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Ciclo Básico Unificado de las Tecnicaturas Superiores Módulo Herramientas Matemática
INTERÉS SIMPLE
En el régimen de capitalización simple, el capital productor de intereses siempre es el mismo a lo largo del período de duración de la operación, en este caso es el C 0 , y los intereses en cada período son los mismos. La diferencia diferencia con el régimen régimen de capitalizac capitalización ión compuesta compuesta es, fundamen fundamentalm talmente ente,, que en la capitalización capitalización compuesta el capital susceptible de generar intereses aumenta a lo largo del tiempo – no es el mismo- ya que los intereses devengados en cada período se añaden al capital inicial que los ha generado. A lo largo del cursado del módulo se irán ampliado estos puntos. En lo que sigue se ampliará el Cálculo por Interés Simple.
CUESTIONES INTRODUCTORAS: INTRODUCTORAS: Supongamos que hoy, el Señor Rodrigo Ron le debe pagar $ 6000 por una compra que realizó en su negocio. El le propone pagarle esa cantidad dentro de un año. ¿Aceptaría?
Si suponemos que la práctica habitual en nuestro negocio es cobrar al contado, la oferta del Sr. Ron nos supone un costo adicional y por lo tanto, no aceptaríamos. Veamos por qué: Supongamos Supongamos que necesitamos necesitamos el dinero para pagar deudas que, a su vez, nosotros hemos contraído con nuestros proveedores, proveedores, por lo cual nos veremos obligados a pedir un préstamo por esa cantidad, con el coste consabido de los intereses que deberemos abonar. Si, por el contrario, no nos hace falta la liquidez1 en la empresa hasta que no transcurra el año y si cobráramos ese dinero, tendríamos la posibilidad de depositarlo en un Banco y obtener los intereses correspondiente.
ACTIVIDAD ACTIVID AD PARA EL ALUMNO: Valiéndote de lo que has trabajado en los apartados anteriores, intenta resolver: 1- Si coloc colocam amos os nuestro nuestross ahorro ahorross de $ 10.00 10.000 0 en un banco banco donde donde al cabo cabo de 30 días días nos devolverán $ 10.500, ¿cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido? 2- Continu Continuando ando con el problema problema 1,¿cuán 1,¿cuántos tos períodos períodos debemos debemos dejar dejar nuestros nuestros ahorros ahorros en el banco si queremos obtener $ 500 de utilidad? 3- Y, ¿cuánt ¿cuánto o pesos pesos debería deberíamo moss haber haber coloca colocado do si al cabo cabo de un año quisié quisiéram ramos os tener tener $ 12.000?
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liquidez . En general, liquidez es la facilidad conque un activo puede convertirse en dinero. Los activos comprenden el efectivo, que es perfectamente líquido, y otros que resultan gradualmente menos líquidos: divisas, valores, depósitos a corto y largo plazo, cuentas de resultado acreedor, bienes de consumo duraderos, bienes de capital, metales preciosos, obras de arte, etc. El grado de liquidez de cada uno de estos activos se mide por la facilidad de convertirlo en dinero efectivo.
El término liquidez también se usa corrientemente en macroeconomía para hacer referencia a la cantidad de dinero en poder del público. Se habla asimismo de liquidez monetaria, M2, que incluye el circulante -formado por los billetes y monedas más los depósitos a la vista- más los depósitos de ahorro y a plazo fijo. Cuando se incluyen otro tipo de depósitos, a muy largo plazo, se habla entonces de liquidez ampliada, M3. http://www.eumed.net/cursecon/dic/L.htm
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INTERÉS SIMPLE: CÁLCULO
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Un banco paga un interés simple a razón de 8% por año para ciertos depósitos, a plazo fijo. Un cliente deposita $10000, a cinco años. Confecciona una tabla que muestre el dinero ganado como interés según los años transcurridos.
