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Module Module Module Module : :Traitement : :Traitement Traitement Traitement des des des des Signaux Signaux Signaux Signaux et et et et Systèmes Systèmes Systèmes Systèmes Responsable Responsable du du module module : : M. M. Fertat Fertat Email Email: : fertat@gmail fertat@gmail com com M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul Email Email: :
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• Transformée de Laplace A. Berraissoul Traitement des Signaux et Systèmes M. Fertat 2
Traitement Traitement analogique analogique des des Signaux Signaux et et Systèmes Systèmes • Signaux • Notion du système (SLIT) • Analyse de Fourier • Signal analytique Dirac 1902 - 1984
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Signaux Signaux Définitions QuQu ‘est ‘est ce ce qu’un qu’un signal? signal? D’une Dune façon façon général général, on on appelle appelle signal signal toute toute manifestation manifestation sous sous forme d’une grandeur physiquement observable d’un phénomène le plus souvent électrique, acoustique ou optique. • Un signal est donc une représentation physique de l’information. Le Le modèle modèle mathématique mathématique d’un dun signal signal est est une une fonction, fonction, réelle réelle ou ou complexe, à une ou plusieurs dimensions d’une ou plusieurs variables réelles ou entières. Puisqu’on confond en général la grandeur physique observée et l’objet mathématique qui la modélise, cette fonction sera aussi appelée signal. M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 4
Sur Sur le le plan plan physique physique Phénomène Phénomène physique physique porteur porteur d’information d information Manifestation physique (Onde électrique, onde sonore etc.) capable de se propager à travers un milieu donné Signe convenu pour avertir, annoncer, donner un ordre (panneau routier, drapeau…) Le signal électrique (impulsions), le signal sonore (sons) et le signal lumineux (voyants) sont des types de signaux. M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
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Théorie et traitement du signal Définitions Définitions • La théorie du signal est un ensemble de concepts et modèles mathématiques inspirés de l’analyse mathématique, de l’algèbre linéaire et du calcul des probabilités permettant d’effectuer une description et une analyse des signaux et systèmes. • Le traitement des signaux et systèmes a pour objectif la réalisation et l’interprétation des signaux porteurs de l’information • Relations très étroites avec d’autres domaines (Mathématiques, électronique, informatique, Télécommunications, automatique, Intelligence artificielle) M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 5
Sur Sur le le plan plan analytique analytique (Math) (Math) • • On On désigne désigne par par signal signal, une une fonction fonction d’une d une ou ou de de plusieurs plusieurs variables (Temps, espace, …), en général à valeurs réelles ou complexes. • Un signal est un modèle commode pour décrire et étudier les variations continues d’un paramètre physique (tension, intensité lumineuse, pression...) • U Un signal i l sera d donc une f fonction i d' d'une variable i bl réelle é ll ( (en général le temps). M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
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Classification Classification des des signaux signaux A. Dimension d’un signal Signal mono-dimensionnel à une variable (temps). Exemple : Signal audio x(t) Signal mono-dimensionnel et multi-variable Exemple : Signal vidéo noir et blanc p(x,y,t) Signal multi-dimensionnel et multi-variable. Exemple Signal vidéo couleur:
C(x,y,t) = [R(x,y,t), V(x,y,t), B(x,y,t)] M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 7
Applications Applications • Le champ d’application s’étend des télécommunications à l’instrumentation scientifique, de l’automatique industriel au génie g biomédical en passant p par p le traitement de la parole, p, de l’image, la reconnaissance des formes, la robotique, le Radar, …etc…… Types Types dede traitements traitements :: Coder Coder Restaurer Restaurer Séparer Séparer Synthétiser Synthétiser Synthétiser Synthétiser Transmettre Transmettre Prédire Prédire Détecter Détecter Reconnaître Reconnaître Surveiller, Surveiller, alerter alerter M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
