 1) Un círculo con radio
de 1 cm
3)
Un círculo con radio de
2.5 cm
3)
Un círculo con radio de
2.5 cm
Matemática − Semana 1
25
Matemática − Semana 1
25
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
7
Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor
Agilidad de cálculo me
ntal
A. Complete las tablas . Calcule el perímetro y el área de los triángulos un ejemplo. con los siguientes datos . Tiene
Usted necesita dominar el cálculo mental y hacerlo muy rápido. La agilidad y la velocidad de cálculo son dos habilidades muy apetecibles en matemática.
perímetro del triángulo 1
+
2
+
1m 2m 3m
3
P=
1
+
2
+
área del triángulo respuesta
3
P=1m+2m+3m
P=6m
6 cm 5 cm 3 cm
h
bxh 2
respuesta
1 A= x3 2
A = 1.5 m2
A=
1 cm 3 cm 6 cm 2 cm 0.5 cm 2.5 cm
1. 5 cm 4 cm 6 cm
Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.
b
4m
12 m 18 m 36 m
4m
12 cm 6 cm
14 cm 23 cm 7 cm
9 cm 5 cm 10 cm 12 cm
10 cm 11 cm 15 cm
0.4 m 0.8 m
B. Complete las tablas . Calcule el perímetro y el área de los círculos con el resultado con 2 cifras los siguientes datos. Expre decimales. Tiene un ejemp se lo. r 1 cm 2 cm
perímetro del círculo P=2 r P = 2(3.14)(1 cm)
respuesta
P = 6.28 cm
área del círculo A = r2 A = (3.14)(1 cm)2
respuesta
A = 3.14 cm2
5 cm 6 cm 3 cm 1.5 cm 7.2 cm 10 cm
26
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico sy y áreas de cuadrilátero aprendió de perímetros nte va a integrar lo que A. En el ejercicio siguie triángulos. área repartida como dos disponibles con un casa comprar una casa. Hay área, ¿cuál escogen, la La familia Matzar desea casa que tenga mayor Si deciden comprar la aparece en la ilustración. 2? C C 1 o la casa
Razonamiento lógico Resolver problemas
C2
C1
9m
7m 5m
9m
8m 12 m
6m 4m
2m
13 m
2m 5m 4m
3m
4m 1m
los resultados para de cada figura y sume calcule primero el área Para resolver el problema, s. compare las áreas totale obtener el área total, luego la semana. Aplique el contenido de emas en su cuaderno. B. Resuelva los probl 80 m. Un ciclista que ar con un diámetro de circul forma de de o de ciclism coloca justo al centro 1) Se construyó una pista su entrenador que se pista es obser vado por rtista? depo el y corre por la orilla de la hay entre el entrenador que cia distan la es la pista. ¿Cuál m de diámetro. de forma circular de 3 un corral para gallinas 2) Martina construye corral? el hacer para na ró Marti a. ¿Cuánta malla comp malla? metro, ¿cuánto gastó en la la malla es de Q12.00 por b. Si el precio de base, 20 m as siguientes: 25 m de medid las con ular o en forma triang 3) Antonio tiene un terren m. 24 y de altura tos metros de alamhiladas de alambre, ¿cuán r su terreno con cuatro a. Antonio quiere cerca rar? bre debe comp ar Antonio? , ¿qué área puede cultiv suficientemente plano b. ¿Si el terreno es lo el área de la cara? mente 2.8 cm. ¿Cuál es imada aprox es Q1.00 de moneda 4) El diámetro de una to os girar la cuerda, ¿cuán hacem y m 1.5 de a cuerd piedra al extremo de una 5) Si amarramos una piedra? la por ita descr ia mide la circunferenc 1 Matemática − Semana
8
IGER − Utatlán
27
Los expertos en educación nos indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como: • leer comprensivamente, • reflexionar, • establecer un plan de trabajo y • verificar que la respuesta es correcta. La sección Razonamiento lógico le ayudará a entrenarse y a aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.
LGDGHV
'HVDUUROOHQXHYDVKDELO
V\FXDGULOiWHURV PEUHGH7DQJUDP RTXHVHFRQRFHFRQHOQR VFKLQ EH]D ade (VWHHVXQURPSHFD ilid ODV s FyUWH hab D\UH UWXOLQ nu QDFDs le HQXeva rol H]DV sar XVSL De GHV DXQD &RSLHFDG
'LYLpUWDVHFRQWULiQJXOR
Y por último la sección Desarrolle nuevas habilidades supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana.
ulos y cuadriláteros el nombre de Tangram. chino que se conoce con zas ecabe romp un es Este y recórtelas. piezas en una cartulina Copie cada una de sus
Diviértase con triáng
1 7
3 2
5
4 6 JXLHQWHV DVVL JXU VÀ DUOD IRUP DUD DPS 8WLOLFHODVSLH]DVGHO7DQJU las figuras siguientes. Utilice las 7 piezas del
Tangram para formar
su proceso de Revise cómo ha sido esta semana. aprendizaje durante
logrado
iento. mejor indique su rendim
en distintos triángulos.
LTXHVXUHQGLPLHQWR os. ODFDVLOODTXHPHMRULQG y de sus ángul 0DUTXHFRQXQFKHTXH la medida de sus lados Después de estudiar...
En este último apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalué sus logros y determine en qué ha fallado para superarlo. Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su maestro orientador las dudas que tenga.
Identifico la base y la altura
no en proceso logrado
QR HQ ORJUDGR SURFHVR ORJUDGR
Clasifico triángulos por
DHQGLVWLQWRVWULiQJXORV círculos. ,GHQWLÀFRODEDVH\ODDOWXU el área de triángulos y Calculo el perímetro y ia y de un JXORV circunferenc una XViQ GHV de tro GRV\ XVOD diáme el y GHV el radio mido GLGD fico yDPH IdentiSRUO &ODVLÀFRWULiQJXORV
'HVSXpVGHHVWXGLDU
Evaluación final de la semana
la casilla que 5HYLVHVXDSUHQGL]DMH e Marque con un chequ
círculo.
FtUFX o.ORV QJXO un círcul ia deRV\ HWULi ferenc UHDG circun \HOi una HWURncio &DOFXORHOSHUtPDifere UFXQIHUHQFLD\GHXQ QDFL \HO ás. GHX DGLRos compHWUR RHOUcírcul conGLiP ,GHQWLÀFR\PLGTrazo de ndo el perímetro y el área aplica áticos matem FtUFXOR Resuelvo problemas círculos. XOR ulos y QFLD triángQIHUH QFtUF GHX 'LIHUHQFLRXQDFLUFX con él. Construyo un Tangram
y armo distintas figuras
V 7UD]RFtUFXORVFRQFRPSi HOiUHDGH 28 IGER − UtatlánWHPiWLFRVDSOLFDQGRHOSHUtPHWUR\ 5HVXHOYRSUREOHPDVPD WULiQJXORV\FtUFXORV pO DUPRGLVWLQWDVÀJXUDVFRQ &RQVWUX\RXQ7DQJUDP\ ,*(5î8WDWOiQ
Además le sugerimos que: • Busque un lugar tranquilo y programe su tiempo para estudiar sin interrupciones. • Haga resúmenes cortos de cada semana. Escribir sus conocimientos le ayudará a retenerlos mejor. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán y le ayudarán a resolver algunas actividades. • Anote los contenidos que no le hayan quedado claros. No se quede con dudas. Su orientadora u orientador voluntario le explicará con gusto. También puede consultar con nosotros por correo electrónico. Nuestra dirección es:
[email protected] • Antes de resolver los ejercicios, lea las instrucciones. • Al resolver los ejercicios, hágalo con orden y limpieza. ¡Que nada lo detenga! Estudie todos los días y esfuércese por aprender.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
9
Libro, clase radial y reunión semanal ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, como estudiante a distancia, nuestro sistema pone a su disposición un equipo infalible: el libro, la clase radial y la reunión semanal en el círculo de estudio. ¡Aproveche todos los recursos!
• El libro cumple tres funciones: a. Texto, en el que asimila el desarrollo de los contenidos, repasa ejemplos y resuelve ejercicios. b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido.
• La clase radial tiene como función principal explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro.
• El círculo de estudio es el lugar de reunión semanal y cumple dos funciones: orientación y socialización.
10
IGER − Utatlán
Nuestra metodología paso a paso Para facilitar el estudio a distancia y aprovechar más y mejor el aprendizaje de los contenidos de cada semana, siga estos pasos.
1
Lea el contenido de la semana…
Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema de la semana: qué sabemos, qué nos llama la atención, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo que tenemos que realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá “en onda” para la escucha de la clase radial.
2
Escuche la clase radial… Con los 5 sentidos
La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Los maestros locutores explican el contenido de la semana, nos proponen ejercicios y nos dan otros ejemplos para ampliar la explicación del tema.
3
Después de la clase radial, su trabajo personal… Estudio y autocontrol
Finalizada la clase radial y antes de llegar al círculo de estudio es el momento de su trabajo personal para aprender bien los contenidos de la semana. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
11
4
Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda
Si después de estudiar en profundidad y resolver el autocontrol aún le quedan dudas, busque ayuda. De esta forma, no tendrá que esperar hasta el día de la orientación y podrá avanzar en su aprendizaje.
5
Asista al círculo de estudio Aprender juntos
El círculo de estudio es un espacio de encuentro para aprender y compartir el trabajo realizado durante la semana. Es también el momento para resolver sus dudas y reforzar lo aprendido. Además, es una oportunidad para intercambiar aprendizajes, pensamientos y sentimientos con sus compañeros y su orientadora u orientador voluntario.
Internet es una fuente de consulta que puede aprovechar en sus estudios. En nuestra página web tenemos un espacio para usted, con recursos y actividades que enriquecerán sus conocimientos. Podrá hacer consultas y compartir sus inquietudes con otros estudiantes, orientadoras u orientadores voluntarios. Le invitamos a que ingrese a www.iger.edu.gt y explore las secciones que ahí encontrará.
12
IGER − Utatlán
1 Triángulo, circunferencia y círculo ¿Qué encontrará esta semana? El número
(pi)
Triángulo, circunferencia y círculo: perímetro y área Agilidad de cálculo mental Problemas de perímetro y área de triángulos, circunferencia y círculo
Esta semana logrará: Identificar la base y la altura en distintos triángulos. Clasificar triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos. Calcular el perímetro y el área de triángulos y círculos. Identificar y medir el radio y el diámetro de una circunferencia y de un círculo. Diferenciar una circunferencia de un círculo. Trazar círculos con compás. Resolver problemas matemáticos aplicando el perímetro y el área de triángulos y círculos. Construir un Tangram y armar distintas figuras con él.
Matemática − Semana 1
13
¡Para comenzar! El número
(pi)
Esta semana estudiaremos las características del triángulo, la circunferencia y el círculo. Antes de empezar conozcamos un número especial, el número pi. Pi se utiliza para calcular la longitud de la circunferencia, determinar el área que ocupa un círculo y más adelante nos servirá para hallar el volumen de la esfera y el cilindro. El número pi tiene infinitos decimales. Un valor aproximado de este número, con sus primeras cifras es el siguiente: ≈ 3.14159265358979323846… Nosotros utilizaremos su valor con dos decimales. Memorícelo. = 3.14 ¡A trabajar! Repase con su lapicero el símbolo del número pi: . Para trazarlo siga la indicación de las flechas.
14
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Los triángulos Recuerde que en la semana 33 del grupo Quiriguá estudiamos los polígonos. Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura. La base es el lado del triángulo en el que "se apoya". Observe:
base
base
base
altura
altura
altura
La altura es la línea perpendicular del vértice a la base o a su prolongación. Veamos:
Si la línea de la base es muy corta, podemos alargarla para que la línea de la altura sea perpendicular.
1.1 Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican de acuerdo al tamaño de sus lados y según la medida de sus ángulos. Preste atención a la tabla: tomando en cuenta sus lados Triángulo equilátero, los tres lados iguales.
según la medida de sus ángulos Triángulo rectángulo, un ángulo recto, mide 90°, y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles,
Triángulo acutángulo, los tres
dos lados iguales y uno
ángulos son agudos, miden
diferente.
menos de 90°.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
Matemática − Semana 1
15
Ejercicio 1 A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hágalo con la ayuda de su regla y su lápiz. Luego nómbrelos tomando en cuenta sus lados y el valor de sus ángulos. Tiene un ejemplo.
por sus lados
isósceles
por sus ángulos rectángulo
altura
B. Identifique la base y la altura en los triángulos siguientes. Tiene un ejemplo.
base
C. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Mida con su regla y su transportador antes de responder. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se clasifica un triángulo cuyos lados tienen la misma medida?
equilátero rectángulo acutángulo
1) Observe la figura de un triángulo isósceles. Por la medida de sus ángulos, ¿cómo se podría clasificar?
acutángulo rectángulo obtusángulo
2) La figura es un triángulo obtusángulo. Por la medida de sus lados, ¿cómo se podría clasificar?
equilátero isósceles escaleno
16
IGER − Utatlán
1.2 Perímetro y área de un triángulo a. Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados. Se representa con la fórmula:
P=
1
+
2
+
3
Se lee: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. Por ejemplo: m
5c
Calculemos el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente.
4 cm
Sigamos los pasos: • Copiamos la fórmula
P=
• Sustituimos los datos en la fórmula
P = 3 cm + 4 cm + 5 cm
• Sumamos la medida de los lados
P = 7 cm + 5 cm
• Escribimos la respuesta
P = 12 cm
1
3 cm
+
2
+
3
b. Área de un triángulo
área del rectángulo:
A=bxh
altura
base altura
Si cortamos un rectángulo por la mitad con una línea diagonal, se forman dos triángulos iguales que comparten la misma base y altura que el rectángulo. Por eso, el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo.
base
Las unidades de longitud se miden en km, m, cm, mm y las unidades de área en km2 , m2 , cm2 , mm2 .
área del triángulo:
A=bxh 2
Se lee: El área de un triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos. Por ejemplo: Calculemos el área de un triángulo que mide 12 cm de base y 5 cm de altura. • Copiamos la fórmula
A= bxh 2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = (12 cm)(5 cm) 2
• Operamos
A = (12 x 5)(cm x cm) 2 2 60 cm A= 2
• Escribimos la respuesta A= 30 cm2 Matemática − Semana 1
17
Ejercicio 2 • Copiamos la fórmula
P=
• Sustituimos los datos y sumamos
P=
1
+
2
+
cm
3
cm + 15 cm +
P =
21
15 cm
1) Calcular el perímetro de una escuadra si sus lados miden: 15 cm, 15 cm y 21 cm.
cm
15 cm
cm
• Respondemos: el perímetro de la escuadra es
cm.
2) La estructura metálica de un techo tiene forma triangular. Si la base mide 6 metros y 5 metros de altura, ¿qué área tiene la lámina que cubre la estructura? • Copiamos la fórmula
A=
• Sustituimos los datos
A=
• Operamos
A=
bxh 2 (
)( 2
(
x
A =
m2
2
A =
5m
)
6m
)(m x m) 2
m2
3) El jardín de un parque tiene las medidas de la figura:
11 m
a. Si se quiere cercar, ¿cuánta malla se necesita? •
Copiamos la fórmula
P=
•
Sustituimos los datos y sumamos
P=
1
+
2
10 m
3
m+
P = •
+
m+
m
m
Respondemos:
b. Si se quiere sembrar grama en todo el jardín, ¿cuál es el área que hay que cubrir? •
Copiamos la fórmula
A=
•
Sustituimos los datos
A=
•
Operamos
A=
A = A = •
18
Respondemos:
IGER − Utatlán
bxh 2 ( (
)( 2 x
)( 2
2 m2
) x
)
4m
• Respondemos:
2. Circunferencia y círculo
¿Cuál es la diferencia?
Circunferencia y círculo no son lo mismo. La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
ci r c
unferencia
círculo
El círculo se define como una figura geométrica plana y cerrada formada por una línea curva.
2.1 Partes del círculo El círculo tiene unas partes especiales que no tienen otras figuras geométricas. Observe la ilustración de abajo. Centro: punto que se encuentra exactamente a la mitad del círculo. Se representa con la letra C. Diámetro: línea recta que pasa por el centro y que divide el círculo en dos partes iguales. Se representa con la letra d.
d C r
Radio: distancia que une el centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. Mide la mitad del diámetro. Se representa con la letra r.
Ejercicio 3 Mida con su regla el radio y el diámetro de cada circunferencia. Luego escriba su valor en el espacio correspondiente. 1)
2)
d
d
r r
r =
cm
d=
cm
r=
cm
d=
cm
Matemática − Semana 1
19
2.2 El uso del compás Durante las últimas semanas del curso de matemática de Quiriguá utilizó la regla y el transportador. Hoy aprenderemos a utilizar otra herramienta: el compás. El compás nos ayuda a trazar circunferencias exactas. Este instrumento está formado por dos patas. Una tiene un extremo punzante que sirve para fijar el compás al papel. Esta pata se coloca en lo que será el centro del círculo. La otra pata tiene una mina o un sujetador para insertar el lápiz y dibujar la circunferencia. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Para trazar una circunferencia necesita regla, compás y papel. Siga los pasos. 1. Dibuje una línea horizontal de 2 cm de longitud en el papel.
0
1
2
2. Coloque el extremo punzante del compás en el punto 0 y abra el compás hasta que el lápiz coincida en el punto 2. 0
3. Gire la manecilla con los dedos pulgar, índice y medio juntos, imagine que está haciendo migas un pedazo de pan.
0
Ejercicio 4 Dibuje un círculo en la cuadrícula de la derecha. Tome su compás y siga los pasos. 1) Mida 1.5 cm sobre el papel. 2) Coloque la punta del compás sobre el punto 0 y abra la punta con el lápiz hasta que coincida en el punto 1.5. 3) Gire la manecilla del compás. 4) Pinte la circunferencia con color negro y el círculo con rojo.
20
IGER − Utatlán
1
0
2
1
2
2.3 Perímetro y área de un círculo a. Perímetro de un círculo La circunferencia es el borde exterior del círculo. Para calcular el perímetro de un círculo, es necesario encontrar la longitud de la circunferencia. Esta se obtiene utilizando la fórmula: P=2 r Se lee: El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi por la medida del radio. Por ejemplo: Calculemos el perímetro de un círculo, cuyo radio mide 4 cm. • Copiamos la fórmula
P=2 r
• Sustituimos los datos en la fórmula
P = 2(3.14)(4 cm)
• Operamos
P = (6.28)(4 cm)
• Escribimos la respuesta
P = 25.12 cm
Recuerde el valor de (pi) = 3.14
b. Área de un círculo No olvide que el círculo es el área que está dentro de la circunferencia. La fórmula del área para el círculo es: A = r2 Se lee: El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado. Por ejemplo: Calculemos el área de un círculo cuyo radio mide 4 cm. • Copiamos la fórmula
A = r2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = (3.14)(4 cm)2
• Operamos
A = (3.14)(16 cm2)
Memorice las fórmulas P=2 r A = r2
• Escribimos la respuesta A = 50.24 cm2 Matemática − Semana 1
21
¡Un problema! No olvide que el radio mide la mitad del diámetro. r=
Un parque tiene forma circular con un diámetro de 200 m. Ernesto visitó el parque y desea saber: a. Si camina alrededor del parque y regresa al punto donde salió, ¿que distancia caminó? d • Primero obtenemos el radio r= 2 200 m r = 2 r = 100 m
d 2
•
Copiamos la fórmula para el perímetro P = 2 r
•
Sustituimos los datos
P = 2(3.14)(100 m)
•
Operamos
P = (6.28)(100 m)
P = 628 m •
Escribimos la respuesta: Ernesto caminó 628 metros.
b. ¿Cuál es el área del parque? •
Copiamos la fórmula para el área
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
A = (3.14)(100 m)2
•
A = r2 A = (3.14)(10 000 m2) A = 31 400 m2
Escribimos la respuesta: el área del parque es 31 400 m2.
Ejercicio 5 Calcule el perímetro y el área de los círculos cuyo radio aparece en cada numeral. Tiene un ejemplo. 1) círculo con r = 10 m pasos para resolver
P=2 r
perímetro
área
A = r2
• Copiamos la fórmula
P=2 r
A = r2
• Sustituimos los datos
P = 2(3.14)(
m)
A = (3.14)(
m)2
• Operamos
P = (6.28)(
m)
A = (3.14)(
m 2)
• Escribimos la respuesta
P=
m
A=
m2
2) círculo con r = 5 m pasos para resolver
22
• Copiamos la fórmula
P=2 r
• Sustituimos los datos
P = 2(
• Operamos
P=(
• Escribimos la respuesta
P=
IGER − Utatlán
P=2 r
perímetro
área
A = r2
A = r2 )( )(
)
A=(
)(
)2
)
A=(
)(
)
A=
Resumen 1. Triángulos Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura.
altura
1.1 Clasificación de los triángulos
base
tomando en cuenta sus lados
según la medida de sus ángulos
Triángulo equilátero, los
Triángulo rectángulo, un ángulo recto,
tres lados iguales.
(90)° y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
1.2 Perímetro y área de un triángulo fórmula perímetro
P=
área
A=
1
+
2
bxh 2
+
se lee: 3
El perímetro del triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. El área del triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
d
En un círculo podemos encontrar estos elementos: radio (r), diámetro (d) y centro (C).
C r
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula
se lee:
perímetro
P=2 r
El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi, por la medida del radio.
área
A = r2
El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado.
Matemática − Semana 1
23
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido
altura
A. Identifique la base y la altura en los siguientes triángulos. Tiene un ejemplo.
base
B. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo?
bxh 2 A=bxh A=
A = r2 1) ¿Cómo se clasifica el triángulo de la figura?
acutángulo rectángulo obstusángulo
2) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un triángulo?
24
P= 1+ 2+ P=bxh P = 2b + 2a
3
3) ¿Qué es la circunferencia?
el perímetro de un círculo el doble del diámetro la mitad del diámetro
4) ¿Qué valor tiene el número pi?
3 cambia para cada círculo 3.1416 aproximadamente
5) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo?
A=bxh A=2 r A = r2
6) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un círculo?
P=bxh P=2 r P=4x
IGER − Utatlán
C. Mida con su regla el radio y el diámetro de los círculos y determine el valor de ambos. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
2
cm
2 cm
radio diámetro
4 cm
radio
radio
diámetro
diámetro
Actividad 2. Practique lo aprendido
altura
A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hágalo con la ayuda de una regla y un lápiz. Luego identifique la base y la altura. Tiene un ejemplo.
base
B. Trace con el compás: 1) Un círculo con radio de 1 cm
3)
Un círculo con radio de 2.5 cm
Matemática − Semana 1
25
Agilidad de cálculo mental A. Complete las tablas. Calcule el perímetro y el área de los triángulos con los siguientes datos. Tiene un ejemplo. perímetro del triángulo 1
+
2
+
1m 2m 3m
P=
3
1
+
2
+
área del triángulo
b
respuesta
3
P=1m+2m+3m
1 cm 3 cm
P=6m
A=
bxh 2
respuesta
A=
1x3 2
A = 1.5 m2
6 cm 2 cm
6 cm 5 cm 3 cm
0.5 cm 2.5 cm
1. 5 cm 4 cm 6 cm
4m
12 m 18 m 36 m
4m
12 cm 6 cm 9 cm 5 cm
14 cm 23 cm 7 cm
10 cm 12 cm
10 cm 11 cm 15 cm
h
0.4 m 0.8 m
B. Complete las tablas. Calcule el perímetro y el área de los círculos con los siguientes datos. Exprese el resultado con 2 cifras decimales. Tiene un ejemplo. perímetro del círculo
área del círculo
r
P=2 r
respuesta
1 cm
P = 2(3.14)(1 cm)
P = 6.28 cm
2 cm 5 cm 6 cm 3 cm 1.5 cm 7.2 cm 10 cm
26
IGER − Utatlán
A=
r2
A = (3.14)(1 cm)2
respuesta
A = 3.14 cm2
Razonamiento lógico A. En el ejercicio siguiente va a integrar lo que aprendió de perímetros y áreas de cuadriláteros y triángulos.
La familia Matzar desea comprar una casa. Hay dos disponibles con un área repartida como aparece en la ilustración. Si deciden comprar la casa que tenga mayor área, ¿cuál escogen, la casa C 1 o la casa C 2? C1
C2 9m
7m 5m 9m
8m 6m
12 m
2m
13 m
4m
2m 5m 4m
3m
4m 1m
Para resolver el problema, calcule primero el área de cada figura y sume los resultados para obtener el área total, luego compare las áreas totales.
B. Resuelva los problemas en su cuaderno. Aplique el contenido de la semana. 1) Se construyó una pista de ciclismo de forma circular con un diámetro de 80 m. Un ciclista que corre por la orilla de la pista es observado por su entrenador que se coloca justo al centro de la pista. ¿Cuál es la distancia que hay entre el entrenador y el deportista? 2) Martina construye un corral para gallinas de forma circular de 3 m de diámetro.
a.
¿Cuánta malla compró Martina para hacer el corral?
b. Si el precio de la malla es de Q12.00 por metro, ¿cuánto gastó en la malla?
3) Antonio tiene un terreno en forma triangular con las medidas siguientes: 25 m de base, 20 m de altura y 24 m. a. Antonio quiere cercar su terreno con cuatro hiladas de alambre, ¿cuántos metros de alambre debe comprar? b. ¿Si el terreno es lo suficientemente plano, ¿qué área puede cultivar Antonio? 4) El diámetro de una moneda de Q1.00 es aproximadamente 2.8 cm. ¿Cuál es el área de la cara? 5) Si amarramos una piedra al extremo de una cuerda de 1.5 m y hacemos girar la cuerda, ¿cuánto mide la circunferencia descrita por la piedra? Matemática − Semana 1
27
Desarrolle nuevas habilidades Diviértase con triángulos y cuadriláteros Este es un rompecabezas chino que se conoce con el nombre de Tangram. Copie cada una de sus piezas en una cartulina y recórtelas.
1
3 2
7 5 6
4
Utilice las 7 piezas del Tangram para formar las figuras siguientes.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico la base y la altura en distintos triángulos.
Después de estudiar...
Clasifico triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos. Calculo el perímetro y el área de triángulos y círculos. Identifico y mido el radio y el diámetro de una circunferencia y de un círculo. Diferencio una circunferencia de un círculo. Trazo círculos con compás. Resuelvo problemas matemáticos aplicando el perímetro y el área de triángulos y círculos. Construyo un Tangram y armo distintas figuras con él.
28
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
2 Cuadriláteros ¿Qué encontrará esta semana? Seguimos con los cuadriláteros Rombo y romboide: perímetro y área Agilidad de cálculo mental Problemas matemáticos
Esta semana logrará: Recordar cómo calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Calcular perímetros y áreas de rombos y romboides utilizando correctamente las fórmulas. Calcular mentalmente el perímetro de un rombo y el área de un romboide. Resolver problemas relacionados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconocer patrones de secuencias lógicas.
Matemática − Semana 2
29
¡Para comenzar! Seguimos con los cuadriláteros Usted ya conoce las características de los principales cuadriláteros porque las aprendió en la semana 33 del grupo Quiriguá. Recuerde:
rectángulo
cuadrado
romboide
rombo
También aprendió a calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Hagamos memoria: figura
perímetro
P=
+
+
área
+
P=4x
A = ( )( ) A=
2
cuadrado
a
P = 2b + 2a
b
A=bxa
rectángulo
Esta semana aprenderemos a calcular el área y el perímetro del rombo y el romboide.
¡A trabajar! Utilice una regla para medir los lados de las figuras y escríbalo sobre la línea. 1)
2)
3) a
a
b b
30
=
b =
b =
a =
a =
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. El rombo ¿Conoce los papalotes? Son barriletes que tienen forma de rombo.
ángulo agudo
El rombo es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados ( ) iguales, dos ángulos agudos (menores de 90º) iguales y dos ángulos obtusos (mayores a 90º) iguales. Todos los rombos tienen dos líneas diagonales:
D 90°
d
ángulo obtuso
• La diagonal menor se representa con la letra d minúscula. • La diagonal mayor se representa con la letra D mayúscula. • En el punto donde se cruzan las diagonales del rombo se forman cuatro ángulos rectos (de 90º).
1.1 Perímetro y área del rombo a. Perímetro del rombo El perímetro de una figura es la suma de la longitud de todos sus lados. Como el rombo tiene los cuatro lados iguales, el perímetro mide cuatro veces el valor de un lado. P=4x Se lee: el perímetro de un rombo es igual a cuatro por la medida de su lado. Ejemplo ¿Qué perímetro tiene un rombo de 8 cm por lado? Tenemos el dato:
= 8 cm
Seguimos el procedimiento para calcular el perímetro: • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato en la fórmula
P = 4 x (8 cm)
• Operamos
P = 32 cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene 32 cm de perímetro. Matemática − Semana 2
31
Otro ejemplo ¿Cuál es el perímetro de un azulejo en forma de rombo que tiene una longitud de 10 cm por lado? • Copiamos la fórmula
P =4x
• Sustituimos el dato en la fórmula
P = 4 x (10 cm)
• Operamos
P = 40 cm
• Escribimos la respuesta: el azulejo tiene un perímetro de 40 cm.
Ejercicio 1 Resuelva los ejercicios siguientes. 1) ¿Qué perímetro tiene un rombo de 12 cm por lado? Tenemos el dato:
=
cm
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
cm cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene
cm de perímetro.
2) Calcule el perímetro que tiene un rombo de 9 cm por lado. Tenemos el dato:
=
cm
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
cm cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene
cm de perímetro.
3) Un rótulo en forma de rombo mide 3 metros por lado. Si se le coloca un marco de madera, ¿cuántos metros se necesitarán? Tenemos el dato:
=
m.
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
• Escribimos la respuesta: se necesita
32
IGER − Utatlán
m m m de madera.
b. Área del rombo Si dibujamos un rombo dentro de un rectángulo, comprobaremos que las diagonales miden lo mismo que los lados del rectángulo. También observaremos ocho triángulos iguales de los cuales cuatro forman el rombo. Por lo tanto, el área del rombo será la mitad del área del rectángulo. El área del rombo se representa con la fórmula: A=
5
8
6 1
2
4
3
d 7
D
Dxd 2
Se lee: el área de un rombo es igual a la medida de su diagonal mayor por la diagonal menor, dividido entre dos. Ejemplo Calcular el área del techo de un toldo en forma de rombo. La diagonal mayor mide 7 metros y la diagonal menor mide 4 metros. Tenemos los datos: D = 7 m, d = 4 m Calculamos el área • Copiamos la fórmula
A = D x d 2
• Sustituimos los datos
A = (7 m x 4 m) 2
• Operamos
A = (7 x 4)(m x m) 2
Recuerde: Para multiplicar bases iguales, se copia la base y se suman los exponentes. m x m = m1 + 1 = m2
2 A = 28 m 2
A = 14 m2 • Escribimos la respuesta: el techo del toldo tiene un área de 14 m2.
Ejercicio 2 Aplique las fórmulas de perímetro y área de un rombo para resolver los ejercicios. 1) El techo de una bodega en forma de rombo tiene una longitud de 7 m por lado. Si hay que colocar un canal en toda la orilla, ¿cuántos metros de canal se necesitan?
La orilla del techo es el perímetro del rombo. •
Copiamos la fórmula del perímetro
P =4x
•
Sustituimos el dato en la fórmula
P =4x(
•
Operamos
P=
•
Respuesta: se necesitan
m)
m de canal. Matemática − Semana 2
33
Si la diagonal mayor del techo mide 8 m y la menor 6 m, ¿qué superficie cubre el techo? •
Escribimos la fórmula del área
A=
•
Sustituimos los datos en la fórmula
A=
•
Operamos
A=
Dxd 2 (
m)( 2
(
x
A =
Escribimos la respuesta: el techo cubre
)(m x m) 2 m2
2
A = •
m)
m2 m2 de superficie.
2) Amanda construye un papalote en forma de rombo. Cada lado mide 13 cm, la diagonal mayor 24 cm y la diagonal menor 10 cm. a. ¿Cuánta pita necesita Amanda para hacer el borde del papalote? •
Escribimos la fórmula del perímetro
P=
•
Sustituimos el dato
P =4x(
•
Operamos
P=
•
Respuesta: Amanda necesita
cm)
de pita.
b. ¿Qué cantidad de papel utilizará para hacer el papalote? •
Escribimos la fórmula del área
A=
•
Sustituimos los datos en la fórmula
A=
•
Operamos
A=
A =
Dxd 2 (
cm )( 2
(
x
2
cm) )( 2
x
cm2
A = •
34
Escribimos la respuesta: Amanda utilizará
IGER − Utatlán
de papel.
)
2. El romboide El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y ángulos opuestos iguales. Un romboide se parece a un rectángulo y a un rombo. No es un rombo porque sus diagonales no se cruzan formando ángulos rectos, y no es un rectángulo porque los ángulos de sus vértices no miden 90º.
a
h
b
El lado horizontal del romboide es la base b. La línea trazada desde el vértice superior izquierdo hasta la base forma un ángulo de 90º con el lado opuesto; se llama altura h. Al lado inclinado simplemente lo llamamos a.
¡Atención! La altura h no es igual al lado a.
2.1 Perímetro y área de un romboide a. Perímetro del romboide El perímetro de un romboide es igual a la suma de todos sus lados. Como son iguales dos a dos, se representa con la fórmula: P = 2a + 2b Se lee: el perímetro de un romboide es igual a dos por la medida del lado a más dos por la medida del lado b. Ejemplo Calculemos cuánto mide el perímetro de una lámina en forma de romboide, si el lado a mide 25 cm y el lado b mide 40 cm. Tenemos los datos: a = 25 cm, b = 40 cm Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
• Sustituimos los datos
P = 2(25 cm) + 2(40 cm)
• Operamos
P = 50 cm + 80 cm
P = 130 cm • Escribimos la respuesta: la lámina tiene un perímetro de 130 cm. Matemática − Semana 2
35
b. Área del romboide El área del romboide es la superficie que encierra su perímetro. Se representa con la fórmula:
a
h
A=bxh
b
Se lee: el área de un romboide es igual a la base (b) por la medida de la altura (h). Ejemplo Calculemos el área de una ventana en forma de romboide. La base mide 70 cm y la altura 50 cm. Tenemos los datos b = 70 cm, h = 50 cm Calculamos el área • Copiamos la fórmula
A=bxh
• Sustituimos los datos
A = (70 cm x 50 cm)
• Operamos
A = (70 x 50)(cm x cm)
A = 3500 cm2 • Escribimos la respuesta: la ventana tiene un área de 3500 cm2.
Ejercicio 3 Practique el cálculo del perímetro y del área de un romboide. 1) Una cooperativa de mujeres produce jaleas. Cada recipiente de jalea tiene una etiqueta en forma de romboide. El lado de la base mide 5 cm y el lado inclinado 4 cm. ¿Cuál es el perímetro de una etiqueta?
•
Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
•
Sustituimos los datos
P = 2(
•
Operamos
P=
P =
•
cm) + 2(
cm)
+ cm
Escribimos la respuesta:
2) Si la altura de las etiquetas es de 3 cm y la base es de 5 cm, ¿cuál es el área de una etiqueta?
•
Copiamos la fórmula
A=bxh
•
Sustituimos los datos
A=(
cm)(
•
Operamos
A=(
x
A =
36
•
Escribimos la respuesta:
IGER − Utatlán
cm) )(cm x cm)
3) En una tienda de dulces hay un rótulo en forma de romboide, con medidas de 30 cm de base y 20 cm sus otros lados, la altura es de 18 cm. Para proteger el rótulo, le colocaron nailon transparente y un lazo delgado en el perímetro. a. ¿Qué cantidad de lazo utilizaron?
•
Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
•
Sustituimos los datos
P = 2(
•
Operamos
P=
+
P =
cm
•
cm) + 2(
cm)
Escribimos la respuesta:
b. ¿Con cuánto nailon protegieron el rótulo?
•
Copiamos la fórmula
A=bxh
•
Sustituimos los datos
A=(
•
Operamos
A=(
)(
)
x
)(cm x cm)
A =
•
Escribimos la respuesta:
Resumen El rombo es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales, dos ángulos obtusos iguales y dos diagonales. El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales. figura
perímetro
área
d 90°
D
Dxd 2
P=4
A=
P = 2a + 2b
A=bxh
rombo a
h b
romboide
Matemática − Semana 2
37
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Rellene el círculo de la opción correcta. Tiene un ejemplo. 0) Cuadrilátero que tiene los lados opuestos iguales y sus cuatro ángulos rectos.
rombo romboide rectángulo
1) Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.
rombo romboide rectángulo
2) Cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales.
rombo romboide rectángulo
3) Fórmula del perímetro de un rombo.
P=4x P = 2a + 2b 2 P=
4) Fórmula del perímetro de un romboide.
P=4x P = 2a + 2b 2 P=
B. Trace con lápiz y regla lo que se indica. 1) Las diagonales del rombo.
38
2)
La altura del romboide
IGER − Utatlán
Actividad 2.
Practique lo aprendido
Calcule el perímetro y el área de las figuras. 1) D = 30 cm
2) D = 20 cm
d =10 cm
d = 14 cm = 12 cm
= 20 cm
d D
D
d
3) a = 3 cm 4) a = 6 cm b = 5 cm
b = 10 cm
h = 2.5 cm
h = 5 cm
a
a
h
b
h
b
Matemática − Semana 2
39
Agilidad de cálculo mental A. Los ejercicios de agilidad de cálculo le ayudarán a resolver operaciones de manera rápida sin necesidad de escribir el procedimiento. Encuentre el perímetro de los rombos y el área de los romboides, según las medidas que aparecen en las tablas. Tiene un ejemplo para cada caso. rombo
romboide b
h
A=bxh
5 cm
10 cm
A = 50 cm2
2 cm
10 cm
4 cm
15 cm
15 cm
2 cm
25 cm
4 cm
25 cm
40 mm
10 mm
6 mm
20 cm
20 cm
8 cm
8 cm
6 cm
5 cm
P=4x P = 40 cm
10 cm
B. Multiplique por la unidad seguida de ceros. Recuerde cuando multiplicamos por la unidad seguida de ceros agregamos al número la cantidad de ceros que acompañan a la unidad. Para los decimales, desplazamos a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Guíese por el ejemplo. =
1) 3 x 10
=
1) 0.01 x 10
=
2) 25 x 10
=
2) 0.68 x 10
=
3) 18 x 10
=
3) 0.536 x 10
=
4) 232 x 10
=
4) 3.2 x 100
=
5) 31 x 100
=
5) 8.32 x 100
=
6) 25 x 100
=
6) 0.036 x 100
=
7) 321 x 100
=
7) 16.98 x 100
=
8) 4 x 1000
=
8) 45.23 x 1000 =
9) 14 x 1000
=
9) 1.02 x 1000
10) 642 x 1000 =
40
25100
0) 251 x 100
IGER − Utatlán
0) 0.0016 x 1000 =
=
10) 12.350 x 1000 =
1.6
Razonamiento lógico Aplique el contenido de la semana para resolver los siguientes problemas. 1) ¿Cuántos cm2 de madera tiene un tablero en forma de un rombo si las diagonales miden 8 y 9 cm? 2) Andrés sabe que el lado de un terreno en forma de rombo mide 12 m. Si desea colocarle malla alrededor, ¿cuántos metros deberá comprar? 3) Estela quiere sembrar grama en su patio en forma de rombo. La diagonal mayor mide 3 metros y la diagonal menor 2 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de grama debe sembrar? 4) Antonio necesita ladrillos en forma de rombo para circular un jardín también en forma de rombo de 5 metros por lado. Si cada metro tiene 20 ladrillos, ¿cuántos ladrillos necesita en total? 5) El salón comunal tiene forma de rombo y desean colocarle baldosa. La diagonal mayor mide 16 m y la diagonal menor 12 m. Si las baldosas miden 0.16 m2, ¿cuántas baldosas son necesarios para cubrir el salón? 6) Una artista de Santiago Atitlán pinta un cuadro con forma de romboide. La base mide 30 cm y la altura 25 cm. Si por cada centímetro cuadrado de superficie usa 1 mililitro de pintura, ¿cuántos mililitros de pintura tiene un cuadro ya terminado? 7) Ana elabora un marco para un cuadro en forma de romboide. El lado a mide 40 cm y el lado b, 60 cm. ¿Cuántos cm de madera utilizará para elaborar el marco?
31 a=
a. Calcular el número de árboles que puede plantarse, si cada planta necesita 4 m2 para desarrollarse.
m
8) José tiene un terreno en forma de romboide con 32 m de base, 30 m de altura y 31 m los otros lados que cierran el terreno.
b. Para cercar el terreno, José desea colocar un poste cada 1.5 m, ¿cuántos postes necesita?
h = 30 m
b = 32 m
9) Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm. 10) Un rombo se encuentra dentro de un rectángulo, como se observa en la figura. Encuentre: 25 cm
a. Perímetro y área del rombo.
30 cm
b. Perímetro y área del rectángulo. c. Compruebe que el área del rombo equivale a la mitad del área del rectángulo.
40 cm
Matemática − Semana 2
41
Desarrolle nuevas habilidades Series lógicas El razonamiento lógico se define como el conjunto de actividades mentales que nos permiten conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas, orden o patrón. Una forma de desarrollar el razonamiento es practicando juegos de razonamiento no verbal. Por ejemplo:
¿Cuál es la figura que sigue en la serie?
¡Efectivamente! un cuadrado blanco porque en la serie solo hay cuadrados blancos y sombreados que se alternan. Ahora le toca a usted. Observe cada serie y trace las figuras que corresponden hasta llenar el recuadro. Observe el patrón que sigue cada serie.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
42
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Calculo el perímetro y el área de rombos y romboides. Calculo perímetros y áreas de rombos y romboides utilizando correctamente las fórmulas. Calculo mentalmente el perímetro de un rombo y el área de un romboide. Resuelvo problemas relacionados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconozco patrones de secuencias lógicas. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
3 Polígonos regulares ¿Qué encontrará esta semana? Los barriletes gigantes Polígonos regulares: perímetro y área Tablas de multiplicar del 1 al 10 Problemas que se resuelven utilizando el área de polígonos regulares
Esta semana logrará: Reconocer polígonos regulares en artesanías guatemaltecas. Identificar diferentes polígonos regulares. Reconocer las partes de un polígono regular. Deducir el área de polígonos diferentes a partir de triángulos isósceles. Aplicar la fórmula de perímetro y área a polígonos regulares. Practicar las tablas de multiplicar del 1 al 10. Resolver problemas de perímetro y área en polígonos regulares.
Matemática − Semana 3
43
¡Para comenzar! Los barriletes gigantes
Sumpango y Santiago Sacatepéquez celebran el 1 de noviembre la festividad de “Todos los Santos y Fieles Difuntos” con la exposición y vuelo de barriletes gigantes. Esta tradición está relacionada con la idea de comunicación entre los familiares vivos y los difuntos. Los barriletes representan el “estado de sueño” o la elevación de las almas de los fallecidos. También son una clase de “telegrama” hacia el mundo de los espíritus. Una historia cuenta que los barriletes, con un zumbador instalado, alejan a los espíritus dañinos y aseguran un descanso tranquilo. En cualquier caso, son una muestra de amor y una expresión artística. Los barriletes miden entre 3 y 16 metros de diámetro. Si el viento lo permite, pueden volar los que miden hasta 6 metros. Tienen forma de polígono regular (todos sus lados son iguales). La estructura está hecha con cañas de bambú y forrada con papel de china de distintos colores. Cada barrilete tiene una decoración que combina dibujos geométricos detallados con imágenes que muestran la cultura maya. Texto adaptado de “Los barriletes gigantes”. Celso Lara y Roberto Chacón
¡A trabajar! Describa cómo celebran con su familia el Día de los Santos.
44
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Polígonos regulares
lados y ángulos iguales
Un polígono es una figura plana y cerrada formada por líneas rectas. Decimos que es "cerrada" porque todas las líneas están conectadas. Los polígonos pueden ser regulares e irregulares. En los polígonos regulares, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Los polígonos irregulares tienen todos o algunos lados y ángulos de diferentes medidas. Esta semana estudiaremos los polígonos regulares que reciben nombres especiales según su número de lados. Fíjese en la tabla y memorícelos. pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
Los polígonos de 13 lados o más, se nombran según el número de lados, por ejemplo: el polígono de 15 lados se nombra polígono regular de 15 lados.
Ejercicio 1
Cuente los lados de cada polígono y escriba su nombre. Tiene un ejemplo. 0)
1)
octágono
2)
Matemática − Semana 3
45
1.1 Elementos de un polígono regular Conocer e identificar los elementos de un polígono le ayudará a construir polígonos regulares exactos y calcular su perímetro y área. Lea cada definición e identifíquela en la figura.
v C
• lados ( ): líneas rectas que forman el polígono y que tienen la misma longitud.
a
r
• vértices (v): puntos donde se unen dos lados del polígono. • centro (C): punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. • radio (r): línea recta que va del centro a cada vértice. • apotema (a): distancia del centro al punto medio de uno los lados. • ángulos internos ( ): son aberturas que se forman entre los lados del polígono, todos tienen la misma medida.
Ejercicio 2 A. Repase con su lápiz los lados de cada polígono. Utilice la regla. 0)
1)
2)
B. Utilice regla y lápiz para trazar una apotema y un radio en cada polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
a r
C. ¿Qué diferencia hay entre el radio y la apotema de un polígono?
46
IGER − Utatlán
1.2 Polígonos regulares y triángulos isósceles
Observe cómo el pentágono de la derecha está dividido en 5 triángulos. La altura de cada triángulo corresponde a la apotema del pentágono y la base es la medida del lado, es decir:
6 cm
Los polígonos regulares tienen una característica en común: todos se pueden descomponer en triángulos isósceles iguales, tantos, como lados tenga el polígono.
7 cm Recuerde que un triángulo isósceles tiene dos ángulos y dos lados iguales.
• Si la altura del triángulo mide 6 cm, la apotema también mide 6 cm. • Si la base del triángulo mide 7 cm, el lado también mide 7 cm.
Ejercicio 3 Repase con su lápiz las líneas punteadas que van desde el centro al vértice de cada polígono, luego conteste las preguntas. 1) a.
¿Cuántos lados tiene el polígono?
b. ¿Qué nombre recibe el polígono?
c.
d. Si la altura del triángulo es de 5 cm, ¿cuánto mide la apotema?
¿Cuántos triángulos isósceles se forman?
e. ¿Cuánto mide la base del triángulo, si los lados del polígono
miden 4 cm?
2) a.
¿Cuántos lados tiene el polígono?
b. ¿Qué nombre recibe el polígono?
c.
d. Si la base de cada triángulo mide 8 cm, ¿cuánto mide cada
¿Cuántos triángulos isósceles se forman?
lado del hexágono?
e. ¿Cuánto mide la altura del triángulo, si la apotema mide 10 cm?
Matemática − Semana 3
47
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro de los polígonos El perímetro de un polígono es la medida de su contorno, se representa por la letra P. Si n es el número de lados que tiene un polígono y es la medida de cada lado, el perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado ( ). = 10 cm
P=nx
Se lee: el perímetro de un polígono es igual a n por la medida del lado. Por ejemplo Si el hexágono de la figura mide 10 cm por lado perímetro?
(
= 10), ¿cuánto mide su
Antes de aplicar la fórmula debemos responder las preguntas: • ¿Cuántos lados tiene un hexágono? un hexágono tiene 6 lados • ¿Cuánto vale n? n = 6 Con la información anterior calculamos el perímetro. • Copiamos la formula
P=nx
• Sustituimos los datos
P = 6 x 10 cm
• Operamos
P = 60 cm
• Escribimos la respuesta: el hexágono tiene un perímetro de 60 cm.
Ejercicio 4 Calculemos el perímetro de un heptágono que mide 3 cm por lado.
Respondamos las preguntas: •
¿Cuántos lados tiene un heptágono?
•
¿Cuánto vale "n"?
Calculamos el perímetro
48
•
Copiamos la formula
P=nx
•
Sustituimos los datos
P=
•
Operamos
P=
•
Escribimos la respuesta: el heptágono tiene un perímetro de
IGER − Utatlán
x cm cm.
