TRIÁNGULOS : TEOREMAS FUNDAMENTALES Y CLASIFICACIÓN Sean A, B y C tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los segmentos , y se llama triángulo ABC, y se indica con ÄABC. Los puntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos , y se llaman lados. Todo triángulo ABC determina tres ángulos: ËBAC, ËABC y ËACB. a éstos los llamamos los ángulos del ÄABC. Si está claro a qué triángulo nos referimos, frecuentemente podemos designarlos por ËA, ËB y ËC.
03.
Para todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos, uno en cada vértice, es igual a 360.
x + y + z = 360 04.
En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
Notación: Triángulo ABC: ÄABC ÄABC = a > b ] á >â
Elementos: Vértices: A, B y C Lados: , y Ángulos: ËA; ËB y ËC Ángulos externos: ËKAB, ËTBC y ËNCA
05.
En todo triángulo se cumple que un lado es mayor que la diferencia pero menor que la suma de los otros dos.
TEOREMAS FUNDAMENTALES: 01.
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180. Sea a > b > c b-c
á + â + è = 180 02.
PROPIEDADES ADICIONALES a)
En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.
x=á+â+è x=á+â
b)
á < 90; â < 90 y è < 90 2 2 2 a
m+n=p+q
-ÄObtusángulo : Es aquel que tiene un ángulo obtuso.
c)
á > 90; â < 90 y è < 90 2
a + b + c + d + e = 180 d)
2
a >b +c B)
2
Según la congruencia de sus lados 1. ÄEscaleno: Es aquel que tiene sus lados diferentes, también sus ángulos son diferentes.
a
Según la medida de sus ángulos : ÄRectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto, los lados que lo forman se llaman catetos y el que se le opone se llama hipotenusa.
y
: Catetos
: Hipotenusa á + â = 90 2 2 2 a =b +c 2.
ÄOblicuángulo: Es aquel que no tiene ángulo recto. Puede ser: -ÄAcutángulo: Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.
2.
Äisósceles: Es aquel que tiene dos lados congruentes, también tiene dos ángulos congruentes.
á = 90 3.
ÄEquilátero: Es aquel que tiene sus tres lados congruentes, también tiene sus tres ángulos congruentes.
En la figura :
, entonces
es la
altura relativa al lado 03.
BISECTRIZ Es el rayo que biseca a un ángulo interno o externo del triángulo
04.
MEDIATRIZ En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio
Recomendación:
Trazar equilátero MNL.
para formar el triángulo
LÍNEAS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS 01.
MEDIANA Mediana de un triángulo es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto
En la figura si “M” es el punto medio de entonces
02.
,
es mediana relativa al lado
ALTURA Altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde cualquiera de sus vértices a la recta que contiene al lado opuesto.
Si “M” es el punto medio de entonces
es mediatriz de
y
z
,
En la figura adjunta la mediatriz de interseca a
en el punto “P”
es mediatriz de OBSERVACIÓN: CEVIANA de un triángulo es el segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación
En el triángulo ABC mostrado : : Ceviana interior : Ceviana exterior Si
son cevianas concurrentes
Y T : Punto ceviano
RECOMENDACIÓN En el triángulo ABC, si mËBAC = 2mËBCA, se traza una ceviana de modo que se formen dos triángulo isósceles. Esto es posible de dos formas diferentes
observe los dos gráficos siguientes :
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.
Del gráfico mostrado, calcular “x + y + z”
A) 4 D) 7 05.
A) 180 B) 270 D) 450 E) 540 02.
C) 360
Calcular “á”
06.
A) 45 D) 50
B) 30 E) 60
B) 24 E) 64
B) 45 E) 60
C) 37
Si: BC > AB, calcular el máximo valor entero de la mËBEC
C) 40
En los lados de un triángulo isósceles ABC, AB = BC, se ubican los puntos P y Q respectivamente. Si PQ = QC y mËACP = 16, calcular la mËBPQ A) 16 D) 48
04.
C) 6
Calcular “x”, si BC = AC
A) 30 D) 53
03.
B) 5 E) 8
A) 91 D) 94
C) 93
07.
Se tiene el triángulo escaleno ABC : AB = 5; BC = 12 y mË ABC < 90. Si “AC” toma su mayor valor entero, calcular el perímetro del triángulo ABC A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
08.
Dos ángulos exteriores de un triángulo acutángulo miden “9x” y “6x”. Determinar la suma de los valores enteros que puede asumir “x”
C) 32
Dos lados de un triángulo escaleno miden 8 y 10. ¿Cuántos valores pares puede tomar la medida del tercer lado?
B) 92 E) 95
A) 70 D) 33
B) 135 E) 49
C) 77
09.
En un triángulo ABC : AC = 2(AB) y mËA = 2(mËC). Calcular la mËBAC A) 30 B) 45 C) 60 D) 53 E) 37
10.
Del gráfico, calcular “x”
A) 10 D) 18 15. A) 90 B) 100 D) 150 E) 105 11.
C) 120
C) 15
En la figura adjunta : AB = DC = CE ¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?
En la figura AB = OD = DC, luego podemos afirmar que :
A) 1 D) 4 16. A) 10 < á < 70 B) 15 < á < 60 C) 20 < á < 80 D) 5 < á < 75 E) 5 < á < 65 12.
B) 12 E) 20
B) 2 E) 5
C) 3
En la figura AP = PC; BQ = MC, el triángulo MBC es equilátero. Calcular “x”
En la figura AB = AC = CD. Calcular “x”
A) 40 D) 70 17. A) 12 D) 30
B) 15 E) 36
B) 50 E) 80
C) 60
Del gráfico, calcular “á” si p+ q = 216
C) 22,5
13.
En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en A; mËA = 2(mËC) y AB = 4. Calcular el máximo valor entero de AC A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5
14.
Calcular “x”, si BP = AC A) 8 D) 14
B) 10 E) 16
C) 12
18.
En un triángulo ABC, recto en “B”, se traza la altura . La bisectriz interior del ËA intersecta a
en “M” y a
en “P”. La
bisectriz interior del ËC intersecta a “N” y a =6 A) 6 D) 1,5 19.
B) 3 E) 2
C) 4
En la figura AB = BC y AE = ED, calcular “x”
A) 135 D) 90 20.
en
en “Q”. Calcular MN si : BP - BQ
B) 60 E) 120
C) 125
En la figura BC = CD. Calcular “x”
A) 10 D) 30
B) 20 C) 15 E) 22,5
TAREA 01.
En un triángulo ABC, AB = BC, sobre se toma el punto “D” tal que AB = DC y en la prolongación de se toma el punto “E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 35, calcular la mËC A) 35 D) 50
02.
B) 40 E) 30
A) 7r B) 9r + 1 C) 12r - 1 D) 6r + 1 E) 6r - 1 03.
C) 45
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón “r”(“r” es un número entero positivo). Calcular el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro de la región que limita el triángulo
Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “A” tal que mËA = 2mËC y AB = 6. Calcular el mayor valor entero de “AC” A) 4 D) 8
04.
B) 5 E) 11
C) 6
Dado un triángulo equilátero ABC y “P” un punto interior, tal que : PA = 2 y PC = 7. Calcular el mayor valor entero de “PB” A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
05.
En la región exterior a un triángulo ABC y relativo al lado se toma el punto D, de modo que ; AB = BC = AD. Calcular : mËBAC, sabiendo que :
06.
En un triángulo ABC, mËBAC = 2(mËACB), se traza la bisectriz interior BD. Calcular “DC”, sabiendo que AD = 4 y “AC” toma su mínimo valor entero. A) 6 D) 7
A) 20 D) 45
B) 25 E) 36
C) 35
07.
B) 15 E) 20
C) 30
Interiormente a un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se toma el punto “P” tal que mËPAC = mËBCP y AB = PC = BC. Calcular la mËPCB A) 15 D) 30
09.
C) 3
En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana , de modo que : AB + AD = BC, mËABD = 3á y mËACB = 2á. Calcular “á” A) 11 D) 10
08.
B) 8 E) 5
B) 22,5 C) 18 E) 26,5
Dado un triángulo ABC en el exterior se ubica el punto “P” tal que el perímetro de la región triangular BPC es igual a 12 u. Calcular el máximo valor entero de “AC”, si AB y BC con enteros. (mËBAC > mËBCA) A) 11 u B) 10 u C) 9 u D) 8 u E) 6 u
10.
Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura y la bisectriz interior intersectándose en “O”. Si : AO = 4, OC = 12 y CD = 15, calcular el máximo valor entero de , si toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior y relativo al lado A) 20 D) 25
B) 21 E) 27
C) 23
TRIÁNGULOS : PUNTOS NOTABLES 01.
BARICENTRO Todo triángulo tiene tres medianas las cuales concurren en un punto denominado “Baricentro”
03.
INCENTRO Es el punto donde concurren las bisectrices de los ángulos del triángulo.
En la figura “G” es el baricentro del triángulo ABC, se cumple : AG = 2GM BG = 2GN CG = 2GL 02.
ORTOCENTRO Es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo o sus prolongaciones. El ortocentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo.
I : Incentro del triángulo ABC
04.
El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.
EXCENTRO El excentro de un triángulo es el punto donde concurren la bisectriz de un ángulo interno y las bisectrices de los ángulos externos en los otros dos vértices
E : Excentro del triángulo ABC relativo al lado
En todo triángulo se puede determinar tres excentros, uno relativo a cada lado.
O : Circuncentro
PROPIEDADES 01.
05.
Ángulo formado por dos bisectrices interiores
CIRCUNCENTRO En todo triángulo las mediatrices referentes a cada uno de sus lados concurren en un punto denominado “Circuncentro”. El circuncentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo. x = 90 +
02.
Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior
x=
03.
Ángulo formado por dos bisectrices exteriores
El circuncentro de un triángulo rectángulo coincide con el punto medio de la hipotenusa.
x = 90 -
04.
Ángulo formado por una altura y la bisectriz interior trazadas desde el mismo vértice
07.
En la figura, se cumple:
x = 180 - è
x=
05.
En la figura, se cumple :
x=
06.
En la figura, se cumple :
x=
PROBLEMAS PROPUESTOS 01.
Del gráfico, calcular “x + y”
A) 50 B) 60 D) 100 E) 120 02.
C) 80
Calcular “x”, si CM = CN :
A) 100 B) 110 D) 135 E) 140
A) 35 D) 55 03.
B) 40 E) 70
A) 45 D) 40
B) 60 E) 75
06.
Se tiene un triángulo ABC, tal que AB + BC = 30 y AC = 20; en se ubica un punto “P”. Calcular el menor valor entero de “BP” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4
07.
En la figura mËBAC = mËACB + 20. Calcular “x” :
C) 50
En la figura, AB = BC, PQ = QR = PS. Calcular “x” :
A) 30 D) 60
C) 30 08.
04.
En la figura, calcular á, si AB = AD = DC
A) 10 D) 25 05.
B) 20 E) 15
C) 120
B) 40 E) 70
C) 50
Calcular la medida del ángulo que determinan las rectas p y q
C) 30 A) 30 D) 60
B) 40 E) 70
C) 50
Calcular “x”, si AB = 3, BC = CD = 4 y AD = 7 09.
En un triángulo ABC, AB = 3 ; BC = 3 y mËABC > 90, calcular el mínimo valor entero de AC A) 4 D) 7
10.
B) 5 E) 8
C) 6
Calcular “x” si a + b = 6
14.
A) 1 D) 6 11.
B) 4 E) 3
C) 5
En la figura. ¿Qué punto notable es “K” del ÄABC, si los triángulo AKD y BKE son equiláteros?
En la figura, calcular “x”
A) 40 D) 30
B) 25 E) 80
C) 50
15.
Dado un triángulo ABC, recto en B. Sea “I” el incentro y “E” el excentro relativo a , tal que AC = IE. Calcular la mËA A) 30 B) 45 C) 37 D) 60 E) 53
16.
En la figura “I” es incentro del triángulo ABC
A) Incentro B) Circuncentro C) Baricentro D) Ortocentro E) Excentro 12.
Del gráfico mostrado, calcular “è”
Calcular “x” A) 20 D) 30 17. A) 15 D) 18 13.
B) 16 E) 22
B)60 E) 40
C) 45
Del gráfico adjunto, calcular “x”
C) 20
En la figura BC = CD. Calcular “x” :
A) 30 D) 37
18. A) 10 D) 30
B) 20 C) 15 E) 22,5
B) 45 E) 53
C) 60
En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores (P en en
;Q
); por “P” se traza una paralela a
intersecando a la prolongación de
; en
20.
“T” y a en “V”. Calcular BV, si TV = 4 y AP + PV = 24 A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 6 19.
En la figura, calcular : á + â + è
Calcular “è”
A) 140 B) 110 D) 120 E) 70
A) 135 B) 120 D) 180 E) 220
C) 150
A) 4 D) 12
C) 8
C) 125
TAREA 01.
Si : “I” es incentro del ÄABC, calcular “x”
04.
B) 6 E) 16
Dado un triángulo ABC, en el cual, AB = 11 y BC = 16. Por el incentro de dicho triángulo se traza la paralela a que interseca a en P y a en Q. Calcular el perímetro del triángulo PBQ A) 18 B) 21 C) 25 D) 27 E) 33
A) 100 B) 105 D) 115 E) 120 02.
C) 110
05.
Calcular “x”
En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mËBAC = 70, se ubica el punto interior “P” de modo que mËBAP = 40 y mËPCB = 20. Calcular mËPBC A) 15 D) 20
06.
A) 40 D) 30 03.
B) 25 E) 80
C) 50
del ËHBC(“E” 0
C) 10
Se tiene un triángulo ABC, AB = BC, sobre se toma un punto “D” tal que AB = DC y en la prolongación de se toma el punto “E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 40, calcular la mËC
En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, mËC = 26. Se traza la altura y la bisectriz
B) 18 E) 25
), sobre la
prolongación de se toma el punto “D” tal que : mËBDH = 29. Calcular “DE”, si AB AH = 12
A) 10 D) 40 07.
B) 20 E) 50
C) 30
De la figura, calcular “x + y”
10.
A) 60 B) 120 D) 135 E) 100 08.
C) 90 A) 30 D) 25
B) 36 E) 40
C) 45
Sean ceviana de un triángulo isósceles ABC (AB = BC). Calcular la mËAEF, si mËEAC = 60, mËFCA = 50, mËECF = 30 y mËEAB = 20 A) 10 D) 40
09.
Del gráfico adjunto, calcular “x” si : mËDOR = 2(mËRON)
B) 20 E) 15
C) 30
Calcular “è”
A) 36 D) 35
B) 37 E) 25
C) 20
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CONGRUENCIA DE SEGMENTOS Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Así, por ejemplo: Si AB = CD, entonces se denota:
es congruente con
y
En cada una de las seis líneas anteriores, la congruencia de la izquierda significa lo mismo que la igualdad de la derecha. Podemos por tanto, utilizar una u otra notación según nos convenga. En dos triángulos congruentes, a lados congruentes se le oponen ángulos congruentes y recíprocamente, a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes.
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Así, por ejemplo: Si mËAOB = mËMNL, entonces el ËAOB es congruente con el ËMNL y se denota: ËAOB ËMNL
CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA Para reconocer si dos triángulos son congruentes, no necesariamente los seis pares de elementos correspondientes deben de ser congruentes, sino simplemente tres pares de ellos, entre los que por lo menos debe figurar un par de lados correspondientes, esto implica la congruencia de los restantes. De acuerdo con la naturaleza de los elementos congruentes, resultan los siguientes casos de congruencia de triángulos : PRIMER CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los ángulos adyacentes respectivamente congruentes (postulado ALA)
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición : Dos triángulos ABC y DEF son congruentes si sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.
Para indicar que el “triángulo ABC es congruente al triángulo DEF”; se escribe : ÄABC ÄDEF
SEGUNDO CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes (postulado LAL)
TERCER CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes (postulado LLL)
Esta sola expresión nos dice a la vez seis cosas, a saber: ,
o
AB = DE
,
o
BC = EF
,
o
AC = DF
ËA ËD ,
o
mËA = mËD
ËB ËE ,
o
mËB = mËE
ËC ËF ,
o
mËC = mËF
CUARTO CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados respectivamente congruentes.
En la figura sólo si b > a, se podrá afirmar que los triángulos son congruentes. OBSERVACIÓN: Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes un cateto y la hipotenusa entonces serán congruentes to (4 caso) Si
es la bisectriz del ángulo AOB, P0
,
Y LA DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero. Así en la figura P es un punto exterior a la recta L y
Y TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento
, luego PQ es la distancia entre la recta L y el punto “P”
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une. CONSECUENCIAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo
Si
es mediatriz de
yP0
Y RECOMENDACIÓN : Cada vez que en un problema se observe una perpendicular a la bisectriz de un ángulo, se debe completar un triángulo isósceles.
TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En la figura se prolonga isósceles PQR, luego :
para formar el triángulo
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide igual que la mitad de dicha hipotenusa
PQ = PR y QH = HR
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo, se traza una paralela a cualquiera de los otros dos lados, entonces dicha paralela intersecará al tercer lado en su punto medio. Si
es mediana :
Y
NOTA : Observe que los triángulos AMB y BMC son isósceles. 1.
Si “M” es punto medio de
Ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa, en un triángulo rectángulo
y
Y NOTA : A
se le denomina la base media
OBSERVACIÓN :
x=á-â 2.
Propiedad en el triángulo rectángulo de 15 y 75
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El ÄABC es equilátero y AM=NB. Calcular “è”
A) 10 D) 20
B) 15 E) 12
C) 18 A) 2 D) 1
02. En la figura: calcular “á”
B) 4 E) 5
C) 3
05. De la figura, calcular AB si : AC - PQ = 8
A) 10 D) 20
B) 15 E) 25
C) 18
03. En un triángulo ABC; mËA=20; mËC=10. Calcular la medida de la distancia del vértice “C” a la bisectriz interior del ángulo A. (AB=2) A) 2
B) 3
D) 1
E) 2
C) 3
04. En la figura : AD = 1; BD = 4. Calcular : CD
A) 4 D) 8
B) 6 E) 12
C) 10
06. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de y la bisectriz del ángulo interior A se intersecan en un punto de . Calcular mËB A) 18 B) 22,5 C) 30 D) 36 E) 45 07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de interseca a en D tal que DC = 2(BD). Calcular la mËC A) 25 B) 26,5 C) 30 D) 45 E) 37
08. En un triangulo escaleno ABC, se traza la mediana , luego en el triángulo BMC se traza la mediana de , tal que A) 6 D) 10
, tal que BN = 9. Sea F y un punto B) 4 E) 9
. Calcular MF. C) 8
09. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que mËMBC = x, mË ABM = 2x. Si BC = 2BM, calcular el valor de “x” A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 36
A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
C) 20
15. En el gráfico, calcular BD, si CD = 12
10. Dado el triángulo isósceles ABC(AB =BC). Sea P un punto que pertenece a tal que mËPBC = 90 y PC = 2(AP). Calcular la mËC A) 30 B) 26,5 C) 45 D) 10 E) 7 11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles DAC recto en A luego se traza . Calcular DE si BC = 15 y EC = 4 A) 19 B) 26 C) 20 D) 24 E) 18 12. Calcular mËBCD, si AC = 2BD
A) 4 D) 8
B) 6 E) 12
C) 6
16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz exterior del ËA y la prolongación de la altura se intersectan en “F” tal que : AB + AH = 4; HF = 3. Calcular BH A) 2 B) 2,5 C) 1,5 D) 0,5 E) 1 17. Si “O” es circuncentro del ÄABC, calcular “á”
A) 30 D) 37
B) 45 E) 53
C) 60
13. En la figura AD = 2DB. Calcular mËFDE
A) 30 D) 60
B) 45 E) 75
C) 15
14. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC = RM y AB = QC. Calcular “x” A) 20 D) 50
B) 30 E) 25
C) 40
18. En la figura, calcular “è”, si CE = 2HC
A) 10 D) 8
B) 12 E) 18
C) 15
19. En un triángulo ABC: mËB = 2mËA; se traza perpendicular a la bisectriz interior del ËB. Si BH = 3, calcular AC A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 4,5 20. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 4; BC = 8 y AC = 10, desde el vértice C se trazan perpendiculares a la bisectriz interior de A y exterior de B. Calcular la medida del segmento que une los pies de estas perpendiculares A) 3 B) 2 C) 1 D) 1,5 E) 0,5
TAREA 01. En la figura : AB = AC; AD = DC. Calcular “x”, si : mËBAC = 2mËDBC
04. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana A) 4 D) 3
B) 5 E) 7
05. En la figura BD = 6
A) 20 D) 37
B) 25 E) 45
. Calcular EF
C) 30
02. En un triángulo ABC (mËB = 90) se sabe mËC = 24. Sobre se ubica el punto “P”, tal que AB = PC, la mediatriz de y de en “E”. Calcular mËACE. A) 24 B) 36 D) 33 E) 23
C) 6
se intersectan C) 34
A) 6 D) 6
B) 4 E) 4
C) 3
06. Si : BM = MC; AB = 2DM, calcular “è”
03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz exterior trazada del vértice A intersectan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3 de y 4 de , calcular BE A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
08. Calcular “á”, si : 2AB = DC
07. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD
A) 20 D) 18 A) 45 D) 37
B) 22,5 E) 53
C) 60
B) 15 E) 17,5
C) 22,5
09. Calcular “x”, si : AP = 4; PB = 3 y PC = 5
A) 135 D) 150
B) 120 E) 165
C) 105
10. Un triángulo ABC recto en B; I es el incentro “O” es el circuncentro; mËAIO = 90. Calcular mËBAC A) 37 B) 60 C) 30 D) 45 E) 53
PROPIEDADES ADICIONALES DE CONGRUENCIA 1.
PARA TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES ABC (AB = BC)
AH = PM + PN
Si : AB = BC = AC “P” es un punto exterior al triángulo ABC
0
BH = PQ + PS - PR
AH = PM - PN Ejemplo : 2.
PROPIEDAD EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO
c
Si : AB = BC = AC; PQ = 2; PR = 3; PS = 4 2h=3+4-2 h=5
3.
SEGMENTO QUE UNE LOS PIES DE LAS PERPENDICULARES TRAZADAS DE UN VÉRTICE A LAS BISECTRICES EXTERIORES
1er. Caso Si : AB = BC = AC “P” es un punto interior al triángulo ABC
0
BH = PM + PN + PQ
Ejemplo : c
Si : AB = BC = AC; PQ = 1; PR = 3; PS = 2 0h=1+2+3 h=6
2
Ejemplo : 2do. Caso
c
Si : AB = 13; BC = 15; AC = 14
2 PQ = PQ = 21
4.
PROPIEDAD EN EL CUADRILÁTERO NO CONVEXO 1er. Caso Si : AB = BC = CD y mË BCD = 2(mËBAD)
2
x = 120 - 2è
Ejemplo : c Si : AB = BC = CD y mËBCD = 2mËBAD = 20 2 x = 120 - 20 x = 100
2do. Caso Si : BC = CD = AD y mËBCD = 2(mËBAC)
2
x = 120 - è
Ejemplo : c Si : BC = CD = AD y mËBCD = 2mËBAD = 20
Y x = 120 - 10 x = 110
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el segmento que une los puntos medios de , si : AM = CN = 6 y á + è = 30
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
05. De la figura : AB = BC. Si : PQ = 8 y QC = 3, calcular AP
C) 3
02. En un triángulo ÄABC, la bisectriz exterior del ËB y la mediatriz de se intersecan en “O” por el cual se traza (H en si BH = 3 y BC = 8 A) 4 B) 5 D) 7 E) 4,5
). Calcular AB, C) 6
A) 11 D) 5
B) 7 E) 6
C) 4
03. En el gráfico adjunto: AC = BD. Calcular “á” 06. De la figura, calcular el máximo valor entero de PN, si HQ = 2 y MN = 12
A) 12 D) 18
B) 10 E) 9
C) 15
04. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior tal que AP = BC y mËABC = mËBAP + 2(mËPAC). Si BP = 3 y PC = 5, calcular AB A) 6 D) 8
B) 10 E) 12
C) 16
A) 14 D) 18
B) 10 E) 19
C) 16
07. De la figura, calcular DC, si BE = EC, AB = 6; AC =8
A) 4 D) 10 A) 2 D) 1/2
B) 3 E) 1
B) 6 E) 5
C) 8
C) 4
08. En la figura: AB = BC y AC = AD. Calcular “è”
13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en se ubica el punto T y en el punto medio M. Si TC = 2(AB) + BT. Calcular mËMTC A) 30 B) 53/2 C) 60 D) 53 E) 15 14. Interiormente a un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P tal que mËAPC = 90, luego se trazan exteriormente al triángulo APC los triángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular la mËQBE A) 120 B) 100 C) 140 D) 150 E) 90
A) 15 D) 45
B) 22,5 E) 18,5
C) 30
15. En la figura : AB = BC; AH = HC y HM = ML. Calcular “x”
09. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica en los puntos “E” y “F”, tal que la mËBAE = mËEAF = mËFAC. Se traza , tal que EC = 2PC. Calcular la mËBCA A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 45 10. En un triángulo ABC, se traza la altura mediana
y la
. Calcular la mËBPC, si BH = CM y = {P}
A) 140 D) 100
B) 160 E) 120
C) 80
11. En la figura, AP = QC; QM = 1; CH = 6 y AB = BC. Calcular PB
A) 90 D) 53
12. Si :
B) 4 E) 2,5
C) 5
; BC = 16; DE = EC, calcular AE
C) 75
16. Del gráfico, si AE = 7 y DC = 2, calcular AB
A) 9 D) 12 A) 3 D) 6
B) 60 E) 120
B) 10 E) 13
C) 11
17. En la figura : AC = BD. Para los valores dados, calcular “x”
20. En un triángulo ABC se traza la perpendicular la bisectriz interior . Si : AP = 12, calcular “PQ” si además : AC = 2(AB) A) 3 B) 2 C) 4 D) 2
A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
E) 5
C) 20
18. En un triángulo ABC, sea “P” un punto interior tal que: mËPAC = 20, mËPBC = 10 y mËPCB = 40. Calcular la mËPCA, si BP = AP + AC A) 25 B) 30 C) 36 D) 15 E) 18,5 19. Se tiene un triángulo ABC, se ubica los puntos : M, D y N en respectivamente, tal que ; ; mËMDC = mËNDB = x ; AB = 2(DM + DN). Calcular el valor de “x” A) 30 B) 45/2 C) 37/2 D) 15 E) 14
TAREA 01. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, se traza la ceviana interior tal que AB = MC; en
se ubica el punto N, siendo mËNMC = 90;
en la prolongación de se ubica el punto H tal que: mËBHC = 90; BH = 6 y mËBAC = mËAMB. Calcular HC A) 4 B) 3 C) 5 D) 6
E) 2
02. Se tiene un triángulo ABC tal que mËA = 40 y mËC = 30, se traza la ceviana tal que : AB = CD. Calcular la mËABD A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90
intersecan en un punto Q interior al triángulo. Si la mËABC = 45, calcular la razón entre AC y BQ A) 1 B) 2 C) 0,5 D) 1,5 E) 2,5 05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altura mide 8; por el punto P de se levanta una perpendicular que intersecta a Q y a la prolongación de calcular PR A) 11 B) 12 D) 14 E) 15
en
en R. Si PQ = 5, C) 13
05. Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC y 5AH = 4PQ
03. De la figura, calcular “x”, si HM = 3; AH = 8
A) 120 D) 135 A) 37 D) 30
B) 35 E) 53
04. En un triángulo ABC, las alturas
B) 137 E) 150
C) 127
07. En la figura adjunta el triángulo ABC es equilátero y AM = MC = 2. Calcular “MP”
C) 60
se
A) 2 D) 4
B) 2 E) 6
C) 2
08. En la figura CD = 3BH. Calcular el valor de “á”
A) 15 D) 37
B) 22,5 E) 30
C) 26,5
09. En el triángulo acutángulo ABC las mediatrices de intersecan a en los puntos M y N, tal que la mËABC = 2mËMBN. Calcular la mËMBN A) 30 B) 45 C) 36 D) 60 E) 40 10. En el lado
de un triángulo ABC se ubica el
punto P y en el punto Q tal que AB = BP = PQ = QC. Calcular mËABP, si BQ = 5 y AC = 4 A) 30 D) 21
B) 45 E) 37
C) 53
POLÍGONOS Sean P1; P2; P3; .... Pn una sucesión de “n” puntos distintos de un plano (coplanares) con n $ 3. Supongamos que los “n” segmentos ; ; ..... ; 1. 2.
tienen las siguientes propiedades:
Ningún par de segmentos se intersecan, salvo en sus extremos. Ningún par de segmentos con un extremo común
son colineales. Entonces la unión de los “n” segmentos se denomina “polígono”, los puntos P1; P2; .... ; Pn son los vértices del polígono y los segmentos ; .... ;
son los lados y los ángulos del polígono
son el Ë PnP1P2; ËP1P2P3; y así sucesivamente. Para abreviar a menudo denotaremos, los ángulos Ë
P1; Ë P2; .... etc.
POLÍGONO NO CONVEXO Se denomina polígono no convexo si la recta que contiene un lado puede determinar al polígono en dos semiplanos.
ÁNGULOS DETERMINADOS EN UN POLÍGONO * *
Medida de los ángulos interiores : á1; á2; á3; á4; .... Medida de los ángulos exteriores : è1; è2; è3; è4; ....
t
Se denomina diagonal al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
t
Se denomina diagonal media al segmento de recta que une los puntos medios de dos lados.
Ejemplo:
OBSERVACIÓN.:Según el número de lados, un polígono se le nombra: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 12 lados 15 lados 20 lados
Los demás polígonos se le nombra según el número de lados. t
: Diagonal
tSi : M y N son puntos medios de
Y
y
: Diagonal media
POLÍGONO CONVEXO Se denomina polígono convexo si la recta que contiene un lado determina el polígono en un semiplano.
PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “n” LADOS. 01. Número de diagonales trazadas desde un solo vértice
Y
N° d1 = n - 3
02. Número de triángulos determinados al trazar diagonales desde un solo vértice
Y
N° Äs = n - 2
03. Suma de las medidas de los ángulos internos.
Y
Si = 180(n - 2)
04. Número total de diagonales
Y
N° d =
05. Número de diagonales trazadas desde los primeros “k”vértices consecutivos.
Y
Y
N° d(k) = n.k -
06. Número de diagonales medias que se traza a partir del primer punto medio del lado de un polígono.
Y
Perímetro = na
b. Polígono Equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos internos son congruentes, en consecuencia sus ángulos externos también son congruentes. Ejemplo:
N° dm (1) = n - 1
07. Número total de diagonales medias.
Y
N° dm =
08. Número de diagonales medias que se traza desde los primeros “l” puntos medios consecutivos de los lados de un polígono.
Hexágono equiángulo Propiedades:
Y
Y 09. Suma de las medidas de los ángulos externos. (Considerando uno por vértice)
Y CLASIFICACIÓN a.
Y
Se = 360
c.
Polígono Regular:
Polígono Equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son congruentes.
Es aquel polígono equilátero y equiángulo a la vez.
