CONJUNTOS El proposito de este capitulo es el estudio de la teoría intuitiva de conjuntos. Para ello, es necesario aclarar primero qué se entiende por conjunto.
E = { } = Ö n(E) = 0 : E es un conjunto vacío o nulo
Idea de conjunto
La representación gráfica de los conjuntos se realiza a través de regiones planas limitadas por curvas cerradas.
DIAGRAMAS DE VENN - EULER
El mundo en que vive el ser humano está rodeado de conjuntos: conjunto de utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación, conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de árboles. En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Notación
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, los cuales se encuentran encerrados entre llaves y separados por comas. A los conjuntos por lo general se les denota por alguna letra mayúscula.. Por ejemplo el conjunto A formado por los números primos menores que 20:
1. Por extensión o en forma tabular Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombre explícitamente a cada uno de los elementos que conforman el conjunto, permitiendo de esta manera saber cuantos elementos tiene. A = { 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; 17}
A = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}
2. Por comprensión o en forma constructiva Son aquellos conjuntos en la cual se mencionan las característica o propiedades de los elementos
Relación de pertenencia () un objeto parte al deconjunto. un conjunto, se dice queSidicho objetoforma pertenece Si un objeto no forma parte de un conjunto, decimos que dicho objeto no pertenece () al conjunto.
que la conforman.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Ejemplo:
Subconjunto o Inclusión Un conjunto A es subconjunto o parte de un conjunto B, si cada elemento de A es también elemento de B Simbólicamente: A B x A x B
A = { 2; 4; 7; 8; 9; 10} 2A 5 A 9A 1 A 7A 12 A
De acuerdo a la definición dada:
NOTA: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. A A
Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A. (Es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el entero no negativo que nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto y se denota como n(A).
En particular, se conviene que: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos:
Subconjunto propio: Si el conjunto A es subconjunto del conjunto B, y por lo menos un elemento de B no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjunto propio de B.
A = { 3 } n(A) = 1 : A es un conjunto unitario B = {4; {2}} n(B) = 2 : B es un conjunto binario C = {a; c; e} n(C) = 3 : C es un conjunto ternario D = { 2; 4; 6; 2; 8; 4} n(D) = 4 : D es un conjunto cuaternario
1
Ahora cuando dos conjuntos son coordinables se dice que tienen el mismo número de elementos OBSERVACIÓN: En lugar de utilizar el número para verificar la coordinabilidad, se utiliza la coordinabilidad de conjuntos para definir el número. De este modo el concepto de número, resulta de la consideración de conjuntos coordinables cuando se hace abstracción de sus propiedades.
OBSERVACIONES : 1.- El número de subcon juntos que tiene el conjunto A esta dado por:
CLASES DE CONJUNTOS
# de subconjuntos de A =
1.- Conjunto finito Un conjunto es finito si tiene un determinado número de elementos diferentes y el proceso de contar los elementos de este conjunto tiene límite.
Ejemplo: Sea A = {1; 2; 3} Los subconjuntos de A son: Ö; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}
2.- Conjunto infinito Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad inmensurable de elementos, es decir que el proceso de contar sus elementos no tiene límite en el espacio y tiempo.
2.- Para determinar la cantida d de subconjuntos karios de un conjunto A esta dada por la expresión: # de subconjuntos de k elementos =
3.- Familia de Conjuntos o Conjunto de Conjuntos Son todos aquellos conjuntos en la cual todos sus elementos también son conjuntos. A = { {1}; {2; 3}; {1; 5; 7; 8}}
Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales cuanto cumplen la doble inclusión, es decir: A=BABBA
B = { {b; c}; {f}; {c; d}; {h}} 4.- Conjunto de Partes o Conjunto Potencia Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A).
Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.
P(A) = 2A = {B / B A } B P(A) B A
A y B son comparables A B B A
5.- Par Ordenado Es un conjunto de dos elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación: (a ; b), el cual se lee “ Par ordenado a , b”, donde “a” es la primera componente y “b” la segunda componente.
Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Conjuntos Coordinables Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. (La coordinabilidad de
(a ; b) = (c ; d) a = c b = d
conjuntos es una relación de equivalencia)
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.- Números naturales. = {1; 2; 3; 4; ..........; n; ..........; 2n-1; 2n; .........} Presenta dos subconjuntos importantes: Números pares: {2; 4; 6; 8; ...................... } Números impares: {1; 3; 5; 7; ................. } 2.- Números enteros.
2
Z = {.............; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ................} 3.- Números racionales.
DIFERENCIA SIMÉTRICA
A B = (A - B) (B - A)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS REUNIÓN
A B = {x / x A x B}
INTERSECCIÓN A B = {x / x A x B}
DIFERENCIA A - B = {x / x A x B} COMPLEMENTO A’ = AC = {x / x U x A}
3
PRODUCTO CARTESIANO Sean dos conjuntos cualesquiera A y B diferentes del vacío, el producto cartesiano A x B es el conjuntos por los pares ordenados, tal que la primera componente es un elemento del conjunto A y la segunda componente un elemento del conjunto B A x B = {(a; b ) / a A b B} Ejemplo: A = { 1; 3 } B = { 2; 4; 6; 8 } A x B = {(1; 2),(1; 4),(1; 6),(1; 8),(3; 2),(3; 4),(3; 6),(3; 8) } B x A = {(2; 1),(2; 3),(4; 1),(4; 3),(6; 1),(6; 3),(8; 1),(8; 3) } Representación de A x B
OBSERVACIONES: 1. A x B B x A 2. Si A = B A x B = B x A 3. n(A x B) = n(B x A) = n(A) . n(B)
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dadas las propo siciones: ( ) Si A tiene dos elementos, entonces P(A) tiene tres subconjuntos propios ( ) P( Ö) es vacío, Ö = “Conjunto vacío” ( ) n(P(A)) siempre es un número par A) FFV D)FFF
B) VFF E)VVF
( ) {0} P(A) ( ) {1} P(A) ( ) Ö P(A) ( ) {{1}} P(A) A) VVVVV D)VFFVV
B) 16 E) 31
C) FVFVF
C) FVF 04. Si: A = { Ö; 1; {Ö; {1}}} determinar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas: I. 0 A II. Ö A III. {1} A IV. {Ö; {1}} A V. {1} A A) 2 B) 1 3D) 5E)
02. Si: A = {0} cuánto s subconjuntos propios tiene el conjunto potencia P(A) A) 7 D) 8
B) VFVFV E)VFFVF
C) 3
03. Dado el conjunto: A = {0; {1}} determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones: ( ) Ö P(A)
05. Dados los co njuntos:
4
C) 4
A = {x2+x+1/x Z, x2 +1 = 0} B = {x2-x+1/x , x3 +1 = 0} determinar cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. ÖA Ö II. B III. A B IV. BÖ A) 0 B) 3 C) 1 4D) 2E)
12. En un salón de clase de 45 personas, si 15 no practican ajedrez, 25 no practican damas, y 5 no practican ni damas ni ajedrez; determinar cuántos practican damas y ajedrez A) 20 B) 10 C) 5 D) 25 E) 15 13. Una persona usa polo y/o camisa cada día durante el mes de diciembre. Si usa polo durante 23 días y durante 27 días camisa, ¿cuántos días usa polo y camisa?
06. Determinar el número cardinal del conjunto:
A) 8 D) 12
B) 5 E) 7
C) 6
A) D) 2114
B) 18 E) 16
A) 8 D) 5
C) 25
A = {a+4; 4b-2; 2a-10} B= C=
A) 8 D) 16
C) 105
10. Determinar la suma de los elementos del conjunto: A = {x2 -4 / x Z - 3 x < 6} A) 24 B) 37 C) 31 D)42 E)28
A) 15 D) 5
11. Dados los conjuntos B y disjuntos C donde Ay y B son comparables, A y CA,son coordinables; (B - A) y C son comparables y (B A) es no vacío A Ä C = {b; c; d; e} B - C = {a; b; c} determinar : (A Ä B) (B Ä C) B) {d; e} E) {b; c}
B) 12 E) 14
C) 5
16. En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres, mujeres y niños, se observa que hay : 20 mujeres 55 niños 40 peruanos 65 extranjeros 25 niños peruanos 45 extranjeros entre mujeres y niños 15 peruanos entre hombres y mujeres Determinar en cuánto excede la cantidad de hombres extranjeros a la de los peruanos
09. Determinar la suma de los elementos del conjunto A: A = {5 - (2 - x)2 /x B}; B = {(x - 1)2 - 1/x Z, -1 x < 4} A) 4 B) 5 C) 3 1D) 2E)
A) 0 D) Ö
C) 20
n(U) = 50 n[(A C) B’] es: Entonces
determinar: a + b + c + d B) 107 E)106
B) 10 E) 15
15. Se sabe que “U” es un conjunto universal n(B) = 28 n(C) = 19 n(A B) = 14 n(A’ B C) = 5 n(A C’) = 12 n(A B’ C) = 1 n(A B C) = 6
08. Se sabe que los siguientes conjuntos son unitarios:
A) 104 D)108
C) 19
14. En un congreso donde asistieron 100 personas se observó que 70 son mujeres, 30 son mujeres matemáticas, 60 personas no son matemáticos. Determinar cuántos hombres son matemáticos
07. Determinar la suma de los elementos del conjunto:
A) 3 D) 17
B) 15 E) 20
B) 25 E) 10
C) 20
17. En un salón de 140 alumnos donde todos hablan por lo menos un idioma entre español, inglés y francés, se observa que: 135 hablan a lo más 2 idiomas 50 hablan por lo menos 2 idiomas 15 hablan español y francés pero no inglés 35 sólo hablan inglés 40 hablan francés pero no inglés 45 hablan francés pero no español
C) {a}
5
45 hablan español pero no inglés Determinar cuántos alumnos hablan los 3 idiomas A) 5 D) 25
B) 20 E) 15
20. En un corral donde se encuentra 90 pollos se observa que: Los que comen maíz son el doble de los que comen sólo trigo, los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los que comen sólo maíz. ¿Cuántos pollos comen uno solo de estos alimentos?
C) 10
18. De un grupo de 310 personas se realizó una encuesta donde se observó que: 110 leen “Caretas” 130 leen “Gente” 170 leen “Oiga” o
A) 30 D) 45
B) 75 E) 20
C) 60
50 sólo leen leen la la revista revista “Gente” “Caretas” 60 sólo 90 sólo leen la revista “Oiga” 100 leen por lo menos 2 revistas 10 leen las tres revistas Determinar cuántas personas no leen ninguna de las revistas mencionadas A) 20 D) 5
B) 10 E) 20
C) 15
19. En un colegio 95 alumnos han rendido 3 exámenes, de ellos 30 aprobaron el primero, 45 el segundo y 40 el tercero; 5 aprobaron los 3 exámenes, 20 no aprobaron ningún examen, 10 aprobaron y el ni segundo peronino tercero; 15 elnoprimero aprobaron el primero el el tercero pero si el segundo; 15 no aprobaron el primero ni el segundo pero sí el tercero. Determinar cuántos alumnos aprobaron por lo menos dos cursos A) 20 B) 35 C) 25 D) 40 E) 30
TAREA 01. Si: A’ Ä B’ = Ö, determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones : ( ) [A (A B’)] - [B’ (A B’)] = Ö ( ) (A B) - B = Ö ( ) (A - C) (B - C)’ = A - B A) VVF B) FVV C) VFV
03. Si: A B y (A B) C = Ö simplificar: [{(A - B’) (C - B’)} - B’] C A) A B) Ö C) B D) A’ E) C
D)VVV E)FFV 02. Si: A Ä B = Ö, A Ö, B Ö, determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones: ( ) A-B= Ö ( ) (A B) - B = Ö ( ) [B - (A’ B’)] - [A - (A’ B’)] = Ö A) VVF B) VVV C) FVV D)VFF E)VFV
04. Dado U = {2;el4;conjunto: 5; 6; 9} A = {2; 5; 9} B = {4; 5; 6} C = {5; 6; 9} determinar: [(B Ä C)’ - (A Ä B)’] A) {4; 5; 6} B) {2; 6} 9} D) {4; 6; 9} E) {2; 4; 6} 05. Dado el conjunto:
6
C) {4; 5;
U = {1; 2; 4; 6; 7; 9} A = {4; 6; 9} B = {2; 4; 6} C = {1; 4; 7} determinar: [A’ (B - C)] Ä [A - (B’ C)] A) {1; 2; 6; 7; 9} B) {6}
07. Determinar la relación e quivalente a: {[(A Ä B) (A - B)] A} - (A’ B’) A) Ö B) AB D)B-A E)A-B 08. Simplificar: [(A’ B)’ (A B’)’]’Ä A A) Ö B) U D) B E) A’
C) {4; 6;
9} D) {1; 2; 7}
E) {1; 2; 4; 7; 9}
06. Sean dos conjuntos A y B, tales que: n[P(A Ä B)] = 1 024 B)] = 8 n[P(A determinar n[P(A B)] A) 2 048 B) 4 096 D)9464 E)8192
C) AB
C) A
09. El conjunto sombreado, mostrado en el diagrama de Venn - Euler representa una operación entre los conjuntos A, B y C C) 6472
A) (A B C) - (A - B) C B) (A B C) - (A - B) C) ((A - B) - C) (A B C) D) (A Ä B) Ä (B Ä C) E) (A Ä B) - (A C) 10. En un salón de clase, 25 aprobaron aritmética, 2 3 álgebra, 25 razonamiento matemático; 9 aprobaron aritmética y álgebra solamente, álgebra y razonamiento matemático; 12 6 aritmética y razonamiento matemático. Determinar el mínimo número de personas que aprobaron sólo razonamiento matemático A) 7 B) 5 C) 3 D) 6 E) 13
7
NUMERACIÓN NÚMERO
Es un ente matemático sin definición, el cual nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. El número es solamente una idea.
6 unidades de 3° orden < > 1 unidad de 4° orden 6 unidades de 4° orden < > 1 unidad de 5° orden
¿Cómo se forman los números? Base 10
NUMERAL Es la representación gráfica, mediante signos o símbolos, un número. Estomediante significa que un número sede puede representar diferentes numerales. Ejemplo : 4 = cuatro = four = tawa = IIII Base 7
ORDEN DE UNA CIFRA Es la posición de ésta ocupa dentro de un numeral. Dicha posición se considera, de derecha a izquierda Ejemplo :
Base 4
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Es aquel entero mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un cierto orden se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior. El sistema de numeración que usamos actualmente se llama decimal, y utiliza como base a 10.
En conclusión : 23 = 32(7) = 113(4) PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN BAS E
NOM BRE
10 unidades de 1° orden < > 1 unidad de 2° orden (decena) 10 unidades de 2° orden < > 1 unidad de 3° orden (centena) 10 unidades de 3° orden < > 1 unidad de 4°
2 3 4 5 6 7
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario
0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
orden (u. de millar) 10 unidades de 4° orden < > 1 unidad de 5° orden (d. de millar)
89 10 11 12
Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal
7 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
En base 10 :
REPRESENTACIONES LITERALES
En base 6 :
CIFRAS
Se utilizan cuando una o más cifras de un numeral son desconocidas.
6 unidades de 1° orden < > 1 unidad de 2° orden 6 unidades de 2° orden < > 1 unidad de 3° orden
8
Ejemplos : Numeral de 2 cifras : = 10; 11; 12; ...........; 99
Caso 3 : De base n a base m Ejemplo : 575(8) a base 6 - 575(8) a base 10 575(8) = 5 . 8 2 + 7 . 8 + 5 = 381 - 381 a base 6
Numeral de 3 cifras del sistema quinario : = 100(5); 101(5); 102(5); ...........; 444(5)
Numeral de 4 cifras iguales del sistema nonario : = 1111(9); 2222(9); 3333(9); ...........; 8888(9)
NUMERAL CAPICÚA 575(8) = 381 = 1 433 (6)
Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.
NOTA : La descomposición polinómica también se puede realizar por bloques
Ejemplos :
-
= 11; 22; 33; ...........; 99 = 101; 111; 121; ............; 999 = 1001; 1111; 1221; ............; 9999 = 101 (6); 111(6); 121(6); ............; 555(6) = 10001 (8); 10101(8); 10201(8); ........;
77777(8)
CAMBIOS DE BASE
Caso 1 : De base n a base 10 (n 10) Ejemplo : 5683 (9) a base 10 Descomposición polinómica 5683(9) = 5 . 9 3 + 6 . 9 2 + 8 . 9 + 3 = 4 206 5683(9) = 4 206
Caso 2 : De base 10 a base m (m 10) Ejemplo : 666 a base 5 Divisiones sucesivas
666 = 10131 (5)
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) En el sistema de base “n” existen “n-1” cifras significativas
( ) Dado , el valor relativo de “a” tiene “n” cifras () =a.n 3+b.n2+c.n+d
9
A) VVV D)FVF
B) VFF E)VFV
C) FFV 11. Si : Calcular: a + m + n A) 8 B) 9 D) 11 E) 16
02. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) 0,abcd n =
C) 10
12. Cuál es la base del mayor numeral de 10 cifras
( ) ( ) Si = 3 . (b+a) entonces soluciones A) VVV B) VFF D)VVF E)FVV
que es equivalente a :
tiene 3
03. Hallar el menor valor posible de m+n 1331(m)=1000(n) A) 6 B) 5 D) 7 E) 8
A) 32
C) FFF
D) 35
B) 33
C) 34
E) 36
13. Si: N=100110011101111 (2), ¿cómo se escribe N en base 8? A) 46357 B) 45367 C) 54467 D)34567 E)76543
C) 9
04. Al escribir “S” en base 8, dar la suma de sus cifras. S = 416 + 219 + 643 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11
14. Cuando el numeral 45678 (9) se escribe en base 3, resulta otro numeral cuya suma de cifras es : A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
05. ¿Cuántas cifras tie ne 3 37-1 en el sistema de base 27? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
15. Si el numeral se convierte al sistema de base 7, viene expresado por tres cifras iguales, hallar a+b+c A) 3 B) 4 C) 5 6D) 7E)
06. Calcular “a+b”, si se sabe que: 8A) 9D)
6B) 5E)
16. Escribir el número 4896 (n) en la base n+1 A)
7C)
B) C)
07. Calcular a+b, sabiendo que:
D) A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
E)
08. Hallar el valor de “n”, si se cumple:
A) 2 6D)
B) 4
C) 5
8E)
09. Expresar el valor de “E ” en el sistema de base “n” (n>3), sabiendo que: E=2n 8+n6+3n5+2n3-n+1 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 2n+6 B) 3n+1 C) 2n-1 D)3n-1 E)4n-1 10. Si: A=17.11 9+5.116-13.11 5+9.113-4.112+15 expresar A en el sistema undecimal. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) 41
10
17. Si , expresar sistema decimal: A) 149 B) 159 D)205 E)309
en el C) 169
18. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: ( ) Existen a, b y n enteros positivos, tales que : ( ) Todo numeral escrito en una base impar y de cifras impares representa a un número impar ( ) Existe al menos un numeral escrito en una base par y de un número parcifras impares que representa a A) VFF B) VFV C) FFF D)FVF E)FFV 19. ¿Cuántas cifras tiene el menor numeral de la base 9 cuyas cifras suman 1 012? A) 122 B) 123 C) 125 D)126 E)127 20. Si : hallar: a + b + c A) 4 B) 6 D) 9 E) 10
C) 7
TAREA 01. Expresar: R=14 641 (n)+1331(n)+121(n+1)+1 en el sistema de base “n+1” y dar como respuesta la suma de las cifras del numeral R. A) 2 B) 3 C) 4 5D) 6E) 02. Si: hallar: a+n A) 15 D) 14
B) 16 E) 13
forma A) 1 4D)
C) 17
03. Determinar la suma de las cifras de “n”, si : 1332(n)= , además a, b, c y d son diferentes de cero. A) 11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12 04. Si: ; hallar: a+b+m+n A) 16 B) 15 D) 18 E) 14 05. Hallar a+b, si: A) 5 8D)
B) 6
C) 20
C) 7
9E)
06. Un número escrito en las bases 6 y 3 tiene la
11
y 2354. Hallar a+b B) 2 5E)
C) 3
07. Si: hallar a+b+c+d A) 21 D) 24
B) 22 E) 25
C) 23
08. En una fiesta a la que asistieron chicos y chicas; en un momento dado el número de chicos que no bailan es “2m-n” y el número de mujeres que no bailan es “m+n”. Calcular el número de asistentes A) 341 B) 143 C) 132 D)165
E)176
09. Calcular: a+b+p, si: A) 5 8D)
B) 6
C) 7
9E)
10. Un automóvil sale a las 08:00 horas de una ciudad “A” rumbo a “B” con una velocidad de km/h, a las 09:00 horas sale otro automóvil de la ciudad “B” hacía “A” a una velocidad de km/h. Encontrándose ambos automóviles al medio día en un punto equidistante de las 2 ciudades. Calcular la distancia entre “A” y “B” (en km) A) 192 B) 284 C) 342 D)384 E)374
12
CONTEO DE NÚMEROS a) El número de ordenamientos de n elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r está dado por:
DEFINICIÓN Es la parte de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos hacer con elementos de un conjunto dado. I. PRINCIPIOS FUNDAME NTALES a) Prin cipio de Multipl icación Si un evento “A” puede realizarse de m maneras y después de efectuado dicho evento un segundo evento “B” puede realizarse de n maneras diferentes, entonces el evento “A” seguido del evento “B” puede efectuarse de (m . n) maneras.
0rn Ejemplo N° 1: ¿Cuántos números de cinco cifras significativas diferentes existen ? Resolución: El sistema decimal tiene nueve cifras distintas de las cuales necesitamos sólo cinco. El número de arreglos :
Ejemplo : ¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema de base 7? Resolución: La cifra de cuarto orden puede tomar 6 valores, ya que un número no comienza su escritura con cifra cero. La cifra de tercer orden así como la de segundo y primer orden pueden tomar 7 valores existen: 6 . 7. 7. 7 = 2 058 números que cumplen la condición.
Por lo tanto existen 15120 números que cumplen tal condición Ejemplo N° 2: ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 3; 5; 7; 8 y 9? Resolución: El número de arreglos :
b) Pri ncipi o de Adi ción Si un evento “A” puede hacerse de “m” maneras y otro evento “B” puede hacerse de “n” maneras, además, no es posible de que ambos eventos se hagan juntos, entonces el evento A o el evento B se harán de (m+n) maneras.
Por lo tanto existen 24 números con tal condición b) El número de permutaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos, dispuestos en forma circular está dada por:
Ejemplo : ¿Cuántos números de dos cifras tienen como suma de cifras un número par? Resolución: Para que la suma de las dos cifras sea par, las dos tienen que ser pares o las dos impares.
Ejemplo N° 1: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa circular?
Si las dos cifras son pares:
Resolución: El número de formas es: Pc = (8 - 1)! = 5 040
c) El número de permutaciones de n elementos
Si las dos cifras son impares:
tomados en n; NO TODOS DISTINTOS, donde hayder1nelementos iguales entre sí; r2 elementos iguales entre sí y así sucesivamente hasta rk elementos iguales entre sí está dado por:
existen: 20 + 25 = 45 números que cumplen tal
condición II. PERMU TACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto donde debe considerarse el orden.
13
donde: r1 + r2 + r3 + .............. + r k = n
calcula mediante la sustracción de dos términos consecutivos.
Ejemplo N° 1: ¿Cuántos números de nueve cifras existen tal que el producto de sus cifras sea 21? Resolución: Para que el producto de sus dígitos sea 35 se necesitan las siguientes cifras: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3 y 7. El número de arreglos que se pueden realizar:
donde : Ejemplo N° 1
Por lo tanto existen 72 números que cumplen tal condición
an = 6n + 6
Ejemplo N° 2: ¿Cuántos números de nueve cifras tienen como producto de cifras al número 196?
Ejemplo N° 2
Resolución: Para que el producto de sus dígitos sea 196 se necesitan las siguientes cifras: 7; 7; 2; 2; 1; 1; 1; 1; 1 ó 7; 7; 4; 1; 1;1; 1; 1;1 El número de arreglos:
an = 13n - 9
2. De segundo orden . Es toda sucesión cuyo término n-ésimo está expresado mediante una expresión cuadrática de la forma:
Por lo tanto hay 1008 números con tal condición. III. COMBINACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto en los que no se toma en cuenta el orden. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto tomados de r en r donde 0 r n está dado:
Ejemplo N° 1
SUCESIONES Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Los números en el rango de la sucesión, los cuales se llaman los elementos de la sucesión, están restringidos a números enteros positivos en este libro.
Ejemplo N° 2
{a } : a ; a ; a ; a ; ........, a ; .......................... n
1
2
3
4
n
SUCESIONE S POLINOMIALES Son aquellas sucesiones cuyo término n-ésimo a n está expresado mediante un polinomio en “n”.
1. Progresión a rit méti ca . Son aquellas sucesiones en la que cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón, la cual se
3. De t ercer or den . Es toda sucesión cuyo término n-ésimo está expresado mediante una
14
expresión cubica de la forma:
Sabemos :
= {100; 101; 102; .........; 999} 100 1 000
Luego :
102
< 103
donde :
10 = base y 3 = # cifras
Entonces :
83
< 84
En general : Ejemplo :
n = # cifras
CANTIDAD DE CIFRAS O CANTIDAD DE CARACTERES (Cc) Si: 1; 2; 3; 4; .................; N(n) Entonces:
donde: k = número de cifras de N (n) Ejemplo N° 1 En base 10:
1; 2; 3; 4; .........; 87
Cc = 2(87 + 1) - 11 = 165
Ejemplo N ° 2 En base 4:
1; 2; 3; 10; 11; 12; 13; 20; 21; 23; 30; 31; 32; 33; 100; 101; 102; 103
Cc = 3[103 (4) + 1] - 111 (4) = 39
EXISTENCIA DE UN NUMERAL Todo número está comprendido en un intervalo de valores determinados por la base y el número de cifras
15
y
m = base del numeral
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿En cuántos sistemas de numeración el numeral 428 se escribe con cuatro cifras? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
mismo numeral? A) 280 B) 300 D)330 E)360
C) 320
02. ¿Cuántos números naturales se escriben con tres cifras tanto en base 9 como en base 11? A) 608 B) 600 C) 650 D)654 E)618
11. Determinar cuántos n úmeros de tres cifras existen, en los cuales una cifra se repite dos veces. A) 234 B) 243 C) 252 D)260 E)261
03. Calcular el número de términos de la siguiente secuencia : 147n; 160n; 175n; ..............; 305n sabiendo que forman una progresión aritmética. A) 17 B) 16 C) 15 D)14 E)13
12. Se tiene un libro que tiene 4 520 páginas numeradas, si se arrancan todas las páginas que terminan en cifra 5. ¿Cuántas páginas numeradas quedan? A) 3 014 B) 3 016 C) 3 616 D) 3 617 E) Más de 3 617
04. Calcular el término de lugar progresión aritmética : A) 302 B) 303 D)402 E)403
13. ¿Cuántos números de 3 cifras que no tienen ninguna cifra siete en su escritura, tienen por lo menos una cifra cinco en su escritura? A) 200 B) 240 C) 300 D)250 E)120
de la siguiente C) 352
05. Al escribir la siguiente secuencia : 11; 22; 33; .........; se han empleado 522 tipos de imprenta. Calcular: a + b + c A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
14. ¿Cuántos números de cu atro cifras dife rentes en base 8 tienen una cifra 5 por lo menos? A) 625 B) 750 C) 810 D)1250 E)1500
E) 6
15. ¿Cuántos de 5 cifras formarse en base 8 números de tal manera, que elpueden producto de las 2 primeras cifras sea 18, y la suma de las últimas sea impar?
06. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen exactamente una cifra 8 en su escritura? A) 243 B) 216 C) 225 D)200 E)270
A) 594 D)256
B) 786 E)520
C) 512
07. ¿Cuántos números de la forma : 16. ¿Cuántos números de la forma :
existen? A) 15 D)25
B) 12 E)30
C) 20
existen? A) 5 D) 8
08. En qué sistema de numeración hay 30 números de cuatro cifras de la forma : . Dar como respuesta la base. A) 7 B) 8 C) 9 D)12 E)14
B) 6
C) 7
E) 9
17. De la siguiente progresión aritmética : 8; 21; 34; 47; ........ ¿cuántos términos están comprendidos entre 300 y 500? A) 16 B) 15 C) 14 D)13 E)12
09. ¿Cuántos números de t res cifras se escriben con un 6 y con un 7 y alguna otra cifra diferente de los anteriores? A) 64 B) 46 C) 32 D)44 E)30
18. Si : 23 (n); 30(n); 34(n); ......; 636(n); es una progresión aritmética. Indicar cuántos términos tiene dicha progresión. A) 76 B) 79 C) 78 D)77 E)81
10. ¿Cuántos numerales de 4 cifras se pu eden formar con los dígitos 0; 2; 3; 5; 6 y 8 de tal manera que cada dígito no debe repetirse en el
16
19. ¿Cuántos números de 3 c ifras pertenecen a la siguiente progresión aritmética? 15; 19; 23; 27; .... A) 450 B) 225 C) 224 D)226 E)220 20. Calcular el valor de : a + b + c, si : es una progresión aritmética que tiene 73 términos. A) 18 B) 15 C) 12 D) 10 E) 8
TAREA 01. Al escribir la secuencia que tiene 113 términos. ¿Cuántas cifras en total se han utilizado? 6667; 6970; 7273; 7576; .... A) 604 B) 665 C) 650 D)653 E)655
07. Considere un folleto formato medio oficio elaborado con papel tamaño oficio. Al numerarlo se observa que una de las hojas tamaño oficio está numerado 35; 36; 799 y 800. ¿Cuántas cifras se escribieron al numerar el folleto? A) 2 390 B) 2 392 C) 2 394 D)2396 E)2398
02. Del número 4 316 al 5 936, ¿cuántas veces se escribe la cifra 7? A) 522 B) 1 000 C) 432 D)612 E)512
08. En la numeración de las páginas de un libro desde la página hasta la página se han usado 1026 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 400 B) 401 C) 402 D)403 E)404
03. ¿Cuántos números de 30 cifras tienen como producto de cifras 30? A) 25 230 B) 24 320 C) 25 320 D)24 230 E) 25310 04. ¿En qué sistema de numeración existen 66 números de la forma : ?. Dar como respuesta la base. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14
09 En sistema numeración, cuya base es par,qué existen 100 de numerales de tres cifras pares diferentes. A) Octonario B) DuodecimalC) Decuplo D)10 E)12 10. ¿En qué sistema de numeración e xisten 55 numerales de tres cifras, cuya cifra central es la suma de sus cifras extremas? A) Nonario B) Decuplo C) Undecimal D) Duodecimal E) Hexadecimal
05. ¿Cuántos números capicúas existen entre 3 475 y 8 714? A) 51 B) 52 C) 53 D)54 E)55 06. Al escribir la siguiente sucesión 1, 2, 3, 4, ....., se usaron 1 463 cifras. Calcular "n". A) 7 D)10
B) 8 E)11
C) 9
ADICIÓN Se denomina adición a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales denominados sumandos por uno solo llamado suma.
(a; b) S
Donde :
17
a y b : Sumandos
S : Suma a+b=S FÓRMULAS DE ADICIÓN 1. PARA SUCESION ES P OLI NOMIAL ES i. Progresión Aritmética
Ejemplo :
Ejemplo : Sn = 5 + 8 + 11 + 14 + ....... Sn = 5
ii. Para una sucesión de segundo orden
Sn = 8
Ejemplo :
Sn=
4
=(3n-1)(n+1)
iii. Para una sucesión de tercer orden Ejemplos :
2. PARA U NA PROG RESIÓ N GEO MÉT RICA
S30 = 4 + 12 + 36 + 108 + 324 + ....... =
18
S = 7 + 72 + 73 + 74 + ........... + 7 50 =
SUMATORIAS NOTABLES 1.
2.
3. 4.
5.
19
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Asignar V o F según corresponda: ( ) La suma de todos los números enteros hasta el 16 es 136. ( ) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = n 2, siendo “n” impar. ( ) La siguiente suma : 342 7 + 5438 + 7269; debe efectuarse llevando todos los números a una misma base. ( ) La adición tiene 3 elementos los cuales se llaman aditivo, adicionante y suma. A) VVVV B) FVFV C) VFVF D)FFVV E)FFFF
plantado a partir del pozo y cada 5 m y en una misma dirección un total de 27 árboles y puede sacar agua del pozo cada vez para el riego de un sólo árbol. ¿Cuánto tiene que recorrer para regar los 27 árboles?, asumiendo que partió y terminó en el pozo. A) 3 600 m B) 3 700 m C) 3 780 m D) 3 800 m E) 4 000 m 10. Un móvil recorre 1 090 m, de tal modo que en el enésimo segundo recorre “n” veces lo que recorrió en el primer segundo aumentado en 10 m. Obtener el valor de “n”. A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13
02. Se tiene: Calcular la suma en base “b” y dar la mayor de sus cifras. A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6
11. Calcular la suma de todos los números capicúas de 3 cifras significativas, con la condición que el producto de las cifras de dichos números capicúas es un número cuadrado perfecto. A) 13 895 B) 14 895 C) 15 695 D)15 895 E)18 795
03. Calcular el valor de (x + y), si se cumple: A) 10 D)13
B) 11 E)14
04. Si se cumple que: calcular el valor de: a + b + c A) 13 B) 14 D)16 E)17
C) 12
12. Obtener la suma de todos los números pares de 3 cifras que pueden formarse usando sólo los dígitos : 0; 3; 4; 7; 8 y 9. Dar como respuesta la suma de las 2 cifras de mayor orden de dicho resultado. A) 5 B) 6 C) 7
C) 15
05. La suma de 13 números impares consecutivos está comprendida entre 430 y 480. Si el término central es ; calcular el valor de: 1 + 2 + 3 + ... + A) 520 B) 580 C) 630 D)650 E)720
13. Calcular la suma de todos los números no capicúas de 3 cifras que se pueden formar con las cifras : 0; 1; 3; 6; 7 y 9 A) 16 056 B) 36 492 C) 57 650 D) 8 6 124 E) 102 180
06. Sabiendo que: 992 calcular el valor de “a+b” A) 12 B) 14 D)16 E)17
14. Efectuar: S = 9 + 99 + 999 + 9 999 + .... si hay 40 sumandos. Dar como respuesta la suma de las cifras de S. A) 38 B) 40 C) 45 D)47 E)50
+ ... +
D) 8
=5
C) 15
15. Sabiendo que :
07. La suma de los “3a” primeros enteros positivos excede en 150 a la suma de los “a” primeros enteros positivos. Obtener la suma de los primeros pares positivos y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 5 C) 10 D)12 E)18
E) 12
=2.
+ 12; además:
calcular : a . b + c . d A) 36 B) 38 D)44 E)48
C) 40
16. Dada la siguiente adición:
08. Si la suma de los números consecutivos (enteros) desde hasta 50 es 1 122; hallar el valor de “a + b” A) 7 B) 8 C) 9 D)10 E)11
siendo : a b c d. Calcular a + d A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 17. Si: (x - 1) es la mayor cifra de la base (z + 3) y además se cumple que: + =
09. El guardián de un pozo de una hacienda ha
20
obtener : x + y + z A) 13 B) 14 D)16 E)17
C) 15
18. Obtener el valor , sabiendo que m; n; p y q son números impares mayores que 1. Además: A) 108 D)144
B) 116 E)150
C) 120
19. Calcular la suma de todos los números de 20 cifras cuyalasuma 179. Dar como respuesta sumadedecifras cifrasesdel resultado. A) 160 B) 165 C) 169 D)176 E)182 20. Se tiene las cifras significativas a; b y c, tales que : a > b > c. Con estas cifras se forman todos los números de 3 cifras, las 3 diferentes entre sí y se toman el mayor y el menor. Se observa que si al menor se le suma 1 031, resulta lo que le falta al mayor para ser igual a 2 000. Calcular la suma de todos los números formados. A) 2 438 B) 2 542 C) 2 664 D)3126 E)3248
TAREA 01. Calcular la suma de todos los números contenidos en el triángulo aritmético adjunto,
Expresar el resultado en base 12.
sabiendo que éste posee 10 filas.