2.2 Área de los polígonos Según aprendimos en el apartado 1.2 (polígonos regulares y triángulos isósceles), todos los polígonos regulares se pueden descomponer en triángulos isósceles iguales, así que para calcular el área de un polígono regular, multiplicamos el número de triángulos por el área de uno de estos. Veamos:
a
La base del triángulo es la medida del lado ( ) del polígono y su altura es la medida de la apotema (a). El área de este triángulo es: xa 2
A=
Recuerde que la fórmula del área de un triángulo es: A=
bxh 2
Ya vimos que n es el número de lados de un polígono, por lo tanto n también es el número de triángulos del polígono. Al multiplicar el número de triángulos por el área de un triángulo, obtenemos:
A=
nx
2
xa
primera fórmula
Esta es la fórmula para calcular el área de cualquier polígono y se lee: el área de un polígono es igual a la mitad del producto del número de lados por la longitud de un lado por la apotema. Si observamos la fórmula vemos que el producto “n x ” equivale al perímetro del polígono (P = n x ). Si en lugar del producto escribimos P, obtenemos: A=
nx
A=
2
xa
Pxa 2
segunda fórmula
Esta es otra fórmula para calcular el área de un polígono, se lee así: el área de un polígono es igual a perímetro por apotema dividido dos. Para resolver un problema, puede aplicar la fórmula que más le convenga, llegará al mismo resultado, pero tome en cuenta las recomendaciones siguientes: • Si el problema proporciona el número de lados (n), la longitud del lado ( ) y el valor de la apotema (a), conviene utilizar la primera fórmula. • Si el problema proporciona el valor de la apotema (a) y el valor del perímetro (P) o ya lo calculamos, conviene utilizar la segunda fórmula. Matemática − Semana 3
49
Ejemplo Laura necesita tela y encaje para elaborar un tapete en forma de octágono de 21 cm por lado y 25 cm de apotema. El encaje servirá para adornar la orilla. ¿Cuánto encaje y cuánta tela debe comprar? Para ayudarle a resolver este problema, le recomendamos utilizar el esquema siguiente. Extraiga los datos del problema y anótelos en una tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
octágono
8
longitud del lado ( )
valor de la apotema (a)
21 cm
25 cm
Reflexionar: ¿cómo puedo resolver el problema con los datos anteriores? La cantidad de encaje se obtiene por medio del perímetro. • Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P = 8 x 21 cm
• Operamos
P = 168 cm
• Escribimos la respuesta: Laura debe comprar 168 cm de encaje. Ahora calculemos la cantidad de tela por medio del área. Como ya conocemos el perímetro de la figura, podemos utilizar la segunda fórmula para calcular el área. • Copiamos la fórmula
A=
Pxa 2
• Sustituimos los datos
A=
(168 cm)(25 cm) 2
• Operamos
A=
(168 x 25)(cm x cm) 2
A =
4200 cm2 2
A = 2100 cm2 • Escribimos la respuesta: Laura debe comprar 2100 cm2 de tela.
50
IGER − Utatlán
Ejercicio 5 1) Un hexágono mide 10 cm por lado. ¿Cuál es el perímetro?
Extraemos los datos y los anotamos en la tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
longitud del lado ( )
• Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P=
• Operamos
P=
x cm
• Escribimos la respuesta: el perímetro del hexágono es
.
2) Los vecinos de una comunidad quieren construir un jardín en forma de pentágono regular que mide 15 m por lado y 10 m de apotema. Si desean colocar una baranda alrededor y cubrir la superficie con grama, ¿cuántos metros de baranda y cuántos metros cuadrados de grama deben comprar?
Extraemos los datos y los anotamos en la tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
valor de la apotema (a)
longitud del lado ( )
Calculamos la cantidad de baranda con la fórmula de perímetro: • Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P=
• Operamos
P=
x m
• Escribimos la respuesta: hay que comprar
m de baranda.
Calculamos la cantidad de grama con la fórmula de área: • Copiamos la fórmula de área
A=
• Sustituimos los datos
A=
• Operamos
A=
A=
A=
• Escribimos la respuesta: hay que comprar
Pxa 2 (
m)( 2
(
x
m) )( 2
x
)
750 m2 2 m2 m2 de grama. Matemática − Semana 3
51
Resumen 1. Un polígono regular es una figura de líneas rectas, plana y cerrada, cuyos lados y ángulos miden lo mismo. Reciben nombres especiales por su número de lados. Memorícelos:
pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
1.1 Elementos de un polígono regular • lados ( )
•
radio (r)
• vértices (v)
•
apotema (a)
C
• centro (C)
•
ángulos internos ( )
a
v r
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro
El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. El perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado.
P=nx
2.2 Área Las fórmulas para calcular el área de un polígono son dos:
52
1) Para aplicar esta fórmula se necesita el número de lados del polígono, la medida de un lado y de la apotema.
A=
2) Para aplicar esta fórmula se necesita la medida del perímetro y de la apotema del polígono.
A=
IGER − Utatlán
nx
2
Pxa 2
xa
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Escriba debajo de cada figura el nombre del polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
3)
2)
pentágono
B. Trace la apotema en los polígonos. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
C. Trace un radio en cada polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
D. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama el polígono de cinco lados iguales?
cuadrado pentágono hexágono
1) ¿Cómo se llama el polígono de nueve lados?
decágono nonágono hexágono
2) ¿Cómo se llama el polígono regular de seis lados?
pentágono hexágono heptágono
3) ¿Cuántos triángulos isósceles se forman en un pentágono?
cinco diez no se sabe Matemática − Semana 3
53
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el perímetro de cada polígono. Utilice las medidas indicadas. 1) Pentágono de 6 cm por lado.
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
2) Hexágono de 8 cm por lado.
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
n
polígono
P=nx
n
polígono
P=nx
B. Calcule el área de los polígonos. Utilice las medidas indicadas. 1) Octágono de 5 cm por lado y 6 cm de apotema. polígono
a
n
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la fórmula
•
Operamos
A=
nx
2
xa
2) Decágono de 3 cm por lado y 4 cm de apotema. polígono
a
n
54
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la fórmula
•
Operamos
IGER − Utatlán
A=
nx
2
xa
C. Calcule el perímetro y área de los polígonos regulares. Tiene un ejemplo. a = 4 cm
0)
polígono
n
pentágono
5
a 6 cm
4 cm
= 6 cm
P=nx
A=
Pxa 2
A=
(30 cm)(4 cm) 2
P = 5 x 6 cm P = 30 cm
(30 x 4)(cm x cm) 2 2 120 cm A= 2 A=
A = 60 cm2
polígono
n
a
polígono
n
a
a = 6 cm
1)
= 4 cm
a = 11 cm
2)
= 8 cm
Matemática − Semana 3
55
Agilidad de cálculo mental A. Ejercite las tablas del 1 al 10 con las siguientes multiplicaciones. No copie y trate de realizarlo lo más rápido posible. ¡Ánimo! 1) 3 x 2 =
9) 4 x 8 =
17) 5 x 6 =
2) 1 x 9 =
10) 2 x 6 =
18) 3 x 3 =
3) 5 x 3 =
11) 9 x 4 =
19) 7 x 9 =
4) 4 x 2 =
12) 7 x 6 =
20) 5 x 5 =
5) 2 x 9 =
13) 3 x 8 =
21) 9 x 8 =
6) 5 x 4 =
14) 8 x 6 =
22) 5 x 8 =
7) 8 x 5 =
15) 7 x 4 =
23) 9 x 6 =
8) 7 x 8 =
16) 5 x 7 =
24) 6 x 7 =
B. Complete la tabla. Escriba el número de lados de cada polígono. Luego, calcule el perímetro según la medida que se indica. Tiene un ejemplo. polígono
n
pentágono
5
6m
heptágono
8m
endecágono
4m
heptágono
4 cm
octágono
8 cm
dodecágono
3 cm
hexágono
9 pies
decágono
5 pies
56
IGER − Utatlán
P=nx
respuesta
P=5x6m
P = 30 m
Razonamiento lógico Resuelva los problemas. 1) Las 8 ventanas de una iglesia tienen forma de octágono y miden 1 metro por lado. Se desea colocar un marco de metal a todas las ventanas, ¿cuántos metros de metal se debe comprar? 2) Una mesa está formada por 7 hexágonos regulares. Cada hexágono mide 6 cm por lado y la apotema 10 cm. ¿Cuál es el área total de la mesa? 3) El telescopio Hobby–Eberly en Fort Davis, Texas, es el telescopio óptico más grande de América del Norte. El espejo principal del telescopio está formado por 91 espejos pequeños en forma de hexágono con longitudes de 0.5 metros por lado y 0.8 metros de apotema. Halle el área de uno de los espejos pequeños. 4) Todas las mañanas Verónica corre 12 veces alrededor de un parque en forma de hexágono que mide 5 metros por lado. ¿Qué distancia corre en total? 5) Cierta fábrica produce ladrillos con forma de hexágonos regulares. El lado de cada ladrillo mide 6 pulgadas y la apotema 5 pulgadas. a. ¿Cuál es el área de cada ladrillo? b. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para cubrir un área de 4500 pulgadas cuadradas? 6) Una empresa fabrica sombrillas de playa. Para ello usa tela cortada en forma de polígono regular. Calcule la cantidad de tela que necesita para fabricar 36 sombrillas de 10 lados, cada lado mide 16 cm y la apotema 25 cm. 7) Una pequeña red está construida con cien hexágonos de 8 cm por lado y 10 cm de apotema. ¿Cuál es el área de la red? 8) Jorge se dedica a la elaboración de barriletes. Para mantener la forma de cada barrilete le coloca un hilo fuerte en su perímetro. Si debe entregar un pedido de 250 barriletes en forma de hexágono de 0.3 metros por lado, ¿cuántos metros de hilo debe comprar? 9) Un jardín tiene forma pentagonal de 2 metros por lado. A su alrededor se colocará una hilera de ladrillos, cada ladrillo mide 0.2 metros por lado. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para rodearlo? 10) Un barrilete tiene forma de dodecágono, como muestra la figura. Está formado por cuadrados, triángulos equiláteros y un hexágono en el centro. El hexágono mide 90 cm de perímetro y 13 cm de apotema. a. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar los cuadrados? b. Si la altura de los triángulos es 13 cm, ¿cuánto papel se necesitó para elaborarlos? c. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar el hexágono? d. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar todo el barrillete?
Matemática − Semana 3
57
Desarrolle nuevas habilidades Mosaicos Los mosaicos son patrones repetitivos de polígonos regulares o irregulares que encajan uno con otro y cubren un plano sin superponerse y sin dejar espacios vacíos. Todas las culturas han utilizado mosaicos para recubrir suelos y paredes como forma de expresión artística: tapices, alfombras, bordados, etc. Observe los mosaicos.
Conviértase en un artista y elabore un mosaico. Necesita: una hoja tamaño carta en blanco, retazos de papeles de colores, lápiz, regla, tijeras y goma. Siguiendo como patrón la forma de los polígonos regulares que aprendimos en la semana, realice un mosaico en la hoja. Recorte tantos polígonos como necesite, en diferentes colores, y colóquelos en la hoja para formar un patrón repetitivo que la cubra totalmente.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Reconozco polígonos regulares en artesanías guatemaltecas. Identifico diferentes polígonos regulares. Reconozco las partes de un polígono regular. Deduzco el área de polígonos diferentes a partir de triángulos isósceles. Aplico la fórmula de perímetro y área a polígonos regulares. Practico las tablas de multiplicar del 1 al 10. Resuelvo problemas de perímetro y área en polígonos regulares.
58
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
4 El cubo ¿Qué encontrará esta semana? Fuego, aire, agua, tierra... sólidos platónicos Los cubos: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen del cubo
Esta semana logrará: Identificar los sólidos platónicos. Identificar un cubo y sus partes. Calcular el área y el volumen de los cubos. Practicar las unidades cúbicas. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. Construir un cubo de papel. Desarrollar la agilidad de cálculo mental.
Matemática − Semana 4
59
¡Para comenzar! Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos
Hasta ahora hemos estudiado geometría plana, cuadrados, triángulos, rombos, romboides, polígonos regulares, etc, tienen dos dimensiones o medidas: longitud y altura. En geometría, los sólidos regulares son conocidos formalmente como poliedros (del griego polys que significa "muchas" y hedra que significa "cara"). Un poliedro es una región con tres dimensiones, largo, ancho y alto cerrado por polígonos regulares que ocupan un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un volumen. El primero en hacer una descripción detallada de estos poliedros fue el filósofo griego Platón, de esta cuenta son conocidos como sólidos platónicos o sólidos de platón, quien asoció cada uno de los cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra a un poliedro, de la siguiente manera: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro o cubo. Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecaedro, al universo. ¡A trabajar! Observe detenidamente la ilustración de los poliedros.
tetraedro
60
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
Si quisiéramos meter un poliedro dentro de otro hasta quedarnos con uno solo, ¿cuál sería el orden en que deben colocarse? Analice las posibilidades y escriba el nombre de los poliedros en el orden que deben ir. Puede ser de adentro hacia afuera o viceversa.
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. El cubo
dados, cajas, bloques…
A nuestro alrededor hay muchos objetos con forma de cubo: dados, cajas, bloques… El cubo o hexaedro (hexa = seis, edron = caras) es un sólido limitado por seis cuadrados iguales. Un cubo tiene los siguientes elementos: • 6 caras: las superficies planas que forman el cubo, • 12 aristas: las líneas donde se encuentran dos caras, • 8 vértices: los puntos donde se unen las aristas.
cara
arista
vértice
Ejercicio 1 A. Dibuje un punto rojo en los vértices, repase con color azul las aristas y pinte con distintos colores las caras del cubo. Utilice su regla para trazar las aristas.
Matemática − Semana 4
61
1.1 Área del cubo
La superficie que ocupa
Si desdoblamos una caja en forma de cubo, podemos ver que está formada por seis cuadrados iguales que ocupan una superficie. Para calcular el área que cubre, se halla el área de un cuadrado y el resultado se multiplica por seis.
Sigamos el siguiente procedimiento: La fórmula del área de un cuadrado es: A =
2
• Como el cubo tiene seis cuadrados, entonces la fórmula para calcular el área del cubo es: A=6
2
La fórmula se lee: el área del cubo es igual a seis por el lado elevado al cuadrado. Ejemplo La fábrica “La luz” tiene un pedido de cajas de cartón en forma de cubo de 10 cm por lado. Necesitan calcular el área de cada caja para utilizar la cantidad exacta de cartón. • Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A = 6 (10 cm)2
• Realizamos los cálculos
A = (6 x 10 x 10)(cm x cm)
A = (6 x 100) cm2
2
A = 600 cm2 • Escribimos la respuesta: para fabricar una caja se necesitan 600 cm2 de cartón.
62
IGER − Utatlán
¡Un ejemplo más! Antonio desea fabricar un contenedor de metal en forma cúbica de 2 m por lado. ¿Qué cantidad de metal necesita comprar Antonio para fabricar el contenedor? 2
• Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A = 6 (2 m)2
• Realizamos los cálculos
A = (6 x 2 x 2)(m x m)
A = (6 x 4) m2 A = 24 m2 • Escribimos la respuesta: Antonio necesita comprar 24 m2 de metal para fabricar el contenedor.
Ejercicio 2 1) ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón se necesitan para construir un cubo de 5 cm por lado? 2
• Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A=6(
• Realizamos los cálculos
A=(
x
x
A=(
x
) cm2
A=
cm2
)2 )(cm x cm)
• Respuesta: 2) Calculemos cuánto papel se necesita para forrar una caja de cartón de 30 cm por lado. • Copiamos la fórmula del área de un cubo A = • Sustituimos los datos A =
(
cm)2
• Realizamos los cálculos A = (
x
x
A=(
x
) cm2
)(cm x cm)
A= • Respuesta:
Matemática − Semana 4
63
1.2 Volumen del cubo
¿Cuánto espacio ocupa un cuerpo?
En la bodega de un almacén de electrodomésticos se reciben varias cajas parecidas en forma, pero no en tamaño. La caja que contiene un refrigerador ocupa más espacio que la caja que guarda una licuadora. Para saber si todas las cajas cabrán en la bodega, necesitamos averiguar el espacio que ocupan. La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo se llama volumen. Para medir el volumen de un cubo regular se multiplican sus tres dimensiones, largo, alto y ancho.
Como las tres dimensiones de un cubo son de la misma longitud ( ), entonces la fórmula para calcular su volumen es: V=(
)( )( )
V=
3
La fórmula se lee: el volumen del cubo es igual a uno de los lados elevado al cubo. Ejemplo Sara es la encargada de la bodega de un almacén y quiere saber qué espacio ocuparán diez cajas de forma cúbica. Cada caja mide 0.5 m por lado. Ayudemos a Sara a calcular el volumen de cada caja. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (0.5 m)3
• Realizamos los cálculos
V = (0.5 x 0.5 x 0.5) (m x m x m)
V = 0.125 m3 Hemos averiguado el volumen de una caja. Para saber el volumen de diez cajas, multiplicamos el volumen de una caja por 10. V = 0.125 m3 x 10 V = 1.25 m3 • Respondemos: diez cajas ocuparán 1.25 m3.
64
IGER − Utatlán
Otro ejemplo Un depósito para agua mide 4 m por lado y está lleno. ¿Qué cantidad de agua hay en el depósito? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (4 m)3
• Realizamos los cálculos
V = (4 x 4 x 4)(m x m x m)
V = 64 m3 • Respondemos: en el depósito hay 64 m3 de agua. Un ejemplo más Una caja que mide 5 cm de lado, contiene dados. Calcule el volumen de la caja y la cantidad de dados que hay dentro, si cada dado mide 1 cm por lado. • Primero calculamos el volumen de la caja. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo
V=
• Sustituimos el dato
V = (5 cm)3
• Realizamos los cálculos
3
5 cm
V = (5 x 5 x 5)(cm x cm x cm)
V = 125 cm3 • Respondemos: el volumen de la caja es 125 cm3. Ahora calculamos el volumen de cada dado. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (1 cm)3
• Realizamos los cálculos
V = (1 x 1 x 1)(cm x cm x cm)
V = 1 cm3 • Respondemos: el volumen de un dado es 1 cm3. Para saber cuántos dados hay dentro de la caja, dividimos el volumen de la caja entre el volumen de un dado. • Cantidad de dados =
125 cm3 1 cm3
• Cantidad de dados = 125 • Respondemos: en la caja hay 125 dados.
Recuerde: • Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes.
cm3 = cm3–3 = cm0 cm3
• Toda potencia 0 da como resultado 1. cm0 = 1
Matemática − Semana 4
65
Ejercicio 3 1) ¿Cuántos metros cúbicos de agua puede contener una pila, si sus dimensiones son 2 m por lado? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V=
3
• Sustituimos el dato V = (
m)3
• Realizamos los cálculos V = (
x
V=
m3
• Respondemos: la pila puede contener
x
)(m x m x m)
de agua.
2) ¿Qué cantidad de tierra se debe extraer para construir una abonera que mida 3 m por lado? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V=(
m)3
• Realizamos los cálculos
V=(
x
x
)(m x m x m)
V = • Respondemos: 3) Un depósito para agua de la comunidad mide 5 metros por lado. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarlo, si cada metro cúbico puede contener 1000 litros?
Primero calculamos la capacidad del depósito con la fórmula de volumen. • Copiamos la fórmula del área de un cubo • Sustituimos el dato • Realizamos los cálculos
V=
V = (5 m)3 V=(
V =
66
3
x
x
)(m x m x m)
m3
Ahora que sabemos la capacidad del depósito en metros cúbicos, aplicamos una regla de tres simple (como aprendimos en el grupo Quiriguá) para calcular la capacidad en litros.
IGER − Utatlán
La regla de tres es directa porque, a más metros cúbicos, más litros de agua.
• Planteamos la regla de tres
metros cúbicos 1 125
x=
• Operamos
litros de agua 1000 x
125 x 1000 = 1
• Escribimos la respuesta: se necesitan
litros de agua para llenar el depósito.
Resumen 1. El hexaedro o cubo es un sólido cerrado y formado por seis cuadrados iguales. Las partes que forman un cubo son: caras, aristas y vértices. cara
arista
vértice
1.1 El área de un cubo es la medida de su superficie, formada por seis cuadrados de igual longitud . Se calcula con la fórmula: A=6
2
1.2 El volumen de un cubo es la cantidad de espacio que ocupa. Se obtiene multiplicando largo, por alto y por ancho. Se calcula con la fórmula: V=
3
Matemática − Semana 4
67
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Escriba en la línea del lado derecho la respuesta a la pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama la línea que se forma por la unión de dos caras en un poliedro?
arista
1) ¿Qué nombre reciben los puntos donde se unen las aristas? 2) ¿Cómo se llaman las superficies planas que forman el cubo? 3) ¿Cómo se llama el sólido geométrico limitado por seis caras iguales? 4) ¿Cuántas aristas tiene un cubo? 5) ¿Cuántos vértices tiene un cubo?
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Encuentre el área y volumen de un cubo según las medidas que aparecen en las tablas. Tiene un ejemplo para cada caso. 2
A=6x 1m
A = 6 x ( 1 m)2 = (6 x 1 x 1) (m x m)
respuesta
A = 6 m2
4m 2 cm 3 cm 10 cm 5 mm V= 1m 2m 4m 3 cm 10 cm 5 mm
68
IGER − Utatlán
3
V = (1 m)3 = (1 x 1 x 1) (m x m x m)
respuesta
V = 1 m3
B. Calcule el área y volumen de los cubos, con las medidas indicadas. 2)
25 cm
1)
8 cm
3)
4)
1
m
2.5 m
Matemática − Semana 4
69
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 5 x 6 =
9) 8 x 3 =
2) 3 x 4 =
10) 2 x 4 =
3) 8 x 7 =
11) 9 x 3 =
4) 2 x 2 =
12) 6 x 6 =
5) 6 x 4 =
13) 8 x 4 =
6) 2 x 9 =
14) 4 x 9 =
7) 7 x 1 =
15) 1 x 6 =
8) 5 x 7=
16) 7 x 3 =
B. Resuelva las siguientes multiplicaciones. 1) 2 x
9) = 6
x 7 = 49
2) 8 x
= 72
10)
x 3 = 15
3) 7 x
= 42
11)
x 1 = 10
4) 3 x
12) = 9
x 6 = 36
5) 1 x
= 35
13)
x 9 = 81
6) 7 x
= 63
14)
x 6 = 12
7) 6 x
= 54
15)
x 8 = 40
8) 5 x
= 30
16)
x 10 = 100
C. También puede adquirir velocidad de cálculo con potencias, no utilice calculadora y trate de resolverlas en el menor tiempo posible. Recuerde que toda potencia 0 es igual a la unidad. Tiene un ejemplo.
70
1) 50 =
1 7) 72 =
13) 52 =
2) 32 =
8) 82 =
14) 40 =
3) 12 =
9) 43 =
15) 102 =
4) 02 =
10) 23 =
16) 42 =
5) 33 =
11) 90 =
17) 22 =
6) 13 =
12) 62 =
18) 103 =
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico A. Observe cada figura y determine la respuesta mentalmente. 2) ¿Cuántos cubos pequeños de 8 cm3 de volumen caben en un cubo de 10 cm de lado?
2 cm
10 cm
1) ¿Cuántos cubos pequeños forman el cubo grande?
Respuesta:
Respuesta:
B. Resuelva los problemas en su cuaderno. 1) La empresa “Empaque feliz” fabrica cajas de cartón de 20 cm por lado. ¿Qué cantidad de cartón emplean para construir cada caja? 2) Un litro de pintura alcanza para pintar 10 m2. Amílcar quiere pintar un cubo de 0.5 m por lado. ¿Le alcanzará un litro de pintura? 3) De una cartulina de 0.65 m de largo y 0.40 m de ancho se quiere construir un cubo de 0.2 m de arista. ¿Cuánto mide la cartulina que sobra? 4) Las aristas de un cubo miden 10 cm. ¿Cuál es el volumen? 5) Se construye un depósito de agua en forma de cubo de 2.5 m por lado. Calcule la cantidad de agua que puede contener. 6) Se desea construir un estanque de 3 m por lado ¿Qué cantidad de tierra, en metros cúbicos, se debe extraer para fabricar el estanque? 7) Una empresa empaqueta recipientes plásticos de forma cúbica en cajas de 50 cm por lado, si cada recipiente mide 10 cm por lado, ¿cuántos recipientes caben en una caja? 8) ¿Cuántos metros cúbicos de aire caben en una habitación de 4 metros por lado? 9) ¿Qué cantidad de cartón se necesitará para fabricar 20 cajas de 10 cm por lado y qué volumen ocupa cada una? 10) Un litro de agua es equivalente a 1000 cm3.¿Con cuántos litros de agua se llena una pecera de 30 cm por lado? 11) Alejandro quiere construir un cubo de madera para depositar el frijol de su tienda. El cubo debe medir 0.9 m por lado. ¿Qué cantidad de madera necesita Alejandro para construir el cubo y qué cantidad de frijol puede depositar? Matemática − Semana 4
71
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cómo construir un cubo? 1) Tenga a mano cartulina o papel grueso, regla, tijeras, pegamento y lápiz. 2) Observe con atención el dibujo.
3) Trace cuatro cuadrados iguales, uno seguido del otro (los formados por las líneas gruesas). 4) Luego dibuje dos cuadrados más a cada lado de uno de los que hizo anteriormente. 5) Trace pequeños espacios adicionales a los cuadrados (líneas delgadas), estos servirán para pegar el cuerpo geométrico. 6) Recorte la figura. 7) Doble las aristas de los cuadrados, las pestañas y forme el cubo. 8) Aplique pegamento en los espacios adicionales y únalos con los cuadrados.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Identifico los sólidos platónicos. Identifico un cubo y sus partes. Calculo el área y el volumen de los cubos. Practico las unidades cúbicas. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. Construyo un cubo de papel. Desarrollo la agilidad de cálculo mental.
72
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
5 El cilindro ¿Qué encontrará esta semana? Un árbol en un cilindro de papel Los cilindros: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen del cilindro
Esta semana logrará: Identificar un cilindro y sus partes. Calcular el área y el volumen de los cilindros. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cilindro. Construir un cilindro de papel.
Matemática − Semana 5
73
¡Para comenzar! Un árbol en un cilindro de papel
El artista Yuken Teruya nació en Okinawa, Japón, en 1973. Se especializa en tallar y construir con bolsas de papel, cajas, periódicos o cilindros de papel higiénico, formas y figuras que invitan a los espectadores a reflexionar sobre asuntos de la vida cotidiana. El consumismo, el agotamiento de recursos naturales y la pérdida de valores son temas recurrentes en su obra. Su trabajo se encuentra en museos de todo el mundo como el Centro de Arte Contemporáneo, el Museo Guggenheim, ambos en Nueva York, Estados Unidos, y en el Museo Nacional de Arte Moderno de Tokio. La escultura que vemos en la ilustración fue elaborada en un cilindro de papel higiénico y de él se desprende un árbol. Con esta imagen, Teruya busca crear conciencia sobre la tala inmoderada de bosques para la fabricación de papel. Tomado y adaptado de: www.yukenteruyastudio.com
¡A trabajar! Ahora construya un portalápices con el cilindro del papel higiénico, elabórelo con mucha creatividad, llévelo al círculo de estudio y realice un intercambio para celebrar el día del cariño.
74
Los materiales a utilizar son:
•
cilindro de papel higiénico
•
papel de regalo, periódico o de china
•
cartón para la base
•
lápiz, tijeras y pegamento
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Los cilindros
cuerpos redondos
En nuestra vida cotidiana observamos objetos que tienen forma cilíndrica, por ejemplo: los toneles para líquidos y gases, tambores, frascos, tuberías, etc. Un cilindro se define como un cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje. Este rectángulo forma una superficie lateral curva y dos círculos iguales que forman las bases. En un cilindro podemos distinguir estos elementos: • Eje de giro es una línea imaginaria vertical fija sobre la cual gira la generatriz. • Generatriz (g) es la línea paralela al eje, que gira para formar el cilindro.
eje de giro b
• Bases (b) son los círculos perpendiculares al eje. • Altura (h) es la distancia entre las bases, tiene la misma medida que la generatriz.
g
• Radio (r) es la distancia entre el eje de giro y la generatriz.
h
r
b
Ejercicio 1 Identifique cada elemento señalado en el cilindro y escriba su nombre sobre la línea. Tiene un ejemplo.
5)
0)
4)
base (b)
1)
3)
2)
Matemática − Semana 5
75
1.1 Área total de un cilindro Para conocer el área de un cilindro necesitamos descomponerlo en sus partes. Si extendemos el cilindro sobre un plano, obtenemos un rectángulo y dos círculos, tal como vemos en la figura. El cálculo del área nos permite conocer la cantidad de material necesario para elaborar tubos, latas, etc.
r
Al
h Ab
2 r r
El cilindro tiene dos áreas: el área lateral y el área correspondiente a las dos bases. El área lateral (Al) es el área del rectángulo que forma el cilindro y la obtenemos con la fórmula que ya conocemos del área para un rectángulo. A=bxh
Recuerde: El perímetro de un círculo es P = 2 r El área es A = r2
Si observamos la figura, la base del rectángulo es igual al perímetro del círculo (P = 2 r) y la altura (h) corresponde a la altura del cilindro. Por lo tanto, el área lateral del cilindro es: A l = 2 rh
= 3.14
r = radio del círculo de la base
h = altura del cilindro.
El área de las bases (Ab) es el área de los círculos que cierran el cilindro. El área de un círculo es (A = r2), entonces para los dos círculos será: Ab = 2( r2) El área total es el resultado de sumar el área lateral y el área de las bases. At = Al + Ab A t = 2 rh + 2( r2) La fórmula se lee: el área total del cilindro es igual a dos por pi, por el radio y por la altura, más dos por pi por el radio al cuadrado.
76
IGER − Utatlán
Ejemplo Un tambor como el que vemos en la ilustración está construido de madera y cuero. Calculemos la cantidad de madera y cuero que se necesita para construir un tambor de 60 cm de alto y 20 cm de radio. La madera corresponde al cuerpo del tambor y si la extendiéramos observaríamos un rectángulo. Para calcular la cantidad de madera tomamos la información de altura y radio que nos proporciona el problema y trasladamos los datos a una tabla. altura (h) 60 cm
radio (r) 20 cm
Ahora ya podemos averiguar la cantidad de madera utilizando la fórmula de área lateral. • Copiamos la fórmula
A l = 2 rh
• Sustituimos los datos
A = 2 (3.14) (20 cm) (60 cm)
• Operamos
A = (2 x 3.14 x 20 x 60) (cm x cm)
A l = 7536 cm2
• Respondemos: la cantidad de madera que se necesita para construir un tambor es 7536 cm2. Nos falta por determinar la cantidad de cuero para las bases, por medio del área de las bases. • Copiamos la fórmula
Ab = 2 ( r2)
• Sustituimos los datos
A = 2 (3.14) (20 cm)2
• Operamos
A = (2 x 3.14 x 20 x 20) (cm x cm)
Ab = 2512 cm2 • Respondemos: se necesitan 2512 cm2 de cuero para construir el tambor. Si deseamos saber el área completa del tambor, sin importar con qué materiales se hizo, debemos sumar el área lateral más el área de las bases, o lo que es lo mismo, debemos aplicar la fórmula de área total. At = Al + Ab A = 7536 cm2 + 2512 cm2
A = 10 048 cm2
• El área total del tambor es 10 048 cm2. Matemática − Semana 5
77
Otro ejemplo Clara quiere construir una granero cilíndrico de hojalata para guardar maíz. La base del cilindro debe tener 1 metro de radio y 2 metros de alto. ¿Qué cantidad de hojalata necesita comprar Clara para construir el granero? • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h) 2m
radio (r) 1m
• Copiamos la fórmula del área total del cilindro At = 2 rh + 2( r2) • Sustituimos los datos A = 2 (3.14) (1 m) (2 m) + 2 (3.14) (1 m)2 • Operamos A = (2 x 3.14 x 1 x 2) (m x m) + (2 x 3.14 x 1 x 1) (m x m) A = 12.56 m2 + 6.28 m2 A = 18.84 m2 • Respondemos: Clara necesita comprar 18.84 m2 de hojalata para construir el granero.
Ejercicio 2 1) Calcule la cantidad de plástico que se necesita para elaborar un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 4 cm de radio. (Atención para este problema solo debemos tomar en cuenta una base, por lo tanto la fórmula será A = 2 rh + r2 ). • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula
altura (h)
radio (r)
A = 2 rh + r2
• Sustituimos los datos • Operamos • Respuesta: 2) Calcule la cantidad de hojalata que se necesita para elaborar un tonel cuya altura es 1.5 m y el radio 0.5 m. • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula • Sustituimos los datos • Operamos • Respuesta:
78
IGER − Utatlán
altura (h)
radio (r)
1.2 Volumen del cilindro
medida del espacio que ocupa
El volumen de un cilindro nos es de utilidad cuando necesitamos saber el espacio que ocupa o la cantidad de líquido, sólido o gas que puede contener. Para calcular el volumen se multiplica el área de la base por la altura. El área de la base es A = r2 y la altura la representamos con h. Entonces el volumen de un cilindro será:
b
h
V = r2h La fórmula se lee: el volumen del cilindro es igual a pi por el radio elevado al cuadrado y por la altura. Ejemplo ¿Cuántos litros de jugo caben en una lata cilíndrica de 3 cm de radio y 12 cm de alto? (Tome en cuenta que 1 litro equivale a 1000 cm3). Para averiguarlo, debemos utilizar la fórmula del volumen. • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h) radio (r) 12 cm 3 cm
• Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (3 cm)2 (12 cm)
• Operamos
V = (3.14) (3 cm) (3 cm) (12 cm)
V = (3.14 x 3 x 3 x 12) (cm x cm x cm)
V = 339.12 cm3 • Respondemos: el volumen de jugo que cabe en el recipiente es 339.12 cm3. ¡Atención!, aún no hemos terminado. Hemos obtenido el resultado en cm3, pero el problema nos pide expresarlo en litros. Planteamos la regla de tres, sabiendo que 1000 cm3 = 1 l.
1000 cm3
1 litro
339.12 cm3
x litros
x=
x = 0.33912 litros
339.12 cm3 x 1 litro 1000 cm3
• Respondemos: en la lata caben 0.34 litros de jugo.
Siempre debemos presentar el resultado con dos decimales, a menos que el problema indique lo contrario. Cuando el tercer decimal es mayor que 5 se aproxima a la cifra superior. 0.33912 l = 0.34 l
Matemática − Semana 5
79
Otro ejemplo ¿Qué cantidad de gasolina cabe en un cilindro de 6 metros de alto y 2 metros de radio? • Escribimos los datos del problema en la tabla altura (h) radio (r) 6m 2m • Copiamos la fórmula del volumen de un cilindro
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (2 m)2 (6 m)
• Operamos
V = (3.14) (2 m)(2 m) (6 m)
V = (3.14 x 2 x 2 x 6) (m x m x m)
V = 75.36 m3 • Respondemos: en el tanque caben 75.36 m3 de gasolina.
Ejercicio 3 1) Calcule la cantidad de agua que cabe en un tonel de 1 metro de alto y 0.5 metro de radio. • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h)
• Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (
m)2 (
• Operamos
V = (3.14) (
m) (
V = (3.14 x V =
x
radio (r)
m) m) (
x
m)
) (m x m x m)
m3
• Respondemos: 2) En algunas construcciones, columnas cilíndricas sostienen el techo de los edificios o puentes. Calcule el volumen de una columna de 4 metros de alto y 0.5 metro de radio. • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14)(
• Operamos • Respondemos:
80
IGER − Utatlán
m)2 (
altura (h)
m)
radio (r)
3) Una lata para jugo mide 12.5 cm de alto y 3.25 cm de radio. ¿Qué cantidad de material utilizaron para su fabricación y cuánto jugo le cabe? Para calcular la cantidad de material aplicamos la fórmula de área total. altura (h)
• Copiamos la fórmula
radio (r)
A=
• Sustituimos los datos • Operamos • Respondemos: Para averiguar la cantidad de jugo utilizamos la fórmula de volumen. • Copiamos la fórmula del volumen
V=
• Sustituimos los datos • Operamos • Respondemos:
Resumen 1. En un cilindro podemos encontrar estos elementos: r
• altura del cilindro (h) • radio de la base (r) • área lateral (Al)
Al
h Ab
2 r
• área de las bases (Ab) r
At = Al + Ab Fórmula del área total: A t = 2 rh + 2( r2)
Fórmula del volumen:
V = r2h
Matemática − Semana 5
81
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo que corresponde a la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0) Cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje formando una superficie lateral curva.
cuadrado cilindro poliedro
1) Línea paralela al eje que gira para formar el cilindro.
eje altura generatriz
2) Distancia que hay entre las bases del cilindro y de igual tamaño que la generatriz.
radio generatriz altura
3) Línea imaginaria vertical fija alrededor de la cual gira la generatriz.
apotema eje de giro radio
4) Círculos perpendiculares al eje.
área lateral volumen bases
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área de los cilindros con los datos de la tabla. Tiene un ejemplo.
82
r
h
2m
3m
1 cm
2 cm
2m
1m
3m
2m
1.5 m
2m
2.5 cm
3.5 cm
IGER − Utatlán
A = 2 rh + 2( r2) A = 2 (3.14) (2 m) (3 m) + 2(3.14) (2 m)2 A = 37.68 m2 + 25.12 m2
respuesta
A = 62.8 m2
B. Calcule el volumen de los cilindros con los datos de la tabla. Tiene un ejemplo. r
h
2m
3m
2m
2m
1 cm
3 cm
3 cm
2 cm
1 cm
2.5 cm
1.5 m
2.5 m
V = r2h
respuesta
V = (3.14) (2 m)2 (3 m) = (3.14) (2 m) (2 m) (3 m) V = (3.14 x 2 x 2 x 3) (m x m x m)
V = 37.68 m3
C. Calcule en su cuaderno el área y volumen de los cilindros. 2)
2m
25 cm
1)
10 cm
0.5 m
20 pies
4)
10 pies
3)
5 pies
10 pies
Matemática − Semana 5
83
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 4 x 9 =
8)
9x8=
15)
6x5 =
2) 2 x 4 =
9)
3x4=
16)
9x9 =
3) 3 x 6 =
10) 2 x 9 =
17)
6x1 =
4) 5 x 9 =
11) 5 x 5 =
18)
1 x 10 =
5) 1 x 1 =
12) 3 x 7 =
19)
5x4 =
6) 0 x 9 =
13) 1 x 4 =
20)
3x2 =
7) 5 x 2 =
14) 9 x 7 =
21)
6x4 =
B. Escriba el factor que completa la multiplicación. 1) 8 x
= 40
11) 3 x
= 9
21)
x 3 = 27
2) 9 x
= 54
12) 5 x
= 0
22)
x 4 = 20
3) 6 x
= 30
13) 7 x
= 35
23)
x 9 = 81
4) 7 x
= 49
14) 9 x
= 63
24)
x 5 = 10
5) 5 x
= 15
15) 5 x
= 45
25)
x 8 = 24
6) 10 x
= 10
16) 6 x
= 54
26)
x 2 = 20
7) 8 x
= 48
17) 3 x
= 3
27)
x 7 = 14
8) 2 x
= 6 18) 4 x
= 16
28)
x1=6
9) 8 x
= 72
19) 9 x
= 45
29)
x 6 = 36
10) 7 x
= 42
20) 1 x
= 0
30)
x 10 = 100
C. Mejore su capacidad de cálculo resolviendo las potencias.
84
1) 92 =
6) 90 =
11) 23 =
2) 20 =
7) 03 =
12) 52 =
3) 32 =
8) 72 =
13) 02 =
4) 62 =
9) 13 =
14) 22 =
5) 43 =
10) 102 =
15) 12 =
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Aplique lo aprendido y resuelva los problemas en su cuaderno. 1) Una pajilla mide 200 mm de largo, 3 mm de radio. ¿Cuál es el área lateral de la pajilla? 2) Calcule el área lateral de un tubo galvanizado de 1.5 m de alto y 0.1 m de radio. 3) Calcule la cantidad de hojalata que se necesita para fabricar 10 botes de forma cilíndrica de 5 cm de radio y 15 cm de altura. 4) Si se utilizan planchas de aluminio de 100 cm de ancho por 50 cm de alto para fabricar latas con las medidas: 10 cm de radio y 25 cm de altura, ¿cuántas latas se pueden fabricar con una plancha de aluminio? 5) Mariela y Andrés llevan cubetas cilíndricas llenas de agua para regar el jardín. La cubeta de Mariela mide 1.5 pies de altura y 0.5 pies el radio de la base. La cubeta de Andrés mide 1 pie de altura y 1 pie el radio de la base, ¿quién de los dos acarrea más agua? 6) Un camión cisterna transporta agua para distribuirla entre las personas de la comunidad, quienes la reciben en toneles. La cisterna tiene forma cilíndrica y mide 3 metros de largo y 1 metro de radio en la base. Si cada tonel se llena con 0.25 m3 de agua ¿cuántos toneles de agua se pueden llenar con el contenido de una cisterna? 7) Un pichel y un vaso tienen forma cilíndrica. El pichel mide 25 cm de alto y 8 cm de radio, el vaso mide 12 cm alto y 3 cm de radio, ¿cuántos vasos de agua puede contener el pichel? 8) La columna principal que sostiene un puente está construida de concreto y tiene forma cilíndrica. Si la altura de la columna mide 8 metros y el diámetro de la base mide 2 metros, ¿cuántos metros cúbicos de concreto utilizaron para construirla? 9) Una cooperativa compra bloques de parafina de 30 cm por lado para elaborar velas aromáticas. Si cada vela tiene forma cilíndrica con medidas: 9 cm el diámetro de la base y 12 cm de alto, ¿cuántas velas se pueden fabricar con un bloque de parafina? 10) Calcule la cantidad de agua que cabe en un vaso cilíndrico que mide son: 10 cm de altura y 6 cm de diámetro. Exprese el resultado en litros. (1litro = 1000 cm3) 11) ¿Cuántos metros cúbicos de tierra es necesario extraer para abrir un pozo de 2 m de diámetro y 8 m profundidad?
Matemática − Semana 5
85
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cómo construir un cilindro? Reúna los siguientes materiales que le servirán para fabricar un cilindro: lápiz, regla, compás, cartulina, tijeras y pegamento. Observe el dibujo de abajo y trace en su cartulina, uno similar con las medidas indicadas, recorte, doble y aplique pegamento en las pestañas.
3 cm
pestañas
12 cm
19 cm
3 cm
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
86
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico un cilindro y sus partes. Calculo el área y el volumen de los cilindros. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cilindro. Construyo un cilindro de papel. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
6 La pirámide ¿Qué encontrará esta semana? Construcciones curiosas La pirámide: área y volumen Agilidad de cálculo mental Completar series numéricas y problemas de área y volumen de la pirámide.
Esta semana logrará: Identificar una pirámide y sus partes. Clasificar pirámides por su base. Calcular el área y el volumen de las pirámides. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen.
Matemática − Semana 6
87
¡Para comenzar! Construcciones curiosas Alrededor del mundo y en distintas épocas, se han construido edificios en forma de pirámide. Vámonos de viaje y conozcámoslas:
La pirámide de El Gran Jaguar está ubicada en la plaza central de Tikal, Petén. Fue construida por los mayas en honor a Garra de Jaguar, gobernante que rescató el poder de la ciudad, luego de ser invadida. El Gran Jaguar: templo I de Tikal, Petén http://worldraider.wordpress.com
Las pirámides clásicas de Egipto fueron construidas en el año 2500 a. C. Sus caras son lisas. Las más célebres son las pirámides de Keops, Kefren y Micerino, construidas en la meseta de Guiza, cerca de El Cairo. pirámide Kefren, Egipto http://egipto.travelguia.net
La Pirámide del Museo del Louvre está situada en el patio del Museo del Louvre, en París, Francia y sirve como entrada al edificio. Tiene una altura de 21.6 m y un total de 673 paneles de vidrio laminado transparente.
pirámide del Museo de Louvre, París www.giratodorecto.com
El edificio Noah, en Estados Unidos, está diseñado como una pequeña ciudad flotante resistente a inundaciones y huracanes. Tiene forma de pirámide y con espacio para 40,000 personas. edificio Noah, Estado Unidos www.informa2web.com
¡A trabajar! Responda en su cuaderno. ¿Qué objetos o construcciones conoce en forma de pirámide?
88
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. La pirámide Una pirámide se define como un cuerpo geométrico formado por un polígono llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
v h
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: • Base (b): polígono donde descansa la pirámide.
hc Cl b
a
• Caras laterales (Cl): triángulos que se unen en el vértice de la pirámide. El número de caras laterales es igual al número de lados de la base. • Vértice de la pirámide (v): es el punto superior donde se unen las caras laterales. • Altura de la pirámide (h): distancia del vértice de la pirámide al centro de la base. • Altura de la cara (hc): distancia del centro de un lado de la base hasta el vértice de la pirámide. • Apotema (a): distancia del centro de la base hasta el centro de uno de sus lados. Esta semana estudiaremos las pirámides regulares, es decir aquellas que tienen un polígono regular como base (todos sus lados iguales) y las caras son triángulos isósceles (dos lados iguales y uno desigual).
Ejercicio 1 Realice las actividades. 1) Dibuje con su lápiz un punto grueso en el vértice de la pirámide. 2) Pinte de color azul la altura de la cara. 3) Pinte de color rojo la altura de la pirámide. 4) Pinte de color negro la apotema de la base. 5) Pinte de color verde las caras.
Matemática − Semana 6
89
1.1 Clasificación de las pirámides regulares Las pirámides regulares se clasifican según la forma de la base. Veamos algunos ejemplos. pirámide
base
Pirámide triangular: 3 caras y la base formada por un triángulo.
Pirámide cuadrangular: 4 caras y la base formada por un cuadrado.
Pirámide pentagonal: 5 caras y la base formada por un pentágono.
Pirámide hexagonal: 6 caras y la base formada por un hexágono.
Ejercicio 2 Escriba el nombre de la pirámide según el polígono de la base. Tiene un ejemplo.
0)
pirámide
1)
2)
3)
cuadrangular
90
IGER − Utatlán
2. Área de una pirámide regular Al igual que el cubo y el cilindro, una pirámide se puede descomponer extendiéndola sobre un plano, como se muestra en la figura.
h
a
Su área es la cantidad de superficie que ocupa. Está formada por la base y las caras laterales. Para calcularla, debemos hacerlo en dos pasos, primero hallamos el área de la base (Ab) y después el área lateral (Al). Área de la base (Ab), siempre que la base sea un polígono regular, se utiliza la fórmula: Ab =
nx
2
xa
Área lateral (Al), se compone de las caras de la pirámide. Para hallarla, primero calculamos el área de una cara (Ac), como es un triángulo, entonces utilizamos la fórmula: Ac =
h
base (b)
bxh 2
Luego el resultado del área de una cara se multiplicará por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es: Al = n • Ac Área total de la pirámide, es la suma del área de la base y del área lateral. At = Ab + Al Para simplificar el procedimiento del cálculo es mejor escribir n • Ac, entonces la fórmula de área total de la pirámide que utilizaremos es: At = Ab + (n • Ac ) La fórmula se lee: área de una pirámide es igual al área de la base más el área de una cara lateral multiplicada por el número de caras. Matemática − Semana 6
91
Ejemplo Una cooperativa fabrica velas con forma de pirámide cuadrangular y quiere empacarlas. Si la cara de la pirámide tiene una altura de 6 cm y el lado de la base mide 5 cm, ¿cuánto papel se necesita para empacar cada vela? Analicemos el problema respondiendo las preguntas: • ¿Qué nos pide el problema?
Calcular cuánto papel se utiliza para envolver cada vela. Para obtener el resultado, es necesario saber cuál es el área total.
• ¿Que datos tenemos?
pirámide
n
cuadrangular
4
hc
5 cm
6 cm
Con los datos anteriores calculamos el área total. Área de la base: • Como la base es un cuadrado, la fórmula es
Ab =
• Sustituimos el dato
Ab = (5 cm)2
• Operamos
Ab = (5 x 5)(cm x cm)
• Escribimos la respuesta
Ab = 25 cm2
2
Área lateral: bxh • Para hallar el área lateral, primero Ac = 2 calculamos el área de una cara (5 cm)(6 cm) 2 (5 x 6)(cm x cm) • Operamos Ac = 2 2 30 cm Ac = 2 • Sustituimos los datos Ac =
• Escribimos la respuesta
Ac = 15 cm2
Área total: • Copiamos la fórmula At = Ab + (n • Ac) • Sustituimos los datos At = 25 cm2 + (4 • 15 cm2) • Operamos At = 25 cm2 + 60 cm2 At = 85 cm2
• Escribimos la respuesta: para empacar cada vela se necesitan 85 cm2 de papel.
92
IGER − Utatlán
Ejercicio 3 Resuelva los problemas. 1) Se desea elaborar una pirámide de base octagonal con las medidas siguientes: el lado 3 m, la apotema 5 m y la altura de las caras 4 m, ¿qué cantidad de cartón se necesita?
Analizamos el problema con las preguntas: •
¿Qué nos pide el problema?
La cantidad de cartón necesario para construir una pirámide octagonal.
•
¿Qué datos tenemos?
pirámide
n
octagonal
3m
a
hc
5m
4m
Área de la base: • Copiamos la fórmula del área nx del octágono Ab = •
Sustituimos los datos y operamos
Ab =
(
Ab = •
Escribimos la respuesta
2
xa
)(
2
m)( 2
m)
m2
Ab =
m2
Área lateral: •
Primero calculamos el área de una cara
Ac =
•
Sustituimos los datos y operamos
Ac =
•
Escribimos la respuesta
Ac =
bxh 2 (
m)( 2
m)
m2
Área total: •
Copiamos la fórmula
At = Ab + (n • Ac )
•
Sustituimos los datos
At =
•
Realizamos los cálculos At =
At = •
Escribimos la respuesta: se necesitan
m2 + (
•
m2 +
m2
m2 )
m2
m2 de cartón.
Matemática − Semana 6
93
2) Se necesita pintar la carpa de un circo que tiene forma de pirámide dodecagonal, la base mide 5 metros por lado, la altura de una cara es 20 metros. Si un galón de pintura cubre 50 m2, ¿cuántos galones de pintura se deben comprar?
Analizamos el problema con las preguntas: •
¿Qué nos pide el problema?
Calcular la cantidad de pintura necesaria para pintar la carpa de un circo. Para resolverlo, solo necesitamos saber cuál es el área lateral.
