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3er Grado Volumen I
matemáticas III
Libro para el maestro
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Matemáticas III. Libro para el maestro. Volumen I, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Josefina Vázquez Mota SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA José Fernando González Sánchez Dirección General de Materiales Educativos María Edith Bernáldez Reyes Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos Subdirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos para la Educación Secundaria Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA Dirección General Manuel Quintero Quintero Coordinación de Informática Educativa Felipe Bracho Carpizo Dirección Académica General Enna Carvajal Cantillo Coordinación Académica Armando Solares Rojas Asesoría académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
Servicios editoriales Dirección de arte: Rocío Mireles Gavito
Autores Ana Laura Barriendos Rodríguez, Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Diseño: Zona gráfica
Colaboradores Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato
Diagramación: Bruno Contreras, Víctor Vilchis
Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez Revisores académicos externos David Francisco Block Sevilla, Diana Violeta Solares Pineda Diseño de actividades tecnológicas Mauricio Héctor Cano Pineda, Emilio Domínguez Bravo Deyanira Monroy Zariñán
Iconografía: Cynthia Valdespino, Fernando Villafán Ilustración: Curro Gómez, Victor Eduardo Sandoval, Gabriela Podestá, Juan Pablo Romo Fotografía: Cynthia Valdespino, Fernando Villafán
Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez Primera edición, 2008 (ciclo escolar 2008-2009) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 978-968-01-1718-5 (obra completa) ISBN 978-968-01-1719-2 (volumen I) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta
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Índice 4
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Introducción al modelo pedagógico renovado
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La enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en Telesecundaria
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La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria
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C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
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1
Crear un ambiente de confianza
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2
Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente
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3
Fomentar la interacción en el aula
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4
Utilizar recursos múltiples
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5
Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas
34
Pistas didácticas
38
Mapa-índice
43
Clave de logos
44
46
secuencia
1
Productos notables y factorización
66
secuencia
2
Triángulos congruentes y cuadriláteros
74
secuencia
3
Entre rectas y circunferencias
82
secuencia
4
Ángulos en una circunferencia
92
secuencia
5
Problemas con curvas
96
secuencia
6
La razón de cambio
108
secuencia
7
Diseño de experimentos y estudios estadísticos
122
124
secuencia
8
Ecuaciones no lineales
134
secuencia
9
Resolución de ecuaciones por factorización
146
secuencia
10 Figuras semejantes
152
secuencia
11 Semejanza de triángulos
162
secuencia
12 Índices
178
secuencia
13 Simulación
190
Examen bloque 1
204
Examen bloque 2
216
Bibliografía
Bloque 1
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Introducción al modelo pedagógico renovado Presentación La trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las tecnologías de la información y la comunicación y a las enormes posibilidades que dichas tecnologías han abierto para la educación. La renovación del modelo pedagógico ofrece, en esta tradición innovadora, la posibilidad de trabajar de manera flexible con los programas de televisión, además de enriquecer la interacción en el aula al incluir los recursos informáticos, materiales en audio, así como materiales impresos diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analíticas y culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y dinámico. La renovación del modelo pedagógico de la Telesecundaria insiste en que el alumno encuentre múltiples oportunidades y maneras para expresar lo que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda desplegar sus ideas y conocer las de los demás. Para lograr esto, las actividades propuestas requieren la colaboración entre los participantes, la consulta a diferentes fuentes y la participación en situaciones de aprendizaje variadas, así como usos diversos de la lectura y la escritura, el desarrollo de un pensamiento lógico-matemático, la comprensión del mundo natural y social, la formación en valores éticos y ciudadanos y la creatividad. Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusión, la comparación de textos, la integración de diferentes formas de representación (imagen, sonido, gráficos, texto, mapas, entre otros), y el uso de herramientas digitales para la exploración y la verificación de conjeturas. La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y útiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal punto de partida de la renovación.
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La organización pedagógica en el aula En la nueva propuesta pedagógica para Telesecundaria, la actividad en el aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos semanas; las secuencias abarcan un cierto número de sesiones, dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la realización de un proyecto, la resolución de una o varias situaciones problemáticas o el análisis de un estudio de caso, que ponen en juego el tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para la educación secundaria, y al menos uno de sus ámbitos o ejes transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolución de situaciones problemáticas permiten combinar el desarrollo de competencias con la atención a algunas necesidades de los adolescentes, tanto en el contexto personal como en el social/comunitario. El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones problemáticas, proyectos temáticos, o estudios de caso, cuya realización exige la elaboración de productos y la discusión de los mismos ante el grupo. Otra de las razones de esta modificación tiene que ver con la necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensión, la reflexión y la elaboración de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer mayores oportunidades para el aprendizaje. Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes propósitos educativos: 1. Centrarse en el aprendizaje más que en la enseñanza, y en el alumno más que en la disciplina. • Proporcionar acceso a fuentes de información y recursos variados, impresos y tecnológicos, así como a diferentes formas de representación de ideas, situaciones y conceptos. • Presentar los contenidos de manera lógica y darle prioridad al tratamiento a profundidad sobre el extensivo. • Centrar el tratamiento temático en el desarrollo de nociones, habilidades y actitudes para la comprensión de conceptos centrales. • Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los alumnos.
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2. Promover la interacción en el aula y propiciar la participación reflexiva y colaborativa entre los alumnos. • Ampliar las prácticas lectoras y de escritura. • Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones ordenadas, formular argumentos lógicos, hacer interpretaciones fundamentadas y realizar análisis abstractos. 3. Presentar un proceso de evaluación que constituya una herramienta que oriente las decisiones del docente y de los alumnos. • Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los conocimientos curriculares previstos por asignación de calificaciones. • Reconocer los diferentes modos de representación en que se pueden expresar los procesos de producción de conocimiento y el lugar propicio para su evaluación. 4. Establecer estrategias claras de vinculación con la comunidad. • Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseño.
El papel del docente en el modelo renovado El módulo pedagógico renovado de Telesecundaria busca ampliar las prácticas de los docentes para que puedan: • Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos. • Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusión, el planteamiento de preguntas auténticas y la búsqueda de respuestas, el análisis y solución de problemas, la elaboración de productos culturales. • Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y construir andamiajes, a fin de que éstos transiten hacia entendimientos más profundos. • Trabajar con una multiplicidad de materiales didácticos (impresos, digitales, de audio y video), utilizándolos de tal modo que tengan relevancia y sean significativos para el aprendizaje. • Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, así como los aspectos que requieren mayor reflexión. Es necesario concebir la transformación de la práctica docente en la Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didácticos
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aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua, en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de participación novedosas de los maestros y los alumnos.
La evaluación en el modelo renovado Desde el modelo pedagógico renovado se propone considerar que la evaluación es parte del proceso didáctico y que significa para los estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los docentes, una interpretación de las implicaciones de la enseñanza de esos aprendizajes. A la hora de reflexionar sobre la evaluación, se aplican los mismos interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su valor en la construcción del conocimiento. Planteamos que la evaluación tiene que ver más con la producción de conocimientos que con la reproducción de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan la revisión crítica de lo aprendido y de las actividades realizadas. La evaluación, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la oportunidad de mejorar su práctica y crecimiento profesional. En el modelo renovado de Telesecundaria, en términos generales se propone: 1. La evaluación del aprendizaje a partir de los diferentes modos de representación y expresión del conocimiento (ensayos, elaboración de proyectos, análisis de fuentes, resolución de casos, entre otras). 2. La incorporación de opciones de evaluación inspirados en pruebas estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que enfrentarse a lo largo de su vida escolar. 3. La evaluación del desempeño de los alumnos en su participación en la solución de problemas, la elaboración de proyectos, la utilización del pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de razonamiento en situaciones reales, las prácticas sociales del lenguaje y los productos alcanzados. 4. La evaluación entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar y aprender del trabajo de los demás, basándose en los criterios definidos. La definición de criterios puede centrar la discusión durante la clase y el análisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es más fácil comprender los aspectos importantes de un producto. Para el caso de la evaluación de desempeño se requiere cubrir ciertos criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propósito L i b r o p a ra el maestro
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claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio para realizar la evaluación, emitir un juicio o calificación que describa el desempeño. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que los alumnos comprendan. Dadas las características anteriores, este tipo de evaluación consume mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los materiales renovados proponen los lugares específicos para evaluar, así como los criterios apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y que éstos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos. Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor valor a los tipos más importantes de desempeño (proyectos, portafolio, etcétera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visión más completa e integrada del aprendizaje. Las orientaciones específicas van dirigidas a que los métodos con que se valoren los diversos tipos de información evaluativa sean los más sencillos posible y su descripción concreta está expuesta en los documentos particulares de cada área académica.
Características de los nuevos materiales Un aspecto clave de la renovación pedagógica para la Telesecundaria es la disponibilidad de diversos materiales en el aula. Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de recursos: libros de consulta, libros temáticos de difusión científica y cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula; material audiovisual en programas transmitidos por la Red satelital EDUSAT y actividades para realizar en la computadora con capacidad de despliegue o de ejecución. Algunos de estos materiales se integrarán de manera gradual para llevar a cabo las actividades propuestas por el modelo renovado. En el material de base o Libro para el alumno se hacen invitaciones específicas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales.
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Materiales impresos Libro para el alumno Funciona como texto articulador de recursos múltiples, impresos, audiovisuales e informáticos. Integra, en dos volúmenes por asignatura, la información básica y las actividades de aprendizaje. El Libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del curso y de sus partes, las secuencias con los temas y el uso de otros recursos involucrados, audiovisuales e informáticos, así como los aspectos que cada asignatura considera relevantes. Además de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos programáticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas a la integración de los conocimientos y a la evaluación de los aprendizajes. De la misma manera, se incluye una sesión introductoria que ayudará al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de trabajo sugeridas para el curso. Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las asignaturas constan de cinco bloques o bimestres integrados por un número variado de temas y subtemas. La distribución de los contenidos en cinco bloques por curso tiene la intención de apoyar a los docentes en el reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El modelo pedagógico renovado retoma esta organización como eje articulador de toda la programación. La estructura general de las secuencias es la misma para todas las asignaturas, si bien se introducen subtítulos de acuerdo con las necesidades específicas de cada una de ellas. Las etapas generales y las específicas, así como su descripción se incluyen en las introducciones de cada volumen. El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organización entre los alumnos, así como actividades que pueden realizarse en versiones para lápiz y papel o mediante la tecnología, con el énfasis en su uso como herramienta para la enseñanza (despliegue en aula) o bien como herramienta para el aprendizaje (aula de medios). Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con el apoyo de recursos audiovisuales, informáticos u otros impresos, así como las formas de organización para el trabajo, están claramente indicadas a lo largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la página 43.
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Libro para el maestro El Libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias del Libro para el alumno, con orientaciones didácticas concretas ligadas a la secuencia, además de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar los contenidos. Este material incorpora la familiarización del docente con el modelo pedagógico renovado, la propuesta de uso de la tecnología, la presentación general del curso y sus propósitos, junto con la descripción general de las secuencias. También proporciona criterios de uso para los materiales impresos y tecnológicos y propuestas de evaluación. El apartado titulado “Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria”, proporciona recomendaciones didácticas generales y pistas didácticas concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula. Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye información general como un resumen, los propósitos de la secuencia, qué se espera lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona información referente a las sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarán, las destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los recursos por utilizar, la relación con otras asignaturas o secuencias, en resumen, la información que cada asignatura considere relevante para que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de la secuencia. Las sugerencias y orientaciones específicas por sesiones y actividades o grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intención didáctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas. Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el tratamiento didáctico de los errores, de las respuestas modelo y de las libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qué aspectos o criterios debe considerar, en qué debe hacer énfasis, cómo orientar a los alumnos, etcétera.
Otros recursos impresos En los materiales de base para cada una de las asignaturas se consideró el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula.
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Materiales audiovisuales La utilización de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la actualización y el replanteamiento del uso de la televisión. Los nuevos materiales audiovisuales consideran diversos elementos como audiotextos, así como material para ser transmitido vía satélite. La inserción de estos recursos depende del diseño didáctico de cada asignatura y secuencia. En el apartado “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria” se describen las características generales y los usos del material audiovisual.
Materiales informáticos Son materiales para el despliegue en el aula de representaciones dinámicas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenómenos y conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas concretos, la realización de actividades y generar dinámicas diversas para las intervenciones de los alumnos. De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la inserción de las TIC en el aula, entre las que destacan el proyecto de Enseñanza de las Matemáticas y de la Física con Tecnología (EMAT-EFIT), el proyecto de Enseñanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemáticos (ECAMM), el proyecto de Enseñanza de las Ciencias con Tecnología (ECIT), y Enciclomedia, como herramienta para la vinculación y el despliegue de recursos. La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el texto “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria”.
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La enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en Telesecundaria El enfoque con el cual se diseñaron los nuevos materiales para Telesecundaria considera que la resolución de problemas es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los conocimientos matemáticos. Aunque la resolución de problemas ha estado presente en diversas posturas y prácticas de enseñanza, se le ha otorgado diferentes significados. Desde el enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juego y solucionan alguna situación. Con ese propósito, en el libro para el alumno se plantean situaciones problemáticas. Una situación problemática es aquella que representa un reto para el alumno, es decir, que implica una solución que no es tan sencilla como para que resulte obvia, ni tan difícil que a sus ojos parezca imposible de resolver. Una situación problemática puede tomar muchas formas: un enunciado, una construcción geométrica, una actividad puramente numérica, etcétera. El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el reto que le plantea la situación problemática y producir una solución. En este primer acercamiento quizá no resuelva correctamente el problema o siga procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que lo importante es que el alumno obtenga al menos una solución. Después, el trabajo matemático que se desarrolla en las sesiones procura acercar al alumno a una (o varias) soluciones correctas, económicas y en muchos casos, convencionales. En buena medida, el desafío para el estudiante está en reestructurar algo que ya sabe, modificándolo o ampliándolo para enfrentar el problema nuevo que le presenta la situación problemática. Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en acción con la situación problemática antes de “darles la clase” y explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que llegan a conclusiones equivocadas. Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba enseñar fórmulas, definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones o aclarar dudas. La diferencia está en el momento en el que introduce esos aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se 12
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aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situación problemática; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo matemático hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo, definiendo algún concepto o dándole nombre a un procedimiento). La ejercitación de una técnica de resolución y la aplicación de lo aprendido siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello. En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar también que los conocimientos matemáticos que se enseñan no están acabados, pues se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les dice que los números con más cifras son mayores; pero si los números son 0.6 y 0.325, la comparación a partir de la cantidad de cifras ya no es un conocimiento que pueda funcionar de la misma manera. Por otra parte, se reconoce la importancia de la interacción entre los alumnos para el logro de los propósitos de aprendizaje, no sólo porque pueden apoyarse entre sí para comprender el planteamiento de un problema o intercambiar estrategias de solución, sino también porque se reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado; por eso es condición indispensable que existan mecanismos de comunicación oral, gráfica o escrita, que permitan transmitir información al otro y construir significados matemáticos compartidos.
El papel del docente en el modelo renovado Desde la perspectiva que orienta el diseño de estos materiales, tanto los alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático y una revisión sobre lo que significa enseñar y aprender matemáticas. Los estudiantes aprenden matemáticas resolviendo problemas que implican la modificación de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se trata sólo de buscar las explicaciones más sencillas y amenas para dar la clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar L i b r o p a ra el maestro
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y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos: • seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos más eficaces; • organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en parejas o individualmente; fomentar la comunicación de procedimientos y resultados obtenidos en el grupo; • identificar cómo interpretan los alumnos esos problemas, considerando que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino que corresponden a una interpretación distinta del problema; • asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientos que se establecen en los propósitos de aprendizaje.
Organización didáctica En el curso de Matemáticas para tercer grado, los contenidos se trabajan a lo largo de 30 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de matemáticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del contenido que se trate). La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos. En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar así que se puede dedicar más de una clase a algunas de las sesiones para repasar temas, continuar alguna actividad que se haya prolongado, realizar actividades de evaluación, etcétera.
Los nuevos materiales educativos El modelo pedagógico renovado de Telesecundaria considera el diseño de nuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro, materiales informáticos e impresos complementarios. El propósito de todos ellos es promover la adquisición de los conocimientos descritos tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedagógico de Telesecundaria, y articular la utilización de los múltiples recursos impresos e informáticos.
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Libro para el alumno Está conformado por dos volúmenes. La estructura y la organización de cada una de las sesiones que conforman una secuencia tienen la finalidad de favorecer procesos de enseñanza y aprendizaje acordes a los planteamientos del enfoque: la resolución de problemas como detonadora de la búsqueda de soluciones y la utilización de conocimientos previos; la comunicación y argumentación de resultados, así como de los procedimientos de resolución; el análisis y la reflexión en torno a las nociones y los procedimientos matemáticos que resuelven el problema; y la formalización de los conocimientos matemáticos que los alumnos deben aprender. Con el propósito de que desarrollen actividades acordes a cada uno de esos aspectos, cada sesión se compone, en general, de los apartados que se mencionan a continuación:
Para empezar Introducción del tema o presentación de un contexto determinado; se procura retomar las experiencias y conocimientos previos de los alumnos.
Consideremos lo siguiente Planteamiento de una situación problemática en torno a la cual se organizan la mayor parte de las actividades de la sesión.
Manos a la obra Actividades articuladas alrededor del propósito de aprendizaje establecido y orientadas al análisis de los procedimientos o nociones que se pretenden formalizar.
A lo que llegamos Información y actividades centradas en la formalización y la socialización del conocimiento matemático.
Lo que aprendimos Incluye tanto la ejercitación de técnicas como la valoración individual y colectiva de lo aprendido.
Para saber más Sugerencias de vínculos con materiales impresos o computacionales (Internet, multimedia, etc.) que amplían la información y las aplicaciones de los temas tratados en cada secuencia.
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Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rígida; hay unas en las cuales se parte de una situación problemática y otras que son un repaso de sesiones anteriores. En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en el reconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemáticos participando en actividades que son compartidas con otros. Las sesiones también consideran la utilización de recursos multimedia en distintos momentos, dependiendo del propósito específico de cada secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnológicos, cuyo uso dependerá de la infraestructura con la que cuente la escuela: Recursos tecnológicos para Matemáticas
Programas de televisión
Se transmiten a través de la red satelital Edusat; su propósito es ampliar la información y diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento en que se presentan son optativos. La programación y los contenidos de estos videos pueden consultarse en la Revista Edusat. Se señalan tanto en el libro para el alumno como en el libro del maestro.
Interactivos
Se indican en el impreso con el icono de un ratón; se utilizan en el salón de clases. Su propósito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar hipótesis y conjeturas de los alumnos.
Trabajo en el aula de medios
Trabajo en hojas de cálculo, geometría dinámica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el trabajo colaborativo en entornos tecnológicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del pensamiento lógico y el análisis de datos mediante la resolución de problemas. Se trabajan en el aula de medios.
Libro para el maestro El libro para el maestro también consta de dos volúmenes, y en él se reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto de las secuencias del libro para el alumno. Su propósito es ofrecerle orientaciones didácticas para abordar los contenidos de enseñanza, desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y evaluar el aprendizaje. 16
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Para cada una de las secuencias, usted encontrará: • Una descripción general y los propósitos de la secuencia y de cada sesión. • Recomendaciones para la organización del grupo. • Información respecto a los posibles procedimientos, dificultades y errores de los alumnos ante un problema matemático concreto y sugerencias de cómo usted puede intervenir. • Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean al alumno. • Explicaciones de conceptos matemáticos que pueden ayudarle en el desarrollo de la clase. • Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y la confrontación de distintos procedimientos y soluciones. • Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos matemáticos esperados. • Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimientos y habilidades y evaluar el aprendizaje.
Estas orientaciones y sugerencias didácticas aparecen junto a las actividades específicas de cada secuencia de aprendizaje. El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y estilos de enseñanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan, realmente, el centro de la organización del trabajo en el aula.
Los recursos tecnológicos en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas En el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programas de televisión han desempeñado un papel central en las actividades de enseñanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues además de ser una fuente de información para alumnos y docentes, otro de sus propósitos ha sido también provocar intercambios de experiencias y puntos de vista entre el docente y los alumnos. Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las innovaciones que los docentes introducen en sus prácticas, la forma en que está diseñado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el tratamiento de los contenidos matemáticos. L i b r o p a ra el maestro
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El modelo renovado para la Telesecundaria, además de ampliar y diversificar el tipo de recursos tecnológicos (materiales audiovisuales, material informático para el trabajo con una computadora por salón de clases y hojas de trabajo para el aula de medios), sugiere un uso de los recursos tecnológicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de enseñanza que se promueven en el enfoque: su propósito es apoyar la realización de actividades centradas en la exploración de los problemas, la argumentación y comunicación de los posibles procedimientos de resolución, así como estimular las diversas formas de colaboración en el salón de clases: entre el alumno y el recurso tecnológico, entre los alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente.
La evaluación Tradicionalmente, la evaluación se usa para medir lo que los alumnos saben respecto de algún conocimiento y, a partir de esa medición, se asigna una calificación. En el modelo que ahora se propone, la evaluación tiene, además, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, haciéndolos evidentes a los docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos. Para ello, se proponen dos recursos de evaluación: la integración de un portafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluación, por lo que son susceptibles de ser adaptados a las condiciones específicas del grupo de alumnos y complementados con otras prácticas validadas por la experiencia docente.
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El portafolios del alumno Consiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro reúna algunos ejercicios. Tiene dos funciones principales: por una parte, proporcionarle información sobre el grado de avance del alumno de manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y aplique el examen. Esto permite al docente estar en posición de tomar decisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que los estudiantes no han comprendido o han comprendido débilmente. Por otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo más para asignar a los alumnos la calificación bimestral. En cada secuencia, el maestro encontrará sugerencias de ejercicios para integrar al portafolios, qué aspectos son importantes en ellos y recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades.
El examen bimestral En el libro para el maestro se presenta, al final, una colección de problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al 50% de la calificación final.
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La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria El papel innovador de la Telesecundaria se reafirma en la propuesta del modelo renovado que ofrece al maestro, la posibilidad de trabajar con una gama de medios más amplia que incluye, además de los materiales impresos y de televisión, recursos informáticos. La inclusión del uso de la computadora, materiales en audio, programas de televisión transmitidos por la red satelital Edusat, junto con la Biblioteca de la escuela, tienen la finalidad de actualizar y diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones de aprendizaje dinámicas, múltiples y variadas. Estos recursos se articulan a través del libro para el alumno: es decir, en éste, aparecen llamadas para hacer uso de los diferentes recursos y, en puntos específicos de las secuencias de aprendizaje, indicaciones sobre cómo y cuándo utilizar, entre otros, los materiales informáticos, la televisión y los audio-textos Los recursos tecnológicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos:
I nteractivo
A ula de M edios
1. Despliegue de material interactivo y multimedia tanto en pantalla grande como en Aula de medios, ambas modalidades permiten distintos tipos de actividades: Sesi ones ex positorias y de discusi ón presentación de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de información complementarias, presentación de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas.
Acti vidades y discusi ones colecti vas realización de actividades en grupo, con participaciones individuales o por equipos “pasando al pizarrón”, como por ejemplo: resolución de problemas, realización de experimentos virtuales, verificación de respuestas, validación de hipótesis y conjeturas, análisis de textos, videos, datos e información en general, realización de actividades de producción de los alumnos, individual o por equipos, como por ejemplo: búsqueda y presentación de información, registro de datos, elaboración de reportes, producción de textos y otros materiales, y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas. 20
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MATEMÁTI
Manos a la obra
I. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques algebraicos para completa cuadrado azul de la figura 3.
En la asignatura de Matemáticas III, volumen I se pueden mencionar los siguientes ejemplos de uso de un material informático:
Ricardo se dio cuenta de que con un bloque de área x y otro de área completar el cuadrado de lado x .
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En el Bloque 1, Secuencia 1 Productos notables y factorización, Sesión 2, se le solicita al alumno que, a partir del material interactivo, identifique cómo se obtiene un trinomio, como se muestra en la página 17.
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Áre
2. Programas de televisión por Edusat con las siguientes características: ProgrAMA integrAdor e dusAt
Estos programas son transmitidos por la Red Satelital Edusat, con horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos revisados durante una semana, se encuentran marcados en el libro del alumno. Se debe consultar la cartelera Edusat para conocer los horarios de transmisión y repeticiones a lo largo de cada semana. Estos programas permiten la: presentación de temas desde una perspectiva integradora de los contenidos estudiados en la semana, ejemplificación de conceptos a partir de contextos socioculturales cercanos a las experiencias de los alumnos, presentación de contextos socioculturales lejanos a las experiencias de los jóvenes para que puedan conocer diversas formas de vida, e integración de información proveniente de diversas fuentes.
ADespués lo que llegamos de completar el cuadrado de lado x, expresó que el área del cu x – x – (x –de 1).triángulos es el siguiente: de la figura 3de era:semejanza Otro criterio 2
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual com Ana,dos por su parte,que usó son tres bloques para cubrir el cuadrado de lado x; des entre lados proporcionales a sus correspondient só el área del cuadrado azul como x 2 – 2(x – 1) – 1. otro triángulo.
1 y 1) parato c a) Usen los bloques algebraicos tampoco de la derecha áreas x – conocer Observen que, nuevamente, es (de necesario cuadrado de lado x como crean que lo hizo Ana; luego tracen cada b datosladel triángulo para afirmar que son semejantes. figura 5 e ilumínenlos de acuerdo a su color.
En el recuadro se enunció el tercer criterio de semejanza de triángulos que, ju Áreade= triá x– 1 dos que estudiaron en la sesión 2, son los tres criterios de semejanza gan un resumen en su cuaderno de los tres criterios e ilústrenlo con triángul tes que cumplan las condiciones dadas en cada uno. Área =
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Lo que aprendimos
1 de med 1 Una de las aplicaciones más útiles de la semejanza de triángulos es la inaccesibles a la medición directa. 1 Resuelvan los siguientes problemas. 1 Figura 5 1. Los triángulos son semejantes, x¿cuánto vale x?
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2. En la siguiente figura, si el segmento B’C’ es paralelo al segmento BC, entonces los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. ¿Cuál criterio de semejan-
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za garantiza esto?
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CÁLCULO DE DISTANCIAS
En la asignatura de Matemáticas III se puede mencionar el siguiente ejemplo de un programa integrador: En el libro de Matemáticas III, volumen I, Bloque 2, en la Secuencia 11, Sesión 4 Cálculo de distancias, el alumno puede, a partir del programa 20 ¡Medir lo que no se puede medir directamente!, conocer la utilidad de la semejanza de triángulos para medir distancias inaccesibles, como se muestra en la página 125.
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Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria
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1 Crear un ambiente de confianza Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:
• Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. • Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los proyectos de Ciencias, debido a que éstos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del año escolar.
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• Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar información y tomar sugerencias.
Cómo hacer una lluvia de ideas
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral
• Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún contenido conceptual. • Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo.
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Incorporar estrategias de 2 enseñanza de manera permanente Es importante usar diferentes prácticas académicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseñanza en el aula: • Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de información aportan y en qué aspectos deben poner atención para comprenderlos mejor. • Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación de la información representada, se busca construir con el grupo, con la participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones, qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. • Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. • Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. • Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir. 26
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Cómo concluir un diálogo o actividad • Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudará a escuchar cómo se oye (y cómo se entienden) sus escritos. Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. • Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. • Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.
Cómo introducir otros recursos
Para hacer uso del diccionario
Cómo leer un mapa
Cómo apoyar la elaboración de resúmenes
• Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico. • Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior. En matemáticas, por ejemplo, el carácter de formal o acabado del procedimiento de solución de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemático está en construcción permanente.
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3 Fomentar la interacción en el aula El diálogo e interacción entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: • Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o “no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización en las problemáticas a tratar; también permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además, dan pie a un uso más extenso de la expresión oral. • Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida de conocimientos.
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• Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas. • Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos, realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de información, analista, etcétera). • Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.
Cómo llevar a cabo un debate
Cómo conducir una revisión grupal de textos
Cómo conducir un diálogo grupal
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral
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4 Utilizar recursos múltiples Una parte fundamental de la educación secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparación de las clases y • Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. • Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede
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Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar información en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de alguna actividad experimental.
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5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y constante. Por ejemplo, se puede: • Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc. • Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:
¿Qué hacer cuando no sabes qué significa una palabra? Tratar de inferir el significado del texto. Buscarla en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compañero. Saltarla y seguir leyendo.
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• Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la consulta continua. • Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a su estilo y sus intereses.
Cómo organizar la bitácora del grupo
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Pistas didácticas Cómo conducir un diálogo grupal • Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para recuperarlas en la discusión o conclusiones. • Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. • Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra, ¿qué otras observaciones se podrían hacer?” • Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”. • En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. • Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.
Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales • Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrón y después en su cuaderno. • Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. • Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.
Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas • Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos: • Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también las palabras o páginas consultadas. • Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas. • Programa de TV: nombre del programa, horario de transmisión y canal. 34
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Cómo organizar la bitácora del grupo • La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. • Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografías, etcétera. • Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. • Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo.
Cómo hacer una lluvia de ideas • Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?). • Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. • Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. • Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera). • Resuma con el grupo las principales aportaciones. • Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
Cómo concluir un diálogo o una actividad • Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. • Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron. • Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. • Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. • Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más importantes.
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Cómo llevar a cabo un debate • Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y de secretario, explicándoles en qué consiste su labor. • Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando. • El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. • El secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos que aportan. • Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. • Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. • Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.
Cómo introducir otros recursos • Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. • Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera) al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año. • Lea o muéstrelo al grupo. • Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. • Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso.
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral • Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harán más adelante. • Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión? • Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. • Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. • A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles? • Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema. 36
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Cómo apoyar la elaboración de resúmenes • Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo. • Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. • A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto. • De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.
Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos • Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmentos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno. • Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.
Para hacer uso del diccionario • Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. • Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético. • Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de sinónimos. • Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. • Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.
Cómo leer un mapa • Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo data y si representa hechos o procesos del pasado. • Revise con los alumnos las referencias o simbología. • Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa. • Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación. • Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa o relacionándolo con otras informaciones previas. • Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos. L i b r o p a ra el maestro
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7. Diseño de experimentos y estudios estadísticos. [108-121] Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
6. La razón de cambio. [96-107] Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
5. Problemas con curvas. [92-95] Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
4. Ángulos en una circunferencia. [82-91] Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
3. Entre rectas y circunferencias. [74-81] Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
2. Triángulos congruentes y cuadriláteros. [66-73] Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.
1. Productos notables y factorización. [46-65] Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(x + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 + 2ax + a 2; ax 2 + bx; x 2 + bx + c ; x 2 + a 2.
SECUENCIA
7.3 ¿Qué cantidad de agua consumen diariamente los alumnos de tercer grado?
7.2 Un juego de letras. Otro estudio estadístico Programa 12
Programa 11
Programa 10
6.3 Algunas razones de cambio importantes 7.1 Diseño de un estudio estadístico. ¿Qué materia te gusta más?
Programa 9
6.2 Pendiente y razón de cambio
6.1 El incremento
5.3 De todo un poco
5.2 Lo que resta
Programa 8
Programa 7
4.4 Problemas de medida 5.1 Sólo una parte
Programa 6
Programa 5
Programa 4
Programa 3
Programa 2
Programa 1
Programas
4.3 Probemos que uno de los ángulos es la mitad del otro
4.2 Relaciones a medias
4.1 Dos ángulos de una circunferencia
3.4 Algunos problemas
3.3 Entre circunferencias
3.2 Trazos de tangentes
3.1 Puntos en común
2.2 Puntos medios
2.1 Lados opuestos iguales
1.5 Un caso especial de factorización
1.4 A formar rectángulos
1.3 La diferencia de dos cuadrados
1.2 El cuadrado de una diferencia
1.1 A formar cuadrados
SESIÓN
Bloque 1
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
¿Sabes que es una razón? (Hoja de cálculo)
Ángulos inscritos en una circunferencia (Geometría dinámica)
Tangentes (Geometría dinámica)
Cómo verificar la congruencia de las figuras (Geometría dinámica)
La diagonal de un paralelogramo (Geometría dinámica)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
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13. Simulación. [178-189] Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.
12. Índices. [162-177] Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.
11. Semejanza de triángulos. [152-161] Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
10. Figuras semejantes. [146-151] Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.
9. Resolución de ecuaciones por factorización. [134-145] Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
8. Ecuaciones no lineales. [124-133] Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
SECUENCIA
13.3 Simulación y tiros libres
13.2 Aplicando la simulación
13.1 Simulación
12.4 Más sobre índices
12.3 ¿Quién es el pelotero más valioso?
12.2 Índices en la escuela
12.1 El Índice Nacional de Precios al Consumidor
11.4 Cálculo de distancias
11.3 Criterios de semejanza de triángulos II
11.2 Criterios de semejanza de triángulos I
11.1 Explorando la semejanza de triángulos
Programa 24
Programa 23
Programa 22
Programa 21
Programa 20
Programa 19
Programa 17 Programa 18
10.1 Un corazón muy especial
Programa 16
Programa 15
Programa 14
Programa 13
Programas
10.2 Aplicaciones de la semejanza
9.4 Apliquemos lo aprendido
9.3 El adorno
9.2 Los factores de cero
9.1 ¿Cuánto miden los lados?
8.3 Menú de problemas
8.2 Cubos, cuadrados y aristas
8.1 El número secreto
SESIÓN
Bloque 2
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Simulación con el modelo de urna (1) (Hoja de cálculo)
Idea de triángulos semejantes (Geometría dinámica)
Ecuaciones con más de una solución I (Calculadora)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
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20. Gráficas por pedazos. Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
19. Algunas características de gráficas no lineales. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.
18. Gráficas de relaciones. Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.
17. Figuras homotéticas. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.
16. Teorema de Tales. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.
15. Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.
14. Relaciones funcionales en otras disciplinas. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.
SECUENCIA
Interactivo
19.4 ¡Ahí les van unas cúbicas!
20.2 Diversos problemas
Programa 37
Interactivo
19.6 Efectos especiales 20.1 Las albercas
Interactivo Interactivo
19.5 ¡Ahí les van unas hipérbolas!
Programa 36
Interactivo Interactivo
Interactivo
19.2 ¡Para arriba y para abajo!
Programa 35
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Funciones cuadráticas (Hoja de cálculo)
La homotecia como aplicación del teorema de Tales (Geometría dinámica)
Recíproco del teorema de Tales (Geometría dinámica)
Teorema de Tales (Geometría dinámica)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
19.3 Las desplazadas
19.1 ¡Abiertas y más abiertas!
18.3 La caja
Programa 33 Programa 34
18.1 Plano inclinado
Programa 32
17.2 Depende de la razón
18.2 La ley de Boyle
Programa 31
17.1 Especialmente semejantes
16.3 Ahí está el teorema de Tales
Programa 29 Programa 30
16.1 La culpa es de las paralelas
Programa 28
Programa 27
Programa 26
Programa 25
Programas
16.2 Proporcionalidad vs paralelismo
15.4 La razón dorada
15.3 Cuántas soluciones tiene una ecuación
15.2 El beisbolista
15.1 La fórmula general
14.3 El medio litro de leche
14.2 El corral de los conejos
14.1 El área de la imagen
SESIÓN
Bloque 3
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25. Representación de la información. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.
24. La exponencial y la lineal. Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.
23. Razones trigonométricas. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
22. Teorema de Pitágoras. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
21. Diferencias en sucesiones. Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
SECUENCIA
24.3 Gráfica de la exponencial
25.2 De importancia social
25.1 Muchos datos
24.4 La depreciación de las cosas Programa 46
Programa 45
Interactivo
Interactivo
Programa 44
24.1 Crecimiento de poblaciones 24.2 Interés compuesto
Interactivo
Programa 43
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Ángulo de elevación y depresión (Hoja de cálculo)
Teorema de Pitágoras (Geometría dinámica)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
23.4 A resolver problemas
23.3 30°, 45° y 60°
23.2 Cosenos y senos
23.1 La competencia
Programa 42
Programa 41
22.2 Aplicaciones del teorema de Pitágoras I 22.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras II
Programa 40
Programa 39
Programa 38
Programas
22.1 ¿Qué es el teorema de Pitágoras?
21.4 Apliquemos lo aprendido
21.3 El método de diferencias
21.2 Las diferencias en expresiones algebraicas
21.1 Números figurados
SESIÓN
Bloque 4
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Programa 49
27.2 Cilindros
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
EJE 1:
EJE 2:
EJE 3:
E VA L U A C I Ó N
30.1 Interpretación de datos
30.3 Comparación de datos mediante la gráfica de caja-brazos
30.2 Construcción de la gráfica caja-brazos
30. Gráfica caja-brazo. Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.
Programa 54
Programa 53
Programa 52
Programa 51
29.1 Problemas prácticos
Programa 50
28.1 Tinacos de agua 28.2 Conos de papel
27.4 Secciones de corte
27.3 Conos
Programa 48
Programa 47
Programas
27.1 Sólidos de revolución
26.2 Ecuaciones y geometría
26.1 Los discípulos de Pitágoras
SESIÓN
29. Estimar volúmenes. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
28. Volumen del cono y del cilindro. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.
27. Conos y cilindros. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera cono recto.
26. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.
SECUENCIA
Bloque 5
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
RECURSOS TECNOLÓGICOS Aula de medios
Clave de logos T rabajo individual
S itios de I nternet
E n parejas
Bibliotecas Escolares y de Aula
E n equipos
Programa de Televisión
T odo el grupo
I nteractivo
C onexión con otras asignaturas
A udiotexto
G losario
A ula de M edios
C onsulta otros materiales
O tros T extos
CD de recursos
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secuencia 1
Propósito del programa. Ejemplificar cómo se deduce la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Productos notables y factorización
Propósito de la sesión. Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado. Propósito de la actividad. Los alumnos han utilizado anteriormente los bloques algebraicos para representar operaciones. En esta sesión también se utilizan para que representen multiplicaciones de binomios que se conocen como suma de cuadrados. Es importante que efectivamente usen los bloques, ya que pueden ser una valiosa ayuda para darle sentido a los productos de dichas multiplicaciones. Sugerencia didáctica. Plantee a los alumnos lo siguiente: averiguar cuál es la medida de los lados de cada bloque, cuál es el área y por qué se expresa así su área. Esto servirá para que repasen algunas cosas básicas como que el resultado de multiplicar x por x es x 2 , x por 1 es x. Después puede proponer a los alumnos varias actividades con los bloques algebraicos. • Primero pídales que formen cuadrados usando el número de bloques que quieran. • Luego ponga una condición para formarlos: utilizar cierta cantidad de bloques, por ejemplo, nueve bloques en total (pueden ser de cualquier tamaño). • Agregue otra condición: utilizar una cantidad exacta de cada uno de los bloques, por ejemplo, uno azul, cuatro rojos y 16 grises. También plantee cantidades de bloques con las que es imposible construir un cuadrado, por ejemplo, uno azul, tres rojos y nueve grises. Déles unos minutos para intentar formarlo y luego pídales que agreguen la menor cantidad de bloques que sean necesarios para poder formar un cuadrado. Es importante que para cada cuadrado que formen con los bloques escriban expresiones que representen la medida del lado y la del área.
Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema Significado y uso de las operaciones.
En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.
SESión 1
Recorta los Bloques algebraicos del anexo 1 Recortables y pégalos en cartón. Con bloques de áreas x 2, x y 1 forma cuadrados de diferente tamaño e identifica la expresión algebraica que corresponde a la medida de sus lados como se muestra en las dos figuras siguientes.
x+1
46
x+2
x
x
1
a = x2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1
2
a = x 2 + 2x + 2 x + 4 = x 2 + 4x + 4
Encuentra el trinomio que representa el área de los dos cuadrados siguientes.
12
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Propósitos de la secuencia Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2 ; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 + 2 ax + a 2 ; ax 2 + bx ; x 2 + bx + c ; x 2 – a 2 .
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
A formar cuadrados Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado.
Programa 1
2
El cuadrado de una diferencia Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar al cuadrado una diferencia de dos términos.
Interactivo
3
La diferencia de dos cuadrados Descubrir la regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
4
A formar rectángulos Descubrir la regla para multiplicar dos binomios con término común e invertirla para factorizar un trinomio de segundo grado.
5
Un caso especial de la factorización Descubrir la regla para factorizar binomios con factor común.
Antecedentes En Matemáticas II, los alumnos estudiaron expresiones algebraicas equivalentes y las resolvieron utilizando la propiedad distributiva, también hicieron algunas factorizaciones en problemas de cálculo de áreas. En esta secuencia se pretende que calculen, simplifiquen o factoricen productos notables, tanto para que sean capaces de expresar situaciones algebraicamente, como para que puedan resolverlas.
Para empezar
Los bloques algebraicos son una herramienta que permite representar operaciones con expresiones algebraicas. En la secuencia 12 de Matemáticas ii, volumen I los usaste para multiplicar polinomios; ahora, te ayudarán a encontrar, de manera simplificada, el resultado de elevar al cuadrado un binomio .
Subtema Operaciones combinadas.
A FORMAR CUADRADOS
Programa 2
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en la tabla los trinomios que corresponden a los cuadrados cuyos lados miden x + 4 y x + 6. Luego, invítelos a que analicen los cuatro casos que tienen ilustrados (los cuadrados que miden x + 1, x + 2, x + 4 y x + 5) para que traten de encontrar una regla que les permita escribir el área de los cuadrados cuyos lados miden x + 3 y x + 10.
x+6 x+4
x
x
4
Posibles procedimientos. Los alumnos tienen al menos dos vías para llenar la tabla: apoyarse en el recurso gráfico para justificar todo el desarrollo algebraico que se presenta hasta obtener el área de cada cuadrado; o bien, multiplicar los dos binomios (que son los lados del cuadrado). Permita que lo resuelvan como ellos decidan y, si fuera necesario, repasen la información del “Recuerden que” que aparece en el apartado Manos a la obra para que recuerden cómo se multiplican dos binomios.
6
A=
A=
=
=
Consideremos lo siguiente En la siguiente tabla aparecen binomios que representan las medida del lado de diferentes cuadrados, así como los trinomios que corresponden a sus respectivas áreas. a) Examina los dos primeros ejemplos y completa la siguiente tabla. Binomio
Trinomio
x+1
(x + 1)2 = x 2 + 2x + 1
x+2
(x + 2) = x + 4x + 4
x+3
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 + 3x + 3x + 9 = x 2 + 6x + 9
x+4
(x + 4)2 = (x + 4) (x + 4) = x 2 + 4x + 4x + 16 = x 2 + 8x + 16
x+6
(x + 6)2 = (x + 6) (x + 6) =
x + 10
(x +10)2 = (x + 10) (x + 10) =
2
Si llenan la tabla multiplicando los lados del cuadrado, quizá sea útil que desarrolle al menos una de las multiplicaciones en el pizarrón. Por ejemplo, para el cuadrado cuyo lado mide x + 1 sería:
2
(x + 1) (x + 1) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2 x + 1
x 2 + 12x + 36 x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100
Posibles dificultades. Con esta pregunta se quiere saber si los alumnos pudieron encontrar la regla para elevar un binomio al cuadrado.
b) Subraya el trinomio que representa el área de un cuadrado cuyo lado mide x + 100.
x 2 + 100x + 10 000
x 2 + 10 000
x 2 + 200x + 10 000
Comparen sus soluciones. Comenten cómo obtuvieron los trinomios que son resultado de elevar los binomios al cuadrado. 13
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Quizá algunos alumnos piensen que para elevar un binomio al cuadrado basta con elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego representar el área con una suma. En este caso, pondrían como resultado x 2 + 10 000. Los alumnos que subrayen el trinomio x 2 + 100 x + 10 000, quizá piensen que para obtener el término del trinomio que tiene x basta multiplicar los dos términos del binomio. Si los alumnos cometen éstos u otros errores, pídales que realicen la multiplicación término por término y analicen los resultados.
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secuencia 1
Manos a la obra i. La figura 1 muestra un cuadrado que mide de lado x + 5.
x+5
a) ¿Cuántos bloques de área x 2 se utilizaron para formar el cuadrado? b) ¿Cuántos de área x? c) ¿Cuántos de área 1? d) De las siguientes expresiones, subrayen las que representan el área del cuadrado.
x+5
x+5
Respuestas. En la figura 1 hay un bloque de área x 2 , 10 de área x y 25 de área 1, por lo tanto, las expresiones correctas son x 2 + 5x + 5x + 25 y x 2 + 10 x + 25.
x 2 + 5x + 5x +25 x 2 + 25
Recuerden que: lica binomios se multip Para multiplicar dos binomio por todos cada término de un los an o y luego se sum los términos del otr s. nte eja sem son que términos 2 + 7x + 7x + 49 (x + 7) (x + 7) = x = x 2 + 14x + 49
e) Verifiquen si las expresiones que subrayaron se obtienen al elevar al cuadrado el binomio x + 5. Para eso, completen la multiplicación (x + 5) (x + 5) y luego sumen los términos semejantes para obtener un trinomio. (x + 5)2 = (x + 5) (x + 5) = =
Comparen sus soluciones y comenten cuál de los siguientes procedimientos usarían para hacer de manera simplificada la multiplicación (x + 8) (x + 8), sin necesidad de hacer una multiplicación término por término.
Sugerencia didáctica. Aunque se espera que los alumnos ya lo sepan, conviene recordarles que “elevar un número o un término al cuadrado” significa que ese número o término se multiplica por sí mismo una vez. Posibles dificultades. Cuando se trate de un solo número, los alumnos quizá no tengan dificultades para elevarlo al cuadrado, pero puede haber dudas cuando sea un término como x + 5. Algunos podrían pensar que x + 5 al cuadrado es igual a:
x 2 + 10x +25
Figura 1
Posibles procedimientos. Los alumnos podrían multiplicar lado por lado del cuadrado para obtener el área, es decir, (x + 5) (x + 5); pero también se pueden fijar en el dibujo del cuadrado y contar directamente cuántos bloques de cada área hay. A los alumnos que hayan utilizado la multiplicación de binomios para resolver, pídales que verifiquen su resultado contando los bloques en el dibujo.
• El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término (x 2) y el cuadrado del segundo término (64). • El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término (x 2) más el producto de los dos términos (8x ) más el cuadrado del segundo término (64). • El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término (x 2) más el doble del producto de los dos términos (16x ) más el cuadrado del segundo término (64). Verifiquen sus reglas haciendo la multiplicación (x + 8) (x + 8).
14
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x2 + 5 x + 25 2 x + 10
x2 + 25 Si cometen alguno de esos errores, lean juntos el recuadro “Recuerden que” y proponga algunos ejemplos para que los resuelvan: (4 + 5)2 = 81 (7 + b)2 = b 2 + 14 b + 49 (z + w)2 = z 2 + 2 zw + w 2
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Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos comenten cada una de las reglas siguientes e invítelos a justificar la validez de cada una verificando si la regla funciona para cualquier binomio. Para ello, pueden usar los datos de tabla o los dibujos de los cuatro cuadrados que formaron con los bloques algebraicos.
Propósito de la actividad. Los alumnos ya saben multiplicar dos binomios, así que el énfasis en esta parte está puesto en que aprendan que, al elevar al cuadrado un binomio, se obtiene un trinomio. Por ello, no es tan importante que hagan las multiplicaciones en un orden específico, sino que logren analizar el producto que obtienen porque a partir de esa información podrán comprender una nueva regla: El cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término, nos da como resultado un trinomio.
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MATEMÁTICAS
III
II. Eleven al cuadrado el binomio (2x + 3) y multipliquen término por término para obtener cuatro productos parciales como lo indican las líneas. Luego sumen los términos semejantes hasta obtener un trinomio. 4x 2
Respuestas. a) 4x 2 es el cuadrado de 2 x.
9
b) 9 es el cuadrado de 3. 6 x
(2x + 3) = 4x 2 + 6x + (2x + 3) 6x
+
6x
12x
+
9
4x + 12 x + 9 2
=
c) Dos veces. d) 3 y 2 x.
Trinomio cuadrado perfecto
e) 12 x es la suma de 6 x + 6 x.
a) ¿Qué relación hay entre el término 4x 2 del trinomio y el término 2x del binomio?
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos, a partir de las respuestas que dieron en la actividad anterior, se den cuenta de que pueden obtener el trinomio cuadrado perfecto sin necesidad de efectuar la multiplicación término por término. Si no saben cómo hacerlo, lean juntos la información del apartado A lo que llegamos.
b) ¿Qué relación hay entre el 9 del trinomio y el 3 del binomio? c) ¿Cuántas veces aparece el producto parcial 6x en la multiplicación? d) ¿Qué términos del binomio se multiplicaron para obtenerlo? e) ¿Qué relación hay entre el término 12x del trinomio y el producto de los dos términos del binomio? Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtener el trinomio que resulta al efectuar la operación (3x + 2)2, sin necesidad de hacer una multiplicación término por término.
A lo que llegamos La expresión que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto. El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada. El primer término del binomio se eleva al cuadrado
El segundo término del binomio se eleva al cuadrado
(3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25 Se multiplican ambos términos (3x ) (5) = 15x
Se duplica el producto (2) (15x) = 30x 15
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Sugerencia didáctica. Si aún hay alumnos que requieren hacer término a término toda la multiplicación, permítales hacerlo. Luego pídales que intenten obtener el producto como se explica en el apartado A lo que llegamos.
secuencia 1
Lo que aprendimos Escribe el binomio al cuadrado o el trinomio cuadrado perfecto que falta en cada renglón de la siguiente tabla.
Binomio al cuadrado
Posibles dificultades. Para completar los renglones 3 y 5 de esta tabla, los alumnos deben invertir el proceso de la multiplicación, en vez de obtener el producto a partir de los factores, deben hacer el proceso inverso: hallar los factores teniendo el producto, es decir, factorizar. Dicho proceso puede ser difícil para los estudiantes, por lo que necesitarán algo más de tiempo y posiblemente ayuda. Sería muy útil repasar la información del apartado A lo que llegamos planteando enseguida algunas preguntas, por ejemplo, “se sabe que el primer término del trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del primer término del binomio, entonces ¿cuál es el primer término del binomio si el primer término del trinomio es x 2?”.
x 2 + 18 x + 81
(3x + 1)2
9 x 2 + 6 x + 1
(x + 12)2
x 2 + 24x + 144
4 m 2 + 20 m + 25
(2m + 5)2
SESión 2
4x 2 + 36x + 81
(2 x + 9)2
EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiA
Consideremos lo siguiente
Del cuadrado de la figura 2 se recortaron algunas partes hasta que quedó otro cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura 3. 1 1
Propósito de la sesión. Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar al cuadrado una diferencia de dos términos.
x
x2
x
Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno se enfrente al reto que le supone expresar algebraicamente la medida de un lado al que se le quita una parte, así como el área resultante. Algunos alumnos podrán resolverlo haciendo uso de sus conocimientos sobre la multiplicación de binomios, pero para otros quizá no sea difícil plantear cuál es la medida del lado del nuevo cuadrado. Si ese fuera el caso, permítales seguir avanzando y más adelante vuelvan a estas preguntas y corrijan si hubo errores.
Trinomio cuadrado perfecto
(x + 9)2
Figura 2
x
x Figura 3
a) ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado azul de la figura 3? b) La expresión algebraica que representa el área del cuadrado azul es: Comparen sus soluciones. 16
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Respuestas. a) x – 1 b) (x – 1)2
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MATEMÁTICAS
III
Propósito del interactivo. Que el alumno explore las representaciones gráfica y algebraica simultáneamente para descubrir y comprender la regla de los binomios al cuadrado y obtener un trinomio cuadrado perfecto.
Manos a la obra I. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques algebraicos para completar el área del cuadrado azul de la figura 3. Ricardo se dio cuenta de que con un bloque de área x y otro de área x – 1 podía completar el cuadrado de lado x .
Área =
1
x
Propósito de la actividad. Al “completar” el cuadrado de la figura 3 con bloques para volver a tener el cuadrado completo de la figura 2, se pretende que los alumnos comprendan que el área del cuadrado de la figura 3 es igual al área del cuadrado completo de la figura 2 menos los dos bloques que Ricardo usó, uno de área x y otro de área x – 1.
1
x x
Área =
x–1
1
x
1
x
Figura 4
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos apoyen sus respuestas y las verifiquen usando los bloques algebraicos. Esto les permitirá darle sentido a las actividades de este apartado, por lo que es necesario que los tengan a la mano y los utilicen.
Después de completar el cuadrado de lado x, expresó que el área del cuadrado azul de la figura 3 era: x 2 – x – (x – 1). Ana, por su parte, usó tres bloques para cubrir el cuadrado de lado x; después expresó el área del cuadrado azul como x 2 – 2(x – 1) – 1. a) Usen los bloques algebraicos de la derecha (de áreas x – 1 y 1) para completar el cuadrado de lado x como crean que lo hizo Ana; luego tracen cada bloque sobre la figura 5 e ilumínenlos de acuerdo a su color.
1
x
Área =
x–1
Área =
x–1
1
Posibles respuestas. Los tres bloques pueden acomodarse en distintas posiciones para completar el cuadrado azul de la figura 5 y tener así el área del cuadrado completo de la figura 2. Es importante que los alumnos comparen entre ellos sus distintos acomodos y que estén seguros de que el área no varía dependiendo de las posiciones en las que se pongan los bloques.
1 1
x
1
Figura 5 17
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secuencia 1
Posibles dificultades. Para algunos alumnos puede ser difícil obtener el trinomio a partir de las expresiones iniciales. Si lo considera útil, vaya resolviendo en el pizarrón una a una como se muestra:
b) Completen la igualdad y simplifiquen ambas expresiones hasta obtener un trinomio. Procedimiento de Ana:
x 2 – 2 x + 2 – 1
A = (x – 1)2 = x 2 – 2(x – 1) – 1 =
x 2 – 2 x + 1
=
Procedimiento de Ana Procedimiento de Ricardo:
Ana sabe que el lado del cuadrado azul de la figura 3 mide (x – 1) y para conocer su área debe elevar al cuadrado esa medida, con lo que quedaría (x – 1)2 . También sabe que al área del cuadrado completo de la figura 2 se le puede restar la de los tres bloques que ella utilizó, y el resultado será el área de la figura 3. Recuerde a los alumnos que Ana utilizó tres bloques: dos de área x – 1 y uno de área 1, que son los que se restan:
x 2 – x – x + 1
A = (x – 1)2 = x 2 – x – (x –1) =
x 2 – 2 x + 1
=
Los trinomios que obtuvieron en ambos procedimientos deben ser iguales. Si no resultaron así, revisen sus operaciones y corríjanlas hasta obtener el mismo trinomio cuadrado perfecto. c) Otra manera de obtener el área del cuadrado azul de la figura 3 consiste en elevar al cuadrado el binomio x – 1. Háganlo y no olviden reducir los términos semejantes.
x2
+1
(x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) = x 2 – x –
(x – 1)2 = x 2 – 2 (x – 1) – 1 Esta expresión puede leerse como “el área del cuadrado de la figura 3 es igual al área del cuadrado de la figura 2 menos dos bloques de área x – 1, menos un bloque de área 1”. Al resolver quedaría:
–x
x
+
1
x 2 – 2 x + 1
=
+
–x
Trinomio cuadrado perfecto
–2x
ii. Otengan el resultado de (y – a )2, para verificar si al elevar al cuadrado cualquier binomio que representa una diferencia se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. No olviden sumar los términos semejantes.
(x – 1)2 = x 2 – 2 (x – 1) – 1 = x 2 – 2x + 2 – 1 = x 2 – 2x + 1 Procedimento de Ricardo
y 2
Ricardo sabe que el área del cuadrado de la figura 3 puede obtenerse restándole al área del cuadrado de la figura 2 los dos bloques que utilizó. Recuerde a los alumnos que Ricardo utilizó: un bloque de área x y un bloque de área x – 1, que son los que se restan.
a 2
(y – a )2 = (y – a ) (y – a) = y 2 – ay –
ay
+
a 2
=
y 2 –2 ay + a 2
-ay ay
– 2ay
¿Obtuvieron un trinomio cuadrado perfecto?
(x – 1)2 = x 2 – x – (x – 1)
Comparen sus soluciones y comenten cómo se puede obtener el trinomio cuadrado perfecto que corresponde al cuadrado de una diferencia, sin seguir el procedimiento de la actividad ii.
Para obtener el trinomio puede ser más fácil escribirlo así: (x – 1)2 = x 2 – 1 (x ) – 1 (x – 1) Esta expresión puede leerse como “el área del cuadrado de la figura 3 es igual al área del cuadrado de la figura 2 menos un bloque de área x, menos un bloque de área x – 1”. Al resolver quedaría:
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(x – 1)2 = x 2 – 2x + 1
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos tengan claro que, aunque en el procedimiento de Ricardo y en el de Ana se usaron diferentes bloques, con ambos se obtiene el área del cuadrado azul. Si tienen dudas, escriba en el pizarrón lo siguiente: Bloques que restó Ricardo al cuadrado de área x 2 :
x–1
Bloques que restó Ana al cuadrado de área x 2 :
x–1 x–1 1 Luego pregúnteles:
Propósito de la actividad. Al igual que en la sesión 1, aquí se pretende que los alumnos se den cuenta de que pueden obtener el trinomio cuadrado perfecto sin necesidad de efectuar toda la multiplicación. Si no saben cómo hacerlo, lean juntos la información del apartado A lo que llegamos.
¿Quién de los dos restó una mayor área? ¿Pueden comprobar usando los bloques algebraicos que uno de los dos restó una mayor área?
x
Una vez que ensayen con los bloques, pregúnteles si es equivalente lo que restó Ana a lo que restó Ricardo y por qué.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos Al elevar al cuadrado una diferencia también se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los términos del binomio tiene signo menos. El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
x se eleva al cuadrado
b se eleva al cuadrado
(x – b )2 = x 2 – 2bx + b 2 El producto de (x ) y (–b) se duplica
Te recomendamos tomar en cuenta los dos aspectos siguientes:
Recuerda que: número negativo El producto de un es positivo. do dra cua al elevado 2) = + 144 (–12)2 = (–12) (–1
a) El cuadrado de una diferencia puede expresarse como el cuadrado de una suma. Por ejemplo: (x – 12)2 = [x + (– 12)]2 = x 2 + 2(x) (–12) + (–12)2 = x 2 – 24x + 144
b) Hay expresiones que parecen trinomios cuadrados perfectos pero no lo son, por ejemplo: x 2 – 2x + 9. Como tiene dos términos que son cuadrados: x 2 y 9, podría suponerse que el trinomio es resultado de desarrollar (x – 3)2, sin embargo (x – 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 – 6x + 9.
Sugerencia didáctica. Puede proponer a los alumnos los siguientes ejercicios para verificar si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto (TCP): • x 2 – 4xy + y 2 no es un TCP porque el término 4xy no es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos. El trinomio cuadrado perfecto sería x 2 – 2 xy + y 2 . • 4 m 2 + 20 m + 25 sí es un TCP.
Lo que aprendimos
• x 2 + 5x + 6 no es un TCP.
1. Encuentra el cuadrado de los siguientes números aplicando la regla para elevar al cuadrado un binomio, tal como se muestra en los dos ejemplos.
También puede pedir a los alumnos que escriban un trinomio que sí sea TCP y otro que no lo sea.
1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 (100) (3) + 22 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609 4992 = (500 – 1)2 = 5002 + 2 (500) (–1) + 12 = 250 000 – 1 000 + 1 = 249 001
a) 192
= (20 – 1)2
= (
20 )2 – 2 ( 20
)(
1
)+(
–1
b) 512
= (50 + 1)2
= (
50 )2 + 2 ( 50
)(
1
)+(
1
)2 =
400–40+1
=
)2 = 2 500+100+1 =
361 2 601
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Respuestas. En este inciso los alumnos deben elegir cómo quieren hacer el cálculo. Dos posibilidades serían: 999 2 = (990 + 9)
= (990)2 + 2 (990) (9) + (9)2
= 980 100 + 17 820 + 81
= 998 001
secuencia 1 c) 1052 = (100 + 5)2 = ( 100 )2 + 2 ( 100 ) (
5 ) + (
5 )2 =10 000+1 000+25 =
11 025
d) 1982 = (200 – 2)2 = ( 200 )2 – 2 ( 200 ) (
2 ) + (
2 )2 = 40 000–800+4 =
39 204
e) 9992 = (
= (1 000)2 – 2 (1 000) (1) + (1)2
= 1 000 000 – 2 000 + 1
= 998 001
)2 – 2 (
)(
)+(
)2 =
=
2. Escribe el binomio al cuadrado o el trinomio que falta en cada renglón. ¡Ten cuidado, hay un trinomio que no es cuadrado perfecto! Eleva al cuadrado los binomios que obtengas para verificar si corresponden al trinomio presentado en la columna izquierda de la tabla.
999 2 = (1 000 – 1)
)2 = (
Binomio al cuadrado
x 2 – 14x + 49
(2x + 1)2
4x 2 + 4x + 1
(x – 12)2
(x + 12)2 No se puede
Posibles dificultades. Los alumnos podrían poner respuestas erróneas como (x – 3)2 . Usted puede pedirles que eleven al cuadrado ese binomio para que se den cuenta de que no van a obtener el término –14x sino –6 x.
Trinomio
(x – 7)2
(x + 1.5)2
(x + 12 )2
(2 x –
1 2 ) 2
x 2 – 24x + 144
x 2 + 24x + 144 x 2 – 14x + 9 x 2 + 3x + 2.25 1 4 4x 2 – 2x + 14
x 2 + x +
a) Escribe el trinomio de la tabla que no es cuadrado perfecto: b) ¿Por qué no es un trinomio cuadrado perfecto?
Posibles dificultades. Es un ejercicio que puede resultar complicado por el empleo de números decimales. Puede sugerir a los estudiantes que usen la calculadora. También puede recordarles que el término 3 x es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
SESión 3
LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOS
Para empezar
Dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de sus términos se llaman binomios conjugados, por ejemplo x + 3 es el binomio conjugado de x – 3; 2x + 6 es el binomio conjugado –2x + 6.
Consideremos lo siguiente
Sugerencia didáctica. Para este ejercicio puede ser útil recordar cómo se multiplican las fracciones y así poder elevarlas al cuadrado.
A un cuadrado de área x 2 se le ha cortado en una de sus esquinas un cuadrado de área a2 en una de sus esquinas, tal como se muestra en la figura 6. La figura 6 se cortó por la línea punteada roja y con las dos piezas se formó el rectángulo de la figura 7.
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Propósito de la sesión. Descubrir la regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
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MATEMÁTICAS a a2
III
a
x–a
x
x
Posibles dificultades. Hay alumnos a quienes les cuesta trabajo distinguir entre expresiones como xa y x + a. Si sus alumnos cometen este tipo de errores, ésta puede ser una actividad útil para corregirlos. Aclare que la medida de la base del rectángulo de la figura 7 mide x + a porque son dos longitudes que se suman. La expresión xa tendría sentido al hablar, por ejemplo, del área de un rectángulo cuya base midiera x y su altura a, porque en ese caso ambas medidas se multiplicarían para hallar el área.
a Figura 7
Figura 6
a) ¿Cuál es el área de la superficie azul de la figura 6?
x2 – a2
b) ¿Qué binomios tienes que multiplicar para obtener el área del rectángulo formado por las dos piezas en la figura 7?
x+a
Área = (
)(
x–a
)
c) Realiza la multiplicación término por término y suma los términos semejantes para obtener el área de la figura 7. (
x+a
)(
x–a
)= =
x 2 – xa + xa – a 2 x2 – a2
Propósito de la actividad. En esta sesión se presenta a los alumnos la multiplicación de dos binomios conjugados.
Comparen sus soluciones.
Manos a la obra
Si logran resolver correctamente el inciso b) se darán cuenta de que el resultado de la multiplicación término por término (x 2 – a 2) es igual al área de la figura 6 (un cuadrado de área x 2 al que se le resta un cuadrado de área a 2 ). Si por alguna razón no logran ver que las áreas son iguales, permítales seguir avanzando, más adelante podrán hacer correcciones.
I. Calquen en una hoja la figura 6, corten por la línea punteada y formen el rectángulo de la figura 7. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida de la base del rectángulo azul de la figura 7?
x+a
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida de su altura?
x–a
c) Expresen la diferencia de los cuadrados x 2 y a 2 como el producto de dos binomios conjugados.
x2 – a2 = (
x+a
x–a
)(
)
d) Factoricen 16 – 9x 2 como una diferencia de cuadrados. 16 – 9x 2 = (
4 + 3x
)(
4 – 3x
) 21
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Posibles dificultades. Aunque para algunos alumnos no exista dificultad, quizá convenga explicar qué significa “diferencia de cuadrados”. Coménteles que, en el caso de la figura 6, se parte de un cuadrado de área x 2 al que se le quita un cuadrado de área a 2 ; entonces, para obtener la nueva área hay que restar x 2 – a 2 , y a la resta también se le llama “diferencia”. La diferencia de cuadrados es una resta de cantidades elevadas al cuadrado.
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Sugerencia didáctica. Deténganse a analizar la igualdad obtenida en el inciso d). Haga hincapié en que, lo que está del lado izquierdo del signo igual (x 2 – a 2) es la resta que hay que efectuar para obtener el área de la figura 1 una vez hecho el corte; mientras que, lo que está del lado derecho del signo igual (x + a) (x – a) es la medida de la base por la medida de la altura de la figura 7.
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secuenci a 1 ii. Realicen las siguientes multiplicaciones término por término y verifiquen si después de sumar los términos semejantes obtienen una diferencia de cuadrados. 4x 2
–9
a) (2x + 3) (2x – 3) = 4x 2 – 6x +
6x
–
9
4x 2 – 9
=
6x
Respuestas. e) En todos se obtuvo una diferencia de cuadrados.
– 6x
f) En ninguno.
b) (–2x + 3) (2x + 3) =
–4x 2 – 6 x + 6 x + 9
=
–4x 2 + 9
Posibles dificultades. Es probable que algunos estudiantes no crean que –4x 2 + 9 es una diferencia de cuadrados. Sugiérales cambiar de lugar los términos para que opinen si tras el cambio la expresión sí es una diferencia de cuadrados. Quedaría 9 – 4x 2 .
c) (–2x – 3) (2x – 3) =
–4x 2 + 6 x – 6 x + 9
=
–4x 2 + 9
d) (–2x + 3) (–2x – 3) = 4x 2
+ 6x – 6x – 9
=
4x 2 – 9
e) ¿En qué casos se obtuvo una diferencia de cuadrados? f) ¿En qué casos no? Comenten como, a partir de una diferencia de cuadrados, podrían identificar los binomios conjugados que la producen al ser multiplicados.
Para que verifiquen que –4x 2 + 9 = 9 – 4x 2 , dígales que prueben con varios valores de x, por ejemplo, para x = 3 sería:
A lo que llegamos
–4 (3)2 + 9 = 9 – 4 (3)2
El producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.
–36 + 9 = 9 – 36 Binomios conjugados
–27 = –27
(x + y ) (x – y ) = x 2 – y 2
Diferencia de cuadrados
La factorización de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados.
La relación anterior puede aplicarse para multiplicar parejas de números,. Para ello, tienen que presentarlos como si fueran binomios conjugados. Ejemplos: (102) (98) = (100 + 2) (100 – 2) = 10 000 – 4 = 9 996 (47) (53) = (50 - 3) (50 + 3) = 2 500 – 9 = 2 491 22
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Posibles respuestas. Se espera que los alumnos puedan dar respuestas como: “al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados”, o “una diferencia de cuadrados es el primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado”. Si resulta difícil para los alumnos, lean juntos el apartado A lo que llegamos.
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MATEMÁTICAS
III
Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones. Expresa cada pareja de factores como binomios conjugados s y obtén el producto mediante una diferencia de cuadrados.
(20 + 1) (20 – 1)
=
b) (32) (28) =
(30 + 2) (30 – 2)
c) (97) (103) =
(100 – 3) (100 + 3) (1 000 + 2) (1 000 – 2)
a) (21) (19) =
d) (1 002) (998) =
400 – 1
=
399
=
900 – 4
=
896
=
10 000 – 9
=
9 991
=
1 000 000 – 4
=
999 996
2. Completa la siguiente tabla escribiendo para cada pareja de binomios conjugados su respectiva diferencia de cuadrados y viceversa.
Binomios conjugados
Diferencia de cuadrados
(x + 8) (x – 8)
x 2 – 64
(2x + 3) (2x – 3)
4x 2 – 9
(x + 10) (x – 10)
x 2 – 100
(2 x + 5) (2 x – 5)
4x 2 – 25
(–3x + 2y ) (3x + 2y )
–9 x 2 + 4y 2
A FORMAR RECTÁnGULOS
Para empezar
SESión 4
I. En la figura 8 se muestra un rectángulo formado con los bloques algebraicos.
Propósito de la sesión. Descubrir la regla para multiplicar dos binomios con término común e invertirla para factorizar un trinomio de segundo grado.
x+1
x+8 Figura 8
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Respuestas.
secuenci a 1
a) 1
a) ¿Cuántos bloques de área x 2 se utilizaron?
b) 9
b) ¿Cuántos de área x ?
c) 8
c) ¿Cuántos de área 1?
d) x 2 + 9 x + 8
d) ¿Cuál es su área?
Posibles procedimientos. Para conocer el área del rectángulo, los alumnos podrían contar cada bloque, o bien, multiplicar la medida de la base por la de la altura. A los que contaron los bloques de la figura, pídales que efectúen la multiplicación para verificar sus resultados y, viceversa, a quienes multiplicaron, pídales que cuenten los bloques.
ii. Con los bloques algebraicos apropiados x 2, x y 1 reproduce las figuras 9, 10 y 11 de tal manera que tengan el área indicada. Traza en cada caso los bloques que utilizaste para formarla y escribe la medida de su base y de su altura.
Área = x 2 + 9x +14
x+2
x+7 Figura 9
Área = x 2 + 9x +18
Área = x 2 + 9x + 20
x+4
x+3
x+6 Figura 10
x+5 Figura 11
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Dé un tiempo para que los alumnos analicen la tabla que acaban de llenar, después escuche dos o tres opiniones y traten de escribir las respuestas de forma conjunta.
Consideremos lo siguiente Completa la tabla siguiente. Primer factor (Medida de la base)
Segundo factor (Medida de la altura)
Producto (Área del rectángulo)
x+8
x+1
x+7
x+2
x 2 + 9x + 8 x 2 + 9 x + 14
x+6
x+3
x 2 + 9x + 18
x+5
x+4
x+3
x+2
x 2 + 9 x + 20 x 2 + 5x + 6
x+4
x+1
x 2 + 5x + 4
Respuestas. Podría ser algo como: a) Sumo los números para encontrar el coeficiente del término que tiene x y los multiplico para encontrar el término numérico. b) Busco dos números que sumados den como resultado el coeficiente del término que tiene x y que multiplicados den como resultado el término numérico.
a) ¿Qué regla sigues para encontrar el producto si conoces los dos factores?
b) Si conoces el producto, ¿cómo obtienes los factores?
Comparen sus soluciones.
Manos a la obra I. En la figura 12, con bloques algebraicos se formó un rectángulo de base x + 5 y altura x + 2. a) Observen la figura 12 y, sin hacer la multiplicación término por término, encuentren el producto de (x + 5) (x + 2) =
b) ¿Cómo lo obtuvieron?
+ 2) tienen un término Los binomios (x + 5) y (x mios se llaman bino s Esto . x es que común ún. com ino térm de mios bino NO comunes. 5 y 2 son los términos
x+2
x+5 Figura 12
25
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Respuestas. a) x 2 + 7x + 10 b) Los estudiantes pueden responder esta pregunta de distintas maneras, por ejemplo, decir que contaron bloque por bloque de la figura o que se fijaron en los binomios y obtuvieron la respuesta sin tener que hacer la multiplicación término por término.
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secuencia 1 c) Ahora realicen la multiplicación término por término.
10
x2
5x
(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x +
5x
+
2x
7x
+ 10 =
x 2 + 7x + 10
Respuestas. d) Se multiplica (x ) por (x ).
d) ¿Qué operación hacen para obtener el término x 2?
e) Se suman.
e) ¿Qué operación hacen con los términos 5 y 2 de los binomios para obtener el
f) Se multiplican.
coeficiente del término 7x del producto? f) ¿Qué operación hacen con 5 y 2 para obtener el término 10?
g) Apliquen lo anterior para completar la igualdad. (x + 6) (x + 3) = x 2 +
9
x+
18
Comparen sus soluciones y discutan cómo obtuvieron la regla para multiplicar dos binomios con término común.
A lo que llegamos Para obtener el producto de dos binomios con término común se puede hacer lo siguiente: (x + 4) (x + 3) = x 2 + 7x + 12 1º. El término común x se eleva al cuadrado. 2º. Se suman los términos no comunes: 4 + 3 = 7; el resultado 7 se multiplica por x. 3º. Se multiplican los términos no comunes: (4) (3) = 12
Respuestas. ii. Apliquen la regla anterior para obtener el producto de (x + 5) (x – 2):
a) 3
a) ¿Cuánto obtienen al sumar (+5) + (–2)?
b) –10
b) ¿Cuánto obtienen al multiplicar (+5) + (–2)?
c) x 2 + 3 x – 10
c) Escriban el producto sin realizar la multiplicación término por término (x + 5) (x – 2) = 26
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. e) Sí, son iguales.
d) Ahora multipliquen término por término para verificar el resultado anterior.
x
-10
2
5x
(x + 5) (x – 2) = x 2 – 2x +
–
10
=
Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, pida a la mitad de los alumnos que escriban una multiplicación de binomios con término común, y a la otra mitad un trinomio que sea resultado de la multiplicación de dos binomios con término común. Luego, intercambie entre los alumnos sus producciones. Los que hayan recibido el binomio deben resolverlo, los otros deben obtener una multiplicación de binomios que dé lugar al trinomio que recibieron.
x 2 + 3 x – 10
5x – 2x
e) ¿Son iguales los productos obtenidos en los incisos c) y d)? Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona par cualquier multiplicación de binomios con término común. III. Al multiplicar dos binomios con término común se obtuvo: (
y+8
)(
y+2
También pídales que verifiquen que el compañero no haya cometido errores y si es cierto que la regla funciona para cualquier multiplicación de binomios con término común.
) = y 2 + 10y + 16
a) ¿Cuál es el término común? b) ¿Qué números se multiplicaron para obtener 16? c) ¿Cuánto deben sumar esos números? d) Escriban en los paréntesis los factores que correspondan al trinomio y 2 + 10y + 16.
Posibles respuestas. También es correcto invertir el orden de los binomios, con lo que se tendría ( y + 2) ( y + 8); sin embargo, para algunos estudiantes puede no ser tan claro que se obtiene el mismo resultado. Si lo considera útil, proponga varios binomios y pídales que inviertan su orden para que verifiquen que se obtiene lo mismo.
e) Multipliquen en su cuaderno los binomios término por término para verificar el resultado anterior. Comparen sus soluciones y comenten qué operaciones tienen que realizar para encontrar el término común y los términos no comunes de los binomios.
A lo que llegamos
Para factorizar el trinomio x 2 + 5x + 4, se puede hacer lo siguiente: 1º. Se obtiene el término común; en este caso es x, porque (x ) (x ) = x 2
x 2 + 5x + 4 = (x +
) (x +
)
2º. Se buscan parejas de números enteros que multiplicados den 4. (2) (2) = 4
(–2) (–2) = 4
(4) (1) = 4
Respuestas.
(–4) (–1) = 4
a) y porque es necesario obtener en el producto una y 2 .
3. Se selecciona la pareja de números que sumada dé el coeficiente del término 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4 + 1 = 5. Por lo tanto:
b) 8 y 2.
x 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1) 27
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c) 10
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Sugerencia didáctica. Explique a los alumnos qué quiere decir “factorizar”. Puede comentarles que una expresión como x 2 + 5x + 4 está escrita como una suma, en este caso, de tres términos; factorizar esa expresión significa que se va a representar como una multiplicación, en este caso, de dos binomios con un término común. También se pueden factorizar expresiones como 14 + 6 = 20 × 2.
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Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos resuelvan los ejercicios, identifiquen en grupo cuáles son los términos comunes y cuáles los no comunes en cada uno de los casos, con la finalidad de que puedan aplicar la regla que han estado manejando en casos en los que no hay literales.
secuencia 1
Lo que aprendimos 1. Aplica el producto de los binomios con término común en cada multiplicación. a) (23) (25) = (20 + 3) (20 + 5) = 400 + (8) (20) + 15 = 400 + 160 + 15 = 575 (98) = (100 + 5) (100 - 2) = 10 000 + 3 (100) – 10 = 10 000 + 300 – 10 = 10 290 b) (105)
c) (48) (49) = (50 – 2) (50 – 1) = 2 500 – 3 (50) + 2 = 2 500 – 150 + 2 = 2 352 2. Completa la tabla.
Propósito del programa. Mostrar cómo se obtiene la regla para multiplicar dos binomios con término común y para factorizar un trinomio de segundo grado.
Binomios con término común
Trinomio de segundo grado
(x + 8) (x + 2)
x 2 + 10 x + 16
(x + 6) (x + 3)
x 2 + 9x + 18
(x – 5) (x + 2)
x 2 – 3x – 10
(x + 2) (x + 1)
x 2 + 3x + 2
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la sesión. Descubrir la regla para factorizar binomios con factor común.
SESión 5
(x – 2) (x – 1)
x 2 – 3x + 2
(x + a) (x + b)
x + (a + b )x + ab 2
Un CASO ESPECiAL DE FACTORiZACión
Consideremos lo siguiente 6x
No siempre ocurre que el área de un rectángulo corresponda a un trinomio. Por ejemplo, en la figura 13 se representa un rectángulo de área 2x 2 + 6x. a) ¿Cuál es la medida de la base?
Altura
2x 2
Base
b) ¿Cuál es la medida de la altura?
Comparen sus respuestas.
Figura 13
28
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Respuestas.
Posibles dificultades. Para algunos estudiantes puede ser complicado hallar las medidas de los lados del rectángulo. Si es el caso, sugiérales que pasen al apartado siguiente en donde podrán utilizar los bloques algebraicos para cubrir la figura 13.
a) 2 x porque en el rectángulo azul debe haber dos cuadrados, cada uno de lado x.
b) x + 3. Sabemos que ambos rectángulos tienen la misma base (2 x ), y que en el rectángulo rojo deben caber seis rectángulos de área x. Esos rectángulos están “acostados”, acomodados de tres en tres.
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MATEMÁTICAS
III
Manos a la obra I. Sobre la figura 13, tracen dos bloques de área x 2 y seis de área x. Después, completen la tabla siguiente:
Rectángulo
Área
Azul
2x 2
(2x ) (
(Base) (Altura)
x
)
Rojo
6x
(2x ) (
3
)
Completo
2x 2 + 6x
(2x ) (
x+3
)
Como el factor 2x aparece en las tres multiplicaciones de la última columna, es un factor común de los términos 2x 2 y 6x. ¿Son iguales las expresiones que representan las medidas de las alturas de los rectángulos azul y rojo?
No Propósito de las preguntas. Se pretende que los alumnos consideren otras posibles factorizaciones para el binomio 2 x 2 + 6 x. Para ello, pueden apoyarse en los bloques utilizándolos para construir rectángulos distintos al de la figura 15 y cuya área sea también 2 x 2 + 6 x. Por ejemplo, podrían construir un rectángulo con lados x y 2 x + 6 x.
Estas expresiones se llaman factores no comunes de los términos 2x 2 y 6x. Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Qué otros factores comunes pueden tener los términos 2x 2 y 6x ? b) ¿Pueden formarse rectángulos diferentes al de figura 13, con dos bloques de área x 2 y seis de área x ? Dibújenlos en el pizarrón y expresen su área 2x 2 + 6x por medio de dos factores.
A lo que llegamos Para factorizar un binomio tal como 4x 2 + 20x se puede hacer lo siguiente: 1º. Se factoriza cada término del binomio de manera que el factor común contenga la literal y el máximo valor posible del coeficiente: 2º. Se expresa la factorización:
4x 2 = (4x ) (x ) 20x = (4x ) (5) 4x 2 + 20x = (4x ) (x + 5)
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secuencia 1 ii. Apliquen la regla anterior para factorizar 14x 2y – 21x y 2
2x
)
– 21x y 2 = (7x y ) (
–3 y
)
14x y 2 – 21x y 2 = (7x y ) (
2x
–
14x 2y = (7x y ) (
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos factoricen distintas expresiones aprendidas a lo largo de la secuencia. Si lo considera conveniente, pídales que realicen las multiplicaciones término por término para verificar sus resultados.
3y
)
Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona para factorizar cualquier tipo de polinomios.
Lo que aprendimos 1. Expresa los siguientes polinomios como el producto de dos factores.
Integrar al portafolios. Utilice las actividades de este apartado para ver si los alumnos han comprendido lo estudiado en la secuencia. Si fuera necesario, hagan un repaso de los apartados A lo que llegamos.
x–9
a) x 2 – 18x + 81 = ( b) x
2
c) x 2 – 400 = ( x
– 20
d) x + 8x – 20 = ( 2
e) 4x + 8x = ( 2
)(x
x + 10
4x
)(
x–9
)(
+ 20x + 100 = ( x + 10
)(
+ 20
)
x–2
)(
)
x + 10 )
x+2
)
)
x+8
)(
x+3
)
g) x + 10x + 24 = (
x+6
)(
x+4
)
h) x 2 + 14x + 24 = (
x + 12 ) ( x + 2
)
f) x 2 + 11x + 24 = ( 2
i) x 2 + 2x – 24 = ( j) 9x – 36x = ( 2
x+6 9x
)(
)(
x–4
x–4
)
)
2. Factorizando podría establecerse una regla útil para calcular el producto de ciertos números; examina las siguientes multiplicaciones y trata de encontrar la relación entre los factores involucrados y el resultado. ¿Se puede establecer una regla general?
Respuestas.
(12) (18) = 216
a) Suman 110.
a) ¿Qué relación matemática encuentras entre las cifras de las unidades de los fac-
b) Multiplicando la cifra en la posición de las unidades del primer factor por la correspondiente cifra en el segundo factor.
(23) (27) = 621
(31) (39) = 1 209
(54) (56) = 3 024
tores? b) ¿Cómo obtienes el número formado por las dos cifras de la derecha del producto?
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. c) Se multiplica la cifra de las decenas por el siguiente número: si el número de las decenas es 2 se multiplica por 3; o bien, se eleva al cuadrado la cifra de las decenas y luego se suma de nuevo la cifra.
c) ¿Cómo obtienes el número formado por las demás cifras de la izquierda del producto?
d) Si ya descubriste la regla, calcula mentalmente el resultado de cada operación. (13) (17) =
221
(43) (47) =
2 021
(61) (69) =
4 209
(74) (76) =
5 624
(88) (82) =
7 216
(191) (199) =
Sugerencia didáctica. Una vez que contesten la pregunta del inciso d), pida a tres o cuatro alumnos que lean su respuesta.
38 009
Luego pídales que expliquen por qué es cierto que da lo mismo multiplicar la cifra de las decenas por el siguiente número, que elevar al cuadrado la cifra de las decenas y luego sumar de nuevo la cifra.
Para saber más Sobre productos notables y factorización, consulta: http://interactiva.matem.unam.mx Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado Ruta1: Álgebra Una embarrada de álgebra Diferencia de cuadrados Ruta1: Álgebra [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
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secuenci a 2
Propósito de la sesión. Formular argumentos para justificar que cualesquiera de los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Ésta es una propiedad que ya se ha utilizado para medir el perímetro o el área de estas figuras; ahora se va a justificar que los paralelogramos tienen, efectivamente, esta propiedad con base en el hecho de que sus lados opuestos son paralelos.
Triángulos congruentes y cuadriláteros
Materiales. Regla y tijeras. En esta secuencia aplicarás criterios de congruencia para la justificación de propiedades sobre los cuadriláteros.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuáles son los paralelogramos. Si es necesario recuérdeles que son los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
lados opuestos iguales sesión 1
Para empezar
A lo largo de la historia se han hecho afirmaciones matemáticas que por mucho tiempo se creyeron ciertas, luego fueron reconocidas como erróneas. Para evitarlo, los matemáticos exigieron que las afirmaciones matemáticas tuvieran una prueba rigurosa, es decir, una justificación que no deje lugar a dudas.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Verificar, mediante la rotación, que la diagonal de un paralelogramo divide a éste en dos triángulos congruentes.
En esta sesión conocerás una de estas justificaciones rigurosas en la geometría.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Consideremos lo siguiente Observen los siguientes cuadriláteros, escojan cuáles tienen sus lados opuestos iguales.
Propósito de la actividad. Que los alumnos determinen, al observar, al medir o por las características que ya conocen de los cuadriláteros, cuáles de ellos tienen cualesquiera de sus lados opuestos iguales. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban, junto a las figuras, el nombre de cada una. De manera breve, solicíteles que mencionen sus características principales (las figuras son: cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles, rombo, romboide o paralelogramo, trapezoide, cuadrilátero no convexo, trapecio rectángulo y trapezoide simétrico o deltoide). Es posible que los alumnos no sepan el nombre de todas las figuras, pero sí es importante que identifiquen correctamente las primeras cinco. Pregúnteles también cuáles de las figuras son paralelogramos (lo son el rectángulo, el cuadrado, el rombo y el romboide).
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Eje
Propósitos de la secuencia Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.
Forma, espacio y medida.
Tema Formas geométricas.
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Lados opuestos iguales Formular argumentos para justificar que cualesquiera de los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Aula de medios La diagonal de un paralelogramo (Geometría dinámica)
Subtema Figuras planas.
Antecedentes En la primaria los alumnos clasificaron las figuras con base en sus características y propiedades. Estas características y propiedades se obtuvieron de manera informal, a través de la observación o de la medición. En Matemáticas I y II de secundaria los alumnos encontraron las justificaciones de fórmulas para calcular el área, el perímetro y la medida de los ángulos internos de algunas figuras, al presentar argumentos basados en hechos que ya conocían. Ahora los alumnos van a estudiar cómo justificar dos propiedades de los paralelogramos; para ello utilizarán los criterios de congruencia de triángulos que estudiaron en la secuencia 25 de Matemáticas II. 66
Programa 3
2
Puntos medios Formular argumentos para mostrar que, si las diagonales de un cuadrilátero se cortan por el punto medio, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Aula de medios Cómo verificar la congruencia... (Geometría dinámica) Interactivo
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MATEMÁTICAS
uentes
III
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen una propiedad en común de los cuadriláteros que señalaron y que identifiquen si esa propiedad es suficiente para que un cuadrilátero tenga sus lados opuestos paralelos.
De las siguientes propiedades, ¿cuál tienen en común los cuadriláteros que eligieron? a) Sus cuatro lados son iguales. b) Cualesquiera de sus lados opuestos son paralelos. c) Sus cuatro ángulos son iguales.
Respuesta. b)
d) Sus diagonales son perpendiculares.
Sugerencia didáctica. Pida que cada miembro de las parejas dibuje un cuadrilátero y compare su respuesta con su compañero.
Dibujen dos cuadriláteros que satisfagan la propiedad que eligieron anteriormente y verifiquen si cualesquiera de sus lados opuestos son iguales. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Qué diferencia hay entre que un cuadrilátero sea paralelogramo y que tenga sus pares de lados opuestos paralelos? ¿Será cierta la siguiente afirmación? Todos los paralelogramos tienen sus pares de lados opuestos iguales.
Manos a la obra I. Realicen la siguiente actividad. Paso 1. Dibujen en un papel un paralelogramo y recórtenlo.
Paso 2. Después tracen una diagonal y anoten los nombres a los vértices del paralelogramo tal como se muestra.
Paso 3. Recorten los dos triángulos por la diagonal.
Paso 4. Pongan un triángulo encima del otro hasta que parezcan uno solo.
33
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Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían creer que el trapecio isósceles satisface la propiedad de que cualesquiera de sus lados opuestos son iguales, pues tiene un par de lados opuestos iguales; coménteles que deben ser los dos pares de lados. Otros alumnos podrían creer que el trapezoide simétrico también satisface la propiedad pues tiene dos pares de lados iguales; hágales saber que no es así pues deben ser los lados opuestos. Si lo considera necesario, recuérdeles que los lados opuestos no comparten ningún vértice.
Sugerencia didáctica. Pida al grupo que se pongan de acuerdo sobre cuáles son los cuadriláteros que tienen cualesquiera de sus lados opuestos iguales (son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el paralelogramo) y cuál es la propiedad que tienen en común todos ellos. Propósito de las preguntas. Que los alumnos identifiquen que no hay diferencia entre los dos conceptos y que identifiquen, con base en los ejemplos presentados, que la afirmación es cierta.
Propósito de la actividad. Que los alumnos experimenten y se familiaricen con el argumento que se va a utilizar para justificar la propiedad de los paralelogramos que consiste en que cualesquiera de sus lados opuestos son iguales. Es decir que al dividir el paralelogramo por una de las diagonales se obtienen triángulos congruentes. Para dibujar el paralelogramo pueden utilizar una hoja cuadriculada. Durante la sesión se utiliza el romboide como el caso general de un paralelogramo, pues sabemos que sus lados opuestos son paralelos. No se sabe si sus ángulos son todos iguales (como en el caso del cuadrado y del rectángulo) o si sus lados son todos iguales (cuadrado y rombo).
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Propósito de la pregunta. Que los alumnos recuerden cuándo dos triángulos son congruentes. Las figuras congruentes y los criterios de congruencia los estudiaron en la secuencia 25 de Matemáticas II.
secuenci a 2 a) ¿Qué lado quedó sobrepuesto con el lado aB?
Recuerden que:
b) ¿Qué lado quedó sobrepuesto con el lado BD?
Dos triángulos son congruentes si se pueden hacer corresponder sus lados y ángulos de tal manera que lados y ángulos correspondientes midan lo mismo.
Propósito de la actividad. Los alumnos deben justificar que los triángulos son congruentes utilizando un criterio de congruencia.
c) ¿Qué lado quedó sobrepuesto con el lado Da? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Son congruentes aBD y cDB?
ii. Resuelvan las siguientes actividades para justificar que los triángulos aBD y cDB son congruentes.
Posibles dificultades. Si observa que los alumnos no identifican correctamente los ángulos alternos internos, puede sugerirles que prolonguen los lados BC y AD del paralelogramo, para que puedan identificar las rectas paralelas (o también los lados AB y DC). Los ángulos entre paralelas los estudiaron en la secuencia 6 de Matemáticas II.
Recuerden que: ernos internos Los ángulos alt son iguales. entre paralelas
B
c
z
x
c
1
a
2
y
a
1= 2
w D
a) De los ángulos marcados en la figura, ¿cuáles son alternos internos? (Por lo tanto iguales).
z
=
y
y
x
=
w
b) De los siguientes criterios de congruencia, ¿cuál usarían para justificar que los triángulos aBD y cDB son congruentes? Justifiquen su respuesta.
Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, recuérdeles que, para saber que dos triángulos son congruentes, no es necesario conocer la medida de todos los lados y de todos los ángulos correspondientes, basta con saber que se cumple alguno de los tres criterios de congruencia: que tengan los tres lados correspondientes iguales (criterio LLL), que tengan dos lados correspondientes iguales y que el ángulo entre esos lados también sea igual (criterio LAL) o que tengan dos ángulos correspondientes iguales y el lado entre esos ángulos también sea igual (criterio ALA). Recupere algunas de las justificaciones para el inciso b), puede pedir a esas parejas que pasen a explicar su respuesta en la comparación grupal. Respuesta. El criterio ALA.
i) LLL (lado, lado, lado)
ii) LAL (lado, ángulo, lado)
iii) ALA (ángulo, lado, ángulo)
c) Algunas de las siguientes afirmaciones son consecuencia de que los triángulos aBD y cDB son congruentes, ¿cuáles son? i) Los tres lados del aBD son iguales y respectivamente los del cBD. ii) Los lados del aBD son iguales a los correspondientes del cDB. iii) BD es igual al lado cB . iv) aD es igual al lado Bc. v) aB es igual al lado cB. 34
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Respuesta. ii) y iv).
Posibles dificultades. Si los alumnos no tienen todavía bien claro qué es lo que se está justificando, es posible que elijan alguno de los otros dos criterios; coménteles que todavía no se tiene la seguridad de que los lados opuestos del paralelogramo sean iguales, pues eso es precisamente lo que se va a justificar. Lo que puede determinarse, con base en que los lados opuestos son paralelos, es que los triángulos tienen dos ángulos iguales y el lado entre esos ángulos, el lado DB, es común. Es posible que algunos alumnos argumenten que los lados de los triángulos son iguales porque miden lo mismo (pueden haberlos medido con su regla); comente con el grupo que lo que se busca es una justificación general que no dependa de las medidas de una figura en particular. También es posible que, por la respuesta en el inciso a), sólo ubiquen que dos ángulos correspondientes son iguales. 68
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, hasta este momento, sólo se ha justificado que los triángulos son congruentes, pero que lo que se quiere justificar es que los lados opuestos del paralelogramo son iguales. Es importante que identifiquen que la justificación concluye cuando se afirma que los lados son iguales porque son los lados correspondientes en dos triángulos congruentes.
III. Expliquen cómo a partir de que los triángulos ABD y CBD son congruentes se puede afirmar que los lados opuestos del paralelogramo son iguales.
Comparen sus respuestas y comenten: Además de los paralelogramos, ¿habrá otros cuadriláteros con lados opuestos son iguales?
A lo que llegamos Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, pues si se traza una de sus diagonales, se obtienen dos triángulos congruentes.
Sugerencia didáctica. En particular, pida a los alumnos que comenten sus respuestas para el inciso b) de la actividad II y para la actividad III. Si lo considera pertinente, puede pedir al grupo que elaboren una justificación para esas actividades, con la que estén de acuerdo todos. Pida a los alumnos que regresen a las figuras iniciales para responder a la pregunta. No hay otros cuadriláteros con esta propiedad.
Lo que aprendimos La siguiente figura tiene marcados con diferentes letras algunos de los ángulos que en ella aparecen. Usa las etiquetas de esta figura para completar la justificación a la siguiente afirmación: En un paralelogramo, ángulos opuestos son iguales.
c d
o p
n m
g
b
h
a k l
f e
j i
Justificación:
Los ángulos a y k son opuestos en el paralelogramo. Para justificar que son iguales, observemos m pues son ángulos correspondientes (respecto a las dos paralelas horizontaque a es igual a m es igual a k pues son ángulos alternos les y la transversal de la izquierda, ver figura). Luego internos (respecto a las dos paralelas no horizontales y la transversal definida por la base del paralea y k son iguales pues ambos logramo, ver figura). Lo cual muestra que los ángulos opuestos son iguales a m. . De manera similar se puede justificar que los otros ángulos opuestos
n y
h
Sugerencia didáctica. Comente al grupo que, con la justificación que se hizo en la sesión, se puede afirmar que todos los paralelogramos tienen la propiedad de que sus lados opuestos son iguales, no sólo por lo que se ve en una figura o porque se puede medir en un ejemplo.
son iguales.
Comparen sus respuestas. 35
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Propósito de la sesión. Que los alumnos formulen argumentos para mostrar que, si las diagonales de un cuadrilátero se cortan por el punto medio, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
secuencia 2 sesión 2
PUnTOs MeDiOs
Para empezar
En geometría existen muchos cuadriláteros y se clasifican en varios tipos, tales como cuadrados, rectángulos y paralelogramos. Estos tipos no son excluyentes, es decir, un mismo cuadrilátero puede ser de dos o más tipos. Por ejemplo, un cuadrado es a la vez un rectángulo, un trapecio y un paralelogramo. Describe a qué tipos pertenecen cada uno de los siguientes cuadriláteros:
Propósito de la actividad. Identificar que un cuadrilátero puede ser de más de un tipo. Si lo considera conveniente, recuerde a los alumnos que el trapecio es un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos.
Propósito del programa. Obtener propiedades de los cuadriláteros y justificarlas mediante la aplicación de los criterios de congruencia de triángulos. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Rombo, paralelogramo y trapecio.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Utilizar la traslación y la rotación para verificar la congruencia entre dos figuras. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.
Trapecio.
Rectángulo, paralelogramo y trapecio.
Cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo y trapecio.
Paralelogramo.
Consideremos lo siguiente Los siguientes pares de segmentos se intersecan en su punto medio. Unan los extremos de los segmentos, para formar cuadriláteros, y después contesten lo que se les pide.
Propósito de la actividad. Identificar el cuadrilátero que se forma con dos segmentos que se intersecan en su punto medio. Esta actividad presenta las cuatro posibilidades en las que se pueden intersecar dos segmentos en su punto medio. Se considera si los segmentos son o no del mismo tamaño y si al cortarse se forman ángulos rectos o no.
¿Cuáles de los siguientes tipos de cuadrilátero aparecieron? Márquenlos con una Cuadrado
Rectángulo
Trapecio
Paralelogramo
.
Rombo
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Respuesta. Se forma un rombo, un cuadrado, un rectángulo y un paralelogramo, respectivamente.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Todos los cuadriláteros que se forman son paralelogramos.
Los cuatro cuadriláteros que se formaron son todos de un mismo tipo. ¿Cuál es? Márquenlo con una . Cuadrado
Rectángulo
Trapecio
Paralelogramo
Rombo
Sugerencia didáctica. Pida al grupo que comenten entre todos si un cuadrado,un rectángulo o un rombo son paralelogramos y si un trapecio es un paralelogramo.
Cada uno dibuje otro par de rectas que se intersequen en su punto medio. Unan los extremos de los segmentos para formar un cuadrilátero y decidan si éste es del mismo tipo que el que marcaron en la pregunta anterior. Comparen sus respuestas y comenten si siempre se formará un paralelogramo al unir los extremos de dos segmentos que se intersequen por su punto medio.
Manos a la obra
Propósito de las actividades. Guiar a los alumnos en la elaboración de la justificación de que un cuadrilátero en el que sus diagonales se cortan por el punto medio es un paralelogramo.
C
I. En el segmento con extremos A y C se ha marcado el punto medio M con rojo. Dibuja otro segmento cuyo punto medio coincida con el punto M y etiqueta sus extremos con las letras B y D. Después traza los segmentos AB, BC, CD y DA.
M
Respuestas.
A
a) Los segmentos son iguales porque M es el punto medio de AC y de BD. También pueden decir que porque así se trazó, lo cual es correcto.
a) Agrupa los segmentos AM, BM, CM y DM en parejas de segmentos iguales y justifica por qué son iguales.
AM
=
CM
. Justificación:
BM
=
DM
. Justificación:
y
b) Los ángulos son opuestos por el vértice.
b) Agrupa los ángulos AMB, BMC, CMD y DMA en parejas de ángulos iguales y justifica por qué son iguales.
AMB
=
CMD . Justificación:
BMC
=
DMA . Justificación:
Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, recuerde a los alumnos cuáles son los ángulos opuestos por el vértice.
y
Respuesta. ALA. Los otros dos criterios no se pueden utilizar porque no se tiene información sobre las medidas de los lados AB, BC, CD y DA. Recuerde al grupo que lo que se busca es una justificación general que no dependa de las medidas de una figura en particular.
II. De los siguientes criterios de congruencia, ¿cuál usarías para justificar que los triángulos AMB y CMD son congruentes? i) LLL
ii) LAL
iii) ALA
Explica por qué los otros dos criterios no funcionan:
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si es el mismo criterio que utilizarían para justificar que AMD y CMB son congruentes.
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Respuestas.
secuencia 2
AM = CM
iii. Como los triángulos aMB y cMD son congruentes, se pueden escribir algunas igualdades de lados y ángulos. Relaciona las siguientes dos columnas uniendo con una línea los elementos que tienen la misma magnitud.
MB = MD BA = DC
cM
aM
AMB = CMD
MB
Dc
MBA = MDC
Ba
MDc
BAM = DCM
aMB
DcM
MBa
MD
BaM
cMD
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que unan los extremos de los segmentos que trazaron al inicio del Manos a la obra y pregúnteles qué tipo de figura se forma. Coménteles que en la sesión pasada se sabía que los lados del paralelogramo son paralelos y entonces se pudo concluir que los ángulos alternos internos son iguales. En esta sesión, si se prolongan los lados AB y CD o los lados AD y CB, se obtienen dos rectas cortadas por una transversal y, como se sabe que los ángulos alternos internos son iguales, entonces puede concluirse que las rectas son paralelas. Si lo considera conveniente, trace el esquema en el pizarrón y pida a los alumnos que identifiquen cuáles son los ángulos iguales. Es importante que entre todos comenten por qué las rectas son paralelas, recuérdeles lo que se concluyó en la secuencia 6 de Matemáticas II: cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ángulos correspondientes iguales y si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes tienen diferente medida.
iV. De las igualdades anteriores, ¿cuál crees que te sirva para argumentar que los segmentos aB y cD son paralelos?
BAM
DCM
Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo podrían argumentar que los lados aD y Bc son paralelos?
A lo que llegamos Si un cuadrilátero satisface que sus diagonales se intersecan en su punto medio, entonces este cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Para justificar esta propiedad de manera formal se pueden emplear los criterios de congruencia.
Lo que aprendimos Elige algunos de los textos que están en el recuadro de razones para completar la justificación del siguiente hecho geométrico. Sean M y N los puntos medios de los lados aB y cD del paralelogramo aBcD, respectivamente. Entonces, se satisface que los triángulos MBc y nDa son congruentes. B
c
M
a
n D
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Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que, en la sesión, utilizaron dos tipos de justificación: al inicio cada uno dibujó un par de segmentos que se intersecaran en su punto medio y comprobaron que, en los casos que trazaron, al unir los extremos de los segmentos se forma un paralelogramo. Luego utilizaron los criterios de congruencia de triángulos y los ángulos correspondientes entre dos rectas para verificar que en todos los casos se obtiene un paralelogramo.
=
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren mediante la geometría dinámica cuadriláteros y sus diagonales para comprobar que las diagonales se intersectan en su punto medio si y sólo si el cuadrilátero es un paralelogramo.
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Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades revise con ellos la actividad II y el apartado Lo que aprendimos de la sesión anterior.
Pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos cuál les parece que sea la diferencia entre estos dos tipos de justificación.
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MATEMÁTICAS
III
Razones
• En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, para justificar que los triángulos son congruentes, se debe utilizar alguno de los criterios de congruencia de triángulos. Para ello se va a utilizar la propiedad que se justificó en la sesión 1 (los lados opuestos de un paralelogramo son iguales) y la propiedad de que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
• En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. • En un paralelogramo los ángulos adyacentes son complementarios. • Son la mitad de lados iguales. • Es un paralelogramo. • Ángulos alternos internos entre paralelas son iguales. • Son congruentes por el criterio de lado, ángulo, lado. • Son congruentes por el criterio de lado, lado, lado. • Son congruentes por el criterio de ángulo, lado, ángulo.
Justificación Afirmación Afirmaciones
Razón Razones
AB = CD AB = CD
En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.
MB = ND ND MB =
Son la mitad de lados iguales
BC = BC = AD AD
En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.
ABC = CDA
En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales o Ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
ABC =
CDA
MBC es congruente con NDA
MBC es congruente con
NDA
Son congruentes por el criterio de lado, ángulo, lado.
Para saber más Sobre la justificación de los hechos geométricos en la historia, consulta: Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. "Geometría práctica y geometría deductiva" en Crónicas geométricas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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Propósito de la sesión. Identificar las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia. En esta sesión se pretende que los alumnos exploren estas posiciones relativas, por lo que, para hacer las actividades, sólo tiene el apartado Para empezar.
secuenci a 3
Entre rectas y circunferencias
Materiales. Instrumentos geométricos: escuadras, regla, transportador y compás (para toda la secuencia).
Sugerencia didáctica. Antes de realizar las actividades es oportuno que pregunte al grupo qué elementos recuerdan de una circunferencia. Hágales preguntas cómo ¿cuál es el radio? ¿cuál es el diámetro? ¿cómo se calcula el área? ¿qué es pi (π)? (No todos se utilizan en esta secuencia, pero sí en las siguientes.)
En esta secuencia identificarás las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocerás algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una circunferencia.
sesión 1
Puntos en común
Para empezar
i. La circunferencia de centro O mide 2 cm de radio. Traza las rectas que se piden.
O
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que utilicen la regla o una escuadra para trazar las rectas. a) Una recta e que no interseque a la circunferencia.
Posibles dificultades. Es probable que el trazo de la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto (la tangente) no sea muy preciso. No los corrija en este momento, en la siguiente sesión tendrán oportunidad de aprender cómo realizar ese trazo. Posibles errores. Algunos alumnos podrían trazar la recta que interseca en un sólo punto como una semirrecta que parte del interior de la circunferencia. Esto puede ocurrir porque piensen que la única forma de que una recta intersece a una circunferencia es que la atraviese. En este caso coménteles que la recta debe prolongarse y que entonces intersecaría a la circunferencia en dos puntos.
b) Una recta s que interseque a la circunferencia en dos puntos. c) Una recta t que interseque a la circunferencia en sólo un punto. d) Una recta d que pase por el centro de la circunferencia. Comparen sus trazos y verifiquen si cumplen con las condicione pedidas. ii. Mide las distancias de cada una de las rectas al centro de la circunferencia. Recuerda que: punto a una La distancia de un de la recta es la medida nto perpenlongitud del segme la recta. a to dicular del pun
a) ¿Para cuál de las rectas la distancia es cero?
d
b) ¿Para cuál de las rectas la distancia es 2 cm?
t
c) ¿Para cuál de las rectas la distancia es mayor que 2 cm?
e
d) ¿Para cuál de las rectas la distancia es menor que 2 cm?
s
Comparen y justifiquen sus respuestas. 40
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Propósito de la actividad. Identificar que las rectas también se pueden caracterizar por su distancia al centro de la circunferencia.
t
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Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos midan la distancia de las rectas al centro con distintos procedimientos: algunos utilizarán las escuadras, otros utilizarán la regla sin verificar que quede perpendicular a la recta, incluso podrían trazar las perpendiculares, aunque esto no es necesario. No los corrija en este momento, permita que los alumnos estimen la medida y formulen sus hipótesis. Posibles procedimientos. Aunque no se espera que los alumnos lo hagan, es posible responder a las preguntas sin medir. Si lo considera pertinente, dibuje en el pizarrón una circunferencia y pida a algunos alumnos que tracen las cuatro rectas, comenten entre todos cómo pueden saber, sin medir, si la distancia de cada recta al centro de la circunferencia es de 0 cm o es mayor, menor o igual que el radio de la circunferencia.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla. Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia. La distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio. Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen y corrijan las rectas que trazaron al inicio de la sesión y que pongan el nombre a cada una de ellas. Coménteles que la recta d que trazaron pasa por un diámetro de la circunferencia (el diámetro es un segmento, no una recta) y que también es una recta secante. Si lo considera conveniente, pídales de tarea que tracen una recta y un punto sobre ella y que escriban un procedimiento para trazar una perpendicular a la recta que pase por el punto. Esto servirá para la siguiente sesión. Los alumnos estudiaron un procedimiento para hacerlo en la secuencia 5 de Matemáticas II.
Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.
Propósito de la sesión. Identificar que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
TRAZOs De TAnGenTes
Sugerencia didáctica. Junto con los alumnos, recuerden qué es una perpendicular a una recta y, dada una recta y un punto sobre ella, las formas de trazar una perpendicular a la recta que pase por ese punto (con escuadras o con regla y compás).
sesión 2
Consideremos lo siguiente Tracen una recta perpendicular al segmento OT por el punto T.
Posibles errores. Los alumnos que no hayan realizado el trazo de la perpendicular correctamente, podrían pensar que la recta es una secante. No los corrija en este momento, pero verifique que utilicen las características que aprendieron en la sesión pasada para justificar su respuesta.
T
O
Propósito del programa. Trazar rectas tangentes a una circunferencia y mostrar que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
¿La recta que trazaron es exterior, tangente o secante a la circunferencia?
Propósito de la sesión en el aula de medios. Descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente de la circunferencia. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.
Justifiquen su respuesta.
Comparen sus respuestas. 41
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Propósitos de la secuencia Identificar las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia, y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Eje Forma, espacio y medida.
Tema
Sesión
Formas geométricas.
Subtema
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Puntos en común Identificar las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia.
2
Trazos de tangentes Identificar que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por ese punto.
3
Entre circunferencias Identificar las posiciones relativas entre dos circunferencias.
4
Algunos problemas Utilizar lo aprendido en las tres sesiones anteriores para resolver problemas.
Rectas y ángulos.
Antecedentes En Matemáticas II los alumnos resolvieron problemas al reconocer ángulos y calcular su medida, y determinaron las posiciones relativas de dos rectas en el plano. En esta secuencia van a determinar la posición relativa entre una recta y una circunferencia y entre dos circunferencias.
Sugerencia didáctica. Si es que no lo han identificado, pregunte a los alumnos qué elemento de la circunferencia es el segmento OT (es un radio).
Programa 4 Aula de medios Tangentes (Geometría dinámica) Interactivo Programa 5 Interactivo
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Propósito de la actividad. Identificar que una secante no es perpendicular al radio OT.
secuenci a 3
Manos a la obra
Posibles procedimientos. Se espera que los alumnos identifiquen que el triángulo OTS es isósceles sin necesidad de medir, ya que dos de sus lados son radios de la circunferencia, aunque también pueden justificarlo al medir los lados del triángulo. La secante que tracen no debe pasar por O, porque entonces no se forma el triángulo OTS.
i. Traza una recta secante a la circunferencia que pase por el punto T y que no pase por O.
T
O
Sugerencia didáctica. Si observa que tienen dificultades, ayude a los alumnos a tomar la medida del ángulo. Es importante que los alumnos identifiquen que, si la secante fuera perpendicular al radio OT, se formaría un triángulo isósceles con dos ángulos de 90°. Esto no es posible porque al sumar la medida del tercer ángulo, la suma de los ángulos internos del triángulo excedería 180°.
Propósito de la actividad. Identificar que una recta que pase por el punto T tampoco puede ser una recta exterior.
a) Llama s al otro punto en el que la secante corte a la circunferencia y une los puntos para formar el triángulo OTs. Este triángulo es isósceles, ¿por qué? b) Marca con rojo los ángulos iguales del triángulo OTs, ¿los ángulos que marcaste miden 90º? c) ¿La recta secante que trazaste es perpendicular a OT ?
. ¿Por qué?
d) Traza otras rectas secantes a la circunferencia por T. ¿Alguna de las rectas que trazaste es perpendicular a OT ?
Recuerda que: mediLa suma de las los das de los ángu triáninternos de un 0º. gulo suman 18
e) ¿Crees que se pueda trazar una recta secante por el punto T de manera que forme un ángulo de 90º con OT ? Justifica tu respuesta
ii. Traza una recta exterior a la circunferencia que pase por el punto T.
Sugerencia didáctica. Cuando todos hayan escrito su justificación, puede preguntar a todo el grupo si la recta perpendicular a OT que pasa por el punto T es tangente, exterior o secante. La recta debe ser tangente ya que, por lo que han respondido en estas actividades, no puede ser secante ni exterior.
T
O
¿Pudiste trazar la recta?
. ¿Por qué?
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Comprobar, mediante la medición de los ángulos, que las rectas tangentes a una circunferencia son perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia.
III. En la circunferencia se trazaron cuatro rectas tangentes.
T1
T4
T2
O
T3
Traza los radios OT1, OT2 , OT3 y OT4 . Mide con tu transportador el ángulo que forma cada tangente con el radio por el punto de tangencia. a) ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta tangente en T1 y el radio OT1? b) ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta tangente en T2 y el radio OT2? c) ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta tangente en T3 y el radio OT3? d) ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta tangente en T4 y el radio OT4?
Esta propiedad que observaste con estas rectas tangentes se cumple para cualquier recta tangente. Comparen sus respuestas. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen su respuesta y su justificación.
Sugerencia didáctica. Puede preguntar a los alumnos cómo harían para trazar una tangente a una circunferencia. Podrá evaluar sus procedimientos en el apartado Lo que aprendimos.
A lo que llegamos Sea T un punto sobre una circunferencia de centro O. La recta perpendicular al radio OT por el punto T es la recta tangente a la circunferencia por el punto T.
T O
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Propósito del interactivo. Que los alumnos lleguen a comprender mediante la manipulación de rectas secantes: • Que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio que pasa por ese punto. • Que la tangente a una circunferencia es el caso límite de todas las secantes que tienen un punto fijo en ella.
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Propósito de la actividad. Identificar que, por medio de secantes, es posible irse acercando a una tangente.
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Lo que aprendimos 1. En la circunferencia se trazó la secante TP.
Posibles respuestas. Cuando P y T coinciden, la recta corta a la circunferencia en un solo punto. El ángulo que forma la recta con el radio que pasa por P va aumentando hasta llegar a 90°.
La recta secante se fija en el punto T y se gira de manera que el punto de corte P se vaya acercando a T.
P
P
P
P
T
P O
a) ¿Qué pasa con la recta secante cuando el punto P coincide con el punto T?
Deja de ser recta secante y se convierte en recta tangente en el punto T
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tuvieron dificultades, revisen los apartados A lo que llegamos de las dos sesiones anteriores para que identifiquen las características de una recta tangente a una circunferencia.
Justifica tu respuesta. b) ¿Qué pasa con la medida del ángulo entre el radio y la recta secante?
2. Traza una recta tangente a la circunferencia por el punto M.
Respuesta. Para trazar la tangente se debe trazar el radio que pasa por M y después hay que trazar una perpendicular a ese radio que pase por M.
M
O
Describe tu procedimiento.
Justifica que la recta que obtuviste con ese procedimiento es una recta tangente.
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III
Respuesta. Para trazar el cuadrado se pueden trazar dos diámetros de la circunferencia que sean perpendiculares. Los cuatro puntos en los que los diámetros cortan a la circunferencia son los puntos de tangencia de los lados del cuadrado.
3. Traza un cuadrado que inscriba al círculo dado. Es decir, que cada uno de sus lados sea una recta tangente de la circunferencia.
Si el radio del círculo mide 2 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?
4 cm
enTRe CiRCUnFeRenCiAs
sesión 3
Para empezar
Se espera que los alumnos puedan utilizar, para las circunferencias, los conceptos de tangente y secante que estudiaron para las rectas en las sesiones pasadas
I. En la siguiente sucesión de imágenes, la circunferencia pequeña se va acercando a la circunferencia grande. a) Observa las posiciones sucesivas que adquieren las dos circunferencias.
Ajenas externas
Secantes
Tangentes externas
Tangentes internas
Secantes
Ajenas internas
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué tienen en común los conceptos de tangente y secante para dos circunferencias con los que vieron en las sesiones anteriores para una recta y una circunferencia.
Concéntricas
b) De los siguientes nombres, elije el que corresponda a cada una de las posiciones de las circunferencias y anótalo en el recuadro. 1 Circunferencias tangentes externas
3 Circunferencias secantes
5 Circunferencias ajenas externas
2 Circunferencias ajenas internas
4 Circunferencias concéntricas
6 Circunferencias tangentes internas
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Propósito de la sesión. Identificar las posiciones relativas entre dos circunferencias.
Posibles errores. Si algún alumno responde que las circunferencias concéntricas se intersecan en un punto (el centro), hágale notar que el centro es un elemento de la circunferencia, pero no es un punto de ella.
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secuencia 3 Sugerencia didáctica. Pregunte al grupo qué pasa en el caso de que las circunferencias concéntricas tengan el mismo radio (en ese caso las circunferencias comparten todos sus puntos). Es posible que los alumnos piensen que entonces no se trata de dos circunferencias, sino que es sólo una; puede comentarles que si recortamos dos circunferencias del mismo radio y las ponemos una sobre la otra, son concéntricas y tienen en común todos sus puntos. Si algún alumno consideró también este caso, su respuesta en el inciso a) debe ser “ninguno o todos”.
ii. Contesta las siguientes preguntas.
Propósito de las preguntas. Que los alumnos analicen la diferencia entre los conceptos de externo e interno.
Ajenas, cuando no tienen puntos en común. Estas circunferencias pueden ser externas o internas. Un caso particular de éstas son las circunferencias concéntricas cuya característica es que tienen el mismo centro.
a) ¿Cuántos puntos en común tienen dos circunferencias concéntricas? b) ¿Cuántos puntos en común tienen dos circunferencias ajenas?
Ninguno
Ninguno
c) ¿Cuántos puntos en común tienen dos circunferencias tangentes?
Uno
d) ¿Cuántos puntos en común tienen dos circunferencias secantes?
Dos
Comparen sus respuestas y comenten: ¿Qué diferencia hay entre circunferencias ajenas externas y circunferencias ajenas internas? ¿Qué diferencia hay entre circunferencias tangentes externas y circunferencias tangentes internas?
A lo que llegamos Dos circunferencias pueden ser:
Tangentes, cuando tienen un solo punto en común. Estas circunferencias pueden ser externas o internas. Secantes, cuando tienen dos puntos en común.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que lean esta información y que verifiquen sus respuestas al ejercicio del inicio de la sesión.
AlGunos PRoblemAs
sesión 4
Lo que aprendimos
Resuelve los problemas de esta sesión sin utilizar transportador.
Propósito del interactivo. Que los alumnos manipulen un par de circunferencias para reproducir dinámicamente cada uno de los casos mencionados en el apartado y descubrir que las circunferencias tangentes y secantes son casos límites.
1. La circunferencia de centro O está inscrita en un hexágono regular. T1 y T2 son puntos de tangencia. T2
a) ¿Cuánto miden los ángulos internos de un hexágono regular?
120º
b) ¿Cuánto miden los ángulos formados por una tangente y el radio trazado
T1
al punto de tangencia? O
90º
c) ¿Cuánto suman los ángulos internos de un cuadrilátero? d) ¿Cuánto mide T1O T2?
360º
60º
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Propósito de la sesión. Utilizar lo aprendido en las tres sesiones anteriores para resolver algunos problemas.
Sugerencia didáctica. Observe los procedimientos de los alumnos y, al final de la sesión, pida a algunos de ellos que pasen a explicar sus respuestas.
Posibles procedimientos. Para determinar la medida de los ángulos, los alumnos deben utilizar lo que ya saben sobre los polígonos regulares. El ángulo interno del hexágono mide 120°, los ángulos en los puntos de tangencia miden 90°. Hacen falta 60° para completar la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero (en este caso es el cuadrilátero que se forma entre los puntos O, T1, T2 , y el vértice del hexágono).
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Si observa que tienen dificultades para responder las preguntas, recuerde a los alumnos que pueden obtener el ángulo interno de un hexágono regular al dividirlo en seis triángulos equiláteros a partir del punto O y pueden obtener la suma de los ángulos internos del cuadrilátero si trazan una diagonal para dividirlo en dos triángulos.
Para obtener T1OT2 directamente, pueden trazar los cuatro radios restantes a los puntos de tangencia, la circunferencia se divide en seis ángulos centrales iguales.
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MATEMÁTICAS 2. Las circunferencias con centros O1 y O2 tienen radios iguales y cada una pasa por el centro de la otra. La recta m es tangente en T a la circunferencia con centro O1 y es secante a la circunferencia con centro en O2. Además, los puntos O1, O2 y P son colineales. ¿Qué tipo de triángulo es el PO1T? ¿Cuánto mide el ángulo TO1P? ¿Cuánto mide TPO2?
Posibles procedimientos. O1TP mide 90° porque la recta m es tangente. O1TO2 mide 60° (se obtiene al calcular las medidas de los ángulos interiores del rombo). O2TP mide 30° (es complementario de O1TO2) y como el triángulo O2TP es isósceles, TPO2 mide también 30°.
m T
Rectángulo 60°
III
O1
120º
P O2
También puede obtenerse al prolongar la recta PO2 hacia O1 y observar que esa recta es un eje de simetría del rombo, por lo que TO1P mide 60°. Entonces, en el triángulo PO1T, el ángulo en el vértice P mide 30° (por la suma de los ángulos interiores de un triángulo).
30°
Justifica tu respuesta.
3. Sean C1 y C2 circunferencias con centros O1 y O2, respectivamente, tangentes en T. Traza la recta tangente a la circunferencia C1 por T y la tangente a C2 por T.
Toma en cuenta que en las circunferencias tangentes se cumple que la recta determinada por los centros pasa por el punto de tangencia de las circunferencias.
¿Qué tienen en común las rectas tangentes que trazaste?
Respuesta. Son la misma recta. La recta es perpendicular al radio O1T por ser tangente a C1. Pero entonces también es perpendicular al radio TO2 ya que los tres puntos, O1,T, O2 son colineales. Entonces también es la tangente a C2. Si lo considera conveniente, comente con los alumnos que las circunferencias pueden ser tangentes internas o tangentes externas.
Justifica tu respuesta.
Ahora sabes que una recta y una circunferencia pueden tener distintas posiciones entre sí. Además conociste algunas propiedades que permiten resolver diversos problemas.
Para saber más Sobre la construcción de una recta tangente a una circunferencia y de circunferencias tangentes, consulta: http://www.educacionplastica.net/tangen.htm Ruta 1: Construcción paso a paso Ruta 2: Ejercicios para practicar la construcción [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
T
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O2
O1
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T O1
O2
Propósito del programa. Se muestran ejemplos de figuras semejantes y se destacan algunas características que permitirán después deducir cuáles son las condiciones que deben tener dos figuras para que sean semejantes. Plantear y resolver problemas que involucren las distintas posiciones relativas entre rectas y circunferencias en el plano vistas a lo largo de la secuencia. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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secuenci a 4
Ángulos en una circunferencia Propósito de la sesión. Identificar y describir los ángulos inscrito y central en una circunferencia. En esta sesión se pretende que los alumnos exploren lo que son estos ángulos, por lo que, para hacer las actividades, sólo tiene el apartado Para empezar.
En esta secuencia determinarás la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
SESIóN 1
Materiales. Instrumentos geométricos: escuadras, regla, transportador y compás (para toda la secuencia).
DOS ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Para empezar
i. Un ángulo en una circunferencia se clasifica según su vértice esté sobre la circunferencia o coincida con el centro de la circunferencia. En el primer caso, se trata de ángulos inscritos; en el segundo, de ángulos centrales. Anota en cada ángulo “ángulo central” o “ángulo inscrito” segun corresponda.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Descubrir las propiedades de los ángulos inscritos en la circunferencia. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Ángulo inscrito
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo central
Comparen sus respuestas. 48
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Eje
Propósitos de la secuencia Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
Forma, espacio y medida.
Tema Formas geométricas.
Subtema Rectas y ángulos.
Sesión
82
Propósitos de la sesión
Recursos Aula de medios Ángulos inscritos en una circunferencia (Geometría dinámica)
1
Dos ángulos de una circunferencia Identificar y describir los ángulos inscrito y central en una circunferencia.
2
Relaciones a medias Determinar la relación entre la medida de un ángulo inscrito y un ángulo central que subtiendan el mismo arco de una circunferencia.
3
Probemos que uno es la mitad del otro Los alumnos justificarán formalmente la relación que encontraron entre las medidas de los ángulos central e inscrito que subtienden el mismo arco.
Programa 6 Interactivo
4
Problemas de medida Resolver problemas relacionados con la medida de ángulos inscritos y centrales.
Programa 7
Antecedentes En Matemáticas I los alumnos utilizaron el ángulo central y el ángulo interior para construir un polígono regular. En Matemáticas II establecieron la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. Aunque una circunferencia no tiene ángulos interiores y no tiene un único ángulo central, se puede considerar que los ángulos inscritos y centrales de la circunferencia son similares a aquéllos, ya que también abarcan una parte de la figura. En esta secuencia los alumnos van a establecer la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia.
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos para que, cuando no sea posible dibujar lo que se pide, expliquen con argumentos basados en las características de los ángulos central e inscrito.
II. Dibuja los ángulos que se piden o explica por qué no es posible dibujarlos. a) Un ángulo central tal que uno de sus lados sea una tangente.
Respuestas. Sí es posible dibujar los ángulos que se piden en los incisos b) y c). El del inciso a) no es posible porque los lados de un ángulo central están en el interior de la circunferencia y una tangente nunca es interior, sólo toca a la circunferencia en el punto de tangencia. El del inciso d) no se puede dibujar porque el vértice de un ángulo inscrito debe estar sobre la circunferencia.
b) Un ángulo inscrito tal que uno de sus lados sea un diámetro.
c) Un ángulo central que mida 90°.
d) Un ángulo inscrito tal que su vértice esté fuera de la circunferencia.
Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, pida de tarea a los alumnos que dibujen en sus cuadernos algunos ángulos inscritos y centrales de distintas medidas.
Comparen sus dibujos y verifiquen que cumplen con las condiciones pedidas. 49
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También puede preguntarles si es posible dibujar un ángulo inscrito de 270°. Esto no es posible, ya que todos los ángulos inscritos son menores a 180°.