Ejemplo:
Ejemplo:
Hexágono regular Propiedades:
Y Y Y
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Las medidas de cinco ángulos internos de un polígono regular es 700. Calcular la suma de las medidas de sus ángulos internos A) 700 B) 1 700 C) 1 820 D) 1 260 E) 1 900 02. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo AB = 7; CD = 6; DE = 8. Calcular BF A) 7 B) 14 C) 7 D) 7
/2
E) 5
03. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) 11 04. Los ángulos interiores de dos polígonos convexos regulares se diferencian en 20 y los ángulos exteriores suman 100. ¿Qué polígonos son? A) Exágono y monágono B) Pentágono y octágono C) Octágono y decágono D) Nonágono y decágono E) Exágono y octágono 05. En un polígono equilátero se sabe que desde 5 vértices consecutivos se pueden trazar 29 diagonales. Calcular el perímetro si uno de sus lados mide 3 A) 34 B) 30 C) 27 D) 40 E) 10 06. En un polígono convexo equilátero; el número total de diagonales equivale a la tercera parte de la diferencia entre el número que expresa su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos. Hallar el perímetro del polígono, sabiendo que la longitud de su lado es una cantidad entera A) 48 B) 64 C) 144 D) 84 E) 72 07. En un polígono de “n” lados desde (n - 4) lados consecutivos se trazan (2n + 1) diagonales medias. Calcular “n” A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 12 08. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos A) 1 440 B) 1 800 C) 1 080 D) 3 600 E) 1 700
09. Si el número de lados de un polígono aumenta; la suma de las medidas de sus ángulos internos aumenta en 360 y su número total de diagonales aumenta en 11. Calcular su número total de diagonales medias A) 54 B) 15 C) 66 D) 78 E) 35 10. El número de triángulos en que se descompone un polígono convexo al trazar las diagonales de un solo vértice y el número de diagonales que se pueden trazar del quinto vértice consecutivo están en la relación de 7 a 5. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono A) 2 340 B) 2 700 C) 2 880 D) 3 600 E) 2 520 11. En un polígono se trazan las diagonales medias desde 15 lados consecutivos y se observa que estas aumentan en 285 cuando aumenta el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados se han aumentado? A) 17 B) 18 C) 19 D) 15 E) 20 12. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcular la mËDPE A) 42 B) 54 C) 66 D) 72 E) 84 13. En un polígono regular, si su número de diagonales aumenta en “b” este resultado es igual al número de diagonales medias disminuido en “a”. ¿Cuánto mide el ángulo central de dicho polígono? A)
B)
D)
E)
C)
14. Si el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono regular miden â y kâ, ¿cuáles son los valores enteros que puede tomar “k”para que el polígono exista? A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7 15. Se tiene dos polígonos regulares. Si la suma total de las medidas de sus ángulos interiores es 2 340°, la diferencia del número de diagonales de ambos polígonos es 31, calcular la medida del ángulo interior del polígono de menor número de lados A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7
16. ¿En qué polígono regular se verifica que el cociente entre la medida del ángulo interior y la medida del ángulo central es igual al máximo número de diagonales del polígono de 7 lados menos? A) Pentágono B) Exágono C) Octógono D) Nonágono E) Dodecágono
20. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se toma un punto interior “P” tal que PD = DE y mËPAB = 42. Calcular la mËPDE A) 42 D) 48
B) 45 E) 54
C) 60
A) 12 D) 30
B) 20 E) 32
C) 22
17. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al número de diagonales A) 15 D) 21
B) 14 E) 10
C) 13
18. En qué polígono convexo se cumple que el cuadrado de su número de vértices es igual a la suma entre su número de diagonales, número de diagonales medias y seis veces el máximo número de ángulos interiores agudos que puede tener A) Exágono D) Decágono
B) Pentágono C) Nonágono E) Octágono
19. Dado el pentágono regular ABCDE, se toma el punto exterior “S” relativo , tal que : BS = AD. Calcular la mËESD A) 9 D) 30
B) 15 E) 36
C) 18
TAREA
01. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al máximo número de diagonales A) 15 D) 21
B) 14 E) 10
C) 13
02. En un pentágono convexo ABCDE, irregular, interseca a en “P y N” . Si : BP = PE = CN; mËBNC = 2mËDBC = 2mËPEC, calcular mËPCE A) 36 D) 30
B) 72 E) 60
C) 18
03. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3 960?
04. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos A) 1 240 D) 1 280
B) 1 250 E) 1 270
C) 1 260
05. Si el número de lados de un polígono convexo aumenta en 3, entonces su número de diagonales aumenta en 33. Calcular el número de lados del polígono inicial A) 9 D) 12
B) 13 E) 8
C) 11
06. De dos polígonos regulares uno de ellos tiene tres lados menos que el otro; y el ángulo central de uno de ellos mide 27 menos que la medida del ángulo central del otro. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de dichos polígono
A) 1 610 D) 1 630
B) 1 620 E) 1 640
C) 1 650
07. Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 27 y cuyos ángulos centrales están en la relación de 3/4. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales A) 10 D) 40
B) 20 E) 50
C) 30
08. La suma de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos se diferencian en 360 y las medidas de sus ángulos centrales se diferencian en 6. Calcular la suma de su número de lados A) 12 D) 40
B) 22 E) 52
C) 32
09. En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es los 2/3 del número de lados del polígono inicial. Calcular el número de lados del polígono inicial A) 12 D) 20
B) 16 E) 22
C) 18
10. El menor ángulo de un polígono convexo mide 120 los otros forman con el una progresión aritmética de razón 5. Calcular el número de diagonales A) 9 D) 28
B) 27 E) 30
C) 32
CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN : Es el polígono que tiene cuatro lados
CARACTERÍSTICAS *
; AB = CD = a y
; BC = AD
=b *
mËA = mËC y mËB = mËD
*
AO = OC y BO = OD
*
á + â = 180
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
Y
á + â + è + ù = 360
A. ROMBOIDE : Es el paralelogramo que no es equilátero ni equiángulo Ejemplo :
a
b á
Y
â
x=á+â+è B. RECTÁNGULO: Denominado también “cuadrilongo”, es el paralelogramo equiángulo
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS 1.
PARALELOGRAMO Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. En todo paralelogramo se cumple que los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes y las diagonales se bisecan
* Las diagonales son congruentes
C. ROMBO : Es el paralelogramo equilátero
D. CUADRADO : Es el paralelogramo que es equiángulo y equilátero a la vez.
B. TRAPECIO ISÓSCELES: Es el trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes
*Sus diagonales son congruentes y se bisecan perpendicularmente 2.
TRAPECIO Es aquel cuadrilátero que tiene sólo dos lados paralelos C. TRAPECIO RECTÁNGULO : Es aquel trapecio que tiene uno de sus lados no paralelos perpendicular a sus bases
CARACTERÍSTICAS: * Bases : (
)
* Lados no paralelos : * Altura : (BH = h) * Mediana : ( //
* En la figura * CD > AB )
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS A. TRAPECIO ESCALENO : Es el trapecio cuyos lados no paralelos son diferentes
y
TEOREMA 1 En todo trapecio, la mediana es paralela a sus bases y su medida es igual a la semisuma de las medidas de sus bases .
y Se denomina “trapezoide simétrico” si una de sus diagonales biseca perpendicularmente a la otra
* En la figura : es mediana del trapecio
Y
//
Y TEOREMA 2 En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralelo a sus bases y su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de sus bases.
* En la figura : * P y Q son puntos medios de
Y Y 3.
TRAPEZOIDE Es el cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos ni características especiales
*
y BM = MD
* : Diagonal de simetría *El trapezoide simétrico se denomina también cuadrilátero bisósceles TEOREMA En todo cuadrilátero al unir en forma consecutiva, los puntos medios de sus lados se detemina un paralelogramo
Si : M, N, L y S son puntos medios
Y
~ MNLS : Paralelogramo
OBSERVACIÓN : El perímetro del paralelogramo es igual a la suma de las medidas de las diagonales del cuadrilátero ABCD. 2P(MNLS) = AC+BD
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. De las siguientes proposiciones indicar (V) verdadero o (F) falso: ( ) Si un cuadrilátero tiene sólo 2 lados paralelos entonces es un trapecio ( ) Un cuadrilátero de diagonales perpendiculares y congruentes es un cuadrado ( ) Un trapecio rectángulo es un trapecio escaleno A) VFV D) FVF
B) FFV E) FFF
se ubican los puntos M y N respectivamente tal que CN=ND y mËNBC = mËNMD. Si la distancia de B a es 10, calcular la distancia del punto medio de
A) 6 D) 4
B) 8 E) 5
C) 3
C) VFF 05. Del gráfico:
. Calcular PQ
02. Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD. Si mËBCD-mËBAD=20, calcular el mayor valor del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ËB y ËD A) 160 D) 170
B) 135 E) 100
C) 150
03. Se tiene un trapezoide ABCD, tal que : AB=CD=12; mËABD=75, mËBDC=15. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 6 D) 4,5
B) 8 E) 9
04. En un trapecio ABCD (
C) 4
) en
A) 1 D) 2
B) 1,5 E) 1,75
06. En un trapecio ABCD ( y en
C) 0,5
):
mËBAD=2(mËADC) la mediatriz de interseca en “P” a la bisectriz exterior del ËA.
Calcular PB, si PC=13 A) 12 B) 5 D) 14 E) 13
C) 15
07. Una diagonal de un trapecio isósceles mide igual que la suma de las medidas de las bases. Calcular la medida del menor ángulo que forman las diagonales A) 30 B) 60 C) 45 D) 90 E) 75 08. Desde los vértices de un romboide se trazan perpendiculares hacia una recta exterior cuya suma de longitudes es 80. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales del paralelogramo a dicha recta exterior. A) 10 B) 40 C) 35 D) 20 E) 60 09. Del gráfico adjunto : CM=MD, ABCM: Trapezoide simétrico, ABPM : Romboide. Si AB=4 , calcular PD
12. Se tiene un rectángulo ABCD, sobre la prolongación de se toma el punto “P” tal que BP = 16 m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de y . A) 2 m D) 12 m
B) 4
D) 6
E) 9
C) 8
10. En un trapecio isósceles ABCD, en se ubica el punto E, tal que ABCE es un rombo. Si BD=AD y ={F}, calcular la mËBFA A) 30 B) 24 C) 36 D) 54 E) 60
C) 8 m
13. En un trapecio ABCD ( ), si: mËC = 2mËA y CD = 14, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de dicho trapecio. A) 7 B) 3,5 C) 6,5 D) 6 E) 10,5 14. De la figura adjunta : ABCD y PQLD : Cuadrados. Calcular “x”
A) 45 D) 90
A) 4
B) 4 m E) 16 m
B) 75 E) 60
C) 120
15. En un cuadrilátero ABCD: mËABC=90, AB=BC; AD=AC y las diagonales se intersectan en el punto “M” (BM=MD). Calcular mËBAD A) 75 B) 60 C) 15 D) 30 E) 45 16. Del gráfico adjunto: ABCD : Cuadrado, LAUP: Trapecio isósceles. Calcular “x”
11. De la figura adjunta: AP = 17; DQ=12. Calcular BD, si ABCD es un cuadrado
A) 98 D) 82
B) 75 E) 85
C) 60
17. Del gráfico adjunto : ABCD es un trapecio, BN=6; MN = 2. Calcular “x”, si CM = MD
A) 17
B) 12
D) 13
E) 11
C) 13
20. Se tiene un trapecio rectángulo ABDE recto en D y E, en la prolongación de se ubica el punto “C”, tal que AB = BD, CD = 8 , mËCDB = 82 y mËBCD = 45. Calcular AE A) 12 B) 16 C) 18
A) 53 D) 53/2
B) 37 E) 37/2
D) 8
E) 20
A) 37/2 D) 45
B) 53/2 E) 30
C) 45
18. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) en y en la región exterior relativo a , se ubican los puntos M y Q respectivamente de modo que BMCQ es un rombo. Calcular AQ, si AB=8 y mËBAQ=2(mËBCQ) A) 12 B) 16 C) 10 D) 32 E) 15
19. Si ABCD es un cuadrado, EF = AB y AG = GD, calcular “x”
A) 30 D) 37
B) 15 E) 53
C) 45
TAREA 01. De la figura adjunta:
A) 6 D) 7
B) 8 E) 10
. Calcular BC
C) 12
02. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. El valor máximo entero de la mediana es: A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6 03. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD : Romboide
C) 15
04. En un rombo ABCD, las diagonales y miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura relativa a A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6 D) 6,9
E) 3
05. ABCD: Cuadrado, FM = MD. Calcular è
D)
A) 20 B) 35 D) 30 E) 36 06. En un trapezoide ABCD,
C) 22,5 biseca en “Q” a
, las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a . Calcular la mËBPC, si mËPQD = 40. A) 80 B) 40 C) 50 D) 60 E) 45 07. En un rectángulo ABCD se ubican los puntos medios P y Q de y respectivamente (R es punto medio de ). Calcular la mËQPR, si mËRAB = 48. A) 36 B) 42 C) 48 D) 32 E) 45 08. En un trapecio ABCD ( menor tal que:
);
es la base
; BC=6. Calcular DM,
siendo “M” punto medio de A) 4 B) 2 D) 4,5 E) 1,5
C) 3
09. En un triángulo escaleno ABC (AB
A) 5
B) 5
C) 4
/2
E)
/3
CIRCUNFERENCIA Se denomina circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto dado en el plano. El punto dado se llama centro y la distancia es el radio.
El interior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias al centro son menores que el radio. El exterior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias al centro son mayores que el radio. Todo punto que pertenece a la circunferencia se llamará aferente.
LÍNEAS RELACIONADAS CON LA CIRCUNFERENCIA
01. Cuerda: 02. Diámetro: 03. Arco: 04. Flecha o sagita: 05. Recta secante: 06. Recta tangente: 07. Recta exterior:
En la figura “P1” es un punto interior a la circunferencia (OP1r). Se llama círculo a la reunión de la circunferencia con su interior. Toda circunferencia queda determinada como mínimo por 3 puntos no colineales. El centro de una circunferencia queda determinado por la intersección de las mediatrices de dos de sus cuerdas.
Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanarias 01. Circunferencias exteriores:
02. Circunferencias tangentes exteriores:
En la figura las mediatrices de y se intersecan en el punto “O”, que es el centro de la circunferencia. La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante llamado “pi” (ð) ð = 3,1416 La longitud de una circunferencia cuyo radio mide “R” es 2ðR
06. Circunferencias concéntricas:
: tangente común interior 03. Circunferencias secantes:
v PROPIEDADES GENERALES
: Secante común (
z
1.
Todo gráfico es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia
2.
Los segmentos de tangente trazados desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes
)
NOTA: Las circunferencias mostradas a continuación se denominan ortogonales, se observa que los radios y son perpendiculares.
04. Circunferencias tangentes interiores:
MN = R - r NOTA: Si “O” es el centro, entonces
: Tangente común
bisectriz del ángulo APB
05. Circunferencias interiores 3.
MN < R - r
es
Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a ésta y al arco que subtiende
4.
En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes.
5.
En toda circunferencia se cumple que los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
OBSERVACIONES : 01. Tangentes a una circunferencia que forman ángulo recto
02. Si “P”, “Q” y “T” son puntos de tangencia: 03.
y
: tangentes comunes exteriores, “O”,
“Q” y “P” son colineales
04.
y
: tangentes comunes interiores, “O” “P”
y “Q” son colineales
MN = KL
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): ( ) Por un punto coplanar a una circunferencia se pueden trazar dos rectas tangentes ( ) Todas las cuerdas de igual longitud de una misma circunferencia son tangentes a otra concéntrica y cuyo radio es la distancia de las cuerdas al centro común ( ) La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los centros de las infinitas circunferencias que pasan por sus extremos ( ) Una recta y una circunferencia pueden tener más de dos puntos comunes A) VVVF B) FVVF C) FFFV D) VFVF E) VVVV 02. De la figura adjunta M, N y P: Puntos de tangencia; A, B y C: Centros. Calcular el perímetro del triángulo ABC
B) Secantes C) Tangentes exteriores D) Interiores E) Tangentes interiores 04. Si el perímetro del triángulo ABF es 8, calcular el perímetro del triángulo ACF. D; E y F son puntos de tangencia
A) 4 D) 5
B) 6 E) 9
C) 8
05. De la figura adjunta AE-CE=26. Calcular BD
A) 10 D) 7,5
B) 5 E) 12,5
C) 20
03. Los diámetros de dos circunferencias situadas en el mismo plano están en la relación de 5 a 3, y la distancia entre sus centros es como 1, tales circunferencias son: A) Exteriores
A) 12 D) 6,5
B) 13 E) 26
C) 6
06. De la figura adjunta AB=8 y BC=10. Calcular PQ, si M, N, L: Puntos de tangencia
A) 6 D) 9
B) 7 E) 7,5
C) 8
07. De la figura adjunta P, Q, L, son puntos de tangencia. Calcular PS, si AM=5; ML=3
A) r/ D) r/5
B) r/ E) r/6
C) r/4
11. De la figura adjunta calcular : “R” P; Q, L, T: Puntos de tangencia; LP=1
A) 10
B) 16
D) 8
E) 8
C) 12
08. En la figura O, P, Q y S son centros. Calcular la relación entre los perímetros de los triángulos OQS y PQO.
A) 1 D) 4/3
B) 2 E) 3
B) 3 m E) 2,5 m
B) 1,5 E) 4
C) 2
12. De la figura adjunta si O: Centro AB = 5; CD = 8, calcular á
C) 3/2
09. En el cuadrante AOB calcular “r”, si OH = 6 m, EF= 1 m
A) 2 m D) 3,5 m
A) 3 D) 3,5
C) 4 m
10. Calcular el máximo valor del radio de la circunferencia pequeña en función de “r”
A) 74 D) 37
B) 36 E) 53
C) 60
13. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, si los radios de las circunferencias ex-inscritas relativas a los catetos miden 6 y 8? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 14. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide, cuyas alturas miden 8 y 10. Calcular la longitud de la cuerda determinado en la circunferencia por el cuarto lado A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, si el inradio mide 1 y su ex-radio relativo a la hipotenusa mide 6 ? A) 3 B) 5 C) 6 D) 2,5 E) 7,5
16. En la figura: y son diámetros. Si DE = 4 y EF= 1, calcular AD
A) 10 D) 7
B) 5 E) 9
C) 8
17. De la figura adjunta calcular “x”, si M, N y P son puntos de tangencia.
19. Los radios de dos circunferencias secantes miden 6 y 8. Los tangentes de ambas circunferencias en uno de los puntos de contacto son perpendiculares entre sí. Calcular la distancia entre los centros. A) 5 B) 20 C) 2 D) 10 E) 14 20. En un cuadrante AOB, está inscrita una circunferencia cuyo radio mide 4. Calcular la medida del radio del cuadrante. A) 4 B) 2 +2 C) 1 D) 4
+4
E) 8(
- 1)
A) 18 B) 36 C) 30 D) 27 E) 37 18. De la figura adjunta calcular “x”, si P, Q y T son puntos de tangencia.
A) 60 D) 45
B) 53 E) 75
C) 37
TAREA 01. En el paralelogramo ABCD mostrado la mËC = 50. Calcular mËODO1 (O y O1 son centros)
A) 100 D) 75 A) 50 D) 40
B) 65 E) 55
C) 70
02. En el gráfico : “O” y “O1” son centros; “A” y “B” son puntos de tangencia. Calcular “x”
B) 120 E) 105
03. En el gráfico indicar lo correcto :
C) 90
A) 6 D) 9 A) a+c=d+b D) a-b=c-d
B) a-c=d-b C) a+b=c+d E) a+d=2(b+c)
B) 7 E) 7,5
C) 8
08. Si : á + â = 200°, calcular “x”, P, Q, R y S son puntos de tangencia. (A y B son centros)
04. En la figura calcular “x”, si P; Q; R; S son puntos de tangencia
A) 2y+z
B)
D) y - z
E) 2y - z
C) y+z
05. Se tiene una circunferencia de radio 6, inscrita en un cuadrante AOB (“O” es centro).
es
tangente en “P” a la circunferencia, la recta tangente en “P” corta en “Q” a la prolongación de . Calcular BQ A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 6 06. Calcular “x” siendo ABCD un cuadrado (O es centro)
A) 20 D) 22
B) 18 E) 22,5
07. En el gráfico “O”: Centro
C) 15
; BE=3; EH=2.
Calcular AE
09. De la figura adjunta : BM+CD=10; AP = QD; calcular AB+NC
A) 40 D) 20
B) 30 E) 25
C) 45
A) 20 D) 10
B) 15 E) 5
C) 8
10. El inradio de un triángulo rectángulo ABC recto en B mide 1 y el exradio relativo a mide 7. Calcular la medida del ángulo que forman con “I” : Incentro : “Ea” : Excentro A) 53 B) 37 D) 45 E) 75
C) 60
ÁNGULOS RELACIONADOS EN LA CIRCUNFERENCIA ÁNGULO CENTRAL: ËAOB Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. La medida en grados de un arco menor es igual a la medida del ángulo central correspondiente. En la figura: m
á=
= m ËAOB = á.
“T” es punto de tangencia á=è ÁNGULO INTERIOR: ËAPB
Sea C una circunferecia y sean A y B los extremos de un diámetro. Una semicircunferencia
es la
á=
reunión de A, B y los puntos de C que están en un semiplano dado de arista . Los puntos A y B son los puntos extremos de la semicircunferencia.
La medida en grados de una semicircunferencia es 180 .
ÁNGULO EXTERIOR: ËAPB Primer caso:
= 180
ÁNGULO INSCRITO: ËABC á=
á=
Segundo caso: ÁNGULO SEMINSCRITO: ËATB
á=
Tercer caso: 05. Para dos circunferencias tangentes exteriores.
á + è = 180
PROPIEDADES ADICIONALES 01. Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
06. Si “T” es punto de tangencia.
02. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.
07. Si “P” y “T” son puntos de tangencia. á = â = ... = è
á=â 03. Si “T” es punto de tangencia:
á =è 08. Si “P” y “T” son puntos de tangencia.
04. Para dos circunferencias tangentes interiores.
á=â
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si “O” es centro y la m
A) 45 D) 60
=100, calcular “x”
B) 50 E) 65
C) 55
A) 2 D) 4
B) 2,5 E) 5
06. En la figura mostrada:
02. Del gráfico mostrado calcular “á”
C) 6
=a y
=b.
Calcular “x”
A) 100 D) 135
B) 105 E) 150
C) 120
03. Si P y Q son puntos de tangencia, calcular “x”
A) (a+b)/2
B) (a+b)/3
D)
E)
C) (a+b)/4
07. En el gráfico se tiene que : P, Q y S son puntos de tangencia y
A) 45 D) 63
B) 60 E) 67,5
. Calcular la
C) 75
04. Del gráfico calcular “x”, siendo A y B puntos de tangencia y
=120
A) 55 D) 85 08. Si la m A) 80 D) 30
B) 60 E) 50
C) 40
05. Del gráfico calcular “R”, si DE = 8
B) 65 E) 70 = 70, calcular la m
C) 75
A) 55 D) 75
B) 60 E) 40
C) 70 A) 75 D) 70
09. Si M y N son puntos de tangencia y m
B) 60 E) 80
C) 45
=160, 12. En la figura: “P” es punto de tangencia, ED=DP y
calcular “x”
=100. Calcular “x”
A) 80 D) 130
B) 100 E) 110
C) 120 A) 20 D) 55
10. En el gráfico: “B” es punto de tangencia. Calcular “x”, si : m
A) 20 D) 15
B) 40 E) 65
C) 50
13. En la figura AB = 5; BC = 4; BE = 3. Calcular CD
=40, AO = OB
B) 10 E) 25
11. Si T es punto de tangencia, calcular “x”
A) 5 D) 8
C) 5
,
=30,
B) 6 E) 9
C) 7
14. De la figura calcular el valor de “x”, si A, B, C y D son puntos de tangencia.
A) 80 D) 120
A) 50 D) 30
B) 40 E) 60
C) 45
B) 160 E) 140
C) 100
18. Calcular “x”, si P y Q son puntos de tangencia
15. En la figura T y S son puntos de tangencia. Calcular “x”, si m
= 80 y m
= 40.
A) 40 D) 80 19. Si
B) 50 E) 90 : Diámetro, m
C) 100
=90; AP=3; PQ=5,
calcular QB A) 20 D) 40
B) 30 E) 50
C) 35
16. Si ABCD es un cuadrado, calcular la m
. A) 3 D) 3
B) 4 E) 4
C) 5
20. En un cuadrado ABCD la circunferencia inscrita es tangente en M, L, F y Q a , y N 0
) , 1
A) 45 D) 37
B) 30 E) 60
respectivamente. Se traza
= {P},
. Calcular la medida
C) 53
17. De la figura calcular el valor de “x”.
del ángulo determinado por
y
A) 53 D) 90
C) 75
B) 60 E) 45
.
, (
TAREA 01. De la figura calcular “x”
D) 6
E) 2
06. De la figura calcular el valor de “x”.
A) 100 D) 150
B) 120 E) 160
C) 140
02. En la figura el triángulo ABC es equilátero, P y A son puntos de tangencia. Calcular la m
.
A) 30 D) 45
B) 60 E) 53
C) 15
07. En una circunferencia de centro “O”, se trazan el diámetro y la cuerda que se intersecan en P y 3m
=m
. Calcular PC, si AP = 2 y
AB = 10. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2,5 E) 6 08. Si “O” es centro de la semicircunferencia; M y N son puntos de tangencia, calcular á A) 30 D) 75
B) 60 E) 40
C) 45
03. En el gráfico los puntos P, Q, R y L son puntos de tangencia. Calcular el valor de “x”.
A) 100° D) 105°
B) 120° E) 160°
C) 135°
09. De la figura calcular el valor de “x”, si la A) 45 D) 37
B) 53 E) 75
C) 60
mËACB= 113,
;
;
y
son rectas
tangentes (A, B y D son puntos de tangencia) 04. Si m
A) 20 D) 40
= 40, hallar m
B) 80 E) 50
C) 10
05. En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares ; BC = 8. Calcular la distancia del centro a A) 8 B) 4
C) 5
A) 20 D) 23
B) 21 E) 24
C) 22
10. Calcular è, si A, B, C, D y E son puntos de tangencia.
A) 15 D) 30
B) 20 E) 36
C) 22,5
CUADRILÁTERO INSCRITO TEOREMAS DE PONCELET - PITOT Y STEINER CUADRILÁTERO INSCRITO Es aquel cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia, también se le llama cuadrilátero cíclico.
3) Un ángulo interior es congruente con el opuesto exterior
En este cuadrilátero las mediatrices de sus cuatro lados concurren en el centro de la circunferencia. PROPIEDADES 1) Los ángulos opuestos son suplementarios CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es el que se puede inscribir en una circunferencia, para que esto suceda dicho cuadrilátero deberá cumplir cualquiera de las propiedades que se cumplen en el cuadrilátero inscrito. Ejemplos: 2) Las diagonales forman ángulos congruentes con los lados opuestos
“O” : Circuncentro del ÄABC : Circunradio del ÄABC
PROPIEDAD Para dos circunferencias secantes
Del gráfico, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro “O” CIRCUNFERENCIA EX-INSCRITA A UN TRIÁNGULO Es aquella circunferencia tangente a uno de los lados del triángulo, al cual es relativa, y tangente a las prolongaciones de los otros dos. En este caso el centro de la circunferencia es el excentro del triángulo y su radio es uno de los exradios del triángulo.
CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIÁNGULO Es aquella circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. En la figura : el triángulo está circunscrito a la circunferencia. POLÍGONO CIRCUNSCRITO Un polígono está circunscrito a una circunferencia, si cada lado del polígono es tangente a la circunferencia. En este caso se dice que la circunferencia está inscrita en el polígono, y a su correspondiente radio se le denomina inradio. p : Semiperímetro BP = BR = pABC - AC AP = AQ = pABC - BC CR = CQ = pABC - AB “O”: Incentro del ÄABC : Inradio del ÄABC CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL TRIÁNGULO Es aquella circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
En la figura se muestran un pentágono y un triángulo circunscritos, “R” y “r” son los inradios correspondientes. TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa más el doble del inradio.
“r”: inradio del triángulo ABC
TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.
Se llama cuadrilátero circunscriptible al cuadrilátero que se puede circunscribir a una circunferencia, para que esto suceda los lados de dicho cuadrilátero deben cumplir con el Teorema de Pitot. CUADRILÁTERO EX-INSCRITO Un cuadrilátero se dice que está ex-inscrito a una circunferencia, si las prolongaciones de sus cuatro lados son tangentes a dicha circunferencia. En todo cuadrilátero ex-inscrito se cumple que la diferencia de las medidas de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las medidas de los otros dos lados (Teorema de Steiner)
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En un triángulo ABC, recto en B, mËBAC=37 y BC=12. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
02. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia. Los lados no paralelos miden 3 y 5. Calcular la medida de la base mayor. A) 9 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
03. En la figura BC = 3, CD = 2 y AD = 5. Calcular el inradio del triángulo ABC
A) 0,5 D) 2
B) 1 E) 2/3
C) 1,5
04. De la figura adjunta: CN=MN. Calcular BC, si a+2b=8
D) 15
E) 20
09. Calcular “x”, si
es diámetro y m
= 80
y PM = MQ
A) 16 D) 10
B) 4 E) 6
C) 8
05. En la figura: r=1; R=3. Calcular BE A) 20 D) 50
B) 40 E) 60
C) 30
10. Calcular “x”, si I es incentro del triángulo ABC.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
06. Del gráfico calcular “x” A) 15 D) 8
A) 60 D) 85
B) 70 E) 95
C) 80
B) 18,5 E) 10,5
C) 26,5
11. En el gráfico las circunferencias están inscritas en los triángulos ABC y BLC. Si BQ = 8 y PL = 2, calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC
07. Calcular “x”, si á + â = 250
A) 5 D) 10 A) 40 D) 70
B) 50 E) 80
C) 60
08. En la figura: AC = AD y CM = MD. Calcular “w”
B) 6 E) 4
C) 3
12. En un trapezoide ABCD circunscriptible; AB=7; BC=1; mËCAD=30; mËADC=90. Calcular la medida del inradio del triángulo ACD A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD, si mËABC=90, mËBAD=53, BC=6, CD=5 y AD=11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 14. Se tiene un cuadrilátero el cual es circunscriptible y ex-inscriptible a la vez. Entonces el cuadrilátero es :
A) 5
B) 10
C) 12
A) Trapezoide simétrico B) Cuadrado C) Rombo D) Romboide E) Trapecio isósceles 15. En la figura m
= 110. Calcular “x”
A) 6 D) 7,5
B) 8 E) 10
C) 9
20. De la figura calcular el valor de “x”. A) 70 D) 60
B) 35 E) 65
C) 55
16. Según el gráfico, calcular el valor de “x”
A) 10 D) 50 17. Si la m
A) 40 D) 25
B) 15 E) 75
C) 25
= 40, calcular á
B) 50 E) 35
C) 20
18. En la figura son diámetros y “D” es punto de tangencia . Calcular è
A) 10 D) 25
B) 20 E) 35
C) 15
19. En el gráfico: EF=12. Calcular la medida del inradio del triángulo ABC
A) 20 D) 50
B) 40 E) 60
C) 30
TAREA 01. Siendo M, N, P, Q, S y T puntos de tangencia, BM= PQ y BS = 9, calcular la medida del inradio del triángulo ABC
A) 9 D) 8
B) 4,5 E) 3
C) 6
02. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia de centro “O”, tal que la mËB=90; AD=OC=13 y AB+CD=30. Si “M” es el punto de tangencia con , calcular la medida del inradio del triángulo OMC A) 1 D) 4
B) 2 E) 2,5
C) 3
03. Un trapecio escaleno de perímetro 40, está circunscrito a una circunferencia. Si la distancia entre los puntos medios de sus diagonales es 3, calcular la longitud de la base mayor. A) 10 B) 11 C) 13 D) 12 E) 14 04. En la figura mostrada calcular “x”, si : m
=m
A) 20 D) 80
y mËOCD = 80
B) 60 E) 40
05. En la figura calcular è
C) 30
A) 18 D) 24
B) 15 E) 36
C) 10
06. En un octógono circunscrito a una circunferencia, sus lados consecutivos miden 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Calcular la longitud del último lado A) 3 B) 4 C) 8 D) 6 E) 5 07. En un ÄABC, recto en B, la circunferencia inscrita es tangente a en “P”, se traza la altura . Calcular , si los inradios de los triángulos AHB y BHC son 2 y 5 respectivamente A) 1,5 B) 2,5 C) 3 D)
E)
08. Dado un triángulo equilátero ABD exteriormente se construye el triángulo BCD. Si mËACB = 30, mËDAC = 18, calcular la mËBDC A) 84 B) 96 C) 48 D) 76 E) 54 09. En la figura: MF = 4, MN = 6 y NL = 10. Calcular FL.
