KALKULUS
Turunan
Aturan dasar turunan, sebagai berikut :
Jika fx= k, maka f'x= 0
Jika fx= x, maka f'x= 1
Aturan Pangkat: Jika fx= Xn (n ε N), maka f'x= n.Xn-1
Aturan Kelipatan Konstanta: kf'x= k.f'(x)
Aturan Jumlah: f+g'x= f'x+ g'(x)
Aturan Hasil kali: f.g'x=f'x.gx+ fx.g'(x)
Aturan Hasil bagi: fg'x= f'xgx- fxg'xgx2
Aturan Rantai: fx=un f'x=n.un-1.u'
Contoh soal:
Tentukan f' dari f=(2x2+ 4)2
Jawab:
f= (2x2+ 4)2
f= (2x2)2+ 2.2x2.4+(4)2
f= 4x4+ 16x2+ 16
f'=4.4x4-1+ 16.2x2-1+0
f'= 16x3+32x
Tentukan turunan pertama dari g=x6+ 3
Jawab:
g=x6+ 3
g=x62+ 3
g=x3+3 g'=3x2
Tentukan y' dari y= 3x2-5 (2x4-x)
Jawab:
f=3x2-5 f'= 6x
g=2x4-x g'= 8x3-1
y'x=f'x.gx+ fx.g'x
=6x.2x4-x+ 3x2-5.(8x3-1)
= 12x5-6x2+24x5-3x2-40x3+5
=36x5-40x3-9x2+5
Tentukan g' dari g= (3x-5)(x2+7)
Jawab: fg'x= f'xgx- fxg'xgx2
f=3x-5 f'=3
g=x2+7 g'= 2x
g'x= f'xgx- fxg'xgx2
=3.x2+7- 3x-5.(2x)(x2+7)2
= 3x2+21-6x2+10xx4+14x2+49
=-3x2+10x+21x4+14x2+49
Tentukan turunan rantai dari y=2x2-4x+160
Jawab:
y=2x2-4x+160 y= u60
u=2x2-4x+1 u'=4x-4
y'=n.un-1.u'
y'=60.2x2-4x+159(4x-4)
Tentukan dydx dari y= 1-x - 1+x 1-x + 1+x
Jawab:
y= 1-x - 1+x 1-x + 1+x
= 1-x - 1+x 1-x + 1+x . 1-x - 1+x 1-x - 1+x
=1-x-21+x 1-x+(1+x)1-x- (1+x)
=2-21-x2-2x
=-1+ 1-x2x
dydx= 121-x2-12-2xx—-1+(1-x2)12.1x2
=-x2(1-x2)-12+1-(1-x2)12x2
=-x2+ (1-x2)12-(1-x2)x2(1-x2)12
=-1+1-x2x21-x2
Turunan Fungsi Trigonometri
fx=cosx f'x= -sinx
fx=sinx f'x=cosx
fx=tanx f'x=sec2x
fx= ctg x f'x= - cosec2x
fx=secx f'x= -secx . tanx
fx= cosec x f'x= -cosec x .ctg x
fx=sinax+b f'x= a cos(ax+b)
fx=cosax+b f'x= -asin(ax+b)
fx=tanax+b f'x= -a sec2 x (ax+b)
fx= a.sinbx+c f'x=ab.cos (bx+c)
fx= a.cosbx+c f'x= -ab.sin (bx+c)
fx= arcsinx f'x=11-x2
fx=arccosx f'x=-11-x2
fx=arctanx f'x=11+x2
fx=arc ctg x f'x= -11+x2
Contoh soal:
Tentukan g' dari fungsi trigonometri gx=2sin5x
Jawab:
gx=2sin5x g'x=ab.cos (bx+c)
g'x= 2.5cos5x g'x=10cos5x
Hitunglah turunan dari fx=3x-2 sin (2x+1)
Jawab:
f=3x-2 f'=3
g=sin2x+1 g'=2cos (2x+1)
f'x=f'.g+g'.f
=3.sin2x+1+2cos2x+1.(3x-2)
=3sin2x+1+6x-4cos (2x+1)
Tentukan f'(x) jika fx=5sinxcosx
Jawab:
f=5sinx f'=5cosx
g=cosx g'=-sinx
f'x=f'. g+g'. f
= 5cosx .cosx+(-sinx) .5sinx
=5 cos2x+5 .(-sin2x)
=5 (cos2x-sin2x)
=5cos2x
Jika fx=sin22x+π6, maka nilai dari f'0 adalah…
Jawab:
fx=sin22x+π6= sin2x+π62
u=sin2x+π6 u'=2cos2x+π6
f'x=n.un-1.u'
=2.sin2x+π6. 2cos2x+π6
f'0=4sin2.0+π6.cos2.0+π6
=4.sinπ6.cosπ6
=4.12.123
f'0=3
Turunan Fungsi Emplisit
Jika y=f(x), maka turunan fungsi implicit fx,y=c adalah dengan memandang y fungsi dari x.
Contoh soal:
Tentukan y' jika x2+3xy+y2=4
Jawab:
ddxx2+3xy+y2=ddx (4)
2x+3y+3xy'+2y.y'=0
3x+2yy'=-2x-3y
y'=-3x+3y3x+2y
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=16 dititik (3,4).
