Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
Odredimo sinus i kosinus razlike faza napona i struje. Primenimo trigonometrijske veze između sinusa, kosinusa i tangensa ugla: 1 1 G G , cosν = = = = 2 2 2 Y 1 + tg 2ν + G B B 1+ G B 2
tg ν
sinν =
G
= 2
B 1+ G
1 + tg ν
sinν
oblast
cosν
>
0
1
-1 0
2
G
2
=
+ B
B Y
2
.
S obzirom da su veličine G i Y uvek pozitivne veličine, i kosinus ugla ν je uvek pozitivan. Pošto veličina B može biti i pozitivna i negativna, sinus ugla ν može biti i pozitivan i negativan. Na osnovu prethodnog se zaključuje da je oblast definisanosti razlike faza između struje i napona:
definisanosti za ν
1
B
=
cosν
π
π
, 2 2 što je prikazno na trigonometrijskom krugu na slici 11.4. −
-1
≤ ν ≤
Slika 11.4
Zamenimo brojne vrednosti u izraze. Susceptansa posmatrane paralelne veze je: 1 1 4 −1 −9 = 10 s ⋅ 200 ⋅ 10 F = 2 mS − 1 mS = 1 mS . B = BC − B L = ω C − 4 −1 10 s ⋅ 100 ⋅ 10 −3 H ω L Admitansa posmatrane paralelne veze je: Y =
1 G + ω C − ω L 2
2
=
G
2
+ B
2
=
(1 mS)2 + (1 mS)2
=
Amplituda struje kroz napojnu granu je: I m
= Y ⋅ U m =
2 ⋅ 10 −3 S ⋅ 4 V = 4 2 ⋅ 10 −3 A = 4 2 mA .
Razlika faza struje i napona posmatrane paralelne veze je: 1 ω C − ω L = arctg B = arctg 1 mS ν = arctg G G 1 mS
50
=
2
2 ⋅ (1 mS)
arctg 1 .
=
2 mS .
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
3π , 4 4 kao što je prikazano na slici 11.3. Međutim, s obzirom na
Teoretski, izraz arctg 1 ima dva rešenja:
1 1 2
-1
oblast definisanosti ugla π
0 −3
π
1 2
4
π
2
≤ ν ≤
π
2
i
−
, jedino moguće
rešenje je:
1
4
−
π
ν =
π 4
.
Početna faza struje je: -1
ψ = θ + ν =
π
+
4
π 4
=
π 2
.
Slika 11.5
Sada možemo napisati izraz za trenutnu vrednost struje napojne grane: π i(t ) = I m sin (ω t + ψ ) = 4 2 sin10 4 t + mA . 2 Na slici 11.6 prikazani su grafici promene trenutnih vrednosti napona i struje posmatrane paralelne veze.
u (t ) i (t ) π π 2
4
0
2π
π
3π
t
θ ψ
ν
=
ψ θ −
=
π
4
Slika 11.6
Sa slike vidmo da struja prednjači naponu za
π
pa je razlika faza između struje i napona 4 pozitivna, kao što smo računskim putem dobili. Dakle, posmatrana redna veza ima kapacitivni karakter jer struja prednjači naponu. Generalno, kada je susceptansa veze elemenata pozitivna, B > 0 , tada je i razlika faza između struje i napona pozitivna, ν > 0 , i tada veza ima pretežno kapacitivni karakter. Obrnuto, kada je
51
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
reaktansa veze elemenata negativna, B < 0 , tada je i razlika faza između struje i napona negativna, ν < 0 , i tada veza ima pretežno induktivni karakter.
