LABORATORIO.docx

INTRODUCCION El presente laboratorio tiene como finalidad analizar, resolver y comprobar los problemas o preguntas, sobre el curso de Estadística para economistas I, entregadas en clase. Mediante tablas y gráficas se demostraran y comprobarán los resultados de los problemas para poder alcanzar el objetivo de la estadística, el cual es extraer las conclusiones útiles sobre la totalidad de todas las observaciones posibles basándose en la información información recolectada. La estadística es la rama de las Matemáticas que se va a encargar de Recopilar, Organizar, y Procesar datos con el fin de inferir las características de la población objetivo o ―muestra‖, el cual en esta

oportunidad nos la entregan en forma de preguntas. Los datos o preguntas presentadas a continuación en el presente ―Laboratorio de Estadística‖, serán resueltos en su totalidad paso a paso

para mejorar la comprensión y análisis de los puntos citados en cada parte o tema de este cuestionario, para de esta forma ayudar y apoyar a la comprensión de futuros lectores.

1

LABORATORIO DE ESTADISTICA PREGUNTA 1: Las entregas dianas de pantalones de mezclilla de un comerciante variaron de un comerciante variaron l 152 a 9888 unidades por día. Indique los límites de las nueve clases en las cuales podrían agrupar estas entregas de mercancía.

SOLUCION R= 9888 – 1152 = 8736

Clases 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

K=9

W = R/k = 970

Agrupaciones Agrupaciones Diarias (mercancías) 1150 – 2120 2121 – 3091 3092 – 4062 4063 – 5033 5034 – 6004 6005 – 6975 6976 – 7946 7947 – 8917 8918 – 9888

Los límites se muestran en cada clase de las agrupaciones diarias.

PREGUNTA 2: Una librería universitaria agrupa el valor monetario de sus ventas en tura distribución de frecuencia con las clases $0.00, $0.99, $1.00, $9.99 y $10.00 y más. ¿Es posible determinar a partir de esta distribución el número de ventas en la cantidad de: a ) menor de $10.00 b) $10.00 o menor menor c) mayor que $1.00 d) 1.00 o mayor.

SOLUCIÓN 

No es posible determinar el número de ventas porque el problema no nos da la frecuencia absoluta simple; y además la amplitud de intervalos no es la misma. mis ma.

2

PREGUNTA 3: Una muestra de 500 cheques de pago se agrupa en una tabla que tiene las clases $0.00, $49.99, $50.00, $99.99, $100.00, $199.99, $200.00, $299.99 y $300.00, $499.99. Determine: a) las fronteras de clase. b) las marcas de de clase. c) los intervalos de clase.

SOLUCIÓN Clases 1 2 3 4 5

Intervalos de Clase 0.00 – 49.99 50.00 – 99.99 100.00 – 199.99 200.00 – 299.99 300.00 – 499.99

Marcas de Clase 24.995 74.995 149.995 249.995 399.995

Fronteras de Clase 0 – 49.995 49.995 – 99.995 99.995 – 199.995 199.995 – 299.995 299.995 – 499.995

PREGUNTA 4: Las marcas de clase de una distribución del número de focos eléctrico; que se cambian diariamente en un edificio de oficinas son 5, 10, 15 y 20. Obtenga: a) las fronteras de clase; b) los límites de clase. clase.

SOLUCIÓN Para hallar los intervalos: Consideramos X = amplitud del intervalo. Primer intervalo :(a – b) cuando b = a +x, marca de clase 5, entonces (a+a+x)/2=5 (a+a+x) /2=5 (b+1 – c) cuando c =b+1+x=(a+x+1)+x, marca de clase 10, entonces [(a+x+1)+(a+x+1)+x]/2=10 Entonces remplazando 2a+x=10 y 2a+3x+2=20 por p or lo tanto x=4 x =4 y a=3 Intervalos son: (3 – 7), (8 – 12), (13 – 17) y (18 – 22)

Clases 1 2 3 4

Intervalos de Clase 3 – 7 8 – 12 13 – 17 18 – 22

Marcas de Clase 5 10 15 20

Fronteras de Clase 2.5 – 7.5 7.5 – 12.5 12.5 – 17.5 17.5 – 22.5

3

PREGUNTA 5: Un conjunto de mediciones del número de galones de gasolina (redondeados a dos decimales de galón) que utilizan los vehículos de una flota de automóviles de alquiler se agrupa en una tabla con las fronteras de clase 4.95, 9.95, 14.95, 19.95, 24.95, 29.95 y 34.95. ¿Cuáles son los límites inferior y superior de las seis clases y sus marcas de clase?

SOLUCIÓN



Clases

Fronteras de Clase

Intervalos de Clase

Marcas de Clase

1

4.995-9.95

5 - 9.9

7.45

2

9.95-14.95

10 - 14.9

12.45

3

14.95-19.95

15 - 19.9

17.45

4

19.95-24.95

20 - 24.9

22.45

5

24.95-29.95

25 - 29.9

27.45

6

29.95-34.95

30 - 34.9

32.45

Los límites inferior y superior se muestran en cada intervalo de clase.

PREGUNTA 6: Para agrupar los tiempos de espera de clientes en las cajas registradoras de una tienda de descuento, se utilizaron las siguientes clasificaciones: 0.0-29.9 segundos, 30.0-59.9 segundos, 59.9-119.9 segundos y 119.9-180.0 segundos. Explique dónde ^-«podría haber dificultades.

SOLUCION



Clases

Intervalos de Clase

Tiempo de espera (en segundos)

1 2 3 4

0.0-29.9 30.0-59.9 59.9-119.9 119.9-180.0 119.9-180. 0

29.9 29.9 60 60.1

Podría haber dificultades en la clase 3 y 4 debido a que se espera demasiado tiempo a comparación de las clases 1 y 2.

4

PREGUNTA 7: Los siguientes son los números de pasajeros a bordo de 120 autobuses cuando salen de la terminal del centro a destinos suburbanos. Los autobuses tienen 55 asientos cada uno y los pasajeros adicionales deben viajar de pie.

56 53 49 55 39 61 48 54 46 42

44 46 33 6S 53 43 55 36 53 48

42 52 57 50 55 53 45 49 51 54

50 47 42 56 45 54 51 39 58 33

59 46 48 53 51 36 40 54 47 50

43 52 37 48 44 49 45 50 41 52

38 46 47 53 50 40 56 43 4S 51

52 49 42 43 45 54 35 47 54 41

46 55 53 44 51 45 51 48 32 50

53 50 38 57 49 41 47 56 37 49

45 51 48 47 64 50 55 43 49 57

63 49 54 51 52 31 52 46 52 42

a) Agrupe estas cifras en una tabla que tenga las clases 30-34, 35-39, 40-44, 45-49, 50-54, 55-59, 60-64 y 65-69. b) Convierta la distribución del inciso a) en una distribución acumulativa "menor de." c) Mediante el uso de los datos originales, determine cuántos autobuses llevaban pasajeros de pie (sin asientos disponibles). d) Mediante el uso de la distribución acumulativa "menor de" del inciso b), ¿puede determinarse el número de autobuses que llevan pasajeros de pie (sin asientos disponibles)? ¿Por que?

SOLUCIÓN 

Agrupando los datos obtenemos la siguiente tabla:

5

Clases

Intervalos de Clase fi

D. acumulativa “Menor de”

1 2 3 4 5 6 7 8

30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

Menor de 34 Menor de 39 Menor de 44 Menor de 49 Menor de 54 Menor de 59 Menor de 64 Menor de 69

4 9 19 32 38 14 3 1

4 13 32 64 102 116 119 120

C) Son 18 los autobuses que llevan pasajeros de pie, que se determina mediante la suma de las frecuencias absolutas simple (fi) de las clases 6, 7 y 8. D) Mediante la distribución acumulativa ―menor de ―(frecuencia absoluta acumulada),

si se puede determinar la cantidad de autobuses que llevan pasajeros de pie, porque, se le puede restar el total de autobuses (120)la cantidad acumulada de la clase 5 (102); ya que a partir de la clase 6 los autobuses llevan más pasajeros que los asientos disponibles, resultando 18 los autobuses que llevan pasajeros de pie.

PREGUNTA 8: Los siguientes son los números de automóviles vendidos por un distribuidor durante ocho semanas de seis días hábiles cada una. 13 19

22

14

13

16

19

21

23 11

27

25

17

17

13

20

23 17

26

20

24

15

20

21

23 17

29

17

19

14

20

20

10 22

18

25

16

23

19

20

21 17

18

24

21

20

19

26

a) Agrupe estas cifras en una tabla que tenga las clases 10-12, 13-15, 16-18,. . ., y 28-30. b) Convierta la distribución del inciso a) en una distribución porcentual correspondiente y también en una distribución porcentual acumulativa "o mayor."

6

SOLUCION

Clase

Intervalos de Clase

fi

hi

Distribución porcentual acumulativa “ mayor que “

1 2 3 4 5 6 7

10-12 13-15 16-18 19-21 22-24 25-27 28-30 

2 6 10 16 8 5 1

4.2% 12.5% 20.8% 33.3% 16.7% 10.4% 2.1%

Mayor que 10 Mayor que 13 Mayor que 16 Mayor que 19 Mayor que 22 Mayor que 25 Mayor que 28

100% 95.8% 83.3% 62.5% 29.2% 12.5% 2.1%

La distribución porcentual acumulativa ―mayor que‖ se representa en una ojiva

decreciente.

PREGUNTA 9: Una compañía de computadoras recibió un pedido urgente del mayor número de computadoras domésticas que pudiera entregar en un periodo de seis semanas. Los expedientes de la compañía ofrecen las siguientes entregas diarias:

22

65

65

57

55

50

65

77

73

30

62

54

48

65

79

60

63

45

51

68

79

83

33

41

49

28

55

61

65

75

55

75

39

87

45

50

66

65

59

25

35

53

a) Agrupe estas cifras de entrega diaria en una distribución que tenga las clases 2029, 30-39, 40,49,... y 80-89. b) Convierta la distribución del Inciso a) en una distribución porcentual.

7

SOLUCION Clases 1 2 3 4 5 6 7

Intervalos de Clase 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89

fi 3 4 5 10 12 6 2



Frecuencia absoluta simple como ―fi‖.



Frecuencia relativa simple como ―hi‖.

hi 7.1% 9.5% 11.9% 23.8% 28.6% 14.3% 4.8%

PREGUNTA 10: Con referencia al ejercicio anterior, convierta la distribución porcentual del inciso b) en una distribución porcentual acumulativa "menor de".

SOLUCION

Clases

Intervalos de Clase

fi

hi

1 2 3 4 5 6 7

20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89

3 4 5 10 12 6 2

7.1% 9.5% 11.9% 23.8% 28.6% 14.3% 4.8%



Distribución porcentual acumulativa “menor que” Menor que 29 7.1% Menor que 39 16.6% Menor que 49 28.5% Menor que 59 52.3% Menor que 69 80.9% Menor que 79 95.2% Menor que 89 100%

La distribución porcentual acumulativa ―menor que‖ se puede representar en una

ojiva creciente.

PREGUNTA 11: Cuando se les pidió clasificar la destreza que se requiere para obtener una alta calificación en un nuevo juego de computadora como principiante, aprendiz, competidor, maestro o experto, 45 evaluadores respondieron de la manera siguiente: experto, maestro, maestro, competidor, experto, maestro, maestro, maestro, experto, aprendiz, maestro, maestro, maestro, maestro, experto, maestro, competidor, maestro, maestro, principiante, experto, competidor, maestro, maestro, experto, experto, maestro,

8

maestro, maestro, competidor, competidor, experto, maestro, experto, experto, experto, competidor, maestro, maestro, experto, experto, competidor, maestro, maestro y experto. Construya una tabla que indique las frecuencias correspondientes a estas clasificaciones de la destreza que se requiere para obtener una calificación alta.

SOLUCION Clases Principiante Aprendiz Competidor Maestro Experto    

fi 1 1 7 22 14

Fi 1 2 9 31 45

hi 0.022 0.022 0.156 0.489 0.311

Hi 0.022 0.044 0.2 0.689 1

Frecuencia absoluta simple como fi. Frecuencia absoluta acumulada como Fi. Frecuencia relativa simple como hi. Frecuencia relativa acumulada como Hi.

Gráficas de rama y hoja En las secciones anteriores dirigimos nuestra atención a los agrupamientos grandes cantidades de datos, con el objetivo de ponerlos en una forma manejable. Como se vio, esto causaba cierta pérdida de información. En los fallos recientes, se han propuesto técnicas similares para la exploración preliminar de conjuntos de datos relativamente pequeños que produzcan una imagen integral óptima de los datos sin pérdida de información. Para ilustrar esto, considérese el número de cartas de cobranza enviadas por una agencia en 30 días hábiles consecutivos:

64 51 58

62 83 54

57 54 51 74 42 62

47 67 58 51 72 45 59 53 78 45 69 64 51 45 69 51 78 67

Si procedemos como en la sección 2.1, podemos agrupar estos datos en la siguiente distribución:

Numero de cartas 40-49 50-59 60-69 70-79

Conteo ///// ///// ///// // ///// /// ////

Frecuencia 5 12 8 4

9

80-89

/

1

Donde el conteo muestra el patrón general de los datos. Si deseáramos evitar la pérdida de información inherente en la tabla anterior, pudiéramos sustituir las marcas do conteo por las últimas cifras de las calificaciones correspondientes y obtendríamos. 40-49 50-59 60-69 70-79 80- 89

7 7 4 2 3

5 4 2 4

5 2 5 8 1 1 1 9 3 8 4 1 1 7 9 4 2 9 7 8 8

Estos se pueden describir así mismo, como: 4* 7 5 5 2 5 5* 7 4 8 1 1 1 9 3 8 4 1 3 6* 4 2 7 9 4 2 9 7 7* 2 4 8 8 8* 3 Donde * es un espacio reservado para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 o 9 o simplemente como:

4 5 6 7 8

7 7 4 2 3

5 4 2 4

5 8 7 8

2 5 1 1 19 3 8 4 1 3 9 4 29 7 8

En cualquiera de estas formas finales, la tabla se denomina grafica de rama y hoja, (cada renglón es una rama y cada una de las cifras de ramas situadas a la derecha de una línea vertical es una hoja). A la izquierda de la line vertical se encuentra un rotulo de rama que, en nuestro ejemplo, son 4*, 5*, 6*, 7* y 8* o bien 4, 5, 6,7y 8. Esencialmente una grafica de rama y hoja el mismo esquema del conteo correspondiente, al tiempo que conserva toda la información original. Por ejemplo si una grafica de rama y hoja tiene la rama.

10

32* | 8 0 4 7 6 Los datos correspondientes son 328, 320 324 327 y326 y si tiene la rama 8**| 12 92 00 29 Con hojas de dos cifras, los datos correspondientes 812, 892, 800 y 829. En una grafica de doble rama, los rótulos de las ramas se subdividid en como en la impresión generada por computadora 2.1 que utiliza los datos de las cartas de cobranza .En este impreso la columna del centro contiene los rótulos de ramas 4, 4, 5,5,6,6,7,7,y 8 . Los primeros números de esta serie y el 8 son los rótulos de ramas de las hojas cuyos valores son 0, 1, 2, 3 ,4 y los rótulos de las ramas repetidos van seguidos de hojas cuyos valores son 5, 6, 7, 8, y 9 .La columna de la izquierda acumula el conteo de número de hojas de las partes superior e inferior de la grafica. El tercer renglón por ejemplo, va precedido de 13, el numero de acumulado de hojas en los tres primeros renglones; y el sexto renglón ya precedido de 9, del numero acumulado de hojas que se muestran en los cuatro últimos renglones .Los paréntesis en la columna representan el valor de la rama a la cual se une la hoja de en medio (dispuesta en orden de tamaño); y el numero 4 situado dentro de paréntesis representan el numero de hojas unidas a este rotulo de ramas. Esta disposición resalta el ordenamiento parcial de los gráficos de ramas y hojas (los datos se ordena rótulos de ramas), y como se verá en el capítulo 3 esto simplifica la determinación de otras descripciones.

MTB > SET C1 DATA> 64 62 57 54 47 67 58 51 72 45 DATA> 51 83 51 74 59 53 78 45 69 64 DATA> 58 54 42 62 51 45 69 51 78 67 DATA> END MTB> STEM C1 Stem-and- leaf of C1 Leaf Unit- 1.0 1 4 5 4 13 5 (4) 5 13 6 9 6 5 7 3 7 1 8

N-30 2 5557 11111344 7889 2244 7799 24 88 3

11

Existen diversas formas en las cuales se pueden modificar las gráficas de rama y hoja para cumplir necesidades específicas, pero no abordaremos este tema con detalle, ya que nuestro único objetivo ha sido el de presentar una de las técnicas relativamente nuevas que se conoce en general como análisis exploratorio de datos.

PREGUNTA 12: Las distancias en pies del ―home‖ a las barbas del jardín derecho de las 14 estadios de la

Liga Americana son 309,302,333,341,315,327,310,330,316,330 y 330. Construya una grafica de rama y hoja con los rótulos de ramas 30, 31, 32, 33,34.

SOLUCION 30 31 32 33 34

9 5 0 3 1

2 0 5 0

6 7 0

0

0

PREGUNTA 13: Los números de litros de anticongelante vendidos en cierto día por una cadena de almacenes de productos para automóviles fueron 16, 269, 235, 235, 224, 249, 244, 240 ,252 ,210 ,256 ,228 ,233 ,239 ,253 ,221 ,273 ,229 ,236 ,215 ,230 ,228 ,230 ,255 ,244 ,230 ,231 ,240 ,222 ,260 ,223. Construya una grafica de rama de hojas con hojas de una cifra.

SOLUCION 21* 22* 23* 24* 25* 26* 27* 

6 4 5 9 2 9 3

0 8 5 4 6 0

5 1 3 0 3

9 9 5 5

8 7 4

2 6 0

3 0

0

0

1

Para que las hojas sean de una sola cifra, las ramas deben tener dos.

PREGUNTA 14: Las cantidades totales de horas extra trabajadas en cada una de las 20 semanas consecutivas por operadores en un taller de maquinaria son: 154, 204, 218, 185 ,168

12

,403 ,233 ,171 ,335 ,115 ,112 ,329 ,501 ,306 ,331 ,261 ,183 ,188 y 218. Construya una grafica de rama y hoja con los rótulos de los tallos 1, 2, 3, 4, y 5 (y, por lo tanto, con hojas de dos cifras).

SOLUCION 1** 54

85

68

71

15

12

2** 04

18

58

33

61

18

3** 35

29

06

31

83

88

4** 03 5** 01

PREGUNTA 15: Cite los datos que corresponden a los siguientes elementos de graficas de rama y hojas: a) 9* | 0 9 5 3 4 b) 27*| 8 4 7 5 1 c)6** | 15 45 30 95 00 d) 2.1 | 4 8 7 7 5

SOLUCION a) 90, 99, 95, 93 y 94. b) 278, 274, 277, 275 y 271. c) 615, 645, 630, 695 y 600. d) 2.14, 2.18, 2.17, 2.17 y 2.15. PREGUNTA 16: Puede elaborarse manualmente una grafica de doble rama similar a la que se muestra y mediante el uso de los mismos datos que la impresión generada por computadora de la figura 2.1, según se muestra a continuación. Podríamos utilizar * como un espacio reservado para 0,1,2,3 y 4, y ° como un espacio reservado para 5,6,7,8,9. Se obtiene

4* 4° 5* 5° 6* 6°

2 7 5 5 5 4 1 1 1 3 4 1 1 7 8 9 8 4 2 4 2 7 9 9 7

13

7* 2 4 7° 8 8 8* 3 Donde se duplico el número de ramas dividiendo por la mitad el intervalo comprendido por cada rama. a) Construya una grafica de doble rama con hojas de una cifra con los datos del ejercicio n°13:216, 269, 235, 224, 240, 252, 210, 256, 228, 233, 239, 253, 237, 221, 273, 229, 236, 215, 230, 228, 230, 255, 245, 244, 230, 231, 240, 222, 260 y 223.

SOLUCION 21* 21° 22* 22° 23* 23° 24* 24° 25* 25° 26* 26° 27*

0 6 1 8 3 5 4 9 2 6 0 9 3

5 2 8 0 5 0 5 3 5

3 9 0 9 4

4 0 7 0

1 6

b) Los números de llamadas de urgencia realizadas en 35 días consecutivos a una compañía de servicios de ambulancia son: 38, 37, 51, 44, 28, 34, 30, 56, 44, 49, 36, 38, 40, 41, 39, 40, 29, 43, 38, 37, 46, 33, 31, 52, 37, 41, 36, 47, 50, 46 y 41. Construya una grafica de doble rama con hojas de una cifra.

SOLUCION 2° 3* 3° 4* 4° 5* 5° 

8 4 8 4 9 1 6

9 0 7 4 6 2

1 6 0 6 0

1 8 1 7

3 9 0 6

1 8 3

7 3

7 1

6 1

No existe la rama 2*.

14

Presentaciones gráficas Cuando se construyen distribuciones de frecuencia principalmente para condensar grandes conjuntos de datos y exhibirlos de manera "fácil de digerir, suele ser aconsejable presentarlos en forma gráfica. El método más común c presentación gráfica de datos estadísticos es el histograma y un ejemplo de ósl se muestra en la figura 2.2. Un histograma se construye representando las mediciones u observaciones que se agrupan (en la figura 2.2, las calificaciones de Aunque el aspecto visual de los histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas es superior al de las tablas de frecuencia, existen formas en las cuales se pueden presentar las distribuciones en forma todavía más dramática y a menudo más efectivamente. Los pictogramas de las figuras 2.7 y 2.8 ilustran dos tipos de presentaciones pictográficas de este tipo (que a menudo se ven en periódicos, revistas c informes de diversos tipos).

Las distribuciones categóricas (o cualitativas), a menudo se presentan en forma gráfica como diagramas de pastel como el de la figura 2.9, donde un círculo se divide en sectores (en forma de rebanadas de pastel) que son proporcionales en tamaño a las frecuencias o porcentajes correspondientes. Para construir un diagrama de pastel, primero se convierte la distribución en porcentajes. Después, como un ciclo completo corresponde a 360 grados, se obtienen los ángulos centrales de los diversos sectores multiplicando los porcentajes por 3.6.

PREGUNTA 17: Las siguiente es la distribución de precios al menudeo que se pagan por 200 pares de zapatos para mujer que vende un atienda de departamentos.



Cantidad (dólares)

Frecuencia

10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 Total

19 46 69 35 22 9 200

Trace un histograma de esta distribución .

15

SOLUCION

Frecuencia Precios que se pagan por 200 pares de zapatos 80 70 oct-19

60 50

20-29

40

30-39

30

40-49

20

50-59

10

60-69

0 oct-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

PREGUNTA 18: Convierta la distribución del ejercicio anterior en una distribución acumulativa‖ de‖ y trace su ojiva‖.

menor

SOLUCION Cantidad (dólares)



Pares de zapato “Menor que”

Frecuencia Acumulada

10-19

Menor que 19

19

20-29

Menor que 29

65

30-39

Menor que 39

134

40-49

Menor que 49

169

50-59

Menor que 59

191

60-69

Menor que 69

200

Mediante la ojiva se representa de la manera siguiente:

16

Distribucion acumulativa "menor que" 250 a d a l u 200 m u c a a t 150 u l o s b 100 a a i c n e u 50 c e r F

0 10

20

30

40

50

60

70

cantidad (dólares)



La distribución acumulativa menor que se representa en el grafico como una ojiva creciente.

PREGUNTA 19: La siguiente es la distribución del número de sobres enviados por estudiantes voluntarios que participan en una campaña de recolección de fondos con fines caritativos.

Sobres con dirección

Números de estudiantes

50-99 100-149 150-199 200-249 250-299 300-349 350-399 400-449 Total

5 12 23 30 16 9 4 1 100

a) Trace un histograma de esta distribución

Número de sobres enviados por estudiantes

17

Números de estudiantes 35 30

50-99

25

100-149

20

150-199 200-249

15

250-299

10

300-349 350-399

5

400-449

0 50-99 100-149 150-199 200-249 250-299 300-349 350-399 400-449

b) Trace un polígono de frecuencia de esta distribución. Número de sobres enviados por estudiantes 35 30

s e t n25 a i d u t s 20 e e d15 o r e m10 ú N

5 0 24.5

74.5 124.5 174.5 224.5 274.5 324.5 374.5 424.5 524.5

PREGUNTA 20: Convierta la distribución de los ejercicios anteriores en una distribución ―o mayor‖ y trace su ojiva.

SOLUCION

18

Sobres con Dirección 50-99 100-149 150-199 200-249 250-299 300-349 350-399 400-449



Número de Estudiantes 5 12 23 30 16 9 4 1

Distribución “Mayor que”

Mayor que 50 Mayor que 100 Mayor que 150 Mayor que 200 Mayor que 250 Mayor que 300 Mayor que 350 Mayor que 400

100 95 83 60 30 14 5 1

La distribución “mayor que” se representa de la siguiente ojiva:

Distribución "Mayor que" 120 100 s o d 80 a i v n E 60 s e r b o 40 S

20 0 50

100

150

200

250

300

350

400

450

Estuduiantes "Mayor que"

PREGUNTA 21 Un diagrama de barras es una forma de presentación grafica muy similar a un histograma. En este tipo de diagrama (figuras 2.10 y 2.11) las longitudes de las barras son proporcionales a las frecuencias de clase, pero no pretendemos tener una escala horizontal continua. Elabore un diagrama de barras de la distribución de:

a) pregunta 17:

19



Cantidad (dólares)

Frecuencia

10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 Total

19 46 69 35 22 9 200

Diagrama de barras: Precios al menudeo que se pagan por 200 pares de zapatos

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0-9

10--19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

b) Pregunta 14: Semanas Cantidad de Horas Extras 1 154

Cantidades totales de horas extra 600

500

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 total

204 218 185 168 403 258 233 171 335 115 112 329 501 306 331 261 187 188 218 4877

PREGUNTA 22: Trace un diagrama de pastel para desplegar la información de que cierto días 946 emisiones aumentaron de precio, 653 emisiones bajaron de precio y 317 emisiones no variaron en precio en el mercado de valores de Nueva York. Las emisiones totales que se negociaron ascendieron a 1970 unidades.

SOLUCION Emisiones

Precios

hi

Grados

Aumentaron

946

48.0

173°

Bajaron

653

33.1

119°

No Variaron

371

18.8

68°

total

1970

100.00

360°



Diagrama de Pastel :

21

Emisiones en Prcio en el mercado de valores de Nueva York

19% 48%

Aumentaron Bajaron No Variaron

33%

PRINCIPIOS A UTILIZAR AL CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Determinar el número de clases: Normalmente es mejor utilizar de 5 a 20 clases. Hay que utilizar más clases cuando se tienen más datos disponibles. Cuando el número de clases es demasiado pequeño, podrían quedar ocultas característica, importantes de los datos al agruparlos. Si el número de clases es muy grande, es posible tener muchas clases vacías, y la distribución dará una deficiente descripción de los datos. Se tendría que determinar el número de clases a partir de la cantidad de datos presente y de su uniformidad. Una muestra pequeña requiere menos clases. Determinar la amplitud total y el ancho de clase: Como una regla general para encontrar los anchos de clase, se divide la diferencia entre la medición más grande y la más pequeña, entre el número deseado de clases y se añade al cociente una cantidad suficiente para obtener un valor adecuado para el ancho de clase. Todas las clases deben tener el mismo ancho para poder hacer comparaciones uniformes de las frecuencias de clase. Obtener las fronteras de clase: Para localizarlas, empiécese con la menor clase-para poder incluir la medición más pequeña. Después añádanse las clases restantes. Se tendrían que escoger las fronteras de clase de manera que sería imposible para una medición el caer en una frontera. PREGUNTA 23: Considere el siguiente conjunto de datos:

4 5 7 7

4 3 6 5

3 5 4 6

6 4 3 2

5 2 5 6

22

4

5

1

8

4

a) Construya un histograma de frecuencias absolutas para los datos. Utilice clases empezando en 0.5, con un ancho de clase igual a 1- es decir, de 0.5 a 1.5, de 1.5 a2.5, y así sucesivamente. b) ¿Qué fracciones de las medidas es menor que 4.5? c) ¿Qué fracción de las medidas cae entre 3.5 y 5.5?

SOLUCIÓN A) TENEMOS SIETE CLASES Clases 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL



Intervalo 0.5 – 1.5 1.5 – 2.5 2.5 – 3.5 3.5 – 4.5 4.5 – 5.5 5.5 – 6.5 6.5 – 7.5 7.5 – 8.5

fi 1 3 5 7 7 4 2 1 30

hi 0.03 0.1 0.17 0.23 0.23 0.14 0.14 0.03 1

Histograma. Histograma de frecuencias Absolutas

16 14

1.55 - 2.05

12

2.05 - 2.55

10

2.55 - 3.05

8

3.05 - 3.55

6

3.55 - 4.05

4 2

4.05 - 4.55

0

4.55 - 5.05 1.55 - 2.05 - 2.55 - 3.05 - 3.55 - 4.05 - 4.55 - 5.05 - 5.55 2.05 2.55 3.05 3.55 4.05 4.55 5.05 5.55 6.05

5.05 - 5.55

B) Los 16/30 = 0.533 de los valores. Es menor que 4.5. C) Los 14/30 = 0.466 del conjunto de datos, oscilan entre 3.5 y 5.5.

23

PREGUNTA 24: Considere el siguiente conjunto de datos. 3.1 4.5 2.9 2.7 3.8 5.1 2.5 3.6 4.3 5.6

4.9 3.5 2.1 4.Ü 6.2 1.8 3.6 6.1 5.7 4.9

2.8 3.7 3.5 4.4 2.5 5.6 5.1 4.7 3.7 4.2;

3.6 4.1 4.0 3.7 2.9 2.2 4.8 3.9 4.6 3.1

2.5 4.9 3.7 4.2 2.8 3.4 1.6 3.9 4.0 3.9

a) Supóngase que se quiere construir un histograma de frecuencia relativa de datos. ¿ Cuántas clase tendrían que utilizarse aproximadamente?. b) Suponga que decide empezar en 1.55 con un ancho de clase de 0.5- es decir, de 1.55 a 2.05, de 2.05 a 2.55, y así sucesivamente. Construya el histograma de frecuencias relativas para los datos. c) ¿Qué fracción de las mediciones es menor que 5.05? d) ¿Qué fracción de las mediciones es mayor que 3.55?

SOLUCION 

N =50

A) Tendríamos 7 clases: 

R = 6.2 -1.6

K = 1 + 3.3log(50)

R = 4.6 R =5 

K = 6.6 = 7

W = 5/7 W = 0.714 W = 0.7

Clases 1 2 3 4 5

Intervalos de Clase 1.6-2.5 2.5-3 3-3.7 3.7-4.4 4.4-5.1

(Fi) 4 8 12 12 9

(hi) 0.8 0.16 0.24 0.24 0.18

24

6 7 TOTAL

5.1-5.8 5.8-6.5

3 2 50

0.06 0.04 1.00

B) Clases

Intervalo

(fi)

(hi)

1

1.55 - 2.05

2

0.04

2

2.05 - 2.55

5

0.1

3

2.55 - 3.05

5

0.1

4

3.05 - 3.55

5

0.1

5

3.55 - 4.05

14

0.28

6

4.05 - 4.55

6

0.12

7

4.55 - 5.05

6

0.12

8

5.05 - 5.55

4

0.08

9

5.55 - 6.05

3

0.05

50

1

TOTAL

25

Frecuencia de Datos 16 14 12 10 8 6 4 2 0

1.55 2.05

2.05 2.55

2.55 3.05

3.05 3.55

3.55 4.05

4.05 4.55

4.55 5.05

5.05 5.55

5.55 6.05

C) La fracción 43/50 = 0.86 Es menor que 5.05. D) La fracción 33/50 =0.66 Es mayor que 3.55. PREGUNTA 25: La tabla 2.5 de las erogaciones por el gobierno de Estados Unidos en 1984 per cápita y por estado (en Seguridad Social, el servicio Medicare, subvenciones para gobiernos locales y estatales, etcétera). Construya un histograma de frecuencias relativas para describir los datos acerca del gasto federal per cápita y por estado.

