Ispitivanje funkcija, osnovna ,,teorija” Materijal pripremio
Jacob Linus
Ispitivanje funkcija moemo razloiti na sledee delove: 1. Oblas Oblast t defin definisano isanosti sti funkcije (ili domen funkc funkcije) ije) 2. Nule i znak funkcije 3. Parno Parnost st i perio periodiqn diqnost ost funkcije 4. Grani Graniqne qne vrednosti funkcije funkcije na krajevi krajevima ma domena 5. Asimpto Asimptote te funkcije funkcije 6. Prvi izvod, monotonost monotonost i lokal lokalni ni ekstremi funkcije 7. Drugi izvod, konveksnost konveksnost i prevoj prevojne ne taqke funkcije 8. Crta Crtanje nje grafika funkcije. funkcije. Sada emo se detaljnije osvrnuti na svaki od ovih delova.
1. Obl Oblast ast defi definis nisano anosti sti fun funkc kcije ije (il (ili i dom domen en fun funkci kcije) je) Naj Najqex qexe e e fun funkci kcija ja f koju ispitujemo biti sastavljena (preciznije matematiqki bi se reklo da je kompozicija) od vixe elementarnih elementarnih funkcija, funkcija, tj. mogl mogli i bismo funkciju f da predstavimo kao f = g (h(x)). f Uglavnom e funkcija biti definisana za iste vrednosti x kao i h, sem nekoliko izuzetaka: g (x) 1. f (x) = je definisan kada su definisane i g (x) i h(x) i kad je h(x) = 0; h(x) 2. f (x) = loga g (x) je definisan kada je definisana i g(x) i kada je g (x) > 0; 3. f (x) = g (x) je definisan kada je definisana i g(x) i kada je g (x) 0 (isto vai i za bilo koji ”paran” koren: 4 , 6 . . . ); 4. f (x) = tg g (x) je definisan kada je definisana i g (x) i kada je g (x) = kπ (k Z); 5. f (x) = ctg g (x) je definisan kada je definisana i g (x) i kada je g (x) = 2k + 1 π2 (k Z); 6. f (x) = arcsin g (x) je definisan kada je definisana i g (x) i kada je 1 g(x) 1; 7. f (x) = arccos g (x) je definisan kada je definisana i g(x) i kada je 1 g (x) 1.
≥ ∈ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤
√ √
2. Nule i znak funkcije Na ovom delu se neemo preterano zadravati jer se na neki naqin podrazumeva srednjoxkolsko znanje rexavanja kvadratnih, logoritamskih, eksponencijalnih, trigonometrijskih jednaqina i nejednaqina, kao i nejednaqina vezanih za racionalne funkcije. funkc ije. Ovde emo se podset podsetiti iti samo najzna najznaqajni qajnije je mater materije. ije. b b2 4ac 1. Rexenja kvadratne jednaqine f (x) = ax2 + bx + c = 0 su x1,2 = (i uzmimo 2a da je x1 < x2 ), a za znak imamo dva sluqaja u zavisnosti kakav je koeficijent a: 1o a > 0 funkcija f je pozitivna na intervalima ( , x1 ) i (x2 , ), a negativna na (x1 , x2 ); 2o a < 0 f > 0 za x (x1 , x2 ), a f < 0 za x ( , x1 ) (x2 , ).
− ± √ −
∈
∈ −∞
−∞ ∪ ∞
∞
, ) i tu je uvek poz2. Eksponencijalna funkcija ex je definisana na celom R = ( g(x) itivna iti vna!! Tj. f (x) = e > 0 za svako x iz domena D funkcije g(x), a f (x) = eg(x) = 0 i f (x) = eg(x) < 0 se ne dexava nikad.
−∞ ∞
3. Za logoritamsku funkciju f (x) = ln g (x) vai da je f (x) = 0 kad je g(x) = 1, f (x) > 0 kad je g (x) > 1, a f (x) < 0 kad je 0 < g (x) < 1. Sva Svaku ku drugu osnovu osnovu log logari aritma tma moemo moemo ln g (x) svesti na osnovu prirodnog logaritma, tj. ln: loga g (x) = . ln a 4. Dobro poznavanje poznavanje trigonometrijski trigonometrijskih h funkc funkcija ija zahteva mnogo vixe prost prostora, ora, tako da emo se osvrnuti samo na inverzne trigonometrijske funkcije: f (x) = arcsin g (x) = 0 za one vrednosti kad je g(x) = 0, f (x) > 0 kad je 0 < g (x) 1, a f (x) < 0 kad je 1 g (x) < 0.
≤
1
− ≤
f (x) = arccos g (x) = 0 kad je g (x) = 1 , f (x) > 0 kad je 1 g (x) < 1, a f (x) < 0 nije nikad. f (x) = arctg g(x) = 0 kad je g(x) = 0, f (x) > 0 kad je g(x) > 0, a f (x) < 0 kad je g (x) < 0. f (x) = arcctg g (x) je uvek pozitivno, tj. f (x) > 0 za svako x iz domena D funkcije g (x).