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Propósito de la sesión. Determinar la relación entre la medida de un ángulo inscrito y uno central que subtiendan el mismo arco de una circunferencia.
secuenci a 4 RELACIONES A MEDIAS
SESIóN 2
Para empezar
Los lados de cualquier ángulo en una circunferencia, inscrito o central, determinan un arco en la circunferencia. En estas circunferencias el arco determinado por los ángulos dados está marcado con morado. Se dice que los arcos son subtendidos por los ángulos que los determinan.
Propósito de la actividad. Identificar el arco que subtiende un ángulo inscrito o un ángulo central.
a
R
c B
s
O
Q P
Posibles errores. En la figura 2 es posible que algunos alumnos marquen el arco que corresponde al ángulo central que es menor a 180° y no al que está señalado. Si lo considera necesario, dibuje un ejemplo parecido en el pizarrón y comente este caso con todo el grupo.
El arco c es subtendido por el aOB; el arco s es subtendido por el PQR. En cada circunferencia marquen con azul el arco que subtienden los ángulos centrales y con rosa el arco que subtienden los ángulos inscritos.
Figura 1
Figura 2
Figura 4
Figura 3
Figura 5
¿En qué circunferencias se cumple que el ángulo central subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito?
1, 2 y 5
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos obtengan pequeñas diferencias en las medidas. Ayúdelos en el uso del transportador para que éstas sean lo más certeras posible; todas las medidas de los ángulos son números cerrados.
Consideremos lo siguiente Midan con su transportador los ángulos centrales y los ángulos inscritos y anoten los datos obtenidos.
110° 150°
55° Figura 6
70° Figura 7
40°
140° 40°
280°
Figura 8
20°
Figura 9
50° 100°
80°
Figura 10
Figura 11
a) ¿En cuáles de estas figuras se cumple que la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central?
1
,
4
y
6
b) Según los ángulos anteriores, ¿qué condición cumplen el ángulo inscrito y el central para que la medida del primero sea la mitad de la medida del segundo?
Comparen sus respuestas. 51
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Se espera que los alumnos identifiquen que, si los ángulos subtienden el mismo arco, entonces el inscrito mide la mitad del ángulo central o, también, que el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.
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Respuestas.
secuencia 4
a) 1, 4 y 6.
Manos a la obra
b) En cada caso el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central, también pueden responder que el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.
i. Marquen los arcos subtendidos por los ángulos inscrito y central en cada uno de las figuras del apartado Consideremos lo siguiente. a) ¿En cuáles de las figuras los ángulos inscrito y central subtienden el mismo arco?
b) En cada una de las figuras que anotaron en el inciso anterior, ¿qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos inscritos y centrales?
Propósito de la actividad. Verificar que, si un ángulo inscrito y uno central subtienden el mismo arco, el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central y que el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.
ii. En la siguiente circunferencia se dibujó un ángulo central de 84°. Dibujen dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco que el ángulo central dado.
Sugerencia didáctica. Aunque algunos alumnos pueden anticipar que las ángulos inscritos van a medir 42°, pídales que hagan la medición con el transportador para verificarlo. Hay muchos ángulos inscritos que pueden trazar; comente a los alumnos que también se puede concluir que dos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Respuestas. a) Con su transportador, midan los ángulos inscritos que dibujaron. ¿Cuánto miden?
a) 42° b) Los ángulos inscritos miden la mitad del central o el ángulo central mide el doble que los inscritos.
b) ¿Qué relación hay entre la medida de cada ángulo inscrito dibujado y la medida del ángulo dado?
c) Sí, pasa lo mismo. c) ¿Creen que se cumpla la misma relación para cualquier otro ángulo inscrito que subtienda el mismo arco que el ángulo central dado? Comparen sus respuestas. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas.
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Después de que lean esta información, pida a los alumnos que dibujen en su cuaderno una circunferencia con un ángulo central mayor que 180° y también que verifiquen la medida de dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco.
A lo que llegamos A partir de los ejemplos trabajados, se puede suponer que un ángulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relación: cuando el ángulo inscrito y el ángulo central subtienden el mismo arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo.
Comente con el grupo que es lo mismo decir que el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.
III. Tracen en la circunferencia un ángulo inscrito de tal manera que sus lados pasen por los extremos del diámetro AB.
Propósito de la actividad. Determinar que la medida de un ángulo inscrito que subtiende la mitad de una circunferencia es de 90°.
B O
A
Central ¿Por qué? Su vértice está en el centro de la circunferencia
a) ¿El AOB es central o inscrito?
b) ¿Cuánto mide el AOB?
Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían determinar la medida de los ángulos inscritos que trazaron sin necesidad de medir, al darse cuenta de que es la mitad de AOB. Se espera que para justificar la respuesta en el inciso e) digan que, como el ángulo central es de 180°, el ángulo inscrito debe medir la mitad,es decir 90°.
180°
c) ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que trazaron?
90°
Tracen tres ángulos inscritos de manera que sus lados pasen por los puntos A y B, y que los vértices no coincidan con A o con B. d) ¿Los ángulos que trazaron miden lo mismo?
Sí . ¿Cuánto miden?
90°
e) ¿Será posible trazar un ángulo inscrito que sus lados pasen por los extremos del diámetro y que su medida sea menor que 90°? No Justifiquen sus respuestas.
Comparen y comenten sus respuestas.
53
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Sugerencia didáctica. Entre todos escriban una regla que describa lo que ocurre cuando un ángulo inscrito subtiende la mitad de una circunferencia. Puede pedirles que tracen en sus cuadernos dos ángulos inscritos en una circunferencia que midan 90°; de esta manera podrán confirmar que van a subtender a la mitad de la circunferencia.
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Propósito de la sesión. Los alumnos justificarán formalmente la relación que encontraron entre las medidas de los ángulos central e inscrito que subtienden el mismo arco.
secuencia 4 pRObEMOS qUE UNO DE LOS ÁNGULOS ES LA MItAD DEL OtRO
SESIóN 3
Para empezar
Propósito del programa. Demostrar que para cualesquiera dos ángulos, central e inscrito, que subtienden el mismo arco, la medida del primero es el doble de la medida del segundo.
En la sesión 2 se afirmó que cuando un ángulo inscrito y uno central subienden el mismo arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo, a partir de comprobar que la relación se cumplía en varios ejemplos. Sin embargo, aunque la relación se cumple en los ejemplos vistos no se puede garantizar que se cumpla siempre. En esta sesión probarás que esta relación se cumple para cualquier pareja de ángulos central e inscrito que subtiendan el mismo arco.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden el mismo arco pueden corresponder a tres casos diferentes: e
a
Propósito del interactivo. Descubrir mediante mediciones en una figura dinámica que:
c V
• Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma medida.
El procedimiento que se va a seguir consiste en identificar que el triángulo VOA es isósceles, debido a que dos de sus lados son radios de la circunferencia. Entonces los ángulos iguales del triángulo son OVA = VAO. Además hay dos ángulos que suman 180°. AOV + BOA = 180° (forman un ángulo llano alrededor de O). Por la suma de los ángulos interiores del triángulo isósceles se sabe que: AOV +
OVA +
D
W
Caso II
Caso III
Comenten en qué se distingue cada caso.
Manos a la obra i. caso i. Observa que VB , además de ser un lado del ángulo inscrito, es un diámetro de la circunferencia. Otra característica es que el lado OB está sobre el lado VB. Elije una de las opciones para completar el siguiente texto y justifica tu elección.
central
El BOa es un ángulo
a
. El BVa es un ángulo
(central / inscrito)
El VOa es
isósceles
V
O
B
de ahí que los ángulos
aOV + BOa =
180° (90° / 180°)
aOV + OVa + VaO =
Caso I
y
VAO
sean iguales.
son suplementarios
porque
180°
.
tiene dos lados iguales
porque
OVA
inscrito (central / inscrito)
(isósceles / equilátero)
porque son los ángulos interiores de un triángulo
(180° / 360°)
Comparando las dos igualdades anteriores se observa que BOa =
Comente a los alumnos que lo que se va a hacer en la sesión es justificar que, en todos los casos, el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito y, por lo tanto, el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central. Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están el caso I.
O
u
Caso I
• La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de un ángulo central cuando subtienden el mismo arco. Sugerencia didáctica. Si lo considera pertinente, pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a dibujar ejemplos de cada uno de los casos presentados, para otros ángulos centrales. Pregunte al grupo si están de acuerdo en que son todos los casos posibles. En particular, algún alumno podría mencionar que hace falta el caso en el que la medida del ángulo central es mayor o igual que 180°. Este caso está incluido en el caso II, lo cual lo puede analizar con el grupo al final de la sesión.
O
B
O
F
( aOV +
ya que aOV + BOa = aOV + OVa + VaO porque De esta igualdad se obtiene que el BOa es
OVA + VAO OVa /
OVa +
VaO)
son iguales a 180°
el doble
.
del BVa .
(el doble / la mitad)
Lo que se puede escribir como: La medida del ángulo central BOa es el doble de la medida del ángulo BVa . 54
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Se resta BOA = Y como
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AOV de ambos lados: OVA + OVA =
VAO. VAO, entonces:
BOA = 2 OVA. Pero como OVA es el mismo ángulo que BVA, se obtiene la conclusión de que: BOA = 2 BVA, y entonces del BOA.
Posibles dificultades. Si observa que los alumnos tienen dificultades para establecer esta relación escriba la igualdad AOV +
BOA =
AOV +
OVA +
VAO
en el pizarrón y pregúnteles qué ocurre si se resta AOV en ambos lados.
BVA es la mitad
Es decir que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
VAO = 180°.
Entonces, como las dos expresiones son iguales a 180°: AOV +
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BOA =
AOV +
OVA +
VAO
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Esto fue importante porque de esta manera se sabe que AOV y BOA son suplementarios.
Comparen sus respuestas y comenten: ¿Para completar el texto fue importante tomar en cuenta que uno de los lados del ángulo inscrito es también diámetro de la circunferencia y que un lado del ángulo central también está sobre el diámetro? ¿Por qué? II. Caso II. Se observa que ninguno de los lados del ángulo inscrito es diámetro de la circunferencia, por esta razón se debe dar una justificación de que en este caso también se cumple la relación entre las medidas de los ángulos inscrito y central que subtienden el mismo arco. Traza el diámetro determinado por OU y denota el otro extremo del diámetro con X.
C O U
a) El diámetro UX dividió a los ángulos dados en dos ángulos cada uno. Expresa cada ángulo señalado como suma de los ángulos que formaste al trazar UX. DOC =
DOX + XOC
DUC =
DUX + XUC
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué esta justificación es válida para cualesquiera ángulos inscrito y central que estén en el caso I.
Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están en el caso II.
D Caso II
El procedimiento que se sigue consiste en trazar el diámetro determinado por OU. De esta manera el ángulo central DOC queda dividido en dos ángulos centrales, XOC y DOX y el ángulo inscrito DUC queda dividido en dos ángulos inscritos, XUC y DUX. Se obtienen dos parejas de ángulos central e inscrito que están en el caso I, XOC y XUC, DOX y DUX, para las que se utiliza la relación que se justificó en la actividad anterior.
b) Observa que al trazar el diámetro UX de la pareja de ángulos del caso II, se formaron dos parejas de ángulos como la del caso I. Utiliza el resultado obtenido en el caso I para responder: ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos XUC y XOC? ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos DUX y DOX?
XOC = 2 XUC DOX = 2 DUX
c) Utiliza tus respuestas al inciso anterior y formula una justificación de que la medida del DUC es la mitad de la medida del DOC?
Comparen sus justificaciones.
DOC = DOX + XOC = 2 DUX + 2 XUC = 2 ( DUX + XUC) = 2 DUC
XOC = 2 XUC E
III. Da una justificación de que para el caso III también se cumple la relación entre las medidas de un ángulo inscrito y uno central que subtienden el mismo arco.
DOX = 2 DUX. F
Traza el diámetro determinado por WO y denota el otro extremo del diámetro con Y. Al trazar WY, se identifican dos nuevas parejas de ángulos que, cada una, satisface el caso I
O
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban las dos parejas de ángulos que están en el caso I.
W
a) La primera pareja consta de los ángulos FWY y FOY, la segunda de los ángulos EWY y EOY.
Caso III
Expresa cada ángulo original como la diferencia de dos de los nuevos. FWE =
FWY – EWY
FOE =
FOY – EOY 55
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El procedimiento que se sigue consiste en trazar el diámetro determinado por WO. De esta manera se obtienen dos parejas de ángulos central e inscrito que están en el caso I, FOY y FWY, EOY y EWY, para las que se utiliza la relación que se justificó en la actividad I. FOY = 2 FWY EOY = 2 EWY.
Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están en el caso III.
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El ángulo central mayor ( FOY) y el ángulo inscrito mayor ( FWY) pueden expresarse como suma de otros dos ángulos: FWY =
FWE +
FOY =
FOE +
EWY EOY
Con estas igualdades se establece la expresión de los ángulos señalados como resta de los ángulos nuevos.
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secu en cia 4 b) Utiliza el resultado obtenido del caso I para responder:
Sugerencia didáctica. Dibuje en el pizarrón una circunferencia e indique un ángulo central que sea mayor a 180°. Pida a uno de los alumnos que trace un ángulo inscrito que subtienda el mismo arco que ese ángulo central.
¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos FWY y FOY? ¿Qué relación hay entre las medidas de eWY y eOY?
EOY = 2 EWY
c) Da una justificación de que la medida del FWe es la mitad de la medida del FOe.
FOE = FOY – EOY = 2 FWY – 2 EWY = 2 ( FWY – EWY) = 2 FWE
B Comparen sus justificaciones.
O
FOY = 2 FWY
C
A lo que llegamos A Trace el diámetro determinado por AO. Pregunte a los alumnos cuál de las posiciones representa esta situación y analicen este caso entre todos. (Es el caso II.)
Cualquier pareja de ángulos inscrito y central cae en alguno de los casos examinados, así que la justificación que se mostró en esta sesión garantiza que la relación “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco”, se cumple siempre que los ángulos inscrito y central subtiendan el mismo arco.
SESIóN 4
PROBLEMAS DE MEDIDA
Lo que aprendimos
1. Sin utilizar transportador dibujen en cada circunferencia un ángulo inscrito de manera que su medida sea la mitad de la medida del ángulo central dado.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál es la diferencia entre lo que hicieron en la sesión pasada y en ésta. Deben identificar que en la sesión anterior se justificó la relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco, al medir en algunos ejemplos; en esta sesión se hizo una justificación que no depende de un ejemplo particular, sino que es válida para todos los casos posibles. Pregunte al grupo por qué es lo mismo decir que el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.
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Propósito de la sesión. Resolver problemas relacionados con la medida de ángulos inscritos y centrales.
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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tuvieron dificultades, revise con ellos la actividad II del Manos a la obra de la sesión 2 y los apartados A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Sí es un triángulo rectángulo. CPD es un ángulo inscrito que subtiende la mitad de una circunferencia (la semicircunferencia). Por lo tanto es un ángulo recto y el CDP es rectángulo.
2. Dibujen una semicircunferencia y llamen a sus extremos C y D. Elijan un punto P sobre la semicircunferencia que no pertenezca al diámetro. ¿El CDP es un triángulo rectángulo?
¿Por qué?
3. Sin usar transportador, determinen y anoten la medida de cada uno de los ángulos marcados en rojo.
240º
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos los apartados A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3.
30º
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué tipo de recta es la de la tercera figura con respecto a la circunferencia (es una tangente).
60º
Comparen y justifiquen sus respuestas.
Respuestas. En la primera y en la segunda figura, los ángulos subtienden el mismo arco, por lo que el ángulo central de la primera figura mide 120° y el ángulo inscrito de la segunda figura también mide 120°. En la tercera figura la tangente forma un ángulo de 90° con el radio, el triángulo es isósceles (dos de sus lados son radios), por lo que sus ángulos iguales miden 30°; el ángulo marcado mide 60º.
4. En la circunferencia se trazaron ángulos inscritos que subtienden el mismo arco que un ángulo central de 50°. a) ¿Cuánto miden los ángulos inscritos?
25º
b) ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco? Es
la misma
Comparen y justifiquen sus respuestas. La relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco, permite resolver múltiples problemas.
Propósito de la actividad. Reafirmar que los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco miden lo mismo.
Para saber más Sobre ángulos en una circunferencia, consulten: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/capaz_d3/index.html Ruta 1: Ángulos centrales Ruta 2: Ángulos inscritos [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Eduación y Ciencia. España.
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Propósito del programa. Mostrar ejemplos y problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia para poder resolverlos. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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secuenci a 5
Propósito de la sesión. Resolver problemas para calcular la medida de arcos y de sectores circulares. Los sectores circulares son una parte del círculo delimitada por un ángulo central.
Problemas con curvas En esta secuencia determinarás la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, de área de sectores circulares y de coronas.
Al final de cada sesión puede pedir a algunos alumnos que pasen a explicar sus respuestas, aunque sean incorrectas o que estén incompletas. De esta manera puede propiciar que los alumnos intercambien entre ellos los distintos procedimientos que hayan utilizado.
Sólo una parte
SeSión 1
Para empezar
Relacionen cada figura con su nombre. 1. Ángulo central
Materiales. Instrumentos geométricos: escuadras, regla, transportador y compás (para toda la secuencia).
2. Sector circular 3. Corona 4. Ángulo inscrito 5. Arco
3
Propósito del programa. Mostrar cómo se calcula la medida de arcos y ángulos centrales e inscritos; y resolver problemas. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
1
2
1. En el siguiente esquema se muestra una forma de trazar con exactitud una recta tangente a la circunferencia de centro O desde el punto P. La recta tangente está determinada por el segmento PT.
a) El procedimiento puede describirse de una manera similar a la siguiente: se traza la circunferencia de diámetro OP. Se marca como T uno de los dos puntos de intersección de las dos circunferencias. La recta determinada por PT es la recta tangente a la circunferencia desde el punto P.
T
O
P
Paso 1
b) Para justificar que la recta es tangente, hay que verificar que es perpendicular al radio OT. El ángulo inscrito OTP mide 90° porque subtiende la mitad de la segunda circunferencia, también puede argumentarse que subtiende el mismo arco que el ángulo central PO’O y este ángulo mide 180°.
O
O'
P
O
Paso 2
O'
P
Paso 3
a) Describe el procedimiento para trazar la recta PT.
b) Justifica que la recta determinada por PT es tangente a la circunferencia.
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Propósitos de la secuencia Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Eje Forma, espacio y medida.
Tema
5
Lo que aprendimos
Respuestas.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si la recta que va de P al otro punto de intersección es también una tangente.
4
Recuerden que para calcular el área y el perímetro de un círculo se utiliza el número π (Pi). Para realizar cálculos pueden tomar una aproximación a dos decimales para el valor de π, por ejemplo 3.14.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Medida.
Subtema
1
Estimar, medir y calcular.
Sólo una parte Resolver problemas para calcular la medida de arcos y de sectores circulares.
Programa 8 Interactivo
Antecedentes
Los alumnos ya saben calcular el área de un círculo y saben que un ángulo central determina una fracción de éste. Con esos elementos ahora van a resolver algunos problemas de áreas y de medida de arcos.
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2
Lo que resta Resolver problemas para calcular la medida del área de algunas coronas.
3
De todo un poco Resolver problemas para calcular el área de distintas figuras.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de los interactivos. Calcular la medida de arcos y el área de sectores circulares en circunferencias que tienen su centro en un vértice de un polígono regular y su radio es igual a la medida del lado del polígono.
2. En el esquema siguiente el lado del cuadrado mide 3 cm. El punto P se mueve manteniendo una distancia de 2 cm con respecto al vértice A.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que dibujen la figura que se forma al mover el punto P. El área pedida es la parte del círculo que queda fuera del cuadrado. Verifique que los alumnos pongan las unidades correspondientes en cada respuesta. Recuerde a los alumnos que 3.14 es una aproximación al valor de π. Les puede pedir que anoten las expresiones dejando el símbolo π y que después anoten el valor obtenido utilizando la aproximación de π.
PP
AA
a) ¿Qué figura determina el punto P? b) ¿Cuánto mide el perímetro de dicha figura? c) Toma en cuenta sólo la parte de la figura que es externa al cuadrado, ¿cuánto mide el área de esa parte de la figura? d) Considera un hexágono regular de 2 m de lado en lugar de un cuadrado, ¿cuánto mediría el área de la figura que determina el punto P fuera del hexágono?
240º
3. En el siguiente dibujo el hexágono regular mide de lado 2 cm y de apotema 1.73 cm. Reprodúcelo en tu cuaderno.
Recuerda que: Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros congruentes.
a) ¿Cuánto mide el perímetro de la flor? b) ¿Cuánto mide el área de la flor?
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Respuestas. a) Cada arco es la tercera parte del perímetro de una circunferencia de radio 2 cm (lo subtiende un ángulo central de 120°). La flor se forma con seis arcos, que equivalen a 6 del perímetro de la circunferencia, 3 es decir que el perímetro es equivalente a dos veces el perímetro de la circunferencia. Es igual a 2(4π) = 8π = 25.12 cm. b) El área de una circunferencia de radio de 2 cm es de 4π. El área del hexágono es de 6(1.73). Al restarle al área de la circunferencia el área del hexágono se obtiene el área de tres pétalos. 4π – 6(1.73) = 2.18. Los seis pétalos tienen un área de 4.36 cm2 .
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• Que completen dos de las circunferencias en vértices consecutivos del hexágono, tracen una circunferencia de radio 2 cm con centro en el centro del hexágono (el hexágono queda inscrito en esa circunferencia) y tracen los seis triángulos equiláteros que dividen al hexágono. Esto puede ayudarlos a visualizar mejor el área que se les pide ya que cada sección que se forma entre la circunferencia y el hexágono es igual a la mitad de un pétalo de la flor. Las seis secciones entre las figuras forman tres pétalos de la flor. Entonces al restarle al área de la circunferencia el área del hexágono se obtiene el área de tres pétalos.
Respuestas. a) Es una circunferencia con centro en A y radio de 2 cm. b) El perímetro es 3 partes del perímetro de la 4 circunferencia. 3 (4π) = 3π = 9.42 cm. 4 c) El área es igual a 3 partes del área de la 4 circunferencia. Como el área de la circunferencia es 4π la respuesta es: 3 (4π) = 3π = 9.42 cm2 . 4 d) El área es igual a 2 partes del área de la 3 circunferencia. Como el área de la circunferencia es 4π la respuesta es: 2 (4π) = 8 π = 8.37 m2 . 3 3 Sugerencia didáctica. Si observa que tienen dificultades, pida a los alumnos que marquen el ángulo central que subtiende la parte de la circunferencia que queda afuera del hexágono. Pregúnteles cuánto mide ese ángulo. Esto puede ayudarlos a encontrar el área.
• Que coloreen tres de los sectores circulares con colores distintos. Esto puede ayudarlos, ya que cada sector circular equivale a un tercio de una circunferencia; al juntarlos se obtiene el hexágono y tres pétalos que se repiten (los que se enciman). Es decir que el área de una circunferencia completa es igual al área del hexágono más tres pétalos de la flor.
Sugerencia didáctica. Si observa que tienen dificultades para encontrar el área de la flor, hay dos posibles ayudas o pistas que puede darles (cada pista lleva a un procedimiento distinto, escoja la que le parezca más conveniente): Li b r o p ara e l maestro
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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tienen dificultades puede pedirles que dibujen una circunferencia de radio de 3 cm y que la dividan en seis partes iguales.
secuenci a 5 a
a) ¿Cuánto mide el perímetro de la región determinada por los
Respuestas. a) Cada arco mide la sexta parte del perímetro de una circunferencia de radio de 3 cm (lo subtiende un ángulo central de 60°). Los tres arcos juntos miden la mitad del perímetro de la circunferencia. El perímetro de la circunferencia es 6π. Entonces el perímetro de la región es de 3π = 9.42 cm. 6(5.19) = 15.57 cm2 . b) El área es 2 c) Cada sector circular tiene un área igual a una sexta parte del área de la circunferencia. El área de la circunferencia es de 9π.
4. En el triángulo equilátero aBc de lado 6 cm se trazaron tres arcos con centro en sus vértices y radio la mitad de su lado, como se muestra en la figura. La altura del triángulo mide 5.19 cm. tres arcos?
T
s
b) ¿Cuánto mide el área del triángulo aBc? c) ¿Cuánto mide el área del sector circular BTR? d) ¿Cuánto mide el área de la región determinada por los tres
B
R
arcos?
c
LO QUe ReSTA
SeSión 2
Lo que aprendimos 1. Dibuja dos circunferencias concéntricas cuyos radios midan 1 cm y 3 cm respectivamente. a) ¿Cuánto mide el área que encierra la circunferencia de radio
El área de cada sector circular es de 1 (9π) = 9 π = 4.71 cm2 . 6 6
1 cm?
b) ¿Cuánto mide el área que encierra la circunferencia de radio 3 cm?
d) El área de la región determinada por los tres arcos se obtiene al restarle al área del triángulo el área de los tres sectores circulares.
c) ¿Cuánto mide el área de la región comprendida entre las dos circunferencias?
El área es de 15.57 – 3(4.71) = 1.44 cm2 . 2. En el siguiente dibujo se muestra el esquema de una fuente y sus dimensiones. a) ¿Cuánto mide el área de la cara lateral de la fuente? 3m 2m
b) ¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?
1.5 m
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Propósito de la sesión. Resolver problemas para calcular la medida del área de algunas coronas (sección entre dos circunferencias).
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Respuestas.
Respuestas.
a) El área es de 3.14 cm . 2
b) El área es de 9π = 28.26 cm . 2
c) Al área del círculo de radio 3 cm hay que restarle el área del círculo de radio 1 cm. El área es 9π – π = 8π = 25.12 cm2 .
a) Si extendemos la cara lateral se obtiene un rectángulo de 1.5 m de altura y largo igual al perímetro de la circunferencia de radio 3 m. Este perímetro es de 6π. Entonces el área de la cara lateral es de 1.5 (6π) = 9π = 28.26 m2 . b) El área de la cara superior de la fuente se obtiene al restarle al área de la circunferencia de radio de 3 m, el área de la circunferencia de radio de 2 m. El área es 9π – 4π = 5π = 15.7 m2 . Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tienen dificultad para encontrar el área de la cara lateral sugiérales que hagan una tira de papel y la doblen en forma de cilindro para que identifiquen que al extenderla se obtiene un rectángulo.
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MATEMÁTICAS
III
De TODO Un POCO
SeSión 3
Lo que aprendimos
Propósito de la sesión. Resolver problemas para calcular el área de distintas figuras.
1. Calcula el área de la figura anaranjada.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad.
10 cm
Sugerencia didáctica. Para que los alumnos identifiquen que las esquinas del marco son arcos de circunferencia, puede sugerirles que, con el compás, tracen en el dibujo una circunferencia de 1 cm de radio con centro en las esquinas del espejo. En el marco esto corresponde a circunferencias de 10 cm de radio.
60 cm
40 cm
Respuestas. Si se prolongan los lados del rectángulo que está al interior de la figura anaranjada, ésta queda dividida en dos rectángulos de 40 × 10, dos rectángulos de 60 x 10 y cuatro sectores circulares, cada uno es la cuarta parte de una circunferencia de radio de 10 cm.
2. Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2 m. La cadena está unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de L, cuyos segmentos miden 2 m y 4 m. a) Dibuja la barra en la que se desplaza la argolla; puedes utilizar una escala de metros a centímetros. Dibuja el contorno de la región en la que puede desplazarse el perro. b) ¿Cuál es el área de la región en la que puede desplazarse el perro?
16m2 + 4m2 + 5π m2 = 35.7 m2
El área de los cuatro rectángulos juntos es de 2 000 cm2 . El área de los cuatro sectores circulares; es igual al área de la circunferencia completa, que es de 100π = 314 cm2 . El área total es de 2 314 cm2 .
Para saber más Sobre el cálculo de áreas y perímetros de figuras formadas por arcos y rectas, consulta, en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández Garcíadiego, Carlos. “Áreas de sectores circulares” en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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Pida a los alumnos que utilicen el compás para identificar el área en la que se puede desplazar el perro, ya que la cadena funciona como un compás con centro en donde esté situado el perro. Una clave está en que se fijen en los dos extremos de la barra y en el vértice. Para encontrar el área se puede dividir la región en 2 mitades de círculo, un cuarto de círculo (el área de un círculo completo es de 4π m2 ), un cuadrado de 4 × 4 m y otro cuadrado de 2 × 2 m.
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2m
4m
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secuenci a 6
La razón de cambio Propósito de la sesión. Estudiar la razón de cambio en un fenómeno o situación lineal. En esta secuencia estudiarás las razones de cambio de dos conjuntos de cantidades que están en una relación de proporcionalidad directa.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Comparar diferentes situaciones mediante la aplicación del concepto de razón y el uso de tablas.
EL INCREMENTO
sEsIóN 1
Para empezar
En primero y segundo grado has representado de diferentes maneras las relaciones funcionales: una tabla, una expresión algebraica, una gráfica o, incluso, un enunciado; cada una de estas representaciones da diferente información.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Por ejemplo, en la secuencia 20 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, aprendiste que la gráfica de la expresión y = 3x + 2 es una línea recta con pendiente igual a 3. En esta secuencia continuarás el estudio de la pendiente de una recta.
Propósito de la actividad. La intención al plantear este problema es que los alumnos recuerden cuestiones que ya han estudiado acerca de las relaciones lineales en una situación que también les es familiar: el rendimiento de un automóvil, entendido como la constante que relaciona la cantidad de gasolina consumida y la distancia recorrida.
Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica describe la relación entre la distancia recorrida y la cantidad de gasolina consumida por tres automóviles. El consumo de gasolina de cada automóvil es constante.
Distancia (en kilómetros)
y 180 160 140 120
Recuerda que: il de un automóv El rendimiento e de kilómetros qu es la cantidad . litro de gasolina recorre con un un automóvil de to ien dim Si el ren ida distancia recorr es constante, la gasolina que se de d da nti ca la y antidades direct consume son ca onales. mente proporci
100 80 60 Automóvil A Automóvil B Automóvil C
40 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
x
Cantidad de gasolina (en litros) 62
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Eje Manejo de la información.
Tema Representación de la información.
Propósitos de la secuencia Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
Sesión
Subtema Gráficas.
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Propósitos de la sesión
Recursos
1
El incremento Estudiar la razón de cambio en un fenómeno o situación lineal.
2
Pendiente y razón de cambio Relacionar la razón de cambio con la pendiente de la recta asociada al fenómeno o situación lineal.
Programa 9 Interactivo
3
Algunas razones de cambio importantes Estudiar algunas razones de cambio significativas, tanto positivas como negativas.
Programa 10
Antecedentes Anteriormente los alumnos han estudiado diversas características de las funciones lineales, incluida la pendiente en una gráfica y su significado. Ahora estudiarán la razón de cambio relacionándola con la pendiente.
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Aula de medios
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
De acuerdo con la información de la gráfica:
a) 156 km.
a) ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil C con 13 de gasolina?
b) 17 .
b) Si el automóvil C recorriera 204 km, ¿cuántos litros de gasolina consumiría?
c) 20 .
c) ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil A con un litro de gasolina?
d) Automóvil A, 60 km.
d) ¿Qué distancia recorre cada automóvil con tres litros de gasolina? Automóvil B:
Automóvil A:
Automóvil B, 15 km.
Automóvil C:
Automóvil C, 36 km.
Comparen sus respuestas, contesten y comenten: a) Por cada litro de gasolina que consume cada automóvil, ¿cuántos kilómetros recorre? Automóvil B:
Automóvil A:
Respuestas.
Automóvil C:
a) Automóvil A, 20 km.
b) ¿Qué automóvil tuvo un mejor rendimiento?
Automóvil B, 5 km.
Manos a la obra
Automóvil C, 12 km.
I. Responde lo que se te pide a ontinuación.
b) El automóvil con mejor rendimiento es el A, porque recorre 20 km con cada litro de gasolina y la recta que representa esta situación es la que tiene una mayor pendiente con respecto al eje x.
a) Completa las siguientes tablas para encontrar la distancia recorrida por el automóvil A y por el automóvil C a partir de la cantidad de gasolina consumida. Cantidad de gasolina Distancia recorrida (en litros) (en kilómetros)
5
Cantidad de gasolina Distancia recorrida (en litros) (en kilómetros)
100
5
60
6
120
6
72
7
140
7
84
8
160
8
96
9
180
9
108
10
200
10
Automóvil A
Sugerencia didáctica. Dé un tiempo para que los alumnos discutan la pregunta del inciso b). Ya sea que lleguen a un acuerdo o no, pregúnteles: observando la gráfica, ¿cuál automóvil recorre más kilómetros por cada litro de gasolina?; ¿cuál es el que tiene el peor rendimiento, es decir, recorre menos kilómetros por cada litro de gasolina?
120 Automóvil C
b) Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro al décimo litro de gasolina consumida: Distancia recorrida
Cantidad de gasolina consumida
Automóvil A
100 km
5 litros
Automóvil C
60 km
5 litros
Cociente de la cantidad de kilómetros recorridos entre la cantidad de gasolina consumida
100 5 = 20 60 5 = 12
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Posibles dificultades. Los alumnos ya han resuelto este tipo de problemas, por lo que se espera que lo hagan ahora sin dificultad. Sin embargo, en la pregunta del inciso d) podrían confundirse: se les pide calcular la distancia que cada automóvil recorre del quinto al octavo litro de gasolina, es decir, la distancia que recorre cada uno con 3 de gasolina (da igual que sean los primeros 3 , los últimos que quedan en el tanque o los 3 que hay entre el quinto y el octavo litro).
secuenci a 6 c) Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro al séptimo litro de gasolina consumida: Distancia recorrida
Sexto litro
40 km
2 litros
40 2 = 20
Automóvil C
24 km
2 litros
24 2 = 12
Comparen sus respuestas y contesten: a) ¿Cómo son los cocientes que encontraron en las tablas anteriores para el automóvil A, distintos o iguales? b) ¿Cómo son los cocientes que encontraron en las tablas anteriores para el automóvil C, distintos o iguales? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorri-
1 .
da por el automóvil A, a partir de la cantidad de gasolina que consumió? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorri-
2 .
da por el automóvil C, a partir de la cantidad de gasolina que consumió?
3 .
Séptimo litro
4 .
Octavo litro
Explíqueles que la forma correcta de contarlos es la siguiente: Quinto litro } 1 litro Sexto litro } 2 litros
A lo que llegamos Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionadas entre sí, se puede estudiar el cambio o incremento de una cantidad respecto al cambio o incremento de la otra. En este caso, la distancia recorrida está relacionada de manera directamente proporcional a la cantidad de gasolina consumida. Los incrementos de estas cantidades se pueden comparar. Por ejemplo, para el automóvil B, un incremento de 60 km recorridos corresponde a un incremento de 12 de gasolina consumidos.
Séptimo litro } 3 litros
Incremento en el consumo de gasolina 12
Octavo litro
Respuestas. a) Iguales. b) Iguales. c) 20 km/ .
Cociente de la cantidad de kilómetros recorridos entre la cantidad de gasolina consumida
Automóvil A
Algunos estudiantes podrían equivocarse pensando que del quinto al octavo litro hay 4 : Quinto litro
Cantidad de gasolina consumida
4
20 km
16
80 km
Incremento en la distancia recorrida 60 km
Al cociente que se obtiene al dividir el incremento de un cantidad entre el incremento correspondiente a la otra se le llama razón de cambio. En el ejemplo, la razón de cambio entre la distancia recorrida (60 km) y la cantidad de gasolina consumida (12 ) es: 60 = 5, que resulta ser el rendimiento del automóvil B. 12 64
d) 12 km/ . MAT3 B1 S06.indd 64
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Sugerencia didáctica. Analicen juntos la información de este apartado. Puede ser útil revisar algunas secuencias de los libros de grados anteriores para que los alumnos identifiquen en otros ejemplos el incremento.
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MATEMÁTICAS
III
II. Una barra de acero se calienta en un horno de alta temperatura. La siguiente gráfica muestra los resultados de variación de la temperatura de la barra respecto al tiempo de calentamiento. Temperatura (en grados centígrados)
y 800 700 600 500 400 300 200 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Tiempo (en horas)
a) Con la información de la gráfica anterior completa la siguiente tabla: Incremento del tiempo (en horas)
Incremento en la temperatura (en ºC)
De la primera a la cuarta hora
3
45 0
De la primera a la tercera hora
2
300
De la primera a la segunda hora
1
150
De la segunda a la tercera hora
2
15 0
De la tercera a la cuarta hora
1
150
Respuestas.
Razón de cambio de la temperatura entre el tiempo
b) Los cocientes son iguales.
450 3 = 150 150 150 1 = 150 300 2 = 150 150 1 = 150
c) 50 °C. d) 1 100 °C.
b) ¿Cómo son las razones de cambio de la tabla anterior, iguales o diferentes? Explica por qué. c) ¿Qué temperatura tenía la barra de acero cuando se introdujo al horno? d) ¿Cuál será la temperatura de la barra de acero en la séptima hora? Comparen sus resultados y contesten: ¿Cuál es el incremento de la temperatura de la barra en cada hora? 65
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Posibles dificultades. Es probable que los estudiantes piensen que la temperatura de la barra de acero al introducirse al horno era de 0 °C porque aún no ha recibido calor, sin embargo, esto es incorrecto. Sugiérales analizar la gráfica, en ella verán que, al transcurrir la primera hora, la barra de acero tenía una temperatura de 200 °C, por lo que puede inferirse que tenía una temperatura de 50 °C antes de entrar al horno. También puede pedirles que prolonguen la recta en la gráfica hasta que interseque al eje y ; el punto será (0, 50).
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Sugerencia didáctica. Si analizaron algunas secuencias de grados anteriores para hallar el incremento, considérenlas ahora para encontrar la razón de cambio. Para saber más. En Matemáticas I y en Matemáticas II se trabajó con el concepto de constante de proporcionalidad para referirse a un número que permite pasar de una columna a la otra en una tabla. Más adelante la constante de proporcionalidad permitió asociarle una expresión algebraica a las relaciones de proporcionalidad directa (y = kx), y luego se relacionó la constante de proporcionalidad con la pendiente de la recta asociada al problema. En esta secuencia se pretende introducir el concepto de razón de cambio vinculándolo con el cociente de los incrementos y con la pendiente.
secuencia 6
A lo que llegamos Cuando la gráfica asociada a la relación entre dos conjuntos de cantidades son puntos que están sobre una línea recta, la razón de cambio es constante. En el problema anterior, la razón de cambio de la temperatura en cada hora es 150, sin importar el intervalo de tiempo en que se calculen los incrementos.
sEsIóN 2
PENDIENTE Y RAZóN DE CAMBIO
Para empezar
En la secuencia 2 ¿cómo se mueven las cosas? de tu libro de ciencias ii, aprendiste que, en general, la rapidez y la velocidad proporcionan distintas informaciones sobre el movimiento de un objeto. Sin embargo, cuando el objeto se mueve en una línea recta y lo hace en un sólo sentido, la rapidez y la magnitud de la velocidad coinciden. conexión con ciencias ii secuencia 2: ¿cómo se mueven las cosas?
Así pues, a lo largo de la educación secundaria se pretende que los alumnos vayan ampliando sus conocimientos sobre las relaciones lineales, añadiendo significados que les permitan representar y analizar situaciones con mayor profundidad.
En esta sesión estudiarás el movimiento de dos automóviles al ir sobre una línea recta en un mismo sentido. A lo largo de la sesión, nos referiremos al cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla como velocidad.
Consideremos lo siguiente
Distancia (en kilómetros)
La siguiente gráfica muestra las posiciones en las que, en determinados tiempos, se encontraban dos automóviles. Cada automóvil mantuvo una velocidad constante. Además, salieron de lugares diferentes. y
Propósito de la sesión. Relacionar la razón de cambio con la pendiente de la recta asociada al fenómeno o situación lineal.
150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50
Automóvil A Automóvil B
40 30 20 10 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
x
Tiempo (en horas) 66
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Propósito del programa. Presentar fenómenos o situaciones lineales para estudiar la razón de cambio. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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Propósito del interactivo. Presentar problemas asociados a gráficas que el alumno pueda manipular para encontrar la relación entre la razón de cambio y la pendiente de la recta asociada al fenómeno o situación lineal.
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Sugerencia didáctica. Dé unos minutos a los alumnos para que analicen la gráfica y luego pídales que expliquen por qué se afirma que los automóviles A y B salieron de lugares distintos. La intención es que se den cuenta de que la ordenada al origen de las rectas es distinta: mientras el automóvil A salió del kilómetro 10, el B salió del kilómetro 70.
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MATEMÁTICAS
III
De la segunda hora a la séptima hora: a) Para el automóvil A, ¿cuál es la razón de cambio de la distancia recorrida entre
Recuerda que: Cuando un autom óvil va a velocidad constante, la gráfica asociada a la relació n distancia-tiempo es una línea recta.
el tiempo? b) ¿A que velocidad fue el automóvil A? c) Para el automóvil B, ¿cuál es la razón de cambio de la distancia recorrida entre el tiempo? d) ¿A que velocidad fue el automóvil B? e) ¿Qué automóvil fue a mayor velocidad?
Manos a la obra I. Responde lo que se te pide a continuación. a) Completa las siguientes tablas para encontrar las posiciones de los automóviles en los instantes indicados de tiempo. Automóvil A Tiempo transcurrido (en horas)
Distancia a la que se encuentra el automóvil (en kilómetros)
40
1
90
2
70
2
110
3
100
3
130
1
Otra posible dificultad consiste en no saber cuál es el divisor ni cuál el dividendo al tratar de obtener la razón de cambio. Por ejemplo, en este problema el error sería dividir el incremento en el número de horas (que es 5) entre el incremento en la distancia recorrida por el automóvil A (150). De esta forma obtendrían 5 = 0.0333… Si algunos de sus alumnos 150 cometen este error, revisen las tablas que llenaron en la sesión anterior y mientras lo hacen, explíqueles que siempre se divide la variable que se grafica en el eje y entre la que se grafica en el eje x porque la primera es la variable que depende del valor de la segunda.
Automóvil B
Distancia a la que se encuentra el automóvil (en kilómetros)
4
130
4
150
5
160
5
170
b) Con la información de la tabla del automóvil A, completa la siguiente tabla para encontrar la razón de cambio de la distancia recorrida entre el tiempo. Incremento del tiempo (en horas)
Incremento de la distancia recorrida (en kilómetros)
De la segunda a la tercera hora
1
30
De la segunda a la cuarta hora
2
60
De la tercera a la cuarta hora
1
30
Razón de cambio del automóvil A (distancia-tiempo)
Respuestas.
30 = 30 1 60 = 30 2 30 = 30 1
a) En 1 hora el incremento en la distancia es de 30 km, y como 30 = 30, la razón de cambio 1 es 30.
Automóvil A
b) 30 km/h. 67
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Propósito de la actividad. Ahora, al incluir las expresiones algebraicas correspondientes al recorrido de cada automóvil, se pretende que los alumnos relacionen a la razón de cambio (cociente entre los incrementos) con la pendiente de la recta.
• Al ser una relación lineal, la razón de cambio será constante, por lo que pueden prolongar la recta hasta donde lo necesiten. • Es posible saber en dónde estará cada automóvil a la séptima hora de recorrido si conocen la razón de cambio, misma que puede averiguarse si se conocen al menos dos puntos de la recta.
Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.
Tiempo transcurrido (en horas)
Posibles dificultades. Los estudiantes pueden tener dificultades para hallar información correspondiente a los recorridos de ambos automóviles entre la segunda y la séptima hora, ya que la gráfica sólo muestra dichos recorridos hasta la cuarta hora. Recuérdeles que:
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c) En 1 hora el incremento en la distancia es de 20 km, y como 10 = 20, la razón de cambio 1 es 20. d) 20 km/h. e) El automóvil A.
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Respuestas.
secuencia 6
c) A 30 km/h.
c) ¿A qué velocidad va el automóvil A?
d) En el kilómetro 10.
d) ¿En qué kilómetro inició su recorrido el automóvil A?
Posibles dificultades. Los alumnos podrían pensar que la expresión correcta para contestar el inciso e) es y = 30 x , lo cual es incorrecto, ya que en ésta no se considera que el automóvil A comenzó su recorrido en el kilómetro 10.
e) Si y es la distancia recorrida por el automóvil A en el tiempo x, ¿cuál la expresión algebraica que permite calcular y a partir de x? Subráyala. • y = 30x • y = 30x + 10 • y = 30x + 70 f) Con la información de la tabla del automóvil B, completa la siguiente tabla para encontrar la razón de cambio de la distancia recorrida entre el tiempo.
Incremento del tiempo (en horas)
Incremento de la distancia recorrida (en kilómetros)
Razón de cambio del automóvil B (distancia-tiempo)
20
20 1 = 20 40 2 = 20 60 3 = 20
De la primera a la segunda hora
1
De la primera a la tercera hora
2
40
De la primera a la cuarta hora
3
60
Automóvil B
Respuestas.
g) ¿A qué velocidad va el automóvil B?
g) A 20 km/h.
h) ¿En qué kilómetro inicio su recorrido el automóvil B?
h) En el kilómetro 70.
i) Si y es la distancia recorrida por el automóvil B en el tiempo x, ¿cuál es la expresión algebraica que permite calcular y a partir de x? Subráyala.
Recuerda que: una recta La pendiente de y = mx + b
• y = 20x • y = 20x + 10 • y = 20x + 70
es el número m. Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Cómo se comparan la pendiente de la recta y la razón de cambio (distancia-tiempo) asociadas al automóvil A? b) ¿Cómo se comparan la pendiente de la recta y la razón de cambio (distancia-tiempo) asociadas al automóvil B?
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Sugerencia didáctica. Esta discusión es muy importante. En este punto los alumnos muy posiblemente se hayan dado cuenta de que la pendiente de la recta y la razón de cambio son números iguales, sin embargo, para otros quizá no sea tan obvio. Permítales exponer sus dudas y pida que argumenten sus ideas. Luego, lean juntos el apartado A lo que llegamos y coméntenlo. Cuando terminen, pídales que escriban en su cuaderno una definición de razón de cambio y de pendiente de la recta. No tiene que ser una explicación muy formal matemáticamente hablando, pero sí exija que sea clara, incluso sugiérales que utilicen ejemplos como:
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Razón de cambio es el cambio relativo de una de las variables respecto a la otra. Pendiente de la recta es la inclinación que ésta tiene con respecto al eje x, mientras más se acerque al eje y, tiene una mayor inclinación. En la expresión de la recta y = mx + b la literal m es la que representa la pendiente. Para aclarar dudas sobre la pendiente de la recta, pueden revisar la secuencia 23 de Matemáticas II.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos Cuando la relación entre dos cantidades tenga por gráfica una línea recta, la razón de cambio es igual a la pendiente de la recta. Por ejemplo, si un automóvil E va a velocidad constante de 40 km/h y parte del kilómetro 15 de la carretera, entonces la expresión algebraica asociada a la distancia que recorre el automóvil a partir del tiempo es y = 40x + 15; la pendiente de esta recta es 40 y la razón de cambio (distancia-tiempo) es también 40.
Respuestas. II. a) Si un automóvil C se desplaza a mayor velocidad que el automóvil A, ¿cómo es la razón de cambio del automóvil C respecto a la del automóvil A, mayor o menor?
a) Es mayor. b) El automóvil D.
b) Si la razón de cambio de un automóvil D es mayor que del automóvil B, ¿qué automóvil se desplaza a mayor velocidad?
Propósito de la actividad. Este problema es similar al de los automóviles, pero por el contexto utilizado aquí va a ser importante el punto en el que se intersecan las rectas. Cuando terminen de resolverlo puede hacer algunas preguntas a los alumnos como:
Lo que aprendimos La siguiente gráfica muestra el costo del servicio telefónico de dos compañías. Costo del servicio telefónico
Costo (en pesos)
y 300 280
• Si hacen menos de 100 llamadas mensuales, ¿cuál de las dos compañías les conviene contratar?
260 240 220 200 180
• ¿Y si hacen más de 100 llamadas mensuales?
160 140
• Si hacen exactamente 100 llamadas, ¿cuál compañía conviene más?
120 100 80 60
Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a estas preguntas. Si tienen dificultades, repasen el apartado Manos a la obra de esta sesión.
Compañía A Compañía B
40 20 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
Número de llamadas
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Respuestas.
secuencia 6
a) 1.5; si se toman cualesquiera dos puntos, por ejemplo (0, 150) y (20, 180), el incremento es 20 en el número de llamadas y 30 en el costo, entonces el cociente es 30 = 1.5, que es la razón de cambio. 20 b) 1.5
a) ¿Cuál es la razón de cambio (aumento en el costo por llamada) en la compañía A?
b) ¿Cuál es la pendiente de la recta asociada a la compañía A? c) ¿Cuál es la razón de cambio (aumento en el costo por llamada) en la compañía B?
d) ¿Cuál es la pendiente de la recta asociada a la compañía B?
c) 3. Tomando como referencia los puntos (0, 0) y (100, 300), el incremento en el número de llamadas es 100 y en el costo es 300, así que el cociente es 300 = 3. 100 d) 3 e) Porque aunque se hagan 0 llamadas la compañía A cobra $150; en cambio, la compañía B empieza a cobrar sólo hasta que se hace la primera llamada. Por eso, aunque el costo por llamada de la compañía A es la mitad que el de la compañía B, sus gráficas se intersecan en un punto (100, 300).
e) ¿Por qué el costo de las 100 primeras llamadas telefónicas es el mismo en las dos compañías? f) ¿Cuál de las dos compañías tiene una tarifa más económica si se hacen menos de 100 llamadas?
sEsIóN 3
¿y si se hacen más de 100?
ALGUNAs RAZONEs DE CAMBIO IMPORTANTEs
Lo que aprendimos
1. La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del año.
f) Si se hacen menos de 100 llamadas conviene más la compañia B, si se hacen más de 100 llamadas es más barato con la compañía A. La gráfica sirve para contestar esta pregunta: la tarifa de la compañía B es menor que la de la A de la llamada 1 a la 100, y si se prolongan las rectas se puede ver que a partir de la llamada 101 la A es más barata.
Variación del precio de un artículo
Precio (en pesos)
y 2 400 2 200 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
x
Tiempo (en meses)
70
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Propósito de la sesión. Estudiar algunas razones de cambio significativas, tanto positivos como negativos.
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Propósito del programa. Mostrar y analizar ejemplos de razones de cambio significativas. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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MATEMÁTICAS
III
a) Suponiendo que el aumento en el precio del artículo es el mismo cada mes, completa la siguiente tabla. Incremento del tiempo (en meses)
Incremento del precio (en pesos)
Del primero al tercer mes
2
600
Del primero al cuarto mes
3
900
Del tercero al sexto mes
3
900
Del primero al segundo mes
1
300
Del segundo al tercer mes
1
300
Del tercero al cuarto mes
1
300
Cociente del incremento del precio entre el tiempo
600 2 = 300 900 3 = 300 900 3 = 300 300 1 = 300 300 1 = 300 300 1 = 300
Respuestas. b) Son iguales porque el incremento es constante.
b) ¿Cómo son los cocientes de la tabla anterior, iguales o diferentes? Explica por qué sucede así
c) En enero el artículo cuesta $600; si cada mes aumenta $300, en marzo su precio es de $1 200.
c) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo?
d) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre?
d) $3 900
Comparen sus resultados y contesten: ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? 2. La siguiente gráfica muestra la relación entre la velocidad de un automóvil y el tiempo que transcurre hasta estar en alto total.
Velocidad (km/h)
y
Recuerda que: una recta La ordenada al origen de en que la es la ordenada del punto recta interseca al eje y.
200 180 160 140 120 100 80
Recuerda que:
60 40 20 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
La pendiente de una línea recta puede ser un número con signo positivo o negativo y que la razón de cambio es igual a la pendiente de la recta.
Tiempo (en segundos)
Respuesta.
a) ¿Cuál es la ordenada al origen de la recta anterior?
a) 160. 71
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Propósito de la actividad. Llenar la tabla a partir de los datos de la gráfica debe ser sencillo para los alumnos. El reto en este problema es que logren hallar la relación funcional asociada a la situación; por ello es importante que llenen la tabla utilizando la relación funcional que hayan elegido.
secuencia 6 b) Si y es la velocidad del automóvil en el tiempo x, ¿cuál es la expresión algebraica asociada a esta situación? Subráyala. • y = –180x • y = –20x + 160 • y = –180x + 20 c) Completa la siguiente tabla para verificar que la expresión algebraica que elegiste es la correcta.
Respuestas. d) La velocidad disminuye, es decir, el automóvil va frenando.
Tiempo (en segundos)
Distancia (en metros)
1
140
2
120 100 80 60
x
e) La pendiente es negativa.
y
3
f) La razón de cambio es –20, al igual que la pendiente de la recta.
4 5
Sugerencia didáctica. Quizá sea útil recordar cuándo la pendiente de una recta es positiva y cuándo es negativa. Para ello, plantee las siguientes situaciones a manera de ejemplos y pida a los alumnos que dibujen cómo sería la recta asociada a cada situación y si ésta es positiva o negativa:
d) A medida que va transcurriendo el tiempo, ¿la velocidad del automóvil aumenta o disminuye? e) ¿Cómo es la pendiente de la recta anterior, positiva o negativa? f) ¿Cuál es la razón de cambio (velocidad-tiempo) del problema anterior? La razón de cambio puede ser un número con signo positivo o negativo.
• El costo de dos dulces es de $3, el de ocho dulces es de $12.
3. La siguiente gráfica muestra el costo de un viaje en dos taxis en dos ciudades distintas.
• Un artículo ha bajado de precio de manera constante. En enero costaba $66 y en marzo $44.
Precio (en pesos)
y
• El costo de un viaje en taxi cuando se ha recorrido 1 km es de $15 y cuando se han recorrido 7 km es de $63.
100 90
Taxi A Taxi B
80 70 60 50 40 30 20 10 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
x
Distancia (en kilómetros) 72
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) Cuesta $3.333… porque recorrer 3 kilómetros cuesta $10, y recorrer 6 kilómetros cuesta $20, entonces, el incremento en el costo es 10, y en los kilómetros recorridos es 3, por lo que 10 = 3.333… 3 Sin embargo, hay que tomar en cuenta que en el taxi A se cobran $10 antes de iniciar el trayecto, así que habrá que sumar esa cantidad más el monto obtenido por los kilómetros recorridos.
a) ¿Cuál es el costo en el taxi A por cada kilómetro recorrido? b) ¿Cuál es la razón de cambio del taxi A? c) ¿Cuál es el costo en el taxi B por cada kilómetro recorrido? d) ¿Cuál es la razón de cambio (precio-distancia) del taxi B? e) ¿Qué taxi cobró más? f) ¿Por qué cobró más un taxi que otro? g) ¿Cómo se refleja lo anterior respecto a la razón de cambio (precio-distancia) de cada taxi?
b) 3.333…
Para saber más
c) Cuesta igual que en el taxi A, $3.333…
Sobre la pendiente de una recta como razón de cambio, consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Funcion_afin/index.htm características Ruta: Índice [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
d) 3.333… e) El taxi A. f) Porque el servicio en el taxi A tiene un costo de $10 (antes de recorrer ningún kilómetro). g) La razón de cambio de los dos taxis es igual, hecho que puede verificarse gráficamente porque las pendientes son iguales (son dos rectas paralelas). Pero hacer el mismo recorrido en uno o en otro taxi no cuesta igual porque el taxi A cobra $10 antes de iniciar el trayecto, es decir, la ordenada el origen es distinta. Integrar al portafolios. Esta actividad también puede serle útil para valorar si los alumnos han comprendido lo que estudiaron en esta secuencia.
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secuenci a 7
Propósito de la sesión. Reflexionar sobre cuáles son las preguntas adecuadas para recopilar, organizar, representar e interpretar datos, dependiendo de la situación que se quiere analizar.
Diseño de experimentos y estudios estadísticos
Emplear encuestas para recopilar datos. Elegir adecuadamente una forma para organizar y representar los datos.
En esta secuencia aprenderás que, para obtener información confiable en un experimento o estudio estadístico, es conveniente reflexionar sobre los procedimientos y herramientas que se utilizaran para recopilar, organizar y representar los datos que se obtengan en cada etapa que conforma al experimento o estudio en cuestion.
Propósito del programa. Mostrar y ejemplificar el proceso que se sigue para diseñar un estudio o experimento estadístico y seleccionar la manera más adecuada para presentar la información derivada.
SESIóN 1
DISEÑO DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO ¿QUÉ MATERIA TE GUSTA MÁS?
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Para empezar
Propósito del interactivo. Que los alumnos cuenten con una herramienta de captura de información o datos estadísticos y presentación gráfica de los mismos con opción de diferentes tipos de gráficas.
Una fase importante del estudio, dado que es el inicio, es determinar cuál es la pregunta o el problema que se quiere estudiar y la manera en que se obtendrán los datos.
Los estudios estadísticos nos permiten investigar sobre diversas situaciones o fenómenos. Por medio de un estudio estadístico adecuado, lo mismo podemos conocer los efectos que provoca una determinada sustancia en los seres vivos, que el comportamiento del mercado ante un determinado producto o servicio así como, conocer las preferencias de un determinado grupo o sector.
Consideremos lo siguiente Lee cuidadosamente las preguntas que aparecen en las siguientes encuestas y contéstalas: Encuesta A
Propósito de la actividad. Reflexionar sobre si las preguntas que se plantean en una encuesta permitirán obtener respuestas con las que se pueda estudiar cierta situación o fenómeno.
Encuesta B
• Asignatura o materia que te gusta más y por qué
• Asignatura o materia que te resulta más fácil. Anota tu última calificación en esa materia
• Asignatura o materia que te gusta menos y por qué
• Asignatura o materia que te resulta más difícil. Anota tu última calificación en esa materia
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Eje Manejo de la información.
Tema
Propósitos de la secuencia Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
Sesión
Representación de la información.
Subtema Gráficas.
1
Antecedentes En Matemáticas I y II los alumnos han hecho distintos experimentos y elegido las formas más convenientes para organizar y presentar los resultados. Ahora se enfrentarán al diseño de un experimento sencillo que abarca la definición del objeto de estudio, las preguntas que deben hacerse, la población o muestra que se considerará y las formas de organizar y presentar los resultados.
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Propósitos de la sesión Diseño de un estudio estadístico. ¿Qué materia te gusta más? Reflexionar sobre cuáles son las preguntas adecuadas para recopilar, organizar, representar e interpretar datos, dependiendo de la situación que se quiere analizar. Emplear encuestas para recopilar datos. Elegir adecuadamente una forma para organizar y representar los datos.
2
Un juego de letras. Otro estudio estadístico Realizar un estudio en el que se aborde la idea de muestras.
3
¿Qué cantidad de agua consumen diariamente los alumnos de tercer grado? Plantear una hipótesis o determinar los posibles resultados de un experimento (que puede o no ser de azar). Posteriormente, realizar el experimento y organizar los resultados para compararlos con las hipótesis. Estudiar datos cuantitativos.
Recursos
Programa 11 Interactivo
Programa 12
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MATEMÁTICAS
mentos
III
Posibles dificultades. Para algunos estudiantes puede ser difícil distinguir qué se quiere estudiar en la encuesta A y qué se quiere estudiar con la encuesta B. Por ejemplo, podrían pensar que, preguntando cuál es la materia más fácil o más difícil (encuesta B), se pueden conocer los intereses de los encuestados; sin embargo, esa pregunta es más pertinente para averiguar el nivel de desempeño.
a) ¿Cuál de las encuestas anteriores utilizarías para obtener datos con los que puedas analizar los siguientes temas? Anota A o B en cada tema para indicar que es la encuesta A o la encuesta B, según consideres. Temas
B
Nivel de aprovechamiento y desempeño de los estudiantes.
A
Intereses e inquietudes de los estudiantes en su escuela. Hábitos de estudio de los estudiantes de secundaria.
A
Encuesta A Encuesta B
Preferencia acerca de las materias que cursan los estudiantes.
Por otro lado, las preguntas pueden ser en sí mismas objeto de cuestionamientos por parte de los alumnos: las de la encuesta B. Un encuestado podría responder que le parece fácil la biología y que su calificación es 6. ¿Cómo interpretar esa respuesta, la biología le es fácil o difícil al encuestado?
Justifica tu respuesta.
b) De acuerdo con lo que anotaste en el inciso anterior, si se pretende estudiar los intereses e inquietudes de los estudiantes, ¿será suficiente con los datos que se obtengan de las dos preguntas de la encuesta que elegiste?
¿Por qué?
Incluso el uso de ciertos términos genera la necesidad de acuerdos para que todos les atribuyan el mismo significado: sobre las palabras “aprovechamiento” y “desempeño” requiere aclarar qué se entiende con cada una. Usted puede preguntarles ¿qué es aprovechamiento y qué es desempeño?, ¿son iguales o distintos?, si son distintos, ¿en qué lo son? Si esta discusión genera polémica, usted puede sugerirles que utilicen sólo la palabra aprovechamiento ya que quizá ésta les sea más familiar en el contexto escolar.
c) ¿Qué tipo de respuestas se pueden obtener al realizar la encuesta B? Anota algunos ejemplos de posibles respuestas.
d) Si se quiere recopilar datos para investigar sobre los hábitos de estudio de los estudiantes de secundaria, ¿qué otras preguntas consideras sería necesario incluir en la encuesta?
¿Por qué es importante hacer las preguntas que sugieres?
Por lo anterior, es importante que los alumnos justifiquen sus respuestas y que hagan comentarios grupales o en equipos antes de pasar al apartado Manos a la obra, aunque todavía no lleguen a un acuerdo o existan dudas.
e) Si el tema que se pretende estudiar comprende intereses e inquietudes de los estudiantes. ¿Cuáles esperas que sean los de tus compañeros? Comparen sus respuestas.
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Sugerencia didáctica. Pida a varios alumnos que lean sus preguntas para que los demás las contesten. Éste es un buen ejercicio para: • Comentar grupalmente si las preguntas son adecuadas para obtener información sobre los hábitos de estudio de los estudiantes de secundaria. • Ver si todos comprenden las preguntas. • Averiguar si alguien da una repuesta inesperada o ambigua. Si hay dificultades con alguna pregunta, hay que modificarla para que sea clara y precisa.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos sepan cuáles son las representaciones tabulares y gráficas más adecuadas de acuerdo a la situación que se está estudiando. En este caso, en la encuesta A los datos que se obtendrán son cualitativos; y en la encuesta B la primera parte de cada respuesta es cualitativa, mientras la segunda (las calificaciones) son cuantitativas.
secuenci a 7
Manos a la obra i. En un grupo realizaron las dos encuestas anteriores; los datos que obtuvieron los organizaron en tablas y presentaron en gráficas. a) ¿Cuál de las siguientes tablas corresponde a datos que se pudieron obtener al y justifiquen su respuesta. aplicar la encuesta A? Marquen con una Recuerden que: En general, los datos que se obtienen en un estudio o experimento pueden ser de dos tipos, cualitativos (por ejemplo, el color de cabello, ojos o piel) o cuantitativos (por ejemplo, la edad, el peso y la estatura de una persona).
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que expliquen por qué eligen una u otra opción. Por ejemplo, “es la segunda tabla porque presenta las razones de aquellos que eligieron educación física como la materia que más les gusta”.
En ambos casos se pueden organizar en tablas de frecuencia absoluta, relativa o porcentaje. Cuando el conjunto de datos es cuantitativo y grande se puede organizar en tablas de datos agrupados en intervalos.
Respuestas. Es la segunda tabla, porque en la encuesta A justamente lo que se pregunta es qué materia les gusta más/menos y por qué. En cambio, en la primera tabla lo que se muestra es cuántos alumnos dijeron que las matemáticas son la materia que se les hace más fácil o difícil y cuál es su calificación (que es lo que se quiere averiguar en la encuesta B).
Asignatura: matemáticas Más fácil
Calificación
Conteo
Más difícil
Frecuencia
Conteo
Frecuencia
5
I
1
III
3
6
II
2
IIIII
5
7
I
1
II
2
8
II
2
9
III
3
I
1
10
IIII
4
II
2
0
La materia que más me gusta: educación física Porque
Frecuencia
Porcentaje
hacemos ejercicio
2
33
salimos a jugar
3
50
no hacen examen
1
16
b) Las siguientes gráficas fueron elaboradas por diferentes alumnos para mostrar los datos que obtuvieron al aplicar la encuesta B. ¿Cuál gráfica muestra adecuadamente los datos que pudieron obtenerse al aplicar dicha encuesta? Marquen con en el recuadro correspondiente y justifiquen su respuesta. una Recuerden que: Una gráfica de barras se utiliza para presentar y comparar frecuencias con que ocurre una cualidad o atributo. Una gráfica circular sirve para comparar qué fracción de un todo es cada parte. Un histograma presenta datos agrupados en intervalos; cuando éstos son iguales, la altura de cada barra indica su frecuencia. Un polígono de frecuencias también muestra la frecuencia absoluta, relativa o porcentaje de datos agrupados. Una gráfica de línea presenta las variaciones en el tiempo. 76
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MATEMÁTICAS
Número de alumnos
Materia que resulta más dificil Materia que resulta más fácil
7 6
La primera gráfica es un polígono de frecuencias y, aunque en ella pueden leerse los datos con relativa facilidad, suele utilizarse para representar datos agrupados en intervalos, por lo que no es la más adecuada en este caso.
9 Materia que resulta más dificil Materia que resulta más fácil
8 7
La segunda gráfica es de barras. En ella se ven claramente las frecuencias para “más difícil” y “más fácil” por asignatura. Ésta es la gráfica correcta para la situación que se está presentando, ya que son datos cualitativos.
6 5
5
4
4
3
3
2
2
Resultados de la encuesta
Artes
Tecnología
Educación Física
Lengua Extranjera
Historia
Formación Cívica y Ética
Resultados de la encuesta Artes 7%
9 Materia que resulta más dificil Materia que resulta más fácil
8
Ciencias
Matemáticas
Artes
Tecnología
Educación Física
Lengua Extranjera
Historia
Formación Cívica y Ética
Ciencias
Español
Matemáticas
0
0
Español
1
1
Número de alumnos
Respuestas.
Resultados de la encuesta
Resultados de la encuesta 9 8
III
La cuarta gráfica es circular y no es adecuada en este caso, ya que sólo permite ver qué porcentaje de los alumnos encuestados dijo que tal o cual materia es la más difícil. Esta gráfica no permite comparar cuántos alumnos dijeron que cierta asignatura es la más fácil y cuántos que es la más difícil. Además, le falta información a la gráfica que explique qué es lo que se representa.
Español 10%
Tecnología 10%
7
Matemáticas 17%
6 5 Educación Física 19%
4 3
Ciencias 10%
2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 Asignatura
Lengua Extranjera 13%
Formación Cívica y Ética 7%
La tercera gráfica es de dispersión de puntos y no es la adecuada para presentar los resultados de esta encuesta porque suele emplearse para mostrar o encontrar la correlación de dos variables, por ejemplo, la estatura y el peso de un conjunto de personas.
Historia 7%
c) De acuerdo con la gráfica que consideran muestra correctamente los resultados de la encuesta B, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Señalen con una “V” en el recuadro.
V F V V
La segunda materia más difícil para los alumnos es matemáticas. La materia más fácil es educación física. Ningún alumno consideró que la materia de lengua extranjera es más fácil. La materia que más alumnos eligen como la más fácil es tecnología. 77
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Sugerencia didáctica. Cuando terminen de contestar estas preguntas, divida al grupo en dos; a los alumnos de una de las mitades pídales que escriban una afirmación que sea falsa (considerando la información de la gráfica de barras) y, a la otra mitad, una afirmación que sea verdadera. Después, intercambie las producciones entre los alumnos. La instrucción es que verifiquen que efectivamente la afirmación que recibieron sea falsa o verdadera, según el caso.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos recopilen datos, los organicen y presenten adecuadamente.
secuencia 7 ii. Organícense en equipos y cada uno seleccione una de las dos encuestas que aparecen en el apartado Consideremos lo siguiente. Pidan a todos sus compañeros que les contesten.
Si su grupo está formado por pocos alumnos, puede considerar también a los de los otros grados, en cuyo caso hay que revisar las preguntas de la encuesta para ver si son pertinentes. Por ejemplo, las materias que hay en primero y en segundo no son las mismas que en tercero, entonces hay que hacer ajustes (como preguntar solamente por las materias que hay en común en los tres grados o considerar las opiniones de los alumnos de cada grado por separado).
a) Clasifiquen las respuestas que obtuvieron para cada pregunta y registren sus resultados en una tabla; para ello deberán acordar cuáles y cuántas columnas y renglones deberá tener, así como cuáles son los encabezados y títulos adecuados. Utilicen el siguiente espacio para elaborarla.
b) ¿Qué tipo de gráfica es la que mejor describe los datos que registraron en la tabla? ¿Cuáles son los ejes y qué escala utilizarán? ¿Cuál es el título más apropiado? Trácenla en el siguiente espacio.
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencias didácticas. • Pida a los alumnos que presenten sus resultados en cartulinas para que todos conozcan el trabajo de los demás.
c) Escriban una conclusión sobre los resultados obtenidos en su encuesta y preséntenla a su grupo.
A lo que llegamos La realización de un estudio considera diferentes fases. Fase 1: definición del estudio o experimento. ¿Qué es lo que se quiere investigar y analizar? ¿Qué se espera encontrar? Fase 2: obtención de datos. ¿Cómo se obtendrán los datos para analizar? ¿A quiénes se les preguntará? ¿Qué tipo de pregunta es más conveniente hacer? Una manera de obtener datos para realizar un estudio estadístico es por medio de la aplicación de una encuesta. Fase 3: organización y análisis de los datos. ¿Qué tipo de datos se obtendrán? ¿Cómo es conveniente ordenar y clasificar los datos? ¿Qué tipo de tabla o gráfica es conveniente para mostrar y analizar los datos obtenidos? Fase 4 : presentación de conclusiones o reportes. ¿Cuáles son los resultados que se obtuvieron al realizar el análisis? Los resultados obtenidos, ¿afirman o contradicen lo que se esperaba encontrar? Cuando se quiere estudiar una situación o fenómeno en una población muy grande, sólo se encuesta a una parte de ella; a ese subgrupo se le llama muestra. Si así se hiciera habría que buscar que la muestra conserve las mismas características de la población.
UN JUEGO DE LETRAS. OTRO ESTUDIO ESTADÍSTICO
SESIóN 2
Consideremos lo siguiente
En las diferentes lenguas que se hablan en el mundo prevalece más el uso de unas letras que otras.
• Pida a cada equipo elegir a un representante para que comente brevemente cómo organizaron la información y cómo elaboraron la gráfica. • Pregúnteles si utilizarían el mismo tipo de gráfica para mostrar los datos de 100 o de 1 000 personas encuestadas y qué ajustes tendrían que realizar. • Dígales que expliquen lo siguiente: ¿podría suceder que una determinada materia al mismo tiempo sea la que más les gusta y la que menos les gusta a los alumnos?, ¿cómo se vería esto en la gráfica?, ¿será posible que un alumno obtenga 10 de calificación en la materia que se le hace más difícil o, al revés, que tenga 5 de calificación en la materia que se le hace más fácil?
Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y encargue a una pareja de alumnos que la copie en una hoja o cartulina para pegarla en el salón.
¿Saben qué letras se utilizan con mayor frecuencia en el idioma español? ¿Creen que son las mismas que las que se utilizan más en inglés? Y en una lengua indígena, por ejemplo, el zapoteco, ¿qué letras serán las que con mayor frecuencia se utilizan?
Manos a la obra I. Reunidos en equipos, lean los siguientes tres textos y después cada equipo seleccione uno de ellos para realizar lo que se pide en los incisos. 79
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cómo pueden estudiar o investigar esta situación y anote las propuestas en el pizarrón. Luego concédales un tiempo para que piensen qué ventajas y desventajas puede haber en cada propuesta, es decir, se trata de considerar las primeras tres fases de un estudio estadístico (definir qué se quiere investigar, cómo se obtendrán los datos y de qué manera es mejor presentarlos).
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Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos tomen tres textos en distintos idiomas para estudiar la frecuencia con la que aparecen las letras del alfabeto. Cada texto puede ser considerado una muestra de ese idioma, y dado que los datos que se obtendrán son letras, ésos son cualitativos.
Propósito de la sesión. Realizar un estudio en el que se aborde la idea (intuitiva) de muestras. (Es idea intuitiva en cuanto no se define una técnica o procedimiento para obtener la muestra.)
Sugerencia didáctica. Para contar rápidamente cuántas veces aparece una letra en un texto, diga a los equipos que se repartan los renglones entre todos los integrantes.
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secue nci a 7 Texto i
Cuento del tonto que comió pollo Había una vez tres hermanos, el mayor y el segundo estaban bien y el tercero era un tonto, tenían un pollo pero siempre que hablaban de matar el pollo decían que no le iban a dar ningún pedazo al tonto por tonto, llegó el día que mataron al pollo y los hermanos que estaban bien ya tenían un plan para no darle nada al tonto, lo prepararon y lo dejaron listo para meterlo al horno y llamaron al tonto y ya reunidos los tres le dijeron al tonto, el que sueñe un bonito sueño se come el pollo, bueno dijo el tonto; metieron el pollo dentro del horno y se fueron a dormir, pasó un buen rato y cuando los dos hermanos ya estaban bien dormidos, el tonto se levantó y fue a la cocina y se comió el pollo, terminó y se fue a dormir. Al otro día temprano se levantaron y el mayor dijo: vamos a hablar del sueño que tuvimos anoche, yo voy a empezar, dijo, pues yo anoche fui a la Gloria y vi al Señor, sí dijo el otro hermano, yo vi cuando te ibas volando, me agarré de la manga de tu camisa y nos fuimos los dos, sí contestó el tonto, yo vi cuando se iban y como pensé que ya no iban a regresar fui a la cocina y me comí el pollo, sólo quedaron dos huesitos para que chupen. Cuento escrito por: Joaquín Martínez Mendoza, 11 años, Juchitán de Zaragoza, Oaxaca. Tomado del libro Las narraciones de niñas y niños indígenas. Vol. II. México: SEP, Libros del Rincón, 2001.
Texto ii
“Didxa guca zti guida gudo beere” Chona bichi ca´be chupa la´ nu xpíaní ne tabí guidxa la´ napa ca´be ti beeré ná cabe xhimodo goo ca´be lameé ne ná cabe la´quizudidí cati nda guidxa biú ti dxí bíti cá lame má chindú cá lame xuqui rabí cá be guidxa tula´guindií xcanda ti bacaanda o má xicarú ngue goo lá mé Gulu ca´be beeré que xuqui ne guta guxii cá be ná ca´be chíchite ca´be guidxa gudídi ti xíigabá má nixiaxi cá be biazaá guidxa gudo beeré que ne guta guxií bira guela´zti dzí viaza ca´be ne guíidxicá be guidxa na luugolá que ná lá gunie xcandá guyaa ranú díuxhi bícábí ztobí que ná la ca´biá lí má zeú que gunda lú manga ztí gamixha lú na guídzxa ná lá cá biá la tú ma xeetu que lá sacaza ma quí zabíí gueta tu yende cá xha beére ne guda huá ca lña biana chupánda dixta guini pá gotó. Cuento escrito por: Joaquín Martínez Mendoza, 11 años, Juchitán de Zaragoza, Oaxaca. Tomado del libro Las narraciones de niñas y niños indígenas. Vol. II. México: SEP, Libros del Rincón, 2001.
Texto iii
The Canterville Ghost Mr Hiram B. Otis was a rich American from New York. He had come to live and work in England, but he did not want to live in London. He did not want live in the city. He wanted to live in the countryside outside London. Canterville Chase was a large and very old house near London. Lord Canterville, the owner, wanted to sell it. So Mr Hiram B. Otis visited Lord Canterville. ‘I do not live in Canterville Chase,’ Lord Canterville said to Mr Otis. ‘I do not want to live there. The house has a ghost-The Canterville Ghost.’ ‘I come from Ameica,’ said Mr Otis. ‘America is a modern country. I don’t believe in ghosts. Have you seen this Canterville Ghost?’ ‘No,’ said Lord Canterville, ‘but I have heard it at night.’ ‘I don’t believe in ghosts,’ Mr Otis said again. ‘No one has found a ghost. No one has put a ghost in a museum. And you haven´t seen this ghost either.’ ‘But several members of my family have seen it,’ said Lord Canterville. ‘My aunt saw the ghost. She was so frightened that she was ill for the rest of her life. Also, the servants have seen it so they will not stay in the house at night. Only the housekeeper, Mrs Umney, lives in Caterville Chase. Mrs Umney lives there alone.’ ‘I want to buy the house,’ said Mr Otis. ‘I’ll buy the ghost as well. Will you sell Canterville Chase? Will you sell the ghost?’ ‘Yes, I will,’ said Lord Canterville. ‘But, please remember, I told you about the ghost before you bought the house.’ Tomado de Wilde, Oscar, The Canterville Ghost and Other Stories/Oscar Wilde; Stephen Colbourn; ilus. Annabel Large. México: SEP/Macmillan, 2002.
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MATEMÁTICAS
III
a) Después de haber leído los tres textos, ¿qué letras suponen que se utilizan más en cada una de estas lenguas? b) De acuerdo al texto que eligieron, en la siguiente tabla, anoten el número de veces que aparece cada letra. A-a
B-b
C-c
Ch-ch
D-d
E-e
F-f
G-g
H-h
I-i
J-j
K-k
L-l
Ll-ll
M-m
N-n
Ñ-ñ
O-o
P-p
Q-q
R-r
Rr-rr
S-s
T-t
U-u
V-v
W-w
X-x
Y-y
Z-z
c) En el texto que eligieron, ¿cuál es la letra que más veces aparece? d) ¿Esa letra es vocal o consonante? e) ¿Cuáles fueron las 10 letras más utilizadas en el texto que eligieron? f) ¿En qué porcentaje (respecto del total de letras del texto) se utiliza cada una de estas 10 letras? g) En el siguiente espacio, tracen una gráfica en la que se muestren las 10 letras con mayor frecuencia. ¿Qué tipo de gráfica es más apropiada para mostrar estos datos?
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Sugerencia didáctica. Este punto es muy importante para que los alumnos expongan sus ideas, así que dediquen un tiempo para comentarlas. Algunos alumnos pueden pensar que con tener un texto de cada idioma es suficiente, pero quizá otros se cuestionen si es válido hacer afirmaciones a partir de un solo texto.
secuencia 7 ii. Muestren y comparen las gráficas que construyeron en los equipo y contesten las siguientes preguntas: a) Del texto en español, ¿cuál es la letra que más se utiliza y en qué porcentaje?
b) Del texto en inglés, ¿cuál es la letra que más se utiliza y en qué porcentaje?
c) Del texto en zapoteco, ¿cuál es la letra que más se utiliza y en qué porcentaje?
Sería interesante que usted exponga una situación similar en la que se estudie algo a partir de muestras. Por ejemplo: se quiere saber cuál es el color de ojos más frecuente de personas de distintos países. Si se toma una muestra de personas francesas, otra de mexicanas y una última de africanas, se podría esperar que en el primer grupo se encontrasen más personas con ojos de color azul. Sin embargo, si la muestra de franceses se toma en una zona en donde vivan más personas negras, los resultados serán distintos. Por ello es importante que, si se utilizan muestras para estudiar a una población más numerosa, se elijan con cuidado.
d) Si comparamos los resultados, ¿en qué texto se utilizan más las vocales? y ¿cuál es la vocal que más se utiliza? e) ¿Cuál es la consonante que más se utiliza en los tres textos? f) ¿Se confirmó la suposición que hicieron en cuanto a las letras que se utilizan más en cada lengua? g) ¿Creen que la información obtenida de los tres textos es suficiente para afirmar que si se toma un fragmento de cualquier otro texto escrito en español, inglés o zapoteco, la letra que más veces aparece es la misma?
iii. Ahora prueben la afirmación que hicieron para el caso de español. Cada equipo deberá seleccionar un fragmento de máximo 10 renglones de alguno de los siguientes textos que se indican. • Texto científico, por ejemplo, de su libro de ciencias.
Comente con sus alumnos que las empresas que se dedican a sondeos o conteos rápidos, por ejemplo, en las votaciones, utilizan determinadas técnicas de muestreo.
• Novela, por ejemplo, de algún título de la Biblioteca del Aula. • Poesía, por ejemplo, de su libro de español. • Texto técnico, por ejemplo, de algún manual o instructivo. a) En la siguiente tabla, anoten el número de veces que aparece cada letra de acuerdo al texto que eligieron.
Propósito de la actividad. La idea es que los alumnos estudien si se mantienen los resultados que obtuvieron en la primera actividad del apartado Manos a la obra, pero ahora considerando textos escritos en la misma lengua para públicos diferentes. Siguiendo con el caso del color de ojos de las personas de distintos países, tener textos de distintos tipos es equivalente a tener varias muestras de personas francesas, mexicanas y africanas.
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¿Por qué?
A-a
B-b
C-c
Ch-ch
D-d
E-e
F-f
G-g
H-h
I-i
J-j
K-k
L-l
Ll-ll
M-m
N-n
Ñ-ñ
O-o
P-p
Q-q
R-r
Rr-rr
S-s
T-t
U-u
V-v
W-w
X-x
Y-y
Z-z
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MATEMÁTICAS
III
b) ¿Las letras más utilizadas en el texto que eligieron son las mismas que las más utilizadas en el primer texto en español (texto I: Cuento del tonto que comió pollo)? c) Si su respuesta es no, anoten las 10 letras que más se utilizan en este último texto.
d) Tracen una gráfica en la que sea posible comparar las frecuencias de las 5 letras más utilizadas en cada texto.
e) ¿La letra que tiene la mayor frecuencia en uno y otro texto es la misma? f) Comparen sus gráficas con las gráficas de los otros equipos y describan qué sucede, si las 5 letras con mayor frecuencia son las mismas o no. g) De acuerdo con los resultados obtenidos en todas las gráficas, ¿cuál es la letra que más se utiliza? h) Con base en los resultados que obtuvieron, ¿consideran que podría afirmarse que esa letra es la que más se utiliza en español? ¿Por qué?
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Propósito de la sesión. Plantear una hipótesis o determinar los posibles resultados de un experimento (que puede o no ser de azar).
secuencia 7 SESIóN 3
Posteriormente, realizar el experimento y organizar los resultados para compararlos con las hipótesis.
¿QUÉ CANTIDAD DE AGUA CONSUMEN DIARIAMENTE LOS ALUMNOS DE TERCER GRADO?
Para empezar
El agua que proviene de los alimentos que comemos y de los líquidos que bebemos constituye casi la totalidad del agua diaria que utiliza nuestro organismo. En general, se recomienda consumir 2 de agua diariamente.
Estudiar datos cuantitativos.
Internacional Life Sciences Institute (ILSI) es una organización científica no lucrativa que promueve el entendimiento y solución de problemas de interés común en las áreas de nutrición, toxicología, alimentos y seguridad ambiental. En 2004, el ILSI de México, A.C. publicó el documento titulado “Hidratación: líquidos para la vida”, en el que se presentan recomendaciones actuales para el consumo de agua, con especificaciones de acuerdo con la edad y el sexo.
Propósito del programa. Mostrar algunos ejemplos de estudios estadísticos, distintos a los presentados a lo largo de la secuencia, en donde se desarrolle todo el proceso, desde la búsqueda de la información hasta su presentación.
Consideremos lo siguiente ¿Conoces qué cantidad de agua consumes diariamente? ¿Es la cantidad recomendada? ¿Y tus compañeros saben si están consumiendo una cantidad de agua adecuada? ¿Quiénes consumen más agua, los varones o las mujeres del grupo? ¿Cómo podrías recopilar información para conocer qué cantidad de agua estás consumiendo?
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Manos a la obra i. Discutan las siguientes preguntas:
Propósito de la actividad. Que los estudiantes decidan cómo llevar a cabo un estudio.
a) ¿Cómo podrían averiguar la cantidad de agua que consumen sus compañeros de clase? Es decir, ¿será suficiente con preguntar cuántos vasos con agua toman al día? ¿Por qué?
Sugerencia didáctica. Antes de iniciar el estudio pida a los alumnos que contesten estas preguntas según sus creencias u opiniones. Servirán al final, una vez concluido el estudio, para ver si sus hipótesis se corroboraron o no.
b) ¿Qué unidad de capacidad será conveniente utilizar para registrar los datos que obtengan de las respuestas de los compañeros? c) Si alguien consume un refresco de 375 ml, ¿está consumiendo agua? d) ¿Comes consomé o sopa aguada diariamente?
Recuperen la información del apartado A lo que llegamos de la sesión 1 para tener presentes las fases de un estudio y lo que debe definirse en cada una. Lo ideal sería que este estudio se trabajara como un proyecto al que se le dediquen varias clases.
e) ¿Cómo medirán la cantidad de agua que se consume en una sopa aguada o consomé? En el documento "Hidratación: líquidos para la vida" se incluye el contenido de agua de algunos alimentos y bebidas que se consideran son de consumo habitual. Esta información se encuentra en el anexo 2 ingestión de agua a partir de alimentos y bebidas consumidos frecuentemente, consúltenla y acuerden una manera en que podrían utilizarla para determinar, aproximadamente, la cantidad de agua que consumen diariamente. 84
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Sugerencia didáctica. Decidir cómo se obtendrán los datos no es tarea trivial al momento de realizar un estudio, por lo que nuevamente se insiste en que los alumnos planteen las posibles preguntas y en que piensen en el tipo de respuestas que pueden obtener. Por ejemplo, es importante que decidan en qué unidad van a medir la cantidad de agua ingerida: número de vasos y si son grandes o chicos, o bien, mililitros o litros. También deben establecer un acuerdo sobre si van a considerar agua solamente o cualquier líquido ingerido (como el que podrían tomar en refrescos o en la sopa).
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MATEMÁTICAS
III
Anótenlo en las siguientes líneas.
f) Una vez que decidan la forma en que recopilarán los datos, será conveniente organizarlos y clasificarlos, ¿qué tipo de tabla es más conveniente utilizar para mostrar los resultados de cada pregunta que realicen?
Y,
¿qué tipo de gráfica es más conveniente utilizar? g) ¿Cuál es el consumo promedio (media) diario de agua a través de los alimentos entre tus compañeros? h) ¿Cuál es el consumo diario de agua más frecuente (moda) entre tus compañeros?
i) Una vez que han obtenido los valores del consumo promedio y del consumo diario más frecuente de agua de los alumnos de su grupo, ¿se confirma la suposición que hicieron en cuanto si la cantidad promedio de agua que consumen es la adecuada? j) Escriban en sus cuadernos sus conclusiones sobre los resultados que obtuvieron en este estudio sobre el consumo diario de agua entre tus compañeros. Deberán incluir las tablas o gráficas que elaboraron para mostrar sus resultados. II. En el documento "Hidratación: líquidos para la vida", también, se incluye la siguiente tabla que muestra las recomendaciones para consumo de agua diario de varones y mujeres de 4 a 18 años. Consumo de agua total diario(ml/día) Sexo/edad
Media
Ambos de 4 a 8 años
1 779
Varones de 9 a 13 años
2 535
Mujeres de 9 a 13 años
2 240
Varones de 14 a 18 años
3 400
Mujeres de 14 a 18 años
2 498
Fuente: FNB 2004
a) Reorganicen los resultados que obtuvieron clasificando por separado las respuestas que dieron los varones y las mujeres, ¿cuál es el consumo promedio (media) diario de agua entre los varones del grupo? ¿Y cuál es el consumo promedio (media) diarios de agua entre las mujeres del grupo? 85
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Posibles respuestas. Dependiendo de los resultados que obtengan, se esperaría que los alumnos fueran capaces de escribir pequeños textos como: “Sobre la cantidad de agua que toman los alumnos del grupo, la media de los varones es mayor que la de las mujeres, sin embargo, está por debajo de las recomendaciones del ILSI. La moda en las mujeres es de 1 800 ml, mientras que la de los hombres es 2 000 ml”.
secuencia 7 b) Comparen los resultados obtenidos en el inciso anterior con los que se muestran en la tabla. En el caso de los varones, ¿cuál consumo es mayor, el que muestra la tabla para varones de 14 a 18 años o el de los compañeros de grupo? c) Y al comparar la media de los varones de 9 a 13 años con la media de tus compañeros, ¿cuál es mayor? d) En el caso de las mujeres, ¿qué ocurre? Anoten los comentarios en sus cuadernos. e) ¿Con los resultados que obtuvieron, se confirmó lo respondido a las preguntas del apartado Consideremos lo siguiente?
Sugerencia didáctica. Una vez que elijan uno de los asuntos de la lista u otro que les interese, es importante que contesten con cuidado las preguntas, ya que éstas les permitirán definir con mayor precisión el estudio.
Lo que aprendimos i. Seleccionen una de las siguientes preguntas para investigar, o bien realicen el estudio sobre algún otro asunto que el grupo considere más interesante. ¿Cuál es el grado de ansiedad de las personas? ¿Cuál es la estatura de los estudiantes de tu escuela?
También será útil que repasen las fases de un estudio que aparecen en el apartado A lo que llegamos de la sesión 1.
¿Cuáles son las aptitudes de los adolescentes? ¿Cuáles son los alimentos que consumen los adolescentes en la comida?
Integrar al portafolios. Pida a cada pareja de alumnos una copia del estudio que lleven a cabo. Para la evaluación, considere también la exposición que hagan ante todo el grupo.
Otra problemática:
a) Determinen qué grupo o población deberá ser considerado para realizar el estudio.
b) Elaboren la encuesta que utilizarán para recopilar los datos en su cuaderno. Recuerden que es importante reflexionar sobre el tipo de preguntas que se plantearán y las posibles respuestas que se obtendrán. c) Apliquen la encuesta y clasifiquen las respuestas obtenidas. ¿Qué tipo de representación gráfica o tabular utilizarán? ¿Por qué? d) Escriban las conclusiones que obtengan y preséntenlas a todos sus compañeros.
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Discutan grupalmente las respuestas a las que llegaron. Hablar sobre las opiniones de cada quien será muy enriquecedor para todos, por ejemplo, en lo concerniente a cuántos ensayos o extracciones se necesitan para poder hacer afirmaciones válidas.
II. Seleccionen uno de los siguientes experimentos y realícenlo con los compañeros. Averiguar: El tiempo de duración de una vela de cera líquida y el de una vela normal. El número de cerillos de madera defectuosos en una caja que contiene 100 cerillos. a) ¿Cuántos ensayos o extracciones realizarán? b) ¿Qué tipo de tabla utilizarán para registrar los datos o resultados que obtengan?
c) ¿Qué tipo de representación gráfica utilizarán?
¿Por qué?
d) ¿Qué tipo de medida de tendencia central se podría utilizar para resumir los resul-
Sugerencia didáctica. Puede ser necesario recordar en grupo cuáles son las medidas de tendencia central: media, moda y mediana. También pueden repasar la secuencia 17 del libro Matemáticas II.
tados del experimento? e) Escriban en su cuaderno las conclusiones que obtengan y preséntenlas a todos sus compañeros.
Para saber más Sobre cómo elaborar una encuesta, consulten: http://www.encuestafacil.com [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Elijan el icono Diseña y paso a paso podrán elaborar una encuesta. Sobre algunos estudios estadísticos, consulten: http://matematicas.mty.itesm.mx/uneest/home.htm [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Ratings de Radio en Monterrey (Presentación en Power Point), Ruta: Servicios Contenido del Reporte Tecnológico de Monterrey.
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Sugerencia didáctica. En la primera página de internet que se recomienda, los alumnos podrán conocer cómo se elaboran algunas encuestas y analizar algunos de los aspectos que en dicha página se consideran. En los siguientes sitios hay ejemplos de encuestas que se han elaborado y puede ser útil visitarlos para que los alumnos conozcan la variedad de temas que se pueden abordar.
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Para acceder a la herramienta que permite elaborar encuestas es necesario estar registrado. Se sugiere que dedique tiempo para registrarse antes de que sus alumnos accedan a la página. El registro requiere llenar cuatro campos, no es necesario completar la información opcional del registro.
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Propósito de la sesión. Descubrir que una ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones.
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Ecuaciones no lineales
Propósito del programa. Analizar mediante ejemplos que las ecuaciones de segundo pueden tener hasta dos soluciones. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
En esta secuencia resolverás problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones de segundo o tercer grado.
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EL NÚMERO SECRETO
Para empezar
En Matemáticas i y ii aprendiste a resolver problemas y ecuaciones lineales con una incógnita y con dos. Algunas de esas ecuaciones tienen sólo una solución, por ejemplo: 2x + 3 = 8. Otras tienen una infinidad de soluciones, tal como: x + y = 10.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Hallar las soluciones de ecuaciones de segundo grado.
En esta secuencia estudiarás algunos problemas que pueden resolverse con ecuaciones que tienen dos soluciones, una solución o ninguna solución.
Consideremos lo siguiente
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Resuelve el acertijo: Pensé un número y lo elevé al cuadrado. Al resultado lo multipliqué por 4 y al final obtuve 100. Si no pensé en el 5, ¿de qué número se trata?
Respuestas. Hay dos números que cumplen la condición, x = 5 y también x = –5.
Manos a la obra i. Comparen sus soluciones y verifíquenlas usando el siguiente diagrama:
–5
Propósito de la actividad. Los alumnos ya se han enfrentado antes con este tipo de acertijos, pero ahora se incluyen números elevados al cuadrado. Esto representa una dificultad mayor no tanto al escribir la expresión algebraica, sino al resolverla, porque habrán de obtener raíces. Una parte importante en esta sesión es que los alumnos logren darse cuenta de que el resultado de elevar cualquier número al cuadrado es positivo (porque positivo × positivo = positivo, y negativo × negativo = positivo), pero no les anticipe esta información, primero permita que trabajen las actividades.
Se eleva al cuadrado
25
Se multiplica por 4
Entrada
100 Salida
a) ¿Qué número podría ir en el círculo azul?
¿Hay otro?
b) En el cuadrado rojo pueden ir dos números, encuéntrenlos. Comenten: c) ¿Existe algún número negativo que elevado al cuadrado dé 25? ¿Cuál?
Sí
–5
d) ¿Por qué al elevar al cuadrado cualquier número (positivo o negativo) el resultado es siempre un número positivo? 90
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Respuestas. a) El 25, no puede haber otro porque el resultado de elevar un número al cuadrado es siempre positivo. b) El 5 y el –5. c) Sí, el –5. d) Permita que los alumnos contesten esta pregunta de manera libre. Se espera que escriban cosas como: “porque menos × menos es más” y también “más × más es más”. Sugerencia didáctica. Antes de contestar estas preguntas puede plantear a los alumnos un reto: encontrar un número que al elevarlo al cuadrado, el resultado sea negativo. Dé un tiempo para que exploren posibles resultados, y una vez transcurrido éste, o bien, cuando ellos mismos manifiesten que no existe un número con tales características, pídales que contesten las preguntas. 124
También puede aprovechar estas preguntas para trabajar potencias con números negativos. Plantéeles algunos ejercicios, por ejemplo: (-3) (-3) = (-3) (-3) (-3) =
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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema Significado y uso de las literales.
(-3) (-3) (-3) (-3) =
Subrema
Cuando terminen, hágales preguntas como:
Ecuaciones.
¿Qué signo tendrá el resultado de elevar a la quinta potencia el –3?
Antecedentes
Si el exponente es par, ¿cómo será la potencia de –3? Si el exponente es impar, ¿cómo será la potencia de 3?
Los alumnos ya conocen varios procedimientos de resolución de ecuaciones lineales. Ahora se enfrentarán a la resolución de otro tipo de ecuaciones: las cuadráticas y las cúbicas. Se espera que en esta secuencia logren representar algunas situaciones mediante dichas ecuaciones y que utilicen procedimientos propios para su resolución.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. Hay dos posibles respuestas: la pareja 23 y 24, y la pareja –23 y –24. Para encontrar esos números, los alumnos pueden seguir varios procedimientos, como el ensayo y error. Una manera más rápida es obtener la raíz cuadrada de 552; como el número que se obtiene está entre 23 y 24, ésos son los dos números consecutivos que se buscan.
II. El producto de dos números enteros consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números? y Comparen sus soluciones y verifíquenlas. Comenten: a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la ecuación primero la ecuación correspondiente. Si se representa con la letra x el número menor de los dos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior? • (x ) (x ) = 552
Propósito de la actividad. El propósito es que los alumnos se vayan familiarizando con la traducción de problemas a expresiones algebraicas, en este caso, de ecuaciones de segundo grado.
• (x ) (552) = y • x (x + 1) = 552 • (x ) (x ) + 1 = 552 • x 2 + 1 = 552 b) Hay una pareja de números enteros negativos consecutivos cuyo producto es igual a 552. Completen la siguiente tabla para encontrarla.
x –23 –25
x + 1 x (x + 1)
Recuerden que:
506 –24 (–25) (–24) = 600
(–23) + 1 = –22
–22
(–23) (–22) =
(–25) + 1 = –24
c) ¿Cuáles son los números enteros negativos consecutivos que multiplicados dan 552?
–24
y
–23
A lo que llegamos Una ecuación cuadrática es una ecuación en la cual hay un término que tiene la incógnita elevada al cuadrado. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cuadráticas: 2x 2 = 18
x 2 + 3x – 2 = 0
x (x + 3) = –9
Término cuadrático
Término cuadrático
Producto que da un término cuadrático
Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones. Por ejemplo: 2x 2 = 18, tiene dos soluciones: +3 y –3, porque al sustituir estos valores en la ecuación y efectuar las operaciones se obtiene 18. Ecuación:
2x 2 = 18
Para x = +3:
2 (+3)2 = 2 (+9) = 18
Para x = -3:
2 (–3)2 = 2 (+9) = 18 91
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Propósitos de la secuencia Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
El número secreto Descubrir que una ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones.
Programa 13 Aula de medios Ecuaciones con más de una solución I (Calculadora)
2
Cubos, cuadrados y aristas Conocer y analizar diversos procedimientos para resolver ecuaciones no lineales.
3
Menú de problemas Resolver e inventar problemas que puedan modelarse con ecuaciones de segundo y tercer grado.
Programa 14 Interactivo
Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían cometer errores como los siguientes: • Multiplicar un número por sí mismo (olvidando que deben ser números consecutivos), que es el caso que se presenta en la primera ecuación. • Primero elevar al cuadrado un número y luego sumarle 1 (porque son consecutivos), que es el caso que se presenta en la última ecuación. Si sus alumnos cometen alguno de estos errores u otros, revisen juntos el enunciado haciendo énfasis en que son dos números consecutivos cuyo producto es 552. Si se representa con x al número menor, el mayor tiene que ser x + 1, entonces la expresión correcta es x (x + 1) = 552. Propósito de la actividad. Es posible que los alumnos en el primer paso descubran que la pareja de números negativos que se busca tiene que ser –24 y –23 porque 552 se encuentra entre 506 y 600. Sin embargo, en la tabla hay más renglones por si algunos alumnos no lo logran en el primer paso. Posibles dificultades. Aunque los alumnos ya han sumado y restado números enteros desde el primer grado de secundaria, es probable que algunos tengan dificultades al tratar de sumarle 1 a la expresión x + 1 cuando x es un número negativo. Recuérdeles que si x = –23, entonces x + 1 = –22 (y no –24). Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos intenten resolver el problema utilizando la ecuación que seleccionaron en el inciso a); sin embargo, puede resultarles difícil porque todavía no han aprendido a hacerlo. Si logran plantear x 2 + x = 552, sugiérales que la resuelvan por ensayo y error probando con varias parejas de números. Podrán justificar su respuesta llenando la tabla del inciso b). Esta ecuación puede resolverse igualando a cero y factorizando, como se muestra enseguida. Los alumnos estudiarán ese método en la secuencia 9, por lo que ahora no es conveniente que se explique.
x (x + 1) = 552 x 2 + x = 552 x 2 + x – 552 = 0 (x + 24) (x – 23) = 0 x 1 = –24 x 2 = 23 La ecuación tiene dos soluciones: x puede valer –24 (su consecutivo sería –23), y también puede valer 23 (su consecutivo sería 24). Ambas soluciones son pertinentes para resolver el problema. Li b r o p ara el maestro
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secuenci a 8
Posibles dificultades. Al igual que en la actividad II, la intención es que los alumnos traduzcan un enunciado a una expresión algebraica. Esto todavía puede ser difícil para algunos, especialmente ahora que se incluyen números elevados al cuadrado.
iii. Se tiene el siguiente acertijo: a tres veces el cuadrado de un número se le sumó 8. Como resultado se obtuvo 83. Si el número se representa con la letra x, ¿cuál de las siguientes es la ecuación que corresponde al acertijo? Subráyala. • (3 + x )2 + 8 = 83 • 3x 2 + 8 = 83
Puede servirles que lean por partes el enunciado:
• (3) (x 2) (8) = 83
• A tres veces: hay un factor que es 3.
La ecuación que corresponde al acertijo tiene dos posibles soluciones.
• El cuadrado de un número: el otro factor es x 2.
a) Encuentra las dos soluciones de la ecuación que subrayaste:
• Se le sumó 8: al resultado de la multiplicación anterior se le suma 8.
b) Verifica las soluciones realizando con cada una de ellas las operaciones que se indican en el acertijo.
• Al final se obtuvo 83: el resultado de la multiplicación más la suma es 83.
Lo que aprendimos
La expresión es (3) (x 2) + 8 = 83, que suele escribirse sin los paréntesis: 3 x 2 + 8 = 83.
1. El cuadrado de un número más 3 es igual a 84.
Resuelve los siguientes problemas. Verifica las soluciones que obtengas.
El número puede ser
a) ¿Por qué crees que Pedro se equivocó al hacer alguna de las dos operaciones?
a) 5 y –5. Una manera de resolver es: 3 x 2 + 8 = 83 3 x 2 = 75 x 2 = 25 x = 5 y también x = –5
b) Si Pedro pensó en el –2, ¿cuánto debió obtener de resultado? c) Si Pedro pensó en el +2, ¿cuánto debió obtener de resultado? d) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado sea igual a –4?
b) Para x = 5 3 (5)2 + 8 = 83 3 (25) + 8 = 83 75 + 8 = 83 83 = 83
a) Encuentra una ecuación que exprese el problema anterior. Usa la letra x para representar al ancho. b) ¿Cuánto mide de ancho? c) ¿Cuánto mide de largo?
92
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Respuestas.
3.
1. Puede ser 9 o también –9.
a) Si x es el ancho, entonces el largo mide 2 x y el área se obtiene mediante la multiplicación (2 x ) (x ) = 162. b) Una manera de resolver es la siguiente:
b) 9 c) 9 d) No hay ninguno.
126
¿Cuál?
3. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m2 de área.
Para x = –5 3 (–5)2 + 8 = 83 3 (25) + 8 = 83 75 + 8 = 83 83 = 83
a) Porque si a un número se le sumas 5 y se obtiene 1, ese número tiene que ser –4, y no puede haber un número que elevado al cuadrado sea igual a –4. Otra razón que podrían utilizar los alumnos es “un número elevado al cuadrado da cero o más que cero, si luego le sumas 5 el resultado final debe mayor o igual que 5.”
o
2. Pedro pensó un número, lo elevó al cuadrado, al resultado le sumó 5 y obtuvo 1.
Respuestas.
2.
y
(2 x ) (x) = 2 x 2 = 162
x 2 = 81
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Posibles dificultades. Puede haber varios problemas para contestar la pregunta del inciso b), por ejemplo, que acostumbrados a que en las ecuaciones cuadráticas existen dos soluciones, los alumnos consideren al –9 como la medida del ancho del rectángulo y al –18 como la del largo. Será pertinente aclarar que en este caso, la solución negativa no tiene sentido ya que no hay ninguna medida menor que cero.
x=9 El ancho mide 9 m. c) El largo mide 18 m. Posibles dificultades. Es común que los alumnos consideren que –2 2 es igual a –4. Si algunos de sus estudiantes cometen ese error, conviene repasar las leyes de los signos en la secuencia 1 del libro Matemáticas II.
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MATEMÁTICAS
III
CUBOS, CUADRADOS Y ARiSTAS
SESióN 2
Para empezar
Propósito de la sesión. Conocer y analizar diversos procedimientos para resolver ecuaciones no lineales.
En un prisma los segmentos donde se unen dos caras se llaman aristas. ¿Cuántas aristas tiene el prisma
Respuesta. Tiene 12 aristas. Si los alumnos tienen dudas, pídales que tomen una cajita de medicinas o alguna similar para contarlas.
cuadrangular de la derecha? Aristas
Un cubo es un prisma cuadrangular especial. Tiene 6 caras y todas son cuadrados congruentes. Además, sabes que el volumen de un cubo cuya arista mide x es:
Propósito de la actividad. Ahora los alumnos resolverán problemas en los que trabajen con ecuaciones cúbicas sencillas. Es importante que les permita intentar diversos procedimientos de resolución aunque inicialmente cometan errores.
V = (x) (x) (x) = x 3
Consideremos lo siguiente ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 216 cm3?
Respuesta. La arista mide 6 cm porque 6 3 = 216.
Arista
V = 216 cm3
x Comparen sus soluciones y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra I. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver el problema. PROCEDIMIENTO 1. Arturo planteó la siguiente ecuación: x 3 = 216. Luego, dividió 216 entre 3 y escribió: x = 216 . 3 Finalmente encontró que la arista mide 72 cm.
93
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Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos lean el apartado Manos a la obra, dé un tiempo para que comenten cada procedimiento. Puede hacerles las siguientes preguntas: • ¿Alguno de ustedes siguió uno de los procedimientos que se describen aquí? • ¿Cuál o cuáles creen que son correctos?, ¿por qué?
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El procedimiento 1 es incorrecto. Aunque es cierto que la expresión que modela el problema es x 3 = 216, no puede obtenerse el valor de x dividiendo entre 3. Es un error común que los alumnos confundan la obtención de una raíz con una división, por ello es importante aclarar que el procedimiento correcto, en este caso, es buscar un número que elevado al cubo sea igual a 216.
• ¿Cuál o cuáles creen que son incorrectos?, ¿por qué?
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Sugerencia didáctica.
secuenci a 8
El procedimiento 2 es correcto aunque Rosa no logró obtener una solución. Si hubiese probado con más números entre 5 y 8 posiblemente habría descubierto que 6 3 = 216.
PROceDiMienTO 2. Rosa hizo la siguiente tabla: Medida de la arista (cm)
2
El procedimiento 3 es correcto aunque Lupe tampoco pudo llegar al resultado. Sin embargo, sabe que siguiendo el procedimiento de operaciones inversas la forma de encontrar el valor de x es sacando la raíz cúbica de 216.
5
53 = 125
8
83 = 512
Lupe planteó la ecuación: x 3 = 216 y usó un diagrama para resolverla: Se eleva al cubo
216
Se encuentra la raíz cúbica
Lupe dice la solución es la raíz cúbica de 216, pero que no sabe calcularla. ¿Con cuál de los tres procedimientos estás de acuerdo? Comparen sus respuestas. Comenten: a) ¿Cuál creen que sea la medida que encontró Rosa al continuar con su procedimiento? b) ¿Cuánto es la raíz cúbica de 216?
• La diferencia entre la expresión a) y el resto es que en ella hay dos números elevados al cubo que son: la incógnita x y el resultado.
ii. Contesta lo que se te pide a continuación a) Relaciona las columnas.
• La diferencia entre la expresión d) y el resto es que hay una operación que debe hacerse antes de elevar al cubo.
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103 = 1000
PROceDiMienTO 3.
Sugerencia didáctica. Esta actividad es importante para que los alumnos logren traducir información verbal en expresiones algebraicas. Analicen juntos cada uno de los enunciados una vez que los hayan contestado y pida a los alumnos que argumenten sus respuestas. Después, a manera de cierre resalte cosas como las siguientes:
También puede pedirles que escriban un enunciado para la expresión del inciso a) que no corresponde a ninguno de los que aparecen en el libro.
23 = 8
10
Rosa dijo que la arista debía medir entre 5 cm y 8 cm.
Lo que debe destacarse con los alumnos al discutir los procedimientos 2 y 3 es que aunque ni Rosa ni Lupe llegaron al resultado, la forma de plantear la obtención de la solución es correcta.
• La diferencia entre las expresiones b) y c) es que en la primera el 19 se eleva al cubo y se le resta a x; y en la segunda x se eleva al cubo y luego se le restan 19.
Volumen (cm3)
(
B
) Pensé un número y le resté 19 elevado al cubo. El resultado es igual a 8. ¿De qué número se trata?
(
C
) Pensé un número y lo elevé al cubo. Al resultado le resté 19 y al final obtuve 8. ¿De qué número se trata?
(
D
) Pensé un número y le resté 19. Al resultado lo elevé al cubo y al final obtuve 8. ¿De qué número se trata?
(A) x 3 − 19 = 83 (B) x − 193 = 8 (C) x 3 − 19 = 8 (D) (x – 19)3 = 8
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
b) Soluciona las ecuaciones que seleccionaste.
x 3 – 19 = 8 3
c) Verifica tus soluciones sustituyendo los valores en la siguiente tabla. Si lo consideras necesario, usa tu calculadora.
x 3 − 19 = 83
x − 193 = 8
x 3 − 19 = 8
(
( 6 867 ) − 193 = 8
(
)3 − 19 = 83
3
x 3 = 512 + 19 (x – 19)3 = 8
)3 − 19 = 8
(
21
x=
– 19)3 = 8
6 867 − 6 859 = 8
27 – 19 = 8
23 = 8
8=8
8=8
8=8
3
531
Si los alumnos tienen calculadora a la mano pídales que obtengan un número con una o dos cifras decimales que se aproxime más a la raíz cúbica de 531.
x – 19 3 = 8 x – 6 859 = 8
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
x = 6 867
III. Plantea una ecuación para resolver el siguiente acertijo. Usa x para representar el número buscado. Pensé un número. Le sumé 5 y al resultado lo elevé al cubo. Al final obtuve –27. ¿Cuál es el número que pensé?
x 3 – 19 = 8
a) Ecuación:
x 3 = 8 + 19
b) Soluciona la ecuación que planteaste. Verifica tu solución sustituyendo el valor que encontraste.
x 3 = 27
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
x=3
A lo que llegamos
(x – 19) 3 = 8
Una ecuación cúbica es una ecuación en la cual hay un término que tiene la incógnita elevada al cubo. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cúbicas: 2x 3 = –128
x 3 + 6x 2 = 16
Término cúbico
Término cúbico
x – 19 = 2
(x + 3)3 = (x + 3) (x + 3) (x + 3) = –8
x = 2 + 19 x = 21
Producto que da un término cúbico
Para resolver la ecuación 2x 3 = –128 podemos usar las operaciones inversas: 2x 3 = –128 x 3 = – 128 2 x 3 = –64
x = 3 –64 x = –4 95
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Respuestas. a) (x + 5) 3 = –27 b) (x + 5) =
3
–27
x + 5 = –3 x = –3 –5 x = –8 Los alumnos pueden utilizar otros procedimientos, como el uso de tablas o el ensayo y error. Permítales utilizar el que prefieran y, al final, escriba en el pizarrón el que se presenta aquí como solución y explíquelo.
Posibles dificultades. Para resolver las tres primeras ecuaciones, los alumnos pueden echar mano de procedimientos que han trabajado anteriormente; sin embargo, no han aprendido a desarrollar expresiones como (x – 19) 3 , por lo que quizá sientan que no pueden resolver la cuarta ecuación o cometan errores. Un posible error consiste en que los alumnos eleven al cubo cada uno de los términos de la expresión entre paréntesis, con lo que obtendrían x 3 – 6 859 = 8. Los alumnos cometen otro tipo de error cuando se concentran en obtener un número que elevado al cubo dé 8 sin considerar toda la ecuación, entonces concluyen que x = 2. Es cierto que 23 = 8, pero x en nuestro caso vale 21. Sugiérales que analicen la ecuación completa: deben hallar un número al que restándole 19 y luego elevándolo al cubo, sea igual a 8. Ese número es el 21 porque 21 – 19 = 2, y 2 3 = 8.
Verificación: (–8 + 5) 3 = (–3) 3 = (–3) (–3) (–3) = –27
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secuenci a 8
Respuestas. 1. Ecuación: (x – 15) = –8 3
Lo que aprendimos
Solución: x = 13
Resuelve los siguientes problemas. 1. A un número le resto 15, el resultado lo elevo al cubo y obtengo –8. ¿De qué número se trata?
2. b) 10 cm2 c)
10 que es un número que se encuentra entre 3.1 y 3.2
Ecuación: Solución:
d) 32.768 cm3 2. El área total de las seis caras de un cubo es 60 cm2.
Sugerencia didáctica. Aproveche el problema 2 para comentar lo siguiente con los estudiantes: La solución exacta de la ecuación 6 x 2 = 60 es el número 10 . Al obtener esa raíz, el número resultante 3.1554496… tiene infinidad de cifras decimales, por lo que se hace necesario redondearlo a 3.2 o bien truncarlo tomando sólo algunas de las cifras.
Arista Cara
Lo importante es que los alumnos sepan que ni 3.2 ni 3.1 son la solución exacta de 10 : son aproximaciones a ese número.
x a) Si la medida de una arista se representa con x, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar la medida de la arista? Subráyala.
Para saber más. Cuando se dice que un número decimal se trunca o se está utilizando una aproximación por truncamiento, quiere decir que se hace un “corte” del número considerando tantas cifras decimales como se decida. Por ejemplo, si en el número 3.1554496… se quiere truncar hasta los centésimos, el número quedaría como 3.15.
• x 3 = 60 • x 2 = 60 • 6x 2 = 60 • 6x = 60 b) ¿Cuánto mide de área, una cara del cubo? c) ¿Cuánto mide la arista del cubo? x = (Usa la calculadora para encontrar la solución.)
Cuando se utiliza una aproximación por redondeo hasta redondear décimos, se considera la cifra de los centésimos; para redondear hasta centésimos se considera la cifra de los milésimos, y así sucesivamente. Si dicha cifra es mayor o igual que 5, se aumenta 1 a la cifra del orden anterior. Si la cifra es menor que 5, no se aumenta nada y la aproximación por redondeo es igual que la obtenida por truncamiento.
d) ¿Cuánto mide de volumen el cubo?
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Por ejemplo, la aproximación de 3.1554496… hasta los milésimos es 3.155 porque la cifra de los diezmilésimos es 4.
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MATEMÁTICAS
III
MENÚ DE PROBLEMAS
SESióN 3
Resuelve los siguientes problemas. Usa la calculadora para realizar las operaciones cuando lo consideres necesario. 1. A un hojalatero le encargaron hacer un recipiente en forma de prisma cuadrangular de 3 dm de altura que tenga un volumen de 48 dm3. Para construir el recipiente usará una lámina de metal de forma cuadrada (figura A), luego cortará cuadrados en las esquinas y, finalmente, doblará los bordes para formar el recipiente. Contesta las siguientes preguntas para encontrar las medidas de los lados de la lámina
3 dm 3 dm
a) ¿Qué forma geométrica tiene la base del prisma?
y b) La medida en decímetros del lado de la lámina es y. Subraya la expresión que representa la medida, en decímetros, de un lado de la base del prisma?
Sugerencia didáctica. Ahora los alumnos trabajarán con problemas en los que van a utilizar lo que aprendieron en las primeras dos sesiones. Cuando terminen de resolver cada problema, es importante destacar que aunque obtengan dos soluciones correctas algebraicamente, no necesariamente ambas tienen sentido en el contexto del problema. Por ejemplo, en el problema 2 una de las soluciones es negativa y debe descartarse porque se trata de hallar la medida de un lado de un terreno. Integrar al portafolios. Seleccione uno o dos de los problemas de esta sesión y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus soluciones y procedimientos.
• y
y
• y–6
Propósito de la sesión. Resolver e inventar problemas que puedan modelarse con ecuaciones de segundo y tercer grado.
Figura A
• y–3 c) ¿Qué expresión corresponde al área de la base del prisma? d) Subraya la ecuación que hay que resolver para encontrar la medida de un lado de la lámina metálica. • 4(y – 6)2 = 48 • 6(y – 6)2 = 48 • 3(y – 6)2 = 48 • 3(y – 3)2 = 48 3 dm
Recuerda que: cular el volumen La fórmula para cal de un prisma es: ra = volumen. Área de la base × altu
V = 48 dm3
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Propósito del interactivo. Presentar problemas en forma dinámica y acompañados de graficas (curvas) que ilustren que se trata de problemas no lineales y permitan a los alumnos resolver algunos de estos problemas apoyándose en las gráficas, sirviendo de complemento al libro.
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Respuestas. a) Un cuadrado. b) La expresión correcta es y – 6, porque los cortes de la lámina son cuadrados y miden 3 cm por lado (que es la altura del prisma). c) ( y – 6)2 d) La ecuación es 3 ( y – 6)2 = 48, porque en ella se multiplica la altura del prisma por el área de su base. Aunque ya se conoce el volumen porque aparece en el problema (V = 48 dm3 ), a partir de esta expresión se puede obtener la medida del lado de la lámina (que hasta ahora sólo se sabe que mide y dm).
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secuenci a 8
Respuestas. e) y 1 = 10
e) Hay dos números que solucionan la ecuación que corresponde al problema. Encuéntralos.
y2 = 2
y1 =
Sin embargo, la segunda solución debe descartarse en términos del contexto del problema: si a la lámina se le hacen dos cortes de 3 dm, debe asumirse que ésta no pudo haber medido 2 dm antes de los cortes.
,
y2 =
f) ¿Cuánto tiene que medir el lado de la lámina metálica? 2. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. El estacionamiento ocupa una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2. 50 m
f) 10 dm = 1 m. Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que en este problema las medidas se dan en decímetros. Una vez que lo hayan resuelto pídales que imaginen el tamaño del prisma y hágales preguntas como ¿será aproximadamente del tamaño de una caja de zapatos?, ¿o de un tinaco?
a) Plantea una ecuación que permita encontrar cuánto mide el lado x de todo el terreno.
50 m
x
b) ¿Cuáles son las dos soluciones de la ecuación que encontraste? y c) ¿Cuánto mide el lado del terreno del parque?
x
Respuestas.
3. El cubo de un número más el mismo número es igual a 38. ¿De qué número se trata?
a) x 2 – 502 = 14 400 porque x 2 es el área de todo el terreno a la que se le restan los 50 m2 del estacionamiento, y lo que queda es el área del jardín que mide 14 400 m2 .
n
b) x 2 – 502 = 14 400
1
1
2
2
8
10
3
27
30
4
64
68
a) Encuentra una ecuación que permita encontrar el número. Usa n para representarlo. Ecuación:
x – 2 500 = 14 400 2
x 2 = 16 900
3.1 3.4 3.3 3.2 3.27 3.26 3.265
x = 16 900 x 1 = 130 x 2 = –130 c) Mide 130 m porque la solución negativa se descarta.
n3
29.791 39.304 35.937 32.768 34.966* 34.646* 34.806*
n3 + n
32.891 42.704 39.237 35.968 38.236* 37.906* 38.071*
b) Usa la calculadora y la tabla de la izquierda para encontrar la solución de la ecuación c) ¿Entre qué números enteros está la solución de la ecuación? d) ¿Qué número con una cifra decimal estará más cerca de la solución? e) ¿Qué número con dos cifras decimales estará más cerca de la solución?
98
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Respuestas.
Propósito de la actividad. Los renglones en blanco son para que los alumnos prueben con varios números decimales hasta que logren una mejor aproximación al resultado. Las cifras que aparecen en el libro del maestro son algunas de las que podrían poner los alumnos. Las que tienen un asterisco están redondeadas.
a) n + n = 38 3
c) Entre el 3 y el 4. d) 3.3 e) 3.26
Sugerencia didáctica. La obtención de los números de esta tabla da la oportunidad de trabajar una vez más con el redondeo o con el truncamiento. Decidan en grupo cuál utilizarán.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito del programa. Plantear y resolver problemas que se puedan modelar con ecuaciones de segundo y tercer grado.
2 4. Inventa un problema que se resuelva con la ecuación x = 125. Encuentra las dos 5 soluciones de la ecuación y determina cuál de ellas es además solución del problema.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la actividad. El propósito de esta actividad es fomentar la creatividad del alumno y afianzar los conocimientos que ha adquirido en el planteamiento y resolución de problemas por medio de ecuaciones. Sugerencia didáctica. Es posible que en un inicio los problemas que inventen no tengan una redacción muy clara o haya errores, pero anímelos a seguirlo intentando y corrijan cuando sea necesario.
Presenten los problemas que inventaron. Comenten por qué algunas soluciones de la ecuación se descartan como solución del problema. Inventen dos problemas para cada ecuación, resuélvanlas y determinen cuáles soluciones son aceptables para cada problema.
Si para algunos es difícil, sugiérales tomar alguno de los contextos que se han trabajado en esta secuencia como la adivinanza de números y los problemas de áreas. Posteriormente podrán emplear otros contextos.
a) 6a 2 = 37.5
b) 3n 2 – n = 102
Una manera de trabajar esta parte de la sesión puede ser el intercambio de problemas: pida a los alumnos que inventen un problema para una de las ecuaciones y luego intercambien ese problema con un compañero para que lo resuelva. Esta estrategia permite que cada problema sea leído y resuelto, con lo que se genera un intercambio de ideas y entre los propios alumnos se detectan errores o aspectos a precisar.
Para saber más Sobre ecuaciones cuadráticas, consulten: http://www.emathematics.net/es/ecsegundogrado.php?a=1&tipo=numero Resolución cuando b=0 Ruta: Ecuación de segundo grado [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
Posibles respuestas. 99
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Posibles respuestas. a) • Al pintar las seis caras de un cubo se cubrieron 37.5 m2 ¿cuánto mide la arista del cubo?, ¿cuál es el volumen del cubo? Soluciones: la arista mide 2.5 m y el volumen es 15.625 m3 , se descarta la solución negativa.
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Sugerencia didáctica. La segunda solución de la ecuación (– 34 ) puede ser difícil de obtener 6 para los alumnos. No se preocupe si no lo logran, en una secuencia posterior aprenderán a hacerlo.
• La quinta parte del área de un cuadrado es 125 cm2 . ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? La solución es 25 cm, se descarta la solución negativa –25. • Pensé un número y lo elevé al cuadrado, el resultado lo dividí entre 5 y obtuve 125, ¿qué número pensé? Hay dos soluciones: 25 y –25.
Si le parece conveniente, usted puede comentarles que esa otra solución existe e incluso dárselas para que comprueben que también es correcta.
• Elevé al cuadrado un número y luego lo multipliqué por 6. El resultado fue 37.5 ¿qué número pensé? Hay dos soluciones: 2.5 y –2.5. b) • Si al triple del cuadrado de un número se le resta dicho número se obtiene 102, ¿de qué número se trata? Hay dos soluciones: 6 y – 34 . 6
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secuenci a 9
Resolución de ecuaciones por factorización Propósito de la sesión. Descubrir que una ecuación de segundo grado puede resolverse usando la factorización.
En esta secuencia resolverás problemas y ecuaciones cuadráticas mediante factorización.
¿CUÁNTO MIDEN LOS LADOS?
SESIóN 1
Para empezar
Propósito del programa. Presentar situaciones que se modelen con ecuaciones de segundo grado y resolverlas por factorización.
En la secuencia 1 trabajaron con bloques algebraicos de área x 2, x y 1. En esta sesión trabajaremos con bloques de área z 2, z y de 1 cm2, como se muestra en la figura 1.
z
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
1
1 cm2
1
Área =
Área =
z
z
1
z2
z Figura 1
Propósito de la actividad. A través del conteo de los cuadrados y rectángulos que conforman el área total del cuadrado, se pretende continuar dando significado a la factorización: el trinomio z 2 + 5 z + 6 que representa el área del rectángulo, pueden descomponerse en factores como (z + 3) (z + 2).
Consideremos lo siguiente Con bloques como los anteriores se ha formado un rectángulo cuya área se representa por el trinomio z 2 + 5z + 6, como se muestra en la figura 2. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a la base de este rectángulo?
z
Respuestas.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a la altura de este rectángulo?
a) z + 3 b) z + 2 z
1
Si se sabe, además, que el área del rectángulo es 42 cm2:
Figura 2 100
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Propósitos de la secuencia Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema Significado y uso de las literales.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
¿Cuánto miden los lados? Descubrir que una ecuación de segundo grado puede resolverse usando la factorización.