TABLA: Erogaciones per cápita (en dólares) para el ejercicio 2.3: Estado (rango)

Erogaciones Estado (rango) Per Cápita

Erogacione Per

Ala. (27)

$2868

NJ. (30)

$2719

Alaska(l) Ariz. (18)

S4642 $3005

N.Mcx. (3) N.Y. (17)

$4306 $3005

26

Ark. (34) Calif. (9) Coló. (25) Conn. (7) Del. (32) D.C. Fia. (16) Ga. (28) Il aw ai i (5) Idaho (39) 111.(48) Ind. (45) Iowa (50) Kans. (11) Mont. (24) Nebr. (35) Ncv. (15) N.H. (19) Mu. (61 Tex. (41) Utah (20) Vi. (33) Va. (4)

$2592 $3579 $2884 $4055 $2668 $ 2668 $3027 $2727 $4073 $2494 $2216 $2371 $2176 $3346 $2884 $2565 $3081 $2971 $4060 $2456 $2930 $263! $4303

N.C. (49) N.Dak. (12) Ohio (44) Okla. (36) Oreg. (42) Pa. (29) R.1.(14) S.C. (31) S.D ak. (21 ) Tenn. (23) Ky.(38) . U. (43) Mainc (22) Md. (2) Mass. (8) Mich. (47) Minn. (37) Miss. (13) Wash.(lO) W. Va. (40) Wis. (46) Wyo. (26) Avcrage

$2210 $3317 $2388 $2549 $2448 $2724 $3099 $2711 $2912 $2885 $2517 $2396 $2891 $4319 $3695 $2237 $2545 $3187 $3406 $2472 $2277 $2879 $3022

Debido a la gran cantidad de empleados gubernamentales, la erogación per cápita correspondiente a Washington, D.C fue de 20 652 dólares y no se incluyó en la tabla

SOLUCION 

R = 4642 – 2176 = 2466



K = 1 + 3.3log(50) = 6.6 =7



W = 2466/7 = 352.28 =352

CLASE 1 2

INTERVALOS 2176 - 2528 2529 - 2881

(fi) 13 12

(hi) 0.26 0.24

3

2882 - 3234

13

0.26

4

3235 - 3587

4

0.08

27

5

3588 - 3940

1

0.02

6

3941 - 4293

3

0.06

7 TOTAL

47294 - 4646

4 50

0.08 1.00

EROGACIONES 14

13

12

12

13

9 10 o g n8 a R 86 o d4 a t s2 E

4

3

4

1

0

Erogaciones Per Capita

PREGUNTA 26: A fin de decidir cuántos mostradores de servicio se necesitarán en tiendas que serán construidas en lo futuro, una cadena de supermercados quiso obtener información acerca del tiempo (en minutos requerido para atender a los clientes. Con objetivo de obtener la información acerca de la distribución de los tiempos de servicios para los clientes , se registraron 1 000 tiempos de servicio como una muestra. Se dan 60 de ellos en la tabulación siguiente.

3.6 1.0 0.3 0.8

1.9 1.4 1.1 1.7

2.1 1.8 0.5 1.4

0.3 1.6 1.2 0.2

0.8 1.1 0.6 1.3

0.2 1.8 l.l 3.1

28

0.4 0.6 0.4 0.8 1.1 1.8

2.3 2.8 1.3 1.0 2.2 0.3

1.8 2.5 0.8 0.9 1.6 1.1

4.5 1.1 1.3 0.7 1.9 0.6

0.9 0.4 1.1 3.1 5.2 0.7

0.7 1.2 1.2 1.7 0.5 0.6

a) Construya un histograma de frecuencias absolutas para los datos. b) ¿Qué proporción de los tiempos de servicios es menor que o igual a un minuto?

SOLUCION N = 60   

R=5 K=7 W = 0.8

CLASE

INTERVALOS

(fi)

(hi)

1

-0.1 - 0.7

14

0.23

2

0.7 - 1.5

26

0.43

3

1.5 - 2.3

12

0.2

4

2.3 - 3.1

3

0.05

5

3.1 - 3.9

3

0.05

6

3.9 - 4.7

1

0.02

7

4.7 - 5.5

1

0.02

A) Histograma de Frecuencias.

29

Mostrados de servicios 30 26

25 20

a i c n e 15 u c e r F

14 12

10 5

3

3 1

1

3.9 - 4.7

4.7 - 5.5

0 -0,8

B)

0.7 - 1.5

1.5 - 2.3

2.3 - 3.1 Clases

3.1 - 3.9

— 

 

(  )()

(  ) ()     

40/60

-0.1

0.7

40/60 - X

1.0

1.55

X

PROPORCIÓN:

30



 



  

PREGUNTA 27: Se registró, para una muestra de n= 50 bancos comerciales y/o instituciones de prestamos, el número de solicitudes de préstamos para casos otorgados durante un mes en particular. Los datos son los siguientes:

2 9 14 19 4 7 14 8 1 3

4 2 9 6 18 2 1 24 3 12

2 6 16 4 0 8 2 1 11 23

32 3 7 4 6 0 2 8 18 5

9 1 8 2 13 1 18 5 26 4

a) Construya un histograma de frecuencias relativas para los datos. b) Determine la proporción de los 50 bancos comerciales y/o instituciones de préstamos que otorgaron 10 o menos prestamos para la construcción de casas de ese mes en particular.

SOLUCION   

R = 32 K=7 W=5 CLASES 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL

INTERVALOS 0-5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 - 35

(fi) 22 14 5 5 2 1 1 50

(hi) 0.44 0.28 0.1 0.1 0.04 0.02 0.02 1.00

31

Prestamos de Bancos 25

22

s e d20 u t i c i l 15 o s e d10 o r e m ú 5 N

14

5

5 2

1

1

25-30

30-35

0 0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

Intervalos

a)

 



 

 

PREGUNTA 28: Se presento una declaración de impuestos durante este año, ¿Cuáles son las probabilidades de que su declaración sea revisada? Aunque las probabilidades cambiaran de año en año, dependiendo de la mano de obra disponible para efectuar las revisiones para el Internal Revenu Service (IRS) y sus políticas, la tabla 2.6 puede dar información. Muestre el número de declaraciones de impuestos por estado en 1984 , el número y el porcentaje de las revisiones realizadas .Describa los porcentajes de las revisiones llevadas a cabo en los 50 estados de los EUA, utilizando un histograma de frecuencias relativas.

Estado

Declaración Fiscal de 1984 Revisiones Realizadas

Porcentajes de

32

Alabama Alaska Arizona Arkansas California Colorado Conneticut Delaware Florida Georgia Hawaii idaho Illinois Indiana Lowa Kansas Kentuchy Louisiana Maine Maryland Massachusetts Michigan Minnesota Mississipi Missouri Montana Nebraska Nevada New Hampshire New Jersey Neww Mexico New York North Carolina North Dakota Ohio Oklahoma Oregon Pennsylvania Rhode Island South Carolina South Dakota Tennessee Texas

1415228 233681 1203483 818335 10744350 1365174 1488512 263243 4635091 2247309 448974 361732 4735759 2175952 159039 991703 1306226 1608806 474054 2227632 2635761 3568506 1723152 866031 1995262 335248 664821 414127 438330 3562840 549869 7270949 2439658 279156 4342810 1247364 1085829 4874417 416463 1218832 278962 1796439 11171215

15648 5801 17403 10579 160054 18722 18160 3495 63334 27293 6217 5737 46986 14988 10287 11533 10879 21066 4009 22259 21515 32188 200170 11112 19184 4625 7844 10395 3485 47755 7892 102253 24897 4723 47543 15048 14792 42198 4821 11875 3961 20589 82426

Revisiones 1.11 2.48 1.45 1.29 1.49 1.37 1.22 1.33 1.37 1.21 1.38 1.59 0.99 0.69 0.89 1.16 0.83 1.31 0.85 1 0.82 0.9 1.17 1.28 0.96 1.38 1.18 2.51 0.8 1.34 1.44 1.41 1.02 1.69 1.09 1.21 1.36 0.87 1.16 0.97 1.42 1.15 0.74

33

Utah Vermont Virginia Washington West Virginia Wisconsin Wyoming

557826 217588 2324937 1800810 655551 1949953 206902

10966 2482 21340 25525 6217 16098 4060

1.97 1.14 0.92 1.42 0.95 0.83 1.93

Datos de declaraciones revisadas para el ejercicio 2.6:

SOLUCIÓN: R= 2.51 – 0.69 R= 1.82 R= 2

K= 1 + 3.3log (50) K= 6.6 K= 7

CLASE 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL

INTERVALOS 0.69-0.99 0.99-1.29 1.29-1.59 1.59-1.89 1.89-2.19 2.19-2.49 2.49-2.79

(fi) 14 15 15 2 2 1 1 50

W=R/K W= 0.28 W= 3

(hi) 0.28 0.3 0.3 0.04 0.04 0.02 0.02 1

Gastos por I&D 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.69- 0.990.99- 1.291.29- 1.591.59- 1.891.89- 2.192.19- 2.492.49- 2.79

PREGUNTA 29:

34

De las cantidades de los fondos generados internamente (en millones de gastaron en 1985 las 50 corporaciones más grandes (como erogaciones) para la investigación y desarrollo. Construya un histograma de frecuencias relativas para describir las cantidades 1 y D. TABLA 2.7 2.7

Datos de las erogaciones de empresas en 1 y D, para el Ejercicio Ejercicio 2.7

SOLUCION R= 3625.2 – 224.0 R= 3401.2 R= 3401

K= 1 + 3.3log (50) K=6.6 K=7

1985 Erogaciones (en millones) Rango 1985 1 2 3 4 5 6 7 8

18

Compañía General Motors IBM AT&T Ford Du Pont ITT General Electric Eastman Kodak United Technologies Digital Equipmenet Hewlett Packard Exxon Chrysler Xerox Dow Chemical 3M Sperry Johnson & Johnson

19 20 21 22

Monsano Motorola Honeywell Lockheed

9 10 11 12 13 14 15 16 17

W= 3401/7 W= 485.8 W= 486

$ 3,62512 3,457.0 2,209.7 2,018.0 144.0 1,085.0 1,069.0 976.0

Cambios desde 1984 (%) 17.9 9.8 1.0 5.4 4.3 13.7 3.0 16.5

I & D como porcentaje de las ventas 3.4 6.9 3.9 3.8 3.9 9.1 3.8 9.2

916.2

-1.6

6.1

717.3

13.7

10.7

685.0 681.0 609.0 609.0 603.0 547.0 507.0 503.5

15.7 -7.5 34.7 7.4 7.9 10.9 9.2

10.5 0.8 2.9 6.9 4.7 6.5 8.8

471.1

11.8

7.3

470.0 464.0 451.4 429.0

27.0 9.2 7.0 13.5

7.0 8.5 6.8 4.5

35

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Merck McDonnell Douglas Bocing texas instruments procter & Gamble Eli Lilly Rockwell Allied-Signal Control Data Gte Smith Kline NCR Goodyear Chevron Northrop Pfizer Burroughs Upjohn Union Carbide Briston-Myers Raytheon shell Oil RCA American Cyanamid Westinghouse Abbott Labs general Dynamics Mobil

INTERVALOS 224 - 710 710 - 196 1196 - 1682 1682 - 2168 2168 - 2654 2654 - 3140 3140 - 3626

426.3

8.4

12.0

423.1 409.0

14.2 -19.2

3.7 3.0

$ 402.0

9.5

8.2

400.0 369.8 367.2 343.0 316.1 313.0 309.6 299.1 298.6 296.0 287.5 286.7 285.2 284.1 275.0 261.7 260.3 254.0 251.0

8.4 8.4 21.5 32.9 6.4 18.1 10.9 3.5 6.9 -4.2 20.5 12.5 3.9 15.2 3.8 23.2 10.3 17.1 3.5

3.0 11.3 3.2 3.8 8.6 2.0 9.5 6.9 3.1.1 0.7 5.7 7.1 5.7 14.1 3.1 5.9 4.1 1.2 2.8

250.6 246.0 240.6

7.9 3.8 10.0

7.1 2.3 7.2

228.0 224.0

15.7 4.2

2.8 0.7

(fi) 40 6 0 1 1 0 2

(hi) 0.8 0.12 0 0.2 0.2 0 0.04

50

1.00

36

FONDOS GENERADOS 45 40

40

35 30

a i c n25 e u c 20 e r F

15 10

6

5

0

1

1

0

1196 1682

1682 2168

2168 2654

2654 3140

0 224 - 710 710 - 196

2 3140 3626

Erogaciones en I & D

PREGUNTA 30: Utilice un histograma de frecuencias relativas para describir los gasto por investigación y desarrollo, expresados como porcentaje de las ventas anuales.

SOLUCION R= 14.1 – 0.7 R= 13.4 R= 13


K= 1+ 3.3log (50) K=6.6 K= 7

INTERVALOS 0.7 - 2.7 2.7 - 4.7 4.7 - 6.7 6.7 - 8.7 8.7 - 10.7 10.7 -12.7 12.7 - 14.7

W= 13/7 W= 1.8 W= 2

fi 6 17 8 10 5 3 1

hi 0.12 0.34 0.6 0.2 0.1 0.06 0.02

50

1.00

37

GASTOS POR I 18

17

16 14 12

10

10

8

8

6

6

5

4

3

2

1

0 0.7 - 2.7

2.7 - 4.7

4.7 - 6.7

6.7 - 8.7 8.7 - 10.7 10.7 -12.7 12.7 - 14.7

Gastos por I & D

PREGUNTA 31: Los datos de la Tabla 2.8 muestran los réditos por dividendos (en porcentaje) de acciones comunes comunes para 25 servicios público de electricidad al final del año de 1985 y en noviembre 13 de 1986. a) Construya un histograma de frecuencias relativas para los réditos por dividendos al final del año 1985 para las acciones comunes de las 25 empresas. b)¿Qué proporción proporción de los réditos por por dividendos es mayor que 7.0%? 7.0%? c) Nótese que los réditos para 1985 varían de un bajo 6.2% a un alto 12.7%. ¿Puede dar una explicación para esta variación tan grande? Datos de los réditos por dividendos del Ejercicio 2.9 Réditos por Servicios Públicos de Fin del año 1985 Allegheny Power 8.2 At la nt ic Cit Cit Elec lectric tric 9.1 Carolina Power 8.9 Duke Power 7.3 Du ues uesne Li ht 12.7 2.7 Florid Floridaa Pro ress ress 7.4 FPL FPL Grou Grou 6.9 6.9 Houston Industries 9.4 Idaho Power 7.5 Illi Il li no is Power Power 11.1 11.1 Iowa-Illinois Gas & Electric 7.6

dividendos dividendos Noviembre 13 de 6.1 6.4 6.7 5.6 9.3 5.2 5.9 5.9 8.1 6.3 8.7 6.6

38

Kansas Power & Li ht Minnesota Power & Li ht Montana Power Ohio Edison Pacifie Gas &. Electric Penns lvania Power & Li ht Philadcl hia Electric San Die o Gas & Electric Southern California Edison Southern Com an TECO Ener , Inc. Texas Utilities Union Electric Wisconsin Electric Power

7.4 7.0 7.4 11.5 9.2 8.9 12.7 8.3 8.1 9.2 6.8 8.4 8.6 6.2

5.3 4.7 6.4 9.5 7.8 6.6 9.6 6.5 6.6 8.4 5.2 8.1 6.3 5.6

SOLUCION A)

R = 12.7 -6.2 R = 6.5 R=7

CLASE 1 2 3 4 5 6 TOTAL

K = 1+3.3log (25)

W= 7/6

K = 5.6 K=6

INTERVALOS 6.2 - 7.3 7.3 - 8.4 8.4 -9.5 9.5 -10.6 10.6 -11.7 11.7 - 12.8

W = 1.16 W = 1.1

fi 4 9 8 0 2 2

hi 0.16 0.36 0.36 0 0.08 0.08

25

1.00

39

RÉDITOS POR DIVIDENDOS 10

9

9

8

8 7 6 5

4

4 3

2

2

2

0

1 0 6.2 - 7.3

7.3 - 8.4

8.4 -9.5

9.5 -10.6

10.6 -11.7

11.7 - 12.8

Fin del año 1985

B) 4/25 6.2

7.0

7.3

12.8

X

7.3 – 6.2 7.3 – 7.0 X= (7.3 – 7.0) (4/25) = 0.048 (7.3 – 6.2)

21/25

4/25 X Proporción: X + 21/25 = 0.888

C) Logramos deducir que esta variación se debe a agentes externos como la buena inversión la estabilidad del precio de las acciones, etc.; de esta manera el porcentaje aumenta obteniendo mejores ingresos para cada empresa. PREGUNTA 32: Refiérase al ejercicio 29. Construya un histograma de frecuencias relativas para los réditos por dividendos de las acciones comunes de las 25 empresas al 13 de noviembre, 1986. Utilice los mismos anchos de clase empleados en el Ejercicio 2.9. Compare este histograma de frecuencias relativas con el histograma de los réditos del final del año. Nótese el corrimiento a la baja en los réditos del final del año de 1985 a noviembre 13 de 1986. ¿Qué señala este descenso acerca del cambio en los precios para estas acciones de empresa entre fines de 1985 y noviembre 13 de 1986?

40

SOLUCIÓN R = 9.6 – 4.7 R= 4.5 R= 5

K = 5.6 K=6

CLASE 1 2 3 4 5 6

W= 1.1

INTERVALOS 4.7 - 5.8 5.8 - 6.9 6.9 - 8 8 - 9.1 9.1 - 10.2 10.2 - 11.3

(fi) 6 11 1 4 3 0

(hi) 0.24 0.44 0.04 0.16 0.12 0

25

1.00

TOTAL

REDITOS POR DIVIDENDOS 12

11

10 8 6 6 4 4

3

2

1

0

0 4.7 - 5.8

5.8 - 6.9

6.9 - 8

8 - 9.1

9.1 - 10.2

10.2 - 11.3

13 de Noviembre 1984

INTERPRETACION: La caída se debe a que a disminuido los precios de las acciones por lo que los intereses también disminuye, y eso podemos ver notoriamente ya que las empresas a fines del año 1985 alcanzo un alto de un 12.7 % al 13 de noviembre de 1986 solo alcanzaron un alto de 9.6%.

PREGUNTA 33: Edward Lawrence encontró, al estudiar los retrasos en los reportes de empresas en un número significativo de empresas en bancarrota incurren en retrasos al publicar los reportes anuales para el último año antes de la quiebra". Los tiempos de retraso (también llamado periodo de demora) para 58 empresas quebradas se describen

41

mediante el histograma de frecuencia de la figura 2.3. Examine el histograma de frecuencias y conteste las siguientes preguntas a) ¿Qué proporción de empresas en quiebra esperó cinco o más meses, después del año de actividad de la empresa, antes de publicar su reporte anual? b) ¿Qué proporción de empresas tuvo períodos de demora mayores que dos mese? c) ¿Qué proporción de empresas publicó sus reportes anuales dentro de los tres meses después del final del año?

SOLUCIÓN CLASE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 TOTAL

MESES 0.5 - 1.5 1.5 - 2.5 2.5 - 3.5 3.5 - 4.5 4.5 - 5.5 5.5 - 6.5 6.5 - 7.5 7.5 - 8.5 8.5 - 9.5 9.5 - 10.5 10.5 - 11.5 11.5 - 12.5 12.5 - 13.5

fi 2 5 24 13 5 4 0 3 0 0 0 0 1 57

FI 2 7 31 4 49 53 53 56 56 56 56 56 57

hi 0.035 0.088 0.421 0.228 0.088 0.07 0 0.052 0 0 0 0 0.18

HI 0.035 0.123 0.544 0.72 0.86 0.93 0.93 0.982 0.982 0.982 0.982 0.982 1000

A) ( 5 , 12) Meses Proporción.

4.5

0.088 5 P1 5.5

0.122

0 11.5

P2 12

12.5

PA + 0.122 + P2

Hallando P1: P1 = (5.5 – 5) (0.08) = 0.044 1

P2 = (12 – 11.5) (0) 1

=0

P= P1 + 0.122 P2 P= 0.04 + 0.122 + 0 P= 0.166

B) ( 2 , 13.5) Meses, Proporción.

42

0.035 1.5 2

0.965 2.5

13.5

P= P1 + 0.965 Hallando P1 P1= (2.5 – 2) (0.035) = 0.0175 1 P= 0.0175 + 0.965 P= 0.9825

C) (3 , 12 ) Meses, Proporción: 0.421 2.5 3 P1

0.438 3.5

0 11.5

P2

12

12.5 P1= (3.5 – 3) (0.421) = 0.2105 1 P2=(12 – 11.5) (0) 1

=0

P=P1 + 0.438 + P2 P= 0.2105 + 0.859 + 0 P= 0.6485 PREGUNTA 34: ¿Se relaciona el éxito de una compañía con el uso de métodos modernos de estudio de mercados? Para aclarar esta cuestión, Tom Griffin observó 49 compañías alimentarias de Puerto Rico. Cada una contestó dos cuestionarios, uno diseñado para medir hasta qué punto una empresa utilizaba métodos modernos de estudio de mercados, y el ot ro para medir el éxito de la compañía. Antes de analizar la relación entre las calificaciones obtenidas por una negociación en los cuestionarios del estudio de mercados, y del éxito de la compañía, Griffin ofrece una tabulación de las 49 calificaciones correspondientes a cada uno de los dos cuestionarios. Los datos se presentan en la tabla 2.9(a) y 2.9 (b), donde se ve que algunas empresas obtuvieron la misma calificación en un cuestionario en particular. Examine las 49 calificaciones de métodos de estudio de mercados y nótese que varian de una calificación baja (poco uso) de 2.09 a una calificación alta de 3.69. Construya distribución de frecuencias relativas para describir este conjunto de datos. TABLA 2.9 Datos respecto a métodos de es tu di o de mercados y a éx ito de empresas, para el ejercicio 32'

43

SOLUCION R = 3.69 – 2.09 R= 1.6 R= 2

K= 1+3.3log (49) K= 6.57 K= 7

W= 2/7 W= 0.24

CLASE

INTERVALOS (fi)

(hi )

1

2.09 - 2.33

3

0.06

2

2.33 - 2.57

6

0.12

3

2.57 - 2.81

14

0.28

4

2.81 - 3.05

10

0.20

5

3.05 - 3.29

13

0.27

6

3.29 - 3.53

2

0.04

7

3.53 - 3.77

1

0.02

49

1.00

TOTAL

PREGUNTA 35: Describa las 49 calificaciones del éxito de las compañías del Ejercicio 32 utilizando un histograma de frecuencias relativas.

SOLUCION

44

R= 2.64 – 1.27 R= 1.37 R= 1

25 20 15 10

K= 1 + 3.3log (49) K= 6.57 K= 7

CLASE

(li )

1

1.27 - 1.47 1

0.02

2

1.47 - 1.67 1

0.02

3

1.67 - 1.87 5

0.10

4

1.87 - 2.07 6

0.13

5

2.07 - 2.27 6

0.13

6

2.27 - 2.74 21

0.42

7

2.47 - 2.67 9

0.18

TOTAL

(fi)

W= 1/7 W= 0.2

(hi)

49

1.00

5 0

DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJA 1. El director de un almacén está interesado en el número de quejas recibidas por el departamento de atención al cliente acerca de la calidad de los productos eléctricos vendidos. Los datos correspondientes a un período de diez semanas aparecen en siguiente tabla.

Numero de Semana quejas 1 13 2 15 3 8 4 16 5 8

Semana 6 7 8 9 10

Numero de quejas 4 21 11 3 15

45

a) Hallar el número medio de quejas semanales de esta población. b) Hallar la mediana del número de quejas semanales de esta población.

SOLUCIÓN a) Elaboramos una tabla de frecuencias para las 10 semanas.

Numero de Semana quejas 1 13 2 15 3 8 4 16 5 8 6 4 7 21 8 11 9 3 10 15 114

F 13 28 36 52 60 64 85 96 99 114

La media. n

 xi X=

1

=

n 

114 10

=11,412

Hay 12 quejas semanales en promedio.

b) La tabla de frecuencias ordenadas:

Numero de quejas (f) 3 4 8 8 11 13 15 15 16 21

F 3 7 15 23 34 47 62 77 93 114

46

114 Para la mediana, el termino central: n/2=114/2=57, corresponde a la



sétima fila. Por tanto: Me=15 Luego, el 50% de las semanas se recibe 15 quejas en promedio.



2. Una compañía posee 12 parcelas de terreno edificable. Los tipos impositivos a efectos de tasación durante 1994 fueron para estas parcelas (en tanto por Ciento) 21 22

22 23

27 22

36 28

22 36

29 33

Para esta población: a) Hallar la media poblacional. b) Hallar la mediana. c) Hallar la moda.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 12 parcelas.

x(%) 21 22 23 27 28 29 33 36

f 1 4 1 1 1 1 1 2 12

F 1 5 6 7 8 9 10 12

xf 21 88 23 27 28 29 33 72 321

a) La media: n

 f i x i X=

1

n 

=

321 12

=26,75

La tasación promedio para las parcelas 26,75%

b) La mediana: La clase mediana: n/2=6, tercera fila: Me=23 

El 50% de las tasaciones para las parcelas es de 23%

c) La moda:

47

La clase modal es la segunda fila: Mo=22 

La mayoría de las tasaciones para las parcelas es de 22%

3. Se toma una muestra de diez economistas y se les pide una predicción acerca del porcentaje de crecimiento del IPC para el próximo año. Las predicciones fueron: 3,60 3,70

3,10 3,40

3,90 3,00

3,70 3,60

3,50 3,40

a) Hallar la media muestral de las predicciones. b) Hallar la mediana.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 10 predicciones.

x(%) 3,00 3,10 3,40 3,50 3,60 3,70 3,90

f 1 1 2 1 2 2 1 10,00

xf 3 3,1 6,8 3,5 7,2 7,4 3,9 34,9

F 1 2 4 5 7 9 10

a) La media: n

 x i f i X=

1

n 

=

34,9 10

=3,493,5%

La predicción de IPC promedio para los economistas es 3,5%

b) La mediana: La clase mediana: n/2=5, cuarta fila: Me=3,5

48



El 50% de las predicciones de IPC promedio para los economistas es 3,5%.

4. Se toma una muestra de ocho estudiantes que viven en la residencia de cierto campus, y se les pide que evalúen la calidad de la comida en el comedor de la residencia en una escala que va de 1 (mala) a 7 (excelente). Las puntuaciones fueron: 2 4 2 3 5 4 3 2 a) hallar la media muestral. b) Hallar la mediana muestral.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 8 puntuaciones.

x 2 3 4 5

f 3 2 2 1 8

xf 6 6 8 5 25

F 3 5 7 8

a) La media: n

 x i f i X=

1

n

=

25 8

=3,125 3

La calidad de la comida es mala con promedio 3 sobre 7.



La mediana:

49

La clase mediana: n/2=4, segunda fila: Me=3 El 50% de los estudiantes considera mala la comida, con promedio 3 sobre 7. 5. Una empresa está interesada en contratar economistas. Para evaluar el nivel de los candidatos, se elabora un examen de 50 preguntas. En un estudio piloto, se somete a este examen a una muestra de diez economistas. Los números de respuestas acertadas por los individuos de esta muestra fueron: 42 33

29 38

21 26

37 39

40 47

a) Hallar la media muestral del número de respuestas correctas. b) Hallar la mediana de esta muestra.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para los 10 candidatos.

x 21 29 29 33 37 38 39 40 42 47 355

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

La media: n

 xi X=

1

n

=

255 10

=25,526

La puntaje promedio del examen es 26 puntos.

La mediana: La clase mediana: n/2=5, quinta fila:

50

Me=37 El 50% de los candidatos tiene promedio 37 puntos. 6. Una cadena de grandes almacenes tiene, diez establecimientos. Se analiza el volumen de ventas durante el periodo de Navidad y se comparan con las obtenidas en el mismo período del año anterior. Los porcentajes de incremento de ventas en dólares de los diez establecimientos fueron: 10,2 2,9

3,1 6,8

5,9 7,3

7 8,2

3,7 4,3

Para esta población: a) Hallar la media del porcentaje de incremento de ventas en dólares. b) Hallar la mediana.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para los porcentajes.

x(%) 2,9 3,1 3,7 4,3 5,9 6,8 7,0 7,3 8,2 10,2 59,4

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

a) La media: n

 xi X=

1

n

=

59,4 10

=5,94

El porcentaje promedio es 5,94%. 

La mediana:

51

La clase mediana: n/2=5, quinta fila: Me=5,9 El 50% de los porcentajes aumentaron un 5,9%. 7. Para una muestra de 12 ejecutivos se observaron los siguientes porcentajes de compensación total por pago de bonos 15,8 13,1

7,3 10,2

28,4 29,3

18,2 34,7

15,0 16,9

24,7 25,3

a) Hallar la mediana muestral. b) Hallar la inedia muestral.


x 7,3 10,2 13,1 15,0 15,8 16,9 18,2 24,7 25,3 28,4 29,3 34,7 238,9

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) La media: n

 xi X=

1

n

=

238,9 12

=19,91

El porcentaje promedio de pago de bono es 19,91%. 

La mediana:

52

La clase mediana: n/2=6, sexta fila: Me=16,90 El 50% de los porcentajes de pago de bono es 16,90%. 8. Da un ejemplo económico real para el que la metida de centralización más adecuada sea: a) La media. b) La mediana. c) La moda.

SOLUCIÓN a) La estatura de los jugadores de un equipo de básquet. b) Las ventas anuales de una librería c) Las prendas de vestir que más se venden en una tienda en una temporada. 9. Retomemos los datos del Ejercicio 1, acerca del número de quejas semanales recibidas por el departamento de atención al cliente en un período de diez semanas. a. Hallar la varianza poblacional y la desviación típica. b. Hallar la media de las desviaciones absolutas. c. hallar el rango o recorrido. d. Hallar el rango intercuartílico.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias:

Numero de quejas (f) 3 4 8 8 11 13 15 15

F 3 7 15 23 34 47 62 77

(x-xm)² 81 64 16 16 1 1 9 9

x-xm 9 8 4 4 1 1 3 3

53

16 21 114

93 114

16 81 294,0

4 9 46,0

a) La varianza: n

 x i  x 

2

f i

1

Var(x)=

=

n 1

294,0 114

=2,57

La desviación estándar :



SD= Var ( x) =

2,57 =1,61

b) Desviaciones absolutas:

DA=

xi



n

x

=

294,0 114

=0,40

c) Rango:

R=xmax-xmin=21-3=18 quejas d) El rango intercuartílico. Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1 :

n/4=114/4=28,5 Q3:

Q 1=11

quinta columna

3n/4=3(114)/4=85,5 Q3=16 

novena columna

Rango intercuartilico: R=Q3-Q1=16-11=5

10. Situémonos en el contexto del Ejercicio 2, en el que se recogían los tipos impositivos de 12 parcelas. a. Hallar la varianza muestral y la desviación típica. b. Hallar la media de las desviaciones absolutas.