− ≤
3. Parn Parnost ost i peri periodiqn odiqnost ost funkcije funkcije Za funkciju f (x) kaemo da je parna ako je f ( x) = f (x) za svako x iz dom domena ena D (odre (odreenog enog pod 1). f (x) je neparna ako je f ( x) = f (x) za svako x iz domena D. Ako je fun funkci kcija ja parna ili neparna neparna potrebno potrebno je to pokazati pokazati,, a ako nije ni parna ni neparna onda je dovoljno nai neku vrednost x = a D za koju je f ( a) = f (a) i f ( a) = f (a).
− −
−
−
∈
− −
Za funkciju f (x) kaemo da je periodiqna ako postoji broj T takav da je f (x) = f (x + T ) za svako za svako x iz domena D . Najma Najmanji nji takav broj T oznaqavaemo sa ω i on se naziva period funkcije f . Tako akoe e ako je fun funkci kcija ja periodiq periodiqna na potrebno potrebno je to pokazati pokazati,, a ako nije to se moe zakljuqiti na osnovu prethodna tri dela ispitivanja funkcija (domena, nula i znaka, graniqnih vrednosti).
4. Gran Graniqne iqne vrednosti vrednosti funkcije funkcije na kraje krajevima vima domena domena Ako se domen D moe predstaviti kao unija intervala oblika (a, b) potrebno je za svaki od tih intervala odrediti sledee dve graniqne vrednosti: lim+ f (x) i lim− f (x). Ako je neka neka od vrednosti vrednosti a i b beskonaqx→a
x→b
na, potrebno je odrediti odgovarajui odgovarajui beskonaqni beskonaqni limes, npr. ako je D = R odreujemo lim f (x) i lim f (x). Ako imamo imamo int interva erval l obl oblika ika (a, b] potrebno je odrediti lim+ f (x) x→−∞
x→+∞
x→a
i vrednost f (b) i sliqno za [a, b). Nek Nekad ad je pot potrebn rebno o kor korist istiti iti i Lop Lopita italov lovo o pra pravil vilo o ∞ 0 (moe se primeniti samo na limese oblika 0 ili oblika ∞ !).
5. Asimpt Asimptote ote funkcije funkcije Imamo dve vrste asimptota: vertika vertikalne lne i kose (horizontal (horizontalne ne su specijalni specija lni sluqaj kosih). Vertik Vertikalne alne asimptote asimptote se javljaju kad imamo prekid u domenu: prava x = a je vertika vertikalna lna asimptota ako a ne pri pripad pada a dom domenu enu,, a bar jedan od lim limesa esa lim+ f (x) i lim− f (x) postoji i beskonaqan je ( + ili ). Lev Leva a kosa asimptota asimptota posposx→a
∞
x→a
−∞
f (x) i n = lim f (x) k x x→−∞ x x→−∞ (gde je k prvoodreeni limes) i tada je leva kosa asimptota prava y = kx + n. Pot Potpun puno o f (x) sliqno desna kosa asimptota postoji ako postoje i konaqni su limesi k = lim i x→+∞ x n = lim f (x) k x i tada je desna kosa asimptota prava y = kx + n. Ako se leva i desna
toji ako postoje sledea dva limesa i konaqni su k = lim
x→+∞
− ·
− ·
asimptota poklapaju asimptota poklapaju (tj. to je ista prava) kaemo da imamo obostranu obostranu asimptotu. asimptotu. Horizontalna asimptota se javlja kada je koeficijent k = 0 (sluqaj kada je neki od limesa lim f (x) ili lim f (x) konaqan). x→+∞
x→−∞
6. Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije Prema pravilima diferenciran ja se odredi prvi izvod f (x) funkcije f (x). Dalj Dalja a ana analiz liza a se svod svodi i na odreivanj odreivanjee nu nula la i zn znak aka a pr prvo vogg iz izvo voda da:: ka kada da je f (x) = 0 imamo kandidata za ekstremum (maksimum ili minimum) mini mum).. Na svakom od interval intervala a na kome je f (x) > 0 za svako x imamo da je funkcija rastua i to emo oznaqavati strelicom , a na svakom od intervala na kome je f (x) < 0 za svako x imamo da je funkcija opadajua, tj. . Sad se vraamo vraamo na pitanje pitanje odreiodreivanja ekstremuma: ekstremuma: kandi kandidat dat x = a je lokalni maksimum ako je do a funkcija f rastua, a a , a kandidat x = a je lokalni minimum ako je do a funkcija f nakon a opadajua, opadajua, a nakon a rastua, i tu treba izraqunati vrednost funkcije, f (a) i tu a a ) nisu ekstremi. taqku taqk u oznaqavamo na grafiku. grafiku. Ostal Ostala a dva sluqaja ( a i Veoma qesto se zaboravlja da se ispita naqin kako (tj. pod kojim uglom) funkcija ”ulazi” u nek neku u ta taqku qku ili ”izlazi ”izlazi” ” iz nje. Prv Prvi i od ta dva sluqaja sluqaja se jav javlja lja kada u nek nekom om prekidu prekidu x = a imamo da je lim f (x) konaqan (a drugi kada je za neki prekid x = a imamo da je −