•
¿Qué datos tenemos?
pirámide
n
hc
dodecagonal
Área de una cara: •
Escribimos la fórmula
Ac =
•
Sustituimos los datos en la fórmula
Ac =
•
Operamos
Ac =
Ac = •
bxh 2 (
m)( 2
(
x
2
Escribimos la respuesta Ac =
m) )( 2
x
)
m2 m2
Área lateral:
94
•
Copiamos la fórmula
Al = n • Ac
•
Sustituimos los datos
Al =
•
Operamos y obtenemos la respuesta
Al =
m2
• m2
Para calcular la cantidad de pintura, utilizamos una regla de tres simple.
área
galones de pintura
50 m2
1
600 m2
x
•
Operamos
•
Escribimos la respuesta: se deben comprar
IGER − Utatlán
x=
600 x 1 600 = = 50 50
galones de pintura.
3. Volumen de la pirámide
espacio que ocupa
El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es: V=
Ab x h 3
h
La fórmula se lee: volumen de una pirámide es igual al área base por la altura de la pirámide, dividido tres.
b
Ab = área de la base (polígono regular)
h = altura de la pirámide.
Para aplicar la fórmula debemos calcular primero el área de la base. Atención: la altura de la pirámide es diferente a la altura de las caras. Ejemplo En la cooperativa donde fabrican velas tienen un pedido de velas con forma de pirámide cuadrangular. Si la base mide 10 cm por lado y la altura es de 12 cm, ¿qué cantidad de parafina se necesita para fabricar una vela? Analizamos el problema con las preguntas: • ¿Qué nos pide el problema?
Determinar la cantidad de parafina para elaborar una vela. Para esto, necesitamos saber cuál es el volumen.
• ¿Qué datos tenemos? pirámide
cuadrangular
h
10 cm
12 cm
Primero calculamos el área de la base: • Copiamos la fórmula del área del cuadrado
Ab =
• Sustituimos los datos en la fórmula
Ab = (10 cm)2
• Operamos
Ab = (10 x 10)(cm x cm)
• Escribimos la respuesta
Ab = 100 cm2
2
Matemática − Semana 6
95
Ahora sí calculamos el volumen: • Copiamos la fórmula:
V=
Ab x h 3
• Sustituimos los datos:
V=
(100 cm2)(12 cm) 3
• Realizamos los cálculos:
V=
(100 x 12)(cm2 x cm) 3
V =
1200 cm3 3
V = 400 cm3 Escribimos la respuesta: se necesitan 400 cm3 de parafina para fabricar una vela.
Ejercicio 4 Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm por lado y 6 cm de altura. Anotamos los datos en la tabla: pirámide
h
cuadrangular Área de la base: 2
• Copiamos la fórmula
Ab =
• Sustituimos los datos
Ab = (
• Operamos
Ab = (
• Escribimos la respuesta
Ab =
)2 x
)(cm x cm)
cm2
Calculamos el volumen: • Copiamos la fórmula
V=
• Sustituimos los datos
V=
• Operamos
V=
V = V =
Ab x h 3 ( (
3 x
IGER − Utatlán
)
3
)(
x
cm3 3 cm3
• Escribimos la respuesta: el volumen de la pirámide es
96
)(
cm3.
)
Resumen 1. Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por un polígono regular llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: v
• vértice de la pirámide (v) • altura de la pirámide (h)
h
hc
• altura de la cara (hc) • caras laterales (Cl)
Cl
• base (b)
b
a
• apotema (a) 2. El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral: At = Ab + Al
Área de la base, siempre que la base sea un polígono regular, el área se calcula con la fórmula:
nx Ab =
2
xa
El área lateral se compone de las caras de la pirámide. Para determinarla, se calcula primero el área de una cara; como es un triángulo, entonces se utiliza la fórmula: bxh Ac = 2
Luego, el resultado se multiplica por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es:
Al = n • Ac
Para simplificar el procedimiento en la fórmula de área total, sustituimos Al por n • Ac y obtenemos:
At = Ab + Al
At = Ab + (n • Ac )
3. El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es:
V=
Ab x h 3 Matemática − Semana 6
97
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo que corresponde a la respuesta correcta. 1) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de un lado de la base hasta el vértice de la pirámide?
altura altura de la pirámide altura de la cara
2) ¿Cómo se llama el punto más alto de una pirámide?
altura cara lateral vértice de la pirámide
3) ¿Cómo se llama la pirámide que tiene tres caras?
pirámide triangular pirámide cuadrangular pirámide pentagonal
4) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de la base hasta el vértice de la pirámide?
altura de la pirámide apotema de la base altura de la cara
5) En una pirámide ¿cómo se llama la distancia del centro de la base hasta el centro de cualquiera de los lados?
apotema de la base altura de la cara radio de la base
6) ¿Qué tipo de triángulo forman las caras de una pirámide?
escaleno obtuso isósceles
7) ¿Cuál es la fórmula del área total de una pirámide?
A= A=
bxh 2 xaxn 2
A = Ab + (Ac • n) 8) ¿Qué nombre recibe la pirámide formada por cinco caras?
98
IGER − Utatlán
pirámide cuadrangular pirámide pentagonal pirámide hexagonal
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área total de las pirámides con las medidas indicadas. 1) Pirámide pentagonal 2) Pirámide cuadrangular
•
altura de las caras = 7 cm
•
altura de las caras = 2 m
•
apotema de la base = 3 cm
•
lado de la base = 1 m
•
lado de la base = 2 cm
B. Calcule el volumen de las pirámides con las medidas indicadas. 1) Pirámide cuadrangular 2) Pirámide hexagonal
•
altura de la pirámide = 6 cm
•
altura de la pirámide = 9 m
•
lado de la base = 5 cm
•
apotema de la base = 3 m
•
lado de la base = 3.5 m
Matemática − Semana 6
99
Agilidad de cálculo mental A. Resuelva mentalmente las operaciones y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 4 x 5 =
6) 5 x 7 =
11)
6x3=
2) 3 x 8 =
7) 3 x 5 =
12)
9x5=
3) 4 x 4 =
8) 7 x 4 =
13)
6x8=
4) 7 x 8 =
9) 4 x 8 =
14)
5x7=
5) 6 x 4 =
15)
4x4=
10) 4 x 9 =
B. Resuelva mentalmente las operaciones y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 8 x
= 48 6)
x 8 = 64 11)
x 6 = 42
2) 6 x
= 54 7)
x 5 = 35 12)
x 5 = 45
3) 4 x
= 32 8)
x 3 = 27 13)
x 8 = 56
4) 7 x
= 35 9)
x 7 = 42 14)
x 6 = 48
5) 4 x
= 28
x 9 = 36 15)
x 7 = 63
10)
C. Resuelva mentalmente las potencias y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 22 =
6) 82 =
11) 13 =
2) 42 =
7) 60 =
12) 23 =
3) 12 =
8) 32 =
13) 33 =
4) 70 =
9) 102 =
14) 43 =
5) 52 =
10) 92 =
15) 50 =
100
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números que obedece a un criterio. A. En el espacio en blanco escriba el número que completa la serie numérica. Luego escriba a qué criterio obedece. Hay un ejemplo. 0)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Criterio: cada número consecutivo es igual al número anterior más dos unidades. 1)
2
8
32
Criterio: 2)
6
12
24
36
Criterio: 3)
1/2
1/8
1/32
1/128
Criterio: B. Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) El techo de una torre es una pirámide hexagonal. Los lados de la base miden 4 metros y la altura de sus caras es 6 metros. Si solo se pintaran las caras, ¿cuál es el área que se debe pintar? 2) La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 cm por lado. La altura de las caras es 4 cm. ¿Cuál es el área total de la pirámide? 3) Calcule cuántos centímetros cúbicos de plástico se necesitan para fabricar una pirámide pentagonal. La base mide 10 cm por lado, la apotema 8.5 cm y la altura de la pirámide es 30 cm. 4) La base de una pirámide cuadrangular mide 6 cm por lado, la altura de las caras es 10 cm y la altura de la pirámide es 8 cm. ¿Cuál es su área total y volumen? 5) Una empresa fabrica chocolates en forma de pirámide cuadrangular. Para cada unidad la base mide 2 cm por lado, la altura de la pirámide es 3 cm y la altura de las caras es 3.5 cm. ¿Qué cantidad de envoltura y qué cantidad de chocolate se necesita para diez unidades? 6) El techo de un gallinero tiene forma de pirámide octagonal, la base mide 2 m por lado y la altura de las caras es de 5 m, ¿cuál es el área lateral? Matemática − Semana 6
101
Desarrolle nuevas habilidades Construya una pirámide Prepare los materiales a utilizar: cartulina o papel grueso, lápiz, regla, tijeras y pegamento. Siga los pasos: 1) Trace un triángulo equilátero como la figura de abajo (mayor de 10 cm por lado). 2) Marque la mitad de cada lado. 3) Trace líneas uniendo la mitad de cada lado para formar otro triángulo interno (observe la figura). 4) Dibuje unas pestañas en los lados como en la figura. 5) Recorte el dibujo. 6) Doble la figura por las líneas marcadas. 7) Aplique pegamento en las pestañas y forme la pirámide.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
102
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico una pirámide y sus partes. Clasifico pirámides por su base. Calculo el área y el volumen de las pirámides. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
7 La esfera ¿Qué encontrará esta semana? Esferas chinas de la salud La esfera: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen de una esfera
Esta semana logrará: Conocer la aplicación de las esferas en la medicina oriental. Identificar las partes de una esfera. Calcular el área y el volumen de la esfera. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas del área y el volumen de las esferas.
Matemática − Semana 7
103
¡Para comenzar! Esferas chinas de la salud
Para algunas culturas asiáticas, la esfera es el símbolo de la perfección porque se puede llegar a todas partes desde su centro. Las esferas chinas o Kung Fu Chio son dos bolas de metal recubiertas de una fina porcelana de variados colores y dibujos, con un pequeño instrumento dentro que hace que se produzca un sonido agradable al hacerlas rodar. Los chinos las utilizan desde hace muchísimos años para dar o darse masajes. Según la medicina asiática tradicional, las enfermedades son causadas por un bloqueo de la energía que fluye por el cuerpo. Estos bloqueos están ubicados en distintos puntos; al hacer girar las esferas sobre la mano, se estimulan estos puntos, activando la energía. Según la tradición china, los masajes estimulan la circulación de la sangre, aumentan la energía y la memoria, reducen la fatiga y la depresión, incluso aumentan la posibilidad de vivir más años.
Texto adaptado de wikipedia.org
¡A trabajar! A. Explique con sus palabras por qué se dice que la esfera es el símbolo de la perfección.
B. Según la tradición china, ¿qué beneficios se obtienen al realizar masajes con esferas?
104
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. La esfera Las esferas chinas, el Sol que nos alumbra o una pelota de futbol y tantos objetos que usted conoce tienen forma de esfera. La esfera es un cuerpo geométrico formado por una superficie curva, cuyos puntos están a la misma distancia del centro. En una esfera podemos distinguir estos elementos: Centro (C) es el punto interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la superficie. d
Radio (r) es la distancia del centro a un punto de la superficie esférica.
Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que se pueden representar con cualquier letra. A B
r
C
Diámetro (d) es cualquier segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie.
Ejercicio 1 A. Observe con mucha atención la esfera y responda. 1) ¿Qué elemento de la esfera forma el segmento CF?
E
2) ¿Qué elemento de la esfera es el punto C?
C
F
H
3) ¿Qué elemento de la esfera es el segmento EG? G
B. Escriba tres objetos que no hayamos nombrado y que tengan forma de esfera. 1) 2) 3)
Matemática − Semana 7
105
1.1 Área de la esfera Si cortamos una esfera en dos partes iguales, de cada parte se obtiene un círculo de diámetro igual al de la esfera. Éste círculo recibe el nombre de círculo máximo.
c cír
ulo
xi má
mo
Si deseamos cubrir totalmente la superficie de una esfera, necesitamos el área de cuatro círculos máximos, de tal manera que la fórmula para calcular el área de la esfera es: A = 4( r2) La fórmula se lee: el área de una esfera es igual a cuatro por pi, por el radio al cuadrado. Veamos un ejemplo donde aplicaremos el área de la esfera. Una fábrica de dulces, tiene su presentación de dulces esféricos recubiertos con chocolate. ¿Cuánto chocolate es necesario para recubrir un dulce de 5 mm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
Recuerde: las unidades de área se miden en mm2 , cm2 , m2 , etc.
r 5 mm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4( r2)
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(5 mm)2
• Operamos
A = (12.56)(25 mm2)
A = 314 mm2 • Escribimos la respuesta: se necesitan 314 mm2 de chocolate. ¡Otro ejemplo! ¿Cuánto nailon se necesita para fabricar una pelota de playa, cuyo radio es 30 cm? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 30 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4( r2)
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(30 cm)2
• Operamos
A = (12.56)(900 cm2)
A = 11 304 cm2 • Escribimos la respuesta: se necesitan 11 304 cm2 de nailon para fabricar una pelota de playa.
106
IGER − Utatlán
¡Un ejemplo más! Una pelota de basket tiene un diámetro de 24 cm, ¿cuál es su superficie?
Recuerde que el diámetro es el doble del radio. Así que para averiguar el radio de la pelota debemos dividir el diámetro entre dos:
r=d÷2
r = 24 ÷ 2
r = 12
• Escribimos el dato del problema en la tabla
r 12 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera A = 4 r2 • Sustituimos los datos en la fórmula A = 4(3.14)(12 cm)2 • Operamos A = (12.56)(144 cm2) A = 1808.64 cm2 • Escribimos la respuesta: la superficie de la pelota es de 1808.64 cm2.
Ejercicio 2 1) ¿Cuánto vidrio se necesita para fabricar una bombilla esférica de 3 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 3 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4 r2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(
cm)2
• Operamos
A = (12.56)(
cm2)
A = Escribimos la respuesta: se necesitan
cm2
cm2 de vidrio para fabricar una bombilla.
2) Una empresa fabrica pelotas de futbol de 11 cm de radio. Si el material que utiliza es cuero, ¿cuánto cuero se necesita para fabricar una pelota? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 11 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera A = 4 r2 • Sustituimos los datos en la fórmula A = 4( • Operamos A = (
)( )(
A= • Escribimos la respuesta: se necesitan
cm)2 cm2) cm2
cm2 de cuero. Matemática − Semana 7
107
1.2 Volumen de la esfera Si queremos averiguar la cantidad de líquido para llenar este jarrón esférico, debemos conocer el volumen del recipiente. La fórmula para calcular el volumen de una esfera es: Otra forma de escribir la fórmula del volumen de la esfera es: V = 4 r3 3
V=
4 r3 3
Esta fórmula se lee: el volumen de una esfera es igual a cuatro por pi por el radio al cubo, dividido entre tres. Ejemplo ¿Qué volumen de agua cabe en un bidón de forma esférica, de 10 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 10 cm
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera
V=
4 r3 3
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
4 (3.14)(10 cm)3 3
• Operamos
V=
(12.56)(1000 cm3) 3
V = Recuerde: las unidades de volumen se miden en mm3 , cm3 , m3 , etc.
12 560 cm3 3
V = 4186.67 cm3 • Escribimos la respuesta: en el bidón caben 4186.67 cm3 de agua. Otro ejemplo ¿Cuántos litros de helado caben en un recipiente esférico de 8 cm de radio? • Copiamos el dato del problema en la tabla
r 8 cm
• Escribimos la fórmula del volumen de la esfera
V=
4 r3 3
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
4 (3.14)(8 cm)3 3
• Operamos
V=
(12.56)(512 cm3) 3
V =
6 430.72 cm3 3
V = 2143.57 cm3 • Escribimos la respuesta: en el recipiente caben 2143.57 cm3 de helado.
108
IGER − Utatlán
Para responder correctamente al problema debemos convertir los centímetros cúbicos a litros. (1 litro equivale a 1000 cm3)
1000 cm3
1 litro
2143.57 cm3
x litros
x=
x = 2.14357 litros
2143.57 cm3 x 1 litro 1000 cm3
• Respondemos: en el recipiente caben 2.14 litros de helado.
Ejercicio 3 1) ¿Cuántos cm3 de agua caben en un jarro esférico de 4 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 4 cm
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera
V=
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
• Operamos
V=
4 r3 3 4(3.14)( (12.56)(
V =
3
V =
cm)3
3
cm3)
3 cm3 cm3
• Escribimos la respuesta: el jarro puede contener
cm3 de agua.
2) ¿Cuánta plasticina se necesita para elaborar una esfera de 2 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera • Sustituimos los datos en la fórmula • Operamos • Escribimos la respuesta: Matemática − Semana 7
109
Relacione conocimientos. 3) Un cubo de vidrio de 10 cm por lado va a ser fundido para fabricar cincos de 2 cm de radio. ¿Cuántos cincos se pueden fabricar con la cantidad de vidrio fundido?
Para saber cuántos cincos se pueden fabricar del cubo debemos conocer el volumen del cubo. • Escribimos el dato del cubo en la tabla 3
• Escribimos la fórmula del volumen del cubo
V=
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=(
• Operamos
V=
cm)3
Calculamos el volumen de cada cinco • Escribimos el dato del cinco en la tabla
r
• Escribimos la fórmula del volumen de la esfera
V=
• Sustituimos los datos
V=
• Operamos
V=
4 r3 3 4(3.14)( (
)(
V =
3
V =
3 3
cm)3
cm3) cm3 cm3
Si dividimos el volumen del cubo entre el volumen de cada cinco, obtenemos la cantidad de cincos que se pueden fabricar. cm3 Cantidad de cincos = Cantidad de cincos = cm3 • Escribimos la respuesta:
Resumen
1.1 El área de la esfera se calcula con la fórmula:
A = 4 r2
1.2 El volumen de la esfera se calcula con la fórmula:
V=
110
IGER − Utatlán
4 r3 3
d
1. La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo formado por los elementos marcados en la figura: diámetro (d), radio (r) y centro (C).
C
r
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Rellene el círculo de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico formado por una superficie curva cuyos puntos están a la misma distancia de un punto llamado centro?
cilindro
1) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de una esfera?
A = r2
esfera cono
A = 4 r2 4 3 A= r 3 2) ¿Cómo se llama el segmento que pasa por el centro de la esfera y que a la vez toca dos puntos de la superficie?
radio centro diámetro
3) ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una esfera?
4) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de la esfera a un punto de la superficie?
V=
1 2
r3
V=
1 3
r3
V=
4 r3 3
centro radio diámetro
B. Escriba sobre la línea el nombre de la parte señalada en la esfera.
Matemática − Semana 7
111
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área y volumen de cada esfera, tome en cuenta el valor del radio o diámetro señalado. Deje escrito su procedimiento. Área Volumen 1)
1m
R/
2)
R/
7 pies
R/
3)
R/
12 cm
R/
112
IGER − Utatlán
R/
B. Calcule la superficie de cada esfera, tome en cuenta el radio indicado en la columna izquierda. Tiene un ejemplo. A = 4 r2
r 7m
A = 4(3.14)(7 m)2 = (12.56)(49 m2)
respuesta
A = 615.44 m2
4m 11 cm 15 cm 3 mm 9 pies
C. Calcule el volumen de cada esfera, tome en cuenta el radio indicado en cada fila. Tiene un ejemplo. V=
r 2m
V=
4 r3 3
4(3.14)(2 m)3 (12.56)(8 m3) 100.48 m3 = = 3 3 3
respuesta
V = 33.49 m3
1.5 m
3 cm
2.5 mm
1 pie
4 pies
Matemática − Semana 7
113
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 2 x 9 =
8) 2 x 4 =
15) 8 x 3 =
2) 5 x 7 =
9) 2 x 6 =
16) 7 x 3 =
3) 4 x 5 =
10) 1 x 6 =
17) 9 x 8 =
4) 3 x 4 =
11) 8 x 4 =
18) 7 x 1 =
5) 8 x 7 =
12) 4 x 9 =
19) 6 x 6 =
6) 5 x 9 =
13) 5 x 6 =
20) 9 x 3 =
7) 6 x 4 =
14) 2 x 2 =
21) 4 x 4 =
B. Escriba el factor que completa la multiplicación. 1) 5 x
= 30 11)
x 3 = 18
21)
x 8 = 16
2) 6 x
= 42 12)
x 8 = 64
22)
x 9 = 63
3) 3 x
= 27 13)
x 9 = 27
23)
x 2 = 18
4) 9 x
= 45 14)
x 2 = 12
24)
x 5 = 50
5) 4 x
= 16 15)
x 1 = 10
25)
x 7 = 21
6) 9 x
= 63 16)
x 4 = 32
26)
x1=6
7) 8 x
= 40 17)
x 7 = 28
27)
x 9 = 81
8) 2 x
= 18 18)
x 5 = 45
28)
x 2 = 10
9) 6 x
= 54 19)
x 6 = 36
29)
x 4 = 20
10) 1 x
= 0 20)
x 4 = 0
30)
x 10 = 100
C. Desarrolle las potencias. 1) 72 =
7) 22 =
2) 53 =
8) 102 =
3) 30 =
9) 13 =
15) 43 =
4) 92 =
10) 82 =
16) 10 =
5) 33 =
11) 60 =
17) 02 =
6) 12 =
12) 42 =
18) 50 =
114
IGER − Utatlán
13) 23 = 14) 103 =
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) Sara necesita cubrir con papel de china 5 piñatas en forma de pelota. Cada piñata mide 24 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesita Sara? 2) En una fábrica de bolitas de chocolate se calcula que la medida del envoltorio debe ser 3/2 partes del área de un caramelo, si éstos miden 1 cm de radio, ¿cuál es el área de cada envoltorio? 3) Una pelota de plástico mide 20 cm de diámetro. ¿Cuál es el área de la pelota y con qué volumen de aire se llena? 4) ¿Qué cantidad de acero se necesita para fabricar una esfera de 3 mm de radio? 5) ¿Qué cantidad de aceite cabe en un jarro esférico de 4 pulgadas de radio? 6) En un parque deportivo se desea colocar como monumento un balón de 0.6 metros de radio. Si el material que se utilizará es concreto, ¿qué cantidad de concreto utilizarán? 7) ¿Qué cantidad de vidrio se necesita para fabricar 100 cincos de 1 cm de diámetro? 8) ¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente esférico de 15 cm de radio? Tome en cuenta que un litro de agua es equivalente a 1000 cm3 (1 litro = 1000 cm3). 9) Jacinto quiere envolver para regalo una pelota de futbol que le dará a su hijo. Si el radio de la pelota es de 10 cm, ¿cuánto papel de regalo necesita? 10) Jerónimo debe rellenar un cojín en forma esférica. Si el radio es de 11 cm, ¿cuánto material de relleno debe comprar? Relacione contenidos de semanas anteriores. 11) En una feria se necesita llenar una piscina inflable con pelotas de colores. Si la piscina es un cubo de 50 cm por lado y las pelotas tienen un radio de 5 cm; ¿cuántas pelotas se necesitan para llenar la piscina? 12) Para elaborar velas en forma de esfera de 3 cm de radio, Alfredo derrite cubos de parafina de 20 cm por lado. ¿Cuántas velas puede elaborar de un cubo de parafina?
Matemática − Semana 7
115
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuál pesa más? Lea con atención el problema y atrévase a resolverlo ¡Ánimo! El problema consiste en lo siguiente: • Tenemos dos cajas iguales en forma de cubo. Ambas miden 2 cm por lado. • En la primera caja colocamos una esfera de diámetro igual a la altura de la caja. • La segunda caja la llenamos de esferas de diámetro igual a la mitad de la altura de la caja. • Observe las figuras que ilustran el problema.
2 cm
1
2 cm
2
• Piense: si las esferas están hechas del mismo material, ¿cuál de las dos cajas pesa más? • Responda a la pregunta tentativamente sin realizar cálculos, luego compruebe su respuesta aplicando el tema de esta semana. Tome en cuenta: si dos objetos están hechos del mismo material y tienen el mismo volumen, entonces pesan lo mismo.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
116
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Conozco la aplicación de las esferas en la medicina oriental. Identifico las partes de una esfera. Calculo el área y el volumen de las esferas. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas del área y el volumen de las esferas. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
8 Repaso: semanas 1 a 7 Esta semana logrará: Repasar los contenidos de la semana 1 a la 7. Resolver los ejercicios del repaso para evaluarse en la primera prueba parcial. Calcular el perímetro y el área de un triángulo, círculo, rombo, romboide y polígonos regulares. Calcular el área total y el volumen de un cubo, cilindro y esfera. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide. Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 1 a la 7. Prepararse bien para la primera prueba parcial.
Matemática − Semana 8
117
Querida y querido estudiante: Se aproxima la primera evaluación y para esto debemos prepararnos adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 1 a la 7. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.
¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los trabajamos semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza y rapidez para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las siete semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá: responder preguntas, rellenar el círculo de la opción correcta, resolver operaciones y resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito en la prueba el procedimiento que utilice para llegar a la respuesta. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.
118
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática Triángulos, circunferencia y círculo 1. Triángulos altura
Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura.
base
1.1 Clasificación de los triángulos tomando en cuenta sus lados
según la medida de sus ángulos
Triángulo equilátero, los
Triángulo rectángulo, un ángulo recto,
tres lados iguales.
(90)° y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
1.2 Perímetro y área de un triángulo fórmula perímetro
P=
área
A=
1
+
2
bxh 2
+
se lee: 3
El perímetro del triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. El área del triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
d C
En un círculo podemos encontrar estos elementos: radio (r), diámetro (d) y centro (C).
r
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula
se lee:
perímetro
P=2 r
El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi, por la medida del radio.
área
A = r2
El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado. Matemática − Semana 8
119
Ejercicio 1 A. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente la pregunta. 1) ¿Cómo se clasifica el triángulo de la figura según sus lados?
equilátero isósceles escaleno
rectángulo
2) ¿Qué clase de triángulo es el de la figura según sus ángulos?
acutángulo obtusángulo
3) ¿Cómo se clasifica un triángulo cuyos lados tienen la misma medida?
isósceles equilátero escaleno
m
c 10
1) Triángulo rectángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10 cm.
Perímetro
8 cm
•
Copiamos la fórmula P =
•
Sustituimos los datos P =
•
Operamos y escribimos la respuesta P =
1
+
2
+
3
cm +
cm +
cm
Área •
Copiamos la fórmula A =
•
Sustituimos los datos A =
•
Operamos y escribimos la respuesta
A=
A =
120
IGER − Utatlán
6 cm
B. Calcule el perímetro y área de las figuras que aparece en cada numeral.
bxh 2 (
cm)( 2 cm2 2 cm2
cm)
cm
2) Círculo de radio igual a 3 cm.
3 cm
Perímetro •
Copiamos la fórmula P = 2 r
•
Sustituimos los datos P = 2 (3.14)(
•
Operamos y escribimos la respuesta
P=(
cm)
)(
P =
cm) cm
Área •
Copiamos la fórmula A = r 2
•
Sustituimos los datos A = (
)(
cm)2
•
Operamos y escribimos la respuesta
)(
)
A=(
A =
cm2
C. Resuelva el problema. p 7.2
a. Si quiere colocarle un marco de metal, ¿cuántos pies necesita? •
Copiamos la fórmula
P=
•
Sustituimos los datos
P=(
•
Operamos
P=
•
Escribimos la respuesta: Susana necesita
1
+
2
+
ie s
4 pies
Susana debe elaborar un rótulo triangular cuyas medidas se observan en la figura.
6 pies
3
)+(
)+(
)
pies pies de metal.
b. Si quiere cubrirlo con nailon, ¿cuántos pies cuadrados necesita? •
Copiamos la fórmula A =
•
Sustituimos los datos A =
•
Operamos A =
bxh 2 (
)( 2
(
A =
x
) )pies2
2 pies2 2
A = •
Escribimos la respuesta: Susana necesita
pies2 de nailon. Matemática − Semana 8
121
Cuadriláteros: rombo y romboide El rombo es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales, dos ángulos obtusos iguales y dos diagonales. El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales. figura
perímetro
área
d 90°
D
Dxd 2
P=4
A=
P = 2a + 2b
A=bxh
rombo a
h b
romboide
Ejercicio 2 A. ¿Qué perímetro y área tiene un rombo cuyos lados miden 5 cm, diagonal mayor de 8 cm y la diagonal menor de 6 cm? D = 8 cm
• Anotamos los datos del problema. D
=
d
Perímetro • Copiamos la fórmula P = 4 • Sustituimos el dato P = 4( • Operamos y escribimos la respuesta
cm)
P=
cm
Área • Copiamos la fórmula A = D x d 2 • Sustituimos los datos A = • Operamos y escribimos la respuesta
A=
A =
122
IGER − Utatlán
d = 6 cm
(
cm)( 2 cm2 2 cm2
cm)
m
5c
B. ¿Qué perímetro y área tiene un romboide cuyo lado inclinado mide 4 cm, la base 7 cm y la altura 2.5 cm? •
a = 4 cm
Anotamos los datos del problema. a
h = 2.5 cm b = 7 cm
b
h
Perímetro • Copiamos la fórmula P = 2a + 2b • Sustituimos los datos P = 2(
cm)+ 2 (
• Operamos y escribimos la respuesta
P=
cm +
P =
cm
cm) cm
Área • Copiamos la fórmula
A=bxh
• Sustituimos los datos A = (
cm)(
• Operamos y escribimos la respuesta
x
A=(
A =
cm) )cm2
cm2
C. ¿Cuánto papel se necesita para elaborar un barrilete en forma de rombo cuya diagonal mayor mide 40 cm y la diagonal menor, 30 cm? • Anotamos los datos del problema. D
d
Área • Copiamos la fórmula A = D x d 2 • Sustituimos los datos A = • Operamos A = A =
(
)( 2
)
cm2 2 cm2
• Escribimos la respuesta:
Matemática − Semana 8
123
Polígonos regulares 1. Un polígono regular es una figura de líneas rectas, plana y cerrada, cuyos lados y ángulos miden lo mismo. Reciben nombres especiales por su número de lados. Memorícelos:
pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
1.1 Elementos de un polígono regular • lados ( )
•
radio (r)
• vértices (v)
•
apotema (a)
C
• centro (C)
•
ángulos internos ( )
a
v r
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro
El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. El perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado.
P=nx
2.2 Área Las fórmulas para calcular el área de un polígono son dos: 1) Para aplicar esta fórmula se necesita el número de lados del polígono, la medida de un lado y de la apotema.
A=
2) Para aplicar esta fórmula se necesita la medida del perímetro y de la apotema del polígono.
A=
124
IGER − Utatlán
nx
2
Pxa 2
xa
Ejercicio 3 A. Use su regla para trazar un radio y una apotema en cada polígono, luego escriba sobre la línea qué nombre recibe. Tiene un ejemplo. 2)
1)
0)
3)
r a
dodecágono
a = 3 cm
B. Calcule el perímetro y área de un octágono que mide 2.5 cm por lado y 3 cm de apotema. • Anotamos los datos del problema.
= 2.5 cm
nombre del polígono
a
n
Perímetro • Copiamos la fórmula P = n x • Sustituimos los datos P = ( • Operamos y escribimos la respuesta
)(
P=
cm) cm
Área • Copiamos la fórmula A = P x a 2 • Sustituimos los datos A =
• Operamos A = • Escribimos la respuesta A =
(
cm)( 2
(
cm)
)cm2 2 cm2
Matemática − Semana 8
125
El cubo
cara
1. El hexaedro o cubo es un sólido cerrado y formado por seis cuadrados iguales. Las partes que forman un cubo son: caras, aristas y vértices.
arista
vértice
1.1 El área de un cubo es la medida de su superficie, formada por seis cuadrados de igual longitud .
Se calcula con la fórmula: A = 6
2
1.2 El volumen de un cubo es la cantidad de espacio que ocupa. Se obtiene multiplicando largo, por alto y por ancho.
Se calcula con la fórmula: V =
3
Ejercicio 4 A. Calcule el área y volumen de un cubo que mide 2 cm por lado. Área 2
• Copiamos la fórmula A = 6 • Sustituimos el dato A = 6(
)2
• Operamos A = (
x
x
A
x
)cm2
=(
• Escribimos la respuesta A =
)(cm x cm)
cm2
Volumen • Copiamos la fórmula V =
3
• Sustituimos el dato V = (
)3
• Operamos V = (
x
• Escribimos la respuesta V =
126
IGER − Utatlán
x cm3
)cm3
B. Resuelva los problemas. 1) Aníbal es artesano y elabora cofres de madera en forma de cubo. Tiene un pedido de 10 cofres de 2 pies por lado. ¿Cuántos pies cuadrados de madera debe comprar? Área 2
•
Copiamos la fórmula
A=6
•
Sustituimos el dato
A=6(
pies)2
•
Operamos
A = (6 x
x
A =
El resultado lo multiplicamos por 10.
•
Escribimos la respuesta: Aníbal debe comprar
)(pies x pies)
pies2
A = 10 x
pies2 =
pies2
pies2 de madera.
2) ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenar una piscina en forma de cubo de 2 metros por lado?
Para calcular la cantidad de litros, primero debemos saber el volumen en metros cúbicos, luego hacer la conversión por medio de una regla de tres simple. Volumen 3
•
Copiamos la fórmula V =
•
Sustituimos el dato V = (
m)3
•
Operamos V = (
x
•
Escribimos la respuesta V =
m3
x
)(m x m x m)
Ahora calculamos el volumen en litros • Planteamos la regla de tres directa y operamos. 1 m3
1000 litros
8 m3
x
x=
x = x = •
8 m3 x 1000 litros 1 m3 (8 x 1000) m3 x litros 1 m3 litros
Escribimos la respuesta: para llenar la piscina, se necesitan
litros de agua.
Matemática − Semana 8
127
El cilindro 1. En un cilindro podemos encontrar estos elementos: r
• altura del cilindro (h) • radio de la base (r)
Al
• área lateral (Al)
h Ab
2 r
• área de las bases (Ab) r
At = Al + Ab Fórmula del área total: A t = 2 rh + 2( r2)
Fórmula del volumen:
V = r2h
Ejercicio 5 A. Calcule el área total del cilindro de la figura según las medidas indicadas. Anotamos los datos del problema.
r
h
2 cm
5 cm
Área de las bases • Copiamos la fórmula
Ab = 2( r2)
• Sustituimos el dato
Ab = 2 (3.14)(
• Operamos
Ab = 6.28 (
cm)2 cm2)
Ab =
cm2
Área lateral • Copiamos la fórmula
Al = 2 rh
• Sustituimos los datos
Al = 2 (3.14) (
cm)(
• Operamos
Al = (
x
Al =
x
cm) x
) cm2
cm2
Área total • Copiamos la fórmula
At = Al + Ab
• Sustituimos los datos
At =
cm2 +
• Operamos
At =
cm2
• Escribimos la respuesta: el área del cilindro es
128
IGER − Utatlán
cm2.
cm2
B. Calcule el volumen del cilindro de la figura según las medidas indicadas. 3 cm
Anotamos los datos en la tabla.
h 8 cm
r
Volumen • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = 3.14 (
cm)2 (
cm)
• Operamos
V = 3.14 (
cm)(
cm)(
V = (3.14 x
x
V =
x
cm) ) cm3
cm3
• Escribimos la respuesta: el volumen del cilindro es
cm3.
C. Resuelva el problema. r = 1 pie
¿Cuál es la capacidad en galones de agua de una cubeta de forma cilíndrica cuyas medidas son: 1 pie de radio y 2 pies de altura? Tome en cuenta que un pie cúbico es equivalente a 7.5 galones de agua (1 pie3 = 7.5 galones) Anotamos los datos del problema.
r
h = 2 pies
h
Volumen • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = 3.14 (
pie)2(
• Operamos
V = 3.14 (
pie)(
V = (3.14 x V =
x
pies) pie)( x
pies) )pies3
pies3
Para calcular la cantidad de galones, aplicamos una regla de tres simple directa. Expresamos la relación directa y operamos.
1 pie3
7.5 galones
6.28 pies3
x
• Escribimos la respuesta: en la cubeta caben
galones de agua. Matemática − Semana 8
129
La pirámide 1. Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por un polígono regular llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: v
• vértice de la pirámide (v) • altura de la pirámide (h)
h
hc
• altura de la cara (hc) • caras laterales (Cl)
Cl
• base (b)
b
a
• apotema (a) 2. El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral: At = Ab + Al
Área de la base, siempre que la base sea un polígono regular, el área se calcula con la fórmula:
nx Ab =
2
xa
El área lateral se compone de las caras de la pirámide. Para determinarla, se calcula primero el área de una cara; como es un triángulo, entonces se utiliza la fórmula: bxh Ac = 2
Luego, el resultado se multiplica por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es:
Al = n • Ac
Para simplificar el procedimiento en la fórmula de área total, sustituimos Al por n • Ac y obtenemos:
At = Ab + Al
At = Ab + (n • Ac )
3. El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es:
130
IGER − Utatlán
V=
Ab x h 3
Ejercicio 6 A. Calcule el área total de una pirámide pentagonal cuyas medidas son: • lados de la base: 3 cm • altura de la cara: 6 cm
hc = 6 cm
• apotema: 2 cm Anotamos los datos: pirámide
= 3 cm
a = 2 cm
n
a
hc
pentagonal Área de la base •
Copiamos la fórmula Ab =
•
Sustituimos los datos Ab =
•
Operamos Ab =
Ab = •
nx
2
xa
5(
cm)( 2
5(
x
30 cm 2
cm) ) cm2
2
2
Escribimos la respuesta Ab =
cm2
Área de una cara •
Copiamos la fórmula Ac =
•
Sustituimos los datos Ac =
•
Operamos Ac =
Ac = •
Escribimos la respuesta Ac =
b x hc 2 3 cm ( (
x
2 2
cm) ) cm2
18 cm2 2 cm2
Área total •
Copiamos la fórmula At = Ab + (n • Ac )
•
Sustituimos los datos At =
cm2 + (5 •
•
Operamos At =
cm2 +
•
Escribimos la respuesta At =
cm2 ) cm2
cm2 Matemática − Semana 8
131
B. Calcule el área lateral de una pirámide decagonal cuyos lados de la base miden 5 cm y la altura de las caras es 8 cm. Anotamos los datos: pirámide
n
hc
b x hc 2
Área de una cara Ac = • Sustituimos los datos Ac =
(
)( 2
)
cm2
• Operamos Ac =
2
• Escribimos la respuesta: Ac = Área lateral • Copiamos la fórmula
Al = n • A c
• Sustituimos los datos Al = ( • Operamos y escribimos la respuesta
)(
)
Al =
cm2
C. Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base mide 3 pies por lado y 6 pies de altura. Anotamos los datos del problema. pirámide
h
Área de la base 2
• Como es un cuadrado, la fórmula es
Ab =
• Sustituimos el dato
Ab = (
)2
• Operamos y escribimos la respuesta
Ab =
pies2
Volumen • Copiamos la fórmula
V=
• Sustituimos los datos V = • Operamos V = • Escribimos la respuesta V =
132
IGER − Utatlán
Ab x h 3 (
)( 3 pies3 3
)
La esfera
1.1 El área de la esfera se calcula con la fórmula:
A = 4 r2
1.2 El volumen de la esfera se calcula con la fórmula:
V=
d
1. La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo formado por los elementos marcados en la figura: diámetro (d), radio (r) y centro (C).
r
C
4 r3 3
Ejercicio 7 Calcule el área y volumen de una esfera de 1 cm de radio. Área r = 1 cm
• Copiamos la fórmula A = 4 r 2 • Sustituimos los datos
A = 4 (3.14)(
cm)2
• Operamos A = (12.56)(
)cm2
• Escribimos la respuesta
A=
cm2
Volumen • Copiamos la fórmula V =
• Sustituimos los datos V =
• Operamos V =
V = • Escribimos la respuesta
V=
4 r3 3 4 (3.14)(
(12.56 x
3
3
3
cm)3
cm)3
cm3
cm3
Matemática − Semana 8
133
Agilidad de cálculo mental Aumente la velocidad de cálculo realizando las siguientes operaciones. Hágalo lo más rápido que pueda, no utilice calculadora. Tome su tiempo, debe realizarlas en menos de tres minutos. A. Realice las multiplicaciones y escriba la respuesta sobre la línea. 1) 6 x 3 =
7) 4 x 9 =
13) 5 x 5 =
2) 4 x 5 =
8) 1 x 7 =
14) 8 x 9 =
3) 1 x 9 =
9) 6 x 6 =
15) 6 x 4 =
4) 7 x 4 =
10) 8 x 5 =
16) 0 x 9 =
5) 2 x 8 =
11) 4 x 7 =
17) 4 x 8 =
6) 6 x 7 =
12) 6 x 5 =
18) 2 x 6 =
B. Escriba el factor que falta para que la operación sea correcta. 1) 5 x
= 35 6) 3 x
= 9 11) 4 x
= 20
2) 6 x
= 18 7) 9 x
= 36 12) 6 x
= 54
3) 9 x
= 45 8) 6 x
= 48 13) 8 x
= 40
4) 8 x
= 64 9) 5 x
= 35 14) 9 x
= 72
5) 2 x
= 12
= 56 15) 7 x
= 49
10) 7 x
C. Escriba el factor que falta para que la operación sea correcta. 1)
x 3 = 27 6)
x 8 = 0 11)
x 4 = 28
2)
x 9 = 9 7)
x 6 = 30 12)
x 7 = 63
3)
x 4 = 12 8)
x 7 = 21 13)
x 5 = 30
4)
x 6 = 24 9)
x 5 = 45 14)
x 9 = 81
5)
x 9 = 18
x 2 = 16 15)
x 6 = 42
10)
D. Desarrolle las potencias. 1) 12 =
5) 82 =
9) 52 =
2) 42 =
6) 90 =
10) 23 =
3) 30 =
7) 72 =
11) 43 =
4) 62 =
8) 13 =
12) 33 =
134
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) La superficie de un terreno tiene la forma y medidas que muestra la figura. ¿Cuánto mide el perímetro y área del terreno?
a = 10 m
h=8m b = 15 m
2) Daniela desea colocar una baranda alrededor de su jardín en forma de triángulo equilátero que mide 3 metros por lado. Si el metro de baranda cuesta Q40.00, ¿cuánto gastará en total? 3) La rueda de la bicicleta de Matías mide 50 centímetros de diámetro. ¿Qué distancia recorre cada vez que la llanta da una vuelta completa? ¿Qué distancia recorre si da 10 vueltas? 4) ¿Qué área ocupa un jardín circular cuyo diámetro mide 4 metros? 5) Carmen fabrica recuerdos artesanales en forma de rombo. Utiliza tela para el fondo y alrededor coloca un listón de colores. Si las medidas de cada recuerdo son: D = 60 cm, d = 40 cm y = 35 cm, ¿cuántos centímetros cuadrados de tela y cuántos centímetros de listón necesita para un recuerdo? 6) Un grupo de estudiantes de Utatlán quiere elaborar un barrilete en forma de dodecágono de 2 metros por lado y 4 metros de apotema. ¿Cuántos metros cuadrados de papel necesitan para elaborarlo y cuántos metros de pita necesitan para el borde? 7) Laura ha preparado 20 cajas llenas de abono orgánico para sus cultivos. Si las cajas son cubos de 0.5 m por lado, ¿cuántos metros cúbicos de abono tiene preparado? 8) Sabiendo que un mililitro es equivalente a un centímetro cúbico( 1ml = 1 cm3), ¿Cuántos mililitros de agua caben en una taza cilíndrica de 7 cm de radio y 8 cm de altura? 9) En la cúpula de una iglesia se desea colocar una pirámide pentagonal de 3 metros de altura, cuya base mida 1 m de apotema y 1.5 m por lado. ¿Qué cantidad de concreto se necesita para construirla? 10) Si se pinta el área lateral de la pirámide del problema anterior, ¿qué área se debe pintar, sabiendo que la altura de la cara es 3.2 metros? 11) José desea forrar con papel celofán, una pelota de 11 cm de radio. Para esto debe utilizar el doble de la superficie de la pelota, ¿cuántos centímetros cuadrados de papel necesita? 12) Para aprovechar el agua de lluvia, Ligia logró recolectar 10 tinajas de agua para uso doméstico. Considerando que las tinajas son esféricas de 2 pies de radio, ¿cuántos galones de agua logró recolectar? (Tome en cuenta que 1 galón de agua es equivalente a 7.5 pies3). Matemática − Semana 8
135
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Repasé los contenidos de la semana 1 a la 7. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la primera prueba parcial. Calculo el perímetro y el área de un triángulo, círculo, rombo, romboide y polígonos regulares. Calculo el área total y el volumen de un cubo, cilindro y esfera. Calculo el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide. Resuelvo problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 1 a la 7. Me siento bien preparado (a) para la primera prueba parcial.
Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su primera prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.
Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.
Grupo: Utatlán Materia: Matemática Prueba: parcial A-2012
Círculo de estudio Nº:
i serie.
1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto. 1) ¿Cuál es el resultado de (x + 3)(x – 3)?
x2 + 9 x2 + 6 x2 – 9
No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.
¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.
136
IGER − Utatlán
9 La raíz cuadrada ¿Qué encontrará esta semana? Christoph Rudolff Radicación Agilidad de cálculo mental Resolución de problemas aplicando la raíz cuadrada
Esta semana logrará: Practicar el símbolo de la raíz. Identificar la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación. Identificar las partes de la raíz cuadrada. Resolver raíces cuadradas de diferentes cantidades. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
Matemática − Semana 9
137
¡Para comenzar! Christoph Rudolff
Chrishoph Rudolff, matemático alemán, nació en 1499 y murió en 1545. Estudió en la Universidad de Viena, en Austria, y permaneció en ella como profesor de álgebra de 1517 a 1521. Mientras fue estudiante, pagaba los gastos de la universidad dando clases particulares de matemáticas a los niños de la ciudad. Durante sus años de profesor, pasaba horas en la biblioteca leyendo todos los libros que podía o platicando con estudiantes y profesores. En 1525 publicó el primer libro de álgebra escrito en alemán. En él aparece por primera vez el símbolo de la radicación ( ). Este símbolo no fue aceptado de inmediato, incluso en Alemania, su patria. Por fin, en 1655, el matemático John Wallis popularizó el uso de este símbolo. Adaptado de www.wikipedia.org
¡A trabajar! Practique con su lápiz el trazo del símbolo de la raíz. Siga la indicación de las flechas.
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IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Radicación
operación inversa a la potenciación
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en averiguar la base cuando conocemos el resultado de un número que fue elevado a una potencia. Veamos un ejemplo En la potenciación multiplicamos un número por sí mismo las veces que indica el exponente: 52 = 5 x 5 = 25 En la radicación debemos encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos dé el resultado que ya tenemos: 25 = 5 porque 5 x 5 = 25 Veamos detalladamente qué es la raíz cuadrada y en qué consiste.
1.1 Elementos de la raíz Las partes de la radicación son cuatro: 1. Índice, indica el grado de la raíz a calcular. En la raíz cuadrada el índice es 2, pero no debe escribirse. 2. Signo radical (
) se lee raíz cuadrada.
signo radical índice
2
25 = 5
raíz
radicando
3. Radicando es el número al que debemos extraerle la raíz, se escribe debajo del signo radical. 4. Raíz es el resultado de calcular la raíz cuadrada de una cantidad. En matemática se pueden calcular diferentes raíces. Nosotros estudiaremos solamente la raíz cuadrada.
Ejercicio 1 Escriba tres ejemplos de potenciación y tres ejemplos de radicación. Le ayudamos con el primero. potencia 72 = 7 x 7 = 49
raíz 49 = 7
Matemática − Semana 9
139
2. Raíz cuadrada Atención: la raíz cuadrada de 1 es 1 porque 1 x 1 = 12 = 1
La raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. Por ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 4? ¡Efectivamente! La respuesta es 2, porque 2 x 2 = 22 = 4 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2 y lo expresamos así:
4= 2
Otro ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 16? ¡Claro! La respuesta es 4, porque 4 x 4 = 42 = 16 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 16 es 4 y lo expresamos así: 16 = 4
2.1 Cálculo de la raíz cuadrada exacta Cuando la raíz de un número es un número entero, decimos que es una raíz exacta. Por ejemplo 81 = 9, 100 = 10 Si la raíz de un número es un decimal entonces la raíz es inexacta. Por ejemplo 2 = 1.41… 5 = 2.24…
Calculemos la raíz cuadrada de 36 • Buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a 36. • La respuesta es 6, porque 62 = 36. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 36 es 6. • En lenguaje matemático se expresa así:
36 = 6 porque 62 = 36
Otros ejemplos
64 = 8
porque
82 = 64
25 = 5
porque
52 = 25
Ejercicio 2 Relacione sus conocimientos de potenciación y calcule las raíces exactas. Tiene un ejemplo. 0)
9 = 3
3) 81 =
6)
36 =
1)
49 =
4) 25 =
7)
16 =
2)
64 =
5)
140
IGER − Utatlán
4 =
8) 100 =
Problemas que se resuelven con raíces También podemos aplicar la raíz cuadrada para resolver problemas, veamos un ejemplo. Un grupo de 25 estudiantes están ordenados en filas y columnas formando un cuadrado, ¿cuántos estudiantes hay en cada fila y columna?
¿Cuál es el dato que tenemos? 25 estudiantes Razonemos, como cada fila y columna tiene el mismo número de estudiantes, entonces podemos calcular la raíz cuadrada de 25. • Planteamos la raíz
25 = 5
• Respondemos: cada fila y columna tiene 5 estudiantes.