54

c. Hallar el recorrido. d. Hallar el rango intercuartílico.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 12 parcelas.

x(%) 21 22 23 27 28 29 33 36

f 1 4 1 1 1 1 1 2 12

F 1 5 6 7 8 9 10 12

xf 21 88 23 27 28 29 33 72 321

(x-xm)² 33,06 22,56 14,06 0,06 1,56 5,06 39,06 85,56 201,00

x-xm 5,75 4,75 3,75 0,25 1,25 2,25 6,25 9,25 33,50

a) La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

201 12

=16,75

La desviación estándar:



SD= Var ( x) = 16,75 =4,01

b) Desviaciones absolutas:

DA=

xi



n

x

=

33,50 12

=2,79

c) Rango: R=xmax-xmin=36-21=15%

d) El rango intercuartílico. Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1 :

n/4=12/4=3

Q1=22

segunda fila

55

Q3:

3n/4=3(12)/4=9 Q3=29

sexta fila

Rango intercuartilico:



R=Q3-Q1=29-22=7 11. Retomemos los datos del Ejercicio 3, que se referían a predicciones acerca del porcentaje de incremento del IPC. a. Hallar la varianza muestral y la desviación típica. b. Hallar el rango intercuartílico.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 10 predicciones.

x(%) 3 3,1 3,4 3,5 3,6 3,7 3,9

f 1 1 2 1 2 2 1 10

xf 3 3,1 6,8 3,5 7,2 7,4 3,9 34,9

F 1 2 4 5 7 9 10

(x-xm)² 0,2401 0,1521 0,0081 1E-04 0,0121 0,0441 0,1681 0,6247

x-xm 0,49 0,39 0,09 0,01 0,11 0,21 0,41 1,71

a) La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

0,6247 10

=0,06




SD= Var ( x) =

0,05 =0,25

b) Desviaciones absolutas: DA=

xi



n

x

=

1,71 10

=0,171

c) Rango: R=xmax-xmin=3,9-3,0=0,9


n/4=10/4=2,5

Q1=3,4

tercera fila

56

Q3:

3n/4=3(10)/4=7,5 Q3=3,7

sexta fila

R=Q3-Q1=3,7-3,4=0,3 12. Para los datos del Ejercicio 4, que recogían las calificaciones otorgadas por una muestra de ocho estudiantes al servicio de comedor de la residencia de un campus: a. Hallar la varianza muestral y la desviación típica. b. Hallar el rango intercuartílico.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las 8 puntuaciones.

x

f

xf

F

(x-xm)²

x-xm

2

3

6

3

3,796875

3,375

3

2

6

5

0,03125

0,25

4

2

8

7

1,53125

1,75

5

1

5

8

3,515625

1,875

8

25

8,875

7,25

a) La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

8,875 =1,11 8




SD= Var ( x) =

0,05 =1,05


xi



n

x

=

7,25 8

=0,91

c) Rango: R=xmax-xmin=5-2=3


n/4=8/4=2 Q3:

Q1=2

primera fila

3n/4=3(8)/4=6 Q3=4

tercera fila

R=Q3-Q1=4-2=2

57

13. Retomemos los datos del Ejercicio 5, que recogían las puntuaciones de diez exámenes. a. Hallar la varianza poblacional y la desviación típica. b. Hallar la media de las desviaciones absolutas, c. Hallar el rango intercuartílico

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para los 10 candidatos.

x 21 26 29 33 37 38 39 40 42 47 355

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x-xm)² 210,25 42,25 42,25 6,25 2,25 6,25 12,25 20,25 42,25 132,25 516,5

x-xm 14,5 6,5 6,5 2,5 1,5 2,5 3,5 4,5 6,5 11,5 60

a) La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

516,5 10

=51,65




SD= Var ( x) =

51,65 =7,19


xi



n

x

=

60 10

=6

c) El rango intercuartílico. Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1 :

n/4=10/4=2,5 Q3:

Q1=29

tercera fila

3n/4=3(10)/4=7,5 Q3=40

octava fila

R=Q3-Q1=40-29=11

58

14. Para los datos del Ejercicio 6, que se referían a los incrementos de ventas en diez establecimientos: a. Hallar la varianza poblacional y la desviación típica. b. Hallar el recorrido. c. Hallar el rango intercuartilico.


x(%) 2,9 3,1 3,7 4,3 5,9 6,8 7 7,3 8,2 10,2 59,4

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x-xm)² 9,2416 8,0656 5,0176 2,6896 0,0016 0,7396 1,1236 1,8496 5,1076 18,1476 51,984

x-xm 3,04 2,84 2,24 1,64 0,04 0,86 1,06 1,36 2,26 4,26 19,6

a) La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

51,984 10

=5,19




SD= Var ( x) =

51,98 =2,28


xi



n

x

=

19,6 10

=1,96

c) El rango intercuartílico. Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1 :

n/4=10/4=2,5 Q3:

Q1=2,7

tercera fila

3n/4=3(10)/4=7,5 Q3=7,3

octava fila

R=Q3-Q1=7,3-2,9=4,4

59

15. Para los datos del Ejercicio 7, sobre porcentajes de compensación total por pago de bonos: a) Hallar la desviación típica muestral. b) Hallar el rango intercuartílico


x 7,3 10,2 13,1 15 15,8 16,9 18,2 24,7 25,3 28,4 29,3 34,7 238,9

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(x-xm)² 158,76 94,09 46,24 24,01 16,81 9,00 2,89 23,04 29,16 72,25 88,36 219,04 783,65

x-xm 12,6 9,7 6,8 4,9 4,1 3,0 1,7 4,8 5,4 8,5 9,4 14,8 85,7

a. La varianza: n

 x



2

i

 x f i

1

Var(x)=

=

n

783,65 12

=65,30




SD= Var ( x) =

65,30 =8,08

c) Desviaciones absolutas: DA=

xi



n

x

=

85,7 12

=7,14


n/4=12/4=3 Q3:

Q1=13,1

tercera fila

3n/4=3(12)/4=9 Q3=15,3

novena fila

R=Q3-Q1=15,3-13,1=2,2

60

16. Se toma una muestra de 12 estudiantes matriculados en estadística y se les pregunta por el número de horas que emplearon en estudiar la asignatura en la semana anterior al examen final:

12 9

7 3

4 11

16 14

21 10

5 6

a) Hallar la media muestral. b) Hallar la mediana muestral. c) Hallar la varianza muestral y la desviación típica. d) Hallar el rango intercuartílico.

SOLUCIÓN La tabla de frecuencias ordenadas para las horas.

x 3 4 5 6 7 9 10 11 12 14 16 21 118

F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(x-xm)² 46,694 34,028 23,361 14,694 8,028 0,694 0,028 1,361 4,694 17,361 38,028 124,694 313,667

x-xm 6,833 5,833 4,833 3,833 2,833 0,833 0,167 1,167 2,167 4,167 6,167 11,167 50,0

a) La media: n

 xi X=

1

n

=

118 12

=9,83

El número de horas de estudio promedio es 9,83%.

61

b) La mediana: La clase mediana: n/2=6, sexta fila: Me=9 El 50% de las horas de estudio es 9 horas

c) La varianza: n

 x Var(x)= 



2

i

 x f i

1

n

=

313,667 12

=10,39


SD= Var ( x) = 10,39 =3,22 horas


n/4=12/4=3 Q3:

Q1=5

tercera fila

3n/4=3(12)/4=9 Q3=12

novena fila

R=Q3-Q1=9-5=4

17. Considérense las cuatro poblaciones siguientes: a) 1,2,3,4,5,6,7,8 b) 1,1,1,1.4,4,4,4 c) 1,1,4,4,5,5,8,8 d) -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12,15 Todas estas poblaciones tienen la misma media. Sin realizar los cálculos, ordenar las poblaciones de acuerdo a la magnitud de sus varianzas, de menor a mayor. Después, comprueba tu intuición calculando las varianzas de las cuatro poblaciones.

SOLUCIÓN a) La tabla de frecuencias. x 1 2 3 4 5 6 7

(x-xm)² 12,250 6,250 2,250 0,250 0,250 2,250 6,250

62

8 36

12,250 42,000

La varianza: n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n

42 36

=1,17

b) La tabla de frecuencias.

x 1 4

f 4 4



xf 4 16 20,000

(x-xm)²f 9,000 9,000 18,000

xf 2 8 10 16 36,000

(x-xm)²f 24,500 0,500 0,500 24,500 50,000

xf -6 -6 0 3 6

(x-xm)²f 102,516 101,531 17,016 1,266 3,516

La varianza: n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n

18 8

=2,25

c) La tabla de frecuencias.

x 1 4 5 8

f 2 2 2 2



n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n

50 8

=4,17

d) La tabla de frecuencias.

x -6 -3 0 3 6

f 1 2 1 1 1

63

9 12 15 36 n

 x i  x 

2

f i

1

Var(x)=

1 1 1

=

n

429,891 8

9 12 15 33,000

23,766 62,016 118,266 429,891

=53,74

18. Un auditor ha comprobado que el valor de las facturas pagadas por cierta empresa norteamericana tiene una media de 295 dólares, y una desviación típica de 63 dólares. a) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentran el 60% de estos valores. b) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentran el 80% de estos valores.

SOLUCIÓN Datos:

X =295

S=63

a. Determinamos k: 1-

1 2

k

=0,6



k= 2,5

X -Sk  X  X +Sk



295-63 2,5  X 295+63 2,5



295-63

195,38 X 394,61 b. Determinamos k: 1-

1 2

k

=0,8



k=

5


5  X 295+63 5

154,12 X 435,87 19. Durante el pasado año, los crecimientos porcentuales de los ingresos de las 500 empresas más importantes del país, tuvieron una media del 9,2% con una desviación típica del 3,5%. a) Hallar un intervalo en el cual se pueda garantizar que se encuentran el 84% de estos incrementos de

64

b) Usando la regla empírica, hallar un intervalo en el que se estime que se encuentran aproximadamente el 68% de los crecimientos de estos ingresos.

SOLUCIÓN Datos:

X =0,092

S=0,035 N=500


1 2

k

=0,84



k=2,5




0,092-0,035(2,5) X  0,092+0,035(2,5)



0,092-0,035(3,5) X  0,092+0,035(3,5)

0,045 X 0,1795 b. Determinamos k: 1-

1 2

k

=0,68



k=3,5

X -Sk  X  X +Sk 0,057 X 0,68

20. Los neumáticos de cierta marca tienen una duración de vida con media de 29 000 kilómetros y desviación típica de 3000 kilómetros. a) Encontrar un intervalo en el que se pueda garantizar que se encuentran el 75% de los tiempos de vida de los neumáticos de esta marca. b) Usando la regla empírica, encontrar un intervalo en el cual se estime que se encuentran aproximadamente el 95% de los tiempos de vida de los neumáticos de esta marca.

SOLUCIÓN

Datos:

X =29 000 km

S=3000 km


1 2

k

=0,75



k=2

65

X -Sk  X  X +Sk 29 000-3000(2) X  29 000+3000(2) 23000 X 35000 Aproximadamente el 75% de los neumáticos esta entre 23000 km y 35000km. b. Determinamos k: 1-

1 2

k

=0,95



k=4,47

X -Sk  X  X +Sk 29 000-3000(4,47)  X  29 000+3000(4,47) 15590 X 42410 Aproximadamente el 95% de los neumáticos esta entre 15590 km y 42410 km 21. La tabla que aparece a continuación recoge las puntuaciones obtenidas en un examen por los 40 estudiantes de una clase. Construir un histograma que sintetice estos datos de forma adecuada. 54 62 68 73 79 83 89 93

56 62 70 75 81 85 89 93

56 66 70 77 81 86 90 94

59 67 73 78 82 86 90 95

60 68 73 79 83 88 91 98

SOLUCIÓN a) Elaboramos una tabla de frecuencias para los 50 datos. 

Límites:

xmax=98 

xmin=54

Rango:

R=98-54=44 

Número de intervalos:

66

N=1+3,3Log(40)=6,297 intervalos 

A= 

Amplitud de clase: R N

=

44 7

=6,297



R=7(7)-44=5

Nuevos límites:

xmax=100 xmin=51 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

Intervalos 51 - 58 58 - 65 65 - 72 72 - 79 79 - 86 86 - 93 93 - 100

f 3 4 6 6 8 8 5 40

F 3 7 13 19 27 35 40

x 54,5 61,5 68,5 75,5 82,5 89,5 96,5

xf 163,5 246 411 453 660 716 482,5 3132

(x-xm)2f 1699,32 1128,96 576,24 47,04 141,12 1003,52 1656,2 6252,4

22. La tabla que aparece a continuación recoge los porcentajes de disminución de las acciones de los 25 mayores fondos de pensiones el viernes 13 de noviembre de 1989. Construir un histograma que sintetice estos datos de forma adecuada.

SOLUCIÓN

67

a) Elaboramos una tabla de frecuencias para los 50 datos. 

Límites:

xmax=6,4 

xmin=3,0

Rango:

R=6,4-3,0=3,4 



A= 


=

3, 4 6

=0,570,6



R=0,6(6)-3,4=0,2

Nuevos límites:

xmax=6,5 xmin=2,9 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

Intervalos 2,9 - 3,5 3,5 - 4,1 4,1 - 4,7 4,7 - 5,3 5,3 - 5,9 5,9 - 6,5

f 5 4 4 8 2 2 25

El histograma:

68

23. La tabla que aparece a continuación recoge los porcentajes de rentabilidad de las acciones de 25 empresas. a) Construir un histograma que sintetice estos datos.

38,0 24,0 13,3 19,9 36,8

24,5 29,6 28,0 24,6 31,2

21,5 19,4 30,8 32,3 50,9

30,8 25,6 32,9 24,7 30,7

20,3 39,5 30,3 18,7 20,3


Límites:

xmax=50,9

xmin=13,3

69

Rango:



R=50,9-13,3=37,6  Número de intervalos:

N=1+3,3Log(25)=5,67 intervalos Amplitud de clase:



A= 

R N

=

37,6 7

=5,37 5,4



R=7(5,4)-37,7=0,1

Nuevos límites:


Intrervalos f 13,2 - 18,6

1

18,6 - 24,0

6

24,0 - 29,4

6

29,4 - 34,8

8

34,8 - 40,2

3

45,6 - 51,0

1

70

40,2 - 45,7 

25

El histograma

24. La tabla que aparece a continuación recoge los porcentajes de trabajadores sindicados en cada uno de los 50 estados norteamericanos. Construir un histograma que sintetice estos datos de forma adecuada.

71

SOLUCIÓN

72

25. Dibujar un diagrama de tallos y hojas para las puntuaciones del Ejercicio 21. La tabla que aparece a continuación recoge las puntuaciones obtenidas en un examen por los 40 estudiantes de una clase. 54 62 68 73 79 83 89 93

56 62 70 75 81 85 89 93

56 66 70 77 81 86 90 94

59 67 73 78 82 86 90 95

60 68 73 79 83 88 91 98

SOLUCIÓN

73

Tallo Ramas

Frecuencia

5

469

4

6

0267 8

7

7

035789

10

8

1235689

11

9

013458

8

Total

40

26. Se somete a los 40 estudiantes de una clase a una encuesta para evaluar a su profesor, según una escala que va de l (malo) hasta 5 (excelente). Los resultados se recogen en la siguiente tabla. a) Hallar la media. b) Hallar la mediana de estas puntuaciones. c) ¿Cuál la puntuación modal? d) Hallar la varianza y la desviación típica de esta población de puntuaciones.

NUMERO DE PUNTUACION ESTUDIANTES 1 1 2 7 3 15 4 10 5 7 SOLUCIÓN Desarrollamos la tabla siguiente:

x 1 2 3 4 5

F 1 7 15 10 7 40

Xf 1 14 45 40 35 135

F 1 8 23 33 40 105

(x-xm)2f 5,640625 28 135 160 175 503,640625

74

a) La media. n

 x i f i X=

1

n

=

135 40

=3,375

Esto indica que el profesor es regular a bueno.

b) La mediana n/2=20

La clase mediana es la tercera: Me=3



El 50% de los alumnos opinan que el profesor es regular.

c) La moda La mayor frecuencia: f=15



Mo=3

La mayoría de los alumnos opinan que el profesor es regular.

d) La varianza n

 x i  x  Var(x)= 

2

1

n 1

f i

=

503,64 39

=12,91


SD= Var ( x) = 12,91 =3,59

27. Se toma una muestra de 50 pólizas de seguros y para cada una de ellas se anota el número de reclamaciones efectuadas durante los dos últimos años.

NUMERO NUMERO DE DE RECLAMACIONES POLIZAS 0 21 1 13 2 5 3 4 4 2 5 3 6 2 a) Hallar la media de reclamaciones por póliza. b) Hallar la mediana muestral de1 número de reclamaciones.

75

c) Hallar la moda del número de reclamaciones de esta muestra. d) Hallar la varianza muestral y la desviación típica.

SOLUCIÓN Desarrollamos la tabla siguiente:

x 0 1 2 3 4 5 6

F 21 13 5 4 2 3 2 50

xf 0 13 10 12 8 15 12 58

F 21 34 39 43 45 48 50

(x-x m)2f 121,8 -2,08 3,528 22,08 22,72 57,6 58,08 103,848

a) La media. n

 x i f i X=

1

=

n

58 50

=1,16

b)La mediana n/2=25

La clase mediana es la segunda: Me=1



El 50% de las pólizas han sufrido un reclamo en promedio.

c) La moda La mayor frecuencia: f=21



Mo=0

La mayoría de las pólizas no has sufrido reclamos.

e) La varianza n

 x Var(x)= 



2

i

 x f i

1

n 1

=

103,848 49

=2,12


SD= Var ( x) =

2,12 =1,46

76

28. Retomemos los datos del Ejercicio 21, que recogían las puntuaciones obtenidas en un examen por cada uno de los cuarenta alumnos de una clase. a) A partir de la agrupación de datos usada para construir el histograma, estimar: i)

La media poblacional.

ii) La desviación típica poblacional. iii) La mediana de esta población. iv) El rango intercuartílico de esta población. b) Usando los datos del Ejercicio 21, calcular directamente los cuatro estadísticos poblacionales estimados en el apartado (a) y discutir la calidad de dichas estimaciones.


Límites:

xmax=98 

xmin=54

Rango:

R=98-54=44 



A=

R N



Amplitud de clase: =

44 7

=6,297



R=7(7)-44=5

Nuevos limites:

xmax=100 xmin=51 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

77

f 3 4 6 6 8 8 5 40

51 - 58 58 - 65 65 - 72 72 - 79 79 - 86 86 - 93 93 - 100

F 3 7 13 19 27 35 40

x 54,5 61,5 68,5 75,5 82,5 89,5 96,5

xf 163,5 246 411 453 660 716 482,5 3132

(x-xm)2f 1699,32 1128,96 576,24 47,04 141,12 1003,52 1656,2 6252,4

a) La media. n

 x i f i X=

1

=

n

3132 40

=78,3

El promedio de los estudiantes es 78,3 puntos.

b) La varianza n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n 1

6252,4 39

=134,93




SD= Var ( x) = 134,93 =11,61

c) La mediana n/2=20 Me=Linf +C

La clase mediana es la quinta:



n / 2  Fi 1  

f i

=79+

7(20  19) 8

=79,875

El 50% de los alumnos tiene 79,875 puntos en promedio. d) Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

Q3=Xi-1+C 

=65+

3n / 4  Fi 1  

f i

7(10  7) 6

=86+

=65,5

7(30  27) 8

=88,625


78

R=Q3-Q1=88,625-65,5=23,125

29. Situémonos en el contexto del Ejercicio 23, en el se recogían los porcentajes de rentabilidad de las acciones de 25 empresas: a) A partir de la agrupación de datos usada para construir el histograma: i) Estimar la media de los porcentajes de rentabilidad. ii) Estimar la desviación típica de estos porcentajes de rentabilidad. iii) Estimar la mediana del porcentaje de rentabilidad. iv) Estimar el rango intercuartílico. b) Calcular directamente la media y la desviación típica a partir de las 25 observaciones y compararlas con las obtenidas en el apartado (a). 38,0

24,5

21,5

30,8

20,3

24,0

29,6

19,4

25,6

39,5

13,3

28,0

30,8

32,9

30,3

19,9

24,6

32,3

24,7

18,7

36,8

31,2

50,9

30,7

20,3


Limites:

xmax=50,9 

xmin=13,3

Rango:

R=50,9-13,3=37,6 

Numero de intervalos:


A= 


=

37,6 6

=6,26 6,3



R=6(6,3)-37,6=0,2

Nuevos limites:

79

xmax=51,0 xmin=13,2 La tabla de frecuencias se detalla a continuación: f 3 9 7 3 2 1 25

13,2 - 19,5 19,5 - 25,8 25,8 - 32,1 32,1 - 38,4 38,4 - 44,7 44,7 - 51,0

F 3 12 19 22 24 25

x 16,35 22,65 28,95 35,25 41,55 47,85

xf 49,05 203,85 202,65 105,75 83,1 47,85 692,25

x 385,7868 228,6144 11,1132 171,4608 384,1992 406,4256 1587,6

a) La media. n

 x i f i X=

1

=

n

692,25 25

=27,69

El promedio de rentabilidad de las empresas es 27,69%. ii.

La varianza n

 x Var(x)= 



2

i

 x f i

1

=

n

1587,6 25

=63,504


SD= Var ( x) =

63,504 =7,97

iii. La mediana n/2=12,5

Me=Linf +C



n / 2  Fi 1  

f i

La clase mediana es la tercera:

=25,8+

6,3(12,5  12) 7

=26,25

El 50% de las empresas tiene una rentabilidad del 26,25%.

80

iv. Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

Q3=Xi-1+C

=19,5+

3n / 4  Fi 1  f i

6,3(6,25  3)

=25,8+

9

=21,78

6,3(18,75  12) 7

=31,875




R=Q3-Q1=31,875-21,78=10,1

b) El promedio: n

 xi X=

1

n

=

698,6 25

=27,9

El promedio de rentabilidad de las empresas es 27,9%. La desviación típica: SD=8,10 Al calcular directamente la desviación estándar, el resultado debe coincidir con lo obtenido mediante datos agrupados, dentro de un margen de error mínimo.

30. Retomemos los datos del Ejercicio 24, acerca de los porcentajes de trabajadores sindicados en cada uno de los 50 estados norteamericanos: a) A partir de la agrupación de datos empleada para construir el histograma: i) Estimar la media de los porcentajes de sindicalización. ii) Estimar la desviación típica. iii) Estimar la mediana. iv) Estimar el rango intercuartílico. b) Calcular ahora directamente la media y la desviación típica de las 50 observaciones y compararlas con las obtenidas en el apartado a).

81

SOLUCIÓN a) La tabla de frecuencias xmin=39,2 xmax=6,50 La tabla de frecuencias 

Rango:

R=39,2-6,5=32,7 



A= 

Amplitud de clase: 32,7 7

=4,674,7



R=4,7(7)-32,7=0,2

Nuevos limites:

xmax=39,3 xmin=6,4

Intervalos 6,4 - 11,1 11,1 - 15,8 15,8 - 20,5 20,5 - 25,2 25,2 - 29,9 29,9 - 34,6 34,6 - 39,3

f 4 16 6 11 5 5 3 50

F 4 20 26 37 42 47 50

h 8,00 32,00 12,00 22,00 10,00 10,00 6,00

H 8,00 40,00 52,00 74,00 84,00 94,00 100,00

x 8,75 13,45 18,15 22,85 27,55 32,25 36,95

xf 35 215,2 108,9 251,35 137,75 161,25 110,85 1020,3

(x-x m)²f 543,4 774,2 30,5 65,7 255,2 701,4 821,1 3191,6

82

i) El promedio: n

 x i f i X=

1

=

n

1020,3

=20,406

50

El promedio de trabajadores sindicalizados es 20,406%.

ii) La desviación típica: n

 (x i  x) SD=

2

f i

1

=

n 1

3191 ,6 49

=8,07

iii) La mediana n/2=25 Me=Linf +C




n / 2  Fi 1  

f i

=15,8+

4,7(25  20) 6

=19,72

El 50% de los estados tiene un 19,72% de trabajadores sindicalizados. v.

Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3.

Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

Q3=Xi-1+C 

=11,1+

3n / 4  Fi 1  f i

4,7(12,5  4)

=25,8+

16

=13,60

4,7(37,75  37) 11

=26,01

Rango intercuartilico: R=Q3-Q1=26,01-13,60=12,41

83

b) Del histograma:

X =20% El promedio de trabajadores sindicalizados es 20,0%.

31. Una empresa desea contactar con estudiantes de Economía que estén en el último año de carrera. Para ello, envía propaganda a 20 universidades. La tabla recoge el número de estudiantes por universidad que solicitó entrevistarse con esta empresa.

a) Dibujar el histograma. b) Hallar las frecuencias relativas. c) Hallar las frecuencias acumuladas. d) Hallar las frecuencias relativas acumuladas. e) Estimar la media poblacional del número de estudiantes por universidad que solicitan ser entrevistados. f) Estimar la varianza poblacional del número de estudiantes por universidad que solicitan ser entrevistados. g) Estimar la desviación típica poblacional h) Estimar la mediana poblacional. i)

Estimar el rango intercuartílico.

j)

¿Cuál es la clase moda?


84

/2=10




n / 2  Fi 1 

Me=Linf +C



f i

=20,5+

10(10  6) 9

=24,94

El 50% de los alumnos estudia 24,94 horas. f) Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

Q3=Xi-1+C 

=4+

10(5  2) 4

3n / 4  Fi 1  

f i

=20,5+

=11,5

10(15  6) 9

=30,5

Rango intercuartilico: R=Q3-Q1=30,5-11,5=19,0 g) La moda:

Mo=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

1 

f i



1







f i

=20,5+ 1



10(9  4) 9594

=28,83

El número mas frecuente de horas por parte de los alumnos es 28,83 horas.

32. Se toma una muestra de 25 estudiantes. La tabla siguiente recoge la cantidad de tiempo empleado por cada uno de los miembros de dicha muestra en preparar un examen.

a) Dibujar el histograma. b) hallar las frecuencias relativas. c) Hallar las frecuencias relativas acumuladas y dibujar el histograma correspondiente. d) Estimar la media muestral del tiempo de estudio. e) Estimar la desviación típica muestral.

85

f) ¿En qué clase está la mediana muestral? g) ¿Cuál es la clase modal?

SOLUCIÓN El histograma.

Tabla de frecuencias x

xf

(x-xm)2f

12,00 12,00

2

6

162,5

7

10 28,00 40,00

6

42

79,0

12

8

18 32,00 72,00

10 80

3,3

12 16

5

23 20,00 92,00

14 70

107,6

16 - 20

2

25 8,00

100,00 18 36

149,3

Intervalos f

F

h

0 4

3

3

4 8 8

25

H

234 501,8

La media: n

 x i f i X=

1

n

=

234 25

=9,36

El promedio de horas que los estudiantes estudian 9,36 horas.

La varianza

86

n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n 1

918,9

=36,75

25

La desviación estándar: SD= Var (x) =

36,75 =6,06

La mediana n/2=12,5 Me=Linf +C




n / 2  Fi 1 

4(12,5  10)

=8+



f i

=9,25

8

El 50% de las universidades tiene 9,25 de alumnos solicitantes, Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C Q3=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

4(6,25  3)

=4+

3n / 4  Fi 1  

f i

4

=12+

=7,26

4(18,75  18) 5

=12,6


La moda:

Q1=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

1 

f i



1







f i

=4+ 1



4(8  7) 1 3

=5,0

El número más frecuente de alumnos solicitantes es 5.

33. Un psicólogo infantil presenta una tarea a una \,muestra de 25 niños. La tabla recoge el tiempo que estos niños dedicaron a dicha tarea antes de terminarla o abandonarla.

a) Dibujar el histograma.

87

b) hallar las frecuencias relativas de esta mues c) Estimar la inedia muestral del tiempo dedicado. d) Estimar la varianza muestral y la desviación típica del tiempo dedicado.

SOLUCIÓN a) El histograma.

b) La tabla de frecuencias: Tiempo(minutos)

f

F

h

H

x

xf

0 – 5

4

4

16

16

2,5

10

295,84

5 10

7

11 28

44

7,5

52,5

90,72

10 15

8

19 32

76

12,5

100

15,68

15 – 20

4

23 16

92

17,5

70

163,84

20 – 25

2

25 8

100

22,5

45

259,92

277,5

826

25

100

c) La media: n

 x i f i X=

1

=

n

277,5 25

=11,1

El tiempo promedio de los niños ess 11,1 horas.

d) La varianza n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

n 1

=

826 24

=34,42

88

e) La desviación estándar: SD= Var ( x) =

34,42 =5,87

34. Se toma una muestra de 20 analistas financieros y se les pide que hagan una predicción sobre las ganancias por acción de cierta empresa norteamericana para el próximo año. Los resultados aparecen resumidos en la tabla siguiente:

predicción( Dólares por acción) 9,95 - 10,45 10,45 - 10,95

Numero de analistas 4 7

10,95 - 11,45

8

11,45 - 11,95

4

11,95 - 12,45

2

a) Dibujar el histograma. b) Hallar las frecuencias relativas de la muestra. c) Hallar las frecuencias acumuladas de la muestra. d) Hallar e interpretar las frecuencias relativas acumuladas de la muestra. e) Estimar la media muestral de la predicción. f) Estimar la varianza muestral y la desviación típica de la predicción. g) Estimar la mediana muestral de la predicción. h) Estimar el rango intercuartílico muestral. i) ¿Cuál es la clase modal?

SOLUCIÓN

89

a) El histograma:

b) La tabla de frecuencias: predicción( Dólares por acción) Numero de analistas F h

H

x

xf

(x-x m)²f

9,95 - 10,45

2

2 10,00 10,00 10,2 20,4 1,36125

10,45 - 10,95

8

10 40,00 50,00 10,7 85,6 0,845

10,95 - 11,45

6

16 30,00 80,00 11,2 67,2 0,18375

11,45 - 11,95

3

19 15,00 95,00 11,7 35,1 1,366875

11,95 - 12,45

1

20 5,00 100,00 12,2 12,2 1,380625

20

100

220,5 5,1375

d) h1=10% de los analistas predicen de 9,95 a 10,45 Dólares por acción H2=40% de los analistas predicen hasta 10,95 Dólares por acción

e) La media: n

 x i f i X=

1

n

=

220,5 20

=11,03

La predicción promedio de los analistas es 11,03 dólares.

f ) La varianza

90

n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n 1

5,1375

=0,2568

19

g) La desviación estándar: SD= Var ( x) =

0,2568 =0,51

h) Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

3n / 4  Fi 1 

Q3=Xi-1+C 

=10,45+ 

f i

0,5(5  2) 8

=10,95+

=10,64

0,5(15  10) 6

=11,37


i) La moda: Q1=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

1 

f i



1







f i

=10,45+ 1



0,5(8  6) =10,61 42

La mayor predicción de los analistas 10,61 dólares.

35. Se toma una muestra de llegadas de aviones a un gran aeropuerto para estudiar el problema de los retrasos en vuelos. La tabla recoge el número de minutos de retraso de una muestra de 100 vuelos.

minutos de retraso 0 - 10 10 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60

Numero de vuelos 29 23 17 14 11 6

a) Dibujar el histograma. b) Hallar las frecuencias relativas de la muestra. c) Hallar e interpretar las frecuencias relativas acumuladas de la muestra.

91

d) Estimar la media muestral del número de minutos de retraso. e) Estimar la varianza muestral y la desviación típica. f) Estimar la mediana muestral. g) Estimar el rango intercuartílico muestral. h) ¿Cuál es la clase modal?