x→a
lim f (x) konaqan) i tada je koeficijent pravca tangente na krivu u okolini taqke (a, f (a) +
x→a
dat sa k = lim− f (x) (tj. lim+ f (x)). x→a
x→a
2
7. Drugi izvod, izvod, konv konveksnos eksnost t i prevoj prevojne ne taqke funkcije funkcije Prema pravilima diferenciranja se odredi drugi izvod f (x) funkcije f (x) (to je prvi izvod ve odreene funkcije f (x)). Dalja Dalj a ana analiz liza a se svod svodi i na odreivanj odreivanjee nu nula la i zna znaka ka drugog drugog izv izvoda oda:: kad kada a je f (x) = 0 imamo kandidata kandidata za prevojnu taqku taqku. Na svakom od inte intervala rvala na kome je f (x) > 0 za svako x imamo da je funkcija konveksna i to emo oznaqavati , a na svakom od intervala na kome je f (x) < 0 za svako x imamo da je funkcija konkavna, tj. . Prevoj Prevojna na taqka taqka x = a je ona gde se menja konveksnost. Isto kao i kod minimuma i maksimuma odreujemo vrednost funkcije f (a) i tu taqku oznaqavamo na grafiku.
∪
∩
8. Crta Crtanje nje grafika grafika funkcije funkcije Na gra grafik fiku u ozn oznaqa aqavam vamo o (ak (ako o pos postoj toje) e) sled sledee ee ta taqke qke:: nu nule, le, taqku (0, f (0)) (to je presek sa y oso osom), m), mini minimume mume i mak maksimu simume, me, pre prevoj vojne ne ta taqke qke,, zat zatim im crta cr tamo mo asi asimpt mptot otee i gr gran aniq iqne ne vre vredn dnos osti ti i na kra kraju ju sve to spo spoji jimo mo vo vode dei i ra raqu quna na o monotonost monot onosti i i konvek konveksnosti. snosti.
−
Evo ovo e moda nekome koristiti, imao sam otkucano pa sam dodao. Evo nexto jox da vam napixem iz mog iskustva o ispitivanju funkcija. : ) Ispitati neke komplikovanije funkcije zahteva dobro poznavanje dosta meterijala, ali moda u svemu najvei problem je xto moe da se pogrexi, i sa jednom grexkom, dosta stvari se onda ne uklapa, i ne ispada dobro, dobro, tj dosta se dobije nekih pogrexnih pogrexnih rezultata. rezultata. Sebe texko da moete da spreqite da pogrexite, pogrexite, ali moete otkriti lako da ste pogrexili pogrexili !!! Svaka taqka taqka u proveravanju, treba da se slae sa prethodnima, najbolje je da ,,uporedite” znak funkcije, limese,, asimpto limese asimptote, te, monotonost monotonost i konvek konveksnost snost.. Pri crtanju grafika kao xto je napi napisano, sano, sve ono obeleite i na kraju crtajte grafik, ja nisam neke stvari obeleio jer nisam crtao crt ao na pap papiru iru,, pa treb treba a dost dosta a vix vixee vre vremena mena da se ura uradi, di, ali ono naj najbit bitnij nijee jesa jesam. m. Samo jox nesto da dodam, to sam video da ljudi grexe, kada crtate asimptote, pa grafik uz njih njih,, nek neko o nac nacrta rtao o gra grafik fik taqno taqno pre preko ko asimp asimptot tote, e, to NIJ NIJE E isp ispravn ravno, o, jer gra grafik fik i asimptota nisu isto, i grafik NE treba ni u jednom delu da dodiruje asimptotu !
−
Sreno Vam na ispitu :
−) tj. Nam, jer sam i ja sa Vama : −)
Slede rexenja zadataka
:
−)
Ovde su rexenja zadataka koje je Tamara Koledin dala, nisam uradio poslednja 3 jer postoje posto je u knji knjizi! zi! Mad Mada a sam ja ovd ovdee bolj boljee ura uradio dio nego nego oni tamo : ) ha ha ha, da me samo qujee Mil quj Milan. an...M ..Mogu ogue e je da sam neg negde de pog pogrexi rexio, o, ali mislim mislim da moda qak i nis nisam! am! Ako jesam, onda je to zbog kopiranja, pa posle ako nexto ne promenim neki detalj, izvinite za to! Ako uoqit uoqitee nek nekee gre grexke xke,, jav javit itee mi se na for forumu umu,, pa u ih ispravit ispraviti. i. Mol Molim im vas da se ne javljate puno sa pitanjima, kako si dobio ovo, kako ono : ) sve xto nisam mogao napamet da rexim ja sam postupno napisao, tako da trebalo bi da je sve jasno !
