Investigación de Operaciones Plan común de ingeniería
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA ECONÓMICA DE LOS PRECIOS SOMBRA Y COSTOS REDUCIDOS
DEFINICIONES: Precio sombra: sombra: El precio sombra o precios duales de una restricción cualquiera se puede interpretar como la razón de cambio del Valor Objetivo (VO) a medida que aumenta (disminuye) (disminuye) el Lado Derecho (LD) de dicha restricción (es decir, el cambio por aument aumentoo uni unita tario rio del LD), LD), mientr mientras as los demás demás datos datos perma permanec necen en sin cambi cambio. o. La interpretación del precio sombra solamente es válida dentro de cierto rango del LD dado. Se trata de un rango en el cual el precio sombra permanece constante. Sin embargo, fuera de este rango permisible el precio sombra puede cambiar a otro valor. De acuerdo con la interpretación anterior, el precio sombra de una restricción inactiva siempre será cero. Si una restricción es inactiva, significa que dicha restricción tiene holgura o excedente (es decir, que no está satisfecha en su valor límite o frontera). Costo reducido: reducido: En las soluciones no degeneradas, el costo reducido de cualquier variable de decisión se define como cuánto tendría que cambiar el coeficiente de dicha variable, en la función objetivo, objetivo, para tener un valor óptimo óptimo positivo. Por tanto, si una una variable ya es positiva en la optimalidad, su costo reducido es cero. Por el contrario, si el valor óptimo de una variable es cero, entonces, según la definición de costo reducido, dicho costo es el incremento o el decremento permisible permisible que corresponde a dicha variable. Puede darse otra interpretación equivalente equivalente al costo reducido de una solución no degenerada. En las soluciones no degeneradas, el costo reducido de una variable de decisión (cuyo valor óptimo actual es cero) es la razón (por cantidad unitaria) a la cual se afecta el valor objetivo a medida que se fuerza la variable (no básica) hacia una solución óptima. Considere ahora una solución degenerada con una variable de decisión cuyo valor óptimo es cero. El coeficiente de la variable en la función objetivo debe cambiar por lo menos, y posiblemente más que, el costo reducido para que haya una solución óptima, apareciendo tal variable con un nivel positivo.
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Aplicaciones del precio sombra y costo reducido Considere el problema de la mezcla productiva cuya información relevante se presenta en la siguiente tabla: Departamento (operación) Cortado Troquelado Esmaltado
Índice de producción (hora/unidad) Art 1 Art 2 Art 3 Art 4 10 20 2 3 5 5 5 4 4 2 6 6 10 15 4 2
Utilidad Unitaria ($)
Capacidad productiva
(Horas de operación/periodo)
4.000 1.500 800
El modelo de P.L para este problema es: MaxZ
= 10 X 1 +15 X 2 + 4 X 3 + 2 X 4
s.a 10 X 1 + 20 X 2
+ 2 X 3 + 3 X 4 ≤
4000
5 X 1 + 5 X 2
+ 5 X 3 + 4 X 4 ≤ 1500
4 X 1 + 2 X 2
+ 6 X 3 + 6 X 4 ≤ 800
X i
≥ 0, ∀i = 1,2,3,4
Cuya solución óptima se expone en la siguiente tabla: SBF Z i
−
C i
X 2 X 6 X 1
y4
y5
y6
y7
y1
y2
y3
X 1
X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
X 7
1
0
0
7/3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−13 / 15 −12 / 15 1 / 15 −1 / 3 −3 / 2 −1 / 6 19 / 10 29 / 15 −1 / 30
N
5
2/3
Solución
0
5/ 6
3.333 ,3
0
−1 / 6 −5 / 6
400 / 3 500 / 3
1/ 3
400 / 3
1 0
Recuerde que los valores en el renglón (Z i – C i) asociados a las variables de holgura de cada una de las restricciones corresponden a los precios sombra, por lo tanto, se tiene: y1 = 2/3 y2 = 0 y3 = 5/6
(asociado al recurso1) (asociado al recurso2) (asociado al recurso3)
Y los valores en el renglón (Z i – Ci) asociados a las variables de decisión corresponden a los costos reducidos: y4 = 0 y5 = 0 y6 = 7/3 y7 = 5 Valor óptimo, Z* = 3.333,3 (u.m.) Preguntas: 2
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¿En cuánto afecta el valor óptimo, un incremento unitario en la disponibilidad del recurso 1? El recurso 1 corresponde a Cortado y la disponibilidad actual es de 4000 (horas de operación/período). Si se aumenta la disponibilidad en 1 unidad, es decir, de 4000 a 4001 (horas de operación / período) el valor objetivo se verá incrementado proporcionalmente al valor de su precio sombra (y 1= 2/3) Z * = 3.333 ,3 +
2 *1 3
Z* = 3.333,96 (u.m.) 2.
¿Qué pasaría si dispusiéramos de 798 (horas de operación/período) en el recurso 3? El recurso 3 corresponde a Esmaltado y el efecto sobre Z* será una disminución en el valor objetivo óptimo. Dado que y 3 = 5/6 5
Z * = 3.333 ,3 −
6
*2
Z*= 3.331,63 (u.m.) 3.
¿En cuánto disminuye la utilidad si se hace crecer una variable no básica? Las variables no básicas son x 3, x4, x5, x7, pero la pregunta sólo se puede aplicar a las variables x3 y x4, ya que ambas representan cantidades de productos a fabricar (artículo 3 y 4 respectivamente). Dado que y 6 = 7/3, el costo económico de producir una unidad del producto 3 será: Z * = 3.333 ,3 −
7 3
*1
Z*= 3330,967 (u.m.) Se produce una disminución del VO porque no es rentable producir el producto 3, es por esta razón que es variable no básica. Por lo tanto, el forzar a producirlo provoca una disminución de Z*. Si se fuerza a producir 2 unidades del producto 4(siendo y 7=5), se tendrá: Z *
=
3.333 ,3
−
5*2
Z* = 3323,3 (u.m.) 4.
¿En cuánto tendría que aumenta la contribución unitaria de los productos 3 y 4 para que fuese rentable producirlos?
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El costo reducido también permite dar respuesta a esta interrogante. La contribución unitaria del producto 3 es $4 y del producto 4 es $2. Por lo tanto, ambas contribuciones tendrían que aumentar como mínimo en los valores de los costos reducidos asociados, (es decir, y 6 e y7 respectivamente), para que fuese rentables fabricarlos. Se tendría una nueva función objetivo, dada por: MaxZ
= 10 X 1 + 15 X 2 + ( 4 + y 6 ) X 3 + ( 2 + y 7 ) X 4
MaxZ
= 10 X 1 +15 X 2 + 6,3 X 3 + 7 X 4
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