SOLUCIÓN a) El histograma:

b) La tabla de frecuencias: minutos de retraso Numero de vuelos F

h

H

0 - 10

29

29

29,00

29,00 5

10 20

23

52

23,00

23,00 15 345

368

20 - 30

17

69

17,00

17,00 25 425

612

30 - 40

14

83

14,00

14,00 35 490

3584

40 - 50

11

94

11,00

11,00 45 495

7436

50 - 60

6

100 6,00

100

6,00

100,00

x

xf

(x-x m)²f

145

5684

55 1900 7776 1900 25460

c) h1=29% de los vuelos se retrasan de 0 a 10 minutos H2=23% de los vuelos se retrasan hasta 20 minutos.

d) La media:

92

n

 x i f i X=

1

=

n

1900 100

=19

En promedio, los vuelos se retrasan 19 minutos.

e) La varianza n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n 1

25460 99

=257,17

f) La desviación estándar: SD= Var ( x) =

257,17 =16,04 minutos

g) Calculamos los cuartiles Q 1 y Q3. Q1=Xi-1+C

n / 4  Fi 1  

f i

10(25  0)

=0+

29

3n / 4  Fi 1 

Q3=Xi-1+C



f i

=30+

=8,62

10(75  69) 14

=34,29




R=Q3-Q1=34,29-8,62=25,67

g) La moda: Q1=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

 1

f i

1







f i

=0+ 1



10(29  0) 6  29

=8,29

La mayoría de vuelos se retrasan 8,29 minutos en promedio.

36. Durante una epidemia de gripe, los tiempos de espera en cierto centro de salud fueron más largos de lo habitual. La siguiente tabla resume la distribución de los tiempos de espera para una muestra de 20 pacientes qe visitaron el centro de salud durante este período.

a) Dibujar el histograma. b) Hallar las frecuencias relativas de la muestra.

93

c) Hallar e interpretar las frecuencias relativas acumuladas de la muestra. d) Estimar la inedia rnuestral del tiempo de espera. e) Estimar la varianza muestral y la desviación típica. f) Estimar la mediana muestral. g) Estimar el rango intercuartílico muestral. h) ¿Cuál es la clase modal para esta muestra?


EPIDEMIA 90 80 70 60

No. pacientes

50 40 30 20 10 0 0-1

1 2

3 4

3 4

TIEMPO(hrs)

b) La tabla de frecuencias: Tiempo de espera (horas)

Numero de pacientes

0-1

6

1 2

9

3 4

4

3 4

1 20

F h

H 30,0 6 30,00 0 1 45,0 5 45,00 0 1 20,0 9 20,00 0 2 0 5,00 5,00 100,0 0

x 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5

xf

(xxm)²f

3 6 13, 5 0 10

4

3,5

4

30

14

c) h1=30% de los pacientes esperan de 0 a 1 hora H2=15% de los pacientes esperan hasta 2 horas.

94

d) La media: n

 x i f i X=

1

=

n

30 20

=1,5

En promedio, los pacientes esperan 1,5 horas.

e) La varianza n

 x Var(x)=



2

i

 x f i

1

=

n

14 20

=0,7

f) La desviación estándar: estándar: SD= Var ( x) =

0,7 =0,84 horas


n / 4  Fi 1  

f i

6

3n / 4  Fi 1 

Q3=Xi-1+C 

50

=0+ 

f i

=1+

=0,83

15  6 9

=2,0


h) La moda: Q1=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

 1

f i

1







f i

=1+ 1



96 35

=1,375

La mayoría de los pacientes esperan 1,375 horas en promedio.

37. Para una muestra de 50 coches de gran cilindrada, se analizó el consumo de gasolina en ciudad, que se resume en la tabla siguiente. Consumo de combustible(km por litro) 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 22 – 24

Numero de coches 3 6 13 20 8

a) Dibujar un histograma. b) Hallar las frecuencias relativas de la muestra. c) Hallar e interpretar las frecuencias relativas acumuladas acumuladas de la muestra.

95

d) Estimar la media muestral del consumo de combustible. e) Estimar la desviación típica muestral. f) Estimar la mediana muestral. g) Estimar el rango intercuarlílico muestral. h) ¿Cuál es la clase modal?


b) La tabla de frecuencia f recuencias: s: Consumo de combustible(km por litro) 14 - 16 16 - 18 18 - 20 20 - 22 22 - 24

Numero de coches 3 6 13 20 8

F 3 9 22 42 50

h 6,00 12,00 26,00 40,00 16,00

H 6,00 12,00 26,00 40,00 16,00

x 15 17 19 21 23

xf 45 102 247 420 184

(xxm)²f 384,43 1064,53 3051,13 5999,65 2986,10

c) h1=6% de los coches consumen de 14 a 16 km por litro. H2=12% de los coches consumen hasta 18 km por litro.

d) La media:

96

n

 x i f i X=

1

=

n

184 50

=3,68

En promedio, los coches consumen 3,68 km por litro. lit ro.

e) La varianza n

 x i  x  Var(x)=

2

f i

1

2986,1

=

n 1

49

=60,94

f) La desviación estándar: estándar: SD= Var ( x) =

60,94 =7,81 km por litro


n / 4  Fi 1  

f i

Q3=Xi-1+C 

2(12,5  9)

=18+

3n / 4  Fi 1 

13

=20+

f i

=18,54

2(37,5  13)

=24,5

20


i) La moda: Mo=Xi-1+C

Cf i f i



f i



f i

1 

f i



1







f i

=20+ 1



2(20  13) 7  12

=20,73

La mayoría de los coches consumen 20,73 km en litro. li tro.

38. Se dispone de la siguiente información acerca de las rentas familiares en los hogares de cierta ciudad americana.

Renta familiar(dólares) 10 000 - 15 000 15 000 - 20 000 20 000 - 25 000 25 000 - 30 000 30 000 - 40 000 40 000 - 50 000 50 000 - 60 000

Frecuencia relativa 0,2 0,18 0,14 0,12 0,14 0,14 0,08

a) Dibujar el histograma. b) Estimar la inedia poblacional de la renta familiar. c) Estimar la desviación típica poblacional de la renta r enta familiar.

97

d) Estimar la mediana poblacional de la renta. r enta. e) Comparar los estimadores obtenidos en los apartados (b) y (d) y comentar las diferencias.


b) La tabla de frecuencia f recuencias: s: Renta familiar(dólares) h

H

x

xh

(x-x m)²f

10 000 - 15 000

0,2

0,20 12500 2500

231040000

15 000 - 20 000

0,18 0,38 17500 3150

104040000

20 000 - 25 000

0,14 0,52 22500 3150

27040000

25 000 - 30 000

0,12 0,64 27500 3300

40000

30 000 - 40 000

0,14 0,78 35000 4900

53290000

40 000 - 50 000

0,14 0,92 45000 6300

299290000

50 000 - 60 000

0,08 1,00 55000 4400

745290000

27700 1460030000

c) La media: n

 x i f i X=

1

n

=27700

En promedio, la renta familiar famili ar es 27700 dólares.

98

d) La varianza n

 x i  x  Var(x)=

2

1

n 1

f i

= 1 460 030 000

e) La desviación estándar: SD= Var ( x) =12 083 dólares

f) La mediana: n/2=0,50 Me=Linf +C



n / 2  Fi 1  

f i

La clase mediana es la tercera: =20000+

5000(0,5  0,38) 0.14

=24285,7

El 50% de las rentas son 24 285,7 dólares en promedio.

g) El nivel medio de todos los hogares es mayor al 50%, lo que indica un gasto mayor en las clases de mayor ingreso.

39. A continuación se indican los beneficios brutos de taquilla, en millones de dólares, de ocho películas:

ET el extraterrestre El retorno del Jedi En busca del arca perdida Superpolicia en Hollywood El imperio contraataca Los cazafantasmas Regreso al futuro Indiana Jones en el templo maldito

399800 263000 242300 234700 223000 220800 208200 179800

Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN

99

450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0

PELICULAS

40. Se ha estimado que la media de la cantidad de dinero que gastan en ropa las mujeres españolas es de 50 700 pesetas, mientras que para los hombres, la media es de 35 000 pesetas. Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN 60000

GASTOS

50000 40000

DINERO 30000 20000 10000 0 mujeres

hombres

41. Según estimaciones recientes, hay 3,7 millones de españoles y 1,9 millones de españolas que practican algún deporte. Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN

100

4

DEPORTES

3.5 3 2.5

Cant. en millones

2 1.5 1 0.5 0 mujeres

hombres

42. Según un estudio reciente, en Estados Unidos, mueren cada año 43.000 mujeres a causa del cáncer de mama y 90.000 a causa de la diabetes. Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN 100000 90000

MUERTES

80000 70000 60000

Cant. en 50000 millones 40000 30000 20000 10000 0 cancer de mama

diabetes

43. En 1991 se celebró en Sevilla un congreso médico al que acudieron 145 médicos alemanes, 87 franceses, 62 españoles, 31 japoneses, 15 estadounidenses, 10 canadienses y 2 brasileños. Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN

101

160 140

MEDICOS

120 100

Cant. 80 60 40 20 0

44. En 1986 se produjeron 50,2 nacimientos por cada mil mujeres con una edad entre 15 y 19 años. En 1991, el número de nacimientos fue de 62,1 por cada mil mujeres de la misma edad. Dibujar un diagrama de barras que represente esta información.

SOLUCIÓN

45. En 1987, en las escuelas médicas de los Estados Unidos se graduaron 13 144 blancos y 1190 personas de otras razas. En 1992, los graduados fueron 11 525 blancos y 1273 de otras razas. Dibujar un diagrama de barras por componentes que represente esta información.

SOLUCIÓN

102

14000

13144

GRADUADOS 11535

12000 10000 8000

BLANCO 6000

OTRA RAZA

4000 2000

1273

1190

0 1987

1992

46. En 1937 había 19 152 hombres y 602 mujeres cumpliendo condena en las cárceles de Illinois. En 1992 cran 29 089 hombres y 1226 mujeres. Dibujar un diagrama de barras por componentes que represente esta información.

SOLUCIÓN

35000

GRADUADOS 29089

30000 25000 20000

19152 HOMBRES

15000

MUJERES

10000 5000 602

1226

0 1987

1992

47. En la siguiente tabla se recogen las rentabilidades de la deuda pública norteamericana como porcentajes del PIB. Dibujar un gráfico temporal para estos datos e interpretarlo verbalmente.

103

AÑO

1948

INTERES 2,1 AÑO

1972

INTERES 1,9

1952

1956

1960

1964

1968

1,7

1,6

1,8

1,7

1,7

1976

1980

1984

1988

1992

2,2

2,8

4,2

4,5

5,0

SOLUCIÓN 6

PBI

5 4

Rentabilidad(%)3 2 1 0 1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

AÑOS

48. La siguiente tabla recoge los porcentajes de incremento del Indice de Precios al Consumo en los Estados unidos a lo largo de un periodo de diez años. Dibujar un gráfico temporal para estos datos e interpretarlo verbalmente.

1983 AÑO INCREMENTO 3,8 IPC(%) 1988 AÑO INCREMENTO 4,4 IPC(%)

1984

1985

1986

1987

3,9

3,8

1,1

4,4

1989

1990

1991

1992

4,6

6,1

3,1

2,9

104

SOLUCIÓN

7 6 5 4 Incremento(%)3 2 1 0 1982

IPC

1984

1986

1988

1990

1992

1994

AÑOS

La grafica nos muestra la caída del índice en el año 1986, así como su repunte en los años posteriores, alcanzando un año pico en 1990.

49. La tabla siguiente recoge los préstamos a exportadores norteamericanos pertenecientes a la pequeña y mediana empresa. Dibujar un gráfico temporal para estos datos e interpretarlo verbalmente. 1987 AÑO PRESTAMOS 58

1988 116

1989 112

1990 137

1991 348

1992 617

SOLUCIÓN 700 600

PRESTAMOS

500 400 No. prestamos 300 200 100 0 1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

AÑOS

Claramente la grafica nos indica la tendencia al aumento en el numero de prestamos a la pequeña empresa con los años.

105

50. De las películas que están en cartelera en una gran ciudad, el 35% son dramas, el 30% comedias, un 10% son películas de acción, otro 10% de ciencia ficción, el 6% son policiacas, y el 2% son de terror. Construir un pictograma que represente esta información.

SOLUCIÓN

PELICULAS

35 30 25 20

(%) 15 10 5 0 drama

accion

comedia

ciencia ficcion

policiaca

terror

51. En un Instituto de Bachillerato, un 55% de los alumnos escogió el ingles como lengua extranjera, un 20% se decidió por el francés, un 15% eligió el alemán y el 10% restante prefirió el italiano. Construir un pictograma que represente esta información.

SOLUCIÓN

IDIOMAS

60 50 40

Alumnos(%) 30 20 10 0 ingles

frances

aleman

italiano

106

52. De todos los anuncios de bebidas alcohólicas en vallas publicitarias, el 75% son de cerveza, el 20% de licores con alta graduación, el 7% sobre vino, y el 2% restante de bebidas con baja graduación alcohólica. Construir un pictograma que represente esta información.

SOLUCIÓN

53. a) Construir un diagramo de caja para los datos del Ejercicio 24 sobre los porcentajes de trabajadores sindicados en cada uno de los 50 estados norteamericanos. b) Ignorando Alaska y Hawái, dividir el país en cinco regiones geográficas. Utilizando la misma escala, dibujar un diagrama de caja para los datos de cada uno de los grupos por separado.

107

SOLUCIÓN

108

109

54. Dibujar un diagrama de caja para los datos del Ejercicio 22, que recogían los porcentajes de disminución de las acciones de los 25 mayores fondos de pensiones el viernes 13 de noviembre de 1989. 4,7 4,4 3,3 3 4,1

4,7 5 3,6 4,9 6

4 3,3 4,7 5,2 5,8

4,7 3,8 4,4 4,2 4,9

3 6,4 5,4 3,3 3,8

SOLUCIÓN Elaboramos una tabla de frecuencias para los 25 datos.

1.

Limites:

xmax=6,4

2.

xmin=3,0

Rango:

R=6,4-3,90=3,4

3.


N=1+3,3Log(25)=5,6 6 intervalos

4. A=

5.


=

3, 4 6

=0,570,6



R=6(0,6)-3,4=0,2

Nuevos limites:


intervalos

f

2,9 - 3,5

5

3,5 - 4,1

4

4,1 - 4,7

4

4,7 - 5,3

8

5,3 - 5,8

1

5,8 - 6,4

3

110

7

ACCIONES

6

3 1

5

8

%DISMINUCION 4 3

4

2

4 5

1 0

2

4

6

8

10

55. Dibujar un diagrama de caja para los datos de rentabilidad de las acciones de diferentes empresas del ejercicio 23

38,0 24,0 13,3 19,9 36,8

24,5 29,6 28,0 24,6 31,2

21,5 19,4 30,8 32,3 50,9

30,8 25,6 32,9 24,7 30,7

20,3 39,5 30,3 18,7 20,3


Limites: xmax=50,9

xmin=13,3

Rango: R=50,9-13,3=37,6

Numero de intervalos: N=1+3,3Log(25)=5,66 intervalos

Amplitud de clase: A=

R N

=

37,6 6

=6,26 6,3



R=6(6,3)-37,6=0,2

111

Nuevos limites: xmax=51,0 xmin=13,2 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

Intervalos

f

13,2 - 19,5

3

19,5 - 25,8

9

25,8 - 32,1

7

32,1 - 38,4

3

38,4 - 44,7

2

44,7 - 51,0

1 25

RENTABILIDAD

7 1

6

2

5

3

% 4

7

3

9

2 3

1 0

2

4

6

8

10

56. Tomar una muestra de 20 hombres y otra de 20 mujeres que tengan aproximadamente la misma edad y anotar sus alturas. Construir un diagrama de caja para cada muestra y comparar verbalmente los resultados. Estatura media(m) HOMBRES 1,68 MUJRES

1,64

112

SOLUCIÓN

ESTATURAS MUJRES

1.64

HOMBRES

1.68

1.62

1.63

1.64

1.65

1.66

1.67

1.68

1.69

57. Con la ayuda de un periódico local, consigue información sobre los precios de las viviendas de tu

zona. Construye un diagrama de caja para resumir esta

información.

VIVIENDA precios Av.

70000

calles

60000

SOLUCIÓN

VIVIENDAS calles

Av.

60000

70000

54000 56000 58000 60000 62000 64000 66000 68000 70000 72000

113

58. La siguiente tabla recoge, para cada uno de los 50 estados norteamericanos, los porcentajes del gasto total dedicados a educación y a bienestar público. Realiza un análisis de estos datos. Emplea para ello las técnicas numéricas y gráficas que te parezcan adecuadas para extraer la esencia de la información contenida en los datos.

114

59.11Lee con atención algún periódico o revista sobre economía y finanzas, y analiza los procedimientos (IUC usa ptirtt resumir y presentar la información nuitiérica. ¿Transmiten estos métodos una idea clara? podrías sugerir algún método gráfico alternativo o adicional. Consigue la memoria anual de alguna gran empresa. Describe tas técnicas gráficas empleadas para presentar los datos en el informe y mejora que pueda hacerse. Exportaciones textiles a EE.UU experimenta una fuerte caída. ( fuente de la revista CCL)” ―

Los dos últimos mese Estado Unidos presento un fuerte descenso en productos del sector textil, que presentan una disminución de los niveles de compras en un 12.1%. Las importaciones norteamericanas se han concentrado en las prendas de tejido plano (40.4 %), seguidas de las confecciones de tejido punto (37.1%), rubro en que se especializan los exportadores peruanos. Las importaciones totales realizadas por Estado Unidos en diciembre del 2008 llegaron a 5511.2 millones, mientras que el primer bimestre del 2009 registro 4989 millones, reportando una caída de 9.5% en las compras totales en esta categoría de confecciones. Pese a este descenso de las adquisiciones norteamericanas, algunos competidores han incrementado su participación de mercado en este trimestre. Esto se explica en parte por destinar menores presupuestos para la adquisición de prendas.

Año- mes 2008-10 2008- 11

Cantidad (en millones) 5001.23 5505.9

2008- 12 2009- 1

5511.2 4989

2009- 2 2009- 3

4982.3 4865.7

Descenso en las exportaciones textiles 5600 ) s e 5400 n o l l i 5200 m5000 n e ( 4800 d a 4600 d i t n4400 a c

Series1

2008-10 2008- 11 2008- 12 2009- 1

2009- 2 2009- 3

año- mes

115

Recoge datos sobre algún fenómeno económico financiero que sea de tu interés. Presenta estos datos gráficamente de forma que transmitas una idea clara sobre cómo son y cuales son sus principales características. ¿Podrías ahora realizar otra presentación gráfica que resulte engañosa? Sugiere alguna

60. Consigue la memoria anual de alguna gran empresa. Describe tas técnicas gráficas empleadas para presentar los datos en el informe y mejora que pueda hacerse. COORPORACION MADERERA FERPESI S.A.C Datos de los ingresos anuales: (fuente Lambayeques)

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

ingreso 60000 75000 57000 63000 78290 93000 112000 82500 96000 121000 123000 127000

Gasto 30000 50000 292000 254000 19490 32490 33000 26180 23700 40900 42600 43550

saldo 30000 25000 27800 37600 57800 60600 79000 56320 72300 80100 80600 83950

ingreso anual 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0

Series1

116

61. Recoge datos sobre algún fenómeno económico financiero que sea de tu interés. Presenta estos datos gráficamente de forma que transmitas una idea clara sobre cómo son y cuales son sus principales características. ¿Podrías ahora realizar otra presentación gráfica que resulte engañosa?

INFLACIÓN EN LA REGIÓN 2008 (fuente de la CCL)

inflacion del 2008 Series1 30.2

15.3 9.7

9

8.3

8

6.8

6.6

6.5

6.4

5

El Perú registrara uno de los menores niveles de inflaciones en el presente año. Según el ultimo reporte de Latin Focus Consensur , nuestro país cerraría el 2008 alrededor del 5.2 %, 1.2 puntos porcentuales menos a nuestra estimación. La mayoría de países ha optado por aumentar su tasa de interés de referencia como medida para controlar la inflación. En otros países, como Venezuela el gobierno ha optado la intervención en la cadena de producción y distribución de alimentos.

5. Se pidió a los alumnos de primero año del colegio de administración en la Universidad de Oriente que indicaran su campo preferido, y se obtuvieron los siguientes datos: Campo Administración Contabilidad Finanzas Mercadotecnia

Alumno 55 51 28 82

Resuma los datos con: a.

Distribución de frecuencia relativa y porcentual.

117

Campo Administració n Contabilidad Finanzas Mercadotecnia

b.

Alumnos Frecuencia Relativa (fi) (fi/n) 55 0.25

Frecuencia Porcentual fi% 25

Grados

51 28 82 N=216

24 13 38 ∑ fi=100

85 47 137 360

0.24 0.13 0.38 ∑(fi/n)=1

91

Diagrama de barras:

Alumnos (fi) 100 80

Alumnos (fi)

60 40 20 0

Administración

c.

Contabilidad

Finanzas

Mercadotecnia

Diagrama de pastel:

Frecuencia Porcentual fi%

Mercadotecnia 38%

Finanzas 13%

Administración 25%

Contabilidad 24%

6. LOS 8 LIBROS SOBRE ADMINISTRACION MÁS VENDIDOS:

118

The 7 Habits Of Highly Effective People Investing For Dummies The Ernst & Young Tax Guide 2000 The Millionaire Next Door The Motley Fool Investment Guide Rich Dad, Poor Dad The Wall Street Journal Guide To Understanding Money And Investing What color is your parachute? 2000

       

Estos son los ocho libros de mayor venta en Estados Unidos en febrero del 2000, elaborados en rustica y relacionados con temas de negocios (Bussiness Week, 3 de abril de 2000). Suponga que se llevo a cabo un muestreo de compras de libros en Denver, Colorado, y que se obtuvieron los siguientes datos:

Solución: a.

Distribuciones de frecuencia y frecuencias porcentuales:

Libros de administración 7 Habits Motley Millionaire Dad WSJ Guide Otros

b.   

fi 10 9 16 13 6 6 60

fi% 16.70 15.00 26.70 21.70 10.00 9.90 ∑ fi%=100

Clasificación de los libros de mayor venta: Millionaire tuvo una venta de 16 libros. Dad tuvo una venta de 13 libros. 7 Habits tuvo una venta de 10 libros.

119

Motley tuvo una vena de 9 libros.  WSJ Guide tuvo una venta de 6 libros.  Tax Guide tuvo una venta de 3 libros. Dummies tuvo una venta de 2 libros.   Parachute tuvo una venta de 1 libros. c. ¿Qué porcentaje de las ventas corresponde a the Millionaire Next Door y RichDad, Poor Dad? 

Th Millionaire Next Door: presenta un porcentaje de 23.7% Rich Dad, Pool Dad: presenta un porcentaje de 21.7%

 

7. El restauran Leverock`s Waterfront steakhouse en Madeira Beash, Florida, usa un cuestionario para conocer la opinión de sus clientes sobre el servicio, la calidad de los alimentos, los cócteles, los precios y el ambiente de restaurante. Cada característica se valora en una escala de notable (O), muy bueno (V), bueno (G), mediano(A) y malo (P). aplique la estadística descriptiva para resumir los siguientes datos acerca de la calidad del alimento. ¿Qué impresión tiene usted de las calificaciones de calidad en el restaurante? G V V O

O O A G

V P G A

G V O O

A O V V

O G P O

V A V O

O O O G

V O O V

G O G A

O G O

V O O

A V V

G

Solución fi 19 14 10 5 2 n=50

Características notable (O) muy bueno (V) bueno (G) mediano (A) malo (P)

8. Aquí se observa datos de una muestra de 25 miembros del salón de la fama de beisbol, en Cooperstown, Nueva York, para cada posición en el campo. Cada observación indica la posición principal del jugador: lanzador (P), receptor (H), primera base (1), segunda base (2), tercera base (3), parador en corto (S), jardinero izquierdo (L), jardinero centro (C), jardinero derecho (R). L P

P P

C P

H 2 R C

P S

R 1 L R

S P

S C

1 C

L P

P P

R R

P P

120

2 R

3 1

P 2

H H

L S

P 3

1 H

C 2

P L

P P

P

S

1

L

R

Solución a.

Distribución de frecuencia y una distribución de frecuencia relativas: numero de miembros en el posición principal del jugador salón de la fama(fi) fi/n Lanzador ( P ) 17 0.31 Receptor ( H ) 4 0.07 Primera base (1) 5 0.09 segunda Base (2) 4 0.07 Tercera base (3) 2 0.04 Parador en corto( S ) 5 0.09 Jardinero inquired ( L ) 6 0.11 Jardinero central ( C ) 5 0.09 Jardín derecho ( R ) 7 0.13 ∑ fi/n= 1 n=55

b. ¿Qué posición tiene mas miembros en el salón de la fama?. La posición con más miembros en el salón de la fama es la de lanzadores, con 17 miembros. c. ¿Qué posición tiene menos miembros? La posición con menos miembros en el salón de la fama es la de tercera base, con solo 2 miembros. d. ¿Qué posición de jardín (L, C o R) tiene más miembros? La mayor captación de miembros la tiene el jardín derecho, con 7 miembros.

e. Compare los jugadores de cuadro (1, 2, 3 y S) con los jardineros (L, C y R). Los jardineros ( L, C y R) poseen en el salón de la fama 18 miembros, numero mayor al de los jugadores (1,2,3 y S) que solo cuentan con 16 miembros en el salón de la fama. 9. los empleados de Electrónica Moderna tienes un sistema de horarios flexibles. Puedes comenzar su jornada de trabajo a las 7:00, 7:30, 8:00, 8:30 o 9:00 a.m. los datos siguientes representan una muestra de las horas de entrada que seleccionaron. 7:00

8:30

9:00

8:00

7:30

7:30

8:30

8:30

7:30

7:00

121

8:30

8:30

8:00

8:00

7:30

8:30

7:00

9:00

8:30

8:00

Solución Para resumir los datos construya lo siguiente: a. Una distribución de frecuencia.

Sistema de horario flexible

Horas de entrada seleccionadas (fi)

7:00

3

7:30

4

8:00

4

8:30

7

9:00

2

b. Distribución de frecuencia porcentual. Sistema de horario flexible

fi%

7:00 7:30 8:00 8:30 9:00

15 20 20 35 10 ∑ fi%= 100

c. Grafica de barras: 7

7 6 5 4

4

4

3

3

2

2 1 0 07:00

07:30 07:00

08:00 07:30

08:00

08:30 08:30

09:00

09:00

122

d. Diagrama de pastel:

Sistema de Horario Flexible 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00

Horas de Entrada Seleccionada(fi) 3 4 4 7 2 n= 20

fi%

Grado

15 20 20 35 10

54° 72° 72° 126° 36° 360°

∑fi%= 100

Diagrama de pastel:

Horas de entrada seleccionada(fi)% 10%

15% 07:00

20%

35%

07:30 08:00

20%

08:30 09:00

a. ¿Qué le dice los resumenes acerca de las preferencia de los empleados en el sistema de horarios flexibles?     

El 35% de los empleados prefieren el horario de 8:30 a.m. El 20% de los empleados prefieren el horario de 7:30 a.m. Otro 20% de los empleados prefieren el horario de 8:00 a.m. El 15% de los empleados prefieren el horario de 7:00 a.m. El 10% de los empleaos prefieren el horarios de 9:00 a.m.

10. se pidió a los alumnos del colegio de administración de empresas, de la Universidad de Cincinnati, llenar un cuestionario de evaluación del curso al final del mismo. Consiste en diversidad de preguntas cuyas respuestas se clasifican en 5 categorías. Una de las preguntas es: En comparación con otros cursos que ha estudiado, ¿Cuál es la calidad de este?

123

_____ Mala

________ Regular

_______ Buena

___________ Muy buena

_________ Excelente

En una muestra de 60 alumnos que terminaron un curso de estadística empresarial durante el primer trimestre de 2000 se obtuvieron las siguientes respuestas. Para facilitar el procesamiento de los resultados del cuestionario en computadora se uso una escala en la que 1 = mala, 2 = regular, 3 = buena, 4 = muy buena y 5 = excelente. 3 4 5 4

4 5 5 3

4 5 3 5

5 4 4 4

1 1 5 5

5 4 5 4

3 5 2 3

4 4 4 5

5 2 3 3

2 5 4 4

4 4 5 4

5 2 4 3

3 4 3 5

4 4 5 3

4 4 4 3

Solución a. Comente por que estos son datos cualitativos. En este caso podemos ver que los datos a analizar son de diferente categoría, que nos muestran una determinada calidad, como son: mala, regular, buena, muy buena y excelente. b. Distribución de frecuencia y distribución de frecuencias relativas. Calidad General Alumnos (fi) fi/n Mala (1) Regular (2) Buena (3) Muy buena (4) Excelente (5)

2 4 12 24 18 n=60

0.03 0.07 0.2 0.4 0.3 ∑fi/n=1

c. Grafica de barras:

24

25

18

20 12

15

Alumnos (fi)

10 5

2

4

0 Mala (1)

Regular (2)

Buena (3)

Muy Excelente buena (4) (5)

124

Diagrama de pastel:

Calidad General Mala (1) Regular (2) Buena (3) Muy buena (4) Excelente (5)

Alumnos (fi) 2 4 12 24 18 n=60

fi% 3 7 20 40 30 ∑fi%=100

grado 12° 24° 72° 144° 108° 360°

fi% 3% 30%

7% 20%

Mala (1) Regular (2) Buena (3) Muy buena (4)

40%

Excelente (5)

d. Como base en sus resúmenes, haga comentarios sobre la evaluación general del curso por parte de los alumnos.  18 alumnos, un 30% del total de alumnos, afirman que la calidad general de estadística empresarial es excelente.  24 alumnos, un 40% del total de alumnos, afirman que la calidad general del curso de estadística empresarial es muy buena  12 alumnos, un 20% del total de alumnos, afirma que la calidad general del curso de estadística empresarial es buena.  4 alumnos, que representan el 7% del total de alumnos, afirman que la calidad general del curso de estadística empresarial es regular.  Solo 2 alumnos, el 3% del total de alumnos, afirma que la calidad general del curso de estadística empresarial es mala.

11. considere los datos siguientes:

125

14 19 24 19 16 20 24 20

21 22 24 18 17 23 26 22

23 25 25 19 18 16 15 24

21 16 19 21 23 20 22 22

16 16 16 12 25 19 24 20

Solucion a. Formule una distribución de frecuencia con límites de clases 12 a 14, 15 a 17, 18 a 20, 21 a 23, 24 a 26.

numero de clases 1 2 3 4 5

intervalo de clases 12-14 15-17 18-20 21-23 24-26

fi 2 8 11 10 9 n=40

b. Formule una distribución de frecuencia relativa y una distribución de frecuencia porcentuales con los limites de clases de inciso a.