−
−
Pozdrav
3
1.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) =
√ x2 − 1 − x − 1.
1◦ Oblast defini definisanosti: sanosti: Funkcija je definisana na intervalu, na kome je definisana 2 1, dakle D = ( x , 1] [1, + )
√ −
−∞ − ∪
∞
2◦ Nule i znak:
− x2
1= x+1
f (x) 0, a za x 1
f (x) < 0.
−1 x2 − 1 = x2 − 2x + 1 ⇒ x = −1 Znak, za x 1,
−
x
3◦ Parnost i periodiqnost: niti je parna, niti neparna, niti periodiqna 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim
x→−∞
lim
− − − − − − x2
1
x
x2
1
−1 f (1) = −2
x→+∞
x
f ( 1) = 0
−
1=+
∞
1=
5◦ Asimptot Asimptote e funkci funkcije: je: Funkc Funkcija ija nema vertikalnih vertikalnih asimptota. asimptota. Desna kosa se vidi iz prethodne taqke, dakle desna je horizontalna i y = 1. Leva: k= n=
lim
x→−∞
− √ x2 − 1 − x − 1 = −2 x
−
lim ( x2
− x − 1 + 2x) = −1 Dakle leva kosa asimptota postoji i to je prava y = −2x − 1. x→−∞
1
6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: f (x) =
√ −
2x
x
√ − 1 − 1 =
2 x2
−√ √ x2 − 1 x2 − 1
Kako je x2 1 uvek vee od nule, dobijamo da je za x 1 vidi da je f (x) > 0.
−
−1 −
x1
x
f (x) f (x)
opad op ada a
f (x) < 0, dok se za x 1
+
rast ra stee
Funkcija nema lokalnih ekstremuma. 7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke:
− √ · √ − − − − √ − − − √ − x
1
x2
f (x) =
( x2 =
x2
1
1
x2
1
x2
x)
x2
x2
−1
=
−
−1
(x 1
x
1 (x2 4
− 1)
− √ x2 − 1) · √ x2x− 1
√ x2 − 1 − √ x2 x2 − 1 = x2 − 1 3 2
=
=
Kako je za sve x za koje je definisana funkcija x2 1 0, zakljuqujemo da je f (x) < 0. Dakle funkcija je na qitavom domenu konkavna, tj. izgleda otprilike ovako . Funkcija nema prevojnih taqaka.
−
Grafik funkci funkcije: je: f (x) =
∩
√ x2 − 1 − x − 1
5
y = −2x − 1
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
y = −1
−1 −2 −3
5
4
5
6
2.
x2 + 1 . x2 1
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = arctg
−
1◦ Oblast defini definisanosti sanosti:: Fun Funkci kcija ja nij nijee def defini inisan sana a za x = D =( , 1) ( 1, 1) (1, + ).
−∞ − ∪ −
∪
∞
−1
i x = 1, pa je
x2 + 1 nikada nije nula (za realne brojeve). Znak, kako je x2 1 , 1) (1, + ) f (x) > uvek x2 +1 > 0, dobijamo da znak zavisi samo od x2 1, pa je za x ( 0, a za x ( 1, 1) f (x) < 0.
2◦ Nule i znak: Nema nula, jer
−
−
∈−
∈ −∞ − ∪
∞
3◦ Parnost i periodiqnost: Funkcija je parna. ( x)2 + 1 x2 + 1 = arctg 2 = f (x). f ( x) = arctg ( x)2 1 1 x
− − −
−
−
4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim arctg
x→∞
lim − arctg
x→−1
lim + arctg
x→−1
x2 + 1 π = 2 1 4 x
−
x2 + 1 x2 + 1 π = l i m arctg = 2 2 1 x→1+ 1 2 x x
−
−
x2 + 1 x2 + 1 = l i m arctg = x2 1 x2 1 x→1−
−
−
− π2
Ovo ovako smem da pixem u pravoima jer je funkcija parna ! 5◦ Asimptote funkcije: Iz prethodne taqke se vidi da funkcija nema vertikalnih asimptota, tot a, jer na prekidima domena ne tei beskonaqnosti beskonaqnosti.. Ali ima obostr obostranu anu horizontaln horizontalnu u π asimptotu, i to je prava y = . 4 6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: 1
f (x) =
1+ =
·
2x(x2
2
x2 + 1 x2 1
−
− 1) − (x2 + 1)2x = (x2 − 1)2
(x2 1)2 4x = 4 2 2x + 2 (x 1)2
−
· −−
− x42+x 1
Vidimo da znak zavisi samo od x, pa je (
−∞, 0) +
f (x) f (x)
rast ra stee
f (0) =
π
4
0 0
(0, + )
ekst ek stre remu mum m
opa op ada
∞ −
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke:
f (x) =
−
π
, Dobijamo da je lokalni maksimum taqka M 0,
4
.