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
10. En la figura: T es punto de tangencia. Calcular “x”, si m
=è
A) è
B)
D) 15 +
E) 90 -
C) 45 -
PUNTOS NOTABLES - RECTA DE EULER ORTOCENTRO (H) Es el punto donde concurren las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones. El ortocentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo.
G : Baricentro Se cumple:
AG = 2GM BG = 2GN CG= 2GL
INCENTRO (I) H : Ortocentro
H : Ortocentro
Es el punto donde concurren las tres bisectrices interiores. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita y equidista de los lados del triángulo
EXCENTRO (E) Es el punto donde concurren las bisectrices de dos ángulos exteriores de un triángulo y la bisectriz del tercer ángulo interior. El excentro es el centro de la circunferencia ex inscrita y equidista de los lados. Todo triángulo tiene tres excentros.
H : Ortocentro BARICENTRO (G) Es el punto donde concurren las tres medianas de un triángulo. Ea: Excentro relativo a
ra: Exradio CIRCUNCENTRO (O) Es el punto donde concurren las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y equidista de los vértices. El circuncentro está ubicado en el interior de un triángulo acutángulo, en el exterior de un triángulo obtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
O: Circuncentro R: Circunradio
TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL El triángulo órtico o pedal se obtiene al unir los pies de las alturas de un triángulo oblicuángulo. El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo pedal y cada vértice del triángulo acutángulo es excentro del triángulo pedal.
O: Circuncentro TRIÁNGULO MEDIANO O COMPLEMENTARIO El triángulo mediano o complementario se obtiene al unir los puntos medios de los lados de un triángulo. El baricentro de un triángulo es a la vez baricentro de su triángulo mediano. El circuncentro de un triángulo es a la vez ortocentro de su triángulo mediano.
OBSERVACIÓN: A, B y C son excentros del triángulo LFE
TRIÁNGULO EX - INCENTRAL El triángulo ex-incentral se determina al unir los excentros de un triángulo. El incentro de un triángulo es a la vez ortocentro de su triángulo ex-incentral.
B)
ÄEaEbEc: Ä Ex-incentral I: Incentro del ÄABC I: Ortocentro del ÄEaEbEc RECTA DE EULER En todo triángulo no equilátero se cumple que el ortocentro, baricentro y el circuncentro están contenidos en una misma recta llamada la Recta de Euler.
Se cumple: HG = 2(GO) HB = 2(OM) HA = 2(ON) OBSERVACIÓN: A) Si AB = BC
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. De la figura adjunta: H : Ortocentro ÄABC O : Circuncentro ÄABC Si HB = 8, calcular OM
punto notable es “O” de su triángulo mediano? A) Baricentro B) Excentro C) Cevacentro D) Ortocentro E) Incentro 08. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura (H 0 ). Si “O” es el circuncentro del triángulo y mËABH = 29, calcular la mËOBC A) 61 D) 29
A) 4 D) 6 02. La altura (Q 0
B) 5 E) 7,5
C) 2
de un triángulo acutángulo ABC ) mide 27. Calcular la distancia del
circuncentro del triángulo al lado , si la recta de Euler es paralela a este lado A) 9 B) 13,5 C) 7,5 D) 18 E) 12
B) 58 E) 97
C) 14,5
09. En un triángulo acutángulo ABC, mËB mËC=40. Siendo “I” el incentro y “O” el circuncentro del triángulo. Se pide calcular mËIAO A) 10 D) 30
B) 15 E) 20
C) 25
10. De la figura adjunta : H : Ortocentro ÄABC O : Circuncentro ÄABC Calcular “x”
03. La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo es 270. Si el lado mayor mide 36, calcular la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo. A) 15 B) 12 C) 9 D) 18 E) 6 04. Calcular è, si: ABCD: Romboide, C:Excentro ÄABD A) 45 D) 60
A) 150 D) 120
B) 154 E) 160
C) 100
B) 90 E) 75
C) 120
11. De la figura adjunta calcular è, si : I : Incentro ÄABC H : Ortocentro ÄABC
05. Se considera el triángulo acutángulo ABC de ortocentro “H” y circuncentro “O”. Calcular mËHBO, si : mËA - mËC = 30 A) 30 B) 10 C) 20 D) 15 E) 25 06. La distancia “x” del baricentro al circuncentro de un triángulo acutángulo se obtiene resolviendo la 2 ecuación : x + 10x = 0. Si una de las alturas mide 18, calcular la distancia del ortocentro a un lado A) 6 D) 5
B) 2 E) 6
C) 9
07. En un triángulo ABC, de circuncentro “O”, ¿qué
A) 10 B) 15 C) 32 D) 18 E) 24 12. De la figura adjunta. E : Excentro 2DE = CD. Calcular mËBAC
ÄABC,
D) 45
E) 65
16. En el triángulo acutángulo ABC: “H” es el ortocentro y “O” el circuncentro. Si BH = BO y mËHBO = mËOBC, calcular la mËA A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
A) 37 D) 69
B) 75 E) 79
C) 74
13. Se tiene un triángulo ABC, recto en B, se trazan la altura y luego las bisectrices (P y Q0 ) de los ËABH y ËHBC. ¿Qué punto notable para el triángulo PBQ es el incentro del triángulo ABC? A) Excentro B) Ortocentro C) Baricentro D) Incentro E) Circuncentro 14. De la figura adjunta : P ! Incentro ÄAHB Q ! Incentro ÄBHC I ! Incentro ÄABC ¿Qué punto notable es “I” del ÄPBQ?
A) Cevacentro C) Baricentro E) Circuncentro
B) Incentro D) Ortocentro
15. De la figura adjunta : E : Circuncentro ÄABC, ABCD: Cuadrado, E y T: Puntos de tangencia. Calcular è
A) 60
B) 75
C) 70
17. Calcular la medida del ángulo B de un triángulo acutángulo ABC, si el cuadrilátero AIOC es inscriptible; siendo “I” el incentro y “O” el circuncentro de dicho triángulo A) 53 D) 30
B) 60 E) 75
C) 45
18. ¿Qué tipo de triángulo es aquel en el cual a la circunferencia que contiene a 2 vértices y al incentro de dicho triángulo es tangente a uno de los lados, en uno de dichos vértices? A) Rectángulo C) Obtusángulo E) Acutángulo
B) Equilátero D) Isósceles
19. De la figura adjunta, O : Ortocentro del triángulo equilátero ABC. Calcular è
A) 15 D) 22,5
B) 30 E) 26,5
C) 18,5
20. De la figura adjunta : H : Ortocentro ÄABC O : Circuncentro ÄABC Calcular è, si O y T: Puntos de tangencia
A) 26,5 D) 45
B) 30 E) 63,5
C) 50
TAREA 01. Calcular la medida del menor ángulo del triángulo exincentral, correspondiente a un triángulo rectángulo notable de 30 y 60 A) 30 B) 15 C) 60 D) 75 E) 45 02. Dos ángulos de un triángulo miden 60 y 70. Calcular la medida del menor ángulo de su triángulo mediano A) 30 B) 50 C) 70 D) 60 E) 35 03. De la figura adjunta O : circuncentro, ÄABC. Calcular “è”
A) incentro C) ortocentro E) excentro
B) baricentro D) circuncentro
06. Dado un cuadrilátero ABEC, calcular la diferencia entre las medidas de los ángulos determinados por las diagonales, si la diferencia entre las medidas de los ángulos BEA y CEA es 10 y E : Excentro del triángulo ABC
A) 65 D) 55
B) 50 E) 60
C) 45
A) 5 D) 20
B) 10 E) 15
C) 25
07. Calcular “x + y” del gráfico mostrado 04. De la figura adjunta: H : Ortocentro ÄABC O : Circuncentro ÄABC AF = 2FC = 2HB. Calcular : mËFOC
A) 180 D) 270
B) 210 E) 300
C) 240
08. De la figura calcular el valor de “x”, si E1 : Excentro del triángulo ABD, E2 : Excentro del triángulo BDC A) 18,5 D) 26,5
B) 22,5 E) 30
C) 45
05. En la figura el incentro del triángulo ABC es el .............. del triángulo DBE
A) 8 D) 14
B) 10 E) 9
C) 12
09. En un triángulo ABC, se cumple que: mËEIC - mËIEC = 36 Donde I es el incentro y E es el excentro relativo al lado . Calcular la mËABC A) 46 B) 50 C) 54 D) 62 E) 68 10. En la figura BC = 5
A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
y AP = 5. Calcular “PC”
C) 11
PROPORCIONALIDAD La historia nos dice : ... “Y por los años 585 a. de J.C., estando Tales en Egipto entró en contacto con los sacerdotes de esta notable Cultura , quienes quedaron maravillados de su talento cuando calculó la altura de una pirámide comparando la longitud de su sombra (ver figura adjunta), con la sombra de una pértiga P de altura conocida, lo que supone saber la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos semejantes, que es al fin y al cabo el teorema que lleva su nombre”... Este breve pasaje de la historia de la Geometría nos hace ver la importancia de la proporcionalidad no sólo como medio para resolver problemas de carácter abstracto, sino, como un instrumento poderoso para resolver problemas de la vida cotidiana.
medidas, forman la siguiente proporción : tanto los segmentos los segmentos proporción:
por
son proporcionales a formándose con ellos la
RECUERDA QUE: Dos cantidades son directamente proporcionales cuando la variación de una de ellas origina la variación del mismo orden y sentido de la otra, además si “a” es directamente proporcional a “b”, entonces: a = kb, donde k se denomina constante de proporcionalidad. DIVISIÓN ARMÓNICA Se dice que dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento dado cuando se verifica la relación :
RAZÓN DE DOS SEGMENTOS Se llama razón de dos segmentos al cociente que se obtiene al dividir sus correspondientes medidas expresadas en la misma unidad. Así, si en la figura el segmento mide 6 m y el segmento mide 2 m, entonces la razón de dichos segmentos será: Donde el punto C está en el interior del segmento y D en su prolongación tal como se presenta en la figura. Los puntos C y D se llaman conjugados armónicos respecto de A y B y viceversa. Los cuatro puntos A, B, C, D, se dice que forman una cuaterna armónica. Además se cumplen las siguientes relaciones: SEGMENTOS PROPORCIONALES Dos segmentos rectilíneos son proporcionales a otros dos cuando lo son sus correspondientes valores numéricos. Por ejemplo: sean AB = 3 m, BC = 5 m, CD = 6 m y DE = 10 m. Estos números que expresan sus
................. (Relación de Descartes) 2
(OC) = OD. OB
................. (Relación de Newton)
Siendo O el punto medio de MNEMOTECNIA Una forma de recordar la relación : Que se cumple cuando los puntos A, B, C y D forman una cuaterna armónica, es nombrando a los segmentos por : ro do ro to AB = 1 , BC = 2 , CD = 3 y AD = 4 tomamos de izquierda a derecha (pudiendo tomarse en sentido contrario) de esta forma de escribirá PRIMEROS TEOREMAS DE LA BISECTRIZ TEOREMA DE TALES “Tres o más paralelas determinan sobre dos o más secantes segmentos proporcionales” En la figura, las rectas L1 y L2 y L 3 son paralelas y las rectas m y n son secantes, luego se cumple que :
“En todo triángulo se cumple que los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz interior (exterior) son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto” En la figura (A), es bisectriz interior, luego se cumple que :
En la figura (B),
Corolario : “Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los dos o a sus prolongaciones, los divide en partes directamente proporcionales”. Sea el ÄABC y Sea además
una paralela al lado paralelo a
están en las prolongaciones de Luego se cumple que :
.
(P y Q) .
MNEMOTECNIA
es bisectriz exterior, y se verifica :
El teorema de la bisectriz interior puede ser fácilmente memorizada por la siguiente figura :
TEOREMA DEL INCENTRO Y BARICENTRO TEOREMA DEL INCENTRO “En todo triángulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos segmentos que son proporcionales; el que une el vértice con el incentro es a la suma de los lados que concurren con la bisectriz como el que une el incentro con el lado opuesto es a este” En la figura I es el incentro del ÄABC y es una bisectriz interior de él, de modo que se visualizan los segmentos BI e ID, verificándose la siguiente proporción:
“Si en un triángulo se cumple que el segmento que une el baricentro con el incentro es paralelo a un lado entonces dicho lado será igual a la semisuma de los otros dos lados”.
Los puntos I y G representan al incentro y baricentro respectivamente del ÄABC. Así pues, si IG // AC, se cumplirá que :
(á)
OBSERVACIÓN : El teorema recíproco al teorema del incentro y baricentro se cumple, es decir: Si se verifica la relación (á) entonces . También se comprueba que el único triángulo rectángulo que cumple con esta característica es aquel cuyos lados, son proporcionales a 3; 4 y 5
ABC:
ATENCIÓN Si los lados de un triángulo forman una progresión aritmética, entonces en dicho triángulo, el segmento que une el incentro con el baricentro será paralelo al lado cuyo valor es medio respecto a los otros
Ya que : AB + BC > AC ! BI > ID
TEOREMAS DE MENELAO Y CEVA
¡OJO! Respecto al teorema del incentro (I) de un triángulo
Teorema de Menelao : “Una recta secante a un triángulo determina sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes”.
En la figura, la línea L es una recta secante al ÄABC; donde P, Q y R son los puntos de intersección de L con AB, BC y la prolongación de AC respectivamente; luego según el teorema se cumplirá que :
AP. BQ . CL = PB . QC . AL INTERESANTE El teorema recíproco al de Menelao es válido, es decir : “Si sobre los lados , de un triángulo ABC (ver figura), se consideran los puntos P, Q y L tal que : AP.BQ.CL = PB.QC. AL; entonces P, Q y L estarán en línea recta”
Teorema de Ceva : “Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes” Sean
las
cevianas concurrentes trazadas en el ÄABC. Entonces se verificará la siguiente relación : AM . BN. CL = BM . NC . AL
DEBES SABER QUE v Si en un problema dado se mencionan tres cevianas concurrentes entonces, es probable que su solución sea a partir del teorema de Ceva. v El teorema recíproco al de Ceva es igualmente válido, es decir: “Si sobre los lados de una ÄABC (ver figura) se consideran los puntos M, N, y L respectivamente, de modo que: AM.BN.CL = MB. NC.AL, entonces las cevianas serán concurrentes”
HAZ ARMÓNICO Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos colineales y consecutivos formando una cuaterna armónica En la figura si los puntos A, B, C y D forman una cuaterna armónica, entonces las rectas forman un haz armónico. En el punto O se llama Centro del haz y las rectas se dice que son conjugados armónicos respecto a las rectas
y viceversa
Corolario: “En todo triángulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo vértice determinan un haz armónico”. Sean bisectrices interior y exterior respectivamente del Ä ABC. Luego los lados y las bisectrices forman un haz armónico. Para demostrarlo, bastará demostrar que los puntos A, D, C y E forman una cuaterna armónica y esto ocurrirá si y sólo si:
De los teoremas de la bisectriz:
luego de (1) y (2)
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En la figura L1 // L2 // L3 AC=8; DF=12; EF-AB=1. Calcular DE
A) 2 D) 4,5 A) 9 D) 4
B) 2 E) 3
02. En la figura calcular EC si: AD=4; DE=1
C) 6
B) 3 E) 1,25
C) 3,5
03. En la figura “G” es baricentro del triángulo ABC. Calcular “x”
09. En un triángulo ABC;
, si :
mËACB = mËABC+90, calcular mËABC A) 53 B) 30 C) 60 D) 45 E) 37 10. En la figura
A) 14 D) 8
B) 10 E) 15
. Calcular “x”
C) 9
04. En la figura, calcular “x”
A) 4 D) 6
A) 5 D) 6
B) 4 E) 3
11. Del gráfico mostrado ID =
C) 2
05. En un triángulo ABC, AB = 20, BC = 10 y AC = 21, se trazan la bisectriz interior y exterior . Calcular DE A) 21 B) 25 D) 27 E) 28
que mËABD=90, mËDBC=45°; Calcular mËACB A) 26,5 B) 37 D) 8 E) 15
.
C) 30
, sea “I” incentro del
triángulo ABC. Si ID= A) 24
B) 18
D) 35
E) 35
y el perímetro del
triángulo ABC es 20 m (I es incentro). Calcular BD.
tal
07. En un triángulo ABC, recto en “B”, la bisectriz mide
C) 5
C) 26
06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana
interior
B) 3 E) 7
. calcular AC C) 36
A) 3 m B) 5 m C) 7 m D) 6 m E) 4 m 12. En un ÄABC : AB=8, BC = 6 y AC = 7. Las bisectrices interior y exterior del ángulo B intersecan a y a su prolongación en los puntos E y F, respectivamente. Calcular “EF” A) 20 B) 24 C) 18 D) 22 E) 26 13. En un triángulo ABC, la mediatriz de “D” a AP=16;
08. En la figura, calcular “x”
A) 3 D) 8
corta en
y en “P” a la prolongación de . Calcular BP B) 4 E) 1
C) 2
14. Si : NB = 2, AM = 3 y MP = 9. Calcular NP (P y T puntos de tangencia)
A) 2 D) 1
B) 3 E) 5
C) 4
;
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
A) ab/(a+b)
C) 6
D)
B) 2a+b
C)
2
E) (a-b) / (a+b)
15. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73; mËC=39. Calcular IB si AB=C, BC=a, AC=b A)
B)
D)
E)
C)
16. En la figura, calcular mËPQL
A) 90 D) 4á
B) 80 E) 90 - á
C) 60
17. En la figura AB = 10, BC = 4 y MP = 6. Calcular PN (M y N son centros)
A) 3 D) 2,8
B) 3,1 E) 2,4
C) 3,4
18. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales interseca a y en los puntos “P y Q” respectivamente. Calcular AP, si PB=9, CQ=3, QD=6 A) 3 B) 4 C) 4,5 D) 5,4 E) 6,2
19. En la figura “O” es centro DE=EF; m
=m
;
BC=a; CD=b. Calcular AB
20. En un triángulo ABC se trazan la mediana
y
la bisectriz
que se intersecan en P. Si
AB=
y AM=6AP, calcular BC
A) 10
B)
D) 20
E)
C) 15
TAREA 01.
, AB = 1; MN = BC = 2, CD = 3 y RS = 2(AP). Calcular PQ
A) 4 D) 6
A) 18 D) 12
B) 15 E) 20
C) 16
B) 3 E) 5
C) 2
05. De la figura (AB)(BE) = 144, 3AB = 4AC. Calcular BC
02. De la figura calcular AD, si FC = 3, CR = 10 y AR=4
A) 1,5 D) 1,4
B) 1,3 E) 1,6
C) 1,2
03. Si : , AB = 11, BC = 7, AE = EF y BP = 14, calcular PF
A) 8 D) 10 04. Si AB
B) 6 E) 16
C) 5
, BC = 2 y CD = 6, calcular
A) 15 D) 18 06. Si : 3
A) 2,4 D) 4,8
B) 16 E) 14
C) 21
, calcular CD, AB = 5 y BC =
B) 2 E) 3,2
07. Calcular “x”, si 3AB = 4AC
C) 3,4
09. Si: AB = BC, AP=3PQ, BQ=5, calcular QC
A) 30 D) 45
B) 60 E) 37
08. Si:
y CQ //
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 53
A) 5 D) 15
, halle “x”
B) 6 E) 8
C) 10
10. ABCD es trapecio isósceles. Calcular “x”
C) 3
A) 6 D) 10
B) 8 E) 12
C) 9
SEMEJANZA TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, es decir, los ángulos de uno son congruentes con los ángulos del otro respectivamente y sus segmentos homólogos son proporcionales. Son lados homólogos aquellos que se oponen en uno y otro triángulo a los ángulos que son respectivamente congruentes, así como también las líneas notables que parten de los vértices de estos ángulos. Son homólogos también los radios de las circunferencias inscritas, circunscritas, ex - inscritas, etc.
Y
Donde k : razón de semejanza
CASOS DE SEMEJANZA PRIMER CASO Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del primero son congruentes a dos ángulos del segundo.
~
: Se lee “Semejante a” Y
Si ÄABC ~ ÄDEF
1. SEGUNDO CASO Dos triángulos son semejantes si dos lados del primero son proporcionales a dos lados del segundo y los ángulos formados por dichos lados son congruentes
Si :
Y
TERCER CASO Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primero son proporcionales a los lados del segundo.
Corolario :
2. OBSERVACIÓN : 1.
Si : Y ÄABC ~ ÄPBQ
En el trapecio : 2. Y
Si :
son alturas
Y ÄNBM ~ ÄABC
PROPIEDADES
3.
Cálculo de una medida del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo, si uno de los lados del cuadrado descansa en la base del triángulo
Si A y B son puntos de tangencia y P 0 Y Y
6.
En todo triángulo el producto de las medidas de dos lados es igual al producto de las medidas del diámetro de la circunferencia circunscrita y la altura relativa al tercer lado.
OBSERVACIÓN :
Y
R : Circunradio Y
4.
Si :
: ceviana y mËBAC = mËDBC Y
5.
OBSERVACIÓN :
Y
ac = 2R.h
7.
Si “T” es punto de tangencia,
es secante
Y OBSERVACIÓN : Si “T” es punto de tangencia Y
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si los lados de un triángulo miden 15; 18 y 24 y el lado menor de un triángulo semejante al primero mide 6, calcular la medida del lado mayor del último triángulo A) 9,8 D) 8,8
B) 9,6 E) 9,5
C) 8,5
02. En el gráfico, calcular la longitud del lado del menor cuadrado A) 2 D) 4
B) 2,5 E) 5
03. En la figura calcular “x”
C) 3
D) 4
E) 2
08. En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la mediana . Calcular BM, si mËMBC = mËA + mËC
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
A) 8
B) 12
D) 8
E) 4
C) 8
09. Si PQRS es un romboide, PQ = 2 , QB = 3, SH = 1, calcular “AP”
04. En la figura calcular “x”
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10 A) 1 D) 1,5
05. Calcular “x”, si ABCD : romboide
B) 2 E) 4
C) 2,5
10. Se tiene un rombo ABCD cuyo perímetro es 84, se toma M punto medio de tal que se intersecta en P, Calcular PQ A) 12 D) 5 A) 2 D) 1
B) 4 E)
C) 3
B) 6 E) 7
se intersectan en Q.
C) 10
11. Si : AB = 9 y CD = 16, calcular PQ
06. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de sus diagonales interseca a y en los puntos P y Q respectivamente. Calcular AP si PB = 9, CQ= 3 y QD = 6. A) 3 D) 5,4
B) 4 E) 6,2
C) 4,5
07. En la figura O1 y O2 son centros de los cuadrados ABCD y BPMN; PC = 6. Calcular O1O2
A) 8 D) 9 12. Del gráfico: m
B) 10 E) 12 =2m
9AB=4AD. Calcular HE
A) 6
B) 3
C) 3
C) 6
; BH=2 además:
18. En un triángulo acutángulo ABC, se une el vértice “B” con el circuncentro “O”, prolongado interseca a
en “M”. Luego se trazan
z y z calcular BN A) 3 D) 9
A) 5 D) 44/9
B) 6,3 E) 24/7
C) 22/3
13. Si: AB=6, BC=8 y AC=7, calcular AP
. Si BH = 6, AH = 2 y BC = 12, B) 6 E) 8
C) 7,5
19. En un ÄABC; mËB = 90 y AC = 7. Se traza la ceviana , tal que : 2DC = 3BD y mËBAC = 2 (mËADB). Calcular AB A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 3,5 20. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de diámetro , sea P un punto de
A) 3 D) 3
B) 4 E) 3
C) 5
14. En el gráfico: 2AF=3AB; EF=9. Calcular BC
A) 4 D) 3
B) 5 E) 1,5
C) 6
15. La bisectriz interior del ángulo B de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia circunscrita en “E” y al lado en “D”. Calcular AE, si DE=4; BE=9 A) 6 B) 8 C) 7,5 D) 5 E) 4,5 16. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior . Si “I” es el incentro del triángulo ABC y BI = 4, calcular el máximo valor entero de A) 1 B) 2 C) 3 D)
E)
17. En un triángulo ABC : AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Sobre y se consideran los puntos M y N respectivamente tal que // . Si el perímetro del triángulo MBN es igual al perímetro del trapecio AMNC, calcular BM A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 32/5
.
y
, intersectan a
en M y N
respectivamente. Si AB=AD; BM=2 m y MN = 1 m, calcular NC. A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 1,5 m
TAREA 01. Si:
A) 14 D) 24
. AM=3/5(AB), halle “x”
B) 7 E) 18
C) 21
02. En la figura P y Q son puntos de tangencia, PT=2TA y BL=6. Calcular LQ
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
06. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B se tiene que AB = BC, se ubica “P” en . Si P dista 5 de de A) 6 D) 5
y mËADC = 53, ¿cuánto dista “P”
? B) 8 E) 4
C) 9
07. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73; mËC=39. Calcular IB, si AB=C, BC=a, AC=b
A) 2 D) 6
B) 3 E) 8
C) 4,5
03. En un ÄABC, recto en B. AB = 6, BC = 8 y AC = 10. Por el incentro se traza la perpendicular a la bisectriz interior que corta a la prolongación de A) 6 D) 10
en P. Calcular AP B) 8 E) 3
C) 4
04. Se tiene un cuadrilongo ABCD y AD=CD , se construye una semicircunferencia exteriormente de diámetro , desde un punto del arco se une con “A y D” cortando a NC=9. Calcular MN
A) 6
B) 3
D) 6
E) 6
A)
B)
D)
E)
C)
08. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD mËA=mËB=90, sobre se toma “M” punto medio. Calcular AB, si BC=4 y AD=9. Además mËCMD=90 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 09. En un triángulo ABC de baricentro “G” se traza una recta por G que intersecta a y en K y L y a la prolongación de
en P. Si:
y AC = BA ; calcular GK
en “M y N”; BM=4, A) 1 D) 4 C) 3
05. De la figura, PB = 12 y 3(BC) = 4(AQ). Calcular AP
B) 2 E) 0,5
C) 3
10. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior (“R” en ) luego se traza la ceviana que interseca a en su punto medio. Si BM = 2 y CM = 5, calcular AB. A) 20/7 B) 10/7 C) 4 D) 3 E) 14/3
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA PROYECCIONES Proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Así la progresión ortogonal del punto “P” sobre la recta
es el punto P’.
La perpendicular
se llama proyectante. Si el
punto pertenece a la recta su proyección sobre ella es el mismo punto. Así la proyección de “Q” sobre
es Q’ (Q=Q’) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
La proyección de un segmento sobre una recta es el conjunto de todos los puntos de la recta que son proyecciones de los puntos del segmento sobre la recta. TEOREMAS FUNDAMENTALES 01.
y
02. Si el segmento dado es oblicuo a la recta L la proyección es menor que el segmento, si el segmento es paralelo a la recta su proyección es congruente a él y si el segmento es perpendicular a la recta, su proyección se reduce a un punto.
SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
03.
04.
(TEOREMA DE PITÁGORAS)
TEOREMA En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al triángulo dado.
05.
PROPIEDADES 01.
3
2
x = a.m
02.
3
2
2
2
a -b =m -n
2
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 1.
3
TEOREMA DE LAS CUERDAS
2 x =m.n
03
AP . PB = CP . PD
2.
TEOREMA DE LAS SECANTES
Si: P, Q y T son puntos de tangencia. 3
x=2
04.
PA . PB = PC . PD 3.
Si: P y Q son puntos de tangencia 3
05.
PQ = MN
TEOREMA DE LA TANGENTE
2
(PT) = PA . PB
CONSECUENCIAS DE LAS RECTAS ISOGONALES 1RA.
4.
TEOREMAS DE PTOLOMEO
i.
CONSECUENCIA En todo triángulo el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de las isogonales, que contienen a un vértice estando una limitada por el lado opuesto y la otra por la circunferencia circunscrita.
ac + bd = ef
ii.
RECTAS ISOGONALES Son aquellas rectas que pasando por el vértice de un ángulo dado forman con la bisectriz de éste ángulos congruentes; pueden ser:
En la figura si y son isogonales respecto al ángulo ABC se verifica que: (AB)(BC) = (BP)(BQ)
A) ISOGONALES INTERIORES 2DA.
B) ISOGONALES EXTERIORES
CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de la altura relativa al tercer lado y el diámetro de la circunferencia circunscrita.
En la figura si luego:
y
(BF = 2R) son isogonales,
AB . BC = BH . BF (AB)(BC) = (BH)(2R)
3RA.
CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que la longitud de la bisectriz interior, elevada al cuadrado es igual al producto de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz menos el producto de las longitudes de los segmentos que determina la bisectriz sobre el lado opuesto.
En la figura, las rectas y son isogonales (la bisectriz es isogonal con sí misma), luego por primera consecuencia: AB.BC = BD.BE(BE = BD + DE) 2 AB.BC = BD(BD + DE) = BD + BD.DE Por cuerdas: BD.DE = AD.DC luego: AB.BC = BD2 + AD.DC
4TA.
CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la bisectriz exterior es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz sobre el lado opuesto menos el producto de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz.