Programa 15
2
Los factores de cero Resolver ecuaciones cuadráticas en las que un lado de la igualdad es cero.
3
El adorno Modelar problemas mediante ecuaciones cuadráticas y resolverlas por factorización.
4
Apliquemos lo aprendido Integrar lo aprendido en las tres primeras sesiones sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado por el procedimiento de factorización.
Subrema Ecuaciones.
Antecedentes En las secuencias 1 y 8 de Matemáticas III, los alumnos factorizaron y resolvieron expresiones de segundo grado usando procedimientos aritméticos y la inversión de operaciones. En esta secuencia seguirán estudiando el planteamiento y la resolución de ecuaciones cuadráticas.
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Interactivo
Programa 16
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Se espera que esta actividad sea un reto para los alumnos, pues aunque ya han trabajado con la factorización y están familiarizados con la obtención de áreas de cuadrados que se conforman con bloques de distintas áreas, ahora se enfrentarán a un rectángulo cuya área está expresada por un trinomio.
c) Completen la ecuación que tienes que resolver para encontrar el valor de z , sin realizar medición alguna. Ecuación:
= 42
d) La ecuación que escribiste debe tener dos soluciones, ¿cuál de ellas no resuelve el problema? e) ¿Cuántos centímetros mide z ?
Posibles dificultades. Para algunos alumnos quizá el problema sea difícil. Usted puede ayudarlos a obtener una información que es esencial para comenzar a resolverlo: cuántos bloques de cada tamaño hay dentro del rectángulo. Para ello hay que analizar el trinomio que representa su área: hay 1 bloque de área z 2 , 5 de área z y 6 de área 1. Haga énfasis en ello y después, anímelos a intentar cualquier procedimiento para encontrar las medidas de los lados del rectángulo, por ejemplo, dibujando dentro de éste posibles formas de acomodar esos bloques.
Comparen sus soluciones y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra I. En la secuencia 1 estudiaste cómo factorizar trinomios. Contesta las siguientes preguntas para factorizar z 2 + 5z + 6: a) Encuentra algunas parejas de números enteros que multiplicados den 6 como resultado:
6
y
1
,
3
y
2 3
b) ¿Cuál de esas parejas de números da 5 al sumarse?
y
2
c) ¿Cuáles son las dos expresiones algebraicas que multiplicadas dan z 2 + 5z + 6? Completa. (z +
3
) (z +
2
) = z 2 + 5z + 6
Comparen y verifiquen sus soluciones haciendo las multiplicaciones respectivas. Comenten: a) ¿Cuánto tiene que valer z para que el área del rectángulo sea igual a 42 cm2?
z=
Quizá otros alumnos intenten desde el inicio la factorización utilizando lo que aprendieron en la secuencia 1 de este libro: se obtiene el término común z, se buscan números que al multiplicarse den 6 y que al sumarse den 5. En este caso, son el 2 y el 3. Así pues, la medida de la base es z + 3 y la de la altura es z + 2.
4
b) Hay un valor negativo de z que es solución de la ecuación (z + 3) (z + 2) = 42. Encuéntrenlo completando la siguiente tabla.
z
z+3
z+2
(z + 3) (z + 2)
–1
2
1
2
–3
0
–1
0
–7
–4
–5
20
Respuestas. c) (z + 3) (z + 2) = 42 z=
–9
c) ¿Resuelve el problema este valor de z?
¿Por qué?
101
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Respuestas.
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d) Sabemos que la base y la altura miden z + 3 y z + 2 respectivamente, y además, que el área del rectángulo expresada en centímetros cuadrados es 42, entonces dos números, que multiplicados dan 42, son 6 y 7 o –7 y –6. Sin embargo, como las longitudes no pueden ser negativas se descarta como solución del problema z = –9. e) 4 cm, porque si la base mide z + 3 = 7, el lado del cuadrado z mide 4.
b) El valor negativo de z que también soluciona la ecuación es –9. Quedaría (z + 3) (z + 2) = (–9 + 3) (–9 + 2) = (–6) (–7) = 42 Los renglones que aparecen en blanco en la tabla son para que los alumnos prueben con distintos valores de z. c) Por medio de la tabla los alumnos pueden darse cuenta de que una solución a la ecuación (z + 3) (z + 2) = 42, es z = –9, sin embargo, ésta no resuelve el problema porque la longitud de un lado no puede ser negativa.
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secuenci a 9
Respuesta. a) Al factorizar la expresión se obtiene y ( y + 3) = 54, cada factor en la expresión puede verse como uno de los lados del rectángulo, así pues, si la altura mide y, la base mide y + 3. Los alumnos también podrían imaginar un cuadrado de lado y, que es la medida de la altura. Entonces sabrían que el área que falta por cubrir mide 3 y. Si parte de la base mide y, hay que agregarle tres rectángulos que midan 1 de base y y de altura: entonces la base mide y + 3.
ii. La figura 3 es una reducción, el área del rectángulo original era de 54 cm2. ¿Cuánto medían su base y su altura?
y
A=
y 2 + 3y
Base Figura 3
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a la base de este rectángulo?
y
y2
y
1
1
Para encontrar la longitud original del lado y, sin necesidad de medir, tienes que resolver la ecuación:
Recuerda que: omio x 2 + 6x Para factorizar el bin común de ambos se busca el factor términos: x 2 + 6x = x (x + 6)
1
y 2 + 3y = 54 b) Completa la factorización del binomio y 2 + 3y , de la ecuación anterior. (y ) (
Factor común
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que decidir qué lado será la base, o qué lado será la altura de un rectángulo, es una cuestión arbitraria. Seguramente están acostumbrados a que el lado más largo sea la base, pero no necesariamente tiene que ser así. También es importante aclarar que un rectángulo puede estar “acostado” o “parado”, la forma de la figura no cambia.
y+3
y ( y + 3)
–2
1
–2
–5
–2
10
–10
–7
70
136
) = 54
c) Existen dos parejas de números enteros que multiplicados dan 54 y que uno de ellos es tres unidades mayor que el otro. Completa las parejas escribiendo en primer lugar el número menor. (
9
)(
6
) = 54
( –9
)(
–6
) = 54
d) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación y 2 + 3y = 54?
y1 =
Posibles dificultades. Hallar la segunda solución de la ecuación puede ser difícil. Sugiera a los alumnos que hagan una tabla para que vayan probando con distintos valores negativos. Por ejemplo:
y
y+3
6
y2 =
–9
e) ¿Cuántos centímetros mide la altura del rectángulo?
6
f) ¿Cuántos centímetros mide su base?
9
Comparen sus respuestas, verifiquen sus soluciones de la ecuación y comenten: ¿Cuál solución de la ecuación no resuelve el problema?
102
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Respuesta. La solución negativa debe descartarse, pues en el contexto del problema no tiene sentido hablar de medidas negativas.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas consiste en factorizar las expresiones algebraicas. Por ejemplo, la ecuación:
x 2 + 7x + 10 = 18 se puede resolver factorizando el trinomio x 2 + 7x + 10; la ecuación queda así: (x + 5) (x + 2) = 18
Respuestas.
Una manera de resolver esta ecuación factorizada consiste en buscar parejas de números que multiplicados den 18 y que uno de ellos sea tres unidades menor que el otro.
a) x 2 – 2 x = 8
x (x – 2) = 8
En este caso, hay dos parejas de números que cumplen estas dos condiciones: (3) (6) = 18 Entonces, se tiene que:
y
(–6) (–3) = 18
x1 = 4
(x + 2) (x + 5) = 18
Comprobación:
(3) (6) = 18 de donde x = 1, porque x + 2 = 1 + 2 = 3 y, Además se tiene que:
4 2 – 2 (4) = 16 – 8 = 8
x+5=1+5=6
(x + 2) (x + 5) = 18
x 2 = –2
(–6) (–3) = 18
Comprobación:
de donde x = –8, porque x + 2 = –8 + 2 = –6 y, x + 5 = –8 + 5 = –3
–2 2 – (–2) = 4 + 4 = 8 b) x 2 – 4x + 4 = 81
Lo que aprendimos
(x – 2)2 = 81
1. Soluciona las siguientes ecuaciones mediante factorización. Comprueba tus soluciones sustituyéndolas en la ecuación y efectuando las operaciones. a) x 2 – 2x = 8
x 1 = 11
Comprobación:
Comprobación: 112 – 4 (11) + 4 = 121 – 44 + 4 = 81
x 2 = –7 x1 =
–72 – 4 (7) + 4 = 49 + 28 + 4 = 81
b) x 2 – 4x + 4 = 81
x1 =
Comprobación:
x2 = Comprobación:
x2 = 103
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Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, diga a los alumnos que utilicen tablas como las anteriores para hallar la solución negativa de las ecuaciones. En la siguiente sesión aprenderán un método (la igualación a cero) que será más rápido para resolver estas ecuaciones.
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Respuestas.
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a) x – 6 x + 8 = 15 2
2. Resuelve los siguientes problemas. Plantea y resuelve una ecuación cuadrática para cada uno de ellos.
(x – 2) (x – 4) = 15
a) El área de un rectángulo está dada por la expresión algebraica x 2 – 6x + 8. Además, también se sabe que el área es igual a 15 cm. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?
x1 = 7
Ecuación:
x 2 = –1 Entonces, los lados del rectángulo miden 5 y 3 cm. La solución negativa se descarta.
Largo:
b) x 2 + 9 x + 18 = 40 (x + 6) (x + 3) = 40
Ancho:
b) El área de un rectángulo está dada por la expresión algebraica x 2 + 9x + 18. Además, también se sabe que el área es igual a 40 m2. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?
x1 = 2
Ecuación:
x 2 = –11 Los lados del rectángulo miden 8 y 5 cm. Las medidas –8 y –5 se descartan. Sugerencia didáctica. Aunque la solución negativa no resuelva estos problemas, es importante que los alumnos la obtengan para que tomen conciencia de que en las ecuaciones cuadráticas siempre hay dos soluciones.
Largo:
SESIÓN 2
Ancho:
LOS FACTORES DE CERO
Para empezar
Encuentren distintas parejas de números que den cero al multiplicarse.
Además, es conveniente propiciar el análisis de las expresiones que van a factorizarse para determinar cuáles son los factores que deben tomarse. Por ejemplo, en el problema a) se tiene (x – 2) (x – 4) = 15, así que se busca una factorización en la que, entre el número del primer factor y el número del segundo factor, haya una diferencia de 2; por lo tanto, las factorizaciones (15) (1) y (–15) (–1) deben descartarse.
×
=0
×
=0
×
=0
×
=0
×
=0
×
=0
×
=0
×
=0
¿Habrá alguna pareja de números DISTINTOS DE CERO que den cero al multiplicarse? ¿Cuál? Lean y comenten la siguiente información. si el producto de dos números es igual a cero, al menos uno de los dos tiene que ser igual a cero. 104
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Propósito de la sesión. Resolver ecuaciones cuadráticas en las que un lado de la igualdad es cero.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre las multiplicaciones que son iguales a cero. Esto es importante para estudiar la resolución de ecuaciones cuadráticas igualándolas a cero.
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Respuesta. No hay ninguna pareja de números distintos de cero que den cero al multiplicarse.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) 6
Hay dos números que solucionan la siguiente ecuación:
b) 2
(x – 6) (x – 2) = 0
a) ¿Cuánto tiene que valer x para que x – 6 sea igual a 0? x =
Al sustituir se tiene que:
b) ¿Cuánto tiene que valer x para que x – 2 sea igual a 0? x =
(6 – 6) (6 – 2) = (0) (–4) = 0
Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo sus valores en la ecuación original.
(2 – 6) (2 – 2) = (–4) (0) = 0
Consideremos lo siguiente
Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos no logren hallar los números que resuelven la ecuación. Lo que es importante aquí es que planteen la ecuación correctamente; en el siguiente apartado aprenderán cómo resolverla, así que permítales continuar aunque no tengan todas las respuestas o incluso se hayan equivocado.
Plantea y resuelve una ecuación para encontrar los números que cumplan la siguiente condición: Al elevar el número al cuadrado y restarle 8 se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el número por 2. Ecuación: Números que solucionan la ecuación: Comparen y verifiquen sus respuestas.
Respuestas.
Manos a la obra
Ecuación: x 2 – 8 = 2 x.
I. Con relación al problema anterior, contesta las siguientes preguntas.
Números que solucionan la ecuación:
a) Si el número que se busca se representa con la letra x, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al enunciado: Elevar el número al cuadrado y restarle 8? Subráyala.
x1 = 4
• (x – 8)2
4 2 – 8 = 2 (4)
• x2 – 8
8=8
• x (8) 2
b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al problema? Subráyala.
x 2 = –2
• (x – 8) = 2x
–2 2 – 8 = 2 (–2)
• x 2 – 8 = 2x
–4 = –4
2
• 8x 2 = 2 x Comparen sus respuestas.
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Sugerencia didáctica. Dedique el tiempo necesario a analizar el procedimiento de Arturo para que a los alumnos les quede claro cuál fue el error. Una vez que hayan solucionado los incisos a) y b), aclare que esa factorización no puede ser correcta porque al realizar las multiplicaciones no se obtiene 2 x.
secuenci a 9 ii. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver la ecuación que corresponde. Contesta lo que se pregunta respecto a cada procedimiento. PROceDiMienTO 1 Arturo factorizó la ecuación de la siguiente manera:
x 2 – 8 = 2x (x – 2) (x – 4) = 2x
También es importante que analicen la afirmación de Arturo. Cuando dice que el 2 y el 4 “cumplen la condición del problema” está afirmando que si x vale 2 o si vale 4, la ecuación x 2 – 8 = 2 x es cierta; sin embargo es preciso aclarar que sólo la ecuación es cierta cuando x = 4, pero no lo es cuando x = 2. Como la factorización (x – 2) (x – 4) = 2 x que propuso Arturo es errónea, el único valor de x que es cierto es x = 0. Para que los alumnos se den cuenta de que lo que planteó Arturo es incorrecto, pídales que prueben esos valores tanto en la ecuación original como en la factorización.
Y dijo que los números 2 y 4 cumplían la condición del problema. a) ¿Estás de acuerdo con la factorización que hizo Arturo?
¿Por qué?
b) Para verificar la factorización que encontró Arturo, realiza la multiplicación de los factores: (x – 2) (x – 4) =
PROceDiMienTO 2
Recuerda que: trinomio Para factorizar un , hay que como x 2 + 5x – 24 s que multiplibuscar dos número ados den +5. cados den –24 y sum (+8) (–3) = –24 (+8) + (–3) = +5
Respuestas.
Lupe dijo que no podía factorizar la ecuación como estaba. Restó 2x de ambos lados de la ecuación y obtuvo lo siguiente:
x 2 – 8 = 2x x 2 – 2x – 8 = 2 x – 2 x x 2 – 2x – 8 = 0 c) ¿Cuál de las siguientes es factorización de x 2 – 2x – 8? Subráyala. • x 2 – 2x – 8 = (x – 2) (x – 4)
8) (x – 3) x 2 + 5x – 24 = (x +
a) La factorización que propuso Arturo es incorrecta. El producto de (x – 2) (x – 4) es un trinomio.
• x 2 – 2x – 8 = (x + 2) (x – 4) • x 2 – 2x – 8 = (x – 2) (x + 4)
d) En la ecuación x 2 – 2x – 8 = 0, sustituye el trinomio por su factorización y resuelve la ecuación que resulte.
b) x 2 – 6 x + 8
x 2 – 2x – 8 = 0 (
Sugerencia didáctica. Analice con los alumnos porqué Lupe afirmó que “no podía factorizar la ecuación como estaba”, es decir, en su forma original que es x 2 – 8 = 2 x. Es preciso que observen que del lado izquierdo del signo igual no hay términos comunes.
x+2
x1 =
)(
x–4
–2
)=0
, x2 =
4
Comparen y verifiquen sus respuestas sustituyendo en la ecuación original. Comenten: ¿cuáles son los números que cumplen la condición del problema?
106
Al llegar al inciso c) lo importante es que los alumnos comprendan el procedimiento que empleó Lupe para poder factorizar: restar 2 x en ambos lados de la ecuación es igualarla a cero (porque el lado derecho del signo igual es cero) para que del lado izquierdo se tenga un trinomio.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos Una ecuación cuadrática factorizada e igualada a cero se resuelve al encontrar los números que hacen valer cero a los factores. Por ejemplo, la ecuación cuadrática factorizada: (x – 7) (x + 11) = 0 se soluciona al encontrar los valores de x que hacen valer cero a los factores, es decir:
x–7=0 x1 = 7
de donde se obtiene:
y y
Posibles dificultades. En las ecuaciones a) y b) las dos soluciones son el mismo número. Esto puede resultar confuso para algunos alumnos, por lo que es útil recordarles que, para que una multiplicación sea igual a cero, uno o ambos factores deben ser cero. Entonces, en (x – 5) (x – 5) para que el primer factor sea igual a cero, x debe valer 5; y para que el segundo factor sea igual a cero, x también debe valer 5. Por eso las dos soluciones son iguales.
x + 11 = 0 x 2 = –11
Entonces 7 y –11 son soluciones porque al sustituirlos en la ecuación y efectuar las operaciones, se obtiene 0. Sustituyendo 7:
(7 – 7) (7 + 11) = (0) (18) = 0
Sustituyendo –11:
(–11 – 7) (– 11 + 11) = (–18) (0) = 0
III. Resuelve las siguientes ecuaciones. Cuando sea necesario, iguala a cero y factoriza. a) x 2 + 10x + 21 = 0
Por otro lado, como puede verse en este libro, la igualación a cero de la ecuación b) está “al revés”, en el sentido de que el cero se encuentra del lado izquierdo del signo igual. Los alumnos deben saber que también es correcto plantear ecuaciones así, por lo que tienen que familiarizarse con esta forma de escritura. Explíqueles que una ecuación supone una igualdad: lo que está del lado izquierdo debe ser igual a lo que está del lado derecho, no importa de qué lado esté el cero.
b) z 2 = –6z – 9 c) y 2 – 6 = –y
Lo que aprendimos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando. Cuando sea conveniente, transforma la ecuación de manera que esté igualada a cero. a) x 2 – 10x + 25 = 0 b) 12z – 36 = z 2 c) y 2 + 7y = 18
La ecuación b) puede plantear otra dificultad. Es posible que los alumnos la igualen a cero de la siguiente forma:
2. Resuelve el siguiente problema mediante una ecuación. ¿Qué número elevado al cuadrado es igual a tres veces el mismo número? Ecuación:
12 z – 36 = z 2
x 2 = 3x x 2 – 3x = 0 x (x – 3) = 0 x 1 = 0, x 2 = 3
El número es:
0
o
12 z – 36 – z 2 = z 2 – z 2 12 z – 36 – z 2 = 0
3 107
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Respuestas. a) (x + 7) (x + 3) = 0
x 1 = –7
x 2= –3
b) Igualando a 0 quedaría:
z 2 + 6z + 9 = 0 (z + 3) (z + 3) = 0
z 1 = –3
z 2 = –3
c) Igualando a 0 quedaría:
y2 + y – 6 = 0 ( y – 3) ( y + 2) = 0
y1 = 3
y 2 = –2
Sugerencia didáctica. A los alumnos debe quedarles claro cuándo es necesario igualar a cero una ecuación. Por ejemplo, la del inciso a) ya está igualada a cero, en cambio la del inciso c) no lo está. Comente esto con ellos antes de empezar a resolver este apartado y aclare dudas si fuera necesario.
Sugerencia didáctica. Dé tiempo a los alumnos para resolver este problema. Si logran plantear la ecuación pero no pueden resolverla, sugiérales igualarla a cero. Una vez hecho esto podrán factorizarla y sabrán que para que la multiplicación sea igual a cero, uno o ambos factores deben ser cero; por lo tanto, x puede ser igual a 3 o a 0. Una vez que obtengan los valores de x pídales que los verifiquen en la ecuación original x 2 = 3 x, así podrán darse cuenta de si cometieron algún error.
Entonces será necesario explicar a los alumnos que, aunque es correcto lo que hicieron, no puede resolverse así; hay que cambiar todos los signos a la ecuación, con lo que se tendría –12 z + 36 + z 2 . Si ese paso resulta confuso para los alumnos, puede ponerles un ejemplo que les resulte familiar, como: –4 + 6 – 2 = 0 que también puede escribirse: 0=4–6+2 Respuestas. a) x 2 – 10 x + 25 = 0 (x – 5) (x – 5) = 0
x 1 = 5, x 2 = 5 b) 12 z – 36 = z 2 0 = z 2 – 12 z + 36 0 = (z – 6) (z – 6)
z 1 = 6, z 2 = 6 Propósito del interactivo. Que los alumnos busquen numéricamente mediante la exploración del interactivo la factorización de ecuaciones de segundo grado.
c) y 2 + 7y = 18
y 2 + 7y – 18 = 0 ( y + 9) ( y – 2) = 0
y 1 = –9, y 2 = +2 Li b r o p ara el maestro
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secuenci a 9
Propósito de la sesión. Modelar problemas mediante ecuaciones cuadráticas y resolverlas por factorización.
SESIÓN 3
EL ADORNO
Para empezar Una ecuación cuadrática está en su forma general cuando un lado de la igualdad es 0 y en el otro lado se han efectuado todas las operaciones indicadas y los términos ya no pueden reducirse. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas en su forma general son:
Sugerencia didáctica. Lea junto con sus alumnos este apartado y escriba en el pizarrón los ejemplos para analizarlos.
• x 2 – 6x – 7 = 0 • x 2 – 6x = 0 Establezcan la forma general de la ecuación 2x 2 + 6(x + 1) – 3x = 6:
También será útil que los alumnos comenten lo que significa “efectuar todas las operaciones de un lado” de la ecuación y que “los términos ya no pueden reducirse”. Para ello, pida a algunos alumnos que expliquen qué entienden por cada una de esas condiciones.
2x 2 + 3x
=0
En esta sesión resolverán problemas planteando las formas generales de las ecuaciones correspondientes.
Consideremos lo siguiente Luis adornó el borde de un dibujo como se muestra en la figura 4. El área cubierta por el adorno es de 252 cm2.
Respuesta. Lo primero que hay que hacer para escribir la ecuación en su forma general es igualarla a cero. Entonces, se resta 6 de los dos lados del signo igual.
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Subráyala. • 4x 2 + 36x = 252 • 4x 2 + 36 = 252
16 cm
2 x2 + 6 (x + 1) – 3 x – 6 = 6 – 6
• 4x 2 + 72x = 252
2 x2 + 6 (x + 1) – 3 x – 6 = 0
• 4x 2 + 72 = 252
Luego, hay que reducir los términos, es decir, efectuar las operaciones indicadas entre los términos semejantes. Paso por paso, sería:
b) ¿Cuántos centímetros mide el ancho del adorno?
x
20 cm
Comparen sus soluciones y comenten cómo encontraron el valor de x.
Figura 4
2x 2 + 6x + 6 – 3x – 6 = 0 2x 2 + 3x = 0
3 cm
x
Manos a la obra i. A continuación se presenta una forma de resolver la ecuación correspondiente al problema del adorno. Efectúa las siguientes actividades: a) Establece la forma general de la ecuación.
4x 2 + 72 x – 252
=0
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Sugerencia didáctica. Quizá sea difícil para los alumnos factorizar la ecuación en su forma general. Si los alumnos no lo logran, sigan adelante y luego corrijan lo que aquí quede pendiente. Posibles dificultades. Los alumnos pueden encontrar difícil factorizar expresiones como 4x 2 + 72 x – 252 = 0, en las que el coeficiente del término cuadrático es diferente de 1. En este caso, se les propone dividir todos los términos entre 4 para que el término cuadrático tenga coeficiente 1, pero es importante que analicen juntos porqué se hace esa división.
Es posible que algunos alumnos logren factorizar la ecuación sin hacer la división, lo cual también es correcto. En ese caso, pueden analizar las diferencias entre una y otra factorización y verificar que se obtienen los mismos valores para x. Sin hacer la división, quedaría:
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Respuestas. a) El ancho del adorno mide 3 cm porque al resolver la ecuación se tiene que: 4x 2 + 72 x = 252 4x 2 + 72 x – 252 = 0
4x + 72 x = 252
x 2 + 18 x – 63 = 0
4x + 72 x – 252 = 0
(x – 3) (x + 21) = 0
(2 x – 6) (2 x + 42) = 0
x1 = 3
x1 = 3
x 2 = –21
x 2 = –21
La solución negativa se descarta.
2 2
b) La ecuación que corresponde es 4x 2 + 72 x = 252, porque cada uno de los 4 cuadrados de las esquinas tiene un área de x 2 ; hay 2 rectángulos con área 16 x y 2 con área 20 x; sumados son 72 x.
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MATEMÁTICAS
III
b) Todos los términos de esta ecuación se pueden dividir entre el mismo número: 4. Simplifica la ecuación dividiendo entre 4.
x 2 + 18 x – 63
=0
c) Factoriza la ecuación. (x
+ 21)( x – 3 ) = 0
d) Encuentra los valores de x que hacen cero los factores:
x + 21
=0
y
x–3
=0
e) Las soluciones de la ecuación son:
x1 =
–21
y
x2 =
3 Respuesta. La solución es 3 porque la negativa se descarta al tratarse de la medida del ancho de un rectángulo.
f) ¿Cuál de las dos soluciones de la ecuación no puede ser la medida del lado de un cuadrado rojo de la figura 4?
¿Por qué?
Comparen y verifiquen sus respuestas.
A lo que llegamos Para resolver una ecuación cuadrática usando la factorización es conveniente pasarla primero a su forma general. Por ejemplo, la ecuación x 2 – 3x – 5 = 35 se puede resolver de la siguiente manera:
x 2 – 3x – 40 = 0
• Se pasa la ecuación a su forma general:
(x – 8) (x + 5) = 0
• Se factoriza: • Se encuentran los valores de x que hacen cero los factores:
x 1 = 8, x 2 = –5
• Se verifican las soluciones sustituyendo en la ecuación original: Para x 1= 8:
(8)2 – 3(8) – 5 = 64 – 24 – 5 = 35
Para x 2 = –5:
(–5)2 – 3(–5) – 5 = 25 + 15 – 5 = 35
II. Resuelve y verifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factorización. a) x 2 + 3x = 10 b) 3x 2 = – 6x Comparen y verifiquen sus respuestas. 109
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Propósito del programa. Plantear problemas que se modelen con ecuaciones de segundo grado y resolverlas por medio de la factorización. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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Respuestas. a) x 2 + 3 x = 10
b) 3 x 2 = –6 x
x + 3 x – 10 = 0
3x 2 + 6x = 0
(x + 5) (x – 2) = 0
x (3 x + 6) = 0
x 1 = –5
x1 = 0
x2 = 2
x 2 = –2
Comprobación:
Comprobación:
Para x 1
Para x 1
–5 2 + 3 (–5) = 10
3 (0)2 = –6 (0)
25 – 15 = 10
0=0
Para x 2
Para x 2
2
2 2 + 3 (2) = 10 4 + 6 = 10
3 (–2)2 = –6 (–2) 12 = 12
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secuenci a 9
Respuestas. d) Para y 1 –6 2 + 2 (–6) + 2 = 26 36 – 12 + 2 = 26 26 = 26 Para y 2 4 2 + 2 (4) + 2 = 26 16 + 8 + 2 = 26 26 = 26 e) 4 cm, la solución negativa se descarta.
Lo que aprendimos 1. La expresión y 2 + 2y + 2 representa el área de la figura 5. a) Plantea una ecuación para encontrar el valor de y si el área de toda la figura es de 26 cm2.
1
y 2 + 2y + 2
Ecuación:
= 26
b) Para resolver la ecuación que planteaste, primero pásala a su forma general:
y
y 2 + 2 y – 24
Forma general:
=0
c) Resuelve la ecuación mediante factorización:
Respuestas.
(
a) x = –5x x 2 + 5x = 0 x (x + 5) = 0 x1 = 0 x 2 = –5 Comprobación: Para x 1 0 2 = –5 (0) 0=0 Para x 2 –5 2 = –5 (–5) 25 = 25 2
y
)(
y–4
)=0
2
y1 =
Figura 5
–6
4
y2 =
d) Verifica los valores que encontraste sustituyendo en la ecuación original. e) ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado morado de la figura 4?
2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factorización.
x 1 = 0, x 2 = –5 x 1 = 0, x 2 = +2 x 1 = 0, x 2 = – 2x 2 + 6(x + 1) – 3x = 6
a) x 2 = –5x
b) 3x 2 + 5x = 2x 2 + 7x c)
b) 3 x 2 + 5x = 2 x 2 + 7x 3 x 2 – 2 x 2 + 5x – 7x = 0 x 2 – 2x = 0 x (x – 2) = 0 x1 = 0 x2 = 2 Comprobación: Para x 1 3 (0)2 + 5 (0) = 2 (0) 2 + 7 (0) 0=0 Para x 2 3 (2)2 + 5 (2) = 2 (2)2 + 7 (2) 12 + 10 = 8 + 14 22 = 22 c) 2 x 2 + 6 (x + 1) – 3 x = 6 2 x 2 + 6 (x + 1) – 3 x – 6 = 0 2x 2 + 6x + 6 – 3x – 6 = 0 2x 2 + 3x = 0 x (2 x + 3) = 0 x1 = 0 x2 = – 3 2 Comprobación: Para x 1 2 (0)2 + 6 (0 + 1) – 3 (0) = 6 0+6–0=6 6=6 Para x 2 2 2 – 3 +6 – 3 +1 –3 – 3 =6 2 2 2 1 3 9 +6 – –3 – =6 2 2 2 4 9 –3+ 9 =6 2 2
( ) ( ( ) ( )
y+6
) ( ) ( )
6=6
3 2
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
SESIÓN 4
Lo que aprendimos
1. Plantea una ecuación para modelar los siguientes problemas y aplica la factorización para resolverla. a) ¿Cuántos metros mide el largo del terreno que se muestra en la figura 6? Ecuación:
x
x (x + 8) = 48
a = 48 m2
x+8 Figura 6
El largo del terreno mide :
12
m
110
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Propósito de la sesión. Integrar lo aprendido en las tres primeras sesiones sobre el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado por el procedimiento de factorización. Integrar al portafolios. Seleccione dos de los problemas de esta sesión y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus resultados y procedimientos. Analice si es necesario hacer un repaso.
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Sugerencia didáctica. Recuerden que la fórmula para calcular el área de un paralelogramo es base por altura. Esta última se mide trazando una línea perpendicular a la base, no por ninguna de las diagonales del paralelogramo. Respuesta. a) La ecuación que representa el área del paralelogramo es x (x + 8) = 48. Al efectuar las multiplicaciones se tiene:
x 2 + 8 x = 48 Al igualar a cero:
x 2 + 8 x – 48 = 48 – 48 (x + 12) (x – 4) = 0
x 1 = –12 x2 = 4 El largo del terreno mide x + 8, es decir, 12 m.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. b) La ecuación sería x 2 – 5x = 14. Entonces:
b) Un número elevado al cuadrado menos cinco veces el número es igual a 14. ¿De
7 y –2
qué número se trata? Ecuación:
x 2 – 5x – 14 = 14 – 14
x 2 – 5x = 14
(x – 7) (x + 2) = 0
2. Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factorización. a) 3x 2 –15x = 0
b) x 2 + 4x = 7x
c) x 2 – 6x + 9 = 0
d) x 2 – 3x = 10
x1 = 7 x 2 = –2
Respuestas. a) 3 x 2 – 15x = 0 3 x (x – 5) = 0
x1 = 0
3. Completa la siguiente tabla. Soluciones de la ecuación
Ecuación factorizada
Ecuación en su forma general
x1 = 0 x2 = 5
x (x – 5) = 0
x – 5x = 0
x 1 = 0 x 2 = –2
x (x + 2) = 0
x 2 + 2x = 0
x 1 = 2 x 2 = –3
(x – 2) (x + 3) = 0
x2 + x – 6 = 0
x 1 = 1 x 2 = –4
(x – 1) (x + 4) = 0 (x – 5) (x – 5) = 0 (x – 4) (x + 4) = 0 (x – 10) (x + 10) = 0
x 2 + 3x – 4 = 0 x 2 – 10 x + 25 = 0 x 2 – 16 = 0
x1 = 5 x2 = 5 x 1 = 4 x 2 = –4
x 1 = 10, x 2 = –10
x2 = 5 b) x 2 + 4x = 7x
2
x 2 + 4x – 7x = 7x – 7x x 2 – 3x = 0 x (x – 3) = 0 x1 = 0
x 2 – 100 = 0
x2 = 3 4. Escribe un problema que se resuelva con las siguientes ecuaciones. En cada caso, resuelve y comprueba resultados.
c) x 2 – 6 x + 9 = 0
a) 2x 2 = 8x
(x – 3) (x – 3) = 0
b) x 2 + 4x = 28
x1 = 3 x2 = 3 d) x 2 – 3 x = 10
Para saber más
x 2 – 3 x – 10 = 10 – 10
Sobre ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, consulta: http://www.emathematics.net/es Ecuación de segundo grado problemas Ruta: 3º E.S.O. [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
(x – 5) (x + 2) = 0
x1 = 5 111
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Propósito de la actividad. En esta tabla se pretende que los alumnos, a partir de las soluciones de la ecuación, escriban dicha ecuación en su forma general o factorizada. Sugerencia didáctica. Si les resulta difícil, analicen el primero y el tercer renglón que son los que están completos. Haga énfasis en cosas como: para que la ecuación sea igual a cero, al menos uno de los factores debe ser cero; así podrán ir detectando los elementos que permiten completar la tabla. Luego resuelvan juntos uno o dos renglones en el pizarrón.
x 2 = –2
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Propósito de la actividad. Ahora los alumnos partirán de conocer una ecuación para la cual deberán escribir un problema. Estas actividades son importantes para fortalecer la traducción entre el lenguaje común y el álgebra. Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que lean uno de los problemas que escribieron, y al resto del grupo que digan de cuál ecuación se trata y si está correctamente planteado. Posibles respuestas. Los problemas podrían ser como los siguientes: a) El doble del cuadrado de un número es igual a ocho veces dicho número. b) El cuadrado de un número más cuatro veces el mismo número es igual a 28.
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6/20/08 5:34:13 PM
Propósito de la sesión. Identificar las dos condiciones que se requieren para asegurar que dos polígonos son semejantes.
secuenci a 10
Figuras semejantes
Materiales. Hojas blancas, tijeras e instrumentos geométricos (regla, compás, escuadras y transportador).
En esta secuencia aprenderás cuáles son las condiciones que deben tener dos figuras para que se diga que son semejantes.
Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden que, cuando dos figuras están a escala, las medidas de los lados de una de las figuras son proporcionales a las medidas de los lados de la otra.
SESIÓN 1
UN CORAZÓN MUY ESPECIAL
Para empezar Marca con
los dibujos que no estén a escala respecto al siguiente:
¿En qué te fijaste para elegir los dibujos que tachaste?
Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos respondan que son los dibujos que no tienen la misma forma o los que están más alargados. Pídales que midan los lados de las figuras y pregúnteles si encuentran alguna relación entre las medidas de los dibujos que sí están a escala. Respuesta. Los dibujos que no están a escala con respecto al primero son el segundo y el tercero.
Consideremos lo siguiente Usen sus instrumentos geométricos para trazar en hojas blancas tamaño carta las piezas de este rompecabezas; tendrán que hacerlo a escala y de manera que la parte que mide 2 cm deberá medir 11 cm. Se deben repartir las piezas para que cada integrante del equipo haga sólo una o dos.
Propósito del programa. Se muestran ejemplos de figuras semejantes y se destacan algunas características que permitan después deducir cuáles son las condiciones que deben tener dos polígonos para que sean semejantes.
a) Cuando todos hayan terminado la o las piezas que le tocaron, armen con ellas el corazón.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Comenten con su grupo cómo trazaron el rompecabezas y las dificultades que tuvieron al hacerlo.
b) Si el corazón no se puede armar, revisen cada una de las piezas y vean si realmente están hechas a escala respecto a las del dibujo del rompecabezas; si no, corrijan lo que sea necesario hasta que puedan armar el corazón.
2 cm
112
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Sugerencia didáctica. Es importante que cada alumno haga sólo una o dos piezas y que, para hacerlo, no trace todo el corazón. De esta manera se busca que los alumnos tomen en cuenta las medidas de los lados y de los ángulos. En la secuencia 7 de Matemáticas II, hicieron una actividad parecida; en esa ocasión, por la forma de las piezas, lo importante era que las medidas de los lados de una de los figuras fueran proporcionales a las medidas de los lados de la otra figura. En esta actividad, además, deben tener cuidado con la medida de los ángulos, aunque es probable que algunos alumnos no la consideren.
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También es posible que algunos alumnos ni siquiera consideren que los lados deben ser proporcionales y utilicen una estrategia errónea: sumar 9 cm a cada una de las medidas.
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Sugerencia didáctica. Anime a algunos alumnos a que comenten qué procedimiento siguieron, aun cuando no hayan podido armar el corazón.
Si observa que los alumnos tienen dificultades, no los corrija, tendrán oportunidad de validar sus procedimientos cuando traten de armar el corazón. Recupere algunos procedimientos, correctos e incorrectos, para el momento de la comparación grupal.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Que los alumnos concluyan que, cuando dos figuras son semejantes o están a escala, las medidas de los lados de una de las figuras son proporcionales a las medidas de los lados de la otra figura y los ángulos correspondientes son iguales.
Manos a la obra I. La siguiente es una de las piezas del rompecabezas: D
C
A
B
Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos anoten correctamente las letras en los vértices correspondientes, aun cuando hayan identificado mal la figura semejante.
Con sus instrumentos geométricos tomen las medidas necesarias para realizar lo que se pide. a) ¿Cuál de los siguientes trapecios está hecho a escala respecto al anterior? Identifiquen, en el trapecio a escala, los vértices correspondientes a A, B, C, D y anótenles A’, B’, C’ y D’ respectivamente.
b) ¿En qué se fijaron para elegir el trapecio hecho a escala? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. c) Midan los segmentos y luego calculen las siguientes razones o cocientes: BC = B'C'
AB = A'B'
CD = C'D'
DA = D'A'
Consideren que, debido a la imprecisión de los instrumentos de medición, las medidas pueden variar ligeramente.
d) ¿Cómo son entre sí los cocientes: iguales o diferentes? ¿Qué significa esto? e) Anoten la medida de los ángulos interiores: A=
B=
C=
D=
A’=
B’ =
C’ =
D’ =
Recuerden que: En estas figuras, el lado AB es el correspondiente del lado A’B’; el lado BC es el correspondiente del lado B’C’; etcétera.
Si los lados que forman el ángulo A, son correspondientes a los lados que forman el ángulo A’, entonces podemos decir que el ángulo A es el correspondiente del ángulo A’. 113
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Eje
Respuesta. Si escogieron la tercera figura, la respuesta debe ser que todos los cocientes son iguales a 10/6 (1.666...) y los ángulos correspondientes son iguales entre sí (miden 60°, 60°, 120° y 120°, respectivamente). De otra manera serán distintos.
Posibles dificultades. Al estudiar la congruencia de figuras en Matemáticas II, los alumnos trabajaron la idea de correspondencia entre vértices, lados y ángulos. Si observa que tienen dificultades, revise con ellos la información del recuadro.
Propósitos de la secuencia Construir figuras semejantes y comparar las medidas de sus ángulos y de sus lados.
Forma, espacio y medida.
Tema
Posibles respuestas. Las respuestas serán distintas, de acuerdo al grado de apropiación del concepto de escala que tengan los alumnos. Una respuesta correcta es “que tengan la misma forma”, aunque no se está argumentando por qué ocurre esto. También pueden considerar sólo la medida de los lados. La respuesta más elaborada es considerar que los lados son proporcionales y los ángulos son iguales, pero es probable que los alumnos todavía no la expliciten.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Formas geométricas.
Subtema Semejanza.
1
Un corazón muy especial Identificar las dos condiciones que se requieren para asegurar que dos polígonos son semejantes
Programa 17 Interactivo
2
Aplicaciones de la semejanza Resolver problemas que impliquen el uso de la semejanza de polígonos.
Programa 18 Interactivo
Antecedentes Desde primaria y en los dos grados anteriores de secundaria, los alumnos han estudiado la proporcionalidad, la construcción de figuras a escala y la medida de los ángulos; ahora van a utilizar esos conocimientos para establecer las dos condiciones que se requieren para afirmar que dos polígonos son semejantes.
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secuenci a 10 f) ¿Cuál es el ángulo correspondiente al B?
, ¿ de c?
¿y al D?
Sugerencia didáctica. Pida a todo el grupo que comparen y comenten sus respuestas.
g) ¿Cómo son entre sí los ángulos correspondientes de ambas figuras? ii. Este trapecio es otra de las piezas del rompecabezas: M
Q
n
P
Con sus instrumentos geométricos tomen las medidas necesarias para realizar lo que se pide. a) ¿Cuál de los siguientes trapecios está hecho a escala del anterior? Identifiquen, en el trapecio a escala, los vértices correspondientes a M, n, P, Q y anótenles M’, n’, Q’ y P’ respectivamente.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que anoten las razones o cocientes como se hizo en la actividad anterior. Respuesta. La figura que está a escala es la primera. Los cocientes deben ser iguales a 10 11 (0.9090...) y los ángulos miden 90°, 90°, 135° y 45°.
b) En la actividad i encontraron que los lados correspondientes de dos figuras a escala son proporcionales; verifiquen que el trapecio que eligieron cumple esta condición. c) Midan los ángulos internos del trapecio MnPQ y verifiquen que son iguales a sus correspondientes ángulos internos en el trapecio M’n’P’Q’.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué los otros dos trapecios no están a escala.
iii. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Lean y comenten con ayuda de su profesor la siguiente información y resuelvan lo planteado en la actividad.
A lo que llegamos En matemáticas, cuando dos polígonos están hechos a escala se dice que son polígonos semejantes. Los polígonos semejantes cumplen con dos condiciones:
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan en su cuaderno otro ejemplo que ilustre esta información. Si lo considera conveniente, comente con los alumnos que la razón de semejanza del polígono menor con respecto al mayor es 1 . 2
a) Las medidas de los lados de uno de los polígonos son proporcionales a las medidas de los lados del otro. b) Sus ángulos correspondientes son iguales. 114
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Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren la proporcionalidad de los lados y la igualdad de los ángulos correspondientes cuando los polígonos son semejantes.
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MATEMÁTICAS
III
Por ejemplo, el polígono PQRS es semejante al polígono ABCD: R
C
B
S
Q P
A
D
a) Las medidas de los lados del polígono ABCD son proporcionales a las medidas de los lados del polígono PQRS. AB = BC = CD = DA = 2 RS SP PQ QR
Posibles dificultades. Si los alumnos no identifican correctamente cuál es la razón de semejanza en cada caso 11 ó 2 , comente 2 11 con ellos que la razón de semejanza de una figura de mayor tamaño con respecto a una más pequeña, siempre es un número mayor que 1, ya que se obtiene al dividir la medida de los lados de la figura mayor entre la medida de los lados correspondientes de la figura menor. Y de una figura de menor tamaño con respecto a una mayor es un número menor que uno.
El número 2 es la razón de semejanza del polígono mayor con respecto al menor.
(
b) Los ángulos correspondientes son iguales: A=
P
B=
Q
C=
R
D=
S
IV. Verifiquen que las figuras que hicieron para el rompecabezas son semejantes a las del dibujo del apartado Consideremos lo siguiente, es decir, para cada una verifiquen que sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales. a) ¿Cuál es la razón de semejanza del rompecabezas que trazaron con respecto al dibujo? b) ¿Cuál es la razón de semejanza del dibujo con respecto al rompecabezas?
APLICACIONES dE LA SEMEJANZA
Lo que aprendimos
Sugerencia didáctica. En caso de que no hayan armado correctamente el rompecabezas, solicite a los alumnos que vuelvan a trazar las piezas; se espera que lo hagan asegurándose de las medidas de lados sean proporcionales y los ángulos iguales.
)
Respuestas. SESIÓN 2
1. Cada uno del equipo recorte en cartulina un triángulo cuyos ángulos midan 30°, 40° y 110°; puede ser del tamaño que deseen.
a) 11 (o también 5.5). 2 b) 2 (o también 0.1818...). 11
a) ¿Son semejantes los triángulos que construyeron? b) Argumenten su respuesta:
Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el uso de la semejanza de polígonos.
c) Midan los lados del triángulo que construyeron y los lados del triángulo que haya construido otro integrante del equipo; ¿cuál es la razón de semejanza entre estos dos triángulos?
Material. Cartulinas. Instrumentos geométricos.
2. Todos los rectángulos tienen sus ángulos iguales a 90°. ¿Basta esta condición para afirmar que todos los rectángulos son semejantes? Argumenten su respuesta: 115
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Posibles respuestas. Las respuestas pueden ser muy variadas e ir desde “porque se parecen”, “porque son triángulos”, etc. hasta buscar argumentos más válidos desde el punto de vista geométrico; en este caso se espera que, como ya saben que los ángulos son iguales, traten de confirmar, al medir, que los lados sean proporcionales.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que anoten las razones o cocientes de los lados correspondientes. Usted puede recortar o trazar en el pizarrón un triángulo que sea congruente al de uno de los alumnos. Pregunte al grupo si esos dos triángulos son semejantes y, si lo son, cuál es la razón de semejanza entre ellos. La respuesta es que sí lo son y la razón de semejanza es igual a 1.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que éste es un ejemplo de por qué se requiere que se cumplan las dos condiciones para que dos figuras son semejantes. Si sólo los ángulos son iguales, es posible que las medidas de los lados no sean proporcionales. Si tienen dificultades para identificarlo, sugiera a los alumnos que dibujen dos rectángulos distintos; por ejemplo, uno en el que la base mida el doble que la altura y otro en el que mida el triple, pregúnteles cómo argumentarían que no son semejantes. Respuesta. No. Las medidas de los lados no siempre son proporcionales.
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Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que éste es un ejemplo en el que se muestra que las medidas de los lados son proporcionales, pero los ángulos no son iguales.
secuenci a 10 3. Consideren los siguientes rombos:
Posibles dificultades. A simple vista puede parecer que los rombos son semejantes; sin embargo no lo son, los lados son proporcionales pero los ángulos no son iguales. a) ¿Sus lados guardan la misma razón de semejanza?
Sugerencia didáctica. Usted puede sugerir a los alumnos que primero decidan si quieren que su figura sea mayor o menor a la original y que luego decidan la razón de semejanza. Pida a los alumnos que anoten, junto a la figura que tracen en su cuaderno, el argumento de por qué las dos figuras son semejantes. Con este ejercicio usted puede evaluar el manejo de los instrumentos geométricos para trazar la figura semejante y si han comprendido que se requiere de las dos condiciones para asegurar que dos figuras son semejantes.
b) ¿Son semejantes los rombos? c) Argumenten sus respuestas:
4. Tracen en su cuaderno un polígono semejante al siguiente:
5. ¿Cuál es la razón de semejanza del polígono menor con respecto al mayor?
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Posibles procedimientos. Como se les pide la razón de semejanza, puede afirmarse que los polígonos son semejantes, por lo que basta medir un lado en el polígono menor y su correspondiente lado en el mayor para obtener la razón de semejanza. Algunos alumnos medirán todos los lados y los ángulos para asegurase de que son semejantes. Posibles dificultades. La razón de semejanza debe ser un número menor que 1, ya que es la del polígono menor con respecto al mayor. Quizá algunos alumnos escriban la razón recíproca, la del mayor con respecto al menor, que es un número mayor que 1; para aclararlo pida a todos los alumnos que anoten los cocientes (debe ser la medida de los lados del polígono menor entre la medida de los lados correspondientes del polígono mayor).
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MATEMÁTICAS 6. Tracen cinco rectángulos semejantes al rectángulo rojo, siempre con el lado más largo sobre el eje x y el más corto sobre el eje y , y con uno de sus vértices en el origen.
Propósito de la actividad. Trazar rectángulos semejantes con la ayuda de una cuadrícula y recordar cómo se obtiene la ecuación de una recta que pasa por el origen. Las ecuaciones de la línea recta las estudiaron en la secuencia 23 de Matemáticas II.
y 15 14 13
a) Marquen en todos los rectángulos el vértice opuesto al origen, todos estos vértices deben estar alineados; si no es así corríjanlos.
12
b) Tracen la línea que pasa por todos los vértices que marcaron.
9
c) ¿Cuál es la ecuación de esa línea recta?
III
11 10 8 7 6 5
d) A partir del resultado anterior anoten una manera para determinar si dos rectángulos son o no son semejantes.
4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
x
7. Completen la siguiente tabla; en el caso de las afirmaciones falsas, den un ejemplo para demostrar su falsedad. Afirmación
¿Es falso o verdadero?
Todos los triángulos isósceles son semejantes
F
Todos los triángulos equiláteros son semejantes
V
Todos los cuadrados son semejantes
V
Todas las figuras que son congruentes también son semejantes
V
Todas las figuras que son semejantes también son congruentes
F
Se espera que identifiquen que, al colocar todos los rectángulos de manera que los lados correspondientes coincidan y un vértice también coincida, si los rectángulos son semejantes, una de las diagonales también coincide.
Ejemplo
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tuvieron dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de la sesión 1.
Comparen con otros equipos los resultados que obtuvieron en los ejercicios anteriores y la manera en que lo determinaron.
Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, usted puede pedir a los alumnos que expliquen, en su cuaderno, por qué escogieron cada uno de sus ejemplos.
La semejanza de figuras geométricas tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, las fotografías, los planos de una casa, los mapas, las maquetas, las sombras que produce el sol o alguna fuente de luz…
Para saber más Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández Garcíadiego, Carlos. “Figuras semejantes”, “Dibujo a escala y figuras semejantes” en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. 117
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Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren y comprueben que, cuando los rectángulos son semejantes, al hacerlos coincidir en sus lados correspondientes y un vértice, una diagonal coincide.
Posibles procedimientos. Para asegurarse de que los rectángulos sean semejantes, pueden ubicar el vértice opuesto al origen en los puntos (3,1.5), (4,2), (5,2.5), (6,3), (7,3.5), (8,4), etc. La ecuación de la recta que pasa por los vértices es y = 1 x. Si tienen dificultades para encontrar 2 la ecuación, puede sugerirles que hagan una tabla en la que anoten los valores de x y de y, para que puedan observar que el valor de y siempre es la mitad del de x.
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Propósito del programa. Mostrar ejemplos y aplicaciones de la semejanza de las figuras geométricas en la arquitectura, diseño, medición de distancias. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Posibles procedimientos. En la primera afirmación falsa, por ejemplo, pueden dibujar dos triángulos isósceles con diferentes ángulos. En la segunda afirmación falsa pueden dibujar dos figuras semejantes que tengan distinto tamaño. Para las afirmaciones verdaderas, los argumentos pueden ser: que los tres ángulos de cualquier triángulo equilátero miden 60° y los tres lados miden lo mismo; o también que cuando se tienen dos triángulos equiláteros, al dividir la medida de los lados de uno entre la medida de los lados del otro, el resultado es el mismo. Para los cuadrados los argumentos son semejantes (todos los ángulos son rectos y los lados de cada uno son iguales). En la tercera afirmación verdadera se puede argumentar que las figuras congruentes tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales; la constante de proporcionalidad es 1. O bien, que al dividir la medida de los lados de una, entre la medida de los lados correspondientes, como son iguales, el resultado es siempre igual a 1 y los ángulos correspondientes son iguales.
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secuenci a 11
Propósito de la sesión. Explorar ejemplos para identificar que es posible garantizar la semejanza de dos triángulos sin conocer la medida de todos sus lados ni la de todos sus ángulos.
Semejanza de triángulos
Materiales. Instrumentos geométricos. En esta secuencia aprenderás los criterios de semejanza de triángulos y aplicarás la semejanza de triángulos para calcular distancias inaccesibles.
Propósito de la actividad. Identificar que, en el caso de otros polígonos, es necesario que se cumplan las dos condiciones para que las dos figuras sean semejantes.
SESIóN 1
En la secuencia anterior se estableció que estas dos condiciones son que las medidas de los lados de una de las figuras sean proporcionales a las medidas de los lados de la otra figura y que los ángulos correspondientes sean iguales.
EXPLORANDO LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para empezar
En la secuencia 10 aprendiste que para que dos polígonos sean semejantes deben reunir dos condiciones. Anótalas:
Respuesta. En ambos casos las figuras no son semejantes. En el primer caso las medidas de los lados son proporcionales pero los ángulos correspondientes no son iguales. En el segundo caso los ángulos correspondientes son iguales pero las medidas de los lados no son proporcionales.
Mide los lados de las figuras. ¿Las medidas de los lados de la figura B son proporcionales a los de la figura A?
Figura A
Figura B
Propósito del programa. Mostrar mediante ejemplos con distintos tipos de triángulos las características para determinar cuándo dos o más triángulos son semejantes entre sí.
¿Cómo lo sabes?
¿Son semejantes estas dos figuras?
¿Por qué?
¿Cuánto miden los ángulos de estos rectángulos? ¿Son semejantes estos dos rectángulos?
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Figura C
¿Por qué?
Figura D
Habrás notado que cada pareja de figuras cumple sólo una de las condiciones que escribiste, pero no cumple la otra y, por eso, no son semejantes.
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Propósitos de la secuencia Enunciar los criterios de semejanza de triángulos y aplicar la semejanza de triángulos para resolver problemas.
Eje Forma, espacio y medida.
Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Explorando la semejanza de triángulos Explorar ejemplos para identificar que es posible garantizar la semejanza de dos triángulos sin conocer la medida de todos sus lados ni la de todos sus ángulos.
Programa 19
2
Criterios de semejanza de triángulos I Identificar dos de los criterios de semejanza de triángulos: cuando las medidas de los lados son proporcionales y cuando los ángulos correspondientes son iguales.
Aula de medios Idea de triángulos semejantes (Geometría dinámica)
3
Criterios de semejanza de triángulos II Identificar otro criterio de semejanza de triángulos: cuando las medidas de dos lados en uno de los triángulos son proporcionales a las medidas de dos lados en el otro triángulo y el ángulo entre ellos es igual.
4
Cálculo de distancias Resolver problemas en los que se utilice los criterios de semejanza de triángulos.
Formas geométricas.
Subtema Semejanza.
Antecedentes En la secuencia anterior los alumnos estudiaron las condiciones que se requieren para que dos polígonos sean semejantes. En esta secuencia van a establecer los criterios con los que es posible garantizar la semejanza de dos triángulos, aunque no se conozca la medida de todos sus lados ni la de todos sus ángulos.
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Programa 20 Interactivo
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MATEMÁTICAS
III
Consideremos lo siguiente
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos hagan conjeturas sobre la semejanza de los triángulos antes de trazarlos con sus instrumentos geométricos. Pídales que sólo hagan bosquejos o diagramas para determinar en cuáles casos los triángulos son semejantes.
Discutan y marquen con una en cuáles de los siguientes casos se obtienen necesariamente dos triángulos que son semejantes.
Caso 1. En un triángulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ángulos 60º; en el otro triángulo, el lado y el ángulo correspondientes miden 3 cm y 60º, respectivamente.
Caso 2. Los lados de un triángulo miden 4 cm, 6 cm y 7 cm; los lados del otro triángulo miden 8 cm, 12 cm y 14 cm, y no se sabe nada de las medidas de los ángulos.
Caso 3. Los tres ángulos de los dos triángulos miden 30º, 60º y 90º, y no se sabe nada de las medidas de los lados.
Caso 4. Dos lados de un triángulo miden 4 cm y 6 cm, y el ángulo comprendido entre ellos mide 77º. En el segundo triángulo los lados correspondientes miden 8 y 12 cm, y el ángulo entre ellos mide 77°.
Caso 5. Dos lados de un triángulo miden 4 cm y 6 cm, y dos lados del otro triángulo miden 8 cm y 12 cm.
Caso 6. Los dos triángulos tienen un ángulo igual a 60°.
Quizá algunos alumnos respondan que, en el caso 3, no es posible obtener triángulos semejantes porque no se sabe nada de los lados; no los corrija, al trazar los triángulos podrán validar sus hipótesis y conjeturas. Respuesta. Los triángulos son semejantes en los casos 2, 3 y 4.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que tracen los triángulos con sus instrumentos geométricos. En la secuencia 19 de Matemáticas I, aprendieron a trazar un triángulo si se conoce la medida de los lados. En la secuencia 4 de Matemáticas II, aprendieron a trazar un triángulo si se conoce la medida de los ángulos o de algunos lados y algunos ángulos.
Organícense al interior del equipo para trazar en sus cuadernos los triángulos con las condiciones indicadas en cada uno de los incisos anteriores y verifiquen sus respuestas. En caso de que estén equivocadas, corrijan lo que sea necesario. Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros de grupo e identifiquen los tres casos en que los triángulos son semejantes.
Posibles dificultades. Para los casos 1, 5 y 6, los alumnos podrían trazar triángulos que sí sean semejantes. Pídales que, además, intenten trazarlos de manera que no lo sean. 119
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Sugerencia didáctica. Si bien es cierto que la demostración rigurosa no constituye un propósito en el programa de estudio, no basta con que los alumnos digan sí o no en cada caso; es conveniente a que argumenten sus respuestas y utilicen las condiciones que estudiaron en la secuencia pasada.
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Propósito de la sesión. Identificar dos de los criterios de semejanza de triángulos: cuando las medidas de los lados son proporcionales y cuando los ángulos correspondientes son iguales.
secuenci a 11 SESIóN 2
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS I
Para empezar
En Matemáticas ii aprendiste tres criterios de congruencia de triángulos, anótalos.
Propósito de la actividad. Recordar los tres criterios de congruencia de triángulos. Los criterios de congruencia de triángulos los estudiaron en la secuencia 25 de Matemáticas II. En el caso de la semejanza, ¿existirán criterios de semejanza de triángulos?; si piensas que sí, da al menos un ejemplo.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Descubrir, a partir de los triángulos equiláteros, los triángulos semejantes. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, indique a los alumnos que comparen estas condiciones con los seis casos que vieron en la sesión anterior; sin embargo pídales que, para dar un ejemplo o hacer un dibujo, no utilicen los mismos datos.
Consideremos lo siguiente Anoten a los que crean que son criterios para establecer que dos triángulos son siempre semejantes. Recuerden que para ser un criterio la o las condiciones deben garantizar que los triángulos siempre son semejantes. ¿Es un criterio Dos triángulos son de semejanza de semejantes si: triángulos?
Tienen igual uno de sus ángulos
No
Sus lados correspondientes son proporcionales
Sí
Sus ángulos correspondientes son iguales
Sí
Dos lados correspondientes son proporcionales
No
Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros de grupo. 120
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Hagan un dibujo para ejemplificar su respuesta
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de las actividades. Los alumnos trabajarán con ejemplos de cada una de las condiciones que se presentaron en el apartado Consideremos lo siguiente.
Manos a la obra En cada actividad pueden repartirse entre los miembros del equipo los trazos que se piden. I. Se han empezado a trazar dos triángulos. El ángulo entre dos de sus lados mide 50º.
50º
Al trazar los triángulos es probable que los alumnos puedan determinar, a simple vista, si son o no semejantes, pero lo más importante es el argumento que utilicen para justificarlo.
50º
a) Terminen de trazar los triángulos. b) ¿Son semejantes?
Respuesta. Los triángulos no son semejantes porque las medidas de los lados no son proporcionales.
c) Argumenten su respuesta:
II. Tracen en su cuaderno dos triángulos cuyos lados midan:
Propósito de la actividad. Presentar un ejemplo en el que se sabe que las medidas de los lados son proporcionales. Cuando se trazan los triángulos, los ángulos correspondientes son iguales.
• 4 cm, 6 cm y 8 cm, para el triángulo A • 2 cm, 3 cm y 4 cm, para el triángulo B
a) ¿Los lados del triángulo A son proporcionales a los del triángulo B? Argumenten su respuesta:
b) Midan los ángulos de los dos triángulos. ¿Qué notan? c) ¿Son semejantes los dos triángulos? Argumenten su respuesta:
d) Construyan un triángulo cuyos lados sean proporcionales a los de los triángulos A y B. Midan sus lados. ¿Podrán construir un triángulo cuyos lados sean proporcionales a los lados de los triángulos A y B, y cuyos ángulos sean diferentes a los de estos triángulos?
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Sugerencia didáctica. Verifique que, en el triángulo que construyan, las medidas de sus lados sí sean proporcionales a las medidas de los lados de los triángulos A y B. Es importante que identifiquen que no es posible construir un triángulo cuyos ángulos sean diferentes.
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secuenci a 11 iii. En cada caso se tienen dos lados de un triángulo que no se ha terminado de trazar:
6 cm
3 cm
4 cm
8 cm
a) ¿Las dos medidas que se dan de un triángulo son proporcionales a las del otro?
Respuesta. Las medidas de los lados que están trazados son proporcionales, pero los lados que faltan no tienen esa relación de proporcionalidad. Además, los ángulos no son iguales.
b) Terminen de trazar los triángulos. ¿Son semejantes?
Argumenten su
respuesta: iV. Tracen en su cuaderno dos triángulos A y B, de diferente tamaño pero cuyos ángulos midan 30°, 60° y 90°.
Propósito de la actividad. Presentar un ejemplo en el que se sabe que los ángulos correspondientes son iguales. Cuando se trazan los triángulos, los lados son proporcionales.
a) Midan sus lados, ¿son proporcionales los lados correspondientes? Argumenten su respuesta:
b) ¿Son semejantes los dos triángulos? ¿Cómo lo saben?
c) Construyan un triángulo C, cuyos ángulos midan 30°, 60˚ y 90˚. Midan los lados, ¿son proporcionales a los de los triángulos A y B?
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la importancia de dar argumentos basados en los conocimientos matemáticos que ya tienen. En este caso son las condiciones de semejanza que estudiaron en la secuencia anterior.
d) ¿Podrán construir un triángulo cuyos ángulos midan 30°, 60˚ y 90˚, y cuyos lados no sean proporcionales a los de los triángulos A y B? Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros de grupo.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen sus respuestas en el apartado Consideremos lo siguiente.
En la secuencia 10 aprendieron que para que dos polígonos sean semejantes deben tener: • Los lados correspondientes proporcionales. • Los ángulos correspondientes iguales. En el caso de los triángulos, los criterios de semejanza permiten fijarnos en menos datos para estar seguros de que los triángulos son semejantes. Basta que se cumpla sólo una de las siguientes condiciones: Sus lados correspondientes son proporcionales, o bien: Sus ángulos correspondientes son iguales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS II
SESIóN 3
Propósito de la sesión. Identificar otro criterio de semejanza de triángulos: cuando las medidas de dos lados en uno de los triángulos son proporcionales a las medidas de dos lados en el otro triángulo y el ángulo entre ellos es igual.
Consideremos lo siguiente Anoten al que crean que es otro criterio para establecer que dos triángulos son semejantes y argumenten su respuesta. Recuerden que para ser un criterio válido las condiciones deben garantizar que los triángulos son semejantes. Dos triángulos son semejantes si:
Tienen igual uno de sus ángulos y uno de sus lados.
Tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados que son proporcionales a sus correspondientes en el otro triángulo.
¿Es un criterio de semejanza de triángulos?
Argumenten sus respuestas. Pueden hacer dibujos si lo consideran necesario o dar un ejemplo cuando crean que no es criterio.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que, para dar un ejemplo o hacer un dibujo, no utilicen los mismos datos de la sesión 1.
No
Sí
Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros de grupo. 123
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secuenci a 11
Manos a la obra Propósito de la actividad. Identificar que, si se sabe que dos triángulos tienen un lado y un ángulo igual, no se puede garantizar que sean semejantes.
Cada uno haga lo siguiente en su libro sin ver lo que hace su compañero: i. Consideren que el segmento abajo trazado es uno de los lados de un triángulo. Terminen de trazar el triángulo de tal manera que contenga un par de lados que formen un ángulo de 120º.
Cuando hayan terminado comparen los triángulos trazados por todos. a) ¿Son semejantes?
Respuesta. No se puede garantizar que los triángulos sean semejantes, ya que, con esos datos, siempre se puede encontrar dos triángulos que no sean semejantes.
b) Argumenten su respuesta: c) Dos triángulos tienen un lado igual y un ángulo igual, ¿creen que necesariamente son semejantes?
; ¿cómo lo saben?
ii. Tracen en su cuaderno tres triángulos con las medidas indicadas:
Propósito de la actividad. Presentar un ejemplo en el que se sabe que dos lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales y el ángulo entre ellos es igual. Entonces los triángulos son semejantes.
• Un lado de 4 cm, otro de 6 cm y el ángulo comprendido entre ellos de 60°. • Un lado de 8 cm, otro de 12 cm y el ángulo comprendido entre ellos de 60°. a) Midan el tercer lado en cada triángulo. ¿Los lados de uno de los triángulos son proporcionales a los lados del otro triángulo? Argumenten su respuesta: b) Midan los ángulos de los dos triángulos. ¿Qué notan? c) ¿Son semejantes los dos triángulos? Argumenten su respuesta: d) Construyan un triángulo con un ángulo de 60° comprendido entre dos lados que sean proporcionales a 4 cm y 6 cm, ¿el triángulo construido es semejante a los anteriores?; ¿podrán construir un triángulo con estas condiciones (un ángulo igual comprendido entre dos lados que sean proporcionales a sus correspondientes en el otro triángulo) que no sea semejante a los anteriores? 124
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen sus respuestas en el apartado Consideremos lo siguiente.
Otro criterio de semejanza de triángulos es el siguiente: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados que son proporcionales a sus correspondientes en el otro triángulo. Observen que, nuevamente, tampoco es necesario conocer todos los datos del triángulo para afirmar que son semejantes. En el recuadro se enunció el tercer criterio de semejanza de triángulos que, junto con los dos que estudiaron en la sesión 2, son los tres criterios de semejanza de triángulos. Hagan un resumen en su cuaderno de los tres criterios e ilústrenlo con triángulos semejantes que cumplan las condiciones dadas en cada uno.
CÁLCULO DE DISTANCIAS
SESIóN 4
Lo que aprendimos
Sugerencia didáctica. Es necesario que lleven a cabo esta última actividad: es la recapitulación de lo que estudiaron en las sesiones 2 y 3, y constituye un repaso de los tres criterios de semejanza. Verifique que cada caso lo ilustren con triángulos semejantes y que sólo anoten las medidas que enuncia el criterio. Si lo considera conveniente, puede pedirles que lo hagan de tarea.
Una de las aplicaciones más útiles de la semejanza de triángulos es la de medir distancias inaccesibles a la medición directa.
Propósito de la sesión. Resolver problemas en los que se utilice los criterios de semejanza de triángulos.
Resuelvan los siguientes problemas. 1. Los triángulos son semejantes, ¿cuánto vale x?
3 cm
2.2 cm
x
2. En la siguiente figura, si el segmento B’C’ es paralelo al segmento BC, entonces los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. ¿Cuál criterio de semejan-
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que resuelvan primero todos los problemas excepto el 6, ya que esa actividad requiere que los alumnos salgan al patio o que lo hagan al aire libre. Es posible que no dé tiempo de realizarla el mismo día; procure que la realicen antes de iniciar la secuencia 12, ya que es una buena oportunidad para que los alumnos pongan en práctica lo que aprendieron en la secuencia.
2 cm
B Pista:
C
B'
za garantiza esto?
C'
Recuerden las relaciones entre los ángulos entre paralelas
A' 125
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Propósito del interactivo. Presentar problemas que se resuelvan utilizando la semejanza de triángulos.
Propósito del programa. Mostrar la aplicación y construcción de métodos que permitan obtener distancias que no se puedan medir directamente utilizando triángulos semejantes. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tuvieron dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de la sesión 2. Respuesta. Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales. El lado x mide 3.3 cm.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta actividad. Si tuvieron dificultades revise con ellos los apartados A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3 o revise las relaciones entre los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. Respuesta. Los ángulos correspondientes entre dos paralelas cortadas por una transversal son iguales. En este caso las rectas paralelas son las que pasan por los lados BC y B’C’. Las transversales son las que pasan por los otros dos lados de los triángulos. A es común en los dos triángulos. Entonces los triángulos tienen sus tres ángulos iguales y, por lo tanto, son semejantes.
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Respuesta. Por el problema anterior, los triángulos son semejantes. Entonces los lados correspondientes son proporcionales, x vale 7.28 cm.
3. En la siguiente figura, el segmento B´c´ es paralelo al segmento Bc, ¿cuánto vale x? B 7.20 cm
B'
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que tracen los triángulos que ilustran esta situación. Pregúnteles si esos triángulos son semejantes (sí son semejantes porque los dos triángulos tienen un ángulo recto, comparten un ángulo y el tercer ángulo es igual porque son ángulos correspondientes entre dos paralelas o también por la suma de los ángulos interiores de un triángulo).
4.20 cm
c'
4.25 cm
a'
c
x
4. Una abuelita que mide 1.55 m lleva un bastón de 1 m. Si el bastón proyecta una sombra de 0.80 m, ¿cuánto mide la sombra de la abuelita?
1.55 m
5. Juan está junto al asta bandera de su escuela, mide las sombras y se da cuenta de que la sombra del asta es 72 la de él. Si él mide 1.60 m, ¿cuál es la altura del asta?
1m
0.8 m Respuesta. La sombra de la abuelita mide 1.24 m.
6. Hagan lo siguiente: a) Consigan una vara (palo, bastón, etc.); midan su longitud. b) En algún momento que haya sol, salgan al patio, pongan la vara perpendicular al piso y midan la sombra que proyecta. c) Elijan un objeto alto cuya altura deseen calcular: un árbol, el asta bandera, el alto de la canasta de basquetbol, etcétera. d) Midan la sombra que proyecta ese objeto. e) Con esos datos calculen la altura del objeto. 126
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que tracen los triángulos que ilustran esta situación. Pregúnteles cómo pueden saber que esos triángulos son semejantes. Si tienen dificultades puede sugerirles que escriban los cocientes para establecer la razón de semejanza entre los lados correspondientes. En este caso ya conocen la razón de semejanza. Respuesta. En este problema no se da la medida de la sombra, de Juan o del asta; pero se sabe la razón de semejanza entre la sombras 7 ; esta misma relación es la que guardan las 2 estaturas. Por lo tanto, la altura del asta será 7 2 de 1.60, es decir 5.6 m.
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Sugerencia didáctica. Esta actividad es una aplicación práctica de los dos problemas anteriores. Los alumnos van a utilizar la semejanza de triángulos para calcular la altura de algún objeto sin medirla directamente. Pregúnteles por qué creen que se forman triángulos semejantes; además puede pedirles que hagan un dibujo en su cuaderno en el que representen los objetos, las sombras y los triángulos.
( )
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MATEMÁTICAS
III
7. Consideren el siguiente dibujo en el que los segmentos EF y CB son perpendiculares a la orilla del río y el segmento CD es paralelo al segmento BF.
E
a) ¿Son semejantes los triángulos ABC y CDE? Argumenten su respuesta:
Propósito de la pregunta. Que los alumnos identifiquen que los triángulos son semejantes debido a que sus ángulos correspondientes son iguales.
D
C A
13
Respuesta. El ancho del río es de 19.23 m.
5
B
F
37
b) ¿Cuánto mide de ancho el río?
Respuesta. A 240 m.
8. En la siguiente figura consideren que AB AE y DE AE . ¿A qué distancia se encuentra la isla D
de la orilla?
? A C 45 B 75
400
E
Respuesta. La suma A + B es igual a H + K. Además A + B + C = H + K + M = 180° (por la suma de los ángulos interiores de un triángulo). Entonces los ángulos C y M son iguales, por lo que los triángulos son semejantes ya que tienen los ángulos correspondientes iguales.
9. Se tienen dos triángulos ABC y HKM y se sabe que A = H y que B = K. a) ¿El tercer ángulo también es igual? b) ¿Cómo lo saben? c) ¿Los dos triángulos son semejantes? d) ¿Cómo lo saben? 10. Se traza la altura correspondiente al lado mayor de un triángulo rectángulo: observen que se forman dos triángulos dentro del triángulo original.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que uno de los criterios de semejanza enuncia que dos triángulos son semejantes si tienen iguales sus tres ángulos. Este criterio puede reducirse aún más, basta con saber que dos triángulos tienen dos ángulos iguales para garantizar que son semejantes.
a) ¿Son semejantes los dos triángulos que se forman? Argumenten su respuesta: b) Alguno de estos triángulos, ¿es semejante al triángulo original? Argumenten su respuesta:
Para saber más Sobre la semejanza de triángulos, consulten: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Semejanza_aplicaciones/triangulos_semejantes.htm [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. 127
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que determinen la medida de los ángulos de los tres triángulos. Pueden hacerlo al medir los ángulos de cada uno de ellos, o también al medir los ángulos del triángulo mayor y luego determinar los de los otros dos (conocen que cada uno tiene un ángulo recto) y por la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Respuesta. Los tres triángulos son semejantes.
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secuenci a 12
Propósito de la sesión. Conocer e interpretar los índices y su uso. Un índice es un número que se utiliza para compararlo con otros valores del mismo índice que se hayan obtenido en distintos momentos, lugares o circunstancias. Un índice en ocasiones se expresa como un porcentaje.
Índices En esta secuencia aprenderás a interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.
En esta sesión se trabaja con el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) por su importancia en la economía. El Banco de México publica y calcula el INPC desde 1969, el se utiliza como el indicador oficial de la inflación. Este índice se calcula quincenalmente a partir de la variación del precio de 315 bienes y servicios seleccionados para que representen el consumo de las familias urbanas del país. La inflación se establece como el porcentaje de variación del INPC en un periodo de tiempo, es decir, la inflación representa la variación en el gasto promedio de una familia.
sEsión 1
El índicE nacional dE prEcios al consumidor
Para empezar
¿Cómo han variado los precios de los alimentos, la ropa, los zapatos y el transporte, durante el año? Con frecuencia esta información la encontramos en la sección financiera de los periódicos y en los noticieros. La presentan generalmente mediante porcentajes, a los que se les llama índices de precios.
Consideremos lo siguiente Para contestar las preguntas y completar la tabla de los incisos, lean el siguiente artículo publicado el 23 de febrero de 2007 en un periódico de circulación nacional, con los datos del aumento del precio de la tortilla y su repercusión en el Índice Nacional de Precios al Consumidor en la primera quincena de ese mes.
Propósito del programa. Mostrar y ejemplificar la utilización de índices en diversas situaciones.
El aumento del precio de la tortilla sigue afectando la inflación: Banco de México roberto gonzález amador
El alza en el precio de alimentos y de algunos bienes ofrecidos por el sector público dispararon la inflación en la primera quincena de febrero, reportó este jueves el Banco de México (BdeM). Aunque ha perdido relevancia en la discusión pública durante los últimos días, la variación en el costo de la tortilla sigue afectando el comportamiento inflacionario, según el organismo. El Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), indicador que mide la inflación, repuntó en la primera quincena de este mes 0.14 por ciento, el doble del nivel registrado en el mismo periodo de 2006. Según el reporte, el precio de la tortilla ha mostrado un comportamiento del todo inestable en los últimos días. En la quincena reportada, la inflación promedio de la tortilla fue de 16.1 por ciento, una variación anual que fue superior en 114 veces a la reportada por el INPC. El promedio general es sólo una muestra de lo ocurrido en diferentes regiones del país. El banco central reportó que en la primera quincena de febrero la variación del
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos en caso de que no entiendan correctamente alguna parte del artículo. Si tienen un diccionario en el salón, coménteles que lo utilicen para buscar el significado de las palabras que desconozcan. En particular, es importante que conozcan y entiendan lo que es la inflación.
precio de la tortilla de maíz en Torreón, Coahuila, fue de 29.84 por ciento, 13.7 puntos arriba del promedio nacional. La segunda variación más alta ocurrió en Cuernavaca, Morelos, con 28.35 por ciento; y la tercera en Jacona, Michoacán, con 26.15. En cambio, en varias localidades la variación de precio en la quincena fue inferior al promedio nacional. Fue el caso de Tepic, Nayarit, con un incremento en el periodo de 2.4 por ciento; Ciudad Jiménez, Chihuahua, con 3.22 por ciento; y Tijuana, Baja California, con 3.35 por ciento. Además de la medición del INPC, el banco central hace otros ejercicios para determinar el comportamiento de los precios. Es el caso del ‘’índice subyacente’’, que se obtiene eliminando del cálculo del INPC los bienes y servicios cuyos precios son más volátiles, lo que permite una aproximación a las tendencias de mediano plazo de la inflación. En la primera quincena de este mes el ‘’índice subyacente’’ se incrementó 0.23 por ciento, arriba del 0.21 por ciento en el mismo periodo de 2006. Mientras, el ‘’índice no subyacente’’, donde se incorporan los precios más volátiles, disminuyó en la quincena 0.03 por ciento, cuando
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Eje
Propósitos de la secuencia Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.
Manejo de la información.
Tema
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Análisis de la información.
Subtema
1
El Índice Nacional de Precios al Consumidor Conocer e interpretar los índices y su uso.
2
Índices en la escuela Identificar y construir índices simples.
3
¿Quién es el pelotero más valioso? Calcular y utilizar diferentes índices que sirven para analizar algunos aspectos del juego de beisbol.
Programa 22
4
Más sobre índices Utilizar índices para analizar e interpretar distintas situaciones.
Interactivo
Porcentajes.
Programa 21
Antecedentes En la secuencia 21 de Matemáticas I, los alumnos utilizaron los porcentajes para resolver algunos problemas. En la secuencia 28 de Matemáticas II, los alumnos aprendieron a interpretar y utilizar gráficas de línea que representan distintas características de un fenómeno o situación. En esta secuencia aprenderán a interpretar y utilizar índices. Un índice es un número que se utiliza para estudiar y valorar las variaciones que tiene una situación en distintos momentos. En ocasiones un índice se indica como un porcentaje. 162
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MATEMÁTICAS en el periodo comparable del año anterior lo había hecho 0.22 por ciento. Esta menor disminución fue lo que explicó la mayor parte del repunte de la inflación general. Particularmen-
III
te obedeció a menores reducciones que las observadas en 2006 en algunos precios administrados (que provee el sector público) y frutas y verduras.
Fuente: Roberto González Amador. “El aumento del precio de la tortilla sigue afectando la inflación: Banco de México”, La Jornada, 23 de febrero de 2007, [recuperado el 2 de abril de 2008 de http://www.jornada.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&article=022n2eco].
Respuestas. a) Mide la inflación.
a) De acuerdo con el artículo anterior, ¿qué es lo que mide el Índice Nacional de Precios
b) 0.14%.
al Consumidor (INPC)?
c) 0.07% (la mitad de 0.14%).
b) ¿Cuál fue el valor del repunte del INPC durante la primera quincena de febrero 2007? c) ¿Y cuál fue el valor del repunte del INPC en ese mismo periodo pero en el año 2006? d) Completen la siguiente tabla con la información de la variación del precio de la tortilla que aparece en el artículo. Variación del precio de la tortilla durante la primera quincena de febrero de 2007 (en porcentaje) Torreón, Coahuila
29.84
Cuernavaca, Morelos
28.35
Jacona, Michoacán
26.15
El INPC puede utilizarse para mostrar la variación en el precio de algunos productos como el de la tortilla.
(V)
(F)
Posibles errores. Algunos alumnos responderán que el precio en Torreón en la primera quincena de febrero es de $9.66. Este precio se obtuvo al aumentar 13.7% a $8.50 (ya que la variación en Torreón fue de 13.7 puntos arriba del promedio nacional). Sin embargo, este procedimiento es incorrecto. Lo que tienen que hacer es tomar como referencia que el precio de $8.50 representa el 116.1% del precio base, el anterior a la primera quincena de febrero. Entonces deben calcular el precio en Torreón que representa el 129.84% del precio base (se divide 8.50 entre 116.1 y el resultado se multiplica por 129.84).
El aumento de la inflación durante la primera quincena de febrero de 2007 fue del doble con respecto a febrero de 2006.
(V)
(F)
Respuestas.
La principal causa del aumento en el valor de la inflación en ese periodo se atribuye a la variación en el precio de la tortilla.
(V)
(F)
e) $9.50
Tepic, Nayarit
2.4
Ciudad Jiménez, Chihuahua
3.22
Tijuana, Baja California
3.35
e) Supongan que el precio promedio del kilogramo de tortilla, durante la primera quincena de febrero, fue de $8.50, ¿cuánto costó el precio del kilogramo de tortilla en Torreón en ese mismo periodo? f) ¿Cuáles son los diferentes índices a que hace referencia el artículo? g) Anoten una
en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa:
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f) INPC, índice subyacente e índice no subyacente.
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Posibles dificultades. Aunque el artículo señala que el aumento en el precio de la tortilla afectó a la inflación, al final se indica que el repunte inflacionario tiene su mayor causa en la menor disminución de los precios más volátiles. Para identificarlo puede pedir a los alumnos que analicen la información del primero y los dos últimos párrafos del artículo. Sugerencia didáctica. Revise con todo el grupo sus respuestas a los incisos.
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secuenci a 12 Propósito de la actividad. Identificar que un índice es un número que representa diversos aspectos de una situación (en este caso, diversos precios de artículos básicos) que se miden de diferentes maneras: el índice permite conjuntarlos y analizar sus variaciones.
Manos a la obra i. A continuación se presenta otra noticia relacionada con el INPC que apareció el 20 de septiembre de 2007; léanla y respondan las siguientes preguntas. Antes de que entre en vigor el impuesto a la gasolina ya aumentaron alimentos, luz y otros
En 9 meses el actual gobierno encareció 34.17% los básicos Significa 7.5 veces el aumento a los salarios Desde diciembre la gasolina subió 3.5% roberto gonzález amador
Sugerencia didáctica. Comente que los índices pueden obtenerse de varias maneras y por diferentes entidades. En este caso se señalan otras dos instituciones oficiales que miden la variación de los precios.
En apenas nueve meses y medio de la actual administración federal, el precio promedio de los productos que integran la canasta básica de consumo registró un incremento de 34.17 por ciento, 7.5 veces el aumento a los salarios concedido a los trabajadores en enero de 2007, según reportes oficiales. Se trata de un alza de precios que comenzó con la tortilla al comienzo del año, continuó esta semana con el alza al pan blanco, y que tenderá a mantenerse en cuanto comience el ajuste al costo final de la gasolina, que ya fue autorizado en el Congreso y cobrará vigencia en cuanto sea publicado por el Ejecutivo en el Diario Oficial de la Federación. Desde diciembre de 2006, el precio de los 43 productos que integran la canasta básica de consumo (INPC) ha subido en proporciones que superan con creces al repunte de la inflación general, que oficialmente es de 4.2 por ciento anual, con excepción del de la cebolla, que ha disminuido. Esto ha ocurrido en un entorno en que el costo de la gasolina se ha elevado, de diciembre de 2006 a la fecha, en un promedio de 3.5 por ciento para ambos tipos de combustibles que ofrece Petróleos Mexicanos: Magna y Premium, según datos de la propia empresa. Organizaciones de consumidores y representantes de la oposición política al gobierno denunciaron en la última semana que el incremento al precio de la gasolina desataría una escalada de precios, como tradicionalmente ocurre en el país cuando se mueve la cotización del energético. La legislación aprobada la semana pasada en la Cámara de Diputados por los partidos Acción Nacional y Revolucionario Institucional establece que, en cuanto entre en vigor el nuevo impuesto, el precio se elevará dos centavos por mes durante un año y medio. Es decir, 36 centavos desde el valor actual. El Banco de México estimó que la aplicación gradual del impuesto al consumo de gasolina tendrá un impacto mínimo en el Indice
Nacional de Precios al Consumidor, indicador que mide el comportamiento de la inflación. Aun antes de que el efecto del nuevo precio de la gasolina se comience a expresar en la lista de precios de los productos de mayor consumo, las variaciones ocurridas en los últimos meses ya han superado con creces el aumento otorgado a los salarios. En enero, el salario mínimo general tuvo un incremento de 4.1 por ciento. A mediados de este año, según el Banco de México, el incremento promedio en los salarios contractuales era de 4.26 por ciento y de 4.75 por ciento en el caso del aumento de los emolumentos en el sector manufacturero. El incremento en las percepciones representa una fracción del alza registrada en el precio de los bienes de consumo básico, aun antes de que se comience a registrar el impacto de las gasolinas. Aunque los promotores del nuevo impuesto aseguran que no debe tener un impacto inflacionario, en comercios han comenzado a observarse algunas variaciones. Desde diciembre de 2006 y hasta el 15 de septiembre pasado, el precio promedio de la canasta básica se elevó en 34.17 por ciento, mientras el costo promedio de los alimentos considerados en ese universo repuntó 36.01 por ciento, estableció una medición de la Procuraduría Federal del Consumidor y de la Secretaría de Economía. Algunos ejemplos son: en diciembre de 2006 el precio de un kilogramo de harina de trigo era de 5.25 pesos, que creció la semana pasada a 10.50 pesos, un alza de 100 por ciento; el pan de caja en presentación de 680 gramos elevó su costo, en el mismo periodo, de 13.90 a 19.7 pesos, esto es, 41.6 por ciento. Ambos movimientos son consistentes con el alza en el precio internacional del trigo. Fuente: Roberto González Amador. “En 9 meses el actual gobierno encareció 34.17% los básicos”, La Jornada, 20 de septiembre de 2007, [recuperado el 2 de abril de 2008 de http://www.jornada.unam. mx/2007/09/20/index.php?section=economia&article=033n1eco].
a) Según la noticia del periódico, ¿cuántos son los productos que se consideran parte de la canasta básica? b) De diciembre de 2006 a la fecha en que se publica el artículo, ¿cuál es el repunte de la inflación general? 130
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Respuestas. a) 43 productos. b) 4.2%.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. c) 3.5%.
c) ¿Y cuál es el aumento promedio que ha tenido la gasolina en ese mismo periodo? d) ¿Por qué creen que organizaciones de consumidores consideran que afectaría el aumento del precio de la gasolina al INPC? e) Completen la siguiente tabla:
Productos
Presentación del producto
Precio del producto en $
Precio del producto en la primera quincena de septiembre de 2007 comparado con diciembre de 2006
Diciembre 2006
15 septiembre 2007
Porcentaje
8.50
141.6
41.6
Variación
Tortilla*
(kg)
6.00
Harina
(kg)
5.25
10.50
200
100
(680 g)
13.90
19.70
141.6
41.6
Pan de caja
*Datos que corresponden a la Ciudad de México. Fuente: Sistema Nacional de Información e Integración de Mercados (SNIIM). Secretaría de Economía.
f) Supongan que únicamente los tres productos de la tabla se consideran para calcular el Índice Nacional de Precios al Consumidor, ¿cuál sería el porcentaje promedio del precio de estos tres productos?
Posibles dificultades. Si observa que tienen dificultades, aclare a los alumnos que la columna de porcentaje indica la comparación entre los precios en los dos momentos, y que se obtiene al dividir el precio de septiembre de 2007 entre el precio de diciembre de 2006 y multiplicar el resultado por 100.
161.1%
¿Y cuál sería la variación promedio del precio de los tres productos?
61.1%
g) ¿Cuál de los tres productos de la tabla tuvo un aumento mayor en su precio (expresado en porcentaje) que el porcentaje promedio de diciembre de 2006 al 15 de septiembre de 2007?
Propósito de la pregunta. Aunque la respuesta a esta pregunta no está explicitada en el artículo que leyeron, se espera que los alumnos logren identificar la importancia de la gasolina, ya que es el combustible que se utiliza para la mayoría de los medios de transporte y un aumento en su precio repercute en los costos de producción y distribución.
La harina
A lo que llegamos Respuesta. El porcentaje promedio se calcula al sumar los tres porcentajes que obtuvieron y dividir el resultado entre tres. El resultado que obtengan representa el INPC de los tres productos.
El porcentaje promedio del precio de esos tres productos es un índice y se puede utilizar como referencia para observar cuál ha sido su variación de diciembre de 2006 al 15 de septiembre de 2007. II. Ahora a la tabla anterior agreguen la información acerca de la gasolina. a) ¿Qué dato anotarían en la columna de presentación del producto?
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, en este caso, el porcentaje promedio representa el INPC y la variación promedio representa la inflación.
b) ¿Cuál sería el INPC considerando estos cuatro productos? c) Supongan que a partir de la información anterior tienen que elaborar una nota periodística. Redacten una frase que pudiera servir como encabezado para esa nota.
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Respuestas. a) (litros). b) 146.675. Se calcula al sumar los tres porcentajes indicados en la tabla (141.6, 200 y 141.6) con el porcentaje que corresponde a la gasolina (103.5, ya que la gasolina subió un 3.5%) y obtener el porcentaje promedio para los cuatro productos.
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuáles son algunos de los bienes y servicios que se mencionan.
Propósito de la sesión. Identificar y construir índices simples. Los índices simples se refieren a una sola magnitud o concepto, y se utilizan para analizar las variaciones que ha tenido esa magnitud en periodos distintos. En esta sesión esa magnitud es el número de alumnos inscritos en secundaria en un ciclo escolar. Para los índices simples se especifica uno de los valores como el valor base. Desde el punto de vista aritmético, cualquier valor puede ser la base, pero en la práctica se busca que ese valor sirva como punto de partida o como referencia de lo que se quiere comparar.
secuenci a 12
A lo que llegamos El índice es un número, que puede estar en forma de porcentaje, mediante el cual se resume o expresa un conjunto de valores que corresponde a diversos elementos que intervienen en una situación y, también, se utiliza para establecer comparaciones dentro de esa situación. Un ejemplo de este tipo de índice es el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) que es un indicador económico; su finalidad es medir a través del tiempo la variación de los precios de un conjunto de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares mexicanos. El INPC es el indicador oficial de la inflación en México.
sEsión 2
ÍndicEs En la EscuEla
Para empezar
Los índices no sólo se utilizan en la economía y las finanzas. También se usan en muchas otras áreas, por ejemplo, en la educativa, para describir el comportamiento de diversos fenómenos. Algunos ejemplos son el índice de reprobación, de deserción (alumnos que no concluyen sus estudios) y de eficiencia terminal (alumnos que concluyen sus estudios en tiempo y forma). Estos índices son los más representativos en relación con el éxito o fracaso escolar.
Consideremos lo siguiente
Sugerencia didáctica. En la primera parte de la sesión, el ciclo escolar base es 1993-1994, se escoge este ciclo porque es el año a partir del cual la secundaria es obligatoria. Pregunte a los alumnos qué creen que ocurrió con la matrícula en secundaria a partir de ese año escolar.
A partir del ciclo escolar 1993-1994, la educación secundaria es parte de la educación básica en México, es decir, es obligatoria. La siguiente tabla muestra el número de alumnos que ingresaron a secundaria (matrícula) en el ciclo escolar 1993-1994; tomamos como referencia este dato para comparar la matrícula del ciclo 2000-2001 y obtener su variación. Continúen considerando la matrícula del ciclo escolar 1993-1994 como referente para comparar los otros ciclos escolares y completen la tabla. Matrícula escolar en educación secundaria – Tabla 1
Sugerencia didáctica. Es posible que a los alumnos les cueste trabajo identificar cómo se obtiene el porcentaje (se divide la matrícula de otro ciclo escolar entre la matrícula del ciclo escolar 1993-1994 y se multiplica el resultado por 100). Permita que intenten calcularlo con sus propios procedimientos.
Ciclo escolar
Matrícula (en miles de alumnos)
Porcentaje
Variación de la matrícula en porcentaje
1993-1994
4 340
100.00
0
2000-2001
5 350
123.27
23.27
2001-2002
5 480
126.26
26.26
2002-2003
5 660
130.41
30.41
2003-2004
5 780
133.17
33.17
2004-2005
5 894
135.80
35.80
Fuente: SEP. Estadísticas Básicas del Sistema Educativo Nacional 132
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. 35.80% y un valor cercano a 6 000 000.
¿Cuál es el porcentaje en que aumentó la matrícula del ciclo escolar 2004-2005 con
Sugerencia didáctica. Revise con los alumnos los procedimientos con los que estimaron la matrícula del ciclo 2005-2006. Algunos pudieron fijarse en el cambio en la matrícula y otros en el cambio en los porcentajes. Coménteles que uno de los usos de los índices es estimar el comportamiento de una situación en el futuro.
respecto de la matrícula del ciclo escolar 1993-1994? Si utilizan la información del ciclo escolar 2004-2005, ¿cuántos alumnos se espera que estuvieran inscritos en el ciclo 2005-2006?
¿Por qué?
Manos a la obra I. Utilicen los datos de la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas. Pueden usar calculadora para realizar las operaciones. a) En el ciclo escolar 1993-1994, ¿cuál fue la matrícula de alumnos?
Sugerencia didáctica. Revise las respuestas con todo el grupo.
b) Completen la siguiente tabla para conocer la variación que ha tenido la matrícula de alumnos de secundaria en los ciclos escolares a partir del ciclo escolar 1993-1994. Tabla 2 Ciclo escolar
Matrícula Diferencia = matrícula – matrícula (en miles de alumnos) en el ciclo 1993-1994
1993-1994
4 340
2000-2001 2001-2002
% de diferencia = (diferencia / matrícula en el ciclo 1993-1994) × 100
Posibles errores. Algunos alumnos responderán que la matrícula es de 4 340. Comente con ellos que es importante leer correctamente la información de la tabla. En este caso se indica que las cifras están en miles.
0
0
5 350
1 010
(1 010 ÷ 4 340) × 100 = 23.27
5 480
1 140
26.26
2002-2003
5 660
1 320
30.41
2003-2004
5 780
1 440
33.17
Respuesta.
2004-2005
5 894
1 554
35.80
a) 4 340 000
c) Observen en la tabla que el ciclo escolar 1993-1994 muestra un valor de 0. ¿Qué representa este valor?
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué creen que se toma el ciclo escolar 19931994 como referencia.
d) Comparen el porcentaje de diferencia que obtuvieron para el ciclo escolar 2000-2001 con el de la columna Variación de la matrícula en porcentaje de la tabla 1 del apartado Consideremos lo siguiente, ¿son iguales o diferentes? ¿Por qué? e) De acuerdo con los resultados que obtuvieron, completen la siguiente conclusión:
Respuestas.
Desde el ciclo escolar 1993-1994 hasta el ciclo escolar 2003-2004, la matrícula de
aumentado , según se observa el porcentaje fue 133.17% con una variación de 33.17% En el ciclo escolar 2004-2005, el porcentaje fue de 135.80 con respecto al ciclo escolar 1993-1994. La variación fue de 35.80%
alumnos ha
c) Representa que ahí no hay cambio porque ése es el ciclo base. d) Son iguales porque ambos miden la variación en el número de alumnos en el ciclo 2000-2001 con respecto al ciclo 1993-1994. 133
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Posibles dificultades. En esta actividad se trabaja con valores menores que el de la base, y los alumnos podrían tener dificultad para identificar que la variación, en esos casos, debe ser un porcentaje negativo. Coménteles que la variación siempre se expresa a partir de la base.
secuenci a 12 ii. Si ahora consideran como referente la matrícula del ciclo escolar 2003-2004, es decir, el número de alumnos inscritos en educación secundaria 10 años después de ser obligatoria, ¿qué porcentaje representan los números de alumnos que se han inscrito en los demás ciclos escolares? Anótenlos en la siguiente tabla:
Respuestas. a) Porque se está analizando la variación de los demás ciclos con respecto a ese ciclo base.
Ciclo escolar
Matrícula (en miles de alumnos)
1993-1994
4 340
75.08
–24.92
2000-2001
5 350
92.56
–7.44
2001-2002
5 480
94.80
–5.20
2002-2003
5 660
97.92
–3.08
2003-2004
5 780
100.0
0.0
2004-2005
5 894
101.9
1.9
Porcentaje
Variación
a) Observen en la tabla que el ciclo base o de referencia muestra un porcentaje de 100.
b) Significa que la matrícula aumentó. El aumento es el que indica el 1.9%.
¿Por qué? b) En el ciclo escolar 2004-2005 se muestra un porcentaje de 101.9, ¿qué significa
c) Sí. Porqué la matrícula es menor en los años anteriores al ciclo escolar 2003-2004.
ese valor?
d) 75.08%
¿Y qué significa el valor de 1.9?
c) ¿En algún ciclo escolar el porcentaje es menor que 100?
Sugerencia didáctica. Revise con todo el grupo sus respuestas a las dos actividades.
¿Por qué?
d) De acuerdo con la matrícula del ciclo escolar 2003-2004, ¿qué porcentaje representa el número de alumnos que se inscribieron en el ciclo escolar 1993-1994?
A lo que llegamos Cuando se comparan dos cantidades del mismo tipo pero medidas en distintos lugares, momentos o circunstancias, se obtiene un índice simple. Para calcular el valor de un índice simple se divide el valor que se quiere comparar entre un valor que se toma como referencia, llamado base. Si el índice simple se quiere expresar en forma de porcentaje, ese cociente se multiplica por 100.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Obtener el valor índice a partir de relacionar dos conjuntos de datos en los que se tiene la misma unidad (en miles de alumnos, un conjunto corresponde a los alumnos reprobados y el otro a la matrícula).
III. La siguiente tabla muestra el número de alumnos reprobados en secundaria en el ciclo escolar 2003-2004 en algunos estados del país, encuentren el índice de reprobación en cada estado. Alumnos reprobados (en miles)
Estado
Matrícula (en miles de alumnos)
Índice de reprobación (en %)
Aguascalientes
6.5
62
10.48
Coahuila
10.3
135
7.62
Chiapas
14.2
249
5.70
Guerrero
16.9
181
9.33
Hidalgo
9.0
155
5.80
Nayarit
2.4
56
4.28
Yucatán
16.7
102
16.37
Nacional
555
5 780
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que, en esta actividad, ya no se trabaja con un índice simple, pero se sigue comparando una sola magnitud (la cantidad de alumnos).
Respuestas. a) Se divide el número de alumnos reprobados entre la matrícula y se multiplica el resultado por 100.
9.6
a) Escriban cómo se podría comparar el número de alumnos reprobados con respec-
b) En Yucatán.
to a la matrícula de alumnos, en cada caso.
c) No. El estado con el mayor número de alumnos reprobados es Guerrero.
b) ¿En qué estado fue mayor el porcentaje de reprobación?
d) Aguascalientes y Yucatán.
c) ¿Coincide con el estado que tiene el mayor número de alumnos reprobados?
¿Por qué?
d) Con respecto al porcentaje de reprobación nacional, ¿cuáles estados tienen un
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué otros índices pueden ser útiles para reforzar la educación.
porcentaje mayor a éste? Entre otros fines, se utiliza esta información para valorar la necesidad de reforzar los contenidos educativos y programas complementarios para disminuir estos índices.
Para la siguiente sesión, puede pedir a los alumnos que investiguen cómo se juega beisbol.
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Propósito de la sesión. Calcular y utilizar diferentes índices que sirven para analizar algunos aspectos del juego de beisbol.
secuenci a 12 sEsión 3
¿Quién Es El pElotEro más valioso?
Para empezar
El beisbol es un deporte que se juega con una bola dura y un bat entre dos equipos de nueve jugadores cada uno. Un partido de beisbol se divide en nueve periodos de juego, cada uno de los cuales se llama entrada o inning. El equipo que anote más carreras a lo largo de las nueve entradas gana el partido. El juego comienza cuando un jugador llamado lanzador o pitcher, lanza la bola hacia el bateador del equipo contrario quien intenta batear (golpear con el bat) la bola hacia el interior del terreno de juego. Los jugadores anotan carreras bateando la bola y corriendo alrededor de una serie de 4 bases, antes de que les elimine algún jugador de campo del equipo contrario. Si un bateador alcanza una base bateando una bola de forma que los jugadores del equipo contrario no consigan atraparla con éxito, el jugador ha conseguido un hit, y el corredor intenta avanzar, sin que le eliminen, el mayor número de bases posible. El hit con el que el bateador consigue alcanzar la segunda base se llama doble; con el que alcanza la tercera, se llama triple. Si un jugador al batear la bola sale volando por encima de la zona de juego y cae fuera de los límites es un cuadrangular o homerun.
Sugerencia didáctica. Puede pedir a los alumnos que expliquen brevemente en qué consiste el beisbol.
Las entradas están divididas en dos mitades, llamadas principio y final de entrada. Durante el principio de una entrada, un equipo batea mientras el otro está en el campo. Cuando el equipo que batea tenga tres jugadores eliminados, los dos equipos intercambian sus papeles y comienza el final de una entrada. Si el resultado permanece empatado al final de nueve entradas, los dos equipos continúan jugando hasta que, al final de una o más entradas suplementarias, uno de los dos anote más carreras que el otro.
Sugerencia didáctica. Si tienen dudas con los términos utilizados (bases alcanzadas y carreras empujadas), comente que, para calcular el número de bases alcanzadas, se contabiliza cada sencillo como una base alcanzada, un doble como dos bases, un triple como tres y un cuadrangular como cuatro.
En el caso del beisbol, como en muchos otros, hay situaciones que se miden a partir de varios índices, cada uno de los cuales determina un aspecto diferente de la situación. Por ejemplo, para medir el rendimiento de un jugador de beisbol se necesita conocer la frecuencia, calidad y oportunidad de los hits que “conecta”. Para conocer más sobre este deporte puedes consultar la página de internet que se señala en el apartado Para saber más.
También puede comentarles que un jugador obtiene una carrera empujada cuando, debido a su bateo, ya sea que conecte de hit o alguna otra jugada, otro jugador o él mismo, anota una carrera.
Consideremos lo siguiente La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos por tres jugadores de beisbol. Tabla 1
Los alumnos podrían proponer que es mejor jugador el A debido a los números que tiene; habrá quienes consideren que el jugador B tiene un mejor desempeño porque ha empujado más carreras. En caso de que todos consideren el mismo jugador, cuestiónelos resaltando la importancia de algunos de los otros aspectos que se presentan en la tabla y en los que tengan mejores números los otros jugadores.
Número de hits
Jugador
Número de turnos al bat
Sencillos
Dobles
Triples
Cuadrangulares (homeruns)
Número de bases alcanzadas
Número de carreras empujadas
A
500
100
30
10
10
230
30
B
500
120
20
10
—
190
35
C
250
30
20
—
20
150
30
¿Cuál de los tres jugadores consideran que tiene mejor desempeño como beisbolista?
Justifiquen sus respuestas.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de las actividades. Calcular tres índices que se utilizan para evaluar la efectividad de los peloteros: el promedio de bateo, el promedio de bateo efectivo y el índice de carreras empujadas.
Manos a la obra I. A la frecuencia relativa con que pega de hit un jugador se le llama promedio de bateo (PB) y es la razón entre el número de hits (sencillos, dobles, triples y cuadrangulares) y el número de turnos al bat. En la siguiente tabla calculen el promedio de bateo de cada uno de los tres jugadores (se acostumbra utilizar tres cifras decimales para este promedio, por ejemplo, 0.270).
El total se calcula sumando el número de hits (sencillos + dobles + triples + cuadrangulares).
Tabla 2 Número de hits
Jugador
Número de turnos al bat
Sencillos
Dobles
Triples
Cuadrangulares (homeruns)
Total
Promedio de bateo (Número total de hits / Número de turnos al bat)
A
500
100
30
10
10
150
0.300
B
500
120
20
10
—
150
0.300
Respuestas.
C
250
30
20
—
20
70
0.280
a) No, porque sólo se contabiliza el número de hits. b) Deben analizarlo de acuerdo al tipo de hits que conecta cada jugador.
a) ¿Para tener un mejor promedio de bateo, influye el tipo de hit que se pegue? ¿Por qué?
c) Los jugadores A y B.
b) De acuerdo con la distribución del tipo de hits que ha dado cada beisbolista, ¿cuál jugador consideran que es mejor? c) ¿Cuál jugador tiene mejor promedio de bateo? II. El promedio de porcentaje de bateo efectivo (en inglés slugging) es el número de bases alcanzadas por un bateador entre sus turnos al bat. En la siguiente tabla calculen el promedio de bateo efectivo para los tres jugadores. Tabla 3 Jugador
Número de turnos al bat
Número de bases alcanzadas
A
500
230
B
500
C
250
Promedio de bateo efectivo (número de bases alcanzadas / número de turnos al bat)
0.460
Respuestas.
190
0.380
a) El jugador C.
150
0.600
b) No.
[(100 × 1) + (30 × 2) + (10 × 3) + (10 × 4)] / 500 =
c) El jugador C conectó muchos cuadrangulares, por lo que su promedio de bateo efectivo es más alto, aunque su promedio de bateo sea menor que el de los otros jugadores porque no conectó tantos hits.
a) ¿Cuál es el jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo? b) ¿El jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo también tiene el mejor promedio de bateo (PB)? c) Expliquen por qué puede ocurrir esta situación 137
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secuenci a 12 iii. En el beisbol, con mucha frecuencia, al final de cada entrada (turno a batear de cada equipo), quedan corredores en alguna o algunas de las bases, indicación de que no todos los hits se convierten en anotaciones o carreras. Por lo que es muy valorado aquel beisbolista que es capaz de pegar de hit teniendo jugadores en alguna base con posibilidades de anotar una carrera. La oportunidad de un hit se mide con el índice de carreras empujadas, el cual se obtiene dividiendo el número de carreras empujadas por el jugador entre el número de hits que conectó. Completen la tabla 4 y calculen el índice de carreras empujadas. Tabla 4
Respuestas. a) El jugador C.
Jugador
Número de hits
Número de carreras empujadas
Índice de carreras empujadas (número de carreras empujadas / número de hits)
A
150
30
0.200
B
150
35
0.233
C
70
30
0.428
a) ¿Cuál es el jugador que tiene mejor índice de carreras empujadas?
b) No.
b) ¿El jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo y mejor promedio de bateo también tiene el mejor índice de carreras empujadas?
Expliquen
por qué ocurre esta situación iV. Completa la tabla 5 concentrando los indicadores de cada jugador que obtuvieron en las tablas anteriores. Tabla 5 Promedio de bateo
Promedio de bateo efectivo
A
0.300
0.460
0.200
B
0.300
0.380
0.233
C
0.280
0.600
0.428
Jugador
Sugerencia didáctica. Analicen entre todos la respuesta a la pregunta de quién es el jugador más valioso. En particular es importante que identifiquen en qué ayudan los índices a responderla.
Índice de carreras empujadas
a) De acuerdo con los resultados, ¿quién tiene el máximo promedio de bateo?
Respuestas.
b) ¿Quién tiene el máximo promedio de bateo efectivo?
a) Jugadores A y B.
c) Si se consideran los tres porcentajes de cada jugador, ¿cuál jugador de beisbol consideran que es más valioso?
b) Jugador C. c) Jugador C. Porque empuja más carreras y batea mejores hits.
Justifiquen su respuestas. 138
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que investiguen otro ejemplo de un índice y que indiquen cómo se calcula y su utilidad.
A lo que llegamos Existen muchas formas de construir un índice; desde métodos muy sencillos, hasta aquellos que pueden combinar varios índices agregados. • Los índices simples son los más utilizados debido a su sencillez. Para crearlos únicamente es necesario comparar el valor de la variable estudiada contra el valor que se utilizará como referencia o base. • En otras ocasiones es necesario crear un índice que incluya un conjunto de productos. Para construir este tipo de índices es necesario conocer tanto el valor como la cantidad de cada producto. Su desventaja es que cuando se incluyen productos con distintas unidades de medida o existen grandes diferencias entre los valores de los productos, el valor del índice se afecta. Existen situaciones en las que un solo índice puede ser útil para valorar una parte de la situación, pero es insuficiente para valorar la situación en toda su complejidad. Por ejemplo, en el caso del beisbol se tienen tres índices, el porcentaje de bateo, porcentaje de bateo efectivo y el porcentaje de carreras empujadas. Sin embargo, aun tomados en conjunto, si se quiere comparar la capacidad ofensiva total de un jugador, se requiere considerar otros resultados como, por ejemplo, su habilidad de “robar bases”. Otro ejemplo, los cambios del costo de la vida en un determinado tiempo se miden en parte por el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), pero sin duda también influyen otras cuestiones como los salarios, la posibilidad de acceder a salud y educación de manera gratuita, etcétera. Uno de los deportes en que México ha tenido importantes representaciones es el de los clavados. Para determinar el ganador de una competencia de clavados, un conjunto de 8 jueces califican, por rondas, elementos objetivos y subjetivos de cada clavado.
Más sobrE índicEs
sEsión 4
Propósito del programa. Mostrar y ejemplificar el sistema de calificaciones utilizado en los clavados. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la sesión. Utilizar índices para analizar e interpretar distintas situaciones.
1. Solicita al profesor o director que te proporcione la información sobre las estadísticas del ciclo anterior; completa con ella la siguiente tabla: Grado
Inscripción Bajas Altas * **
Existencia = Inscripción – bajas + altas
Porcentaje de deserción *** = (Inscripción – existencia / inscripción) × 100
Primero Segundo
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos la actividad III del Manos a la obra de la sesión 2.
Tercero Total * Inscripción: alumnos inscritos antes del 30 de septiembre. ** Altas: alumnos inscritos después del 30 de septiembre. *** Deserción: alumnos que no concluyen sus estudios. 139
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Sugerencia didáctica. En caso de que no cuenten con los datos, pida a los alumnos que inventen una situación en una escuela y que la analicen a partir de los índices.
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secuenci a 12 a) ¿En qué grado o grados la existencia fue menor a la inscripción? b) Considera como base los resultados totales, ¿en algún grado el porcentaje de deserción fue mayor al del total? c) ¿Qué significa esta situación?
Propósito del interactivo. Ayudar a los alumnos a leer e interpretar gráficas de este tipo cuantitativa y cualitativamente.
2. La siguiente gráfica corresponde al porcentaje de deserción en secundaria por estado en el ciclo escolar 2003-2004.
Porcentaje
Deserción en secundaria por entidad federativa, 2003-2004 14.0
Porcentaje de deserción nacional
13.5 13.0 12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0
VER
ZAC
YUC
TAB
TLAX
SON
QR
SIN
SLP
QRO
NL
PUE
OAX
NAY
MOR
JAL
MEX
MICH
GRO
HGO
DF
GTO
DGO
COL
CHIS
CHIH
COAH
BC
BCS
TAMPS
Respuestas.
CAMP
0.0
AGS
0.5
Entidades
Fuente: SEP, estimaciones a partir de las Estadísticas Básicas del Sistema Educativo Nacional.
a) Guerrero. a) ¿Cuál es el estado con mayor porcentaje de deserción escolar?
b) Coahuila.
b) ¿Y cuál es el estado con menor porcentaje de deserción?
c) 7.75%.
c) ¿Cuál es el porcentaje de deserción nacional en secundaria?
d) 12 estados.
d) Con respecto al porcentaje de deserción nacional, ¿cuántos estados están por arri-
e) 19 estados (Guanajuato está exactamente en 7.75%).
ba de él? e) ¿Cuántos estados están por debajo de él? 140
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MATEMÁTICAS
III
3. La siguiente gráfica muestra el índice de reprobación total del nivel secundaria y el índice de reprobación entre cada grado de ese nivel (se llama intracurricular). Reprobación en secundaria por entidad federativa, 2003-2004
Intracurricular Total
Porcentaje
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 2 1
ZAC
VER
YUC
TLAX
TAB
TAMPS
SIN
SON
QR
SLP
PUE
QRO
NL
OAX
NAY
MOR
MICH
JAL
MEX
HGO
GTO
GRO
DF
DGO
CHIH
COL
CHIS
COAH
CAMP
BC
BCS
AGS
0
Entidades
Fuente: SEP, estimaciones a partir de las Estadísticas Básicas del Sistema Educativo Nacional.
Respuestas. a) ¿Cuánto más aumentó la reprobación intracurricular con respecto a la reproba-
a) Aumentó en 8.5 puntos porcentuales.
ción total en Aguascalientes?
b) Campeche (29.5%).
b) ¿En qué entidad o estado la reprobación intracurricular fue mayor?
c) No.
c) ¿El estado con mayor reprobación total es el mismo que tiene mayor reprobación
d) Baja California Sur, Chiapas y Nayarit (8%).
intracurricular? d) ¿Qué estado tiene la menor reprobación intracurricular?
Sugerencia didáctica. Puede pedirles que cada equipo escoja un estado distinto y que escriban sus conclusiones en una cartulina para que lo presenten a los demás.
4. Consideren los valores de los índices de deserción, de reprobación nacional y de reprobación intracurricular de los problemas 2 y 3 para contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuál consideran que es el estado que tiene mayores problemas en estos aspectos? ¿Por qué?
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secuenci a 12 b) Nuevamente, utilicen la información de los problemas 2 y 3. Comparen ese estado con respecto a la valores de los indicadores a nivel nacional, escriban una conclusión y preséntenla a su grupo. c) Observen los indicadores que corresponden al estado en que viven. Con respecto a los indicadores nacionales, ¿cómo se encuentran los indicadores de su estado, son superiores o inferiores? Describan cuál es la situación de los indicadores de su estado con respecto a los otros estados y a nivel nacional, y preséntenla a su grupo. 5. El Índice de Desarrollo Social (IDS) permite identificar contrastes y marcadas desigualdades entre los habitantes de una entidad, municipio o localidad. Se forma al considerar aspectos de educación, salud, trabajo y vivienda. Este índice se clasifica en cinco categorías: Categoría
Valor del índice
Muy alto
0.875-1.0
Alto
0.750-0.874
Medio
0.625-0.749
Bajo
0.500-0.624
Muy bajo
Menos de 0.5
La siguiente gráfica muestra el índice de desarrollo social por grupo de edad.
Índice de desarrollo social
Índices de desarrollo social por grupo de edad, 2000 1.000 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0
0-5
6-14
15-24
25-44
45-59
60 ó más
Grupo de edad
Fuente: Estimación del Consejo Nacional de Población con bases en el XII Censo de Población y Vivienda, 2000.
Respuestas.
a) ¿Cuál grupo de edad tiene el mayor índice de desarrollo social? ¿En qué categoría se encuentra?
a) El de 25-44. Está en la categoría alto.
b) ¿Cuál es el índice de desarrollo social de la población entre 6 y 14 años?
b) Es de 6.5. Está en la categoría medio.
¿En que categoría se encuentra?
c) Es de 5.5.
c) ¿Cuál es el menor índice de desarrollo social? 142
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
d) ¿Cuál es el grupo de edad a que corresponde ese índice?
d) 60 o más.
e) ¿En qué categoría se encuentran?
e) Bajo.
¿Por qué crees que este grupo
de edad tiene menor índice de desarrollo social?
Sugerencia didáctica. Analice con todo el grupo sus respuestas al inciso e).
6. Vayan a una tienda cerca de su casa o escuela. Obtengan el precio y la presentación de cuatro productos que consideren básicos (por ejemplo: arroz, fríjol, harina, aceite) u otros productos que el equipo decida. Anoten la fecha y regresen en un mes a preguntar por la misma información. a) ¿Qué problemas tuvieron para recolectar dicha información?
b) ¿Ha cambiado el precio de esos productos? c) Utilicen un índice para expresar dichos cambios y escriban una conclusión.
Para saber más Sobre índices en la educación básica, consulten: http://sieeb.basica.sep.gob.mx Secundaria Ruta 1: Estadística por servicio de la Educación Básica Seleccionar según su interés el ciclo escolar, modalidad, nivel y sostenimiento. estadística de la educación básica. Ruta 2: Reportes interactivos Seleccionar según su interés el ciclo escolar, nivel educativo, modalidad, Sostenimiento y entidad federal. [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Sistema de Información de Estadística de la Educación Básica. SEP.
Se sugiere que dedique tiempo para registrarse antes de que sus alumnos accedan a la página. Este sitio requiere que su explorador de Internet tenga habilitada la opción de ventanas emergentes (pop up ).
Sobre cómo se juega el beisbol, consulten: http://www.ibaf.tv/es/index.php?option=com_content&task=view&id=22&Itemid=45 [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Federación Internacional de Beisbol. Sobre el índice nacional de precios al consumidor, consulten: http://www.banxico.org.mx/inpc [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Definición Importancia Papel del Banxico. Ruta 1: INPC Medición Proceso Identificación Ruta 2: Elaboración INPC Base de comparación Importancia. Ruta 3: Cambio de base
Obtención
Cálculo INPC.
Sobre el índice de desarrollo social, consulten: http://www.conapo.gob.mx/publicaciones/desarrollo/001.pdf [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008]. Consejo Nacional de Población. 143
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Propósito de la sesión. Definir qué es simulación y cuáles son las condiciones que se deben cumplir para realizar una simulación adecuada.
secuenci a 13
Simulación
Propósito de la actividad. En este apartado se pretende plantear a los alumnos un escenario en el que la simulación puede dar información sobre lo que ocurriría en la situación real. Sugerencia didáctica. Es importante que los estudiantes comprendan de qué se trata el problema antes de empezar a resolver la sesión. Para ello puede ser útil comentar algunas situaciones que muy posiblemente les sean familiares, como las votaciones en las que se elige al presidente del país.
En esta secuencia aprenderás a resolver situaciones en las que interviene el azar mediante un proceso denominado simulación, que consiste en diseñar, para una situación aleatoria real, una segunda situación aleatoria cuyos eventos tengan la misma probabilidad de ocurrir que en la primera, con la ventaja de que en esta segunda situación podemos observar, calcular y utilizar los resultados para obtener información de la situación original.
SeSIÓN 1
SIMULACIÓN
Manos a la obra i. Una compañía que vende paquetes de cereales busca incrementar sus ventas ofreciendo animales de plástico, uno por cada paquete. Son tres animales diferentes (elefantes, leones y jirafas) y se distribuyen de manera uniforme en las cajas de cereal de esa compañía. Si hoy comprara una caja de cereal de esa compañía, ¿cuál sería la probabilidad de que me toque un elefante?
Es común que antes de las votaciones se hable de “encuestas” que señalan como “virtual ganador” a tal o cual candidato. Pregúnteles ¿cómo creen que se obtiene esta información? Después de oír sus opiniones, coménteles que lo que se hace regularmente es obtener una muestra representativa de la población total, es decir, que refleje las características de ésta (por ejemplo, edad, nivel socioeconómico, género). A esa muestra se le aplica la encuesta y con ello se tiene un resultado que se presume será parecido al de las votaciones reales. También se utilizan programas de cómputo que simulan la situación sin necesidad de hacer encuestas.
Una opción sería comprar muchas cajas de cereal con base en las figuras de animales que salgan y realizar el cálculo. Otra, más económica consiste en utilizar alguno de los siguientes materiales y realizar con ellos una simulación de cuál animal de plástico podría salir en una de esas cajas de cereal.
1
Respuesta. Cada juguete tiene probabilidad de 1 porque están distribuidos uniformemente. 3 Si se usa el dado se puede pensar en definir qué resultados corresponden a “elefante”, cuáles a “jirafa” y cuales a “león” (2 números para cada animal). La urna con las canicas también sirve: cada color sería un animal.
a) Completen las siguientes tablas: 144
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Propósito del programa. Explicar y ejemplificar qué es una simulación en situaciones en las que interviene el azar. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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2
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Sugerencia didáctica. Dé a los alumnos un tiempo para que resuelvan la actividad individualmente. Luego pídales que, por parejas, justifiquen su respuesta. Después analicen juntos los resultados que obtendrían con cada objeto y, finalmente, pregunte si se relacionan o no con el problema. Por ejemplo, podría plantearles qué ocurriría si de la urna quitan 1 canica para que queden sólo 5, ¿sigue siendo útil para simular la situación o no? ¿Por qué?
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MATEMÁTICAS Material:
Dado
III
Material:
Urna de canicas
Resultados posibles que pueden obtenerse al extraer una canica
Resultados posibles que pueden obtenerse al lanzar un dado
Entre una extracción y otra, ¿será necesario regresar la canica a la caja? ¿Por qué?
¿Cuáles de los resultados posibles de lanzar un dado representarían que el animal de plástico que salió de la caja de cereal era un elefante?
¿Cuáles de los resultados posibles de extraer una canica representarían que el animal de plástico que salió de la caja de cereal era un elefante?
¿Cuáles corresponderían a una jirafa?
¿Cuáles corresponderían a una jirafa?
¿Cuáles corresponderían a un león?
¿Cuáles corresponderían a un león?
Sugerencia didáctica. Si los resultados que han considerado los alumnos no son adecuados, se espera que al realizar el experimento se den cuenta de esas imprecisiones. Por ello, es muy importante que usted los acompañe al realizar estas actividades y que aclaren cualquier duda que pudiera surgir. Si el grupo es grande, pida trabajar juntas a todas las parejas que eligieron el mismo material. Recalque que, para que sea correcto utilizar cierto material en una simulación, en ésta se deben considerar los mismos resultados posibles y las mismas probabilidades que las de la situación original.
II. Ahora cada equipo seleccione el dado o la urna con canicas, y en su cuaderno anoten los resultados en una tabla como la siguiente. Realicen el experimento 50 veces. Resultados Número de ensayo
En la simulación con el material que seleccionaron
En la situación aleatoria
a) De acuerdo con los resultados que obtuvieron, ¿cuál fue el resultado que más veces apareció?
Recuerden que: La probabilidad frecuencial es un valor obtenido de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. P(A) =
b) Según los resultados de este experimento de simulación, ¿cuál es la probabilidad frecuencial de que me toque una caja de cereal con un elefante?
Número de veces que ocurre el evento Número de veces que se realiza el experimento
145
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Eje
Propósitos de la secuencia Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.
Manejo de la información.
Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Simulación Definir qué es simulación y cuáles son las condiciones que se deben cumplir para realizar una simulación adecuada.
Programa 23
2
Aplicando la simulación Aplicar la simulación para conocer cómo se comporta una situación que no puede realizarse.
Programa 24
3
Simulación y tiros libres Simular una situación en la que se requiere un número grande de resultados así como la generación y uso de números aleatorios.
Análisis de la información.
Subtema Noción de probabilidad.
Antecedentes Los alumnos han estudiado algunos conceptos importantes de estadística y probabilidad: qué es una muestra; cómo obtener, analizar y organizar la información; cuáles son las medidas de tendencia central; el cálculo de probabilidades; etc. En esta secuencia utilizarán varias de esas nociones para aprender qué es la simulación de una situación, cómo se hace, en qué casos se usa y cuáles son sus ventajas y alcance.
Aula de medios Simulación con el modelo de urna (1) (Hoja de cálculo) Interactivo
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Respuestas.
secuenci a 13
a) 1 3 b), c) y d) Las respuestas dependerán de los resultados que hayan obtenido en el experimento.
iii. Consideren las condiciones del problema original:
Una caja de cereal puede contener un elefante de plástico o un león o una jirafa. a) Si la empresa distribuyó de manera uniforme esos animales de plástico en las cajas, ¿cuál es la probabilidad clásica de que al comprar una caja de cereal, ésta contenga un elefante de plástico? b) A partir de los resultados de la simulación con el dado, ¿cuál es la probabilidad frecuencial de que el animal de plástico que me toque en la caja de cereal sea un elefante? c) ¿Y si se consideran los resultados de la simulación con la urna de canicas?
d) ¿Cuál de estos valores de las probabilidades frecuenciales (incisos b y c) es más cercano al valor de la probabilidad clásica (inciso a)?
Recuerden que:
de un evento no se requiere de Para obtener la probabilidad clásica en la probabilidad frecuencial, la realización de experimentos, como sino de conocer dos datos: posibles que se pueden dar en • El número de todos los resultados azar. de ión una situac de un evento de esa situación. • El número de resultados favorables al número P(e) que se evento un de clásica Se llama probabilidad obtiene por medio del cociente: evento Número de resultados favorables del P(e) = es posibl dos resulta de total Número
A lo que llegamos La simulación consiste en diseñar, para una situación aleatoria real (problema), una situación aleatoria cuyos eventos tienen la misma probabilidad clásica de ocurrir que los de la primera situación, con la ventaja de que en la simulación podemos observar los resultados y calcular los valores de la probabilidad frecuencial y utilizarlos para obtener información sobre el problema. Para poder realizar una simulación es posible utilizar algún material u objeto manipulable como urnas, dados, monedas, ruletas, tabla de números aleatorios, etcétera. 146
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III
Lo que aprendimos
Sugerencia didáctica. Aclare a los estudiantes que en esta situación pueden ocurrir los siguientes eventos:
1. En un hospital, dos bebés están a punto de nacer. Se quiere saber cuál es la probabilidad de los siguientes eventos:
Los 2 bebés son
MATEMÁTICAS
A: Los dos recién nacidos son niñas.
“Niño” y “niño”.
B: Los dos recién nacidos son niños.
“Niña” y “niña”.