2(x4 + 1) 2x 4x3 2(3x4 1) = (x4 + 1)2 (x4 + 1)2
3x4
− ·
−
− 1 = 0 ⇒ x = ± √ 13 4
6
Dobijamo
−∞ − √ 1 4 3
,
f (x) f (x)
1 1 , 4 4 3 3
− √
+
∪
1 4 3 0 prevoj
√
− ∩
√ ∞ 1 ,+ 3 +
4
∪
√ 3 √ √ = arctg(−2 − 3) = −75 − 3
1 1 1+ ) = f ( 4 ) = arctg 4 3 3 1
− √
f (
− √ √
1 4 3 0 prevoj
√
Dakle, imamo dve prevojne taqke P
Grafik funkci funkcije: je: f (x) = arctg
◦
=
− 512π
− √ − √ − 1 , 3
4
5π 12
iR
1 , 3
4
5π 12
x2 + 1 x2 1
−
5
4
3
2
y=
−6
−5
−4
−3
−2
−1 P
π
4
1
0
1
−1
R
−2 −3 −4
7
2
3
4
5
6
3.
√ − x2.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = x 2x
1◦ Oblast definisanosti: Funkcija je definisana za one x, za koje je 2x jamo da je D = [0 , 2].
− x2 > 0. Dobi-
2◦ Nule i znak: Znak, funkcija je uvek pozitivna, a nule su x = 0 i x = 2. 3◦ Parnost i periodiqnost: niti parna, niti neparna, niti periodiqna 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: Na krajevima domena f (x) = 0. 5◦ Asimptote funkcije: Nema vertikalnih asimptota, a ni kosih ! 6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: f (x) =
− 2x
x2 + x
2 − 2x 2x − x2 + x − x2 (−2x + 3) −2x2 + 3x = x√ √ √ = = √ 2 2x − x2 2x − x2 2x − x 2 2x − x2
3 0, 2 +
f (x) f (x)
3 2 0 maks.
√
3 3 3 Dobijamo da je lokalni maksimum taqka M , 2 4
3 ,2 2
−
.
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke:
· √ 2x − x2 + (2x2 − 3x) √ 21x−−xx2 f (x) = 2x − x2 (−4x + 3) · (2x − x2 ) + (2x2 − 3x) · (1 − x) = = (2x − x2 ) 2x3 − 6x2 + 3x x(2x2 − 6x + 3) = = (2x − x2 ) (2x − x2 ) ( 4x + 3)
−
=
3 2
3 2
0,
2x2
− 6x + 3
f (x) f (x)
Kako je f
− √ 3
3
2
3
− √ 3
2 + +
3 2
∪
3
− √ 3
2 0 0 prevoj
− √ 3
≈ 0, 59 dobijamo da je prevojna taqka P
3
2
,2
− − ∩
− √ 3
3
2
, 0, 59
Sa ovim korenima nisam mogao da se izborim, pa ako neko dobije nexto lepo, neka mi javi...
8
√ − x2
Grafik funkci funkcije: je: f (x) = x 2x
2
M
1
P
0
1
2
9
4.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) =
√ 3x − x3. 3
definisanosti: sanosti: Funkcija je definisana za sve x 1◦ Oblast defini
2◦ Nule i znak: Kako je f (x) = funkcije: ( x
− x2
3
f (x)
3
x(3
∈ R.
− x2), dobijamo tri nule, x = 0 i x = ±√ 3. Sada znak
−∞, −√ 3) −√ 3 (−√ 3, 0) − − − 0 + − − + 0
0 0 + 0
√ √ 3 (√ 3, +∞) + + 0 − − 0
(0, 3) + + +
3◦ Parnost i periodiqnost: Funkcija je neparna! f ( x) =
−
− 3
3x + x3 =
−
− 3
3x
x3 =
−f (x)
4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim
x→−∞
lim
x→+∞
− − 3
3x
3
3x
x3 = +
∞ x3 = −∞
5◦ Asimptot Asimptote e funkc funkcije: ije: Ver Vertik tikaln alnih ih asimp asimpto tota ta nem nema, a, jer nema prekida prekida dom domena ena.. Kos Kosee asimptote asimpto te ima, tj. ona ustvari mora biti obostrana obostrana jer je funkc funkcija ija neparna, neparna, a nai u je preko Maklorenovog razvoja, tako je bre i zbog neqega bolje, videete zaxto!