Las rectas y son isogonales exteriores respecto a el ËABC, luego: AB.BC = BP.BE pero: BP = EP - BE Y AB.BC = (EP - BE)BE 2 AB.BC = BE.EP - BE Por secantes: BE.EP = AE.CE 2 luego: AB.BC = AE.CE - BE
BD2 = AB.BC - AD.DC
BE2 = AE.CE - AB.BC
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dado un triángulo rectángulo ABC( recto en B) sobre su lado se considera un punto “O”; por el vértice “C” se traza una perpendicular prolongación de
de manera que
a la
03. En la figura representa una escalera apoyada en una pared. Si “A” cae hasta la mitad de su altura y “B” se aleja 2 m cuanto mide la escalera
sea
bisectriz del ËBCD. Calcular AB, si AO.AC = 32 A) 4
B) 4
D)
E) 4
C) 8
02. Las diagonales perpendiculares de un trapecio miden 8 y 15; la base menor mide 6. Calcular la medida de la base mayor A) 14 D) 11
B) 12 E) 15
C) 13
A) 5
B) 10
D)
E)
C) 2
/3
04. En un triángulo ABC, recto en “C” se traza la altura . Calcular BF, si: AB=c; BC=a A)
B)
C)
D)
E)
05. En el gráfico calcular “x”, si “O”; “C” y “D” son centros además AO = OB = 6
A) 10 D) 8
B) 7 E) 5
C) 6
10. Se tiene un cuadrado ABCD, en el arco
A) 1,5 D) 2,4
B) 2 E) 1,8
C) 2,5
06. En la figura son diámetros, si CE = 2; AF = 5 y DG = 4, calcular EG
A) 8 D) 14
B) 10 E) 16
A) 3 D) 2
A) 2 D) 6
B) 4 E) 8
.
C) 2
11. En el gráfico: “O” centro; EF=3; FD=2. Calcular DH
C) 12 A) 3 D) 5
07. El diámetro de una semicircunferencia se prolonga hasta “C” y se traza la secante CDE, BC=2, DE=1,
considera el punto “E” tal que : AE+EC=4 Calcular BE
se
B) 2,5 E) 3,5
C) 4
12. En el gráfico adjunto calcular OT, si : AP=4
=3(mËC). Calcular DC B) 1 E) 3,5
C) 4
08. En el gráfico AC=AB, “O” es centro A y F son A) 4 D) 2
puntos de tangencia. Calcular
B) 3 E) 2
C) 5
13. En un trapecio rectángulo ABCD, la altura , mide 13. Con diámetro se traza la semicircunferencia que corta en “Q” a , la tangente corta a Calcular PQ
A) 2 D) 3
B) 1 E) 4
C)
09. Calcular “FA”, si AB=6, BC=ED=8. ID=5; GF=4 y FH=3. (“A” es punto de tangencia)
A) 2,5 D) 3
B) 3,5 E) 5
en “P”, AP = 12, PC=3.
C) 4
14. En la figura ABCD es un rectángulo BQ=QA, PQ=3; QM=8; MN=1. Calcular CM
A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 5 19. En la figura calcular CD si AB=1, BC=2, CE= “C” punto de tangencia
A) 1 D) 2,5
B) 2 E) 0,5
C) 1,5
15. Calcular AB, sabiendo que las circunferencias son concéntricas, los radios son 1 y 2, y MP = 1 (“O” ÷ centro)
A) 2 D) 8
B) 6 E) 7
C) 10
20. Calcular FG, si AB=BC=CD y CF=9 (D es punto de tangencia)
A)
B)
C)
D)
A) 6 D) 10
E) 16. Una hoja rectangular ABCD, de papel se dobla de modo que “A” coincida con “C”; AB= ; AD=3. Calcular la longitud del doblez A) 1 D) 2,5
B) 1,5 E)
C) 2
17. En la figura marcar la relación métrica entre h, a, byc
A) h=ab/c D)
B)
C) h=a+b-c 3
E) h =abc
18. Del gráfico “O” es centro AB=15; LD=CD=10. Calcular ML
B) 8 E) 12
C) 9
TAREA 01. Calcular : R, si AD = 18 y FG = 24
A) 6 D) 13
B) 10 E) 15
C) 12
A) a
/2
B) a
/2
D) a
/4
E) a
/2
C) a
/4
05. Si es diámetro, “M” es centro y PQ = 4, calcular QM 02. En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo, BM = 4; MC = 6 y “O” es centro de la semicircunferencia. Calcular AB
A) 1 D) 4 A) 2
B) 3
D) 4
E) 4
B) 2 E) 5
C) 3
C) 2 06. Del gráfico calcular AC, si CP2 + AT2 = 338 2 m (O1 v O2 : centros)
03. Del gráfico calcular el lado del cuadrado ABCD si CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es centro del arco
A) 13 D) 13 m
A) 10
B) 8
D) 2
E) 9
C) 2
04. Si ABCD es un cuadrado de lado “a”, calcular BF
m
B) 2
m
E) 5
m
C) 2
07. En la figura adjunta, el triángulo ABC es equilátero, M es punto medio del lado punto medio del arco
m
y D es
. Si x e y representan las
longitudes de los segmentos respectivamente, hallar x/y
A) 5/3 D) 8/3
B) 2 E) 7/3
C) 4
08. En la figura A, B y C son puntos de tangencia, PA=8, PC=6. Calcular PB
A) 10
B) 2
D) 5
E) 4
C) 5
09. En un rectángulo ABCD, se ubica el punto “P” en , tal que: mËAPD = 90, BP = 4 y PC=9. Calcular la distancia entre las proyecciones de B y C sobre respectivamente A) 7
B) 8
D) 6,5
E)
C)
10. En un cuadrante AOB de centro “O” por un punto M del arco
se traza la paralela a la cuerda
que interseca a la prolongación de y a la prolongación de MA’ = a y MB’ = b A) 2
B)
D)
E) 2
en A’
en B. Calcular AB, si
C)
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I.
TEOREMA DE EUCLIDES TEOREMA 1 En todo triángulo se cumple que la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él.
En la figura : á > 90 y sobre
es la proyección de
(AH = m), luego : 2
2
2
a = b + c + 2am
.... (2)
OBSERVACIÓN : De acuerdo a la figura siendo á < 90 y “m” la longitud de la proyección se cumple :
En el
: m = cCosá 2
2
2
En (2) : a = b + c - 2bcCosá 2
2
2
a = b + c - 2bm
“Ley de Cosenos”
.... (1) II.
RECONOCIMIENTO DE LA NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO
OBSERVACIÓN : En el En (1) :
: m = cCosá 2
2
2
a = b + c - 2bcCosá
“Ley de
Cosenos”
Dado el triángulo ABC, donde AB = c, BC=a y AC = b, siendo a > b > c, entonces se verifica que : 2 2 2 a < b + c ] el ÄABC es acutángulo 2 2 2 a = b + c ] el ÄABC es rectángulo 2 2 2 a > b + c ] el ÄABC es obtusángulo III. TEOREMA DE STEWART
TEOREMA 2 En todo triángulo obtusángulo se cumple que el cuadrado de la medida del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados mas el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él
Si es una ceviana entonces se verifica la siguiente relación : 2
2
2
c n + a m = x b + bmn
(3)
OBSERVACIÓN : Si el triángulo es isósceles con a = c la expresión (3) se reduce a :
Si
es altura (BH = hb) además : se verifica la siguiente relación :
2 2 a = x + mn
IV. TEOREMA DE LA MEDIANA
VI. TEOREMA DE EULER
Si es mediana (BM = m b) se cumple lo siguiente:
2
2
2
c + a = 2(m b) +
OBSERVACIÓN : Siendo las medidas de las otras medianas m a y m c se cumple que :
V. TEOREMA DE HERÓN
En todo cuadrilátero convexo o no convexo se verifica a la siguiente relación :
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En un paralelogramo ABCD: AB=3, BC=5 y AC=7. Calcular la mËA. A) 30 B) 53 C) 45 D) 60 E) 75
D) 13
E) 14
08. En la figura, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia si el radio R = 9?
02. En la figura el radio R=12. Calcular “x”
A) 1 D) 6 A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
B) 5 E) 4,5
09. En la figura: AB=BC=AC=2 DM=MC=3. Calcular OM.
C) 4
, “O” es centro y
03. Si en un triángulo ABC, se cumple que: ; uno de los ángulos del triángulo medirá: A) 45 B) 60 C) 120 D) 135 E) 105 04. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior (D en ) y la mediana tal que BD=DM. Calcular AC; si (AB)(BC)=144 A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 05. Las longitudes de los lados de un triángulo están representados por tres números enteros consecutivos. Si la medida del ángulo mayor es el doble de la medida del menor, calcular la longitud del mayor lado del triángulo A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 06. En la figura se muestra dos circunferencias concéntricas. Si AQ2 + QD2 =100, calcular PB2+PC2
A) 1 D) 4/5
B) 2 E) 3/2
C) 3
10. En la figura O, A y P son centros. Si: OB= calcular “x”
A) 0,5
B) 1
D)
E)
C) 1,5
11. En el gráfico calcular MN, si: “O” y “O1” son centros; AN = 3; NB = 5
A) 10 D) 81
B) 120 E) 64
C) 100
07. En un trapecio las bases miden 12 y 26 y los lados no paralelos miden 13 y 15. Calcular la longitud de la altura de dicho trapecio. A) 10 B) 11 C) 12
A) 5,5 D) 6
B) 6,5 E) 7
12. Si AQ=9 y QC=4, calcular BQ
C) 7,5
,
14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde AB=CD, BC=9, BD=10, AC=13, además mËBDC=mËBAD+mËADB. Calcular : AB A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 E) 8
A) 2
B) 18
D)
E) 10
C) 3
13. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que : BC= a, AC = b y AB = c además : a2=c2+bc; mËABC=63. Calcular : mËACB A) 30 B) 45 C) 37 D) 39 E) 38
15. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es tangente a en D. Calcular BD, si AB = 5; BC = 7; AC = 6 A) 5,5 B) 4,5 C) 6 D) 5 E) 4 16. Sea ACB un triángulo rectángulo en “C’, cuya hipotenusa mide “d”. Se divide la hipotenusa en tres segmentos de igual longitud por medio de los puntos “M” y “N”. Entonces la suma de los cuadrados de las medidas de los lados del triángulo CMN es igual a : A)
B)
D)
E)
C) d
2
17. Se tiene el trapecio ABCD: tal que: AB=9; BC=6; CD=13 y AD=16. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las bases. A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 11,5 18. En un triángulo ABC se tiene que AB=10, BC=4 y AC=9. Calcular la medida de la bisectriz exterior BQ (Q en la prolongación de ) A) 2
B) 5
D) 4
E) 2
C) 5
19. Se tienen dos circunferencias concéntricas de radios “r” y “2r”. En la circunferencia mayor se ubican los puntos A; B y C tal que AB = BC = AC. En la circunferencia menor se ubica el punto “P” 2 2 2 próximo a “B”. Si (AP) +(BP) + (CP) = 15. Calcular “r” A) 1
B)
D) 2
E)
C)
20. En la figura adjunta el lado del triángulo 2 2 equilátero ABC mide 4. Calcular : PA - PB 3 PC
A) 4 D) 32
B) 8 E) 9
C) 16
TAREA 01. Los lados de un triángulo ABC miden AB=13, BC=20 y AC=21. Calcular la distancia del baricentro al lado . A) 2
B) 3
D) 5
E)
C) 4
02. Los radios de dos circunferencias miden 7 y 5, y la distancia entre sus centros es 14. Si un punto exterior dista de las dos circunferencias 8, calcular la distancia de dicho punto a la línea que une los centros. A) 10
B)
D)
E) 13,2
C) 12
03. En el triángulo ABC, calcular la medida del ángulo A, si se cumple que: 2 2 2 2 2a = b + c + (b+c) A) 105 D) 120 04. De la figura Calcular PH
B) 60 E) 135
C) 90
es diámetro FB=2AH=4.
A) 2
B)
D) 8
E) 2
C) 4
05. En el romboide ABCD, donde AB=13; BC=20 y AC=21. Calcular PD
A) 10,5 D) 13,75
B) 10 E) 15
C) 12
06. Se tiene un triángulo ABC tal que: AB=BC=2AC.
Si la distancia de “B” a la bisectriz interior del ËA mide , calcular AC A) 1 D) 3
B) E) 4
C) 2
07. De la figura calcular BP; si: (AB).(BC)=32 y BP=PQ
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
08. Siendo ABCD un romboide, MB=MD, MN=1 y AD=DE=3, calcular : 2 2 K = 4(AM) + (BD)
A) 85 D) 90
B) 95 E) 92
C) 80
09. Del gráfico, calcular AC, si: AB = 2AC, BH =
A) 1 D) 3
B) 2 E) 4
C) 2
10. ABCD es cuadrado de lado igual a “4”. Calcular : PR
A) 2
B) 2
D) 3
E)
C) 2
PROBLEMAS DIVERSOS DE RELACIONES MÉTRICAS 01. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo, cuyo perímetro es 60, divide a la hipotenusa en dos segmentos tales que la medida de uno de ellos es 2,4 veces la medida del otro. ¿Cuánto mide la hipotenusa? A) 24 B) 15 C) 30 D) 25 E) 26 02. En la figura “O” es centro, DE=3 y BC=4. Calcular AO
diámetros, A) 2
B) 6
D) 6
E) 4
C) 3
07. En la figura AB = 3BC = 6. Calcular DT (“T”, punto de tangencia) A) 3,5 D) 7
B) 4,5 E) 12
03. En el gráfico “O” es centro y AB.AC=72, calcular “r”
A) 3
B) 3
D) 6
E) 4,5
C) 5 es diámetro. Si
B) 3 E) 4
B) 2
D) 2
E)
C) 2
C) 6 08. Si : B y C son puntos de tangencia, EC = 4 y AE = 16, calcular CD
04. Del gráfico adjunto calcular : PC, si: BC= AB=AC, O: Centro
A) 2 D) 1
A) 3
;
C) 1,5
05. En la figura adjunta “T” punto de tangencia. OP=9; PL=6. Calcular PT, si: O: Centro
A) 4/7 D) 7/4
B) 8/5 E) 6/5
C) 5/6
09. En un triángulo acutángulo ABC: “H” es ortocentro. Si AC2+BH2=100, calcular la medida del circunradio A) 2,5 B) 4 C) 5 D) 5 A) 6 D) 12
B) 6 E) 15
C) 5
E) 10
10. En un rectángulo ABCD (AB>BC) si: AB=a, BC=b, calcular la longitud de la proyección de la diagonal sobre
06. Si : r.(DC) = 6 y EM = MC, calcular DF (“F” punto de tangencia) A)
B)
C)
D)
E)
11. En el gráfico adjunto calcular : OT, si AP=4
A) 4
B) 3
D) 2
E) 2
C) 5
12. De la figura adjunta A, B : Puntos de tangencia. Calcular AB, si : BL = 3
A)
B)
C)
D)
E) N. A
15. De la figura: P, T, L : Puntos de tangencia. Calcular BP, si OT=
A) 2
B) 5
D) 3
E) 5
C) 6
13. Calcular QT del gráfico adjunto, si : AP = 4 y BQ =9
A) 5
B) 6
D) 8
E) 2
14. En la figura calcular “x”
C) 7
A) D) 4/3
B) 2 E) 2
16. De la figura adjunta: Calcular EF.
A)
B) 2
D) 3
E)
C)
/2
: diámetro GF=4, EH=2.
C) 4
17. En la figura : PQ = a y QL = b. Calcular : PT
A)
B)
D) 2
E)
C)
18. En la figura, hallar NF, si : ME = 12 y EN = 4 “O” : Centro
A) 6
B) 4
D) 9
E) 4
C) 5
19. De la figura adjunta: O: Centro, AN=5; NC=4. Calcular BC
A) 5
B) 6
D) 3
E) 4
C) 8
20. Los lados de un cuadrilátero inscrito, considerados en forma consecutiva, miden 1; 2; 3 y 4. Calcular la longitud de la diagonal menor del cuadrilátero. A)
B)
D)
E)
C)
TAREA 01. En una circunferencia de centro “O” y radio 15, se ubica una cuerda y en ella se toma el punto “P”, tal que: AP.PB = 200. Calcular OP
D) 5 02.
son diámetros. Calcular “x”, si: AB= 2ED
A) 2
B) 3
C) 4
E) 6
D) 4
E) 8
07. Calcular TB, si AT = 4, BC = 2 y “T” es punto de tangencia.
A) 90 D) 106
B) 120 E) 60
C) 105
03. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 2 calcular MC
,
A) 1 D) 2,5
B) 1,5 E) 3
C) 2
08. En la figura calcular “x”, si ABCD es un cuadrado
A) 2 D) 8
B) 4 E) 10
C) 6
04. En el gráfico, calcular PQ/QF, “O” es centro
A) R/2 D) R/5
B) R/3 E) 2R/3
C) R/4
09. Calcular á, si :
AE=EC; BE=3, EF = 2
A) 1/2 D) 3/5
B) 2/3 E) 1/3
C) 1/4
05. Calcular AF, si : BF = 3 m y FC = 12 m A) 53 D) 45
B) 37 E) 30
C) 36
10. Del gráfico adjunto A, B y C : puntos de tangencia. Calcular el valor del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. A) D) 6
m
B) 2 m
m
C) 8 m
E) 6 m
06. Hallar : DE, si AC = 12 y BD = 4
A) A) 6
B) 3
C) 5
B)
C)
D)
E) 2(
)
POLÍGONOS REGULARES Se llama polígono regular al polígono equiángulo y equilátero a la vez. Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a circunferencias concéntricas, siendo el centro de éstas el centro del polígono regular. Se llama apotema de un polígono regular al segmento perpendicular trazado desde su centro a cualquiera de los lados. Se llama triángulo elemental de un polígono regular al triángulo isósceles cuyo vértice coincide con el centro del polígono regular, sus lados congruentes son circunradios, su base es el lado del polígono regular y el ángulo en el vértice es el ángulo central del polígono regular.
b) Si AB = ln 3 m
c)
=
Cálculo del apotema de un polígono regular:
ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS REGULARES 01. TRIÁNGULO EQUILÁTERO ELEMENTOS 1) Centro: “O” 2) Lado:
(AB=ln)
3) Apotema:
(OH=an)
4) Ángulo central: ËAOB (mËAOB=án) 5) Inradio: 6) Circunradio:
(ON=R)
7) Triángulo elemental:
AOB
OBSERVACIONES : a) Para todo polígono regular el cálculo de la medida del ángulo central es: mËCentral =
02. CUADRADO
06. DECÁGONO REGULAR
03. PENTÁGONO REGULAR
04. HEXÁGONO REGULAR
05. OCTÁGONO REGULAR
07. DODECÁGONO REGULAR
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El perímetro de un hexágono equiángulo convexo es 12. Calcular la medida del radio de una circunferencia inscrita en dicho polígono. A) D) 1,5
B) 2 E) 3
, AB = 2 y CD =
- 1. Calcular “è”
C) 0,5
02. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide , A y D son centros de los cuadrantes. Calcular EC
A) 75 D) 135
B) 105 E) 126
C) 120
05. Calcular el circunradio de un triángulo ABC, si AC = 2 y mËB = 54 A) 1 D) 4 03. Si:
B) 2 E) 5 ; r=
+1, m
C) 3
=60 y m
A) 2( =120,
D)
- 1)
B)
-1
C)
E)
calcular “x” 06. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la altura . Calcular BH, si AC=4; mËC=11,25
A) 1
B) 1,5
D) 2,5
E)
C) 2
04. Del gráfico, el radio de la circunferencia mide
A)
B)
D)
E)
C)
07. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una
circunferencia cuyo radio mide : . Calcular la distancia del vértice “A” al punto medio del arco A) 2
B)
D)
E) 1
C)
08. En un heptágono regular ABCDEFG se cumple que:
. Calcular el perímetro del
heptágono regular A) 49 m B) 70 m D) 25 m E) 63 m
C) 35 m
09. En un trapecio ABCD de bases
E) (
-1)/2
10. En la figura calcular EF, si m
B) 30 E) 37
C) 36
13. Se tiene un pentágono regular ABCDE, en el triángulo ACE la circunferencia inscrita es tangente en “M” y “N” a los lados y respectivamente. Calcular MN, si : AE = a A)
B)
D)
E)
C)
, se
sabe que : mËA=72, mËD=36 y CD = +1. Calcular AB A) 1 B) 2 C) -1 D) 4
A) 26 D) 45
= 55
14. Al trazar los segmentos que unen los puntos medios de los lados no consecutivos de un pentágono regular, se determina otro pentágono regular cuyo lado mide 1. Calcular la longitud del lado del polígono original A) (
+2)
B) (
D) (
+1)
E) 2
-1)
C) (
-2)
15. En un triángulo acutángulo ABC, donde AC= +1, se trazan las alturas . Calcular MF sabiendo que : mËABC=72
A) r
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D) 1
E)
-1
C)
16. En la figura AB = BC = AC. Calcular “á” si EC = L4; BD = L5 y AF = L10
11. Sabiendo que el lado del dodecágono regular inscrito en una circunferencia mide , calcular la longitud del lado del polígono regular de 24 lados inscrito en la misma circunferencia A)
B)
D)
E)
12. Si AB es diámetro y m 2PQ y mËABQ = 4, calcular “á”
C)
= 112, AB =
A) 127 D) 124
B) 126 E) 123
C) 125
17. En un nonágono regular ABCDEFGHI se tiene que AB + BD = 8 . Calcular BG A) 8
B) 8
D) 16
E) 4
C) 16
18. En un triángulo ABC, se ubica el incentro I, luego la prolongación de interseca a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en
“F”. Si : mËBIC = 126 y AF = 2, calcular IC A)
B)
D)
E) 2
C) (
-1)
19. Si en un decágono regular ABCDE..., la suma de las medidas del lado y el circunradio es 10, calcular “AD” A) 3 B) 7 C) 10 D) 8 E) 6 20. En la figura, las dos circunferencias son congruentes; AB=AD y AC=2. Calcular: PC, si: es la sección áurea de
A) 1
B)
D)
E)
C)
-1
TAREA 01. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso: ( ) Respecto a una misma circunferencia: 2 2 2 (L5) = (L6) + (L10) ( ) En un cuadrado se cumple que: L4 = 2(ap4) ( ) Si “r” representa la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un decágono regular y “R” de la circunferencia circunscrita, entonces:
A) FVV D) VVV
B) VFF E) VVF
en N. Calcular: QN
A)
B)
D)
E)
C)
03. En un triángulo acutángulo ABC; mËB=72 se trazan las alturas
. Si: AC =
B) 2,5
D) 4
E)
04. El
lado
de
C) 1
un pentágono regular mide (3 +
); calcular la longitud del lado de otro pentágono regular determinado al trazar todas las diagonales del primero A) 1
B)
D) 3 -
E)
C) 2
05. En un triángulo ABC, obtuso en “A”, se sabe que
C) VFV
02. En una circunferencia de centro “Q” y radio 2, se trazan los diámetros ortogonales entre sí. La recta que une el punto A con el punto medio “O” de , lado del exágono regular inscrito corta a
calcular: MN A) 2
,
AB = 2, BC = A) 18 D) 12
+ 1 y mËC=18. Calcular la mËB B) 16 C) 24 E) 30
06. En un exágono regular cuyo lado mide (2+ ) cm se inscribe un dodecágono regular de manera que sobre cada lado del exágono, se encuentre un lado del dodecágono. Calcular la longitud del lado del dodecágono
A)
cm
B)
D)
cm
E) 2
cm
C)
cm
cm
07. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se tiene que : AC = 8 m y mËC=9. Calcular la altura BH A)
-1
D)
B) 2(
-1)
C)
E)
08. En un decágono regular ABCDE..., la diagonal AD interseca a los radios en “P” y “Q”, respectivamente. Calcular AP, si AQ = 4 A) ( D) 3(
- 1)/2
B) (
+1)/2
-1)
E) 2(
-1)
C) (
-1)/4
09. Calcular la base mayor de un trapecio sabiendo que los otros tres lados miden (3- ) cm y que uno de sus ángulos mide 36 A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 2( 10.
+1) cm
E) 4(
+1) cm
: diámetro, mËPQB = 75; QB = a. Calcular : PQ.
A) a
B)
D)
E)
C) a
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES REGIONES POLIGONALES Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior. Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento. Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos
regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones triangulares de cualquier descomposición así se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal.
Donde “p” es el semiperímetro.
POSTULADOS
OBSERVACIONES:
01. Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región.
a)
Para todo triángulo obtusángulo:
b)
Para un triángulo rectángulo.
c)
Para un triángulo equilátero
02. El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en el cual puede dividirse. 03. Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones polígonales correspondientes tienen la misma área. A continuación se presentan una serie de fórmulas para calcular el área de diversas regiones triangulares. FÓRMULA FUNDAMENTAL
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
FÓRMULAS ADICIONALES FÓRMULA DE HERÓN
01. En función del inradio
Donde “p” es el semiperímetro. 02. En función del circunradio
03. Para todo triángulo rectángulo.
03. En función del ex-radio
04. En todo triángulo:
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES Donde “p” es el semiperímetro.
04. En función del inradio y los ex-radios.
01. Si dos triángulos tienen alturas congruentes, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre las medidas de sus respectivas bases.
Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABC y “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios , entonces:
Si : BH=EM 3 CONSECUENCIAS OBSERVACIONES: 01. Dos figuras son equivalentes si tienen forma distinta pero igual tamaño. La siguiente figura muestra un círculo y una región triangular de igual área, es decir son equivalentes.
a)
Si en el triángulo ABC se traza la ceviana , entonces la relación entre las áreas de los triángulos ABD y DBC será igual a la relación entre “AD” y “DC”.
b)
Si en el triángulo ABC se traza la mediana
02. Para todo triángulo rectángulo
,
entonces los triángulos ABM y BMC serán equivalentes, es decir, tendrán áreas iguales.
3
c)
Si “G” es el baricentro del triángulo ABC, entonces:
03. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o suplementarios, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de las medidas de los lados que forman dichos ángulos.