A) 2 584 D) 3080
B) 2 826 E)3120
A) 335 D)
C) 3 040
02. Calcular “a + b”, sabiendo que la suma de todos los números enteros consecutivos desde hasta es igual a 2 035. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 03. Calcular x + y + z, si se cumple que: 15+18+21+20+24+28+25+30+35 + ..+ 210
A) 5 D) 9
B) 6 E) 11
C) 8
04. Se tiene: S = 105 + 100 5 + 1 0005 + ... (40 sumandos) calcular las 3 últimas cifras de S expresado en la base 10. A) 705 B) 805 C) 905 D)090 E)790 05. En el sistema senario se cumple que:
21
B) 533 E)
C)
06. Calcular la suma de los números de tres cifras que tengan alguna cifra ocho. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 45 B) 42 C) 35 D) 3 E) 27 07. Determinar la suma de to dos los números de tres cifras de la forma:
A) 21180
B) 21 190
C) 21 200
D)21 210 E) 21220 08. Calcular la suma de todos los números de cuatro cifras que se pueden escribir con los siete primeros dígitos. A) 12 487 098 B) 10 670 044C) 13 546 780 D) 9 123 987 E) 15 020 400 09. Calcular la suma de todos los números de cuatro cifras que empiezan y terminan en cuatro. A) 449 900 B) 449 910 C) 449 920 D) 449 930 E) 449 940 10. Cuál es la suma en base 8 de todos los números de la forma . Dar la suma de cifras del resultado. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14
SUSTRACCIÓN DEFINICIÓN Se denomina sustracción a la operación binaria que hace corresponder a un par ordenado de números naturales denominados minuendo y sustraendo a un tercer número natural llamado diferencia (m; s) Donde:
Teorema N° 2 Si : entonces : Caso 1 : b < c x + z =n-1 y + w=n-1
d
m : minuendo s : sustraendo d : diferencia m.s=d Propiedad : m + s + d = 2m
Caso 2 : b > c x + z = n y + w=n-2
Caso 3 : b = c x + z =n-1 y = w=n-1
Teorema N° 1 Si : entonces : 1. x + z = y = n - 1
COMPLEMENTO ARITMÉTICO
2.
El complemento aritmético de un número natural es lo que le falta a dicho número para ser una unidad del
22
orden inmediato superior al mayor orden de dicho natural. Sea N(n) un número de k cifras :
Regla práctica para calcular el complemento aritmético A la primera cifra significativa de la derecha se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base Ejemplos :
CA(N(n)) = n k - N(n) 1 CA(N(n)) (n - 1) . n k-1 Ejemplos : CA(24) = 102 - 24 = 76 CA(1329) = 9 3 - 1329 = 7579 CA(5004n) = 8 4 - 5004 8 = 2774 8 CA(43006) = 6 5 - 43000 6 = 130006
PROBLEMAS PROPUESTOS cifras. Calcular: a2 + b2 + c3 A) 222 B) 150
01. En una sustracción, si al minuendo se le disminuye unidades y al sustraendo se le disminuye unidades siendo a - b = 4, entonces, ¿cómo varía la diferencia? A) Disminuye en 36 B) Aumenta en 24 C) Disminuye en 18 D) Aumenta en 36 E) Disminuye en 27
C) 184
D)146 E)212 06. Si : , calcular A + B + C. Dar la respuesta en base 10 A) 7 B) 10 C) 12 D)14 E)16 07. En un cierto sistema de numeración existe un número de tres cifras que duplicado da lugar a un número de las mismas tres cifras pero dispuestas en orden inverso. ¿Cuál es la menor base, mayor que 11 en que esto sucede? A) 12 B) 13 C) 14 D)15 E)16
02. La suma de los términos de una sustracción tomados de 2 en 2 son 592; 860 y 484. Calcular el mayor de los tres términos. A) 368 B) 376 C) 484 D)476 E)429 03. La suma de las cifras de la diferencia: es 30; siendo c < b y a > d . ¿Cuál es el valor de “n”? A) 14 B) 15 C) 16 D)17 E)18
08.S i:CA
= 2
calcular: a + b2 + c2 A) 14 B) 49 D)94 E)13
04. Si : , además: a + c =12 calcular: a + 2c A) 15 B) 18 C) 13 D)17 E)14
C) 72
09. Si el complemento aritmético de es 8a +6b + 3c, hallar la suma de cifras del mayor número que cumple la condición anterior. A) 11 B) 14 C) 12 D)15 E)13
05. Un número de tres cifras es tal que . Si se sabe que la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos
10. Si sabemos que: CA [ CA
23
] = 25
calcular: a+b+c A) 21 B) 17 D)15 E)14
18. ¿Cuántos números de tres cifras existen, tales que al restarle su complemento aritmético dan como diferencia un número de dos cifras que termina en cero? A) 9 B) 10 C) 90 D)50 E)99
C) 16
11. Dado un número de 5 cifras significativas en base “n”, se cumple que: * La suma de sus 5 cifras es 19 * La suma de cifras de su C.A. es 12 calcular el valor de “n” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
19. Hallar cuántos números enteros de 4 cifras distintas y diferentes de cero existen, tal que si se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtenga como diferencia un número capicúa
12. Se tiene que:
A) D) 1016
y además a + b + c + d = 22. Calcular “n” A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E)15
Calcular el valor de “a” A) 6 B) 8 D) 7 E) 9
C) 12
20. Hallar “D” en base 8, si: D= y A) 1 166 B) 1 616 C) 630 D)603 E)Másde1666
13. Hallar un número de 3 cifras, tal que si se le suma el número que resulta de invertir el orden de sus cifras resulta un número capicúa de 3 cifras, además la diferencia de los mismos resulta otro número capicúa pero de dos cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras, sabiendo que es máximo. Cabe mencionar que la cifra de unidades de ambos números capicúas son iguales. A) 14 B) 12 C) 11 D)18 E)13 14. Si se cumple: además:
E) 8B) 14
;
C) 5
15. Calcular el producto de las cifras de un número de 3 cifras escrito en base 7, tal que la suma de dichas cifras es 13 y su complemento aritmético es un número capicúa de 2 cifras (en base 7) A) 60 B) 42 C) 72 D)36 E)48 16. Determinar la suma de las cifras del mayor número entero, de tal manera que la diferencia de dicho número con su complemento aritmético es un número capicúa de 3 cifras A) 20 B) 18 C) 23 D)24 E)22 17. ¿Cuántos números de cuatro cifras son tale s que: el C.A de su C.A tiene dos cifras? A) 80 B) 81 C) 89 D)90 E)171
TAREA
24
01. Se tienen 5 cifras consecutivas y significativa s en base “n” con las cuales se forma el mayor y el menor número posible de 5 cifras, los cuales se restan obteniéndose . Hallar a + b + c + d en base 10 A) 22 B) 23 C) 24 D)25 E)26
06. A partir de : Calcular (x + y) A) 12 B) 15 D) 5 E) 10
07. A las c + b = 7 a.m. de ayer se subastó un mueble de S/. , ofreciéndose S/. , así gano S/.180. Si se hubiera vendido por S/. , se ganaría S/.81. ¿A cuánto se vendió el cuadro?
02. La media aritmética de los tres términos de una sustracción es 20. Hallar su media geométrica, sabiendo que el 20% del sustraendo es igual al 30% de la diferencia. A) 6 B) C) 6 D) 6
C) 7
A) S/.432 243 D) S/.
S/. 324 E)B)S/. 234
08. Calcular: a + b si : CA + CA A) 8 B) 9 D)11 E)12
E)
03. Se tiene un número de “K” cifras significativas cuya suma de cifras es 56 y la suma de las cifras de su complemento aritmético es 44. Calcular el valor de “K” A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14
C) S/. 423 = 3 674 C) 10
09. Determinar el mayor valo r para "n" menor que 14 tal que un numeral de tres cifras en base "n" sea igual al doble del numeral de tres cifras de base "n", escritas con las mismas tres cifras del numeral anterior pero escritas en orden inverso. A) 13 B) 12 C) 5 D) 8 E)11
04. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras e xisten tales que la suma de las cifras de su complemento aritmético sea 31? A) 22 B) 21 C) 25 D)13 E)17
10. Un alumno al restar dos números de tres cifras cada uno, invirtió el orden de las cifras del minuendo obteniendo 112 de resultado. Se dio cuenta de su error, corrigió y obtuvo 805.
05. Hallar la suma de los complementos aritmético s de todos los números de 3 cifras que usen cifras impares en su escritura A) 565 625 B) 625 000 D) 69 375 D) 55 625 E) 129 000
Sabiendo que la suma lasacifras del minuendo más del sustraendo es de igual 24. Determinar la suma de las cifras del C.A del sustraendo. A) 16 B) 22 C) 25 E) 8 E) 18
25
MULTIPLICACIÓN Es una operación binaria que relaciona un par ordenado de números naturales denominados multiplicando y multiplicador a un tercer número natural único denominado producto a×b=P
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. La suma de los dos factores de una multiplicación es 69; además, si el multiplicando aumenta en 15 y el multiplicador disminuye en 6, el producto no se altera. Calcular el producto A) 1 080 B) 1060 C) 1 200 D)900 E)960
A) 15 D)18
07. Si se sabe que: M.N tiene 8 cifras N.P tiene 15 cifras ¿cuántas cifras tiene M.N2.P? A) 19 ó 20 B) 20 ó 21 D) 23 ó 24 E) 24 ó 25
02. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( ) En toda multiplicación de números naturales, el producto siempre es mayor que cada factor. ( ) Si: A = {2 n / n Z+} entonces la multiplicación es cerrada en A ( ) Existen a, b, c Z; tales que si a.b = c, entonces c < a c < b A) VVV B) FVV C) VFF D)FVF E)FFF
C) 17
C) 22 ó 23
08. Calcular la cantidad de cifras que puede tener: M = A1 . A2 . A3 . ............. An como mínimo, si se sabe que A1; A2; A3 ........ son numerales de 2; 4; 6; .......; y 98 cifras respectivamente A) 2 102 B) 2 202 C) 2 302 D)2402 E)2502 09. Calcular (p+q), si:
03. Si: calcular la suma de las 3 últimas cifras del producto A) 16 B) 19 C) 20 D)21 E)22
siendo a; b y c diferentes entre sí y diferentes de 9 A) 12 B) 7 C) 3 D) 9 E) 5
04. En la multiplicación de , si el multiplicando fuera , el producto sería 18 476, calcular (a + b + c) A) 18 B) 21 C) 20 D)26 E)23
10. Calcular a + b + c + d + e s i: A) 23 D)28
05. Calcular la suma de todas las cifras del producto
31 cifras A) 252 D)279
B) 14 E)12
B) 261 E)288
B) 24 E)29
C) 27
11. Calcular el número tal que multiplicado sucesivamente por 11; 38; 12; 34 y 28, dé como resultado los siguientes productos: ; ; ; y , respectivamente, sabiendo además que : a+b+c+d+e=27. A) 2 439 B) 3 439 C) 3 000 D)4342 E)2342
30 cifras C) 270
06. Sabiendo que:
12. Si : . 97 = ...909 calcular (a + b + c) A) 17 B) 18
Calcular: a+b+c
26
C) 19
D)20
E)21
20. En un viejo cuaderno de primaria se encontró el siguiente problema: “Si *313 obreros construyeron **345 sillas en un mes, ¿cuántas sillas construyen *201 obreros en ese mismo tiempo?” Como se observa hay dígitos que no se pudieron entender por la mala letra del alumno, pero en una hoja posterior el niño lograba resolverlo y obtenía como resultado un número entero de 5 cifras. Hallar la suma de cifras de dicho resultado, si además se observó que cada obrero producía mensualmente un número entero de
13. Calcular la suma de los números que cumplen con: “Tiene 2 cifras y multiplicados por su C.A. terminan en 36” A) 100 B) 134 C) 200 D)192 E)82 14. Dado :
.
calcular : x+y+n A) 16 B) 20 D)24
C) 22
E)26
sillas A) 24 D)27
15. Si : = ....... 71; donde cada punto representa una cifra, ¿cuál es el valor de las primeras cifras de la izquierda del producto, si a; b y c son diferentes? A) 6; 4 y 3 D) 6; 5 y 2
B) 7; 4 y 2 E) 6; 7 y 4
B) 25 E)28
C) 26
C) 7; 5 y 3
16. Calcular la suma de cifras de N si:
A) 8 D)11
B) 9 E)12
C) 10
17. Si :
calcular a . b. S A) 9700 B) 9701 D)9703 E)9704 18. Calcular (a + b) si: A) 7 B) 5 D) 8 E) 9
C) 9702
C) 6
19. Sabiendo que: = 198 727 = 198 061 hallar: a+b+c+d+x+y A) 24 B) 25 D)27 E)28
C) 26
TAREA 01. Calcular la suma de las cifras del producto.
A) 1551 D)1511
B) 1515 E)1510
02. El producto de un numeral capicúa de cuatro cifras por 23, termina en 11. Calcular la suma de cifras del producto A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23
C) 1555
03. Determinar : (a + b + c + d) si:
27
A) 12 D)15
B) 18 E)16
A) 8 D)11
C) 14
04. Si:
determinar la suma de las cifras de A) 21 B) 22 C) 23 D)24 E)25 05 Un granjero amarró su vaca en la esquina de su casa. Él observa que si la cuerda fuera alargada en 10 metros, ella podría abarcar 4 veces el área srcinal. Entonces la longitud srcinal de la cuerda es: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D)5m E)8m 06. Se tiene el producto de tres números. El prime ro se aumenta en su triple, al segundo en su cuádruple y al tercero en su quíntuple; de esta manera: a) ¿Por cuánto se ha multiplicado el producto? b) ¿En cuántas veces su valor ha aumentado el producto? A) 118 y 117 B) 119 y 118 C) 120 y 119 D) 121 y 122 E) 122 y 123 07. Halle en qué cifra termina el producto de: (22+1)(2 4+1)(2 6+1)(28+1) .... (2 50+1) A) 0 D) 5
B) 2
C) 6
E) 3
08. Al multiplicar 79 3 por un número de 3 cifras se ha obtenido el resultado erróneo 67 405 debido a que el tercer producto parcial fue colocado debajo, exactamente del segundo. Si la diferencia entre la cifra de las centenas y de las decenas del multiplicador es 4, hallar la suma de cifras del multiplicador A) 13 D)15
B) 12 E)16
C) 14
09. Multiplicar por 9 a un número de dos cifras, es equivalente a intercalar la cifra cero entre las cifras de dicho número. ¿Cuál es el C.A. del número que resulta de invertir el orden de sus cifras? A) 32 B) 29 C) 34 D)46 E)48 10. Si se sabe que: hallar el valor de “a + b”
28
B) 9 E)12
C) 10
DIVISIÓN Es una operación binaria que relaciona a un par ordenado de números denominados dividendo y divisor a un tercero único llamado cociente
Exacta (Residuo = 0) D=d×q
Inexacta ( Residuo 0) Defecto
Exceso
Propiedades de la división inexacta DIVISIÓN ENTERA Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros. En este caso particular hay un cuarto término no negativo llamado residuo. Si el residuo toma como valor a cero, la división entera es exacta, y si toma valores mayores que cero la división entera es inexacta, la cual se puede efectuar de dos formas, por defecto o por exceso. El cociente por defecto es un entero que multiplicado por el divisor, el producto es el mayor posible, pero menor al dividendo y el cociente por exceso es un entero que multiplicado por el divisor el producto es el menor posible, pero mayor que el
1. rd + re = |d| 2. r < |d| 3. rmax = |d| - 1 NOTA: Para los problemas no teóricos considerar al divisor como un número entero positivo. En este sentido q * = q+1
dividendo.
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En una división in exacta el resto por exceso excede en 2 unidades al resto por defecto y le falta 4 unidades para ser igual al cociente por defecto. Si el divisor es 12, determinar el dividendo A) 128 B) 135 C) 126 D)143 E)137
Calcular el máximo valor que puede tomar y dar como respuesta: a+b+c+d A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23 05. En una división inexacta de divisor 42, al efectuarla por defecto la suma de sus términos es 916, pero si se efectúa por exceso sus términos suman 945. Determinar el cociente que se obtendría, si se aumenta 100 unidades al dividendo A) 22 B) 25 C) 20 D) 7 E) 35
02. La diferencia de 2 números es 107 y su cocie nte es 12 dejando un residuo que es el mayor posible. Calcular el mayor de dichos números A) 110 B) 116 C) 123 D)130 E)135 03. Se dividen los números 1 435 y 216. Calcular
06. Al dividir por 47 se obtuvieron 5 residuos máximos. Calcular: a+b+c+d+e+f A) 48 B) 41 C) 33 D)34 E)50
entreque quérestar límites encuentran losque números que hay a 1se435 de manera el cociente disminuya en dos unidades A) 355 < n < 571 B) 355 n < 571 C) 350 n <500 D)355
07. Si cada asterisco ( ) representa una cifra hallar la suma de cifras del dividendo
se
29
D)11
E)12
14. La suma de los 4 términos de una división entera es 353. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 7 la suma de los nuevos términos es 2 375. Calcular el valor de la mayor cifra del dividendo A) 32 D)35
B) 33 E)36
C) 34
A) 1 D) 4
08. ¿Cuál es el menor número que podemos sumar al dividendo de una división inexacta, para que el cociente aumente en 4 unidades? (r y r’ son residuos por defecto y por exceso respectivamente de la división srcinal) A) 3(d-r’) B) 3(r+r’) C) 3r’+4 D)3r+4r’ E)2r+r’ 09. Los números A, B, D tienen 11; 15; 17 y 21 cifra s respectivamente. Calcular los límites entre los que se encuentra el número de cifras de la expresión :
A) De 13 a 26 C) De14 a 26 E) De 15 a 28
B) De 13 a 27 D) De14 a 27
10. En una división el cociente, el divisor y el resid uo son números consecutivos en ese orden. El mínimo número que hay que añadir al dividendo para aumentar el cociente en 3 es 55. Calcular la suma de las cifras del dividendo. A) 11 B) 13 C) 15 D)17 E)19 11. El cociente y el residuo de una división inexacta son respectivamente 43 y 27, si se le aumenta al dividendo 108 unidades y se efectúa nuevamente la división el cociente aumenta en 3 y el residuo disminuye en 12. Calcular la suma de cifras del dividendo inicial. A) 23 B) 22 C) 21 D)20 E)19 12. Al dividir 83767 entre un número de tres cifras, se obtiene los residuos sucesivos siguientes: 303; 366 y 463. Calcular el cociente. A) 189 D)188
B) 124 E)156
C) 145
13. Determinar un número d e dos cifras sabiendo que el cociente que se obtiene al dividirlo entre el producto de sus dígitos es igual a 8/3 y, además, que la diferencia entre el número buscado y el número que se obtiene al invertir el orden de los dígitos que lo forman es 18. Dar como respuesta la suma de cifras A) 8 B) 9 C) 10
30
B) 2 E) 5
C) 3
15. En una división inexacta el divisor y el residuo son 21 y 12. Calcular la suma de todos los números que se deben quitar al dividendo para que el cociente disminuya en 3 unidades A) 1 365 B) 1 366 C) 1 367 D)1368 E)1369 16. Determinar un número d e tres cifras, tal que al dividirlo entre el C.A. de su C.A. se obtiene 20 como cociente y 7 como resto A) 961 B) 947 C) 872 D)865 E)875 17. En una división in exacta el residuo es 37 y el cociente 13. Calcular el valor del dividendo sabiendo que es menor que 560 y que termina en 4. Dar la cifra mayor como respuesta A) 9 B) 4 C) 8 D) 3 E) 5 18. Al dividir a un número capicúa de cuatro cifras entre otro capicúa de 2 cifras, se obtuvo 62 de cociente y un residuo que también es un capicúa de dos cifras y que termina en la misma cifra que el dividendo. ¿Cuánto le faltaría al residuo para que sea máximo? A) 21 B) 22 C) 23 D)24 E)25 19. ¿Cuántos números de la forma son tales que dividido entre otro entero positivo, se obtiene por6cociente 17 y B) por12residuo, el máximo posible? A) C) 9 D)11 E)10 20. Si un número se divide entre aquel que está formado por sus dos últimas cifras, se obtiene 82 de cociente y 25 de residuo. ¿Cuál es el valor de : a + b + c + d? A) 12 B) 14 C) 16 D)19 E)20
TAREA 01. En una cierta división efectuada por defecto y por exceso; el resto por defecto, el resto por exceso, el cociente por defecto y el divisor forman una progresión aritmética de razón 3. Calcular el dividendo. A) 180 B) 182 C) 184
iguales. Calcular el cociente A) 10 B) 12 D) 11 E) 5
C) 8
04. El residuo de la división de c ierto número entre 13 es 11, pero si dicho número se divide entre 11
D)186 E)188 02. ¿Cuántos números menore s que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y cuyo residuo es 14? A) 17 B) 18 C) 19 D)15 E)16
el cociente 1. Hallar el aumenta número en 1 y el resto disminuye en A) 76 B) 74 C) 72 D)78 E)80 05. En una división inex acta el resto por defecto es el doble del cociente por exceso y el resto por exceso es el doble del cociente por defecto. Hallar el dividendo sabiendo que el divisor es 62 A) 872 B) 980 C) 916
03. La división de dos números enteros A y B da como cociente Q y como resto r. Si se aumenta A en 70 y B en 14 el cociente y el resto permanecen
31
D)890
E)962
10. En la división de entre 37, se obtuvieron 4 residuos máximos. Hallar el valor de a+b+c+d+e. A) 33 B) 35 C) 37 D)31 E)29
06. En una división inexacta el divisor y el resto vale 8 y 13, el dividendo excede al cociente en 356. ¿Cuánto vale el cociente? A) 29 D)59
B) 39 E)49
C) 19
07. La suma de dos números es 611, su cociente 32 y el resto de su división es el más grande posible. ¿Cuál es el menor? A) D)1824
B) 26 E)16
C) 28
08. En una división inexacta el divisor es 30 y el residuo es 8. Calcular la suma entre el menor y el mayor valor que hay que sumar al dividendo para que el cociente aumente en 2 unidades A) 130 B) 131 C) 132 D)133 E)134 09. En una división inex acta el residuo por defecto es la quinta parte del residuo máximo. Si el residuo por exceso es 225, hallar el residuo por defecto. A) 218 B) 281 C) 56 D)57 E)128
DIVISIBILIDAD 1. DIVISI BILIDAD DE NÚMER OS Un número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.
NOTA: Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la Divisibilidad y la Multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo. Así: Si :
2. MUL TIPLICIDAD DE NÚME ROS. Un número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera..
3. NOTACIÓ N Y REPRE SENTACIÓN GENE RAL. 3.1.
3.2. Si A no es múltip lo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el Teorema Fundamental de la división entera: División Entera por defecto: A = B × K + r d División Entera por exceso: A = B × (K + 1) -
32
re
4.5. Todo entero es múltiplo de los factores positivos que lo forman o de alguna combinación de estos factores.
NOTA: “Si un número entero no es divisible entre cierto módulo, entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él, como un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del módulo menos cierto resto, la suma de los restos debe ser igual al módulo empleado”
4.6. Si un entero positivo divide al producto de otros dos y no tiene divisores comunes, a parte de la unidad, con uno de los factores, entonces divide al otro factor ( Teorema de Arquímedes) Ejemplo:
4. PRINCIPIOS
Si: Porque 24 y 35 no tienen divisores comunes, aparte de la unidad.
4.1. “Si un entero positivo divide a dos enteros, divide también a la suma de esos dos”
5. APLICAC IÓN AL BINOMIO DE N EWTON
4.2. “Si un entero positivo divide a dos enteros, divide también a la diferencia de esos dos”.
4.3. “Si un entero positivo divide a otro, entonces divide también a todo múltiplo de ese otro”.
4.3.1.
Corolario # 1 Sean n, m enteros positivos, entonces
4.3.2.
Corolario # 2 Sean n, m enteros positivos, entonces , “m”
factores 4.4. “Si un entero posee n-ésima entera y exacta, entonces es múltiplo de “n”, siendo “n” entero positivo”.
33
Ejemplos:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuántos números de 4 cifras que son múltiplos de 7 terminan en 1? A) 125 B) 1 286 C) 1 280 D)128 E)129
“U”. ¿Cuál es la suma de los alumnos que no son limeños y los hinchas de la “U”? A) 91 B) 108 C) 110 D)120 E)122 08. ¿Cuál es el residuo de dividir E entre 8?, si: E = 52 + 94 + 13 6 + ... + 2 413 1 206 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
02. Si es un número de 4 cifras, la suma de los números: siempre es múltiplo de: A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13 03. El número de la forma: siempre divisible entre: A) 23 B) 25 D) 7 E) 9
09. Si: n Z+; hallar el residuo de dividir E entre 11, si: E = 32n + 2 + 26n+1 + 3 A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5
es C) 49
04. Sabiendo que el numeral
10. ¿Cuántos números de la sig uiente sucesión son múltiplo de 11 más 3? 35; 39; 43; 47; 51; ...; 247 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
, ¿cuál es
el menor número que se le debe sumar a para que sea A) 10 D)13
? B) 11 E)14
C) 12
11. Al dividir 15! entre se obtiene 75 de residuo y al dividir 16! entre da 23 de residuo. Hallar el resto de dividir 19! entre A) 25 B) 42 C) 79 D)85 E)20
05. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 pero no de 5? A) 104 B) 103 C) 101 D)102 E)100
12. Un numeral es
06. Se conoce que:
hallar el valor de “a” A) 2 B) 4 D) 8 E) 1
, otro es
, si el
primero se divide entre el segundo, el residuo es 6. ¿Cuál es el mínimo valor positivo del cociente, sabiendo que tiene 2 cifras? Dar como respuesta la suma de dichas cifras A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 13
C) 5
07. Un número de alumnos de un aula en la universidad es mayor que 100 y menor que 240, se observó también que los 2/7 del total no eran limeños y los 5/13 son alumnos hinchas de la
13. Un libro tiene entre 700 y 750 páginas, su última página es múltiplo de 9 y en la numeración de sus páginas se emplean un número de tipos de
34
imprenta múltiplo de 12. Calcular el número de páginas e indicar la suma de sus cifras. A) 8 B) 9 C) 10 D)11 E)12
19. Si: hallar (a+d) A) 11 D) 6
14. Hallar la suma de todos los números de 3 cifras que sean
B) 13
C) 8
E) 9
20.
, tal que al sumarles la suma de sus
m + c + d + u = 18
cifras resulte también un múltiplo de 11 A) 7 414 B) 2 858 C) 4 444 D)3014 E)6217 15. Un libro tiene 465 hojas; una persona escribe dos páginas el primer día, 4 páginas el segundo día, 6 páginas el tercer día y así sucesivamente. ¿Qué día caerá cuando escriba la última página, si la primera hoja se escribió un día miércoles? A) Martes B) Miércoles C) Jueves D) Sábado E) Viernes
Calcular: A) 26 D)39
B) 27 E)29
D)71
E)72
C) 54
16. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de base 6 son divisibles entre 4 pero no por 6? A) 16 B) 46 C) 30 D)18 E)20 17. ¿Cuántos son los números de 3 cifras que multiplicados por 7 dan como resultado un número de 4 cifras ? A) 12 B) 15 C) 8 D)21 E)24 18. Halle la suma de los posibles valores de “n” si: A) 16 D)20
B) 18 E)21
C) 19
TAREA 01. Si
04. ¿Cuántos números de cinco cifras que terminan en 28 son (m19 + 12) A) 45 B) 46 C) 47 D)48 E)49
calcular (x + y + z + w) para el mayor número que cumple dicha condición. A) 14 D)20
B) 16 E)22
C) 18
05. ¿Qué lugar ocupa el décimo múltiplo de 9 en: 7; 18; 29; 40; ......................... A) Octogésim o primero B) Octogésimo segundo C) Octogésimo tercero D) Octogésimo cuarto E) Octogésimo quinto
02 En la siguiente serie: 8; 15; 22; 29; 36; ......; 351 determinar la suma de todos los (m8 + 6) A) 972 B) 980 C) 988 D)996 E)1004 03 ¿Cuántos números de tres cifras son m13? A) 68 B) 69 C) 70
06 Un gerente al ser preguntado por el número de
35
personas que trabajan en su empresa contesta: "El personal masculino está comprendido entre 170 y 200, la tercera parte de ellos usan anteojos y la mitad son casados. En cuanto al personal femenino estas son la onceava parte del personal masculino". Calcular el total de empleados.
07 Halle la suma de cif ras del menor número, mayor que 1 200, tal que al restarle su complemento
A) 198 D)216
08 Halle el residuo de dividir: 52+94+136+ .... +2 4131 206 entre 8
B) 200 E)218
aritmético se obtenga un A) 5 D) 8
C) 208
A) 0 D) 3
B) 6
C) 7
E) 9
B) 1
C) 2
E) 4
09 Una niña que colecciona llaveros los ordena de 13 en 13 y le sobran 4; de 9 en 9 y le sobran 3. La cantidad de llaveros está comprendida entre 100 y 150. Al final la niña logró formar grupos iguales sin que le sobre alguno. ¿Cuántos grupos formó si dicha cantidad está entre 10 y 30? A) 14 D)28
B) 7 E)16
C) 21
10 Calcular el menor número de tres cifras mayor que 800 al cual si se le resta su complemento aritmético el resultado sea un múltiplo de 17 más 7. A) 801 D)807
B) 803 E)809
C) 805
RESTOS POTENCIALES Se llama restos potenciales de un entero “E” (diferente de cero) respecto a un módulo “m”, a los residuos que dejan la sucesión de potencias enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo ‘m’. Así si tenemos las potencias: E1; E2; E3; E4; ............... Entonces: ;
;
;
determinado por el producto del resto de la potencia anterior (rk) por el primer resto potencial (r 1). Una segunda observación es que, como se sabe, la cantidad máxima de restos diferentes que se pueden obtener con un módulo “m”es también “m” (desde 0 hasta m-1); esto significa que en determinado momento los restos potenciales de “E” respeto al módulo “m” se empezarán a repetir periódicamente y ordenadamente. Entonces en la práctica basta calcular los restos potenciales hasta ver la repetición de algunos de ellos, a partir del cual podamos predecir los siguientes.
;
..... Donde: r1; r2; r3; r4; ................, son los restos potenciales de E respecto al módulo m OBSERVACIÓN Hallando el resto de una potencia, fácilmente se encuentra el resto de la siguiente potencia, ya que si:
GAUSSIANO (g) Se llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada y periódicamente.
, entonces:
Ejemplo: Calcular los resto potenciales de 16 respecto al modulo 9.
con k 0 Es decir que el resto potencial de E k+1 mód. m es
36
161= m9+7 162= m9+4 163= m9+1
16 4= m9+7 16 5= m9+4 16 6= m9+1
16 16 16
7 8 9
= m9 + 7 = m9 + 4 = m9 + 1
Luego operando y transponiendo convenientemente
Los restos potenciales son: 7; 4; 1 El gaussiano es: g = 3
Reemplazando en la ecuación: 4xo + 9×3 = 139 xo = 28
Aplicaciones:
Solución General:
Dando valores enteros a “t” se obtienen las demás soluciones para la ecuación
ECUACIONES DIOFÁNTICAS Una de las principales aplicaciones de la teoría de la divisibilidad está en la solución de las ecuaciones Diofánticas, llamadas así en honor a Diofante, matemático Alejandrino que vivió alrededor de 250 A.C. Una ecuación Diofántica, es una ecuación donde tanto los términos constantes como las variables son números enteros y además es un sistema insuficientes; puede ser una sola ecuación con dos o mas incógnitas, como también puede ser de primer o mayor grado. La ecuación Diofántica a estudiar es de la forma ax+by=c. OBSERVACIÓN La condición necesaria y suficiente para que la ecuación ax + by = c tenga solución es que los divisores comunes que tengan “a” y “b”, también deben ser divisores de “c”.
Solución General
Siendo xo e yo una solución particular de la ecuación Ejemplo: Desarrollar la ecuación Diofántica: 4x + 9y = 139 Solución: Poniendo la ecuación en término de
37
t
x
y
-2
46
-5
-1
37
-1
0
28
3
1
19
7
2
10
11
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Asignar V o F según corresponda: ( ) Al dividir 7 2001 entre 8, el resto es 1 ( ) Si: 62 26 lo expresamos en el sistema pentadecimal, su cifra de menor orden sería 4 ( ) El gaussiano de un entero con respecto a un módulo “m”, puede ser mayor que “m” ( ) Las ecuaciones diofánticas sólo pueden ser lineales A) VFVF B) VVFF C) FFFF D)FVFF E)FFVF
A) 1 D) 7
11. Una persona compra objetos a los precios de S/. 48 y S/. 42, pero no recuerda cuánto compró de S/. 48 ni cuántos de S/. 42, solamente recuerda que gastó S/. 1 542 y que el número de objetos de S/. 48 no llegó a 10. ¿Cuántos objetos de S/. 48 compró? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
03. Hallar el residuo que se obtiene al dividir: entre 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
A) 1 D) 4
B) 2
12. El diámetro de una moneda de S/. 5 es 37 mm y el de una moneda de S/. 1 es 28 mm; para obtener la longitud de 1 m alineando monedas de 5 y 1 sol, ¿cuántas de S/. 5 serán necesarias? A) 21 B) 22 C) 23 D)24 E)25
entre 11 C) 3
E) 5
05. Calcular la suma de valores de “a”, sabiendo que al dividir: entre 7, el residuo es 2 A) 6 D)12
B) 8 E)14
13. En un aula de 45 estud iantes, después de rendir una prueba se obtuvo las notas de 88; 128 y 154
C) 10
puntos, el puntaje total obtuvieron alcanzado 588422 puntos. siendo ¿Cuántos estudiantes puntos? A) 10 B) 13 C) 20 D)25 E)32
06. Determinar la cantida d de números capicúas , que cumplen la siguiente condición:
A) 30 D)55
B) 40 E)65
sabiendo que: A) 8 D)25
= B) 16 E)28
14. Un transportista recaudó en uno de sus viajes S/. 24,40. Si por cada escolar cobró 30 céntimos, por cada universitario 35 céntimos y por cada adulto 70 céntimos, ¿cuántos pasajeros transportó, sabiendo que el número de adultos es el mayor posible? A)36 B) 37 C)38 D)39 E)40
C) 50
07. Halle el número de valores que puede tomar
C) 5
10. Sabiendo que: S=34310+34320+34330+...+3432000 hallar la cifra de menor orden cuando “S” se expresa en el sistema undecimal A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
02. Dado: E=(9236236) 2000 hallar el residuo de dividir “E” entre 7 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
04. Obtener el residuo de dividir
B) 2 E) 8
,
+6 C) 23
15. Una compañía naviera compra 13 bolic heras por 33 millones de soles. Las bolicheras son de 3 tipos diferentes, las de primer tipo cuestan 2,2 millones de soles, las de segundo tipo a 2,6 y las
08. Hallar el menor número “m” de 3 cifras tal que se verifique:
del tercer tipo a 3,6 tipo millones. ¿Cuántas bolicheras de cada compró? A) 2; 11; 0 B) 5; 6; 2 C) 8; 4; 1 D)3;7;1 E)7;4;2
(311 223)17+13 600.m = dar como respuesta la cifra de menor orden A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
16. Tres campanas A; B y C comenzaron a sonar al mismo tiempo, y sonaron a intervalos de 23; 29 y 34 segundos respectivamente. La segunda y tercera sonaron 39 y 40 segundos, respectivamente, más que la primera. ¿Durante
09. Al dividir + entre 7 se obtiene de residuo 5. Si es máximo, hallar el resto de dividir entre 9
38
cuánto tiempo sonó la campana B?, se sabe además que las 3 cesaron antes de 20 minutos A) 19 minutos, 23 segundos B) 19 minutos, 37 segundos C) 19 minutos, 49 segundos D) 19 minutos, 53 segundos E) 19 minutos, 55 segundos
20. Con S/. 54 250 se compraron 18 aves entre patos, gallinas y pollos a razón por unidad de S/. 3 250; S/. 3 000 y S/. 2 250 respectivamente. ¿Cuántas clases de aves se compraron? Dar el número de pollos si es el mayor posible A) 4 B) 7 C) 10 D) 5 E) 6
17. En una fiesta donde habían 342 personas entre hombres y mujeres, la cantidad de varones era múltiplo de 11 y la cantidad de damas múltiplo de 7, siendo la diferencia entre estas cantidades mínima. el número de A) 132 Determinar B) 182 C)hombres 142 D)199 E)209 18. Guillermo podría ahorrar S/. 2 000 diarios, pero cada vez que sale con Raquel gasta S/. 900, cada vez que sale con María gasta S/. 600 y cuando sale con Alicia gasta S/. 1 300. Si todos los días sale con alguna de las tres y ya tiene ahorrado S/. 25 800. ¿Cuántos días salió con María? sabiendo que salió el mayor número de veces con ella A) 23 B) 18 C) 22 D)14 E)9 19 Cada vez que desean encontrarse José y Patricia recorren entre ambos 1 044 km con velocidades constantes de 27 y 15 km/h respectivamente, cuando caminan un número entero de horas descansan. es larecorridos diferencia por entre la uno cantidad de ¿Cuál kilómetros cada cuando se encuentran, sabiendo que la diferencia entre las horas caminadas por cada uno es mínima y además pueden descansar? A) 410 km B) 412 km C) 414 km D) 416 km E) 418 km
TAREA 01. Por S/. 24,10 se han comprado cuadernos a S/. 3,80 cada uno y lapiceros a S/. 1,70 cada uno. ¿Cuántos objetos se han comprado? A) 14 B) 16 C) 8 D)9 E)10
exponente igual a sí mismo y se convierte al sistema quinario, termina en 1. ¿Cuál es la suma de los valores que admite la cifra de mayor orden de dicho capicúa? A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23
02. Cuántos pares ordenados de números enteros positivos (m; n) son soluciones de la ecuación: 2m + 3n = 27 A) D) 47
E) 3 B) 6
03. Sabiendo que: 285n = calcular el menor valor de “n” A) 3 B) 4 D) 6 E) 8
05. ¿Cuántos valores puede aceptar
C) 5
A) 60 D)150
C) 5
04. Si un número capicúa de 4 cifras se eleva a un
39
B) 90 E)180
en :
C) 120
06. Si :
, encontrar la suma de todos
los valores en “a” A) 10 B) 11 D)13 E)15 07. Si : A) 6 D) 3
08. Si:
B) 7
C) 12 , calcular el valor de z C) 5
E) 2
yademás:
entonces el menor valor de A) 10 B) 11 D)16 E)20
es : C) 12
09. Calcular a + b + c + m + n + p, sabiendo que todas son significativas y diferentes entre sí y que es el mayor posible y es el menor posible. Además: A) 29 D)32
B) 30 E)33
10. Calcular : a + a.b + b, si : A) 0 B) 1 D) 3 E) 5
C) 31
C) 2
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar su multiplicidad respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo se puede calcular en forma directa y de modo más sencillo, con algunas excepciones, como veremos. Cada sistema de numeración tiene sus propios criterios de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los restos potenciales.