x
→ ∞,
f (x) = (3x
3
−x )
1 3
=
1 3
− − − · − − 3
x 1
=
x+
=
x2
1
x
+o
1
x
1 3 +o 3 x2
·
1
x2
=
1
x
Iz poslednjeg se vidi da je obostrana asimptota prava y =
−x. Ja sam razvio namer-
1 no je jeda dan n ql qlan an vi vixe xe da bi bih h sa sada da do dobi bio o jed jedan an ql qlan an ko koji ji te tei i nu nuli li,, tj mis misli lim m na , i x on ne utiqe na asimptotu, ALI govori o tome da li se grafik nalazi ispod ili iznad asimptot asimp tote!!! e!!! Ako je poz poziti itivan van,, ond onda a je izn iznad, ad, ako je neg negati ativan van onda ispod! ispod! Zna Znaqi qi kada + tada je grafik iznad asimptote, a kada x x grafikk je ispod asimptote! grafi asimptote! Evo zbog ovoga je bolje ovako raditi, ovu pomo ne dobijate kada traite pomou limesa, ona prvenstveno slui da vam pokae da li ste pogrexili i da li se rezultati uklapa ju! Ja kada god moe radim ovako, jer je bolje i krae, meni i lakxe, a vi kako hoete..: )
→ ∞
→ −∞
−
6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: f (x) =
1 3 3 (3x
·
− 3x2 − x3)
2 3
=
− x2 (3x − x3 ) 1
(
2 3
−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, +∞) − − 0 + 0 f (x) maks. min. f (x) √ Dobijamo da je√ lokani minimum za x = −1, f (x) = − 2, dok je lokalni maksimum za
3
x = 1,
f (x) =
3
2.
10
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke:
−2x(3x − x3) − (1 − x2) · 23 · 2 3
f (x) =
4 3
− 3x2 (3x − x3 ) 3
1 3
− x3) −2x(3x − x3) − 2 · (1 − x2) · (1 − x2) = − 2x2 + 2 (3x − x3 ) (3x − x3 ) (3x
5 3
=
5 3
Izrazz u br Izra broj ojio iocu cu je uv uvek ek po pozi ziti tiva van, n, a iz izra razz u im imen enio iocu cu isto istogg je zn znak aka a ka kao o i sa sama ma funk fu nkci cija ja,, al ali i zbo zbogg on onog og min minus usa a isp ispre red d sa samo mo se sve ok okren rene, e, da dakl klee na osn osnov ovu u ta taqk qkee 2◦ dobijamo sledee:
−∞, −√ 3) −√ 3
−√ 3, 0) − + ∪
( (3x
− x3)
5 3
f (x) f (x)
0
(0, 3)
√ 3
0
+
0
prevoj
− ∩
prevoj
(
+
0
− ∩
prevoj
√
√ ∞) − + ∪
( 3, +
−√ 3, 0), P 2(0, 0) i P 3(√ 3, 0).
Dobijamo tri prevojne taqke, P 1 ( Grafik funkci funkcije: je:
7
6
5
4
y = −x
3
2
M ax 1
P 1
−6
−5
−4
−3
−2
P 2
−1
0
−1 M in
−2 −3 −4 −5 −6
11
P 3 1
2
3
4
5
6
5.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) =
√ x − √ x + 1. 3
3
1◦ Oblast defini definisanosti: sanosti: Funkcija je definisana za sve x
∈ R.
2◦ Nule i znak: Nema nula. Znak, uvek je f (x) < 0. 3◦ Parnost i periodiqnost: Niti parna, niti neparna, niti periodiqna 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim f (x) = 0
x→∞
5◦ Asimptote Asimptote funkc funkcije: ije: Vertikalnih asimptota nema, a iz prethodne taqke se vidi da je prava y = 0 obostrana horizontalna asimptota. 6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: 1 f (x) = 3
( f (x) f (x)
−∞, −1) −
· √ 1
( 3 x)2
− 1 1, 2
−1 nije def.
−
1 ( 3 x + 1)2
− √
1 2 0 min.
1 Dobijamo da je lokalni minimum za x = , 2
f
1 ,0 2 +
0
(0, + )
nije def.
+
∞
− 1 2
=
23
1
1 . 2
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke: 2 f (x) = 9
(
f (x) f (x)
−∞, −1) − ∩
· √
1 3 ( x + 1)5
−1
− ( √ x)5 3
( 1 , 0) 0 + nije def. nije def. prevoj prevoj
−
∪
Funkcija ima dve prevojne taqke P 1 ( 1, 1) i P 2 (0, 1).