Numero de clases 1

Intervalo de Clases 12-14

fi

fi/n

fi%

2

0.05

5

2

15-17

8

0.2

20

3

18-20

11

0.275

27.5

4

21-23

10

0.25

25

5

24-26

9

0.225

22.5

n=40

∑fi/n=1

∑fi%=100

12. considere la siguiente distribución de frecuencia:

126

Clase 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59

Frecuencia 10 14 17 7 2

Solución: Formar una distribución de frecuencia acumulada y distribución de frecuencia relativas acumulada: Numero de Clases 1 2 3 4 5

Intervalo de Clases 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59

fi

Fi

hi

Hi

10 14 17 7 2 n=50

10 24 41 48 50

0.2 0.28 0.34 0.14 0.04

0.2 0.48 0.82 0.96 1

∑ hi=1

13. Trace un histograma y una ojiva para los datos del ejercicio 12.

Solución: Histograma: Clase 0-9 10-19 19-29 29-39 39-49 49-59 59-59

frecuencia (fi) 0 10 14 17 7 2 0

Marca de clase 0 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 0

127

17 14

10 7

2 0

0-9

10-019

0

19-29

Ojiva: Clase 0-9 10-019 19-29 29-39 39-49 49-59

29-39

39-49

49-59

frecuencia (fi) 0 10 14 17 7 2

59-59

Hi 0 20 48 82 96 100

Hi 120 100

96

100

82

80 60 48

40 20

20

0

0 0-9

10-019

19-29

29-39

39-49

49-59

14. Tener en cuenta los siguientes datos:

128

8.9 6.8

10.2 9.5

11.5 11.5

7.8 11.2

10 14.9

12.2 7.5

13.5 10

14.1 7.5

13.5 10

14.1 6

10 15.8

12.2 11.5

Solucion a. Grafica de puntos:

Rango de Clases 6.0-8.0

Marca de clases Yi 7

fi 4

8.1-10.1

9.1

5

10.2-12.2

11.2

7

12.3-14.3

13.3

2

14.4-16.4

15.4

2

fi 8

10.2-12.2

7 6

8.1-10.1

5

6.0-8.0

4

fi

3

12.3-14.3

14.4-16.4

2 1 0 0

1

2

3

b. Distribucion de frecuencia: c. Clases Rango de Clases 1 6.0-8.0 2 8.1-10.1 3 10.2-12.2 4 12.3-14.3 5 14.4-16.4

4

5

6

fi 4 5 7 2 2 n=20

d. Distribucion de frecuencia porcentual:

129

Clases 1 2 3 4 5

Rango de Clases 6.0-8.0 8.1-10.1 10.2-12.2 12.3-14.3 14.4-16.4

fi 4 5 7 2 2 n=20

fi% 20 25 35 10 10 ∑ fi%=100

15. El personal de un consultorio he estudiado los tiempos de pacientes que llegan solicitando servicios de emergencia. Los siguientes datos fueron reunidos en un periodo de un mes, con los tiempos de espera en minutos. 2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3

Solucion a. Distribucion de frecuencias Clases Rango de clases 1 0-4 2 5-9 3 10-14 4 15-19 5 20-24

b. Distribucion de frecuencias relativas: Clases Rango de clases 1 0-4 2 5-9 3 10-14 4 15-19 5 20-24

fi 4 8 5 2 1 n=20

fi 4 8 5 2 1 n=20

c. Distribucion de frecuencias acumuladas: Clases Rango de clases fi 1 0-4 4 2 5-9 8 3 10-14 5 4 15-19 2 5 20-24 1 n=20

hi 0.2 0.4 0.25 0.1 0.05 ∑ hi=1.00

Fi 4 12 17 19 20

130

d. Distribucion de frecuencias relativas acumuladas: Clases Rango de fi hi clases 1 0-4 4 0.2 2 5-9 8 0.4 3 10-14 5 0.25 4 15-19 2 0.1 5 20-24 1 0.05 ∑ hi=1.00 n=20

Hi 0.2 0.6 0.85 0.95 1

e. Que proporcion de pacientes que necesitan servicio de emergencia tienes tiempo de esperar de 9 minutos a menos? La proporcion de pacientes que necesitan servicio de emergencia con un tiempo de nueve minutos o menos esta representado por l 60%

16. En la tabla siguiente se presenta unamuestra de 25 empresas fabricantes de componentes de computo, tomada de la base de datos de Stock Invester Pro. Empresa

Amdahl Auspex Sistems Compaq Computer Data General Digi International Digital Equipmente Corp. En Pointe Technologies Equitrac Franklin Electronic Pbls Gateway 2000 Hewlett-Packard Ingram Micro Maxwell Technologies Micro Age Micron Electronics Network Computing Devices Pomeroy Computer Resource Sequent Computer System

Precio por acción 12.31 11.00 65.50 35.94 15.00 43.00 14.25 16.25 12.88 39.13 61.50 28.75 30.50 27.19 16.31 11.88

Propiedad Relación (%) precio/valor en libros 45.4 2.49 66.1 2.22 83.0 6.84 91.5 4.25 33.4 2.04 58.8 1.92 11.8 3.47 20.9 2.38 30.8 1.41 36.0 6.45 50.2 4.35 14.4 4.53 26.5 8.07 76.6 2.16 18.8 4.48 39.9 3.34

Rendimiento por acciones ($ anuales) -2.49 0,85 2.01 1.15 -89.00 -2.93 0.80 0.76 0.82 1.74 2.64 1.01 0.46 1.25 1.06 0.15

33.00

56.9

3.29

1.81

28.19

57.0

2.65

0.36

131

Silicon Graphics Southern Electronics Stratus Computer Sun Microsystems Tandem Computer Tech Data Unisys

27.44 15.13 55.50 48.00 34.25 38.94 11.31

63.0 41.9 77.2 59.3 61.3 82.3 34.8

3.01 2.46 2.48 7.50 3.61 3.80 16.64

0.44 0.99 2.52 1.67 1.02 1.50 0.08

Solucion a. Elabore resumenes tabulares y un histograma para los precios de las acciones. Haga comentarios acerca de los precios caracteristicos y de la destribucion de los precios:

clases 1 2 3 4 5 6

rango de clases 11.0-20.2 20.3-29.5 29.6-38.8 38.9-48.1 48.2-57.4 57.5-66.7

fi 10 4 4 4 1 2 ∑ fi = 25

10

10 9 8 7 6 5

4

4

4

4 3

2

2

1

1

0

0

0 1 1.7-10.9 5 38.9-48.1



2 11.0-20.2 6 48.2-57.4

3 20.3-29.5 7 57.5-66.7

4 29.6-38.8 8 66.7-66.7

10 empresas de componentes de computo presentan en sus acciones un precio minimos que fluctúa entre 11.0 y 20.2.

132



Asi mismo solamnete 2 empresas de componentes de computopresentan precios elevados en sus acciones que fluctúa entre 57.5 y 66.7.

b. Elabore resumenes tabulares y un histograma de los datos del rendimiento por accion. Haga comentarios de su resultado: Clases Rango de clases fi 1 -2.93 --2.01 2 2 -2.02--1.10 0 3 -1.11--0.18 0 4 -0.19-0.73 6 5 0.74-1.66 11 6 1.67-2.59 5 7 2.6-3.52 1 ∑ fi = 25

11

12 10 8

6 5

6 4 2 0 -3.85--2.92

 

2 1 0

0

-2.93 --2.01

-2.02--1.10

0

0

-1.11--0.18

-0.19-0.73

0.74-1.66

1.67-2.59

2.6-3.52

3.53-4.44

2 empresas presentan un rendimiento por accion en dolares anuales que se valora entre -2.93 — 2.01. Asi 5 empresas presentan un nivel mayor en el rendimiento por acciones en dolares anualñes que se valoran entre 1.67-2.59.

17. En National Airlines se acepta reservaciones telefonicas de vuelo. En lña tabla siguiente se muestra las duraciones de las llamadas, en munitos, para una muestra de 20 reservaciones telefonicas. Elavore las distribuciones de frecuencia y de frecuencia relativas para esos detos. Tamboien trace los histogramas correspondientes. 2.1 3.3 5.3 5.9

4.8 3.5 5.5 6.6

5.5 4.8 2.8 7.8

10.4 5.8 3.6 10.5

133

7.5

6.0

4.5

4.8

Solucion Distribucion de fecuencia y de frucuencia relativas.

Clases 1 2 3 4 5

Duración de las llamadas en minutos 2.1-3.7 3.8-5.4 5.5-7.1 7.2-8.8 8.9-10.5

Reservaciones telefónicas (fi) 5 5 6 2 2

hi 0.25 0.25 0.3 0.1 0.1 1.00

∑(fi)=20

Duración de las llamadas en minutos 1.4-2.0 2.1-3.7 3.8-5.4 5.5-7.1 7.2-8.8 8.9-10.5 10.6-12.2

Reservaciones telefónicas (fi) 0 5 5 6 2 2 0 6

6 5

5

5 4 3 2

2

2 1 0

0

0 1.4-2.0

2.1-3.7

3.8-5.4

5.5-7.1

7.2-8.8

8.9-10.5

10.6-12.2

18. Wageweb lleva a cabo encuestas de salarios y presenta los resumenes en su sitio de la red. Usando datos de salarios a partir de 1 de enero de 2000. Wageweb informo que los salarios de los vicepresidentes de marketing variaban de 85090 a 190054 dolares (Wageweb.com, 12 de abril de 2000). Suponga que los siguientes datos son

134

una muestra de los salarios anuales para 50 vicepresidentes de marketing. Los datos estan dados en miles de dolares. 145 95 148 142 132 140 162 118 170 144 145 127 148 165 138 173 113 104 141 142 116 178 123 141 138 127 143 134 136 137 155 93 102 154 142 134 165 123 124 124 138 160 157 138 131 114 135 151 138 157

Solucion: a. ¡Cuales son los salarios minimos y maximos? El salario minimo es de 93 mil dolares, mientras que el salario maximo es de 165 mil dolares, anuales. b. Distribucion de frecuencias: Clase Salarios anuales 1 2 3 4 5 6

93-108 109-124 125-140 141-156 157-172 173-188

Vicepresidentes de Marketing(fi) 4 9 15 13 7 2 ∑(fi)=50

hi

hi%

0.08 0.18 0.30 0.26 0.14 0.04 1.00

8 18 30 26 14 4 100

c. ¿Qué proporcion hay de salios anuales de 135000 dolares a menos? Hay una proporcion de 19 salarios anuales 135000 o menos. d. ¿Qué porcentaje hay de salarios anuales mayores de 150000 dolares? El porcentaje que hay de salarios anuales amyores de 150000 dolares esta representado por el 24 %. e. Histograma:

135

Salarios anuales 77-92

Vicepresidentes de Marketing(fi) 0

93-108

4

109-124

9

125-140

15

141-156

13

157-172

7

173-188

2

189-204

0

15

16

13

14 12 9

10

7

8 6

4

4

2

2

0

0

0 77-92

93-108

109-124

19. los datos de la lista siguiente durante los ultimos 20 dias. 160 170 148 198 162 156 157 154

125-140

141-156

157-172

173-188

189-204

representan unidades producidas por un empleado 181 179 179 179

156 162 178 148

176 150 151 156

Solucion a. Distribucion de frecuencia: Clases Cantidad de producción 1 148-158 2 159-169 3 170-180 4 181-191

Xi

Días de producción(fi)

153 164 175 186

9 3 6 1

136

5

192-202

197

1 ∑(fi)=20

b. Distribucion de frecuencia relativas: Clases Cantidad de Dias de produccion produccion(fi) 1 148-158 9 2 159-169 3 3 170-180 6 4 181-191 1 5 192-202 1

hi 0.45 0.15 0.30 0.05 0.05 1.00

∑(fi)=20

c. Distribucion de frecuencia acumuladas: Clases Cantidad de Días de producción producción(fi) 1 148-158 9 2 159-169 3 3 170-180 6 4 181-191 1 5 192-202 1

Fi 9 12 18 19 20

∑(fi)=20

d. Distribucion de frecuencias relativas acumuladas: Clases Cantidad de Días de producción producción(fi) 1 148-158 9 2 159-169 3 3 170-180 6 4 181-191 1 5 192-202 1 ∑(fi)=20

hi

Hi

0.45 0.15 0.30 0.05 0.05 1.00

0.45 0.60 0.90 0.95 1.00

e. Ojiva.

137

1.2 1 0.90

0.95

1.00

0.8 0.6

0.60 0.45

0.4 0.2 0

0 137-147

148-158

159-169

170-180

181-191

192-202

20. la oficina de Estados Unidos publica informacion diversa acerca de la poblacion de ese pais. La siguiente informacion es la distribucion de frecuencia porcentual de la poblacion de Estados Unidos por edad el primero de julio de 2000 ( The World Alamac And Book Of Facts 2000).

Edad 0-13 14-17 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65 o mas

Frecuencia porcentual (fi%) 20.0 5.7 9.6 13.6 16.3 13.5 8.7 12.6 ∑(fi%)=100.0

Solucion a. ¿Qué porcentaje de la poblacion tien 34 o menos? El porcentaje de poblacin con 34 años o menos esta representado por el 48.9% del total. b. ¿Qué porcentaje de la poblacion tiene entre 25 y 54 años? El porcentaje de la poblacion que tiene entre 25 y 54 años esta representado por el 43.4% del total de poblacion. c. ¿que porcentaje de la poblacion es mayor de 34 años? El porcentaje de la poblacion que es mayor de 34 años esta comprendida por el 51.1% del total de la poblacion. d. La poblacion es de 275 millones. ¿ cuantas personas son menores de 25 años?

138

Las personas menores de 25años forman un total de 238075 pobladores. e. Supongamos que usted cree que la mitad de las personas en la clase 55-64 estan retiradas y que aproximadamete todas las personas de 65 años o mas retiradas. Estime el numero de personas retiradas de la poblacion. El aproxiado de personas retiradas de la poblacion es de 46612500. 21. El informe sobre tecnologia domestica (20 de febrero de 1996) describio las tecnologias caseras y su empleo por parte de personas de 12 años o mas. Los datos siguientes son las horas de empleo de computadoras personales durante una semana, para una muestra de 50 personas. 4.1 1.5 10.4 5.9 3.4 5.7 1.6 6.1 3 3.7 3.1 4.8 2 14.8 5.4 4.2 3.9 4.1 11.1 3.5 4.1 4.1 8.8 5.6 4.3 3.3 7.1 10.3 6.2 7.6 1.8 2.8 9.5 12.9 12.1 0.7 4 9.2 4.4 5.7 7.2 6.1 5.7 5.9 4.7 3.9 3.7 3.1 6.1 3.1

Solucion a. Distrubucion de frecuencia: clases 1 2 3 4 5

Horas de empleo de computadoras 0.7-3.7 3.8-6.8 6.9-7.9 10-13 14-17

Marca de clases

fi

2.2 5.3 8.4 11.5 15.5

14 23 6 6 1 ∑(fi)=50

b. Distribucion de frecuencia relativas: clases

fi

hi

1

Horas de empleo de computadoras 0.7-3.7

14

0.28

2

3.8-6.8

23

0.46

3

6.9-7.9

6

0.12

4

10-13

6

0.12

5

14-17

1

0.02

∑(fi)=50

1.00

139

c. Histogramas:

Horas de empleo de computadoras -2.4-0.7 0.7-3.7 3.8-6.8 6.9-7.9 10-13 14-17 16.2-16.2



fi 0 14 23 6 6 1 0

Histograma

23

25 20 14 15 10

6

6

5

1

0 0 -2.4-0.7

0.7-3.7

3.8-6.8

6.9-7.9

10-13

14-17

d. Ojivas: Horas de empleo de computadoras -2.4-0.7

fi

hi

Hi%

0

0

0

0.7-3.7

14

0.28

28

3.8-6.8

23

0.46

74

6.9-7.9

6

0.12

86

140

10-13

6

0.12

98

14-17

1

0.02

100

Ojivas.

 120 100

100

98 86

80

a i c n e 60 u c e r f

74

40 28 20 0

0 -2.4-0.7

0.7-3.7

3.8-6.8

6.9-7.9

10-13

14-17

intervalos

e. Haga comentarios acerca de lo que indica los datos respecto al uso de computadoras en el hogar: 

El 46% de las personas de 12 años o mas, usan sus conputadoras personales entre 3.8 y 6.8 horas a la semana.



El 28% de las personas de 12 años o mas, usan sus computadoras personalñes entre 0.7 y 3.7 horas en la semana.



12% de las personas de 12 años o menos, usan sus computadoras personales entre 6.9 y 9.9 horas en la semana.



Otros 12% usan sus computadoras entre 10 y 13 horas en la semana.



Y un 2% de las personas de 12 o mas años, usan sus computadoras personales entre 14 y 17 horas en la semana.

141

22 Los siguientes datos corresponden a los valores en libros (en dólares, es decir, valor neto entre el número de accionistas sobresaliente, para una muestra aleatoria de 50 acciones de bolsa de Nueva York) 7

9

8

6

12

6

9

15

9

16

8

5

14

8

7

6

10

8

11

4

10

6

16

5

10

12

7

10

15

7

10

8

8

10

18

8

10

11

7

10

7

8

15

23

13

9

8

9

9

13

a) Construya una distribución de frecuencias y una distribución de porcentajes.

Intervalos 4 7 10 13 16 19 22

7 10 13 16 19 22 25

Fi 7 21 12 6 3 0 1 50

hi % 14% 42% 24% 12% 6% 0% 2% 100.00%

b) Obtenga la distribución de frecuencias acumuladas y la distribución de porcentajes acumulados.

Intervalos 4 7 10 13 16 19 22

7 10 13 16 19 22 25

Fi 7 28 40 46 49 49 50

Hi % 14% 56% 80% 92% 98% 98% 100%

c) Grafique el histograma de porcentajes.

142

45% 40% 35% 30% s e j a t n e c r o p

25% 20% 15% 10% 5% 0% 4-7

7 - 10

10 - 13

13 - 16

16 - 19

19 - 22

22 - 25

intervalos

d)

Grafique el polígono de porcentajes.

e) ¿Existen valores en libros que parezcan tener mas posibilidades de ocurrir que otros? Explique 

Los que cuentan 7 – 10, por tener mayor numero de frecuencia

143

2.1 Los siguientes datos representan las construcción durante un año en St. Louis. 42 70 55 85 16 40 38 79 31 38 69 73 31 62 17 40 64 75 12 61

temperaturas altas vespertinas para 50 días de 64 10 81 35 52 38 47 36 53 43

47 24 15 36 16 48 63 44 31 30

66 45 35 23 81 25 84 1 60 33

Construya una distribución de frecuencias para los datos usando cinco intervalos de clase. 1° Xmax=85; Xmin=10 2° R= |85-10|= 75 3° W= R/ K = 75/5 = 15 Construimos la tabla: Tabla de frecuencias de temperaturas altas vespertinas K Ii f i Fi 1 [10-25> 9 9 2 [25-40> 13 22 3 [40-55> 11 33 4 [55-70> 9 42 5 [70-85] 8 50 n= 50

hi % 18 % 26 % 22 % 18 % 16 % 100 %

H i% 18 % 44 % 66 % 84 % 100 %

b) Construya una distribución de frecuencias para los datos usando 10 intervalos. 1° Xmax=85; Xmin=10 2° R= |85-10|= 75 3° W= R/K = 75/10 = 7.5 = 8

K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ii 10-17 18-25 26-33 34-41 42-49 50-57 58-65 66-73 74-81 82-89

f i 7 3 5 9 7 3 6 4 4 2 n= 50

Fi 7 10 15 24 31 34 40 44 48 50

hi % 14 % 6% 10 % 18 % 14 % 6% 12 % 8% 8% 4% 100 %

Hi% 14 % 20 % 30 % 48 % 62 % 68 % 80 % 88 % 96 % 100 %

c) Examine los resultados de (a) y (b) y comente sobre la utilidad de la distribución en términos de capacidad de resumir temperaturas.

144

En términos de capacidad de resumir temperaturas es conveniente utilizar 10 intervalos de clase, ya que ahí muestra temperaturas mínimas con respeto a cada clase. 2.2Se supone que un proceso de empaque debe llenar pequeñas cajas de pasas con aproximadamente 50 pasas, de modo que cada caja pese lo mismo. No obstante, va a variar el número de pasa de cada caja. Supóngase que se muestren al azar 100 cajas de pasas, se cuentan éstas y se obtienen los siguientes datos. 57 44 49 49 51 54 55 46 59 47

51 53 49 52 48 46 53 59 53 52

53 45 44 49 55 51 50 57 45 48

52 57 54 54 53 48 47 47 45 50

50 39 46 57 55 53 57 61 56 45

60 53 52 52 47 56 49 60 40 56

51 58 55 52 53 48 43 49 46 47

51 47 54 53 43 47 58 53 49 47

52 51 47 49 48 49 52 41 50 48

5 48 5 4 46 57 44 48 57 46

Construya una distribución de frecuencias para estos datos. ¿Qué deja ver la distribución de la secuencias acerca de los llenados de cajas? 1° Xmax= 61; Xmin= 39 2° R=|61-39|= 22 3° K= 1+3.3(log100)= 7.6= 8 4° W= R/K= 22/8= 2.75= 3

K 1 2 3 4 5 6 7 8

Ii 39-41 42-44 45-47 48-50 51-53 54-56 57-59 60-62

f i 3 5 20 21 26 11 11 3 n=100

Fi 3 8 28 49 75 86 97 100

hi % 3% 5% 20 % 21 % 26 % 11 % 11 % 3% 100 %

Hi% 3% 8% 28 % 49 % 75 % 86 % 97 % 100 %

Interpretación: Del 100%, el 21% que pertenece a la clase 4 y que las pasas oscilan entre 4850(aproximadamente) cumplen con el requisito de empaque. Por lo tanto el proceso de empaque es ineficiente, porque solo el 21% cumple con lo pedido, siendo el 79% lo no adecuado a empacar. 2.3El propietario de un restaurante de comida rápida averigua las edades de una muestra de cliente. A partir de estos datos, el propietario construye la distribución de frecuencias que se muestra a continuación. Para cada intervalo de clase de la distribución de frecuencias, determine la marca de clase, la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada.

Intervalo de clase 0-menor de 5 5-menor de 10

Frecuencia 6 8

145

10-mcnor de 15 15-mcnor de 20 20-mcnor de 25 25-mcnorele 30 30-mcnor de 35

17 23 18 10 4

¿Qué indica la frecuencia relativa al propietario del restaurante de comida rápida acerca de las edades de clientes?

K 1 2 3 4 5 6 7

Ii 0 menor de 5 5 menor de 10 10 menor de 15 15 menor de 20 20 menor de 25 25 menor de 30 30 menor de 35

Xi 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5

Fi 6 14 31 54 72 82 86

hi% 6.97 % 9.30% 19.78 % 26.74 % 20.93 % 11.63 % 4.65 % 100%

Hi% 6.97% 16.27% 36.05% 62.79% 83.72% 95.35% 100%

Interpretación: Que del 100%, el 26.74% que pertenece a la clase 4, y que sus edades oscilan entre 15 y 20 años; son estos los que más demandan en el restaurante de comida rápida. 2.4El gerente de recursos humanos de una gran compañía encarga un estudio en el que se examinan los registros de empleados de 500 compañías para observar el ausentismo durante el año pasado. El investigador de negocios que lleva a cabo el estudio organiza los datos en una distribución de frecuencias para ayudar al gerente de recursos humanos en el análisis de los datos. A continuación se muestra la distribución de frecuencias. Para cada clase de la distribución de frecuencias, determine la marca de clase, la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada. Intervalo de clase 0 menor de 2

K 1 2 3 4 5

frecuencia 218 2 menor de 4 4 menor de 6 6 menor de 8 8 menor de 10

Ii 0 menor de 2 2 menor de 4 4 menor de 6 6 menor de 8 8 menor de 10

Xi 1 3 5 7 9

Fi 218 425 481 492 500

207 56 11 8

hi% 43.6 % 41.4% 11.2% 2.2% 1.6%

H i% 43.6% 85% 96.2% 98.4% 100%

100%

2.7Construya un histograma y un polígono de frecuencia para los siguientes datos. Intervalo de clase Frecuencia 30-menor de 32 5 32- menor de 34 7 34- menor de 36 15

146

36- menor de 38 38- menor de 40 40- menor de 42 42- menor de 44 44- menor de 46

21 34 24 17 8

HISTOGRAMA: II 28- menor de 30 30-menor de 32 32- menor de 34 34- menor de 36 36- menor de 38 38- menor de 40 40- menor de 42 42- menor de 44 44- menor de 46 46-menor de 48

f i 0 5 7 15 21 34 24 17 8 0

histograma 40 35 s 30 a i c 25 n e 20 u c 15 e r 10 f 5 0

intervalos

POLIGONO DE FRECUENCIA:

II 28- menor de 30 30-menor de 32 32- menor de 34 34- menor de 36 36- menor de 38 38- menor de 40

f i 0 5 7 15 21 34

Xi 29 31 33 35 37 39

147

40- menor de 42 42- menor de 44 44- menor de 46 46- menor de 48

41 43 45 47

24 17 8 0

14 12 10 8 6

Series2

4

Series1

2 0

[ 0 1 0 [

[ 0 2 0 1 [

[ 0 3 0 2 [

[ 0 4 0 3 [

[ 0 5 0 4 [

[ 0 6 0 5 [

[ 0 7 0 6 [

[ 0 8 0 7 [

] 0 9 0 8 [

[ 0 0 1 0 9 [

2.7Construya un histograma y un polígono de frecuencia para los siguientes datos. Intervalo de clase

Frecuencia I0-menor de 20 20-menor de 30 30-menor de 40 40-menor de 50 50-menor de 60 60-menor de 70 70-menor de 80

9 7 10 6 13 18 15

HISTOGRAMA II 0-menor de 10 I0-menor de 20 20-menor de 30 30-menor de 40 40-menor de 50 50-menor de 60 60-menor de 70 70-menor de 80 80- menor de90

f i 0 9 7 10 6 13 18 15 0

148

histograma 20

s a 15 i n c e 10 u c 5 e r f

0

intervalos

POLIGONO DE FRECUENCIA: II

f i 0-menor de 10 0 I0-menor de 20 9 20-menor de 30 7 30-menor de 40 10 40-menor de 50 6 50-menor de 60 13 60-menor de 70 18 70-menor de 80 15 80-menor de 90 0

Xi 5 15 25 35 45 55 65 75 85

14 12 10 8 6

Series1

4 2 0

2.8Construya una ojiva para los siguientes datos. Intervalo de clase Frecuencia 3-menor de 6 2 6-menor de 9 5 9-menor de 12 10 12-mcnor 12-mc nor de 15 11 15-menor de 18 17 18-menor de 21

149

“OJIVA”

II 0-menor de 3 3-menor de 6 6-menor de 9 9-menor de 12 12-mcnor de 15 15-menor de 18 18-menor de 21

f i 0 2 5 10 11 17 5 n=50

Fi 0 2 7 17 28 45 50

ojiva 15 e l t i 10 T s i 5 x A

Series1

0

2.9 Construya una gráfica de tallo y hoja usando dos dígitos para el tallo

212 257 243 218 253 273 255

239 271 261 238 227 220 226

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA TALLOS 21 22 23 24 25 26 27

240 266 249 254 270 226

218 234 230 249 257 239

222 239 246 250 261 258

HOJAS 2,8,8,9 0,1,2,4,6,6,7,9,9 0,1,2,4,6,6,7 ,9,9 0,0,4,5,8,8,9,9,9,9 0,0,4,5,8,8,9,9,9,9 0,0,3,6,9,9,9 0,3,4,5,5,7,7,8,9 0,3,4,5,5,7,7 ,8,9 0,1,1,2,3,3,5,6 0,1,1,2,3,3,5 ,6 0,1,3

249 219 263 263 238 259

265 255 235 229 240 23Ü

224 260 229 221 239 262

FRECUENCIAS 4 9 10 7 9 8 3 n=50

150

2.10A continuación aparece una lista de las compañías de contabilidad más grandes de Estados Unidos, junto con sus datos de ingresos netos para 1997 (millones de dólares), según el Publicó Accounting Report. Firma Andersen Worldwide Ernst & Young Deloitte & Touche KPMG l'eat Marwick Coopers & l.ybrand Price Waterhouse Grant Thornton McGladrey McGladrey & Pullen Pulle n

Ingresos $5 445 4 416 3 600 2 698 2 504 2 344 289 289 270 BDO Seidman

Firma Andersen Worldwide Ernst & Young Deloitte & Touche KPMG l'eat Marwick Coopers & l.ybrand Price Waterhouse Grant Thornton McGladrey & Pullen BDO Seidman

Ingresos 5 445

hi % 24 %

4 416 3600

20 % 16 %

3698

16 %

2504

11 %

2344 289 270

10 % 1 % 1%

240 n= 22806

1% 100 %

240

2.6Construya una gráfica de pastel para representar estos datos. Aplique leyendas a las rebanadas los porcentajes apropiados. Comente sobre la efectividad de usar una gráfica de pastel para exhibir los ingresos de estas empresas de contabilidad más importantes.

Interpretación: La grafica de pastel nos permite observar con claridad los distintos porcentajes

151

de las compañías, con mayor precisión y con buena claridad.; de lo que no se ha podido observar un una tabla de distribución de frecuencia. 2.12) Según la Air Transport Association of America, Delta Airlines encabezó todas las líneas en cuanto al número de pasajeros transportados en un año reciente. Las cinco principales aerolíneas fueron Delta, United, American, U.S. Airways y Southwest. A continuación aparece el numere pasajeros transportados (en miles) por cada una de estas aerolíneas:

Aerolínea Aerolínea Delta Del ta United American US Southwes

Pasa er 103 133 84 203 81 083 58 659 55 946

“DISTRIBUCION DE FRECUENCIA DE PASAJEROS TRANSPORTADOS EN LAS PRINCIPALES AEROLINIAS NORTEAMERICANAS”

Aerolinia Delta Delt a United American US Airways Southwest

Pasajero 103 133 133 84 203 81 083 58 659 55 946 n=383024

h i% 27% 22% 21% 15% 15% 100 %

Pasajeros Pasajeros transportados (en miles) por las principales aerolinias norteamericanas norteamericanas 15% 15%

Delta 27%

United American

21% 22%

US Airways Southwest

2.13Information Resources, Inc. reporta que, en un año reciente, Huggies fue la marca de pañales de mayor venta en Estados Unidos con 41.3% de la participación en el mercado. Otras marcas que destacan son Pampers, con 25.6%, Luvs con 12%, Drypers con 3.3%, Fitti con 0.9%, y marcas libres con 15.8%. Utilice esta información para construir una gráfica de pastel de la participación en el mercado de pañales. Empresas Huggies Pampers Luvs Drypers Fitti Marcas libre

Porcentaje en venta de pañales 41.3 % 25.6 % 12 % 3.3 % 0.9 % 15.8 %

152

100.00%

Mercado de pañales en los Estados Unidos 15.8% 3.3%

0.9% 41.3% 12% 25.6%

Huggies Pampers Luvs Drypers Fitti Marcas libre

2.14Los siguientes datos representan el número de pasajeros por vuelo en una muestra de 50 vuelos procedentes de Wichita, Kansas City, Missouri. 23 46 66 67 13 58 19 17 65 17 25 20 47 28 16 38 44 29 48 29 69 34 35 60 37 52 80 59 51 33 48 46 23 38 52 50 17 57 41 77 45 47 49 19 32 64 27 61 70 19 Construya una grafica de tallo y hoja para estos datos. ¿Qué nos dice la gráfica de tallo y hoja acerca del número de pasajeros por vuelo? “TABLA DE NÚMERO DE PASAJEROS REPRESENTADO EN TALLO Y HOJA”

TALLOS 1 2 3 4 5 6 7 8

HOJAS 3,6,7,7,7,9,9,9 0,3,3,5,7,8,9,9 2,3,4,5,7,8,8 1,4,4,5,6,6,7,7,8,8,9, 0,1,2,2,7,8,9 0,1,4,5,6,7,9 0,7 0

FRECUENCIAS 8 8 7 11 7 7 2 1 n=50

Interpretacion: Nos dice que hubo 11 vuelos que viajaron entre 41 y 49 pasajeros, como también existe que hubo 8 que viajaron entre 13 y 19 pasajeros. 2.15Una aerolínea utiliza un banco central telefónico y un proceso semiautomático telefónico para tomar reservaciones. Ha estado recibiendo un número anormalmente alto de quejas de clientes acerca de este sistema de reservaciones. La compañía llevo a cabo un estudio de clientes, en el cual preguntaron si habían tenido cualesquiera de los siguientes problemas al hacer reservaciones: tono de ocupado, desconexión, mala conexión, demasiado tiempo en espera para hablar con alguien, no comunicarse un agente, conectado a extensión equivocada. Supongamos que el estudio de clientes quejosos resultó en el siguiente total de frecuencia.

153

Número de quejas

Quejas Demasiado tiempo en espera Transferido a extensión equivocada No comunicarse con un agente Desconexion Tono de ocupado Mala conexion

184 10 85 37 420 8

Construya un diagrama de Páreto, a partir de esta información, para mostrar los diferentes problemas encontrados al hacer reservaciones. 1° Clasificamos las categorías en orden de Cantidad decreciente y calculamos el total. Las categorías con baja frecuencia deben ser agrupadas, como "otros" y colocadas al final de la lista.