El interés es una cantidad que se paga por emplear el dinero ajeno. Se pagan intereses sobre hipotecas por usar el dinero del banco, y ese dinero se usa para pagar al contratista o a una persona a quien se compra la casa. De manera análoga, el banco paga intereses por el dinero invertido en cajas de ahorro o en plazos fijos, pero se tiene acceso temporal a él. Se da el nombre de capital al dinero que se presta o invierte, y se lo designa con la letra C. Los intereses suelen pagarse en proporción directa al capital y al periodo durante el cual se usa el dinero. La tasa de interés especifica especifica el porcentaje del del capital a pagar por unidad de tiempo. tiempo. Si el interés es a razón de 8% por año , significa que por cada 1 año transcurrido, de cada $100 de capital se obtienen $8 de interés. A menos que se establezca lo contrario, la tasa de interés, es anual. Para los cálculos matemáticos, se la reduce de tanto por cada 100 a tanto por cada 1 y se la designa con la letra i . La notación universal i el interés producido por $1 durante un período. 8 0,08 . La tasa de interés es del 8% anual, reducida a tanto por uno se transforma en i 100 Significa que por cada $1 se obtiene de intereses $0,08 (8 centavos). =
=
Cuando el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, el dinero que deviene por dicho capital se lo conoce como interés simple y se lo designa con la letra I . Con el vocabulario explicado podemos entender los datos del problema. El capital invertido es C0 = $10000 Confeccionemos la tabla: Tiempo (en 0 1 años)
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Cálculo 0 0,08·10000 (0,08·10000)·2 (0,08·10000)·3 (0,08·10000)·4 (0,08·10000)·5 Intereses 0 8 00 1 60 0 24 00 3 20 0 40 00 Acumulado El calculo de intereses para el 1er año se amplía amplía proporci proporcional onalmen mente te en forma forma directa directa a 2 años, años, 3 años, y así sucesivamente hasta 5 años. El Interés Periódico es siempre de $800. El cálculo del interés simple es: Interés simple = Capital inicial · Tasa por periodo en tanto por uno · Número de periodos En símbolos:
I = C 0 · i · n
A veces se suele usar t en lugar de n. Es indispensable que n (o t )l, e i sean compatibles entre sí. Es decir, si i se expresa en tanto por un peso mensual , n (o t ) es cantidad de meses ; si i se expresa en tanto por un peso diaria , n (o t ) es cantidad de días . ________________________________________________________________________ 2
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El Monto o C n es el valor acumulado del capital más los intereses. Se lo designa con la letra M o C n .
En símbolos:
C 0 = M = C 0 + I = C 0 + C 0·i·n = C 0·( 1 + i·n )
El cálculo de interés simple se suele aplicar en préstamos o inversiones de corta duración. En el caso de la caja de ahorro, se aplica el calculo de interés simple diario para cantidades cantidades de días dentro del mes en curso. En tanto que en el calculo de mes a mes se aplica Interés Compuesto. En los problemas la tasa de interés usualmente se da como dato anual y no se lo suele especificar. Si el cálculo es por cantidad de meses, o cantidad de días cuando la información de la Tasa es Anual, entonces se aplica una reducción reducción sobre la tasa para hallar la Tasa Tasa Proporcional Mensual o la Tasa Proporcional Diaria. 12% 1% mensual. Por ejemplo, si la tasa es 12% anual la Tasa Proporcional Mensual es : 12 meses Para la obtención de la diaria, se dividirá por 365 días (año civil) o por 360 (año comercial). =
ACTIVIDAD ACTIVID AD PARA PARA EL ALUMNO: 1) Ayud yudemos emos a la Señora Díaz Díaz quien no pudo asistir asistir a la escuela escuela primaria. primaria. La Señora Señora Díaz quiere quiere colocar colocar $1000 en el Banco Italia Italia a plazo fijo, quien quien está dando un interés interés del 6% anual. En su casa necesita hacer los cálculos de los intereses que obtendría si pacta la colocación a 1 año, si la pacta a 2 años, a 3 años, a 4 años, a 5 años. a) Elabora Elabora con los los cálcu cálculos los efectuad efectuados os la la tabla Tiempo (en años) – Intereses ( en $). b) b) Graf Grafic icaa la func funció ión. n. c) Trata rata de hallar hallar la fórmu fórmula la matem matemáti ática ca que describ describaa los Intereses en función del Tiempo para la gráfica confeccionada. d) ¿Qué ¿Qué tipo tipo de de func función ión es? es? 2) Ahora la Señora Señora Díaz quiere saber saber el importe importe que recibiría recibiría al finalizar finalizar el plazo plazo de colocación colocación tanto si éste es de 1 año, o 2 años, 3 años, etc. a) Ayúd yúdale ale nueva nuevamen mente te confec confeccion cionando ando la tabla Tiempo (en años) – Monto (en $) b) b) Graf Grafic icaa la func funció ión. n. c) Trata rata de hall hallar ar la fórm fórmul ulaa mate matemá máti tica ca que que desc descri riba ba el Monto Monto en fun funció ción n del Tiempo, identificando a monto con la letra S. 3) Calcular la tasa de interés proporcional proporcional mensual equivalent equivalentee a la tasa del 9% anual. anual. 4) Se efectúa efectúa una inversión de $10000 por el plazo de 6 meses, meses, a una tasa del 36%.Observación: Si no se lo especifica , la tasa es anual.