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C. Classification déterministe – aléatoire Cette classification est obtenue en considérant la nature de l’évolution du signal. Celle-ci est à caractère prédéterminé ou non prévisible. Un Un signal signal déterministe déterministe est est un un signal signal, dont dont l’évolution l évolution en en fonction fonction du temps peut parfaitement être prédite par un modèle mathématique approprié. La plupart des signaux d’origine physique ont un caractère non reproductible. Ces signaux sont porteurs d’information (Signaux de parole, d’image …) car ils présentent une certaine imprévisibilité, ils seront donc modélisés par des signaux aléatoires. Exemple de signal déterministe : Exemple de signal aléatoire:
i(t ) Courant alternatif
d(n ) lancé de dé t 01234567 n M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 9
B. Signal continu et signal discret ● Signal continu : définit à chaque instant ● Signal g discret : définit en des instants donnés Signal continu (analogique)
s(n) Signal discrèt (numerique) 012 n M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
s(t) t0
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E. Classification énergétique Energie d’un signal L’énergie du signal s(t) sur l’intervalle [t1 t2] est défini par:
E0 =
∫
t 2
s(t) 2
dt t 1 Puissance moyenne d’un signal La puissance moyenne d’un signal est l’énergie dissipée par unité de temps:
Pm 0
=T 1 T
∫ /2
st ( − T /2 M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul ) 2
dt 11
D. Classification : périodiques – non périodiques Un signal est dit périodique s’il est répétitif Mathématiquement, s(t) est périodique s’il existe T 0 telle que:
s ( t + Tn 0 ) = st () 1.3 1.3 s(t) T T 0
t t La plus petite valeur de T
0 est appelée la période de s(t) Un signal pour le quel n’existe aucune valeur relation (1.3) est dit non périodique ou apériodique.
T 0 satisfaisant à la M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
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F. Causalité d’un signal Un signal est dit causal s’il est nul pour toute valeur négative de t
xx((tt))=00ppoouurtt < 0 0 x(t) Signal causal 0
t Signal non causal M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 13 Signaux à énergie finie Les signaux à énergie finie sont ceux pour lesquels l'intégrale suivante est bornée
E=
∫
∫ ∞
st ( ) 2 2
dt <∞ 1.1 1.1 −∞ Pratiquement, cette classe recouvre celle des signaux transitoires de la physique et de durée limitée Ces signaux sont dits de carré intégrable. Signaux à puissance C Ce sont t l les signaux i périodiques, é i di et t l les signaux i aléatoires lé t i permanents. s(t) est dit signal à puissance si :
Pm = lim T →∞
T 1 T
∫ /2 − T /2
stdt () 2
<∞ 1.2 1.2
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x(t) t0
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G. Parité d’un signal Un signal est dit pair si: x
(−t)=
x ( t ) x(t) () Axe Axe de de symétrie symétrie Signal pair 0
t Un signal est dit impair si: x
(−t)=−
x ( t ) x(t) Signal impair
t Point de symétrie M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 16 Tout signal quelconque peut s’écrire sous forme de la somme de deux signaux, l’un pair et l’autre impair :
x((t))= xPP((t))+ xI I
((t) ) avec
xP (t ) = x(t)+2x(− t ) et I
() ( ) 2 M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul x
= xt−x(− t )
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t
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Operations Operations sur sur les les signaux signaux 1. Décalage temporel Décalage vers la droite (Retard)
yd (t)=x(t− T) Décalage vers la gauche (Prédiction)
yg (t)=x(t+ T) xx((tt+ + T T ) ) x(t) x(t− T ) -T 0
Tt M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 17 1
x(t )p
() t 1 2
xt t 1 2
xI (t ) 1 2 M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul t −
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2. Réflexion (Effet miroir)
y(t)=x(− t ) x(t) 0
t
x ( ( t− ) )0 t M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul 20
3. Dilatation et compression
y(t)= x ( at ) x(t) 0
t y(t)=x(at) pour 0
t y(t)=x(at) Pour a>1 : Compression 0
t M. Fertat Traitement des Signaux et Systèmes A. Berraissoul
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