C: Un recién nacido es niña y el otro niño.
“Niño” y “niña”. “Niña” y “niño”. Ahora deben elegir de entre los materiales, cuál emplearían para simular la situación original.
a)
Respuesta. Con las monedas se puede simular la situación: cada moneda representaría un nacimiento, una de las caras de la moneda se asignaría a "niño" y la otra a "niña". Las canicas no sirven para simular esta situación porque hay 3 colores y en la situación sólo hay 2 resultados posibles (“niño” o “niña”).
b)
a) ¿Qué resultado de la moneda asociarías al nacimiento de un varón?
¿Y
al de una niña?
Posibles dificultades. Quizá para algunos alumnos las canicas no son un material que a primera vista logren descartar. Podría ocurrírseles asignar a las verdes “los dos recién nacidos son niñas”, a las rojas “son niños” y a las amarillas “son un niño y una niña”, pero sería una estrategia incorrecta. Si se hiciera un diagrama de árbol podrían contarse todos los resultados posibles de la situación original (A es para niña y O para niño): AA, AO, OA, OO.
b) ¿De acuerdo con lo anterior qué interpretación darías al hecho de que al lanzar las dos monedas una cayera águila y la otra sol? c) ¿Qué resultados de la urna de canicas representarían al nacimiento de un varón? ¿Y al de una niña? d) ¿Cuántas canicas es conveniente tomar en cada extracción? e) Entre una extracción y otra, ¿será necesario regresar las canicas a la urna? ¿Por qué?
APLICANDO LA SIMULACIÓN
Para empezar
SESIÓN 2
El control de calidad de productos es un ejemplo de las áreas en que la simulación resulta de gran ayuda.
147
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Propósito del programa. Mostrar y ejemplificar la utilización de simulaciones en diversas situaciones relacionadas con el control de calidad en las empresas e industrias. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos hagan hipótesis sobre lo que podría pasar en esta situación y cómo lo estudiarían. Después de darles un tiempo para que, entre parejas, los alumnos comenten el problema y lleguen a un acuerdo, elija 3 ó 4 parejas y pídales que comenten y justifiquen algunas de sus respuestas ante el grupo. Permítales dar libremente sus opiniones y hagan entre todos un análisis para ver si lo que comentan sus compañeros es factible.
Entonces, la probabilidad de que los 2 recién nacidos sean “niña” y “niña” es de 1 , la de 4 que sean “niño” y “niño” es también de 1 , 4 pero la de que sean “niño” y “niña” es de 1 . 2 Con las canicas la probabilidad de obtener cualquiera de los 3 colores es de 1 , por lo 3 tanto con éstas la situación no puede simularse.
Propósito de la sesión. Aplicar la simulación para conocer cómo se comporta una situación que no puede realizarse.
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Posibles respuestas.
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a) Lo importante de esta pregunta es que los alumnos se den cuenta de que no es posible asegurar que en cada botella habrá 1 impureza. Si cada botella tuviera 1 impureza sería una distribución uniforme, pero la posibilidad de que eso ocurra es muy pequeña (aunque no imposible).
Consideremos lo siguiente Con 36 kg de vidrio líquido se fabrican 36 botellas. En el vidrio líquido hay 36 impurezas repartidas de manera aleatoria. a) ¿Creen que cada botella tendrá una impureza? b) ¿Creen que haya botellas sin ninguna impureza y botellas con más de una impureza? c) ¿Creen que haya más botellas con una impureza o más con dos impurezas?
b) Que algunas botellas tengan más de 1 impureza y que otras no tengan ninguna es el escenario más probable.
Comenten sus respuestas con sus compañeros.
Manos a la obra
c) Ambas posibilidades pueden ocurrir.
i. Se puede simular la situación anterior con dos dados distinguibles, por ejemplo, uno azul y uno rojo.
En el apartado Manos a la obra aprenderán que, en esta situación, para determinar la probabilidad de cada evento (0 impurezas, 1 impureza, etc.), se requiere simular varias veces la revisión de los lotes de 36 botellas.
Los 36 resultados posibles que hay al lanzar los dos dados representan las 36 botellas. En la siguiente cuadrícula se muestran esos 36 resultados posibles, cada uno de los cuales representa una botella del problema planteado. Por ejemplo, la celda (3, 4) representa a la botella 16. Dado B
Dado A
Propósito de la actividad. Ahora se les presenta a los estudiantes una manera de simular la situación de las botellas y las impurezas. Se realiza lanzando dos dados (es una situación de azar); las parejas de resultados (como 2, 3) representan una impureza en la botella que tiene esas coordenadas en el tablero. Hay que realizar 36 lanzamientos con los dos dados para que las 36 impurezas queden repartidas en las botellas.
1
2
3
4
5
6
1
Resultado posible 1, 1 Botella 1
Resultado posible 1, 2 Botella 2
Resultado posible 1, 3 Botella 3
Resultado posible 1, 4 Botella 4
Resultado posible 1, 5 Botella 5
Resultado posible 1, 6 Botella 6
2
Resultado posible 2, 1 Botella 7 Resultado posible 3, 4 Botella 16
3 Resultado posible 4, 3 Botella 21
4
Resultado posible 5, 6 Botella 30
5
6
Resultado posible 6, 5 Botella 31
De este modo: • Si al lanzar los dos dados el resultado es, por ejemplo, (3, 4), se anota un punto en esa celda, lo que representa que la botella 21 contiene una impureza.
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MATEMÁTICAS
III
• Puede ocurrir que un mismo resultado (tiro) se obtenga (o salga) más de una vez, como se muestra en la cuadricula en la que la celda (3, 4) tiene dos puntos, lo que representa que la botella 16 contiene 2 impurezas. Es decir, en dos ocasiones, en los dados azul y rojo han caído 3 y 4 respectivamente. • Lancen los dados 36 veces para determinar de qué manera están distribuidas las impurezas en las botellas.
Dado A
Registren sus resultados en la siguiente cuadricula. Dado B 1 2 3 4 1
Resultado posible 1, 1 Botella 1
2
Resultado posible 2, 1 Botella 7
Resultado posible 1, 2 Botella 2
Resultado posible 1, 3 Botella 3
Resultado posible 1, 4 Botella 4
6 Resultado posible 1, 6 Botella 6
Resultado posible 3, 4 Botella 16
3 Resultado posible 4, 3 Botella 21
4
Resultado posible 5, 6 Botella 30
5
6
5 Resultado posible 1, 5 Botella 5
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos realicen el experimento para que puedan corroborar o modificar las hipótesis que dieron en el apartado Consideremos lo siguiente.
Resultado posible 6, 5 Botella 31
a) ¿Cuántas celdas no tienen punto? b) Las celdas que no tienen ningún punto marcado indican que esa botella: Tiene una impureza.
Posibles respuestas. Estas respuestas dependerán de los resultados del experimento de cada equipo, sería conveniente que, si en alguno todas las botellas tuvieron impurezas, se mencione. Ese tipo de resultado no significa que la distribución sea uniforme, sino que uno de los posibles resultados en una situación de azar es que cada botella tenga una impureza.
Tiene dos impurezas. No tiene impureza. Tiene más de tres impurezas. c) ¿Cuántas celdas tienen solamente un punto? d) ¿Es posible que en una botella se encuentren más de 5 impurezas? ¿Por qué? e) Según los resultados que obtuvieron, los cuales simulan una revisión de 36 botellas, ¿crees que, si realizas otra vez la simulación, serían los mismos? ¿Por qué? 149
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secuenci a 13 ii. Completen la siguiente tabla y después contesten las preguntas: Al realizar la simulación
Lo que representa en el problema planteado
Total de celdas sin punto
Total de botellas sin impurezas
Total de celdas con un punto
Total de botellas con una impureza
Total de celdas con dos puntos
Total de botellas con dos impurezas
Total de celdas con tres puntos
Total de botellas con tres impurezas
d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una botella tenga entre una y dos impurezas?
Total de celdas con más de tres puntos
Total de botellas con más de tres impurezas
e) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una botella tenga al menos dos impurezas?
b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una botella tenga solamente una impureza? c) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una botella tenga más de tres impurezas?
Los valores de las probabilidades frecuenciales que obtuvieron en su equipo al simular la situación pueden interpretarse como los resultados de la revisión de una muestra de 36 botellas. De tal modo que si en el grupo se formaron 10 equipos y cada uno realizó la simulación, entonces podría decirse que hay 10 muestras diferentes del problema planteado.
Propósito de la actividad. Obtener el promedio de las probabilidades. Cada lote, es decir, cada uno de los experimentos que realizó cada equipo, es una muestra de lo que puede ocurrir. Cuando se realizan controles de calidad de productos, se analizan varias muestras; luego se calculan los valores estadísticos (medias, medianas, desviaciones estándar, etc.) de cada una, y, a partir de esos valores, se obtienen datos que representan al producto que se está evaluando.
a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una botella no tenga impurezas?
iii. Completen la siguiente tabla con los valores de la probabilidad frecuencial que en cada equipo se obtuvo y calculen el promedio de esas probabilidades. Después de hacerlo, contesten las siguientes preguntas. Probabilidad frecuencial de:
Valores de la probabilidad frecuencial por equipo Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Equipo 6
Equipo 7
Equipo 8
Equipo 9
Equipo 10
Promedio
Botellas sin impurezas Botellas con una impureza Botellas con dos impurezas Botellas con tres impurezas Botellas con más de tres impurezas
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Esta pregunta es importante, porque incluso cuando no se tiene el material con el cual se piensa que es más conveniente simular una situación (por ejemplo, los dados), se puede pensar en otro u otros materiales. En la secuencia 27 de Matemáticas II realizaron un experimento similar.
a) La tabla anterior muestra la probabilidad frecuencial promedio de cinco eventos que pueden ocurrir al revisar varios lotes de botellas. ¿Cuál de esos cinco eventos es más probable que ocurra?
¿Por qué?
b) Supongan que no hay dados para realizar la simulación anterior, ¿cuál de los siguientes experimentos realizarían para simular la situación original? Márquenlo con una . Una bolsa con doce papelitos numerados del 1 al 6, de tal manera que habrá dos papelitos de cada número; se extrae un par de papelitos, se anotan los números y se regresan. Dos bolsas cada una con seis papelitos numerados del 1 al 6; se extrae un papelito de cada bolsa, se anota el número y se regresan. Doce papelitos en una bolsa numerados del 1 al 12; se extrae un papelito, se anota el número y se regresa. Dos bolsas cada una con seis papelitos numerados del 1 al 6; se extrae un papelito de cada bolsa, se anota el número y no se regresan.
Respuestas. • La primera opción es correcta porque los papelitos pueden funcionar como los dados: el primer papelito que se extraiga indicará el número de celda azul y el segundo papelito el número rojo.
c) Según los resultados que obtuvieron, al reunir los de cada equipo, ¿creen que si ¿Por qué?
realizan otra vez la simulación serían los mismos?
SIMULACIÓN Y TIROS LIBRES
SESIÓN 3
Consideremos lo siguiente
• La tercera opción no es correcta: supongamos que se extraen los números (9, 12), ¿a qué celda en el tablero corresponde ese resultado? Así como está planteado dicho tablero, debe haber 2 papelitos por cada número del 1 al 6, uno indicaría el número rojo y el otro el azul.
Un jugador de basquetbol va a lanzar tres tiros libres. La estadística indican que la probabilidad de que enceste un tiro es 0.5. Los resultados entre un tiro y otro son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador enceste en 20 intentos tres tiros libres seguidos? Se puede responder esta pregunta haciendo una simulación: De una caja que contiene diez papelitos iguales, numerados del 0 al 9, se extrae un papelito, se registra el número obtenido y se regresa a la caja. Se repite este proceso 20 veces. El resultado de cada extracción representa un acierto o un fallo del tiro libre.
• La cuarta opción también es incorrecta debido a que se realizan las extracciones sin regresar los papelitos a la bolsa. Esto querría decir que un mismo resultado no puede obtenerse más de una vez, es decir, que una misma botella no puede tener más de una impureza, por lo tanto sería incorrecto.
Observen la siguiente tabla con los resultados de 20 extracciones, que representan los resultados de 20 tiros libres. Resultados Número del papelito que extrae Resultado del tiro libre A = acierto
F = fallo
1
9
2
2
3
9
5
0
3
4
0
5
7
5
6
2
8
7
1
3
A
F
A
A
A
F
F
A
A
A
A
F
F
F
F
A
F
F
A
A
Serie de tres tiros libres acertados
a) ¿Qué números se utilizaron para indicar que el tiro libre fue encestado? 151
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Propósito de la sesión en el aula de medios. Simular una situación en la que se requiere varios resultados así como generar y usar números de forma aleatoria. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.
• La segunda opción también es correcta. Funcionaría igual que la opción anterior: el papelito extraído de la primera bolsa sería como el primer número obtenido con el dado, y el papelito de la segunda bolsa sería el número obtenido al lanzar el dado por segunda vez.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Valore si es necesario volver a revisar lo que hasta aquí se ha trabajado en la secuencia.
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Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos analicen la tabla y dé tiempo suficiente para que contesten las preguntas. Si no han entendido la mecánica de la simulación, explíquela en el pizarrón (especialmente cómo se cuentan las series de 3 tiros), ya que el reto al que ellos deben enfrentarse aquí es la obtención de la probabilidad de que el jugador enceste 3 tiros libres seguidos a partir de los resultados de la simulación; por esta razón, la simulación debe quedarles muy clara.
Propósito de la sesión. Simular una situación en la que se requiere un número grande de resultados así como la generación y uso de números aleatorios.
Respuesta. a) 0, 1, 2, 3, 4
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Respuesta.
secuenci a 13
b) 5, 6, 7, 8, 9
b) ¿Y para señalar que el tiro se falló?
AFA
c) La primera serie de tres tiros seguidos es: A
F
A
A
A
F
F
A
A
A
A
F
F
F
F
A
F
F
A
A
F
F
A
F
F
A
A
F
F
A
F
F
A
A
Primera serie de tiros libres seguidos
FAA
La segunda serie de tres tiros seguidos es: A
F
A
A
A
F
F
A
A
A
A
F
F
Segunda serie de tiros libres seguidos
AAA
La tercera serie de tres tiros seguidos es: A
F
A
A
A
F
F
A
A
A
A
F
F
Tercera serie de tiros libres seguidos
Respuesta. La probabilidad es de 3 porque logró encestar 18 3 tiros en 3 series de las 18 que lanzó. También puede escribirse como 1 . 6
¿Cuántas series de tres tiros seguidos se obtendrían en total?
18
d) ¿Cuántas series de tres tiros seguidos serían si hubieran sido cinco tiros?
3
4
¿Y en seis tiros? e) ¿Y en 10 tiros?
8
f) ¿Y en 20 tiros?
18
g) De acuerdo con la simulación de 20 tiros que se realizó, ¿cuántas series de tres tiros libres ha acertado el jugador?
3
Cuéntalos en la primera tabla.
h) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que en 20 tiros el jugador enceste tres tiros libres seguidos? Comparen sus respuestas con las de otras parejas de compañeros
Manos a la obra i. Realicen la simulación anterior. En su cuaderno, deberán elaborar una tabla como la anterior y anotar los resultados de 200 tiros libres. Luego, contesten las siguientes preguntas: a) De acuerdo con la simulación que realizaron, ¿cuántas series de tres tiros libres hay en 200 tiros? 152
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Propósito de la actividad. Que los alumnos realicen la simulación y obtengan un número relativamente grande de resultados con los que podrán hacer algunas conclusiones sobre la situación original. Sugerencia didáctica. Plantee a los alumnos la pregunta a) con otras cantidades, por ejemplo, 1 000 tiros. También puede preguntarles cuántas series de 4 tiros habrá en 200 tiros. Cuando terminen de contestar el inciso e), anote los resultados de cada equipo y compárenlos con los de la probabilidad clásica o teórica.
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Otra opción es que, entre todos, obtengan el promedio de las probabilidades de los equipos. Una posibilidad más sería reunir los resultados de todos y obtener la probabilidad frecuencial en el grupo, pero hay que tener cuidado, este valor puede variar dependiendo de cómo se reúnan los resultados porque influye en el orden en el que se componen las series de 3 tiros. Por ejemplo, si en el equipo 1 los dos últimos resultados son AA y en el equipo 2, el primer resultado es A, al unirlos se forma una tercia de tiros anotados, mientras que si el primer resultado es F, no se forma.
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Comente con los alumnos estas 3 opciones y explique que la última es la menos confiable por la cuestión que acaba de plantearse. Respuesta. a) 198, es decir, n – 2.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. b) y c) La respuestas dependerán de los resultados que obtengan los alumnos en la simulación.
b) ¿Cuántas series de tres tiros libres seguidos ha acertado el jugador? c) De acuerdo a los resultados obtenidos en su simulación ¿cuál es la probabilidad frecuencial de que, en 200 intentos, el jugador anote tres tiros libres de manera consecutiva?
d) Sería 0.125, porque cada tiro tiene una probabilidad de 0.5; como son independientes, se multiplica 0.5 × 0.5 × 0.5
d) Si consideramos que el jugador tiene una probabilidad de anotar de 0.5 en cada tiro, ¿cuál es la probabilidad clásica de que acierte los tres tiros? e) Comparen sus respuestas. ¿Qué tan cercana es la probabilidad frecuencial que
e) Puede ocurrir que se obtengan valores menores, iguales o mayores que los de la probabilidad clásica.
obtuvieron en el inciso c) con respecto a la probabilidad clásica del inciso d)? f) ¿De qué otra manera se podría simular la situación que se presenta en el apartado Consideremos lo siguiente?
f) Hay varias respuestas posibles, lo importante es que en ellas los alumnos hayan tenido presente que la probabilidad de ese jugador de anotar un tiro libre es de 0.5. Entonces, podría funcionar el lanzamiento de una moneda, un dado o una perinola (designando la mitad de los resultados posibles a “acierta” y la otra mitad a “falla”), la extracción de canicas de una urna en la que hubiera dos colores en igual número, entre otras.
En la mayoría de los experimentos de simulación, para obtener resultados confiables se necesita realizar un número grande de repeticiones. II. Realicen los siguientes dos experimentos. Los resultados que obtengan los utilizarán en la siguiente actividad. a) De una urna que contiene cuatro canicas de colores diferentes, como la que se muestra a la derecha, se extrae una canica:
Observen su color y anoten en las líneas el número que le corresponde al color que sacaste, de acuerdo con el código que se presenta en la siguiente tabla. Color de la canica
Número que anotas
Rojo
1
Azul
2
Verde
3
Amarillo
4
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos generen una serie de números aleatorios mediante un experimento.
Luego, regresen la canica a la urna y realicen otra extracción.
Repitan el proceso hasta completar 50 extracciones.
Materiales. Una urna que no sea transparente (puede ser una botella o caja en la que quepa la mano) y 4 canicas de los colores que se indican. Puede sustituirse por una bolsa de plástico que no sea transparente y papelitos coloreados o bien, con el nombre del color escrito.
b) Lancen un dado 50 veces.
Anoten cada número que cae en las siguientes celdas. Resultados
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Propósito del interactivo. Proporcionar una herramienta con la cual los alumnos puedan simular experimentos.
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si es posible obtener un 5 en este experimento y cómo. Es importante que ellos logren definir el espacio muestral, que en este caso es {1, 2, 3, 4}. Luego pídales que le digan cuál es el espacio muestral en el experimento del dado. También puede preguntarles qué pasaría si después de extraer una canica ésta no se regresa a la urna. ¿Cambiarían las condiciones del experimento?, ¿seguiría siendo aleatorio?, ¿cuántas extracciones podrían realizarse?, ¿cuántos posibles ordenamientos de las extracciones habría? (Por ejemplo, rojo – azul – verde – amarillo, sería un posible ordenamiento). Se espera que los alumnos de tercero de secundaria sepan que, si no se regresan las canicas a la urna después de cada extracción, sigue siendo un experimento aleatorio, pero con distintas condiciones: sólo puede haber 4 extracciones y ningún color se puede repetir en cada experimento.
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Propósito de las preguntas. La intención es que los alumnos acepten como equivalentes los 3 tipos de simulación: la extracción de canicas con reemplazo (regresando las canicas después de cada extracción), el lanzamiento del dado y la extracción de papelitos numerados con reemplazo.
secuenci a 13 iii. Imaginen que, en lugar de utilizar los 10 papelitos para simular el lanzamiento del tiro libre, utilizan los resultados que obtuvieron con la urna de canicas y el dado en la actividad anterior. a) ¿Cómo utilizarían los números obtenidos en la urna para señalar el resultado de los tres tiros libres? b) En el caso de la lista obtenida con el dado, ¿cuándo se representaría un acierto y
Los dos experimentos son equivalentes porque:
cuándo un fallo?
• En ambos casos existe igual probabilidad para cada uno de los resultados posibles, o sea, es igualmente probable obtener una canica roja que una azul, y es igualmente probable obtener un 5 que un 3 con los papelitos y con el dado. • Tanto en la extracción de canicas como en la de papelitos es igualmente probable obtener un resultado que represente a un tiro que se “acierta” que obtener un resultado de “falla”. En los papelitos obtener un número del 0 al 4 significa que el tiro se acertó, y del 5 al 9 que se falló. Como hay la misma cantidad de números (5) para cada resultado, es igualmente probable obtener un “acierta” o un “falla”. Con el dado y con las canicas se puede hacer algo similar, es decir, definir cuáles resultados representan un tiro acertado y cuáles un tiro que se falló, siempre y cuando sean mitad y mitad.
c) Elijan una de las dos listas. De acuerdo con la simulación que realizaron, ¿cuántas series de tres tiros libres ha conseguido el jugador? d) ¿Cuántas series de tres tiros libres ha acertado el jugador? e) ¿Cuál es la probabilidad que tiene el jugador de anotar tres tiros libres seguidos en 20 intentos?
A lo que llegamos Cuando un conjunto de números se genera al azar, se llama conjunto de números aleatorios. Esos conjuntos pueden estar formados por los dígitos (por ejemplo, cuando usamos los 10 papelitos); por los números del 1 al 4 (con las canicas de colores) y con los números del 1 al 6 (con el dado).
Lo que aprendimos 1. Si la probabilidad de enceste o anotación del jugador de basquetbol es de 0.7: a) ¿Qué números en los papelitos utilizarías para indicar que el tiro libre es encestado?
b) ¿Qué números utilizarías para señalar que se falló el tiro? c) De acuerdo con la simulación que se realizó, ¿cuáles serían los nuevos resultados de las anotaciones? Completa la tabla. Resultados Número del papelito que extrae
1
9
2
2
3
9
5
0
3
4
0
5
7
5
6
2
8
7
1
3
Resultado del tiro libre A = acierto
F = fallo
Serie de tres tiros libres acertados 154
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Respuestas. a) Debe haber 2 resultados que representen “acierta” y 2 que representen “falla”. b) Igualmente, hay que definir cuáles resultados serán para “falla” y cuáles para “acierta”. Como es igualmente probable que el jugador falle o acierte, debe haber 3 resultados para cada posibilidad. c) En ambas listas se representan 50 tiros en los que habrá 48 series de 3. d) y e) Las respuestas dependen de los resultados que obtengan los alumnos.
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Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la diferencia entre la probabilidad frecuencial y la clásica. La primera se obtiene a partir de la experimentación y por ello puede variar de un experimento a otro (como en este caso), y la segunda es la que se obtiene por el cálculo de la probabilidad de cada resultado sin llevar a cabo el experimento.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos realicen una simulación en la que los resultados posibles no son equiprobables. Respuestas. a) y b) Hay que hacer que la probabilidad de “acierta” sea 0.7, entonces, si se utilizan 10 papelitos con números, 7 deben representar un tiro encestado y 3 un fallo. Si se utilizaran 20 papelitos, 14 tendrían que representar un acierto y 6 un fallo. c) El llenado de la tabla dependerá de cuáles números los alumnos designen como “falla” y cuáles como “acierta”. Podrían decir que “falla” es del 0 al 2; o del 7 al 9; o el 3, 6 y 9, entre otras posibilidades.
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MATEMÁTICAS d) ¿Cuántas series de tres tiros libres ha acertado el jugador? en la tabla anterior.
III
Respuestas. d) y e) Las respuestas dependen de los resultados que hayan obtenido en el experimento.
Cuéntalos
e) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que el jugador enceste tres tiros libres se-
f) 0.343 porque se multiplica 0.7 × 0.7 × 0.7
guidos? f) Si consideramos que el jugador tiene una probabilidad de anotar de 0.7 en cada tiro y que son lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad clásica de
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos lo siguiente: ¿cambiarían las condiciones del experimentos si en vez de utilizar papelitos numerados del 0 al 9, se pusieran los números 0, 4, 25, 98, 111, 321, 546, 547, 800 y 899?, ¿cómo se podrían utilizar para esta simulación?
que anote los tres tiros? g) Compara esta probabilidad clásica con la probabilidad frecuencial de que el jugador anote los tres tiros. ¿Por cuánto se aproxima la probabilidad calculada en el inciso e) a la probabilidad clásica? 2. Imagina que respondes a un examen de diez preguntas con falso o verdadero, pero sólo conoces las respuestas de cinco preguntas.
Los alumnos deben saber que no importa cuáles números representan un acierto y cuáles un fallo, sino que éstos tienen que estar en una proporción igual a la situación original.
a) ¿Cómo simularías esta situación? Escríbela en tu cuaderno. b) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen si respondes al azar las otras cinco preguntas?
Para saber más
Respuestas.
Sobre cómo se realiza una simulación en el experimento de Buffon al encontrar una manera para aproximar el valor de pi (π), consulta: http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
a) Si ya se conocen 5 respuestas, entonces hay que simular qué se contestaría en las otras 5. Una posibilidad es suponer que se contesten al azar habiendo igual probabilidad de poner “falso” o “verdadero”. Entonces podrían emplearse materiales como los sugeridos en esta sesión: papelitos que dijeran “respuesta correcta” y “respuesta incorrecta”, canicas de colores o un dado; la condición es que existan igual número de resultados para cada uno de los dos resultados posibles.
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b) En este problema hay 32 resultados posibles: en 1 de esos resultados no se acierta ninguna de las preguntas, en 5 se acierta 1, en 10 se aciertan 2, en 10 se aciertan 3, en 5 se aciertan 4, y en 1 se aciertan todas. La probabilidad de no acertar en las 5 preguntas que se van a contestar al azar sería entonces de: 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.03125 o 1 . 32 Como aprobar significa obtener de 6 a 10 de calificación, el único caso en el que no se lograría es si no se acierta ninguna de las 5 preguntas que van a responderse al azar. Como ese resultado tiene una probabilidad de ocurrencia de 1 , la probabilidad de 32 aprobar es el complemento de ese evento, es decir 31 . 32 Integrar al portafolios. Una vez que los alumnos resuelvan este problema, solicíteles una copia de sus respuestas y procedimientos.
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e x a m e n b l o q ue 1 y b l o q ue 2
propuestaS de exÁmenES bimestralEs bloque 1 y Bloque 2 A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 1 y 2 mediante exámenes que serán complementarios de la información que us ted ha ido integrando en el portafolios del alumno. Los exámenes tienen las siguientes características: De cada secuencia se proponen entre uno y cinco reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia. Cada examen se arma de la siguiente manera: Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificación. Recomendaciones para la aplicación de los exámenes, su revisión y calificación: Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revi sión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar opor tunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido. Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resulta dos de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participa ción, el cumplimiento de tareas, etc.).
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m a t e m á t i cas III
Propuesta de examen bimestral Bloque 1 secuencia 1. Productos notables y factorización Reactivo 1 1. Subraya el resultado de (x – 9)2
Respuesta: c)
a) x 2 – 9x + 81 b) x 2 – 18x – 81 c) x 2 – 18x + 81 d) x 2 – 81 1’. Subraya el resultado de (2x + 1)2
Respuesta: c)
a) 4x 2 + 2x + 1 b) 4x 2 + 4x + 2 c) 4x 2 + 4x + 1 d) 4x 2 + 1
Reactivo 2 2. Subraya la factorización que corresponde a x 2 – 16
Respuesta: d)
a) (x – 8) (x + 2) b) (x – 8) (x – 2) c) (x – 4) (x – 4) d) (x – 4) (x + 4) 2’. Subraya la factorización que corresponde a 4x 2 – 9
Respuesta: d)
a) (4x – 3) (x + 3) b) (4x – 3) (x – 3) c) (2x – 3) (2x – 3) d) (2x + 3) (2x – 3)
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Reactivo 3 Respuesta: b)
3. Subraya la expresión que representa el área del rectángulo. a) x 2 – 6
x+3
b) x + x – 6 2
x–2
c) x 2 – 5x – 6 d) x 2 – x – 6 Respuesta: b)
3’. Subraya la expresión representa el área del rectángulo. a) y 2 – 2
y–1
b) y 2 + y – 2 c) x 2 – 3x – 2
y+2
d) x 2 – x – 2
Reactivo 4 Respuesta: a)
4. Subraya las expresiones que representan las medidas de los lados del rectángulo. a) (x + 6) (x – 1) b) (x + 3) (x – 2)
A = x 2 + 5x – 6
c) (x – 3) (x – 2) d) (x – 6) (x + 1)
Respuesta: a)
4’. Subraya las expresiones que representan las medidas de los lados del rectángulo. a) (z – 12) (z + 2) b) (z – 6) (z – 4)
A = z 2 – 10z – 24
c) (z – 6) (z + 4) d) (z + 12) (z – 2)
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m a t e m á t i cas III
Reactivo 5 5. Une con una línea cada polinomio con su factorización.
Respuestas:
Factorización
i)
c)
i) x 2 – 16
a) (x + 8) (x – 2)
ii)
d)
ii) x 2 – 16x
b) (x – 4) (x – 4)
iii)
b)
iii) x 2 – 8x + 16
c) (x + 4) (x – 4)
iv)
a)
iv) x 2 + 6x – 16
d) (x ) (x – 16)
Polinomio
e) (x – 8) (x – 2) 5’. Une con una línea cada polinomio con su factorización.
Respuestas:
Factorización
i)
c)
i) x 2 – 9
a) (x + 9) (x – 1)
ii)
d)
ii) x 2 – 9x
b) (x – 3) (x – 3)
iii)
b)
iii) x 2 – 6x + 9
c) (x + 3) (x – 3)
iv)
a)
iv) x 2 + 8x – 9
d) (x ) (x – 9)
Polinomio
e) (x – 9) (x – 1)
secuencia 2. Triángulos congruentes y cuadriláteros Reactivo 1 1. En la siguiente figura hay un paralelogramo y una diagonal. En él se han marcado con las letras A y B dos ángulos iguales. De las siguientes razo nes, ¿cuál es una justificación de que los ángulos A y B sean iguales?
Respuesta: b)
A B
a) Son opuestos por el vértice. b) Son alternos internos. c) Son alternos externos. d) Son correspondientes.
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1’. En la siguiente figura hay un paralelogramo y una diagonal. En él se han marcado con las letras A y B dos ángulos iguales. De las siguientes razo nes, ¿cuál es una justificación de que los ángulos A y B son iguales?
Respuesta: d)
A B
a) Son opuestos por el vértice. b) Son alternos internos. c) Son alternos externos. d) Son correspondientes.
Reactivo 2 Respuesta: El lado MD es igual al lado MC pues M es el punto medio de DC.
2. En el paralelogramo con vértices ABCD se ha denotado con M al punto medio del lado DC. Se ha prolongado el lado BC hasta que se interseque con la recta que pasa por AM y al punto de intersección se le ha llamado T.
AMD es igual a TMC pues son opuestos por el vértice.
A
B
ADM es igual a MCT pues son alternos internos entre paralelas. Entonces, por el criterio ALA los triángulos AMD y TMC son con gruentes.
D
M
C
T
Completa la siguiente prueba de que los triángulos AMD y TMC son congruentes.
El lado MD es igual al lado El ángulo AMD es igual al ángulo
pues son opuestos por el vértice.
El ángulo ADM es igual al ángulo
pues son alternos internos entre paralelas.
Entonces, por el criterio
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pues M es el punto medio de DC .
los triángulos AMD y TMC son congruentes.
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2’. En el paralelogramo con vértices ABCD se ha denotado con M al punto medio del lado BC. Se ha prolongado el lado DC hasta que se interseque con la recta que pasa por AM; al punto de intersección se le ha llamado T. A
B
El lado MB es igual al lado MC pues M es el punto medio de BC. AMB es igual a TMC pues son opuestos por el vértice. ABM es igual a MCT pues son alternos internos entre paralelas.
M
D
Respuestas:
C
T
Entonces, por el criterio de ALA los triángulos AMB y TMC son congruentes.
Completa la siguiente prueba de que los triángulos AMB y TMC son congruentes. El lado MD es igual al lado
pues M es el punto medio de BC .
El ángulo AMB es igual al ángulo
pues son opuestos por el vértice.
El ángulo ABM es igual al ángulo
pues son alternos internos entre paralelas.
Entonces, por el criterio de
los triángulos AMB y TMC son congruentes.
Reactivo 3 3. Decide cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.
Respuesta: b)
a) Si las diagonales de un cuadrilátero son iguales, entonces el cuadri látero debe ser un rectángulo. b) Si las diagonales de un cuadrilátero son iguales y se intersecan en el punto medio, entonces el cuadrilátero debe ser un rectángulo. c) Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, entonces el cuadrilátero debe ser un rectángulo. d) Si las diagonales son perpendiculares y se intersecan en su punto me dio, entonces el cuadrilátero debe ser un rectángulo. 3’. Decide cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.
Respuesta: d)
a) Si las diagonales de un cuadrilátero son iguales, entonces el cuadri látero debe ser un rombo. b) Si las diagonales de un cuadrilátero son iguales y se intersecan en el punto medio, entonces el cuadrilátero debe ser un rombo. c) Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, entonces el cuadrilátero debe ser un rombo. d) Si las diagonales son perpendiculares y se intersecan en su punto me dio, entonces el cuadrilátero debe ser un rombo. L i b r o p a ra el maestro
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secuencia 3. Entre rectas y circunferencias Respuestas:
Reactivo 1
a) 30°
1. En la circunferencia de centro O se inscribió el hexágono regular ABCDEF y se trazó la recta secante que pasa por los vértices B y F. Sin utilizar transportador, calcula la medida de FBO.
b) El triángulo BOF es isósceles con ángulos iguales BFO y FBO. BOF mide 120º. Como la suma de las medidas de los án gulos interiores de un triángu lo es igual a 180º, entonces la suma de los dos ángulos igua les es 60º. De aquí de obtiene que FBO mide 30º.
F
A
E
B
O
D a) FBO mide
C
grados.
b) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular la medida de FBO
Respuestas: a) 45°
1’. En la circunferencia de centro O se inscribió el octágono regular ABCDEFGH y se trazó la recta secante que pasa por los vértices B y H. Sin utili zar transportador, calcula la medida de HBO.
b) El triángulo BOH es isósceles con ángulos iguales BHO y HBO. BOH mide 90º. Como la suma de las medidas de los ángulos interiores de un trián gulo es igual a 180º, entonces la suma de los dos ángulos iguales es 90º. De aquí de ob tiene que HBO mide 45º.
H A
G
B O
F
C
E a) HBO mide
D grados.
b) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular la medida de HBO
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Reactivo 2 2. Sea ABC un triángulo equilátero y T el punto de tangencia de su incírcu lo con el lado AB. Se sabe que OAT mide 30º. A
Respuestas: a) 60° b) El triángulo TOA es rectángulo con OTA = 90º. Como la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º, AOT mide 60º.
T O B
C a) ¿Cuánto mide AOT?
b) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular la medida de AOT
2’. Sea ABCDE un pentágono regular y T el punto de tangencia de su círcu lo inscrito con el lado AB. Se sabe que OAT mide 54º. A T E
B
Respuestas: a) 36° b) El triángulo TOA es rectángulo con OTA = 90º. Como la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º, AOT mide 36º.
O
D
C
a) ¿Cuánto mide AOT? b) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular la medida de AOT
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secuencia 4. Ángulos en una circunferencia Reactivo 1
Respuestas: 15º, 40º y 25º
1. Sin utilizar transportador, determina la medida de los ángulos señalados en rojo.
30º
20º 90º 110º
Respuestas: 40º, 40º y 25º
1’. Sin utilizar transportador, determina la medida de los ángulo señalados en rojo.
80º
90º 40º
198
110º
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m a t e m á t i cas III
secuencia 5. Problemas con curvas Reactivo 1 1. El cuadrado de la figura mide 4 cm de lado y la circunferencia mayor tiene radio igual a 2.83 cm.
Respuesta: 12.5879 cm2.
¿Cuánto mide el área de la corona? (considera π = 3.14) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular el área de la corona.
1’. El cuadrado de la figura mide 8 cm de lado y la circunferencia mayor tiene radio igual a 5.66 cm.
Respuesta: 50.3517 cm2.
¿Cuánto mide el área de la corona? (considera π = 3.14) Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular el área de la corona.
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Reactivo 2 Respuesta: 4π – 8 = 4.56 cm2.
2. El cuadrado de la figura mide 4 cm de lado. Los tres arcos son parte de tres circunferencias.
¿Cuánto mide el área de la figura sombreada? (considera π = 3.14). Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular el área de la figura sombreada.
Respuesta: 2π – 4 = 2.28 cm2.
2’. El cuadrado de la figura mide 4 cm de lado. Los dos arcos son parte de dos circunferencias.
¿Cuánto mide el área de la figura sombreada? (considera π = 3.14). Escribe el procedimiento que utilizaste para calcular el área de la figura sombreada.
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secuencia 6. La razón de cambio Reactivo 1 1. La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo du rante los primeros meses del año.
b) ¿Cuál es la razón de cambio del artículo?
a) 5 pesos. b) 5
Precio del artículo (en pesos)
a) ¿Cuál es el incremento del artículo por mes?
Respuestas:
130 120 110 100
Junio
Abril
Mayo
Marzo
Febrero
Enero
0
Meses del año
a) ¿Cuál es la razón de cambio del automóvil rojo? b) ¿Cuál es la razón de cambio del automóvil azul? c) ¿Qué automóvil tuvo un mejor rendimiento?
Distancia recorrida (en kilómetros)
1'. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por dos automóviles y la cantidad de gasolina que consumieron.
Respuestas: a) 10 b) 20 c) El automóvil azul.
40 30 20 10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gasolina (en litros)
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Reactivo 2 a) El rojo. b) Los alumnos podrían contestar algo como: porque la pendien te de la recta roja es mayor que la azul.
2. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por dos automóviles que iban a velocidad constante, y el tiempo que tardaron en recorrerla. Distancia
Respuestas:
Tiempo
a) ¿Que automóvil tuvo una mayor razón de cambio? b) Justifica tu respuesta Respuesta: 5
2'. La expresión algebraica asociada a dos cantidades es y = 5x + 1. ¿Cuál es la razón de cambio asociada a esas dos cantidades?
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secuencia 7. Diseño de experimentos y estudios estadísticos Para la evaluación de la secuencia 7 no se proponen reactivos en el examen, debido a que los temas matemáticos que se abordan en ella no son suscep tibles de valorarse con el tipo de preguntas de opción múltiple que sugeri mos normalmente. Para evaluar esta secuencia utilice las actividades que se integran al portafolio.
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Propuesta de examen bimestral Bloque 2 secuencia 8. Ecuaciones no lineales Reactivo 1 Respuesta: a)
1. Subraya el problema que puede resolverse con la ecuación x 2 – 9 = 16. a) El cuadrado de un número menos 9 es igual a 16. b) Un número menos 9 elevado al cuadrado es igual a 16. c) A un número le resto 9, lo elevo al cuadrado y obtengo 16. d) Resto 9 a un número, lo elevo al cuadrado y obtengo 16.
Respuesta: a)
1’. Subraya el problema que puede resolverse con la ecuación 16 – x 2 = 9. a) 16 menos el cuadrado de un número es igual a 9. b) El cuadrado de un número menos 16 es igual a 9. c) A un número le resto 16, lo elevo al cuadrado y obtengo 9. d) Un número menos 4 elevado al cuadrado es igual a 9.
Reactivo 2 Respuesta: c)
2. Ana pensó un número y lo elevó al cuadrado, al resultado le sumó 9 y obtuvo 25. ¿Qué números pudo haber pensado Ana? Subraya la opción correcta. a) 5 y –5 b) 5 y 4 c) 4 y –4 d) 3 y –3
Respuesta: c)
2’. Luis pensó un número y lo elevó al cuadrado, al resultado le restó 9 y obtuvo 16. ¿Qué números pudo haber pensado Luis? Subraya la opción correcta. a) 4 y –4 b) 4 y 3 c) 5 y –5 d) 3 y –3
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Reactivo 3 3. El área del rectángulo es 120 u2. Subraya la ecuación que hay que resol ver para saber cuántas unidades mide su altura. a) 3x – 1 = 120
Respuesta: d)
2x – 1
b) 2x – 1 = 120 2
c) x 2 = 120
x
d) 2x 2 – x = 120 3’. El área de rectángulo es 75 u2. Subraya la ecuación que hay que resolver para saber cuántas unidades mide su altura. a) 4x = 75
Respuesta: d)
3x
b) 8x = 75 c) 4x 2 = 75
x
d) 3x = 75 2
Reactivo 4 4. El volumen del cubo es 27 cm3. El área de una de sus caras es:
Respuesta: b)
a) 3 cm2 b) 9 cm2 c) 27 cm2 d) 54 cm2
4’. El volumen del cubo es 64 cm3. El área de una de sus caras es:
Respuesta: b)
a) 4 cm2 b) 16 cm2 c) 18 cm2 d) 54 cm2
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secuencia 9. Resolución de ecuaciones por factorización Reactivo 1 Respuesta: a)
1. El área del rectángulo es 54 cm2. Subraya la ecuación que se tiene que resolver para encontrar la medida en centímetros de sus lados. a) x 2 + 7x + 10 = 54
x+5
b) x 2 + 7x + 10 = 0 c) x 2 + 10 = 54
x+2
d) x 2 – 44 = 0
Respuesta: a)
1’. El área del rectángulo es 36 cm2. Subraya la ecuación que se tiene que resolver para encontrar la medida en centímetros de sus lados. a) x 2 + x – 6 = 36
x+3
b) x – 5x – 6 = 36 2
c) x 2 – 6 = 36
x–2
d) x 2 – 42 = 0
Reactivo 2 Respuesta: (x – 5) (x – 3) = 0
2. Resuelve la ecuación factorizando.
x 2 – 8x + 15 = 0
x 1 = 5, x 2 = 3 Respuesta: (x – 6) (x – 2) = 0
2’. Resuelve la ecuación factorizando.
x 2 – 8x + 12 = 0
x 1 = 6, x 2 = 2 Respuesta:
x 2 – 3x – 70 = 0 (x – 10) (x + 7) = 0
Reactivo 3 3. Resuelve la ecuación factorizando.
x 2 – 3x = 70
x 1 = 10, x 2 = –7 Respuesta:
x 2 – 2x – 35 = 0
3’. Resuelve la ecuación factorizando.
x 2 – 2x = 35
(x – 7) (x + 5) = 0
x 1 = 7, x 2 = –5 206
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Reactivo 4 4. Completa la siguiente tabla Soluciones de la ecuación
Ecuación factorizada
Ecuación en su forma general
x 1 = 0, x 2 = 4 x 1 =
, x 2 =
(x – 2) (x + 3) = 0
x 1 =
x 2 =
x 2 + 6x + 9 = 0
x 1 =
, x 2 =
x 2 – 49 = 0
4’. Completa la siguiente tabla. Soluciones de la ecuación
Ecuación factorizada
Ecuación en su forma general
x 1 = 0, x 2 = –3 x 1 =
, x 2 =
(x – 7) (x + 10) = 0
x 1 =
, x 2 =
x 2 – 2x – 48 = 0
x 1 =
, x 2 =
x 2 + 4x – 32 = 0
4. Respuesta: Soluciones de la ecuación
Ecuación factorizada
Ecuación en su forma general
x 1 = 0, x 2 = 4
(x ) (x – 4) = 0
x 2 – 4x = 0
x 1 = 2, x 2 = –3
(x – 2) (x + 3) = 0
x 2 + x – 6 = 0
x 1 = –3, x 2 = –3
(x + 3) (x + 3) = 0
x 2 + 6x + 9 = 0
x 1 = 7, x 2 = –7
(x – 7) (x + 7) = 0
x 2 – 49 = 0
4’. Respuesta: Soluciones de la ecuación
Ecuación factorizada
Ecuación en su forma general
x 1 = 0, x 2 = –3
(x ) (x + 3) = 0
x 2 + 3x = 0
x 1 = 7, x 2 = –10
(x – 7) (x + 10) = 0 x 2 + 3x – 70 = 0
x 1 = 8, x 2 = –6
(x – 8) (x + 6) = 0
x 2 – 2x – 48 = 0
x 1 = 4, x 2 = –8
(x – 4) (x + 8) = 0
x 2 + 4x – 32 = 0 L i b r o p a ra el maestro
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secuencia 10. Figuras semejantes Reactivo 1 Respuesta: inciso c)
1. De las siguientes afirmaciones:
I. Tienen ángulos correspondientes proporcionales. II. Tienen ángulos correspondientes iguales. III. Las medidas de los lados de uno de los polígonos son proporcionales a las medidas de los lados del otro. IV. Las medidas de los lados de uno de los polígonos son iguales a las medidas de los lados del otro.
¿Cuáles son las dos condiciones para garantizar que dos polígonos sean semejantes: a) I y III
Respuestas: ángulos correspon dientes iguales y las medidas de los lados de uno de los polígonos son proporcionales a las medidas de los lados del otro.
b) I y IV
c) II y III
d) II y IV
1’. ¿Cuáles son las dos condiciones para garantizar que dos polígonos sean semejantes?
Tienen ángulos correspondientes Las medidas de los lados de uno de los polígonos son a las medidas de los lados del otro.
Reactivo 2. Respuesta: c)
2. ¿Cuál es la razón de semejanza del trapecio grande respecto al pequeño? a) 1 5 b) 0.5 c) 2 d) 3
Respuesta: d)
2’. ¿Cuál es la razón de semejanza del polígono pequeño con respecto al grande? a) 1 2 b) 2.5 c) 5 2 d) 2 5
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Reactivo 3 3. Traza un polígono semejante al siguiente de tal manera que que la razón de semejanza de este polígono con respecto al que traces sea de 2 . 7
Respuesta: la medida de los la dos del polígono que tracen debe ser mayor.
3’. Traza un polígono semejante al siguiente de tal manera que la razón de semejanza de este polígono con respecto al que traces sea de 2 . 3
Respuesta: la medida de los la dos del polígono que tracen debe ser mayor.
Reactivo 4. 4. Escribe en cada enunciado si es verdadero (V) o falso (F)
Respuestas:
a) Todos los rectángulos son semejantes
a) F
b) Todos los hexágonos regulares son semejantes
b) V
c) Todos los pentágonos son semejantes d) Algunos triángulos rectángulos son semejantes 4’. Escribe en cada enunciado si es verdadero (V) o falso (F)
c) F d) V
Respuestas:
a) Algunos rectángulos son semejantes
a) V
b) Todos los triángulos isósceles son semejantes
b) F
c) Todos los cuadrados son semejantes d) Todos los octágonos regulares son semejantes
c) V d) V
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Reactivo 5 Respuesta: 12x + 3πx = 21.42x
5. Considera la siguiente figura:
x 2x
Se traza una figura semejante a la anterior de tal manera que el lado que mide x, en la nueva figura mide 3x. ¿Cuál es el perímetro de la nueva figura? (considera π = 3.14).
Respuesta: 4x + π x = 5.57x 2
5’. Considera la siguiente figura:
2x
3x
Se traza una figura semejante a la anterior de tal manera que el lado que mide 2x, en la nueva figura mide x. ¿Cuál es el perímetro de la nueva figura? (considera π = 3.14).
secuencia 11. Semejanza de triángulos Reactivo 1 Respuesta: II, III y V.
1. Considera las siguientes afirmaciones. Dos triángulos son semejantes si:
I. Son triángulos isósceles II. Tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados proporcionales III. Son triángulos equiláteros IV. Tienen igual un ángulo y un lado V. Sus lados correspondientes son proporcionales ¿Cuáles de las afirmaciones anteriores son verdaderas? 210
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1’. Considera las siguientes afirmaciones. Dos triángulos son semejantes si:
Respuesta: I, III y IV.
I. Dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro triángulo. II. Dos lados de un triángulo son iguales a dos lados del otro triángulo. III. Tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados proporcionales IV. Sus ángulos correspondientes son iguales V. Tienen igual un ángulo y un lado ¿Cuáles de las afirmaciones anteriores son verdaderas?
Reactivo 2 Respuesta: los ángulos corres pondientes son iguales (com parten un ángulo y los otros dos ángulos son ángulos correspon dientes entre paralelas).
2. Se sabe que el segmento DE es paralelo al segmento BC. A
D
E C
B
¿Por qué podemos afirmar que el triángulo ABC es semejante al triángu lo ADE?
Respuesta: el criterio de ángulos correspondientes iguales. Todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos de 60°.
2’. ¿Cuál criterio de semejanza de triángulos permite afirmar que todos los triángulos equiláteros son semejantes?
A
Reactivo 3
Respuesta: c)
3. En la siguiente figura, DE es paralelo a BC. Si AD mide 2.82 cm, ¿cuánto mide AB ? D
a) 1.41 cm
E 3x
b) 1.41x c) 5.64 cm d) 5.64x
B
6x
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Respuesta: b)
3’. En la siguiente figura, DE mide x y es paralelo a AB. A
3x
2.7x
D
B
E
C
¿Cuánto mide DC? a) 0.9 cm b) 0.9x c) 1.35x d) 8.1x
Reactivo 4 Respuesta: 9.6 m.
4. Un niño que mide 1.5 m proyecta una sombra de 0.5 m. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 3.2 m, ¿cuál es la altura del árbol?
Respuesta: 22.5 m.
4’. En el siguiente diagrama, EF y CB son perpendiculares a la orilla del río, y CD es paralelo a BF.
E D
C A
B
F
Si AB = 15 m, AF = 60 m y CB = 7.5 m, ¿cuánto mide el ancho del río?
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secuencia 12. Índices Reactivo 1 1. La siguiente tabla muestra el número de bibliotecas públicas en opera ción en la República Mexicana de 2003 a 2006. Completa la tabla toman do como año de referencia o base el 2003. Año
Número de bibliotecas
2003 2004 2005 2006
Índice (en porcentaje)
Variación
6 610 6 810 7 010
Respuestas: a) Que el número de bibliotecas disminuyó (o que hay menos bibliotecas) con respecto al número de bibliotecas que había en el año base. b) 103 263 388 = 14 730.868 7 010
7 210
Fuente: Sexto informe de Gobierno 2006. Anexo estadístico.
a) ¿Qué significaría en esta situación el hecho de que un índice fuera negativo? b) En 2005, la población en la República Mexicana era de 103 263 388 personas. ¿Cuántos habitantes por biblioteca hubo en 2005? 1’. La siguiente tabla muestra el número de alumnos en miles que ingresa ron al nivel superior durante cuatro periodos consecutivos. Completa la tabla tomando el periodo 1997-1998 como referencia o base. Número de alumnos (en miles)
Periodo
1997-1998 1998-1999 1999-2000 2000-2001
Índice (en porcentaje)
Variación
1 727 1 838 1 963 2 048
Fuente: Estadísticas Básicas, SEP.
a) ¿Qué significaría en esta situación el hecho de que un índice fuera negativo?
Respuestas: a) Que el número de alumnos de nuevo ingreso disminuyó con respecto al número de alumnos de nuevo ingreso en el periodo base o de referencia. b) De acuerdo con la columna de variación aumentará un 24%, aproximadamente, con res pecto al ciclo 1997-1998. Es decir que serán alrededor de 2 150 000 alumnos.
b) De acuerdo con el número de alumnos que se han inscrito durante estos ciclos escolares y con las variaciones que han encontrado entre cada ciclo, ¿qué número de alumnos calculan que estuvieron inscritos en el ciclo 2001-2002? Respuesta: (tabla secuencia 12, reactivo 1).
Respuesta: (tabla secuencia 12, reactivo 1'). Periodo
Número de alumnos (en miles)
0%
1997-1998
1 727
100
0%
103.0257
3.0257%
1998-1999
1 838
106.4273
6.4273%
7 010
106.0514
6.0514%
1999-2000
1 963
113.6653
13.6653%
7 210
109.0771
9.0771%
2000-2001
2 048
118.5871
18.5871%
Año
Número de bibliotecas
Índice (en porcentaje)
2003
6 610
100
2004
6 810
2005 2006
Variación
Índice (en porcentaje)
Variación
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Respuesta: la tercera opción. En este experimento los diez pa pelitos simulan las paradas que hace la camioneta, y cada extrac ción representa a uno de los pa sajeros. Por ejemplo, cuando se saca el primer papelito y sale 6, significa que una de las cinco personas baja en la parada 6. Se debe regresar el papelito ya que cualquiera de las otras cuatro personas podría bajar también en la parada 6.
secuencia 13. Simulación Reactivo 1 1. Considera el siguiente problema:
Una camioneta de transporte colectivo realiza un recorrido en el que hay 10 paradas fijas. Si al salir de la terminal se han subido cuatro personas desconocidas entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que dos personas bajen en una misma parada? Marca con una cuál de los siguientes experimentos usarías para simu lar el problema anterior. En una bolsa se ponen cuatro papelitos numerados del 1 al 4. En otra bolsa, se ponen diez papelitos numerados del 1 al 10. Se ex trae un papelito de cada bolsa, se anotan los números y se regresa cada uno a su bolsa. Se hacen cuatro extracciones. En una bolsa se ponen diez papelitos numerados del 1 al 10. Se extrae un papelito, se anota el número y el papelito no se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones. En una bolsa se ponen diez papelitos numerados del 1 al 10. Se extrae un papelito, se anota el número y se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones. En una bolsa se ponen cuatro papelitos numerados del 1 al 4. Se extrae un papelito, se anota el número y se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones.
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1’. Considera el siguiente problema:
En la fábrica de focos A, se sabe que la producción tiene un 20% de focos defectuosos; mientras que la de la fábrica B tiene un 25%. Si se junta el mismo número de focos de cada fábrica y se escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el foco escogido sea de la fábrica A y no tenga defecto?
Respuesta: la segunda opción. Cada conjunto de 20 canicas re presenta los focos de una fábrica y las canicas marcadas con la letra “d” representan a los focos defec tuosos.
Marca con una cuál de los siguientes experimentos realizarías para simular el problema anterior. Una bolsa con 200 canicas: 20 rojas, 25 azules y 155 amarillas; se extrae una canica, se anota el color y se regresa la canica a la bolsa. Una bolsa con 200 canicas: 100 rojas y 100 azules, 20 de las cani cas rojas y 25 de las azules están marcadas con una “d”; se extrae una canica, se anota el color y si tiene o no la letra “d”; luego se regresa la canica a la bolsa. Dos bolsas de canicas: la primera tiene 20 canicas azules y 80 rojas, y la segunda bolsa tiene 25 canicas azules y 75 canicas rojas; se extrae una canica de cada bolsa, se anota el color y se regresan. Dos bolsas de canicas: la primera tiene 100 canicas rojas, 20 están marcadas con una “d”, y la segunda bolsa tiene 100 canicas azules y 25 están marcadas con una “d”; se extrae una canica de cada bolsa, se anota el color de cada una y si tiene o no la letra “d”; luego se regresan las canicas a la bolsa.
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Bibliografía
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática, 23 agosto 2003 [recuperado el 3 de abril de 2008 de http://www. inegi.gob.mx ]. SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. México, 2000. - Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. México, 2000. - 24 septiembre 2007 [recuperado el 3 de abril de 2008 de http:// www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/index.htm].
SEP/ILCE. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria. México, 2000. - Geometría dinámica. Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria. México, 2000. - Biología. Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación Secundaria. México, 2000.
matemáticas III Libro para el maestro
se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , el mes de de 2008. El tiraje fue de ejemplares.
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6/20/08 5:40:47 PM
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Libro para el maestro
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Matemáticas III. Libro para el maestro. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Josefina Vázquez Mota SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA José Fernando González Sánchez Dirección General de Materiales Educativos María Edith Bernáldez Reyes Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos Subdirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos para la Educación Secundaria Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA Dirección General Manuel Quintero Quintero Coordinación de Informática Educativa Felipe Bracho Carpizo Coordinación Académica General Aquiles Ávila Hernández Coordinación Académica Armando Solares Rojas Asesoría Académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
Servicios editoriales Dirección de arte: Rocío Mireles Gavito
Autores Ana Laura Barriendos Rodríguez, Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Diseño: Zona gráfica
Colaboradores Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato
Diagramación: Bruno Contreras, Victor Vilchis
Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez Revisores académicos externos David Francisco Block Sevilla, Diana Violeta Solares Pineda Diseño de actividades tecnológicas Mauricio Héctor Cano Pineda, Emilio Domínguez Bravo, Deyanira Monroy Zariñán
Iconografía: Cynthia Valdespino Ilustración: Curro Gómez, Victor Eduardo Sandoval, Gabriela Podestá, Juan Pablo Romo Fotografía: Bruno Contreras, Cynthia Valdespino, Fernando Villafán, Art explosion 2007
Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez Primera edición, 2008 (ciclo escolar 2008-2009) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 978-968-01-1718-5 (obra completa) ISBN 978-968-01-1720-8 (volumen II) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta
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Índice 4
C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A
6
Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente 3 Fomentar la interacción en el aula 4 Utilizar recursos múltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Pistas didácticas
8 10 12 14 16
1
25
Mapa-índice Clave de logos
26
28
secuencia
20
110
14 secuencia 15 secuencia 16 secuencia 17 secuencia 18 secuencia 19 secuencia 20
120
122
secuencia
38 52 64 74 84
176
21 secuencia 22 secuencia 23 secuencia 24 secuencia 25
184
186
secuencia
136 146 162
192 202 208 210
222 244 252 262
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26 secuencia 27 secuencia 28 secuencia 29 secuencia 30
Bloque 3 Relaciones funcionales y expresiones algebraicas Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general Teorema de Tales Figuras homotéticas Gráficas de relaciones funcionales Algunas carácterísticas de graficas no lineales Gráficas por pedazos Bloque 4 Diferencias en sucesiones Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas El crecimiento exponencial y el lineal Representación de la información Bloque 5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Conos y cilindros Volumen del cono y del cilindro Estimar volúmenes Gráfica cajabrazos
Examen bloque 3 Examen bloque 4 Examen bloque 5 Bibliografía
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3
4
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Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria
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1 Crear un ambiente de confianza Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:
• Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. • Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los proyectos de Ciencias, debido a que éstos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del año escolar.
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• Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar información y tomar sugerencias.
Cómo hacer una lluvia de ideas
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral
• Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún contenido conceptual. • Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo.
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Incorporar estrategias de 2 enseñanza de manera permanente Es importante usar diferentes prácticas académicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseñanza en el aula: • Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de información aportan y en qué aspectos deben poner atención para comprenderlos mejor. • Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación de la información representada, se busca construir con el grupo, con la participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones, qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. • Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti tuye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. • Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. • Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.
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Cómo concluir un diálogo o actividad • Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudará a escuchar cómo se oyen (y cómo se entienden) sus escritos. Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. • Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. • Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.
Cómo introducir otros recursos
Para hacer uso del diccionario
Cómo leer un mapa
Cómo apoyar la elaboración de resúmenes
• Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico. • Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior. En matemáticas, por ejemplo, el carácter formal o acabado del procedimiento de solución depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multipli cativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemático está en construcción permanente.
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3 Fomentar la interacción en el aula El diálogo e interacción entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: • Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o “no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización en las problemáticas a tratar; también permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además, dan pie a un uso más extenso de la expresión oral. • Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida de conocimientos.
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• Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas. • Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos, realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de información, analista, etcétera). • Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.
Cómo llevar a cabo un debate
Cómo conducir una revisión grupal de textos
Cómo conducir un diálogo grupal
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral
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4 Utilizar recursos múltiples Una parte fundamental de la educación secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparación de las clases y • Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. • Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede
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Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar información en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de alguna actividad experimental.
Cómo introducir otros recursos
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5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y constante. Por ejemplo, se puede: • Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc. • Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:
¿Qué hacer cuando no sabes Qué significa una palabra? tratar de inferir el significado del texto. Buscarla en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compañero. saltarla y seguir leyendo.
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• Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la consulta continua. • Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a su estilo y sus intereses.
Cómo organizar la bitácora del grupo
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Pistas didácticas Cómo conducir un diálogo grupal • Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para recuperarlas en la discusión o conclusiones. • Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. • Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra, ¿qué otras observaciones se podrían hacer?” • Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”. • En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. • Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.
Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales • Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio nes que puedan ser mejoradas. cepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo • Acepte que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrón y después en su cuaderno. olicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban • Solicite con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. • Enn cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. iempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita. • Siempre
Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas • Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos: • Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también las palabras o páginas consultadas. • Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas. • Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisión y canal. 1
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Cómo organizar la bitácora del grupo • La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspecti vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. • Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografías, etcétera. • Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. • Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo.
Cómo hacer una lluvia de ideas • Plantee lantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?). • Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. • Conforme onforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. • Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera). • Resuma con el grupo las principales aportaciones. • Retome etome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
Cómo concluir un diálogo o una actividad • Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. • Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron. • Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. • Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. • Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más importantes.
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Cómo llevar a cabo un debate • Antes ntes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y de secretario, explicándoles en qué consiste su labor. • Defina efina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando. • El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. • Ell secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos que aportan. • All agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. • Cada ada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan tes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. • Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.
Cómo introducir otros recursos • Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. • Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera) al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año. • Lea o muéstrelo al grupo. • Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. • Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso.
Cómo coordinar la discusión de un dilema moral • Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harán más adelante. • Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión? • Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. • Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. • A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles? • Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema. 1
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Cómo apoyar la elaboración de resúmenes • Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo. • Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. • A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto. • De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.
Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos • Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen tos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte cepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno. • Solicite olicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.
Para hacer uso del diccionario • Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. • Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético. • Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de sinónimos. • Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. • Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.
Cómo leer un mapa • Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo data y si representa hechos o procesos del pasado. • Revise con los alumnos las referencias o simbología. • Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa. • Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación. • Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa o relacionándolo con otras informaciones previas. • Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos. Li b r o p ara e l maestro
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7. Diseño de experimentos y estudios estadísticos. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
6. La razón de cambio. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
5. Problemas con curvas. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
4. Ángulos en una circunferencia. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
3. Entre rectas y circunferencias. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
2. Triángulos congruentes y cuadriláteros. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.
1. Productos notables y factorización. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(x + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 + 2ax + a 2; ax 2 + bx; x 2 + bx + c ; x 2 + a 2.
SECUENCIA
7.3 ¿Qué cantidad de agua consumen diariamente los alumnos de tercer grado?
7.2 Un juego de letras. Otro estudio estadístico Programa 12
Programa 11
6.3 Algunas razones de cambio importantes 7.1 Diseño de un estudio estadístico. ¿Qué materia te gusta más?
Programa 9 Programa 10
6.2 Pendiente y razón de cambio
6.1 El incremento
5.3 De todo un poco
5.2 Lo que resta
Programa 8
Programa 7
5.1 Sólo una parte
Programa 6
4.4 Problemas de medida
Programa 5
Programa 4
Programa 3
Programa 2
Programa 1
Programas
4.3 Probemos que uno es la mitad del otro
4.2 Relaciones a medias
4.1 Dos ángulos de una circunferencia
3.4 Algunos problemas
3.3 Entre circunferencias
3.2 Trazos de tangentes
3.1 Puntos en común
2.2 Puntos medios
2.1 Lados opuestos iguales
1.5 Un caso especial de factorización
1.4 A formar rectángulos
1.3 La diferencia de dos cuadrados
1.2 El cuadrado de una diferencia
1.1 A formar cuadrados
SESIÓN
Bloque 1
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
¿Sabes que es una razón? (Hoja de cálculo)
Ángulos inscritos en una circunferencia (Geometría dinámica)
Tangentes (Geometría dinámica)
Cómo verificar la congruencia de las figuras (Geometría dinámica)
La diagonal de un paralelogramo (Geometría dinámica)
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13. Simulación. Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.
12. Índices. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.
11. Semejanza de triángulos. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.
10. Figuras semejantes. Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.
9. Resolución de ecuaciones por factorización. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
8. Ecuaciones no lineales. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
SECUENCIA
13.3 Simulación y tiros libres
13.2 Aplicando la simulación
13.1 Simulación
12.4 Más sobre índices
12.3 ¿Quién es el pelotero más valioso?
Programa 24
Programa 23
Programa 22
Programa 21
12.2 Índices en la escuela
Programa 20
11.4 Cálculo de distancias
Programa 19
12.1 El índice nacional de precios al consumidor
11.3 Criterios de semejanza de triángulos II
11.2 Criterios de semejanza de triángulos I
11.1 Explorando la semejanza de triángulos
Programa 17 Programa 18
10.2 Aplicaciones de la semejanza
Programa 16
Programa 15
Programa 14
Programa 13
Programas
10.1 Un corazón muy especial
9.4 Apliquemos lo aprendido
9.3 El adorno
9.2 Los factores de cero
9.1 ¿Cuánto miden los lados?
8.3 Menú de problemas
8.2 Cubos, cuadrados y aristas
8.1 El número secreto
SESIÓN
Bloque 2
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Simulación con el modelo de urna (1) (Hoja de cálculo)
Idea de triángulos semejantes (Geometría dinámica)
Ecuaciones con más de una solución I (Calculadora)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
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20. Gráficas por pedazos. [104-119] Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
19. Algunas características de gráficas no lineales. [84-109] Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.
18. Gráficas de relaciones funcionales. [74-83] Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.
17. Figuras homotéticas. [64-73] Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.
16. Teorema de Tales. [52-63] Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.
15. Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general. [38-51] Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.
14. Relaciones funcionales y expresiones algebraicas. [28-37] Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.
SECUENCIA
15.2 El beisbolista
Interactivo Interactivo
20.2 Diversos problemas
Interactivo
Interactivo
20.1 Las albercas Programa 38
Programa 37
19.5 ¡Ahí les van unas hipérbolas! 19.6 Efectos especiales
Interactivo Programa 36
19.4 ¡Ahí les van unas cúbicas!
Interactivo
Interactivo Programa 35
19.2 ¡Para arriba y para abajo! 19.3 Las desplazadas
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Funciones cuadráticas (Hoja de cálculo)
La homotecia como aplicación del teorema de Tales (Geometría dinámica)
Recíproco del teorema de Tales (Geometría dinámica)
Teorema de Tales (Geometría dinámica)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
19.1 ¡Abiertas y más abiertas!
18.3 La caja
Programa 33 Programa 34
18.1 Plano inclinado
Programa 32
17.2 Depende de la razón
18.2 La ley de Boyle
Programa 31
Programa 30
Programa 29
Programa 28
17.1 Especialmente semejantes
16.3 Ahí está el teorema de Tales
16.2 Proporcionalidad contra paralelismo
16.1 La culpa es de las paralelas
15.4 La razón dorada
15.3 Cuántas soluciones tiene una ecuación
Programa 27
Programa 26
15.1 La fórmula general
Programa 25
14.3 El medio litro de leche
Programas
14.2 El corral de los conejos
14.1 El área de la imagen
SESIÓN
Bloque 3
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E VA L U A C I Ó N
25. Representación de la información. [176-183] Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.
24. El crecimiento exponencial y el lineal. [162-175] Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.
23. Razones trigonométricas. [146-161] Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
22. Teorema de Pitágoras. [136-145] Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
21. Diferencias en sucesiones. [122-135] Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
SECUENCIA
25.2 De importancia social
Programa 48
Programa 47
25.1 Muchos datos
Programa 46
24.4 La depreciación de las cosas
Programa 45
Programa 44
24.3 Gráfica de una sucesión exponencial
24.2 Interés compuesto
24.1 Crecimiento de poblaciones
23.4 A resolver problemas
23.3 30°, 45° y 60°
23.2 Cosenos y senos
23.1 La competencia Programa 43
Programa 42
22.2 Aplicaciones del teorema de Pitágoras I 22.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras II
Programa 41
Programa 40
Programa 39
Programas
22.1 ¿Qué nos dice el teorema de Pitágoras?
21.4 Apliquemos lo aprendido
21.3 El método de diferencias
21.2 Las diferencias en expresiones cuadráticas
21.1 Números figurados
SESIÓN
Bloque 4
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Ángulo de elevación y depresión (Hoja de cálculo)
Teorema de Pitágoras (Geometría dinámica)
Aula de medios
RECURSOS TECNOLÓGICOS
24
Libro d e l m a e s t r o
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Programa 56 Programa 57
30.2 Construcción de la gráfica cajabrazos 30.3 Comparación de datos mediante la gráfica de cajabrazos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
EJE 1:
EJE 2:
EJE 3:
E VA L U A C I Ó N
Programa 55
30.1 Interpretación de datos
30. Gráfica cajabrazos. [210-221] Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.
Programa 54
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Programa 53
29.1 Problemas prácticos
28.2 Conos de papel
Interactivo
Interactivo
Interactivo
Interactivos
Interactivo Programa 52
Programa 51
Programa 50
Programa 49
Programas
RECURSOS TECNOLÓGICOS
28.1 Tinacos de agua
27.4 Secciones de corte
27.3 Conos rectos
27.2 Cilindros rectos
27.1 Sólidos de revolución
26.2 Ecuaciones y geometría
26.1 Los discípulos de Pitágoras
SESIÓN
29. Estimar volúmenes. [208-209] Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
28. Volumen del cono y del cilindro. [202-207] Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.
27. Conos y cilindros. [192-201] Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera cono recto.
26. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones. [186-191] Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.
SECUENCIA
Bloque 5 Aula de medios
Clave de logos T rabajo
individual
s iTios
dE i nTErnET
En
parEjas
biblioTECas EsColarEs y dE aula
En
Equipos
programa dE TElEvisión
T odo
El grupo
C onExión
Con oTras asignaTuras
g losario
C onsulTa
Cd
i nTEraCTivo
a udioTExTo
a ula
oTros maTErialEs
dE
m Edios
o Tros T ExTos
dE rECursos
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secuenci a 14
Propósito de la sesión. Establecer la expresión que describe la relación entre el área de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.
Relaciones funcionales y expresiones algebraicas
Propósito del Interactivo.Presentar problemas de la vida real y modelarlos mediante expresiones algebraicas.
En esta secuencia encontrarás las expresiones algebraicas que corresponden a distintas relaciones funcionales.
Analizar las expresiones algebraicas mediante el uso de tablas. Sugerencia didáctica. Una vez que hayan leído este párrafo, analicen juntos las imágenes: haga notar que cuando el proyector está a una distancia de 1 m de la pantalla, la imagen tiene una altura de 0.5 m; mientras que cuando el proyector está al doble de distancia (2 m), la imagen tiene el doble de altura (1 m). Por ello se afirma que es una relación de proporcionalidad directa.
Para empezar
Cuando una imagen se proyecta sobre una pantalla, su tamaño aumenta. Dicho aumen to puede ser mayor o menor dependiendo de la distancia a la que se encuentre el pro yector respecto de la pantalla.
0.5 m
1m
1m
2m
Más aún, la relación entre la distancia a la que se coloca el proyector y las dimensiones de la imagen (largo y ancho) es de proporcionalidad directa. Es decir, si se duplica, tripli ca, reduce a la mitad, etc. la distancia a la que se encuentra el proyector, se duplicarán, triplicarán, reducirán a la mitad, etc. el largo y el ancho de la imagen.
Haga la siguiente pregunta: Si el proyector se encuentra a 5 m de distancia ¿cuál sería la altura de la imagen?
Consideremos lo siguiente
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos escriban una expresión que describa la relación entre la distancia a la que se encuentra el proyector y el tamaño de la imagen.
En la imagen superior se está proyectando un cuadrado. Cuando el proyector se coloca a 1 m de distancia de la pantalla, la imagen proyectada resulta ser un cuadrado de lado 0.5 m. a) Si el proyector se colocara a 2 m de distancia, ¿cuánto medirá el lado del cuadrado proyectado?
Respuestas.
c) ¿Y si se colocara a 1 m? 2
c) A medio metro, el área sería 0.0625 m2 porque el lado mediría 0.25 m.
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Relación funcional.
Propósitos de la secuencia Reconocer en otras disciplinas la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la variación mediante una tabla o una expresión algebraica.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
El área de la imagen Establecer la expresión que describe la relación entre el área de una imagen proyectada y la distancia del proyector a la pantalla.
Interactivo
2
El corral de los conejos Utilizar una relación cuadrática para encontrar el área máxima de un corral con perímetro fijo.
Programa 25
3
El medio litro de leche Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenómenos.
Programa 26
Antecedentes
Desde el primer grado de secundaria los alumnos han estudiado las relaciones entre cantidades que varían una en función de la otra. En esta secuencia continuarán trabajando ese tema resolviendo situaciones de otras disciplinas.
m2.
12
Significado y uso de las literales.
Subtema
m2.
m2.
b) A tres metros, el área sería 2.25 m2 porque el lado mediría 1.5 m.
Eje
m; ¿cuál sería su área?
b) Si el proyector se colocara a 3 m, ¿cuál sería el área de la imagen proyectada?
a) El lado medirá 1 m y el área 1 m2 .
28
EL ÁREA DE LA IMAGEN
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MATEMÁTICAS
nales y raicas
III
Respuestas. d) Si x es la distancia a la que se encuentra el proyector, y y el área de la imagen, entonces la expresión sería y = 0.25x 2 .
d) Escribe una expresión que sirva para calcular el área de la imagen proyectada a partir de la distancia a la que se encuentra el proyector. Ayúdate de la expresión anterior para contestar la siguiente pregunta:
e) 0.49 m2
e) Si el proyector se colocara a 1.4 m de distancia, ¿cuál sería el área del cuadrado? m2.
Posibles respuestas para la pregunta d). La expresión y = 0.25x 2 puede escribirse de otras maneras, como:
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
y = (0.5x)2
Manos a la obra
y = (0.5x) (0.5x) 2 y= x 2 2 y= x 4 Posibles dificultades. Quizá los alumnos escriban y = 0.5x para expresar la relación entre la distancia del proyector y el área de la imagen, pero sería erróneo. La expresión en realidad sirve para hallar el lado del cuadrado de la imagen ( y ) conociendo la distancia a la que se encuentra el proyector (x ).
I. Completen la siguiente tabla. Distancia del proyector a la pantalla (m)
Longitud del lado del cuadrado proyectado (m)
0.5
0.25
1.0
0.5
0.25
1.5
0.75 1 1.25 1.5
0.5625 1 1.5625 2.25
2.0 2.5 3.0
( )
Área del cuadrado proyectado (m2)
0.625
II. Contesten las siguientes preguntas:
Otro posible fuente de error ocurre cuando al querer denotar la operación “multiplicar 0.5 por x y el resultado elevarlo al cuadrado”, escriben y = 0.5x 2 . La jerarquía de operaciones prioriza la exponenciación sobre la multiplicación, por lo que primero debe elevarse x al cuadrado, y luego multiplicarse por 0.5. Si se le agregan paréntesis, la expresión es correcta: y = (0.5x )2 .
a) ¿Qué operación hay que hacer para completar la segunda columna a partir de la primera? b) Si se denota con la letra x a la distancia entre el proyector y la pantalla, ¿cuál es la expresión que representa la longitud del lado del cuadrado? Lado = c) ¿Qué operación hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la segunda?
Sugerencia didáctica. Si los alumnos escriben distintas expresiones correctas, pídales que pasen al pizarrón a explicarlas y que las comparen. Si encuentran una sola forma correcta de escribir la expresión, o si no logran escribir ninguna, permítales avanzar en la sesión, más adelante podrán retomarlas y hacer correcciones.
d) ¿Qué operaciones hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la primera? e) Si denotamos con la letra y el área de la imagen proyectada, ¿cuál es la expresión que relaciona y con x ? y = Comparen sus respuestas y comenten si la relación entre la x y la y es de proporciona lidad directa. 13
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Respuestas. a) Dividir entre 2 o multiplicar por 0.5 b) Lado = 0.5x, también podría escribirse Lado = x 2 c) Elevar al cuadrado. d) Dividir entre dos y después elevar al cuadrado, o bien, multiplicar por 0.5 y después elevar al cuadrado. e) y = (0.5x )2 2 y = x o alguna otra equivalente. 2 Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que revisen la expresión que escribieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que hagan correcciones si fuera necesario. Este puede ser también un buen momento para que les plantee expresiones equivalentes a y = (0.5x )2 como:
( )
y = 0.25x 2
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y = (0.5x ) (0.5x ) 2 y= x 2 2 y=x 4 Utilicen cada expresión para obtener el valor de y asignando tres o cuatro valores a x y compárenlas. Se espera que logren decir cosas como: • Es lo mismo escribir (0.5x )2 que (0.5x ) (0.5x ), y si se efectúa esa multiplicación, se obtiene otra de las expresiones de la lista 0.25x 2 . 2 • Es lo mismo (0.5x)2 que x porque da igual 2 multiplicar por 0.5 que dividir entre 2. 2 • La expresión x es equivalente a 0.25x 2 2 porque da lo mismo dividir entre 4 que multiplicar por 0.25. • Cuando terminen de comparar las expresiones, plantéeles como reto que escriban otra que sea equivalente a las anteriores.
( )
( )
Sugerencia didáctica. Aunque algunos de los estudiantes no hayan logrado escribir una expresión correcta, es importante que se cercioren de que la que escribieron en realidad denote las operaciones que quieren hacer. Es decir, deben estar seguros de que no han cometido errores como olvidar la jerarquía de operaciones. Para hacer esta verificación, pídales a todos que escriban sus expresiones en el pizarrón. Descarte las repetidas, y para todas las demás, digan cuánto vale y si x es igual a 1, 2 y 4, por ejemplo. Lo importante en este punto no es decir quién escribió una expresión correcta, sino corregir errores algebraicos. Sugerencia didáctica. Para analizar la relación que existe entre la distancia a la que se coloca el proyector y el tamaño de la imagen, diga a los alumnos que observen la tabla que llenaron en el apartado Manos a la obra. Cuando x vale 1, y vale 0.25. Si la relación fuera de proporcionalidad directa, se esperaría que cuando x vale el doble (2) y valiera el doble (0.5), pero esto no ocurre. Analicen varios casos para que quede claro que la relación no es de proporcionalidad directa.
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secuenci a 14
Respuestas. a) 3.4225 m2
iii. Usen la expresión que encontraron para contestar lo siguiente:
b) Aproximadamente a 2.8 m.
a) Si el proyector se colocara a 3.7 m, ¿cuál sería el área de la imagen?
Posibles procedimientos. Para contestar la pregunta del inciso b) los alumnos deberán emplear de distinta forma la expresión y = 0.25x 2 .
b) Si se quiere que la imagen tenga un área de 2 m2, ¿a qué distancia deberá colo carse el proyector?
A lo que llegamos
• Si ya se conoce el área (y), para encontrar la distancia a la que se encuentra el proyector (x), la expresión sería x = y 0.25
En algunas situaciones, como en el caso de la proyección, la relación entre dos cantidades x, y puede ser escrita de la forma y = ax 2 , donde a es un número fijo. A esta relación se le conoce como relación cuadrática, pues la variable y depende del cuadrado de la variable x, es decir, de x 2.
• Los alumnos ya saben utilizar operaciones inversas, por lo que podrían plantearse 2 = 0.25x 2 ¿cuánto debe valer x para obtener y = 2?
A diferencia de las relaciones de proporcionalidad directa, al incrementar al doble el valor de x no se duplica el valor de y , sino que se cuadruplica.
Lo que aprendimos 1. Un proyector despliega un cuadrado de lado 30 cm al colocarse a 1 m de la pantalla. Al colocar el proyector a otra distancia x se producirá un cuadrado de una cierta área y en metros cuadrados, ¿cuál es la expresión que relaciona x con y?
y=
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas dos actividades.
2. En la siguiente figura se muestran las medidas de un rectángulo que se proyectó a una distancia de 1 m. ¿Cuál sería el área de la imagen si se proyectara a una distancia
Respuestas.
de 4.3 m de la pantalla?
1. Si el lado de la imagen mide 30 cm, entonces su área es de 900 cm2 o 0.09 m2 . La expresión sería y = 0.09 x 2 . 2. Ya se sabe que las medidas de los lados de la imagen y distancia a la que se encuentra el proyector (x ), tienen una relación de proporcionalidad directa: para cualquier valor de x los lados del rectángulo medirán 0.6 x y 0.4x. Entonces, basta multiplicar esas dos expresiones para obtener el área: y = (0.6 x) (0.4x) = 0.24x 2 .
0.6 m 0.4 m 1m
14
Ahora bien, si x = 4.3, entonces y = 0.24 (4.3)2 = 4.4376 m2 . Posibles dificultades. Es probable que los alumnos encuentren difícil el problema 2. Para resolverlo, lo primero que les tiene que quedar claro es que la relación entre la distancia del proyector y el tamaño de los lados de la imagen, es de proporcionalidad directa. Si lo considera necesario, plantee algunas preguntas como: cuando el proyector está a 2 m ¿de qué tamaño son los lados del rectángulo?, ¿y si está a 2.5 m? También pueden llenar una tabla similar a la que hicieron en el apartado Manos a la obra: Distancia del proyector a la pantalla (m)
Longitud del lado menor del rectángulo proyectado (m)
Longitud del lado mayor del rectángulo proyectado (m)
Área del cuadrado proyectado (m2 )
0.4
0.6
0.24
0.5 1.0
Cuando terminen de llenar la tabla, escriba en el pizarrón lo siguiente: cuando x = 1, el lado menor del rectángulo mide 0.4x y el lado mayor 0.6 x. Pregúnteles si ocurrirá lo mismo cuando x tiene otros valores, ¿es cierto que si x = 3 los lados del rectángulo miden 0.4x y 0.6 x? Cuando estén seguros de que lo anterior es cierto, explíqueles que para obtener el área del rectángulo, hay que multiplicar las dos expresiones que ya obtuvieron: (0.6 x ) (0.4x ) = 0.24x 2 . Verifiquen la expresión dando distintos valores a x.
1.5 2.0 2.5 3.0
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MATEMÁTICAS
III
EL CORRAL DE LOs CONEJOs
sEsIóN 2
Para empezar
Don Chon tiene una malla de 100 m de longitud para hacer un cerco. Ha decido usar el material para hacerle un corral rectangular a sus conejos. No sabe todavía de qué dimen siones hacerlo, pues quiere que sus conejos tengan el mayor terreno posible.
Posibles respuestas. Los alumnos deben dar las medidas de cuatro rectángulos con perímetro 100 m, buscando que las áreas a las que den lugar dichos rectángulos, sean las mayores posibles. Es buena idea que los alumnos hagan en su cuaderno una tabla con las medidas de cada rectángulo que se les vaya ocurriendo.
a) ¿De qué medidas se puede construir el corral rectangular usando los 100 m de malla? Encuentren cuatro posibilidades para el frente y cuatro para el fondo y anótenlas en las columnas A, B, C y D.
Rectángulo
A
B
C
D
Frente (m) Fondo
Propósito de la sesión. Utilizar una relación cuadrática para encontrar el área máxima de un corral rectangular con perímetro fijo.
Como la actividad es en parejas, pueden incluir en la tabla del libro dos posibilidades de un compañero, y dos del otro.
Fondo (m)
Frente
b) Calculen el área de cada uno de los corrales que propusieron. Área de A =
m2.
Área de B =
m2.
Área de C =
m2.
Área de D =
m2.
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comparen las medidas que surjan en el salón. Aunque desde la escuela primaria aprendieron que dos figuras con igual perímetro no necesariamente tienen igual área, lo que hay que resaltar en este momento es cuáles fueron las medidas que dieron lugar a la mayor área.
c) ¿Cuál de los cuatro rectángulos que propusieron tiene mayor área? Comparen las medidas de los corrales que propusieron y elijan de entre todos ellos cuál es el que tiene mayor área.
Consideremos lo siguiente
Propósito de la actividad. Que los alumnos obtengan una expresión cuadrática para obtener el corral con mayor área posible.
Para encontrar las medidas del corral que encierra la mayor área posible, conviene tener una expresión para el área. Denoten con x la longitud del frente del corral. Recuerden que el corral debe usar los 100 m de malla.
Posibles respuestas.
a) ¿Cuál deberá ser la medida del fondo? Fondo =
a) Los alumnos pueden expresar la medida del fondo del corral de distintas maneras:
b) Representen con la letra y el área del corral que mide x metros de frente y escriban una expresión que relacione x con y . y =
50 – x (100 – 2 x ) 2
Verifiquen que las expresiones que escribieron sirven para calcular el área de los corrales A, B, C y D a partir de las medidas de sus frentes. 15
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Sugerencia didáctica. Pida a cada pareja de alumnos que use los datos de la tabla llenada en el apartado Para empezar para ver si la expresión a la que llegaron es correcta. Recuerden que x es igual a la medida del “Frente” del corral (entonces, en la tabla tienen 4 valores distintos para x). Utilizando la expresión a la que llegaron, deben obtener el área de ese rectángulo. En el caso que no concuerde algún valor, podrá comentarse con todo el grupo. La dificultad podría estar en:
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b) Los alumnos ya saben que el frente del corral mide x y en el inciso a) obtuvieron la medida del fondo. El área será el resultado de multiplicar ambas medidas, y pueden expresarla de distintas maneras, como: • y = x (50 – x ), y al efectuar las multiplicaciones quedaría y = 50 x – x 2 .
x (100 – 2 x ) y al efectuar las 2 100 x – 2 x 2 multiplicaciones quedaría y = 2
• y=
• Una ecuación mal escrita. • Que el rectángulo no tenga perímetro 100 m. • Un cálculo erróneo.
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Respuesta. La opción a). Posibles dificultades. Para decidir cuál es la expresión correcta, los alumnos podrían comparar las 4 opciones con la que obtuvieron en la actividad anterior. Sin embargo, esto podría requerir de una buena habilidad algebraica si la expresión no les quedó idéntica a la correcta. Para evitar esta dificultad, sugiera a los alumnos que evalúen las cuatro opciones con las medidas de los terrenos A, B, C y D de la tabla del apartado Para empezar. Sugerencia didáctica. Este momento puede aprovecharse para explicar algebraicamente por qué las diferentes expresiones presentadas como posibles respuestas a la pregunta b) del apartado Consideremos lo siguiente, son equivalentes a la expresión y = 50 x – x 2 .
secuencia 14
Manos a la obra i. De las siguientes expresiones, ¿cuál es la que permite calcular el área y a partir de la medida del frente x ? Subráyenla. a) y = 50x – x 2
Recuerden que: es son equivalentes si dan Se dice que dos expresion arlas para todo valor. el mismo resultado al evalu expresión 2x + 2 en la uar eval Por ejemplo, al o 12. Ese mismo resultad x = 5 da como resultado esión 2(x + 1) en expr la uar eval al ene se obti expresiones en cualx = 5. Y al evaluar esas dos n el mismo resultado. quier otro valor de x, dará nes 2x + 2 y 2(x + 1) Por esa razón, las expresio son equivalentes.
Respuestas. a) 25 b) Sí es posible. Las explicaciones que den los alumnos pueden ser muy variadas, pero se espera que giren en torno a lo siguiente: en la tabla es posible ver que cuando x vale 20, y = 600. c) No es posible, sin embargo, para los alumnos puede ser difícil explicar por qué. Lo importante es que observen que al mover el valor de x desde casi 0 hasta 25, el valor de y va creciendo y luego se reduce. También puede afirmarse que la ecuación 50 x – x 2 = 650 no tiene solución, aunque las herramientas matemáticas necesarias para justificarlo no están al alcance de los alumnos. Lo que aprendan en la siguiente secuencia les servirá para argumentar mejor esta cuestión. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por otros valores de y que no aparecen en la tabla. Por ejemplo: ¿es posible que y = 609?, ¿cuánto vale x es ese caso?
c) y = x 2 – 50x d) y = 50x 2 – x Comparen sus respuestas, comenten cómo hicieron para elegirla y decidan si esa expresión es equiva lente a la que habían contestado en el apartado Consideremos lo siguiente.
ii. Escriban la expresión que eligieron en la actividad i en la casilla correspondiente a continuación, y después completen la tabla usando esa expresión.
x
1) x (50 – x ) = 50 x – x 2 (efectuando la multiplicación). x (100 – 2 x ) 100 x – 2 x 2 = 2) 2 2 (efectuando la multiplicación). 100 x 2x 2 x (100 – 2 x ) = – 3) 2 2 2 (efectuando la multiplicación y dejando señalada la división de cada término entre 2). x (100 – 2 x ) = 50 x – x 2 4) 2 (efectuando la multiplicación y la división de cada término entre 2). Propósito de la actividad. La tabla y las siguientes preguntas pretenden apoyar el análisis del comportamiento de la expresión obtenida: para cierto valor de x se obtiene un área máxima, pero si se sigue aumentando x el área disminuye. Es importante que no adelante a los alumnos esta información, permita que lo verifiquen por sí mismos.
b) y = 50x + x 2
y=
50 x – x 2
5
10
15
20
25
30
35
40
225
400
525
600
625
600
525
400
a) Si y vale 625, ¿cuál debe ser el valor de x? b) ¿Puede ser y igual a 600?
. ¿Por qué?
c) ¿Puede ser y igual a 650?
. ¿Por qué?
Comparen sus respuestas y comenten si el valor de y puede ser mayor que 625.
A lo que llegamos Las relaciones de la forma y = ax 2 + bx y, en particular, y = ax 2 , son llamadas relaciones cuadráticas. Como se puede observar, la expresión para y contiene x 2 , equis cuadrada. Por ejemplo, las siguientes expresiones corresponden a relaciones cuadráticas: • y = 50x – x 2
• y = 50x + x 2
• y = x 2 – 50x
• y = 50x 2 – x
16
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Para saber más. Aunque con esta actividad lo que se pretende es que los alumnos observen qué ocurre con los valores que toma y cuando la x crece o decrece, es posible explicar por qué la expresión 50 x – x 2 no puede ser mayor a 625. Si usted lo considera conveniente, compártala con sus alumnos, pero no es obligatorio que la aprendan.
y = 50 x – x 2 Sumando y restando 625 se obtiene:
y = 625 – 625 + 50 x – x 2 Factorizando el signo menos se obtiene la expresión equivalente:
y = 625 – (625 – 50 x + x 2 ) La parte entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto por lo que la expresión puede cambiarse a:
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En esta útlima expresión puede verse que a 625 se le está restando “algo”, y ese “algo” es un número mayor o igual a cero (no puede ser negativo porque está elevado al cuadrado). Esa es la razón por la que el valor de y no puede ser mayor que 625: para cualquier valor de x es cierto que (x – 25)2 0. Notemos lo importante de señalar que “algo” es mayor o igual a cero, pues de ser negativo incrementaría el valor de y por encima de 625. En una expresión como y = 10 – x no se puede afirmar que y es menor que 10, ya que x podría ser igual –1 y en tal caso y sería 11. La factorización del trinomio cuadrado perfecto fue parte clave de este razonamiento, pues gracias a ésta se pudo expresar y como la resta de 625 menos “algo” que ciertamente es mayor o igual a cero.
y = 625 – (x – 25)2 32
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MATEMÁTICAS
III
Propósito del programa 25. Modelar situaciones que tienen asociada una expresión cuadrática.
Para conocer más de las relaciones cuadráticas, pueden ver el programa El área máxima.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
III. A don Chon le pareció que 625 m2 era demasiada superficie y prefiere que el corral se reduzca a 400 m2. De qué medidas puede hacerse el corral, haciendo uso de los 100 m de malla (sin que sobre malla) y cubriendo los 400 m2 que quiere don Chon. Fondo =
Frente =
Lo que aprendimos Se quiere cercar una región pegada a la paed de un jardín para sembrar chayotes, como se muestra en la figura. Pero sólo se cuenta con 50 m de malla para cercar y se quiere usar toda la malla. Escriban una expresión para calcular el área de la re gión de siembra a partir de la longitud x que se marca en la figura.
Propósito de la actividad. Esta actividad permite que el alumno plantee una ecuación cuadrática y que la resuelva con sus propios métodos.
x
y=
EL MEDIO LITRO DE LECHE
SESIÓN 3
Para empezar
Sugerencia didáctica. La solución no es exacta, por lo que es conveniente que los alumnos busquen sólo una aproximación. Pueden emplear métodos personales y otros aprendidos en las sesiones 7 y 8 (como el tanteo, las operaciones inversas y la factorización). Respuesta. La ecuación es 50 x – x 2 = 400. El corral tendría aproximadamente 10 m de frente y 40 m de fondo; o al revés, 40 m de frente y 10 m de fondo.
Una empresa empacadora de leche quiere hacer un recipiente de 500 ml. La forma del recipiente deberá ser un prisma rectangular con base cuadrada, como se muestra en la figura. El deseo de los fabricantes es hacer el empaque con la menor cantidad de mate rial posible. Lado
Integrar al portafolios. Guarde una copia de la respuesta de los alumnos a esta actividad. Altura h
Altura h
Respuesta. Como el total de malla es 50 m y 2 de los lados medirán x, entonces el otro pedazo de malla mide 50 – 2 x. Por otro lado, como la región es rectangular, el área sería x (50 – 2 x).
Lado Volumen
Área
17
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Propósito de la sesión. Conocer otras expresiones algebraicas que modelan distintos fenómenos.
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Sugerencia didáctica. Al observar el desarrollo plano, los alumnos podrían notar la falta de pestañas. Acláreles que en general, se da por hecho que las pestañas deben ponerse para construir el prisma, pero que es tan poco el material que se emplea en ellas, que no se toma en cuenta a la hora de calcular el área.
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33
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secuencia 14
Propósito de la actividad. Que los alumnos escriban la expresión que describe la relación entre la longitud del lado de la base y el área del desarrollo plano para la caja de leche.
Para empezar a trabajar este problema, tenemos que recordar algunas cosas. Primero, el volumen de un prisma de base cuadrada se puede calcular multiplicando la medida de la altura por el cuadrado del lado de la base. Segundo, el material necesario para hacer la caja de leche se puede calcular usando el desarrollo plano del prisma (ver figura ante rior). Por último, 500 ml equivalen a 500 cm3.
Posibles dificultades. Para encontrar al menos dos prismas que cumplan con la condición de tener un volumen de 500 cm3 , los alumnos deberán percatarse de que hay una dependencia entre la medida del lado y la de la altura h. Si lo considera necesario, indíqueles que primero den un valor a una de las medidas: si midiera 10 cm, h tendría que medir 5 cm.
En resumen, los productores de leche están buscando un prisma rectangular de base cuadrada con volumen de 500 cm3 y cuyo desarrollo plano tenga la menor área posible.
Consideremos lo siguiente Diseñen un empaque de leche con la menor cantidad de material posible. a) Busquen varias posibilidades y escriban en la siguiente tabla dos de sus mejores pro puestas para obtener los empaques a y B.
También les puede ser de ayuda leer la información del Recuerden que.
Respuesta. Partiendo de la fórmula h = 500, los alumnos deberán despejar h para obtener 2
Posibles dificultades. Hacer un despeje en una fórmula puede ser difícil para los alumnos. Es importante que ellos comprendan la mecánica del despeje, no basta con que se aprendan una serie de pasos.
V = 2h
Volumen (cm3)
500
B
500
Recuerden que: El volumen de un prisma de base cuadrada se puede calcular usando la siguiente fórmula:
500
Altura (cm)
A
2
h=
Lado (cm)
Empaque
Área del desarrollo plano (cm2)
Representen con la letra el lado de la base y con la letra h la altura del empaque de 500 cm3. b) Escriban una expresión que permita calcular h a partir de .
h= c) Escriban una expresión que permita calcular el área a del desarrollo plano únicamente a partir de (la medida del lado de la base). a=
Recuerden que: Para calcular el área del desarrollo plano de un prisma rectangu lar se usa la siguiente fórmula: a = 4 h + 2 2
Para ello, puede ser útil que les plantee el problema con números en vez de con literales, por ejemplo, en lugar de V = 2 h anote en el pizarrón 6 = 3 × 2, que es una expresión “similar”. Debajo, escriba 6 = 3 × y pregunte ¿cómo encontrarían el número que falta? Hay que despejar la expresión, para que quede = 6 ÷ 3.
Comparen las medidas de sus diseños propuestos y decidan cuál de ellos requiere menor cantidad de material. Por último, verifiquen si la expresión que encontraron en el inci so c) sirve para calcular el área del desarrollo plano a partir del lado en cada uno de los empaques a y B.
2
Para la fórmula V = h hay que hacer un tratamiento similar con lo que se obtiene
h=
V 2
18
. Como ya se sabe que V = 500,
quedaría h =
500
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2
Posibles dificultades. En este inciso es importante explicar el significado de la palabra “únicamente”. Se pretende que los alumnos escriban una expresión para calcular el área A sin que en ella utilicen el valor de h. Para hacerlo, deben utilizar la expresión para calcular h que obtuvieron en el inciso anterior. La fórmula A = 4 h + 2 A=4
(
500 2
)+2
2
quedaría así:
2
Respuesta. Al escribir una expresión algebraica siempre es posible escribir otras que sean equivalentes, pero en este caso al sustituir h se obtiene la expresión: A=4
( 500 ) + 2
2
2
Esta expresión puede ser reducida en el primer término, cancelando con uno de los factores de 2 y multiplicando 4 por 500: A=
2000
+2
2
Si los alumnos no logran obtenerla, dígales que sigan resolviendo la sesión, más adelante encontrarán ayuda para hacerlo.
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de las preguntas. A través de estas preguntas se pretende hacer notar la relación que existe entre el lado de la base y la altura: cuando una varía la otra también debe variar.
Manos a la obra I. Para encontrar la expresión que permita calcular h a partir de , contesten las si guientes preguntas.
Respuestas.
a) Si el lado de la base es de 4 cm, ¿cuánto debe medir la altura?
a) 31.25 cm. El prisma debe tener un volumen de 500 cm3 , si el lado del cuadrado de la base mide 4 cm, el área de la base es 16 cm2 , entonces la altura se encuentra al dividir 500 entre 16.
b) Si el lado de la base es de 5 cm, ¿cuánto debe medir la altura? c) Si lado de la base es muy grande, ¿qué ocurre con la altura? d) Si el lado de la base es muy pequeño, ¿qué ocurre con la altura? e) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular h a partir de ? Subráyenla.
• h = 500 2
• h = 500 + 2
b) 20 cm, hay que dividir 500 entre 25.
• h = 500
• h = 500 2
c) La altura será muy pequeña.
Comparen sus respuestas. Verifiquen que la expresión que escogieron sí sirve para algunos valores de .
d) La altura será muy grande.
II. La fórmula A = 4 h + 2 2 permite calcular el área A del desarrollo plano de un pris ma rectangular de base cuadrada, donde es el lado de la base y h es la altura del prisma. Esta fórmula no es la que sirve para calcular A únicamente a partir de , pues se necesita además el valor de h.
Sugerencia didáctica. Aproveche este momento para que los alumnos revisen la expresión que escribieron en el inciso b) del apartado Consideremos lo siguiente y hagan correcciones si fuera necesario.
En esta fórmula, sustituyan la expresión que encontraron para calcular h a partir de . Completen:
500
A=4 (
2
)+2
2
La expresión ahora obtenida sí sirve para calcular A únicamente a partir de . Usando la expresión que encontraron, contesten las siguientes preguntas:
Respuestas.
a) Si el lado de la base es de 4 cm, ¿cuál deberá ser el área del desarrollo plano?
a) 532 cm2 b) 450 cm2
b) ¿Y si el lado de la base es de 5 cm? c) Usando la expresión que encontraron, llenen la siguiente tabla:
A= 4
( 500 ) + 2 2
2
2
4
6
8
10
12
14
1008.0
532.0
405.3
378.0
400.0
454.6
534.8
Comparen sus respuestas. Comenten: ¿Siempre es posible calcular el área sabiendo cuánto mide el lado?, ¿qué ocurre con el área cuando el valor de es muy pequeño?, ¿qué pasa con el área cuando el valor de es muy grande? 19
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Sugerencia didáctica. Dedique un tiempo suficiente para que comenten las respuestas a estas preguntas, serán de gran ayuda para continuar analizando la situación de la construcción del envase de leche. Respuestas. Primera pregunta. Sí es posible, sin embargo, si el lado del cuadrado fuera mayor o igual que 500 , el prisma ya no podría tener 500 cm3 . Puede ser interesante que los alumnos intenten obtener la altura del prisma si la base del cuadrado mide 25 cm, se darán cuenta de que no es posible construirlo.
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Segunda pregunta. Se hace muy grande el área, pues aunque 2 2 se hace cada vez más pequeño 2000 500 (casi cero), el valor de 4 = se 2 2 hace cada vez más grande.
(
)
Tercera pregunta. También se hace grande el área. Es un fenómeno muy parecido al anterior, pero en este caso es 2 2 quien se hace muy grande.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos observen el comportamiento de la relación a través de un bosquejo de la gráfica, y que se apoyen en éste para dar una solución aproximada al problema planteado.
secuenci a 14 iii. Con los datos en la tabla hagan la gráfica de la relación.
a
Hacer un bosquejo de una gráfica significa hacer un dibujo que intente parecerse a cómo en realidad es la gráfica.
1 000
Respuesta. Se espera que los alumnos tracen una curva que pase por los puntos pintados de rojo en la figura de la izquierda. Es posible que algunos alumnos tracen sólo segmentos de recta, lo que no sería correcto, pues eso significaría que la relación es lineal por pedazos (como ocurre en el caso de el llenado de cisternas que se estudió en la secuencia 20 de Matemáticas II), incluso desde la expresión es posible adelantar que el fenómeno no es lineal.
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Respuesta. La respuesta que den los alumnos dependerá qué tan precisa sea su gráfica, pero el valor que encuentren debe coincidir con lo que en el bosquejo sea el punto más bajo de la gráfica. La respuesta es exactamente la raíz cúbica de 500, que es aproximadamente 7.93, por lo que es natural aproximar con = 8.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19
20
Observen la gráfica que construyeron y traten de encontrar un valor de donde el = valor de a sea más chico de lo que han encontrado.
A lo que llegamos Algunas relaciones entre cantidades no son lineales ni cuadráticas. 2 Por ejemplo, la relación y = 2 000 x + 2x no es lineal, pues su gráfica no es una recta, y tampoco es cuadrática. Las cuadráticas son únicamente aquellas que se pueden expresar en la forma y = ax 2 + bx + c (b y c pueden ser cero) y la expresión 2 y = 2 000 x + 2x no cumple esta condición. 20
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MATEMÁTICAS
III
Propósito del programa 26. Mostrar ejemplos de relaciones funcionales en distintas disciplinas
Para conocer más ejemplos de relaciones no lineales , pueden ver el programa Usos de las relaciones funcionales.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Lo que aprendimos 1. Denota con x la medida (en cm) de la arista de un cubo y con la letra y el área de su desarrollo plano (en cm2). Escribe una expresión que relacione x con y .
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad.
y= Si el desarrollo plano tiene un área de 600 cm2, ¿cuánto debe medir la arista?
Respuesta. La expresión sería y = 6 x 2 y la arista mediría 10 cm.
2. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son cuadráticas? Subráyalas. a) y = 2x 2 + 3 b) y = 6x + 2
Respuesta. Las expresiones a) y c) son cuadráticas.
c) y = x (x +1) d) y = x (x 2 +1)
a) Sí es cuadrática pues es de la forma y = ax 2 + bx + c, para a = 2, b = 0 y c = 3.
Para saber más
b) No es cuadrática sino lineal, no tiene ningún término cuadrático.
Sobre problemas de máximos y mínimos, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ac_maximos/index.htm [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
c) Sí es, pues al desarrollar el producto se obtiene y = x 2 + x, que es de la forma y = ax 2 + bx + c, para a = 1, b = 1 y c = 0. d) No es, pues al desarrollar el producto se obtiene una x 3 .
21
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secuenci a 15
Propósito de la sesión. Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que corresponden a ecuaciones cuadráticas en las que se utiliza la fórmula general para encontrar sus soluciones.
sEsiÓN 1
LA FÓRMULA GENERAL
Para empezar
En las secuencias 8 y 9 de Matemáticas iii, volumen I, resolviste ecuaciones cuadráticas usando tus propios procedimientos, operaciones inversas o la factorización. Hace varios siglos los matemáticos dedujeron una fórmula para resolver cualquier ecuación cuadrática. Esta fórmula puede ser muy útil para resolver aquellas ecuaciones en las que resulta difícil utilizar alguno de los procedimientos anteriores.
Respuesta. Luz pudo haber pensado el – 1 = –0.5, o bien, el 1 = 0.2 5 2
Consideremos lo siguiente Resuelve el siguiente acertijo:
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos comenten los procedimientos que utilizaron para resolver la ecuación, aunque no lo hayan logrado.
Luz pensó un número, lo elevó al cuadrado y multiplicó el resultado por 10.
Posibles procedimientos. Quizá algunos se acerquen a la solución usando una tabla como lo hicieron en la secuencia 8. Aunque no hayan solucionado el problema permítales seguir resolviendo la sesión para que paso a paso aprendan a utilizar la fórmula general.
Hay dos números que pudo haber pensado Luz:
A lo obtenido le sumó tres veces el número que pensó y, al final, para su sorpresa, obtuvo 1. Se sabe que Luz realizó correctamente todas las operaciones. o bien
Comparen sus soluciones y comenten: a) ¿Pudieron encontrar los posibles números que pensó Luz? b) ¿Qué procedimientos usaron para encontrarlos?
22
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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Propósitos de la secuencia Modelar fenómenos mediante ecuaciones cuadráticas y resolverlas usando la fórmula general.
Sesión
Significado y uso de las literales.
Subtema
La fórmula general Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
2
El beisbolista Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas en las que el valor del discriminante sea un número decimal.
3
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática? Determinar cuántas soluciones tienen una ecuación cuadrática mediante el análisis del discriminante.
4
La razón dorada Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas en las que la solución es irracional.
Antecedentes
38
Propósitos de la sesión
1
Ecuaciones.
En las secuencias 8 y 9 los alumnos resolvieron ecuaciones de segundo gra-do usando sus propios procedimientos y la factorización. En esta secuencia estudiarán la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la fórmula general.
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Recursos
Programa 27 Interactivo
Programa 28
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Antes de empezar a llenar la tabla, cerciórese de que los estudiantes seleccionaron la ecuación correcta.
Manos a la obra
áticas
I. Completen la siguiente tabla para tratar de resolver la ecuación 10x 2 + 3x = 1 y encontrar los posibles números que pensó Luz. En la última columna calculen el valor que obtienen al evaluar la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación, para cada uno de los valores de x.
Si fuera necesario, repase la información del problema:
Valor de x
x2
10x 2
3x
10x 2 + 3x
1
(1)2 = 1
10 (1) = 10
3 (1) = 3
13
3
(3)2 = 9
10 (9) = 90
3 (3) = 9
99
2
(2) 2 = 4
10 (4) = 40
3 (2) = 6
46
0
0.5
10 (0) = 0 10 1 = 10 4 4
3 (0) = 0 3 1 = 3 2 2
0
(0) 2 = 0 1 2 = 1 4 2
8 = 4 2
–1
(–1) 2 = 1
10 (1) = 10
3 (–1) = -3
7
( )
( )
( )
• un número elevado al cuadrado (x 2), • que se multiplica por 10 (10 x 2), • al que se le suma tres veces el número que se pensó (+ 3 x), • y da como resultado 1 (10 x 2 + 3 x = 1).
Posibles respuestas. Para estas preguntas puede haber distintas respuestas correctas, ya que pueden ubicar a los números que buscan entre distintos rangos. Lo importante es que sepan que los números que buscan están entre –1 y 1 . 2
a) ¿Entre qué números enteros creen que se encuentra uno de los números que pensó Luz?
. Justifiquen su respuesta.
b) ¿Entre qué números fraccionarios creen que se encuentra uno de los números que . Justifiquen su respuesta.
pensó Luz?
Comparen sus respuestas y comenten las dificultades que tuvieron para encontrar las dos soluciones de la ecuación 10x 2 + 3x = 1. II. Para encontrar los dos posibles números que pensó Luz, resuelvan la ecuación 10x 2 + 3x = 1 primero escribiéndola en su forma general y luego usando la fórmula general. Esto es: Dada una ecuación en su forma general ax 2 + bx + c = 0, las soluciones se encuentran con la fórmula general: ± b 2 − 4ac x= −b 2a
Recuerden que: Una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones.
En esta fórmula a y b son los coeficientes de los términos de segundo y primer grado respectivamente, mientras que c es el término independiente.
Sugerencia didáctica. Si hubo alumnos que lograron encontrar las soluciones pídales que expliquen en el pizarrón cómo lo hicieron. Posiblemente probaron con más números en la tabla. Si ya saben que con x = 1 da 4, entonces 2 pueden probar con un número menor. Así, podrán llegar a una de las soluciones: x = 1 o 0.2 5
El signo ± que antecede al radical b − 4ac indica que una vez obtenido el valor numérico de b 2 − 4ac, una de las soluciones se obtiene al considerar el signo “+” y la otra el signo “−”. Las dos soluciones de la ecuación 10 x 2 + 3x = 1 son: 2
La otra tiene que estar entre 0 y –1. Si prueban con –0.5 obtendrán 1.
2 x 1 = − b + b − 4ac 2a 2 x 2 = − b – b − 4ac 2a
23
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Sugerencia didáctica. A lo largo de la sesión los alumnos emplearán la fórmula general para resolver distintas ecuaciones. En este momento, lo que es importante que comprendan es que: • Para poder utilizarla deben escribir la ecuación en su forma general, así podrán saber cuál término le corresponde a cada letra (a, b o c). • Hay que realizar las operaciones señaladas en la fórmula general de acuerdo a lo que aprendieron sobre la jerarquía de operaciones: primero la resta b 2 – 4 ac, luego se obtiene su raíz cuadrada, éste resultado se le resta y se le suma a – b y finalmente lo obtenido se divide entre 2 a. Anote en el pizarrón la fórmula general y analicen este orden en las operaciones.
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• Como ya vieron en las secuencias 8 y 9, las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones diferentes, una solución doble, o ninguna solución. Para obtenerlas, en la fórmula se señala que el término –b debe sumarse y también restarse al resultado de b 2 – 4ac . Es decir, la fórmula podría verse como dos fórmulas:
x 1 =
− b + b 2 + 4 ac 2a
x 2 =
− b – b 2 + 4 ac 2a
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Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron en la secuencia 9 cómo escribir una ecuación en su forma general. Es importante que sepan hacerlo para que puedan utilizar la fórmula general, así que haga un repaso si fuera necesario.
secuenci a 15 a) Pasen la ecuación 10x 2 + 3x = 1 a su forma general.
10 x 2 + 3 x – 1
b) Encuentren los valores del término independiente y de los coeficientes de los términos cuadrático y lineal.
Posibles dificultades. Es muy importante que se detenga en este punto de la sesión para explicar cuál es el término independiente y los coeficientes para que los alumnos los puedan “acomodar” en la fórmula general. También es importante que cuiden los signos. Respuesta. La ecuación es 10 x 2 + 3 x – 1 = 0, entonces:
a=
10
b=
3
c=
–1
c) En la fórmula general, sustituyan a, b, c por sus respectivos valores y realicen las operaciones hasta obtener las dos soluciones de la ecuación. 2 −(3) ± −(3) ± 49 −3 ± 7 − ( ) ± (3) ( – 4(–1)(10) ) 2 − 4 ( )( ) −−(3) ± ( ) ± 9 + 40 9 + 40 x= = = = = = x = = 2( ) 2 2(10) ( ) 20 20 2(10)
• El coeficiente del término de segundo grado es 10 (a en la fórmula general).
x 1x = 1 =
−3 + 7 4 1 − 3 + 7 = = = 0.2 = 20 20 5 20
• El coeficiente del término de primer grado es 3 (b en la fórmula general).
x 2 =
−3 – 7 –10 1 = – = –0.5 − 3 − 7 = = 20 20 2 20
x2 =
• El término independiente es –1 (c en la fórmula general).
x =
=0
d) Verifiquen sus soluciones sustituyéndolas en la ecuación 10x 2 + 3x = 1.
− b ± b 2 + 4 ac 2a
Sustituyan por el valor de x 1: 2 10 (0.2) 2 10 ( ) + 3(0.2) = 1 + 3( )=1 10 (0.04) + 0.6 = 1 0.4 + 0.6 = 1 1 = 1
Sustituyan por el valor de x 2: 2 10 (–0.5) + 3(–0.5) = 1 10 ( ) 2 + 3( )=1 10 (0.25) – 1.5 = 1 2.5 – 1.5 = 1 1 = 1
Comparen sus soluciones y comenten: ¿cuáles son los números que pudo haber pensado Luz?
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos La fórmula general se puede usar para resolver cualquier ecuación de segundo grado. Por ejemplo, para resolver una ecuación como 5x 2 + 6x = −1, se hace lo siguiente: 1º Se escribe la ecuación en su forma general.
5x 2 + 6x + 1 = 0
2º Se obtienen los valores de a, b, c.
a = 5, b = 6, c = + 1
3º En la fórmula general, se sustituyen a, b, c por sus respectivos valores.
x=
−(6) ± (6) 2 − 4 (5) (1) 2 (+5)
x=
−6 ± 36 − 20 −6 ± 4 = 10 10
4º Se realizan las operaciones indicadas. 5º Se obtienen las soluciones.
x1 =
−6 + 4 −2 = = −0.2 10 10
x 2 = −6 − 4 = −10 = −1 10
10
6º Se verifican las soluciones en la ecuación original 5x 2 + 6x = −1. Para x 1 = −0.2
Para x 2 = −1
5 (−0.2) + 6 (−0.2) = −1
5 (−1) + 6 (−1) = −1
5 (+0.04) − 1.2 = −1
5 (+1) – 6 = −1
0.2 − 1.2 = −1
+ 5 – 6 = −1
−1 = −1
−1 = −1
2
2
III. ¿Qué procedimiento usarían (factorización, operaciones inversas o la fórmula general), para resolver cada una de las siguientes ecuaciones? Justifiquen su respuesta. Ecuación
Procedimiento
7x 2 + 4x = 1
Fórmula general
2x 2 = 50
Operaciones inversas
3x 2 + 6x = 0
Factorización
Justificación
Es difícil realizar la factorización y el coeficiente de x 2 es diferente de 1. Como 2 x 2 = 50 resulta que x 2 = 25, por lo tanto, x 1= 5 y x 2 = –5
Es fácil factorizar 3 x 2 + 6 x = 3 x (x + 2), por lo tanto, x 1 = 0 y x 2 = –2
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Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden tener distintas opiniones, lo importante es que comenten que hay métodos más económicos para resolver algunas ecuaciones (como las operaciones inversas), pero hay casos en los que no es posible utilizarlos y hay que emplear otros. Entonces:
secuencia 15 Discutan las ventajas y desventajas de los siguientes procedimientos para resolver una ecuación de segundo grado. • Usando operaciones inversas o procedimientos aritméticos. • Factorización. • Fórmula general.
• Si una ecuación puede resolverse fácilmente usando operaciones inversas o procedimientos personales, proceder de esa forma.
Lo que aprendimos Resuelve las siguientes ecuaciones usando la fórmula general. Verifica las soluciones en tu cuaderno.
• En caso contrario, igualarla a cero y factorizar.
1. 4x 2 + 4x = –1
a=
• Si tampoco es fácil factorizar, usar la fórmula general.
4
b=
4
c=
1
−(4) ± (4) – 4(4)(1) −4 ± 16 – 16 −4 ± 0 −4 ± 0 x = − ( ) ± ( ) 2 − 4 ( = )( ) = = x= =8 8 8 2(4) 2( ) −4 + 0 1 xx 11 = = – = 8 2 −4 – 0 1 x = x 22 = = – 2 8 a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? 2
Posibles dificultades. Comente con los alumnos la importancia de poner el signo correcto de los coeficientes y el término independiente al utilizar la fórmula general.
b) ¿Cuál es el valor de b 2 − 4ac ?
En este caso, el término independiente debe tener signo negativo, porque para usar la fórmula la ecuación debe escribirse en su forma general.
2. 2x 2 + 8x – 4.5 = 0
a=
2
b=
8
c=
–4.5
−(8) ± (8) 2 – 4(2)(–4.5) −8 ± 64 + 36 −8 ± 100 −8 ± 10 x = − ( ) ± ( ) 2 − 4 ( )( = ) = = x= = 4 4 4 2(2) 2( ) −8 +10 2 x 11 = = = 0.5 = 4 4 −8 –10 –18 x = 2 x 2 = = = –4.5 4 4
Quedaría 4x 2 + 4x + 1 = 0 Respuestas. a) Como 4x 2 + 4x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto, se puede factorizar así (2 x + 1)2 .
3. 5x 2 − 20 = 0
a=
Si (2 x + 1)2 = 0, al sacar la raíz cuadrada se obtiene 2 x + 1 = 0, por lo tanto, x = – 1 . 2 b) Es cero.
5
b=
0
c=
–20
2 (0) 0 ± 400 0 ± 20 −−(0) ( )±± ( – 4(5)(–20) )2 − 4 ( )( )0 ± 0 + 400 = = = = 2( ) 10 2(5) 10 10 xx 11 = = 0 + 20 = 20 = 2 10 10 x 2 = 0 – 20 –20 x 2 = = =–2 10 10
x = =
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Sugerencia didáctica. Haga notar a los alumnos que esta ecuación ya está escrita en su forma general, por lo que los signos deben quedar iguales en la fórmula.
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Posibles dificultades. Como la ecuación es incompleta los alumnos podrían confundirse y creer que –20 corresponde al parámetro b. Hágales ver que –20 es el término independiente (o sea, c en la fórmula), y que el coeficiente b puede pensarse como 0 x. Es decir, que la ecuación podría escribirse así: 5x 2 + 0 x – 20 = 0, por lo que a = 5, b = 0 y c = –20.
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MATEMÁTICAS
III
EL BEISBOLISTA
SESIÓN 2
Consideremos lo siguiente
Propósito de la sesión. Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas en las que el valor del discriminante sea un número decimal.
Un bateador conecta un elevado, y la pelota de beisbol cae al suelo sin que ningún jugador del equipo contrario logre atraparla. Cuando el bateador golpea la pelota, ésta se encuentra a una altura de 0.605 m.
Propósito del Interactivo. Guiar al alumno en la resolución de ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general.
La trayectoria que sigue la pelota está dada por la ecuación:
y = − 0.02x 2 + 1.2x + 0.605 x representa la distancia horizontal recorrida por la pelota. y representa la altura a la que se encuentra la pelota.
Ayudarle a entender por qué a veces hay dos soluciones, a veces ninguna y a veces sólo una.
En la gráfica 1 se muestra una parte de la trayectoria que siguió la pelota.
y
Gráfica 1
20
15
Sugerencia didáctica. Este problema puede ser difícil para algunos alumnos. Permita que lo resuelvan mediante los procedimientos que prefieran sin sugerirles utilizar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas que acaban de aprender. Más adelante podrán ver que utilizar la fórmula es una manera económica para resolver este problema, pero no la única.
10
5
x
0
10
20
30
40
50
60
¿Cuántos metros avanzó horizontalmente la pelota desde que fue golpeada por el bateador hasta que cayó al suelo? Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Respuesta. Avanzó entre 60 y 61.
Manos a la obra I. Observen la gráfica 1 y usen la siguiente tabla para tratar de encontrar cuántos metros recorrió horizontalmente la pelota.
x
y
0
0.605
10
10.605
20
16.605
30
18.605
b) ¿Cuál es el valor de y cuando la pelota cae al suelo?
40
16.605
c) ¿Entre qué números enteros se encontrará el valor de x para que el valor de y sea 0?
50
10.605
a) ¿Por qué la gráfica de la trayectoria no pasa por el origen del plano cartesiano (0,0)?
. Justifiquen su respuesta. d) Usen la calculadora y prueben con tres valores para tratar de encontrar alguna de las soluciones de la ecuación. Registren sus resultados en la tabla.
60
0.605
61
–0.615
60.5
0 27
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Respuestas. a) Porque cuando x = 0, y = 0.605, o sea, cuando el bateador le pega a la pelota, ésta se encuentra a 0.605 m del suelo.
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• Las ordenadas para x = 40 y x = 20 son iguales. • Las ordenadas para x = 50 y x = 10 son iguales.
b) Analizando la gráfica se puede anticipar que caerá cuando y tenga aproximadamente un valor de 60.
• La ordenada para x = 60 debe ser igual a la de x = 0 que es 0.605, es decir, la pelota todavía no cae al suelo.
c) Cayó después de recorrer 60 m, a esa distancia aún se encontraba a una altura de 0.605 m.
En uno de los renglones vacíos de la tabla, sugiera evaluar x = 60 para que se den cuenta de lo anterior. Si prueban con valores mayores que 60.5 para x obtendrán resultados negativos, lo que en la situación de la pelota significaría que ésta se encuentra por debajo del nivel del suelo. Recuérdeles que deben hallar a qué distancia horizontal (x ) la pelota está cayó al suelo (y = 0).
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos den un valor aproximado para responder la pregunta b). Para el inciso c) sugiérales observar cuidadosamente la tabla: • Después de x = 30 la ordenada empieza a disminuir.
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Sugerencia didáctica. Comenten por qué es cierto que la ecuación que tienen que resolver es 0.02 x 2 + 1.2 x + 0.605 = 0.
secuencia 15 Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de x cuando la pelota toca el suelo.
También puede preguntar a los alumnos ¿Qué pasó con la y que apareció al principio de la sesión en esa misma ecuación, porqué se “convirtió” en un cero?, cuando apareció con la y ¿estaba escrita en la forma general?
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos expresen sus puntos de vista, también puede ser de ayuda dibujar la trayectoria de la pelota en el pizarrón e invitarlos a imaginar qué pasaría si la pelota fuera “de reversa”. De esta manera podrán comprender que la solución negativa significa que si la pelota fuera en reversa estaría en el suelo medio metro horizontalmente antes de ser golpeada.
ii. De lo anterior se desprende que la ecuación que tienen que resolver para encontrar la distancia horizontal recorrida por la pelota desde que fue golpeada hasta que cayó al suelo es: –0.02x 2 + 1.2x + 0.605 = 0. Resuelvan la ecuación usando la fórmula general: ± b 2 − 4ac x= −b 2a
Pueden realizar las operaciones con una calculadora. −(1.2) ± (1.2) 2 – 4(–0.02)(0.605) −1.2 ± (1.44) + 0.0484 −1.2 ± 1.4884 −1.2 ± 1.22 − (1.2) ± (1.2) x = = 2 − 4 (–0.02)(0.605) = = = 2(–0.02)x = –0.04 –0.04 2 (–0.02) –0.04 −1.2 + 1.22 0.02 x 1 = = = –0.5 x1 = –0.04 –0.04
x 2 =
−1.2 – 1.22 –2.42 = = 60.5 x2 = –0.04 –0.04
Comparen sus respuestas y comenten cómo interpretan la solución negativa de la ecuación.
Lo que aprendimos Para conocer más ejemplos del uso de la formula general pueden ver el programa Reso-
Propósito del programa 27. Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general.
lución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general.
1. La trayectoria que sigue la pelota al ser bateada por otro jugador está dada por la ecuación: y = −0.02x 2 + 1.2x + 0.605, donde x representa la distancia horizontal recorrida por la pelota y donde y representa la altura a la que se encuentra la pelota.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
¿A qué distancia horizontal del bateador se encuentra la pelota cuando está a 5.085 m de altura? 2. Resuelve las ecuaciones siguientes usando la fórmula general. Verifica las soluciones en tu cuaderno. a) x 2 + 12x = –9 −(12) ± (12) 2 – 4(1)(9) −12 ± 144 – 36 −12 ± 108 −12 ± 10.39 x = = = −( ) ± 2(1) ( )2 − 4 ( )( ) 2 2 2 x= = 2 ( −1.61 ) −12 + 10.39 x 1 –0.805 2 2 x1 = −12 + 10.39 −22.61 x 2 –11.195 2 2 x2 = 28
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Respuesta. A 4 y a 56 m. Para contestar esta pregunta es necesario que los alumnos planteen la siguiente ecuación: – 0.02 x 2 + 1.2 x + 0.605 = 5.085 Que al ser escrita en su forma general resulta: –0.02 x 2 + 1.2 x – 4.48 = 0 Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué significa que haya dos soluciones en este problema, o sea, por qué se obtiene como respuesta que cuando la pelota está a 5.085 m de altura se encuentra a 4 m del bateador y también a 56 m del mismo. Si lo considera útil, dibuje la trayectoria en el pizarrón para explicarlo.