Si á=â 0
02. Si dos triángulos son semejantes entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus elementos homólogos.
Si
ABC~
MNL, entonces:
Siendo “k” la razón de semejanza
CONSECUENCIA Si:
//
y
//
Si è+ù=180 0
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene una circunferencia de radio igual a 10, en ella se inscribe un triángulo isósceles, cuya base mide 16. Calcular el área de la región triangular correspondiente A) 16 B) 18 C) 32 D) 24 E) 28
punto de tangencia
02. Dos lados de un triángulo miden a y b. Calcular el área de la región correspondiente tomándose su máximo valor A) ab D)
B) (ab)
E)
C)
(ab)
(ab)
03. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, se construye exteriormente el cuadrado ACDE. H es la proyección del punto “D” sobre . Si AB= 4 y BC = 6, calcular S(DEH) A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
A) 1/2 D) 2/5
B) 2/3 E) 1/8
C) 1/4
07. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente a en M y a en N; las prolongaciones de se intersecan en “P”. Calcular la relación de las áreas de los triángulos MPA y PBC, si : AB = 5; BC= 7 y AC = 6 A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5 D) 2/5 E) 3/5 2
04. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos, cuyos radios miden r1; r2 y r3. Si : r1 + r2 + r3 = r1 . r2 . r3 = 6 calcular el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las circunferencias A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
2
08. En la figura : S1 = 35 m ; S2 = 30 m ; S3=40 2 m . Calcular “Sx”
05. En un exágono equiángulo ABCDEF se sabe que BC = 3; DE = 2, EF = 4 y AF = 1. Hallar el área de la región exagonal A) 14
B) 7
D) 35
E)
C)
06. Según la figura, calcular la razón de las áreas de las regiones sombreadas, si CD=2(AB) y A es
A) 48 m 2 2 D) 66 m
B) 52 m 2 2 E) 70 m
C) 56 m 2
09. En un ÄABC, recto en B, se trazan las bisectrices interiores , siendo “I” el incentro de dicho triángulo. Calcular:
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
10. De la figura calcular “Sx”, si S1 = 9 y S2 = 4 y AM = MC 2
2
A) 256 u 2 D) 244 u
B) 224 u 2 E) 212 u
C) 236 u
2
15. Según la figura mostrada calcular el área de la región sombreada. Si ED = 10 m y AP=6 m (O : centro del cuadrado ABCD)
A) 15 B) 20 C) 18 D) 36 E) 24,5 11. En un triángulo ABC la circunferencia ex-inscrita es tangente a y a la prolongación de en M y N respectivamente. Calcular el área de la región triangular BNM, si: AB=7 u; BC = 8 u y AC =9u 2
B) 2,5
u
2
E) 3,5
u
A) 2
u
D) 4
u
2
C) 3
u
2
A)
u
2
B)
u
C)
u2
D)
u2
E)
u
2
13. Según el gráfico “T” es punto de tangencia y OT=LE+TB=8 cm. Calcular el área de la región sombreada
2
2
2
16. El área de un triángulo ABC es 72 m , por el baricentro “G” se trazan paralelas a ,
D) 9 u2
B) 54 cm 2 E) 64 cm
C) 66 m
que intersectan a en los puntos E y F respectivamente. Calcular el área de la región triangular EGF 2 2 2 A) 6 u B) 7 u C) 8 u
2
2
2
B) 55 m E) 65 m 2
2
12. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es tangente a en M y N respectivamente. Calcular el área de la región triangular MCN si: AB = 8 u; BC=15 u y AC = 17 u
A) 36 cm 2 D) 48 cm
2
A) 45 m D) 75 m 2
C) 24 cm
2
14. Calcular el área de la región triangular sombreada, si AB = 32 y BC = 18 (P; Q y T son puntos de tangencia)
E) 10
u2
17. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente a en M y a en N. Las prolongaciones de se intersecan en P. Calcular la relación de las áreas de los triángulos MPA y PBC, si AB = 5, BC = 7 y AC = 6 A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5 D) 2/5 E) 3/5 18. Si G es el baricentro del triángulo ABC recto en B, la distancia del baricentro de dicho triángulo a los puntos medios M y N de los lados miden 5 u y 3 u respectivamente. Calcular el área de la región triangular AGN 2
B) 3
u
2
E) 5
u
A) 4
u
D) 4
u
2
C) 3
u
2
2
19. Los lados de un triángulo ABC son 13; 14 y 15 m. Determinar el área de la región triangular donde
sus lados son las medianas del triángulo ABC 2 2 2 A) 84/3 m B) 63 m C) 42 m 2 2 E) 66 m D) 58 m 20. En la figura AP.PQ = 16. Calcular Sx
A) 8 D) 16
B) 4 E) 20
C) 12
TAREA 01. Los lados de un triángulo miden . Calcular el área de la región correspondiente A)
B)
D) 2
E)
C)
02. Dado un triángulo cuyo inradio mide 4; se sabe que la circunferencia inscrita determina en uno de los lados, segmentos que miden 6 y 8. Calcular el área de la región correspondiente A) 80 B) 82 C) 84 D) 86 E) 88 03. Hallar el área del triángulo TOK, si el área del 2 triángulo AOB es 6 m
A) 4,5 m 2 2 D) 3 m
B) 5,5 m 2 2 E) 1,5 m
C) 6 m 2
04. En un cuadrado ABCD se ubica un punto “M” interior tal que mËAMD=90 y el producto de las áreas de las regiones triangulares AMB y CMD es 4 48 cm . Calcular el área de la región triangular AMD A) 2
cm 2
D) 3
2
cm
B) 2
cm 2
E) 4
2
cm
C) 6
cm 2
05. El exradio relativo al lado de un ÄABC mide 4. Calcular el área del ÄABC, si los segmentos determinados por la circunferencia exinscrita sobre el lado mide 1 y 2 A) 12/5 B) 12/7 C) 15/4 D) 18/5 E) 21/8 06. En un rectángulo ABCD se traza una semicircunferencia inscrita de diámetro
y
también otra semicircunferencia de diámetro las cuales se intersectan en el punto T. En el arco AT de la mayor se ubica el punto P tal que intersecta a la menor en R. Si RP = a, calcular S1 - 4S2, siendo S1 y S2 área de las regiones BRA y APD A)
B)
D)
E) 2a
C) a 2
2
07. Según el gráfico AM = MB, CN = 3BN = 9 y . Calcular el área de la región sombreada
A) 9
B) 12
D) 99
E) 18
08. De la figura adjunta, calcular :
C) 9
, si
=106;
B y C puntos de tangencia
A) 9/7 D) 9/16
B) 25/9 E) 14/9
C) 25/16
09. En la figura AB = 2 y BC = 7. Calcular S(MBO)
A) 1,5 D) 3
B) 2 E) 3,5
C) 2,5
10. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la ceviana tal que la mËBPA = 45. Si el área de la región triangular PIC es 20, “I” es incentro del triángulo ABC, calcular el área de la región triangular, determinada al unir el ortocentro, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC A) 5
B) 5
D) 20
E) 10
C) 10
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN CUADRANGULAR Es una región plana, que está limitada por un cuadrilátero, esta región puede ser convexa o no convexa. Cálculo del Área:
Rombo
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES (FÓRMULAS)
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
Cuadrado
Rectángulo
PROPIEDADES SOBRE ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
t
t
MNPQ: ROMBOIDE
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABFL y BCQR, exteriores al triángulo. Hallar el área de la región cuadrangular AFRC, siendo AR = 8 u
A) 16 u2 D) 24 u2
B) 18 u2 E) 32 u2
C) 20 u2
02. Calcular el área del romboide ABCD, si AC=15
EO = 2
A) 36 D) 72
B) 54 E) 108
C) 48
03. En el gráfico: ( ); AM = MB; CN= ND; S1 = 4; S2 = 9. Calcular Sx
A) 6 D) 12
B) 8 E) 15
07. En un romboide ABCD siendo “O” punto de intersección de las diagonales, si las distancias de “O” a los lados son 2 u y 3 u respectivamente y mËABC=135. Calcular el área de la región ABCD 2
A) 12
u
2
D) 20
A) 13
B) 12
D) 15
E)
C) 16
u
B) 16 E) 24
u
2
u
C) 18
u
2
2
08. En una semicircunferencia de diámetro y centro se ubican los puntos P; Q y R. Calcular el área de la región limitada por el rombo PQRS tal que QS = 2(SO)=2a, (S 0 ) A) a
04. Calcular el área de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y PD = 1
C) 10
2
D) 2a
2
B) a
2
E) a
2
C) 2a
2
09. En un rombo ABCD en se ubica el punto medio M. Las diagonales del rombo intersectan a en N y Q respectivamente. si : NQ=5 u y mËBAD=74. Calcular el área de la región limitada por el rombo A) 284 u2 B) 216 u2 C) 324 u2 2 2 D) 356 u E) 420 u 10. En los lados de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos E y F respectivamente de modo A)
B) 2
D) 4
E) 2
C)
05. En un triángulo ABC de incentro “I”, AB=2 u, BC=4 u y AC=3 u. Calcular el área de la región trapecial AMNC, sabiendo que M 0 ; I 0 MN y N0 A)
B)
D)
E)
C)
que EB=FD=2 y EF= . Calcular el área de la región cuadrada ABCD A) 25 B) 24 C) 18 D) 36 E) 15 11. En un trapecio ABCD AD=4BC, se inscribe un rectángulo PQRS, tal que : Q 0 ,R0 y “P” con “S” están ubicados en . Calcular la razón de áreas de las regiones limitadas por dichos cuadriláteros, si AQ=2QB A) 8/19 B) 7/16 C) 9/1 D) 2/3 E) 8/15 12. Calcular Q/P, AE=EM=MD
06. Calcular el área del rectángulo ABCO, si EM= 3 y
, ABCD: romboide y
17. En un romboide ABCD la semicircunferencia de diámetro pasa por “B” e interseca a en “P”. Si BP = 8 y PC = 2, calcular el área del romboide ABCD A) 16 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40
A) 2 D) 4/1
B) 3 E) 7/3
18. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6; BC = 5 y CD = 9. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita
C) 5/3
13. En un trapecio isósceles ABCD
se
traza (H 0 ). Calcular el área de la región trapecial ABCD, si AC = 6 u y BH = 2 u 2
B) 6
u
2
E) 12 u
2
A) 8
u
D) 8
u
2
C) 5
u
B) 2
D) 2
E) 3
C) 3
19. Una circunferencia es tangente a los lados de un rectángulo ABCD y además contiene a C, dicha circunferencia intersecta a en “M”. Calcular el área de la región cuadrangular ABMD, si AB = 9 u, AD = 8 u 2 2 2 A) 8 u B) 32 u C) 16 u 2 2 D) 40 u E) 24 u
2
14. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M; N; Q y R son puntos medios de respectivamente, en la prolongación de se ubica el punto F y la suma de las áreas de las 2 regiones triangulares RMF y QNF es 10 m . Calcular el área de la región cuadrangular ABCD 2 2 2 A) 40 m B) 36 m C) 20 m 2 2 D) 25 m E) 50 m 15. En un cuadrante AOB de radio 2 en
A) 1
20. Se tiene un rectángulo ABCD, desde “D” se traza , luego se traza perpendicular a la prolongación de . Si BF=6 y DE=4, calcular el área de la región cuadrangular ABCD A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 80
se ubica
el punto “C” de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de es igual a . Calcular el área de la región cuadrangular ACBO A) 3
B) 2
D)
E) 2
C) 2
16. En la figura , r = 6, BC = 7 y CD=13. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD
A) 140 D) 145
B) 168 E) 196
C) 136
TAREA 01. Sobre los lados de un cuadrado se construyen
exteriormente triángulos equiláteros. Calcular el
área del cuadrilátero que se forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros, si el lado del cuadrado mide “b” A) b2( 2
D) b (2+
+1) )
B) b2(2 2
E) b (4+3
-1) C) 3b2 )
02. Se tiene dos circunferencias concéntricas de centro “O”. Se traza la cuerda que es tangente a la circunferencia menor, si los radios intersectan en N y M respectivamente OA = R y mËAOB=120. Calcular el área de la región cuadrangular ANMB A)
B)
D)
E)
(H 0 ), siendo APHM un rombo. Calcular la relación entre las áreas de las regiones ABQM y QMC B) 2:1 E) 5:2
C) 3:1
04. Calcular el área del rombo ABCD, si AP = 9 y DP = 13
A)
B) 24
D) 12
E) 8
D) 4(4 +
) )
B) 3(3+
)
E) 2(2+
)
C) 3
06. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 u, la 2 región cuadrangular ECGF es de área 4 u . EFGH es un cuadrado donde . según se muestra la figura. Si BN=NA, AM=MD, determinar EF.
C)
03. La circunferencia inscrita en un ÄABC, recto en B, es tangente en P; Q y M a los lados , respectivamente. Luego se traza
A) 1:1 D) 4:3
A) 2(3+
C) 3
05. Calcule el área de la región paralelográmica BCDK, si SK = KE = 2 y (T: punto de tangencia).
A)
B) 2
D) 4
E) 2
C) 3
07. En un cuadrante AOB de radio 2 en
se ubica
el punto “C” de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de es igual a . Calcular el área de la región cuadrangular ACBO A) 3
B) 2
D)
E) 2
C) 2
08. El área de la región correspondiente a un cuadrado es 100. En el cuadrado se inscribe un rectángulo, cuya diagonal mide 12. Calcular el área de la región rectangular A) 10 B) 24 C) 28 D) 30 E) 36 09. Calcular el área de la región correspondiente al cuadrado ABCD, si AD = DQ
A) 4S D) 8S(2+
B) 5S )
C) 6
S
E) 12S
10. En la figura: “H” es ortocentro del ÄABC, y AB = 8. Calcular el área de la región sombreada
A) 64 D) 32
B) 50 E) 24
C) 48
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES 01. CÍRCULO
El círculo es una porción de plano limitado por una circunferencia
02. CORONA CIRCULAR
Es aquella parte del círculo mayor, limitada por 2 circunferencias concéntricas. 2 2 Área = ð(R - r ) T: Punto de tangencia
03. SECTOR CIRCULAR: Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.
De la figura adjunta La región sombreada se denomina faja circular S ÷ Área de la faja á y â ÷ Medida de los ángulos centrales R: Radio de la À
LÚNULA Es una región plana no convexa limitada por dos arcos de circunferencia secante. 04. SEGMENTO CIRCULAR: Es aquella porción de círculo determinada por una cuerda de dicho círculo.
De la figura adjunta la región sombreada es una lúnula, limitada por los arcos AMB, ANB LÚNULAS DE HIPÓCRATES
05. FAJA CIRCULAR:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el área de la región no sombreada si la sombreada es “S”
A) S D) S/3
B) S/2 E) 4S/5
C) (3/4)S
02. Según el gráfico, calcular la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular ADB
A) ð D) ð/2
B) 2ð E) 3ð/4
04. Si PQ=6, calcular el área de la región sombreada (O; O’ y O’’ son centros)
A) 4ð D) 36ð
B) 9ð E) 12ð
C) 18ð
05. En la figura “T” y “O” son centros; S1=6; S2=11. Calcular Sx
C) 3ð
03. Calcular el área de la hoja circular, si el lado del cuadrado mide
A) 4 D) 4
B) E) 3,5
C) 5
06. El área de una corona circular de 2 m de espesor es 32ð. Calcular el radio mayor A) 4 D) 8
B) 5 E) 9
C) 6
07. Calcular el área de una faja circular limitada por el lado de un hexágono regular y el lado de un triángulo equilátero inscritos en la misma circunferencia de radio A) ð D) ð - 2
B) ð + 3 E) 2ð - 1
C) ð +
A) ð
B) 2ð
D) 3ð
E)
C) ð/2 ð
08. En una circunferencia de radio “R” y centro “O”, se divide en 3 partes iguales por los puntos A, B y C sobre tomados como diámetro se construyen 3 circunferencias. Calcular el área del rosetón de tres lóbulos que se forma.
A)
B)
C) (ð 2 E) ða
2
)R
D)
ð
09. En la figura ABCD es un cuadrado de área “S”, “A” es centro, AC=AE. Calcular el área de la parte sombreada
A) S D) S/4
B) S/2 E) 2S/3
+11ð
D) S1 - S2
E) 2S1 - S2
C)
13. En la figura la suma de las áreas de las regiones 2 sombreada es igual a 40 m . Calcular el área del exágono regular ABCDEF
2
de radios y 3 . Calcular el área de la región limitada por un triángulo mixtilíneo al trazar la tangente exterior común. D)
B)
C) S/3
10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriores
A)
A)
B) 13
+ð
E) 24
-11ð
A) 40 m 2 D) 70 m
2
B) 50 m 2 E) 80 m
C) 60 m
2
14. Si : S1=S2, calcular la relación entre a, b, y c
C) 12
11. Calcular el área de la región sombreada; en el cuadrado de lado a. A, B, O y O’ son centros.
A) a.b = c B) a + c = 2b C) a2 = bc 2 2 2 D) 2c = a + b E) a2 + b2 = c2 15. Calcular el área de la región sombreada si CDEF es una región cuadrada cuya área es 4
A) D) ða
B) 2
C) 2
E) a /4
12. Siendo diámetros, calcular el área de la región triangular ABC
A)
ð
B)
D)
ð
E)
C)
ð
16. Según el gráfico, calcular el área del segmento circular sombreado si mËPDB=82,5 y AB=12
A) 3(4ð-5 D) 2(ð-
) )
B) 2(ð-3) E) 3(3ð-2
C) 3(ð-3) )
17. Según la figura N y B son puntos de tangencia, AOCD es un trapecio isósceles donde AD=22 y R=8. Calcular el área de la región sombreada
A) 1016ð/45 D) 1616ð/45
B) 1106ð/25 E) 1621ð/15
18. Según el gráfico AB=4 y
C) 1108ð/45
=37 (P y Q son
puntos de tangencia). Calcule el área de la región sombreada
A) 3ð D) 2ð
B) ð E) 4ð
C) 3ð/2
19. En la figura mostrada, hallar el área sombreada si : AOB es un cuadrante de radio “R”, OM=MA y ð=3
2
A) 11R /20 2 D) 4R
2
B) 9R /20 2 E) 4R /13
2
C) 7R /15
20. Según el gráfico mËBAC=60 y AM= el área de la región sombreada
. Calcular
A)
B) 2ð-
D) 3ð-
E) ð
C)
TAREA 01. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si AO1=O1O2=O2C=BC=R
A)
B)
D)
E)
C)
05. Calcular el área de la región comprendida entre la circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo de 30 y 60 cuya hipotenusa mide 2R A)
B)
D)
E)
C)
06. Del gráfico mostrado ABCD es un cuadrado. Si: S1 + S2 + S3 = 8, calcular: S
02. Según el gráfico Q dista de . Calcular el área de la región sombreada (P y O son puntos de tangencia)
A) 16 D) 8
A) 36ð D) 18ð
B) 20ð E) 16ð
C) 24ð
B) 12 E) 4
C) 15
07. En la figura mostrada, se muestran las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo equilátero ABC. Si BC = 12, calcular el área de la región sombreada.
03. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si R=
A) (2+ð) D) (14+ð)
B) (5+2ð) E) (9-2ð)
C) (9+2ð)
04. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si CP= tangencia)
A) ð D) 5ð/2
A) 10ð D) 16ð
B) 12ð E) 18ð
C) 14ð
08. Calcular el área de la región sombreada si TQ=8; P y Q puntos de tangencia OQ=QP
(T, P y Q son puntos de
B) 3/2ð E) ð/3
C) ð/2 A) 12(ð-2)
B) 15(ð-3)
C) 9(ð-30)
D) 4(ð-2) 09. Del gráfico m
E) 10(ð-2) =36; m
=72 y OD=
,
calcular el área de la región sombreada
A) ð/2 D) 4ð
B) E) 2ð
C) 3ð
10. En la figura calcular el área “S” si se conoce el área “A” (O1 y O son centros de las semicircunferencias respectivamente)
A) 3A
B) 3/2 A
D) 4/3 A
R) A
C) 2A
GEOMETRÍA DEL ESPACIO : RECTAS - PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS ALABEADAS DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano se determina por : v v v v
C. Alabeadas .- No son coplanares ni se intersectan
3 puntos no colineales 2 rectas paralelas 2 rectas secantes Una recta y un punto exterior
POSICIONES RELATIVAS Consideremos las posiciones relativas entre :
I.
DOS RECTAS : A. Paralelas .- Son coplanares y no se intersectan :
B. Secantes .- Son coplanares y se intersectan
= {P}
II.
DOS PLANOS : Pueden ser :
A. Paralelos .- Si los planos no se intersectan
B. Secantes .- Si se intersectan determinando una recta .................... TEOREMA : Si una recta es paralela a un plano, todo plano que pase por la recta y que corte al primero, le intersectará según una recta paralela a la dada
III
ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO Sea :
// P y
dQ YP1Q={
}
A. Paralelos .- Si no se intersectan Luego :
//
B. Secantes .- Se intersectan determinando un punto
COROLARIOS
1 P = { N}
1.
Dos planos paralelos determinan sobre dos rectas paralelas segmentos congruentes
2.
Toda recta paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección
C. Recta contenida en el plano .- Si dos puntos de la recta pertenecen al plano
dP
RECTA PARALELA A UN PLANO Una recta es paralela a un plano cuando la recta y el plano no tienen ningún punto común. Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta, siendo exterior al plano, sea paralela a una recta contenida en el plano. Si :
dP Y
Y
// P,
TEOREMA DE TALES “Tres o más planos paralelos determinan sobre dos o más rectas secantes o alabeadas segmentos proporcionales”
era
L:1
perpendicular
: 2da perpendicular :3
era
zPy
Sean los planos : P // Q // R
perpendicular z
Y
z
ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO El ángulo que forman una recta y un plano se define como el ángulo formado por dicha recta y su proyección sobre el plano.
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano : Es la proyección de L sobre P ËBAH es el ángulo formado por la recta L y el plano P
son secantes contenidas en el plano P y
Y
TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES “Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano, entonces, al unir el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera, el segmento resultante será perpendicular a la recta contenida en dicho plano”
ÁNGULO Y DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS “El ángulo formado por dos rectas alabeadas se considera como el ángulo formado por una de las rectas alabeadas, con una paralela a la otra” Del gráfico :
Si :
Luego : d : distancia entre
“è” !
Es la medida del ángulo formado por las B. Dos rectas paralelas
rectas alabeadas “La distancia entre dos rectas alabeadas viene a ser la longitud del segmento de recta perpendicular a dichas rectas alabeadas y limitado por ellas”
H : Plano de proyección y Del gráfico : y MN : Es la mínima distancia entre las rectas alabeadas MÉTODO PARA CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS v
v
Es recomendable fijar un plano perpendicular a una de las rectas, el cual es denominado plano de proyección Luego, las proyecciones de dichas rectas sobre dicho plano pueden ser : A. Un punto y una recta, donde dicho punto no pertenece a la recta
H : Plano de proyección : Alabeadas P: Es proyección ortogonal de : Es proyección ortogonal de
sobre el plano “H” sobre el plano “H”
: Rectas alabeadas
y
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene 8 rectas paralelas en el espacio y 6 puntos cada cuatro no coplanares. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar A) 96 B) 68 C) 108 D) 136 E) 54 02. Se tiene en el espacio 6 puntos; 8 rectas paralelas y 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar A) 206 B) 180 C) 201 D) 270 E) 281 03. Si una recta es paralela a un plano, entonces es cierto que: I. La recta no está contenida en el plano II. La recta es paralela a todas las rectas del plano III. Por dicha recta pasan infinitos planos paralelos al plano dado A) I B) I y II C) I; II y III D) I y III E) II y III 04. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es verdadera? A) Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre sí. B) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí. C) Si un plano interseca a una de tres rectas paralelas, también interseca a las otras dos D) Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano, está contenida en el plano. E) Por cualquier punto exterior de un plano sólo puede trazarse un plano paralelo al primero. 05. La figura que a continuación se presenta es un cubo. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman y ?
paralela a todas las rectas del plano ( ) Si una recta es paralela a uno de dos planos secantes, entonces, lo será necesariamente al otro ( ) Si una recta es perpendicular a un plano, entonces toda perpendicular a dicha recta (no contenida en el plano) será paralela a dicho plano ( ) Dos rectas son paralelas entre sí y paralelas a un plano Q, entonces el plano que las contiene será paralelo siempre a Q A) VFFFV B) VFFVF C) VFFVV D) VVFVV E) VFFFF 07. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa? A) Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí B) Una recta y un plano exterior, perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí C) Por un punto de un plano solo puede pasar un plano que le sea perpendicular D) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí E) Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano todo plano que pase por la primera recta será perpendicular al plano 08. Responder verdadero (V) o falso (F) ( ) Si una recta forma un ángulo recto con una de tres rectas paralelas también lo formará con las otras dos ( ) Por un punto exterior a dos rectas alabeadas siempre se puede trazar una perpendicular a dichas rectas ( ) Si los planos en que se encuentran dos rectas alabeadas no son secantes, entonces la distancia entre ellas es perpendicular a ambos planos A) VFV D) FFF
A) 90 D) 60
B) 45 E) 53
C) 30
06. Indicar verdadero o falso de las siguientes proposiciones : ( ) Pueden dos rectas alabeadas pertenecer a dos planos paralelos ( ) Si una recta es paralela a un plano. será
B) FFV E) VVV
C) FVF
09. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa? A) Por un punto exterior a un plano pasa un solo plano no perpendicular a él B) Dos rectas que forman ángulos iguales con un plano, son paralelos entre sí C) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas entre sí D) En el espacio, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí E) Ninguna anterior 10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” por “A” se levanta la perpendicular
al plano
del triángulo ABC y luego se trazan perpendiculares a (“P” y “Q” en MQ=6 y PC=8, calcular : AC/MB A) 10
B) 4/3
D)
E)
). Si :
C)
11. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado de un plano X distan de dicho plano 6 y 9. Si la proyección de sobre el plano mide 30°, calcular la distancia entre los puntos “A” y “B” A) 15
B) 15
D) 12
E) 12
C) 12
12. Se tiene un plano “P” en el cual se halla un círculo de radio 5,5 y en el espacio el punto “A” cuya distancia al plano es 12. Si la mínima distancia de “A” a la circunferencia es 13, calcular la máxima distancia de “A” a la circunferencia A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 25 13. La diferencia entre las proyecciones de un segmento de recta sobre un plano “P” y sobre una recta perpendicular al plano es igual a 7 cm. Si el segmento mide un centímetro más que su proyección sobre “P”, calcular la medida del segmento A) 13 B) 5 C) 10 D) 10
E) 12
14. En la figura el plano R es paralelo al plano S; AM = MB y “G” es baricentro del triángulo ABC. Calcular : PG/GQ
A) 1/2 D) 1
B) 1/3 E) 1/6
C) 1/4
15. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenido en un plano “P” y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular el ángulo que forma su hipotenusa con el plano “P” A) 45° B) 30° C) 60° D) ArcSen
E) ArcCos
16. Por el extremo “A” del diámetro de una circunferencia se levanta una perpendicular al plano del círculo, sobre esta pependicular se toma un punto “M” y se une “B” con un punto “C” de la circunferencia. Calcular MC, si MB = 26 y BC = 14 A) 2 D) 18
B) 4 E) 20
C) 4
17. Los puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cm encima de un plano horizontal, además la proyección de sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud del menor camino de “A” a “B” pasando por un punto del plano. A) 13 B) 15 C) 17 D) 21 E) 14 18. Dado un triángulo ABC, equilátero, se traza , perpendicular al plano del triángulo. Si AE=BC, calcular la medida del ángulo con que se cruzan A) 75
B) 90
D) 150
E) ArcCos
C) 120
19. Se tiene un plano P y un punto exterior “S”, desde el cual se trazan las oblicuas , que forman con “P” ángulos que miden 30; 45 y 53 respectivamente. Si A, B y C se encuentran en el plano, y SB=8, calcular SA+SC A) 8
B) 12
D) 10
E) 13
C) 11
20. Dado un cuadrado ABCD, por “M” punto medio de se levanta perpendicular al plano del cuadrado tal que AB=PM=3. Se une “P” con “D” de modo que interseca en “E” al plano que pasa por y es perpendicular al plano del cuadrado. Calcular el área de la región triangular CED A) B) 2 C) 3 D)
/2
E) 2
TAREA 01. Se tienen los segmentos alabeados y perpendiculares tal que AB=12 y CD=16. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de A) 5 D) 10
B) 12 E) 13
C) 15
02. La hipotenusa de un triángulo rectángulo BVC, mide BC = 13. Por “V” se traza , perpendicular al plano BVC, de modo que AB=9 y AC=10. Si “M” es punto medio de , calcular la mËVMB A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 53 03. De las siguientes afirmaciones cuántas son incorrectas : ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre ( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar
un solo punto ( ) La intersección de tres planos es necesariamente una recta ( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo ( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 2
2
04. En un triángulo ABC, BC=6 y AC +AB =68. Por “A” pasa un plano tal que la perpendicular trazada del punto medio de al plano mide 3. Calcular la distancia del vértice “A” al pie de la perpendicular A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
E) 3
05. Por el vértice A de un triángulo ABC, se levanta la
perpendicular
al plano del triángulo. Se
trazan . Si MQ = 5; PB = 6; MP=4 y mËBMC=30, calcular SBMC A) 15 D) 40
B) 20 E) 18
C) 30
06. De las siguientes afirmaciones cuántas son incorrectas: ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre. ( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar un solo punto. ( ) La intersección de tres planos es necesariamente una recta. ( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo. ( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)1
09. Determinar el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto del espacio a las rectas que se encuentran en un plano dado y que concurren en un punto A) Triángulo equilátero B) Un círculo C) Una circunferencia D) Una cuadrado E) Una elipse 10. Se tiene dos rectas alabaeadas
,
la mínima distancia entre ambas (“M” en “N” en
) . Sobre
B) E) 3
sobre un punto “Q”. ¿Qué ángulo forman las dos rectas si mËMPN=45, y mËNPQ=45 y mËMPQ=60? A) 30 B) 37 C) 45 D) 60 E) 90
C) 4,8
08. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide
. Por B se
levanta perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcular el área de la región triangular AEC A)
/4
D) 4
B) /3
/2
C)
E) 4
DIEDROS - DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS ÁNGULO DIEDRO DEFINICIÓN: Un ángulo diedro es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen una recta en común. A dicha recta se le denomina arista y a los semiplanos se les denomina caras ÁNGULO PLANO O RECTILÍNEO DE UN ÁNGULO DIEDRO: Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentran en las caras del ángulo diedro. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.
y
se toma un punto “P” y
07. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD se levanta la perpendicular a su plano. Calcular la distancia desde “A” al plano SCD; OS = 4 y AB =6 A) D) 2,4
es
ELEMENTOS: Caras: P y Q
Aristas: AB Ángulo plano: è
forman cuatro ángulos diedros iguales.
NOTACIÓN Diedro PABQ ó diedro AB TEOREMA: Si desde un punto interior a un ángulo diedro se trazan dos rayos perpendiculares a las caras, se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedro son suplementarios. Si :
En la figura, los planos P y Q son perpendiculares.
z plano P
TEOREMA Si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que la contiene será perpendicular al primer plano
z planto Q Entonces : x + y = 180
DEMOSTRACIÓN Por el teorema de las tres perpendiculares. y Y y
Y
En el cuadrilátero ANBO x + y =180°
PLANOS PERPENDICULARES Dos planos son perpendiculares si son secantes y
En la figura si la recta L es perpendicular al plano P entonces se podrá afirmar que el plano Q es perpendicular al plano P. PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y determina dos ángulos diedros de igual medida.
En la figura el plano R es el plano bisector del ángulo diedro PABQ
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indicar con (V) lo verdadero y con (F) lo falso, en las siguientes proposiciones : ( ) Si dos planos son perpendiculares toda recta incluida en uno de ellos será perpendicular al otro ( ) Si una región es perpendicular a un plano, dicha región no tiene proyección sobre el plano dado ( ) Si dos rectas son alabeadas, todo plano que contiene a una de dichas rectas será paralela al otro A) VVV B) FFF C) FVF D) VFV E) FFV 02. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F): ( ) Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser paralelas ( ) Todo plano perpendicular a la arista de un
diedro es perpendicular a las caras del diedro ( ) Si una recta es perpendicular a una de las caras de un diedro y paralela a la otra cara entonces la medida del diedro es 90 A) FVV B) VFV C) FFF D) VVF E) VVV 03. Se tiene un diedro MN que mide 60 y un punto F situado en su plano bisector. Si F dista de 10 u, calcular la distancia de F a las caras del diedro A) 3
B) 4
D) 10
E) 5
C) 5
04. Los cuadrados ABCD y CDEF están ubicados en planos perpendiculares. Calcular la medida del ángulo que determinan los segmentos y A) 30 B) 45 C) 60
D) 75
E) 90
D) L
E) L
05. Dos regiones rectangulares congruentes ABCD y ABC´D´ forman un ángulo diedro que mide 60. Si AD=2AB, calcule la medida del ángulo que determinan las diagonales y A) ArcCos(-1/5) B) ArcCos(-2/5) C) ArcCos(3/5) D) 30 E) 45
10. Se tiene una región cuadrada ABCD y una región triangular equilátera ABE, cuyos planos que los contienen son perpendiculares. Si AB = a, entonces la distancia entre y es:
06. Una placa cuadrada ABCD está doblada por la diagonal de forma que el plano ABC es
11. Los cuadrados ABCD y ADEF están contenidos en dos planos perpendiculares, tal que AB=2. Calcular la menor distancia entre y
perpendicular al plano ACD, P 0
. Si 3CP =
PA. entonces el ángulo formado por mide: A) ArcCos
B) ArcCos
D) ArcCos
E) ArcCos
y
C) ArcCos
0 L1,
. Si PA2 +
0 L2, y M es punto medio de 2 2 AB + BQ = 32; calcular : AM A) 4
B) 2
D) 2
E) 8
C) 6
08. En la figura P y Q son 2 planos perpendiculares, es un segmento tal que M 0 P y N 0 Q, si MN=L, la medida del ángulo entre
B) a
D) a
E) a
A) 2
B)
D)
E) 1
y P es
Igual a 30 y la medida del ángulo entre
yQ
es Igual a 45. Calcular la distancia entre
y
C)
A) 20/
B) 30/
D) 18/
E) 10/
C) 16/
13. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son los puntos P y Q respectivamente, calcular la distancia entre si AB = 4 m. A)
m
B) 2
D)
/2 m
E)
m
C) 3
m
/4 m
14. En la figura mostrada la arista del cubo mide “k”. Calcular la mínima distancia entre
.
A)
B)
D)
E)
C)
A) 09. Un segmento
es secante a un plano P (A 0
P), se ubican los puntos C y D en P. Si z y
es L, entonces la distancia entre es: B) L
C) L
D)
B) 3 /3 k
E)
k
C) 5
k
/4 k
zP;
, mËBAD=mËDAC=45 y la medida del
segmento A) L
C) a
12. Sobre las caras P y Q de un ángulo diedro recto, se ubican los puntos A y B, tal que AB=10 . El segmento AB forma con las caras P y Q ángulos que miden 37 y 30 respectivamente. Calcular la menor distancia entre la recta AB y la arista del ángulo diedro.