− −
−
12
(0, +
∞) − ∩
Grafik funkci funkcije: je: f (x) =
√ x − √ x + 1 3
3
4
3
2
1
y=0
−4
−3
−2
−1
P 1
0
−1
1
P 2
M in
−2
−3
−4
13
2
3
4
6.
arctg tg e−x . Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = ln(1 + e2x ) + 2 arc
1◦ Oblast defini definisanosti: sanosti: Funkcija je definisana za sve x 2◦ Nule i znak: Za sve x
∈ R.
f (x) > 0, nula nema!
3◦ Parnost i periodiqnost: Niti parna, niti neparna, niti periodiqna 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim f (x) = π
x→−∞
lim f (x) = +
∞
x→+∞
5◦ Asimptote funkcije: Vertik Vertikalni alnih h asimptota nema! Iz prethodne taqke taqke se vidi da je prava y = π leva horizontaln horizontalna a asimpto asimptota. ta. Sada jox da naemo desnu kosu:
k=
f (x) = x→+∞ x
lim
lim
x→+∞
ln(1 + e2x ) + 2 arc arctg tg e−x L. p. = lim
2e2x x→+∞ 1 + e2x
x
−x
− 1 +2ee
2x
−
=2
Poxto sam ovde traio f (x), tj krajnji izraz je ustvari to, onda u to iskoristiti u sledeoj taqki.
n=
lim (f (x)
x→+∞
− 2x) =
lim (ln(1 + e2x ) + 2 arc arctg tg e−x
x→+∞
= lim ln
1 + e2x e2x
x→+∞
− 2x) =
lim ((ln(1 + e2x )
x→+∞
− ln e2 ) =
=0
Konaqno dobijamo da je desna kosa asimptota prava y = 2 x. 6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: 2e2x f (x) = 1 + e2x
( f (x) f (x)
−∞, 0) −
Funkcija ima lokalni minimum za x = 0,
2e−x 1 + e−2x
−
0 0 min.
(0, + ) +
∞
ln 2 + f (0) = ln
π
2
≈ 2, 17.
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke: f (x) =
Za x =
− ln(1 + √ 2),
4e2x (1 + e2x ) 2e2x e2x (1 + e2x )2
−
·
=
4e2x (1 + e2x )2
− −2e
−x
(1 + e−2x ) 2e−x ( 2e−2x ) = (1 + e−2x )2
−
3 − 2(1e + e− 22e)2 −
x
−x
−
f (x) = 0
14
x
−
x
Dobijamo Dobij amo smedee:
−∞, − ln(1 + √ 2)) − ln(1 + √ 2) (− ln(1 + √ 2), +∞) 0 + − ∩ ∪ prevoj
( f (x) f (x)
√
√
Dakle prevojna taqka je P ( ln(1 + 2), f ( ln(1 + 2))). Kada se to malo sredi dobije 3π ), tj priblizno dobijamo P ( 0, 9 2, 5). se P ( ln(1 + 2), ln(4 + 2 2) + 4
√
−
√
−
−
−
Grafik funkci funkcije: je: f (x) = ln(1 + e2x ) + 2 arc arctg tg e−x 8
7
6
5
4
y=π 3
P 2
y = 2x
M in
1
−4
−3
−2
−1
0
15
1
2
3
4
1
7.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = xe . x
definisanosti: sanosti: Funkcija nije definisana u nuli, D = R 1◦ Oblast defini
\ { 0} .
2◦ Nule i znak: Poxto je eksponencijalna uvek pozitivna, onda znak zavisi samo od x, f (x) < 0, a za x > 0 f (x) > 0. Nule nema. znaqi za x < 0 3◦ Parnost i periodiqnost: niti parna, niti neparna, niti periodiqna 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: Mogu i sada da razvijem pa u to ovde uraditi. 1
xe
x
=x
·
1+
1 x
1
+
2x2
+o
1
= x+1 =
x2
1 x
+o
1
x
Sada se vidi da je lim f (x) =
x→−∞
lim
x→+∞
−∞ f (x) = +∞
Takoe je i 1
lim xe −
x→0
x
=0
1
lim xe +
=+
∞
x
x→0
5◦ Asimptot Asimptote e funkc funkcije: ije: Funkcija ima prekid u taqki x = 0, pa u njenoj okolini postoji to ji mog mogun unost ost za vert vertika ikalni lnim m asimp asimptot totama ama.. Iz pre pretho thodne dne taqke se vid vidi i da pos posto toji ji vertika vert ikalna lna asimptot asimptota a (zb (zbog og desn desnog og lim limesa esa u nu nuli) li) i to je pra prava va x = 0. Tako akoe e se iz prethodne taqke vidi da je prava y = x + 1 obostr obostrana ana kosa asimptota! asimptota! Kada x onda + grafik je iznad. je grafik ispod asimptote, a kada x
→ −∞
→ ∞
6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: 1
f (x) = e
x
· − 1
1
x
Prvi izvod zavisi samo ov ovog izraza u zagradi, dobijamo (
− 1
1
x f (x) f (x)
−∞, 0)
0
(0, 1)
1
(1, +
+
nije def.