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Sugerencia didáctica. Explique a los alumnos que al redondear la raíz cuadrada de 108 se usa el signo para indicar que se trata de una aproximación al número exacto. Por ello, al verificar las soluciones el lado izquierdo de la igualdad no será 9 sino una aproximación a este número. Esta situación se verá con mayor profundidad en la sesión 4. Integrar al portafolios. Pida a los estudiantes una copia de sus respuestas y procedimientos a estas tres ecuaciones.
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MATEMÁTICAS
III
b) 2x 2 + 8x – 4.5 = 0 −(8) −8 ± 100 −8 ± 10 − ( ±) ±(8)(2 – 4(2)(–4.5) )2 − 4 ( )( −8 ) ± 64 + 36 = = = = 2( ) 2(2) 4 4 4 −8 + 10 2 xx11 = = = 0.5 = 4 4 −8 – 10 –18 xx22 = = = –4.5 = 4 4
xx = =
c) x 2 – 3x + 0.6875 = 0 2 2 −−(–3) ( ) ±± (–3) ( ) – 4(1)(0.6875) −4( )( ) = 3 ± 9 – 2.75 = 3 ± 6.25 = 3 ± 2.5 xx = = = 2 2(1) ( ) 2 2 2 3 + 2.5 5.5 xx11 = = = 2.75 = 2 2 3 – 2.5 0.5 xx22 = = = 0.25 = 2 2
¿CUÁNTAS SOLUCIONES TIENE UNA ECUACIÓN?
SESIÓN 3
Para empezar
Mientras que las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen a lo más una solución, las ecuaciones de segundo grado con una incógnita pueden tener dos, una o ninguna solución.
Sugerencia didáctica. Explique a los alumnos que en la fórmula general se le llama “discriminante” a lo que se encuentra dentro de la raíz cuadrada. Tiene ese nombre justamente porque permite discriminar (entendido como diferenciar) entre aquellas ecuaciones que tienen una, dos o ninguna solución.
En las sesiones anteriores trabajaste con ecuaciones donde casi todas tenían dos soluciones, ahora trabajarás con ecuaciones que tienen dos, una o ninguna solución. Cuando se usa la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática, se puede saber fácilmente cuántas soluciones tiene. ¡Sólo hay que analizar el valor del discriminante: b 2 – 4ac !
Consideremos lo siguiente Escribe un término independiente de modo que la ecuación tenga tantas soluciones como se indica en el paréntesis de la derecha. Escribe en cada caso las soluciones. a) 3x 2 + 4x
= 0. (dos soluciones). Las soluciones son:
b) 3x 2 + 4x
= 0. (una solución). La solución es:
c) 3x 2 + 4x
= 0. (ninguna solución). No tiene solución porque
y
Propósito de la actividad. Mediante la exploración de distintos valores del discriminante, se pretende que los estudiantes analicen en qué casos las ecuaciones de segundo grado tienen una, dos o ninguna solución.
Comparen sus soluciones y compartan los procedimientos que siguieron para obtenerlas. 29
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Sugerencia didáctica. Dé tiempo suficiente para que los alumnos comenten al grupo sus soluciones. Será especialmente útil cuando existan dos o más soluciones correctas para los incisos a) y c).
Propósito de la sesión. Determinar cuántas soluciones tienen una ecuación cuadrática mediante el análisis del discriminante.
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Sin embargo, puede ser difícil para los alumnos encontrar dichos valores para el discriminante. Quizá empiecen probando números al azar. Permítales utilizar cualquier método que elijan aunque no logren hallar valores que cumplan la condición. Más adelante aprenderán lo necesario para lograrlo. Respuestas. a) Menor que 4 3 b) Igual a 4 3 c) Mayor que 4 3 En los incisos a) y c) puede haber muchas soluciones correctas. Permita que los alumnos escriban las que encuentren para ver si pueden llegar a una generalización sobre el valor del discriminante. Las soluciones de las ecuaciones dependen del valor que le asigne al término independiente, sólo en el inciso b) la solución es x = – 4 = – 2 6 3
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secuenci a 15
Manos a la obra i. Usen la fórmula general para resolver la ecuación 2x 2 + 3x + 1 = 0. −(–3) ± (–3) 2 – 4(2)(1) –3 ± 9 – 8 3 ± 1 3 ± 1 − ( ) ± ( ) 2 − 4 ( = )( ) xx = = = = =4 2(2) 4 4 2( ) 3 + 1 4 xx1 = = = 1 = 1 4 4 3 – 1 2 xx2 = = = 0.5 2 = 4 4
Respuestas. a) 1
a) ¿Qué valor tiene el discriminante? b 2 – 4ac =
b) Dos soluciones.
b) ¿Cuántas soluciones diferentes tiene la ecuación? ii. Resuelvan la ecuación 5x 2 + 2x + 0.2 = 0 −(2) ± (2) 2 – 4(5)(0.2) –2 ± 4 – 4 –2 ± 0 –2 ± 0 − ( ) ± ( ) 2 − 4 ( = )( ) xx = = = = = 10 2(5) 10 10 2( ) –2 + 0 –2 xx1 = = = –0.2 1 = 10 10 –2 – 0 –2 x 2 = x 2 = 10 = 10 = –0.2
Respuestas.
a) ¿Qué valor obtuvieron para el discriminante? b 2 – 4ac =
a) Cero.
b) ¿Son iguales o diferentes las soluciones?
b) Iguales.
c) De acuerdo con lo anterior, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?
c) Tuvo una solución doble, aunque los alumnos también podrían expresarlo como dos soluciones iguales.
iii. Ahora resuelvan la ecuación 5x 2 + 2x + 3 = 0. 2 −−(2) ( ±) ± (2)( – 4(5)(3) ) 2 − 4 ( = )(–2 ± ) 4 – 60 = –2 ± –56 xx = = =10 2(5) 10 2( )
xx11 == xx22 ==
a) ¿Qué valor tiene el discriminante? b 2 – 4ac = b) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
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Respuestas. a) –56 b) Ninguna porque no existe un número real que elevado al cuadrado sea igual a –56.
Posibles dificultades. Es posible que al calcular la raíz de –56, los alumnos no consideren el signo. Si teclean en la calculadora [ 56 ] [ ] obtendrán 7.48, redondeando. A este número podrían decidir ponerle el signo menos, pero sería erróneo porque cualquier número negativo elevado al cuadrado da como resultado un número positivo.
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Para saber más. El conjunto de los números reales comprende a los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales están contenidos en un conjunto mayor, que es el de los números complejos.
Si sus alumnos creen que la raíz cuadrada de –56 es –7.48, invítelos a comprobar el resultado con la calculadora tecleando: [ +/– ] [ 7.48 ] [ x^2 ]. Se darán cuenta de que el resultado es positivo. Otra manera de darse cuenta que –56 no tiene raíz cuadrada real, es oprimir [ 56 ] [ +/– ] [ ], la calculadora marcará ERROR.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) Tiene dos, el 1 y el –1.
Comparen sus soluciones y comenten: a) ¿Cuántas raíces cuadradas tiene el número 1? b) ¿Cuántas raíces cuadradas tiene 0?
b) Una, el 0.
. ¿Cuáles son?
c) Ninguna.
. ¿Cuáles son?
c) ¿Cuántas raíces cuadradas tiene el número negativo −56?
¿Cuáles son las
raíces cuadradas de −56? IV. Contesten lo que se les pide a continuación. a) Para la ecuación 3x 2 + 4x + c = 0, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al discriminante? Tomen en cuenta que los valores de a y de b están dados en la ecuación. • 42 – 4(3)(0) • 3 – 4c • 16 – 12c
Respuestas.
b) ¿Cuánto tiene que valer c para que el discriminante de la ecuación 3x 2 + 4x + c = 0
b) Se busca que 16 – 12c sea igual a cero. A 16 hay que restarle algo que sea igual a 16 para que dé como resultado 0, así que 12c debe ser igual a 16. El número que multiplicado por 12 es igual a 16, es 4 . Quedaría 3
sea igual a cero? c = c) Sustituyan el valor que obtuvieron para c y solucionen la ecuación correspondiente. 3x 2 + 4 x + (
4 )=0 3
( )
x 1 = −(4) ± (4) 2 – 4(3) 4 –4 ± 16 – 16 –4 ± 0 –4 ± 0 3 x = = = = 2(3) 6 6 6 x2 = –4 + 0 –4 2 –4 – 0 –4 2 x 1 = = = – x 2 = = = – 6 6 3 6 6 3 d) Encuentren un valor de c para que el discriminante de la ecuación 3x 2 + 4x + c = 0
( )
16 – 12 4 3
d) Cualquier valor menor que 4 hace que el 3 discriminante sea positivo.
sea positivo. c =
e) Para resolver la ecuación se tomó c = 15 12 pero los alumnos podrían utilizar cualquier otro valor menor que 4 . 3 f) Cualquier valor mayor que 4 hace que es 3 discriminante sea negativo.
e) Sustituyan el valor que obtuvieron para c y resuelvan la ecuación correspondiente. 3x 2 + 4 x + (
15 )=0 12
( )
15 x 1 = −(4) ± (4) 2 – 4(3) –4 ± 16 – 15 –4 ± 1 –4 ± 1 12 x = = = = 2(3) 6 6 6 x2 = –4 + 1 –3 1 –4 – 1 5 x 1 = = = – = –0.5 x 2 = = – 6 6 2 6 6 f) Encuentren un valor de c para que el discriminante de la ecuación 3x 2 + 4x + c = 0
sea negativo.
c=
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Respuesta.
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g) Se tomó c = 2, pero sirve cualquier otro valor mayor que 4 . 3
g) Sustituyan el valor que obtuvieron para c y solucionen la ecuación correspondiente. 3x 2 + 4 x + ( 2 ) = 0
−(4) ± (4) 2 – 4(3)(2) –4 ± 16 – 24 –4 ± –8 1 = xx = = = 2(3) 6 6 x2 = x 1 = No hay solución x 2 = No hay solución
Sugerencia didáctica. Algunos alumnos pueden elegir un procedimiento para resolver una ecuación y otros pueden optar por uno distinto, lo importante es que logren solucionarlas mediante el método que les parezca más económico y con el que se sientan más seguros.
A lo que llegamos Podemos determinar el número de soluciones que tiene una ecuación cuadrática con una incógnita a partir del valor del discriminante, b 2 – 4ac. Si b 2 – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones. Si b 2 – 4ac = 0, la ecuación tiene una solución. En este caso se dice que la solución es doble. Si b 2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene ninguna solución que sea un número entero, fracción común o decimal.
Es posible que haya estudiantes que con ver la ecuación ya sepan cuál método conviene e incluso anticipen las soluciones, pero para otros será necesario probar para elegir un procedimiento y hacer los cálculos necesarios para obtener las soluciones. Deles tiempo suficiente para hacerlo.
Lo que aprendimos A partir de los datos de cada renglón, escribe la ecuación, el procedimiento que usarías para resolverla o las soluciones que tiene.
Integrar al portafolios. Diga a sus alumnos que le entreguen una copia de esta tabla una vez que la hayan resuelto. Valore si es necesario repasar algún tema de lo visto hasta ahora.
Ecuación
Procedimiento recomendable para resolverla
Soluciones
x 2 − 3x – 28 = 0
Factorización
– 4 y 7
60 5x 2 =
Operaciones inversas
12 y – 12
3x 2 − 4x +10 = 0
Fórmula general
Ninguna
x 2 + 2x − 35 = 0
Factorización
–7 y 5
x 2 + 3 x - 10 = 0
Factorización
2 y −5
x 2 – 7x + 12.25 = 0
Fórmula general
−3.5
0.25x 2 − 4x +16 = 0
Factorización
8
x 2 − x +1 = 0
Fórmula general
Ninguna
2 x 2 – x -0.125 = 0
Fórmula general
1+ 2 1– 2 y 4 4
x 2 + 3 x +3 = 0
Fórmula general
Ninguna
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Posibles dificultades. Este puede ser un ejercicio complejo para los alumnos. Si lo considera necesario, recuérdeles que cuando en una ecuación de segundo grado hay sólo una solución, es que el discriminante es igual a 0. Entonces deben probar en la fórmula general con valores para los coeficientes a, b y c hasta que logren obtener cero en el discriminante, y además, que el valor del coeficiente de b entre 2 a sea igual a –3.5 Posibles respuestas. Además de la ecuación que en este libro se señala, ecuaciones equivalentes también pueden ser soluciones correctas, por ejemplo, 2 x 2 – 14x + 25 = 0.
Posibles dificultades. Si los estudiantes no saben cómo resolver este ejercicio, dígales que se fijen en las soluciones: • El denominador en la fórmula general se obtiene multiplicando 2 a. En las soluciones es el denominador es 4, entonces 2 a = 4, así que a = 2. • Como el primer término del numerador es 1 quiere decir que b = –1.
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Posibles respuestas. El planteamiento de ecuaciones que no tienen solución pueden realizarlo mediante operaciones inversas. Por ejemplo: 2 x 2 = –18 5x 2 +125 = 0 Si utilizan la fórmula general, el valor del discriminante debe ser menor que cero.
• Como el segundo término del numerador es la raíz cuadrada de 2, quiere decir que el discriminante b 2 – 4 ac = 2. Sustituyendo se tiene: (–1)2 – 4 (2) (c ) = 2 1 – 8c = 2 –8 c = 2 – 1
c = 1 = –0.125 –8 48
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MATEMÁTICAS
III
LA RAZÓN DORADA
SESIÓN 4
Para empezar
Grandes pintores clásicos tales como Leonardo da Vinci, Rafael y Miguel Ángel, entre otros, usaron la razón dorada (una relación entre las medidas del largo y del ancho de un rectángulo de tal manera que la figura resultara agradable a la vista), para hacer sus extraordinarias obras.
Propósito del programa 28. Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la fórmula general. Explicar qué es la razón áurea.
Para que el rectángulo ABCD sea un rectángulo dorado, debe ser semejante al rectángulo EBCF, que se construye con las medidas indicadas en la figura 1. D
F
C
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
x
A
E
x
Propósito de la sesión. Usar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas en las que las soluciónes son números irracionales.
B 1
Figura 1
El valor de x se conoce como la razón dorada y se obtiene al resolver la siguiente proporción: AB = x EB x Donde x = AD = EF
Respuesta.
Consideremos lo siguiente
1 + 5 2
Para encontrar el valor de la razón dorada, se puede resolver la ecuación de segundo grado que se obtiene de la razón de semejanza de rectángulos ABCD y EBCF de la figura 1. Al sustituir los datos de la figura 1 en la proporción anterior resulta la ecuación:
Sugerencia didáctica. Para resolver este problema los alumnos necesitan primero escribir una ecuación en la que puedan utilizar la fórmula general. Si no saben cómo hacerlo, dígales que resuelvan el siguiente apartado, ahí encontrarán elementos que pueden ayudarles.
x+1 = x x 1 ¿Cuál es el valor de la razón dorada? Comparen sus soluciones y comenten: ¿Qué ecuación se obtiene al aplicar los productos cruzados en la ecuación x + 1 = x ? x 1
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Respuesta. (x + 1) (1) = x (x ) Sugerencia didáctica. En la secuencia 19 del libro Matemáticas II los estudiantes utilizaron el método de los productos cruzados. Si lo considera útil, vuelvan a revisarla.
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Respuesta.
secuenci a 15
a) A partir de la ecuación que obtuvieron al aplicar los productos cruzados, quedaría:
Manos a la obra a) Escriban la ecuación x + 1 = x 2 en su forma general:
(x + 1) (1) = x (x )
x + 1 = x 2 x 2 – x – 1 = 0
Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que al resolver esta ecuación encontrarán números que no tienen raíz cuadrada exacta como 5 . A estos números que no pueden expresarse mediante una fracción común se les llama irracionales. Para hacer operaciones con estos números se puede encontrar un número decimal aproximado. Por ejemplo 5 es un poco mayor que 2.236 pero es menor que 2.237
Respuestas. 1 + 5 2 el número con tres cifras decimales que más se aproxima es 1.618
b) Usen la fórmula general para obtener las dos soluciones de la ecuación. Pueden usar la calculadora para realizar las operaciones.
Recuerden que: e una La raíz cuadrada de 5 tien s: infinidad de cifras decimale 5 = 2.23606679… cifras Una aproximación con 3 , decimales es 5 ≅ 2.236 donde el símbolo ≅ se lee: “es igual aproximadamente
Para obtener una aproximación aceptable, se puede multiplicar por 1.618. Por ejemplo, si un rectángulo dorado mide 10 cm de ancho. su largo se aproxima a 16.18 cm.
a”.
Comparen sus soluciones y comenten: a) ¿Cuál de las dos soluciones de la ecuación x + 1 = x 2 no es la razón dorada? Argumenten su respuesta. b) ¿Por cuánto hay que multiplicar la medida del ancho para obtener el largo de un rectángulo dorado?
A lo que llegamos Es posible que, al aplicar la fórmula general de segundo grado, la raíz cuadrada ( b 2 − 4ac ) tenga un número infinito de cifras decimales que no siguen un patrón o regularidad. Por ejemplo, para resolver la ecuación: 3x 2 + 5x + 1 = 0, usando la fórmula general se tiene:
La razón dorada es
La otra solución se descarta porque una longitud no puede ser negativa.
2 2 1 ± 5 1 ± 2.236 −−(–1) ( ) ±± (–1) ( – 4(1)(–1) ) − 4 ( )( 1 ) ± 1 + 4 = = = 2( ) 2(1) 2 2 2 1 + 2.236 3.236 xx11 = = 1.618 2 2 1 – 2.236 –1.236 xx22 = = –0.618 2 2
xx = =
x=
−(5) ± (5)2 −4 (3) (1) −(5) ± 13 = 2 (3) 6
Como 13 = 3.6055512… tiene un número infinito de cifras decimales que no siguen algún patrón o regularidad, las soluciones se pueden dejar indicadas como:
x1 =
−(5) + 13 6
y x2 =
−(5) – 13 . 6
También se pueden expresar como una aproximación que tenga cierto número de cifras decimales:
x1 =
−(5) + 13 = 0.101 6
x2 =
−(5) – 13 = −1.101 6
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MATEMÁTICAS
III
Lo que aprendimos Usa la razón dorada para encontrar la medida faltante de cada objeto, luego en tu cuaderno haz sus correspondientes dibujos de forma tal que la tarjeta de presentación quede dentro de la ficha bibliográfica y ésta dentro de la ficha de investigación (observa otra vez la figura 1 del apartado Para empezar). Largo del rectángulo
Ancho del rectángulo
Ficha de investigación
Objeto
20.3 cm
12.5 cm
Ficha bibliográfica
12.5 cm
Tarjeta de presentación
Posibles dificultades. Para completar esta tabla los alumnos deben hallar las medidas de distintas tarjetas que tienen como característica común el que todas son rectángulos dorados, es decir, que guardan una misma proporción entre sus lados. Así que, los tamaños de las tarjetas serán proporcionales y la constante de proporcionalidad será en este caso, la razón dorada que acaban de obtener, cuya aproximación decimal con tres cifras es 1.618.
7.7 cm
9.2 cm
5.7 cm
Para saber más Sobre la resolución de ecuaciones de segundo grado, consulta: http://www.emathematics.net/es/ecsegundogrado.php?a = 1&tipo = numero Resolución ecuación completa Ruta 1: Ecuaciones de 2° grado Problemas Ruta 2: Ecuación de 2° grado [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008].
Entonces, si se tiene la medida del largo del rectángulo, hay que dividir entre la razón dorada para encontrar la del ancho. Si se tiene la medida del ancho, entonces hay que multiplicar por la razón dorada para hallar la del largo.
También puedes consultar: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/ index.htm Ruta 1: Solución general Ruta 2: Problemas de aplicación Ruta 3: Ejercicios [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. Hernández, Carlos. “Funciones cuadráticas” en Matemáticas y deportes. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2003. Ruiz, Concepción y Sergio de Regules. “Leonardo y los conejos” en El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincón, 2003. Ruiz, Concepción y Sergio de Regules. “Ecuaciones cuadráticas” en Crónicas algebraicas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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Ficha de investigación
12.5 cm
Ficha bibliográfica
7.7 cm
5.7 cm
Tarjeta de presentación
9.2 cm 12.5 cm
Escala de 1:0.5
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secuenci a 16
Propósito de la sesión. Identificar que, cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, las medidas de los segmentos determinados por las paralelas en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra. En toda la secuencia se trabaja con dos semirrectas que se prolongan a partir del punto en el que se intersecan.
Teorema de Tales En esta secuencia determinarás el teorema de Tales y conocerás cómo dividir un segmento en una razón dada. SESión 1
LA CULPA ES DE LAS PARALELAS
Para empezar Tales de Mileto
Tales es considerado uno de los siete sabios de la antigüe dad, junto con Bías de Priene, Quilón de Esparta, Cleóbu lo de Lindos, Periandro de Corinto, Pitaco de Mitilene y Solón de Atenas. Tales fue comerciante, filósofo, astró nomo y matemático. A él se atribuye haber enunciado y probado el resultado matemático llamado Teorema de Tales, que estudiarás en esta secuencia.
O Materiales. Instrumentos geométricos (para toda la secuencia). Propósito del programa 29. Mostrar el teorema de proporcionalidad de los segmentos entre paralelas, llamado también Teorema de Tales. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Consideremos lo siguiente Marta quiere comprar los vidrios para la ventana de su estudio. Hizo un dibujo para anotar las medidas de los vidrios pero no pudo tomarlas todas. Decidió mostrar su dibu jo al señor de la vidriería para pedirle que fuera él a terminar de medir los vidrios. Cuan do el señor vio el dibujo, observó que los segmentos a1B1, a 2B2, a3B3, a4B4 y a5B5 eran paralelos y le dijo a Marta que con las medidas anotadas se podían conocer las faltantes. El dibujo de Marta es el siguiente.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema de Tales. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1. Posibles procedimientos. Se espera que los alumnos identifiquen que se forman triángulos semejantes y con base en esto determinen las medidas que faltan. También podrían medir los segmentos en la figura y hacer la conversión a las medidas faltantes por medio de la escala. Sugerencia didáctica. Observe los procedimientos de los alumnos, pero no les anticipe la respuesta. En particular, si los alumnos identifican los triángulos semejantes, pídales que justifiquen por qué lo son.
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Eje Forma, espacio y medida.
Tema
Propósitos de la secuencia Determinar el Teorema de Tales. Resolver problemas geométricos en los que se utilice este teorema.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
La culpa es de las paralelas Identificar que, cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, las medidas de los segmentos determinados por las paralelas en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra.
Aula de medios Interactivo Programa 29
2
Proporcionalidad contra paralelismo Identificar que en dos rectas que se intersecan, segmentos proporcionales determinan en sus extremos rectas paralelas.
Aula de medios Teorema de Tales
3
Ahí está el teorema de Tales Utilizar el teorema de Tales para resolver problemas geométricos.
Formas geométricas.
Subtema Semejanza.
Antecedentes Durante los tres grados de la secundaria los alumnos han trabajado la proporcionalidad. En las secuencias 5 y 6 de Matemáticas II, volumen I, estudiaron las rectas paralelas y los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una transversal. En las secuencias 10 y 11 de Matemáticas III, volumen I, estudiaron la semejanza de figuras y los criterios de semejanza de triángulos. En esta secuencia van a vincular los conocimientos que poseen sobre estos temas. 52
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Programa 30
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos midieron los segmentos en la figura pregunte al grupo cuál creen que sea el problema con ese procedimiento (el dibujo está hecho a mano, por lo que las medidas no son precisas).
a) ¿Estás de acuerdo que con las medidas anotadas se pueden obtener las que faltan? . ¿Por qué?
b) Anota en el dibujo de Marta las medidas faltantes. c) Describe el procedimiento que utilizaste para determinar la medida del segmento
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por rectas paralelas, se forman triángulos semejantes.
A 5B 5.
Comparen sus procedimientos.
Si lo considera conveniente pida a los alumnos que revisen el procedimiento para trazar rectas paralelas que estudiaron en la secuencia 5 de Matemáticas II, volumen I y que revisen la secuencia 6 de ese mismo grado para que recuerden las relaciones entre los ángulos que se forman en dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
Manos a la obra I. En el siguiente dibujo las rectas n y m se intersecan en el punto O. Las rectas parale las PP’ y QQ’, forman parte de los triángulos OPP’ y OQQ’.
n Q
P
O
P’
Q’
a) ¿El triángulo OPP' es semejante al triángulo OQQ'?
Respuesta. Los triángulos sí son semejantes.
m
Posibles procedimientos. Los alumnos pueden medir los lados de los triángulos y darse cuenta de que las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. También pueden identificar los ángulos que se forman entre las rectas paralelas para determinar que los ángulos correspondientes en los triángulos son iguales.
. Justifica tu
respuesta.
b) Elige un punto de la recta n y llámalo R. Traza una paralela a la recta PP’ que pase por R. Al punto de intersección de esta paralela con la recta m llámalo R’. Sin medir, determina si los triángulos ORR’ y OPP’ son semejantes y argumenta tu respuesta.
Comenten y argumenten: ¿Son semejantes los triángulos ORR’ y OQQ’?
Cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, se cumple que los triángulos formados son semejantes. 37
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Propósito del Interactivo. • Ilustrar el Teorema de Tales. • Utilizar el Teorema de Tales para resolver problemas geométricos.
Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos determinen su respuesta sin medir los lados de los triángulos. Si tienen dificultades, puede preguntarles cómo son los ángulos que se forman entre dos paralelas cuando son cortadas por una transversal.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que dibujen un ejemplo en su cuaderno con tres rectas paralelas, y que señalen cuáles son los triángulos semejantes.
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Propósito de la actividad. En la secuencia 11 los alumnos determinaron que, cuando dos triángulos son semejantes, las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. Por ejemplo: A’ A
B
C
B’
C’
secuenci a 16 ii. En el siguiente esquema se trazaron rectas paralelas uu’ y V V’ para formar los trián gulos semejantes Ouu’ y OV V’. Recuerda que: La razón de semejanza de un triángulo A con respecto a un triángulo B se calcula dividiendo la medida de un lado del triángulo A entre la medida del lado correspondiente en el triángulo B.
V’
l
12 cm
u’
m
V
Se pueden establecer las siguientes igualdades:
4 cm
O
u 3 cm
AB = BC = CA A’B’ B’C’ C’A’ Con esta actividad van a determinar que la razón entre dos lados de uno de los triángulos es la misma que la razón entre los dos lados correspondientes del otro triángulo. Es decir que, en el ejemplo, se establecen las siguientes igualdades:
9 cm
a) ¿Cuál es la razón de semejanza del triángulo OV V’ con respecto al triángulo Ouu’? b) Sólo una de las siguientes igualdades es verdadera. Enciérrala en un círculo. OV = OV’ Ou’ Ou
OV = Ou OV’ Ou’
(OV) (OV’) = (Ou) (Ou’)
c) De la semejanza de los triángulos OV V' y Ouu' se obtiene la igualdad OV = OV’ . Ou Ou’ Describe un procedimiento para llegar de OV = OV’ a la igualdad que encerraste. Ou Ou’
AB = A’B’ BC B'C' AB = A’B’ CA C’A’ BC = B’C’ CA C’A’ Es importante que los alumnos identifiquen que estas tres igualdades, por lo general, son distintas entre sí.
El procedimiento anterior muestra que:
En un conjunto de triángulos semejantes, la razón entre las medidas de dos lados de un triángulo es igual a la razón entre las medidas de los dos lados correspondientes de cada uno de los otros triángulos. a” a
a’ c’
c
B’
B
AB = A’B’ = A”B” AC A’C’ A”C”
c” B”
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Respuestas.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban otras dos igualdades posibles para que comparen entre sí todos los lados de los triángulos.
a) La razón de semejanza es 3. b) La segunda igualdad. c) Se multiplica ambos lados de la igualdad OV = OV‘ por OU OU OU’ OV = (OU) OV‘ (OU) OU OU’ OV’ OU para obtener OV = OU’ después se divide entre OV’
(
)
(
)
ambos lados de la igualdad OV = OV’ OU OV’ OU’ OV’ OV de donde se obtiene la igualdad = OU OV’ OU’
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AB = A’B’ = A”B” BC B’C’ B”C’ BC = B’C’ = B”C” AC A’C’ A”C” Comente con el grupo que estas igualdades también pueden plantearse con los recíprocos, por ejemplo: AC = A’C’ = A”C” AB A’B’ A”B”
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Identificar las razones o cocientes que permiten determinar que, cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, se cumple que las medidas de los segmentos determinados por las paralelas en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra.
III. En la siguiente figura se trazaron las rectas m y n que se intersecan en O y, también, se trazaron las paralelas AA’, BB’, CC’, las cuales en su intersección con la recta m forman los segmentos OA, AB, BC, OB, AC y OC. a) Escribe los segmentos que forman las paralelas en su intersección con la recta n
b) ¿Cuál es el segmento correspondiente a OA?
¿Y el segmento corres
pondiente a BC? B’
A’
O
C’
n
Respuestas. a) OA', A'B', B'C', OB', A'C' y OC'.
A B
b) OA' y B'C'.
C
m c) Considera las medidas que se dan de algunos de los segmentos y completa la tabla. Recta m
OA = 5
OB =
12
OC = 16
Razón entre las medidas de los segmentos formados por las paralelas
Recta n
OA’ = 25
OA = 5 OA’ 25
= 1 5
AB = OB – OA = A’B’ OB’ – OA'
OB’ = 60
OB = 12 OB’ 60
= 1 5
BC = OC – OB = B’C’ OC’ – OB’
OC’ = 80
OC = 16 OC’ 80
= 1 5
AC = OC A’C’ OC’
12 – 5 = 7 = 1 60 – 25 35 5 16 – 12 = 4 = 1 80 – 60 20 5
– OA = 16 – 5 = 11 = 1 – OA’ 80 – 35 55 5
d) ¿Qué segmentos utilizaste para obtener B'C'? e) ¿Qué segmentos utilizaste para obtener A'C'? f) ¿Las medidas de los segmentos formados por las paralelas en la recta m son pro porcionales a las medidas de los segmentos formados en la recta n? Justifica tu respuesta.
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Posibles procedimientos. Los alumnos pueden identificar que la medida de OA’ es cinco veces la medida de OA, y esta relación se mantiene entre las medidas de OB’ y OB y de OC’ y OC.
Respuestas.
También pueden identificar que los triángulos OAA’, OBB’ y OCC’ son semejantes.
f) Son proporcionales porque el valor de todas las razones es el mismo.
d) A OC' se le resta OB'. e) A OC' se le resta OA'.
Para encontrar las medidas que faltan pueden escribir las razones entre los lados correspondientes, por ejemplo para encontrar la medida de OB: OB’ = 60 = OB = x . 25 5 OA’ OA
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Integrar al portafolio. Pida a los alumnos que resuelvan esta actividad en una hoja aparte. Cuando terminen puede pedirles que intercambien su respuesta con otro alumno para que cada uno comente la respuesta de su compañero en el intercambio grupal. Recupere las hojas de respuestas para el portafolio.
secuencia 16 Observa que para formar las razones entre las medidas de los segmentos corres pondientes, siempre se tomaron las medidas de los segmentos formados en la recta m como numeradores y las de los segmentos formados en la recta n como denominadores. ¿Qué pasa si se toman al revés?, ¿los segmentos en m siguen sien do proporcionales a los segmentos correspondientes en n? g) Traza en tu cuaderno dos rectas que se intersequen y denótalas con p y q res pectivamente; traza a demás tres rectas transversales que intersequen a p y q y paralelas entre sí. ¿Son proporcionales las medidas de los segmentos for mados por las paralelas que intersecan a la recta p con respecto a las medidas de los segmentos formados por las paralelas que intersecan a la recta q ?
Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que expliquen la respuesta de su compañero en el inciso g). Deben identificar las razones o cocientes que justifican que las medidas de los segmentos son proporcionales. Comente con los alumnos que hay dos maneras de establecer las razones o cocientes (pueden intercambiar los numeradores con los denominadores), pero lo importante es que los segmentos correspondientes tengan el mismo orden.
. Justifica tu respuesta.
Observen que sólo algunos de los segmentos que se forman son lados de triángulos, el resto son segmentos comprendidos entre dos paralelas. De la actividad iii se puede concluir lo siguiente:
A lo que llegamos Cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, se cumple que las medidas de los segmentos formados por las paralelas que intersecan a una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes formados por las paralelas que intersecan a la otra. A este enunciado se le conoce como teorema de Tales.
Propósito de la actividad. Los alumnos podrán revisar sus respuestas. Verifique que todos entiendan qué quiere decir utilizar el teorema de Tales en ese ejemplo (ya no deben justificar la respuesta con base en que hay triángulos semejantes o con base en los ángulos entre las paralelas, es suficiente con que sepan que las rectas transversales son paralelas para poder determinar las medidas que faltan directamente, ya que el teorema de Tales indica que las medidas de los segmentos son proporcionales). Una vez que hayan revisado sus procedimientos, pida a los alumnos que observen que la medida de B1B2 es la mitad de OB1 y que, de manera similar, la medida de A1A2 es la mitad de la de OA1. También puede observarse que la medida de B3B4 es igual a la medida de OB1 y la medida de A3A4 es igual a la de OA1.
Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y utilicen el teorema de Tales para veri ficar sus respuestas. iV. Mide los segmentos y determina las razones. A B C
G a) Oi = Oc
H
I iH = cB
O
HG = Ba
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Propósito de la actividad. Identificar que cuando las rectas transversales no son paralelas, las medidas de los segmentos determinados no son proporcionales.
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Respuesta. a) OI = 2 . 3 OC IH = 4 . 2.5 CB HG = 2 . 2.5 BA
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. b) Las medidas no son proporcionales porque las razones no son iguales.
b) ¿Las medidas de los segmentos formados sobre una de las rectas son propor cionales a las medidas de los segmentos correspondientes en la otra recta? . ¿Por qué?
c) Los segmentos no son paralelos.
c) ¿Los segmentos AG, BH y CI son paralelos entre sí?
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que se hace la aclaración de que no necesariamente los segmentos son proporcionales, debido a que si se prolongan las rectas, pueden trazarse triángulos semejantes con rectas transversales que no sean paralelas. Por ejemplo:
Si dos rectas que se intersecan son cortadas por rectas no paralelas, las medidas de los segmentos formados en una de las rectas no necesariamente son proporcionales a las medidas de los segmentos formados en la otra recta. Por ejemplo, en la figura las rectas m y n son intersecadas por dos rectas no paralelas. m D
A A’
B
O O
A
C
n
B’ Las medidas de los segmentos OA, AC, OC no son proporcionales a las medidas de los segmentos OB, BD, OD.
PROPORCIOnALIDAD COntRA PARALELISMO
Para empezar
B SESIÓn 2
En la secuencia 6 de Matemáticas II, volumen I, estudiaron las relaciones entre los án gulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal: a) Se forman ángulos correspondientes iguales.
Propósito de la sesión. Identificar que en dos rectas que se intersecan, segmentos proporcionales determinan en sus extremos rectas paralelas.
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Propósito de la sesión en el aula de medios. Presentar el recíproco del teorema de Tales. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.
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Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos identifiquen que las rectas son paralelas porque al trazarlas “se ven paralelas” En este momento no los corrija, pero es importante que, al final de la sesión, revisen su justificación para que esté basada en argumentos geométricos.
secuencia 16 b) Se forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo.
Respuestas.
A la inversa se cumple que, si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes miden lo mismo, las rectas son paralelas.
a) Sí son proporcionales ya que OE = EA . OE’ E’A’ b) Sí son paralelos. Para justificarlo los alumnos pueden identificar que los triángulos EOE’ y AOA’ son semejantes y entonces las rectas que pasan por AA´ y EE´ forman el mismo ángulo al cortar el segmento OA o al cortar el segmento OA’ por lo que son paralelas.
Consideremos lo siguiente El segmento Oa se dividió en 7 partes iguales cuyas longitudes son todas de 0.5 cm y el segmento Oa’ se dividió en 7 partes iguales de 1 cm cada una. a’
Los triángulos son semejantes porque las medidas de los segmentos OA y OE son proporcionales a las medidas de los segmentos OA’ y OE’ ya que OA = OE , OA’ OE’ y entonces los triángulos tienen un ángulo igual (en el vértice O) comprendido entre dos lados que son proporcionales a los correspondientes en el otro triángulo.
B’ c’ D’ e’ F’ G’ O
c) Sí son paralelos. Las razones son similares a las del inciso anterior.
G F e D c B a
a) ¿Las medidas de los segmentos Oe y ea son proporcionales a las medidas de los seg mentos Oe’ y e’a’?
. ¿Por qué?
b) ¿Son paralelos los segmentos aa’ y ee’?
. Justifica tu respuesta.
c) ¿Son paralelos los segmentos GG’ y BB’?
. Justifica tu respuesta.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. Los triángulos son semejantes porque las medidas de los segmentos OF, OC y FC son proporcionales a las medidas de los segmentos OF’, OC’ y F’C’ ya que OF = OC = FC , OF’ OC’ F’C’ y entonces la medida de todos los lados de uno de los triángulos son proporcionales a las medidas de los lados correspondientes en el otro triángulo, o también los triángulos tienen un ángulo igual (en el vértice O) comprendido entre dos lados que son proporcionales a los correspondientes en el otro triángulo.
Manos a la obra I. Traza los segmentos FF’ y CC’. a) ¿Los triángulos FOF’ y COC’ son semejantes?
. Justifica tu respuesta.
b) Calcula las razones que se piden. OF = OF’
OC = OC’
FC = F’C’
¿Son proporcionales las medidas de los segmentos OF, OC y FC con respecto a las medidas de los segmentos OF’, OC’ y FC’?
. Justifica tu respuesta.
c) ¿El segmento AA’ es paralelo al segmento EE’?
. Justifica tu respuesta.
II. Considera dos rectas que se intersecan, m y n, y los segmentos marcados en n, OJ y JK.
n m
O
J 3 cm
Sugerencia didáctica. Un reto interesante es que pida a los alumnos que escojan dos cantidades distintas a las siguientes: 1.5 y 2, 6 y 8, 9 y 12, 12 y 16, 15 y 20, etc., para marcar los puntos.
K 4 cm
a) Sobre la recta m, marca dos puntos (G y H), los que quieras, pero de modo que cumplan la siguiente condición:
Se espera que los alumnos puedan identificar que se forman triángulos semejantes y que entonces los ángulos que forman los segmentos con una de las rectas o con la otra son iguales.
OJ = JK OG GH b) ¿Cuánto miden los segmentos OG y GH que obtuviste? OG =
GH = 43
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secuenci a 16 c) ¿Son paralelos los segmentos GJ y HK?
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen las justificaciones que escribieron en el apartado Consideremos lo siguiente. Después usted puede escribir en el pizarrón la frase siguiente:
Justifica tu respuesta.
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos Sean l y m dos rectas que se intersecan en O. Si en cada una de las rectas se eligen tres o más puntos de manera que las medidas de los segmentos determinados en una sean proporcionales a las correspondientes medidas de los segmentos determinados en la otra, se cumple que las rectas determinadas por puntos correspondientes son paralelas entre sí. A este enunciado se le conoce como el inverso del teorema de Tales.
Por el inverso del teorema de Tales los segmentos BB’ y DD’ son paralelos. Pida al grupo que comenten qué quiere decir la expresión “por el inverso del teorema de Tales”.
Lo que aprendimos En cada una de las siguientes figuras traza los segmentos determinados por los puntos denotados con la misma letra, por ejemplo, el segmento aa’.
B a
3 cm
D 2.5 cm
O
a’
5 cm
4.5 cm
c
B’
3 cm
D’
c’
O m 1c cm 1.5
6 cm
Dibujo 1
Dibujo 2
3.5 cm 2 cm
O
1c
m
1.7
cm
J’
J
K
K’ Dibujo 3
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. En el dibujo 3 los segmentos no son paralelos ya que los cocientes que se forman con las medidas de los segmentos no son iguales: 3.5 no es igual a 1.7 2 1 (los alumnos pueden justificarlo con otros cocientes que involucren a estos números).
5 cm
F’
2 cm
E’
O E 7.5
3 cm
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que pasen al pizarrón a escribir los cocientes para los casos en los que los segmentos que trazaron sí son paralelos.
cm
F H’
Dibujo 4
m 3c
I’ m 1c
O
H
I
4 cm
Propósito de la sesión. Utilizar el teorema de Tales para resolver problemas geométricos.
12 cm
Dibujo 5
Respuesta. El segmento VW queda dividido en 3 segmentos, todos son iguales entre sí.
En una de las figuras los segmentos que trazaste al unir los puntos no son paralelos, ¿cuál de las figuras es?
. Justifica tu respuesta.
AHÍ ESTÁ EL TEOREMA DE TALES
Posibles procedimientos. Para justificarlo los alumnos pueden utilizar el teorema de Tales: Cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas se cumple que las medidas de los segmentos determinados por las paralelas en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra. En este caso, como las rectas son paralelas, las medidas de los segmentos en VW son proporcionales a las medidas de los segmentos en VT, y como los tres segmentos sobre VT son iguales, entonces los segmentos en VW también son iguales.
SESIÓN 3
Lo que aprendimos
1. En la siguiente figura VR = RS = ST. Traza el segmento TW y paralelas a este segmen to que pasen por S y R. Sean S’ y R’ los puntos en los que las paralelas cortan al segmento VW, respectivamente.
T S R
W
V a) ¿En cuántos segmentos quedó dividido el segmento VW?
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Los alumnos también pueden justificarlo si identifican que se forman tres triángulos semejantes. Las medidas de los lados en el triángulo VWT son tres veces las medidas de los lados en el triángulo VRR’. Y las medidas de los lados en el triángulo VSS’ son dos veces las medidas de los lados en el triángulo VRR’.
T
S
R
V
R’
S’
W
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Respuesta. Con la hoja rayada se forma un esquema similar al de la actividad anterior. Por lo que, para justificar lo que se pide, los alumnos pueden utilizar el teorema de Tales o pueden identificar los triángulos semejantes que se forman.
secuenci a 16 b) ¿Cómo son entre sí los segmentos en los que se dividió el segmento VW? Justifica tu respuesta.
2. En las ilustraciones se muestra el procedimiento para dividir en 5 partes iguales un segmento dado utilizando una hoja rayada.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que utilicen el procedimiento de la hoja rayada para dividir algún segmento en partes iguales. Sugerencia didáctica. Usted puede trazar en el pizarrón un triángulo (de preferencia escaleno, para considerar un caso general) señale los vértices y los puntos medios como se indica:
Comenta con tus compañeros y escribe una justificación de que los segmentos en los
A
que quedó dividido el segmento dado miden los mismo.
F C
D E B
Comente a los alumnos que observen dos de los lados del triángulo y los puntos que están sobre estos lados. Por ejemplo, los lados AB y AC y los puntos D y F. Pregunte a los alumnos cómo pueden justificar que las medidas de los segmentos en el lado AB son proporcionales a las medidas de los segmentos en el lado AC (como D y F son puntos medios de los lados AB y AC, entonces AD = DB y AF = FC, por lo que AD = AF ). DB FC Entonces, por el inverso del teorema de Tales las rectas que pasan por BC y por DF son paralelas. De manera similar se puede determinar que cada una de las rectas que pasa por los puntos medios es paralela a uno de los lados del triángulo ABC. Otra manera de justificarlo, aunque no se utiliza directamente el teorema de Tales, es si los alumnos se fijan en el triángulo ADF. Pregúnteles: ¿cómo es este triángulo con respecto al triángulo ABC? (Son semejantes, ya que dos de los lados del triángulo ADF miden la mitad de los lados correspondientes en el triángulo ABC y comparten el ángulo entre estos lados). Se espera que puedan identificar que los otros dos triángulos, BDE y CEF, son semejantes al triángulo ABC. Con cualquiera de las dos justificaciones se determina que los ángulos en el triángulo DEF son iguales a los ángulos en el triángulo ABC y, por lo tanto, estos triángulos son semejantes.
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3. Utiliza el teorema de Tales para justificar que los puntos medios de los lados de cual quier triángulo determinan un triángulo semejante al dado. ¿Cuál es la razón de semejanza del triángulo dado con respecto al triángulo formado por los puntos medios? 4. Utiliza el teorema de Tales para justificar la siguiente afirmación: los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero determinan un paralelogramo.
BB cC
Aa
D D 46
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Sugerencia didáctica. Si tienen dificultades comente a los alumnos que la diagonal BD divide al cuadrilátero en dos triángulos y que deben justificar que, en cada triángulo, las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del cuadrilátero son paralelas a la diagonal, y por lo tanto son paralelas entre sí. Si se traza la otra diagonal, AC, se justifica que las otras dos rectas que pasan por los puntos medios son paralelas entre sí. Entonces el cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios tiene los lados opuestos paralelos y por lo tanto es un paralelogramo.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. 7.5 cm. Los alumnos pueden utilizar el teorema de Tales o también pueden identificar que se forman dos triángulos semejantes.
5. Calcula la longitud del segmento MN . Considera paralelos los segmentos MP y NQ.
M
N
P
2.5
cm
Q 6 cm
O 2 cm
Propósito del programa 30. Mostrar aplicaciones del teorema de Tales en la solución de problemas.
Para conocer más acerca de las aplicaciones de este teorema en la solución de problemas, puedes ver el programa Utilizando el teorema de Tales.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Para saber más Sobre el teorema de Tales y sus aplicaciones, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_aplicaciones/ teorema_de_thales.htm Ruta: Aplicaciones [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. Sobre Tales, consulta: http://www.filosofia.org/cur/pre/tales.htm [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Filosofía en español. España.
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Propósito de la sesión. Determinar cuándo dos polígonos son homotéticos y trazar un polígono homotético a otro.
secuenci a 17
Figuras homotéticas
Dos polígonos son homotéticos si son semejantes y tienen lados correspondientes paralelos. Materiales. Instrumentos geométricos (para toda la secuencia).
Sugerencia didáctica. Si no lo recuerdan, pida a los alumnos que revisen la secuencia 10.
En esta secuencia aprenderás a identificar y construir polígonos homotéticos. Determinarás el centro y la razón de homotecia de polígonos homotéticos.
SESIóN 1
ESPECIALMENTE SEMEJANTES
Para empezar
Describan las dos características que cumplen los polígonos semejantes.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Utilizar la homotecia como aplicación del teorema de Tales y su recíproco. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Consideremos lo siguiente Sean O un punto del plano y aBcD un cuadrilátero. Construyan un cuadrilátero a’B’c’D’ semejante al dado de manera que a’ esté en la recta Oa, B’ en la recta OB, c’ en la recta Oc y D’ en la recta OD y que la razón de semejanza de aBcD con respecto al a’B’c’D’ sea 3.
Propósito de la actividad. En esta actividad se pide a los alumnos que tracen un cuadrilátero homotético al cuadrilátero ABCD. Para que sean homotéticos la distancia de cualquier vértice del cuadrilátero A’B’C’D’ al punto O debe ser el triple de la distancia del vértice correspondiente del cuadrilátero ABCD, de esta manera los cuadriláteros son semejantes y tienen lados correspondientes paralelos. Sin embargo, es importante que no anticipe estas características a los alumnos ni los corrija si el polígono que tracen no las cumple, ya que podrán determinarlas con las actividades de la sesión. Posibles procedimientos. Se espera que los estudiantes midan los ángulos y los lados del cuadrilátero ABCD y que tracen sobre las rectas los lados del cuadrilátero A’B’C’D’ de manera que tengan el triple de esas medidas. Probablemente tendrán dificultades para que cierre el cuadrilátero o simplemente trazarán el último lado sin verificar que tenga la medida correcta.
a c O
D B
a) Describan el procedimiento que utilizaron.
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Si sólo miden los lados o sólo miden los ángulos es probable que el cuadrilátero que tracen no sea semejante al cuadrilátero ABCD. Otro procedimiento es trazar aparte el cuadrilátero semejante y luego recortarlo y acomodarlo sobre las rectas. Sugerencia didáctica. Observe los procedimientos de los alumnos para que entre todos puedan comentar y comparar los que hayan surgido dentro del grupo.
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MATEMÁTICAS
III
Posibles dificultades. Si los alumnos justifican que los lados correspondientes son o no paralelos diciendo que “se ven paralelos” o “no se ven paralelos” o “porque las rectas no se juntan”, pregunte al grupo por qué se puede utilizar el inverso del teorema de Tales para justificar si los lados correspondientes son paralelos y cómo lo harían (deben medir la distancia de los extremos de cada lado al punto O y determinar si las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales).
b) Justifiquen por qué el polígono que trazaron (es decir, el cuadrilátero A’B’C’D’) es semejante al ABCD en la razón de semejanza pedida.
c) ¿Son paralelos entre sí los pares de lados correspondientes? Justifiquen su respuesta.
Comparen sus procedimientos.
Manos a la obra
Propósito del Interactivo. Obtener las figuras homotéticas a figuras dadas.
I. En la siguiente figura se trazó el lado AB del cuadrilátero anterior. Sobre la recta OA están señalados los puntos A1, A 2 y A3, tales que, OA1 = 10 cm, OA 2 = 2.5 cm y OA3 = 15 cm. Sobre la recta OB están señalados los puntos B1, B2 y B3, tales que, OB1 = 12 cm, OB2 = 3 cm y OB3 = 18 cm. Traza los segmentos A1B1 , A 2B2 y A3B3 .
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que en la sesión 2 de la secuencia anterior hicieron una actividad parecida.
A3
A1
A A2 O
B2
B B1 B3
a) ¿Son paralelos los segmentos AB y A1B1? Justifica tu respuesta.
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Respuestas. Los alumnos pueden identificar que, por ejemplo, los triángulos OAB y OA1B1 son semejantes y, con base en ello, determinar que las rectas que pasan por AB y A1B1 son paralelas. También pueden utilizar directamente el inverso del teorema de Tales: “Por el inverso del teorema de Tales, como las medidas de los segmentos OA y OA1 son proporcionales a las medidas de los segmentos OB y OB1, entonces las rectas que pasan por los segmentos AB y A1B1 son paralelas”. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban las razones o cocientes para justificar la proporcionalidad entre la medida de los segmentos.
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Eje Forma, espacio y medida.
Tema Transformaciones.
Propósitos de la secuencia Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Especialmente semejantes Determinar cuándo dos polígonos son homotéticos y trazar un polígono homotético a otro.
Programa 31 Interactivo Aula de medios
2
Depende de la razón Determinar los resultados de una homotecia al comparar distintos valores para la razón de homotecia.
Subtema Movimientos en el plano.
Antecedentes La Homotecia es un concepto nuevo para los alumnos, pero los elementos que la caracterizan (proporcionalidad, semejanza de figuras y rectas paralelas) los han trabajado a lo largo de los tres grados de la secundaria. En esta secuencia van a vincular los conocimientos que poseen sobre estos temas.
Programa 32 Interactivo
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secuenci a 17 b) ¿Son paralelos los segmentos aB y a 2B2? Justifica tu respuesta.
Respuesta. El segmento que está en razón 3 a 1 es el segmento A3B3. c) ¿Son paralelos los segmentos aB y a3B3? Justifica tu respuesta.
Propósito de la actividad. Los alumnos van a trazar un cuadrilátero homotético al cuadrilátero ABCD.
d) ¿Cuál de los tres segmentos que trazaste está en razón 3 a 1 con respecto al seg-
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que no midan los segmentos y que sólo utilicen el compás. Para hacerlo, por ejemplo para trazar el punto A’, la abertura del compás debe ser igual a OA, deben colocar el compás con esa abertura sobre A y trazar el punto A’ sobre la misma recta en la que está A. Cuando hayan marcado los puntos coménteles que tienen que justificar que los cuadriláteros ABCD y A’B’C’D’ son semejantes.
mento aB? ii. Utiliza tu compás para trazar puntos a’, B’, c’ y D’ de manera que Oa’ = 2 Oa , OB’ = 2 OB , Oc’ = 2 Oc y OD’ = 2 OD .
a c O
B
Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos justifiquen la proporcionalidad entre los lados correspondientes y la igualdad de los ángulos. Posibles procedimientos. Se espera que los alumnos utilicen el inverso del teorema de Tales para justificar que los lados correspondientes de los cuadriláteros son paralelos y que entonces determinen por qué los ángulos son iguales. Para justificar que las medidas de los lados correspondientes son proporcionales pueden identificar los triángulos semejantes, por ejemplo el triángulo OAD es semejante al triángulo OA’D’.
a) ¿Son semejantes los cuadriláteros? Justifica tu respuesta.
b) ¿Los lados del cuadrilátero aBcD son paralelos a los correspondientes lados del cuadrilátero a’B’c’D’? Justifica tu respuesta.
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D
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MATEMÁTICAS
III
Dados un polígono (ABCDEF…), un punto O del plano y las rectas que unen cada vértice del polígono con el punto O, si se trazan puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, … en las rectas OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, respectivamente, de manera que las medidas de los segmentos OA’, OB’, OC’, OD’, OE’, OF’, … sean proporcionales a las medidas de los segmentos OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, se cumple que el polígono A’B’C’D’E’F’ … es semejante al polígono original y que sus lados son paralelos a los lados correspondientes del polígono original.
OA
Propósito de la actividad. Los alumnos van a trazar dos triángulos semejantes de manera que los lados correspondientes sean paralelos. Van a identificar que las rectas que unen los vértices correspondientes se intersecan en un punto.
III. a) Realicen los trazos que se piden: 1. Tracen en su cuaderno un triángulo ABC. 2. Tracen una recta paralela al lado BC y con su compás marquen en esa paralela un segmento que mida 1 de BC. Llamen a los extremos del segmento B’ y C’. 4 3. Tracen una paralela a BA que pase por B' y con su compás marquen desde B un segmento que mida 1 de BA, y llamen al otro extremo A’. Asegúrense de que 4 el ángulo A’B’C’ mida lo mismo que el ángulo ABC. 4. Tracen el segmento A’C’. 5. Tracen las rectas AA’, BB’ y CC’.
Respuestas.
b) Contesten. 1. ¿Son semejantes los triángulos ABC y A’B’C’?
Los triángulos son semejantes y la razón de semejanza es igual a 4.
2. Si los triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza de ABC con respecto a A’B’C’?
Las razones son iguales a 4.
3. Observen que las rectas AA’, BB’ y CC’ se intersecan en un solo punto, llámenOA OB OC lo O. ¿Cuánto valen las razones OA’ , OB’ y OC’ ? c) Comenten qué relación hay entre la razón de semejanza de los triángulos y la razón de las distancias de O a los vértices correspondientes.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que entre todos escriban la justificación de por qué los triángulos son semejantes. Pueden identificar que las medidas de los lados correspondientes son proporcionales o que un ángulo igual está entre dos lados proporcionales.
Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos las razones de por qué los triángulos que trazaron son homotéticos y que señalen el centro de homotecia.
secuencia 17
A lo que llegamos Especialmente semejantes
Para trazar un triángulo semejante a un triángulo dado, se pueden trazar rectas paralelas a los lados del triángulo. Los polígonos semejantes con lados correspondientes paralelos se llaman polígonos homotéticos. El punto en el que se intersecan las rectas determinadas por los vértices correspondientes de polígonos homotéticos se llama centro de homotecia.
Propósito del programa 31. Mostrar la relación que hay entre figuras homotéticas y figuras semejantes. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
DEPENDE DE LA RAZÓN
SESIÓN 2
Consideremos lo siguiente En el siguiente esquema se trazaron dos pentágonos homotéticos al pentágono aBcDe, con O como centro de homotecia. Determinen las razones de semejanza que permiten obtener cada uno de los pentágonos trazados a partir del pentágono aBcDe.
Propósito de la sesión. Determinar los resultados de una homotecia al comparar distintos valores para la razón de homotecia. a
Propósito del Interactivo. Explorar el comportamiento de una homotecia ante distintos valores de la homotecia.
e O D
c
B
Respuestas. a) ¿Cuál es la razón de semejanza del pentágono verde respecto del pentágono aBcDe?
a) 2 b) 1 2
b) ¿Cuál es la razón de semejanza del pentágono rosa respecto del pentágono aBcDe?
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III
MATEMÁTICAS
Respuestas.
c) Si se traza un pentágono homotético a ABCDE, con centro de homotecia O y con razón de semejanza 1 respecto a ABCDE, ¿las medidas de los lados del pentágono 3 homotético resultante serán mayores, menores o iguales a las del pentágono ABCDE?
c) Las medidas serán menores.
d) Si se traza un pentágono homotético a ABCDE, con centro de homotecia O y con razón de semejanza 3 respecto a ABCDE, ¿las medidas de los lados del pentágono 2 homotético resultante serán mayores, menores o iguales a las del pentágono ABCDE?
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos una justificación de por qué los polígonos son homotéticos. Los alumnos deben identificar que las distancias de los vértices de uno de los polígonos al punto O, son proporcionales a las distancias de los vértices correspondientes del otro polígono, también podrían justificar que los polígonos son semejantes y que los lados correspondientes son paralelos.
d) Las medidas serán mayores.
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra I. En el esquema siguiente se trazaron dos pentágonos homotéticos, con O como centro de homotecia. Mide lo que se pide y contesta. A1
A
E1
E O D
C
C1 D1 B
B1
Respuestas.
a) ¿Cuánto mide el segmento OA?
a) 6 cm
b) ¿Cuánto mide el segmento OA1?
b) 12 cm
c) ¿Por qué número se tiene que multiplicar OA para obtener OA1?
c) 2
d) ¿Cuánto vale la razón OA1 ? OA
d) 2 53
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Respuestas.
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e) Sí. Se espera que los alumnos identifiquen que, como los polígonos son homotéticos, entonces son semejantes y sus lados correspondientes son paralelos. Por el teorema de Tales se puede determinar que todas las razones son iguales a 2.
e) ¿Es posible determinar las razones OB1 , Oc1 , OD1 , Oe1 sin medir los segmenOB Oc OD Oe tos? ¿por qué?
f) ¿Cuál es la razón de semejanza que permite obtener el pentágono a1B1c1D1e1 a partir del pentágono aBcDe?
f) 2. ii. Marca el punto medio de los segmentos Oa, OB, Oc, OD y Oe. Llama a los puntos medios a’, B’, c’, D’ y e’, respectivamente. a) ¿El pentágono a’B’c’D’e’ es homotético con respecto al pentágono aBcDe?
Propósito de la actividad. Los alumnos deben justificar que los polígonos son semejantes y que los lados correspondientes son paralelos con argumentos similares a los que utilizaron en la actividad II de la sesión pasada. La razón de semejanza del pentágono A’B’C’D’E’ con respecto al pentágono ABCDE es 1 . 2
Justifica tu respuesta.
b) Si los pentágonos son homotéticos, ¿cuál es la razón de semejanza de a'B'c'D'e' respecto a aBcDe? Comparen sus respuestas. Dado un polígono P, un centro de homotecia y una razón de semejanza respecto a P, contesten: a) ¿Para qué valores de la razón de semejanza las medidas de los lados del polígono homotético serán menores que las medidas de los lados del polígono P? b) ¿Para qué valores de la razón de semejanza las medidas de los lados del homotético serán mayores que las medidas de los lados de P?
A lo que llegamos Dados dos polígonos homotéticos, a la razón de semejanza que permite obtener uno de los polígonos a partir del otro polígono se le llama razón de homotecia. Dados un polígono P y una razón de homotecia respecto a P (denotada con r ), se cumple lo siguiente. 1. Si r es mayor que 0 pero menor que 1, las medidas de los lados del polígono homotético resultante son menores que las medidas de los lados del polígono P. 2. Si r es mayor que 1, las medidas de los lados del polígono homotético resultante son menores que las medidas de los lados del polígono P.
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MATEMÁTICAS
III
Por ejemplo, dado el triángulo ABC y una razón de homotecia r respecto a él, se puede obtener triángulos homotéticos de lados mayores o menores, dependiendo del valor de la razón de homotecia. A O
B
C
O1 En la figura, para obtener el triángulo morado, se utilizó una razón mayor que 1 y para obtener el rosa se utilizó una razón menor que 1, y mayor que cero.
Respuesta. a) Cuando la razón de homotecia es igual a 1, el polígono homotético es igual al polígono original.
a) Comenten: ¿cómo son entre sí los polígonos si la razón de homotecia es igual a 1? b) Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados. III. En la actividad anterior estudiaste el efecto que producen las razones de homotecia positivas. También hay razones de homotecia que son negativas.
Propósito de la actividad. Determinar el resultado de una homotecia cuando la razón de homotecia es negativa.
Por ejemplo, al aplicar una razón de homotecia negativa al pentágono ABCDE, el vértice correspondiente al vértice A es A3 . A
E O D
C
B
Respuesta.
A3 a) ¿Cuánto mide OA?
a) 6 cm. Para obtener la medida de OA3 se multiplica OA por 1.5
¿Por qué número tienes que
multiplicar a OA para obtener OA3? b) Sobre el esquema anterior, localiza los puntos B3, C3, D3 y E3 correspondientes a los vértices B, C, D y E. Une los puntos para obtener el polígono A3B3C3D3E3 . c) ¿Cuál es el número por el que se multiplican las distancias OA, OB, OC, OD y OE para obtener las distancias OA3 , OB3 , OC3 , OD3 y OE3? 55
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B3 A D3 C3
E
E3
C D
B
A3
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Sugerencia didáctica. Para que respondan el inciso d), pregunte a los alumnos si los polígonos son semejantes y si los lados correspondientes son paralelos. Usted puede pedirles que midan los lados y los ángulos de cada polígono.
secuenci a 17 d) Justifica por qué el pentágono a3B3c3D3e3 es homotético al pentágono aBcDe.
Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Cuál es la diferencia entre el pentágono a1B1c1D1e1 de la actividad i y el pentágono a3B3c3D3e3? b) Describan el efecto de aplicar a un polígono una homotecia con razón de homotecia negativa.
Lo que aprendimos
Respuesta. El punto O1 es el centro de homotecia del triángulo rosa y el triángulo morado. El punto O2 no es centro de homotecia.
1. Los triángulos a y B son homotéticos al triángulo c, ¿cuál de los dos puntos, O1, O2, es centro de homotecia y para qué pareja de triángulos? O1
O2
a
c
B
Integrar al portafolio. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a esta pregunta. Pídales que expliquen, en cada caso, por qué los polígonos sí son o no son homotéticos.
2. Señala en cuál de las figuras los polígonos son homotéticos.
Respuesta. Los de la figura 2.
Figura 1
Figura 2
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MATEMÁTICAS
III
Posibles procedimientos. Los alumnos deben trazar una recta que corte al triángulo y que sea paralela a alguno de sus lados.
3. Traza un segmento de recta en el triángulo ABC de manera que se forme un triángulo semejante a éste. A
B C
Comenta:
Propósito del programa 32. Mostrar las posiciones de figuras homotéticas según la razón de homotecia y trabajar algunas aplicaciones.
a) ¿Cómo trazaste el segmento? b) ¿Cómo justificarías que los triángulos son semejantes? c) ¿Cuáles son los pares de lados correspondientes? Para conocer más acerca de las aplicaciones de las propiedades de la homotecia en la solución de problemas, puedes ver el programa de televisión Problemas de homotecia.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Para saber más Sobre homotecia, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Peña, José Antonio de la. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/ geometria/homoteciaysemejanzas/homoteciasysemejanzas.htm [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008].
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secuenci a 18
Propósito de la sesión. Reconocer que el movimiento con aceleración constante se describe gráficamente con una parábola.
Gráficas de relaciones funcionales
Propósito de la actividad. Que los alumnos descubran que la gráfica de un movimiento acelerado debe ser un curva y no una recta o segmentos de recta.
Hasta este momento has estudiado gráficas que son líneas rectas; sin embargo, no todos las gráficas son así. En esta secuencia graficarás relaciones funcionales cuyas gráficas ¡no son líneas rectas!
Propósito del Interactivo. Presentar problemas de la vida real, modelándolos algebraicamente y analizándolos aprovechando las gráficas de las relaciones funcionales obtenidas.
PLANO INCLINADO
sesIóN 1
Respuesta.
Para empezar
En la secuencia 4 ¿cómo caen los cuerpos? de tu libro de ciencias ii, volumen I, estudiaste la caída de una canica a lo largo de un plano inclinado. El movimiento de la canica resulta ser uniformemente acelerado, es decir, mantiene una aceleración constante. Ahora, trataremos de describir la posición de la canica en cualquier momento del tiempo.
conexión con ciencias ii
• La gráfica a) es lineal y además pasa por el origen, así que representa una relación de proporcionalidad directa. Por ello no puede ser la gráfica correcta, ya que, según los datos de la tabla, no es cierto que al duplicar el tiempo se duplica la distancia, por ejemplo. Esta gráfica representa un movimiento a velocidad constante (no aceleración constante).
secuencia 4: ¿cómo caen los cuerpos?
Consideremos lo siguiente En la figura, se muestra una canica que está a punto de caer por una rampa de 400 cm de largo.
• En la gráfica b) cada tramo recto representa un movimiento a velocidad constante, y la canica no se mueve así sino que va acelerando (la velocidad crece a cada segundo). Esto se puede observar en la tabla: en cierto segundo la canica recorre una mayor distancia respecto a la que recorrió en el segundo anterior, es decir, la velocidad aumenta.
Usando fotografías, se mide la distancia que la canica ha recorrido en cada segundo transcurrido desde que se soltó. En la tabla 1 se indica el resultado de esta medición. Tiempo
0s
1s
2s
3s
Distancia
0 cm
10 cm
40 cm
90 cm
4s
5s
160 cm 250 cm
Tabla 1
¿Cuál de las siguientes gráficas crees que representa mejor la relación entre el tiempo y
• La gráfica d) no es correcta pues representa una disminución de la distancia recorrida conforme aumenta el tiempo, cosa que no ocurre con la canica.
Tiempo
a)
c)
Distancia
.
Distancia
Distancia
• La gráfica c) es la correcta. En ella se observa una parábola, que es la representación gráfica de una relación cuadrática, como se verá más adelante.
Distancia
la distancia recorrida por la canica?
Tiempo
b)
Tiempo
c)
Tiempo
d)
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Propósitos de la secuencia Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar algunos fenómenos.
Eje Manejo de la información.
Tema
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Plano inclinado Reconocer que el movimiento con aceleración constante se describe gráficamente con una parábola.
Interactivo Programa 33
2
La ley de Boyle Recordar que la hipérbola es la gráfica de una relación de proporcionalidad inversa y que dicha gráfica describe la ley de Boyle.
Programa 34
3
La caja Encontrar el mínimo de una relación mediante el método gráfico y compararlo con el algebraico.
Representación de la información.
Subtema Gráficas.
Antecedentes Los alumnos han estudiado distintas relaciones funcionales y en esta secuencia se pretende que sigan desarrollando sus conocimientos sobre la idea de relación funcional a través de la observación de la dependencia entre una magnitud y otra.
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Comparen sus respuestas y comenten.
III
Respuestas. Las gráficas a) y d) representan relaciones lineales, y la gráfica b) representa una relación lineal por pedazos.
Recuerden que: Una relación es lineal si su gráfica es una línea rect a. Y es lineal por pedazos si su gráfica es unión de segmentos de recta.
¿Cuáles de las cuatro gráficas representan relaciones lineales? ¿Cuál de las cuatro representa una relación lineal por pedazos?
Sugerencia didáctica. Lo más probable es que para elegir una de las gráficas los alumnos se hayan valido principalmente de la intuición, pero para convencer a los demás de que la que eligieron es la correcta, necesitarán más argumentos.
Manos a la obra I. En el siguiente plano cartesiano localiza los puntos asociados a la tabla 1. Después dibuja la gráfica de la relación como creas que debería de verse (ayúdate de la gráfica que elegiste en el apartado Consideremos lo siguiente). Recuerda que la gráfica debe pasar por los puntos que ya localizaste. Distancia (centímetros)
ones
MATEMÁTICAS
Aunque no hayan acertado eligiendo la gráfica, invite a los alumnos a expresar sus ideas.
250
200
150
100
50
0
1
2
3
4
5
Tiempo (segundos)
II. Observa la gráfica y contesta: a) Aproximadamente, ¿qué distancia lleva recorrida la canica cuando han transcurrido 2.5 segundos? b) ¿Y cuando han transcurrido 3.5 segundos? 59
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Respuestas. a) Lleva recorridos 62.5 cm exactamente, sin embargo, quizá los alumnos no obtengan esa respuesta porque dependerá de cómo trazaron la gráfica. Lo importante es que respondan de acuerdo a lo que interpretan en la gráfica, así que serían aceptables respuestas entre 60 y 70 cm. b) Ha recorrido exactamente 122.5 cm. Acepte respuestas entre 115 y 125 cm.
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Posibles errores. Algunos alumnos quizá intenten hacer una aproximación de la distancia recorrida por la canica promediando los valores que conocen. Por ejemplo, para saber qué distancia ha recorrido la canica cuando han transcurrido 2.5 segundos, promedian la distancia que recorrió a los 2 y 3 segundos, o sea, 40 + 90 = 65 2 Sin embargo, este procedimiento sería incorrecto porque parte de la suposición de que la canica tiene una aceleración constante y por lo tanto, que su gráfica es lineal, lo que daría lugar a que el pedazo de gráfica que pasa por los puntos (2,40) y (3,90) fuera una línea recta, y que el punto (2.5, 65) estuviera alineado con estos dos puntos.
Si los alumnos cometen este u otro error, permítales seguir y lean el apartado de A lo que llegamos. Con esa información, pídales que revisen su gráfica y que la corrijan si fuera necesario (por ejemplo, si unieron los puntos con rectas); y luego, que vuelvan a contestar estas preguntas.
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Respuesta. Del texto se infiere que un cuerpo en aceleración constante tiene como gráfica una parábola y que las parábolas están asociadas a una relación cuadrática. Sugerencia didáctica. Algunos alumnos podrían confundirse pensando que el caso de la caída de una canica en un plano inclinado no es una parábola porque al graficar la situación sólo aparece la mitad de la parábola. Explíqueles que cuando lo que aparece en la gráfica es solamente un pedazo de la parábola, se puede afirmar que al menos en ese pedazo la relación es cuadrática. En el caso de la canica, no hay más pedazos (sólo la parte positiva), por lo que se puede decir que sí es cuadrática en todos los valores en los que está definida la relación.
secuenci a 18 Comparen respuestas. Después lean la información del apartado A lo que llegamos y, por último, comenten: de acuerdo con lo dicho en el texto, la relación entre tiempo y distancia de un cuerpo en aceleración constante, ¿es cuadrática? Justifiquen su respuesta.
A lo que llegamos La gráfica asociada a la relación entre tiempo y distancia de un cuerpo con aceleración constante (por ejemplo, la caída de una canica en un plano inclinado) es una curva conocida como parábola. En la siguiente gráfica se ha dibujado una parábola. La gráfica que corresponde al ejemplo de la canica es la parte derecha de una parábola. Por otro lado, cuando la gráfica es una parábola, la relación es cuadrática. Es decir, es una relación como y = 3x 2 + 5x – 8, y = 3x 2 + 5x, y = 3x 2 – 8, y = 3x 2 , etc., donde la x aparece elevada al cuadrado y donde aparecen además algunos términos de grado uno y otros de grado cero. Para conocer más sobre las gráficas de relaciones cuadráticas, pueden ver el programa Gráficas y movimiento acelerado.
Propósito del programa 33. Estudiar las gráficas asociadas a situaciones modeladas por una relación cuadrática.
iii. Denotamos con la letra x el tiempo que ha transcurrido desde que se dejó caer la canica y con la letra y la distancia recorrida. De las siguientes expresiones, ¿cuál crees que sirve para calcular y a partir de x ? Márcala.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
a) y = 10x
b) y = 11x 2 – x
c) y = 10x 2
d) y = 30x – 20
Usando la expresión que elegiste, calcula los valores de y para los valores de x dados.
Respuesta. La expresión correcta es la del inciso c).
Si x = 2, entonces y =
40
Si x = 2.5, entonces y =
62.5
Si x = 3, entonces y =
90
Si x = 3.5, entonces y =
122.5
Comparen sus repuestas y comenten. ¿Estos valores coinciden con los que aproximaron en la actividad anterior? ¿Qué tan buena fue la aproximación?
Sugerencia didáctica. Si a los alumnos les es difícil elegir la expresión correcta, pídales que escriban algo como lo siguiente:
Lo que aprendimos Al tirar una canica desde abajo de un plano inclinado, ésta no logra subir hasta el final del plano y baja de regreso.
Para x = 1, y debe dar 10 Distancia
Para x = 2, y debe dar 40 Para x = 3, y debe dar 90 Y luego, que prueben con las cuatro expresiones para ver con cuál se obtienen esos valores.
Propósito de la pregunta. La intención es que los alumnos comparen los resultados que obtuvieron con el método gráfico y el algebraico. Puede ser útil comentar en qué casos conviene más usar uno u otro, por ejemplo, cuando se quiere obtener un dato exacto es mejor emplear el algebraico, pero cuando lo que se necesita es una aproximación u observar la tendencia, conviene el gráfico.
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Propósito de la actividad. La situación que se presenta también tiene que ver con una canica en un plano inclinado, pero ahora no se suelta desde arriba sino se empuja desde abajo. Además, no se presentan datos en una tabla, así que los estudiantes deben imaginar cómo sería el movimiento de la canica y cómo se vería al graficarlo. Respuesta.Los alumnos ya saben que la gráfica asociada a este fenómeno es una parábola, así que quizá elijan fácilmente a la gráfica a), pero conviene que analicen porqué las otras opciones no son correctas. • La gráfica a) es de aceleración constante, y está “al revés” que la que representa a la caída de la canica desde el punto más alto del
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plano inclinado porque ahora acelera pero de forma negativa, es decir, frena. Como la canica sube (frenando) y luego baja (acelerando), la parábola está completa. • La gráfica b) no puede ser correcta pues implicaría que la canica se mueve a velocidad constante hacia arriba y después baja a velocidad constante. • La gráfica c) es incorrecta pues en algún momento la canica debe disminuir la distancia que recorre por segundo, y en esta gráfica se representa un movimiento que sigue acelerando. • La gráfica d) se puede descartar pues muestra que la canica primero sube despacio y luego acelera, lo cual no ocurre en la situación planteada.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) La velocidad es cero, pues a medida que avanza va frenando hasta llegar al punto más alto del plano inclinado, se detiene ahí un instante y después su velocidad empieza a crecer mientras baja.
Tiempo
Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
En cada segundo, se midió la distancia a la que se encontraba la canica del lugar de lanzamiento y con los datos se obtuvo una de las siguientes gráficas. Señálenla.
Tiempo
a)
Tiempo
b)
c)
Tiempo
d)
b) En la bajada va acelerando, en la subida va frenando. En ningún momento tiene una velocidad constante.
Comparen sus respuestas y comenten: a) Cuando la canica alcanzó el punto más alto, ¿cuál creen que era su velocidad? b) ¿En qué momento la canica va acelerando?, ¿En qué momento va frenando? ¿Cuándo lleva velocidad constante?
LA LeY De BOYLe
sesIóN 2
Para empezar
Un gas encerrado dentro de un recipiente ejerce una fuerza sobre las paredes. A la fuerza ejercida por el gas en cada m2 de superficie se le llama presión. La presión se expresa normalmente en pascales (Pa).
Propósito de la sesión. Recordar que la hipérbola es la gráfica de una relación de proporcionalidad inversa y que dicha gráfica describe la ley de Boyle.
Émbolo
Volumen
Recuerde que. En el libro Matemáticas I, secuencia 37 los alumnos estudiaron relaciones de proporcionalidad inversa, que se caracterizan por que:
Presión
La ley de Boyle afirma que (a temperatura fija) la presión ejercida por un gas es inversamente proporcional al volumen del gas. Por ejemplo, en la figura 1, cuando se disminuye el volumen del gas a la mitad (empujando el émbolo) la presión que ejerce el gas sobre las paredes se duplica. Por ello se dice que, en estas condiciones, el volumen y la presión son cantidades inversamentente proporcionales.
• cuando una cantidad aumenta el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple la otra disminuye a la tercera parte, etc.; Recuerda que: Una relación es de proporcionalidad inversa si al aumentar al doble, al triple, etc. una de las cantidades, la otra disminuye a la mitad, a la tercera parte, etcétera.
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• si se representa en una gráfica se obtiene una curva llamada hipérbola; • si se representan los datos en una tabla el producto entre los elementos de los dos conjuntos se mantiene constante; • su expresión algebraica es y = k . x
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Respuestas.
secuencia 18
a) Vale 50 Pa porque si el volumen aumentó al doble (400 m3 ), la presión será la mitad.
Consideremos lo siguiente
b) 200 Pa porque al reducir el volumen a la mitad (100 m3 ), la presión aumenta al doble.
a) Al jalar el émbolo, se puede aumentar el volumen del gas a 400 m3. Según la ley de
c) La gráfica a) no es correcta porque representa una relación lineal con pendiente negativa.
b) Y si se redujera el volumen a 100 m , ¿cuánto valdría la presión?
Un gas ejerce una presión de 100 Pa en un recipiente que tiene un volumen de 200 m3. Boyle, ¿cuánto deberá valer la presión ahora?
Pa.
Volumen
La gráfica d) tampoco es correcta porque no representa una situación en la que el al aumentar al doble una de las magnitudes la otra disminuya a la mitad.
Presión
Presión
Presión
Presión
c) ¿Cuál de las siguientes gráficas creen que describe mejor la relación entre el volumen y la presión? Márquenla.
La gráfica b) es correcta porque es una hipérbola. La gráfica c) también se ve como una hipérbola pero no es correcta porque no puede haber valores iguales a cero (ni la presión ni el volumen pueden valer cero).
Pa.
3
Volumen
a)
Volumen
b)
Volumen
c)
d)
Comparen sus respuestas y comenten.
Posibles dificultades. Si a los alumnos se les hace complicado elegir la gráfica correcta, sugiérales que hagan en su cuaderno una gráfica con los puntos que ya conocen (100, 200), (200, 100) y (400, 50). Deben unirlos con una curva, no con segmentos de recta.
Manos a la obra i. Completen la siguiente tabla .
Observarán que la gráfica se parece a las de los incisos b) y c). El b) se descarta porque en la situación de la presión del gas ninguna de las magnitudes puede ser cero.
Volumen (m3)
50
100
200
300
400
500
Presión (Pa)
400
200
100
66.6
50
40
Volumen × Presión (m3 × Pa)
20 000 20 000 20 000
20 000 20 000 20 000
Denoten con la letra x el volumen que ocupa el gas (medido en m3) y con la letra y la presión (medida en Pa) ejercida por el gas. Ahora realicen lo siguiente. a) Completen la expresión para el producto del volumen y la presión.
xy = b) Usen la expresión anterior para escribir otra que sirva para calcular y a partir de x.
y=
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Posibles dificultades. En esta columna puede haber un error de redondeo debido a lo siguiente. Los alumnos pueden encontrar la respuesta dividiendo 20 000 ÷ 300 o bien, fijándose en que cuando el volumen es 100 m3 , la presión es 200 Pa; si aumenta tres veces el volumen (300 m3 ), la presión debe disminuir a una tercera parte, es decir, 200 ÷ 3. Efectuando cualquiera de las divisiones, se obtiene 66.666… que es un número con infinitos dígitos después del punto decimal. Dejar 66.6 como respuesta arrojaría 19 980 al multiplicar el volumen por la presión, y no 20 000 como en los demás casos.
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Para solucionar esto, sugiera a los estudiantes que intenten con un valor más cercano al cociente, como 66.66, con el que se obtiene 19 998; y que observen que entre mejor sea la aproximación al cociente más se parecerá el resultado a 20 000. Más aun, podría explicarse que el 20 000 es el resultado exacto pues al poner todas las operaciones juntas se obtiene 300 × (200 ÷ 3) que es lo mismo que (300 ÷ 3) × 200.
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Respuestas. a) xy = 20 000 20 000 b) y = x En una relación de proporcionalidad inversa, los productos son constantes, por eso en todas las columnas al multiplicar x (el volumen) por y (la presión) se obtiene 20 000. Este número es una constante. Para hallar cualquier valor de y hay que dividir k esta constante (k ) entre x , es decir, y = x .
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Cerciórese de que los alumnos tengan en su tabla los datos correctos para que la gráfica que tracen sea una hipérbola. Aclare que no deben unir los puntos con líneas rectas.
II. Localicen los datos de la tabla 1 en el siguiente plano cartesiano y hagan un bosquejo de la gráfica de la relación entre la x y la y.
y 550 500 450 400 350
Respuestas.
300
No existe. Se espera que los alumnos mediten nuevamente sobre la imposibilidad de que la presión sea igual a cero, pero ahora usando herramientas algebraicas. y = 20 x000 no puede ser igual a cero.
250 200 150 100
Sugerencia didáctica. Vale la pena resaltar que, cuando el valor de x se hace más grande (el volumen es mayor), el valor de y se acerca cada vez más a cero (la presión es menor), pero nunca llegará a ser igual a cero. Dicho comportamiento puede verse claramente de la gráfica.
50 0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
x
III. Observen la gráfica y la expresión que permite calcular y a partir de x. ¿Existe algún valor de x para el cual y valga cero?
Si creen que existe es-
Posibles dificultades. Para algunos alumnos tanto la x como la y pueden valer cero así:
críbanlo, si creen que no existe expliquen por qué.
y = 20 000 0 x = 20 000 0 Aclare que las divisiones entre cero no se pueden hacer y enfatice que en el contexto del volumen y la presión del gas, ninguno de esos valores puede ser igual a cero.
Comparen sus gráficas con la que eligieron en el apartado Consideremos lo siguiente. a) Si el volumen es muy grande, ¿qué pasa con la presión? ¿Cómo se ve esto en la gráfica? b) Cuando se reduce mucho el volumen del gas en el recipiente hasta casi ser cero, ¿qué pasa con la presión? ¿Cómo se ve esto en la gráfica?
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Respuestas. a) Si el volumen es muy grande, la presión es pequeña. Explique a los alumnos que si un gas se puede "acomodar" en un espacio grande no ejerce mucha presión. b) Si se reduce mucho el volumen la presión aumenta porque el gas tiene que "caber" en un espacio menor.
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secuencia 18
Propósito del programa 34. Conocer situaciones en las que su representación gráfica corresponde a una hipérbola.
A lo que llegamos La expresión asociada a una relación de proporcionalidad inversa es de la forma y = k , donde k es la constante de proporcionalidad x inversa. La gráfica asociada a estas relaciones es una curva conocida como hipérbola. Esta hipérbola tiene la propiedad de no intersecar a ninguno de los ejes, como se muestra en la figura.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión. Respuestas. a) Para completar la tabla se requiere usar argumentos de proporcionalidad inversa, o sea, que si se sabe que con un volumen de 10 dm3 hay una presión de 1 014 HPa, con un volumen de 5 dm3 (la mitad) la presión será el doble. La constante en esta situación es el producto del volumen y la presión (10 140).
Para conocer más ejemplos de relaciones de proporcionalidad inversa y sus gráficas, pueden ver el programa Gráficas y Ley de Boyle.
b) Para encontrar la expresión, los alumnos necesitarán observar que el producto se mantiene constante, y que es igual a 10 140.
Lo que aprendimos Un tanque de 10 decímetros cúbicos (10 dm3) tiene helio (un gas bastante común) encerrado a una presión de 1 014 hectopascales (1 014 HPa). La misma cantidad de gas se desea colocar en tanques de otro volumen. Usen la ley de Boyle para contestar lo siguiente:
c) La gráfica es una hipérbola. Para hacerla, es importante que los alumnos elijan bien el tamaño de los ejes y sus escalas.
a) Calculen cuál será la presión a la que estará encerrado el helio si se colocara en un tanque de cada uno de los volúmenes en la tabla.
d) Sería de 10.03 cm3 . Posibles dificultades. Aquí se pregunta por la inversa en una relación de proporcionalidad inversa, como si en la tabla se diera el valor de una casilla de abajo y se pidiera encontrar la de arriba.
Volúmen del Tanque (dm3)
5
10
15
20
25
Presión que ejerce el helio sobre las paredes del tanque (HPa)
2 028
1 014
676
507
450.6
b) Escriban una expresión que relacione el volumen y del tanque (en dm3) con la presión x en la que se encuentra encerrado el helio (en HPa).
y=
Para resolverla es mejor usar la relación xy = 10 140, sabiendo que y vale 1 010. También se puede utilizar la relación
10 140 x
c) En su cuaderno hagan la gráfica de esta relación. d) Si se deseara guardar esa cantidad de helio a una presión de 1 010 HPa, ¿qué volu-
y = 10 x140
men tendría que tener el tanque?
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y 30
25
20
15
10
5
0
80
x
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
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MATEMÁTICAS
III
LA CAJA
Propósito de la sesión. Encontrar el mínimo de una relación mediante el método gráfico y compararlo con el algebraico.
sesIóN 3
Para empezar En una empresa fabrican cajas de metal. Las cajas se construyen a partir de una lámina rectangular de 3 m de largo por 2 m de ancho, a la que le cortan cuatro cuadrados de las esquinas. Después, se dobla la lámina restante para formar una caja rectangular y, por último, se sueldan las orillas.
2m
x x
3m
x
Propósito de la actividad. En esta secuencia el problema se tendrá que ir resolviendo por partes hasta obtener la respuesta.
Los fabricantes no saben de qué tamaño cortar los cuadrados para que el volumen sea lo más grande posible. Por ello en la figura se ha marcado con la letra x la medida en metros de los lados de los cuadrados que se cortan.
El alumno utilizará e integrará diferentes conceptos que ha aprendido a lo largo de la secundaria: relación, expresión algebraica y gráfica asociada a un fenómeno.
En esta sesión encontraremos el valor de x para maximizar el volumen de la caja, es decir, para que su volumen sea lo más grande posible.
Manos a la obra
3m
I. Anoten en los recuadros de la siguiente figura las expresiones algebraicas que representan las medidas faltantes. a) Una vez cortados los cuadrados y armada la caja, la altura de la caja será x . ¿Cuáles serán las expresiones que representen a las otras dos medidas de la caja? Ancho =
2 – 2x
Largo =
3 – 2x
Además, para fomentar el intercambio de ideas, todas las actividades están diseñadas en parejas.
x 2 – 2x
2m
x x
3 – 2x
x
b) Denoten con la letra y el volumen de la caja (en metros cúbicos). Escriban una expresión que sirva para obtener y a partir de x.
y= Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus expresiones algebraicas. 65
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Sugerencia didáctica. Para encontrar las medidas faltantes lo más fácil será llenar primero los valores que corresponden a x , o sea, la medida del lado del cuadrado que se recorta en cada esquina. Las medidas del largo y ancho de la lámina se obtienen restando lo que mide el lado del cuadrado, o sea, x . Por ejemplo, un lado de la lámina mide 2 m y se le cortaron dos cuadrados de lado x , por lo que debe restar 2 − 2 x . Si los alumnos tienen dificultades para hallar estas medidas, ayúdelos con la medida del lado del cuadrado.
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Respuesta.Para escribir la expresión los alumnos deben recordar que el volumen de un prisma rectangular se obtiene multiplicando la medida del largo de la base, por el ancho y por la altura. De modo algebraico, consiste en encontrar una expresión que denote el producto de las tres expresiones 2 – 2 x , 3 – 2 x y x .
Sugerencia didáctica. Escriba en el pizarrón las distintas expresiones que los alumnos obtengan y compárenlas. Los alumnos pueden escribir expresiones en las que no realicen operaciones algebraicas, como x (2 – 2 x ) (3 – 2 x ). Algunos estudiantes podrían realizar más operaciones algebraicas como la distribución, con la intención de hacer algo más que un producto indicado. En este momento de la sesión no es necesario que lo hagan, con dejar los paréntesis es suficiente porque más adelante tendrán la oportunidad de desarrollar el producto.
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Respuestas.
secuenci a 18
a) Si x vale cero y también vale cero.
ii. Con la expresión que obtuvieron llenen la siguiente tabla.
b) Si x es igual a 1 y se corta un cuadrado con esas medidas en cada esquina, ya no queda nada para construir la caja por el lado del ancho de la lámina (que mide 2 m).
x y
0.1
0.3
0.504 1.008
0.5
1
0.7
0.9
0.672 0.216
a) Según la expresión que obtuvieron, ¿cuánto vale y si x vale 0? b) Si x vale 1, ¿cuánto vale y ?
c) Si no se cortan los cuadrados de las esquinas, o sea, si los lados de esos cuadrados valen cero, no hay altura para la caja y por lo tanto, no se forma la caja.
c) ¿Qué significado tiene esto en el problema? iii. Localicen los datos de la tabla anterior en el siguiente plano cartesiano. Incluyan los valores cuando x es igual que 0 y cuando es igual que 1.
1.2 1.1 1.0
Propósito de la actividad. La gráfica debe quedar más o menos como se muestra en la figura: una curva que pase por todos los puntos en rojo y es de esperarse que los alumnos intuyan que entre 0.3 y 0.4 está la cúspide de la curva.
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
Posibles respuestas.
0.3
b) En el grupo seguramente habrá distintas respuestas, pues decidir qué tan alto dibujar la curva no es evidente y variará de estudiante a estudiante. Aunque no se espera un resultado preciso, sino que observen cuál es el punto más alto de la curva, las respuestas deben ser mayores que 1.008
0.2 0.1 0
a) Unan los puntos con una curva para completar un bosquejo de la gráfica. b) Según el bosquejo que hicieron, ¿aproximadamente cuál es el valor de y más
c) Algún valor entre 0.3 y 0.5, dependerá de cómo hayan dibujado la curva. d) Para contestar esta pregunta los alumnos deben utilizar la expresión que encontraron antes. El resultado que obtengan les ayudará a mejorar el dibujo de la curva por si les había quedado muy alta o muy baja, y además es una mejor aproximación al máximo de y.
grande posible?
y=
c) Aproximadamente, ¿cuál es el valor de x que corresponde a ese valor de y ?
x= d) Usando la expresión, calcula cuál es el volumen para ese valor de x.
y= 66
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0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
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MATEMÁTICAS
III
Comparen sus respuestas y comenten:
Recuerden que:
¿Es este fenómeno lineal por pedazos?
Un fenómeno es lineal por pedazos si su gráfica asociada está formada por segmentos de recta.
A lo que llegamos
Posibles errores. Los alumnos quizá piensen que al crear bosquejos los puntos se pueden unir con segmentos de recta. Este es un buen momento para aclarar esta cuestión: el unir con segmentos de recta implica que el fenómeno es lineal por pedazos. Pero como se vio en las secuencia 29 de Matemáticas II, estos fenómenos son muy especiales, tienen puntos claves muy claros donde cambia la pendiente (cambios de velocidad en muchos casos) y en este ejemplo los puntos calculados no tienen ninguna “clave”, son valores elegidos para saber cómo es la gráfica.
La expresión y = x (2 – 2x ) (3 – 2x ) es conocida como una cúbica, pues al desarrollar los productos se obtiene la expresión y = 4x 3 − 10x 2 + 6x que contiene un término al cubo: x 3 (equis al cubo). La gráfica asociada a una relación cúbica se llama también gráfica de la cúbica. IV. Desarrollen los productos de y = x (2 – 2x ) (3 – 2x ) y verifiquen que les quede y = 4x 3 − 10x 2 + 6x. V. Usando esa expresión contesten:
Para explicar mejor la idea, usted puede indicar a los alumnos que averigüen el valor de y cuando x = 0.4. Después, dígales que unan los puntos de la gráfica con segmentos de recta y que comparen el resultado que interpretan en la gráfica con el obtenido al usar la expresión. El valor real (obtenido con la expresión) estará por encima del segmento que une a los puntos (0.3, 1.008) y (0.5, 1).
¿Cuál es el valor de y si x vale 0.39? Este valor de y , ¿es más grande que el que habían encontrado en la actividad III? Comparen sus respuestas y comenten, ¿cuál es el valor de x que hace el volumen de la caja lo más grande posible?
Lo que aprendimos Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado x , uno de cada esquina. a) De las siguientes expresiones, ¿cuál permite calcular el volumen y a partir del valor de x ? Márquenla. i) y = 4x 3 − 10x 2 + 6x
ii) y = 4x 3 − 8x 2 + 4x
iii) y = 4x 2 − 8x + 4
iv) y = x 3 − 4x 2 + 4x
Respuesta.
b) Observen que el valor de x no puede ser negativo, ni mayor que 1. Después, hagan en su cuaderno la gráfica de la relación anterior.
y = x (2 – 2 x) (3 – 2 x)
c) ¿Cuál es el valor de x que maximiza el volumen y ?
y = x (2 – 2 x 2) (3 – 2 x)
Comparen sus respuestas.
y = 6 x – 4x 2 – 6 x 2 + 4x 3
Para saber más
y = 4x 3 – 10 x 2 + 6 x
Sobre los cuerpos en aceleración constante, consulten: ¿Dónde están los alpinistas? en su libro de Ciencias II, volumen I. México: SEP/ILCE, 2007.
Respuesta. Si x vale 0.39, y vale 1.056.
Sobre la ley de Boyle, consulten: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared02/leyes_gases/ley_boyle.html [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. 67
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Propósito de la actividad. Aquí se pone en práctica todo lo visto en la sesión, los alumnos requerirán encontrar la expresión, desarrollarla algebraicamente y graficarla. Integrar al portafolios. Esta es una buena actividad para que valore si los alumnos han comprendido lo que se estudió en esta secuencia. Pídales una copia y analice si es necesario revisar nuevamente alguno de los temas. Respuestas. a) Para encontrar el volumen hay que multiplicar la medida del lado del cuadrado por sí misma, y luego por la altura, es decir, 2 – 2 x por 2 – 2 x por x. Quedaría:
y = x (2 – 2 x) (2 – 2 x) Y al desarrollarse: y = 2 x – 2 x2 (2 – 2 x) y = 4x – 4x2 – 4x2 + 4x3 y = 4x3 – 8 x2 + 4x
Haga énfasis en que los alumnos comparen este resultado con el que obtuvieron mediante la gráfica.
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b) Es importante que comenten por qué el valor de x no puede ser negativo ni mayor a 1. No puede ser negativo porque es la medida del lado de un cuadrado, y ese cuadrado no puede medir más de 1 m porque la lámina mide 2 m por lado. Por otro lado, para hacer la gráfica recomiende a los alumnos que en el eje de las x grafiquen el intervalo de 0 a 1. La elección del intervalo en y pueden hacerla cuando hayan evaluado algunos de los valores de x. c) El valor exacto es 1 = 0.333… 3 Entonces, valores como 0.3 o 0.33 son buenas aproximaciones. Se espera que lleguen a este número a través de la gráfica.
Respuesta.De todos los valores propuestos, los alumnos saben que el 0.39 es el que hace más grande el volumen de la caja, pero no saben si hay otro mejor. Para contestar eso, los alumnos pueden ensayar con algunos valores cercanos a 0.39 (por ejemplo: 0.38, 0.40, 0.385 o 0.395) y con ello darse cuenta de que, si bien el 0.39 no es el máximo, ciertamente es una buena aproximación y que probando con números cercanos pueden aproximarse cada vez más a la solución. Los primeros cinco dìgitos de la x que realmente alcanza el máximo son 0.39237, sin embargo, no es importante estudiar el método para acercarse cada vez más al máximo, sino hacer cálculos de números cercanos para lograr una buena aproximación.
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Propósito de la sesión. Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = ax 2 + b, cuando cambia el valor de b y cuando cambia el valor de a. Los alumnos ya han hecho este tipo de trabajo en la secuencia 23 de Matemáticas II, volumen II, para expresiones de la forma y = ax + b. En particular aprendieron que, para una familia de rectas que tienen la misma pendiente (a constante) y distinta ordenada al origen (b varía) entonces todas las rectas son paralelas. También aprendieron que si una familia de rectas tiene la misma ordenada al origen (b constante) y distinta pendiente (a varía) entonces las rectas concurren en un punto.
secuenci a 19
Algunas características de gráficas no lineales ¿Recuerdas que la expresión y = mx + b es la ecuación de una recta? Dependiendo del valor de m y de b, los puntos sobre la recta cambian de posición. Lo mismo sucede con las gráficas que corresponden a expresiones no lineales, hay valores de la expresión que hacen que la forma y posición de los puntos sobre la gráfica cambien. SESIón 1
¡ABIERTAS Y MÁS ABIERTAS!
Para empezar
En Matemáticas i y ii estudiaste las características que tienen las expresiones algebrai cas cuya gráfica es una línea recta. Por ejemplo, en la secuencia 23 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, aprendiste que dos o más rectas que tienen la misma ordenada al origen se intersecan en un punto, precisamente en el punto cuya abscisa es cero y cuya ordenada es la ordenada al origen.
Propósitos de la sesión en el aula de medios. 1. Estudiar casos de ecuaciones de segundo grado, al introducir los coeficientes y variarlos.
y 6 5 4
2. Analizar la información del discriminante.
3
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
1
2
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 –2
Recta y = 3x + 2 2
3
4
5
6
x7
8
9
Recta y = 2x + 2
10 11 12 13 14 15
Recta y = x + 2
–3 –4 –5 –6
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que indiquen la ordenada al origen de estas rectas. Si tienen dificultades recuérdeles que es el valor de la segunda coordenada en el punto en el cual las rectas cortan al eje y . En este caso las rectas intersecan al eje y en el punto (0,2) y la ordenada al origen de las tres rectas es 2.
En la secuencia 18 de Matemáticas iii, volumen II, estudiaste fenómenos cuya gráfica y expresión algebraica corresponden a relaciones no lineales. En esta secuencia continua rás explorando las gráficas de este tipo de relaciones.
68
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Eje Manejo de la información.
Tema Representación de la información.
Subtema Gráficas.
Antecedentes En Matemáticas II los alumnos analizaron la relación entre los valores de las literales m y b de la función lineal y = mx + b, y la inclinación y posición de la recta que la representa. En esta secuencia los alumnos harán un análisis similar, pero ahora con funciones no lineales de la forma: y = ax 2 + b, y = (x + c )2 + d, y = ax 3 + b, y = ax + b, al comparar simultáneamente diferentes gráficas en función de las modificaciones que sufre la expresión algebraica. En la secuencia 18 identificaron algunas gráficas asociadas a este tipo de expresiones. 84
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MATEMÁTICAS
sticas
III
Sugerencia didáctica. En la secuencia anterior los alumnos estudiaron este tipo de gráficas, pero en las actividades de esa secuencia sólo se consideran valores positivos de x y de y. Pregúnteles por qué creen que las gráficas sí corresponden a las expresiones. Respuesta. Todas las gráficas intersecan al eje y en el punto (0,2), excepto la gráfica de y = 1 x 2 , 2 que interseca al eje y en el punto (0,0). Posibles dificultades. Algunos alumnos responderán que las tres primeras gráficas intersecan al eje y en el “punto 2”. Comente con todo el grupo que ese es el valor de la ordenada al origen, pero que un punto tiene dos coordenadas y se expresa de la forma (x,y). El valor de x es la abcisa y el valor de y es la ordenada.
Consideremos lo siguiente En el siguiente plano cartesiano se encuentra la gráfica de dos expresiones. A partir de ellas, contesta lo que a continuación se pregunta. y 8 7 6 5
Parábola y = 3x 2 + 2
4 3
Parábola y = x 2 + 2
2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2
a) ¿En qué punto interseca al eje y la gráfica de la expresión y = 3x 2 + 2?
Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
b) ¿En qué punto interseca al eje y la gráfica de la expresión y = x 2 + 2? c) ¿En qué punto intersecará al eje y la gráfica de la expresión y = 10x 2 + 2? d) ¿En qué punto intersecará al eje y la gráfica de la expresión y =
1 2 x ? 2
Comparen sus respuestas y comenten: e) ¿Se intersecan las gráficas de las cuatro expresiones anteriores? f) Si se intersecan, ¿en qué punto lo hacen? g) Si no se intersecan, ¿por qué que no lo hacen? h) ¿Qué gráficas se intersecan?
Manos a la obra I. Resuelve lo que se te pide a continuación. a) Calcula los valores de y para cada uno de los valores de x . Con estos datos, com pleta las tablas a continuación.
x
y = 2x 2 – 2
x
y = x2 – 2
x
–2
6
–2
2
–2
–1
0
–1
–1
–1
0
–2
0
–2
0
1
0
1
–1
1
2
6
2
2
2
y = 1 x2– 2 2
0 – 3 2 –2 – 3 2 0 69
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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la gráfica que corresponde a una expresión de la forma y = ax 2 + b y que identifiquen que el número b corresponde a la ordenada al origen de la curva. Posibles dificultades. Al evaluar algunos alumnos podrían primero multiplicar el valor de x por el coeficiente del término cuadrático, por ejemplo: 2(–2)2 – 2 = (–4)2 – 2 = 16 – 2 = 14. En la secuencia 11 de Matemáticas II, volumen I, estudiaron la jerarquía de las operaciones. Comente al grupo que otra regla de la jerarquía de las operaciones es que los exponentes se realizan antes que las multiplicaciones, por lo que el orden correcto para realizar las operaciones en el ejemplo es: 2(–2)2 – 2 = 2(4) – 2 = 8 – 2 = 6. Sugerencia didáctica. Verifique que, en cada gráfica, unan los puntos de manera que se forme una curva. Pregúnteles qué ocurre en cada una cuando x vale 0 (al evaluar se obtiene el valor de la ordenada al origen) y cuál es el punto en el que cada gráfica interseca al eje y.
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Propósitos de la secuencia Establecer la relación que existe entre las características de la gráfica de una función no lineal y los valores de los parámetros en las expresiones algebraicas que definen estas funciones.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
¡Abiertas y más abiertas! Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = ax 2 + b, cuando cambia el valor de b y cuando cambia el valor de a.
Aula de medios Interactivo
2
¡Para arriba y para abajo! Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = ax 2 + b, cuando a es positiva y cuando a es negativa e identificar el vértice de la parábola.
Interactivo
3
Las desplazadas Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = (x + c )2 + b, cuando cambia el valor de c y cuando cambia el valor de b.
Programa 35 Interactivo
4
¡Ahí les van unas cúbicas! Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cúbicas de la forma y = ax 3 + b, cuando cambia el valor de b y cuando cambia el valor de a.
Programa 36 Interactivo
5 6
¡Ahí les van unas hipérbolas! Analizar el comportamiento de gráficas de hipérbolas de la forma y = a + b, cuando cambia el valor de b. x Efectos especiales Resolver problemas para identificar elementos en la gráfica de una función no lineal e identificar la expresión algebraica que le corresponde.
Programa 37 Interactivo Interactivo Li b r o p ara e l maestro
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secuenci a 19 b) En el siguiente plano ubica los puntos de coordenadas (x ,y ) que calculaste en las tablas anteriores y traza las gráficas de las expresiones correspondientes; usa un color diferente para cada gráfica. y 8
Recuerda que: Al hacer la gráfica de una no expresión algebraica que tos es una línea recta, los pun a. se unen formando una curv
7 6 5 4 3 2 1
Respuesta.
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
c) Las gráficas se intersecan en el punto (0,–2).
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4
Posibles dificultades. Al graficar, algunos alumnos podrían colocar los cinco puntos que obtuvieron en la tabla y dibujar la parábola de manera que va a parecer que se termina en los puntos extremos. Sugiérales que continúen la curva hacia arriba y comente que con los puntos que graficaron pueden conocer la forma de la parábola y continuarla, aunque no evalúen directamente en más puntos.
c) ¿En qué punto se intersecan las tres gráficas? Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos La gráfica de expresiones de la forma y = ax 2 + b es una curva que se llama parábola. En la expresión correspondiente a una parábola, el número b es llamado ordenada al origen. La ordenada al origen tiene las siguientes propiedades:
y 7 6
Sugerencia didáctica. Escriba las siguientes expresiones en el pizarrón (de una en una) y luego pase a un alumno para que la grafique. Pregunte cuál es la ordenada al origen en cada caso y en qué punto intersecan al eje y.
y = 5x 2 + 6
• Es el resultado de evaluar la expresión y = ax 2 + b , cuando x = 0.
5 4 3
• Es la ordenada del punto (0,b ) donde la gráfica y = ax 2 + b interseca al eje y.
2 1
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
Parábola y = 3x 2 + 1
y = x2 – 5
Parábola y =
y = 2x – 8 2
1 x2 + 1 2
5
6
x7
10 11 12 13 15 y = 3x 2 + 1 así como Por9 ejemplo, las14 parábolas y =151 x 2 + 1 intersecan al eje y en el punto (0,1). 2 14 Y ambas tienen ordenada al origen igual que 1.
8
13 12
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11 10
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9 8 7
y
6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5 –6 –7
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–8 –9 –10
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–11 –12
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen cuándo una parábola está más abierta que otra.
II. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de tres parábolas. y 5 4
Parábola y = 1 x 2 – 1 3 Parábola y = x 2 – 1
3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
x 6
Parábola y = 4x 2 – 1 7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2
Se dice que la parábola roja está más abierta que la parábola azul y más cerrada que la parábola verde. a) A partir de la información de las gráficas anteriores completa la siguiente tabla:
y = 1 x 2 –1
y = 4x –1
y = 2x –1
y = 1 x 2 –1
Ordenada al origen
–1
–1
–1
−1
–1
Coeficiente del término de segundo grado
1 3
1
4
Expresión algebraica
3
y = x –1 2
2
2
2
b) ¿Qué parábola está más abierta, y = 2x 2 – 1 o bien y = 4x 2 – 1?
2
1 2 ;
¿por qué? c) ¿En qué expresión el coeficiente del término de segundo grado es mayor, en
y = 2x 2 – 1 o bien en y = 4x 2 – 1?
Recuerda que: Cuando el coeficiente de un término es igual a 1, se acostumbra no escribirlo para simplificar. Por ejemplo, en la expresión x 2 + 2x + 3, el coeficiente del término de segundo grado es 1.
d) ¿Qué parábola está más abierta que todas las demás?
Respuestas. b) 2 x 2 – 1 c) En 4x 2 – 1 d) 1 x 2 – 1 3 e) 1 3
e) ¿Qué coeficiente del término de segundo grado tiene esa parábola?
f) Completa la siguiente tabla para encontrar algunos puntos de coordenadas (x ,y ) de las gráficas.
y = 1 x2 – 1
x
y = 4x 2 – 1
x
−2
15
−2
1
−1
3
−1
– 12
0
–1
0
–1
1
3
1
– 12
2
15
2
1
2
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secuencia 19
Sugerencia didáctica. Pida a todo el grupo que entre todos den una descripción de qué quiere decir que una parábola esté más abierta que otra.
g) En el plano cartesiano grafica los puntos anteriores y verifica tus respuestas a los incisos b) y d). Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que pasen al pizarrón a llenar una tabla como la de la actividad anterior para encontrar algunos puntos de las gráficas para las dos expresiones.
A lo que llegamos El número a en una expresión de la forma y = ax 2 + b indica la abertura de la parábola. Mientras menor sea el número a, la parábola estará más abierta. Por ejemplo, la parábola y = 1 x 2 + 2 está más 5 abierta que la parábola y = 6x 2 + 2, pues 1 < 6. 5 y
8 7 6 5 4
Parábola y = 6x 2 + 2
3
Parábola y =
2
1 x2 + 2 5
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
2
3
4
5
x7
6
8
9
10 11 12 13 14 15
Lo que aprendimos 1. Encuentra la ordenada al origen de cada una de las siguientes parábolas:
Respuestas.
a) y = 6x 2 –1
Ordenada al origen:
b) y = x 2 –2
Ordenada al origen:
c) –1
c) y = 1 x 2 –1 6
Ordenada al origen:
d) La parábola y = 1 x 2 – 1 está más abierta. 6
2 d) ¿Qué parábola está más abierta, y = 6x15 –1 o y = 1 x 2 –1? 6
a) –1 b) –2
14 13
e) En tu cuaderno grafica las parábolas para verificar que tus respuestas sean correctas.
12 11 10
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8 7
y
6 5 4 3 2
y = 6 x – 1 2
1
y = x 2 – 2 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 y = 1 x 2 – 1 6
2
3
4
5
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–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
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–10 –11
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MATEMÁTICAS
III
¡PARA ARRIBA Y PARA ABAJO!
SESIÓN 2
Consideremos lo siguiente
En el siguiente plano se encuentran las gráficas de dos parábolas.
Propósito de la sesión. Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = ax 2 + b, cuando a es positiva y cuando a es negativa e identificar el vértice de la parábola.
y 5 4
a) ¿En qué punto interseca al eje y la parábola roja?
Sugerencia didáctica. En esta sesión los alumnos van a identificar que, cuando el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola abre hacia arriba y que cuando es negativo, la parábola abre hacia abajo. No les anticipe este resultado, permita que intenten determinar la expresión algebraica asociada a la parábola azul con sus propios procedimientos.
b) ¿En qué punto interseca al eje y la parábola azul?
Respuestas.
c) La expresión algebraica asociada a la parábola roja es y = 2x 2 – 3. ¿Cuál es la expre sión algebraica asociada a la parábola azul? Subráyala.
a) (0, –3)
3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5
y = –2x 2
y = –2x 2 – 3
b) (0,3)
y = –2x 2 + 3
c) –2 x 2 + 3
Completa la siguiente tabla para encontrar algunos de los elementos de las parábolas:
y = –2x 2 – 3
Expresión algebraica
y = –2x 2
y = –2x 2 + 3
y = 2x 2 + 3
Ordenada al origen
–3
0
3
3
Coeficiente del término de segundo grado
–2
–2
–2
2 Sugerencia didáctica. Todo el grupo debe de estar de acuerdo en cuál es la expresión algebraica que corresponde a la parábola azul. Pídales que argumenten por qué es así y escriba en el pizarrón esos argumentos. Al completar la tabla pueden verificar si su elección es la correcta.
Comparen sus respuestas. Elijan una expresión de las que aparecen en la tabla y calculen los valores de y para los valores que se indican de x . Verifiquen que la respuesta dada en el inciso c) sea correcta.
x −1 1
Expresión elegida:
y = –2 x 2 + 3
–2(–1)2 + 3 = –2(1) + 3 = –2 + 3 = 1 –2(1)2 + 3 = –2(1) + 3 = –2 + 3 = 1
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Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
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Propósito de la actividad. Identificar que, cuando el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola abre hacia arriba y que cuando es negativo, la parábola abre hacia abajo.
secuencia 19
Manos a la obra i. Realiza las siguientes actividades: a) Completa las tablas para encontrar algunos puntos de las expresiones anteriores.
x
y = −2x 2
Punto (x,y)
x
y = −2x 2 + 3
Punto (x,y)
x
−2
−8
(−2,–8)
−2
−5
(−2,−5)
−2
11
Punto (x,y)
y = 2x 2 + 3
(−2,11)
–2
(−1,
–2 )
−1
1
(−1,
1
)
−1
5
(−1,
5
)
0
0
(0,
0 )
0
3
(0,
3 )
0
3
(0,
3
)
1
−2
1
1
1
5
2
–8
2
–5
2
11
−1
(1,−2) (2,
–8 )
(1,1)
–5 )
(2,
(1,5) (2,
11
)
b) Grafica los puntos que encontraste en el siguiente plano cartesiano y completa las gráficas. Usa colores distintos para cada una de las gráficas. y 8 7 6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 x13 14 15
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos en cuál de las gráficas la mayoría de las ordenadas (los valores de la y ) son positivos y en cuál la mayoría son negativos y si eso tiene relación con el signo del coeficiente del término de segundo grado.
c) ¿La parábola y = –2x 2 abre hacia arriba o hacia abajo? d) ¿La parábola y = 2x 2 + 3 abre hacia arriba o hacia abajo?
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y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
y = –2 x 2 y = –2 x 2 + 3 y = 2 x + 3 2
2 1 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12
x
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11
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–12
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MATEMÁTICAS
III
Comparen sus respuestas y verifiquen que la expresión que corresponde a la parábo la roja del apartado Consideremos lo siguiente sea la correcta.
A lo que llegamos En las expresiones de la forma y = ax 2 + b , la constante a indica hacia donde abre la parábola. Si a es un número positivo, la parábola abre hacia arriba.
Si a es un número negativo, la parábola abre hacia abajo.
y
y
5
3
4
2
3
1
2 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
0 1
2
3
4
5
x 6
7
8
9
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 10 11 12 13 14 15 –3
–2
–4
–3
–5
Parábola y = 4x 2 – 2
2
Propósito de las actividades. Identificar que el vértice de una parábola es el punto más alto o el punto más bajo de ella.
Parábola y = –2x 2 + 1
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que señalen en la gráfica de y = –2 x 2 + 3 el punto que tiene el valor mayor en la ordenada y en la gráfica de y = 2 x 2 + 3 el punto que tiene el menor valor. Respuestas. a) Negativo.
II. Para la expresión y = −2x 2 + 3 contesta:
b) Abre hacia abajo.
a) ¿El coeficiente del término de segundo grado es positivo o negativo?
c) 3. b) ¿La parábola abre para arriba o para abajo? c) ¿Cuál es el mayor valor que toma y ?
Respuestas.
III. Para la expresión y = 2x 2 + 3 contesta: a) ¿El coeficiente del término de segundo grado es positivo o negativo?
a) Positivo. b) Abre hacia arriba.
b) ¿La parábola abre para arriba o para abajo?
c) 3.
c) ¿Cuál es el menor valor que toma y ?
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si, en la primera parábola, hay un punto más alto y si, en la segunda parábola, hay un punto más bajo.
s e cu e nci a 19
A lo que llegamos En una parábola, el punto que corresponde al menor o al mayor valor que toma la ordenada se llama vértice.
El propósito es que puedan darse cuenta de que las parábolas continúan, hacia arriba o hacia abajo, sin tener un límite.
Si la parábola abre hacia arriba, el vértice es su punto más bajo.
Si la parábola abre hacia abajo, el vértice es su punto más alto.
y
y
5
3
4
2
3
1
2 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
0 1
2
3
4
5
x 6
7
8
9
–2
–4
–3
–5
Parábola
y = 4x 2 − 2
Vértice: (0,−2)
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 10 11 12 13 14 15 –3
Parábola
y = –2x 2 + 1
Vértice: (0,1)
Menor valor de
y: − 2
Mayor valor de
y: 1
Lo que aprendimos Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de algunas parábolas: Expresión
Ordenada al origen
Hacia dónde abre
Vértice
y = x2+ 5
5
Hacia arriba
(0,5)
y = −2x 2 + 3
3
Hacia abajo
(0, 3)
y=x
0
Hacia arriba
(0, 0)
y = −x −2
–2
Hacia abajo
(0, –2)
y = −7x + 2
2
Hacia abajo
(0, 2)
2
2
2
Comparen sus respuestas y en su cuaderno hagan las gráficas para verificar que la tabla la completaron correctamente.
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L ib ro pa ra e l m a e st r o
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MATEMÁTICAS
III
LAS DESPLAZADAS
Propósito de la sesión. Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cuadráticas de la forma y = (x + c)2 + b, cuando cambia el valor de c y cuando cambia el valor de b.
SESIÓN 3
Consideremos lo siguiente Relaciona las columnas para hacer corresponder las gráficas de las parábolas con sus expresiones algebraicas. y 11 10
Parábola verde (
B
)
Parábola roja
(
A
)
Parábola rosa
(
D
)
C
)
Parábola azul
(
A. y = (x − 3)2
9 8
B. y = (x − 0)2
7 6
C. y = (x + 2)2 D. y = (x + 3) E. y = (x − 1)
5 4
2
3 2
2
1
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
x8
9
10 11 12 13 14 15
Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus resultados.
Manos a la obra I. Contesta lo que se te pide a continuación. a) Escribe en la tabla el valor que toma y para cada valor de x .
x y = (x − 3) 2
−1
16
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
Verifica que los puntos (x ,y ), cuyas coordenadas calculaste al completar la tabla, estén sobre la parábola que elegiste. b) ¿Cuál es la ordenada al origen?
c) ¿En qué punto (x ,y ) interseca la gráfica de la expresión al eje x? d) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola?
Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían pensar, por ejemplo, que la expresión que le corresponde a la parábola roja es (x + 3)2 , ya que el vértice está situado 3 unidades a la derecha del origen (0, 0). No los corrija en este momento, permita que los alumnos expresen sus argumentos. Una forma de corroborar sus respuestas es evaluando las expresiones para algunos valores de x. Esto es lo que van a realizar en las actividades en el Manos a la obra.
Recuerda que: ábola es el punto El vértice de la par menor o al mayor que corresponde al ordenada y. valor que toma la hacia arriba, el Si la parábola abre más bajo de la vértice es el punto parábola. hacia abajo, el Si la parábola abre más alto de la vértice es el punto parábola.
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Propósito de la actividad. Identificar que la gráfica de la expresión y = (x + a)2 es una parábola con vértice en el punto (– a, 0).
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Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
Respuestas. b) 9 c) (3,0) d) (3,0)
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secuenci a 19 e) Para la expresión y = (x + 2) 2, completa la siguiente tabla:
x
−5
y = (x + 2) 2
−4
9
−3
−2
1
0
4
−1
1
0
1
4
9
Verifica que los puntos (x ,y ) de la tabla estén sobre la parábola que elegiste.
Respuestas.
f) ¿Cuál es la ordenada al origen?
f) 4
g) ¿En qué punto interseca al eje x la gráfica de la expresión?
g) (–2,0)
h) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola?
h) (–2,0)
ii. Completa la siguiente tabla para encontrar algunos elementos de las parábolas. Expresión Parábola azul
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que pasen al pizarrón a graficar las cuatro parábolas utilizando solamente los elementos que están en la tabla. El propósito es que puedan identificar que no es necesario evaluar en muchos puntos para graficar una parábola, basta con conocer el vértice, hacia dónde abre y la intersección con el eje y.
Punto de intersección con el eje y
Ordenada al origen
(0,4)
4
y = (x + 2)2
Punto de intersección con el eje x
Vértice
(–2,0)
(–2,0)
Parábola verde
y = (x – 0)
(0,0)
0
(0,0)
(0,0)
Parábola rosa
y = (x + 3)2
(0,9)
9
(–3,0)
(–3,0)
Parábola roja
y = (x – 3)2
9
(3,0)
2
Recuerden que: el valor de la La ordenada al origen es al valor x = 0. ordenada correspondiente
(0,9)
(3,0)
Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.
A lo que llegamos La gráfica de una expresión de la forma y = (x + c ) 2 es una parábola con vértice en el punto (x ,y ) = (0,– c ) y 7
y = (x + 1)2
6
Parábola:
5
Ordenada al origen: 12 = 1
4
Vértice de la parábola: (0,−1)
3
Parábola:
2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
y = (x – 2)2
Ordenada al origen: 22 = 4 Vértice de la parábola: (0,2) 2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que verifiquen si encontraron correctamente el vértice de las parábolas en la actividad anterior. Pida a tres alumnos que pasen al pizarrón a graficar las siguientes parábolas sin hacer una tabla para diferentes valores de x.
y = (x + 5)2 y = (x – 1)2 y = (x – 8)2
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MATEMÁTICAS
III Propósito de la actividad. Identificar que la gráfica de la expresión y = (x + a )2 + b es una parábola con vértice en el punto (– a, b ).
III. En el siguiente plano cartesiano están graficadas cuatro parábolas. Relaciona las co lumnas para hacer corresponder las gráficas de las parábolas con sus expresiones al gebraicas. y 7
Parábola roja
4 (2 (1 (3 (
Parábola verde Parábola azul Parábola rosa
1. y = (x − 2) + 1
6
2
) ) ) )
5
2. y = (x + 1)2 3. y = (x − 2)
4
2
3
4. y = (x + 1)2 + 2
2
5. y = (x − 1)2 +1
1
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus resultados. IV. Completa la siguiente tabla: Expresión
Ordenada al origen
Punto de intersección con el eje y
Vértice de la parábola
Punto de intersección con el eje x
Hacia dónde abre
Parábola azul
y = (x–2) 2 +1
5
(0,5)
(2,1)
No
Hacia arriba
Parábola verde
y = (x + 1) 2
1
(0,1)
(–1,0)
(−1,0)
Hacia arriba
Parábola roja
y = (x + 1)2 +2
3
(0,3)
(–1,2)
No interseca al eje x
Hacia arriba
Parábola rosa
y = (x – 2) 2
4
(0,4)
(2,0)
(2,0)
Hacia arriba
Comparen sus respuestas. Si tienen dudas, hagan una tabla como la siguiente para verificar que las coordenadas (x ,y ) que se obtienen son puntos que están sobre la parábola que eligieron.
x
−3
−2
−1
0
1
2
Sugerencia didáctica. Asigne a cada alumno una de las expresiones para que verifiquen sus respuestas. 3
Expresión elegida:
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secuenci a 19
Sugerencia didáctica. Pregunte al grupo cuál es el vértice y cuáles son las intersecciones con los ejes de las parábolas y = (x + 5)2 + 2, y = x 2 – 9.
A lo que llegamos La gráfica de una expresión de la forma y = (x + c )2 + b es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice en el punto (−c ,b ). y 7 6
Parábola:
4
Ordenada al origen: 7 Vértice de la parábola: (−3,−2)
3 2
Parábola:
1
Propósito del programa 35. Analizar las gráficas que corresponden a relaciones cuadráticas.
y = (x + 3)2 − 2
5
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
y = (x − 2)2 + 1
Ordenada al origen: 5 8
9
10 11 Vértice 12 13 de 14 la15 parábola:
(2,1)
–2 –3
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Para conocer más sobre la parábola, pueden ver el programa Elementos de la parábola.
Lo que aprendimos Las gráficas de las siguientes tres expresiones son parábolas.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
• y = (x − 3) 2 − 3 • y = (x − 1) 2 − 5 • y = (x + 2) 2 + 4 En tu cuaderno encuentra la ordenada al origen y el vértice. Con los datos que obtuviste y, sin hacer tablas, construye un bosquejo de la gráfica de cada una de las parábolas; usa colores diferentes para cada una de ellas.
Respuestas. Los vértices son (3,–3), (1,–5) y (–2,4). Las ordenadas al origen son: –3, –5 y 4.
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y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
y = (x – 3)2 – 3 y = (x – 1)2 – 5 y = (x + 2) + 4 2
2 1 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12
x
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11
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–12
12/11/08 11:44:22 PM
MATEMÁTICAS
III
¡AHÍ LES VAN UNAS CÚBICAS!
SESIÓN 4
Para empezar
Propósito de la sesión. Analizar el comportamiento de gráficas de funciones cúbicas de la forma y = ax3 + b, cuando cambia el valor de b y cuando cambia el valor de a.
En la secuencia 18 de Matemáticas III, volumen II, aprendiste que la gráfica de una ex presión de la forma: y = ax 3 + bx 2 + cx + d se llama cúbica. En esta sesión seguirás explorando las cúbicas.
Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
En el siguiente plano cartesiano se graficaron tres cúbicas. y 6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5 –6
Con la información de las gráficas anteriores completen la siguiente tabla: Cúbica
Ordenada al origen
Roja
1
Verde
0
Azul
–3
Recuerden que: la La ordenada al origen es que ordenada del punto en el y. la gráfica interseca al eje
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos utilicen lo que hicieron en las sesiones pasadas para las parábolas, al evaluar algunos valores en las expresiones, por ejemplo para x = 0, 1 y –1, podrán determinar qué cúbica le corresponde a cada expresión. No les anticipe este procedimiento todavía, pero pídales que justifiquen su respuesta.
Consideremos lo siguiente Relaciona las columnas para hacer corresponder las gráficas de las cúbicas con sus ex presiones algebraicas. Cúbica roja Cúbica verde Cúbica azul
D) (A) ( B ) (
A. y = x 3 B.
y = x3 − 3
C. y = 3x 3 D. y = x 3 + 1
Comparen sus respuestas. 81
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secuenci a 19 Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la gráfica que le corresponde a cada expresión al evaluar para algunos valores de x.
Manos a la obra i. Completa las siguientes tablas para encontrar algunos puntos de las cúbicas anteriores.
x
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen el desplazamiento que existe entre dos cúbicas de la forma y = ax 3 + b cuando tienen el mismo coeficiente pero distinta ordenada al origen (el número b).
y = x3
x
y = x3 − 3
x
y = 3x 3
x
y = x3 + 1
−2
−8
−2
−11
−2
−24
−2
–7
−1
–1
−1
–4
–1
–3
−1
0
0
0
0
−3
0
0
0
1
1
1
1
–2
1
3
1
2
2
8
2
5
2
24
2
9
En el plano cartesiano del apartado Para empezar, grafica los puntos que encontraste. Verifica que las expresiones que elegiste sean las correctas. ii. A partir de la información de las tablas, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué número hay que restar a las ordenadas de la columna y = x 3 para obtener las ordenadas de la columna y = x 3 − 3?