07. Las rectas L1 y L2 se cruzan ortogonalmente es perpendicular común entre ambas,
A) a
15. La circunferencia de centro O y el cuadrado ABCD, están contenidos en planos perpendiculares, siendo una cuerda de dicha circunferencia. Se ubica el punto M en , tal que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25. Calcular la
distancia de M a A) 40 D) 43
B) 41 E) 44
C) 42
16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B), por el circuncentro “O” de dicho triángulo se traza perpendicular al plano del triángulo (OP = 4 u). Calcular la mínima distancia entre
y
, si BC = 4 u A)
B)
D)
E)
C)
17. Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABP ubicados en planos perpendiculares. Calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos de los triángulos AMD y MBC, siendo “M” el punto medio de A) 45 D) 90
B) 60 E) 110
C) 75
18. Se tiene un cuadrante AOB (AO=OB=2 ) y un triangulo equilátero OBC ubicados en planos perpendiculares, calcular la distancia entre y la proyectante de C sobre el plano del cuadrante (P 0 AB) sabiendo que m A) 3 D) 4
B) 6 E) 2
= 37
C) 9
19. Dado un cuadrante AOB de radio r se ubica un punto P exterior, de modo que los triángulos OPA y OPB son equiláteros, calcular la mínima distancia entre A) r
B) r
/2
D) r
E) r
/2
C) r/2
20. Según la figura, calcular el área de la región sombreada si el semicírculo y el rectángulo ABCD se encuentran en planos perpendiculares, AB=2BC y MN=MO A)
B) E)
C)
D)
TAREA 01. Sea perpendicular a un plano que contiene al ÄABC. Si AB=15, AC=14, BC=13 y BD=12, entonces la medida del ángulo diedro que determinan los planos ADC y ABC es: A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 02. En un ÄABC equilátero la medida de su lado es L, considerando el lado como eje de giro se rota el triángulo ABC hasta que el vértice B alcance la posición B1, tal que él ángulo diedro que forman los planos que contienen a los es la triángulos ABC y AB1C es recto. Si altura, entonces la distancia entre los baricentros de las regiones triangulares BHC y CHB1 es: A) L
B) L
D) L
E) L
C) L
03. Una placa de forma rectangular ABCD, tal que: 2AB=AD=2a, se dobla según la diagonal , determinando un ángulo diedro recto. Calcular la distancia entre las rectas AC y BD. A) a B) a C) a D) a
E) a
04. ABCDEF y ABGHIJ son 2 regiones hexagonales regulares que determinan un ángulo diedro recto. Si AB=a, entonces mide: A)
B)
D)
E)
C)
06. Por el centro I de un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza perpendicular al plano del triángulo tal que el área de la región MBC es 2 30 cm , dicha región forma con el plano del triángulo un diedro de 53° y la mËBCA=37, calcular AM. A)
B)
D) 7,5
E) 2
C) 6,5
07. Se tiene un trapecio isósceles ABCD ( ); donde AB=BC=2m con centro en A se traza el cuadrante BAN de tal manera que el plano que lo contiene sea perpendicular al plano que contiene al trapecio. Calcular la distancia entre A) 2
/7
B)
/7
D) 2
/6
E)
/5
C) 2
08. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEB están contenidos en planos perpendiculares. Se ubican los puntos medios M y N de respectivamente. Calcular la distancia del punto C al punto medio del segmento si AB=6. A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9 09. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4 u, con diámetro se traza una semicircunferencia perpendicular al plano del cuadrado y se traza la cuerda de longitud igual a 2 u ( // ) Calcular la menor distancia entre
05. Dos regiones limitadas por los triángulos equiláteros ABC y ABE determinan un ángulo diedro. Si AB=2 y CE= ; entonces la medida del ángulo diedro AB es: A) 60 B)18 C) 45 D) 30 E) 36
/5
A)
B)
D)
E)
y
C)
10. Dado un triángulo ABC se traza la altura (AB=BC=5) y perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo se traza el cuadrado BHPQ. Si AC=6 m, calcular el área de la región triangular APQ 2 2 2 A) 2 m B) 6 m C) 10 m 2 2 D) 12 m E) 16 m
ÁNGULOS POLIEDROS - ÁNGULOS TRIEDROS POLIEDROS ÁNGULOS POLIEDROS Un ángulo poliedro es una figura geométrica formada por infinitos rayos que tienen el origen común y
contienen a los puntos de un polígono que está en un plano que no contiene a dicho origen. Vértice : Es el origen común “O”
Aristas : Son los rayos que pasan por los vértices del polígono : OA, OB, OC, ........ Caras : Son las regiones angulares formadas por dos aristas consecutivas : a, b, c, d, ............. Diedros : Son los ángulos diedros formados por dos caras consecutivas : x, y, z, w, ..........
las otras dos. b-c
En todo ángulo triedro se cumple que la suma de los tres diedros es mayor que 180° y menor que 540°. 180° < x + y + z < 540°
4.
En todo ángulo triedro se cumple que a caras iguales se oponen diedros iguales. Si a = b entonces x = y
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS TRIEDROS 1. 2. CLASIFICACIÓN Los ángulos poliedros se clasifican de acuerdo a su número de caras de la siguiente manera: * ÁNGULO TRIEDRO : Si tiene 3 caras * ÁNGULO TETRAEDRO : Si tiene 4 caras * ÁNGULO PENTAEDRO : Si tiene 5 caras TEOREMA En todo ángulo poliedro la suma de las medidas de todas las caras es mayor que 0° y menor que 360° ÁNGULO TRIEDRO Es aquel ángulo poliedro que tiene 3 caras.
Vértice : O Aristas : , Caras : a, b, c Diedros : x, y, z
4. 5.
6.
TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO. Si sus tres caras miden 90°. Sus tres diedros también miden 90°.
PROPIEDADES EN EL TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO 1. En todo triedro trirrectángulo se cumple que la proyección del vértice sobre un plano secante a las aristas coincide con el ortocentro de la sección determinada por dicho plano.
y
PROPIEDADES 1. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de las tres caras es mayor que 0° y menor que 360° 0° < a + b + c < 360° 2.
3.
TRIEDRO ESCALENO. Si sus tres caras son diferentes. TRIEDRO ISÓSCELES. Si dos de sus caras son iguales. TRIEDRO EQUILÁTERO. Si sus tres caras son iguales. TRIEDRO RECTÁNGULO. Si una de sus caras mide 90°. TRIEDRO BIRRECTÁNGULO. Si dos de sus caras miden 90°.
En todo ángulo triedro se cumple que una cara es menor que la suma y mayor que la diferencia de
En la figura “H” es el ortocentro del triángulo ABC y además es la proyección del vértice “O” sobre el plano ABC Demostración Por el teorema de las tres perpendiculares se puede afirmar que: z y z Y z z
y
z
Y
z
Además se tiene que: z plano AON Y z plano COM Y
z
......... (1)
z
......... (2)
de (1) y (2) se concluye que z plano ABC Luego : “H” es la proyección de “O” “H” es el ortocentro del ÄABC 2.
En todo triedro trirrectángulo se cumple que la inversa del cuadrado de la distancia del vértice hacia un plano secante a las aristas, es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las distancias del vértice hacia los puntos de intersección de las aristas con dicho plano.
Demostración: Área (ÄBHC) = Área (ÄBOC).Cos è Área (ÄBOC) = Área (ÄABC).Cos è Luego: 2 [Área (ÄBOC)] = Área (ÄBHC). Área (ÄABC) 4.
En todo triedro trirectángulo se cumple que al trazar un plano secante a las aristas, el cuadrado del área de la sección determinada, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las regiones triangulares determinadas en las caras.
Demostración BOC :
.................. (1)
AOM :
.................. (2)
Reemplazando (2) en (1) :
Demostración: Aplicando la propiedad número 3
3.
En todo triedro trirrectángulo se cumple que al trazar un plano secante a las aristas, el área de una región triangular determinado en una cara, es media proporcional entre el área de su proyección sobre dicho plano y el área de la sección determinada por el plano.
2
Área (ÄBOC) = Área (ÄABC) . Área (ÄBHC) 2
Área (ÄAOB) = Área (ÄABC) . Área (ÄAHB) 2
Área (ÄAOC) = Área (ÄABC) . Área (ÄAHC) Si sumamos miembro a miembro quedará demostrado la propiedad. POLIEDROS Un poliedro es una figura geométrica formada por cuatro o más regiones poligonales no coplanares, de tal manera que entre dos regiones adyacentes o contiguas existe una arista común. La diagonal de un poliedro es aquel segmento que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara. Un poliedro se denomina convexo si sólo tiene dos
puntos en común con cualquier recta secante Caras : ABCD, BCGF, ................ Aristas : AB, BC, CD, .................. Vértices : A, B, C, ........................ Diagonales : BH, DF, AG, ............
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS Los poliedros se clasifican de acuerdo al número de caras, de la siguiente manera : POLIEDRO
N° CARAS
Tetraedro
4
Pentaedro
5
Exaedro
6
Heptaedro
7
Octaedro
8
Nonaedro
9
Decaedro
10
Endecaedro
11
Dodecaedro
12
Pentadecaedro
15
Icosaedro
20
PROPIEDADES 1.
TEOREMA DE EULER : En todo poliedro se cumple que la suma entre los números de vértices y caras es igual al número de aristas aumentado en dos
V+C=A+2 Donde : V = Número de vértices C = Número de caras A = Número de aristas
2.
En todo polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices menos dos 3 Ë i = 360° (V - 2) Donde : V = Número de vértices
3.
El número de diagonales de un poliedro se determina mediante la siguiente fórmula
Donde : V = Número de vértices A = Número de aristas D.C = Número de diagonales de todas las caras
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dos caras de un triedro miden 150 y 170. Entonces, la mayor medida entera de la tercera cara es: A) 39 D) 25
B) 21 E) 38
C) 30
02. En un triedro OABC, las caras BOC y AOB miden 179 y 79, respectivamente. Si la medida de la cara AOC es un número entero, entonces la medida de dicha cara es: A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104 03. OABC es un triedro isósceles (OB=OC). Si OA mide 45 entonces entre qué valores puede estar la medida del diedro OB. A) 68 < è < 112 B) 67 < è < 110 C) 67,5 < è < 100 D) 67,5 < è < 112 E) 67,5 < è < 112,5 04. En un triedro OABC donde las caras AOB y BOC miden 26,5 y el diedro OB mide 90, calcular la medida de la cara AOC. A) 30 B)37 C)53 D) 60 E) 45 05. En un triedro trirrectángulo OXYZ: - En la cara OXZ se ubica A que dista de OZ y de OX, 4 y 6 respectivamente. - En la cara XOY se ubica B que dista de OX y
de OY, 3 y 6 respectivamente En la cara ZOY se ubica C que dista de OZ y OY, 6 y 2 respectivamente. Si el plano ABC intersecta al eje OY en el punto P, entonces la medida de es: A) 6 B) 6,5 C) 7 D) 7,5 E) 8 -
06. Indicar en las siguientes proposiciones, cuáles son verdaderas (V) y falsas (F): ( ) En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al numero de aristas más dos. ( ) Una superficie poliédrica está determinada por cuatro o más regiones poligonales planas. ( ) Si a un poliedro se traza una recta secante y ésta, sólo determina dos puntos de intersección, el poliedro será denominado convexo. A) VFV D) FVF
B) VFF E) FVV
C) FFF
07. Se tiene un poliedro convexo que está formado por “x” triángulos, 4 cuadriláteros y “z” pentágonos. Si además se sabe que la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4680, calcular : (“z” - “x”); (z > x) A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5
08. En un poliedro de seis caras y doce aristas, calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras A) 2 520 B) 1 800 C) 3 600 D) 2 160 E) 1 440 09. El número de caras más el número de vértices más el número de aristas y más el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de las caras de todos los ángulos sólidos de un poliedro convexo excede en 14 al doble de la suma del número de aristas y vértices. Calcular el número de vértices A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 10. Un poliedro de 29 vértices está formado por 6 triángulos, 18 cuadriláteros y “n” pentágonos. Calcular su número de aristas A) 35 B) 45 C) 55 D) 65 E) 75 11. En las aristas OA, OB y OC de un ángulo triedro OABC se ubican los puntos M, N y T respectivamente. Calcular la medida del diedro OA si las caras AOB y AOC miden 90, mËOMN = 45; mËNMT = 18,5 y A) 30 D) 26,5
B) 60 E) 18,5
C) 45
12. Calcular la medida del mayor ángulo diedro de un ángulo triedro en el cual dos de sus caras miden 53 y la tercera 74 A) 60 B) 37 C) ArcCtg(3/5) D) ArcSen(3/4)
E) ArcSen
13. En un ángulo triedro OABC los ángulos diedros OB y OC miden 127 y 173. Si la medida del diedro OA es entero y menor que 122, calcule su medida A) 120 B) 110 C) 115 D) 90 E) 121 14. En un triedro OABC si OA=BC; OB=AC y OC=AB, calcular la suma de las medidas de las caras del triedro. A) 60 B) 120 C) 180 D) 270 E) 90 15. Se tiene un ángulo triedro equilátero S-ABC, cuyas caras miden 30. Entonces la medida de uno de sus ángulos diedros es : A) ArcCos(2 +3) B) ArcCos(3 ) C) ArcCos(
-1)
D) ArcCos(2
+2)
E) ArcCos(2
-3)
16. En el ángulo triedro O-ABC, mËBOC=60 y los ángulos diedros OB y OC miden : ArcCtg . Calcule la medida del ángulo que forma OA con la cara BOC A) 45 B) 60 C) ArcCtg(1/2) D) ArcCtg( /3) E) ArcCtg(2 ) 17. Se tiene un poliedro convexo que está limitado por cierto número de regiones triangulares y cuadrangulares, y además por tres regiones hexagonales. Si el número de aristas y el número de vértices de este poliedro son respectivamente 25 y 15, calcular el número de regiones triangulares que limitan a este poliedro A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. El número de caras, más el número de vértices más el número de aristas de un poliedro es 98. Calcular cuántas caras tiene, sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos de sus caras es 7 200 A) 14 B) 18 C) 24 D) 28 E) 32 19. La diferencia entre la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de dos poliedros A y B es 2 880. Si la diferencia entre el número de caras es 18, hallar la diferencia entre el número de aristas A) 13 B) 18 C) 26 D) 30 E) 34 20. En un tetraedro, dos aristas opuestas miden 6 y 8 m respectivamente. Calcular la suma de las medidas de todas las aristas del tetraedro, sabiendo que sus aristas son tangentes a una esfera. A) 42 B) 28 C) 32 D) 56 E) 47
TAREA 01. Un plano intersecta a las aristas de un ángulo triedro O en los puntos A, B y C de modo que : mËAOB=mËCOB = 60 y mËAOC = mËABC = 90. Si OA+OC=m, calcule OB A) m/7 B) m/6 C) m/5 D) m/2 E) m/3 02. En un triedro OABC los diedros
y
03. En un triedro O-ABC los diedros y miden 60 cada uno y a= 60. Calcular la medida del ángulo AOC. A) ArcCos(2/7) B) C) ArcCos(1/8) E) ArcCos(2/9)
miden
cada uno 164. Calcular la medida del diedro si ésta es menor que 150. A) 130 B) 128 C) 138 D) 149 E) 141
ArcCos( /7) D) ArcCos(1/6)
, 04. Se tiene un triedro O-ABC en el cual c = a = 45 y Cosá=3/5 (á es la medida del ángulo AOC). Calcular la medida del ángulo que forma
con
el plano que contiene a los puntos A, O y C. A) 37
B) 15
D) ArcCos
A) 80 D) 45
09. Calcular el número de aristas de aquel poliedro convexo cuyo número de caras es igual al número de vértices, además la suma de las medidas de los ángulos de todas sus caras, es de 1 440 A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 4
E)
05. Sea el ángulo triedro O-ABC, las caras AOB y BOC miden 45, la semicircunferencia de diámetro (E 0 ) intersecta a en el punto A. Si OC=15, EC=5 y AE=4, calcular la medida del diedro . B) 26,5 /2)
C) 60
C) 16
ArcCos
A) 30 D) ArcSen(
B) 65 E) 50
C) 18,5 E) ArcTg(2
10. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro formado por 6 cuadriláteros y 8 triángulos? A) 36 B) 26 C) 24 D) 48 E) 30
)
06. Determinar el número de caras de un poliedro sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 7 200 y la suma entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas es igual a 98. A) 16 B) 20 C) 28 D) 30 E) 32 07. Un poliedro está formado por 3 regiones cuadrangulares, 5 pentagonales y x triangulares. Calcular x, sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4 320. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 08. Un poliedro convexo, está conformado por polígonos de cinco diagonales; si las caras fueran triangulares se necesitarán 40 caras más, para que el número de aristas no varíe. ¿Cuántas caras tiene el sólido inicial?
POLIEDROS REGULARES Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares congruentes, de tal manera que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Existen solamente cinco poliedros regulares, los cuales son : A. TETRAEDRO REGULAR : Está formado por cuatro triángulos regulares. En cada vértice concurren tres caras
V=4 C=4 A=6
V = 20 C = 12 A = 30
B. EXAEDRO REGULAR : Está formado por seis cuadrados. En cada vértice concurren tres caras
V=8 C=6 A = 12
E. ICOSAEDRO REGULAR : Está formado por veinte triángulos regulares. En cada vértice concurren cinco caras
V = 12 C = 20 A = 30
C. OCTAEDRO REGULAR : Está formado por ocho triángulos regulares. En cada vértice concurren cuatro caras
V=6 C=8 A = 12
D. DODECAEDRO REGULAR : Está formado por doce pentágonos regulares. En cada vértice concurren tres caras
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. De las proposiciones señale verdadero (V) o falso (F): ( ) Si por un vértice de un poliedro regular pasan 5 de sus caras, entonces el poliedro es un icosaedro regular. ( ) El poliedro que se forma al unir los centros de las caras de un exaedro es un octaedro regular. ( ) Si el poliedro regular tiene 30 aristas, entonces puede ser un dodecaedro regular. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF 02. En un tetraedro regular cuya arista es de longitud 3 calcular la distancia del baricentro de una cara al plano de cualquier otra cara. A) 1
B) 2
D) 2
E)
C)
03. En un tetraedro regular ABCD la distancia del centro de la cara BCD hacia es 2 , calcular el volumen de dicho sólido. A) 9 B) 12 C) 15 D) 18
E) 16
04. ABCD-EFGH es un hexaedro regular, se ubican los puntos medios M y N de las aristas HG y FG respectivamente. Si P es punto medio de y AB=1 u, entonces la longitud del segmento PA es: A)
/4
B)
/4
D)
/4
E)
/4
C)
/4
05. En el cubo ABCD-EFGH, G1, es el centro de la cara ABFE. Calcular la medida del ángulo determinado por A) ArcTg2
B) ArcTg3
D) ArcTg
E) 60
C) ArcTg
06. En un octaedro regular M-ABCD-N la arista mide a unidades, el punto P es punto medio de , entonces, la mínima distancia entre los segmentos BC y MP es: A) /5 B) /4 C) /3 D)
/2
E)
07. En un octaedro regular E-ABCD-F se une el vértice A con el baricentro G de la cara ECD. Si AG = 3 unidades, entonces la distancia de G al plano que contiene los vértices A, B, C y D es: A) B) 3/2 C) 1/2 D) 1/4 E) 1
08. Si en un dodecaedro regular, dos caras adyacentes son los pentágonos regulares ABCDE y EFGHD, entonces, la medida del ángulo formado por las rectas AB y FH es: A) 15 B) 30 C) 36 D) 45 E) 72 09. Calcular la razón de áreas de las superficies de un octaedro regular y un icosaedro regular, si el inradio de una de las caras del octaedro es igual al circunradio de una de las caras del icosaedro regular. A) 5/8 B) 7/8 C) 12/7 D) 8/5 E) 8/7 10. En un octaedro regular cuyo volumen es V, calcular el volumen de su correspondiente poliedro conjugado inscrito. A) V/9 B) 2V/9 C) V/7 D) 3V/7 E) V/5 11. Analizar las siguientes proposiciones: ( ) Si en un poliedro todas las caras están limitadas por polígonos regulares congruentes, entonces dicho poliedro es regular ( ) En un tetraedro regular los radios de la esfera inscrita y circunscrita están en la razón de 1 a 4 ( ) En todo poliedro regular existe un punto interior que equidista de todos sus vértices y de todas las caras ( ) Los radios de las esferas inscrita y circunscrita a un cubo están en la razón de 1 a A) VFFF B) VFVF C) FFFF D) FFFV E) FFVV 12. En un tetraedro regular sabiendo que la distancia entre dos aristas que se cruzan es 3 , calcular la longitud de la arista del poliedro conjugado del tetraedro. A) 4/5 D) 4
B) 4/3 E) 6
C)2
13. En un tetraedro OABC en donde el triángulo ABC es equilátero y OA=OB=OC el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es 2 u y el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo OBC es u . Calcular el área de la superficie total del tetraedro. A) 72 B) 156 C) 48 D) 96 E) 36 14. En un hexaedro regular la arista mide a unidades, se traza un plano perpendicular por el punto medio de una de las diagonales del hexaedro. Calcule el área de la sección determinada en el
hexaedro. 2 A) a D) a
2
18. En un dodecaedro regular, calcular el valor de la B) 3a
2
C) 2a
2
siguiente expresión:
2
E) (3
/4)a
donde: T: Número de triángulos contenidos en la superficie del sólido y cuyos vértices son los vértices del dodecaedro regular. M: Número de trapecios contenidos en la superficie del sólido y cuyos vértices son los vértices del dodecaedro regular. V: Número de vértices del dodecaedro regular. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
15. En un cubo la arista mide a unidades, teniendo como referencia un vértice se dibuja un tetraedro regular uniendo los vértices no adyacentes del cubo. Uniendo los centros de cada cara del cubo se dibuja un octaedro regular. Entonces, la razón entre el área total del tetraedro y el área total del octaedro es: A) 1/3 B) 1/2 C)1 D) 2 E) 3 16. En un octaedro regular la longitud de su diagonal es igual al radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular. Calcular la razón de volumen de dichos poliedros. A) 3 /16 B) 3 /8 C) 5 /8 D) 5
/16
E) 8
/9
17. En un octaedro regular, la distancia del centro a una cara es d unidades. Entonces la longitud de la arista es: A) d B) d C) d D) d
19. Calcular la razón de áreas de las superficies de un octaedro regular y un icosaedro regular, sabiendo que el circunradio de una de las caras del octaedro tiene igual longitud que la arista del icosaedro.
E) d
A)
B)
D)
E)
C)
20. En un octaedro regular S-ABCD-R en las aristas se ubican dos puntos P y Q. Si SP/PC=1/2; DQ=QC. Si la arista del octaedro mide L unidades, entonce el perímetro de la sección plana determinada por el plano que pasa por los punto P y Q y el centro del octaedro es: A)
B)
D)
E)
C)
TAREA 01. En un octaedro regular, calcular la razón de áreas de las proyecciones de dicho octaedro sobre un plano perpendicular a una arista y a la diagonal del octaedro. A) D)
B) /2
/2
C)
E) 3
02. En un tetraedro regular la medida de una altura es /2 Calcular la medida del menor recorrido para ir de un vértice al baricentro de la cara opuesta a través de la superficie. A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 03. Dado un octaedro regular, se traza su poliedro
conjugado inscrito y a esto nuevo poliedro también se le traza su poliedro conjugado inscrito. Calcular la razón de las longitudes de las aristas del octaedro y segundo poliedro conjugado trazado. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 04. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se ubica N punto medio de distancia entre A) 1 D) 2
. Si AB= y B) E) 2,5
, calcular la
. C)
05. Se tiene el hexaedro regular ABCD-EFGH,
calcular la medida del ángulo diedro determinado por los planos EBH y BGH. A) 90 B) 120 C) 135 D) 150 E) 75 06. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su arista es a; la altura intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de Calcular OP. A)
B)
D)
E)
09. En un exaedro regular cuya longitud de su arista es a, calcular la medida del ángulo que forman y la distancia que hay entre una diagonal del cubo y una diagonal de una de sus caras sabiendo que ambas se cruzan. A) 60 y a /3 B) 90 y a /6 C) 90 y a /3 D) 90 y a
/6
E) 60 y a
/6
. 10. En un exaedro regular ABCD-EFGH, calcular la distancia entre (O: centro de la cara ADHE), si la longitud de la arista del exaedro es
C)
3 . A) 1cm
B) 2
D)
E) 2
C) 3
07. Se tiene un exaedro regular ABCD-EFGH cuya arista es de longitud a, si P es punto medio de la arista y Q centro de la cara ABCD, calcular la distancia entre A) a
/5
B) a
/4
D) a
/6
E) a
/7
C) a
/3
08. En un octaedro regular P-ABCD-Q, se traza un plano paralelo a que contiene al punto P y al punto medio de
, si el volumen del octaedro
es 72 , calcular el área de la sección determinada por el plano y el octaedro. A) 12 B) 10 C) 5 D) 6
E) 8
PRISMA - PARALELEPÍPEDO SUPERFICIE PRISMÁTICA - PRISMA Se llama superficie prismática a aquella superficie generada por una recta que se desplaza paralelamente a sí misma, apoyándose en una poligonal plana cerrada y convexa. En la figura : La recta AA’ al desplazarse paralelamente sigue un recorrido que consiste en tocar permanentemente el borde del polígono plano ABCD, generándose de este modo la superficie prismática. La recta AA’ se llama generatriz y al polígono que sirve de base para el recorrido se denomina directriz.
PRISMA - DEFINICIÓN Llamaremos prisma, al sólido limitado por la superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos secantes a dicha superficie.
Las generatrices que pasan por los vértices del plano directriz se llaman aristas. El conjunto de generatrices que pasan por los puntos de un mismo lado de la generatriz forman una cara. Los polígonos paralelos y congruentes ABCDE y A’B’C’D’E’ se llaman bases y las distancias entre ellas aristas básicas. Los lados de dichos polígonos se denominan aristas básicas, la distancia entre las bases es la altura del prisma. Las caras restantes se denominan caras laterales.
ABCDEF: Hexágono regular OBSERVACIONES : Un prisma es recto si sus aristas laterales son perpendiculares a sus bases; en caso contrario será oblicuo. Un prisma recto es regular si sus bases son polígonos regulares. Un prisma se denomina según el polígono que tenga como base, siendo el menor el prisma triangular. ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA A. PRISMA RECTO
PRINCIPALES PRIS-MAS REGULARES 1.
PRISMA TRIANGULAR REGULAR
En todo prisma recto sus caras laterales son regiones rectangulares o cuadradas v Área de la superficie lateral (SL) : SL = (m + n + l)a v Área de la superficie total (ST) :
ÄABC : Ä equilátero
2.
PRISMA CUADRANGULAR REGULAR
ST = SL + 2S(base)
v Volumen V :
V = S(base) . a
ABCD : cuadrado
3.
PRISMA HEXAGONAL REGULAR
B. PRISMA OBLICUO En el prisma oblicuo las caras laterales son romboides o rombos.
Sección Recta (S.R) Es la sección determinada por un plano perpendicular a las aristas laterales del prisma como, el ÄMNL de la figura en donde todos los lados de dicho triángulo son perpendiculares a las aristas del prisma En el prisma oblicuo la altura y la arista lateral no son iguales
perpendiculares a los planos de las bases, se llama paralelepípedo recto y cuando no son perpendiculares se llama oblicuo. En todo paralelepípedo recto las caras laterales son rectángulos
B. ROMBOEDRO Este paralelepípedo se caracteriza por tener todas sus caras en forma de rombos ÁREA LATERAL (SL).- Es igual al perímetro de la sección recta por la arista SL = (m + n + l) a ÁREA TOTAL (ST).- Es igual al área lateral más la suma de las áreas de sus bases ST = AL + 2A(BASE) VOLUMEN (V) .-
Es igual al área de la sección recta por su arista o el área de la base por su altura
C. CUBO O HEXAEDRO REGULAR Es el paralelepípedo más conocido y cuya principal característica es el de tener todas sus caras iguales y con la forma de cuadrados ST = 6a2
V = a3
V = A(S.R)a = A(BASE)h PARALELEPÍPEDO Se llama paralelepípedo al prisma cuyas caras todas son paralelogramos En todo paralelepípedo sus caras opuestas son congruentes, sus ángulos poliedros opuestos también son congruentes y sus cuatro diagonales se bisecan mutuamente.
A. PARALELEPÍPEDO RECTO El paralelepípedo cuyas aristas laterales son
D. PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, ORTOEDRO O RECTOEDRO Es el paralelepípedo recto cuyas caras todas son rectángulos. Las tres aristas a, b y c que concurren en un vértice se llaman dimensiones del paralelepípedo.
ÁREA TOTAL:
(ST) ST = (ab + bc + ac)
DIAGONAL (D) : VOLUMEN (V) :
V = abc
TRONCO DE PRISMA Es el sólido determinado al cortar un prisma mediante un plano no paralelo a sus bases, si el prisma cortado es recto, el tronco de prisma será recto (a) y si el prisma es oblicuo se originará un tronco de prisma oblicuo (b)
A. VOLUMEN DE UN TRONCO DE PRISMA RECTO TRIANGULAR El volumen de un tronco de prisma recto de base triangular se calcula multiplicando el área de la base por el promedio de las longitudes de sus aristas
B. Volumen de un tronco de prisma oblicuo triangular El volumen de un tronco de prisma oblicuo de base triangular se obtiene al multiplicar el área de su base por el promedio de las longitudes de sus alturas
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En un prisma triangular regular cuya altura mide 8 y el desarrollo de su superficie lateral es una región rectangular cuya diagonal mide 16, entonces, el volumen del sólido limitado por el prisma es: A) 24
B) 25
D)
E)
C)
02. En un prisma triangular regular, los centros de sus caras laterales y el centro de una base son los vértices de un tetraedro regular cuya superficie total tiene por área 9 volumen del prisma es: A) 50
B) 52
D) 56
E) 58
m, entonces el
C) 54
03. En un prisma oblicuo triangular el área de una cara lateral ABCD es 5, el área de la base es 12. Sabiendo que las aristas laterales están inclinados 60° respecto a la base y tienen longitud 4, calcular la distancia de la arista opuesta a la cara ABCD. A) 40
/5
B) 41
/5
D) 44
/5
E) 48
/5
C) 43
/5
04. En un prisma oblicuo, el área lateral, el área de la sección recta y el perímetro de la sección recta miden S1, S2 y 2p. Calcular el volumen del prisma.
A)
B)
D)
E)
C)
05. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas segmentos cuyas longitudes son 8 u, 12 u y 6 u. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15 u, 5 u y 10 u respectivamente, calcular el área de la superficie lateral del tronco.
A) 220 D) 300
B) 250 E) 320
C) 270
06. Un tronco de prisma recto cuya base es un cuadrado ABCD de lado 1 m, se levantan perpendiculares al piano de su base las cuales miden: AE = 3 m, BF=10 m CG=9 m y DH=X m. Calcular el volumen del tronco de prisma A) 36 B) 27 C) 18 D) 6 E) 12 07. En un prisma oblicuo de bases regulares la proyección del vértice A sobre la base PQR coincide con el centro de dicha base. Si la arista básica mide L y las aristas laterales están inclinadas 30° respecto a la base entonces el volumen del prisma hexagonal de base regular inscrito en el prisma triangular es: A)
B)
D)
E)
C)
08. Un sólido está limitado por una región rectangular cuyas dimensiones miden 30 y 20 y por cuatro planos inclinados a 45° sobre el plano del rectángulo, calcular el volumen de dicho solido A) 3000 B) 4000/3 C) 3000 D) 7000/3 E) 8000/3 09. En un prisma regular triangular ABC - A'B'C' se traza un plano secante que pasa por A, E y F. Si E y F pertenecen a las aristas BB' y CC' tal que BE=EB'=3 u. CF=2FC'=4, las rectas AE y AF interceptan al plano A´B´C´ en P y S respectivamente, AB=4, entonces el volumen de el sólido EFC'B'-SP es: A)
B)
D)
E)
C)
10. Dos aristas laterales opuestas de un tronco de paralelepípedo recto miden a y la diferencia de las longitudes de las otras dos aristas opuestas es 5 , el plano que contiene a la base superior determina con el plano de la base un ángulo que
mide 30. Si la base es una región cuadrada. Calcule el volumen del sólido limitado por el tronco de paralelepípedo. 2 2 A) 2a B) a /2 C) 225a/2 D) 225a E) 225a/3
16. En un prisma regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' de volumen V, calcular el volumen del sólido BEF´D' A) 2V/5 B) 3V/7 C) 3V/8 D) 2V/9 E) 2V/11
11. La base de un prisma recto es un rombo, cuyo lado mide 2. Si el menor ángulo agudo de la base mide 30 y por un lado cualquiera de la base se traza un plano secante de manera que dicho plano y el plano de la base determinan un ángulo diedro que mide 60. Calcular el área de la sección determinada en el prisma. A) 2 B) 2 C) 4 D) 4
E) 6
12. En un prisma la medida del diedro determinado por su base y la sección recta es a. Calcular Ia medida del ángulo que forma la arista lateral con la base de dicho prisma A) 180 - a B) 180 - 2a C) 90 - a D) 90 - 2a E) 45 + a 13. Un prisma recto tiene su base limitada por un trapecio isósceles cuyos no paralelos miden 13 y las bases miden 10 y 20. Por la base mayor del trapecio se traza un plano secante al prisma, que determina con la base de dicho prisma un ángulo diedro cuya medida es 53 y la altura del prisma mide 30. Calcular la razón de volúmenes de los sólidos determinados A) 16/97 B) 32/103 C) 16/103 D) 35/91 E) 50/91 14. En un prisma triangular de base regular cuyo lado mide a , la arista lateral forma con la base un ángulo de medida á y la proyección de uno de los vértices coincide con el centroide de la baso. Calcular el volumen del prisma. A)
3
a Sená
B)
3
a Cosá
17. En un prisma cuadrangular regular, el segmento que une el centro de una base con el punto de intersección de las diagonales de una cara lateral mide 4 y además forma con dicha base un ángulo que mide 60. Calcular el volumen de dicho prisma. A) 64 B) 64 C) 48 D) 48
18. En un rectoedro ABCD-EFGH, los centros de sus bases ABCD y EFGH son los puntos O y Q. Si el volumen del solido ABO-EFQ cuyas caras son cuadrados, es16 , calcular el área de la superficie lateral de dicho paralelepípedo. A) 12( -1) B) 24( -1) C) 8( +1) D) 16(
A) 5
B) 6
D) 8
E) 9
C)
A) V=
B) V=
C) V=
D) V=
E) V= 3
E)
E) 32(
+1)
C)7
20. ABCD - EFGH es un tronco de paralelepípedo oblicuo, si el área de la cara ADHE es S1 y el área de la cara FBCG es S2; y la distancia entre esas caras es d. Calcular el volumen del tronco de prisma.