a) Calcula Calcula los los Interes Intereses es ganados ganados al al final final del períod período. o. b) Calcula Calcula el Capit Capital al Final Final del perío período. do. 5) Calcular el interés interés simple que que produce un un capital de de $10000 en 3 años al 0,8% 0,8% mensual. mensual.
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CÁLCULOS DERIVADOS.
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En las situaciones anteriores se ha calculado el Capital Final, conociendo el Capital Inicial, el Período (tiempo) y la Tasa. Pueden darse situaciones donde el Capital Final sea dato, y la incógnita esté en el Capital Inicial, o en el Período, o en la Tasa. A continuación se presentan algunas situaciones. Situación: ¿A qué tasa de interés se hizo una colocación de $2700 que luego de permanecer depositada durante 4 meses permitió obtener una ganancia bruta de $162? C 0 = $2700 n = 4 meses I = $162 i = ¿?
I = C 0 · i · n
$162 = $2700 · i · 4 $162 = $2700 · 4 · i $162 = $10800 · i $162 / $10800 = i 0,015 mensual = i
Resp.: La Tasa es de 1,5% mensual. Situación: ¿Durante cuánto tiempo fue necesario depositar $3600 para poder obtener una ganancia de $225 con una tasa de interés de 1,25% mensual? C 0 = $3600 I = C 0 · i · n I = $225 i = 0,0125 mensual $225 = $3600 · 0,0125 · n n = ¿? Mensual $225 = $45 · n $225/$45 = n 5 meses = n Resp.: 5 meses Situación: ¿Qué dinero debo invertir para que en 3 años se convierta en $12000 a una tasa del 20% anual? M = C 0 · ( 1 + i · n ) M = $12000 i = 0,2 annual n = 3 años C 0 = ¿?
$12000 = Co · ( 1 + 0,2 · 3 ) $12000 = C0 · ( 1 + 0,6) $12000 = C0 · 1,6 $12000/1,6 = C0 $7500 = C0
ACTIVIDADES PARA EL ALUMNO: 1) ¿Qué ¿Qué capital capital produc producee $12 $1240 40 de Mo Monto nto,, si es inverti invertido do durante durante 6 mese mesess al 4% de interé interéss mensual? 2) ¿A cuánto asciende asciende los intereses intereses ganados ganados por un capital que invertido durante durante 8 meses meses al 4% de interés mensual alcanzó un monto de $3000? 3) La empresa empresa YY S.A. S.A. tiene tiene en su activo activo una cuenta cuenta a cobrar origin originada ada a un año y medio de esa fecha devengando un interés de $562.5 al 25% anual. ¿Cuál es el importe original del crédito?. 4) ¿En ¿En qué plazo plazo un capit capital al de $10 $1000, 00, inver invertid tido o al 4% de interés interés mensu mensual al genera genera $240 en concepto de intereses? 5) ¿En qué plazo plazo un capital capital de $1000, inverti invertido do al 4% de interés interés mensual mensual se transfor transforma ma en un múltiplo de sí mismo? ________________________________________________________________________ 4