Ejercicio 3 Resuelva los problemas aplicando la raíz cuadrada. Puede ayudarse del ejercicio anterior. Recuerde, al extraer la raíz al número también debe hacerlo a la unidad de medida. ( 100 cm2 = 10 cm) 1) Si un terreno cuadrado mide 49 m2 de superficie, ¿cuánto miden sus lados?
•
¿Qué dato tenemos?
•
Planteamos la raíz cuadrada
•
Respondemos: cada lado del terreno mide
metros.
2) ¿Cuánto mide el perímetro de un espejo cuadrado cuya superficie es 81 cm2?
•
¿Qué dato tenemos?
•
Planteamos la raíz cuadrada
•
Calculamos el perímetro del cuadrado con la fórmula
P=4x
P = 4 x P = • Respondemos: el perímetro del espejo es
cm cm
cm.
Matemática − Semana 9
141
2.2 Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes Cuando las cantidades son pequeñas es fácil calcular su raíz si sabemos las tablas de multiplicar, pero cuando las cantidades son grandes, debemos seguir un procedimiento. La mejor manera de comprenderlo es con un ejemplo. Calculemos la raíz cuadrada de 1764. 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
17´64
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (17), o un valor menor lo más cercano. El número que más se aproxima es 4, porque 42 = 16. Luego escribimos: • El número 4 en el resultado.
142
IGER − Utatlán
•
Elevamos al cuadrado el 4 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades (17 – 16 = 1)
17´64 4 – 16 1
•
Bajamos el siguiente grupo, 64 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 164.
17´64 4 – 16 1 64
•
El resultado parcial 4 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 8.
17´64 4 4x2=8 – 16 1 64
3. Buscamos un número que acompañe a 8, que multiplicado por ese mismo número nos dé 164 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
17´64 4 8 – 16 1 64
4. El número buscado es 2 porque al agregárselo a 8 se forma el número 82, y 82 x 2 es igual 164. Escribimos el resultado y lo restamos de 164.
17´64 4 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0
5. Subimos el 2 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (42). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
17´64 42 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0
x
Veamos otro ejemplo Calculemos la raíz cuadrada de 789. 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
7´89
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, 7, o un valor menor lo más cercano a este. El número 2 es el que más se aproxima porque 22 = 4. Luego escribimos: •
El número 2 en el resultado.
•
Elevamos al cuadrado el 2 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades 7 – 4 = 3
7´89 2 –4 3
•
Bajamos el siguiente grupo 89 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 389.
7´89 2 –4 3 89
•
El resultado parcial 2 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 4.
7´89 2 2x2=4 –4 3 89
3. Buscamos un número que acompañe a 4, que multiplicado por ese mismo número nos dé 389 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
7´89 2 4 –4 3 89
4. El número buscado es 8 porque al agregárselo a 4 se forma el número 48, y 48 x 8 es el menor más próximo a 389. Escribimos el resultado y lo restamos de 389.
7´89 2 48 x 8 = 384 –4 3 89 – 384 5
5. Subimos el 8 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (28). Como el residuo es 5, esta es una raíz cuadrada inexacta.
7´89 28 48 x 8 = 384 –4 3 89 – 3 84 5
x
Para comprobar el resultado, hacemos el procedimiento siguiente: elevamos el resultado (28) al cuadrado y le sumamos el residuo (5). Si el resultado es correcto debemos obtener la cantidad inicial (789). 282 + 5 =
784 + 5 = 789 Matemática − Semana 9
143
Ejercicio 4 Ahora practique resolver raíces de cantidades grandes en espacios más pequeños y en menos tiempo. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)
169 1) 256
1´69 13 1x2=2 –1 69 23 x 3 = 69 – 69 00
2)
3136 3) 965
4)
5476 5) 77
144
IGER − Utatlán
Resumen 1. La radicación es la operación inversa a la potenciación. 1.1 Elementos de la raíz
signo radical índice
2
25 = 5
raíz
radicando
2. Hallar la raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. 2.2 Los pasos que debe realizar para resolver la raíz cuadrada de cantidades grandes son: 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
12´96
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (12), o un valor menor lo más cercano. El número 3 es el que más se aproxima, porque 32 = 9. Luego escribimos: •
El número 3 en el resultado.
•
Elevamos al cuadrado el 3 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades 12 – 9 = 3
•
Bajamos el siguiente grupo, 96 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 396.
12´96 3 –9 3 96
•
El resultado parcial 3 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 6. En este paso el resultado parcial siempre se multiplica por 2.
12´96 3 3x2=6 –9 3 96
12´96 3 – 9 3
3. Buscamos un número que acompañe a 6, que multiplicado por ese mismo número nos dé 396 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
12´96 3 6 –9 3 96
4. El número buscado es 6 porque al agregárselo a 6 se forma el número 66, y 66 x 6 es igual a 396. Escribimos el resultado y los restamos de 396.
12´96 3 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0
5. Subimos el 6 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (36). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
x
12´96 36 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0
Matemática − Semana 9
145
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Escriba sobre la línea el nombre de la parte señalada en la radicación.
2
64 = 8
B. Conteste las preguntas. 1) ¿Qué nombre recibe el símbolo
?
2) ¿Qué valor tiene el radicando en 9 = 3? 3) ¿Qué valor tiene el índice en 16 = 4? 4) ¿Qué nombre recibe el número 6 en 36 = 6? 5) ¿Qué nombre recibe el número 25 en 25 = 5? C. Escriba si la raíz es exacta o inexacta. Justifique su respuesta. Tiene un ejemplo. inexacta no hay un número entero que elevado al cuadrado sea igual a 2
0)
2
1)
4
2)
5
3)
10
4)
16
5)
9
6)
12
7)
20
146
IGER − Utatlán
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva las raíces cuadradas exactas. Compruebe su respuesta elevando el resultado al cuadrado. Tiene un ejemplo. 0)
16 = 4 42 = 16 81 = 6)
1)
1 = 9 = 7)
2)
25 = 64 = 8)
3)
49 = 100 = 9)
4)
4 = 10) 144 =
5)
36 =
B. Resuelva las raíces cuadradas. Tiene un ejemplo. 0)
2678 1) 225
26´78 51 5x2 – 25 1 78 101 x 1 = 101 – 1 01 77 2)
484 3) 679
4)
1045 5) 3740
Matemática − Semana 9
147
Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las multiplicaciones. Tiene un ejemplo. 0) 5 x 8 =
40
11) 6 x
= 30 21)
x9=0
1) 4 x 6 =
12) 3 x
= 27 22)
x 9 = 81
2) 3 x 7 =
13) 7 x
= 42 23)
x 4 = 16
3) 8 x 2 =
14) 7 x
= 35 24)
x 8 = 56
4) 6 x 5 =
15) 8 x
= 40 25)
x 6 = 36
5) 5 x 4 =
16) 2 x
= 18 26)
x 3 = 24
6) 3 x 8 =
17) 6 x
= 60 27)
x 7 = 28
7) 4 x 7 =
18) 4 x
= 36 28)
x 5 = 25
8) 4 x 9 =
19) 8 x
= 16 29)
x 3 = 18
9) 8 x 6 =
20) 10 x
= 100 30)
x 4 = 32
10) 11 x 6 =
B. Resuelva las potencias. Tiene un ejemplo. 1) 22 =
4
6) 42 =
11)
2
=9
2) 52 =
7) 82 =
12)
2
= 81
3) 90 =
8) 10 =
13)
2
= 49
4) 32 =
9) 02 =
14)
2
= 36
5) 62 =
10) 102 =
15)
2
= 25
C. Resuelva las raíces. 1) 4 =
16 = 5)
49 = 9)
2) 9 =
64 = 6)
100 = 10)
3) 1 =
36 = 7)
144 = 11)
4) 25 =
81 = 8)
121 = 12)
148
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas que se le plantean. 1) Una habitación tiene una superficie cuadrada de 16 m2. ¿Cuánto mide por lado? 2) En un círculo de estudio, Mirna dispone de 36 escritorios para un salón de clases. Si desea colocarlos de tal forma que las filas y las columnas formen un cuadrado, ¿cuántos escritorios debe colocar en cada fila y columna? 3) Andrés desea cercar un terreno cuadrado. Si la superficie mide 81 m2, ¿cuántos metros de cerca debe comprar? 4) En un salón hay 100 sillas formando un cuadrado, ¿cuántas sillas hay en cada fila? 5) Una mesa cuadrada mide 7056 cm2 de superficie, ¿cuánto mide por lado? 6) La superficie de un parque ecológico es cuadrada y mide 1225 m2. Si se quiere circular con malla, ¿cuántos metros de malla hay que comprar? 7) Una plancha cuadrada de vidrio tiene un área de 225 cm2. ¿Cuántos cuadrados de 5 cm por lado se puede obtener de la plancha? 8) Se desea colocar baldosas en un salón cuya superficie cuadrada mide 81 m2. Si cuatro baldosas colocadas en fila (una tras otra) miden un metro, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo del salón? 9) Marta quiere reordenar las casillas del rectángulo para formar un cuadrado. ¿Cuántas casillas debe colocar por lado? Pista: la superficie del rectángulo es igual a la superficie del cuadrado.
?
10) Un terreno rectangular mide 128 m2 de superficie. La medida del frente es el doble que el fondo. ¿Cuánto mide por lado? Pista: el rectángulo está formado por dos cuadrados.
128 m2
fondo
?
frente
Matemática − Semana 9
149
Desarrolle nuevas habilidades ¿Qué distancia recorre? ¡Lea el problema y anímese a resolverlo!
Fig. 1
6m
Ana y Francisco están situados en las esquinas opuestas de un terreno rectangular que mide 8 x 6 metros, como se muestra en la figura 1.
A
8m
Si Francisco camina en línea recta para llegar hasta Ana, ¿qué distancia recorre? • Para solucionar el problema dibujamos el camino que recorre Francisco. Es la diagonal de la figura 2, representada con la letra c. • La longitud de la diagonal es la distancia recorrida, se calcula con la fórmula: c = a2 + b2 • Sustituya los datos en la fórmula y resuelva el problema.
B
Fig. 2 c
a
b
Tome en cuenta: c representa la medida de la diagonal, a y b representan las medidas de los lados del rectángulo.
Nota:
Ahora compruebe su respuesta dibujando un rectángulo de 8 x 6 cm en su cuaderno, mida la longitud de la diagonal con una regla. Se sorprenderá al ver que la medida es la misma que obtuvo con la fórmula.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Practico el símbolo de la raíz cuadrada. Identifico la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación. Identifico las partes de la raíz cuadrada. Resuelvo raíces cuadradas de diferentes cantidades. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
150
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
10 Introducción a las ecuaciones ¿Qué encontrará esta semana? Evolución de los signos en matemática Lenguaje algebraico y ecuaciones Agilidad de cálculo mental Secuencias lógicas
Esta semana logrará: Identificar términos algebraicos y términos semejantes en una expresión algebraica. Transformar las expresiones escritas en lenguaje común a lenguaje algebraico. Definir una ecuación e identificar todas sus partes como una igualdad. Practicar cálculo mental. Resolver ecuaciones.
Matemática − Semana 10
151
¡Para comenzar! Evolución de los signos en matemática Hay una serie de signos matemáticos que ya reconocemos, como el de la suma (+) y la resta (–). Muchos pensarán que estos símbolos son tan antiguos como los números, sin embargo no es así. A medida que el estudio de la matemática fue progresando, los expertos fueron introduciendo nuevos símbolos para facilitar la escritura de las fórmulas y ecuaciones. Al principio, las ecuaciones matemáticas eran una especie de imitación del lenguaje hablado. Algo así como si en lugar de 40 + 3 = 43 escribiéramos: "40 más 3 igual a 43". Esta escritura se llamó cálculo literal. Conozcamos algunos ejemplos de la evolución de los signos. Los matemáticos egipcios utilizaron la barra (–) en posición horizontal para representar fracciones. Más tarde el inglés Augustus de Morgan la utilizó en posición oblicua para simplificar las fracciones en una sola línea. El matemático William Oughtred fue el primero en usar la letra x como signo para la multiplicación, mientras que el matemático alemán Leibniz utilizaba un punto (.) El signo de igualdad (=) se lo debemos al matemático Robert Recorde. Thomas Harriot fue el primero en utilizar los símbolos mayor que (>) y menor que (<). Tomado y adaptado de www.wikipedia.org
¡A trabajar! ¿Qué otros signos matemáticos conoce? Dibuje en los recuadros tres signos matemáticos que conozca, además de los descritos en la lectura y escriba el nombre sobre la línea. Tiene un ejemplo.
0)
ϵ
2)
152
pertenece
IGER − Utatlán
1)
3)
El mundo de la matemática 1. Lenguaje algebraico
Uso de letras y números
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números expresiones del lenguaje común. Utiliza letras para representar cualquier número, establecer fórmulas y resolver problemas de forma fácil. Todas las fórmulas que aprendimos en semanas anteriores son expresiones algebraicas. Por ejemplo, en lenguaje común definimos: "el área de un rectángulo es igual a la base por la altura". Sin embargo, traducido al lenguaje algebraico, podemos decir lo mismo, mediante signos: A = b # h
A representa el área, b la base y h la altura del rectángulo. Toda letra en lenguaje algebraico, x, y, z, es un número desconocido al cual se le puede asignar cualquier valor numérico. Aprendamos a expresarnos en lenguaje algebraico. Lea con atención. lenguaje común
lenguaje algebraico
El triple de un número desconocido.
3x
Un número elevado al cubo.
m3
Un número desconocido menos dos. La tercera parte de un número desconocido. Seis más un número elevado al cuadrado.
y-2 w 3 6 + x2
Ejercicio 1 Ahora le toca a usted. Traduzca las expresiones de lenguaje común a lenguaje algebraico. Utilice la letra x para representar el valor desconocido. Tiene un ejemplo. lenguaje común Un número elevado al cuadrado más tres.
lenguaje algebraico
x2 + 3
Un número desconocido más cinco. El doble de un número. Dos más un número elevado al cubo. Un número elevado al cuadrado menos tres.
Matemática − Semana 10
153
1.1 Término algebraico Un término algebraico es la mínima expresión algebraica. Podemos definirlo como un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación o la división. En un término algebraico podemos identificar estas partes: coeficiente signo
-3a2
exponente
variable
• el signo, puede ser positivo o negativo. Sólo se escribe el negativo y siempre delante del coeficiente, • el coeficiente, valor numérico que va delante de la variable, • la variable que puede ser cualquier letra minúscula, • el exponente o potencia. En álgebra suponemos que el coeficiente y la o las variables están multiplicándose cuando entre ellos no aparece el signo más (+) o el signo menos (–). Ejemplo: 3ab = (3)(a)(b) Atención: • Si un término algebraico aparece sin signo, se supone que su signo es positivo (+). • Si un término algebraico aparece sin exponente y sin coeficiente, para ambos suponemos que es uno (1).
Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo la parte del término algebraico que corresponde. Hay un ejemplo.
154
IGER − Utatlán
término
signo
y -2a 5x2y -xy 2 3 x 5 -wz
+
coeficiente variable y exponente
1
y
1.2 Términos semejantes
Las mismas letras
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras, elevadas al mismo exponente, aunque el coeficiente sea diferente. Ejemplo • 6b2 y -2b2 son términos semejantes porque ambos tienen la misma variable con el mismo exponente (b2) •
1 5 x z y x5z son términos semejantes porque ambos tienen las mismas 3 variables con el mismo exponente. (x5z)
• 3a2c y 4ac2 no son términos semejantes porque la potencia de a en el primer término es dos (a2) y en el segundo es uno (a). Lo contrario sucede con la variable c. Dos o más términos algebraicos, se pueden combinar por las operaciones de suma y resta, formando expresiones algebraicas más extensas. Por ejemplo
6x + 7 - 2x + 3
Atención: • Los términos semejantes se pueden sumar o restar y el resultado es otro término semejante.
Por ejemplo
6x - 2x = 4x
• Los términos no semejantes, no se pueden sumar o restar.
Por ejemplo
3a2 + 2a = 3a2 + 2a
Ejercicio 3 Rellene el círculo de la opción que responde correctamente la pregunta. Hay un ejemplo. 0) ¿Cuál es un término semejante de 4x2y2?
4xy
x2y2
4x2y
xy2
7a2
3a3
4a
7a
5xy
5x2y
1) ¿Cuál es un término semejante de 5a2?
1 4 a 2
5a
2) ¿Cuál es el resultado de 7a - 3a?
3a
4a2
3) ¿Cuál es el resultado de 4x2 + y?
4x2 + y
5x2 + y
Matemática − Semana 10
155
2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Tome en cuenta: una incógnita es un valor desconocido.
Encontrar un valor desconocido
Si sabemos qué es expresión y término algebraico, entonces comprenderemos fácilmente qué es una ecuación. Veamos la definición. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen valores constantes y una o más variables llamadas incógnitas, relacionadas por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, etc. La ecuación que tiene una variable con exponente uno se llama ecuación de primer grado con una incógnita. La siguiente expresión es una ecuación:
3+x=5
2.1 Partes de una ecuación En una ecuación podemos identificar estas partes: signo
4x - 6 = 2x + 4 primer miembro
segundo miembro
• El signo igual (=) indica que las expresiones en ambos lados son iguales. • Los miembros de la ecuación son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual. La expresión del lado izquierdo es el primer miembro y la expresión del lado derecho es el segundo miembro. • Los términos son cada una de las expresiones algebraicas separadas por el signo mas (+) o el signo menos (-). Ejemplo En la ecuación 3x - 5 = 7x + 11 • El grado de la ecuación es uno porque la incógnita x tiene exponente 1. • El primer miembro es 3x - 5 • El segundo miembro es 7x + 11 • Tiene cuatro términos: 3x, - 5, 7x, 11 • Los términos semejantes con incógnita son: 3x y 7x • Los términos semejantes conocidos son: - 5 y 11
156
IGER − Utatlán
Ejercicio 4 Rellene el círculo de la opción que responde correctamente las preguntas. 0) ¿Cuál es el primer miembro de la ecuación 3x + 1 = 16?
3x 16 3x + 1
1) ¿Cuál es el grado de la ecuación x + 2 = 2x - 7?
primer grado segundo grado tercer grado
2) ¿Cuál es el segundo miembro de la ecuación 3x = 6 + 3?
3x 6+3 3x + 6
3) ¿Cuántos términos forman la ecuación 2x = 8 + 2?
1 2 3
4) ¿Cuál es el término desconocido en la ecuación 5x + 3 = 18?
5x 3 18
5) ¿Cuáles son los términos conocidos en la ecuación 6x - 8 = 4?
6x, -8 6x, 4 -8, 4
6) ¿Cuántos miembros forman una ecuación?
1 2 3 o más
7) ¿Qué otro nombre recibe un valor desconocido?
variable incógnita ambas son correctas
8) ¿Cuál es el segundo miembro de la ecuación 2x + 4 = 0?
2x + 4 4 0
9) ¿Cuál es el primer miembro de la ecuación 3x + 2 = x - 4?
3x + 2 x-4 2+x
10) ¿Cuántos términos forman la ecuación 6x - 2 = 3x + 7?
2 3 4 Matemática − Semana 10
157
2.2 Resolución de ecuaciones Resolver una ecuación es calcular el valor de la incógnita que hará idénticas las cantidades en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, para resolver la ecuación 3 + x = 5 debemos preguntarnos ¿qué número sumado a 3 es igual a 5? A simple vista obtenemos la respuesta 2, es decir x = 2, porque 3 + 2 = 5. Pero no siempre es posible encontrar la solución tan fácilmente. Aprenderemos esta semana el procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado. Veamos los pasos. a. Realizar la transposición de términos. b. Reducir términos semejantes. c. Despejar la incógnita. d. Hallar el valor de la incógnita. a. La transposición de términos consiste en reunir en un solo miembro los términos con incógnita, y en el otro miembro, los términos conocidos. Esto significa que hay que trasladar términos de un lugar a otro, pero debemos respetar las reglas siguientes: 1. Si un término está sumando, pasa al otro miembro a restar.
y+3=4
y=4-3
2. Si un término está restando, pasa al otro miembro a sumar.
m-6=8
m=8+6
3. Si un término está multiplicando a todo el miembro de la ecuación, pasa a dividir al otro miembro, sin cambiar de signo.
3x = 18
4. Si un término está dividiendo a todo el miembro de la ecuación, pasa a multiplicar al otro miembro, sin cambiar de signo.
z 4 =8
b. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los términos semejantes, hasta reducirlos a la mínima expresión. c. Despejar la incógnita significa aislarla de un lado de la igualdad, para calcular su valor.
158
IGER − Utatlán
x = 18 3
z = 8(4)
5x - 3x = 2x 8-4+3=7 4x = 20
x = 20 4 x=5
Ejemplo Resolver las ecuaciones 1) 2x + 4 = 10 • Realizamos la transposición de términos. El 4 que está sumando pasa a restar al segundo miembro. • Reducimos términos semejantes. Restamos 10 - 4
2x + 4 = 10 2x = 10 - 4 2x = 6
• Despejamos la incógnita. El 2 que está multiplicando, pasa a dividir.
x= 6 2
• Hallamos el valor de la incógnita.
x=3
• Verificamos la respuesta. Sustituimos la incógnita de la ecuación por el valor hallado.
2x + 4 = 10 2 (3) + 4 = 10 6 + 4 = 10 10 =10
Si al comprobar la respuesta, la igualdad no se cumple, entonces el valor encontrado es incorrecto.
La solución x = 3 es correcta.
2) 3x - 2 = 4 • Realizamos la transposición de términos.
• Reducimos términos semejantes.
3x - 2 = 4 3x = 4 + 2 3x = 6
• Despejamos la incógnita.
x= 6 3
• Hallamos el valor de la incógnita.
x =2
• Verificamos la respuesta. Sustituimos la incógnita de la ecuación por el valor hallado.
3x - 2 = 4 3(2)- 2 = 4 6 -2 = 4 4=4
La solución x = 2 es correcta. Matemática − Semana 10
159
Ejercicio 5 A. A simple vista, calcule el valor de la incógnita en la ecuación. Tiene un ejemplo. 0) z - 4 = 11 1) y + 7 = 13
z=
15
y =
2) m-6=5 m =
B. Resuelva las ecuaciones y compruebe su respuesta. 1) x + 8 = 13 •
Realizamos la transposición de terminos.
x = 13 - ........................
•
Reducimos términos semejantes y hallamos el valor de la incógnita.
x = ........................
•
Verificamos la respuesta.
x + 8 = 13 ........................
+ 8 = 13 13 = 13
2) 2x + 4 = 10 •
Realizamos la transposición de términos .
2x = 10 - ....................
•
Reducimos términos semejantes.
2x = ....................
•
Despejamos la incógnita.
x= 6
•
Hallamos el valor de la incógnita.
x = ....................
•
Verificamos la respuesta.
2x + 4 = 10 2 (....................) + 4 = 10 ....................
+ 4 = 10
....................
160
IGER − Utatlán
= 10
C. Resuelva las ecuaciones sin escribir los pasos del procedimiento. Hay un ejemplo. 0) 2 + 4y = 10 1) 7x - 8 = 6 2) 3z + 4 = 13
4y = 10 - 2 4y = 8 y= 8 4 y 2 =
7x = 6 + ..............
3z = .................. - ..................
7x = ...............
3z = ..................
x = ...............
z = ..................
x = ...............
z = ..................
Resumen 1. El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números las expresiones que empleamos en el lenguaje común. coeficiente
1.1 Un término algebraico es la mínima expresión algebraica. Se compone de las siguientes partes.
signo
-3a2
exponente
variable
1.2 Dos o más términos son semejantes si tienen la misma variable con el mismo exponente. 2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.
signo
4x - 6 = 2x + 4 primer miembro
segundo miembro
2.2 El procedimiento general para resolver una ecuación de primer grado es: a. Realizar la transposición de términos respetando estas reglas: 1. Si un término está sumando, pasa al otro miembro a restar. 2. Si un término está restando, pasa al otro miembro a sumar. 3. Si un término está multiplicando a todo el miembro de la ecuación, pasa a dividir al otro miembro, sin cambiar de signo. 4. Si un término está dividiendo a todo el miembro de la ecuación, pasa a multiplicar al otro miembro, sin cambiar de signo. b. Reducir términos semejantes. c. Despejar la incógnita. d. Hallar el valor de la incógnita.
Matemática − Semana 10
161
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Escriba las expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Tiene un ejemplo. lenguaje común
lenguaje algebraico
0) El triple de un número elevado la potencia cuatro.
3y 4
1) Un número más cinco. 2) El doble de un número menos tres. 3) Un número menos once. 4) Un número elevado al cuadrado. 5) El triple de un número más cuatro. B. Complete la tabla escribiendo la parte del término algebraico que corresponde. Tiene un ejemplo. término
signo
coeficiente
variable y exponente
2x2y
+
2
x 2y
-3x 4mn 8y2 - 5x 3 7np2 C. Rellene el círculo del término semejante al término dado. Tiene un ejemplo. 0) Término semejante de 3x2y.
3xy
3xy2
2x3y
4x2y
7 mn
m2
5x3
5xy2z
3x2yz
4xyz
1) Término semejante de 4 m2.
2 m
2) Término semejante de 4xyz2.
162
1 2 xyz 2
IGER − Utatlán
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva las ecuaciones y compruebe su respuesta. Tiene un ejemplo. 0) 23 + t = 31
prueba
t = 31 - 23 23 + 8 = 31 t = 8 31 = 31 1) x + 11 = 21 2) u + 41 = 52
3) s - 12 = 6 4) 7 + w = 26
5) y - 9 = 15 6) r - 16 = 9
7) 15 + m = 29
8)
y =3 7
x 10
9) 6t = 48 10) = 5
11) 2w + 4 = 12 12) 4x - 3 = 9
Matemática − Semana 10
163
Agilidad de cálculo mental Resuelva mentalmente las ecuaciones y escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Hay un ejemplo. A. Suma de dos cantidades. 0) 5 + x = 11
x=
1) 6 + s = 19
6
7) 12 + y = 22
y=
s=
8) 13 + w = 15
w=
2) 3 + x = 15
x=
9) 17 + y = 24
y=
3) 9 + q = 15
q=
10) 19 + p = 24
p=
4) 3 + t = 17
t=
11) 15 + u = 28
u=
5) 7 + q = 15
q=
12) 11 + r = 16
r=
6) 8 + t = 24
t=
13) 13 + x = 19
x=
B. Diferencia de dos cantidades.
z=
7) x - 9 = 15 x =
2) x - 7 = 9 x=
8) y - 8 = 11 y =
u=
9) x - 5 = 16 x =
1) z - 4 = 4
3) u - 3 = 8
4) y - 15 = 4 y=
10) q - 8 = 12 q =
5) z - 11 = 4 z =
11) a - 4 = 21 a =
6) n - 12 = 5 n=
12) w - 15 = 6 w =
C. Multiplicación y división de dos cantidades.
n
1) 6t = 42 t =
= 5 7) 6
2) 9z = 27
z=
= 6 8) 4
x=
3) 2x = 26
x=
u = 7 9)
u=
4) 8y = 32
y=
= 4 10) 7
t=
5) 3x = 21
x=
y = 8 11)
y=
x = 9 5
x=
6) 4m = 36 m =
164
IGER − Utatlán
x
3 t
2
12)
n=
Razonamiento lógico Complete las secuencias lógicas, escribiendo el dato que haga falta. Escriba qué criterio sigue. Tiene un ejemplo. 0)
3
8
13
18
23
28
33
Criterio: cada número consecutivo es igual al anterior más cinco unidades. 1)
1
4
7
10
16
2.3
3.4
4.5
6.7
1
2
3
6
12
5
11
23
95
c
e
g
k
d5
g8
j11
o17
Criterio: 2)
1.2
8.9
Criterio: 3)
1
5
13
48
192
Criterio: 4)
3
Criterio: 5)
2
Criterio: 6)
a
Criterio: 7)
a2
Criterio:
Matemática − Semana 10
165
Desarrolle nuevas habilidades Expresemos en leguaje algebraico Observe atentamente la figura. El valor de cada lado está representado por una variable. d c b e a f
Observe que el lado f es igual a la suma del lado b más el lado d. Esto lo podemos expresar en lenguaje algebraico, así: f = b + d. También podemos calcular en forma algebraica el área de la figura. Por ejemplo, el área del rectángulo de base b y altura a, se representa así: A = ab. Ahora le toca a usted realizar expresiones algebraicas guiándose por la figura. A. Conteste las preguntas rellenando el círculo de la opción correcta. 1) ¿Qué expresión algebraica representa el área de la figura?
A = ac + ef A = af + cd A = ab + cd
2) ¿Qué expresión algebraica es equivalente al lado a?
a=e a=c+e a=e-c
B. Plantee una ecuación que represente el perímetro de la figura. Recuerde que el perímetro de una figura es la medida de su contorno.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
166
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico términos algebraicos y términos semejantes en una expresión algebraica. Transformo expresiones escritas en lenguaje común a lenguaje algebraico. Defino una ecuación e identifico todas sus partes como una igualdad. Practico el cálculo mental. Resuelvo ecuaciones. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
11 Ecuaciones II ¿Qué encontrará esta semana? Historia de las ecuaciones Ecuaciones de primer grado con varios términos, signos de agrupación y decimales Cálculo mental Resolución de ecuaciones
Esta semana logrará: Conocer la historia de las ecuaciones. Resolver ecuaciones de primer grado con varios términos, signos de agrupación y decimales. Practicar el cálculo mental.
Matemática − Semana 11
167
¡Para comenzar! Historia de las ecuaciones ¿Sabía que el estudio de las ecuaciones es muy antiguo? Desde tiempos remotos los seres humanos han utilizado ecuaciones para resolver problemas de la vida diaria. Por eso, diversas civilizaciones han estudiado y profundizado en este tema. Conozcamos algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC., los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones. En el siglo XVI aC., los egipcios planteaban ecuaciones muy elementales que les servían para resolver problemas relacionados con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Y utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I dC., los matemáticos chinos escribieron el libro titulado El arte del cálculo en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones. Finalmente en el siglo III dC., el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética, en la que por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de forma rigurosa las ecuaciones. El estudio de las ecuaciones no termina ahí, durante toda la historia de la humanidad y hasta nuestros días hay matemáticos interesados en profundizar en el tema y buscar otras formas de resolverlas. Adaptado de: www.redesescolares.lice.edu.mx
¡A trabajar! Con la información que proporciona la lectura, complete la línea de tiempo. Escriba el nombre de la civilización que realizó un aporte al estudio de las ecuaciones. Observe el ejemplo. XVII aC.
Mesopotámica
168
IGER − Utatlán
XVI aC.
I dC.
III dC.
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con varios términos Las ecuaciones con varios términos son aquellas en las que las variables y los términos conocidos se encuentran en uno o ambos miembros de la ecuación. Para encontrar el valor de la variable debemos transponer y reducir términos semejantes, hasta transformarla en una ecuación simple y fácil de resolver. Sigamos el procedimiento de los ejemplos y aprenderemos cómo resolver este tipo de ecuaciones. Resolvamos la ecuación
4x + 5x - 10 = 35
• Realizamos la transposición de términos. • Reducimos términos semejantes.
4x + 5x = 35 + 10 9x = 45
• Despejamos la variable. El 9 pasa a dividir y encontramos el valor de x.
x = 45 9 x=5
• Para verificar la respuesta, sustituimos x por su valor en la ecuación dada. Si la igualdad se cumple, la respuesta es correcta.
Otro ejemplo, resolvamos la ecuación • Realizamos la transposición de términos. • Reducimos términos semejantes en los dos miembros de la ecuación. • Despejamos la variable y encontramos el valor de x.
4 (5) + 5 (5) - 10 = 35
20 + 25 - 10 = 35 35 = 35
2x + 4x - 10 = 9x + 11
2x + 4x - 9x = 11 + 10 - 3x = 21
Recuerde la ley de signos para la división. +÷+=+ +÷–=– –÷+=– –÷–=+
x = 21 -3 x =- 7
• Verificamos la respuesta, sustituyendo x por su valor en la ecuación dada.
La igualdad se cumple, entonces la respuesta es correcta.
2x + 4x - 10 = 9x + 11
2 (- 7) + 4 (- 7) - 10 = 9 (- 7) + 11 - 14 - 28 - 10 =- 63 + 11 - 52 =- 52 Matemática − Semana 11
169
1.1 Ecuaciones con signos de agrupación Recuerde que un signo de agrupación en una ecuación, como en cualquier operación aritmética, indica el orden para operar los términos. En una ecuación que contiene signos de agrupación, primero debemos eliminarlos para convertirla en una ecuación que podamos resolver con los pasos ya vistos. Resolvamos la ecuación 3(x + 4) = 18 Los signos de agrupación son ( ) [ ] { } y recuerde que un paréntesis después de un número, una letra o un signo, indica multiplicación.
• Eliminamos el paréntesis multiplicando el 3 por todos los términos que están dentro del paréntesis.
3 (x + 4) = 18 3x + 12 = 18
• Realizamos la transposición de términos.
3x = 18 - 12
• Despejamos la variable y encontramos el valor de x.
3x = 6 x= 6 3 x=2
• Verificamos la respuesta, sustituyendo la respuesta en la ecuación dada.
3 (2 + 4) = 18 3 (6) = 18 18 = 18
Resolvamos otra ecuación x + 2 + 3(x - 3) = x - (4x - 14)
El signo menos (–) delante del paréntesis afecta a todos los términos que estén dentro y cambia el signo de todos ellos.
• Eliminamos los paréntesis en ambos lados de la ecuación. • Realizamos la transposición de términos • Reducimos términos semejantes. • Despejamos la variable y encontramos el valor de x.
x + 2 + 3x - 9 = x - 4x + 14
x + 3x - x + 4x = 14 - 2 + 9 7x = 21 x = 21 7 x=3
• Verificamos la respuesta, sustituyendo x por su valor en la ecuación original.
3 + 2 + 3 (3 - 3) = 3 - 64 (3) - 14 @
3 + 2 + 3 (0) = 3 - 612 - 14 @ 3 + 2 + 3 (0) = 3 - (- 2) 3+2+0 = 3+2 5=5
170
IGER − Utatlán
Ejercicio 1 1) Resuelva
9x - 3 = 6x + 9
• Realice la transposición de términos.
9x - ................... = 9 + ...................
• Reduzca términos semejantes.
..................
• Despeje la variable y encuentre el valor de x.
= ...................
x = ...................
x = ...................
2) Resuelva
5x + 3 - 2x = x -15
• Realice la transposición de términos.
....................
- .................... - .................... = - .................... - ....................
• Reduzca términos semejantes.
....................
= ....................
• Despeje la variable y encuentre el valor de x.
....................
= ....................
x = ....................
3) Resuelva • Elimine los paréntesis.
• Realice la transposición de términos. • Reduzca términos semejantes. • Despeje la variable y encuentre el valor de x.
4x + (x - 6) - (x - 2) = 16 - x ...................
+ ................... - ................... - ................... + ................... = 16 - .....................
...................
+ ................... - ................... + ................... = .................... + .................. - ...................
...................
= ...................
...................
=
...................
x = ...................
Matemática − Semana 11
171
1.2 Ecuaciones con números decimales Las ecuaciones con números decimales se resuelven con los mismos pasos que hemos aprendido hasta ahora. Sin embargo, existen dos maneras de llegar a la solución. Veamos cuáles son. a. Resolución directa con números decimales Recuerde lo que aprendió en el grupo Quiriguá sobre operaciones con números decimales. Repase los pasos a seguir en la semana 26, 27 y 28 del libro del segundo semestre. Veamos un ejemplo. Resolvamos la ecuación
3x - 0.5x = 2.5
• Reducimos términos semejantes.
2.5x = 2.5
• Despejamos la variable.
x = 2.5 2.5
• Hallamos el valor de x.
x=1
b. Resolución por conversión de decimales en números enteros
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, corremos el punto decimal hacia la derecha tantos lugares, como ceros acompañen a la unidad. Cuando sea necesario, completamos los espacios con ceros.
Otra forma es convertir todos los decimales en número enteros. Para ello: • Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por una potencia de 10. • ¿Qué potencia de 10? Debe observar el término de la ecuación que tenga mayor cantidad de decimales. Por ejemplo, si el término contiene dos decimales (0.12) deberá multiplicar por 100:
100(0.12) = 12 Si tuviera tres decimales, multiplique por 1000, etc.
• No olvide multiplicar todos los términos de la ecuación. Resolvamos ahora la misma ecuación por este método: • Convertimos los decimales en números enteros. Como 0.5 y 2.5 solo tienen un decimal multiplicamos por 10.
3x - 0.5x = 2.5
10 (3x - 0.5x) = 10 (2.5) 30x - 5x = 25
• Reducimos términos semejantes. • Despejamos la variable y encontramos el valor de x. Observe que por los dos métodos llegamos al mismo resultado.
172
IGER − Utatlán
25x = 25 x = 25 25 x=1
Resolvamos otra ecuación • Convertimos los decimales en números enteros.
0.12x - 2.1 = 0.07x - 0.2
100(0.12x - 2.1) = 100(0.07x - 0.2) 12x - 210 = 7x - 20
• Realizamos la transposición de términos.
12x - 7x =- 20 + 210
• Reducimos términos semejantes.
5x = 190
• Despejamos la variable y encontramos el valor de x.
x = 190 5 x = 38
Ejercicio 2 Resuelva las ecuaciones siguientes. Primero utilice el método por conversión de decimales en números enteros y luego la resolución directa con decimales. 1) a. Resuelva por conversión en números enteros. 0.4x + 1.2 = 1.6 + 0.2x •
Convierta los decimales en números enteros multiplicando por 10.
10 (................. + .................) = 10 (................. + .................) ................
x+
................
= ................. + ................. x
-
................
= ................. - .................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
.................
= .................
•
Despeje la variable y encuentre el valor de x.
.................
= .................
................
x = .................
b. Resuelva directamente con números decimales.
0.4x + 1.2 = 1.6 + 0.2x
•
Realice la transposición de términos.
x - ...................x = ................... - ...................
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la variable.
...................
...................
= ...................
x = ................... x=
Matemática − Semana 11
173
2) a. Resuelva por conversión en números enteros. 0.02x + 0.3x = 0.05x + 0.81 •
Convierta los decimales en números enteros.
(
.................................. .................................
+ .................................) = ............................ (............................ + ............................)
..........................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la variable y encuentre el valor de x.
..........................
+ .......................... = .......................... + ..........................
+ .......................... - .......................... = ..........................
..........................
......................
= .......................... = ......................
x = ......................
b. Resuelva directamente con números decimales.
0.02x + 0.3x = 0.05x + 0.81
•
Realice la transposición.
•
Reduzca términos semejantes.
......................
= ......................
•
Despeje la variable y encuentre el valor de x.
......................
= ..................................
......................
+ ...................... - ...................... = ......................
..................
= ..................
Resumen Pasos para resolver ecuaciones con varios términos, signos de agrupación y decimales: 1. Eliminar signos de agrupación, si los hay, aplicando la ley de signos de la multiplicación. 2. Si la ecuación contiene decimales, multiplicar por 10, 100, 1000; de acuerdo al término con mayor cantidad de decimales. 3. Realizar la transposición de términos. 4. Reducir términos semejantes. 5. Despejar la variable. 6. Verificar el valor de la incógnita en la ecuación dada. Si se cumple la igualdad, la respuesta es correcta.
174
IGER − Utatlán
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción que completa correctamente el enunciado. 1) La forma correcta de despejar la variable x en la ecuación 5x = 10 es…
x = 10 - 5 5 10 10 x= 5 x=
2) La correcta transposición de términos en la ecuación 2x + 3 = x es…
2x - x = -3 2x = x - 3 3 - x = 2x
3) Si reducimos los términos semejantes en ambos miembros de la ecuación -2.3x - 1.5x = - 0.2 + 0.8, obtenemos…
-0.8x = -0.6 -3.8x = 0.6 3.8x = 0.6
3.5 2 2 x= 3.5
4) La forma correcta de despejar la variable x en la ecuación
x=
x = 3.5 es… 2
x = 3.5(2)
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva las ecuaciones siguiendo los pasos que se le indican. 1) 6x + 9x - 5 = 25 • Transponga términos.
.....................
+ ..................... = ..................... + .....................
• Reduzca términos semejantes.
.....................
= .....................
• Despeje la variable.
.....................
= .....................
.....................
= .....................
Matemática − Semana 11
175
2) 3x + 8 = 16 + x •
Transponga términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la variable.
......................
- ...................... = ...................... - ...................... ......................
= ......................
x = ...................... x = ......................
3) 3(x + 2) + 2x = 31 •
Elimine el paréntesis.
•
Transponga términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la variable.
.......................
+ ....................... + ....................... = ....................... .......................
+ ....................... = ....................... - ....................... .......................
= .......................
x = ....................... x = .......................
4) 0.2x + 0.03x = 0.69 •
Convierta los decimales en enteros.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la variable.
.........................
(0.2x + 0.03x) = ......................... (0.69)
........................
+
...........................
= .........................
.........................
= .........................
x = ......................... x = ......................... B. Resuelva las ecuaciones siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 3 (x - 4) + 5x = 20
3x - 12 + 5x = 20 3x + 5x = 20 + 12 8x = 32 x = 32 8 x=4
176
IGER − Utatlán
1) 16x - 8 = 24
2) 10x + 6 = 12x -28 3) 6m - 4 - 3m = 3m + 10 - 2m
4) 3x - 5(2x + 1) = 9 5) 0.3x = 2.4
6) 0.6x + 0.4x = 1.5 + 3.5 7) -0.75x + 5.3 + 0.7 = 1.25x
Matemática − Semana 11
177
Agilidad de cálculo mental A. Realice las operaciones aplicando sus conocimientos sobre la multiplicación de la unidad seguida de ceros. Tiene un ejemplo. 0) 25 x 10 =
250
11) 2.8 x 10 =
22) 0.5 x 10
=
1) 64 x 10 =
12) 84 x 100 =
23) 0.3 x 100
=
2) 10 x 10 =
13) 36 x 100 =
24) 0.01 x 100 =
3) 91 x 10 =
14) 164 x 10 =
25) 0.44 x 100 =
4) 4 x 100 =
15) 222 x 10 =
26) 0.09 x 100 =
5) 13 x 100 =
16) 45.5 x 10 =
27) 0.07 x 100 =
6) 10 x 100 =
17) 100 x 100 =
28) 0.45 x 100 =
7) 45 x 100 =
18) 4.16 x 100 =
29) 7.56 x 100 =
8) 76 x 100 =
19) 3.36 x 100 =
30) 0.328 x 1000 =
9) 5 x 1000 =
20) 14.28 x 100 =
31) 0.625 x 1000 =
10) 22 x 1000 =
21) 12.56 x 100 =
32) 3.248 x 1000 =
B. Escriba el factor que convierte el número decimal en entero. Tiene un ejemplo. 0) 0.005 x 1000
= 5
11) 0.004 x
=4
1) 0.78 x
= 78
12) 0.006 x
=6
2) 0.06 x
= 60
13) 0.001 x
=1
3) 0.55 x
= 55
14) 0.074 x
= 74
4) 5.25 x
= 525
15) 0.10 x
= 10
5) 5.96 x
= 596
16) 0.44 x
= 44
6) 8.57 x
= 857
17) 5.55 x
= 555
7) 3.58 x
= 358
18) 6.00 x
= 600
8) 24.6 x
= 246
19) 5.25 x
= 525
9) 32.5 x
= 325
20) 3.22 x
= 322
10) 5.25 x
= 525
21) 23.4 x
= 2340
178
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Observe las secuencias lógicas y complételas. El criterio a seguir es el patrón de figuras en el orden que se presenta. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
3)
1
2 3
4)
5)
6)
7)
8)
Matemática − Semana 11
179
Desarrolle nuevas habilidades Relacione sus conocimientos Un parque se compone de un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho, y de dos semicírculos externos al rectángulo con diámetros igual al ancho del rectángulo. Determine el área del jardín sabiendo que su perímetro mide 57.12 m. ( = 3.14)
Tome en cuenta estas sugerencias para resolver el problema. • Observe con atención la figura que ilustra el problema. • Plantee una ecuación que exprese algebraicamente el problema. • Resuelva la ecuación para calcular las dimensiones del jardín. • Tome en cuenta solo los lados que le serán útiles. • Un semicírculo es la mitad de un círculo. Recuerde: el perímetro de una figura es la suma de sus lados externos. La fórmula para calcular el perímetro de un círculo es 2 r.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
180
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Conozco la historia de las ecuaciones. Resuelvo ecuaciones de primer grado con varios términos, con signos de agrupación y decimales. Practico el cálculo mental.
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
12 Ecuaciones III ¿Qué encontrará esta semana? Practiquemos el mínimo común múltiplo (mcm) Ecuaciones con fracciones Agilidad de cálculo mental Secuencias lógicas
Esta semana logrará: Recordar cómo calcular el mínimo común múltiplo (mcm). Resolver ecuaciones con fracciones. Practicar el cálculo mental. Completar series lógicas.
Matemática − Semana 12
181
¡Para comenzar! Practiquemos el mínimo común múltiplo (mcm) Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números nos servirá esta semana para hallar el denominador común de varios términos en ecuaciones con fracciones. En la semana 10 del grupo Quiriguá, aprendimos que el mínimo común múltiplo de dos o más números es el número menor que es divisible entre todos ellos. Para calcularlo lo haremos por descomposición de factores primos. Recordemos el procedimiento con un ejemplo. Calcular el mcm de 4, 6 y 2 • Descomponemos los números en sus factores primos.
4 2 2 2 1
6 2 3 3 1
2 2 1
• Escribimos cada número como producto de sus factores primos.
4 = 22
6 = 2#3
2=2
El mínimo común múltiplo es el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes con los mayores exponentes. En este caso el factor común con el mayor exponente es 22 y el factor no común es 3.
mcm (4, 6 y 2) = 22 # 3 mcm (4, 6 y 2) = 4 # 3 = 12 12 es el menor número que puede dividirse entre 4, 6 y 2. Veamos: 12 ' 4 = 3
12 ' 6 = 2 12 ' 2 = 6 ¡A trabajar! Calcule el mcm de los números. 1) mcm (8 y 12) 2) mcm (6, 10 y 15)
182
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con fracciones Las ecuaciones con fracciones son aquellas en las que uno o varios términos son fracciones. Como todas las ecuaciones que hemos visto hasta ahora, resolverlas consiste en encontrar el valor de la incógnita que verificará la igualdad. Esta semana aprenderemos dos formas de resolver ecuaciones con fracciones.
1.1 Ecuaciones con dos términos fraccionarios Cuando la ecuación tiene solo dos términos o dos expresiones fraccionarias, uno a cada lado de la igualdad, aplicamos la propiedad de medios y extremos, que dice: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, también llamada productos cruzados. Ejemplo Resolvamos la ecuación • Aplicamos la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
5x = 10 6 3 5x 10 = 6 3 5x (3) = 6 (10) 15x = 60
• Despejamos la incógnita y hallamos su valor.
x = 60 15
Recuerde: Los extremos son el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda. Los medios son el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda.
x=4 Otro ejemplo Resolvamos la ecuación • Aplicamos la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. El 2 y el 3 pasan a multiplicar. • Eliminamos los paréntesis. • Realizamos la transposición de términos. • Reducimos términos semejantes y hallamos el valor de la incógnita.
x+1 = 3+x 2 3 x+1 = 3+x 2 3 3 (x + 1) = 2 (3 + x) 3x + 3 = 6 + 2x 3x - 2x = 6 - 3 x= 3
Matemática − Semana 12
183
Ejercicio 1 1) Resuelva la ecuación •
x =9 2 6
Aplique la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
x =9 2 6 x (.....................) = .....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
....................
(9)
= .....................
x=
6
x = ..................... 5x = 10 2 4
2) Resuelva la ecuación •
Aplique la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
5x = 10 2 4 5x (....................) = .................... (10) ....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
= ....................
x=
20
x = .................... x-2 = x+3 3 4
3) Resuelva la ecuación •
Aplique la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
x-2 = x+3 3 4 (x - 2) ..................... = ..................... ( x + 3)
184
•
Elimine los paréntesis.
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes y halle el valor de la incógnita.
IGER − Utatlán
4x - ..................... = ..................... + ..................... .....................
- ..................... = 9 + 8 x = .....................
1.2 Ecuaciones con varios términos fraccionarios El procedimiento general para resolver esta clase de ecuaciones es el mismo que aprendimos en semanas anteriores, solo agregaremos un paso más, eliminar los denominadores. Esto se logra hallando el denominador común por medio del mcm. Cuando los denominadores son iguales, los eliminamos y la ecuación no cambia. La mejor manera de entenderlo es con un ejemplo. Resolvamos la ecuación • Para poder eliminar los denominadores: – Hallamos el denominador común por el mcm. – Dividimos el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por el numerador. – Eliminamos todos los denominadores.
x = x-1 4 6 2 mcm (4, 6 y 2) = 12
(3) x (2) x (6) 1 = 12 12 12
En la sección para comenzar vimos el procedimiento para hallar el mcm. 4 = 22
6 = 2#3
2=2
mcm (4, 6 y 2) = 2 2 # 3 mcm (4, 6 y 2) = 12
3x = 2 x - 6 12 12 12 3x = 2 x - 6
• Realizamos la transposición de términos. • Reducimos términos semejantes y hallamos el valor de la incógnita.