3
a Secá
+1)
19. En un tronco de prisma triangular recto, la base ABC es una región equilátera y las aristas laterales miden 8,5 y 4 u. Si el volumen del tetraedro determinado por la base superior y el vértice B es de 12 , calcular el área de la base
a Ctgá D)
E) 86
3
a Tgá
15. Se tiene el cuadrado ABCD, cuyo lado mide . Los segmentos AE y CF son perpendiculares al plano del cuadrado y se ubican en un mismo semiespacio. Si AE=6 y CF=9, calcular el volumen del sólido EBDF. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
TAREA
01. En un prisma cuadrangular regular el ángulo entre la diagonal y una cara lateral mide 30 y el 2 área de la base es 4 cm . Calcular la longitud del menor recorrido para ir de un extremo de dicha diagonal al otro sobre la superficie lateral del prisma. A)
B)
D) 2
E)
C) 2
02. Calcular el volumen de un prisma recto si el desarrollo de su superficie lateral es una región 2 cuadrada de 64 m de área y además en el polígono que limita a su base se puede inscribir una circunferencia de 1m de radio. A) 6 B) 8 C) 16 D) 24 E) 32 03. En un prisma regular ABCDEF-A'B´C´D'E´F¨ se traza un plano que pasa por y que interseca a y en los puntos M y N respectivamente si el volumen del prisma es 12 , calcular el volumen del sólido MF´E´NC'D'. A) 5
B)
D) 10
E) 10
C)
04. Calcular la longitud de la diagonal de un rectoedro, conociendo que la suma de las longitudes al cuadrado de todas las diagonales de las caras es 160 cm 2 A) 2 B) 5 C) 2 D) 5
E) 1
05. En un prisma regular ABCDEF-GHIJKL, se ubica el punto medio “M” de , ={T} y el volumen del prisma es V. Calcular el volumen del prisma LJMT-GLSN A) 5V/9 D) 7V/18
B) 7V/9 E) 11V/15
C) 5V/18
06. Calcular el volumen del prisma oblicuo ABCD EFGH, sabiendo que sus bases son regiones cuadradas. La proyección del punto “A” es el centro de la base EFGH y AE = AB = 4 u A) 16 D) 32
u
3
u
3
B) 32 E) 16
u
3
u
3
C) 16
u
2
07. Las bases de un prisma recto, son los romboides ABCD y EFGH, en la arista DH se ubica el punto medio M; en la arista AE se ubica el punto P, si el volumen del tronco de prisma PBM - EFH es los 2/5 del prisma dado y AP =2. Calcular PE
A) 12 D) 6
B) 9 E) 15
C)18
08. Calcular el área lateral de un prisma oblicuo, cuya sección recta es un exágono regular de 2 30 m de superficie, al altura del prima es 10 m y las aristas están inclinadas 60° con respecto a la base. 2 2 2 A) 120 m B) 360 m C) 240 m D) 180 m
2
E) 240
m
2
09. Calcular el volumen de un prisma oblicuo cuya altura es igual al diámetro de la circunferencia inscrita a la base, si la base es un polígono regular de 2 m de lado y la suma de las medidas de los diedros básicos es 1 080 3 3 3 C) 48 m B) 36 m A) 24 m D) 36 m
3
E) 30
m
3
10. El área de la superficie total de un paralelepípedo rectangular cuya altura es 4 cm, es 4 veces el área de una de las superficies diagonales (plano diagonal) correspondiente a una de las aristas laterales y el área de esta superficie diagonal es los 5/6 de la suma de las áreas de las bases. Calcular el área de la superficie del paralelepípedo, si el perímetro de su base es 28 cm A) 160 B) 180 C) 200 D) 220 E) 240
CILINDRO SUPERFICIE CILÍNDRICA Se llama superficie cilíndrica a aquella superficie generada por una recta que, apoyándose sobre una curva, se mueve paralelamente a una dirección dada. Las rectas que forman la superficie cilíndrica se llaman generatrices y la curva por cuyos puntos pasan se llama directriz. Si la directriz es una circunferencia, resulta una superficie cilíndrica circular.
: eje g : generatriz
SUPERFICIE CILÍNDRICA DE REVOLUCIÓN Se llama superficie cilíndrica de revolución a la superficie de revolución cuya generatriz es una recta paralela al eje.
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Se llama superficie de revolución a aquella superficie generada por una línea cualquiera llamada generatriz al girar alrededor de una recta fija llamada eje, a la cual está invariablemente unida.
t t t t
: eje g : generatriz : radio r : Longitud del radio de la circunferencia
producto de la longitud de la circunferencia de su base por su altura. AL = 2ðR . h ÁREA TOTAL : AT = 2ðR(h + R) CILINDRO La región del espacio situada en el interior de una superficie cilíndrica ilimitada se llama cilindro indefinido o espacio cilíndrico. La porción de cilindro indefinido comprendido entre dos planos paralelos que intersectan todas las generatrices se llama cilindro finito. Las secciones de cilindro indefinido por dichos planos se llaman bases del cilindro finito y su distancia altura.
Si los planos son perpendiculares a las generatrices el cilindro es recto; en, caso contrario, es oblicuo. En ambos casos las bases son congruentes. CILINDRO DE REVOLUCIÓN Se genera al girar una región rectangular, una vuelta, alrededor de un eje que contiene a un lado. Las bases son círculos y la altura mide igual que la generatriz. Es también llamado cilindro circular recto.
ÁREA LATERAL DE UN CILINDRO El área lateral de un cilindro circular recto es igual al
h : Longitud de su altura R : Longitud del radio de la base En cilindros semejantes se cumple :
VOLUMEN DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO El volumen de un cilindro circular recto es igual al producto del área de su base por la longitud de su altura. 2
V = ðR . h Desarrollo de la superficie total de un cilindro
OBSERVACIÓN : En el caso de un cilindro oblicuo, el desarrollo puede resultar romboide o rombo.
Su volumen es : V = SR . g
V=S.h
TRONCO DE CILINDRO Se obtienen al intersectar la superficie lateral de un cilindro, con un plano no paralelo a las bases.
2
AL = AðR . e
V = ðR . e
Donde : e= TRONCO DE CILINDRO OBLICUO
CUÑA CILÍNDRICA
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si la relación entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4, calcular la medida de su altura, si el área de la base es 3/2 del área lateral A) 3 B) 2 C) 1 D) 1/6 E) 1/4 02. Calcular el volumen de un cilindro recto si al aumentar la medida del radio en (2- ), su volumen se duplica, y al aumentar la medida de su altura en 16 su área lateral se quintuplica A) 3 ð D) 8ð
B) 9ð E) 7ð
C) 5
ð
03. Un cilindro circular recto cuya altura es 4 m y el radio de su base mide R, al aumentar la altura en 3. 12 m, el volumen aumenta en x m Si el radio de la base aumenta en 12 m, el volumen aumenta 3 en x m , calcular el valor de R. A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 04. Al aumentar el radio de la base del cilindro en 6 3 m el volumen aumenta en x m . Si la altura del cilindro aumenta igualmente en 6 m el volumen 3 aumenta en x m . Asumiendo que la altura original medía 2 m, cual habrá sido el radio original. A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 05. En la figura mostrada se tiene un tronco de cilindro circular recto, DC = 5 cm, y el área de la superficie esférica inscrita en dicho tronco es de 9ð cm 2. Calcular el volumen del tronco del cilindro
A) 10ð cm 3 3 D) 7ð cm
B) 9ð cm 3 3 E) 6ð cm
C) 8ð cm 3
06. Calcular el radio de la base de un tronco de cilindro circular recto cuyas bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60°; además la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz mínima mide 0° A)
B)
D)
E)
C)
07. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2 , la generatriz esta inclinada 60° respecto a la base y la altura es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro A) 180ð B) 192ð C) 200ð D) 177ð E) 195ð 08. Un cilindro oblicuo se encuentra circunscrito una esfera de radio “R”. Si el plano que contiene a la sección recta de dicho cilindro y el plano que contiene a su base forman un diedro de 30,
calcular el volumen de dicho cilindro A)
B)
D)
D)
C)
E)
09. Según la figura se tiene un tronco de cilindro de sección recta circular, MN = 2AB, AM=BN, mËMAB=135 y el área de la superficie lateral es numéricamente igual al de dicho sólido. Calcular el área de la superficie lateral del sólido
2
A) 96ð u 2 D) 50ð u
2
B) 60ð u 2 E) 58ð u
C) 48ð u
2
10. En un prisma recto ABC-A'B'C' se inscribe un cilindro circunscrito a una esfera, si AB=13; BC=15 y AC=14. Calcular el volumen del prisma. A) 438 B) 546 C) 672 D) 736 E) 824 11. En un prisma regular se encuentra inscrito un cilindro de revolución. Calcular la razón de áreas de las superficies laterales de dichos sólidos, si la suma de las medidas de todos los diedros del prisma es 1 800. A) D)
B) E)
13. En un cubo ABCD - EFGH de arista “a” se encuentra inscrito un cilindro de revolución cuyas generatrices son paralelas a . Calcular el área de la sección determinada en el cilindro por un plano que contiene a y es paralela a B)
14. Si las áreas de las superficies laterales de dos cilindros de revolución semejantes, son entre sí como 4 a 9, siendo el volumen del menor 16. Calcular el volumen del mayor A) 24ð B) 36ð C) 81ð D) 45ð E) 54ð 15. Calcular en qué razón están las áreas de las superficies totales de un cubo y de un cilindro de revolución, si el cubo esta inscrito en el cilindro. A)
B)
D)
E)
C)
16. Calcular el volumen de un tronco de cilindro de revolución circunscrito a una esfera de radio 2 , si las bases forman un diedro cuy a medida es 30 A) 18ð(2- ) B) 9ð(2- ) C) 12ð((2+
)
D) 24ð((2+
)
E) 6ð
17. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, cuyas bases son circulares, además la generatriz y el diámetro de la base son congruentes y la distancia del centro de una base a los extremos del diámetro de la otra base son 13 y 9m respectivamente. A) 60ð B) 50ð C) 70ð D) 60ð
E) 40ð
C)
12. La diferencia entre la generatriz máxima y mínima de un tronco de cilindro circular recto en 3 m además el radio de la base circular mide 2 m. Calcular el perímetro de la región elíptica de la otra base. A) 9ð m B) 9ð/2 m C) 6ð m D) 3ð m E) 3ð/2 m
A)
E)
C)
18. Se tiene un vaso cilíndrico circular recto de radio 3cm lleno de agua. Si se trazan 2 planos paralelos que distan 8 cm y que intersecan a las generatrices del cilindro formando con éste un ángulo cuya medida es 53, calcular el volumen del líquido que se encuentra entre los planos paralelos. A) 45ð B) 90ð C) 135ð D) 80ð E) 120ð 19. Calcular la razón de volúmenes de un cilindro de revolución y de un cubo que tiene dos vértices opuestos en los centros de las bases del cilindro y los demás están en la superficie lateral del mismo. A) 2ð
B)
D) 2ð
E) ð
C)
20. En un cilindro de revolución se traza un plano secante que contiene a un solo punto de la circunferencia que limita a su base y forma con dicha base un diedro de 37°. Calcular el volumen del tronco de prisma triangular regular inscrito en el tronco de cilindro si sus generatrices mayor y menor miden 12 u y 6 u respectivamente y si la arista lateral menor del tronco de prisma es la generatriz menor del tronco de cilindro. A) 99 B) 108 C) 108 D) 120
E) 90
TAREA 01. Se tiene un recipiente cilíndrico recio el cual contiene cierto líquido en toda su capacidad, se introdujo en dicho recipiente un sólido equivalente a la esfera inscrita en un tetraedro regular y se observa que el volumen de liquido derramado es cm 3. Calcular el volumen del tetraedro mencionado A) 100 cm
3
B) 90
D) 140 cm
3
E) 144
cm
3
cm
C) 45 cm
3
3
02. En un cilindro se traza un plano paralelo a su eje a una distancia “a” de este, que en la circunferencia de la base determina un arco de medida “á” si el área de la sección es “S” calcular el volumen del cilindro. A)
B)
D)
E)
C)
03. En un exaedro regular de volumen V, se inscribe y circunscribe cilindros de revolución de tal manera que sus bases están en el plano de una de las caras del exaedro, calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros. A)
B)
D)
E)
C)
04. El radio de la base de un tronco de cilindro recto circular mide 4 cm. En la superficie lateral se toma el punto "P" de modo que al unirlo con los centros de las bases se forma un ángulo recto en 'P'. Hallar el volumen del tronco, sabiendo además que la distancia de "P" a la base mide 2 cm.
cm
3
A) 140ð cm
3
B) 100ð cm
3
3
E) 160ð cm
3
D) 130ð cm
C) 150ð
05. Un tanque de forma cilíndrica que tiene una altura de 10 m y su base un diámetro de 6 m, el agua que contiene dicho tanque tendido horizontalmente determina una superficie de 40 2 m . Calcular la altura a la que se encuentra dicha superficie, si el volumen de agua es mayor a la mitad del volumen del tanque. A) 2m
B) (6 -
m)
E) (3+
)m
m D) (3 -
)m
C) (6 -
)
06. En un cilindro se encuentra inscrito un exaedro regular. Calcular el volumen del cilindro, si la distancia del punto medio, de una de las generatrices que pertenece al exaedro, hacia la diagonal de dicho exaedro que no se intersecta con dicha generatriz es u. 3
A) 6ð u 3 D) 2 ð u
3
B) 4ð u 3 E) 3 ð u
C) 3ð u
3
07. Calcular la altura de un cilindro recto de radio cm, inscrito en un tetraedro regular de arista 3 , tal que la base interior esta en una de las caras del tetraedro y la otra base es tangente a las otras caras. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
08. Las bases de un cilindro oblicuo son círculos de 2 36ð m de área cada una; luego se traza la sección del cilindro que pasa por el extremo de la base inferior formando un ángulo de 30° con dicha base e intersecta a la generatriz opuesta en el punto C que dista de la base superior 7 m. Calcular la generatriz de dicho cilindro. A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
C) 20
09. Las bases de un cilindro circular están inscritas en dos caras opuestas de un exaedro regular la diagonal de dicho exaedro intersecta a la superficie cilíndrica y el segmento que tiene por extremos a dichos puntos mide . Calcular el volumen del cilindro. A) ð
B)
D) 4ð
E)
ð
C) 2ð
10. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el cual su volumen es numéricamente igual al área de su superficie lateral. Si la diferencia entre la generatriz mayor y menor es ð, calcular la longitud de la elipse de su base superior. A) ð
B) ð
D) 2ð
E) 4ð
C) 2ð
PIRÁMIDE DEFINICIÓN La pirámide es el poliedro en el cual una de sus caras es un polígono cualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice común.
= h ! Longitud de la altura ABCD : Cuadrado El pie de la altura siempre está ubicado en el punto de concurrencia de las diagonales del polígono regular sólo cuando la pirámide es regular. 2.
Pirámide Irregular: Es la pirámide que no es regular (no cumple las condiciones de las regulares)
Elementos: 1.
Vértice: Es el vértice común de las caras triangulares.
2.
Caras Laterales: Son las caras triangulares.
3.
Base: Es la cara no lateral que tiene la forma de un polígono.
4.
Altura: Es la perpendicular trazada del vértice a la base.
CLASIFICACIÓN DE PIRÁMIDES 1.
Pirámide Regular: Una pirámide es regular, si la base es un polígono regular y las aristas laterales congruentes, que se apartan igualmente del pie de la altura (caras laterales son triángulos isósceles).
OBSERVACIONES: 1. Las pirámides según la base, toman el nombre de triangular, cuadrangular, pentagonal, exagonal, etc. 2. Una pirámide triangular es un tetraedro, cuya base es cualquier lado. 3. El apotema de una pirámide regular es el segmento que une el vértice de la pirámide con el punto medio de un lado. 4. El apotema de la base en una pirámide regular es el apotema del polígono de la base. 5. La sección transversal o plana de una pirámide es la intersección de la pirámide y un plano paralelo a la base. ÁREA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR Área Lateral: El área lateral de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la base por el apotema (semiperímetro por apotema)
AL = p.a : Altura
Donde:
p : Semiperímetro de la base
a : Longitud de la apotema de la pirámide Si:
Área Total: El área total de una pirámide regular es igual al área lateral más el área de la base AT = AL + Abase
3.
La razón de los volúmenes de dos pirámides cualesquiera es igual a la razón de los productos de sus bases y alturas.
4.
Si la pirámide triangular tiene un triedro trirrectángulo entonces: el volumen es la sexta parte del producto de sus aristas laterales.
5.
En la pirámide mostrada se cumple:
AT : Área total AL : Área lateral Abase : Área de la base ÁREA DE UNA PIRÁMIDE IRREGULAR Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caras laterales. Área Total: Es la suma del área lateral más el área de la base. AT = AL + Abase VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE CUALQUIERA TEOREMA El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de la base por su altura.
SEMEJANZA DE PIRÁMIDES TEOREMA Donde:
V : Volumen S : Área de la base h : Longitud de la altura de la pirámide
PROPIEDADES 1. La razón de los volúmenes de dos pirámides que tienen la misma altura, es la misma que la razón de las áreas de sus bases. Si:
2.
La razón de los volúmenes de dos pirámides cuyas bases tienen áreas iguales, es igual a la razón de sus alturas.
Al intersecar una pirámide por un plano paralelo a la base, se determina una pirámide pequeña semejante a la mayor llamada pirámide deficiente.
Se cumple: TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Es aquel que procede de una pirámide regular: En un tronco de pirámide regular: a) Las bases son polígonos regulares b) Las caras laterales son trapecios isósceles congruentes c) Las aristas laterales son congruentes
a)
Donde: S1 y S2 pueden representar áreas totales, áreas laterales, áreas de las bases o áreas de caras homólogas. b) Los volúmenes son entre sí como los cubos de cualquier par de líneas homólogas:
TRONCO DE PIRÁMIDE Es la porción de pirámide comprendida entre su base y un plano paralelo o no a ella que intersecta a todas las aristas laterales.
TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS La bases son paralelas Las caras laterales son trapecios La longitud de la altura es “h” Su volumen es:
A y B son áreas de las bases
Apotema: Del tronco de pirámide regular es la altura de cualquiera de las caras laterales del tronco.
ÁREA LATERAL, TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
1.
Donde: p y p1 son los perímetros de sus bases 2.
AT = AL + B + B1 Donde: B y B1 son las áreas de las bases
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En una pirámide triangular A - BCD los puntos M y N son los baricentros de las caras BCD y ABC respectivamente. Si = {F} y FM = 7, calcular AF. A) 20 D) 23
B) 21 E) 24
C) 22
02. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, la proyección del vértice H sobre es el punto Q, siendo “a” la medida de la arista del hexaedro regular. Calcular el volumen de la pirámide Q ABCD. A) D)
B)
las aristas básicas miden a y b (a > b). Un plano secante paralelo a las bases determina dos troncos de pirámides de áreas laterales iguales. Calcular el lado de la sección que determina dicho plano.
A)
B)
D)
E)
C)
05. Se tiene un tetraedro regular ABCD, cuya arista mide a, en la arista se ubica el punto O, si la altura de la pirámide ABCO es congruente con . Calcular OD.
C) A)
B)
D)
E)
C)
E)
03. En una pirámide O - ABC las caras laterales forman con la base un diedro cuya medida es 30. Si AB = 13; BC = 15 y AC = 14, calcular el volumen de dicha pirámide. A) 30
B) 40
D)
E)
C)
04. En un tronco de pirámide cuadrangular regular,
06. En una pirámide triangular V - ABC se traza un plano secante que biseca a uno de los ángulos internos de la base y que contiene al vértice V determinando una sección limitada por un triángulo rectángulo. Si la arista básica mide b, entonces el volumen de la pirámide es: A)
B)
D)
E)
C)
07. Las aristas laterales de un tronco de pirámide regular triangular forman con la base mayor ángulos de medida è. Si las aristas básicas mayor y menor miden a y b, calcular el volumen del tronco: A)
Tgè
D) 36
13. V - ABC es una pirámide de volumen V, se traza un plano secante que intersecta a en E, en D y
B)
E) 32
en F tal que
,
y
. Entonces el volumen del sólido ABC Cosè EDF es: C) E)
Senè
D)
Tgè
B) 60 C) 45 E) ArcCos(1/3)
09. La altura de una pirámide octogonal regular mide h. Si la medida del diedro determinado en una arista básica es 45, calcular el volumen de la pirámide. A)
B)
D)
E)
C)
Cosè
08. En una pirámide pentagonal regular, el área total es 30 cm 2 y el área lateral 20 cm 2. Calcular la medida del diedro determinado en una arista de la base. A) 30 D) 75
A)
B)
C)
14. La arista lateral de una pirámide regular mide 2; si su base es un dodecágono inscrito en una circunferencia de radio 1. Calcular el volumen de la pirámide. A)
B)
D)
E)
C)
15. Una pirámide regular cuya altura es 24 dm tiene por base un cuadrado cuyo lado es 12 dm, se la intercepta por un plano paralelo a la base y sobre la sección se construye un prisma recto cuya base superior pasa por el vértice de la pirámide. Determine la distancia de la sección al vértice para que el volumen del prisma sea los
D)
E)
10. V - ABCD es una pirámide cuadrangular regular cuya cara lateral está limitada por un triángulo equilátero cuyo lado mide a. Calcular la distancia del centro de la base a una de las caras laterales.
A)
B)
D)
E)
C)
11. En una pirámide V - ABC. VA = ; VB = VC = 6; AB = AC = 5 y BC = 8. Calcular el volumen de la pirámide. A) 9 D) 36
B) 16 E) 64
C) 25
12. En una pirámide V - ABCD, es perpendicular a la base que es un trapecio rectángulo, (recto en B y C), si: BC = 5; CD = 4; VA = 12 y SABCD = SVBC. Calcular SVCD A) 24 B) 26 C) 28
volumen del tronco de pirámide que queda. A) 9 dm B) 10 dm C) 12 dm D) 15 dm E) 16 dm
del
16. En la pirámide O - ABC, las caras laterales forman diedros de 45° con la base. Si AB = 13, BC = 15 y AC = 24. Calcular el volumen del sólido limitado por la pirámide. A)
B)
D)
E)
C)
17. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGH se traza un plano secante que contiene a los puntos medios M y N de y respectivamente y el vértice A, determinando así una sección cuadrangular regular cuyo lado mide 4. Calcular el volumen del sólido limitado por el tronco de pirámide. A)
B)
D)
E)
C)
18. Se tiene un tetraedro regular de arista igual a L. Calcular el volumen del sólido determinado al unir en forma consecutiva un vértice del tetraedro, con los puntos medios de las aristas que concurren en dicho vértice y el centro de una de las caras que concurren en dicho vértice A)
B)
D)
E)
C)
19. En una pirámide regular cuadrangular, el lado de la base tiene una longitud a y el plano que pasa por una arista básica la base media de la cara opuesta forman un diedro de 45º con la base, entonces su volumen es: A)
B)
D)
E)
C)
20. En una pirámide triangular las áreas de dos caras perpendiculares entre si son iguales a S1 y S2 . Si la longitud de la arista común entre ellas es a, calcular el volumen de la pirámide A)
B)
D)
E) (2S1+ 3S2)a
C)
TAREA 01. En un tronco de pirámide regular de bases cuadrangulares en todas sus caras se pueden inscribir circunferencias, en las bases los radios de las circunferencias miden 4 cm y 9 cm. Entonces el área lateral del tronco de pirámide es: (en cm 2) A) 598 D) 648
B) 612 E) 700
06. En una pirámide cuadrangular regular, la medida del diedro determinado por una cara lateral y la base es 60. Calcular la longitud de la arista lateral en función del radio r de la esfera inscrita en dicho sólido. A) 2r B) 2 C)
C) 624 D)
02. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGH el área de sección plana AEGC es S1 y el área de la sección determinada en el sólido por un plano que equidista a sus bases es S2, entonces la longitud de su altura es:
A)
B)
D)
E)
el cuadrado de la medida de la altura es
,
calcular el área lateral. A)
B)
D)
E)
07. Calcular la altura de un tronco de pirámide regular ABCD - EFGH, si el área de la sección plana AEGC es S1 y el área de la sección determinada en el sólido por un plano que equidista de sus bases es S2.
C)
03. En un tronco de pirámide cuadrangular regular las diagonales de las bases miden y . Si
C)
E)
A)
B)
D)
E)
08. La superficie limitante correspondiente a un tronco de pirámide, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases, esta circunscrita a una esfera. Calcular el volumen del tronco de pirámide si los perímetros de las bases suman “S” y el producto de las medidas de dos aristas básicas diferentes es “P” A)
B) 2
D) S(S - 9P) 04. Se tiene un hexaedro regular ABCD - EFGH. Se traza (S 0 ). Calcular el volumen de la pirámide S - ABCD si DS = 2 u A)
B)
D)
E)
C)
C)
E)
09. En un exaedro regular ABCD - EFGH, calcular el volumen de la pirámide M - ABCD, siendo “M” el baricentro de la región triangular BGD y EC=6
C)
. D)
05. Se tiene el tetraedro ABCD, se ubican G1 y G2 los baricentros de las caras ACD y DBC de tetraedro. Calcular la razón de volúmenes de tetraedro ABCD y el sólido G1 G2 CD A) 2 B) 9 C) 18 D) 6 E) 27
A) 24
B) 12
C)
E)
10. Se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regular ABCD - EFGH , donde las caras laterales están inclinadas 60º con respecto a la base y el diedro formado por las regiones ABCD y EFCD mide 15. Calcular el área de la superficie lateral del tronco, si y distan 6m.
CONO
A)
B)
D)
E) 20
C) 18
SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN Definición : Se llama superficie cónica de revolución a aquella superficie generada por una recta que intersectando al eje en un punto fijo, gira alrededor de dicho eje, formando con él un ángulo invariable. -
La generatriz es la recta móvil (g) El vértice es el punto V La recta es el eje En la figura observamos a la superficie cónica de revolución de dos hojas.
Área Lateral :
Área Total :
AL = ðR . g AT = AL + ðR2
Volumen :
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL Es un sector circular que tiene por radio la generatriz del cono y por arco, la longitud de la circunferencia de la base del cono.
CONO DE REVOLUCIÓN Se genera, al girar la región triangular rectangular, una vuelta completa, alrededor de un eje que contiene al cateto.
-
Sabemos por áreas que :
La superficie lateral es generada por la hipotenusa del triángulo rectángulo. Un cateto es la altura del cono El otro cateto genera el círculo de la base cuyo radio es el mismo cateto. SEMEJANZA DE CONOS TEOREMA
* * *
a = Radio mínimo b = Radio máximo S = ð ab
Volumen del cono oblicuo : V= Si dos conos son generados por triángulos semejantes que giran alrededor de dos lados homólogos, dichos conos son semejantes. También si se intersecta a un cono por un plano paralelo a la base se obtiene un cono pequeño semejante al total, debiéndose cumplir :
S.h !
TRONCO DE CONO Se obtiene al interceptar la superficie lateral de un cono, con un plano cualquiera, paralelo o no a la base.
A) Las áreas de sus bases son entre si como el cuadrado de las Iongitudes de sus elementos homólogos.
B) Los volúmenes son entre si como el cubo de sus elementos homólogos.
CONO OBLICUO Si se intersecta a un cono recto por un plano no paralelo a la base se obtiene el cono oblicuo, cuya base tiene que ser elíptica.
ELIPSE TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN Se llama recto porque la altura cae en los centros de los círculos de las bases y se llama de revolución
porque se les considera generada por la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado no paralelo perpendicular a las bases.
Donde : g : Longitud de la generatriz h : Longitud de la altura R y r : Longitudes de los radios de las bases (círculos)
Área Lateral :
AL = ð(R + r) . g
Área Total :
AT = AL + ðR + ðr
2
2
Volumen :
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Siendo el área de la base de un cono recto, la mitad de su área lateral. Entonces la medida del ángulo que determina la altura y la generatriz es : A) 20 B) 25 C) 30 D) 36 E) 45 02. Se tiene un cono de revolución de 3 m de radio de la base y 4 m de altura. Calcular a que distancia del vértice se debe de trazar un plano paralelo a la base, para que el área de la sección determinada por dicho plano sea igual al área de la superficie lateral del tronco de cono determinado. A)
B)
D)
E)
C)
03. Al desarrollar dos conos rectos se obtienen 2 sectores circulares que tienen perímetros Ry
R. Si la longitud de la
generatriz de los conos es R, calcular la razón de los volumenes de los conos
A)
B)
D)
E)
C)
04. En una semiesfera esta inscrito un cono circular, el vértice coincide con el centro de la circunferencia que sirve de base a la semiesfera; la recta que une el centro de la base del cono con un punto de la circunferencia mayor de la semiesfera determina con el plano de la base del cono un ángulo de 30°. Calcular la razón entre los volúmenes del cono y la semiesfera A)
/2
B) 3
D)
/3
E)
/3
C) 3
/2
/9
05. Una esfera está inscrita en un cono equilátero 2 de 108 u de área total. Calcular el área de la superficie esférica 2 2 2 A) 36 u B) 42 u C) 48 u 2 2 D) 54 u E) 60 u
06. Un tronco de cilindro de revolución está inscrito en un cono de revolución donde sus generatrices están inclinadas formando un ángulo cuya medida es 30 con respecto a la base. Además el diámetro de la base del cilindro, está contenido en el diámetro de la base del cono, tal que : MA = AB = 2BN. Determine la relación de los volúmenes de los sólidos limitados por el tronco de cilindro y el cono recto A) 9/64 B) 15/64 C) 36/125 D) 27/125 E) 18/125 07. Si los radios de las base de un tronco de cono circular recto son R y r. Calcular el área de su sección axial para que el área de la superficie lateral sea igual a la suma de las áreas de las bases de dicho tronco. A) 4Rr B) 2Rr C) 6Rr D) 3Rr E) 7Rr
3
B) 4
u
3
E) 2
u
u
D) 4
u
3
C) 3
u
3
3
09. ABCD - EFGH es un hexaedro regular cuya arista mide L . Si la altura de un cono recto es congruente a la arista del hexaedro y el radio de la base del cono es el radio de la circunferencia inscrita al triángulo ABC, entonces el volumen del sólido limitado por el cono es: 3
B)
3
D)
A)
ðL
C)
ðL
E)
ðL
ðL
3
ðL
3
3
10. En un cono circular la altura mide H, se traza un plano secante determinando una sección transversal. ¿A qué distancia del vértice del cono debe trazarse el plano para que determine dos sólidos equivalentes?