DIAGRAMA DE PARETO QUEJAS Tono de ocupado Demasiado tiempo en espera No comunicarse con un agente Desconexión Transferido a extensión equivocada Otros(Mala conexión)

NUMERO DEQUEJAS 420 184 85

Fi 420 604 689

h i% 56.45 % 24.73 % 11.43 %

37 10

726 736

4.97 % 1.34 %

8 n= 744

744

1.08 % 100 %

“Diagrama de número de quejas de reservaciones” 100%

700

600 500 50% 400 300 200 100 0% Tono ocupado demasiado Tiempo en Espera

No comunicarse con un agente

Desconexión

Transferido a

Otros

atención equivocada

154

2.17 Para los siguientes datos, construya una distribución de frecuencia con seis clases. 57 23 35 18 21 26 51 47 29 21 46 43 29 23 39 50 41 19 36 28 31 42 52 29 18 28 46 33 28 20 1° Xmax=57 ; Xmin=18 2° R=|57-18|= 39 3° W= R/K= 39/6= 6.5= 7

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA DE 6 CLASES K Ii f i Fi 1 18-24 8 8 2 25-31 8 16 3 32-38 3 19 4 39-45 4 23 5 46-52 6 29 6 53-59 1 10 n=30

hi% 26.67 % 26.67 % 10 % 13.33 % 20 % 3.33 % 100 %

Hi% 26.67 % 53.34 % 63.34 % 76.67 % 96.67 % 100 %

2.18Para cada intervalo de clase de la distribución de frecuencia dada, determine la marca clase, la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada.

K 1 2 3 4 5 6

Intervalo de clase Frecuencia 20- menor de 25 17 25- menor de 30 20 30- menor de 35 16 35- menor de 40 15 40- menor de 45 8 45- menor de 50 6 TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA Ii Xi f i 20- menor de 25 22.5 17 25- menor de 30 27.5 20 30- menor de 35 32.5 16 35- menor de 40 37.5 15 40- menor de 45 42.5 8 45- menor de 47.5 6 50 n= 82

Fi 17 37 53 68 76 82

hi 20.73 % 24.39 % 19.51 % 18.29 % 9.76 % 7.32 %

Hi 20.73 % 45.12 % 64.63 % 82.92 % 92.68 % 100 %

100 %

2.19 Construya un histograma, un polígono de frecuencia, y una ojiva para la siguiente distribución de frecuencia. Intervalo de cl ase Frecuencia 50 – menor de 60 13 60- menor de 70 27 70- menor de 80 43 80- menor de 90 31 90- menor de 100 9

155

Histograma:

Ii 40 – menor de 50 50 – menor de 60 60- menor de 70 70- menor de 80 80- menor de 90 90- menor de 100 100- menor de 110

f i 0 13 27 43 31 9 0

histograma 50 40 e l t 30 i T s i x 20 A

10 0 40 – menor 50 – menor 60- menor 70- menor 80- menor 90- menor 100- menor de 50 de 60 de 70 de 80 de 90 de 100 de 110

Axis Title

Polígono de frecuencia:

Ii 40 – menor de 50 50 – menor de 60 60- menor de 70 70- menor de 80 80- menor de 90 90- menor de 100 100- menor de 110

f i% 0 13 27 43 31 9 0 n= 123

Xi 45 55 65 75 85 95 105

14 12 10 8 Series1

6 4 2 0 [0-10[

[10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[

156

Ojiva:

Ii 40 – menor de 50 50 – menor de 60 60- menor de 70 70- menor de 80 80- menor de 90 90- menor de 100

Xi 45 55 65 75 85 95

f i 0 13 27 43 31 9 n= 123

Fi 0 13 40 83 114 123

ojiva creciente 150

e l t i 100 T s i 50 x A 0

40 – menor de 50

50 – menor de 60

60menor de 70

70menor de 80

80menor de 90

90menor de 100

Series1

Axis Title 2.20 Construya una gráfica de pastel a par tir

de los siguientes datos:

Leyenda Valor A 55 B 121 C 83 D

46

TABLA DE PASTEL

Leyenda A B C D

Valor 55 121 83 46 n= 305

hi % 18.03 % 39.67 % 27.21 % 15.09 % 100 %

Diagrama de pastel 15.09% 18.03% 27.21% 39.67%

A B C D

2.21Construya una gráfica de tallo y hoja para los siguientes datos. Haga que la hoja contenga un dígito.

157

314

324 309

289 291

335 326

298 317

290

311

317

301

316

306 286

308

281

324

.312

TABLA DE TALLO Y HOJA TALLO HOJA 2 81, 86, 89, 90, 91, 98 3 01, 06,08, 09,11, 12, 14, 16, 17, 17,24 ,24 ,26, 35

f i 6 14 n= 20

2.22Un examen de rechazos muestra por lo menos 10 problemas. A continuación veamos un total de frecuencia de los problemas. Construya una gráfica de Párelo para estos datos. Problem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuenci 673 29 108 379 73 564 12 402 54 202

1° Clasificamos las categorías en orden de Cantidad decreciente y calculamos el total. Las categorías con baja frecuencia deben ser agrupadas, como "otros" y colocadas al final de la lista

TABLA DE EXAMEN DE RECHAZOS Problema Numero de problemas

o ros n=

Fi

hi% . . . . . . . . . .

Hi % 26.96 % 49.56 % 65.67 % 80.86 % 88.95 % 93.28 % 96.20 % 98.36 % 99.52 % 100 %

158

DIAGRAMA DE PARETO

100%

2400

2200

1800

1400 50% 1000

600

200

1

6

8

4

10

3

5

9

2

7

2.23Construya una gráfica de dispersión para las siguientes dos variables numéricas. x

12 17 9 6 10 14 S

y

5 3 1 1 8 9 8

Grafico de dispersion 20 15 Y e j 10 E

Series1

5 0 0

5

10

15

20

Eje X

159

2.24La Whitcomb Company fabrica un anillo metálico para motores industriales que por lo general pesa 50 onzas. Una muestra aleatoria de 50 de estos anillos metálicos produjo los siguientes pesos (en onzas). 51 53 56 50 44 47 53 53 42 57 46 55 11 44 52 56 50 57 44 46 41 52 69 53 57 51 54 63 42 47 47 52 53 46 36 58 51 38 49 50 62 39 44 55 43 52 43 42 57 49 Construya una distribución de frecuencias para estos datos usando ocho clases. ¿Qué puede usted observar acerca de los datos a partir de la distribución de frecuencias? 1° Xmax= 69 ; Xmin= 36 2°R=|69-36|= 33 3° W=R/K= 33/8= 4.125= 4

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA K Ii f i Fi 1 36-40 3 3 2 41-45 12 15 3 46-50 10 25 4 51-55 15 40 5 56-60 7 47 6 61-65 2 49 7 66-70 1 50 8 71-75 0 50 n= 50

hi% 6% 24 % 20 % 30 % 14 % 4% 2% 0% 100 %

Hi % 6 % 30 % 50 % 80 % 94 % 98 % 100 % 100 %

INTERPRETACION: En la clase 3 podemos observar que los anillos pesan entre 46 y 50 onzas, que tiene una frecuencia de 10 anillos. Según lo requerido dichos anillos deben pesar 50 onzas. Por lo que la producción total presenta una ineficiencia. 2.25Una compañía de distribución ubicada en el noroeste de Estados Unidos hizo una encuesta a 53 de sus gerentes de nivel medio. La encuesta obtuvo las edades de estos gerentes, los cuales posteriormente fueron organizados en la distribución de frecuencia que se muestra a continuación. Determine la marca de clase, frecuencia relativa y frecuencia acumulada para estos datos. Intervalo de clase 20-menor de 25 25-menor de 30 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50

Frecuencia 8 6 5 12 15 7

160

“DISTRIBUCION DE FRECUENCIA DE LAS EDADES DE LOS GERENTES”

K

Ii

Xi

f i

hi%

H i%

1 2 3 4 5 6

20-menor de 25 25-menor de 30 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50

22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5

8 6 5 12 15 7 n= 53

15.09 11.33 9.43 22.64 28.30 13.21 100

15.09 26.42 35.85 58.49 86.79 100

2.26A los siguientes datos se les ha dado aproximadamente la forma de una distribución normal. 61.4 63.9 73.4 57.3 54.8 56.8 76.4 32.1 35.3

27.3 46.8 54.6 87.8 60.5 60.1 46.8 54.9 39.1

26.4 67.9 65.1 71.1 32.5 52.9 19.9 32.7

37.4 19.1 53.3 74.1 61.7 60.5 27.3 40.1

30.4 81.6 71.6 48.9 55.1 55.6 77.4 52.7

47.5 47.9 58.6 60.2 48.2 38.1 58.1 32.5

Construya una distribución de frecuencias que inicie con 10 como el punto más bajo de clase y utilice un ancho de clase de 10. Construya un histograma y un polígono de frecuencias para esta distribución de frecuencias y observe la forma de una distribución normal. Con base en los resultados que obtenga de estas gráficas, ¿qué aspecto tiene la distribución normal? 1° Xmax= 87.8 ; Xmin= 19.1

K 1 2 3 4 5 6 7 8

Ii [10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[ [70-80[ [80-90]

f i 2 3 9 7 12 9 6 2 n= 50

Fi 2 5 14 21 33 42 48 50

hi% 4% 6% 18 % 14 % 24 % 18 % 12 % 4% 100%

Hi% 4% 10 % 28 % 42 % 66 % 84 % 96 % 100 %

HISTOGRAMA: Ii [0-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[ [70-80[ [80-90[

f i 0 2 3 9 7 12 9 6 2

histograma 14 s 12 a 10 i c n 8 e u 6 c e r 4 f 2 0

intervalos

161

[90-100]

0 n=50

POLIGONO DE FRECUENCIA: Ii [0-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70[ [70-80[ [80-90] [90-100[

f i 0 2 3 9 7 12 9 6 2 0 n=50

Xi 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

15 10 5

Series1

0

Interpretación: Se observa que en una distribución normal desde un punto de vista gráfico se asemeja a una campana en la cual en la parte alta tiene un pico y a sus extremos casa vez disminuye hasta llegar a cero.

2.27

Utilice los datos del problema 2.25. a) Construya un histograma y un polígono de frecuencias. b) Construya una ojiva. Intervalo de clase 20-menor de25 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50 HISTOGRAMA:

Frecuencia 8 5 12 15 7

25-menor de 30

Ii 20-menor de 25 25-menor de 30 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50

6

f i 8 6 5 12 15 7

162

16 14 12 10 8 6 4 2 20

25

30

35

40

45

50

POLIGONO DE FRECUENCIA: Ii 15- menor de 20 20-menor de 25 25-menor de 30 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50 50-menor de 55

f i 0 8 6 5 12 15 7 0 n=53

Xi 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5

Poligono de frecuencia 20

a i c 15 n e 10 u c e r 5 F

0

Series1

163

OJIVA: Ii 15- menor de 20 20-menor de 25 25-menor de 30 30-menor de 35 35-menor de 40 40-menor de 45 45-menor de 50

f i 0 8 6 5 12 15 7 n= 53

Fi 0 8 14 19 31 46 53

"Ojiva menor que" 60

s a 50 d 40 a l u 30 m20 u c 10 a 0 a i c n e u c e r F

Series1

En una ciudad del sur de tamaño medio, 86 casas están en venta, cada una de unos 2000 pies cuadrados de construcción. Los precios de ellas varían. La distribución de frecuencias que se ilustra contiene las categorías de precios para las 86 casas. Construya un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva a partir de estos datos. Precio pedido Frecuencia $ 60 000-menor de $ 70 000 21 70 000-menor de 80 000 27 80 000-menor de 90 000 18 90 000-menor de 100 000 11 100 000-menor de 110 000 6 110 000-menor de 120 000 3 2.28

HISTOGRAMA: DISTRIBUCION DE CATEGORIAS DE PRECIO Ii f i $ 60 000-menor de $ 70 000 21 70 000-menor de 80 000 27 80 000-menor de 90 000 18 90 000-menor de 100 000 11 100 000-menor de 110 000 6 110 000-menor de 120 00 3 n=86

164

30

20

10

60

70

80

90 100

POLIGONO DE FRECUENCIA: POLIGONO DE CATEGORIAS DE LOS PRECIOS Ii f i 50000- menor de 60000 0 $ 60 000-menor de $ 70 000 21 70 000-menor de 80 000 27 80 000-menor de 90 000 18 90 000-menor de 100 000 11 100 000-menor de 110 000 6 110 000-menor de 120 00 3 120000- menor de 130000 0 n= 86

110 120

( en miles)

Xi 55000 65000 75000 85000 95000 105000 115000 125000

CATEGORIAS DE LOS PRECIOS 30 25 A I C20 N E 15 U C E 10 R F 5 0

Series1

165

OJIVAS: Ii 50000- menor de 60000 $ 60 000-menor de $ 70 000 70 000-menor de 80 000 80 000-menor de 90 000 90 000-menor de 100 000 100 000-menor de 110 000 110 000-menor de 120 00

f i 0 21

Fi 0 21

27

48

18

66

11

77

6

83

3

86

n= 86

Ojivas de categorias de los precios 100 80 a 60 d a l u 40 m 20 u c 0 a

Series1

a i c n e u c e r f

2.29Una atención prenatal buena y de costo relativamente bajo puede evitar toda una vida de gastos debidos a complicaciones que resultan del bajo peso de nacimiento de un bebé. En un estudio muestra al azar se pidió a 57 madres primerizas que calcularan cuánto gastan en atención prenatal. El investigador totalizó los resultados y los presentó en la distribución de frecuencias que se ve a continuación. Utilice estos datos para construir un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva.

Cantidad gastada en Atención prenatal $0-menorde$100 100-menorde200 200-menorde300 300-menordc400 400-mcnordc500 500-mcnorde 600

Frecuencia de madres primerizas

6

3 6 12 19 11

HISTOGRAMA: Distribución de frecuencia de de un gasto prenatal Ii $0-menor de$100 100-menor de200 200-menor de300 300-menor de400

f i 3 6 12 19

166

400-mcnor de500 500-mcnor de 600

11 6 n= 57

18 15 12 9 6 3 0

100

200

POLIGONO DE FRECUENCIA:

Ii -100- menor de 0 $0-menor de$100 100-menor de200 200-menor de300 300-menor dc400 400-menor dc500 500-menor de 600 600- menor de 700

300

400

f i 0 3 6 12 19 11 6 0 n= 57

500

600

Xi -50 50 150 250 350 450 550 650

MADRES PRIMERISA QUE UTILIZAN LA ATENCION PRENATAL 30

A I C N20 E U C10 E R F

Series1

0

OJIVAS: Ii -100- menor de 0 $0-menor de$100 100-menor de200 200-menor de300 300-menor dc400 400-menor dc500 500-menor de 600

f i 0 3 6 12 19 11 6 n= 57

Fi 0 3 9 21 40 51 57

167

Madres primerisas que utilizan la atencion prenatal 60

s e r 50 d40 a m30 e d20 10 o r e 0 m u n

Series1

gasto por madre

2.30Un grupo de consumidores hizo una encuesta de alimentos en 87 tiendas de la costa atlántica; entre los precios de alimentos medidos estaba el azúcar. De los datos recolectados, el grupo construyó la distribución de frecuencias de los precios de cinco libras del azúcar marca Dominó en las tiendas encuestadas. Calcule un histograma, un polígono de frecuencia y para los siguientes datos.

Precio $1.75-mcnor de $1.90 1.90-mcnor de 2.05 2.05-mcnor de 2.20 2.20-mcnor de 2.35 2.35-mcnor de 2.50 2.50-mcnor de 2.65 2.65 menor de 2.80

Frecuencia 9 14 17 16 18 8 5

HISTOGRAMA: Ii 1.65-menor de 1.75 1.75-mcnor de $1.90 1.90-mcnor de 2.05 2.05-mcnor de 2.20 2.20-mcnor de 2.35 2.35-mcnor de 2.50 2.50-mcnor de 2.65 2.65 menor de 2.80 2.80- menor de 2.95

f i 0 9 14 17 16 18 8 5 0 n= 87

168

21

18 15

12 9

6 3

1.75

1.90 2.05

2.20

2.35 2.50

2.65 2.80

2.95

POLIGONO DE FRECUENCIA: Ii 1.60-menor de 1.75 1.75-mcnor de $1.90 1.90-mcnor de 2.05 2.05-mcnor de 2.20 2.20-mcnor de 2.35 2.35-mcnor de 2.50 2.50-mcnor de 2.65 2.65 menor de 2.80 2.80- menor de 2.95

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

f i 0 9 14 17 16 18 8 5 0 n=87

Xi 1.675 1.825 1.975 2.125 2.275 2.425 2.575 2.725 2.875

Series1

2.31Los diez principales géneros musicales, según Sound Scan para un año reciente, son R&B,

alternativa (rock), rap y música country. A continuación aparecen otros géneros musicales, junto con el número vendidos de cada uno (en millones).

169

Genero Álbumes vendidos R&B 146.4 Alternativa 102.6 Rap 73.7 Country 64.5 Pista 56.4 Metal 26.6 Clásica 14.8 Latina 14.5 Construya una gráfica de pastel para estos datos, que muestre el porcentaje del total que representa de estos géneros. GRAFICA DE PASTEL Genero Albunes vendidos hi % R&B 146.4 29.309% Alternativa 102.6 20.541% Rap 73.7 14.755% Country 64.5 12.913% 56.4 11.291% Pista Metal 26.6 5.325% Clásica 14.8 2.963% Latina 14.5 2.903% n=499.5 100%

2.96%

Grafica de generos musicales 5.33%

2.90%

R&B Alternativa

11.29%

Rap

29.31%

12.91%

Country

14.76%20.54%

Pista Metal

2.32Las siguientes cifras de importaciones de Estados Unidos de productos agrícolas y artículos manufacturados se tomaron de años seleccionados entre l970 y 2000 (en miles de millones de dólares). La fuente de los datos es la U.S. International Trade Administration. Construya una gráfica de dispersión para estos datos y determine cualquier relación evidente entre importación de productos agrícolas e importaciones de artículos manufacturados durante este periodo. Productos agrícolas 5.8 9.5 17.4 1 9.5 22.3

Artículos manufacturados 27.3 54.0 133.0 257.5 388.8 29.3

629.7

170

GRAFICA DE DISPERCION Productos agrícolas 5.8 9.5 17.4 19.5 22.3 29.3

Artículos manufacturados 27.3 54.0 133.5 257.5 388.8 629.7

IMPORTACIONES DE ESTADOS UNIDOS 800

S O D600 S A O R400 L U U T C I C 200 T A F R U A N 0 A 0 M

Series1 10

20

30

40

PRODUCTOS AGRICOLAS

INTERPRETACION: Nos muestra la relación directa que hay entre los productos agrícolas y los artículos manufacturados, ya que a medida que crece los productos agrícolas los productos manufacturados también crecen 2.33 A continuación aparece una lista de industrias con el total más grande de descarga de

productos químicos tóxicos en 1998, según la U.S. Environmental Protection Aecncy. Construya una gráfica de pastel para representar esta información. Industria

Descarga total (libras) Productos químicos Metales primarios Papel Plásticos y caucho Equipo de transporte Alimentos Metales fabricados Petróleo Equipo eléctrico

737 100 000 566 400 000 229 900 000 109 700 000 102 500 000 89 300 000 85 900 000 63 300 000 29 100 000

171

Industria Productos químicos Metales primarios Papel Plásticos y caucho Equipo de transporte Alimentos Metales fabricados Petróleo Equipo eléctrico

Descarga total (libras) 737 100 000 566 400 000 229 900 000 109 700 000 102 500 000 89 300 000 85 900 000 63 300 000 29 100 000 n= 2013200000

hi% 36.61 % 28.13 % 11.42 % 5.45 % 5.09 % 4.44 % 4.27 % 3.14 % 1.45 %

Productos químicos tóxicos en 1998 4.27%

3.14%

1.45%

Productos químicos

4.44%

Metales primarios

5.09%

Papel

5.45%

36.61%

Plásticos y caucho

11.42%

Equipo de transporte Alimentos 28.13%

Metales fabricados Petróleo

2.34Una compañía manufacturera produce botellas de plástico para la industria lechera. Algunas de las botellas son rechazadas por su mala calidad. Las causas de botellas de mala calidad incluyen plástico defectuoso, etiquetas incorrectas, decoloración, grosor incorrecto, agarradera rota y otros. Los siguientes datos para 500 botellas de plástico que fueron rechazadas incluyen los problemas y la frecuencia de los problemas. Utilice estos datos para construir una gráfica de Pareto. Analice las implicaciones de la gráfica. Problema Número Decoloración 32 Grosor 117 Agarradera 86 falla en plástico 221 Etiqueta 44

DIAGRAMA DE PARETO: Problema falla en plástico Grosor Agarradera rota Etiqueta Decoloración

Numero de problemas 221 117 86 44 32 n= 500

Fi 221 338 424 468 500

hi% 44.2 % 23.4 % 17.2 % 8.8 % 6.4 % 100 %

Hi % 44.2 % 67.6 % 84.6 % 93.6 % 100 %

172

500

100%

400

300 50% 200

100

INTERPRETACION: En el grafico de Pareto podemos observar que la falla en plástico muestra el mayor porcentaje por la cual son rechazadas. Y que su menor fallo está en la decoloración. 2.35En el censo de 2000, una organización de investigación seleccionó 50 poblaciones de Estados Unidos de entre 4 000 y 6 000 habitantes como muestra para representar pequeños poblados para fines de estudio. A continuación, los habitantes de estos pueblos. 4420 5221 4299 5831 5750 5049 5556 4361 5737 4654 4653 5338 4512 4388 5923 4730 4758

4963 5366

5090 5431

4822 5291

4304 5254

4866 4216 5257 5366

5858 4328 5048 4212

4346 4459 4232 5669

4734 5832 4878 4224

5919 5873 5166 4440

4299

5263

4339

4834

5478

Construya una grafica de tallo y hoja para los datos, donde cada hoja contenga dos dígitos:

173

TALLO 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

HOJA 12,16,24,32,99,99 04,28,39,46,61,88 20,40,59 12 53,54 30,58,34 66,22,78,34 63 49,48,90 66 57,21,63,91,54 66,36,66 31,78 56 69 37,50 58,31,32,73 23,19

FRECUENCIA 6 6 3 1 2 3 4 1 3 1 5 3 2 1 1 2 4 2

n= 50 2.36 A continuación aparece una lista de 30 diferentes promedios de acciones del Dow Jones industrial. 2656 2301

2975

3002

2468

2742 2830

2405

2077

2990

2200 2764 2976 2375

2337 2602

2961 2670

3010 2922

2344 2760

2555

2524

2814

2996 2137

2268

2448

2460

Construya una gráfica de tallo y hoja para estos 30 valores, donde el tallo contenga dos dígitos.

TALLO 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

HOJA 77 37 00,68 01,37,44,75 05,48,60,68 24,55 02,56,70 42,60,64 14,30 22,61,75,76,90,96 02,10

FRECUENCIA 1 1 2 4 4 2 3 3 2 6 2 n=30

174

2.37Suponga que son entrevistados 150 compradores en una zona comercial de nivel económico elevado, donde una de las preguntas es el nivel de ingresos de la familia. Estudie el histograma MINITAB de los siguientes datos y discuta qué se puede deducir acerca de los compradores. 30

20 Frecuencias

10

50000

100000

150000

Ingreso de las familias en dólares

INTERPRETACION: Que los ingresos de las familias se está optimizando cuando entre 80000 y 100000 dólares, ya que aquí las familias tienen un alto ingreso y pueden consumir todo lo que les ofrece el mercado. 2.38A continuación se ilustra una gráfica de pastel producida en Excel, que representa

especialidades médicas. ¿Qué dice esta gráfica acerca de las diversas especialidades?

Especialidades Medicas 10%

medicina familiar

11% 23%

medicina general 5%

21%

14%

ciruguia general

16% ginecologia y obstetricia

INTERPRETACION: La grafica de pastel nos muestra que la especialidad de mayor porcentaje es la medicina familiar, y la de menor porcentaje es la medicina general.

2.39Supongamos que se hace un estudio a 100 empresas de contadores públicos titulados, para determinar cuántas auditorías realizan en un cierto tiempo. Los datos están resumidos con el uso de la gráfica MINITAB de tallo y hoja que se ilustra. ¿Qué se puede saber acerca del número de auditorías realizadas por estas empresas en la grafica?

175

NUMERO DE TALLOS Y HOJAS 9

1

222333333

7

1

4445555

8

1

6666667777

8

1

888899999

4

2

0001

5 5

2

22333

2

55555

9

2

677777777

6

2

888889

6

3

000111

6

3

223333

8

3

44455555

5

3

67777

3

3

889

4

4

0011

3

4

222

INTERPRETACION: En el tallo y hoja se deduce que hay frecuencias altas tales como las que tienen tallo 1 y de frecuencia 9, asi mismo hay tallos bajos como el tallo 4 que tiene 3 frecuencias.

2.40La siguiente ojiva Excel muestra ventas de juguetes por una compañía en un periodo de 12

meses. ¿A qué conclusiones puede llegarse acerca de las ventas de juguetes en esta compañía.

Ene.

Mar.

May. Jul. Sep. Nov. un. Agos. Oct. Dic.

INTERPRETACION: Que a medida que está pasando el tiempo la compañía de juguetes va elevando sus ventas por tener una gran demanda.

176

2.17La fabrica High Performance Bicycle Products Company, de Chapel Hill, carolina del norte, hizo un muestreo de sus registro de embarque para cierto dia, con los resultados. Número de clases 1 2 3 4 5 Total

Ii 4-9 10-15 16-21 22-27 28-33

fi 7 9 2 1 1 20

Fi 5 16 18 19 20

hi 0.35 0.45 0.10 0.05 0.05

Hi 0.35 0.80 0.90 0.95 1.00

a) ¿a partir de la distribución de frecuencias simples que se puede decir acerca de la efectividad del procesamiento de las ordenes de pedido? 

Que de 10-15 a mayor efectividad mientras que de 22-33 no la hay.

b) Si la compañía desea asegurar que la mitad de sus entregas se haga en 10 días o menos, a partir de la distribución de frecuencias simples, ¿puede Ud. determinar si han alcanzado ese propósito? No. Porque el 35% de los pedidos se entregaron entre 4 a 9 días y el 45% se entrego de 10 a 15 días, por lo tanto no se alcanzo ese propósito.

2.19Organice los datos en un arreglo ascendente. -0.5 -0.4 -0.3

-0.3 -0.3 -0.1

0.0 0.0 0.0

0.1 0.1 0.1

0.1 0.2 0.2

0.2 0.2 0.3

0.3 0.3 0.4

0.4 0.4 0.5

0.5 0.5 0.5

0.7 0.7 1.0

a) Utilizando los cuadros de igual tamaño, construya una distribución de frecuencias : -0.5 a -0.2, -0.1 a 0.2, 0.3 a 0.6, 0.7 a 1.0 b) ¿Cuántas comunidades comunidades tienen precios que no cambian o que aumentan menos de 1.0%? Hay 26 comunidades que no cambian o que aumentan menos de 1.0%.

Número de clase 1 2 3 4 TOTAL

Intervalos Fi

Fi

hi

Hi

-0.5 - -0.2 -0.1 – 0.2 0.3 – 0.6 0.7 – 1.0

5 17 27 30

0.17 0.40 0.33 0.10 1.00

0.17 0.57 0.90 1.00

5 12 10 3 30

177

2.20Construya las distribuciones distribuciones

de frecuencias frecuencias simples simples y relativas para para las

respuestas “antes” utilizando como como clases los intervalos :

1 a 2, 3 a 4 , 5 a 6 , 7 a 8 , 9 a 10

Número de clases 1 2 3 4 5 TOTAL

Ii 1,0-2,0 3,0-4,0 5,0-6,0 7,0- 8,0 9,0-10,0

Fi 5 6 7 2 0 20

Fi 5 11 18 20 20

Hi 0,25 0,3 0,35 0,1 0 1

Hi 0,25 0,55 0,90 1 1

a) Haga lo mismo que en el inciso anterior para los datos “después” Número de clases 1 2 3 4 5 TOTAL

Intervalos 1.0-2.0 3.0-4.0 5.0-6.0 7.0- 8.0 9.0-10.0

Fi 2 4 6 6 2 20

Fi 2 6 12 18 20

Hi 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 1

Hi 0.1 0.3 0.6 0.9 1

b) Mencione la razón mas fundamental por lo cual tiene sentido utilizar las misma clases para ambos tipos de respuestas, “antes” y “después”. Porque al utilizar las mismas clases en en ambos clases clases podemos podemos compararlos y ver claramente claramente sus diferencias diferencias o semejanzas. semejanzas.

c) Para cada pareja de respuestas “antes/después”, reste la respuesta “antes” de la respuesta respuesta “después” para obtener el numero numero que llamaremos “cambio” (ejemplo: 3-4=1), y construya ambas distribuciones de frecuencias, simples y relativas, para la categoría “cambio”, utilizando las

clases: -5 a -4, -3 a -2, -1 a 0, 1 a 2, 3 a 4, 5 a 6 -1 2 4 4 0

-1 3 1 3 3

1 5 2 -4 2

2 2 -1 2 0

178

Número de clases 1 2 3 4 5 6 TOTAL

Intervalos -5 - -4 -3 - -2 -1-0 1-2 3-4 5-6

Fi 1 0 5 8 5 1 20

Fi 1 1 6 14 19 20

hi 0.05 0 0.25 0.4 0.25 0.25 0.05 0.05 1

Hi 0.05 0.05 0.3 0.7 0.95 1

d) Basándose Basándose en su análisis, establezca establezca si el nuevo slogan slogan ha contribuido a las ventas o si no. Podemos observar que el nuevo slogan si favorece en el aumento de las ventas ya que la publicidad es un ingrediente indispensable para fomentar el consumo de nuestros productos.

2.21A partir de una observación de los datos en la forma en que se presentan,¿a qué conclusiones puede usted llegar rápidamente acerca del mercado de Symphony? 

Que las mayorías de las personas son mayores de edad.

a) Construya una clasificación cerrada cerrada de 6 categorías. categorías. ¿Esta clasificación clasificación le permite llegar a alguna conclusión más sobre el mercado Symphony? Número de clases 1 2 3 4 5 6 TOTAL



Intervalos 14 – 23 24 – 33 34 – 43 44 – 53 54 – 63 64 – 73

Fi 6 8 6 5 4 1 30

Fi 6 14 20 25 29 30

hi 0.2 0.26 0.2 0.16 0.13 0.03 1

Hi 0.2 0.46 0.66 0.82 0.95 0.98

El 26% de las personas que compraron compraron grabadoras de video y que que se encuentran en la clase 2, tienen edades que oscilan entre 22 a 31 años.

2.22Construya una clasificación de extremo abierto de cinco categorías. ¿esta clasificación le permite llegar a alguna conclusión más acerca del mercado de Symphony?

179

Número de clases 1 2 3 4 5 Total 

Intervalos

Fi

Fi

hi

Hi

14-25 25-36 36-47 47-58 58-68

6 9 9 2 4 30

6 15 24 26 30

0.20 0.30 0.30 0.07 0.13 1.00

0.20 0.50 0.80 0.87 1.00

Más del 50% de las personas que compraron grabadoras de video, pertenecen a la clase 2 y 3, 3, cuyas edades edades oscilan entre entre 25-46 años.

Construya ahora ahora una distribución de frecuencias frecuencias relativas que corresponda con la clasificación de extremo abierto de cinco categorías. ¿esta distribución le proporciona a Symphony información adicional útil acerca de su mercado? ¿Por qué? qué?