Respuestas.
b) ¿Qué número hay que sumar a las ordenadas de la columna y = x 3 para obtener
a) Se resta 3.
las ordenadas de la columna y = x 3 + 1?
b) Se suma 1.
c) ¿Cuál es la ordenada al origen de la expresión y = x 3 − 3?
c) 3
d) ¿Cuál es la ordenada al origen de la expresión y = x 3 + 1? e) ¿Cuál es la ordenada al origen de la expresión y = 3x 3?
d) 1
Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
e) 0
A lo que llegamos La gráfica de una expresión cúbica de la forma y = ax 3 + b es una curva cuya ordenada al origen es el número b.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que indiquen en qué se parecen y en qué son distintas las gráficas de las expresiones y = x 3 , y = x 3 + 1, y = x 3 – 3.
Cuando dos o más expresiones de este tipo tienen distinta ordenada al origen pero el mismo coeficiente a, se dice que sus gráficas están desplazadas una respecto de la otra.
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MATEMÁTICAS
III
Por ejemplo, la gráfica de la expresión y = 3x + 2 está desplazada dos unidades hacia arriba respecto de la gráfica de la expresión y = 3x 3. 3
y 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
Expresión 2
3
4
5
x 6
7
8
9
y = 3x 3 + 2
10 11 12 13 14 15 3
Expresión
y = 3x
–2 –3 –4 –5
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la ordenada al origen en las cúbicas. III. En el siguiente plano cartesiano verás las gráficas de tres expresiones.
Respuesta. Todas las gráficas se intersecan en el punto (0,2).
y 6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
–2
Expresión:
y = x3 + 2
Expresión:
y = 3x 3 + 2
Expresión:
y = 2x 3 + 2
10 11 12 13 14 15
–3 –4 –5 –6
a) ¿En qué punto se intersecan estas tres gráficas? b) ¿En que punto intersecara la gráfica de y = 4x 3 + 2 a la gráfica de y = x 3 + 2?
c) ¿En que punto intersecara la gráfica de y = 5x 3 + 2 a la gráfica de y = x 3 + 2?
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Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que primero se realiza el exponente, luego la multiplicación y luego la suma.
secuenci a 19 iV. Completa las siguientes tablas para encontrar las coordenadas de algunos puntos de la expresión y = 4x 3 + 2 y de la expresión y = 5x 3 + 2; ubica estos puntos en el plano cartesiano anterior y verifica tus respuestas.
x
y = 4 x 3+ 2
x
y = 5x 3 + 2
−2
–30
−2
–38
−1
–2
−1
–3
0
2
0
2
1
6
1
7
2
34
2
42
Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus resultados
A lo que llegamos Al igual que dos rectas y = mx + b que tienen la misma ordenada al origen se intersecan en el punto (0,b ), dos o más cúbicas de la forma y = ax3 + b que tengan la misma ordenada al origen b se intersecan en el punto (0,b ). Por ejemplo, las gráficas de y = x 3 + 1, y = 2x 3 + 1 así como y = 5x 3 + 1 se intersecan en el punto (0,1). y 5 4 3 2
Expresión
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
Propósito del programa 36. Analizar el comportamiento de la gráfica asociada a expresiones algebraicas de la forma y = ax 3 + b.
–2
2
3
4
5
x 6
7
8
9
y = x3 + 1
y = 2x 3 + 1 13 14 15
Parábola
10 11 12
Parábola
y = 5x 3 + 1
–3 –4 –5
Para conocer más sobre las gráficas de expresiones de la forma y = ax 3 + b, pueden ver el programa Elementos de la cúbica.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión. 84
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MATEMÁTICAS
III
¡AHÍ LES VAN UNAS HIPÉRBOLAS!
SESIÓN 5
Para empezar
En la secuencia 33 de tu libro de Matemáticas I, volumen II, aprendiste que la expresión algebraica asociada a una relación de proporcionalidad inversa es de la forma y = kx , donde k es la constante de la relación de proporcionalidad inversa. La gráfica asociada a este tipo de expresión es una curva llamada hipérbola. En el siguiente plano cartesiano se graficó parte de la expresión y = 2 x . Se graficaron los puntos que tienen abscisas positivas (x > 0).
Propósito de la sesión. Analizar el comportamiento de gráficas de hipérbolas de la forma a y = x + b, cuando cambia el valor de b.
Propósito de la actividad. Identificar la k gráfica asociada a una expresión de la forma y = x .
Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
y 6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
x7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5
Completa la siguiente tabla para encontrar las coordenadas de algunos puntos de la gráfica que tienen abscisas negativas (x < 0). Luego, localízalos en el plano cartesiano de arriba.
x
y = 2x
Punto (x,y )
(–5,– 2 ) 5 (–4,– 1 ) 2 (–3,– 2 ) 3 (–2,–1) (–1,–2)
−5
−4
−3
−2
– 2 5 – 1 2 – 2 3 –1
−1
–2
Propósito de la pregunta. Que los alumnos identifiquen que los valores de y en la curva que dibujaron tienen la misma magnitud que los valores que ya estaban, pero con signo negativo.
Comenten: ¿encuentran alguna relación entre la parte de la curva que dibujaron (x < 0) respecto de la que ya estaba (x > 0)?
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secuenci a 19 Completen la siguiente tabla para comparar las coordenadas de los puntos de las dos partes de la gráfica.
x
y = 2x
Punto (x,y )
(5, 2 ) 5 (4, 1 ) 2 (3, 2 ) 3 (2,1) (1,2)
5
4
3
2
2 5 1 2 2 3 1
1
2
k
La gráfica de una expresión de la forma y = es una curva llamada hipérbola. x A las dos partes de esa gráfica se les llama ramas de la hipérbola.
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos evalúen algunos valores para x en las expresiones, de esta manera podrán determinar qué hipérbola le corresponde a cada expresión. No les anticipe este procedimiento todavía, pero pídales que justifiquen su respuesta.
Consideremos lo siguiente En el siguiente plano cartesiano se graficaron tres hipérbolas (cada una de ellas con sus dos ramas). y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
La gráfica de y = 2 x es la hipérbola roja. 86
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MATEMÁTICAS
III
Relaciona las columnas para hacer corresponder las hipérbolas con sus expresiones alge braicas.
Hipérbola verde (
B
)
Hipérbola azul (
C
)
A. y = 2 x +1 B. y = 2 x −2 C. y = 2 x −1
Comparen sus respuestas y comenten:
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cómo pueden verificar en la gráfica que esos puntos están sobre la hipérbola azul.
Los puntos (1,1) y (–2,–2) se encuentran sobre la hipérbola azul. Completen la siguiente tabla para verificar que la expresión que eligieron sea correcta. La expresión que eligieron:
1
2 – 1 x 1
−2
–2
x
y=
Punto (x,y )
(–2, –2 )
En la tabla deben poner la expresión que eligieron para la hipérbola azul.
(1, 1 )
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen el desplazamiento que existe entre dos hipérbolas de la forma y = kx + b cuando tienen la misma literal k pero distinta ordenada al origen (el número b).
Manos a la obra I. Completa las siguientes tablas para encontrar las coordenadas de algunos puntos de las expresiones anteriores.
x
y = 2x + 1
x
y = 2x − 2
x
y = 2x
Respuestas.
−4
1 2
−4
– 52
−4
– 12
−2
0
−2
–3
−2
−1
a) Se suma 1.
−1
–1
−1
–4
−1
–2
b) Se resta 2.
1
3
1
0
1
2
2
2
–1
2
1
4
2 3 2
4
– 32
4
1
c) Se resta 2.
a) ¿Qué número hay que sumar a la columna de la expresión y = 2 x para obtener la columna de la expresión y = 2 x + 1?
b) ¿Qué número hay que restar a la columna de la expresión y = 2 x para obtener la columna de la expresión y = 2 − 2 ? x c) ¿Qué número hay que restar a la expresión y = 2 x para obtener la expresión y = 2x − 2? 87
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secuenci a 19 d) En el siguiente plano se encuentra la gráfica de la expresión y = 2 x ; dibuja los puntos anteriores para trazar la gráfica de las otras dos expresiones; usa colores diferentes para cada gráfica. y 6
Recuerda que: La división entre cero no está definida, es decir, no pued e dividirse un número por cero.
5 4 3 2 1
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
x9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que indiquen en qué se parecen y en qué son distintas las gráficas de las expresiones y = 2 , x y = 2 – 1, y = 2 – 2. x
–6
Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
x
A lo que llegamos
a + b se llama hipérbola. x a Cuando dos o más expresiones de la forma y = + b tienen el mismo x valor de a pero diferente valor para b , sus gráficas están desplazadas La gráfica de una expresión de la forma y =
una respecto de la otra.
Por ejemplo, la hipérbola y = 1 + 3 está desplazada hacia arriba dos x unidades respecto de la hipérbola y = 1 + 1.
x
y 5 4 3 2
Hipérbola y =
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 –2
2
3
4
5
x 6
7
8
9
1 +3
x
10 11 12 13 14 15
Hipérbola y =
1 +1
x
–3 –4 –5
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III
a) ¿En qué punto la expresión y = 2 x − 1 interseca al eje x ?
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las hipérbolas de la forma y = kx + b, si b no es cero, intersecan al eje x en un punto.
b) ¿En qué punto la expresión y = 2 x − 2 interseca al eje x ?
Respuestas.
MATEMÁTICAS II. Contesta las siguientes preguntas.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) (2,0)
a) ¿Pertenecerá el punto (0,0) a la gráfica de y = 2 x? b) ¿Qué sucede en la expresión y = 2 x + b para el valor de y = 0?
En las expresiones de la forma y =
b) (1,0) c) (2,0)
a + b, el valor de y no está definido cuando x = 0. x
Si b es cero, la hipérbola no interseca a ninguno de los ejes.
Si b no es cero, la hipérbola interseca al eje x en un solo punto. Por ejemplo:
Propósito de las preguntas. Los alumnos deben identificar que, cuando x vale 0, no se puede evaluar la expresión, debido a que la división 2 no está definida.
y 6 5
1 +3
4
Hipérbola y =
3
Punto de intersección
2
con el eje x : (–
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
–2 –3
4
5
x 6
7
8
9
x
10 Hipérbola 11 12 13 14 = 115 +
y
0
1 ,0) 3
x
Si lo considera conveniente coménteles que una división puede interpretarse como el resultado de la pregunta ¿cuántas veces cabe el 0 en el 2?, pero esto no tiene sentido porque aunque se sume varias veces el 0, se sigue obteniendo 0 como resultado.
1
Punto de intersección con el eje x : (–1,0)
–4 –5
Para conocer más sobre la hipérbola, pueden ver el programa Elementos de la hipérbola.
Propósito del programa 37. Analizar el comportamiento de la gráfica asociada a expresiones algebraicas de la forma y = ax + b .
Lo que aprendimos Completa la siguiente tabla: Hipérbola
y = 4x
Punto de intersección con el eje x
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
No tiene
y = 1.5 x +6
(– 14 ,0)
y = 3x + 1
(–3,0)
En tu cuaderno grafica las hipérbolas para verificar que completaste correctamente la tabla.
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Propósito de la sesión. Resolver problemas para identificar elementos en la gráfica de una función no lineal e identificar la expresión algebraica que le corresponde.
secuenci a 19 SESIÓN 6
EFECTOS ESPECIALES
Lo que aprendimos
1. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de tres parábolas. y 6 5
Propósito del Interactivo. Que el alumno reconozca el aspecto gráfico de diversas relaciones funcionales lineales y no lineales.
4 3 2
Parábola
y = −2x 2 + 1
Parábola
y = x2 − 2
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Parábola
–2
y = x2 + 1
–3 –4 –5
a) Usa dos colores distintos para graficar y = −2x 2 + 2, y = x 2 + 4 en el mismo plano cartesiano. b) Completa la siguiente tabla para encontrar algunos elementos de las parábolas anteriores. Ordenada al origen
Hacia dónde abre
y = –2x 2 + 1
Parábola
1
Hacia abajo
(0,1)
y = x2 − 1
–1
Hacia arriba
(0,–1)
y = x2 − 2
−2
Hacia arriba
(0,−2)
y = –2x − 2
–2
Hacia abajo
(0,–2)
y = 2x 2 + 4
Hacia arriba
(0,4)
2
4
Vértice
2. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de cuatro parábolas. y 6 5
Parábola y = 2x 2 − 1
4 3
Parábola y = 2x 2
2
Parábola y = 2x 2 + 1
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
x 6
Parábola y = 7
8
9
−2x 2 + 2
10 11 12 13 14 15
–2
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MATEMÁTICAS
III
a) Completa las siguientes tabla para encontrar las coordenadas de algunos puntos de las expresiones y = 2x 2 así como y = 2x 2 − 2.
x
y = 2x 2
x
y = 2x 2 − 2
−2
8
−2
6
−1
2
−1
0
0
0
0
–2
1
2
1
0
2
8
2
6 Respuestas.
b) ¿Qué número hay que restarle a la columna de la expresión y = 2x 2 para obtener la columna de la expresión y = 2x − 2?
b) Se resta 2.
2
c) ¿Qué número hay que restarle a la expresión y = 2x 2 para obtener la expresión
c) Se resta 2.
y = 2x 2 – 2 ? Comparen sus respuestas y comenten:
Cualquier parábola de la forma y = 2x 2 + b, con b un número con signo, se puede obtener de la parábola y = 2x 2 , si desplazamos esta parábola b unidades hacia arriba si el número b es positivo o bien hacia abajo si b es negativo. 3. En el siguiente plano cartesiano hay cuatro hipérbolas. y 6 5 4 3
Hipérbola y = 3 − 1
x
2
Hipérbola y = 3
1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 –2 –3
2
3
4
5
6
7
x8
9
x y = 3x + 1 Hipérbola y = 3 + 2 x
10 11 12 Hipérbola 13 14 15
–4
Respuestas.
–5
3 a) ¿Cómo se puede obtener la hipérbola y = 3 x − 1 a partir de la hipérbola y = x ?
a) Se desplaza la hipérbola y = 3 una unidad x hacia abajo.
3 b) ¿Cómo se puede obtener la hipérbola y = 3 x + 1 a partir de la hipérbola y = x ?
b) Se desplaza la hipérbola y = 3 una unidad x hacia arriba.
–6
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Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de las sesiones anteriores.
secuenci a 19 4. Relaciona las columnas para hacer corresponder las gráficas con sus expresiones algebraicas. y
3
a)
x
y
a) y = (x −3)2 − 3 3
d)
x
b) y = –2x 2 + 3
y
3
f)
c) y = x 3 + 3
x
y
3
d) y = x + 3
b)
x y
e) y = 2 x
3
c)
x
y
f) y = 2 x +3
g)
x y
–3
g) y = 2x 2 − 3
e)
x
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MATEMÁTICAS
III
5. A continuación hay tres planos cartesianos. En cada uno de ellos hay un conjunto o familia de gráficas. Relaciona las familias de gráficas con sus correspondientes conjuntos de expresiones algebraicas. a) y = –x 2 − 3
y
y = −x 2 − 1 y = −x 2 + 1 x
c)
y = −x 2 − 3 b) y = −x − 2
y = −x − 1
y
y = −x + 1 y = −x + 2 x
a)
c) y = –(x − 2)2 + 3
y = –(x − 4)2 + 3 y = –(x − 6)2 + 3 y
b)
y = –(x − 8)2 + 3
x
d) y = 5 x −4 y = 5x y = 5x + 1 y = 5x + 4
Para saber más Sobre la función cuadrática y su gráfica, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funcion_cuadratica_parabola/index.htm características Ruta: Índice [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Sobre la función hipérbola y su gráfica, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_interpretacion_graficas/index.htm funciones de proporcionalidad inversa Ruta: Índice [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. 93
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secuenci a 20
Propósito de la sesión. Estudiar las gráficas asociadas al llenado de recipientes con distintas formas.
Gráficas por pedazos
Propósito de la actividad. Los alumnos ya estudiaron el problema del llenado de recipientes y sus correspondientes gráficas en la Secuencia 29 de Matemáticas II. Ahora se pretende establecer que el llenado de ciertos recipientes no es lineal, aunque la cantidad de agua que cae por minuto sea constante. Sugerencia didáctica. Tomen unos minutos para repasar la Secuencia 29 de Matemáticas II y pida a los estudiantes que comparen los recipientes que ahí aparecen y los de la presente secuencia. La diferencia es que mientras todos los recipientes que vieron en segundo grado son prismas rectangulares, los que aparecen en esta secuencia tienen partes “inclinadas” o curvas, lo que da lugar a que sus gráficas tengan secciones curvas. Permita que los alumnos observen los recipientes y no les adelante información sobre cómo se verán las gráficas.
sesión 1
Para empezar
En la secuencia 29 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, aprendiste a interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de líneas rectas. En esta secuencia estudiarás gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
Consideremos lo siguiente Para llenar la alberca de la figura a continuación, se abre una llave que arroja siempre la misma cantidad de agua. Conforme va transcurriendo el tiempo, el nivel del agua que tiene la alberca va aumentando. 15 m 1m
7m
3m 2m
Respuesta. La gráfica correcta es la e). Si se divide la alberca en dos secciones horizontales, se puede ver que la primera sección tiene una parte “inclinada”: mientras más se va llenando esa sección de la alberca, mayor longitud tiene, por lo que el llenado se va haciendo más lento, lo que en la gráfica se refleja como una curva. La segunda sección es un prisma rectangular, por lo que su llenado es constante y su gráfica, lineal. Sugerencia didáctica. Éste puede ser un problema difícil para los alumnos. No los corrija si se equivocan, más adelante tendrán oportunidad de revisar sus respuestas.
De las siguientes gráficas, ¿cuál representa la variación del nivel de agua respecto del tiempo transcurrido? Pon una a la que elijas. Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
94
Propósitos de la secuencia Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan distintos fenómenos.
Eje Manejo de la información.
Tema
Las aLbercas
Altura en el nivel del agua
Propósito del Interactivo. Presentar ejemplos animados de fenómenos que dan lugar a gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
En esta secuencia aprenderás a interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de líneas rectas y curvas que modelan llenado de recipientes y objetos en movimiento.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Representación de la información.
Subtema Gráficas.
1
Las albercas Estudiar las gráficas asociadas al llenado de recipientes con distintas formas.
2
Diversos problemas Resolver problemas a partir de gráficas con secciones rectas y/o curvas.
Antecedentes Anteriormente los alumnos estudiaron situaciones en las que una cantidad varía en función de la otra (lineales y no lineales), y las graficaron. En esta secuencia interpretarán gráficas en las que hay secciones rectas y curvas, y aprenderán a reconocer a cuáles situaciones representan.
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Interactivo
Programa 38 Interactivo
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Tiempo de llenado
III
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
MATEMÁTICAS
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
Sugerencia didáctica. Pase al pizarrón a tres o cuatro alumnos que hayan elegido gráficas distintas, para que expliquen las razones de su elección. Si todos los alumnos eligieron la misma gráfica, pida a dos de ellos que expliquen por qué.
Comparen sus resultados y comenten cómo eligieron la gráfica correcta.
Manos a la obra
5m
I. Los siguientes dos recipientes se comienzan a llenar al mismo tiempo, cada uno con una llave. Las dos llaves arrojan la misma cantidad de agua.
2m 1.5 m Recipiente A
2m 9m 2m 1.5 m Recipiente B
3m
Respuesta.
a) ¿Cuál de los dos recipientes se llenará primero?
a) El recipiente A es el que se llenará más rápido, porque aunque ambos tienen la misma forma, el A es más pequeño.
Recipiente B
Tiempo de llenado
Recipiente A Recipiente B
Tiempo de llenado
Altura en el nivel del agua
Recipiente A
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
b) ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que corresponde al llenado de los recipientes? Pon una a la que elijas. Recipiente A Recipiente B
Tiempo de llenado
Comparen sus respuestas y comenten cómo decidieron cuál gráfica es la correcta. 95
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secuenci a 20 ii. A continuación se presenta otro recipiente: el recipiente C. 10 m 3m Nivel 3
3m
Nivel 2
2m 1m
Nivel 1 Recipiente C
5m
Respuestas.
Contesta las siguientes preguntas.
a) A la parte de 1 m a 2 m.
a) ¿A qué parte del recipiente C le cabe más agua, al nivel 1 o al nivel 2?
b) La parte de 1 m a 2 m.
Si se llenaran por separado cada uno de los niveles del recipiente C, suponiendo que la cantidad de agua que cae cada segundo lo hace de manera constante.
c) La parte de 2 m a 3 m.
b) ¿Qué parte del recipiente C tarda más tiempo en llenarse, el nivel 1 o el nivel 2?
c) ¿Qué parte del recipiente C tarda más tiempo en llenarse, el nivel 2 o el nivel 3?
d) Pon una a la afirmación que describe correctamente la altura en el nivel del agua conforme transcurre el tiempo para el recipiente C. Recuerda que la cantidad de agua que ingresa en el recipiente cada segundo es constante. El nivel 1 (de 0 m a 1 m) se llena en el mismo tiempo que el nivel 2 (de 1 m a 2 m) porque ambas partes tienen 1 m de altura. La altura en el nivel del agua aumenta de manera constante porque ingresa la misma cantidad de agua cada segundo. El nivel 1 se llena mas rapido que el nivel 2 porque el volumen del nivel 2 es mayor que el del nivel 1, lo mismo sucede con el nivel 2 y el nivel 3.
Tiempo de llenado
Recipiente C
Tiempo de llenado
Altura en el nivel del agua
Recipiente C
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
e) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al llenado del recipiente C? Pon a la que elijas. una Recipiente C
Tiempo de llenado
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) La gráfica 3.
a) ¿Cuál de las gráficas anteriores corresponde a la siguiente afirmación?
b) El recipiente E. La curva de la gráfica se “abre” hacia el lado contrario que la del recipiente C, porque ahora la parte a la que le cabe más agua del recipiente es la que está abajo, por lo tanto, al principio se llenará más lento, y conforme aumente el nivel de agua, será más rápido.
Al principio el nivel del agua aumenta más lentamente y luego más rápido porque, a mayor altura, se necesita menor volumen de agua para llenar el recipiente. b) ¿Cuál de los siguientes recipientes corresponde a la afirmación anterior?
Recipiente D
Recipiente E
Posibles dificultades. En este momento de la sesión puede ser necesario que explique las gráficas si los alumnos aún tienen dificultades. Trácelas en el pizarrón y analicen sus diferencias.
Recipiente F
III. Contesta las preguntas que se hacen sobre el llenado del siguiente recipiente. 5m 3m
La gráfica 1 corresponde a recipientes con forma de prisma o cilindro. El A se llena más rápido, así que es menos ancho que el B.
1m
1m 3m
a) ¿A qué parte del recipiente le cabe más agua, a la parte roja o a la parte verde?
A la verde b) Completa la siguiente descripción sobre la variación del nivel de agua respecto al tiempo de llenado del recipiente anterior.
, el nivel de agua aumenta
(roja/verde)
más lento . En la parte (más rápido/más despacio)
A
B
más rápido al principio y, luego, aumenta (más rápido/más despacio)
verde , el nivel del agua aumenta de manera constante.
La gráfica 2 representa el llenado de recipientes como estos:
(roja/verde)
c) En el siguiente plano se trazó la gráfica correspondiente a la parte verde del recipiente. Completa la gráfica del llenado del recipiente con lo correspondiente a la parte roja.
Altura en el nivel del agua
En la parte
roja
A
B
Tiempo de llenado
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
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Como la parte de abajo es más angosta que la de arriba en ambos recipientes, primero se llenan rápido y luego más lento.
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En cambio, en la gráfica 3 pasa lo contrario, primero se llenan lento y luego más rápido porque la parte de abajo es más ancha que la de arriba.
A
B
Todos estos recipientes tienen una sola parte.
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Después, plantéeles el siguiente problema: si se invirtieran los ejes ¿cómo se vería la gráfica del llenado de este recipiente?
secuencia 20
A lo que llegamos Con frecuencia encontramos situaciones en las que la gráfica asociada a dos cantidades que varían una respecto de la otra resulta ser la unión de dos o más segmentos de líneas rectas o curvas. Para este recipiente
Para este recipiente
la gráfica que representa el aumento del nivel del agua respecto del tiempo es:
la gráfica que representa el aumento del nivel del agua respecto del tiempo es:
Altura en el nivel del agua
Es decir, el tiempo de llenado se debe representar en el eje vertical, y el nivel de agua en el eje horizontal. La gráfica se vería así:
Altura en el nivel del agua
Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esta información en voz alta y que vaya describiendo las gráficas.
Altura en el nivel de agua
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
Y para el recipiente formado con la unión de los recipientes rojo y verde
la gráfica que representa el aumento del nivel del agua respecto del tiempo es la unión de las gráficas correspondientes a cada una de las partes: Altura en el nivel del agua
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
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MATEMÁTICAS
III
DIVERSOS PROBLEMAS
SESIÓN 2
Lo que aprendimos
Integrar al portafolios. Elija uno o dos problemas de esta sesión para revisar las respuestas de los alumnos e integrarlas a su portafolios.
Para conocer más acerca de cómo elaborar gráficas formadas por segmentos de líneas rectas y curvas, pueden ver el programa Llenado de recipientes. 1. Para los siguientes recipientes contesta:
Recipiente A
Posibles dificultades. Quizá para algunos estudiantes no sea clara la diferencia entre la gráfica 1 y la 2 porque se ven muy parecidas, a excepción de que el punto de intersección entre ambas ocurre primero en la 1. Pero, hay otra diferencia que es la que hace a una correcta y a la otra incorrecta: en la 1 se muestra que el recipiente A primero se llena despacio y luego más rápido, y que el B primero se llena rápido y luego más lento; pero ocurre exactamente lo contrario, por eso la gráfica correcta es la 2.
Recipiente B
Tiempo de llenado
Recipiente A
Recipiente B
Tiempo de llenado
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
Recipiente B
Altura en el nivel del agua
a) ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que corresponde al llenado de los recipientes? a la que elijas. Pon una Recipiente A
Propósito de la sesión. Resolver problemas a partir de gráficas con secciones rectas y/o curvas.
Recipiente A
Recipiente B
Tiempo de llenado
Observa que uniendo los recipientes A y B se obtiene un tercer recipiente que llamaremos recipiente C. Recipiente C
Recipiente A
Recipiente B
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Propósito del programa 38. Ejemplificar la construcción de gráficas asociadas al llenado de recipientes.
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Propósito del Interactivo. Presentar ejemplos animados de fenómenos que dan lugar a gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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secuencia 20
Tiempo de llenado
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
b) ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que corresponde al llenado del recipiente C? Pon una a la que elijas. Altura en el nivel del agua
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál sería la gráfica correcta si los recipientes se hubiesen unido al revés, es decir, abajo el recipiente B y arriba el A.
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
2. Se abre una llave para llenar de agua un recipiente como el del dibujo, y la cantidad de agua que cae por minuto en el recipiente es la misma cada minuto.
Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, diga a los alumnos que dibujen recipientes que den lugar a lo que las otras tres gráficas representan. También puede encargarlo como tarea.
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
De las siguientes gráficas, ¿cuál representa la variación de la altura del nivel de agua que tiene el recipiente respecto del tiempo transcurrido? Pon una a la que elijas.
Tiempo de llenado
Tiempo de llenado
100
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MATEMÁTICAS
III
3. En la secuencia 18 de Matemáticas III, volumen II, aprendiste que la gráfica que modela el movimiento de una canica en el plano inclinado es un segmento de parábola. Una canica se deja caer por un plano inclinado. Interesa describir su movimiento empezando en el momento en que la canica está en reposo en la parte más alta del plano, continuando cuando baja por el plano, luego cuando se mueve en el piso y hasta que queda en reposo:
Posibles dificultades. Los alumnos pueden pensar que la gráfica correcta es la 3 o la 4, ya que se ven parecidas a la representación de la bajada de la canica; pero esta idea es errónea.
Canica en reposo
Canica en reposo
Tiempo
Tiempo
Respuestas.
Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la variación de la distancia recorrida por la a la que elijas. canica con respecto al tiempo? Pon una
Tiempo
Permítales contestar lo que ellos crean que es correcto, y cuando terminen todas las preguntas del número 3, si aún tienen dudas explíqueles que la gráfica debe estar formada por dos secciones, ambas curvas, porque la canica acelera y desacelera, es decir, su movimiento no es constante.
a) En ese momento la canica no se ha movido y no ha pasado tiempo. Tiempo
b) La canica va acelerando hasta que llega al piso.
En la gráfica que elegiste localiza los siguientes puntos y partes del recorrido:
c) La canica se desplaza por el plano y va desacelerando.
a. El punto en el que la canica está en reposo.
d) En ese momento la canica deja de moverse.
b. La parte en la que la canica baja por el plano.
Distancia
c. La parte en la que la canica se mueve en el piso. d. El punto en el cual la canica se detiene. Contesta: ¿En qué momento la canica tiene mayor velocidad?
c
d
Al inicio. Cuando termina de bajar por el plano. Cuando está moviéndose en el piso.
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Tiempo
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secuenci a 20 4. En tu cuaderno construye un recipiente cuya gráfica de llenado sea la siguiente: Altura en el nivel del agua
Respuesta. Sería una gráfica formada primero por un prisma o cilindro, luego tendría una parte que se va haciendo angosta (porque se va llenando más rápido). Podría ser un recipiente como este:
Tiempo de llenado
5. Para el siguiente recipiente, construye en el plano cartesiano un bosquejo de la gráfica de su llenado. 2m Altura en el nivel del agua
2m 2m 3m
Respuesta. La gráfica tendría que mostrar una primera parte en la que primero se llena rápido y luego más lento, y una segunda parte en la que el llenado es constante, es decir, se vería como una línea recta.
Tiempo de llenado
Altura en el nivel de agua
6. Las siguientes gráficas representan la variación de la altura en el nivel de agua que tiene cada recipiente respecto del tiempo transcurrido. Asocia cada uno de los tres recipientes con su respectiva gráfica.
Recipiente A
Recipiente B
Tiempo de llenado Gráfica 1
Gráfica
Altura en el nivel del agua
Altura en el nivel del agua
Tiempo de llenado
Recipiente C
Gráfica
Altura en el nivel del agua
Gráfica
Tiempo de llenado Gráfica 2
Tiempo de llenado Gráfica 3
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Respuestas. Al recipiente a le corresponde la gráfica 2 porque su llenado es constante. Al recipiente b la gráfica 3, debido a que es la única que tiene dos partes: la primera se va llenando rápido y luego más lento, y la segunda parte se llena de manera constante. Al recipiente c le corresponde la gráfica 1, primero se llena rápido y luego más lento conforme se ensancha.
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MATEMÁTICAS
III
Para saber más Sobre la gráfica de una función no lineal, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Interpretacion_graficas/ Indice_graficas.htm funciones no lineales Ruta: Índice [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
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BLOQUE
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4
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secuenci a 21
Propósito de la sesión. Explorar sucesiones de figuras en las que la expresión que representa el número de elementos que tiene cualquier figura es cuadrática.
Diferencias en sucesiones
En estas sucesiones de figuras la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión numérica correspondiente no es constante pero la diferencia de las diferencias sí es constante.
En esta secuencia aprenderás a encontrar una expresión algebraica cuadrática para calcular cualquier término en sucesiones numéricas y figurativas mediante el método de diferencias.
Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden cómo encontrar la expresión algebraica que genera estas sucesiones y que recuerden cómo calcular la diferencia entre dos términos consecutivos.
SESIóN 1
NÚMEROS FIGURADOS
Para empezar
En la secuencia 18 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, aprendiste a encontrar la expresión algebraica que corresponde a una sucesión a partir de la diferencia entre dos términos consecutivos. Completa la tabla.
En la secuencia 18 de Matemáticas II, volumen II, identificaron que, en este tipo de sucesiones, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Recuerda que: Las diferencias se encuentran restando a un término el término anterior de la sucesión.
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que, en las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, se obtiene la expresión general al multiplicar el lugar del término por la diferencia y se suma o se resta una constante adecuada. Puede dar el ejemplo de que, para obtener los términos de la segunda sucesión, deben sumar 1 a los términos de la primera sucesión.
Sucesión
2,
4, 2
3,
2
2,
7, 5
2,
3 2,
2n
2
2 n + 1
5
5 n – 3
3
3 n – 1
–3
–3 n + 8
2 17, 22, …
5 8,
2
9, 11, …
12,
5,
Expresión general
2
2
5
3
5,
7, 2
Diferencia
8, 10, … 2
5, 2
Posibles dificultades. Si los alumnos tienen problemas para encontrar las diferencias en la última sucesión debido a los números negativos, escriba en el pizarrón una de las restas (por ejemplo, (−4) – (−1), y resuélvala junto con todo el grupo).
6,
5 11, 14, …
3
3
–1, – 4, –7, …
–3 –3 –3 –3
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Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Números figurados Explorar sucesiones de figuras en las que la expresión que representa el número de elementos que tiene cualquier figura es cuadrática.
Programa 39 Interactivo
2
Las diferencias en expresiones cuadráticas Identificar que, cuando la expresión algebraica que representa una sucesión es cuadrática, la constante diferente de cero aparece en el nivel dos de las diferencias y viceversa.
3
El método de diferencias Explorar el método de diferencias para determinar la expresión general cuadrática que representa una sucesión en la que en el nivel dos de las diferencias hay una constante diferente de cero.
4
Apliquemos lo aprendido Aplicar el método de diferencias para determinar la expresión general cuadrática que representa una sucesión.
Significado y uso de las literales. Subtema Patrones y fórmulas. Antecedentes En la secuencia 3 de Matemáticas I , volumen I, y en la secuencia 18 de Matemáticas II, volumen II, dada una sucesión numérica o figurativa, los alumnos encontraron la expresión algebraica de la forma an + b que representa la sucesión, y, dada una expresión de ese tipo, generaron la sucesión. También identificaron que la diferencia entre dos términos consecutivos de esas sucesiones es constante. En esta secuencia van a encontrar las sucesiones que se generan a partir de una expresión cuadrática de la forma an 2 + bn + c y van a utilizar el método de las diferencias para determinar la expresión de ese tipo que representa una sucesión. 122
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Propósito de la secuencia Determinar la expresión general cuadrática que representa sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de las diferencias.
Programa 40
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MATEMÁTICAS
III
Posibles procedimientos. Los alumnos pueden identificar, por la forma en la que están coloreados los puntos, que para formar la figura 2 se añadieron 4 puntos verdes, para formar la figura 3 se añadieron 6 puntos amarillos, para formar la figura 4 se añadieron 8 puntos morados, entonces para formar la figura 5 se debe añadir 10 puntos.
Consideremos lo siguiente La siguiente sucesión de figuras corresponde a los llamados números rectangulares.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Algo similar se puede hacer si determinan primero el número de puntos de cada figura (2, 6, 12, 20) y luego obtienen las diferencias entre los términos consecutivos (4, 6, 8).
El n-ésimo número rectangular es el número de puntos que tiene el n-ésimo rectángulo de esta sucesión. a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 5? b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 10?
Para encontrar el número de puntos de la figura 10 los alumnos pueden dibujar las figuras 5, 6, 7, 8, 9 y 10 o pueden continuar el patrón para encontrar el número de puntos de cada figura (30, 42, 56, 72, 90, 110) sin necesidad de dibujarlas.
c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura n?
Manos a la obra I. Observen la sucesión de figuras y completen la tabla. Número de la figura
1
2
3
4
5
6
n
Número de renglones que tiene la figura
1
2
3
4
5
6
n
Número de puntos en cada renglón de la figura
2
3
4
5
6
7
n + 1
Total de puntos de la figura (número rectangular)
2
6
12
20
30 42 n (n + 1)
a) Escriban una regla para obtener el total de puntos de la figura de la sucesión que está en el lugar n b) ¿Cuántos puntos tiene la figura 100? c) ¿Cuál es el número de la figura que tiene 420 puntos? Comparen sus soluciones y comenten:
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué se llaman números rectangulares.
¿Es cuadrática o lineal la expresión algebraica que corresponde al total de puntos de la figura n? Justifiquen su respuesta.
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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que el número de puntos de cada figura se puede expresar al multiplicar el número de renglones por el número de puntos en cada renglón. Posibles dificultades. Si tienen dificultades para completar la última columna usted puede ayudarlos haciéndoles preguntas para que descubran la regularidad en las columnas anteriores (el número de renglones es el mismo que el número de figura, el número de puntos es el número de renglones más 1, y el total de puntos se obtiene al multiplicar los dos datos anteriores).
Otro procedimiento, es darse cuenta que se puede obtener el número de puntos de cada figura al multiplicar el número de renglones por el número de puntos en cada renglón, así la figura 1 tiene 1 × 2 puntos, la figura 2 tiene 2 × 3 puntos, la figura 3 tiene 3 × 4 puntos, etc. De esta forma se puede determinar que la figura 5 tiene 5 × 6 puntos y la figura 10 tiene 10 × 11 puntos. Con este procedimiento se puede expresar el número de puntos de la figura n como n (n + 1).
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Propósito del Interactivo. Que el alumno descubra que los primeros tres términos de una sucesión cuadrática determinan completamente la fórmula general de la sucesión y aprenda a calcularla usando el método de diferencias.
No anticipe a los alumnos ninguno de los procedimientos, Observe los que ellos realicen, tanto los correctos como los incorrectos, al final de la actividad pida a algunos alumnos que expliquen lo que hicieron. Es probable que los alumnos no puedan encontrar la respuesta al inciso c). Comenten entre todos si es posible expresar los puntos de la figura n con una regla de la forma an + b.
Posibles dificultades. Algunos alumnos podrán pensar que la expresión algebraica es lineal. Pregunte a los alumnos cuál es el resultado de desarrollar la expresión n(n + 1). El resultado es n 2 + n, y entonces la expresión es cuadrática.
Respuestas. a) n (n + 1) b) 100(101) = 10 100 c) Es la figura 20 (tiene 20 × 21 puntos). Li b r o p ara e l maestro
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Propósito de la actividad. Los alumnos van a identificar que las diferencias forman una nueva sucesión.
secuenci a 21 ii. Al calcular las diferencias de los términos de una sucesión descrita por una expresión cuadrática se encuentran regularidades importantes. Contesten lo que se les pide a continuación. a) Completen la tabla para después calcular las diferencias entre los términos de la sucesión de números rectangulares.
Número de la figura
1
2
3
4
5
6
Número rectangular
2
6
12
20
30
42
Diferencias de nivel 1
4
6
8
10
12
Como pueden observar las diferencias de nivel 1 forman una nueva sucesión. El primer término de esta sucesión es 4, el segundo término es 6, etcétera.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál es la relación entre los puntos que se agregan al pasar de una figura a la siguiente y la sucesión de las diferencias que encontraron en esta actividad. Pida a los alumnos que indiquen los primeros 10 términos de la sucesión de las diferencias.
14
b) ¿Cuál es el sexto término de esta sucesión?
Comparen sus soluciones e identifiquen los puntos que se agregaron al pasar de una figura a la siguiente.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) ¿De qué color son los puntos que se agregaron a la figura 1 para obtener la figura 2?
verde
¿Cuántos son?
4
b) ¿Cuántos puntos y de qué color se agregaron a la figura 2 para obtener la figura 3?
6 puntos amarillos c) ¿Cuántos puntos y de qué color se agregaron a la figura 3 para obtener la figura 4?
8 puntos morados d) ¿Cuántos puntos se agregarían a la figura 4 para obtener la quinta figura?
10 puntos
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Los alumnos van a identificar que, en la sucesión de las diferencias de nivel 1 que encontraron en la actividad anterior, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
III. A las diferencias entre los términos de las diferencias de nivel 1 se les llama diferencias de nivel 2. a) Completen la siguiente tabla para calcular las diferencias de nivel 2. Número de la figura
1
2
3
4
5
6
Número rectangular
2
6
12
20
30
42
Diferencias de nivel 1
4
Diferencias de nivel 2
6
8
2
2
10 2
12
Respuestas. 2
b) Son iguales a 2.
b) Todas las diferencias del nivel 2 son iguales a un número. ¿De qué número se
c) 14 puntos más.
trata?
d) Tiene 56 puntos.
c) ¿Cuántos puntos más tendrá la figura 7 que la figura 6? d) ¿Cuántos puntos en total tendrá la figura 7? Comparen sus soluciones.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos los primeros diez o doce términos de la sucesión de números rectangulares, las sucesiones de diferencias de nivel 1 y de nivel 2 y la expresión algebraica para generar los números rectangulares. Pregunte al grupo cuántos puntos tiene la figura 50 y la 84, por ejemplo, para que utilicen la expresión algebraica (basta con multiplicar 50 × 51 u 84 × 85).
IV. Consideren ahora la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
La sucesión del número de puntos que tiene cada triángulo es llamada sucesión de números triangulares: 1, 3, 6, 10, … Contesten lo que se pide para encontrar una expresión algebraica general para la sucesión de números triangulares. a) Una de las siguientes afirmaciones describe correctamente a la sucesión de números triangulares. Subráyenla. • La sucesión de los números triangulares aumentan de dos en dos.
Propósito de la actividad. Los alumnos van a calcular las diferencias de nivel 1 y las diferencias de nivel 2 en la sucesión de números triangulares y van a determinar la expresión algebraica para generar esta sucesión.
• Cualquier número triangular es la mitad del número rectangular que ocupa el mismo lugar en su respectiva sucesión. • El número triangular que está en el lugar n se obtiene con la fórmula n 2. b) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite calcular el número de puntos que tiene el triángulo que está en el lugar n ? Subráyenla. • n+2
•
(n + 1)n 2
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos porqué se llaman números triangulares.
• n2
109
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Propósito de las preguntas. Identificar que cada número triangular es la mitad del correspondiente número rectangular, y por lo tanto la expresión algebraica para la sucesión (n + 1) n de números triangulares es . 2
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Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos tienen dificultades para determinar cuál es la expresión algebraica, usted puede pedirles que sustituyan la n por los valores 1, 2, 3, 4 y 5 para que encuentren las sucesiones que se generan con cada una de las expresiones.
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Sugerencia didáctica. En este momento es importante que todos identifiquen que la (n + 1) n expresión algebraica es y que es 2 cuadrática. Si tuvieron dificultades para determinarlo en la actividad usted puede hacerles preguntas que los ayuden a observar que cada número triangular es la mitad que el correspondiente número rectangular. Si lo considera conveniente, dibuje en el pizarrón la sucesión de figuras de números rectangulares y pida a algunos alumnos que pasen a señalar, en cada figura, las dos partes que corresponden a los números triangulares.
secuencia 21 c) Completen la siguiente tabla con los números triangulares y las diferencias. Número de la figura
1
2
Número triangular
1
3
Nivel 1 Nivel 2
3
4
5
6
6
10
15
21
3
2
Diferencias
1
4 1
5 1
d) ¿Cómo se comparan las diferencias de nivel 2?
6 1
Iguales
¿Por qué creen que suceda esto?
Porque la sucesión formada en las diferencias del nivel 1 aumenta de uno en uno Comparen sus soluciones y comenten: a) ¿A la sucesión de los números triangulares le corresponde una expresión general lineal o cuadrática?
Figura 1
b) ¿Qué expresión le corresponde a la sucesión de las diferencias de nivel 1?
A lo que llegamos Figura 2
Cuando la expresión general que corresponde a una sucesión es cuadrática, se encuentran las siguientes regularidades: • Las diferencias de nivel 1 son diferentes entre sí. • Las diferencias de nivel 2 son iguales a una constante diferente de cero. Para analizar más ejemplos de sucesiones de figuras y la expresión asociada, pueden ver el programa Sucesiones de figuras y expresiones cuadráticas.
Figura 3
Lo que aprendimos Considera la sucesión de los números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, …
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) ¿Cuál es la expresión general que permite encontrar el número de puntos de la figura que ocupa el lugar n en la sucesión de números cuadrados? 110
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Propósito del programa 39. Obtener las diferencias sucesivas de los términos de una sucesión y determinar la expresión general que le corresponde al enésimo término.
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué se llaman números cuadrados. Respuesta. La expresión general es n 2 .
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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MATEMÁTICAS
III
b) Completen la tabla y las diferencias. Número de la figura
1
Número cuadrado
1
Nivel 1
3
Nivel 2
Diferencias
2
3
4
5
4
9
16
25
5 2
7
9
2
2
c) ¿Cuál es la constante que aparece en las diferencias del nivel 2?
,
¿es igual o diferente de cero?
LAS DIFERENCIAS EN EXPRESIONES CUADRÁTICAS
SESIÓN 2
Para empezar
Propósito de la sesión. Identificar que, cuando la expresión algebraica que representa una sucesión es cuadrática, la constante diferente de cero aparece en el nivel dos de las diferencias y viceversa.
En la sesión 1 estudiaron algunas sucesiones en las que las diferencias de nivel 2 eran una constante diferente de cero. ¿Sucederá esto siempre?
Propósito de la actividad. Encontrar los términos que faltan en algunas sucesiones a partir de expresiones lineales, cuadráticas y cúbicas para analizar las diferencias.
Manos a la obra I. Las diferencias pueden ayudar a determinar muchas características importantes de las sucesiones numéricas, dependiendo del tipo de las expresiones algebraicas que les corresponden: lineales, cuadráticas o cúbicas. Para explorar lo anterior completen y analicen la tabla siguiente: Expresión general del término enésimo
1, 2n – 1
3,
2
5, 2
–3 –3
0,
0 –2, –5, …
–3
–3
0
0
0
2,
6,
12, 20, …
2
n2 – n
2
0
4 , 1,
7, 9, … 2
0
7, −3n + 10
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que primero se realizan los exponentes, luego las multiplicaciones y luego las sumas y las restas.
Sucesión original y sus diferencias
4
2
6
2
8
2 111
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s e c u e n c i a 21 Expresión general del término enésimo
Sucesión original y sus diferencias
1, 7
n3
–2n 2 + 5
Respuestas.
8 , 27, 64 , 125, … 37
18
61
12
3,
–3 , –13, –27, –45, …
24
–6 –10 –14 –18
a) En el nivel 1.
19
–4
–4
–4
b) En el nivel 2.
En los siguientes incisos, escribe en qué nivel de las diferencias aparece una constante diferente de cero:
c) En el nivel 3.
a) cuando la expresión general del término enésimo es lineal. b) cuando la expresión general del término enésimo es cuadrática. c) cuando la expresión general del término enésimo es cúbica.
Sugerencia didáctica. Si no lo hicieron, pida a los alumnos que encuentren las diferencias en el nivel 3 para la expresión n 3 .
Comparen sus respuestas. ii. Completen las siguientes tablas de acuerdo con la expresión general del enésimo término. a) Expresión general: 3n 2 + 2 Lugar
1
Término 5
Nivel 1
9
Diferencias
Nivel 2
b) Expresión general: 3n 2 + n
2
3
4
14
29
50
15 21 6 6
Lugar
1
Nivel 1 Diferencias
Nivel 2
2 –8
1
Nivel 1
2
3
4
14
30
52
10
Diferencias
Nivel 2
c) Expresión general: −2n 2 Término –2
Lugar
Término 4
16 22 6 6
d) Expresión general: −2n 2 + 4 3
4
Lugar
–18 –32
–6 –10 –14 –4 –4
1
Término 2
Nivel 1 Diferencias
Nivel 2
2 –4
3
4
–14 –28
–6 –10 –14 –4 –4
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MATEMÁTICAS
III
Posibles dificultades. Si los alumnos no logran encontrar las expresiones generales usted puede darles varias pistas: escriba en el pizarrón la sucesión de los números cuadrados (1, 4, 9, 16, …) y pregunte a los alumnos cuál es la relación de estos números con los de la primera sucesión (cada uno de los cuadrados se multiplica por 4 para obtenerlos).
a) ¿Para cuáles expresiones generales la constante en las diferencias es 6?
Para 3 n 2 + 2 y 3 n 2 + n b) ¿Qué constante apareció en los casos donde las expresiones generales son −2n 2 así como −2n 2 + 4?
–4
III. Encuentren las diferencias de cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
4,
Nivel 1
16, 36, 64, …
12
Nivel 2
20 8
28
2,
8
14, 34, 62, …
12
Nivel 1
Nivel 2
20 8
28 8
Nivel 1
5,
17, 37, 65, …
12
Nivel 2
20 8
Para las siguientes sucesiones puede preguntarles cómo se obtiene cada término de estas sucesiones a partir de los términos de la primera sucesión: si a los términos de la primera sucesión les restan 2 obtienen los términos de la segunda sucesión, pero si les aumentan 1 encuentran la tercera sucesión. De esta manera pueden obtener el término independiente que debe acompañar al término cuadrático 4 n 2 .
28 8
Completen la tabla siguiente. Sucesión
Constante de las diferencias (diferente de cero)
Nivel donde aparece
Expresión general del enésimo término
4, 16, 36, 64, …
8
Nivel 2
4n 2
2, 14, 34, 62, …
8
Nivel 2
4 n 2 – 2
5, 17, 37, 65, …
8
Nivel 2
4 n 2 + 1
Comparen sus respuestas y compartan los procedimientos que usaron para encontrar las expresiones generales.
A lo que llegamos Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede que: • Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero, la expresión general es cuadrática. • Cuando la expresión general de la secuencia es cuadrática, la constante que aparece en el nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del término cuadrático de la expresión.
Es importante que los alumnos identifiquen en este momento que la constante del nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del término cuadrático en la expresión general. Para ello, puede pedirles que se fijen en las diferencias del nivel 2 para todas las sucesiones de la sesión que tienen una expresión cuadrática.
A partir de la información anterior, contesten: a) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 3n 2 ?
Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos no se pongan de acuerdo en cuáles son las expresiones correctas, puede pedirles que evalúen esas expresiones para verificar sus respuestas.
6
b) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 1.5n 2 + 2?
3 113
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Sugerencia didáctica. Escriba las siguientes sucesiones en el pizarrón (de una en una) y luego pase a un alumno para que encuentre los cinco términos que siguen. Se espera que utilicen las diferencias para encontrar el patrón, pero también se puede hacer si se determina primero la expresión algebraica.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que obtengan los primeros 5 términos de cada sucesión y que verifiquen sus respuestas.
3, 12, 27, 48, … −4, 2, 12, 26, … −11, −20, −35, −56, … Las expresiones para estas sucesiones son: 3 n 2 , 2 n 2 – 6 y −3 n 2 −8.
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Propósito de la sesión. Explorar el método de diferencias para determinar la expresión general cuadrática que representa una sucesión en la que en el nivel dos de las diferencias hay una constante diferente de cero.
secuenci a 21 SESIÓN 3
EL MéTODO DE DIFERENCIAS
Para empezar
No siempre es fácil determinar la expresión general cuadrática de una sucesión, sin embargo, existe un método que ayuda a obtenerla: el método de diferencias.
La expresión general es de la forma an 2 + bn + c, en el método de las diferencias se plantean tres ecuaciones con las que se encuentra el valor de a, b y c.
En esta sesión aprenderán a usarlo.
Consideremos lo siguiente Dada la sucesión: 4, 9, 18, 31, …, Si la sucesión continúa:
Sugerencia didáctica. El método de las diferencias se describe en el Fichero de actividades didácticas, Matemáticas. Si tiene acceso a él es recomendable que lo consulte, aunque debe tomar en cuenta que las actividades que ahí se presentan tienen un nivel superior al que se pide en el programa para este apartado.
a) ¿Qué término ocupará el lugar 10? b) ¿Qué término ocupa el lugar 20? c) ¿Cuál es la expresión algebraica general del término enésimo de esta sucesión?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra i. Obtengan las diferencias de los niveles 1 y 2. Verifiquen si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero.
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos calculen las diferencias de nivel 1 y las diferencias de nivel 2, y que con ellas obtengan los términos que se piden en la sucesión. Permita que intenten encontrar la expresión algebraica, al menos deben identificar que el término cuadrático es 2n 2 ya que las diferencias de nivel 2 son iguales a 4. Si algún alumno obtuvo una expresión algebraica, aunque no sea la correcta, pídale que justifique su respuesta (debe evaluarla para obtener los primeros términos de la sucesión) y que explique cómo la obtuvo.
a) Completen el siguiente esquema. 4,
9,
5
18, 31, …
9 4
13 4
Como las diferencias de nivel 2 son una constante distinta de cero, la expresión algebraica general del término enésimo de la sucesión es cuadrática: an 2 + bn + c, donde n representa el lugar del término. Para determinar los coeficientes a , b , c de esta expresión se puede usar el método de las diferencias.
Respuestas. a) 193
114
b) 783 c) 2 n 2 – n + 3.
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Propósito de la actividad. Los alumnos van a identificar que, con las diferencias de nivel 1 y de nivel 2, es posible obtener la expresión algebraica que representa a una sucesión.
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué representa cada una de las literales: n, a, b y c. Por lo que hicieron en la sesión pasada, los alumnos ya pueden encontrar el valor de a. Pregunte al grupo si saben cuál es. (En el ejemplo, a es la mitad de la diferencia de nivel 2, es decir que a = 2)
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Escriba el diagrama en el pizarrón y complételo con todo el grupo. Comente que, como la diferencia de nivel 2 es constante, la sucesión se genera con una expresión de la forma an 2 + bn + c.
Método de diferencias Para determinar los coeficientes de la expresión an 2 + bn + c, hay que resolver las ecuaciones que se obtienen al considerar que: • El doble del coeficiente a es igual a la constante de las diferencias de nivel 2. • La suma 3a + b es igual al primer término de las diferencias de nivel 1.
Pida a dos alumnos que evalúen en an 2 + bn + c cuando n = 1 y n = 2, pregunte al grupo qué términos de la sucesión se obtienen al hacer esta evaluación (se obtiene 4 y 9, el primer y el segundo término de la sucesión). De ahí se establecen las ecuaciones siguientes:
• La suma a + b + c es igual al primer término de la sucesión.
Del esquema pueden obtenerse varias ecuaciones que al resolverse permiten obtener los valores de los coeficientes a, b, c.
a+b+c
4,
3a + b
2a
9,
5
18, 31, …
9 4
a (1)2 + b (1) + c = 4
13
a (2)2 + b (2) + c = 9,
4
es decir que
b) Completen el esquema y resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a esta sucesión. 2a = 2
3a + b = 5
a=
2
b=
–1
c=
3
a + b + c = 4
a+b+c= 4
4 a + 2 b + c = 9, Para obtener 3 a + b se restan los lados correspondientes en las dos igualdades: (4 a + 2 b + c ) – (a + b + c ) = 9 – 4
c) Sustituyan los valores de a , b , c en la expresión an 2 + bn + c y simplifiquen eliminando los paréntesis.
an 2 + bn + c = ( 2 )n 2 + ( –1 )n + ( 3 )=
Pida a los alumnos que realicen estas restas en sus cuadernos, deben obtener
2 n 2 – n + 3
3 a + b = 5. Este procedimiento se puede realizar con cualquier sucesión, es por ello que se utilizan las ecuaciones señaladas en el recuadro azul.
d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los cuatro primeros términos de la sucesión 4, 9, 18, 31, … Primer término n = 1: ( 2 )12 + ( –1 )1 + ( 3 )=
2 – 1 +3 = 4
n = 2: ( 2 Segundo término )22 + ( –1 )2 + ( 3 )=
8 – 2 +3 = 9
Comente a los alumnos que este método se conoce como el método de las diferencias porque se utiliza las diferencias para encontrar la expresión que representa a la sucesión.
2 Tercer término n = 3: (2 )3 + ( –1 ) 3 + ( 3 ) = 18 – 3 + 3 = 18
Cuarto término n = 4: ( 2 )4
2
+ ( –1 ) 4 + ( 3 ) = 32 – 4 +3 = 31
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Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades, puede comentarles que resuelvan las ecuaciones en el orden en que están, de izquierda a derecha. En el ejemplo, con la primera ecuación se obtiene el valor de a = 2.
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Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, aunque en la expresión an 2 + bn + c aparece dos veces el signo de suma, como en este caso el valor de b es negativo, en la expresión que representa a la sucesión el término lineal se resta.
Se sustituye la a por este valor en la segunda ecuación: 3(2) + b = 5, y se despeja b. 6 + b = 5
b = 5 – 6 = –1 Se sustituye la a y la b por los valores encontrados en la tercera ecuación: 2 + (−1) + c = 4, y se despeja c. 1 + c = 4
c = 4 – 1 = 3 Li b r o p ara e l maestro
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Posibles procedimientos. Los alumnos pueden continuar la sucesión hasta acercarse al número 193 y al 200 para determinar si pertenecen o no a la sucesión.
secuenci a 21 Comparen sus respuestas y comenten: a) El número 193 pertenece a esta sucesión, ¿en qué lugar está?
Otro procedimiento consiste en evaluar valores para n en la expresión 2n 2 − n + 3 para obtener los términos de la sucesión hasta acercarse al 200. Por ejemplo para n = 10 se obtiene:
b) ¿Pertenece 200 a esta sucesión?
ii. Usando el método de diferencias, encuentren la expresión general de la sucesión 1, 3, 11, 25, …. y contesten lo que se les pide a continuación.
( 2 )10 2 + ( −1 ) 10 + ( 3 ) = 200 −10 +3 = 193
a) Encuentren las diferencias. Completen.
Para n = 11 se obtiene:
1,
Nivel 1
( 2 )112 + ( −1 ) 11 + ( 3 ) = 242 −11 +3 = 234
Nivel 2
Por lo tanto 193 si pertenece a la secuencia pero 200 no.
3,
2
11, 25, …
8 6
14 6
b) Resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a esta sucesión.
Otro procedimiento, más complejo pero más efectivo, consiste en resolver la ecuación cuadrática, 2 n 2 − n + 3 = 193 y ver si tiene alguna solución entera positiva.
2a = 6
Si tiene solución entera positiva el 193 pertenece a la sucesión, en caso contrario no pertenece a la sucesión. Para ello se utiliza la fórmula general para resolver la ecuación
3a + b = 2
a=
3
b=
–7
c=
5
a + b + c = 1
c) Sustituyan por los valores de a , b , c en la expresión an 2 + bn + c y simplifiquen.
an 2 + bn + c = ( 3 )n 2 + ( –7 )n + ( 5 )=
2 n 2 −n −190 = 0
n=
¿Por qué?
3 n 2 – 7n + 5
d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los primeros términos de la sucesión 1, 3, 11, 25, ….
1 ± 1 + 1520 4
Comparen sus respuestas y comenten.
1 ± 39 4 Las dos soluciones son
n =
a) El número 185 pertenece a esta sucesión, ¿en qué lugar está? b) ¿Pertenece 333 a esta sucesión?
n = 10 n = –9.5
¿Por qué?
Para saber cómo se obtienen las expresiones 2a, 3a + b y a + b + c, observen el programa El método de diferencias.
Entonces la ecuación tiene una solución entera positiva n = 10, por lo que el 193 es el décimo término en la sucesión. 116
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Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos realicen la verificación, porque esto les da un procedimiento para validar su respuesta.
Sugerencia didáctica. Si los alumnos ya han comprendido como contestar estas preguntas, aproveche este momento para pedirles que las respondan con un procedimiento distinto al que usaron en la actividad anterior. En particular puede pedirles que utilicen la fórmula general, si es que no lo hicieron antes.
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Propósito del programa 40. Mostrar el método de diferencias y utilizarlo para obtener la expresión general del enésimo término de una sucesión. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Respuestas. El número 185 sí pertenece a la sucesión, 333 no.
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MATEMÁTICAS
III
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
SESIÓN 4
Propósito de la sesión. Aplicar el método de diferencias para determinar la expresión general cuadrática que representa una sucesión.
1. Observa la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Respuesta. Para esta sucesión no es necesario utilizar el método de las diferencias. Lo importante es que los alumnos identifiquen cómo están colocados los cubos que no se ven en las figuras.
Figura 4
a) Dibuja la figura 5 de la sucesión anterior. b) ¿Cuántos cubos tendrá la figura 100 de la sucesión?
10 000
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cual-
n2
quier figura que esté en la sucesión?
d) Si se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión? Es
la figura 52 Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos la actividad I del apartado Manos a la obra de las sesión 3.
2. Observa la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que dibujen en sus cuadernos las dos figuras siguientes.
Figura 4
a) ¿Cuántos puntos se le agregaron a la figura 2 para formar la figura 3? b) ¿Cuántos puntos se le agregaron a la figura 3 para formar la figura 4? c) ¿Cuántos puntos se le agregarán a la figura 4 para formar la figura 5? d) Encuentra la expresión general cuadrática de los números pentagonales mediante el método de diferencias. Número de la figura
1
2
3
4
Números pentagonales
1
5
12
22
a+b+c
4
7
10
3a + b 2a
3
3
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secuenci a 21 e) Plantea y resuelve las ecuaciones para encontrar los valores de a, b, c.
E1:
2 a = 3
E2:
3 a + b = 4
E3:
a + b + c = 1
a=
1.5 –0.5
b=
c=
0
La expresión general cuadrática que corresponde a la sucesión 1, 5, 12, 22, … es
1.5 n 2 – 0.5 n f) Verifica si la expresión general cuadrática que escribiste funciona para las cuatro primeras figuras de la sucesión. Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4:
1.5(1)2 – 0.5(1) = 1.5 – 0.5 = 1 1.5(2)2 – 0.5(2) = 6 – 1 = 5 1.5(3)2 –0.5(3) = 13.5 – 1.5 = 12 1.5(4)2 –0.5(4) = 24 – 2 = 22
g) ¿Cuántos puntos tienen las figuras que ocupan los lugares 10 y 15? Figura 10: Figura 15:
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que este método funciona para cualquier parábola si se conocen tres puntos que pertenezcan a la parábola.
1.5(10) 2 – 0.5(10) = 150 – 5 = 145 1.5(15) 2 – 0.5(15) = 337.5 – 7.5 = 330
3. Usa el método de diferencias para encontrar la función cuadrática y = ax 2 + bx + c que corresponde a la siguiente gráfica. 1 0 0
1
2
3
4
5
–1
–2
(1,–2)
(3,–2)
–3
–4
–5
–6
(2,–6)
118
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MATEMÁTICAS a) Puntos señalados en la gráfica:
(1,–2), (2,–6), (3,–2)
Abscisa (x )
1
2
3
Ordenada (y )
–2
–6
–2
a+b+c
–4 4
III
12
3a + b
2a
8
8
4. Resuelve las ecuaciones para encontrar los valores de a, b, c. E1:
2a = 8
E2:
3 a + b = –4
E3:
a + b + c = –2
a=
4 b=
–16 c=
10
a) ¿Cuál es función cuadrática para calcular la ordenada si se conoce la abscisa?
ax 2 + bx + c =
4x 2 – 16 x + 10
b) Verifica si funciona la expresión anterior para los puntos (1, −2), (2, −6) y (3, −2). Para x = 1:
4(1)2 – 16(1) + 10 = 4 – 16 + 10 = –2
Para x = 2:
4(2)2 – 16(2) + 10 = 16 – 32 + 10 = –6
Para x = 3:
4(3)2 – 16(3) + 10 = 36 – 48 + 10 = –2
c) ¿Cuál es la ordenada del punto de la gráfica que su abscisa es 5? Para x = 5:
Posibles procedimientos. Los alumnos podrían acercarse a la solución por ensayo y error, evaluando en distintos valores con la ayuda de la calculadora, sin embargo la manera más precisa de hacerlo es planteando la ecuación:
30
4(5)2 – 16(5) + 10 = 100 – 80 + 10 = 30
d) ¿Cuál es la abscisa del punto de la gráfica que su ordenada es 100?
Aproximadamente –3.15 y 7.15 Ecuación cuadrática:
4x 2 −16 x + 10 = 100, luego pasarla a su forma general y utilizar la fórmula general para resolverla.
4x 2 – 16 x + 10 = 100 4x 2 – 16 x – 90 = 0
4x 2 −16 x − 90 = 0
Para saber más
16 ± 256 + 1440 2(4) 16 ± 1696 x= 2(4) x 1 ≈ −3.15, x 2 ≈ 7.15
x=
Sobre el método de diferencias finitas, consulta: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/ algebra/patrones/patrones.htm [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Junta de Andalucía. Ministerio de Educación y Ciencia. España. 119
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secuenci a 22
Propósito de la sesión. Identificar el teorema de Pitágoras y dar una justificación geométrica para este teorema. Materiales. Instrumentos geométricos (para toda la secuencia), tijeras y pegamento.
Teorema de Pitágoras
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuáles son las características de un triángulo rectángulo, el propósito es que recuerden la principal: que tiene un ángulo recto (de 90°), es decir que dos de sus lados son perpendiculares. Si lo considera conveniente pídales que dibujen un triángulo rectángulo en una hoja cuadriculada y que identifiquen los catetos y la hipotenusa.
En esta secuencia, aplicarás el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas de cálculo de longitudes y distancias.
¿QUÉ nos dice eL TeoReMA de PiTÁGoRAs?
sesión 1
Para empezar
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se conocen como catetos y el lado mayor, el cual se opone al ángulo recto, se llama hipotenusa.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Usar las herramientas de geometría dinámica para verificar el teorema de Pitágoras. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
i. De los siguientes triángulos, distingan los que sean triángulos rectángulos.
Propósito del Interactivo. Mostrar diferentes esquemas gráficos de demostraciones que hacen plausible el teorema de Pitágoras.
Triángulo 1 Triángulo 4 Triángulo 5
Propósito de la actividad. Identificar cuáles de los triángulos son triángulos rectángulos y determinar la relación entre la medida de sus lados. Sugerencia didáctica. Los alumnos deben comprender cuáles son las características de un triángulo rectángulo y que la posición en la que se encuentre no es parte de su definición. Si los alumnos solamente señalan el triángulo 6, pídales que verifiquen si ninguno de los otros triángulos tiene un ángulo recto. Respuesta. Los triángulos rectángulos son el 1, 5 y 6.
Triángulo 3
Triángulo 6
Triángulo 2
a) Midan la longitud de los lados de cada triángulo rectángulo que encontraron y anoten las medidas (como a, b, c,), en la siguiente tabla. Medidas de los lados Triángulo rectángulo
Posibles dificultades. Puede haber algunas diferencias en las medidas debido que los instrumentos geométricos no son completamente precisos.
Catetos
Hipotenusa
a
b
c
1
1.5
2
2.5
5
3
4
5
6
1
2.4
2.6
Tabla 1 120
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Eje
Propósito de la secuencia
Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
Forma, espacio y medida. Tema
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Medida. Subtema
1
¿Qué nos dice el teorema de Pitágoras? Identificar el teorema de Pitágoras y dar una justificación geométrica para este teorema.
2
Aplicaciones del teorema de Pitágoras I Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
3
Aplicaciones del teorema de Pitágoras II Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
Estimar, medir y calcular.
Aula de medios Interactivo Programa 41
Antecedentes Desde la primaria y en los dos grados anteriores de la secundaria, los alumnos han trabajado con triángulos rectángulos, han identificado y construido ángulos rectos y rectas perpendiculares. Sin embargo hasta ahora no se había nombrado los lados de un triángulo rectángulo como catetos e hipotenusa. En esta secuencia van a explorar e identificar la relación que existe entre las medidas de esos lados.
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Programa 42 Interactivo
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MATEMÁTICAS
III
b) Utilicen las medidas de los lados de cada triángulo para completar la siguiente tabla. Triángulo rectángulo
a2
b2
a2 + b2
c2
1
2.25
4
6.25
6.25
5
9
16
25
25
6
1
5.76
6.76
6.76
Tabla 2
c) ¿Qué relación observan entre los resultados obtenidos a partir de las medidas de
Propósito de la pregunta. Se espera que los alumnos observen que a 2 + b 2 = c 2 .
los lados de los triángulos rectángulos? Anótenla a continuación
Sugerencia didáctica. Si no lo hicieron los alumnos, escriba en el pizarrón la igualdad a 2 + b 2 = c 2 y pregúnteles si esta igualdad se cumplió en los tres casos. Para los otros tres triángulos pida a los alumnos que hagan una tabla como la anterior en la que a sea el lado más pequeño de cada triángulo y c sea el lado mayor y que comparen la suma a 2 + b 2 con c 2 .
Comparen sus respuestas y utilicen el conjunto anterior de triángulos. a) En todo triángulo rectángulo hay un lado mayor que llamamos hipotenusa (c ). ¿Hay algunos triángulos no rectángulos que sólo tengan un lado mayor? ¿Cuáles son? b) Consideren el triángulo 3, llamen c al lado mayor y a y b a los otros dos lados. Calculen a 2, b 2, c 2: ¿Se cumple la relación que encontraste en los triángulos rectángulos? II. En su cuaderno, realicen lo siguiente: Paso 1. Construyan un triángulo rectángulo de cualquier medida.
Paso 2. Ahora, construyan cuadrados a partir de la longitud de cada lado del triángulo.
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Propósito de la actividad. Los alumnos van a realizar una justificación geométrica para el teorema de Pitágoras. Esta actividad permite el desarrollo de las habilidades de interpretación y comprensión de instrucciones. También es una oportunidad de que usted evalúe el uso de los instrumentos geométricos para el trazo de las figuras, de las líneas paralelas y las perpendiculares.
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Sugerencia didáctica. Comente al grupo que primero lean todos los pasos de la construcción, si tienen alguna duda sobre algún concepto (punto medio, paralela, etc.) o sobre la notación, pídales que entre ellos traten de resolverla. Cada pareja debe construir un triángulo con diferentes medidas para que puedan observar que, en los triángulos rectángulos, se cumple la relación entre las suma de los cuadrados de los catetos y el cuadrado de la hipotenusa, sin importar el tamaño de los lados.
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secuenci a 22 Paso 3. Identifiquen el cateto más grande y llámenlo On. En el cuadrado construido sobre ese cateto tracen el segmento paralelo a la hipotenusa Mn que pase por el extremo O del cateto.
Paso 4. Por el punto medio del segmento OP tracen una perpendicular, de manera que el cuadrado del cateto quede dividido en cuatro partes, como se indica en la figura.
n
O
P
M
n
O
M
Paso 5. Asignen los números i, ii, iii y iV a las cuatro partes. Además, asignen el número V al cuadrado construido sobre el cateto menor como se muestra en la siguiente figura. Comparen sus construcciones.
P
n I
IV
II III M
O V
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que acaban de trazar las piezas de un rompecabezas y que ahora van a armarlo dentro del cuadrado que está sobre la hipotenusa.
a) Recorten las piezas I, II, III, IV y V. Reacomódenlas, sin que se traslapen, dentro del cuadrado construido sobre la hipotenusa (Mn). ¿Es posible recubrir este cuadrado con las cinco piezas? b) ¿Creen que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?
¿Por qué?
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Sugerencia didáctica. Si tienen dificultades para armar el rompecabezas, comente a los alumnos que las piezas I a IV tienen un ángulo recto que se forma en el vértice en el que se unen las cuatro piezas. Cada uno de esos ángulos rectos va sobre una esquina del cuadrado.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos En todo triángulo rectángulo, si a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa se cumple que:
a2 + b2 = c2 Es decir, el área del cuadrado de lado c (hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados del lado a y lado b (catetos). A esta propiedad de los triángulos rectángulos se le llama el teorema de Pitágoras. Para analizar más ejemplos con demostraciones de este teorema, pueden ver el programa Algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras.
Sugerencia didáctica. Dibuje en el pizarrón una figura parecida a la del paso 2 de la actividad anterior. Indique la medida de los catetos con las letras a y b y la medida de la hipotenusa con la letra c. Pregunte a los alumnos cuál es el área de cada uno de los cuadrados. Si lo considera conveniente, pida a los alumnos que investiguen sobre la historia del teorema de Pitágoras.
Lo que aprendimos En tu cuaderno, construye cuatro triángulos rectángulos iguales entre sí y acomódalos como se indica en la figura (a es la medida del cateto menor, b la del mayor y c la de la hipotenusa):
Propósito de la actividad. Los alumnos van a realizar otra justificación geométrica para el teorema de Pitágoras.
b
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que justifiquen sus respuestas con base en argumentos geométricos y que no den respuestas como “sí son cuadrados porque así quedan” o “con las figuras se forma un cuadrado”.
c a
a) ¿El cuadrilátero que forman las hipotenusas de los cuatro triángulos rectángulos es un cuadrado?
Respuestas.
. ¿Qué razones darías para asegurarlo?
a) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto, por lo que la suma de los otros dos ángulos es de 90°. En las esquinas del cuadrilátero grande se está juntando esos dos ángulos, entonces todos los ángulos del cuadrilátero son rectos. Además todos los lados miden lo mismo, ya que se forman con la hipotenusa de los triángulos.
b) ¿El cuadrilátero que se forma en el interior de la figura es también un cuadrado? . ¿Por qué? ¿Cuánto mide por lado ese cuadrado? c) ¿Cuál es la suma de las áreas de las cinco figuras que forman el cuadrado que tiene por lado a la hipotenusa c? d) ¿Cómo podrían verificar que el área del cuadrado grande c 2 es igual a a 2 + b 2?
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Propósito del programa 41. Presentar diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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b) Cada ángulo del cuadrilátero interior es suplementario al ángulo recto de los triángulos, por lo que todos los ángulos del cuadrilátero interior son rectos. Cada lado de este cuadrilátero mide b – a, por lo que todos sus lados miden lo mismo. c) El área de cada triángulo es ab , el área del 2 cuadrilátero interior es ( b – a )2 . Es decir que la suma es igual a 4 ab + ( b – a )2 2 Al desarrollar la suma de las áreas de las cinco figuras se obtiene:
( )
4 ab + ( b – a)2 = 2 ab + b 2 – 2 ab + a 2 2 = b 2 + a 2
( )
d) El cuadrado grande está formado por las cinco figuras, como la suma de las áreas de las cinco figuras es a 2 + b 2 , entonces c 2 = a 2 + b 2 .
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secuencia 22 Propósito de la sesión. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
SESIÓN 2
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS I
Lo que aprendimos
1. En una escuela se quiere adaptar un salón para las clases de danza. Se han comprado algunos espejos para el salón.
Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos responden que sólo puede entrar el espejo de 2 m × 2 m, usted puede pedirles que piensen de qué manera se puede introducir un vidrio tan grande por una puerta estrecha. También puede preguntarles si el vidrio de 2 × 2 cabe por la puerta si se intenta meter sin inclinarlo.
Las medidas de los espejos son:
Respuesta. La mayor longitud de un espejo que puede entrar por una puerta se obtiene al utilizar la diagonal. Un espejo que mida menos que esa diagonal, pasa por la puerta al inclinarlo. En este caso se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 m y 2 m. La medida de la hipotenusa (la diagonal de la puerta) se obtiene con el teorema de Pitágoras.
2m×2m
2.5 m × 2.5 m
3m×3m
2.2 m × 2.2 m
Sin embargo, hay un inconveniente: la entrada del salón mide 2 m de alto y 1 m de ancho. a) ¿Cuáles son los espejos que pueden pasar por esa entrada? b) ¿Cómo lo pudieron determinar?
c 2 = 12 + 2 2 = 5. Entonces c = 5 ≈ 2.236 Hay dos espejos que sí pasan por la puerta.
c) Si la medida del largo de los espejos que se compraron es de 2.5 m, ¿cuál es la medida máxima del ancho que puede tener un espejo para pasar por esa
Posibles errores. Algunos alumnos responderán que todos los espejos pasan por la puerta si no obtienen la raíz cuadrada de 5 y piensan que la diagonal de la puerta mide 5 m. Comente con los alumnos que, con este procedimiento, se obtiene la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando se conoce la medida de sus dos catetos. Un error común es que los alumnos piensen que esa medida es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, indíqueles que es muy importante el paso final: obtener la raíz cuadrada de ese resultado, de otra manera se está calculando el cuadrado de la hipotenusa.
entrada? d) ¿De qué manera utilizarías el teorema de Pitágoras para resolver este problema?
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Propósito del Interactivo. Resolver problemas aplicando el teorema de Pitágoras.
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Propósito de las preguntas. Los alumnos deberán darse cuenta que la medida de los espejos que entran es menor a la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con el ancho y alto de la puerta. Pregunte a los alumnos qué ocurre si la medida de los espejos es igual a la medida de la hipotenusa.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. Hay que calcular la medida de la diagonal de cada puerta.
2. Se quiere colocar un espejo de 2.50 m × 2.50 m en uno de los salones de la escuela. Los salones tienen una única entrada con las siguientes dimensiones: 1m
Las medidas se calculan con el teorema de Pitágoras. Verifique que los alumnos calculen la raíz cuadrada para obtener el resultado.
1.5 m
2 2 + 12 = 5. 2m
2m
5 ≈ 2.236 2 2 + 1.5 2 = 6.25.
Salón A
Salón B
6.25 = 2.5 2 2 + 2 2 = 8.
2.5 m
2m
8 ≈ 2.8284 2.5 2 + 2 2 = 10.25.
2m
2m
10.25 ≈ 3.2015. Salón C
Salón D
Entonces hay 2 salones en los que puede entrar el espejo.
a) ¿En qué salones es posible que entre el espejo?
Sugerencia didáctica. Comenten entre todos qué ocurre en el salón B.
b) ¿Por qué? c) En el siguiente recuadro, anota el procedimiento que seguiste para saber si es posible que pase el espejo por la entrada de cada salón.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que dibujen la puerta y que identifiquen cuáles son las medidas que conocen. La altura de las puertas es de 2 m y la medida mínima de la diagonal es de 2.5 m para que pueda pasar el espejo.
secuencia 22 d) Comparen sus respuestas y encuentren una manera de calcular la medida mínima que debe tener la entrada del salón para que pase el espejo. Anótenla en su cuaderno. 3. Los siguientes puntos presentan la ubicación de tres poblados. Barragán está a 40 km al norte de Alcántara y Carranza está a 30 km al oeste de Barragán.
Es decir que conocen la medida de uno de los catetos y de la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal de la puerta, los alumnos deben determinar la medida del otro cateto.
Carranza
Respuesta. Como se conoce la medida de la hipotenusa y la medida de uno de los catetos, por el teorema de Pitágoras se plantea la siguiente ecuación:
Barragán
Alcántara
¿Cuál es la distancia entre los pueblos de Alcántara y Carranza?
2 2 + b 2 = 2.5 2
4. Una antena de TV mide 10 m de altura y está fijada con alambres, uno de los cuales mide 18 m.
Se despeja b 2 :
b 2 = 2.52 – 2 2 = 6.25 – 4 = 2.25 b = 2.25 = 1.5 Entonces el ancho de la puerta debe ser mayor de 1.5 m. 18 m 10 m
Respuesta. Al unir los tres pueblos se forma un triángulo rectángulo en el que sus catetos miden 30 km y 40 km. Hace falta encontrar la distancia entre Alcántara y Carranza, que es la medida de la hipotenusa. Se utiliza el teorema de Pitágoras para plantear la ecuación:
9m
a) ¿A qué distancia de la base de la antena queda fijo el alambre de 18 m sobre el piso, si se usa toda la longitud del alambre?
x 2 = 30 2 + 40 2. Entonces x 2 = 2500.
x = 50.
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La distancia entre Alcántara y Carranza es de 50 km.
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Respuesta. En cada caso, la antena, el alambre y el piso forman un triángulo rectángulo. La antena representa uno de los catetos y el alambre representa la hipotenusa. a) Hace falta conocer la medida del otro cateto (x ). Por el teorema de Pitágoras: x 2 + 10 2 = 18 2 x 2 + 100 = 364 x 2 = 364 – 100 x 2 = 264 x ≈ 16.248 El alambre se debe fijar aproximadamente a 16.248 m de la antena.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. b) Hace falta conocer la medida de la hipotenusa (x ). Por el teorema de Pitágoras:
b) En la misma antena de TV, otro de los alambres está fijo al piso a una distancia de 9 m de la base. ¿Cuál es la longitud de ese alambre?
x 2 = 9 2 + 10 2
5. En el antiguo Egipto, cuando ocurrían desbordamientos del cauce del río Nilo, las inundaciones provocaban que se perdieran los límites entre los terrenos (o parcelas), los harpedonaptas (tendedores de cuerdas, agrimentores) tenían la tarea de reproducir gráficamente el área de las propiedades territoriales.
x 2 = 81 + 100 x 2 = 181
Para trazar perpendiculares sobre un terreno, utilizaban una cuerda dividida en 12 tramos por medio de 13 nudos equidistantes.
x ≈ 13.4536 El alambre debe medir aproximadamente 13.4536 m.
Formaban un triángulo cuyos lados fueran 3, 4 y 5 tramos. El triángulo era un triángulo rectángulo y que es llamado triángulo egipcio 3-4-5.
Con una cuerda dividida en 30 tramos también se puede construir un triángulo rectángulo. ¿Cuántos tramos habrá entre los nudos de cada lado del triángulo que se forma?
Respuesta. 5, 12 y 13.
. Represéntenlo en en el siguiente recuadro.
Propósito del programa 42. Mostrar algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras. Para analizar más aplicaciones del teorema de Pitágoras, pueden ver el programa Aplicaciones del teorema de Pitágoras. 127
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Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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Propósito de la sesión. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
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SESIÓN 3
Lo que aprendimos
Respuestas.
1. Sin usar regla, encuentra el perímetro de los siguientes cuadriláteros. Anota en qué caso utilizaron el teorema de Pitágoras.
El perímetro del cuadrilátero 1 es de 25 unidades.
Cuadrilátero 1
Cuadrilátero 2
Cuadrilátero 3
El perímetro del cuadrilátero 2 es de 17.66 unidades aproximadamente (se requiere el teorema). El perímetro del cuadrilátero 3 es de 16.3245 unidades aproximadamente (se requiere el teorema).
Perímetro
Perímetro
Perímetro
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad.
Comparen sus procedimientos y respuestas. 2. Calcula el área de un pentágono regular cuyos lados miden 10 cm, y que está inscrito en una circunferencia de radio 8.5 cm.
Sugerencia didáctica. Si tienen dificultades pida a los alumnos que dividan al pentágono en cinco triángulos isósceles iguales al trazar los cinco radios que van hacia los vértices del pentágono. En cada triángulo la base mide 10 cm y hace falta calcular la altura. Para calcularla se divide el triángulo por la mitad de su base en dos triángulos rectángulos en los que un cateto mide 5 cm y la hipotenusa mide 8.5 cm.
8.5 cm
10 cm
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8.
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cm
5 cm
5
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La medida del otro cateto se calcula con el teorema de Pitágoras y es igual a 47.25 (6.8738 cm aproximadamente). Entonces el área de cada uno de los cinco triángulos es de 5( 47.25 ). Respuesta. El área del pentágono es de 25( 47.25 ) ≈ 171.8465 cm2 .
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Para calcular la distancia se traza un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 2 y 5 unidades. La hipotenusa mide 29 ≈ 5.3851.
3. ¿Cuál es la distancia del punto de coordenadas (5,2) al origen del plano cartesiano?
y 6 5 4 3 (5,2)
2 1 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
x9
10 11 12 13 14 15
–2 –3 –4 –5 –6
4. El tamaño de una pantalla de televisión se define como la longitud de la diagonal de la pantalla en pulgadas.
Respuesta.
a) Una pantalla de televisión mide 56” de ancho y 42” de alto, ¿qué longitud mide la
a) 70’’.
diagonal de esta pantalla? b) Si la diagonal de la pantalla de una televisión mide 60”, ¿cuánto puede medir de ancho y alto? (Escribe al menos dos diferentes medidas del ancho y largo que
Posibles procedimientos. Puede fijarse la medida del ancho de la pantalla, por ejemplo 40". Se debe encontrar la medida del alto (x):
puede tener la pantalla de televisión) c) ¿Cuánto pueden medir los lados de un televisor si su tamaño es de 20”? (Escribe al menos dos diferentes medidas del ancho y largo que puede tener la pantalla de televisión)
x 2 + 40 2 = 60 2 x 2 = 60 2 – 40 2
Para saber más
x 2 = 3600 – 1600
Sobre otras demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras, consulta: http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm [Fecha de consulta: 23 de abril de 2008]. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
x 2 = 2000 x ≈ 44.72" Sugerencia didáctica. Hay muchas respuestas posibles. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a explicar sus respuestas.
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Pregunte al grupo cuáles de las respuestas son más convenientes para las medidas de una pantalla.
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secuenci a 23
Razones trigonométricas
Propósito de la sesión. Calcular el valor que toma la tangente para ángulos menores que 90 grados.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Determinar la altura de un objeto cualquiera con base en la medida del ángulo de elevación y la distancia, y viceversa.
En esta secuencia aprenderás a reconocer y determinar las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
sEsIóN 1
LA COMPETENCIA
Para empezar
En la secuencia 22 de Matemáticas iii, volumen II, aprendiste a calcular la longitud de la hipotenusa o de los catetos usando el teorema de Pitágoras; en esta secuencia conocerás otras herramientas matemáticas para calcular el valor de los catetos o de la hipotenusa.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
En un triángulo rectángulo, al lado opuesto al ángulo a se le llama cateto opuesto al ángulo a y al cateto que forma uno de los lados del ángulo se le llama cateto adyacente al ángulo a . Mientras que al lado opuesto al ángulo B se le llama cateto opuesto al ángulo B y al cateto que forma uno de los lados del ángulo se le llama cateto adyacente al ángulo B, tal como se muestra en la figura.
Sugerencia didáctica. Los alumnos estudiaron en la secuencia 22 el teorema de Pitágoras y aprendieron a distinguir cuáles de los lados del rectángulo son los catetos y cuál es la hipotenusa.
B
c
a 90º
a
a = Cateto opuesto al ángulo A a = Cateto adyacente al ángulo B
b
b = Cateto adyacente al ángulo A
Ahora es necesario que reconozcan que los catetos pueden ser adyacentes u opuestos, dependiendo de a cuál ángulo se haga referencia. Es decir, debe quedarles claro que nombrar “cateto adyacente” a uno de los lados del triángulo no es un absoluto sino una posición relativa, porque es “adyacente”, o sea, contiguo a cierto ángulo y a la vez puede ser “opuesto” a otro.
b = Cateto opuesto al ángulo B
Consideremos lo siguiente En una competencia de motociclismo, los participantes hacen un recorrido por varias rampas y los jueces califican el desempeño de cada competidor; cada rampa tiene distinto grado de dificultad ya que unas están más inclinadas que otras; entre mayor sea el ángulo de inclinación de la rampa, mayor es el grado de dificultad que tiene el competidor al pasar por ella.
Si lo considera útil, dibuje varios triángulos rectángulos en el pizarrón y pida a los alumnos que señalen cuál es el cateto adyacente y cuál el opuesto a cierto ángulo.
b
c a
a Figura 1 130
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Propósito de la actividad. Con este problema se pretende establecer que la inclinación de un ángulo en un triángulo rectángulo puede medirse por el cociente que se obtiene al dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente a dicho ángulo, entre más grande sea ese cociente mayor es el ángulo.
Posibles procedimientos. Para solucionar el problema los alumnos podrían: • trazar los triángulos que representan a cada rampa y observarlos para decidir cuál tiene una mayor inclinación,
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Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos resuelvan la actividad como puedan y no les adelante ninguna información, no importa si no utilizan las razones trigonométricas o si no obtienen la respuesta correcta. Más adelante aprenderán a hacerlo.
• medir el ángulo que se les solicita una vez trazados los triángulos, • analizar las medidas en la tabla y deducir que el que tiene un mayor ángulo de inclinación es aquel cuya medida de la rampa es mayor, • hallar el cociente entre el cateto opuesto y el adyacente.
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III
MATEMÁTICAS
Respuestas. a) La rampa 3.
La siguiente tabla muestra las medidas de seis rampas como la de la figura 1.
b a
Rampa 1
Rampa 2
Rampa 3
Rampa 4
Rampa 5
Rampa 6
3
1.5
3
4.5
1.5
3
5
3.5
3.25
6
2.5
4
b) La rampa 1 tiene el mismo ángulo de inclinación que la 5. La 4 y la 6 también tienen el mismo ángulo de inclinación.
a) ¿Qué rampa tiene el mayor ángulo de inclinación (ángulo A)? b) ¿Cuáles rampas tienen el mismo ángulo de inclinación?
y
Propósito del Interactivo. Que el alumno aprenda a resolver problemas geométricos aplicando las razones trigonométricas.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra I. En los siguientes triángulos rectángulos están representadas las medidas de las rampas de la tabla anterior. Están hechos a escala de 1 cm a 1 m; usa tu regla y transportador para completar las medidas, el ángulo de inclinación y el número de rampa para cada uno de los triángulos. Rampa 1
Rampa 6
5 cm
3 cm
5.83 cm
3 cm Ángulo de inclinación de la rampa
Ángulo de inclinación de la rampa
37°
31°
5 cm
4 cm
Posibles procedimientos. Para resolver esta actividad los alumnos pueden medir los lados de los triángulos, o bien, observar la tabla e inferir cuáles son las medidas de los tres triángulos que no las tienen (hay uno más grande que los otros dos, uno mediano y uno más chico).
Rampa 6 4 Rampa 63
7.5 cm
4.5 cm
3 cm
Ángulo de inclinación de la rampa
4.42 cm Ángulo de inclinación de la rampa
37°
47°
3.25 cm
6 cm
Rampa 5
2.91 cmÁngulo de
1.5 cm
inclinación de la rampa
Rampa 62
31°
1.5 cm
3.8 cm Ángulo de
inclinación de la rampa
2.5 cm
23°
3.5 cm 131
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Propósito de la actividad. A través de la obtención de las medidas de los triángulos y del llenado de la tabla, se pretende que los estudiantes conozcan que el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente, es un dato que permite saber en cuál de los triángulos el ángulo es mayor: mientras mayor sea el cociente obtenido, mayor es el ángulo.
Los alumnos también pueden medir la hipotenusa de todos los triángulos, o bien, recordar cómo obtener esta medida utilizando el Teorema de Pitágoras. Si lo considera necesario, haga un pequeño repaso. El ángulo de inclinación deben medirlo con su transportador (las medidas de los ángulos de inclinación que aparecen en este libro, son aproximadas).
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Propósito de la secuencia Estudiar las razones trigonométricas como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de ángulos y lados de triángulos rectángulos a partir de los valores de sus razones trigonométricas.
Eje Forma, espacio y medida. Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Medida. Subtema
1
La competencia Calcular el valor que toma la tangente para ángulos menores que 90 grados.
2
Senos y cosenos Calcular el valor que toman el seno y coseno para ángulos menores que 90 grados.
3
30°, 60° y 45° Calcular el valor de las razones trigonométricas de algunos ángulos conocidos.
4
A resolver problemas Resolver problemas usando los valores de las razones trigonométricas.
Estimar, medir y calcular. Antecedentes
En la secuencia anterior los alumnos estudiaron el Teorema de Pitágoras. Ahora conocerán las razones trigonométricas seno, coseno y tangente al resolver problemas que involucren su uso.
Aula de medios Interactivo
Programa 43
Programa 44 Interactivo
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secuenci a 23 Completa la siguiente tabla: Cateto opuesto al ángulo de inclinación (b )
Respuestas. La rampa 1 tiene un mayor ángulo de inclinación porque tiene 31° y la 2 sólo tiene 23°. El cociente de la rampa 1 (0.6) es mayor que el de la rampa 2 (0.42).
Cateto adyacente al ángulo de inclinación (a )
Cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente
Angulo de inclinación
Rampa 1
3
5
0.6
31°
Rampa 2
1.5
3.5
0.42
23°
Rampa 3
3
3.25
0.92
47°
Rampa 4
4.5
6
0.75
37°
Rampa 5
1.5
2.5
0.6
31°
Rampa 6
3
4
0.75
37°
Para la rampa 1 y la rampa 2 contesta: • ¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?
Respuestas. La rampa 3 tiene un mayor ángulo de inclinación porque tiene 47° y la 4 sólo tiene 37°.
• ¿En qué rampa el cociente calculado en la tabla anterior es mayor? Para la rampa 3 y la rampa 4 contesta: • ¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?
El cociente de la rampa 3 (0.92) es mayor que el de la rampa 4 (0.75).
• ¿En qué rampa el cociente calculado en la tabla anterior es mayor? • Si en una séptima rampa, el cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo de inclinación fuera mayor al de la rampa 4, ¿cómo sería el ángulo de inclinación, mayor o menor? Justifica tu respuesta.
Respuesta. Si el cociente entre el cateto opuesto (CO) y el cateto adyacente (CA) es mayor, el ángulo de inclinación es mayor también.
Para la rampa 4 y la rampa 6 contesta: • ¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?
Los alumnos podrían usar como argumento para justificar su respuesta el comportamiento de los ángulos en triángulos rectángulos que observaron en la tabla anterior. Para ayudar a los alumnos usted puede dibujar un triángulo rectángulo en el que el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente sea mayor al de la rampa 4, por ejemplo CO = 5 y CA = 6, así CO = 5 . 6 CA Entonces midan el ángulo para verificar que es mayor que el de la rampa 4. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos la notación: CO es el cateto opuesto CA es el cateto adyacente
• ¿Cómo es el cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo de inclinación, distinto o igual? • ¿Son semejantes los triángulos de la rampa 4 y la rampa 6? Justifica tu respuesta
• Si en una octava rampa, el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo de inclinación fuera igual al de la rampa 1, ¿cómo compararían los ángulos de inclinación? Justifica tu respuesta. Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron, además, en el apartado Consideremos lo siguiente, verifiquen lo contestado.
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Respuestas. Tanto la rampa 4 como la 6 tienen igual ángulo de inclinación (37°) y sus cocientes son iguales (0.75). Son triángulos semejantes porque tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. Si hubiese una rampa 8 con el mismo cociente entre el CO y CA que el de la rampa 1, el ángulo de inclinación sería igual.
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MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos En un triángulo rectángulo como el de la figura, se llama tangente del ángulo A al cociente que se obtiene de dividir el cateto opuesto al ángulo A entre el cateto adyacente, y se escribe como tan(A).
Para saber más. En matemáticas el uso de la palabra “tangente” hace referencia a dos conceptos:
b = Cateto opuesto al ángulo A A
• En trigonometría es una función y el valor de la tangente en un ángulo entre 0 y 360 grados se obtiene como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Este es el significado que se estudia en la presente secuencia.
a = Cateto adyacente al ángulo A
tan(A) =
b a
Entre mayor es la tangente de un ángulo, mayor es el ángulo. Por ejemplo:
• En geometría la tangente es la línea que “toca” en un punto a una curva. Este significado se estudió en el libro Matemáticas III secuencia 3.
Cateto opuesto al ángulo A = 1 cm
A
Cateto adyacente al angulo A = 5 cm tan(A) =
Cateto opuesto al ángulo A 1 cm = = 0.2 Cateto adyacente al ángulo A 5 cm
Puede ser útil comentar esta información con los alumnos, para evitar confusiones. Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron lo que es una “razón” en la secuencia 6 del libro Matemáticas III. Coménteles que como el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente a un ángulo dado es una razón, entonces a la tangente también se le llama “razón trigonométrica”.
Cateto opuesto al ángulo B = 6 cm
B
Una razón trigonométrica es el cociente entre dos de las medidas de los lados en un triángulo rectángulo. Estas razones pueden compararse, y cuando hay igualdad de razones entonces los triángulos rectángulos son semejantes.
Cateto adyacente al angulo B = 2 cm tan(B) =
Cateto opuesto al ángulo B 6 cm = =3 Cateto adyacente al ángulo B 2 cm
Como tan(B) es mayor que tan(A), entonces la medida del ángulo B es mayor que la del ángulo A. 133
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Propósito de la actividad. Con esta actividad se espera que los alumnos se den cuenta de al menos dos aspectos:
secuencia 23 ii. En el siguiente dibujo se encuentran superpuestos cuatro triángulos rectángulos, observa que los cuatro comparten el ángulo a . Completa los datos de la tabla.
• Si los triángulos comparten el ángulo A y un ángulo recto, entonces son semejantes.
3.25 cm 2.5 cm
• Si los triángulos comparten el ángulo A y son congruentes, entonces tienen la misma tangente.
1.5 cm 1 cm
a 2 cm 3 cm 5 cm 6.5 cm
Cateto opuesto al ángulo A
Cateto adyacente al ángulo A
Cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente
1
2
1 = 0.5 2
Triángulo amarillo
1.5
3
Triángulo azul
2.5
5
Triángulo morado
3.25
6.5
Triángulo rojo
Respuesta. a) Son iguales.
1.5 = 0.5 3 2.5 = 0.5 5 3.25 = 0.5 6.5
Posibles Respuestas.
a) ¿Cómo son los cocientes de la tabla anterior, distintos o iguales?
b) Los estudiantes pueden utilizar cualquiera de los criterios para afirmar que los triángulos son semejantes, pero es importante que justifiquen su elección.
b) ¿Cuál de los siguientes criterios usarías para determinar que los triángulos anteriores son semejantes? Subráyalo. • Tres ángulos iguales. • Lados correspondientes proporcionales. • Dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo entre ellos igual.
Sugerencia didáctica. Pida a tres o cuatro alumnos que pasen al pizarrón para que expliquen por qué eligieron tal o cual criterio.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
A lo que llegamos
Haga énfasis en que no se limiten a decir cosas como “porque tiene tres ángulos iguales”, sino que expliquen cómo pueden asegurar que los tres ángulos son iguales.
Para dos triángulos rectángulos semejantes, el valor de la tangente de ángulos correspondientes es el mismo. Por ejemplo:
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MATEMÁTICAS
3 cm
III
2 cm A’
A
6 cm
4 cm
3 tan(A) = = 0.5 6
tan(A’) =
2 = 0.5 4
Estos dos triángulos son semejantes y en ambos el valor de la tangente de los ángulos correspondientes A y A´ es 0.5
COSENOS Y SENOS
SESIÓN 2
Para empezar
Propósito de la sesión. Calcular el valor que toman el seno y coseno para ángulos menores que 90 grados.
Seno, coseno y tangente En la sesión anterior aprendiste que, dado un ángulo A en un triángulo rectángulo, al cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente se le llama tangente del ángulo A. Existen otras relaciones entre los lados del triángulo y un ángulo A: la relación que hay entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa o la relación que hay entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Estas dos relaciones reciben los siguientes nombres:
Propósito del programa 43. Establecer las definiciones de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
Al cociente de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa se le llama seno de A y se escribe sen(A). Al cociente de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa se le llama coseno de A y se escribe cos(A). Hipotenusa = c
sen(A) =
b c
cos(A) =
a c
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
b = Cateto opuesto al ángulo A
A
a = Cateto adyacente al ángulo A
Consideremos lo siguiente
El seno del ángulo A en el siguiente triángulo rectángulo es 3 . 5 Construye un triángulo rectángulo diferente del anterior cuyo seno 3 de uno de sus ángulos sea también ; a ese ángulo llámale A’ . 5 a) ¿Cuánto mide el ángulo del triángulo A’ que construiste?
b) ¿Cuánto mide el ángulo A?
5 cm
B 3 cm
sen(A) = 3 5
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de que si construyen triángulos que tengan el mismo seno, serán semejantes porque tanto el cateto opuesto como la hipotenusa serán proporcionales.
sen(B) = 4 5
A 4 cm
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Respuestas. a) 31 grados. b) 31 grados.
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Respuesta.
secuencia 23
c) Sí son semejantes porque el cateto opuesto y la hipotenusa son proporcionales.
c) ¿Son semejantes el triángulo que construiste y el triángulo anterior? Justifica tu respuesta. Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Sugerencia didáctica. Dé tiempo para esta discusión, es importante que los alumnos comenten qué criterio utilizaron para justificar su respuesta al inciso c) del apartado Consideremos lo siguiente.
Respuesta. Mide 6 cm. Como es un triángulo rectángulo, además de tener las medidas de dos de sus lados, se sabe que el ángulo que formado por los dos catetos debe ser recto.
Manos a la obra
i. El seno del ángulo B en el triángulo del apartado Consideremos lo siguiente es 4 . 5 a) ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 4 ? Subráyalas. 5 2 8 2 5 Recuerda que: 5 10 2.5 3 dice s gora Pitá de ema teor El ánque en todo triángulo rect b) Si la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de los gulo, la suma del cuadrado catetos mide 8 cm, usando el teorema de Pitágoras ¿cuánto mide el de los catetos es igual al sa. otro cateto? tenu hipo la cuadrado de c) En el siguiente espacio construye un triángulo rectángulo con las medidas del inciso b).
Respuesta. d) Sí son semejantes. Los alumnos pueden utilizar varios criterios para justificar su respuesta, como que los tres lados de los triángulos son proporcionales.
d) ¿Es semejante el triángulo que construiste al que está en el apartado Consideremos lo siguiente?
. Justifica tu respuesta.
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10 cm 6 cm
8 cm
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MATEMÁTICAS
III
e) En el triángulo que construiste, nombra con la letra C al ángulo que corresponde al ángulo B, y completa la siguiente tabla: Ángulo
Seno del ángulo
B
4 = 0.8 5
Medida del ángulo
59º
C
8 = 0.8 10
59º
f) ¿Cómo es la medida de los ángulos B y C, igual o diferente?
Respuesta.
Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus resultados.
f) El sen(c ) es igual al sen(b ), ambos miden 59°.
A lo que llegamos Cuando el valor del seno para dos ángulos de triángulos rectángulos distintos (uno en cada triángulo) es el mismo entonces los triángulos son semejantes. Por ejemplo, el valor del seno del ángulo A y el del ángulo A’ en los siguientes dos triángulos es 2 = 0.6, y por lo tanto 3 los dos triángulos son semejantes.
6 cm 4 cm
3 cm
2 cm
A
sen(a ) =
B
2 3
sen(b ) =
4 2 = 6 3
La propiedad anterior también se cumple con el coseno, es decir, si el valor del coseno para dos ángulos de triángulos rectángulos distintos (uno en cada triángulo) es el mismo, los triángulos son semejantes. Verifica esta propiedad para los triángulos del apartado Consideremos lo siguiente y el que construiste en el inciso c) del apartado Manos a la obra.
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Propósito de la actividad. Ahora los alumnos estudiarán el coseno, que es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y observarán que si dos triángulos rectángulos tienen el mismo coseno, son semejantes.
secuenci a 23 ii. A continuación aparecen siete triángulos en los que se distinguieron los ángulos a, B, c, D, e, F y G, respectivamente. 8 cm
0.75 cm B 1.25 cm 1 cm
G 2.6 cm
D
2.4 cm
5 cm
3 cm
10 cm
1 cm
6 cm
a 4 cm
2.5 cm
1.5 cm
c 2 cm 6 cm
13 cm
5 cm
F 2.5 cm
6.5 cm
G 12 cm
Usando las medidas de los triángulos anteriores completa la siguiente tabla para cada uno de los ángulos marcados en el dibujo. Cateto adyacente (cm)
Cateto opuesto (cm)
Hipotenusa (cm)
Coseno =
cateto adyacente hipotenusa
4 = 0.8 5
Seno =
cateto opuesto hipotenusa
3 = 0.6 5
Triángulo verde (ángulo A)
4
Triángulo rojo (ángulo B)
1
0.75
1.25
1 = 0.8 1.25
0.75 = 0.75 1
Triángulo naranja (ángulo C)
2
1.5
2.5
2 = 0.8 2.5
1.5 = 0.6 2.5
Triángulo amarillo (ángulo D)
2.4
1
2.6
Triángulo azul (ángulo E)
12
5
13
Triángulo morado (ángulo F)
6
2.5
6.5
Triángulo rosa (ángulo G)
8
6
3
5
10
2.5 = 0.92 2.6 12 = 0.923 13
6 = 0.92 6.5 8 = 0.8 10
1 2.6
5 = 0.38 13 2.5 = 0.38 6.5 6 = 0.6 10
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
a) ¿Qué triángulos son semejantes al triángulo verde?
a) El rojo, el naranja y el rosa.
b) ¿Cómo es el valor del coseno que calculaste en la tabla para estos triángulos, distinto o igual?
b) Es igual. c) El amarillo y el morado.
c) ¿Qué triángulos son semejantes al triángulo azul?
d) Es igual.
d) ¿Cómo es el valor del seno que calculaste en la tabla para estos triángulos, distinto o igual? Comparen sus respuestas.
En triángulos rectángulos semejantes el valor del seno y el coseno de ángulos correspondientes es el mismo. Por ejemplo: 10 cm
5 cm
8 cm
4 cm A’
A
3 cm
6 cm
cos(A ) = 3 = 0.6 5
cos(A’) = 3 = 0.5 6
sen(A) = 4 = 0.8 5
sen(A’) = 6 = 0.6 10
Propósito de la sesión. Calcular el valor de las razones trigonométricas de algunos ángulos conocidos.
En ambos triángulos el valor del coseno es igual para los ángulos A y A´ y el valor del seno también.
30˚, 45˚ Y 60˚
SESIÓN 3
Para empezar En las sesiones anteriores aprendiste a calcular la tangente, el seno y el coseno de un ángulo a en un triángulo rectángulo como el de la figura que sigue:
c
b = Cateto opuesto al ángulo A
tan(A) =
b a
sen(A) =
b c
cos(A) =
a c
A
a = Cateto adyacente al ángulo A
Aunque en la calculadora o tablas trigonométricas es relativamente sencillo encontrar el valor de la función seno coseno o tangente de un ángulo conocido, es importante que los alumnos comprendan un procedimiento para realizar el calculo de las razones trigonométricas de algunos ángulos significativos. Comente a los alumnos que los ángulos que tienen las escuadras del juego de geometría, son los que van a calcular en esta secuencia.
Figura 1
A los cocientes anteriores se les llama razones trigonométricas del ángulo A . En esta sesión aprenderás a calcular las razones trigonométricas de algunos ángulos. 139
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secuenci a 23
Propósito de las preguntas. Mediante lo que se les solicita en este apartado se pretende que los estudiantes se den cuenta de que el valor de las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo dado, será el mismo sin importar las medidas del triángulo rectángulo, porque todos serán semejantes.
Consideremos lo siguiente a) Dibuja un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 45º, ¿cuál es el valor de la tangente para ese ángulo? b) Dibuja un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mida 60º, ¿cuál es el valor del coseno para ese ángulo?
Posibles dificultades. Estas preguntas pueden ser difíciles para los alumnos porque hasta a ahora han aprendido a obtener el valor de las funciones trigonométricas a partir de las medidas de los lados de los triángulos y no se les proporciona ninguna.
c) Encuentra el valor del seno para el ángulo de 30º. Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus resultados
Manos a la obra i. El siguiente es un triángulo rectángulo en el que ambos catetos miden 1 cm.
Para poder contestarlas preguntas es importante que dibujen los triángulos. Si no saben cómo hacerlo, recuérdeles lo siguiente:
B 1 cm
• Como se trata de triángulos rectángulos, además de la medida que se les da en cada pregunta, saben que otro de los ángulos mide 90°.
a 1 cm
a) Usando el teorema de Pitágoras encuentra el valor de la hipotenusa en el triángu-
• Teniendo la medida de dos ángulos se puede averiguar la del tercero, porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°.
lo anterior b) ¿El triángulo anterior es isósceles, escaleno o equilátero? . Justifica tu respuesta.
• Las medidas de los lados de los triángulos pueden ser muchas, lo importante es los ángulos tengan las medidas que se indican.
c) ¿Cuánto mide el ángulo a?
Para empezar, puede sugerirles que tracen uno de los lados del triángulo rectángulo con cualquier medida, luego otro de los lados cuidando que forme un ángulo de 90° con el que trazaron primero. En el otro extremo del lado que trazaron primero, miden el ángulo que se les da en la pregunta y unen los extremos. Entonces miden los tres lados del triángulo para obtener las funciones trigonométricas. Respuestas. a) El valor de la tangente es 1 b) El coseno vale 0.5 c) El seno también vale 0.5 Sugerencia didáctica. Para resolver estas actividades es conveniente el uso de la calculadora científica o de tablas trigonométricas (mismas que aparecen en el anexo 1 del libro del alumno).
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d) ¿Cuánto mide el ángulo B?
Recuerda que: s Un triángulo isóscele s. iguale tiene dos ángulos
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Respuestas. a) Mide 2 b) Es isósceles, porque tiene dos lados iguales (los que miden 1 cm) y uno desigual. c) 45° d) 45°
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MATEMÁTICAS e) Completa la siguiente tabla. Para el ángulo A, encuentra el valor del seno, el coseno y la tangente.
III
Razones trigonométricas para el ángulo A sen(A) =
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. Si tienen calculadora científica verifiquen sus resultados.
cateto opuesto hipotenusa
cos(A) =
cateto adyacente hipotenusa
tan(A) =
cateto opuesto cateto adyacente
Sugerencia didáctica. Si los alumnos no saben cómo utilizar la calculadora científica para obtener las funciones trigonométricas, explíqueles que el procedimiento depende de la calculadora.
Valor numérico
1 = 0.0707 2 1 = 0.0707 2 1 =1 1
Para trabajar con la calculadora de la computadora hay que ir a Programas y seleccionar Accesorios, ahí encontrarán Calculadora. Una vez abierta, en el menú Ver hay dos opciones: Científica o Estándar, seleccionar Científica. Entonces, se teclea la medida del ángulo y en seguida se oprime la tecla de la función que se desee obtener.
II. El triángulo PQR es equilátero, sus lados miden 1 cm; si se traza la altura se forman dos triángulos rectángulos como en la siguiente figura. Recuerda que:
P B 2 cm
Hipotenusa
2 cm
2 cm
A Q
B Cateto opuesto al ángulo A
A 2 cm
R
Cateto adyacente al ángulo A
En un triángulo equilátero • sus tres ángulos internos miden 60°, • para cada vértice, la altura correspondiente corta al lado opuesto al vértice en su punto medio.
a) ¿Cuánto mide el ángulo A?
Propósito de la actividad. Mediante el trazo de un triángulo equilátero, se proporciona a los alumnos una manera para calcular el valor de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos.
b) ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ángulo A? c) Usando el teorema de Pitágoras, encuentra cuánto mide el cateto opuesto al ángulo A
Respuestas.
d) Completa la siguiente tabla: para el ángulo A, encuentra el valor del seno, el coseno y la tangente. Razones trigonométricas para el ángulo A sen(A) =
cateto opuesto hipotenusa
cos(A) =
cateto adyacente hipotenusa
tan(A) =
cateto opuesto cateto adyacente
En la mayoría de las calculadoras científicas de bolsillo, hay que oprimir primero la tecla de la función que se desea obtener, luego la medida del ángulo, y finalmente la tecla del signo “igual”.
a) Mide 60°
Valor numérico
b) 1 cm
3 = 0.866 2 1 = 0.5 2
c) 3
3 = 1.224 2
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secuencia 23 Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. Si tienen calculadora científica verifiquen sus resultados.
A lo llegamos Para calcular la tangente de 30˚, se puede hacer lo siguiente: En el triángulo equilátero PQR, con lados que miden 2 cm, se traza la altura y se forman dos triángulos rectángulos, como en el dibujo. Como el lado PQ mide 2 cm, entonces el cateto opuesto al ángulo de 30˚ mide 1 cm. P 30º 30º
2 cm
60º
Q 1 cm
2 cm
Hipotenusa 2 cm
30º
Cateto adyacente al ángulo de 30º
60º
60º
1 cm R
Cateto opuesto al ángulo de 30º = 1 cm
Usando el teorema de Pitágoras, se tiene que el cateto adyacente al ángulo de 30˚ mide 22 − 12 = 4 − 1 = 3 cm. Por lo que tan(30˚) = 1 . 3 e) Verifica, usando el dibujo anterior, que cos(30˚) = 3 y sen(30˚) = 0.5 2
Lo que aprendimos Usa tu calculadora científica para encontrar la medida del seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos. Ángulo en grados
Seno
Coseno
Tangente
10
0.1736
0.9848
0.1763
15
0.2588
0.9659
0.2679
20
0.3420
0.9396
0.3639
25
0.4226
0.9063
0.4663
35
0.5735
0.8191
0.7002
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MATEMÁTICAS
III
A RESOLVER PROBLEMAS
SESIÓN 4
A lo que llegamos
Para resolver los siguientes problemas puedes usar tu calculadora o consultar el anexo 1 Tabla de razones trigonométricas.
Propósito de la sesión. Resolver problemas usando los valores de las razones trigonométricas. Integrar al portafolios. Seleccione uno o dos problemas de esta sesión y pida a los alumnos una copia de sus respuestas y procedimientos.
1. A cierta hora del día un edificio proyecta una sombra de 150 m sobre un punto en el piso formando un ángulo de 40˚ desde el punto en el piso hasta la parte más alta del edificio, como se muestra en el dibujo. ¿Qué altura tiene el edificio?
40º
150 m
Observa que podemos usar un triángulo rectángulo como el siguiente para ayudarnos a resolver este problema
Altura del edificio Ángulo que proyecta el edificio
Sombra que proyecta el edificio
40º 150 m
Lo que queremos saber es la altura del edificio, es decir, la medida del cateto opuesto al ángulo de 40º. Con tu calculadora o con las tablas que se encuentran en el anexo 1, Tabla de razones trigonométricas, completa la siguiente información:
Ángulo de 40º
Seno
Coseno
Tangente
0.6427
0.7660
0.8390 143
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Sugerencia didáctica. En esta sesión se plantean distintos problemas que se resuelven utilizando las razones trigonométricas que los alumnos han aprendido.
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Propósito del Interactivo. Que el alumno aprenda a resolver problemas geométricos aplicando las razones trigonométricas.
El problema 1 se explica con mayor detalle para proporcionar más apoyo a los estudiantes, por lo que conviene que lo resuelvan juntos y lo vayan explicando en el pizarrón.
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Respuesta. La razón coseno no tiene sentido utilizarla porque en ella no interviene el cateto opuesto (CO) que es la medida que interesa obtener.
secuenci a 23 ¿Que razón trigonométrica usarías para encontrar la altura del edificio? Subráyala. sen(40º) = cateto opuesto hipotenusa
La razón seno sí la considera, pero para obtenerla mediante dicha función se requiere conocer el valor de la hipotenusa, y en este problema se desconoce.
cos(40º) = cateto adyacente hipotenusa
tan(40º) = cateto opuesto cateto adyacente
Sustituye los valores conocidos en la razón que elegiste y encuentra el valor de la altura del edificio. Altura del edificio:
La razón tangente es la que debe emplearse, porque se conoce la medida del cateto adyacente (CA) y el valor de la tangente de un ángulo de 40°.
Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos. 2. Desde un faro situado a 40 m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de 24º, como se muestra en el dibujo.
Entonces, lo que hay que hacer es sustituir los valores conocidos en la razón tangente, es decir:
24º
tan(40°) = CO CA 0.8390 = CO 150 A partir de ese punto, hay que despejar el valor del CO, quedando:
150 m
CO = 0.8390 × 150 ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?
CO = 125.86 La altura del edificio es 125.86 m.
3. La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 38º. Si un árbol tiene 3.5 m de altura como en el dibujo:
Respuesta. En este problema también se busca obtener la medida del cateto opuesto (CO). Como se conoce la medida del cateto adyacente (CA) y la del ángulo, es pertinente emplear la razón tangente para resolverlo. Entonces:
3.5 m
tan(24°) = CO CA 0.4452 = CO 40 A partir de ese punto, hay que despejar el valor del CO, quedando: CO = 0.4452 × 40 CO = 17.8 La distancia a la que se encuentra el barco del faro es 17.8 m. Posibles errores. Quizá algunos alumnos piensen que la medida que debe hallarse en este problema es la del cateto adyacente. Si surge este error en el grupo, recuerden juntos que la posición de los catetos está en función del ángulo que se toma como referencia. En éste caso, el cateto adyacente al ángulo de 24° es el que mide 40 m.
38º
Sombra proyectada m ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por el árbol?
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Respuesta. Para resolver este problema también se usa la razón tangente. tan(38°) = CO CA 0.7812 = CO 3.5 Despejando el valor del CO, queda: CO = 0.7812 × 3.5 CO = 2.73 La longitud de la sombra proyectada es de 2.73 m.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Usando la razón tangente se tiene que:
4. Calcula la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º.
tan(37°) = CO CA CO 0.7535 = 20 A partir de ese punto, hay que despejar el valor del CO, quedando:
M
?
37º L
20 m
CO = 0.7535 × 20
N
CO = 15.07
Medida del asta bandera:
La medida del asta bandera es 15.07 m.
5. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared formando un ángulo de 70º con el piso.
Respuesta. Hay que utilizar la razón seno porque se conoce la medida de la hipotenusa y se quiere averiguar la del cateto opuesto (CO). Así pues, sen(70°) = CO H CO 0.9396 = 10 A partir de ese punto, hay que despejar el valor del CO, quedando:
10 m
70º
Usa el seno del ángulo de 70º para calcular qué distancia hay del piso a la altura de la escalera.
CO = 0.9396 × 10
Distancia del piso a la punta de la escalera:
CO = 9.39 La distancia del piso a la punta de la escalera es de 9.39 m.
Para analizar más ejemplos de aplicación de las razones trigonométricas, pueden ver el programa Ejercicios con razones trigonométricas.
Para saber más Sobre las razones trigonométricas, consulta: http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trigonometricas_operaciones_identidades/ razones2.htm [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. 145
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Propósito del programa 44. Mostrar mediante una serie de ejercicios la aplicación de las razones trigonométricas en la resolución de problemas. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
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secuenci a 24
Propósito de la sesión. Comparar el crecimiento exponencial con el proporcional, en el contexto de generación de las especies.
El crecimiento exponencial y el lineal
Propósito de la actividad. Se pretende poner a prueba el razonamiento proporcional contra el exponencial, ayudando al alumno a descubrir que en el crecimiento de las hormigas, es cierto que al doble de tiempo habrá el doble de hormigas (porque es una relación de proporcionalidad directa), pero que no se cumple en el caso de las bacterias (porque tienen un crecimiento exponencial).
Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.
SESIóN 1
CRECIMIENTO DE POBLACIONES
Para empezar
Las bacterias son organismos unicelulares, tan pequeños que no pueden verse sin microscopio. Y son causantes de múltiples enfermedades.
Sugerencia didáctica. No adelante a los alumnos información acerca de cómo es el tipo de crecimiento de las hormigas y de las bacterias, permítales avanzar en la resolución y podrán llegar a sus propias conclusiones.
En la naturaleza se pueden encontrar distintas formas de reprodrucción de las especies. Por ejemplo, las bacterias se parten en dos para reproducirse, es decir, una bacteria se alarga y se estrecha por la mitad hasta que se parte y se convierte en dos bacterias idénticas a la original.
Otra forma peculiar la podemos encontrar en las colonias de hormigas. La mayoría de las colonias se inician con una hormiga reina proveniente de otro hormiguero. La hormiga reina cava un agujero y se esconde ahí; después de un tiempo empieza a procrear nuevas hormigas. Durante un largo periodo, la reina es la única encargada en generar nuevos miembros a la colonia; más adelante aparecen nuevas reinas que la ayudan a seguir procreando.
Respuestas. a) 8 bacterias. A los 10 minutos ya hay 2, a los 20 minutos hay 4, a los 30 minutos ya son 8. b) 10 minutos, porque si en 10 minutos cada bacteria se convierte en 2, entonces les tomará ese tiempo crecer al doble y llenar el frasco.
Consideremos lo siguiente En un frasco hay una bacteria y se sabe que le toma 10 minutos para partirse en dos. a) ¿Cuántas bacterias habrá en el frasco después de 30 minutos?
c) 10 hormigas.
b) Si después de 10 días el frasco está a la mitad, ¿cuánto tiempo faltará para llenarse?
d) Dos años. c) Si la hormiga reina engendra dos nuevas hormigas cada día, ¿cuántas hormigas habrá (sin incluir a la reina) después de 5 días?
Propósito del Interactivo. Estudiar el crecimiento exponencial en diversos ejemplos de la realidad.
d) Si el hormiguero está a la mitad de su capacidad después de 1 año, ¿cuánto tiempo faltará para llenarse? 146
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Propósito de la secuencia Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial.
Eje Manejo de la información. Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Crecimiento de poblaciones Comparar el crecimiento exponencial con el proporcional, en el contexto de generación de las especies.
Programa 45 Interactivo
2
Interés compuesto Observar que el crecimiento exponencial siempre rebasa al crecimiento lineal.
3
La gráfica exponencial Reconocer que el crecimiento exponencial aumenta a una razón constante.
Programa 46
4
La depreciación de las cosas Definir el decrecimiento exponencial.
Programa 47 Interactivo
Representación de la información. Subtema Gráficas. Antecedentes
Los alumnos han estudiado diversos aspectos de las relaciones lineales. En esta secuencia las compararán con las relaciones exponenciales utilizando el llenado de tablas y las gráficas.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. Para duplicar la cantidad de bacterias no se requiere el doble de tiempo, se reproducen mucho más rápido. En cambio, para duplicar la cantidad de hormigas sí es necesario el doble de tiempo.
Comparen sus respuestas y comenten Para duplicar la cantidad de bacterias, ¿se requiere el doble de tiempo? Para duplicar la cantidad de hormigas, ¿se requiere el doble de tiempo?
Manos a la obra
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos discutan esta cuestión dando el tiempo que sea necesario, ya que es esencial que se percaten de las diferencias entre uno y otro crecimiento.
I. Observa el siguiente diagrama que ilustra cuántas bacterias habrá después de 20 minutos. Minuto 0 Minuto 10 Minuto 20
Sugerencia didáctica. Si lo considera útil, diga a los alumnos que sigan dibujando el diagrama añadiendo “niveles” para que observen cómo es el crecimiento de las bacterias.
Completa la siguiente tabla para calcular cuántas bacterias habrá en el frasco después de una hora. Minutos
0
10
Bacterias
1
2
20
30
40
50
60
4
8
16
32
64
Es importante que a partir de este punto en la sesión, no confundan el crecimiento exponencial (el de las bacterias) con el lineal (el de las hormigas).
II. De las siguientes sucesiones de números, ¿cuál está asociada al crecimiento de las bacterias en espacios de 10 minutos? Subráyala. a) 1, 2, 4, 8, 16, …
b) 1, 2, 3, 4, 5, …
c) 1, 2, 4, 6, 8, …
Describe con tus palabras cómo generar cada elemento de la sucesión.
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos Las sucesiones en las que cada término es resultado de multiplicar el término anterior por un número fijo son llamadas sucesiones exponenciales. El número fijo por el que se multiplica es llamado razón común. Por ejemplo, la sucesión correspondiente a la reproducción de las bacterias es exponencial porque el número de bacterias que habrá dentro de 10 minutos se obtiene multiplicando el número actual por 2. En este caso la razón común es 2. Además, en las sucesiones exponenciales, los términos también se pueden obtener elevando la razón común a algún exponente. Por ejemplo, la siguiente sucesión exponencial con razón común 2: 7, 14, 28, 56, 112, … se puede escribir como: 7 × 21, 7 × 22 , 7 × 23, 7 × 24, … 7 × 20,
Cuando hayan completado la tabla, haga notar que entre el minuto 10 y el 20 es cierto que transcurrió el doble de tiempo para que hubiera el doble de bacterias, pero que entre el minuto 20 y el 30 (y de ahí en adelante) no transcurrió el doble de tiempo pero sí se duplicaron las bacterias.
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Posibles respuestas. Se esperan respuestas que señalen el carácter recursivo de la sucesión, por ejemplo: • Se van duplicando los números. • Se multiplica por dos al número anterior.
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Sugerencia didáctica. Convendría que los alumnos extiendan la tabla de la actividad I hasta los 120 minutos (dos horas) para completarla y obtener las respuestas a estas preguntas.
secuenci a 24 iii. a) Calcula el número de bacterias que habrá en el frasco después de 2 horas.
b) ¿Es este número el doble que el número de bacterias que había en 1 hora?
Respuestas. c) En el problema del apartado Consideremos lo siguiente, ¿será verdad que el fras-
a) 2 048
co se llenará en 20 días?
. ¿Por qué?
b) No, si fuera el doble serían 128 bacterias. c) No es correcto, porque la cantidad de bacterias que hay a los 10 días se duplicará en sólo 10 minutos.
iV. Completa la siguiente tabla para calcular cuántas hormigas habrá después de 5 días (sin contar a la hormiga reina).
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que cada día hay dos nuevas hormigas, por lo que hay que aumentar de dos en dos.
Número de días
0
1
Hormigas
0
2
2
3
4
5
4
6
8
10
¿Cuántas hormigas habrá después de 10 días?
20
¿Cuántas hormigas habrá después de 30 días?
60
Comparen sus respuestas y comenten.