3x - 2x =- 6 x =- 6
Otro ejemplo Resolvamos la ecuación • Para poder eliminar los denominadores: – Hallamos el denominador común. – Dividimos el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por el numerador. – Eliminamos los denominadores.
x +5 = 1 -x 6 3 mcm (6 y 3) = 6
x + (6) 5 = (2) 1 - (6) x 6 6 6 6
Recuerde: Se supone que el denominador de un número entero es uno (1). Ejemplos: 5= 5 1
; - x = -x 1
x + 30 = 2 - 6x 6 6 6 6 x + 30 = 2 - 6x
• Realizamos la transposición de términos. • Reducimos términos semejantes. • Despejamos la incógnita y hallamos su valor
x + 6x = 2 - 30 7x =- 28 x = - 28 7 x =- 4 Matemática − Semana 12
185
¡Un ejemplo más!
5 + 2x = 4x - 7 3
Resolvamos la ecuación • Para poder eliminar los denominadores. – Hallamos el denominador común.
mcm = 3
(3) 5 2x (3) 4x (3) 7 + = 3 3 3 3
– Dividimos el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
15 + 2x = 12x - 21 3 3 3 3
– Eliminamos los denominadores.
15 + 2x = 12x - 21 • Realizamos la transposición de términos.
2x - 12x =- 21 - 15
• Reducimos términos semejantes.
- 10x =- 36
• Despejamos la variable y hallamos su valor. Si la respuesta es una fracción, la simplificamos, hasta donde sea posible.
x = - 36 - 10 x = 18 5
Ejercicio 2 1) Resuelva la ecuación •
Para poder eliminar los denominadores: – Halle el denominador común por el mcm. – Divida el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplica por el numerador. – Elimine los denominadores
3x + 1 = 2x 5 5 3 mcm (5 y 3) = ........................ ( ) 3x ( ) 1 ( ) 2x + = 15 15 15
15 ..................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
+
=
15
15
+ .................. = ........................
9x - ........................ =- ........................ ........................
= ........................
x = ........................ x = ........................
186
IGER − Utatlán
2) Resuelva la ecuación •
Para poder eliminar los denominadores: – Halle el denominador común por el mcm. – Divida el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplica por el numerador. – Elimine los denominadores.
x =- x + 15 4 2 2 mcm (4 y 2) = ...................... ( )x ( ) x ( ) 15 =+ 4 4 4
=-
4 ...................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
4
+
4
= - ................... + ...................
x + ...................... = ...................... ......................
= ......................
x = ...................... x = ......................
Resumen 1. Las ecuaciones con fracciones son aquellas en las que uno o varios términos son fracciones.
Hay dos formas de resolver estas ecuaciones.
1.1 Cuando la ecuación tiene solo dos términos, aplicamos la propiedad del producto de los extremos es igual al producto de los medios. 1.2 Cuando la ecuación tiene varios términos, utilizamos este procedimiento: • Eliminar los denominadores, hallando el denominador común por el mcm. • Realizar la transposición de términos. • Reducir términos semejantes. • Despejar la incógnita. • Hallar el valor de la incógnita.
Matemática − Semana 12
187
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Recuerde y ejercite cómo traducir del lenguaje común al lenguaje algebraico. Estas expresiones también pueden ser fracciones. Tiene un ejemplo. lenguaje común 0) cinco más el cociente entre un número y dieciséis.
lenguaje algebraico
5+ x 16
1) Un número dividido entre diez.
2) Un número menos la mitad del mismo.
3) La quinta parte de un número.
4) La mitad de un número más dos tercios del mismo.
5) Un número menos tres octavos del mismo.
6) Dos séptimos de un número desconocido.
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Siga los pasos para resolver.
5x = 10 3 6
1) Resuelva
•
Aplique la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
......................
(5x) = ...................... (10)
......................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
= ......................
x = ...................... x = ......................
188
IGER − Utatlán
2) Resuelva •
2x = 4 9 5
Aplique la propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2x (.....................) = ..................... (4) .....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
= .....................
x = ..................... x = .................... x = 10 - x 2 3
3) Resuelva •
Elimine denominadores. – Halle el denominador común por el mcm de estos. – Divida el denominador común entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplica por el numerador.
mcm (2 y 3) =
( )x ( ) 10 ( ) x = 6 6 6 =
6
– Elimine el denominador común.
..................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
6
-
6
= .................. - ..................
3x + .................... = .................... ....................
= ....................
x = .................... x = ....................
B. Ahora resuelva ecuaciones pero sin escribir los pasos, ahorrará tiempo y espacio. Hay un ejemplo. 0)
3x = 6 10 5
3x = 9 1) 5
3x (5 ) = 10 (6) 15 x = 60 x = 60 15 x =4
Matemática − Semana 12
189
2)
x+3 = x-1 x =2 3) 2 3 15 3
4) 3x - x =- 3 5) 3x + 3x = 9
4
6)
2
x-2 =5 5x - x = 2 7) 2 3 6 6 2 3
190
2
IGER − Utatlán
y
y
x
4x
= 3 8) 4 - 1 = 3 + 2 9) 2 5
10)
y 3 5x + 9 = x + = y - 7 11) 2 6 4 4
12)
x + 2x = 2x + 10 x - 1 = 3x + 1 13) 2 3 2 6 8 3
Matemática − Semana 12
191
Agilidad de cálculo mental Observe cada ecuación y resuélvala mentalmente, luego compruebe su resultado en la ecuación original. Preste atención a los ejemplos. A.
0) 5 + x = 13 x =
10) x - 5 = 4 x=
1) 3 + y = 5 y=
11) m - 4 = 6 m=
2) 1 + y = 2 y =
12) x - 5 = 8 x=
x=
13) x - 4 = 3 x=
4) 8 + x = 14 x=
14) m - 8 = 0 m=
5) 0 + x = 10 x=
15) m - 0 = 4 m =
6) 5 + y = 25 y=
16) m - 6 = 6 m =
7) 9 + x = 16 x=
17) x - 10 = 5
8) 5 + y = 18 y=
18) m - 1 = 24 m =
9) 10 + x = 20 x =
19) x - 6 = 10 x =
3) 2 + x = 6
B.
8
0) 3x = 15 x =
5
x
= 5 11) 3 x
x=
x=
1) 4x = 8 x =
= 1 12) 9
2) 5x = 50 x =
= 2 13) 15
3) 2y =18 y =
= 10 14) 4
4) 8y = 0 y =
= 6 15) 10
5) 9y = 45 y =
= 9 16) 1
6) 3y = 18 y =
= 5 17) 9
7) 7y = 63 y =
= 2 18) x
x=
8) 10y = 10 y =
14 7 19) =
x=
9) 15a = 60 a= 10) 2a = 100 a=
192
IGER − Utatlán
x
y
y
y
y
10
x 25 5 20) x =
x= x= y= y= y= y=
x=
Razonamiento lógico Secuencias lógicas. A. Observe las secuencias lógicas y complételas. El criterio a seguir es el patrón de figuras en el orden que se le presentó. 1)
2)
3)
B. Complete las series numérica, escribiendo la cantidad que hace falta dentro del cuadro. Tiene un ejemplo. 0)
+ 12
+1 1
2
+3 4
+4 7
+5 11
+6 16
22
Criterio: a cada número consecutivo se le suma una unidad más de lo sumado al 1)
número anterior. 11
15
19
23
31
5
9
23
45
0.5
0.8
1.7
3
Criterio: 2)
3
Criterio: 3)
0.3
Criterio: Matemática − Semana 12
193
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuál es el área sombreada? ¡Lea el problema y anímese a resolverlo! Los círculos de la figura se tocan en un solo punto. Todos los círculos son del mismo tamaño y su radio mide 2 cm. Los vértices del triángulo tocan los centros de los círculos de los extremos. Observe con atención y luego responda las preguntas:
1) ¿A cuántos círculos equivale la parte sombreada? 2) ¿Cuántos centímetros cuadrados ocupa el área sombreada? Recuerde que la fórmula para calcular el área de un círculo: es A = πr2
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
194
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Recuerdo como calcular el mínimo común múltiplo. Resuelvo ecuaciones con fracciones. Practico el cálculo mental. Completo series lógicas.
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
13 Resolución de problemas con ecuaciones ¿Qué encontrará esta semana? Resolver problemas nos hace competentes Problemas que se resuelven con ecuaciones Agilidad de cálculo mental Resolución de problemas
Esta semana logrará: Transformar expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Plantear y resolver problemas con ecuaciones. Practicar el cálculo mental con ecuaciones sencillas.
Matemática − Semana 13
195
¡Para comenzar! Resolver problemas nos hace competentes En la semana cero vimos las competencias que vamos a desarrollar a lo largo del curso. Recordemos, una competencia es un conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes y valores que nos ayudan a realizar actividades diarias de forma responsable y efectiva. Un problema matemático exige para su resolución que apliquemos estrategias que con el tiempo y la práctica nos hacen personas competentes. Algunas estrategias que utilizamos son: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, proponer soluciones, verificar que las soluciones sean válidas, elegir un lenguaje apropiado, manejar distintos conocimientos matemáticos, etc. Al resolver problemas matemáticos, nos estamos entrenando en “pensar” y en hacerlo de tal forma que nos lleve a una solución. Así, en nuestra vida cotidiana de familia y de trabajo, este entrenamiento saldrá de forma espontánea y seremos capaces de resolver problemas diversos. La resolución de problemas puede parecer una tarea difícil, pero si sigue los pasos adecuados y busca alternativas, no solo entrenará su pensamiento analítico, sino que habrá descubierto una manera entretenida de practicar las matemáticas.
¡A trabajar! Sin darnos cuenta resolvemos problemas matemáticos constantemente. Haga memoria y describa una situación de la vida cotidiana en la que haya resuelto un problema aplicando conocimientos de matemática y explique qué estrategia utilizó para encontrar la solución.
196
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Resolución de problemas con ecuaciones Esta semana desarrollaremos la habilidad de plantear una ecuación que solucione un problema en particular, es decir, transformar el problema del lenguaje común al lenguaje algebraico. Para resolver problemas aplicando ecuaciones, tome en cuenta estos pasos:
A. Lea cuidadosamente el problema e identifique los datos conocidos y los que debe buscar. • Cuando sea posible dibuje un esquema, un diagrama o una tabla para analizar con más facilidad el problema. • Escoja una variable para representar una cantidad desconocida y represente las demás cantidades en función de esa variable. B. Determine la ecuación que contenga la variable y que traduzca al álgebra el planteamiento verbal. C. Resuelva la ecuación para encontrar todas las cantidades desconocidas. D. Compruebe todas las respuestas del problema.
Recuerde que el lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente expresamos con palabras. Veamos algunos ejemplos. lenguaje común El doble de un número más cinco. La quinta parte de un número. La suma de dos números enteros consecutivos.
lenguaje algebraico 2x + 5 x 5 x + (x + 1)
El cuadrado de un número menos tres.
x2 - 3
Un número impar.
2x + 1
El doble de un número impar.
2(2x + 1) Matemática − Semana 13
197
1.1 Problemas de edades Como vimos en ¡Para comenzar! la resolución de problemas es un proceso que fortalece nuestro pensamiento. Más allá de la aplicación de fórmulas, los problemas nos ayudan a ordenar nuestras ideas y a expresar el lenguaje común en lenguaje algebraico. En este apartado aprenderemos a analizar y resolver problemas de edades con los pasos que se explicaron en la página anterior. ¡Empecemos! A. Leemos el problema. Karen es 3 años mayor que Carlos. Si ambas edades suman 47 años, ¿cuántos años tiene cada uno?
Asignamos una variable a una de las cantidades desconocidas y relacionamos las demás en función de esta. • Edad de Carlos : x • Edad de Karen: x + 3
B. Expresamos el problema como una ecuación. • Las edades de Carlos y Karen suman 47 años.
x + (x + 3) = 47
C. Resolvemos la ecuación para hallar las cantidades desconocidas.
x + x + 3 = 47
• Transponemos términos.
x + x = 47 - 3
• Reducimos términos semejantes.
2x = 44 x = 44 2
• Despejamos la variable.
x = 22
Escribimos la respuesta. La edad de Carlos es 22 años.
La edad de Karen es 22 + 3 = 25 años.
D. Comprobamos la respuesta en la ecuación inicial del problema.
x + ( x + 3) = 47 22 + (22 + 3) = 47 22 + 25 = 47 47 = 47
La igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente.
198
IGER − Utatlán
Otro ejemplo A. Leemos el problema. La edad de Esteban es 3 veces la edad de Carmen y la edad de Marina es 4.5 veces la edad de Carmen, si las edades suman 85 años, ¿cuántos años tiene cada uno?
Asignamos una variable a una de las cantidades desconocidas y relacionamos las demás en función de esta.
• Edad de Carmen : x • Edad de Esteban: 3x • Edad de Marina: 4.5x
B. Expresamos el problema como una ecuación. • Las edades de Carmen, Esteban y Marina suman 85 años.
x + 3x + 4.5x = 85
C. Resolvemos la ecuación para hallar todas las cantidades desconocidas. • Multiplicamos toda la ecuación por 10 para eliminar los decimales.
10 (x + 3x + 4.5x) = 10 (85) 10x + 30x + 45x = 850
• Reducimos términos semejantes.
85x = 850 x = 850 85
• Despejamos la variable.
x = 10 Escribimos la respuesta: La edad de Carmen es 10 años.
La edad de Esteban es 3(10) = 30 años.
La edad de Marina es 4.5(10) = 45 años.
D. Comprobamos la respuesta en la ecuación inicial del problema.
x + 3x + 4.5x = 85 10 + 3 (10) + 4.5 (10) = 85 10 + 30 + 45 = 85 85 = 85
La igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente. Matemática − Semana 13
199
Ejercicio 1 A. Lea el problema. Ricardo tiene el doble de edad que Josefina, y Guillermo tiene tres años más que Ricardo. Si las edades suman 38 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
El problema le pide averiguar tres cantidades desconocidas, unas están en función de otras. Así: La edad de Ricardo depende de la edad de Josefina y la de Guillermo depende de la de Ricardo. Conviene asignar la incógnita a la edad de Josefina porque no depende de otra. • Edad de Josefina: • Edad de Ricardo: • Edad de Guillermo:
B. Exprese el problema como una ecuación. • La suma de las edades es 38 años: C. Resuelva la ecuación para hallar las cantidades desconocidas. • Transponga términos.
........................
........................
+ (........................) + (.....................................) = ........................
+ ........................ + ........................ + ........................ = ........................ ........................
+ ........................ + ........................ = ........................ - ........................
• Reduzca términos semejantes.
........................
= ........................
• Despeje la variable.
........................
= ........................
x = ........................ Escriba la respuesta: Edad de Josefina: Edad de Ricardo: Edad de Guillermo: D. Compruebe la respuesta en la ecuación inicial del problema.
.....................
+ 2 (.....................) + 62 (.....................) + ..................... @ = .....................
........................
+ ........................ + ........................ + ........................ = ........................ ........................
Si igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente.
200
IGER − Utatlán
= ........................
1.2 Problemas de geometría Hay un tipo de problemas de geometría en los cuales debemos relacionar las fórmulas que ya conocemos de perímetro, de volumen o de área con las ecuaciones. En ellos se trata de cambiar la variable original de la fórmula, por otra variable que utilizaremos como incógnita. Veamos los ejemplos. A. Leemos el problema. En un triángulo rectángulo la altura mide 3 cm más que la base y el lado más largo es el doble de la base menos 3 cm. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo si el perímetro mide 36 cm?
Asignamos una variable a uno de los datos desconocidos (los lados) y relacionamos los demás en función de este.
Dibujamos el triángulo para facilitar el planteamiento. • base:
1
=x
• altura:
2
=x+3
• lado más largo:
3
= 2x - 3
2
3
1
B. Expresamos el problema como una ecuación.
• El perímetro mide 36 cm.
1
+
2
+
3
=P
x + (x + 3) + (2x - 3) = 36 C. Resolvemos la ecuación.
x + x + 3 + 2x - 3 = 36
• Transponemos los términos.
x + x + 2x = 36 - 3 + 3
• Reducimos términos semejantes.
4x = 36 x = 36 4
• Despejamos la variable.
x=9 Escribimos la respuesta: base x = 9 cm altura 9 + 3 = 12 cm
lado más largo 2(9) - 3 = 15 cm
D. Comprobamos la respuesta en la ecuación inicial del problema.
x + x + 3 + 2x - 3 = 36
9 + (9 + 3) + 62 (9) - 3 @ = 36 9 + 12 + 15 = 36
36 = 36
La igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente. Matemática − Semana 13
201
Otro ejemplo A. Leemos atentamente el problema. La altura de una ventana rectangular es 3/5 del ancho y el perímetro mide 400 centímetros. ¿Cuáles son las dimensiones de la ventana?
Asignamos una variable a uno de los datos desconocidos y relacionamos los demás en función de esta. • ancho: b = x • altura: a =
a
3x 5
b
B. Expresamos el problema como una ecuación.
• El perímetro mide 400 cm.
2a + 2b = P
( )
2 3 x + 2(x) = 400 5 C. Resolvemos la ecuación para hallar las cantidades desconocidas. • Aplicamos el mcm para tener un denominador común. Recuerde que para hallar un denominador común debemos encontrar el mcm, dividirlo entre cada denominador y multiplicarlo por el numerador.
6x + 2x = 400 5 (1) 6x (5)2 x (5)400 + = 5 5 5
• Eliminamos denominadores.
6x + 10x = 2000 5 5 5
• Transponemos los términos.
6x + 10x = 2000
• Reducimos términos semejantes.
16x = 2000
• Despejamos la variable.
x = 2000 16 x = 125
Escribimos la respuesta: El ancho es 125 centímetros.
3
La altura es (125) = 75 centímetros. 5 D. Comprobamos la respuesta en el enunciado original.
202
IGER − Utatlán
2` 3 xj + 2x = 400 5
2 8 3 (125) B + 2 (125) = 400 5 2 (75) + 2 (125) = 400 150 + 250 = 400 400 = 400
Ejercicio 2 A. Lea el problema. Se desea colocar una pared de block en toda la orilla de un terreno cuadrado que tiene un perímetro de 120 metros. 1) ¿Cuántos metros lineales de block hay que colocar por lado? 2) ¿Cuál es el área que encierran las paredes?
1) Asígnele una variable al dato desconocido: (
)=
B. Exprese el problema como una ecuación. • El perímetro es igual a 120 metros. C. Resuelva la ecuación para hallar la cantidad desconocida.
......................
=P
......................
= ......................
......................
= ......................
x = ......................
Escriba la respuesta: En cada lado hay que colocar
metros de block.
2) Para encontrar el área, también plantee una ecuación.
A= A=
Área es igual a un lado elevado al cuadrado.
......................
D. Compruebe la respuesta en el enunciado original del problema.
......................
= (......................)2
A= Escriba la respuesta: El área que encierran las paredes mide
2
..............................
.
4x = 120 4 (......................) = ...................... ......................
= ......................
Si la igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente.
Matemática − Semana 13
203
1.3 Problemas con números Para resolver problemas sobre números debemos recordar que el conjunto Z de los números enteros es un conjunto ordenado, de infinitos elementos a los que podemos clasificar como pares e impares. Simbólicamente:
Z = { -...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...+ } En este apartado aprenderemos a representar estos números enteros. • En general, cualquier número entero se representa con la variable: x. • Un número par lo representaremos con la expresión 2x, porque cualquier número entero multiplicado por 2 se convierte en número par.
Por ejemplo, el número impar 3 al multiplicarlo por 2, da como resultado 6, un número par.
Si x = 3,
2x
2 x 3 = 6
• ¿Y cómo se expresa un número impar? Sencillamente sumando una unidad al número par. La expresión algebraica de un número impar es:
(2x + 1). Hagamos la prueba.
Por ejemplo, si x = 3
(2x + 1) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
• Representación de dos o más números consecutivos.
Puesto que el conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, cada número consecutivo se obtiene sumando una unidad al número anterior.
Por lo tanto, si el primer número es x, los consecutivos serán (x + 1), (x + 2), etc.
Ejemplo, si x = 3,
(x + 1) = 3 + 1 = 4 (x + 2) = 3 + 2 = 5
• Dos o más números pares consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número par anterior.
Si el primer número par es 2x, los pares consecutivos serán (2x + 2),
Ejemplo si x = 3,
(2x + 4), etc.
2x = 2(3) = 6 (2x + 2) = 2(3) + 2 = 8 (2x + 4) = 2(3) + 4 = 10 • Dos o más números impares consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número impar anterior.
Si el primer número impar es (2x + 1), los siguientes impares consecutivos serán (2x + 3), (2x + 5), etc.
Ejemplo si x = 3,
(2x + 1) = 2(3) + 1 = 7 (2x + 3) = 2(3) + 3 = 9
204
IGER − Utatlán
Veamos un ejemplo A. Leemos con atención el problema. Encontrar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 66.
Asignamos la variable al primer número y relacionamos los demás en función del primero. 1er. número: x
2do. número: (x + 1)
B. Expresamos la ecuación. • La suma de los números es 66. C. Resolvemos la ecuación.
1er
2do
3er
x + (x + 1) + (x + 2) = 66 x + x + 1 + x + 2 = 66
• Transponemos términos.
x + x + x = 66 - 1 - 2 3x = 63 x = 63 3 x = 21
• Reducimos términos semejantes. • Despejamos la variable.
Escribimos la respuesta:
1er. x = 21 2do. (21 + 1) = 22
D. Comprobamos la respuesta:
3er. número: (x + 2)
3er. (21 + 2) = 23
21 + 22 + 23 = 66
Otro ejemplo A. Leamos el problema. Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma es 36.
Definimos los tres números pares consecutivos. 1er. número: 2x 2do. número: (2x + 2)
B. Expresamos la ecuación. • La suma de los números es 36.
1er
3er. número: (2x + 4) 2do
3er
2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 36
C. Resolvemos la ecuación. • Eliminamos los paréntesis. • • • •
2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 36 Transponemos términos. 2x + 2x + 2x = 36 - 2 - 4 Reducimos términos semejantes. 6x = 30 Despejamos x. x = 30 6 Hallamos el valor de x. x=5
Escribimos la respuesta: 1er. 2(5) = 10 2do. (10 + 2) = 12 D. Comprobamos la respuesta:
3er. (10 + 4) = 14
10 + 12 + 14 = 36 Matemática − Semana 13
205
Ejercicio 3 A. Lea cuidadosamente el problema e identifique los datos conocidos y los que debe buscar. La suma de tres números enteros consecutivos es 69, ¿cuáles son los números?
El problema le pide averiguar tres enteros e impares desconocidos, recuerde que para obtener tres números consecutivos solo debe sumarle 1 al número anterior. • 1er. número: • 2do. número: • 3er. número:
B. Plantee una ecuación que contenga la variable. • La suma de tres números enteros consecutivos es 66.
.....................
C. Resuelva la ecuación.
+ (..................... + .....................) + (..................... + .....................) =
.....................
....................
+ ..................... + ..................... + ..................... + ..................... = .....................
• Transponemos términos.
....................
+
....................
+ ..................... = ..................... - ..................... -
• Reducimos términos semejantes.
.....................
= .....................
• Despejamos la variable.
.....................
= .....................
x = ..................... Escribimos la respuesta: El primer número es x = El segundo número es El tercer número es D. Compruebe la respuesta en la ecuación inicial del problema.
.....................
= =
+ (..................... + .....................) + (..................... + .....................) = ..................... .....................
+ ..................... + ..................... = ..................... .....................
Si la igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente.
206
IGER − Utatlán
= .....................
....................
1.4 Problemas de dinero Otra tipo de problemas está relacionado con el trabajo, el comercio, el pago de horas extras, el dinero ahorrado, el costo de productos, etc. Aunque no existe un procedimiento definido para cada tipo de problema, su habilidad y las ecuaciones son las herramientas indispensables para la solución de estos. A. Leemos el problema. Elisa vende bicicletas en un almacén y recibe un sueldo base de Q2500.00 al mes, también tiene una comisión de Q25.00 por cada bicicleta que venda. ¿Cuántas bicicletas debe vender en un mes para ganar Q3000.00? En este problema tenemos un dato conocido que no cambia: el sueldo base de Elisa. El dato desconocido es el número de bicicletas que debe vender para conseguir los Q3000.00 al finalizar el mes.
Asignamos la variable al valor desconocido.
Cantidad de bicicletas que debe vender: x
Dinero por la venta de bicicletas: 25x
B. Expresamos el problema como una ecuación. • El salario base más la comisión suman Q3000.00.
2500 + 25x = 3000
C. Resolvemos la ecuación. • Transponemos términos.
25x = 3000 - 2500
• Reducimos términos semejantes.
25x = 500
• Despejamos la variable.
x = 500 25 x = 20
Escribimos la respuesta: Elisa debe vender 20 bicicletas.
D. Comprobamos la respuesta en la ecuación inicial del problema.
2500 + 25x = 3000 2500 + 25 (20) = 3000 2500 + 500 = 3000 3000 = 3000
La igualdad se cumple, el problema está resuelto correctamente. Matemática − Semana 13
207
Ejercicio 4 A. Lea el problema e identifique los datos conocidos y los que debe buscar. Los ahorros de Carmelina y Andrés suman Q 292.50. Si Carmelina ahorró 3.5 veces más que Andrés, ¿cuánto dinero ha ahorrado cada uno?
• Asigne una variable a uno de los datos y relacione los demás datos en función de esta.
Ahorros de Andrés:
Ahorros de Carmelina:
B. Plantee una ecuación que contenga la variable.
• La suma de los ahorros es Q292.50.
C. Resuelva la ecuación para hallar las cantidades desconocidas. • Multiplique toda la ecuación por 10 para eliminar los decimales.
............................
10 (............................) + 10 (............................) = 10 (............................) ............................
Ahorros de Andrés:
Ahorros de Carmelina:
+ ............................ = 292.50
+ ............................ = ............................ ............................
D. Recuerde que puede comprobar la respuesta en el enunciado original.
= ............................
x = ............................ x = ............................
Resumen Representación de números enteros. • Un número entero se representa por: x. • Un número par se representa por: 2x • Un número impar se representa por: (2x + 1) • Dos o más números consecutivos: x, (x + 1) • Dos o más números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4)... • Dos o más números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5)... En matemática, la resolución de problemas es uno de los procesos de mayor utilidad, por eso debe tomar en cuenta estos pasos para resolverlos. A. Lea cuidadosamente el problema y represente la cantidad desconocida con una variable. B. Escriba la ecuación que traduzca al álgebra el problema. C. Resuelva la ecuación para encontrar todos los datos solicitados. D. Compruebe la respuesta.
208
IGER − Utatlán
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción correcta que traduce al lenguaje algebraico las expresiones del lenguaje común. Tiene un ejemplo. 0) La mitad de un número.
ex 2
e 2x
e x2
e 2x + 1
ex
e 3(4) - x
e x - 3(4)
ex
e 2x
e -7x
ex-7
e 2 (x + y)
e x + y (2)
1) Un número impar.
ex + 1
2) El triple de un número menos cuatro. e 3x - 4 3) Un número par.
ex 2 4) Siete menos un número. e 7 - x 5) El doble de la suma de dos números. e 2x + y
6) La edad de una persona hace cinco años. e 5 - x
e 22 - 5
ex-5
7) El cuadrado de un número más el triple del mismo. 2 e 3 + 3x
e x2 + 3x
e x + 32
8) La quinta parte del triple de un número.
e3 5 x
e 3x 5
ex 5
e3 + a + b + c
e 3 (a + b + c)
9) El triple de la suma de tres números. e a + b + c (3)
Matemática − Semana 13
209
Agilidad de cálculo mental Resuelva las siguientes ecuaciones en el menor tiempo posible. Fíjese en el ejemplo. A.
B.
0) x + 5 = 13 x =
8
10) x - 5 = 4 x =
1) y + 1 = 2 y =
11) x - 1 = 5 x =
2) x + 2 = 6 x =
12) x - 2 = 1 x =
3) y + 3 =-2 y =
13) x - 6 = 3 x =
4) x + 8 = 14 x =
14) m - 8 = 0 m =
5) x + 0 = 10 x =
15) m - 0 = 4 m =
6) y + 5 = 25 y =
16) m - 6 = 6 m =
7) x + 9 = 16 x =
17) m - 5 = 4 m =
8) y + 5 = 18 y =
18) m - 1 = 24 m =
9) x + 10 = 20 x =
19) x - 6 = 10 x =
0) 3x = 15 x =
5
x
= 5 11) 3 x
x=
1) 4x = 8 x =
= 1 12) 9
2) 5x = 50 x =
= 2 13) x
m=
3) 2y =18 y =
14 7 14) =
x=
10
4) 8y = 0 y =
x 25 5 15) x =
5) 9y = 45 y =
35 = 7 16)
6) 3y = 18 y =
x x =2 17) 15
7) 7y = 63 y =
= 10 18) 4
8) 10y =10 y =
= 6 19) 10
9) 15a = 60 a =
= 9 20) 1
10) 2a = 100 a =
21) 9 = 5
210
IGER − Utatlán
y
y
y
y
x=
x= x= x= y= y= y= y=
Razonamiento lógico Lea con atención cada problema, plantee una ecuación y resuélvala. 1) Si a un número le restamos 24 obtenemos 76, ¿cuál es ese número? 2) Juan tiene 25 años más que su hijo. Si ambas edades suman 41 años, ¿cuántos años tiene cada uno? 3) En un terreno rectangular, el largo mide 15 m más que el ancho. Si el perímetro es 150 m, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 4) En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 3 cm menos que los lados iguales. Si el perímetro mide 21 cm, ¿cuánto mide cada lado del triángulo? 5) Ángel recibió una cuenta de Q 106 por la reparación de su carro. La cuenta incluía: Q 22.00 por cada hora de mano de obra, Q 23.00 de repuestos, Q 6.00 de lija. ¿Cuántas horas de mano de obra le han cobrado? 6) Encuentre un número tal que la suma de su sexta parte y su novena parte sea 15. 7) El ancho de un terreno es dos tercios de su largo. Si el perímetro es 500 m, ¿cuáles son las dimensiones del terreno y su área? 8) El ancho de una tabla rectangular mide 1/4 de su longitud. Si el perímetro de la tabla es de 90 pulgadas, encuentre su longitud y el ancho. 9) Lucrecia pesó dos cerdos de su granja y en total suman 134 libras. ¿Cuál es el peso de cada cerdo si el segundo pesa 0.9 libras más que el primero? 10) En el día de la Tierra un grupo de estudiantes visita el Puerto de San José para limpiar la playa. El equipo con playera blanca recogió la mitad de lo que recogió el equipo azul. El equipo verde recogió un cuarto de lo que recogió el equipo azul. El total de desechos recogido fue de 420 libras, ¿cuántas libras recogió cada equipo? 11) Encontrar tres números impares consecutivos cuya suma sea 51. 12) Elena tiene un terreno sin cercar cuya longitud es 3 metros más grande que el ancho. Elena quiere cercar el terreno y dividirlo en tres partes iguales como se observa en la figura. Si dispone de 60 metros de cerca, encuentre: a. El largo y el ancho del terreno b. El área total del terreno c. El área de cada parte del terreno
x
x+3
Matemática − Semana 13
211
Desarrolle nuevas habilidades ¿Qué fracción representa? Observe con atención la figura y responda lo que se le pregunta. Trate de hacer la menor cantidad de cálculos.
20 cm
20 cm
a. ¿Cuál es la fracción sombreada respecto del cuadro grande?
1 2
3 4
7 8
5 16
b. ¿Cuál es el área de la sección sombreada?
100 cm2
125 cm2
200 cm2
400 cm2
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Reconozco la importancia de resolver problemas. Transformo expresiones del lenguaje habitual al lenguaje algebraico. Planteo y resuelvo problemas con ecuaciones. Practico el cálculo mental.
212
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
14 Sistemas de ecuaciones, método de igualación ¿Qué encontrará esta semana? Seki Kowa Sistemas de ecuaciones, método de igualación Agilidad de cálculo mental Resolución de problemas
Esta semana logrará: Reconocer los aportes de Seki Kowa a la resolución de sistemas de ecuaciones. Definir qué es un sistema de ecuaciones con dos variables. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación. Practicar el cálculo mental. Aplicar sistemas de ecuaciones en la solución de problemas.
Matemática − Semana 14
213
¡Para comenzar! Seki Kowa
Takakazu Seki Kowa nació en 1642 en Fujioka, Japón. A lo largo de su vida acumuló un gran número de libros chinos y japoneses sobre matemática y llegó a ser un experto en esta ciencia. Fue conocido como “El sabio de la Aritmética”. Trabajó como funcionario público y dedicó su tiempo libre al estudio de las matemáticas. Desarrolló un método de notación algebraica que consistía en incorporar cualquier número de incógnitas en una ecuación. En 1674 publicó un libro que detallaba este método, dando soluciones a algunos problemas conocidos, aún sin mostrar los cálculos. Seki Kowa fundó la escuela Seki de matemáticas, la primera creada oficialmente en Japón. Sin embargo, el estricto secreto de su enseñanza mantuvo sus métodos ocultos durante más de un siglo. Murió en Tokio el 24 de octubre de 1708. Actualmente en Japón, existe el premio Seki-Takakazu en el área de matemáticas. Adaptado de: http://samuraisocialista.blogspot.com/
¡A trabajar! Responda las preguntas. 1) ¿En qué consistía el método de notación algebraica que desarrolló Seki Kowa? 2) ¿Por qué cree que Seki Kowa fue conocido como "El sabio de la aritmética"?
214
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Hasta ahora hemos estudiado ecuaciones que tienen solo una incógnita. Esta semana veremos ecuaciones con dos incógnitas. Generalmente, se representan por las letras x y y. Por ejemplo:
x + y = 10 Para resolver esta ecuación necesitamos otra ecuación que comparta las mismas incógnitas. Por ejemplo:
x + y = 10 x - y =- 6 Estas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Se llaman así porque una depende de la otra para hallar la solución. Hay varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. En este curso estudiaremos tres: método de igualación, método de sustitución y método de reducción. Empezaremos por el método de igualación.
1.1 Método de igualación Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones, para después igualar las expresiones resultantes y formar una nueva ecuación con una incógnita. El procedimiento es el siguiente: 1. Escoger y despejar una variable en las dos ecuaciones. 2. Igualar las expresiones que resultan. 3. Resolver la ecuación y hallar el valor de una incógnita. 4. Sustituir el valor de la incógnita encontrada en una de las dos ecuaciones originales y hallar el valor de la otra incógnita. 5. Verificar el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales.
Matemática − Semana 14
215
Ahora resolveremos con un ejemplo un sistema de ecuaciones por el método de igualación. Resolvamos el sistema de ecuaciones
x + 4y = 19 x + 2y = 11
1. Escogemos una variable para despejar en las dos ecuaciones. En este caso despejamos x. 2. Igualamos los dos valores de x obtenidos.
x = 19 - 4y x = 11 - 2y 19 - 4y = 11 - 2y x
3. Resolvemos la ecuación resultante como hemos aprendido.
=
x
19 - 4y = 11 - 2y
•
Realizamos la transposición de términos.
•
Reducimos términos semejantes.
•
Despejamos la variable y.
y = -8 -2
•
Encontramos su valor.
y=4
- 4y + 2y = 11 - 19 - 2y =- 8
Ya tenemos el valor de la incógnita y. Falta averiguar el valor de x. Para ello: 4. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de x.
x + 4 (4) = 19 x + 16 = 19
• Despejamos x
x = 19 - 16
• Hallamos su valor.
x=3
5. Verificamos el resultado, sustituyendo los valores obtenidos en cualquiera de las dos ecuaciones.
x + 2y = 11 3 + 2 (4) = 11 3 + 8 = 11 11 = 11
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
x=3 y= 4
216
IGER − Utatlán
¡Un ejemplo más! Resolvamos el sistema
4x + 3y = 22 2x + 5y = 18
1. Despejamos la variable y en las dos ecuaciones.
2. Igualamos los valores obtenidos.
y = 22 - 4x 3 y = 18 - 2x 5 22 - 4x = 18 - 2x 3 5
3. Eliminamos los denominadores aplicando "producto de extremos, igual a producto de medios".
5(22 - 4x) = 3 (18 - 2x )
• Realizamos la transposición de términos.
-20x + 6x = 54 - 110
Recuerde: Un número fuera de un paréntesis multiplica a cada término dentro del paréntesis.
110 - 20x = 54 - 6 x
• Reducimos términos semejantes.
- 14x = -56 x = -56 -14
• Despejamos la variable y encontramos su valor.
x =4 4. Sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de y.
2 (4) + 5y = 18 8 + 5y = 18 5y = 18 - 8 5y = 10 y = 10 5
• Despejamos la incógnita y hallamos su valor. 5. Verificamos el resultado, sustituyendo los valores obtenidos en cualquiera de las dos ecuaciones.
y= 2 4 (4) + 3 (2) = 22 16 + 6 = 22 22 = 22
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
x=4 y =2 Matemática − Semana 14
217
Ejercicio 1 1) Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de igualación.
x+y = 2
x + 3y =- 4
1. Despeje la variable x en las dos ecuaciones.
x=2 - y x = ....................................................
2. Iguale los valores obtenidos.
2 - y =- 4 - .......................
3. Resuelva la ecuación resultante. • Realice la transposición de términos y reduzca los semejantes.
- y + 3y = - 4 - 2 .....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
= .......................
y=
2
y = .................... 4. Sustituya el valor de y en la primera ecuación para hallar el valor de x.
x+y = 2 x + (.................) = 2 x - ....................... =
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
.......................
x = 2 + ..................... x = .....................
5. Verifique la respuesta sustituyendo los valores en la primera ecuación.
x+y = 2 (.....................) + (.....................) = 2 .....................
- ..................... = 2 .....................
•
Escriba la respuesta. La solución del sistema es:
= .....................
x= y =
218
IGER − Utatlán
2) Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de igualación.
3x + 5y = 7 2x - y =- 4
1. Despeje la variable x en las dos ecuaciones. x = 7 - 5y
3
2. Iguale los valores obtenidos.
x=
.....................................
7 - 5y = 3
.....................................
3. Resuelva la ecuación resultante.
2 (7 - 5y) = 3 (.................................................)
• Elimine los denominadores aplicando producto de extremos, igual al producto de los medios.
14 - 10y =
• Realice la trasposición de términos y reduzca los semejantes.
...........................................
- 10y - 3y =- 12 - 14 .........................
• Despeje la incógnita y halle su valor.
= .........................
y = ......................... y = .......................
4. Sustituya el valor de y en la primera ecuación para hallar el valor de x.
3x + 5 (................) = 7 3x + ....................... = 7
• Realice la trasposición de términos.
3x = .................................... 3x = .......................
• Despeje la incógnita y halle su valor.
x = ...................... x = .......................
5. Verifique la respuesta en la primera ecuación.
3 (....................) + 5 (....................) = 7 .......................
+ ....................... = 7 ....................
• Escriba la respuesta. La solución del sistema es:
= ....................
x= y = Matemática − Semana 14
219
1.2 La importancia de saber plantear sistemas Los sistemas de ecuaciones son un buen recurso para solucionar algunos problemas. Lo importante es saber plantear las ecuaciones que nos ayuden a resolverlos. Veamos un ejemplo. A. Leamos el problema, identifiquemos las cantidades desconocidas y asignemos una variable.
¡Ponga mucha atención! Para resolver los problemas enlistaremos los pasos a seguir con letras (A–C) y los pasos para resolver sistemas de ecuaciones con números (1–5).
Lucía pagó 25 quetzales por 1 libra de frijol y 4 libras de azúcar. Al día siguiente compró, a los mismos precios, 1 libra de frijol y 2 libras de azúcar y pagó 15 quetzales. ¿Cuál es el precio de una libra de frijol y una libra de azúcar? • Precio de una libra de frijol: x • Precio de un libra de azúcar: y • 4 libras de azúcar: 4y • 2 libras de azúcar: 2y B. Expresemos el problema como un sistema de ecuaciones. • Una libra de frijol y 4 libras de azúcar cuestan Q25
x + 4y = 25
• Una libra de frijol y 2 de azúcar cuestan Q15
x + 2y = 15
C. Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de igualación. 1. Despejamos x en las dos ecuaciones.
2. Igualamos los valores de x obtenidos. 3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de y.
x = 25 - 4y x = 15 - 2y 25 - 4y = 15 - 2y -4y + 2y = 15 - 25 - 2y =- 10 y = - 10 -2 y=5
Como identificamos la libra de azúcar con la variable y, ya tenemos el precio de esta. Ahora averigüemos el precio de una libra de frijol. Para ello: 4. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones.
x + 4 (5) = 25 x + 20 = 25 x = 25 - 20 x= 5
220
IGER − Utatlán
Escribimos la respuesta: La libra de frijol cuesta 5 quetzales. La libra de azúcar cuesta 5 quetzales. 5. Verificamos el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales.
x + 4y = 25 5 + 4 (5) = 25 5 + 20 = 25 25 = 25
Ejercicio 2 1) Resuelva el problema siguiente por el método de igualación. A. Lea el problema, identifique las cantidades desconocidas y asígneles una variable.
Karen y Lucas pagaron 12 quetzales por 3 dobladas y 2 refrescos. Si la semana pasada consumieron 1 doblada y 3 refrescos y la cuenta fue de 11 quetzales, ¿cuál es el precio de cada doblada y cada refresco? •
Precio de una doblada:
•
Precio de un refresco:
•
3 dobladas:
•
2 refrescos:
•
3 refrescos:
B. Exprese el problema como sistema de ecuaciones. •
3 dobladas y 2 refrescos cuestan Q12
•
1 doblada y 3 refrescos cuestan Q11
3x + 2y = 12 ......................
+ ...................... = ......................
C. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de igualación. 1. Despeje x en las dos ecuaciones.
x=
12 - 2y 3
x = ........................ 2. Iguale los valores de x obtenidos. 3. Resuelva la ecuación resultante y obtenga el valor de y.
12 - 2y = ........................ 3 ........................
= ........................
9y - 2y = 33 - 12 ........................
= ........................
........................
= ........................
y = ........................ Matemática − Semana 14
221
Como identificó el refresco con la variable y, ya tiene el precio de este. Ahora averigüe el precio de una doblada. Para ello: 4. Sustituya el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones.
x + 3 (.......................) = 11 x + ....................... = ....................... x = ....................... x = .......................
Escriba la respuesta: Una doblada cuesta
Un refresco cuesta
quetzales. quetzales.
5. Verifique el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales.
3 (.......................) + 2 (.......................) = 12 .......................
+ ....................... = ....................... .......................
= .......................
Resumen Un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones distintas que comparten los mismos valores para las incógnitas. Por ejemplo
x-y = 2 x - 3y =- 4
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas por el método de igualación, seguimos el procedimiento siguiente:
1. Escoger y despejar una variable en las dos ecuaciones. 2. Igualar las expresiones que resultan. 3. Resolver la ecuación y hallar el valor de una incógnita. 4. Sustituir el valor de la incógnita encontrada en una de las dos ecuaciones originales y hallar el valor de la otra incógnita. 5. Verificar el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales.
222
IGER − Utatlán
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Lea la información y luego rellene el círculo de la opción que responde correctamente la pregunta. Utilice el espacio en blanco para realizar sus cálculos. Considere el siguiente sistema de ecuaciones para responder a todas las preguntas.
5x + 6y = 20 4x - 3y =- 23 1) ¿Cuál es la forma correcta de despejar x en la primera ecuación?
20 - 5y -5 20 + 6y x= 5 20 - 6y x= 5
2) ¿Cuál es la forma correcta de despejar y en la primera ecuación?
y = 20 + 5x 6 y = 20 - 5x 6 y = - 20 - 5x 6
3) ¿Cuál es la forma correcta de despejar y en la segunda ecuación?
y = - 23 + 4x 3 y = - 23 - 4x 3 y = - 23 - 4x -3
4) ¿Cuál es la forma correcta de despejar x en la segunda ecuación?
- 23 + 3y 4 - 23 + 3y x= -4 - 23 - 3y x= -4
5) ¿Cuál es la forma correcta de igualar el valor de x en las ecuaciones del sistema?
20 - 6y - 23 + 3y = 5 4 5 4 = 20 - 6y - 23 + 3y
x=
x=
20 - 6y = -23 + 3y Matemática − Semana 14
223
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva cada sistema de ecuaciones por el método de igualación. Compruebe su respuesta. 1)
224
2x + 3y = 13 x + 3y = 5 2) 4x - y = 5 5x - 4y = 6
IGER − Utatlán
3) x + y = 12 4) x-y = 5
x-y = 8
x+y = 3
B. Resuelva en su cuaderno el sistema de ecuaciones por el método de igualación. 1) 5x - y = 9 4) x + 2y = 2 7) 2x + y = 16
2x + y = 12
- 2x + 3y = 10
3x - 3y = 6
2) 4x + 2y = 26 5) 8) x + 3y = 5 3x - 2y =- 2
x + 3y = 14
5x - 4y = 6
x+y = 6
3) x + y =- 8 6) 3x + 7y =- 17 9) 5x + 2y = 40
x - y =- 2
5x - 2y =- 1
- 2x - 5y = 26 Matemática − Semana 14
225
Agilidad de cálculo mental Resuelva mentalmente las ecuaciones. A. Calcule mentalmente el valor de x si y = 2, hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. 0) x = y + 5
x=
1) x = y + 3
7
6) x = y + 9
x=
x=
7) x = y + 12
x=
2) x = y + 7
x=
8) x = y + 14
x=
3) x = y + 6
x=
9) x = y + 20
x=
4) x = y + 8
x=
10) x = y + 22
x=
5) x = y + 2
x=
11) x = y + 26
x=
B. Calcule mentalmente el valor de y si x = 3, escriba su respuesta sobre la línea. Fíjese en el ejemplo. 0) y = 4x + 1 y =
13 6) y = x + 52
y=
1) y = x + 10
y=
7) y = 4x + 3
y=
2) y = x + 8
y=
8) y = 2x + 8
y=
3) y = x + 12
y=
9) y = 3x + 6
y=
4) y = x + 18
y=
10) y = 6x + 4
y=
5) y = x + 37
y=
11) y = 5x + 2
y=
C. Calcule mentalmente el valor de y si x = 4, escriba su respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) y = x + 9
y = 13 6) y = x
1) y = x + 15
y=
7) y = 4x
y=
2) y = x + 11
y=
8) y = 6x
y=
3) y = x + 26 y =
9) y = 8x
y=
4) y = x + 30 y =
10) y = 7x
y=
5) y = x + 45
11) y = 9x
y=
226
IGER − Utatlán
y=
y=
Razonamiento lógico ¿Recuerda las secuencias lógicas? Es una serie de números que siguen un criterio. También puede ser secuencias lógicas de letras o figuras. A. Complete la secuencia lógica y luego escriba qué criterio sigue. Tiene un ejemplo. 0)
2
3
5
7
11
13
17
19
Criterio: Cada número consecutivo es el siguiente número primo. 1)
a
d
g
j
o
Criterio: 2)
Criterio: 3)
Criterio: B. Plantee un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. 1) Karen pagó 16 quetzales por media docena de lápices y 5 lapiceros. Más tarde regresó para comprar 3 lápices y 7 lapiceros al mismo precio y pagó 17 quetzales. ¿Cuánto pagó por un lápiz y un lapicero? 2) Francisco pagó 50 quetzales por 3 cajas de tornillos y 5 cajas de armellas. A los mismos precios, Camila compró 5 cajas de tornillos y 7 de armellas, en total pagó 74 quetzales. ¿Cuál es el precio de cada caja de tornillos y de armellas? 3) Consuelo vende panes con frijol de 2 y de 3 quetzales. Si hoy vendió 21 panes y recaudó 51 quetzales en total, ¿cuántos panes de 2 y cuántos panes de 3 quetzales vendió? 4) El perímetro de un terreno rectangular es 40 metros. Si el largo mide 4 metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 5) El largo de una cancha de baloncesto es 13 metros más que el ancho. Si el perímetro mide 86 metros, ¿cuáles son las dimensiones de la cancha? Matemática − Semana 14
227
Desarrolle nuevas habilidades La balanza equilibrada En esta actividad pretendemos desarrollar en usted estrategias de observación y análisis para establecer relaciones entre distintos elementos abstractos. Imagine que el rombo, el círculo y el trébol tienen peso. Si acomodamos un rombo y tres círculos en una balanza, el peso sería igual a dos tréboles, como se muestra en la figura 1. Fig. 1
La figura 2 muestra otra condición equilibrada. El peso de dos círculos y tres rombos es igual al peso de tres tréboles. Fig. 2
En la figura 3, ¿cuántos rombos se deben colocar además de los círculos del plato derecho para que esta quede equilibrada? Fig. 3
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
228
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Reconozco los aportes de Seki Kowa a la resolución de sistemas de ecuaciones. Defino qué es un sistema de ecuaciones con dos variables. Resuelvo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación. Practico el cálculo mental. Aplico sistemas de ecuaciones en la solución de problemas. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
15 Sistemas de ecuaciones, método de sustitución ¿Qué encontrará esta semana? Sofía Vasílievna Kovalevskaia Sistemas de ecuaciones, método de sustitución Agilidad de cálculo mental Resolución de problemas
Esta semana logrará: Reconocer los aportes de Sofía Kovalevskaia a la matemática. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. Practicar el cálculo mental. Aplicar el método de sustitución en la solución de problemas.