Finalmente:
En conclusión, para llegar a la “forma general de los criterios de divisibilidad”, utilizando los restos potenciales el método es: “Las cifras del numeral , de derecha a izquierda, se multiplican por los restos potencial de la base en que está el numeral, respecto al módulo investigado, luego se reduce en operaciones de adición y/o sustracción hasta llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad”.
Sea el numeral: Entonces:
NOTA : Se acostumbra comúnmente que cuando el resto por defecto (o por exceso) es mayor que la mitad del módulo, se toma el resto por exceso ( o por defecto), aunque en muchos casos sea preferible trabajar únicamente con restos por defecto (o por exceso).
Si queremos llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad se tiene que determinar la multiplicidad, según el módulo “m”, de:
Ejemplo : Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral expresado en base 7 respecto al módulo
Reemplazando:
40
5.
Entonces:
Resolución : Sea el numeral: Donde:
Luego:
Sea:
Pero: Por lo tanto:
Entre 2 Entre 4 Entre 8 Entre 5 E N
B A S E 1 0
Entre 25 Entre 125 Entre 3 Entre 9 Entre 11 Entre 7 Entre 13 Entre 33
41
Entre 99 Entre 27 Entre 37
OBSERVACIÓN:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuál es la condición ne cesaria y suficiente para que un numeral de la forma menos el que resulta de invertir el orden de sus cifras sea divisible entre 99? A) (a+c) - (b+d) =m11 B) (a+b+c+d) = m11
06. El número de 4 cifras el cual está escrito en el sistema de base 8, será múltiplo de 7 cuando : A) a+b+c+d = m7 B) d+3c+2d-a =m7 C)c+d=7 D)a-b+c-d=m7 E) a + d = 7
C) D) (a+b+c+d)=m99 (a+c)-(b+d)=99 E) (a+b+c+d)=m9
07. Si: es divisible entre 1375 entonces es múltiplo de: A) 11 B) 13 C) 17 D)19 E)23
02. Determinar un numera l capicúa de cuatro cifras tal que al ser dividido entre 63 da como residuo 2. Dar como respuesta el residuo de dividir dicho numeral entre 13. A) 12 B) 1 C) 5 D) 4 E)10
08. Calcular el residuo de dividir la siguiente expresión entre 7. 321654321654.....321654..(un total de 51 cifras) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
03. Determinar el mayor numeral de la forma que es múltiplo de 35 e indicar el valor de ab A) 10 B) 35 C) 45 D)40 E)30
09. Se tiene un número formado por 89 cifras, las 51 primeras son 8 y las restantes 6. Calcular el residuo de dividir el número entre 7 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
04. Un libro tiene entre 510 y 700 páginas, su última página es m11 y en la numeración de sus páginas se emplea un número de tipos de
10. Calcular la suma de todos los valores de a y b en
imprenta es m10. Calcular el cifras. número de páginas eque indicar la suma de sus A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14
la que: A) 19 D)22
es m33 B) 32 E)15
C) 24
11. Determine el mayor número de la forma , sabiendo que es divisible entre 36. Dar como resultado ab A) 30 B) 12 C) 15 D)63 E)35
05. Al dividir entre 36 el residuo es 4. Calcular (a+b) A) 8 B) 9 C) 10 D)11 E)12
42
12. Si el numeral es divisible entre 55 pero no entre 2, dar el valor de “a” A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 13. Si el número es m7 y de cifras significativas, ¿cuál será el residuo de dividirlo entre 13? A) 12 B) 1 C) 0 D) 5 E) 11 14. ¿Cuántos de tres de divisible la forma entre existen connúmeros la condición de cifras que sea 13? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 15. Calcular (a+b) si: =m72 A) 9 B) 12 D) 18 E) 6
C) 15
16. Si =5.a.b.c, calcular (a+b+c) A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 17. Si: A) 0 D) 3
=11(a+b+c), calcular (a+b-c) B) 1 C) 2 E) 4
18. Calcular un número capicúa de tres cifras que sea divisible entre 7 y 9. Dar como respuesta el número de soluciones A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 19. Determinar un número d e tres cifras consecutivas crecientes que sea divisible entre 7. Dar la cifra de mayor orden A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. ¿Cuántos numerales capicúa de tres cifras son divisibles entre 11? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
TAREA 01. Calcular el valor de “a” en : A) 9 D) 6
B) 8
03. ¿Cuántos numerales de cinco cifras qu e terminan en 44 son divisibles entre 9? A) 98 B) 99 C) 100 D)110 E)120
C) 7
E) 5
04. Cómo debe ser “a” para que : 80 cifras sea m9. A) 2 B) 4 D) 8 E) 5
02. Determinar la suma de to dos los numerales de la forma: =66.(m-p+n) A) 726 B) 737 C) 748 D)759 E)770
43
de C) 6
05. Calcular P = a.b.c; sabiendo que : = m11 = m7 = m9 A) 180 D)162
B) 252 E)72
06. Calcular (a - b + c) de modo que: sea divisible entre 792 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 07. Si: =m7 y a 2 - b2 = 56 calcular: (a 3 - b 3) A) 560 B) 497 D)604 E)357
C) 120
C) 427
08. Determinar un numera l capicúa de tres cifras que sea A) 10divisible entreB)77. 11Dar la suma C)de 12las cifras D)13 E)14 09. Determinar un numera l capicúa de cuatro cifras que escrito en base 3 termina en cero y escrito en base 5 termina en dos ceros. Dar como respuesta la suma de dígitos A) 18 B) 20 C) 22 D)24 E)26 10. ¿Cuántos números de la forma son divisibles entre 7? A) 8 B) 10 C) 12 D)14 E)16
NÚMEROS PRIMOS CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN: Z+ Clasificación de los números enteros positivos como: Z+ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ......}
NÚMERO COMPUESTO Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplo: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ...... Div(4) : 1; 2; 4 Div(6) : 1; 2; 3; 6 Div(8) : 1; 2; 4; 8
Luego:
Simples
Z+
Unidad Primos
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Dado un conjunto de dos o más números, se dice que son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1: Sean los números 8 y 15 Div(8) : 1; 2; 4; 8 Div(15) : 1; 3; 5; 15
Compuestos
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO Son aquellos números que poseen solamente dos divisores diferentes que son: la unidad y él mismo. Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 17; ......
Como la unidad es el único divisor común 8 y 15 son PESI Ejemplo 2: Sean los números 10; 12 y 15 Div(10) : 1; 2; 5; 10 Div(12) : 1; 2; 3; 4; 6; 12 Div(15) : 1; 3; 5; 15
Div(2) : 1; 2 Div(3) : 1; 3 Div(5) : 1; 5 NOTA:
A los números primos absolutos se les llama usualmente: número primo .
Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son PESI
44
Ejemplo 3 : Sean los números 9; 12 y 15
5= +1
Div(9) : 1; 3; 9 Div(12) : 1; 3; 2; 4; 6; 12 Div(15) : 1; 3; 5; 15
11= -1
NOTA: Lo contrario no siempre se cumple. Ejemplo: 25 es +1 pero no es primo.
Como tienen dos divisores comunes 9; 12 y 15 NO SON PESI
5.
Todo número primo mayor que 3 es de la forma:
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ 2 A 2 (PESI 2 A 2)
( +1) ó ( -1)
Dado un conjunto de 3 o más números, se dice que son PESI 2 a 2 cuando al ser tomados de 2 en 2, todas las parejas resultan ser PESI.
Ejemplo:
Ejemplo 1 : Sean los números 8; 9 y 25
11= - 1
7= -1
13= +1
NOTA: Lo contrario no siempre se cumple.
Agrupando de dos en dos: 8 y 9 son PESI 8 y 25 son PESI 9 y 25 son PESI
Ejemplo: 25 = +1 pero no es primo.
6.
Como todas las parejas son PESI 8; 9 y 25 son PESI 2 a 2
Todo conjunto de números consecutivos, siempre son PESI Ejemplo:
Ejemplo 2 : Sean los números 10; 21 y 27 Agrupando de dos en dos: 10 y 21 son PESI 10 y 27 son PESI 21 y 27 no son PESI
8 y 9 son PESI 14; 15 y 16 son PESI 24; 25; 26 y 27 son PESI
Como una de las parejas no son PESI 10; 21 y 27 no son PESI 2 a 2 NOTA:
5= - 1
REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO
Si un conjunto de números son PESI 2 a 2, entonces siempre serán PESI; lo contrario no siempre se cumple.
1er. Paso: Se extrae la raíz cuadrada del número, si es exacta entonces el número no es primo, si es inexacta, se sigue el siguiente paso.
PROPIEDADES
2do. Paso:
1.
La sucesión de los números primos es ilimitada, no existe aun fórmula alguna para determinar a todos los números primos.
Se indican todos los números primos menores o iguales a la raíz cuadrada aproximada.
2.
Todos los números primos son impares, exceptuando al 2.
3.
Los únicos números consecutivos son el 2primos y 3. que son
4.
Todo número primo mayor que 2 es de la forma:
3er. Paso: Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los números primos indicados en el paso anterior. Si no es divisible por ninguno de los números primos indicados, entonces será primo. Si es divisible al menos por uno de los números primos indicados, entonces no será primo. Ejemplo: ¿137 es primo?
( +1) ó ( -1)
Ejemplo:
3= - 1
7= - 1
1er. Paso: 2do. Paso:
45
11,7 2; 3; 5; 7; 11
3er.Paso:
137
;
;
;
CDCompuestos = 5 CDPropios = 7
;
137 es un número primo
En general: Sea:
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
N=A
a
. Bb . Cc . ...... . X x
Descomposición canónica
“Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta representación es única y se le denomina: descomposición canónica”. Ejemplo: Descomponer canónicamente a 360.
3601 8090 4515 51
22 23 35
360 =
23 . 32 . 5 1
Descomposición canónica
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO A.
TABLA DE DIVISORES Ejemplo: Elaborar la tabla de divisores de 360 1° 360 = 2 3 . 3 2 . 51 2° Tabla
32
3 9
139 515 45
261 810 309 0
412 362 060 180
824 724 012 036 0
5
CANTIDAD DE DIVISORES DE N (CD(N)) Ejemplo:¿Cuáles son los divisores de 24? Div(24) : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 CD(24) = 8
8 divisores
OBSERVACIÓN: Divisores propios : 2 y 3 Divisores simples : 1; 2 y 3 Divisores compuestos : 4; 6; 8; 12 y 24 Divisores propios : 1; 2; 3; 4; 6; 8 y 12 Luego:
CDPropios = 2 CDSimples = 3
46
Se cumple: CD(N) = (a+1) (b+1) (c+1) ...... (x+1) Ejemplo: 360 = 23 . 32 . 51 CD(360) = (3+1) (2+1) (1+1) CD(360) = 4 . 3 . 2 = 24 Ejercicio: De los divisores de 7 200 se pide: A. ¿Cuántos son prim os? B. ¿Cuántos son simples? C. ¿Cuántos son compuestos? D. ¿Cuántos son ? E. ¿Cuántos son F. ¿Cuántos no son
? ?
G. ¿Cuántos no son ?
PROBLEMAS PROPUESTOS es el mayor posible. A) 15 B) 19 D)23 E)21
01. ¿Cuántos números de la forma existen tales que posean 6 divisores? A) 1 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4
C) 17
06. Un alumno al calc ular el número de divisores de “N”, encontró erróneamente 49, porque consideró a 4 y 9 como números primos. ¿Cuál es el verdadero número de divisores de “N”? A) 81 B) 100 C) 121 D)144 E)169
02. Si : N = 2.3 a.7b, tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2, hallar “2.a + 3.b” A) 18 B) 19 C) 20 D)21 E)22 03. Entre dos ciudades hay 588 km, un vehículo va de una a otra y en el regreso aumenta su velocidad en 49 km/h notando que en ambos casos empleó un número entero de horas. ¿Cuántas horas duró el viaje completo, sabiendo que fue mayor que 10 horas? A) 15 B) 12 C) 16 D)17 E)18
07. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1, 3, 7 ó 9? A) 5 B) 12 C) 24 D) 8 E) 10 08. Dar “a - b” si se sabe que : divisores. A) D) 4 1
04. ¿Cuántos divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5 tiene el número 18 000? A) 6 B) 8 C) 9 D)10 E)12
E) 5 B) 2
tiene 21 C) 3
09. Calcular la suma de todos los valores de “a” que hacen posible que el numeral tenga 8 divisores. A) 20 B) 21 C) 22 D)23 E)24
05. A un número de tres cifras se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, obteniéndose un número que tiene 24 divisores. Calcular la suma de las cifras de dicho número, si
10. Determinar dos números en teros N que tengan
47
como únicos factores primos 2 y 3 de modo tal que el número de divisores de N2 sea el triple de las de N, se pide : ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los números? A) 45 B) 90 C) 120 D)150 E)180
17. Determinar un número de la forma - Sus factores primos son 2; 5 y 7 - 5. tiene 8 divisores más que - 8. tiene 18 divisores más que A) 1 400 D)1610
11. Determinar el valor de “n” si se sa be que el número 1 960n, tiene 105 divisores. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) D) 8 5
A) 2 D) 7
B) 4
C) 7
B) 3 E) 11
C) 5
20. Determinar un número sabiendo que admite 6 divisores y que la suma de ellos es 124. Indicar el producto de sus cifras. A) 42 B) 24 C) 45 D)54 E)35
C) 14
14. Calcular el valor de “n”, si N = 21.15 n tiene 20 divisores compuestos. A) 5 D) 2
E) 9 B) 6
19. Calcular “b”, si : (a.b.c.) tiene la misma cantida d de divisores que (a b.c), si se sabe que a, b y c son primos absolutos y diferentes entre sí.
13. Las cifras del numeral son todas diferentes de cero. Si el número es el menor posible y tiene 16 divisores, ¿cuál es la suma de cifras? B) 18 E)10
C) 1 540
18. Encontrar el valor de “a” si : N = 4a - 4 a-2 tiene 28 divisores
12. Cuántos divisores N = 9n+1tiene: - 9 n-1, si 161n+2 tiene divisores. A) 49 B) 50 C) 64 D)65 E)81
A) 20 D)12
B) 1 470 E)1680
si:
C) 3
E) 1
15. Un número de 6 cifras es múltiplo de “m”. S i se le resta 1 a cada una de sus cifras el resultado sigue siendo divisible entre “m”, ¿cuántos valores puede tomar “m”? A) 2 B) 4 C) 8 D)16 E)32 16. Sabiendo que 2 números tienen los mismos factores primos, que uno de ellos tiene 12 divisores y el otro 15 y que la diferencia de ambos es 2 300, calcular la suma de ambos. A) 3 500 D)2900
B) 3 300 E)2700
C) 3 100
TAREA 01. ¿Cuál es el menor número por el cual debe multiplicarse a 8 000 para obtener un número de 84 divisores?. Dar la suma de las cifras del número que resulta. A) 3 B) 6 C) 9 D)12 E)15
primos absolutos? 13(7); 31(7); 61(7);25(7) A) 0 D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
03. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de N= 30 n sea el doble del número de
02. Diga Ud, ¿cuántos de los siguientes números son
48
divisores de M= 15 . 18 n A) 5 B) 6 D) 8 E) 9 04. Si:
C) 7
A= 8k+8k+2
tiene 88 divisores, ¿cuántos divisores tiene 8k+2? A) 28 B) 27 C) 30 D)36 E)24 05. Se tiene los números N 1=14.30n y N2=21.15n. Si la suma deldos número de divisores que tiene cadade uno de los números es 96, hallar el menor los dos números. A) 6 475 B) 4 725 C) 3 675 D)6125 E)6350 06. Al multiplicar por 33 al número N=21.11 n; se duplica su cantidad de divisores. Hallar “n” A) 5 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3 07. ¿Cuántos divisores de dos cifras tiene el número 1 620? A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)15 08. El número 3 b. 5a tiene 3 divisores más que el número 2a.53. Hallar la diferencia de los números. A) 12 000 B) 1 625 C) 1 525 D)500 E)600 09. Si el número 12 n.28 tiene 152 divisores compuestos, hallar el valor de “n” A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 10. ¿Cuántos ceros debe t ener N= 300.....0 para que admita 288 divisores? A) 12 B) 11 C) 13 D)15 E)14
NÚMEROS PRIMOS II Teniendo el número compuesto “N” descompuesto canónicamente de la siguiente forma : N = Aa . Bb . ..... . C c
Ejemplo: Calcular la suma de los divisores de 720 Descomponiendo canónicamente : 720 = 24 . 32 . 5
Siendo A; B; .........; C números primos pueden obtenerse 1. Suma de Divi sores de N (SD N)
2. Suma d e las Inversas de los Diviso res de N (SID N)
49
OBSERVACIÓN: m(p - 1) : múltiplo de (p - 1)
Ejemplo: Obtener la suma de las inversas de todos los divisores de 720
TEOREMA DE EULER - FERMAT Sea N un entero positivo, entonces para todo entero “a” que sea PESI con N, se cumple :
3. Producto d e los D ivi sores d e N (PD N)
DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS Ejemplo: Calcular el producto de todos los divisores de 720
1. NÚME RO P ERFECTO : Es aquel entero positivo que equivale a la suma de todos sus divisores propios Ejemplo: N = 28 divisores propios, : 1; 2; 4; 7; 14
FUNCIÓN DE EULER O INDICADOR DE UN NÚMERO I.
Suman 28
Dado el número compuesto :
OBSERVACIÓN: Se presume que todos los números perfectos son pares
N = Aa . Bb . ..... . C c; se define :
RELACIÓN DE EUCLIDES Los números perfectos tienen la forma : El valor numérico resultante nos indica la cantidad de números enteros positivos menores a N y que son primos relativos (PESI) con N
Siempre que se verifique que n Z+ y (2 n+1 - 1) es un número primo
Ejemplo: Determinar cuántos números menores a 720 son PESI con él 4
2. NÚME ROS AM IG OS : Dos números enteros positivos son amigos, si la suma de los divisores propios de uno de ellos, es igual al otro y viceversa
2
Descomponiendo canónicamente : 720 = 2 . 3 . 5 3
0
Ö(720) = 2 (2 - 1) 3 (3 - 1) 5 (5 - 1) = 192
Ejemplo: 220 y 284
Existen 192 números que cumplen dicha condición II. Si N es primo : Ö(N) = N - 1 Además por convención Ö(1) = 1
3. DESCOMPO SIC IÓN C ANÓNICA DE UN FACTORIAL
TEOREMA DE FERMAT
Si : N! = Aa . Bb . ... . Cc
Sea N entero positivo y p primo, donde N , entonces:
50
Siendo n ; n = x, tal que : x n < x + 1; x Z
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si el producto de los divisore s de un número es 218.312, halle Ud. la suma de las inversas de los divisores de dicho número A) 65/24 B) 67/24 C) 69/24 D)71/24 E)73/24 x
09. ¿Cuántos números de dos cifras son primos con 100? A) 16 B) 20 C) 24 D)32 E)36 10. Calcular la suma de todos los números menores que 200 que con él son primos relativos A) 2 000 B) 4 000 C) 6 000 D)8000 E)10000
y
02. Si : x - y = 3 ; además N = 3 + 3 tiene 15 divisores múltiplo de 7, determinar el producto de divisores de N A) 224.348.712 B) 226.352.713 C) 228.356.714 D) 230.360.715 E) F.D.
11. Si se conoce que N = 2 á.3â.7 y que entre 2N y 7N existen 720 números PESI con N, ¿cuál es el número de cifras de N? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
03. Calcular el producto de los divisores de 1 800 que no son divisibles entre 5 A) 726 D) 729
B) 727 E) 7210
C) 728
12. Si : P = 210.211.212.213 ................... 342 tiene n divisores. ¿Cuántos divisores tiene 343.P?
04. Calcular la suma de las inversas de los divisores de 3 150 que son primos con 2 541 A) 1,86 D)1,92
B) 1,88 E)1,94
A)
C) 1,90
D) n
D) 73
B) 71
B)
n
C)
n
E) n
13. Si 24! tiene “n” divisores, ¿cuántos divisores tiene 25!? A) 7n/5 B) 7n/6 C) 9n/7 D)9n/5 E)11n/9
05. Determinar el promedio armónico de todos los divisores de 3 600 que son múltiplos de 10 A) 70
n
C) 72
14. En cuántos ceros termina el producto:
E) 74
P = 54.55.56 ........... 145
06. ¿Cuántos números de tres cifras tienen como suma de inversa de sus divisores al número 2? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) 20 D)23
B) 21 E)24
C) 22
07. ¿Cuántos divisores de 144 000 son cubos perfectos? A) 4 B) 6 C) 8 D)10 E)12
15. Si : = w! + a! + c!, ¿en cuántos ceros termina el mayor ! cuando se expresa en base 6? A) 30 B) 22 C) 25 D)31 E)35
08. ¿Cuántos números naturales menores o iguales a 800 son primos con él? A) 80 B) 160 C) 320 D)640 E)300
16. Determinar un número de la forma : N = 20.10n, sabiendo que el producto de sus divisores es 29.1027 veces el número A) 20 B) 200 C) 2 000
51
D) 20 000
E) 200 000
17. Si “E” tiene 100 sumandos, determinar el residuo de dividir “E” entre 12, siendo : E = 24n + 38n + 512n + 716n + 1120n + 1324n + 1728n + .... A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 18. Hallar las 3 últimas cifras al expresar (358) 3824 en base 7. Dar como respuesta la suma de éstas A) D)129
B) 10 E)13
C) 11
19. Se dice que dos números A y B son números amigos si la suma de los divisores propios de A es igual a B, y la suma de los divisores propios de B es igual a A. Hallar el número amigo de 6 232 y dar la suma de sus cifras A) 17 B) 20 C) 23 D)24 E)26 20. La fórmula general para los números “perfectos pares” es : 2 n-1(2n - 1), siendo n un entero positivo y además (2 n - 1) es un número primo. Hallar la suma de los 4 primeros números perfectos A) 4 336 B) 8 658 C) 7 780 D)7932 E)8742
TAREA 01. Sabiendo que un número tiene 2 divisores primos y 12 divisores compuestos y además la suma de todos sus divisores es 403, hallar la media armónica de todos sus divisores A) 2 160/403 B) 144/403 C) 15/403 D) 720/403 E) 432/403
D) 7
02. Determinar la suma de las cifras del menor entero N, tal que N! sea múltiplo de 12 1111. A) 10 B) 8 C) 14 D)12 E)16 03. Si “n” es primo, 7n tiene 56 números menores que 100 que son primos con este producto, halle “n”. A) 3 B) 5 C) 11 D)13 E)17 04. Hallar la suma de las inversas de los divisores de 360 que sean múltiplos de 6 A) 14/10 B) 14/5 C) 7/8 D)8/15 E)7/15 05. ¿Cuántos rectángulos de lados ent eros de metros cumple que su área tenga una cantidad impar de divisores comprendida entre 40 m 2 y 108 m 2? A) 2 B) 5 C) 9
52
E) 14
06. Del 120 al 2 120, ¿cuántos números son primos relativos con 40? A) 756 B) 758 C) 800 D)802 E)804 07. Si tiene 3 divisores y a 4 . b3 es la descomposición canónica de N, calcule cuántos números menores que N son primos relativos con N A) 650 B) 720 C) 796 D)800 E)840 08. ¿Cuántos números primos entre sí con 1 400 hay entre 350 y 840? A) 70 B) 168 C) 330 D)350 E)490 09. Si la suma de los números menores y primos relativos con N es 7 veces más que dicho número, halle la suma de todos los valores de N A) 93 B) 157 C) 162 D)231 E)184 10. Halle las 3 últimas cifras al e xpresar: 1 087 723 en el sistema senario A) 321 B) 331 C) 341 D)231 E)241
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DEFINICIÓN
primos comunes así hallados.
El MCD de dos o más números enteros (no todos cero) es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Ejemplo :
Ejemplo : MCD (48; 72; 96)
Números 12 18
Divisores (Z +) 1; 2; 3; 4; 6; 12 1; 2; 3; 6; 9; 18
Los divisores comunes son : 1; 2; 3; 6 Luego : MCD(12; 18) = 6 MCD = 2 . 2 . 2 . 3 MCD = 23 . 3 = 24
NOTA: Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores de su MCD. Así por ejemplo MCD(12; 18) = 6 y los divisores comunes de 12 y 18 (1; 2; 3; y 6) son precisamente los divisores de 6.
2. Descomp osici ón canónica Consideremos descomposiciones de conjunto de las números, entonces su canónicas MCD viene dado por el producto de las mayores potencias primas comunes a dichos números, es decir, el producto de los factores primos comunes, cada uno con el m enor exponente que aparece en las descomposiciones.
MÉTODOS PARA HALLAR EL MCD 1. Descomp osici ón simu ltá nea Se descomponen simultáneamente los números dados en sus factores primos comunes hasta que los cocientes obtenidos al ir dividiendo los números entre dichos factores sean primos entre sí. El MCD es igual al producto de los factores
Ejemplo :
53
A = 23 . 32 . 5 3 . 7 2 B = 22 . 34 . 5 . 11 3 C = 2 . 3 3 . 54 . 7 . 13 2 MCD = 2 . 32 . 5
3. Propiedades En las siguientes propiedades vamos a considerar solamente el caso en que los números enteros a los cuales se calcula su MCD son estrictamente positivos.
3. Algoritmo de Euclides o Método de las Divisiones Sucesivas
A) Si A y B son PESI, entonces MCD(A; B) = 1
Consideremos solamente dos enteros positivos A y B con A > B
B) Si A =
ALGORITMO
entonces MCD (A; B) = B
C) Si MCD(A; B) = d entonces :
1ero Se divide A entre B, obteniéndose q de cociente 1 y r1 de residuo 2do Si r1 = 0 (división exacta), el MCD = B; caso contrario se divide el divisor de la división anterior, o sea B (que ahora pasa a ser dividiendo), entre el residuo anterior r1 (que ahora pasa a ser divisor, obteniéndose q 2 de cociente y r2 de residuo
D) Si MCD (A 1; A2; ..........; An) = d y K Z+ entonces :
3ro Este proceso se repite de forma análoga hasta obtener una división exacta 4
to
MCD = (A1; K; A2K; ...........; AnK) = dK
El MCD viene a ser el divisor de la última división
E) Si MCD (A 1; A2; .....; Am)= d1 y MCD(B1; B2; ...; Bn)=d2; entonces : MCD( A1; ....; A m; .....; B1; ....; B n) = MCD(d1; d2)
Ejemplo : MCD(300; 108)
F) Si MCD(m; n) = d; entonces : MCD = (Am - 1; A n - 1) = A d - 1
MCD = 12 NOTA: Estos divisores sucesivos se pueden visualizar en el siguiente esquema práctico : Cocientes 2132 300
108
84
24
84
24
12
0
12 = MCD
Residuos
PROBLEMAS PROPUESTOS
54
01. Determinar dos enteros sabiendo que la suma de sus cuadrados es 3 492 y su producto es 216 veces su MCD. Dar su diferencia como respuesta. A) 3 B) 6 C) 9 D)12 E)15 A) 137 D)152
02. Determinar dos entero s sabiendo que el cociente de su suma por su MCD es 8 y el cociente de su producto por su MCD es 840. Dar el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
mayor que 200? A) 12 B) 11 D) 9 E) 8
C) 10
12. Si tres números de la forma , poseen como MCD a 11, calcular (p+q+r) A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23
04. La suma de dos números enteros positivos es 4 320 y tienen 24 divisores comunes. ¿Cuántos pares de números cumplen dicha condición? A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5
13. Determinar la difere ncia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288 A) 192 B) 240 C) 252 D)360 E)96
05. El MCD de y es un número capicúa de dos cifras. ¿Cuál es la suma de a y b? A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 06. el ¿Cuántos menores que 7 680 tiene con un MCDnúmeros igual a 24? B) 130 E)136
C) 147
11. Si el MCD ( ; N) = 17, ¿cuántos valores puede tomar N, si se sabe que es menor que 500 pero
03. ¿Cuál es el mayor número tal que al dividir 1 828 y 2 456 entre dicho número, se obtienen como residuos 19 y 26 respectivamente? A) 21 B) 36 C) 15 D)27 E)23
A) 128 D)134
B) 142 E)157
C) 132
07. ¿Cuántos números de tres cifras tiene con su C.A. un MCD igual a 40? A) 17 B) 18 C) 19 D)20 E)21 08. Al calcular el MCD de dos números mediante el Algoritmo de Euclides se obtuvo com o cocientes sucesivos 1; p; 3 y 2. Calcular el valor de p, si la suma de los números es igual a 53 veces el MCD. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 09. Calcular (a + b + c) sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD de y por el Algoritmo de Euclides fueron : 1, 2 y 3. A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13 10. Si el MCD de A, B, C y D es 16, calcular el valor de “K”, si está comprendido entre 30 y 180.
55
14. Un número entero de tres cifras y su C.A . tiene como MCD a 100. ¿Cuántos números cumplen esta condición? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15. Al calcular el MCD de dos números A y B por el método del Algoritmo de Euclides se observó que los dos primeros fueron 54 y 36, además la suma de los cocientes sucesivos fue 17. Si el número A es el mayor posible, ¿cuál es su valor? A) 2 596 B) 2 856 C) 2 952 D)2690
E)2876
16. Calcular “n” si el M CD de : y A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
es 9 C) 3
17. ¿Cuántas soluciones tiene: A2 - B2= 3 549? A y B naturales A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. Si: MCD (18A; 14B) = 100 MCD(99A; 7B) = 825 calcular : MCD(9A; 7B) A) 5 B) 10 C) 15 D)20 E)25 19. Se han colocado igualmente espaciados en el contorno depostes un campo triangular cuyos lados miden 182; 234 y 260 respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre árboles está comprendida entre 4 y 20 metros, ¿cuántos postes se colocaron? A) 50 B) 51 C) 52 D)53 E)54 20. Si : MCD(15A; 25B) = 560 MCD(25A; 15B) = 480 calcular : MCD(A, B) A) 12 B) 14 C) 8 D)10 E)16
TAREA y 11040?
01. Si A/B = 15 y MCD(A; B) = 18, calcular (A+B) A) 240 D)288
210 E)B) 300
C) 250
A) 650 D)653
651 E)B) 654
C) 652
02. Determinar dos enteros sabiendo que la suma es 224 y su MCD es 28. Dar el números de soluciones A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
04. Si a y b son cifras significat ivas además el MCD de y 24 es (a+b); cuántos números cumplen esta condición A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
03. ¿Cuántos divisores de 60 20 son divisores de 7030
05. Al dividir 1 806 y 852 por un mismo número se
56
obtiene 6 y 12 como resto respectivamente. ¿Cuál es el mayor de dichos números? A) 98 B) 100 C) 105 D)116 E)120
10. ¿Cuántos divisores comunes tienen 840; 1 200 y 2 520? A) 16 B) 20 C) 24 D)18 E)30
06. Dado tres números A, B y C se sabe que: MCD(A, B)=30 y MCD(B; C) = 198. ¿Cuál es el MCD de A, B y C? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 07. Si el MCD( A) 9 D)12
;
) = 11, calcular (a+b) B) 10 C) 11 E)13
08. Calcular el menor de dos números cuyo MCD es 50, si se sabe que uno de ellos tiene 9 divisores y el otro 14. Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 1 B) 2 C) 6 D)12 E)14 09. Determinar el menor número n que cumple las condiciones: 753=mn - 53 y 421=mn-13. Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 7 B) 8 C) 9 D)10 E)11
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) DEFINICIÓN :
OBSERVACIÓN : Se entiende por múltiplo común como aquel número que es múltiplo de todo un conjunto de números a la vez.