52
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
Analiza paralelnog RLC kola Otpornik otpornosti R=800Ω, kalem induktivnosti L=80mH i kondenzator kapacitivnosti C =250nF su povezani redno i priključeni na izvor prostoperiodničnog napona efektivne vrednosti 4 -1 U =50V i kružne učestanosti ω=10 s . a) Odrediti konduktansu, suceptansu i admitansu paralelne veze b) Odrediti razliku faza struje u napojnoj grani kola i napona na krajevima veze c) Odrediti izraz po kome se menja trenutna vrednost struje u kolu. d) Analizirati kolo uz pomoć računara i nacrtati grafik talasnih oblika napona i struje e) Uz pomoć osciloskopa odrediti faznu razliku između struje i napona. a) Konduktansa paralelne veze jednaka je recipročnoj vrednosti otpornosti otpornika u paralelnoj grani: ൌ ______________________________ ൌ ______________ Da bi se odredila suceptansa veze RLC potrebno je izračunati suceptanse kalema i kondenzatora:
ൌ ______________________________ ൌ ______________
ൌ ______________________________ ൌ ______________
Suceptansa kola je:
ൌ ______________________________ ൌ ______________ Admitansa kola je:
ൌ ______________________________ ൌ ______________ b) Fazna razlika struje i napona u(t) u kolu je: ൌ ______________________________ ൌ ______________ c) Efektivna vrednost struje: ൌ ______________________________ ൌ ______________ Ako je početna faza napona θ = 0, tada je početna faza struje: ψ ൌ ______________________________ ൌ ______________ Trenutna vrednost struje je:
ሺ ሻ ൌ _______________________________________________
53
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
d) Nacrtati kolo kao na slici 10.7 i simulirati rad na rač unaru. Ako posmatramo kolo na slici 11.7 primećujemo da je otpornik Rpom vezan na red sa naponskim generatorom, tako da ćemo posmatranjem oblika napona na krajevima tog otpornika snimiti oblik struje kroz napojnu granu, zato što su kod otpornika napon i struja u fazi, a vrednost otpornika koja je zanemarljivo mala u odnosu na impedansu paralelne veze ne utiče na stanje u kolu. Nakon crtanja talasnih oblika uneti podatke podešavanja osciloskopa u tabelu.
R = 800Ω ; C = 250nF ; L = 80mH ; U = 50V 4 -1 ω = 10 s f = ? f=_________ Slika 11.7
Razmera vremenske baze (ms/pod) ______ - Kanal 1 (V/pod) ______ - Kanal 2 (V/pod) Tabela 11.1 Podešavanje osciloskopa (uneti na kom su kanalu priklju č eni signali)
Grafik 5
54
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
f) Uz pomoć osciloskopa odrediti faznu razliku izmeđ u napona i struje
Podešavanje osciloskopa za merenje fazne razlike između dva prostoperiodična signala Dvokanalni osciloskop se može koristiti za analizu odnosa između dva signala, na vežbama iz osnova elektrotehnike koristće se i za merenje fazne razlike između 2 signala. Pretpostavimo da su oba kanala osciloskopa već povezana u kolo i da se nakon podešavanja parametara vremenske baze i kanala A i B, dobija izgled signala kao na slici 11.8. Sa slike je jednostavno utvrditi da signal uA prednjači za 45 u odnosu na signal uB. Kako to utvrditi uz pomoć osciloskopa? ˚
Slika 11.8. Signali na oba kanala osciloskopa, sa karakteristi č nim velič inama Δt i T
f ⋅ ∆t = 2π ϕ = ω ⋅ ∆t = 2π
ϕ = ϕ =
1 T
⋅ ∆t ,
∆t
2π [rad ] ,
T
∆t
T
⋅ 360° [°] .