0
+
+
nije def. nije def.
− −
0 min.
+
Dakle, taqka M (1, e) je lokalni minimum funkcije.
16
∞)
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke: 1
f (x) =
x
1
−e · x2 (
f () f (x)
1
1
· − 1
−∞, 0) − ∩
1
x
+e
0 nije def. nije def.
x
·
ex = 3 x2 x
1
(0, + ) +
∞
∪
Funkcija nema prevojnih taqki. 1 Grafik funkci funkcije: je: f (x) = xe x 7
6
5
x=0 4
3
M 2
y = x +1 1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
−1 −2 −3 −4 −5 −6
17
1
2
3
4
5
6
8.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) =
ln x ln x
− 1. −2
1◦ Oblast definisanosti: Funkcija nije definisana za x = e2 , pa je D = (0, e2 ) (e2 , +
∪
∞).
2◦ Nule i znak: Ima jednu nulu x = e. Znak: (0, e) ln x 1 ln x 2 f (x)
(e, e2 ) +
e
− 0 − −
− −
+
− −
0
e2
(e2 , + + + 0 + + nije def.
∞)
3◦ Parnost i periodiqnost: niti parna, niti neparna, niti periodiqna. 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena: lim f (x) = 1
x→0+
lim f (x) = −
x→e2
lim
+
x→e2
−∞ f (x) = +∞
lim f (x) = 1
x→+∞
5◦ Asimptot Asimptote e funkci funkcije: je: Funkcija ima vertikalnu asimptotu, i to je prava x = e2 , dok je desna horizontalna asimptota, prava y = 1. 6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije: ln x f (x) =
− 2 − ln x − 1 1 x x =− 2 (ln x − 2) x(ln x − 2)2
Za sve x za koj kojee je fun funkci kcija ja def defini inisan sana a f (x) < 0, dakle funkc funkcija ija lokalnih ekstremuma. 7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke:
f (x) =
ln x (ln x
− 2)3
f (x) f (x)
− 2)2 + 2x(ln x − 2) · x1 ln x = x2 (ln x − 2)4 x2 (ln x − 2)3 (0, 1) 1 (1, e2 ) (e2 , +∞) e2 0 + + + − 0 + − − − − nije def. + + 0 ∪ prevoj ∩ nije def. ∪
(ln x
Dobijamo da je prevojna taqka P 1,
1 2
.
18
, op opad ada. a.
Nema Ne ma
Grafik funkci funkcije: je: f (x) =
ln x ln x
−1 −2
8
7
6
5
x = e2 4
3
2
y=1
1
P
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8
19
8
9
10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
9.
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = (x
1◦ Obl Oblast ast Dakle D = (
Fun unkc kcij ija a
defini def inisan sanosti osti::
nije ni je
− 1)ln
− 1
1
x
defi de fini nisa sana na
.
na
int nter erva valu lu
[0, 1].
−∞, 0) ∪ (1, +∞).
2◦ Nule i znak: Nul Nula a nema. Znak: ( 1 1
−− x
ln 1
−∞, 0) −
(1, + ) +
+
− −
x
f (x)
∞
−
Funkcija je na celom svom domenu, negativna, f (x) < 0. 3◦ Parnost i periodiqnost: Niti parna, niti neparna, niti periodiqna. 4◦ Graniqne vrednosti funkcije na krajevima domena:
x
→∞
f (x) = (x
− 1)
· −
1
− 2x2 + o x
Dobijamo da je lim f (x) = x→∞
1
1
x2
=
1
−1 + x −
1 +o 2x
1
x
=
−
1 1+ +o 2x
1
x
−1. lim f (x) =
x→0−
−∞
lim f (x) = 0
x→1+
5◦ Asimptote funkcije: Vertikalna asimptota je prava x = 0. Obostrana horizontalna + grafik je asimptota je prava y = 1. Kada x grafik je ispod prave, a za x iznad prave.
−
→ −∞
→ ∞
6◦ Prvi izvod, monotonost i lokalni ekstremi funkcije:
−
1
f (x) = ln 1
x
+ (x
1
x
− 1) x − 1 · x2 = ln
− 1
1
x
+
1 x
Za sve x iz domena f (x) < 0, dakle funkcija na celom domenu opada ( ).
7◦ Drugi izvod, konveksnost i prevojne taqke: x
1
1
1
·
−1 = 2 · − − f (x) = 2 2 x−1 x x x x−1 −1 (−∞, 0) (1, +∞) − + f (x) ∩ ∪ f (x)
Funkcija nema prevojnih taqaka.
20
x
x x
=
1 x2 (x
− 1)
Grafik funkci funkcije: je: f (x) = (x
− 1)ln
− 1
1
x
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
0
1
y = −1
−1
−2 x=0
−3
−4
21
2
3
4