El MCM de dos o más números enteros positivos, es otro entero positivo que cumple las siguientes condiciones : 1. Es un múltiplo común 2. Es el menor posible Ejemplo :
NOTA : Los múltiplos comunes de un conjunto de números enteros positivos, son los mismos múltiplos que tiene el MCM de ellos
Hallar el MCM de 4 y 6
MÉTODOS PARA HALLAR EL MCM
Solución:
1. Descomp osici ón simu ltá nea Ejemplo : Hallar el MCM de 120; 180 y 300 Solución :
Múltiplos comunes : 12; 24; 36; 48; ...... MCM(4; 6) = 12
57
2. Descomp osici ón canónic a Ejemplo : Hallar el MCM de A, B y C A = 24 . 32 . 56 . 72 B = 23 . 34 . 54 . 73 C = 25 . 3 3 . 52 . 112 MCM(A; B; C)=25.34.56.73.112 OBSERVACIÓN : Se debe seleccionar los factores, comunes y no comunes, elevados a su mayor exponente RELACIÓN ENTRE EL MCD Y MCM Dados los números A y B, tales que MCD(A; B) = d y MCM(A; B) = m, entonces por propiedad :
Hallando el MCM :
Finalmente : m = d. p .q multiplicamos por d : d . m = d . p . q . d d.m=A.B
“El producto del MCD y MCM de dos números enteros positivos es igual al producto de dichos números”
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. La relación de dos números es 5/8 y su MCM es 840. ¿Cuál es el mayor? A) 152 B) 160 C) 168 D)176 E)184
02. El MCM de tres números naturales que suman 255 es 1 785. Si el MCD de cada par de ellos es 17. ¿Cuál es el mayor? A) 119 B) 136 C) 153 D)170 E)102
58
03. La suma de dos números es 581 y el cociente de su MCM por su MCD es 240. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? A) 531 B) 533 C) 535 D)537 E)539
12. A un número de tres cifras m6 se le agrega uno y se convierte en m7 y si se agrega una unidad más se convierte en m8. Determinar la suma de cifras de todas las solucione A) 48 B) 54 C) 60 D)66 E)72
04. El MCD de dos números es 18. Uno de ellos tiene 21 divisores y el otro 10. ¿Cuál es su MCM? A) 5 180 B) 5 182 C) 5 184 D)5186 E)5188
13. Se divide dos números y el cociente exacto resulta igual a su MCD; la suma del MCD y MCM resulta ser igual a 56. Determinar el producto de ambos números A) 256 B) 289 C) 320
2
05. MCM(A; = A = 324. Determinar la suma de cifras delB) MCD A) 3 B) 6 C) 9 D)12 E)15
D)343
06. El MCM de cuatro números consecutivos es 5 460. Calcular la suma de los dígitos del menor de los números si éste es múltiplo de 3 A) 3 B) 6 C) 9 D)12 E)15
15. Sabiendo que el MCM(N; N+1; 3N) = 546, calcular el MCM(N + 2, 2N+1) A) 135 B) 140 C) 145 D)150 E)155
07. Dos números de dos cifras A y B son (m10+5) y (m10+6) respectivamente. Si el valor del MCM de A y B es 330, ¿cuál es el valor de B? A) 46 B) 56 C) 66 D)76 E)86 08. Si el MCM de , 660, la suma de a y b es : A) D) 96
E) 10B) 7
E)450
14. La suma de dos números es a su diferencia como 8 es a 3. El mínimo común múltiplo de los números es 55 veces su máximo común divisor. Hallar la suma de dichos números, sabiendo que son los mayores posibles y que tienen dos cifras A) 156 B) 127 C) 132 D)151 E)144
16. Cumpliéndose que el MCM(63A; B) = 12 096, MCD(91A; 13B) = 104. ¿Cuál es el menor valor posible de (A+B)? A) 88 B) 99 C) 110
es C) 8
D)121 E)132 17. Sabiendo que se cumple : MCM( ;N)=MCM( ;21.N) ¿cuántos valores puede tomar? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
09. ¿Cuál es el menor número que es: (m5+2), (m6+1), (m7+2), (m8+5)?. Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 24 B) 23 C) 22 D)21 E)20
18. Una persona trabaja 8 días se guidos y descansa el noveno, volviendo a iniciar dicho ciclo. El año 1989 el 1 de enero fue domingo y la persona inicio un ciclo de trabajo el 2 de enero. ¿Cuántos días descansó en domingo durante el año 1989? A) 5 B) 6 C) 3 D)4 E)Ningúndía
10. Determinar el mayor núme ro de cuatro cifras que al dividirlo entre 6; 7; 8 y 9 nos de residuos iguales, tal que éste sea el máximo posible A) 9 589 B) 9 587 C) 9 585 D)9583 E)9581 11. Determinar la superficie del menor terreno rectangular que puede ser dividido en lotes rectangulares de 12 m.10 m; 20 m.8 m ; 16 m.24 m, sabiendo que las primeras dimensiones representan el largo y las segundas el ancho A) 28 800 m 2 B) 14 400 m 2 C) 25 000 m 2 D) 72 000 m 2 E) 57 600 m 2
19. Encontrar dos números, uno de dos cifras y el otro de tres cifras tal que : 1.- La suma de los números es 785 2.- El MCM de sus complementos aritméticos e s 924 Dar como respuesta la diferencia entre ellos A) 749 B) 751 C) 753 D)755 E)757 20. Si: MCM ( ; ; ) = 1870176, además: * Sólo uno de los números es m7 * Sólo uno de los números es m12 * Sólo uno de los números es m11 y
59
tiene 12 divisores calcular a.b.c A) 504 D)90
B) 60 E)252
C) 84
60
TAREA 01. Si el mínimo común múltiplo de , es 30 969, calcular (a+b) A) 15 B) 8 C) 13 D) 9 E) 12
07. La diferencia entre dos números es 44 y la diferencia entre su MCM y MCD es 500. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 82 B) 48 C) 56 D)72 E)46
y
02. Determinar el valor de n, sab iendo que el MCM de los números : N1 = 72n.750; N2 = 4.90n tiene 2 944 divisores A) 9 B) 2 C) 3
08. Una línea de autobuses tiene paradero cada 200 m; partiendo del paradero inicial, cada 700 m hay una avenida principal. ¿Cuántas avenidas principales donde exista un paradero cruza un ómnibus entre el paradero inicial y final, si la distancia entre estos es 30 km? A) 18 B) 19 C) 20 D)21 E)22
D) 5 E) 7 03. Si: MCM[ , C.A.( )] = 1 875, calcular la suma de cifras del mayor valor de A) 12 B) 16 C) 15 D)14 E)13 04.S i: calcular A A) 27 D)33
09. Para que un objeto que pesa más de 2 000 g complete un peso de 10 kg se puede utilizar un número exacto de pesas de 40; 50; 60 ó 70 g. El peso del objeto es: A) 4 200 g B) 8 400 g C) 3 000 g D) 2 800 g E) 5 800 g
yMCM(A;B)=3720, B) 29 E)35
C) 31
10. Tres carros salen en un cierto día y al mismo tiempo de una población para hacer el servicio de 3 líneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en éste 1 hora. El segundo tarda 10 horas y se detiene 2, y el tercero tarda 12 horas y se detiene 3. ¿Cada cuánto tiempo saldrán a la vez los 3
05. El MCM de 4 enteros que forman un a progresión aritmética es 432. El mayor de ellos es 4 veces el menor. Hallar la suma de los 4 enteros. A) 360 D)260
B) 340 E)250
C) 240
carros de dicha población? A) 5 días B) 2 días D)8días E)4días
06. Sabiendo que MCD (35A; 35B)= 70 y además MCM(42A; 6B)= 504, hallar A.B A) 168 B) 74 C) 84 D)12 E)316
C) 6 días
NÚMEROS RACIONALES Los conjuntos numéricos que conocemos y utilizamos actualmente no aparecieron simultáneamente. Al inicio, sólo existían los números naturales
el conjunto de los enteros también fue insuficiente en algún momento, porque la ecuación : a . x = b, no siempre tiene solución. Por ejemplo : 4x = 9. Ningún número entero satisface esta ecuación. Esto motivó la aparición de los números racionales
N = {1; 2; 3; ..............}
Sin embargo, la ecuación : a + x = b, no siempre tenía solución en los naturales. Por ejemplo, 5 + x = 3. No existe un número natural que pueda satisfacer dicha ecuación. Debido a esto aparecen los números enteros
Donde : Z* = Z - {0} Con lo cual la ecuación : 4x = 9 ya tiene solución, aunque ésta no es única :
Z = {..............; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...............} Donde la ecuación anterior ya posee solución. Pero,
61
expresarlo de la forma :
Este conjunto se denomina clase de equivalencia y se llama así porque es un subconjunto del conjunto de los números racionales, el cual cumple con ser una relación de equivalencia, porque es reflexiva, simétrica y transitiva
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES En forma individual :
Se llama representante canónico de un racional (clase de equivalencia) a aquel cuyo numerador y denominador son primos entre sí, además su denominador es positivo
1. Fracción propia .Es aquella cuyo valor es menor que la unidad, es decir, su numerador es menor que su denominador
En el ejemplo anterior :
FRACCIÓN RACIONAL Su definición parte del conjunto de los números racionales; salvo algunas restricciones adicionales : Forma General :
Donde :
a Z
*
a
b Z+ Todo esto significa que de los siguientes números racionales :
sólo son fracciones :
Además, si el numerador es múltiplo del denominador estamos frente a un entero racional. En este caso : son enteros racionales Finalmente no olvidemos que todo número entero n, es también un entero racional , ya que podemos
62
2. Fracción imp ropia .Es aquella cuyo valor es mayor que la unidad, es decir, su numerador es mayor que su denominador 3. Fracción decimal .Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10, de exponente entero positivo
4. Fr ción orcuyo dinadenominador ria .Esac aquella no es una potencia de 10, de exponente entero positivo Dadas de 2 o más fracciones : 1. FRACCIONES H OMO GÉNEAS : Es aquel conjunto de fracciones en la que todos sus denominadores son iguales 2. FRACCIONES HETEROGÉNEAS : Es aquel conjunto de fracciones en la que al menos un denominador es diferente a los demás MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE FRACCIONES Sean las fracciones irreductibles :
MCD(f1; f2; f 3; ...; f n) =
MCM(f1; f2; f 3; ...; fn) =
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿cuánto suman los términos de la fracción srcinal? A) 11 B) 8 C) 3 D)13 E)10
D)300
E)510
03. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29 son tales que sus términos son números consecutivos? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
02. Una fracción sumada con su inversa resulta 50 veces el valor de la fracción srcinal. Si el producto de los términos de la fracción es 50 575, señale la diferencia de los números. A) 105 B) 150 C) 220
04. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 33/114 tienen por denominador a un número de 3 cifras no múltiplo de 7? A) 20
63
B) 21
C) 23
D)27
E)24
resultados mostraron que sólo la mitad de los que apoyaban la lista A votaron por ella, 1/34 del total no votó, y el resto votó por B. ¿Cuántos votos de diferencia obtuvieron las listas A y B? A) 24 B) 25 C) 30 D)31 E)35
05. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 432/648 tienen como suma de términos a un valor menor a 1 000, que posee una cantidad impar de divisores? A) 4 D) 7
B) 5
C) 6
11. En un recipiente de 50 litros de capacidad hay 23 litros de vino, 17 de alcohol y el resto se completa con agua. Se bota la cuarta parte del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se bota 1/3 y se llena otra vez con agua. Por último se bota 1/5 y se vuelve a llenar con agua. ¿Cuál es la cantidad de agua contenida en el recipiente? A) 30 litros B) 34 litros C) 36 litros D) 40 litros E) 42 litros
E) 8
06. La suma de dos fracciones impropias irreductibles es 3. Si la suma de los numeradores, la suma deellos denominadoresmás es 15, señale producto de los numeradores más el producto de los denominadores, si es el mayor posible. A) 27 D)17
B) 29 E)18
C) 23
donde: k < 10 (k Z+), halle la
07. Si :
suma de los valores de “n” que forman parte de la sucesión: 9; 13; 17; 21; 25; ... A) 53 B) 94 C) 145 D)198 E)254 08. Hallar “a”, si se cumple:
donde “a” es número racional. A) 23/17 B) 40/23 D)17/23 E)40/17
C) 17/40
09. Se conoce que:
donde la fracción
es equivalente a
¿cuántos números anterior? A) 2 D) 5
B) 3
,
cumplen con lo C) 4
E) 6
10. Antes de una votación, los 3/4 del total apoyaban una lista A, la mitad del resto votarían por B y 27 estaban indecisos. Después de la votación, los
64
12. Juan vende vasos del modo siguiente : por cada docena vendida a 7 soles regala 2 vasos, pero vende la media docena a 4 soles y regala 1 vaso. Efectuada la primera venta, entregó la mitad de los vasos que tenía más medio vaso y en la segunda venta entrega la mitad de lo que le quedaba más medio vaso. ¿Cuánto recibió en total, si se queda con 76 vasos? A) 114 soles B) 115 soles C) 116 soles D) 118 soles E) 121 soles 13. ¿Cuántas fracciones equivalentes a
gasta 1/4 de lo que le queda en un club nocturno y finalmente gasta 7/8 del nuevo resto en el tragamonedas. Si aún le quedan 18 soles, ¿cuánto tenía al inicio? A) 240 soles B) 300 soles C) 320 soles D) 360 soles E) 400 soles
tienen
como numerador a un número de 3 cifras y como denominador a uno de 4 cifras? A) 41 B) 42 C) 43 D)44 E)45 14. Una fracción equivalente a
es tal que el
MCD y el MCM de sus términos suman 14 080. Dar la suma de cifras de su denominador A) 10 B) 8 C) 6 D) 9 E) 11 15. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles cuyo denominador es 2 002 existen? A) 600 B) 700 C) 720 D)760 E)800 16. ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles de numerador 480 existen? A) 128 B) 120 C) 140 D)127 E)108 17. ¿Cuántas fracciones cuyo denominador es 48 impropias y reductibles, son menores que 287/205? A) 11 D)14
B) 12 E)15
C) 13
18. Existe una fracción equivalente a 407/703 tal que la diferencia de sus términos es divisible por 20, además su denominador está comprendido entre 360 y 400. Halle la suma de cifras de los términos de dicha fracción A) 16 B) 20 C)8 D)15 E)12 19. Un caño Aque demora 10Bhoras en llenar unmenos. tanque mientras el caño demora 4 horas Ambos funcionan juntos hasta llenar la mitad del tanque y después funciona sólo el primero durante el mismo tiempo. ¿Qué fracción del tanque quedó sin llenar? A) 7/16 B) 5/14 C) 3/14 D)3/16 E)5/16 20. Beto gastó los 2/5 de su din ero en cerveza, luego
65
66
TAREA 01. Para cuántos valores de menores que 200 se hace reducible la fracción :
A) 39 D)42
B) 40 E)43
06. Encontrar dos fracciones propias e irreductibles conociéndose la suma de los cuatro términos: 808, y el producto de ambas fracciones : 19/23. Indicar la suma de los numeradores de las fracciones A) 380 B) 390 C) 384 D)397 E)394
C) 41
02. Una compañía se compromete a construir una
07. En una vasija de 3 litros de capacidad se ponen dos litros de vino y 1 litro de agua, luego se elimina 1/3 de la mezcla y se completa con agua, después se elimina 1/4 de la nueva mezcla y se completa con agua, por último se elimina la mitad de la última mezcla y se completa con agua. ¿Qué cantidad de vino contiene un 1 litro de la última m ezcla? A) 1/3 litros B) 1/6 litros C) 2/5 litros D) 1/12 litros E) 1/9 litros
carretera y dispone 3 máquinas y debe sólo una de ellas. Endeeste trabajo sólo con ocupar la máquina A se puede construir la carretera en 6 días, con sólo B en 8 días y con sólo C en 12 días. Después de 2 días de trabajo la máquina A se malogra y es sustituida por B y al cabo de 2 días, éste es reemplazada por C. ¿Cuántos días emplea éste para terminar el trabajo? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
08. Existen “m” fracciones propias irreductibles con denominador 1 440, mayores a 1/12. ¿Cuántas fracciones propias, irreductibles existen con denominador m ? A) 190 B) 191 C) 192 D)135 E)134
03. Una piscina puede ser llenada por los caños A, B y C en 4; 5 y 6 minutos respectivamente y el caño D puede desaguar la piscina en 3 minutos. Se abren A y C por 2 minutos. Cuando ellos se cierran, los caños B y D son abiertos. ¿En cuántos minutos más la piscina estará íntegramente desaguada? A) D)
minutos B) 7 minutos minutos
E)
C)
09. Encontrar una fracción equivalente a
minutos
sabiendo que la suma de sus términos es múltiplo de 91 y que la diferencia de ellos se encuentra entre 200 y 250
minutos
04. Una persona dispone de cierta cantidad de pollos para venderlos vivos. En cada venta vende la mitad de los que tiene más medio pollo. Si después de la décima venta le queda un pollo, ¿cuánto tenía al principio? A) 255 B) 511 C) 1 023 D)2047 E)Absurdo
D) 3
A)
B)
D)
E)
C)
10. ¿Cuántas fracciones irreductibles comprendidas entre
y
son tales que la diferencia de
sus términos es 45?
05. Un recipiente tiene 3 litros de vino y 2 litros de agua. Otro recipiente tiene 4 litros de vino y 3 litros de agua. Se extraen simultáneamente 2 litros del primero y 3 litros del segundo para intercambiar luego las cantidades extraídas. ¿Cuánto de vino queda en el primer recipiente luego de ello? En litros A) 3 B) 3
,
A) 68 D)78
B) 72 E)98
C) 76
C) 3
E) 3
NÚMEROS N-AVALES Son aquellos números que se obtienen dividiendo el
numerador entre el denominador de un número
67
fraccionario en un determinado sistema de numeración.
determinado por la cantidad de cifras del menor numeral formado por cifras máximas de la base que contenga el denominador de su fracción irreductible.
Ejemplos: *
Fracción
Número
*
Decimal
*
Octaval
Ejemplos: En base 10 * *
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS N-AVALES *
= En base 6
* I.
NÚM ERO N -AVAL EXACTO Una fracción dará srcen a un n-aval exacto cuando el denominador de su fracción irreductible al ser descompuesto canónicamente, tiene como únicos factores primos a los de la base. Si la descomposición canónica del denominador tiene sólo a uno de los factores primos de base, entonces el número de cifras de la parte aval es igual al exponente de dicho primo, pero si tiene a
*
(6)
III. PARA NÚME ROS N -AVALES PERIÓ DICO S MIXTOS Una fracción dará srcen a un decimal periódico mixto cuando el denominador de su fracción
más primolode la base, el el mayor número de cifrasde deun la factor parte aval determina exponente.
irreductible todos) de losestos. factores primos de latiene basealgunos y otros (o distintos Para determinar la cantidad de cifras en la parte no periódica y la parte periódica, se sigue con el mismo procedimiento indicado anteriormente para los avales exactos y avales periódicos puros respectivamente.
Ejemplos: = 0,875 En base 10 = 2.5
(6)
Ejemplos: En base 10
= 0,16 = 0,10425
*
En base 6 = 2.3
= 0,abcd(6)
*
= 0,abc(6)
*
= 0,mnpq (6)
En base 6 *
II. NÚMER O N- AVAL PERIÓD ICO PURO Una fracción dará srcen a un número n-aval periódico puro cuando el denominador de su fracción irreductible no contiene ningún factor primo de la base. El número de cifras en el periodo está
(6)
* DESCOMPOSICIÓN DE LOS NÚMEROS N-AVALES
68
0,abcd
=
0,abcd(n) = Ejemplos: *
(5)
*
6
(6) =
FRACCIONES CONTINUAS SIMPLES
CONVERSIÓN DE N-AVAL A FRACCIÓN
Son fracciones, expresadas de la siguiente forma : Caso 1: Para n-aval exacto Ejemplos : En general * = F1
Ejemplos: *
0,435 =
*
0,2134(6) =
Caso 2: Para n-aval periódico puro En general
Ejemplos: * * Caso 3: Para n-aval periódico mixto
69
= [3; 2; 5; 4]
* *
F1 es una fracción continua simple finita
F=2
*
= [1; 1; 2; 1; 2; ....]
F2 es una fracción continua simple infinita
En general F=
donde : a0 Z ; a1 Z+ ; i 1 Ejercicio : Expresar
como una fracción continua simple
Teorema : Todo número racional puede ser expresado como una fracción continua simple finita Teorema : Todo número irracional puede ser expresado como una fracción continua simple infinita Ejemplo : = [1; 2; 2; 2; ......] = [1;
]
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Simplificar :
04. Si :
A) 16/21 D)13/21
B) 15/ 56 E)82/105
C) 14/55
B) 125/12
C) 25/12
determinar : A) 1 D)3
02. Calcular V 2, si : A) 30/9
=
B) 2/3 E)4/5
C) 2
05. ¿Cuántas cifras periódicas srcina
D)25/6 E)125/98 03. ¿Cuántos pares de números naturales cumplen?
A) 4 D)12
B) 6 E)Nosesabe
06. La fracción : F =
C) 24
, ¿cuántas cifras tiene
en la parte no periódica? A) 2 D) 6
B) 4
C) 5
A) 26 D) 20
E) 7
70
B) 27 E) 7
?
C) 12
07. Calcular la suma de los valores de “a” si :
15. Hallar “n”, si se cumple: señale la suma de sus cifras A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
A) 5 D)20 08. Si :
B) 4 E)11
C) 3
C) 7 16. Sabiendo que “n” es la cantidad de n umerales capicúas que existen en base 10, tal que expresado en base 5 y 6 respectivamente presentan 3 cifras. además:
=0,16 (9)
hallar : x+y+z A) D)155
B) 10 E)14
09. Cuántas fracciones de la forma :
C) 12
calcular: “a+b+c+n”, a,b,c,n Z+ A) 22 B) 23 C) 24 D)25 E)26
son
17. Cuál es la suma de los valores de N si:
equivalentes a 0,571428571428 A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E)Másde4
A) 9 D)323
10. Hallar la suma de cifras del periodo generado por la fracción:
18. La fracción A) 9 D) 2
B) 6 E) 12
11. ¿Cuántas fracciones periódicas puras cuyo
B) 45 152 E) 25 152
19. Calcular (m + n), si A) 10 B) 9 D) 7 E) 6
C) 30 241
20. Si la fracción F = 12. Calcular el numerador de una fracción irreductible cuyo denominador es 37 y al pasar a decimal se obtiene cifras en el periodo que están en progresión aritmética creciente de razón 2 A) 5 D) 8
B) 6
14. La fracción
C) 8
es irreductible,
además genera un heptaval inexacto periódico mixto. Sabiendo que “a” toma el menor valor entero positivo posible, expresar F en base 14
C) 7
A) 8,1(14)
B) 9,2(14)
D)
E) 9,18(14)
E) 9
13. Determinar el numerador de una fracción propia irreductible de denominador 21 tal que convertido a número exaval, sus cifras son consecutivas crecientes A) 4 B) 5 C) 8 D)10
srcina una periódica pura.
y
? A) 47 248 D) 27 248
C) 222
¿Cuál es el valor de la suma de las cifras que ocupan los lugares 17; 18 y 19? A) 21 B) 20 C) 19 D)18 E)17
C) 3
periodo tiene cinco cifras existen entre
B) 121 E)424
E)11 convertida a número heptaval
srcina una periódica pura, cuyo periodo está conformado por: A) 2 cifras B) 4 cifras C) 10 cifras D) 20 cifras E) 8 cifras
71
C)
TAREA 01. ¿Cuál es la suma de las cifras del lugar 46° ; 47° y 48° del periodo srcinado por la fracción A) 21 D)23
B) 13 E)19
D)17
?
08. Calcular la suma de las 3 últimas cifras de la parte decimal de:
C) 17
403 veces
N=
02. ¿Cuántas cifras tiene la parte periódica en el desarrollo decimal de la fracción : W = A) 2 D) 8
B) 4 E) 10
?
403 cifras
C) 6 A) 10 D)16
03. ¿Qué cantidad se le debe agregar o disminuir a cada uno de los dos términos de la fracción ordinaria irreductible equivalente a la fracción decimal 0,52[27] para que sea equivalente a la fracción decimal: 0,36[36] A) 11 B) 12 C) 13 D) 9 E) 10 04. Hallar el numerador de la siguiente fracción irreductible:
Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 6 D) 7
B) 12 E) 13
C) 9
05. Hallar “a+b+c”, si:
; a,b,c Z
+
A) 3 D) 8
B) 4
que
C) 6
E) 9
06. Se tiene la fracción
de tal modo
. Conociendo que a+2 = e+f,
hallar A)
B)
D)
E)
C)
07. Si la fracción irreductible: calcular: “a+b+c” A) 14 B) 15
E)18
, C) 16
72
B) 12 E)13
C) 14
09. Colocar verdadero (V) o falso (F ) según corresponda en las siguientes proposiciones: ( ) Si un número es periódico puro en una base, entonces en cualquier otra base es siempre periódico puro ( ) El número 0,999... es racional ( ) La suma de dos números irracionales siempre será otro número irracional A) FFF B) VVV C) VFV D)FVF E)VFF 10. Dados los números :
¿Cuál es la tercera cifra decimal que resulta al sumarlos? A) 4 B) 5 C) 7 8D) 9E)
P OTENCIACIÓN Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.
Entonces: kn = Aná . Bnâ . Cnè
En general: Ejemplos: • N=2
6
. 1512 . 73 = (22.54.7)3
como 6; 12 y 3 son donde: • k Z+ • n Z+
CASOS PARTICULARES 1. Potencia Perfecta de Grado 2 o Cuadrado Perfecto Sea: k = Aá . Bâ . Cè ........ (D.C)
k es la base n es el exponente P es la potencia perfecta de grado “n”
Ejemplos: Número
entonces “N” es una
potencia perfecta de grado 3.
Además: • • •
........ (D.C)
Tenemos:
Potencia perfecta de grado:
Ejemplo:
k2 = A2á . B2â . C2è ......... (D.C)
N = 22.76.114
2. Potencia Perfecta de Grado 3 o Cubo Perfecto Sea: 26) 64 es una potencia perfecta de grado 6 (64 =
k = Aá . Bâ . Cè ........ (D.C)
Tenemos: k3 = A3á . B3â . C3è
TEOREMA FUNDAMENTAL Para que un entero positivo sea una potencia perfecta de grado “n” es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los factores primos en su descomposición canónica (D.C) sean múltiplos de “n”. Sea: k = Aá . Bâ . Cè (D.C)
Ejemplo:
......... (D.C)
L = 36.59.173
CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE
73
CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS i)
iii) Por su ter minac ión en la ci fra 5
Según s u ú ltim a c ifra :
=k ...0 1
2
3
4
5
6
7
8
•
Si: y = 2 x {0; 2; 6} además:
•
Si:
9
2
k =
...0 1
4
9
6
5
6
9
4
1
k3 =
...0 1
8
7
4
5
6
3
2
9
y=2 o y=7
iv) Por Criter ios d e Divisibi lida d del cuadro se observa: • •
•
Si un número termina en 2; 3; 7 ó 8 no es cuadrado perfecto; en los demás casos tiene la posibilidad de serlo. Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
Módulo 4 k= +r
;
r {0; 1; 2; 3}
2
+ 1}
3
- 1; ;
k { ; k {
+ 1}
ii) Por la termina ció n en ceros •
Módulo 9 k=
+r 2
k {
;
r {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
; +1; +4; +7}
n= 3
k { - 1; ; + 1}
n=
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Hallar “a”, si : A) 1 D)4
B) 2 E)Noexiste
04. Hallar el menor número divisible por 24, sabiendo que al sumarle su 13 ava parte el resultado es un número cuadrado perfecto. Dar como respuesta la cifra de mayor orden del número calculado A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
es un cubo perfecto C) 3
02. Determinar (a+b) si se cumple que : = k3 A) 8 D)14
B) 10 E)16
05. Si el numeral
C) 12
tiene 9 divisores y ademas
=4, calcular (a+b+c+d) A) 15 B) 18 D)24 E)27
03. Hallar un número e ntero N, sabiendo que es un cubo perfecto, que admite 16 divisores y que dividido entre 43 da un cociente que es un número primo y un resto igual a la unidad. Hallar la suma de cifras de N A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 15
C) 21
06. ¿Cuántos números de la forma son cuadrados perfectos ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 07. Indicar verdadero o falso : Si :
74
( ) N2= ( ) K2= entonces existen 12 números de la forma
15. Si : A) 6 D) 3
( ) Si :
16. Los soldados de un batallón siempre forman haciendo un cuadrado cuando 13 de estos soldados están en guardia. Si 86 soldados son elegidos para integrarse a dicho batallón entonces al formarse todo el batallón forman un cuadrado.
, es un cuadrado perfecto
entonces “a+b+m+n” es 7 ( ) Si : K 2 = y a+c=b+d=9 (K es par) entonces d-b=3 ( ) Si : tiene 49 divisores entonces el valor de “a” es 6 A) VVFF B) VVVV C) FVFV D)FVVF E)VFVF 08. Hallese: N = A) 10 D)11
, sabiendo que: . Dar como respuesta “a+b+e” B) 19 C) 18 E)12
09. ¿Cuántos números cuadrados perfectos de tres cifras existen de modo que las cifras son diferentes y consecutivos sin importar el orden? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Si : “n” A) 2n-1 D)2n+2
, calcular a+b+c en términos de B) 2n E)2n+3
C) 2n+1
11. Un numeral de cuatro cifras significativas crecientes, al permutar sus dos primeras cifras resulta un cuadrado perfecto. Determinar el número y dar como respuesta la suma de sus cifras A) 36 B) 27 C) 16 D) 9 E) 18 12. Calcular el valor de a.b, si cuadrado perfecto A) 12 B) 16 D)15 E)24
es un C) 6
13. Si un número de dos cifras se eleva al cuadrado se obtiene y si se eleva al cuadrado el número formado al invertir el orden de sus cifras, se obtiene .Calcular a + b + c + + e + m + n + B) p 49 A)d38 D)51 E)52
C) 50
14. Sabiendo que el numeral , es un cuadrado perfecto divisible por 77, además , calcular A) 45 B) 20 C) 10 D)15 E)25
75
, calcular (a-b) B) 2 C) 7 E) 5
¿Cuántos soldados había inicialmente en el batallón si son menos de 300? Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 13 B) 9 C) 15 D)17 E)12 17. Hallar el menor número tal que al multiplicarlo por 35 se convierte en cuadrado perfecto y que al dividirlo entre 21 se convierte en cubo perfecto. Dar como respuesta su número de divisores A) 40 B) 20 C) 36 D)24
E)56
18. Si : es un cubo perfecto, además a+c+e=15, b+d=4, hallar el residuo de dividir entre 24 A) 8 B) 12 C) 14 D)16 E)20 19. Indicar verdadero o falso según corresponda: ( ) Si K= tiene una cantidad impar de divisores entonces “K-1" deja residuo máximo al extraerle su raíz cuadrada ( ) Si es una potencia perfecta de grado tres entonces a+b+c=8 ( ) N= entonces N no puede ser cuadrado perfecto ( )N= tiene una cantidad impar de divisores N toma dos valores ( ) Si N es unentonces cubo perfecto entonces su cantidad de divisores es (m3+1) A) VVVFV B) VVFFV C) FVVFF D) VVVVV E) FFVFV 20. Hallar los números de la forma : si son cuadrados perfectos, tales que . Dar como respuesta la suma de dichos números A) 3 364 B) 7 564 C) 6 700 D)5300 E)8700
TAREA 04. Determinar cuántos núme ros cuadrados perfectos
01. Cuando el número se triplica, se obtiene un cuadrado perfecto. Hallar “a+b” A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
comprendidos entre 924 y 5 920 son A) 5 D) 8
02. Hallar un número de 5 cifras cuadrado perfecto, sabiendo que comienza en 8 y termina en 5, si además todas sus cifras son significativas. Dar como respuesta la suma de sus cifras pares. A) 18 B) 16 C) 14 D)10 E)12
E) 9
B) 6
C) 7
05. Al dividir el número: N = entre un número primo, se obtiene un cuadrado perfecto. Hallar la suma de todos los valores de a; b y c que forman todos los posibles N. A) 55 D)82
03. Si el número es un cuadrado perfecto múltiplo de 3 y de 7, hallar el valor de “a.b” A) 36 B) 42 C) 56 D)54 E)63
76
B) 64 E)100
C) 74
06. Si la suma de los “n” primeros enteros positivos cubos perfectos es , siendo y , hallar la suma de los “n” primeros enteros positivos cuadrados perfectos. A) 3 760 D)6930
B) 4 820 E)8140
09. Sabiendo que: hallar la última cifra de A) 1 B) 2 D) 6 E) 9
C) 5 460
10. Hallar el menor número tal que al multiplicarlo por 28 se convierte en cubo perfecto y al dividirlo entre 15 se convierte en cuadrado perfecto. Dar como respuesta la cantidad de divisores cuadrados perfectos que posee. A) 12 B) 20 C) 24
07. Una persona nacida en suelo americano, hijo de padres españoles hubiese tenido x2 años en el año x3. Hallar la suma de cifras del año en que nació A) 15 D)20
B) 16 E)21
08. Sabiendo que : hallar la suma de cifras de : A) 22 B) 23 D)25 E)26
(la de menor orden) C) 4
D)26
C) 18
E)30
C) 24
RADICACIÓN Es la operación inversa a la potenciación, en el cual dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular en tercer número llamado raíz que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando.
En general:
b) Inexacta (r 0): Resulta cuando el residuo es diferente de cero; se puede extraer la raíz de dos maneras: por defecto o por exceso. •
Por defecto Ejem.
Se cumple N = kn RADICACIÓN ENTERA Al extraer la raíz de un número entero el resultado no siempre es entero, por tal motivo se recurre a un término adicional llamado residuo, de modo así que todos los términos sean enteros.
En general:
k : Raíz cuadrada por defecto r : Residuo por defecto
r : Residuo
•
RAÍZ CUADRADA ENTERA Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 2. Puede ser: a) Exacta (r = 0): Resulta cuando el residuo es cero, y para ello el radicando debe ser un cuadrado perfecto
Por exceso Ejem.
En general:
(k + 1) : Raíz cuadrada por defecto re : Residuo por exceso
Ejem.
PROPIEDADES:
77
1.
r+r
e=
2.
rmax = 2k
PROPIEDADES
2k + 1
RAÍZ CÚBICA ENTERA Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 3.
1.
r+r
2.
rmax = 3k(k + 1)
e
= 3k(k + 1) + 1
Puede ser: a) Exacta (r = 0) Resulta cuando el residuo cero y para ello el radicando debe ser un cuboesperfecto.
Ejemplo:
b) Inexact a (r 0) Resulta cuando el residuo es diferente de cero. Se puede extraer la raíz de dos maneras: por defecto o por exceso. •
Por defecto
k : Raíz cúbica por defecto r : Residuo por defecto •
Por exceso
k + 1 : Raíz cúbica por exceso re : Residuo por exceso
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuál es el menor número qu e se le debe sumar a 974 239 para que se convierta en cuadrado perfecto? A) 70 B) 1 905 C) 2 325 D)90 E)1325
03. Hallar el menor número tal que al extraerle su raíz cúbica, se obtenga residuo máximo, siendo éste un múltiplo de 7. A) 342 D)300
02. ¿Cuál es el menor número qu e se le debe restar a 107 207 para obtener un cubo perfecto? A) 3 382 B) 3 384 C) 3 386 D)3388 E)3390
B) 321 E)511
C) 248
04. Si “N” es el menor número que al extraer su raíz cuadrada y raíz cúbica se obtiene residuos máximos en cada caso, calcular el menor número entero que se le debe multiplicar a “N”
78
para que sea un cubo perfecto. A) 147 B) 137 C) 127 D)107 E)43
A) n + 1 D)4n+1
B) 15 E)18
06. Se define m
C) 16
A) 18 D) 9
n = 2m 2 -1 además:
2 (3 calcularMla= suma de(4los...(n-1) valoresn)......)) de a + b + c si :
B) 18 E)20
C) 36
A) 8 D) 15
07. Al extraer la raíz cuadrada del numeral se obtiene un residuo por defecto máximo y la raíz cuadrada por defecto . Hállese el residuo al extraer la raíz cúbica de A) 158 D)189
B) 209 E)197
B) 140 E)170
C) 176
A) 2n + 1 D)5n+1
10. Un número de cuatro cifras significa tivas es un cuadrado perfecto y los numerales formados por las dos últimas cifras y las dos primeras también son cuadrados perfectos. Determinar la suma de cifras de este natural A) 16 B) 17 C) 18 D)19 E)24
B) 6
C) 21
B) 3n + 1 E)6n+1
C) 4n + 1
17. Reconstruir la operación y dar como respuesta la suma de cifras del radicando
09.S i: tieneuna cantidad impar de divisores, calcular el residuo por exceso al extraer la raíz cuadrada de A) 22 B) 25 C) 31 D)32 E)35
A) 5 D) 8
B) 18 E) 3
16. Hallar la suma de las cifras de “A” si:
C) 150
11. Si el cuadrado del número número , hallar (a+b)
C) 15
15. Hallar la suma de los cuadrados perfectos de 4 cifras cuya raíz esté formada por su primera y última cifra, en ese orden A) 18 241 B) 16 231 C) 1 907 D)18 652 E)19781
08. Determinar el residuo de la raíz cuadrada de sabiendo que es máximo y siendo a, b diferentes entre sí y de cero. A) 130 D)160
B) 27 E) 12
14. Determinar un número ent ero sabiendo que al extraerle la raíz cuadrada se obtiene 5 de residuo y si adiciona 142 se convierte en un cuadrado perfecto. Dar como respuesta la suma de sus cifras
y además es un cuadrado perfecto A) 15 D)40
C) 3n + 1
13. Al extraer la raíz cúbica de un número de tres cifras se obtuvo 37 de residuo. Al extraer la raíz cúbica del numeral anterior con las cifras en orden inverso se obtiene la raíz anterior aumentado en 1 y 45 de residuo. Determinar la suma de cifras del numeral.
05. Al extraer la raíz cuarta del número N se obtuvo como resto por defecto a 4 800 y como resto por exceso a 5 055. Calcular la suma de cifras de N A) 14 D)17
B) 2n + 1 E)5n+1
A) 20 D)26
B) 22 E)28
C) 24
18. Al extraer la raíz cúbica del numeral residuo fue . Calcular (a + b) A) 10 B) 12 C) 13 D)15 E)14
es el
C) 7
E) 9
12. Hallar la suma de cifras del residuo por exceso que se obtiene al sacar la raíz cuadrada de 111.......11, sabiendo que tiene “2n” cifras (n )
79
el
19. Determinar un número d e cinco cifras tal que al extraerle su raíz cuadrada, se obtiene como raíz por defecto a su C.A. Dar como respuesta la suma de las cifras del residuo por defecto de dicha operación A) 7 B) 8 C) 9 D)10 E)11 20. En una raíz cuadrada inexacta, al residuo por exceso le falta 19 unidades para ser igual al residuo por defecto y a éste le falta 20 unidades para ser máximo. Hallar el radicando. A) 879 D)920
1 003 E)B) 970
C) 940
TAREA 01. Si es un cuadrado perfecto, calcular su raíz cuadrada. A) 65 B) 66 C) 69 D)67 E)68
06. Hallar a+b+c+d, si: A) 14 B) 15 D)18 E)20
es un cubo perfecto. C) 17
07. Si a un entero se le adiciona 1 261, su raíz cúb ica aumenta en una unidad, manteniendo el residuo inalterado. La raíz cúbica del número es: A) 18 B) 19 C) 20 D)21 E)22
02. ¿Cuánto es el menor número que se le debe sumar a 876 543 para que se obtenga un cuadrado perfecto? A) 1 426 B) 1 425 C) 1 416 D)1415 E)1409
08. ¿Cuál es el menor número tal qu e al extraerle su raíz cúbica se obtiene residuo máximo siendo éste múltiplo de 39? A) 2 169 B) 2 196 C) 2 199 D)2209 E)2306
03. Al extraer la raíz cuadrada de un número se ha obtenido como resultado 103 y como resto el máximo. ¿Cuál es el número? A) 10 700 B) 10 712 C) 10 815 D)10 817 E) 11825
09. ¿Cuántos números menores que 10 000 al extraer su raíz cúbica dan como resto el máximo posible, siendo éste múltiplo de 7? A) 5 B) 7 C) 2 D) 8 E) 6
04. En una raíz cuadrada inexacta el residuo puede tomar 486 valores diferentes sin que se altere la raíz cuadrada entera. La suma de las cifras de su raíz cuadrada entera es: A) 8 B) 9 C) 10 D)11 E)12
10. El número es la raíz cuadrada por defecto y así mismo el residuo por defecto del número . Hallar: a+b-c. A) 14 B) 13 C) 12 D)11 E)10
05. ¿Cuál es el número que al extraer su raíz cúbica deja un residuo máximo igual a 720? A) 3 464 B) 4 095 C) 4 816 D)4895 E)13032
RAZONES - PROPORCIONES RAZÓN
OBSERVACIÓN : 10 m y r son los valores de las razones aritméticas Razón Geométrica.- Es la comparación que se hace a dos cantidades homogéneas mediante la división.