4
5
6
Na slici 11.8 označena je fazna razlika φ, Δt je vreme za koje je signal u A prednjači u odnosu na signal uB, a T je perioda signala. Osciloskopom se određuju vrednosti ∆t i T, na indentičan način kao u predhodnoj vežbi postavljanjem markera na karakteristične tačke. Dobijene vrednosti se ubacuju u jednačinu 3, a tačnost rezultata zavisi isključivo od preciznog postavljanja markera. Izvršite merenja i podatke unesite na za to predviđena mesta i izračunajte faznu razliku:
∆ ൌ _____________________ , ൌ
∆
ൌ _____________________
360° ൌ _____________________
55
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
Paralelna veza dva prijemnika Ako imamo paralelnu vezu dva RLC prijemnika, onda prilikom proračuna važe sledeća pravila: i +
u
G 1
C C C L 1
C 1
G 2
Slika 11.2
Aktivne provodnosti u paralelnoj vezi se smeju sabirati: Ge = G1 + G2 Reaktivne provodnosti u paralelnoj vezi se smeju sabirati: Be = B1 + B2 Admitanse u paralelnoj vezi se ne smeju sabirati: Y e ≠ Y 1 + Y 2 Fazne razlike u paralelnoj vezi se ne smeju sabirati: ν e ≠ ν 1 +ν 2
U paralelnoj vezi se ne smeju sabirati parametri redne veze!
47
C C C L 2
C 2
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
Zadatak V ežbe Zadatak Vežbe V Na osnovu urađ enog primera reši preostale navedene zadatke.
11.1 Otpornik provodnosti G = 1 mS, kalem induktivnosti L = 100 mH i kondenzator kapacitivnosti C = 200 nF vezani su paralelno, a između njihovih krajeva je uspostavljen 4 -1
prostoperiodičan napon efektivne vrednosti U = 2 2 V, kružne učestanosti ω = 10 s i početne faze θ = π / 4 prema usvojenom referentnom smeru. Odrediti struju napojne grane ove paralelne veze. Kakvog je karaktera ova veza elemenata?
i(t)
C C C L
G
u(t)
C
Rešenje: Napišimo najpre izraz za trenutnu vrednost napona. Data je efektivna vrednost napona pa je amplituda: U m
= U
2
=
2 2 V⋅ 2
=
4V.
Otuda je izraz za trenutnu vrednost napona:
u (t ) = U m sin (ω t + θ ) = 4 sin10 4 t +
π
V.
4
i(t) iR (t) u(t)
iL (t) C C C L
G
iC (t) C
Slika 11.3
Analiza paralelnog RLC kola vrši se na analogan način analizi radnog RLC kola. Struje kroz pojedine elemente, prema usaglašenim referentnim smerovima (slika 11.3), su: i (t ) = G ⋅ u(t ) = G ⋅ U m sin(ω t + θ ) , π , 2 1 π ⋅ U m sin ω t + θ − iL (t ) = . ω L 2 iC (t ) = ω C ⋅ U m sin ω t + θ +
Za trenutne vrednosti napona i struja važe Kirhofovi zakoni pa je prema prvom Kirhofovom zakonu: 48
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
i(t ) = iR (t ) + iC (t ) + iL (t ) = =
π 1 π ⋅ U m sin ω t + θ − + = 2 ω L 2 1 U m cos(ω t + θ ) . = G ⋅ U m sin (ω t + θ ) + ω C − ω L
G ⋅ U m sin (ω t + θ ) + ω C ⋅ U m sin ω t + θ +
I ovde smo primenili činjenicu da je: π π sin α + = cos α i sin α − = − cos α . 2 2 Primenom trigonometrijske relacije: B 2 2 A sin α + B cos α = A + B ⋅ sin(α + arctg ) , A na izraz za napon na rednoj RLC vezi, dobijamo:
I m sin(ω t + ψ ) =
G
2
+ ω C −
1
ω L −
2
U m sin(ω t + θ + arctg ω L
G
1 ω C ).
Izjednačavanjem amplitude i faze leve i desne strane jednakosti dobijamo odnos amplituda i razliku faza struje i napona paralelne veze. Generalno, odnos amplituda struje i napona na nekoj vezi elemenata nazivamo admitansa Y . Admitansa paralelne veze je: Y =
I m U m
=
I
2
=
U
1 . G + ω C − ω L 2
Vidimo da je admitansa uvek pozitivna veli čina s obzirom da predstavlja odnos amplituda koje su pozitivne veličine. Veličina G naziva se aktivna provodnost ili konduktansa. Veličina 1 ω C − naziva se reaktivna provodnost ili susceptansa paralelne veze, a predstavlja razliku ω L susceptansi kondenzatora i kalema. Generalno, susceptansu obeležavamo sa B, pa je u opštem slučaju admitansa neke veze elemenata: Y =
G 2 + B 2 .