Matemática − Semana 15
229
¡Para comenzar! Sofía Vasílievna Kovalevskaia
Sofía Kovalevskaia nació en Moscú, Rusia, el 15 de enero de 1850 y murió en Estocolmo, Suecia, el 10 de febrero de 1891. Es considerada la primera mujer matemática rusa de gran importancia y la primera en conseguir una plaza de profesora en una universidad europea. Desde niña amaba la lectura y la poesía. A partir de sus primeros estudios mostró cualidades extraordinarias para el álgebra, a tal punto, que varios profesores universitarios se hicieron cargo personalmente de su formación, pues en esa época las mujeres no eran admitidas en la universidad. Entre sus logros se pueden destacar: una plaza permanente de profesora en la universidad de Estocolmo, editora de la revista matemática de esa casa de estudios y directora del departamento de Mecánica. Publicó diez investigaciones sobre matemática, astronomía y física y varias obras literarias como: “La lucha por la felicidad” y “Recuerdos de la infancia”. ¡A trabajar! Sea un descubridor como Sofía; observe la relación de símbolos y letras en la tabla de abajo y descubra el mensaje oculto. Escriba en cada espacio la letra que corresponde a su símbolo. Guíese por los ejemplos que aparecen.
l
i
e
p
o
230
n
.
=a
=b
=c
=d
=e
=E
=i
=l
=m
=o
=p
=q
=r
=s
=t
=u
=v
=z
IGER − Utatlán
=n
El mundo de la matemática 1. Método de sustitución El segundo método que estudiaremos para resolver sistemas de ecuaciones es el de sustitución, que consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. Los pasos a realizar son: 1. Despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2. Sustituir el valor de la incógnita que despejó en la segunda ecuación. 3. Resolver la ecuación resultante. • Eliminar paréntesis, agrupar términos semejantes, realizar las operaciones indicadas, despejar y obtener el valor de la otra incógnita. 4. Sustituir el valor de la segunda incógnita en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita. 5. Verificar el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales. Resolvamos el sistema de ecuaciones. 1. Despejamos x en la primera ecuación. 2. Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación y lo escribimos dentro de un paréntesis. 3. Eliminamos el paréntesis, despejamos la variable y y encontramos su valor.
x - y =- 6 x + y = 10 x =- 6 + y (- 6 + y) + y = 10
- 6 + y + y = 10 y + y = 10 + 6 2y = 16 y = 16 2 y=8
4. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x.
x - y = -6 x - 8 = -6 x = -6 + 8 x=2
5. Verificamos el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones.
x + y = 10
La igualdad se cumple. La solución es:
2 + 8 = 10 10 = 10 x=2 y=8 Matemática − Semana 15
231
Veamos otro ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones.
x + y = 10 4x + 3y = 24
1. Despejamos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2. Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación. •
x = 10 - y
4x
+ 3y = 24
4 (10 - y) + 3y = 24
Eliminamos el paréntesis multiplicando 4 por cada término dentro de este.
3. Resolvemos la ecuación resultante.
40 - 4y + 3y = 24 - 4y + 3y = 24 - 40 - y =- 16
•
Multiplicamos ambos miembros por (-1) para eliminar los signos negativos.
(- 1) (- y) = (- 1) (- 16) y = 16
4. Sustituimos el valor de y en la ecuación y obtenemos el valor de x.
x + y = 10 x + 16 = 10 x = 10 - 16 x = -6
5. Verificamos el resultado. •
x + y = 10
Sustituimos los valores de x y y en cualquiera de las ecuaciones originales.
- 6 + 16 = 10
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
10 = 10 x = -6 y = 16
Al resolver un sistema de ecuaciones tome en cuenta las sugerencias siguientes: • De preferencia despeje la incógnita con coeficiente 1 y signo positivo. • Para hallar el valor de la segunda incógnita, también puede sustituir el valor encontrado en la ecuación ya despejada. Ponga mucha atención:
x = 10 - y x = 10 - 16 x =-6
232
IGER − Utatlán
Ejercicio 1 A. Aplique el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.
x + y = 6 x-y=2
1. Despeje x de la segunda ecuación.
x-y = 2 x = ..........................
2. Sustituya el valor de x en la primera ecuación.
(..................... + .....................) + y = 6
.....................
+ ..................... = 6 - .....................
3. Resuelva la ecuación resultante.
.....................
= .....................
y = ..................... y = .....................
4. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación y encuentre el valor de x.
x-y = 2 ......................
- ...................... = ...................... x = 2+2 x = ......................
x
+
5. Verifique el resultado sustituyendo el valor de x y y. .....................
y
=6
+ ..................... = 6 .....................
•
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
= .....................
x = ..................... y = ..................... Matemática − Semana 15
233
B. Resuelva el sistema de ecuaciones.
2x + 3y = 12 3x + 2y = 13
1. Despeje x de la primera ecuación.
2x = ...................... - ...................... 2
x=
2. Sustituya el valor de x en la segunda ecuación.
3`
j + 2y = 13
2
3. Resuelva la ecuación.
36 - 9y + 2y = 13 2
•
Elimine los paréntesis.
•
Aplique el común denominador.
2
+
•
Elimine los denominadores.
2
+
) 2y ( ) 13 = 2 2
(
=
2
2
36 - 9y + 4y = 26 - ..................... + ..................... = ..................... - .....................
•
Despeje y y halle su valor.
= .....................
.....................
y = ..................... y = ..................... 4. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación y encuentre el valor de x.
3x + 2 (2) = 13 ....................
+
....................
=
....................
3x = 13 - 4 ....................
=
....................
x= 9 3 x = .................... •
La solución del sistema es:
x = .................... y = ....................
234
IGER − Utatlán
1.1 Resolución de problemas aplicando sistemas de ecuaciones Veamos cómo resolver un problema aplicando un sistema de ecuaciones con el método de sustitución. A. Leamos el problema, identifiquemos las cantidades desconocidas y asignemos una variable. Doris compró 2 libras de café y 1 de azúcar por 29 quetzales. Una semana después compró 3 libras de café y 2 libras de azúcar por 46 quetzales. ¿Cuál es el precio de la libra de café y de la libra de azúcar? • libra de café: x
• 2 libras de café: 2x
• libra de azúcar: y
• 2 libras de azúcar: 2y
• 3 libras de café: 3x
B. Expresemos el problema como un sistema de ecuaciones. • 2 libras de café y 1 libra de azúcar cuestan Q29
2x + y = 29
• 3 libras de café y 2 libras de azúcar cuestan Q46
3x + 2y = 46
C. Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 1. Despejamos y en la primera ecuación.
2x + y = 29
2. Sustituimos y en la segunda ecuación.
3x + 2 (29 - 2x) = 46
3. Resolvemos la ecuación.
4. Sustituimos el valor de x en la primera ecuación.
y = 29 - 2x
3x + 58 - 4x = 46 3x - 4x = 46 - 58 - x =- 12 - 1 (- x) = - 1 (- 12) x = 12 2(12) + y = 29 24 + y = 29 y = 29 - 24 y= 5
5. Verificamos el resultado sustituyendo los valores en la primera ecuación.
2(12) + 5 = 29 24 + 5 = 29 29 = 29
Escribimos la respuesta: Una libra de café vale 12 quetzales.
Una libra de azúcar vale 5 quetzales. Matemática − Semana 15
235
Otro ejemplo. A. Leamos el problema, identifiquemos las cantidades desconocidas y asignemos una variable. Para una función de circo se vendieron 3000 boletos y se recaudaron 10 000 quetzales. Si el boleto de niño costaba 3 quetzales y el boleto de adulto 5 quetzales, ¿cuántos niños y adultos asistieron a la función? • boleto de niño: x
• boleto de adulto: y
• boletos vendidos: 3000
• dinero recaudado: Q10 000
B. Expresemos el problema como sistema de ecuaciones. • Boletos de niños, más boletos de adultos es igual a 3000 boletos vendidos.
x + y = 3000
• 3 quetzales por boleto de niño, más 5 quetzales por boleto de adultos es igual a 10 000 quetzales.
3x + 5y = 10 000
C. Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 1. Despejamos x en la primera ecuación.
2. Sustituimos x en la segunda ecuación. 3. Eliminamos paréntesis y resolvemos la ecuación.
x + y = 3000 x = 3000 - y 3 (3000 - y) + 5y = 10 000 9000 - 3y + 5y = 10 000 - 3y + 5y = 10 000 - 9000 2y = 1000 y = 1000 2 y = 500
4. Sustituimos el valor de y en la primera ecuación.
x + 500 = 3000 x = 3000 - 500 x = 2500
5. Verificamos el resultado sustituyendo los valores en la primera ecuación.
236
IGER − Utatlán
2500 + 500 = 3000 3000 = 3000
Escribimos la respuesta: Asistieron a la función 2500 niños y 500 adultos.
Ejercicio 2 1) Resuelva el problema aplicando un sistema de ecuaciones por el método de sustitución. A. Lea el problema, identifique las cantidades desconocidas y asígneles una variable. La suma de dos números es 165 y su diferencia 61. Halle los números. •
primer número:
•
suma de los números:
•
•
segundo número: diferencia de los números:
B. Exprese el problema como un sistema de ecuaciones.
Primer número más segundo número es igual a 165.
Primer número menos segundo número es igual a 61.
= 165
x + y ..............
- .............. = 61
C. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 1. Despeje x en la segunda ecuación.
x = ............... +
2. Sustituya x en la primera ecuación.
(............... + ............... ) + ............... =
......................
+ ............... =
......................
3. Resuelva la ecuación.
...............
...............
- ................
......................
= ......................
......................
= ...........................
y = ......................
4. Sustituya el valor de y en la primera ecuación y encuentre el valor de x.
x + 52 = 165
5. Verifique el resultado sustituyendo los valores en una de las ecuaciones originales. Escriba la respuesta: los número son:
y
x=
....................................................
x=
.....................
.............................................
=
.....................
.....................
=
.....................
. Matemática − Semana 15
237
2) Resuelva el problema aplicando un sistema de ecuaciones. A. Lea el problema, identifique las cantidades desconocidas y asígneles una variable. Halle dos número sabiendo que si sumamos el primero más el doble del segundo obtenemos 21, y si sumamos el doble del primero más el segundo obtenemos 18. •
primer número:
•
segundo número:
•
primera suma:
•
segunda suma:
B. Exprese el problema como un sistema de ecuaciones. Primer número más el doble del segundo es 21.
x
El doble del primer número más el segundo es 18.
......................
+ 2y
= 21
+ ...................... = 18
C. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 1. Despeje x en la primera ecuación.
x = 21 - 2y
2. Sustituya x en la segunda ecuación.
2 (...................... - ......................) + ............... = ......................
3. Resuelva la ecuación.
......................
- ...................... + ............... = ...................... - 4y + y = 18 - 42 ......................
= ......................
y = - 24 -3 y = ...................... 4. Sustituya el valor de y en la primera ecuación y encuentre el valor de x.
x
+ 2 (8) = 21 ................... + ................... = ........................ x = 21 - 16 x = ........................
5. Verifique el resultado sustituyendo los valores en la segunda ecuación. Escriba la respuesta: los número son:
2 (5) + 8 = 18 ........................ + ................. = ........................ y
.
........................
=
........................
Resumen Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, siga los pasos siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.
238
Despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. Sustituir el valor de la incógnita que despejó en la segunda ecuación. Resolver la ecuación resultante. Sustituir el valor de la segunda incógnita en cualquier ecuación. Verificar el resultado sustituyendo los valores en las ecuaciones originales. IGER − Utatlán
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción que responde correctamente el enunciado. 1) La forma correcta de transponer términos en la ecuación 9x - 6 = 8 es:
e 9x = 8 - 6
2) Si despeja x en la ecuación x + 2y = 4 obtiene:
e x = 4 - 2y y-4 ex= 2 e x = 4 + 2y
3) Si opera ambos miembros de la ecuación 2(x + 1) = 4 - 2 obtiene:
e 2 (x) = 4 - 2 - 1 e (x + 1) = 4 - 2 - 2 e 2x + 2 = 2
4) La forma correcta de despejar y en la ecuación 5x + 2y = 6 es:
e y = 6 - 5x 2 5 x -6 ey= 2 e = 6 - 2x 5
5) La forma correcta de aplicar el común denominador
e
6) El despeje correcto de x en la ecuación x - y = 0.
e x =- y ex= 0 y ex=y
y en la ecuación x + = 6 es: 4 3
e 9x = 8 + 6 ex-6 = 8 9
3x + 4y 5 (6) = 5 5 3x + 4y 72 e = 12 12 x+y e = 6 12 12
Matemática − Semana 15
239
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución. Tiene un ejemplo. 0)
2x + y = 7 x + 3y = 11
x + y = 11 1) x - y =- 3
x + 3y = 11 x = 11 - 3y 2x + y = 7 2 (11 - 3y) + y = 7 22 - 6y + y = 7 - 5y + 22 = 7 - 5y = 7 - 22 - 5y =- 15 y = - 15 -5 y=3 x + 3y = 11 x + 3 (3) = 11 x + 9 = 11 x = 11 - 9 x=2 2)
240
x + 3y = 9 3x + y = 11 3) 2x - y = 4 4x + 2y =- 2
IGER − Utatlán
x+y = 9 4) 2x - 3y =- 8 5) 3x + 5 y = 7
5x - y = 3
6) 2x + y = 11 7) 3x + 7y = 8
3x - y = 9
7x + 8y = 2
Matemática − Semana 15
241
Agilidad de cálculo mental Mejore su agilidad de cálculo resolviendo mentalmente las ecuaciones lo más rápido que pueda. Escriba su respuesta sobre la línea. Fíjese en los ejemplos. A.
B.
C.
D.
0) x + 9 = 12
x=
1) x + 6 = 14
3
4) x + 5 = 80
x=
x=
5) x + 9 = 20
x=
2) x + 2 = 19
x=
6) y + 5 = 19
y=
3) x + 3 = 25
x=
7) y + 6 = 22
y=
0) y - 5 = 7
y = 12 4) x - 3 = 18
x=
1) x - 6 = 4
x=
5) x - 6 = 12
x=
2) x - 5 = 12
x=
6) x - 20 = 15
x=
3) x - 6 = 14
x=
7) x - 16 = 14
x=
0) 2x = 50
x = 25 4) 6x = 24
x=
8) 10y = 50
y=
1) 4x = 32
x=
5) 6y = 42
y=
9) 10y = 10
y=
2) 5x = 30
x=
6) 5y = 20
y=
10) 14x = 28
x=
3) 3x = 15
x=
7) 6y = 36
x=
11) 12x = 36
x=
y 1
y=
8)
y 4
y=
0)
x = 5 x = 4
20 4) = 1
1)
x = 10 x = 6
5) = 4
2)
y = 6 y = 2
6) = 9
y 9
y=
3)
y = 3 y = 8
y = 3 7
y=
242
IGER − Utatlán
7)
y =2 16
y=
9)
y = 10 20
y=
10)
y =3 15
y=
11)
y =4 10
y=
Razonamiento lógico Lea con atención cada problema, plantee un sistema de ecuaciones y resuélvalo por el método de sustitución. 1) Encuentre dos números tales que su suma sea 40 y su diferencia 14. 2) En una librería vendieron 20 libros a dos precios distintos; unos a Q30.00 y otros a Q 40.00. El total de la cuenta es Q 660.00, ¿cuántos libros de cada precio vendieron? 3) Carolina y Alfredo hacen helados para vender. La materia prima necesaria para hacer un helado grande cuesta Q 5.00 y para un helado pequeño Q 3.00. Si disponen de Q 570.00 y quieren hacer 150 helados, ¿cuántos helados de cada tamaño podrán hacer? 4) En la granja se envasaron 300 litros de leche en 120 recipientes de 2 y 5 litros. ¿Cuántos recipientes de cada clase se utilizaron? 5) Gregorio pagó Q 50.00 por 3 cajas de tachuelas y 5 cajas de clavos. Ana compró 5 cajas de tachuelas y 7 de clavos, por lo que pagó Q74.00. ¿Cuál es el precio de cada caja de tachuelas y de cada caja de clavos? 6) Con dos camiones cuyas capacidades de carga son 3 y 4 toneladas respectivamente, se hicieron 23 viajes en total, para transportar 80 toneladas de arena. ¿Cuántos viajes realizó cada camión? 7) Óscar y Felisa fueron al depósito a vender su cosecha. Óscar vendió 4 sacos de maíz y 3 de frijol, Felisa vendió 3 sacos de maíz y 2 de frijol. La carga de Óscar pesó 480 libras y la de Felisa 340. ¿Cuánto pesaba cada saco de maíz y de frijol? 8) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de la altura? 9) En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 220 centavos. Las monedas son de 5 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada valor hay? 10) Amarilis compra 6 libras de café y 3 libras de azúcar por Q147.00. Ante la amenaza de aumento de precios, vuelve al día siguiente y compra 1 libra de café y 10 de azúcar por Q72.00. ¿Cuál es el precio de la libra de café y de la libra de azúcar?
Matemática − Semana 15
243
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo menor? La superficie de un rectángulo está dividida en dos secciones, un rectángulo pequeño y un cuadrado, como se muestra en la figura. Las medidas de los lados de cada sección están representadas por variables.
x
y
y
1) Encuentre una expresión matemática que represente el largo del rectángulo mayor, sabiendo que este mide 8 metros. 2) La suma del largo más el ancho del rectángulo mayor son 13 metros. Encuentre una expresión algebraica que represente las incógnitas. 3) Forme un sistema de ecuaciones con las expresiones de los incisos 1 y 2. 4) Resuelva el sistema de ecuaciones y responda la pregunta: ¿cuánto mide el ancho y el largo del rectángulo menor?
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la casilla que mejor indique su rendimiento.
Reconozco los aportes de Sofía Kovalevskaia a la matemática. Resuelvo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. Practico el cálculo mental. Aplico el método de sustitución en la solución de problemas.
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
16 Sistemas de ecuaciones, método de reducción ¿Qué encontrará esta semana? Charles Babbage Sistemas de ecuaciones, método de reducción Agilidad de cálculo mental Secuencias lógicas y resolución de problemas
Esta semana logrará: Reconocer los aportes de Charles Babbage a la matemática. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción. Practicar el cálculo mental. Aplicar sistemas de ecuaciones a la solución de problemas.
Matemática − Semana 16
245
¡Para comenzar! Charles Babbage Un espíritu inquieto y creativo
Charles Babbage (1792 – 1871) matemático e ingeniero británico. Desde niño mostró especial interés en la matemática. Cuando ingresó en la universidad fundó la Sociedad Analítica junto a otros estudiantes. El objetivo de esta agrupación era renovar la enseñanza de las matemáticas en Inglaterra. Babbage tenía una mente inquieta y creativa. Durante una reunión de la Sociedad Analítica se le ocurrió diseñar una máquina capaz de realizar cálculos matemáticos, a la que llamó “máquina de las diferencias”. Su trabajo con esta máquina lo llevó a explorar otras posibilidades como “la máquina analítica”, que nunca llegó a construir pero su diseño sentó las bases de la computadora actual. En 1991, científicos británicos, siguiendo los dibujos y las especificaciones de Babbage, construyeron la máquina y funcionaba a la perfección haciendo cálculos exactos con 31 dígitos. Así demostraron que su diseño era correcto. Texto tomado y adaptado de www.dma.eui.upm.es
¡A trabajar! Responda las preguntas. 1) ¿Cuál es el diseño de Babbage que sentó las bases para el origen de la computadora? 2) ¿En qué consistía la máquina de las diferencias?
246
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones, método de reducción Esta semana aprenderemos el tercer método para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas: el método de reducción. Como su nombre lo indica consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola, eliminando una variable a través de una suma algebraica. El procedimiento es el siguiente. 1. Multiplicar una o las dos ecuaciones por un número, tal que en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales y de signo contrario. 2. Sumar miembro a miembro el sistema de ecuaciones para eliminar una variable. Generalmente igualamos los coeficientes de la incógnita que ya tiene signos contrarios.
3. Resolver la ecuación que resulta (ecuación con una incógnita). 4. Sustituir el valor de la incógnita hallada en una de las ecuaciones originales y despejar la otra incógnita. 5. Verificar el resultado. Resolvamos el sistema de ecuaciones.
2x + y = 9 x - 3y = 1
1. Multiplicamos la primera ecuación por 3 para que los coeficientes de y sean iguales.
3 (2x + y = 9)
2. Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones. Así eliminamos la variable y.
6x + 3y = 27 x - 3y = 1
(+3y - 3y = 0) 3. Resolvemos la ecuación resultante.
x - 3y = 1
7x
= 28 x = 28 7 x=4
4. Sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de y.
2 (4) + y = 9 8+y = 9 y = 9-8 y=1
5. Verificamos la respuesta en cualquiera de las ecuaciones.
4 - 3 (1) = 1 4-3 = 1 1=1
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
La línea horizontal indica que debemos sumar miembro a miembro las ecuaciones del sistema.
x=4 y=1 Matemática − Semana 16
247
a. Números primos en la variable a eliminar Cuando los coeficientes de la variable a eliminar son números primos o no son múltiplos el uno del otro, multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda y la segunda ecuación por el coeficiente de la primera. Ejemplo Resolvamos el sistema de ecuaciones:
3x - 2y = 5 2x + 5y =- 3
Eliminamos la variable y. Para ello: 1. Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 2, para igualar los coeficientes de y.
5 (3x - 2y = 5) 2 (2x + 5y =- 3)
2. Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones. Así eliminamos y. (-10y + 10y = 0)
15x - 10y = 25 4x + 10y =-6 19x = 19 x = 19 19
3. Resolvemos la ecuación resultante.
x=1 4 Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de y.
2 (1) + 5y =- 3 2 + 5y =- 3 5y =- 3 - 2 5y =- 5
•
y = -5 5
Despejamos y y hallamos su valor.
y =- 1 Recuerde aplicar siempre la ley de signos.
5. Verificamos la respuesta en una de las ecuaciones originales.
2 (1) + 5 (- 1) =- 3 2 - 5 =- 3 - 3 =- 3
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
x=1 y =- 1
248
IGER − Utatlán
b. Signos iguales en la variable a eliminar Cuando los coeficientes de la variable a eliminar tienen el mismo signo, multiplicamos cualquiera de las ecuaciones por un número negativo para obtener signos contrarios. Ejemplo Resolvamos el sistema de ecuaciones:
2x + 3y = 18 3x + 4y = 25
Eliminamos la variable x. Para ello: 1. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por (-2), para obtener coeficientes iguales y de signo contrario.
3 (2x + 3y = 18) - 2 (3x + 4y = 25)
2. Sumamos miembro a miembro el sistema de ecuaciones y eliminamos x.
6x + 9y = 54 - 6x - 8y =- 50
3. Resolvemos la ecuación resultante.
y=4
4. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales para hallar el valor de x.
2x + 3 (4) = 18 2x + 12 = 18 2x = 18 - 12 2x = 6
•
x= 6 2
Despejamos x y hallamos su valor.
x=3 5. Verificamos la respuesta en cualquiera de las ecuaciones originales.
3 (3) + 4 (4) = 25 9 + 16 = 25 25 = 25
La igualdad se cumple. La solución del sistema es:
x=3 y=4
Matemática − Semana 16
249
Ejercicio 1 A. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción.
x + 3y =- 5
2x - y =- 3
Elimine la variable y, para eso: 1. Multiplique la segunda ecuación por 3.
x + 3y =- 5 ......................
x
+ 3y
......................
2. Sume miembro a miembro el sistema de ecuaciones.
(2x - y =- 3) =- 5
- ...................... =- 9
...........................................................
3. Resuelva la ecuación resultante y halle su valor.
= ......................
x = ...................... x = ......................
4. Sustituya el valor de x en la primera ecuación para hallar el valor de y.
x + 3y =- 5 (....................) + 3y =- 5 3y = ........................................... 3y = ....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
y = .................... y = ....................
5. Verifique la respuesta en la segunda ecuación.
2x - y =- 3 2 (......................) - (......................) =- 3 ......................
+ ...................... = ...................... ......................
•
Si la igualdad se cumple, escriba la respuesta:
= ......................
x = .................... y = ....................
250
IGER − Utatlán
B. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción. Tome en cuenta que los coeficientes de y son números primos.
10x - 3y = 36 2x + 5y =- 4
Elimine la variable y, para eso: 1. Multiplique la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 3 para que los coeficientes de y sean iguales.
.......................
(10x - 3y = 36)
.......................
(2x + 5y =- 4)
50x - 15y = 180 ......................
= .......................
........................................................
= ......................
.......................
2. Sume miembro a miembro el sistema de ecuaciones.
+
3. Resuelva la ecuación resultante y halle su valor.
x = ....................... x = .......................
4. Sustituya el valor de x en la primera ecuación para hallar el valor de y.
10x - 3y = 36 10 (...............) - 3y = 36 ......................
- 3y = 36 - 3y = ................................................. - 3y = ......................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
y = ...................... y = ......................
5. Verifique la respuesta en la segunda ecuación.
2x + 5y =- 4 2 (............. ) + 5 (...............) =- 4 .....................
- ..................... = ..................... .....................
•
Si la igualdad se cumple, escriba la respuesta:
= .....................
x = ...................... y = ...................... Matemática − Semana 16
251
1.1 Resolución de problemas Veamos cómo resolver un problema a través de un sistema de ecuaciones por el método de reducción. A. Leamos el problema, identifiquemos los datos desconocidos y asignemos una variable. En una granja hay pavos y ovejas. Si contamos en total 23 cabezas y 66 patas, ¿cuántos pavos y ovejas hay?
Recuerde que los pavos tienen 2 patas y las ovejas 4 patas.
• pavos: x
•
ovejas: y
• patas de los pavos: 2x
•
patas de las ovejas: 4y
B. Expresamos el problema con un sistema de ecuaciones. • Las cabezas de los pavos y las ovejas suman 23. • Las patas de los pavos y las ovejas suman 66.
x + y = 23 2x + 4y = 66
C. Resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar las cantidades. 1. Multiplicamos la primera ecuación por (-2) para que los coeficientes de x sean iguales y de signo contrario.
- 2 (x + y = 23)
2. Sumamos miembro a miembro.
- 2x - 2y =- 46
2x + 4y = 66
2x + 4y = 66 2y = 20 3. Resolvamos la ecuación resultante y hallamos el valor de y.
y = 20 2 y = 10
Como habíamos asignado la variable y a las ovejas, ya sabemos que hay 10 ovejas. Ahora averiguamos cuántos pavos hay. Para ello: 4. Sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones.
x + (10) = 23 x = 23 - 10 x = 13
5. Verificamos si la respuesta es correcta en las dos ecuaciones.
El número de cabezas suman 23:
13 + 10 = 23
El número de patas suman 66:
26 + 40 = 66
Escribimos la respuesta: en la granja hay 13 pavos y 10 ovejas.
252
IGER − Utatlán
Ejercicio 2 1) Resuelva el problema por medio de un sistema de ecuaciones y aplique el método de reducción. A. Lea el problema, identifique los datos desconocidos y asígneles una variable. Susana vendió 19 helados de mora y coco por un total de 50 quetzales. Si cada helado de mora cuesta 2 quetzales y cada helado de coco cuesta 3 quetzales, ¿cuántos helados vendió de cada sabor?
•
helados de mora:
•
costo del helado de mora:
•
helados de coco:
•
costo del helado de coco:
B. Exprese el problema como un sistema de ecuaciones.
Helados de mora y helados de coco suman 19.
Q2.00 por cada helado de mora y Q3.00 por cada helado de coco suman 50.
C. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción. 1. Multiplique la primera ecuación por (-2) para que los coeficientes de x sean iguales y de signo contrario.
(x + y = 19) 2x + 3y = 50
..................
2. Sume los miembros del sistema de ecuaciones.
- .................. - .................. =- .................. 2x + 3y = 50
3. Obtenga el valor de y.
..................
= ..................
Ya tiene la cantidad de helados de coco vendidos. Ahora averigüe el número de helados de mora. Para ello: 4. Sustituya el valor de y en la primera ecuación para hallar el valor de x.
x + .................. = 19 x = .................. - .................. x = ..................
5. Verifique la respuesta en la segunda ecuación.
2 (..................) + 3 (..................) = 50 ..................
+ .................. = .................. ..................
Escriba la respuesta: Susana vendió coco.
helados de mora y
= .................. helados de
Matemática − Semana 16
253
2) Plantee un sistema de ecuaciones con los datos del problema y responda las preguntas. A. Lea el problema, identifique los datos desconocidos y asígneles una variable. Alberto compró 10 libras de manzanas y 4 libras de uvas por 98 quetzales. Lucía compró 2 libras de manzanas y 1 libra de uvas por 22 quetzales. ¿Cuánto pagaron por cada libra de manzanas y por cada libra de uvas? •
1 libra de manzanas:
•
10 libras de manzanas:
•
2 libras de manzanas:
•
1 libra de uvas:
•
4 libras de uvas:
B. Exprese el problema como un sistema de ecuaciones.
10 lb de manzanas y 4 lb de uvas cuestan Q98:
2 lb de manzanas y 1 lb de uvas cuestan Q22:
Responda: 1) ¿Qué incógnita eliminaría primero?
¿Por qué?
2) Si quisiera eliminar la incógnita y, ¿por qué número debería multiplicar la segunda ecuación? Termine de resolver el problema en su cuaderno.
Resumen El procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones por el método de reducción es: 1. Multiplicar una o las dos ecuaciones por un número, tal que en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales y de signo contrario. 2. Sumar miembro a miembro el sistema de ecuaciones. 3. Resolver la ecuación que resulta (ecuación con una incógnita). 4. Sustituir el valor de la incógnita hallada en una de las ecuaciones originales y se despeja la otra incógnita. 5. Verificar el resultado.
254
IGER − Utatlán
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Considere el siguiente sistema de ecuaciones y luego rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta.
8x - 7y =- 4 - x + 2y =- 4 1) ¿Por qué número debemos multiplicar la segunda ecuación para que los coeficientes de x sean iguales y de signo contrario?
7 8 -8
2) ¿Cuál es el resultado de multiplicar por 8 la segunda ecuación?
-8x + 16y = 32 -8x + 16y = 32 -8x + 16y = -32
3) ¿Por qué números debemos multiplicar la primera y segunda ecuación del sistema para que los coeficientes de y sean iguales y de signo contrario?
Actividad 2.
-7 y -2 2y7 7 y -2
Practique lo aprendido
A. Siga los pasos para resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción.
x + 2y = 3 x+y = 4
Elija la variable x para eliminar. 1. Multiplique la segunda ecuación por menos -1
x + 2y = 3 .......................
2. Sume miembro a miembro el sistema de ecuaciones.
3. Resuelva la ecuación resultante y halle su valor. 4. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación para hallar el valor de x.
(x + y = 4)
x + 2y = 3 ........................................... = ...................... y = ....................... x+y = 4 x + (.......................) = 4 .........................................
•
Despeje x y halle su valor.
=4
x = 4 + ....................... x = .......................
5. Recuerde que puede verificar el resultado. Matemática − Semana 16
255
Actividad 2.
Practique lo aprendido
B. Resuelva el sistema de ecuaciones sin escribir los pasos. Utilice el espacio en blanco para realizar sus operaciones. Hay un ejemplo. 0)
3x + 3y = 6 5x - 3y = 10 3x + 3y = 6 5x - 3y = 10 8x = 16 x = 16 8 x= 2
1) x + y = 5
x-y = 1
3x + 3y = 6 3 (2) + 3y = 6 6 + 3y = 6 3y = 6 - 6 3y = 0 y= 0 3 y=0
prueba
5x - 3y = 10 5 (2) - 3 (0) = 10 10 - 0 = 10 10 = 10 x+y = 2 2) 2x + 3y = 8 3) x + 3y = 7
256
IGER − Utatlán
5x - 3y = 10
4) x - 3y = 0
5x - y =- 14
5) 3x - y = 9
2x + y = 6
3x + 6y = 6 6) 2x - 5y =- 1 7) 5x - 8y = 11
- 2x + 3y = 10
Matemática − Semana 16
257
Agilidad de cálculo mental A. Calcule mentalmente las ecuaciones, escriba la respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) x + 5 = 20 x =
15 5) x - 7 = 10
x=
1) x + 3 = 17 x =
6) x - 8 = 11
x=
2) x + 4 = 12 x =
7) x - 6 = 17
x=
3) x + 6 = 19 x =
8) x - 3 = 19
x=
4) x + 9 = 14 x =
9) x - 9 = 23
x=
Para los incisos siguientes, sustituya la incógnita por el valor indicado y realice mentalmente las operaciones para hallar el valor de la otra incógnita. B. Calcule el valor de y si x = 5, escriba la respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo.
+ 4 y =
9 5) y = 2x - 7
y=
1) y = x + 2 y =
6) y = 2x - 4
y=
2) y = x + 6 y =
7) y = 3x - 6
y=
3) y = x + 9 y =
8) y = 2x - 3
y=
4) y = x + 12 y =
9) y = 5x - 20
y=
0) y =
C. Calcule el valor de x, si y = 4, escriba la respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) x = y + 9
x = 13 5) x = 4y - 9
x=
1) x = y + 12
x=
6) x = 5y - 7
x=
2) x = y + 19
x=
7) x = 6y - 8
x=
3) x = y + 15
x=
8) x = 7y - 6
x=
4) x = y + 33
x=
9) x = 9y - 10
x=
D. Calcule el valor de w, si x = 2, y = 10. Escriba su respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) w = x3
w =
1) w = x2
8
5) w = y2
w=
w =
6) w = y3
w=
2) w = x0
w =
7) w = y0
w=
3) w = x4
w =
8) w = y1
w=
4) w = x1
w =
9) w = y4
w=
258
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico A. Complete la secuencia lógica dibujando la ficha de dominó que debe ir en el espacio en blanco. Escriba sobre la línea el criterio que sigue. Tiene un ejemplo. 0)
Criterio: el primer cuadro de cada ficha está en orden ascendente, el segundo cuadro
permanece con la misma cantidad.
1)
Criterio: 2)
Criterio: 3)
Criterio: B. Resuelva los problemas aplicando sistema de ecuaciones por el método de reducción. 1) Si 3 fólderes y 5 cuadernos cuestan 18 quetzales, y 2 fólderes y 3 cuadernos cuestan 11 quetzales, ¿cuánto cuesta cada fólder y cada cuaderno? 2) Rosario tiene Q50.00 en billetes de Q5.00 y Q10.00. Si tiene 8 billetes en total, ¿cuántos billetes de Q5.00 y cuántos billetes de Q10.00 tiene? 3) Maritza colocó maíz en bolsas de 2 y 5 libras cada uno. Si preparó 18 bolsas que pesaban a 60 libras en total, ¿cuántas bolsas de 2 libras y cuántas bolsas de 5 libras preparó? 4) Felipe abre su libro y observa los números de páginas, si suma las cantidades obtiene 37. ¿Cuáles son los números de páginas en que abre el libro? Pista: como las páginas son consecutivas, la diferencia entre ellas es 1. 5) Adolfo vende panes de 2 y 3 quetzales. Si hoy vendió 30 panes y recaudó 76 quetzales en total, ¿cuántos panes de 2 quetzales y cuántos panes de 3 vendió? Matemática − Semana 16
259
Desarrolle nuevas habilidades ¿Conoce los triángulos mágicos? Son triángulos que se forman con los números del 1 al 9, con la condición de que se utilicen las nueve cifras sin repetirse y que la suma de cada lado sea igual. En el triángulo de la figura 1, la suma de cada lado es 19. Observe con atención y compruebe. 19
20
3
7
5
6
4 19
7
8 9
1
2
19
20
x
Fig. 1
y
20
Fig. 2
Además de este triángulo existen otros cuya suma de cada lado es diferente de 19. Ahora le toca a usted construir el triángulo mágico de la figura 2, usando las cifras del 1 al 9 sin repetirse y que cada lado sume 20. Le ayudamos con el valor del vértice superior. Para hallar los valores de los vértices inferiores debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
2x - y = 7 x+y = 8 Una vez hallados los números de los vértices averigüe los otros dos valores de cada lado. Esto lo logrará usando el resto de número del 1 a 9 que no ha puesto en los vértices, y que sumados entre sí, den un total de 20.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Reconozco los aportes de Charles Babbage a la matemática. Resuelvo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción. Practico el cálculo mental. Aplico sistemas de ecuaciones a la solución de problemas.
260
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
17 Repaso: semanas 9 a 16 Esta semana logrará: Repasar los contenidos de las semanas 9 a la 16. Resolver los ejercicios del repaso para evaluarse en la segunda prueba parcial. Calcular raíces cuadradas exactas e inexactas. Resolver ecuaciones de primer grado con varios términos, signos de agrupación, con decimales y con fracciones. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de igualación, sustitución y reducción. Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 9 a la 16. Prepararse bien para la segunda prueba parcial.
Matemática − Semana 17
261
Querida y querido estudiante: Se aproxima la segunda evaluación y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 9 a la 16. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.
¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza y rapidez para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá: responder preguntas, rellenar el círculo de la opción correcta, resolver operaciones y resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito en la prueba el procedimiento que utilice para llegar a la respuesta. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.
262
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática La raíz cuadrada 1. La radicación es la operación inversa a la potenciación. 1.1 Elementos de la raíz
signo radical índice
2
25 = 5
raíz
radicando
2. Hallar la raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. 2.2 Los pasos a realizar para resolver la raíz cuadrada de cantidades grandes son: 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
12´96
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (12), o un valor menor lo más cercano. El número 3 es el que más se aproxima, porque 32 = 9. Luego escribimos: •
El número 3 en el resultado.
•
Elevamos al cuadrado el 3 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades 12 – 9 = 3
•
Bajamos el siguiente grupo, 96 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 396.
•
El resultado parcial 3 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 6. En este paso, el resultado parcial siempre se multiplica por 2.
3. Buscamos un número que acompañe a 6, que multiplicado por ese mismo número nos dé 396 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
4. El número buscado es 6 porque al agregárselo a 6 se forma el número 66, y 66 x 6 es igual a 396. Escribimos el resultado y los restamos de 396.
5. Subimos el 6 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (36). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
12´96 3 – 9 3 12´96 3 –9 3 96 12´96 3 3x2=6 –9 3 96 12´96 3 6 –9 3 96
x
12´96 3 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0 12´96 36 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0
Matemática − Semana 17
263
Ejercicio 1 A. Calcule las raíces cuadradas exactas. Compruebe su respuesta elevando el resultado al cuadrado. Tiene un ejemplo. 0)
16 = 4 42 = 16 4) 4 =
1)
9 = 5) 25 =
2)
36 = 6) 0 =
3)
1 = 7) 64 =
B. Calcule las raíces cuadradas de los números. Tiene un ejemplo. 0)
1369 1) 324
13´69 37 3x2=6 – 9 4 69 67 x 7 = 469 – 4 69 0
2)
1024 3) 576
4)
1681 5) 3844
264
IGER − Utatlán
Introducción a las ecuaciones 1. El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números las expresiones que empleamos en el lenguaje común. 1.1 Un término algebraico es la mínima expresión algebraica. Se compone de las siguientes partes.
coeficiente
• el signo, puede ser positivo o negativo.
-3a2
signo
• el coeficiente, valor numérico que va delante de la variable,
exponente
variable
• la variable que puede ser cualquier letra minúscula, • el exponente o potencia.
signo
2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.
4x - 6 = 2x + 4 primer miembro
segundo miembro
2.2 El procedimiento general para resolver una ecuación de primer grado es: a. Realizar la transposición de términos respetando estas reglas: 1. Si un término esta sumando, pasa al otro miembro a restar. 2. Si un término esta restando, pasa al otro miembro a sumar. 3. Si un término está multiplicando a todo el miembro de la ecuación, pasa a dividir al otro miembro, sin cambiar de signo. 4. Si un término está dividiendo a todo el miembro de la ecuación, pasa a multiplicar al otro miembro, sin cambiar de signo. b. Reducir términos semejantes. c. Despejar la incógnita. d. Hallar el valor de la incógnita.
Ejercicio 2 A. Exprese en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. Tiene un ejemplo. lenguaje común
lenguaje algebraico
0) Un número desconocido elevado al cubo menos dos.
x3 - 2
1) Un número desconocido más ocho. 2) El doble de un número desconocido. 3) El triple de un número menos cuatro.
Matemática − Semana 17
265
B. Halle a simple vista el valor de la incógnita. Escriba la respuesta sobre la línea y realice la prueba. Hay un ejemplo. 0) x + 7 = 13
x= 6
prueba
1) x + 11 = 21
6 + 7 = 13
x=
13 = 13 2) x + 9 = 16 3) x + 41 = 52
x=
x=
C. Siga los pasos para resolver las ecuaciones. Tiene un ejemplo. 0) Resuelva
3x + 4 = 13
•
Realice la transposición de términos.
3x = 13 - 4
•
Reduzca términos semejantes.
3x = 9
•
Despeje la incógnita.
x= 9 3
•
Halle el valor de la incógnita.
x=3
1) Resuelva 2x - 5 = 15 •
Realice la transposición de términos.
2x = 15 + .......................
•
Reduzca términos semejantes.
2x = .......................
•
Despeje la incógnita.
x = .......................
•
Halle el valor de la incógnita.
x = .......................
D. Resuelva las ecuaciones de la misma forma que el ejemplo. 0) 2x + 11 = 41
2x = 41 - 11 2x = 30 x = 30 2 x = 15
266
IGER − Utatlán
1) 3x - 3 = 12
2) x + 8 = - x + 64
Ecuaciones con signos de agrupación y decimales Pasos para resolver ecuaciones con varios términos, signos de agrupación y decimales: 1. Eliminar signos de agrupación, si los hay, aplicando la ley de signos de la multiplicación. 2. Si la ecuación contiene decimales, multiplicar por 10, 100, 1000; de acuerdo al término con mayor cantidad de decimales. 3. Realizar la transposición de términos. 4. Reducir términos semejantes. 5. Despejar la variable. 6. Verificar el valor de la incógnita en la ecuación dada. Si se cumple la igualdad, la respuesta es correcta.
Ejercicio 3 A. Rellene el círculo que completa correctamente el enunciado. Hay un ejemplo. 0) La transposición de términos correcta en la ecuación x + 3 = 7 es…
ex = 7-3 ex = 7+3 e x = ^7h^3 h
1) El paso siguiente para despejar la variable x en la
ex = 7-2 e x = ^7h^2h
x ecuación = 7 es… 2
2) El primer paso para despejar la variable x en la ecuación 3(2x -5) = 10 es…
3) La forma correcta de eliminar los decimales en la ecuación 0.2x = 0.69 es…
4) La suma de los términos semejantes en ambos miembros de la ecuación -3x - 5x = 9 - 17 es…
ex = 7+2
e 6x - 15 = 10 e 3^2xh = 10 + 5 e 6x - 5 = 10 e 10^0.2xh = 10^0.69h e 10^0.2xh = 100^0.69h e 100^0.2xh = 100^0.69h e -2x = 8 e -8x = 26 e -8x = -8 Matemática − Semana 17
267
B. Siga los pasos para resolver las ecuaciones. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0) Resuelva 3x + 7 = 15 - x •
Transponga términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
3x + x = 15 - 7 4x = 8 x= 8 4 x=2
1) Resuelva 0.3x + 0.5 = 2.6 •
Elimine los decimales.
10(0.3x + 0.5) = 10(2.6) ..................
+ .................. = .................
•
Transponga términos.
..................
= .................. - .................
•
Reduzca los términos semejantes.
..................
= .................
•
Despeje la incógnita.
x = ................. x = .................
2) Resuelva 3(x - 4) = 8 - x •
Elimine el signo de agrupación.
..................
- .................. = .................. - ..................
•
Transponga términos.
..................
+ .................. = ................. + ..................
•
Reduzca los términos semejantes.
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
..................
= ..................
x = ................. x = .................
C. Resuelva las ecuaciones de la misma forma que el ejemplo. 0) 3 (x - 4) + 5x = 20
3x - 12 + 5x = 20 3x + 5x = 20 + 12 8x = 32 x = 32 8 x=4
268
IGER − Utatlán
1) 4a + 1 = 7 + a
2) y - 5 = 3y - 25 3) -2v - 3 = v - 15
4) 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14 5) x - (2x + 1) = 8 - 3(x + 1)
6) 0.6x + 0.4x = 1.5 + 3.5 7) 9 - 0.5x = 4.5x + 14
Matemática − Semana 17
269
Ecuaciones con fracciones 1. Las ecuaciones con fracciones son aquellas en las que uno o varios términos son fracciones.
Hay dos formas de resolver estas ecuaciones.
1.1 Cuando la ecuación tiene solo dos términos, aplicamos la propiedad "producto de los extremos es igual al producto de los medios". 1.2 Cuando la ecuación tiene varios términos, utilizamos este procedimiento: • Eliminar los denominadores, hallando el denominador común por el mcm. • Realizar la transposición de términos. • Reducir términos semejantes. • Despejar la incógnita. • Hallar el valor de la incógnita.
Ejercicio 4 A. Siga los pasos para resolver las ecuaciones. Hay un ejemplo. 0) Resuelva
x +5 = 1 -x 6 3
•
Calcule el denominador común.
mcm (3 y 6) = 6
•
Divida el denominador común entre el denominador de cada fracción y multiplique el resultado por el numerador.
(6) 5 (2) 1 (6) x (1)x + = 6 6 6 6 x + 30 = 2 - 6x 6 6 6 6
•
Elimine el denominador común.
x + 30 = 2 - 6x
•
Transponga los términos.
x + 6x = 2 - 30
•
Reduzca términos semejantes.
7x = -28 x = - 28 7 x = -4
• Despeje la incógnita y calcule su valor.
1) Resuelva •
Aplique la propiedad "producto de los extremos igual al producto de los medios".
5x = 10 7 14
5x ^....................h = ....................
•
Despeje la incógnita y halle su valor.
=
....................
....................
x = ..................... x = .....................
270
IGER − Utatlán
^10h
B. Resuelva las ecuaciones. Hay un ejemplo. 0)
3x = 9 3x - x =- 3 1) 5 4 2 (1)3x - (2) x = (4) (- 3) 4 4 4 3x - 2x = - 12 4 4 4 3x - 2x =- 12 x =- 12
x - 1 = 4x + 3 2) 3x + 1 = x - 2 3) 3
2
4
5
x 2 5 4) 3x + 3x = 9 5) - = 2 3 6 2
x x = x-5 6) 5x - x = 2 7) + 2 6
2
3
2
12
6
4
Matemática − Semana 17
271
Resolución de problemas con ecuaciones Representación de números enteros. • Un número entero se representa por: x. • Un número par se representa por: 2x • Un número impar se representa por: (2x + 1) • Dos o más números consecutivos: x, (x + 1) • Dos o más números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4)... • Dos o más números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5)... Para resolver problemas por medio de ecuaciones debe tomar en cuenta los pasos siguientes. A. Lea cuidadosamente el problema y represente la cantidad desconocida con una variable. B. Escriba la ecuación que traduzca al álgebra el problema. C. Resuelva la ecuación para encontrar todos los datos solicitados. D. Compruebe la respuesta.
Ejercicio 5 Resuelva cada problema aplicando ecuaciones de primer grado. El primer problema es un ejemplo. 0) Problema de números pares A. Lea cuidadosamente el problema. La suma de dos números pares consecutivos es 54. ¿Cuáles son esos números?
Asignamos la variable a uno de los datos desconocidos y relacione el otro en función del primero.
1er número: 2x 2do número: 2x + 2 B. Expresamos el problema como una ecuación.
Dos números pares consecutivos suman 54.
2x + (2x + 2) = 54
C. Resolvamos la ecuación.
•
Eliminamos los paréntesis y realizamos la transposición de términos.
•
Reducimos términos semejantes.
•
Despejamos y hallamos el valor de x.
Escribimos la respuesta: 1er número: 2x
2x + 2x = 54 - 2 4x = 52 x = 52 4 x = 13
2(13) = 26. 2do número 2x + 2 2(13) + 2 = 26 + 2 = 28. D. Verificamos la respuesta en la ecuación original.
272
IGER − Utatlán
26 + 28 = 54
1) Problema de números enteros consecutivos A. Lea cuidadosamente el problema. La suma de dos números enteros consecutivos es 35. ¿Cuáles son esos números?
Asigne la variable a uno de los datos desconocidos y relacione el otro en función del primero.
1er número:
2do. número:
B. Exprese el problema como una ecuación.
Dos números enteros consecutivos suman 35.
.................
+ (.................) = 35
C. Resuelva la ecuación para hallar los valores desconocidos. •
Elimine los paréntesis y realice la transposición de terminos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje y halle el valor de x.
..................
..................
= .................
x = .................
Escriba la respuesta: 1er número:
.
2do número
.
+ .................. = .................. - ..................
x = .................
D. Verifique la respuesta en la ecuación original.
.................
+ ................. = 35
2) Problema de números pares consecutivos A. Lea cuidadosamente el problema. La suma de dos números pares consecutivos es 70. ¿Cuáles son esos números?
Asigne la variable a uno de los datos desconocidos y relacione el otro en función del primero.
1er número:
2do número:
B. Exprese el problema como una ecuación.
Dos números pares consecutivos suman 70.
.....................
+ (.......................................) = 70
C. Resuelva la ecuación. •
Elimine los paréntesis y realice la transposición de terminos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despejamos y halle el valor de x.
.....................
.....................
.
2do número
.
D. Verifique la respuesta en la ecuación original.
= .....................
x = .....................
Escriba la respuesta: 1er número:
+ .................... = ..................... - .....................
x = .....................
.....................