Posibles dificultades. Responder a esta pregunta puede ser complicado para los alumnos, sin embargo es importante que intenten buscar las razones por las que la relación entre el número de días y el número de hormigas es de proporcionalidad. Usted puede dibujar en el pizarrón las dos tablas que llenaron para analizarlas juntos. Resalte el hecho de que el número de hormigas es igual al doble del número de días, por ello, es una relación de proporcionalidad. Si y representara al número de hormigas y x el número de días, la expresión que modela este fenómeno sería y = 2 x. Insista en que expliquen esa diferencia. Si no logran ponerse de acuerdo o no tienen claro en qué consiste la diferencia, más adelante habrá otra oportunidad para discutirlo.
La relación entre el número de días y el número de hormigas, ¿es de proporcionalidad? V. De las siguientes sucesiones, ¿cuál asociarías al crecimiento de las hormigas? Subráyala. a) 2, 4, 8, 16, 32, …
Comparen sus respuestas. Y comenten si es exponencial el crecimiento de las hormigas.
A lo que llegamos La diferencia entre el crecimiento de las bacterias y el de las hormigas es que, mientras el de las bacterias es exponencial (se multiplica por dos para obtener el siguiente), el de las hormigas es lineal (se suman dos para obtener el siguiente). Entonces, para duplicar o triplicar la cantidad en un crecimiento exponencial no es correcto duplicar o triplicar el tiempo. Por otro lado, la cantidad de hormigas además de crecer linealmente lo hacen proporcionalmente y esto implica que al doble de tiempo hay el doble de hormigas. 148
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Posibles respuestas. Se espera que los alumnos contesten cosas como:
Respuesta. El crecimiento de las hormigas no es exponencial sino lineal.
• Se le suman dos al número anterior.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que la tabla del crecimiento de las hormigas es proporcional, como las que llenaron en los grados anteriores. × 2
164
c) 2, 3, 4, 5, 6, …
Explica con tus propias palabras cómo se genera la sucesión que elegiste.
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• Se multiplica por dos la cantidad que corresponde al número de días.
b) 2, 4, 6, 8, 10,…
Número de días
Número de hormigas
0
0
1
2
2
4
3
6
Al contestar esta pregunta se da respuesta a lo que se comentó en la confrontación grupal anterior: ¿Qué diferencia hay entre el crecimiento de las hormigas y el de las bacterias? El de las primeras es lineal porque es de proporcionalidad directa, su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0, 0) y la constante de proporcionalidad es 2. En cambio, el crecimiento de las bacterias es exponencial, la razón común es 2 y su gráfica es una curva.
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III
Para conocer más sobre el crecimiento exponencial, pueden ver el programa La exponencial y la lineal.
Propósito del programa 45. Explicar la definición de crecimiento exponencial y dar ejemplos de tal crecimiento.
VI. Decide cuál de estas gráficas corresponde al crecimiento de las hormigas y cuál al de las bacterias. Y después anota en cada gráfica el nombre de los ejes. Las posibilidades son: "Días", "Minutos", "Cantidad de hormigas" y "Cantidad de bacterias".
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
MATEMÁTICAS
8
y
Gráfica de las bacterias
16
7
14
6
12
5
10
4
8
3
6
2
4
1
2
0
x 0
5
10
15
20
25
30
0
Gráfica de las hormigas
y
Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden hacer una tabla para encontrar la respuesta. Quedaría así:
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Comparen sus respuestas y comenten sus razones.
Lo que aprendimos 1. ¿Cuál de las siguientes tres sucesiones crece exponencialmente? Señálala con una . 1, 3, 5, 7, 9 , …
1, 3, 9, 27, 81, …
1, 4, 9, 16, 125, …
Razón común =
2
b) 2, 6, 18, 54, 162, …
Razón común =
3
0
3
10
6
20
12
30
24
Respuestas. a) 192 bacterias.
3. En un frasco hay tres bacterias que se generan por bipartición cada 10 minutos.
b) Los 10 días que ya lleva más 10 minutos.
a) ¿Cuántas bacterias habrá en el frasco después de 1 hora? b) Si el frasco está a la mitad en 10 días, ¿cuánto tiempo faltará para llenarse?
149
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Número de bacterias
40
2. Las siguientes sucesiones crecen de forma exponencial. Para cada una escribe cuál es su razón común. a) 3, 6, 12, 24, 48, …
Minutos
Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a las actividades de este apartado.
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Propósito de la sesión. Observar que el crecimiento exponencial siempre rebasa al crecimiento lineal.
secuencia 24 SESIÓN 2
INTERÉS COMPUESTO
Para empezar
El interés es el porcentaje de ganancia que se obtiene al hacer un préstamo o una inversión. Por ejemplo, si alguien presta $1 000 pesos y al año le pagan $1 500, se dice que ganó 500 de interés, o bien, que cobró 50% de interés. Cuando el interés ganado se reinvierte (o se vuelve a prestar), la nueva suma de dinero generará más ganancias. Al porcentaje ahora ganado se le llama interés compuesto, pues se obtuvo de interés sobre el interés antes ganado.
Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos han entendido cómo se paga el interés bancario, no es el 10% de la cantidad que se depositó originalmente, sino de la que se encuentra en ese momento en la cuenta.
Consideremos lo siguiente Don Armando invirtió $10 000 pesos en una cuenta bancaria y el banco le pagará el 10% anual de interés. Es decir, por el primer año que deje invertido el dinero, le darán $1 000 pesos de interés (10% de $10 000 pesos). Si don Armando decide no retirar sus ganancias y dejar el dinero un año más, al año siguiente el banco le dará $1 100 pesos de interés (10% de $11 000 = $10 000 + $1 000) por lo que en la cuenta habrá $12 100. Esto es, el banco está pagando interés compuesto. Don Armando deja su dinero en el banco por cinco años, sin retirar las ganancias de su inversión. Gracias al interés que le paga el banco, el dinero en inversión aumenta año con año.
Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos utilizar la calculadora para llenar la tabla.
a) Completa la siguiente tabla y observa cómo crece el dinero de don Armando.
Tiempo de inversión (años) Cantidad en la cuenta (pesos)
0
1
10 000
11 000
2
3
4
12 100
13 310
5
14 641 16 105.1
b) Si el banco pagara a don Armando $1 000 pesos cada año (sin calcular ningún porcentaje), ¿qué cantidad de dinero tendría don Armando al final de los 5 años?
$15 000
. ¿Y si le pagara $1 500?
$17 500
c) ¿Con cuál de estas tres opciones ganaría más: 10% anual reinvirtiendo las ganancias,
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos opinen sobre esta cuestión. Quizá les ayude continuar la tabla para verificar sus hipótesis de si convienen o no los $1,500 anuales conforme pasa más tiempo.
$1 000 pesos anuales o $1 500 pesos anuales?
$1 500 anuales
Comparen sus repuestas. Si pasara más tiempo, ¿cambiaría la opción con la que se gana más dinero? ¿Cuánto tiempo más?
Respuesta. Sí cambia, pues al paso de 10 años con la opción de $1,500 anuales se ganarían $25,000, mientras que con la opción de 10% anual se ganarían $25,937. 150
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MATEMÁTICAS
III
Posibles dificultades. Quizá los alumnos tengan problemas para hallar el número que se les pide. Posiblemente les ayude si escriben con números la idea de Don Armando. Utilizando lo que depositó originalmente y la ganancia del primer año, sería:
Manos a la obra I. Para calcular lo que ganará cada año, don Armando multiplica por un número la cantidad de un año para obtener la del siguiente, la idea que usó don Armando para encontrar el número fue: Lo que tendré el siguiente año = lo que tenga este año + 0.10 × lo que tenga este año =
11 000 = 10 000 + 0.10 × 10 000 = ( ) × 10 000
= ( ? ) × lo que tenga este año.
¿Qué número encontró?
11 000 = 10 000 + 1 000 = 1.1 × 10 000
Escribe los primeros términos de la sucesión asociada a la inversión de don Armando. 10 000, 11 000, 12 100, 13 310 ,
Respuesta. El número es 1.1
14 641 , 16 105.1 , …
Comparen sus respuestas y comenten:
Respuesta. Para escribir esta sucesión, los alumnos no tendrán mas que copiar la tabla que llenaron en el apartado Consideremos lo siguiente.
a) ¿Es exponencial el crecimiento de la inversión? b) ¿Cuál es la razón común de este crecimiento?
A lo que llegamos El crecimiento de una inversión que paga interés compuesto es exponencial, pues se multiplica la inversión por un número fijo cada periodo de tiempo. Por ejemplo, si se invierten $1 000 pesos con interés del 2% mensual, entonces, la inversión se multiplica por 1.02 cada mes, es decir, la razón común es 1.02. Tiempo de inversión (meses) Inversión (pesos)
0
1
2
3
El crecimiento sí es exponencial porque la ganancia se obtiene al multiplicar la inversión por cierto número. La razón común es ese número, que en este caso es igual a 1.1
1 000 1 000 × (1.02) = 1020 1 020 × (1.02) = 1 040.04 1 040.04 × (1.02) = 1 061.208
II. La siguiente tabla muestra cómo fue creciendo el dinero de don Armando al paso de los años. Completa el tercer renglón para determinar en cuánto se incrementó cada año. Tiempo de inversión (años)
0
1
2
3
4
5
Inversión (pesos)
10 000
11 000
12 100
13 310
14 641
16 105.10
Cantidad ganada en el año (pesos)
$1 000
$1 100
$1 210
Respuestas. Para contestar estas preguntas, es necesario que los alumnos recuerden qué es el crecimiento exponencial y cuál es la razón común.
$1 331 $1 464.10
a) La cantidad ganada en cada año, ¿aumenta, disminuye o se queda igual? b) La cantidad ganada en cada año, ¿crece exponencialmente? ¿Cuál es la razón común? 151
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Respuestas. a) Aumenta. b) Sí es exponencial, y la razón común es 1.1
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Respuestas.
secuencia 24
a) Sí es lineal, cada aumento de 1 en los años, corresponde a un aumento de 1 500 en la inversión. La expresión sería y = 10 000 + 1 500 x .
iii. La siguiente tabla muestra cómo crecería el dinero de don Armando si el banco le ofreciera pagar $1 500 por año. Completa la tabla.
b) Se queda igual. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que la pregunta del inciso a) se refiere a la relación entre el número de años y la cantidad en la inversión, no sobre la cantidad ganada.
Tiempo de inversión (años)
0
1
2
3
4
5
Inversión (pesos)
10 000
11 500
13 000
14 500
16 000
17 500
Cantidad ganada en el año (pesos)
Recuerdan que: Una relación es lineal si es de la forma y = ax + b con a y b números constantes.
$1 500
$1 500 $1 500
$1 500 $1 500
a) La relación entre el número de años (x ) y la cantidad en inversión (y ), ¿es lineal? . Escribe la expresión: b) La cantidad ganada cada año, ¿aumenta, disminuye o se queda igual? iV. Observa las tablas de la actividad ii y iii, y contesta:
Respuestas.
¿En qué caso la cantidad ganada por año aumenta cada vez más?
La inversión que aumenta cada vez más es la de la tabla 3, es decir, la inversión con intereses del 10% anual.
Si se dejaran pasar más años, el aumento anual de esta inversión, ¿será mayor que $1 500? ¿Y mayor que $2 000?
Las siguientes preguntas pueden replantearse así: ¿En algún momento la sucesión: 1 000, 1 100, 1 210, 1 331, 1 464.1 … es mayor que 1 500?, ¿y que 2 000?
. ¿Por qué?
Comparen sus respuestas, comenten cuál de las siguientes afirmaciones será cierta y expliquen sus razones. • Una inversión de $10 000 pesos puede ganar más dinero con pagos del 10% anual que con pagos anuales fijos.
La respuesta a la primera pregunta se encuentra si se calcula el siguiente valor de la sucesión (1 610.15). Para la segunda tendrían que calcular los tres siguientes: 1 771.5, 1 948.7 y 2 143.6
• Una inversión de $10 000 pesos siempre gana más dinero con pagos fijos de $2 000 pesos anuales, que con una al 10% anual.
A lo que llegamos Los términos de una sucesión exponencial aumentan cada vez más. Por ejemplo, en el caso de las inversiones con intereses fijos que es exponencial, el aumento en la inversión se hace más grande año con año.
Propósito de la actividad. Con esta actividad se pretende generalizar el comportamiento de la exponencial: siempre rebasa a la lineal. La idea es que los alumnos se basen en lo que respondieron en la actividad III para crear un argumento que apunte a esta propiedad de la exponencial.
Las sucesiones lineales aumentan siempre lo mismo, por lo que las exponenciales terminan por crecer más rápido que las lineales.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. La gráfica correcta es la primera porque en ella se representa un crecimiento que continúa aumentando con el paso del tiempo.
y
25
20
30
y Dinero en inversión (milles de pesos)
30
Dinero en inversión (milles de pesos)
Dinero en inversión (milles de pesos)
¿Cuál de las siguientes gráficas representa cómo incrementa la inversión de don Arman. do al paso de los años? Márcala con una
25
20
30
La segunda gráfica no es correcta porque muestra un comportamiento lineal. 25
20
20
10
10
10
5
5
5
x 0
5
10
Años
0
x 0
5
10
La tercera tampoco pude ser porque crece cada vez menos (y no cada vez más), por ejemplo, del 2 000 al 2 001 creció poco más de 12 000, pero para del 2 009 al 2 010 creció muchísimo menos, 500.
20
20
0
y
0
x 0
Años
5
10
Años
Lo que aprendimos Si una inversión bancaria genera interés al 15% anual, ¿por cuál número hay que multiplicar la cantidad en la cuenta para obtener la cantidad que habrá al siguiente año?
Respuesta. Por 1.15, que sería igual que sumar a la cantidad original el 15%.
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Propósito de la sesión. Reconocer que el crecimiento exponencial aumenta a una razón constante.
secuenci a 24 SESIÓN 3
GRÁFICA DE UNA SUCESIÓN EXPONENCIAL
Para empezar Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen el crecimiento lineal y el exponencial en un mismo fenómeno.
El crecimiento de la población mundial es de importancia para todos. ¿Cuántos somos y cúantos seremos? son el tipo de preguntas que se hacen a menudo los gobernantes de todos los países. Para contestarlas, hay organismos internacionales que realizan censos (conteos) para estimar cuántos somos. Pero para saber cuántos seremos no es tan fácil, pues es complicado determinar si habrá guerras, enfermedades o algo que desacelere el crecimiento de la población. Lo que se hace a menudo para dar respuesta es suponer que se mantendrá constante la tasa (porcentaje) de crecimiento de los últimos años.
Mientras que los cálculos del periodista remiten a una situación de crecimiento lineal, las afirmaciones del analista tienen que ver con un crecimiento exponencial.
Consideremos lo siguiente En el año 2000 un analista hizo la siguiente afirmación:
“Hoy somos aproximadamente 6 000 millones de personas y en los últimos 10 años hemos crecido aproximadamente 800 millones. Si se mantiene esta tasa de crecimiento, dentro de 50 años seremos más del doble”.
Respuestas.
El reportero que entrevistaba el analista le comentó:
En el año 2000 afirma que había 6 000 millones de personas, así que 10 años antes habría 5200 millones.
“Disculpe la interrupción, pero no me salen las cuentas. Si crecieramos 800 millones cada 10 años, dentro de 50 años seríamos 10 000 millones, que no es el doble”.
Aunque los alumnos no conocen los cálculos que hizo el analista, podrán anticipar que éste los hizo suponiendo un crecimiento exponencial que conserva la misma razón común. Faltaría saber cuál es esa razón común.
Según lo dicho por el analísta, ¿cuánta población había en el año 2000?
;
¿y en 1990?
.
; ¿crees que el analista se equivocó en sus cálculos?
¿Por qué? . ¿Cómo supones que hizo sus cálculos el analista para llegar a esa conclusión?
Comparen sus respuestas y comenten:
Posibles dificultades. La pregunta puede ser confusa para los alumnos. Para ayudarlos, podría hacerse en dos partes:
¿Es lo mismo decir que la población crece a una tasa constante a decir que aumenta la misma cantidad?
Manos a la obra
¿Qué es crecer a una tasa constante?
i. Contesten las siguientes preguntas,
¿Qué es crecer aumentando la misma cantidad? Una vez que los alumnos se den cuenta de que ambas definiciones son diferentes, puede complementarse comparando con el problema original. Las siguientes preguntas pueden ayudar a orientar la comparación: ¿Qué crecimiento supone el analista? ¿Corresponde el cálculo del reportero a este crecimiento?
a) Entre el año 1990 y el 2000, ¿cuál fue la tasa de crecimiento de la población? %. b) Si se conservara la tasa para el año 2010, ¿cuánta población habrá para esa fecha?
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Sugerencia didáctica. Si a los alumnos les cuesta trabajo hallar la tasa de crecimiento de la población, quizás les sirva el siguiente ejemplo: En una ciudad había 1 000 habitantes. La población aumentó en 500 habitantes. Ahora hay 1 500 habitantes. La población aumentó un 50% La tasa de crecimiento fue de 50% Respuestas. a) Si en 1990 había 5 200 millones y aumentó a 6 000 millones para el año 2000, la tasa de crecimiento es 15% aproximadamente. b) Si a los 6 000 millones que había en el 200 se les aplica la misma tasa de crecimiento (15%) para el año 2010 habrá 6 900 millones.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. c) Los alumnos pueden hacer el cálculo de distintas maneras, lo importante es que al total que se tenía (la población del año 2000) le aumenten un 15%.
c) ¿Cómo calculaste cuánta pobación habrá en el 2010?
Comparen sus respuestas. II. Completa la siguiente tabla para determinar cuánta población habrá en 2050 según los cálculos del analista. Año
1990
Población (millones)
5 200
Tasa de crecimiento
2000
2010
6 900
6 000 15%
2020
15%
2030
7 935
15%
2040
Sugerencia didáctica. Debido al redondeo, los cálculos que aparecen como respuestas en este libro pueden tener ligeras diferencias con las de los alumnos. Si lo considera útil, lleguen a un acuerdo sobre si van a manejar cifras decimales.
2050
9 125 10 494 12 068
15%
15%
15%
En esta tabla, el crecimiento de la población es exponencial. ¿Cuál es la razón común?
1.15 Sugerencia didáctica. Permita que los estudiantes expresen sus ideas al llegar a esta parte de la sesión. Es importante que reflexionen en grupo y que usted oriente la discusión hacia la diferencia que hay entre lo que afirmaba el analista y lo que afirmaba el reportero.
Comparen sus respuestas y comenten si es correcta la afirmación del analista:
Si se mantiene esta tasa de crecimiento, dentro de 50 años seremos más del doble.
Población (millones)
III. En el siguiente plano cartesiano localiza los puntos que corresponden a la relación entre el año y la cantidad de población, si se mantuviera la tasa del 15% de crecimiento (tabla anterior). Después traza una curva que pase por todos los puntos que localizaste. 12 000
Si el crecimiento de la población es exponencial, entonces el analista tenía razón.
y
11 000 10 000 9 000
Respuestas. La línea roja corresponde a las cantidades que se obtienen utilizando el razonamiento del analista. La línea verde a las del reportero.
8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0
x 0
10
20
30
40
50
Años a partir de 2000
IV. Sobre el mismo plano cartesiano localiza los puntos que corresponden a cómo crecería la población si cada 10 años se incrementara 800 millones de habitantes. Después une los puntos. ¿De qué tipo de gráfica se trata: recta o curva?
De una recta 155
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que expliquen sus respuestas acerca de cuál gráfica corresponde a cuál razonamiento. Ellos ya han aprendido distintas características de las situaciones lineales (como la del reportero), mismas que les servirán para comparar con la curva que obtienen con la situación exponencial (como la del analista).
secuenci a 24 V. De las dos gráficas que quedaron dibujadas, señala la que corresponde al cálculo del analista y la que corresponde al cálculo del reportero.
A lo que llegamos Cuando la tasa de crecimiento de una población se mantiene constante, entonces el crecimiento es exponencial. La gráfica de una relación exponencial es una curva que se ve así: y
Propósito del programa 46. Analizar la gráfica del crecimiento exponencial.
x
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Para conocer más ejemplos de crecimiento exponencial y su gráfica, pueden ver el programa Gráfica de la exponencial.
Lo que aprendimos
Respuesta. La primera gráfica porque en ella la línea correspondiente a la producción de alimentos es recta, y la del crecimiento de la población es una curva.
1. Algunas teorías económicas, de mucha controversia, explican que el crecimiento de la población mundial es exponencial y el de la producción de alimentos es lineal. Por lo que, en algún momento, habrá una catástrofe mundial por la disputa de alimentos. Elige la gráfica que bosqueja mejor esta idea y márcala con .
y
y
y
Alimentos
Alimentos
Alimentos Población
Población Población 0
Respuesta. El momento de la catástrofe es el punto de intersección de las dos gráficas, porque la población superaría a la producción de alimentos.
0
x
0
x 0
0
x 0
En la gráfica que elegiste, marca el punto que correspondería al momento de la catástrofe.
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III
MATEMÁTICAS LA DEPRECIACIÓN DE LAS COSAS
SESIÓN 4
Para empezar
Propósito de la sesión. Definir el decrecimiento exponencial.
Por lo general, el valor real de un objeto empieza a disminuir al paso del tiempo, a eso se le llama depreciación. Por ejemplo, el valor de un automóvil disminuye al paso de los años, pues ya está usado, ya hay otros más nuevos, etc., así que, entre más tiempo pase, más barato se tiene que vender el automóvil. Hay otras cosas que no se deprecian, y que inclusive pueden subir de precio, por ejemplo, un terreno bien ubicado o un collar de oro.
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la depreciación con la gráfica que le corresponde.
Consideremos lo siguiente Un automóvil que cuesta $100 000 pesos se deprecia un 10% cada año. ¿Cuánto costará el automóvil después de 1 año?
. ¿Y después de dos años?
Respuestas. Después de un año el automóvil valdrá 10% menos, es decir, $90,000. Después de dos años valdrá el 10% menos con respecto al último precio, es decir, $81,000.
¿Cuál de las siguientes gráficas describe mejor el cambio de precio del automóvil? Márcala con . 100 000
y
100 000
y
100 000
90 000
90 000
90 000
80 000
80 000
80 000
70 000
70 000
70 000
60 000
60 000
60 000
50 000
50 000
50 000
40 000
40 000
40 000
30 000
30 000
30 000
20 000 10 000 0
20 000 10 000 0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
La gráfica que representa este comportamiento es la tercera.
20 000
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 000 0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sugerencia didáctica. Si los alumnos eligen una gráfica incorrecta o bien, eligen la correcta pero no saben cómo justificar su respuesta, permítales seguir resolviendo la sesión ya que en el siguiente apartado aprenderán a hacerlo.
Comparen sus respuestas y comenten:
Respuesta. Se vería como una recta con pendiente negativa, como la segunda gráfica.
Si el precio disminuyera $10 000 pesos cada año, ¿cómo se vería la gráfica?
Manos a la obra I. Calculen el valor del automóvil al paso de los años, y completen la tabla. Tiempo de vida del automóvil (años) Valor actual del automóvil (pesos) Disminución respecto al año anterior (pesos)
0
1
100 000
90 000
10 000
2
3
4
5
6
81 000 72 900 65 610 59 049 53 144
9 000
8 100
7 290
6 561
5 905 157
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Propósito del Interactivo. Estudiar el decrecimiento exponencial en diversos ejemplos de la realidad.
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Respuesta. La cantidad se reduce, cada año el precio disminuye menos.
secuenci a 24 La diferencia del valor de un año al otro, ¿se hace más grande, se reduce o se queda igual cada año?
Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que revisen la respuesta que dieron al elegir una gráfica en el apartado Consideremos lo siguiente, y que corrijan si es necesario verificando que la gráfica pase por los puntos que corresponden a las cantidades de la tabla que acaban de completar.
Comparen sus respuestas y los procedimientos que usaron para llenar la tabla. Verifiquen que los datos en la tabla coincidan con la gráfica que eligieron.
A lo que llegamos Al igual que hay crecimiento exponencial, también hay decrecimiento exponencial. La diferencia es que, en el decrecimiento exponencial, la razón común es menor a uno; y en el crecimiento exponencial, es mayor a uno. Por ejemplo, la siguiente sucesión decrece exponencialmente, pues su razón común es 1 . 2 8, 4, 2, 1, 1 , 1 , … 2 4
Propósito del programa 47. Analizar situaciones que corresponden a un decrecimiento exponencial y sus gráficas.
Para conocer más sobre las características del decrecimiento exponencial, pueden ver el programa Decrecimiento exponencial.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
ii. En el caso del automóvil, su valor año con año decrece de forma exponencial. ¿Cuál es la razón común?
Respuesta. 0.9
Lo que aprendimos
Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cuál es la razón común en este caso, dígales que escriban los datos de la tabla como una sucesión de números. Deben hallar un número por el cual se puede multiplicar cada número de la sucesión y obtener el siguiente, es decir, la razón común.
Realicen la siguiente actividad. Recorten un cuadrado de lado 16 cm y anoten aquí su área: cm 2.
Doblen el cuadrado a la mitad varias veces y por cada doblez que hagan calculen y apunten el área de la región más pequeña que se forma en la hoja. Llenen la siguiente tabla: 1
2
3
128
64
32
Número de doblez
Recuérdeles que el número que buscan es menor que 1, según la información del A lo que llegamos. Quizá los alumnos piensen que la respuesta es 0.1 (porque pueden relacionarlo con el 10%), pero es incorrecto. Pídales que comprueben si multiplicando 100 000 × 0.1 obtienen 90 000, o si 90 000 × 0.1 es igual a 81 000, así se darán cuenta del error.
256
Área del cuadrado:
Área de la región pequeña (cm2)
¿El área decrece exponencialmente?
4
16
5
8
. ¿Cuál es la razón común?
¿Qué área tendrá la región más pequeña después de doblar 10 veces al cuadrado original?
cm 2.
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Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos a las actividades de este apartado y guarde una copia en el portafolios de cada uno.
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Respuestas. El área sí decrece exponencialmente, y la razón común es 1 ya que si se multiplica cada uno de 2 los números por esta razón, se obtiene el siguiente. Si se doblara 10 veces el área sería 0.25 cm2 .
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. La primera gráfica no puede ser la correcta puesto que representa a una situación lineal.
200 100 0
x 0
2
4
6 8 10 Número de dobleces
300
y
200 100 0
x 0
2
4
6 8 10 Número de dobleces
Área de la sección mínima
300
y Área de la sección mínima
Área de la sección mínima
¿Cuál de las siguientes gráficas creen que refleje cómo se comporta este decrecimiento? 300
y
200 100 0
x 0
2
4
6 8 10 Número de dobleces
La segunda se puede eliminar observando al hacer el segundo doblez el área ya debe ser menor que 100 cm2 . La tercera gráfica es la correcta.
Para saber más Sobre el interés compuesto, consulten: http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach1/Intereses/index.html [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Facultad de Ciencias. UNAM. Sobre el crecimiento exponencial, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Perelman, Yakov. “54. Leyenda sobre el tablero de ajedrez” en Matemáticas recreativas. México: SEP/Planeta, Libros del Rincón, 2003.
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secuenci a 25
Representación de la información En esta secuencia conocerás problemas cuya resolución requiere que tomes en cuenta mucha información.
Propósito de la sesión. Obtener nueva información a partir del estudio de un conjunto grande de datos.
SeSión 1
MUCHOS DATOS
Para empezar
Nuestro sistema solar está conformado por ocho planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno (recientemente, Plutón fue eliminado de la lista debido a que es demasiado pequeño para ser considerado planeta). En la siguiente figura se muestran los cinco planetas más cercanos al Sol.
Propósito de la actividad. A través del llenado y análisis de la tabla, se pretende que los alumnos utilicen sus conocimientos sobre patrones para anticipar las distancias a la que se encuentran los planetas. Sugerencia didáctica. Una cosa que seguramente los alumnos notarán, es que la distancia entre los planetas va aumentando mientras éstos son más lejanos al Sol. Sin embargo, quizás sea difícil encontrar un patrón para saber las distancias que no aparecen en la tabla.
Los asteroides son cuerpos rocosos o metálicos más pequeños que los planetas. En la figura puedes ver que entre Marte y Júpiter hay un grupo de asteroides, y debido a su ubicación en el sistema solar, algunos científicos plantearon la hipótesis de que eran los restos de un planeta que se desintegró hace muchos años.
Si es el caso, permita que los alumnos hagan sus conjeturas y sigan resolviendo, en el siguiente apartado se les brindarán elementos para hallar el patrón.
Actualmente se sabe que esa hipótesis es falsa, y en esta sesión estudiaremos cómo se llegó a dicha conclusión. Empecemos suponiendo que sí existió un planeta entre Marte y Júpiter al que llamaremos planeta X.
Consideremos lo siguiente Para medir las distancias que hay entre los cuerpos celestes de nuestro sistema solar, los astrónomos utilizan una unidad de longitud llamada Unidad Astronómica (UA), que es la distancia de la Tierra al Sol.
Propósito del Interactivo. Ilustrar que en ocasiones la información numérica detallada de un fenómeno puede esconder relaciones funcionales relativamente simples pero no triviales.
En la siguiente tabla se muestran las distancias que hay entre algunos planetas y el Sol. Descubre el patrón y aproxima las distancias a las que se encuentran Mercurio, Neptuno y el planeta X. 160
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Propósito de la secuencia Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza para producir nueva información sobre algún fenómeno.
Eje Manejo de la información.
Tema
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Representación de la información.
Subtema
1
Muchos datos Obtener nueva información a partir del estudio de un conjunto grande de datos.
2
De importancia social Obtener nueva información a partir de datos agrupados en una tabla.
Gráficas.
Programa 48 Interactivo
Antecedentes En esta secuencia los alumnos continuarán obteniendo y analizando información, y además vincularán datos de distintas fuentes para mejorar sus análisis.
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MATEMÁTICAS
III
Distancia al Sol (UA)
Planeta Mercurio Venus
0.7
Tierra
1.0
Marte
1.6
Júpiter
5.2
Saturno
10.0
Urano
19.6
Planeta X
Neptuno Tabla 1
Comparen sus respuestas y sus procedimientos.
Manos a la obra I. Encuentra el patrón que hay en las diferencias de distancias completando la tabla 2. Esto te ayudará a descubrir el patrón en las distancias de los planetas al Sol. Número de Planeta
Planeta
Distancia al Sol (UA)
1
Mercurio
0.55
2
Venus
0.7
3
Tierra
1.0
4
Marte
1.6
5
Planeta X
2.8
6
Júpiter
5.2
7
Saturno
10.0
8
Urano
19.6
9
Neptuno
3 8.8
0.15
0.3 0.6 1.2 2.4
Diferencia de distancias (UA)
4.8 9.6 19.2
Tabla 2
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Respuesta. El patrón de las diferencias es una sucesión exponencial con factor común 2, o sea, cada diferencia se multiplica por 2 para obtener la siguiente.
secuenci a 25 a) Describe cuál fue el patrón que encontraste para las diferencias.
Sugerencia didáctica. Una vez que hayan encontrado las diferencias, diga a los alumnos que hagan las correcciones necesarias a la tabla que llenaron en el apartado Consideremos lo siguiente.
b) Usa estas diferencias para calcular nuevamente las distancias al Sol de los planetas Mercurio, Neptuno y el planeta X. Después, compara estos valores con los que habías calculado antes. Comparen sus respuestas. ii. Al patrón que encontraste en la actividad anterior se le conoce como Ley de Bode. Lee la siguiente reseña sobre la Ley de Bode y después contesta las preguntas.
Sugerencia didáctica. Aproveche este momento para que varios alumnos comenten al grupo sus estrategias y respuestas, y para que quienes no hayan encontrado el patrón o tengan uno equivocado, lo corrijan. La sucesión es la exponencial con factor común 2 (ir multiplicando por 2 o sacando el doble).
En 1772 el astrónomo alemán Johann Daniel Titius descubrió un patrón entre las distancias de los planetas al Sol. Este descubrimiento fue publicado más tarde por Johan Elert Bode y hoy se le conoce como la ley de Bode. Basado en el patrón, Bode afirmó que debía existir un planeta ubicado a 2.8 UA del Sol: el planeta X. Muchos buscaron al planeta, mas lo que hallaron fueron asteroides. En 1801 el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió a 2.76 UA del Sol (muy cerca de lo predicho por Bode) un asteroide hoy conocido como Ares, y miles de otros pequeños asteroides han sido encontrados a distancias similares. La ley de Bode también ayudó a descubrir a Urano, sin embargo, cuando Neptuno fue descubierto a 30 UA del Sol los astrónomos se dieron cuenta de que la ley de Bode no describe completamente la distribución de los planetas en nuestro sistema solar.
Propósito de la actividad. Esta actividad, además de poner a prueba su comprensión de la lectura, también les exige relacionar los datos aquí mencionados con los que ellos ya calcularon.
a) ¿Por qué la existencia de los asteroides era evidencia a favor de la ley de Bode?
b) ¿Cómo ayudó la ley de Bode para encontrar el planeta Urano?
c) ¿Por qué el descubrimiento de Neptuno hizo que los astrónomos desecharan la ley de Bode?
Comparen sus respuestas.
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Respuestas. a) Por que fueron encontrados a una distancia de 2.8 UA , donde Bode suponía que debía haber un planeta.
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Sugerencia didáctica. Resalte que para responder estas preguntas usaron tanto los datos del texto como los de la tabla.
b) Según Bode, a 19.6 UA debía existir un planeta, sí que los astrónomos apuntaron sus telescopios a esa distancia y encontraron a Urano. c) Por que se encontraba a una distancia de 30 UA, y según la ley de Bode, debía estar a una distancia de 38.8 UA.
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MATEMÁTICAS
III
Lo que aprendimos 1. La siguiente tabla contiene información sobre los ocho planetas que conforman el sistema solar. Usa esos datos para contestar lo que se te pide. Planeta
Tierra
Júpiter
Marte
Mercurio
Neptuno
Saturno
Urano
Venus
Distancia promedio al Sol (millones de km)
149.6
778
227.9
57.9
4 497
1 427.2
2 870
108.2
Diámetro (km)
12 755
14 2748
6 786
4 879
49 568
120 057
51 820
12 104
Velocidad de traslación alrededor del Sol (km/h)
107 248
47 018
86 872
172 412
19 549
34 705
24 517
126 115
Velocidad de rotación sobre su eje (km/h)
1 674
45 585
866
11
9 719
36 841
14 795
6
Periodo de traslación: tiempo que tarda en dar una vuelta al Sol (años)
1
11.86
1.88
0.2408
164.8
29.46
84.01
0.6151
Periodo de rotación (tiempo que tarda en dar una vuelta sobre su eje) Número de lunas
horas
23.9
horas
9.9
horas
24.6
58.7 días
horas
15.8
horas
10.2
horas
10.7
243
1
12
2
0
2
10
5
0
días
Sugerencia didáctica. Para contestar las preguntas puede sugerir a los alumnos que organicen la información de la manera que a ellos les parezca conveniente, por ejemplo, en otra tabla o en una gráfica. Lo importante es que sean ellos quienes decidan cómo hacerlo.
Tabla 3
Las siguientes afirmaciones están basadas en la información de la tabla anterior, ¿cuál o cuáles son correctas? A mayor distancia al Sol, mayor periodo de traslación. Entre más grande sea un planeta, tiene más lunas.
Respuestas.
Entre más pequeño es el planeta, más lentamente gira sobre su eje.
La primera afirmación es correcta.
Comparen sus respuestas. 2. El matemático Johannes Kepler (1571-1630) descubrió la relación entre el tiempo que tarda un planeta en darle la vuelta al Sol (T años) y la distancia media entre el planeta y el Sol (R millones de kilómetros). La relación se representa con la expresión:
Propósito de la actividad. Explorar conjeturas ya hechas y decidir si son verdaderas o falsas a través del análisis de la información presentada.
Recuerda que: 1 UA es aproximadamente s. 149.6 millones de kilómetro
R3 = K, donde K es una constante. T2
La segunda afirmación es falsa, pues Marte tiene menor diámetro que la Tierra y tiene más lunas. La tercera afirmación también es falsa porque Marte es más pequeño que la Tierra y sin embargo, gira más lento que ésta última.
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Respuestas.
secuencia 25
a) 3 375 000. Esta constante puede obtenerse utilizando los datos de cualquiera de los planetas. b) 4.68 años. Para responder esta pregunta los alumnos necesitarán hacer dos cosas: en primer lugar, convertir la distancia del Planeta X al Sol de UA a km, en segundo lugar necesitan usar la fórmula de la Ley de Keppler reacomodándola para obtener el dato que desconocen. Quedaría: 3 T2 = R K
a) Con los datos de la tabla 3, encuentra el valor de la constante K.
K= b) Usa el valor de K para encontrar un valor estimado del tiempo que, de existir, le tomaría al planeta X dar la vuelta al Sol. Tiempo en dar una vuelta completa al Sol = Para conocer más datos del Sol y los planetas, pueden ver el programa El sistema solar.
SESIÓN 2
DE IMPORTANCIA SOCIAL
Para empezar
La siguiente tabla contiene algunos datos recaudados por el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI), en el Censo 2005, de las mujeres mexicanas de 12 o más años. En esta tabla se han clasificado las mujeres por cantidad de hijos nacidos vivos y su condición de saber leer y escribir. Por ejemplo, el número 393 958 es la cantidad de mujeres que no tienen hijos y que no saben leer ni escribir.
3 T= R K
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan estas operaciones con la calculadora.
Hijos por mujer
Propósito del programa 48. Presentar datos del sistema solar y generar información con base en ellos. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la sesión. Obtener nueva información a partir de datos agrupados en una tabla.
Mujeres que sí saben leer y escribir
Mujeres que no especificaron
0 hijos nacidos
393 958
11 840 516
4 915
1 hijo nacido
184 497
4 437 193
2 007
2 hijos nacidos
247 674
5 803 809
2 379
3 hijos nacidos
297 985
4 862 409
2 176
4 hijos nacidos
325 930
2 622 937
1 864
5 hijos nacidos
326 915
1 488 118
1 574
1 703 444
3 081 457
6 606
83 880
1 511 771
49 608
6 o más hijos nacidos
Sugerencia didáctica. Las actividades están planeadas en parejas y en casi todas ellas es recomendable el uso de la calculadora.
Mujeres que no saben leer ni escribir
No especificó el número de hijos nacidos vivos.
Tabla 4
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Sugerencia didáctica. En esta parte es importante asegurarse de que todos los alumnos entiendan perfectamente el contenido de la tabla, por lo que es recomendable que la analicen juntos. Puede hacerles algunas preguntas como ¿cuántas mujeres tienen dos hijos y sí saben leer y escribir?, ¿en qué casilla estaría una mujer con 7 hijos que no sabe leer ni escribir?, ¿cuántas mujeres tienen un hijo y se desconoce si saben leer y escribir?, ¿cuántas mujeres saben leer y escribir y se desconoce si han tenido hijos?
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Aquí se pretende confrontar dos formas de analizar la misma tabla. La primera, que corresponde a la afirmación del analista, es más complicada; y la segunda, que corresponde a la afirmación del entrevistador, describe un error en el que fácilmente podrían caer los alumnos.
Consideremos lo siguiente A partir de la información de la tabla anterior, un analista mexicano explicó en una entrevista que:
Cuando las mujeres saben leer y escribir, comienza el control de natalidad. El analista detalló su afirmación explicando que las mujeres en edad reproductiva, que no saben leer ni escribir, no acostumbran tomar medidas para limitar la cantidad de hijos que van a tener, por lo que dichas mujeres tienen más hijos que una mujer que sabe leer y escribir. El entrevistador le replicó al analista:
Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos responder según sus propios análisis de los datos de la tabla, la oportunidad de evaluar sus respuestas la harán más adelante.
Disculpe… pero en 2005, de las mujeres que tuvieron 6 o más hijos, las que saben leer y escribir casi duplican en número a las que no saben. a) ¿Es cierta la afirmación del entrevistador? por el analista?
. ¿Contradice esto lo dicho
. ¿Por qué?
Posibles respuestas. En la pregunta del inciso a) los alumnos podrían responder “sí”, pues efectivamente es casi el doble, pero podrían ocurrírseles argumentos que expliquen el comportamiento de los datos e incluso responder “no”.
b) Con los datos de la tabla 4, decidan si lo dicho por el analista fue cierto en el año 2005. Justifiquen su respuesta:
Comparen sus respuestas. y comenten si la siguiente afirmación es cierta o falsa:
Es natural que ocurra lo dicho por el entrevistador pues, en general, son muchas más las mujeres que saben leer y escribir que las que no saben.
En la pregunta del inciso b) la respuesta debe ser negativa, pues son afirmaciones completamente distintas, pero permita que los estudiantes contesten lo que crean correcto.
Manos a la obra I. Con los datos de la tabla 4, calculen lo siguiente. Para simplificar los cálculos, ignoren los datos no especificados: la última columna y el último renglón. a) ¿Cuántas mujeres de 12 años o más no saben leer y escribir?
Sugerencia didáctica. Antes de analizar esta nueva afirmación, dé tiempo para que los alumnos comparen las respuestas anteriores.
b) De este total de mujeres, ¿qué porcentaje representan las mujeres que tuvieron 6 o más hijos?
%.
La nueva afirmación pone en duda la del reportero desechando cualquier intento de análisis no relativo sobre los datos, es decir, análisis que no incluyan porcentajes, proporcionalidad, razón ni promedios.
c) ¿Cuántas mujeres de 12 años o más saben leer y escribir? d) De este grupo de mujeres, ¿qué porcentaje representan las mujeres que tuvieron 6 o más hijos?
%.
e) De los dos porcentajes calculados, ¿cuál es mayor? Comparen sus respuestas y comenten si estos porcentajes reafirman o refutan lo dicho por el analista. 165
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Propósito de la actividad. Mediante estas preguntas se apoya a los estudiantes para que construyan un análisis con porcentajes. Se espera que, una vez concluido, observen que: 1. Lo dicho por el entrevistador no es cierto si se analizan los porcentajes.
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Propósito de la actividad. Esta discusión es muy importante, dé tiempo para que los alumnos expongan sus argumentos y enfatice cómo el uso de los porcentajes permite analizar los datos de una manera completamente distinta a la que hizo el entrevistador.
2. El uso de los porcentajes es más apropiado para este problema. Respuestas. a) 3 480 403 b) 48.94% c) 34 136 439 d) 9.01% e) El de las mujeres que no saben leer y escribir, 48.94%
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Respuestas. Para obtener los datos que faltan de la tabla hay que multiplicar el número de mujeres por el número de hijos que tuvieron, por ejemplo, 297 985 × 3 (porque ese número de mujeres tuvieron cada una 3 hijos).
secuencia 25 ii. Llenen ahora la siguiente tabla para encontrar el número total de individuos cuyas madres no saben leer ni escribir. En el caso de 6 o más hijos nacidos, calculen la cantidad mínima de individuos. Hijos por mujer
En el caso de aquellas que tuvieron 6 o más hijos, hay que multiplicar 1 703 444 × 6 porque es el número mínimo de personas que nacieron de esas mujeres. a) 14 732 759 que es la suma de todos los datos de la columna derecha. b) 4.23 hijos. Este dato se obtiene al dividir el número total de hijos entre el número total de mujeres. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos ¿qué significa la afirmación “cada mujer tiene 4.23 hijos en promedio”? Es importante que después de hacer el cálculo, traten de dar significado a la respuesta.
Mujeres que no saben leer ni escribir
Total de individuos nacidos
0 hijos nacidos
393 958
0
1 hijo nacido
184 497
184 497
2 hijos nacidos
247 674
495 348
3 hijos nacidos
297 985
893 955
4 hijos nacidos
325 930
1 303 720
5 hijos nacidos
326 915
1 634 575
1 703 444
10 220 664
6 o más hijos nacidos
Tabla 5 Población femenina de 12 años y más por hijos nacidos vivos, según condición no saber leer ni escribir. Censo 2005, INEGI.
a) ¿Cuántos individuos son hijos de mujeres que no saben leer ni escribir? b) En promedio, ¿cuántos hijos tiene una mujer que no sabe leer ni escribir? iii. Hagan una tabla como la anterior para encontrar el número total de individuos cuya madre sabe leer y escribir, y contesten lo siguiente: a) ¿Cuántos individuos son hijos de mujeres que sí saben leer y escribir? b) En promedio, ¿cuántos hijos tiene una mujer que sí sabe leer y escribir?
Comparen sus respuestas y comenten: a) En promedio, ¿quiénes tienen más hijos, las mujeres que sí saben leer y escribir o las que no? b) Sus resultados, ¿corroboran lo dicho por el analista? c) Si se tuvieran datos más precisos, ¿creen que cambiarían mucho los resultados? d) En la cantidad de hijos de una familia, ¿cómo creen que afectará que el padre sepa o no leer y escribir? 166
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Integrar al portafolios. Pida a sus alumnos una copia de sus respuestas a la actividad III de este apartado. Respuestas. Hay que hacer una tabla similar a la anterior, quedaría: Hijos por mujer
Mujeres que sí saben leer y escribir
0 hijos nacidos vivos
11 840 516
Total de individuos nacidos 0
1 hijo nacido vivo
4 437 193
4 437 193
2 hijos nacidos vivos
5 803 809
11 607 618
3 hijos nacidos vivos
4 862 409
14 587 227
4 hijos nacidos vivos
2 622 937
10 491 748
5 hijos nacidos vivos
1 488 118
7 440 590
6 hijos nacidos vivos o más
3 081 457
18 488 742
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que además de comentar al grupo sus resultados, expliquen cómo los obtuvieron. La primera pregunta puede usarse como pretexto para ello. Con la segunda pregunta se espera que mediten sobre el significado de los resultados y, por supuesto, éstos corroboran lo dicho por el analista. La tercera pregunta es para terminar la discusión sembrando una duda. Si los alumnos se animan a hacer conjeturas, pregúnteles qué datos necesitarían para sustentar sus hipótesis y sugiera que los busquen en la página de INEGI.
a) 67 053 118 b) 1.96
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MATEMÁTICAS
III
Para saber más Sobre los datos de las mujeres que saben leer y escribir, consulten: http://www.inegi.gob.mx/ Consulta Interactiva de Datos Ruta: II-Conteo de Población y Vivienda 2005 Población femenina de 12 años y más Elegir en la variable Fecundidad la opción Hijos nacidos vivos y en Educación elegir Nivel de escolaridad, por último presionar Ver Consulta. [Fecha de consulta: 7 de octubre de 2008]. Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática.
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secuenci a 26
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones En esta secuencia aprenderás a determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver un problema, y viceversa, proponer una situación que se modele con alguna ecuación de este tipo.
Propósito de la sesión. Solucionar problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado.
sEsión 1
LOs discípULOs dE pitágOras
Para empezar
En la secuencia 19 y en la secuencia 30 de tu libro de Matemáticas ii, volumen II, apren diste a resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones respectivamente. En la secuencia 15 de tu libro de Matemáticas iii, volumen II, aprendiste a resolver ecuaciones de segundo grado. En esta secuencia aprenderás a plantear y resolver proble mas cuya solución requiere resolver ecuaciones de los tipos mencionados anteriormente.
Propósito de la actividad. Con este problema se trata que de, a partir de un enunciado en lenguaje común, los alumnos logren traducir el problema a un lenguaje algebraico.
Consideremos lo siguiente Pitágoras planteó este problema sobre el número de sus discípulos:
Si lo considera necesario, repasen las secuencias 19 y 30 del libro Matemáticas II y la 15 de Matemáticas III.
• El número de discípulos que tengo se distribuye de la siguiente manera: Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte estudia filosofía, y además hay tres mujeres. ¿Cuántos discípulos tenía Pitágoras?
Respuesta. Tenía 60 discípulos. Sugerencia didáctica. Si los alumnos no saben cómo solucionar el problema, permítales seguir resolviendo la sesión ya que en el siguiente apartado se les ayuda a plantear la ecuación.
Manos a la obra i. Si x es el número de discípulos de Pitágoras, subraya la respuesta correcta. a) ¿Qué cantidad de discípulos estudia matemáticas? 2x
x+2
x
2
b) ¿Qué cantidad de discípulos estudia física?
x
4
x+4
4x
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Eje
Propósito de la secuencia Determinar con cuál(es) ecuación(es) se puede resolver un problema, y viceversa, proponer un problema que se resuelva con cierta ecuación.
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema Significado y uso de las literales.
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Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Subtema Ecuaciones.
Antecedentes Los alumnos anteriormente plantearon y resolvieron problemas mediante ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado. En esta secuencia continuarán utilizándolas para elegir cuál de ellas resulta pertinente para resolver cierta situación. Aunque es una secuencia en la que más que aprender algo nuevo, se aplican los conocimientos previamente adquiridos, el planteamiento de ecuaciones representa un reto importante para los alumnos. 186
1
Los discípulos de Pitágoras Solucionar problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado.
2
Ecuaciones y geometría Solucionar problemas mediante ecuaciones de segundo grado.
Programa 49 Interactivo
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emas
MATEMÁTICAS
III
Respuesta. x + x + x + 3 = x se puede 2 4 5 resolver de la siguiente manera:
c) ¿Qué cantidad de discípulos estudia filosofía?
x
x+5
10 x + 5 x + 4 x + 3 = x 20 20 20 19 x + 3 = x 20 3 = x – 19 x 20 3= 1 x 20 3(20) = x
5x
5
d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponden las condiciones del problema?
x + x + x + 3 = x
2
4
5
2x + 4x + 5x + 3 = x
x + 4x + x + 3 x = x
2
5
e) Resuelve la expresión que elegiste, ¿cuál es el valor de x ? Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron.
60 = x
II. El caballo y el asno. Un caballo y un asno caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. La mentábase el caballo de su enojosa carga, a lo que el asno dijo. “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía.” a) ¿Cuántos sacos llevaba el caballo?
5
b) ¿Cuántos sacos llevaba el asno?
7
Entonces, 30 alumnos estudian matemáticas, 15 física, 12 estudian filosofía y 3 son mujeres, que hacen un total de 60 alumnos. Posibles dificultades. Aunque la ecuación ya esté planteada los alumnos posiblemente no sepan cómo resolverla. Quizá convenga recordarles que necesitan encontrar un denominador común. El menor denominador común para 2, 4 y 5 es 20.
c) Si x es el número de sacos que lleva el caballo y si es y el número de sacos que lleva el asno, anota en el paréntesis el número de la ecuación que describe la si tuación. 1) y + 1 = 2 (x – 1) (
1
) Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya.
2) x – 1 = 2y
Partiendo de esa información, pregunte a los estudiantes: ¿qué fracción representan los discípulos que estudian matemáticas? La respuesta es 10 x . 20 Hagan los mismo con las otras dos fracciones.
3) x = y 1) x = y (
3
2) x – 1 = 2y
) Si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía.
3) y – 1 = x + 1 d) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones está asociado con la resolución del problema anterior? Subraya el inciso correcto. a) y + 1 = 2 (x – 1)
y–1=x+1
b) x – 1 = 2y
Sugerencia didáctica. Anote en el pizarrón las opciones con las que se puede representar cada afirmación y analícenlas en grupo, es importante que los alumnos logren traducir los enunciados en una expresión algebraica.
c) y + 1 = 2 (x – 1)
y–1=x+1
y=x
e) Resuelve el sistema que elegiste y verifica que los valores de x y de y sean la so lución del problema. Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron. 171
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Respuesta. El sistema de ecuaciones
Entonces se sustituye en la primera ecuación:
y + 1 = 2 (x – 1)
x + 2 + 1 = 2 (x – 1)
y–1=x+1
x + 3 = 2x – 2
se puede resolver de varias formas. Si se elige despejar el valor de y en la segunda ecuación, quedaría:
3 + 2 = 2x – x
y=x+1+1=x+2
5=x Luego se averigua el valor de y :
y + 1 = 2 (5 – 1) y+1=8 y=7
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Respuestas.
secuenci a 26
a) 2 x + y = 31
iii. a) Determina a cuál de los enunciados no le corresponde ninguno de los sistemas y relaciona las columnas cuando haya correspondencia.
3y – x = 23
Sistema asociado
Despejando la x en la segunda ecuación:
x = 3 y – 23 Se sustituye en la primera ecuación: 2 (3 y – 23) + y = 31 6 y – 46 + y = 31
(
c
)
y = 2x + 1 y = 4x - 1
(
a
)
2x + y = 31 3y – x = 23
)
y – 1 = 2 (x + 1) y + 1 = 4 (x – 1)
)
y – 1 = 2 (x + 1) x + 1 = 4 (y – 1)
(
b
7y = 77 (
y = 11 Se busca el valor de x:
Enunciado del problema
a) El doble de la edad de Pedro más la edad de Ana es 31 años y el triple de la edad de Ana menos la edad de Pedro es 23 años. b) Juan le dice a Lucía, si te doy un peso entonces tendría el doble de dinero del que tendrías tú, pero si me das un peso yo tendría el cuádruple de dinero del que tendrías tú. c) Dos naranjas más un peso cuestan lo que cuesta un melón. Pero, también, cuatro naranjas menos un peso cuestan lo que cuesta un melón.
b) Simplifiquen los sistemas de ecuaciones y resuélvanlos. Verifiquen también que la solución del sistema coincida con condición del enunciado.
2 x + 11 = 31 2 x = 20
Lo que aprendimos
x = 10
1. Diofanto fue un notable matemático de la Antigüedad. Parte de la historia de su vida fue tomada de la dedicatoria que aparece en la lápida de su sepulcro. La inscripción en la lápida constituye además un interesante ejercicio matemático. Completa la ta bla usando la información que fue tomada de la lápida:
b) y – 1 = 2 (x + 1)
y + 1 = 4 (x – 1) Despejando la y en la primera ecuación:
Lo que dice en la lápida de Diofanto
Lo que significa en lenguaje algebraico
y = 2x + 3
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida.
x = número de años que vivió Diofanto
Se sustituye en la segunda ecuación:
La sexta parte de su vida constituyó su hermosa infancia.
6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese su barbilla.
12
4 + 4 = 4x – 2 x
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en retiro.
x 7
8 = 2x
Pasó un lustro más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.
5
El cual tuvo una hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre.
2
Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.
4
y – 1 = 2x + 2
2 x + 3 + 1 = 4 (x – 1) 2 x + 4 = 4x – 4
4=x Se busca el valor de e busca el valor de y :
y + 1 = 4 (4 – 1) y + 1 = 12
x= x + x +
c) y = 2 x + 1
6
y = 4x – 1
2 x + 1 = 4x – 1
x
x
Con la información de la tabla anterior completa la ecuación y resuélvela:
y = 11
Como y ya está despejada en las dos ecuaciones, entonces es cierto que:
x
12
+5+ x +4 2
¿Cuántos años vivió Diofanto? 172
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1 + 1 = 4x – 2 x 2 = 2x 1=x Se busca el valor de y:
y = 2 (1) + 1 y=3
Respuesta. Vivió 84 años. Una manera de resolver la ecuación es la siguiente:
x= x + x + x +5+ x +4 6 12 7 2 Se busca un denominador común: x = 14 x + 7 x + 12 x + 42 x + 9 84 84 84 84 x = 75 x + 9 84 x – 75 x = 9 84 9 x=9 84 x=9÷ 9 84 x = 756 9
Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cómo resolver la ecuación, ayúdelos comentando que deben encontrar un denominador común. ¿Cuál es el menor denominador común para 6, 12, 7 y 2? Habiendo encontrado dicho denominador (84), deben escribir la ecuación utilizándolo. Plantee lo siguiente: si la vida de Diofanto se representa como x y sabemos que x = 84 ¿qué fracción de 84 la vida de Diofanto es la correspondiente a su infancia? Así podrán encontrar que su infancia es igual a 14 x porque es la sexta parte de 84 . 84 84 Deben hacer lo mismo para encontrar las demás fracciones.
x = 84
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MATEMÁTICAS
III
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad.
2. Emilio y Mauricio se fueron a pescar, al final del día Mauricio dijo: "Si tu me das 3 de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú." A lo que Emilio respondió: "Si tú me das 3 de tus peces yo tendré el doble de peces que tú".
Respuestas. a) Mauricio tiene 15 peces.
a) ¿Cuántos peces tiene Mauricio?
b) Emilio tiene 21 peces.
b) ¿Cuántos peces tiene Emilio?
Si se representan los peces que tiene Mario con m y los de Emilio con e, el sistema de ecuaciones sería:
EcUaciOnEs y gEOmEtría
sEsión 2
Lo que aprendimos
e + 3 = 2 (m – 3)
1. Se va a lanzar un cohete de juguete puesto sobre el piso. Se sabe que la altura h (en metros) que alcanza el cohete en determinado tiempo t (en segundos) está dada por la fórmula:
A partir de la primera ecuación, se puede saber que e = m + 6. Sustituyendo ese valor en la segunda ecuación se tiene que:
h = –2t 2 + 20t
m + 6 + 3 = 2 (m – 3)
a) Si se lanza el cohete, ¿cuánto tarda en llegar al piso
Y resolviendo:
nuevamente?
m + 9 = 2m – 6
b) Completa la tabla de la derecha para saber la altu ra que tiene el cohete en determinados periodos de tiempo.
15 = m
0
0
(0,0)
Conociendo el número de peces que tiene Mauricio, se puede averiguar cuántos tiene Emilio sustituyendo ese valor en cualquiera de las ecuaciones. En la primera sería:
1
18
(1,18)
e = 15 + 6 e = 21
t
c) ¿Para qué valores de t el valor de h es cero?
h
Tiempo transcurrido (en segundos)
y d) Si el valor de la altura h es cero, ¿qué ecuación permite encontrar el tiempo en que alcanza esa al tura? Subráyala.
Altura alcanzada (en metros)
Punto (t,h )
2
32
(2,32)
h=0
3
42
(3,42)
0 = –2t 2 + 20t
4
48
(4,48)
h = –2t 2 + 20t
5
50
(5,50)
6
48
(6,48)
7
42
(7,42)
8
32
(8,32)
e) Usando la fórmula general para resolver ecuacio nes de segundo grado encuentra las soluciones de la ecuación que elegiste.
t1 =
e–3=m+3
t2 =
Propósito de la sesión. Solucionar problemas mediante ecuaciones de segundo grado.
f) En el plano cartesiano de la siguiente página, gra fica los puntos de la tabla anterior y completa la gráfica de la expresión algebraica. 173
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Propósito del Interactivo. Dado un problema plantear y resolver la ecuación que lo modela.
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Respuestas. a) 10 segundos, porque cuando t = 10, h = 0
h = –200 + 200
c) Para t = 10 y t = 0, es decir, cuando el cohete está en el suelo antes de ser lanzado (segundo 0) y cuando han transcurrido 10 segundos desde que se lanzó.
h=0
e) La fórmula general es
h = –2 (10 ) + 20 (10) 2
Sugerencia didáctica. Si los alumnos no logran responder esta pregunta a partir de la ecuación, dígales que completen la tabla del inciso siguiente. Aunque llega sólo hasta los 8 segundos, ellos pueden darse cuenta de que hasta el segundo 5 el cohete va alcanzando mayor altura, pero que a partir del segundo 6 empieza a descender. También puede sugerirles ampliar la tabla.
x=
− b ± b 2 + 4 ac 2a
entonces quedaría:
x=
−(20) ± 20 2 – 4(–2)(0) 2(–2)
x=
−20 ± 400 – 0 –4
x1 =
−20 + 20 0 = =0 –4 –4
x1 =
−20 – 20 –40 = = 10 –4 –4 Li b r o p ara e l maestro
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be pasar ),
Respuestas.
secuencia 26
g) (0, 0) y (0, 10).
60
h
g) ¿En qué puntos interseca la gráfica el eje t ?
55
h) 0 y 10.
45
i) Iguales.
,
(
50
)y(
,
)
h) ¿Cuál es la abscisa de estos puntos? Sub ráyala.
40 35 30
,
(
)y(
,
)
25
Sugerencia didáctica. Dé a los alumnos tiempo para reflexionar sobre el número de soluciones de una ecuación de segundo grado, según lo que aprendieron en la secuencia 15, y sobre el número de intersecciones con la gráfica de la expresión algebraica asociada a la ecuación (ambos números son iguales).
i) ¿Cómo son las abscisas anteriores y las so luciones de la ecuación que resolviste en el inciso e) distintas o iguales?
20 15 10 5 –2 –1 –5
t 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
–10
Comparen sus resultados y comenten: • Toda expresión de la forma h = at 2 + bt + c tiene como ecuación asociada 0 = at 2 + bt + c para el valor de h = 0.
Respuestas.
• Las soluciones de la ecuación anterior son las abscisas de los puntos donde la gráfica de la expresión h = at 2 + bt + c interseca al eje t .
j) Entre 2 y 3 segundos.
j) ¿Cuánto tiempo debe de transcurrir para que el cohete alcance una altura de 40 m sobre el piso?
k) Entre 2 y 3 segundos y entre 7 y 8 segundos.
k) ¿Para qué valores de t el valor de h es 40?
Permita que los alumnos den respuestas aproximadas a estas dos preguntas, de acuerdo a la tabla que completaron al inicio de la sesión.
y
l) Si el valor de la altura h es 40, ¿qué ecuación permite encontrar el tiempo en que alcanza esa altura? Subráyala:
h = 40
40 = –2t 2 + 20t
h = –2t 2 + 20t
m) Usando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, encuentra las soluciones de la ecuación que elegiste, aproxímalo con hasta dos decimales:
Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos usar la calculadora para obtener estas respuestas.
t1 =
x1 =
20 + 8.94 28.94 = = 7.23 4 4
x2 =
20 – 8.94 11.06 = = 2.76 4 4
2.76
2. Para la expresión algebraica y = x 2 – x – 16 encuentra: a) La ecuación asociada para el valor de y = 0. b) Las soluciones de la ecuación que obtuviste en el inciso anterior. c) Haz la gráfica de la expresión y = x 2 – x – 16.
20 ± –20 2 – 4(2)(40) x= 2(2) 20 ± 400 – 320 4
t2 =
Comparen sus resultados y comenten la relación que existe entre las soluciones ante riores y la gráfica de la expresión.
Respuesta. Para utilizar la fórmula general, primero deben escribir la ecuación en su forma general, sería: –2 t 2 + 20 t – 40 = 0, o bien, 2 t 2 – 20 t + 40 = 0.
x=
7.23
d) Verifica que las soluciones que encontraste sean las abscisas de los puntos donde la gráfica interseca el eje x. Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron. 174
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Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad y valore si es necesario volver a revisar algún tema.
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Respuesta. c)
y 20
Respuestas.
15
a) 0 = x 2 – x – 16
10
b) x 1 = 4.53
5
x 2 = –3.53 –15
–10
0
–5
5
10
15
x
–5 –10 –15 –20
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos traduzcan un enunciado a una ecuación y que la resuelvan para dar respuesta al problema planteado en dicho enunciado.
3. Encuentra los números que satisfacen: La suma de un número más uno elevada al cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado. ¿Cuántos números satisfacen la siguiente propiedad: la suma de un número más 1 elevada al cuadrado es igual al doble del número elevado al cuadrado?
Entonces, quizá la pregunta del inciso a) sea difícil que la contesten antes de resolver el resto, aunque también pueden probar con algunos números por ensayo y error para ver si cumplen la condición.
a) ¿Qué número o números satisfacen la condición anterior? b) Una de las siguientes ecuaciones modela el problema anterior: 1. x +12 = 2x 2
2. (x +1)2 = (2x)2
Desarrolla ambas y encuentra las soluciones de ambas ecuaciones. Soluciones de la ecuación 1
x1 = x2 =
– 1 2 1
Soluciones de la ecuación 2
x1 = x2 =
1
Recuerda que: 2 ) = x 2 + 2ax + a (x + a )2 = (x + a )(x + a
– 1 3
c) Se sabe que uno de los números que satisfacen la propiedad es – 1 . Verifica con 3 esta información las respuestas dadas anteriormente. Comparen sus resultados y comenten cómo los obtuvieron. 4. ¿Cuántas soluciones tiene la expresión (x + 5)2 + 3 = (x + 1)2 + 43?
Si al responder la pregunta del inciso b) hubiera estudiantes que eligen erróneamente la ecuación 1, permítales seguir contestando. Al resolver las dos ecuaciones en el inciso c) podrán darse cuenta de que el 1 es una solución en ambas, sin embargo, en el inciso d) se les plantea que una de las soluciones es – 1 , y dicho número no es 3 solución en la ecuación 1, así que la ecuación que modela correctamente el problema, es la 2.
Simplifica la ecuación y resuélvela para comprobar tu respuesta.
Respuestas.
Para conocer más ejemplos de problemas modelados con ecuaciones, pueden ver el pro grama Planteamiento de problemas diversos.
Ecuación 1
x + 12 = 2 x 2
Para saber más
En su forma general quedaría:
Sobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/ Álgebra Ecuaciones y sistemas Resolución de sistemas Ruta: Aplicaciones de ecuaciones [Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008].
–2 x 2 + x + 1 = 0
Sobre resolución de ecuaciones de segundo grado, consulta: http://descartes.cnice.mec.es/ Álgebra Ecuaciones y sistemas Ecuación de segundo Ruta: Aplicaciones grado [Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
175
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Respuesta. Tiene una solución.
x 2 + 10 x + 25 + 3 = x 2 + 2 x + 1 + 64 10 x – 2 x = 65 – 28 8 x = 37
x = 4.625
−1 ± 12 – 4(–2)(1) 2(–2) −1 ± 1 + 8 x= –4 −1 + 3 2 1 x1 = = =– –4 –4 2 −1 – 3 –4 x2 = = =1 –4 –4 Ecuación 2
x=
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Propósito del programa 49. Mostrar la forma de plantear problemas a partir de un enunciado y solucionarlos de formas diversas. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
(x + 1)2 = (2 x)2
x 2 + 2 x + 1 = 4x 2 2x + 1 = 3x 2 En su forma general quedaría: 0 = 3x 2 – 2x – 1 2 ± –2 2 – 4(3)(–1) 2(3) 2 ± 4 + 12 x= 6 2+4 6 x1 = = =1 6 6 2–4 –2 1 x2 = = =– 6 6 3
x=
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Propósito de la sesión. Identificar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. En esta sesión los alumnos van a analizar cómo se genera la esfera, el cono y el cilindro a partir de girar una figura sobre un eje: un círculo para la esfera, un triángulo isósceles para el cono y un rectángulo para el cilindro; también comprobarán que el cilindro se puede generar al deslizar o trasladar un círculo a través de una recta perpendicular a él.
secuenci a 27
Conos y cilindros En esta secuencia vas a construir conos y cilindros y estudiarás algunas de sus características. Harás cortes a cilindros y conos rectos y estudiarás las secciones que se obtienen.
SeSión 1
Materiales. Instrumentos geométricos, cartulina o cualquier otro papel grueso, popotes o palitos de madera, tijeras, cinta adhesiva y pegamento.
SólidoS de revolución
Para empezar Los sólidos de revolución
Imagina que haces girar rápidamente un círculo alre dedor de uno de sus diámetros, como se muestra en la figura. ¿Qué cuerpo geométrico se genera?
Propósito del programa 50. Mostrar cómo generar cilindros y conos a partir de rotar figuras y construir sus desarrollos planos.
Consideremos lo siguiente Los siguientes cuerpos geométricos también pueden generarse al hacer girar figuras geométricas.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la actividad. En ésta y en varias actividades de la secuencia se pretende desarrollar la imaginación espacial de los alumnos. Posibles respuestas. Dado que en ambos cuerpos hay círculos, algunos alumnos podrían pensar que, al girar un círculo, se puede generar el cono y el cilindro, pero esto no es así. Es probable que identifiquen que el cilindro puede generarse a partir de rotar un rectángulo alrededor de su eje de simetría o también alrededor de uno de sus lados o de un segmento paralelo a ellos; mientras que el cono puede generarse a partir de girar triángulos, tendrán que buscar qué tipos de triángulos y cuál es el eje de giro (puede ser un triángulo rectángulo al girarlo alrededor de uno de sus catetos, o un triángulo isósceles al girarlo alrededor de su eje de simetría). Algunos alumnos podrán responder las preguntas sin necesidad de hacer las figuras, en cualquier caso se cumple el propósito de que los alumnos hagan hipótesis, ya sea que las validen físicamente o que lo hagan mentalmente.
192
a) ¿Qué figura geométrica usarán y sobre cuál eje la pueden girar para generar un cilindro? b) ¿Qué figura geométrica usarán y sobre cuál eje la pueden girar para generar un cono? Comparen sus respuestas, observen que hay varias respuestas correctas.
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Propósito del Interactivo. Ilustrar la generación de superficies de revolución.
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Sugerencia didáctica. Es importante que comparen las maneras distintas de generar un cono y un cilindro a las que llegaron. Invítelos a que expliquen sus respuestas.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
Manos a la obra
a) Un cilindro.
I. Recorten un rectángulo de cartulina. Peguen un popote y gírenlo como se observa en la ilustración.
b) Se genera un cilindro con la misma altura pero con la base más grande.
Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos identifiquen que, al deslizar o trasladar un círculo a través de una recta perpendicular a él, se genera un cilindro. El círculo representa un corte transversal del cilindro.
a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera? b) Si el popote se pega en un lado del rectángulo y se hace girar, ¿en qué se parece y en qué difiere el cuerpo generado con el que se generó en el inciso a)?
II. Recorten un círculo, ¿cómo pueden moverlo para generar el mismo cuerpo de la actividad I? III. Un cono puede generarse al girar un triángulo, anoten se genera un cono parecido al de la página 176.
a aquellos casos en los que
Pista: El círculo no se gira alrededor de uno de sus diámetros. Se traslada sobre una recta, ¿sobre cuál?
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos con qué tipo de triángulos, al girarlos, se genera un cono.
177
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Posibles errores. El segundo caso es el único que no genera un cono, es probable que algunos alumnos marquen este dibujo porque observarán que se generan dos conos, en este caso puede confrontar sus hipótesis con la siguiente situación: si ponemos un cubo arriba de otro, ¿la figura que resulta es un cubo?
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Eje Forma, espacio y medida.
Tema Formas geométricas.
Subtema
Propósito de la secuencia Identificar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir e identificar desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto o en una esfera.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Sólidos de revolución Identificar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras.
Programa 50 Interactivo
2
Cilindros rectos Construir e identificar desarrollos planos de cilindros rectos.
3
Conos rectos Construir e identificar desarrollos planos de conos rectos.
4
Secciones de corte Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto o en una esfera.
Cuerpos geométricos.
Antecedentes Durante la primaria los alumnos identificaron el desarrollo plano de un cilindro y un cono, pero no calcularon todas sus medidas, en esta secuencia van a calcular las medidas de los desarrollos planos si conocen las medidas del cono y el cilindro y viceversa. En las secuencias 13, 14 y 15 de Matemáticas II, volumen I, los alumnos realizaron un trabajo similar al que van a hacer en las secuencias 27, 28 y 29, al construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides, calcular su volumen y establecer la relación entre la fórmula para calcular el volumen de un prisma y de una pirámide.
Programa 51
Interactivo
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Propósito de la sesión. Construir e identificar desarrollos planos de cilindros rectos. En las secuencias 27, 28 y 29 se trabaja con cilindros rectos, en los que la cara lateral forma un ángulo recto con cada base. También hay cilindros oblicuos en los que la cara lateral no forma ángulo recto con las bases.
secuenci a 27
A lo que llegamos Un cilindro sólido es un cuerpo geométrico que puede generarse cuando un rectángulo gira en torno a uno de sus lados o a un segmento paralelo a ellos. Por tal motivo, es un sólido de revolución y se le llama así porque un significado de revolución es vuelta o giro. Un cono sólido es un cuerpo geométrico que puede generarse cuando un triángulo isósceles gira en torno a su eje de simetría. La esfera es un cuerpo geométrico que puede generarse cuando un círculo se gira en torno a uno de sus ejes. Por tal motivo, el cono y la esfera también son sólidos de revolución.
SeSión 2
cilindroS rectoS
Consideremos lo siguiente Anoten a los desarrollos planos con los que se puede construir un cilindro recto sin que se desperdicie papel. Tomen medidas si lo consideran necesario.
Materiales. Instrumentos geométricos, cartulina o cualquier papel grueso, tijeras y pegamento.
Propósito de la actividad. Lo que se pretende es centrar la atención en que los lados del rectángulo donde están trazadas las bases deben medir lo mismo que el perímetro de dichas bases (para que embonen perfectamente). En el caso del desarrollo verde esos lados son menores que las circunferencias, mientras que en el desarrollo lila son mayores (de ahí que en la consigna diga que no se tiene que desperdiciar papel). Posibles dificultades. Si nota que en algún desarrollo los alumnos no se ponen de acuerdo, invítelos a que lo calquen, lo recorten y verifiquen sus hipótesis.
Comparen sus respuestas y comenten con sus compañeros la manera en que determina ron los desarrollos planos correctos. 178
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Sugerencia didáctica. En este momento lo importante es que identifiquen las características que debe tener un desarrollo plano para generar un cilindro. Aunque no hayan tomado las medidas, es suficiente con que comprueben sus respuestas al calcar y recortar las figuras. Pregunte a los alumnos si es determinante la posición de las bases (debe haber una en cada lado opuesto, pero pueden colocarse en cualquier lugar de esos lados).
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MATEMÁTICAS
III
Manos a la obra
Propósito de la actividad. Explicitar la relación entre el ancho del rectángulo y la medida de la circunferencia de las bases (el perímetro de los círculos).
2 cm
I. Consideren el siguiente desarrollo para armar un cilindro: a) Observen que la medida del ancho del rectángulo debe coincidir con el perímetro del círculo.
b) ¿Cuánto mide el perímetro del círculo?
Ancho del rectángulo
Altura del rectángulo
¿Por qué?
c) Entonces, ¿cuánto debe medir el ancho del rectángulo? d) La altura del rectángulo es también la altura del cilin dro. Si se arma el cilindro, ¿cuánto medirá de altura?
Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario puede recordar a los alumnos que el perímetro del círculo se calcula multiplicando la medida del diámetro por π. Recuerde a los alumnos que 3.14 es una aproximación al valor de π. Si tienen calculadora les puede pedir que utilicen el valor de 3.14159 o el valor que venga en la calculadora. Respuestas. a) Para que el cilindro cierre exactamente y no sobre ni falte papel.
II. El siguiente cuadrado forma parte del desarrollo plano de un cilindro, termínenlo trazando sus bases. Para determinar el diámetro de las circunferencias hagan los cálculos necesarios.
b) 2π = 6.28 cm. c) 2π = 6.28 cm.
Posibles dificultades. Para decidir la medida del radio de la base deben usar la fórmula perímetro = π × diámetro en la que el perímetro es igual a la medida de uno de los lados del cuadrado. Se despeja el diámetro perímetro π y de ahí se obtiene el radio, que es la mitad del diámetro.
diámetro =
III. Armen con cartulina un cilindro que mida 12 cm de altura y 5 cm de radio en sus bases. Guarden su cilindro porque lo van a ocupar en la siguiente secuencia.
Si nota que tienen dificultades puede preguntarles ¿cómo pueden obtener el diámetro de una circunferencia si conocen el perímetro?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. 179
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Propósito de la actividad. Armar un cilindro dadas sus dimensiones. Deben trazar un rectángulo con un lado de 12 cm, el otro lado debe medir lo mismo que el perímetro de las bases, es decir 31.4 cm. Las circunferencias de radio de 5 cm van sobre los lados mayores. Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que le entreguen una copia del dibujo de su desarrollo plano. Es importante que indiquen las medidas. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
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Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos lleven a cabo esta actividad porque integra las dos actividades anteriores y porque van a utilizar este cilindro en la siguiente secuencia. En clase deben encontrar la medida del lado que falta en el rectángulo. Puede pedirles que armen el cilindro en casa, Indíqueles que agreguen las pestañas para que puedan pegar todas las caras.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan en sus cuadernos el dibujo del desarrollo plano de un cilindro y el dibujo del cilindro que le corresponde y que indiquen todas las medidas.
secuencia 27
A lo que llegamos El desarrollo plano del cilindro está formado por dos caras circulares llamadas bases y una cara lateral que es un rectángulo. Base
Cara lateral
Base
La medida del ancho del rectángulo es 2πr, donde r es el radio de la base; la medida de la altura del rectángulo es la medida de la altura del cilindro.
Propósito de la sesión. Construir e identificar desarrollos planos de conos rectos. En las secuencias 27, 28 y 29 se trabaja con conos rectos, en los que si se traza una recta del vértice al centro de la base, la recta es perpendicular a la base. También hay conos oblicuos, en los que si se traza una recta del vértice al centro de la base, la recta no es perpendicular a la base.
SeSión 3
conoS rectoS
Consideremos lo siguiente Anoten a los desarrollos planos con los que se puede construir un cono recto sin que se desperdicie papel.
Materiales. Instrumentos geométricos, cartulina o cualquier papel grueso, tijeras y pegamento. 180
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12/10/08 6:32:29 PM
Posibles dificultades. La dificultad principal es que puedan determinar que el desarrollo plano de la cara lateral del cono es un sector circular y que la medida del arco del sector circular es la misma que la medida del perímetro del círculo que sirve como base. Si nota que algunos alumnos no pueden decidir si es posible o no armar un cono, invítelos a que calquen los moldes y traten de validar las hipótesis que hayan hecho. El único caso en el que es posible armar un cono es el del segundo desarrollo, en el primero el cono no alcanza a cerrar y en el tercero se desperdicia papel porque el sector circular es más grande de lo que se necesita.
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MATEMÁTICAS
III
Comparen la manera en que llegaron a sus resultados. Si en alguno tienen duda pueden calcar el desarrollo y tratar de armar el cono. 181
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Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué el desarrollo plano de la cara lateral del cono es un sector circular y no es otra figura, por ejemplo un triángulo isósceles. Los alumnos tienen que identificar que la distancia del vértice del cono a cualquier punto del perímetro de la base debe ser la misma, en el desarrollo plano esta medida corresponde a la distancia del centro a cualquier punto del arco.
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x
x
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Propósito de la actividad. Que los alumnos determinen las medidas de la base del cono si se conoce el sector circular que forma la cara lateral del cono.
secuencia 27
Manos a la obra i. Consideren la siguiente circunferencia de 3 cm de radio y el sector circular azul que abarca un ángulo central de 120°.
La longitud del perímetro de la circunferencia de la base es igual que la longitud del arco del sector circular.
a) ¿Cuánto mide la circunferencia? b) ¿Qué parte de la circunferencia completa es el arco del sector circular?
En este proceso intervienen aspectos de proporcionalidad: El sector circular tiene un ángulo de cierta medida que corresponde a una parte de la circunferencia a la que pertenece. Por ejemplo, en este caso, el sector es de 120°, que es la tercera parte de los 360° que forman toda la circunferencia; así que la medida del arco del sector circular también es la tercera parte de la medida de toda la circunferencia. Si el ángulo fuera la quinta parte de 360°, entonces el arco sería la quinta parte de toda la circunferencia. Esta relación de proporcionalidad es la que se trabaja en esta actividad.
c) ¿Cuánto mide la longitud del arco del sector circular?
d) Si el sector circular es la cara lateral de un cono, ¿cuánto debe medir el perímetro de la base del cono?
e) ¿Cuánto debe medir el radio de la base del cono?
ii. El círculo rojo es la base de un cono y su radio mide 1 cm.
Respuestas. a) 6π = 18.84 cm.
m
6c
b) Una tercera parte.
1 cm
c) 2π = 6.28 cm. d) El perímetro de la base debe medir lo mismo que el arco del sector circular, es decir 6.28 cm. e) El diámetro de la base se calcula como en la sesión pasada: perímetro diámetro = π Entonces el diámetro mide 2 cm y el radio de la base mide 1 cm.
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Propósito de la actividad. El problema presentado en esta actividad es el inverso del anterior: ahora se conoce la medida del radio de la base y se espera que los alumnos puedan trazar el sector circular que forma la cara lateral del cono. Este problema no es sencillo, nuevamente intervienen aspectos de proporcionalidad y esto puede representar una dificultad para los estudiantes.
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Posibles procedimientos. Se debe determinar el perímetro de la base y el perímetro de la circunferencia mayor (de la que saldrá el sector circular que forma la cara lateral), ambos con la fórmula P = π × d, para lo cual tendrán que usar el diámetro correspondiente en cada caso. Con esas dos medidas se encuentra la razón entre ambas: qué parte de la circunferencia grande es la circunferencia pequeña y de ahí, se calcula con la misma razón el ángulo del sector. Por ejemplo, si la circunferencia pequeña es un cuarto de la grande, entonces el ángulo será 1 4 de 360°, si es 1 el ángulo será 1 de 360°, 5 5 etcétera.
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Sugerencia didáctica. Indique a los alumnos que, antes de trazar el sector circular contesten las preguntas que están a continuación, ya que les ayudarán a determinar el ángulo del sector.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) Mide 2π = 6.28 cm.
En la circunferencia grande van a terminar de trazar el sector circular que será la cara lateral del cono; para determinar el ángulo de ese sector circular contesten las si guientes preguntas:
b) El arco debe medir lo mismo que el perímetro de la base, es decir 6.28 cm.
a) ¿Cuánto mide el perímetro de la base del cono? b) ¿Cuánto debe medir el arco del sector circular que será la cara lateral del cono?
c) Mide 8π = 25.1 cm (el radio de la circunferencia grande mide 4 cm)
c) ¿Cuánto mide el perímetro de la circunferencia grande?
d) Es la cuarta parte.
d) ¿Qué parte del perímetro de la circunferencia grande es la medida del arco del
e) 90°.
sector circular? e) ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector circular? Tracen el sector circular.
A lo que llegamos El desarrollo plano del cono está formado por una cara circular llamada base y una cara lateral curva que es un sector circular. R
x
Cara lateral
r
Base
Si consideramos R al radio del sector circular que forma la cara lateral del cono y r al radio de la base del cono, para calcular el ángulo del sector circular (x ) se establece la siguiente proporción: 2πR corresponde a 360° 2πr corresponde a x ° De donde se tiene que:
x=
o bien
2πR = 360° x° 2πr
2πr × 360° 2πR Altura
R
Es importante que observes que la altura del cono es diferente de la medida R. 183
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Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que le entreguen una copia del dibujo de su desarrollo plano. Es importante que indiquen las medidas. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión. Sugerencia didáctica. En clase deben encontrar la medida del ángulo y del radio del sector circular Puede pedirles que armen el cono en casa, Indíqueles que agreguen las pestañas para que puedan pegar las caras. El cono lo ocuparán en la siguiente secuencia para determinar la fórmula para calcular su volumen.
secuenci a 27 Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que el desa rrollo plano que eligieron tiene las medidas correctas para R, r y para x.
Lo que aprendimos Construyan un cono que mida 12 cm de altura y 5 cm de radio en la base. Guarden su cono porque lo utilizarán en la siguiente secuencia.
Pista: Para calcular el radio del sector circular pueden usar el teorema de Pitágoras.
Una gran variedad de empaques y objetos tienen formas de cilindros o de conos. Puedes ver el programa Cilindros y conos para conocer algu nos ejemplos.
SeccioneS de corte
SeSión 4
Manos a la obra
Respuesta. La pista que se da es para que los alumnos noten que pueden calcular el radio del sector circular si consideran que, al armar el cono, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura del cono y el radio de la base.
i. Cuando cortan un cilindro con un plano paralelo a la base, en la sección de corte se forma un círculo.
Imaginen que con una tarjeta se corta un cilindro de plastilina como se indica en la figura de la izquierda. Dibujen en su cuaderno cómo se imaginan la figura geométrica que queda en la sección de corte. ii. Dibujen en su cuaderno la figura que se formará en la sección de corte de cada cono.
radio del sector circular
altura
radio de la base
El radio del sector circular es la hipotenusa del triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm, por lo que el radio del sector circular mide 13 cm, ya que 13 2 = 12 2 + 5 2 Para calcular el ángulo del sector circular, se debe calcular el perímetro de la circunferencia grande, que es de 26π. El perímetro de la base es de 10π. Entonces el ángulo del sector circular es: (10π)(360°) = 138.46°. 26π Se puede redondear este valor a 138.5°.
iii. La figura de la izquierda ilustra un cono al que se le hizo un corte formando, en la sección de corte, un círculo. ¿Cuál es el radio de ese
12 cm 5 cm
círculo? Pista:
12 cm 184
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Propósito de la sesión. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto o en una esfera. Materiales. Instrumentos geométricos, plastilina, tijeras y pegamento.
Propósito del programa 51. Mostrar los diversos usos de los cilindros y los conos y repasar el trazo de los desarrollos planos de estos cuerpos. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Pueden utilizar semejanza de triángulos.
Propósito del Interactivo. Explorar las diferentes secciones cónicas que se obtienen al realizar cortes a cilindros y conos.
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Sugerencia didáctica. Si es posible, después de que hayan respondido, construya un cilindro y un cono con plastilina y pida a dos alumnos que pasen a hacer los cortes. Respuestas I y II. Al hacer el corte en el cilindro se obtiene un óvalo. En el cono se obtiene un círculo con el plano paralelo a la base y un óvalo con el plano no paralelo.
Posibles procedimientos. Se forman dos conos, las medidas de uno son proporcionales con respecto a las medidas del otro. El cono mayor tiene una altura de 12 cm y el radio de su base es de 6 cm. El cono menor tiene una altura de 7 cm, por lo que su base tiene un radio de 3.5 cm. También pueden trazarse los triángulos rectángulos determinados por la altura de cada cono y un radio en cada base. Estos triángulos son semejantes.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. No es posible, con cualquier corte se obtiene un círculo. Para obtener el radio máximo el plano que corta debe pasar por el centro de la esfera.
IV. Consideren una esfera de plastilina a la que se le harán diversos cortes. a) ¿Es posible formar un óvalo al hacer un corte a la esfera? b) ¿Dónde hay que cortar para obtener el círculo de radio máximo? V. Consideren que el cono tiene una base con radio 8 cm y altura 20 cm y se hacen cortes paralelos a la base donde indican las líneas punteadas. Completen la tabla. Columna A
Columna B
Columna C
Distancia del vértice superior a la sección de corte
Radio del círculo de la sección de corte
Área del círculo de la sección de corte
4 cm
1.6 cm
2.56 π cm2
2
8 cm
3.2 cm
10.24 π cm2
3
12 cm
4.8 cm
23.04 π cm2
4
16 cm
6.4 cm
40.96 π cm2
Círculo
1
a) ¿Son proporcionales las cantidades de la columna A con respecto a las cantidades de la columna B?
. Justifiquen su respuesta
b) ¿Son proporcionales las cantidades de la columna B con respecto a las cantidades de la columna C?
4 cm
Posibles procedimientos. Para completar la tabla deben hacer un análisis parecido al que hicieron en la actividad III: los alumnos pueden observar que se forman conos cuyas medidas son proporcionales o tomar los triángulos rectángulos que se forman con las alturas y un radio de la base.
4 cm
Posibles respuestas. Si se considera π = 3.14, en la Columna C se obtiene:
4 cm
8.0384 cm2 , 32.1536 cm2 , 72.3456c cm2 y 128.6144 cm2 , respectivamente.
4 cm
Respuestas. a) Las cantidades sí son proporcionales.
. Justifiquen su respuesta
b) No son proporcionales. VI. Llenen un cono poco a poco de agua. Colóquenlo de tal ma nera que la base esté paralela al piso. a) ¿Qué forma se genera en la superficie superior del agua?
b) Tracen en su cuaderno la gráfica que representa la rela ción del nivel del agua con el radio del círculo correspon diente a cada corte. Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros de grupo.
Para saber más Sobre conos y cilindros, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Peña, José Antonio de la. “Los geómetras griegos” en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2004. 185
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Sugerencia didáctica. Para encontrar la relación entre el nivel del agua y el radio de los círculos, puede sugerir a los alumnos que se fijen en cómo llenaron la tabla en la actividad anterior. Respuestas. a) Se forma un círculo. b) La gráfica corresponde a una relación de proporcionalidad.
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Propósito de la sesión. Construir la fórmula para calcular el volumen del cilindro.
secuenci a 28
Volumen del cono y del cilindro
En esta sesión los alumnos van a identificar un cilindro como un prisma con base circular y, por lo tanto, se utiliza la fórmula
Volumen = área de la base por altura, En esta secuencia aprenderás la fórmula para calcular el volumen del cono y del cilindro.
para calcular su volumen. Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente puede invitar a los alumnos a que revisen la secuencia 14 de Matemáticas II, volumen I, en la que trabajaron las fórmulas para calcular volúmenes de prismas y pirámides.
SESIóN 1
TINACOS DE AGUA
Para empezar
En primer grado aprendiste que para calcular el volumen de un prisma se multiplica el área de la base por la altura. Considera que la figura de la derecha es un tinaco de agua, ¿cómo calcularías la cantidad de agua que le cabe?
En la secuencia se utiliza 3.14 como aproximación al valor de π . Si tienen calculadora les puede pedir que utilicen el valor de 3.14159 o el valor que venga en la calculadora.
Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden la fórmula para calcular el volumen de un prisma.
Consideremos lo siguiente ¿Cuántos litros de agua puede almacenar un tinaco en forma de cilindro cuya base tiene un radio 0.40 m y su altura mide 1 m?
Posibles dificultades. Es la primera vez que los alumnos se enfrentan a un problema en el que tienen que calcular la capacidad de un cilindro. Aunque es probable que algunos sí relacionen el cilindro con los prismas y calculen el área de la base para multiplicarla por la altura, habrá otros alumnos que no lo hagan. En cualquier caso no les anticipe la fórmula o algún procedimiento, permita que lo intenten con sus propios medios. Si tienen dificultades para expresar el volumen en litros puede preguntarles cuántos decímetros hay en 0.4 m (hay 4) y cuántos hay en 1 m (hay 10). Entonces la base del cilindro es una circunferencia de radio 4 dm y la altura del cilindro es de 10 dm.
Recuerden que: Un decímetro cúbico equivale a un litro.
Comenten con sus compañeros la manera en que calcularon la capacidad del tinaco en forma de cilindro. 186
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Posibles procedimientos. Los alumnos pueden estimar cuántos cubos de un decímetro (10 cm) caben aproximadamente en el tinaco (como cuando cuadriculan para calcular el área de figuras con lados curvos). Una posibilidad es que calculen el volumen de un cubo en el que los lados midan 1 m y el volumen de un cubo en el que midan 0.8 m. El volumen del cilindro es menor que la de la primera figura y mayor que la de la segunda. Respuesta. El volumen es de 160 litros, (502.4 litros si se toma = 3.14).
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MATEMÁTICAS
III
Propósito de la actividad. Identificar un cilindro como un prisma de base circular.
Manos a la obra I. Considera los siguientes prismas:
Propósito del Interactivo. Que los alumnos lleguen a conocer y entender la fórmula para calcular el volumen de cilindros.
Respuestas.
a) Si se continúa aumentando el número de lados de la base, ¿a qué figura geomé-
a) A un círculo.
trica tiende a parecerse la base?
b) A un cilindro. c) La tercera fórmula, se multiplica el área de la base (el área del círculo se calcula con × r 2 ) por la altura.
b) Si se continúa aumentando el número de lados de la base, ¿a qué cuerpo geométrico tiende a parecerse un prisma? c) El volumen de un cilindro puede calcularse con la fórmula para calcular el volumen de un prisma, considerando que la base es un círculo. ¿Cuál de las siguientes fórmulas sirve para calcular el volumen del cilindro de radio r y de altura h ? V=π×d×h
V=π×r×h
V = π × r2 × h
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. 187
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Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que en la sesión pasada vieron que pueden generar un cilindro al trasladar un círculo hacia arriba o hacia abajo. Los prismas también se pueden generar al trasladar hacia arriba o hacia abajo su base. Pregúnteles cuál es la relación de esto con la fórmula para calcular el volumen de estos cuerpos geométricos (se está trasladando la base una distancia igual a la altura).
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Eje
Propósito de la secuencia Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos
Forma, espacio y medida.
Tema Formas geométricas.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Tinacos de agua Construir la fórmula para calcular el volumen del cilindro.
Interactivo
2
Conos de papel Construir la fórmula para calcular el volumen del cono.
Subtema Cuerpos geométricos.
Antecedentes En la secuencia 14 de Matemáticas II los alumnos encontraron las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides y establecieron la relación entre la fórmula para calcular el volumen de un prisma y el de una pirámide. En la secuencia anterior identificaron y construyeron los desarrollos planos de cilindros y conos. En esta secuencia van a determinar que un cilindro es un prisma de base circular y que un cono es una pirámide de base circular.
Programa 52 Interactivo
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secuenci a 28
A lo que llegamos Para calcular el volumen de un cilindro, al igual que el de un prisma, se multiplica el área de su base por su altura. Dado que la base de un cilindro siempre es un círculo, el volumen se calcula multiplicando el valor de π por el radio al cuadrado y por la altura.
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que calcularon correctamente la capacidad el tinaco.
Lo que aprendimos
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
Calcula el volumen de los siguientes cilindros.
Respuestas. Los volúmenes son cilindro rojo: 20.625π cm3 = 64.7625 cm3. cilindro amarillo: 32π cm3 = 100.48 cm3. cilindro naranja: 13.5π cm3 = 42.39 cm3.
3.3 cm 6m 2.5 cm
Volumen 1.5 cm
Volumen
2 cm
8 cm
Volumen
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MATEMÁTICAS
III
CONOS DE PAPEL
Propósito de la sesión. Construir la fórmula para calcular el volumen del cono. SESIÓN 2
Para empezar
Considera un cilindro y un cono que tienen exactamente la misma medida de la base y la altura.
Los alumnos van a explorar dos formas para obtener la fórmula: 1. Van a comprobar empíricamente que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro cuyas dimensiones (radio de la base y altura) son iguales. 2. Van a identificar que un cono puede considerarse como una pirámide circular, por lo que para calcular el volumen del cono se emplea la misma fórmula que para calcular el volumen de una pirámide. Materiales. Instrumentos geométricos. El cilindro y el cono que construyeron en la sesión pasada. Arroz o semillas pequeñas.
¿Cuál tiene mayor volumen? ¿Cuántas veces más volumen crees que tenga?
Consideremos lo siguiente ¿Qué cantidad de agua consideran que le cabe a un cono de papel con las medidas indicadas? 10 cm
Pista: Recuerden la relación a entre el volumen del prism y de la pirámide.
12 cm
Recuerden que: Un decímetro cúbico (dm3 ) equivale a un litro ( ).
Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos observen que el volumen de un cilindro es mayor que el volumen de un cono con las mismas dimensiones; no se espera que contesten exactamente la segunda pregunta, puede ser sólo una estimación, aunque es probable que algunos recuerden la relación entre los volúmenes de prismas y pirámides y hagan la analogía para los volúmenes de cilindros y conos y determinen que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.
Comparen sus procedimientos y resultados con los de otros equipos.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno a cuántos litros equivale un metro cúbico (son 1 000 litros) y a cuántos miliitros equivale un centímetro cúbico (a uno). Estas conversiones les serán útilies para las actividades de esta secuencia y de la siguiente. Posibles procedimientos. Es posible que algunos alumnos utilicen la fórmula para la pirámide (área de la base por la altura entre tres). También podrían calcular la capacidad de un cilindro de la misma altura y el mismo radio en la base y, a partir de ese resultado, encuentren la capacidad del cono utilizando lo que respondieron en el apartado Para empezar.
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Los alumnos deben convertir los centímetros cúbicos a litros. Para ello pueden: • Considerar que cada centímetro cúbico es un mililitro.
Propósito del Interactivo. Que los alumnos lleguen a conocer y entender la fórmula para calcular el volumen de conos.
• Expresar las medidas del cono en decímetros , 1.2 dm de diámetro y 1 dm de altura, para obtener directamente el dato en litros. Respuesta. El volúmen es de 100 cm3 . Le caben 314 mililitros de agua aproximadamente (si se toma = 3.14).
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Propósito de la actividad. Que los alumnos establezcan, de manera empírica, que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.
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Posibles dificultades. Si observa que no llenan el cilindro al vaciar tres veces el contenido del cono, coménteles que probablemente hubo alguna imprecisión al llenar el cono o al vaciar las semillas (algunas se pudieron haber caído), o tal vez los cuerpos no tienen exactamente la misma base y la misma altura.
Paso 1. Llenen el cono de arroz o de semillas pequeñas.
Manos a la obra i. Utilicen el cilindro y el cono que construyeron en la secuencia 27 de Matemáticas iii, volumen II, quiten una de las bases del cilindro y la base del cono y hagan lo siguiente:
Paso 3. Repitan lo anterior hasta que se llene el cilindro.
Paso 2. Vacíen el contenido en el cilindro
a) ¿Cuántas veces es mayor el volumen del cilindro que el del cono? b) Si conocen el radio de la base del cono y su altura, ¿cómo calculan su volumen?
Propósito de la actividad. Identificar a los conos como una pirámide de base circular y que, por lo tanto la fórmula para calcular el volumen de una pirámide sirve para el volumen del cono.
ii. Consideren las siguientes pirámides:
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. a) A un círculo.
a) Si se continúa aumentando el número de lados de la base, ¿a qué figura geométrica tiende a parecerse la base?
b) La tercera fórmula.
b) El volumen de un cono puede calcularse con la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, considerando que la base es un círculo. ¿Cuál de las siguientes fórmulas sirve para calcular el volumen del cono? V = 3π × r2 × h
V= 1π×r×h 3
V = 1 π × r2 × h 3
Propósito del programa 52. Construir las fórmulas para calcular el volumen del cono y del cilindro.
c) Verifiquen que coincide con su respuesta al inciso b) de la actividad I.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
A lo que llegamos Volumen de conos y cilindros
El volumen de un cono, al igual que el de una pirámide, es la tercera parte del área de su base por su altura. Dado que la base de un cono siempre es un círculo, el volumen se calcula multiplicando el valor de π por el radio al cuadrado y por la altura, y el resultado se divide entre tres.
Respuesta. El volumen es de 0.375 m 3 = 1.177 m 3 = 1177 litros.
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que calcularon correctamente el volumen del cono.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tienen dificultades revise con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
Lo que aprendimos
1. Calcula el volumen de un cono que mide 2 m de altura y 3 m de radio. 4 2. Anota las medidas de un cono que tenga el mismo volumen que un cilindro cuyo radio mide 4 y altura 9 cm.
Para saber más Sobre el volumen de conos y pirámides, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández Garcíadiego, Carlos. “Volumen del cilindro”, “Volumen de conos y pirámides” en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
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Posibles Respuestas. Si los alumnos han comprendido la relación entre el volumen de un cilindro y un cono podrán responder a esta pregunta sin necesidad de hacer muchas operaciones. Es un problema que tiene varias soluciones correctas. Una manera es multiplicando por tres la medida de las base o la de la altura, por ejemplo, puede ser un cono que mida 4 cm de radio de la base y 27 cm de altura o también 12 cm de radio de la base y 9 cm de altura, aunque también podrían cometer el error de pensar que tanto el radio como la altura deben aumentar tres veces y proponer un cono de radio de 12 cm y altura de 27 cm.
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Propósito de la sesión. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
secuenci a 29
Estimar volúmenes
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos desarrollen su capacidad para estimar resultados, es decir que den aproximaciones sin utilizar la calculadora Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que en este momento deben buscar la manera de simplificar las operaciones para encontrar resultados aproximados sin utilizar la calculadora. Por ejemplo, pueden considerar el valor de π como 3.1 o como 3, también pueden redondear los resultados intermedios, o cambiarlos por múltiplos de 10 o de 100 que estén cercanos, para que puedan hacer las operaciones. Observe los procedimientos para estimar los resultados y recupere algunos para que los expliquen a todo el grupo.
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos.
problemas prácticos
sesión 1
Lo que aprendimos Estimar volúmenes
i. Primero, estimen el resultado aproximado de los siguientes problemas. a) ¿Cuál es la capacidad en mililitros de una lata de jugo con las medidas indicadas a la izquierda? b) Anoten la medida del radio y la altura de un envase cilíndrico con capacidad para un litro. 10 cm
Los resultados que se indican son los resultados exactos, se tomó el valor π = 3.1416.
c) Don Fernando necesita un tinaco cilíndrico para almacenar 2 000 litros de agua; el señor de la tienda le ofrece uno que mide 1 m de diámetro, ¿cuál es la altura mínima del tinaco para que alma6 cm
Propósito del programa 53. Mostrar ejemplos en donde se relaciona el cálculo de volumen y la capacidad de recipientes en forma cónica o cilíndrica
d) Carlos cortó un triángulo rectángulo que mide 10 cm de hipotenusa y su cateto menor mide 6 cm. Si lo hace girar uno de sus catetos se genera un cono. ¿Cuál cono tiene mayor volumen: el que se genera cuando se gira sobre su cateto mayor
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
o el que se genera cuando se gira sobre su cateto menor? e) ¿Cuánto tendría que medir la altura de un cono con una base de 5 cm de radio para tener el mismo volumen que el de la iz-
Propósito del Interactivo. Resolver problemas que impliquen estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos.
quierda? 15 cm
f) Un chapoteadero (alberca para niños pequeños), en forma de cilindro, tiene una base de 2 m de radio y quiere llenarse hasta que el agua alcance 1 2 m de altura. Si el agua se suministra con tres mangueras que arrojan 5 de agua por minuto cada una, ¿en
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que recuerden la equivalencia que obtuvieron en la sesión pasada entre centímetros cúbicos y mililitros (un mililitro equivale a un centímetro cúbico). Respuesta. Tiene 90 mililitros.
cm 3 . Son 282.74
cene lo que requiere don Fernando?
20 cm
cuánto tiempo el agua alcanzará la altura deseada?
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Sugerencia didáctica. Este problema tiene muchas respuestas correctas, durante la puesta en común pida a los alumnos que comenten lo práctico o útil que pueden resultar ciertos envases en comparación de otros.
Posibles procedimientos. La manera más directa de resolver este problema es aplicando la fórmula: sustituir el volumen y el radio y despejar la altura. La principal dificultad está en las conversiones que tienen que hacerse. Puede ser que se pase todo a decímetros cúbicos y entonces el volumen tendrá que sustituirse por 2000 dm3 y el radio por 5 dm, pero también puede ser que se utilicen metros cúbicos, por lo que el volumen tendrá que expresarse como 2 m 3 y el radio como 0.5 m.
Sugerencia didáctica. Para calcular la medida del cateto mayor hay que usar el teorema de Pitágoras. Si los alumnos tienen dificultades invítelos a que tracen el triángulo y lo giren cómo se indica. Respuesta. El cateto mayor mide 8 cm. Si se gira sobre el cateto mayor, el cono tiene un radio de 6 cm y una altura de 8 cm. Su volumen es de 301.59 cm 3 . Si se gira sobre su cateto menor, el cono tiene un radio de 8 cm y una altura de 6 cm. Su volumen es de 402.12 cm 3 .
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Posibles procedimientos. Una manera de resolver el problema es calculando el volumen del cono dibujado (500 cm 3 ), sustituir este valor y la medida del radio en la fórmula y, despejar la altura, se obtiene un valor de h = 60cm. Otra manera es analizar que, si el radio se reduce a la mitad (de 10 a 5), al elevarlo al cuadrado (en la fórmula aparece r 2 ) el resultado se reduce cuatro veces (de 100 a 25) por lo que, para tener el mismo volumen, la altura tendrá que multiplicarse por cuatro: 15 × 4 = 60. Comente este procedimiento con todo el grupo.
Respuesta. El agua va a ocupar un volumen de 2 m 3 = 6.283 m 3 . Es decir 6 283 litros. Se llenará en 418.86 minutos (casi 7 horas).
Respuesta. La altura mínima es de 25.46 dm (o también 2.546 m).
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MATEMÁTICAS
III
Posibles respuestas. El área de la base del cilindro y del cono es la misma, aproximadamente 4.9 m 2 . Los alumnos tienen que decidir la altura del cono y del cilindro. Una manera de hacerlo es dar un valor para la altura del cono, por ejemplo 2 m, calcular el volumen de ese cono y restarlo de 25 m 3 , esa diferencia es el volumen del cilindro y de ahí se calcula al altura del cilindro. La siguiente tabla muestra algunos resultados siguiendo este procedimiento. En esta tabla se tomó el valor = 3.1416.
g) ¿Cuál es la altura de un cono al que le caben 250 ml de agua si el radio de su base mide 3 cm? 26.52
cm.
h) ¿Cuál es el radio de un vaso en forma de cilindro al que le caben 400 ml de agua si su altura es de 12 cm?
3.25 cm.
i) Consideren la siguiente información: Los silos de cemento son elementos verticales, formados por un cilindro y un cono. Los silos se caracterizan, generalmente, por el tonelaje almacenado, su volumen varía entre los 15 y 50 m 3 y su diámetro varía de 2.40 a 2.80 m. Vean una foto y un dibujo de un silo de cemento:
área base 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875 4.90875
Eliminador de polvo Escobilla
Cuerpo del silo
Tubo de llenado Pies
Si se desea que el silo tenga un volumen de 25 m 3 y un diámetro de 2.5 m para el cilindro y el cono, ¿cuáles pueden ser las posibles alturas del cono y del cilindro? y Comparen sus estimaciones con las de otras parejas. Aún no es necesario que hagan cálculos para saber qué estimaciones son mejores. II. Haciendo operaciones escritas o con la calculadora, encuentren el resultado de los problemas anteriores. Anótenlo al lado de sus estimaciones. Para el caso del problema d) comprueben su respuesta calculando el volumen de ambos conos. Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Si alguna pareja hizo una estimación muy buena pídanle que compartan su estrategia. Para conocer más acerca de cómo se aplican las fórmulas del volumen del cilindro y del cono, pueden ver el programa Problemas prácticos.
Para saber más Sobre volumen y capacidad, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Peña, José Antonio de la. “¿Cuánta agua le cabe a un tinaco?” en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2004.
altura cono 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
volumen cono 1.63625 3.2725 4.90875 6.545 8.18125 9.8175 11.45375 13.09 14.72625 16.3625 17.99875 19.635 21.27125 22.9075 24.54375 26.18 27.81625
volumen cilindro 23.36375 21.7275 20.09125 18.455 16.81875 15.1825 13.54625 11.91 10.27375 8.6375 7.00125 5.365 3.72875 2.0925 0.45625 –1.18 –2.81625
altura cilindro 4.75961294 4.4262796 4.09294627 3.75961294 3.4262796 3.09294627 2.75961294 2.4262796 2.09294627 1.75961294 1.4262796 1.09294627 0.75961294 0.4262796 0.09294627 – 0.24038706 – 0.5737204
Sugerencia didáctica. No todos los valores en la tabla son factibles para este problema (hay alturas negativas), otros no son prácticos en la realidad (por ejemplo, cuando la altura del cono es mayor que la del cilindro). De entre los diferentes resultados que surjan comenten cuáles son más adecuados y por qué lo consideran así. Si los alumnos tienen acceso a una hoja de cálculo pueden hacer una tabla similar y explorar ellos mismos con diferentes valores.
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Propósito del programa 54. Mostrar ejemplos en los que se calcula el volumen del cilindro y del cono usando las fórmulas.
Eje Forma, espacio y medida.
Tema Formas geométricas.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Propósito de la secuencia Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
Problemas prácticos Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
Programa 53 Interactivo Programa 54
Subtema Cuerpos geométricos.
Antecedentes A partir de lo que ya trabajaron en las secuencias 27 y 28, los alumnos aplicarán lo aprendido a diversas situaciones en las que tendrán oportunidad de hacer estimaciones y encontrar datos faltantes a partir de otros conocidos.
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secuenci a 30
Gráfica cajabrazos En esta secuencia, aprenderás a interpretar y construir un nuevo tipo de gráfica estadística llamada cajabrazos que se construye a partir de la mediana.
Propósito de la sesión. Organizar datos en más de una forma y hacer comparaciones globales.
SESIÓN 1
INTERPRETACIÓN DE DATOS
Para empezar
i. La siguiente gráfica muestra los resultados de una encuesta en la que se planteó la siguiente pregunta a alumnos de tercero de secundaria: ¿Cuántos libros completos has leído en los últimos doce meses, sin tomar en cuenta tus libros de texto? Porcentaje de alumnos
Propósito de la actividad. A partir de las preguntas planteadas se pretende ir destacando la importancia del valor de la mediana para la construcción e interpretación de las gráficas de cajabrazo. Esta actividad y la siguiente nos permiten trabajar con los alumnos dos aspectos: identificar el tipo de información que se está utilizando (en estos casos es cuantitativa), y ver cómo se distribuye el conjunto de datos al analizar las medidas de tendencia central.
30
25
20
15
10
5
0
Respuestas.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de libros leídos
Gráfica 1
a) 2
¿Cuántos libros completos has leído en los últimos doce meses, sin tomar en cuenta tus libros de texto?
b) El menor fue 0 y el mayor 10.
a) De acuerdo con la gráfica, ¿cuántos libros ha leído un mayor porcentaje de alum-
c) El 50% de los alumnos manifiesta haber leído 2 o menos libros (hay que sumar los porcentajes de los que leyeron 2 libros, 1 libro y 0 libros).
nos? b) ¿Cuál fue el menor número de libros leídos?
. ¿Cuál fue el mayor?
c) La gráfica muestra que 10% de los alumnos no leen ningún libro, ¿qué porcentaje de los alumnos leen 2 o menos libros?
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Propósito de la secuencia Interpretar y elaborar gráficas de cajabrazos para analizar la distribución de uno o dos conjuntos de datos.
Eje Manejo de la información.
Tema
Sesión
Representación de la información.
Subtema
Los alumnos ya conocen las medidas de tendencia central, y en las gráficas de cajabrazos éstas se integran para abordar la interpretación y la representación de los datos de una forma distinta.
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Propósitos de la sesión
Recursos
1
Interpretación de datos Organizar datos en más de una forma y hacer comparaciones globales.
Programa 55
2
Construcción de la gráfica cajabrazos Construir gráficas de cajabrazos.
Programa 56 Interactivo
3
Comparación de datos mediante la gráfica de cajabrazos Comparar dos o más conjuntos de datos mediante sus gráficas de cajabrazos.
Programa 57
Medidas de tendencia central y dispersión.
Antecedentes
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas.
d) ¿Qué porcentaje de alumnos es mayor: el que ha leído 5 o menos libros, o el que ha leído 5 o más?
Recuerda que: La mediana es una de las medidas de tendencia el central, y se define como valor que ocupa la posición se central cuando los datos or. ordenan de menor a may iana Por lo tanto, la med s divide los datos ordenado l en dos conjuntos de igua número de datos.
e) En el eje horizontal de la gráfica 1 se muestran, ordenados de menor a mayor, el número de libros leídos por los alumnos encuestados, ¿entre cuáles de esos números se halla el valor de la mediana?
f) Si suman en orden el porcentaje de los alumnos que han leído 0, 1, 2 o más libros completos, ¿en cuál número de libros se alcanza el 75% de los alumnos?
Comparen sus respuestas a las preguntas anteriores y contesten las siguiente pregunta: si el número total de alumnos encuestados hubiera sido 200, ¿cuántos alumnos leyeron 2 o menos libros completos?
Porcentaje de alumnos
II. Otra de las preguntas que debían contestar los alumnos encuestados era: ¿Cuántas horas de tu tiempo libre inviertes en ver televisión al día? Los resultados a esta pregunta se muestran en la gráfica 2.
20
e) Dado que la mediana es el “centro” de los datos, entonces, al sumar los porcentajes de cada barra empezando por cada uno de los extremos, se observa que el 50% de los alumnos lee 2 o menos libros y el otro 50% lee 3 o más libros. Por lo que el valor de la mediana se encuentra entre 2 y 3 libros leídos. Para hallar la mediana puede pensarse en hacer una lista con todos los resultados ordenados de menor a mayor. Si se asume que el total de alumnos es 100, por ejemplo, entonces 10 alumnos leyeron 0 libros, 15 alumnos leyeron 1 libro, etc. La mediana estaría entre el dato 50 y el 51. El dato 50 correspondería a un alumno que leyó 2 libros y el 51 a uno que leyó 3 libros, entonces el valor de la mediana es igual a 2.5 libros, por ser un número par de datos. f) El 75% se alcanza con los que han leído 0, 1, 2, 3 y 4 libros. El 25% restante corresponde entonces a los alumnos que han leído de 5 a 10 libros.
15
10
Sugerencia didáctica. Un aspecto importante tanto en la pregunta planteada aquí (cuántos libros completos has leído) como en la siguiente (cuántas horas de televisión ves al día), es que la respuesta 0 es válida. Una pregunta que se podría plantear a los alumnos es: ¿la respuesta 0 es lo mismo que “no contestaron”?, si creen que sí, pídales que expliquen por qué, si creen que no, dígales que comenten en qué lugar de la gráfica pondrían a ese porcentaje de alumnos que no contestó.
5
0
d) Es mayor el porcentaje de alumnos que ha leído 5 o menos libros.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Horas al día dedicadas a ver televisión
Gráfica 2 ¿Cuántas horas de tu tiempo libre inviertes en ver televisión al día?
a) ¿Qué porcentaje de los alumnos no ven la televisión? b) ¿Cuál es el número de horas que mayor porcentaje de los alumnos invierten en ver televisión al día?
. ¿Qué cantidad de alumnos representa?
c) Si ordenas al total de alumnos encuestados en cuatro grupos (cada uno sería el 25%), empezando por los que no ven la televisión hasta los que la ven más tiempo, señala con una cuántas horas al día ve televisión el primer 25% de los alumnos. De 0 a 2 horas
De 0 a 4 horas
De 0 a 3 horas
De 0 a 1 horas 195
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Lo importante es que los estudiantes se den cuenta de que es diferente contestar que ningún libro se ha leído o ninguna hora se ha visto televisión, que no responder a la pregunta. Este tipo de reflexiones son importantes cuando se están leyendo los datos, bien sea a partir de una gráfica o cualquier otra representación.
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Respuesta.
Respuestas.
Los que leyeron 2 o menos libros son el 50%, así que serían 100 alumnos.
a) 5% b) El 20% de los alumnos ve la televisión 4 horas al día. Siguiendo con la idea de que el número de alumnos encuestados fuera 200, serían 40 los que ven la televisión 4 horas al día.
Propósito de las preguntas. A partir de esta pregunta se trabaja en la lectura entre los datos que se muestran en una gráfica. La intención es que los alumnos logren hacer comparaciones globales, en contraste con otras comparaciones más puntuales, por ejemplo, las referidas a las diferencias o similitudes entre un dato y otro.
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Respuesta. El 50% de los alumnos.
secuenci a 30 d) Señala con una
Sugerencia didáctica. En la situación se pide considerar a los 200 alumnos que contestaron las preguntas. Haga notar que el primer 25% de las respuestas a cada pregunta puede ser distinto.
9 o más horas
8 o más horas
e) Señala con una Entre 0 y 6 horas
cuántas horas al día ve televisión el último 25% de los alumnos. 7 o más horas
6 o más horas
cuántas horas al día ve televisión el 75% de los alumnos.
Entre 0 y 5 horas
Entre 0 y 4 horas
Entre 0 y 7 horas
f) ¿Qué porcentaje de los alumnos ve televisión de 3 a 5 horas al día?
También puede plantearles lo siguiente: ¿es posible que las respuestas a la primera pregunta constituyan el primer 25% de los datos? Los alumnos deben notar que sí es posible y significaría que el 25% de los alumnos que respondieron no leen ningún libro. Del mismo modo, se puede reflexionar con la segunda pregunta y luego cruzar la información. Por ejemplo, el 25% de los alumnos no lee y el 25% ve televisión 10 horas ¿es posible que sean los mismos alumnos?
Comparen sus respuestas y realicen lo siguiente: Consideren la información que se muestra en las gráficas de las dos actividades anteriores y, nuevamente, supongan que fueron 200 alumnos encuestados . Ante la pregunta: ¿Cuántos libros completos has leído en los últimos doce meses, sin tomar en cuenta tus libros de textos? a) ¿Cuántos alumnos están en el primer 25%? b) ¿Cuál es el número de libros leídos que corresponde al primer 25%? En la pregunta: ¿Cuántas horas de tu tiempo libre inviertes en ver televisión al día? c) ¿Cuántos alumnos están en el primer 25%? d) ¿Cuál es el número de horas al día dedicadas a ver televisión que corresponde al primer 25%? Para saber más acerca de las distintas maneras en que se pueden interpretar los datos, pueden ver el programa Interpretación de datos.
Propósito del programa 55. Recordar las medidas de tendencia central analizando diversas situaciones.
SESIÓN 2
CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA CAJABRAZOS
Para empezar
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
En las sesión 3 ¿Qué cantidad de agua consumes? de la secuencia 7 Diseño de estudios y experimentos estadísticos del libro Matemáticas iii, volumen I, investigaste qué cantidad de agua consume el grupo diariamente y si es la que requieren de acuerdo con su edad. En esta sesión utilizarás nuevamente los datos que se recolectaron.
Consideremos lo siguiente Observen la cantidad de agua en mililitros que consumen diariamente los 20 alumnos de un grupo: 1 650, 1 300, 2 400, 2 000, 2 100, 1 700, 1 900, 1 500, 1 900, 1 850, 2 000, 2 150, 2 300, 1 600, 1 900, 2 500, 2 200, 1 650, 2 100, 1 750.
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Propósito de la sesión. Construir gráficas de cajabrazos.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos con anterioridad esta información para agilizar el trabajo de esta sesión.
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Propósitos del Interactivo. Mostrar la construcción de gráficas del tipo cajabrazos.
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MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Una de las cosas que los alumnos deben decidir es en qué grupo pondrán a los que consumen 2 000 ml. Luego, analizar los dos grupos de datos para ver en cuál de ellos hay más datos distintos. Por ejemplo, si uno de los grupos de datos fuera 2, 4, 4, 5, 3, 1 tendría una mayor variedad que el grupo 6, 7, 7, 7, 6, 9.
¿Qué conjunto de datos tiene mayor variedad: el que corresponde a los alumnos que consumen diariamente menos de 2 000 ml de agua o el de los alumnos que consumen diariamente 2 000 ml o más? Expliquen cómo determinaron su respuesta.
Manos a la obra
Respuestas.
I. Contesten las siguientes preguntas.
a) La menor cantidad es 1 300 ml y la mayor es 2 500 ml.
a) De acuerdo con los datos registrados en ese grupo, ¿cuál es la menor cantidad de agua que se consume diariamente?
. ¿Y cuál es la mayor?
b) La diferencia entre ellas es 1 200.
b) ¿Cuál es la diferencia que hay entre la mayor y la menor cantidad de agua registrada?
d) 1 900 ml
c) Ordenen de menor a mayor las cantidades de agua en ml que consume diariamente ese grupo de alumnos. Anótenlas en las siguientes celdas. 1 300 1 500 1 600 1 650 1 650 1 700 1 750 1 850 1 900 1 900 1 900 2 000 2 000 2 100 2 100 2 150 2 200 2 300 2 400 2 500
d) Tracen una línea vertical de color rojo que divida los datos en dos partes iguales. ¿Cuál es el valor de la mediana de las cantidades de agua (en ml) que consumen diariamente ese grupo de alumnos? e) ¿Qué porcentaje del total de cantidades de agua en ml que se registraron representa las cantidades de agua que son menores al valor de la mediana? ¿Y qué porcentaje representa las que están por arriba de la mediana?
f) Ahora, tracen otras dos líneas verticales de color verde, de modo que una divida la primera mitad de datos en dos partes iguales y la otra haga lo mismo con la segunda mitad de datos. ¿Qué porcentaje de cantidades representa cada una de esas cuatro partes? g) ¿Cuál es el valor de la media de las cantidades de agua que consumen diariamente esos 20 alumnos?
Recuerden que: Cuando el número de datos de un conjunto es impar, la mediana será exactamente el valor central del conjunto. Si el número de datos de un conjunto es par, la mediana será exactamente el valor que se encuentra a la mitad de los dos datos centrales del conjunto. Por ejemplo, encontrar la mediana del conjunto de datos:
e) Por debajo de la mediana está la mitad de los datos, es decir, del 0 al 50%. Por encima de la mediana está la otra mitad de los datos, del 51 al 100%. f) Los datos quedan divididos en cuatro partes, cada una representa un 25%. g) 1 922.5 ml
2, 9, 11, 5, 6, 27. El conjunto tiene 6 datos. Ordenar de menor a mayor: 2, 5, 6, 9, 11, 27 Los dos datos centrales son: 6 y 9. El valor intermedio es: (6 + 9) = 15 = 7.5 2 2 que corresponde al valor de la mediana. 197
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Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos no tengan dudas al leer esta gráfica. Dibújela en el pizarrón y vaya parte por parte explicando lo que significa cada uno de los puntos.
secuencia 30 ii. En la gráfica 3 se han ubicado, a la misma altura, tres puntos: • El primer punto muestra la menor cantidad de consumo de agua que se registró en ese grupo. • El segundo muestra el valor hasta donde llega el primer 25% de los datos registrados en orden ascendente.
Los que deben ubicar son:
• El tercero representa la mayor cantidad de consumo de agua registrada.
1 900 (la mediana).
2 500
2 450
2 400
2 350
2 300
2 250
2 200
2 150
2 100
2 050
2 000
1 950
1 900
1 850
1 800
1 750
1 700
1 650
1 600
1 550
1 500
1 450
1 400
1 350
1 300
2 100 (el 75% de los datos).
ml
Gráfica 3
a) Ubiquen los siguientes puntos a la misma altura de los otros: • El que represente la mediana de las cantidades de agua que consumen esos alumnos. • Y otro punto que muestre el valor donde se alcanza 75% de los datos registrados en orden ascendente. b) En la siguiente gráfica, anoten qué representan los valores señalados con las letras A, B, C. B A
Respuestas.
C
C: Lo que está hacia la izquierda de este punto es el primer 75% de los datos, hacia la derecha el 25% restante.
2 500
2 450
2 400
2 350
2 300
2 250
2 200
2 150
2 100
2 050
2 000
1 950
1 900
1 850
1 800
1 750
1 700
1 650
1 600
1 550
1 500
1 450
ml
Gráfica 4
A:
B:
C:
y compárenlo con el valor de la mediana, ¿se encuentran en el mismo lugar?
198
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1 400
B: Este punto representa la mediana. Lo que está hacia la izquierda es la primera mitad de los datos que va del 0 al 50%, lo que está hacia la derecha es la segunda mitad que va del 51% al 100%.
1 350
1 300
A: Lo que está hacia la izquierda de este punto es el primer 25% de los datos.
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III
MATEMÁTICAS
A lo que llegamos Una gráfica cajabrazos es una representación que divide en cuatro partes el total de datos. Primer paso: se determina el valor de la mediana (Me) y, a partir de él, se forman dos grupos de datos: la primera mitad (de 0 a 50% de los datos) y la segunda mitad (de 51% a 100%). Segundo paso: cada mitad se divide en dos grupos, en los que se identificará también su mediana. Cada grupo corresponde a un 25% de los datos. Tercer paso: se identifican el valor más pequeño de los datos que es el extremo inferior y el valor más grande que es el extremo superior. Ejemplo: Primera mitad
mediana
Segunda mitad
14 16 16 17 17 19 20 22 22 1er cuarto 2do cuarto
22.5
23 25 26 27 30 30 31 31 33 3er cuarto 4to cuarto
25%
50%
75%
100%
14
17
22.5
30
33
Extremo inferior
25%
50%
75%
Extremo superior
Propósito del programa 56. Conocer e interpretar gráficas de cajabrazo.
En el programa Gráfica cajabrazos, se muestra un esbozo del análisis exploratorio de datos, la cual es una nueva tendencia de la estadística.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
III. La siguiente gráfica cajabrazos muestra las cantidades de agua (en ml) que consumen diariamente las 11 mujeres que integran el grupo considerado en el apartado Consideremos lo siguiente.
Me
2 500
2 450
2 400
2 350
2 300
2 250
2 200
2 150
2 100
2 050
2 000
1 950
1 900
1 850
1 800
1 750
75%
1 700
1 650
1 600
1 550
1 500
1 450
1 400
1 350
1 300
25%
ml
Gráfica 5 199
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Respuestas.
s e cue ncia 30
a) El primer 25% de los datos, o sea, 3 alumnas.
a) De acuerdo con la gráfica 5, ¿cuántas mujeres consumen entre 1 500 ml y 1 700 ml de agua diariamente?
b) Entre 1 300 y 1 850 ml.
b) ¿Qué cantidad de agua consume diariamente el primer 50% de mujeres?
c) El primer 75% que corresponde a 9 alumnas.
c) ¿Qué porcentaje de las mujeres consumen entre 1 650 ml y 2 150 ml de agua
Posibles respuestas. Los alumnos pueden escribir diversas conclusiones al analizar la gráfica y compararla con los resultados obtenidos en su grupo. Lo importante es que consideren los 5 puntos requeridos para construir la gráfica: el límite inferior, el valor al 25% de los datos, la mediana (el valor al 50%), el valor al 75% de los datos y el valor del límite superior.
diariamente? d) Anoten en sus cuadernos una conclusión acerca de la distribución de la cantidad de agua que consumen diariamente esas mujeres. Comparen sus conclusiones.