Se denomina razón a la comparación que se hace a dos cantidades mediante la operación de la sustracción o de la división. Razón Aritmética. Es la comparación que se hace a dos cantidades homogéneas mediante la sustracción. i) 48 m - 58 m = 10 m ii) a - b = r
i) ii)
80
OBSERVACIÓN : 5 km/h y k son los valores de las razones geométricas.
términos extremos es igual a la suma de los términos medios. a+d=b+c
A la Razón Geométrica tam bién se le conoce como relación.
Proporción Aritmética Discreta.- Es aquella en la que sus cuatro términos son diferentes a-b=c-d
ELEMENTOS Antecedente: a Consecuente: b
Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas diferenciales. Proporción Aritmética Continua.- Es aquella en la que sus términos medios son iguales.
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es llamado así al conjunto de razones geométricas, que en común van a tener un mismo valor.
a-b=b-d Donde:
En donde se cumplen las siguientes relaciones: 1)
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Llamado también equicociente, es la equivalencia de dos razones geométricas.
2) 3)
a : b :: c : d PROPIEDAD En toda proporción geométrica, el producto de los
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS CONTINUAS EQUIVALENTES
extremos es igual al producto de los términos medios. a.d=b.c
Es aquella serie de razones geométricas equivalentes en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer antecedente y el último consecuente tiene como valor a la constante de proporcionalidad elevado al número de razones que tiene la serie.
Proporción Geométrica Discreta.- Es aquella en la que sus cuatro términos son diferentes
Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas proporcionales.
Es de la forma:
Proporción Geométrica Continua.- Es aquella en la que sus términos medios son iguales. en la que se cumple que: PROPORCIÓN Dados cuatro números ordenados a; b; c y d, si el valor de la razón entre las dos primeras es igual al valor de la razón entre las otras dos, entonces dichas cuatro cantidades forman una proporción.
Donde:
PROPORCIÓN ARITMÉTICA. Llamado también equidiferencia, es la equivalencia de dos razones aritméticas: a-b=c-d abcd PROPIEDAD En toda proporción aritmética, la suma de los
PROPIEDADES 1. Dado la proporción: Entonces:
81
2. Dado la proporción:
Entonces:
PROPORCIÓN ARMÓNICA Dado cuatro números ordinales a; b; c y d: la diferencia de los dos primeros es a la diferencia de los dos últimos, como la primera en al cuarto.
Proporción Armónica Discreta.- Es aquella en la que sus cuatro términos son diferentes
Donde: a; b; c y d son llamadas cuartas armónicas. Proporción Armónica Continua .- Es aquella en la que sus términos medios son iguales.
Donde:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:
proporcionales a 3; 8 y 2 respectivamente. Calcular el primer consecuente. A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 10
Si: a + b = 10!, ¿a qué es igual d - c? A) 56.10! B) 10! C) 72.9! D)9! E)8!
04. A los números 260; 244 y 292 se le suman y restan a, b y c respectivamente, para obtener los antecedentes y consecuentes de tres razones equivalentes. Determinar la constante de proporcionalidad, si se sabe que es entero positivo y a, b y c también enteros. A) 3 B) 5 C) 7 D)AyC E)AyB
02. En una serie de tres razones geométricas equivalentes se cumple que las diferencias entre los términos de cada razón son 15; 25 y 40 respectivamente. Si el producto de los consecuentes es 61 440, calcular el mayor de los antecedentes si la constante de proporcionalidad es menor que uno. A) 15 B) 24 C) 9 D)18 E)12
05. En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultos que entran, ingresan 8 niños. Si en total ingresaron 858 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4, ¿cuántos hombres asistieron a dicha reunión? A) 300 B) 280 C) 240 D)210 E)315
03. En una serie de tres razones geométricas, la diferencia entre los extremos es 10 y la suma de los términos de la segunda razón es 32. Si a cada uno de los antecedentes se disminuye en 6; 8 y 2 respectivamente, resultan ser
82
términos, si el valor de la razón de dicha proporción es un número entero. A) 12 B) 15 C) 18 D)21 E)24
06. Si: y:
, calcular (a + b + c + d + e)
A) 15 D)18
B) 16 E)19
13. Si:
C) 17
además: , calcular
,
.
07. Si : además: calcular "D" A) 45 D) 3
B) 9 E) 15
C) 8
08. Si a los términos de una proporción geométrica cuya valor es 1/3, se le aumenta cantidades diferentes, se obtendrá otra nueva razón de valor 1/2. Determinar la suma de los términos de la proporción inicial, sabiendo que el total que se agregó a los antecedentes y a los consecuentes es 27 y 11 respectivamente. A) 86 B) 129 C) 172 D)215 E)258
A)
B)
D)
E)
C)
14. Se han sacado 9 litros de u n barril lleno de vino, después se ha llenado de agua y de esta mezcla se han sacado otros 9 litros y el barril es nuevamente llenado con agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es a la cantidad de agua que hay en el barril como 16 es a 9, ¿qué capacidad tiene el barril? A) 30 D)45
09. En una proporción geométrica discreta se tiene que el producto de los antecedentes es 126 y el producto de los consecuentes es 350. Si se sabe que la media diferencial de los términos medios es 20,5, ¿cuál es la media diferencial de los extremos? A) 14,5 B) 15,5 C) 16,5 D)17,5 E)18,5
B) 35 E)50
C) 40
15. En una proporción geométrica la suma de los extremos es 29 y la suma de los cubos de los cuatro términos proporción 210. Calcular la sumadedeldicha mayor extremo es y el49mayor medio de esta proporción si la suma de los términos medios es 41. A) 30 B) 35 C) 40 D)45 E)50
10. Dos móviles parten el mismo instante u no de "A" y otro de "B" y marchan al encuentro uno del otro, con movimiento uniforme sobre la recta AB. Cuando se encuentran en "M", el primero ha recorrido 30 km más que el segundo, cada uno de ellos prosigue su camino; el primero tarda 4 horas el recorrer MB y el segundo 9 horas en recorrer MA. Determinar la velocidad del menor. A) 10 km/h B) 15 km/h C) 20 km/h D) 25 km/h E) 30 km/h
16. En una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero, se cumple que el producto de los antecedentes más el doble producto de los consecuentes es 825. Determinar el mayor de los extremos. A) 65 B) 60 C) 55 D)50 E)45 17. A los números 162; 198 y 210 se le suman y restan a, b y c respectivamente para formar los antecedentes y consecuentes de una serie de razones geométricas equivalentes. Calcular el valor de la constante de proporcionalidad que hace que los números naturales a, b y c sean los menores posibles.
11. En una proporción geométrica continua se cumple que el producto de los cuatro términos aceptan como factores primos a 2 enteros consecutivos y tiene este producto 45 divisores. Calcular la razón de la proporción, si es mayor que uno y además uno de los extremos es m6 y el otro cubo perfecto. A) 3/2 B) 4/3 C) 5/4 D)9/8 E)32/27
A) 21/19 D)7/5
B) 5/3 E)19/17
C) 9/7
18. Sea a : b :: c : d; a y d mínimos, además: a2 + d2 + bc = 61; b > 1 Hallar el máximo valor de: E = a + c A) 12 B) 18 C) 15
12. En una proporción geométrica, se cumple que la suma de los cubos de sus cuatro términos es igual a 315. Determinar la suma de los cuatro
83
D)24
E)21
19.E nunaproporcióngeométricadiscreta,silos términos medios se intercambian de posición, la constante que es un numero entero aumenta en 3 unidades. Calcular el primer antecedente de la proporción inicial, si todos los términos son diferentes entre sí y los menores posibles. A) 20 D)30 20. En :
B) 10 E)25
C) 15
, sabiendo que: .
Hallar el mínimo valor de (K + m) sabiendo que existen 92 razones geométricas equivalentes A) 8 B) 9 C) 10 D) 6 E) 7
TAREA 01. En un cajón hay 1 250 fichas entre azules, blancas y rojas. Si el valor de la razón entre azules y blancas es como 5 es a 3 y la diferencia entre las mismas es 300, calcular la cantidad de fichas rojas A) 10 D)40
B) 20 E)50
vino se observa que queda agua pura. Calcular la capacidad del recipiente A) 24 litros B) 30 litros C) 80 litros D) 48 litros E) 70 litros 06. En una universidad la relación de hombres a mujeres es de 5 a 7; la relación de hombres en ciencias a hombres en letras es de 8 a 3. ¿Cuál es la relación de los hombres de ciencias a el total de alumnos? A) 5/19 B) 10/39 C) 10/9 D)5/12 E)10/33
C) 30
02. Dos galgos parten en el mismo instan te uno de A y otro de B y marchan al encuentro uno de otro. Si la velocidad del primero excede en 4 km/h al segundo, determinar dichas velocidades en km/h, si la razón de los espacios recorridos por ambos galgos hasta su encuentro vale 6/5 A) 16 y 20 D) 24 y 20
B) 18 y 22 E) 12 y 16
07. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los marineros observa que el número de barcos que ve es al número de aviones como 3 a 2. ¿Cuántas naves son en total? A) 16 B) 24 C) 18 D)30 E)20
C) 24 y 28
03. En una competencia de galgos, conejos y perros de 100 metros se observa que el 1ro aventaja al 2do en 20 m y el segundo aventaja al 3ro en 10 m. En una carrera de 500 metros, ¿en cuánto aventaja el primero al tercero? A) 100 m B) 200 m C) 140 m D)300m E)28m
08. El número de vagones que lleva un tren A es los 5/11 del que lleva un tren B; y el que lleva un tren C es los 7/13 del que lleva otro D. Entre A y B llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de vagones de cada tren no puede pasar de 60, ¿cuál es el número de vagones que lleva el tren C? A) 26 B) 14 C) 39 D)52 E)28
04. Si la edad de Carlos es a la edad de Dora como 3 es a 2, calcular dentro de qué tiempo las edades estarán en la relación de 4 a 3, sabiendo además que la suma de éstas es 70 años finalmente A) 12 B) 10 C) 13 D)11 E)14
09. En partidas de billar a 60 carambolas, A le da a B 20 carambolas de ventaja, B le da a C 15 carambolas de ventaja y C le da a D 12 carambolas de ventaja. Si A jugara contra C y D juntos, ¿cuántas carambolas de ventaja tendría
05. Un recipiente está lleno los 2/3 d e su capacidad con agua y vino observándose que si se extraen 6 litros de agua y 2 litros de vino la razón de vino y el agua se mantiene. Al extraerse 6 litros más de
84
que darles? A) 4 D) 7
B) 6
C) 8
E) 5
10. Un asunto fue sometido a la votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. Calcular cuántas personas cambiaron de opinión A) 150 D)130
120 E)B) 160
C) 100
MAGNITUDES PROPORCIONALES Dadas dos magnitudes y un conjunto de valores o cantidades correspondientes a éstas, de modo tal que exista una cierta relación de dependencia entre ellas, entonces son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo un valor cualquiera de uno de los conjuntos, por un cierto número, su correspondiente en el otro conjunto queda multiplicado o dividido (o viceversa) por el mismo número.
Entonces las magnitudes A y B serán directamente proporcionales; esto se acostumbra a denotar como:
Representación gráfica
NOTA: Si entre dos magnitudes dadas existe una cierta relación de dependencia entre ellas, no implica esto que exista proporcionalidad entre ambas; pero si dos magnitudes son proporcionales, entonces existe una relación de dependencia entre ellas.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas, se consideran como magnitudes directamente proporcionales cuando el cociente de sus cantidades correspondientes permanezca constante. Consideremos dos magnitudes A y B con parejas de valores correspondientes : A
a1
a2
a3
an
B
b1
b2
b3
bn
Si se cumple que: .
85
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas, se consideran como magnitudes inversamente proporcionales cuando el producto de sus cantidades correspondientes permanezca constante. Consideremos dos magnitudes A y B con parejas de valores correspondientes : A
a1
a2
a3
an
B
b1
b2
b3
bn
Si se cumple que:
Entonces las magnitudes A y B serán inversamente proporcionales; esto se acostumbra a denotar como:
Representación gráfica
PROPIEDADES 1. A es inversamente proporcional a B si y solo si A es directamente proporcional a
.
2. Si A es directamente proporcional a B y además A es directamente proporcional a C, entonces A es directamente proporcional a (B.C)
86
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Supongamos que el costo de los terrenos es directamente proporcional a su área e inversamente proporcional a la distancia que los separa de Lima. Un terreno cuadrado está ubicado a 28 km de Lima y valorizado en S/. 60 000. ¿Cuál será el precio de un terreno cuadrado, cuyo perímetro es los 3/4 del anterior y está ubicado a 7 km de Lima? A) 120 000 D) 140 000
B) 130 000 E) 136 000
C)40gmás E) No dio más ni menos
D)30gmás
06. Hace 8 años, el precio de un libro de una colección dada de las ciencias matemáticas, varía D.P al número de páginas e I.P al cuadrado del número de libros que se compraban. Si cuando se compraban 10 libros de 50 páginas cada uno, estos valían S/. 42 la unidad, ¿cuántos libros de 80 páginas saldrían al precio de S/. 105 cada uno? A) 7 B) 6 C) 10 D) 9 E) 8
C) 135 000
02. Según el último estud io efectuado por el INEI, se puede afirmar que el rendimiento de un empleado varía en forma I.P al cuadrado de su edad. Si un trabajador a la edad de 60 años tenía un rendimiento de 3 puntos, calcular la edad que tenía cuando su rendimiento era de 12 puntos A) 15 B) 20 C) 25 D)30 E)45
07. En la gráfica sig uiente la línea ON representa proporcionalidad directa entre dos magnitudes y la curva MN representa proporcionalidad inversa :
03. Si B se triplica, entonces A 2 se triplica (C es constante) y cuando C se hace el doble, entonces A2 disminuye a su mitad (B es constante). Sabiendo que A2, B y C están relacionados con una constante de proporcionalidad igual a 4, hallar el menor valor de B, cuando A=2 y C=3/2 A) 3/2 D)1/2
B) 5/4 E)5/2
Determinar el valor de (m+n) A) 2 B) 4 D) 6 E) 7
C) 30
08. Para las magnitud es M y N se tiene que en el intervalo ]0; a] presenta proporcionalidad inversa y en [a; u] proporcionalidad directa. Si: P = (2; 7); determinar el punto Q (ver figura)
04. Un obrero descubre que la cantidad de trabajo hecho por él en una hora varía en razón directa de su salario por hora e I.P a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Se puede terminar una obra en 6 días cuando trabaja 9 horas diarias a S/. 12 por hora. ¿Cuántos días tardaría en terminar la misma obra cuando trabaja 16 horas diarias a S/. 18 por hora? A) 2 D) 3
B) 1,5
C) 5
C) 4
E) 5
05. Un tendero endesiguales el peso empleando una balanza dehurta brazos que miden 22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de azúcar y el tendero pone las pesas sobre el platillo correspondiente al brazo menor de la balanza. La mujer compra otros 4,4 kg del mismo artículo y obliga al comerciante a poner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg, ¿cuánto dio de más o de menos el tendero? A) 30 g menos B) 40 g menos
A) (2 D)(7;2)
87
;
)
B) ( E)(2
;7 ;
)
)C) (2; 7)
09. En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P al número de máquinas e I.P a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas, inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso. Si se consiguen 8 máquinas más con 4 años cada una, calcular la relación de lo producido actualmente con lo producido anteriormente A) 4/5 B) 9/5 C) 3/5 D)4/7 E)5/6
constante y el precio aumenta en 1/20? A) S/. 69 000 B) S/. 23 400 C) S/. 72 500 D) S/. 50 400 E) S/. 60 500 15. Sabiendo de que A es I.P a la inversa de B 2 e I.P a C3 y además que B es D.P a D2 y C es I.P a E3, determinar el valor de A cuando E = 4 y D = 9, si cuando E = 2 y D = 3, A = 2 A) 82 944 B) 76 420 C) 81 376 D)75616 E)720
10. Sabiendo que “y” es la suma de dos cantida des
16. El alargamiento que sufre una barra es
una proporcional a “x” y la otra proporcional a que para x=1, y=6 y que para x=2; y=5,
proporcional a su y la fuerza que se lea aplica, además eslongitud inversamente proporcional su sección y rigidez. Si una barra de acero de 100 cm de largo y 50 mm 2 de sección se le aplican 2 500 newton sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento ocasionó 800 newton aplicada a una barra de aluminio de 75 cm de largo y 16 mm 2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio es la mitad que la del acero A) 0,25 B) 0,50 C) 1,00 D)1,50 E)2,00
hallar “y” para x= A) 16 D)19
B) 15 E)20
C) 17
11. Se sabe que A es D.P a , pero I.P a C2. Si A = 3 cuando B = 16 y C = 8, hallar el valor de B cuando A = 6 y C = 4 A) 25 D) 16
B) 8 E) 9
C) 4
12. Una rueda A de 90 dientes engrana con otra rueda B de 18 dientes. Fija al eje de B se encuentra otra rueda C de 114 dientes que engrana con otra rueda de 19 ¿Cuántas vueltas habrá Ddado D dientes. cuando A haya dado 245 vueltas? A) 7 350 B) 7 375 C) 7 400 D)7425 E)7450 13. En una empresa el sueldo es directamente proporcional a la edad y a los años de servicio del empleado e inversamente proporcional al cuadrado de la categoría. María, empleada de segunda categoría, con 10 años de servicio en la empresa y de 56 años de edad gana S/. 200. Alejandra entró 3 años después que María, gana S/. 50 y es empleada de tercera categoría. ¿Quién es la mayor y por cuántos años? A) María por 11 años B) Alejandra por 11 años C) María por 12 años D) Alejandra por 12 años E) María por 13 años 14. La demanda de un producto es D.P al precio de dicho producto, I.P al ingreso mensual que se tenga y D.P a la utilidad de ese producto. Cuando el precio de ese producto es 200, su utilidad como 5 y el ingreso anual es S/. 120 000; se demanda 30 productos. ¿Qué ingreso anual se debe tener para demandar 45 productos más, si la utilidad permanece
88
17. A, B y C representan 3 magnitudes ta les que :
A B C
10 3 50
8 24 4
VALORES 8 x 3 3 32 18
Calcular : x + y A) 20 B) 22 D)26 E)28
8 6 y
C) 24
18. Sea F una función de proporcionalidad directa y G una función de proporcionalidad inversa. Se sabe que: F(m) + F(2m) = 12 m G(n) + G(3n) = F(G(P)) + G(F(P)) > 3 con P Z+ Hallar la suma de los valores de P A) 36 D)55
B) 45 E)68
C) 51
19. La relación entre las magnitudes x e y se muestran en la figura, donde se puede observar que en [a; 15a] x es D.P a y, pero en [15a; c2] x es I.P a y. Además sea L 1 la recta cuya ecuación es x = a, L 2 es la recta cuya ecuación es y = b; entonces se cumple que el área de la región limitada por L 1, L2 y los ejes x; y es igual a 12 u 2
Calcular : A) 11 D)14
B) 12 E)15
C) 13
20. Sean dos magnitudes A y B tales que : A I.P B (B 30); A D.P B (B 30). Si A = 6 cuando B = 20, ¿cuál será el valor de A cuando B = 60? A) 2 B) 4 C) 8 D) 6 E) 3
TAREA 01. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de
años de servicio. El servicio de la primera excede
89
a la de la segunda en 4
C)Segana320 E) Se pierde 320
años más y las
pensiones están en relación de 9 a 8. ¿Cuánto tiempo ha servido la segunda persona? A) 17 B) 12 C) 16 D)20 E)18 02. Sea A D.P B, además cuando A = 8; B = 6 y cuando A = 12; B = n. Hallar A cuando B = n + 6 A) 16 B) 18 C) 20 D)24 E)15 03. Se sabe que A D.P B y C I.P D. Halla r a + b + m + n, según las gráficas :
A) 158 D)152
B) 160 E)168
C) 162
04. Si entre los extremos de un cable hay una diferencia de tensión eléctrica de 100 voltios, la corriente es de 20 amperios, ¿qué diferencia de potencial es necesaria para disponer de una corriente de 22,5 amperios en el mismo cable sabiendo que la tensión es D.P a la corriente? (En112,0 voltios) A) D)113,5
B) 112,5 E)114,0
C) 113,0
05. A es D.P al cubo de B e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de C. Si B disminuye en 1/3 de su valor y C disminuye en 27/36 de su valor, ¿qué sucede con el valor de A? A) Aumenta 11/36 B) Aumenta 11/37 C) Disminuye 11/36 D) Disminuye 11/27 E) Aumenta 11/27 06. A una taza con té se introdujeron 3 cucharaditas de azúcar (aproximadamente 20 gramos) y luego de 3 minutos se han disuelto 4 gramos. ¿Cuánto quedará luego de 3 minutos más si la cantidad de azúcar no disuelta es I.P al cuadrado del tiempo en 8minutos? A) g D)12g
B) 6 g E)1g
C) 4 g
07. Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/. 720 que se parte en 2 pedazos, donde uno pesa el doble del otro?. A) No se gana ni se pierde B) Se gana 240
90
D)Sepierde240
08. Según la Ley de Boyle, la presión es I.P al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas, si al aumentar esta presión en 2 atm el volumen varía en 2/5? A) 1 atm B) 2 atm C) 3 atm D)4atm E)5atm 09. De las afirmacion es siguientes, cuál(es) es(son) verdadera(s): I. Si A aumenta y B aumenta entonces A D.P a B II. A D.P D.P aa B B yy C C D.P D.P aa AB eentonces A D.P D.P aa C III. Si Si A ntonces A B/C A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D)IyII E)IIyIII 10. El sueldo de un obrero es D.P al cuadrado de sus años de servicio. Si uno con 6 años de servicio percibe un sueldo de S/. 1 800, ¿cuál será el sueldo de uno con 5 años de servicio? A) S/. 1 000 B) S/. 1 200 C) S/. 1 250 D) S/. 1 300 E) S/. 1 500
REPARTO PROPORCIONAL La regla de reparto o repartimiento proporcional tiene por objeto, una cierta cantidad dada transformarla en otras varias, tal que sumadas todas ellas den la srcinal, y además entre las partes obtenidas existan una cierta relación de proporcionalidad pre establecida.
por lo tanto:
REPARTO DIRECTO Consiste en repartir una cierta cantidad en partes que sean directamente proporcionales a un conjunto de números repartidores a los cuales también se les conoce como índices.
Método: La cantidad a repartirse se divide entre la suma de los números repartidores, el cociente obtenido se multiplica por cada uno de los índices dados, siendo los productos obtenidos, las partes repartidas.
Problema General
Ejemplo : Repartir 1 200 en tres partes que sean directamente proporcionales a 12; 16 y 20.
Repartir N en partes que sean directamente proporcionales a: Solución: Sean: todo tal que:
Solución :
; las partes a obtenerse de
Además: Donde:
91
OBSERVACIÓN: Cuando el reparto a efectuarse sea inversamente proporcional a ciertos factores dados, se transformará en el caso general (reparto directo) tomando simplemente las inversas de dichos factores y procediendo del modo ya expresado anteriormente. En caso de que haya más de un conjunto de indices se aplicará la propiedad 2 de magnitudes proporcionales .
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Guillermo y Esteban vande a comer a un chifa y deciden pagar la cuenta en forma directamente proporcional a los números 2, 7. Si cada uno pagó con monedas de S/. 5 sin recibir vuelto alguno; determinar cuántos soles pagó Esteban y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13
proporcionalmente losprecios frentes respectivos. restantes y los vende de acuerdo aalos ¿Cuánto recibe por dicha venta? (En dolares) A) 428 000 B) 429 200 C) 430 200 D) 434 200 E) 502 400 06. Tres viñedos han producido un total de 56 0 litros de vino, siendo la producción de cada uno directamente proporcional a los residuos que se obtienen al dividir 16!; 5 31 y 721 entre 17; 7 y 12 respectivamente. Si los tres viñedos desean construir depósitos iguales para almacenar su producción, ¿cuál será la mínima capacidad (en hectolitros) que puede tener cada uno de ellos? A) 102 B) 108 C) 112 D)120 E)132
02. Un padre decide repartir una herencia en forma proporcional al orden que nacieron sus hijos. La herencia total asciende a S/. 9 435 y adicionalmente deja S/. 2 516 para el mayor, de tal modo que el primero y el último hijo reciban igual herencia. ¿Cuántos hijos tiene dicho padre? A) 3 D) 6
B) 4
07. Una cantidad de dinero de se reparte entre cinco personas proporcionalmente a 5 números enteros que están en progresión aritmética, siendo b la diferencia entre la mayor y la menor parte. Si el mismo dinero se repartiera inversamente proporcional al segundo y cuarto de dichos números, se obtendrían partes enteras. Calcular la suma de los tres menores partes del primer reparto. A) 21 B) 35 C) 42 D)56 E)63
C) 5
E) 7
03. Diariamente se reparte S/. 528 entre d os obreros A y B en forma directamente proporcional a sus rendimientos. Un día A recibe S/. 288 y al otro día A disminuye su rendimiento en 1/4 y B aumenta su eficiencia en 1/2. Hallar la diferencia entre las cantidades que recibieron A y B en este nuevo reparto. A) 120 B) 132 C) 144 D)148 E)156
08. Un padre reparte una herencia en forma directamente proporcional a las edades de sus tres hijos, los cuales son inversamente proporcionales a los números 6; 4 y 3. Hallar la suma de dichas edades sabiendo que si repartiera la herencia directamente proporcional a los años que les faltan para cumplir 20 años, lo que recibiría el menor sería los 9/4 de lo que recibió en el primer reparto.
04. Se reparte entre tres partes directamente proporcionales a S1; S2 y S3; siendo:
Teniendo S1; S2 y S3 “n” sumandos cada uno. Hallar la mayor de las partes y dar la suma de sus18cifras, si además c <20a < b A) B) 19b = a . c y C) D)21 E)22
A)3630 D)
B) 32 E)38
C) 34
09. Karín, Mariella y Rosario son tres hermanas cuyas edades son 25; 18 y 16 años, en ese orden. El padre de ellas les regaló un total de S/. 3 610 dividido en tres partes cuyos cuadrados son directamente proporcional a sus edades e inversamente proporcional al número de horas que pasan viendo TV todos los días, los cuales
05. Un terreno rectangular ubicado en una esquina cuyas dimensiones son 60 m × 80 m, está valuado por el lado mayor a $ 90 el metro cuadrado y por el menor $ 126. El dueño se queda con el cuadrado de 25 m por lado formado en la esquina y el área restante lo reparte
92
son 4; 2 y 1 respectivamente. ¿Cuánto le tocó a Karín? A) S/. 900 D) S/. 1 140
B) S/. 950 E) S/. 1 200
C al grupo aportando $ 500. Determinar cuántos meses después de iniciado el negocio entró D a la sociedad si aportó $ 800 y del beneficio anual de $ 9 828 recibió $ 2 016. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
C) S/. 1 050
10. Se reparten S/. N en forma dire ctamente proporcional a 2; 3 y 4 e inversamente proporcional a 3; 5 y 7. Luego se reparte directamente proporcional a 3; 5 y 7 e inversamente proporcional a 2; 3 y 4, con lo cual la mayor diferencia entre dos de las partes del
16. El agua de un tanque cuya capacidad es V litros se distribuye directamente proporcional al área transversal de cada tubería e inversamente proporcional al orden en que el agua llega hasta ellas. Las tuberías circulares A, B, C y D tienen
primer reparto mayor enpartes S/. 11del quesegundo la mayor diferencia entreesdos de las reparto. Hallar N A) 9 548 D)10 540
B) 9 873 E) 11387
como radios (medidos en dm) los cuatro primeros números primos (respectivamente en orden creciente). Cada tubería conduce a una cámara congeladora para fabricar hielo. Hallar “V”, si la cámara conectada a C produjo 500 kg de hielo.
C) 10 842
11. Edgaíl asiste a una carrera de caballos en la cual el premio de $ se repartirá entre los tres primeros inversamente proporcional al orden de llegada y directamente proporcional a los puntos que acumularon por las apuestas, siendo éstos , y respectivamente. Si la constante de dicho reparto es entera y además a < b; hallar el valor de “a + b + c”. A) 12 B) 13 C) 14 D)15 E)16
A) 1 500 D)1825
12. Tres socios inician un n egocio aportando capitales que están en la relación de 1;obtenida 2 y 3. Al repartirse la utilidad total, la constante es entera. Determinar la ganancia del que aportó más, si la ganancia total es un m7 + 3 y además es la menor posible pero mayor a S/. 410 A) S/. 120 B) S/. 180 C) S/. 210 D) S/. 222 E) S/. 348 13. Tres socios desean repartirse la utilidad de su empresa y ven que el primero puso S/. 60 000 durante 8 años, el segundo puso S/. 30 000 durante 4 años y el tercero puso S/. 50 000. El primero y el segundo reciben juntos S/. 30 000, ¿qué tiempo estuvo impuesto el capital del último sabiendo que su ganancia fue de S/. 5 000? A) 2 años B) 3 años C) 4 años D)5 años E) 6años 14. Un empresario funda una sociedad con un capital de S/. 12 000, al cabo de 7 meses admite un socio, el cual aporta S/. 8 000. Luego de un año de actividades se liquido la empresa teniéndose un monto de S/. 15 400. ¿Cuánto perdió el primero? A) S/. 2 800 B) S/. 3 200 C) S/. 3 500 D) S/. 3 600 E) S/. 3 800 15. Dos inversionistas A y B se unen para formar un negocio aportando $ 400 y $ 300 respectivamente. Cuatro meses después entra
93
B) 1 620 E)1930
C) 1 745
17. Cuatro hermanos se reparten una cantidad de dinero. El mayor recibe una cantidad directamente proporcional a su edad y los otros tres en razón directa a los años que les lleva el mayor. Si el reparto se hiciera en razón directa a sus edades, el mayor recibiría la mitad de lo que recibirían los otros tres juntos. ¿Qué fracción de la herencia recibe el mayor en el primer reparto? A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D)3/4 E)1/4 18. Si el número:
, se reparte
directamente proporcional a 4; 8 y 11, se observa que la constante del reparto es entera. Hallar la cifra de menor orden de cada una de las partes y dar como respuesta la suma de ellas; sabiendo además que el conjunto solución de la inecuación: x2 - 2x + a > 6, es R. A) 5 B) 7 C) 9 D)12 E)18 19. Una pareja de esposos donde el esposo es el mayor, reparte su herencia a sus tres hijos, del mayor al menor en forma directamente proporcional al producto, suma y diferencia de las edades de los esposos respectivamente. Si el reparto se hiciera en razón directa a las edades de los tres hijos, el mayor recibiría la mitad de lo anterior. Sabiendo que la suma de las edades de los tres hijos excede en dos a la edad de la madre; hallar la razón de la edad de la madre y la del hijo mayor. A) 3/2 B) 4/3 C) 7/5 D) 2 E) 3 20. Una persona forma un negocio con $ 3 000, cuatro meses más tarde incrementa su capital en 1/2 y a los 6 meses del inicio ingresó un socio con $ 6 000; tres meses más tarde se retira el primero, al mes ingresa un tercer socio con $ 10 000, faltando tres meses para el primer reparto de utilidades retorna el primer socio con un capital 1/2 mayor que su aporte inicial. Si lo que recibe el primero es a lo que recibe el segundo como 4 es a 7, ¿cuántos meses estuvo el tercero? A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13
TAREA 01. Al dividir 6138 es partes directamente proporcional a 1; 2; 4; 8; ..........; 2n; la mayor de las partes es 3072. ¿Cuál es el valor de n 2? A) 64 B) 81 C) 100 D)121 E)144 02. Repartir el número
directamente proporcionales a . Si z < x y la constante del reparto es entera; hallar la diferencia entre las dos menores partes. A) 28 B) 36 C) 42 D)48 E)54
en tres partes enteras
94
09. En una corporación dos socios A y B han aportado 3 y 5 millones y han permanecido tiempos que son proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si al final A se retira con 3 144 000 producto de su capital y su ganancia, ¿con cuánto se retira B? A) 5 120 000 B) 5 153 600 C) 5 180 000 D) 5 200 000 E) 5 244 000
03. Se reparte S/. , directamente proporcional a 2; 5 y 6. Hallar la menor parte si la constante de proporcionalidad es el mayor número impar de tres cifras, tal que todas las partes sean enteras. A) S/. 1 648 B) S/. 1 676 C) S/. 1 682 D) S/. 1 694 E) S/. 1 700 04. Tres empleados A; B y C pid en su gratificación; el reparto se hizo en forma proporcional al tiempo de servicio. La gratificación fue de S/. 2 520. ¿Cuánto recibió C, si el tiempo de servicio de A es los 2/5 del de B y éste a su vez es 4/7 del de C? A) S/. 1 004 B) S/. 1 400 C) S/. 1 440 D) S/. 1 480 E) S/. 1 540
10. Un inversionista inició un negocio con S/. 2 000; 5 meses más tarde ingresó un segundo socio con S/. 3 000 y 4 meses antes de que termine el negocio ingresó un los tercer socio un capital que es tanto como otros doscon juntos. Si el primero recibió tanto como el segundo, y juntos S/. 800 más que el tercero,¿cuál fue la utilidad total? A) S/. 1 500 B) S/. 1 600 C) S/. 1 700 D) S/. 1 800 E) S/. 1 900
05. Se reparte una herencia de S/. 17 500 entre dos hermanos, proporcionalmente a sus edades. Si el mayor obtiene S/. 700 más que el menor; ¿cuánto le tocaría recibir al mayor 5 años después, si sus edades sumarán 35 años? A) S/. 8 000 B) S/. 8 400 C) S/. 8 500 D) S/. 9 000 E) S/. 9 500 06. Lolo antes de morir indica en su testamento que la herencia que deja le corresponde a sus tres sobrinos en la relación de 4; 3 y 2, pero cambia su disposición inicial por un segundo testamento en el cual se estipula que la relación aplicada sera de 7; 6 y 5 respectivamente, de esta forma uno de ellos recibe S/. 720 menos. Determinar el valor de la herencia. A) S/. 12 900 B) S/. 12 960 C) S/. 12 980 D) S/. 13 120 E) S/. 13 180 07. Tres hermanos deben repartirse una herencia en forma directamente proporcional a sus edades. Dos de ellos tiene 25 y 9 años, y si el reparto se hubiera hecho inversamente proporcional a sus edades el tercero le daría igual. ¿Cuánto le correspondió al tercero, si la herencia total es de S/. 9 800? A) S/. 2 500 B) S/. 2 800 C) S/. 3 000 D) S/. 3 200 E) S/. 3 500 08. Un anciano sin familia dispu so en su testamento que al morir, su herencia se reparta entre sus tres sirvientes inversamente proporcional a sus edades y directamente proporcional a sus años de servicio. Al morir dicho anciano las edades de sus sirvientes eran 30; 45 y 50 años y tenían 12; 20 y 25 años de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observó que el que tenía más años se servicio recibió S/. 900 más que el más joven. Hallar el valor de la herencia repartida (en S/. ) A) 12 100 B) 12 300 C) 12 700 D)13 100 E) 13700
REGLA DE TRES
95
REGLA DE TRES Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, comparando dos o más magnitudes proporcionales. Hay dos clases de reglas de tres: 1. Regla de Tres Simp le
Ejemplo :
Una regla de tres es simple cuando intervienen solamente dos magnitudes
Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 20 días; pero debido a que tres de ellos faltaron;
Puede ser: 1.1 Directa La regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes.
los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron? Resolución : Obreros y días son I.P (si trabajasen más obreros, entonces la obra la harían en menos días)
Ejemplo Un poste de 6 m de altura da una sombra de 1,20 m. ¿Cuánto medirá la sombra de una persona de 1,70 m de altura?