+ ..................... = 70
Matemática − Semana 17
273
3) Problema de geometría A. Lea cuidadosamente el problema. El lado desigual de un triángulo isósceles mide
2 de la medida de los lados iguales. 3
Si el perímetro mide 16 centímetros, ¿cuánto miden los lados?
Asigne una variable a uno de los datos desconocidos y relacione los demás en función del primero.
Recuerde que un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno desigual.
•
lados iguales:
•
lado desigual:
x
2x 3
B. Exprese el problema como una ecuación.
•
Los tres lados del triángulo suman 16 cm. .....................
C. Resuelva la ecuación.
•
Convierta la ecuación a denominador común.
•
Aplique el mcm.
•
Elimine denominadores.
3 .....................
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje x y halle su valor.
+ ..................... + 2 x = ..................... 3
mcm (3) = 3 3
x
+ +
3 3
+ +
=
3
=
3
3 3
+ ..................... + ..................... = ..................... .....................
= .....................
x = ..................... x = .....................
Escriba la respuesta: Los lados iguales miden
centímetros.
El lado desigual mide 2 (................) = ..................... centímetros.
D. Compruebe la respuesta.
3
.....................
+ ..................... + 2 (................) = ..................... 3
.....................
+ ..................... + ..................... = ..................... .....................
274
IGER − Utatlán
= .....................
4) Problema de dinero A. Lea cuidadosamente el problema. Enrique pagó Q22.40 por un melón, una papaya y una sandía. La papaya costó 1.2 veces lo que costó el melón y la sandía Q3.20 más lo que costó el melón. ¿Cuánto costó cada fruta?
Asigne una variable a uno de los datos desconocidos y relacione los demás en función del primero.
•
precio del melón: x
•
precio de la papaya:
•
precio de la sandía:
B. Exprese el problema como una ecuación.
•
El importe total fue Q22.40.
x + 1.2x + (x + 3.2) = 22.4
C. Resuelva la ecuación.
•
•
Elimine los paréntesis.
....................
+ .................... + .................... + .................... = 22.4
10(x + 1.2x + x + 3.2) = 10(22.4) Multiplique por 10 para eliminar los decimales. ....................
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje x y halle su valor.
+ .................... + .................... + .................... = .................... 10x + 12x + 10x = 224 - 32 ....................
= ....................
x = .................... x = ....................
Escriba la respuesta: El melón costó
quetzales.
La papaya costó 1.2 (6) =
quetzales.
La sandía costó 6 + 3.2 =
quetzales.
D. Compruebe la respuesta.
.....................
+ 61.2 (.....................) @ + 6(..................... + .....................) @ = 22.4 ....................
+ .................... + .................... = .................... ....................
= ....................
Matemática − Semana 17
275
5) Problema de edades A. Lea cuidadosamente el problema. Rocío es 3 años mayor que Ramiro y la edad de Fátima es el doble de la edad de Rocío. Si las edades suman 25 años, ¿qué edad tiene cada uno?
Asigne una variable a uno de los datos desconocidos y relacione los demás en función del primero.
•
Edad de Ramiro:
•
Edad de Rocío:
•
Edad de Fátima:
B. Exprese el problema como una ecuación.
•
Las edades suman 25 años.
x + (x + 3) + 2(x + 3) = 25
C. Resuelva la ecuación.
•
Elimine los paréntesis.
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje x y halle su valor.
....................
+ .................... + .................... + .................... + .................... = 25
x + x + 2x = 25 - 3 - 6
....................
= ....................
x = ....................
x = ....................
Escriba la respuesta: Ramiro tiene
años.
Rocío tiene
años.
Fátima tiene
años.
D. Compruebe la respuesta.
................
+ (...............................) + 6 ............... (...............................) @ = 25 ....................
+ .................... + .................... = .................... ....................
276
IGER − Utatlán
= ....................
Sistemas de ecuaciones, método de igualación Un sistema de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones distintas que comparten los mismos valores para las incógnitas. Por ejemplo
x-y = 2 x - 3y =- 4
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas por el método de igualación, seguimos el procedimiento siguiente: 1. Escoger y despejar una variable en las dos ecuaciones. 2. Igualar las expresiones que resultan. 3. Resolver la ecuación y hallar el valor de una incógnita. 4. Sustituir el valor de la incógnita encontrada en una de las dos ecuaciones originales y hallar el valor de la otra incógnita. 5. Verificar el resultado sustituyendo ambos valores en una de las ecuaciones originales.
Ejercicio 6 A. Observe el ejemplo para resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación. 1. Despeje x en las dos ecuaciones.
2. Iguale los valores de x obtenidos. 3. Resuelva la ecuación para hallar el valor de y.
4. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación para hallar el valor de x.
5. Compruebe la respuesta en la segunda ecuación.
La igualdad se cumple. La solución es:
x + 2y = 5 x-y = 2 x = 5 - 2y x = 2+y 5 - 2y = 2 + y - 2y - y = 2 - 5 - 3y =- 3 y = -3 -3 y=1 x - (1) = 2 x = 2+1 x=3 (3) - (1) = 2 2=2 x=3 y=1 Matemática − Semana 17
277
B. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método de igualación. 1)
x + 5y = 9 21 2) x - 3y = 1 x - 3y =- 63
3)
18 4) 2x + y = - 1 5x + y =- 22 - 2x + y =- 10
x+y =
5x + y =
C. Resuelva en su cuaderno los sistemas de ecuaciones por el método de igualación. 1)
2x + y = 8 3) 2) x + 2y = 8 x + y = 6 5x + y = 11 x - 3y =- 2 4x + y = 84
x + 5y = 4) x + y = 14 5) x-y = 6
278
IGER − Utatlán
x + 3y = 55 8 6) x - 2y =- 20 x - 4y =- 10
Sistemas de ecuaciones, método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, siga los pasos siguientes: 1. Despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2. Sustituir el valor de la incógnita que despejó en la otra ecuación que no utilizó. 3. Resolver la ecuación resultante. 4. Sustituir el valor hallado, en cualquier ecuación. 5. Verificar el resultado sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.
Ejercicio 7 A. Observe el ejemplo para resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 1. Despeje y en la primera ecuación. 2. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación.
2x + y = 3 3x - 7y = 30 y = 3 - 2x 3x - 7 (3 - 2x) = 30
3. Resuelva la ecuación resultante. •
Elimine los paréntesis.
•
Realice la transposición de términos.
•
Reduzca términos semejantes.
•
Despeje x y halle su valor.
4. Sustituya el valor de x en la primera ecuación para hallar el valor de y.
3x - 21 + 14x = 30 3x + 14x = 30 + 21 17x = 51 x = 51 17 x=3 2 (3) + y = 3 6+y = 3 y = 3-6 y =- 3
5. Verifique el resultado en la segunda ecuación.
3 (3) - 7 (- 3) = 30 9 + 21 = 30 30 = 30
La igualdad se cumple. La solución es:
x=3 y =- 3 Matemática − Semana 17
279
B. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.
x + 6y = 27 1) -5x + y = -7 2) 7x - 3y = 9
3x + 2y = 12
3)
x + 3y = 6 4) x - 5y = 8 5x - 2y = 13 - 7x + 8y = 25
C. Resuelva en su cuaderno los sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. 1) x + y = 12 2) x + y = 11 - 2x + y = 6 3)
x + 2y = 2
x-y = 8 4)
3x - y =
5) 7 3x + y = 11 6) 3x + y = 3
2x + 3y = 12
280
IGER − Utatlán
x - y =- 3
5x - y = 13
4x + 2y = 2
Sistemas de ecuaciones, método de reducción El procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones por el método de reducción es: 1. Multiplicar una o las dos ecuaciones por un número, tal que en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales y de signo contrario. 2. Sumar miembro a miembro el sistema de ecuaciones. 3. Resolver la ecuación que resulta (ecuación con una incógnita). 4. Sustituir el valor hallado en una de las ecuaciones originales y despejar la otra incógnita. 5. Verificar el resultado.
Ejercicio 8 A. Observe el ejemplo para resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción. 1. Multiplique la segunda ecuación por -3 para que los coeficientes de x sean iguales y de signo contrario. 2. Sume miembro a miembro el sistema de ecuaciones. Así elimina x (3x - 3x = 0)
3. Despeje y y halle su valor.
3x + 2y = 12 x+y = 5 3x + 2y = 12 - 3 (x + y = 5) 3x + 2y = 12 - 3x - 3y =- 15 - y =- 3 y = -3 -1 y=3
4. Sustituya el valor de y en la segunda ecuación para hallar el valor de x.
x+3=5 x=5-3 x= 2
5. Verifique la respuesta en la segunda ecuación.
2+3 = 5 5=5
La igualdad se cumple. La solución es:
x=2 y=3
Matemática − Semana 17
281
B. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método de reducción. 1)
x + y = 9 2) 2x + y = 11 5x - y = 3
3x - y = 9
3) 4x - 2y = 10 4) 4x + 5y =
3x - y = 8
2
- 4x - 10y =- 7
C. Resuelva en su cuaderno los sistemas de ecuaciones por el método de reducción.
x - 2y = 13 x - y = 1 3) 1) x + 3y = -1 2) 2x - y = 5 4) x - y =
x+y = 7
x + 6y =- 3
x + y = 6 2 5) 2x + 3y = 8 6) 5x - 4y = 12 x - 3y =- 4 3x - 2y =- 1
282
IGER − Utatlán
Agilidad de cálculo mental Mejore su velocidad de cálculo resolviendo mentalmente las ecuaciones lo más rápido que pueda. Escriba su respuesta sobre la línea. Fíjese en los ejemplos. A. Suma. 0) x + 6 = 9
x=
1) x + 1 = 8
3
5) x + 9 = 20
x=
x=
6) x + 11 = 19
x=
2) x + 3 = 7
x=
7) x + 13 = 17
x=
3) x + 2 = 10
x=
8) x + 12 = 24
x=
4) x + 6 = 15
x=
9) x + 19 = 30
x=
5) x - 17 = 5
x=
B. Resta. 9
0) x - 5 = 4
x=
1) x - 2 = 9
x=
6) x - 12 = 6
x=
2) x - 4 = 6
x=
7) x - 10 = 4
x=
3) x - 3 = 9
x=
8) x - 15 = 7
x=
4) x - 5 = 8
x=
9) x - 13 = 5
x=
C. Multiplicación. 0) 4x = 8
x=
1) 3x = 6
2
5) 5x = 20
x=
10) 5x = 30
x=
x=
6) 3x = 18
x=
11) 6x = 30
x=
2) 2x = 10
x=
7) 6x = 24
x=
12) 4x = 36
x=
3) 4x = 12
x=
8) 4x = 32
x=
13) 5x = 35
x=
4) 3x = 15
x=
9) 7x = 28
x=
14) 7x = 42
x=
D. Sustituya el valor de x = 3 y calcule mentalmente el valor de y. Fíjese en los ejemplos. 0) y = x + 8
y=
11 5) y = 6x
y=
18 10) y = 7x + 3 y =
1) y = x + 4
y=
6) y = 2x
y=
11) y = 2x + 4 y =
2) y = x + 6
y=
7) y = 3x
y=
12) y = 4x + 2 y =
3) y = x + 11 y =
8) y = 4x
y=
13) y = 5x + 3 y =
4) y = x + 15 y =
9) y = 5x
y=
14) y = 3x + 1 y =
24
Matemática − Semana 17
283
Razonamiento lógico A. Resuelva en su cuaderno los problemas mediante ecuaciones con una incógnita. 1) En un canasto hay el doble de duraznos que de ciruelas. Si en total suman 42 unidades, ¿cuántos duraznos y cuántas ciruelas hay? 2) La suma de dos números pares consecutivos es 30. ¿Cuáles son esos números? 3) Isabel y Francisco tienen ahorrado Q76.00 entre los dos. Si Francisco tiene Q12.00 más, ¿cuánto tiene ahorrado cada uno? 4) Hoy Ana leyó 14 páginas más que ayer. Si entre ayer y hoy ha leído 56 páginas, ¿cuántas páginas leyó hoy? 5) Benjamín es 4 años mayor que Estela y la edad de Julieta es el doble que la edad de Benjamín. Si la suma de las edades es 52 años, ¿cuántos años tiene cada uno? 6) El perímetro de un triángulo isósceles mide 6.8 centímetros. Si los lados iguales miden 1.2 veces más que el lado desigual, ¿cuáles son las medidas del triángulo? 7) En el día del árbol, los estudiantes del grupo Utatlán del círculo de estudio San Sebastián sembraron 42 arbolitos entre pinos y cipreses. Si los cipreses fueron la sexta parte del total de pinos, ¿cuántos pinos y cuántos cipreses sembraron? 8) Una papaya pesa la mitad de lo que pesa una sandía, y un melón pesa la tercera parte que la sandía. Si el peso total es 11 libras, ¿cuánto pesa cada fruta? 9) La suma de las edades de Tomás y Marisol es 44 años. Si Tomás es 8 años mayor que Marisol, ¿qué edad tiene cada uno? 10) La suma de dos números enteros consecutivos es 31. ¿Cuáles son esos números? 11) El perímetro de un terreno rectangular mide 26 metros. Si el largo mide 3 metros más que el ancho, ¿cuánto mide el largo y el ancho del terreno? 12) La edad de Susana es el doble que la edad de Tomás. Si ambas edades suman 42 años, ¿qué edad tiene cada uno? 13) La suma de tres números enteros consecutivos es 54. ¿Cuáles son esos números? 14) Tres canastos contienen 135 naranjas. El segundo tiene 15 naranjas más que el primero y el tercero tiene el doble de naranjas que el primero. ¿Cuántas naranjas hay en cada canasto? 15) Rufino pagó Q124.00 por dos libros, uno de historia y uno de leyendas. Si el de historia costó Q10.00 menos que el de leyendas, ¿cuánto pagó por cada libro? 16) La suma de tres números pares consecutivos es 30. ¿Cuáles son esos números? 17) En un hotel de 2 niveles hay 36 habitaciones. Si el número de habitaciones en el segundo nivel es la mitad que en el primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada nivel? 18) Marina pagó Q24.50 por un cuaderno, un estuche y un cartapacio. El estuche costó Q3.50 más que el cuaderno y el cartapacio costó 2.2 veces más que el cuaderno. ¿Cuánto pagó por cada objeto?
284
IGER − Utatlán
B. Resuelva en su cuaderno los problemas mediante sistemas de ecuaciones. Utilice cualquier método. Tiene un ejemplo. 0)
Hilda vendió 11 chocolates a Q1.00 y Q3.00. Si en total recaudó Q19.00, ¿cuántos chocolates de Q1.00 y cuántos de Q.3.00 vendió?
Identificamos las cantidades desconocidas y asignamos variables. •
Chocolates de Q1.00: x
•
Chocolates de Q3.00: y
•
Importe por chocolates de Q3.00: 3y
Expresamos el problema como un sistema de ecuaciones.
Resolvemos el sistema por el método de reducción.
•
Hallamos el valor de y.
•
Hallamos el valor de x en la primera ecuación.
Escribimos la respuesta: vendió 7 chocolates de Q1.00. vendió 4 chocolates de Q3.00.
x + y = 11 x + 3y = 19 - x - y =- 11 x + 3y = 19 2y = 8 y= 8 2 y=4 x + y = 11 x + 4 = 11 x = 11 - 4 x=7
1) Un hotel tiene 16 habitaciones. Unas son simples (1 cama) y otras son dobles (dos camas). Si en total hay 25 camas, ¿cuántas habitaciones simples y cuántas dobles hay? 2) El perímetro de un terreno rectangular mide 28 metros. Si el largo mide 4 metros más que el ancho, ¿cuáles son las medidas del terreno? 3) En una librería, cada lápiz cuesta Q2.00 y cada lapicero Q4.00. Si Rubén dispone de Q32.00 para comprar 12 objetos, ¿cuántos lápices y cuántos lapiceros puede comprar sin que le sobre ni le falte dinero? 4) Marisol compró 2 libras de uvas y 5 de manzanas por Q55.00. Isabel compró 3 libras de uvas y 2 libras de manzanas por Q 55.00. ¿Cuál es el precio de la libra de uvas y de manzanas? 5) Un comerciante vende café de dos clases: A y B. Cuando toma 2 lb de la clase A y 3 lb de clase B, la mezcla cuesta Q110.00. Cuando toma 3 lb de clase A y 2 lb de clase B, la mezcla cuesta Q115.00. ¿Cuál es el precio de cada clase de café? 6) Estuardo compró 100 bombones. Los bombones sin chicle cuestan 35 centavos cada uno y los que tienen chicle cuestan 45 centavos. ¿Cuántos bombones compró de cada clase si en total pagó Q 40.00? Pista: convierta los quetzales a centavos. 7) En una pastelería se fabrican dos clases de pasteles. La primera necesita 2.4 lb de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 lb de masa y 2 horas de elaboración. ¿Qué número de pasteles hicieron de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 lb de masa? Matemática − Semana 17
285
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Repasé los contenidos de las semanas 9 a la 16. Resuelvo los ejercicios del repaso para evaluarme en la segunda prueba parcial. Calculo raíces cuadradas exactas e inexactas. Resuelvo ecuaciones de primer grado con varios términos, signos de agrupación, con decimales y con fracciones. Resuelvo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de igualación, sustitución y reducción. Resuelvo problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 9 a la 16. Me siento bien preparado (a) para la segunda prueba parcial.
Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su segunda prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.
Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.
Grupo: Utatlán Materia: Matemática Prueba: parcial A-2014
Círculo de estudio Nº:
i serie.
1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que completa correctamente cada enunciado. 1) La transposición de términos correcta en la ecuación x + 3 = 7 es...
x=7-3 x=7+3 x = (7)(3)
No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.
¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.
286
IGER − Utatlán
Claves
Matemática − Claves
287
Semana 1 El mundo de la matemática
Ejercicio 3
Ejercicio 1
1) r = 2 cm d = 4 cm
A.
2) r = 1 cm d = 2 cm
por sus lados por sus ángulos
isósceles rectángulo
equilátero acutángulo
escaleno obtusángulo
Ejercicio 4
base
C. 0) 1) 2)
base
altura
altura
r = 1.5 cm altura
altura
B.
base
base
equilátero acutángulo escaleno
Ejercicio 2 1) P = 15 cm + 15 cm + 21 cm P = 51 cm R/ La escuadra tiene un perímetro de 51 cm.
(6 m)(5 m) 2 (6 x 5)(m x m) A= 2
30 m2 A= 2
2) A =
A = 15 m2 R/ La lámina mide 15m2.
3) a. P = 11 m + 10 m + 4 m P = 25 m R/ Se necesitan 25 m de malla. (10 m)(4 m) 2 (10 x 4)(m x m) A = 2 2 40 m A = 2
b. A =
A = 20 m2 R/ Hay que cubrir un área de 20 m2.
288
IGER − Utatlán
Ejercicio 5 1) pasos para resolver
perímetro
P=2 r
área
A = r2
• Copiamos la fórmula
P=2 r
A= r
• Sustituimos los datos
P = 2 x 3.14 x 10 m
A = 3.14 x (10 m)2
• Operamos
P = 6.28 x 10 m
A = 3.14 x 100 m2
• Escribimos la respuesta P = 62.8 m
2
A = 314 m2
2) pasos para resolver
perímetro
P=2 r
área A = r 2
• Copiamos la fórmula
P=2 r
A = r2
• Sustituimos los datos
P = 2 x 3.14 x 5 m
A = 3.14 x (5 m)2
• Operamos
P = 6.28 x 5 m
A = 3.14 x 25 m2
• Escribimos la respuesta P = 31.4 m
A = 78.5 m2
Semana 2 ¡A trabajar! 1)
Dxd 2 (24 x 10) (cm x cm) A = 2 2 240 cm A = 2
= 2 cm
2) b = 5 cm a = 1 cm
b. A =
3) b = 3 cm a = 2 cm
Ejercicio 1
Ejercicio 3
R/ Amanda utilizará 120 cm2 de papel.
1) P = 2a + 2b P = 2 (5 cm) + 2 (4 cm) P = 10 cm + 8 cm P = 18 cm R/ El perímetro de la etiqueta es de 18 cm.
1) P = 4 x P = 4 x 12 cm P = 48 cm R/ El rombo tiene 48 cm de perímetro. 2) P = 4 x P = 4 x 9 cm P = 36 cm R/ El rombo tiene 36 cm de perímetro.
2) A = b x h A = (3 cm)(5 cm) A = (3 x 5)(cm x cm) A = 15 cm2 R/ El área de una etiqueta es: 15 cm2.
3) P = 4 x P=4x3m P = 12 m R/ Se necesita 12 m de madera.
3) a. P = 2a + 2b P = 2(20 cm) + 2(30 cm) P = 40 cm + 60 cm P = 100 cm R/ Utilizaron 100 cm de lazo.
Ejercicio 2 1) a. P = 4 x P = 4 x (7 m) P = 28 m R/ Se necesitan 28 m de canal.
b. A = b x h A = (30 cm)(18 cm) A = (30 x 18)(cm x cm) A = 540 cm2 R/ El rótulo lo protegieron con 540 cm2 de nailon.
Dxd 2 (8 x 6)(m x m) A = 2 48 m2 A = 2
A = 120 cm2
b. A =
Desarrolle nuevas habilidades
A = 24 m2. R/ El techo cubre 24 m2 de superficie. 2) a. P = 4 x P = 4 x (13 cm) P = 52 cm R/ Amanda necesita 52 cm de pita.
Matemática − Claves
289
Semana 3 ¡A trabajar!
Ejercicio 5
El texto varía según la tradición de cada familia.
1) nombre del polígono
Ejercicio 1
hexágono
0) octágono 1) decágono 2) nonágono
B. 0)
6
1)
1)
2)
2)
2) nombre del polígono
número de lados (n)
pentágono
5
Cantidad de grama
A=
Pxa 2
Ejercicio 3
A=
(75 m)(10 m) 2
A=
(75 x 10)(m x m) 2
A=
750 m2 2
A = 375 m2
1) a. 8 lados b. octágono c. 8 triángulos d. 5 cm e. 4 cm 2) a. 6 lados b. hexágono c. 6 triángulos d. 8 cm e. 10 cm
Ejercicio 4 1) • 7 lados • n = 7 • • • •
290
10 cm
P=nx P = 7 x 3 cm P = 21 cm R/ El heptágono tiene un perímetro de 21 cm.
IGER − Utatlán
longitud del valor de la lado ( ) apotema (a) 15 m
Cantidad de baranda P=nx P = 5 x 15 m P =75 m R/ Hay que comprar 75 m de baranda.
C. El radio es la línea trazada desde el centro hacia cualquier vértice del polígono y la apotema es la línea trazada desde el centro del polígono al centro de cualquiera de los lados y
longitud del lado ( )
P=nx P = 6 x 10 cm P = 60 cm R/ El perímetro del hexágono es 60 cm.
Ejercicio 2 A. 0)
número de lados (n)
R/ Hay que comprar 375 m2 de grama.
10 m
Semana 4 ¡A trabajar!
Ejercicio 3 3
Existen varias posibilidades de colocar los poliedros, aquí le presentamos algunas. De adentro hacia afuera: • icosaedro • dodecaedro • octaedro • hexaedro • tetraedro De adentro hacia afuera: • tetraedro • octaedro • hexaedro • icosaedro • dodecaedro
1) V = V = (2 m)3 V = (2 x 2 x 2)(m x m x m) V = 8 m3 R/ La pila puede contener 8 m3 de agua. 3 2) V = V = (3 m)3 V = (3 x 3 x 3)(m x m x m) V = 27 m3 R/ Hay que extraer 27 m3 de tierra. 3
3) V = V = (5 m)3 V = (5 x 5 x 5) (m x m x m) V = 125 m3
De adentro hacia afuera: • hexaedro • icosaedro • dodecaedro • octaedro • tetraedro
metros cúbicos 1 125
x=
Ejercicio 1
R/ Se necesitan 125 000 litros de agua para llenar el depósito.
litros de agua 1000 x
125 x 1000 = 125 000 1
azul rojo varios colores
Ejercicio 2 2
1) A = 6 A = 6 (5 cm)2 A = (6 x 5 x 5)(cm x cm) A = (6 x 25)(cm2) A = 150 cm2 R/ Se necesitan 150 cm2 de cartón. 2
2) A = 6 A = 6 (30 cm)2 A = (6 x 30 x 30)(cm x cm) A = (6 x 900)(cm2) A = 5400 cm2 R/ Se necesita 5400 cm2 de papel.
Matemática − Claves
291
Semana 5 ¡A trabajar!
2)
Comparta con sus compañeros la manualidad que fabricó.
Ejercicio 1 0) base (b) 1) altura (h) 2) base (b) 3) radio (r) 4) generatriz (g) 5) eje de giro
1)
h
r
12 cm
4 cm
A = 2 rh + r2 A = 2(3.14)(4 cm)(12 cm) + (3.14)(4 cm)2 A = (2 x 3.14 x 4 x 12)(cm x cm) + (3.14 x 4 x 4)(cm x cm) A = 301.44 cm2 + 50.24 cm2 A = 351.68 cm2 R/ Se necesitan 351.68 cm2 de plástico. 2)
h
r
1m
0.5 m
A = 2 rh + 2 r2 A = 2(3.14)(0.5 m)(1.5 m) + 2(3.14)(0.5 m)2 A = (2 x 3.14 x 0.5 x 1.5)(m x m) + (2 x 3.14 x 0.5 x 0.5)(m x m) A = 4.71 m2 + 1.57 m2 A = 6.28 m2 R/ Se necesita 6.28 m2 de hojalata.
Ejercicio 3 1) V = r2h V = (3.14)(0.5 m)2(1m) V = (3.14)(0.5 m)(0.5 m)(1 m) V = (3.14 x 0.5 x 0.5 x 1)(m x m x m) V = 0.785 m3 R/ Al tonel le caben 0.785 m3 de agua.
292
IGER − Utatlán
r
4m
0.5 m
V = r2h V = (3.14)(0.5 m)2(4 m) V = (3.14)(0.5 m)(0.5 m)(4 m) V = (3.14 x 0.5 x 0.5 x 4)(m x m x m) V = 3.14 m3 R/ La columna tiene un volumen de 3.14 m3. 3)
Ejercicio 2
h
h
r
12.5 cm
3.25 cm
A = 2 rh + 2 r2 A = 2(3.14)(3.25 cm)(12.5 cm) + 2(3.14)(3.25 cm)2 A = (2 x 3.14 x 3.25 x 12.5)(cm x cm) + (2 x 3.14 x 3.25 x 3.25)(cm x cm) A = 255.125 cm2 + 66.33 cm2 A = 321.46 cm2 R/ Para fabricar la lata utilizaron 321.46 cm2 de material. V = r2h V = (3.14)(3.25 cm)2(12.5 cm) V = (3.14)(3.25 cm)(3.25 cm)(12.5 cm) V = (3.14 x 3.25 x 3.25 x 12.5)(cm x cm x cm) V = 414.58 cm3 R/ A la lata le caben 414.58 cm3 de jugo.
Semana 6 Ejercicio 1
2) Área de una cara
vértice
Ac =
bxh 2
Ac =
(5 m)(20 m) 2
Ac =
(5 x 20)(m x m) 2
Ac =
100 m2 2
color azul: altura de la cara color rojo: altura de la pirámide color negro: apotema color verde: caras
Ejercicio 2
Ac = 50 m2
0) pirámide cuadrangular 1) pirámide pentagonal 2) pirámide triangular 3) pirámide hexagonal
Área lateral Al = n • Ac Al = 12 • 50 m2 Al = 600 m2 área galones de pintura 50 m2 1 2 600 m x
Ejercicio 3 1) octágono
Área de la base
xa 2 (8)(3 m)(5 m) Ab = 2 (8 x 3 x 5)(m x m) Ab = 2 120 m2 Ab = 2 Ab =
nx
R/ Se deben comprar 12 galones de pintura.
área de la base Ab = 2 Ab = (5 m)2 Ab = (5 x 5)(cm x cm) Ab = 25 m2
Área de una cara
bxh 2 (3 m)(4 m) Ac = 2 (3 x 4)(m x m) Ac = 2 12 m2 Ac = 2 Ac =
Ac = 6 m
Ejercicio 4
Ab = 60 m2
600 x 1 600 = 50 50 x = 12
x=
volumen
2
Área total At = Ab + (n • Ac ) At = 60 m2 + (8 + 6 m2) At = 60 m2 + 48 m2 At = 108 m2 R/ Se necesitan 108 m2 de cartón.
V=
Ab x h 2
V=
(25 cm2)(6 cm) 3
V=
(25 x 6)(cm2 x cm) 3
V=
150 cm3 3
V = 50 cm3
R/ El volumen de la pirámide es de 50 cm3.
Matemática − Claves
293
Semana 7 ¡A trabajar!
2) V =
A. Porque se puede llegar a todas partes desde su centro. B. Estimular la circulación, aumentar la energía y la memoria, reducir la fatiga y la depresión.
4 r3 3
V=
4(3.14)(2 cm)3 3
V=
(12.56)(8 cm3) 3
V=
Ejercicio 1 A. 1) radio 2) centro 3) diámetro
B. Las respuestas pueden variar. Le presentamos algunos ejemplos: cincos, esferas de navidad, velas y peceras esféricas.
Ejercicio 2 1) A = 4 r A = 4(3.14)(3 cm)2 A = (12.56)(9 cm2) A = 113.04 cm2 R/ Se necesitan 113.04 cm2 de vidrio para fabricar una bombilla. 2
100.48 cm3 2 V = 33.49 cm3 R/ Se necesitan 33.49 cm3 de plasticina.
3) V =
3
V = (10 x 10 x 10)(cm x cm x cm)
V = 1000 cm3
V=
4 r3 3
V=
4(3.14)(2 cm)3 3
V=
(12.56)(8 cm3) 3
V=
100.48 cm3 3 V = 33.49 cm3
2) A = 4 r2 A = 4(3.14)(11 cm)2 A = (12.56)(121 cm2) A = 1519.76 cm2 R/ Se necesitan 1519.76 cm2 de cuero.
Ejercicio 3
R/ Con el bloque de vidrio se pueden fabricar 29 cincos.
1) V =
4 r3 3
V=
4(3.14)(4 cm) 3
V=
(12.56)(64 cm3) 3
V=
803.84 cm 3
V = 267.95 cm3
R/ El jarro puede contener 267.95 cm3 de agua.
294
R/ Cada cinco tiene un volumen de 33.49 cm3.
Cantidad de cincos =
1000 cm3 = 29.85 cincos 33.49 cm3
Desarrolle nuevas habilidades 3
3
IGER − Utatlán
Volumen de la esfera en la caja 1 4 r3 V= 3 V=
4(3.14)(1 cm)3 3
V=
(12.56 x 1)(cm x cm x cm) 3
12.56 cm3 3 V = 4.18 cm3 V=
Semana 8 Ejercicio 1
Volumen de la esfera en la caja 2 radio = 0.5 cm
A. 1) 2) 3)
4 r3 V= 3 V=
4(3.14)(0.5 cm)3 3
escaleno rectángulo equilátero
B.
(12.56 x 0.125)(cm x cm x cm) V= 3
1) Perímetro P=
1.57 cm3 V= 3
1
+
Área 2
+
P = 24 cm
Volumen de las 8 esferas en la caja 2 V = 8 x 0.523 cm3 V = 4.184 cm3
bxh 2 (8 cm)(6 cm) A= 2 48 cm2 A= 2 A=
3
P = 6 cm + 8 cm + 10 cm
V = 0.523 cm3
A = 24 cm2
R/ El volumen de la esfera en la caja 1 es igual al volumen de las cuatro esferas en la caja 2, por tanto ambas cajas pesan lo mismo.
2) Perímetro P=2 r P = 2 (3.14)(3 cm) P = 6.28 x 3 cm P = 18.84 cm
Área A = r2 A = (3.14)(3 cm)2 A = (3.14)(9 cm2) A = 28.26 cm2
C. 1) a. P = 1 + 2 + 3 P = (6 pies) + (4 pies) + (7.2 pies) P = 17.2 pies R/ Susana necesita 17.2 pies de metal. bxh 2 (6 pies)(4 pies) A= 2 (6 x 4) A= pies2 2 24 A= pies2 2
b. A =
A = 12 pies2
R/ Susana necesita 12 pies2 de nailon.
Matemática − Claves
295
Ejercicio 2 A.
5 cm
B.
D 8 cm
Perímetro
d 6 cm
Área Dxd A= 2 (8 cm)(6 cm) A= 2 (8 x 6)cm2 A= 2 48 cm2 A= 2
P=4 P = 4 (5 cm) P = 20 cm
A = 24 cm2 B.
C.
a 4 cm
b 7 cm
h 2.5 cm
Perímetro P = 2a + 2b P = 2( 4 cm) + 2 (7 cm) P = 8 cm + 14 cm P = 22 cm
Área A=bxh A = (7 cm)(2.5 cm) A = (7 x 2.5)cm2 A = 17.5 cm2
d 30 cm
D 40 cm
Dxd 2 (40 cm)(30 cm) A= 2 1200 cm2 A= 2 A = 600 cm2 R/ Se necesitan 600 cm2 de papel.
1)
2)
3)
a
dodecágono
296
heptágono
IGER − Utatlán
Pxa 2 (20 cm)(3 cm) A= 2 (60)cm2 A= 2 A = 30 cm2 A=
Ejercicio 4 A. Área A=6 2 A = 6 (2 cm)2 A = 6 (4 cm2) A = 24 cm2
Volumen V= 3 V = (2 cm)3 V = (2 cm)(2 cm)(2 cm) V = 8 cm3
B. 1) A = 6 2 A = 6 (2 pies)2 A = (6 x 2 x 2) (pies x pies) A = 24 pies2 A = 10 x 24 pies2 = 240 pies2 R/ Aníbal debe comprar 240 pies2 de madera.
Ejercicio 3 r
P=nx P = (8)(2.5 cm) P = 20 cm
2) V = 3 V = (2 m)3 V = (2 x 2 x 2) (m x m x m) V = 8 m3
A=
A. 0)
n D 8 cm 2.5 cm 3 cm Área Perímetro
hexágono nonágono
Volumen en litros 1 m 3 1000 litros 3 8m x 3 8 m x 1000 litros x= 1 m3 (8 x 1000) m3 x litros x= = 8000 litros 1 m3 R/ Para llenar la piscina, se necesitan 8000 litros de agua.
Ejercicio 5
Ejercicio 6
A.
A.
r 2 cm
h 5 cm
área de las bases Ab = 2( r2) Ab = 2 (3.14)(2 cm)2 Ab = 6.28 (4 cm2) Ab = 25.12 cm2
Área total At = Al + Ab At = 25.12 cm2 + 62.8 cm2 At = 87.92 cm2
r 1 pie
h 8 cm
V = r2h V = 3.14 (1 pie)2(2 pies) V = 3.14 (1 pie)(1 pie)(2 pies) V = (3.14 x 1 x 1 x 2) pies3 V = 6.28 pies3
Regla de tres directa
1 pie3 6.28
2
xa
5(3 cm)(2 cm) 2
Ab =
5(3 x 2)cm2 2
Ab =
30 cm2 2
Área de una cara
Ac =
b x hc 2
Ac =
(3 cm)(6 cm) 2
Ac =
18 cm2 2
Ac = 9 cm2
Área total At = Ab + (n • Ac) At = 15 cm2 + (5 • 9 cm2) At = 15 cm2 + 45 cm2 At = 60 cm2
h 2 pies
nx
Ab =
V = r2h V = 3.14 (3 cm)2 (8 cm) V = 3.14 (3 cm)(3 cm)(8 cm) V = (3.14 x 3 x 3 x 8)cm3 V = 226.08 cm3
C.
hc 6 cm
Ab = 15 cm2
R/ El área del cilindro es 87.92 cm2. r 3 cm
a 2 cm
3 cm
Área de la base
Ab =
Área lateral Al = 2 rh Al = 2 (3.14)(2 cm)(5 cm) Al = (2 x 3.14 x 2 x 5)cm2 Al = 62.8 cm2
B.
n 5
B. pirámide decagonal
7.5 galones x
operación 6.28 x 7.5 x= = 47.1 1 R/ En la cubeta caben 47.1 galones de agua.
n 10
h 8 cm
Área de una cara
Ac =
b x hc 2
Ac =
(5 cm)(8 cm) 2
Ac =
5 cm
40 cm2 2
Ac = 20 cm2
Matemática − Claves
297
Área lateral Al = n • Ac Al = (10)(20 cm2) Al = 200 cm2 C.
pirámide cuadrangular
3 pies
Área de la base Ab = 2 Ab = (3 pies)2 Ab = 9 pies2
h 6 pies Volumen A xh V= b 3 (9 pies2)6 pies) V= 3 54 pies3 V= 3 V = 18 pies3
Ejercicio 7 Área A = 4 r2 A = 4 (3.14)(1 cm)2 A = (12.56 x 1)cm2 A = 12.56 cm2
Volumen 4 r3 V= 3 4(3.14)(1 cm)3 V= 3 (12.56 x 1)cm3 V= 3 V=
12.56 cm3 3
V = 4.19 cm3
Agilidad de cálculo mental A. 1) 18 2) 20 3) 9 4) 28 5) 16 6) 42
7) 36 8) 7 9) 36 10) 40 11) 28 12) 30
13) 25 14) 72 15) 24 16) 0 17) 32 18) 12
B. 1) 7 2) 3 3) 5 4) 8 5) 6
6) 3 7) 4 8) 8 9) 7 10) 8
11) 12) 13) 14) 15)
298
IGER − Utatlán
5 9 5 8 7
C. 1) 9 2) 1 3) 3 4) 4 5) 2 D. 1) 1 2) 16 3) 1 4) 36
6) 0 7) 5 8) 3 9) 9 10) 8
11) 12) 13) 14) 15)
7 9 6 9 7
5) 64 6) 1 7) 49 8) 1
9) 25 10) 8 11) 64 12) 27
Razonamiento lógico 1) romboide P = 2a + 2b P = 2(10 m) + 2(15 m) P = 20 m + 30 m P = 50 m El perímetro mide 50 metros.
Área = b x h = 15 m x 8 m = 120 m2
R/ El área del terreno es 120 m2. 2) P = 1 + 2 + 3 P=3m+3m+3m=9m 9m x Q40.00 = Q360.00 R/ Daniela gastará Q360.00 en total. 3) P = 2 r P = 2 (3.14) (25 cm) P = 157 cm R/ La llanta recorre 157 cm cada vuelta. 157 cm x 10 = 1570 cm R/ la llanta recorre 1570 cm en 10 vueltas. 4) A = r2 A = 3.14 (2 m)2 A = (3.14 x 4) m2 A = 12.56 m2 R/ El área del jardín es 12.56 m2. 5) Cantidad de tela Dxd A= 2 (60 cm)(40 cm) 2400 cm2 A= = = 1200 cm2 2 2 R/ Carmen necesita 1200 cm2 de tela.
Cantidad de listón P=4 P = 4 (35 cm) P = 140 cm R/ Carmen necesita 140 cm de listón.
9)
nx
nx
Ab = 3.75 m2
R/ Los estudiantes necesitan 48 m2 de papel. Cantidad de pita P=nx P = 12 (2 m) P = 24 m R/ Los estudiantes necesitan 24 metros de pita. 7) Volumen de 1 caja V= 3 V = (0.5 m)3 V = (0.5) (0.5m) (0.5m) V = 0.125 m3
Ahora calculamos el volumen A xh V= b 3 (3.75 m2)(3 m) V= 3 3 V = 3.75 m R/ Se necesitan 3.75 m3 de concreto. 10) Área lateral Al = n • Ac Calculamos primero el área de una cara bxh Ac = 2 (1.5 m)(3.2 m) Ac = 2 2 4.8 m Ac = 2 Ac = 2.4 m2
Volumen de 20 cajas 1 caja 0.125 m3 20 cajas x
x=
20 cajas x 0.125 m3 1 caja
x=
(20 x 0.125)(cajas x m3) 1 caja
x = 2.5 m3
Laura tiene preparado 2.5 m3 de abono.
1.5 m
n 5
xa 2 5(1.5 m)(1 m) Ab = 2 2 7.5 m Ab = 2
xa 2 12(2 m)(4 m) A= 2 96 m2 A= 2 A = 48 m2 A=
a 1m
Para hallar el volumen, necesitamos primero el área de la base
Ab =
6) Cantidad de papel
h 3m
Ahora el área lateral Al = n • Ac Al = 5 (2.4 m2) Al = 12 m2
8) V = r2h V = 3.14 (7 cm)2(8 cm) V = (3.14 x 49 x 8) cm3 V = 1230.88 cm3 R/ Como 1 cm3 = 1 mililitro, entonces en la taza caben 1230.88 mililitros de agua.
R/ El área que se pintará es 12 m2. 11)
A = 4 r2 A = 4 (3.14) (11 cm)2 A = 12.56 (121 cm2) A = 1519.76 cm2
2 x 1519.76 cm2 = 3039.52 cm2
R/ José necesita 3039.52 cm2 de papel.
Matemática − Claves
299
Semana 9 ¡A trabajar!
12) Volumen de 1 tinaja 4 r3 V= 2 4(3.14)(2 pies)3 V= 3 12.56(8 pies3) V= 3 100.48 pies3 V= 3 V = 33.49 pies3
Práctica del símbolo de la raíz cuadrada.
Ejercicio 1 Le presentamos algunos ejemplos: Potencia Raíz 72 = 7 x 7 = 49 49 = 7
7.5 pies 334.9 pies3
Volumen en galones 3
1 galón x
galones
x=
16 = 4
8 = 8 x 8 = 64
64 = 8
2
Volumen de 10 tinajas V = 10 x 33.49 pies3 V = 334.9 pies3
42 = 4 x 4 = 16
334.9 x 1 334.9 = = 44.65 7.5 7.5
R/ Ligia logró recolectar 44.65 galones de agua.
Ejercicio 2 0) 9 = 3
5) 4 = 2
1) 49 = 7
6) 36 = 6
2) 64 = 8
7) 16 = 4
3) 81 = 9
8) 100 = 10
4) 25 = 5
Ejercicio 3 1) Dato 49 m2 49 m2 = 7 m R/ Cada lado del terreno mide 7 m. 2) Dato 81 cm2 81 cm2 = 9 cm P = 4 x P = 4 x 9 cm P = 36 cm R/ El perímetro del espejo es 36 cm.
Ejercicio 4 0)
1) 1’69 13 2’56 16 – 1 1x2=2 – 1 1x2=2 69 23 x 3 = 69 1 56 26 x 6 = 156 – 69 – 1 56 00 00
2) 31’36 56 3) 9’65 31 – 2 5 5 x 2 = 10 – 9 3x2=6 6 36 106 x 6 = 636 65 61 x 1 = 61 – 6 36 – 61 00 4
300
IGER − Utatlán
Semana 10 4)
¡A trabajar!
5) 54’76 74 ’77 8 – 49 7 x 2 = 14 – 64 5 76 144 x 4 = 576 13 – 5 76 00
Le presentamos algunos ejemplos:
equivalencia ≡
Pi
Desarrolle nuevas habilidades Tenemos los datos a=6m b=8m
raíz
Ejercicio 1 lenguaje algebraico x2 + 3 x + 5 2x
Cálculo de la longitud c
2 + x3
c= a +b
x2 - 3
2
intersección ∩
2
c = (6 m)2 + (8 m)2
Ejercicio 2
c = 36 m2 + 64 m2 c = 100 m2 c = 10 m
término signo coeficiente
R/ Francisco recorre una distancia de 10 metros.
y -2a 5x2y -xy 2 3 x 5 -wz
+ + -
1 2 5 1 2 5 1
+ -
variable y exponente y a x 2y xy x3 wz
Ejercicio 3 0) 1)
x2y2 7a2
2) 3)
4a 4x2 + y
Ejercicio 4 0) 1) 2) 3) 4) 5)
3x + 1 6) primer grado 7) 6 + 3 8) 3 9) 5x 10) -8, 4
2 Ambas son correctas 0 3x + 2 4
Ejercicio 5 A. 0) z - 4 = 11 z = 15 1) y + 7 = 13 y= 6 2) m - 6 = 5 m = 11
Matemática − Claves
301
Semana 11 B. 1) x + 8 = 13 x = 13 - 8 x=5 2) 2x = 10 - 4 2x = 6 x= 6 2 x=3 C. 0) 2 + 4 y = 10 4 y = 10 - 2
¡A trabajar!
prueba x + 8 = 13 5 + 8 = 13 13 = 13
2x + 4 = 10 2 (3) + 4 = 10 6 + 4 = 10
1) 7x - 8 = 6 7x = 6 + 8 7x = 14 x = 14 7 x=2 2) 3z + 4 = 13 3z = 13 - 4 3z = 9 z= 9 3 z=3
Desarrolle nuevas habilidades A = af + cd a=e-c
B. P = a + b + c + d + e + f
XVI aC.
I dC.
III dC.
Mesopotamia
Egipto
China
Grecia
Ejercicio 1
prueba
4y = 8 y= 8 4 y= 2
A. 1) 2)
XVII aC.
1) 9x - 3 = 6x + 9 9x - 6x = 9 + 3 3x = 12 x = 12 3 x=4 2) 5x + 3 - 2x = x - 15 5x - 2x - x = - 15 - 3 2x = - 18 x = - 18 2 x =- 9 3) 4x + (x - 6) - (x - 2) = 16 - x 4x + x - 6 - x + 2 = 16 - x 4x + x - x + x = 16 + 6 - 2 5x = 20 x = 20 5 x=4
Ejercicio 2 1) a.
0.4x + 1.2 = 1.6 + 0.2x 10 (0.4x + 1.2) = 10 (1.6 + 0.2x) 4x + 12 = 16 + 2x 4x - 2x = 16 - 12 2x = 4 x= 4 2 x=2
b. 0.4x + 1.2 = 1.6 + 0.2x 0.4x - 0.2x = 1.6 - 1.2 0.2x = 0.4 0.4 x= 0.2 x=2
302
IGER − Utatlán
2) a.
b.
Área del círculo 0.02x + 0.5x = 0.05x + 0.81 100 (0.02x + 0.3x) = 100 (0.05x + 0.8) 2x + 30x = 5x + 81 2x + 30x - 5x = 81 27x = 81 x = 81 27 x=3
A = πr2 2 A = π` x j 2 2 A = 3.14 ` 8 m j 2 A = 3.14^4 mh2 A = 3.14 (16 m2) A = 50.24 m 2 Área de la figura Atotal = Arectángulo + Acírculo Atotal = 128 m2 + 50.24 m2 Atotal = 178.24 m2
0.02x + 0.3x = 0.05x + 0.81 0.02x + 0.3x - 0.05x = 0.81 0.27x = 0.81 x = 0.81 0.27 x=3
R/ El área del jardín es 178.24 m2.
Desarrolle nuevas habilidades 2x = largo del rectángulo x = ancho del rectángulo x = radio 2 57.12 = perímetro 2x + 2x + 2πr = 57.12 2x + 2x + 2 π x = 57.12 2 2x + 2x + πx = 57.12 2x + 2x + 3.14x = 57.12 7.14x = 57.12 x = 57.12 7.14 x=8 Área del rectángulo A = b#h A = 2x : x A = 2x 2 A = 2 (8 m) 2 A = 2 (64 m2) A = 128 m 2
Matemática − Claves
303
Semana 12 ¡A trabajar! 1) 8 2 4 2 2 2 1
12 2 6 2 3 3 1
8 = 2#2#2 8 = 23
12 = 2 # 2 # 3 12 = 22 # 3
mcm de (8 y 12) = 23 # 3 = 8 # 3 = 24
2) 6 2 3 3 1 6 = 2#3
2)
10 2 5 5 1
15 3 5 5 1
12 = 2 # 5
15 = 3 # 5
mcm de (6, 10 y 15) = 2 # 3 # 5 = 30
x = - x + 15 4 2 2 2 ( ) x (2) 15 x =+ 4 4 4 x = - 2x + 30 4 4 4 x = - 2x + 30 x + 2x = 30 3x = 30 x = 30 3 x = 10
Desarrolle nuevas habilidades 1) Con la parte sombreada de los tres círculos del centro se pueden formar un círculo y medio.
Ejercicio 1 x =9 2 6
1)
x-2 3)
6 (x) = 2 (9) 6x = 18 x = 18 6 x=3
= x+3 3 4 4 (x - 2) = 3 (x + 3) Con la parte sombreada de los tres círculos de las esquinas se puede formar medio círculo. 4x - 8 = 3x + 9 4x - 3x = 9 + 8 x = 17
5x = 10 2 4
2)
4 (5x) = 2 (10) 20x = 20 x = 20 20 x=1
Sumamos el círculo y medio más medio círculo, y obtenemos 2 círculos.
Ejercicio 2 1) 3x + 1 = 2x 5 5 3 mcm = 15 (3) 3x (3) 1 (5) 2x + = 15 15 15 9x + 3 = 10x 15 15 15 9x + 3 = 10x 9x - 10x = - 3 -x =- 3 x =- 3 -1 x=3
304
IGER − Utatlán
R/ La parte sombreada es equivalente a 2 círculos. 2) Área de un círculo A = πr2 A = 3.14 (2 cm)2 A = 3.14 (4 cm2)
Área de los dos círculos A = 2 x 12.56 cm2 = 25.12 cm2
R/ El área que ocupa la parte sombreada mide 25.12 cm2.
Semana 13 ¡A trabajar!
Ejercicio 3
El estudiante puede escribir cualquier vivencia relacionada con el tema.