Susceptansa paralelne veze je dakle: B = BC − B L
= ω C −
1 ω L
.
Razliku faza struje i napona obeležavamo sa ν . Razlika faza struje i napona paralelne veze je: 1 ω C − B ω L . ν = ψ − θ = arctg = arctg G G Odavde je: B tgν = . G
49
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
Odredimo sinus i kosinus razlike faza napona i struje. Primenimo trigonometrijske veze između sinusa, kosinusa i tangensa ugla: 1 1 G G , cosν = = = = 2 2 2 Y 1 + tg 2ν + G B B 1+ G B 2
tg ν
sinν =
G
= 2
B 1+ G
1 + tg ν
sinν
oblast
cosν
>
0
1
-1 0
2
G
2
=
+ B
B Y
2
.
S obzirom da su veličine G i Y uvek pozitivne veličine, i kosinus ugla ν je uvek pozitivan. Pošto veličina B može biti i pozitivna i negativna, sinus ugla ν može biti i pozitivan i negativan. Na osnovu prethodnog se zaključuje da je oblast definisanosti razlike faza između struje i napona:
definisanosti za ν
1
B
=
cosν
π
π
, 2 2 što je prikazno na trigonometrijskom krugu na slici 11.4. −
-1
≤ ν ≤
Slika 11.4
Zamenimo brojne vrednosti u izraze. Susceptansa posmatrane paralelne veze je: 1 1 4 −1 −9 = 10 s ⋅ 200 ⋅ 10 F = 2 mS − 1 mS = 1 mS . B = BC − B L = ω C − 4 −1 10 s ⋅ 100 ⋅ 10 −3 H ω L Admitansa posmatrane paralelne veze je: Y =
1 G + ω C − ω L 2
2
=
G
2
+ B
2
=
(1 mS)2 + (1 mS)2
=
Amplituda struje kroz napojnu granu je: I m
= Y ⋅ U m =
2 ⋅ 10 −3 S ⋅ 4 V = 4 2 ⋅ 10 −3 A = 4 2 mA .
Razlika faza struje i napona posmatrane paralelne veze je: 1 ω C − ω L = arctg B = arctg 1 mS ν = arctg G G 1 mS
50
=
2
2 ⋅ (1 mS)
arctg 1 .
=
2 mS .
Priruč nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
3π , 4 4 kao što je prikazano na slici 11.3. Međutim, s obzirom na
Teoretski, izraz arctg 1 ima dva rešenja:
1 1 2
-1
oblast definisanosti ugla π
0 −3
π
1 2
4
π
2
≤ ν ≤
π
2
i
−
, jedino moguće
rešenje je:
1
4
−
π
ν =
π 4
.
Početna faza struje je: -1
ψ = θ + ν =
π
+
4
π 4
=
π 2
.
Slika 11.5
Sada možemo napisati izraz za trenutnu vrednost struje napojne grane: π i(t ) = I m sin (ω t + ψ ) = 4 2 sin10 4 t + mA . 2 Na slici 11.6 prikazani su grafici promene trenutnih vrednosti napona i struje posmatrane paralelne veze.
u (t ) i (t ) π π 2
4
0
2π
π
3π
t
θ ψ
ν
=
ψ θ −
=
π
4
Slika 11.6
Sa slike vidmo da struja prednjači naponu za
π
pa je razlika faza između struje i napona 4 pozitivna, kao što smo računskim putem dobili. Dakle, posmatrana redna veza ima kapacitivni karakter jer struja prednjači naponu. Generalno, kada je susceptansa veze elemenata pozitivna, B > 0 , tada je i razlika faza između struje i napona pozitivna, ν > 0 , i tada veza ima pretežno kapacitivni karakter. Obrnuto, kada je
51