2. Regla de Tres Compu esta Una regla de tres es compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes En general :
Resolución : La altura y la sombra son D.P (más altura produce mayor sombra)
1.2 Inversa La regla de tres es inversa cuando las magnitudes que simple intervienen son inversamente proporcionales. Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes (Obreros) I.P (Rendimiento) (Obreros) I.P (Días) (Obreros) I.P (h/d)
(Obreros) D.P (Obra) (Obreros) D.P (Dificultad)
96
Es consecuencia:
Ejemplo : 10 obreros pueden cavar una zanja en 8 días a razón de 5 h/d. Calcular en cuántos días otros 24 obreros de doble rendimiento a razón de 10 h/d podrán zanja dedifícil. doble longitud que la anteriorcavar pero 2otra veces más Resolución : Ob r e r o s
1024
Día s
8 n
h/d
51 0
R e nd i mi e n to
12
obr a
L 2L
D i f i c u l ta d
13
Se cumple :
Reemplazando :
n = 5 días
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un grupo de aserradores cortan un tronco en trozos de un metro. Si cada tronco mide 5 metros y el aserrado transversal de cada trozo demora 1 1/4 minutos, ¿en cuánto tiempo aserrarán 48 troncos? A) 2 horas B) 3 horas C) 4 horas D) 5 horas E) 6 horas
Decide usar ambos instrumentos, uno para su dormitorio (que representa la quinta parte de su casa) y el otro para las demás habitaciones. ¿En cuántos días pintará su casa, si en su dormitorio Lucho solamente usa la brocha? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
02. Una esfera hueca llena de cierto material pes a 5 kg y vacía 1 kg. ¿Cuál sería el peso de la esfera llena de dicho material si duplicamos el radio? A) 10 kg B) 20 kg C) 36 kg D)40kg E)48kg
05. Una obra debe hacerse en 10 días. Si 7 obrero s hacen los 7/15, y con la ayuda de 5 obreros más la concluyen a tiempo. ¿Cuántos días trabajaron los últimos obreros? A) 3 D) 6
03. Un hombre y dos mujere s pueden realizar una actividad en 14 días. ¿En cuántos días harían la misma actividad 1 hombre y 3 mujeres, sabiendo que la eficiencia de una mujer y la de un hombre están en la relación de 3 a 5? A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13
B) 4
C) 5
E) 7
06. Treinta costureras en cierto tiempo han producido 3 600 polos si hubieran sido 10 costureras más y trabajado 10 días extras, la producción sería de 7 200 polos más que la inicial. ¿Cuántos días se trabajó?
04. Utilizando un rodillo Lu cho puede pintar su casa en 5 días y empleando una brocha en 10 días.
A) 7 D)10
97
B) 8 E)11
C) 9
07. Si 15 máquinas pueden hacer un trabajo en 24 días, ¿cuántas máquinas adicionales cuya eficiencia es 3/5 de las anteriores se necesitarán para hacer un trabajo que es 4/5 mayor, en el mismo tiempo? A) 20 D)35
B) 25 E)40
obreros por lo que dejan de trabajar, 5 días después se contrata un grupo de obreros pero con el doble de eficiencia de los anteriores, logrando culminar la obra en el tiempo establecido. ¿Cuántos obreros fueron contratados? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
C) 30
14. Cierta obra programada se e jecutó en un plazo fijado, de 8 horas diarias, pero tuvo las siguientes ocurrencias: A los 28 días enfermaron 15 obreros
08. Un grifo puede surtir diariame nte con 4 galones de gasolina a cada uno de sus 375 clientes por un período 15 días. Después de 5por días, el el número de de clientes aumentó en 125 lo que reabastecimiento del grifo se hará 2 días antes y se reducirá el suministro a cada cliente. ¿En cuántos galones debe reducirse dicho suministro? A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75 D)0,85 E)1
los cuales descansaron 18 días,x obreros y para suplir esto; a media obra se contrató extras de 1/5 más de rendimiento, pero sólo por 6 días a 9 horas diarias, y en los últimos 3 días se volvió a contratar a los x obreros a 6 horas diarias. Hallar x. A) 5 B) 9 C) 18 D)25 E)27
09. Una guarnición sitiada d ispone de municiones para resistir 36 ataques del enemigo, si es que cada soldado dispara 900 balas por ataque. El servicio de espionaje estima que debe soportar 24 ataques más de los calculados y por eso han recibido un refuerzo que representa 1/4 de los efectivos, pero carecen de municiones. Asumiendo que no se tienen bajas, ¿Cuántas balas como máximo puede disparar cada soldado por ataque, para que las municiones alcancen? A) 398 B) 400 C) 416 D)420 E)432 10. Para 22 patos se ha preparado una cantidad de reserva de comida, pero cada semana disminuía un pato por lo cual las reservas duraron 3 semanas más. ¿Para cuántas semanas estaba proyectada la reserva A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 11. En una “service”, una obra se empezó con “n” obreros y a partir del segundo día se fue despidiendo un obrero cada día, hasta que no quedó ningún obrero, pero se terminó la obra. Determinar en cuántos días se realizó, si en el primer día se hizo la novena parte de toda la obra. A) 15 B) 16 C) 17 D)18 E)19 12. En un albergue ap rovisionaron víveres esperando recibir a 11 huérfanos durante 20 días; pero el primer día sólo llegó un huérfano, el segundo día 2, el tercer día 3 y así sucesivamente. ¿Cuántos días duraron los víveres? A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13 13. Un grupo de obreros deben hacer una obra en cierto tiempo; faltando 8 días se enferman 6
98
15. Una obra se inicia con un grupo de obreros, cada día que pasa los obreros disminuyen su rendimiento en 1/20 del rendimiento que tenían el primer día. Acabaron la obra cuando su rendimiento era 1/2 del srcinal. ¿Cuántos días menos habrían empleado si no hubieran disminuido su rendimiento? A) 2 B) 2,50 C) 2,75 D)3 E)3,25
obreros en la relación de a y (b+1), y hacen una obra 3 veces más difícil que la anterior en 4 días. Determinar cuántos obreros se contrataron para esta última obra. A) 30 B) 35 C) 40 D)45 E)50
16. Un grupo de 60 obreros se compromete a sembrar en 45 días de 5 horas diarias un terreno de de haber de forma la obracuadrada. se les pideDespués que entreguen la hecho obra 61/5 días antes del plazo inicial y que el lado del terreno a sembrar se incremente en 1/5. ¿Con cuántos obreros deben reforzarse para terminar lo que falta en el nuevo plazo, aumentando una hora diaria? A) 20 B) 28 C) 30 D)33 E)35 17. Se dispone de 3 grupos de obreros: A; B y C. Los de B y C rinden 2/10 y 3/10 más que los de A respectivamente. Cierta obra se inició con 57 obreros de A y en 20 días hicieron 5/7 de la obra, pero queriendo terminar 4 días antes de la fecha en que terminarían los obreros A, si continuaran, se les reemplaza por un grupo mixto de obreros de B y C en la razón de 1 a 2 respectivamente. ¿Cuántos obreros de B y C se emplearon? A) 20 y 40 B) 23 y 46 C) 25 y 50 D) 30 y 60 E) 32 y 64 18. Se desea podar el césped del esta dio del Colegio Pitágoras para lo cual se consulta a una empresa dedicada al rubro, y ésta presenta dos propuestas: que trabajen 12 jardineros durante 16 días ó 18 jardineros durante 8 días ¿Cuántos jardineros deberán trabajar para podar un campo de golf cuya área es 4 veces la del estadio, si sólo se dispone de 6 días, sabiendo además que el césped crece regularmente todo el tiempo? A) 46 B) 56 C) 64 D)88 E)92 19. Diez obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días, al cabo de “t” días (t Z), 3 obreros son despedidos; luego de un tiempo adicional que es el doble del tiempo transcurrido en la primera etapa 2 obreros se retiran y se observa que aún no se hizo“n” ni la mitad mas d elapara obra,terminarla por lo cualenseel contratan obreros pazo fijado. Calcular “t+n” A) 9 B) 11 C) 17 D)20 E)26 20. Un obrero de la cuadrilla A es 1/5 más eficiente que un obrero de la cuadrilla B y harán una misma obra en y días respectivamente . De la cuadrilla A y de la cuadrilla B se contratan
99
100
TAREA 01. Un depósito tiene 5 conductores de desagüe de igual diámetro. Abiertos 3 de ellos, se vacía el depósito en 5 horas 20 minutos. Si se abren los 5, ¿en cuánto tiempo se vaciará? A) 2 h 32 min B) 2 h 40 min C) 3 h 05 min D) 3 h 12 min E) 4 h 35 min
07. Un ingeniero puede construir 600 m de una carretera con 10 obreros en 50 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardaría en construir 800 m de una carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores, en un terreno de triple dificultad y trabajando 2 horas más por día? A) 16 B) 18 C) 20 D)24 E)28
02. Si Athila consume diariamente 2 raciones más de lo previsto, terminará sus provisiones 3 días antes de lo planificado; mientras que si consume 4 raciones mas al día, se acabarán 5 días antes. ¿Cuántas raciones tienen su provisión de alimentos?. A) 40 B) 60 C) 100 D)120 E)160
08. Un navío partió con una tripulación de 80 hombres llevando víveres para 20 días. Después de 8 días de navegación se dio albergue a 40 viajeros procedentes de un naufragio. ¿Cuántos días más pudo durar la navegación dando ración completa a todos los tripulantes y viajeros? A) 6 B) 8 C) 10 D)12 E)14
03. Una cuadrilla de (2x-7) hombres demoran (n+1) días para hacer la enésima parte de una obra. Si para hacer el resto de la obra, (n 2-1) hombres demoran “x” días; hallar “x”. A) n/2 B) n-1 C) 3 D) 5 E) 7
09. Si 15 obreros se comprometen a realizar una obra en 30 días trabajando 7 h/d. Al cabo de 6 días se les pidió que entreguen la obra 10 días antes de lo pactado, razón por la cual se decide trabajar 9 h/d y contratar n obreros más. Hallar “n”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
04. Se contratan a 5 carpinte ros que hacen 12 carpetas en 15 días; si se pretende tener 60 carpetas en 25 días, ¿Cuántos carpinteros dóblemente hábiles deberán contratarse adicionalmente? A) 4 B) 5 C) 6
10. Harkhyngen inicia cierta obra y al cabo de 20
D) 7 E) 8 05. Un hombre y dos niños pueden hacer un trabajo en 24 días. Determinar cuántos días serían necesarios para que 2 hombres y un niño puedan hacer un trabajo quíntuplo del anterior, sabiendo el rendimiento de un hombre y un niño están en la relación de 3 a 2. A) 100 B) 102 C) 105 D)106 E)107
minutos tantodescansa como 2/3tantos de lo que le falta, en ha esehecho momento minutos como 3/4 de lo que ha trabajado y reinicia la obra concluyéndola “a” minutos después. Determinar la cantidad de minutos que demora en toda la obra. A) 48 B) 65 C) 95 D)105 E)110
06. De 100 obreros de una fábrica, deben formarse 2 grupos, de tal manera que el primer grupo en 6 días confeccione 480 m de tela y el segundo grupo en 5 días produzca 600 m de la misma tela. ¿Cuántos obreros tiene el primer grupo? A) 10 B) 20 C) 25 D)32 E)40
TANTO POR CIENTO TANTO POR CIENTO Se denomina tanto por ciento al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que ha sido dividido una cantidad Ejemplo :
En general :
101
30% de 600 =
(600) = 180 1.
NOTA: Todo tanto por ciento tiene su equivalente en fracción y toda fracción tiene su equivalente en tanto por ciento
a% N + b% N = (a + b) % N
Ejemplos : * 35% N + 40% N = 75% N * N + 28% N = 128% N
Ejemplos * 20% =
*
(100%)=80%
* 50% =
*
(100%)=12%
* 70% =
*
(100%)=35%
* 100% =
*
2.
a% N - b% N = (a - b) % N Ejemplos :
* 42% N - 30% N = 12% N * N - 20% N = 80% N
(100%)=75% 3.
a% b = b %a
Importante Ejemplo :
Toda cantidad representa el 100% de sí misma
* 36%(25) = 25%(36) =
(36) = 9
N = 100% N Aplicación * 20% de 60 =
4. (60) = 12 Ejemplo :
* 75% de 480 =
(480) = 360
* 25% del 20% del 40% de 8 000 es igual a :
Parte de un total como tanto por ciento En general:
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO
¿Qué tanto por ciento de “a” es “b” ?
Total
A. Descuentos Suce sivo s Ejemplo: El precio de un artículo es S/. N. Si se le hace dos descuentos sucesivos del 10% y 20%, ¿cuál es su precio final? ¿A cuánto equivale el descuento único?
Parte
Rpta:
Resolución : * Precio inicial : N * Descuentos sucesivos : 10% y 20% * Precio final : 90% . 80%(N) = 72% N
NOTA : Nótese que el total “a” es la cantidad que está precedida de la palabra “de” Ejemplos : * ¿Qué tanto por ciento de 60 es 15? Rpta :
* Descuento único N -: 72% N = 28% N
. 100% = 25%
B. Aume ntos S ucesivo s Ejemplo : El precio de un artículo es S/. N. Si se le hace dos aumentos sucesivos del 10% y 20%, ¿cuál es su precio final? ¿A cuánto equivale el aumento único?
* ¿Qué tanto por ciento es 28 de 40? Rpta :
. 100% =70%
OPERACIONES CON PORCENTAJES
102
Resolución : * Precio inicial : N * Aumentos sucesivos : 10% y 20% * Precio final : 110% . 120% = 132% N * Aumento único : 132% N - N = 32% N
Pv = Pc + G B donde : GB = G N + Gastos Ejemplos: 1. Una persona vendió un VHS en $ 200 ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo?
C. Aplicac iones Come rcia les Elementos :
Resolución : * Pr ecio den e Co o (Pc). Esde lo una que mercadería el comerciante invierte la st adquisición para luego venderla
Pv = Pc + G
* Precio de Venta (Pv). Es lo que el cliente paga al comerciante por la compra de la mercadería
200 = Pc + 25% P 200 = 125% Pc Pc = S/. 160
* Precio Fij ado (Pf). Es el valor que pide el comerciante por la mercadería que ofrece
c
2. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó $ 800, sabiendo que si se hace una rebaja del 20%, todavía se gana el 30%?
* Gananci a (G). Es la diferencia que se obtiene cuando el precio de venta es mayor que el costo * Pérdida (P). Es la diferencia que resulta cuando la mercadería se vende a un precio menor del costo * Descuento (D). Es la rebaja que obtiene el cliente al comprar la mercadería a un precio menor que el precio fijado En General: 1. Si hay ganancia : Pv = Pc + G 2. Si hay pérdida : Pv = Pc - P NOTA : Generalmente las ganancias ó pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo 3. Si hay descuentos : Pv = Pf - D NOTA : Generalmente el descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado 4. Sea: GB : Ganancia Bruta GN : Ganancia Neta Se cumple :
103
Resolución :
3. En la venta de un producto se tuvo S/. 420 en gastos. Si la ganancia neta equivale al 90% de la ganancia bruta. Calcular dicho precio de venta, si la ganancia bruta equivale al 20% Resolución :
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un comerciante vende el 20% de cierta mercadería perdiendo el 20% de su costo. ¿Qué tanto por ciento del costo debe ganar en la venta de la parte restante para recuperar su capital? A) 2 s B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
personas comprendidas entre 375 y 425, de las cuales, el 60% son varones y el 4% llegó después de la medianoche. Cuando tocaba un tema de Agua Bella, el 60% de los asistentes bailaron. ¿Cuántas mujeres no bailaron en ese momento ? A) 29 B) 33 C) 37 D)40 E)43 04. Se ha distribuido cierta cantidad de lapiceros en 3 cajas A, B y C, de modo que el 20% esta en la caja A, el 30% esta en la caja B y el resto en la caja C. Si se extraen 4 lapiceros de la caja B y se colocan en la caja A, la cantidad de lapiceros de esta última representaría el 40% del total. ¿Cuántos lapiceros hay en la caja C? A) 2 B) 4 C) 6
02. Lo que gana y gasta diariamente una persona están en la relación de 13 a 8. Si diariamente ahorra S/.25, ¿en qué porcentaje debería disminuir sus gastos, para que su ahorro diario aumente en 14,4% ? A) 8% B) 9% C) 10% D)11% E)12% 03. A una fiesta de promoción asistieron un total de
104
D) 8
E) 10
aportando en la primera cuota $ 500 c/u. El primero que se llevó el pozo ofreció pagar 12% de interés en cada una de las cuotas restantes; el segundo se lanzó ofreciendo 16% de interés, el tercero 20% y asé sucesivamente, de tal forma que el pozo del último juntero fue de $ .¿ Cuántos eran los socios?
05. Agapito y Benito han comprado dos automóviles iguales dos tiendas diferentes. Agapito recibió una rebaja del 20% y a Benito le descontaron $ 3 000, pagando así 5% menos de lo que pago Agapito. Determinar el precio del automóvil si en ambas tiendas es el mismo . (en $) A) 10 000 B) 104 000 C) 11 800 D)12 300 E) 12500
A) 5 D) 4
06. Se tienen dos recipientes que contienen
A) 45 D)80
07. El precio de un articulo es S/. 20 000. Si se re baja el X% y luego el 2X soles se pagaría por el S/.13 340 ¿Cuánto se pagaría por dicho artículo si primero se rebaja X2 soles y luego 2X%? A) 15 000 B) 14 500 C) 12 300 D)7640 E)6500
A) 500 D)650
09. Roberto compra una ca ntidad de huevos; va al mercado y comienza a venderlos. Cuando ha vendido el 40% de los huevos ganando el 30%, descubre que el 31% de los huevos que compro se han roto ¿En qué porcentaje deberá aumentar el precio srcinal de los restantes para tener una ganancia del 10% del precio de costo? C) 100%
10. El asignado a unEste emple ado estagasta sujeto a un sueldo descuento del 12%. empleado anualmente los 5/6 del sueldo que cobra, mas S/. 3 000 y al cabo de tres años ahorró una cantidad que representa el 29% del sueldo anual asignado . ¿Cuál es éste ? A) 48 000 D)60 000
B) 50 000 E) 72000
B) 60 E)100
C) 75
13. Se tiene un artículo con un determinado precio de lista, de tal manera que al venderlo se le hace un descuento. Si el precio de lista, de venta y de costo son entre si como 12; 10 y 7; hallar la ganancia, si el descuento fue de S/. 400.
08. Por cada mensaje de texto enviado a través del celular, se paga un impuesto del 20%. Por gestiones de la compañía HOT MESSENGER, este impuesto se reduce en 50%; por lo cual este mes Porfilio mando un 100% mas de mensajes. ¿En qué porcentaje varia el monto a pagar con respecto al pago del mes anterior ? A) 100% B) 90% C) 85% D)83,3% E)75%
B) 80% E)150%
C) 7
12. Un comerciante compró sacos de arroz y los vendió perdiendo 50% del costo; con el dinero obtenido compró sacos de azúcar que luego los vendió ganando el b% del costo, y con el dinero de esta venta compró frijoles, vendiéndolos y perdiendo el 50% de su costo. Si por último con el dinero que recibe compra nuevamente arroz que lo vende ganando el b% del costo; hallar el valor de “b” sabiendo que la última ganancia en dinero, es igual a la primera perdida.
cantidades diferentesdedeagua agua. Si del primero extrae una cantidad igual al 20% de lose que no se extrae y del segundo se extrae un 25% de lo que no se extrae y se vierten en otro recipiente, obteniéndose así volúmenes iguales de agua. Inicialmente qué tanto por ciento del segundo recipiente era el volumen del primer recipiente A) 90 B) 110 C) 115 D)120 E)125
A) 50% D)120%
B) 6 E) 3
C) 54 000
11. Un grupo de profesores forman una junta
105
B) 550 E)700
C) 600
14. Si el precio de lista de un artículo era el doble del precio de costo. Si se vendió haciendo una rebaja del 10%, hallar el precio de venta, si la ganancia fue de S/. 400 A) 900 B) 1 000 C) 1 100 D)1200 E)1300
obtuvo $ 3100, ¿cuánto costó cada barril de B? A) $ 30 B) $ 32 C) $ 34 D)$36 E)$38
15. Un comerciante pensaba vender una computadora ganando el 30% del costo, sin embargo se vendió ganando el 30% del precio de venta, ganándose por ello S/. 360 más. Hallar el costo de dicha computadora. A) 500 D)32100
2 800 E)B) 3200
C) 3 000
16. Bruno compra pañales al por mayor obte niendo para cada uno un precio 10% menor del costo por unidad, el cual es p soles, recibiendo además 5 pañales de regalo. Si logra vender todos, a 10% más que p c/u; ¿cuántos pañales compró, sabiendo que su ganancia total fue S/. 65,5p? A) 100 B) 200 C) 300 D)400 E)500 17. Ricardiño vende un producto haciendo 2 descuentos sucesivos del 10% y 20% obteniendo así una ganancia neta del 15% del precio de venta. Si la diferencia del precio de venta y el precio de costo es S/.3600; hallar el precio del producto fijado inicialmente, si Ricardiño tuvo el 5% del precio de costo de gastos adicionales en la venta. A) S/. 16 500 B) S/. 18 450 C) S/. 21 250 D) S/. 26 250 E) S/. 36 500 18. Renato vende un televisor ganando el 20% del precio de venta, de esta ganancia entrega el 20% a Richi por su colaboración en el negocio y de lo restante utilizó el 10% para pagar el transporte del televisor hasta el domicilio del nuevo dueño, obteniendo como ganancia neta S/. 144. ¿Cuánto le costó el televisor? A) S/. 800 B) S/. 900 C) S/. 1 000 D) S/. 1 100 E) S/. 1 200 19. Se tiene la sucesión {a n} cuyos términos son: 4; 5; 8; 13; 20;.......... Calcular el (3k+1)% de ak+4 A) 98 B) 104 D)132 E)150
C) 120
20. Se tienen 6 000 litros de aguardiente, el 10% se destina para fabricar el licor A, el 25% del resto para B y todo lo demás para C. En el proceso de destilación se pierde el 40%, 50% y 60% respectivamente de la materia prima. Lo producido de A; B y C se vende en barriles de 20; 27 y 36 litros respectivamente, notándose que el precio por litro de cada uno estaría entre 1 y 1,50 dólares. Si por la venta de toda la producción se
106
TAREA 01. El precio de un libro es S/. 2 40. Paola desea comprarlo, para lo cual pide un descuento. El hijo del dueño le hace un descuento del 10%, luego el dueño le rebaja S/. 16. Calcular cuánto dinero tenía Paola, si su padre le ayudó con S/. 60, pudiendo así comprar el libro. A) S/. 100 B) S/. 120 C) S/. 140 D) S/. 150 E) S/. 160
06. La edad de A es el 30% de la edad de B . Si hace 5 años la diferencia de sus edades era 14 años, determinar que porcentaje de la edad de B representará la edad de A dentro de 20 años. A) 40% B) 50% C) 60% D)65% E)75% 07. En un corral se ob serva que del total de animales el 20% son patos, el 50% son conejos y los 80 restantes son gallos. ¿Cuántos animales son en total? A) 200 B) 250 C) 300 D)350 E)400
02. Para fijar un pre cio, un negociante aumentó el costo en un 30% sin embargo debido a la poca demanda tuvo que hacer 2 descuentos sucesivos del 25% y 20%, perdiendo por ello S/. 1 540. ¿Cuál fue el costo del artículo? A) S/. 5 800 B) S/. 6 000 C) S/. 6 500 D) S/. 7 000 E) S/. 7 700
08. Un sastre compra un cierto numero de te rnos a S/. 240 el par, y los vende con una ganancia neta de S/. 85 000 y los gastos ascienden al 15% de la ganancia bruta. ¿Cuántos ternos compró, si en total recibo S/. 700 000? A) 2 500 B) 3 000 C) 3 600 D)4000 E)5000
03. Un mineral tiene una concentración de 25%. Determinar cuántas toneladas deberán utilizarse de este mineral para obtener una tonelada del mineral de 95% de concentración. A) 3 B) 3,33 C) 3,6 D)3,8 E)4
09. Determinar el precio fijado de un artículo, sabiendo que al venderlo se hace una rebaja del 20% y aún así se gana el 30% de su costo; sabiendo además que su precio de costo es de S/. 1 600 A) 1 800 B) 2 100 C) 2 400 D)2600 E)2800
04. Se tienen dos recipiente con contenido distintos, uno de ellos tiene 50% más que el otro. Si juntamos am bos y a ello le agregamos 125 litros de agua, se observa que el que tenía más líquido al inicio, representa ahora el 40%. Determinar cuánto era(en la litros). diferencia de los contenidos iniciales. A) 30 B) 40 C) 50 D)55 E)60
10. Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 30%, pero al venderlo se hizo una rebaja del 10%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó ? A) 12 B) 17 C) 23 D)112 E)117
05. En el ciclo semestral, el 40% postulan a la UNI, y de éstos el 60% son mujeres. De los que no postulan a la UNI el 90% son varones. ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres? A) 15 B) 18 C) 24 D)30 E)32
INTERÉS 1. Defin ic iones
Monto. Es la suma obtenida añadiendo el interés al capital.
Interés. Pago que debe realizar un agente económico por que utilizar prestados. Remuneración un fondos prestatario paga a un prestamista por la utilización del dinero. Tasa de Interés. Nos indica la parte del capital que se obtendría de interés y se expresa como un porcentaje por unidad de tiempo. Ejemplos: el banco XXX te paga el 0,5% mensual de interés; José le presta dinero a Pedro a una tasa de interés del 10% mensual.
2. Clases de Interés 2.1 Interés Simple El interés simple se cancela sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés que se obtiene en cada intervalo unitario de tiempo es siempre el mismo. Se define también como la
107
ganancia sólo del capital a una tasa de interés, durante todo el periodo que dure la transacción comercial. Por ejemplo, el señor Pedro Coral le presta a César Luis S/. 2 000 a una tasa de interés simple del 10% mensual. Si el préstamo duró 3 meses, entonces: Interés del 1er mes = 10% 2 000 = 200 Interés del 2do mes = 10% 2 000 = 200 Interés del 3er mes = 10% 2 000 = 200 Por lo tanto, el interés por los 3 meses es: 200 + 200 + 200 = 600 soles
4. Fórmu las del Inter és Simp le Consideremos: C: Capital r%: Tasa de interés t: Tiempo transcurrido I: Interés a) Fórmula general
2.2 Interés Compuesto El interés compuesto se calcula a una tasa constante durante el plazo de la deuda, pero el capital es aumentado a intervalos, añadiendo el interés acumulado durante cada intervalo de tiempo pasado. Por ejemplo, consideremos ahora que Pedro Coral le presta a César Luis S/. 2 000 al 10% mensual durante 3 meses pero capitalizable mensualmente
r% y t contienen las mismas unidades de tiempo b) Casos particulares
r% anual t meses
Interés del 1er mes I 1 = 10% 2 000 = 200 Capital con que se inicia el 2do mes = = 2 000 + I 1 = 2200 Interés del 2do mes I2 = 10% 2 200 = 220 Capital con que se inicia el 3er mes =
r% anual t días
= 2 000 + I 2 = 2420 del 3er mes I 3 = 10% 2
Interés 420 = 242 Por lo tanto, el interés por los 3 meses es: I1+I2+I3 = 200 + 220 + 242 = 662 3. OBSERVACIO NES a) Equivalencias comerc iales de tiemp o 1 mes comercial < > 30 días 1 año comercial < > 360 días Recordar 1 año común < > 365 días b) Tasas equivalentes 2% mensual < > 24% anual 15% trimestral < > 5% mensual r% semestral < > 2r% anual c) Si presto S/. 1 000 al 10% semestral durante 18 meses y capitalizable semestralmente, entonces como 18 meses equivale a 3 semestres, el monto obtenido será: 110%110%110% 1 000 = 1 331 soles y, por lo tanto, el interés será 1 331 - 1 000 = 331 soles
108
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Al dividir un capital en tres partes, se impone la primera al 3% bimestral, la segunda al 12 % semestral y la tercera al 1% mensual. Anualmente producen el mism o interés y además se sabe que el total invertido es de S/. 26 000 Obtener la mayor de las partes. A) 6 000 B) 10 000 C) 11 000 D)12 000 E) 18000
anual de interés simple durante 7 meses seguidos. Determinar cuál fue el primer mes de imposición si se sabe que con el año común habría un beneficio extra de S/.300 con respecto al interés que se obtendría considerando el año comercial. A) Mayo D) Agosto
02. El gráfico corresponde al monto (M) obten ido en función del tiempo (t) a partir de un cierto capital impuesto a interés simple con una tasa de r% anual. Calcular : a+b+c+r
A) 20 D)26
B) 22 E)28
08. Un capital de es colocado durante 10 meses a una tasa de 9,6%; siendo el monto, interés y capital proporcionales a 27, b y c 2. Hallar a+b+c, si se sabe ademas que el monto fue . A) 13 B) 14 C) 15 D)16 E)17
C) 24
09. Vladimiro deposita en un banco de Ginebra que le paga 7,3% anual, y otro capital de lo coloca en una financiera de Gran Caimán la cual le da un beneficio de 8,2% anual . Luego de 11 años el monto srcinado por ambos capitales es el mismo. Calcular “a+b+c+x+y+z”. A) 20 B) 21 C) 22 D)23 E)24
04. Determinar el tiempo al que fue impuesto un capital a una tasa de 60% , sabiendo que el capital, interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua, donde la media proporcional es el interés. B) 37 meses E) 40 meses
10. Un capital de $ 72 000 es dividido en 9 partes, siendo las 8 primeras : 1 /2 1/6; 1/12; 1/20; ... 1/72 de dicho capital, las cuales son impuestas durante un año al 0,4% diario, y el resto se impone también durante un año al 15% mensual. Determinar el monto total obtenido. A) 150 480 B) 150 400 C) 152 400 D) 156 800 E) 178 560
C) 38 meses
05. Erasmo va al banco y pide un préstamo por una cierta cantidad al 8% anual y 4 meses más tarde pide otro préstamo por otra cantidad pero al 5% anual. Cinco meses después entregalaalcantidad banco por capitales e intereses producidos de S/. 1 800. Si los intereses producidos por cada préstamo son iguales, determinar el valor del primer préstamo: A) 450 D)640
B) 480 E)720
C) Julio
07. Ulises quiere comprar una guitarra , pero le falta tanto como lo que tiene, así que decide comprarla dentro de 10 meses, por lo que deposita lo que tiene en un banco al 15% semestral y después de 4 meses deposita S/.115 más. Si cuando retira todo su dinero, el precio se había incrementado en 20% de su valor, pero a pesar de ello logra comprarla sin tener excedente. Hallar el precio final de la guitarra. A) 276 B) 300 C) 360 D)380 E)408
03. El monto obtenido al imponer un capital durante 8 meses es S/. 24 800. Si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa durante 9 meses y 15 días el monto seria S/. 25 544. Hallar el capital (en soles) A) 18 350 B) 19 900 C) 20 832 D)21 540 E) 22345
A) 35 meses D) 39 meses
B) Junio E) Setiembre
11. Un capital se impone al 40% anual durante 3 años, de manera que cada año se reciben las ganancias y la mitad de ellas se suman al capital. Si al final del tercer año se recibe S/. 100 800, ¿cuál fue el capital depositado? A) 40 000 B) 42 000 C) 45 000 D)48 000 E)50 000
C) 520
12. Cada año se deposita S/.160 000 en una cuenta
06. Un capital de S/. 175 200 fue impuesto al 30%
109
bancaria que produce 5% de interés semestral y con el mismo periodo de capitalización ¿ Qué capital se tendrá inmediatamente después de haberse efectuado el tercer deposito? A) 502 120 B) 517 464 C) 525 734 D) 528 460 E) 530 881
15. Una persona por error impone su capital al 5% durante 4 años a interés simple, debiendo imponerlo al r% de interés compuesto durante el mismo tiempo, perdiendo de esta manera el de su capital. Hallar el valor de “r” A) 15 B) 20 C) 25 D)35 E)40
13. Se deposita S/. 3 125 en un banco a una ta sa de 20%, capitalizable anualmente. Si el interés total generado fue S/. 3 355, determinar el tiempo que estuvo depositado dicho capital. A) 2 años B) 3 años C) 4 años
16. Tito se presta cierta cantidad, comprometiéndose a pagar el 5% de interés mensual capitalizable bimestralmente. Si el primer pago de S/. 1 430 lo realiza al cabo de 2 meses y cancela su adeudados meses después con S/. 363; ¿a cuánto ascendía el préstamo? A) S/. 1 200 B) S/. 1 600 C) S/.1 640 D) S/. 1 740 E) S/. 1 800
D)5 años E) 6años 14. Hace 3 años una persona depositó cierta suma de dinero al 10% semestral capitalizable anualmente y con el dinero acumulado hoy ha comprado una casa que planea vender en S/. 220 320 con una ganancia del 20% sobre el precio de venta ¿Cuál fue el interés obtenido? A) S/. 74 256 B) S/. 103 960 C) S/. 105 920 D) S/. 108 050 E) S/. 110 980
17. Dionisio se presta $ 42 000 al 10% de interés mensual sobre el saldo deudor de cada mes. El primer y segundo mes no se amortiza nada, pero el tercer y cuarto mes se paga una misma cantidad igual a $N. Hallar N para que la deuda quede cancelada al cuarto mes; dar la suma de sus cifras. A) 20 B) 21 C)22 D)23 E)24 18. Se tiene S/. 306 000 divididos e n 3 partes proporcionales a los número a; b y c; las cuales al ser colocadas a las tasas de (a+1)%; (b+2)% y 2 año generan (c+3)%, proporcionales en ese orden, ala cabo montos a2; b2de y cun respectivamente. Hallar la mayor de las partes en que fue dividida la cantidad inicial. A) S/. 100 500 B) S/. 102 000 C) S/. 103 000 D) S/. 106 000 E) S/. 110 000
19. Se impone un capital “C” a interés simple de la siguiente manera: el primer mes al 5% mensual, el segundo mes al 6% mensual y así sucesivamente durante “n“ meses. Hallar “n” si al cabo de ese tiempo se produjo un interés que es igual al 45% del capital “C” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 20. Un cierto capital se impone a un plazo fijo de “t” meses al r% anual de interés simple y cuando ha transcurrido un tiempo igual al 60% del tiempo que falta, la tasa aumenta un 20% de su valor, obteniéndose tasade efectiva que es x% mayor que “r”. Hallar una el valor x. A) 10,5 B) 11 C) 12 D)12,5 E)15
TAREA
110
01. Un negociante recibe anualmente una ganancia de S/. 20 000 que proviene de dos de sus negocios que le producen intereses que están en la relación de 2 a 3. Si las tasas de interés son 16% y 18% respectivamente; hallar la diferencia de los capitales empleados en cada negocio. A) S/. 90 000 B) S/. 95 000 C) S/. 96 000 D) S/. 98 000 E) S/.100 000
06. Calcular el interés que producirá S/. 1 600 depositado durante 2 años al 25% trimestral capitalizable semestralmente. A) 5 100 B) 5 200 C) 5 400 D)6500 E)6800 07. Un capital produce un cierto interés al cabo de un tiempo en el cual se observa que la diferencia entre el capital y el interés equivale al 42% de dicho capital. ¿Qué interés produce un capital de S/. 30 000 en la tercera parte del tiempo anterior y con una tasa 50% menor?
02. Hace 8 meses se impuso cierto capital, cuyo monto actualmente es S/. 4 650. Si dentro de un año el monto será S/. 4 875, hallar la tasa anual de imposición. B) 5% A) 3% D)9% E)11%
A) 900 D)32200
C) 7%
B) 5 años E) 10 años
C) 3 100
08. Un capital se tiene impuesto al 4% anual de interés simple. Al final de primer año se retiran los intereses y además otro tanto como los intereses; al final del segundo año se repite la misma operación y se observa que el capital ha disminuido en S/. 6 272. Hallar el valor del capital srcinal (en soles) A) 71 000 B) 82 000 C) 80 000 D)89000 E)9000
03. Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo de cierto tiempo. ¿Cuál es éste, sabiendo que expresado en años es igual a la mitad del tanto por ciento el cual se impuso el capital? A) 4 años D) 7 años
3 000 E)B) 3300
C) 6 años
04. Determinar a qué tasa me nsual debo imponer mi dinero, sabiendo que tengo S/. 1 200 y dentro de 8 meses debo comprar un artefacto que actualmente cuesta S/. 1 400 y que al cabo de dicho tiempo su precio aumentará en un 20%. A) 5% B) 10% C) 12% D)15% E)17,5%
09. Una persona posee S/. 45 000, una parte la coloca al 36% anual y el resto al 35%. Si las tasas a las que están impuestas se permutarán, al término de un año se produciría S/. 50 más de interés. Hallar la diferencia entre los intereses anuales. A) S/. 1 000 B) S/.1 550 C) S/. 3 000
05. Un capital impuesto a una tasa mensual durante cierto tiempo produce S/. 1 800 más que si se hubiera impuesto a una tasa semestral numéricamente igual a la anterior. ¿Qué interés se hubiera producido si la tasa fuera anual? A) S/. 160 B) S/. 175 C) S/. 180 D) S/. 195 E) S/. 200
D) S/. 5 000 E) S/. 6 000 10. Carmelo tiene una peluquería hipotecada y anualmente tiene que pagar el 6% de su valor. Dicho pago lo hace con los intereses que le produce un bono de $ 75 000 al 4%, donde estos intereses están sujetos a un descuento del 20%. Determinar el valor de la hipoteca. A) $ 35 000 B) $ 40 000 C) $ 45 000 D) $ 50 000 E) $ 55 000
DESCUENTO DESCUENTO
Valor actual (Va). Llamado también valor efectivo, es el dinero en efectivo que se recibe al cancelar o negociar una letra de cambio antes de la fecha de vencimiento.