1° número: x 2° número: x + 1 3° número: x + 2
Ejercicio 1
x + x + 1 + x + 2 = 69 x + x + x = 69 - 3 3x = 66 x = 66 3 x = 22
Edad de Josefina: x Edad de Ricardo: 2x Edad de Guillermo: (2x + 3) x + 2x + (2x + 3) = 38 x + 2x + 2x + 3 = 38 x + 2x + 2x = 38 - 3 5x = 35 x = 35 5 x=7
R/ El primer número es x = 22 El segundo número es x + 1 = 23 El tercer número es x + 2 = 24 prueba x + (x + 1) + (x + 2) = 69 22 + 23 + 24 = 69 69 = 69
R/ Edad de Josefina: 7 Edad de Ricardo: 2(7) = 14 Edad de Guillermo: 2(7) + 3 = 17
Ejercicio 4 Ahorros de Andrés: x Ahorros de Carmelina: 3.5x
prueba
7 + 2 (7) + 62 (7) + 3 @ = 38 7 + 14 + 17 = 38 38 = 38
x + 3.5x = 292.50 10x + 10 (3.5x) = 10^292.50h 10x + 35x = 2925 45x = 2925 x = 2925 45 x = 65
Ejercicio 2 lado
=x
4 =P 4x = 120 m x = 120 m 4 x = 30 m
R/ Ahorro de Andrés: x = Q65.00 Ahorro de Carmelina: 3.5 (65) = Q227.50 prueba 65 + 3.5 (65) = 292.50 65 + 227.50 = 292.50
A= 2 A = x2 A = (30 m) 2 A = 900 m2
292.50 = 292.50
Desarrolle nuevas habilidades
R/ En cada lado hay que colocar x = 30 m El área que encierran las paredes = 900 m2 prueba 4x = 120 m 4(30 m) = 120 m 120 m = 120 m
a.
b. A = 5 (400 cm2) 16 2 A = 2000 cm 16 A = 125 cm2
5 16
125 cm2 Matemática − Claves
305
Semana 14 ¡A trabajar!
2 (7 - 5y) = 3 (- 4 + y) 14 - 10y = - 12 + 3y - 10y - 3y = - 12 - 14 - 13y = - 26 y = - 26 - 13 y=2
calculando el valor de x prueba
1) Incorporar cualquier número de incógnitas en una ecuación. 2) Porque llegó a ser un gran experto en aritmética.
Ejercicio 1 1)
x+y = 2 x + 3y = - 4 x = 2-y x = - 4 - 3y 2 - y = - 4 - 3y - y + 3y = - 4 - 2 2y = - 6 y = -6 2 y = -3
calculando el valor de x
x+y = 2 x + (- 3) = 2 x-3 = 2 x = 2+3 x=5
3x + 5y = 7 3x + 5 (2) = 7 3x + 10 = 7 3x = 7 - 10 3x = - 3 x = -3 3 x =- 1
5 + (- 3) = 2 5-3 = 2
2=2
R/ La solución del sistema es: x = 5 y = -3 2) 3x + 5y = 7 2x - y = - 4 7 - 5y x= 3 -4 + y x= 2 7 - 5y -4 + y = 3 2
R/ La solución del sistema es: x = -1 y=2
Ejercicio 2 3 dobladas y 2 refrescos costaron 12 quetzales. 1 doblada y 3 refrescos costaron 11 quetzales. Sistema de ecuaciones.
prueba x+y = 2
3x + 5y = 7 3 (- 1) + 5 (2) = 7 - 3 + 10 = 7 7=7
12 - 2y 3 x = 11 - 3y 12 - 2y = 11 - 3y 3 x=
12 - 2y = 3 (11 - 3y)
3x + 2y = 12 x + 3y = 11
prueba 3x + 2y = 12 3 (2) + 2 (3) = 12 6 + 6 = 12 12 = 12
12 - 2y = 33 - 9y 9y - 2y = 33 - 12 7y = 21 y = 21 7 y=3 x + 3y = 11 x + 3 (3) = 11 x + 9 = 11 x = 11 - 9 x=2 R/ Una doblada cuesta 2 quetzales. Un refresco cuesta 3 quetzales.
306
IGER − Utatlán
Semana 15 Desarrolle nuevas habilidades
¡A trabajar!
Los pesos en cada plato son iguales. Luego, si juntamos en un solo plato los tréboles de las balanzas 1 y 2, para equilibrar la balanza también debemos juntar los círculos y rombos en el otro plato.
El matemático deber ser capaz de ver lo que los demás no ven.
Ejercicio 1 x+y = 6 A. prueba x-y = 2 x+y = 6 4 +2 = 6 x-y = 2 6=6 x = 2+y
El resultado es: 5 tréboles en un plato, y en el otro plato 5 círculos y 4 rombos.
2+y+y = 6 y + y = 6 - 2 2y = 4 y= 4 2 y=2
x=4 y=2
x-y = 2 x-2 = 2 x = 2+2 x=4 B.
2x + 3y = 12 3x + 2y = 13
Por lo tanto, para equilibrar la balanza de la figura 3. Se necesitan 4 rombos. En la balanza no importa el lado en que estén las figuras, el peso es el mismo.
2x + 3y = 12 12 - 3y x= 2 3c
12 - 3y m + 2y = 13 2 36 - 9y + 2y = 13 2 36 - 9y (2) 2y (2) 13 + = 2 2 2 36 - 9y + 4y = 26 - 9y + 4y = 26 - 36 - 5y = - 10 y = - 10 -5 y=2 3x + 2 (2) = 13 3x + 4 = 13 3x = 13 - 4 3x = 9 x= 9 3 x=3
Matemática − Claves
307
Ejercicio 2
x + 2 (8) = 21 x + 16 = 21 x = 21 - 16 x=5
1) x = primer número y = segundo número 165 = suma de los números 61 = diferencia de los números x + y = 165 x - y = 61 x = 61 + y
x + y = 165 61 + y + y = 165 y + y = 165 - 61 2y = 104 y = 104 2 y = 52 x + 52 = 165 x = 165 - 52 x = 113
113 + 52 = 165 165 = 165 R/ Los números son 113 y 52. 2) x = primer número y = segundo número 21 = primera suma 18 = segunda suma x + 2y = 21 2x + y = 18 x + 2y = 21 x = 21 - 2y
2x + y = 18 2 (21 - 2y) + y = 18 42 - 4y + y = 18 - 4y + y = 18 - 42 - 3y = - 24 y = - 24 -3 y=8
308
IGER − Utatlán
2 (5) + 8 = 18 10 + 8 = 18 18 = 18
R/ Los números son 5 y 8.
Desarrolle nuevas habilidades 1) x + y = 8 2) y + (x + y) = 13 y + x + y = 13 x + 2y = 13 3) x + y = 8 x + 2y = 13 4)
x+y = 8 x + 2y = 13 x+y = 8 x = 8-y x + 2y = 13 8 - y + 2y = 13 - y + 2y = 13 - 8 y=5 x = 8-y x = 8-5 x=3
R/ El rectángulo menor mide 5 metros de largo y 3 metros de ancho.
Semana 16 ¡A trabajar! 1) El diseño de la máquina analítica. 2) En realizar cálculos matemáticos.
Ejercicio 1 1)
x + 3y = - 5 2x - y = - 3
x + 3y = - 5 3 (2x - y = - 3)
prueba
x + 3y = - 5 6x - 3 y = - 9 7x = -14
2x + 5y = - 4 2 (3) + 5 (- 2) = - 4 6 - 10 = - 4 -4 =- 4
Ejercicio 2
x = - 14 7 x =- 2
1) • helados de mora: x • helados de coco: y • costo de helado de mora: 2x • costo de helado de coco: 3y
x + 3y = - 5 - 2 + 3y = - 5 3y = - 5 + 2 3y = - 3 y = -3 3 y =- 1
Sistema de ecuaciones x + y = 19 2x + 3y = 50
solución
prueba 2x - y = - 3 2 (- 2) - (- 1) = - 3 -4 + 1 =- 3 -3 =- 3 2)
10x - 3y = 36 10 (3) - 3y = 36 30 - 3y = 36 - 3y = 36 - 30 - 3y = 6 y= 6 -3 y =- 2
- 2 (x + y = 19) 2x + 3y = 50 - 2x - 2y = - 38 2x + 3y = 50 y = 12
10x - 3y = 36 2x + 5y = - 4
5 (10x - 3y = 36) 3 (2x + 5y = - 4)
x + 12 = 19 x = 19 - 12 x=7
prueba
50x - 15x = 180 6x + 15x = - 12 56x = 168
2 (7) + 3 (12) = 50 14 + 36 = 50 50 = 50
R/ Susana vendió 7 helados de mora y 12 helados coco.
x = 168 56 x=3
Matemática − Claves
309
2) • 1 lb de manzana: x • 1 lb de uva: y • 10 lb de manzanas: 10x • 4 lb de uvas: 4y • 2 lb de manzanas: 2x 10 lb de manzanas más 4 lb de uvas cuestan Q98.00: 10x + 4y = 98 2 lb de manzanas más 1 lb de uvas cuestan Q22.00: 2x + y = 22 1) Eliminamos la variable y porque solo hay que multiplicar la segunda ecuación. Si eliminamos x habría que multiplicar las dos ecuaciones. 2) Multiplicamos por (-4) para obtener coeficientes iguales y de signo contrario. Solución del sistema de ecuaciones.
Desarrolle nuevas habilidades Valores de las esquinas 2x - y = 7 x+ y = 8 3x = 15 3x = 15 x = 15 3 x=5 x+y = 8 5+y = 8 y = 8-5 y=3 Triángulo mágico
10x + 4y = 98 - 4 (2x + y = 22) 10x + 4y = 98 - 8x - 4y = - 88 2x = 10 x = 10 2 x=5 2 (5) + y = 22 10 + y = 22 y = 22 - 10 y = 12 prueba 2 (5) + 12 = 22 10 + 12 = 22 22 = 22 R/ Pagaron 5 quetzales por cada libra de manzanas y 12 quetzales por cada libra de uvas.
310
IGER − Utatlán
20 7 6
9
2 20
5
1 8
4 Fig. 2
3
20
Semana 17 Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
A. 0) 16 = 4 42 = 16
A.
1) 9 = 3 32 = 9
0) x3 - 2
2) 36 = 6 62 = 36
1) x + 8
3) 1 = 1 12 = 1
2) 2x
A. 0) 1) 2) 3) 4)
4) 4 = 2 22 = 4
3) 3x - 4
lenguaje algebraico
5) 25 = 5 52 = 25
B. 0) x = 6 2) x=7 1) x = 10 3) x = 11
6) 0 = 0 0 = 0 2
7) 64 = 8 82 = 64
C. 0) 3x + 4 = 13 3x = 13 - 4 3x = 9 x= 9 3 x =3
B. 0) 13’69 37 – 9 3x2=6 4 69 67 x 7 = 469 – 4 69 00 1)
3’24 18 – 1 1x2=2 2 24 28 x 8 = 224 – 2 24 00
1) 2x - 5 = 15 2x = 15 + 5 2x = 20 x = 20 2 x = 10
2) 10’24 32 – 9 3x2=6 1 24 62 x 2 = 124 – 1 24 00 3)
D. 0) 2x + 11 = 41 2x = 41 - 11 2x = 30 x = 30 2 x = 15
5’76 24 – 4 2x2=4 1 76 44 x 4 = 176 – 1 76 00
4) 16’81 41 – 1 6 4x2=8 0 81 81 x 1 = 81 – 0 81 00 5) 38’44 62 – 3 6 6 x 2 = 12 2 44 122 x 2 = 244 – 2 44 00
1) 3x - 3 = 12 3x = 12 + 3 3x = 15 x = 15 3 x=5 2) x + 8 = - x + 64 x + x = 64 - 8 2x = 56 x = 56 2 x = 28
x=7-3 x = (7)(2) 6x - 15 = 10 100(0.2x) = 100 (0.69) -8x = - 8
B. 0) 3x + 7 = 15 - x 3x + x = 15 - 7 4x = 8 x= 8 4 x =2 1)
0.3x + 0.5 = 2.6 10 (0.3x + 0.5) = 10 (2.6) 3x + 5 = 26 3x = 26 - 5 3x = 21 x = 21 3 x=7
2) 3 (x - 4) = 8 - x 3x - 12 = 8 - x 3x + x = 8 + 12 4x = 20 x = 20 4 x=5 C. 0) 3 (x - 4) + 5x = 20 3x - 12 + 5x = 20 3x + 5x = 20 + 12 8x = 32 x = 32 8 x=4 1) 4a + 1 = 7 + a 4a - a = 7 - 1 3a = 6 a= 6 3 a=2
Matemática − Claves
311
2) y - 5 = 3y - 25 y - 3y = - 25 + 5 - 2y = - 20 y = - 20 -2 y = 10
Ejercicio 4 A. 0)
8x - 4 + 3x = 7x + x + 14 8x + 3x - 7x - x = 14 + 4 3x = 18 x = 18 3 x=6
5) x - (2x + 1) x - 2x - 1 x - 2x + 3x 2x
8 - 3 (x + 1) 8 - 3x - 3 8-3+1 6 6 x= 2 x=3
6)
= = = =
(2 ) 1 (6 ) x (1) x (6) 5 + = 6 6 6 6 x + 30 = 2 - 6x 6 6 6 6 x + 30 = 2 - 6 x x + 6x = 2 - 30 7x = -28 x = -28 7 x = -4
7)
1)
B. 0)
9 - 0.5x = 4.5x + 14 10 (9 - 0.5x = 4.5x + 14) 90 - 5x = 45x + 140 - 5x - 45x = 140 - 90 - 50x = 50 x = 50 - 50 x =- 1
312
IGER − Utatlán
4)
5)
(3) x (2) 2 (1) 5 = 6 6 6 3x - 4 = 5 6 6 6 3x - 4 = 5 3x = 5 + 4 3x = 9 x= 9 3 x=3
1) 3x = 9 5
3x + 1 = x - 2 4 2 2 (3x + 1) = 4 (x - 2) 6x + 2 = 4x - 8 6x - 4x = - 8 - 2 2x = - 10 x = - 10 2 x =- 5
x-2 =5 2 3 6 mcm (2, 3 y 6) = 6
x =- 12
2)
3x + 3x = 9 2 (2) 3x (1) 3x (2) 9 + = 2 2 2 6x + 3x = 18 2 2 2 6x + 3x = 18 9x = 18 x = 18 9 x=2
3x - x =- 3 4 2 (1) 3x - (2) x = (4) (- 3) 4 4 4 3x - 2x = - 12 4 4 4 3x - 2x =- 12
3x = 9 (5) 3x = 45 x = 45 3 x = 15
x - 1 = 4x + 3 3 5 5 (x - 1) = 3 (4x + 3) 5x - 5 = 12x + 9 5x - 12x = 9 + 5 - 7x = 14 x = 14 -7 x =- 2
mcm (2) = 2
5x = 10 7 14 5x (14) = 7 (10) 70x = 70 x = 70 70 x=1
0.6x + 0.4x = 1.5 + 3.5 10 (0.6x + 0.4x = 1.5 + 3.5) 6x + 4x = 15 + 35 10x = 50 x = 50 10 x=5
x + 5 = 1 -x 6 3 mcm (3 y 6) = 6
3) - 2v - 3 = v - 15 - 2v - v = - 15 + 3 - 3v = - 12 v = - 12 -3 v=4 4)
3)
6)
5x - x = 2 6 2 3 mcm (2, 3 y 6) = 6 (1)5x (3) x (2) 2 = 6 6 6 5x - 3x = 4 6 6 6 5 x - 3x = 4 2x = 4 x= 4 2 x=2
7)
3) Lados iguales: x
x +2- x = x - 5 2 12 6 4
2 Lado desigual: x 3
mcm = 12 (6) x (12) 2 (1) x (2) x (3) 5 + = 12 12 12 12 12 6x + 24 - x = 2x - 15 12 12 12 12 12 6x + 24 - x = 2x - 15 6x - x - 2x = - 15 - 24 3x = - 39 x = - 39 3 x = - 13
2 x = 16 3 mcm (3) = 3
x+x+
(3) x (3) x (1) 2x + + 3 3 3 3x 3x 2x + + 3 3 3 3x + 3x + 2x 8x
(3) 16 3 48 = 3 = 48 = 48 48 x= 8 x=6
Ejercicio 5 0) 1° número: 2x 2° número: 2x + 2 2x + (2x + 2) = 54 2x + 2x + 2 = 54 2x + 2x = 54 - 2 4x = 52 x = 52 4 x = 13
prueba 26 + 28 = 54 54 = 54
R/ 1° número: 2x 2(13) = 26. 2° número: 2x + 2 2(13) + 2 = 26 + 2 = 28.
R/ El primer número es 17. El segundo número es 17 + 1 = 18.
6 + 6 + 2 (6) = 16 3 6 + 6 + 4 = 16 16 = 16
R/ los lados iguales miden 6 centímetro. 2 El lado desigual mide (6) = 4 centímetros. 3 4) precio del melón: x precio de la papaya: 1.2x precio de la sandía: x + 3.2
El importe total fue Q22.40 x + 1.2x + (x + 3.2) = 22.4 x + 1.2x + x + 3.2 = 22.4 10(x + 1.2x + x + 3.2) = 10(22.4)
1) 1° número: x 2° número: x + 1 x + (x + 1) = 35 prueba x + (x + 1) = 35 x + x + 1 = 35 17 + (17 + 1) = 35 x + x = 35 - 1 17 + 18 = 35 2x = 34 34 35 = 35 x= 2 x = 17
=
prueba
10x + 12x + 10x + 32 = 224 10x + 12x + 10x = 224 - 32 32x = 192 x = 192 32 x=6
R/ El melón costó 6 quetzales. La papaya costó 1.2 (6) = 7.20 quetzales. La sandía costó 6 + 3.2 = 9.20 quetzales. prueba
2) 1° número: 2x 2° número: 2x + 2 prueba 2x + (2x + 2) = 70 34 + 36 = 70 2 x 2 x 2 70 + + = 70 = 70 2x + 2x = 70 - 2
6 + 61.2 (6) @ + 6(6 + 3.2) @ = 22.4 6 + 7.2 + 9.2 = 22.4 22.4 = 22.4
4x = 68 x = 68 4 x = 17 R/ 1° número: 2x 2(17) = 34. 2° numero: 2x + 2 2(17) + 2 = 34 + 2 = 36.
Matemática − Claves
313
5) Edad de Ramiro: x Edad de Rocío: x + 3 Edad de Fátima: 2(x+3)
B. 1)
Las edades suman 25 años.
4 + (4 + 3) + 62 (4 + 3) @ = 25 4 + 7 + 14 = 25 25 = 25
5x + y = 18 5 (4) + y = 18 20 + y = 18 y = 18 - 20 y =- 2
prueba x - 3y = - 63 (0) - 3 (21) = - 63 - 63 = - 63
Ejercicio 6 A. x + 2 y = 5 x -y = 2 x = 5 - 2y x=2+y 5 - 2y = 2 + y -2 y - y = 2 - 5 - 3y =- 3 -3 y= -3 y =1 x - (1) = 2 x =2 +1 x =3 prueba (3) - (1) = 2 2=2
IGER − Utatlán
2)
x + 5y = 9 x - 3y = 1
18 - 5x = - 10 + 2x - 5x - 2x = - 10 - 18 - 7x = - 28 x = - 28 -7 x=4
x=0
prueba
5x + y = 18 - 2x + y = - 10 y = 18 - 5x y = - 10 + 2x
x + y = 21 x + 21 = 21 x = 21 - 21
R/ Ramiro tiene 4 años. Rocío tiene 4 + 3 = 7 años. Fátima tiene 2(7) = 14 años.
314
3)
21 - y = - 63 + 3y - y - 3y = - 63 - 21 - 4y = - 84 y = - 84 -4 y = 21
x + x + 2x = 25 - 3 - 6 4x = 16 16 x= 4 x=4
x = 21 - y x = - 63 + 3y
x + (x + 3) + 2 (x + 3) = 25 x + x + 3 + 2x + 6 = 25
x + y = 21 x - 3y = - 63
prueba - 2x + y = - 10 - 2 (4) + (- 2) = - 10 - 8 - 2 = - 10 - 10 = - 10 4)
2x + y = - 1 5x + y = - 22
x = 9 - 5y x = 1 + 3y
y = - 1 - 2x y = - 22 - 5x
9 - 5y = 1 + 3y - 5y - 3y = 1 - 9 - 8y = - 8 y = -8 -8 y=1
- 1 - 2x = - 22 - 5x - 2x + 5x = - 22 + 1 3x = - 21 x = - 21 3 x =- 7
x + 5y = 9 x + 5 (1) = 9 x+5 = 9 x = 9-5 x=4 prueba x - 3y = 1 4 - 3 (1) = 1 4-3 = 1 1=1
2x + y = - 1 2 (- 7) + y = - 1 - 14 + y = - 1 y = - 1 + 14 y = 13 prueba 5x + y = - 22 5 (- 7) + 13 = - 22 - 35 + 13 = - 22 - 22 = - 22
C. 1)
x+y = 6 4x + y = 84
3)
y = 6-x y = 84 - 4x 6 - x = 84 - 4x - x + 4x = 84 - 6 3x = 78 x = 78 3 x = 26
y = - 20 prueba 4x + y = 84 4 (26) + (- 20) = 84 104 - 20 = 84 84 = 84 4) 2x + y = 8 5x + y = 11 y = 8 - 2x y = 11 - 5x 8 - 2x = 11 - 5x - 2x + 5x = 11 - 8 3x = 3 x= 3 3 x=1 2x + y = 8 2 (1) + y = 8 2+y = 8 y = 8-2 y=6 prueba 5x + y = 11 5 (1) + 6 = 11 5 + 6 = 11 11 = 11
5)
x + 5y = 8 x - 4y = - 10
x = 8 - 2y x = - 2 + 3y
x = 8 - 5y x = - 10 + 4y
8 - 2 y = - 2 + 3y - 2y - 3y = - 2 - 8 - 5y = - 10 y = - 10 -5 y=2
8 - 5y = - 10 + 4y - 5y - 4y = - 10 - 8 - 9y = - 18 y = - 18 -9 y=2
x + 2y = 8 x + 2 (2) = 8 x+4 = 8 x = 8-4 x=4 prueba x - 3y = - 2 4 - 3 (2) = - 2 4 - 6 =- 2 -2 =- 2
x+y = 6 26 + y = 6 y = 6 - 26
2)
x + 2y = 8 x - 3y = - 2
x = 14 - y x = 6+y 14 - y = 6 + y - y - y = 6 - 14 - 2y = - 8 y = -8 -2 y=4 x + y = 14 x + 4 = 14 x = 14 - 4 x = 10 prueba x-y = 6 10 - 4 = 6 6=6
prueba x - 4y = -10 2 - - 4 (2) = -10 - 2 - 8 = -10 -10 = -10
x + 3y = 55 x - 2y = - 20 x = 55 - 3y x = - 20 + 2y 55 - 3y = - 20 + 2y - 3y - 2y = - 20 - 55 - 5y = - 75 y = - 75 -5 y = 15 x + 3y = 55 x + 3 (15) = 55 x + 45 = 55 x = 55 - 45 x = 10 prueba x - 2y = - 20 10 - 2 (15) = - 20 10 - 30 = - 20 - 20 = - 20
A. 2x + y = 3 3x - 7y = 30 y = 3 - 2x 3x - 7 (3 - 2x) = 30 3x - 21 + 14x = 30 3x + 14x = 30 + 21 17x = 51 x = 51 17 x=3
x + 5 (2) = 8 x + 10 = 8 x = 8 - 10 x =- 2
6)
x + y = 14 x-y = 6
Ejercicio 7
2 (3) + y = 3 6+y = 3 y = 3-6 y =- 3 prueba 3 (3) - 7 (- 3) = 30 9 + 21 = 30 30 = 30
B. 1)
- 5x + y = - 7 3x + 2y = 12 - 5x + y = - 7 y = - 7 + 5x
3x + 2y = 12 3x + 2(-7 + 5x) = 12 3x - 14 + 10x = 12 3x + 10x = 12 + 14 13x = 26 x = 26 13 x=2 - 5x + y = - 7 - 5 (2) + y = - 7 - 10 + y = - 7 y = - 7 + 10 y=3 prueba 3x + 2y = 12 3 (2) + 2 (3) = 12 6 + 6 = 12 12 = 12
Matemática − Claves
315
2)
x + 6y = 27 7x - 3y = 9 x + 6y = 27 x = 27 - 6y 7x - 3y = 9 7(27 - 6y) - 3y = 9
4)
x - 5y = 8 7 - x + 8y = 25 x - 5y = 8 x = 8 + 5y
- 7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25
2)
- 2x + y = 6 x + 2y = 2 - 2x + y = 6 y = 6 + 2x
4)
3x - y = 7 2x + 3y = 12 - y = 7 - 3x y = 7 - 3x -1 y = - 7 + 3x
x + 2y = 2 2x + 3y = 12 x + 2 (6 + 2x) = 2 2 x 3 7 + 3x) = 12 ( + 189 - 42y - 3y = 9 -56 - 35y + 8y = 25 x + 12 + 4x = 2 2 x 21 - + 9x = 12 - 42y - 3y = 9 - 189 - 35y + 8y = 25 + 56 x + 4x = 2 - 12 2x + 9x = 12 + 21 - 45y = - 180 27 y 81 = 5 x 10 = 11x = 33 y = - 180 81 10 - 45 y= x= x = 33 - 27 5 11 y=4 y =- 3 x =- 2 x=3 x + 6y = 27 3x - y = 7 x - 5y = 8 - 2x + y = 6 x + 6 (4) = 27 3 (3) - y = 7 x - 5 (- 3) = 8 - 2 (- 2) + y = 6 x + 24 = 27 9-y = 7 x 15 8 + = 4+y = 6 x = 27 - 24 -y = 7 - 9 x = 8 - 15 y = 6-4 x=3 -y =- 2 x =- 7 y=2 prueba y = -2 -1 x + 6y = 27 prueba prueba y=2 3 + 6 (4) = 27 x - 5y = 8 - 2x + y = 6 prueba 3 + 24 = 27 - 7 - 5 (- 3) = 8 - 2 (- 2) + 2 = 6 2x + 3y = 12 27 = 27 - 7 + 15 = 8 4+2 = 6 2 (3) + 3 (2) = 12 8=8 6 + 6 = 12 6=6 3) x + 3y = 6 12 = 12 3) x + y = 11 5x - 2y = 13 C. 5) 3x + y = 11 x - y =- 3 x + 3y = 6 x + y = 12 1) 5x - y = 13 x = 11 - y x = 6 -3y x-y = 8 3x + y = 11 (11 - y) - y = - 3 5x - 2y = 13 x-y = 8 y = 11 - 3x 11 - y - y = - 3 5(6 - 3y) - 2y = 13 x = 8+ y 5x - y = 13 y y 3 11 - - =- 30 - 15y - 2y = 13 5x - (11 - 3x) = 13 x + y = 12 5x - 11 + 3x = 13 2 y 14 = - 15y - 2y = 13 - 30 y + (8 + y) = 12 14 5x + 3x = 13 + 11 y= - 17y = - 17 y + y = 12 - 8 2 8x = 24 y = - 17 y 7 = 2 y 4 = - 17 x = 24 4 8 y=1 y= x + y = 11 2 x=3 x + 7 = 11 y=2 x + 3y = 6 3x + y = 11 x = 11 - 7 x + 3 (1) = 6 x + y = 12 3 (3) + y = 11 x=4 x+3 = 6 9 + y = 11 x + 2 = 12 x = 6-3 y = 11 - 9 prueba x = 12 - 2 y=2 x=3 x - y =- 3 x = 10 prueba 4 - 7 =- 3 prueba prueba 5x - y = 13 -3 =- 3 x + 3y = 6 x + y = 12 5 (3) - 2 = 13 3 + 3 (1) = 6 10 + 2 = 12 15 - 2 = 13 3+3 = 6 13 = 13 12 = 12 6=6
316
IGER − Utatlán
6)
3x + y = 3 4x + 2 y = 2
B. 1)
y = 3 - 3x 4x + 2 (3 - 3x) = 2
8-6 = 2 2=2
Ejercicio 8 A.
3x + 2y = 12 x+y = 5 3x + 2y = 12 - 3 (x + y = 5) 3x + 2y = 12 - 3x - 3y = - 15 -y =- 3 y = -3 -1 y=3 x+3 = 5 x = 5-3 x=2
4x - 2y = 10 - 2 (3x - y = 8) 4x - 2y = 10 - 6x + 2y = - 16 - 2x =- 6 x = -6 -2 x=3
x+y = 9 2+y = 9 y = 9-2 y=7
4x - 2y = 10 4 (3) - 2y = 10 12 - 2y = 10 - 2y = 10 - 12
prueba 5x - y = 3 5 (2) - (7) = 3 10 - 7 = 3 3=3 2)
4x - 2y = 10 3x - y = 8
x+ y = 9 5x - y = 3 6x = 12 x = 12 6 x=2
4x + 6 - 6 x = 2 4x - 6 x = 2 - 6 - 2x = - 4 x = -4 -2 x=2 3x + y = 3 3 (2) + y = 3 6+y = 3 y = 3-6 y =- 3 prueba 4x + 2 y = 2 4 (2) + 2 (- 3) = 2
3) x+y = 9 5x - y = 3
- 2y = - 2 y = -2 -2 y=1 prueba 3x - y = 8 3 (3) - (1) = 8 9-1 = 8 8=8
2x + y = 11 3x - y = 9 2x + y = 11 3x - y = 9 5x = 20 x = 20 5 x=4 2x + y = 11 2 (4) + y = 11 8 + y = 11 y = 11 - 8 y=3 prueba 3x - y = 9 3 (4) - (3) = 9 12 - 3 = 9 9=9
y=3 x=2 prueba (en la 2a. ecuación) 2+3 = 5 5=5
4)
4x + 5y = 2 - 4x - 10y = - 7 4x + 5y = 2 - 4x - 10y = - 7 - 5y = - 5 y = -5 -5 y=1 4x + 5y = 2 4x + 5 (1) = 2 4x + 5 = 2 4x = 2 - 5 4x = - 3 x = -3 4 prueba - 4x - 10y = - 7 - 4 ` 3 j - 10 (1) = - 7 4 12 - 10 = - 7 4 3 - 10 = - 7 -7 =- 7
C. 1)
x + 3y = -1 2x - y = 5 x + 3y = -1 3 (2x - y = 5) x + 3y = -1 6x - 3y = 15 7x = 14 x = 14 7 x=2 x + 3y = - 1 2 + 3y = - 1 3y = - 1 - 2 3y = - 3 y = -3 3 y =- 1 prueba 2x - y = 5 2 (2) - (- 1) = 5 4+1 = 5 5=5
2) x - y = 1 x+y = 7 x- y =1 x+ y =7 2x =8 x= 8 2 x=4 x-y = 1 4-y = 1 -y = 1 - 4 -y =- 3 y = -3 -1 y=3 prueba x+y = 7 4+3 = 7 7=7
Matemática − Claves
317
3)
x - 2y = 13 x + 6y = - 3 3 (x - 2y = 13) x + 6y = - 3
2 (2x + 3y = 8) 3 (3x - 2y = - 1)
3x - 6y = 39 x + 6y = - 3 4x = 36 x = 36 4 x=9
4x + 6y = 16 9x - 6y = - 3 13x = 13 x = 13 13 x=1
x - 2y = 13 9 - 2y = 13 - 2y = 13 - 9 - 2y = 4 y= 4 -2 y =- 2 prueba x + 6y = - 3 9 + 6 (- 2) = - 3 9 - 12 = - 3 -3 =- 3 4)
x-y = 2 x - 3y = - 4
x- y = 2 - 1 (x - 3y = - 4) x- y=2 - x + 3y = 4 2y = 6 y= 6 2 y=3 x-y = 2 x-3 = 2 x = 2+3 x=5 prueba x - 3y = - 4 5 - 3 (3) = - 4 5 - 9 =- 4 -4 =- 4
318
5) 2x + 3y = 8 3x - 2 y = - 1
IGER − Utatlán
2 x + 3y = 8 2 (1) + 3y = 8 2 + 3y = 8 3y = 8 - 2 3y = 6 y= 6 3 y=2 prueba 3x - 2 y = - 1 3 (1) - 2 (2) = - 1 3 - 4 =- 1 -1 =- 1 6)
x+y = 6 5x - 4y = 12
4 (x + y) = 6 5x - 4y = 12 4x + 4y = 24 5x - 4y = 12 9x = 36 x = 36 9 x=4 x+y = 6 4+y = 6 y = 6-4 y=2 prueba 5x - 4y = 12 5 (4) - 4 (2) = 12 20 - 8 = 12 12 = 12
Agilidad de cálculo mental A. 0) x = 3 1) x = 7 2) x = 4 3) x = 8
4) x = 9 5) x =11 6) x = 8 7) x = 4
B. 0) x = 9 1) x = 11 2) x = 10 3) x = 12 4) x = 13
5) x = 22 6) x = 18 7) x = 14 8) x = 22 9) x = 18
C. 0) x = 2 1) x = 2 2) x = 5 3) x = 3 4) x = 5
5) x = 4 6) x = 6 7) x = 4 8) x = 8 9) x = 4
10) 11) 12) 13) 14)
x=6 x=5 x=9 x=7 x=6
D. 0) y = 11 1) y = 7 2) y = 9 3) y = 14 4) y = 18
5) y = 18 6) y = 6 7) y = 9 8) y = 12 9) y = 15
10) 11) 12) 13) 14)
y = 24 y = 10 y = 14 y = 18 y = 10
8) x = 12 9) x = 11
Razonamiento lógico A. 1) Ciruelas: x Duraznos: 2x Ciruelas más duraznos es igual a 42. x + 2x = 42 3x = 42 42 x= 3 x = 14
prueba 14 + 2 (14) = 42 14 + 28 = 42 42 = 42
R/ Hay 14 ciruelas. Duraznos: 2(14) = 28 2) 1° número: 2x 2° número: 2x + 2 Los números pares suman 30. prueba 2x + (2x + 2) = 30 14 + 16 = 30 2x + 2x + 2 = 30 30 = 30 2x + 2x = 30 - 2 4x = 28 x = 28 4 x=7 R/ 1° número: 2x 2(7) = 14. 2° número: 2x + 2 2(7) + 2 = 16.
3) Isabel: x Francisco: x + 12 La suma de los ahorros es Q76.00. prueba x + (x + 12) = 76 x + (x + 12) = 76 x + x = 76 - 12 32 + (32 + 12) = 76 2x = 64 64 32 + 44 = 76 x= 2 76 = 76 x = 32
7) Pinos: x
R/ Isabel tiene ahorrado Q32.00. Francisco 32 + 12 = Q44.00.
4) ayer: x hoy: x + 14 el total de páginas leídas suman 56. x + (x + 14) = 56 prueba
x + x = 56 - 14 2x = 42 42 x= 2 x = 21
x + (x + 14) = 56 21 + (21 + 14) = 56 21 + 35 = 56 56 = 56
x 6 El total de árboles suman 42.
Cipreses:
prueba x + x = 42 6 36 + 36 = 42 6 36 + 6 = 42 42 = 42
x = 42 6 mcm (6) = 6 x+
(6) x (1) x + 6 6 6x x + 6 6 6x + x 7x
(6) 42 6 252 = 6 = 252 = 252 252 x= 7 x = 36 =
R/ Los estudiantes sembraron 36 pinos y 36/6 = 6 cipreses. 8) sandía: x
papaya:
x 2
R/ Hoy Ana leyó 21 + 14 = 35 páginas de su libro. El peso total suma 11 libras. x x x + + = 11 5) Estela: x 2 3 Benjamín: x + 4 mcm (2 y 3) = 6 Julieta: 2(x + 4)
La suma de las edades es 52 años. prueba x + (x + 4) + [2 (x + 4)] = 52 x + x + 4 + [2x + 8] = 52 10 + (10 + 4) + [2(10 + 4)] = 52 x + x + 4 + 2x + 8 = 52 10 + 14 + 28 = 52 x + x + 2x = 52 - 4 - 8 52 = 52 4x = 40 x = 40 4 x = 10
x + (x + 4) + [2 (x + 4)] = 52
R/ Estela tiene 10 años. Benjamín tiene 10 + 4 = 14 años. Julieta tiene 2(10 + 4) = 28 años.
= = = =
6.8 6.8) 68 68 68 x= 34 x=2
(6) x (3) x (2) x + + 6 6 6 6x 3x 2x + + 6 6 6 6 x + 3x + 2x 11x
(6) 11 6 66 = 6 = 66 = 66 66 x= 11 x=6 =
melón:
x 3
prueba x + x + x = 11 2 3 6 + 6 + 6 = 11 2 3 6 + 3 + 2 = 11 11 = 11
R/ La sandía pesa 6 libras. La papaya pesa 6/2 = 3 libras. El melón pesa 6/3 = 2 libras.
6) lado desigual: x lados iguales: 1.2x El perímetro mide 6.8 cm. 1.2x + 1.2x + x 10 (1.2x + 1.2x + x 12x + 12x + 10x 34x
9) Edad de Marisol: x Edad de Tomás: x + 8 prueba
x + (x + 8) = 44
1.2x + 1.2x + x = 6.8 1.2 (2) + 1.2 (2) + 2 = 6.8 2.4 + 2.4 + 2 = 6.8 6.8 = 6.8
R/ El lado desigual mide 2 cm. Los lados iguales miden 1.2 (2) = 2.4 cm.
x + x + 8 = 44 x + x = 44 - 8 2x = 36 x = 36 2 x = 18
prueba 18 + (18 + 8) = 44 18 + 26 = 44 44 = 44
R/ Marisol tiene 18 años. Tomás tiene 18 + 8 = 26 años. Matemática − Claves
319
10) 1° número: x 2° número: x + 1 La suma de los números consecutivos es 31. prueba x + (x + 1) = 31
x + (x + 1) = 31 x + x + 1 = 31 x + x = 31 - 1 2x = 30 x = 30 2 x = 15
15 + (15 + 1) = 31 15 + 16 = 31 31 = 31
R/ 1° número: 15 2° número: 15 + 1 = 16. 11) ancho: x largo: x + 3 El perímetro mide 26. 2 (x) + 2 (x + 3) = 26 2x + 2x + 6 = 26 2x + 2x = 26 - 6 4x = 20 x = 20 4 x=5
prueba 2 (x) + 2 (x + 3) = 26 2 (5) + 2 (5 + 3) = 26 10 + 2 (8) = 26 10 + 16 = 26 26 = 26
12) Tomas: x Susana: 2x La suma de las edades es 42 años. prueba x + 2x = 42
x + (x + 15) + 2x = 135 x + x + 15 + 2x = 135 x + x + 2x = 135 - 15 4x = 120 x = 120 4 x = 30
x + 2x = 42 14 + 2 (14) = 42 14 + 28 = 42 42 = 42
1° número: x 2° número: x + 1 3° número: x + 2 La suma de los tres números consecutivos es 54.
x + (x + 1) + (x + 2) = 54 x + x + 1 + x + 2 = 54 x + x + x = 54 - 1 - 2 3x = 51 x = 51 3 x = 17
R/ 1° número: 17. 2° número: 17 + 1 = 18. 3° número: 17 + 2 = 19.
320
IGER − Utatlán
prueba x + (x + 15) + 2x = 135 30 + (30 + 15) + 2 (30) = 135 30 + 45 + 60 = 135 135 = 135
15) leyendas: x historia: x - 10 El importe total fue Q124.00. x + (x - 10) = 124 x + x - 10 = 124 x + x = 124 + 10 2x = 134 x = 134 2 x = 67
prueba x + (x - 10) = 124 67 + (67 - 10) = 124 67 + 57 = 124 124 = 124
R/ Por el libro de leyendas pagó Q67.00. Por el libro de historia pagó 67 – 10 = Q57.00. 16)
1° número: 2x 2° número: 2x + 2 3° número: (2x + 2) + 2 2x + 4 La suma de los tres números pares es 30.
2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 30 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 30 2x + 2x + 2x = 30 - 2 - 4 6x = 24 x = 24 6 x=4
R/ Tomás tiene 14 años. Susana tiene 2(14) = 28 años. 13)
1° canasto: x 2° canasto: x + 15 3° canasto: 2x En los tres canastos hay 135 naranjas.
R/ En el primer canasto hay 30 naranjas. En el segundo hay 30 + 15 = 45 naranjas. En el tercero hay 2(30) = 60 naranjas.
R/ Ancho: 5 metros. Largo: 5 + 3 = 8 metros.
3x = 42 x = 42 3 x = 14
14)
R/ 1° número: 2x 2(4) = 8. 2° número: 2x + 2 2(8) + 2 = 10. 3° número: 2x + 4 2(8) + 4 = 12.
prueba x + (x + 1) + (x + 2) = 54 17 + (17 + 1) + (17 + 2) = 54 prueba 17 + 18 + 19 = 54 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 30 54 = 54
2 (4) + [2 (4) + 2] + [2 (4) + 4] = 30 8 + [8 + 2] + [8 + 4] = 30 8 + 10 + 12 = 30 30 = 30
17) 1° nivel: x x 2° nivel: 2 Hay 36 habitaciones en total. x + x = 36 2 mcm = 2 (2) x (1) x (2) 36 + = 2 2 2 2x + x = 72 2 2 2 2x + x = 72 3x = 72 x = 72 3 x = 24
prueba x + x = 36 2 24 + 24 = 36 2 24 + 12 = 36 36 = 36
B. 0) Chocolates de Q1.00: x Chocolates de Q3.00: y Importe por chocolates de Q3.00: 3y x + y = 11 x + y = 11 x + 3y = 19 x + 4 = 11 x = 11 - 4 - x - y =- 11 x + 3y = 19 x=7 2y = 8 y= 8 2 y=4 R/ Vendió 7 chocolates de Q1.00. Vendió 4 chocolates de Q3.00.
1) simples: x dobles: y R/ En el primer nivel hay 24 habitaciones. El total de habitaciones suman 16: x + y = 16 En el segundo nivel hay 24/2 = 12 habitaciones. El total de camas suman 25: x + 2y = 25 Solución por sustitución 18) cuaderno: x x = 16 - y prueba estuche: x + 3.5 (16 - y) + 2y = 25 x + 2y = 25 cartapacio: 2.2x 16 - y + 2y = 25 7 + 2 (9) = 25 El importe total fue Q24.50. - y + 2y = 25 - 16 7 + 18 = 25 y=9 x + (x + 3.5) + 2.2x = 24.5 25 = 25 x + 9 = 16 x + x + 3.5 + 2.2x = 24.5 x = 16 - 9 10 (x + x + 3.5 + 2.2x) = 10 (24.5) x=7 10x + 10x + 35 + 22x = 245 R/ Habitaciones simples: 7 10x + 10x + 22x = 245 - 35 Habitaciones dobles: 7 + 2 = 9 42x = 210 2) ancho: x x = 210 largo: y 42 el largo mide 4 metros más que el ancho: y = x + 4 x=5 el perímetro mide 28 metros: 2x + 2y = 28 R/ Cuaderno: 5 quetzales. Solución por igualación Estuche: 5 + 3.5 = 8.5 quetzales. prueba y = x+4 Cartapacio: 2.2(5) = 11 quetzales. 28 - 2x 2x + 2y = 28 y= 2 prueba 2 (5) + 2 (9) = 28 28 - 2x x+4 = x + (x + 3.5) + 2.2x = 24.5 10 + 18 = 28 2 5 + (5 + 3.5) + 2.2 (5) = 24.5 28 = 28 2 (x + 4) = 28 - 2x 2 x 8 28 2 x + = 5 + 8.5 + 11 = 24.5 2x + 2x = 28 - 8 24.5 = 24.5 4x = 20 20 x= 4 x=5 y = x+4 y = 5+4 y=9
R/ El terreno mide 5 metros de ancho y 9 metros de largo.
Matemática − Claves
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3) Número de lápices: x Número de lapiceros: y Importe por los lápices: 2x Importe por los lapiceros: 4y
5) Clase A = x Clase B = y 2 lb de clase A y 3 lb de clase B cuestan Q110.00 2x + 3y = 110
x + y = 12 Los lápices y los lapiceros suman 12: 2 x + 4y = 32 El importe total es igual a Q32.00:
Solución por sustitución
x = 12 - y 2 (12 - y) + 4y = 32 24 - 2y + 4y = 32 - 2y + 4y = 32 - 24 2y = 8 y= 8 2 y=4
prueba 2x + 4y = 32 2 (8) + 4 (4) = 32 16 + 16 = 32 32 = 32
110 - 3y 2 115 - 2y x= 3 110 - 3y 115 - 2y = 2 3 3 (110 - 3y) = 2 (115 - 2y) 330 - 9y = 230 - 4y - 9y + 4y = 230 - 330 - 5y = - 100 y = - 100 -5 y = 20 x=
x + 4 = 12 x = 12 - 4 x=8
R/ Debe comprar 8 lápices y 4 lapiceros. 4) uvas = x manzanas = y
2 lb de uvas y 5 lb de manzanas cuestan Q55.00 3 lb de uvas y 3 lb de manzanas cuestan Q55.00
Solución por reducción
2x + 5y = 55 3x + 2y = 55 3 (2x + 5y = 55) - 2 (3x + 2y = 55) 6x + 15y = 165 - 6x - 4y = - 110 11y = 55 y = 55 11 y=5 2x + 5 (5) = 55 2x + 25 = 55 2x = 55 - 25 2x = 30 x = 30 2 x = 15
prueba 3 (15) + 2 (5) = 55 45 + 10 = 55 55 = 55
3 lb de clase A y 2 lb de clase B cuestan Q115.00 3x + 2y = 115 Solución por igualación
2x + 3y = 110 2x + 3 (20) = 110 2x + 60 = 110 2x = 110 - 60 2x = 50 x = 50 2 x = 25 prueba 2x + 3y = 110 2 (25) + 3 (20) = 110 50 + 60 = 110 110 = 110
R/ La libra de café de clase A cuesta Q25.00 y la libra de café clase B, Q20.00. 6) bombón sin chicle = x bombón con chicle = y Total de bombones es 100. x + y = 100 Importe total 4000 centavos. 35x + 45y = 4000
Solución por sustitución x + y = 100 35x + 45y = 4000 x + y = 100 x = 100 - y
prueba x + y = 100 50 + 50 = 100 100 = 100
35 (100 - y) + 45y = 4000 3500 - 35y + 45y = 4000 - 35y + 45y = 4000 - 3500 10y = 500 y = 500 10 y = 50 x + 50 = 100 x = 100 - 50 x = 50
R/ La libra de uvas cuesta Q 15.00 y la libra de R/ Estuardo compró 50 bombones sin chicle y 50 con chicle. manzanas Q5.00.
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IGER − Utatlán
7) pastel clase A = x pastel clase B = y 2.4 lb de masa A y 4 lb de masa B suman 80 lb. 2.4x + 4y = 80
3 horas de A y 2 horas de B suman 67 horas. 3x + 2y = 67 Solución por reducción 2.4x + 4y = 80 3x + 2y = 67 2.4x + 4y = 80 - 2 (3x + 2y = 67) 2.4x + 4y = 80 - 6x - 4y = - 134 - 3.6x = - 54 - 3.6 x = - 54 x = - 54 - 3.6 x = 15
3x + 2y = 67 3 (15) + 2y = 67 45 + 2y = 67 2y = 67 - 45 2y = 22 y = 22 2 y = 11 prueba 3x + 2y = 67 3 (15) + 2 (11) = 67 45 + 22 = 67 67 = 67
R/ Se hicieron 15 pasteles tipo A y 11 tipo B.
Matemática − Claves
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Bibliografía ALLEN, A. Álgebra elemental. Editorial Pearson, México, 2007. ARREGUÍN, J. Matemáticas cuaderno de ejercicios 1. Ediciones Larousse, México, 2000. BALDOR, A. Aritmética. Ediciones Cultura. México 2009. BALDOR, A. Álgebra. Ediciones Cultura. México 2009. BELLO, I. Álgebra. Thomson, México, 2005. DE LA VEGA, S. Aritmética y Álgebra. McGraw – Hill, México, 2000. GOODMAN Y HIRSCH. Álgebra y geometría con trigonometría analítica. Prentice – Hall, México 2002. IGER. Cimientos 2. Tomo 2. IGER. Talleres Gráficos, Guatemala, 2005. IGER. Matemática Quiriguá. Tomos 1 y 2. IGER. Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. IGER. Matemática Quiriguá. Tomos 1 y 2. IGER. Talleres Gráficos, Guatemala, 2010. IGER. Matemática Utatlán. Tomos 1 y 2. IGER. Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. KAUFMANN, J. Y SCHWITTERS, K. Álgebra Intermedia. Editorial Thomson, México, 2003. MORENO, J. Álgebra. McGraw – Hill. México, 2002. SULLIVAN, M. Álgebra y Trigonometría. Editorial Pearson. México 2006. VVAA. Matemática 7. Santillana Secundaria. Editorial Santillana, Colombia, 2007. VVAA. Matemática 8. Santillana Secundaria. Editorial Santillana, Colombia, 2007. VVAA. Matemática 9. Santillana Secundaria. Editorial Santillana, Colombia, 2007.
Páginas Web consultadas: descartes.cnice.mec.es www.aulafacil.com www.disfrutalasmatematicas.com www.educa.madrid.org www.ite.educacion.es www.rae.es www.vitutor.com www.wikipedia.org
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IGER − Utatlán