Número de clases 1 2 3 4 5 Total

Intervalos

Fi

Fi

hi

Hi

14-25 25-36 36-47 47-58 58-68

6 9 9 2 4 30

6 15 24 26 30

0.20 0.30 0.30 0.07 0.13 1.00

0.20 0.50 0.80 0.87 1.00

2.32. Kesler’s Ice Cream Delight intenta mantener los 55 sabores diferentes de helado en existencia en cada una de sus sucursales. El director de investigación de mercado de la compañía sugiere que mantener un mejor registro para cada tienda es la clave para evitar quedarse sin existencias. Don Martin, director de operaciones, recolecta datos redondeados a la mitad de galón más cercana sobre la cantidad diaria de helado de cada sabor que se vende. Nunca se venden más de veinte galones de un solo sabor al día. a) ¿La clasificación con respecto a los sabores es discreta o continua? ¿Abierta o cerrada? b) ¿La clasificación con respecto a la ―cantidad de helado‖ es discreta o continua? ¿Abierta o cerrada? c) ¿Son los datos cuantitativos o cualitativos? d) ¿Qué le sugeriría a Don Martin para generar mejores datos para llevar a cabo una investigación de mercado?

SOLUCIÓN

180

a) La clasificación es discreta. Abierta. b) La clasificación es continua. Abierta. c) Los datos son cuantitativos. d) Elaborar tablas mas especificas respecto a los sabores de los helados y sus cantidades.

2.33. Doug Atkinson es dueño y recogedor de boletos de un transbordador que transporta pasajeros y automóviles desde Long Island hasta Connecticut. Doug tiene datos que indican el número de personas y de automóviles que han utilizado el transbordador durante los dos últimos meses. Por ejemplo: JULIO 3 NÚMERO DE PASAJEROS, 173 NÚMERO DE AUTOMÓVILES, 32 Podría ser la información registrada durante un día. Doug ha establecido seis clases igualmente espaciadas para registrar el número diario de pasajeros y las marcas de clase son 84.5, 104.5, 124.5, 144.5, l64.5 y 184.5. Las seis clases igualmente espaciadas que construyó Doug para el número diario de automóviles tienen marcas de clase de 26.5, 34.5, 42.5, 50.5, 58.5 y 66.5. (Las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos.) a) ¿Cuáles son los límites inferior y superior de las clases para el número de pasajeros? b) ¿Cuáles son los límites inferior y superior de las clases para el número de automóviles?

SOLUCION a) La amplitud de clase: A=104.5-84.5=20 Luego los limites: xmin=84,5-10=74,5 xmax=184,5+10=194,5 b) La amplitud de clase: A=34.5-26.5=8 Luego los limites: xmin=26,5-5=22,5 xmax=34,5+4=38,5

181

2.34. Aquí tenemos una distribución de frecuencias de los pesos de 150 personas que utilizaron un telesquí durante cierto día. Construya un histograma para estos datos. Clase 75 - 89 90 - 104 105 - 119 120 - 134 135 - 149

frecuencia 10 11 23 26 31

Clase 135 -164 165 - 179 180 - 194 195 - 209 210 - 224

frecuencia 23 9 9 6 2

a) ¿Qué puede ver en el histograma que no era inmediatamente evidente en la distribución de frecuencias? b) Si cada silla del telesquí puede transportar a dos personas, pero está limitado a una capacidad segura de peso de 400 libras (1 libra=0,454 kg), ¿qué puede hacer el operador para maximizar la capacidad de transporte de personas del telesquí sin exceder el peso de seguridad de las sillas? ¿Los datos presentados sirven para tal propósito?

SOLUCIÓN El histograma:

PASAJEROS TELESQUI 35 30 25 20 No. personas 15 10 5 0 75 - 89

90 104

105 119

120 134

135 149

135 164

165 179

180 194

195 209

210 224

No. Veces

a) El histograma ubica rápidamente las frecuencias más altas usadas por los pasajeros. b) Regular en la mayor frecuencia: X=0,5(135+149)=142 pasajeros

182

Peso promedio: 0,454(400)(142)=28 400 Kg Si sirven por que permiten determinar el peso máximo soportado en las horas de mayor uso.

2.35. Los datos que presentamos a continuación corresponden a la longitud en pies (1 pie=30.48 cm) de una muestra de 25 botes que utilizan el Canal del Norte en el Estado de Nueva York: 65 93 69 73 57

65 66 61 77 56

96 96 51 89 55

80 75 84 69 78

71 61 58 92 96

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes: a) Se cobra peaje a los botes que excedan 60 pies de eslora. De manera aproximada, ¿que fracción de botes pasan sin que se les cobre peaje? b) El peaje es de 50 centavos de dólar para los botes de más de 60 pies de eslora. De manera aproximada, ¿qué fracción de tiempo le llevará al cobrador de peaje del canal recolectar 12 dólares o más?


Limites: xmax=96

xmin=51

Rango: R=96-51=45



R N

=

45 6

=7,58



R=8(6)-45=3

Nuevos limites: xmax=98 xmin=50 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

183

Clase 50 - 58 58 - 66 66 - 74 74 - 82 82 - 90 90 - 98

f 5 4 4 5 2 5 25

H 0,20 0,16 0,16 0,20 0,08 0,20

H 0,20 0,36 0,52 0,72 0,80 1,00

La ojiva menor que: 0.900

OJIVA MENOR QUE

0.800 0.700 0.600 0.500 No. 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000

1001 - 1050 1051 - 1100 1101 - 1150 1151 - 1200 1201 - 1250 1251 - 1300 Longitud (pies)

a) H=1-0,28=0,78 Al 78% aproximadamente se les cobra peaje. b) Fracción de día: 0,78(24)=18,72 horas.

2.36. Homero Willis, capitán de un barco pesquero de Salter Path, Carolina del Norte, tiene la creencia de que la pesca mínima para recuperar la inversión debe ser de 5000 libras por viaje. A continuación tenemos los datos de una muestra de la pesca de 20 salidas al mar que el barco de Homero ha hecho recientemente: 6500

6700

3400

3600

2000

7000

5600

4500

8000

5000

4600

8100

6500

9000

4200

4800

7000

7500

6000

5400

184

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes: a) Aproximadamente, ¿que fracción de los viajes recupera exactamente la inversión según Homero? b) ¿Cuál es el valor medio aproximado del arreglo de datos para los viajes del capitán? c) ¿Qué pescas del barco de Hornero exceden el 80% del tiempo?


Limites: xmax=9000

xmin=2000

Rango: R=9000-2000=7000



R N

=

7000 6

=1167,67 1200



R=1200(6)-7000=200

Nuevos limites: xmax=9100 x min=1900 La tabla de frecuencias se detalla a continuación: Clase 1900 - 3100 3100 - 4300 4300 - 5500 5500 - 6700 6700 - 7900 7900 - 9100

f 1 3 5 4 4 3 20

h 0,04 0,12 0,20 0,16 0,16 0,12

H 0,04 0,16 0,36 0,52 0,68 0,80

185

0.900

OJIVA MENOR QUE

0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000 1001 - 1050

1051 - 1100

1101 - 1150 1151 - 1200 peso (libras)

1201 - 1250

1251 - 1300

a) Aproximadamente, en el 35% de los viajes. b) El valor medio: Valor central: X=45 % de los viajes. c) Las pescas del barco de Hornero exceden el 80% del tiempo son el hasta 8500 libras.

2.37. El Hospital Central de Carolina tiene los siguientes datos que representan el peso en libras de 200 bebés prematuros:

Clase 0,5 - 0,9 1,0 - 1,4 1,5 - 1,9 2,0 - 2,4 2,5 - 2,9 3,0 - 3,4 3,5 - 3,9 4,0 - 4,4

Frecuencia 10 19 24 27 29 34 40 17

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes: a) ¿Cuál es el valor medio aproximado del conjunto de datos original? b) Si los bebés prematuros que pesan menos de 3.0 libras se les suele mantener en incubadora durante varios días corno medida precautoria. ¿aproximadamente qué porcentaje de bebés prematuros nacidos en el Hospital Central necesitarán incubadora?

186


Clase 0,5 - 0,9 1,0 - 1,4 1,5 - 1,9 2,0 - 2,4 2,5 - 2,9 3,0 - 3,4 3,5 - 3,9 4,0 - 4,4

Frecuencia 10 19 24 27 29 34 40 17 200

h 0,050 0,095 0,120 0,135 0,145 0,170 0,200 0,085

H 0,050 0,145 0,265 0,400 0,545 0,715 0,915 1,000


OJIVA MENOR QUE

1.000 0.800 No. 0.600 salidas 0.400 0.200 0.000 1001 - 10501051 - 11001101 - 11501151 - 12001201 - 12501251 - 13001301 - 13501351 - 1400 peso (libras)

a) El valor medio aproximado: X m=2,5 libras b) aproximadamente el porcentaje de bebés prematuros que necesitarán incubadora son: H=60%

2.38. Antes de construir una presa en el río Colorado, el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de Estados Unidos realizó una serie de pruebas para medir el flujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de la prueba se utilizaron para construir la siguiente distribución de frecuencias:

187

Flujo de agua (miles de litros por minuto) 1001 - 1050 1051 - 1100 1101 - 1150 1151 - 1200 1201 - 1250 1251 - 1300 1301 - 1350 1351 - 1400 Total

Frecuencia 7 21 32 49 58 41 27 11 246

a. Utilice los datos de la tabla para construir una distribución de frecuencias acumuladas ―mayor que‖ y su respectiva ojiva.

b. Utilice los datos de la tabla para construir una distribución de frecuencias acumuladas ―menor que’’ y su respectiva ojiva.

c. Utilice las ojivas que construyó para estimar qué fracción del flujo se presenta en menos de 1300 miles de litro por minuto.


Flujo de agua (miles de litros por minuto) 1001 - 1050 1051 - 1100 1101 - 1150 1151 - 1200 1201 - 1250 1251 - 1300 1301 - 1350 1351 - 1400 Total

Frecuencia 7 21 32 49 58 41 27 11 246

H 0,028 0,085 0,130 0,199 0,236 0,167 0,110 0,045

H 0,028 0,114 0,244 0,443 0,679 0,846 0,955 1,000

H´ 1 0,972 0,886 0,756 0,557 0,321 0,154 0,045

a) Ojiva ―mayor que‖

188

OJIVA MAYOR QUE 1.200 1.000 0.800

H 0.600 0.400 0.200 0.000 1001 1050

1051 1100

1101 1150

1151 1200

1201 1250

1251 1300

1301 1350

1351 1400

fLUJO DE AGUA (l/m)

b) Ojiva ―menor que‖ 1.200

OJIVA MENOR QUE

1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 1001 1050

1051 1100

1101 1150

1151 1201 1200de agua1250 Flujo (l/m)

1251 1300

1301 1350

1351 1400

c) De la ojiva menor que: H=85%

189

2.39. Pamela Mason, asesora de una pequeña empresa local de corretaje, intenta diseñar programas de inversión atractivos para jubilados. Ella sabe que si un inversionista potencial pudiera obtener un cierto nivel (le intereses, estaría dispuesto a invertir su capital, pero debajo de un cierto nivel de intereses, no estaría dispuesto a hacerlo. De un grupo de 50 individuos, Pamela obtuvo los datos siguientes con respecto a los diferentes niveles de réditos requeridos por cada individuo para que pueda invertir 1000 dólares: Punto de indiferencia 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89

Punto de frecuencia indiferencia 2 90 - 94 5 95 - 99 10 100 - 104 14 105 - 109

frecuencia 11,00 3,00 3,00 2,00

a) Construya distribuciones de frecuencias relativas acumuladas ―menor que‖ y ―mayor que.

b) Represente gráficamente las dos distribuciones del inciso anterior en ojivas de frecuencias relativas.


punto de indiferencia f

F

h

H

H´

70 - 74

2

2

4,00

4,00

100

75 - 79

5

7

10,00

14,00

96,00

80 - 84

10

17

20,00

34,00

86,00

85 - 89

14

31

28,00

62,00

66,00

90 - 94

11

42

22,00

84,00

38,00

95 - 99

3

45

6,00

90,00

16,00

100 - 104

3

48

6,00

96,00

10,00

105 - 109

2

50

4,00

100,00

4,00

a) Ojiva ―menor que‖

190

120.00

OJIVA MENOR QUE

100.00 80.00

H(%) 60.00 40.00 20.00 0.00

reditos

b) Ojiva ―mayor que‖

20.00 18.00

OJIVA MAYOR QUE

16.00 14.00 12.00

H(%) 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00

reditos

2.40. En la redacción de un diario, el tiempo requerido para formar la primera página completa fue registrado durante 50 días. Los datos, redondeados a la décima de minuto más cercana, se dan a continuación:

191

20,8 25,3 23,7 21,3 19,7 20,9 23,3 25,0 24,1 24,3

22,8 20,7 20,3 21,5 24,2 25,0 20,9 19,5 19,8 21,1

21,9 22,5 23,6 23,1 23,8 22,2 22,9 24,1 23,9 20,9

22,0 21,2 19 19,9 20,7 22,8 23,5 24,2 22,8 21,6

20,7 23,8 25,1 24,2 23,8 20,1 19,5 21,8 23,9 22,7

a) Organice los datos en un arreglo ascendente. b) Construya una distribución de frecuencias absolutas y una distribución de frecuencias acumuladas ―menor que‖ a partir de los datos de la tabla anterior, utilice intervalos de 0,8 minutos. c) Construya un polígono de frecuencias con base en los datos dados. d) A partir de los datos, construya una ojiva ―menor que‖. e) Tomando en cuenta su ojiva, estime que porcentaje del tiempo de formación de la primera página puede hacerse en menos de 24 minutos.

SOLUCION a) Los datos ordenados: 19,7 20,8 20,9 21,3 23,3 23,7 24,1 24,3 25,0 25,3

19,5 19,8 20,3 20,7 20,9 21,1 21,5 22,8 24,2 25,0

20,9 21,9 22,2 22,5 22,9 23,1 23,6 23,8 23,9 24,1

19,0 19,9 20,7 21,2 21,6 22,0 22,8 22,8 23,5 24,2

19,5 20,1 20,7 21,8 22,7 23,8 23,8 23,9 24,2 25,1

b) Elaboramos una tabla de frecuencias para los 50 datos. Limites: xmax=25,3

xmin=19,0

Rango: R=25,3-19,0=6,3

192

Numero de intervalos: N=1+3,3Log(50)=6,61



8 intervalos

Amplitud de clase: A=0,8



R=0,8(8)-6,3=0,1

Nuevos limites: xmax=25,4 xmin=19,0 La tabla de frecuencias se detalla a continuación:

intervalos 19,0 - 19,8 19,8 - 20,6 20,6 - 21,4 21,4 - 22,2 22,2 - 23,0 23,0 - 23,8 23,8 - 24,6 24,6 - 25,4

f i 4 4 10 5 7 5 11 4 50

Fi 4 8 18 23 30 35 46 50

hi 8,00 8,00 20,00 10,00 14,00 10,00 22,00 8,00

Hi 8,00 16,00 36,00 46,00 60,00 70,00 92,00 100,00

H´ 100 92,00 84,00 64,00 54,00 40,00 30,00 8,00


OJIVA MENOR QUE

100.00 80.00

H 60.00 40.00 20.00 0.00 300 - 400 400 - 700

700 1000

1000 1300

1300 1600

1600 1900

1900 2100

2100 2400

reditos

f) El porcentaje del tiempo de formación de la primera página que puede hacerse en menos de 24 minutos es el 80%.

2.41. Jonathan Webb, agente de seguros de la Safety Insurance Corporation, tiene datos mensuales acerca de la cantidad en dólares de las pólizas de seguros que

193

ha vendido durante los tres años anteriores. Ha ordenado sus datos en la siguiente distribución de frecuencias: Venta mensual

Frecuencia Venta mensual

Frecuencia

10 000 - 12 449

2

20 000 - 22 449

6

12 500 - 14 999

4

22 500 - 24 999

8

15 000 - 17 449

7

25 000 - 27 449

2

17 500 - 19 999

5

27 500 - 29 999

1

a) Construya una distribución de frecuencias relativas. b) Construya sobre una misma gráfica un histograma de frecuencias relativas y un polígono de frecuencias relativas.

SOLUCION a) Tabla de frecuencias:

Venta mensual 10 000 - 12 449 12 500 - 14 999 15 000 - 17 449 17 500 - 19 999 20 000 - 22 449 22 500 - 24 999 25 000 - 27 449 27 500 - 29 999

f i 2 4 7 5 6 8 2 1 35

Fi 2 6 13 18 24 32 34 35

hi 5,71 11,43 20,00 14,29 17,14 22,86 5,71 2,86 100,00

Hi 5,71 17,14 37,14 51,43 68,57 91,43 97,14 100,00

b) Histograma:

194

20.00

HISTOGRAMA

18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 18 y menor que 20



20 y menor que 22

22 y menor que 24

24 y menor que 26

26 y menor que 28

30 y menor que 32

29 y menor que 30

0

Polígono 20

POLIGONO

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.42. La Asociación Nacional de Vendedores de Muebles de Estados Unidos recabó los datos siguientes de una muestra de 130 vendedores, que representan las ganancias totales por comisiones que obtienen los vendedores anualmente: Ganancias 5000 0 menos 5001 - 10 00 10 001 - 15 000 15 001 - 20 000 20 001 - 30 000 30 001 - 40 000 40 001 - 50 000 Mas de 50 000

frecuencia 5 9 11 33 37 19 9 7

195

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes: a) ¿Aproximadamente que fracción de vendedores gana más de 25 000 dólares? b) ¿Aproximadamente cuánto gana el vendedor ―medio‖ de la muestra? c) ¿Aproximadamente cuánto ganará al año un vendedor de muebles cuyo desempeño fuera de cerca del 25% del máximo esperado?

SOLUCION a) Tabla de frecuencias:

Ganancias

frecuencia F

h

H

5000 0 menos

5

5

3,85

3,85

5001 - 10 00

9

14

6,92

10,77

10 001 - 15 000

11

25

8,46

19,23

15 001 - 20 000

33

58

25,38

44,62

20 001 - 30 000

37

95

28,46

73,08

30 001 - 40 000

19

114

14,62

87,69

40 001 - 50 000

9

123

6,92

94,62

Mas de 50 000

7

130

5,38

100,00

130 120.00

100,00

OJIVA MENOR QUE

100.00 80.00

H 60.00 40.00 20.00 0.00 300 400

400 700

700 1000

1000 1300

1300 1600

1600 1900

1900 2100

2100 2400

Ganancias

196

a) Mas de 25000: H=100-70=30% b) El vendedor promedio gana 20 000 dólares aproximadamente. c) El 25% gana 10 000 dólares aproximadamente. d)

2.43. El Musco Smithsoniano de Historia Natural tiene datos referentes al número de minutos que las personas invierten en observar la exposición de cierto dinosaurio. Estos datos, redondeados al minuto más cercano son:

Minutos invertidos en la observación menor que 2 2 – 3 4 – 5 6 – 7

Minutos invertidos en la frecuencia observación 30 8 – 9 40 10 – 11 40 12 – 13 90 14 - 15

frecuencia 70 50 50 30 400

a) Construya una distribución de frecuencias acumuladas ―menor que’. b) Construya una ojiva basada en el inciso anterior. c) La administración del musco ha decidido que una exhibición no tiene éxito si 50% de las personas que la miran invierten menos de cuatro minutos en ella. ¿Cuál es el tiempo correspondiente?.

SOLUCION a) La tabla de frecuencias:

Minutos invertidos en la observación menor que 2

f i 30

Fi 30

h(%) 7,50

H(%) 7,50

2 – 3

40

70

10,00

17,50

4 – 5

40

110

10,00

27,50

6 – 7

90

200

22,50

50,00

8 – 9

70

270

17,50

67,50

10 – 11

50

320

12,50

80,00

12 – 13

50

370

12,50

92,50

14 - 15

30

400

7,50

100,00

400

100,00

197

b) Ojiva menor que:

120.00

OJIVA MENOR QUE

100.00 80.00

H 60.00 40.00 20.00 0.00 300 - 400400 - 700 700 1000

1000 1300

1300 1600

1600 1900

1900 2100

2100 2400

tiempo(min)

c) El 50% de las personas miran de a 7 minutos. La exhibición si tiene éxito.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 2.33 . La tabla 2.18 es una distribución de frecuencias del kilometraje por gasolina obtenida con base en una muestra de 25 viajes de vehículos de una compañía. a) ¿Cuáles son los límites nominales inferior y superior de la última clase? b) ¿Cuáles son los límites exactos inferior y superior de la última clase? c) ¿Qué intervalo de clase se usó? c) ¿Cuál es el punto medio de la última clase? e) Supongamos que el kilometraje por litro de un viaje específico fue de 29.9. Indique los límites inferior y superior de la clase en la que fue incluido este resultado.

Tabla 2.18 Kilómetros automovilísticos de 25 viajes De vehículos empresariales

198

Kilómetros por litro

f

24,0 - 25,9

3

26,0 - 27,9

5

28,0 - 29,9

10

30,0 - 31,9

4

32,0 - 33,9

2

34,0 - 35,9

1

Total

25

SOLUCION a) Los limites nominales de la ultima clase: L inf =34,0 Lsup=35,9 b) Los limites reales de la ultima clase: L inf =34,0 Lsup=36,0 c) Intervalo de clase: A=36,0-34,0=2,0 d) Valor central: x=0,5(34+36)=35,0 e) X=29,9 corresponde a 28,0 - 30,0 2.34 . Elabore un histograma con los datos de la tabla 2.18

SOLUCION

12

HISTOGRAMA

10 8

No. viajes 6 4 2 0 300 - 400

400 - 700

700 - 1000 1000 - 1300 1300 - 1600 1600 - 1900

km por litro

199

2.35 . Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias con los datos de la tabla 2.18.

SOLUCION 20

POLIGONO

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

18 y menor que 20

20

20 y menor que 22

22 y menor que 24

24 y menor que 26

26 y menor que 28

30 y menor que 32

29 y menor que 30

CURVA DE FRECUENCIAS

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.36 . Describa la curva de frecuencias resultante del problema 2.35 desde el punto de vista de su asimetría.

SOLUCION 

Los datos presentan ligera asimetría hacia la izquierda.

200

2.37 . Forme una distribución de frecuencias acumuladas con los datos de la tabla 2.18 y elabore una ojiva para la representación gráfica de esta distribución.

SOLUCION La tabla de frecuencias:

Kilómetros por litro f

F

h

H

24,0 - 25,9

3

3

12,00

12,00

26,0 - 27,9

5

8

20,00

32,00

28,0 - 29,9

10

18

40,00

72,00

30,0 - 31,9

4

22

16,00

88,00

32,0 - 33,9

2

24

8,00

96,00

34,0 - 35,9

1

25

4,00

100,00

25

50

20.00 18.00

100,00

OJIVA MENOR QUE

16.00 14.00 12.00

No. viajes 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 18 y menor 20 y menor 22 y menor 24 y menor 26 y menor 30 y menor que 20 que 22 que 24 que 26 que 28 que 32

km por litro

2.38 . En la tabla 2.19 se presentan las cantidades de 40 préstamos personales utilizados para financiar la compra de muebles y aparatos eléctricos. Supongamos que nos interesa ordenar estas cantidades en una distribución de frecuencias con un total de

201

siete clases. Partiendo del supuesto de intervalos de clase iguales, ¿cuál sería el intervalo de clase más conveniente para esta distribución de frecuencias?

Tabla 2.19. Cantidad de 40 prestamos personales 932 515 452 1900 1200 1278 2540 586 1650 1219

1000,00 554 973 660 720 1388 851 329 1423 727

356 1190 300 1610 1525 1000 1890 935 592 655

2227 954 2112 445 784 870 630 3000 334 1590

SOLUCION Elaboramos una tabla de frecuencias para los 40 datos. Limites: xmax=3000

xmin=300

Rango: R=3000-300=2700 Numero de intervalos: N=1+3,3Log(40)=6,297 intervalos Amplitud de clase: A=

R N

=

2700 7

=285,7 286

2.39 . Elabore una distribución de frecuencias con los datos de la tabla 2.19 iniciando la primera clase con un límite de clase inferior de $300 y aplicando un intervalo de clase de $400.

SOLUCION La tabla de frecuencias: CLASES 300 - 400 400 - 700 700 - 1000 1000 - 1300 1300 - 1600 1600 - 1900 1900 - 2100 2100 - 2400 2400 - 2700 2700 - 3000

f 4 9 9 6 4 2 2 2 1 1 40

F 4 13 22 28 32 34 36 38 39 40

h 10,00 22,50 22,50 15,00 10,00 5,00 5,00 5,00 2,50 2,50

H 10,00 32,50 55,00 70,00 80,00 85,00 90,00 95,00 97,50 100,00

202

2.40 . Elabore un histograma de la distribución de frecuencias formada en el problema 2.39.


CLASES 300 - 700 700 - 1100 1100 - 1500 1500 - 1900 1900 - 2300 2300 - 2700 2700 - 3000

f 13 11 6 5 3 1 1 40

20

F 13 24 30 35 38 39 40

h 32,50 27,50 15,00 12,50 7,50 2,50 2,50 100,00

H 32,50 60,00 75,00 87,50 95,00 97,50 100,00

HISTOGRAMA

18 16 14 12

No. prestamos 10 8 6 4 2 0 18 y menor que 20

20 y menor que 22

22 y menor que 24

24 y menor que 26

26 y menor que 28

30 y menor que 32

PRESTAMOS

2.41 . Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias de la distribución de frecuencias formada en el problema 2.39.

SOLUCION

203

20

POLIGONO

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.42 . Describa la curva de frecuencias resultante del problema 2.41 en términos de su asimetría.

SOLUCION Se trata evidentemente de una curva de frecuencias asimétrica positiva.

CURVA DE FRECUENCIAS

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.43 . Elabore una distribución de frecuencias acumuladas de la distribución de frecuencias formada en el problema 2.39 y trace una ojiva con estos datos.

204


CLASES

f

F

h

H

300 - 700

13

13

32,50

32,50

700 - 1100

11

24

27,50

60,00

1100 - 1500

6

30

15,00

75,00

1500 - 1900

5

35

12,50

87,50

1900 - 2300

3

38

7,50

95,00

2300 - 2700

1

39

2,50

97,50

2700 - 3000

1

40

2,50

100,00

40

100,00

OJIVA MENOR QUE 20.00 18.00 16.00 14.00

No. prestamos12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 18 y menor 20 y menor 22 y menor 24 y menor 26 y menor 30 y menor que 20 que 22 que 24 que 26 que 28 que 32

Cant. prestamos

2.44 . Describa las siguientes curvas en términos de asimetría o curtosis, como corresponda: a) una curva de frecuencias con una cola a la derecha, b) una curva de frecuencias relativamente afilada, c) una curva de frecuencias relativamente plana, d una curva de frecuencias con cola a la izquierda.

SOLUCION a) Asimétrica positiva.

205

b) leptocúrtica, c) platicúrtica, d) asimétrica negativa 2.45 . Elabore una tabla de frecuencias relativas a partir de la distribución de frecuencias presentada en la tabla 2.20.

Horas antes de reemplazo 0,0 - 24,9 25,0 - 49,9 50,0 - 74,9 75,0 - 99,9 100,0 - 124,9 125,0 - 149,0

Numero de herramientas 2 4 12 30 18 4 70


Horas antes de reemplazo 0,0 - 24,9 25,0 - 49,9 50,0 - 74,9 75,0 - 99,9 100,0 - 124,9 125,0 - 149,0

Numero de herramientas 2 4 12 30 18 4

F 2 6 18 48 66 70

h 2,86 5,71 17,14 42,86 25,71 5,71

H 2,86 8,57 25,71 68,57 94,29 100,00

2.46 . Elabore un histograma de la distribución de frecuencias relativas del problema 2.45.

SOLUCION 20 15

HISTOGRAMA

10 No. herramientas 5 0 18 y menor que 20

20 y menor que 22

22 y menor 24 y menor que 24 que 26 No. horas

26 y menor que 28

30 y menor que 32

206

2.47 . En referencia a la tabla 2.20, a) ¿Qué porcentaje de herramientas cortantes duró al menos 125 horas? b) ¿Qué porcentaje de herramientas cortantes tuvo un periodo de vida de al menos 100 horas?

SOLUCION a. H5=94,29% de herramientas cortantes duró al menos 125 horas b. H=25,71+5,71=31,42% de las herramientas cortantes tuvo un periodo de vida de al menos 100 horas. 2.48 . Elabore una tabla de proporciones acumuladas con la distribución de frecuencias de la tabla 2.20.


Horas antes de reemplazo

Numero de herramientas F

h(%)

H(%)

0,0 - 24,9

2

2

2,86

2,86

25,0 - 49,9

4

6

5,71

8,57

50,0 - 74,9

12

18

17,14

25,71

75,0 - 99,9

30

48

42,86

68,57

100,0 - 124,9

18

66

25,71

94,29

125,0 - 149,0

4

70

5,71

100,00

2.49 . En referencia a la tabla resultante del problema 2.48, a) ¿Qué periodo de vida de las herramientas se asocia con el 26o. percentil de la distribución? b) ¿Cuál percentil se asocia con un periodo de vida de herramientas de aproximadamente 100 horas?

SOLUCION a) P26 :

207

P26=Xi-1+C

26 n / 100  Fi 1  

f i

=75+

25(18,2  18) 12

=75,42 horas

a) P69 : P69=Xi-1+C

69 n / 100  Fi 1  

f i

=100+

25(48,3  48) 18

=100,3 horas

2.50 . Elabore una ojiva con las proporciones acumuladas determinadas en el problema 2.48.

SOLUCION

OJIVA MENOR QUE

20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 No. 10.00 herramientas 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00

18 y 20 y 22 y 24 y 26 y 30 y menor que menor que menor que menor que menor que menor que 20 22 24 26 28 32 No. horas

2.51 . Remítase a la ojiva elaborada en el problema 2.50 y determine los siguientes valores, aproximadamente, por medio de interpolación gráfica: a) el periodo de vida de las herramientas en el 50o. percentil de la distribución, b) el percentil asociado con un periodo de vida de herramientas de 60 horas.

SOLUCION a) 75 a 100 horas. b) El percentil 20.

208

2.52 . En referencia a la distribución de frecuencias de la tabla 2.21. determine: a) el límite nominal inferior de la primera clase, b) el limite nominal superior de la primera clase, c) el límite exacto inferior de la primera clase, d) el límite exacto superior de la primera clase, e) el punto medio de la primera clase. Tabla 2.21. Edades de una muestra de candidatos a un programa de capacitación

Edad 18 y menor que 20 20 y menor que 22 22 y menor que 24 24 y menor que 26 26 y menor que 28 30 y menor que 32 29 y menor que 30

Numero de candidatos 5 18 10 6 5 4 2 50

SOLUCION a) Linf =18 años b) Lsup menor que 20 años c) Lsup=20 años d) A=2 años e) Marca de clase: x=19 años 2.53 . Elabore un polígono de frecuencias de la distribución de frecuencias de la tabla 2.21.

SOLUCION 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

POLIGONO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

209

2.54 . Use software de cómputo para construir una distribución de frecuencias y producir un histograma con los datos de la tabla 2.19, correspondientes a las cantidades de los 40 préstamos personales. Especifique que el punto medio de la primera clase sea de 500 y use un intervalo de clase de 400. a) Describa el tipo de la distribución de frecuencias formada. b) identifique el punto medio de la primera clase. c) Determine el tamaño del intervalo de clase. d) Identifique los límites nominales de clase inferior y superior de la primera clase. e) Determine los límites exactos de clase inferior y superior de la primera clase.