A)
B)
D)
E)
C)
12. En un tronco de cono de revolución, los radios de las bases miden 4 y 9 respectivamente. Si el 2 área total del cono es 266ð cm , calcular su volumen es : A) 532ð B) 522ð C) 512 D) 502ð E) 492ð 13. Calcular el volumen de un cono de revolución si en él se puede inscribir una pirámide cuadrangular regular con todas sus aristas de longitud L y tal que la base de la pirámide se encuentre contenida en la base del cono
08. Un plano secante a un cono recto de revolución de base circular cuyo radio mide 2 u pasa por el vértice e intersecta a la base determinando en su intersección con el cono un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 u. Entonces, el volumen del sólido limitado por el cono es : A) 8
11. En un tronco de cono está inscrito una esfera, cuyo volumen es 6/13 del volumen del tronco de cono. Calcular la medida del ángulo entre la generatriz del tronco de cono y el plano de su base inferior A) 60 B) 45 C) 30 D) 37 E) 53
A)
B)
D)
E)
C)
14. En un cono recto la longitud de la generatriz es igual al diámetro de la base, se inscribe una esfera cuyo radio mide R. Calcular el volumen del tronco de cono determinado por la circunferencia tangencial y la base del cono A)
B)
D)
E)
C)
15. En un tronco de cono recto la altura mide 8 m y el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura mide 3 m. Calcular el área de la superficie lateral. A) 10ð B) 18ð C) 28ð D) 38ð E) 48ð 16. En un tronco de cono recto, cuyos radios en sus bases miden 4 cm y 9 cm respectivamente, se inscribe una esfera. Calcular el volumen del sólido limitado por el tronco de cono. A) 352ð B) 253ð C) 523ð D) 532ð E) 325ð 17. Se tiene un cono y un embudo congruente, cuyas alturas miden H, se traza un plano paralelo a las bases de manera que el área de la sección del cono sea el doble del área de la sección del embudo. Calcular la distancia del vértice del cono al plano A)
B)
C)
D H(
-1)
E) H(2-
)
18. En un tronco de cono de revolución los radios de las bases y la generatriz miden 1; 2 y 6 cm respectivamente. Calcular la longitud del menor recorrido, para ir de un punto de la base inferior a otro de la base superior recorriendo la superficie lateral y tal que dichos puntos sean los extremos de una generatriz A) 6 cm B) 3 cm C) 6 cm D) 9
cm
E) 9
cm
19. En un cono de revolución la medida del ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas es 90°, se inscribe un cilindro cuya área de su superficie total es igual al área de la superficie lateral del cono. Calcular la razón de alturas de ambos sólidos A)
B)
D)
E)
C)
20. En un tronco de cono de revolución cuyo volumen es 63, las longitudes de los diámetros de sus bases están en la relación de 1 a 2, calcular el volumen del sólido que se obtiene intersectando los conos que tienen por bases, las bases del tronco y por vértices los centros de las bases respectivamente opuestos A) 3,6 B) 3,8 C) 4,0 D) 4,2 E) 4,4
TAREA 01. La generatriz de un tronco de cono forma un ángulo cuya medida es 53 con la base inferior y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Si la generatriz mide g, calcular el área lateral del tronco de cono A)
B)
D)
E)
C)
02. Un cono de revolución está inscrito en un prisma recto. Calcular el volumen del prisma si el volumen de la esfera inscrita en el cono es 36ð y el perímetro de la base del prisma es cinco veces la longitud de la generatriz del cono. (la superficie esférica y la base del cono son equivalentes, la base del cono está inscrita en una base del prisma) A) 1240 B) 1200 C) 2400 D) 1200 E)1200
03. Un cono dea revolución y un cilindro circular recto son secantes, equivalentes y tienen la misma base. ¿Qué fracción del volumen del cono no es común a la del cilindro? A) 8/27 D) 9/25
B) 8/29 E) 11/30
C) 6/25
04. Se tienen dos conos rectos congruentes tangente por su generatriz y cuyos vértices coinciden. Si sus alturas son H y el radio de la base es r, entonces el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es : A)
B)
D)
E)
C)
05. En la base de un cono circular recto cuya altura
mide h está inscrito un triángulo rectángulo, los planos que contienen al vértice del cono y los catetos de dicho triángulo forman con el plano de la base del cono un ángulo diedro de 30° y 60°. Calcular el volumen de dicho cono A)
ðh
3
B)
ðh
D)
ðh3
E)
ðh3
3
C)
ðh
3
06. El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución es un trapecio circular cuyo ángulo central correspondiente mide 60 y además los radios del mayor y menor sector circular son respectivamente R y r. Calcular el volumen de dicho sólido A)
(R3 - r3)
B)
(R3 -
3
r ) C)
3
3
3
3
(R - r )
D)
3
(R +
3
r ) E)
(R + r )
07. En un tronco de cono de revolución cuya longitud de su altura es H y los radios de su bases R y r, calcular el volumen del sólido que es la intersección de los conos cuyos vértices son los centros de las bases es: A)
B)
D)
E)
C)
08. Calcular el volumen de la intersección de los conos que se encuentran inscritos en un cubo de lado k tal que el vértice de un cono se encuentra en el centro de la base del otro y las bases de los conos son círculos inscritos en caras opuestos del cubo A)
B)
D)
E)
C)
09. Se tienen dos conos equiláteros que tienen el mismo vértice y que son tangentes exteriormente, tal que la razón de sus áreas totales es k y la altura del cono mayor mide H (k > 1). Calcular la longitud de su distancia entre los centros de sus bases A)
B)
C)
D)
E)
10. En un octaedro regular P - ABCD - Q la arista mide L unidades, calcular el volumen del cono circular cuya base se encuentra inscrita en la cara BCQ y su vértice coincide con el punto P A)
B)
D)
E)
C)
LA ESFERA Y SUS PARTES DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA TEOREMA DE ARQUÍMEDES: El área que genera una poligonal regular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita a dicha poligonal es igual a la longitud de una circunferencia cuyo radio es el apotema de la poligonal multiplicado por la proyección de dicha poligonal sobre el eje de giro.
SUPERFICIE ESFÉRICA Es la superficie generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
SABCD = SABCD = 2ða . A’B’ + 2ða . B’C’ + 2ða . C’D’ SABCD = 2ða (A’B’ + B’C’ + C’D’) SABCD = 2ða . h ZONA ESFÉRICA Es la porción de la superficie esférica comprendida entre 2 planos paralelos. Se = 2ðR . 2R z = 2ð .R. h 2
Se = 4ðR
DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE UNA ESFERA TEOREMA:
CASQUETE ESFÉRICO Es la zona esférica de una base. C = 2ð . R . h
El volumen que genera un sector poligonal regular cuando gira alrededor de un eje que pasa por su vértice es igual a la tercera parte del área generada por la poligonal regular multiplicado por el apotema del sector poligonal regular.
V = VAOB + VBOC + VCOD V=
.a+
.a+
V=
.a
SABCD . a
V=
.
V=
. 4ðR . R
V=
.R
2
3
ðR
SECTOR ESFÉRICO Es el sólido generado por un sector circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice.
HUSO ESFÉRICO Es la porción de la superficie esférica limitado por 2 semicircunferencias que tienen un mismo diámetro.
Huso = V=
. 2ðR . h .
R ESFERA SÓLIDA Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira alrededor de su diámetro tomado como eje.
CUÑA ESFÉRICA Es una porción de la esfera sólida limitada por 2 semicírculos que tienen el mismo diámetro.
Cuña =
ANILLO ESFÉRICO Es el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia a la que pertenece el segmento circular. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN ANILLO ESFÉRICO Anillo = Volumen Sector - VAOB =
2
ðR h -
2
ða h
Esférico Anillo =
2
2
ðh(R - a ) =
ðh
2 ðAB h
Anillo =
SEGMENTO ESFÉRICO Es la porción de una esfera sólida comprendida entre 2 planos paralelos. V = Anillo + tronco de cono 2
2
2
V=
ðAB . h +
V=
h(AB + 2r + 2p + 2rp)
2
(r + p + rp) 2
2
2
2
2
2
V=
(h + (p - r) + 2r + 2p + 2rp)
V=
(h + 3p + 3r )
2
2
V=
2
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene un octante de esfera de radio R. Calcule el radio de la esfera inscrita en el octante. A)
B)
D)
E)
C)
02. Calcule el área de la esfera tangente a las aristas de un hexaedro regular de arista L. ðL2
A) ðL2
B)
D)
E) 3ðL2
C) 2ðL2
03. En una semiesfera de centro O se inscribe un tronco de pirámide cuadrangular ABCD - PQRS de modo que la base PQRS se encuentra inscrita en la base de la semiesfera. Si el radio de la semiesfera es R y la mËAOP = 36, entonces la altura del tronco de pirámide es: A)
B)
D)
E)
C)
04. En un cono circular recto (cono de revolución) está inscrita una esfera y el radio de circunferencia de tangencia mide a. Si la distancia del centro de la base del cono a una de sus generatrices mide b. Calcular el volumen de la esfera. A)
B)
C)
D)
07. La altura de un cono de revolución es el diámetro de una esfera. Si el radio de la base del cono es congruente con el de la esfera y ambos miden R, calcular el área del menor casquete que resulta de la intersección de los dos sólidos. A)
B)
D)
E)
C) ðR2
08. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un octaedro regular de arista a. A)
B)
D)
E)
C)
09. Se circunscribe una superficie esférica a un tetraedro regular cuya arista mide a. Calcular el volumen que determina la superficie esférica. A)
B)
D)
E)
C)
10. Una zona esférica de una base definido por un plano secante a una superficie esférica cuyo radio mide 8 m, de modo que la suma del área de la superficie de esta zona y del área de su base sea igual a los 7/16 del área de la superficie esférica. Calcular la longitud de la altura de esta zona. A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m 11. En una circunferencia de centro O se tiene el
E)
05. P, es un punto exterior a una esfera de centro O, se traza todas las rectas tangentes a la superficie esférica desde P, formándose un cono equilátero cuya base es un círculo menor de la esfera. Calcular la relación de volúmenes del cono a la esfera. A) 5/32 B) 7/32 C) 9/32 D) 11/32 E) 13/32
segmento circular determinado AB tal que m = 60, siendo el área del segmento circular 3 (2ð 3 ). Calcular el volumen máximo generado por este segmento circular al girar alrededor de un diámetro exterior a este segmento. A) 18ð B) 24ð C) 32ð D) 36ð E) 42ð 12. En un círculo cuyo diámetro AC = 2R se traza la cuerda
06. En un casquete esférico correspondiente a una superficie esférica de radio 8 se cumple que el área de la base es igual a los 3/16 del área de la superficie esférica. Calcular la longitud de la altura de la zona. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
tal que m
= 120. Calcular el
volumen del sólido generador por la rotación de región ABC alrededor de . A)
B)
D)
E)
C)
13. Se tiene una esfera de radio R se traza un plano que divide a la esfera en dos casquetes que están en la relación de 3 a 2. Calcular la distancia del plano que se ha trazado al centro de la esfera. A) R/4 B) R/5 C) 3R/5 D) R/8 E) R/6 14. Calcular el volumen de una esfera tangente a las aristas , y de un tetraedro regular ABCD, en los vértices A, B y C respectivamente; siendo “a” la arista del tetraedro. A)
B)
D)
E)
19. Se tiene una superficie esférica donde el radio es el triple del radio de la base de un cono equilátero. Si la superficie lateral del cono es equivalente a un huso esférico determinado en dicha superficie esférica, calcular la medida del ángulo diedro para que se consiga el huso esférico mencionado. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 20. En un semicircunferencia de diámetro
igual a
2R se traza la cuerda paralela al diámetro y que subtiende un arco cuya medida es 120. Calcular el volumen del sólido generado por el segmento circular CD al girar alrededor de .
C)
15. Calcular el volumen de una esfera que es tangente a una de las caras de un exaedro regular cuya arista mide 4, en uno de sus vértices y la superficie esférica contiene al vértice opuesto al ya mencionado. A) 150ð B) 528ð C) 300ð D) 268ð E) 288ð 16. Se tiene un casquete esférico cuya altura mide 2 cm y el área de la base es 16ð cm 2 ¿Qué volumen tendrá el segmento esférico semejante al que determina el casquete esférico, sabiendo que la esfera correspondiente al segmento esférico tiene un radio igual a 15 cm? A) 100ð cm 3 B) 404ð cm 3 C) 413ð cm 3 D) 448ð cm 3 E) 468ð cm 3
A)
B)
D)
E)
D)
E)
C)
17. El área de un casquete esférico es la quinta parte del área de la superficie esférica correspondiente. Si la altura del casquete esférico es 2. Calcular el volumen del segmento esférico correspondiente al casquete. A) 85ð/2 B) 72ð/7 C) 52ð/3 D) 27ð E) 67ð/4 18. Las bases de un segmento esférico de una base y un cilindro circular recto coinciden, si el volumen del sólido comprendido entre las superficies laterales es igual a 396 ð cm 3. Calcular la altura del cilindro si es igual al la altura del casquete esférico y el radio de la base del cilindro es dos veces la altura. A) 5 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 11 cm
TAREA 01. Dada una esfera cuyo radio mide 2, calcular el volumen del menor segmento esférico determinado en la esfera por el plano mediatriz de un radio de dicha esfera. A)
B)
C)
02. La arista de un cubo mide 4 m. Calcular la longitud del radio de dos esferas congruentes que pueden ser introducidas en el cubo de forma que ellas no pueden desplazarse en el interior del
cubo cuando este se pone en movimiento. A) B) C) D)
E)
03. Una esfera está inscrita en un cilindro circular recto cuyo volumen es 54 ðm 3. En dicha esfera se desea calcular el área del huso esférico correspondiente a una cuña esférica de ð m 3 de volumen. A)
B)
D)
E)
04. En una esfera de
C)
de volumen, los
radios de las bases de un segmento esférico miden 5 m y 12 m, respectivamente. Calcular el área de la zona esférica determinada si las bases están a uno y otro lado del centro de la esfera. 2 2 C) 244 m A) 442 m 2 B) 424 m 2 2 D) 440 m E) 404 m 05. Calcular la longitud del radio de una esfera tangente a las aristas laterales y a la base de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica y su respectiva altura miden “2a” A) B) C) D) E) 06. Se tiene un cilindro inscrito en una esfera de radio R. Donde el radio de la esfera es el doble del radio de la base del cilindro. ¿A qué distancia del centro debe pasar un plano paralelo a las bases del cilindro, para que la sección comprendida entre la esfera y el cilindro sea equivalente a la base del cilindro? A)
B)
D)
E)
C)
07. Calcular el área de la superficie esférica, sabiendo que las áreas de los casquetes determinados por un plano secante a ella están en razón de 4 a 5 y la cuerda correspondiente al arco que genera el casquete menor mide “a” m. A)
B)
D)
E)
C)
08. La esfera máxima inscrita en una cuña esférica de centro O es tangente a los semicírculos máximos en A y C y al huso esférico en B. Calcular la razón de volúmenes de los sólidos mencionados si OABC es un paralelogramo. A) 1/9 B) 3/9C) 5/9
D) 4/9
E) 2/9
09. Calcular la medida del ángulo que le corresponde al huso, sabiendo que el área del huso es igual al área de la máxima esfera inscrita cuya razón entre sus radios es de 1 a 6. A) 10 B) 11 C) 12 D) 8 E) 9 10. El área del casquete esférico es 80ð m 2 y el radio de su superficie esférica correspondiente mide 10 m. Calcular el área de la base del casquete esférico. A) 32ð m 2 B) 64ð m 2 C) 66ð m 2 2 2 D) 23ð m E) 46ð m
TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING 1° TEOREMA El área que genera una línea cuando gira alrededor de un eje es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por la longitud de la línea. S = (2ðx) . LAB
2° TEOREMA El volumen que genera una superficie cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por el área de la figura. V = (2ðx)A A: Área de la región poligonal
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene un paralelogramo ABCD en donde mËA=135; AB=4 y AD=8. Calcular el volumen engendrado por el paralelogramo cuando gira alrededor de A) 72ð B) 64ð C) 192ð D) 10 E) 32ð 02. Un rectángulo con lados a y b gira en torno a su eje pasa por un vértice y que es paralelo a la diagonal que no pasa por dicho vértice. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido. A)
B)
D)
E)
C)
03. Los vértices de un triángulo ABC tienen por coordenadas A(2; 2), B(4; 11) y C(6; 2). Calcular el volumen del sólido que resulta al rotar la región triangular ABC alrededor del eje “x”. A) 100ð B) 160ð C) 180ð D) 150ð E) 240ð 04. En un triángulo se traza por el baricentro una recta paralela a su base. ¿Qué relación existe entre los volúmenes generados por las dos partes en que queda dividido el triángulo cuando estas giran alrededor de la recta? A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 2/3 E) 3/4 05. Si el radio de una altura mide 12ð. ¿A qué
distancia del centro de la esfera está el centro de gravedad del semicírculo que la engendra? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 06. Se tiene un círculo cuyo radio mide 3, tal que la distancia de su centro a una recta coplana es 8. Calcular el volumen y el área que se generan cuando dicho círculo gira alrededor de la recta tomada como eje. A) 10ð2 y 198ð2 B) 96ð2 y 144ð2 2 2 2 2 C) 48ð y 72ð D) 72ð y 132ð 2 2 E) 81ð y 165ð 07. Dado un rombo cuyo lado mide 5 y su diagonal mayor 8, gira alrededor de uno paralela a ésta diagonal mayor trazada por el extremo de la diagonal menor. Calcule el volumen engendrado. A) 100ð B) 124ð C) 128ð D) 144ð E) 156ð 08. Calcular el ángulo de un sector circular sabiendo que cuando gira alrededor de un eje que pasa por el vértice y es perpendicular al eje de simetría genera un volumen igual a la mitad del volumen de la esfera de igual radio que el sector. A) 30° B) 45° C) 37° D) 60° E) 75° 09. Se da un triángulo ABC de lados AB=10 cm, BC=6 cm y AC=8 cm, que gira alrededor de una
perpendicular engendrado. 3 A) 188,2ð cm 3 C) 384,2ð cm 3 D) 262,4ð cm
a
. Hallar el volumen
B) 220,4ð cm
3
E) 396,4ð cm
3
3
A)
2ða (4ð - 3
2 ) 3 D) 4ða (6ð 2 )
3 C) 3ða (2ð - 3) 3 E) 4ða (4ð - 3
10. ABCD es un cuadrado, AB = 4, // . Calcular el área de la superficie generada por el cuadrado al girar una vuelta alrededor de
3
) B) 2ða (6ð -
)
15. La razón entre los lados de un paralelogramo es 0,6. Calcular la razón de volúmenes de los sólidos que se generan al rotar la región paralelográmica en torno a sus lados adyacentes (una vuelta en cada uno) A) 0,3 B) 0,2 C) 0,36 D) 0,8 E) 0,6 16. Calcular el volumen generado por la región sombreada al girar alrededor del eje coplanar L. “T” es punto de tangencia, “O” es centro común AB=8 y BC=2.
A) 25 D) 75ð
B) 32ð( E) 16ð
+ 1) C) 48ð(
+ 1)
11. Calcular el volumen generado por un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 al girar 360° alrededor de una recta que pasa por uno de sus vértices y es paralelo al lado opuesto. A) ð B) 2ð C) 3ð D) 4ð E) 5ð 12. Se tiene un triángulo y una recta exterior coplanares. Si el área de la región triangular es 30 y las distancias desde sus vértices hacía la recta miden 8, 1 y 6, calcular el volumen engendrado por esta región triangular al rotar alrededor de esta recta exterior. A) 100ð B) 200ð C) 300ð D) 350ð E) 400ð 13. Calcular el área de la superficie generada por el rectángulo ABCD al girar una vuelta alrededor de , si 3AB = 2AD = 3DE = 6
A) 70ð D) 40ð
B) 60ð E) 75ð
C) 50ð
14. En una circunferencia se inscribe un triángulo equilátero cuyo apotema mide “a”. Calcular el volumen del sólido generado por la región limitada por la circunferencia y el triángulo equilátero al girar 360 ° alrededor de una recta tangente a la circunferencia y paralela al lado
2
A) 192ð 2 D) 190ð
2
B) 194ð 2 E) 198ð
C) 196ð
2
17. La figura muestra un cuadrado cuya área es 64 2 m . Si BP=6m, calcular el volumen del sólido engendrado al girar el cuadrado, una vuelta alrededor de la recta
//
A) 208,2
ð
B) 307,2
ð
D) 256,2
ð
E) 280,2
ð
C) 406,3
ð
18. Los volúmenes generados por el exágono regular mostrado al girar en torno a los ejes “x” e “y”; son V1 y V2. Hallar : V1/V2
A)
B)
C)
D)
E) 1/3
19. Calcular el volumen generado al rotar el área de la región sombreada sobre el eje “A” para R=3r=3. (Considerar: ð
A) 480 D) 580
)
B) 520 E) 600
C) 460
20. Si los lados de un romboide están en la razón de 3 a 7. Calcular la razón de los volúmenes de los sólidos que se obtienen mediante la rotación de la región limitada por dicho romboide en torno a sus lados adyacentes.
A) 8/3 D) 5/3
B) 7/3 E) 4/3
C) 6/3
TAREA 01. En un cuadrado ABCD se traza la circunferencia inscrita de radio 2. Calcule el volumen del sólido generado por la región limitada por el cuadrado y la circunferencia al girar una vuelta alrededor de A) 2ð(4-ð) D) 16ð(4-ð)
B) 12ð(4-ð) E) 20ð(4-ð)
C) 32ð(4-ð)
02. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada al girar una vuelta alrededor de una recta que pasa por D y paralela a la diagonal A) 65ð
B) 64ð
D) 32ð
E) 36ð
A) 4/3 D) 3/2
C) 60ð
B) 8/ð u E) 2ð u
3
C) 2/ð u
3
B) 24ð u 3 E) 30ð u
C) 26ð u
traza por “D” una recta
cm), se
no secante al
cuadrado, que forma con un ángulo que mide 8°, calcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada al girar 360° alrededor de . 3 3 3 A) 10ð cm B) 100ð cm C) 200ð cm 3 3 D) 300ð cm E) 400ð cm 07. Se tiene un rectángulo ABCD donde AB=3BC, BC=a unidades. Sea L una recta que pasa por el vértice B y forma un ángulo de 45° con el lado de menor longitud. Calcular el volumen del sólido que genera la región rectangular ABCD alrededor del eje que pasa por la recta L.
04. Calcular el volumen del sólido generado por la región rectangular ABCD al girar una vuelta alrededor de “L” si // y CD=2 u.
A) 22ð u 3 D) 28ð u
C) 3/4
06. Se tiene un cuadrado ABCD (AB=5
03. Calcular la distancia del centro de gravedad de la región sombreada hacia si AO =6 u
A) 4/ð u D) ð u
B) 2/3 E) 2/6
A) 2
a ð
3
B) 3
a ð
3
D) 6
a ð
3
E) 5
a ð
C) 4
3
a ð
3
08. En la figura mostrada AC es diámetro AO=OC=4 u. Los triángulos ABO y ODC son equiláteros. Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región sombreada alrededor de la recta XX’.
3
05. Calcular la razón de volúmenes de los sólidos determinados por las regiones ABC y APQC al girar una vuelta alrededor de . (AB=BC=AC)
A) 64ð(
+ð) B) 32ð(
+ð)
D) 48ð(
+ð) E) 24ð(
+ð)
C) 32
ð
09. ABCD es un rectángulo, AB=3, BC=4, se inscribe en ABC una circunferencia. Calcular el volumen que genera el círculo inscrito al rotar alrededor de la recta AC. A) ð u D)
3
B) u
3
u
3
C)
u
3
2 3
E) 2ð u
10. Se tiene una región triangular ABC, que gira alrededor de una recta trazada por el vértice A no secante a los lados coplanares al triángulo, de modo que el área de la superficie generadas por En dicho giro es S y la distancia del vértice A al lado AC es d. Calcular el volumen del sólido generado por la región triangular ABC al girar en torno a dicha recta. A)
B)
D)
E)
C)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 01. Un rectángulo tiene perímetro igual a P. Hallar sus dimensiones para que su área sea máxima A) P/2; P/2 B) P/3; P/6 C) P/4; P/4 D) 3P/10; P/5 E) P/3; P/4 02. En la figura : ABCD es un cuadrado de lado “L”, AP=DS=CR=BQ=x. Calcular los valores de “x” que hacen que PQRS tenga área mínima y máxima :
A)
B)
D)
E)
C)
05. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm, ¿cuánto debe medir la base mayor para que el área sea máxima? A) 15 cm B) 25 cm C) 20 cm D) 30 cm
E) 20
cm
06. Calcular el máximo volumen que puede tener un cilindro circular recto inscrito en una esfera de radio “R” A) L/3; L/2 D) L/5; L
B) L/2; L/4 E) L/2; 0
C) 0; L/2
03. Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada disponiendo de 300 dm 2 de material; calcule la altura de dicha caja para que su volumen sea máximo A) 4 dm B) 6 dm C) 8 dm D) 5 dm E) 9 dm 04. Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de lados 8; 10; 12 tal que un lado del rectángulo, está contenido en el lado del triángulo que mide 12.
A)
B)
D)
E)
C)
07. Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones, una para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cuál debe ser el lado del cuadrado para que la suma de las áreas sea máxima? A)
B)
C)
D)
E)
08. Un cono circular recto de 24 cm de altura es cortado por un plano paralelo a su base. ¿A qué distancia de la base debe ser hecho el corte, para que el cono recto de base en la sección determinada y de vértice en el centro del cono dado tenga volumen máximo? A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 12 cm 09. Se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. ¿Cuál debe ser la altura del embudo para que su volumen sea lo mayor posible? A) 10
B)
D)
E)
C)
E) 4/3
11. Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio “R”. Si el perímetro de dicho triángulo es mínimo, calcular su altura. A) 2R B) 3/2R C) 4R D) 3R
E) 3R
12. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como volumen. Encontrar las dimensiones que requerirán la mínima cantidad de material
16. Un cono circular recto va a ser circunscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la razón de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo A) 2 B) 2 C) E) 2
17. Se tiene una plancha metálica de lado igual a 12 cm. Se desea construir de ella una caja cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Hallar las dimensiones de la caja de capacidad máxima que se puede construir de este modo A) 6 ; 3 B) 8 ; 2 C) 6 ; 4 D) 10 ; 2 E) 9 ; 2 18. En un rombo ABCD cuyo lado es 3
se traza
por el vértice A la recta paralela a ; luego se hace girar el rombo en torno a esta recta, una vuelta completa. Calcular el volumen máximo del sólido generado A) 198 B) 216 C) 248 D) 324 E) 216ð 19. Una esfera de radio “a” está inscrita en una pirámide regular cuadrangular de la cual se pide su volumen mínimo 3 3 3 C) 32a /3 B) 64a /3 A) 24a 3 3 D) 24a /5 E) 16a
A) B)
C)
D)
E)
13. Se inscribe un triángulo en un círculo de radio “r”. ¿Cuál debe ser la longitud de su altura para que su área sea máxima? A) r B) 3r/2 C) 4r/5 D) 5r/4
15. Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio “R” y altura “H” A) 2R/3 ; H/3 B) R/2 ; H/3 C) 3R/4 ; H/2 D) R/3 ; 2H/3 E) R/4 ; 5H/6
D) 2
10. Dado el volumen de un cilindro circular recto, hallar la relación entre el radio y la altura, sabiendo que la suma de su área lateral y el área de su base es mínima A) 2 B) 1 C) 3/2 D)
14. Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60 cm de perímetro de manera tal que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido de máximo volumen; ¿cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular? A) 49/4 ; 16 B) 55/4 ; 12 C) 45/2 ; 15 D) 39/2 ; 10 E) 49/5 ; 12
E)
r/2
20. Determinar el área lateral máxima del tronco de cono circular recto si : AB+BC+CD+AD=k
2
A) ðk /2 2 D) ðk /16
2
2
B) ðk /4 2 E) ðk /32
C) ðk /8
TAREA 01. Un cono circular recto de 24 cm de altura es cortado por un plano paralelo a su base. ¿A qué distancia de la base debe ser hecho el corte, para que el cono recto de base en la sección determinada y de vértice en el centro del cono dado tenga volumen máximo A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 12 cm 02. Se tiene una pirámide exagonal regular OABCDEF cuya arista lateral es “a”. Calcular el volumen de dicha pirámide, si el área de la región triangular AOD es máxima A)
B)
D)
E)
C)
03. En una semicircunferencia de diámetro se inscribe el trapecio ABCD. Si AD = 4 m. Hallar el área máxima de la región cuadrangular ABCD m2
A) 3 D) 6 m
2
B) 4 m 2 E) 4
C) 8 m 2 m
2
“AR+RB” si es mínimo.
A) a+b
B)
D)
E)
C)
06. Dos lados de un triángulo miden 11 y 60. Calcular el área del circulo inscrito para que el área de la región triangular sea máxima. A) 16ð B) 36ð C) 4ð D) 9ð E) 25ð 07. En el trapecio “è” es agudo, AC=12 y BD=16. Calcular el mínimo valor entero de la mediana “MN”
04. La base de la pirámide M-ABCD es un cuadrado es la altura de la pirámide. Hallar el valor mínimo de la longitud de la arista 3 volumen de la pirámide es 9 u A) 2 u D) 3
B) u
u
si el
C) 3 u
E) 0,5 u
05. En la figura AP+BQ=a y PQ=b. Calcular
A) 2
B) 4
C) 9
D) 10
E) 11
08. Se tiene una caja de forma paralelepípedo rectangular la cual se desea pintar. Si el largo es el doble del ancho y la suma de las 3 dimensiones diferentes es 14. Calcular la altura para que se gaste la menor cantidad de pintura. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 09. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede inscribirse en un esfera de radio “r” A) 3r/4 B) 2r/3 C) 3r/2 D) 4r/3 E) r 10. Calcular la altura del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de 12 cm de altura. A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 E) 3