Letra de cambio. Es el efecto comercial que lo suscribe una persona o entidad crediticia denominado acreedor o librador para que otra persona denominado cliente, deudor o aceptante la firme y se comprometa a pagar una cierta cantidad de dinero en una determinada fecha de vencimiento.
Tiempo de vencimiento (t) . Es el tiempo que se considera desde el momento en que se cancela la letra hasta la fecha de vencimiento. Descuento (D). Es la ganancia que se obtiene al cancelar o negociar una letra de cambio antes de la fecha de vencimiento.
Valor nominal (Vn) . Es aquella cantidad que figura en la letra de cambio, la cual se hace efectivo en la fecha de vencimiento.
111
CLASES DE DESCUENTO
Descuento comercial (Dc). Llamado también descuento externo o abusivo, es el interés que se genera por el valor nominal de la letra, sobre el tiempo que falta para el vencimiento de ella.
Descuento racional (Dr). Llamado también descuento interno o matemático, es el interés que se genera por el valor actual de letra, sobre el tiempo que falta para el vencimiento de ella.
Pero como: Var = Vny -operando: Dr, reemplazamos en las fórmulas anteriores
3. Dc - Dr = Va r - Va c 4.
COMPARACIONES ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL DESCUENTO RACIONAL 1. Dc > Dr 2. Var > Vac
112
5. Cambio de letras . Es el proceso que consiste en cambiar un grupo de letras por otro grupo de letras en la cual se cumple la suma de los valores actuales de las letras que se quieren cambiar, sea igual a la suma de los valores actuales de las letras que reemplazan. Vencimiento medio . Es un proceso netamente comercial que consiste en cambiar un grupo de letras por una sola de tal manera que el librador y el deudor no se perjudiquen; para lo cual la suma de los valores nominales de las letras a reemplazar es igual al valor nominal de la letra que la reemplaza. OBSERVACIONES : 1. Todas las letras son descontadas a la misma tasa. 2. El tiempo de vencimiento de la única letra se calcula mediante el cociente que resulta de dividir la sumatoria de los valores nominales multiplicados por sus respectivos tiempos de vencimiento entre el valor nominal de la única letra. Ejemplo : Hoy 6 de abril tenemos tres letras de S/. 200; S/. 300 y S/. 500 cuyos vencimientos son en 30; 50 y 70 días respectivamente. ¿Cuál seráa lalasfecha de vencimiento de una letra que reemplace tres anteriores y cuyo valor nominal sea de S/. 1 000?
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Una letra que vence dentro de 2 meses tien e un valor actual de S/. 40 000. Si la letra se descontará dentro de 15 días, el descuento sería de S/. 4 500. Hallar el valor nominal de la letra (en soles) A) 43 000 B) 44 000 C) 45 000 D)46 000 E) 47000
04. Determinar el valor efe ctivo de una letra de cambio de S/. 7 680 la cual vencía el 13 de setiembre y que fue cancelada el pasado 21 de junio, siendo la tasa del 6% A) S/. 7530,15 B) S/. 7548,30 C) S/. 7560,50 D) S/. 7572,48 E) S/. 7580,40
02. Los descuentos comercial y racional de u na letra son entre si como 21 a 20 ¿Qué porcentaje del valor nominal se recibe por ella con el descuento
05. Una letra de S/. 24 000 vence dentro de 4 meses 18 días y la tasa de descuento es de 48% ¿ Cuánto se pagará por la letra si se presenta al
racional? A) 92,20% D) 95,24%
B) 93,20% E) 96,10%
banco dentro de 63 ? A) 20 500 B) días 21 600 D)22 000 E)22 500
C) 94,30%
03. El valor actual de una letra es S/. 3 999; la suma del valor nominal y descuento es S/. 5 301. Si la tasa de descuento es 7% anual, hallar el tiempo de vencimiento. A) 1 año B) 2 años C) 3 años D)4 años E) 5años
C) 21 960
06. Una letra pagadera dentro de dos meses se va a descontar al 3%. ¿ Cuál es el valor nominal de dicha letra, sabiendo que la diferencia de los valores actuales bajo el descuento racional y comercial es de S/. 5 ? A) 100 000 B) 151 000 C) 197 000 D) 201 000 E) 215 000
113
07. De una letra de cambio se conoce : - El descuento matemático es el 60% del descuento comercial - La diferencia entre el valor nominal y el descuento comercial es igual a S/. 2 000. Hallar el valor nominal de dicha letra A) 5 000 D)6250
B) 5 500 E)6500
D) 10 meses
13. Un comerciante toma en traspaso una tienda por S/. 75 000 a pagar en dos plazos; la mitad a los 3 meses y la otra mitad a los dos meses siguientes; paga al contado, con un descuento comercial del 6% ¿Cuánto le ha costado el traspaso al comerciante? A) 72 000 B) 72 400 C) 73 200 D)73 500 E)74 600
C) 6 000
08. Cesar Richard compra un vi olín dando una cuota inicial de S/. 40 000 y por el resto firma una letra
14. Para comprar un a rtefacto, una casa comercial
de S/. 20 000 de 4inicial meses. el mismo violínpagadera se diera dentro una cuota de Si S/.por 26 000 y por el resto se firmará una letra pagadera dentro de 5 meses, ¿cuál será el valor nominal de dicha letra, si la tasa de descuento es 60% anual ? A) 35 000 D)38 000
B) 36 000 E) 40000
presenta de pago. Si lalos compra se realiza el 23 alternativas de agosto, considerando tiempos comerciales, hallar la tasa de descuento. Cuota inicial
C) 37 000
Primera Forma
09. Victor debe pagar una letra de S/. dentro de 3 meses; sin embargo, desea cambiarla por otra pagadera dentro de 5 meses. ¿Por cuánto se firmó esta letra (Vn), si dicho valor es entero y el mayor posible, y se descontó comercialmente al 12%? A) S/. 1 800 D) S/. 6 500
B) S/. 5 626 E) S/. 10 088
Segunda Forma
C) S/. 5 800
10. Se tiene 4 letras en las que el valor nominal de cada una de ellas es el 80% del valor nominal de la letra precedente. Si para sus vencimientos faltan 10; 15; 20 y 25 días respectivamente, ¿dentro de cuántos días será el vencimiento de una letra única que reemplaza a las 4 anteriores sin que nadie se perjudique? (aproximado) A) 15 D)18
B) 16 E)19
E) 1 año 2 meses
$ 400
$ 280
Fecha de vencimiento
Cuotas $ 200
3 de setiembre
$200
37896
$200
37927
$300
37896
$300
37957
$300
37654
$300
37713
A) 10% mensual B) 15% bimestral C) 30% anual D) 5% mensual E) 18% anual 15. Una deuda se puede pagar de 2 formas: con 3 letras de igual valor nominal que vencen cada mes o con 2 letras de igual valor nominal qu vencen cada 2 meses. Si con la primera forma se
C) 17
paga
menos de dinero que con la segunda
forma; hallar la tasa de descuento. 11. Amilcar firma una le tra de S/. 10 000 pagadera dentro de 18 meses, pero a los 10 meses la cancela. Se sabe que si la hubiera cancelado 2 meses antes, ahorraría S/. 2 420 más que si la pagaba 2 meses después. ¿Cuánto pagó por la letra? A) 4350
B) 4500
A) 30% D)40%
B) 7 meses
C) 38%
16. Dos letras son descontadas al 20% anual; la primera por 40 días y la segunda por 60 días, siendo el descuento total de S/.360. Si las letras se hubieran descontado 10 días más tarde, el
C) 4840
D)5160 E)5200 12. Una persona firma una letra por S/. 1 650 pagadera dentro de 1 año 6 meses, descontable al 10% bimestral. Si actualmente dispone sólo de S/. 495 que los deposita en una financiera al 30% trimestral; determinar dentro de cuánto tiempo como mínimo podrá liberarse de la deuda. A) 3 meses
B) 36% E)42%
descuento total habría disminuido en S/.70 ¿Cuál es el valor nominal de la primera letra? A) 5 400 D)5800
B) 5 600 E)6000
C) 5 700
17. Una persona que debe una suma de S/. 2 400 pagables dentro de 8 meses; se libera pagando S/. 756 al contado y suscribiendo dos letras, una de S/. 1 232 pagables en 5 meses y la
C) 8 meses
114
otra pagable en un año. Determinar el valor nominal de esta última (tasa del descuento 5%) A) S/. 342,30 D) S/. 376,49
B) S/. 350,50 C) S/. 365,40 E) S/. 380,50
18. La diferencia entre los descuentos comercial y racional calculados dos meses antes del vencimiento de una letra es S/.100. Si dicha letra se descuenta comercialmente 15 días antes del vencimiento y a la misma tasa, se recibe por ella el 97,5% de su valor nominal. Hallar el valor nominal. A) S/. 11 000 D) S/. 18 000
B) S/. 12 000 C) S/. 15 000 E) S/. 22 000
19. Donato se somete a una liposucción pagando una inicial del 40% y por el resto firma 5 letras de igual valor nominal pagaderas cada 2 meses; pero al cancelar la segunda letra, cancela también las tres que faltan, ahorrando así S/. 600 ¿Cuánto menos pagaría si cancela la operación al contado? A) 1 000 D)1300
B) 1 100 E)1500
C) 1 200
20. Se tienen “n” letras cuyos vencimientos son 1,2,3,....n meses, siendo sus valores nominales D.P. a sus tiempos de vencimiento. Se reemplaza dichas letras por una sola sin que ninguna de las partes se perjudique económicamente. Dicha letra única se debe cancelar 2 meses 10 dias antes del vencimiento de la última letra. Hallar “n” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
TAREA 01. En un pagaré el descuento comercial y el valor actual comercial están en la relación de 1 a 3. ¿ Qué porcentaje del valor nominal es el descuento interno? A) 20% B) 25% C) 30% D)35% E)40%
A) 3 030 D)3246
B) 3 222 E)3300
C) 3 236
04. Determinar al cabo de cuá nto tiempo con S /. 250 impuesto al 9% semestral se podrá pagar una letra de S/. 300 pagadera dentro de 2 años, descontable al 3% anual. A) 7 meses B) 8 mese 10 días C) 9 meses 15 días D) 10 meses 20
02. Se tiene una letra a la cual se le calcu lan los dos descuentos faltando 2 meses para su vencimiento. Si el menor valor es S/. 6 000 y el mayor descuento es el 4% actual del valor nominal, ¿a qué tasa anual se descontó? A) 12% B) 18% C) 20% D)24% E)25%
díasE) 1 año 05. Hallar el valor de una letra descontada al 40% que vence dentro de 70 días, si se sabe que la diferencia entre el descuento comercial y el racional es S/. 98. A) 15 420 B) 16 450 C) 16 840 D)17 460 E)18 440
03. Faltan 2 meses para el vencimiento de una letra y su valor actual es S/. 3 150. Si dentro de 15 días el descuento sería S/. 72, ¿cuál es el valor nominal de dicha letra?
115
06. La relación de los descuentos es de 3 a 4, faltando un año y cuatro meses para el vencimiento de su letra . Si dentro de un año el valor actual comercial es de S/. 1 320. hallar el valor nominal. A) 1 440 B) 1 764 C) 1 768 D)1820 E)1940 07. El descuento racional de una letra es de 70% del descuento comercial. El valor nominal es S/. 24 000. Si se presenta al banco para ser descontada racionalmente,¿cuánto se recibe por ella? A) S/. 19 16200 800 D) S/.
B)S/. S/.22 17320 400 C) S/. 18 600 E)
08. Hallar el valor nominal de una let ra sabiendo que e descuento racional es 75% del descuento comercial y que la suma del valor actual racional y el valor actual comercial es S/. 1 887. A) 1 240 B) 1 332 C) 1 358 D)1364 E)1396 09. Cuatro letras de S/. 1 700 cada una vencen dentro de 2; 3; 4; 7 meses, y deben ser cambiadas por tres letras de igual valor nominal y que vencen dentro de 5; 6 y 7 meses. ¿Cuál es el valor de cada una de las letras, si son descontadas al 30% comercialmente ? A) 2 400 B) 3 600 C) 4 260 D)4800 E)4900 10. Se tienen 4 letras de 5 000 ; 15 000 , 35 000 y 45 000 soles que vencen el 28 de marzo, 2 de mayo, 21 de junio y 26 de julio respectivamente. Se desea reemplazar estas letras por una sola. ¿En qué día se pagaría esta letra? A) 30 de mayo B) 25 de junio C) 30 de junio D) 5 de julio E) 6 de julio
MEZCLA - ALEACIÓN P1 ; P2 ; P3 ; ...........; Pn
MEZCLA Se llama mezcla a la unión de varias sustancias, conservando cada una de ellas su propia naturaleza. REGLA DE MEZCLA: A) Directa : Permite obtener el precio medio (P m), conocidas las cantidades que intervienen de cada uno de los componentes y sus respectivos precios unitarios.
B) Inversa : Cuando se trata de conocer la relación en que intervienen los componentes, conociendo los precios unitarios y el precio medio.
Sean las cantidades de los componentes : C1 ; C2 ; C3 ; ...........; Cn siendo además sus respectivos precios unitarios :
116
ALEACIÓN Es una mezcla que se realiza fundiendo dos o más metales. Generalmente las aleaciones se realizan entre un metal fino (de mayor valor) con otro que se considera como ordinario.
Siendo : W x y W y los pesos de los componentes y Px y Py sus respectivos precios unitarios (Px > Pm > Py)
LEY DE ALEACIÓN (L) Es la razón entre el peso del metal fino puro y el peso total de la aleación.
MEZCLA ALCOHÓLICA Viene a ser aquella cuyos componentes son el alcohol y el agua.
0L1
Grado de una mezcla alcohólica (G) : Indica la razón que existe entre el volumen de alcohol puro y el volumen de la mezcla .
Para el caso en que el metal fino sea el oro :
El grado G se expresa generalmente como un tanto por ciento
Siendo “K” el número de kilates
Grado medio (G m) : Sean los volúmenes de los componentes : V1 ; V2 ; V3 ; ........... ; Vn
LEY MEDIA (L m) : Sean los pesos de los metales :
cuyos grados respectivamente son : G1 ; G 2 ; G 3 ; ........... ; G n
y sus respectivas leyes : L1 ; L2 ; L3 ; ........... ; L n
W 1 ; W 2 ; W 3 ; ........... ; W n
En este caso se considera que en cada componente, el metal fino es el mismo.
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Waldir desea obtener 120 toneladas de carbón con el 7% de humedad, mezclando dos clases distintas de carbón que tienen respectivamente el 10% y el 6% de humedad. ¿Qué cantidad de carbón habrá que tener de cada clase?. Dar como respuesta la diferencia (en toneladas) A) 30 B) 40 C) 45 D)60 E)80
aumentarse a la mezcla para que el precio medio sea S/. 3,7? A) 20 kg B) 30 kg C) 40 kg D)48kg E)50kg 03. Se mezclan 3 productos, cuyos precios son 40; 60 y 80 soles por cada kg. Determinar cuántos kg del de mejor calidad interviene, sabiendo que en total habrá 180 kg y que del primero tiene 4 veces lo del segundo y además el precio medio es S/. 70. A) 24 B) 69 C) 96 D)98 E)130
02. Se ha mezclado 20 kg de arroz extra con 30 kg de arroz a granel cuyos costos por kg son S/. 4 y S/. 2,40 respectivamente. ¿Qué cantidad de arroz superior que cuesta S/. 4,8 el kg deberá
117
04. Carlota desea preparar rosquillas para lo cual mezcla dos calidades de harina una de S/. 0,45 el kg y la otra de S/. 0,40 el kg en la relación de 3 a 2, obteniendo una harina tal que 100 kg producen 132 kg de rosquillas. Determinar el costo de harina para elaborar 330 kg de rosquillas. A) S/. 102 B) S/. 103,75 C) S/. 106 D) S/. 107,50 E) S/. 108,30
oro con 50 g de cobre. Determinar los pesos que deben considerarse de cada lingote para tener 100 g de una aleación cuya ley sea 0,775. Dar como respuesta la diferencia de dichos pesos. A) 30 g B) 40 g C) 45 g D)50g E)60g 12. Se tiene 3 lingotes de oro y cobre. E l primero contiene 170 g de oro y 30 g de cobre; el segundo tiene 200 g de oro y 50 g de cobre, y el tercero 300 g de oro y 100 g de cobre. Se quiere obtener 100 g de un lingote de oro y cobre de ley 0,82 de
05. El Sr. Albino compra 2 calid ades de vino en botellas de la misma capacidad. El primero cuesta S/. 18 la botella y el segundo S/. 14 la botella. n en ladel razón de 3 botellas del primero Se pormezcla cada botella segundo, y la mezcla la vende a S/. 18,70 la botella. ¿Qué porcentaje del costo ganó? A) 8% B) 10% C) 12% D)15% E)17%
tal manera que del segundo lingote entre los de lo que entra del tercero. ¿Cuánto entrará del primero? A) 50 g B) 52 g C) 54 g D)56g E)60g 13. Una aleación de oro y estaño es de 18 kilates y se funde con otra aleación de oro y cobre de 21 kilates. Si al fundir en un crisol artesanal las mermas son del 15% del peso, ¿cuántos gramos de la primera aleación son necesarios para obtener 306 gramos y de 20 kilates? A) 80 B) 102 C) 105 D)108 E)120
06. Se tiene un recipiente de “n” litros de capacidad en el cual se mezclan chuchuwasi y vichaycoto en la relación de 2 a 3. Cuando se retira 10 litros de la mezcla, se observa que queda en el recipiente 3,6 litros de chuchuwasi. Hallar “n” A) 16 B) 17 C) 19 D)20 E)21 07. Se tiene 2 mezclas alcohólicas de 40% y 70%. De la primera se toma la cuarta parte y se mezcla con los 2/5 de la segunda, obteniéndose alcohol de 60%. ¿Cuál será el grado del alcohol que
14. Se funden 20 g de una aleación donde el peso de plata representa el 20% del total, con 10 g de una aleación en la cual su liga es a su ley com 3 es a 2. Hallar el precio por gramo de la nueva aleación, si el gramo de plata pura cuesta 6 dólares y el gramo de ley 0,5 cuesta 4 dólares. A) 1,6 B) 3,06 C) 3,28 D)3,4 E)6,8
resulta contenidos restantes? A) 48%de mezclarB)los 52% C) 55% D)58% E)62% 08. Se mezcla alcohol de 48%, alcohol de 80% y agua en la relación de 5; 3 y n. Hallar n si la mezcla es del mismo grado que uno de los componentes. A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7
15. Jesús desea regalarle a Paola una pulsera de oro. Manda fundir 3 lingotes de oro y cobre del mismo peso, el primero de los cuales tiene una ley de 0,800 y los otros dos si fuesen fundidos por separado se obtendrá oro de 18 kilates. No estando contento con la calidad del material ordena al joyero le aumenta 20 g de oro puro, con lo cual la pulsera tiene solamente 14% de cobre. ¿Cuánto pesa la pulsera? A) 45 g B) 48 g C) 50 g D)54g E)60g
09. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 40 litros al 80% de alcohol y otra de 60 litros al 75%. Se intercambian x litros de tal forma que cada una contiene y% de alcohol. Calcular: x + y A) 100 B) 101 C) 102 D)103 E)104
16. El Sr. Oporto tie ne 4 recipientes de alcohol de 40%; 60%, 80% y 50%. A cada uno se le agrega 20; 10; 30 y 40 litros respectivamente de alcohol puro, obteniendo que cada recipiente contiene el mismo volumen. Finalmente mezcla estos nuevos alcoholes para obtener un alcohol de 78,5%. Hallar el volumen inicial en litros del alcohol de 80%. A) 10 B) 20 C) 25 D)30 E)40
10. Se tiene 3 toneles llenos de alcohol cuya capacidad es de 88 litros cada uno, conteniendo alcoholes purezas son 10%;que 15%están y 30%. Se extrae cuyas de cada uno volúmenes en la relación de 6; 4 y 5, se mezclan y luego dicha mezcla se agrega a lo que quedaba en el primer tonel, obteniendo alcohol de 16%. ¿Cuántos litros quedó en el segundo tonel? A) 32 B) 40 C) 48 D)56 E)78
17. Don Borgoño tiene x litros de vino de S/. 5 el litro , le añade 40 litros de S/. 4 el litro, luego de la mezcla resultante extrae 20 litros que reemplaza
11. Se tienen 2 lingotes: el primero contien e 210 g de oro con 90 g de cobre y el segundo 200 g de
118
por 20 litros de vino de S/. 3,6 el litro y obtiene una nueva mezcla de S/. 4,4 el litro. Hallar x. A) 40 B) 48 C) 60 D)68 E)80 18. Luchelín prepara un licor casero con un sistema de 2 reservorios que contiene alcoholes de 49% y 64%, los cuales pueden vertir su contenido a un recipiente a través de 2 grifos: el primero 2 litros la primera hora y cada hora siguiente vierte 4 litros más que en la hora anterior. El segundo grifo 1 litro la primera hora y cada hora siguiente el doblegrifos de lo se queabren vertiósimultáneamente, en la hora anterior. Si ambos ¿después de cuántas horas la mezcla será de 56%? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 19. Determinar el peso en gramos de una mone da de aleación de plata y cobre que se tomó como modelo para la fabricación de otras 109, semejantes en ley y peso a partir de una aleación que a su vez se obtuvo fundiendo 3 lingotes de plata y cobre cuyas ligas fueron 0,080; 0,160 y 0,250, si además los pesos de dichos lingotes son I.P a sus leyes y que el tercero pesa 119 g más que el primero. A) 12 B) 15 C) 16 D)18 E)19 20. Se tienen dos aleaciones de plata y cobre con leyes L1 y L2 (L1 > L2), cuyos pesos son 50 y 80 gramos respectivamente. Si se fundieron pesos iguales de ambas aleaciones, se obtendría otra de ley 0,75 y si se fundieron cantidades de ambas aleaciones que tengan el mismo peso de cobre se obtendría otra de ley 0,76. ¿Cuántos gramos de plata pura podemos obtener de ambas aleaciones? A) 78 B) 86 C) 90 D)96 E)108
TAREA 01. Víctor compra 9 litros de leche adulterada que pesan 9 210 g. El litro de leche pura pesa 1 030 g; ¿cuántos litros de agua contiene? A) 1,5 B) 2 C) 3 D)3,5 E)4
conteniendo 40% de agua y 60% de alcohol sabiendo que un litro de agua pesa 1 kg y un litro de mezcla de 75% pesa 960 gramos. A) 956 B) 960 C) 968 D)988 E)1008
02. Georg tiene una botella 0% y para obtener alcohol de con 54%alcohol mezcladeel4contenido con el 25% del contenido de la botella de Sadam. Si las botellas de Georg y Sadam tienen volúmenes en relación de 3 a 8 respectivamente. Hallar el grado de pureza de la botella de Sadam. A) 60% B) 65% C) 70% D)75% E)80%
04. Se tienen 2 tipos en de la frejol con los e se hacen tipos de mezcla; primera se qu mezclan en la2 relación de 2 a 3 y se vende con una ganancia del 8%; en la segunda se mezclan en la relación de 3 a 2 y se vende con una ganancia del 12%. Si el precio de venta en ambos casos es el mismo, ¿en qué relación están los precios de costo de los 2 tipos de frejol? A) 3/2 B) 4/3 C) 3/1 D)5/4 E)6/5
03. Hallar el peso en gramos de un litro de mezcla
119
05. Se mezclan n sustancias cuyos pesos son 2 kg; 4 kg; 6 kg; ........... y además sus respectivos precios unitarios son números enteros consecutivos y decrecientes hasta el mínimo posible. Hallar el precio medio. A)
B)
D)
E)
06. Se necesitan 10 kg de oro cuya le y sea 0,925 y se dispone de 3 lingotes de 2 kg cada uno y cuyas leyes son 0,950; 0,900 y 0,875. ¿Cuántos kg más se debe agregar del lingote de 0,950 para obtener lo que se necesita? A) 2,5 B) 3 C) 3,5 D)4 E)4,5
C)
07. Se tienen 2 metales cuyas densidades son A y B, con los cuales se hacen 3 aleaciones: En la primera el volumen del primer metal es 20% del segundo. En segunda el volumen del primer metal es 50%ladel segundo. En la tercera los volúmenes son iguales. Si la densidad de la tercera aleación es 15 y la diferencia de las densidades de las 2 primeras es 1; hallar A2 + B2. A) 162 B) 256 C) 348 D)200 E)468
08. Los pesos de 3 lingotes de oro son proporcionales a los números 5; 7 y 9 siendo sus leyes respectivas 0,81; 0,75 y 0,69. Hallar el peso de oro puro en el tercer lingote, si se sabe que el peso de oro del segundo excede en 36 g al peso de oro del primer lingote. A) 175,6 g B) 182,7 g C) 186,3 g D) 191,5 g E) 192,6 g 09. En una taller de orfebrería se funden 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, aumentando la ley de dicha aleación en 0,02. Luego la mitad de esta última aleación se funde con x gramos de una aleación de ley 0,910, obteniéndose una aleación final de ley 0,850. Hallar x A) 125 B) 175 C) 225 D)185 E)215 10. Se tiene 3 lingotes de oro de 14; 18 y 20 kilates, se funden los tres resultando una aleación de 2 kg de 18,2 kilates. Se sabe que por cada 3 g del segundo se utilizó 5 g del tercero. ¿Cuántos gramos se utilizó del primero? A) 300 B) 350 C) 400 D)450 E)500
ANÁLISIS COMBINATORIO Es parte de la matemática que estudia los diversos
evento “B” puede efectuarse de (m.n) maneras.
arreglos o selecciones quedado. podemos hacer con elementos de un conjunto
b) Principio de Adición Si un evento “A” puede hacerse de “m” maneras y otro evento “B” puede hacerse de “n” maneras, además, no es posible de que ambos eventos se hagan juntos, entonces el evento A o el evento B se harán de (m + n) maneras.
I. PRINCIPIOS FUNDAME NTALES a) Prin cipio de Multipl icación Si un evento “A” puede realizarse de m maneras y después de efectuado dicho evento un segundo evento “B” puede realizarse de n maneras diferentes, entonces el evento “A” seguido del
II. PERMU TACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos
120
de un conjunto donde debe considerarse el orden. a) El número de ordenamientos de n elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r está dado por:
III. COMBINACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto en los que no se toma en cuenta el orden. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto tomados de r en r donde 0 r n está dado:
0rn
b) El número de permutaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos, dispuestos en forma circular está dada por:
c) El número de permutaciones de n elementos tomados de n en n; NO TODOS DISTINTOS, donde hay r1 elementos iguales entre sí; r 2 elementos iguales entre sí y así sucesivamente hasta rk elementos iguales entre sí está dado por:
donde: r1 + r2 + r3 + .............. + r k = n
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Eva María tiene 2 pares de zapatos diferentes, 3 pantalones diferentes y 4 blusas también diferentes. ¿Cuántos días como mínimo deberá repetir su forma de vestir durante el mes de noviembre? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
D)69
E)72
05. Se tienen 3 obras: la primera ob ra consta de 3 tomos, la segunda de 4 tomos y la tercera de 1 tomo. Se quiere colocarlas en una misma fila de un estante, de tal manera que los libros de la misma obra se coloquen junto. ¿De cuántas formas pueden ubicarse? A) 144 B) 288 C) 432 D)720 E)864
02. Se tienen 6 parejas de casados los cuales asistieron a una reunión social. ¿De cuántas maneras puede formarse una pareja de baile, tal que no sean esposos? A) 45 B) 30 C) 55 D)58 E)60
06. El grupo Agua Bella está formado por 3 constantes, 5 músicos y 2 bailarinas. Para salir al escenario deben hacerlo en fila, debiendo estar las bailarinas a los extremos y las cantantes no deben estar al lado de la bailarinas. ¿De cuántas formas diferentes pueden salir al escenario?
03. Para ir del local de Wilson al de San Felipe se tiene 4 líneas de combi, 6 líneas de coaster y 5 líneas de realizar microbús. ¿Derecorrido cuántas en formas distintas se puede dicho alguna de estas líneas? A) 13 B) 15 C) 16 D)17 E)18
A) 30 1 200 D) 000
120 E)B)345300
C) 28 800
07. ¿De cuántas maneras se pue den escoger en el tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, que no estén en la misma horizontal ni vertical? A) 594 B) 636 C) 640 D)768 E)942
04. Si Maribel tiene 5 faldas que combinan con 3 blusas y también 9 pantalones que hacen juego con 6 polos diferentes. ¿De cuántas maneras distintas podrá vestirse? A) 50 B) 62 C) 65
08. Determinar de cuántas formas se pued e permutar las letras de la palabra MARACANA, de modo
121
que las cuatro A no vayan juntas. A) 1 020 D)1640
B) 1 280 E)1810
16. En el plano de una ciudad las calles vertic ales están numeradas como 1; 2; 3; 4; .......... que son paralelas y como A; B; C; D; ......... las que figuran como horizontales que también son paralelas. Calcular el número de caminos con distancias mínimas que hay entre la intersección de 2 con A y 5 con D. A) 10 B) 15 C) 20 D)30 E)40
C) 1 560
09. Determinar de cuánta s formas pueden sentarse 6 varones y 6 mujeres alrededor de una mesa redonda de ta modo que al lado de un varón esté una mujer. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 15 B) 16 C) 17 D)18 E)19
17. Si la ecuación: x + y + z + w = 23 +
La resolviéramos Z , el cardinal de su conjunto solución en sería: A) 1 300 B) 1 480 C) 1 500 D)1520 E)1540
10. Alrededor de una mesa circular se va n a sentar 6 personas, si dos de ellas deben sentarse juntas y otras dos no pueden sentarse juntas, ¿de cuántas maneras pueden sentarse dichas personas? A) 24 B) 112 C) 120 D)180 E)216
18. Un ingeniero civil tiene 6 diseños de casas. En una avenida determinada se ubicarán 4 casas. Si un agente municipal no permite casas similares en una misma avenida, ¿de cuántas maneras diferentes puede el ingeniero utilizar sus diseños según la disposición del agente? A) 60 B) 120 C) 180 D)360 E)720
11. De un grupo de 12 estudiantes, se quiere seleccionar a 4 de ellos. ¿De cuántas formas se puede seleccionarlos si dos de ellos en particular no pueden escogerse juntos? A) 380 B) 400 C) 420 D)450 E)460 12. De un grupo de 5 hombres y 4 mujeres; determinar cuántos grupos se pueden formar, si en estos grupos hay al menos 2 hombres y 2 mujeres. A) 138 B) 143 C) 286 D)420 E)826 13. Un estudiante debe inscribirse en 2 cursos electivos de un conjunto de 10 posibles. Si dos de dichos cursos se imparten a la misma hora y los demás tienen horarios que no se cruzan; determinar de cuántas formas puede realizar su elección. A) 10 B) 44 C) 18 D)20 E)24 14. En una empresa se quieren contratar 3 personas para cubrir las vacantes A; B y C y se observó que 8 personas se presentan para cualquiera de las 3 vacantes, 5 personas sólo se presentan para la vacante A y 3 personas sólo para la vacante B. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir las vacantes? A) 120 B) 280 C) 400 D)504 E)904 15. Se tiene 5 bolas diferentes y 5 cajas de igual apariencia. ¿De cuántas formas puede ubicarse las bolas en las cajas de tal modo que resulte una caja vacía? A) 980 B) 1 200 C) 1 350 D)1420 E)1500 19. En un circo se desea formar una columna compuesta por 5 bailarinas y 4 malabaristas. Un
malabarista no puede ir detrás de otro. ¿De cuántas maneras puede formarse dicha
122
columna? A) 39 600 D)43 200
B) 40 800 E) 45600
C) 41 400
20. Un barman tiene 4 licores: whisky, brandy, vodka y cañazo. ¿De cuántas maneras se pueden servir 7 tragos? (Pueden ser puros o mezclados). A) 120 B) 150 C) 174 D)180 E)210
TAREA 01. De 6 varones y 5 chicas se de sea seleccionar un comité de 4 personas. ¿De cuántas formas podrá hacerse dicha selección, si deben integrarlo al menos 2 chicas? A) 80 B) 120 C) 180 D)210 E)215
07. Se dispone de los factores 5; 7; 11 y 13. ¿Cuántos productos diferentes de 3 factores se pueden obtener, sabiendo que cada uno de ellos se puede repetir sin límites de veces? A) 10 D)25
02. Determinar de cuánta s maneras diferentes podrán viajar 7 personas en un automóvil de 5 asientos y una moto, sabiendo que todos saben manejar moto, pero sólo 3 de ellos saben manejar automóvil. A) 720 B) 840 C) 1 400 D)2160 E)3000
C) 20
08. Se tiene un pentágono regular en cuyos vértices se tienen 3 focos (rojo, azul y verde) y sólo se enciende un foco. ¿Cuántas señales diferentes se pueden observar si se encienden al menos 2 vértices? A) 1 008 D)3421
03. Determinar de cuánta s formas se pueden repartir 5 manzanas naranjas entre 3 niños, de modoy que cada niñoy 5reciba por lo menos una naranja una manzana. A) 32 B) 33 C) 34 D)35 E)36
B) 1 220 E)4252
C) 1 324
09. Dos parejas de esposos ingresan a una dulcería donde se ofrecen 7 clases de dulces. Si luego de comprar cada persona un dulce, se ubican en una banca de 4 asientos. ¿De cuántas maneras se podrán formar fotos distintas (teniendo en cuenta la posición y el dulce que consumen), si los esposos van juntos. A) 280 B) 560 C) 720 D)1420 E)19208
04. Paola va a una discotienda y gasta $ 18 en comprar Cds de ópera (a $ 6 cada uno) y de technocumbia (a $ 3 cada uno). Determinar de cuántas maneras diferentes puede haber elegido su compra, si la discotienda tiene 5 Cds de cada género y son de diferentes autores. A) 20 B) 100 C) 125 D)150 E)200
10. En una tienda de juguetes el vendedor debe exhibir 5 osos y 3 perros de peluche (todos distintos) en una repisa de 8 espacios. ¿De cuántos modos podrá ubicar los juguetes, sabiendo que los perros no deben ubicarse juntos? A) 12 800 B) 14 400 C) 16 200 D)18 400 E)20 500
05. En una tienda de mascotas hay 6 perros y 4 gatos. ¿Cuántas elecciones diferentes se obtendría de tal forma que entre las escogidas haya por lo menos una de cada especie? A) 430 B) 465 C) 470 D)482
B) 15 E)40
E)496
06. Karín quiere visitar 5 lugares dife rentes desde el día lunes hasta el domingo, visitando un lugar cada día y descansando dos de estos días que no sean seguidos. ¿De cuántas maneras diferentes puede distribuir sus visitas con sus descansos, si ella no quiere descansar lunes ni domingo? A) 24 B) 30 C) 120 D)720 E)5040
123
ESTADÍSTICA DEFINICIÓN
Definimos :
Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones razonables
A. Frecuencia Ab soluta Simple ( f i) : o simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor xi Se cumple :
CLASIFICACIÓN A. Estadíst ica Descrip tiv a : Se encarga de describir en forma clara y adecuada los datos que se manejan
= n ; 0 fi n; f i Z B. Frecuencia R elativa Simp le (h i) : es la razón que existe entre la frecuencia absoluta simple y el tamaño de la muestra
B. Estadíst ica Inferencial : Nos proporciona un conjunto de métodos con el fin de extraer conclusiones que van más allá de la descripción de los datos lo cual servirá para una correcta tomar de decisiones y hacer estimaciones
hi =
POBLACIÓN Y MUESTRA
; 0 hi 1
Se cumple :
Población.- es un conjunto de individuos, objetos u observaciones que poseen al menos una característica común.
=1
Muestra.- es una parte o subconjunto representativo de la población
C. Frecuencia Absoluta Acumulada (F i) Es la acumulación sucesiva de las frecuencias absolutas simples, o sea :
VARIABLE ESTADÍSTICA Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en :
Fi = f1 + f2+ .... + f i
A. Cualitativa : Son variables cuyos valores son cualidades que presenta la población. Por ejemplo, la variable “profesión” puede adoptar las modalidades: ingeniero, abogado, médico, etc
También : Fi = Fi-1 + fi
B. Cuanti tati va : Resulta cuando se puede establecer cuanto o en qué cantidad posee una determinada característica. Pueden ser:
D. Frecuencia Rel ativa Ac umula da (H i) Es la acumulación sucesiva de las frecuencias relativas, o sea :
* Discreta : Resulta del procedimiento de conteo, es decir toman valores enteros. Ejemplo : número de hijos por familia; número de estudiantes; etc.