SOLUCION a. Tabla de frecuencias

CLASES

f

F

h

H

X

300 - 700

13

13

32,50

32,50

500

700 - 1100

11

24

27,50

60,00

900

1100 - 1500

6

30

15,00

75,00

1300

1500 - 1900

5

35

12,50

87,50

1700

1900 - 2300

3

38

7,50

95,00

2000

2300 - 2700

1

39

2,50

97,50

2400

2700 - 3000

1

40

2,50

100,00

2700

40

100,00

c) A=700-300=400 d) Linf =300 Lsup=699 e) Linf =300 Lsup=700 2.55 . Elabore un diagrama de tallo y hojas con las temperaturas diarias más bajas reportadas en la tabla 2.14, en el problema 2.25. Compare la forma de la distribución de las temperaturas diarias más bajas con la de las temperaturas diarias más altas, cuyo diagrama de tallo y hojas está dado en la figura 2-25.

210

Temperatura C debajo de 500 501-510 511-520 521-530 531-540 550-560 561-570 571-580 581-590 591-600 Total

Frecuencia 4 7 32 59 82 65 33 28 27 23 360

SOLUCION Tallo 500 510 520 530 550 560 570 580 590 Total

Ramas 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Frecuencia 4 7 32 59 82 65 33 28 27 360

2.56 . Remítase a la tabla 2.15, incluida en el problema 2.27, correspondiente a los ritmos cardiacos en estado de reposo de una muestra de 40 adultos. Use software de cómputo para obtener un diagrama de puntos en el que los dos subgrupos aparezcan por separado según su sexo para facilitar la comparación entre los ritmos cardiacos de mujeres y hombres en la muestra. 2.57 . En la tabla 2.22 se presenta la inversión anual en investigación y desarrollo (I y D) durante una secuencia de cinco años por una importante compañía aeroespacial. Elabore un diagrama de barras verticales con estos datos. Tabla 2.22 Inversión anual en investigación y desarrollo de una compañía aeroespacial (en millones de dólares)

211

Año 1 2 3 4 5

Cantidad 751 754 827 1417 1846

SOLUCION 

Grafico de barras 2000 1800

INVERSION ANUAL

1600 1400 1200

Cantidad 1000 800 600 400 200 0 1

2

3

4

5

Año

2.58 . Elabore una gráfica de líneas de las inversiones en I y D del problema anterior.

SOLUCION 

Grafico de líneas: 2000 1800

INVERSION ANUAL

1600 1400 1200

Cantidad 1000 800 600 400 200 0 1

2

3

4

5

Año

212

2.59 . Cuando el proceso de fabricación de baterías AA se halla bajo control, el periodo de vida promedio por batería es de 7.5 horas, o 450 minutos. En el caso de 10 muestras secuenciales de nueve baterías cada una colocadas en un armazón que las drena sistemáticamente para simular el uso diario de baterías, se encontró que los promedios muestrales del periodo de vida de las baterías fueron: 460, 450, 440, 470, 460, 450, 420, 430, 440 y 430 minutos. Elabore una gráfica de corridas con estos resultados muestrales.

SOLUCIÓN 480

BATERIAS

470 460 450 Tiempo de vida 440 430 420 410 0

2

4

6

8

10

12

Muestras

2.60 . Las ventas en el exterior durante un año específico de un importante compañía aeroespacial aparecen en la tabla 2.23. Elabore un diagrama circular de porcentajes de los ingresos por concepto de ventas en el exterior por zona geográfica. Tabla 2.23 Ventas en el exterior de una compañía aeroespacial

213

(en millones de dólares) Europa

7175

Asia

7108

Oceanía Hemisferio occidental

1977

Africa

430

Total

17562

872

SOLUCIÓN

Hemisferio occidental, 872, 5% Oceania, 1977, 11%

Asia, 7108, 41%

Africa, 430, 2%

Europa Asia

Europa, 7175, 41%

Oceania Hemisferio occidental Africa

214

PARTE 9 21. La distribución de frecuencias que se consideró en el ejercicio 17 y se repite aquí representa el número de días al año en que los empleados de la compañía E.J. Wilcox Manufacturing Co. No se presentan a trabajar debido a enfermedad.

1. ¿Cuántos empleados estuvieron ausentes menos de tres días al año? 

Estuvieron ausentes menos de tres 5 empleados.

2. ¿Cuántos le estuvieron menos de seis días debido a la enfermedad? 

Estuvieron ausentes menos de seis días 17 empleados debido a la enfermedad.

b) Convierta la distribución de frecuencias en una distribución de frecuencias acumuladas. Número inasistencias 0 hasta 3 3 hasta 6 6 hasta 9 9 hasta 12 12 hasta 15 Total

de Frecuencia

Fi

5 12 23 8 2 n= 50

5 17 40 48 50

c) Represente la distribución de tipo acumulado mediante un polígono de frecuencias acumuladas.

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS 1.2 1 0.8 0.6

FRECUENCIAS ACUMULADAS

0.4 0.2 0

215

d) Basándose en el polígono en cuestión, ¿alrededor de tres de cada cuatro empleados estuvieron ausentes por cuántos días o menos debido a enfermedad? 

Según el diagrama : Tres de cada cuatro empleados estuvieron ausentes por 6 a 9 días debido a enfermedad .

22. La distribución de frecuencias del tiempo necesario para surtir un pedido se toma del ejercico 18.

Tiempo para surtir (días) 0 hasta 5

Frecuencia

Fi

6

6

5 hasta 10

7

13

10 hasta 15

12

25

15 hasta 20

8

33

20 hasta 25 Total

7 40

40

a) ¿Cuántos pedidos se entregaron en menos de 10 días? 

En menos 10 días se entregaron 13 pedidos.

b) ¿Y en menos de 15 días? En menos de 15 se entregaron 25 pedidos. b) Convierta la distribución de frecuencias en una distribución de frecuencias acumuladas. 

Tiempo de Surtido (días)

Frecuencia Frecuencias

acumuladas Menor que

0a5

6

6

5 a 10

7

13

10 a 15

12

25

15 a 20

8

33

20 a 25

7

40

Total

40

216

c) Desarrolle un polígono de frecuencias acumuladas.

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS 1.2 1 0.8 FRECUENCIAS ACUMULADAS

0.6 0.4 0.2 0

d) ¿Alrededor de 60% de los pedidos se entregaron en menos de cuántos días? 

El 60% de los pedidos es un aproximado de 24 y se entregaron en menos de 15 días.

23) En la siguiente tabla se presenta una muestra de los sueldos por hora de 15 empleados en los supermercados Food City.

Sueldos por hora

numero de empleados

$ 6 hasta $ 8

3

8 hasta 10 10 hasta 12 12 hasta 14

7 4 1

a) ¿Cómo se llama esta tabla? 

Tabla de distribución de frecuencias.

217

b) Desarrollo una distribución de frecuencias acumuladas, y muestre la distribución en un polígono de frecuencias acumuladas.

Sueldos por hora

Numero de empleados

Frecuencia acumulada

$ 6 hasta $ 8

3

3

8 hasta 10

7

10

10 hasta 12

4

14

12 hasta 14

1

15



Polígono de frecuencias acumuladas.

Frecuencia acumulada de los sueldos por hora de 15 empleados 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Frecuencia acumulada $ 6 hasta $ 8 8 hasta 10 10 hasta 12 12 hasta 14

c) Basándose en el polígono anterior, ¿cuántos empleados ganan 9 dólares por hora o menos? ¿La mitad de los empleados gana un sueldo de tal cantidad o mayor a qué cifra? ¿Diez empleados ganan un salario de cuánto o inferior a qué cifra? 

Según el grafico anterior, los empleados que ganan 9 dólares o menos son 10.



La mitad de los empleados ganan un sueldo de tal cantidad o mayor a 8 dólares.



Diez empleados ganan un salario tal o menor a 10 dólares.

218

Ejercicios 19. La siguiente gráfica muestra los sueldos por hora do técnicos soldadores en el área de Atlanta, Georgia.

a)¿Cuántos soldadores se consideraron?  Se consideraron 40 soldadores b)¿Cuál es el intervalo de clase?  El intervalo de clase es 5. c)¿Cuántos soldadores ganan menos de $10.00 (dólares) por hora?  Un aproximado de 10 soldadores ganan menos de 100 dólares por hora. d)¿Alrededor do 75% de los soldadores ganan menos de qué cantidad?  30 de los soldadores ganan menos de 20 dólares por hora e) ¿Diez do los soldadores incluidos ganan monos de qué cantidad?  10 de los soldadores incluidos ganan aproximadamente menos de 10 dólares por hora. f) ¿Qué porcentaje de soldadores gana menos do $20.00 por hora? 20.  75% de soldadores ganan menos de 20 dólares La siguiente gráfica muestra el precio de venta (en miles de dólares) de casas vendidas en el área de Billings, Montana. Precio de venta (miles de dólares)

a) ¿Cuántas casas se estudiaron?  Se estudiaron 200 casas. b) ¿Cuál es el intervalo de clase?  El intervalo de clase es de 50.

219

c) ¿Cien casas no vendieron en una cantidad inferior a?  Cien casas se vendieron a una cantidad inferior a 200 miles de dólares. d) ¿Alrededor de 75% de las edificaciones se vendieron en menos de qué cantidad?  El 75 % de las casas se vendieron a un aproximado de menos de 250 mil dólares. 20. A continuación se muestran los gastos (en dólares) del personal militar y civil en las ocho bases militares más grandes en Estados Unidos. Elabore una gráfica de barras y resuma los resultados en un informe breve.

Base

Cantidad gastada

St. Louis. MO San Diego. CA Pico Rivera. CA Arlington. VA

(millones) 6087 4747 3272 3284

Base

Cantidad gastada

Norfolk. VA Marietta. GA Fort Worth. TX Washington. Dc

(millones) 3228 2828 2492 2347

SOLUCION Gastos (en dólares) del personal militar y civil 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0



Como podemos apreciar la base militar de St. Louis. MO es la que tiene más gastos y la de Washington. Dc es la que menos gastos obtiene.

220

21) Un conjunto de datos consiste en 33 observaciones. ¿Cuántas clases recomendaría para una distribución de frecuencias?

SOLUCION 

El número de clases se recomienda generalmente de 6 a 15.



Tambien se puede calcular mediante la fórmula k = 1+3.3log n , por lo tanto, 1+3.3log 33 = 6, entonces de recomendaría, para la distribución de frecuencias, 6 clases.

22) Un conjunto de datos consta de 145 observaciones que van de 56 a 490. ¿Qué tamaño de intervalo de clase recomendaría?

SOLUCION 

R = 490 – 56 = 434, redondeando sería 440.



K = 1+3.3log 145 = 8.1325, redondeando sería 8.



W = 440/8 = 55, por lo tanto la amplitud del intervalo, lo recomendable sería que sea de 55.

23) A continuación se presentan la cantidad de minutos que toma viajar desde el hogar al trabajo, para un grupo de ejecutivos con automóvil.

28 25 48 37 41 19 32 26 16 23 23 29 36 31 26 21 32 25 31 42 35 42 38 33 28

a) ¿Cuántas clases serían recomendables? b) ¿Qué intervalo de clase sugiere? c) ¿Qué valor sugeriría como límite Inferior de la primera clase? d) Organice los dato; en una distribución de frecuencias. e) Comente acerca de la forma de distribución recomendada.

SOLUCION 

R = 48 – 16 = 32, redondeando por un número divisible por ―K‖, sería 36.

221



K = 1+3.3log 25 = 5.6132, redondeando sería 6.



W = 36/6 = 6. Clases 1 2 3 4 5 6 

Intervalos de Clase 15-20 21-26 27-32 33-38 39-44 45-50

Frecuencia 2 7 7 5 3 1

Es recomendable construir una distribución de frecuencia absoluta simple para comenzar a distribuir los datos.

24) Los siguientes datos obtenidos de una muestra de hogares presentan las cantidades semanales (en dólares), que se gastan en comestibles. $271

$3G3

$159

279 192 116 429

205 131 100

279 321 151 570

294

S76 265 303 240 342

$227

$337

$295

$319

$250

199 246 474 279

177 278 297 235

162 50 170 434

232 41 180 123

303 335 320 325

a) ¿Cuántas clases recomendaría? 

Se recomienda 6 clases.

b) ¿Qué intervalo do clase sugeriría? 

El intervalo de clase sugerido es de 88.

c) ¿Qué valor sería recomendable como el límite inferior de la primera clase? 

Lo recomendado como límite inferior en la primera clase sería 41.

d) Organice los datos en una distribución de frecuencias.

Número de clase 1 2 3 4 5 6

Intervalos 41-129 130-218 219-307 308-396 397-485 486-574 N= 45

fi 6 10 15 9 4 1

222

e) Comente la forma de la distribución de frecuencias.  Una distribución de frecuencias generalmente se caracteriza por tener intervalos de clase y frecuencia absoluta como la presente. 25) La siguiente representación do tallo y hoja muestra el número de minutos que ve televisión diurna una muestra do estudiantes universitarios. 2 3 6 10 13 24 30 (7) 33 23 21 12 0 4 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

05 0 137 0029

499 00155667799 0234G8 1366789 01558 1122379 022367899 2457 4663

249 14 5

a) ¿Cuántos estudiantes se consideraron?  Se consideraron un total de 70 estudiantes. b) ¿Cuántas observaciones hay en la segunda clase?  Sólo hay 1 observación. c) ¿Cuántos son los valores mayor y menos?  El valor mayor es 145 y el valor menor es 0. d) Enumere los valores reales en la cuarta hilera. 1) 30 2) 30 3) 32 4) 39 e) ¿Cuántos estudiantes vieron menos de 60 minutos de TV?.  24 estudiantes vieron menos de 60 minutos TV. F) ¿Cuántos vieron 100 minutos o más de TV?.  21 alumnos vieron 100 minutos o más de TV. g) ¿ Cuál es el valor central?  El valor central es 76 minutos.

223

h) ¿Cuántos estudiantes vieron por lo menos 60 minutos, pero menos de 100?.  25 estudiantes vieron por lo menos 60 minutos, pero menos de 100 minutos TV. 34) La siguiente representación de tallo y hoja informa el número de pedidos recibido por día una empresa de venia por correo. 1

9

2 5 7 8 11 15 22 27 (11) 17 12 8 4 2

10 11 12 13 14 15 I6 17 18 19 20 21 22 23

1 2 235 69 2 135 1229 2266778 01599 03346 4679 0177 45 17

a) ¿Cuántos días se estudiaron?  Se estudiaron un total de 55. b) ¿Cuántas observaciones hay en la cuarta clase?  En la cuarta clase hay solamente 2 observaciones c) ¿Cuál es el valor más pequeño y el más grande?  El valor más pequeño es 91 y el valor más grande es 237. d) Enuncie los valores reales en la sexta clase. 1) 141 2) 143 3) 145 e) ¿Cuántos días recibió la empresa menos de 140 pedidos?  La empresa recibió en 8 días menos de 140 pedidos. f) ¿Cuántos días recibió 200 pedidos o más?  La empresa recibió 200 pedidos o más en 12 días. g) ¿Alrededor de cuántos días recibió 180 pedidos?  Recibió 180 pedidos alrededor de 11 pedidos.

224

h) ¿Cuál es el valor central?  El valor central es de 183 pedidos. 35) El siguiente polígono de frecuencias muestra las calificaciones de un primer examen de estadística:

Intervalos 50-60 61-70 71-80 81-90 91-100

fi 3 14 21 12 6 n= 56

a.) ¿Cuántos estudiantes hicieron el examen?  De acuerdo a la frecuencia dada: 3, 14, 21, 12, 6. El número total de estudiantes que dieron el examen suman 56 b.) ¿Cuál es el intervalo de clase?  De acuerdo a las calificaciones el intervalo de clase es de 10 . c.) ¿Cuál es el punto medio de clase para la primera de ellas?  El punto medio va ser igual a: 60+50/ 2 = 55 d.) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación menor que 70?  17 estudiantes obtuvieron una calificación menor que 70 36) La siguiente gráfica resume el precio de venta de las casas que se vendieron en el mes pasado en el área de Sarasota, Florida.

225

a) ¿Cómo se llama la gráfica? 

Es la Gráfica de ojiva

b) ¿Cuántas casas se vendieron el mes pasado? 

El mes pasado se vendieron 250 casas.

c) ¿Cuál es el intervalo de clase? 

El intervalo de clase es de 50 .

d) ¿Alrededor de 75% de las casas se vendieron en menos de qué cantidad? 

Se vendieron a menos de 200 a 250 casas.

e) ¿Ciento setenta y cinco de estas casas se vendieron en menos de qué cantidad? Se vendieron 175 casas en menos de 200 y 250 miles de dólares. 37) Una cadena de tiendas de artículos deportivos, cuya sede se localiza en Aspen, Colorado vende productos a los esquiadores novatos. La cadena planea realizar un estudio de cuánto gasta un esquiador en su compra inicial de equipo y abastecimiento. Con base en estas, quieren explorar la posibilidad de ofrecer paquetes, como un par de bolas y un par de esquís, para motivar a los clientes para que compren más artículos. Una muestra de sus recibos de caja registradora reveló las siguientes compras iníciales (en dólares): 

a) Sugiera un intervalo cíe clase. Utilice cinco ciases, y empleo como limito inferior de la primera, el valor 80:

Número de clase 1 2 3 4 5

Intervalo de clase 80-102 103-125 126-148 149-171 172-194

226

b) ¿Cuál sería un mejor intervalo de clase? 1. R= Xmax-Xmin= 230-80; Entonces R= 150 2. K= 1+3.3log N; donde N= 44 ; Entonces k= 6.42 3. W= 23,36 = 23. En conclusión el intervalo de clase es de 23. c) Organice los datos en una distribución de frecuencias, uso el límite inferior do 80.

Número de clase 1 2 3 4 5 6 7

Intervalo de clase 80-102 103-125 126-148 149-171 172-194 195-217 218-240

Fi 4 7 13 9 4 4 3 N=44

d) Interpreto sus resultados: 

En la clase 1: 4 de 44 personas hacen un gasto inicial en la compra de artículos para esquí; a un precio que oxila entre 80 – 102 dólares.

38) Las cantidades de accionistas para un grupo selecto de compañías estadounidenses grandes (en miles de dólares) son: COMPAÑIA

CANTIDAD DE ACCIONSITAS

COMPAÑIA

CANTIDAD DE ACCIONISTAS

Pan American World General Public Utililities Occidental Petroleum Middle South Utilities Daimlerchryster Standard oil of california Belnlehen steel Long Island Lighting RCA Greyhound Corporation Pacific Gas & Electric Niagara Mohawk Power E.I. du Pont de Nemours Westinghouse Electric Union Caribe Bank America

144 177 266 133 209 264 160 143 246 151 239 204 204 195 176 175

Northeast Utilities Standard Oil (Indiana) Home Depot Detroit Edison Eastman Kodak Dow Chemical Pennsylvania Power American Electric Power Ohio Edison Transamerica Corporalion Columbia Gas System International Telephione & Telegraph Union Electric Virginia Electric and Power Public Service Electric & Gas Consumers Power

200 173 195 220 251 137 150 262 158 262 165 223 158 162 225 161

227

La cantidad de accionistas debo organizarse: un una distribución de frecuencia y se deben varias gráficas para representar la distribución.

a) Utilizando siete clases y un limite inferior de 130. Numero de clases 1 2 3 4 5 6 7

Intervalo de clases 130-151 152-173 174-195 196-217 218-239 240-261 262-283

fi 6 8 5 4 4 3 2 N=32

FI 6 14 19 23 27 30 32

b) Represente la distribución en un polífono de frecuencias.

c) Haga ahora la representación en un polígono de frecuencia acumuladas:

228

d) Con base en el polígono acumulativo, ¿ Tres de cada cuatro (75%) de las empresas tienen menos de que cantidad de accionistas. 

El 75% de 100% de empresas cuentan entre menos de 195 a 217 accionistas.

e) Realice un breve análisis sobre el número de accionistas, basado en la distribución y en las graficas. 

De 152- 173 es el numero de accionistas más regular.

39) Una encuesta recién mostro que el propietario típico de auto en Estados Unidos destina 2950 dólares al año en gastos de operación. A continuación se muestra una clasificación de los diversos conceptos de gastos. Trace un diagrama apropiado para presentar los datos y resuma sur resultados en un breve informe.

Concepto de Gastos Combustible Intereses de automotriz Reparaciones Seguros permisos Depreciación Total

Importe dólares) 603 crédito 279 930 646 492 2950

(

en hi

N°

20.44% 9.45%

74° 34°

31.60% 21.90% 16.70%

114° 79° 60°

PARA HALLAR N°: N°= (hi* 360)/100

GRÁFICO:

229

INFORME POR CONCEPTO DE GASTOS: -

El propietario típico de auto en los Estados Unidos utiliza un 9.45% de 2 950 dólares durante el año en Intereses de crédito. El propietario típico de auto en los Estados Unidos utiliza un 16,7% de 2 950 dólares durante el año en Depreciación. El propietario típico de auto en los Estados Unidos utiliza un 21.9% de 2 950 dólares durante el año en Seguros y permisos. El propietario típico de auto en los Estados Unidos utiliza un 20.44% de 2 950 dólares durante el año en combustible. El propietario típico de auto en los Estados Unidos utiliza un 31.6% de 2 950 dólares durante el año en Reparaciones.

40) El Midland National Bank seleccionó una muestra den40 cuentas de cheques de estudiantes. En seguida se presentan los saldos (EN DÓLARES) a fin de mes. 404

74

234

149

279

215

123

55

43

321

87

234

68

489

57

185

141

758

72

863

703

125

350

440

27

252

27

521

302

127

968

712

503

489

327

608

358

425

303

203

a.) Coloque los datos en una distribución de frecuencia usando el valor de 100 dólares como intervalo de clase y 0 como punto de partida.

Numero de clase

Intervalo de clase

fi

Fi

hi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0-100 101-200 201-300 301-400 401.500 501.600 601-700 701-800 801-900 901-1000

9 6 6 6 5 2 1 3 1 1 N= 40

9 15 21 27 32 34 35 38 39 40

22.5% 15% 15% 15% 12.5% 5% 2.5% 7.5% 2.5% 2.5% 100 %

b.) Trace un polígono de frecuencias acumuladas.

230

c.) El banco considera como ―cliente referencial‖ al estudiante que tenga un saldo final igual o superior a 400 dólares en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos. 

El banco considera como ―cliente referencial‖ al 32.5 % de sus clientes.

d.) El banco también está considerando un cargo por manejo de cuenta a 10% de los cuentahabientes cuyo saldo final es más bajo. ¿ Qué recomendaría como punto de corte entre los que tienen que pagar un cargo por servicio y los que no están en tal caso? 41) El departamento de trasportes del gobierno de Estados Unidos , rastrea el porcentaje de vuelos que llegan dentro de los 15 minutos de su llegada programada por la aerolínea. A continuación se encuentra la información más reciente. Elabore una gráfica de tallo y hoja con estos datos. Resuma su condición.

Aerolínea Pan Am America West Northwest USAir Soullavest Alaska 

Porcentaje a tiempo 82.7 82.7 81.0 80.1 79.7 79.7

Aerolínea American United Delta Continental British Airways Japan Airlines

Porcentaje a tiempo 78.1 76.4 71.1 76.9 80.4 81.4

No se puede resumir en un diagrama de tallo y hojas debido a que no nos dan las frecuencias absolutas.

42) un estudio reciente sobre tecnología en el hogar se realizó con una muestra de 60 personas y reporta la cantidad de horas semanales de uso de una computadora personal en casa. Del estudio se excluyeron las personal que usan la computadora como parte de su trabajo.

231

9.3

5.3

6.3

8.8

6.5

0.6

5.2

6.6

9.3

4.3

6.3

2.1

2.7

0.4

3.7

3.3

1.1

2.7

6.7

6.5

4.3

9.7

7.7

5.2

1.7

8.5

4.2

5.5

5.1

5.6

5.4

4.8

2.1

10.1

1.3

5.6

2.4

2.4

4.7

1.7

2.0

6.7

1.1

6.7

2.2

2.6

9.8

6.4

4.9

5.2

4.5

9.3

7.9

4.6

4.3

4.5

9.2

8.5

6.0

8.1

a.) 1. Organice los datos en una distribución de frecuencias. ¿Cuántas clases recomendaría?

Numero de clases 1 2 3 4 5 6 7

Intervalo de clase -1.11-0.3 0.4-1.41 1.51-2.92 3.02-4.43 4.53-5.94 6.04-7.45 7.55-8.96

fi 0 5 11 6 15 10 6

Marca de clases 0.705 0.90 2.21 3.72 5.23 6.74 8.25

9.06-10.47 10.57-12.04

7 0

9.76 11.05

N= 60

2. ¿Cuál debería ser la amplitud de la clase? -

R= 10.1-0.4 R= 9.7

-

K=1+3.3logN K=6.86 W= R/K = La amplitud de la clase es de 1.41

-

b.) Elabore un histograma e intérprete los resultados

232

43) Meral Lynch acaba de terminar un estudio respecto al tamaño de los portafolios ( acciones, bonos, fondos y certificados de depósito) de inversiones en una muestra de sus clientes cuya edad está comprendida entre 40 y 50 años. A continuación se indican los montos de las inversiones de los 70 participantes en el estudio. 669.9 301.9 136.4 380.7 228.6 39.5 31.3 221.1 295.7

7.5 235.4 616.9 3.3 303.7 124.3 301.2 43.4 437.0

77.2 716.4 440.6 368.2 126.7 118.1 35.7 212.3 87.8

7.5 145.3 408.2 51.9 430.3 23.9 154.9 243.3 302.1

125.7 26.6 34.4 52.2 82.0 352.8 174.8 315.4 268.1

516.9 187.2 296.1 107.5 227.0 156.7 100.6 5.9 899.5

219.9 315.5 185.4 82.9 312.1 276.3 236.7 1002.2

646.2 89.2 526.3 63.0 403.4 23.5 171.9 171.7

a.) Organice los datos en una distribución de frecuencia.

Número de clase 1 2 3 4 5 6 7 8

Intervalo de clase -137.7-3.2 3.3-144.2 144.3-285.2 285.3-426.2 426.3-567.2 567.3-708.2 708.3-849.2 849.3-990.2 990,3-1131.2 1131,3-1272,2

fi 0 27 18 14 5 3 1 1 1 0 N=70

Marca de clase -67.25 73.75 214.75 355.75 496.75 637.75 778.75 919.75 1060.75 120.75

1. ¿Cuántas clases recomendaría?

233

Dependiendo del intervalo y de ―N‖ ,lo recomendable sería 8 clases 2. ¿Cuál debería ser el intervalo de clase?. R= Xmax-Xmin K=1+3.3logN ; N=70 R=1002.2-3.3 k=7.088 R= 998.9 

W=R/K W=140.9 

El intervalo de clase estaría dado de 140.9

a.) Elabore un histograma he interprete los resultados.

INTERPRETACIÓN: 

27 de 70 personas tienen montos de inversión que oxila entre 0.33 a 144.2.

44) En su informe anual la compañía petrolera ExxonMobil reporta un total de 5886 millones de dólares como ingreso mundiales: De este total ( cantidades en millones de dólares), obtuvo 1541 en Estados unidos, 1757 en Europa, 1219 en Asia, 439 en Canadá y 930 en otras partes del mundo. Elabore una gráfica de barras que presente esta información:

234

FRECUENCIA PAISES (Ingresos) Estados Unidos 1541 Europa 1757 Asia 1219 Canadá 439 Otros países 930

45)La American Heart Association reporta la siguiente distribución porcentual de sus gastos. Realiza una gráfica circular con está información e interprete el diagrama.

Categoría Investigación

Porcentaje 32.3

n° 116°

Educación en salud pública

23.5

85°

Servicios a la comunidad

12.6

45°

Obtención de fondos

12.1

44°

Capacitación profesional y educativa

10.9

39°

8.6

31°

Administración y gastos personales

235



Grafica circular.

INTERPRETACIÓN: -

La American Heart Association invierte 32.3% de su dinero en investigación. La American Heart Association invierte 23.5% de su dinero en educación en salud pública. La American Heart Association invierte 12.6% de su dinero en Servicio a la comunidad. La American Heart Association invierte 12.1% de su dinero en Obtención de fondos. La American Heart Association invierte 10.9% de su dinero en capacitación profesional y educativa. La American Heart Association invierte 8.6% de su dinero en Administración y gastos generales.

46) En su informe anual de 1999, la corporación Schering-Plough repotó sus ingresos en millones de dólares desde 1995 hasta 999. Realice una gráfica de líneas con estos datos e interprétela.

Año 1995

Ingresos( millones de dólares) 1 053

1996

1 213

1997

1 444

1998

1756

1999

2 110

236



Grafica de líneas.

INTERPRETACIÓN: -

La corporación Sherina Plough a aumentando sus ingresos trascendentalmente del año 1995 al año 1999 , siendo este último año de mayor ingreso anual.

47) A continuación presentamos los ingresos anuales, por tipo de impuesto, para el estado de Georgia. Desarrolle un diagrama o una gráfica adecuados y redacte un documento que resuma la información.

Tipo de Impuesto

Cantidad (en millones)

Ventas

2 818433

Ingresos (individuales)

2772045

Permisos

185198

Corporación

525015

Propiedad

22647

Defunción – Donaciones Total

37326 6314704

237

Grafico de Sectores

525015

22647 37326 Ventas Ingresos (individuales) Permisos

185198

Corporación Propiedad 2772045

La distribución presentada nos da a entender lo que en ventas respecta el gran aporte a lo estudiado. 48) Las importaciones anuales de algunos socios comerciales canadienses se presentan en la siguiente tabla. Elabore un diagrama o una gráfica adecuados y escriba un breve informe resumiendo la información.

Socio

Importación anual (millones de dólares)

Japón.

$ 9 550

Reino Unido.

4 556

Corea del Sur.

2 441

China.

1 182

Australia.

618

GRÁFICO DE BARRAS SOBRE LA IMPORTACIÓN ANUAL POR SOCIO

238

10000.00 9000.00 8000.00 7000.00 a i c n e u c e r F

6000.00 5000.00 4000.00 3000.00 2000.00 1000.00 0.00 Ja pón .

R ei no U ni do .

Co re a d e l Su r.

C hi na .

Au stral ia.

País

En esta gráfica podemos observar y darnos cuenta que el país de Japón brinda la mayor aportación, seguidamente por Reino Unido. 49)La actividad de cultivo ha cambiado desde principios de la década de 1990 al decenio de 1990. Casi al principio del siglo XX, la maquinaria gradualmente reemplazó la fuerza animal, Por ejemplo, en 1910 las granjas en EUA utilizaban 24.2 millones de caballos y mulas, y sólo alrededor de 1000 tractores. En 1960, se usaban 4.6 millones de tractores y solamente 3.2 millones de caballos y mulas. En 1920 había alrededor de 6 millones de granjas en Estados Unidos. Actualmente hay menos de 2 millones. A continuación se indica el número de granjas, en millares, para cada uno de los 50 estados en 1997. Muestre estos estados en un diagrama o una gráfica adecuados, haga un escrito que resuma sus resultados.

47 1

8

46

76

26

4

4

21 80

63

100

65

7

52 87

39

106

14 38 59

33

35 86 185 13

3

39

45

91 29

7

15

25

55

2

3

8

76

71

37 51

1

24

7

43 36

20

79 9

239

Intervalo

fi

Fi

hi

Hi

1

27.28

21

21

0.42

0.42

27.28

53.56

14

35

0.28

0.70

53.56

79.84

8

43

0.16

0.86

79.84

106.12

6

49

0.12

0.98

106.12

132.4

0

49

0.00

0.98

132.4

158.68

0

49

0.00

0.98

158.68

185

1

50

0.02

1.00

Total

50

1

Polígono de Frecuencias Relativa

En este polígono de frecuencias relativas observado encontramos una distribución asimétrica, con cierta inclinación a los primeros valores, es decir que hay una disminución de estos datos conforme se va avanzando en las clases. 50)Uno de los caramelos más populares en Estados Unidos con los lunetas M & M, producidos por la compañía Mars. Por Muchos años los caramelos M & M se

240

LABORATORIO.docx

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