Lo que aprendimos 1. Los siguientes datos corresponden a los precios de la tortilla registrados el día 31 de enero de 2007 en diferentes ciudades del país. Estado
Ciudad
Aguascalientes
Aguascalientes
$ 10.00
Precio
Baja California
Mexicali
$ 12.00
Baja California Sur
La Paz
$ 10.00
Campeche
San Francisco de Campeche
$
9.50
Colima
Colima
$
8.50
Chiapas
Tuxtla Gutiérrez
$
8.00
Chihuahua
Chihuahua
$
9.00
D.F.
Cd. México
$
8.35
Durango
Victoria de Durango
$
7.50
Guanajuato
Guanajuato
$
8.00
Hidalgo
Pachuca de Soto
$
8.50
Nayarit
Tepic
$
8.50
Querétaro de Arteaga
Santiago de Querétaro
$
8.80
Quintana Roo
Ciudad Chetumal
$ 10.00
Sinaloa
Culiacán
$
Sonora
Hermosillo
$ 11.50
Tamaulipas
Ciudad Victoria
$
9.80
Tlaxcala
Tlaxcala de Xicohténcatl
$
8.00
Veracruz
Xalapa de Enríquez
$
9.50
Yucatán
Mérida
$
8.80
Zacatecas
Zacatecas
$
8.50
8.50
Fuente: Sistema Nacional de Información e Integración de Mercados (SNIIM). Secretaría de Economía.
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MATEMÁTICAS
III
Respuestas. b) Los alumnos pueden tomar distintas decisiones sobre cuáles valores señalar en el eje horizontal. Aunque éstos no son muy grandes, hay muchos decimales, así que una opción sería ir de 0.25 en 0.25 empezando en 7.5 que es el precio más bajo.
a) Elaboren en su cuaderno la gráfica cajabrazos que corresponde a estos datos. b) ¿Qué escala y valores utilizarán para construirla? c) ¿Cuál fue el valor de la mediana de los precios de tortilla en estas ciudades el día 31 de enero de 2007?
c) 8.71
d) Calculen el valor de la media (promedio) de los precios de la tortilla y ubíquenlo en la gráfica. Comparen este valor con el valor de la mediana, ¿cuál es mayor?
d) 9.025, así que la media es mayor que la mediana.
. ¿Cómo describen lo que sucede entre estos valores y la distribución de todos los precios de la tortilla?
e) Los que van de $7.50 a $8.35 e) ¿Cuáles fueron los precios de la tortilla en el primer 25% del total de ciudades registradas? f) Comparen sus gráficas y respuestas con las de sus compañeros de grupo. 2. Utilicen los datos que obtuvieron al realizar el estudio sobre la cantidad de agua que consume diariamente su grupo para elaborar la gráfica cajabrazos en sus cuadernos. a) Anoten en la siguiente tabla los cinco valores que necesitan para elaborar la gráfica. Cantidad mínima de agua que consumen diariamente
25%
Mediana 50%
75%
Cantidad máxima de agua que consumen diariamente
b) También anoten una conclusión acerca de la manera en que se distribuyen las cantidades en el grupo y compárenlas con las de sus compañeros de grupo.
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Sugerencia didáctica. Con respecto al menor precio de la tortilla y la mediana comente con los alumnos lo siguiente. En la primera mitad de los datos se ve que éstos se encuentran más juntos, pues la variación es de 1.71; mientras que de la mediana al precio más alto (segunda mitad de los datos) la variación es mayor de 3.29. La media es mayor que la mediana, lo que indica que se ve afectada por el hecho de que la segunda mitad de los datos estén más dispersos, de hecho la media se encuentra entre el 50% y el 75% de los datos. Una conjetura que podría hacerse es que si la mayor variación se encontrara en la primera mitad de los datos la media estaría ubicada antes que la mediana. También cabe preguntar: ¿qué representa, en términos de dispersión de los datos, el hecho de que la media y la mediana tengan el mismo valor?
Sugerencia didáctica. Esta actividad puede utilizarse para comparar la relación entre la mediana media y analizar la dispersión de los datos.
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Propósito de la sesión. Comparar dos o más conjuntos de datos mediante sus gráficas de cajabrazos.
secuencia 30 SESIÓN 3
COMPARACIÓN DE DATOS MEDIANTE LA GRÁFICA CAJABRAZOS
Para empezar
Cuando realizan un estudio o experimento estadístico, obtienen datos que, al organizarlos y analizarlos, producen información. En algunas ocasiones resulta de gran ayuda comparar varios conjuntos de datos para tomar una decisión adecuada sobre la situación o el fenómeno que se estudia. Mediante la gráfica cajabrazos se muestra de manera clara y global la distribución de los datos de estos conjuntos.
Manos a la obra i. Las siguientes gráficas cajabrazos muestran los resultados obtenidos al preguntar: • ¿Cuántas horas al día de tu tiempo libre utilizas en ver televisión? (gráfica 6). • ¿Cuántas horas al día conviven contigo tus padres en los días de trabajo? (gráfica 7).
Gráfica 6
Gráfica 7
0
1
2
3
Respuestas.
4
5
6
7
8
9
10
Número de horas
Gráficas 6 y 7
a) 25%
a) ¿Cuál es el porcentaje de los alumnos que conviven con sus padres de 0 a 3 horas?
b) Menos del 25% b) ¿Cuál es el porcentaje de los alumnos que se dedican a ver televisión entre 9 y 10 horas? c) De acuerdo con las gráficas 6 y 7, anoten una V en el cuadrito para las afirmaciones que sean verdaderas. Menos del 50% de los alumnos encuestados conviven entre 0 y 1 horas al día con sus padres. Más del 75% de los alumnos dedican a ver televisión entre 8 y 10 horas al día.
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Sugerencia didáctica. Dibuje en el pizarrón las gráficas y pida a dos o tres alumnos que expliquen sus respuestas el resto del grupo.
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Respuestas. La primera afirmación es falsa porque exactamente el 50% de los alumnos encuestados convive entre 0 y 5 horas al día con sus padres. La línea que se encuentra dentro del rectángulo señala la mediana precisamente en ese punto. La segunda afirmación también es falsa porque los alumnos que ven entre 8 y 10 horas al día la televisión son un 25% La tercera afirmación es verdadera, ya que la línea que está dentro del rectángulo señala la mediana (5 horas) y el extremo derecho del rectángulo representa el 75% de los datos (6 horas). La cuarta afirmación es falsa. En la gráfica que representa el número de horas que los alumnos conviven con sus padres sí es cierto que el 50% de los alumnos manifestó pasar entre 3 y 6 horas con ellos.
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MATEMÁTICAS
III
Posibles respuestas. Se espera que los estudiantes logren hacer lecturas de las gráficas en las que puedan relacionarlas, por ejemplo: la mitad de los alumnos ve 7 o más horas de televisión al día, así que dicha gráfica se encuentra más “cargada” hacia los valores mayores en comparación con la de número de horas que los alumnos pasan con sus padres al día, cuya mediana está ubicada en el 5.
Un 25% de los alumnos conviven entre 5 y 6 horas al día con sus padres. Hay un 50% de alumnos que dedican a ver televisión entre 3 y 6 horas al día. d) En el siguiente recuadro, escriban algunas de las semejanzas o diferencias que hay entre las distribuciones de los datos de las gráficas 6 y 7, así como las relaciones que encuentran entre ellas a manera de conclusión.
Comparen sus respuestas. II. A estos alumnos también se les preguntó: • ¿Cuántas horas al día de tu tiempo libre dedicas a la lectura, sin tomar en cuenta las que dedicas a tus libros de texto? Los siguientes datos corresponden a los resultados de esa pregunta: Valor mínimo (extremo inferior)
25%
Mediana 50%
75%
Valor máximo (extremo superior)
0 horas al día
1 hora al día
2 horas al día
4 horas al día
6 horas al día
a) En la misma figura de las gráficas 6 y 7, construyan la gráfica cajabrazos con los datos anteriores. b) Escriba cada uno dos afirmaciones que puedan hacer al ver las tres gráficas, es decir, la 6, la 7 y la que acaban de construir. 1. 2. c) Intercambien con su compañero sus afirmaciones y prueben si son ciertas. Anótenlas en sus cuadernos.
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Posibles respuestas. Los alumnos pueden afirmar cosas como: con respecto a las otras dos gráficas, en la que se representa el número de horas que dedican al día a la lectura, los datos están más “cargados” a la izquierda, es decir, a valores más bajos.
Gráfica 6
Gráfica 7
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2
3
4
5
6
7
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Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos trabajen con datos que ellos mismos han obtenido. Así, poco a poco irán adquiriendo experiencia para levantar datos, organizarlos, representarlos y analizarlos.
secuencia 30
Lo que aprendimos 1. Realicen las siguientes preguntas a sus compañeros de grupo: • ¿Cuántas horas a la semana de tu tiempo libre dedicas a la lectura, sin tomar en cuenta las que dedicas a tus libros de texto?
Integrar al portafolios. Solicite a cada pareja de alumnos una copia de la actividad 1 o de la actividad 2 de este apartado. Revísela para ver si es necesario hacer algún repaso.
• ¿Cuántas horas a la semana de tu tiempo libre dedicas al estudio (buscar datos sobre los temas de clase, por ejemplo), sin tomar en cuenta las que dedicas a tus libros de texto? a) Anoten las respuestas y organicen de manera ascendente (de menor a mayor) los datos que obtuvieron para cada pregunta. b) En sus cuadernos, tracen sus gráficas cajabrazos correspondientes. c) Describan de qué manera se distribuyen los datos y anoten alguna conclusión.
Peso en kg
2. Las siguientes gráficas muestran las distribuciones de los pesos en kilogramos de los alumnos de un grupo: por sexo y en total. 94
84
74
64
54
Respuestas. a) 61 kg es la mediana del total.
44
Mujeres
b) La mediana de la gráfica del total es mayor que la mediana del peso de las mujeres (54 kg) y menor que la de los hombres (68 kg). c) El mínimo de la gráfica de las mujeres es igual al mínimo de la gráfica del total, y el máximo de la gráfica de los hombres es igual al máximo de la gráfica del total. Esto ocurre así porque la gráfica del total representa los valores de las otras dos gráficas (la de hombres y mujeres).
Total
a) ¿Qué valor tiene la mediana del total de alumnos de ese grupo? b) Comparen este valor con los valores de las medianas de las otras dos gráficas, ¿cuál es mayor?
. ¿Y cuál es menor?
c) ¿Cuál es la relación que encuentran entre los valores mínimos y los máximos de las gráficas por sexo y la gráfica del total?
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Hombres Gráfica 8
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MATEMÁTICAS
III
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que trabajen en equipos. Cada equipo deberá elaborar sus dos gráficas en una cartulina y péguenlas en el salón para que puedan compararlas con las de los otros equipos. Luego, pida a un representante de cada equipo que comenten al grupo sus conclusiones sobre las tres gráficas.
3. En la sesión 2 construyeron la gráfica cajabrazos (gráfica 3) que muestra la cantidad de agua que consumen diariamente. Ahora se construirán las gráficas cajabrazos que muestren la distribución de la cantidad de agua que consumen diariamente los hombres y la distribución de la cantidad de agua que consumen las mujeres de tu grupo. a) Describan y anoten cómo se distribuyen las cantidades de agua que consumen diariamente sus compañeras y compañeros de grupo, según se observa en cada gráfica que acaban de elaborar. b) Comparen estas nuevas gráficas con la que construyeron anteriormente, que muestra los datos de todo el grupo (la gráfica 3). Escriban en sus cuadernos una conclusión sobre lo que muestran las tres gráficas. Para conocer otras situaciones en las que se utilizan dos o más gráficas para comparar, interpretar y analizar datos, pueden ver el programa Comparación de gráficas cajabrazos.
Propósito del programa 57. Presentar diferentes situaciones en las que se utilizan dos o más gráficas para comparar, interpretar y analizar los datos.
Para saber más
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Sobre otro contexto en el que para mostrar la información utilizan gráficas cajabrazos y otras gráficas estadísticas que ya conocen, consulten: http://www.inee.edu.mx [Fecha de consulta: 8 de octubre de 2008]. Informes y reportes. Buscar el informe “El aprendizaje del Ruta: Publicaciones español y las matemáticas en la educación básica en México. Sexto de primaria y tercero de secundaria”; en el documento PDF, ir a “El aprendizaje de las Matemáticas” (página 61). Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación.
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e x á m e n es b i m es t r ales
PROPUESTAS DE EXÁMENES BIMESTRALES bloque 3, bloque 4 y bloque 5 A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 3, 4 y 5 mediante exámenes que serán complementarios de la información que us ted ha ido integrando en el portafolios del alumno. Los exámenes tienen las siguientes características: De cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia. Cada examen se arma de la siguiente manera: Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificación. Recomendaciones para la aplicación de los exámenes, su revisión y calificación: Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revi sión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar opor tunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido. Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resulta dos de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participa ción, el cumplimiento de tareas, etc.).
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m a t e m á t i c as III
propuesta de examen bimestral bloque 3 Secuencia 14. Relaciones funcionales en otras disciplinas Reactivo 1 1. Al colocarse a 1 m de la pantalla, un proyector despliega un cuadrado que mide 3 m de lado. Si x es la distancia del proyector a la pantalla, y y es el área de la imagen proyectada, ¿cuál es la expresión que relacio na x con y ?
Respuesta: y = 9x 2
y= 1’. Al colocarse a 2 m de la pantalla, un proyector despliega un cuadrado que mide 2 m de lado. Si x es la distancia del proyector a la pantalla, y y es el área de la imagen proyectada, ¿cuál es la expresión que relacio na x con y?
Respuesta: y = 4x 2
y=
Reactivo 2 2. Se va a construir la cerca de una región de terreno como se muestra en la figura (región verde). La región necesita cercase sólo en dos lados, pues el resto tiene barda.
Respuesta: y = x (10 – x) o bien y = 10x – x 2
x
Para construir la cerca se cuenta con 10 m de malla y se tiene usar toda. Si y es el área de la región que se va a cercar y x es la longitud que se señala en la figura ¿cuál es la expresión que relaciona x con y ?
y=
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Respuesta: y = x (20 – x) o bien y = 20x – x 2.
2’. Se va a construir la cerca de una región de terreno como se muestra en la figura (región verde). La región necesita cercarse sólo en dos lados, pues el resto tiene barda.
x
Para construir la cerca se cuenta con 20 m de malla y se tiene usar toda. Si y es el área de la región que se va a cercar y x es la longitud que se señala en la figura ¿cuál es la expresión que relaciona x con y ?
y=
Reactivo 3 Respuesta: c)
3. A un cartón rectangular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recorta do en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las esquinas? a) y = 4x 2 b) y = 20 – 4x c) y = 20 – 4x 2
x
d) y = 4(20 – x)
Respuesta: b)
3’. A un cartón rectangular cuyos lados miden 5 cm y 6 cm se le ha recorta do en dos equinas un cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones, ¿cuál permite calcular el área y de cartón sin las dos esquinas? a) y = 2x 2
x
b) y = 30 – 2x 2 c) y = 6(5 – 2x) d) y = 30 – 2x
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x
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Secuencia 15. Resolución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general Reactivo 1
± 2 1. Si se utiliza la fórmula general x = − b b − 4ac para resolver la ecua 2a 2 ción 3x – 56 = –2x ¿cuánto valen a, b y c ?
Respuesta: c)
a) a = 3, b = –56, c = –2 b) a = 3, b = –2, c = –56 c) a = 3, b = 2 , c = –56 d) a = 3, b = –56, c = 2 ± 2 1’. Si se utiliza la fórmula general x = − b b − 4ac para resolver la ecua 2a 2 ción x – 5x = 6 ¿cuánto valen a, b y c ?
Respuesta: c)
a) a = 2, b = –5, c = 6 b) a = 2, b = 5, c = –6 c) a = 1, b = –5, c = –6 Respuestas:
d) a = 1, b = 5, c = 6
x=
−(8) ± (8)2 – 4(4)(–5) 2(4)
Reactivo 2
x=
−8 ± 64 + 80 8
2. Encuentra las dos soluciones de la ecuación 4x 2 + 8x = 5 utilizando la ± 2 fórmula general x = − b b − 4ac 2a
x=
−8 ± 12 8
x 1 =
x 2 =
x 1 = 0.5 x 2 = −2.5
Respuestas: 2’. Encuentra las dos soluciones de la ecuación x 2 – x = 6 utilizando la fór ± 2 mula general x = − b b − 4ac 2a
x 1 =
x 2 =
x=1
± (–1)2 – 4(1)(–6) 2(1)
x = 1 ± 12 + 24 x=
1±5 2
x 1 = 3 x 2 = −2 L i b r o p a ra el maestro
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Reactivo 3 3. La trayectoria que sigue una jabalina está dada por la ecuación: y = – 0.015x 2 + 0.64x + 1.6, donde x representa la distancia horizontal que recorre y y la altura. a) ¿Qué distancia ha recorrido horizontalmente la jabalina cuando está a una altura de 6.5 metros?
x 1 =
x 2 =
3’. La trayectoria que sigue una jabalina está dada por la ecuación: y = – 0.015x 2 + 0.64x + 1.6, donde x representa la distancia horizontal que recorre y y la altura. a) ¿Qué distancia ha recorrido horizontalmente la jabalina cuando está a una altura de 8 m?
x 1 =
x 2 =
3. Respuestas:
3'. Respuestas:
Cuando la jabalina se encuentra a 10 m y a 32.666 m del punto donde fue lanzada.
Cuando ha recorrido 16 m y 26.666 m del punto donde fue lanzada.
Ecuación:
Ecuación:
– 0.015x 2 + 0.64x + 1.6 = 6.5
– 0.015x 2 + 0.64x + 1.6 = 8
Ecuación en su forma general:
Ecuación en su forma general:
– 0.015x 2 + 0.64x – 4.9 = 0
– 0.015x 2 + 0.64x – 6.4 = 0
x=
−0.64 ± (0.64)2 – 4(–0.015)(–4.9) 2(–0.015)
x=
−0.64 ± (0.64)2 – 4(–0.015)(–6.4) 2(–0.015)
x=
−0.64 ± 0.4096 – 0.294 –0.03
x=
−0.64 ± 0.4096 – 0.384 –0.03
x=
−0.64 ± 0.1156 –0.03
x=
−0.64 ± 0.0256 –0.03
x=
−0.64 ± 0.34 –0.03
x=
−0.64 ± 0.16 –0.03
x 1 = 10
x 1 = 16
x 2 = 32.666
x 2 = 26.666
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m a t e m á t i c as III
Reactivo 4 4. Relaciona las columnas de acuerdo al número de soluciones que tiene cada ecuación de la izquierda. Ecuación
Número de soluciones
Respuestas: ( C ) 2x 2 + 3x + 6 = 0 ( A ) x 2 + 6x + 9 = 0 ( B ) x 2 – 7x + 2 = 0
( ) 2x 2 + 3x + 6 = 0 ( ) x 2 + 6x + 9 = 0
(A) Tiene una solución doble
( ) x 2 – 7x + 2 = 0
(B) Tiene dos soluciones distintas
( ) –8x 2 – 2x + 10 = 0
(C) No tiene solución real
( B ) –8x 2 – 2x + 10 = 0 ( A ) 4x 2 + 12x + 9 = 0
( ) 4x 2 + 12x + 9 = 0
4’. Relaciona las columnas de acuerdo al número de soluciones que tiene cada ecuación de la izquierda. Ecuación
Número de soluciones
Respuestas: ( B ) x 2 + 3x – 6 = 0 ( A ) 2x 2 + 12x + 18 = 0 ( B ) x 2 + 3x + 2 = 0
( ) x 2 + 3x – 6 = 0 ( ) 2x 2 + 12x + 18 = 0
(A) Tiene una solución doble
( ) x 2 + 3x + 2 = 0
(B) Tiene dos soluciones distintas
( ) –x 2 – 2x –1 = 0
(C) No tiene solución real
( A ) –x 2 – 2x –1 = 0 ( C ) 4x 2 + 5x + 3 = 0
( ) 4x 2 + 5x + 3 = 0
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Secuencia 16. Teorema de Tales Reactivo 1 1. Determina lo que debe medir el segmento CD para que las rectas AC y BD sean paralelas. D
C
5 cm
O 2 cm
A 3 cm
Respuestas: a) 7.5 cm.
B
a) El segmento CD debe medir
b) Según el recíproco del teore ma de Tales, para que las rec tas determinadas por AC y BD sean paralelas se tiene que cumplir que las medidas de los segmentos OC y CD sean pro porcionales a las medidas de los segmentos OA y AB. En tonces 5 = x 2 3 De ahí que x = 7.5
b) Justifica tu respuesta 1’. Determina lo que debe medir el segmento CD para que las rectas AC y BD sean paralelas.
D Respuestas:
C
a) 2.5 cm. b) Según el recíproco del teore ma de Tales para que las rectas determinadas por AC y BD sean paralelas se tiene que cumplir que las medidas de los segmentos OC y CD sean pro porcionales a las medidas de los segmentos OA y AB. En tonces 1 = x 2 5 De ahí que x = 2.5 228
1 cm O
A 2 cm
B 5 cm
a) El segmento CD debe medir b) Justifica tu respuesta
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m a t e m á t i c as III
Reactivo 2 2. Sin utilizar regla graduada, divide el segmento GH en 3 partes iguales.
Respuestas: a) Los alumnos pueden realizar la división con la regla no gra duada y compás o con la hoja rayada.
G
H
b) En cualquiera de los dos pro cedimientos, se puede justifi car la división en partes igua les utilizando el teorema de Tales.
a) Describe el procedimiento que utilizaste para dividir el segmento GH en 3 partes iguales b) Justifica por qué las tres partes en las que dividiste al segmento miden lo mismo 2’. Sin utilizar regla graduada, divide el segmento EF en 5 partes iguales.
Respuestas: a) Los alumnos pueden realizar la división con la regla no gra duada y compás o con la hoja rayada.
E
F
b) En cualquiera de los dos pro cedimientos, se puede justifi car la división en partes igua les utilizando el teorema de Tales.
a) Describe el procedimiento que utilizaste para dividir el segmento EF en 5 partes iguales b) Justifica por qué las cinco partes en las que dividiste al segmento miden lo mismo
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Reactivo 3 Respuestas: a) Sí. b) Como A’ y B’ son puntos medios de AG y BG respecti vamente, entonces GB’ = B’B y GA’ = A’A. Por lo tanto GB’ = B’B , así GA’ A’A que, por el recíproco del teorema de Tales A’B’ es paralela a AB. Análogamente B’C || BC y C’A’ || CA; de donde se obtiene que los triángulos son semejantes.
3. En el interior del triángulo ABC se trazó un punto G. Se marcó con A’, B’ y C’ los puntos medios de AG, BG y CG respectivamente. A
A’ G
B’
C’ C
B a) ¿El triángulo A’B’C’ es semejante al triángulo ABC? b) Justifica tu respuesta
Respuestas: a) Sí. b) Como L’ y M’ son puntos medios de MN y NL, enton ces ML’ = L’N y NM’ = M’L. Por lo tanto NL’ = L’M , NM’ M’L así que, por el recíproco del teorema de Tales, L’M’ es paralela a LM. Análogamente M’N’ || MN y N’L’ || NL. También, como L’’ y M’’ son puntos medios de OL’ y OM’, respectivamente, por el recíproco del teorema de Tales L’’M’’ || L’M’ y por lo tanto L’’M’’ || LM. Análoga mente se obtiene que M“N“ || M’N’ || MN y que N’’L’’|| N’L’|| NL; de donde se obtiene que los triángulos LMN y L’’M’’N’’ son seme jantes.
3’. En el triángulo LMN se trazaron las mediatrices y se marcaron con las letras L’’, M’’ y N’’ los puntos medios de los segmentos OL’, OM’ y ON’, respectivamente. L
M’
N’ N
L’
M
N’’
M’’
L’’
O a) ¿El triángulo L’’M’’N’’ es semejante al triángulo LMN? b) Justifica tu respuesta
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Libro p a ra e l m a e s t r o
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m a t e m á t i c as III
Secuencia 17. Figuras homotéticas Reactivo 1 1. Construye un polígono homotético al dado de manera que la razón de homotecia sea 1 . 3
Respuesta: 1. Elegir un punto como centro de homotecia y trazar los seg mentos de recta que van del centro de homotecia a los vér tices del polígono dado. 2. Dividir cada uno de los seg mentos en 3 partes iguales.
Describe el proceso que realizaste para construir el polígono homotético
1’. Construye un polígono homotético al dado de manera que la razón de homotecia sea 1 . 5
3. Formar el polígono con los puntos que marcan en cada segmento el primer tercio a partir del centro de homotecia.
Respuesta: 1. Elegir un punto como centro de homotecia y trazar los seg mentos de recta que van del centro de homotecia a los vér tices del polígono dado. 2. Dividir cada uno de los seg mentos en 5 partes iguales.
Describe el proceso que realizaste para construir el polígono homotético
3. Formar el polígono con los puntos que marcan en cada segmento el primer quinto a partir del centro de homotecia.
L i b r o p a ra el maestro
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e x a m e n b l o q ue 3
Reactivo 2 Respuestas:
2. Calcula las medidas que faltan de los lados de los polígonos homotéticos dados. Considera OA’ = 2.5 cm y OA = 10 cm.
AB = 5 cm.
A
BC = 3 cm. D’C’ = 1 cm. A’D’ = 1.65 cm.
A’ 1.25 cm B’
O D’
C’
0.75 cm
6.6 cm
D
Lado A’D’
Lado D’C’
HI = 1 cm.
C
4 cm
Lado BC
Lado AB
Respuestas:
B
2’. Calcula las medidas que faltan de los lados de los polígonos homotéticos dados. O
IJ = 2 cm.
2 cm
AD = 5 cm. DC = 3 cm.
K 2 cm
2.5 cm
H
1.5 cm
D
J
I A 2 cm
B Lado HI Lado AD
4 cm
C
Lado IJ Lado DC
Localiza el centro de homotecia de los polígonos dados. 232
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m a t e m á t i c as III
Reactivo 3
Respuestas:
3. En el cuadrilátero ABCD se marcaron con A’, B’, C’ y D’ los puntos medios de AP, BP, CP y DP respectivamente.
a) Sí. b) Se debe justificar que los polí gonos son semejantes y que sus lados correspondientes son paralelos. Como A’, B’, C’ y D’ son puntos medios de los segmentos AP, BP, CP y DP respectivamente, entonces las medidas de los segmentos A’P, B’P, C’P y D’P son proporcionales a las medi das de los segmentos AA’, BB’, CC’ y DD’. Por la semejanza de los trián gulos que se forman o por el recíproco del teorema de Ta les, se puede justificar que el cuadrilátero A’B’C’D’ es seme jante al cuadrilátero ABCD y que D’A’ || DA; A’B’ || AB; B’C’ || BC y C’D’ || CD. Entonces los polígonos son homotéticos.
A B
A’ B’ D’
P
D
C’ C
a) ¿El cuadrilátero A’B’C’D’ es homotético al cuadrilátero ABCD? b) Justifica tu respuesta
3’. En el cuadrilátero ABCD se marcaron con A’, B’, C’ y D’ los puntos medios de AO, BO, CO y DO respectivamente. O A’ B’
A
C’
D’
B
C
D
a) ¿El cuadrilátero A’B’C’D’ es homotético al cuadrilátero ABCD? b) Justifica tu respuesta
Respuestas: a) Sí. b) Se debe justificar que los polí gonos son semejantes y que sus lados correspondientes son paralelos. Como A’, B’, C’ y D’ son puntos medios de los segmentos AO, BO, CO y DO respectivamen te, entonces las medidas de los segmentos A’O, B’O, CO’ y D’O son proporcionales a las medidas de los segmentos AA’, BB’, CC’ y DD’. Por la semejanza de los trián gulos que se forman o por el recíproco del teorema de Ta les, se puede justificar que el cuadrilátero A’B’C’D’ es seme jante al cuadrilátero ABCD y que D’A’ || DA; A’B’ || AB; B’C’ || BC y C’D’ || CD. Entonces los polígonos son homotéticos. L i b r o p a ra el maestro
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Secuencia 18. Gráficas de relaciones Reactivo 1 1. Para cada fenómeno de la izquierda anota el inciso de la gráfica de la derecha que le corresponde. a)
Respuestas: 1
c)
2
a)
3
e)
y
[ ] Al caer una canica por una rampa se grafica la dis tancia recorrida y en cada segundo del tiempo x.
x b)
[ ] Al recortar las esquinas de un cuadrado se forma un hexágono. Se grafica la relación que existe entre el área y del hexágono y la longitud x de la esquina recortada.
x
y
x c)
y
x
x
x x d)
x
y
x x
x
[ ] Se desea vender un terreno rectangular que tiene un área de 100 m2. No se sabe cuánto miden los lados del terreno, pero para cada posible medida x del frente se ha graficado la medida y del fondo.
x e)
y
x
234
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mAtEmáticAS iii
1’. Para cada fenómeno de la izquierda anota el inciso de la gráfica de la derecha que le corresponde. a) [
Respuestas:
y
] Se empuja una canica para que suba una rampa, la canica no alcanza la cima de la rampa y vuelve a caer. Se grafica y que es la distancia a la que se encontraba la canica del lugar de lanzamiento, respecto al tiem po x.
1
d)
2
c)
3
b)
x b)
[
y
] Sea x el lado de un cubo y y al área de su desarrollo plano. Se grafica y para cada valor posible de x.
x c)
y
x [
] Se abre una llave para llenar un tinaco que ya tiene cierta cantidad de agua. La llave arroja la misma can tidad de agua cada segundo. Se grafica la cantidad de agua y en el tinaco con respecto al tiempo x que lleva la llave abierta.
d)
y
x e)
y
x
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Secuencia 19. Algunas características de gráficas no lineales
Respuestas: Gráfica 1
15
Gráfica 2
14
Gráfica 3
13 12
y = 3x 2 + 2 y = 2x + 2 2 y = x + 2 2
4
Reactivo 115
15
14
14
1. Las siguientes gráficas muestran los cambios en el parámetro a en la 13 que le correspon expresión y 13= ax 2 + b, pon bajo la gráfica la expresión 12 12 de a cada una de las gráficas.
11
y =102x 2 + 2
11
y
10 =
11
x 2 + 2
y =103x 2 + 2
4
9
9
8
y
8
y
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
9
y
11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –15 –3 –14 –2 –13 –1 –12 0–11 1 –10 2 –9 3 –8 4 x –7 5 –6 6 –5 7 –4 8 –15 –3 9 –14 –2 10 –13 –1 11 –12 12 0–11 1 13 –10 2 14 –9 3 15 –8 4 x 5 –6 6 –5 7 –4 8 –3 9 –2 10 –1 11 12 13 2 14 3 15 4 –7 0 1 –1 –1 –1
Respuestas:
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6
–6
–7
–7
–8
a) Más abierta.–9
x 6
7
8
9
10 11
–2
15
–3
14
–4
13
–5
12
–6
11
1’. En el siguiente plano cartesiano 10 se encuentran las–7graficas de las expre –82 –8 – 1; y = 3x 2 – 1 9 siones: y = x –9
b) y = x – 1 –10
–10
–11
–11
–12
–12
–13
–13
–14
–14
–15
–15
2
5
–9
8
y
–10
7
–11
6
–12
5
–13
4
–14
3
–15
2 1
–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–2 –3
a) ¿La gráfica de la parábola y = –4 x 2 – 1 estará más abierta o más cerrada que la parábola y = 3x 2 – 1?
–5 –6
b) ¿A qué expresión corresponde la parábola rosa? –7 –8 –9
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Libro p a ra e l m a e s t r o
–10 –11 –12
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–13 –14
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m a t e m á t i c as III
Reactivo 2 2. Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de las parábolas. Ordenada al origen
Parábola
Para dónde abre la parábola (hacia arriba o hacia abajo)
Coeficiente del término de segundo grado
Vértice
y = –3x 2 − 1 y = 3x 2 + 2 2 y = x − 4
2
y = −x 2 + 1 2 2’. Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de las parábolas. Ordenada al origen
Parábola
Para dónde abre la parábola (hacia arriba o hacia abajo)
Coeficiente del término de segundo grado
Vértice
y = 3x 2 + 1 y = –3x 2 − 2 2 y = x + 4
4
y = −x 2 + 1 3
2’. Respuestas:
2. Respuestas: –1
–3
Hacia abajo
(0,–1)
1
3
Hacia arriba
(0,1)
2
3
Hacia arriba
(0,2)
–2
–3
Hacia abajo
(0,–2)
–4
1 2
Hacia arriba
(0,–4)
4
1 4
Hacia arriba
(0,4)
1 2
–1
Hacia abajo
(0, 12 )
1 3
–1
Hacia abajo
(0, 13 )
L i b r o p a ra el maestro
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237
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15 14
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15
13 12
14
11
Reactivo 3
13
10
3. Haz la gráfica de la parábola y =9 (x – 2)2 + 1 y responde lo que se pide.
12 Respuestas: 11
a) 5
8
y
10
b) (2,1)
7
9
6
8
y
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–3
10 11 12 13 14 15
–4 –5
–3
–6
–4
–7 15 –8 14 a) ¿Cuál es la ordenada al origen –9 de la parábola? 13 –10 12 b) ¿Cuál es vértice de la parábola? –11 11 –12 10 3’. Haz la gráfica de la parábola –13 =9 ( – 2)2 y responde –14 8 y –15 7
–5 –6 –7 15 –8 14 –9 13 –10 12 Respuestas: –11 11 a) 4 –12 10 b) (2,0) –139 –14 8 y –15 7
y
x
lo que se pide.
6 5 4
6
3
5
2
4
1
3 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
2 1
2
3
4
5
6
7
x8
9
10 11 12 13 14 15
–2 2
3
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11
238
9
–2
–2
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1
x8
Libro–12 p a ra e l m a e s t r o
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–3 –4 –5 –6 –7 –8
a) ¿Cuál es la ordenada al origen –9 de la parábola? –10
b) ¿Cuál es vértice de la parábola? –11 –12 –13 –14 –15
–13 –14 MAT3 B5 SEVAL3 maesto.indd –15 238
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15 14 13 12
m a t e m á t i c as III
11 10
Reactivo 4
9
Respuestas:
4. Pon a cada una de las gráficas el inciso que le corresponda.8 7
Gráfica 1
b)
6
Gráfica 2
c)
4
Gráfica 3
a)
3
Gráfica 4
d)
2
Gráfica 5
e)
y
a) y = 3x + 2
5
b) y = 3x + 2 3
15 1
c) y = 3x 2 + 2
14 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 13 15 –1
14 d) y = 3 + 2 13x
12 –2
12
10 –4
11
e) y = 2x 2 + 3
–59
10
–68
9
y
–77
8
–86 –95 –104
5
–113
15 4
–122
14 3
–131
13 2 –14 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 12 15 –1 1 –15 2
3
4
5
x 6
7
8
9
12 –4
–38
11 –5
–47
10 –6
–56
y
–79
–65
–88
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
–74
–97
–83
–106
–92
–115
–101
–124
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
y
2
3
4
5
x 6
7
8
9
–133 10 11 12 13 14 15 –142 –151
–3 –14 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –4 –1 –15
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5
14 –2 10 11 12 13 14 15 13 –3
–29
–2 –13
4
y
6
–11 2 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 –12
3
11 –3
7
11 2 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 10 –1
2
–5
–2
–6
–3
–7
–4
–8
–5
–9
–6
–10
–7
–11
–8
–12
–9
–13
–10
–14
–11
–15
–12
2
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15
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14 13 12
4’. Determina poniendo ¸ o ˚ si la familia de expresiones corresponde o no 11 a la gráfica. 10 9
y
8 7 6
y = x 2 – 2
155 144
y = x 2 – 1
133
y = x 2
122 111 10 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –19
2
3
4
5
x 6
7
8
9
y = x 2 + 1
10 11 12 13 14 15
y = x 2 + 2
–28 –37 –46
y
–55 –64 –73 –82 15 –91 14 –10 13 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –11 –1 12
y = –x 3 2
3
4
5
x 6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
y = 0x 3
–12 –2 11
y = x 3
–13 –3 10 –14 –4 9 –15 –5 8 –6 7 –7 6
y
–8 5 –9 4 –10 3
y = 2x – 2
–11 2 –12 1 –13 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –14 –1 –15 –2 –3 –4 –5
2
3
4
5
6
7
8
9
y
2
–1 10 x11 12 13 = 14 15
x
y = 2x y = 2x + 2
–6 –7
Respuestas: Las que sí corresponden son la primera y la tercera.
–8 –9 –10 –11 –12
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Libro p a ra e l m a e s t r o
–13 –14 –15
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m a t e m á t i c as III
Secuencia 20. Gráficas por pedazos Reactivo 1 Respuestas:
1. Relaciona el llenado de cada recipiente con una de las gráficas. Gráfica Nivel
Recipiente
Recipiente b)
Gráfica 4
Recipiente a)
Gráfica 2
Recipiente c)
Gráfica 3
Tiempo
Nivel
a)
Tiempo
Nivel
b)
Tiempo
Nivel
c)
Tiempo
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241
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e x a m e n b l o q ue 3
1´. Relaciona el llenado de cada recipiente con una de las gráficas.
Recipiente a)
Gráfica 4
Recipiente b)
Gráfica 1
Recipiente c)
Gráfica 3
Recipiente
Gráfica Nivel
Respuestas:
Tiempo
Nivel
a)
Tiempo
Nivel
b)
Tiempo
Nivel
c)
Tiempo
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12/11/08 2:15:19 PM
m a t e m á t i c as III
Reactivo 2 Respuesta: los alumnos deben dibujar una gráfica similar a esta: Nivel
Nivel
2. Realiza un bosquejo de la gráfica que corresponde al llenado del siguien te recipiente, suponiendo que el agua cae de manera constante.
Tiempo
Tiempo
Respuesta: los alumnos deben dibujar una gráfica similar a esta:
Nivel
Nivel
2´. Realiza un bosquejo de la gráfica que corresponde al llenado del siguien te recipiente, suponiendo que el agua cae de manera constante.
Tiempo
Tiempo
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243
12/11/08 2:15:20 PM
examen bloque 4
propuesta de examen bimestral bloque 4 Secuencia 21. Diferencias en sucesiones Reactivo 1 Respuesta: b)
1. Subraya la expresión cuadrática que permite encontrar el número de puntos de la figura que ocupa el lugar n de la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) n 2 + 1 b) n 2 + n c) 2n 2 d) n (n 2 + 1)
Respuesta: d)
1’. Subraya la expresión cuadrática que permite encontrar el número de puntos de la figura que ocupa el lugar n de la siguiente sucesión de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
a) n 2 + 2 b) n 2 + n + 1 c) 2n 2 d) n (n + 2)
244
Libro p a ra e l m a e s t r o
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12/11/08 2:16:17 PM
m a t e m á t i c a s III
Reactivo 2 2. Subraya las sucesiones a las que les corresponde una expresión general cuadrática para su enésimo término.
Respuestas: C y D.
A. 1, 3, 5, 7, 9, … B. 1, 2, 4, 8, 16, 32, … C. 1, 2, 4, 7, 11, … D. 5, 7, 11, 17, 25, … 2’. Subraya las sucesiones a las que les corresponde una expresión general cuadrática para su enésimo término.
Respuestas: A y C.
A. 1, 4, 8, 13, 19, … B. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … C. 3, 4, 6, 9, 13, … D. 1, 8, 27, 64, 125, …
Reactivo 3 3. Relaciona las columnas de manera que a cada sucesión le corresponda la expresión general de su término enésimo. Sucesión
Expresión general
( ) 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
A. 1.5n – 0.5n
( ) 2, 16, 54, 128, 250,…
B. n – n + 2
( ) 2, 4, 8, 14, 22, 32,…
C. 2n
( ) 1, 5, 12, 22, 35, 51,…
D. 2n 3
2
2
3’. Relaciona las columnas de manera que a cada sucesión le corresponda la expresión general de su término enésimo. Sucesión
Expresión general
Respuestas: ( C ) 2, 4, 6, 8, 10, 12,… ( D ) 2, 16, 54, 128, 250,… ( B ) 2, 4, 8, 14, 22, 32,… ( A ) 1, 5, 12, 22, 35, 51,…
Respuestas: ( D ) 6, 13, 32, 69, 130,… ( A ) 4, 7, 14, 25, 39,…
( ) 6, 13, 32, 69, 130,…
A. 2n 2 – 3n + 5
( C ) 3, 4, 5, 6, 7, 8,…
( ) 4, 7, 14, 25, 39,…
B. n 2 – 2n + 3
( B ) 2, 3, 6, 11, 18,…
( ) 3, 4, 5, 6, 7, 8,…
C. n + 2
( ) 2, 3, 6, 11, 18,…
D. n 3 + 5
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examen bloque 4
Reactivo 4 Respuestas: La expresión general del término enésimo es: 2n 2 – 3n + 1 E 1: 2a = 4
4. Usa el método de diferencias para encontrar la expresión general del término enésimo de la sucesión 0, 3, 10, 21,…
a=2
E 2: 3a + b = 3
Lugar del término
1
2
3
4
Término
0
3
10
21
b = –3
E 3: a + b + c = 0
c=1
N
a+b+c
El término que ocupa el lugar 100 es 19 701.
3a + b 2a
E 1: 2a =
a=
E 2: 3a + b =
b=
E 3: a + b + c =
c=
¿Qué término ocupa el lugar 100 en la sucesión 0, 3, 10, 21,…?
Respuestas: La expresión general del término enésimo es: 2n 2 – n + 3 E 1: 2a = 4
4’. Usa el método de diferencias para encontrar la expresión general del término enésimo de la sucesión 4, 9, 18, 31,…
a=2
E 2: 3a + b = 5 E 3: a + b + c = 4
Lugar del término
1
2
3
4
Término
4
9
18
31
b = –1 c=3
N
a+b+c
El término que ocupa el lugar 100 es 19 903.
3a + b 2a
E 1: 2a = E 2: 3a + b = E 3: a + b + c =
a= b= c=
¿Qué término ocupa el lugar 100 en la sucesión 4, 9, 18, 31,…?
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Libro p a ra e l m a e s t r o
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matemáticaS iii
Secuencia 22. Teorema De PiTágoraS Reactivo 1 1. una escalera está recargada sobre una pared de 4 m de altura y el pie de la escalera está a 4 m de la barda. a) ¿cuánto mide la parte de la escalera que va del piso al borde de la barda?
Respuestas: a) x 2 = 42 + 42
x = 42 + 42 x = 16 + 16 x = 32 b) x 2 + 42 = 52
4m
x 2 = 52 – 42 x = 52 – 42 x = 25 – 16 x= 9 x=3
4m
b) Si la escalera mide 5 m de longitud, ¿cuál es la distancia máxima a la que puede quedar el pie de la escalera con respecto a la barda? 1´. a una cerca de madera se le necesita colocar un travesaño para reforzarla (como se observa en las imágenes ). a) ¿cuál es la longitud que debe tener el travesaño, si la cerca tiene 3 m de largo y 1.5 m de alto?
Respuestas: a) x 2 = 32 + 1.52
x = 32 + 1.52 x = 9 + 2.25 x = 11.25 b) 1.52 + x 2 = 2.5
1.5 m
2.25 + x 2 = 6.25
x 2 = 6.25 – 2.25 x = 6.25 – 2.25
3m
x= 4 x=2
b) otra cerca mide 1.5 m de altura y la longitud del travesaño es de 2.5 m, ¿cuánto mide de largo la cerca?
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examen bloque 4
Reactivo 2 Respuesta: 2 2 2 = D + d 2 2
( ) ( ) = ( 8 ) + ( 5 ) 2 2 2
2. ¿Cuál es el perímetro del rombo si su diagonal mayor (D ) mide 8 cm y su diagonal menor (d ) mide 5 cm?
2
2
d
2 = 42 + 2.52 2 = 16 + 6.25
D
= 22.25
El perímetro del rombo es 4 .
Respuesta:
2’. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?
a 2 = 32 + 12
3
a 2 = 9 + 1
b
a = 10 ≈ 3.16
a
3
b 2 = 32 + 22 b 2 = 9 + 4
2
1
b = 13 ≈ 3.605 P=a+b+6+4 P ≈ 3.16 + 3.605 + 6 + 3 P ≈ 15.765
Secuencia 23. Razones trigonométricas Resuelve los siguientes problemas usando la tabla de razones trigonométricas o tu calculadora.
Reactivo 1 Respuesta: la altura del asta bandera es de 15.07 m.
1. Calcula la altura del asta bandera si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º, y la distancia que hay del asta bandera al extremo de su sombra es de 20 m, como se muestra en el dibujo. M
37º
L 248
20 m
N
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m a t e m á t i c a s III
1’. ¿A qué altura del piso se encuentra el papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º?
Respuesta: el papalote se encuentra a 47.91 m de altura.
60 m
53º
B
Reactivo 2 2. Calcula cuánto mide la sombra de la columna.
Respuesta: la sombra mide 71.4 m.
50 m
35º
x
Respuestas:
2’. Encuentra la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.
Altura de la torre: 64.33 m Longitud del tirante: 70.98 m
x
y
65º 30 m L i b r o p a ra el maestro
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examen bloque 4
Reactivo 3 Respuestas:
3. Encuentra los lados y los ángulos que faltan.
b = 38.21
B
b=
c = 30.52 c
B = 53°
23
37º
A Respuestas:
b
C
c= B =
3´. Encuentra los lados y los ángulos que faltan.
a = 38.5
B
a=
c = 18.07 c
A = 28° A
34
a C
c= A =
Secuencia 24. La exponencial y la lineal Reactivo 1 Respuesta: a)
1. ¿Cuál de las siguientes sucesiones crece exponencialmente? a) 5, 15, 45, 135… b) 2, 6, 9, 12… c) 3, 12, 27, 48… d) 5, 10, 15, 20…
Respuesta: b)
1’. ¿Cuál de las siguientes sucesiones crece exponencialmente? a) 5, 8, 11, 14… b) 2, 6, 18, 54… c) 3, 12, 27, 48… d) 2, 6, 10, 14…
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m a t e m á t i c a s III
Reactivo 2 2. Se sabe que una población de conejos aumenta el 10% cada año. Si actualmente hay 1 000 conejos en esa población, ¿cuántos conejos habrá dentro de 3 años?
Respuesta: 1 331
2’. Se sabe que una población de conejos aumenta el 5% cada año. Si actualmente hay 2 000 conejos en esa población, ¿cuántos conejos habrá dentro de 3 años?
Respuesta: 2 662
Reactivo 3 3. Juan planea invertir $10 000 pesos por 3 años. El banco ha ofrecido pagarle el 10% de intereses cada año y una empresa le ha ofrecido pagar 1 100 pesos cada año. ¿Con cuál de las dos ofertas ganará más dinero?
Respuesta: Con la del banco, pues ganaría $3 310, mientras que con la de la empresa serían $3 300.
3’. María planea invertir $10 000 pesos por 3 años. El banco ha ofrecido pagarle el 20% de intereses cada año y una empresa le ha ofrecido pagar 2 500 pesos cada año. ¿Con cuál de las dos ofertas ganará más dinero?
Respuesta: Con la de la empresa, pues ganaría $7 500, mientras que con el banco serían $7 280.
SECUENCIA 25. Representación de la información Para la evaluación de la secuencia 25 no se proponen reactivos en el examen, debido a que los temas matemáticos que se abordan en ella no son susceptibles de valorarse con el tipo de preguntas de opción múltiple que sugerimos normalmente. Para evaluar esta secuencia utilice las actividades que se integran al portafolio.
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examen bloque 5
propuesta de examen bimestral bloque 5 1. Respuesta: Si x es el número de litros de gasolina empleados en el recorrido en la ciudad, y y el número de litros de gasolina empleados en el recorrido en la autopista, el sistema de ecuaciones que modela la situación es el siguiente: 8x +12y = 472
x + y = 42 Al resolverlo, se tiene que en la ciudad se recorrieron 64 kilómetros y en la autopista 408. 1'. Respuesta: Si x es el número de litros de gasolina empleados en el recorrido en la ciudad, y y el número de litros de gasolina empleados en el recorrido en la autopista, el sistema de ecuaciones que modela la situación es el siguiente: 8x +12y = 399
x + y = 36 Al resolverlo, se tiene que en la ciudad se recorrieron 66 kilómetros y en la autopista 333.
Secuencia 26. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Reactivo 1 1. El rendimiento de un automóvil es de 8 km por litro de gasolina en la ciudad y de 12 km por litro en autopista. Si recorrió en total 472 km y consumió 42 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron en la ciudad y cuántos en autopista? 1’. El rendimiento de un automóvil es de 8 km por litro de gasolina en la ciudad y de 12 km por litro en autopista. Si recorrió en total 399 km y consumió 36 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron en la ciudad y cuántos en autopista?
Reactivo 2 2. El otro día mi abuelo de 70 años de edad nos quería repartir cierta cantidad de dinero a nosotros sus nietos. Si nos daba 300 pesos a cada uno le sobraban 600 pesos, pero si nos daba 500 pesos a cada uno le faltaban 1 000 pesos. a) ¿Cuántos nietos tiene? b) ¿Qué cantidad de dinero quería repartir? 2’. Un hotel tiene habitaciones dobles (dos camas) y simples (una cama). El dueño le pidió al gerente que ponga un descuento en 65 habitaciones y que en ese número de habitaciones haya un total de 105 camas. ¿Cuántas habitaciones sencillas deben tener descuento? ¿Cuántas habitaciones dobles deben tener descuento ?
2. Respuesta:
2'. Respuesta:
Si x es el número de nietos y y la cantidad de dinero a repartir, el sistema de ecuaciones que modela la situación es el siguiente:
Si x es el número de habitaciones sencillas y y el de habitaciones dobles, el sistema de ecuaciones que modela la situación es el siguiente:
y – 300x = 600
x + y = 65
y – 500x = –1 000
x + 2y = 105
Al resolverlo, se tiene que hay 8 nietos y que el abuelo quería repartir $3 000.
Al resolverlo se tiene que deben tener descuento 25 habitaciones sencillas y 40 dobles.
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m a t e m á t i c a s III
Reactivo 3 3. Plantea la ecuación de segundo grado y resuélvela para encontrar la medida que falta en el siguiente triángulo rectángulo.
Respuesta: 7.61 cm
x
3 cm
7 cm
Hipotenusa: 3’. Plantea la ecuación de segundo grado y resuélvela para encontrar la medida que falta en el siguiente triángulo rectángulo.
Respuesta: 6.63 cm
12 cm
x
10 cm
Cateto:
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examen bloque 5
Secuencia 27. Conos y cilindros Secuencia 28. Volumen del cono y del cilindro Secuencia 29. Estimar volúmenes Los siguientes reactivos se proponen para evaluar los contenidos de estas tres secuencias.
Reactivo 1 1. Un rectángulo que mide 2 cm de base y 3 cm de altura, se gira tomando como eje uno de sus lados mayores. ¿Cuál de los siguientes desarrollo planos corresponde al cuerpo que se genera?
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el volumen de este cuerpo geométrico?
1. Respuestas: Al girar el rectángulo se genera un cono con altura de 3 cm y el radio de su base es de 2 cm. Por lo que en el desarrollo plano la cara lateral es un rectángulo de altura de 3 cm y base de 12.56 cm. La respuesta es el inciso b) ya que es el único en el que la base es mayor que la altura. El volumen es de 37.699 cm3. 254
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m a t e m á t i c a s III
1’. Un rectángulo que mide 2 cm de base y 3 cm de altura, se gira tomando como eje uno de sus lados menores. ¿Cuál de los siguientes desarrollos planos corresponde al cuerpo que se genera?
a)
b)
c)
¿Cuál es el volumen de este cuerpo geométrico?
Reactivo 2 2. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, se gira tomando como eje el cateto mayor. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera?
d)
1'. Respuestas: Al girar el rectángulo se genera un cono con altura de 2 cm y el radio de su base es de 3 cm. Por lo que en el desarrollo plano la cara lateral es un rectángulo de altura de 2 cm y base de 18.84 cm. La respuesta es el inciso d) ya que la base es más de 9 veces la altura. El volumen es de 56.548 cm3.
b) ¿Cuál es el volumen de ese cuerpo geométrico? 2’. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, se gira tomando como eje el cateto menor. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera? b) ¿Cuál es el volumen de ese cuerpo geométrico?
2. Respuestas:
2'. Respuestas:
a) Se genera un cono.
a) Se genera un cono.
b) El volumen es de 12.56 cm3.
b) El volumen es de 18.849 cm3. L i b r o p a ra el maestro
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examen bloque 5
3. Respuesta: El desarrollo plano de la cara lateral del cono corresponde a un sector circular de una circunferencia con radio de 8 cm y un ángulo de 90°. Sobre el arco del sector circular va una circunferencia de 2 cm de radio que corresponde a la base.
3'. Respuesta: El desarrollo plano de la cara lateral del cono corresponde a un sector circular de una circunferencia con radio de 10 cm y un ángulo de 72°. Sobre el arco del sector circular va una circunferencia de 2 cm de radio que corresponde a la base.
Reactivo 3 3. Traza el desarrollo plano para armar un cono de 2 cm en el radio de la base y 8 cm de altura. 3’. Traza el desarrollo plano para armar un cono de 2 cm en el radio de la base y 10 cm de altura.
Reactivo 4 4. Una copa en forma de cono mide 6 cm de radio en la base del cono y 10 cm de altura. 6 cm 10 cm
4. Respuesta: La copa tiene un volumen de 120 cm3. Lo que le sirvieron corresponde a un cono que mide 3 cm de radio en la base y 5 cm de altura, con un volumen de 15 cm3, que no es la mitad de lo que le cabe a la copa.
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Carlos pide que le sirvan sólo la mitad de lo que le cabe a la copa. La persona que sirve pone líquido hasta la mitad de la altura. Carlos se molesta porque le sirvieron menos líquido del que había pedido. a) ¿Cómo supo Carlos que le sirvieron menos?
b) ¿Cuánto líquido le dieron de menos?
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12/11/08 2:17:47 PM
m a t e m á t i c a s III
4’. Una copa en forma de cono mide 6 cm de radio en la base del cono y 12 cm de altura. 6 cm 12 cm
Respuesta: La copa tiene un volumen de 144 cm3. Lo que le sirvieron corresponde a un cono que mide 3 cm de radio en la base y 6 cm de altura, con un volumen de 18 cm3, que no es la mitad de lo que le cabe a la copa.
Daniel pide que le sirvan sólo la mitad de lo que le cabe a la copa. La persona que sirve pone líquido hasta la mitad de la altura. Daniel se molesta porque le sirvieron menos líquido del que había pedido. a) ¿Cómo supo Daniel que le sirvieron menos?
b) ¿Cuánto líquido le dieron de menos?
Reactivo 5 5. Un vaso en forma de cilindro mide 6 cm de diámetro y 12 cm de altura. Al vaso le cabe… a) menos de un cuarto de litro de leche. b) más de un cuarto de litro de leche.
Respuesta: El vaso tiene un volumen de 108 cm3. Si se multiplica por 3.1 se aproxima al valor de 335 cm3, lo que corresponde a 335 ml. La respuesta es el inciso b).
c) exactamente un cuarto de litro de leche. d) más de medio litro de leche. 5’. Una jarra en forma de cilindro mide 12 cm de diámetro y 20 cm de altura. A la jarra le caben … a) más de 2 litros de agua. b) menos de 2 litros de agua.
Respuesta: La jarra tiene un volumen de 720 cm3. Si se multiplica por 3.1 se aproxima al valor de 2 200 cm3, lo que corresponde a 2.2 litros. La respuesta es el inciso a).
c) exactamente 2 litros de agua. d) más de 3 litros de agua.
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examen bloque 5
Reactivo 6 Respuesta: c)
6. Se tiene un cilindro y un cono cuyas bases son idénticas y tienen el mismo volumen. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Ambos tienen la misma altura. b) El cilindro tiene el triple de altura que el cono. c) El cono tiene el triple de altura que el cilindro. d) El cono tiene el doble de altura que el cilindro.
Respuesta: c)
6’. Se tiene un cilindro y un cono cuyas bases son idénticas y el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera ? a) La altura del cono es la tercera parte de la altura del cilindro. b) La altura del cilindro es la tercera parte de la altura del cono. c) La altura del cono mide lo mismo que la altura del cilindro. d) La altura del cilindro es el triple de la altura del cono.
Reactivo 7 Respuesta: d)
7. Se quiere construir un cono para agua al que le quepan 200 mililitros. Si se quiere que la base del cono sea de 8 cm de diámetro, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular la altura? a) h =
Respuesta: c)
b) h =
200 3(42 )
c) h =
3(200) 82
d) h =
3(200) 42
7’. Se quiere construir un cono para agua al que le quepan 250 mililitros. Si se quiere que la base del cono sea de 10 cm de diámetro, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular la altura? a) h =
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200 3(82 )
250 3(52 )
b) h =
250 3(102 )
c) h =
3(250) 52
d) h =
3(250) 102
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12/11/08 2:17:50 PM
m a t e m á t i c a s III
Secuencia 30. Gráfica cajabrazos Reactivo 1 1. A los 20 alumnos de un grupo se les preguntó acerca del tiempo que requieren para desplazarse de su casa a la escuela. Los tiempos en minutos fueron:
Respuesta: a)
20, 20, 15, 5, 30, 15, 25, 10, 20, 5, 40, 35, 30, 30, 20, 10, 10, 25, 15, 25
40
minutos
minutos
¿Cuál de las siguientes gráficas cajabrazos representa este conjunto de datos?
30
40 30
20
20
10
10
0
0
40
b) minutos
minutos
a)
30
40 30
20
20
10
10
0
0
c)
d)
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12/11/08 2:17:51 PM
examen bloque 5
Respuesta: d)
1’. El número de aciertos que un grupo de alumnos obtuvo en la prueba de ingreso a preparatoria fue el siguiente: 75, 97, 71, 65, 84, 27, 108, 91, 122, 82, 96, 58, 94, 43, 116, 123, 91, 120, 94, 43
Aciertos
¿Cuál de las siguientes gráficas cajabrazos representa este conjunto de datos? 140 130
a)
b)
c)
d)
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Reactivo 2 Respuesta: b)
2. Sabemos que el 25% de los alumnos de un grupo obtuvo una calificación menor a 7 en el examen de matemáticas. ¿Cuál de las siguientes opciones representa los resultados del grupo? Calificaciones de matemáticas
Gráfica A
Gráfica B
260
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) Gráfica A
b) Gráfica B
c) Cualquiera de las dos gráficas
d) Ninguna de las dos gráficas
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m a t e m á t i c a s III
2’. Sabemos que el 75% de los alumnos de un grupo obtuvo una calificación menor a 8 en el examen de matemáticas. ¿Cuál de las siguientes opciones representa los resultados del grupo?
Respuesta: a)
Calificaciones de matemáticas
Gráfica A
Gráfica B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) Gráfica B
b) Gráfica A
c) Cualquiera de las dos gráficas
d) Ninguna de las dos gráficas
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12/11/08 2:17:54 PM
Bibliografía
Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática, 23 agosto 2003 [recuperado el 3 de abril de 2008 de http://www. inegi.gob.mx ]. SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. México, 2000. - Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. México, 2000. - 24 septiembre 2007 [recuperado el 3 de abril de 2008 de http:// www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/index.htm].
SEP/ILCE. Biología. Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación Secundaria. México, 2000. - Geometría dinámica. Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria. México, 2000. - Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria. México, 2000.
matemáticas III Libro para el maestro
se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , el mes de de 2008. El tiraje fue de ejemplares. 262
Libro p a ra e l m a e s t r o
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12/11/08 2:17:55 PM
Curso de reforzamiento y regularización
III Tercer grado
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.3 3
12/6/11 15:15:36
Curso de reforzamiento y regularización. Matemáticas III. Tercer grado. Telesecundaria estuvo a cargo de la Dirección General de Materiales Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública. Secretaría de Educación Pública Alonso Lujambio Irazábal Subsecretaría de Educación Básica José Fernando González Sánchez Dirección General de Materiales Educativos María Edith Bernáldez Reyes Coordinación general María Cristina Martínez Mercado Gabriel Calderón López Autores Ángel Daniel Ávila Mujica Revisión técnico-pedagógica José Alfredo Rutz Machorro Laura Elizabeth Valdovinos de la Cruz Diego Miguel Grande Avilés Coordinación editorial Dirección Editorial/dgme Cuidado editorial José Agustín Escamilla Viveros Formación Julio César Olivares Ramírez
Primera edición, 2011
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2011 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.
Impreso en México Distribución gratuita-P rohibida su venta
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.2 2
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Presentación En el marco del Fortalecimiento de la Telesecundaria y como resultado de las diferentes Reuniones Nacionales, es necesario brindar estrategias e instrumentos que permitan a los estudiantes de Telesecundaria apropiarse de los contenidos conceptuales de manera que comprendan mejor la dinámica natural y social en la que están inmersos, al mismo tiempo que cuenten con estrategias para ser actores activos y participativos en su realidad local y nacional, y así tengan, finalmente, referentes valorales que les permitan tomar decisiones responsables e informadas en su quehacer cotidiano, tanto dentro como fuera de la escuela. Por lo anterior se presenta el Curso de reforzamiento y regularización. Matemáticas III. Tercer grado. Telesecundaria, que pretende reforzar desde diferentes estrategias aquellos conceptos que han resultado difíciles para los alumnos en su curso regular y que buscan acortar la distancia entre éstos y los estudiantes que tienen un mejor desempeño académico. Este libro presenta variados recursos didácticos, lo que permite que existan más opciones para acercar el conocimiento a los alumnos. El material se basa en los materiales del curso regular, adecuados bajo la lógica de que no sean materiales nuevos que impliquen un esfuerzo extra para entender su dinámica, buscan ser un puente entre lo que vieron durante el ciclo escolar con aquellos contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que han representado alguna dificultad para su adecuada apropiación. Consideramos que con la ayuda del docente, pieza fundamental en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, se facilitará el uso más amable de este material para reforzar y fortalecer las competencias de los estudiantes de Telesecundaria y se elevarán los índices de aprovechamiento, lo que, esperamos, redunde en un mejor rendimiento escolar. Esperamos que el esfuerzo hecho por la Secretaría de Educación Pública se refleje en un material útil y práctico para los estudiantes y los docentes, y que éstos lo vean como un apoyo en el mejoramiento de su aprendizaje.
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Conoce tu libro La presente obra está estructurada en diferentes secciones que tienen como objetivo el manejo ordenado de la información de acuerdo con los temas que aparecen en el Programa de estudio 2006 de Matemáticas III y las necesidades de su desarrollo en el salón de clases. El contenido de este libro consta de cinco secuencias correspondientes a cada bloque que conforma el curso de Matemáticas III. Cada secuencia está dividida en varias sesiones en las que aparecen los temas que se ha definido como los de mayor dificultad para su comprensión y por tal motivo se han desarrollado con un lenguaje accesible y acompañado de apoyos gráficos que faciliten su entendimiento. Al inicio de cada sesión se presenta su propósito; allí se anuncian los aprendizajes esperados o las habilidades matemáticas que han de adquirirse o ejercitarse durante su desarrollo. La sección “Para empezar” te introduce y ubica en el contexto que te proporciona elementos para emprender las actividades que la sesión presenta. “Manos a la obra” es el apartado que ofrece información y ejemplos que propician la reflexión y toma de decisiones sobre los conceptos matemáticos en turno. La sección “Ejercicios” tiene variados problemas cuyo propósito es reforzar los conocimientos adquiridos y poner en práctica las habilidades desarrolladas durante la sesión.
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Índice 5
Presentación
9
SECUENCIA 1 Productos notables y factorización
9
SESIÓN 1 El cuadrado de la suma de dos números
12
Sesión 2 El cuadrado de la diferencia de dos números
15
Sesión 3 El producto de la suma de dos términos
por la diferencia de los mismos
El producto de dos binomios que tienen un término en común
18
Sesión 4
20
SESIÓN 5 Factorización de un trinomio
23
SECUENCIA 2 Ecuaciones cuadráticas y semejanza
23
Sesión 6 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
27
Sesión 7 Resolución de ecuaciones. Factorización
31
Sesión 8 Figuras semejantes
35
SESIÓN 9 Triángulos semejantes
38
SECUENCIA 3 Proporcionalidad directa y Teorema de Tales
38
Sesión 10 Variación directamente proporcional
41
Sesión 11 Teorema de Tales
45
SECUENCIA 4
Relaciones en los triángulos
45
Sesión 12 El Teorema de Pitágoras
48
SESIÓN 13 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
50
Sesión 14 Razones trigonométricas
53
Sesión 15 Crecimiento exponencial y lineal
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SECUENCIA 1 57
SECUENCIA 5
Sistemas de ecuaciones
57
sesiÓN 16 Resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución
60
Sesión 17 Resolución de sistemas de ecuaciones por igualación
63
Sesión 18 Resolución de sistemas de ecuaciones por reducción
66 69
Sesión 19 Resolución de sistemas de ecuaciones
por determinantes I
Sesión 20 Resolución de sistemas de ecuaciones
por determinantes II
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SECUENCIA 1
Productos notables MATEMÁTICAS y factorización
Sesión 1. El cuadrado de la suma de dos números Propósito
Aprenderás a obtener el producto notable de la suma de dos números elevada al cuadrado: (x + y)2, es decir (x + y) (x + y).
Para empezar
El procedimiento que se usa para obtener el resultado es representar al binomio al cuadrado como una multiplicación de un binomio por sí mismo: (x + y)2 = (x + y) (x + y) Después hay que multiplicar cada uno de los términos del primer binomio por cada uno de los del segundo binomio:
(x+y) (x+y) = x2 + xy + xy + y2
Al sumar los términos + xy + xy el resultado es +2xy, por lo que el resultado final es: x2 + 2xy + y2 Esta expresión recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Lo que puede leerse como: El cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Manos a la obra
Apliquemos el procedimiento y veamos cómo se obtiene el producto notable: ayb El cuadrado de la suma de los términos (a + b)2 , es igual a: a) El cuadrado del primer término: (a)(a): a2 b) Más el doble producto de ambos términos: (a)(+b) : +2ab
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SECUENCIA 1 c) Más el cuadrado del segundo término: + b2 ∴ (Por lo tanto) El trinomio cuadrado perfecto es: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Otro ejemplo: I. (3x + 6)2 El cuadrado de la suma de los términos 3x y 6, es igual a: a) El cuadrado del primer término:
(3x)(3x) = 9x2
b) Más el doble del producto de ambos términos: 2(3x) (6) = 2(18x) = 36x c) Más el cuadrado del segundo término: (6)(6) = 62 = 36
El trinomio cuadrado perfecto es:
(3x + 6)2 = 9x2 + 36x + 36 II. Completa el siguiente procedimiento para poder obtener el trinomio cuadrado perfecto: (5x + 8y)2 El cuadrado de la suma de los términos
y
, es igual a:
a) El cuadrado del primer término:
(
)(
) = ____
b) Más el doble del producto de ambos términos:
2(
)(
) = 2(
)=
10
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MATEMÁTICAS c) Más el cuadrado del segundo término: (
)(
)= ∴
El trinomio cuadrado perfecto es: (
+
)2 =
+
+
III. A hora obtén los trinomios cuadrados perfectos de los siguientes binomios elevados al cuadrado. a) (5x + 15)2 = b) (9c + 9d)2 = c) (4x + 6y)2 = d) (4a + 2b)2 = e) (6x + 3y)2 =
11
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SECUENCIA 1 SESIÓN 2. El cuadrado de la diferencia de dos números Propósito
Aprenderás a obtener los productos notables de la sustracción de un binomio elevado a la segunda potencia: (a - b)2
Para empezar
El procedimiento general que utilizaremos en esta ocasión para obtener el trinomio cuadrado perfecto del cuadrado de la diferencia de dos términos es similar al que viste en la sesión anterior: cada miembro de un binomio se multiplica por los dos miembros del otro: (x - y)2 = (x - y) (x - y)
(x–y) (x–y)= x2 – xy – xy + y2
Al sumar los términos – xy – xy el resultado es – 2xy, por lo que el resultado final es: x2 - 2xy + y2 Lo que puede leerse como El cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Manos a la obra
Apliquemos la descripción del resultado anterior y veamos cómo se obtiene el producto notable: (a - b)2 El cuadrado de la diferencia de los términos (a - b)2 , es igual a: a) El cuadrado del primer término
a2
b) Menos el doble producto de ambos términos - 2ab c) Más el cuadrado del segundo término + b2 ∴ (Por lo tanto) El trinomio cuadrado perfecto es: (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 12
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MATEMÁTICAS Ejemplo: I. (9x – 4)2 El cuadrado de la diferencia de los términos 9x y 4, es igual a: a) El cuadrado del primer término: (9x)( 9x) = 81x2 b) Menos el doble del producto de ambos términos: 2(9x)(-4) = 2(-36x) = -72x c) Más el cuadrado del segundo término: (4)(4) = 42 = 16 ∴
El trinomio cuadrado perfecto es:
(9x – 4)2 = 81x2 – 72x + 16 II. Completa el procedimiento para obtener el trinomio cuadrado perfecto de: (7x – 20y)2 a) El cuadrado del primer término: )(
(
)=
b) Menos el doble del producto de ambos términos: 2(
)(
) = 2(
)=
c) El cuadrado del segundo término es: (
)(
El trinomio cuadrado perfecto es: (
–
)2 =
)= ∴ –
+
13
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SECUENCIA 1 Una representación del procedimiento anterior es la siguiente:
x se eleva al cuadrado
y se eleva al cuadrado
(x – y)2 = x2 – 2yx + y2 El producto de (x) y (–y) se duplica IV. Realiza los siguientes ejercicios y obtén el trinomio cuadrado perfecto: a) (6x - 3)2 = b) (12c - 8)2 = c) (5r - 6)2 = d) (7a - 4b)2 = e) (6x - 3y)2 = f) (ab2 - 5m3)2 =
14
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MATEMÁTICAS SESIÓN 3. El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos Propósito
Aprenderás a obtener el producto notable de la suma de dos términos por la diferencia de éstos, también nombrados binomios conjugados.
Para empezar
Dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de sus términos se llaman binomios conjugados, por ejemplo, x + 3 es el binomio conjugado de x – 3. Otro ejemplo es: 2x + 6, que es el binomio conjugado de –2x + 6. La suma de dos términos multiplicada por su diferencia se expresa como sigue: (x + y) (x – y) El resultado que se obtiene al multiplicar estos binomios es: El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Esta expresión recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
Manos a la obra
Veamos cómo se obtiene el producto notable de: (x + y) (x – y) Se debe multiplicar cada término del primer binomio por cada término del segundo, tal como lo señalan las líneas en el esquema siguiente:
(x + y) (x – y)= x2 + xy – xy + y2
Al sumar los términos –xy + xy el resultado es cero, es decir se eliminan por lo que el resultado definitivo es: x2 – y2 Aprecia que es una diferencia de cuadrados. Ejemplos: I. (3x + 4y) (3x – 4y) El producto de estos binomios conjugados (3x + 4y) (3x – 4y) es igual a: a) El cuadrado del primer término: (3x)(3x) = 9x2 15
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SECUENCIA 1 b) Menos el cuadrado del segundo término (4y)(–4y) = –16y2
∴ c) El producto de 3x y –4y es igual a –12xy y el producto de 3x y 4y es 12xy, al sumarlos el resultado es cero, por lo que el resultado de los binomios conjugados es: 9x2 – 16y2 II. (17a + 20b2c) (17a – 20b2c) La suma de dos términos multiplicada por su diferencia: (17a + 20b2c) (17a – 20b2c) es igual a: a) El cuadrado del primer término: (17a)(17a) = 289a2 b) Menos el cuadrado del segundo término: (20b2c)(20b2c) = 400b4c2 c) El producto de 17a y 20b2c es igual a 340ab2c y el producto de 17a y –20b2c es igual a –340ab2c y al sumarlos se obtiene 0, por lo que se obtiene – 400b4c2 ∴ La diferencia de cuadrados es 289a2 III. Completa el siguiente procedimiento para poder obtener la diferencia de cuadrados: (5c2 + 6d2) (5c2– 6d2) La suma de dos términos multiplicada por su diferencia: (5c2 + 6d2) (5c2– 6d2) es igual a: a) El cuadrado del primer término: )(
(
)=
b) Menos el cuadrado del segundo término: )(
(
)= ∴
La diferencia de cuadrados es: (
+
)(
–
)=
–
16
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MATEMÁTICAS IV. A hora obtén la diferencia de cuadrados de los siguientes productos de binomios conjugados. a) (4x + 6y) (4x – 6y) = b) (5a + 3b2) (5a – 3b2) = c) (a2 + 8f3) (a 2 – 8f3) = V. Realiza los siguientes ejercicios y obtén la diferencia de cuadrados de los siguientes productos de binomios conjugados: a) (5x + 3) (5x – 3) = b) (9c + 8) (9c – 8) = c) (4r + 63) (4r – 63) = d) (4a + 7b) (4a – 7b) = e) (6x + 3y) (6x – 3y) =
17
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SECUENCIA 1 SESIÓN 4. El producto de dos binomios que tienen un término en común Propósito
Aprenderás a obtener el producto notable del producto de dos binomios que tienen un término en común.
Para empezar
(x + 5)(x + 2) es la multiplicación de un par de binomios que tienen un término común: la x. Como en los casos que se han visto en las sesiones anteriores, hay que multiplicar cada término de un binomio por cada término del otro:
(x + 5) (x+ 2)= x2 + 2x + 7x + 10
El resultado puede leerse como: El cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicados por el término común más el producto de los términos no comunes.
Manos a la obra
Apliquemos el procedimiento y veamos cómo se obtiene el producto notable de manera resumida: I. El producto de dos binomios que tienen un término en común (x + 4) (x + 8) es igual a: a) El cuadrado del término común: (x)(x) = x2 b) Más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común: (4 + 8) x = 12x c) Más el producto de los términos no comunes. (4)(8) = 32 El producto de los binomios es:
∴ x2 + 12x + 32
18
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MATEMÁTICAS II. Completa el siguiente procedimiento para poder obtener el producto de los binomios que tienen un término en común: El producto de dos binomios que tienen un término en común: (a + 6) (a + 7) es igual a: a) El cuadrado del término común )(
(
)=
2
b) Más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común: +
(
)
=
c) Más el producto de los términos no comunes: )(
(
)=
∴ (Por lo tanto) El producto de los binomios es: 2
+
+
III. Ahora obtén el producto de los siguientes binomios. a) (3x + 8) (3x + 9) = b) (2a2 + 12) (2a2 + 6) = c) (ab2 + c2) (ab2 + d2) = d) (9b + 5) (9b + 7) = e) (3e + 6) (3e + 47)= f) (4d + 45) (4d + 2) = g) (6z + 8) (6z + 23) = h) (4x + 22) (4x + 53) =
19
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SECUENCIA 1 SESIÓN 5. Factorización de un trinomio Propósito
Aprenderás y conocerás el procedimiento para factorizar un trinomio.
Para empezar
El término factorizar se utiliza cuando se deben encontrar dos o más factores que multiplicados entre sí, dan como resultado una expresión dada. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es necesario obtener la raíz cuadrada de los términos elevados al cuadrado: a2 + 2ab + b2 √a2 = a
√b2 = b
De esta manera se tienen los términos a y b como miembros del binomio al cuadrado: (a + b)2 Para comprobar el resultado se deben multiplicar estos términos entre sí y duplicarlos. Si el resultado es el término restante del trinomio, podremos reconocer al binomio al cuadrado que le dio origen al trinomio cuadrado perfecto: 2(a) (b) = 2ab Por lo tanto: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 I. Ejercicio. Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto: 16a2 + 72ac + 81c2 +72ac √
=
√
=
Ahora multiplica entre sí los resultados de las raíces y multiplícalos por dos: = 72 ac Si se ha cumplido la igualdad el binomio al cuadrado es: (4a + 9c)2
20
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MATEMÁTICAS Manos a la obra
Utilicemos el procedimiento y obtengamos la factorización de un trinomio cuadrado perfecto: II. x2 + 10x + 25 a) La raíz cuadrada del primer término: √ x2 es igual a: x
b) La raíz cuadrada del tercer término:
√25 es igual a: 5
c) El doble producto de las raíces:
2(x) (5) = 10x ∴ La factorización del trinomio cuadrado perfecto es: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 Ahora factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos. a) 25x2 + 120x + 144 = b) 16a2 + 24ab + 9b2 = c) 81x4 + 54x3 + 9x2 = III. Hay trinomios que no tienen un par de términos con raíz cuadrada exacta, por ejemplo, x2+ 9x + 18, en el que solamente x2 tiene raíz cuadrada exacta y coeficiente 1. Para factorizar este tipo de trinomios se puede proceder como sigue: a) Identificar el término elevado al cuadrado al cual hay que extraerle la raíz cuadrada y ésta es el término común de los binomios: x2+ 9x + 18 = (x +
)(x + )
b) Los términos faltantes en los binomios con paréntesis son dos números que multiplicados resultan 18, por ejemplo: (1) (18) = 18,
(2) (9) = 18,
(3) (6) = 18
c) Para saber cuál par de números forman los binomios se busca aquel cuya suma sea 9, pues el término 9x es el resultado de la suma de los dos monomios multiplicados por x: = (x + ) (x +
) 21
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SECUENCIA 1 En este caso los números buscados son 3 y 6. d) La factorización de x2 + 9x + 18 resulta: (x + 3)(x + 6)
Ejercicio
Con el procedimiento anterior factoriza los siguientes trinomios: a) x2 + 13x + 30 b) a2 + 5a + 4 c) x4 + 11x2 + 24
22
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SECUENCIA 2
Ecuaciones cuadráticas y semejanza MATEMÁTICAS
SESIÓN 6. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Propósito
En esta sesión aprenderás a resolver ecuaciones no lineales utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Para empezar
Resuelve el siguiente problema. El cuadrado de un número, menos el doble de ese número más uno es igual a cero. ¿Cuál es ¿Cómo lo obtuviste? el valor de ese número? Compara tus respuestas con algunos compañeros y expliquen por qué plantearon esa ecuación.
Manos a la obra
El problema anterior se expresa como una ecuación cuadrática, que es aquella, en la cual encontramos una incógnita elevada al cuadrado, de ahí que se conocen como ecuaciones de segundo grado; éstas las podemos representar de la siguiente manera: ax2 + bx + c = 0 En donde tenemos que: x es la incógnita. a puede valer cualquier número diferente de cero, esto porque si fuera cero se eliminaría la variable elevada al cuadrado. b y c pueden ser números cualesquiera. Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa; en caso contrario, incompleta. En este tipo de ecuaciones es difícil despejar la incógnita, para resolver este tipo de ecuaciones existen diferentes procedimientos. En esta ocasión utilizaremos el método de la fórmula general. La fórmula general es la siguiente: 2 x = –b ± √b – 4ac 2a
Realicemos un ejercicio y veamos cómo se resuelven las ecuaciones. Ejemplos: I. -5x2 + 13x +6 = 0 a) Anotar el valor de los coeficientes. a = -5, b = 13y c=6 b) Sustituir el valor de los coeficientes en la fórmula general. c) Se hace la reducción de términos semejantes.
23
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SECUENCIA 2 2 x = –b ± √b – 4ac 2a
2 x = –(13) ± √(13) – 4(–5)(6) 2(–5)
x = –13 ± √169 + 20(6) –10 x = –13 ± √169 + 120 –10 x = –13 ± √289 –10 x = –13 ± 17 –10
Ahora se obtendrán x1 y x2; x1 se obtiene al considerar solamente el signo + y x2 se obtiene al tomar el signo –, quedando así x1 = –13 + 17 = 4 = – 2 –10 –10 5 x2 = –13 – 17 =–30 = 3 –10 –10 Ahora tenemos las soluciones: x1 = – 2 y x2 = 3 5
Comprobemos sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación original: Para x1 tenemos; -5(- 25 )2 + 13(- 25 ) +6 = 0 Para x2 tenemos; -5(3)2 + 13(3) +6 = 0
24
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MATEMÁTICAS II. Completa el siguiente ejercicio anotando en la línea los datos faltantes. 6x2 + 7x -20 = 0 a) Anotar el valor de los coeficientes. a = ____ b = ____ c = ____ b) Sustituir el valor de los coeficientes en la fórmula general. c) Se hace la reducción de términos semejantes. 2 x = –b ± √b – 4ac 2a 2 x = –(7) ± √(7) – 4(6)(-20) 2(6)
x= ±√
–
x = –7 ± √
(–
)
+
x = –7 ± √
x= –
x1 =
±
+
=
=
25
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SECUENCIA 2 x2 =
–
=
=–
Ahora tenemos las soluciones: x1 =
y
x2 =
Comprobemos sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación original: Para x1 tenemos; 6(
) 2 + 7(
) -20 = 0
Para x2 tenemos; 6(
) 2 + 7(
) -20 = 0
III. De acuerdo con el procedimiento anterior resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno: a) x2 - 4x + 4 = 0 b) 7x2 + 21x - 28 = 0 c) -x2 + 4x – 7 = 0 d) 6x2 - 5x + 1 = 0 e) x2 - 5x - 84 = 0
26
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MATEMÁTICAS SESIÓN 7. Resolución de ecuaciones. Factorización Propósito
En esta sesión aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la factorización.
Para empezar
Resuelve el siguiente problema. El cuadrado de un número, menos el doble de ese número menos 24 es igual a 0. ¿Cuál ¿Cómo los obtuviste? es el valor de esos números?
Manos a la obra
La ecuación que describe el problema anterior es la siguiente: x2 - 2x -24 = 0 Como ya lo mencionamos en la sesión anterior, una ecuación cuadrática es aquella en la cual encontramos una incognita elevada al cuadrado y podemos representarla de la siguiente manera: ax2 + bx + c = 0 Para resolver este tipo de ecuaciones, utilizaremos el método de la factorización. Primero se obtiene la raíz del primer término y se buscan dos números, que multiplicados entre sí den como resultado el valor de c, y sumados tengan el valor de b. Realicemos un ejercicio y veamos cómo se resuelven las ecuaciones por medio de la factorización. Ejemplos: I. x2 - 2x -24 = 0 a) Obtener la raíz cuadrada del primer término; b) Se buscan dos números, que multiplicados entre sí den como resultado el valor de c y sumados el valor de b; x2 - 2x -24 = 0 x2 x x
- 2x = =
- 24 - 6 4
=0
-6
×
4
=
-24
-6
+
4
=
-2
6
×
-4
=
-24
6
+
-4
=
2
P
×
c) Se forman los dos factores que representan la ecuación igualada con 0. 27
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SECUENCIA 2 Se forman los factores y tenemos factorizada la ecuación: (x – 6) (x + 4) Ahora para resolver la ecuación, es decir, encontrar los valores de x tenemos que: (x – 6) (x + 4) = 0 Como son dos términos que se multiplican para que el resultado sea cero, uno de ellos debe ser cero, así que: Caso 1: si (x – 6) = 0 por lo tanto 0 (x + 4) = 0 Caso 2: si (x + 4) = 0 por lo tanto (x – 6) 0 = 0 ¿Cuál será el valor para x en cada caso? Caso 1
x–6 =0 ∴ x=6
Caso 2
x+4 =0 ∴ x=-4
Comprobemos sustituyendo los valores en la ecuación original: Si x = 6
Si x = - 4
x - 2x - 24 = 0
x2 - 2x - 24 = 0
(6)2 - 2(6) - 24 = 0
(- 4)2 - 2(- 4) - 24 = 0
36 - 12 - 24 = 0
16 + 8 - 24 = 0
36 - 36 = 0
24 - 24 = 0
0=0
0=0
2
Ahora sabemos que las soluciones de la ecuación x2 - 2x -24 = 0 son: x = 6 y x = -4 Veamos otro ejemplo: II. x2 - 4x - 5 = 0 a) Obtener la raíz cuadrada del primer término; b) Se buscan dos números, que multiplicados entre sí den valor de c y sumados el valor de b; x2 - 4x - 5 = 0 -5 × 1 2 - 4x - 5 =0 x -5 + 1 + 1 x = 5 × -1 -5 x = 5 + -1
como resultado el =
-5
=
-4
=
-5
=
4
P ×
c) Se forman los dos factores que representan la ecuación igualada con cero. Se forman los factores y tenemos factorizada la ecuación: (x – 5) (x + 1) 28
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.28 28
12/6/11 15:15:52
MATEMÁTICAS Ahora para resolver la ecuación, es decir encontrar los valores de x tenemos que: (x – 5) (x + 1) = 0 Como son dos términos que se multiplican para que el resultado sea cero, uno de ellos debe ser cero, así que: Caso 1: si (x – 5) = 0 por lo tanto 0 (x + 1) = 0 Caso 2: si (x + 1) = 0 por lo tanto (x – 5) 0 = 0 ¿Cuál será el valor para x en cada caso? Caso 1
x–5 =0 ∴ x=5
Caso 2
x+1 =0 ∴ x=-1
Comprobemos: Si x = 5
Si x = - 1
x - 4x - 5 = 0
x - 4x - 5 = 0
(5) - 4(5) - 5 = 0
(-1)2 - 4(-1) - 5 = 0
25 - 20 - 5 = 0
1+4-5=0
25 - 25 = 0
5-5=0
0=0
0=0
2
2
2
Ahora sabemos que las soluciones de la ecuación x2 - 4x - 5 = 0 x=5yx–1
son:
III. Completa el siguiente ejercicio anotando en la línea los datos faltantes. x (x – 5) = 6 Tenemos que modificar nuestra ecuación a la del tipo, ax2 + bx + c = 0 x (x - 5) = 6 x2 - 5x = 6 x2 - 5x - 6 = 0 a) Obtén la raíz cuadrada del primer término; b) Busca dos números, que multiplicados entre sí den como resultado el valor de c y sumados el valor de b; x - 5x - 6 = 0 2
x2 x x
- 5x = =
- 6
=0
×
=
-6
+
=
-5
×
=
+
=
P
×
c) Se forman los dos factores que representan la ecuación igualada con cero. 29
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.29 29
12/6/11 15:15:52
SECUENCIA 2 Se forman los factores y tenemos factorizada la ecuación: ) (x
(x
)
Ahora para resolver la ecuación, es decir encontrar los valores de x se tiene que: ) (x
(x
)=0
Como son dos términos que se multiplican para que el resultado sea cero, uno de ellos debe ser cero, así que: ) = 0 por lo tanto 0 (
Caso 1: si (x
) = 0 por lo tanto (
Caso 2: si (
)=0 )0=0
¿Cuál será el valor para x en cada caso? Caso 1 ∴ x=
Caso 2
∴ x=
Comprobemos:
=0 =0
Si x =
Si x =
x - 2x - 24 = 0
x2 - 2x - 24 = 0
(6)2 - 2(6) - 24 = 0
(- 4)2 - 2(- 4) - 24 = 0
36 - 12 - 24 = 0
1 + 8 - 24 = 0
0=0
0=0
2
Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno por el método de factorización: a) x2 + 8x = - 15 b) x2 - 12x + 27 = 0 c) x2 + 20x = - 75 d) x2 + 35x + 300 = 0 e) x2 - 6x = 72 f) x2 - 25x + 100 = 0 g) x2 + 0.8x + 0.15 = 0 Si conoces cómo resolver las ecuaciones por otro procedimiento, explícalo y resuélvelas en tu cuaderno.
30
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.30 30
12/6/11 15:15:53
MATEMÁTICAS SESIÓN 8. Figuras semejantes Propósito
En esta sesión aprenderás cuáles son las condiciones que deben tener dos figuras geométricas para que se diga que son semejantes.
Para empezar
En el siguiente cuadro encontrarás diferentes figuras, encierra las que son semejantes a la que se encuentra con el contorno verde.
¿Cuántas figuras encerraste? ¿Piensas que estas figuras son semejantes? ¿Por qué?
Manos a la obra I. Observa la siguiente figura.
31
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.31 31
12/6/11 15:16:00
SECUENCIA 2 Ahora mide la altura del edificio de la figura de la izquierda, ¿cuánto mide? Mide la altura del edificio de la derecha, ¿cuánto mide? Mide el ancho de la base del edificio de la figura de la izquierda, ¿cuánto mide?
Mide el ancho de la base del edificio de la figura de la derecha, ¿cuánto mide?
¿Crees que estas figuras son semejantes?
¿Por qué?
Ahora en el recuadro siguiente, con ayuda de tu regla, traza dos líneas verticales que midan la altura de cada edificio, y dos líneas horizontales que midan el ancho de cada edificio.
¿Qué relación hay entre las líneas verticales? ¿Qué relación hay entre las líneas horizontales? Cuando las medidas de una figura respecto a otra que es igual, pero de diferentes medidas, son proporcionales se dice que son figuras semejantes.
32
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.32 32
12/6/11 15:16:01
MATEMÁTICAS II. Observa la siguiente figura. Q
M
N
P
Anota las medidas de los segmentos de recta: MN= NP= QP= MQ= Mide los lados de las siguientes figuras y tacha el trapecio que es proporcional al anterior? y anótales M’, N’, Q’ y P’, respectivamente.
¿Cuál de las figuras es semejante a la original? Ahora mide los ángulos de la figura original y compáralos con la que tachaste. ¿Qué medidas tienen los ángulos de la figura qué tachaste? ¿Cómo son esos ángulos respecto a los ángulos de la figura original? Cuando los ángulos de las figuras que se están comparando son iguales se dice que las figuras son semejantes o que están hechas a escala. En matemáticas, cuando dos polígonos están hechos a escala se dice que son polígonos semejantes. Los polígonos semejantes cumplen con dos condiciones: a) Las medidas de los lados correspondientes de los polígonos son proporcionales. b) Sus ángulos correspondientes son iguales. Por ejemplo, el polígono PQRS es semejante al polígono ABCD: B A
C
Q P
D
R S
33
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.33 33
12/6/11 15:16:01
SECUENCIA 2 a) Las medidas de los lados del polígono ABCD son proporcionales a las medidas de los lados del polígono PQRS. AB = BC = CD = DA = 2 PQ QR RS SP El número 2 es la razón de semejanza del polígono mayor con respecto al menor. b) Los ángulos correspondientes son iguales:
∡A = ∡P
∡B = ∡Q
∡C = ∡R
∡D = ∡S
Escribe con tus propias palabras qué quiere decir que dos figuras son semejantes. Es importante también mencionar que dos figuras de la misma forma pueden ser semejantes si el área de las mismas cumple con una razón de semejanza, por ejemplo.
15
30
5 5 × 15 = 75 u2 10 10 × 30 = 300 u2 ¿Cuál es la razón de semejanza entre estas dos áreas?
34
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.34 34
12/6/11 15:16:02
MATEMÁTICAS SESIÓN 9. Triángulos semejantes Propósito
En esta sesión aprenderás los criterios de semejanza de triángulos y aplicarás la semejanza de triángulos para calcular distancias inaccesibles.
Para empezar
En el siguiente espacio encontrarás diferentes triángulos, encierra los que son semejantes a los de contorno verde.
¿Te fue complicado localizar los triángulos semejantes? ¿Qué características tienen los triángulos que encerraste?
Manos a la obra
I. Observa la siguiente figura.
a
a’
b’ b
c’
c 35
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.35 35
12/6/11 15:16:05
SECUENCIA 2 Ahora mide los lados de la pirámide de la izquierda, ¿cuánto miden? Ahora mide los lados de la pirámide de la derecha, ¿cuánto miden? Ahora mide los ángulos de la pirámide de la izquierda, ¿cuánto miden? Ahora mide los ángulos de la pirámide de la derecha, ¿cuánto miden? Determina si estas pirámides son semejantes
¿Por qué?
II. Resuelve el siguiente ejercicio. El maestro de matemáticas explica a los alumnos las características que tienen los triángulos, para ello dibujó en el pizarrón unos triángulos, como se muestran en la figura.
¿Qué similitudes encuentras en cada una de las parejas de triángulos? ¿Cuál es la razón de proporcionalidad? ¿Son proporcionales las medidas de los lados correspondientes? III. Observa los triángulos siguientes, mide sus ángulos, y compáralos.
¿Cuál es la razón de proporcionalidad? ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? ¿Qué características tienen los tres triángulos? Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. 36
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.36 36
12/6/11 15:16:06
MATEMÁTICAS De lo anterior se desprenden los criterios de semejanza siguientes, esto es que con cumplir alguno de ellos se puede afirmar que los triángulos son semejantes: Criterio 1 a
b
a’
c
b’ c’
Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados correspondientes proporcionales. a = b = c a’ b’ c’ Criterio 2
C C’ A B’
B
A’
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales. A = A’ B = B’ C = C’ Criterio 3 C a
b
a’
C’ b’
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. a = b a’ b’
C = C’
37
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.37 37
12/6/11 15:16:07
SECUENCIA 3 Proporcionalidad directa y Teorema de Tales SESIÓN 10. Variación directamente proporcional Propósito
En esta sesión aprenderás a encontrar expresiones algebraicas que corresponden a la variación directamente proporcional y su aplicación en la solución de problemas.
Para empezar
Resuelve el siguiente problema. Cuando una imagen se proyecta sobre una pantalla, su tamaño aumenta. Este aumento depende de la distancia a la que se encuentre el proyector respecto de la pantalla. Anota en la línea la distancia o el tamaño de la imagen de acuerdo con los datos dados.
¿Qué relación observas entre las imágenes?
Manos a la obra I. Resuelve el siguiente problema. Se necesita construir una barda de 2 m de altura, para cercar un terreno que mide 360 m de perímetro. Un albañil menciona que entre más trabajadores haya, más metros cuadrados se construirán y así terminarán más rápido. Ayúdale a completar la siguiente tabla. Trabajadores 2 4 8 10 12 15 17 19 20 22
m2 construidos 24 48
144
38
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.38 38
12/6/11 15:16:34
MATEMÁTICAS Contesta las siguientes preguntas: ¿Qué operación hay que hacer para completar la segunda columna a partir de la prime¿Por cuál número se hace? ra? Si se denota con la letra x al número de trabajadores, ¿cuál es la expresión que representa los metros cuadrados construidos? ¿Cuántos trabajadores se necesitan para construir 240 m2? ¿Cuántos trabajadores se necesitan para terminar la barda?
m2 construidos
Si graficáramos el problema anterior tendríamos lo siguiente:
Número de trabajadores
En la gráfica es visible cómo al aumentar el número de trabajadores de uno en uno, los metros cuadrados que se construyen aumentan en una proporción de 12 en 12, este número viene siendo la constante de proporcionalidad para este problema. Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar el valor de una, aumenta el valor de la otra en la misma proporción. Cuando tenemos una variación directa se deben cumplir las dos condiciones siguientes: Al aumentar una cantidad, aumenta la otra cantidad en la misma proporción. Al disminuir una cantidad, disminuye la otra cantidad en la misma proporción. Para verificar que este cambio proporcional se ha dado en las dos cantidades, se requiere que cada valor nuevo de la primera cantidad se multiplique por un número definido llamado constante de proporcionalidad, y así nos dará el valor correspondiente para la segunda cantidad. II. Realiza el siguiente problema, completa la tabla y contesta las preguntas. Román se va a ir de vacaciones a Mazatlán, si sale de la Ciudad de México, en su coche a una velocidad constante de 95 km/h y deberá recorrer 1 026 km. 39
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.39 39
12/6/11 15:16:35
SECUENCIA 3 ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a Mazatlán? Km recorridos 95
Tiempo en horas 1
¿Cuánto tiempo tardará en llegar a Mazatlán si aumenta la velocidad al doble?
km recorridos
Grafica, los datos obtenidos.
Tiempo en horas
¿Cuántos kilómetros recorrió Román en 6 horas? ¿Cuántos kilómetros recorrió en total ida y vuelta? ¿Cuánto tiempo llevaba si había recorrido 845.5 km? Explica cuál es la constante de proporcionalidad en este problema.
40
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.40 40
12/6/11 15:16:37
MATEMÁTICAS SESIÓN 11. Teorema de Tales Propósito
En esta sesión conocerás y aplicarás el teorema de Tales.
Para empezar
Anteriormente estudiamos la semejanza de triángulos y se mencionaron algunas características para que se cumpliera la semejanza. Ahora veremos otro procedimiento para saber si dos triángulos son semejantes. Tales de Mileto (639-549 a.C.) propuso un teorema en el cual, por medio del paralelismo entre dos rectas se puede determinar que dos triángulos son semejantes, si se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados.
Manos a la obra
Comprobemos lo que Tales afirmó. I. Se traza una recta paralela al segmento AC en el triángulo ABC. A A’ C C’ B
Se formó otro triángulo al que se nombrara A’ B C’. Posteriormente se miden las longitudes de los lados correspondientes de los dos triángulos. A A’
15u
12u 10u 8u C’ 12u 18u
C
B
Ahora se verifica que los lados correspondientes son proporcionales. 15 = 12 = 18 = 1.5 10 8 12 Resulta que los dos triángulos son semejantes y la razón de proporcionalidad es 1.5.
41
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.41 41
12/6/11 15:16:37
SECUENCIA 3 Esto se explica: El segmento de recta A C es 1.5 veces más grande que el segmento A’ C’ El segmento de recta A B es 1.5 veces más grande que el segmento A’ B El segmento de recta B C es 1.5 veces más grande que el segmento B C’ II. Apliquemos el Teorema de Tales: En el siguiente triángulo se trazaron rectas paralelas UU’ y VV’ para formar los triángulos semejantes OUU’ y OV V’.
V 12cm
u’ u
v 9 cm
cm 0 3 cm
¿Cuál es el valor del segmento OU’?
¿Cómo lo obtuviste?
¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos?
III. Se requiere saber cuál es la altura de un edificio sin medirlo físicamente. ¿Se puede saber su altura sin medirla directamente? ¿Se puede saber su altura, conociendo la distancia de la sombra que proyecta?
Tales calculó la altura de la Gran Pirámide de Keops en Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón. Tales decía que la altura del bastón y la altura de la pirámide son segmentos paralelos.
42
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.42 42
12/6/11 15:16:38
MATEMÁTICAS
Por tanto, el triángulo que forma el bastón con su sombra es semejante al que forma la pirámide con la suya. Entonces se cumplía su teorema:
Altura de la pirámide Sombra de la pirámide = Sombra del bastón Altura del bastón
Por lo tanto: Sombra de la pirámide Altura de la pirámide = Altura del bastón × Sombra del bastón ¿Cuál es la altura de un edificio que proyecta una sombra de 24 m si se sabe que un árbol con 2 m de altura proyecta una sombra de 5 m?
24 m
24 m
5m 5m
Cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, se cumple que las medidas de los segmentos formados por las paralelas que intersecan a una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes formados por las paralelas que intersecan a la otra. A este enunciado se le conoce como teorema de Tales. Es decir, toda recta paralela a un lado de un triángulo ABC que corta a los otros dos lados, determina un triángulo A‘B‘C‘ semejante al triángulo inicial. 43
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.43 43
12/6/11 15:16:39
SECUENCIA 3 B B’ B” A
C”
C’
C
Para la siguiente sesión será necesario usar tijeras y regla.
44
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.44 44
12/6/11 15:16:39
SECUENCIA 4
Relaciones enMATEMÁTICAS los triángulos
SESIÓN 12. El teorema de Pitágoras Propósito
Conocerás el teorema de Pitágoras.
Para empezar
Observa el siguiente triángulo rectángulo:
3 cm
5 cm
4 cm
¿Qué relación hay entre las medidas de sus lados? La primera respuesta que se nos ocurre es que son números consecutivos. Sin embargo, esto no sucede con todos los triángulos rectángulos. Observa los siguientes:
6 cm
10 cm
13 cm 8 cm 5 cm
12 cm Aparentemente no hay una relación matemática entre las medidas de los lados, sin embargo, sí la hay. Descúbrela.
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.45 45
12/6/11 15:16:39
SECUENCIA 4 Manos a la obra I. Dibuja en tu cuaderno el triángulo que mide 3, 4 y 5 cm por lado. Luego dibuja los cuadrados de los catetos y traza dentro de ellos los cm2 que los conforman para que tu dibujo quede como éste:
II. Recorta los cm2 y con ellos haz un cuadrado en el que uno de sus lados se forme a partir de la hipotenusa del triángulo. Al terminar contesta las preguntas siguientes: 1. ¿Faltaron o sobraron centímetros cuadrados para formar el cuadrado construido sobre la hipotenusa? 2. ¿Esto puede ocurrir en todos los triángulos rectángulos? En equipos, realicen el mismo ejercicio, ahora con los triángulos que miden 6, 8 y 10 cm y 5, 12 y 13 cm. Pueden repartirse cada triángulo. No es necesario separar todos los cm2, pueden acomodarlos en bloques y acomodarlos en el nuevo cuadrado. Comenten lo que sucede con cada triángulo para responder las preguntas siguientes: 3. ¿Faltaron o sobraron centímetros cuadrados para formar el cuadrado construido sobre la hipotenusa en cada triángulo? 4. Con los resultados de las experiencias anteriores, establece la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo 5. ¿Cómo puede expresarse en lenguaje matemático esta relación?
En todo triángulo rectángulo, si a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa se cumple que: El área del cuadrado de lado c (hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados a y b (catetos). Es decir:
46
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.46 46
12/6/11 15:16:40
MATEMÁTICAS a2 + b2 = c2 A esta propiedad de los triángulos rectángulos se le llama Teorema de Pitágoras. Entonces, para conocer el valor de un lado del triángulo, por ejemplo la hipotenusa, si ya se conoce la medida de los otros dos, se debe hacer un despeje:
Ejercicio
c = √a2 + b2
7 cm
1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 7 cm y el otro 24 cm?
24 cm
47
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.47 47
12/6/11 15:16:40
SECUENCIA 4 SESIÓN 13. Aplicaciones del Teorema de Pitágoras Propósito
Aplicarás el Teorema de Pitágoras en el cálculo de longitudes y distancias.
Para empezar
En la sesión anterior se presentó el teorema de Pitágoras como la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo y su expresión matemática: a2 + b2 = c2 Con esta expresión se puede conocer la medida de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen las de los otros dos. Veamos un ejemplo: ¿Cuánto mide el cateto b del siguiente triángulo rectángulo?
c = 12.5 cm a = 3.5 cm
b La fórmula es: a2 + b 2 = c 2 Como el dato que se busca es b, se despeja esta incógnita: b 2 = c 2 – a2 Con la fórmula anterior se conoce el área del cuadrado que se formaría con el cateto b, pero como lo que necesitamos es su longitud, debe quedar así:
Se sustituyen los valores:
b = √c 2 – a2 b = √12.52 – 3.52
48
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.48 48
12/6/11 15:16:41
MATEMÁTICAS Y se realizan las operaciones: b = √156.25 – 12.25
b = √144 b = 12
La medida del cateto b es 12 cm.
Manos a la obra I. Resuelve los siguientes problemas. 1. Una antena de TV mide 10 m de altura y está fijada con alambres, uno de los cuales mide 18 m. ¿A qué distancia del pie de la antena se fijó el alambre?
x
2. La figura muestra un salón con sus dimensiones, en el que se debe tender un cable de manera transversal, del punto x al y. ¿Cuánto debe medir ese cable? x
2.5 m 4m 7m
y
49
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.49 49
12/6/11 15:16:41
SECUENCIA 4 SESIÓN 14. Razones trigonométricas Propósito
En esta sesión aprenderás a reconocer y determinar las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Para empezar
En un triángulo rectángulo, al lado opuesto al ángulo A se le llama cateto opuesto al ángulo A; y al cateto que forma uno de los lados del ángulo se le llama cateto adyacente al ángulo A. Mientras que al lado opuesto al ángulo B se le llama cateto opuesto al ángulo B y al cateto que forma uno de los lados del ángulo se le llama cateto adyacente al ángulo B, tal como se muestra en la figura. B
c
a 90°
A
a = Cateto opuesto al ángulo A a = Cateto adyacente al ángulo B
b b = Cateto adyacente al ángulo A b = Cateto opuesto al ángulo B
Una razón trigonométrica es la razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente (sen, cos y tan) y se obtienen de la siguiente manera: sen A = cos A =
cateto opuesto a ∠A a = hipotenusa c
cateto adyacente a ∠A b = c hipotenusa
tan A =
cateto opuesto a ∠A a = cateto adyacente a ∠A b
Manos a la obra I. Encuentra las siguientes razones trigonométricas. En el siguiente dibujo se encuentran superpuestos cuatro triángulos rectángulos, observa que los cuatro comparten el ángulo A. Completa los datos de la tabla.
3.25 cm 2.5 cm 1.5 cm 1 cm
A 2 cm 3 cm
5 cm 6.5 cm
50
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.50 50
12/6/11 15:16:42
MATEMÁTICAS Cateto opuesto al ángulo A
Cateto adyacente al ángulo A
Triángulo rojo
1
2
Triángulo amarillo
1.5
Triángulo azul
2.5
Triángulo morado
Cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente (esta relación es la tangente del ángulo) 1 = 0.5 2
6.5
a) ¿Cómo son los cocientes de la tabla anterior, distintos o iguales?________ II. A continuación aparecen siete triángulos en los que se distinguieron los ángulos A, B, C, D, E, F y G, respectivamente.
E
12 cm
51
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.51 51
12/6/11 15:16:44
SECUENCIA 4 Completa la siguiente tabla usando las medidas de los triángulos anteriores para cada uno de los ángulos marcados en el dibujo. Cateto opuesto (cm)
Cateto adyacente (cm) 4
Triángulo verde
Coseno = cateto adyacente ÷ hipotenusa
Hipotenusa (cm)
4 =0.8 5
5
Triángulo rojo
0.75
Triángulo naranja
1.5 12
Triángulo azul
0.75 = 1.25 0.6 1.5 2.5
2.4 2.6
2.6
Triángulo amarillo
Seno = cateto opuesto÷ hipotenusa
13
Triángulo morado
2.5
Triángulo rosa
6
6.5 6 10 = 0.6
¿Cuáles triángulos son semejantes al triángulo verde? ¿Cuáles triángulos son semejantes al triángulo azul? Comparen sus respuestas. Para dos triángulos rectángulos semejantes, el valor de la tangente de ángulos correspondientes es el mismo. Por ejemplo:
3 cm 2 cm A
A‘
6 cm tan(A) = 3 = 0.5 6
4 cm
tan(A’) = 2 = 0.5 4
En triángulos rectángulos semejantes el valor del seno y el coseno de ángulos correspondientes es el mismo. Por ejemplo:
5 cm A
10 cm 4 cm A‘
3 cm
6 cm
cos(A) = 3 = 0.6 5
cos(A’) = 6 = 0.6 10
sen(A) = 4 = 0.8 5
sen(A’) = 8 = 0.8 10
8 cm
En ambos triángulos el valor del coseno es igual para los ángulos A y A´ y el valor del seno también. 52
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.52 52
12/6/11 15:16:45
MATEMÁTICAS SESIÓN 15. Crecimiento exponencial y lineal Propósito
Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.
Para empezar
La distancia que recorre un móvil a velocidad constante es directamente proporcional al tiempo que transcurre durante su movimiento. Por ejemplo, si un móvil tiene una velocidad constante de 3 m/s, el registro de su desplazamiento es el que se muestra en la gráfica siguiente: t (s)
d (m)
0
0
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
La distancia recorrida aumenta tres unidades en la medida que el tiempo aumenta una unidad y este aumento es constante, por lo que la razón de proporcionalidad es 3, así que la expresión matemática de este fenómeno es: d=3t Donde 3 es la velocidad del móvil.
Manos a la obra I. Con los datos de la tabla anterior construye la gráfica que describe el comportamiento del móvil: d 18 15 12 9 6 3 0 0
1
2
3
4
5
6 t
d=3 53
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.53 53
12/6/11 15:16:45
SECUENCIA 4 Las relaciones directamente proporcionales pueden representarse gráficamente con una línea recta. Asimismo, las relaciones directamente proporcionales presentan progresiones cuyos términos aumentan por adición de una cantidad constante, en nuestro ejemplo la cantidad es 3. A este tipo de crecimiento en la progresión se le llama crecimiento aritmético. II. Analiza otro tipo de crecimiento: Hay especies de bacterias en las que a un ejemplar le toma 1 hora para dividirse en dos. Si en un cultivo se comienza con una bacteria, en una hora serán dos y en dos horas serán cuatro. Observa el esquema siguiente: Número de bacterias
Tiempo (horas) 0 1 2
En la tabla siguiente se ha tabulado el crecimiento de la población de bacterias en las cinco primeras horas: t (h)
Número de bacterias
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
54
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.54 54
12/6/11 15:16:46
MATEMÁTICAS Con los datos anteriores construye la gráfica del crecimiento de la población de bacterias N
32
16
8 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6
t
Responde: 1. ¿Qué tipo de línea se formó en la gráfica? 2. ¿Cómo es el aumento de cada cantidad con respecto a la anterior en el número de bacterias? 3. ¿Es un crecimiento aritmético? Observa cómo aumenta el número de bacterias cada hora, ¿qué sucede con el número de bacterias cada hora?
t (h)
Número de bacterias
0
1
1
1
2
2
2
4
2×2
3
8
2×2×2
4
16
2×2×2×2
5
32
2×2×2×2×2
55
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.55 55
12/6/11 15:16:46
SECUENCIA 4 Observa que el número de veces que se multiplica el 2 es el número de horas en que se presenta la población referida, por ejemplo, en la quinta hora hay 32 bacterias, es decir, 2 × 2 × 2 × 2 × 2. La expresión matemática que lo expresa es: N = 2t Responde: 1. ¿A qué potencia se eleva el 2 en el tiempo cero?
¿Por qué el 2 elevado
a esa potencia da como resultado 1?
2. ¿A qué potencia se eleva el 2 en el tiempo 1? Las sucesiones en las que cada término es resultado de multiplicar el término anterior por un número fijo son llamadas sucesiones exponenciales. El número fijo por el que se multiplica es llamado razón común. Por ejemplo, la sucesión correspondiente a la reproducción de las bacterias es exponencial porque el número de bacterias que habrá cada hora se obtiene multiplicando el número actual por 2, por lo que en este caso la razón común es 2.
Ejercicio
1. ¿Cuál es la expresión matemática que representa la sucesión 7, 14, 28, 56, 112…?
56
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.56 56
12/6/11 15:16:47
SECUENCIA 5
Sistemas MATEMÁTICAS de ecuaciones
SESIÓN 16. Resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución Propósito
En esta sesión aprenderás a solucionar un sistema de ecuaciones con el que se puede resolver un problema.
Para empezar
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con diferentes incógnitas, por ejemplo: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28 En un sistema de ecuaciones algebraicas el valor de las incógnitas x y y es común para ambas ecuaciones, esto es que esos valores resuelvan a dichas ecuaciones.
Manos a la obra I. Aprendamos a resolver sistemas de ecuaciones por sustitución, ejemplo: Tenemos que resolver el sistema: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28 Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y de la primera ecuación): y = 26 – 5x 3 Y la reemplazamos en la otra ecuación: 3x + 8
(
26 – 5x 3
)
= 28
Ahora despejamos la incógnita existente: 3x + 8
(
26 – 5x 3
)
= 28
3x + 208 – 40x = 28 3 3x + 208 – 40x = 28 3 3 3x – 40x = 28 – 208 3 3
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.57 57
12/6/11 15:16:47
SECUENCIA 5 Aquí es importante mencionar que nos encontramos con una resta de un número entero menos un número fraccionario. 9x – 40x = 84 – 208 3 3 3 3 – 31x = – 124 3 3 31x = 124 x = 124 31 x=4 Posteriormente se reemplaza el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones:
5(4) + 3y = 26
20 + 3y = 26
3y = 26 – 20
3y = 6
y=6 3
y=2 ∴ x = 4, y = 2
Realizaremos el mismo procedimiento pero ahora despejando x al comienzo. Recordemos el sistema de ecuaciones: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28 Despejamos a x x = 26 – 3y 5
Y la reemplazamos en la otra ecuación:
(
3 26 – 3y 5
)
+ 8y = 28
58
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.58 58
12/6/11 15:16:48
MATEMÁTICAS Ahora despejamos la incógnita existente:
(
3 26 – 3y 5
)
+ 8y = 28
78 – 9y + 8y = 28 5 78 – 9y + 8y = 28 5 5 – 9y + 8y = 28 – 78 5 5 Aquí es importante mencionar que nos encontramos con una resta, de un entero menos un fraccionario. 9y + 40y = 140 – 78 5 5 5 5 31y = 62 5 5 31y = 62 y = 62 31 y=2 Posteriormente se reemplaza el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones:
5x + 3(2) = 26
5x + 6 = 26
5x = 26 – 6
5x = 20
x = 20 5 x=4
∴ x = 4, y = 2 Verifica que los valores obtenidos resuelvan las ecuaciones del sistema. II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno.
a) 4x + 3y = 23
5x + 2y = 35
b) 6x + 8y = 36
5x + 3y = 19 59
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.59 59
12/6/11 15:16:49
SECUENCIA 5 SESIÓN 17. Resolución de sistemas de ecuaciones por igualación Propósito
En esta sesión aprenderás a solucionar un sistema de ecuaciones con el método de igualación.
Manos a la obra
Tenemos que resolver el sistema: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28 El primer paso es despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, en este caso y con lo cual lograremos un sistema equivalente. y = 26 – 5x 3
y = 28 – 3x 8
Al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales, por lo tanto, los segundos también lo serán: 26 - 5x = 28 – 3x 3 8 Resolvamos:
26 - 5x = 28 – 3x 3 8 8 ( 26 – 5x) = 3(28 – 3x) 208 – 40x = 84 – 9x –40x + 9x = 84 – 208
–31x = – 124
x = -124 -31
x=4
Sustituimos el valor de x obtenido en alguna de las expresiones: y = 26 – 5x 3
60
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.60 60
12/6/11 15:16:49
MATEMÁTICAS Realizamos la operación para obtener y: y = 26 – 5(4) 3 y = 26 – 20 3 y= 6 3 y=2 Verificamos, en las dos ecuaciones, para comprobar que: x=4yy=2
5x + 3y = 26
3x + 8y = 28
5(4) + 3(2) = 26
3(4) + 8(2) = 28
20 + 6 = 26
12 + 16 = 28
26 = 26
28 = 28
Realicemos este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones. Recordemos el sistema: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28 Despejamos a x: x = 26 – 3y 5
x = 28 – 8y 3 Al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales, por lo tanto, los segundos también lo serán: 26 – 3y = 28 – 8y 5 3 Resolvamos: 26 – 3y = 28 – 8y 5 3 61
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.61 61
12/6/11 15:16:50
SECUENCIA 5
3(26 – 3y) = 5(28 – 8y)
78 – 9y = 140 – 40y
40y – 9y = 140 – 78
31y = 62
y = 62 31
y=2
Sustituimos el valor de y obtenido x = 26 – 3y 5 Realizamos la operación para obtener el valor de x:
x = 26 – 3(2) 5
x = 26 – 6 5
x = 20 5 x=4
Verificamos, en las dos ecuaciones, para comprobar que:
x=4yy=2
5x + 3y = 26
3x + 8y = 28
5(4) + 3(2) = 26
3(4) + 8(2) = 28
20 + 6 = 26
12 + 16 = 28
26 = 26
28 = 28
Por cualquiera de los dos procedimientos se cumple la igualdad. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, en tu cuaderno, con el método de igualación. a) b) 'c)
5x + 8y = 58 6x + y = 18 7x + 12y = 41 3x + 6y = 18 8x – 3y = 1 20x + 5y = 65
62
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.62 62
12/6/11 15:16:50
MATEMÁTICAS SESIÓN 18. Resolución de sistemas de ecuaciones por reducción Propósito
En esta sesión aprenderás a solucionar un sistema de ecuaciones con el método de reducción.
Manos a la obra I. Tenemos que resolver el sistema: 6x + 3y = 42 3x + 8y = 47 En este procedimiento, el primer paso es eliminar una de las incógnitas. Para poder hacerlo se debe multiplicar una ecuación por un número que nos dé el valor inverso de un término de la otra ecuación para poder eliminar la incógnita, por ejemplo, si queremos eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero? Observemos: 1) 6x + 3y = 42 2) 3x + 8y = 47 Para eliminar la x tenemos que multiplicar la ecuación 2 por –2. Es importante mencionar que la ecuación no se altera si es multiplicada por un número. 6x + 3y = 42 –2(3x + 8y = 47) Así tenemos: 6x + 3y = 42 –6x – 16y = –94 Ahora se suman las ecuaciones: 6x + 3y = 42 –6x – 16y = –94 0 – 13y = –52 y = -52 -13 y=4
63
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.63 63
12/6/11 15:16:51
SECUENCIA 5 Se sustituye el valor de y en la primera ecuación: 6x + 3(4) = 42 6x + 12 = 42 Después se encuentra el valor de x: 6x = 42 – 12 6x = 30 x = 30 6 x=5 Ya tenemos la solución de nuestro sistema. y = 4 y x = 5 Verifica en tu cuaderno que estos valores resuelvan el sistema. II. Realicemos otro ejercicio. Tenemos que resolver el sistema: 9x + 5y = 30 3x + 8y = 19.5 Si queremos eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero? Observemos:
1) 9x + 5y = 30 2) 3x + 8y = 19.5
Para eliminar la x tenemos que multiplicar la ecuación 2 por -3
9x + 5y = 30 –3(3x + 8y = 19.5)
Y tenemos:
9x + 5y = 30 –9x – 24y = –58.5 9x + 5y = 30 –9x – 24y = –58.5 0 – 19y = –28.5 y = -28.5 -19
y = 1.5
64
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.64 64
12/6/11 15:16:51
MATEMÁTICAS Se sustituye el valor de y en la primera ecuación: 9x + 5(1.5) = 30 9x + 7.5 = 30
Después se encuentra el valor de x:
9x = 30 – 7.5 9x = 22.5 x = 22.5 9
x = 2.5
Ya tenemos la solución de nuestro sistema: y = 1.5 y x = 2.5 Verifica en tu cuaderno que estos valores resuelvan el sistema. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, en tu cuaderno, como se realizó anteriormente. a) b) c)
6x + 6y = 72 7x + 3y = 64 8x – 4y = 15 4x + 8y = 10 2x + 3y = 11.5 4x – 5y = 17.5
65
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.65 65
12/6/11 15:16:52
SECUENCIA 5 SESIÓN 19. Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes I Propósito En esta sesión aprenderás a solucionar un sistema de ecuaciones por medio de determinantes.
Manos a la obra
Una matriz es un grupo de números organizados en filas y columnas en una tabla y es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones. En este caso, los números a los que nos referimos son los coeficientes de las incógnitas y los resultados. Observa el siguiente ejemplo: 2x – 3y = 4 –x + 5y = 12 Para representar a los coeficientes y resultados de las ecuaciones usemos las letras a, b y c con subíndices que indican si se trata de la primera ecuación o de la segunda: a1x + b1y = c1 a2 x + b2y = c2 Para resolver este sistema de ecuaciones encontrando el valor de y se organizan los coeficientes en dos matrices, como se muestra a continuación: a1 a y= 2 a1 a2
c1 c2 b1 b2
Cada matriz se resuelve al realizar una multiplicación cruzada y restando los resultados, como lo indican las flechas: a1 a y= 2 a1 a2
c1 c2 b1 b2
y = a1 ñ c2 – a2 c1 a1 ñ b2 – a2 b1 Al realizar la división de los resultados anteriores se encuentra el valor de y. Retomemos al sistema de ecuaciones del ejemplo: 2x – 3y = 4 –x + 5y = 12
66
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.66 66
12/6/11 15:16:52
MATEMÁTICAS Entonces:
2 –1 y= 2 –1
4 12 –3 5 ∴
y = (2)(12) – (–1)(4) = (2)(5) – (–1)(–3) y = (2)(12) – (–1)(4) = 24 + 4= 28 10 – 3 7 (2)(5) – (–1)(–3)
y=4
El valor de x también puede encontrarse mediante el método de matrices, pero puede recurrirse a la sustitución de y en alguna de las ecuaciones del sistema:
2x – 3(4) = 4
2x – 12 = 4
2x = 4 + 12
2x = 16 x = 16 2
x=8
Verifica que los valores obtenidos resuelvan el sistema.
Ejercicio
Reconoce los valores y desarrolla las matrices de los sistemas de ecuaciones siguientes. No es necesario por ahora realizar las operaciones para encontrar el resultado: 1. –8x – 2y = 4 7x + 5y = 28
a1 = a2 =
b1 = b2 =
c1 = c2 =
Entonces: y= y=( (
∴ )( )(
)–( )–(
)( )(
)= )
67
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.67 67
12/6/11 15:16:53
SECUENCIA 5 2.
4x + 9y = 36 12x – 5y = –8 a1 = a2 =
b1 = b2 =
c1 = c2 =
Entonces: y=
∴
y=( (
3.
)( )(
)–( )–(
)( )(
)= )
–7x – 3y = 45 x – 6y = –10
a1 = a2 =
b1 = b2 =
c1 = c2 =
Entonces:
y= y=( (
∴ )( )(
)–( )–(
)( )(
)= )
68
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.68 68
12/6/11 15:16:53
MATEMÁTICAS SESIÓN 20. Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes II Propósito
En esta sesión aprenderás a solucionar un sistema de ecuaciones por el método de determinantes.
Manos a la obra
Tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 5x + 3y = 26 3x + 8y = 28
Entonces tenemos que: a1 = 5 a2 = 3
b1 = 3 b2 = 8
c1 = 26 c2 = 28
Por lo que las matrices son: a1 a y= 2 a1 a2
5 3 5 3
c1 c2 ∴y= b1 b2
26 28 3 8
Observa cómo se organizan los datos para encontrar el valor de x: c1 c x= 2 a1 a2
b1 b2 ∴x= b1 b2
26 28 5 3
3 8 3 8
Se resuelven las matrices, se realiza la división: 5 3 y= 5 3 26 28 x= 5 3
26 28 = 5 · 28 – 3 · 26 = 140 - 78 = 62 = 2 3 5 · 8 – 3 · 3 40 - 9 31 8 3 8 = 26 · 8 – 28 · 3 = 208 - 84 = 124 = 4 3 5 · 8 – 3 · 3 40 - 9 31 8
Ya tenemos nuestros resultados del sistema de ecuaciones: y=2 y x=4 Verifica en tu cuaderno sustituyendo los valores.
69
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.69 69
12/6/11 15:16:55
SECUENCIA 5 Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 9y = 51 8x – 4y = 24
Entonces tenemos que: a1 = 3 a2 = 8
b1 = 9 b2 = -4
c1 = 51 c2 = 24
Se organizan las matrices: c1 c x= 2 a1 a2
b1 b2 ∴x= b1 b2
51 24 3 8
9 –4 9 –4
a1 a2 a1 a2
c1 c2 ∴y= b1 b2
3 8 3 8
51 24 9 –4
y=
Se resuelven las matrices y se realiza la división: 51 24 x= 3 8 y=
3 8 3 8
9 –4 = 51 · -4 – 24 · 9 = 204 - 216 = -420 = 5 9 –12 - 72 -84 3 – (–4) –8.9 –4 51 24 = 3 · 24 – 8 · 51 = 72 - 408 = –336 = 4 9 3 · (–4) – 8 · 9 -12 - 72 –84 –4
Ya tenemos nuestros resultados: x = 5 y y = 4. Verifica en tu cuaderno estos valores. Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones, en su cuaderno, como se realizó anteriormente. a) b) c)
6x + 2y = 42 7x + 3y = 53 8x + 4y = 12 9x + 6y = 21 2x + 3y = 9 4x + 5y = 10
70
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.70 70
12/6/11 15:16:56
MATEMÁTICAS Créditos iconográficos p. 31: Edificio. p. 35: pirámide tetragonal. p. 36: pizarra, ilustración de Félix Vallés Calvo, imágenes tomadas de: Gobierno de España-Ministerio de Educación, Instituto de Tecnologías Educativas, Banco de imágenes y sonidos.
71
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.71 71
12/6/11 15:16:56
Curso de reforzamiento y regularización. Matemáticas. Tercer grado. Telesecundaria se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de con domicilio en en el mes de El tiraje fue de
TS-CUR-REF-REG-MATE-3-P-001-072.72 72
de 2011 ejemplares.
12/6/11 15:16:56