La Paradoja de Russell desde la perspectiva de Kripke Por Rafael Félix Mora Ramirez Alumno de la EAP de Filosofía de UNMSM
Resumen: Expongo nociones básicas sobre teoría de conjuntos para luego pasar a la formulación lógica de la paradoja de Russell y lo que denomino su versión inocua. Estos problemas lógicos pueden ser analizados desde la perspectiva de Kripke con su Teoría de Puntos Fijos que bosquejo de manera breve en esta ponencia.
Palabras clave: conjuntos, Russell, esquema de comprensión de Frege, Kripke, puntos fijos, fundación, infundación
1. Breve introducción a la teoría de conjuntos Un conjunto es una noción imprecisa que se refiere una reunión de elementos con una
característica
en
común.
Además,
al
conjunto
podemos
definirlo
extensionalmente, señalando todos y cada uno de sus elementos o también podemos definirlo comprensivamente, indicando la propiedad que todos sus elementos cumplen para ser considerados parte del conjunto. Por ejemplo: definimos H por extensión H={a,e,i,o,u} y por comprensión H={x/ x es una vocal}, o en términos más lógicos H = {x / V (x)}, donde V se refiere a la propiedad de “ser vocal”. Gracias a la primera definición puedo afirmar que, entre otros, i ∈ H, y debido a la segunda definición puedo decir que, entre otros, V(i), es decir, i es una
vocal. Estando así las cosas Gottlob Frege reconstruyendo el lenguaje notó que se podían asociar propiedades a conjuntos. Según el, toda propiedad se relaciona con el conjunto de cosas que tienen esa propiedad. Este es su Esquema de Comprensión: “Todo y pertenece a un conjunto de elementos x tales que tienen la propiedad F, si y solo si, y
tiene la propiedad F”. Formalmente, ∀y(y∈
{x/F(x)}↔F(y)). (Priest, 2008) Deduciendo, podemos afirmar que también deben existir conjuntos asociados a las negaciones de predicados. Por ejemplo, si sabemos que existe el conjunto de las vocales, sabemos que también existe el conjunto de lo que no es una vocal. (Mosterín, 1980) Este “Esquema” garantiza que es posible hablar de un conjunto cuyos elementos compartan cualquier propiedad en común. Por ejemplo, si nos referimos a la propiedad de ser un conjunto nos referimos a su conjunto asociado, el conjunto universal “U”. En virtud de ello, el conjunto de todos los conjuntos cobra existencia: el conjunto universal debido a que es un conjunto es un elemento del conjunto de todos los conjuntos. Asimismo, el único requisito indispensable para que algo exista en el espacio formal es que respete los principios lógicos de no contradicción y tercio excluido. Ahora bien, tenemos el conjunto universal que contiene a todo conjunto. Pero él mismo es un conjunto, y, por ello, resulta que U∈U. Nace así la propiedad “P” de pertenecerse a sí mismo (∃x[P(x)=x∈x]) y “U” resulta ser un conjunto que se pertenece a sí mismo. A su vez, también surge la propiedad opuesta “Q” de no pertenecerse a sí mismo. (∃x[Q(x)=x∉x]). Por ejemplo: N = {3,5,7}. ¿Vemos a N mismo entre sus elementos? No. Por ello, decimos que N no se pertenece: N∉N.
De ahí, se sigue, por principios lógicos, que cualquier objeto, si es un conjunto, o bien se pertenece o bien no se pertenece, no hay una tercera opción; y, además, no es posible que se pertenezca y no se pertenezca. Esto es lógico.
2. La paradoja de Russell Ante el hallazgo de estas dos nuevas propiedades opuestas entre sí el lógico inglés Bertrand Russell se permitió construir el conjunto “K” conformado por elementos que cumplen la primera propiedad “P” (de pertenecerse a sí mismo) y al conjunto “R” conformado por elementos que cumplen la propiedad opuesta “Q”. Estos dos conjuntos: son opuestos pues mientras uno se define por una propiedad “P” el otro se define por su propiedad contraria “Q”; son disjuntos pues no tienen elementos en común (por la razón anterior); y, además, son complementarios pues conforman la totalidad, es decir, K∪R=U. (Haack, 1982) Analicemos los conjuntos “K” y “R”. El conjunto “K” asociado a la propiedad “P” por ser un conjunto o bien se pertenece o bien no se pertenece. Es decir, si K={x/P(x)}, ¿(K∈K)? Recordemos el Esquema de Comprensión
∀y(y∈
{x/F(x)}↔F(y)). Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “K”, y considerando la propiedad genérica “F” como la propiedad específica “P” tenemos (K∈{x/P(x)}↔P(K))...(α). Enseguida, reemplacemos en (α): {x/P(x)} y P(K) por sus equivalentes K y K∈K respectivamente. De ahí obtenemos (K∈K)↔(K∈K). Esta expresión es una tautología, pero el valor de verdad de la proposición anterior (K ∈K) es incierto debido a que sus elementos han sido definidos usando al mismo conjunto K. Cualquier opción o bien que (K∈K) o bien (K∉K) que hará que el