Jawab:
P (3,4)
m=f'xp=dydxp
x2+y2=16 2x+2ydydx=0
2ydydx=-2x -xy
m=dydxp(3,4)
=-xy3,4= -34
Turunan Fungsi Majemuk
Jika u=fx, v=gx, p=konstanta
d (p u)dx=p. dudx
d (u±v)dx= dudx ± dvdx
d (u . v)dx=u . dvdx+ v . dudx
d uvdx= v . dudx- u dvdxv2
Penggunaan Turunan
Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan f:D R dan c ε D. Nilai fc disebut nilai maksimum apabila fc f(x) untuk setiap x ε D. Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila fc f(x) untuk setiap x ε D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim.
Contoh:
Misalkan fx= x2, x ϵ -1,2. Nilai maksimumnya adalah 4=f2, sedangkan nilai minimumnya adalah 0 [=f0]. Perhatikan grafiknya.
-10 2yx4
-1
0
2
y
x
4
Teorema Lokasi Titik Ekstrim
Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan:
Titik ujung selang I,
Titik stasioner f, yakni f'(c)=0
Titik singular f, yakni f'(c) tidak ada.
Contoh soal:
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi y=x3+3x2-24x.
Jawab:
y=fx=x3+3x2-24x
f'x=3x2+6x-24
3x2+6x-24=0
3x+12x-2=0
x=-4 atau x=2
kedua nilai x kemudian kita masukkan ke fungsi
fx=x3+3x2-24x
f-4=-43+3(-4)2-24(-4)
=-64+48+96
=80 nilai maksimum
f2= (2)3+3(2)2-242
=8+12-24
=-8 nilai minimum
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari gx=x2+6x+5 pada interval (-4,0)
Jawab:
gx=x2+6x+5
g'x=2x+6 g'x=0
2x+6=0 dikali 12
x+3=0 x=-3
Jadi nilai ekstrimnya dari gx adalah -4, -3, 0
gx=x2+6x+5
g-4=(-4)2+6.-4+5
=16+-24+5 = -3
g-3= (-3)2+6.-3+5
=9+-18+5 =-4
g0=(0)2+6.0+5
=0+5 =5
Nilai maksimum adalah 5 pada g(0)
Nilai minimum adalah-4 pada g(-3)
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fx=-3x+6x pada (-1,3).
Jawab:
fx=-3x3+6x2
f'x=-9x2+12x
fx=0=-3x(3x-4)
x=0, x=43
Titik kritisnya adalah -1, 0, 43, 3
fx=-3x3+6x2
f-1=-3.(-1)3+ 6.(-1)2
=3+6=9 nilai maksimum
f0=-3.(0)3+6.(0)2=0
f43=-3.433+6.432=- 649
f3=-3.33+6.(3)2
=-81+54=-27 nilai minimum
Penerapan dalam Bidang Ekonomi
Misalkan dalam satu perusahan, PT Tirta, jika PT tirta menjual x satuan barang tahun ini, PT tersebut akan mampu membebankan harga , P(x) untuk setiap satuan, kita tunjukan bahwa p tergantung pada x, pendapatan total yang diharapkan PT tersebut diberikan oleh R(x) = xp(x) ; banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, PT Tirta akan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) + xp(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memksimumkan total labanya.
Contoh soal:
Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi fx= 8x2-120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam fx=13x2-10x+200. X menyatakan jumlah barang. Maka, untuk mencapai keuntungan maksimum, jumlah barang yang harus diproduksi adalah?
Jawab:
Biaya produksi=8x2-120x
Harga jual tiap barang= 13x2-10x+200
Keuntungan=Hrg jual semua barang-biaya produksi
=jmlh barang hrg jual tiap brg- biaya produksi
=x. 13x2-10x+200- 8x2-120x
= 13x3-10x2+200x-8x2-120x
=13x3-18x2+320x
Untuk mencapai keuntungan maksimum, maka nilai stasionernya=0
f(x)=13x3-18x2+320x
f'x=x2-36x+320
x2-36x+320=0
x-16x-20=0
x=16 atau x=20
Jadi, jumlah barang yang harus dijual adalah 16 atau 20 buah.
Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam x tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi fx=10.000.000+11.000x-800x2 maka laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat 5 tahun mendatang adalah?
Jawab:
fx=10.000.000+11.000x-800x2
f'x=11000-1600x
Laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang
f'x=11000-1600x
f'5=11000-1600(5)
=11000-8000
=3000
Jadi, laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang.
Suatu pabrik permen memproduksi suatu jenis permen rasa mint dengan harga Rp 500,- per buah. Jika banyaknya produksi x buah, biaya totalnya 6.000.000+20x+0,004x2, Berapa buah permen yang harus dijual agar mendapat keuntungan maksimum?
Jawab:
Pendapatan total =Rp 500,- . x=500x
Biaya total 6.000.000+20x+0,004x2
Misal keuntungan adalah laba atau L
Maka Lx=500x- (6.000.000+20x+0,004x2)
Lx=480x+0,004x2
L'x=480+0,008x
L'x=0
480+0,008x=0
x=4800,008
x=60000
Lx=500x- (6.000.000+20x+0,004x2)
L60000=500.60000-6000000-20.60000
- 0,004600002
=30.000.000-6.000.000-1.200.000
-14.400.000
=8.400.000
Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 60.000 buah dan keuntungan maksimum sebesar Rp 8.400.000,-