Hi = h1 + h2+ .... + h i
* Conti nuas : Teóricamente puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Por ejemplo : peso, talla, etc
Además : Hi = H i - 1 + hi
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Consideremos una muestra de tamaño “n” (número de elementos de la muestra) y la variable estadística x que toma k valores diferentes: x1; x2; ........; xk
Nota : Las frecuencias relativas también se pueden
124
expresar en forma porcentual
xi = número de hijos por familia Representación Gráfica Diagrama de bastones
ORGANIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE DATOS (Tablas de frecuencias y sus representaciones gráficas) A. Para v aria bles c ualit ativ as fi
hi %
Abogados
Ocupación
12
0,24 24%
Ingenieros
18
0,36 36%
Médicos
5
0,10 10%
Economistas
15
0,30 30%
C. Para variable cuantitativa continua Ejemplo : A continuación se muestra el peso de 20 personas, en kg :
Total : 50 Su representación gráfica puede ser :
62,5; 70,4; 65; 50; 62,75; 90,5; 87; 60,45; 83; - Diagrama de Barras separadas
69,8; 56,75; 69,2; 74,8; 75,6; 63,4; 55,28; 64,8; 78,2; 96,2; 88 En este caso es conveniente agrupar los datos por intervalos. Para tal efecto definimos: Intervalos de clase (Ii) : Puede ser de la forma: [Li - L s[ o [L i - Ls[ Li : límite inferior Ls : límite superior
- Diagrama circular
Marca de clase (x i)
B. Para var iable cu antit ativ a discre ta Ejemplo : En una aldea de la selva se preguntó a un grupo de 80 familias sobre el número de hijos que tenían. El resultado se muestra en la siguiente tabla. xi
fi
hi
Fi
Hi
0
13
0.1625
13
0.1625
1
22
0.275
35
0.4375
2
25
0.3125
60
Amplitud o ancho de clase (a i) ai = L s - L i Rango : R=
-
0.75
3
15
0.1875
75
0.9375
4
5
0.063
80
1
Así, en el ejemplo agrupándolos en intervalos de amplitud constante igual a 10, obtenemos :
125
Ii
xi
fi
hi
Fi
Hi
[50-60[
55
3
0.15
3
0.2
[60-70[
65
8
0.4
11
0.6
[70-80[
75
4
0.2
15
0.8
[80-90[
85
3
0.15
18
0.9
[90100[
95
2
0.1
20
1
Representación gráfica - Histograma y polígono de frecuencias
-
Ojiva frecuencial “Menor que”
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El siguiente diagrama mues tra las preferencias de 500 hinchas con respecto a 4 equipos: Alianza Lima (A.L.), Universitario (U), Sporting Cristal (S.C.) y Deportivo Wanka (D.W.). Calcular la diferencia entre los hinchas del D.W. y del S.C.
A) 65 D)80
126
B) 70 E)85
C) 75
02. El siguiente gráfico (corona) corresponde a la población de 15 a más años por nivel de instrucción en una comunidad del Perú los años 1982 y 2002. Los sectores sombreados representan a quienes tienen algún nivel de instrucción. Estimar la diferencia de cantidades de analfabetos de ambos años, si en 1982 dicha población era de 3 500 y en los siguientes 20 años aumentó en un 80%.
[10; >
k 60 4k
[
; 50]
A) 130 D)160
B) 140 E)170
C) 150
06. Se tiene una distribución simétrica de 5 in tervalos de clase (con ancho de clase común) donde el alcance es [22; 82]. Además se conoce: F5 = 40; h 4 = 2h1 = 3h3 calcular: A) 120 D)248
B) 145 E)294
C) 206
03. Se desea hacer la distribución de todos los valores de menos de 4 cifras generados por la función: F(x) = 2x - 1; Domf = Z+. Determinar cuántos intervalos sería recomendable utilizar para tal distribución según la regla de Sturges. (log2 = 0,3). A) 7
B) 8
x3 + f2 + H4 B) 63,80 E)66,66
A) 62,56 D)65,72
C) 64,85
07. Se tiene el siguiente cuadro de una distribución simétrica con ancho de clase común. Calcular:
Ii
C) 9
fi
xifi 2
D)10 E)11 04. A partir del sigu iente polígono de frecuencias, calcular: h 1 + h3 + h5
[4; 8>
k1 k 2k 90
A) 326 D)392
A) 0,48 D)0,62
B) 0,50 E)0,74
B) 362 E)398
C) 380
08. A 60 estudiantes se aplicó un examen de matemática y se anotó el tiempo en minutos que demoró cada uno en contestar el examen. Los tiempos se ordenaron en una tabla de frecuencias con ancho de clase común. Hallar el número de estudiantes que terminaron en más de hora y media.
C) 0,56
Tiempo (minutos )
05. Se tiene la siguientes distribución con ancho de clase común. Completar el cuadro y señalar cuántos tiene edad menor a 40 años, si se cumple que:
xi
fi
Fi
75
% hi 10
14 95 Edades
fi
Fi
52
127
20
A) 25 D)40
B) 30 E)45
C) 35
D)43,5
13. En el siguiente cuadro, el ancho de clase es común. Calcular: a - c + b + m - k
09. En una distribución de frecuencias con 5 intervalos de clase con ancho común, se conoce que: x2 = 17; x5 = 41 y H5 = 20 h1 Determinar qué porcentaje del total de datos se encuentran comprendidos en [13; 37>, si la distribución es simétrica. A) 60% B) 70% C) 80% D) 90% E) 95%
Ii
fi
[;>
[ A) 15 D)18
a
A) 25 D)55
2k
B) 40 E)60
C) 45
B) 908 E)1890
k
m
3b 2a
36
; >
c a+ b B) 16 E)19
a
2m + b C) 17
D) 5 E) 6 15. En el histograma adjunto, e l ancho de clase es común y además el área sombreada es el área encerrado por el polígono de frecuencias como 11 es a 17. Determinar cuántos datos caen en el intervalo [12; 17>
11. Al elaborar una tabla de distribución de frecuencias con 7 intervalos de clase, se observa que hi es inversamente proporcional a i. Hallar F 7; si: f 3 - f 6 = 70 A) 809 D)1089
Fi
14. En una distribución de frecuencias se tienen 5 intervalos con ancho de clase común y las frecuencias absolutas de cada clase están señalados por los valores de los 5 primeros números primos, tal que: f1 < f2 < f3; f4 + h4 = p,25 y f1 + f2 + f=3 . Calcular: f 1 - f 2 + f3 f4 + f 5 A) 2 B) 3 C) 4
0 3k
[ ; 5k>
b
[12; >
Hi
fi
k [ ; a>
[k; >
[13; >
xi
>; [
10. La siguiente tabla muestra distribución simétrica con ancho de clase común. Determinar cuántos datos aparecen en el intervalo [9; 17> Ii
E)43,8
C) 980
12. Los datos de una muestra de tamaño igual a 100 se distribuyen con un ancho de clase común. Las frecuencias absolutas son números primos tales que: d < a < c < b, y además: a + c + 1 = b + d. Calcular: x1 + h2 + h3 + f4 + H5 Ii [a; >
fi
hi
a A) 11 D)14
23 b
A) 41,8
d
B) 42,2
C) 13
16. Durante el ciclo de verano, Paola registró todos los días la cantidad de problemas que resolvía diariamente, siendo lo mínimo y máximo 20 y 40 problemas respectivamente. Decide hacer una distribución con los datos que cuenta, de tal forma que se tenga 5 intervalos con ancho de clase común y además se cumple: F 1 = 6 y F i = i2
c [ ; b>
B) 12 E)15
C) 42,6
128
+ Fi-1, si i 2. Determinar cuántos días resolvió entre 25 y 35 problemas por día. A) 20 B) 23 C) 22 D)24 E)26
A1 + A2 + A3 =
17. En la siguiente tabla se tiene la distribución de una muestra con tamaño n y cuyas marcas de clase son enteras. Calcular: a + k + f1 + f3 + n Ii
xi
[2; >
fi
hi
5
125
k
[ ; >
8
[a; > [ ; > A) 60 D)74
k2 B) 66 E)80
375 C) 70
18. Una muestra de tamaño n, tiene una distribución simétrica con (a.b) intervalos de clase con ancho común y cuyo alcance es [ ; 90]. Si la descomposición canónica de n es ac.b; determinar cuántos datos se encuentran en el intervalo [62; 83>, si además: f 1 = ; f2 = ; f 3 = y x = 75. A) 87 4 B) 92 C) 100 D)104 E)112 19. Se desea estimar el peso prome dio de los 2 700 alumnos del colegio Pitágoras, para lo cual se eligió una muestra de 54 alumnos. Los pesos obtenidos se clasificaron en 5 intervalos con ancho de clase común, determinándose su respectiva ojiva cuya gráfica corresponde al de la función:
Fi(x) =
Estimar el número de alumnos de todo el colegio cuyos pesos están entre 52 y 66 kg A) 350 D)600
B) 420 E)750
C) 500
20. En el histograma adjun to se tiene “k” intervalos que determinan rectángulos cuyas áreas son: A1; A2; A3; .........; Ak. Sabiendo que: A1 . A2 + 24 = 4A 3, y
129
[A4 + A5 + ... + A k; w Z+
A partir del polígono de frecuencias se obtiene la curva suave que se muestra en el gráfico. Hallar el valor aproximado del área encerrada bajo dicha curva.
A) 132 D)156
B) 148 E)160
C) 150
TAREA 01. Se muestra un gráfico acerca de la aprobación de la gestión presidencial. Se sabe que: h2 = 5h3; f1 - f 2 = 80; f 1 - f 3 = 160 Si el tamaño de la muestra es n y el x% aprueban
integrantes que tienen 40 familias. Determinar el número de familias que tienen menos de 12 integrantes. Ii <0; 3>
al presidente; calcular: n + x + 60 h 3
[3;6>
fi 7
Fi
hi . 100%
12
[6; 9>
40%
[9;12>
17,5%
[12; 15] A) 28 D)36
A) 318 D)350
B) 322 E)364
B) 8 E)11
C) 35
04. Se tiene la distribución de los salario s en dólares de un grupo de 200 empleados. ¿Cuántos empleados ganan entre 425 y 610 dólares?
C) 336
02. Se tiene una distribución de frecuencias con 7 intervalos de clase con ancho común w. Hallar w si se sabe además que: x4 = 27,5 y I 6 = [ ; 50> A) 7 D)10
B) 32 E)37
Salarios
hi
[400; 450>
k/3
Hi
2
C) 9
2k k
03. La tabla muestra la distribución del número de
130
9
[600; 650> Tiempo (min) A) 170 D)177
B) 172 E)180
C) 175
05. Dada la siguiente distribución de frecuencias según el número de meses que han estudiado 140 personas en un instituto. Se sabe que el
M eses
xi
[ ; >
18
>; [
A) 36 D)45
;
A) 18 D)48
0 > B) 39 E)48
C) 42
06. El gráfico muestra la ojiva de una distribución en la cual la cantidad de datos menores a 26 representan el 12% del total. ¿Qué porcentaje del total representa el número de datos comprendidos en [26; 40>?
A) 67% D)88%
B) 76% E)90%
[18; 24>
a+ 1
[24;30>
b
[42;48>
fi
0
[28; >
a
[36;42>
0
[;>
[
fi
[12;18>
[30; 36>
35% de Si estas personas ha estudiado más de 28 meses. el ancho de clase es común, ¿cuántos han estudiado menos de 2 años?
C) 80%
07. Se clasifican los tiempos que emplean un grupo de trabajadores para elaborar un producto. Si se conoce que: a + c = b + 3, ¿cuántos trabajadores demoran de 15 a 45 minutos?
131
B) 27 E)28
Fi
fi
b+ 2 c c-3
5b C) 21
08. Dada la siguiente tabla de frecuencias cuya distribución es simétrica. Determinar la cantidad de datos que aparecen en el intervalo [15; 17> Ii
fi
[10; 12>
17
Fi
Hi
[12; 14> [14; 16> [16; 18>
70
[18; 20>
103
[20; 22> A) 19 D)23
B) 21 E)24
C) 22
09. En una tabal de distribució n de frecuencias se observa que dicha distribución es simétrica con 6 intervalos y tal que: f3 = f1 + f5 Hallar el valor de: H2 + H3 + H4 + H6 A) 2 B) 2,25 C) 2,50 D)2,75 E)3 10. En la distribución que corresponde al cuadro adjunto, se cumple que:
Calcular:
Ii
hi
[10; 20>
7
[20; 30> [30; 40>
32
[40; 50> [50; 60> A) 1 D)1,5
B) 1,2 E)1,6
10 C) 1,4
132
ESTADÍSTICA II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Es el valor que se calcula para un grupo de datos, generalmente debemos esperar que sea un valor representativo de todos los datos agrupados o no, por ello se desea alguna clase de promedio, que se entiende como una medida de tendencia central.
[0,40;0,60[
0.7
0.5
0.35
[0,60;0,80[
0.1
0.7
0.07
[0,80;1,00[
0.12
0.9
0.108
Media Aritmética (MA o )
Mediana (Me) Para “n” datos no clasificados:
Para “n” datos no clasificados:
Ordenados crecientemente: x1; x2; x3; .......; xn
Ejemplo: La media aritmética de los datos: 4, 7, 5, 4, 10
Para datos clasificados:
Ejemplo: Dado los siguientes datos: 1, 2, 1, 3, 2, 1, 7, 6, 3 Observación: Primero ordenamos
hi : frecuencia relativa simple de la clase i fi : frecuencia absoluta simple de la clase i marca de de la clase i kxi :: número declase clases
Ejemplo: Dado los siguientes datos: 04, 12, 12, 08, 07, 04, 13, 15, 07, 08
Ejemplo: De la siguiente tabla hallar la media: Ii
xi
fi
xi fi
[10; 30[
20
20
400
[30; 50[
40
10
400
[50; 70[
60
50
3000
[70; 90[
80
20
1600
Observación: Primero ordenamos
Para datos clasificados: Es el dato ubicado en la clase mediana y se calcula por:
n = 100
Ejemplo: De la siguiente tabla hallar la media: Ii [0,20;0,40[
xi
fi
xi fi
0.08
0.3
0.024
Donde: Li : límite inferior de la clase mediana w : ancho de la clase mediana n : número total de datos Fi-1 : frecuencia absoluta acumulada que precede a
133
fi
:
la clase mediana frecuencia absoluta de la clase mediana
Donde:
NOTA: Se define la clase mediana como la primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o exceda a la mitad del total de datos.
Li : límite inferior de la clase modal w : ancho de clase de la clase media d1 : diferencia entre la fre cuencia de la clase mod al y de la clase anterior d2 : diferencia entre la fre cuencia de la clase mod al y la frecuencia de la siguiente clase
Ejemplo: Dada la siguiente distribución de frecuencias. Hallar la materia
Ejemplo: En la siguiente tabla de frecuencias. Hallar la moda
OBSERVACIÓN : La mediana divide al histograma en dos partes de igual área. Moda (Mo)
Para datos no clasificados: Es el dato que aparece con mayor frecuencia entre el total de datos. Si hubiese más de dos datos cuyas frecuencias sean máximas similares, la distribución es multimodal, bimodal, trimodal, ...., etc. En el caso que ninguno se repita más que los otros se dice que no existe moda. Ejemplo: Dado los siguientes datos. Hallar la moda: 06, 08, 13, 04, 12, 12, 08, 07, 04, 13, 15, 07, 08
observamos que 08 hay tres veces entonces la moda es 08
Para datos clasificados: La moda pertenece a la clase modal, la cual es aquella que tiene la mayor frecuencia absoluta simple. Entonces el valor de la moda es :
PROBLEMAS PROPUESTOS
134
01. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, calcular la suma de la media, la mediana y la moda.
A) 36 D)38,45
siendo el promedio de los pesos señalados. ¿Cuántas fueron escogidas? Peso (kg)
fi
[47;49>
5
10
6
[49;51>
10
11
7
[51;53>
40
12
8
[53;55>
20
13
4 12
[55;57> B) 50 E)60
25
14 15
3
B) 36,65 E)40,25
A) 48 D)54
Altura [20; 30> [30; 40> [40; 50> [50;60]
C) 52
05. Se tiene 4 cantidades cuya moda es 3, su mediana es 5 y su media es 6. Calcular el producto de las dos cantidades mayores. A) 64 B) 68 C) 75 D)77 E)80
C) 37
02. En un huerto se tiene 80 plantas, las cuales agrupándolas según sus alturas (cm) caen en ciertos rangos dados por la tabla adjunta. Hallar la media de las alturas de todas las plantas.
A) 35 D)40
N° de chicas
Edades (xi)
06. Se conocen los datos de los pesos de 750 personas, distribuidos en 5 intervalos con ancho de clase común e igual a 10. Sabiendo además que: x3 = 45; f 1 = 150; h 2 = 0,40 calcular la mediana. A) 36,8 B) 37,5 C) 39 D)42,5 E)43
N° de plantas 15
07. Dado el polígono de frecuencias de una distribución, hallar la mediana.
21 33 11
B) 36 E)42,5
C) 37,5
03. Se realiza la distrib ución de las edades de un grupo de personas, obteniéndose de ella la siguiente información: Edad mínima: 10; edad máxima: 30 Ancho de clase: 4
h2 = h4 = h5; 5h3 = 6h4; h1 =
h2
Calcular el promedio de las edades. A) 19,35 B) 20,32 C) 24,5 D)25,4 E)30
A) 585 D)705
B) 645 E)725
C) 685
08. En la siguiente tabla de frecuencias el ancho de clase es común. Si la mediana es 21; hallar el valor de R + f 2 + n, donde R es el rango y n el número de datos.
04. Para un casting de modelaje se presentaron 100 señoritas cuyos pesos se han clasificado en la tabla adjunta. Se desea seleccionar sólo a las chicas A 1 + 1 para lo cual deben pesar ( - 3)kg como mínimo y ( + 1,5)kg como máximo ,
135
Ii
fi
Fi
36. La moda es los
hi
Hallar el valor de la media más la mediana. A) 72 B) 98 C) 120 D)126 E)130
4 [16;
>
[ ; 24>
12. En una distribución simétrica con 7 intervalos con igual ancho de clase, se conocen los siguientes datos: w=10; f1=8; f3+f5=62; x3+f4=211; H3=0,21 y H6=0,96 calcular la media de dicha distribución. A) 96 B) 98 C) 100 D)102 E)105
32 2
A) 58 D)68
del ancho de clase.
B) 60 E)72
C) 64
09. El cuadrado muestra la distribución de los pagos por hora (en soles) de un grupo de profesores. Hallar la moda de dicha distribución.
Ii
xi
fi
[10; >
12
8
16
32
13. Al clasificar los sueldos de los trabajadores de una empresa se obtuvo una distribución simétrica de (2n + 1) intervalos. Calcular el sueldo promedio más la median de dichos sueldos, si se sabe además que: xn-2 = 322; xn+2 = 446 y el ancho de clase es común. A) 640 B) 720 C) 780 D)830 E)850
hi
14. A partir del siguiente histograma, calcular la suma de la media y la mediana.
10 [ ; 26] A)20,06 18,74 D)
24
B)21,12 19,14 E)
5
C) 19,36
10. El gráfico corresponde a la ojiva de una distribución de un conjunto de datos. Calcular: + Me + Mo
A) 15,68 D)30,42
B) 29,64 E)34,68
C) 29,86
15. En un distribución simétrica d e frecuencias cuyos datos están clasificados en 5 intervalos de clase, se tiene que: h2 = 0,2; H4= 0,9; F 5= 30 y I 4 = [ ; 50> Si la mediana es 38, hallar el ancho de clase, si éste es común para todos los intervalos. A) 7 B) 8 C) 9 D)10 A) 42 D)47,5
B) 43,5 E)48
E)11
16. Dado el siguiente histograma con an cho de clase común cuyo valor es entero comprendido entre 4 y 7. Hallar la moda, si además x1 y x4 son dos números cuadrados perfectos consecutivos.
C) 45
11. Se tiene una distribución simétrica con 5 intervalos de clase (ancho de clase común), donde el límite inferior del segundo intervalo es
136
19. A un grupo de 200 estu diantes se les encuestó acerca del número de libros que leen al año; obteniéndose una muestra cuyo alcance es [10; 35]. Al clasificarla en 5 intervalos con ancho de clase común, se obtiene que la moda es 23 y además: f4 = 2f2; F2 > 30 y Calcular la mediana. A) 23,50 B) 23,75 D)24,25 E)25 A) 55,5 D)57,5
B)58,25 55,75 E)
C) 56,75
C) 24,10
20. El cuadro representa a una distribución de frecuencias don de I3 e I5 son la clase mediana y modal respectivamente. Además: xi = i 2 + 10. Calcular: Mo - Me
17. Una muestra se dividió en 20 intervalos, siendo sus frecuencias absolutas: 20; 21; 22; .... y sus respectivas marcas de clase: 30; 29; 28; ...... . Calcular la media muestral. A) 19,37 B) 20 C) 21,45 D)23 E)25,6
x
Ii
fi
i
[10;>
18. El siguiente gráfico es parte de un diagrama escalonado de una muestra de tamaño igual a 156. Si la mediana es un número entero; hallar frecuencia relativa de la clase mediana.
hi 1
3 12 [ ; 40> A) 13,68 D)14,36
A) 0,08 D)0,21
B) 0,11 E)0,27
30 B)14,72 13,85 E)
C) 14,20
C) 0,15
TAREA 01. Al estudiar el consumo de le che, se verificó que en cierta región, 20% de las familias consumen menos de un litro; 50% de las familias consumen entre 1 y 2 litros, 20% entre 2 y 3 litros y el restante consume entre 3 y 5 litros. Hallar la media de la variable en estudio. A) 1,25 B) 1,75 C) 1,95 D)2,05 E)2,15
30
[5;10>
15
[10; 15>
15
[15;20]
02. Dada la tabla sigu iente; hallar el porcentaje de alumnos que tienen su nota entre la mediana y la media (aproximada). Notas
<0;5>
A) 2,08% D) 7,23%
10 B) 3,12% E) 10,12%
C) 5,14%
03. A partir de la sigu iente tabla, hallar el va lor de la mediana de la distribución.
N° de alumnos
Ii
137
fi
hi
Hi
[20; 30>
8
40> ;[
A) 42,10 D)42,50
40
[ ; 50>
20
[ ; 60>
10
A) 12 D)22
B) 42,05 E)43,75
C) 42,30
04. Se tiene una tabla de fre cuencias con 4 intervalos cuyo ancho de clase es común y se sabe que: El 10% de los datos están en el primer intervalo. Hasta el segundo intervalo se presentan el 50% de los datos. En el tercer intervalo hay un 30% de los datos. Hallar la media, si la mediana excede a la moda en 5 y la marca de clase del segundo intervalo es 270. A) 270 D)292
B) 265 E)302
C) 282
05. Hallar el valor de la mediana, a partir del siguiente diagrama.
A) 14,8 D)16
B) 15 E)16,3
C) 15,7
06. La mediana de la siguientes distribución es
.
Hallar el valor de “k” Ii
fi
[20; 30>
3
[30; 40>
1
[40; 50>
2
138
[50; 60>
6
[60; 70>
k
B) 18 E)24
C) 20
07. A partir del cuadro adjunto, calcular la suma de la media, mediana y moda. Ii
xi
fi
[20;30>
10 45
[ 70> ;
60 15
85 [ ; 180> A) 304,5 D)324,9
60 105
B) 308,9 E)354,9
C) 309,4
08. En una distribución simétrica d e 5 intervalos con ancho de clase común, se conoce los siguientes datos: f5 = 15; h 4 = 0,24; H2 = 0,3; x2 + x4 + f3 = 260 hallar el valor de la media A) 47 D)60
B) 50 E)80
C) 55
09. A partir del siguiente cuadro, hallar la media, si se conoce: f3 = 2(f1 + 2); 3h 3 = 2h2 = 6h5 Ii [4; >
[ ; 22>
xi 7
xifi 70
19
[ ; 28>
450 31
A) 17,88 D)18,72
B) 18,16 E)19,06
C) 18,34
10. Una distribución con 5 intervalos y de ancho de clase común, tiene como alcance [5; 55>. Se conoce además que: f5 = 2f 1; f3 = 10 y Hallar la media si la moda es 33 y la mediana 33,5. A) 30,7 D)33,9
B) 32 E)36,93
C) 32,97
139
140
PROMEDIOS Dados los números racionales positivos : a1 ; a2 ; a 3 ; .......... ; a n donde a1 y an son el menor y el mayor respectivamente. El promedio “p” de dichos números es un valor que para ciertos efectos puede reemplazarlos a todos, cumpliéndose que: a1 < p < an Definiremos los siguientes promedios: PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA (MA)
elevamos a la cuarta: abcd = 26 = 1 . 2 . 2 2 . 23 Haciendo una correspondencia uno a uno los números serán: 1, 2, 4 y 8
PROMEDIO O MEDIA ARMÓNICA (M.H) Es la recíproca del promedio aritmético de los recíprocos de los datos. Para los datos: a 1, a2, ........, an (“n” datos) PROMEDIO GEOMÉTRICO O MEDIA GEOMÉTRICA (M.G) Es un promedio que permite promediar índices y tasa de crecimiento para los datos: a1, a2, ......., an (“n” datos) Su promedio será:
Ejemplo: Si las edades de tres hermanos es: 8, 12, y 16. ¿Cuál será su promedio armónico de dichas edades? Resolución:
Ejemplo: La Municipalidad de Lima tiene el siguiente informe sobre el crecimiento poblacional de los pueblos jóvenes de los últimos cuatro años: Año
Crecimiento
1998
625
1999
256
2000
81
2001
16
Ejemplo: Una hormiguita recorre los lados de un cuadro de forma cuadrada con velocidades que son de la siguiente manera; el primer lado a 8 mm/s, el segundo lado a 10 mm/s, el tercer lado a 12 mm/s y el cuarto a 4 mm/s. Hallar la velocidad promedio. Resolución: Nota: En estos casos como los lados son iguales se utiliza el promedio armónico para calcular su promedio.
Calcule la tasa anual de crecimiento promedio NOTA: El promedio que se utilizará es el promedio geométrico Resolución:
Ejemplo: La media geométrica de cuatro números diferentes es 2 . Hallar la medida aritmética de dichos números
Nota: Para “a” y “b”
Resolución: Sean los números: a, b, c y d
Para “a”, “b” y “c”
141
PROPIEDADES : (Para: M.A, M.G y M.H) 1. Para un conjunto de “n” datos al menos uno diferente:
Para un conjunto de “n” datos iguales
2. Cuando se tiene sólo dos datos (a y b) se cumple:
NOTA: El error entre la M.A y M.G (la diferencia numérica entre ellos) Se calcula:
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. De un grupo de 100 tutores, se observó que el promedio de las edades de los que son casados es 30 años y de los solteros es 22 años. Se sabe además que el promedio de las edades de los 100 tutores es 23,6 años; ¿cuántos de ellos son solteros? A) 20 B) 50 C) 70 D)80 E)85
Calcular la M.A de todos los términos de dicha sucesión. A) 72 B) 73 C) 75 D)77 E)79 05. La cantidad de alumnos del aula A es a la cantidad de alumnos del aula B como 2 es a 3 y por cada 5 alumnos del aula C hay 6 alumnos en la aula B. Los promedios de las notas de los alumnos en las aulas A; B y C son proporcionales a 3; 8 y 6 respectivamente. Si se juntan todos los alumnos el promedio resulta ser 42. ¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos del aula B? A) 25 B) 36 C) 42 D)56 E)63
02. Se tiene 30 números diferentes y de dos cifras cuyo promedio es 45. Calcular el promedio del resto de números enteros de 2 cifras. A) 48,30 B) 49,25 C) 54,75 D)59,25 E)61,35 03. En un examen se obtuvo el siguie nte resultado: la nota promedio de aprobados es igual al número de aprobados y con los desaprobados ocurre lo mismo. La nota promedio de todos es igual a 2,6 veces la diferencia entre ambos promedio. Hallar la razón entre el número de aprobados y desaprobados. A) 1/2 B) 3/2 C) 5/4 D)6/5 E)7/6
06. Se tiene un conjunto de números. Si se aumenta un grupo de ellos en el 20% de su valor, la M.A del conjunto aumenta en 1, y si se aumenta el resto de los números en el 25% de su valor, la M.A del conjunto aumenta en 2. ¿Cuál es la MA del conjunto? A) 12 B) 13 C) 14 D)15 E)16
04. Se tiene la siguiente progresión aritmética:
07. A un grupo de 24 personas, si se les triplica su edad, su edad promedio queda aumentada en 40; además si de dicho grupo se separan 8 personas el promedio no se ve alterado; luego de los que
142
quedan, a 5 personas le disminuimos 6 años a cada una, a otras 6 le agregamos 9 años a cada una, y al resto excepto a una les aumentamos 7 años a cada una. Hallar el promedio final. A) 12,17 B) 17,50 C) 23,25 D)26,30 E)27,32
14. La nota promedio de un curso se calcula como el promedio ponderado de las notas del examen parcial, examen final y el promedio aritmético de las prácticas. Un alumno obtuvo las notas que aparecen en el cuadro. Si la nota promedio resultó ser uno menos que el promedio de prácticas, hallar el máximo valor que obtuvo en la cuarta práctica (a y b Z+)
08. Al calcular la M.A de 3 números enteros a; b y c (a b c), se obtuvo un valor comprendido entre 5 y 6. Calcular la M.H de dichos números, sabiendo que la M.A por la M.H de a y b es igual a C. A) 3,25 D)3,85
B)4,25 3,75 E)
C) 3,50
Peso o creditaj e
09. La edad de Fitzgerald excede a la de Domitilo en ; además los promedios aritmético y geométrico de ambas edades son números impares consecutivos. Determinar la edad de Domitilo. A) 21 B) 23 C) 25 D)27 E)29
Notas A) 15 D)18
. Si la
M.A de los 2 menores es igual a uno de ellos más la unidad; hallar el valor de: B) 20,5 E)23
A) 10 D)18
m/s; hallar el valor de “x” B) 12 E)21
1
2
1
12 B) 16 E)19
10
a a C) 17
a
b
17. En una fábrica de muebles, para colocar los tabiques a las sillas, se tienen dos operarios A y B, los cuales se dividen toda la producción en 2 partes iguales. En una hora A coloca los tabiques a 5 sillas, mientras que B a 7 sillas. Hallar la cantidad promedio de tabiques colocados en una hora, si cada silla lleva 6 de dichos tabiques. A) 33 B) 35 C) 37 D)41 E)43
C) 21
12. Un automovilista recorre un circuito de forma cuadrada con las siguientes velocidades: 4 m/s; 6 m/s; 10 m/s y x m/s. Si la velocidad promedio es
Promedio de Prácticas
16. Al calcular la M.A de todo los números de 2 cifras que son PESI con 5, se comete un error de 2 unidades por no haber considerado a m y n (m < n). ¿Cuántos valores asume “n - m”, sabiendo que sólo se les descartó al momento de sumarlos, más no al contar a los números que cumplían con dichas condiciones? A) 12 B) 16 C) 20 D)25 E)27
11. Se tiene 3 números a; b y c, tal que a < b < c. Se
A) 20 D)22,5
Exame n Final
15. Calcular el promedio armónico de los términos de la siguiente sucesión: 40; 88; 154; 238; .......; 2 068 A) 198,7 B) 232,5 C) 235 D)240 E)242,6
10. La M.G de y es . Si al primer número se le disminuye en 9 unidades y al otro se le aumenta en 8, entonces la nueva M.G será . Hallar la M.A de y , si además es lo menor posible. A) 22,5 B) 23,6 C) 25,5 D)30,5 E)32,75
sabe que su M.A es b + 1, su M.G es
Exame n Parcial
C) 15
18. Enrique visita a su novia Scarle t y sostiene la siguiente conversación: Scarlet: Nos conocimos hace “n” años,
13. Un libro de 240 hojas está dividido en 4 capítulos I, II, III y IV con 50;Paola 100; 30 y 60lahojas respectivamente. cuenta cantidad de hojas que tiene el libro en forma ininterrumpida; el capítulo I a razón de 2 hojas por minuto, el II a 4 hojas por minuto, el III a 6 hojas por minuto y el IV a 12 hojas por minuto. Determinar la velocidad promedio con que contó las hojas del libro. A) 3 hojas/min B) 4 hojas/min C)6hojas/min D)8hojas/min E) 10 hojas/min
cuando tu edad y la mía estaban en la relación de 3 a 2 Enrique: Dentro de “n” años nos casa remos, y en ese momento tu edad y la mía estarán en la relación de 4 a 5. Scarlet: Hace “m” años la M.A y M.G de nuestras edades eran 17 y ¿Cuál es la edad actual de Scarlet? A) 17 B) 18 C) 20 D)21 E)23
143
19. En una reunión hay 100 personas ente damas, caballeros y niños, siendo la suma de sus edades 2 290 años. La edad promedio de todos es 22,9 años, la de los niños es 6 años, de los caballeros es 40 años y de las damas 30 años. Si cada niño tuviera 2 años más, cada caballero 4 años más y cada dama 5 años más, la edad promedio de todos aumentaría en 3 años, 6 meses, 18 días. ¿Cuántos caballeros y niños hay? A) 30 y 40 B) 25 y 35 C) 25 y 40 D) 30 y 45 E) 35 y 35 20. Edgaíl salío a correr los últimos 3 domingos un circuito de 1 200 m, observándose que el primer domingo lo recorrió en 3 tramos con velocidades proporcionales a 11; 12 y 13 empleando en cada uno el mismo tiempo. El segundo domingo lo recorrió en 3 tramos de igual longitud con velocidades proporcionales a 2; 3 y 6. El tercer domingo recorrió los primeros 500 m empleando 3 minutos y los últimos 700 m empleando 5 minutos. Si las velocidades promedio (en m/min) de estos 3 domingos forman una proporción continua; hallar la suma de dichas velocidades si son las menores posibles. A) 234 B) 235 C) 236 D)237 E)238
TAREA 01. En un salón de clase donde el número de hombre es al número de mujeres como 3 es a 5, se ha determinado que el promedio de las edades de los hombres es 17 y el de las mujeres 15. Determinar el promedio de las edades de todo el salón. A) 15,32 B) 15,50 C) 15,75 D)16,20 E)16,35
A) 2 D) 5
B) 3
C) 4
E) 6
05. Si la media armón ica del 20% y el 30% de un número entero es 19,2; hallar dicho número. A) 60 B) 65 C) 70 D)80 E)90 06. La M.G de 2 números enteros positivos es el 50% del mayor la diferencia de sus 2 mayores promedios es igual a 2. Hallar la M.H de dichos números.
02. La media armónica de 4 números es 19,2. Si dos de los números son 9 y 18; hallar la M.H de los otros dos números. A) 36 B) 40 C) 44 D)48 E)52
A) 3,2 D)6,4
03. En un colegio el número de varones es el 75% del número de mujeres. La estatura promedio del total de alumnos y de las mujeres es 1,57 m y 1,54 m respectivamente. Calcular la estatura promedio de los varones. A) 1,58 m B) 1,61 m C) 1,65 m D)1,68m E) 1,72 m
B) 4,5 E)7,8
C) 5,6
07. Determinar la diferencia de dos números, sabiendo que su M.H es 13
, siendo su M.A y
M.G dos números impares consecutivos. A) 10 B) 12 C) 14 D)16 E)18 08. Se tiene 3 razones geométricas eq uivalentes cuyos términos son enteros. El primero antecedente es la M.G de los restantes; el primer consecuente aumentado en 0,5 es la M.A de los
04. El promedio aritmético de 4 números naturales es 11 y cuando se les agrupa de 3 en 3, dichos promedios aritméticos son pares consecutivos. Hallar el menor de los números.
144
otros dos consecuentes. Hallar la suma de los consecuentes si la razón es igual a 2 y la M.H de los 2 últimos consecuentes es A) 33 D)36
B) 34 E)38
. C) 35
09. Se tiene 15 números consecutivos (enteros y positivos), cuya M.H del mayor y menor es 10,5. Si a; b y c son los menores múltiplos de 3 que están a continuación de los números antes mencionados, calcular: . A) 150/7 B) 160/9 C) 170/11 D) 180/11 E) 200/13 10. Se tiene 4 razones geométricas eq uivalentes y continuas cuyos términos y el valor de razón son enteros. Hallar dicho valor de razón sabiendo que la media armónica del primer consecuente y el último antecedente es 9,6. A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6
145