sistema permanezca consistente. Esto provoca la crisis del principio del tercero excluido ya que K∈K puede ser verdadera o falsa, sin ninguna restricción. No obstante, al menos el otro principio lógico sigue respetándose: la no contradicción todavía no es puesta en tela de juicio. Por esta razón a este problema lo denominaré versión inocua de la paradoja de Russell puesto que no todos los principios lógicos se ven afectados. El “gran” problema filosófico se origina con “R”. Si R = {x / Q(x)}, ¿(R∈R)? Recordemos el Esquema de Comprensión ∀y(y∈{x/F(x)}↔F(y)). Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “R”, y reemplazando la propiedad “F” por la “Q” tenemos (R∈{x/Q(x)}↔Q(R))…(γ). Reemplacemos en (γ): {x/Q(x)} y Q(R) por sus equivalentes R y R∉R, respectivamente. De ahí se sigue que, (R∈R)↔(R∉R). De esto se deduce: (R∈R) ∧ (R∉R). En este caso entra en crisis el principio de no contradicción y el del tercero excluido. Dada una proposición se deduce su contradictoria, y viceversa. Esa proposición, aunque como en el caso anterior no tiene un valor de verdad determinado, resulta mucho más grave a nivel lógico formal. (Priest y Tanaka, 2008)
3. La Teoría de Puntos Fijos de Saúl Kripke La propuesta más coherente para apreciar en su dinámica a las paradojas lógicas es la de Saúl Kripke (1984) pues con ella no sólo atacamos la paradoja de Russell sino que también nos enfrentamos con su versión inocua. La alternativa kripkeana de la Teoría de Puntos Fijos fue ideada para solucionar las paradojas semánticas y usa los conceptos de fundación e infundación, pero se puede aplicar a la teoría
conjuntista. (Sartorio, 2000) Un punto fijo es el límite matemático al cual tiende la atribución de verdad a una oración. Existen 3 puntos fijos notables: el punto fijo mínimo, el intrínseco (que no analizaremos en esta ocasión) y el máximo. Veamos en qué consisten y cómo así se relacionan con la paradoja de Russell y su versión inocua. Una oración está fundada si adquiere un valor de verdad en algún nivel del proceso de construcción del punto fijo mínimo, esto es, siempre y cuando su valor de verdad pueda ser determinado en última instancia a partir de cuestiones empíricas. En caso contrario, decimos que dicha oración está infundada. Así, el valor de verdad de “Es verdad que la nieve es blanca” (1) queda determinado por el valor de “La nieve es blanca” (2), que es verdadera según el color de la nieve. Luego, tanto la oración (1) como la (2) están fundadas y son verdaderas. En teoría de conjuntos diríamos que el conjunto G = {M,N,P} existe, si sus elementos (M, N, P) no contienen otros conjuntos a los que pertenezcan. Por ello, G es fundado. El problema surge con las oraciones infundadas, las cuales no tienen algún valor de verdad que pueda ser determinado. Existen dos tipos de puntos para estas oraciones: el punto fijo máximo y el intrínseco. Veamos el punto fijo máximo. Por ejemplo: el valor de verdad de “Esta oración es verdadera” (3) queda determinado por el valor de verdad de la oración (3), que es verdadera o no según el valor veritativo de (3). Por ello, si (3) es falsa, “Esta oración es verdadera” será falsa y si (3) es verdadera, “Esta oración es verdadera” será verdadera. Esta oración tiene valor de verdad en el punto fijo máximo, es decir, acapara todos los valores de verdad. Y lo mismo ocurre con la versión inocua de la paradoja de Russell: el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos, es decir,
(K={U, …}) depende de sus elementos. Si esos componentes (U={U,…}) están definidos, K los contiene, y si no, K no los contiene. Pero, como sabemos esto no afecta a la teoría en sí. Sin embargo, existen oraciones infundadas que no tienen valor de verdad en ningún punto fijo. Por ejemplo: “La oración 5 es verdadera” (4) y “La oración 4 es falsa” (5). Si la oración 4 es verdadera, 5 será verdadera. Y si 5 es verdadera, 4 será falsa. Estas oraciones son paradójicas, pues ambas no tienen un valor de verdad. De la misma manera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (R={x/Q(x)}) no estará definido porque contiene y no contiene a R. Así R es un conjunto infundado y paradójico.
BIBLIOGRAFÍA HAACK, S. (1982) Filosofía de las lógicas. Madrid: Cátedra. KRIPKE, Saúl. (1984) Esbozo de una teoría de la verdad. México: UNAM. MOSTERÍN, J. (1980) Teoría Axiomática de Conjuntos. Barcelona: Arial. PRIEST, G. (2008) Paraconsistency and Dialetheism. En: Handbook of the History and Philosophy of Logic, editado por D. Gabbay & J. Woods (inédito) PRIEST, G. & K. TANAKA. (2007) Paraconsistente Logic. Disponible en: http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/ SARTORIO, A. (2000) Conjuntos e Infinitos. Buenos Aires: Eudeba.
