Aplikasi Integral Pada Medan ListrikDeskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
penegendalianFull description
fisikaDeskripsi lengkap
garis pengaruh balok gerberFull description
analisis vektorDeskripsi lengkap
penegendalianDeskripsi lengkap
Oleh : Gendutt Integral Garis pada Medan Vektor Pada bagian ini, kita akan membahas integral garis pada medan vector. Mari kita mulai dengan mengingat kembali medan vector F pada yang dinyatakan dalam bentuk fungsi komponennya, yaitu ⃗(
)
(
)⃗
(
)⃗
(
) ⃗⃗
dan kurva mulus pada dimensi tiga yang dituliskan sebagai ⃗( )
( )⃗
( ) ⃗⃗
( )⃗
Integral garis dari ⃗ sepanjang C adalah ∫ ⃗
⃗
∫ ⃗ ( ⃗( )) ⃗( )
Pada ruas kiri persamaan di atas tampak bahwa itu merupakan dot product dari medan vector dengan turunan dimana turunannya merupakan vector. Jadi, ⃗ ( ⃗( )) dapat dituliskan sebagai ⃗ ( ⃗( ))
⃗ ( ( ) ( ) ( ))
Kita juga dapat menuliskan integral garis dari medan vector sebagai ∫ ⃗
⃗
∫ ⃗ ⃗⃗
dimana ⃗⃗( ) merupakan tangent vector satuan yaitu ⃗⃗( )
⃗( ) ‖ ⃗ ( )‖
Jika kita mengetahui cara menghitung integral garis, kita dapat menemukan bahwa bentuk kedua ini sama dengan bentuk pertama di atas. ∫ ⃗
⃗
∫ ⃗ ⃗⃗
∫ ⃗ ( ⃗( ))
⃗( ) ‖ ⃗ ( )‖ ‖ ⃗ ( )‖
∫ ⃗ ( ⃗( )) ⃗ ( )
Pada umumnya kita menggunakan bentuk pertama di untuk menghitung integral garis ini karena lebih mudah digunakan. Mari kita perhatikan contoh berikut. Contoh 1. ⃗
Hitunglah ∫
⃗ dimana ⃗ (
yang diberikan ⃗( )
⃗
)
⃗
⃗⃗ dan C adalah kurva
⃗
⃗⃗
⃗
Penyelesaian. Pertama, tentukanlah medan vector sepanjang kurva. ⃗ ( ⃗( ))
( )( )⃗
( ) ⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
Kemudian kita cari turunan dari parameter. ⃗( )
⃗
⃗⃗
⃗
Lalu kita cari dot product dari keduanya, yaitu ⃗ ( ⃗( )) ⃗ ( ) Integral garisnya adalah, ⃗
∫
⃗
(
∫
)
Contoh 2 Hitunglah ∫
⃗
⃗ dimana ⃗ (
)
⃗
⃗⃗ dan C adalah segmen garis dari (-
1,2,0) dan (3,0,1) Penyelesaian. Pertama, kita cari parameter dari segmen garis tersebut. ⃗( )
(
)〈
〉
〈
〉
〈
〉
Kemudian kita cari medan vector sepanjang kurva tersebut. ⃗ ( ⃗( ))
(
)( )⃗
(
)( ) ⃗⃗
(
Sekarang, kita cari turunan parameter. ⃗( ) Terakhir, kita cari nilai dot product.
〈
〉
)⃗
(
) ⃗⃗
⃗ ( ⃗( )) ⃗ ( )
(
)
(
)
Integral garisnya adalah ∫
⃗
⃗
(
∫
)
Pada bagian akhir materi ini, kita akan membuat bentuk umum hubungan antara integral garis dari medan vector dan integral garis yang dibentuk dalam x, y, dan z.
